Переработка полимеров - Мак-Келви Д.М.

Автор: Мак-Келви Д.М.

Теги: промышленность высокомолекулярных веществ резиновая промышленность промышленность пластмасс материаловедение полимеры пластмассы полимерные материалы химические технологии

Год: 1965

Похожие

Переработка каучуков и резиновых смесей (реологические основы, технология, оборудование)

Основы технологии переработки пластических масс: Учебное пособие

Экструзия профильных изделий из термопластов

Реология в процессах переработки полимеров

Текст

ПЕРЕРАБОТКА
ПОЛИМЕРОВ
Д. М. МАК-КЕЛВИ
Перевод с английского
Ю. В. Зеленева> Б. П. Пашинина,
Э. И. Родина
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ХИМИЯ»
МОСКВА ■ 1965

POLYMFR
PROCESSING
by James M. MCKELVEY
Professor of Chemical Engineering
Washington University
St. Louis, Missouri
JOHN WILEY AND SONS. INS
NEW YOK,< —
IONDON

УДК 678. 027./П29-20-82
М-15
Книга написана известным американским, специалистом
в области переработки полимеров. Она представляет собой
расширенный курс лекций, включающий результаты
теоретических и экспериментальных исследований по технологии
переработки полимеров, проведенных группой американских
специалистов.
В первой части книги излагаются основные теоретические
представления о строении, механических, термодинамических,
электрических и.адгезионных свойствах полимеров. Во втэрой
частк подробно -рассматриваются важнейшие процессы
переработки полимеров. Анализ процессов, протекающих при
переработке полимеров, производится на высоком научном уровне с
широким привлечением математического аппарата.
Книга предназначается для инженерно-технических
работников заводов по переработке полимеров, сотрудников научно-
исследовательских институтов и -конструкторских бюро,
создающих новые машины для переработки пластмасс; особый
интерес эта книга представляет для студентов, аспирантов и
преподавателей, специализируюищхся в области технологии
переработки и конструирования соответствующего оборудования.

От издательства
Все расширяющееся применение и производство
полимеров требует увеличения объема их переработки.
На современном уровне развития техники в
переработке полимеров широко используются достижения в
области технической, физики (реологии, учения о тепло-
перерадаче, о диэлектриках и т. д.), ряда инженерных
дисциплин и результатов изучения структуры и
свойств полимерных материалов. Монография Д. М.
Мак-Келви «Переработка полимеров» служит
прекрасной иллюстрацией этого. Около половины объема
книги посвящено изложению теоретических проблем,
связанных с реологией, теплофи-шческими,
поверхностными, электрическими свойствами и структурой
полимеров, причем показана их непосредственная связь с
процессами переработки. Монография Мак-Келви в
этом существенно отличается от других зарубежных
руководств по переработке полимеров. Наиболее
важные главы в теоретической части книги, связанные
прежде всего с реологией, написаны на высоком
современном уровне. Во второй части книги, где
рассматривается приложение теории к важнейшим процессам
переработки полимеров, изложение отличается
сжатостью и не затрагивает конструкций оборудования,
довольно полно рассмотренных в ранее переведенной на
русский язык монографии Э. Бернхардта
«Переработка термопластичных материалов», Госхимиздат,
1962 г. Монографии Д. Мак-Келви и Э. Бернхардта
удачно дополняют друг друга, создавая общее
правильное представление об уровне теории и
инженерного оформления процессов переработки полимеров в
США. В книге Мак-Келви приведено много полезных

6
От издательства
примеров, которые могут быть использованы при
проведении занятий со студентами.
При редактировании перевода в книге Мак-Келви
был обнаружен ряд ошибок и опечаток, которые были
исправлены.
Глава 1, 12 и 14 переведены Б. П. Пашининым,
главы 2—8 и Приложение — Ю. В. Зеленевым, главы 9—
11 и 13 переведены Э. И. Родиным.
Главы 1, 4—7 отредактированы Г. В.
Виноградовым, главы 2, 9, 1.2, 14 и Приложение — А. И.
Леоновым, главы 3, 8 и 13 отредактированы А. Я.
Абалкиным, главы 10 и 11 —СИ. Гдалиным.

Предисловие автора
В последние десятилетия появилась нокая, важная
отрасль промышленности, основанная на синтезе высо-
кополимеров и получении из них готовых изделий.
Такие методы переработки полимеров, как литье под
давлением, экструзия, смешение и каландрование,
составляют главную часть общей технологии, которая в
дальнейшем называется технологией переработки
полимеров. В настоящее время переработка полимеров
производится в больших масштабах и представляет
собой технологический процесс, который все более
усложняется, и его осуществление связано с решением
многих необычных инженерных задач.
Впервые автор начал заниматься вопросами
технологии переработки полимеров в начале 1950 г. на
Экспериментальной станции фирмы «Дюпон». К тому
времени было совершенно очевидно, что простое
эмпирическое изучение основных операций переработки
полимеров часто оказывается неэффективным и
приводит к получению ограниченных результатов. В
дальнейшем выяснилось, что некоторые операции
переработки полимеров можно подвергнуть математическому
анализу и получить более общие выводы. Учитывая
это, группа исследователей (в составе В. Л. Гоура,
К. Джепсона, Р. С. Маллоука, Д. Ф. Карлея и Э. К-
Бернхардта), с которой работал и автор, приступила
к изучению экструзии термопластов. Обобщающим
этапом исследований явился симпозиум по экструзии,
состоявшийся в конце 1952 г. Назначение этой книги
состоит в освещении результатов проделанное работы.
В настоящее время ясно, что только реология —
наука о деформации и течении — дает ключ к пониманию

8 Предисловие автора
многих явлений, возникающих при переработке
полимеров. При анализе различных методов переработки
полимеров особенно полезным является знание
механики неньютоновской жидкости. Общие представления
о вязкоупругом поведении, видимо, также вскоре бу
дут играть важную роль при разработке
промышленного технологического процесса переработки
полимеров. Именно поэтому значительная часть настоящей
книги посвящена реологии и ее прикладному значению
при изучении неньютоновского течения.

Глава 1
Введение в технологию
переработки полимеров
Промышленность пластических масс начала свое развитие
еще в прошлом столетии, когда были найдены способы
химического модифицирования природных полимеров. Вулканизация
каучука и ацетилирование целлюлозы являются характерными
примерами таких процессов модифицирования. Подобные
процессы значительно повысили ценность натурального каучука и
целлюлозы и открыли много новых областей их применения.
В последние десятилетия в промышленности стали играть
важную роль синтетические полимеры. В настоящее время
производится большое число полимерных материалов, обладающих
огромным разнообразием физических и химических свойств. Они
нашли такое широкое применение, что теперь их синтез
занимает одно из важнейших мест в химической промышленности.
Наряду с созданием синтетических и модифицированием
природных полимеров необходимо одновременно разрабатывать
методы переработки различных полимерных материалов (смол) в
готовые изделия, такие, как текстильные волокна, упаковочные
пленки, поверхностные покрытия и т. д. Для описания подобных
методов переработки полимеров в настоящей монографии
используется термин технология переработки полимеров.
1-1. Определение и назначение технологии
переработки полимеров
Назначение технологии переработки полимеров можно по
нять из следующего определения:1
«Технология переработки полимеров — это область техники,
охватывающая процессы и оборудование, предназначенные для
улучшения полезных свойств полимеров и превращения их в
готовые изделия. При переработке материал подвергается
деформированию, в нем могут происходить химические реакции, а
также необратимые изменения физических свойств. Сюда не

10 Гл. 1. Введение в технологию переработки полимеров
относятся химические реакции, протекающие при синтезе
полимеров».
Примерами типичных методов переработки полимеров
являются литье под давлением, каландрование, диспергирование
пигментов в полимерах, поверхностное модифицирование
полимерных пленок.
При литье под давлением, которое является одним из
ведущих методов переработки полимеров, наблюдается лишь
течение материала без изменений его физических и химических
свойств. Это относится также и к таким методам, как
формование изделий из листовых материалов, экструзия и смешение
расплавов полимеров.
При воздействии газового пламени или коронного разряда
на поверхность полимерных пленок, а также при прессовании
термореактивных смол, в перерабатываемых материалах,
происходят химические превращения. Регулированием степени
кристалличности и ориентации макромолекул в текстильных
волокнах и упаковочных пленках можно улучшить механические
свойства полимерных материалов. При этом в материале
происходят необратимые изменения физических свойств, которые,
однако, не сопровождаются химическими реакциями или
течением, которое бывает в жидкостях.
С инженерной точки зрения для промышленности
переработки полимеров важно конструирование машин и оборудования
(в основном это вопросы машиностроения), проектирование
заводов и разработка технологических режимов (сюда относятся
вопросы контроля производства, изучение движения материала
в процессе производства и хронометраж отдельных операций —
это в основном вопросы организации производства), улучшение
качества готовых продуктов (работы, связанные с оценкой
физических и химических свойств материалов и их применения для
различных целей). В настоящей книге дается анализ процессов,
протекающих при переработке полимерных материалов.
При технологическом исследовании какого-либо процесса
вводят, пользуясь законами физики, независимые и зависимые
переменные и затем получают функциональные зависимости
между ними. В данной книге широко используются
представления и понятия реологии, потому что в большинстве процессов
переработки полимеров имеют место деформация и течение. При
анализе переработки полимеров следует также учитывать
кристаллизацию, особенности поведения полимеров как
диэлектриков, Р—V.—Г-характеристику полимеров, химические реакции,
протекающие на поверхности, а также процессы теплопередачи.
Между методами переработки полимеров и отдельными
операциями химической технологии существует большое сходство.

2. Классификация методов переработки полимеров
11
Однако специфические свойства высокополимеров
обусловливают ряд таких задач, которые не встречаются в химической
технологии. Поэтому технология переработки полимеров
рассматривается как особая отрасль химической технологии.
1-2. Классификация методов
переработки полимеров
Одна из классификаций методов переработки полимеров
основана на разделении операций по их назначению. Согласно
этой классификации, все методы переработки полимеров
подразделяются на три большие группы. Назначение методов,
относящихся к первой группе, состоит в придании массе полимера
формы готового изделия. Методы, относящиеся ко второй
группе, имеют своей целью соединение полимеров друг с другом, а
к третьей группе относятся методы модифицирования структуры
полимерных материалов. В табл. 1-1 представлены некоторые
наиболее распространенные методы переработки полимеров в
каждой из этих групп.
ТАБЛИЦА 1-1
Методы переработки полимеров
Методы формования
Литье под давлением
Экструзия
Каландрование
Методы соединения
Сварка
Производство слоистых
пластиков
Нанесение покрытий
Методы модифицирования
Смешение
Поверхностное
активирование
Модифицирование
полимеров
Литье под давлением и экструзия (каландрование
рассматривается как частный случай экструзии) являются основными
методами формования при переработке полимеров. Поскольку в
литьевой форме фиксируются три измерения готового изделия
(высота, ширина и длина), а экструзионная головка может
фиксировать лишь два измерения (высоту и ширину), эти два
метода скорее дополняют друг друга, чем конкурируют между
собой.
Методами формования производят большое число
разнообразных изделий, начиная от пуговиц и кончая
охлаждающими рубашками аппаратов и упаковочными пленками. Хотя
эти методы в деталях значительно отличаются друг от друга,
все они имеют по крайней мере одну общую черту. Во всех
методах формования перерабатываемый материал должен течь для
того, чтобы принять форму готового изделия и впоследствии

12 Г л 1. Введение в технологию переработки полимеров
затвердеть, оставаясь в оформляющей полости формы или
мундштука.
Существует много различных методов формования. При
литье под давлением термопластичный материал нагревают
выше его температуры текучести для того, чтобы он мог течь,
затем его охлаждают ниже этой температуры для отверждения.
При этом происходят чисто физические процессы. Другие
методы формования основаны на использовании химических
реакций полимеризации, поликонденсации и образовании сшитых
структур. Другие методы представляют собой сочетание
химических и физических процессов.
В каждом отдельном случае для осуществления цикла
«течение— отверждение» используются различные методы.
К первой группе методов формования относятся такие, при
которых происходят только физические превращения.
Примерами подобных методов являются литье термопластов под
давлением, формование листов из термопластов и литье пластизолей.
Ко второй группе относятся методы формования, в которых
цикл «течение — отверждение» завершается химическими
превращениями. Сюда относится, например, отверждение жидких
мономеров, которое начинается с момента инициирования
реакции полимеризации. Методы формования третьей группы
включают как физические, так и химические превращения.
Прессование термореактивных смол — яркий пример третьей группы
методов формования. Течение в этом случае осуществляется
тогда, когда перерабатываемый материал находится еще в
термопластичном состоянии, а отверждение происходит вследствие
образования сетчатых структур, в результате чего материал
переходит в неплавкое состояние. В табл. 1—2 представлены
различные методы формования, сгруппированные по
рассмотренному выше принципу.
ТАБЛИЦА 1-2-
Классификация методов формования
Группа I
Методы, при которых
происходят только
физические превращения
Литье под давлением
Горячее формование
Выдувание
Литье пластизолей
Группа II
Методы, при которых
происходят только
химические превращения
Отверждение мономеров
Формование полых
изделий заливкой
Группа III
Методы, при которых
происходят оба вида
превращений
Прямое и литьевое
прессование
термореактивных смол

1-2. Классификация методов переработки полимеров 13
При экструзии оформление изделия происходит при продав-
ливании полимера в жидком состоянии через мундштук и
последующем его отверждении; причем он сохраняет форму,
приданную ему мундштуком. Обычно текучесть полимера достигается
за счет его расплавления, а отверждение происходит при
охлаждении. Однако в некоторых процессах при производстве
волокон течение осуществляется после перевода полимера в
раствор. Отверждение в этом случае происходит за счет испарения
растворителя или в результате химических реакций. Хотя эк-
струзионная головка фиксирует только два размера (высоту и
ширину), метод экструзии обладает тем преимуществом, что
при соединении экструдера с насосом процесс формования
можно осуществлять непрерывно (что гораздо дешевле) с высокой
скоростью.
Различные виды экструзии применяются для производства
таких изделий, как пленки, волокна, трубы, для нанесения
покрытия на бумагу, металлическую фольгу, проволоку и во
многих других случаях. Во всех методах экструзии для того, чтобы
вызвать течение полимера через мундштук с желаемой
скоростью, необходимо создать в нем значительные напряжения
сдвига. В одних случаях, когда полимер вначале находится в
расплавленном или растворенном состоянии^ для создания
требуемого давления используются червячные или шестеренчатые
насосы. В других случаях, когда полимер также находится в
расплавленном состоянии, часто применяются пластицирующие
экструдеры с предварительной пластикацией. При каландрова-
нии, которое рассматривается здесь как частный вид экструзии,
между валками образуется зазор, который аналогичен
мундштуку в экструдерах; при вращении валков возникают силы,
заставляющие полимерный материал течь через «мундштук».
Склеивание представляет собой отрасль химической
технологии, которую обычно выделяют из круга гроблем,
относящихся к технологии переработки полимеров. В данной книге автор
ограничивается рассмотрением лишь такого склеивания, которое
происходит при затвердевании расплавов термопластов.
Различают два вида склеивания. К первому виду относят
такое склеивание, в процессе которого обе склеиваемые
поверхности находятся в расплавленном состоянии. Ко второму виду
относят склеивание, при котором в расплавленном состоянии
находится лишь одна из склеиваемых поверхностей. Нанесение
методом экструзии расплавленного полиэтилена на алюминиевую
фольгу — пример второго вида склеивания.
Силы сцепления, вызывающие склеивание материалов, могут
иметь либо адгезионную, либо механическую природу.
Адгезионное сцепление происходит за счет разного рода межмолеку-

14 Гл. 1. Введение в технологию переработки полимеров
лярных сил сцепления. При этом, как правило, одна из
склеиваемых поверхностей плотная и гладкая, как у стекла или
металла.
Механическое сцепление происходит в том случае, когда
одна из склеиваемых поверхностей обладает пористой структурой,
которая заполняется склеивающим веществом (адгезивом),
находящимся в жидком состоянии. После отверждения
происходит механическое сращивание, за счет которого и получается
сцепление. В ряде случаев механическое сцепление протекает
одновременно с адгезионным, но само по себе оно, вероятно,
не является способом склеивания.
В первом из указанных выше случаев, когда обе
склеиваемые поверхности находятся в жидком состоянии, по-видимому,
происходит процесс диффузии полимера через поверхность
раздела. Если диффузия продолжается достаточно долго, это
приводит к исчезновению границы раздела, а следовательно, шов
должен обладать такой же прочностью, как и склеиваемый
материал. Этот процесс необходимо учитывать.
Методы переработки полимеров, относящиеся к третьей
категории, связаны с модифицированием структуры полимерных
материалов. В процессе поверхностной активации модификация
структуры происходит только на поверхности полимера, когда,
например, под воздействием газового пламени или коронного
разряда происходят химические и физические превращения.
Во всех процессах смешения также происходит изменение
структуры материала. Обычное смешение производится для
получения разномерного распределения смешиваемых
компонентов в объеме смеси. Задачей диспергирования является
уменьшение размеров комков, агломератов или частиц разных
компонентов смеси. Обе разновидности смешения имеют большое
значение в технологии переработки полимеров.
Другие методы модификации приводят к изменению
микроструктуры во всем объеме материала. Примерами подобных
процессов являются кристаллизация и ориентация полимеров.
Сюда же следует отнести методы, вызывающие изменения в
молекулах полимера за счет химических или физических
процессов, таких, как вулканизация или облучение электронами
высоких энергий.
Литература
I.E. С. Bernhardt, J. М. М с К е 1 v e у, Mod. Plast. July, 154
(1958).

Глава
Реология
Эта глава представляет собой введение в реологию —'науку
о деформации и течении. Поскольку большинство процессов
переработки полимеров связано с течением материала, настоящая
глава в основном посвящена методам описания поведения
материалов, которые с точки зрения реологии, являются
жидкостями. Хотя эта глава посвящена главным образом неупругим
жидкостям, в ней рассмотрены также основные свойства вязкоупру-
лих жидкостей.
2-1. Уравнения неразрывности,
движения и энергии
Уравнения неразрывности, движения и энергии
представляют собой математическую формулировку основных физических
принципов и не зависят от природы жидкости. Уравнения,
описывающие процессы течения, всегда являются следствием этих
уравнений, рассматриваемых совместно с реологическим
уравнением жидкости. В этом разделе они приводятся без
доказательства1 и используются для краткого математического вывода
уравнений течения.
Рассмотрим некоторую область в пространстве, занятом
движущейся вязкой жидкостью. Плотность жидкости р, давление
Р и температура Т являются скалярными величинами; скорость
жидкости v является векторной величиной, в то время как
величина т, представляющая собой результат действия вязких
сил, есть симметричный тензор второго ранга2. В дальнейшем
эти величины рассматриваются как функции времени и
пространственных координат.
Рассмотрим произвольный элемент жидкости,
расположенный внутри'воображаемой замкнутой поверхности, которая
движется вместе с элементом, но не оказывает на него воздействия.
Элемент жидкости представляет собой термодинамически
замкнутую систему, то есть такую систему, которая может
обмениваться с окружающей средой энергией, но не веществом.

16
Гл. 2. Реология
Из закона сохранения вещества следует, что масса в
замкнутой системе остается постоянной. Уравнение неразрывности
l5r=-e(v-v) (2-1)
(t— время) является математическим выражением этого закона.
Согласно второму закону Ньютона изменение количества
движения элемента жидкости равно сумме всех сил,
действующих на него. Математическое выражение этого приводит к
уравнению движения:
P"^f = -V^ + [v-] + Pg (2-2)
где g — главный вектор массовых сил (сил, приходящихся на
единицу массы), действующих на жидкость в рассматриваемой
точке.
Из первого закона термодинамики (закона сохранения
энергии), примененного к элементу жидкости, следует уравнение
энергии
?cv -jjf = ~ (V ■ Ч) - AT (J?r )p (V • v)+(x : уу)Л (2-3)*
где cv — удельная теплоемкость жидкости при постоянном
объеме; Л — термический эквивалент работы; q — вектор теплового
потока, связанный с градиентом температуры в изотропной
среде законом теплопроводности Фурье:
q=.-kyT (2-4)
где k — коэффициент теплопроводности жидкости. Компоненты
вектора теплового потока в прямоугольной, цилиндрической и
сферической системах координат представлены в табл. 2-1.
Векторная форма, в которой были записаны уравнения
неразрывности, движения и энергии, имеет перед скалярной
преимущество в краткости записи и независимости от выбора
системы координат. Однако при решении конкретных задач
течения необходимо выбрать систему координат и определить в ней
компоненты векторных и тензорных величин. Выбор системы
координат зависит главным образом от геометрии границ
жидкости. Так как наиболее часто используются прямоугольная,
* В уравнении (2-3) и далее в оригинале отсутствует множитель А.—
Прим. ред.

2-1. Уравнения неразрывности, движения и энергии 17
ТАБЛИЦА 2-1
Компоненты вектора теплового
Прямоугольные "координаты
Ях-~Ь дх
у дТ
Яж — k дг
Цилиндрические координаты
у дТ
Яг-~к дг
1 дТ
яъ-~к г • ае
ь дТ
Яг-~Ь дг
потока
Сферические координаты
дТ
Яг = -ъ—от
1 дТ
%--Ь г ■ dQ
1 дТ
чч> — ft r sin 8 ' д<?
цилиндрическая и сферическая системы координат, в табл. 2-2
представлены скалярные уравнения движения и энергии в этих
координатах.
ТАБЛИЦА 2-2
Уравнения неразрывности, движения и энергии в прямоугольных,
цилиндрических и сферических координатах
Уравнение неразрывности
Прямоугольные координаты (х, у, z):
dp д д д
Ж + Жс <Р°*> + ly~ W + дГ <Р°*) = °
Цилиндрические координаты (г, G, г):
dp 1 а * д , д
Ж + Т'Ж (р^Л + Т"т Н) + дГ^*) = °
Сферические координаты (г, 0, <р):
^+7^-^^2^ + r-IhTF-W(Py8sin0)+r^e-'-aTK) = o
Уравнения движения в прямоугольных координатах
Проекция на ось х:
{dvx dvx dvx dvx \ дР
?\W + v*-dT + vy-dy-+v*-Jz-) = --dx-Jr
дххх
дх "^ ду
Проекция на ось у:
+
С
"Г дг ' +
/dvv dvy dvy dvv \ дР
p \Ж + °* -dlT + vy~dy- + v*-dT ) = - 1y~ +
, / ^v , dxyy , d*zy \ , „

18
Гл. 2. Реология
Проекция на ось г:
( dvz dv2 dv2 dv2 \ дР
. / d^xz , дхуз дх22 \
Уравнение движения в цилиндрических
координатах
Проекция на направление г:
( dvr dvr Щ dvr vl <fy_\ дР
dz ^
/ 1 a 1 <4e TS8 дхгг \
Проекция на направление 0:
/ dv9 dvB vB dvQ vrvQ dv& \ \ дР
9 \"аГ + °'-"йГ + "7" Ж + ~Г +v*~dT ) = -~Г~дГ +
( \ д 1 дНь d4z \
+ It*-- ~w (r zrb)+—--Щ-+~ёг j + p£9
Проекция на направление z:
I dv2 dv2 Щ dv2 dv2 \ дР
?[Ж+1,'--дГ^ — -ЬТ + ^-дТ)==-~дг~- +
,( l д 1 dzQz dzZ2\
+ \~-Wirz^ + -r-~W + ~дГ) + №*
Уравнение движения в сферических координатах
Проекция на направление г:
0(dvr_, dvr Vq dvr \ dvr vl + vl \
v \ dt +Vr дг + г ' dQ +rsine* <Эср г ) =
дР ( 1 д 1 д
= -^r + [7i-'dF^rr) + т^гё"-Ж Кбsine) +
, 1 дхгу тве + тфф \
~г г sin е " ду г J +?Sr
Проекция на направление 0:
9 [ dt + ^ дг + г ' дв + г sin Э ' д<р + г " ~ г / =
1 ая / 1 а 1 д
1 §Чу ^r9 Ctg6 \
+ г sin 0 ' ду + г ~~ г тфф / + Р^9

2-1. Уравнения неразрывности, движения и энергии
19
Проекция на направление <р:
Р
dvr,
д% , Ч д%
dv„
dt +У/" дг ^ г ' дб +>sin8 ' дер ' г
+
°го °г
+
ие исР Л _ _J _d£_ /J_ _d_ 2 1 dxBq
г ctg е/ - ~~ г sin 9 ' дер + 1 г2 ' дг (г т'-ф ) + г ' дб
I дт.
+
/- sin i
-фф ^гф 2 ctg 6 ,
- -Щ- + — + -у— ^ i- РЯф
Прямоугольные координаты:
I дТ дТ дТ
Уравнение энергии*
дЯх . <%
^ д*
дГ
— AT
дР ) /_до*
d£ /р \ дл:
ди
+ А\хх11 \ л» + л*- + тл-.г \ л.
дг/
* дг/
dvy_
дг/
<Ч\ /dp,
дл: / + Хл-г V дг
дх
дУ
+ дг
дг
+ Л Г** дл; ~1~ ТУУ дг/
+ '.
даг
zz дг
+
дх У + V \ дг
Г + ду })
Цилиндрические координаты:
I дТ дТ Ч_ дТ_
pcv[ dt +vr df. + r dQ
+ т
1 &79_ dq^
дб + дг
AT
дР
дТ
i
1 д
1 дЩ
dvr
"дГ + те
дГ / р V г * дг (rVr) + г ' дб + дг
1 [ дЩ_ \ дщ
дб + Vr) + т*г дг
J__div /^,^l\, / 1 dv2 dvu \\
т г " дб +т^\ дг + dz j +T0z\ r " дЭ + дг /J
Сферические координаты:
I дТ дТ ve дТ
?cv\ dt -\-vr дг + r • ае +r
дТ
sin Э dtp
1 &7Ф
1 5 о
72- a^(^r) +
_1 д . , ■ „
г sin 9 ' дб We sin 9) + г sin e " дер
I дР\ I \ д i д п 1 ^ф \ ,
~лг ^"df jpi7^-^(r2^ + ^hlT'de-(u8sin0) + 7iInT--dfj +
+ л к
даг
~дГ + ге
г ' дб "т" /- / "'"^Vrsine * дф "■"
vr p9ctg0 \\ Л / dve 1 диг р6 \ ,

20
Гл. 2. Реология
■г % \ дг "г г sin е ' дер ~~ г / "+■ т9ф \ г * ае "•"
ctge \i
1
don
rsinB
На рис. 1 показано, как определяется положение точки в
пространстве в каждой из трех указанных выше систем координат,
а также направление компонент вектора скорости v в данной
,
1
/
Z
Л '■
Рис. 1. Диаграммы, показывающие компоненты вектора скорости v в
прямоугольных (а), цилиндрических (б) и сферических (в) координатах.
точке. Например, в цилиндрических координатах компонента
скорости uQ перпендикулярна плоскости, образованной
направлениями г я z.
Девиатор тензора напряжений т, являющийся' тензором
второго ранга, имеет 9 компонент щ, где i и / независимо
принимают значения х, у и г. Второй индекс определяет направление
действия напряжения, а первый — направление нормали к
поверхности, в которой оно действует. Например, хху представляет
собой напряжение, действующее в направлении оси у в
плоскости, перпендикулярной к оси х. Вследствии симметрии
тензора т
т17 = т;7 (2-5)
только 6 его компонент являются независимыми.
В общем случае движение жидкости не может быть
полностью определено только с помощью уравнений
неразрывности, движения и энергии. Поэтому возникает необходимость в
реологическом уравнении, связывающем компоненты тензора
напряжений с компонентами тензора скоростей деформации
жидкости, а для случая, когда плотность не может предпола-

2-1. Уравнения неразрывности, движения и энергии 21.
гаться постоянной, требуется и уравнение состояния.
Дополнительно может потребоваться уравнение, определяющее
зависимость температуры и давления от некоторых других свойств-
жидкости.
Пример 2-1
В этом примере рассматривается установившееся ламинарное течение
между двумя параллельными пластинами (рис. 2). Пластины находятся на
расстоянии Н друг от друга, которое весьма мало по сравнению с длиной №
шириной пластин. Нижняя пластина неподвижна, а верхняя движется с по-
Рис. 2. Ламинарное течение между параллельными
"пластинами. Нижняя пластина неподвижна, а верхняя движется с
постоянной скоростью в направлении х.
стоянной скоростью Vx в направлении х. Предполагается, что у краев пластин
жидкость сообщается с атмосферой, так что гидростатическое давление
постоянно во всей области, занятой жидкостью. Температура обеих пластин Tw
поддерживается постоянной. Предполагается, что все свойства жидкости, включая
плотность и вязкость, неизменны и что на жидкость не действуют внешние силы.
Искомые величины в этой задаче Т. v и т являются функциями только
одной независимой переменной— пространственной координаты у.
Следовательно, все производные этих величин относительно х, г и t равны нулю.
Кроме того, только vx является не нулевой компонентой вектора скорости, и
Цу—единственной не нулевой компонентой вектора теплового потока. Для
этого частного случая, как это видно из табл. 2-2, уравнения движения и
энергии в прямоугольных координатах примут вид*:
* См. прим. ред. на стр. 16.
(2-6)
(2-7)

22
Гл. 2. Реология
Второй член уравнения (2-7) представляет собой скорость теплового рассеяния
механической энергии (отнесенную к единице объема) в данной точке жидкости.
Первый член уравнения (2-7) определяет собой скорость теплоотвода
(отнесенную к единице объема) за счет теплопроводности в той же самой точке. В
условиях установившегося теплового режима, как это следует из уравнения (2-7),
эти две величины равны.
Граничные условия этой задачи имеют вид:
vx(0) = 0 T(Q) = TW
(2-8)
vx(H) = Vx T(H) = TW
Компонента вектора теплового потока qy определится из табл. 2-1:
4y = -k{-oT
Поскольку порядок индексов в компонентах тензора напряжений,
вследствие его симметрии несущественен, уравнение (2-7) примет вид
/ д2Т \ I dvx \ ,
-k\w)=^vw)A (2"9)
Таким образом, задача о течении жидкости сведена к двум уравнениям
для трех неизвестных функций. Очевидно, что она не может быть решена
однозначно до тех пор, пока не будет известно дополнительное независимое
уравнение. Этим уравнением является реологическое уравнение жидкости, которое
связывает компоненту тензора напряжений хух, и скорость деформации
жидкости в рассматриваемой точке.
Простейшее реологическое уравнение для вязкой жидкости предполагает
линейное соотношение между iyx и градиентом скорости в направлении у и
записывается как
v = + A(llr) <2"10)
где (л—коэффициент вязкости жидкости. Уравнение (2-10) представляет собой
закон вязкости Ньютона*.
Для только что сформулированной задачи имеются три независимых
уравнения. Для определения решения, интегрируя уравнение (2-6), получим:
"ху = zyx = Ci (2-11)
где Сг—постоянная интегрирования. Подставляя этот результат в уравнение
(2-10) и интегрируя, получим:
»*=+-^+Ся (2-12)
Если теперь подставить выражения (2-11) и (2-12) в уравнение (2-9) и
проинтегрировать его, то получим:
2„2
С\у
2(А&
+ С3у + С4 (2-13)
* Знак плюс является условием,ч определяющим, что хух действует на
верхнюю сторону поверхности, перпендикулярную оси у. Если уравнение (2-10)
записать со знаком минус, то тогда %ух будет представлять собой усилие,
действующее на нижнюю сторону поверхности.

2-1. Уравнения неразрывности, движения и энергии ,23
Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных
условий (2-8):
и, следовательно, формулы (2-11), (2-12) и (2-13) примут вид:
syx = P
Н
(Т
(2-14>
(2-15).
(2-16)
Легко проверить, что эти функции удовлетворяют дифференциальным
уравнениям и граничным условиям задачи.
Из выражения (2-14) видно, что
переменной у и прямо
пропорционально вязкости жидкости и
градиенту скорости. Согласно формуле
(2-15) vx прямо пропорциональна у.
График зависимости относительной
скорости (vx/Vx) от (у/Н),
показанный на рис. 3, представляет собой
прямую линию, имеющую тангенс
угла наклона, равный единице.
Из уравнения (2-16) следует,
что распределение температуры по
зазору является параболическим.
Уравнение (2-16) можно записать в
безразмерном виде:
напряжение сдвига хух независимо от
W
^
£я*
0,2
-—
/
/
*
/
к
(Т
-ти)
мл
(W\ ) ~
пп
0,2 0,4- 0,6 0,8 7,0
У/"
Рис. 3. Распределение безразмерных
скоростей и температур для
ньютоновской жидкости между параллельными,
пластинами.
График этой зависимости показан на рис. 3.
2-2. Механика ньютоновских жидкостей
В примере 2-1 реологическое уравнение для ньютоновской
жидкости
/ dvx
ТУх-^1Х[-ду-
было получено постулированием линейного соотношения между
напряжением и скоростью деформации. Это уравнение
является частным случаем применения к плоскопараллельному сдви-

24
Гл. 2. Реология
ту общего реологического уравнения ньютоновской жидкости,
которое выводится в приложении А-6. Оно может быть записано
в виде
*</ = ^и + (*--!" О (V ■у)8*/ ft /=l >2>3) С2"17)
где х — коэффициент объемной вязкости; [х — коэффициент
вязкости при сдвиговом течении.
Компоненты A*j тензора скоростей деформации А и 6*j
единичного тензора б определяются следующим образом:
Да-
/ dvi \ , / dvj У
\ dxj } "^ 1ч a*/ j
&„ = 0, если / Ф j
И
1, если i = /
тде между х, у, z и системой индексов 1, 2, 3 существуют
следующие соотношения:
х. = л: и. = о_
4= У
х~ = z
»« = i>,
В частном случае, когда 1=2 и /=1, уравнения (2-17)
примут вид:
dv9. \ , /дщ_^
Т21 = ^21 = Р
;или в системе обозначений х, у, z.
[дх2
а^.
(2-18)
Заметим, что если бы vy было раино нулю, как при
плоскопараллельном сдвиговом течении, то уравнение (2-18)
упростилось бы:
дих
хУх-^\ду"
Математическая формулировка задачи течения всегда
приводит к системе уравнений, состоящих из реологического
уравнения, уравнений неразрывности, движения, энергии и
уравнения состояния жидкости. Решением задачи являются функции,
удовлетворяющие этим уравнениям и определенным граничным
условиям.

2. МехаШка ньютоновских жидкостей 25
Для упрощения постановки задачи ньютоновского течения-©"
табл. 2-3 приведены скалярные" уравнения (2-17) в
прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах. Решение
простой задачи ньютоновского течения иллюстрируется
примером 2-2.
ТАБЛИЦА 2-3
Реологические уравнения ньютоновской жидкости
Прямоугольные координаты:
\dvx 2 "
Ь,х = + М-
dvu 2
2-bf—T(v-v)
+ x(A.v)
+ %(yv)
a^
52
2
-3"(VV)
*-xy
'■уг ■
"•ух
Lzy
5u
"a
5y
-—- 4-
dl/ ' CMC
4-*(v-v)
dv.
у
dvx
дх
dz
dv.
dvz
dy
dv*
dx
dvx dvu dvz
a*
аг
Цилиндрические координаты:
V/- = + f*
1 Зо,
64v 2
г68 = + f1
\ г ' ае +"7 /
Т22 = + V-
ду2 2
2 а2 — з (v-v)
+ *(v-v)
+ %(v-v>
-fx(v-v)
2
"3"(V-v)
\ д ( Щ\ \ dvr
e re = 4r = + и- [r -qt \ — j +e — -ge
au9
:0z = тг9 = + M"
Т2Г = t„ = 4" fX
i ayz
a? +~"ae"
Su,
ay.
a/- + az
Id I dvQ qVz
(v-v)= — -ay('"^)+— ■■ae"+ "aT"

2&
Гл. 2. Реология
Сферические координаты:
Vp = + Iх
dvr 2
2 dr ~~ -3-(v-v)| + *(v-v)
„/ 1 ауФ ,vr oBctge x 2
+ *(v-v)
xrB = T9r = + Iх
T8fn = Tm8 = + Iх
_d_ /_"9_\ J_ dvr_
r dr \ r ) + г дд
sin0 д
+ n
\ sin 9 ) * r sin 9 ' дф
rsin9 ' дф
+ ',йГ1 —
dw„
i a 15 l ~<p
Пример 2-2
В этом примере рассматривается установившееся ламинарное осесиммет-
ричное течение несжимаемой ньютоновской жидкости через длинную трубу
круглого сечения радиуса R. Температура стенки трубы Tw поддерживается
постоянной. Задача состоит в отыскании распределения скорости и
температуры в поперечных сечениях трубы, настолько удаленных от входа, что ни
температура, ни скорость не зависят от продольной координаты z. Для простоты
предполагается, что вязкость jx постоянна.
В этой задаче все производные температуры, скорости и компонентов де-
виатора напряжений по переменным 9, z и t равны нулю, компоненты скорости
vq и vr равны нулю и вследствие того, что жидкость несжимаема, (y-v)=0.
Уравнения движения и энергии, полученные из табл. 2-2, принимают
следующий вид:
/ дР 1 д
\ дг ) ~~ г ' дг 1гт^]
(2-19)
1 д г л л
—•-fr~\.rQr\ = Azrz
dvz
дг
(2-20)
Вводя в эти уравнения выражения для хгг и qr, полученные из табл. 2-3
и 2-1, получим:

2-2. Механика ньютоновских жидкостей
27
Граничные условия этой задачи суть:
(l)vg(R) = 0 (3) i^(0) = 0
(2) Г(Я) = ГВ
(4) V (0) = 0
где vz =
где Т
дщ
дг
дТ
-т
Вследствие того, что левая часть уравнения (2-21) не зависит от г, его
можно непосредственно проинтегрировать. В результате получим:
dv2
дг
дг ) ^ г
(2-23)
Из третьего граничного условия следует, что постоянная интегрирования
Су равна нулю.
Распределение скорости, полученное при интегрировании уравнения
2-23) представляется выражением
в*="^г("эг)+с'
(2-24)
которое при определении Сг из первого граничного условия и последующей
подстановки в уравнение принимает вид
v,= —
R*
4(1
дР
дг
'-'т
(2-25)
Знак минус указывает на то, что жидкость течет в направлении уменьшения
давления.
Распределение температуры можно получить подстановкой равенства
(2-23) в (2-22) и интегрированием последнего. После первого интегрирования
получим:
дТ
dr
4y.k
дР_\2
dz
4 "^ г
(2-26)
причем из четвертого граничного условия следует, что постоянная
интегрирования Сз равна нулю. Интегрирование уравнения (2-26) дает выражение
4цА
\ дг ) 16
+ С4
которое при определении Сь из третьего граничного условия примет вид
R4A
Т =
* 70)
64^/г
(•*-)'['-("Hi <2-27>
Для скорости жидкости на оси трубы vz\r=0=v0, определяемой из (2-25),
имеем соотношение
v° ~ — 4(х ( дг

28
Гл. 2. Реология
а температура жидкости на оси трубы, рассчитанная по уравнению (2-27),
определяется выражением
Если, например, скорость жидкости на оси трубы равна 0,1 м/сек, вязкость
жидкости равна 104 пз (103 н-сек/м,2), а коэффициент теплопроводности
Ю-3 кал/см-сек-град (0,41.9 вт/мХ
КО
0,8
. 0,6
0,2
1
к-
Хград), то температура жидкости на
оси трубы будет на 6 °С выше, чем у
стенки трубы.
Разделив выражения (2-25) и
(2-27) соответственно на v0 и T0—Tw
приведем их к безразмерному виду:
О 0,2 0,9 0,6 0,8 1,0
r/R
^=1~
Т-Та
= 1 —
Рис. 4. Распределение безразмерных На рис. 4 показана зависи-
скоростей и температур для ньюто- мость этих безразмерных перемен-
новского течения через длинную тру- ных от безразмерной координаты
бу (пример 2-2). (rlR).
2-3. Реологические уравнения
Ответная реакция материала при приложении напряжения
в принципе может быть предсказана, если для материала
известно реологическое уравнение.
Например, рассмотренное в
предыдущем разделе реологическое урав-
нение (2-17), совместно с уравне-
Т* / / ниями неразрывности, движения и
энергии позволяет построить
уравнения течения ньютоновских жидко-
1_ / / стен.
Дальнейшее обсуждение
касается реологических, уравнений для
некоторых другик классов
материалов. Для простоты мы ограничимся
частным случаем, когда материал
подвергается плоскопараллельному (простому) сдвигу.
Рассмотрение этого вопроса применительно -к неупругим несжимаемым
неньютоновским жидкостям представлено в разделе 2-5.
Рис. 5. Простой сдвиг.
Элементы тела перемещаются только в
направлении" х.

2-3. Реологические уравнения
29
При простом сдвиге все элементы деформируемого тела
перемещаются в одном направлении Это показано на рис. 5, где оси
координат выбраны так, что все перемещения точек происходят
в направлении оси х.
Прежде всего полагаем, что ньютоновская жидкость подверг
гается деформации простого сдвига. Оси координат
ориентированы так, что только одна компонента скорости vx не равна
нулю, при этом соответствующее ей реологическое уравнение
(2-17) примет вид
V=^(^) (2-28)
Замечая, что vx является производной по времени от смещения
X в направлении х, уравнение (2-28) можно переписать >в виде
V = ^i(^) = .-|'(f) (2-29)
Если у представляет собой величину (дХ/ду), то уравнение
(2-29) можно записать
Т = »1-5Г=МТ (2-30)
где индекс у t опущен с целью упрощения обозначения. Это
не приводит к какой-либо неопределенности, так как в
дальнейшем рассматривается только эта одна компонента тензора
напряжений. Для рассматриваемого случая простого сдвига
величина у является мерой деформации материала в данной точке;
а ее производная по времени y представляет собой скорость
деформации в этой точке.
Пример 2-3
Рассмотрим ньютоновскую жидкость, заключенную между параллельными
пластинами, показанными на рис. 2-2. находящимися на расстоянии Н друг
от друга. Пусть верхняя пластина движется свободно, а нижняя закреплена
в некотором положении. В нулевой момент времени к верхней пластине
прилагается постоянное напряжение S, когоро? приводит верхнюю пластину в
движение. Жидкость, которая вначале была неподвижна, постепенно достигнет
состояния установившегося течения с распределением скоростей, показанном
на рисунке. В этом примере анализ переходного или начального периода
производится для изотермических условий.
Прямоугольная система координат выбрана таким образом, что имеется
только одна не нулевая компонента скорости vx. Дифференциальные уравнения
движения, полученные комбинацией уравнения движения (из табл. 2-2)
&>х д-ух
р dt ~ ~ ду

30
Гл. 2. Реология
с реологическим уравнением для ньютоновской жидкости
имеют вид
zyx —
dvx
dt
Л
= V
dvx \
ду )
дЪх
ди*
где v=fx/p—кинематическая вязкость жидкости.
Имеем следующие граничные и начальные условия:
(1) vx (0, 0 = 0 (2) vx (у, 0) = 0 (3) v'x (H,t) = S/ji
, (dvx
ГД6 Vx=[dy
Первое условие есть математическая запись условия прилипания жидкоеп
к неподвижной нижней пластине, второе условие показывает, что жидкоеп
начинает двигаться из состояния покоя, а третье—что напряжение 5, прило
женное к верхней пластине—постоянно.
Легко проверить, что функция
00
71=1,3,...
является решением указанного выше дифференциального уравнения, а также
удовлетворяет первому и третьему граничным условиям. Можно показать, чтс
функции
{sin(~Sf)} «=1.3,-
являются ортогональными на интервале (О, Н). Вследствие этого, удовлетворяя
начальному условию для vx, получим для коэффициентов Сп выражения:
SH 8 . / mz \
с» = —-й^8"1 \Т) « =1.з,...
Соответственно, уравнение для vx примет вид:
оо
^S Г/ JL \ _ J_ V Si" (У№/2) ,-v«W</4W ein / ЛШ_ \ I
n=l,3.

2-3. Реологические уравнения
31
Для определения деформации сдвига i(y, t) заметим, что смещение Х(у, t)
определяется интегралом:
t
X(y,t) = X(y,0)+{vxdt
о
где Х(у, 0) произвольно выбранное первоначальное смещение. Принимая
Х(у, 0) равным нулю и дифференцируя Х(у, t) по у, получим выражение для
деформации сдвига
дХ д Г Ai
^-bT = -dy-\v*dt
6
Заметив, что полученный интеграл имеет параметр у (содержащийся в
выражении для vx), запишем:
t
dvx
ду
dt
Вычисляя интеграл получим:
St
Т =
4 \l sin(mi/2) Л _„2ф, / trny \
1 + Ч¥Ь —i?—(1 ~e } cos {~Ш~ )
л=1,3,...
где
Ф =
VK2t
При у=Н, а также для больших значений t, выражение для деформации
принимает вид
1 ~ М-
Следовательно, величина (St/ц) представляет собой деформацию жидкости у
верхней пластины для всех значений t, и деформацию жидкости при любых
значениях у, когда значение t является довольно большим.
Таким образом, исследование реологического уравнения для
ньютоновской жидкости
( дох \ ( д-\
"ух
ду
dt
показывает, что его можно непосредственно интегрировать, в результате
получая
о/

32
Гл. 2. Реология
Следовательно, изменение деформации материала во времени у верхней
пластины можно определить непосредственно из реологического уравнения! Если
же представляет интерес также и деформация в точках, удаленных от верхней
пластины, то для ее определения необходимо решать уравнение движения
жидкости.
В качестве числового примера рассмотрим деформацию в точке у=Н/2.
Если безразмерная величина Ф достигает значения, равного 2, то деформация,
вычисленная из указанного выше уравнения, отличается от деформации,
полученной непосредственно из реологического уравнения, на множитель 1,06.
Если жидкость имеет вязкость 10 пз (1 н-се/с/ж2), плотность 10ь кг/м'Л и если
пластины находятся на расстоянии 0,1 см друг от друга, то Ф имеет значение,
равное 2, когда ^=2,5 миллисекунды. Другими словами, деформация сдвига в
середине между пластинами отличается на 6% от своего равновесного
значения через 2,5 миллисекунды, после приложения напряжения к верхней
пластине.
Другой класс материалов — гуковские твердые тела — имеет
реологическое уравнение вида
x = G? (2-31)
где G — константа материала, являющаяся модулем упругости
(модулем сдвига). Заметим, что для гуковского тела имеется
линейное соотношение между напряжением и деформацией, в
то время как для ньютоновской жидкости линейное соотношение
имеется между напряжением и скоростью деформации.
Гуковское твердое тело и ньютоновская жидкость
представляют собой два крайних случая в реологической классификации
материалов. В этой классификации существует довольно много
промежуточных тел, так как большинство материалов не
являются чисто упругими или чисто вязкими, но обладают как
упругими, так и вязкими свойствами. Такие вещества называются
вязкоупругими. Реологические уравнения вязкоупругих
материалов содержат как минимум два параметра, один из которых
характеризует их упругое, а другой — вязкое поведение.
Реологическое уравнение максвелловской жидкости
выводится в предположении, что при простом сдвиге общая деформация
у в некоторой точке жидкости, где действует напряжение т,
представляет собой сумму упругой деформации уе и деформации
течения -у/- Следовательно
У = Те + у (2-32)
которое при дифференцировании по времени примет вид
Т=Т.+ Т/ (2-33)
Итак, упругая реакция максвелловской жидкости описывается
законом Гука, а вязкая — законом Ньютона. При подстановке
реологических уравнений (2-30) и (2-31) в упомянутое выше урав-

2-3. Реологические уравнения
33
нение и преобразовании результата получаем реологическое
уравнение максвелловской жидкости
^R-(-f)' (2-34)
Коэффициент при х в уравнении (2-34) имеет размерность
времени. Ниже будет показано, что он представляет собой
время, необходимое для того, чтобы напряжение в максвелловской
жидкости упало или отрелаксировало на 37% от своего
первоначального значения, при условии, что деформация жидкости
постоянна. Поэтому его часто называют временем релаксации.
Для постоянной деформации реологическое уравнение (2-34)
примет вид
; + (-г)^=°
где X представляет собой время релаксации, равное {\x,/G). Об
щее решение этого уравнения записывается как
где постоянная интегрирования С] представляет собой напря
жение S в начальный момент времени. Следовательно
-г - е~'А
откуда видно, что при t=K
^=J- = 0-37
Следовательно, X представляет собой время, необходимое для
того, чтобы напряжение уменьшилось в 1/е раз.
Реологическое уравнение для твердого тела Фойгта
выводится в предположении, что при простом сдвиге общее напряжение
т в некоторой точке материала, имеющей деформацию у,
определяется суммой напряжений, возникающих за счет упругости
жидкости (те) и вязкости жидкости (хь). Следовательно
* = \ + \ (2-35)
и так как упругое напряжение определяется из закона Гука, а
вязкое — из закона Ньютона, реологическое уравнение для
твердого тела Фойгта примет вид
т=[лу+(?7 (2-36)

34
Гл. 2. Реология
Реологическое уравнение вязкопластичного тела Бингама
получается в предположении, что материал является абсолютно
жестким, если напряжение ниже некоторого предельного
значения, и вязкой жидкостью, если напряжение выше этого
предельного значения. Эти уравнения имеют вид
т = 0 Н<50 (2-37)
(t±S0) = Ct M>5o (2-38)
где £ — параметр (пластическая вязкость), характеризующий
течение материала, a So — начальное напряжение сдвига. Знак
минус соответствует случаю, когда т положительно, знак плюс—
когда т отрицательно.
Реологическое уравнение ньютоновской жидкости является
частным случаем более общего реологического уравнения
•с = тЯ (2-39)
где коэффициент rj — может быть функцией скорости сдвига
(или напряжения сдвига, если его выбрать в качестве
независимой переменной). Если г] постоянна, то уравнения (2-39) и
(2-30) совпадают, и уравнение (2-39) переходит в реологическое
уравнение ньютоновской жидкости. Если ц зависит от
напряжения сдвига, то говорят, что жидкость неньютоновская.
Классификация неньютоновских жидкостей и различные эмпирические
уравнения, связывающие т] и у, представлены в разделе 2-4.
Пример 2-4
В этом примере сделана попытка проиллюстрировать различие в природе
материалов, обсуждавшихся выше\ причем рассматриваемые материалы
помещены между параллельными пластинами, как и в примере 2-3. Вычисляется
результирующая деформация у верхней пластины, к которой прикладывается
напряжение, являющееся ступенчатой функцией времени, причем зависимость
напряжения у верхней пластины от времени
I
II
III
IV
V
х = 0
,X = S
т = 0
t = 2S
т = 0
(<><*</!)
(*1 < t < /a)
ik<t<h)
Va<t<tA)
(t>U)
показана графически на рис. 6,а. Продолжительность периодов от I до V
одинакова.
Рассмотрим первую реакцию,, представленную на рис. 6,6 и 6,в для
ньютоновской и неньютоновской жидкостей. В течение первого периода ни один ма-

2-3. Реологические уравнения
35
териал не деформировался, так как прилагаемое напряжение равно нулю;
Во второй период, когда приложенное напряжение равно 5, из
реологического уравнения ньютоновской жидкости следует, что скорость ее деформации
равна (5/fx). В этот же период скорость деформации неньютоновской жидкости
равна (5/7]П), где f\n—неньютоновская вязкость, соответствующая напряжению
5
Л
Ш
2S
Ш
1
—9-
t^ Время
Рис. 6. Развитие деформации в различных материалах',
подвергнутых воздействию напряжения:
а—диаграмма изменения напряжения; б—ныртоноЕская жидкость; в -ненью-
тонсЕская жидкость; г—максЕеллоЕская жидкость; д—вязкопластичное тело
Еингама; е— ТЕердсе тело Фойгта; ж— гукоЕсксе тело.
S. В продолжении третьего периода обе жидкости имеют постоянные
максимальной деформации (SAt/p) для ньютоновской жидкости и (<SAz7[i.]j) для
неньютоновской жидкости. В четвертый период, когда приложенное напряжение
вдвое больше, чем во второй период, скорость деформации ньютоновской
жидкости удваивается по сравнению со вторым периодом, а скорость деформации
неньютоновской жидкости (2S/rlYV) не будет равна удвоенной скорости
деформации во втором периоде, так как fjjj и fjjy, являющиеся функциями напряжения,
различны. При снятии напряжения в начале пятого периода общая деформация

to
Гл. 2. Реология
течения ньютоновской жидкости равна (3 SAt/ц), а для неньютоновской жид
кости равна
SM
III Чту j
Реакция максвелловской жидкости показана на рис. 6,г. Деформация во
второй период получается интегрированием уравнения (2-34) по времени
t
1 Г . т
Т = — j тЛ + -Q- (h<t< tt) (2-40)
h
которое при подстановке 5 вместо z примет вид
T = "f-('-'i)+-G" ('i<'<'2) (2-41)
Из уравнения (2-41) следует, что материал, первоначально подвергаемый
мгновенной деформации (S/G), вовлекается в течение с постоянной скоростью
деформации (5/р.).
При снятии напряжения в момент времени h общая деформация течения
(SM/[i) остается, но упругая деформация (5/G) мгновенно исчезает, как
показано на рисунке. Деформация как функция времени в четвертый период
определяется уравнением
t
7 = 7/ + 7-],«И + 7Г Cs<'</«) (2-42)
где у—начальная деформация в момент времени h, равная (SMl\x). Уравнение
(2-42) аналогично уравнению (2-41). Вводя й него напряжение (25), получим
выражение
SM 25 25
Т=— +-G- + — ^-^) (h<t<h) (2-43)
показывающее, что жидкость в четвертый период характеризуется скоростью
деформации (25/fi). При снятии напряжения в момент времени ti общая
деформация течения {2>SMl\i) остается, а упругая деформация (25/G) исчезает
Реакция вязкопластичного тела Бингама, для которого
(5<50<2S)
показана на рис. 6,е. В этом случае во второй период деформация отсутствует,
так как прилагаемое напряжение меньше, чем начальное напряжение сдвига.
В четвертый период прилагаемое напряжение превосходит эту величину и
результирующее течение характеризуется скоростью деформации (2S—S0/C).
Реакция твердого тела Фойгта представлена на рис. 6,е. Зависимость
деформации от времени для второго периода получается интегрированием
реологического уравнения тела Фойгта. Предположив, что х постоянно, най-
цем общее решение уравнения (2-36)
7==Ce-G*/n+JL (2-44)

2-3. Реологические уравнения
37
где С—произвольная постоянная интегрирования. Для второго периода она
вычисляется из уравнения Y(^i)=0, так что формула (2-44) с заменой t на S
принимает вид
т = -|- [ 1 — е~° <'-'1>М] (2-45)
Заметим, что если t-^-oo, то деформация приближается к своему равновесному
значению (^/G).
В конце второго периода общая деформация f2 равна
ТЯ = -§- [1 —е-од^/ix] (2-46)
При снятии напряжения в момент времени fa, эта деформация в конце концов
.исчезает, но со скоростью, которая экспоненциально уменьшается со временем.
•Уравнение кривой восстановления деформации получается из уравнения (2-45)
яри вычислении С из условия -\{fa)=y^. Получаемое уравнение имеет вид
т = Тзе-о V-Wv- (2-47)
Подобный же анализ можно провести для уравнений кривых зависимости
деформации от времени для четвертого и пятого периодов.
Реакция твердого гуковского тела представлена на рис. 6,ж. При
приложении напряжения 5 в момент времени tx, твердое тело мгновенно
деформируется на величину (S/G). Деформация мгновенно исчезает в момент времени
fa, когда приложенное напряжение снимается. В момент времени ts, когда
прикладывается напряжение 25, твердое тело мгновенно деформируется на
величину (2S/G).
Некоторые из указанных выше материалов могут быть
отнесены к жидкостям, а другие — к твердым телам. Из рис. 6
видео, что напряжение вызывает деформацию жидкости, которая
непрерывно увеличивается, необратимо и неоднородно. В
твердых телах напряжение вызывает упругую деформацию, так что
при снятии напряжения деформация исчезает в некоторых
материалах мгновенно, а в других — с ограниченной скоростью.
Вязкопластичную жидкость Бингама нельзя отнести, ни к той,
ии к другой категории. Напряжения, меньшие предельного', не
вызывают в нем деформации, и таким образом, это тело не
является жидкостью с точки зрения вышеприведенного
определения. С другой стороны, напряжения большие, чем предельное,
вызывают течение; следовательно, тело не может быть названо
твердым.
Следует заметить, что кажущееся поведение .материала
зависит от условий эксперимента, при которых испытывается
материал. Рассмотрим, например, твердое тело Фойгта, исследуемое
при приложении постоянного напряжения S и измерении
деформации как функции времени. Уравнение (2-45) описывает

38
Гл. 2. Реология
наблюдаемое поведение. Если время экспериментальных
измерений очень велико, уравнение (2-45) примет вид
Т = -§- (2-48)
которое является реологическим уравнением твердого гуковско-
го тела. Следовательно, твердое тело Фойгта проявляет
свойства твердого тела Гука, если продолжительность измерения
очень велика.
Скорость деформации определяется дифференцированием
уравнения (2-45)
т = — е-° (f-'i>/i* (2-49)
Если время экспериментальных измерений очень мало, то
уравнение примет вид
Т = -f (2-50)
которое является реологическим уравнением ньютоновской
жидкости. Следовательно, твердое тело Фойгта является
ньютоновской жидкостью, если измерения проводятся в очень короткий
период времени.
Поведение при простом сдвиге (зависимости напряжение —
деформация — время в данной точке среды) для
обсуждавшихся выше материалов можно качественно вывести из
механических и электрических аналогов реологических уравнений.
Аналоги или модели вязкоупругих тел содержат как минимум два
элемента или параметра, один из которых характеризует вязкое, а
другой — упругое поведение материала. Модели более сложных
вязкоупругих материалов получают комбинированием
дополнительных параметров или элементов модели. Аналоги простых
материалов, обсуждавшихся выше, рассматриваются здесь.
Аналоги материалов более сложного вязкоупругого поведения
разбираются в разделе 2-7.
Рассмотрим пружину, которая удлиняется мгновенно, упруго
и прямо пропорционально прилагаемой силе F. Ее деформация
описывается уравнением
F = ktX (2-51)
где ki — постоянная пружины. Если сравнить это уравнение
с реологическим уравнением Гука
х = Gy
(2-52)

2-3. Реологические уравнения
39
то ясно видно, что пружина является механическим аналогом
твердого гуковского тела при простом сдвиге при условии, что
сила F идентична напряжению т, а смещение X — деформации у.
Подобным образом, если уравнение для электрического
конденсатора
Q = CV (2-53)
записать в виде
V = k2Q (2-54)
где k2 — константа, ясно, что конденсатор является
электрическим аналогом твердого гуковского тела при простом сдвиге.
Механическим аналогом ньютоновской жидкости при
простом сдвиге является демпфер. Демпфер состоит из поршня,
находящегося внутри цилиндра, но отделенного от него слоем
вязкой жидкости. Скорость X, с которой поршень может
перемещаться в цилиндре, прямо пропорциональна приложенной силе
F, так что
F = k3X (2-55)
где &з — постоянная. Сравнение уравнений (2-55) и (2-30)
показывает, что демпфер является механическим аналогом
ньютоновской жидкости при простом сдвиге, если скорость
деформации т и скорость смещения цилиндра X идентичны.
Если уравнение для электрического сопротивления
V = IR (2-56)
записать в виде
V = KQ (2-57)
а затем сравнить с уравнением (2-30), то можно видеть, что
сопротивление является электрическим аналогом ньютоновской
вязкости.
Механические и электрические аналоги реологических
уравнений вязкоупругих материалов в случае простого сдвига
можно получить комбинированием конденсаторов и сопротивлений,
пружин и демпферов. Для примера рассмотрим несколько
соединений конденсаторов и сопротивлений. Общие потери
напряжения V, складывающиеся из потерь в последовательно
соединенных элементах, есть
V = Vr + Vp (2-58)
а подстановка уравнений (2-57) и (2-54) дает уравнение
\/ = ед + ад
(2-59)

40
Гл. 2. Реология
которое является аналогом реологического уравнения тела Фой-
• гта при простом сдвиге.
т = FT + GT
(2-60)
Легко показать, что механическим аналогом тела Фойгта
являются параллельно соединенные пружины и демпфер.
Подобным образом, механическим аналогом максвелловской жидкости*
Гуковское тдер- Ньютоновская Максвелловская Фойгтово
дое тело жидкость жидкость твердое тело
Реологическое]
уравнение
Механическая,_
аналогия
F=k,x
Электрическая
аналогия
F = k3X F^X-fa/K^F Р=к3Х+к7Х
' г' l
Т
I
V=K2Q V=k^Q V=K^Q~(u4/k2)V V=k^Q+k2Q
Рис. 7. Механические и электрические аналоги реологических
уравнений.
являются последовательно соединенные пружина и демпфер, в
то время как ее электрический аналог представляет собой
соединенные параллельно сопротивление и конденсатор. Эти
результаты представлены на рис. 7.
2-4. Неньютоновские жидкости
В этом разделе проводится классификация неньютоновских
жидкостей и рассматриваются различные эмпирические и
теоретические уравнения, связывающие неньютоновскую вязкость ц
со скоростью сдвига (или с напряжением сдвига) в случае
простого изотермического сдвига. Влияние температуры на г|
рассматривается в разделе 2-6. Во-первых, мы различаем
жидкости, для которых ц зависит как от предыстории сдвига в
образце, так и от состояния сдвига, и, во-вторых, жидкости, для
которых г\ зависит только от состояния сдвига.

2-4. Неньютоновские жидкости
41
Говорят, что первый класс жидкостей обладает временной
зависимостью вязкости и классифицируется в зависимости от
того, являются ли временные эффекты обратимыми или
необратимыми. Если временные эффекты обратимы, то жидкость
является или тиксотропной, или реопектической. Если жидкость
тиксотропна, то она при деформировании с постоянной
скоростью сдвига достигает состояния стационарного течения в
-продолжении длительного периода времени, причем вязкость т]
-будет уменьшаться со временем, достигая в конце концов
равновесного значения, соответствующего предельному при t-^-co
напряжению сдвига. Для реопектических жидкостей ц
увеличивается, достигая в конце концов равновесного значения.
Те жидкости, для которых к\ зависит только от мгновенного
состояния сдвига, являются или псевдопластичными, или дила-
тнтными. Однако у псевдопластичных жидкостей ц
уменьшается с увеличением х или у, а у дилатантных жидкостей ц
увеличивается с увеличением т или у. Жидкости, с которыми
имеют дело при переработке полимеров, преимущественно
расплавы полимеров, обычно являются, псевдопластичными.
В табл. 2-4 представлена сводка вязкостных зависимостей
для" неньютоновских жидкостей при простом изотермическом
сдвиге. Первое соотношение — соотношение Ньютона —
представляет собой особый случай, когда ti не зависит от
состояния сдвига.
ТАБЛИЦА 2-4
Соотношения для вязкости неньютснсвской жидкости в случае простого сдвига
1) Ньютоновский закон .... т)
2) Степенной закон т\
3) Рейнер—Филиппов т)
4) Эллис к)
5) Пауэлл—Эйринг т)
"П
= f*
_Y_
f
п-Х
(n-i)/n
1 + MA)*]
f*0
1 + -^
1 \tn-l
V-o
= !^o
NB) 1
sh(x/B) J
arc sh (fioY/£)

42
Гл. 2. Реология
6) Бикки tj = (J-o/ (aT)
7) Раус
■Ч = Н8 (Рт)
В табл. 2-4 параметры т° и if0 имеют смысл напряжения
сдвига и скорости сдвига в произвольно выбранном приведенном
состоянии, а т]° — неньютоновская вязкость в этом состоянии.
jo,0 представляет собой предельную ньютоновскую вязкость»
когда скорость сдвига (или напряжения сдвига) приближается
к нулю, в то время как jioo представляет собой предельную
ньютоновскую вязкость, когда скорость сдвига (или напряжение
сдвига) становится бесконечно большой. Величины т, п, А, В,
1,0
0,8
0,6
О Л
0,2
О, ОГ 0,1 1 70 ЮГ)
Рис. 8. «Обобщенные кривые» для функций fug уравнений
Бикки и Рауса.
Уравнение
Бикки. ,
Ур
II
||
авнение
9 Ш
) I
аир являются параметрами,"которые зависят от природы
жидкости. Функции f(a т) и g(p 7) графически представлены на
рис. 8.
Второе соотношение, уравнение Оствальда де Виля3,
обычно называемое степенным законом, является эмпирическим
уравнением, имеющим два параметра. Оно является наиболее
распространенным уравнением для вязкости неньютоновской
жидкости и находит большое число важных практических
приложений. Некоторые его особенности рассматривались Рей-
нером4.
В степенном законе т° и т° представляют собой величины
скорости сдвига и напряжения сдвига в произвольно выбран-

2-4. Неньютоновские жидкости
43
ном приведенном состоянии, а ц° является вязкостью
неньютоновской жидкости в этом же состоянии. Для удобства обычно
принимают у0 равным 1 се/с-1, либо т° равным 1 дин/см2
(0,1 н/м2). Параметр п является индексом течения жидкости.
Когда п меньше 1, вязкость жидкости уменьшается с
увеличением скорости (или напряжения сдвига).
Следовательно, степенной закон описывает поведение
псевдопластичной жидкости, когда п<[, и дилатантной системы,
когда п>{. ,
В степенном законе употребляются абсолютные величины.
так как г (или т) могут быть и положительными и
отрицательными, но rj должна быть всегда положительной. Заметим, что
когда индекс течения п равен 1, степенной закон сводится к
ньютоновскому. Следовательно, увеличение отклонения п от
единицы указывает на неньютоновскую природу жидкости.
Следует заметить, что согласно степенному закону, вязкость
псевдопластичной жидкости становится бесконечно большой, когда
Т (или т) приближается к нулю, a rj стремится к нулю, когда
7 (или т) становится беспредельно малым. Для дилатантных
систем справедливо обратное утверждение.
Общее соотношение — уравнение (2-39)—связывает
напряжение и скорость сдвига для жидкости, подчиняющейся
степенному закону:
(2-61)
где знак т должен быть таким, как и знак у- Если у°= 1 и у
положительно, то логарифмическое уравнение (2-61) примет
вид
lgx = lgx°+ nig т
показывая, что график зависимости lg(t) от lg(r)> который
называется логарифмической кривой течения, должен быть
прямой линией для тех жидкостей, которые подчиняются
степенному закону.
Оказывается, логарифмические кривые течения расплавов
полимеров часто являются прямыми линиями, если ограничиться
одним, двумя порядками скоростей сдвига, но когда скорости
сдвига превышают несколько порядков, то они обычно
отклоняются от прямой. Логарифмические кривые течения5 для рас-
± т = т°

44
Гл. 2. Реология
плава полиэтилена (алатон-14 при 126°С) показаны на рис. 9.
Они схожи с кривыми для многих расплавов полимеров. При
очень низких скоростях
сдвига кривая переходит в
прямую, имеющую тангенс-
угла наклона, равный
единице, что указывает на
ньютоновское поведение
жидкости в этой области.
При скоростях сдвига
выше 0,01 сек-1 тангенс-
угла наклона кривой
становится меньшим единицы,,
указывая на
псевдопластичное поведение, причем с
увеличением скорости
сдвига он непрерывно
уменьшается, тем самым
увеличивается отклонение от
поведения ньютоновской
жидкости.
Хотя ясно, что невозможно описать полную кривую,
показанную на рис. 9, с помощью степенного закона, однако
отдельные части кривой приближенно могут быть им описаны.
Например, в области скоростей сдвига между 0,1 и 1,0 сек-1, прямая»
линия, на которую экспериментальные точки ложатся
достаточно хорошо, имеет наклон около 0,59. Выбирая у0 равной 1 сек~1у
получаем значение т°= 1,5 -105 дин/см2 (1,5 «104 н/м2).
Следовательно, Т1° равна 1,5-105 пз (1,5-104 н-сек/м2), а уравнение
вязкости принимает вид
7] = 7]«
-J -г. -Г 0 1
Скорость cddusn, сен '
Рис. 9. Логарифмическая кривая
течения для полиэтилена алатон-14 при
126 °С.
я-1
1,5-lQs
и его можно использовать в пределах скоростей сдвига от 0,1.
до 1,0 сек~1 с ошибкой, составляющей менее 5%.
Из уравнения Рейнера—Филиппова6, имеющего три
параметра jlio, (А со и Л, следует, что г) уменьшается с увеличением т, то
есть оно применимо только к псевдопластичным жидкостям.
Предельные значения вязкости и наклона кривой у] — т
следующие:
"■"(-&•)-°
lim т] = jx0
т-»о
lim у) = [ам 1
т-*о
m
Т-»оо

2-4. Неньютоновские жидкости
4ft
Уравнение Эллиса7, которое имеет три параметра т, г)° и jio,
описывает поведение псевдопластичных жидкостей, когда т>1.
и дилатантных жидкостей, когда т<1. Если т=1, уравнение
упрощается до закона Ньютона. Предельные значения вязкости
и наклона кривой ц — т следующие:
11ГП7]
т-*о
Ио
iim(-^
lirmj = О
lim
Т—*оо
dz
= 0
= 0
Из уравнения Пауэла — Эйринга8, имеющего два параметра
щ и В, следует, что г] уменьшается с увеличением т/.
Предельные значения вязкости и наклона кривой т] — т следующие:
lim:7j = |i0
lim т] = 0
limf^L
lim
t—>ос
т
о
о
Уравнения Бикки9 и Рауса10 основаны на теоретически:*
исследованиях течения полимера, из которых определены уни
версальные функции fug. Эти функции зависят соответственно
только от величин ау и Зт> где а и |3 — параметры,
представляющие собой характеристическое время релаксации. Обобщен-
1,0
0,6
* 0,6
O/t
0,2
О u
10'
ijj
I
II
\ /
Г^З
I
и
lllj
\
ffl
И
По Б инк и '''
крибая
Ll По Раусу
^П
Гг2
-I Mill
I
\
^
10 ~
10'
W
Спорость сдвига,сек'
Рис. 10. Сопоставление зависимости вязкости от скорости сдвига для
полиэтилена алатон-14 с теоретическими кривыми Бикки и Рауса.

46
Гл. 2. Реология
ные кривые Бикки и Рауса, полученные из теоретического
выражения для fug, показаны на рис. 8 и применимы для всех
жидкостей, подчиняющихся этим зависимостям вязкости.
Если значение (т)/цо) определено экспериментально при
данной скорости, то, используя обобщенную кривую, можно
определить значения (а у) и (Ру), а следовательно, и значения
параметров аи|3. На рис. 10 показаны данные рис. 8, вычерченные
графически как зависимость (rj/м-о) от lgy. Кривые,
соответствующие уравнениям Бикки и Рауса, также представлены
графически и показывают довольно хорошее совпадение с
экспериментальными данными во всех областях скоростей сдвига*.
2-5. Механика несжимаемых
неньютоновских жидкостей
Общее реологическое уравнение несжимаемых ньютоновских
жидкостей можно записать как
т = |j,A (2-62)
где А — тензор скорости деформации, имеет компоненты,
определяемые уравнениями
*« = (%■) + (&) <2-63>
дх/ ) ' \ dxi
которые определяются из уравнений (2-17) с учетом условия
несжимаемости
(yv)=0
Коэффициент [I в уравнении (2-62) не зависит от состояния
сдвига. Аналогичное уравнение11
х = т]А (2-64)
было постулировано для несжимаемых неньютоновских
жидкостей. В уравнении (2-64) предполагается, что вязкость т]
является функцией состояния сдвига как величина, характеризуемая
или напряжением сдвига, или скоростью сдвига.
Вследствие того, что ц является скаляром, она может быть
функцией только скалярных инвариантов А (скалярных
величин, составленных из компонент А, которые остаются
неизменными при вращении координатных осей). Три скалярных ин-
* Г. В. Виноградовым и А. Я. Малкиным было показано (J. Pol. Sci., 2A,
2357, 1964), что универсальное температурно-инвариантное представление
вязкостных свойств расплавов линейных полимеров получается для зависимости т)/[х0 от
;,'л0, которую удобно представлять в двойных логарифмических координатах—
Прим. ред.

2-5. Механика несжимаемых неньютоновских жидкостей
47.
варианта тензора скорости деформации А определяются
уравнениями:
/1 = ЗД«=2(У^)
i
/, = 2 2(Д//)Я = (Д-Д)
i )
(2-65)
(2-66)
(2-67)
Для несжимаемых жидкостей первый инвариант исчезает.
Следовательно, вязкость несжимаемых неньютоновских
жидкостей зависит только от второго и третьего инвариантов. В
прямолинейном одномерном и двумерном течениях третий
инвариант равен нулю и полагают, что он не очень важен и для
других типов течений. Следовательно, вязкость х\ является
функцией только второго инварианта А.
При разложении т в степенной ряд по А Рейнер12 показал,
что наиболее общее реологическое уравнение для несжимаемых
неньютоновских жидкостей имеет вид
t = tiA+4-t]c(A-A)
где г)с — коэффициент поперечной вязкости — является
скалярной функцией инвариантов 1\ и /г.
Степенной закон в общем виде можно записать так:
7] = 7]°
(Л : Д)
(и-1)/2
(2-68)
где за состояние приведения принимается такое состояние, при
котором скорость сдвига равна 1 сект1. Скалярная величина
(А: А) представлена в табл. 2-5 в прямоугольных,
цилиндрических и сферических системах координат.
ТАБЛИЦА 2-5
Функция (А : А), выраженная в прямоугольных, цилиндрических
и сферических координатах
Прямоугольные:
1
-2"(Д :Д) = 2
дх +
+
дуу
дх
+
ду
+
ду2
+
дуу_
ду
дуу_
dz
^[ dz
,+
+
дУх_ dv,
dz "+"
дх

48
Гл. 2. Реология
Цилиндрические:
+
4-(д:А>
дг
т + —
dvr
dQ + r 1
dv2 dvB '
dQ' + dz
'+(
2
+
dv2)*]
dz 1 _
dvr
+
dvz
~dr
Сферические:
+
Для простого сдвига используют прямоугольные
координаты, где единственной не нулевой компонентой скорости
является vx, а единственной не нулевой производной от vx является
(дих/ду), так что выражение для (А : А) примет вид
(Д:Д) = 2(^"
к уравнение (2-68) запишется в виде
dvx \ л-1
7] = Y)0
-f]Oytl~l
которое показывает, что уравнение (2) из табл. 2-4 является
частным случаем общего соотношения — уравнения (2-68).
Другие уравнения в табл. 2-4 можно обобщить заменой у на
(А:А)
2
нением
V2
или т на
~Y (т : т) /1/2где (т : т) определяется урав-
(х : т) = 2 2 *?/ (2-69)
22
Например, обобщением уравнения Рейнера—Филиппова
является уравнение
f^O— f^co
1 = 1*00 +
i+[(^ : т)/2Л2]
(2-70)

2-5. Механика несжимаемых неньютоновских жидкостей 49
•Пример 2-5
Рассматриваемая здесь задача является такой же как и в примере 2-2, за
исключением того, что жидкость предполагается теперь неньютоновской,
подчиняющейся степенному закону. Уравнения (2-21) и (2-22) для неныотонов-
ского течения запишутся так*:
дР
дг
k_ _д_
г ' дг
1
д
дг
Гг\
дщ_
дг
дТ
дг
= м№ш
(2-71)
(2-72).
где т] определяется из уравнения (2-68).
В цилиндрических координатах только vz является единственной
ненулевой компонентой скорости, а так как ее производные по z и 8 равны нулю,
го скалярный инвариант (Д : Д) примет вид
(Д:Д) = 2(^.у = 2тя
Таким образом г\ определяется выражением
„ I ' \п—1
7] = Yj° у
(2-73)
где приведенная скорость сдвига -у0 выбирается равной 1 сект1.
Дели ось г ориентирована так, что давление возрастает с увеличением г,
то жидкость будет течь в направлении отрицательных значений г, а скорость
сдвига -у положительна для всех значений г. Следовательно, знак
абсолютной величины в уравнении (2-73) может быть опущен. Подставляя (2-73) в
(2-71), получим уравнение
дР
дг
д
дг
Г-\п
«ри интегрировании которого будем иметь
дуг \ = Г_1_ / дР
дг ) 2>]0 I дг
Г —
сх
\/п
(2-74)
(2-75)
Учитывая, что скорость сдвига на оси трубы должна быть равной нулю,
получим, что постоянная интегрирования равна нулю. При интегрировании
(2-75) получим:
V, =
я + 1
1
2г,о
дР
дг
\/п
/<«+!)/"+СЯ
где постоянная интегрирования Сг определяется из условия
vz(R) = o
(2-76)
(2-77)
* См. прим. ред. на стр. 16.

50
/ л. 2. Реология
По вычислении С2, уравнение (2-76) примет вид
V, =
п+ 1
1
2т/>
ар
1/и
#(п+1)/л
1 —
^\(n+l)/n
(2-78)
Скорость на оси трубы v0, полученная подстановкой г=0 в уравнение (2-78)&
определяется выражением
(п+1)
/1 1 / О/' \ 1/п
(2-79)
t>0 = — /? "
я+ 1
ая
а2
так что уравнение распределения скоростей может быть записано в виде
V = vn
1 _ /_г_\(в+1)/п
' Р
(2-80)
Заметим, что в частном случае при п=1 формула (2-80) переходит в выражение-
для ньютоновского течения, рассмотренного в примере 2-2.
Чтобы получить распределение температуры, подставим (2-73) и (2-75)
в уравнение (2-72). После однократного интегрирования, имеем
(n+l)/n С,
г(2п+1)/я_| 2. ^2_glj
аГ _ /igQ W я \ Л 1 / ЙР
ar \ k )\ ъп +1) [ 2т)0 у az
где постоянная Сз должна быть положена равной нулю, так как градиент
температуры на оси трубы равен нулю. При интегрировании (2-81) получим
т = —
т
k 13/г+ 1
1
2т]0
j?P_
dz
(n+D/n
г(Зп+1)/п _|_ Q (2-82)
Константа интегрирования' Сь вычисляется из условия Т(Я)=Т® , где Tw—
температура стенки трубы. Следовательно
ПП *р __ JI
k \ Зл + 1
2y]0
дР
dz
(п+1)/п
/?(3n+l)/rt
1 —
j-_$3n+l)/n
Р
(2-83),
Разность температур жидкости на оси трубы и на стенке, полученная
подстановкой г=0 в указанное выше уравнение, равна:
т -т -^ I n \2л\ 1 ( дР\
lQ 1w~ k \2>пЛ-$ [2yf [ dz )
(n+\)/n
£(3n+l)/n (2.84)
так что уравнение (2-83) можно записать в эквивалентной форме
1 1 m
I П ifl
, , Г \ (Зп+1)/я
(2-85)
Заметим, что для частного случая при /г= 1 уравнение (2-85) приводит к
результату, полученному для ньютоновского течения в примере 2-2.

2-6. Зависимость вязкости от температуры
51
2-6. Зависимость вязкости от температуры
Хорошо известно, что температура оказывает значительное
влияние на реологические свойства материалов. Это
утверждение особенно справедливо для высокополимеров. В данном
разделе рассматривается влияние температуры на вязкость.
Предметом настоящего обсуждения являются инженерные методы
исследования температурной зависимости вязкости
неньютоновских жидкостей; эта задача особенно важна для процессов
переработки полимеров.
Последующее рассмотрение ограничивается жидкостями.
Обычно вязкость жидкостей уменьшается, а вязкость газов
увеличивается с возрастанием температуры, что указывает на
заметное различие в механизме течения жидкостей и газов. При
низких плотностях вязкость газа может быть определена
теоретически анализом обмена количеством движения между
смежными слоями молекул, движущихся с различными скоростями.
В жидком состоянии проблема является значительно более
сложной; в этой области не было сделано попыток дать
молекулярную интерпретацию течения полимеров.
Поведение ньютоновских жидкостей при течении зависит от
единственной характеристики — вязкости, которая является
только функцией температуры. Наиболее часто используемое
выражение для зависимости вязкости от температуры —
уравнение Аррениуса:
\х = АеЕ'*т (2-86)
где R — газовая постоянная; Е— энергия активации течения;
А — коэффициент, зависящий от природы жидкости.
Уравнение (2-86) можно исследовать, используя
графическую зависимость \g\i от (1/Г). Для большинства жидкостей в
температурной области примерно выше 40 °С можно получить
довольно хорошую прямолинейную зависимость. Вне этой
области обычно кривая становится изогнутой, указывая на то, что
изменения величин А и Е с изменением температуры
становятся существенными. Иногда, для уточнения данных зависимости
вязкости от температуры, полезно применить другое уравнение
ц = ае~ьт (2-87)
где а и Ъ — эмпирические константы. Оно имеет почти ту же
область применимости.
При очень низких скоростях сдвига большинство неньюто-
■новских жидкостей обнаруживают ньютоновское поведение. Этот
эффект представлен на рис. 9, где логарифмическая кривая
течения становится прямой и ниже определенного значения ско-

52
Гл. 2. Реология
рости сдвига имеет тангенс угла наклона, равный единице. В'-
этой области поведение при течении можно характеризовать
одной постоянной ■— предельной вязкостью.
Измерения Филиппова и Гаскинса13 для двух образцов
полиэтилена и пластифицированного поливинилбутираля показали,,
что существует область низких скоростей сдвига, где имеет
место ньютоновское поведение материалов*. На рис. 11 их данные.
1,8 2,0 2,2 2Л 2,6 2.8
юоо/т°к
Рис. 11. Температурная
зависимость предельной
ньютоновской вязкости14:
а—полиэтилен; б—поливинилбутираль.
360 WO W0 Ш 520 560'
Т,°Н
Рис. 12. Температурные
зависимости вязкости по данным'
рис. 11, представленные в виде'
зависимости от абсолютной
температуры:
а— полиэтилен; б—поливинилбутираль.
представленные в виде графической зависимости lgjio от (1/Т),
как и предполагалось, описываются уравнением (2-86).
Заметим, что в данном случае точки хорошо ложатся на прямую
линию. На рис. 12 показаны те же самые данные, представленные
в виде графической зависимости lgjio от Т, описываемой, как
предполагается, уравнением (2-87). Заметим, что существует
некоторая кривизна линии, проведенной через точки,
полученные для полиэтилена, однако в относительно узком интервале
температур полученные кривые для большинства технических
целей можно принимать за прямые.
Данные по течению для большинства промышленно важных
термопластов собраны Вестовером14. Им была изучена
зависимость вязкости т) от температуры при постоянной скорости
сдвига. Для температурной области примерно выше 40 °С больший-
* См. также работу Г. В. В и н ог р а д о в, А. Я- М а л к и н, Т. М. Ис-
май лов, Г. А. Ермилова, Хим. волокна, 1965, 2, стр. 7.

2-6. Зависимость вязкости от температуры
53
ство кривых близки к прямым, показывая, что можно
использовать соотношение вида (2-87). В табл. 2-6 приведены
значения (\/Ьу), которые получены из этих данных.
ТАБЛИЦА 2-6
Температурная зависимость вязкости некоторых термопластов при постоянной
скорости сдвига15
Полимер
Полиметилметакрилат . . .
Полиметилметакрилат . .
Ацетат целлюлозы
Найлон-6
Полиэтилен •
Полистирол
Полистирол
Поливинилхлорид
Поливинилхлорид
пластифицированный
Скорость
сдвига
сек 1
100
27
100
100
100
100
100
100
100
40
100 •
1
(°С)
24
18
32
60
56
85
70
73
46
51
40
Торговое наименование
Люцит-140
Плексиглас V 100
Ацетат Тенит 036-Н2
Найлон ПласконТ8206
Зайтел 101 NC10*
Бакелит DyNH
Алатон-10
Стирон 475
Люстрекс HF77-2020
Геон-8750
Опалон 71329
Величина (1/6Y) показывает, на сколько градусов нужно
увеличить температуру полимера при постоянной скорости
сдвига, чтобы вязкость уменьшилась в 1/е раз. Чтобы показать
это, запишем выражение (2-87) в виде
М-1
^2
а ехр [—Ъу 7\]
а ехр [—Ьу Т2]
которое можно переписать в эквивалентной форме
И-i = ^2 ехр [by (Т2 — TJ] = )х2 ехр (by AT)
Заметим, что когда АТ= ([/Ьу)
Р2= (~т)^-
Следовательно, смысл значения (l/by) раскрыт.
Заметим, что полиметилметакрилат имеет большую чувстви
гельность вязкости к изменениям температуры, в то время как
полиэтилен — меньшую. Это имеет большое значение в.
определении адиабатических тепловых эффектов в экструдерах и для
•определения однородности при экструзии пленок и листов.

54
Гл. 2. Реология
Неньютоновская вязкость г) является функцией состояния
сдвига (так как характеризуется значениями у или т) так же,
как и функцией температуры. Это выражается
функциональными уравнениями*
7j = tj (т, Т) (2-88)
■ц = У1[ЬТ) (2-89)
Следовательно, когда известно изменение г\ с температурой,
представляет интерес исследовать изменение вязкости при
постоянной скорости сдвига или при постоянном напряжении
сдвига. Вообще, (дц/дТ)х не должно равняться {ду]/дТ)у •
Каждый тип изменения дает различные значения энергии
активации. Бестуль и Бельчер15 теоретически показали**, что для
псевдопластичных жидкостей
»,>(-&)* <2-90>
Полный дифференциал ц, считая, что ц является функцией т
•и Т, есть
^=(-&-), ^+ (-£-),* (2"9,)
Для процесса, протекающего при постоянной скорости сдвига,
уравнение (2-91) может быть записано так:
■&)rWr№\+(H (2-92)
'которое может быть преобразовано
^-i-te-w-s-i (2-93)
Дифференцируя уравнения (2-39) по г\ при постоянной у,
получим выражение
£)*=' (2"94)
* В книге отсутствуют ссылки на последние работы советских авторов,
которые используя модифицированный метод приведенных параметров,
обнаружили существование универсальной температурно-инвариантной
вязкостной зависимости для всех расплавов полимеров.—Прим. ред.
** См. также Г. М. Бартенев, Ю. С. Зуев, Прочность и
разрушение высокоэластических материалов, Изд. «Химия», 1964.—Прим. ред.

2-6. Зависимость вязкости от температуры
55
которое приводит уравнение (2-93) к виду
(ayar)t _ ./^
(дч/дТ)> Т [ дт
(2-95)
По определению, псевдопластичной жидкостью является,
жидкость, для которой ц уменьшается при увеличении т.
Следовательно, (дт\/дт)т отрицательно, а правая часть (2-95)
должна быть больше единицы. Таким образом, неравенство (2-90)-
доказано.
Предполагая, что температурная зависимость г) может быть
выражена через уравнение типа уравнения Аррениуса (2-86),
имеем:
л Е- /RT
ч\ = Ае у
т, = Ае**"*
(2-96)
Первое уравнение относится к изменениям вязкости, которые
проявляются при постоянном напряжении сдвига, а второе — к
изменениям, которые имеют место при постоянной скорости
сдвига. Значения Ех и Еу определены Филипповым и Гаскин-
сом для полиэтилена в интервале температур от 108°С до
230°С. Они приведены в табл. 2-7.
ТАБЛИЦА 2-7
Энергии активации течения для полиэтилена в температурном интервале
108—230 °С
У
сек~1
0
10-1
100
101
102
103
ккал/моль
12,8
11,4
10,3
8,5
7,2
6,1
Е •
Y
10 3 дж/моль
53,6
47,7
43,12
35,6
30,14
25,54
1
дин /см2
0
ю4
105
106
Н/М.2
0
Ю3
104
105
Ех
ккал/моль
12,8
15,0
17,8
19,0
10 дж/моль
53,6
62,8
72,5
79,55.
Заметим, что при очень малых напряжениях сдвига энергии
активации остаются неизменными. Этот результат можно
предсказать на основании уравнения (2-95) подстановкой частной
производной из (2-96)
—■ПЕх
RT2
RT*
(2-97)

..'56
Гл. 2. Реология
.при этом получим выражение
Ъ-^Щ .(2-98>
которое показывает, что Е тстановится равным Еу , когда у
стремится к нулю. Этот общий результат применим ко всем
жидкостям. Для ньютоновских жидкостей Ехравно Еу при всех
условиях, так как (дг\/дх)т равно нулю.
Пример 2-6
Этот пример показывает, как одно и то же изменение температуры может
вызвать различные изменения вязкости неныотоновской жидкости. Рассмотрим
течение неньютоновской жидкости в кольцевом зазоре между двумя
коаксиальными цилиндрами, причем внутренний цилиндр вращается, а
внешний—неподвижен. Если приводной механизм обеспечивает постоянную скорость
вращения и если температура жидкости увеличивается, вязкость должна
уменьшаться. При этом для вращения внутреннего цилиндра потребуется меньший
вращающий момент. Тогда скорость сдвига будет постоянной, а изменение
вязкости определяется из уравнения
dll=(-7FF)-dT (2-">
\ dT /у
которое, на основании уравнения (2-97), можно переписать в виде
d^ = ~{~wndT <2-100>
-Интегрирование уравнения (2-100) дает
±.\ — {
ln[^) = -{zm) <2-101>
где AT означает прирост температуры. Отрицательный знак указывает, что
вязкость с увеличением температуры уменьшается.
Если привод осуществляется механизмом с постоянным моментом вращения,
то будет получен несколько иной результат. Напряжение сдвига будет
оставаться постоянным, а скорость сдвига с увеличением температуры будет
увеличиваться. При осуществлении математических операций, аналогичных
использованным выше, изменение вязкости составляет
1пШ = йу?7 <2-102>
Так как Е% должно быть больше, чем Е- , уменьшение вязкости при постоянной
Y не так велико, как при постоянном т.
В качестве частного примера рассмотрим поведение полиэтилена13. Если
исходными условиями являются
7= 1,0 сек-1 т)= 10* пз (103н-сек/м3)
т = 104 дин/см2 (103 н/м2)

2-6. Зависимость вязкости от температуры
57
то значения энергии активации равны
Е- = 10,3 ккал/моль (43,12 кдж/моль)
Ег=15,0 ккал/моль (62,80 кдж/моль)
Если температура изменяется не очень сильно, то значения энергии активации
будут оставаться почти постоянными. Тогда уменьшение вязкости при
постоянной скорости сдвига составляло бы 50% от уменьшения вязкости при
постоянном сдвиговом напряжении для того же самого изменения температуры.
Если жидкость подчиняется степенному закону в
интересующей нас области, то можно сделать определенные упрощения.
Во-первых, можно показать, что Ех и Еу не являются
независимыми величинами, а связаны простым соотношением
1
Ег =
(2-103)
где п — индекс течения, который для псевдопластичных
жидкостей всегда меньше единицы.
Доказательство (2-103) можно получить подстановкой
уравнений
дх
я—1
Л/п
Т° —
1/п
полученных из соотношения для вязкости в случае степенного-
закона (см. табл. 2-4), в уравнение (2-95) и замечая, что
Т° = 7]V.
Пример 2-7
При температуре 174 °С и скорости сдвига 1 сек-1 вязкость полиэтилена11
равна 31 500 пз (3150 н-сек/м2). Предполагая, что степенной закон применим
во всем интервале температур и при любых скоростях сдвига, определим
вязкость полиэтилена при температуре 230 °С и скорости сдвига 100 сек-1,'
используя данные табл. 2-7.
Если выбрать приведенную скорость сдвига f° равной 1 сек~х, то значение
приведенной вязкости tj° при 230 °С можно получить следующим образом.
Дифференцируя выражение для вязкости (см. уравнение (2) из табл. 2-4), получим,
выражение
д 1п ?;0
дТ
д In 7)
(2-104)
которое при использовании уравнения (2-97) примет вид
/ д In -go \ _
I дТ )у =
RT*
(2-105).

58
Гл. 2. Реология
При интегрировании уравнения (2-105) получим:
"■Ш^^-тг) <2-106>
Взяв значение £. из табл. 2-7 равным 10,3 ккал/моль (43,12 кдж/моль), вычислим
значение т]§, которое будет равно 8720 пз (872 н-сек/м2).
Вязкость при 230 °С и 100 сек~х вычисляется с помощью степенного закона
ъ = vb"-1
где п—среднее значение индекса течения при изменении f от 1 сект1 до
100 сек~1. Из данных табл. 2-7 значение £ • при -^— 1 сек-1 равно 10,3 ккал/мол
(43,12 кдж/моль). Напряжение в этом состоянии составляет около 10* дин/см2
(103 н/м2), так что £т примерно равно 15 ккал/моль (62,8 кдж/моль), а значение
пг есть
^=^ = 0,68
В положении 2, когда скорость сдвига равна 100 сек-1, величина Е- =
=7,2 ккал/моль (30 кдж/моль), но напряжение неизвестно. Если сделан
начальный подсчет т=105 дин/см2 (104 н/м2), то £4=17,8 ккал/моль
,(74,5 кдж/моль)
"■=(тг.)=0-*
так что п равно примерно 0,55. Следовательно
тг}2 = ПООяз (НО н-сек/м2)
Напряжение в состоянии 2, равное 1,Ы06 дин/см2 (1,1* 10* н/м2), очень близко
к первоначальному значению 105 дин/см2 (104 н/м2). Следовательно, нет
необходимости уточнять значение п, которое использовалось в вычислениях.
2-7. Введение в теорию вязкоупругости
Согласно Алфрею и Гарни16, «грубое, качественное
представление» о молекулярном механизме, ответственном за вязкоуп-
ругое поведение линейных аморфных высокополимеров дается
механической моделью, показанной на рис. 13. Эта модель
состоит из элемента Фойгта, соединенного последовательно с
элементом Максвелла. Общая деформация модели складывается
из мгновенной упругой деформации необратимого вязкого
течения и запаздывающей упругой деформации.
Мгновенная упругая деформация возникает-благодаря наг-
ружению и вытягиванию первичных валентных связей. Модуль
сдвига для этого процесса равен G\. Необратимое вязкое
течение возникает в результате скольжения цепей полимера или

2-7. Введение в теорию вязкоупругости
59
сегментов цепи друг относительно друга. Вязкость этого
цесса равна \i\. 'Запаздывающая упругая деформация возни
в результате перехода данной
равновесной конформации молекул в новую
конформацию, которой
благоприятствует удлиненная и ориентированная
структура. Движущей силой этого
последнего процесса является
напряжение сдвига. Скорость протекания
процесса определяется отношением
(1WG2), которое называется временем
запаздывания. Равновесная
деформация в этом новом состоянии
определяется модулем сдвига G2.
Выведем теперь реологическое
уравнение .модели, показанной на
рис. 13. Заметим, что если у — общая
деформация, то
про-
кает
С,
jiz
Ti -г-
(2-107
Рис. 13. Четырехэлемент-
ная механическая модель,
отражающая поведение
аморфных линейных
полимеров при сдвиге.
где yi—деформация элемента Фойгта,
Y2 — деформация элемента Максвелла.
Используя это, запишем реологическое уравнение для
элемента Фойгта (2-36) в следующем виде:
< = М&
-r-G2Ti
(2-108)
а реологическое уравнение для элемента Максвелла (2-34)
примет вид
£=i(£) + U-) (2-109>
Три приведенных выше уравнения составляют систему,
которая содержит зависимые переменные уь Y2, Y и х- Комбинируя
определенным образом эти уравнения, можно исключить из
четырех любые две зависимые переменные. Реологическое
уравнение для модели получается исключением yi и у2- Оно
является дифференциальным уравнением второго порядка
d4
dt2
P-2 f*l ^2
]t + (
G1G2
HV-z

60
Гл. 2. Реология
Когда образец подвергается действию постоянного
напряжения, получают кривую ползучести, определяющую собой
зависимость деформации от времени. В этом случае при снятии
напряжения не происходит мгновенного восстановления
деформации*, а наблюдается ее запаздывающее восстановление.
Уравнения ползучести и кривые восстановления деформации могут
быть получены из четырехпараметрической модели,
представленной на рис. 13.
В случае постоянно действующего напряжения 5 уравнение
Л 2-110) примет вид
Л*+^г)ж = Ш5 (2-Ш)
Если в момент времени, равный нулю, внезапно приложить
постоянное напряжение, то модель мгновенно деформируется на
величину (S/Gi), а затем будет развиваться запаздывающая
упругая деформация и установившееся течение. Начальная
скорость деформации (при t = 0) получается сложением скоростей
этих обоих процессов и равна (S/\ii+S/\i2). Следовательно,
начальные условия формулируются так:
т(°)=£ ;«>)=(£+!-)
а решение уравнения (2-111), удовлетворяющее этим условиям,
имеет вид:
где X — время ретардации (запаздывания), определяемое
выражением
Ht
Кривые ползучести и восстановления деформации для
четырехпараметрической модели показаны на рис. 14. В принципе
параметры модели можно определить из кривой ползучести.
Модуль Gx может быть вычислен из мгновенной деформации
у(0), а вязкость ^ — из т(»о), jia — из т(0), a G2 — из т(0).
* Имеется в виду восстановление не полной, а упругой составляющей
деформации, равной сумме мгновенной упругой и запаздывающей деформа-
дии.—Прим. ред.

2-7. Введение в теорию вязкоупругости
b*
Время ретардации 'Я, которое представляет собой время,
необходимое для того, чтобы было восстановлено 63%
запаздывающей упругой деформации, можно непосредственно вычислить
Тангенс угла
наклона у(0)
1Рис. Я4. Кривые ползучести и восстановления деформации
,'дл.я 'четырехэлементной модели, показанной на рис. 13.
*лз кривой восстановления деформации, если прошло достаточно
времени для того, чтобы восстановление деформации прошло бы
^практически полностью.
При снятии нагрузки (5 = 9) уравнение (2-111),
определяющее собой восстановление деформации, примет вид
dt2 "г" х " dt —
(2-113)
Его общее решение записывается в виде
т = С, + С2е-^
(2-114)
где С\ и С2 — постоянные интегрирования.
Если уо — деформация в момент t0 снятия напряжения, а
Too — деформация после полного восстановления, то тогда*
То = Q + Q Too = Сх
и относительное восстановление деформации / определяется
уравнением
/ = То~т = 1 — е-'А
То Too

62
Гл. 2. Реология
Когда / = А,
/= 1 — — = 0,63
Рассмотрим теперь поведение материалов, подвергаемых
напряжениям или деформациям, которые периодически
изменяются во времени. Во-первых, рассмотрим гуковское твердое тело,
подвергаемое простому сдвигу, при котором деформация
периодически изменяется во времени:
Т = То sin M) (2-П5)
где Yo — максимальная деформация, a co = 2nf (f — частота
деформации, выражаемая в циклах в 1 сек). Из реологического
уравнения для твердого гуковского тела r=Gy следует, что.
напряжение в этом случае меняется во времени по закону:
т = GTo sin (со?) (2-116)
Следовательно, для твердого гуковского тела напряжение и
деформация совпадают по фазе.
Период полного цикла равен 1// сек. В первой четверти
цикла положительная деформация увеличивается и достигает
максимума за XU f сек. В течение второй четверти цикла
деформация постепенно уменьшается и возвращается к нулю при
'/г. f сек. Вторая половина цикла идентична первой за
исключением того, что деформация отрицательна. Последующее
вычисление показывает, что запас энергии в течение первой и
третьей четвертях цикла полностью восстанавливается во вторую и
четвертую четверти цикла, так что гуковское тело подвергается
деформации, которая изменяется во времени синусоидально,
причем, за полный цикл нет ни рассеивания, ни накопления
энергии.
Скррость pi поглощения энергии единицей объема
материала определяется уравнением
Pi = ХТ
а общая энергия, запасенная в материале в течение первой
четверти цикла представляется интегралом
l/4f 1/4/
е = \ ptdt = \ i-\dt
о 6
При подстановке выражений (2-115) и (2-116) в это
уравнение и выполнения интегрирования получим e=Gyll2. Если?.

2-1. Введение в теорию вязкоупругости
63
же интегрирование провести по времени половины цикла или
оо времени полного цикла, то е = 0.
Если ньютоновская жидкость подвергается действию
синусоидальной деформации Y0sin (со/), то из ее реологического
уравнения т=и/у следует, что напряжение равно
т = {A(u70cos((o/) (2-117)
Следовательно, в ньютоновских жидкостях напряжение
также является синусоидальной функцией времени, но опережает
деформацию по фазе ровно на 90°. Однако скорости
напряжения и деформации по фазе совпадают.
Для ньютоновской жидкости энергия, затрачиваемая в
течение первой четверти цикла, равна
1/4/ ^ l/4f
е = ( туй/ = р<й)27о 1 cos2[o)/] dt = (-г-) ^<»7о
о о
Тот же самый результат получается для второй, третьей и
четвертой четвертей цикла. Следовательно, общая энергия,
затрачиваемая за полный цикл, равна л\ш>у1. Так как вязкое
течение— процесс необратимый, то эта энергия затрачивается на
нагревание материала.
Если вязкоупругий материал подвергается "деформации,
которая является синусоидальной функцией времени, то
напряжение, в общем, не будет совпадать по фазе с деформацией.
Исследование поведения таких материалов облегчается введением
определенных комплексных величин (например, величины т*,
модуль которой является максимальным значением напряжения),
представленных в виде векторов в комплексной плоскости.
Векторы, изображающие т* и у*, пересекаются в начале координат
под углом 6, где б — фазовый угол для данного материала. Их
проекции на оси координат представляют собой действительные
и мнимые компоненты. Ориентация упомянутых осей
произвольна и для удобства действительную ось можно сделать
совпадающей с у*. Тогда у* имеет только действительную
компоненту у', а т* — как действительную %', так и мнимую х"
компоненты, как показано на рис. 15.
Комплексный динамический модуль сдвига G* можно
определить выражением
G* = ^- = G' + iG" (2-118)
жоторое можно записать как
7 7 7

64
Гл. 2. Реология
Сравнивая действительные и мнимые компоненты этих
выражений, имеем
0' = ^-
7
G" = -,-
т
(2-119)
Следовательно, величина G', являющаяся действительной
частью G*t представляет собой отношение совпадающих по
фазе компонент напряжения и
деформации и ассоциируется с
запасенной энергией. Аналогично, величи-
Т на G", мнимая часть G*,
представляет собой отношение
несовпадающих по фазе компонент
напряжения и деформации и ассоциируется
с энергией рассеивания.
Из рис. 15 ясно, что
tg& = ^-
(2-120)
Г Т'
РисД15. Напряжение и
деформация, представленные как
векторы в комплексной плоскости.
а из уравнений (2-119) и (2-120)
видно, что
tgS =
9L
G'
(2-121)
Комплексная податливость J* определяется уравнением
(2-122)
'-^-*
из которого видно, что
^'=77*
G'
(G')Vf(G")2
J" = Т7*
G"
(G')2 + {G"Y
и, следовательно,
/"
«8» = 7-
Значение /' и I" легко получить, если упомянутые оси на
рис. 15 повернуть так, чтобы т* было расположено на
действительной оси. Тогда J' = y'/%' и представляет собой отношение

2-7. Введение в теорию вязкоупругости 65
совпадающих по фазе компонент деформации и напряжения.
Она ассоциируется с накоплением энергии. Аналогично,
J" = y"\%' и представляет собой отношение несовпадающих, по
фазе компонент деформации и напряжения и ассоциируется с
рассеиванием энергии.
Комплексная вязкость jx* может быть определена с помощью
уравнения
,*
т-
где у*, комплексная скорость сдвига, является производной по
времени от у*. Имеет место выводимое ниже соотношение
между у* и у*:
Т*=/шт* (2-123)
После подстановки уравнения (2-123) в (2-118) получаем
С*=^- = /ш4- (2-124)
7 -у*
и из определения ц* видно, что имеется следующая зависимость
между комплексным модулем сдвига и комплексной вязкостью:
G* = i©n* (2-125)
Легко показать, что
G' = сор/' = со —
7"
_«
G" = <o|i' = со -т-
7"
I, следовательно
6 fx"
Если yo представляет собой модуль* у*, то в комплексной
плоскости у* представлено выражением
т* = То [cos6 + г sine] .(2-126)
где 6— аргумент17 комплексного числа y*- Как следует из
С точки зрения комплексных чисел.—Прим. ред.

66
Гл. 2. Реология
уравнения (2-115), деформация у(t) является синусоидальной
функцией |/Yosin((o^)]. Следовательно, скорость деформации y(t)
является синусоидальной функцией [g)Yo'Cos((oOL которая
показывает, что максимальная величина функции y(t) равна
(соуо). Следовательно, абсолютная величина комплексной
скорости деформации у* есть и>у0 ш
Y* = саг0 [coscp -f- /-simp] (2-127)
где ф представляет собой аргумент у*.
В результате того, что деформация и скорость деформации
сдвинуты по фазе на 90°, угол 0 должен отличаться от ф на
90°. Следовательно, 0 = (ф—90°) и уравнение (2-126) может
быть записано в виде
Т* = То [cos (ф — 90°) + / sin (ф — 90°)] = i'o [sin ф — / cos ф]
Умножение этого уравнения на мнимую единицу дает
*'т* = To[COS(P + tsincp] (2-128)
а, сравнивая (2-128) с (2-127), можно видеть, что*
T* = iu>T* (2-129)
и, следовательно
y' = _u)Tv (2-130)
В вязкоупругих материалах мгновенная скорость
рассеивания энергии единицей объема материала в данный момент
времени определяется уравнением
р, = т"(0г"(0 (2-131)
где х"'(t) —значение мнимой компоненты т*, а у" {t) —значение
производной по времени мнимой компоненты у* в момент вре-
* Чрезвычайно усложненное автором доказательство выражения (2-129)
можно заменить более простым и строгим:
df . .
7* = 7об'ш Т* = At = ,а)7ое = 'ШТ*
Прим. ред.

2-7. Введение в теорию вязкоупругости
67
мени t. Учитывая уравнения (2-119) и (2-130), можно
представить (2-131) в следующем виде
P/ = cdG"[T'(0]2 (2-132)
Общая энергия рассеивания за время одного цикла
i/f i/f
о о
После введения в это уравнение (выражения yf(t) —y0sm(2nft)^
полученного из (2-115), и выполнения интегрирования получим
е = тОГ-il
(2-133)
Средняя энергия рассеивания р получена делением е на период
цикла. В результате получим выражение p = TifG"yl, которое
может быть представлено с точки зрения действительной части
комплексной вязкости при помощи введения уравнения (2-125):
р=^-[Х'(й2Тв2
Вообще вязкоупругие свойства зависят от температуры и
частоты. Если известно реологическое уравнение материала, то
1
4! х1 'Hi
Ш
til
a S в
Рис. 16. Механические аналоги вязкоупругих жидкостей:
а—простой элемент МаксЕелла; б—два элемента МаксЕелла, соединенные
параллельно; в—п элементов Максвелла, соединенных [параллельно.
можно вывести выражение частотной зависимости вязкоупругих
свойств этого материала. Это иллюстрируется следующим
выводом выражений для G' и G" для максвелловской жидкости.
Механическая модель максвелловской жидкости показана на
рис. 16,а.

Гл. 2. Реология
На основе уравнения (2-34) реологическое уравнение макс-
велловской жидкости можно записать в виде
4- + -Г==(?Т (2-134)
где время релаксации Я определяется как отношение \i/G.
После подстановки периодически изменяющейся деформации
■Yosin(co^) в последнее уравнение и затем решения его относи*
тельно т как ,функции времени t, получим
т = de-'A 4- ухда- И sin И) + cos Ml (2-135)
где С\ — постоянная интегрирования. Заметим, что как только
t становится достаточно большим, первый член равенства
(2-135), исчезает и оно принимает вид
•z = l °Т°°\2 [©X sin (©0 + cos («01 (2-136)
где т теперь является чисто периодической функцией.
Рассматриваемая деформация имеет в качестве
действительной компоненты только y,(t)=yosin((at) и, следовательно,
т' = То
Таким образом, та1 часть напряжения, которая совпадает по
фазе с деформацией, равна
и, следовательно
X =
+
Аналогично
1 -f со2Х2
1 + ш^3
и, таким образом, из уравнения (2-119) видно, что
0, = ттяг (2"137)
■Й
°" = tw <2438)

2-7. Введение а теорию вязкоупругости
69
Заметим, что как G', так и G" зависят от частоты.
Изменение {G'jG) и (G"/G) s зависимости от Igcol показаны на рис. 17.
Заметим, что отношение (G"/G) проходит через максимум при
(о1=1 и стремится к .нулю при
очень низких и очень 'высоких
частотах. С другой стороны,
действительная часть модуля
сдвига G' увеличивается при
увеличении частоты,
показывая, что чем быстрее
деформируется образец, тем «жестче»
он становится.
Зависимость свойств
реального вязкоупругого материала
от частоты, очевидно, более
сложная, чем ,в случае простой
максвелловской жидкости.
Температурная и частотная зависимости |/ и G' для полиизо-
'бутилена с молекулярным весом 1200 000 показаны на рис. 18„
Lg(ajx)
Рис. 17. Зависимость динамических
механических свойств
максвелловской жидкости от частоты.
0/t5
X
0,35
0,30
0,25
J^J°AL
198°К
\303°Н
^Г^3
-
/Z98°K
' зоз°к
313°Н ~~
?23°К
зз°н
-0,80
0,75
О JO
0,65
3 Ч-
lg ш
5
Рис. 18. Динамические механические свойства полиизобутилена
в^зависимости от температуры и частоты*9.
-где в логарифмических координатах представлены yf и G' как
х функ'ции частоты при различных температурах. Заметим, что

70
Гл. 2. Реология
G\ а следовательно, и жесткость материала возрастает с
увеличением частоты «и уменьшением температуры, так что при
высоких частотах и низких температурах материал будет очень
жестким. Заметим также, что \xf увеличивается с понижением
температуры и уменьшением частоты, так что при низких
температурах и особенно при низких частотах преобладает вязкая
природа материала.
Ферри18 показал, что такие зависимости могут быть сведены к
единой кривой путем использования приведенных переменных.
Считая, что поведение реальных материалов может быть
описано обобщенной моделью Максвелла, имеющей п
параллельных элементов, как показано на рис. 16,в, он предположил,,
что каждое G\ пропорционально как абсолютной температуре,.
так и плотности и что каждое щ имеет ту же температурную
зависимость. Далее, он предположил, что когда температура'
меняется от произвольно выбранного значения Т° до некоторой
температуры Т, каждое Xi модели изменяется на тот же самый
коэффициент а. При этих допущениях
\ = al0i (2-140)
Теперь необходимо было определить частотную зависимость
в случае обобщенной модели Максвелла. Определение
частотной зависимости было выполнено для случая двухэлементной
модели, показанной на рис. 16,6, с последующим обобщением
результатов для я-элементной модели.
Пусть для двухэлементной модели Т\ — напряжение в
первом элементе, а Тг — напряжение во втором элементе. Общее
напряжение т является суммой двух напряжений; таким
образом
х = т1 + т2 (2-141)
Реологическое уравнение для первого элемента запишется в
виде
-, = 1м-Ц4г) (2'142)
а для второго элемента

2-7. Введение в теорию вязкоупругости
71
В этой системе уравнений ti, T2, т. и у — зависимые
переменные. Исключая из этих трех уравнений Х\ и тг, получаем
реологическое уравнение
* + (*! + К) * + (\К) * = (Gt + G2) f + (Gtl2 + G2\) i (2-144)
Заметим, что это уравнение имеет точно такую же форму, как и
(2-110). Поведение модели, изображенной на рис. 16,6 (два
параллельно соединенных элемента Максвелла) точно такое же,
как и модели, показанной на рис. 13 (элементы Максвелла и
Фойгта, соединенные последовательно).
Когда имеем m элементов Максвелла, соединенных
параллельно, то реологическое уравнение становится линейным
дифференциальным уравнением m-порядка. Оно может быть
записано в виде
Pt = Qt (2-145)
где Р и Q — линейные дифференциальные операторы:
Р = 4F* + Pm-i§^r + - ■ ■ + Ро (2-Н6)
(от = л+ 1)
Параметры q\ и pi определяют свойства материала.
Уравнение (2-145) называется операторным уравнением.
Модель Максвелла и операторное уравнение выражают собой
основные методы определения вязкоупругих свойств материала.
Алфрей19 описал семь способов, которые могут быть
использованы для определения вязкоупругих свойств материалов, и
показал соотношения между ними.
Исследуем теперь реакцию модели, показанной на рис.
16,6, на синусоидальную деформацию
r = Tosin(<°0 (2-148)
Чтобы определить т(/), подставим (2-148) в уравнение
(2-144) и решим последнее относительно т. Вновь получим
решение, состоящее из переходной и периодической частей.

72
Гл. 2. Реология
Периодическая часть решения имеет тот же самый вид, как и
прежде, а значения G' и G" даются уравнениями
G'- GlX^a 1 GaXS<°a (2-149)
G" = ffi" + ffi» (2-150)
Сравнение уравнения (2-137) и (2-138) с (2-149) и (2-150)
показывает, что формулы для Gr и G" можно обобщить для
случая модели, содержащей п параллельных элементов, как
показано на рис. 16 в. Это есть обобщенная модель Максвелла,
имеющая модули G' и G", определяемые выражениями
°'=£™ <2-151>
/=1.2,...
°" = £г™ (2"152)
1=1,2,...
Далее, из соотношения G" = \l'(h действительная часть
комплексной вязкости представляется равенством
/=1,2,...
Необходимо также заметить, что для установившегося
течения
п
*=2m<Y, (2-154)
i= 1,2...-
так что вязкость установившегося течения является суммой
отдельных вязкостей. Следовательно
п п
р= 2^=Еед (2-155)
1=1.2,... t=l,2,...

2-7. Введение в теорию вязкоупругости
73
Чтобы определить приведенные переменные, подставим
равенство (2-139) в (2-151). Получим
О'ту
5>
i=l,2,..
(а^.у
1 + (ашЦу
(2-156)
Приведенная частота оог и модуль G'r определяются теперь
выражениями
(or = au) (2-157)
Т°р°
G'r = G'
так что (2-156) примет вид
п
G'r = 2 <Я
/=1,2,...
1 +:M)S
(2-158)
(2-159)
Отсюда следует, что приведенный модуль G'r является только
функцией приведенной частоты сог, так как X? и G° в
приведенном выше уравнении являются постоянными. Если G'r
представить графически в зависимости от оог, то все точки будут ложиться
на одну кривую независимо от температуры, при которой
проводятся измерения.
Другие приведенные величины можно определить подобным
же образом. Например
s-<r(3F)
(2-160)
{V = flji
ту
т?
(2-161)
На рис. 19 приведены данные рис. 18, обработанные методом
приведенных параметров, представляющие собой две кривые
(4 и G2, инвариантные относительно температурной
зависимости.
Температурный коэффициент а сам зависит от температуры.
Его значение можно найти вычерчиванием зависимости IgjirOT
]g*co и сдвигом кривых вдоль прямой линии с тангенсом наклона
— 1 до их совпадения. Величина смещения в горизонтальном
либо в вертикальном направлении равна \ga.

74
Гл. 2. Реология
Значение а можно также определить из значения вязкости,
при установившемся течении. Из равенства (2-155) следует:
^=a(w)Sc?x?=
/-1.2...
т?
*йг м-
ту
(2462)
откуда можно вычислить значение а, если известна зависимость
[1 от температуры.
0,Ь5
Ч
0,35
0,30
/К
£/-v
^
^
2 3 Ч- 5
Iff (а си)
Рис. 19. Данные рис. 18, представленные в приведенных
переменных19.
Для более детального ознакомления с вязкоупругим
поведением полимеров можно отослать читателя к книге Ферри20, где
подробно рассмотрено экспериментальное оборудование и
результаты исследования, полученные для широкого круга
различных полимерных систем и дана интерпретация результатов с
точки зрения молекулярной теории.
Задачи
2-1. Доказать, что две формы уравнения неразрывности
1 ?др
ГпГ = — P(V'V) и ^- =— (vpv)
iDt
эквивалентны. Показать также, что для несжимаемых жидкостей оба
уравнения примут вид: (Д-у)=0.

Задачи
75
2-2. Доказать, что две формы уравнения движения
Dv
р 'оГ=— v^ + tv^ + pg
d(pv)
d; =— [V-PW] — уР + [V^H-pg
эквивалентны.
2-3. Какие изменения в уравнении (2-3) необходимо произвести, если в
жидкости имеет место экзотермическая химическая реакция?
2-4. Найти распределение температуры для задачи, которая
рассматривалась в примере 2-1, когда верхняя пластина имеет температуру Тх, а нижняя—
температуру 7V ->~э
2-5. Доказать, что координаты точки в цилиндрических и прямоугольных
системах координат связаны уравнениями
х = г cos Э
у = г si п 0
а компоненты скорости—уравнениями
Vx = Vr COS 0 — Уд Sin 0
Vy = Vr Sin 0 + flg COS 0
vz*= vz
Доказать затем следующее соотношение между компонентами тензора
напряжений:
zyz = zrz sln 9 + х28 cos ^
2-6. Вывести реологическое уравнение в случае простого сдвига для
материала, который ведет себя как твердое тело Гука ниже напряжения деформа-.
ции Se и как ньютоновская жидкость выше этого напряжения. Построить
механическую модель, которая будет описывать поведение такого материала.
2-7. Определить зависимость деформации от времени в точке материала,
.который описан в задаче 2-6, для зависимости напряжения от времени,
показанной на рис. 2-6,а. Предположить, что (5<50<2S).
2-8. Рассчитайте, какое потребуется время для того, чтобы
восстановилось 50% упругой деформации для твердого тела Фойгта при снятии нагрузки.
Сколько времени потребовалось бы для восстановления 90% деформации?
2-9. Найти значения параметров }i0 и В из уравнения Пауэлла—Эйринга
применительно к данным течениям, представленным на рис. 9.
2-10. Показать, что третий скалярный инвариант тензора Д равен нулю
для течения, описанного в примере 2-3.
2-11. Показать, что обобщенная форма уравнения Рейнера—Филиппова
.примет вид уравнения (3) в табл. 2-4 для простого сдвига.
2-12. Определить значения Е и b для трех материалов, для которых данные
по вязкости представлены в виде графиков на рис. 11 и 12.
2-13. Рассчитать максимальную разность температур для течения,
описанного в примере 2-1, если 1/= Ю-1 м/сек, #=10-2 м, £=10~3 кал/см-сек-град
(0,419 em/м-град), а р.= 104 пз (103 н-сек/м2).
2-14. Рассмотреть установившееся изотермическое ламинарное течение
ньютоновской жидкости через трубу диаметром 10_3 м и длиной 10-1л*. Какова
будет скорость жидкости на оси трубы, если вязкость жидкости равна 100 пз
*(10 н-секЫ2), а падение давления составляет 10 амм (9,807-105 н/м2)?

76
Гл. 2, Реология
2-15. При интегрировании уравнения (2-74) получается выражение (2-75).
Показать стадии интегрирования.
2-16. Вывести реологическое уравнение для материала, поведение которого
при простом сдвиге описывается механической моделью, состоящей из
последовательно соединенных элемента Фойгта и пружины. Каков будет
электрический аналог для этого материала?
2-17. Вывести уравнение для материала, описанного в задаче 2-16,
связывающее деформацию в точке со временем для случая, когда постоянное
напряжение S приложено в рассматриваемой точке в момент времени t0 и снято
в момент времени tt.
2-18. В опыте при постоянном напряжении вязкость неньютоновской
жидкости уменьшалась от 100 пз (10 я-се/с/ж2) до 50 пз (5 Н'сек/м2) при
повышении температуры от 20 до 40 °С. Известно, что жидкость подчиняется
степенному закону к имеет индекс течения 0,80. Подсчитать для этого материала
Е% и оценить его вязкость при температуре 40 °С для случая, когда изменения
протекают при постоянной скорости сдвига. Оценить Ьх и Ь- этого материала.
2-19. Вывести соотношение
&«= nbx
Обратить внимание на то, что оно аналогично уравнению (2-103).
2-20. Если G(t) представляет собой отношение напряжения к деформации
в эксперименте по релаксации напряжения, показать, что для максвелловской
жидкости
G (t) = Ge~t/X
а для твердого тела Фойгта
G(t) = G
Если J(t) представляет собой отношение деформации напряжения, то показать,,
что в опытах по ползучести для жидкости Максвелла
J(t) = J+-j-
а для твердого тела Фойгта
J{t) = j[\-e-t'1\
где J=(l/G).
2-21. Показать, что |G*j представляет собой отношение максимального
напряжения к максимальной деформации.
2-22. Показать, что если вязкоупругий материал подвергается
воздействию деформации, которая является синусоидальной функцией времени, то
максимальная энергия, запасенная материалом, в любой момент в продолжении
цикла равна G'$.
Дополнения и литература
1. Приложение А содержит вывод уравнений неразрывности, движения и
энергии.
2. Векторная и тензорная системы обозначений и операций приводятся в
Приложении А.

Дополнения и литература
71
3. R. В. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport
Phenomena, John Wiley, 1960, p. 11.
4. M. P e й н е р, Деформация и течение, гл. XVII, Гостоптехиздат, 1963,
5. Т. G. Smith, Development of a Rheometer for Molten Thermoplastics,
doctoral thesis, Washington University. St. Louis, 1960.
Виноградов Ю. В. и др., ВМС, 6, 1646 (1964).
6. М. Р е й н е р, Деформация к течение, гл. XVIII, Гостоптехиздат, 1963.
7. R. В. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport
Phenomena, John Wiley, 1960, p. 14.
8. R. E. Powell, H. Ё у г i n g, Nature, 154, 427 (1944).
9. F. Bueche, J. Chem. Phys., 22, 1570 (1954).
10. P. E. Rouse, J. Chem. Phys., 21, 1272 (1953).
11. См., например, R. В. Bird, Physics of Fluids, 3, 539 (1960).
Дж. Г. О л д р о й д, Неньютоновское течение жидкостей и твердые
тел, гл. 16 в книге «Реологияэ, под ред. Ф. Эйриха, Издатинлит8
1962.
12. М. Reiner, Am. J. Math., 67, 350 (1945).
13. W. Philippoff, F. H. Gas kins, J. Polymer Sci., 21, 209 (1956'.
14. P. Ф. В е с т о в°е р, часть III в книге Э. Бернхардта «Переработка терме»
пластичных материалов», Изд. «Химия», 1965.
15. А. В. Bestul, H. V. Belcher, J. Appl. Phys, 24, 696 (1953).
16. Т. Алфрей, Е. Ф. Гер ни, Динамика вязкоупругого поведения, гл. 1Г g>
книге «Реология», под ред. Ф. Эйриха, Издатинлит, 1962.
17. See, for example, Mathematics of Physics and Modern Engineering, by 1=
S. Sokolnikoff and R. M. Redheffer, McGraw-Hill, 1958, p. 528.
18. J. D. Ferry et al., Ind. Eng. Chem., 44, 703 (1952).
19. T. Alfrey, J. Appl. Phys., 16, 700 (1945).
20. Дж. Д. Ферри, Вякоупругие свойства полимеров, Издатинлит, 1963.

Глава
Течение в трубах и каналах
В настоящей главе рассматривается течение жидкости в
каналах с круглым, прямоугольным или кольцевым поперечным
сечением, так как именно эти случаи наиболее важны в процессах
■переработки полимеров.
Большинство полимерных систем обладают значительной
вязкостью (нередко достигающей 106 пз, или 105 н-сек/м2),
поэтому при переработке полимеров турбулентное течение
встречается весьма редко. В данной главе рассматривается только
ламинарное течение. Кратко обсуждены вопросы, связанные
с внутренним тепловыделением, концевыми и упругими
эффектами, а также основы капиллярной вискозиметрии. Глава
заканчивается анализом процессов течения полимера в кабельных
и листовальных головках экструдеров.
3-1 Изотермическое течение в трубах.
Некоторые частные случаи
В этом разделе рассматривается изотермическое
установившееся течение несжимаемой жидкости в прямой горизонтальной
трубе круглого сечения. Рассмотрим жидкости двух типов:
жидкости, подчиняющиеся степенному закону течения (в
частности, сюда относятся и ньютоновские жидкости), и вязко-
пластичную среду Бингама. В следующем разделе изложено
более общее, но практически менее важное решение этой
задачи. В обоих случаях предполагается, что проскальзывание
жидкости на стенке трубы полностью отсутствует и вязкость
жидкости однозначно определяется ее температурой и
условиями деформации.
iB последующем через z обозначается переменное
расстояние, измеряемое вдоль оси трубы, а через г — расстояние от оси
трубы по радиусу. Ось z ориентирована так, что давление
возрастает в направлении увеличения z, следовательно, градиент

3-1. Изотермическое течение в трубах
79
давления (dP/dz) положителен, и течение происходит в
отрицательном направлении.
Используя табл. 2-2, запишем проекцию уравнения двлже*
ния сплошной среды в напряжениях на ось z в цилиндрических
координатах
дР
dz
1 д г. 1
(3-1)
и после интегрирования (заметив, что вследствии симметрии
т(0) = 0) получим выражение
_ г i дР
Xrz— 2 1 дг
(3-2)
которое является общим соотношением, не зависящим от
природы жидкости. Таким образом, напряжение сдвига является
линейной функцией г. Поэтому напряжения равны нулю в цен*
тре трубы и достигают максимума у ее стенок.
Р0 р P+(&P/dz)dz Pi
F3
— Г,
F3
Z=0
■dz -*\
□
i
Z=L
Рис. 20. Силы, действующие на элемент жидкости при установившемся
ламинарном течении в трубе.
Уравнение (3-2) может быть получено непосредственно из
условия равновесия сил, действующих на жидкость в трубе,
а не из общего уравнения движения. Для этого рассмотрим
силы, действующие на цилиндрический элемент жидкости радиу*
са г и длины dz, изображенный на рис. 20. Поскольку движение
предполагается установившимся и неуравновешенных сил нет,
то
ZF2 = 0 = F1 + F2-\-F5
(3-3)

80
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
где аилы Fu F2, F$ действуют соответственно на левое и правое
основания и на цилиндрическую поверхность элемента. Они
определяются следующими уравнениями:
Fx = ur2P
F. = — тег2
Р
F» = 2ъгхЛг
которые после подстановки в формулу (3-3) приводят к
уравнению (3-2).
Компоненты напряжения тГ2(как следует \из табл. 2-3, если
для неньютоновской жидкости заменить |i на ц) удовлетворяют
соотношению
которое после опускания индексов и введения обозначения
принимает вид:
^Т
(3-4)
Уравнение (3-4) аналогично уравнению (2-39), т. е. пред-*
ставляет собой реологическое уравнение неньютоновской жид-*
кости для случая простого сдвига. ,
Вязкость ц жидкостей, подчиняющихся степенному закону
(см. табл. 2-4), связана с величиной v формулой
т] = ^!_1
1 т°
п—1
(3-5)
Если теперь уравнения (3-5) и (3-4) подставить в
формулу (3-2) и полученное выражение проинтегрировать (эта
операция подробно разобрана в примере 2-2), то получим:
v, = vn
I _ (^\{п+1)/п'
(3-6)
где v0 — скорость в центре трубы, определяется уравнением
1>А =
п+1
2-г)1
Ч-тг)
two у az j
(3-7)
Знак минус показывает, что течение происходит в
направлении, противоположном выбранному направлению оси z~

3-1. Изотермическое течение в трубах
81
Объемный расход Q через сечение трубы в общем случае
определяется интегралом:
R
Q = 2tc trvzdr (3-8)
о
"Подставляя (3-6) и (3-8) и вычисляя определенный
интеграл, получим:
е-(£т,)«*ъ (3-9)
Средняя скорость течения vz,
определяемая как Q/tcR2, связана
с максимальной скоростью v0
соотношением:
я + 1
xl =
3n + 1 ) "°
(3-10)
а скорость в данной точке
выражается через среднюю скорость
•формулой
v.
- / Зп + 1
< _ I Г \(П+1)/п
1 ' R
"^
*-п —
п =
\\/7 =
Z
1 -j
1/2
1/3
(3-П)
которая тюлучается из уравнений
(3-6) и (3-10). Профили
распределения скоростей тю 'сечению
для различных значений п
показаны на рис. 21 в безразмерных
координатах vjvz и (r/R).
Кривая, соответствующая п=\,
представляет собой параболу, что
характерно для ньютоновской
жидкости. В случае л<1
(псевдопластичные жидкости) вязкость у
стенки трубы будет меньше, чем
в ее центре; вследствие этого
параболический профиль распределения -скоростей сглаживается.
Для случая /г>1 наблюдается обратная закономерность.
Напряжение сдвига у стенки трубы xw получается
непосредственно из уравнения (3-2):
_ R_( дР.
х™— 2 \ дг
О 0,2 0,<t 0,6 0,8 7,0
Г/R
Рис. 21. Распределение скоростей
в случае изотермического течения
ньютоновских жидкостей в трубах.
(3-12)

82
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
Скорость сдвига у стенки трубы находится
дифференцированием уравнения (3-6) с последующей заменой v0 по (3-9):
lw \ п
Q
tzR*
(3-1.3)
При протекании несжимаемой жидкости по трубе с
неизменным поперечным сечением объемный расход Q постоянен во
всех поперечных сечениях, перпендикулярных оси. Анализ
уравнений (3-7) и (3-9) показывает, что градиент (дР/дг)
постоянен и не должен зависеть от г. Таким образом, для трубы
длиной L в приведенных выше уравнениях (dPJdz), может быть
заменено на (АР/1), где АР — общее падение давления в трубе..
:В табл. 3-1 собраны формулы, полученные выше для изо>-
термического течения в цилиндрической трубе жидкостей,
подчиняющихся степенному закону. В этой таблице приведены*
также формулы и для частного случая ньютоновской
жидкости (п = 1).
ТАБЛИЦА 3-i
Формулы для изотермического течения в цилиндрической трубе жидкостей,
подчиняющихся степенному закону
Величина
Формулы степенного закона
Ньютоновские формулы
Напряжение сдвига
у стенки трубы .
Напряжение сдвига
Скорость в центре
трубы
Скорость сдвига .
Скорость
Средняя скорость .
Объемный расход .
Скорость сдвига у
стенки трубы . .
RAP_
2L
т)
= ( RAP\
v0 =
( nyQR
RhP
[n+l !\2><\0y0L
n + 1
\/n
_r_\\/n
R
я Г. / r\ln + \)/ri\
я+1
vz [2,n+ \) vo
= _ Лы?з>\/ RhP \1//l
у =-f Зя+1\_0_
y w \ n ) TiR?
•.-Ч-(*Л
z 2
* 761
8|i.L
_JQ__
tzR3
Примечание. rj° представляет собой неньютоновскую вязкость жидкости в
стандартном состоянии, определяемую скоростью сдвига у.

3-1. Изотермическое течение в трубах
83
Пример 3-1.
Рассмотрим установившееся течение жидкости плотностью 917 кг/мэ
в трубе диаметром 0,76 см и длиной 15,2 см:
Перепад давления ДР-Ю-6, нМ2 1,03 1,38 1,76 2,21
Расход W-103, кг/сек 1,9 2,8 3,8 5,01
Из табл. 3-1 видно, что для жидкостей, подчиняющихся степенному
закону, скорость течения пропорциональна перепаду давления в степени (1/п).
Применимость степенного закона
к приведенным выше данным
подтверждается графиком,
изображенным на рис. 22.Тангенс угла
наклона прямой, построенной на этом
рисунке в логарифмических
координатах, равен 1,275, а обратная
ему величина, представляющая
собой индекс течения п, равна
0,785.
Скорость и напряжение сдвига
у стенки трубы подсчитаваются
!при расходе 3,8- Ю-3 кг/сек по
-следующим данным:
п=0,785
,.£=0,381 см ' 0Л9 "3 Z'W 5'52 6'90
Q=W/p=4,l3 см*/сек Перепад давления AP-W6^
АР= 1,75-107 дин/см2( 1,75-106 н/м2) рис_ 22. Экспериментальные данные
L=15,2 см в двойных логарифмических
координатах.
Скорость и напряжение сдвига соответственно равны
RAP
тШ) = -^— = 2,19.105 дин/см2 (2,19-Ю4 н/м2)
Зл +' 1 \ / О ,
w ч 4 = 102 сек-*
а вязкость жидкости у стенки трубы
_ 2,19 X 105
102
2130 пз (213 н-сек/м2)
Величина ч]° рассчитывается непосредственно по реологическому уравне-
•нию жидкости, подчиняющейся степенному закону
л—1
7
1) = Т]'»

Гл. 3. Течение в трубах и каналах
Принимая, что стандартная скорость сдвига *(° равна 1 сект1, получим-;
tjO = щ1~п = (2130) (102)°'2i5 = 5730 пз (573 н-сек/м2)
и реологическое уравнение жидкости примет вид:
т^бТЗОт-0'215
Теперь рассмотрим изотермическое установившееся течение
вязкопластичной среды Бингама через прямую горизонтальную
трубу. В результате мы получим уравнение Рейнера—Букинге*
ма, которое связывает объемный расход с перепадом давлениям
нив без' сдвига-
Сдвиговое
течение
Рис. 23. Распределение скоростей в случае установившегося течения/
в трубе вязкопластичного тела Бингама.
Ниже приводится вывод этого уравнения, выполненный по
методу Рейнера1. Реологическое уравнение вязкопластичной
среды Бингама (2-38) комбинируется с уравнением движения
в напряжениях (3-2), что дает:
dv? г I дР \ S0
Jz
дг
% \ дг
С
(3-14)
Заметим, что уравнение (3-14) применимо только к той
области, где материал подвергается сдвиговому течению, т. е.,
где напряжение сдвига больше предела текучести. На рис. 23
это область г* < г < R.
В центральной части трубы (г < г *) напряжение сдвига
меньше, чем предел текучести, и материал ведет себя подобно
твердому телу, перемещаясь как недеформируемый стержень.
При г = г % напряжение сдвига становится равным пределу
текучести. Тогда из уравнения (3-2) следует, что
г* = — (З-15)
где
р = (дР/дг)

3-2. Изотермическое течение в трубах
85
Распределение скоростей в области сдвигового течения
находится в результате интегрирования уравнения (3-14) и выра*
жается уравнением
IL= —
ч
1- ~
RS0
(*
(346)
которое удовлетворяет граничному условию.
v2(R) = 0
Скорость «стержневого» течения v% находится из уравнения
(3-16) заменой г на г*. Если ввести безразмерную переменную
Х= (r^/i?) = (2S0/Rp), то выражение для скорости
«стержневого» течения можно записать в виде
; = - *^-Г1
Х2]+-^-[1—X]
(3-17)
(3-18)
Первый член этого уравнения представляет собой расход
в области «стержневого» течения, а второй — расход, приходя*
щийся на область сдвигового течения. Подставляя полученное
выше выражение для скорости в уравнение (3-18), получим:
Объемный расход Q через трубу дается уравнением
R
Q = тггХ + 2тс f rvAr
%R"p
[»-¥-+
х^_
3
(3-19)
Заметим, что, если 50 = 0, то реологическое уравнение вязко-
пластичной среды Бингама вырождается в закон Ньютона,
а уравнение (3-19) переходит в формулу (Пуазейля.
3-2. Изотермическое течение в трубах.
Общие положения
Теперь рассмотрим более общий случай течения в трубе,
когда вид функции f(y) в уравнении
т = т](т)т = /(т)
(3-20)
либо неизвестен, либо не может быть точно выражен в удобной
форме. Рассмотрим две задачи. iBo-первых, метод определения
кривой течения непосредственно по экспериментальным данным,

Гл. 3. Течение в трубах и каналах
представляющим собой зависимость расхода от перепада
давления для случая течения через трубу. Во-вторых, строгий метод
использования таких данных для конструирования
трубопроводов.
Поскольку кривая течения представляет собой зависимость
т от у, то задача сводится к тому, чтобы получить т и у из
значений Q—ДР.. Ранее было выведено следующее общее
выражение для напряжения сдвига у стенки трубы:
RAP
2L
(3-21)
Если бы удалось рассчитать соответствующие значения
скорости сдвига yw у стенки, то мы бы могли построить кривую
течения. Таким образом, задача состоит в отыскании метода
расчета скорости сдвига у стенки, в котором не были бы
использованы никакие предположения о природе жидкости.
Решение этой задачи, впервые 'полученное Рабиновичем2,
может быть записано в виде
nR3
3Q + AP-
dQ
d&P
(3-22)
где Q — объемный расход, а ДР — перепад давления.
Знак минус показывает, что направления скорости сдвига у и
скорости течения противоположны.
Ниже дается вывод уравнения Рабиновича, аналогичный
приведенному в монографии3. При выводе исходят из общего
выражения объемного расхода — уравнения (3-8).
Интегрирование его по частям приводит к следующему результату:
R R R
Q = 2тс Г rv2dr = 2тс
о
\^dVz
(3-23)
Первый член в правой части уравнения (3-23) равен нулю,
так как при r = R величина vz = 0, а на оси трубы г = 0.
Следовательно, (3-23) сводится к
R R
Q = ~ тс f r4vz = - тс jJ г» ^ ) dr (3-24)
о 6
Напряжение сдвига т можно представить в форме
г
"Я"

3-2. Изотермическое течение в трубах
67
получающейся при совместном решении уравнений (3-2) и
(3-12). Если ввести т как новую переменную интегрирования,,
то уравнение (3-24) примет вид
Q =
%R3
■\i2(h
(3-25)
Эта запись эквивалентна следующей:
nR3 J
yc2dx
(3-26)
Теперь продифференцируем обе части уравнения (3-26)
по xw. Дифференцирование интеграла проводится по правилу
Лейбница4. Получаем:
1
nR3
хш -г- \- 6xwQ
— 7wxw
(3-27)
но так как xw = RAP/2L, то уравнение (3-27) может быть
записано в следующем виде:
Т™
1
kR3
3Q+ АР
dQ
dAP
(3-28)
Последнее выражение представляет собой уравнение
Рабиновича.
/В частном случае, когда жидкость подчиняется степенному
закону, перепад давления пропорционален п-й степени Q, как
это показывают и формулы табл. 3-1. Следовательно
АР = KQn
где К — коэффициент пропорциональности.
Дифференцирование этого выражения по Q приводит к соотношению
-^- - КпСГ1
так что
dQ
АР
dQ
dAP
Таким образом, общее уравнение Рабиновича для частного'
случая жидкостей, подчиняющихся степенному закону,
упрощается до
7W
1
tzR3
30+ —
Q 1_
Q
nR3
ГЗя+1]
п

Тл. 3. Течение в трубах и каналах
что идентично уравнению (3-13), выведенному специально для
жидкостей, подчиняющихся степенному закону.
Уравнение Рабиновича является основой для практически
очень важного метода обработки экспериментальных данных,
полученных при течении неньютоновских жидкостей по
трубопроводам. Запишем уравнение (3-27) в виде
—tw = -t(-^t) + ,r,5^r(w) (3"29)
Теперь введем новую переменную Г, определяемую уравнением
г = -$- (з-зо)
Тогда (3-29) примет вид
-т. = 4г + т-£ (3-31)
Заметим, что переменные Г и xw являются консистентными
переменными Рейнера5.
Уравнение (3-29), записанное для жидкости, находящейся
у стенки трубы, примет вид
Комбинируя последнюю формулу с уравнением (3-31), получим:
/
4 4 " dzm
(3-32)
-откуда видно, что существует однозначная функциональная
зависимость между переменными Г и xw. Иными словами, если
графически представить зависимость Г от xw, то получится кри*
вая, однозначно описывающая свойства жидкости при данной
температуре. На этом основаны расчеты, разобранные в приме*
ре 3-2. Заметим, что если требуется провести расчет при по«
стоянном значении Г, то необходим всего лишь один экопери*
мент. Рассмотренные задачи о течении неньютоновских жидко*
стей более подробно разобраны Элвисом, Ваучером и Пигфор*
дом6.
Пример 3-2
Определить диаметр трубопровода длиной в 152,5 уи, по которому при
комнатной температуре транспортируется неньютоновская жидкость при
расходе 76 см3/сек и перепаде давления 1,40-Ю5 кгс/м2 (1,40-10е н/м2). В
лабораторных условиях были получены следующие экспериментальные данные для
течения жидкости через трубу диаметром 0,25 и длиной 25,4 см:
ДР-10-3, кгс/м2 1,72 3,45 6,90 13,80 27,60
(ДР-10-*, я/я" 1,72 3,45 6,90 13,80 27,60)
W-1W, кг/сек ........ 1,9 4,1 8,8 19,5 46,0

3-2. Изотермическое течение в трубах
Плотность жидкости—900 кг/м3.
Если эти данные нанести на логарифмическую бумагу, то увидим, что
экспериментальные точки не ложатся на прямую линию. Это указывает на
неприменимость степенного закона для данной жидкости. Поэтому
воспользуемся описанным выше общим методом расчета.
Выразим экспериментальные данные через переменные Г и iw, которые
определяются уравнениями:
г— 4Q — ^др
Пример иллюстрирует расчеты одной точки на кривой течения
ДР= 1,72-Ю5 дин/см2 (1,72-10* н/м2)
1 9-Ю-5
Q = ' 900 . Ю6 = 0,0212 см*/сек
^ = 0,127 см
L = 25,4 см
4-0,0212
Г=и-0,127з =13,2 сиг*
т _ 0,127.1,72-10» = 430 дифм2 (43 я/ж*)
* 2-25,4
Рассчитанные таким образом значения Гит№ для всех точек приведены
ниже.
т„, дин/см* 430 860 1720 3440 6880
(£,«/*■ 43 86 172 344 688)
Г, сек'1 13,2 28,2 60,9 134 316
На рис. 24 эта зависимость представлена графически в двойных
логарифмических координатах. Поскольку iw является однозначной функцией Г,
1000
10 20 40 60 100 200 ЧОО 6001000
Г, сен'1
Рис. 24. Графическое решение задачи 3-2..

90
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
то эта зависимость применима к течению исследуемой жидкости при комнат-
-ной температуре через любую трубу любого сечения. Рабочая точка для
рассчитываемого трубопровода должна лежать на полученной кривой или ее
лродолжении. Для рассчитываемого трубопровода дано:
L= 152,5 м
Q = 63 смг\сек
АР= 1,38-105 кгс/м* (1,38.10е н/м*)
Неизвестной величиной является радиус трубопровода R.
Подставляя записанные выше данные в формулы для Г и zw, получим:
80,5
т = 450/? дин/см2 = 45R н/м2 г =
R3
В этих формулах радиус трубопровода выражен в сантиметрах.
Задача теперь состоит в отыскании значения R, которое при подстановке
в приведенные выше уравнения даст точку, лежащую на кривой рис. 3-5.
Это значение R можно найти методом последовательных приближений, однако
предпочтительнее использовать более прямой графический метод. Исключая
R из записанных выше соотношений, получим:
<w
Следовательно, точка пересечения прямой линии, тангенс угла наклона
которой равен —0,33, с кривой на рис. 24 определит нам искомое значение R.
Положение прямой линии определяется, если положить, например, R=\ см
и выписать соответствующие значения zw и Г:
(Хда, Г) = [450 дин/см2 (45 н/м2); 80,5 сек-1]
Значение Тщ, в точке пересечения двух линий равно 700 дин/см2 (70 н1м2),
и радиус R находится простым расчетом:
^w 70
*=^5~= 1Г=1'55сж
Таким образом, искомый диаметр равен 3,1 см.
Следует подчеркнуть, что приведенные рассуждения
ограничиваются изотермическим установившимся ламинарным
течением. Для ньютоновских жидкостей течение в трубах будет
ламинарным до' тех пор, пока число Рейнольдса
Re= ^
не превысит 2100.
Это значит, что зависимость между коэффициентом
сопротивления и числом Рейнольдса при значениях Re<2100
представляет собой в логарифмических координатах прямую
„линию. Этот результат следует из уравнения Пуазейля
■(см. табл. 3-1), если решить его относительно АР:
. р 8fxLQ 8(j.Iu

3-3. Неизотермическое течение в трубах
91
Затем подставим это выражение в формулу, определяющую
коэффициент сопротивления:
1 _ (1/2Р^2) _ _ру2_
/ _ (RAP/2L) ~= 2xw
тогда получим:
_L — _L (DW
f ~ 16 \ ft
Если сохранить то же самое определение коэффициента
сопротивления и для неныотоновских жидкостей и определить
обобщенное число Рейнольдса для неньютоновских жидкостей
по уравнению
(3-33)
Re
то можно видеть, что график зависимости f от Re представляет
собой в логарифмических координатах также прямую линию,
если течение ламинарно. Согласно Метцнеру и Риду7, переход
к турбулентному течению происходит при числах Рейнольдса
равных приблизительно 2100, но это не относится к
высокоэластичным жидкостям.
Пример 3-3
Исходя из данных предыдущего примера, рассчитаем число Рейнольдса
для неньютоновской жидкости при расходе 4,6-Ю-4 кг/сек.
Из предыдущего примера имеем:
х = 6880 дин/см2 (688 ~н/м2)
№ = 4,6-Ю-4 кг/сек
р = 900 кг/ж3
- W
60тс^2р
= 10 см/сек
Подставляя эти величины в уравнение (3-33), получим:
Re =0,104
Расплавы и растворы полимеров в процессах переработки почти всегда
обладают высокой вязкостью. Следовательно, числа Рейнольдса малы, и
течение почти всегда ламинарно.
3-3. Неизотермическое течение в трубах
В этом разделе обсуждается влияние теплопередачи и
тепловыделений при ламинарном течении вязкой жидкости в
прямой трубе круглого поперечного сечения. Термодинамический
подход к этой проблеме рассмотрен в разделе 8-1, где для вьь

S2
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
вода уравнения полного энергетического баланса
установившегося течения используется первый закон термодинамики.
На основе энергетического баланса можно подсчитать полную
работу и все тепловые эффекты, что позволяет оценить средний
прирост температуры жидкости, протекающей через трубу.
В этом разделе проведено более подробное рассмотрение
задачи. Для ее математической формулировки используются
уравнения непрерывности, движения, энергии и реологическое
уравнение в форме, применимой для жидкости. Затем
обсуждаются решения, полученные для некоторых частных случаев.
Поскольку рассматривается течение в трубе, то
используются цилиндрические координаты. Для установившегося течения
все производные по времени равны нулю. Кроме того,
предположим, что vz—'единственная компонента вектора скорости,
не равная тождественно нулю (vb равна нулю вследствие
осевой симметрии течения, кроме того, предполагается, что вели*
чиной vr можно пренебречь по сравнению с vz). Будем также
пренебрегать массовыми силами. После введения
соответствующих, выражений компонент тензора напряжения (из табл.
2-3), уравнения неразрывности, движения и сохранения энер*
гии (из табл. 2-2) принимают следующий вид
(пренебрегая Хгх) :
-ёт) + "г
дг
= 0
9*>г
dv2
дг
/(ГГ_\ _ k д
9CvVz \dz) * г "д?
l dz ) ^ г дг у ц дг
д2Т'
дТ
*(£)
(3-34)
(3-35)
(3-36)
"Если в качестве независимых переменных выбрать Т и Р,
то полный дифференциал плотности жидкости р запишется
в виде
* = (£),
Или, что то же самое
dT
д^
дР
dP
dp = — xpdT -\- ftpdP
(3-37)
(3-38)
где % — коэффициент теплового расширения, а р —
коэффициент объемного сжатия .жидкости. Эти величины определяются

3-3. Неизотермическое течение в трубах
93
уравнениями:
X =
др_
дТ
р [дР 1т
откуда можно видеть, что
дР_
дТ
(3-39)
(3-40)
Чтобы рассмотреть изменение плотности вдоль
координаты z, уравнение (3-38) запишем в виде
(3-41)
После подстановки этого уравнения в уравнение неразрывности
получим:
/ dvz \ Г . дТ \ Q / дР
(3-42)
§)-р
{-ът)Г-
сл(вг)=—' аг
-Г*»,
' х /аг \
\ dz J l r дг
№)
-(£)]
^("af
]+*(£)-
+Ч£'
)
Если теперь подставить (3-40) и (3-42) в уравнения движения
и энергии (3-35) и (3-36), то получим:
*\*(%)-?(%-)\ = -(%г)++-£гпП) (3-43)
(3-44)
Уравнения (3-43) и (3-44) представляют собой систему
двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных. Известны решения этих уравнений для некоторых
частных случаев. Во-первых, рассмотрим распределение
температуры в жидкости, подчиняющейся степенному закону, на
достаточно большом расстоянии от начала трубы. При этом
считаем, что vz и Т не изменяются в направлении оси z. Если для
простоты предположить, что плотность жидкости постоянна
,(и = р = о), и пренебречь температурной зависимостью
вязкости, то уравнения (3-43) и (3-44) .сводятся к следующим:
'дР \ _ т/> д
dz I г ' дг
дг
(3-45)
д
дг
дТ_
дг
= Т(^г
dv, \ n+1
(3-46)

94
Гл. 3. Течение в трубах и каналах.
Краевые условия этой задачи следующие:
vz(R) = 0 T(R) = Tw
(3-47)
иИ0) = 0 Т'(0) = 0
где штрих указывает на дифференцирование по г. Заметим, что
уравнение (3-45) содержит только одну независимую
переменную; следовательно, уравнения (3-45) и (3-46) легко
решаются методом, рассмотренным в примере 2-4.
Таким образом, упрощающее предположение о
независимости плотности жидкости от температуры может быть
опущено. Тогда уравнение энергии примет вид
_д_
дг
'(£)]+^ (£)+*(
дг
= О
(3-48)
Краевые условия по-прежнему задаются уравнениями (3-47)
Тур8 получил следующее решение этой задачи:
(T-Tw)
(T0-Tw)°
1 +
In
п+ 1
Тх
1- -^
(Зл+1)1л
(З/г+1)2^-
2п(/г+ 1)
1 —
(3-49)
где (Ту.) представляет собой среднее значение
произведения (Ту) в поперечном сечении трубы, а (Т0—Tw)°— разность
температуры жидкости в центре трубы и у стенки в случае,
когда и = 0.
Значения безразмерной температуры, определяемой
уравнением (3-49), представлены на рис. 25 для (Гх)=0,3; верх-
о
1
4w-
7,0
0,8
0,6
0,2
О
•0,2
-о,*
п=1 ?еТ=0^
п=1 Р€7'=0,3
Л=7/4 Й?=0,3/
\
<
О
0,2
0,4 0,6 0,8 1,0
г/Я
Рис. 25. Распределение безразмерной температуры сто безразмерному
радиусу трубы для жидкостей, подчиняющихся степенному закону
при различном значении Ту..

3-3. Неиздтёрмйчёскдё течение в трубах 95
няя кривая соответствует ньютоновской жидкости, а нижняя —
псевдопластичной жидкости с п = 0,25.
Для ньютоновской жидкости температура в центре трубы
понижается. Это обусловлено эффектом охлаждения при
расширении жидкости. Поскольку в центре трубы скорость течения
жидкости наибольшая, то охлаждение здесь максимально.
В случае псевдопластичной жидкости, имеющей то же самое
значение 7V, эффект охлаждения остается тем же самым, но
мощность тепловыделений при трении в центре трубы
уменьшается вследствие выравнивания профиля скоростей. Это
приводит к дальнейшему понижению температуры жидкости в
центре трубы. В приводимом примере показано, что действительно
iB центре трубы температура жидкости ниже, чем у стенок.
Предположение о неизменности свойств жидкости, конечно,
является спорным. Тем не менее при рассмотрении влияния
температуры на вязкость можно ожидать, что вязкость у стенок
трубы должна снижаться. Поэтому профиль скоростей будет
выравниваться еще больше, что аналогично увеличению псевдо-
лластичности жидкости , так как температура в центре также
^понижается. Следовательно, расчет эффекта охлаждения при
допущении о неизменности вязкости может оказаться
необоснованным.
Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть температура
-несжимаемой (х = р = 0) жидкости,, подчиняющейся
степенному закону, является функцией координат z и г. При этом ради
простоты делается упрощающее предположение о постоянстве
вязкости ц; также предполагается, что в направлении оси z
теплопроводностью [выраженной вторым членом в правой части
уравнения (3-44)] можно пренебречь по сравнению с
конвективной теплопередачей, выраженной левой частью уравнения
{3-44). Это приводит энергетическое уравнение к следующему
©иду:
(дТ\ k д Г (dT\l . o(dvz\n+l ,о гПч
№{w) = ir-w[r{w)\ + '4 [дГ) (3-50)
>и уравнение движения (3-43):
(£)-£(£)"£['(£)] (3-51)
Решением уравнения (3-5(1) является формула (2-80).
При подстановке этого выражения в уравнение (3-50)
получаем линейное дифференциальное уравнение в частных
производных относительно Т, где г и z — независимые переменные.
Решения этого уравнения для изотермического и адиабатического

96 Гл. В. Течение в трубах и каналах
случаев течения были получены Бёрдом9. Краевые условия для
этих задач записываются в следующем виде:
Изотермическое течение Адиабатическое течение
Т(г, 0) = 7\ Т(г, 0) = 7,
T(R, z) = Tw T'(R,z) = 0
Г (0, z) = 0 Г (0, z) = 0
где Т{ — постоянная температура жидкости, поступающей в
трубу, a Tw — температура стенки трубы для случая
изотермического течения. Символ V означает производную Т по г.
Тур10, решая аналогичную задачу, учел также эффект
теплового расширения. В этом случае энергетическое уравнение
(3-44) принимает вид:
дТ
^\дг
_k_ _a_
г ' дг
7V
СР + Йо
!дТ
1дТ
k дг
+ т».(ж)+ч(^)" (3"52)
Результаты Тура представляются в безразмерных
переменных:
„ Т-ТШ Х=(^) Y= "
АТ^ \ R vnR*
где а — коэффициент температуропроводности жидкости, а
АГоо— разность температур стенки и жидкости в центре трубы
для очень больших значений z, когда Т уже не является
функцией z. На рис. 26 показан график зависимости 9 от X с Y,
выбранным в качестве параметра для случая, когда
инде^с_течения п равен 0,50. Кривые на рис. 26 соответствуют (Гх)=0,
т. е. условию несжимаемости жидкости, а кривые на рис. 26,6
и в построены для случаев, когда (Г%)=0,2 и (Гх)=0,3.
Тур указывает, что для многих полимеров значения Гх
лежат в интервале 0,2—0,4, поэтому можно ожидать
значительного эффекта охлаждения вследствие теплового расширения.
В центральной области трубы тепловыделения, обусловленные1
вязким трением, малы и полностью компенсируются процессом
теплового расширения. iB пристенном слое тепловыделения
значительны, но выделившаяся теплота быстро передается стенке
и рассеивается. В промежуточной области трубы потери
вследствие теплопроводности уменьшаются; теплоотвод и тепловое
расширение не компенсируют тепловыделений, поэтому
температура возрастает до своего максимального значения.

3-4. Концевые эффекты
97
7.0
0,8
0,6
ол
0,2
О
0,8
0,6
О Л
V* 0,2
<
О
-0,2
Y = 0,01
Y=
оо^'
п = 0,5
\хТ=0
А
0,6
оЛ
0,2
О
-0,2
-■ii
ч
п=0,5
XT^OZ'
:
б
ЛУ\
46
п=0,5
je 7=0,3
»(\
$7
> д
в
0 2 0,Ь 0,6 0,6 1,0
r/R
О 0,2 0,Ь 0,6 0,8 7,0
r/R
Рис 26. Распределение безразмерной температуры по
безразмерному радиусу трубы. Безразмерный параметр Y пропорционален
расстоянию вдоль^оси трубы10.
3-4. Концевые эффекты
Рассматриваемая ниже теория .относится в основном к
изотермическому установившемуся ламинарному течению через
й
Резервуар
D
Входной Область установившегося
участок те чени я
Область,
выхода
I
т
Рис. 27. Характерные области течения в трубе.
прямые трубы круглого поперечного сечения. При
изложении этого вопроса удобно рассмотреть течение в трубе по
отдельным участкам, показанным на рис. 27. Цифрой 3 оСюзначе-

,98
Гл. 3. Течение в трубах .и каналах
на область установившегося течения. На этом, участке
распределение скоростей имеет характерную параболическую
форму (или форму искаженной параболы для неньютоновских
жидкостей). Напряжение сдвига х и скорость сдвига у в
жидкости зависят только от радиальной координаты. Анализ
изотермического установившегося течения в трубах,
-проведенный в разделе 3-1, относится к течению именно в этой
области.
Развитие течения и возникновение профиля скоростей,
характерного для установившегося течения, происходит в
области 2 на начальном участке трубы. Здесь г и у зависят как
от радиальной координаты, так и от осевой. Длина начального
участка трубы, на которой осуществляется переход к
установившемуся течению, обозначается через Le. Для ньютоновских
жидкостей приближенное решение11 уравнений неразрывности
и движения приводит к следующему значению длины
начального участка:
^=0,03Re (3-53)
где Re — число Рейнольдса для течения в трубе; D — диаметр
трубы.
Пусть расход жидкости, протекающей через трубу с
отношением LJD = 40 и диаметром 0,1 см, равен 1 г/сек. Если вязкость
жидкости равна 1 спз (1 • Ю-3 н-сек/м2), то число
Рейнольдса равно приблизительно 1300, ,а {Le/D) = 39. В этом случае
длина начального участка трубы составляет около 98% всей ее
длины. С другой стороны, если бы вязкость жидкости была 1 пз
(0,1 н-сек/м2), то (LJD) снизилось бы до 0,39 и длина
начального участка составила бы менее 1% всей длины трубы.
Очевидно, что применение уравнений, выведенных для
области 3, ко всей трубе без учета начального участка приведет
к определенным ошибкам. Известен эмпирический метод12
введения поправки на входовые эффекты, рассмотренный ниже
в разделе (а). Используя этот метод, можно исключить влияние
отношения {LID) трубы при расчете вязкости по полному перг-
паду давления.
Область выхода* находится полностью; вне трубы. Здесь
кончается сдерживающее влияние стенок трубы и происходит
вторичное перераспределение скоростей, на этот раз от
параболического к плоскому профилю. Приближенный анализ,
приведенный ниже в разделе (в), основанный на предположениях
о сохранении количества, движения и о. несжимаемости
жидкости, -показывает, что для> неупругих ньютоновских жидкостей
э!Тё1;й;ер€расп!редёЙение скоростей ^приводит к уменьшению диа-

■Зг4,, Концевые эффекты
!'99
метра струи на 43%. На рлс. 28, а показана фотография струи
зоды, вытекающей из трубы. Видно, что наблюдаемые сужения
по порядку величины близки к предсказываемым
теоретическим анализом.
Хорошо известно, что при определенных условиях силы
тяжести, поверхностного натяжения и трения между струей
и окружающей жидкость средой играют решающую роль в
области ^выхода. Эти силы
должны учитываться при
рассмотрении явлений неустойчивости,
каплеобразования, волнового
движения и других процессов,
происходящих на
сравнительно большом расстоянии от
конца трубы. Однако Макинтош13
пришел к выводу о том, что
при экструзии 1расплавов и
растворов полимеров
вышеуказанные факторы обычно
перестают играть роль уже в
непосредственной близости от
конца трубы.
Входные и выходные
эффекты для жидкостей,
обладающих одновременно и упругими
и вязкими свойствами, сильно
усложняются. В области
выхода из резервуара (области
1) течение может стать существенно неустойчивым, что
приводит к образованию и исчезновению больших упругих напряжений
и возникновению значительных колебаний потока. Если труба
сравнительно короткая, то эти нарушения могут Переноситься в
область выхода, приводя к сильной поверхностной
неоднородности экструдата. При высоких напряжениях и течении через
короткие трубы экструдат действительно может .выходить из
трубы в виде разорванной, скрученной или искаженной струи,
что дало основание Торделла14 назвать подобные явления
«разрушением расплава»*
Рис. 28. Расширение и сжатие
свободного потока в области выхода:
а—вода;_б—2%-ный раствор карбоксиметилцел-
ЛЮЛОЗЫ13.
*^Этот термин не совсем удачен. гВ ^Советской литературе рассматриваемое
явление называется эластической турбулентностью. Недавно,л методами теории
подобия было показано, что она возникает йри определенном ^-соотношении
сил вязкости и упругости в потоке. См. А. • Я. М а л к и н, А.>.И;^Шюо-
нов, ДАВ СССР, 150, 380 г(196.3); Г. В. В и, н о-г р. а д о в,- А. Я. М а л-
кин А., Ц., Л е о н о в', KolL-Z., 191, 25 (19бЗ); Г. В., В ин.огра до в,
В. Н. Манин, Koll.-Z., 201, 93 (1965).—Прим. ред. ""'i''°'nji

100 Гл. 3. Течение в трубах и каналах
На рис. 29 показано характерное возрастание
неоднородности экструдата при повышении напряжения сдвига. Природа
или точная причина эффектов такого рода все еще является
предметом обсуждения. Можно сослаться на работу Метцнера15,
Рис. 29. Образцы полиэтилена (индекс расплава
2,0), выдавливаемые при 150 °С через капилляры
длиной 1,01'-сж и диаметром 0,05 см. Одно
деление шкалы составляет 0,025 см (по данным
Дж. П. Торделла).
в которой обобщены исследования, проводившиеся в этой
области.
Если же труба сравнительно длинна или напряжения малы,
то возмущения, возникающие в области. 1, затухают и из трубы

ЗА. Концевые эффекты
101
будет выходить струя с гладкой и однородной поверхностью*.
Кроме того, в области выхода часто наблюдается и другое
характерное явление, заключающееся в увеличении диаметра
(«разбухании») выдавливаемой струи. На рис. 28, б показана
вытекающая из трубы струя 2%-ного раствора карбоксиметил-
целлюлозы в воде. «Разбухание» достигает примерно 44%.
Недавно13 (подробнее см. ниже в разделе в) было показано, что
возможной причиной этого эффекта являются большие упругие
деформации, возникающие в жидкости при ее прохождении
через трубу.
а. Поправка на входовые эффекты
Частицы жидкости, попадающие из резервуара в трубу,
движутся ускоренно, пока их скорость не достигнет значения,1
соответствующего области установившегося течения. Энергия,
Рис. 30. К методу определения входовых
поправок для подсчета градиента давления в области
установившегося течения.
затрачиваемая в этом процессе, является причиной
дополнительного перепада давления, возникающего в этой области, по
сравнению с областью установившегося течения. Как показано
на рис. 30, градиент давления постепенно уменьшается на
длине Le по мере удаления от входа, пока не достигнет
постоянного значения, которое остается неизменным на всей длине Ls в
области установившегося течения.
В области установившегося течения скорость сдвига yw у
стенки трубы может быть подсчитана по уравнению (3-31),
если известно напряжение сдвига tw. Следовательно, задача об
определении поправки на входовые эффекты в основном
сводится к нахождению истинной величины xw по результатам
измерений скорости течения и перепаду давления. Это можно сделать
по методу Бэгли12, рассмотренному ниже.
* По этому вопросу см. Я. Б. Каплун, А. Н. Левин, Пласт, массы,
№ 1, стр. 46 (1965).—Прим. ред.

ш
Гл.,3. Ze^enue -в •тру.бах^и каналах
Из уравнения (3-32) следует,, что, xw является однозначной
функцией величины Г, тогда:
D
4
^w-^Ps-g^l (3-54)
,(3-55).
где
и ps — градиент давления в области установившегося, течения.
Очевидно, что
Р' = ( L + ND') (3_56>
где ND, как показано на.рис. 30, представляет собой фиктивную
длину трубы, которую необходимо прибавить к истинной длине,
чтобы считать, что полный перепад давления равен градиенту
давления в области установившегося течения.
Теперь можно написать формулу для напряжения сдвига у
стенки трубы в области установившегося течения:
т« = -т(т^ш-) (3"57>
Возвращаясь к уравнению (3-54), мы видим, что
т(тТ^) = г(г) (3-58)
После некоторых преобразований уравнение. (3-58) принимает
вид
тг^-я+ш (3-59>
Отсюда видно, что значение N может быть рассчитано из
опытов, выполненных с серией капилляров с различными
отношениями {LID). Для каждой трубы можно определить перепад
давления А Р при данном значении Г. Затем, вычерчивая
график зависимости {LID) от АР, получить прямую линию,
отсекающую при АР = 0 на оси LJD отрезок, равный N.
Данные Макинтоша13 по течению 2%-ного раствора карб-
рксиметилцеллюлозы в воде через трубы с отношением L/D,
равными 50, 100, 150, иллюстрируют использование метода
учета поправок на входовые эффекты. На рис. 31, а в двойных
логарифмических координатах представлена кривая течения,
при построении которой напряжения сдвига подсчитывались
делением общего перепада давления на длину трубы. Заметим,
что при этом получаются три различные линии,
свидетельствующие о'том, что вычисленные напряжения сдвига зависят от-от-

3-4. КЬнцевые эффекты
103
2000
4
* 1000
%
zoo
2000
WOO
а
t/U = O0. L^:'
/■"
.-
s
,
—
700
i
-
'
!E::^^
■-■k*^
1
'г-.;
100
woo
70000
?Гш , «?*"
Рис. 31. Кривые течения для 2%-ных растворов карбоксиме-
тилцеллюлозы13. Поправка на входовые эффекты исключает
влияние отношения LID.
ношения L/D. Это указывает на наличие входового эффекта.
Применяя описанную выше методику расчета поправок на
входовые эффекты, можно
определить истинное напряжение;
тогда три кривых сведутся к
одной, как показано на
рис. 31,6.
Ошибка, возникающая при
расчете напряжения по
неисправленному значению
градиента давления, может быть
очень велика. Например, из
графика, представленного на
рис. 31, видно, что при
скорости сдвига 1000 сек-1
действительное напряжение сдвига у
стенки трубы составляет
3200 дин/см2 (320 н/м2). Для
трубы с отношением L/D,
равным 50, напряжение едви-
I
0,95
^0,90
^0,85
0,80
0,75
0,5 7,0 1,5 2,0 2,5
п
Рис. 32. Сжатие неупругих
жидкостей, подчиняющихся степенному
закону после выхода из трубы
вследствие перераспределения скорости.
Диаметр свободного потока D?,
диаметр трубы D.

.104
Гл. 3. Течение в-срубах и каналах
га, определенное по неисправленному градиенту давления,
составляет 4100 дин/см2 (410 н/м2), т. е. отличается от истинного
значения почти на 30%.
Бэгли12 проверил этот метод определения входовых
поправок на примере расплавленного полиэтилена в опытах,
проведенных на капиллярах с отношением L/D от 0 до 15. Он
нашел, что N является функцией скорости сдвига. Но во всех
случаях этот метод позволял полностью устранять влияние
отношения L/D капилляров на кривые течения.
б. Перераспределение скоростей в области выхода
Предполагаем, что количество движения сохраняется на
участке между концом трубы и точкой,, в которой завершается
перераспределение скорости. Тогда можно записать:
mt = ms (3-60)
где mt —r есть количество движения, приходящееся в среднем
на единицу массы жидкости в конце трубы, a ms — количество
движения в свободном потоке. Эти величины могут быть
подсчитаны из следующих уравнений, которые прямо вытекают из
определения понятия о количестве движения:
R
= J— f 2rv4r (3-61)
vR* .
о
ms = vs (3-62)
Для жидкости, подчиняющейся степенному закону, скорость в
данной точке трубы связана со средней скоростью уравнением:
г- / Зя + 1
1 __ / г \(/г+1)//г
,+, , • , „ , (3-63)
Подстановка (3-63) в (3-61) и выполнение интегрирования
приводят к следующему результату:
^=(§т-1)" (3"64)
•Сравнение полученного уравнения с формулой (3-62)
показывает, *ito
^.= (2я_+_1\ (3.65)
vs \3n+l) '
Если жидкость несжимаема, то объемный расход в трубе
должен быть точно таким же, как и в свободном потоке. Сред-

3-4. Концевые эффекты
105
ние скорости связаны с диаметрами уравнением
D
(3-66)
Сопоставление двух последних уравнений показывает, что
тЛ2л+1
D
Зл+1
(3-67)
Для ньютоновской жидкости п = 1 и (Ds/D) = 0,87, т. е.
в этом случае должно происходить сжатие струи
приблизительно на 13%. При течении псевдопластичных жидкостей
профиль скоростей более плоский, поэтому
перераспределение скоростей менее значительно и, следовательно,
(Ds/D) >0,87, а для дилатантных жидкостей (Ds/D) <0,87.
Зависимость отношения (Ds/D) от индекса течения п для жидкостей,
подчиняющихся степенному закону, показана на рис. 32.
в. Увеличение диаметра струи («разбухание») а
В данном разделе рассмотрена теория «разбухания» струй
вязкоупругих жидкостей, выходящих из труб, предложенная
Макинтошем13. Основная идея теории состоит в том, что
«разбухание» связано с обратимыми высокоэластическими
деформациями, развивающимися в Жидкости во время ее
прохождения по трубе.
Рис. 33. В деформированном состоянии, существующем в
трубе, кольцевой элемент жидкости имеет толщину dr. После
упругого восстановления его толщина возрастает до dr'.
Рассмотрим кольцевой элемент жидкости толщиной dr,
расположенный на расстоянии г от оси трубы, как это показано на
рис. 33. В этом элементе жидкости возникает деформация, ха-

106
Гл. 3. Течение, в,трубах и каналах
рактеризующаяся углом параллелограмма а. При упругом
восстановлении в области выхода происходит расширение струи
внрадиальном направлении, при этом угол а становится
равным 0, а толщина элемента становится равной drr, а его
радиальная координата г'
Из рассмотрения параллелограмма следует, что
-jj£ =seca= i'TTTtgb- (3-68)
и, приняв деформацию сдвига у, равной tg а, запишем приве-
денное^вышё уравнение в виде
■w = У71^2 (3-69)
Если бы. упругое восстановление было единственным
процессом, протекающим в области выхода, то увеличение радиуса
струи определялось бы отношением
R
-*s А
= -L^dr' = ±.^yTTi*dr (3-70)
которое после введения переменной х, равной (r/R), может
быть записан в следующей форме:
1
%=\VTT7*dx (3-71)
о
Учитывая также эффект сжатия струи вследствие
перераспределения скоростей, рассмотренный выше в разделе б, и
обозначая результирующее относительное увеличение диаметра
струи через р\ получим выражение
1
В = УЩ\ - 1 + J VT+T?dx (3-72)
о
справедливое для жидкостей, подчиняющихся степенному
закону, при установившемся течении в трубе.
Для интегрирования уравнения (3-72) необходимо знать
радиальное распределение упругих деформаций сдвига. Для
этого надо ввести некоторую реологическую модель,
связывающую напряжение с деформацией сдвига. Используем в нашем
рассуждении модель Кельвина и Фойгта — простейшую ре'оло-

3-4. Концевые Эффекты
107
гическую модель, которая -обладает задержанным,, упругим
послед ейсхв и е,м. Для э,той .модели можно, записать, что
1(x)^^-[l^e-'t/x] (3,73)
аде G —.модуль^сдвига, Я'—>времй запаздывания-и t —
продолжительность действия напряжения t.
Замечаем, что (в данном эксперименте") в области
установившегося течения' деформацияУ (х) зависит только-от радиальной
переменной х, потому что напряжение сдвига т и время его
действия t зависят только от х.
Если среднею деформацикьсдвига! уа определить уравнением
1
V ГчИ^ ^fn^fdx (3-74)
о
то формула,1 описывающая эффект увеличения диаметра струи
[(уравнение '(^-72)], примет вид
.В принципе .,;можйо определить; уа, из уравнения, (3-74), а
подставляя полученное значение е. уравнение (3-75),
выразить |3 через свойства жидкости и расход или перепад давления.
Однако Макинтош воспользовался приближенным
значением уа, полученным из уравнения
Твй=^[1_в-'вЛ] (3-76)
rjxe средне^„напряжение сдвига %а и средняя
продолжительность его действия определяются уравнениями:
Заметив, что ха строго прямо пропорционально АР и,
следовательно, ta пропорционально АР-1/", мы видим, что |3 является
однозначной функцией АР. Более того, рассмотрение
вышеуказанных уравнений показывает, что
ДР-^0 ДР^оо Г ОП-\- I

108
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
а также, что график зависимости р от Ар должен проходить
через максимум. Максимум появляется вследствие того, что при
выводе соотношения между напряжением и деформацией, ио-
пользуемого в данном рассуждении, применена модель с
запаздывающим упругим последействием. При заданном времени
деформация жидкости увеличивалась бы прямо
пропорционально давлению (напряжению) до тех пор, пока не достигла бы
своей максимальной величины, а затем оставалась бы
постоянной. Однако увеличение давления оказывает и другое действие,
шиши
ш ш ш ш ш
Рис. 34. «Разбухание» свободного потока после выхода4 из
трубы. Скорость течения от первой до последней [фотографии
последовательно увеличивается13.
По мере роста давления продолжительность пребывания
частицы жидкости в трубе (продолжительность приложения
напряжения) уменьшается; таким образом, по мере увеличения
давления, деформация все больше и больше отстает от своего
равновесного значения.. Наличием подобных процессов и
объясняется появление максимума на кривой.
Результаты опытов Макинтоша13 хорошо согласуются с
общими закономерностями его теории «разбухания». Он проводил
опыты при течении 2%-ного раствора карбоксиметилцеллюлозы
через длинные трубки и фотографировал свободный поток,
выходящий из трубок.
На рис. 34 представлена серия типичных фотографий,
полученных в этих опытах. Заметим, что при увеличении давления
степень разбухания возрастает, проходит через максимум, а
затем уменьшается.
На рис. 35 приведен график зависимости р от ДЯе,
полученный в одном из этих опытов. Здесь АРе представляет собой
общий перепад давления, умноженный на L/(L +ND), что по-

3-4. КАщевые эффекты 109
зволяет учесть входовую поправку. Сплошной линией показана
теоретическая кривая, рассчитанная по приведенным выше
уравнениям. Значения G и X были получены исходя из того, что
теоретическая кривая должна проходить через критическую
точку, соответствующую максимальному увеличению диаметра
струи. Зная координаты этой критической точки, а также
учитывая, что наклон кривой в критической точке равен 0, можно
получить два уравнения, совместное решение
которых,позволяет 'рассчитать G и X.
Заметим, что теоретически
получается менее резкий
максимум, чем наблюдаемый
экспериментально. Две кривые,
вероятно, могли бы
'располагаться ближе друг к
другу, если бы вместо
уравнения (3-73) мы
воспользовались (реологическим
уравнением, учитывающим более
правильное ('нелинейное)
соотношение между
.напряжением и деформацией.
Следует отметить, что
кроме перераспределения
скоростей и упругого
восстановления, в области
выхода могут происходить и
другие явления, играющие
определенную роль в процессе ;«разбухания». Несомненно
оказывают влияние гравитационный эффект и эффект поверхности
ного натяжения, но для растворов или расплавов полимеров,
обладающих высокой вязкостью, эти:, эффекты, по-видимому,
не имеют существенного, значения, С другой стороны, под
воздействием сдвига в капилляре в подобных жидкостях возникают
нормальные напряжения16 (вероятно, как осевые, так и
радиальные). Несомненно, что эти нормальные напряжения оказывают
влияние на процесс расширения выдавливаемой из капилляра
струи. Метцнер17 вывел формулу для (3, в которой содержатся
как аксиальные, так и радиальные нормальные напряжения.
Мидльман и Гевис18 показали, что нормальные напряжения,
действующие в осевом направлении, могут возникать в
результате процесса перераспределения скоростей в области выхода.
Они вывели выражение для |3, учитывая при этом только
осевые напряжения, развивающиеся как внутри, так и вне
капилляра.
О i 2
Перепад давления
3
Ю'5
\ н/,ч<
Рис. 35. Зависимость относительного
увеличения диаметра!струи от
перепада давления по экспериментальным
данным, приведенным Щ на рис. 34.
Пунктирная линия построена по
уравнению (3-76)13.

по
Гл. 3. Течение вмгрубах и каналах-
3-5. Изотермическое течение
в прймбугольных каналах
fl- В данном разделе рассматривается изотермическое
установившееся течение несжимаемой ньютоновской Жидкости в
прямых горизонтальных каналах
прямоугольного поперечного сечения.
Решение этой задачи оказывается полезным
для развития гидродинамической
теории работы экструдеров^., развитой в
главе 10. На рис.'"36 показано
поперечное сечение канала и положение
координатных, ,'рсей, которые
представляют собой обычную правовинтовую
систему декартовых координат.
-Ширина капала,— W, высота — Я.
Поскольку только еди'нственн'ая компонента
Лектора скоррсти ^2г!*не 1равна': /нулю,
уравнения движения' (табл. 2-2) при-
*~х
Рис. 36. Прямой горизонталь
ны.й канал прямоугольного нймдют ВИД
поперечного сечения „шириной ''"
W и высотой- Н. '"' ,ап
дР
~dz
дх
+
дт
■yz
ду
(3-78)
или после подстановки компонент тензора напряжения из
табл. 2-3
дР
d2vz , d2vz '
дх2 ~* ду2
(3-79)
Краевые условия задачи, устанавливаемые из
предположения о неподвижности жидкости у стенок канала, записываются
в виде
vg(x, 0)=*=0
vz (*, H) = 0
(3-80)
Буссинеск16 впервые нашел решение этого
дифференциального уравнения в- частных производных (3-79) при заданных
краевых условиях (3-80). Решение может быть получено ме-

3-5. Течение в прямоугольных каналах
111
то дом разделения переменных20 (см. ниже), и записано в виде
V.
±_(дР_
р \:dz
t(y-H)
ch
n=l, 3,...
H
ch
4VKW\
2H I
(3-81)
Переменные неоднородного дифференциального уравнения
(3-79) можно разделить, если вместо vz ввести новые функции
по уравнению
vt = V(x, y) + <?(y) ($:№
где V{х, у) является функцией и х й: у, а ц>{у) зависит только
от у. Тогда, введя это выражение в уравнение (3-79), мы
получим:
d2V , d2Vl , d29 1 fdP
дх2 ^ ду2 "^ ду2 fi \ dz
Если теперь функцию ф(#) определить уравнением
d2y _ 1 /дР
dy2 — (^ \ dz
то (3-83) сводится #' линейному однородному уравнению
^4-^ = 0
дх2 ^ ду2
Решение уравнения (3-84) имеет вид
?%1д^~) + сЦ\С2
(3-83)
(3-84)
I
(3-85)
(3-86)
где С\ и Со — произвольные постоянные. Есч;ди этим постоянным
придать значения:
ui _ 2[к { dz
С2 = 0
то краевые условия для функции V(x, у) могут быть
представлены в виде:
V (х, 0) = 0 V tx, Я) = 0

И 2!
Гл. 3. Течение в^трубах и каналах
Можно показать, чтолюбая функция вида
(C„sin(f U (£М „=..2,.
является решением уравнения (3-85) и удовлетворяет первым
двум из указанных выше граничных условий. Третье граничное
условие удовлетворяет, если разложить функцию f{y) в ряд
Фурье по синусам и определить обычным способом
коэффициенты Сп. Таким образом:
т/ 4Я2 ,'дР \ vi 1 . /tmy\
nnx
Ch(^r
rt=l, 3,.
ch
(rnzW \
[2H )
(3-87)
Сумма выражений (3-86) и (3-87) представляет собой
окончательное решение поставленной задачи.
Интерес представляет, также решение близкой задачи о
течении под действием движения границ при отсутствии градиента
давления. Этот тип течения условно называется вынужденным
потоком в отличие от противотока, который происходит под
влиянием градиента давления. Для вынужденного потока
уравнение движения ^принимает вид
la*2
+ ^ = о
+ ду*
(3-88)
-z
Рассмотрим случай/когда верхняя граница канала
перемещается, а три другие стороны
неподвижны. Для простоты
+у / перенесем начало координат
В; угол канала, как показано
на рис. 37. Граничные условия
этой задачи могут быть
записаны в виде:
(3-89)
-+* vz(W,y) = 0 vz{x,H) = Vz
Рис. 37. Прямой горизонтальный
канал прямоугольного поперечного
сечения. Верхняя граница канала
движется со скоростью V.z в
направлении +г.
где Vz — скорость
перемещения верхней границы канала
в направлении -\-z. Уравнение
(3-88) является однородным

3-6. Течение между параллельными пластинами 113
лилейным уравнением. Можно легко показать, что любая
функция вида
s> ■ I ПКХ
Cnsml^r
sh
nity
~w~
n = 1, 2,.
является решением уравнения (3-88) и удовлетворяет первым
трем приведенным выше граничным условиям. Чтобы
удовлетворить четвертому граничному условию, используем свойство
ортогональности синусоидальных функций и обычным путем
определим коэффициенты Сп. После определения
коэффициентов получим выражение
sh (ШУ \
Wz К) I • / ПКХ \ S I W ' /О Q(\\
V* = ^f 1 ^8Ш(1г)т7^ят (3"9°)
я-1, з,... sh[w]
являющееся решением задачи о вынужденном потоке.
(
3-6. Изотермическое течение
между двумя параллельными пластинами
В этом разделе приводится решение задачи об
изотермическом установившемся вынужденном потоке и противотоке
жидкостей, подчиняющихся степенному закону, между параллель-
н
^1
y-.fi
И
У"2
Р P+(dP/dz)dz в
±=з а
L ^±
-Zy Fz-
F,
' Fj
-az—>
Z=0
Рис. 38. Силы, действующие на элемент жидкости в случае
установившегося ламинарного течения между параллельными
пластинами.
ными пластинами. Координатные оси ориентированы так
(рис 38), что только одна компонента вектора скорости vz не
равна нулю. Уравнение движения (см. табл. 2-2) принимает
»ид
'?Р\ dxyz_ (3-91)
дг ) ду

114
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
Поскольку левая часть уравнения не является функцией у,
интегрирование уравнения (3-91) дает
дР
уг
{ъ)у + с>
(3-92)
где С\ — постоянная 'интегрирования.
Так как обратный поток симметричен относительно средней
плоскости (т. е. при у = 0), то в этой плоскости скорость
сдвига ,и, следовательно, напряжение сдвига равны нулю. Поэтому
приведенное выше уравнение принимает вид
дР_
дг
__ *-yz
У
(3-93)
Заметим, что тот же результат может быть получен при
рассмотрении равновесия сил, приложенных к некоторому элемен
ту жидкости. Рассмотрим силы, действующие на элемент жид
кости, имеющий ширину 1, высоту \2у и длину dz (см. рис. 38)
В установившемся течении силы уравновешены, т.е.
ZFg = 0 = F1 + Fi+Ft
(3-94)
где
Fx = -2y
дР_
дг
dz
+ 2уР
F3 = 2ztJzdz
Если эти выражения для F подставить в (3-94), то мы
получим уравнение (3-93).
Компонента напряжения xyz определяется уравнением (см
табл. 2-3)
.„-■,,^ (3-95)
х* = ^^W
Подставляя уравнение (3-95) и реологическое уравнение
жидкостей, подчиняющихся степенному закону (см. табл. 2-4)
в уравнение (3-93), получим уравнение (для y0=1)
дР_
dz
dvz
ду
ду
п-\
которое после интегрирования по у принимает вид
V, =
п+ 1
дР_
dz
1/п\и\{п+1),п
4-С,
(3-96)
(3-97)

3-6. Теченце между п&рдллельными пластинами 115
Постоянная интегрирования определяется из условия
vz(H/2) =0. Тогда уравнениеДЗ-97) принимает вид
f, = vn
1 —
?У
Н
(п+\)/п
(3-98)
где и0 — скорость жидкости в средней плоскости, определяемая
по уравнению
п
2 Л п + 1
Н (дР
2т]0 ( dz
\/п
]{&Щ
(Поскольку течение симметрично относительно средней
плоскости, то в уравнение (3-98) должны входить абсолютные
Значения.
Объемный расход жидкости, протекающей между
пластинами в направлении z (ширина, измеряемая в направлении х,
равна W), определяется интегралом:
Я/2
Q = W [vzdy
(3-100)
Подстановка vz(y) в этот интеграл и выполнение
интегрирования дает:
п.А- 1
Q,=
2n+l'V'WH
(3-101)
Легко показать, что средняя скорость vz. определяемая
уравнением
v„ =
Q
WH
связана с максимальной скоростью v0 формулой
л+1
v,=
2п + 1
(3-102)
(3-103)
Напряжение сдвига у стенки х„, определяемое
непосредственно из (3-93), равно:
Н \ !дР
tm. = ± '
2 )\дг
где величины, относящиеся к верхней пластинке, берутся со
знаком плюс, а к нижней — минус. Скорость сдвига у стенки
получается дифференцированием скорости по у:
/л+1\ / 2о0
(3-104)

116
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
где знак плюс берется для нижней плоскости, а минус — для
верхней. На основании уравнения (3-103) yw выражается так
же формулой:
Т.-*^)^) (3-Ю5)
Для частного случая ньютоновской жидкости, п=\,
выведенные выше уравнения принимают следующий вид:
*
Я2 (дР \
1
v* = v.
У~ 12ц V dz
\w — я — wh2
— 2 \дг )
(3-106)
(3-107)
(3-108)
(3-109)
(3-110)
(3-111)
Рассмотрим теперь вынужденный поток, вызываемый
перемещением верхней пластины в направлении z с постоянной
скоростью Vz (см. рис. 38), нижняя пластина при этом
неподвижна. Так как градиент давления равен 0, то уравнение (3-91)
принимает вид
^е) = 0 (3-112)
Вводя выражение, для компоненты напряжения по
уравнению 3-95, получим, что
а
ду
*]
tog.
ду
= 0
(3-113)
или, после интегрирования:
ч('%) = с,
(3-1

3-6. Течение между параллельными пластинами 117
После подстановки реологического уравнения жидкости,
подчиняющейся степенному закону, уравнение (3-114) принимает
вид (в случае у° = 1)
<t)"=C' (3-П5)
Граничные условия для такого течения задаются
выражениями:
«Ц—2г)~° *( + 4) = 1'.
Решение уравнения (3-115), удовлетворяющее этим
условиям, имеет вид
^ = 1г[у^-Ц (3"116>
Объемный расход выражается интегралом
+Н/2
Q = W^v2dy (3-117)
-Я/2
Подставив сюда выражение (3-116) и выполнив указанные-
операции, получим:
<г = ^ (3-118>
Т =&=(£) (8-Ч»>
Скорость сдвига находится дифференцированием (3-116):
ду
Заметим, что. она, не зависит от координаты у. Напряжение
сдвига в жидкости равно:
t = t°(^)* (3-120)
Заметим, что скорость сдвига, распределение скоростей и
расход не зависят от природы жидкости. Только напряжение
сдвига зависит от индекса течения п.

11:8
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
3-7; Изотермическое: течение
между коаксиальными цилиндрами
В данном разделе рассматривается движение жидкости, на1
ходящейся в кольцевом зазоре, между двумя коаксиальными
цилиндрами. Обозначим радиус внутреннего цилиндра через Ri,
а внешнего — через Rq. Теория ограничена случаем
изотермического, установившегося течения несжимаемрц жидкости.
Будем рассматривать компоненты вектора скорости vz и vg. Для
этих компонент уравнения движения .имеют вид:
дР _ 1 д , о п
дЬ
дР
дг
дг
г 1 f д г ,
(3-121
(#122)
Может существовать два типа вынужденного потока. В
первом случае движение частиц происходит строго параллельно
оси цилиндров и возникает только при движении цилиндров
вдоль оси. Во втором^ случае движение чйетиц: происходит по
концентрическим окружностям и возникает тогда, когда хотя бы
один из цилиндров вращается вокруг своей оси. Для первого
типа вынужденного потока г>о = 0, й уравнение движения (3-122)
принимает вид
^гК2] = 0 (3-123)
Компонента напряжения xrz (см. табл. 2-3) равна:
(dvz
(3-124)
Реологическое уравнение жидкостей, подчиняющихся
степенному закону, можно написать для рассматриваемого случая
в виде
о / dvg n "-1
дг
дъ
дг
= О
(3-125)
Подстановка формул (3-125) и (3-124) в (3-123) приводит
ж уравнению:
(3-126)
Граничные условия задачи;
vz(Rd=V¥
<Шо) = 0

3-7. Течение между ^коаксиальными цилиндрами 119
Решение уравнения (3-126), удовлетворяющее этим граничным
условиям, можно представить в виде
VZ &п-Ъ/п (r/Ri)(n-l)/n
V, =
где
-р(п—1)/п _ j
? = &
(3-127)
Уравнение (3-127) справедливо для всех значений п, кроме
п=\. Для этого частного случая решение уравнения (3-126),
удовлетворяющее приведенным выше гр.аничным условиям,
принимает вид
щ = 1п(/?о/г)
У2 1пр
(3-128)
Скорость сдвига, получаемая ,при дифференцировании
уравнения (3-127), равна
(3-129)
Т
дг
п— 1
У*.
а(п—\)/п _ ^
Ri
— \/п
а для случая п = 1 дифференцирование уравнения (3-128)
дает
у = (?*\ = ^_
' ' \дг J r In p
(3-130)
Объемный расход Q определяется интегралом
Ro
Q = 2tt \ rvzdr (3-131)
после подстановки уравнения (3-127) в уравнение (3-131)
и выполнения интегрирования получим:
кУг
Q = ^z[Rl-m}g{$,n) (пФ 1)
где функция g(p, n) определяется уравнением
g(^ п) = (
2п — 2
Зя— 1
1
3(1— /2)/Я
An
2>п — 1 У \ р2 — 1
1
(3-132)
(я=М)
Для ньютоновских жидкостей расход находится введением
формулы (3-128) в интеграл (3-131) Тогда получим
V9n
Q=v-^-[R2o-Rf]g(^ l
(n = l)
(3-133>

120
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
где функция g($, 1) определяется уравнением
*»■ ') = т^-Ип
Значения пределов
limg(p, n) = 1
Р-1
Нтф, 1) = 1
Р-1
вычисленные по правилу Лопиталя, показывают, что в частном
случае, когда радиусы внутреннего, и внешнего цилиндров почти
равны, формула для, расхода переходит в уравнение,
выведенное для случая течения жидкости между параллельными
пластинами. Значения функции g(fi,. n) поэтому могут
рассматриваться как относительная ошибка, возникающая при за-
1.0
0,8
0,2
О
1 2 3 Ч- 5
Рис. 39. График зависимости функции g((3, n) от р и п.
v „ '
п=0,25
\
,п=г.оо
^^п = 1,00
?<с^^ | ——
чгП-0 с;п
■мене кольцевого зазора параллельными пластинами. На рис. 39
представлен график зависимости функции g от р с п,
выбранным в качестве параметра.
Рассмотрим теперь движение жидкости, возникающее, когда
внешний цилиндр неподвижен, а внутренний вращается по
часовой стрелке. Уравнение движения сводится к
° [г\хЬ] = 0 гЧ„ = С,
дг
где компонента напряжения Тте (см. табл. 2-3), равна
4 = Vw{^r)
(3-134)
(3-135)

3-7. Течение между коаксиальными цилиндрами 121
Реологическое уравнение имеет вид
7]= 7]
Д : А-\(я-1)/2
2
где величина (А А) равна (см. табл. 2-5)
(Д:Д) = 2л2
А
дг
1)
(3-136)
(3-137>
Совместное рассмотрение записанных выше уравнений
приводит к выражению
**»• [<И^)"И
(3-138):
которое после 'интегрирования 'принимает вид
ив = С/(л-2)/« + С3г
(3-139>
Граничные условия задачи могут быть представлены в виде:
vо (/?,) = Ve и9 (/?0) = О
и после определения констант интегрирования, уравнение
(3-139) принимает вид
Va
l-(R0/r)2/n
— R2/«
(3-140)
Если внутренний цилиндр неподвижен, а внешний цилиндр
вращается со скоростью V е, то граничные условия задаются
следующими уравнениями:
vs (Ю = 0 и9 (Яо) = Vs
и распределение скоростей при этом определяется формулой
'(RJrfn-(Vfn
»2/я
(3-141 у
Реологические свойства жидкостей часто изучаются с
помощью вискозиметров, представляющих собой два
коаксиальных цилиндра* Если один цилиндр вращается с постоянной
скоростью, а другой удерживается отвращения, то по скорости
* Обзор по ротационным вискозиметрам, к которым относятся приборы с
коаксиальными цилиндрами, недавно опубликован И. М. Белкиным и
С. К. Крашенинниковым (Зав. лаб., 31, № 2, 185, 1965).—Прим. ред.

122
Гл. 3. Течение в трубах ■ и каналах
вращения можно определить скорость сдвига, а по величине
крутящего момента, требуемого для удержания цилиндра от
вращения, можно рассчитать напряжение сдвига. Например,
если внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой
скоростью, а для удержания внешнего цилиндра неподвижным
требуется приложить некоторый момент М, то напряжение
сдвига в жидкости у поверхности внешнего цилиндра равно
^ = *щи <3-142>
где L — длина цилиндра.
Уравнение (3-135) показывает, что скорость сдвига у в
жидкости при некотором значении координаты г равна:
i = '£(f) <3-143>
так что скорость сдвига у поверхности внешнего цилиндра
может быть получена дифференцированием уравнения (3-140),
что дает:
надпей
Затем, приняв г = ^0> получим:
2 / V,
т*--аддтф^ (3"145)
Рассмотрим теперь противоток в осевом направлении через
кольцевой зазор. Соответствующая компонента напряжения
получается из уравнения (3-122), при этом компоненты
напряжения и скорости связаны уравнением (3-124).
Интегрирование (3-122) дает:
*---г(£)+£ (3-146>
Такой же результат можно получить, рассматривая
равновесие сил, действующих на элемент жидкости. Как видно из
рис. 40, давление возрастает в направлении -\-z, а течение
происходит в направлении —г. Напряжение сдвига в некоторой
точке на расстоянии г от оси равно xrz, а давление на некотором
расстоянии по оси г равно Р. Кольцевой элемент жидкости
с радиусом г, толщиной dr и длиной dz находится в состоянии
установившегося течения. Поэтому силы, действующие на этот
элемент, уравновешены.

3-7,.Течение.между, коаксиальными цилиндрами 123
Следовательно
где
Fx = (2т:гс1г) Р
(3-147)
Ft = - (2r,rdr)
* + (£)*
F3 = (2izrdy) xrz
F, = (2«dy) (r + dr) \zTZ + (^ ) dr
После подстановки приведенных выше формул для F в
Р0 р P+(dP/dz)az pl
wm
I
Pi
U
.j.
r+dr
\r
ь—*шщ
F/^1
'4 i
■F3
-A^dz -A
z=L
z=0
Рис. 40. Силы, действующие на элемент жидкости в случае
установившегося ламинарного течения под давлением через
кольцевой зазор.
уравнение (3-147) и выполнения необходимых преобразований
получим следующий результат:
(3-148)
Последнее уравнение эквивалентно уравнению движения
(3-1.22).
Подстановка значения компоненты напряжения (3-124) в
уравнение (3-122) дает:
dvz
дг
_L_(^\\£±_
2 \ dz I "■ ,.г
(3-149)

124
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
После введения реологического уравнения жидкости,
подчиняющейся степенному закону, получим'
\дг J [2y]0 \dz ) "i" rtf J
(3-150)
Рассмотрим сначала частный случай ньютоновской
жидкости. В этом случае щ = \л и п=\. После интегрирования
уравнения (3-150) получим следующий результат:
г2 /дР \ . Сх , , п
(3-151)
Постоянные интегрирования определяются из граничных
условий
0a(*i) = O М#о) = 0
и распределение скорости описывается формулой
^ = -^^)['-Ш8 + (^1)Ш(гад] (3-152)
Объемный расход через кольцевой зазор получится, если
ввести выражение (3-152) для vz в .интеграл:
Ro
К-
rdr
(3-153)
После выполнения интегрирования и алгебраических
преобразований получим:
з4 — 1 \ _ /&2— 1\2 / 1
й4 J V Р2 ) imp
л _ _ ^ /д_Р_
Ч~ 8? \dz
(3-154)
Знак минус указывает, что жидкость течет в направлении —г.
Заметим, что при Яг- = 0 величина |3 - со и уравнение (3-154)
сводится к уравнению Пуайзеля для течения в трубе.
Фредриксон и Бёрд21 получили решение рассмотренной выше
задачи для жидкостей, подчиняющихся- степенному закону. Их
результат может быть записан в форме
« - (*£т) «* (WIW^ р> (3-155>
где функция F зависит только от п и р. Эта функция была
просчитана на вычислительной машине. Она представлена графи-

3-8. Кабельные и листовальные головки
125
чески на рис. 41. Заметим, что значения'/7 становятся почти
независимыми от п, при значениях (1/|3) больших, чем приблизи-
W
0,6
0,5
0,01 О, Г 7,0
Рис. 41. Функция F(n, p) [см. уравнение 3-155] в зависимости
от величин р и п (Данные заимствованы из работы21).
тельно 0,3. В этой области функция F может быть приближенно
выражена уравнением:
' - m
Тогда формула (3-155) принимает вид:
3-8. Кабельные и листовальные
головки экструдеров
На рис. 42 схематически изображена головка для нанесения
изоляции на проволоку. Головка состоит из резервуара,
содержащего жидкость под гидростатическим давлением Р\
резервуар соединен с полым цилиндром, имеющим диаметр D и
длину L, через который протягивается проволока. В результате
действия гидростатического давления « увлекающего действия
движущейся проволоки жидкость течет через кольцевое про-

126
Глг 3. Течение в трубах и каналах
странстврЕй образует на проволоке покрытие, толщиной А, при
чем h -может быть как равной, так и не равной Н:
Следующий расчет позволяет установить соотношение меж
ду конструктивными размерами (радиальным зазором Я и дли
ной L). параметрами процесса (скоростью Vz и давлением Р)
В
"1J -ty—гг
Рис. 42. Схема устройства кабельной головки.
вязкостью жидкости ,и толщиной покрытия h. Рассмотрение про
водится для частного случая, когда радиальный зазор Н мал1
по сравнению с отверстием головки. Тогда для течения
жидкости в кольцевом пространстве применимо уравнение,
выведенное для течения между параллельными пластинами. Кроме
того, предполагается, что жидкость ньютоновская.
Если Q представляет собой объемный расход, то
Q==Qd+Qp (3-157)
где Qd — объемный расход вынужденного потока в кольцевом
зазоре и Qp — объемный расход противотока.
Размеры проволоки, ее скорость и заданная толщина
покрытия позволяют определить требуемое^.значение Q по уравнению
Q = kV[(R. + hf - /??] = 1сУЛ(2#, + Л) (3-158)
Объемный расход вынужденного потока определяется по
уравнению (3-118), которое для данного случая может быть
записано как
Qd = ^ (3-159)
где W — среднее значение длины развертки кольцевого зазора
Объемный расход противотока определяется по уравнению
(3-109), которое для данного случая' может быть записано как
wn-isr (3_160)
-Р \2\lL
где АР — разность между давлением^© резервуаре и
атмосферным давлением.

3-8.. Кабельные и листовальные головки
127
Если приведенные уравнения решить относительно А Р, то
получим:
ДР
Можно принять, что
by.V2L
Я2
ш
(*.+ 4)
(3-161)
ИР=2«(Я,+ А)
Тогда уравнение (3-161) сводится к выражению
др_ ^VzL{2h-H)
Г Н3
(3-162)
которое показывает, что требуемое давление в кабельной
головке прямо пропорционально вязкости жидкости, линейной
скорости.движения проволоки и длине головки.
рЯ
Qt+faQtJdxjdx
Z1
Of
г
р-
~Ь
ff
dx
iA
i I
'.V
0
1
У
_L"
Рис. 43. Схема щелевой головки с боковым питанием.
Следует отметить, что, когда H = 2h, давление в-
резервуаре- согласно уравнению (3-162) должно быть равно нулю. Это
условие является оптимальным при конструировании головок,
так как в этом случае на толщину покрытия не влияет ни
изменение скорости движения проволоки, ни изменение вязкости
покрывающей жидкости.
На рис. 43 показана схема устройства коллекторной
щелевой головки с боковым питанием. Головка состоит из
питающего коллектора длиной L и радиусом R, который служит резер-

128
Гл. 3. Течение в трубах., а каналах
вуаром для жидкости^ поступающей в калибрующую щель
головки экструдера. Калибрующая щель головки представляет
собой параллельные пластины длиной F, отстоящие друг от
друга на расстояние N. Течение в головке происходит в двух
направлениях. В коллекторе жидкость, входящая в него в
точке х = О, течет в направлении х, в то время как течение в
калибрующей щели головки экструдера осуществляется
перпендикулярно оси трубы.
Существуют две важные разновидности этой конструкции —
листовальная головка с центральным питанием и кольцевая
головка. В случае листовальной головки жидкость подается в
центральную часть (х = L/2). В кольцевой головке коллектор
представляет собой свернутый в кольцо цилиндр.
Следующий расчет22 позволяет оценить однородность
толщины пленки, выдавливаемой из головки, если известны
размеры головки и параметры процесса. Пусть величина г(х)
представляет собой объемный расход жидкости, вытекающей из
головки экструдера на некотором расстоянии х от входа в
коллектор. Если величина г(х) не зависит от х, то толщина
пленки неизменна, при этом предполагается, что явления,
связанные с упругими деформациями, незначительны или
однородны по всей ширине пленки. Индекс разнотолщинности Е можно
определить как
£ = -СтШ (3-163)
''max
где rmin — минимальный и гтах — максимальный расход по
ширине щели. Если г не зависит от .х, то образуется однородная
пленка и Е=\. Если же в некоторой точке жидкость не
выдавливается из головки, то rmin = 0 и Е = 0.
Расчетное уравнение для определения индекса
разнотолщинности Е выводится ниже для двух частных случаев. В
первом случае течение предполагается изотермическим, а
уменьшение г{х) по мере возрастания х вызывается уменьшением
давления вдоль коллектора. Во втором случае давление Р{х)
считается постоянным и предполагается, что изменение
расхода г(х) вызывается неоднородностью температуры Т(х}.
В любой точке коллектора объемный расход Qt выражается
8[а \ дх
а объемный расход через щель головки г(х) в любой точке
определяется уравнением
fiy\ _ п ^ах (3-165)
rw— 12f>Y

3-8. Кабельные и листовальные головки
129
где Р—гидростатическое давление (за вычетом атмосферного)
в соответствующей точке коллектора. Эти уравнения
применимы для случая изотермического течения ньютоновской
жидкости.
Предположим, что жидкость несжимаема, тогда,
материальный баланс для какого-либо элемента длины трубы можно
записать в виде
Qt = г(х) +
*+(;&)*
(3-166)
Если уравнения (3-164) и (3-165) подставить в (3-166), то мы
получим дифференциальное уравнение
d2P
dx2
— 32Р = О
(3-167)
где параметр р определяется выражением
2Я2
Рг =
3*/?*у
Граничные условия:
, dP
где Р'=[-&
Р(0) = Ро
Р' (L) = О
Решение уравнения (3-167), удовлетворяющее этим граничным
условиям, имеет вид
-£- = *-**+*-?*
sh (pr)
ch (fjL)
(3-168)
Так как объемный расход максимален на входе в коллектор
и минимален на выходе из него, то
Гтах = Г(0) rmin = r(L)
Из уравнения (3-165) видно, что г прямо пропорционален Р..
Следовательно, индекс разнотолщинности Е выражается
формулой
р _^тш_ _ r(L) P(L)
Гтах" -f(O) РФ)
(3-169$
Отношение давлений P(L)fP(0) может быть найдено
непосредственно из уравнения (3-168), если вместо х подставить L.
Тогда
Р(Ц
Р(0)
= е
-Р*.
[1+tg/*№!-*=
1
ch(pL)
(3-170)

ИЗО
3-5. Кабельные м листовальные головки
и выражение для индекса разнотолщинности принимает в.ид
£ = cw <3-171>
Уравнение (3-171) можно представить в приближенной форме
Приближенные значения Е, вычисленные по уравнению (3-172),
отличаются от точных, рассчитанных по уравнению (3-171) всего
лишь на несколько процентов, если только £>0,8.
(Приведенные выше формулы показывают, что разнотолщин-
иость выдавливаемой пленки (листа) не зависит от вязкости и
ш значительной мере определяется радиусом коллектора.
Например, если
#'=0,89 см Я = 0,025 см
L= 167,6 см Y = 1,02 см
то величина индекса разнотолщинности Е, рассчитанная по
уравнению (3-172), равна 0,92. Если увеличить радиус
коллектора до 1,27 см, то значение индекса разнотолщинности
возрастет до 0,98.
Карлей22 также решил эту задачу для случая течения
жидкости, подчиняющейся степенному закону. Он получил
следующее приближенное выражение для индекса -разнотолщинности:
£=1—0,525 (XL)2
где
1 =
1 \/Зя+1\/ ^<2и+1?Л'
2п II 2л+111 у1А1д<Зл+1)/п
\/J
пДл-Н).
(3-173)
Если в рассмотренном вышепримерке,га = 0;50, то согласно
уравнению (3-173) индекс разнотолщинности равен 0,59 для
R = 0,89 см и 0,88 для R = 1,27 см. Теперь получим выражение
для индекса разнотолщинности при постоянном давлении в
питающей трубе, но при переменной температуре жидкости Т(х)
вдоль, калибрующей щели головки.. Согласно уравнению (3-165)
расход/(.а;) обратно пропорционален вязкости жидкости.
Следовательно, уравнение (3-163) примет вид
£$ = *-*11-+ **(№)]-Spy. (3-170)

3-8. Кабельные и листовальные головки 13В
Зависимость вязкости от температуры можно представить в
соответствии с уравнением (2-87) в виде
тогда уравнение (3-174) можно записать как
Е = е~ь^т = 1 - bx AT + • . • (3-175)
где
AT = Т Т ■
L-il l max J mm
Заметим, что в этом уравнении используется температурный
коэффициент Ь^, употребляемый в случае, когда
рассматривается температурная зависимость вязкости при постоянном,
напряжении сдвига. Это действительно имеет место в
рассматриваемом примере, так как Р{х) постоянной. Для жидкостей,,
подчиняющихся степенному закону, величины Ьх и Ьу связаны
зависимостью
nbx = by (3-176)
Полезное приближенное выражение для оценки индекса
разнотолщинности может быть получено из разложения
экспоненты в степенной ряд (3-175):
Е=\— ЬХАТ = 1 —Щ?- (3-177).
Значения by &ля наиболее распространенных термопластов
приведены в табл. 2-6.
Уравнение (3-177) позволяет оценить влияние колебаний
температуры на однородность. И наоборот, если приняты
допустимые-пределы величины Е, то по уравнению (3-177) можно
рассчитать требуемую точность регулирования темп.е.ратурьг.
Так, например, если допустимы колебания толщины не более
чем на ±2,5%, то Е равно 0,95. Если принять, что
температурный коэффициент by равен приблизительно 0,05 град~1 и индекс
течения жидкости п = 0,5, то система регулирования должна
поддерживать температуру жидкости в пределах ±0,25°. Для
полиэтилена величина by составляет приблизительно 1,4 град-1.
Следовательно, при переработке полиэтилена в пленку система
регулирования, поддерживающая указанную температуру с от-';;
клонениями в пределах ±1 °, должна обеспечить то же значение,
индекса разнотолщинности. :J

132
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
Задачи
3-1. Покажите, что при изотермическом ламинарном течении
ньютоновской жидкости через трубу
'~ Re
где коэффициент сопротивления / является безразмерной величиной,
определяемой уравнением
/ =
puz
где и—средняя скорость.
Постройте график зависимости f от Re в логарифмических координатах.
Покажите, что наклон этой линии равен —1 и что этот график применим для
изотермического, ламинарного течения любой ньютоновской жидкости через
любую трубу круглого поперечного сечения.
3-2. Докажите, что универсальный график, полученный в задаче 3-1,
применим для жидкостей, подчиняющихся степенному закону, если число
Рейнольдса определяется уравнением
Re
2л
п +
г!
2(3л + 1)
Dnu2-np(i<>)n
тО
Покажите, что введенное таким образом число Рейнольдса безразмерно и
что оно сводится к обычыому виду для частного случая я=1.
3-3. Жидкость, подчиняющаяся степенному закону с л=0,8 и плотностью
1000-кг/ж3, течет с расходом 10 см3/сек через трубу диаметром 0,5 см и длиной
100 еж. Перепад давления составляет —10 am (9,81 • 105 н/м2). Подсчитайте
коэффициент сопротивления (По формуле, данной в задаче 3-1), а затем определите
величину числа Рейнольдса и т°, приняв стандартную скорость сдвига равной
1 сек-1. Покажите, что увеличение расхода на 50% вызовет возрастание
перепада давления на 38%.^
3-4. Покажите, что ур'1внение Букингема-Рейнера может быть
преобразовано к виду
RSp
4С
3 + 3
где и—средняя скорость.
Приведенное выше уравнение показывает, что значение и должно
проходить через минимум при Х—1. Правилен ли этот вывод? Объясните его.
3-5. Следующие экспериментальные данные были получены для
материала, представляющего собой вязкопластичную среду Бингама:
Перепад давления
н/м2
(am
Средняя скорость, см/сек
9,8-Ю5
10
10
1,47.10е
15)
20
Диаметр трубы 0,5 см, длина 100 см. Подсчитайте S0 и С для данного материала.
3-6. Покажите, что график' зависимости (AQ/izR3) от (ИХ—4/3+Х3/3)
оказывается прямой линией в случае, если материал является вязкопластич-
ной средой Бингама. Чему будет равен наклон прямой и величина отрезков,
отсекаемых прямой на осях? Как определить значение 50 для среды Бингама,
если известна зависимость Q от АР при течении материала через трубу?

3-8. Кабельные и листовальные головки
133
3-7. Неньютоновская жидкость течет с расходом 1 смъ1сек, при перепаде
давления 2 am (1,96* 10Б н/м2) через трубу диаметром 2 еж и длиной 100 см.
Каков будет перепад давления, если та же жидкость при той же температуре
■будет протекать через трубу длиной 100 м и диаметром 20 см при расходе
1000 см3/сек? Объясните все допущения, принятые Вами при решении этой
задачи.
3-8. Проверьте уравнение (3-49).
3-9. Рассмотрите установившееся течение жидкости, подчиняющейся
степенному закону, в длинной трубе радиусом 1 см. Температура стенок трубы
поддерживается равной 150 °С. Перепад давления равен 105 дин.1см2 (10* н/м2).
Жидкость обладает следующими свойствами:
л = 0,8
у, = Ю-3 град'1
rf> =г Ю3 пз (102 Н'сек/м2) [при стандартной скорости сдвига 1 се/с-1]
k= Ю-8 кал/(см'сек'врад) [0,419 вш/(м- град -сек)]
Представьте графически зависимость температуры жидкости от
безразмерного радиуса (r/R). Влиянием температуры на вязкость и влиянием давления
на плотность жидкости можно пренебречь.
3-10. Рассмотрите вынужденный поток ньютоновской жидкости в канале
с поперечным сечением в форме полуокружности. Выгнутая поверхность
неподвижна, а плоская поверхность движется в направлении оси со скоростью Vz.
Определите распределение скорости в канале при вынужденном потоке.
3-11. Сравните объемный расход вынужденного потока в канале с
поперечным сечением в форме полуокружности (см. задачу 3-10) со скоростью
вынужденного потока в прямоугольном канале, ширина которого равна диаметру,
а высота—радиусу полуокружности.
3-12. Рассмотрите течение в прямоугольном канале, когда расходы
вынужденного потока и противотока равны по величине, но противоположны по
знаку. Постройте эскиз, показывающий линии постоянной скорости (изовелы)
в плоскости, перпендикулярной оси канала (см. W. L. Gore и I. М. М с-
К е 1 v е у, Theory of Screw Extruders, глава 16 в книге «Rheology» v. 3, ed.
F. R. Eirich, Academic Press, 1960, p. 596).
3-13. Рассмотрите течение несжимаемой ньютоновской жидкости,
помещенной между двумя плоскими
круглыми параллельными дисками. Рас- 1 R ,
стояние между ними Я, а радиус R |~ j
(см. рис. 44). Нижний диск непод- . Ьр
вижен, а верхний—вращается с по- I
стоянной частотой N. Для данного ' 1 J—г
частного случая напишите дифферен- i I"
щиальное уравнение в частных произ- I : 1
водных, которое определяет зависи- | |
мость тангенциальной скорости ае
от положения координат гиг, где рис. 44. Течение между плоскими
г—отсчитывается от оси диска, a г— круглыми дисками,
от плоскости нижнего диска.
Установите граничные условия этой задачи.
3-14. Решите задачу, сформулированную в предыдущем примере 3-13,
т. е. найдите функцию ов(г, г), которая является решением дифференциального
уравнения в частных производных и удовлетворяет граничным условиям.
3-15. Выведите уравнение течения жидкости в вискозиметре типа конус-
плоскость (рис. 45), которое связывает момент вращения, приложенный к ко-

134
Гл. 3. Течение в трубах и каналах
нусу с геометрическими
размерами прибора, скоростью вращения
конуса и вязкостью жидкости.
Рассмотрите случай
изотермического течения ньютоновской
жидкости (см. R. В. В i r d W. Е.
Stewart, Е. N. Light
foot, Transport Phenomena,
J. Wiley and Sons, 1960).
3-16. Рассмотрите
вынужденный поток ньютоновской
жидкости в кольцевом пространстве
между коаксиальными цилиндрами
для случая, когда единственной
ненулевой компонентой скорости
является v$(r, t). Начальные и граничные условия задачи о
неустановившемся течении имеют вид
Рис. 45. Течение в вискозиметре
типа конус—плоскость.
(г, 0) = 0
vb(Rh 0=0
fe№) = ve
Получите для этой задачи дифференциальное уравнение в частных
производных и затем найдите решение, удовлетворяющее этому уравнению,
начальному и граничным условиям [см. R. В. Bird, С. F. С u r t i s s
Chem. Eng. Sci., 11, 108 (1959)].
3-17. Расплав полимера должен наноситься на проволоку, движущуюся
со скоростью 1 м/сек. Диаметр провода 2 см, необходимая толщина изоляции
0,1 см. Для нанесения полимера применяется головка, подобная изображенной
на рис. 42. Отверстие головки равно 2,1 см, а ее длина 1=5 см. Принимается,
что полимер является ньютоновской жидкостью с вязкостью, равной 103 пз
(102 н-сек/м2). Какое давление должно поддерживаться в резервуаре для
обеспечения заданной толщины изоляции? Если давление в резервуаре
колеблется в пределах ±10%, то как это будет влиять на толщину изоляции?
3-18. Определите наиболее экономичный диаметр трубопровода,
предназначенного для перекачки высоковязкой неньютоновской жидкости расходом
453 кг/ч на расстояние 1000 м. Плотность жидкости 1 г/см3. Ее эффективная
вязкость при скорости сдвига 10 сек-* равна 500 пз (50 н-сек/м2), а при
100 ce/c-i—200 пз (20 н-сек/м2). Принимается, что к. п. д. насоса составляет
30%, стоимость 1 квпг-ч энергии, расходуемой насосом, составляет 11 единиц,
а стоимость трубы 32 единицы за 1 кг независимо от диаметра трубы. Укажите
все допущения, сделанные при расчетах.
6.
Литература
М. Рейнер, Деформация и течение, Гостоптехиздат, 1963, гл. VIII.
В. Rabinowitsch, Z. Physik. Chem., A145, 1 (1929).
R. В. Bird, W. E. Stewart, E. N. L i g h t f о о t, Transport
Phenomena, John Wiley, 1960, p. 67-.
См., например, I. S. S о k о 1 n i k о f f, R. M. R e d h e f f e r,
Mathematics of Physics and Modern Engineering, McGraw-Hill, 1958, p. 262.
M. Рейнер, Деформация и течение, Гостоптехиздат, 1963, гл. II,
разд. 4.
G. E. A Ives, D. F. Boucher, R. L. P i g f о г d, Chem En\
Prog,,, 48, 385,(1952).

Литература
135
7. А. В. Metzner, J. С. Reed, A. I. Ch. E. Journal, 1, 434 (1955).
8. Н. L. Т о о г, Ind. Eng. Chem., 48, 922 (1956); A. I. Ch. E. Journal, 4,
319 (1958).
9. R. В. В i r d, S. P. E. Journal, 11, № 7, 35 (1955).
10. H. L. To or, Trans. Soc. of Rheology, 1, 177 (1957).
11. Современное состояние гидродинамики вязкой жидкости, том 1,§ 139, Издатин-
лит, 1948.
12. Е. В. В a g 1 е у, J. Appl. Phys., 28, 624 (1957).
13. D. L. Mcintosh, Elastic Effects in Extrusion of Polymer Solutions,
doctoral thesis, Washington University, St. Louis, 1960.
14. J. P. T о r d e 1 1 a, J. Appl. Phys., 27, 457 (1956).
15. A. B. Metzner, Ind. Eng. Chem., 50, 1577 (1958).
16. See, for example, H. Markovitz, The Normal Stress Effect in Polymer
Solutions in «Viscoelasticity», edited by J. T. Bergen, Academic Press, 1960.
17. A. B. Metzner, W. T. Houghton, R. A. Sailor,
J. L. White, Trans. Soc. Rheology, 5, 133 (1961).
18. S. Middleman, J. G u v i s, Physics of Fluids, 4, 355 (1961).
19. M. J. В о u s s i n e s q, Math, pures. appl., 13, 377 (1868).
20. See, for example, R. V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value
Problems, McGraw-Hill, 1941.
21. A. G. Fredrickson, R. B. Bird, Ind. Eng. Chem., 50, 347 (1958).
22. J. F. С a r 1 e y, J. Appl. Phys.,. 25, 1118 (1954); Mod. Plast., august,
1-27 (1956).

Глава
Расширение и сжатие
аморфных полимеров
4-1. Введение
Газы — легко сжимаемы. Увеличение абсолютного давления
примерно в два раза удваивает их плотность, а увеличение
вдвое абсолютной температуры уменьшает плотность
наполовину. Следовательно, ,при проведении технических расчетов
необходимо учитывать влияние температуры и давления на объем
газов. Обычно в первом приближении поведение газов
описывается простыми уравнениями состояния, такими, как закон
идеальных газов и уравнение Ван-дер-Ваальса.
С другой стороны, твердые тела и жидкости — относительно
несжимаемы, и проведение многих расчетов часто можно
упростить, полагая, что изменения давления, а иногда и
температуры не влияют на их плотность. В большинстве случаев
ошибки, появляющиеся при таких допущениях, 'незначительны.
Однако для некоторых процессов переработки полимеров
даже небольшие изменения плотности твердых и жидких
полимеров чрезвычайно важны и должны быть тщательно изучены.
Например, при литье под давлением, если используется
слишком низкое дазление литья, охлаждаемое изделие будет давать
большую усадку по сравнению с формой, и. точность размеров,
будет выдержана плохо. Если же давление литья слишком
высоко, то охлаждаемое'изделие будет находиться в сжатом
состоянии и удаляться из формы с большим трудом. Для
определения оптимальных условий литья необходимо рассматривать
влияние на объем твердого и жидкого полимера таких
факторов, как температура и давление.
Для жидких 'И твердых полимеров было предложено
несколько уравнений состояния. Большинство уравнений, используемых
для вычислений изменений объема полимеров, представляют
собой интерполяционные формулы, которые полезны только
тогда, когда в распоряжении имеются экспериментальные данные..

4-2. Кинетика расширения аморфных полимеров 137
Вообще при изучении изменений .объема полимеров
возникают значительные трудности. Ниже точки плавления многие
полимеры могут иметь несовершенную кристаллическую
структуру, причем степень этого несовершенства (или
кристалличность) бывает различной. Плотность кристаллического
полимера выше, чем его плотность в аморфном 'состояний,
следовательно, плотность каждого данного, образца полимера зависит от
упорядоченности его структуры. Она, в свою очередь,
определяется его предысторией, особенно скоростью охлаждения при
переходе из жидкого
состояния. Процесс кристаллизации
■полимеров рассматривается в
следующей главе.
Если даже кристаллизация
не имеет места, то вблизи
точки размягчения наблюдаются
сложные временные эффекты,
как показано на рис. 46.
Когда образец, находившийся
первоначально в равновесном
состоянии, нагревается с
постоянной скоростью от
температуры, лежащей ниже точки
его размягчения, то процесс
описывается линией А—В.
Обратный процесс соответствует
линии В—С. Через большой
промежуток времени объем
.образца уменьшается, следуя
по линии С—Л, так что в
конце концов гистерезисная петля
.замыкается. Для данного материала величина гистерезиса
зависит от скорости нагревания и охлаждения. Если нагревание и
охлаждение проводить очень медленно, то кривые сливаются.
При температуре стеклования Tg материал из мягкого кау-
"чукоподобного превращается в твердый, стеклообразный. Это
изменение состояния не включает в себя кристаллизацию и
резко отличается ют перехода первого рода (переходы первого
рода характеризуются скачкообразным изменением
термодинамических параметров).
4-2. Кинетика расширения аморфных полимеров
Рис. 47 иллюстрирует расширение аморфного полимера при
резком изменении температуры. Если t<t0, образец имеет
однородную температуру V и равновесный удельный объем. В мо-
Т&мпература
Рис. 46. Типичная кривая
зависимости объема от температуры,
полученная, когда аморфный полимер
нагревается и охлаждается, проходя через
точку размягчения.

138
Гл. 4. Расширение и Сжатие аморфных полимеров
мент времени tQ температура мгновенно- повышается до Т.
Удельный объем резко возрастает на величину Дуг-, а затем по-
, степенно увеличивается
<ъие
а;
-о
I
Температура Т I Температура Т
до своего нового
равновесного значения ve.
Первоначальное расширение,,
которое происходит
почти мгновенно, вероятно,
является следствием
увеличения
межмолекулярных расстояний под
влиянием усиления
интенсивности тепловых
колебаний молекул. Этот
механизм расширения
подобен механизму,
который наблюдается при
to
Время £
Рис. 47. Расширение аморфного полимера
при резком изменении температуры.
расширении и сжатии обычных кристаллических тел. Задержан
ный во времени процесс расширения осуществляется при
скоростях, которые прямо пропорциональны смещению системы от
положения равновесия. Скорости также сильно зависят от
температуры. Механизм процесса вторичного расширения возможно
связан с диффузией и вязким течением.
Аморфные полимеры могут иметь кристаллоподобную
структуру ближнего порядка* Молекулы, расположенные в
пространстве, окружающем области более правильного их
взаиморасположения, находятся в неупорядоченном состоянии. Это
эквивалентно представлению о том, что в аморфном полимере имеются
пустоты. При более высоких температурах степень
неупорядоченности возрастает, и часть пространства, занимаемого пустотами,
увеличивается. Однако при изменении температуры она
определяется конечным периодом времени, в течение которого
появляются или исчезают пустоты. iB данном случае это объясняет
рассмотренный выше временной эффект.
Алфрей допускает, что молекулярный механизм,
обусловливающий появление или исчезновение пустот, — диффузия. С
другой стороны, Бойер и Спенсер2 считают, что это обусловлено
вязким течением сегментов цепи. Хотя природа молекулярных
процессов, вызывающих наблюдаемый эффект, изучена не
полностью, все же имеется возможность предложить эмпирическое
уравнение, которое описывало бы данное явление.
* Важные работы в этой области были выполнены школой В. А. Картина
(см., например, В. А. Каргин, Г. Л. Слонимский, Краткие очерки по-
физико-химии полимеров, Изд. МГУ, 1960). По старым работам см.1—Прим. ред.

4-2. Кинетика расширения аморфных полимеров
139
Объем аморфного полимера (при постоянном давлении)
является функцией времени и температуры, тогда его полный
дифференциал можно представить в виде
dt
т
или же его можно записать в эквивалентной форме
£=(£),+-г (£)г <4-»
где величина
IdT \
представляет собой скорость 'изменения температуры.
Эксперименты Спенсера и Бойера3 с полистиролом
показали, что мгновенное (независимо от времени) изменение объема
прямо пропорционально изменению температуры.
Следовательно,
bvt = b'AT или 1-^Л =Ь' (4-2)
Далее, скорость изотермического (зависимого от времени)
процесса определяется уравнением
(ж)т = "<»--*> (4"3)
где ve — равновесный объем, соответствующий температуре Т, а
k— постоянная скорости. Зависимость k от температуры
дается уравнением
_ е
k = Ke
rt (4-4)
Кроме того, эти эксперименты показали, что если
температурные изменения происходят очень медленно, то кривая
зависимости объема от температуры должна быть прямой.
Следовательно, ее можно представить линейным уравнением
ve = a + bT (4-5)
где а и b — постоянные.
Если уравнения (4-2), (4-3) и (4-5) подставить в уравнение
(4-1), то получим:
%■ = b'+-*L(a + bT-v) (4-6)

140
Гл. 4. Расширение и сжатие аморфных полимеров
Решение уравнения (4-6) связывает объем и температуру с
параметром г, т. е. со скоростью изменения температуры.
4-3. Расчет кривых объем — температура
Чтобы рассчитать кривую объем — температура, нужно
проинтегрировать уравнение (4-6). Однако если учитывать
температурную зависимость константы скорости k, то его решение
нельзя получить в замкнутой форме. Для построения кривой
объем — температура можно использозать разнообразные
численные приемы интегрирования.
Если предположить, что константа скорости k — постоянная,,
то уравнение (4-6) легко интегрируется, «о получающееся
решение применимо только для узкой области температур, в
которой изменения k не слишком велики. Применяя многократную
'апрокси'мацию, используя в каждом интервале температур
средние значения к, можно построить полную v—Г-кривую.
При 'интегрировании уравнения (4-6) удобно пользоваться,
переменной v, которая определяется уравнением
v = (ve — v) = {а + ЬТ — v) (4-7)
После дифференцирования оно принимает вид
*L = b—— (4-8)
dT dT K °^
Общее решение уравнения (4-6) при постоянном k с
применением новой переменной v запишется как
v = а + Се~рг (4-9)
где С — постоянная интегрирования, а а и $ — постоянные*
определяемые по уравнениям:
г{Ь — Ь') о k
а = ——г—- р = —
k г г
Постоянная интегрирования вычисляется из начального
условия, которое требует, чтобы при Т=Т{, переменная v имела
значение v*. Уравнение (4-6) принимает вид
v = a—(a —v,)e-pAr (4-10)
гдеАГ=(7—Т{).

4-3. Расчет кривых объем — температура 14И
Этот результат можно выразить через первоначальную
переменную v подстановкой уравнения (4-7). Получим
выражение )
v={a — a + bT)—(a — a+bTt — vfi e~m (4-11)
которое является окончательным.
Следующий шаг состоит ib определении значений константы
скорости k как функции температуры. Это легко сделать, если
имеются данные за полупериод, который определяется как
время, необходимое для того, чтобы образец при резком
изменении температуры расширился на величину, соответствующую
половине изменения объема от начального до равновесного.
Найдем теперь соотношение между полупериодом и константой
скорости. Для изотермического расширения применимо
уравнение скорости (4-3). Его общее решение записывается как
{ve — v) = Ce-kt (4-12)
где С — постоянная интегрирования. Если начальный объем!
равен Vi, то можно вычислить постоянную С. Уравнение (4-12)
примет вид
vP — v
_ e-kt
Ve—Vi
Если Э представляет собой полупериод, тогда, при t=Q.
(4-13)
и уравнение (4-13) можно решить относительно k. Результат
*=Т (4-14)
показывает, что константа скорости k обратно
пропорциональна полупериоду.
Были измерены полупериоды изотермического расширения
полистирола при пяти различных температурах3. Используя
уравнение (4-14), находят константы скорости, которые
приведены в табл. 4-1. Затем по уравнению (4-4) строится
график зависимости логарифма k от соответствующей абсолютной
температуры. Этот график показан на рис. 48.
Экспериментальные данные лежат в интервале температур от 300 РК до 400 °К-
Значения k выше этого интервала (приблизительно до 500°К)
получены экстраполяцией.

а 42
Гл. 4. Расширение и сжатие аморфных полимеров
ТАБЛИЦА 4-1
константы скорости
расширения полистирола3
k-105, сек г
1,9
7,2
22,2
63,8
166
366
763
1580
2916
5277
т, °с
37
57
77
97
117
137
157
177
197
217
РИС. 48. Температурная зависимость примечание. Величины, расположенные
КОНСТантЫ СКОРОСТИ k ДЛЯ раСШИре- ниже пунктирной линии, получены экстраполя-
НИЯ полистирола3. цией.
В качестве примера ниже приводится вычисление одной точ-
тси на кривой и—Т. Рассматривается случай, когда вначале
образец находится в равновесном состоянии при температуре
300 °К, а затем нагревается со скоростью 0,01 °С/сек.
Постоянные для полистирола имеют следующие величины:
а = 8,45-Ю-4 м*/кг
Ь = 3,75-10~7 м3/кг-град
V = 2,5-10"3 мэ/кг-град
Используя уравнение (4-5), найдем, что и»= (а + 67\) =
= 8,45-Ю-4+ 300 (3,75-Ю-7) =9,6-Ю-4 м*/кг (0,96 см3/г).
Для .расчета указанным выше методом последовательного
апроксимирования примем прирост температуры равным 20 °К
(от 300 °К До 320 °К). Для вычисления использовалось
значение константы скорости k в средней точке указанного
температурного интервала, т. е. при 310 °К. Удельный объем при 320 К
равен 0,9653 см3/г. Он найден подстановкой в уравнение (4-11)
следующих величин:
k = 1,9- Ю-5 сек'1 г = 0,01 град/сек
ЛГ = 20 °С р = 1,9 • 10-3 град'1
1-ГО
-3
■ч*
1-W
.7-70
о
Значение
изотермического
-S
Z,h 2,6
2,8 3,0 3rZ
i/t)-w3
('/■
3,4
т, °к
310
330
350
370
390
410
430
450
470
490

4-3. Расчет кривых объем — температура 143
Эта процедура повторяется до тех пор, пока кривая не будет
определена полностью. Семейство v — Г-кривых, вычисленных
этим методом, показано на рис. 49.
1,04
500'
Рис. 49. Расчетные кривые объем—температура
для нагревания и охлаждения полистирола при
различных г (скорость изменения температуры),
выраженных в °С/сек.
На рис. 49 показано, как скорость изменения температуры
влияет на форму кривой объем — температура. С возрастанием
скоростей нагревания или охлаждения кривые сильнее
отклоняются от равновесной. Отсюда видно, что температура
стеклования является функцией скорости охлаждения или нагревания.

144
Гл. 4. Расширение и сжатие аморфных полимеров
Считают, что температура стеклования является такой
температурой, при которой релаксационные, процессы в полимерах
происходят со скоростью, величина которой имеет тот же самый
порядок, что и скорость нагревания (охлаждения). При более
высоких температурах релаксационные процессы протекают
быстрее. Следовательно, при быстром охлаждении или
нагревании переход в стеклообразное состояние происходит при более
высоких температурах.
Фактором, ускоряющим протекание релаксационных
процессов, является, например, добавление пластификатора,
который имеет тенденцию уменьшать температуру стеклования.
Такие факторы, которые замедляют процессы релаксации,
например разветвление цепи и поперечная сшивка, имеют
тенденцию увеличивать температуру стеклования. Геометрические
факторы и молекулярная когезия также очень существенны при
определении температуры стеклования. Ниже приведены
температуры стеклования некоторых общеизвестных термопластов:
Полибутадиен . —85 Найлон 66 . . 47
Полиэтилен . . —68 Полистирол . . 81
Поливинилиден-
хлорид . . . —17
4-4. Отжиг для стабилизации размеров
Рассмотрим, например, заготовку листового полистирола,
полученного в таких условиях, когда расплавленный
полистирол, имеющий температуру 500 °К, экструдируется в водяную
<баню с температурой 300 °К. В дальнейшем листовая заготовка
разрезается на части для (Специального применения,
требующего должной точности размеров листов. Если для разрезанных
частей допустима усадка в 1% и если температура помещения
300 ЭК, то нужно определить, как долго должна храниться
листовая заготовка до разрезания? Если время хранения листовой
заготовки уменьшается применением отжига при 350 °К в
течение определенного периода времени, то следует найти требуемое
для этого время.
Когда расплавленный полистирол затвердевает пр.и
охлаждении его водой, то скорость охлаждения очень высока, и
поведение материала соответствует верхней кривой (г = — °°)
рис. 49. Первоначально при 300 °К его удельный объем должен
-быть равным 0,98-Ю-3 м3/кг. Постепенно он будет
уменьшаться до равновесного удельного объема (0,96-10~3 жъ\кг).
Чтобы получить допустимую усадку ъ 1 % в разрезанных
частях, листовой заготовке необходимо дать возможность

5. Уравнение состояния
145
сжиматься до тех пор, пока ее удельный объем не достигнет
значения 0,97-Ю-3 м3/кг перед тем, как она будет разрезана.
Для изотермического процесса соотношение объем — время
дается уравнением (4-13), которое при подстановке в него
указанного выше значения объема примет следующий вид:
Ve — v _ 0,9575 — 0,9672 _ п ооо _ -м
ve—vi 0,9575 — 0,9825 '
При 300 °К константа скорости k, полученная из рис. 48,
равна 9,7-Ю-6 сек~\ а требуемое время выдержки листа равно
30 ч.
Линия а—б на рис. 49 показывает путь, по которому должен
следовать материал, когда его отжигают при 350 °К. В точке б
объем равен 0,98 • 10_3 м'6/кг, а, если бы температура затем
понизилась до 300 °К, объем материала соответствовал бы точке б.
Вследствие того, что процесс б—с может протекать очень
быстро, требуемое общее время равно зремени процесса а—б. Для
этого процесса
уе —у _ 0,9762 — 0,9800 _ _w
Vg—Vi ~ 0,9762 — 0,9950 ~ в
При 350 ° К константа скорости равна 2,22-Ю-4 се/с-1, и время,
необходимое для отжига, равно 2 ч.
4-5. Уравнение состояния
Уравнение, связывающее объем с температурой и
давлением, называется уравнением состояния. Простейшее уравнение
состояния — закон идеального газа — записывается как
V = -^ (4-15)
где V — молярный объем, a R — универсальная газозая
постоянная. Сюда не входят произвольные постоянные, но в то же
время это уравнение дает точные результаты только тогда,
когда применяется к газам с относительно низкими плотностями.
Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса дает более точное
описание поведения газов, но содержит две постоянные,
которые должны определяться экспериментально. Для моля газа
оно запишется как
(V-B)^P + ^ = RT (4-16)

146
Гл. 4. Расширение и сжатие аморфных полимеров
где А и В— постоянные. Постоянная В учитывает объем,
занимаемый самими молекулами, а (величина
(A/v2)—«внутреннее» давление, вызываемое силами притяжения, действующими
между молекулами. Заметим, что при уменьшении молярного-
объема внутреннее давление увеличивается.
Исследования Спенсера и Жильмсра4 показали, что связь
Р—V—Т для многих полимеров можно достаточно хорошо
представить следующим видоизмененным уравнением состояния'
Ван-дер-Ваальса:
RT
(0_6)(Р+те)=-
м
(4-17>
где v — удельный объем полимера, а М— молекулярный вес
«структурной единицы», обусловливающей межмолекулярное
взаимодействие. Константы я и Ь должны определяться
экспериментально, так же ка-к и величина М. Заметим, что в
уравнении (4-17) внутреннее давление не зависит от удельного
объема и, следовательно, от температуры и давления.
Спенсер и Жильмор высчитали постоянные я и М из серии
измерений Р и v при определенной температуре. Если
продифференцировать уравнение (4-17), а затем сделать
преобразования, то получим
— RT
dv
1/2
= тг-j/m + рум
(4-18)
Отсюда видно, что я и М можно определить из значений
(dP/dv)T и Р либо графически, либо методом наименьших
квадратов. Затем следует вычислить значение Ь из известных
значений v при атмосферном давлении и известной температуре.
Спенсер и Жильмор обнаружили, что внутреннее давление я
остается почти постоянным в достаточно широком интервале
давлений. Результаты их измерений приведены в табл. 4—2.
Постоянные в уравнении состояния4
ТАБЛИЦА 4-2
М
л-10 . н/м.2 6-103, мз/кг
Полистирол
Полиметилметакрилат . .
Этил целлюлоза
Ацетобутират целлюлозы
Полиэтилен
104
100
60,5
54,4
28,1
0,822
0,734
0,720
0,688
0,875

4-5. У равнение состояния
147
При атмосферном давлении внутреннее давление я
значительно больше Р и уравнение (4-17) можно записать так
После дифференцирования уравнение (4-19) принимает вид
^>=Wv (р«*> (4"20)
которое показывает, что произведение (Мл) можно вычислить
по температурной зависимости удельного объема при
постоянных низких давлениях.
Для вычисления произведения (Мл) можно использовать
■приведенные выше данные для термического расширения
полистирола. Были указаны два значения (дю/дТ)Р. Величина
3,75 • 1G-7 м3/кг- град соответствует тем случаям, когда объем
изменяется так медленно, что образец все время находится в
состоянии равновесия. Значение 2,5- Ю-7 м3/кг-град используется,
когда изменения объема происходят практически мгновенно.
Ниже сравниваются значения (Мл), рассчитанные из этих данных,
на основе уравнения (4-20) со значениями (Мл), полученными
из данных табл. 4-2, которые определены по изотермической
зависимости Р—v:
(Ми)-10 10
Равновесные изобарические v—Г-данные ; 2,2
Неравновесные изобарические v—Г-данные 3,2
Равновесные изотермические Р—и-данные 1,9
Имеется хорошее соответствие между значениями,
полученными из равновесных измерений. Предполагая, что значение М
изменяется не сильно, можно видеть, что внутреннее давление
резко увеличивается, когда мы переходим от равновесных
условий к неравновесным. Причина этого состоит в том, что при
неравновесных условиях объем не успевает полностью
изменяться, поэтому (dv/dT)P меньше, чем ее равновесное значение.
Изменение объема, происходящее при постоянном давлении
или при постоянной температуре, часто представляет
существенный интерес. Эти изменения описываются сжимаемостью |3 и
коэффициентом термического расширения х. Указанные
характеристики определяются следующими уравнениями:
р—-Н£)г (4"21)
—r(sr)p <4-22>

148 Гл. 4. Расширение и сокатие аморфных полимеров
Вообще |3 и к сами являются функциями температуры и
давления.
При увеличении давления для всех веществ наблюдается-
уменьшение объема, поэтому i|3 — всегда положительно. Для
большинства веществ увеличение температуры приводит к
увеличению объема, так что обычно и положительно. Однако
имеются некоторые исключения, например для воды в
интервале температур от О СС до 4 °С.
Значения р и х можно получить дифференцированием
уравнения (4-17). При этом получается следующий результат:
4~г-(х)<р+«>
(4-23)
(4-24)
Пример 4-1
Вычислите уменьшение удельного объема расплава полистирола при:
149 °С, если давление на него увеличивается от атмосферного до 680 апгм.
(6,7-107 н/м2).
Так как атмосферное давление незначительно по сравнению с п, то
уравнение состояния (4-17) можно записать так:
i\ — о,4 1 — тс/(Р + *)
Vl
1 + (МЬк/RT)
где Р—представляет собой конечное давление 680 апгм (6,7-107 'н/м2).
Используя постоянные, приведенные в табл. 4-2 для полистирола, находим, что
уменьшение удельного объема составляет 4,87%.
Если бы в нашем распоряжении не было постоянных уравнения
состояния, то изменение объема можно было бы оценить из данных по сжимаемости.
Например, если предположить, что (3 не зависит от температуры-и давления,
то интегрирование уравнения (4-21) дает:
v = Ce~Vp
где С—постоянная интегрирования. Следовательно, изменение объема
определяется уравнением:
»1 — v*
,-РЛР
Значение р при 149 °С и 1 апгм (9,8-Ю4 н/м2), вычисленное из уравнения)
состояния, составляет ЫО-9 м2/н, что при подстановке в приведенное выше
уравнение дает уменьшение удельного объема на величину около 6,7%.
Лучший результат можно получить при использовании величины р для среднего»
значения давления (между начальным и конечным состояниями).

Литература
149'
Задачи
4-1. В грубом приближении температурная зависимость константы
скорости при расширении полистирола дается уравнением
_ _Л
k — в— Т
где А и В—постоянные. Сравним значения k, вычисленные, если принять что
5=410 и Л=55, со значениями, приведенными в табл. 4-1 для интервала
температур от 350 до 400 °К. Подставив указанное выше выражение для k
в уравнение (4-6) и проинтегрировав его, получим точное выражение для v
как функцию Т. Подсчитаем v для полистирола, если его нагревать от 300
до 400 °К со скоростями 0,01; 0,10 и 1,0 град/сек. Результаты сравним с рис. 49-
4-2. Покажите, что
d In (v) = * dT — p dP
где v—равновесный удельный объем и, следовательно, что
[дР)т [дт)р
4-3. Оцените давления, требуемые для сжатия при 200 °С перечисленных:
на стр. 144 материалов так, чтобы их удельные объемы при 200 °С были равны,
их удельным равновесным объемам при комнатной температуре и нормальном-1
давлении.
4-4. Вычислите работу, необходимую для обратимого изотермического-
сжатия 1 кг расплава полиэтилена, который находится при температуре 140 °С,.
при увеличении давления от 1 • 105 до 1 • 108 н1м2 (см. пример 5 в главе 2 в книге-
Э. Бернхардта «Переработка термопластичных материалов», Изд. «Химия»,.
1965.
Литература
1. Т. А л ф р е й, Механические свойства высокополимеров, Издатинлит,.
1952.
2. R. F.' В oyer, R. S. Spencer, J. Appl. Phys., 16, 594 (1945).
3. R. S. Spencer, R. F. Boyer, J. Appl. Phys., 17, 398 (1946).
4. R. S. Spencer, G. D. G i 1 m о r e, J. Appl. Phys., 21, 523 (1950).

Глава t-J
Кристаллизация полимеров*
Является ли данный полимер аморфным или
кристаллическим зависит з первую очередь от геометрических факторов,
В основном кристаллические полимеры обладают регулярной
структурой2. Широко используемые конденсационные
полимеры, включая полиамиды и полиэфиры, являются
кристаллическими. Высокой степенью кристалличности обладают также
полимеры с идентичными заместителями у каждого атома цепи,
сюда относятся полиэтилен и .политетрафторэтилен3.
У аморфных полимеров в твердом состоянии отсутствует
упорядоченное расположение молекул. В молекулах типичных
аморфных полимеров у соседних атомов углерода находятся
различные заместители, так как это представлено, например,
ниже:
[—CH2-CXY-]rt
В качестве примеров назовем полистирол, полиметилметакри-
лат и поливин'илацетат. В молекулах этих некристаллических
полимеров присутствуют асимметричные атомы углерода,
однако D- и L- конфигурации беспорядочно распределяются по цепи.
Некоторые из этих полимеров были получены с использованием
стереоепецифических катализаторов, что обусловливает
упорядоченность расположения заместителей по цепи и допускает
■возможность их кристаллизации4.
5-1. Элементарная ячейка
Структура кристаллических высокополимеров исследуется
различными 'методами, включая дифракцию рентгеновских
лучей, инфракрасную спектроскопию, оптическую и электронную
микроскопию. Элементарная ячейка является такой структурной
единицей, из которой образуются кристаллы. В элементарной
* Эта глава написана Э. Бейром. Обстоятельное изложение вопросов
кристаллизации полимеров дано в монографии L. Mandelkern,
Crystallization of Polymers, 1964, McGrow Hill, N. Y.—Прим. ред.

5-1. Элементарная ячейка
151
ячейке участки полимерных цепей удерживаются друг возле
друга относительно слабыми межмолекулярными силами.
В обычных кристаллах первичными структурными
единицами в элементарной ячейке являются атомы или молекулы..
В случае высокомолекулярных соединений только часть
полимерной цени входит в элементарную 'ячейку. Ее структура
зависит от кО'Нформации и характера упаковки цепи.
Рис. 50. Молекулярная модель, изображающая конформацию
полиэтиленовой цепи.
Конформ1ация молекулярной цепи связана с периодичностью)
расположения атомов вдоль цепи. Она характеризуется типом
повторяющихся элементов и расстояниями между ними. На
рис. 50 показано, что конформация полиэтиленовой цепи
представляет собой зигзаг с повторяющимися звеньями —СНг—СН2—
и периодом идентичности 2,55 А.
Упаковка цепей определяет природу элементарной ячейки.
Структура ее обнаруживается с помощью дифракции
рентгеновских лучей. Типичная картина дифракции рентгеновских лучей
для образца растянутого полиэтиленового волокна показана на
рис. 51. Методика определения структуры элементарной ячейки
по данным дифракции рентгеновских лучей образца выходит за
рамки этой книги. Более подробно это обсуждается Буном5.
На рис. 52 представлена элементарная ячейка полиэтилена,,
представляющая собой параллелепипед с длиной ребра 2,55 А
(вдоль оси цепи). Другие его размеры, как показано на
рисунке, соответственно равны 7,42 и 4,94 А. Вычисления показывают,
что плотность элементарной ячейки при комнатной температуре
составляет Ь 103 кг/м3. Однако измеренные плотности
полиэтиленовых образцов колеблются от 0,9 • 103 до 0,98 • 103 кг/ж3,
причем это уменьшение происходит как вследствие
несовершенной упорядоченности расположения макромолекул, так и
вследствие дефектов кристаллической решетки.

Рис. 51. Дифракция рентгеновских лучей для образца
полиэтиленового волокна.
Рис. 52. Элементарная ячейка полиэтилена.

5-2. Морфология кристаллических полимеров
153
5-2. Морфология кристаллических полимеров*
Были предложены две модели для описания морфологии
кристаллических высокополимеров. Старое понятие бахромчато-
мицеллярной** или кристаллитной модели описывалось в общих
учебниках6,7 по высокополимерам.
Рис. 53. Электронная микрофотография монокристалла
полиоксиметилена, выращенного из раствора.
Из разбавленных растворов были выращены слоистые или
пластинчатые кристаллы полимеров, т. е. было показано
существование монокристаллов у полимеров в твердом состоянии.
* По этому вопросу см. монографию P. M. Ge i 1, Polymer single crystalls,.
1963, Interscience, N. Y.—Прим. ред.
** Представление о бахромчатых кристаллах подверглось наиболее серьезной
критике в работах школы В. А. Каргина, см. В. А. Карг и н, Г. Л. Слон им.
с кий, Краткие очерки по физико-химии полимеров, изд. МГУ, 1960. -
Прим. ред.

154
Гл. 5. Кристаллизация полимеров
Вместе с этим на смену бахромчатой мицеллярной модели
пришла слоистая, или тонкопластинчатая, .модель8-12.
Электронная микрофотография монокристалла показана на
рис. 53. На фотографии видна спиральная структура полиокси-
метиленового кристалла, составленного из многих плоских
слоев. Этот кристалл выращен из раствора диметилфталата.
Было показано, что хотя размер и форма единичного кристалла
зависят от условий его выращивания, для него бывает
характерным определенный тип слоистой структуры.. Опыты по
электронной дифракции показали, что цепи макромолекул
складываются и ориентируются нормально к плоскостям пластин,
толщина которых обычно бывает около 100 А.
Рис.о4. Сферолиты полиэтилена, наблюдаемые между
скрещенными поляризатором и анализатором в микроскопе.
Многие полимерные системы при кристаллизации из
расплава образуют 'сферолитную структуру. Обычно виден
характерный мальтийский крест, когда .полимер помещен 'между
скрещенными николями в поляризационном микроскопе. На рис.-54
показано несколько типичных еферолитов в полиэтилене- низкой
плотности. Сферолиты способны расти по всем трем ншравле-
ниям, их диаметры часто составляют около 0,1 мм.
Наблюдения с помощью электронного микроскопа показали, что.
некоторые сферолиты обладают пластинчатой структурой, подобно
единичным' кристаллам, и имеются данные13 в пользу того, что
.сферолиты представляют собой совокупность таких кристаллов.

5-4. Жесткость и внутреннее трение
155
В рассматриваемой области нужно сделать еще очень много,
так как исследование кристаллических (структур полимеров в
последнее время открыло очень интересное новое направление.
5-3. Ориентация
Когда расплавленный полимер течет через фильеру,
происходит определенная ориентация макромолекул. Более высокая
степень их ориентации обычно получается 'При растяжении
образцов полимеров по'сле кристаллизации (при температуре
ниже точки плавления). Температура растяжения для получения
оптимальной ориентации зависит от природы полимера, а
также от особенностей самого процесса ориентации. Хорошо
известно, что многие волокна и пленки могут быть высоко
ориентированы, что заметно улучшает их прочностные свойства.
Исследования14 полиэтиленовых пленок с использованием
явления дихроизма в инфракрасной части спектра дифракции
рентгеновских лучей и измерения двулучепреломления дали
интересные результаты по ориентации макромолекул и кристаллитов.
В случае пленок, полученных экструзией, оказалось, что оси
а, определяющие длину кристаллитов, ориентированы в
направлении потока, тогда как оси с расположены в
перпендикулярном направлении, которому соответствует направление осей
макромолекул. Совершенно по другому выглядит ориентация
после холодной вытяжки на 200% этих же пленок. Оси
макромолекул имеют преимущественную ориентацию в направлении вы-
тяж'ки, а длинные оси кристаллитов расположены
перпендикулярно направлению вытяжки.
5-4. Жесткость и внутреннее трение
У большинства промышленных аморфных полимеров
температуры стеклования находятся между 320 и 420 °К- В области
температур стеклования аморфные полимеры несколько теряют
свою жесткость, они становятся более мягкими и эластичными
или каучукоподобными и приобретают способность
выдерживать большие деформации без разрушения.
При изучении различных переходов у твердых полимеров
как в аморфной, так и в кристаллической модификациях
используются методы крутильных колебаний* и ядерного
магнитного резонанса.
* Впервые этот метод был предложен в СССР, см. А. П. Александров,
Ю. С. Лазурин, ЖТФ, 9, 1249 (1939). Большое значение имеет также метод
термомеханических кривых, В. А. Карги н и Т. И. Со го лов а, ЖФХ, 23,
530 (1947); Т. И. Соголова, Г Л. С л о н и м ск и й, Ж- ВХО им Д И. Мен.
делеева, 6/ 389 (1961).

1156
Гл. 5. Кристаллизация полимеров
Результаты исследований методом крутильного 'маятника
'Образцов тюлиоксиметиленов различной степени
кристалличности показаны на рис. 55. Из опытов этого типа получены
данные по жесткости и внутреннему трению материала.
10 ю
W9
ю8
4-0
30
го
1й
о
'I I
о
-■ill i
■ I -| I I
11
/J
*тГ i i
д
\
iii.
i i i i
-^•д ^t
•
9*
1 1 1 i I
—гг-
0
^ -
V -
1 1 _
700 200 300
Температура, °К
.400
Рис. 55. Внутреннее трение и модуль при кручении пол-иок-
симетилена (кружки—степень кристалличности 79,5%; точки—
степень кристалличности 65%).
/—максимум первичного стеклования; //—максимум вторичного стеклования-
Ш— максимум разупорядочения (разрушения) кристаллов.
Модуль кручения G представляет собой меру жесткости
материала. Заметим, что более кристаллический образец является
более жестким во всей области температур, охватываемых
опытом. Вблизи 200°К материал теряет жесткость, так как он
проходит через область стеклования II. При 390°К в образце про-

5-4. Жесткость и внутреннее трение
157
исходит некоторое разупорядочивание структуры кристаллов.
Когда температура приближается к точке плавления
кристаллов, модуль G уменьшается до очень малой величины.
Логарифмический декремент 6 — мера «внутреннего трения»
полимера — определяется по затуханию колебаний маятника.
Внутреннее трение характеризуется потерями, диссипацией
энергии, рассеиваемой в результате теплового движения
молекул. Из данных рис. 55 видно, что в более кристаллическом
образце внутреннее трение меньше, чем в менее кристаллическом.
Это свидетельствует о том, что внутреннее трение в большей
степени связано 'С неупорядоченностью 'структуры твердых
кристаллических полимеров.
Резкий пик кривой внутреннего трения вблизи области
стеклования II указывает на то, что при этой температуре
происходит относительно резкое изменение состояния полимера, что
соответствует переходу от жесткого, хрупкого материала к
мягкому, эластичному.
Температура стеклования большинства промышленных
кристаллических полимеров обычно лежит между 170 и 270 °К,
что значительно ниже, чем температуря стеклования аморфных
полимеров. Поэтому кристаллические полимеры при рабочих
температурах являются гибкими и в то же время жесткими,
так как кристаллические части будут сообщать полимерам
жесткость вплоть до температур, близких к точке плавления
кристаллов. Это значит, что полимеры с высокой температурой
плавления кристаллов и низкими температурами стеклования
должны обладать хорошими механическими свойствами. К
кристаллическим полимерам, которые ведут себя подобным
образом, относятся полиоксиметилен и различные полиамиды.
Для определения точки плавления кристаллических
полимеров использовались многие приемы, включая оптическую
микроскопию, инфракрасную спектроскопию и дилатометрию. Для
того чтобы получить воспроизводимые значения температуры
плавления, образец должен нагреваться очень медленно. Если
это условие соблюдается, то результаты показывают, что
точка плавления не зависит от термической предыстории
испытуемого образца и условий кристаллизации.
Рис. 66 показывает кривые плавления для полиэтилена
низкой плотности, полученной двумя различными приемами. При
использовании дилатометрического метода температура
плавления оказалась равной 112,5°С, тогда как согласно методу
инфракрасной спектроскопии она равна 109,6 °С. Отсюда
следует, что измеренная точка плавления зависит от особенностей
метода ее определения55.

J 58
Гл. 5. Кристаллизация полимеров
Хотя плавление кристаллических полимеров представляет
четко выраженный .процесс, однако из-за неполной
упорядоченности ^расположения макромолекул в кристаллитах можно ожи-
13,6
и, г
jг, в
к.*
12,0
/кг
ю.в
ю, t
/0,0
9,6
В
"•г
У
Э
j
Г С
<{-
■-?
ъ\
i)
L
--
-
-
25
30
35
40
45
50
дч 98 юг we no m
Температура, °0
118
Рис. 56. Кривые плавления для полиэтилена15,
определенные дилатометрическим методом А и
методом инфракрасной спектроскопии.
дать, что процесс их плавления должен проходить в некоторой
области температур.
С классических позиций переход первого рода происходит
резким .скачком. Это может быть реализовано только тогда,
когда кристаллические области являются совершенно
упорядоченными. Так как все кристаллические полимеры образованы из
макромолекул, которые имеют разветвления и концевые группы,
то они должны отличаться известной неупорядоченностью
упаковки макромолекул в кристаллитах.
Таким образом, не удивительно, что у кристаллических
полимеров процесс плавления совершается >в определенном
интервале температур.

5-5. Кинетика кристаллизации 159
5-5. Кинетика кристаллизации
Кроме прямого наблюдения, природу кристаллических
полимеров можно изучать по кинетике кристаллизации. Когда эти
два приема сочетаются, то получаются взаимно
подтверждающие доказательства, способствующие полному изучению
системы.
Для изучения скоростей кристаллизации обычно
используются два приема. Дилатометрический метод часто 'используется,
чтобы следить за изменениями объема во время процесса
кристаллизации. На рис. 57 показана зависимость относительного
1,0
0,8
%
^ 0,6
%0,<t
о, г
о
60 600 6000
Время, сек
Рис. 57. Изменение объема во время кристаллизации
полипропилена, при различных температурах18.
объема (ДУУДУоо) от времени при разных температурах
кристаллизации для -полипропилена16 Если отложить изменение
относительного объема в- зависимости от -логарифма времени,
то кривые скорости кристаллизации приобретают S-образную
форму. При смещении вдоль оси логарифма времени они
пересекаются ->п.РУг с Другом. Второй метод17,18, который часто
используется,— инфракрасная опектрофотометрия. Когда
поглощение изображается в виде функции времени, получаются
подобные же кривые.
Общеизвестная теория19 кинетики кристаллизации связывает
часть неза^ристаллизовавшегося материала ф и время t
уравнением
1пф = — Ktn (5-1)
где К — обобщенная константа скорости, а п—гпараметр, при-

160
Гл. 5. Кристаллизация полимеров
нимающий значения 1, 2, 3 и 4 сообразно природе центров
кристаллизации и процесса их роста, как показано в табл. 5-1.
ТАБЛИЦА 5-1
Тип роста
Линейный
(Одномерный)
Пластинчатый
(Двумерный)
Сферический
(Трехмерный)
Образование центров
кристаллизации
Постоянное
Спорадическое
Спорадическое
Постоянное
Спорадическое
п
1
2 ■
2
3
3
4
«Постоянное образование центров кристаллизации» означает,
что скорость образования центров кристаллизации не
изменяется в течение процесса кристаллизации, в то время как
спорадическое образование центров кристаллизации «соответствует
тому», что концентрация центров кристаллизации постоянно
увеличивается во время процесса.
Если AVao представляет собой изменение объема при
полной кристаллизации, a AV—изменение объема при частичной
кристаллизации, тогда (АК/ДУоо) характеризует степень
кристаллизации. Следовательно
, 41/
ф = 1 —w-
На рис. 58 показана кинетика кристаллизации для
полипропилена согласно уравнению
0,0
0,1
"4^0,2
% ОА
^0,5
^0,6
' 0,7
0,8
р
\ °
— Ц_ о
> о
X О"
Z Ь 6 8 Ю 12 П 16 18 20
(Время)31СГ1в, сек3
Рис. 58. График Аврами16 для скорост
ти кристаллизации полипропилена
при 128 °С.
(5-1) при я=3. Заметим, что
на начальных стадиях
процесса кристаллизации
данные очень хорошо
соответствуют уравнению, но после
того, кяк процесс
кристаллизации завершен почти
наполовину, наблюдается
увеличивающееся отклонение
от линейности. Этот* факт,
вероятно, обусловлен
изменением величины п, что
вызывается началом
вторичного процесса кристаллизации.
Это может продолжаться
годы.

5-5. Кинетика кристаллизации
161
Когда уравнение (5-1) записано з виде
1п[— 1пф] = \пК + n\nt
(5-2)
+ ч.о
+ 2,0
-2,0
-4,0
то ясно, что график зависимости 1п[—lncp] от \nt должен
представлять собой прямую линию при условии, что п не
изменяется.
На рис. 59 показаны кинетические данные для полиэтилен-
терефталата (точка
плавления 265 °С), отложенные
согласно уравнению (5-2),
когда кристаллизация
происходит при различных
температурах закаливания20.
Заметим, что п изменяется
от 2 при низкой
температуре до 4 при высокой
температуре. Следовательно,
механизм кристаллизации
зависит от температуры, при
которой это происходит. При
более высоких температурах
тип роста — сферический,
а образование центров
кристаллизации может быть
охарактеризовано как
спорадическое. Однако при
пониженных температурах
рост может быть или
линейным и образование центров
кристаллизации
спорадическим, или пластичным и
образование центров
кристаллизации постоянным. Используя электронный микроскоп, можно
прямым наблюдением установить различие между двумя
механизмами. Этот пример показывает необходимость сочетать изу-?
чение кинетики кристаллизации с прямыми наблюдениями за
этим процессом.
Константа скорости К зависит от температуры и при
некоторой температуре для многих систем проходит через максимум.'.'
Это легко показать, построив зависимость К от Т.
Исследование уравнения (5-1) показывает, что обратная величина
полупериода процесса кристаллизации пропорциональна К1/п и, по-
видимому, также зависит от Т.
-6,0
/
/
/
/
110-
1
1
i
236 j /1
1
/
4t
fit
/ и
Vtf'
4 P
j2*
1/
r
i
3
1
0
:
0
2,0 4,0
tnt
6,0
Рис. 59. Влияние температуры
охлаждения на механизм кристаллизации.20

162
Гл. 5. Кристаллизация полимеров
На рис. 60 показана температурная зависимость величины
обратной полупериоду кристаллизации для полиэтиленсукцина-
та21. Отдельные кривые от Л до F соответствуют фракциям
полимера с различным молекулярным весом. Температура, при
которой скорость является максимальной, не зависит от молекуляр-
о 50
Температура, °С
ЮО
Рис. 60. Величины, обратные полупериодам кристаллизации для
полиэтиленсукцината (молекулярные веса фракций
увеличиваются от Л к F)21.
но'го веса. Однако величина, обратная полупериоду при
температуре, отвечающей максимальной скорости кристаллизации,
уменьшается 'С увеличением молекулярного веса. Это означает
уменьшение максимальной скорости кристаллизации с увеличением
молекулярного веса.
Подобные результаты получены и в опытах по измерению
скорости роста сферолитов22. 'На рис. 61 показаны некоторые
типичные данные для роста сферолитов как функции времени
при различных температурах. Тангенс угла .наклона прямых на

5-5. Кинетика кристаллизации
163
рис. 61 определяет изотермическую константу скорости роста.
Эти исследования показали, что максимальная скорость роста
находится около 26 °С. Отсюда можно заключить, что
температурная зависимость скорости роста сферолитов подобна той,
которая была рассмотрена выше для процессов кристаллизации.
50 700
Время, мин
150
Рис. 61. Скорость роста сферолитов полиэтиленгликольадипата
при различных температурах22.
Когда полимер охлаждается ниже своей точки плавления*
кристаллизация наблюдается не сразу. Время, необходимое для
того, чтобы появились первые признаки кристаллизации,
называется индукционным периодом п. На рис. 57 показано, чт©
для полипропилена при 1,23 °С индукционный период меньше
2 мин. Тот факт, что индукционный период сильно зависит от
температуры, доказывается прямым сравнением с данными при
142°С. При этой температуре индукционный период равен

164
Гл. 5. Кристаллизация полимеров
90 мин. Показано, что температурную зависимость;
индукционного периода можно выразить соотношением вида
т,« АТ'г
где AT — разность между температурой плавления и
температурой, при которой наблюдается кристаллизация. В литературе
приводится значение е, лежащее в интервале от 2,5 до 9.
Влияние ориентации на скорость кристаллизации показано
при наблюдении изменений плотности во времени для
растянутого каучука23. Из рис. 62 ясно видно, что скорость кристалли-
&Z0
. v. 6 12 18 ч
>£.г^ Время t-Ю^сен '"
Рис. 62. Изотермическая кристаллизация сырого
каучука при различных температурах23.
зации заметно возрастает с увеличением деформации. При
большом растяжении скорость кристаллизации так велика, что
методом изменения плотности нельзя уловить начало процесса
кристаллизации. Эти результаты показывают, что растяжение
облегчает упорядоченное расположение цепей макромолекул,
явно неотъемлемой ступени процесса кристаллизации.
Задача
5-1. Рассмотрим кристаллизацию полиэтилентерефталата, когда
расплавленный-материал охлаждается при 110°С. Оценим время, требуемое для
того, чтобы материал закристаллизовался на 50 и 95%.
,5.-2. Вычислим полупериоды кристаллизации полиэтилентерефталата при
110 °С и-кристаллизации полипропилена при 128 °С.
5-3; Из кривых рис. 57 определим зависимость константы скорости К
для .кристаллизации полипропилена от температуры.

Литератур/2
165
Литература
1. Polychemicals Department, E. I. du Pont de Nemours and Co., Wilmington,
Del.
2. С W. В u nn, J. Appl. Phys., 25, 820 (1954).
3. L. M a n d e 1 к е г n, Chem. Rev., 56, 903 (1956).
4. G. N a t t a, J. Pholymer Sci., 16, 143 (1955).
5. С W. Bun n, Chemical Cristallography, Clarendon Press, Oxford, 1946.
6. P. J. Flory, Principles of Polymer Chemistry, Cornell University Press,
Ithaca, New York, 1953.
7 Т. Алфрей, Механические свойства высокополимеров, Издатинлит, 1952.
8. A. Keller, in «Growth and Perfection of Crystals», edited by R. H. Dore-
mus, B. W. Roberts, D. Turnbull, New York, 1958.
9. P. H. Til 1, J. Polymer Sci., 24, 301 (1957).
JO. A. Keller, Phil. Mag., 2, 1171 (1957).
11. E. W. Fisher, Z. Naturforsch., 12a, 753 (1957).
12. P. H. G e i 1, Morphology of an Acetal Resin, paper presented at Am.
Physical Soc. Meeting, Detroit, March, 1960.
13. E. W. Fischer, Z. Naturforsch., 12a, 753 (1957); R. E p p e,
E. W. Fischer, H. A. Stuart, J. Polymer Sci.,34, 721 (1959).
14. S. L. Aggarwal, G. P. T i 1 1 e y, O. J. Sweeting, J. Appl.
Polymer Sci., 1, 91 (1959).
15. R. В u с h d a h 1, R. L. Miller, S. Newman, J. Polymer Sci.,
36, 215 (1959).
16. L. M ar ker, P. M. H a y, G. P. T i 1 b y, R. M. Early,
O. J. Sweeting, J. Polymer Sci., 38, 33 (1959).
17 W. H. С о b b s, R. L. Burton, J. Polymer Sci., 10; 275 (1953).
18. F. P. R e d i n g, А. В г о w n, J. Appl. Phys., 25, 848 (1954).
19. M. A v r a m i, J. Chem. Phys., 7, 1103 (1939); 8, 212 (1940).
20. L. B. Morgan, Phil. Trans. Royal. Soc, A247, 21 (1954).
21. K- U e b e r r e i t e r, G. К a n i g, A. S. Brenner, J. Polymer
Sci., 16, 53 (1955).
22. L. Man del kern, S. P. E. Journal, 15, 63 (1959).
23. Л. Трелоар, Физика упругости каучука, Издатинлит, 1953.

Глава О
Поверхностные явления *
Если два различных тела приведены в тесный контакт, то
между «ими возникают силы притяжения, действующие через
их поверхность раздела. Нередко такие силы имеют
значительную величину, так что эти тела в большой степени
сопротивляются разрыву. Это явление называется адгезией. По
существу это поверхностное явление, сильно зависящее от природы
поверхностей и от условий их контактирования.
Поверхность раздела имеет большое значение в адгезивной
связи. Родственное явление — когезия — связано с силами
притяжения, действующими между однородными молекулами, и
является объемным, а не поверхностным явлением. Когезион-
ные силы ответственны за плотную упаковку молекул в твердых
телах и жидкостях в противоположность газам.
Адгезия является важным фактором в таких операциях, как
нанесение покрытий методом экструзии и изготовление слоисты;-:
пластиков. При термической сварке также сначала образуется
адгезионная связь, но затем в результате диффузии цепей
поверхность раздела постепенно исчезает, а связь по своей
природе становится котезионной. Для того, чтобы типографская
краска прилипала к большинству полимерных пленок, необходимо
активировать их поверхность. Активация представляет собой
процесс, при котором изменение химической или физической
природы поверхности связано с прохождением пленки через
пламя газовой го-релки или коронный разряд.
Эта глава является введением в теорию адгезии, содержит
обзор процессов поверхностной активации полимеров и анализ
кинетики поверхностной активации при коронном разряде как.
наиболее важном активационном процессе.
6-1. Термодинамика адгезии
Термодинамическое рассмотрение явления адгезии приводит
к определенным выводам, касающимся работы или энергии ад-
* См. также С. С. Воюцкий, А^тэгезия и адгезия высокополимеров. Гостех-
пздат, 1960.

6-1. Термодинамика адгезии
167
гезии. Оно не .использует допущений, относящихся к
молекулярной структуре или природе межмолекулярных сил притяжения,
ответственных за адгезию. С другой стороны, это рассмотрение
не дает сведений, касающихся силы, необходимой для
разделения пары адгезивов, хотя это представляет значительный
практический интерес.
Термодинамический анализ показывает, что для обратимого
процесса, в котором начальное и конечное состояния находятся
при одинаковых температуре и давлении
W = — Д(7 (обратимый процесс) (6-1)
где W — полезная работа (полная работа без работы
расширения), проделанная системой против среды, а ДТ5 представляет
собой изменение свободной энергии системы между начальным
и конечным состояниями.
Теперь приведенное выше уравнение применим к процессу,
показанному на рис. 63,а, в котором столб жидкости, имеющий
а Х ff
Рис. 63. Расчет изменения свободной энергии:
а—процесс, иллюстрирующий работу когезии; б—процесс, иллюстрирующий работу адгезии.
площадь поперечного сечения Л, .разделяется обратимо на две
части. В результате получается новая поверхность, имеющая
•площадь 2А. Работа, проделанная над системой (жидкостью)
в течение процесса разрыва, идет на увеличение свободной
энергии системы в соответствие с уравнением (6-1). При
одинаковых начальных и конечных значениях температуры и
давления единственным изменением, имеющим место в состоянии
системы, является увеличение ее поверхности, что соответствует
возрастанию свободной энергии.
Пусть Gi представляет со!бой свободную энергию системы в
начальном состоянии.В конечном состоянии свободная энергия

168
Гл. 6. Поверхностные явления
системы равна £г + 2Ауъ, где уь — свободная энергия,
единицы поверхности. Изменение свободной энергии для .процесса,
показанного на рис. 63,а, равно 2Луь, а полная [работа,
проделанная системой в течение процесса, равна +2AyL. Если ее
отнести, к единице площади, то она называется работой когезии
и обозначается в дальнейшем через Wc. Следовательно
WC = 2U
(6-2)
Работа когезии представляет собой минимальную работу,
которая требуется для преодоления межмолекулярных сил
притяжения в столбе жидкости с поперечным сечением в 1 см2.
Величина свободной поверхностной энергии определяется
соотношением сил, направленных внутрь жидкости >и в газовую,
фазу. Это результат более плотной упаковки молекул жидкости
по сравнению с газом. (Молекулы внутри тела в среднем
притягиваются одинаково во всех направлениях, потому что
молекулярная плотность может быть принята одинаковой во всех
направлениях.) В результате действия силы, направленной от
поверхности внутрь жидкости, последняя стремится
самопроизвольно принять форму с -минимальной поверхностью, что
соответствует состоянию с минимальной свободной энергией.
Вследствие этой тенденции самопроизвольного сжатия
можно представить себе, что поверхность жидкости находится в
состоянии натяжения, которое
характеризуется вектором силыг
действующей по касательной к
поверхности во всех точках и во
всех направлениях. Кроме того,
если поверхность растягивается
или сжимается, сила остается
постоянной, так что поверхностное
натяжение не зависит от
размеров поверхности. Рассмотрим
процесс образования новой
поверхности, как это показано на
рис. 64, где сила F
прикладывается к полоске длиной L, которая
расположена на границе
поверхности. Работа, проделанная при движении полоски в
направлении х, подсчитывается как
>.г
Рис. 64. Сила F перемещает
полоску вправо, создавая
новую поверхность.
W
Fdx = Fl±x

6-1. Термодинамика адгезии
169
Площадь новой поверхности, образованной при этом процессе,
равна LAx, так что, работа, приходящаяся на единицу площади
образованной поверхности или поверхностная энергия, равна
W _ F _
Ш ~ L ~ Tl
Сила, .приходящаяся на единицу длины (F/L), 'называется
поверхностным натяжением. Заметим, что она равна
поверхностной энергии на единицу площади, и символ у применяется для
обеих величин. Поверхностное натяжение в СИ выражается в
я/м, а поверхностная энергия в дж/м2.
Твердые тела также характеризуются свободной
поверхностной энергией, обозначаемой символом ys. Во избежание
неопределенности часто применяется двойная запись индексов.
Например, ysL относится к поверхностной энергии твердого тела в
контакте с жидкостью, тогда как уел относится к поверхностной
энергии твердого тела в контакте с воздухом. Вообще эти
величины различны, и лучше говорить о свободной поверхностной
энергии на данной границе раздела, нежели о поверхностной
энергии тела вообще. Использование символов ys и уь
предполагает, что поверхностынаходится в вакууме.
Минимальная работа, .необходимая для разделения лары не-
смешивающихся жидкостей по их. поверхности раздела (см.
рис. 63, б), определяется из уравнения Дюпре:
Wa = u+lB-UB (6-3)
тде Wa — работа адгезии; уАВ — энергия на границе раздела
пары жидкостей; уА и ув — поверхностные энергии чистых
жидкостей. Работа адгезии для системы твердое тело — жидкость
дается аналогичным уравнением:
^«=Tl+Ts-Tls (6-4)
Простые 'и прямые методы независимого определения Ys и
ysL отсутствуют. Однако эти величины могут быть связаны с
краевым углом, величину которого можно измерить
непосредственно. Рассмотрим каплю жидкости на плоской
горизонтальной твердой поверхности, окруженную воздухом, как показано
на рис. 65. Три поверхности раздела на кромке капли имеют
границу, которая может быть представлена точкой, если
рассматривать .поперечное сечение капли. На рисунке показаны
векторы силы .в плоскости поперечного сечения и соответственно
представлены три контактных напряжения в этой точке. Заме-

170
Гл. 6. Поверхностные явления
тим, что векторы являются касательными к поверхностям, на
которых они действуют. В условиях равновесия
ISA = TSL + lLA COS (6) (6-5)
Угол 9 называется краевым углом капли. Согласно
приведенному вы*ше уравнению он является функцией только поверхностной
энергии на границе раздела фаз и, следовательно, 'Свойством:
Воздух / __^ Жидкость
Твердое
г / \® г у<тело
Рис. 65. Капля жидкости, находящаяся на
горизонтальной поверхности. Векторы показывают
межфазные поверхности натяжения.
системы. Краевой угол характеризует способность жидкости
смачивать твердое тело: полное смачивание имеет место только.
при 0=0.
Когда измеряется краевой угол, обычно наблюдается гисте-
резисный эффект. При нанесении жидкости на поверхность к
при удалении ее с поверхности получаются различные углы.
Краевые углы при нанесении и удалении жидкости могут
различаться в пределах 40°. Из всех прочих факторов,
рассмотренных Адамом1, включая загрязнение и шероховатость
поверхности, проблема воспроизводимых измерений краевых углов
составляет наибольшую экспериментальную трудность.
Комбинация уравнений (6-5) и (6-4) дает выражение для
работы адгезии:
^e = TLA[l+cos(ee)] (6>0) (6-6)
Заметим, что оно содержит только непосредственно измеримые
величины, но ограничено случаем адгезионного взаимодействия
твердого тела с жидкостью, при котором имеет место неполное
смачивание твердого тела. При полном смачивании капли не
образуются и справедливость уравнения (6-5) сомнительна.
Краус2 подытожил результаты многих прямых измерений
работы адгезии. Эти измерения были проведены при иепользо-

6-1. Термодинамика адгезии
171
вании точных калориметров с твердым веществом в тонко
измельченной форме с известной площадью поверхности.
Величина Wa Для большинства систем твердое тело — жидкость
находится в пределах от '200 до 300 эрг/см2 (от 0,2 до 0,3 дж/м2).
Адгезия в этих системах обусловлена, вероятно,
дисперсионными силами. Если молекулы жидкости имеют дипольный момент,
то работа адгезии обычно увеличивается на 100—200 эрг/см2
(0,1—0,2 дою/м2) под влиянием их электростатического
'притяжения. Те жидкости, которые способны образовывать водородные
связи, показывают наибольшие Wa. Так. например, для
окислов металлов и воды работа адгезии достигает 700—1000 эрг/см'2
(0,7—1 дж/см2).
Аллан3 измерял краевые углы капель водно-спиртовых
растворов на поверхности полиэтиленовых пленок. При изменении
состава раствора значение уьл изменялось от 20 до 70 эрг/см2
(от 0,0!2 до 0,07 дж/м2). Результаты, полученные с тремя неак-
тизированными полиэтиленовыми пленками, показаны на
рис. 66, а. Соотношение между уЬл и cos (0'd), где 0а — краевой
угол, наблюдаемый при растекании жидкости, линейно.
Величина Y0 представляет собой максимальное значение уьл, Для
которого должно иметь место полное смачивание (6а = 0). Она
является характеристикой поверхности. Для неактивированных
полиэтиленов, испытанных Алланом, значение этой
характеристики—около 21 эрг/см2 (0,021 дж/м2).
Результаты серий подобных экспериментов, но
использующих поверхность активированного полиэтилена, показаны на
рис. 66,6. Когда степень активации увеличивается, величина Y0
тоже увеличивается, вплоть до 30 эрг/см2 (0,03 дж/м2) для
образца с максимальной степенью активации. Измерение
адгезии краски путем нанесения тонкого ее слоя между двумя
пленками и определение силы, требующейся для расслаивания
пленок, было затем сопоставлено со значениями у0. Результаты
.показаны на рис. 67, где величина адгезии краски дана в
зависимости от y°- Ниже примерно 2,8 эрг/см2 (0,028 дж/м2) адгезия
весьма незначительна. Выше этой величины она быстро
возрастает до 240 г/см (240 н/м). Значение уьл для краски,
использованной при испытании, равно 26,6 эрг/см2 (0,0266 дж/м2);
отсюда Аллан сделал вывод, что необходимым условием для
адгезии является полное смачивание поверхности адгезивом.
Термодинамическое рассмотрение вопроса дает возможность
сделать некоторые вызоды, касающиеся адгезионного и коге-
зионного процессов разделения в системах твердое тело—
жидкость. Предполагается, что процесс разрыва тел, независимо
от того когезия это или адгезия, приводит к созданию
поверхностей, не загрязненных воздухом или адсорбированными па-

172 Гл. 6. Поверхностные явления
рами. Работа когезии и адгезии определяется соответственно-
уравнениями (6-2) и (6-3). Вычитание одного из другого дает
Wa-Wc=(ls~lL-Us) (6-7)
ч?
CJ
<г>
Cos
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
О Л
u;j
0,2
0,1
О
- o,i
- 0,2
- 0,3
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О
-0,1
-0,2
-0,3
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Поверхностное натяжение 6-103,н/м
Рис. 66. Влияние поверхностного натяжения на краевой угол:
а—неактивированные образцы полиэтилена; б—полиэтиленовые пленки различных степеней
активацииЗ (цифры на кривых—время активации в сек)
Краевой угол для рассматриваемой системы твердое тело —
жидкость, если измерение производится в воздухе, находится из
уравнения (6-5). Комбинирование его с уравнением, приведен-
а
-
^ч®
ON
!
|
и >\.
-
-
-
*
"Т>
го
зо
45
60
75
90/
<£'
Q?

6-1. Термодинамика адегезии
173
ным выше дает
К = Wc - (Tw - Ts) + [lLA cos (9) - т J
(6-8)
Если изменение свободной поверхностной энергии твердого
тела обозначить AEs, то
AES = fSA —
IS
Предполагая, что адсорбцией
воздуха на поверхности
жидкости можно пренебречь, yla =
= Yl, получим:
W,
WC-AES
—cos(6)]
ТмЧ
(6-9)
$ гьо
% 200
§ ко
^ Г 20
Is
&
во
40
о ь
—1
э/
I of
J °
/ о
о S
Если поверхностное
натяжение жидкости таково, что
твердое тело его смачивается,
9 =0 и уравнение (6-9)
принимает вид
2,0 2,2 2,** 2,6 2,8 3,0 3,2
Т°, н/м2
Рис. 67. Влияние -(о на адгезию3
типографской краски, для которой
1LA =2,66 н/м2.
Wa = Wc-*Es
Так как адсорбция экзотермический процесс, то AES является
отрицательной величиной, и работа адгезии превышает работу
когезии. Можно сделать вывод, что разделение системы будет
происходить скорее когезионно в жидкости, чем адгезионно на
поверхности .раздела твердое тело—жидкость. Данные,
представленные в табл. 6-1 для адгезии полиэтилена и полистирола
к стали подтверждают это заключение.
ТАБЛИЦА 6-}
Предельные значения адгезии полиэтилена и полистирола к стали*
Полимер
Полиэтилен
Полистирол
Температура
°С
22
—24
—60
82
64
45
25
—24
Предельная адгезия 10
Н/М.2
1,94
3,45
4,44
2,11
2,71
3,38
4,12
5,60
Предел прочности
при растяжении 10 "
Н/М.2
1,41
2,82
5,70
2,68
3,00
3,35
3,77
5,07
* G. Kraus, J. E. Manson, J. Polymer Sci., 6, 625 (1955).

174
Гл. 6. Поверхностные явления
Адгезия измерялась путем крепления тонких пленок
полимера к торцам металлических цилиндров и последующего
разделения 'цилиндров в испытательной машине. Значение
предельной адгезии было получено испытанием пленок различной
толщины и экстраполяцией толщины до нуля. Это уменьшает
краевые и другие внешние эффекты. Соответствие «между
значениями предельной адгезии и разрывной прочностью
полимера является очень хорошим, показывая, что разрушение
происходит скорее когезионно, чем адгезионно.
6-2. Межмолекулярные силы в адгезии
Межмолекулярные силы, ответственные за адгезию,
обычно относятся к вторичным валентным связям и включают силы,
которые обусловлены водородными связями, постоянными и
индуцированными диполями и дисперсионными силами. Эти
силы являются сложной функцией расстояния, разделяющего
тела, и их взаимной ориентации. Для рассмотрения этих сил и
методов их расчета следует сослаться на учебники4 по
молекулярной физике.
Вообще, две молекулы будут отталкиваться, если
разделяющее их расстояние г меньше, чем некоторое равновесное
значение г0, и будут притягиваться, когда г>г0. В состоянии г0
потенциальная энергия ф системы имеет свое минимальное
значение— ф0. Увеличение или уменьшение расстояния между
молекулами требует совершения работы, которая накапливается
в системе в виде потенциальной энергии. Для данного
расстояния запасенная энергия зависит от вида функции
потенциальной энергии изучаемой системы. Рис. 68 показывает типичную4
функцию, потенциальной энергии для молекулы, расположенной
вне поверхности твердого тела на расстоянии г =0.
Потенциальная энергия принимается разной нулю, когда молекула
удалена в бесконечность. Производная функции потенциальной
энергии даст силу, которая должна 'быть приложена для удержания
молекул на данном расстоянии г. Это также показано на
рис. 68. Заметим, что сила меняет знак в г0, что указывает на
переход от отталкивания к притяжению.
Работа, необходимая для изменения положения молекул от
их равновесного состояния до такого, при котором они
бесконечно удалены друг от друга, дается интегралом:
оо оо
W=^Fdr=^(Jp)dr = <p(oo)-9(r0)
га га

6-2. Межмолекулярные силы в адгезии 175
где
<р(оо) = О
Ф (го) = — ?о
так что работа, требуемая для процесса разделения, равна сро-
Краус и Менсон5 рассчитали адгезию полиэтилена и
полистирола к стали. Они предположили,
что адгезия почти полностью
обусловлена дисперсионными силами и что
функция потенциальной энергии
взаимодействия между мономерной
единицей полимера и поверхностью стали
дается уравнением
ф = ВГ° — А (2гу
(6-10)
где А и В — характеристические
постоянные.
Постоянные А и В можно выразить
через фо и г0, отметив из рис. 68, что D __ т,
f ти и, р » pHCi gg> кривые
потенциала и силы для молекулы2,
Ф ('о) = —>о
ф' (Го) = 0
находящейся вне
поверхности твердого тела при г=0.
где q/=(dcp/dr). Уравнение (6-10) тогда может быть записано
как
Ф = —
Фо
2
зГ-й-У-
(6-П)
Сила F, найденная дифференцированием уравнения (6-11),
равна
F
9ф„
2г„
(6-12)
Заметим, что когда г = г0, сила F = 0, а когда F проходит через
точку (г/го) = (10/4)1/б, то она имеет максимальное значение:
/w=l,46 №
_Фо
Приняв, что для рассматриваемой системы работа адгезии
имеет величину порядка 100 эрг/см2 (0,1 дж/м2) -и равновесное
расстояние разно 4 А, значение ^тах определяется следующим

176
Гл. 6. Поверхностные явления
подсчетом:
(1,46)(o,i;
F =
1 max
(4-10-w) = 3,7- Ю8 н/м2 = 3700кг/см2
Заметим, что значение этой величины на много порядков
больше, чем измеренная предельная адгезия для полиэтилена и
полистирола к стали.
Тейлор и Рутцлер6 указали на то, что 'Геометрические
ограничения, обусловленные особенностью структуры полимеров и
поверхности металла, могут .препятствовать всяким
взаимодействиям с поверхностью, кроме взаимодействия малой доли
соответствующих моио'мерных единиц. Тогда значение работы
адгезии в приведенных выше расчетах было бы слишком велико.
На основе использования молекулярных моделей эти ученые
пришли к выводу, что в процессе адгезии полиэтилена и
полистирола к стали реализуется не более 1 % возможных
взаимодействий молекул полимеров и поверхности модели.
6-3. Поверхностная активация полимеров
Хотя неполярные полимеры, такие, как полиэтилен, не
прилипают достаточно хорошо к другим материалам, во многих
случаях они все же могут быть соединены с бумагой, металлом,
целлофаном, красками и другими пластиками. Для того, чтобы
достичь удовлетворительной адгезии, необходимо активировать
поверхность неполярных материалов перед тем, как они
соединяются с другими материалами.
Для поверхностной активации используют различные
способы. Они включают различные виды химической обработки —
газообразным хлором, озоном и другими окисляющими
агентами, обработку горячими газами, пламенем и электрическими
разрядами различных типов.
По Аллану3, полное смачивание является необходимым
условием хорошей адгезии. Как показано на рис. 66, активация
увеличивает смачиваемость (уменьшается краевой угол)
поверхности для полярной жидкости. В связи с тем, что такие
материалы, как полиэтилен, смачиваются типографскими
красками только после активации, активация поверхности является
необходимым условием для печати на полиэтилене.
Активация делает полиэтилен совместимым с типографскими
красками и увеличивает его адгезию к .металлам и окислам
металлов. Были сообщения, что адгезия полиэтилена к
нержавеющей стали увеличивается в зависимости от степени
окисления полиэтилена7.
Большинство исследователей сходятся на том, что
активация является результатом образования полярных групп на по-

6-4. Поверхностная активация коронным, разрядом 177
верхности полимера. Россман8 активировал образцы
полиэтиленовых пленок пламенем, тлеющим электрическим разрядом,
л также используя контактную щетку при разряде катушки
Тесла. Спектрофотсметрическое 'Исследование показало, что во
всех трех случаях было окисление.
Хайнс9 провел подобные исследования на полиэтиленовой
пленке, активированной пламенем. Он пришел к выводу, что
на поверхности образуются гидроксильные или эфирные
группы, вероятно, типа ацеталей (формалей) или полуацеталей.
Различные способы химической обработки для активации
поверхностей полимерных пленок собраны и обобщены Блоу-
эром10. Одновременное действие газообразного хлора и
ультрафиолетовых лучей оказалось довольно удачным. Волынский11
сообщил, что пленки могут быть активированы смесью озона
или озона с окислом азота. Хор гон12 запатентовал процесс
активации окислением хромовой кислотой и другими сильными
окисляющими агентами. Крайдл'3 установил, что активация
получается также в том случае, когда поверхность полиэтилена
имеет высокую температуру, а в объеме материала температура
гораздо ниже. Он предлагает- использование тепла,
выделяющегося при сгорании газов, горячего воздуха, действие
открытого пламени без непосредственного контакта, а также
использование электрических нагревателей.
Практически наиболее важны два процесса активации.
Первый, запатентованный Кричевером14, состоит в прямом
действии открытого пламени на поверхности пленки. Другой
процесс, запатентованный Тревером15, состоит в пропускании
пленки через электрическое поле, в котором осуществляется
бомбардировка ее поверхности быстрыми электронами.
6-4. Поверхностная активация коронным разрядом
Поверхностная активация с помощью коронного разряда
требует относительно несложного оборудования, легко
контролируется и дает однородную поверхность и воспроизводимые
результаты. Процесс, который имеет значительный
практический интерес, показан на рис. 69.
Оборудование состоит из генератора, который создает
переменное поле высокого напряжения у острого конуса электрода.
Вращающийся -металлический барабан, имеющий заземление,
расположен так, что между его поверхностью и краем электрода
имеется небольшой зазор. Пленка протягивается барабаном
через зазор так, что ее внешняя свободная поверхность
подвергается действию электрического разряда.

178
Гл. 6. Поверхностные явления
Соответствующая электрическая схема этого процесса также
показана на .рис. 69. Предполагается, что пленка полимера не
проводит ток и, таким образом, обусловливает только емкостное
Коронный
_ разряд
I
_]_ Возду,
"Г зазор
шныи
ШШЩ
Рис. 69. Прибор (а) для активации поверхности пленки пластика коронным
разрядом и соответствующая электрическая цепь (б):
1—высоко вольтные электроды; 2—металлический барабан; 3—заземление; 4—пленка.
сопротивление в цепи. В неионизированном состоянии воздух
в зазоре не является проводником, но в присутствии ионов
электрический ток может проходить через зазор. Воздух,
следовательно, одновременно выполняет функции конденсатора и
сопротивления. В зависимости от состояния воздуха та или иная
из этих функций преобладает. Значит, до разряда
(ионизации) воздуха это эквивалентно электрической цепи, которая
состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов,
а после разряда—'из конденсатора и сопротивления, также
соединенных последовательно.
Коронные разряды, которые характеризуются высокими
напряжениями и слабыми токами, могут наблюдаться при
атмосферном давлении, когда один из электродов имеет острые края
или выступы. Разряд начинается тогда, когда потенциал
электрода возрастает до такого значения, что происходит частичная
ионизация газа. Зазор заполняется бледно-фиолетовым
пламенем, слышится свистящий шум и может быть обнаружен запах
озона. Иа острых краях электрода возникают ярко-голубые
потоки, которые заканчиваются в зазоре. Если бы пленка
полимера отсутствовала или она была бы разорвана так, что потоки
могли достичь другого электрода, то сначала вспыхивала бы
и затем образовывалась дуга и резко возрастал ток.
Ток при коронном разряде переносится электронами и
ионами. В течение первого полупериода заряженные частицы того1
же знака, что и электрод, собираются на поверхности пленки.

6-4. Поверхностная активация коронным разрядом
179
Это уменьшает величину напряженности поля и, таким образом,
охлаждает корону прежде, чем кончится половина периода.
Когда полярность электрода 'изменяется, то противоположно
заряженные частицы на поверхности пленки вызывают
увеличение градиента в зазоре и возникает коронный разряд при
более слабом потенциале, чем в первой половине цикла.
Поэтому полимерная пленка вызывает эффект, при котором
разряд происходит в случае более низкого приложенного
потенциала.
Основными параметрами, определяющими процесс
активации, являются напряжение и частота поля, приложенного к
электроду, расстояние между электродом и поверхностью
пленки и линейная скорость пленки. Ниже приведен кинетический
анализ16 активации поверхности с помощью коронного разряда,
представляющий собой попытку связать все эти переменные
со степенью активации пленки. Вводятся следующие основные
допущения:
1. Активация обусловлена образованием полярных групп на
поверхности пленки;
2. Полярные группы могут образовываться только в
некоторых реакционноспособных участках поверхности пленки;
3. Основным фактом в образовании полярной группы
■является столкновение заряженной частицы с реакционноспо-
собным участком. При таком столкновении вероятность
образования полярных групп принимается равной К.
Степень активации поверхности у определяется отношением
(N/'Nq), где /V0 — общее число реакционноспособных участков
на единицу площади поверхности и N — число таких участков,
содержащих полярные труппы. Степень активации, таким
образом, представляет собой долю реакционноспособных участков,
которые содержат полярные труппы. Она колеблется от нуля
для совершенно неактивярованной поверхности до единицы для
поверхности, в которой все реакционно-способные участки
содержат полярные группы.
Согласно приведенным выше допущениям скорость
активации (dy/dt) поверхности пропорциональна произведению
средней скорости г, ,с которой поверхность бомбардируется
частицами и вероятности р столкновения частицы с реакционноспо-
соб'ным участком. Константа пропорциональности в уравнении
скорости представляет собой вероятность образования полярной
труппы при столкновении. Следовательно, уравнение скорости
записывается как
4- = tf(0(P) (6'13>

180
Гл. 6. Поверхностные явления
Если а представляет собой долю поверхности, содержащую»
реакционноспособные участки, то
a = aN0 (6-14)
где а — есть площадь отдельного такого участка. Поскольку у
есть доля гоеакционноспособных участков, содержащих
полярные группы, то (1—у) представляет собой долю оставшихся
участков на которых не прошла реакция. Следовательно
р = а(\-у) (6-15)
Если G представляет собой число частиц, которые
ударяются о поверхность пленки в течение одного полного периода,,
то средняя скорость бомбардировки равна Gf и уравнение
скорости принимает вид
■^ = KGfa(l-y) 46-16)
Если -в начале процесса (в нулевой момент времени)
'поверхность совсем не была активирована, то начальное условие
запишется в виде
У(0) = 0
и получим решение (6-16), удовлетворяющие этому условию
у = 1 — e-^Gft (6-17)
Когда пленка проходит через зону разряда с линейной
скоростью U, то время экспозиции t можно выразить через U и
площадь разряда Ad, уравнением
1 — и
Так что уравнение скорости примет вид
5/=1-еХр(-^ЙЦ (6-18)
и
Степень активации у, представляющая собой долю реакци-
онноспособных участков, содержащих полярные группы, должна
быть связана с некоторой непосредственно измеряемой
величиной для того, чтобы можно было проверить кинетический
анализ процесса. Портер16 установил .соотношение между степенью
активации и силой, требующейся для снятия с пленки слоя,
которая изменяет ее адгезию. Он предположил, что адгезия акти-

6-4. Поверхностная активация коронным разрядом
18Е
вированного слоя пленки .происходит в результате образования
трех типов связей: связь первого типа возникает между не-
реакционноспособным участком и контртелом, второго типа —
между ним и реакционноспособным участком и третьего типа —
между контртелом и участком, содержащим полярную группу.
Обозначим число нереакционноспособных участков,
приходящихся на единицу площади, через N\, а силу связи,
образованной на одном из этих участков, через f\. N—число участков,,,
содержащих 'полярные группы и (N0—N)—число реакционно-
способных участков, которые ее содержат полярных групп.
Прочность связи, обусловленная полярной группой,
обозначается через [з, а связи, образованной на неактивированных реак-
ционноспособных участках, — через ft. Общая сила
взаимодействия между поверхностью пленки и контртелом определяется'
уравнением
F = hNx + ft(NQ-N) + W (6-19)'
Для совершенно неактивированной пленки N = 0, и
уравнение (6-19) сводится к уравнению
/?о=/Л + /я^0 (6-20>
Для полностью активированной пленки N = N0, и уравнение-
(6-19) принимает вид
Л = /Л + /Л (6"21>
Вычитая уравнение (6-20) из уравнения (6-21), получим
(^-^0) = Л^0(/3-/2) (6-22))
Если уравнение (6-19) записать в виде
^ = /,#! + /Л + # Л-/Л
то, очевидно, что, подставив уравнения (6-20) и (6-22),
получим, что
£Н-№3-) (6-23>
Предполагая, что силы адгезии пропорциональны силам,
измеренным при испытании на расслаивание, уравнение (6-23)
можно записать так:
»=(-&) (6'24>
где все значения S — непосредственно измеряемые величины.

182
Гл. 6. Поверхностные явления
Портер16 получил кинетические данные для активации
полиэтиленовой пленки, применив прибор, 'сконструированный Грин-
кевичем17. В этом приборе пленки обертываются вокруг
барабана так, что при вращении барабана каждый элемент пленки
совершает повторные прохождения через область разряда. Если
А представляет собой общую площадь пленки и Аа— площадь
разряда, то время за которое каждый элемент подвергается
действию разряда, равно произведению полного времени t на
отношение площадей (Ad/А),
1,2
■г 7'0
* 0,8
^0,6
ОЛ
.0,2
О
■
а кинетическое
примет вид
у = 1 — e~kx
уравнение
(6-25)
где константа скорости k
определяется по уравнению
k = {pKGf) ^ (6-26)
0,0/ 0,10
7
it
10
100
/*>ф
Кинетические данные для
поверхности полиэтилена с
помощью коронного разряда
(теоретическая кривая)16.
Рис. 70.
активации
Уравнение (6-25)
показывает, что степень
активации у есть функция только
величины kx. На рис. 70
сплошная кривая дает
график зависимости у от kt
согласно уравнению (6-25).
Степень активации 'возрастает от нуля (для нулевого момента
времени) и асимптотически приближается к единице, причем
большая часть изменений наблюдается в интервале до двух
порядков по оси абсцисс.
Типичные кинетические данные для зависимости
сопротивления расслаиванию 5 от-времени т приведены ниже16:
Время, сек
4
10
20
25
30
40
50
60
70
s0=
Si=
/=
=64
Сила
расслаивания, н/м
н/м
=504 н/м
=60
Отверстие
гц
132
212
284
336
364
396
440
480
468
1,25 см
Время, сек
80
90
100
300
500
900
1000
1100
и=
1=
v=
т=
Сила расслаи
вания, н/м
476
480
488
508
524
548
552
548
=32,9 см/сек
=65
мка
=8650 в
=25
°С

6-4. Поверхностная активация коронным разрядом
18$
Эти данные были получены при наложении пленки на
чувствительную к адгезии ленту с последующим отслаиванием этой
ленты от пленки на разрывной машине Амтора (тип 272).
Величина S0 является средним значением нескольких повторных
испытаний, проводимых на неактивированной пленке. Значение-
Si установлено статистически, что дает лучшее соответствие
данным уравнения (6-25).
Если степень активации у, рассчитанную из приведенных
выше данных, отложить .на графике в зависимости от т, то
получим кривую, сходную по форме с теоретической. Значение
константы скорости k, полученной смещением экспериментальной-
кривой вдоль оси абсцисс до 'Совпадения с теоретической,
равно 0,037 сек-1. Экспериментальные точки на рис. 70
превосходно соответствуют теоретической кривой до тех пор, пока
значения у не приближаются к единице.
Чтобы использовать рассмотренные выше расчеты в случае
работы 'С аппаратурой, в которой пленка однократно проходит
через зону разряда, отметим, что
Н^-)Н-^)т (6"27)
где Ld — эффективная длина зоны разряда, измеренная в
направлении движения пленки, a D — диаметр барабана в
экспериментальной установке. Линейная скорость U, при которой
элемент пленки получает требуемую экспозицию t, равна (Ld/t),
так как из уравнения (6-27) следует, что
U=l—\ (6-28)
Если уравнение скорости решить относительно т и подставить в
приведенное выше уравнение, то получим, что
izDk
U =
In (1 —//)
(6-29)
Теперь остановимся на случае, когда условия проведения
процесса те же самые, что и в описанном выше эксперименте,
для которого &=0,037 сек-1. Если D равно около 15 см .и
пленка активирована на 90%, то из уравнения (6-29) следует, что
линейная скорость прохождения через зону разряда должна
быть равна 0,77 смрсек.
Исследование уравнения (6-26) показывает, что константа
скорости k прямо пропорциональна частоте. Следовательно,
если частота возрастает от 600 до 3000 гц, константа скорости

184
Гл. 6. Поверхностные явления
увеличивается в 50 раз и допустимая линейная скорость пленки
может возрасти до 38,5 см/сек.
Степень активации пленки, когда все остальные переменные
постоянны, уменьшается, если линейная скорость, с которой
пленка проходит через зону разряда, увеличивается.
Соотношение между скоростью и
степенью активации дается
уравнением (6-29). Рис. 71 дает
графическую зависимость,
основанную на этом уравнении и
показывающую 'влияние
скорости на степень активации
для приведенных выше
условий. Заметим, что, когда
скорость увеличивается от 0 до
25,3 см/сек, степень активации
уменьшается лишь на 5%, но
при скоростях, больших чем
25,3 см/сек, уменьшение
происходит быстрее.
Факторы, которые определяют величину константы
скорости k, теперь изучены более подробно. Если средняя величина
.заряда^который несут электроны и ионы в коронном разряде.
равна q, то можно представить выражение для тока / так:
О 0,5 1,0 1,5
Линейная скорость, м/сен
Рис. 71. Влияние линейной скорости
*пленки на степень активации при
постоянном потенциале.
I=Gfq
(6-3.0)
Уравнение (6-26) для константы скорости принимает вид
ЯА >
откуда ясно, что k будет прямопропорционально I, если К, Аа
и q остаются постоянными.
Портер16 определил значения k дл>я серии из десяти
экспериментов, в которых сила тока изменялась от 5 до 850 мка. Он
нашел, что отношение (kj'I) почти постоянно, причем среднее
значение
k
•^- = 0,0019
(6-32)
Увеличение приложенного к электроду потенциала вызывает
•возрастание тока и, следовательно, увеличение константы
скорости. Данные табл. 6-2 показывают соотношение между
напряжением, током и константой скорости.

6-4. Поверхностная активация коронным разрядом
185
ТАБЛИЦА 6-2
Соотношение тока и напряжения в коронном разряде
V, в
3150
6000
8650
/, мка
5
25
65
k, сек г
0,007
0,038
0,109
*//
0,0014
0,0015
0,0017
£
$
сч
^
ъ
/77
С1
с;
,-л
<о
100
во
ей
<*о
W
о
10
Рис. 72 'Иллюстрирует соотношение силы тока и напряжения.
Ниже 2 кв напряжение разряда таково, что ток практически
не течет. Выше 2 кв сила тока
растет с повышением
напряжения, но связь между ними
оказывается нелинейной.
Приложенный 'потенциал,
вероятно, оказывает некоторое
воздействие ла коэффициент К и,
таким образом, оказывает
вторичное влияние на константу
скорости. Коэффициент К
представляет собой вероятность того,
что столкновение частиц с реак-
цио'ннаспособным участком
приводит к образованию полярных
групп. Дальнейшие выкладки показывают, что К должен иметь
очень малую величину, но будет увеличиваться с возрастанием
приложенного потенциала.
Преобразуем уравнение (6-31) так, чтобы иметь
выражение для К в явной форме:
Ч 5 в
Напряжение, нд
Рис. 72. Кривая зависимости силы
тока от напряжения в случае
коронного разряда16.
*'(±){±)Ш
(6-33)
В упомянутых выше экспериментах Портера величина
отношения (k/I) равна 1900 к~1. Полагая, что каждая заряженная
частица при разряде несет единичный электрический заряд,
получим значение q, равное 1,6-Ю-19 к. Отношение площадей
неизвестно. Однако предполагая, что эффективная длина зоны
разряда Ld равна приблизительно 0,0254 см, отношение (А/А*)
составляет примерно 200, а, если а = 0,1, то коэффициент
К имеет порядок величины Ю-12. Таким образом, на каждое
столкновение заряженной частицы с реакционноспособным уча-

186
Гл. 6. Поверхностные явления
стком, в результате которого образуется полярная группа,
имеется Ш12 неэффективных столкновений.
Если считать, что эффективное столкновение включает
разрыв связи, имеющий энергию порядка 4,18 • 105 дж/моль, то для
того, чтобы 'столкновение было эффективным, минимальная
энергия частицы должна быть равна приблизительно 4 эв. Если
вреднее значение свободного пути пробега заряженных частиц
равно Ю-5 см (как для кислорода при комнатной температуре
и давлении), то в среднем для сообщения сталкивающимся
частицам необходимой кинетической энергии требуется
напряженность поля в 4 • 107 в/м.
В экспериментах же Портера (см. табл. 6-2)
среднее значение напряженности поля колеблется в пределах от
2,5-106 в/м до 6,8 • 106 в/м. Чтобы частица приобрела
минимальную кинетическую энергию для эффективного столкновения, ее
свободный пробег должен быть в 6—16 раз больше, чем
указанное выше его среднее, значение. В кислороде при комнатной
температуре доля молекул, имеющих длину свободного пробе-
та в 10 раз большую, чем среднее его значение,
приблизительно равна 10"6. Это означает, что требуется приблизительно Ю6
столкновений частиц, имеющих минимальную энергию, прежде
чем образуется полярная группа.
Также очевидно, что напряженность может изменяться при
изменении величины зазора. В другом эксперименте, в котором
напряжение было постоянным, Портер нашел, что значение
константы скорости k уменьшилось с 0,11 сек"1, когда зазор был
равен 1,25 см, до 0,08 сект1, когда зазор был равен 5 см.
Однако следует отметить, что любые заключения относительно
влияния напряженности поля на коэффициент К должны делаться
на основании эксперимента, так как значение, полученное
делением величины приложенного потенциала на величину
зазора, может не давать напряженности поля в пределах некоторых
.значений путей свободного пробега .поверхности пленки.
Задачи
6-1. Если ^ представляет собой свободную энергию поверхности, а Г—
полную поверхностную энергию, доказать, что
6-2. Следующие данные показывают поверхностное натяжение воды как
.функцию температуры между 20 и 30 °С.
Температура, °С Поверхностное натяжениеХЮЗ,
н/м
20 72,8
2^ 72,0
30 71,2

Литература
187"
Подсчитать полную поверхностную энергию воды при 25 °С. Вычислить работу
когезии для воды при 25 °С.
6-3. Краевой угол воды на графите при 25 °С равен 90° Вычислить
работу адгезии воды на графите при 25 °С. Подсчитать теплоту смачивания при,
погружении графита в воду.
6-4. Если Wa—работа адгезии, то показать, что
dWa (dtLA \ ( dB \
ЧГ= \~dT-) [l+™sQ] + lLAsmQ\-w]
Вычислить краевой угол воды на графите при 30 °С.
6-5. Полиэтиленовая пленка активируется при непрерывном процессе,,
использующем метод коронного разряда. Линейная скорость движения пленкш
через аппарат 50,6 см/сек, степень активации 0,7. Определить степень
активации при скорости 76 см/сек.
Литература
1. Н. К. Адам, Физика и химия поверхности, Издатинлит, 1947.
2. Gerard Kraus, Energy of Adhesion, Molecular Forces and Adhesive
Rupture, in «Adhesion and Adhesives», John Wiley, 1954, p. 45.
3. A. J. G. Alia n, J. Polymer Sci., 38, 297 (1959).
4. См. например, Molecular Theory of Gases and Liquids, by J. O. Hirschfel-
der, J. O. Curtiss, R. B. Bird, John Wiley, 1954.
5. Gerard Kraus, James E. Manson, J. Polymer Sci., 6, 625
(1951), 8, 448 (1952).
6. D. Taylor, J. E. Rutzler, Ind. Eng. Chem., 50, 928 (1958).
7 F. J. Bockhoff, E. Т. М с D о n e 1, J. E. Rutzler, Ind.
Eng. Chem., 50, 904 (1958).
8. K. R о s s m a n, J. Polymer Sci., 19, 141 (1956).
9. R. A. H i n e s, An Investigation of the Chemical Changes Occurring ort-
the Surface of Polyethylene During Treatment to Render the Surface
Printable, paper delivered at A. C. S. meeting, September, 1957.
10. S. В 1 oyer, Mod. Plast., 32, 105 (1955).
ILL. E. W о 1 i ns k i, пат. США 2715075, 2715076, 2715077, 9/VIII 1955.
12. P. V. H о г t о п, пат. США 2668134, 2/II 1954.
13. W. H. Kreidl, F. H a r t m a n n, Plastics Technology, 1, 31 (1955).
14. M. F. Kritchever, пат. США 2648097, 11./VIII 1953.
15. G. W. .Traver, англ. пат. 771234, 27/III 1957.
16. J. С. Porte r, Surface Activation of Polyethylene Film by Electric
Discharge, doctoral thesis, Washington University, St. Louis, 1960.
17. J. P. Grynkiewicz, Apparatus for the Surface Activation of Solid
Polyethylene with a Corona Discharge, master's thesis, Washington
University, St. Louis, 1960.

Глава
Поведение полимеров
как диэлектриков
В этой главе кратко рассматриваются диэлектрические
свойства высокоиолимеров, которые представляют интерес, главным
образом для их переработки .вследствие того, что
диэлектрические потери иногда могут являться источником
теплообразования в объеме полимеров. Так называемый диэлектрический
нагрев используется при переработке полимерных материалов,
главным образом при горячем формовании листов и
термической сварке полярных полимеров.
Когда электрический изолятор, например полимерный
материал, помещают в электрическое поле высокой частоты,
внутри «его может выделяться значительное количество теплоты.
Скорость теплообразования зависит от напряженности, частоты
поля, от молекулярной структуры и состояния материала. В
полимерах, содержащих полярные группы, например, в подивинил-
хлориде, интенсивное теплообразование наблюдается при
высоких частотах. Эго явление и лежит в основе диэлектрического
нагрева.
7-1. Диэлектрические константы
и поляризация
Рассмотрим два электрода, разделенных изолятором
(диэлектриком), причем один электрод имеет заряд -\-q, а другой—
равный заряд противоположного знака. Если v — разность
потенциалов между электродами, то
q = Cv (7-1)
где коэффициент С представляет собой емкость. Это уравнение
можно использовать для определения емкости. Величина С
зависит от геометрии электродов, их пространственного
расположения и от природы диэлектрика.

7-1. Диэлектрические константы и поляризация
189
Для частного случая, когда .электроды находятся в вакууме
и состоят 'из близко расположенных параллельных пластин,-
емкость С0 можно вычислить по фор.муле
С0 = К± (7-2)
где А—площадь одной из пластин, b—расстояние между
пластинами и К — постоянная, имеющая значение 8,85«Ю-12 к2/н-м2.
Если допустить, чго параллельные пластины находятся не в
вакууме, а разделены диэлектриком, то напряженность поля
между электродами ослабляется. Чтобы напряженность поля
оставалась такой же как и в вакууме, необходимо сообщить
электродам больший заряд. Этот эффект обусловлен
'Поляризацией диэлектрика.
Один тип поляризации происходит, когда электрическое
поле нарушает симметричное распределение зарядов в молекулах,
индуцируя диполи. Индуцированные диполи ориентируются в
приложенном поле и создают свое собственное внутреннее поле.
Оно противоположно приложенному полю, и таким образом,
ослабляет его напряженность. Для молекул, имеющих
постоянные диполи, процесс происходит таким же образом за
исключением того, что распределение зарядов в молекулах 'может не
изменяться. Первый тип поляризации называется поляризацией
смещения, а второй — ориентационной поляризацией.
Поляризация всегда сопровождается увеличением емкости.
Вели С0 — емкость между электродами, находящимися в
вакууме, а С —емкость, когда те же электроды разделены
диэлектриком, то отношение С/С0 .называется диэлектрической
проницаемостью. Это 'безразмерная величина, зависящая от
молекулярной структуры и состояния диэлектрика. Так как все
материалы поляризуются в электрическом- лоле, то все они имеют
диэлектрическую проницаемость больше единицы. Ниже
приведены величины диэлектрической проницаемости некоторых
веществ:
Водород (20 °С) 1,00025
Бензол (25°С) 2,3
Метиловый спирт (25 СС) 32,6
Вода (25 °С) 78,5
Парафин (20 °С) 2,1
Алмаз (20°С) . .' 16,5
Диэлектрическая проницаемость большинства газов при
обычных температурах и давлениях близка к единице. Это
обусловлено .низкой плотностью газов, представляющих собой

7-2. Поведение диэлектрика в переменном поле 191
ким образом, сила тока и напряжение сдвинуты по фазе ровно
на 90е. Эта характеристика чисто емкостного элемента .цепи
получается для диэлектриков, у которых поляризация следует за
изменением напряжения.
Сила тока есть скорость изменения зарядов на электродах.
Она дается уравнением
Подставляя уравнение (7-3) в уравнение (7-4), получим, что
i = 2тг fVmC cos (2ir ft) (7-5)
и так как С = еС0, где е — диэлектрическая проницаемость, то
уравнение (7-5) может быть записано та'к:
/ = 2TzfVmC0e cos {2izft) (7-6)
Если уравнение (7-6) записать через действующее значение
силы тока I вместо мгновенного значения тока, то получим
/ = 2тг/УС0е (7-7)
где V — действующее значение напряжения. Уравнение (7-7)
показывает, что диэлектрическое поведение материала, при
котором поляризация остается точно в фазе с напряжением,
зависит только от свойства материала — диэлектрической
проницаемости 8.
Поведение полярного диэлектрика является более 'Сложным.
При низких частотах ориентационная поляризация находится в
фазе с напряжением. Однако когда частота возрастает,
достигается такое положение, когда вращение диполей уже больше
«не следует» за изменениями напряжения. При этих условиях
ориентационная поляризация в дальнейшем не находится в
фазе с напряжением. Следовательно, ток 10, связанный с ориента-
ционной поляризацией, не совпадает по фазе с током ID,
связанным € поляризацией смещения. Эти токи представлены
векторами на рис. 73,я.
Сумма токов Id и /о представлена вектором /. Так как /г-
отличается по фазе от напряжения ровно на 90°, то
напряжение соответствует вектору, направленному вдоль оси абсцисс.
Вектор, представляющий результирующий ток I, образует с
вектором напряжения фазовый угол ср.
Теперь разложим вектор / на компоненту I', направленную
вдоль оси абсцисс и компоненту Г, направленную вдоль оси
ординат, как показано на рнс. 73,6. Для характеристики вектор-

190 Гл. 7. Поведение полимеров как диэлектриков
разреженную ореду. Для неполярных жидкостей и твердых тел„
например, бензола и парафиновых углеводородов, возможна,
только поляризация смещения, а соответствующие величины
диэлектрической проницаемости малы и изменяют свое значение
от 2 до 3. Более высокие величины диэлектрической
проницаемости, присущие полярным жидкостям и твердым телам,
объясняются дополнительной поляризацией, возникающей при
ориентации постоянных диполей этих молекул.
Поляризация смещения возникает в основном вследствие
смещения электронов, вторичный эффект связан >со смещением
атомного ядра. Первый вид поляризации называется
электронной поляризацией, второй—атомной поляризацией.
Электронная и атомная поляризация практически не зависят от
температуры. Поэтому диэлектрическая проницаемость неполярных
веществ почти не зависит от температуры.
С другой стороны, ориентационная поляризация сильно
зависит от температуры. Когда температура диэлектрика
возрастает, увеличивается хаотическое тепловоз движение диполей.
Этот эффект противоположен ориентационному эффекту
электрического поля, поэтому ой ослабляет ориентационную
поляризацию. Следовательно, диэлектрическая проницаемость
полярных веществ уменьшается при возрастании температуры.
7-2. Поведение диэлектрика
в переменном поле
Рассмотрим неполярное вещество, заключенное между
двумя электродами, к которым приложено переменное'
напряжение v. Если напряжение изменяется со временем
синусоидально, то
o = Kmsin(27c/f) (7-3>
где Vm — максимальное напряжение и / — частота.
Из-за большой подвижности электронов электронная
поляризация происходит почти мгновенно и находится в фазе с
полем. Это справедливо также для атомной поляризации при
частотах вплоть до частот, отвечающих инфракрасному
излучению. Следовательно, для неполярных 'Соединений полная
поляризация находится в фазе с приложенным напряжением.
Так как напряжение изменяется со временем
синусоидально, то максимальная скорость его изменения имеет место тогда,,
когда значение его равно нулю. Следовательно, максимальная
скорость перемещения заря доз также имеет место при нулевом
напряжении и ток (скорость перемещения зарядов) имеет
максимальную величину при нулевых значениях напряжения. Та-

*92 Гл. 7 Поведение полимеров как диэлектриков
ной величины, например, такой, как I, необходимо знать ее
значения и направления. Поэтому ясно, что поведение полярного
диэлектрика в переменном поле не
может быть описано лишь одной
константой этого материала.
Обычно вектор тока / рассматривают
как комплексную величину и
определяют комплексную диэлектрическую
проницаемость е* с помощью уравнения
is = —
2*/С0
(7-8)
где
/* = 7'-И/''
у* = у + iV ^V
(один штрих относится к
действительным, два штриха — к мнимам частям
комплексных величин).
Приравнивая действительную и
мнимую части уравнения (7-8), получим:
/' = 2ir/KC0e"
I" = 2тг/УС0е'
(7-9)
(7-10)
Рис. 73. Связь силы тока
с напряжением для
полярного материала в
переменном поле:
а—сила тока / является
векторной суммой токов
ориентации и смещения (на графике /'
и /"); б—компоненты /' и /"
находятся соответственно в фазе
и противофазе с напряжением.
Более того, из описанных выше
уравнений и рис. 73, б можно видеть, что
I"
У
tg<P
(7-П)
так, что диэлектрическое поведение
полярного вещества можно описать
любыми двумя из трех величин е', е" или ср.
Диссипация энергии в диэлектрике происходит только тогда,
когда ток имеет компоненту /', находящуюся в фазе с
напряжением. Скорость диссипации энергии дается уравнением
P = I'V= 2icC0/K V
(7-12)
Если электроды представляют собой близко расположенные
параллельные пластины, то значение С0 дается уравнением (7-2)
Если его подставить в (7-12) и результирующее уравнение

7-2. Поведение диэлектрика в переменном поле 193
разделить на объем диэлектрика, то получим энергию
поглощения единицы объема р, данную уравнением
p = 2*/t(^)s" (7-13)
Уравнение (7-13) можно записать в эквивалентной форме
р=2«Я^) e'ctgq) (7-14)
где величина (e'ctgcp) = е" называется фактором потерь.
Уравнение (7-13) показывает, что скорость диссипации
энергии прямо пропорциональна частоте и квадрату
напряжения. Можно было бы ожидать роста поглощения энергии при
увеличении частоты и напряжения, но для полярных молекул
факто,р диэлектрических потерь г" в общем случае есть
функция частоты и при возрастании ее проходит через максимум.
Поэтому диссипация энергии также часто проходит через
максимум.
При низких частотах ориентационная поляризация
находится в фазе с напряжением, и е' имеет максимальное значение ео,
'Называемое статической диэлектрической проницаемостью.
Кроме того, при низких частотах /' = 0, так что фактор потерь
равен нулю. Когда частота возрастает, ориентационная
поляризация частично уже не совпадает по фазе с полем. Это
вызывает уменьшение е' и увеличение е" При очень высоких
частотах, ориентационная поляризация становится настолько малой,
что ею можно пренебречь, а е' достигает своего минимального
значения 8оо. Кроме того, так как // = 0, то фактор потерь также,
равен нулю.
Поведение .полярных молекул в электрическом поле зависит
от сил, препятствующих вращению диполей: чем больше эти
■силы, тем больше времени требуется для изменения положения
диполей. Время релаксации X служит характеристикой тех сил,,
которые затрудняют вращение диполей. Оно 'представляет
собой время, необходимое для уменьшения дипольной
поляризации на 63% после прекращения действия внешнего поля.
Теоретические уравнения Дебая1 связывают &' и г" с частотой
f поля и временем релаксации "к диполей. Они могут быть
затесаны в форме
/ (х) = £'~Е°°- = —Ц (7-1$
Е0 — Edn 1 4-Х - ,.Л. !

194 Гл. 7. Поведение полимеров как диэлектриков
где безразмерная величина х определяется уравнением-
x = 2izf\ (7-17)
Предельные значения функции f{x) имеют следующий вид:
lim/(x) = 1 lim/(*) = 0
Функция g(x) стремится к пределу, равному нулю при
крайних (высоких и низких) значениях частот, и проходит через
0,01 0,1 1 10 100
х = Zutf я
Рис. 74. Частотная зависимость функций f(x) и g(x) в соответствии
с теорией Дебая.
максимум при х=1. Частота /*, при которой g{x) и
соответственно е" максимальны, называется критической частотой. Если
критическая частота известна, то время релаксации можно
вычислить из уравнения (7-17). Заметим также, что
максимальное значение функции g(x) равно 0,5, так что максимальная
величина е" дается формулой
Зшах=(4-)(е0-^) (7-18)
Графики функций f(x) и g(x) относительно *, как
показано на рис. 74, являются универсальными по отношению ко всем
веществам, к которым применима теория Дебая. Отметим, что
если I — константа (что может быть при постоянной
температуре), то .согласно этой теории получается, что изменения f(x) и
е' происходят практически в интервале около двух порядков
частоты. Подобным же образом функция g(x) или е" растет от
очень малой 'величины, проходит через максимум и затем опять
уменьшается в пределах двух порядков частоты.

7-2. Поведение диэлектрика в переменном поле
195
Температурная зависимость диэлектрических свойств
проявляется главным образом в температурной зависимости
времени релаксации Я. Предполагая, что диполи — это сферы
радиуса R, находящиеся в вязкой среде с вязкостью \i, время
релаксации дается приближенно формулой1
* = н£г- :" <7-19>
где Т—абсолютная температура и k — константа Больцмана,
Так как вязкость жидкости всегда уменьшается с увеличением
температуры, уравнение (7-19) показывает, что X должно
уменьшаться, когда температура возрастает. Температурная
зависимость 80 и 8со есть другая причина существования
температурной зависимости е' и г".
7-3. Диэлектрические свойства полимеров
Фуосс2 измерил критическую частоту f*
пластифицированного поливинил хлорида как функцию температуры. Ниже
показано время релаксации, вычисленное из его данных с помощью
уравнения (7-7):
t, °С 45 50 55 60 '65
X, м/сек. 1,680 0,361 0,100 0,028 0,007
Следует отметить резкое уменьшение времени релаксации с
увеличением температуры. Это является характерной чертой
полярных высокополимеров. i
Теория Дебая, созданная для полярных жидкостей, дает
результаты, которые качественно согласуются с 'Наблюдаемым
экспериментально диэлектрическим поведением полярных вы-
сокопочлимеров. Однако следует отметить некоторые
значительные различия. Например, для характеристики поведения
полимеров как диэлектриков часто бывает необходимо знать спектр
времен релаксации, поскольку не всегда можно обойтись одним
значением времени релаксации. С учетом распределения времен
релаксации кривые е'—f и е"—/ будут более широкими, чем
теоретические (см. рис. 75).
На рис. 76 показана зависимость диэлектрических свойств
поливинилхлорацетата от частоты' при разных температурах3.
Отметим основное сходство с кривыми рис. 74. Оказалось, что
критическая частота, есть функция температуры, она возрастает
при увеличении температуры. Так как е max при увеличении
температуры уменьшается, то уравнение (7-18). показывает, что
(ео—8оо) есть функция температуры, уменьшающаяся с увели-

... J
f~zj
|.<JG
l. I
6,5
5,5
3,5
г, 5
1,6
1,2
ч> 0,8
0,4
0
W3 Ю1* W5' W6 Ю7
Частота, гц
Рис» ,75. Частотная зависимость е' и е":
/—единичное время релаксации; 2—узкое распределение времен релаксации.
3—широкое распределение времен релаксации.
1
/'
г
...-L.
,?
/_
т
РисЛ76. Частотная и температурная зависимость е' и е" для
поливинилхлорацетата3 (расстояние между кривыми соответствует
температуре в 2 °С)

7-3. Диэлектрические свойства полимеров 197
чением температуры. Увеличение критической частоты с
температурой вызвано понижением вязкости, что облегчает вращение
диполей, помогая им остаться в фазе. >с полем при частотах, яри
которых в условиях более .низких температур должна была 'бы
значительно увеличиваться компонента, не находящаяся в фазе
с полем.
На рис. 77 показана температурная зависимость
диэлектрических свойств тюливинилацетата при разных частотах3. Ди-
#7- 60 70 80 90 100
Температура 'С
Рис. 77. Температурная и частотная зависимость е' и г" для поливинилаце-
тата3 (частоты 60, 120, 240, 500, 1000, 2000, 3000, 6000 и 10 000 гц).
I
электрическая проницаемость растет с увеличением
температуры (при данной частоте) и приближается к предельной
кривой, которая представляет собой статическую диэлектрическую
проницаемость как функцию температуры. Для любой данной
частоты величина е' будет приближаться к статической
величине, если температура ^возрастает до достаточно высокого
значения. Это определяется уменьшением времени релаксации при
увеличении температуры. Когда время релаксации очень мало, то
вращение диполей находится полностью в фазе -с полем и
получается то же самое значение поляризации, как и в:
статических условиях. Уменьшение статической диэлектрической
проницаемости с увеличением температуры обусловлено тувеличе-

198
Гл. 7. Поведение полимеров как диэлектриков
нием .хаотичности теплового движения. Это препятствует ориен-
тационному эффекту, вызываемому электрическим лолем и
таким образом ослабляет поляризацию.
15
Ю
О
1,5
1,0
0,5
20 i
< 15/ 9
*\
/ 3 /
°/
о
20 hO 60 80
Темпера тура, ° С
ЮО
Рис. 78. Зависимость е' и е" от содержания пластификатора в
поливинилхлориде (измерения проведены при 60 гц);
концентрация пластификатора изменяется от 0 до 20% )3.
Эффект от добавления пластификатора аналогичен влиянию
возрастания температуры. Добавление пластификатора
увеличивает подвижность сегментов полимерной цепи и позволяет
диполям вращаться более свободно. Следовательно, время релак-

7-4. Диэлектрический нагрев
199
сации уменьшается. На рис. 78 показано влияние добавок
пластификатора на диэлектрическое поведение лоливинилхлорида.
Температура, при которой диэлектрическая проницаемость
достигает постоянной величины, понижается, как и критическая
частота, под влиянием пластификатора.
7-4. Диэлектрический нагрев
Диэлектрические потери энергии на единицу объема плоского
слоя материала, -помещенного между двумя параллельными
электродами, к которым приложено переменное напряжение,
даны уравнением (7-13). Подставляя соответствующие
коэффициенты преобразования, это уравнение можно записать
следующим образом:
G = 55f5..10-"(-^)e"
(7-20)
где G — скорость теплообразования, кал/см3сек;
V — напряжение, в;
f — частота, гц;
W ^ 1/2 толщины слоя, см;
г" — фактор диэлектрических потерь (безразмерная
величина).
Показатели диэлектрических свойств некоторых
термопластов при частоте 1 Мгц и комнатной температуре даны в
табл. 7-1. i:
ТАБЛИЦА 7-1
Диэлектрическ ие
Материал
«Саран»
свойства
термопластов
Диэлектрическая
проницаемость
2,2
2,4
3,5
2,0
Коэффициент
мощности
0,0005
0,0001
0,03
0,003
Вследствие очень низких коэффициентов мощности
полиэтилен и полистирол 'используются как электрические изоляторы в
области высоких частот. Они нагреваются медленно в
аппаратуре для нагрева диэлектриков. К материалам, которые можно
нагревать диэлектрическим методом, относятся поливинилхлорид,
'.майлар, найлон, кел-ф и саран. Для удобства ниже .перечисле-

200 Гл. 7. Поведение полимеров как диэлектриков
ны обозначения некоторых величин, используе-мых при
рассмотрении диэлектрических свойств материалов:
е'—диэлектрическая проницаемость;-
е"—фактор-диэлектрических потерь;
Ф—фазовый уголь;
cos ср—коэффициент мощности;
ctg Ф—коэффициент диссипации.
Из уравнения (7-11), которое можно записать как
в" = е' ctgq)
ясно, что любые два приведенные выше параметра определяют
диэлектрическое поведение материала.
При вычислении скорости теплообразования, используя
уравнение (7-20), важно учитывать изменение диэлектрических
свойств материала в зависимости от увеличения температуры-
Следовательно, должны быть известны диэлектрические
свойства при рабочей частоте в данном интервале температур.
Кроме того, часто важно рассматривать передачу тепла от
материала к металлу электродов.
Максимальная скорость роста температуры будет иметь
место, если электроды теплоизолированы от 'материала. Тогда
вся теплота, генерируемая внутри материала, будет
использована для повышения температуры. Вычисление роста
температуры в слое пластика в этом предельном случае показано в
следующем примере.
Пример 7-1
Если Т представляет собой температуру материала в некоторый момент
времени t, то
dT
РС ~dT=G (7_21)
при условии, что теплообразование постоянно имеет место и нет потерь. В
приведенном выше уравнении р представляет собой плотность материала и С—его
удельную теплоемкость. Подстановка уравнения (7-20) в уравнение (7-21) дает
следующее соотношение между скоростью роста'температуры и используемыми
переменными:
/ dT \ I V2f \
^_j = 13)3.10^(^r)a» (7-22)
Чтобы решить уравнение (7-22) и найти температуру как функцию
времени, необходимо выразить е" как функцию температуры. Обычно отсутствует
аналитическое выражение, связывающее е" и Г, и нужно использовать
численные или графические методы.
Рассмотрим диэлектрическое нагревание пластины из поливинилацетата
(ПВА) толщиной 0,1 см от 40 °С до 120 °С, используя поле частотой 104 гц и

7-4. Диэлектрический нагрев
201
напряжением 500 в. Предположим, что электроды изолированы от материала.
Плотность ПВА равна 1200 кг/м3 и его удельная теплоемкость равна
0,4 кал/г-град (1,68-103 дж'кг-град). Температурная зависимость фактора
диэлектрических потерь для ПВА при разных частотах дана на рис. 79.
Например, при частоте 104 сек'1 и 80 °С величина в" равна 1,55. Вычисление
скорости роста температуры при этих условиях с помощью уравнения (7-22). дает
следующий результат:
dT (13,3-10-l4)-(500)2-(104)-(l,55)
dt = (4)-(1.2)-(0,40).(0,.005)2
= 41,8 град/сек
Результаты подобных вычислений
ставлены на рис. 79. Здесь
даны кривые для частот 103 и 104
гц. Заметим, что при более
высокой частоте кривые имеют
более резкий пик.
Темпер атурно-времеяная
кривая получается
графическим интегрированием.
Величина обратная (dT/dt)
вычерчивается в зависимости от Г в
интервале от 40 °С до 120 °С.
Площадь, ограниченная кривой
от 40 °С до некоторой
температуры Т, представляет
собой время, необходимое для
нагревания образца от 40 °С до
Т. Результаты показаны на
рис. 80 для двух частот.
Заметим, что при более высокой
частоте образец достигает 120 °С
приблизительно за 33 сек, в
то время как при более низкой ч
зительно равно 190 сек.
при других температурах графически пред-
50
^30
к"
Ъ 20
Ю3гц
\10*ец
^n-u
<*0 60 80 100
Температура, °С
120
Рис. 79. Вычисленная скорость
адиабатического подъема температуры
(°С/сек) пластины из ПВА толщиной
в 0,05 см как функция температуры.
астоте требуемое время нагревания прибли-
с:
к
гго
100
ВО
60
40
_ ЦЮгц
/
/
/
У
4
/
+ '
/
/
/
/
/
/
/\ щЗ
Г ^О гц
/
f
1
/ Ю ЮО
Продолжительность нагревания, сен
Рис. 80. Температурно-временная кривая для диэлектрического нагрева
пластинки из ПВА толщиной в 0,05 см.

202
Гл. 7. Поведение полимеров как диэлектриков
Задана
7-1. Уравнение (7-19) дает температурную зависимость времени
релаксации Ls Показать, что график lg(AT) зависимости от Т есть прямая линия..
Проверить Данные раздела 7-3 для пластифицированного поливинилхлорида.
7-2.' Проверить уравнение (7-20).
7-3. Рассмотреть диэлектрическое нагревание плоского слоя поливинил-
ацетата толщиной 0,05 см. Определить установившееся распределение
температуры в материале, когда электроды имеют температуру 40 °С и к ним
приложено напряжение в 500 в при частоте 103 гц.
Литература
1.С. P. Smyth, Dielectric Behavior and Structure, McGraw-Hill, p. 55.
2. R. M. F u о s s, Ch. VI of «The Chemistry of Large Molecules» edited by
R. E. Burk and O. Grummitt, Intersience Publ., 1943.
3. D. J. Mead, R. M. F u о s s, J. Am. Chem. Soc, 63, 2832 (1941).

Глава
Тепловой и энергетический баланс
при переработке полимеров
Почти все операции переработки полимеров связаны с их
нагреванием и охлаждением. Поэтому при расчетах
необходимо "принимать во внимание два фактора: 'суммарную энергию,
которую требуется затратить для изменения состояния системы
и скорость этого изменения.
Вычисление полной энергии, затрачиваемой в процессе,
основано на первом законе термодинамики — законе сохранения
энергии. В разделе 8-1 обсуждаются методы использования
первого закона при рассмотрении процессов установившегося
течения и приведены соответствующие термодинамические расчеты.
Основной задачей при теплопередаче является расчет
температуры для различных моментов времени и точек внутри
системы. Распределение температуры зависит от скорости
теплопередачи от окружающей среды к системе .и от скорости
теплопередачи внутри системы. При этом возможны любые
сочетания теплопередачи: теплопроводности, конвекции и излучения.
В разделах 8-2. 8-3, 8-4 и 8-5 дается краткое представление
об основных принципах теории теплопередачи
теплопроводностью, конвекцией и излучением и приводится решение-
некоторых задач на нагревание и охлаждение, представляющих
особый интерес для переработки полимеров. Большая чаётъ этого
материала содержится в обычной литературе по теории
теплопередачи, однако здесь он приводится для полноты картины и в
связи с необходимостью использования полученных
результатов в последующих разделах, где исследуются конкретные
процессы переработки полимеров.
8-1. Термодинамика процессов
установившегося течения
Первый закон термодинамики представляет собой частный
случай закона сохранения энергии. Он утверждает, что
термодинамическая функция- Е, которая называется внутренней

204 Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
энергией и определяется, в частности, уравнением
dE=dQ — dW (8-1)
является функцией состояния. В этом уравнении Q
представляет .собой теплоту, которой обменивается система и
окружающая среда, a W— работу, осуществленную «над системой -или
самой системой.
В отношении записи уравнения (8-1) ,и других
термодинамических уравнений приняты некоторые условности. Так,
теплоту, поступающую в систему из окружающей среды, и работу,!,
совершаемую системой над окружающей средой, считают
положительными 'величинами. Хотя Q обычно выражено в тепловых,
a W — в механических единицах, уравнение (8-1)
записывается без 'Переводного коэффициента. Предполагается, что все
величины должны быть выражены в одной и той же системе
единиц, прежде чем будут проводиться числовые расчеты. В этой
книге теплота, работа и все факторы интенсивности
записываются в расчете на единицу массы.
Так как внутренняя энергия Е является функцией состояния,,
она определяется однозначно для каждого равновесного
состояния системы. Следовательно, когда система совершает переход
из одного равновесного состояния в другое, изменение Е не
зависит от пути перехода. С другой стороны, Q и W не являются
функциями состояния и их значения зависят от характера
совершаемого процесса.
В термодинамике широко используется представление об
обратимом процессе, при котором система проходит через
бесконечное число равновесных состояний. Термодинамическая
эффективность реальных процессов оценивается сравнением их
характеристик с параметрами обратимых процессов. Работа*
совершаемая в обратимом процессе расширения или сжатия,,
рассчитызается по уравнению:
dW = Pdv (8-2);
где Р — давление; v — удельный ооъем.
Другая термодинамическая функция Н, называемая
энтальпией, определяется уравнением
Н = Е + Pv
которое после дифференцирования принимает вид
dH = dE + Pdv -Ь vdP (8-3)

8-1. Термодинамика процессов установившегося течения 205
Комбинируя уравнения (8-1), (8-2) и (8-3), можно показать,
что:
dE = dQ— Pdv (8-4)
dH = dQ + vdP (8-5)
откуда видно, что в 'процессе, протекающем при постоянном
объеме, переданное тепло равно изменению внутренней энергии,
в то время, как в процессе, происходящем при постоянном
давлении, переданное тепло равно изменению энтальпии.
Следовательно, теплоемкости при постоянном давлении и 'постоянном
объеме определяются уравнениями:
сп =
с„ =
дН
дТ
дЕ
Ж
(8-6)
(8-7)
Применим теперь первый закон термодинамики к процессам
установившегося течения. Пусть к системе, схематически
показанной на рис. 81,
подводится (или от нее
отбирается) некоторое количество
массы и энергии. Однако
поскольку течение
установившееся, то внутри
системы не происходит
накопления массы или энергии.
Закон сохранения .массы
требует, чтобы
г
А (9Аи) = 0
(8-8)
Рис. 81. Схема энергетического
баланса при процессе установившегося
течения.
где и—средняя скорость
течения жидкости,
определяемая как отношение
объемного расхода к
поперечному сечению Л
трубопровода.
Закон сохранения
энергии требует, чтобы изменение энергии жидкости в системе было
бы равно разности между полученной теплотой Q и полной
работой 2W, совершенной жидкостью. Математически это
выражается уравнением
АЕ + АКЕ + АРЕ = Q — Е№ (8-9)

206
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
где КЕ и РЕ представляют собой соответственно кинетическую
и потенциальную энергию жидкости. Отметим аналогию
между уравнениями (8-9) и (8-1).
Изменение потенциальной анергии при подъеме единицы
массы жидкости на высоту SZ выражается уравнением
APE = gAZ (8-10)
/де
AZ=(Zb-Za)
и S — ускорение силы тяжести, равное на уровне моря
9,8 м/сек2.
Изменение кинетической энергии .при возрастании средней
скорости течения жидкости от иа до щ определяется по
уравнению
АКЕ = kAu2 = k(ul — и2а) (8-11)
где k — коэффициент, зависящий от распределения скоростей
течения в потоке. Для параболического профиля скоростей,
образующегося при ламинарном течении ньютоновской
жидкости, k=\. Для плоского профиля скоростей (течение
'«стержневого» типа) & = 0,5. Ниже приводится вывод формулы,
определяющей k, в зависимости от индекса течения п для жидкостей,
подчиняющихся степенному закону.
Из табл. 3-1 следует, что скорость установившегося
ламинарного течения жидкости и на некотором расстоянии г от оси
трубы радиуса R для жидкости, подчиняющейся степенному
"закону, выражается уравнением вида
и = и[ —1—г
п +1
1 _ / г \(п+1)/п
1 ' "7Г
(8-12)
где средняя скорость течения и связана с объемным расходом
формулой.
Q
и = ———
Массовый расход жидкости через любое поперечное сечение;
перпендикулярное оси трубы, равен р Q. Каждый элемент
жидкости, проходящий через поперечное сечение трубы, переносит
некоторое количество кинетической энергии, определяемое как
половина произведения массы этого элемента на квадрат его

8-1. Термодинамика процессов установившегося течения 207
скорости. Следовательно, кинетическая энергия жидкости,
проходящей через кольцевой зазор радиуса г, толщиной dr, равна:
~Y [2nrdrpu] и2
а величина средней кинетической энергии, переносимой через
поперечное сечение равна:
R
KE = ^-?u3rdr (8-13)
о
Подставляя уравнение (8-12) в уравнение (8-13) и
вводя новую переменную х= (r/R), получим:
1
КЕ = й2 ('^рг)Э f*[l — ^(«+D/«]3 rfjc (8-14)
о
После интегрирования, уравнение (8-14) можно записать в
•виде _
KE = ku* (8-15)
где коэффициент k, зависящий только от индекса течения, вы-,
ражается уравнением
Зп + 1 \3
_ /Зп+1\!
J Зп . Зп п
~2 Зя+.l + 4я + 2 ~ Ъп + 3
Для ньютоновского течения (п=\) эта формула сводится к
k = \, а для плоского .профиля скоростей (п = 0) коэффициент
£ = 0,5.
Теперь рассмотрим величину HW. Механическая энергия
сообщается жидкости насосом и отводится турбиной. В обоих
случаях это есть механическая работа привода, обозначаемая
символом Ws. Необходимо также учесть работу, совершаемую
самим потоком жидкости при подводе единицы массы в
систему в точке а—{Pav&) и при отводе единицы массы в точке
b+{Pbvb).
Следовательно, если пренебречь всеми другими видами
работ, то
XW^Ws+(Pbyb)-(Pava) (8-16)
Подставляя уравнения (8-10), (8-11) и (8-16) в
уравнение (8-9). получим общий энергетический баланс:
Д£ = gM + Ми2 + A (Pv) = Q — Ws (8-17)

208
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
Применительно к процессам переработки .полимеров обычно
пренебрегают кинетической и потенциальной энергией. Тогда
энергетический баланс запишется в виде
HE + b{Po) = Q-W,
(8-18)
Изменение потенциальной энергии при подъеме 1 г воды на
высоту 1 м составляет около 105 г см2/сек2 (Ю-2 дж), а
изменение кинетической энергии при увеличении скорости от
состояния покоя до 50 см/сек равно 2,5 • 1С)3 г см2/сек2 (2,5 • 10~4 дж).
Бели же температура жидкости с теплоемкостью около
0,5 кал/г -град (2,1 дж/г-град) увеличивается на 1.°С, то
изменение энтальпии составляет 0,5 кал/г (2,1 дж/г), поэтому
ясно, что гф'И рассмотрении процессов переработки .полимеров
кинетической и потенциальной энергией можно пренебречь
Другая форма записи энергетического баланса, -содержащая
энтальпию, получается, если в уравнение (8-18) подставить
уравнение (8-3)::
MJ = Q-WS (8-19)
Каждый член в уравнении энергетического баланса представляет
собой энергию, отнесенную к единице массы. Так как ЛЯ, АЕ
и Q обычно выражаются в тепловых единицах, а другие
величины— в механических единицах, то прежде чем производить
вычисления .необходимо привести все слагаемые в одну систему
единиц.
Пример 8-1
В этом примере рассмотрен тепловой и энергетический баланс процесса
установившегося течения, схематически показанного на рис. 82. Технологи-
А
W5
п г
ТС>Рс
Та.Ра
h>pL
т-г
Q
Рис. 82. Схема энергетического баланса при непрерывном
процессе установившегося течения.

8-1. Термодинамика процессов установившегося течения 209
ческий процесс состоит в том, что экструдер продавливает расплав полимера
через формующую плоскую головку. В бункере экструдера температура
полимера равна Та, а давление Ра. При входе в головку температура и давление
соответственно равны Т\, и Р/,, а после прохождения через головку принимают
значения Тс и Рс. Тепловыделения в полимере, возникающие при его вязком
течении, поглощаются охлаждающей водой, циркулирующей в рубашке
экструдера. Подача воды регулируется так, что Та=Т(}.
Основные характеристики этого процесса следующие:
Затраты мощности от привода 2 л. с. (1,47 кет)
Производительность .... 12,6 г[сгк
Давление в головке .... 7-Ю5 кгс/м2 (7-Ю6 н/м2)
Давление в бункере. . . . 7-Ю4 кгс/м2 (7-Ю5 н/м2)
Температура полимера в
бункере 200°С
Физические свойства расплава полимера описаны ниже. Значения р, %
и Ср считаются постоянными во время всего процесса.
Сжимаемость р=10~3 атмг1 (Ы0-8 м2/н)
Коэффициент теплового расширения . '' x=10~4 град'1
Теплоемкость при постоянном давлении Ср=0,5 кал/г-град (2,1 дж/кг-град)
Плотность при 200 °С и атмосферном
давлении р=1,1 г/см3 (1„Ы03 кг/м3)
В разделе а вычисляется необходимая скорость теплоотвода Затем в
разделе б определяется коэффициент полезного действия машины и далее в
разделе в рассчитывается повышение температуры полимера в головке.
а. В основе расчета лежит общий энергетический баланс процесса
установившегося течения. В этом случае применимо уравнение (8-19), где АН
представляет собой изменение энтальпии полимера между загрузочным
бункером экструдера и головкой.
Так как изменения температуры не происходит, то необходимо рассмотреть
только изменение энтальпии в зависимости от давления. Оно определяется
уравнением
-^■) =г,(1-*Г) (8-20)
которое при условии постоянства температуры можно переписать в виде
АН= \v(l—xT)dP (8-21)
Чтобы проинтегрировать уравнение (8-21), необходимо выразить удельный
объем v как функцию давления. Эта зависимость следует из определения
сжимаемости
1 / да
дР
(8-22)
Если в интервале применяемых давлений считать р постоянной, то
интегрирование уравнения (8-22) приводит к выражению
v = Voe-Vp (8-23)

210
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
где v0 представляет собой удельный объем полимера при 200 °С и нулевом
давлении.
Объединяя уравнения (8-23), (8-21) и (8-19), получим
Q = Ws + vA(l-xT)e-£pdP
(8-24)
Уравнение (8-24) легко интегрируется, если считать, что г. не зависит от
давления. В результате получим:
= Ws - "о(1~*Г) [1 -е+РАЯ] е-Эя6
Q = WS- -^—5 U - e+p^J e-^b (8-25)
где &Р={Рь—Ра). Когда произведение (ЗДР мало, можно воспользоваться
следующим приближенным уравнением:
1_еР^~_рдр (рДР<0,1)
тогда уравнение (8-25) можно записать так:
Q = Ws -f у0 (1 — %Т) ДРе~рр& (8-26)
Производительность равна 12,6 г/сек, а мощность привода 1,47 кет
(356 кал/сек). Следовательно
Ц^= —1,17-106 дж/кг
Знак минус указывает на то, что работа производится над системой. Значений
других величин, входящих в уравнение (8-26), следующие:
i>0 = 0,91 см3/г (0,9ЬЮ-3 ,и3/кг)
у. = Ю-4 град-1
Т = 245 °С
АР = (Рь~Ра) = 61,2 атм (6,МО» н/м2)
Значение Q, рассчитанное из уравнения (8-25), равно—27 кал/г
(—1,13-Ю5 дж/кг), а требуемая мощность теплоотвода 340 кал/сек (1,42 кет),
б. Коэффициент полезного действия экструдера можно определить как
отношение полезной произведенной работы к общей затраченной. В
рассматриваемом примере полезной работой насоса можно считать работу,
произведенную экструдером на увеличение давления жидкости от Ра до Р&, т. е.
величину Д(Ри). Запишем уравнение (8-23) в приближенной форме:
t>«i>0(l-pP) (8-27).
Тогда формула для вычисления полезной работы примет вид
Д (Pv) « v0AP [ 1 - р (Ра + РЬ)] (8-28>
Значение A.(PV), рассчитанное по уравнению (8-28), равно 1,25 кал/г
5,23-103 дж/кг). Коэффициент полезного действия е равен:
Д(Ро) 5.23.108
е=-^ = Тл7Т0-5- = °.044

8-1. Термодинамика процессов установившегося течения 211
Анализ теплового и энергетического баланса экструдера показывает, что
из каждых поглощенных 28,3 кал (1,18-102 дж) механической энергии на
нагревание холодной воды расходуется 27,0 кал (1,13-102 дж) и на
полезную работу 1,25 кал (5,25 дж). Оставшиеся 0,05 кал/г (210 дж/кг)
затрачиваются на работу сжатия.
в. По мере выхода полимера из головки работа расширения и полезная
работа (обе эти величины отрицательные) выделяются в виде теплоты. Если
считать, что процесс течения происходит адиабатически (это предположение
вполне разумно, так как продолжительность пребывания в головке мала),
то можно вычислить среднее увеличение температуры полимера. Для
рассматриваемого случая уравнение (8-19) упрощается и примет вид
ДЯ = 0 (8-29)
тогда увеличение температуры вычислим, исходя из следующих соображений.
Энтальпия представляет собой функцию температуры и давления
H = f{T, P) (8-30)
Полный дифференциал Я равен
/ дН \ I дН \
dH={-wjpdT+[-w)Tdp <8-31>
Для вычисления полного изменения Я уравнение (8-31) можно записать
следующим образом:
т р
A*=f(lr)/r+f(^)/p <8-32)
где индекс Ъ относится к жидкости, входящей в головку, а индекс с—к
жидкости, выходящей из головки.
Первый интеграл в уравнении (8-32) должен вычисляться при постоянном
давлении Рс, а второй—при постоянной температуре Т^. Так как ДЯ не
зависит от пути перехода, то уравнение (8-32) может использоваться для расчета
Рь и Тс.
С учетом уравнений (8-20) и (8-6), уравнение (8-32) можно записать в виде
Рс
ДЯ = СрДГ + (1 — хТ) \ vdP (8-33)
рЬ
где АТ=(ТС—Tf,). Если удельный объем в зависимости от давления выразить
по уравнению (8-23), то уравнение (8-33) принимает вид
ДЯ = 0 = срДГ — о0(1— хГ)ДР (8-34)
где
ИР = (РС-РЬ)
Так как Рс представляет собой атмосферное давление, то значение ДГ,
вычисленное из уравнения (8-34), равно +2,8 °С. Эга величина характеризует
■среднее увеличение температуры полимера при его прохождении через головку.
Однако следует иметь в виду, что тепловыделение в расплаве происходит
неравномерно, так что внутри полимера устанавливается градиент температуры.

212
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
8-2. Теплопроводность
Передача тепла происходит во всех случаях, когда в
материале существует температурный градиент. Процесс
теплообмена может рассматриваться с двух сторон. При молекулярном
анализе основное внимание направлено на обмен кинетической
энергии при столкновениях атомов и молекул и течении
свободных электронов в металлах. Этот подход представляет
интерес прежде всего для физиков. При феноменологическом
подходе анализируются 'непосредственно наблюдаемые величины,,
такие, как время, температура и координаты точек тела.
Именно этот подход интересует инженеров и только он рассмотрен
в данной книге.
Основной задачей теории теплопроводности является
установление распределения температуры внутри тела.
Распределение температуры может быть независимым от времени, в этом
случае задача теплопроводности является стационарной; если
же распределение температуры зависит от времени, то задача
становится нестационарной. В этой главе приводится
аналитическое решение некоторых задач нестационарной
теплопроводности, .представляющих интерес для расчета процессов
переработки полимеров.
Вектор теплового потока q представляет собой количество,
тепла, проходящего через единичную поверхность,
перпендикулярную q. Вектор q обычно является функцией времени и
пространственных координат. Закон Фурье, который лежит в
основе всех расчетов по теплопроводности, утверждает, что для
изотропных материалов вектор 'теплового потока
пропорционален температурному градиенту. Это утверждение выражается
уравнением
q = _£v:r (8-35).
где k — коэффициент теплопроводности материала.
Если в уравнении энергии (2-3) положить v = 0, то оно
примет вид
pc*(4r) = ~(v'q) (8-зб>
и при подстановке уравнения (8-35) оно сведется к уравнению.
^ (4г) = k^T <8-37>
которое представляет собой уравнение теплопроводности для.
изотропного твердого тела; при этом предполагаем, что k
постоянно.

8-2. Теплопроводность
213
Если внутри изотропного твердого тела имеется источник
тепла, то уравнение (8-37) можно обобщить, прибавив член,
учитывающий тепловыделение. Тогда уравнение
теплопроводности примет вид
где G представляет собой интенсивность внутренних
тепловыделений, отнесенную к единице объема. Размерность этой
величины— кал/см3 • сек. Примерами внутренних тепловыделений
являются нагревание в электрических проводниках, поглощение
инфракрасного излучения в полупрозрачных средах,
экзотермические химические реакции. В уравнении (8-38) ev заменяется
на ср, что допустимо для несжимаемых твердых тел, а величина
а, называемая коэффициентом температуропроводности,
определяется по уравнению
k
а = '
Величина v2^ представляет собой оператор Лапласа. Его
подробная запись приводится 'в табл. 8-1 в прямоугольной,
цилиндрической и сферической системах координат.
ТАБЛИЦА 8-1
Оператор Лапласа, выраженный в прямоугольной, цилиндрической
и сферической системах координат
Прямоугольная система координат:
у2Т^
д2Т д2Т
ад-2
т-
д2Т
ду2
дг2
Цилиндрическая система координат:
2 1 / дТ \ д2Т 1 / д*Т \
v т — г [дг) + дг2 + г2 {ае2) +
д2Т
дг2
Сферическая система координат:
дТ
1 д
v"T== r2 "Ь7
дг
1
1
r-sim
д2Т
_а_
ЛА +
sin6
дТ
дВ
г2 йп2В
\дф2]
Используя дифференциальное, уравнение (8-38) и данные
табл. 8-1, можно легко сформулировать большинство
конкретных задач теории теплопроводности.

214
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
Аналитическое решение задач теплопроводности 'представляет
собой функцию времени 'И пространственных координат,
удовлетворяющую заданным начальным и краевым условиям.
Возможны четыре различных типа задания краевых
условий, встречающихся в задачах по теплопроводности. Может
задаваться температура на границе, поддерживаемая
постоянной в течение рассматриваемого периода времени. Если
положение границы может определяться одним числом (например,
расстоянием R), то такие краевые условия математически
определяются уравнением вида
Т (t, R) = TR (8-39)
где TR — температура на границе. Такого рода краевые
условия, например, имеют место при рассмотрении процесса литья,
когда расплав полимера попадает в форму, температура
которой поддерживается постоянной за счет интенсивного
охлаждения циркулирующей водой. В этом случае поверхность
полимера при соприкосновении с формой мгновенно принимает
температуру формы и остается постоянной до тех пор, пока он
находится в контакте с формой.
Второй тип краевых условий возникает, когда через
поверхность распространяется постоянный тепловой поток.
Математически это условие записывается уравнением
q = — kT' (t, R) (8-40)
где q — постоянный тепловой поток, а Тг представляет собой
частную производную Т по координате R. Краевые условия
этого типа встречаются в некоторых задачах лучистого нагрева.
Если поверхность соприкасается с жидкостью, то краевые
условия определяются процессом конвективной теплопередачи.
Теплопередача между поверхностью и жидкостью происходит
со скоростью, пропорциональной разности температур между
поверхностью T(t, R) и объемом жидкости Tf. Константа
пропорциональности h называется коэффициентом конвективной
теплопередачи. Это краезое условие математически можно
записать с' помощью уравнения такого вида:
h [T (t, R) ~Tf] = - kV (t, R) (8-41)
Наконец процесс теплопроводности может происходить в
адиабатических условиях, т. е. когда тепло не передается
через границу, например в случае хорошо изолированной
поверхности. Математически это условие выражается уравнением
_ kV (t, R) = 0
(8-42)

8-3. Нагревание и охлаждение пластин
215
8-3. Нагревание и охлаждение
пластин
В этом разделе дается решение уравнения теплопроводности
для одномерного теплового потока в теле, ограниченном двумя
параллельными плоскими
поверхностями ('пластина) или одной плоской
поверхностью (полубесконечная
пластина), как показано на рис. 83. Для
одномерного теплового потока без
внутреннего' тепловыделения
уравнение теплопроводности сводится к виду
Х=0
дТ
dt
— а
д2Т
'дхГ
(8-43)
Запишем краевое условие при
нагревании (или охлаждении) полубеско-
«ечной пластины конвективной
теплопередачей от жидкости с
температурой Tf.
kV (0, t)
—х—*■!
x = -W
Х=0
T=+W
h[T(0,t)-Tf} = -
где
(8-44)
дТ
дх
Рис. 83. Положение
координат при исследовании
теплового процесса в
пластинах:
а—ограниченная пластина;
б—полубесконечная пластина.
Рассмотрим случай, когда в начале процесса пластина имела
во всех точках одну и ту же температуру 7\-. Следовательно,
это начальное условие запишется в виде
T(x,0) = Tt
(8-45)
В этой задаче коэффициент конвективной теплопередачи h
и коэффициент теплопроводности k принимаются
постоянными.
Дифференциальное уравнение © частных производных (8-43)
и приведенные выше граничные условия определяют постановку
задачи. Решение этой задачи, полученное методом пробразова-
вания Лапласа, .имеет вид
У = erf W + ехр
Х +
х*
4W2
erfc
^ 2ЧГ
(8-46)

216
Гл. S. Тепловой и энергетический бйланс
где безразмерные величины X, Y и W определяются следующими
формулами:
Т_7>- (8-47)
Y =
Ti-Tf
v hx
W = x
2 /at
(8-48)
(8-49)
В уравнении (8-46) erfФ* представляет собой функцию ошибок
от W Эта функция табулирована и ее значения приводятся
тг различных математических руководствах. Безразмерная зе-
личина Y зависит от X и W. Графически эта зависимость
представлена .на рис. 84 с X в качестве параметра. Используя ураз-
1
лО'
<*Й
—Ji
^ ^,
=^—-
S
,.о6^
>иА.1
J^
0^
^
Jw
f _< J
0ЙГ1/
,'Vy
7,0
0,8
0,6
x
о, г
о
0,01 0,02 0,OU 0,06 0,7 0,2 0,Ь 0,6 1,0
Рис. 84. Решение уравнения теплопроводности для
полубесконечной пластины.
нение (8-46), можно получить решение задачи 'и для случая,
когда на границе задается постоянная температура. Так как
предполагается, что при таком краевом условии сопротивление
теплопередаче от жидкости к твердому телу оказывается
незначительным, то коэффициент теплопередачи h (и, следовательно,
X) становится бесконечно 'большим, а уравнение (8-46)
значительно упрощается:
Y = erf Т = erf
(8-50)
График, построенный по уравнению (8-60), представлен кривой,
обозначенной «а рис. 84 как Х = со.
Теперь рассмотрим .нагревание .и охлаждение пластины
конвективной теплопередачей от обеих поверхностей, при этом

8-3. Нагревание и охлаждение пластин
217
по-прежнему температура жидкости равна Г/. Толщина
пластины— 2W, а ее начальная постоянная температура 7V
Поместив начало координат в середину пластины (см. рис. 83),
получим краевые условия в виде:
f (Xf 0) = Г
h[Tf-T(+ W, t)] = kV [+ W, t]
h[Tf — T(— W, t)) = — kV (- W,t) (8-51)
где
*"-(■&)
Решение дифференциального уравнения (8-43) для случая
приведенных выше краевых условий дано Карслоу и Егером1..
Оно может быть записано' в виде
оо —M2-at
-^h-^MXlUy «*(£) <■***>
«=1,2...
где М представляют собой действительные положительные
корни уравнения:
MtgM = -^ (8-53)
Уравнение (8-53) имеет бесконечное число действительных
положительных корней. Первые пять корней для различных
значений параметра N = hW/'k вычислены Карслоу и Егером2. При
выполнении числовых расчетов по уравнению (8-52) для
различных частных случаев используется графическое решение.
Для вычисления температуры поверхности тела надо в-,
уравнении (8-52) заменить х на W. На рис. 85 дан график,
представляющий собой решение этой задачи. График построен
в координатах: безразмерная температура в зависимости от
(at/W2) и величины N. На рис. 86 представлено графическое
решение для другого частного случая, а именно х = 0, т. е. для
середины пластины.
Также представляет интерес решение, получающееся при за;-
мене краевого условия, связанного с .конвективным
теплообменом, на условие постоянства граничной температуры. Если
h=oo, то действительные положительные корни уравнения
(8-53) равны (mi/2), где п=\, 3, ..., а уравнение (8-52)
принимает вид
оо —П2тс2а i
л=»1.3...

•к
кг
к^
>l"K
k^
о, в
0,6
о л
0,2
О
\
J
"s
\^^о ГС
_Л
,.г
^=" V
Г' ->
к
\о
^
N
^::
Cc=>
0,01
0.1
ut/wz
10
то
Рис. 85. Решение уравнения теплопроводности для поверхности
пластины.
10
О, в
0,6
i
&о,ь
о, г
о
0,01
0,1
1,0
10
dit/wz
к=^?\
I 2~\l,
T ю\
т 10 -J*>
\ Д
>tv
\\
4'\
I'vy
о
\
~N =
Ук^1
\ И
12
0,1
Ли
Vs
\
[_ Т
Т
1
5. \.
1
V I
\ I
v \ I
^Ь.й
100
Рис. 86. Решение уравнения теплопроводности для середины
пластины.

8-4. Лучистый теплообмен
219
Графическое решение этого уравнения представлено на рис. 86'
кривой, обозначенной Л/ = оо.
8-4. Лучистый теплообмен
При переработке полимеров нагрев 'излучением
применяется главным образом пр'Я прогревании относительно тонких
пластин термопластичных материалов, предшествующем
различным операциям горячего формования. Цель настоящего
раздела— дать краткое введение в теорию лучистого теплообмена
и рассмотреть методы вычисления потерь на лучеиспускание в
некоторых процессах.
Все тела- излучают энергию в виде электромагнитных волн.
Эта энергия не требует для своей передачи материальной среды
и 'распространяется в пространстве до тех пор, пока не
встретится с какой-либо поглощающей средой: газом, жидкостью или
твердым телом. Количество излучаемой энергии
пропорционально четвертой степени абсолютной температуры излучающего
тела. В той температурной области, где энергия излучения
практически может использоваться для нагрева, большая часть ее
приходится на инфракрасную часть спектра. Поэтому нагрез
излучением называется также инфракрасным нагревом.
Гипотетическая среда, которая поглощает все падающие
лучи (поглощающая способность равна единице), называется
абсолютно черным телом. Интенсивность Еъ лучеиспускания
абсолютно черного тела при абсолютной температуре Т
определяется законом Стефана — Больцмана:
Еь = оТ4 (8-55)
где а — постоянная Стефана—Больцмана, равная 1,36 -.Ю-12
кал/см2 • сек • град4 (3,65 • 10-8 вт/м2 • сек • град4).
Спектральное 'распределение .излучаемой энергии зависит от
температуры тела. При увеличении температуры тела длина
волны, при которой наблюдается максимальная интенсивность
излучения, также возрастает. Это явление описывается законом
смещения Вина:
Tlm = 0,288 см-°К (8-56)
где Хщ — длина волны, соответствующая максимальной
интенсивности. Форма кривой спектрального .распределения
интенсивности излучения самого черного тела была теоретически
найдена Планком и может для любой температур.ы рассчиты--
ваться по формуле Планка.

220
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
Реальные тела не ведут себя в точности так, как подобные
им по форме абсолютно' черные тела. При некоторой заданной
температуре они излучают меньше энергии. Их излучательная
способность е оценивается по уравнению
. = -£ (8-57)
где Е— интенсивность лучеиспускания реального тела.
Обычно е является функцией температуры; для большинства
материалов она увеличивается с увеличением температуры.
Металлоиды и окиси металлов обладают высокой излучательной
способностью, для них обычно 8 = 0,8 и выше. Хорошо
отполированные металлы имеют низкую излучательную способность, обычно
0,1 и меньше.
Реальные тела поглощают не все падающее излучение.
Коэффициент поглощения а определяется как отношение
поглощенного излучения к падающему. По закону Кирхгоффа, для
случая радиационного равновесия а='8.
При расчете лучистого теплообмена между черными телами
основную роль играет геометрическая форма тел. Только та
часть тела, которая «видна» излучающему телу, попадает под
излучение. Кроме того, интенсивность излучаемой энергии —
максимальна вдоль нормали к поверхности и равна нулю ,в
направлении по касательной к ней. Для абсолютно черного тела
этот закон математически выражается теоремой косинусов
Ламберта.
Хотелл3 произвел расчеты теплообмена для некоторых тел
простой геометрической формы. Он ввел коэффициенты
видимости, представляющие собой ту долю энергии, излучаемой
одной поверхностью, которая попадает на другую поверхность.
Так, величина глучистой энергии, передаваемой от черной
поверхности 1 на черную поверхность 2, будет равна E\A\F\2,
где А\ — площадь поверхности 1, a FX2 представляет собой ту
часть энергии, излучаемой поверхностью 1, которая попадает
на поверхность 2.
Можно показать, что
AxFxt = A2F21 (8-58)
так что Qio — количество теплоты, переданной при лучистом
теплообмене от тела I к телу 2, выражается уравнением
Q12 = ELAtFl2 - E2A2F12 =А-Я*^! - .&) (8,5?)

8-4. Лучиртый теплообмен
221
Если закон Стефана — Больцмана подставить в уравнение
(8-59), то получим
1-(•£-)'] (8-60)
Отметим еще, что в тех случаях, когда (T2/TtX 1, уравнение.
(8-60) можно записать в виде
Qxt=oA1F12T\ (8-61)
Например, если ТХ = А27°С, а Г2 = 37,8°С, то {Т21ТХ) =0,089
и Qi2, вычисленное !по уравнению (8-61), отличается только на
3,9% от величины, рассчитанной по уравнению (8-60).
Для нечерных тел расчеты становятся более сложными.
Однако можно рассмотреть простой случай лучистого
теплообмена между параллельными бесконечными пластинами. Так как
«и с одной из пластин нельзя увидеть ничего, кроме другой
■пластины, то коэффициенты видимости равны единице. Однако
■пластины ,не абсолютно черные, поэтому часть излучаемой
энергии отражается от каждой пластины несколько раз туда и
обратно, прежде чем излучение поглощается окончательно. Анализ
этого процесса показывает, что общее количество переданного
тепла выражается формулой:
Qx% = oF.Ax[T\-T*\ (8-62)
где Fe—коэффициент излучения, определяемый по уравнению
г> £1е2
Ft" -L + -L-.
ч ч
Конечно, если температура оДной поверхности значительно
выше, чем другой, то обратным излучением можно пренебречь.
Тогда уравнение (8-61) запишется в виде:
Qi2 = °* ATI (8-63)
Коэффициент теплопередачи при излучении hr определяется
уравнением
Q = hrA1(T1-T2) (8-64)
которое аналогично уравнению, определяющему коэффициент
теплопередачи при конвективном теплообмене.
Пример 8-2.
В этом-примере определим коэффициент теплопередачи при потере тепла
излучением от расплава полиэтилена при его охлаждении в изотермической
Vl2 — "^1^ 12-^1
1- ^
oAxFnT\

222 Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
среде от 315,6 °С до 26,7 °С. Излучательная способность расплавленного
полиэтилена при 315,6 °С принимается равной 0,90. Так как отношение (7У7\)
равно примерно 0,5, то можно применить приближенную формулу (8-63).
а так как с поверхности нельзя «увидеть» ничего, кроме как окружающую
среду, в которую излучается теплота, коэффициент F12 принимается равным
единице. При совместном решении уравнений (8-63) и (8-64) получим
откуда значение hr равно 21 em/м2 • сек • град.
Многие твердые и жидкие полимеры .почти полностью
непроницаемы для инфракрасного излучения, поэтому падающая
энергия поглощается телом и превращается в тепло на его
поверхности. Однако некоторое количество тепла все же
сразу расходуется в окружающую среду посредством конвекции
и излучения. Поглощенное тепло распространяется внутрь тела
благодаря процессу кондуктивной теплопередачи.
Распределение температуры в теле, нагреваемом лучистой энергией,
зависит не только от теплового потока, но также и от
теплопроводности вещества и конвективных тепловых потерь с поверх
ности.
8-5. Теплопередача конвекцией
Основным тепловым процессом в многочисленных операциях
переработки полимеров является теплоотдача с поверхности
твердого или жидкого полимера в окружающую среду,
например в воздух или воду. В некоторых случаях желательно
ускорить эту теплоотдачу, (в других случаях, наоборот, —
необходимо ее задержать. В настоящем разделе рассмотрены методы
вычисления значений коэффициента конвективной теплопередачи
для двух частных случаев, представляющих особый интерес
■в процессах переработки полимеров.
Вначале рассмотрим потери теплоты естественной
конвекцией от горизонтального цилиндра. Этот процесс происходит
при экструзии труб и других профилей. Затем рассмотрим
потери теплоты через ламинарный пограничный слой,
движущийся параллельно плоской поверхности. Этот процесс важен при
экструзии пленки.
Коэффициент конвективной теплопередачи обычно
представляется в безразмерной форме в виде критерия Нуссельта
Nu = !%- (8-65)
где L — некоторая характерная длина и 6 — коэффициент
теплопроводности жидкости.

8-5. Теплопередача конвекцией
223
Критерий Нуссельта для теплопередачи естественной
конвекцией от горизонтальных цилиндров можно рассчитывать по
следующему уравнению:
Nu = 0,52 [Pr.Gr]1/* (Pr-Gr > 104) (8-66)
где Pr — представляет собой критерий 'Прандтля и Gr —
критерий Грасгофа. Эти безразмерные величины определяются по
уравнениям:
Рт=(^\ (8-67)
Gr =
g%?2L?AT
(8-68)
Уравнение (8-66) применяется, .когда произведение критериев
Нуссельта и Прандтля превышает 104. Заметим, что
критерий Прандтля зависит только
от сзойств жидкости, в то
время как критерий Грасгофа
зависит, кроме того, от разно'сти
температур AT между
поверхностью и объемом жидкости.
В качестве характерной
длины L в уравнении (8-66) и
при ^подсчете Nu и Gr обычно
используют диаметр
цилиндра. Кроме того, при
'Подстановке в критериальные
уравнения конвекции обычн'о
используются значения
параметров жидкости, оцениваемые
при средней температуре
между объемом жидкости .и
поверхностью. 'В большинстве
процессов переработки
полимеров такими жидкостями или
газами язляются вода либо
.воздух. Физические свойства
этих жидкостей в зависимости
от температуры показаны на
рис. 87 и 88.
Пример 8-3.
Рассчитать тепловые потери в воздухе при температуре 30 °С от
горизонтального цилиндра диаметром 2 см, если поверхность цилиндра нагрета до
170 °С.
?.п
16
г/,
в
4
О
1,7
1,6
1,5
1Л
1,3
0,66'/
<\)
^
4s
<li
«о
i*
Ог>
^
ч
£
^<о
V
^,
S
^е
<ъ
«3
0,626 *,
"\
0,585 £
"о
О 5U *+**&.
О 20 ЬО 60 80 700'
Рис. 87. Физические свойства воды
как функции температуры.

^24
Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
Значение АГ равно 140 °С, а средняя температура 100 °С. При этой
температуре физические свойства воздуха, по рис. 88, таковы:
Рг = 0,74
[л = 2,15-Ю-4 пз (2,15-10-5 н-сек/м2)
р = 9,4-10-* г/см3 (0,94 кг/мэ)
k= 10,8-Ю-5 кал/см-сек-град (0,045 вт/м-град)
ср = 0,24 кал/г • град (1 дж/г • град)
%= 2,68-Ю-3 град-i
Критерий Грасгофа, рассчитанный по уравнению (8-68), равен 4,24-104.
Так как произведение Gr-Pr превышает 104, то применимо уравнение (8-66).
Критерий Нуссельта оказывается равным 6,93, а коэффициент конвективной
теплопередачи h, рассчитанный по уравнению (8-65), равен
37,5-Ю-5 кал/см2-сек-град (15,6 впг/м2-град).
3,5
§3,0
- 5
<ъ
сЗ4
сэ d
■ к 2
7
%2,0
"^ 1.03
A.WZ
*""
-<
Гу? -з
0
>
Ср
\
1С
Tt
-*-
^
^- О
^
Ю
'Mi
г
оо
?а
3L
ну
10
рс
4-
Г,"
90
С
Si
0,80
0,75
0.70 £
0,65
0,60
160
740 -i6,67 ^
720^ Q-
700\ МгОО &
80 > 1 5:
60 ? -к^>
го -
п
70 Jff **
Рис. 88. Физические свойства воздуха как функции
температуры.
Критерий Нуссельта при теплоотдаче от плоской
поверхности к жидкости при вынужденном ламинарном течении для
случаев, когда критерий Рейнольдса Re меньше 3 • 105, можно найти
по уравнению:
Nu = 0,66Re1/2Pr1/8 (8-69)
Критерий Рейнольдса определяется уравнением:
LV?
м-
Re
(8-70)

8-5. Теплопередача конвекцией
225
где V — скорость жидкости относительно поверхности, а за
характерную длину L принимается длина 'поверхности,
параллельная направлению течения.
Задачи
8-1. Применяя преобразование Лапласа, решите задачу о нагревании
полубесконечной пластины, если первоначально пластина находится при
постоянной температуре Т/, а затем поверхность пластины мгновенно
принимает температуру Tf и остается при этой температуре. Сравните полученный
результат с уравнением (8-49).
8-2. Применяя метод разделения переменных, решите задачу о
нагревании пластины толщиной 2W, если начальная температура пластины T-t
постоянна, и она помещается в среду с постоянной температурой Tf. Результат
сравните с уравнением (8-54).
8-3. Пластина толщиной 2 см, нагретая до постоянной температуры 100 °С,
погружается в жидкость, температура которой 20 °С. Рассчитайте температуру
в середине пластины и на ее поверхности через 100 сек после погружения, если
а = Ю-3 см2/сек
(hW/k) = 5
8-4. Выведите уравнение, описывающее охлаждение длинного цилиндра
радиусом R, помещенного в жидкость, температура которой T-t, если
начальная температура цилиндра Tf. Сравните результат с уравнением, полученным
Карслоу и Егером (Conduction of Heat in Solids, Oxford, Clarendon Press, 1959,
p. 202):
Tf-Tt -l-2{ k ;2jexp\~ *2 )№n + (hWb)2]Jo(M
где ря—корни уравнения:
hR
РА(Р)-—У°(Р>
8-5. Покажите, что для случая задания постоянной температуры на
поверхности результат, полученный в задаче 8-4, сводится к следующему
уравнению:
Т-Т} пУ e~^ltlR% J0$nr/R)
где теперь 13л являются корнями уравнения
У0(Р) = 0
8-6. Цилиндр радиусом 1 см, нагретый до постоянной температуры 100 °С,
помещают в жидкость, температура' которой 20 °С. Определите температуру
на оси цилиндра и на его поверхности через 100 сек после погружения, если
о=0,1 м2/сек; (hRlk)=b.'
8-7. Выведите уравнение, описывающее охлаждение сферы радиусом R,
помещенной в жидкость, температура которой Tj, если начальная температура

226 Гл. 8. Тепловой и энергетический баланс
сферы Т/. Сравните результат с уравнением, полученным Карслоу и Егером
(Conduction of Heat in Solids, Oxford, Clarendon Press, 1959, p. 238):
T — Tf I hR \ /_R_\
Ti-Tf -2[ k ) [ r )x
oo
М1й + ЛГ(ЛГ-1)] exP(-"^"j sin (P„) sin (P г/Я)
n=\
где (3„—корни уравнения:
pctgP + TV—1=0 и tf =
8-8. Сфера радиусом 1 см, нагретая до постоянной температуры 100 °С,
помещается в жидкость, температура которой 20 °С. Определите температуру
в центре сферы и на ее поверхности через 100 сек после погружения, если
а = Ю-3 смЧсек (hR/k) = 5
8-9. Выведите следующее выражение для коэффициента излучательной
способности Fs в случае теплопередачи излучением между параллельными
бесконечными пластинами:
£1£2
F*= l/6l+l/4-l
8-10;- Рассмотрите распределение температуры в плоском листе толщиной
2W, который нагревается с двух сторон инфракрасными лучами. При этом
примите, что теплопередача конвекцией не учитывается, что лист
непроницаем для инфракрасных лучей и что поток тепла через поверхность не
зависит от температуры поверхности. Если температура на поверхности листа
7"^, а температура в центре «го Тс, то было показано, что
Ts — Ti
Tc-Tt = f W
где
at
Ti—начальная постоянная температура листа, a t—время. Найдите вид
функции /(ф) (см. Э. Бернхардт, Переработка термопластичных материалов,
Изд. «Химия», 1965).
Литература
1. Н. S. С а г s I a w, J. С. J aege r, Conduction of Heat in Solids, 2 nd
ed., Oxford University Press, 1959, p. 121.
2. H. S. С a r s 1 a w, J. С Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2 nd ed.,
Oxford University Press, 1959, p. 491.
3. H. G. H о t t e 1, ch. 3 of «Heat Transmission» by W. H. M с A d a m s,
й McGraw-Hill, 1954.
hR
k

Глава
Гидродинамический анализ
процесса каландрования
9-1. Введение
Каландрование — непрерывный процесс формования, при
котором с помощью приводных валков масса размягченного
материала формуется в листы однородной толщины. Схематически
процесс показан на рис. 89.
На каландрах непрерывно при высоких скоростях получают
из полимеров пленки и пленочные материалы. При этом
толщина пленки поддерживается с высокой степенью точности.
Согласно Маршаллу1, на
каландрах можно
получать листы шириной до
2 м при скоростях
каландрования до 1,525 м/сек,
а также пленки толщиной
0,05 мм и даже тоньше при
отклонениях по толщине
менее 0,00254 мм.
Основной процесс,
протекающий при калан-
дровании
термопластичных материалов в
расплаве. —ламинарное
вязкое течение. При
введении определенных упрощений становится возможным провести
математический анализ процесса. Полный математический
анализ позволил бы .решить следующие .задачи: исходя из
физических 'Свойств каландруемого материала, размеров валков, их
скорости и расстояния между ними, можно было бы рассчитать
линейную производительность каландра,'толщину получаемой
пленки, распределение температуры в каландруемо'м 'материя1
ле, силы, стремящиеся раздвинуть валки, мртйн'рсть, необходим
мую для привода каландра.
Рис 89. Схематическое изображение прр-
цесса каландрования.

228 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
9-2. Упрощенная теория течения*
Частичное решение поставленной выше задачи дает
приводимый здесь анализ, основанный на теории Гаскелла2. В этом
анализе пренебрегают эластическими свойствами
термопластичных материалов и рассматривают установившееся
изотермическое течение несжимаемой ньютоновской жидкости. При
проведении анализа пользуются прямоугольной системой координат,
оси которой ориентированы так, как это показано на рис. 90.
х=х
Рис. 90. Система обозначений для анализа потока
в симметричном каландре.
Задача заключается в определении давления Р и компонент
вектора скорости vx и vy в функции от координат х и у.
Вследствие условия несжимаемости уравнение
неразрывности примет вид
dvx , dv,
vy
дх
ду
= 0
(9-1)
а проекция на ось х уравнения движения равна
д*ух
дх*
Ч&)+».(£)]=-(-£)+>
+
д*ох
ду*
(9-2)
В этих уравнениях компоненты напряжений заменены
соответствующими значениями градиентов скорости, приведенными
в табл. 2-3.
Рассмотрим каландр с одинаковыми размерами валков,
которые вращаются с одной и той же скоростью (симметричный
каландр). Радиус валков R, их окружная скорость—U, а
зазор между валками — 2#0. Вследствие симметрии относительно
* Идея теории, приписываемая автором Гаскеллу, была задолго до него
сформулирована применительно к процессам прокатки металлов И. В.
Мещерским и развита в монографии С. М. Тарга (см. С. М. Т а р г, Основные
задачи теории ламинарных течений, Гостехиздат, 1951).—Прим. ред.

9-2. Упрощенная теория течения
229
оси х достаточно рассмотреть только ту область, где значения
координаты у положительны.
Для придания уравнению (9-2) более удобного вида введем
некоторые упрощения. Левая часть уравнения (9-2) определяет
собой ускорение материала. Так как материал течет
относительно медленно, а вязкие силы велики, то ускорением материала
можно пренебречь. Далее, предполагая, что изменение vx в
направлении х значительно меньше, чем в направлении у, можно
оставить только производные vx по у, пренебрегая
производными по х. Эти упрощения допустимы, если плоскости,
ограничивающие жидкость, параллельны. Данное условие будет
соблюдаться и в том случае,, если Я0 мало по сравнению с R, и тогда,
когда уравнение применяется только непосредственно к области
зазора между валками.
При введении этих упрощений уравнение (9-2) примет вид
(-£)-»( 94 <9-3>
Сделаем дополнительное упрощение. Предположим, что
гидростатическое давление жидкости изменяется только в
направлении х.
При первом интегрировании уравнение (9-3) примет вид
где С\ — постоянная интегрирования. Вследствие
симметричности потока относительно оси х имеет место условие y(0)=0, из
которого следует, что С\ = 0. Поэтому после второго
интегрирования уравнение (9-4) примет вид
*-£(■£)+'. <9"5)
Постоянная интегрирования С2 определяется из условия
vx(h) = U, и уравнение (9-5) примет вид
e,_U+i^K-(.£-) (9-6)
тде /2 — расстояние от плоскости симметрии до поверхности
валка. Вследствие кривизны валков h является функцией
координаты х.

230 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
Расход потока через зазор, отнесенный к единице ширины
валка, определяется интегралом:
h
Q = 2^Vxdy (9-7)
о
Подставляя уравнение (9-6) в уравнение (9-7), получим
следующее выражение для объемного расхода:
Q = 2h
И —— ( дР
3fi у дх
(9-8)
Теперь выгодно произвести замену переменных.
Безразмерная независимая переменная р, определяемая выражением
(9-9)
/2ЯЯ0
подставляется в уравнение (9-8), которое после преобразований
дает следующее выражение для градиента давления:
^=У2Щ(Щи-4г) 0-Ю)
Величина h, являясь функцией координаты х, связана с ней
соотношением
h = H0 + R — VR2 — х2 (9-11)
Разлагая третий член правой части уравнения (9-11) с
биномиальный' ряд и отбрасывая все члены этого ряда, кроме двух.
первых, можно упростить это уравнение. В результате получим,,
что
Л = Яо + .(ж),- (9"12>
из равенств (9-12) и (9-9) видно, что величина /г связана
с безразмерной переменной р соотношением
-^- = 1 + Р2 (9-13)
Теперь, уравнение (9-10) примет вид

9-2. Упрощенная теория течения
231
Входящий в уравнение (9-14) параметр % определяется
выражением
X2=w-' <9'15>
которое, будучи записанным в другой форме
Х2 = 1Щ" (9"16>
показывает, что X представляет собой значение переменной р в
точке х = X, т. е. в той точке, где лист материала теряет контакт
с валками.
При интегрировании уравнения (9-14) получим, что
Р-жУ^й^{9Л) + С] (9-17)
где функция g(?,7b) определяется по уравнению*
е(р.ц = [p,~.(r+LPV3XV 1р+(1 -ЗХ2>tg_1 р (9-18>
Постоянная интегрирования С, определяемая из граничного
условия**
Р(Х) = 0
лредставляется равенством
С= (пГ^-)^-(1-ЗЛ'1)*Г1^ 0-19)
для которого значение
С = 5Я3
представляет собой очень хорошее приближение в
рассматриваемой области.
Из уравнения (9-14) следует, что в точках
р = ±1
<тде р= — Я представляет собой точку максимального
давления) тангенс угла наклона кривой давления равен нулю'.
* Здесь и далее tg"1 р=arctgp.— Прим. ред.
:* Имеется в виду, что при р=Х величина Р=0.—Прим. ред.

232 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
Так как функция g (рД) может быть как положительной^
так и отрицательной, то уравнение (9-17) имеет два корня,.
представляющие интерес, а именно,
Р = — Ро и Р = -г А.-
Уравнение (9-17) показывает, что
в этих точках должны
существовать следующие условия:
<
1,0
0,8
0,6
ол
о,г
о
0,1 0,2 0,3 0,^
л
Рис. 91. Зависимость X от р0.
g(Kt \) = —С(\) = — Sk3 (9-20)
g(-?0,l)=-C(k) = -W (9-21).
Отсюда видно, что
£(ЬД) = £(-РоД) (9-22)
Следовательно, между Л, и р0 существует только одно
функциональное соотношение, которое и показано на рис. 91.
9-3. Распределение скорости и давления
Выражение для определения максимального давления
можно получить из уравнения (9-17) с помощью подстановки
р=—А,. Так как g (рД) —нечетная функция, то
£(-X,X) = -g(X,X)
(9-23)
Если же мы примем во внимание и уравнение (9-20), то
получим выражение для определения максимального давления:
= Р (->•)
(9-24)
Отношение давлений (Р/Рт&х)- получаемое при делении
уравнения (9-17) на уравнение (9-24), равно
Р _ Р(?) ^ 1
Ртах Р(-Х) 2
1 1 ё(?Л)
1 "f" ' 5\3
(9-25)
В частном случае, когда р = 0, величина g (ОД) = 0 и
уравнение (9-25) принимает вид

9-3. Распределение скорости и давления
233
Отсюда следует, что давление, развивающееся в зазоре между
валками, равно половине максимального давления.
Общий вид распределения давления, получаемого при
построении графика зависимости (Р/РтцХ) от р, определяется
поведением функции g(p,X). Легко вычислить следующие основные
точки кривой распределения давления:
при р = — р0, g (_Ро, X) = —5Х3, a (P/Pmax) = О
при р = -X, g (-Х, X) = +5Х», a (P/Pimx) = 1
при р = 0, g (О, X) = 0, a (P/Pmax) == 1 /2
при р = +Х, g (X, X) = -5X3, а (P/pinax) = о
Если уравнение (9-17) представить в виде
Я(рД)"
Р= 10
^К
9/?
32Я0 J 2
X3
1 +
5л3
то, используя уравнение (9-25), получим
= 10^/
9R
32Я0
X3
(9-26)
(9-27)
Для иллюстрации влияния X на характер распределения
давления параметры и, £А 7? и Я0
■поддерживались постоянными.
В этом случае уравнение £4-
(9-27) можно записать J3 еле- ^
дуюшем виде: ^
где Р' — относительное
давление.
На рис. 92 показана
зависимость относительного
давления Р' от р для трех
различных значений параметра X.
Заметим, что при увеличении
параметра X кривая
расширяется, а максимальное
давление увеличивается. Так как
-Ртах зависит от третьей
степени X, то даже
незначительные изменения вызывают
большие изменения Ртах. На-
32
5о
«о
116
I
х=с
/
1
1
1
1
л
X
\
= 0,3
= 0,2
Л
1
о
-1,6-1,2-0,8-0,^ О 0,1+
Рис. 92. Кривые относительного
давления для различных значений
параметра X.

234 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
пример, если X увеличится вдвое, то это вызовет увеличение
•Ртах в восемь раз. При увеличении значения параметра X от
0,28 до 0,32, Ртах возрастет -примерно на 50%.
Хотя параметр X и оказывает сильное влияние на форму
кривой давления, гидродинамическая теория каландрования все
же не в состоянии независимым образом установить
значение X. Значение параметра X необходимо определять опытным
путем. Если имеется кривая давления, то значение параметра k
можно определить исходя из давлений в тех точках, где оно
равно нулю и максимально, а также исходя из значения
давления в зазоре между валками. Учет этих зависимостей дает
наиболее хорошие результаты.
Берген и Скотт3 получили кривые распределения давления
для различных полимерных материалов, каландровавшихся на
валках диаметром 254 мм.
Измерения производились с
помощью деформационного
прибора высокого класса
точности, вмонтированного в
поверхность одного из валков.
На рис. '93 представлены
значения отношения давлений
(Р/Рт&х) в зависимости от р,.
полученные в результате
экспериментов с
пластифицированными термопластичными
полимерами. К'роме того, на
этом же рисунке
представлена теоретическая кривая,
построенная при помощи
определения значений переменной
р в точках 'максимального
давления, при различных значениях параметра X. Из рисунка
видно, что теоретическая и экспериментальная кривые в этой
точке совпадают.
В области (р>— X) наблюдается превосходное соответствие
между теорией и экспериментом. В .области (р<—X)
теоретическая кривая проходит несколько ниже экспериментальной,,
что, по крайней мере частично, является следствием
неньютоновской природы жидкости, использованной при экспериментах..
Согласно теории вязкость жидкости во всех точках была
одинакова. Вязкость псевдопластичной жидкости, использованной для
эксперимента, была минимальной в зазоре между валками.
Следовательно, давление, создаваемое в жидкости, должно
повышаться более быстро, чем это вытекает из теории течения
7,0
0,8
2 0,6
А*
0,2
О
2 7
г
/1
/!
/1
it
/1
11
j i
I i
I i
' i
/
\-1
1
i
\\
\\
\\
-1,6 -7,2 -0,8 -О.Ь
Р
0,<*
Рис. 93. Сравнение теоретической и
экспериментальной кривых давления:
/—экспериментальная кривая; 2—теоретическая
кривая.

9-3. Распределение скорости и давления 235
ньютоновских материалов. Это объясняется тем, что по мере
приближения к зазору между валками вязкость жидкости
уменьшается.
При совместном решении уравнений (9-6) и (9-14), переходе
от переменной х к переменной р и последующих
преобразованиях получим следующее выражение для компоненты
скорости vx:
Vx_^ 2 + ЗХ2 (1 — ^l2) — Р2 (1 — 3-п2)
U 2(1 + Р2)
где безразмерная переменная ц определяется выражением
У
(9-29)
Из уравнения (9-29) следует, что относительная скорость
(vx/U) является функцией параметра X и координат (p,rj).
уэ = -^л
р.О
Рис. 94. Кривые давления, вычисленные для значения
Х2=0,Ю.
На рис. 94 показаны кривые распределения скорости,
рассчитанные для случая, когда X2 = 0,10. Заметим, что при р = ±Х
правая часть уравнения (9-29) равна единице, a vx = U.
Следовательно, распределение скорости по зазору в точке
максимального давления, а также в той точке, где материал теряет
контакт с валками, является постоянным.
В области (—А,<р<+,?0 градиент давления отрицателен и
давление возрастает в прямом направлении. Следовательно, в
этой области кривая — выпуклая. В области (р<—X)
положительный градиент давления замедляет движение жидкости
вперед, и кривая скорости становится вогнутой. По мере
уменьшения р в конце концов достигается такое значение х, при
котором скорость в средней плоскости (где rj = 0) равна нулю. Эту
точку застоя, обозначаемую какр*, легко определить, если при-

236 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
равнять левую часть уравнения (9-29) нулю. Получим
следующее выражение:
(р*)2_зх2_2 = 0-
которое показывает, что р* — функция параметра %. При
А,2 = 0,10 точка застоя имеет место при р* =—4,8Я.
В области (р<р*) компоненты скорости имеют и
положительные и отрицательные значения. Ввиду того, что компонента
скорости отрицательна, жидкость движется от зазора между
валками в направлении средней плоскости. Вблизи от
поверхности валка компонента скорости положительна и жидкость
движется по направлению к зазору между валками. В
результате в области (р<р* ) происходит частичная циркуляция
жидкости. В области (р> р*) циркуляция жидкости отсутствует, так
как компонента скорости имеет только положительные
значения.
Если продифференцировать уравнение (9-29), то получим
'выражение для скорости сдвига жидкости
Т =
dvx
ду
dvx
д-ц
3U4]
h
р*
А2
(1 + Р2)
(9-30)
Если принять во внимание уравнение (9-13), то уравнение
(9-30) можно записать в следующем виде:
• X2
Т =
Wt[
Н0
(1 + Р2)2
По поверхности валка tj = 1, а скорость сдвига у равна
'о
(1 + р2)2
(9-31)
(9-32)
Мощность р, которая требуется для приведения обоих
валков в движение, приближенно можно определить по уравнению
р = 2UW? тЛ dx
>5
(9-33)
где W — длина валков вдоль оси. При переходе к безразмерной;
переменной р уравнение (9-33) примет вид
А
р = 2UW\i VlWo [\hd?
(9-34)
—Ро

9-3. Распределение скорости и давления
237
Подставляя уравнение (9-32) в уравнение (9-34) и вычисляя
интеграл, получаем выражение для определения общей
мощности:
р = ЗИГС/V УШН0 f (X) (9-35)
где функция f{X) определяется выражением
Вид функции /(Я) представлен на рис. 95. Функция f(X) зависит
только от параметра Я, так
как параметр р0 сам
является функцией А,.
Гидростатическое
давление жидкости, возникающее
между валками, стремится
разъединить валки. Эта
сила, стремящаяся
раздвинуть валки, определяется
интегралом:
х
F = WV2W0\Pdp (9-37)
-Ро
Подставляя выражение для
давления (9-17) в
уравнение (9-37) и вычисляя
интеграл, получим, что
* = (-tF)«W <9-38)
где функция q{X) определяется выражением
q(l)= (г$|)[Ро-^ + 5X3(1 + rf)]+
4- (1 — ЗХ.2) [X tg"1 X — Ро tg"1 Ро]
(i + p§)
(9-36)
0,20 0,25 0,30 0,35 0,^0
X
Рис. 95. График зависимости д(Х) от
X и f(k) от X.
График функции д(%) представлен на рис. 95.

238 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
П ример 9-1.
На каландре, который имеет размеры
# = 0,1 м
W = 1,0 м
Н{1 = МО-4 м
получают, листы толщиной 2,18-Ю-4 м. Скорость каландрования 0,4 м/сек.
Вязкость полимерного материала 104 пз (103 н-сек/м2). Предполагая, что
теплообмен между материалом и валками каландра отсутствует, рассчитать
максимальное давление, которое развивается в материале; мощность, потребляемую
при работе каландра; силу, стремящуюся раздвинуть валки и среднее
повышение температуры материала.
Так как в этом примере толщина каландруемого листа задана, то можно
определить значение параметра X. В точке, где лист каландруемого материала
теряет контакт с валком (в точке отделения), h—H и уравнение (9-13)
принимает вид:
# = '+12
где Н—равно половине толщины каландруемого листа, а Н0—половине
расстояния в зазоре между валками. Отсюда находим, что Х=0,30.
Максимальное давление (при р=—X), определенное из выражения (9-24),
равно
JW= 5-1Q3-°'4-0'33 тЛЕШ^ 1,81.10^81-10»)
'max 10_4 у g.10-4 v '
Общая мощность, рассчитанная по уравнению (9-35), равна
р= 3-1-0,4а-10зy^-O.l/lO^-O,043 = 920 вт
Из формулы (9-37) найдем силу, стремящуюся раздвинуть валки каландра.
3-Ю3-0,4-0,1-1,0-0,16 л л 1А лм v
F = 4-10-* = 0,48-101° дин (4,8-104н)
Объемный расход при каландровании Q равен
Q = 2t/-#-№ = 2-0,4-l,09-10-*-l =8,72-10-5 м3/сек
Если материал имеет плотность 1-Ю3 кг/м3, то валовая производительность
каландра (весовая скорость каландрования) равна 0,0872 кг)сек. Если
предположить, что удельная теплоемкость материала равна 0,5 кал/г-град
(2,093-103 дж/кг-град), то среднее повышение температуры равно
— 920
АГ_ 9,72-10-5-2,093- 10М03 ~5 С
9-4. Теория неньютоновского течения
Гидродинамический анализ процесса каландрования,
развитый в предыдущем разделе, следуя работе Гаскелла2,
обобщается для случая неньютоновского течения. Начнем с проекции
»а ось х уравнения движения, которое после введения тех же

9-4. Теория неньютоновского течения
239
упрощении, что и раньше, за исключением неньютоновского ха«
рактера вязкости примет вид
дР дх х д г dv I
Уравнение (9-39) аналогично уравнению (9-9) для
ньютоновской жидкости.
Интегрируя уравнение (9-39) по у, получим, что
ру = х = ч{^) (9"4°)
где
дР
-(£) <И1>
Так как поток симметричен относительно, оси х, то постоянная
интегрирования в уравнении (9-40) равна нулю.
Следовательно, т(0)=0. Для упрощения системы обозначений индексы у
компоненты тензора напряжения опускаются.
Исключение переменной у в уравнении (9-40) дает:
dvx=^(^y, (9-42)
Это выражение при интегрировании примет вид
»< = o-7-J(t)a (9-43)
t
Объемный расход потока Q определяется из уравнения
(9-7). Используя уравнение (9-40) и производя замену
переменной у на т, находим выражение для объемной скорости потока:
Q=-f-j4* (9-44)
о
Это уравнение носит общий характер и не зависит от природы
жидкости. Если же уравнение (9-43) подставить в уравнение
(9-44), то получим, что
«--ь-*УГ(т)** <9-45>
0 Т

240 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
Из уравнения (9-40) видно, что xw = ph. Принимая во внимание
формулу (9-13), получим, что
*„ = Р#о(1+Р2) (9-46)
Тогда уравнение (9-45) можно записать в следующей форме:
Q = 2UH0 (1 + p2) - A j j JL dr dx (9-47)
о т
Объемный расход потока можно также выразить через Я0:
Q = 2UHQ(\+l*)
Исключение из этих уравнений Q дает:
''-1'=^.И(т)**
Ниже показано, что*
о х
ои ш w
f Г f(x)dxdx = Г x/(x)ch
От 0
Следовательно, уравнение (9-49) принимает вид
,2 _ Х2 = TV7J_^ \ ?L dx
Р
С/Я0р'
1 Г* т^
ГоР2 J Ч
о
(9-48)
(9-49)
(9-50)
(9-51)
Для доказательства формулы (9-50) отметим, что
/ = j |/(т)ЛЛ= j*|j'f(x)dx- ^ f(x)dx
rfx =
0 T
о о
'Суя i ^ttJi ^
= ^ j* / (0 rfx — [ [ / (x) dz dz 0-52)
о о' о
* Доказательство формулы (9-50) чрезвычайно усложнено. Ниже
приводится элементарное доказательство этой формулы с помощью интегрирования
по частям:
т„. т„. т„. т=т„. т„. т„
И; ш
/ = j dxj /(x^rfT^TJ/K)^ +j f(x)xdz = j /(T)xd-
0 T
т=о о

9-4. Теория неньютоновского течения
241
Преобразуем двойной интеграл в уравнении (9-52) в простой
интеграл так:
/ = Ъ j /СО d x - j* (xe-x)/(x)dx = |т/(т)Л
0 0 0
Справедливость сделанного преобразования двойного
интеграла можно доказать при помощи преобразования Лапласа.
Определим g(xw) из уравнения
о
Применение теоремы4 обратного преобразования Лапласа
даст:
Производя обратное преобразование функции F(s)/s2, можно
записать, что
Xjm х
о о'
При этом видно, что
Xjiy X Tjy
j j'/(T)dTdx= [(Te-T)/(x)dx,
о о
Применим теперь полученные формулы к жидкостям,
подчиняющимся степенному закону. Из табл. 2-4 видно, что
вязкость таких жидкостей определяется выражением
Т) = 7|°
{п~1)/п (9-53)
Подставляя равенство (9-53) в уравнение (9-51) и интегрируя,
получим:
?-»=*-^"+i)Xv '*•I'2"*1"" (9-54)
где знак минус относится к области (Х2>р2)-

242 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
Подставив уравнение (9-46) в уравнение (9-54) и разрешив
полученное уравнение относительно градиента давления р,
получим:
-£ = - Л (^Г« (** > Рг) 0-56)
где коэффициент /С определяется равенством
Д - ^ п ) IЯ0т ] \ Я0 ]
Пример 9-2.
Для процесса каландрования, описанного в примере 9-1, можно
рассчитать максимальное давление, развивающееся в каландре, если
неньютоновская жидкость, рассматриваемая вместо ньютоновской, подчиняется
степенному закону и имеет индекс течения, равный 0,50, и тг)°—вязкость, равную
104 пз (103 н-сек/м2), при-нормальной скорости сдвига в 1 сек-1.
При п=0,5 уравнение (9-55) примет вид
dP /l —С2
аХ =~~К12 (1 + Х2£2)2 (9"57)
где переменная С определяется из выражения
Коэффициент К имеет вид
2x0 ЛГ~Щ
к = -щ\-щ? <9-58>
Если учесть, что при нормальных условиях т0=т)°^0, то формулу (9-58) можно
переписать в виде
K = 2tf>
V щ
Из уравнения (9-57) следует, что производная Я по С при С=±1 равна
нулю. Максимальное давление имеет место при С=—1. Тот же самый результат
получается и для ньютоновских жидкостей.
Интегрируя уравнение (9-57), получаем
с
Р = —К*2
I
где функция ф имеет вид
j (1 _)_ Х2СС2)2 йХ = -itt2 j Ф Я (9-59)
_ /1-С2
ф_ (1+Х2С2)2

9-4. Теория неньютонобского течения
243
Давление в зазоре между валками (где С—0) определяется выражением
о 1
^зазора = -М2 f Ф <К = /ft8 f ф <К (9-60)
1 0
Максимальное давление находится из формулы:
—1 1
Ртах = -М2 f Ф dC = /а2 Г ф dC (9-61)
1 —1
Так как функция ф—четная (симметричная относительно'оси у),
равенство (9-61) можно записать в эквивалентной форме:
1
Рты= 2/U2 f Ф^С (9-62)
о
откуда видно, что
"тгх = 2 "зазора
При \=0,30 значение интеграла
1
f<pdt
о
приблизительно равно 0,71. Этот же результат можно быстро получить при
помощи графического интегрирования. Коэффициент К можно определить из
вычислений
к = 2,о у Ц. = 2.юУщ
4-1
(Ю-*)» -
= 12,6-103 дин/см2 (12,6-106 Я/Ж2)
Следовательно, давление в зазоре между валками, вычисленное по
формуле (9-60), равно 8• 10е дин/см2 (8-Ю5 «/ж2). Максимальное давление,
развиваемое каландром, равно 8,26 кгс/см2 (1,62-10е н/м2). Это значение
максимального давления, как можно видеть, составляет около 10% от значения
давления, развиваемого в ньютоновской жидкости, вязкость которой равна
10* пз (103 н-сек/м2).
Задачи
9-1. Подставляя уравнение (9-29) в уравнение неразрывности, найти
выражение компоненты скорости vy для симметричного каландра.
9-2. Функция тока ф определяется из уравнений
дф \ / дф
ду ) ' vy ~ + \ дх

244 Гл. 9. Гидродинамический анализ процесса каландрования
Используя уравнение (9-29), найти выражение для ф. Линии тока являются
такими линиями, для которых
4> = const
Линия <\>=0—линия застоя. Найти уравнение таких линий в симметричном
каландре.
9-3. Считая, что р и (J. постоянны, показать, что точная постановка задачи
течения в каландре приводит к следующей паре уравнений:
дх
+ v
dvx
y\~dj
дР ,
d*vx
дх2
d2vx 1
„ 1диАл-„ ( д'°У W I дР)м ] д*и» л. д"Уу
°*[~Я~1 + 0Л ду I \ = -\-дГ) + v< \~д^- + "W
Затем показать, что эта пара уравнений может быть сведена к одному
уравнению относительно <\i:
I д<\> \ / <уф \ / д<\, \ i
[дх ) { ду )-{ ду ) [
а«ф а4ф
ау2ф
дх
ач
дх* ~ дх2ду2 ' ду*
9-4. Для симметричного каландра с двумя валками определить напряжение
на поверхности валка как функцию координаты р.
9-5. В каландре с валками одинаковой геометрии, вращающихся с
различными скоростями, проанализировать изотермическое ньютоновское течение.
Определить функцию тока для этого течения, (см. Э. Бернхардт,
Переработка термопластичных материалов, Изд. «Химия», 1965, гл. 7).
Литература
1. Э. Бернхардт,
«Химия», 1965, гл. 6
2. R. E. Gaskell, J. Appl. Mech
3. J. Т. Bergen.'G. "
4. R. S. Churchill
McGraw-Hill, 1944,
Переработка термопластичных материалов, Изд.
17, 334 (1950).
W. Scott, J. Appl. Mech., 18, 101 (1951).
Modern Operational Mathematics in Engineerings
p. 37.

Глава
Гидродинамический анализ
винтовых насосов
Экструзия — один из важнейших методов переработки
полимеров, с помощью которого изготавливается больше
промышленных изделий из термопластов, чем каким-либо другим
методом. К числу изделий, получаемых 'методом экструзии, можно-
отнести пленки, трубы, прутки и другие профили, а также
изделия, получаемые нанесением покрытия из термопластов на
провод или бумагу.
При получении изделий методом экструзии полимер вначале-
плавится или растворяется, а затем выдавливается через
головку, где материалу придается требуемая форма. В отдельных
случаях плавление или растворение материала происходит
отдельно от выдавливания. При этом питание машины
производится жидкой массой. В такого рода процессах чаще всего
используются винтовые насосы. В большинстве случаев
плавление и выдавливание полимера через головку протекают в одной
и той же машине — пластицирующем экструдере, который
представляет собой модифицированный винтовой насос.
Если для простоты предположить, что расплав полимера
является ньютоновской жидкостью, то станет возможным провести
математический анализ работы винтового насоса. Процессы,,
которые протекают в пластицирующих экструдерах,
значительно сложнее процессов, протекающих в винтовых насосах,
поэтому точный математический анализ работы пластицирующих
экструдеров до сих пор не проведен. Качественный анализ
работы пластицирующих экструдеров приведен в гл. 11.
10-1. Геометрические соотношения
Большинство винтовых насосов состоит из одного винта-
(или червяка), который вращается внутри закрытого,
тщательно подогнанного к нему цилиндра. В небольших количествах:
изготавливают также и многочервячные машины. В таких ма-

246 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
шинах применяются либо зацепляющиеся, либо незацепляющие-
•ся червяки. Если витки червяков находятся во взаимном
зацеплении, то принцип действия двухчервячной машины
аналогичен принципу действия шестеренчатого насоса, т. е. имеет
место принудительный характер движения. В одночервячных
машинах и в многочервячных машинах с незацепляющимися
червяками принудительный характер движения выражен в
гораздо меньшей степени, поэтому механизм течения в этих
машинах более сложен. В настоящей главе приведен анализ
работы только одночервячных машин.
На рис. 96 схематически изображен винтовой насос.
Жидкость поступает в
загрузочное отверстие и при
вращении червяка продвигается
вперед; при этом
гидростатическое давление в
жидкости увеличивается,
благодаря чему она проходит с
необходимой скоростью
через головку или какое-либо
другое сужение, например,
трубопровод. Механическая
энергия, необходимая для
работы насоса, подается
через вал червяка.
Величина подводимой
механической энергии несколько
отличается от расчетного
значения, так как часть энергии теряется благодаря
теплопередаче через стенки цилиндра или же через внутренний канал
червяка.
В общем случае теория винтовых насосов' должна дать
метод решения следующей задачи: как исходя из физических
свойств жидкости, размеров червяка, головки и режима
работы рассчитать производительность машины, температуру
выходящей жидкости и мощность, которая потребуется для работы
насоса. К числу физических свойств жидкости, имеющих
важное значение для теории винтовых насосов, относятся вязкость,
теплопроводность и теплоемкость. Основными рабочими
условиями процесса являются: скорость вращения червяка,
температура и давление жидкости на входе в машину, способ
контроля и регулирования температуры.
Теория винтовых насосов в настоящее время разработана
настолько полно, что все поставленные выше задачи при
введении определенных допущений могут быть решены. Несмотря
Рис. 96. Схема винтового насоса:
А—привод; 2—вал; 3—загрузочное отверстие;
4—червяк; 5—цилиндр; 6—выходное отверстие.

10-1. Геометрические соотношения
247
на то, что различные допущения уменьшают ценность теории,,
в большинстве случаев, представляющих практический
интерес, теорию винтовых насосов можно применять довольно
уверенно.
В винтовом насосе жидкость заключена между основанием'
и боковыми сторонами винтового канала и поверхностью
цилиндра. При вращении червяка жидкость оказывается внутри'
системы, которая ограничена движущимися поверхностями
(основание и боковые стороны винтового канала) и
неподвижной поверхностью (поверхностью цилиндра). Следовательно,
в жидкости устанавливается вынужденный (или прямой) поток.
Рис. 97. Конструкция червяка экструдера.
Нагнетание материала происходит исключительно благодаря-
наличию этого вынужденного потока. Необходимое условие
существования вынужденного потока заключается в том, что
жидкость имеет определенную вязкость. Гипотетическая жидкость
с вязкостью, равной нулю, не может нагнетаться винтовым;
насосом, так как в такой жидкости не может сохраняться
напряжение сдвига, а следовательно, не может возникнуть и
вынужденный поток.
На рис. 97 показаны величины, определяющие геометрию-
червяка, и символы, применяемые для их обозначения. Для
того чтобы провести наиболее полный анализ,
рассматривается многозаходный червяк с двумя параллельными каналами.
Внутренний диаметр цилиндра — D, расстояние от внутреннего
диаметра нарезки червяка до поверхности цилиндра — Н.
Величина радиального зазора между наружным диаметром
нарезки червяка и поверхностью цилиндра равна с. Шаг нарезки
червяка связан с углом подъема винтовой линии 9, измеренным
по наружному диаметру нарезки червяка, следующим
соотношением:
E = t:(D — 2c) tg 9 (10-1)
где Е — шаг нарезки.

248 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Если W — ширина какала, то для червяка, имеющего m
заводов, можно получить следующее соотношение:
m(W-\-e) = EcosQ (10-2)
где е — толщина витка.
Для того, чтобы винтовой насос работал, необходимо, чтобы
червяк вращался, а цилиндр оставался бы неподвижным.
Можно поступить и наоборот: сделать неподвижным червяк, а ци-
-линдр заставить вращаться в обратном направлении. В обоих
•случаях жидкость будет двигаться в одном и том же
направлении и характеристики процессов будут одинаковыми. Так как
создать машину с вращающимся червяком проще, то машины
такого типа встречаются наиболее часто.
При гидродинамическом анализе винтовых насосов
необходимо детально рассмотреть траекторию частиц жидкости в
винтовом канале относительно неподвижной системы координат.
Система координат выбирается произвольно. Очевидно, что
имеются две возможности определения положения частицы: либо
по отношению к цилиндру, либо по отношению к червяку.
Лучше определять положения частицы по отношению к
червяку, так как в этом случае движение жидкости будет таким,
каким его видел бы наблюдатель, находящийся на червяке. Для
этого наблюдателя червяк должен казаться неподвижным, а
цилиндр — вращающимся. Рассуждения, справедливые для
такого выбора системы координат, аналогичны рассуждениям
наблюдателя, находящегося в космосе и желающего описать
явления, происходящие на поверхности земли. Этому
наблюдателю лучше всего выбрать такую систему координат, которая
вращалась бы вместе с землей. Конечно, можно принять и
другую систему координат, при этом результат будет тем же
самым.
Введем чрезвычайно полезное для гидродинамического
анализа винтовых насосов упрощение, представив винтовой канал
в виде двух параллельных плоскостей. При этом, образно
говоря, винтовой канал червяка развернут и представляет собой
одну плоскость, а поверхность цилиндра — другую.
Нагнетание будет происходить благодаря относительному движению
этих двух параллельных плоскостей.
При гидродинамическом анализе винтовых насосов,
представленном в настоящей главе, используется указанное
допущение и применяется левосторонняя система координат (рис. 98).
Ось z— ось винтового канала; за положительное направление
этой оси принимается направление к выходному концу; длина
канала равна Z. Ширина поперечного сечения канала червяка,

10-1. Геометрические соотношения
249
+Я-
расположенного перпендикулярно оси z, обозначается через W,
а его высота — Н. Ось X, направленная параллельно оси
червяка, имеет общую длину L. Заметим, что ось X наклонена к оси:
х под углом 9; т. е. под углом
подъема винтовой линии червяка.
Заштрихованное поперечное
сечение, показанное на рис. 98,
расположено в плоскости,
перпендикулярной оси Д. Для
жидкости, имеющей положительное
направление движения вдоль оси
червяка (перемещается в
направлении 'нагнетания
жидкости), это сечение должно
двигаться в направлении +А-.
Вектор скорости жидкости в
любой точке .винтового канала
можно разложить на
компоненты vx, vv и vz, которые действуют
в направлении, параллельном
'соответствующим осям. Верхнее
основание канала, в котором
движется жидкость,
представляет собой поверхность
цилиндра. Оно движется с постоянной
скоростью в плоскости,
параллельной плоскости х—г и на
расстоянии Н от нее. Его движение
описывается 'вектором скорости
V, который направлен
перпендикулярно оси К. Величина этого вектора представляет собой
скорость на поверхности цилиндра и обозначается через V.
Можно записать, что
V = t:DN (10-3).
где N — скорость вращения червяка. Вектор V имеет две
компоненты Vx и Vz.
При анализе работы винтовых насосов почти во всех
случаях используется плоскопараллельная модель винтового
канала, но до сих пор не сделано удовлетворительного анализа
ошибок, вносимых при таком допущении. Чисто интуитивно можно
сказать, что если отношение {HID) невелико, то и вносимая
ошибка также будет небольшой. Экспериментальные
исследования работы винтовых насосов во многих случаях подтверждают
этот вывод.
Рис. 98. Расположенге
координатных осей, используемых
при выводе дифференциальных
уравнений потока и мощности.

250 Гл. 10. Гидродинамический анализ, винтовых, насосов
Можно, однако, провести анализ сходной задачи,
рассматривая в первом приближении вынужденный поток в кольцевом
канале как поток между двумя параллельными плоскостями.
Получаемые при этом выводы с некоторыми ограничениями
можно применить к винтовым насосам.
Рис. 99. Плоскопараллельная модель потока в кольцевом
канале.
Как видно из рис. 99, задача состоит в том, чтобы
определить ошибку, получающуюся в том случае, если приближенно
рассматривать поток в кольцевом канале как поток между
двумя параллельными пластинами. Пусть расстояние между
параллельными пластинами (Я) будет равно расстоянию
между цилиндрами, а верхняя пластина будет иметь такую же
лишенную скорость Vo, что и внутренняя поверхность внешнего
цилиндра. Объемный расход Qcc через площадь единицы ширины
поверхности для коаксиальных цилиндров определяется
уравнением:
Яо
*/
Объемный расход через площадь на единицу ширины
поперечного сечения для параллельных пластин определяется по
уравнению
QPP=\vzdy (10-5)
о'

10-1. Геометрические соотношения
25 J
Величина е, определяемая по уравнению
е = Я££ 1 (Ю-6>
является мерой ошибки, вносимой при рассмотрении
вынужденного потока жидкости в кольцевом'канале как потока
жидкости между параллельными пластинами.
Интеграл (10-4) вычисляют, используя уравнение
распределения скорости потока в кольцевом канале, т. е. уравнения
(3-141). Интеграл (10-5) вычисляется при помощи подстановки
уравнения распределения скорости между параллельными
пластинами
°, = y(it) (10-7>
После вычисления интегралов и перегруппировки уравнение
(10-6) можно записать в следующем виде*:
-" 8 2П-")._Ц__f/n
е+ 1 = п~^1 \ % —- В (Ю-8>
где
Ri
Уравнение (10-8) справедливо для любых значений п, кроме
П= L В этом частном случае ошибку е вычисляют подстановкой
в уравнение (3-141) п=\ и интегрированием затем уравнения
(10-4). В результате получают, что
e+1 = (в-1)(В»-1) [Р8-1-21пР] (Ю-9)
На рис. 100 приведен график зависимости е от (R0/Ri).
Параметром является индекс течения п. Если- объемный расход
в кольцевом канале больше расхода между па'раллельными
пластинами, то е отрицательно, если же объемный расход в
Приведенная автором формула
£ + 1 ~ [ Р2_р2/л _ р(2-2*)/П + j J [Р2 + [п- 1 ) Р(2 2П)/П~ [Х -п)
не соответствует графику, ^представленному на рис. 100. Целесообразно для
расчетов .пользоваться формулой, приведенной в тексте.—Прим. ред.

252 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
0,32
0,24
0,16
4 0.0 в
о
-0,03
г/а
1
1
'L i
■>££
££5д
п-0.67
7рр
1 !
п-2.00
n~j.od
i I I
м
1
/
"о/*.
кольцевом канале меньше расхода между параллельными
пластинами, го е положительно. Заметим, что при я<2 е
положительно, а при я>2 е отрицательно. Когда п = 2, е = 0.
Многие жидкости, с
которыми приходится
сталкиваться цри .переработке полимеров,
являются
псевдоэластическими. Минимальный индекс
течения этих жидкостей равен
1U- В то же время для
большинства винтовых насосов и
экструдеров максимальное
отношение (Ro/Ri) составляет
около 1,3. В реальных
условиях максимальное значение е
составляет примерно 9%. Если
бы жидкость была
ньютоновской, то для нее е равнялось
бы приблизительно 4%.
В кольцевом канале винтового насоса поток, как правило,
направлен противоположно направлению градиента давления.
Поэтому, строго говоря, приведенный выше анализ применять
к такому потоку нельзя. Однако во многих случаях градиент
давления относительно мал и его влиянием можно пренебречь.
Следовательно, для технических расчетов применение
плоскопараллельной модели ©место потока в кольцевом канале вполне
оправдано.
Необходимо отметить, что в тех редких случаях, когда
пренебрегать влиянием градиента давления становится
невозможным, отсутствуют какие-либо теоретические предпосылки для
применения уравнений, полученных для плоскопараллельной
модели. В таких случаях желательно основывать выводы
уравнений на более сложных моделях.
Рис. 100. Сопоставление ошибок,
возникающих при переходе от потока в
кольцевом канале к
плоскопараллельной модели.
10-2. Дифференциальные уравнения
расхода и мощности
Любая частица жидкости начинает свой путь в той части
канала, которая расположена у загрузочного отверстия (z = 0).
При своем движении вдоль винтового канала она описывает
довольно сложный путь. Чрезвычайно трудно дать полное
математическое описание ее движения. Однако для расчета
объемного расхода (производительности) совсем необязательно
давать полное описание движения частиц в винтовом канале.

10-2. Дифференциальные уравнения течения и мощности 253
Объемный расход Q можно получить интегрированием
компоненты z вектора скорости жидкости по поперечному сечению
канала, перпендикулярному оси z. Математически это
выразится уравнением
н w
Q= Г [v2dxdy (10-10)
о о
Для установившегося изотермического течения
несжимаемой ньютоновской жидкости уравнение движения в
направлении оси z (табл. 2-2 и 2-3) можно записать в следующем виде:
ы*
dvz \ , . / dv,
+ V^W)+V>\ дг
-(-£-W(-&+4£+-£h оо-п)
дг ) г r \ дх2 ' ду2 ' дг2
Члены левой части уравнения (10-11) представляют собой
ускорение, которым в случае медленного течения высоковязких
веществ можно пренебречь. Более того, если поперечное сечение
канала не является функцией координаты г, то vz не зависит
от изменения z, и уравнение (10-11) принимает вид:
J_ / дР
ix \ дг
d2v, , d2v,
дх2 ' ду2
(10-12)
Если предположить, что зазор между наружным диаметром
нарезки червяка и поверхностью цилиндра отсутствует, то можно
записать, что граничные условия для однозаходного червяка
(т=\) будут следующими:
0,(О,у) = 0 v2(x,0) = 0
(10-13)
vz(W,y) = 0 vz(x,H) = V2
где Уг—компонента вектора скорости, которая описывает
движение верхнего основания канала. У большинства винтовых
насосов радиальный зазор, благодаря которому может
происходить «утечка» или снижение производительности, невелик.
Методы введения соответствующих поправок описаны в разделе
10-4.
Если предположить, что давление зависит только от
положения координаты z, то левая часть уравнения (10-12) не
будет зависеть от х и у. В данном случае решение уравнения
,(10-12), которое будет удовлетворять поставленным граничным

254 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
условиям, находят методом разделения переменных. Решение
этого уравнения запишется следующим образом:
v, =
4V,
sh(gny/W) sin/ gnx
g sh (gnHfW)
g-1.3,...
W
dP
dz
X
X
2 2 + л3 Zj ' -™7 '
g=1.3,...
,*(^
тг)
(10-14)
Подставив уравнение (10-14) в уравнение (10-10) и
вычислив определенный интеграл, находим объемный расход:
Q =
VZWH
FD
WH3
12ц
дР
dz
(10-15)
Первый член уравнения (10-15) представляет собой расход
вынужденного потока, а второй член уравнения — расход
«потока под давлением». Заметим, что если градиент давления
положителен, то поток под давлением направлен противоположно
вынужденному потоку; если же градиент давления отрицателен,
то справедливо обратное утверждение.
Величины FD и FP представляют собой коэффициенты формы
и определяются по уравнениям:
£=1,3,...
оо
(10-16)
(10-17)
Необходимо отметить, что коэффициенты формы зависят
только от отношения (H/W). Эта зависимость показана на рис. 10L
Решение граничной задачи, которая состоит из
неоднородного дифференциального линейного уравнения в частных произ-
врдных (10-12) и граничных условий (10-13), можно получить
методом разделения переменных. Переменные можно разделить,
есля выразить vz как сумму двух функций, а именно / и g:
vz = f + g
(10-18)

10-2. Дифференциальные уравнения течения и мощности 255
где и / и g зависят от координат х и у. При подстановке
уравнения (10-18) в уравнение (10-12) получим, что
дх* "i" дг/2 "Г" а*2 ^ а#2
и, если функция / определяется уравнением,
d2f а2/ _
ад;2 + ду* ~
--M-S- (Ю-19)
(10-20)
ар
az
то функция g определится по уравнению
d*g
дх*
(10-21)
0
(10-22)
Если же следующие граничные условия
/(0.0) = 0 g(Q,y)
f(W,y) = 0 g(W,y) = 0
/(*,0) = 0 g(x,0) = 0
/(*,Я) = 0 g{x,H) = Vz
соответствуют как функции /, так и функции g, то
удовлетворяются граничные условия (10-13).
Дифференциальное уравнение (10-20) и граничные условия
функции f составляют общую задачу, которая идентична
решенной ранее
задаче (см. раздел 3-5) 1*°
для потока под
давлением в прямоугольном
канале. Аналогично,
граничные условия и
дифференциальное уравнение
'(10-21) для функции g
составляют граничную
задачу, которая
идентична ранее решенной
задаче для вынужденного
потока в прямоугольном
канале с движущейся
стенкой. Следовательно,
уравнение (10-14)
.получают простым
суммированием двух ранее
полученных решений.
0,8
0.6
о А
0,2
/>"
>FB
,. .•
'
0,4
0,8 1,2
1,6 2,0
Рис. 101. Коэффициенты формы для
вынужденного потока и потока£под давлением.

256 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Многие описанные уравнения для винтовых насосов
получены на основе упрощенной теории потока1. Эта теория
разработана точно таким же образом, как и приведенная выше
теория, но в этом случае вводят дополнительное предположение,
o2vz
что vz мало зависит от х, так что производной Й 2- можно
пренебречь. В этом случае уравнение (10-12) можно записать
в следующем виде:
т(4г) = -^ е°-23>
Граничные условия задачи:
(10-24)
v2(H) = Vz
Решение уравнения (10-23), удовлетворяющее этим граничным
условиям, можно записать в следующем виде:
«^(-^-^(т) 00-25)
Для упрощенной теории потока уравнение (10-10) будет
выглядеть следующим образом:
н
Q = W^vzdy (10-26)
о
При подстановке уравнения (10-25) в уравнение (10-26)
находим объемный расход:
<*-*■¥-&№) <10-27>
Видно, что уравнение (10-27) является частным случаем
уравнения (10-15) и применимо к червякам, у которых отношение
(H/W) невелико, а коэффициенты формы приближаются к
единице.
Для анализа потребляемой мощности, теплопередачи и
перемешивания в винтовых насосах необходимо рассмотреть
движение жидкости в плоскости х—у. Следовательно, необходимо
рассмотреть и компоненты вектора скорости vx и vy. Если
предположить, что жидкость несжимаема, что поток установившийся
и что вязкость постоянна и если не принимать в расчет члены,

10-2. Дифференциальные уравнения течения и мощности 257
выражающие ускорение, то компоненты х и у уравнения
количества движения примут вид:
1 / дР \ d2vx . d2vx
f. \дх }~ дя*"1 ду* (Ю-28)
±_( дР_\ _ д^у_ д^у_
V- \ду )- дх* +^Г (1и^У)
Решение задачи получим в том случае, если для упрощения
предположим, что
^«^ (ю-зо)
Это условие будет соблюдаться для червяков, имеющих
неглубокие и широкие каналы. При таком допущении уравнение
(10-28) упростится и примет вид
-Г(ТЕ-)»-^ <10-31>
а решение уравнения (10-31), удовлетворяющее граничным
условиям
о,(0) = 0 vx(H) = -Vx (10-32)
можно записать в следующем виде:
Появление в уравнении компоненты скорости жидкости vx
обусловлено циркуляцией жидкости. Следовательно
н
vxdy = 0 (10-34)
о
п
1
Градиент давления по направлению х находят подстановкой
уравнения (10-33) в уравнение (10-34) и интегрированием
получающегося выражения. В результате получают, что
%Г — {Щ 00-35)
Подстановка уравнения (10-35) в уравнение (10-33) дает
выражение для vx:
»*=»(-&-) [2 ~(-^)] 00-36)

258 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Следует заметить, что распределение скоростей не зависит от
вязкости жидкости и от градиента давления.
Мощность, необходимая для привода винтового насоса,
рассчитываемая для плоскопараллельной модели винтового
канала, определяется по уравнению
z w
В данном случае компоненты напряжения вычисляются в
плоскости у = Н. Первый член под знаком интеграла показывает
мощность, которая расходуется на циркуляцию жидкости в
плоскости х—у, второй член интеграла дает значение мощности,
которая расходуется на перемещение жидкости вдоль оси z.
Уравнение (10-37) легко вывести, и,спользуя методы
векторного анализа. Рассмотрим на движущейся пластине небольшую
тглощадку dA, на которую действует сила dF. Если
V—скорость пластины, то мощность dp, расходуемая на перемещение
элемента dA, равна
dp=YdF (10-38)
где V и F — векторы, действующие в плоскости пластины.
Правую часть уравнения (10-38) можно записать в виде
скалярного произведения:
dp = -VxdFx+VtdFx (10-39)
В этом случае компоненты силы связаны с компонентами
напряжения следующими соотношениями:
dFx = xyxdA dF2 = zyzdA (10-40)
Интегрируя по всей площади пластины, находим общую
мощность:
А
Р= \(-Vx-yx + V2xyz)dA (10-41)
6
Напряжение сдвига на верхней пластине, определяемое из
табл. 2-3, равно
*--{*Ь *->(%-)_ (10-42>

10-3. Вектор скорости жидкости
259
Из уравнения (10-36) находим, что
dvy \ W
wi^—r е°-43>
Из уравнения (10-25) видно, что
"-&-Н-£-(-£-) (10-44)
dvz \ I V, \ , Н I дР
дУ }у-н Л Н ) ' 2IM dz
Подставляя уравнения (10-43) и (10-44) в уравнение (10-37),
получаем основную формулу для определения мощности,
необходимой для привода винтового насоса:
z w
С С ' WJ , № , УгН ( дР
о о
Н ' Н ' 2 \ дг
\ dxdz (10-45)
10-3. Вектор скорости жидкости
Так как движение частицы жидкости в канале червяка чрез-'
вычайно сложно, то полный анализ этого движения до
настоящего времени не проведен. В данном разделе рассматриваются
различные компоненты вектора скорости жидкости и на
основании этого делаются выводы, касающиеся движения частиц
жидкости в канале червяка.
Приведенный ниже анализ движения частиц жидкости осно-^
<ван на упрощенных уравнениях течения, полученных в разделе'
10-2. Вначале рассмотрим компоненту вектора скорости г, Эта?
компонента определяется по уравнению (10-25), которое
можно записать в эквивалентной форме:
^ = а(1 —Зср+Заср) (10-46)
где а = у/Н.
Функция ф определяется по уравнению:
»~w(£) <10-^
Ниже показано, что ф представляет собой отношение расхода,
потока под давлением к расходу вынужденного потока.
Если уравнение (10-27) записать в следующем виде:
6fxl/r Л '&£

260 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых, насосов
и зная, что
Q = Qd — Qp (10-49)
то можно видеть, что
Ф = ^- (Ю-50)
Кроме того, заметим, что <р имеет максимальное значение при
максимальном градиенте давления (максимальный градиент
давления получают в том случае, если выходное отверстие
винтового насоса закрыто). Так как в этом случае продольное
перемещение жидкости по винтовому каналу отсутствует, то
можно предположить, что
1
j4aa = 0 (10-51)
о
Если теперь подставить уравнение (10-46) в этот интеграл,
то получим выражение, которое показывает, что максимальное
значение ф равно единице
-1_^ + ф=0 (10-52)
Рассматривая только положительные значения градиента
давления, найдем, что минимальное значение функции ф
будет равно нулю, так как \х, Н и Vz -"- положительные вели-1
чины.
Теперь рассмотрим компоненту вектора скорости х. Она
определяется по уравнению (10-36), которое можно записать
в эквивалентной форме:
-^-=а(2 —За) (10-53)
Необходимо заметить, что vx зависит только от безразмерной
переменной а и не зависит от ф. Компоненту вектора скорости
Vx можно выразить через компоненты vx и vz:
vi = Ujj-cosG -fu2sin9 (10-54)
Примем во внимание, что
У2=[К|со50 = 1/со5@ (10-55)
Vx = \ K|sin6-rsin§
(10-66)

10-3. Вектор скорости жидкости
261
Тогда, подставив уравнения (10-53) и (10-46) в уравнение
{10-54), получим, что
i£- = 3a(l — a)(l — ф) sinO cos 6 (10-57)
где V — линейная скорость поверхности цилиндра.
Необходимо отметить, что относительная величина vx
зависит не только от а и ф, но и от угла подъема винтовой линии
■червяка О.
Пример 10-1.
Рассмотрим компоненты вектора скорости для червяка, у которого угол
подъема винтовой линии равен 20° (0,349 рад).
Линейная скорость цилиндра равна 0,1 м/сек. Диаметр червяка—50,8 мм.
Скорость вращения червяка—3,65 рад/сек (35 об/мин).
V = tzDN = 0,1 м/сек
VZ = Vcos (9) = 0,094 м/сек
VX=V sin (9) = 0,0342 м/сек
Значения vx, vz и v^ вычислены по уравнениям (10-46), (10-53) и (10-57).
Следует отметить, что значение г\ равно нулю, когда
а = 0 а=1 ф= 1 9 = 0°(0 рад) 9 = 90е (1,57 рад)
Результаты этих вычислений показаны на рис. 102.
Рис. 102 иллюстрирует то обстоятельство, что для червяка, у которого угол
етодъема винтовой линии равен 20° (0,349 рад), скорости сдвига в плоскости
у—z значительно больше, чем скорости сдвига в плоскостях х—у и X—у. По
мере увеличения угла подъема винтовой линии увеличивается и сдвиг в
плоскости х—у, который достигает максимального значения при 0=90° (1,57 рад).
С уменьшением угла подъема винтовой линии возрастает сдвиг в плоскости
у—г, достигая максимального значения при 9=0° (0 рад). Необходимо
заметить, что в плоскости х—у сдвиг образца не зависит от параметра ср, тогда
как в плоскости у—г такая зависимость наблюдается. Компонента вектора
скорости г имеет положительные значения только при Ф^х/3; для Ф>х/з она
может иметь как положительные, так и отрицательные значения.
В плоскости X—у компонента X положительна при любых значениях ф.
Следовательно, все частицы, находящиеся в червяке, движутся вдоль его оси
в направлении вынужденного потока. При этом, конечно, одни частицы
движутся быстрее, другие—медленнее.
На основании этих рассуждений можно сделать определенные выводы
относительно движения частиц в канале червяка. При закрытом выходном
отверстии (ф=1) частицы жидкости не будут перемещаться по направлению X,
а будут совершать кругообразное движение в одной и той же плоскости в
направлениях х и у. При этом, как показано на рис. 103, они описывают
замкнутые траектории. Сплошные линии на рис. 103 показывают путь частицы в
верхней части канала червяка. Как только частица приблизится к витку червяка,
она «повернет вниз» и благодаря наличию градиента давления повернет назад,
к другой стороне канала червяка, где виток опять направит ее вверх. Следует
•отметить, что если вначале частица расположена в точке, которая находится ва

262 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
расстоянии 2/з высоты канала от его нижнего основания, то она должна остаться
неподвижной. При закрытом выходном отверстии перемешивание по
направлению оси \ отсутствует. Общее же перемешивание в этом случае будет
плохим, так как частицы движутся по замкнутым тракториям.
^—
—v^ ° - Ф
{
^-—
^^^
"
ф = г/з
_____—■
_^. *-
i i i i
ч -z о г-ft -г
vz/vz
8 Ю О
Рис. 102. Профили компонент скоростей потока для различных
значений <р.
В другом предельном случае, когда имеет место «открытый выход»' (ф=0),
частицы жидкости по-мере продвижения по винтовому каналу будут описывать
спиралеобразные линии. Частицы жидкости будут перемещаться вдсль поло-

10-3. Вектор скорости жидкости
263
жительных направлений осей z и А, а проекция ее пути на плоскость х—у будет
описывать кривую (см. рис. 103).
На рис. 103 показаны также траектории частиц, соответствующие
промежуточным значениям «р. В нижней части винтового канала при Ф=1/3 у-коыпо-
ненты невелики, но положительны. Когда в нижней части канала червяка
<р=2/3, то компонента у отрицательна. Это говорит о том, что проекция
частицы жидкости будет циркулировать как в плоскости х—у, так и в плоскости
Рис. 103. Траектории частиц жидкости для различных
значений ф.
у—z. В известном смысле возрастание ф приводит к замедлению скорости
движения частиц жидкости по направлению к выходному отверстию. Это
происходит потому, что при увеличении ф частица должна проделать вдоль винтовой
линии червяка большее число оборотов. В частном случае, когда Ф=1, число
оборотов частицы становится бесконечно большим и частица никогда не
достигает выходного отверстия.
Хотя картина траектории частиц, показанная на рис. 102 и
103, получена при использовании некоторых допущений, ее
справедливость была подтверждена непосредственными
измерениями, проделанными Эккером и Валентинотти2. Для
измерений они применили специально сконструированный экструдер
со стеклянным цилиндром. При помощи этого экструдера
нагнеталась жидкость, которая представляла собой смесь полиизо-
бутилена с парафиновым маслом, содержавшую небольшие
частицы алюминия. За движением алюминиевых частиц
наблюдали с помощью отсчетного микроскопа. Измеренные значения
компонент скорости хорошо согласовывались с
соответствующими значениями, вычисленными на основе упрощенных
уравнений, полученных выше.

264 Гл. 1G. Гидродинамический анализ винтовых насосов
В приведенном выше анализе одно из наиболее важных
допущений состоит в том, что рассматривают изотермическое
течение ньютоновской жидкости. В действительности степень
отклонения от ньютоновского поведения жидкостей, а также
тепловые эффекты могут достигать довольно больших значений и
будут искажать профили скоростей. Эти эффекты учитываются
при дальнейшем рассмотрении.
Рассмотрим тот случай, когда вектор скорости V (см.
рис. 98) направлен вдоль оси г, так что поток можно считать
однонаправленным. Предположим, что отношение (W/H)
довольно велико, следовательно, скорость жидкости v является
функцией только одной переменной у. Температура
параллельных плоскостей, для которых у = 0 и у = Н, — постоянна. Далее,,
предположим, что длина канала достаточна для того, чтобы
были достигнуты условия установившегося течения и
температуры. В таком случае мы имеем дело с задачей
установившегося состояния, которая была проанализирована Колвеллом и
Николлсом3.
Если сделать обычные допущения, то г-компоненты
уравнения количества движения и уравнения энергии, которые
берутся из табл. 2-2, можно записать в следующем виде:
дР \ дч
дг } ду
(10-58)
*SW%H0 (Ю-59)
(10-60)
ду2 ' vz \ ду
Для .неньютоновской жидкости с вязкостью г] (см. табл. 2-3)
уравнения (10-58) и (10-59) примут вид:
дР _ д
дг ду
dv
ду
где ц — неньютоновская жидкость, являющаяся функцией
температуры и скорости сдвига (или напряжения сдвига). Если
эта функциональная зависимость известна, то уравнения (10-60)
и (10-61) образуют систему обычных дифференциальных
уравнений, которую можно решить относительно независимых
переменных Т и vz, выразив последние через зависимую переменную-
у. Запишем граничные условия этой задачи:
t>z(0) = 0 7(0) = Т0
vz(H) = Vz T(H) = TH

10-3. Вектор скорости жидкости
265
где Т0 и Тн — температуры верхней и нижней пластины,
соответственно;
Vz — скорость перемещения верхней пластины в
направлении z.
Колвелл и Николлс, использовав числовую вычислительную
машину, получили числовые решения данной задачи3. Они
выразили зависимость вязкости
"П от температуры и
напряжения сдвига при помощи
следующего уравнения:
Ч] = 7j°
где
— \ е~а (т~т°)
(10-62)
Т]и—ВЯЗКОСТЬ
ЖИДКОСТИ в эталонном
состоянии,
которое
определяется температурой
То и напаряже-
нием сдвига т°;
а и m—постоянные.
При расчетах
использовались следующие физические
постоянные:
V = 0,62.104 пз (620 н-сек/м2)
т° = 630 г/см2 (62 000 н/м2)
Т0 = 477 °К
m = 1,56
а = 0,016 град'1
&= 0,153 впг/м-град
1,0
0,8
>0,6
0,2
О
а
-о,ч-о,г о о,2 ол о,б о,д i,o
1,0
0,8
Э: 0,6
0,2
/|
\ А
в
о
-0,^-0,2 О 0,2 0,4- 0,6 0,8 1,0
10
0,8
^ 0,6
0,2
О
в
-0,Ч~0,2 О
о,г о,ь о,б о,8 i,o
vz/vz
Расстояние между
пластинами Н принималось равным
-6,3 мм. Вычисления
проводились для различных значений
V, Т0 и Тн.
На рис. 104
представлена графическая зависимость
(Vz/Vz) от (у/Н) для
различных значений параметра ф,
построенная по результатам вычислений, проведенных для двух
случаев. Кривые на рис. 104,а получены для такого случая, ког-
Рис. 104. Профили скорости:
а—для жидкости, подчиняющейся степенному
закону, находящейся между двумя
пластинами с одинаковой температурой; б—для
жидкости, подчиняющейся степенному закону,
находящейся между двумя пластинами, причем
температура верхней пластины больше, чем
нижней; в—для ньютоновской жидкости при
изотермических условияхЗ.

266 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
да температура обеих пластин была равна 505 °К. Кривые на
рис. 104,6 получены, когда температура 'верхней пластины была
равна 505 °К, а нижней 441 °К- Можно предположить, что
этот второй случай воспроизводит условия, возникающие при
охлаждении червяка в экструдере. Следует отметить, что
уменьшение потока под давлением вблизи нижней пластины при
охлаждении червяка говорит об образовании относительно
инертного слоя жидкости на червяке экструдера. Для сравнения на
рис. 104,в показаны кривые скорости, полученные при
изотермическом ньютоновском течении.
10-4. Влияние радиального зазора
Большинство машин имеют определенный, хотя и довольно
небольшой зазор между наружным диаметром нарезки
червяка и поверхностью цилиндра. Из этого следует, что для учета
мощности, затрачиваемой на сдвиг жидкости внутри зазора, и
«утечки» жидкости через зазор необходимо видоизменить
соответствующие формулы для мощности и расхода, выведенные в
разделе 10-2. Однако необходимо заметить, что наличие зазора
характерно не для всех винтовых насосов. Так, например, в
настоящее время созданы 'машины, червяки которых
изготовляются из твердых прутков тефлона, которые затем тщательно
подгоняются по внутреннему диаметру отполированного
цилиндра.
Для начала выведем приближенную формулу для
определения мощности, которая затрачивается на сдвиг жидкости,
находящейся внутри зазора. Вывод можно упростить, если
предположить, что в зазоре существует только вынужденнвщ поток,,
который характеризуется скоростью сдвига (V/c). Пусть dF —
тангенциальная сила, действующая на элемент dA поверхности
цилиндра, тогда
dF=\i(^.\dA (10-63)
Подставляя уравнение (10-63) в уравнение (10-38), получаем
следующую зависимость:
dpc= (-M {\.V)dA (10-64)
Для червяка, который имеет m заходов, т. е. параллельных
каналов, ширина каждого из которых равна е, уравнение (10-64)

10-4. Влияние радиального зазора
267
принимает вид
(10-65)
где рс — мощность, затрачиваемая на сдвиг жидкости в зазоре;
V — скорость поверхности цилиндра.
Благодаря существованию радиального зазора появляется
возможность «утечки» некоторого количества жидкости в
обратном направлении, что в конечном итоге снижает
производительность машины.
Гор и Мак-Келви4 предположили, что формула для
вынужденного потока должна содержать в себе коэффициент
о-я
(10-66)
учитывающий потери в вынужденном потоке., возникающие
вследствие наличия зазора. Этот коэффициент вводится на том
основании, что при наличии зазора эффективная область, в
которой действует вынужденный поток, будет простираться не до
поверхности цилиндра, где у = Н, а от внутреннего диаметра
нарезки червяка до точки (Я—с). В этом случае объемный
расход вынужденного потока будет определяться следующим
интегралом:
Н-с
(10-67)
QD = W j* vzdy
Если теперь подставить выражение для скорости вынужденного
потока
V,
vz = y(jf)
(10-68)
уравнение (10-67), то получим, что
V,WH
Qd
_С_\2
Я
(10-69)
Мор и Мэллоук5, решая проблему утечки несколько иным
путем, на основании приближенного анализа пришли к выводу,
что в формуле прямого потока должен стоять коэффициент
1 ——
1 Н
(10-70)

268 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
который учитывает потери, вызываемые в вынужденном потоке
при утечке жидкости.
Теперь рассмотрим прохождение через радиальный зазор1
потока под давлением. В большинстве случаев при
рассмотрении этой задачи принималась плоскопараллельная модель
потока. При этом получали формулы, которые показывали, что>
величина- потока под давлением в зазоре пропорциональна
третьей степени величины зазора. Гор и Мак-Келви4 дают
следующий поправочный коэффициент для расхода потока под
давлением в зазоре:
который показывает, что поток под давлением в радиальном
зазоре минимален при небольших значениях зазора с или при
большой ширине канала червяка е.
10-5. Изотермический процесс
Предыдущие разделы настоящей главы были посвящены
рассмотрению потока и потерь энергии в винтовом канале.
Большинство уравнений являются дифференциальными и
применимы только к червякам с простым поперечным сечением. Полные
рабочие характеристики винтового насоса получают при
интегрировании уравнений потока и мощности по всей длине
червяка.
При анализе работы винтовых насосов используются
некоторые специальные термины:
конструкционные переменные — размеры, которые
определяют геометрические формы машины;
переменные процесса — определяют условия, в которых
протекает процесс. К ним относятся: скорость вращения червяка,,
температура и давление жидкости на входе, распределение
температур по зонам цилиндра и т. д.;
свойства жидкости — такие, как плотность, вязкость и теп-
лофизические свойства;
параметры процесса — включают в себя:
производительность машины, температуру на выходе, давление на конце
червяка и потребляемую мощность.
Общая теория процесса должна давать возможность
рассчитать параметры процесса, если определены конструкционные
переменные, переменные процесса и свойства жидкости. Но
такая общая и полная теория процесса до сих пор не
разработана. Рабочие теории процесса в настоящее время разработаны

10-5. Изотермический процесс
269
только для некоторых частных случаев. В этом разделе
рассматривается один из таких частных случаев — изотермический
процесс. Другой частный случай — адиабатический процесс —■
рассматривается в следующем разделе.
Изотермический процесс — это гипотетический процесс,
который легко поддается математической обработке. По
определению, при таком процессе температура во всех точках
винтового канала одинакова. Но даже идеальные жидкости не могут
нагнетаться в изотермических условиях, так как в результате
вязкого сдвига выделяется тепло, которое создает в любой
жидкости с определенной теплопроводностью некоторый градиент
температур. Тем не менее в определенных условиях
уравнения для изотермического процесса могут оказаться полезными
при анализе работы винтового насоса.
Для заданных конструкционных переменных
производительность Q при изотермическом процессе является однозначной
функцией АР — приращения давления, развиваемого насосом.
Ниже выводится зависимость между Q и АР, которая
называется характеристикой машины.
При выводе этой зависимости отправной точкой является
уравнение (10-15), которое относится к однозаходному червяку.
Преобразуем некоторые переменные, входящие в это
уравнение, при помощи следующих соотношений:
1/2 = 1/cos 0 = тсШ cos9
tz (D — 2с) sin Э
1Т/7 Е cos 0
W = е =
пг
Подставляя из уравнений (10-66) и (10-71) поправочные
коэффициенты, учитывающие влияние радиального зазора, и
обобщая результаты таким образом, чтобы их можно было
применить к червяку, имеющему m заходов, получим, что
Q = aAf-|-(4r) <10"72>
где
%Ю2Н sin 6 cos 0
Р =
X
1 —
2с
D
tzDH3 sin2 0
12
em
tzD sin 0
'!-(£)]'^(Ю-73)
em
, 2c
D tzD sin 0
з / w
14. (SA'(Z.\( L_
^ \H ) \ e j \sin0cos0
X
(10-74)

270 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Отметив, что в общем случае а и [i являются функциями
координаты z, а для несжимаемой жидкости Q не зависит
от z, можно преобразовать уравнение (10-72) к следующему
виду:
pz z z
fdP = ^j^j-^dz-|xQj^-p-)d2 (10-75)
Ро о о
Интегрируя уравнение (10-75) и решая его относительно Q,
получим, что
(10-76)
Q = AN ~ В —
^p
где
Z,
к-
dz
А =
В
1(1
dz
№*
Уравнение (10-76) показывает, что между Q и АР существует
линейная зависимость. График зависимости Q от АР будет
представлять собой прямую линию с отрицательным наклоном.
Наклон кривой и величина отрезка, отсекаемого на
координатной оси, зависят от значения интегралов, определяемых по
уравнению (10-76). Когда функциональное соотношение между
а, р и координатой z установлено, можно производить
интегрирование уравнения (10-76). Рассмотрим в первую очередь
частный случай, когда Я является следующей линейной функцией z:
Н = Нп
Нп — Н г
(10-77)
Если подставить уравнение (10-77) в уравнение (10-76) и
проинтегрировать полученное выражение, то получим, что
Q = aN
1 + (&
Но
АР
(£) + (!f)!
(10-78)
где а и |3 — параметры, зависящие от глубины канала в зоне
выдавливания (дозирования). В частном случае, когда Hz=H0,
уравнение (10-78) примет вид
Q = aN-^- (Ю-79)
,"Z

10-5. Изотермический процесс
271
Пример 10-2.
,'В данном примере сравниваются характеристика червяка, имеющего
канал с постоянными размерами, с червяком, глубина канала которого
уменьшается. Все другие переменные, характеризующие конструкцию червяков,
одинаковы. Обозначим глубину канала червяка с постоянными размерами
через #£. У червяка с
переменной глубиной канала глубина ка- '-^
нала в зоне питания равна Я0
и постепенно уменьшается,
достигая величины Hz в конце зоны 1.Z
выдавливания. Рассмотрим
частный случай, когда (HJHZ)~2.
Характеристика червяка с по- /,О
стоянными размерами
определяется по уравнению (10-79), а
червяка с переменными размерами—по дд
уравнению (10-78). Из этих
уравнений видно, что
Утах
1 + (Hz/H0)
и что
Англах _ 1 + (HZIH0)
ДРтах (Hz/H0) + {HzIHtif
= 2
0.6
о л
о, г
'
,1
х^
о
Рис.
0,2 0,<т 0,6
0,8
1.0
105. Сравнение безразмерных
характеристик червяка:
/—червяк с переменными размерами
(зависимость <?7<Зтах от ДР'/АРтах); 2-червяк с
постоянными размерами (зависимость Q/Qmax
от ЛР/ЛРтах).
где величины, стоящие в
знаменателе, относятся к червяку с
переменной глубиной канала.
Максимальная производительность
Qmax достигается при открытом
выходном отверстии (ДР=0), а
максимальное давление Д^тах
получают при закрытом выходном
отверстии (Q=0).
Эти расчеты показывают, что
максимальная производительность
машины с червяком, имеющим
переменную глубину канала на 1/3
больше, чем машины с червяком, имеющим постоянную глубину канала. Но
в то же время червяк с переменной глубиной канала развивает давление в
два раза меньшее, чем червяк с постоянной глубиной канала.
На рис. 105 показан наклон рабочей характеристики червяков с
переменной и постоянной глубиной канала.
Складывая уравнение (10-45), которое определяет мощность,
затрачиваемую на перемещение жидкости в канале червяка, и
уравнение (10-65), которое определяет потери мощности в
радиальном зазоре, получим уравнение мощности:
z z
р= mW
С Г 4н-У|
Л н
н
Под,
dz
dz + mV'
Я
\dz (10-80)

272 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Здесь рассматривается лишь простейший случай, когда
размеры винтового канала постоянны. В этом случае легко
проинтегрировать уравнение (10-80). При интегрировании
получим, что
p = s\iN2Z + aNAP (10-81)
где
7t3D3sin9 Г, , о : за i /^\l[i / 2с \ em 1 /1ЛОГ1ч
е =
Я
По выходе из насоса жидкость проходит через трубопровод,
головку или какое-либо иное сопротивление. При
изотермическом ламинарном течении ньютоновской жидкости производи^
тельность и падение давления связаны между собой
соотношением следующего вида:
Q = — АР (10-83)
где К — постоянная, зависящая от геометрии канала; АР —
падение давления.
Величина АР в уравнении (10-83) имеет то же значение, что
и в уравнении (10-76), при условии, что давления на входе
в насос и на выходе из головки равны. Это — наиболее общий
случай. При совместном решении уравнения (10-83) и
уравнения общей характеристики червяка (10-76) и при исключении
из них АР получим:
Уравнение (10-84) показывает, что производительность прямо
пропорциональна скорости вращения червяка. Но не следует
забывать, что этот вывод можно применять только в частном
случае для изотермического течения ньютоновской жидкости.
Следует отметить, что производительность не зависит от
вязкости жидкости, а зависит только от конструкционных
переменных, определяющих конструкцию червяка и головки. Для
неньютоновских жидкостей получают другие результаты,
которые рассматриваются в разделе 10-9.
При исключении производительности Q из уравнений (10-76)
и (10-83) можно получить следующее выражение для
определения Р (давление на конце червяка)
P-£f-K (Ю-85)

10-5. Изотермический процесс
273
Уравнение (10-85) показывает, что давление жидкости прямо
пропорционально вязкости жидкости и скорости вращения
червяка. Коэффициент пропорциональности зависит только от
переменных, определяющих конструкцию червяка.
В литературе рассматривается множество «оптимальных»
конструкций6. Под оптимальной конструкцией понимают такую
конструкцию, для которой при данных заданных условиях
какой-то показатель, например производительность или
коэффициент полезного действия, будет максимальным. Получаемый
результат зависит как от той величины, которую стремятся
сделать максимальной, так и ют условий, при которых этот
максимум имеет место.
Пример 10-3.
В этом примере рассматривается червяк с заданной длиной и диаметром.
Задача состоит в том, чтобы (1) определить такую конструкцию червяка, при
которой при данной скорости вращения будет достигаться максимальная
производительность и (2) исследовать коэффициент полезного действия машины при
такой конструкции червяка, которая обеспечивает максимальную
производительность.
Для упрощения анализа рассмотрим такой случай, когда радиальный
зазор с и ширина витка червяка е настолько малы, что ими можно пренебречь
в уравнениях потока и мощности. Кроме того, предположим, что Я и 9 не
зависят от 2. При этих условиях постоянные А и В в обобщенной характеристике
червяка примут вид:
nW2H sin (0) cos (6)
(10-86)
р 7iDtf3sin2(0) ,tn«„
B—T- 12L <10-87>
Производительность, которая определяется по уравнению (10-84), будет
равна
_ Tt2D2NH sin (6) cos (6)
Q ~ 2 + kDH3 sin2 0/6/CL (10"88)
Если производительность Q максимальна при глубине канала, равной Н°, то
0
W-
при Н—Н°. Значение Н° определяют дифференцированием уравнения (10-88):
Г QKL "Р/з
**- 1фШч> <10-89>

274
Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Производительность машины с червяком, имеющим оптимальную глубину
канала Я0, находят подстановкой уравнения (10-89) в уравнение (10-88). При
этом получают, что
n2D2NH° sin (0) cos (9)
Q0 = ' o-^ — (10-90)
Если при максимальной производительности
линии червяка равен 6°, то
dQ
ае"
угол подъема винтовой
-ЗИ = о
при 0 = 6"
Значение угла6°, которое находят при дифференцировании уравнения (10-88),
определяют по уравнению:
1
пгоо^
2 + izDH3/12KL
(10-91)
Если у червяка будут оптимальные значения Я и 0, то их значения,
удовлетворяющие уравнениям (10-89) и (10-91), равны
0* = ЗО° (0,523 рад)
Я* =
24/CZ.
kD
i/з
а производительность машины получают, подставляя значения 8* и Я* в
уравнение (10-88):
Ю
0,8
0 6
О.к
0,2
О 0,35 0.70 О. Ю5 О.КО
Угол подъема винтобой ли -
ни и червяка, рад
Рис. 106. Влияние угла подъема
винтовой линии червяка на
коэффициент полезного
действия и производительность
винтового насоса:
/—зависимость Q0/Q* от 8;
2—зависимость £0 от 9.
■
1 ^ г
Q* =
Уз t*d2nh*
' 12
(10-92)
Интересно сравнить отношения
(Q°/Q*) при различных углах подъема
винтовой линии. Деля уравнение (10-90)
на уравнение (10-92), получаем, что
Q*
4 sin (9) cos (6)
УЪ У 4sina 0
(10-93)
Из уравнения видно, что величина
этого отношения зависит только от угла
подъема винтовой линии червяка 0. На
рис. 106 представлен график
зависимости (Q°/Q*) от 0. Кривая проходит
через максимум при значении 0=30°
(0,523 рад). Однако так как в области
значений 0, лежащих от 10° (0,174 рад)
до 50° (0,872 рад) наклон кривой не
очень велик, то в данной области при
любых значениях угла 0 мы будем иметь
почти ту же самую производительность.
Следует отметить, что полученный
результат не зависит от свойств жидкости,
размеров головки и повышения
давления по длине червяка.

10-5. Изотермический процесс
275
Если производительность имеет приблизительно одно и то же значение
в широких пределах изменения угла подъема винтовой линии червяка, то
какое преимущество будет иметь конструкция червяка, если выбрать то или
иное значение угла подъема? Для ответа на этот вопрос необходимо
рассмотреть коэффициент полезного действия винтового насоса, определяемый из
уравнения
E = ^J- (Ю-94)
где р—общая мощность, потребляемая винтовым насосом. Общая мощность,
потребляемая винтовым насосом, определяется по уравнению (10-81), которое
для червяка, имеющего глубину канала, равную Н, запишется в следующем
виде:
р = eVV2Z + a°NbP (10-95)
Так как падение давления и производительность связаны соотношением (10-83)
то выражение для коэффициента полезного действия можно записать как
1 e<W2/fZ о°Л/_
£0 == (О0)2 ~т~ О0 (10-96)
Где величины е° и а° определяются по уравнениям:
ti3D3 sin (6)
г° = р-^- [l + 3sin20]
7i2D2tf ° sin(6) cos (6)
Если эти уравнения подставить в уравнение (10-96) и перегруппировать
полученное выражение, то получим, что
cos2 6
£° = 3(1 + sin2 9) (10"97>
Зависимость Е° от 0 также показана на рис. 106.
Из уравнения (10-97) видно, что максимальное значение Е°, равное 1/3,
получают, когда угол подъема винтовой линии червяка равен нулю. В этом
случае поток направлен вниз по каналу, так что потери энергии через
поперечный поток отсутствуют. Это предельный случай, поскольку при 9=0
производительность также равна нулю. При 9=30° (0,523 рад) коэффициент полезного
действия равен 20%, а так как большинство червяков имеет угол подъема
винтовой линии в пределах от 10° (0,174 рад) до 20° (0,35 рад), то их
теоретический коэффициент полезного действия будет составлять примерно 25%.Если
же учесть влияние радиального зазора, то действительный коэффициент
полезного действия будет несколько меньше теоретического. Кроме того,
производительность снижается из-за наличия утечки, а потребляемая мощность
увеличивается вследствие потерь на сдвиг жидкости в зазоре.
Уравнения, полученные для изотермического течения
ньютоновских жидкостей, подтверждаются большим количеством
экспериментальных данных. Ню имеющихся в настоящее время

276 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
экспериментальных данных, которые подтверждали бы
формулы потребляемой мощности, явно недостаточно. Роуэл и Фин-
лайсон7 провели эксперименты с различными червяками. В
качестве рабочей жидкости они использовали воду, мыльные
растворы и масла. Во всех случаях полученные данные
подтвердили уравнения для изотермического течения, представленные
в настоящей главе. Пиготтом8 были получены дополнительные
экспериментальные подтверждения. Используя масла, которые
вели себя как ньютоновские жидкости, и вязкость которых была
равна 0,5 пз (0,05 н • сек/м2) и 1,1 пз (0,11 н-сек/м2), он
определил характеристику червяка, диаметр которого составлял
25,4 мм. В результате было подтверждено, что, как и
показывает уравнение (10-76), между производительностью и
давлением существует линейная зависимость, причем наклон кривой
обратно пропорционален вязкости жидкости, а отрезок прямой,
отсекаемый на координатной оси, прямо пропорционален
скорости вращения червяка.
О последующих экспериментах было сообщено Мак-Келви91
в 1953 г. В этих экспериментах для выдавливания кукурузной
патоки, которая ведет себя как ньютоновская жидкость,
применялся червяк диаметром 50,>8 мм. В результате была
получена линейная характеристика червяка и линейное соотношение
между производительностью и скоростью вращения червяка,
как это и следует из уравнения (10-84).
10-6. Адиабатический процесс
Название адиабатический процесс относится к
гипотетическому случаю, когда теплопередача через стенки цилиндра
экструдера отсутствует. Таким образом вся тепловая энергия и
энергия давления возникают в экструдере благодаря
превращению механической энергии.
В приводимом ниже математическом исследовании
адиабатического процесса предполагают, что температура жидкости и
вязкость расплава полимера в поперечном направлении (в
направлении х) не изменяются. Кроме того, при анализе
рассматриваются упрощенные уравнения мощности и одномерного
течения.
Хотя условия, при которых возможно осуществление
адиабатического процесса, ограничены, тем не менее математический
анализ дает возможность понять ход процесса, протекающего в
винтовом насосе в том случае, когда выделение тепла от
внутреннего трения происходит при такой скорости, которая вполне
достаточна для того, чтобы вызвать значительное повышение
температуры жидкости. Такие случаи часто встречаются на

10-6. Адиабатический процесс
277
практике. Например, можно расплавить твердый полиэтилен и
поднять его температуру до нескольких сотен градусов в
обычном винтовом насосе (или экструдере) без какого-либо подвода
тепла к полимеру извне.
Для начала выведем уравнение характеристики червяка при
адиабатических условиях. Для простоты рассмотрим частный
случай, когда размеры канала червяка постоянны, т. е. они не
являются функцией z. Уравнение течения (10-75) в этом случае
запишется в следующем виде:
z
ЛР= aN~Q Гц& (10-98)
о
где jx является функцией температуры и тем самым
зависит от z.
Составляя энергетический баланс для бесконечно малого-
элемента канала червяка, устанавливают взаимосвязь вязкости
и температуры с переменной z. Длина элемента равна dz, а его
поперечное сечение — перпендикулярно оси z. При
прохождении жидкости через это сечение ее давление увеличивается на
величину dP, а температура — на величину dT. Общее
увеличение энергии жидкости при прохождении через этот элемент
канала составляет (CQdT + QdP), где первый член
представляет собой увеличение тепловой энергии, а второй — энергию,
затраченную на развитие давления. Для адиабатического
процесса общее увеличение энергии равно скорости, с которой
рассеивается механическая энергия. Следовательно, принимая во
внимание уравнение (10-81), энергетический баланс можно
записать в следующем виде:
CQdT + QdP = epN2dz + aNdP (10-99)
где С — удельная теплоемкость жидкости.
Второй и четвертый члены уравнения (10-99) почти равны'
между собой, а их величина на порядок меньше, чем величина
первого и третьего членов уравнения. Следовательно, допуская
небольшую ошибку, их можно опустить. Тогда получаем
искомое соотношение между ji, T и z, которое можно записать как
^г=(Щат (1(И00)
Характеристику червяка для адиабатических условий находят,,
подставляя уравнение (10-100) в уравнение (10-98) и интегри-

278 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
руя получающееся выражение. После преобразований имеем,
что
Л АГ , ев \ Л/2ДР
(10-101)
характеристики
Уравнение (10-101) аналогично уравнению
червяка для изотермических условий (10-79).
Из адиабатической характеристики червяка можно вывести
некоторые закономерности адиабатического процесса.
Необходимо отметить, что максимальная производительность Qmax при
АР = 0 равна aN. Если переписать характеристику червяка в
следующем виде
* ' П s '-""AP - (10-102)
\ Qmax /
■)Ф
AT
= 0
то можно видеть, что когда (Q/Qmax) равно V2, (АР/AT)
проходит через максимум. Следовательно
Д/М Са2 (10-103)
дт
4^е
Подставляя уравнение (10-103) в уравнение (10-102),
можно записать характеристику червяка в безразмерной форме:
Q
Q
Qn
(АР/АГ)
4(ДР/АГ)тах
= 0
(10-104)
Графически это уравнение показано на рис. 107.
Предположим, что g представляет собой отношение
(Q/Qmax). При ОТКРЫТОМ
ВЫХОДНОМ отверстии g разно
единице. Так как АР равно нулю,
то и отношение (АР/AT)
также равно нулю, а начальная
точка кривой, расположенная
в верхнем левом углу, имеет
координаты (0, 1). По мере
того как выходное отверстие
перекрывается, как АР, так и
AT увеличиваются, но при
этом увеличивается и
отношение (АР/AT); следовательно,
АР должно возрастать
быстрее, чем AT. Это условие
будет соблюдаться до тех пор,
пока значение g не уменыпит-
(др/ьт)
(лр/ат)
'max
Рис. 107. Безразмерная характеристика
червяка при адиабатических условиях.

10-6. Адиабатический процесс
279
ся до 0,50; в этот 'момент отношение (АР/AT) достигает своего
максимального значения.
Из рис. 107 видно, что при значениях g меньше 0,50
отношение (АР/AT) начинает уменьшаться. Следовательно, в этой
области
4F<d-W (*<-*-) (10-105>
В большинстве случаев после того как АР пройдет через
максимум, d(AP)/dg становится отрицательным. Значение g,,
при котором достигается максимум, обозначают через g*.
Приближенное значение g* можно вычислить следующим
образом.
Уравнение (10-102) записывается в виде:
AP = -^L(g-g*)AT (10-106)
Затем используется эмпирическая зависимость вязкости от
температуры:
\х = ае~ьт (10-107)
Подставляя уравнение (10-107) в уравнение (10-100) и
интегрируя полученное выражение, находим, что
е&дг_ i = А. (10-108)
где
А =
аС
При условии когда АР достигнет своего максимального
значения, выходное отверстие должно быть полностью закрыто, а
AT должно быть тем больше, чем выше вязкость раствора или
расплава полимера, на котором работает насос. При этих
условиях уравнение (10-108) можно записать в приближенной,
форме
g
Если это выражение подставить в уравнение (10-106), то
получим уравнение, в котором АР и g будут переменными.
Значение g, при котором ДР проходит через максимум, найденное

280 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
обычным путем, определяется уравнением
1-е*
1 А
1 — 2о*
(g < 0,5)
(10-109)
На рис. 108 показана зависимость g* от А.
При больших значениях Л, что соответствует длинным
червякам, вращающимся с высокими скоростями, и расплавам
полимеров с высокой
вязкостью, значение g*
приблизительно равно 72-
Другими словами,
максимальное давление
достигается в том случае, если
выходное отверстие
винтового насоса закрыто
немного меньше, чем на
50%- В другом случае,
т. е. когда вязкость
жидкости невелика, червяк—
короткий, а скорость
вращения червяка мала
(условия, при которых
можно ожидать
изотермического режима), значение
ъ>
'
0,4
0,3
о, г
0,1
п
0,1
1,0
10
я
Рис.
108. Зависимость ^
(уравнение 10-109).
100
от А
£Г почти равно нулю.
Иначе максимальное давление достигается при почти полностью
закрытом выходном отверстии, что напоминает изотермический
процесс.
Как и в случае изотермического процесса, рабочая точка
винтового насоса определяется при пересечении характеристики
червяка и головки. В последующих выкладках имеет смысл
ввести безразмерную величину X, которая представляет собой
отношение вязкости расплава полимера на входе в насос к
вязкости на выходе, из него. Зависимость вязкости от температуры
определяется следующим соотношением:
(10-110)
где AT={T0—Ti).
Подставляя уравнение (10-110) в (10-108) и
перегруппировывая полученное выражение, выразим производительность Q
через X:
у^ЫЫЧ^ (10-111Y
4 С(Х — \) U '

10-6. Адиабатический процесс
281
Расход через головку определяется по уравнению:
w=kx^ (10.112)
Теперь можно исключить AT и АР из уравнения (10-101)
характеристики червяка, подставляя уравнение (10-112) и уравнение
(10-110). В результате получим уравнение, в котором
переменными будут Q и X. Совместное решение полученного уравнения
и уравнения (10-111) дает возможность исключить Q; получаем
простое уравнение с одной переменной X:
N^N.XlniX)- X^y (10-113)
где Ni и N2 — безразмерные комплексы, определяемые по
уравнениям:
Ni = -kr *«=таг (1(И14)
Если уравнение (10-113) записать в функциональной форме
X = f(NlfN2)
то легко заметить, что X — однозначная функция безразмерных,
комплексов N\ и N2. К сожалению, X нельзя записать как явную
функцию. Обычно для ее определения применяются
графические методы. На рис. 109 представлена типичная диаграмма для
определения X.
Когда значение X определено, можно найти Q из
уравнения (10-111), АР — из уравнения (10-112), а значение AT—
из уравнения (10-110). Мощность, потребляемую винтовым
насосом, легко вычислить как сумму увеличения тепловой
энергии и энергии, затраченной на развитие,давления.
Пример 10-4.
В данном примере рассматривается работа винтового насоса в
адиабатических условиях при открытом выходном отверстии. Адиабатическое
повышение температуры ДГ, мощность и производительность определяются при
различных скоростях вращения червяка. Кроме того, для одной из скоростей
вращения червяка определяется температура жидкости в зависимости от
-положения в канале червяка (координата г).
При открытом выходном отверстии давления не создается, константа К
становится бесконечно большой. Все это приводит к тому, что Nx уменьшается
до нуля и1 уравнение (10-113) можно решить непосредственно относительно X
Получим, что

282 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
0,01 0,02 0,04 0,08
Рис. 109. Диаграмма, примэняемая для графического решения уравнения
С10-113) (из'книги Rheology, v. 3, edited by F. R. Eirich, Academic Press,
1960).
Так как'X связано с AT посредством уравнения (10-110), то адиабатическое
увеличение температуры определяется уравнением:
AT
-(-*>
1 +
N9
(10-115)
Зависимость температуры от положения z в канале червяка определяется
уравнением (10-100). Заменяя Q в уравнении (10-111), получаем, что
. V-ibZ
\«Ь= (Х-1)
dT
Затем, подставляя из уравнения (10-107) значение i\ и интегрируя полученное
LBbipasceHHe, находим, что
^•+т1п
г(Х-1)
(10-116)

10-6. Адиабатический процесс
283
Мошдость и производительность находятся из уравнений:
Р = CQAT + QAP
При числовых вычислениях использовались те же самые физические
постоянные и размеры червяка, что и в опытах Мак-Келви^0:
D = 50,8 мм Н= 5,08 мм ц,- = (13 800 пз)(1380 н-сек/м2)
L = 380 мм е = 5,08 мм Ь = 0,025 град~1
Е = 88,9 мм с = 0,127 мм С = (620 ккал/кг-град) (2600 дж/кг-град)
а = 25,8 см3 е = 15 65Q см2
ЮО
SO
60
tt-0
ZO
О
и
г.
j
в ю
Скорость вращения червяка,
off/сек
Рис. ПО. Кривые,
характеризующие работу винтового
насоса в адиабатических условиях:
/—зависимость ДГ от N; 2—зависимость
Q от N; 3—зависимость р от N.
*/у
0,6
0,6
О *i-
О Z
п
О 0,2
0.4 0,6
z/z
0,8 1,0
Рис. 111. Зависимость
температуры от координаты точки на
оси червяка.
На рис. 110 представлены зависимости Q, AT \Гр от скорости вращения
червяка. На рис. 111 показана зависимость увеличения температуры в канале
червяка от координаты z при скорости вращения червя-ка 2 об/сек.
10-7. Теория подобия
Масштабное, моделирование может оказаться полезным при
конструировании, если доказана надежность теории подобия.
В настоящем разделе выводится ряд правил масштабного
моделирования, которые можно применить при выдавливании
ньютойбвских жидкостей в адиабатических и изотермических
условиях.

284 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
На основании выводимых в данном разделе правил можно
рассчитать характеристики винтового насоса, который
геометрически подобен масштабной модели винтового насоса,
выдавливающего ту же самую жидкость, причем червяк модели
вращается с той же скоростью. Примем метод масштабного
моделирования, основанный на предположении, что скорости сдвига
в соответствующих точках обоих винтовых насосов одинаковы.
Это позволит в некоторых случаях применять правила
масштабного моделирования к выдавливанию ньютоновских
жидкостей (рассматривается в разделе 10-8) и к пластицирующим
зкструдерам (рассматривается в разделе 11-4).
В том случае, когда червяки масштабной модели и
винтового насоса геометрически подобны и рассчитываются с
помощью масштабного коэффициента X, имеем
Х=!- = ^. = Л--%--*- и в'=в
е D Н Ь с
где знак «прим» относится к модели.
Так как линейные размеры головки увеличиваются на ту же
величину (тот же коэффициент), то существует следующая
зависимость:
К' = Х3К
Кроме того, в обоих случаях условия процесса и свойства
жидкости одинаковы, а потому
Следовательно, между постоянными червяка можно установить
следующие соотношения:
е' = ХЧ а' = Х3а Р' = Х4р
Рассмотрим масштабное моделирование для
адиабатических условий процесса. Из уравнения (10-114) видно, что
безразмерные величины Afi и N2 должны иметь одно и то же
значение как для модели, так и для исследуемого винтового
насоса. Из уравнения (10-113) видно, что f' = f. На основании
этого можно получить следующие соотношения между
характеристиками модели и исследуемого винтового насоса
Q' = X*Q АР'-АР ДГ=ДГ
Далее, поскольку общая мощность равна (.CQAT + QAP), то
р' - Х*р

10-7. Теория подобия
285
Для изотермического процесса производительность и
возрастание давления определяются уравнениями (10-84) и (10-85).
В частном случае, когда размеры винтового канала червяка
постоянны (не зависят от z), эти уравнения можно переписать
в следующем виде:
n_ aKNZ др_ apNZ
р + кг ~* р + кг
Отсюда видно, что Q' = X3Q и АР' = АР.
Из уравнения (10-81) можно получить соотношение для
потребляемой мощности:
р' = Х3р
Можно показать, что для изотермического процесса
правила масштабного моделирования, полученные для червяков с
постоянными размерами, могут применяться и в более общем
случае, когда размеры винтового канала являются
произвольной функцией z. Чтобы показать справедливость сделанного
утверждения, необходимо доказать, что
А' = Х3А В' = Х3В
Доказательство второго "равенства приводится ниже.
Первое равенство можно доказать аналогичным образом. Принимая
во внимание уравнение (10-76), можно записать, что
z
dz
в
J
-JH1 (10-117)
f dz_
X P'
Точка z, расположенная на модели, соответствует точке (zX)y
расположенной на винтовом насосе. Следовательно
Х3Р (г) = р' (Xz)
А так как Z' = XZ, то уравнение (10-117) принимает вид
Z'/X
С dz
fL=x3-^ = хз (ю-118)
dz
[
Р'(г)

286 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Аналогичный анализ уравнения мощности показывает, что
10-8. Выдавливание неньютоновских жидкостей
Теория винтовых насосов для ньютоновских жидкостей
построена на глубокой теоретической основе, а уравнения
течения подтверждены экспериментами. Так как уравнение
мощности основано на тех же самых предположениях, то можно
быть уверенным в его (обоснованности, хотя экспериментальных
доказательств пока недостаточно.
Однако в большинстве случаев винтовые насосы
применяются для неньютоновских жидкостей, а полная теория
выдавливания неньютоновских жидкостей до сих пор не разработана.
Поэтому за основу приходится брать теорию для ньютоновского
течения и с помощью различных поправок приспосабливать ее
для неньютоновских жидкостей. Характеристику головки с
достаточной степенью точности можно получить при помощи
эмпирического степенного закона при условии, что эффекты
упругости жидкости не очень важны. В вынужденном потоке степень
отклонения от ньютоновского поведения жидкостей довольно
мала и она может вполне успешно учитываться при помощи
приведенного ниже метода. Совершенно иная картина
наблюдается для потока под давлением. В этом случае можно идти
несколькими путями, но несомненно, что имеется слишком
мало экспериментальных доказательств, чтобы обосновать эти
методы. Можно считать, что в настоящее время эта проблема
не решена.
Течение ньютоновской жидкости через головку
характеризуется следующим уравнением:
Q=^- (10-119)
где |х—вязкость ньютоновской жидкости в головке; К —
постоянная, которая зависит только от геометрии головки.
Графически эта зависимость выражается прямой линией.
Используя степенной закон, уравнение течения неньютоновской
жидкости через головку можно написать в следующем виде:
Q = К' (ЛР)1"1 (10-120)
где п — индекс течения жидкости; К' — постоянная,
учитывающая как геометрию головки, так и константы материала. При
изотермических условиях течения определенной жидкости через
данную головку значение КЛ должно быть постоянным. Следует

10-8. Выдавливание неньютоновских жидкостей
287
сослаться на методы расчета К', представленные в главе 3.
Характеристика течения неньютонювской жидкости через
головку в логарифмических координатах будет представлять собой
прямую линию.
Рассмотрим, как влияет отклонение от ньютоновского
поведения на вынужденный поток или на производительность при
открытом выходном отверстии винтового насоса. Скорость
вынужденного потока, полученная для плоскопараллельной
модели и ньютоновской жидкости, [определяется произведением
clN, где а зависит только от геометрических факторов.
Следовательно, в первом приближении вынужденный поток не
зависит от природы жидкости, и можно ожидать, что при открытом
выходном отверстии он будет одинаковым для ньютоновской и
неньютоновской жидкости.
Однако необходимо отметить, что плоскопараллельная
модель является лишь приближением к реальному
геометрическому профилю винтового канала. В разделе 10-2 было показано,
что для учета сложного профиля винтового канала в формулу
вынужденного потока необходимо вводить поправку. Можно
считать, что такой поправкой является величина (1—е).
Функция е зависит как от профиля винтового канала, так и от
индекса течения жидкости. Значение е можно получить из рис. 100.
Например, для ньютоновской жидкости, находящейся в
винтовом канале, глубина которого составляет 10% от диаметра
червяка, производительность при открытом выходе должна
составлять 97% от скорости, вычисленной по формуле
вынужденного потока. Для того же самого червяка, но для жидкости,
подчиняющейся степенному закону и имеющей индекс течения
0,5, производительность при открытом выходе должна
составлять 92% от значения, полученного по формуле вынужденного
потока. Это означает, что в червяках с глубокой нарезкой для
жидкостей, сильно отклоняющихся от ньютоновского закона,
поправка, вводимая в уравнение вынужденного потока, может
стать очень значительной.
Рассмотрим поток под давлением в винтовом канале. Эта
задача несколько напоминает задачу расчета потока под
давлением, направленного вдоль оси и заключенного между
коаксиальными цилиндрами, один из которых вращается. Другими
словами, в этом случае из-за того, что вязкость ньютоновской
жидкости не зависит от напряжения сдвига, отсутствует
взаимодействие между осевым потоком и круговым потоком.
В случае неньютоновской жидкости ситуация неясна. Если
придерживаться той же точки зрения, то вполне закономерно
предположить, что эффективная вязкость осевого потока
совершенно не зависит от напряжений, возникающих в жидкости и

288 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
перпендикулярных направлению потока. Однако такое
предположение кажется неправдоподобным. Более вероятно
предположить, например, что течение вдоль оси будет происходить
более легко в том случае, если имеются напряжения,
перпендикулярные потоку жидкости, и что в зависимости от
молекулярной структуры жидкостей эффект будет различным для
разных жидкостей. Однако для обоснования всего этого
необходимы экспериментальные данные.
Ниже рассматриваются несколько допущений, которые
можно сделать для решения данной проблемы. Если в уравнении
характеристики червяка заменить ньютоновскую вязкость
средней неньютоновской вязкостью ц, то получим характеристику
червяка для неньютоновской жидкости:
q = AN—^- (10-121)
"Л
где т] — некоторая неизвестная функция от напряжения сдвига
в жидкости. Вязкость жидкости, подчиняющейся степенному
закону, прямо пропорциональна уп-1. Поэтому для жидкостей,
подчиняющихся степенному закону, уравнение характеристики
червяка можно записать следующим образом:
Q = AN — С" (у)1"» АР (10-122)
где С" — постоянная величина для данной жидкости и
изотермических условий. Величина у представляет собой среднюю
скорость сдвига, который влияет на увеличение средней
вязкости г]. Остается только определить значение величины у. Ниже
рассматриваются три различных метода вычисления
значения у.
I. Этот метод предполагает, что поток под давлением
полностью независим от всех остальных потоков. В данном случае
необходимо рассчитать среднюю скорость сдвига для потока под
давлением между параллельными пластинами. Так как поток
симметричен относительно средней плоскости, то
Я/2
2 (' • , 2v0
Т= Я"J Т^ = --7Г
о
где v0 — скорость жидкости в средней плоскости, определяемая
по уравнению (3-99). Следует отметить, что v0 пропорциональ-

10-8. Выдавливание неньютоновских жидкостей
289
но ДР1/П.В этом случае можно записать уравнение (10-122)
в следующем виде:
Q = AN — САР1/" (10-123)
где С—постоянная величина для данной жидкости и
изотермических условий. Из уравнения (10-122) видно, что
характеристика червяка нелинейна. Для псевдопластичных жидкостей
/г<1, а отрицательный наклон характеристики червяка
увеличивается при увеличении давления. Это означает, что
необходимо проверить обоснованность предположения о
независимости потока под давлением от других потоков.
Если характеристику червяка объединить с характеристикой
головки, то получим, что
Q = ttIW (1(М24>
(10-125)
Из уравнений видно, что производительность будет прямо
пропорциональна скорости вращения червяка, а давление будет про-'
порционально я-й степени скорости вращения червяка. Из эт,оз
го следует, что для псевдоэластических жидкостей увеличение
давления при данном увеличении скорости вращения червяка
будет меньше, чем для ньютоновских жидкостей.
Максимальное давление, развиваемое червяком,
наблюдается при закрытом выходном отверстии. Решая уравнение
(10-123), можно найти его значение:
(АР)тах = (-^)Я (Ю-126)
Обоснованность предположения о независимости потока под
давлением от других потоков можно проверить при помощи гра~
фической зависимости lg(AP)max от lg (N). В этом случае точки
должны ложиться на прямую линию с тангенсом угла наклона,
равным п, т. е. с наклоном, равным индексу течения жидкости,
II. Второй метод расчета — метод Пиготта8. В данном случае
используется средний объемно-весовой сдвиг, определяемый Г';
уравнению
н
\\щ\йу
Т=^я (10-127)
\\v\dy
о
ДР =
AN.
С + К'

290 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
и рассчитываемый при помощи профиля скоростей в плоскости
у—z с учетом взаимодействия вынужденного потока и потока
под давлением. Следует заметить, что при вычислении
интегралов используются абсолютные значения v и у.
Распределение скоростей, используемое в формуле (10-127),
определяется по уравнению (10-46). Скорость сдвига находят
дифференцированием уравнения (10-127). При решении
уравнения (10-127) получим, что
Я
7(ф)
(10-128)
где функция ф представлена на рис. 112.
: При подстановке уравнения (10-128) в уравнение (10-122)
получим формулу для определения характеристики червяка:
Q = AN — C
-^/(Ф)
1-я
АР
(10-129)
0,5
О А
~ 0,3
^ 0,2
Так как f(cp) зависит от АР; характеристика червяка должна
быть нелинейной. Если V прямо пропорционально N, то можно
показать, что давление,
развиваемое червяком
при закрытом выходном
отверстии, прямо
пропорционально Nn, т. е.
наблюдается та же
зависимость, 'что и в
предыдущем случае.
III. В третьем случае
средняя скорость сдвига
принимается равной
(1//Я), где V —
линейная скорость цилиндра,
а Я—глубина канала. Уравнение для характеристики червяка
принимает вид
V
о, j
о
Рис.
O.Z О.Ч 0,6 0,8 1,0
Ф
112. Диаграмма для определения
значения функции ср.
Q = AN — C"(~Y "' АР
(10-130)
Характеристика червяка в данном случае линейна, но по
мере увеличения скорости червяка уменьшается
отрицательный наклон кривой. Максимальное давление,
развивающееся в винтовом насосе пр.и? закрытом выходном отверстии,
пропорционально Nn, как и в первых двух случаях.

10-8. Выдавливание неньютоновских жидкостей
291
Пример 10-5.
В этом примере рассматривается работа винтового насоса в
изотермических условиях. Рабочая жидкость имеет индекс течения 0,50 и подчиняется
степенному закону. При скорости вращения червяка 30 об/мин (3,14 рад/сек)
и при давлении в головке 17,5 кГ/см2 (1,75-106 н/м2) производительность равна
6,3-Ю-3 кг/сек. Требуется вычислить производительность и развиваемое
давление, если скорость вращения червяка увеличится до 60 об/мин (6,3 рад/сек).
При открытом выходном отверстии и при скорости вращения червяка 30 об/мин.
(3,14 рад/сек) объемная производительность равна 8,2 см3/сек.
Рис. 113. Характеристики червяка и головки:
а—жидкость ведет себя, как ньютоновская и в канале червяка, и в головке;
б— в канале червяка жидкость ведет себя, как ньютоновская, а в головке—
как жидкость, подчиняющаяся степенному закону; в—поведение жидкости в
головке описывается степенным законом, а для расчета характеристики
червяка использовался метод III.
Для иллюстрации приведенных выше рассуждений применяются
следующие методы расчета:
а) в канале червяка и в головке предполагается наличие ньютоновского
течения;
б) предполагается, что в канале червяка существует ньютоновское
течение жидкости, а в головке жидкость подчиняется степенному закону;
в) метод I, описанный выше (стр. 288);
г) метод II, описанный выше (стр. 289);
д) метод III, описанный выше (стр. 290).
Если принять допущение «а», то и производительность, и развиваемое
давление прямо пропорциональны скорости вращения червяка. Следовательно,
при скорости вращения червяка 60 об/мин (6,3 рад/сек) производительность
будет равна 1,26-10"2 кг/сек. а развиваемое давление—35 кГ/см2 (3,5-106 н/м2):
Эта зависимость представлена на рис. 113, где прямая, проходящая через на^
чало координат,—характеристика головки, а параллельные прямые—характе=
ристики червяка.
Если принять допущение «б», то характеристики червяка остаются прямы*
ми линиями, а характеристика головки изображается кривой с быстро воз~-
растающим наклоном. Характеристику головки определяют, нанося извест--
ную точку ДР=17,5 кГ/см2 (1,75-106 н/м2) и Q=6,3-10-3 кг/сек на
логарифмический график и проводя прямую линию через точку, в которой наклон кри-
вой равен п. Пересечение полученной кривой (перенесенной на линейную шка^
лу) с характеристикой червяка дает вторую рабочую точку, которая и пока-

i^92 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
зана на рис. 113,6. Производительность в этой точке равна 1,47-Ю-2 кг/сек,
а давление равно 26 кГ/см2 (2,6-106 я/ж2).
При расчете по методу «в», как вытекает из уравнения (10-124),
производительность прямо пропорциональна N. Следовательно, во второй рабочей
точке производительность равна 1,26-Ю-2 кг/сек. Увеличение давления, как
показывает уравнение (10-125), пропорционально п-й степени увеличения
скорости вращения червяка.; Следовательно, значение давления во второй
рабочей точке равно 25 кг/см2 (2,5-106 н/м2).
При использовании метода «г», решая совместно уравнение (10-129) и
уравнение характеристики головки [уравнение (10-120)], после ряда
преобразований получим
<Pi
/ЧФ2)
/OPi)
1-л
1—Фа
1—Фх
(10-131)
Уравнение (10-131) содержит только одну неизвестную величину Фг,
которая определяется из опытных данных и поправочного коэффициента.
При вычислении можно получить, что производительность равна
1,18-Ю-2 кг/сек, а давление—24 Гк/см2 (2,4-106 н/м2).
Если, вычисления проводятся по методу «д», то решение находят почти
таким же способом, как и при методе «г». Решая совместно уравнение
характеристики червяка (10-130) и уравнение характеристики головки, получим, что
ф2
Ф1
1 —ф2'
1 —<Pi
(10-132)
Уравнение (10-132) аналогично уравнению (10-131). Находят, что значение
фг равно 0,44, а производительность и давление в этом случае почти равны
соответствующим значениям, полученным при расчетах по методу «г», так как
функция /(ф) при изменении ф от 0,40 до 0,44 почти не меняется. Графически
этот результат представлен на рис. 113,е. Результаты всех расчетов приведены
в ..табл. 10-L
ТАБЛИЦА 10-1
Результаты расчета по методам а—д
Метод
расчета
а
б
в
г
Д

Производительность
кг/сек. 103
12,6
14,7
12,6
11,8
11,8
Давление
к/л2.10~5
35
26
25
24
24
К сожалению, имеется очень мало экспериментальных
данных, при- помощи которых можно было бы проверить различные
методы расчета характеристики червяка для неньютоновских
жидкостей. Экспериментальные работы Мак-Келви9
недостаточно! убедительны. В этих экспериментах, проводившихся в
изотермических условиях, расплав полиэтилентерефталата продав-

10-8. Выдавливание неньютоновских жидкостей 293
ливался через песочный фильтр и многоканальную головку. При
этом использовались две различные головки. Для каждой
характеристики .головки получали
лись на график, представленный
тить, что на логарифмической
шкале точки ложатся на одну
прямую линию, что указывает
на 'применимость степенного
закона. Наклоны обеих
кривых равны, а индекс течения
равен 0,9, что говорит о том,
что поведение данной
жидкости немного отклонялось от
ньютоновского.
Для этого материала
приводятся также и
характеристики червяков, полученные
при скоростях вращения
червяка 0,087 об J сек (1,6 рад /сек)
и 0,256 об/сек (0,545 рад/сек).
В соответствии с методом
расчета «д», отрицательный
наклон характеристик червяка
должен быть пропорционален
скорости вращения червяка, возведенной в (1—п) степень. Так
как отношение скоростей червяка равно 2,94, 'можно было
ожидать, что наклон характеристики червяка при более высокой
■скорости будет на 11% больше, 'чем наклон характеристики при
низкой скорости. Однако экспериментальные измерения
показали, что наклоны обеих характеристик почти равны. Но эти
экспериментальные данные нельзя считать достоверными, так
как ошибка опыта имеет тот же порядок, что и измеряемая
(величина. Кроме того, необходимо отметить, что характеристики
измерялись только в интервале 0<ф< 7з, так что при более
высоких давлениях линейный характер может пропадать.
Все же из данной экспериментальной работы можно сделать
следующий вывод: для жидкостей, которые имеют я>0,9 при
Ф<7з, характеристики червяка можно рассчитывать по
формулам ньютоновских жидкостей, делая при этом небольшую
ошибку, а для расчета характеристики головки необходимо
применять степенной закон.
В формулу степенного закона также следует ввести
поправочные коэффициенты. Рекомендуемым приемом в таком
случае является использование уравнения (10-81), причем р.
три точки. Эти точки наноси-
на рис. 114. Необходимо отме-
5 u.uui
% 0.0008
S3* 0,0006
| 0,0001*
& 0,0002
I Q0OOJ
*° 350 700 7400 2100
АРЮ\н/мг
Рис. 114. Характеристики головки,
полученные для полиэтилентерефтала-
та (см. ссылку 9).

294 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
заменяют на ц, вычисленную при скорости сдвига (V/Я).
Расчет константы е производится по уточненной формуле:
к3Р3 sin 6
Н
^с
i+3sin»e + J|-|-j^.
еН
1- ~
tiD sin 6
где цс — вязкость жидкости в зазоре. Вследствие более высоких
скоростей сдвига в зазоре ric обычно меньше, чем в канале
червяка. Предполагая, что жидкость подчиняется степенному
закону, запишем:
i П—1 / тт \ П.— 1
С
В этом случае формулу для определения е' можно переписать
в следующем виде:
nsD3 sin 6
Я
1 +3sin26 +
1 —
2с_
D
tiD sin 6
(10-133)
Рассмотрим теперь моделирование винтовых насосов,
работающих в изотермических условиях на неньютоновских
жидкостях. Приведенный расчет применим к винтовым насюсам с
геометрически подобными размерами и одинаковыми скоростями
вращения червяков. При заданном значении ср картины потока
в каналах обоих червяков будут геометрически подобны. Таким
образом, в соответствующих точках модели и исследуемого
винтового насоса скорости сдвига равны; должны быть равны и
средние вязкости жидкости. Исходя из обобщенной
характеристики червяка,уравнения (Ю-121), и принимая во внимание, что
константы А и В для исследуемого винтового насоса в X3 раз
больше, чем для модели, можно сделать вывод, что их
характеристики одинаковы, за исключением того, что
характеристика червяка исследуемого винтового насоса смещается вверх по
отношению к характеристики модели, проходя через точку X3Q.
Если головки модели и исследуемого винтового насоса
геометрически подобны, т. е. они отличаются в X раз, то обе
константы головки, как это определяется уравнением (10-120),
будут отличаться друг от друга в X3 раз. Это легко' доказывается
как для круглых, так и для щелевых головок, а также и для
жидкостей, подчиняющихся степенному закону [см. уравнения:
(3-9) и (3-101)].

10-9. Уравнения расхода и мощности для винтовых насосов 295
Для того, чтобы исключить Q, необходимо совместно решить
уравнение характеристики головки и обобщенное уравнение
характеристики червяка. В результате получим, что
Принимая во внимание соотношения
А = Х3Л'
В = Х*В'
(К') = Х3(К'У
можно сделать вывод, что давления, развиваемые в модели и
в исследуемом винтовом насосе, равны. Из соотношения между
константами головки модели исследуемюго винтового насоса
видно, что производительность винтового насоса должна быть
в X3 раз больше производительности модели. Исходя из тех же
соображений, можно показать, что мощность, потребляемая
винтовым насосом, в Xs раз больше, чем мощность,
потребляемая моделью.
10-9. Уравнения расхода и мощности
для винтовых насосов
Для удобства пользования уравнения расхода, уравнения
мощности и условные обозначения, использованные в
гидродинамическом анализе винтовых насосов, в собранном виде привел
дены ниже:
1. Дифференциальные уравнения расхода
и мощности
dp = s\lN4z + aNdP
2. Уравнения для изотермического процесса
Характеристика червяка:

296
Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
Характеристика головки:
Уравнения процесса:
Q =
АК
N АР =
в + к
\\N
3. Уравнения для адиабатического процесса
(винтовой канал имеет постоянные раамеры)
Характеристика червяка:
Уравнения процесса:
Q
С(Х-1)
АР
кх
АГ = f-i-HnA'
p = CQAT + QAP
4. Уравнения для определения
геометрических параметров
пЮ2Н sin Э cos 6
2
em
1--?!_
D " те!) sin 9
1 —
Н
tzDH3 sin 0
12
. 2с em
D kD sin 0
i + HH'f-f
1
те3Р3 sin 0
H
i+3sin2e + -^-
1 —
2c_
D
sin U cos
em
tzD sin
naj
dz
A =
B =
-g- ] dz
1
<fe

10-9. Уравнения потока и мощности для винтовых насосов 297
5. Условные обозначения для винтовых насосов
(в системе единиц СИ)
&—удельная теплоемкость жидкости (дж/кг- град)
D — внутренний диаметр цилиндра (мм)
Е — шаг нарезки червяка (мм)
FD — коэффициент формы для вынужденного потока,
определяемый по уравнению ((10-16)
FP — коэффициент формы для потока под давлением,
определяемый по уравнению (10-17)
Н — расстояние от внутреннего диаметра нарезки
червяка до поверхности цилиндра (ж)
К — постоянная головки (см3)
L —длина червяка вдоль оси (мм)
N — скорость вращения червяка (рад/сек)
Р — давление (н/м2)
Q —объемная производительность (кг/сек)
Т —температура (°К)
W — ширина канала червяка (мм)
X — параметр, определяемый по уравнению (10-113)
Z—длина нарезки винтового канала (геликоидальная
длина канала червяка) (ж)
b —температурный коэффициент вязкости (град-1)
с —радиальный зазор (мм)
е —ширина витка червяка (мм)
m—число параллельных каналов червяка (число
заходов)
р — мощность (вт)
z — положение координаты, измеренное вдоль оси (м)
Э — угол подъема винтовой линии (рад)
\i — вязкость (н ■ сек/м2)
С и 'С" — постоянные величины для данной жидкости и
изотермических условий.
Задачи
10-1. Показать, что общие формулы, полученные для изотермического
процесса (см. раздел 10-9), для частного случая, когда размеры канала червяка
не зависят от координаты г и когда m=l, e~Q, cxO, a W^>H, примут
следующий вид:
7t2D2JV^sin9cos9 rcPff3sin29AP
Q = 2 ~ 12fiL
n3D3N2L
p= -ц [l+3sin20] +
tz2D2NH sin Э cos 0
AP

298 Гл. 10. Гидродинамический анализ винтовых насосов
10-2. Используя уравнения потока и мощности, приведенные в задаче 10-1,
показать, что коэффициент полезного действия винтового насоса, у которого
сопротивление головки постоянно, не зависит от вязкости жидкости и скорости,
вращения червяка. Вычислить коэффициент полезного действия винтового
насоса, у которого червяк имеет следующие размеры:
D = 100 мм L = 1000 мм
Н =10 мм 9 = 20° (0,349 рад)
Сопротивление головки таково, что для жидкости, вязкость которой равна.
100 пз (10 н-сек/м2), уменьшение давления при производительности
63-Ю-3 кг/сек должно составлять 100 кГ/см2 (1-Ю7 н/м2). Плотность
жидкости равна 103 кг/м3.
10-3. Сконструировать винтовой насос, который будет выдавливать
0,126 кг/сек ньютоновской жидкости, плотность которой равна 103 кг/м3.
Давление в головке 35 кГ/см2 (3,5-106 н/м2). Вязкость жидкости равна 100 пз
(10 н-сек/м2). Определить длину, диаметр, угол подъема винтовой линии
червяка, глубину канала и скорость вращения червяка. Изложить все
предположения, использованные при конструировании.
10-4. Рассчитать коэффициент полезного действия винтового насоса,
описанного в задаче 10-2', предполагая, что процесс адиабатический и что
С = 0,2 кал/см3-град (800 дж/кг-град)
Ь = 0,025 град'*
\Ч= 10* пз (108 н-сек/м2)
N = 2 сект* (12,5 рад/сек)
Литература
1. J. F. С а г 1 е у, R. S. М а 1 1 о u k, J. М. М с К е 1 v e у, Ind. Eng..
Chem., 45, 974 (1953).
2. S. E с с h e г, W. V a 1 e n t i n о t t i, Ind. Eng. Chem., 50, 829 (1958).
3. R. E. Col we 11, K- R. N i с h о 1 1 s, Ind. Eng. Chem., 5.1, 841 (1959),
4. W. L. Gore, J. M. MacKelvey, Theory of Screw Extruders, ch. 1&
of «Rheology», v. 3, edited by F. R. Eirich, Academic Press, 1960.
5. W. Mohr, R. S. M a 1 1 о и к, Ind. Eng. Chem., 51, 765 (1.959).
6. J. F. Car ley, R. A. S t г и b, Ind. Eng. Chem., 45, 988 (1.953).
7. H. S. R о w e 1 1, D. F i n 1 а у s о n, Engineering, 126, 249' (1928),
8. W. T. P i g о t t, Trans. A. S. M. E.f 73, 947 (1951),
9. J. M. M с К e 1 v e y, Ind. Eng. Chem., 45, 982 (1953),.
10. J. M. McKelvey, Ind. Eng. Chem., 46, 660 (1954).

Глава 11
Пластицирующие экструдеры
Пластицирующий экструдер — одна из самых
распространенных машин, применяемых в различных процессах
переработки полимеров, таких, как литье под давлением, экструзия,
смешение. Эта машина представляет собой винтовой насос,
питание которого производится не жидкостью, а твердым
полимером в виде порошка или гранул. В пластицирующем экстру-
дере идет не только процесс выдавливания расплава, но и
процессы транспортировки и расплавления полимера, а также
процессы теплообмена и смешения.
11-1. Введение
Пластицирующий экструдер можно рассматривать как
винтовой насос, к которому присоединены машина для
транспортировки твердых частиц полимера и машина для их плавления.
Эта мысль иллюстрируется на рис. 115. В зоне / полимер
находится в твердом состоянии, в зоне 2 — в виде «вязкой массы»,
состоящей из смеси расплавленного полимера и твердых частиц,
■и в зоне 3 — в виде жидкости, т. е. полимер полностью
расплавлен. Очевидно, что работа машины в целом должна зависеть от
того, как она выполняет эти три отдельных операции
(транспортировку твердых частиц, их плавление и выдавливание
расплава через головку). В принципе эксплуатационные качества
машины можно определить, если проанализировать работу каждой
из трех зон и рассмотреть совокупность полученных
результатов.
Введем обозначения:
ff—независимая скорость транспортировки твердого
полимера;
г\—независимая скорость плавления полимера;
г\—независимая скорость выдавливания.
Под независимыми скоростями следует понимать такие
скорости, с которыми мог бы протекать каждый из этих трех про-

300 Гл. 11. П ластицирующие экстру деры
Питание
'
1
1—/—'
7
—*
1 / 1
г
—»■
' / '
3
—*-
Рис. 115. Схематическое представление экструдера как нескольких
машин, выполняющих различные функции:
/—зона транспортирования сыпучего материала; 2—плавление; 3—выдавливание.
цессов в отдельности, если бы они проходили независимо друг
от друга. Когда
/-*</•* или г*2<г; (11-1)
говорят, что машина работает на «голодном питании». При
таком режиме нарушается стабильность процесса и ухудшается
качество экструдата. Для того чтобы избежать этого,
необходимо, чтобы
Л>Л>Л (п-2>
Если неравенства (11-2) справедливы, то говорят, что зона 3
«контролирует» процесс. В этом случае процесс более стабилен,
а качество экструдата выше по сравнению с режимом, когда
контроль процесса осуществлялся другими зонами. Однако
если г3 гораздо меньше г2 и п, то зона 3 оказывается
«затопленной», что ведет к нарушению стабильности.
Можно проанализировать работу зоны 3 пластицирующего
экструдера (зоны дозирования или выдавливания), если
использовать общие идеи, развитые в предыдущей главе,
посвященной винтовым насосам. Несмотря на определенный прогресс,
достигнутый в развитии теории транспортировки твердых
частиц, еще слишком мало экспериментальных данных, чтобы
полученные теоретические выводы могли быть использованы при
проектировании пластицирующих экструдеров. Что касается
зоны 2, то в печати было опубликовано лишь несколько
исследований как теоретического, так и экспериментального характера.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что работа пласти-

11-2. Транспортировка сыпучих материалов 301
цирующего экструдера пока не поддается математическому
анализу, и в настоящее время приходится довольствоваться
значительно менее точным описанием работы пластицирующих эк-
струдеров по сравнению с работой винтовых насосов.
Если процесс контролируется зоной 3, то для описания
работы пластицирующего экструдера с определенным успехом
можно применять уравнения, полученные для винтовых насосов.
(Подробно этот вопрос рассматривается в разделе 11-4). При
этом могут быть сделаны некоторые выводы, касающиеся
рабочих характеристик и относящиеся главным образом к
однородности распределения температуры в экструдате и к пульсации
производительности. Эти характеристики тесно связаны с
качеством экструдата.
11-2. Транспортировка сыпучих материалов
Транспортировка сыпучих материалов происходит только в
зоне 1 пластицирующего экструдера. Назначение этой зоны
перемещать твердые частицы нерасплавленного полимера от
загрузочной воронки к зоне 2 — зоне плавления полимера. Может
показаться, что практически транспортирование сыпучих
материалов в пластицирующих экструдерах не является достаточно
серьезной проблемой* особенно если они работают на
материалах с хорошей сыпучестью и достаточно большим насыпным
весом. Однако транспортирование порошков с плохой
сыпучестью и низкой насыпной массой в зоне / пластицирующего
экструдера представляет собой трудную задачу.
Можно предположить, что непосредственно под загрузочной
воронкой червяк работает только как транспортер. В
идеальном случае траектории отдельных частиц должны быть
прямыми линиями, параллельными оси червяка. При этих условиях
скорость перемещения материала рассчитать довольно легко.
Очевидно, что при попадании материала непосредственно в
цилиндр экструдера механизм перемещения сыпучих
материалов меняется. Происходит некоторое уплотнение частиц,
которые в дальнейшем склонны перемещаться как монолитная масса
(пробка). Движение пробки происходит в результате действия
сил трения, которые воздействуют на пробку со стороны
металлических поверхностей цилиндра и червяка. Сделав некоторые
упрощения, можно проанализировать движение пробки1.
Известны некоторые теоретические выводы, относящиеся к
транспортированию сыпучих материалов в зоне 1 в экструдере,
однако тщательных экспериментальных исследований по этому
вопросу не имеется. Поэтому нельзя быть уверенным в том, что
эти выводы вполне корректны.

302
Гл. 11. Пластицирующие экструдеры
Основное предположение заключается в том, что твердые
частицы, уплотняясь, образуют «эластичную» пробку, в которой
отсутствует деформация сдвига. На
пробку действуют силы трения, которые
возникают между поверхностью пробки и
поверхностями цилиндра и червяка.
Анализ можно упростить, если считать, что
цилиндр неподвижен, а червяк движется,
как это 'показано на рис. 116.
Начальное положение винтового
канала показано на верхней схеме. Точка
А расположена на пробке. Канал
червяка движется вниз со скоростью V. За
время t он проходит расстояние А—В и
оказывается в положении, (показанном
на нижней схеме рисунка. При этом
точка А перемещается в точку А'.
Следовательно, пробка проходит вдоль канала
расстояние В—Аг.
Точка А перемещается относительно
цилиндра по линии А-—А\ а
относительно червяка по линии В—А'. Угол ср
показывает отклонение линии А—А' от
вертикали. За положительное
направление угла принимается движение против
часовой стрелки.
Скорость v, с которой пробка
движется по каналу, легко определить как
функцию ср:
Рис. 116. Схема движения
«эластичной» пробки в
канале червяка.
(В-А')
t
= v
{В-А')
(А-В)
(П-3)
тикали на
виде:
угол
Так как линия В—А' отклонена от вер-
запишем уравнение (11-3) в следующем
v = V-
Sin (?)
sin(cp + e)
(11-4)
где 9—угол подъема винтовой линии червяка.
Используя обычные тригонометрические преобразования,
можно записать, что
V
cos (9) +sin(6)ctg (cp)
(11-5)

11-2. Транспортировка сыпучих материалов
303
Рассмотрим силы трения, действующие на пробку. При
установившемся движении эти силы должны быть уравновешены.
Из рис. 116 видно, что
Fs = FBcosto + Q) (11-6)
Так как 9 и ф должны быть всегда положительными, то
силы трения, действующие на пробку со стороны цилиндра,
всегда должны быть больше, чем силы трения, действующие со
стороны поверхности червяка.
Запишем уравнение (1Ь6) в следующем виде:
cos(Q + y) = R (#<1)
где R = FJFB.
Если известно значение R, то величину ф можно определить
из уравнения (11-7), а скорость транспортирования материала
определится по уравнению (11-5). Заметим, что до сих пор было
сделано только одно предположение, а именно, что частицы
материала движутся, как пробка. Для продолжения исследования
необходимо ввести дополнительные предположения, касающиеся
природы сил FB и Fs- Однако, прежде чем это сделать, можно
получить определенные выводы относительно поведения пробки
в некоторых предельных случаях.
Во-первых, заметим, что при R^\ движение невозможно.
В этом случае угол ф равен нулю, а из уравнения (11-5) видно,
что v также равно нулю. Таким образом, движение пробки
вдоль винтового канала отсутствует. Она просто находится в
канале, вращаясь вместе с червяком. Ясно, что при таких
условиях процесс экструзии прекращается.
Второй предельный случай имеет место при
«проскальзывании» червяка, т. е. когда действующие со стороны червяка силы
трения не оказывают никакого воздействия на пробку. Если в
винтовом канале отсутствует градиент давления, то Fs
становится равным нулю, а следовательно, R = 0. Из уравнения (6-7)
видно, что (9+ ф) = 1,57 рад (90°). Следовательно,
уравнение (11-5) можно переписать в виде:
v = —/m , . I х п -•?—m = Vcos(e) = V, = 2u (11-8)
cos(0) + sm (6) ctg(l,o7 — 0) \ j z \ i
Из этого уравнения следует, что скорость пробки равна
компоненте скорости цилиндра, направленной вдоль оси винтового
канала. Так как средняя скорость вынужденного потока
жидкости вдоль винтового канала v равна Vz/2, то 'Становится яс-
(11-7)

304
Гл. 11. П ластйцирующие экстру деры
ным, что производительность червяка при транспортировке
сыпучих материалов вдвое превышает расход вынужденного
потока при выдавливании жидкости.
Теперь рассмотрим третий частный случай. Если бы для
ограничения продвижения пробки вдоль оси на поверхности
цилиндра были нарезаны продольные пазы, то угол ф был бы
равен 1,57 рад (90°), а уравнение (11-5) для этого случая
имело бы вид
w = c-SW (""в)
Уравнение (11-9) можно переписать в виде:
V
cos20
где v — средняя скорость вынужденного потока жидкости.
Ниже приведены полученные результаты:
Предельные условия Скорость пробки
R>\ 0_
#=0 2и
Ф=90° (1,57 рад) 2d?cos26
Теперь рассмотрим условия, при которых движение пробки
в винтовом канале прекратится. Из уравнения (11-5) видно, что
это условие будет наступать всякий раз, как только ф станет
равным нулю. Обозначим отношение сил, при котором
вызывается это условие, через R*. Уравнение (11-7) показывает, что
R* является функцией угла подъема винтовой линии. Для
движения пробки при больших углах подъема винтовой линии
требуется более благоприятное соотношение сил трения, чем для
малых углов. Например, если угол подъема близок к 90°
(1,57 рад), то устойчивый процесс можно осуществить только
с таким червяком, коэффициент трения которого по отношению
к пробке равен нулю. Ясно, что такие условия нереальны. С
другой стороны, по мере уменьшения угла подъема становятся
приемлемыми все менее благоприятные отношения сил трения.
В предельном случае, когда угол подъема уменьшится до нуля,
значение R* станет равным единице.
Есть все основания предполагать, что во время работы пла-
стицирующего экструдера соотношение сил трения меняется в
определенных пределах, зависящих от условий процесса.
Следовательно, изменение скорости вращения червяка, температуры
цилиндра, давления в головке и всех других факторов приве-

11-2. Транспортировка сыпучих материалов 305
дет, по всей вероятности, к изменению соотношения между
силами трения. Приостановка или даже полное прекращение
питания для червяков с большими углами подъема винтовой
линии более вероятно, чем для червяков с малыми углами
подъема.
Весь приведенный анализ показывает, что при малых углах
подъема винтовой линии создаются лучшие условия для
транспортировки сыпучих тел, но какими должны быть эти
углы, остается невыясненным. Также неясно, какой должна быть
и скорость транспортировки. Для того чтобы ответить на эти
вопросы, необходимо провести более детальный анализ сил,
действующих на пробку.
Предположим, что пробка оказывает на соприкасающиеся
с ней поверхности «гидростатическое», т. е. одинаковое во всех
направлениях, давление. Кроме того, примем, что градиент
давления вдоль винтового канала отсутствует. При этих условиях
тангенциальные силы (силы трения), действующие на пробку,
получают, умножая площадь поверхности на «давление» и
коэффициент трения. Отношение сил трения R в этом случае равно
F- AsV-s
'в Ав^в
# = yL = J^£_ (Ц-10)
где As — общая площадь поверхности червяка,
соприкасающаяся с пробкой;
Лв—площадь цилиндра, соприкасающаяся с пробкой;
lis-—коэффициент трения о поверхность червяка;
|ив — коэффициент трения о поверхность цилиндра.
Если шириной витка червяка пренебречь, то
Ab = tzDL (П-Н)
Значение As определяется из уравнения
R
As = tz(D — 2H)L-\-2 ^Zdr (11-12)
До
где Z — длина пути по оси z.
Длина пути по оси z — функция радиального положения
(координата г) и связана с длиной оси червяка L уравнением
2=^т (П-13)
sin (С) '
где £ — угол подъема винтовой линии, зависящий от
координаты г.

306
Гл. 11. Пластицирующие экструдеры
При совместном решении уравнений (11-11), (11-12) и
(11-13) получим, что
ha
dr
sin (9)
(11-14)
Ширина винтового канала,
ределяется по уравнению
№ = TcDsin6
перпендикулярная оси z, оп-
9 = С(Я) (11-15)
где D и 6 измерены по наружному диаметру нарезки. Так как
W не зависит от г, то легко получить следующее, соотношение:
D sin Э = D0 sin C0 = 2r sin С
(11-16)
где £0 — угол подъема винтовой линии по внутреннему
диаметру нарезки;
D0 — внутренний диаметр нарезки червяка.
Следовательно, получим, что
■4L = 1-2(-s-)+-s4nrf'* <1Ы7>
После интегрирования уравнение (11-17) примет вид:
А = 1 о/М | 2(R-R0)(R + R0)
Ав { D ) "* TtD2 sin 0
Преобразовав уравнение (11-18), получим:
(11-1:
Аг
= 1—2
D
1 —
1 -(HID)'
7i sin 0'
(11-19)
Применение уравнения (11-19) показано на следующем
примере.
П ри м ер 11-1.
В данном примере рассчитывается скорость транспортировки сыпучих,
материалов для червяка диаметром 50,8 мм, угол подъема винтовой линии
которого равен 36° (0,628 рад), а глубина канала равна 12,7 мм. Предположим,
что коэффициент трения для всех поверхностей один и тот же. В таком случае
. As
отношение сил можно заменить отношением площадей —:—.

11-3'. Плавление
307
Отношение площадей, вычисленное по уравнению (11-19), равно 0,7.
!Из уравнения (11-7) находим, что
е + ф = 46° (0,802 рад)
т. е. угол ф равен 10° (0.174 рад).
Средняя скорость пробки, рассчитанная по уравнению (П-5), равна
0.24У. Объемная производительность при транспортировке сыпучих
материалов определится уравнением
Q = vWH
а так как V=kDNcosQ, to объемная производительность на один оборот
червяка равна
Q
-jj-= (0,24) kDWH cos 0
Бели W выразить через угол подъема винтовой линии по уравнению W=
—■j^DsinB, то объемная производительность будет равна
N
\ = (0,24) iz*D*H sin (9) cos (6)
Для данного частного случая
Q
-^- = 36,88 см3/об
Если плотность материала равна 613 кг/м3, то количество перемещаемого
материала равно
W
-^- = 22-Ю-3 кг/об
Найденное значение можно сравнить со значением, полученным Дарнел-
лом2. Для той же самой задачи Дарнелл при установлении баланса сил
использовал несколько иные допущения и получил величину 27,9-Ю-3 кг/об.
Экспериментальные измерения дали величину 32,9-Ю-3 кг/об.
11-3. Плавление
Для начала полезно установить различия между двумя
довольно разными механизмами плавления, которые могут
встречаться в пластицирующих экструдерах. В первом случае
■плавление полимера происходит за счет тепла, передаваемого
•от цилиндра экструдера к твердым частицам полимера.
Скорость этого процесса зависит как от площади поверхности
цилиндра экструдера, так и от теплопроводности полимера и
характера движения полимера внутри винтового канала. Во
втором случае теплопередача отсутствует, а тепловая энергия,
необходимая для плавления полимера, возникает в результате
превращения механической энергии, затраченной на
деформацию твердых частиц полимера.

308
Гл. 11. Пластицирующие экстру деры
Если плавление полимера происходит по первому
механизму, то максимальная скорость плавления (и соответственно
максимальная скорость экструзии), грубо говоря, определяется
площадью поверхности цилиндра экструдера, то есть
произведением nDL. Если же плавление полимера происходит по
второму механизму, то скорость плавления зависит от количества
механической энергии, которое может быть передано через
приводной вал на червяк. Как правило, в этом случае скорость
плавления выше.
а / / / /.//////,/,/ / lllllu
Рис. 117. Схема типичного «дозирующего» червяка. Шаг
постоянен, сжатие происходит на длине двух-трех витков.
В большинстве экструдеров плавление полимеров протекает
по первому механизму. Следовательно, производительность
любой машины ограничена или, иными словами, регулируется
•скоростью теплопередачи. Поэтому в первую очередь
необходимо рассматривать экструдер как теплообменник. В этом
разделе проводится качественный анализ теплопередачи внутри
канала червяка и даются некоторые общие выводы, которые
могут быть полезны при конструировании пластицирующих
экструдеров, в которых скорость плавления зависит от теплопередачи.
Для некоторых целей желательно применять
пластицирующие экструдеры, в которых плавление полимера происходит по
второму механизму. Этот метод может дать некоторые
преимущества по сравнению с первым, а именно: значительно большие
скорости при тех же длине и диаметре червяка, более
равномерный нагрев полимера и значительно меньшая опасность
возникновения местных перегревов. Однако вполне очевидно, что
подобный процесс возможен только для тех полимеров, которые
являются относительно «мягкими» при комнатной температуре.
Это положение в дальнейшем будет рассмотрено в этом разделе.
При экструзии полимеров, плавление которых происходит
по первому механизму, как правило, используется
«дозирующий» тип червяка. На рис. 117 схематически изображен
типичный «дозирующий» червяк. Встречается много разновидностей
подобных червяков, но все они имеют общие черты, которые
описываются ниже. Отношение длины червяка к диаметру
изменяется в пределах от 6 до 24, а отношение шага нарезки к
диаметру червяка почти всегда близко к единице.
Транспортирование твердого полимера происходит в пределах первых

11-3. Плавление
309
двух-трех витков, а выдавливание расплава — в пределах трех-
четырех последних витков. Средняя зона (зона плавления)
занимает большую часть длины червяка. Переход от зоны
плавления к зоне дозирования расположен на длине от половины
витка до двух-трех витков. Червяки этого типа
разрабатываются уже более 10 лет и довольно хорошо зарекомендовали себя
при работе с различными полимерами. Конструкция
дозирующих червяков подчеркивает важную роль зоны плавления и
значение теплопередачи при экструзии.
Скорость плавления полимера зависит от скорости
теплопередачи от цилиндра экструдера к полимеру. В первом
приближении можно ожидать, что для червяков одного и того же
типа, при использовании одного и того же материала, скорость
теплопередачи должна быть пропорциональна квадрату
диаметра червяка. Из этого следует, что червяк диаметром
101,6 мм будет иметь производительность в 16 раз большую,
чем червяк диаметром 25,4 мм. Данное экспоненциальное
правило — довольно слабое основание для сравнения пластици-
рующих экструдеров, в которых теплопередача является
определяющим фактором. Джепсон3 однако показал, что на
основании этого правила подбираются приводы и производятся
расчеты многих экструдеров промышленного типа.
Обзор недавно опубликованных работ4, посвященных
производительности экструдеров, работающих на девяти различных
полимерах, показывает, что этого экспоненциального правила
придерживаются до сих пор, причем значение показателя
степени лежит в пределах от 2 до 2,5. Более высокие значения
показателя степени, по-видимому, отражают тот факт, что
выделение тепла, происходящее за счет работы сил внутреннего
трения, для некоторых полимеров может иметь важное значение.
Рассмотрим более подробно процесс плавления полимеров.
Исследования Маддока освещают некоторые особенности
процесса плавления5. Он изучал процесс экструзии на
полиэтилене. По достижении установившегося режима червяк
останавливался, и цилиндр с червяком охлаждались. После отверждения
полимера в канале червяка цилиндр слегка нагревался, и
червяк выталкивался из цилиндра при помощи пневматического
поршня. Затем полимер извлекался из канала червяка и
нарезался, на части. При исследовании полученных таким образом
образцов Маддок пришел к выводу, что процесс плавления
начинается, когда соприкасающиеся с поверхностью цилиндра
частицы полимера немного расплавляются и образуют у
поверхности цилиндра вязкую пленку. Это явление, названное
поверхностным плавлением, схематически показано на рис. 118,а. Ясно,
что на этой стадии процесса плавления скорость теплопередачи

310
Гл. П. Пластицирующие экструдеры
мала, так как твердая пористая масса полимера или
находящаяся под пленкой пробка — плохие проводники тепла.
По мере. продолжения поверхностного плавления плотность
пробки в винтовом канале увеличивается, а частицы полимера
теряют тесный контакт с поверхностью червяка. При этом они
могут довольно свободно
л
язздрздрдаиявдиияя
3^
I ммтртшщшщтшт I передвигаться в его канале.
"'' ' ' j Вследствие вращения чер-
а вяка внутри цилиндра
расплавленный полимер вместе
с отдельными нерасплавив-
шимися частицами
собирается у задней стенки
канала червяка (рис. 118,6).
По мере того как
«вязкая масса» у задней стенки
канала червяка
увеличивается в объеме, она
постепенно начинает
циркулировать, что показано на рис.
118,в. Нерасплавившиеся
частицы полимера попадают
в вязкую массу,
обволакиваются горячим расплавом
полимера и быстро
плавятся. Благодаря циркуляции
жидкости теплопередача от цилиндра экструдера к расплаву
полимера улучшается. Как только весь полимер превращается
в вязкую массу, дальнейшее плавление идет очень быстро.
Выше уже говорилось о возможности плавления полимера
за счет тепла, выделяющегося в результате действия сил
внутреннего трения. Одним из полимеров, для которых можно
использовать такой способ плавления, является полиэтилен.
Приведем в качестве примера результаты, полученные Бернхард-
том и Мак-Келви6, которые экструдировали полиэтилен на трех
различных червяках, широко изменяя условия процесса.
Условия проведения процесса были таковы, что во всех случаях
•преобладало выделение тепла за счет превращения
механической энергии.
Результаты, полученные ими в наиболее типичных условиях,
приводятся ниже:
Рис. 118. Схема процесса плавления
полимера в винтовом канале.
Переменные процесса
Скорость вращения червяка
Мощность нагревателей .
25 об/сек (15,7 рад/сек)
0,24 кв

ll-'S. Плавление
311!
Параметры процесса:
Производительность 9-Ю-3 кг/сек
Температура расплава в головке .... 428 °К
Давление расплава в головке 123 кГ/см*
Мощность привода 5,62 кв
Общая мощность, потребляемая экструдером, равна 5,86 кв,
из которых 0,24 кв приходится на долю тепловой энергии, а
5,62 кв — на долю механической энергии. Скорость приращения
энтальпии полиэтилена составляет 5,23 кв. Если бы при
плавлении полиэтилена использовалась вся подводимая тепловая
энергия, то она составила бы только 4,6% всей энергии.
Следовательно,- в этом случае процесс экструзии не может
осуществляться только за счет тепла, передаваемого от
внешнего источника. Поэтому максимальная производительность
экструдера будет определяться мощностью привода или
диаметром вала червяка, посредством которого осуществляется
передача механической энергии. Может случиться, что большие-
скорости вращения червяка затруднят подачу полимера из
загрузочного отверстия в червяк, и этот процесс станет менее^
эффективным.
Выше уже говорилось о возможности осуществления
плавления полимера за счет механической энергии. Однако не все
используемые в подобных случаях пластицирующие экструдеры
будут одинаково эффективны. Например, для червяка,
изображенного на рис. 117, выделение тепла в полимере за счет сил
внутреннего трения будет невелико до тех пор, пока глубина
канала червяка не начнет резко уменьшаться. В этом месте-
полимер начнет плавиться. Однако точка плавления настолько-
близко расположена к концу червяка, что оставшейся длины
может оказаться недостаточно для того, чтобы температура
расплава полимера повысилась до желаемого значения.
Червяки, используемые Бернхардтом и Мак-Келви, в корне-
отличаются от конструкции, показанной на рис. 117. В
использованных ими червяках глубина канала резко
уменьшалась уже после двух-трех витков червяка. Бернхардт и Мак-
Келви стремились сконструировать червяк таким образом,
чтобы добиться наиболее быстрого плавления полимера. Это
необходимо для того, чтобы длины червяка хватало для подъема
температуры расплава до желаемого значения. Ими было
обнаружено, что у таких червяков при нормальных условиях
ведения процесса транспортирование твердых частиц полимера в
зону плавления было неудовлетворительным. Следовательно, в
данном случае производительность зоны плавления была
значительно ниже производительности зоны выдавливания.

312
Гл. 11. Пластицирующие экструдеры
Однако Бернхардт и Мак-Келви нашли, что такие червяки
могут работать достаточно хорошо, если в зоне сжатия внутрь
червяка поместить электрический нагреватель. Полагают, что
это вызывает образование расплавленной пленки полимера
непосредственно на поверхности червяка. Эта пленка дает
возможность пробке легко скользить по основанию червяка. Таким
образом, процесс транспортирования твердого полимера был
ускорен, и пробка продвигалась в зону плавления с
необходимой скоростью. Вполне вероятно, что конструкция червяка,
представляющая собой нечто среднее между только что
описанной и показанной на рис. 117, должна обеспечивать плавление
полимера за счет механической энергии.
11-4. Рабочие характеристики
пластицирующих экструдеров
К рабочим характеристикам пластицирующих экструдеров
относятся: производительность, давление, развиваемое
червяком, потребляемая мощность и температура экструдата. В
данном разделе рассматривается взаимосвязь конструкции экстру-
дера и переменных, которые оказывают влияние на ход
процесса экструзии, и связь с некоторыми другими факторами, такими,
как однородность распределения температуры и давления
ь экструдате. Такая детальная характеристика экструдата
чрезвычайно важна для определения качества продукции,
получаемой методом экструзии, например, при производстве пленок.
Полная характеристика пластицирующего экструдера
зависит от того, как червяк выполняет каждую из своих трех
функций: транспортирование сыпучего материала, плавление
материала и его выдавливание. Это положение иллюстрируется
экспериментами Бернхардта и Мак-Келви, которые уже
рассматривались в предыдущем разделе. Было показано, что
работа зоны плавления червяка может в значительной степени
изменяться при изменении температуры червяка в зоне
плавления. Так как в использованном для экспериментов экструдере
имелся манометр, расположенный в цилиндре, то была
возможность непосредственно наблюдать за эффектом, который
вызывался при изменении режима работы каждой из зон червяка.
Типичные кривые давления, полученные при трех различных
режимах, показаны на рис. 119. Кривые типа А получались в
том случае, когда производительность зоны плавления червяка
была меньше, чем производительность зоны выдавливания. При
этих условиях наступало «голодание» червяка и
rl<rl

11-4. Рабочие характеристики экструдеров
313
Зона Зона
плавления.
дозирования
где г 2—независимая скорость плавления; Гз—независимая
скорость выдавливания. Так как при установившемся процессе
эти две скорости должны быть одинаковыми, то для
согласованной работы обеих зон
требуется, чтобы в работе червяка
принимала участие только
некоторая часть зоны выдавливания.
Следовательно, на некоторой
части своей длины зона
выдавливания работает вхолостую.
Точка, в которой винтовой канал
полностью заполняется
материалом, соответствует точке начала
повышения давления.
Кривые типа В получают при
условии, что
г* = г*
Длина червяка
Рис. 119. Кривые давления в
пластицирующем экстр удере,
полученные при различных
условиях проведения процесса.
то есть в том случае, если
плавление полимера происходит с
той же скоростью, с какой червяк выдавливает расплав через
головку при заполненной зоне выдавливания. В этих условиях
давление начинает повышаться в зоне плавления, а в головке
развивается более высокое давление, в результате чего
производительность становится больше, чем в случае А.
Кривые типа С получают при условии, когда
г\ > г1
В этих условиях производительность зоны плавления
превышает производительность зоны выдавливания, и полимер
полностью расплавляется, еще не доходя до конца зоны плавления.
Это отчасти уменьшает производительность зоны плавления и
увеличивает производительность зоны выдавливания. Давление
в зоне плавления резко возрастает благодаря резкому
уменьшению объема винтового канала. В предельном случае, который
представлен на рисунке, давление на входе в зону
выдавливания выше, чем в конце этой зоны. Таким образом, давление в
направлении к концу червяка распространяется быстрее,
чем в обратном направлении, и производительность выше, чем
расход вынужденного потока.
Если условия работы пластицирующего экструдера те же,
что и условия, в которых получена кривая В, то его рабочие
характеристики будут почти такими же, что и рабочие
характеристики винтового насоса, имеющего такие же размеры, как
размеры пластицирующего экструдера. Полезно провести раз-

314
Гл. П. Пластицирующие экструдеры
.личия между изотермическим и адиабатическим процессам.и
так, как это делалось для винтовых насосов.
В экспериментах Гранта и Уолкера7 исследована работа
пластицирующего эксгрудера при изотермических условиях и
согласованной работе всех трех зон червяка. Они
перерабатывали полиэтилен на экструдере, имеющем паровую рубашку и
червяк диаметром 32 мм. При этом замерялась
производительность и давление, развиваемое червяком, как функция
скорости вращения червяка, температуры и сопротивления головки.
Ими найдено, что производительность имеет линейную
зависимость от скорости вращения червяка, и показано, что в
данном случае можно применить следующее соотношение:
Q = KtN (11-20)
Серия экспериментов, проделанных для головок с различными
диаметрами отверстий, показала, что при уменьшений
сопротивления головки коэффициент К\ увеличивается. Другая
серия экспериментов, проведенная при постоянном сопротивлении
головки, но при различных температурах, показала, что
коэффициент К\ почти не зависит от температуры.
Построив график зависимости lg(AP) от \g(N), они
получили прямую линию, тангенс угла наклона которой равен 0,42.
Это говорит о том, что в данном случае применимо
следующее соотношение:
ДР = /Са#о,42 (11-21)
Эксперименты, проделанные при различных сопротивлениях
головки, указывают на то, что при уменьшении сопротивления
головки коэффициент /С2 увеличивается. Опыты, проделанные
при различных температурах, показывают, что при
уменьшении температуры коэффициент /Сг увеличивается.
Эти результаты можно объяснить при помощи
неньютоновской теории течения, рассмотренной в разделе 10-8, где для
жидкости, подчиняющейся степенному закону, получены
следующие результаты:
AN
® = \+{С'1К') (11-22)
дя =
N
С' + К'
(11-23)
где С — постоянная червяка при неныотоновском течении;
К' — постоянная головки при неньютоновском течении. Обе
константы зависят от температуры и увеличиваются при ее повы-

11-4. Рабочие характеристики экструдеров
315
шении. Для червяков с постоянными размерами канала
постоянная А зависит только от геометрии червяка.
Уравнение (11-22) показывает, что К\ почти не зависит от
температуры, в то время как С и К' явно зависят от
температуры. Кроме того, из уравнения (11-22) видно, что при
увеличении сопротивления головки коэффициент К\ уменьшается, что*
опять-таки согласуется с экспериментальными данными.
Уравнение ('11-23) показывает, что между lg(AP) и lg(iV)=
должна быть линейная зависимость. Наклон этой прямой
должен быть равен п, т. е. должен соответствовать индексу течения
для полиэтилена. Заметим, что измеренное значение тангенса
угла наклона прямой, равное 0,42, попадает в область значений
п, полученных для полиэтилена. Уравнение (11-23) также
показывает, что i<2 увеличивается с уменьшением температуры и
должно возрастать при уменьшении сопротивления головки К',
что согласуется ,с экспериментальными данными.
Кроме того, Грант и Уолкер сообщили, что характеристики-
червяка были линейными. Однако область давлений, с которыми:
они работали, была сравнительно невелика, а довольно
большое рассеивание точек делает их выводы не вполне
достоверными.
Во врем^ работы экструдера изменения температуры
окружающей среды, а также колебания, связанные с работой
регуляторов нагревателей цилиндра, вызывали и колебания
температуры мя^ы (а соответственно и вязкости) при течении
расплава поли^рра через головку. Это, в свою очередь, вызывало:
колебания лявления на выходе из цилиндра. Колебания
давления вызнряли на другом конце червяка изменения скорости
транспортирования твердого полимера. Таким образом,
давление, развия-чющееся в зоне выдавливания, колеблется около
некотопого среднего значения и его можно выразить в
следующем виде:
ДР = ДР±-^-5(ДР) (11-24)
где ДР— среднее приращение давления (его величину, как
правило, можно измерить и использовать в
вычислениях).
Общее изменение давления равно б (АР). Это изменение
давления вызывает колебания в производительности около
некоторого среднего значения, которое определяется по уравнению
Q = Q±~bQ (11-25)

316
Гл. 11. Пластицирующие экструдеры
Величина 6Q характеризует стабильность процесса
экструзии. На рис. 120 показана зависимость 6Q от характеристики
червяка. Если кривая
представляет 'собой
характеристику с крутым
наклоном (А),
получаются большие приращения
6Q, при изменении
давления, как © случае кривой
В, значения приращения
6Q становятся более
низкими. Для
изотермического процесса
характеристика червяка
определяется по уравнению
(10-76), на основании
которого можно записать,
что
oQ = — — 8 (АР) (П-26)
Рис. 120. Колебания производительности
в зависимости от тангенса угла наклона
характеристики червяка при заданном
колебании давления.
Уравнение (11-26)
может служить основой для
определения
коэффициента устойчивости,
который показывает,
насколько необходимо изменить
давление, чтобы вызвать изменение производительности на 1%.
Для изменения производительности на 1% отношение
(6Q/Q) должно быть равно 0,01. Уравнение (11-26), взятое с
положительным знаком, в этом случае примет вид
^ (11-27)
8 (АР) =
1005
Чем больше значение б (АР), тем устойчивее процесс.
Коэффициент устойчивости — довольно произвольная величина, но она
может быть полезна при сравнении работы различных машин.
Теперь рассмотрим другой фактор, характеризующий
работу пластицирующих экструдеров. Это коэффициент
адиабатического нагревания AT*, который определяется по уравнению
AT* = _Lln/1 + ^_
(11-28)
где
N,
аС
ZN [xt- Ы

11-4. Рабочие характеристика экструдеров 317
Коэффициент адиабатического нагревания представляет собой
адиабатическое приращение температуры при свободном
выходе материала из экструдера. Как вычисляется этот фактор,
показано в примере 10-4.
Отношение коэффициента адиабатического нагревания AT*
к общему необходимому повышению температуры показывает,
какую роль играет внутреннее выделение тепла в процессе
экструзии. Если это отношение больше единицы, то
тепловыделение слишком велико. Следует, однако, заметить, что для
некоторых экструзионных процессов может быть выгодным вести
их в условиях, близких к адиабатическим. При этом нагревание
полимера происходит значительно скорее, чем при нагреве за
счет тепла, передаваемого внешним источником. Это ведет к
•снижению градиента температуры в полимере и тем самым
увеличивает однородность температуры экструдата.
В некоторых экструзионных процессах однородность
температуры экструдата очень важна. Рассмотрим следующий
пример. При экструдировании пленок расплав полимера, входя в
головку, разделяется на несколько потоков. В различных
точках головки, которые довольно далеко отстоят друг от друга,
могут находиться массы «холодного» и «горячего» расплавов.
А так как вязкость в большой степени зависит от температуры,
то «горячий» расплав будет экструдироваться с большей
скоростью, чем «холодный», а это приведет к изменениям толщины
..по ширине пленки.
Следующим фактором, полезным для оценки работы экстру--
дера, является время пребывания полимера в экструдере. Оно
определяется отношением общего объема винтового канала к
производительности и представляет собой среднее время,
необходимое частице полимера, чтобы пройти через весь экструдер.
Эта величина особенно важна в тех случаях, когда при
относительно высоких температурах Э'кструдируют полимеры,
чувствительные к перегревам..
Пример 11-2.
Предположим, что производительность экструдера равна 67,95 кг/ч
(25,4 смг1сек), а давление—70кГ/см2. Температура расплава равна 204,4 °С.
Физические свойства полиэтилена заданы следующими величинами:
fx = 9,6-103 пз (0,96-Ю3 н-сек/м*) (при 477°К)
р. = 34,4-103 пэ (3,44-103 н-сек/м2) (при 394°К)
-у =f325eK
С= 667 ккал1кг-град (2800 дж/кг-град)

318
Гл. 11. Пластицирующие экструдеры
Длина ч.ервяка экструдера—1140 мм, а его диаметр—76,2 мм. Имеется
два червяка различной конструкции, которые можно применить для данного
процесса. Требуется установить, какой из червяков будет иметь лучшие
рабочие характеристики. Размеры и необходимые константы, рассчитанные для
обоих червяков, приведены в табл. 11-1.
Уравнение потока в экструдере при изотермических условиях ведения
процесса записывается в следующем виде:
С помощью этого уравнения можно рассчитать производительность зоны
выдавливания обоих червяков. При проведении вычислений предполагается, что
процесс—изотермический, причем значение вязкости полиэтилена берется
при 477,4 °К- Необходимо, чтобы скорость вращения первого червяка
составляла 52 об/мин (5,45 рад/сек), а второго—34 об/мин (3,55 рад/сек).
Уравнение (11-27), по которому определяется коэффициент устойчивости,
процесса, можно переписать в следующем виде:
8(ДР) =
Q.V-Z
loop
Для первого червяка значение коэффициента устойчивости (колебания
давления, которые будут вызывать изменения производительности на 1%)-
равно 9,3 кГ/см2 (9,3-105 н/м2), а для второго—4 кГ/см2 (4-105н/ж2).
ТАБЛИЦА U-У.
Характеристика червяков экструдера!
Характеристика
Обозначение
Червяк 1
Червяк 2
Диаметр, мм
Длина, мм
Глубина канала в зоне выдавливания
мм
Глубина канала в зоне питания, мм .
Длина зоны выдавливания, мм . . .
Длина зоны питания, мм
Угол подъема нарезки червяка
градусы
радианы
Постоянная вынужденного потока, см3
Постоянная потока под давлением, c.w4
Коэффициент в уравнении мощности,
см2
D
L
V
Ef
76,2
1140
3,81
10,16
381
762
17,7
0,309
31,8
1,02- Ю-2
3,92-104
76,2
1.140
6,35.
10,16
762
381
17,7
0,309'
52,8
4,7-10-2
2,34-104
Для обоих червяков по уравнению (11-26) рассчитывали коэффициент
адиабатического нагревания. Предположим, что при работе с первым
червяком полимер предварительно расплавляется за счет тепла, передаваемого от
стенок цилиндра, и что полимер входит в зону выдавливания при температуре-
477,4 °К- Предположим также, что при работе со вторым червяком процесс
плавления полимера вначале происходит за счет тепла, выделяющегося в
результате действия сил внутреннего трения, и что полимер входит в зону выдав-

11-4. Рабочие характеристики •■ экструдеров 319
ливания при температуре 394 °К. Сделав такие допущения, получим, что для
первого червяка коэффициент адиабатического нагревания равен 300,3 °К, а
для второго червяка—319,1 °К.
Если разделить общий объем канала червяка на производительность, то
получим время пребывания полимера в экструдере. Для первого червяка оно
равно 84 сек, а для второго червяка—78 сек. Ниже приведены результаты этих
вычислений:
Червяк 1 Червяк 2
Необходимая скорость вращения червяка
об/мин 52 34
рад/сек 5,45 3,55
Коэффициент устойчивости процесса
кГ/см2 9,3 4
н/м2 9,3-105 4-105
Коэффициент адиабатического нагревания 300,3 319,1
Время пребывания полимера в экструдере,
сек 84 78
Время пребывания полимера в экструдере для первого и для второго
червяков приблизительно одинаково и относительно невелико, чтобы оказывать
заметное влияние на ход процесса экструзии полиэтилена при температуре
477,4 °К- Коэффициент адиабатического нагревания первого червяка меньше,
чем второго, но все равно и тот и другой довольно малы. Поэтому в обоих
случаях процесс будет определяться теплопередачей от стенок цилиндра: Если же
сравнить коэффициенты устойчивости, то окажется, что первый червяк имеет
значительное преимущество перед вторым, особенно для таких экструзионных
процессов, где требуется очень равномерная транспортировка материала.
По этой причине лучше всего для работы выбрать первый червяк.
При конструировании пластицирующих экструдеров обычно
целесообразно выбирать такие размеры экструдера, которые
при минимальной стоимости машины отвечали бы заданным
техническим требованиям. К техническим требованиям относятся:
физические свойства зкструдируемого материала,
производительность, температура и давление расплава полимера на
конце червяка и те особые требования, которые относятся к
перемешиванию, однородности материала или стабильности. Однако
нельзя дать какие-то строго определенные рекомендации при
конструировании экструдеров, так как наиболее удачные
конструкции появляются в результате сочетания теории и
эксперимента.
Одна из важных сторон конструирования состоит в том,
чтобы свести к минимуму потребляемую экструдером мощность,
которая влияет на стоимость процесса экструзии. Всю энергию,
потребляемую экструдером, можно подразделить на тепловую
и механическую. Тепловая энергия определяется системой
обогрева экструдера, а источником механической энергии
является привад. Для данных технических требований (для
требуемой температуры и давления) определяют термодинамическое
состояние полимера и, следовательно, мощность, потребляемую

320
Гл. 11. Пластицирующие экструдеры
экструдером. Если АН— изменение энтальпии на отрезке пути
между загрузочным отверстием и концом червяка, то
термодинамический анализ, проведенный в разделе 8-1 для
установившихся процессов течения, показывает, что
AH = Q — Ws (11-29)
Уравнение (11-29) можно записать в иной форме:
mAH = pt + pm (11-30)
где m — весовая производительность;
Pt — скорость теплопередачи к полимеру (тепловая
мощность) ;
рт — скорость передачи механической энергии
(механическая мощность).
Величина тАН представляет собой теоретический минимум
мощности. Тепловые потери и потери мощности во
вращающихся частях механизмов, происходящие вследствие наличия сил
трения, являются причиной того, что реальная мощность,
действительно потребляемая экструдером, превосходит
теоретическую. Эти потери мощности учитываются при помощи
коэффициента полезного действия Ее, который определяется по
уравнению
Е _тМ (п_31)
е Pt + Pm
В большинстве экструдеров как механическая, так и
тепловая энергия получаются за счет электрической энергии.
Следовательно, общие затраты мощности почти не зависят от
соотношения потребляемых механической и тепловой энергии. Они в
большей степени зависят от коэффициента полезного действия
процесса. Так как коэффициент полезного действия в основном
зависит от температуры (температура оказывает большое
влияние на тепловые потери), то можно сказать, что затраты на
мощность почти не зависят от конструкции экструдера.
Первый шаг при конструировании пластицирующих
экструдеров заключается в масштабном моделировании. Правила для
масштабного моделирования геометрически подобных винтовых
насосов при некоторых условиях можно применять и к пласти-
цирующим экструдерам. Наибольшая трудность при
конструировании заключается е том, чтобы определить, что же является
определяющим фактором процесса экструзии — механическая
или тепловая энергия или же обе вместе взятые. Для решения
этого вопроса необходимо проделать тщательные измерения па-

11-4. Рабочие характеристики экструдеров
321
раметров процесса экструзии на модели и составить точный
энергетический баланс.
Бели процесс определяется механической энергией, то
масштабный фактор пропорционален третьей степени отношения
диаметров червяков. Эксперименты Карлея и Мак-Келви8,
которые сравнивали работу модели с червяком диаметром 50,8 мм
с работой геометрически подобной машины с червяком
диаметром 508 мм, подтверждают это правило. Процесс экструзии
полиэтилена проводился при таких условиях, когда он
определялся механической энергией. Полученные результаты
представлены в табл. 11-2.
ТАБЛИЦА 11-2
Результаты экспериментов по моделированию экструдеров
Показатель
Модель с
червяком 50,8 мм
замеренное
значение
Экструдер с червяком 508 мм.
вычисленное
значение
замеренное
значение
Производительность, кг/сек 104
Мощность, em
Температура экстру дата, "К . .
Давление, развиваемое червяком
кГ/см2
н/м2
Скорость вращения червяка
об/мин
рад/сек
3,14
213,3
442
127,5
127,5-Ю5
15
1,57
3140
213,3-Ю3
442
127,5
127,5-105
3020
180,2-103
429
110,3
1J0,3-105
15
1,57
В том случае, когда процесс определяется тепловой
энергией, масштабный фактор пропорционален второй степени
отношения диаметров (или второй степени коэффициента
геометрического подобия червяков). В случае процесса, где важна
как механическая, так и тепловая энергия, масштабный фактор
должен иметь некоторое промежуточное значение.
Задача
11-1. Дать сравнительную оценку энтальпии полиэтилена при 423 °К.
и давлении 140 кГ/см2 (1,40-107 н/м2) и при 423 °К и атмосферном давлении.
Оправдано ли то, что пренебрегают влиянием давления на энтальпию
полимера при вычислении мощности, требуемой для процесса экструзии?
11-2. Логично определять коэффициент полезного действия экструдера
по уравнению
тАН
Е =
Pt + Pm

322
Гл. П. Пластицирующие экстру деры
Объяснить, почему все же при определении коэффициента полезного
действия экструдеров пользуются следующей формулой:
Е =
Рш
11-3. Сконструировать экструдер и головку для производства из
полиэтилена стандартных труб диаметром 50,8 мм. Требуемая производительность
экструдера—0,05 кг/сек. Укажите важнейшие предположения, сделанные
при конструировании.
11-4. Сконструировать экструдер и головку для производства одиночной
жилки из найлона диаметром 0,254 мм. Требуемая производительность
экструдера—2.5-Ю-2 кг/сек. Укажите важнейшие допущения, сделанные при
конструировании.
11-5. Рассмотрите процесс производства пленки рукавным методом.
Предположите, что максимальная производительность одной головки
(производительность в этом случае, по-видимому, ограничивается скоростью охлаждения)
при производстве пленки заданного размера равна 6,3-Ю-3 кг/сек, а общая
производительность должна составлять 18,9• 10_3 кг/сек. Обсудите с
экономической и инженерной точек зрения: что лучше иметь, три отдельные линии,
где пленка получается на маленьком экструдере, или же иметь один большой
экструдер с коллектором, состоящим из трех головок.
Литература
1. W. H. D arnel 1, Е. А. М о 1, S. P. E. Journal, 12, 20 (1956).
2. Э. Б е р н х а р д т, Переработка термопластичных материалов, Изд.
«Химия», 1965.
3. С. Н._ J e p s о n, Ind. Eng. Chem., 45, 992 (1953).
4. Modern Plastics Encyclopedia for 1958, Breskin Publ., Inc., New York.
5. B. H. M a d d о с k, S. P. E. Journal, 15, 383 (1959)..
6. E. С Bernhardt, J. M. M с К e 1 v e y, S. P. E. Journal, 10, 419
(1954).
7. D. Grant, W. Walker, in «Plastics Progress», edited by P. Morgan,
Iliffe and Sons, Ltd., 1951.
8. J. F. Car ley, J. M. M с К e 1 v e y, Ind. Eng. Chem., 45, 985 (1953).

Глава
Смешение
В настоящее время процессы смешения и диспергирования
приобрели большое значение в технологии переработки
полимеров. К типичным процессам смешения относится
диспергирование сажи в полиэтилене в смесителях Бенбери, перемешивание
резиновых композиций на смесительных вальцах, а также
смешение термопластичных материалов в экструдерах.
При изучении процессов смешения приходится сталкиваться
с понятием эффективности смешения, которое связано с
однородностью смеси. Поэтому настоящая глава в основном
посвящена характеристике различных смесей и анализу процессов
смешения. Подобный анализ был выполнен лишь для
отдельных частей процесса. В остальном же процесс смешения
развивался эмпирическим путем, а усовершенствования в
технологии смешения, особенно в промышленности пластических масс,
проводились крайне медленно.
12-1. Введение
В состав любой смеси входят два или более компонентов.
Для простоты изложения в данной главе рассматриваются
двухкомпонентные смеси. Компонент смеси, концентрация
которого выше всех остальных компонентов, называется
основным, в отличие от второго компонента, называемого
дополнительным. При переходе к многокомпонентным системам этот
процесс рассматривается как смешение каждого компонента по
очереди со всей остальной системой.
В данной главе термин предельная частица употребляется в
узком смысле этого слова. Предельная частица — это
наименьшая частица дополнительного компонента, которая получается
в результате процесса смешения. Предельные частицы могут
быть молекулярных, коллоидных, микроскопических и больших
размеров. В истинных растворах предельными частицами
являются сами молекулы. Наибольших размеров предельные
частицы достигают, например, при сухом смешении пресспорошков.

324
Гл. 12. Смешение
Простым смешением называется процесс, в результате
которого увеличивается случайность пространственного
распределения предельных частиц без уменьшения их размеров. При этом
увеличение однородности распределения предельных частиц
понимают в смысле увеличения вероятности.
Если бы при помощи «энтропийного манометра» удалось бы
измерить конфигурационную энтропию всей системы, это
вызвало бы быстрое развитие исследования процесса смешения.
В процессе смешения энтропия должна увеличиваться и
достигать своего максимального значения при установлении
статистического беспорядка в расположении частиц. На практике
измеряют не энтропию, а другие параметры (т. е. те, которые
можно непосредственно измерить), по отобранным из смеси
пробам или на малых индикаторных элементах внутри смеси.
Полученные данные подвергаются затем статистической
обработке, по результатам которой судят .о протекании процесса.
Следует отметить, что для определения качества перемешивания
можно обойтись и без отбора проб из смеси. Для оценки
смеси можно использовать, например, свет и электрический ток,
которые обладают способностью проникать через многие
среды.
Диспергирующим смешением называется процесс, в
результате которого происходит как уменьшение размеров предельных
частиц, так и увеличение статистического беспорядка в их
распределении. Примером подобного .процесса служит введение
сажи в полиэтилен в смесителе Бенбери. -В исходной смеси
предельными частицами являются агломераты коллоидов сажи. В
процессе диспергирующего смешения эти агломераты
измельчаются на отдельные коллоидные частицы. При проведении
анализа диспергирующего смешения возникают дополнительные
трудности по сравнению с простым смешением, поскольку в
этом случае следует учитывать природу и величину сил,
необходимых для разрушения предельных частиц.
"Многие процессы'простого смешения происходят
самопроизвольно, естественным'путем. Так, например, после удаления
перегородки, "разделяющей два газа, начнется процесс их
взаимной диффузии, в результате которого образуется однородная
смесь. Подобным же образом смешиваются две взаимосмеши-
вающиеся' жидкости, хотя в этом случае требуется гораздо
больший промежуток времени. Механизм подобных
естественных'процессов основан на явлении молекулярной диффузии.
Однако этот механизм преобладает только тогда, когда размер
предельных частиц соизмерим с размерами молекул. В случае
гысокополимеров скорость диффузии резко Снижается и соот-
^ётс!тв!енН'0 уменьшается ее роль в процессе смешения.

12-1. Введение
325
При бездиффузионном смешении движение частиц
осуществляется под воздействием различных внешних сил. Если
основным компонентом системы является жидкость, находящаяся
в турбулентном режиме движения, то процесс перемешивания
протекает быстро. В случае перемешивания, газов и
низковязких жидкостей процесс называют турбулентным смешением. При
перемешивании ©ысоковязких жидкостей, к которым относятся
расплавы и растворы высокополимеров, турбулентность обычно
не развивается; этот процесс, называемый ламинарным
смешением, протекает с более низкой скоростью.
Для полного описания состояния смеси необходимо иметь
данные о спектре размеров и пространственном распределении
всех предельных частиц. Для практических целей, очевидно,
можно ограничиться менее подробным- описанием смеси. На
практике любая смесь может быть охарактеризована по ее
общей однородности, макроструктуре и микроструктуре.
Проиллюстрируем понятие общей однородности на
следующем примере. Предположим, что имеется экструдат полиэтилена
в виде гранул, содержащий приблизительно 2% сажи. Диаметр
гранул примерно 3- Ю-3 м. При наличии достаточного
количества указанной выше смеси ее однородность можно определить
путем измерения содержания сажи з гранулах, выбранных
наугад из различных частей смеси, и по распределению
концентраций можно было бы судить о том, является ли данная смесь
однородной. В случае однородности распределение
концентраций сажи в исследуемой смеси будет описываться законом
биномиального; распределения. Отклонение полученного
распределения от теоретического может служить мерой степени
однородности смеси: Подробно данный вопрос рассмотрен в
разделе 12-2.
Для рассмотрения макро- и микроструктуры смеси введем
понятие шкалы сравнения. Она учитывает размер проб, взятых
из смеси для анализа. Если шкала сравнения соизмерима с
размером предельных частиц, то в отобранной пробе
содержится относительно мало таких частиц, и по внешнему виду
рассматриваемая система может быть отнесена к крупнозернистым
смесям. Если шкала сравнения намного больше размера
предельных частиц, то будет казаться, что в пробе содержится
много таких частиц, и рассматриваемая смесь будет отнесена к
мелкозернистым, смесям. На рис. 121 и 122 соответственно
показаны образцы грубого и тонкого измельчения.
Из сказанного выше ясно, что вид измельчения образца сам
по себе не может определять истинную природу смеси. Пробы из
любой смеси, даже из истинного раствора, будут отнесены к

326
Гл. 12. Смешение
крупнодисперсным, если применяемая шкала сравнения
соизмерима с размером предельных частиц.
При изучении макроструктуры смеси необходимо применять
шкалу сравнения гораздо большего порядка, чем размер
предельных частиц. В этом случае отбираемые пробы будут казать-
Рис. 121. Грубоизмельченные образцы:
а—плохое смешение; б—хорошее смешение.
ся мелкодисперсными. Изучением мелкодисперсных образцов
занимался Данквертс1. Он указывал, что в подобных смесях
мы имеем дело не с отдельными предельными частицами, а с
Рис. 122. Тонкоизмельченные образцы:
а—плохое смешение; б—хорошее смешение.
агрегатами дополнительного компонента. В процессе смешения
эти агрегаты уменьшаются в размерах и распределяются в
объеме основного компонента, в результате чего изменяется
макроструктура смеси.
Для полного описания смеси необходимо получить данные о
размерах, форме и концентрации частиц дополнительного
компонента. На практике для этого применяют статистические
методы исследования. По аналогии со статистической теорией тур-

12-1. Введение
327
булентности Данкзертс ввел две статистически определяемые
величины: степень неоднородности и интенсивность разделения,
которые характеризуют соответственно размеры и
концентрацию агрегатов частиц дополнительного компонента
(диспергируемой фазы).
Предположим, что на рис. 122 представлены пробы тонко
измельченного окрашенного полимерного материала после
вальцевания. Проба смеси б .не содержит комков красящего
вещества и «епрокрашенных участков и обладает однородной
макроструктурой. В пробе смеси а видны прослойки красящего
вещества. Степень .неоднородности как раз и характеризует размеры
подобных прослоек. А интенсивность разделения отражает
относительную интенсивность или яркость светлых и темных
областей смеси. Макроструктура образца б может быть
улучшена путем дополнительного перемешивания. После достаточно
длительного перемешивания при выбранной шкале сравнения
можно получить однородную макроструктуру смеси.
Данквертс указывал, что иногда степень неоднородности или
интенсивность разделения сами по себе могут служить мерой
однородности смеси. Однако он 'Считал, что для описания
смеси, как правило, более целесообразно именно сочетание этих
двух величин. В рассмотренном выше примере произведение
этих двух величин является весьма полезным показателем и
называется индексом смешения. Если степень .неоднородности
достаточно мала, то допустима высокая интенсивность
разделения и, наоборот, при низкой интенсивности разделения
допустима более высокая степень неоднородности. Так, например,
небольшие комки красящего вещества были бы незаметны, если
бы их нельзя было различить невооруженным человеческим
глазом.
Более подробно макроструктура смесей рассматривается в
разделе 12-3. В том же разделе даны определения степени
неоднородности и интенсивности разделения, а также рассмотрены
различные методы их определения.
Для изучения макроструктуры смеси необходимо, чтобы
шкала сравнения была соизмерима с размерами предельных
частиц. Микроскопическое исследование, когда оно возможно,
является самым прямым методом определения
микроструктуры.
На рис. 121 представлены результаты микроскопического
исследования двух смесей полиэтилена с сажей. При этом
предполагается, что представленные образцы отражают
микроструктуру смесей в целом. Из рисунка ясно, что микроструктуры этих
двух смесей совершенно различны. Однако макроструктура и
общая однородность рассматриваемых смесей могут и не отли-

328
Гл. 12. Смешение
чаться друг от друга. Кроме микроскопического, для изучения
микроструктуры смесей могут применяться и другие методы.
Например, можно применить оптические методы, используя
микроплотномеры. При этом следует подчеркнуть, что шкала
сравнения независимо от выбранного метода должна быть
соизмерима с размером конечных частиц.
В общем можно сказать, что общая однородность является
важным показателем при описании любой смеси. Целевое
назначение диспергируемой фазы определяет значение
макроструктуры и микроструктуры для описания смеси. Например, иногда
сажа вводится в полиэтилен исключительно для его окраски.
В этом случае качество смеси определяется ее
макроструктурой; микроструктура при этом не имеет решающего значения.
Сажа часто вводится в полиэтилен в качестве акцептора
ультрафиолетовых лучей. Здесь уже учитывается не только
макроструктура, но и микроструктура смеси, поскольку известно, что
защитное влияние сажи проявляется лишь тогда, когда она
распределена в матерале в виде отдельных частиц (даже пр.и
2%), а не агломератов. Макроструктуру следует изучать
только в том случае, когда по полученным результатам можно
судить о пригодности приготовленной смеси для заданных целей.
Практическое применение приведенной выше концепции
иллюстрируется предложенной Вестом и Томфордом2 методикой
оценки качества полиэтилена, наполненного сажей. Используя
микроплотномер, через пленку исследуемого материала
толщиной 2,5-Ю-5 м пропускался световой луч диаметром 1-10—6 ж.
Качество диспергирования и микроструктуру смеси в этих
опытах оценивали по изменению пропускания света в различных
ее участках.
Следует отметить, что при использовании рассмотренной
методики для получения удовлетворительных результатов
необходимо по возможности уменьшить шкалу сравнения. В
рассматриваемом примере в поле зрения светового пучка оказывался
цилиндрический образец, вырезанный из пленки высотой
25- Ю-5 м и диаметром 1 • Ю-5 м. Таким образом, объем этого
образца составлял около (5я/8) • Ю-11 м5. Смесь содержала
около 2,6% сажи. Если частица сажи в среднем имеет диаметр
около 10_6 м, то в поле зрения светового луча находится
примерно 75 таких частиц. Следовательно, данный образец может
считаться достаточно крупноизмельченным и по этой методике
можно получить некоторые сведения о микроструктуре смеси
(напг>им°о, ^б агломерации частиц сажи).
Предполагается, что в процессе смешения происходит
уменьшение агломератов сажи и выравнивание флуктуации'
пропускания света в различных частях смеси.

12-2. Гомогенность смеси или степень смешения
329
Таким образом, пропускание света служит мерой изменения
-микроструктуры смеси, которая при разрушении агломератов
становится более однородной. При этом дисперсия пропускания
света постепенно уменьшается и в конце кондов становится
минимальной. Следует подчеркнуть, что подобный эффект
возникает не в результате простого смешения, а вызывается
именно разрушением агломератов сажи, поскольку
предполагается, что рассматриваемая смесь является полностью
гомогенной.
12-2. Гомогенность смеси или
степень смешения
В этой главе рассматривается применение метода
статистического "анализа для определения гомогенности смеси. В случае
негомогенных смесей подобные методы используются для
определения индекса смешения. Автор ограничивается
рассмотрением частного случая, когда диспергируемая фаза состоит из
частиц одинакового размера, а дисперсионная среда (основной
компонент) является жидкостью и состоит из одинаковых,
условно вводимых частиц, размер которых равен размеру
предельных частиц диспергируемой фазы. Подобное предположение
позволяет говорить о количестве частиц основного компонента в
пробе. Конечно, рассматриваемый метод может быть также
применен для анализа твердых сыпучих смесей, состоящих из
частиц одинакового размера.
Если в процессе смешения достигается беспорядочное
распределение предельных частиц диспергируемой фазы по всему
объему смеси, то вероятность того, что в любой точке смеси
содержится частица диспергируемой фазы, определяется долей
частиц диспергируемой фазы в общем объеме смеси.
Для оценки процесса смешения из общей смеси отбирают
ряд одинаковых проб, объем которых весьма мал по сравнению
с объемом исследуемой системы. При этом в процессе смешения
доля частиц диспергируемой фазы в различных пробах
изменяется. Однако теоретически и экспериментально было
показано, что расхождение концентрации компонентов © пробах
происходит в соответствии с законом биномиального
распределения.
Рассмотрим случай, когда каждая проба содержит п частиц,
а доля частиц диспергируемой фазы в общем объеме смеси
равна р. Вероятность того, что в отобранной пробе содержится
точно х = Ь/п частиц диспергируемой фазы, дается следующим

330
Гл. 12. Смешение
выражением, которое является плотностью биномиального
распределения:
Р(х) =
Ы {п — Ь)\
рь{\—рУ1~ь (12-1)
где Ь — количество предельных частиц диспергируемой фазы
в пробе. Если расхождение концентрации в пробах
соответствует закону биномиального распределения, то дисперсия
распределения может быть определена по формуле:
„*=££=£ (12.2)
Таким образом, для определения гомогенности смеси
необходимо отобранные пробы анализировать и определять,
соответствует ли распределение состава проб закону
биномиального распределения. Если наблюдается такое соответствие, то
рассматриваемая смесь может считаться гомогенной.
Для установления гомогенности смеси по разобранному
выше методу необходимо отобрать достаточно большое
количество проб. Однако существуют определенные статистические
методы, позволяющие значительно сократить необходимое число
проб. Виденбаум3 указывал, что в большинстве случае©
при перемешивании твердых сыпучих масс распределение
компонентов смеси можно выразить через среднее значение
и дисперсию. _
Среднее значение х доли частиц диспергируемой фазы в
смеси для N проб
N
*=4Е*< (12'3)
где Х\ — концентрация предельных частиц диспергируемой
фазы в г'-той пробе.
При этом среднее значение х не должно сильно отличаться
от р— доли частиц диспергируемой фазы в общем объеме
смеси. Если эти две величины значительно отличаются друг от
друга, то для данной системы метод отбора проб
непригоден.
Величина статистической дисперсии s2. полученная
экспериментально, определяется по уравнению:
N
52=лГ^т£(^-^ (12-4)
г=1

12-2. Гомогенность смеси или степень смешения 331
Кроме того, она может быть рассчитана по следующей
формуле:
N N
S* = /V^T 2j X%i ~~ N(N-l) Zj Xi ^2"5^
Для объективного сравнения среднего значения и
статистической дисперсии, полученных экспериментально, с
соответствующими величинами р и о2 пользуются последовательным
статистическим испытанием. По результатам этих испытаний
можно решить, является ли различие сравниваемых величин
неотъемлемым свойством рассматриваемой системы или оно
возникло случайно.
Если отбор проб из смеси проведен должным образом, то
значение х не должно сильно отличаться от р. Для того чтобы
определить, является ли наблюдаемое расхождение значимым,
рассматривают отклонение экспериментально найденного
распределения от нормального*. При этом подсчитывают величину
2 = (*-р)/* (12-6)
и сравнивают полученные результаты с табличными для
функций нормированного нормального распределения Таким
образом, можно установить вероятность того, что наблюдаемое
расхождение является случайным.
Критерий хи-квадрат, являющийся статистическим
критерием значимости, основан на сравнении величин s2 и а2. Если
отношение s2fa2 близко к единице, то изменение концентрации в
пробах соответствует закону биномиального "распределения, и
рассматриваемая смесь является случайной. Обычно это
отношение не равно единице, и критерий хи-квадрат применяется
для того, чтобы определить, является ли наблюдаемое различие
случайным или нет.
В конце процесса простого смешения достигается
беспорядочное распределение предельных частиц. Однако во многих
процессах это условие не является обязательным. В этом
случае полезно определить степень отклонения имеющегося
распределения от беспорядочного или степень смешения. Подобные
расчеты также полезны при определении производительности
оборудования, применяемого для диспергирующего смешения.
* При этом полагают, что биномиальное распределение апроксимируется
нормальным с тем же математическим ожиданием и дисперсией, если
пр(\—р)>9.—Прим. ред.

332
Гл. 12. Смешение
Возможны различные методы определения степени
смешения. Исчерпывающее рассмотрение их представлено в работе
Виденбаума3. Наиболее рациональные методы, по-видимому,
основываются на таких статистических величинах, как дисперсия
или среднее квадратичное отклонение.
По мере приближения смеси к случайной дисперсии s2
приближается к предельному минимальному значению о2.
Поскольку о2 может быть непосредственно определена из равенства
(12-2), применяемое, отношение дисперсий обозначим*
^ = 4 (12-?)
Величина среднего квадратичного отклонения, равная
квадратному корню из величины дисперсии, также может быть
использована для определения индекса смешения*:
M2 = -f (12-8)
Лейси4 применил еще один показатель, который определяется
из уравнения*
Мз = §^5 (12-9)
где s% —дисперсия совершенно несмешанной системы. Она
может быть рассчитана по следующему уравнению:
sl = p(\-p) (12-10)
Следует отметить, что показатель, определяемый равенством
(12-9), изменяется от куля, в случае полностью несмешанной
системы, до единицы, в случае идеального смешения.
Пример 12-1.
В этом примере показано применение разобранных выше статистических
методов. Рассмотрим гипотетические «двумерные» смеси черных и белых
частиц, представленные на рис. 123. Концентрация черных частиц в общем объеме
для всех смесей одинакова и равна 12% (р=0,12). Каждая смесь была
«выполнена» путем заполнения 600 клеток на статистической решетке, состоящей из
5000 клеток.
Рис. 123,ai изображает полностью несмешанную систему. В этой смеси все
600 черных частиц объединены в единый агрегат. Рис. 123,г изображает
идеально смешанную систему, причем выбор координат 600 черных частиц
осуществляется по таблице случайных чисел. Распределение частиц в промежуточных
смесях (рис. бив) смещено влево.
* Индексы при значениях М в этих формулах у автора отсутствуют.—
Прим. ред.

L'
riA
Э
■ ,
• в1
■ я
s
1 ■
J&
Ь"
№
JTi
Sir
P-
IS
h
f
4.
2="
Hi
J1
ча
С
Ьй
*=
Й
fff
4
d
IT1
>
„•*
fv
h'
«a
'.
'VJ
f
SB
.
f «
s\
'■
■в
-&
'1
№
1 ■
■
в
; *
1
j"
.*
У
■ e
а ■
i
.
В
e
A
E
*T
я
°ri
■f
j»
r
а
'»
90
■ в
"3
в
В 1
»■
S3
iA
в
, ■
V
■> ■
■ •
1
■
Q
•
J
:
я
In
n
■
rf
m
ш
■
*■
a
}
,Q
R
1
p a
о
l
.
о
a
8
0
a
, •
«•
■
H5
-
1"
1 I
к
»
a
Ъ .
.*
f-
1 f
7
J
E
ПВ
№ °
К
•1
L-
■
■■!
f
s«
■ ■
» '
'«"
3
Гл
"Г
1 n
-4
_«E
«•
в
Ц
T ■
Й
-Ms
а
■
■i
b»
i 6
■p
fe
?5
g
L-"
1 (L
>
S<
1
'. 4
4
8
J>
^rlj
в'
■
?
<
i .
*
*
V
■
I rf
1
а
■а
h*
a
■
LP
, '
■
■»
• *
1
■ ■
i"
я '
■
„в
г
9
1 В
Si
>.
BB
■
Iе'
a
B»
я
■
■
I
Bl
■
в
m
B«
t
i
i
i
■
■
■%
!■
<
■
> в
•
■ g
a
-
«*
■
1
■
1
1
■
■
BB
1
■
*!
■в
V
^B
■
Л
■
в
■l
a
V
■ I
■
D
e" e
a
<\
в
%
■
•
•P
I
■■
1
с
M
<v
a a
IJ i
в
el
1 О
■■
B*
a
IB
■
■<
i ■
в
|
j-
5
9
ев
u
Л
■■
< B
"
h
■ ■
^
1
С
I 1
»—
e
4
1*Ц
l\
■*
8 а
if
^B
.■-
™p
■■■
■■
•*
Bs«
1;
в
в в
а
■°'
в
a
в"
а
■.
п ■
'■*
В9
if
В
I
. а
' в
• Я
"bTi
&
ш
чг
-т
V
а."
5-
5"
%
a
а"
а
>
i
ш Я
"Ч
■
г
я
■
1
■"
f
а
(В
1
8
S3
а в
\
в
а
■ ■
в
;:
а
a
■J
ъ
a
•
вн
У
■
i
'в.
-1
%
"J
1
::
Рис. 123. Двумерные тонкоизмельченные смеси. Общая концентрация
черных частиц 12%. Распределение частиц на картинке (г) случайное.

334 Гл. 12. Смешение
Отбор проб из каждой смеси осуществляется следующим образом: точки
отбора проб выбирались по таблицам функций нормального распределения
В качестве пробы отбирались 100 частиц (п=100), расположенные вокруг
выбранной точки. Для каждой смеси отбиралось 20 проб, после чего подсчитыва-
лось число черных частиц б в каждой пробе. Полученные результаты
представлены в табл. 12-1.
ТАБЛИЦА 12-1
Число черных частиц,
Проба
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10-
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Ь
s2-204
t
(S2/o2)
Смесь а
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
0
0
100
0
20
0
0
0
0
0
11,0
950
0,14
89,6
Смесь б
5
28
6
22
8
13
18
5
10
4
3
3
3 ;
0
1
1
36
3
5
34
10,4
125
0,64
11,8
Смесь в
8
8
5
16
11
10
22
17
14
17
11
3
12
10
3
8
2
24
12
17
11,5
21,3
0,50
2,01
Смесь г
8
18
15
13
11
12
7
14
6
15
16
16
11
9
10
10
15
12
10
10
12,1
10,9
0,14
1,03
Среднее число черных частиц б подсчитывается по формуле (12-3). Поделив
полученное значение на 100, получим среднюю концентрацию х. По уравнению
(12-5) подсчитаем выборочную дисперсию s2. Теоретическая дисперсия а2,
рассчитанная по формуле (12-6), равна 0,00106. Результаты этих расчетов также
представлены в таблице.
Сравнивая полученные данные с таблицами функций нормального
распределения, устанавливаем, что расхождение между б и р лежит в пределах
ошибок и, следовательно, им можно пренебречь. Чтобы определить, является ли
расхождение между s2 и а2 значимым, применим критерий хи-квадрат. Для
смеси г это расхождение, очевидно, не является значимым (из таблиц видно,
что величина 1,03 встречается 99 раз из 100 случайных), что свидетельствует
о беспорядочном распределении черных частиц в данной смеси. Из
аналогичных расчетов применительно к смеси в видно, что величина 2,01 встречается
менее четырех раз из 100 случайных. Поэтому мало вероятно, что смесь в была
случайной. Проведенные расчеты показывают, что вероятность того, что смеси
а я б являются случайными, практически равна нулю.

12-3. Макроструктура смесей 335
Таким образом, степень смешения или случайность увеличиваются от
смеси а к сйеси г.
Ниже приведены значения индексов, рассчитанные по формулам (12-7),
(12-8) и (12-9):
Применяемое выражение Смесь а Смесь б Смесь в Смесь г
12-7 ....... 0,011 0,084 0,498 0,973
12-8 0,106 0,290 0,705 0,986
12-9 0,105 0,890 0,990 1,000
Выбор индекса смешения ничем не обусловлен. Однако для смесей,
распределение частиц в которых приближается к случайному, по-видимому, более
целесообразно индекс смешения определять по формулам (12-7) и (12-8), а
равенство (12-9) более подходит для анализа смесей на начальных стадиях
процесса смешения.
12-3. Макроструктура смесей
В настоящем разделе рассматривается макроструктура
смесей. Согласно Данквертсу1, для характеристики
макроструктуры любой смеси достаточно иметь два параметра: степень
неоднородности и интенсивность разделения.
При этом предполагается, что шкала сравнения должна быть*
велика по сравнению с размером предельных частиц, но в то
же время достаточно мала по сравнению с общим объемом
смеси. Соблюдая вышеуказанные условия, можно говорить о
концентрации частиц в любой точке системы, которую обозначим
через х.
Определим теперь концентрацию частиц одного и того же
компонента в двух точках смеси, удаленных друг от друга на
расстоянии г. Обозначим полученные концентрации через хг и
х". Коэффициент корреляции R (г) найдем по уравнению
N
t=i
где s2 — дисперсия измерения концентрации; N— число проб в
двух рассматриваемых точках смеси; р — концентрация
диспергируемой фазы в общем объеме смеси.
Вообще говоря, R(r) может иметь любое значение от нуля до
единицы. При небольших значениях г величина R(r) близка к
единице, поскольку точки отбора проб расположены почти
рядом, возможно даже, что две пробы взяты из одного и того же
агрегата частиц. В предельном случае #(0) = 1. При больших
значениях г коэффициент корреляции уменьшается до нуля, что
свидетельствует о случайной связи между концентрациями для
любой пары точек. Если построить графическую зависимость

336 Гл. 12. Смешение
корреляции R(r) от г, то получим кривую, изображенную на
рис. 124. Полученная кривая называется коррелограммой
смеси. Площадь, ограниченная осями
координат и кривой, представляет
собой графическое изображение
линейной степени неоднородности, т. е.
Р
SL = [R{r)dr (12-12)
о
Объемная степень неоднородности
Sy, согласно Данквертсу,
определяется следующим образом:
Р
Sv=2tz ^r^R{r)dr (12-13)
о
Каждая из этих величин легко
может быть определена
экспериментально. Это дает возможность
определить, какую из вышеуказанных
формул степени неоднородности
следует применить в каждом
конкретном случае. Можно показать,
что при рассмотрении беспорядочной совокупности сфер
диаметром D получим следующие результаты:
SL = 0,38D Sv= 1.79D
Интенсивность разделения / определяется равенством:
/ = _ s2_ = '' , (12-14)
Сравнивая полученное равенство с формулой (12-10), можно
заметить, что I представляет собой отношение дисперсий
идеально смешанной и совершенно несмешанной системы. При полном
разделении 7=1, так как в этом случае концентрация в любой
точке смеси равна единице или нулю. Следует отметить, что
при выбранной шкале сравнения рассматриваемая смесь
может казаться совершенно однородной (s2 = 0) или зернистой при
меньшей шкале сравнения. В предельном случае, когда шкала
сравнения соизмерима с размерами молекул, все смеси будут
казаться зернистыми.
■Л
1,
Щ
О
Рис. 124. Типичный график
зависимости коэффициента
корреляции R(r) от расстояния
между двумя точками отбора
проб. При /?(г)=0 соотношение
между концентрациями в этих
точках становится случайным.
Площадь, ограниченная сверху
кривой,—линейная степень
неоднородности.

12-4. Простое ламинарное смешение
337
Данквертс рассмотрел ряд методов, с помощью которых,
измерив концентрации компонентов смеси, можно определить
степень неоднородности и интенсивности разделения. Для
определения / приемлемы любые измерения, по результатам которых
можно определить s2. Отметим, что для характеристики
зернистости смесей размер пробы (шкала сравнения) должен
соответствовать размеру зерен.
Принимая во внимание степень неоднородности и измерив
концентрации в большом количестве точек парного сравнения,
можно по полученным результатам с помощью уравнения
(12-11) непосредственно определить коэффициент корреляции.
Кроме того, Данквертс предложил еще один «запасной» метод
определения величины /:
у
1= f xdy (12-15)
где у — расстояние, измеренное вдоль отрезка прямой длиной У.
Если величина / определена для большого числа направлений
в пробе, то ее можно связать через дисперсию s2(I) со степенью
неоднородности. Для расчетов применяется приближенное
уравнение:
^=тег (12-16)
При использовании уравнения (12-16) получается ошибка
порядка (|3/У). В обычном случае, когда величина |3 соизмерима с
SL, длина У должна быть значительно больше, чем SL. Только
при соблюдении всех указанных выше условий возможно
применение «запасного» метода. Однако чем больше У, тем
труднее точно определить s2(I). Поэтому выбирают какое-то
промежуточное значение У.
Методом анализа отобранных проб можно определить
объемную степень неоднородности (Sv)- Если из смеси отобран ряд
проб объемом v и известен объем диспергируемой фазы К, то
sv-w (I2"17)
при условии v~^>V.
12-4. Простое ламинарное смешение
При перемешивании систем, в которых одна из фаз является
жидкостью, интенсивность перемешивания резко возрастает,
если в жидкости создается турбулентный режим. Подобная
интенсификация процесса широко применяется ггри перемешивании

338
Гл. 12. Смешение
газов и жидкостей с малой вязкостью. Однако в высоковязких
средах, к которым относятся расплавы и растворы высокополи-
меров, создание турбулентного режима практически
невозможно. Скорость перемешивания подобных систем невелика. Таким
образом, перемешивание при ламинарном течении сильно
отличается от перемешивания в условиях турбулентного режима.
Другим важным фактором, оказывающим значительное
влияние на.процесс перемешивания жидкостей, является диффузия.
В случае газов и низковязких жидкостей диффузия быстро
снижает интенсивность разделения, увеличивая однородность
смеси. Однако -при перемешивании расплавов или растворов высо-
кополимеров скорость диффузии так мала, что она почти не
влияет на однородность смеси. В настоящем разделе
рассматривается простое смешение в условиях ламинарного течения при
отсутствии диффузии. Подобный процесс имеет большое
значение, при переработке полимеров.
На рис. 125 представлен процесс смешения при ламинарном
течении, который осуществляется в пространстве,
образованном двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями. На
этом рисунке изображены пути движения частиц черной
жидкости в среде белой жидкости на разных стадиях процесса. На
рис. 125,а видно, что первоначально черные частицы
располагались по радиальной прямой между неподвижным внутренним и
вращающимся внешним цилиндрами.
Поскольку течение жидкости ламинарное, каждая ее
частица движется по замкнутому кругу. Когда внешний цилиндр
совершит один оборот, черная частица, соприкасающаяся с
этим цилиндром, также совершит один оборот, тогда как другая
черная частица, смежная с неподвижным цилиндром, останется
на месте. Остальные черные частицы, располагающиеся
между этими двумя крайними частицами, соответственно займут
промежуточные положения. После одного полного оборота
внешнего цилиндра расположение частиц черной жидкости
примет форму, изображенную на второй диаграмме. На
последующих диаграммах показано расположение частиц черной
жидкости соответственно после 2, 3 и 1000 оборотов внешнего
цилиндра.
Если L — ширина кольцеобразного зазора, а г — расстояние
между ближайшими витками спирали, то
где п — число оборотов.
Величина г, по определению Мора5, называется толщиной
полос. Если, например, L = 10-2 м, то после 1000 оборотов

12-4. Простое ламинарное смешение
339
г=10~5 м, и перемешанная жидкость визуально будет казаться
однородной. С другой стороны, если размер шкалы сравнения
порядка 10~6 м, то эта же смесь будет казаться неоднородной
крупнозернистой.
На рис. 125,6 показано влияние первоначальной ориентации
частиц диспергируемой фазы на интенсивность процесса пере-
0©@®0
/7=0 /7 = / л=2 п=3 п = 1000
Рис. 125. Процесс ламинарного, бездиффузионного смешения в зазоре между
двумя коаксиальными цилиндрами. Начальная ориентация компонентов и
общая деформация сдвига определяют степень смешения.
мешивания. -В этом случае частицы черной жидкости
располагаются вдоль радиальной прямой и занимают треть ширины
зазора между цилиндрами. После 1000 оборотов частицы черной
жидкости примут форму кольца, ширина которого равна трети
ширины зазора и которое расположено на равном расстоянии
от обеих цилиндрических поверхностей. В случае,
представленном на рис. 125,в, черные частицы располагаются вдоль линии
тока. Так как все частицы жидкости, расположенные вдоль
линии тока, движутся с постоянной скоростью, то даже после
1000 оборотов первоначальное расположение частиц не
изменится и никакого перемешивания не произойдет.
В случае рассмотренной выше двумерной смеси уменьшение
толщины полос обусловлено увеличением площади поверхности

340
Гл. 12. Смешение
раздела. Соотношение между толщиной полос и поверхностью
раздела выводится следующим образом.
Рассмотрим объем жидкости длиной L, шириной W и
высотой Я, как показано на рис. 126. В рассматриваемом объеме
имеется п равноудаленных друг от друга полос диспергируемой
фазы, а площадь их общей поверхности раздела А равна
2nLW. Объем жидкости, равный V = LWH, может быть связан с
г и А следующим уравнением:
V = (LW) Н =
2п
(О = -о-
(12-19)
Это уравнение показывает, что толщина полос обратно
пропорциональна поверхности раздела и прямо пропорциональна
общему объему смеси. Уменьшение толщины полос связано
с образованием
дополнительной поверхности раздела. Если
в начальном состоянии
толщина полос Гг, а общая
поверхность раздела Л*, то
уменьшение толщины полос до г
соответственно требует
увеличения поверхности раздела до
А. Начальные и конечные
значения рассматриваемых
величин связаны соотношением:
Теперь рассмотрим
изменение площади поверхности
контакта под действием
простой одноосной деформации сдвига. Ниже будет показано, что
можно записать следующее выражение для соотношения
площадей поверхности контакта:
Рис. 126. Объем жидкости,
содержащий п равноудаленных друг от друга
полос диспергируемой фазы. Общая
поверхность раздела равна 2nLW
(12-20)
4-=тг
2г cos a cos (3 -\- у2 cos2 а
(12-21)
где у — деформация сдвига, а углы а и |3 определяют
ориентацию поверхности раздела в пространстве. Подставляя
уравнение (12-20) в приведенное выше выражение, получим;

12-4. Простое ламинарное смешение
341
Это уравнение связывает толщину полос в
деформированной системе с первоначальной толщиной полос и исходной
ориентацией поверхности контакта в пространстве.
Ниже рассматривается выведенное Мором5 уравнение,
связывающее увеличение площади поверхности контакта под
воздействием сдвиговых деформаций с изменением ее
первоначальной ориентации в пространстве и величиной сдвига.
У У
Рис. 127. Изменение поверхности раздела под влиянием
одноосной деформации сдвига:
а—площадь поверхности раздела, равная А (в недеформированном
состоянии); б—та же площадь в деформированном состоянии, равная А'
Рассмотрим треугольник, имеющий площадь А,
образованный векторами а и Ь, как 'показано на рис. 127. Вектор с
определяется равенством:
c = [axb] (12-23)
Следовательно, этот вектор перпендикулярен плоскости, в
которой расположены векторы а и Ь, а абсолютная величина его<
равна'удвоенной площади треугольника. Таким образом:
|с | = 2/4
Из равенства (12-23), используя представленное на рисунке
расположение векторов, можно легко вывести следующие
соотношения между составляющими векторов a, b и с:
сх = аиЬг
cz= -ауЬх (12-24)

342
Гл. 12. Смешение
Пусть пространство, содержащее треугольник,
подвергается воздействию одноосной деформации сдвига в направлении х.
В этом случае вектор b останется без изменения, а векторы
а и с соответственно примут положение векторов а' и с', где
с' — векторное произведение а' и Ь'. Таким образом:
| с' | = 2Л'
)где А' — площадь поверхности после деформации.
Выразим теперь отношение конечной и начальной площадей
через векторы с « с'. Получим:
А
V—г^т
+ 3
(12-25)
Принимая во внимание, что
b = bx i + bz k
Легко можно показать справедливость следующего:
c' = [a'xb] = (о^) i — (аА + т^А) j — (аА)к
Подставляя уравнение (12-24) в (12-28), получим:
с' .= с'х \ + c'y j -J- c'z к = c^i + (су — т^) j + с2к
Из этого выражения видно, что
Сх = сх су — \су tcx) cz == cz
(12
(12
(12
(12
-26)
-27)
-28)
-29)
(12-30)
После подстановки выражения (12-30) в равенство (12-25) и
соответствующих преобразований будем иметь:
А'
Т-=|/ 1-2Т
+ Т2
(12-31)
Принимая во внимание, что направляющие косинусы
вектора с определяются соотношениями
cos a =
cos р =
_ ЬУ
можно переписать выражение (12-31) следующим образом:

12-4. Простое ламинарное смешение
343
Из полученного уравнения видно, что увеличение площади,
поверхности раздела зависит от первоначальной ориентации
поверхности, которая определяется направляющими косинусами
нормального вектора, .и от величины деформации сдвига. Когда
cos а = 0 и проекция вектора с на ось х также равна нулю, то
сам вектор находится в плоскости, параллельной плоскости
у—z. Под действием деформации сдвига элементы поверхности
деформируются, но их площадь остается неизменной. Когда
cos p = 0 и проекция вектора с на ось у также равна нулю, то
сам вектор лежит в плоскости, параллельной плоскости х—г..
Под воздействием деформации сдвига площадь поверхности
контакта увеличивается и достигает максимальной величины при
cos а=1, т. е. тогда, когда поверхность расположена в
плоскости у—z.
Пример 12-2.
В этом примере рассматривается уменьшение толщины полос в жидкой
системе, расположенной между двумя параллельными плоскостями.
Ориентация поверхности раздела
подобной системы показана на
нижней диаграмме рис. 128.
Плоскости ^удалены друг
от друга на расстоянии Н. Если
нижняя плоскость неподвижна,
а верхняя передвинулась
вправо на величину L, то
возникающая деформация сдвига f
равна L/H или равна ctg ф.
При этом происходит
уменьшение толщины полос от
начального значения r-v как
показано на нижней диаграмме, до
конечного г, как показано на
верхней диаграмме рис. 128.
Из приведенной схемы видно,
что
= sin((p)
Рис. 128. Уменьшение толщины полос
от г,- до г под воздействием деформации
сдвига -\=LH.
Следовательно, с уменьшением угла ф толщина полос уменьшается.
Аналогичный результат может быть получен непосредственно из уравнения (12-22).
Так как поверхность раздела перепендикулярна оси х, cos a=l, cos[3=0, то
уравнение (12-22) может быть переписано следующим образом:
= ri sin Ф
(12-33)
■/"1 — f -/l — ctg2 Ф
Для очень больших деформаций sirup^tg^) и полученное уравнение
можно переписать так
г = Н tg ф = г
<№
(L » Н)

,344
Гл. 12. Смешение
При перемешивании жидкостей большое значение имеет
соотношение вязкостей дисперсионной среды и диспергируемой
фазы. Например, если вязкость дисперсионной среды намного
превышает вязкость диспергируемой фазы, то дисперсионная среда
может подвергаться значительным деформациям сдвига, в то
время как диспергируемая фаза почти не деформируется.
Рассмотренное положение иллюстрируется на следующем примере.
Пример 12-3.
Пусть дисперсионная среда и диспергируемая фаза представляют собой
несмешиваемые ньютоновские жидкости, вязкости которых соответственно
равны [х' и (л. Для простоты изложения компоненты смеси расположены слоями
.между параллельными плоскостями, как показано на рис. 129. При этом слой
•Н
АН
у = 0
Рис. 129. Профиль скоростей в случае вынужденного течения
между двумя параллельными слоями несмешиваемой
ньютоновской жидкости.
частиц диспергируемой фазы располагается посредине между двумя слоями
основного компонента. Высоты слоев основного компонента и диспергируемой
фазы соответственно равны А и АН. Плоскости удалены друг от друга на
расстояние Н.
Пусть верхняя плоскость движется вправо со скоростью V, а нижняя
плоскость остается неподвижной. В условиях установившегося потока
напряжения сдвига во всех трех слоях должны быть одинаковы.
Следовательно
hY=r = p-Y (12-34)
где 7'—скорость сдвига в нижнем слое;
1—скорость сдвига в верхнем слое.
Если V—скорость нижней поверхности раздела, а V"—скорость верхней
поверхности раздела, тогда скорость сдвига в каждом слое можно записать как
1 =
XL
А
7 =
V" — V
н
V — V"
К =-]f
(12-35)
Подставив полученные уравнения в выражение (12-34), можно определить
значения V и V", зная которые, легко рассчитать скорость сдвига диспергируе-

12-5. Смешение в экструдерах
345
мой фазы. Следовательно
•(JL
1 - [ н-
1
(ЬН/Н) + (2А1Н)(ф')
(12-36)
В частном случае, когда вязкости смешиваемых компонентов одинаковы,
уравнение (12-36) сводится к
V
Если вязкость основного компонента мала (или вязкость диспергируемой
фазы велика), то отношение \xj\x.' становится очень большим, приближаясь в
пределе к оо, тогда как -у стремится к нулю. С другой стороны, когда
отношение [л/ji/ очень мало, то скорость сдвига диспергируемой фазы становится
равной
V__
Из полученного выражения видно, что скорость сдвига диспергируемой фазы
определяется только геометрической конфигурацией аппаратуры и скоростью
деформации поверхностей раздела.
12-5. Смешение в экструдерах
Червячные экструдеры широко применяются в качестве
смесителей непрерывного действия в различных процессах
переработки полимеров. В настоящем разделе рассматривается
только простое смешение, которое осуществляется в одночервячном
зкструдере. Процесс диспергирующего смешения разбирается в
следующем разделе.
Смешение в экструдерах представляет собой простое
смешение при ламинарном течении, так как движение материала в
канале червяка происходит в условиях ламинарного режима.
Продолжительность подобного процесса смешения, как было
показано в предыдущем разделе, определяется толщиной полос
в смеси. Если объем системы не изменяется, то уменьшение
толщины полос обусловливается возникновением
дополнительной площади поверхности раздела, которая в свою очередь
зависит от величины деформации сдвига и первоначальной
ориентации поверхности раздела. Настоящий раздел посвящен,
главным образом, расчету деформации сдвига любого элемента
материала при его движении вдоль канала червяка.
Приводимый анализ основан на применении упрощенной
плоскопараллельной модели изотермического течения,
иллюстрирующей работу одночервячного экструдера. При этом
предполагается, что рассматриваемый материал ведет себя как
ньютоновская жидкость. Анализ процесса, разработанный авто-

346
Гл. 12. Смешение
ром в общих чертах, не отличается от подобного анализа,
предложенного Мором, Секстоном и Джепсоном6. Различие
заключается в использовании метода расчета по усредненным скоро-
7,0
О, в
0,6
0,<г
0,2
О
1
г
О
о, г
0,<t 0,6
|стям сдвига.
Как видно из рис. 103 (стр. 263),
частицы материала в канале червя-
'ка движутся по искаженной
винтовой линии. Когда эти частицы
находятся в нижней части канала, они
перемещаются в отрицательном
^-направлении. Если же они
находятся в верхней части канала, то
их движение происходит в
положительном ^-направлении. Рис. 102
дает ясное представление о
движении частиц в канале червяка.
На этом рисунке представлены
составляющие скорости движения.
Следует отметить, что значение
а — 2/3 соответствует области разде-
Рис.
130. Графическая
зависимость а0 и Ь от а:
У—зависимость а<> от а; 2—зависимость
b от а.
ла между положительным и
отрицательным направлением движения
жидкости. При этом положение
плоскости раздела не зависит от
параметров процесса и от размеров экструдера.
Любая частица, движущаяся через нижнюю область в
положении а, будет находиться в верхней области в некотором
дополнительном положении а0. Если скорость движения частицы
в любом положении равна vx, то значения а ,и а0 связаны
между собой соотношением:
0 а0
da
(12-37)
(12-38)
После интегрирования получим:
[а* _ а3} — [(а0)2 - (а0)3] = 0
(0<а<4-)
Из полученных соотношений видно, что а° является
однозначной функцией от а. На рис. 130 представлена графическая
зависимость а0 от а.

12-5. Смешение в экструдерах
347
Если 6 — время нахождения частицы в верхней части канала,
a vx— скорость ее движения, тогда можно записать:
b = ^Tt = i+W) = i + |os/o,| = 1 - (vxivxy (12"39>
При этом скорость vx, согласно выведенному ;в разделе 10-3
уравнению (10-53), равна
vx = Vx(2a— За2) (12-40)
Подставив уравнение (12-40) в уравнение (12-39), получим
Ь = , «.(Я-3*) (12"41>
1 а (2 — За)
Из полученного выражения видно, что b является однозначной
функцией а. На рис. 130 'показана графическая зависимость Ь-
от а.
Теперь определим время пребывания частицы в экструдере.
Если длина червяка вдоль оси равна L, a vx—составляющая
скорости в этом направлении, то можно записать, что
t = zk- (12-42)
где ах—средняя скорость частицы в направлении оси.
Когда частица находится в нижней части канала, ее
положение определяется а, а ее скорость равна v\. Если же частица
находится в верхней части канала, то она находится в
положении а0, а ее скорость равна о". Зная время пребывания частицы
в верхней части канала Ь, можно определить ее среднюю
скорость:
v, = vx(\-b) + vlb (12-43)
причем А, — составляющая скорости — выведена в разделе 10-3
w определяется следующим равенством:
vx = 'dVa{\ —а){\ — ф) sin 0 cos в (12-44)
где Ф — отношение прямого потока к обратному.
При совместном решении трех уравнений, приведенных
выше, получим:
t = 2V (1 — ф) cos 6 sin 6 [а (1 — а) + Ь (cfl — а)(\ — а — а°)] " " 5'

as 48
Гл. 12. Смешение
5~
S3
Следует отметить^ что быстрее всего проходят через экстру-
дер частицы,- первоначально, расположенные вблизи центра
канала червяка. Это происходит в том случае, когда а = 2/з- В
частном случае,!.когда ф = О (противоток отсутствует), а а = 2/3,
уравнение (12-45) можно
записать как (3Z/2V2).
Относительная продолжительность
пребывания частицы в
экструдере определяется отношением
{t/t0), где t — время
пребывания частицы в экструдере,
когда а.= 2/3. На рис. 131
представлена графическая
зависимость (tft0) от а. Отметим, что
в центре канала имеется
довольно широкая область, для
которой время пребывания
материала в экструдере почти
не изменяется. Однако если
частицы материала находятся
вблизи поверхности вала
червяка или около гребня
винтовой нарезки, то их время
пребывания в экструдере резко увеличивается. В предельном
случае оно становится бесконечно большим. Но даже в этих
«предельных» областях червяка экструдера происходит
обновление состава частиц за счет вновь загруженного материала.
Поэтому весь материал в конце концов проходит через экст-
рудер.
Рассмотрим теперь х- и z-составляющие деформации
сдвига, возникающей в- движущемся материале. Они
определяются следующими равенствами:
7 О,
г о
|
а
6
О,
\
J
8 1,
Рис. 131. Относительная
продолжительность пребывания частицы в
экструдере как функция ее
первоначальной ориентации.
1х= 1х*
Т2 = Ъ*
(12-46)
при этом средние скорости сдвига равны:
Tz=U-*)It,I + *It!
(12-47)
(12-48)

12-5. Смешение в экструдерах
349
Мор, Секс.тон и Д же пеон6 предложили записывать среднюю
скорость сдвига в виде:
7.-1(f) (12-49)
где символом и обозначена vx. Значение и определяется
выражением
й=и(\ — Ь)—и°Ь (12-50)
После подстановки (12-50) в уравнение (12-49) и
последующего дифференцирования получим:
о-б)(£)-»(£-)-<«+«,>(^1<1!«,>
Если вместо b в уравнении (12-51) использовать выражение
(12-39), то получим более простую форму выведенного выше
уравнения:
1
Тд
Я
(2*._26+1) -£)-26« -£)
(12-52)
Рассчитанное по этому уравнению значение средней
скорости сдвига будет отличаться от соответствующего значения,
подсчитанного по уравнению (12-47), которое можно
переписать в виде:
1'=\тг)
«-«He-
1 i du
(12-53)
Это уравнение применяется для точного определения
абсолютной величины .отношения dujda, которое меняет знак при
<2 = 7з (см. рис. 130). При этом предполагается, что именно
абсолютная величина деформации сдвига, а не ее .направление,
имеет решающее значение в процессе смешения.
Для примера рассмотрим частный случай расчета средней
деформации элемента жидкости, когда а = 0,40. В этом случае
значения а° и Ь, найденные из рис. 130, соответственно равны
0,86 и 0,38. Получим следующие значения скорости сдвига:
ж) — 0-™ (£
^L\ =—3,16£/
где y*= 1,448 (U/H) вычислено по уравнению (12-53), а при
использовании уравнения (12-52) та же величина будет равна
0,70 U/H, где U=VX.

350
Гл. 12. Смешение
При рассмотрении течения, направленного вдоль оси х,
величины средней скорости сдвига, подсчитанные по различным
уравнениям, незначительно
отличаются друг от друга.
Поскольку при этом производится!
лишь качественный анализ
процесса смешения, таким
различием можно пренебречь.
Однако при .рассмотрении течения,
направленного вдоль оси z,
рассчитывая скорость сдвига по
методу Мора, Секстона и Джепса-
на, получаем, что. эта величина
не зависит от ф, тогда как
по нашему способу
составляющая скорости сдвига по оси г
является функцией ф, что,
по-видимому, более вероятно.
Дифференцируя уравнение
(12-40), получим следующее
выражение для скорости сдвига.'
частицы материала, расположен-
го
76
3. 72
8
4
О 0,2 0,Ь 0,6
а
Рис. 132. Графическая
зависимость функции F(a) от а.
нои в нижней части канала червяка:
т«=^=4-(^-) = ^-о-3а) <12-54>
откуда средняя скорость сдвига вдоль оси х равна:
~ 2V,
1х =
Н
[(1__&)|1—За| —6(1— За0)]
(12-55)
После подстановки уравнений (12-55) й (12-45) в формулу
(12-46) получим:
т.-(4)(£)(пМ(эт)'м (12'56)
где функция F(a) определяется из выражения
(1 — Ь)\ 1 — За 1 — 6(1 — За0)
а (1 — а) + b (а0 — а) (I — а — аР)
F(a)
(12-57)
Следует отметить, что функция F (а) зависит только от
величины а, так как а0 и Ь сами являются функцией а. На рис. 132
представлена графическая зависимость F (а) от а.

12-5. Смешение в экструдерах
351
, Рассмотрим теперь ^-составляющую деформации сдвига.
В разделе (10-3) было показано, что
vz = Vz(a — Заф + За2ср) (12-58)
Следовательно, скорость сдвига вдоль оси z равна
Г*=^ = ж(^Н£)('-3Ф + 6аф) 02-69)
а 'Средняя скорость сдвига, рассчитанная по уравнению (12-48).
имеет вид
т/= (^-)[(1-6)|1-Зф + 6аФ| + 6(1-Зф+6а0ф)] (12-60)
При совместном решении уравнений (12-60) и (12-46) получим
^=(4-)(4)(т^)(^)°(а^) <12-61>
1 — ф J \ sin ф
где функция G (а, ф) определяется уравнением:
г, (1 - Ь) 1 1 - Зф + баф 1 + Ь (1 - ЗФ + 6а»Ф) ,19fi9v
°(а>ф) = а(1-а) + 6(ао_а)(1-а-аО) <12"Ь2)
Выражение общей деформации сдвига у получим при
сложении уравнений (12-61) и (12-56). После соответствующих
преобразований 'будем иметь:
Т=(-/ГНГ=ф"
2F(a) G(a.q>)
з cos e ~ з sin e
(12-63)
Следует отметить, что в экструдерах, снабженных длинными
червяками с мелкой нарезкой, возникают очень большие общие
деформации сдвига. Независимо от вида червяка подобное
увеличение деформации сдвига происходит и в том случае, когда
в процессе экструзии резко увеличивается отношение прямого
потока к обратному, или при значительном снижении
производительности экструдера. Увеличение деформации сдвига
происходит также при применении червяков с очень большими, либо
с очень малыми углами подъема винтовой линии канала, что
объясняется значительным снижением коэффициента 'полезного
действия экструдера. Отметим также, что при прохождении
через экструдер различные элементы жидкости подвергаются
неодинаковой деформации сдвига, поскольку величина
деформации сдвига у зависит от положения элемента жидкости в
винтовом канале червяка.

352
Гл. 12. Смешение
Пример 12-4.
Для примера рассчитаем производительность смешивающего экструдера,
который снабжен червяком с углом подъема винтового канала 20° (0,35 рад)
и имеет отношение L/#=500. Вначале экструдер работал в режиме
свободного выхода (ф=0), но затем его производительность снизилась вдвое, при этом
<p=i/2. Величина деформации сдвига элемента материала зависит от
положения этого элемента в винтовом канале червяка и определяется по
уравнению (12-62).
В частном случае, когда ср=0, уравнение (12-62) можно записать в виде
'_L\
н)
где
G (а, 0) =
2F(a) G(a,0)
3 cos Э + 3 sin Э
1
а(1 — а)+ Ь(а° — а)(1 — а — а")
На рис. 133 представлена графическая зависимость полученных деформаций
сдвига f от положения рассматриваемой точки в винтовом канале червяка.
Когда Ф=1/2. уравнение (12-62) примет вид:
7=2(ТГ
2F_{a)
3cos 6
G(a, 0,5)
3 sin 6
где
(1-Ь)13а-0,51 + Ь(За°-0,5)
O(o,u,o)_ 1(1_a)_|_fe(ao_a)(1_a_a,))
Изменение деформации сдвига для изменившихся условий представлено
на рис. 133.
Из рис. 133 видно, что при уменьшении вдвое производительности
экструдера почти вдвое увеличилась и деформация сдвига. Обе полученные
кривые показывают также, что в
центре канала червяка материал
деформируется с одинаковой скоростью.
При этом величина деформации
гораздо меньше по сравнению с его
деформацией вблизи поверхности
вала червяка или около гребня
винтовой нарезки.
Таким образом, степень
смешения материала в центре ви'нтового
канала червяка будет наименьшей.
Полученные нами выводы
качественно были
подтверждены работами Маддока7
Его работы показали
следующее:
1. Червяки, имеющие не:
1Z
8
i+
п
\
_Ф
L«
= 7
=0
^
/J
Г /
о, г
О.Ь 0,6
а
0,8 10
Рис. 133. Общая деформация в
зависимости от первоначального
положения.
большую глубину винтового канала, обеспечивают более эффек
тивное смешение по сравнению с червяками с глубокими
каналами. Из уравнения (12-63) видно; что величина деформации
материала в канале обратно пропорциональна глубине канала.

12-6. Силы, возникающие Лри.кдиспергирующем смешении 35;3
2. Циркуляция ^охлаждающей, водыг внутри корпуса червяка
улучшает смешение. Это '^объясняется,^уменьшением действиг
тельной глубины винтового, канала,;,что, ^приводит к результатам,
уже описанным в пункте 1.
3. Увеличение давления при постоянной скорости вращения
червяка улучшает перемешивание в экструдере. При постоянной
скорости вращения червяка величина ф (представляющая
собой отношение расхода противотока к расходу вынужденного
потока) прямо пропорциональна давлению. Из уравнения
(12-63) видно, что при увеличении ф деформация материала
увеличивается.
4. Увеличение давления при постоянной скорости экструзии
улучшает перемешивание материала в экструдере. Однако это
улучшение менее значительно, чем в случае, описанном в
пункте 3. Отметим, что при постоянной скорости экструзии скорость
вращения червяка должна возрастать. Так как увеличение
скорости прямого потока вызывает возрастание величины ф, при
тех же условиях соответствующее, увеличение давления будет
происходить менее быстро, чем в\случа,е, когда скорость
вращения червяка постоянна,
12-6. Силы, возникающие
при диспергирующем смешении
Как указывалось выше, в процессе диспергирующего
смешения происходит разрушение комков или агрегатов предельных
частиц диспергируемой фазы. Этот процесс широко
применяется при введении пигментов, наполнителей и различных других
ингредиентов в расплавы высокополимеров. Подобное
диспергирующее смешение обычно осуществляется по периодическому
циклу и проводится в основном в смесителях Бенбери и на
смесительных вальцах. В ряде случаев для осуществления
непрерывного процесса смешения применяются специально
сконструированные экструдеры.
Для того чтобы понять Сущность диспергирующего
смешения, рассмотрим гетерогенную систему, в которой
диспергируемая фаза находится в виде, агрегатов, Каждый из которых
состоит из двух частиц, а дисперсионной,средой является вязкая
жидкость. При этом предполагается, что агрегаты
диспергируемой фазы не взаимодействуют Друг с другом, поскольку их
концентрация в системе незначительна. В процессе смешения в
рассматриваемой системе действуют когезионные силы,
удерживающие частицы агрегата от разъединения, и поверхностные
силы, возникающие при движении частиц относительно
жидкости.

354
Гл. 12. Смешение
В приводимом исследовании применяется подвижная система
координат (как показано на рис. 134), начало которой
находится в центре одной ,из частиц агрегата. В результате анализа
Рис. 134. Силы, возникающие при диспергировании агрегатов,
состоящих из двух частиц.
необходимо определить положение центра другой частицы
агрегата (в координатах х—у) на различных .стадиях процесса
смешения.
Так как радиус каждой частицы агрегата равен R, то
наименьшее расстояние между центрами равно 2R. Расстояние
между центрами частиц обозначим через г, где
г = Ух'2 -\г у2
Предполагается, что в области (2R <г<г*) сила притяжения,
удерживающая частицы вместе, постоянна, а в области (/*>г*)
эта сила пренебрежимо мала. Критический радиус разделения
г* представляет собой важный параметр всех процессов дис-

12-6. Силы, возникающие при диспергирующем смешении 355
пергирующего смешения и определяется природой сил,
вызывающих агломерацию.
Из рис. 134 видно, что при выбранном расположении
системы координат на окружающую частицы жидкую среду
действует одноосная деформация сдвига, вызывающая течение среды
иправо. За линию отсчета принимается линия тока,
проходящая через начало координат. Скорость движения жидкости и
относительно выбранной линии отсчета определяется по
уравнению
и = iy
При этом предполагается, что в рассматриваемой области
скорость сдвига у постоянна. Если существует движение частиц
относительно жидкой дисперсионной среды, то на поверхность
частиц действует увлекающая сила. Когда скорость жидкости
превышает скорость движения частиц, эта сила будет
стремиться ускорить движение частиц. Если же скорость движения
жидкости больше, чем скорость движения частиц, то
возникающая сила будет стремиться затормозить движение частиц.
Если рассматриваемые частицы имеют ферму шара и число
Рейнольдса при движении частиц относительно жидкости
невелико, то увлекающая сила, действующая на частицу, может
быть определена по закону Стокса как 6nR\xv, где v — скорость
относительного движения.
Теперь обратимся к рис. 134. Равнодействующую всех сил
взаимодействия между поверхностью сферы и окружающей
жидкостью можно разложить на составляющие F& и Fr,
которые определяются следующими равенствами:
Fd = 6тг£^
dx
(12-64)
/7г = _б1сЫ-^) (12-65)
dt
где (dx/dt) —скорость движения частицы в направлении оси х\
(dy/dt) —-скорость движения часгицы в направлении оси у.
Исходя из баланса сил, действующих на движущуюся
частицу, можно вывести два уравнения. При этом не учитываются
силы инерции (что вполне допустимо в случае системы,
состоящей из очень маленьких частиц в жидкости с высокой
вязкостью)
Fd = Facosa (12-66)
Fr=Fas\na (12-67)

356
Я&-72. Смешение-
где а —угол, образованный''прямой; проходящей через начало
координат и центр частицы, a Fa— сила(ивзаимодействия
между частицами. -! Ц;
Подставив значения1 составляющих Fa и Fr в уравнения
(12-66) и (12-67) .и -выразив входящие в'эти уравнения
тригонометрические функций'через л: и г/, получим1:
6ttj?[J.
....,,.,. dx.
X
Уравнения (12-6(8) и .,,(12-69). представляет собой систему
двух обыкновенных дифференциальных уравнений, где время
t является независимой: ^переменной, а х цу— зависимые
переменные. Исключив неизвестное dt, получим одно уравнение с
переменными х и у
Ш:Чт)-* (12-70)
Параметр К определяется равенством
Х4Ш^^^- (12-71)
где т — напряжение,.сдвига;,-, возникающее в жидкости, которое
вводится в выражение; падаметра/С, если использовать
уравнение ВЯЗКОСТИ fX =
Уравнение (12-70) является нелинейным. Однако если
величину г заменить, ее' приближенным значением (х+у), то
получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка
с зависимой переменной <хг.
{■%t+'x[k-(th--Ki> (12'72)
Запишем его решение в ЬбтЩем/ виде:
1Х^Щ *=■&!-*&/■. (12-73)
где С — постоянная интегрирования,.
Можно без труда показ:ат^'что 'апроксимация Г = х+У
эквивалентна 'предположению о том, что сила взаимодействия Fa

12-6. Силы, возникающие при диспергирующем смешении 357
является следующей функцией -положения частицы в области
(2/?<г<г*):
(12-74)
п=р-Ш
Отметим, что отношение г/(х+у) зависит только от угла а и
уменьшается от единицы, когда сс = 90° (1,57 рад), до 0,707 при
<х = 45° (0,785 рад), а затем снова увеличивается до единицы,
когда а = 0. Приближенный характер самого анализа допускает
подобное упрощение.
Рис. 135. Траектории частиц при диспергировании агрегатов,
состоящих из двух частиц.
Задаваясь условием, что в начальном положении
координаты центра частицы суть (х0, Уо), вычислим константу
интегрирования. В этом случае выражение (12-73) примет вид
х + у
*о-г-#о
= е
М "(*)]!
(2R <г<г*) (12-75)
Из формулы (12-75) видно, что траектория частицы (а
следовательно, и течение процесса диспергирующего смешения)
определяется параметром К, критическим радиусом г* и
первоначальной ориентацией агрегата. Сказанное выше можно
проиллюстрировать на следующем примере.
Рассмотрим агрегат из двух частиц, ориентированный как
показано на рис. 135, где
Я = 0,5
л* = 3
х0 = 0
Уо=1

358
Гл. 12. Смешение
На жидкую среду, окружающую частицу, действует
деформация сдвига, вызывающая одноосное движение среды вправо..
Разберем -сперва случай, когда величина К очень большая.
Это произойдет в том случае, когда сила притяжения частиц
мала или когда в жидкости возникают значительные
напряжения сдвига. В предельном случае, когда /С-*-оо, движение
частиц совпадает с линиями тока жидкой среды, что
свидетельствует о том, что диспергирующее смешение в данном случае
сводится к простому смешению. Отметим, что в области, где
(г>г*), величины Fa = 0 и /(= оо, т. е. в данной области все
пути движения частиц совпадают с линиями тока.
Влияние силы взаимодействия частиц становится заметным,,
когда К является конечным числом. Например, если /С=4,
агрегат сперва слегка поворачивается, а затем верхняя частица
движется вправо и вниз по искривленному пути до тех пор, пока
не достигается значение критического радиуса, когда силы
взаимодействия становятся равными нулю, после чего частица
движется по линии тока вправо.
Тот же самый процесс начинается в случае, когда К = 3, но
в конце концов частица достигает того .положения, когда
вследствие уменьшения увлекающей силы жидкости баланс сил
становится неблагоприятным, после чего направление движения
изменяется, и частица снова объединяется с прежней частицей.
При К = 2 силы взаимодействия намного превышают
вязкостные силы, поэтому расстояние между центрами частиц не
будет изменяться. Центр верхней частицы пройдет четверть
окружности, в результате чего агрегат .повернется так, что
прямая, проходящая через центры обеих частиц, совпадет с
линией тока.
Следовательно, в условиях данного примера разрушение,
агрегата произойдет только в том случае, когда параметр /(^4
При более благоприятной первоначальной ориентации для
осуществления диспергирования достаточно меньшее значение
параметра К. Например, если первоначальная ориентация частиц
соответствует случаю, показанному на рис. 136,
диспергирование может произойти даже при К=2, свидетельствуя о том, что
при изменившихся начальных условиях для диспергирования
достаточна почти в два раза меньшая деформация сдвига.
Высокие напряжения сдвига способствуют диспергированию.
Вот первый вывод, который возникает почти интуитивно в
результате анализа процесса диспергирования. Кроме того, в
рассматриваемой системе, очевидно, существует некоторое
значение напряжения сдвига, ниже которого вообще не происходит
диспергирования. В случае если напряжение сдвига ненамного
превышает критическое значение, то будут подвергаться разру-

12-6. Силы, возникающие при диспергирующем смешении 359
шению только агрегаты с благоприятной первоначальной
ориентацией (большая ось которых перпендикулярна линиям
тока).
Ясно также, что в тех смесителях, где осуществляется
только одномерное движение материала, произойдет разрушение
Рис. 136. Траектории частиц при диспергировании агрегатов
состоящих из двух частиц.
лишь тех агрегатов, первоначальное положение которых
благоприятное. Остальные агрегаты просто будут соответствующим
образом ориентированы в потоке жидкости, и никакого
диспергирования в дальнейшем происходить не будет. Однако если в
смесителе осуществляется непрерывное изменение направления
потока, то в дальнейшем также будет происходить
диспергирование агрегатов. В конце концов через определенный
промежуток времени под воздействием напряжения сдвига каждый
агрегат примет благоприятное положение и будет разрушен.
И, наконец, третий вывод, который предварительно можно
получить при анализе диспергирующего смешения. Если
предположить, что сила взаимодействия Fa относительно
независима от размера частиц, то из уравнения (12-71) видно, что
параметр К прямо пропорционален R, т. е. агрегаты, состоящие из
больших частиц, легче разрушаются по сравнению с
агрегатами, состоящими из меньших частиц.
Предположение о том, что Fa не зависит от R, вполне
вероятно в том случае, когда площадь поверхности контакта между

360
Гл. 12. Смешение
частицами относительно независима' от их размеров и если при
этом силы взаимодействия имеют ту же природу, что и силы
адгезии, рассмотренные в главе 6.
12-7. Напряжения, возникающие
при диспергирующем смешении
Теперь разберем вопрос возникновения высоких напряжений
сдвига в неньютоновской жидкости, который, возможно,
является ключевым вопросом процесса диспергирующего смешения;
Рис. 137. Идеальный диспергирующий смеситель8.
при переработке полимеров. При рассмотрении этого вопроса:
воспользуемся идеальным диспергирующим смесителем,
показанным на рис. 137, в котором возникающие напряжения
сдвига 'рассчитываются по методике, предложенной Боленом и Кол-
веллом8.
Исследуемая жидкость находится в кольцеобразном
зазоре, образованном коаксиальными цилиндрическими
поверхностями. Основная часть кольцевого зазора, называемая каналом,,
имеет высоту Н, а остальная часть зазора, называемая
мундштуком, имеет высоту h. Длина мунштука равна г, а длина
канала Z. Рассмотрение проводится в расчете на единицу длины
смесителя, перпендикулярную к плоскости чертежа. Внешний
цилиндр вращается в направлении по часовой стрелке со ско-

12-7. Напряжения при диспергирующем смешении
361
ростью V, где V=nDN, N — число оборотов, a D — внутренний
диаметр внешнего гхшшндра. Необходимо определить среднее
напряжение сдвига т в канале 'И т' в мундштуке смесителя.
Расчет напряжений сдвига основан на определении средних
скоростей сдвига по изменению скорости (10-127). Среднее
напряжение сдвига в рассматриваемых областях определяют
равенствами:
х = ixT ? = [х'т' (12-76)
где у— средняя скорость сдвига в канале, определенная
по изменению скорости;
у' — средняя скорость сдвига в мундштуке;
(1 и |j/ — эффективные вязкости.
Если функциональное соотношение .между вязкостью,
температурой и скоростью сдвига записать в виде
V< = g(bT) *' = g&,T') (12-77)
то напряжения сдвига можно определить по следующим
уравнениям;
* = ^(ЪТ) ?=т'£(т'>П (12-78)
Таким образом, задачу определения напряжений сдвига можно
разбить на две задачи, в каждой из которых необходимо
соответственно определить средние скорости сдвига, а также
рассчитать температуру в канале и в .мундштуке. Ниже приведен
расчет скоростей сдвига.
При вращении внешнего цилиндра в канале и в мундштуке
возникают вынужденные потоки, расходы которых
соответственно равны Qd в канале и Q'd в мундштуке. Поскольку Qd>Q'd,
при входе в мундштук возникает перепад давления и Р%>Р\.
Это в свою очередь вызывает обратный поток в канале с
расходом QP и в мундштуке — с расходом Q'p.
При расчете скоростей вынужденного и обратного потока
предполагается, что в зазоре находится ньютоновская жидкость
в изотермических условиях. Кроме того, предполагается, что
размеры h и Я пренебрежимо малы по сравнению с
диаметрами цилиндров, и поэтому кольцевой зазор можно с достаточной
точностью рассматривать как пространство, заключенное
между двумя параллельными пластинами. Учитывая приведенные

362
Гл. 12. Смешение
выше предположения, можно написать выражения для
расходов вынужденного и обратного потока:
Qd = ^ & = Цг <12-79>
_ fWP_ п, _ тр М9ят
У? - -тщ~ У? - ~щг <12"80)
где АР = Р2—Рь
В случае несжимаемой жидкости объемная скорость течения
в канале и мундштуке одна и та же. Следовательно
Qd-QP = Q'd + Q'P (12-81)
В результате совместного решения приведенных выше
уравнений относительно АР получим:
W = ш^\Н^н1 , (12-82)
Отметим, что когда h = H, перепада давлений не возникает.
Средние скорости сдвига, определяемые по уравнению
(10-127), можно переписать в виде
т = ^-/(ф) т' = 4/<<р') (12"83>
На рис. 112 показана графическая зависимость f(cp) от ф.
Через ф обозначается отношение расходов вынужденного
потока к обратному в канале, а через ф' — то же отношение для
мундштука. Из уравнений (12-79), (12-80) и (12-81) можно
видеть, что
др _ нчр \-(hiH) (12_84
f - Qd~ 6(xZl/ ~ 1 + (А/Я») (Z/z) (fi/fi') Kl }
Подобным же образом
(H/h) — 1 /1Г> OCS
<P = l + iHHinz/ZHn'M' { Ь }
Согласно уравнению (12-77), отношение вязкостей может
быть записано в виде
4- = 8{1> Т) (12-86)
11 g(i',T')

12-7. Напряжения при диспергирующем смешении
363
а учитывая уравнение (12-83), получим
м-'
= G
g[(V/h)fW),T']
где G зависит от ф, ц>', Н, h, T, T и V.
Подставляя (12-87) в (12-84) и (12-85), будем иметь:
_ 1 - (h/H)
ф — 1 + G (h/H)3 (Hz)
(12-87)
(12-88)
Ф =
(H/h)-\
l + (H/h)*(z/Z)G
(12-89)
7,0
Если предположить, что температура материала в канале и
в мундштуке известна, то уравнения (12-88) и (12-89) мрел
ставляют собой систему из
двух уравнений, решением
которых можно определить ф и
ф'. Полученные величины
можно затем подставить в
уравнение (12-83) и получить
значения средних скоростей
сдвига.
Используя вычислительную
машину, Болен и Колвелл8
рассчитали напряжения 'сдвига в
расплаве полиэтилена. При
этом они воспользовались
реологическими данными
Филиппова и Гаскинса9.
3:
<5s 0,8
*■>.
«а
Со
$ 0,2
г
,;
"^
N
, об/мин
Они предположили, ЧТО Рис.пз8. Напряжения, возникающие
в идеальном диспергирующем
смесителе8:
/—зазор; 2—канал.
температура расплава,
одинаковая в зазоре между
лопастью и стенкой и в канале, с
увеличением 'скорости
возрастает. Ниже приводится зависимость температуры от скорости
вращения, а также конструкционные размеры смесителя:
Скорость вращения, рад!сек О 2тс 4тс бтс 8тс
Температура, °К 400 405 420 440 460
h = 0,06; Н = 0,437; г = 0,375, Z = 9,045; D= 3,000
Результаты опытов показаны на рис. 138. Отметим, что, как
и следовало ожидать, при всех скоростях вращения
напряжения сдвига в Зазоре больше, чем напряжения сдвига,
возникающие в канале. Очень 'интересен тот факт, что вреднее напряже-

364
Гл. 12. Смешение
ние сдвига по мере увеличения скорости вращения [менее
1 об/сек (2я рад/сек)] быстро увеличивается до максимума, а
затем снова уменьшается.
Джонс и Снайдер10 изучали диспергирование окиси цинка
в натуральных и синтетических каучуках в смесителях
Бенбери. В таблице 12-2 представлены результаты проведенной
работы, которые показывают влияние температуры и скорости вра-
ТАБЛИЦА 12-2
Диспергирование окиси цинка в бутадиен-стирольном каучуке

Температура

рубашки
°К
323
338
353
323
323
323
Конечная

температура
°К
365,5
373
380,5
353
365,5
378
Время

смешения
сек
180
180
180
240
180
120
Скорость
вращения
об) мин
69 (2,30 и)
69 (2,30«)
69 (2,30 тс)
35 (1,16 «)
69 (2,30 тс)
137 (4,56тс)
Потребляемая
мощность
впг-час (дж-10~3)
398 (1433)
380 (1368)
379 (1364)
286 (930)
398 (1433)
532 (1915)
Скорость
движения лопасти
ротора
м/сек
0,45
0,45
0,45
0,228
0,45
0,876
Относительная

производительность
1
2
3
3
1
2
щения ротора на качество дисперсии неочищенного пигмента в
бутадиен-стирольном каучуке.
Из первых трех опытов видно, что при постоянной
скорости вращения (у в области зазора постоянна) существует
обратное соотношение между температурой и качеством
диспергирования.
При повышении температуры вязкость снижается.
Воспользовавшись соотношением x = iiy = ae~bTy, легко убедиться, что>
при увеличении температуры происходит уменьшение
напряжений, возникающих в зазоре между лопастью и стенкой. Это, по-
видимому, и вызывает ухудшение диспергирования с
повышением температуры.
Последние три опыта показывают влияние скорости
вращения ротора на качество диспергирования. Если предположить,
что регулируемым параметром процесса является величина
напряжения, возникающего в зазоре между лопастью и стенкой,
то при увеличении скорости вращения ротора резко возрастает
потребляемая мощность и температура. Полученные выводы
подтверждают анализ диспергирования, рассмотренный в
'разделе 12-6.
Ниже приводится краткое рассмотрение моделирования
диспергирующих смесителей, которое может оказаться полезным
при конструировании. Рассмотрим процесс диспергирующего'

12-7. Напряжения пра-удисгьереирущщем смешении
365
смешения, осуществляемый^ в двух-идеальных 'смесителях,
рассмотренных на рис. 137. При этом смесители геометрически
подобны. Пусть X — масштабный фактор, определяемый по
уравнению ! ' \j
= ш = (^) <12-90>
где В — длина смесителя (перпендикулярно плоскости
чертежа), а индексом 0 обозначены размеры, относящиеся к
модели.
Разберем случай; когда оба ^смесителя'.работают при
одинаковой частоте вращения. Поэтому
N = N0 (12-91)
В дальнейшем предположим, что
Т'=Т0 и V = Т'й (12-92)
Значение подобного предположения рассмотрим позже.
Согласна уравнениям (12-87), (12-88), (12-89) и заданным выше
условиям можно записать, что
Ф = Фо. и <р'=Фв- (12-93)
тогда из уравнения (12-83) следует, что
Т = То Т' = 7." (12-94)
а из уравнения (12-78)^
^=т0 ? = х0 (12-95)
Следовательно, в обоих смесителях возникают одинаковые
напряжения.
Поэтому оба смесителя должны производить равную работу
диспергирования. Легко показать, что мощность, отнесенная к
единице перерабатываемого материала, будет также
одинаковой для обоих смесителей.
Пусть р — общая потребляемая мощность, а рс и pt —
соответственно мощности, расходуемые в канале и в зазоре между
лопастью и стенкой. Применив те же методы расчета, что и в
десятой главе, получим следующее выражение потребляемой
мощности
p = PcJrPt^ 2tzNR [tZB + z'zB] (12-96)

366
Гл. 12. Смешение
Исходя из мощности, отнесенной к единице объема, можно
написать, что
f=(^)hZ + x'z] (12-97)
Таким образом, вследствие различия размеров
Легко показать, что частицы материала в обоих смесителях
равное число раз проходят через зазор между лопастью и
стенкой. Пусть y\ — число проходов частицы через зазор в единицу
■врмени. Тогда _
(*-)-(i)(*)-w(i)
где v—средняя скорость движения частицы в канале большего
смесителя.
На основании уравнений (12-79) и (12-80) можно
записать, что
- Qd-Qp _ (V_\ _ { нчр \
Н ~ \ 2 j { 12fiZ /
Из уравнения (12-82) видно, что ДР = ДРо, следовательно
Разберем теперь предположения, определяемые равенствами
(12-92).
Очевидно, что для поддержания изотермических условий в
смесителе скорость отвода тепла от смесителя должна равнять
ся скорости расхода механической энергии. При равенстве
остальных факторов скорость передачи тепла пропорциональна
площади, которая увеличивается пропорционально X2, тогда как
объем увеличивается пропорционально X3. Поэтому в больших
смесителях (если не 'приняты соответствующие меры) более

12-7. Напряжения при диспергирующем смешении
367
трудно поддерживать изотермические условия, чем в малых
смесителях. При этом в большем смесителе скорость
возрастания температуры выше, что вызывает снижение напряжения
сдвига и, следовательно, ухудшение процесса диспергирования
по сравнению с меньшим смесителем той же конструкции.
Задача.
12-1. Смесь, содержащая 2% пигмента, была приготовлена смешением
полимерного материала с пигментом в барабанных смесителях с последующей
грануляцией в экструдере. Средняя длина гранул порядка 2-Ю-3 м.
Предположив, что пигмент состоит из одинаковых частиц диаметром Ю-3 ж и что
плотность его равна плотности полимерного материала, определить степень
смешения. При этом надо воспользоваться уравнением (12-8) и
следующими данными, которые получены путем отбора наугад 20 гранул и
определения весового содержания пигмента в каждой пробе.
шула
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание
пигмента
%
1,2
1,0
0,8
4,6
5,8
0,6
0,2
2,2
3,8
0,2
Гранула
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Содержание
пигмента
%
1,8
2,0
0,3
0,1
5,0
8,0
0,2
0,4
0,6
1,8
12-2. Описанная в задаче 12-1 смесь не является качественной. Она снова
пропускалась через экструдер, и снова определялось содержание пигмента в
20 отобранных наугад гранулах.
Сравнить степень смешения полученной смеси с исходной.
анула
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание
пигмента
%
1,9
2,0
2,0
2,2
2,0
1,9
1,9
2,2
1,9
2,0
Гранула
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Содержание
пигмента
%
2,2
2,2
1,8
1,9
2,1
1,8
2,1
1,9
2,1
2,2
12-3. Написать дифференциальное уравнение идеального
диспергирующего смесителя, работающего в изотермическом режиме, принимая во внимание
выделение тепла внутри материала и используя степенной закон для
описания реологического поведения материала.

368
ГЛ? 12У'Смешение
Литература
LP. V. Danckwerts, Appl. Sci. Res., 3, 279 (1952).
2. W. G. Best, H. F.. T;o,m| oh r de,\S. P. E. Journal, Feb., 139(1959).
3. S. S. Weidenba urn; 'Mixing of Solids, in «Advances in Chemical
Engineering», v. II, ed. by T. Byftrew and J. W. Hoopes, Acad. Press, 1958.
4. P. M. С Lacey, J. Appl. Chem. (London), 4, 257 (1954).
5. E. Бернхардт, Переработка термопластичных материалов, Изд. «Химия»,
1965, гл. 3.
6. W. D. М о h r, R. L. Sa'xto п, С. Н. Jepson, Ind. Eng. Chem.,
49, 1885 (1957).
7. В. Н. М a d d о о k, S. P. E. Journal, 15, 383 (1959).
8. W. R. В о 1 е n, R. Е. С о 1 w ё 1 L S. P. E. Tech. Papers, IV, 1004 (1958).
9. Р h i 1 i р р о f f, F. H. Gas kins, J. Polymer Sci., 21, 205 (1956).
10. H. С Jones. E. G. Snyder, Ind. Erig. Chem., 43, 2602 (1951).

Глава
Литье под давлением
Литье под давлением — один из наиболее широко
применяемых'методов переработки термопластичных полимеров. При
переработке методом литья под давлением полимер
расплавляется, а затем в жидком 'состоянии под высоким давлением
впрыскивается в закрытую форму. В форме материал охлаждается и
затвердевает, после чего форма открывается, изделие
выталкивается, и весь цикл повторяется снова.
В различных типах литьевых машин используются разные
методы плавления материала и заполнения формы. Эти методы
постоянно совершенствуются. В обычных литьевых машинах
плавление материала и заполнение формы осуществляются с
помощью нагревательного цилиндра и плунжера. Эти
машины просты по конструкции, но контроль температуры и
давления во время 'впрыска полимера в форму существенно
затруднен. В некоторых типах литьевых машин для плавления
полимера применяют пластицирующий экструдер, а для впрыска —
плунжер.
Существуют и такие типы литьевых машин, в которых
обе эти операции производят при помощи червяка.
Большинство проблем, возникающих при литье под
давлением, связано с тем, что плотность полимера сильно меняется в
зависимости от температуры 'и давления. При одном и том же
давлении плотность полимера при высоких температурах
значительно ниже, чем ори комнатной температуре. Из этого
следует, что если форма заполнена при атмосферном давлении, то
вследствие «усадки» размеры отлитого изделия будут
несколько отличаться от размеров формы. Качество таких изделий
будет довольно низким. Для того чтобы скомпенсировать этот
эффект, формы заполняют при высоких давлениях. При
высоких давлениях вследствие сжатия полимера в форму затекает
большее количество материала. Усадка уменьшается, а
качество изделий улучшается. Ниже, в разделе 13-1, дается анализ
явления усадки.

370
Гл. 13. Литье под давлением
Качество и стоимость изделия зависят от формуемости
полимера и режима цикла формования. Понятие «цикл
формования» рассматривается в разделе 13-2. Влияние режима
формования на остаточные напряжения — один из основных
факторов, определяющих качество изделий, полученных методом
литья под давлением, рассматривается в разделе 13-3. В
заключении главы рассмотрено влияние теплофизических и
реологических свойств полимера на его формуемость.
13-1. Усадка
Величина усадки определяется следующим уравнением:
SL=^rJ— (13-1)
где L* — любой линейный размер формы; L — соответствующий
•размер изделия, отлитого при определенной температуре и
давлении.
Если для всех размеров 5 равно нулю, то изделие является
точной копией формы. Если же для всех размеров 5 имеет одно
и то же значение, то изделие и форма геометрически подобны.
Так как усадка зависит от 'скорости охлаждения отдельных
частей изделия, то рассчитать ее можно только для самых
простых геометрических форм. С другой стороны, если известны
начальное и конечное (равновесные) состояния полимера, .то
можно рассчитать объемную усадку, которая определяется
следующим уравнением:
у* у
Sy = -V^- (13-2)
где V* — объем формы; V—объем изделия при нормальных
условиях.
Если средние линейные размеры изделия L и формы L*
определить как
_ з _ з
L = YV L*=VV* (13-3)
то можно считать, что средняя усадка S равна:
S = ^f=^ (13'4>
При подстановке соотношения (13-3) в формулу (13-4)
получим, что
S *=!_(-£-)1/8 (13-5)

13-1. Усадка
371
Бели tn—масса полимера, который находится в форме, а
у — удельный объем полимера в условиях формования, то
V* = mv (13-6)
V = mv° (13-7)
где v°— удельный объем полимера при комнатной
температуре и атмосферном давлении.
Если предположить, что уравнение состояния имеет
следующий вид
(Р + Я)(0_&) = ^ (13-8)
то, применив его к жидкому состоянию полимера и рассмотрев
совместно уравнения (13-6), (13-7), (13-8) и (13-5), получим,
ЧТО1
S=l-VT«(l^«) + -il^ (13-9)
где
_ Му° (Р + л)
У ~~ RT + Mb(P + n)
Уравнение (13-9) определяет среднюю усадку,
выраженную через начальное состояние полимера и постоянные
уравнения состояния.
Пример 13-1.
В данном примере рассчитывается средняя усадка для четырех
различных термопластичных полимеров, для которых известны постоянные уравнения
состояния (см. табл. 4-3). Температура расплава равна 533 °К. Средняя усадка
вычисляется для четырех значений давления, лежащих в пределах от
атмосферного до 1400 кгс/см2 (1,37-108 н/м2). За стандартное состояние полимера
принимается состояние при температуре 293 °К и давлении 1 атм (9,81-104 н/м2).
Полученные значения средней усадки приведены в табл. 13-1.
ТАБЛИЦА 13-1
Средняя усадка различных термопластичных материалов
Давление, к/-и2-10 е
0
34,34 (350 кгс/см2) . . .
68,67 (700 кгс/см2) . . .
137,34 (1400 кгс/см2) . .
V0
Средняя усадка, %
полистирол
3,5
2,3
1,4
0,3.
0,946
полиметил-
метакрилат
3,5
2,6
1,8
0,7
0,840
ацетобутират
целлюлозы
5,2
4,3
3,4
2,1
0,827
полиэтилен
7,0
5,9
5,1
3,6
1,085

372
Гл. 13. Литье под давлением
Расчеты показывают, что полистирол и полиметилметакрилат можно
формовать при относительно низких давлениях.с небольшой усадкой,.в то время,
как усадка полиэтилена и ацетобутирата значительна, даже если формование
осуществляется при весьма высоких давлениях.
Если бы усадка была одинаковой по всем направлениям,
то изделие и форма были бы геометрически подобны, а усадку
можно было бы скомпенсировать за счет соответствующего
увеличения размеров формы. Это устранило бы необходимость
повышать давление литья, что в свою очередь 'привело бы к
уменьшению размеров и стоимости литьевых машин. Однако такой
способ вряд ли может применяться для решения проблемы
усадки, так как почти во всех отливаемых 'изделиях усадка
неоднородна.
Неоднородность усадки связана с неравномерным
охлаждением изделий, которое является скорее следствием природы
процесса теплопроводности (толстые части изделия
охлаждаются более медленно по сравнению с тонкими), чем
несовершенства системы охлаждения. В тонких частях изделия плотность
увеличивается быстрее, чем в толстых, поэтому создается
перепад давлений, который вызывает перетекание некоторого
количества полимера из толстой части отливаемого изделия в
более тонкую. Это так называемое внутреннее течение и
является прямой причиной неоднородной усадки.
Пример 13-2.
В данном примере рассматривается процесс нестационарного охлаждения
и уменьшения давления в пластине. Для упрощения вычислений
предположим, что в начальный момент температура полимера во всех точках
постоянна и равна 7/, температура формы Ts—также постоянна и коэффициент
температуропроводности полимера не зависит от температуры. Способы
решения задач нестационарного процесса охлаждения пластин рассматривались
в разделе 8-3. В данном примере нас интересует средняя температура
пластины Т, которая определяется уравнением:
-\-w
T(*)=W~ \T(x,t)dx
—w
Заметим, что средняя температура Т является функцией только времени,
а локальная температура Т зависит как от времени, так и от координат точки.
Подставив выражение для определения локальной температуры (уравнение 8-54)
в приведенный выше интеграл и выполнив интегрирование, находим, что
#е£ -/ (-&-) <13-10>
где Ti—начальная температура пластины; Ts—температура поверхности
пластины.

13-1. Усадка
373
Вывод выражения функции / в уравнении (13-10) оставляется для
упражнений (задача 13-2), которые даются в конце этой главы.
В качестве примера на рис. 139 представлены результаты вычислений
продолжительности охлаждения двух одинаковых пластин разной толщины.
Расчеты производились по уравнению (13-10). Коэффициент
температуропроводности обеих пластин одинаков и равен а=1,3-10_7 м2/сек. Начальная
температура одинакова по всей массе полимера и равна 527 °К. Температура
поверхности пластин поддерживается равной 310 °К, при этом 1/2 толщины
первой пластины равна 2,16- Ю-3 м, а второй пластины—4,32-Ю-3 м.
Средняя температура пластины а уменьшается значительно быстрее, чем
пластины б. Разница в скорости охлаждения приводит к тому, что примерно
через 15 сек средняя температура первой пластины снизится до температуры
затвердевания полимера. Средняя температура второй пластины достигает
такого же значения не ранее чем за 60 сек. Приближенно можно считать,
что продолжительность охлаждения пропорциональна квадрату толщины
пластины. Из этого следует, что при увеличении толщины изделия в два раза
продолжительность охлаждения должна увеличиться в четыре раза.
Теперь посмотрим, как уменьшается давление в пластине. Падение
давления можно вычислить по уравнению состояния (13-8), если исходить из
средней температуры пластины. Заметим, что до тех пор, пока существует
давление на поверхность, удельный объем полимера остается постоянным и
материал полностью заполняет форму (пустоты отсутствуют). Масса и объем
полимера в форме остаются постоянными. В этом случае уравнение (13-8)
можно записать в следующем виде:
Р = СТ — % (13-11)
где С и я—постоянные.
Для полистирола я равно 1840 апгм (-1,84■ 108 н/м2). Если при температуре
527 °К начальное давление в пластине равно 700 апгм (7-107 н/м2), та
величина С в уравнении (13-11)
равна 47,3-10*. Так как
известно, что Т—функция времени,
то и давление необходимо
рассчитать как функцию времени.
Результаты этих вычислений
представлены на рис. 139.
Давление в тонкой
пластине уменьшается до нуля
менее чем за 15 сек. В то же
время в толстой пластине
давление сохраняется более 50 сек.
Если обе пластины соединить
(как часто бывает в форме), то
должно происходить
внутреннее перетекание полимера из
толстой части изделия в
тонкую. Внутреннее перетекание
полимера в изделии
начинается как только температура
тонкой пластины станет ниже
температуры толстой пластины
и продолжается до тех пор,
пока давление в толстой пластине
не приблизится к нулю.
260
205
750
95
ЬО
\
\
V
\
\
\
\
-г
, .1
V
\
а
L
а
*»
V
„7
■2
б
б
*
7,0
О 20
40 60
Время, сек
5,6,
ь,г
2,8
1,Ь
Ч
О
во то
Рис. 139. Охлаждение и уменьшение
давления в пластинах из полистирола. Половина!
толщины пластины а—2,16-Ю-4 м, а
пластины 6—4,32-10-* м:
1—охлаждение; 2—уменьшение давления .

374
Гл. 13. Литье под давлением
Если толщина различных частей изделия неодинакова, то
различия в скорости охлаждения могут привести к внутреннему
перетеканию довольно больших количеств полимера, что
вызовет образование раковин и остаточных напряжений. Этого
можно избежать, если отливать изделия при высоких давлениях (в
течение всего цикла формования давление в форме должно
сохраняться). Однако если к концу формования остаточное
(внутреннее) давление слишком высоко, то удалить изделие из
формы без повреждения оказывается практически невозможно.
Из этого следует, что существует какая-то оптимальная
величина остаточного давления.
13-2. Цикл формования
Рассмотрим более 'подробно цикл 'формования. На рис. 140
представлено схематическое изображение литьевой формы и
обозначены отдельные ее части,
упоминаемые в данном разделе. Расплав
полимера впрыскивается в форму при
помощи плунжера. Материал
проходит через форсунку литьевого
цилиндра и по центральному литниковому
каналу направляется к разводящим
литниковым каналам, и оттуда через
впусковые каналы (впуски) расплав
полимера попадает в оформляющую
полость формы. При литье под
давлением наиболее часто применяют мно-
гогнездные формы, схематическое
изображение которых приводится на
рис. 140.
Рассмотрим первую стадию цикла
формования, когда находящийся в
литьевом цилиндре полимер
находится в вязко-текучем состоянии и
потери давления в цилиндре являются
незначительными. Считают, что цикл
формования определяется изменением
во времени давления и температуры полимера в форме. Как
мы уже видели, и температура и давление в различных частях
формы различны. В дальнейшем мы будем говорить только
о средних значениях этих величин.
На рис. 141 показаны диаграммы давление—время для трех
различных циклов формования. Первая стадия 'процесса
—стадия заполнения формы — одинакова для всех циклов литья.
Рис. 140. Схематическое
изображение четырехгне-
здной литьевой формы:
1— форсунка; 2—центральный
литник; 3—распределительный
литник; 4—впусковой канал;
5—оформляющая полость
формы.

13-2. Цикл формования
375
В момент времени, принимаемый за начало отсчета, плунжер
начинает двигаться вперед и полимер постепенно заполняет
форму. При этом до ее полного заполнения давление
незначительно. Как только форма заполнится, давление в ней быстро
увеличивается, пока в момент времени t\ .не достигнет своего
Рис. 141. Циклы формования.
максимального значения Р°. Этой точке кривой соответствуе!
максимальное давление в форме и близкая к максимальной
температура полимера.
Следующая, вторая, стадия цикла формования называется
стадией сжатия. На этой стадии полимер охлаждается и его
плотность увеличивается. Поэтому данная стадия называется
также стадией уплотнения. В случаях, показанных на
диаграммах айв, давление полимера в форме постоянно. Это
достигается тем, что на противоположной стороне плунжера

376
Гл. 13. Литье под давлением
поддерживается постоянное гидравлическое давление. По мере
охлаждения полимера плунжер продвигается вперед,
понемногу нагнетая в форму дополнительное количество материала и
тем самым поддерживая в форме постоянное давление. В
случае, показанном на диаграмме б, на стадии сжатия происходит
некоторое уменьшение давления. Это наблюдается в тех
случаях, когда во время стадии сжатия плунжер все время
находится в том же положении, что и в конце первой стадии. В этом
случае по мере уменьшения средней температуры полимера
давление должно падать, однако вследствие 'возрастания
плотности полимера расплав все же продолжает затекать
в форму.
Третья стадия цикла формования — стадия утечки (или
вытекания из формы). В начале этой стадии плунжер начинает
двигаться назад. Высокое, давление, созданное в форме,
выдавливает из формы некоторое количество полимера, что приводит
к падению давления. Это явление показано на диаграммах а
и б. Диаграмма в построена для такого цикла формования, в
котором применялся обратный клапан, расположенный на
форсунке литьевого цилиндра. Клапан допускает движение
материала только в одном направлении и тем самым предотвращает
утечку полимера .из формы. В циклах литья, которые
характеризуются диаграммами а я б, утечка полимера продолжается до
тех пор, пока не затвердеет расплав, находящийся в пусковом
канале. После этого оформляющее гнездо формы запирается и
дальнейшая утечка материала прекращается. Средняя усадка
изделия зависит от давления Ps и температуры Ts в момент
запирания формы. Следует отметить, что при применении
обратного клапана давление в форме в момент ее запирания
равно Р°.
Последняя"стадия цикла формования — охлаждение изделия
в форме. Охлаждение начинается с момента запирания формы
(момент времени ^з на диаграммах а и б и t2 — на диаграмме
в). На этой стадии цикла ни вытекания полимера, ни подачи в
форму дополнительных количеств полимера не происходит,
хотя и наблюдается внутреннее перетекание полимера в
отдельных частях изделия. К моменту раскрытия формы в изделии
остается так называемое остаточное давление, которое на
диаграммах обозначено как Рг.
Время, в течение которого плунжер находится в крайнем
переднем положении, в сильной степени влияет на температуру и
давление в форме в момент запирания, а следовательно, на
остаточное давление и среднюю усадку. На рис. 141
пунктирными линиями показано, как изменится цикл формования при
уменьшении продолжительности пребывания плунжера в край-

13-2. Цикл формования
377
нем-переднем положении с t2 до t2- Из диаграмм а и б видно,,
что в этом случае давление в момент запирания формы падает
с Ps до более низкого значения Р$- Из-за того что температура
полимера в момент 'запирания формы довольно высока, в
результате падения давления плотность полимера в момент
запирания формы уменьшится. Из этого следует, что в
рассматриваемом случае средняя усадка увеличится.
С другой стороны, если продолжительность пребывания
поршня -в крайнем переднем положении будет больше времени,,
необходимого для затвердевания полимера "в пусковом канале,,
то диаграммы а я б станут такими же, как диаграмма в.
В этом случае утечки происходить не будет, а остаточное
давление увеличится. Поэтому для- компенсации увеличения
плотности полимера в момент запирания формы необходимо
уменьшить давление Р9.
Из этих рассуждений можно сделать вывод, что масса
отливки непосредственно зависит от средней температуры и
давления в форме в момент затвердевания полимера во
спусковом канале., Если через т* обозначить массу отливки, которая
по своим размерам представляет точную копию формы, а
через т массу отливки с меньшими размерами, то уравнение^
(13-6) можно переписать в следующем виде
т* =
где v — удельный объем полимера в^ момент затвердевания
полимера во впусковом канале.
Следовательно
4г= — = У (13-12)
где у определяется по уравнению (13-9).
Уравнение (13-12) можно использовать для анализа
результатов, полученных Джилмором и Спенсером1 при отливке
коробок из полистирола. Толщина стенок коробки составляла
2,16 • 1(Н3 м, температура нагревательного цилиндра была
равна 527 °К, а температура формы, хотя она не указывалась в
оригинальной работе, вероятно, составляла около 311 °К. В пяти
проделанных» опытах продолжительность выдержки плунжера
в крайнем переднем положении была 'различной. Давление в
форме замерялось при помощи датчика деформаций.
Результаты измерений представлены в-табл. 13-2.
V*
VQ
V*
т = —
V

378
Гл. 13. Литье под давлением
ТАБЛИЦА 13-2
Результаты некоторых экспериментов, проведенных Джилмором и Спенсером1
№
опыта
1
2
3
4
5
h
сек
5
7
9
13
17
*з
сек
6
8
11
17
21
Ps
К/жМО 6
6,867
10,000
20,600
34,340
61,800
Масса
отливки
кг
0,142
0,144
0,146
0,150
0,153
т
°К
423
405
389
366
353
У
0,950
0,958
0,973
0,992
1,011
у1уь
0,937
0,946
0,961
0,980
1,000
W/Wf,
0,928
0,941
0,955
0,980
1,000
Предположим, что ^i невелико. Кривая для определения Ту
на рис. 139 'построена для пластин с такой же толщиной, как и
у коробок из полистирола. Считая, что условия охлаждения при
литье пластин такие же, как при отливке коробок из
полистирола, мы можем оценить величину средней температуры полимера
в форме. Зная физические свойства полистирола, среднюю
температуру и давление в момент затвердевания полимера во впу-
сковом канале, можно по уравнению (13-9) вычислить значение
у. Результаты вычислений также приведены в табл. 13-2.
Заметим, что для опыта № 5 значение у больше 1. Это
говорит о том, что масса получившейся отливки превышает массу
такой отливки, размеры которой точно соответствуют
размерам формы. Разделим теперь значения у, полученные в
каждом опыте, на величину у, полученную в опыте № 5.
Найденные величины характеризуют отношение массы коробки,
полученной в каждом опыте, к максимальной ее массе. Как
показывает сравнение двух последних столбцов таблицы 13-1,
величина у/ув очень близка к экспериментально измеряемой
величине w/w5.
13-3. Остаточные напряжения
Качество изделия, полученного методом литья под
давлением, зависит не только от усадки, но к от некоторых других
факторов. Наиболее важным из них является отсутствие
остаточных («замороженных») напряжений.
Остаточные напряжения возникают тогда, когда молекулы
полимера в отливке находятся в неравновесных конформа-
циях. Возникновение остаточных напряжений обусловлено
наличием у полимера высокоэластических свойств. Все
дальнейшие рассуждения основаны на рассмотрении упрощенной
модели, изображенной на рис. 142. Но в этой модели устранена
пружина, обусловливающая появление мгновенной упругости,
так как это явление не играет никакой роли в процессах,
приводящих к образованию остаточных напряжений.

13-3. Остаточные напряжения
379
В первую очередь рассмотрим явления, .происходящие при
приложении и снятии нагрузки в изотермических условиях. На
рис. 14.2 видно, что запаздывающая высокоэластическая дефор-
If .;
Рис. 142. Модель, иллюстрирующая вязкоупру-
гое поведение расплавов полимеров. В
изотермических условиях после удаления нагрузки
модель возвращается в равновесное состояние (а).
При охлаждении деформированной модели (б)
напряжения после удаления нагрузки не исчезают.
В этом случае говорят, что возникают
остаточные напряжения.
мация при удалении нагрузки полностью исчезает. При этом
модель возвращается в свое первоначальное равновесное
состояние. Но если охладить деформированную модель, то
получится совсем другой результат. При снятии нагрузки, вследствие
увеличения вязкости при охлаждении, высокоэластическая
деформация будет исчезать замедленно. Если же перед снятием
нагрузки охладить модель до некоторой определенной
температуры, то она останется замороженной в деформированном
состоянии. В таких случаях говорят, что в модели содержатся
остаточные (или замороженные) напряжения.
Из краткого обсуждения, проведенного в разделе 2-7,
следовало, что в аморфных полимерах запаздывающая
.высокоэластическая деформация с молекулярной точки зрения
соответствует переходу в менее вероятное состояние (или конформацию).
В этом случае происходит частичное вытягивание (ориентация)
полимерных цепей в некотором определенном направлении.
Таким образом, замораживание деформированной механической
■модели соответствует замораживанию частично
ориентированных цепей полимера. Следовательно, ориентация молекул поли-

380
Гл. /•?. Литье под давлением
мера, сопровождающаяся охлаждением, — непосредственная
причина возникновения остаточных напряжений.
Охлаждение полимера происходит постоянно на
протяжении всего цикла формования. Из этого следует, что остаточные
напряжения возникают в тех местах отливки, где произошла
ориентация молекул полимера. Рассмотрим, как происходит
ориентация молекул полимера на первой стадии цикла
формования — стадии заполнения формы, когда расплав полимера
быстро заполняет форму. В этот период охлаждение полимера
незначительно, но все же вблизи поверхности формы
образуется высокоориентированная тонкая пленка полимера. В этой
пленке сохраняются остаточные напряжения.
На второй стадии цикла литья — стадии сжатия — изделие
охлаждается. Одновременно происходит приток полимера в
форму. Все это ведет к некоторой дополнительной ориентации
молекул по всей ма'ссе отливки. На следующей стадии — стадии
утечки — температура полимера еще ниже, а вытекание
полимера приводит к дополнительной ориентации молекул.
Если прекратить впуск полимера в форму сразу же по ее
заполнении, то в дальнейшем приток или утечка полимера
прекратятся. Однако в отливке имеются как толстые, так и тонкие
стенки. Это вызывает течение полимера внутри отливки, что
приводит к дополнительной ориентации молекул, а
следовательно, и к появлению остаточных напряжений.
Имеются также и другие причины возникновения остаточных
напряжений. Рассмотрим, например, случай, когда
изготовляется относительно толстая стливка. При ее охлаждении на
поверхности образуется жесткий наружный слой, а внутри
отливки полимер все еще остается жидким. Этот слой препятствует
отделению отливки от стенок формы, что приводит к
возникновению напряжений, направленных вдоль теплового потока.
Эти напряжения будут стремиться ориентировать, молекулы
полимера в том же направлении.
Таким образом, в отливке возникнут дополнительные
остаточные напряжения.
Даже при равномерном охлаждении отливки могут
образовываться остаточные напряжения. Когда температура
снижается до температуры фазового перехода, скорость охлаждения
становится значительно больше скорости протекания
молекулярных процессов, в результате которых и происходит сжатие
полимера. Отсюда следует, что в конце цикла формования
отливка будет находиться в неравновесном состоянии.
Спенсер и Джилмор2 наблюдали ориентацию молекул в
отливках, исследуя изделия из полистирола в монохроматическом

13-3. Остаточные напрШкения 381
поляризованном свете. Степень ориентации молекул полимера
оценивалась .по числу различаемых темных линий или колец.
Некоторые из результатов, полученных в опытах Спенсера и
Джилмора, представлены на
графиках (рис. 143). На
первом графике показана
зависимость веса отливки от
продолжительности сжатия
полимера, которая определяется,
отрезком времени от t\ до t2
(рис. 141). На этом графике
показаны две кривые. Верхняя
кривая относится к случаю,
когда используется форсунка
с обратным клапаном, а
нижняя кривая — к процессу,
когда плунжер просто
выдерживается в некотором
определенном положении, а затем,
в конце стадии сжатия,
отходит назад в исходное
положение. Отливки с большой
массой, а следовательно, и с
лучшими свойствами получают
при использовании обратного
клапана, предотвращающего
утечку полимера.
На графике 143, а
показана зависимость числа темных
полос от продолжительности
сжатия полимера. При
кратковременном сжатии, когда
полимер охлажден еще недостаточно, процессы притока и
утечки полимера могут привести к ориентации молекул. По мере
увеличения продолжительности сжатия и масса отливки и
степень ориентации увеличиваются. Рассмотрим, какие
преимущества дает применение обратного клапана в условиях,
необходимых для получения отливки массой 0,15 кг. Если
применять клапан, то продолжительность сжатия составляет
примерно две секунды, при этом степень ориентации будет небольшой
(наблюдают всего 5 темных полос). Пои отсутствии клапана
сжатие продолжается приблизительно 12 сек, а степень
ориентации значительно увеличивается (20 темных полос).
Теперь рассмотрим, как влияют остаточные напряжения на
качество отливки. Прежде всего отметим явление развития на
755
1^5
МО
■30
25
20
15
10
5
4-^
О S
б
О
$s
•
• /
а
5 10 15 20
Продолжительность сжатия,
сек
Рис. 143. Влияние
продолжительности сжатия на "степень ориентации
молекул (а) и массу отливки (б).
Степень ориентации определяется числом
темных полос, наблюдаемых в
поляризованном свете. Верхняя кривая
получена в опытах, проведенных с
использованием обратного клапана, а
нижняя—без него.

382
Гл. 13. Литье под давлением
поверхности полимера небольших трещин. В отливках эти во-
лооные трещины ориентированы вдоль направления потока
полимера, и их образование, несомненно, связано с ориентацией
молекул. Волосные трещины могут возникать и при быстром
охлаждении изделия. Неравномерное охлаждение (а
следовательно, и усадка) приводят к возникновению растягивающих
напряжений, которые развиваются на поверхности отливки и
разрушают ее в направлениях наименьшей прочности. В
изделии, на поверхности которого образовался ориентированный
слой, наиболее часто разрушение происходит вдоль линий
ориентации молекул полимера. Результаты, полученные
Спенсером и Джилмором2, показывают, что уменьшение степени
ориентации снижает растрескивание и улучшает
механические свойства отливок.
Остаточные напряжения также снижают температуру, при
которой отливка начинает коробиться. Если бы остаточных
напряжений не было, то отливку можно было бы нагревать до
такой температуры, при «которой коробление происходило бы уже
только под действием силы тяжести. Если же в отливке
сохранились остаточные напряжения, то коробление начинается при
такой температуре, когда становится заметной скорость
восстановления эластических деформаций.
Прочностные свойства ориентированных пленок зависят от
направления ориентации. Это особенно заметно при
рассмотрении таких показателей, как прочность на изгиб, которая в
большей степени определяется поверхностными, а не объемными
свойствами. Джилмор и Спенсер измеряли прочность на изгиб
образца из полистирола и нашли, что в направлении,
перпендикулярном направлению потока в форме, предел прочности
достигал 1,1-108 н/м2 (1100 кГ/см2), а в направлении,
параллельном направлению потока, — 4,2 • 107 н/м2 (420 кГ/см2).
Результаты, полученные при испытании образцов,
изготовленных при использовании обратного клапана и без него, мало
чем отличаются друг от друга. Это объясняется тем, что
клапан предотвращает ориентацию молекул полимера в массе
отливки, а прочность на изгиб зависит в основном от степени
ориентации на поверхности изделия. Следовательно, прочность
на изгиб не зависит от того, используется ли клапан или нет
13-4. Формуемость полимера
Во всех случаях параметры процесса литья под давлением'
зависят от конструкции оборудования (формы и литьевой
машины), от характеристики цикла формования и от физических
свойств термопластичного материала. Для оценки качества из-

13-4. Формуемость полимера
383
делий и производительности оборудования широко
используется термин характеристика процесса.
Контроль за процессом литья осуществляется с помощью
регулятора продолжительности отдельных стадий цикла и
автоматического регулятора температуры. Эти параметры определяют
харакгер цикла формования (т. е. изменение во времени
температуры и давления в форме). Физические свойства
материала, играющие важную роль в процессе литья под давлением,
можно разделить на две большие группы: реологические и теп-
лофизические. Предварительное обсуждение показало, что
Р—V — Г-характеристика полимера, его вязкоупругие
свойства и поведение при установившемся течении оказывают
большое влияние на условия проведения процесса литья. Все эти
характеристики зависят от реологических свойств расплавов
полимеров. Из теплофизических свойств полимера
первостепенную роль в процессе литья играет коэффициент
температуропроводности. От его величины зависит скорость нагревания и
охлаждения полимера и, следовательно, продолжительность
периода охлаждения. Также важной характеристикой полимера
является температура его разложения. Она определяет тот
верхний предел температур, до которого можно работать с
расплавом полимера.
«Формуемость» полимера зависит в основном от этих
реологических и теплофизических свойств. Идеальный материал
для переработки методом литья под давлением должен быстро
плавиться при относительно низкой температуре, образуя
неэластичную маловязкую жидкость с высоким коэффициентом
температуропроводности. Более того, плотность расплава такого
полимера должна почти не зависеть от изменений температуры
и давления, а полимер должен обладать способностью
нагреваться до высоких температур без термического разложения.
Вышеприведенным требованиям почти полностью
удовлетворяют некоторые литьевые сплавы металлов. Большинство же
термопластичных полимеров обладают свойствами, которые
довольно далеки от идеальных.
Одним из показателей формуемости полимера является
«легкость», с которой расплав данного полимера заполняет
форму (т. е. текучесть полимера). В качестве примера рассмотрим
процесс заполнения расплавом полимера формы,
представляющей собой длинную, прямую цилиндрическую трубу.
Температура поверхности формы Тт — постоянна. Давление литья Pi.
Температура расплава 7V Так как Tm<Ti, полимер начинает
охлаждаться сразу же после попадания в форму. Течение
полимера продолжается до тех пор, пока температура полимера
не станет ниже его температуры стеклования.

384
Гл. 13. Литье; под давлением
Для определенной формы с' фиксированными значениями
переменных (7\, Pi и Гт), характеризующих процесс литья,
мерой «текучести» расплава полимера будет являться то
количество полимера, которое сможет попасть в форму до полного
отверждения полимера. Из рис.- 144 видно, что это количество
полимера пропорционально, тому предельному расстоянию X,
на которое полимер сможет проникнуть в форму.
Рис. 144. Литье расплаву полимера в форму,
представляющую собой прямую цилиндрическую трубу. Темпе:
ратура формы постоянна. Глубина проникновения
расплава полимера в форму х зависит от времени.
Предельная глубина проникновения расплава полимера в форму
X достигается при отверждении полимера.
Для данного полимера величина X определяется
преимущественно зависимостью вязкости 'полимера от температуры
и его коэффициентом температуропроводности. Чём ниже
вязкость полимера и чем меньше зависит она от изменения
температуры или чем ниже- .коэффициент температуропроводности
полимера, тем больше значение X. Но необходимо заметить, что
большое значение X совсем необязательно соответствует
хорошей формуемости полимера. Так, например, если большое
значение X получено благодаря низкому коэффициенту
температуропроводности полимера, то хотя форма может быстро и
легко заполняться, все же полный цикл формования, который
продолжается до тех пор, пока полимер не затвердеет
.настолько, что его можно извлечь из формы, будет чрезмерно
длительным.
Бальман, Шусман и Тур3 провели обширные исследования
течения расплавов полимеров при заполнении формы. При
фиксированных значениях Tiy Pi и Tm, характеризующих
условия процесса литья, они определяли 'расстояние X, на которое
полиэтилен и полистирол проникают в форму, как функцию
времени. На основании этих данных они рассчитали в
зависимости от времени среднюю скорость течения полимера' и и
обнаружили, что lg и пропорционален t. На рис. 145,
построенном в полулогарифмических .координатах по данным Бальмана.

13-4. Формуемость полимера
385
Шусмана и Тура, показано, что соотношения между \ga я t
оказываются прямыми линиями. Уравнение,
представляющее эту зависимость,
можно записать в
следующем виде:
и = -^- =u0e~W (13-13)
где щ и (3 — величины,
зависящие от
конструкции формы, физических
свойств полимера и от
значения параметров,
которые определяют
условия процесса заполнения
формы.
Интегрирование
уравнения (13-13) при
использовании начального
условия л;(0)=0 приводит к
следующему соотношению
между х и t:
x = u0P\l—e-W] (13-14)
При ^-»-оо5 уэавнение (13-14) принимает вид:
X = и$
Это означает, что предельное .расстояние, на которое расплав
проникает в форму, зависит как от uq, так и от >|3.
Балъман и др.3 провели подробные исследования заполнения
формы .полистиролом и .полиэтиленом. Эксперименты
производились на двух литьевых машинах с формами различной
геометрии, что дало 'возможность широко изменять переменные,
определяющие условия протекания изучаемого процесса. На
основании полученных результатов они .пришли к выводу, что
экспоненциальная зависимость [уравнение (13-13)] имеет
характер общей закономерности процесса заполнения формы под
давлением. Однако необходимо заметить, что параметры uq и (3
еще не определяют формуемость полимера, поскольку сами они
зависят от переменных, характеризующих условия процесса
формования, и от конструкции формы. Вполне очевидно, что
для полного обоснования процесса литья под давлением
необходим теоретический анализ процесса неизотермического
неустановившегося течения; при этом следует совместно
рассматривать уравнение энергии и уравнение движения (см. главу 2).
3 5 7 9 11 13 15
Время, сек
Рис. 145. Зависимость скорости
заполнения формы от времени,
построенная в полулогарифмических
координатах3. Различные прямые
соответствуют различным условиям
процесса заполнения формы.

386
Гл. 13. Литье под давлением
Задана.
13-1. Рассчитайте среднюю усадку S изделия из полиэтилена, полученного
при температуре 423 °К и при давлении 6,9-107 к/ж2 (700 кГ/см2). Какое
потребуется давление, чтобы уменьшить усадку до 0,2%?
13-2. Получите при помощи уравнения (13-10) аналитическое выражение-
для функции f(u.tjW2). Сравните полученный результат по какому-нибудь
курсу теории теплопередачи, на который имеются ссылки в тексте.
13-3. Используя табл. 13-2,определите массу коробки, изготовленной при
температуре 478 °К и давлении 3,5-107 н/м2 (350 кПсм2), если ^з=Ю сек.
13-4. Определить разность Aw между массой отливки, полученной при
приложении давления, и массой, которую имела бы отливка, без сжатия.
Исходя из данных рис. 143, рассчитайте Aw, если продолжительность сжатия
2,5 сек и 5,0 сек. Затем оцените степень ориентации для соответствующих
значений Aw. Какие выводы, связанные с ориентацией молекул в
полученных изделиях, можно сделать на основании графика? Сравните полученный
рафик и Ваши выводы с^результатами Спенсера и Джилмора2.
Литература
1. G. D. Gil more, R. S. Spencer, Mod. Plast., 27, 143 (1950).
2.jR. S. Spenser, G. D. G i 1 m о г e, Mod. Plast., 28, 97 (1950).
3. R. L. В a 1 1 m a n, T. Shusman, H. L. T о о r, Mod. Plast., Ocic»
ber, 115 (1959).

Глава Я J&
Методы соединения
полимерных материалов
В этой главе рассматриваются два метода соединения
полимерных материалов: термическая сварка и нанесение покры-
тий методом экструзии. Основное различие между этими
способами заключается в том, что при термической сварке
происходит плавление или размягчение обеих соединяемых
поверхностей, в то время как при нанесении покрытий методом
экструзии одна из поверхностей остается твердой на
протяжении всего процесса. Термическая сварка обычно
осуществляется по периодическому циклу, тогда как второй процесс — по
непрерывному. Мешки, упаковочные материалы и другие
подобные изделия, как правило, изготовляются с помощью
термической сварки. Нанесение покрытий методом экструзии
широко применяется для изготовления различных слоистых
материалов, например алюминиевой фольги, плакированной
полиэтиленом,
14-1. Термическая сварка
Известно, что пленки из термопластов .повсеместно
применяются для изготовления душевых занавесок, упаковочных
материалов, плащей, чехлов для сидений автомобилей и
множества других предметов широкого потребления. Для
успешного развития производства подобных изделий прежде всего
необходимы быстрые, простые и недорогие технические приемы
соединения полимерных пленок, среди которых далеко не
последнее место занимает термическая сварка.
При термической сварке два куска пленки сжимаются вме<.
сте в течение короткого промежутка времени и нагреваются
под давлением. По мере размягчения материала свариваемые
пленки слипаются, образуя на поверхности контакта сварное
шов. Прочность шва определяется продолжительностью кон-.,
такта, температурой свариваемых поверхностей, величиной сжи>
мающего усилия, а также природой самой пленки.

388 Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
Классификация методов термической сварки производится
обычно по способу нагревания свариваемой пленки. В одном
случае тепло к материалу подводится через слой пленки
непосредственно от обогреваемых плит. В другом случае под
воздействием токов высокой частоты тепло для сварки образуется
внутри самого свариваемого материала. Наиболее важные
характеристики, относящиеся к сварке первого типа, следующие:
продолжительность процесса, сжимающее усилие и
температура плит. При высокочастотной сварке основными
управляемыми параметрами процесса (в дополнении к
продолжительности контакта и сжимающему усилию) являются
применяемые напряжения и частота тока.
Анализ процесса сварки следует начинать с установления
соотношения между температурой и давлением па свариваемой
поверхности и управляемыми параметрами процесса. Величина
давления «а свариваемой поверхности определяется путем
деления усилия, прикладываемого к плитам на площадь
свариваемой поверхности. Эта величина со временем не изменяется.
Температура на свариваемой поверхности .рассчитывается на
основании теории нестационарной теплопроводности,
изложенной в главе 8. Обычно эта температура возрастает с течением
времени.
Цель исследования процесса сварки состоит в установлении
условий для получения прочного шва в зависимости от
температуры свариваемой поверхности, сжимающего усилия, времени
контакта и физических свойств полимерной пленки. Для этого
необходимо знать основные молекулярные процессы,
протекающие при термической сварке.
14-2. Виды сварных швов
Молекулярные процессы, происходящие при термической
сварке, были разобраны в работах Мак-Келви и Сторма1.
Изучая сварку полиэтиленовой пленки, эги исследователи пришли
к выводу, что можно выделить два различных типа сварных
швов. Первый из них, называемый здесь поверхностным швом,
образуется почти мгновенно и обусловлен в основном силами
межмолекулярного взаимодействия, действующими на
поверхности контакта. Прочность подобного шва сильно зависит от
химической природы поверхности полимерной пленки.
Второй тип шва—сварной шов возникает в течение
определенного промежутка времени и образуется в основном в
результате диффузии полимерных цепей через поверхность
контакта. Если процесс диффузии протекает достаточно долго, то
полностью исчезает граница раздела свариваемых поверхно-

14-2. Виды сварных швов
389
стей, и прочность шва не уступает прочности основного
материала. Как известно, диффузионные процессы очень
чувствительны к изменениям температуры и другим факторам,
снижающим подвижность полимерных цепей, к числу которых
относятся -и реакции образования сетчатых структур.
Механизм образования сварных швов описывается Мак-Кел-
ви и Стормом1 следующим образом.
Рассмотрим две плотно прижатые друг к другу полимерные
пленки, нагретые выше температуры размягчения свариваемого
материала. Вследствие движения молекул участки полимерных
цепей из одной пленки будут переходить через поверхность
контакта 'В другую пленку и наоборот. Если подобный
диффузионный 'процесс продлится достаточно долго, то граница
раздела исчезнет и свариваемые поверхности «сплавятся».
Очевидно, что необходимое для этого время зависит от температуры
сварки.
При высоких температурах, когда вязкость материала низка,
полное сплавление достигается за несколько секунд. Если же
данный процесс проводить при температурах, близких к точке
размягчения материала, то состояние сплавления может
наступить лишь через несколько дней и даже недель.
За температуру сплавления т/ принимается температура,
при которой получаются швы такой высокой прочности (при
данном времени контакта и давлении), что сваренные пленки
нельзя отделить друг от друга даже при очень медленном
растяжении или расслаивании. Таким образом, температура
сплавления— это температура, при которой полимерные молекулы
становятся настолько подвижными, что в результате
молекулярной диффузии в течение одного цикла исчезает граница
•раздела свариваемых пленок.
14-3. Факторы, влияющие на процесс сварки
При сварке полиэтилена температура сплавления,
измеренная за время контакта, равное 1 сек, и сжимающем усилии
1,4 кгс/см2 (1,37-105 н/м2) изменяется в пределах от 421,8 до
588,5 °К. Как видно из табл. 14-1, величина Т/ довольно точно
отражает внутренние изменения, происходящие в пленке.
Увеличение T/ в результате старения полимерного материала
объясняется образованием поперечных связей, снижающих
подвижность полимерных цепей и тем самым тормозящих
диффузионные процессы, влияющие на скорость образования
сварного шва.
Для оценки качества поверхностных швов обычно
проводятся испытания на расслаивание. При этих испытаниях свобод-

390
Гл 14. Методы соединения полимерных материалов
ТАБЛИЦА 14-1
Влияние времени старения на температуру сплавления полиэтилена*
Условия хранения
Температура
сплавления, °К
13 суток при комнатной температуре 434,1
34 суток при комнатной температуре 466,1
13 суток при комнатной температуре и 21 сутки
при 338,5 °К • 544,1
* По данным Мак-Келви и Строма.
ные концы сваренных пленок закрепляются в зажимах
испытательной машины и шов «расслаивается» с заданной
скоростью. Принципиальная схема испытания
на расслаивание представлена на
рис. 146. Сопротивление шва
расслаиванию характеризуется величиной
прочности на расслаивание. Прочность на
расслаивание равна силе F, необходимой
для расслаивания шва, деленной на ши*
рину поверхности контакта L.
Для обоснованного сравнения
различных сварных швов необходимо система*
тизировать условия испытания, влияю*
<щие на прочность при расслаивании.
К ним относятся скорость расслаивания,
температура испытания, геометрия шва
и ряд других факторов. Поскольку
сопротивления расслаиванию обычно
неодинаковы в различных точках сварного
шва, то при каждом испытании необхо*
димо регистрировать среднюю,
максимальную и среднеинтегральную величину
прочности расслаивания. Для установлен
ния истинного значения прочности,
ввиду возможности сильного разброса ре»
зультатов, следует провести достаточное
число испытаний. Сварные швы первого
типа, как правило, обладают низкой
прочностью [к малопрочным швам отно*
сятся швы с прочностью расслаивания
ниже 394 г/см (390 н/м)]. Прочность таких,
швов определяется, главным образом, адгезионным сцеплением.
При плотном соприкосновении свариваемых поверхностей почти
Рис. 146.
Принципиальная схема испытания на
расслаивание, обычно
применяемая для оценки
прочности сварных швов.

14-3. Факторы, влияющие на процесс сварки
391
мгновенно образуется адгезионный шов, прочность которого
зависит от площади действительного контакта и величины сил
межмолекулярного взаимодействия.
Нагревание свариваемого материала до температуры его
размягчения увеличивает площадь действительного контакта.
То же самое происходит и пр>и увеличении давления на
свариваемую поверхность. Величина сил межмолекуляриого
взаимодействия 'в большой степени зависит от химической природы
свариваемых поверхностей и может быть увеличена в
результате прививки на эту поверхность определенных полярных
групп.
На 'рис. 147 на примере полиэтиленовой пленки показано
изменение прочности шва в зависимости от температуры
свариваемой поверхности. Контроль
6,28\ 1 1 1 1 температуры поверхности раздела
(которая изменялась в диапазоне
.295 °К) осуществлялся двадцати-
v,7/| | \ \f—\ кратным изменением времени кон*
такта от 0,25 до 5 сек. При этом
минимальная температура свари*
i
i
•ось
I
3,7Ь
1.57:
0
о/
/ °
а с
о
82,2 87,3 93,3 98,8 704,Ь
Температура
■контакта Т,°С
0,7 7,4 2,1 2,8 3,5 £2
Давление В цилиндре -10,н/м'
Рис. 147. Зависимость
прочности сварных швов, полученных
яри различных значениях
времени контакта и температуры
плит пресса, от температуры на
свариваемой поверхности1.
;Рис. 148. Влияние сжимающего
усилия на прочность шва при различных
значениях температуры и времени
контакта.
■ваемой поверхности была на 288,5 °К ниже, а максимальная —
•на 278,5 °К выше точки плавления свариваемого материала.
При более низких температурах свариваемые пленки пропрес*
совывались не достаточно хорошо, а при более высоких темпе*
ратурах подвижность молекул полимера была так высока, что
.сплавление происходило практически мгновенно.

392 Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
Из графика, представленного на рис. 148, видно, что при
увеличении сжимающего усилия возрастает (прочность шва.
В этом случае, по-видимому, улучшается форма поверхности,
что в свою очередь вызывает увеличение площади
действительного контакта и прочности адгезионного шва. Обозначим'через
ti9o температуру поверхности раздела, при которой прочность
шва достигает 190 г/см (186 н/м). Для данных, представленных
на рис. 147, значение т/igo приблизительно будет равно 365,1 °К-
Эта величина, как видно из табл. 14-2, довольно точно
характеризует природу поверхности свариваемых пленок.
ТАБЛИЦА 14-2
Влияние поверхностной активации на образование сварных швов*
Пленки
№ 1 неактивированная ....
№ 1 активированная
№ 2 неактивированная ....
№ 2 активированная
* По данным Мак-Келви и Строма.
Температура
"К
379,1
369,1
380,2
360,7
Из табл. 14-2 видно, что поверхностная активация снижает
значение Тюо. Это, по-видимому, объясняется тем, что швы,
полученные при свар.ке активированных пленок, вследствие
уменьшения температуры процесса обладают меньшей площадью
действительного контакта. Однако при этом величина сил
межмолекулярного взаимодействия увеличивается.
14-4. Теплопередача при сварке
Для расчета распределения температур в листах или
пленках в процессе сварки применяются выводы рассмотренной з-
главе 8 теории нестационарной теплопроводности. При этом
предполагается, что коэффициент температуропроводности-
материала постоянен. В настоящем выводе также не
учитывается некоторое сопротивление теплопередаче от плит пресса
к свариваемой пленке, начальная температура которой
принимается постоянной во всех точках и обозначается через 7\-
Рассмотрим три различных случая теплопередачи,
схематически представленные на рис. 149. Для случаев а и б в верхней
плите пресса поддерживается постоянная температура Тр.
В случае а нижняя пли га также имеет температуру Тр, а в
случае б температура нижней плиты равна 7\— начальной темпе-

14-4. Теплопередача при сварке
зда
3;
■x=+w
■х=0
■Х=-М
Случай а.
ратуре свариваемого материала. В этом случае внешняя ш>
верхность нижней пленки ео время всего процесса будет
находиться в нерасплавленном
состоянии.
В случае в нижняя
плита пресса заменяется
резиновой прокладкой,
температура которой не изменяется.
Кроме того, решая
уравнение теплопроводности,
будем считать коэффициенты
температуропроводности
резиновой прокладки и
свариваемого материала
равными по величине. Таким
образом, пленка и прокладка
вместе образуют единую
однородную среду, в которой
осуществляется процесс
теплопроводности.
Для решения общей
задачи применимо
дифференциальное уравнение вида:
тР
Зг
х = а
x=w
■x=zw
Случай б
дТ_
dt
= а
д2Т
дх2
(Н-1)
3-
Х=0'
■ X=W
-X=ZW
Случай в
В этом случае начальное
условие может быть записа- Рис- 149. Теплопередача при сварке
НО
Т (х, 0) = Г,
а—нижняя плита пресса нагрета; б—нижняя
плита охлаждается; в—температура нижней
плиты не изменяется..
при следующих граничных условиях:
для случая а
T(±W, t) = Tp
для случая б
для случая в
Г(0, t) = Tp\ T(2W, t) = T£
Г(0, t) = Tp
Следует отметить, что в случаях б и в начало координат
находится не на поверхности стыка свариваемых пленок, а на

394
Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
поверхности раздела свариваемой пленки и верхней плиты
пресса.
Распределение температур для случая а описывается
формулой (8-64), а для случая б — равенством (8-49). Карелоу и
Егер2 приводят решение уравнения теплопроводности,
удовлетворяющее граничным условиям для случая б:
Тд — Т / х \ . 2 \П 1 _nWat
тР
=ТГ-(2Г) + 1Г 2j — е w smw (14-2)
л=1, 2,.
Для определения температуры поверхности раздела в
формуле .{14-2) заменим х «a W, в результате чего получим:
,( r. + Tt-fc \ = _L £ Н.£1^е-■«- (14-3)
я=1, 3...
На рис. 150 представлен вид зависимости, определяемой
формулой '(14-3).
Для примера рассмотрим процесс аварки, который проводит
сн при следующих условиях:
Tt = 299,6°К W = 5-10~б м
Тр = 477,4 °К а = 1,6.10~7 н2/сек
При этом температура поверхности контакта должна быть
равна 277,4°С. Ниже приводится расчет времени, необходимого
для сварки, применительно к каждому из трех разобранных
случаев.
для случая а:
Тп-х
Tp-Ti
at '
- = 0,56
/ at \
f f™- ) = 0,34 (найдено по графику 86)
/ = 5,3.10"3 сек
для случая б:
T?+pTJ_~*) = 0,125
акЧ\
дт^2- =2,4 (найдено по графику 150)
t= 15,2.10"3 сек

14-5. Высокочастотная сварка
39^
для -случая s:
Т„ — т
Тг
0,56
w
'2 Vat
= 0,55 (найдено по графику 84)
*= 12,9-10"3 сек
При ретедаги данной задачи интересно было бы определить
аремя цикла сварки и распределение температур в конце цикла.
0,8
0,6
0,2
,0
^
@,1 10 10
Рис. 150. Вид зависимости,
определяемой формулой 14-3.
260
I
%93,3
а
в
ь
37,7
q 125 -
' 0,125 0,075 0,025 0,025 0,075 0Ь025
Расстояние от ераницы раздела,
мм
Рис. 151. Распределение температур
в конце периода нагревания:
а—плиты пресса нагреты; б—нижняя плита
охлаждается; в—температура нижней плиты
не изменяется.
Искомые величины для а, б я в могут быть рассчитаны
соответственно по уравнению (8-54), (14-2) и (в-60). Полученные
результаты представлены на рис. 151.
14-5. Высокочастотная сварка
Высокочастотная сварка осуществляется в электрическом
поле высокой частоты, которое генерируется при помощи
электродов, одновременно служащих зажимами свариваемых листов
■и 'пленок. Вследствие диэлектрических потерь в объеме
свариваемого материала выделяется тепло. Для того, чтобы нагреть
материал до температуры сварки, требуется некоторый
промежуток времени, продолжительность которого определяется фи-

396 Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
зическими (тепловыми и диэлектрическими) свойствами
материала, толщиной свариваемых изделий, 'напряжением и
частотой тока, а также интенсивностью тепловых 'потерь.
Тепловые потери в нагреваемом материале в основном
обусловлены теплопроводностью электродов. Причем тепловые
потери будут особенно велики в том случае, когда применяются
холодные электроды, изготовленные из материала с высоким
коэффициентом теплопроводности. Очевидно, если процесс
нагревания будет продолжаться достаточно долго, то
возникающее в материале тепло рассеивается за счет теплопроводности
электродов, в результате чего в материале устанавливается
стационарное распределение температур.
При этом уравнение теплопроводности примет вид
* ТБ* = - G <14-4>
Предположим, что температура электродов Тр остается
неизменной в течение процесса сварки. Тогда, выбрав начало
координат на поверхности стыка пленок, получим следующие
граничные условия:
T(±W)= Тр
где W — толщина свариваемого листа или пленки.
Решение уравнения (14-4), удовлетворяющее этим
граничным условиям, запишется
W2G
2k
х
<T-TJ = ^£- 1- ,И (14-5)
w
где G — тепловая мощность, генерируемая в единице объема
материала;
k — коэффициент теплопроводности материала.
Из уравнения (14-5) видно, что кривая распределения
температур представляет собой 'параболу, симметричную
относительно 'поверхности контакта свариваемых пленок. При этом
величина равновесного распределения температуры
определяется выражением W2G/[2k.
На рис. 152 представлена зависимость установившегося
распределения температур от этого параметра.
Кратко теория высокочастотного нагрева была изложена
в главе 7, где выведено- уравнение количества: тепла,.,
выделяющегося в единице объема диэлектрика:
0=13>1(Г*(^£) (14-6)

14-5. Высокочастотная сварка
397
Если фактор потерь е" остается постоянным, то по этому
уравнению легко рассчитывается количество выделяемого тепла.
Для примера рассмотрим случай, когда
№ = 5-1(Г5
V = 500 в
/=10 Мгц
м в" = 0,24
k = 10-4 кал/(см • сек • град)
(4,186 em/м?--град)
780
720
I
во
ио
X
h
•^.^^ •
Л-
v \
Значение G, найденное по уравнению (14-6), равно 0,8 • 103
кал/см3 • сек [3,34 • 107 вт/(м3 • град)], а величина (W2G/2k) в
данном случае равна 373 °К- На рис.
152 показано равновесное
распределение температур для различных
мощностей теплового .потока.
Следует отметить, что фактор лотерь
е" зависит от температуры, и,
следовательно, реальное
распределение температур определяется
искаженной .параболой, как это
показано «а рис. 152.
Наиболее интенсивный прогрев
свариваемого материала
'происходит при его термоизоляции от
электродов. При -идеальной изоляции
скорость нагрева материала
будет равна G/cp p град/сек. Пусть в
рассмотренном примере
требуется -нагреть полимерный
материал с удельной теплоемкостью
••0,4кал/см3-град [1,6- 104вт/ж2-гршЗ)]
на 80°С. Используя полученные данные, находим, что скорость
нагрева равна 2000 град/сек, а продолжительность цикла
составит 0,04 сек.
С практической точки зрения представляет интерес
рассмотреть процесс нагревания с учетом потерь тепла за счет
теплопроводности электродов. Разберем частный случай, когда
начальная температура пленки, а также температура электродов
во время работы поддерживается на уровне комнатной. В
данном случае применимо дифференциальное уравнение,
описывающее процесс нестационарной теплопроводности. Полагая при
этом, что выделение тепла происходит в объеме свариваемой
пленки, а тепловой поток вследствие теплопроводности
материала распространяется в одном направлении, тепловые потери
О 0,2 ОЛ 0,6 0,8 1,0
x/w
Рис. 152. Зависимость
установившегося распределения
температур от фактора
K=(W2G/2k)°C.

398 Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
происходят с поверхности свариваемого материала?. Для
данного случая уравнение (8-38) можно записать в виде
£)-(£)+(-£-) сн-7)'
а граничные условия запишутся
Т{х, 0) = Тр
T(±W, t) = Tp
Карслоу и Егер3 приводят решение уравнения (14'-7),
удовлетворяющее этим граничным условиям. При х = 0- температуру
поверхности контакта т можно найти из следующего равенствам
a(2n-\-\)ivM
, „ ч GW2 < 32 V (—*)" ■
(2я+ I)3
л = 1, 2...
(1.4-8)
Ъ-Т*=Т?.(ёг\ 0-4-9)
которое можно переписать в виде:
GW_
Подставив уравнение (14-6) в уравнение (14-9)1 после
элементарных преобразований, получим:
(,-Tp) = KF(4r) (Н-10)
где К — коэффициент, определяемый равенством:
/С=1,66-10-14/^Ю (14-11)
На рис. 153 представлена графическая зависимость разности
температур (т—Тр) от безразмерной величины (aT/W2) при
различных значениях К.
Вернемся к рассматриваемому примеру. Коэффициент К,.
рассчитанный по формуле (14-11), равен 100. Для разностш
температур в 80°С по графику на рис. 153 найдем значение
безразмерной величины (iat/W2), которая равна примерно 0,7:
Таким образом, продолжительность нагрева составляет 0,07 сек,
или почти вдвое больше по сравнению с тем случаем, когда
свариваемый материал термоизолирован от электродов.
Если необходимо сварить пленку вдвое большей толщины, а
условия процесса, частота и напряжение тока, остались, неизг-

14-5. Высокочастотная сварка
399
менными, то также не изменяется и продолжительность
нагрева материала до заданной температуры, если пленка будет
тщательно изолирована от электродов. При потерях тепла за счет*
1000
100
70
У
/
РГ+-Н
ZZ
ZL
-р-Ц
—■ гА
-•&•
&-
* >'
:i:
,?
:±: ао^ ..
1 . Л ^jS
^S
'.'.". &^ "
- \?Л
\\s
—v
..
~"~=p+:
|==Ь^Тг
О, О J
0,70 7,0
dLt/W2
70
Ч
Рис. 153. Вид зависимости, определяемой f<pop-
мулой (14-10).
теплопроводности значение параметра К, а следовательно
величины (atjW2), не изменится, но продолжительность нагрева
увеличится в 4 раза и станет равной 0,28 сек.
Необходимая для сварки мощность равна мощности,
генерируемой в единице объема диэлектрика, умноженной на
объем материала. При этом необходимо пересчитать полученный
результат в соответствующие электрические единицы. Если в
приведенном выше примере изолирующая площадь имеет
1 • Ю-2 м в ширину и 0,1 м в длину, а объем материала равен
1 • 10_5ж3, то скорость выделения тепла составляет 80 кал/сек
(334 дж/сек) или, выраженная в электрических единицах, 334 вт
14-6. Нанесение покрытий методом экструзии
Нанесение покрытий методом экструзии представляет собой
высокопроизводительный непрерывный процесс. Назначение
экструдера при этом состоит в расплавлении полимерного
материала и продавливании его через мундштук. Контакт меж-

400 Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
ду полимерным материалом и основой (подложкой)
осуществляется в зазоре между двумя валками. После охлаждения рас-
прочыое покрытие. На рис. 154
приведена схема процесса
нанесения полиэтилена на
алюминиевую фольгу, которая
применяется в качестве основы.
Вместо алюминиевой фольги
часто используется также
бумага, целлофан, «майлар» и
ряд других пленок.
Качество покрытия,
нанесенного методом экструзии, в
основном определяется
прочностью сцепления между
основой и покрытием. Особенно
•актуальна данная проблема в
отношении полиэтилена,
поскольку полиэтилен, как
известно, в обычном состоянии
обладает незначительной
адгезией к другим материалам.
Однако, как выяснилось,
полиэтилен образует прочное
покрытие при нанесении на
алюминиевую фольгу и другие подложки при условии, если
температура экструдируемого расплава поддерживается выше 588,5 °К.
При более низких температурах получаются некачественные
малопрочные покрытия. По-видимому, это явление
объясняется окислением поверхности расплава при его прохождении на
воздухе от мундштука экструдера до зазора между валками.
В этом случае происходит как бы поверхностная «активация»
пленки (см. раздел 6-5), что вызывает значительное увеличение
адгезионных сил. Степень подобной активации, по-видимому,
определяется временной и температурной предысторией
поверхности расплава полимера при его движении от мундштука до
зазора между валками.
В данном разделе рассматривается расчет температуры
поверхности расплава полимера в зависимости от расстояния
между рассматриваемой точкой и мундштуком экструдера. При
этом не учитывается уменьшение толщины пленки расплава
полимера в результате растяжения. Таким образом, пленка
расплава рассматривается как плоскопараллельная пластина
толщиной 2W. Кроме того, предполагается, что температура рас-
ллава по выходе из сопла Тг во всех точках одинакова, а тем-
ллава на подложке образуется
Рис. 154. Схема нанесения покрытия
методом экструзии:
/—плакированая . фольга; 2—охлаждающий
барабан; 3—головка, 4—расплав
полиэтилена; -з 15—алюминиевая фольга; 6—прижимной
ролик.

14-15. Нанесение покрытий методом экструзии
401
иература воздушной среды, обозначаемая Tf, поддерживается
постоянной на протяжении всего процесса.
Потери тепла с поверхности расплава происходят за счет
лучеиспускания и конвекции. Средний коэффициент
теплопередачи h определяется коэффициентом конвекции hc и
коэффициентом лучеиспускания hr, поскольку эти два вида теплопередачи
протекают одновременно. Таким образом
h = hc + hr (14-12)
Для простоты предположим, что h не зависит от температуры.
Тогда уравнение теплопередачи сводится к выражению
(£Н&) <14-13>
•если пренебречь передачей тепла в направлении движения
расплава (в направлении оси у).
При нанесении покрытий методом экструзии выдавливание
материала осуществляется с постоянной линейной скоростью V,
поэтому положение любой точки на поверхности расплава мож-
ето определить по расстоянию ее от мундштука экструдера. Это
расстояние используется в данном расчете как независимая
переменная вместо независимой переменной времени.
Независимые переменные связаны между собой соотношением
y = Vt (14-14)
где у — расстояние от выходной щели головки экструдера.
Заменив t на у в уравнении (14-13), получим:
В этом случае граничные условия имеют вид:
Т(х, 0) = Г,
- /гГ (+1Г, у) = А[7(+ W, у) - Tf] (14-16)
kT'{-W, y) = h[T(-W, y)-Tf]
Заменив в уравнении (8-52) t на (y/V), получим решение,
удовлетворяющее приведенным выше граничным условиям. Для
определения температуры поверхности расплава в воздушном
зазоре в полученном уравнении заменим х на W и у на У. В
результате этой замены получим:
Tf _TS. = 2j f(M)e WWcosM (14-17)

402
Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов*
где У — расстояние от выходной щели мундштука экструдера
до зазора между обжимными валками. Параметр М и функция
f(M) соответственно определяются по уравнениям (8-53) и
(8-52).
Коэффициент теплопередачи конвекцией hc определяется по
уравнению (8-69) и записывается в виде:
hc = ИУШ
з _
где # = 0,66 ^]/Рг"|/р/[А. Тогда среднее значение
коэффициента h определяется выражением
Ниже будет показано, что величина (hW/k) очень мала.
Поэтому ограничимся рассмотрением только первого члена в
ряде (14-17). В дальнейшем используем следующие
приближения:
s'mM1 = tgM1 = M1 sin2M1 = 2M1
cos M, = 1 / (Mt) = \ М\ = hW/k
При этом формула (14-17) примет вид:
_г^ = е wv[v) VCp0V v (1418)
Из уравнения (14-18) видно, что температура поверхности'
расплава в воздушном зазоре, при заданной толщине пленки
расплавленного материала, температура экструдата по выходе
из мундштука и температура воздуха зависят исключительно
от отношения Y/V, которое в свою очередь зависит от времени
пребывания рассматриваемого элемента поверхности в
воздушном зазоре.
Для примера рассмотрим движение расплавленного
полиэтилена, если начальная температура расплава по выходе из
мундштука 589 °К, а температура воздуха 299°К. Величина hr,
рассчитанная так же как и >в примере 8-2, равна 4,95-Ю-4
кал/см2*сек (20,67 вт/м2>град). Значение физических
констант для воздуха и полиэтилена взяты соответственно при
средних температурах 444°К й 589°К-
На рис. 155 графически представлена зависимость
отношения температур (Tf—Ts)/(Tf—Ti) от значения фактора (Y/V)
соответственно при толщине пленки 5«Ю-7 м, 2,5• 10~7 м и
1,2-Ю-7 м.

14-6. Нанесение покрытий методом экструзии
403
Б табл. 14-3 представлены значения температуры
поверхности полиэтилена в зазоре обжимных валков и время
пребывания пленки в воздушном зазоре при расстоянии между
выходной щелью мундштука экструдера и зазором валков в 0,1 м.
Скорости экструзии соответственно равны 0,30 и 1,5 м[сек.
О 0,05 0,70 0,75 0,20 0,25 0,30 0,35
V'/V, сен
Рис. 155. График зависимости (14-18) применительно
к процессу нанесения пленки полиэтилена на подложку
методом экструзии при следующих условиях:
Т. = 568 °К, Tt =304,1 °К, Аг=49,5-10_5 кал/слЯ-сек "С, или
20,725 вт/(л&-град).
При низких скоростях экструзии осуществляется быстрое
охлаждение тонких пленок толщины порядка 1,2* Ю-7 м. При
высоких скоростях экструзии процесс охлаждения замедляется,
ТАБЛИЦА 14-3
Толщина
пленки
м
5-10-6
2,5-10-6
1,2-10-6
5-10-6
2,5-10-5
1,2-10-5
Скорость
экструзии
м/сек
0,30
0,30
0,30
1,5
1.5
1,5
Время пребывания
в зазоре, сек
0,3
0,3
0,3
0,06
0,06
0,06
Температура
поверхности в зазоре валков
°С
548
510,5
445,5
573,0
567,0
545,0
но при этом сокращается время пребывания пленки в
воздушном зазоре. Отсюда видно, что в зависимости от толщины
пленки существует оптимальное значение скорости и величины
воздушного зазора.
Задача.
14-1. Рассмотреть термическую сварку, в процессе которой верхняя плита
пресса нагревается, а нижняя—охлаждается. При сварке пленки толщиной
2,5-10-5 м для получения прочных швов необходимо, чтобы время цикла на-

404 Гл. 14. Методы соединения полимерных материалов
грева было равно 0,01 сек, температура верхней плиты была равна 477 °К, а
температура нижней плиты 310,7 °К.
а) Рассчитать продолжительность цикла нагрева, если температура
верхней плиты снизится до 400 °К.
б) Как изменится время цикла сварки, если толщина свариваемой
пленки удвоится ^условия сварки те же, что и в пункте а)]?
в) Какие допущения следует принять в этих расчетах?
14-2. Упростить уравнение (14-5). Отметим, что величина W2G/2k
выражена в °С. Какой физический смысл имеет эта величина?
14-3. Рассмотреть высокочастотную сварку, при которой температура-
обеих свариваемых пленок равна 310,7 °К и поддерживается постоянной на.
протяжении всего процесса. При сварке пленки толщиной 2,5-Ю-5 м для
получения прочных швов необходимо, чтобы продолжительность цикла нагрева
составляла 0,01 сек. Как изменится продолжительность сварки, если толщина
свариваемой пленки удвоится, а величина напряжения, приложенного к
электроду, останется неизменной?
Ввести основные предположения, необходимые для решения поставленной
задачи.
14-4. Рассмотреть нанесение полиэтиленовой пленки толщиной 1,2-10~5 ж
методом экструзии на подложку. Если известны температура экструзии
(533 °К) и величина воздушного зазора (7,6-Ю-2 м), определить температуру
поверхности полиэтилена в месте наложения при линейной скорости
экструзии 0,25 м/сек.
Литература
1. J. M. McKelvey, Т. Н. S t r о m e, Mod. Plast., June, 107 (1959).
2. Н. S. С а г s 1 a w, J. С. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2 nd.
ed., Oxford, 1959, p. 313.
3. H. S. С a r s 1 a w, J. С Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2nd.
ed., Oxford, 1959, p. 130.

Приложение
Приложение содержит вывод уравнений гидродинамики,
обсуждавшихся в главе 2. Первая часть посвящена тензорно-
векторным представлениям W операциям, употребляемым при
выводах. Затем исследуется тензор напряжения и выводятся
уравнения неразрывности, движения и энергии. Далее
рассматривается общее выражение для тензора деформации, который
разлагается на два тензора, один из тензоров характеризует
собой объемные деформационные эффекты, другой —■ эффекты
сдвиговых деформаций. Путем постулирования линейного
соотношения между скоростью деформации и приложенными
напряжениями получается реологическое уравнение ньютоновской
Жидкости.
I. Векторно-тензорные* представления и операции 1'2»5
Последующее изложение ограничивается прямоугольными
декартовыми координатами, в которых положение точки в
пространстве определяется тройкой чисел хи х2, xs. Отрезок прямой,
соединяющей начало координат с любой точкой пространства,
представляет собой вектор А, направленный вдоль этой
прямой; длина вектора пропорциональна длине отрезка. Проекции
А на координатной оси обозначаются через Ль Л2, Л3 и
показаны на рис. П-1.
Отрезки прямых, идущих от начала координат вдоль осей
координат и имеющих единичную длину, называются
единичными векторами. Они обозначаются 6i, 62, 63. Применяя эти
, * Символы и обозначения операций, используемые в этой книге,
заимствованы из книги R. В. Bird, W. E.Stewart, E.N. L i g h t f о о t,
Transport Phenomena, где можно найти более подробное исследование вектор-
но-тензорных преобразований. Также использовались книги An Introduction
to Matrix Tensor Methods in Theoretical and Applied Mechanics, by Sidney
F. Borg, J. Edwards, Ann Arbor, Mich., 1956, and Mechanics of Solidsand Fluids,
by R. R. Long, Prentice-Hall, 1961.
Следуя терминологии, принятой в «Transport Phenomena», в данной книге
тензоры обозначены светлыми греческими буквами (а, т. е и т. д.), векторы—
полужирными латинскими буквами А, В, v и т. д.), скалярные величины—светлыми
буквами Р, р, Т и т. д.). Тензорно-векторные операции умножения обозначаются
различными типами скобок, например (А-В)—это скаляр, [АхВ]—вектор, {а-т} —
тензор.

406
Приложения
единичные векторы, любой вектор можно представить суммой
его компонент. Например, выражение вектора А записывается;
a = v*i + m2+m3 = 2v*<
(П-1)
Скалярное произведение двух векторов А и В обозначается
(А «В). Оно определяется произведением абсолютных величии
этих векторов, умноженных на
косинус угла 0 между ними.
Следовательно
(А -В) = АВ cos 0 (П-2)
Угол, образованный
любыми двумя различными
единичными векторами, всегда равеи
90°. Следовательно, их
скалярное произведение всегда равно
нулю. Скалярное произведение
единичного вектора на самого
себя равно единице, потому
что угол между ними равен
нулю. Девять скалярных
произведений, которые можно
образовать из трех единичных
векторов, можно записать в
компактной форме:
/
Рис. П-1. [Прямоугольная декартова
система координат, показывающая
проекции вектора А на осидкоординат:
*!• ^2, вд—единичные векторы
(V*/) = *i/
Ъц = 0, если / Ф j
b{j = 1, если i = /
(П-3)
а скалярное произведение любых двух векторов А и В можно
записать:
(А-В) =2 Afit
(П-4)
Пример I.
Вектор теплового потока q представляет собой скорость (отнесенную к
единице площади) переноса тепла через поверхность, ортогональную к векто-
кал дж
ру q. Размерность q-
-. В этом примере выражение для скорости
см'-сек мй-сек
теплового потока отнесено к элементу поверхности, который произвольно
ориентирован по отношению к вектору q.
Ориентация поверхности может характеризоваться единичным вектором
нормали п, расположенным ортогонально к рассматриваемой поверхности.
На рис. П-2 наклонная поверхность тетраэдра перпендикулярна п и пересекает

/. Векторно-тензорные представления 407
вектор п на расстоянии An от начала координат. Из закона сохранения
энергии следует, что скорость накопления тепла внутри изучаемого тетраэдриче-
ского элемента, показанного на рисунке, равна общей скорости, с которой
тепло поступает в элемент через его четыре стороны. Математическая запись
этого закона имеет вид:
(П-5)
PCAl/(dr) = ^AS+S^AS'
Х2
k
qa^s3
где А]/—объем элемента, а С, р, Т—соответственно средние величины
теплоемкости, плотности и температуры элемента. В правой части уравнения q^
представляют собой л:/—компоненту
вектора q, a AS/—площади
поверхностей, перпендикулярных осям X/.
Определим величину потока qn
через наклонную поверхность.
Если площадь наклонной
поверхности AS, то можно ввести новый
вектор AS с помощью равенства
/лССр
AS = nAS
где величина AS—есть площадь
наклонной поверхности, а направление
AS совпадает с направлением п.
Величина ^-компоненты AS
определяется скалярным произведением
векторов 8t- и AS. Следовательно, имеем
AS/ = (5/AS) = (8/nAS) = Л/AS (П-6)
где п/—есть ^/-компонента вектора
нормали п. Таким образом,
уравнение (П-5) можно записать
IdT
pCAV I —
dt
qnAS + AS 2j nfli
После преобразования оно
примет вид
Рис. П-2. Тетраэдрический элемент,
используемый при анализе теплового
потока через поверхность,
нормальную вектору п.
Чп
St AV \ IdT
Очевидно, в пределе, когда Д/г-*-0 и тетраэдр стягивается в точку, второй
член в правой части уравнения стремится к нулю, а первый член представляет
собой скалярное произведение векторов п и q. Следовательно:
Чп = — (n-q)
(П-7)
откуда видно, что (n-q) представляет собой количество тепла, вытекающее из
элементарного объема в единицу времени через единицу поверхности с
вектором единичной нормали в точке среды, имеющей вектор теплового потока q.
Подобный результат имеет место, когда можно предположить, что скорость
массообмена больше скорости теплообмена. Если вектор v представляет собой
скорость жидкости в любой точке пространства, а скаляр р—ее плотность в

408
Приложения
этой точке, то (pv) представляет собой вектор потока массы в этой точке.
Размерность вектора (pv) есть г/см^-сек. Следовательно, скорость протекания
массы через единицу площади поверхности с единичным вектором внешней
нормали п равна—(n-pv).
Векторное произведение любых двух векторов А и В
обозначается [АХВ]. Оно определяет собой вектор,
перпендикулярный плоскости А и В и 'натравленный так, что вектора А—В—С
образуют правовинтовую систему. Его величина равна площади
параллелограмма со сторонами А и В. Векторное произведение
двух единичных векторов всегда есть третий единичный вектор.
Девять векторных произведений, включающих единичные
векторы, можно записать в компактном виде:
Р, X 8/] = 2е/Л8Л (П-8)
k
где Eijk имеет следующее обозначение
etfk= 1, если ijk= 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2.
etik = 0' если любые два индекса равны
£Uk = — 1» если ijk = 3, 2, 1; 1, 3, 2; 2, 1, 3.
Векторное произведение любых двух (векторов А и В
определяется равенством:
[ахв]=222а-в,%а (п-9)
i j k
(П-10)
Тензор второго ранга имеет девять компонент, и его часто
записывают в виде матрицы. Например, если е — тензор
второго ранга, то он представляется матрицей:
'11 е12 £1з\
£21 £22 е23 (П-П)
l£31 £32 Е33
Если для компонент Eij тензора е имеют место соотношения
ги = гп (П-12)
а также определителем
[A x B] =
\
А
в,
К
л2
в2
h
Л3
В3

/. Векторно-тензорные представления
409
то е называется симметричным тензором. Если же
•* = —Л (П-13)
то тензор называется антисимметричным.
Любой тензор е второго ранга можно представить в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензоров путем
прибавления и вычитания половины транспонированного тензора.
Например, если е — тензор второго ранга, то
в = '-^ + ^2^ (П'14)
где е* — транспонированный тензор е, полученный внутренней
-перестано'вкой строк и .столбцов, причем легко установить, что
Уг (е + е*)—симметричный тензор, а Уг (е—е*) —
антисимметричный.
Можно показать, что для любого симметричного тензора с,
матрица которого в координатных осях Х\, х^, хъ имеет вид
J134
(П-151
(П-16)
J31 32 °33
существует другая матрица в координатных осях х[, х'2, Хз, для
которых
'о\х 0 0
0 Си О
\0 О озз.
Эти оси называются главными осями и матрица (П-16) есть
диагональная форма матрицы (П-15).
Также можно показать, что существуют три величины,
называемые инвариантами, связанные с любым тензором, которые не
изменяются при вращении координатных осей. Инварианты
тензора е обозначаются /ь h, h и определяются' уравнениями:
(П-17)
Л = £11 + S22 + Si
33
Е22
с32
S23
63з
+
еп
£31
£13
езз
+
£п
S21
Е12
?22
1 2 Zjj-^Ч И
(П-18),
V=
е.,.
(П-19),

410
Приложения
Суммой двух тензоров называется тензор, компоненты
которого равны сумме соответствующих компонент. Например, если
о и х — тензоры, то их сумма, которая обозначается I, имеет
компоненты вида
\l=(<>t/ + *u) (П-20)
Диадное произведение любых двух векторов А и В есть
тензор второго порядка, имеющий девять компонент вида А{В{.
Диадное произведение А и В обозначается АВ и представляется
матрицей вида
AB=U^1 A2B2 АгвЛ (П-21)
A*i
А2ВХ
А3ВХ
АхВг
А2В2
А3В2
АХВ3
А2В3
А3В3,
Существует девять дйадных произведений, которые можно полу»
чить из единичных векторов. Эти единичные диады,
обозначаемые 6*6 есть тензоры второго порядка. Все компоненты
единичных диад — нули, кроме одной. Например, матричная
форма единичной диады бгбз имеет вид
(П-22)
Единичные диады позволяют представлять и тензор как сумму
его компонент. Например, тензор t можно представить в виде
суммы
^ = 22VA (п"23>
i i
и подобное же выражение
АВ = 2 £ Afiflfi, (П-24)
i I
существует для диады АВ.
Следующие равенства2 определяют собой четыре операции
для единичных векторов и единичных диад, которые
используются при выводе формул различных операций умножения
для векторов и тензоров:
№ = 8А) = 8А* (п"25>
*¥/А1 = ¥/* (п"26>

/. Векторно-тензорные представления
41!
[V W = 8Л (п-27)
{Vy'W = «/М (П-28)
Из этих формул выводятся следующие равенства для
операций умножения тензоров г и а и вектора А.
(а : х) = £ £ а.ут/7 (П-29)
» /
{o-x}=SSs^l]o//u/, (П-30)
h-Ai-S^S^A (п-31)
В прямоугольных декартовых координатах дифференциальный
оператор у» оператор Лапласа у2 и полный дифференциал D/Dt
определяются следующими равенствами:
?=£8<^7 (п"32>
i
V2=£^r (П-33>
i
г
В уравнении (П-34) иг- представляет собой яг- компоненту
вектора v скорости потока. Применение дифференциальных
операторов к скаляру Р определяется равенствами:
*р =■-»(£) (П'35)
i
ддг/у
DP дР . V» / др \ /п Ч7ч
Применение дифференциальных операторов к вектору А
определяется следующими равенствами:
<v-A)=-2(lr) ^п-38)
dxi
I

ад 2
ожения
[VXA]-22P/X«j(^i)
» /
iOA V» s dA
(П-39)
(П-40)
(Д-41)
(П-42)
Дифференциальные операторы, примененные к тензору т, при*
водят к равенствам:
(П-44)
i k
п / ЯП. Ч
(П-45)
(A.vB] = 228Ay^.
I 1
В дальнейшем ири выводе уравнений 'неразрывности
движения и энергии, необходимо будет преобразовать поверхностные
интегралы в объемные. Связь между этими типами интегралов
.дается теоремой о дивергенции, которая формулируется еле*
дующим образом:
(П-46)
j){n'A)dS=j){V-\)dV
Здесь S представляет собой замкнутую поверхность, которая
ограничивает объем V в пространстве, занятым средой;
А—любая векторная функция координат.
Будут также использованы две модификации3 теоремы о
дивергенции. Если Р — любая скалярная функция точки, а а —
любая тензорная функция точки, то
(n.e)dS = <§)(V-o)dV (П-47)
s V
n PdS =ф VPdV (П-48)

//. Тензор напряжения
Кроме того, в нижеследующих выводах уравнений неразрывно-*
сти движения и энергии используется понятие производной
объемного интеграла по времени. Если рассматриваемый элемент
объема фиксирован в пространстве, то V не зависит от времени,
и дифференцирование подчиняется правилу Лейбница
дифференцирования определенных интегралов по параметру, которое
можно представить равенством
j>t& ■=§(%■)& (П-Щ
Другая полезная формула3 дифференцирования —
разновидность правила Лейбница — получается, когда изучаемый эле^
мен г объема движется вместе с жидкостью. В этом случае
где р—плотность жидкости, а X — произвольная скалярная
функция координат. Формула (П-50) применима также и к вёкУ
торным функциям, в этом случае она записывается в виде
■£■-&№ = &?[■%)& (П-5}}
V V
II. Тензор напряжения
Рассмотрим теперь выражение для поверхностной силы вяз?
кого сопротивления, приходящейся на единицу площади неко«
торой поверхности на площадке, произвольно ориентированной
в пространстве. Пусть начало прямоугольной системы координат
находится на этой площадке. Ориентация площадки по отноЩв*
нию к координатным осям определяется единичным вектором
нормали п, течение жидкости характеризуется вектором ска*
рости v.
На рис. П-3 показан элементарный тетраэдр*, имеющий
одну -из 'поверхностей, перпендикулярную п и расположенную
на расстоянии An от начала координат. Чтобы найти силу,
действующую на эту поверхность, определим сумму оид,
действующих на три другие стороны тетраэдра. В пределе**, когда
основание тетраэдра совместится с началом координат, можно.
* Под этим понимается тетраэдр с дифференциально малой длиной
ребер.—Прим. ред.
** При стягивании тетраэдра в точку.—Прим. ред.

414
Приложения
использовать третий закон Ньютона, согласно которому сумма
сил, действующих на грани, параллельно координатным
поверхностям, равна и противоположна по знаку силе,
действующей на основание тетраэдра.
Рис. П-3. Тетраэдр, используемый для определения
х1—компоненты сил, действующих на поверхность,
нормальную к вектору п.
Пусть первая компонента силы действует в направлении Х\.
Тангенциальную силу, отнесенную к единице площади
(напряжение), действующую на грануь, перпендикулярную оси х3)
обозначим 031- Здесь первый индекс указывает на ориентацию
поверхности, к которой приложена сила, а на второй — на
направление, вдоль которого действует сила.
Далее необходимо установить, на какую грань тетраэдра
действует а3ь Это определяется введением вектора,
действующего в направлении + х& ортогонального к рассматриваемой
поверхности. Тогда cr3i действует на ту грань, на которой
находится вершина вектора*. Напряжение a3i Действует на проти-
роположную грань.
На рис. П-3 показаны три напряжения, которые вызваны
■силами, действующими в направлении хь Сумма этих сил, обо-
* Т. е. на грань,1 ^направление ^нормали к которой совпадает с
положительным направлением х3.—Прим. ред.

//. Тензор напряжения
415
значенная Fu определяется равенством
Л = — А51а11 — Д52а21 - /\S3cB1 (П-52)
которое можно записать согласно (П-6)
Fx = — А 5 [п1ап + м2а21 + пъап] = — AS£^a (П-53)
Подобные выражения имеют место и для F2 и F3.
Вектор силы F, представленный в виде суммы своих
компонент, суть:
F=2W (П-54)
i
При подстановке выражения для этих компонент в уравнение
(П-54) оно примет вид
/7 = -AS28*S«/°w (П-55)
i i
Обращаясь к уравнению (П-31) для симметричного
тензора а, рассмотрим скалярное произведение вектора п и
тензора а:
[n-o]=y^njaH (П-56)
i \
Из предыдущих формул ясно, что сила, приходящаяся на
единицу площади, действующая в рассматриваемой точке на
основании тетраэдра, может быть представлена выражением
^-=-[п.о] (П-57)
Величина а называется тензором напряжения. В пределе,
когда тетраэдр стягивается в точку, величина [п • о]
представляет собой силу, приходящуюся на единицу площади,
действующую на воображаемую поверхность, ориентация которой ха*
рактеризуется единичным вектором нормали п. В матричной
форме тензор а записывается в виде
oin ол
'It w12 w13
а21 а22
(П-58)
ча31 С32 °33'

416
Приложения
Ниже показано, что для недиалональных компонент тензора о
имеет место соотношение
а,.. = а„., (П-59)
JU
JH
т. е. а — симметричный тензор.
Рассмотрим бесконечно малый
ДХг
*г+ z
Х> 9
Z
1
F3
?г
i
' ~Т
"Г !
1
1 1
1 1
м
^
Д.Г/
х' *,+¥>
Рис. П-4. Силы, которые стремятся
повернуть элемент жидкости вокруг
оси, проходящей через точку (хг, Хг), и
параллельной соответствующей оси хз.
элемент жидкости, имеющий
форму параллелепипеда с
длиной ребер Ьх\, А*2 и
Ах3. На рис. П-4 показан
вид этого элемента в
плане со стороны оси xz.
Предположим, что
напряжения, действующие на
различные стороны
элемента, обусловливают
возникновение
вращающего, момента, который
может вызвать поворот
элемента вокруг оси,
параллельной оси х3,
проходящей через его центр.
Все силы, которые
могут вызвать этот тип
вращения, показаны на
рисунке. Момент вращения
Т\, возникающий от
действия силы F\,
определяется следующим образом:
Ал-о
2i— ~Т
дх,
а момент вращения Т2 уравнением
^HA^Ajtg
(П-60)
т — rli
+ {°« + {%t){%)}^*] <п"61>
Общий эффект, вызванный этими двумя моментами,
получается вычитанием Т2 из Тх\
Т1—Т2 = — о21 (Ах^х2Ах3)
Подобным образом можно показать, что
Т8 — Г4 = + а12 (Ахх Дх2Д ха)
(П-62)
(П-63)

//. Тензор напряжения
417
так что результирующий момент вращения, обусловливающий
поворот элемента вокруг данной оси, равен:
Tnet = (ai2 - °и) A*iA*,A*8 (П-64)
Под действием результирующего момента в элементе
возникает угловое ускорение, 'определяемое из уравнения:
Т = а/ (П-65)
где / — момент инерции и а — угловое ускорение. Момент
инерции рассматриваемого элемента определяется формулой
/ = ±- PW [(Л^)2 + (Д*2)2] (П-66)
Совместное решение предыдущих уравнений дает
(а12 - а21)Д7 = -£- РАУ[(Д х,Г + (Л*2)2] (П-67)
откуда видно, что
Следовательно
lim(a12-a21)=0 (П-68)
Длг1-»0
Дх2-*0
J12 = °21
(П-69)
Если предполагать возможным вращение вокруг двух других
ортогональных осей, проходящих через центр элемента, то
необходимо заключить, что
С31 = а13 °23 = а32 (П-70)
и, следовательно, симметрия тензора а доказана.
Гидростатическое давление Р, которое может дать только
дополнительный эффект к нормальным силам, можно
исключить из тензора напряжений а вычитанием Р из каждого
диагонального члена о*. (Необходимо помнить, что положительный
тензор а соответствует отрицательному давлению). Этот новый
тензор напряжения обозначается т и определяется уравнением
х = в + РЪ (П-71)
где 6 — единичный тензор, имеющий следующее матричное
представление:
1 0 Os
1 ОI (П-72)

418
Приложения
Уравнение (П-71) можно записать в виде
ttl =аи + РЪи (П-73)
III. Уравнение неразрывности
Рассмотрим следующий краткий вывод уравнения
неразрывности, предполагая, что масса накапливается внутри замкнутой
контрольной поверхности 5 произвольной формы и размеров,
которая фиксирована в пространстве и содержит элемент
жидкости объемом V. В любой точке контрольной поверхности
масса жидкости, вытекающей из элементарного объема (см.
пример I), равна (n-pv), где п — единичный вектор внешней
нормали к поверхности S в данной точке, а р и v — плотность и
скорость жидкости в этой точке.
Результирующий перенос вещества через контрольную
поверхность, направленный внутрь объема, представляется
интегралом
■p\)dS (П-74)
-(j)(i
Так как скорость накапливания массы внутри контрольной
поверхности определяется интегралом
4r&?dV (П-75)
то имеем:
dt
у
■0rj)9dV = -j)(n'Pv)dS (П-76)
V S
Применяя теорему о дивергенции к правой части уравнения;
(П-76) и правило дифференцирования Лейбница к левой части,,
приходим к уравнению
j){w)dv = -j)^-^dv (JI-77)
v v
которое можно переписать в эквивалентной форме:
Подинтегральная величина, стоящая в квадратных скобках,
является только функцией координат, так что, если бы элемент

IV. Уравнение движения
419
объема был равен dV, то уравнение (П-78) приняло бы вид
"(-3r) + (V.Pv)]dV = 0 (П-79)
Однако dV не равно нулю, следовательно, приходим к заклки
чению, что
^ + (V.Pv)=0 (П-80)
которое является уравнением неразрывности. Раскрывая
выражение для члена, содержащего дивергенцию и вспоминая
определение полной производной, можно переписать уравнение
неразрывности в эквивалентной форме
^ + p(V.v)=0 (П-81)
IV. Уравнение движения
Уравнение движения м'ожно вывести, применяя второй
закон движения Ньютона к частицам жидкости, содержащимся
внутри произвольной замкнутой поверхности, которая движется
вместе с жидкостью. Так как все частицы,содержащиеся внутри
этой поверхности, движутся с разными скоростями в разных
направлениях (необходимо помнить, что v является функцией
времени и точки пространства), то элемент жидкости может
расширяться, сжиматься или каким-нибудь образом изменять свою
первоначальную форму. Однако граница элемента —
контрольная поверхность — всегда содержит одну и ту же массу
жидкости.
Согласно второму закону движения Ньютона, примененному
к элементу жидкости, скорость изменения количества
движения элемента должна равняться сумме сил, действующих на
него. Количество движения (отнесенное к единице объема)
любой частицы есть вектор (pv), так что количество движения
всех частиц, заключенных внутри контрольной поверхности,
суть
(П-82)
j)(9v)dV
я скорость изменения количества движения элемента жидкости
равна
4&(py)dV (П-83)
dt
V

420
Приложения
На элемент жидкости могут действовать два типа сил:
поверхностные силы и внешние силы. Внешние силы — это силы,
действующие на расстоянии, например гравитационные,
электростатические и магнитные силы. Поверхностные силы возникают в
результате непосредственного воздействия жидкости через
границу. Например, гидростатическое давление действует
нормально на любую поверхность, а течение вязкой жидкости,
параллельное поверхности, порождает силу, действующую вдоль
нее. Обозначая действующую на элемент равнодействующую
внешних сил вектором G, а равнодействующую поверхностных
сил — вектором F, уравнение движения можно записать в виде:
-±-j)9YdV = F + G (П-84)
v
Если вектор g, зависящий только от пространственных
координат, представляет собой внешнюю силу, приходящуюся на
единицу массы, то равнодействующая внешних сил, действующих
на элемент жидкости, представляется интегралом:
G =
(jp ?gdV (П-85)
Ранее было показано, что поверхностная сила (отнесенная
к единице площади) в любой точке поверхности определяется
величиной [п • а], где п — единичный вектор внешней нормали,
а а — тензор напряжений в рассматриваемой точке.
Следовательно, равнодействующая поверхностных сил, действующих на
элемент жидкости, определяется интегралом:
F=(fi[n.a]dS (П-86)
С учетом уравнений (П-84), (П-85) и (П-86) уравнение
движения принимает вид
4г & ?vdV = (f) [n • a]dS+& PgdV (П-87)
dt
Применив модифицированное правило Лейбница к левой
части уравнения (П-87) и теорему о дивергенции в
соответствующей форме к первому члену правой части, преобразуем
уравнение (П-87) к виду
PjjT-lV-ol-Pg
dV = 0 (П-88>

V. Уравнение энергии
421
откуда заключаем, что
p(§r) = [V-°l+Pg (П-89)
что является одной из форм уравнения движения.
Вводя тензор напряжений т, определенный равенством
т = а + Р5 (П-90)
преобразуем уравнение !(П-89) к виду
p(gf)=[V«T]-VP+Pg (П-91)
•которое является другой полезной формой уравнения движения.
V. Уравнение энергии
В нижеследующем выводе уравнения энергии
рассматривается элемент жидкости, содержащийся внутри произвольной
замкнутой поверхности, которая движется вместе с жидкостью.
С термодинамической точки зрения элемент жидкости —
замкнутая система. Из первого закона термодинамики следует, что
скорость изменения его энергии должна быть равна сумме
количества тепла, переданного элементу в единицу времени, и
работе в единицу времени,, совершаемой над ним.
Общую энергию (отнесенную к единице массы) жидкости
обозначим Е; через Q и W соответственно обозначим количество
тепла и работу. Тогда математическая формулировка первого
закона термодинамики имеет вид
4ф^ = £-^ (П-92)
причем условимся считать Q положительным, если тепло
передается системе, a W—положительным, если работа совершается
системой.
Общая энергия Е равна сумме внутренней энергии U и
кинетической энергии К'Е. В векторной форме кинетическая
энергия (отнесенная к единице массы) определяется равенством
X£ = 4-(v'v) (п"93)

422
Приложения
так что уравнение (П-92) принимает вид
' * 9UdV + - (ft' r (v.v)^=f « (П-94>
V V
Если q представляет собой вектор теплового потока, то скорость
(отнесенная к единице площади), с которой тепло расходуется
через контрольную поверхность в какой-либо точке, равна
(n»q), а о'бщая скорость притока тепла через полную
поверхность определяется интегралом':
^- = -(f)(n.q)d5 (П-95>
Будем предполагать, что работу производят и внешние, и
поверхностные силы. Внешняя сила (отнесенная к единице
объема), действующая на любую частицу жидкости,
содержащуюся внутри контрольной поверхности, равна pg: Если
скорость этой частицы v, то скорость, с которой совершается
работа против внешней силы, равна (v-pg), а общая работа для-
всех частиц, заключенных внутри контрольной поверхности,,
представляется интегралом:
&(v-9g)dV
(П-96)
Сила (приходящаяся на единицу площади), действующая в
любой точке поверхности, равна [п • а]; а если скорость жидкости
в этой точке V, то скорость, с которой совершается работа в
этой точке, равна v-[n-a]. Следовательно, скорость, с которой
'совершается работа поверхностных сил, действующих на общую
поверхность S, определяется интегралом:
(f)(v.[n.a])dS (П-97)
s
Легко показать, что
у/и-о| = п..[а.у] (П-98>
Следовательно, приведенный выше интеграл можно записать
в виде
"n.[o.v]^S (П-99)
s

V. Уравнение энергии
423
и общая скорость, с которой совершается работа над системой,
получаемая сложением уравнений (П-96) и (П-99), равна
- "ТЯГ = (6(v-Pg)^+(f) Но-v])dS (П-100)
dt
Подстановка уравнений (П-100) и (П-95) в (П-94) дает
d £9UdV + -^£)±-P(v.v)dV =
dt ^«*~~r ' dt у 2
У 1/
= - j) (n-q)dS+ (j) (v-pg)dV+ (j) (n[cv])dS (П-101)
S V S
Применяя модифицированное правило Лейбница к левой
части уравнения (П-101), а соответствующую форму теоремы о
дивергенции — к поверхностному интегралу в правой части
уравнения и, преобразуя его, получим
v
Откуда заключаем, что
Р (§г) + PV [ш ) =-(V 'g)+(v-pq)+(V .[o.v]) (П-103)
Если уравнения движения умножить скалярно на v, то
получим
pv^) = HVa.]) + (v.pg) (П-104)
С помощью уравнения (П-104) можно привести уравнение
(П-103) к виду
Р§Г=-(V-q)+(V.[a.-v])-(v.[V.a]) (П -105)
С помощью тензора идентичности4 уравнение (П-105)
преобразуется* к виду
n'Dt
p^=^(V.q) + (a:Vv) (П-106)
* Для проверки см. пример А. 4-1 в работе4.

424
Приложения
Вводя тензор напряжений т, который определяется
выражением (П-71), уравнение (П-106) можно записать
(т=-
р (Д )=_(v ,q)+(х: Vv)~p (v -v)
(П-107)
которое является уравнением энергии, выраженным через
внутреннюю энергию U.
Если U является функцией состояния, зависящей только от
переменных Г и р, то полный дифференциал U равен:
dU =
(#).*■+
(П*
(П-108)
Вводя обычные термодинамические обозначения, можно
получить эквивалентную форму уравнения (П-108):
dU = cvdT—~
дР_
дТ
— Р
dp
(П-109)
Если каждый член (П-109) разделить на дифференциал dt, то
получим уравнение, содержащее полные или вещественные
производные от переменных
DU
Dt
= с
DT
1
Т ф) -Р
D?_
Dt
Учитывая уравнение неразрывности
уравнение (П-110) можно привести к виду
р(£)-*(£) + И£).-|1С7-т)
Подставляя уравнение (П-112.) в (П-107), получим:
^(■^) = -(V-q)-^(^-)p(V.v)+(x:Vv)
которое является одной из наиболее часто используемых форм
уравнения энергии.
VI. Реологическое уравнение
ньютоновской жидкости
В этом разделе будет установлено соотношение между
тензорами напряжений и еще одной тензорной величиной, которая
будет характеризовать скорость деформации жидкости в любой
(П-110)
(П-111)
(П-112)
(П-113)

VI. Реологическое уравнение ньютоновской жидкости
425
данной точке. Для начала рассмотрим простое сдвиговое течение
между параллельными пластинами, показанными на рис. П-5,
при котором нижняя пластина неподвижна, а верхняя
движется в направлении -Х\.
Хг+Ъ.Х£
зь
Z
J) Т,+ &Х,
х/+&х/
-*"Л1-
Рис. П-5. Характеристика скорости деформации в
случае простого сдвигового течения.
Пусть две частицы жидкости обозначены через а и Ь. Их
первоначальное положение (хи х2) и (xi + Axi, x2 + Ax2)
соответственно. За время А^ обе частицы сместятся вправо в новое
положение, как показано на рисунке. Частица а перемещается
на расстояние VyAt, а частица b на расстояние, которое
определяется выражением
а-+(^Нл' (ГИ14)
Расстояние между частицами вдоль оси х\ после этого пере*
хода обозначается Ах\ и определяется равенством
Axj = Axt +
£.U*I*
(П-115)
Следовательно, средняя скорость, с которой частицы удаляются
друг от друга в направлении хи есть
Ах{ — Ахг
At
= ( dVl
\ дхъ
Ах0
(П-116)
и если ее отнести к первоначальному расстоянию между
частицами в направлении х2, то получим среднюю скорость
деформации. В пределе при А*-»-О и А#2-^0 имеем выражение:
lim Г
&.X2-+Q
Ах[ — Дд-i"
At Ах*
dvx
дх2
(П-117)

426
Приложения
которое определяет собой скорость деформации в любой точке
и в любое время. Закон вязкости Ньютону постулирует
линейное соотношение
(П-118)
-"(£)
где константа пропорциональности называется коэффициентом
вязкости.
Описанная процедура обобщается на случай произвольного
движения частиц. Так, находим, что средняя скорость удаления
частиц друг от друга в направлении Х\ равна
кх'у — Ь.х^
At
{%) *' + {%) ** + {&)**• <п-119>
Кроме того, если обозначить через As начальное расстояние,
разделяющее эти частицы, то
A^^/^As (П-120)
где tii есть лгг- — компонента единичного вектора п, который
,1имеет направление, совпадающее с линией, соединяющей
частицы в первоначальном положении. Следовательно, равенство
(П-119) можно представить в виде
lim
At-+0
As->0
Ах[ — AXi
AsAt
=(^Ь+(^Ь+(^Ь(ГМ21)
Правая часть уравнения (П-121) есть величина Х\ —
компонента вектора, образованного скалярным произведением векто-
,ра п и диады Vv.
Диада Vv имеет компоненты вида д \ -, и, следовательно,
ясно, что она не симметрична. Так как тензор напряжений
симметричен, то V v не может быть тензором общей скорости
деформаций, необходимым для записи реологического уравнения.
Однако используя принцип симметризации (добавления и
вычитания половины этого же, но транспортированного тензора),
V v можно записать в виде суммы симметричного и
антисимметричного тензоров, как это следует из равенства
Исследование5 антисимметричной части Vv показывает, что
она определяет собой квазитвердое вращение, а не деформацию

VI. Реологическое уравнение ньютоновской жидкости 427
элемента среды, и, следовательно, может не включаться в
реологическое уравнение- Симметричный тензор А, определяемый
равенством
д« = (й7 + &) <п-123>
равен скорости тензора деформации и представляет интерес для
формулировки реологического уравнения.
Напряжение, приложенное к сжимаемой жидкости, будет в
общем случае производить объемную и сдвиговую деформацию.
Это совершенно различные процессы. Соответственно тензор А
общей скорости деформации разделяется на две части, одна из
которых характеризует скорость объемных деформаций, а дру->
гая — скорости сдвиговых деформаций. Это достигается вычи«
танием нормальной скорости деформации Ат из каждого диаго*
нального элемента А, как показывается равенством
Д = Д' + Дт8 (П-124)
где А'—девиатор тензора скорости деформации.
Средняя скорость.деформации удлинения определяется из
уравнения
Ат = 4-(Ди + А22 + Азз) = 4 (v-v) (П-125)
и можно видеть, что средняя скорость деформации удлинения
представляет собой 2/з от объемной скорости расширения. Также
ясно, что сумма диагональных элементов девиатора тензора А'
равна нулю и, следовательно, этот тензор характеризует только
скорость сдвиговой деформации.
Реологическое уравнение ньютоновской жидкости получается
постулированием следующего' линейного соотношения между
скоростями деформации и напряжениями:
а — (— Р) Ь = ЛД' + BAmS (П-126)
где коэффициенты А и В не зависят от деформации или напря*
жения и где Р представляет собой гидростатическое давление.
Отрицательное гидростатическое давление вычитается из тен-*
зора напряжений каждого диагонального элемента, так как сжи«
мающие напряжения, получающиеся из-за противодействия
направленным наружу (растягивающим) нормальным напря-»
жениям, представляют собой движущую силу объемного
расширения.

428
Приложения
Подставляя уравнения (П-124) и (П-125) в последнее
уравнение, можно исключить А' и Лт и получить искомое
реологическое уравнение:
а==—РЪ + р.Ц +(*—-|/Л(у-у)8 (П-127)
Коэффициенты ji я к определяются равенствами
о
Добавляя три диагональных элемента из уравнения (П-127),
получим:
Зат + ЗР = 3{хДт + 3 (^ |-^)(V-v) (П-128)
где
1
а.
= Т" (°11 + °22 + °3з)
Уравнение (П-128) сводится к
(°m + ^)=*(V-v)
которое является уравнением скорости процесса объемного
расширения, показывающее, что движущая сила расширения
является средним нормальным напряжением, если исключить
действие гидростатического давления. Константа
пропорциональности ъ называется коэффициентом объемной вязкости.
Если ввести вспомогательный тензор т, определяемый
равенством (П-71), в уравнение (П-127), то можно получить
уравнение
■c = txA + (*— -I^W-v) (П-129)
которое в случае несжимаемой жидкости имеет вид
т = р,Д (П-130)
Литература
1. An Introduction to Matrix Tensor Methods in Theoretical and Applied
Mechanics by Sidney F. Borg, J. W. Edwards, Ann Arbor, Mich., 1956.
2. R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. L i g h t f о о t, Transport
Phenomena, John Wiley and Sons, 1960, p. 728.
3. R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. L i g h t f о о t, Transport
Phenomena, 1960, p. 732.
4. For proof, see Example A. 4-1 (p. 731) of «Transport Phenomena», 1960.
5. См., например, R. R. Long, Mechanics of Solids and Fluids, Prentice-
Hall, p. 52, 1961.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Здесь рассматривается система обозначений, которая
применяется на протяжении всего текста (исключая специальную
систему обозначений, применяемую в главе 10, которая
приводится отдельно в конце этой части) и имеет следующие основные
особенности:
1. Как показано на рис. 1, положение точки обозначается
в прямоугольной координатной системе х, у и г; в
цилиндрической системе — г, 0 и г ив сферической системе г, 6 и ф.
2. Значения векторных и тензорных величин обозначаются
жирными символами. Например, q представляет собой вектор
теплового потока и т — девиатор тензора напряжения.
3. Комплексные величины обозначаются звездочкой.
Например, G* есть комплексный модуль упругости. Он имеет
действительную и мнимую компоненты G' и G" соответственно.
Следовательно, G* = Gr-\-iG", где i —У—1-
4. Точка, помещенная над символом, обозначает
производную по времени. Например, у представляет собой деформацию
простого сдвига, а у является скоростью деформации при
простом сдвиге.
5. Приведенное (стандартное) состояние обозначается
индексом нуль. Например, неньютоновская вязкость вещества в лри-
веденном состоянии, характеризующаяся напряжением сдвига
т°, обозначается ц°.
6. Среднее значение величины обозначаете^ чертой сверху.
Например, средняя температура обозначается Т.
Физические постоянные и коэффициенты преобразования
Число Авогадро
Постоянная Больцмана ....
Универсальная газовая
постоянная
Ускорение свободного падения
Постоянная Стефана—Больцмана
6,02-1023 молекул/моль
1,38 • 10-23 дж/молекулу ■ град
8,3192 дж/моль -град
9 8 м/сек?
5,67311 - 10-е em/м*-град*
Обозначение
Определение
Стандартные единицы измерения
Энергия активации
вязкого течения,
определяющаяся из уравнения
(2-86) ........
кал/моль (дж/моль)

430
Условные обозначения
Продолжение
Определение
Стандартные единицы измерения
X
X
Z
b
Внутренняя энергия
Коэффициент полезного
дейстрия экструдера . .
Интенсивность луч.истой
энергии
Сила
Вектор силы
Коэффициент испускания
Модуль сдвига
Интенсивность теплообра
зования
Энтальпия
Расстояние между парал'
лельными пластинами .
Сила тока *
Сдвиговая податливость
J=\/G
Длина червяка вдоль оси
Параметр в
модифицированном уравнении со
стояния Ван-дер-Вааль-
са
Скорость вращения . . .
Гидростатическое давле
ние
Электрический заряд . .
Количество переданного
тепла
Объемный расход . . .
Радиус
Приложенное напряжение
сдвига
Сила расслаивания . .
Предельное напряжение
сдвига в бингамовской
вязко-пластичной
жидкости
Температура
Объем
Электрический потенциал
Скорость в направлении х
Работа
Ширина канала .....
Весовой расход
Работа адгезии
Смещение .......
Масштабный множитель .
Длина винтового канала
Температурный
коэффициент вязкости
кал/г (дж/кг)
Безразмерный
кал/(сек-см2) [дж/(сек-м2)]
дин (н)
дин (н)
Безразмерный
дин/см (н/м2)
кал/(см3 ■ сек) [дж/(м5 • сек)]
кал/г (дж/кг)
см (м)
а
см2/дин (м2/н))
см (м)
г/мол (кг/мольУ
рад/сек
дин/см2 (н/м2}
кулон
кал/г (дж/кг)
см/сек (мг/сек}
см (м)
дин/см2 (н/м2}
г/см (н/м)
дин/см2 (н/м2}
°С
см3 (м?)
в
см/сек (м/сек}
кал/г (дж/кг)
см (м)
г/сек (н/сек)
эрг/см2 (дж/м2}
см (м)
Безразмерный.
см (м)
1/град

\ческие постоянные и коэффициенты
431
Продолжение
Определение
Удельная теплоемкость
при постоянном
давлении .........
Частота .
Результирующий вектор
внешних сил
Коэффициент теплоотдачи
при конвекции ....
Коэффициент
теплопроводности .
Показатель текучести для
степенного закона .
Мощность
Вектор теплового потока
Скорость изменения
температуры
Критический радиус
пластического течения . .
Время
Вектор скорости ....
Удельный объем ....
Равновесный удельный
объем .
Степень поверхностной
активации
Коэффициент
температуропроводности ....
Сжимаемость
Отношение радиусов
P=Ro/*i
Деформация простого
сдвига
Поверхностное натяжение
Тензор скорости
деформации
Девиатор тензора скорости
деформации
Среднее значение
нормальной скорости
деформации
Единичный тензор . . .
Фазовый угол
Диэлектрическая
проницаемость .
Излучаемость
Вязкость бингамовской
вязкопластичной
жидкости
Вязкость неньютоновской
жидкости
Стандартные единицы измерения
I-
дж
кал/г-град^ ^.^
гц
дин/г (н/кг)
кал I вт
см2-сек-град \ м2-град
кал' I вт
I вт \
у м-град J
см-сек-град у м-град
Безразмерный
эрг/сек (дж/сек)
кал/'см2-сек (вт/м2)
град/сек
см (ж)
сек
см/сек (м/сек)
смг/г (м3/кг)
см3/г (м3/кг)
Безразмерная
см2/сек (м2/сек)
атм~1 (м2/н)
Безразмерное
Безразмерная
дин/см (н/м)
Безразмерный
Безразмерный
Безразмерный
Безразмерная
(н-сек/м2) дин-сек/см2
дин -сек/'см2 (н-сек/м2)

432
Условные обозначения
Продолжение
Обозначение
Определение
Стандартные единицы измерения
У
Краевой угол
Угол подъема винтовой
линии
Коэффициент объемного
расширения
Временная константа вяз-
коупругого материала ,
Вязкость ньютоновской
жидкости
Кинематическая вязкость
Плотность
Тензор напряжения . . .
Среднее значение
нормального напряжения . . .
Девиатор тензора
напряжения .
Температура плавления .
Круговая частота . . . .
Безразмерный!
Безразмерный
град (Г*
сек.
н-сек
дин • сек см* кг*
м*-
см2/сек (м2/сек)
г/см3 (кг/м3)
дин/см2 (н/м2),
дин/см2 (н/м2).
дин/см2 (н/м2),
°С
рад/сек.
Основная рекомендуемая
литература
Ниже перечислены учебники и обзорные работы по химии,
физике и технологии высокополимеров и по некоторым инженер*
ным отраслям, относящимся к производству полимеров',
которые могут быть использованы для детальной проработки
многочисленных тем, которые в этой книге по необходимости
обсуждаются очень кратко.
1. Т. Алфрей, Механические свойства высокополимеров, Издатинлит, 1952.
Э. Бернхардт, Переработка термопластичных полимеров, Изд.
«Химия», 1965.
R. В. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport
Phenomena, John Wiley and Sons, 1960.
H. S. С a r s 1 a w, J. G. Jaeger, Conduction of Heat in. Solids, 2 nd
ed., Oxford University Press, 1959.
K. Denbigh, Principles of Chemical Equilibrium, Cambridge Univer-
^i t v Рт*рчч 1 Qt т
Rheology—Theory and Applications, v. 1—3, F. R. Eirich (ed.), Academic
Press, 1956.
Д. Д. Ферри, Вязкоупругие свойства полимеров, Издатинлит, 1964.
J. F. F 1 о г у, Principles of Polymer Chemistry, Cornell University Press,
1953.
9. M. Jakob, Heat Transfer, v. 1—2, John Wiley and Sons, 1949.
0. Polythene, A. Renfrew, Ph. Morgan (eds), Interscience Publishers, 1957.
1. Деформация и течение, М. Рейнер, Гостоптехиздат, 1963.
2. Polymer Processes, С. Е. Schildknecht (ed.) Interscience Publishers, 1956.
3. A. X. Schmidt, С A. M a r 1 i e s, High Polymers—Theory and
Practice, McGraw-Hill. 1948.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно черное тело 219
Адгезия 166
межмолекулярные силы 174 ел.
работа 166, ч!69, 170, 430
энергия 166, 430
Активация 166
кинетический анализ 179
коронным разрядом 177 ел.
поверхностная 11
при нанесении покрытий методом
экструзии 400
при термической сварке 387
скорость 179
степень 179, 430
термодинамика 166
Аналог
вязкоупругих тел 38, 67
реологических уравнений 40
тело Гука 39
— Фойгта 40
Аррениуса уравнение 51, 55
Ацетат целлюлозы
температурная зависимость
вязкости 53
Ацетобутират целлюлозы
постоянные в уравнении состояния
146
усадка 371
Баланс тепловой и энергетический
203 ел., 208
Бикки уравнение 42
Бингама тело 34, 36, 37, 78, 84, 132
Букингема — Рейнера уравнение 84
Ван-дер-Ваальса уравнение 145
для полимеров 146, 430
Вектор.
результирующий внешних сил 431
силы и скорости 430, 431
скорости жидкости 259 ел.
теплового потока 212, 431
Векторно-тензорные представления и
определения 405 ел.
Вина закон 219
Винтовые насосы 245—247, 299
анализ работы 245 ел., 249
головка 246
загрузочное отверстие 246
конструктивные переменные 268
кривые работы в адиабатических
условиях 283
многочервячные 245
мощность привода 258, 259
одночервячные 245
радиальный зазор 266 ел.
теория подобия 256, 283 ел,.
червяк 245
Вискозиметр 121
Внутреннее трение 157
и жесткость 155 ел..
Внутренняя энергия 430.
Время
релаксации 33, 193, 195-
ретардации 60, 61
Входные эффекты 101
Высокочастотная сварка 388, 395 ел;
Высокочастотный нагрев 188
Вязкость
бингамовской жидкости 432
кинематическая 30, 432
комплексная 65
неныотоновской жидкости 40—47,.
54, 432
ньютоновской жидкости 432-
пластическая 34
полимера 384
температурная зависимость 51 ел.
Вязкоупругие тела 32
модели 38, 67
Вязкоупругости теория 58 ел.
Гаскелла теория 228
Гидростатическое давление 430'
Гипотетическая среда 219
Головка 133
винтового насоса 246
кабельная 125
калибрующая щель 128.
кольцевая 128
листовальная 125, 128^

434
Предметный указатель
Головка 133
щелевая с боковым питанием 127
экструзионная 11, 13
«Голодание» червяка 312
Грасгофа критерий 223
Гука тело 32, 35, 38, 39
Девиатор тензора напряжения 432
Демпфер 39
Деформация
максвелловской жидкости 36
ньютоновской и неньютоновской
жидкости 34
тела Бингама 36
тела Гука 35
тела Фойгта 36
.Диаграмма давление — время 374,375
Дилатантные жидкости 41
Диоды единичные 410
Диспергирование 10, 14, 364
Диспергирующее смешение 353 ел.
Диэлектрики в переменном поле
190 ел.
Диэлектрики-полимеры 188 ел.
Диэлектрическая проницаемость 189,
431
Диэлектрические константы 188 ел.
Диэлектрические свойства 200
Диэлектрический нагрев 188, 199 ел.
Дюпре уравнение 169
Жидкости
деформация 34—36
максвелловская 69
неньютоновские 34, 40 ел.
— в винтовых насосах
(выдавливание) 286 ел.
— в каландрах 238
— дилатантные 40, 41
— классификация 40
— механика 46 ел.
— несжимаемые, уравнение 46, 47
— псевдопластичные 41, 55
— реологическое уравнение 34, 41,
80
— температурная зависимость
вязкости 54
— течение через трубу 133
■ньютоновские 78
— аналог механический,
электрический 39, 67
— в винтовых насосах
(выдавливание) 286 ел.
— механика 23 ел.
Жидкости ньютоновские 78
— несжимаемые, уравнение 46
— псевдопластичные, 41, 55
— распределение скоростей и
температур 23, 28
— реологическое уравнение 24, 29,
405, 424
—реопектические 41
— температурная зависимость
вязкости 51
— течение в кольцевом зазоре 56
в прямоугольных каналах ПО
ламинарное осесимметричное
26
через головку 286
через трубу 49, 132
— тиксотропные 41
Закон
биномиального распределения 330
Вина 219
идеального газа 145
Ньютона 16, 22, 41
сохранения энергии 205
степенной 41, 42, 43
Стефана — Больцмана 219
Стокса 355
термодинамики 16, 203
Фурье 16, 212
Идеальный диспергирующий смеси'
тель 360
Идеальный материал 383
Излучательная способность 220
Индекс
разнотолщинности 128—131
течения жидкости 43
Инфракрасный нагрев 219
Каландрование 10, 11, 13, 227
анализ процесса 227 ел.
гидростатическое давление 237,
238, 242
кривые давления 232—234
— распределения скорости 232, 235
мощность 236, 237
объемный расход 230, 238, 240
распределение давления 233
Кельвина-Фойгта модели 106
Кинетика кристаллизации 159 ел.
влияние температуры 161
полистирола 160

Предметный указатель
435
Когезия 167
работа 168, 172
силы 166
Константы
материала 32
Стефана—Больцмана 219
Концевые эффекты 97 ел., 99
Коэффициенты
адиабатического нагревания 316,
317
видимости 220
вязкости 24, 431
дисперсии 329
излучения 221
конвекции 222, 401, 402
корреляции смеси 335—337
лучеиспускания 401
объемного расширения 432
объемной вязкости 428
поглощения 220
разделения смеси 335
температуропроводности 213, 431
теплопередачи 221, 401, 431
устойчивости 316
формы 254
— для вынужденного потока 225
— потока под давлением 225
Краевой угол 170, 432
Кривые
восстановления деформации 61
давления 232—234, 313
«обобщенные» уравнений Бикки и
Рауса 42
объем — температура 137
— — расчет 140 ел.
плавления полиэтилена 158
ползучести и восстановления 61
распределения скорости 235
температурно-временные для поли-
винилацетата 201
течения карбоксиметилцеллюлозы
103
— полиэтилена 44
Кристаллизация
индукционный период 163
кинетика 159 ел.
полимеров 150 ел.
Кристаллические полимеры 150 ел.
модели 153
плавление 158
элементарная ячейка 150 ел.
полиэтилена 151
Критерий
Грасгофа 223
Нуссельта 222—224
Прандтля 223
Критерий
Рейнольдса 224
Хи-квадрат 331
Ламинарное течение, скорость 206
Лапласа оператор 212, 213
Литье под давлением 10, 11, 369 ел.-
остаточные напряжения 378 ел.
охлаждение 382
усадка 370 ел.
формуемость 382 ел.
цикл формования 374 ел.
Литьевые машины 369
Лучистый теплообмен 219 ел.
интенсивность энергии 430'
Максвелловская жидкость 69
Масштабный множитель 430
Механика неньютоновских жидкостей"
46 ел.
— ньютоновских жидкостей 23 сл.<
23 ел.
Микроструктура смеси 335 ел.
Модели
вязкоупругих тел 38, 58, 67
Кельвина—Фойгта 106
механическая 58, 59, 67
Модифицирование полимеров 10, 14
Модуль упругости 32
— кручения 156
— сдвига 63
Мундштук 13
Нагревание и охлаждение пластин'
215 ел.
Нагревательный цилиндр 369
Найлон
диэлектрические свойства 199'
температура стеклования 144
температурная зависимость
вязкости 53
Напряжения
остаточные («замороженные»)
378 ел.
сдвига 430
Насосы винтовые см. Винтовые
насосы
Неньютоновские жидкости см.
Жидкости неньютоновские
Нуссельта критерий 222—224
Ньютона закон 16, 22, 41
Ньютоновские жидкости см.
Жидкости ньютоновские

436
Предметный указатель
Объемный расход 230
вынужденного тока 117, 126, 133,
254, 361
и коаксиальные цилиндры 119, 124,
250
и пластины 115
противотока 116, 126
стержневого течения 85
через кольцевой зазор 124
— сечение трубы 81, 85
Однородность смеси 323
Оператор Лапласа 212, 213
Ориентация 155, 379
и сжатие 381
степень 381, 382
Остаточные напряжения при литье
378 ел.
Оствальда де Виля уравнение 42
Пауэлла—Эйринга уравнение 41
Плунжер 369
Поверхностная
активация 176 ел.
энергия 169
Поверхностное натяжение 431
Поверхностные явления 166 ел.
Полибутадиен, температура
стеклования 144
Поливинилацетат
диэлектрические свойства 197
скорость адиабатического
нагревания 201
температурно-временная кривая
201
Поливинилбутираль, температурная
зависимость вязкости 52
Поливинилиденхлорид, температура
стеклования 144
Поливинилхлорацетат,
диэлектрические свойства 195
Поливинилхлорид
диэлектрические свойства 198
температурная зависимость
вязкости 53
Полиизобутилен, динамические
механические свойства 69
Полимеры аморфные 150
кинетика расширения 137, 138
расширение 136 ел.
сжатие 136 ел., 144
-Полиметилметакрилат
постоянные в уравнении состояния
146
температурная зависимость
вязкости 53
усадка 371
Полиоксиметилен 156
Полипропилен
изменение объема при
кристаллизации 159
кинетика кристаллизации 160
Полистирол
адгезия к стали 173
диэлектрические свойства 199
заполнение формы при литье 385
константы скорости
изотермического расширения 142
кривые объем — температура 143
постоянные в уравнении состояния
146
температура стеклования 144
температурная зависимость
вязкости 53
усадка 371
Полиэтилен
адгезия к стали 173
время старения и температура
сплавления 390
выдавливание через
капилляры 100
диэлектрические свойства 199
заполнение формы при литье 385
коэффициент теплопередачи 221
кривые плавления 157, 158
— течения 44
молекулярная модель 151
нанесение на алюминиевую фольгу
400
подложку 403
ориентация 155
плотность 151
постоянные в уравнении состояния
146
прочность шва 391
сферолиты 154
температура стеклования 144
температурная зависимость
вязкости 52, 53
усадка 371
элементарная ячейка 151
энергия активации течения 55
Полиэтиленгликольадипинат, скорость
роста сферолитов 163
Поляризация 188 ел.
атомная 190
ориентационная 189
смешенная 189
электронная 190
Прандтля критерий 223
Предельная частица 323
Произведение диадное 410

Предметный указатель
437
Профиль скоростей вынужденного
течения 344
Псевдопластичная жидкость 41,
55
Пуазейля уравнение 90
Рабиновича уравнение 87, 88
«Разбухание» 101, 105, 108
«Разрушение расплава» 99
Распределение скоростей и давления
232 ел..
Расход
вынужденного тока 115, 117, 126,
254, 361
ньютоновских жидкостей 119
обратного тока 361
потока под давлением 254
«стержневого» течения 85
Рауса уравнение 42
Режимы формования 370
Рейнера — Букингема уравнение 84
Рейнера—Филиппова уравнение 41
Рейнольдса критерий 224
число 90, 91, 98, 132
Реологическое уравнение 28 ел.,
424 ел.
аналоги 39, 40
гуковского тела 32
максвелловской жидкости 32, 33
ньютоновской жидкости 23, 31, 38,
424 ел.
тела Бингама 34
тела Фойгта 33
Реология 15 ел.
Реопектаческая жидкость 41
«Саран», диэлектрические свойства
199
Сварка высокочастотная 388, 395 ел.
распределение температур 395
термическая 387 ел., 399 ел.
Сварные швы (виды) 388' ел.
Склеивание 13
Скорость «стержневого» течения 85
Смеси
«двухмерные» 332
— тонкоизмельченные 333
гомогенность 329 ел.
интенсивность разделения 335
компоненты 323
коррелограммы 336, 337
коэффициент разделения 335
крупнозернистые 325
макроструктура 325, 335
Смеси
мелкозернистые 325
степень неоднородности 325, 326,
336, 337
шкала сравнения 325
Смеситель идеальный
диспергирующий 360
Смешение 11, 14, 323 ел.
в экструдерах 345 ел.
диспергирующее 324, 345, 353,
360 ел.
индекс 327, 329, 335
ламинарное 325
— простое 324. 337 ел., 345
— — между коаксиальными
цилиндрами 339
расплавов полимеров 10
степень 329 ел.
толщина полос 338
турбулентное 325
Соединение полимерных материалов
387 ел.
Степенной закон 41—43.
Стефана — Больцмана,
закон 219
константа 219
Стокса закон 355
Текучесть полимера 384
Тело
абсолютно черное 219
аналоги 38—40, 67
Бингама 34, 36, 37, 78, 84, 132
Гука 32, 35, 38, 39
реологические уравнения 32—34,
38
Фойгта 37, 38, 40
Температура 430
деструкции 383
сплавления 389
стеклования 137, 143, 144, 155,
157
— найлона 144
— полибутадиена 144
— поливинилиденхлорида 144
—полистирола 144
— полиэтилена 144
Температурная зависимость
вязкости полимеров 51—53
Тензор
антисимметричный 409
единичный 431
напряжения 20, 413 ел., 432
симметричный 408
скорости деформации 431

•438
Предметный указатель
Тепловой поток, постоянный 214
"'Теплоемкость при постоянных
давлениях и объеме 16, 205,
431
.Теплообразование, интенсивность 430
Теплопередача
конвекцией 214, .222 ел.
— коэффициент .214, 216, 401, 431
.при сварке 392 ел.
"^Теплопроводность 212 ел.
в пластинах 215 ел.
коэффициент 212, 430
нестационарная .212
стационарная 212
уравнение 212 ел., 396
— для пластин 21.6, 218
Термодинамика адгезии .1-66 ел.
ТГечение
в трубах и каналах 78 ел.
внутреннее 372
изотермическое 78
— в прямоугольных каналах
ПО ел., 133
— в трубах 26, 78 ел., 82, 83,
85 ел., 97
— — распределение скоростей
81, 104
— — уравнение-82
— вынужденным током 112, 118,
133
— между коаксиальными
цилиндрами 118 ел.
— между параллельными пласти:
нами 21, П'З ел.
— объемная скорость 430
— противотоком 112, 122
—■ — через кольцевой зазор L22
— среды Бингама 84
> неизотермическое в трубах 91сл.
) неньютоновское, .уравнение 49
1 расплав полимеров 384, 385
теория 228 ел.
тепловой и энергетический баланс
208
термодинамика 203 ел.
установившееся ламинарное -21,
49
Тиксотропная жидкость 41
Транспортировка сыпучих
материалов 301 ел.
Упругость, теория 58 ел.
Уравнение
Аррениуса 51, 55
Бикки 42
Букингема—Рейнера 84
Ван-дер-Еаальса 145
— для полимеров 146
движения 15 ел., 26, 419 ел.
дифференциальное расхода
и мощности 252 ел.
Дюпре 169
изотермического течения 82
неньютоновского течения 49
неразрывности 15 ел., 418 ел.
операторное 71
Оствальда де Виля 42
Пауэлла—Эйринга 41
Пуазейля 90
Рабиновича 87, 88
работы адгезии 169
Рауса 42
Рейнера—Букингема 84
Рейнера—Филиппова 41, 48
реологии 20, 28 ел., 424 ел.
— вязкой жидкости 22
— гуковского тела 32, 38
— максвелловской жидкости 32,
33
— неньютоновской жидкости 46,
47, 80
— ньютоновской жидкости 23,
25, 31, 38, 46, 80, 424 ел.
— тела Бингама 34
— тела Фойгта 33
состояния 21, 145 ел., 371
теплопроводности 212, 396
Эллиса 41
энергии 15 ел., 26, 421 ел.
Усадка 369, 370 ел.
величина 370
неоднородность 372
объемная 370
средняя 376, 377
Утечка 253, 266, 380
Фактор масштабный 321
Фойгта тело 37, 38, 40
Формование
методы 11, 12
режим 370
цикл 370, 374 ел., 380
Формуемость полимера 382 ел.
Фурье закон 16, 212
'Форсунка 374, 381
^Характеристика
Р—V—Т полимера 11, 383

Предметный указатель
439J
Цикл формования 370, 374 ел.
диаграмма давление—время 374,
375
стадии 374—376
Червяк
безразмерные характеристики 271,
278
движение жидкости в канале
259 ел.
— частиц в канале 261
дозирующий 308
зона дозирования 309
— плавления 308
оптимальная конструкция 273
угол подъема винтовой линии и
к. п. д. 274
характеристика 318
Число Рейнольдса 90, 91, 98, 132
Швы
адгезионный 391
испытание на прочность 391
механизм образования 389
поверхностная активация и
прочность 391
поверхностные 388
сжимающее усилие и прочность
391, 392
«Эластичная пробка» 302
Электрический потенциал 430
Эллиса уравнение 41
Экструдер
конструкция червяка 246
Экструдер
коэффициент полезного действия
210, 211, 430
пластицирующий 245, 299 ел., 369-
— анализ ра*боты 300
— зоны 299—301
— к. п. д. 320
— кривые давления 313
— масштабное моделирование 320'
— мощность 320
—производительность 311, 352
— рабочие характеристики 312 ел.
Экструзия 10, 11, 13, 245
адиабатический режим 276 ел.
изотермический режим 268 ел.
механизм плавления 307 ел.
нанесение покрытий 387, 399 ел.
расчет 126, 128
переменные процесса 268
«проскальзывание». червяка 303
скорость теплоотвода 209, 210
Энергетический баланс, схема 205
Энергия
активации вязкого течения 51, 55
диссипации в диэлектриках 192
— в вязкоупругих материалах 67
Энтальпия 204, 211, 430
Этилцеллюлоза, постоянные в уравт
нении состояния 146
Эффективность
винтовых насосов 275
пластицирующих экструдеров 320:
смешения 323
Эффекты
входные 101
концевые 97 ел.
Ячейка элементарная 150 ел.
полиэтилена 151, 152

Содержание
От издательства „ . 6
Предисловие автора 7
Глава 1.
Введение в технологию переработки полимеров
1-1. Определение и назначение технологии переработки
полимеров 9
1-2. Классификация методов переработки полимеров 11
Глава 2.
Реология
2-1. Уравнения неразрывности, движения и энергии ...... 15
2-2. Механика ньютоновских жидкостей 23
2-3. Реологические уравнения 28
.2-4. Неньютоновские жидкости 40
.2-5. Механика несжимаемых неньютоновских жидкостей .... 46
.2-6. Зависимость вязкости от температуры 51
2-7. Введение в теорию вязкоупругости 58
.Глава 3.
Течение в трубах и каналах
3-1. Изотермическое течение в трубах. Некоторые частные случаи 78
3-2. Изотермическое течение в трубах. Общие положения .... 85
3-3. Неизотермическое течение в трубах 91
.3-4. Концевые эффекты 97
3-5. Изотермическое течение в прямоугольных каналах .... ПО
3-6. Изотермическое течение между двумя параллельными
пластинами. . . .". , 113
3-7. Изотермическое течение между коаксиальными цилиндрами 118
3-8. Кабельные и листовальные головки экструдеров ч 125
Глава 4.
^Расширение и сжатие аморфных полимеров
4-1. Введение 136
4-2. Кинетика расширения аморфных полимеров 137
4-3. Расчет кривых объем—температура 140
4-4. Отжиг для стабилизации размеров . 144
■ 4-5. Уравнение состояния 145

Содержание
441
Глава 5.
Кристаллизация полимеров
5-1. Элементарная ячейка ..... 150
5-2. Морфология кристаллических полимеров 153
5-3. Ориентация 155
5-4. Жесткость и внутреннее трение 155
5-5. Кинетика кристаллизации 159
Глава 6.
Поверхностные явления
6-1. Термодинамика адгезии , 166
'6-2. Межмолекулярные силы в адгезии 174
6-3. Поверхностная активация полимеров 176
6-4. Поверхностная активация коронным разрядом „ 177
Глава 7.
Поведение полимеров как диэлектриков
7-1. Диэлектрические константы и поляризация 188
7-2. Поведение диэлектрика в переменном поле 190
7-3. Диэлектрические свойства полимеров 195
7-4. Диэлектрический нагрев 199
Глава 8.
Тепловой и энергетический баланс при переработке
полимеров
8-1. Термодинамика процессов установившегося течения . . „ 203
8-2. Теплопроводность „ 212
.8-3. Нагревание и охлаждение пластин 215
.8-4. Лучистый теплообмен 219
.8-5. Теплопередача конвекцией . 222
Глава 9.
Гидродинамический анализ процесса каландрования
9-1. Введение 227
.9-2. Упрощенная теория течения „ 228
9-3. Распределение скорости и давления „ 232
9-4. Теория неньютоновского течения 238
Глава 10.
Гидродинамический анализ винтовых насосов
J0-1. Геометрические соотношения 245
ДО-2. Дифференциальные уравнения течения и мощности .... 452

442
Содержание
10-3. Вектор скорости жидкости „ 259'
10-4. Влияние радиального зазора 266
10-5. Изотермический процесс 26&
10-6. Адиабатический процесс 276
10-7. Теория подобия 283-
10-8. Выдавливание неньютоновских жидкостей 286-
10-9. Уравнения расхода и мощности для винтовых насосов . . 295
Глава 11.
Пластицирующие экструдеры
11-1. Введение 299-
11-2. Транспортировка сыпучих материалов 301
11-3. Плавление 307
11-4. Рабочие характеристики пластицирующих экструдеров-. . 312*
Глава 12.
Смешение
12-1. Введение ...... 323.
12-2. Гомогенность смеси или степень смешения 329'
12-3. Макроструктура смесей 335>
12-4. Простое ламинарное смешение 337'
12-5. Смешение в экструдерах 345'
12-6. Силы, возникающие п-ри. диспергирующем' смешении . . . 353-
12-7. Напряжения, возникающие при. диспергирующем смешении 360'
Глава 13.
Литье под давлением
13-1. Усадка 370'
13-2. Цикл формования 374
13-3. Остаточные напряжения 378^
13-4. Формуемость полимера 382'
Глава 14.
Методы соединения полимерных материалов
14-1. Термическая сварка 387
14-2. Виды сварных швов 388-
14-3. Факторы, влияющие на процесс сварки 389«
14-4. Теплопередача при сварке 392
14-5. Высокочастотная сварка 395-
14-6. Нанесение покрытий методом экструзии 399-
Приложения
I. Векторно-тензорные представления и операции 405-
II. Тензор напряжения 413
III. Уравнение неразрывности ■ • • ^18
IV. Уравнение движения 419*
V. Уравнение энергии 421
VI. Реологическое уравнение ньютоновской- жидкости 424
Условные обозначения 429*
Физические постоянные и коэффициенты преобразования .... 429-
Основная рекомендуемая литература 432
Предметный указатель 433>

Опечатки

Страница
61
80
81
82
97
329
330
343
406
408
408
410
411
414
426
Строка
7 сверху
10 снизу
4 сверху
10 сверху
Рис. 27
7 снизу
5 сверху
1 снизу
8 снизу
6 сверху
Формула
(П-9)
13 сверху
8 снизу
2 сверху
Формула
(П-120)
Напечатано
5 = 9
V
Подставляя (3-6) и (3-8)
(АР//)
Входной участок
Область установившегося
течения
Область выхода
расхождение
расхождение
-<%
Я
вектор, перпендикулярный
=• £ 2 2 A$jtij$k
i j k
§/5
v
параллельно
Д% =
Должно быть
5=0
1
Подставляя (3-6) в (3-8)
{ЬРЩ
Входной участок 2
Область установившегося
течения 3
Область выхода 1
распределение
распределение
-"(т)
q
вектор С, перпендикулярный
= 2 2 2 AiBjztjkbk
i j k
щ
V
параллельные
Ах{ =
Заказ 3116
Л. М- Мак-Келви

Д. М. Мак-Келви
Переработка полимеров
Перевод с английского
Издательство «Химия», М. 1965 г.
444 с. УДК 678,027/.029-20-82
Редакторы Г. В. Виноградов, С. И. Гдалин,
А. И. Леонов, А. Я- Малкин
Техн. редактор В. В. Коган
Художник Л. Г. Ларе кий
Подписано к печати 14/Х 1965 г. Формат бумаги 60x901/ie
13,875 бум. л. 27,75 печ. л. Уч.-изд. л. 26,63.
Заказ 3116 Тираж 6500 экз. Цена 1 р. 79 к.
Московская типография № 21 «Главполиграфпрома»
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Москва, 88. Угрешская, 12