li'I.C'f
Л (>>
В.И.Лишак РАСЧЕТ
БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ ПО ГРАЖДАНСКОМУ СТРОИТЕЛЬСТВУ И АРХИТЕКТУРЕ ПРИ ГОССТРОЕ СССР ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
И ПРОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ ТИПОВОГО
И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЖИЛИЩА (ЦНИИЭП жилища)
В. И. Л ишак
РАСЧЕТ
БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ
С ПРИМЕНЕНИЕМ
ЭВМ
МОСКВА СТРОИИЗДАТ 1977
В ВГ I ГНИ г
Онокное внимание уделен*' росам рас.е'. а кру.-. ащммемкнх ЗДЛИИЙ как накболм	\
X -х\	. .	':'. .'. ' •'	'*' - '• •• ••	•'	.' .	,	. ' . \
........"*. .' х. - ы\ .. ,.	х	г.
НЫ\. BS обЫ'М1»Ы\ бЛСКОВ И МОНСОН-. НОЮ Сч'Л'!..:
Приведен расчет лдлний на основе расчетных схем 9 мае стержневых систем с дискретными и иепрерыв
Х\ .. • •.:• \	х. х \ сое. С е х • г с х . \
\с,\\ • к\ ксчст.хк.д.?.. Рассмотрены вопросы табора расчетных схем н числен:.ы\ методов с учеюм особен ногтей расчета на ЭВМ Приведен,-» характерно-, i-ко. >.ме-кмадхея
•X."	\ X -.Л'.-. '. .О <' С. Г . х'х ООО х'х
рлс-.ета ил ра.д-.штыо нлгрулкн н шхадействич Дано со
х'х". х X СС.а .	. . X  X- .	X ' Ъ \
методами.
•\	'Г,.	'хт*ТТ.*'-. •• •’Ах'.хх'с\ ;\"х \ -•
fc‘  '.sc.'- -соак?. .гх*'?»ск^Ъ.-дч.’.
Гис. х'ЛсК'хЧлЛ.	. ♦
QCiiOBliOa фОНд

мНоГЬ7ГП5*7'
ЧС Стройнадат. 197?
кисе
HxH'UI Ж НОНкЦНО» Д квх н инженерно
Н.А 19 . х ...	,	;	' ч чч,- X . . . X.
ионных ладам п области стронтсдкегаа на шеине уровни его индустриализации
Крупнопанельное домостроение »,редс» ине повышении индус.риальностп н ’зк' строительства 1'алшч>браа»»е природно кл»> !х'х-Х-х'.'' У ' ' ' ?	Х- х- Х х.х.х. .Х-: ,х-	..	хХ;.: ....'. ^	(
.............XX,'.'	. ' .	,	.	. .	.	.
HxXtUUlxMbtllxlX Кх'Их'Грх МША	)iC,xpv, UIM.X Xг, ,.иJH «А
' ч'х'-ххххХх'х. *.',.х..'х'.и.	..
'	хх.хЧ-'хХх'Хх » ix.xt..........................................
'	......... Х’хх'х ;.'..х.Х!'1 IXX'»XXV|XVM„»,UXX	х..,....,1ч
ЖС'. Он. .J.:.'..-.,'. ,;.чШН КД осНОне ,е. .1. ,ь;.:х:\ сгатнчюкпч и ' иомическНхХ расчетов
Нл H.Pia.UxUOM чане кр\ iiho;;.h;c,imu".>' ь'мхч гроепнч расчет ион  '' сао........................... х терке пр................. ч
	''	' "  '	' k' X' ' PC , х'' \	\	' ''  X .' . X
к юрилоитл.ПхНым растнорнмм ип»ам) н расчет иаие.тей иерскрытиА ил :.:.х,ю В ccx-xiii с uoHNiueuuoM олжпоеш кр\лиоилиеоннмх ада ннА и Ii\ млсс.'НЫМ c’.petiie.u.crr.oM и е.и"ини\ инженерно юо.1огнче ' ' х ус ОН» х.\ (П х,' мн» Х-. х \ . *.. х.,' х.., \ :......рое» ТОЧИ» \	. но
мер ю . х \..., \ : \ грунт \	- у \ .,  ' ..'  • \'х
Роил.чоси переАтн от расчета оттеокныч -моментов к расчету .чданнй н целом с \четом пллимодейеижч конструкций с о. нх'влинем Гчц.т ра.»раОоган»ч мето ды, тинолинпию бел ирнмепеинч ж,ей тронных вы чне.шгельны.ч машин оценнил»». npocip.-uieiBOHuyio жостмч'и. иоробии аданшД ц ириближенио определись нлирчжеино ц'формпровлнш'е еосточнне конструкций при рал.иошы.ч ни <лх uepanux'MO|'tttxi\ в-фор маций иоианий и с ор .'............ш \ <ве ров» \ . се Ch et Ш,Ч) 
грудок с>т»» методы получн.п» ожижение в <Укаалинч\ ио пр.чжтн ротлиню конструкций кру Ш1оилпе.п.иы\ жилых домов» т'Н 321 ю [9] и и рчде других нормативных документов
Применение нычпелигел»»ных машин и проемных и нлхчно нс еле дона ге.Нч'ких оргаипаацнчх поаполпло иерей» и к аа» ома» напри* ванным методам расчета. При -лом иочвилаеь во»х»ожтч »:• раесчи ты»»ат». сложные ироегранспленные еиоч'.мы е учетом 4'и.шчеем»х оси ЙенноегеЙ их деформировании
За последнее деечгнлетне д.»ч расчета крупнопанельных и тру гнх полносборных .«даннй рааработано большое число методов Часть и.» них оенован.» и,» классических меюдах еньчиелииод мех.» инки и теории упругости, другие чвлчкмеч ератшюлыю иовыми, как, например, теории расчета составных стержней и и-рн im.uнче скнх оболоче»ч Предложена ирницнпилл»шо ионам рлечеи»ам схема и виде многоиченегой коробчатой конструкции, дач которой p.npa багынаютеи методы расчета
Многообраане расчетных схем и ме»ч'.дов расчета обусловлено гем. что псе методы имеют ограниченные области применен»»'», >'ире делнемые положенными и их основу допуидсничми и »н»»о»е »амн
г жзюльзует тот или иной метод, тем шире Чем меньше	трудоемо.; -2,.чет_
-- -	.	. .	-?-з57ь ;:	' :.
Поэтому естестве.-, л-	’ ^олы Развитие вычислительно?: тех-
' - - ‘ ’ -
ЙЯКЙ ««дает ^едвременном этапе еше приходится заботиться ₽ЭГгеТа	иейвестных задачи и продолжительности ?2с.
 .	-	.-у -	. -	- --- --	••-	-	-
'	-'с •-->
с'^Т^^ных ошиб	< при решении больших
------ -. . - ... :- '  .
: Л --< - - < - ,;-	=:: -< "	’
-Л—-		- - 5  ;
«е&ствии и других пэтгчнв.
-		...	'	:	/ :	ч::-.
- .	;	...ц: :.-	'- л -	:	>7,-
-- 3	геи :тс.-..елъ:-:ь	?32„е,. т; . -
. - - - - - - -  нов мере служить введением в строительную механику бескаркасных зданий
Пеле с:' - т -	-	-	: л:  л лу : з  ' .
расчета бесказкасных зданий и указать целесообразные области и.т -	.	-	-	.- у л : л . у-?-	'
из ' у 7з у л г-т л 'сии: лит: ззт ат?л л: сани л: а а лета конструкций и получили достаточно широкое применение ва практике.
К? тутл зле из лиазе ледаваний за:талненныи азта-- - . ла-'атзтл:::: алнаттунтпзнвл лалал зданий 12Н"У:?Г л • ша при творческом сотрудничестве со специалистами ЦНИИСК км. В А. Кучеренко. НИИ оснований и подземных соор - жен-ай. МИСИ им. В. В. Кабышева. МНИИТЭП, Гетре ~	3 НИИЭП
ЛеяЗНИИЭП и др.
Глава 1
КОНСТРУКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ
§ 1. Конструктивные решения жилых домов. Терминология
Жилой дом — наиболее массовый объект строительства возводимый практически в любых природно-климатических и инженерно-геологических условиях с применением самых различных материалов и способов строительства. Многообразие условий строительства обусловливает необходимость применения различных конструктивных решений жилых домов.
Конструктивным решением дома принято называть наиболее полную характеристику несущих и ограждающих конструкций, включающую описание конструктивной системы, конструктивно-планировочной схемы и метода возведения зданий, а также материала основных конструктивных элементов.
В технической литературе термин с конструктивная системам часто используется для определения разных понятий. В работе [8] конструктивной системой называют общую конструктивную характеристику' здания, которую правильнее определять как «конструктивное решение?. Иногда к конструктивным системам относят решения, отличающиеся методом возведения конструкций «например, из панелей, блоков, монолитного бетона с применением переставной опалубки и т. пл. В работе [7] конструктивной системой здания называют его пространственный несущий остов «скелет), состоящий из вертикальных и горизонтальных элементов, которые обеспечивают статическую работу здания и его устойчивость. Такое толкование термина лредct23.trелся более правильным.
Далее конструктивной системой будем называть совокупность взаимосвязанных конструктивных элементов здания, характеризующуюся способом передач?: нагрузок и решением главных конструктивных элементов2.
Конструкции зданий принято делить на несущие ?: нене-сущне. Такое деление весьма условно, так как з большей или меньшей степени все конструкции выполняют несущие
» Данное определение рекомендован П:мx:w^c;zel СЭВ н- -= терминоаопи в строительстве в п^ютжиюсп1
: ге.теиь.-т	*.:а	-7 : —	- -
риалов и информаций ПКС СЭВц 19 Л. № .
функции Даже стекло оконного заполнения участвует в старческой работе здания, воспринимая ветровую нагру3ку и передавая ее через оконную раму стене, и, следовательно в определенном смысле является несущей конструкцией^ Однако очевидно, что такие элементы, как навесные стеновые панели, панели основания пола в перекрытиях разделы кого типа и тем более оконное стекло, служат лишь для пе-педачи местных нагрузок на основные несущие конструкции и не участвуют в обеспечении пространственной жесткости и устойчивости здания в целом. Такие элементы будем называть ненесущими.
Среди собственно несущих конструкции можно выделить главные и второстепенные элементы. Главные элементы обеспечивают пространственную жесткость и устойчивость здания, воспринимают и передают главные силовые воздействия,’ к которым для жилых зданий относятся вертикальные и горизонтальные (ветровые или сейсмические) нагрузки. Второстепенные элементы воспринимают и передают второстепенные силовые воздействия (температурно-влажностные, от неравномерных деформаций основания и др.).
Для характеристики способа возведения и материала главных конструктивных элементов здания будем использовать термин «конструктивный тип здания». По конструк-
тивному типу современные жилые дома разделяются на деревянные, кирпичные, блочные (из мелких и крупных блоков), панельные, объемно-блочные (коробчатые), из монолитного бетона. Возможны смешанные конструктивные типы, например панельно-блочные.
В городском строительстве примерно 50"о жилых домов крупнопанельные, другая половина — кирпичные и блочные. Остальные конструктивные типы зданий имеют пока ограниченное применение. Однако современная тенденция такова, что удельный вес полносборных зданий (крупнопанельных, из объемных блоков) неуклонно увеличивается. В ряде районов страны, особенно южных сейсмических, получает развитие строительство домов из монолитного бетона.
пП?аНИЯ Разных конструктивных типов часто имеют нахппК0ВуЮ констРУктивнУю систему. Широкое применение и пппнлпЯЧеИСТая констРУКтивная система с поперечными мыЕТ11 несУЩими стенами. На основе такой систе-гие кО«^ТЮТСЯ киРпичные, блочные, панельные и дру-стр\’ктивнпй гИВНЫе Типы зданий (рис. 1). Единство кон-работы зпамм&ИСТеМЬ1 обусловливает сходство статической 6 ЗДании Разных конструктивных типов.
Для каждого конструктивного типа зданий используют лишь некоторые конструктивные системы. Например здания из монолитного бетона, возводимые с помощью скользящей опалубки, чаще всего имеют каркасно-ствольную или ячеистую систему, панельные здания — плоскостенную или ячеистую систему и т. д.
Конструктивно-планировочная схема здания определяет геометрию расположения главных конструктивных элементов. В зависимости от расположения в плане вертикальных несущих конструкций выделим ортогональные и неортогональные конструктивно-планировочные схемы. Те и другие в свою очередь разделим на схемы: имеющие компактную форму в плане, ленточные и ветвистые (рис. 2).
К зданиям компактной схемы отнесем такие, соотношение размеров в плане которых не превышает 1 : 2. Для таких зданий перекрытия, как правило, обеспечивают неизменяемость поперечного контура здания в плане (исключение составляют здания из объемных блоков), поэтому при расчете здания компактной схемы может приниматься допущение об абсолютно большой жесткости горизонтальных диафрагм жесткости, роль которых играют междуэтажные перекрытия .
К зданиям ленточной схемы отнесем протяженные в плане здания, состоящие из одного или нескольких объемов, которые последовательно соединены между собой.
Ветвистой схемой назовем такую, при которой в одном узле соединяется более двух объемов.
В неортогональных схемах выделим две частные схемы, особенности которых можно использовать при расчете. К первой отнесем схему, состоящую из нескольких произвольно сблокированных объемов, каждый из которых имеет ортогональную схему (см. рис. 2, з, и), ко второй — осесимметричные схемы (см. рис. 2, ж).
Здания первой схемы можно рассчитывать в, два этапа: сначала рассчитывают каждый ортогональный объем на единичные нагрузки или смещения, а затем систему в целом, при этом используют найденные на первом этапе перемещения или реакции опор отдельных объемов. Так к расчет ортогональных схем проще и лучше разработан, чем расчет неортогональных схем, то использование такого при ема позволяет упростить расчет. „	Гап-
При расчете осесимметричных здании для описания гео метрии системы целесообразно использовать полярные координаты и учесть повторяемость (цикличность) отдельных сегментов.
GI-
G G О G G
G G G Q G
G G G G

GO
GO
GE
0 III
В I
I
Рис I. Применение ячеистой конструктивной СИСЮ.,МЫ н (д;, ниях различных конструктивных типов
Алони,а1; н - iiHiB'Jii.iii.i •,
а-кирпичных и ич монолитного бетоии; б
,• Il I ',',1.1-4111.1  ,'11-441111,11
Конструктивный тип, конструктивную <-И< h-му и кон-<-|руКТИВ1И)-ПЛЯПИрОВОЧНуЮ( << му ЗДННИЯ учитывают ни р;, пых этапах рачччтя Конструктивный чип дома определяет физические закономериоч т и деформирования конструкций и в первую очередь учитываетч я при вычислении же. ткчк т-ных характера тик отдельных элементов ра< считываемой системы, а также при проверке их прочности, жч-ч-ткчхти и треи1.ипостойко< ти. Конструктивная система определяет статическую взаимосвязь несущих конструкций, полому она имеет решающее значение при выборе р:1< четной < х< мы и метода расчета. Конструктивно-)! таиировочпая схема определяет геометрию рассчитываемой системы и в известной мере также влияет ни выбор метода расчета.
§ 2. Конструктивные системы многоэтажных зданий
На Первом Между народ ном симпозиуме «Многоэтажные здания», который проходил в 1971 i. в Москве, пред ложспо называй, «многоэтажными» здания высотой 9 и болен этажей. В зависимости от этажности и высоты зданий выделены четыре их категории, к категории I от ио< ят здания высотой 9 Ki этажей (до 50 мд к категории II здания в 17 ?.» эта/кей (до 7-> мд г категории III здании в 2G 40 этажей (до 100 мд к 1.н<тории IV — здания высотой более 40 этажей (выше |()0 м)— высотиые здании.
Для многоэтажных зданий (кроме зданий высотой до 40 м) нужно учитывать динамические составляющие ветровых нагрузок И проверять значения ускорений вынужденных колебаний здания, возникающих и речуль-тате пульсаций ветровою напора. Л,ля высотных зданий необходимо также Проверят!» их общую устойчиво. ТЬ и выполнять расчет ня совместное влияние вертикальных и к>-ризоитальных нагрузок по деформированной схеме (в ряде случаев может потребоваться проверка общей устойчивости зданий повышенной и даже средней этажности).
Классификация конструктивных систем мши оттяжных зданий представляет трудности вследствие ш-установившей-ся терминологии и большою числа переходим -. форм, < оче тающих признаки нескольких систем.
Предложения но кляча чирикании коштр , । ливны/. .и стем имеются в работах 12, 3, 4, !>, 7, Hl.
Анализ различных конструктивных споем мноюлаж-НЫХ зданий показал, что можно выделить чстырч- ... ионные системы, принципиально отличающиеся но типу вертикаль
НЫХ несущих конструкций. Из основных систем обраэую производные  J е* —	"  к< ' '	'	 i х Кон
' n .	. ю шые . нс гем > об >азно можно срав . .
мамн, из небольшого числа типов которых построено все многообразие молекул. Основные и производные системы могут иметь различные модификации, которые будем пазы-вать подсистемами.
Рис. 3. Классификация конструктивных систем многоэтажных зданий
1 ~ каРкасиые’. 11 — «лоскостенные; /// — ствольные; /V —
S ЛТЛи^/Э^НЫе СНСТемы 11	^'1>ч.и-ч.г евч ч-вые: I Ш - кар-
 • Д  ' 	.с 1 ei оаые>
- ячеистые. Ц1-~1Х, -сгвольно оболочковые
В качестве основных примем следующие системы (рис. 3): ~ каркасные, // — плоскостенные; 111 - ствольные, / V — оболочковые.
в сш ~»1К/ЛЬПЫМИ несУии<мн конструкциями являются: //__ ' е ' пР°странственный рамный каркас: в системе III - 1еРСчные или продольные несущие стены; в системе оповы *)а^,оложеииыс внутри здания пространственные CTDVKHiiu ’ на К0Т0Рые опираются все остальные кон-женные в n?,CTeMe /l’ — несущие конструкции, располо-,?*НЫе в плоскости наружных стен.
Основные системы
Каркасные системы (рис. 4) применяются в основном цля общественных и производственных зданий малой и сре п ей этажности при относительно небольших горизонтальных нагрузках. Особая область применения каркасных систем__
сейсмостойкое строительство, так как небольшая жест-
кость зданий такой системы позволяет уменьшить сейсмические нагрузки.
В каркасных системах наиболее ответственный элемент — узел сопряжения колонн с ригелями. Для обеспечения жесткости и устойчивости здания при действии горизонтальных нагрузок все узлы должны быть жесткими. Чтобы повысить жесткость рамного каркаса, применяют связе-вые элементы в виде раскосов, соединяющих узлы рамы. Присоединение раскосов к узлам обычно считается шарнирным. Раскосы вместе с элементами рамы образуют решетчатую конструкцию типа (фермы, поясами которой служат стойки или ригели каркаса (см. рис. 4, б, в). Каркасные системы со связевыми решетчатыми элементами могут быть с вертикальным и горизонтальным расположением связевых элементов. В первом случае жесткость и устойчивость здания создается совместной работой рам каркаса и защемленных в основании ферм. Основная часть горизонтальной
Н
ппгпоинимается фермами, что приводит к умепщ нагрузи воспри ентов в узлах рамы и к выравниванию изгибаюши^
ванию их ™ связевые элементы могут располагать-
Горизонталь их уровнях по высоте здания. Чаще СНВ одном или	ивают вверху здания. Он служит
всег° Мнительным растверком, который перераспредели-распределив^ „ стойками каркаса при действии
силы между стойками каркаса при действии При расположении связевых
Рис. 5. Плоскостенные системы с вертикальными диафрагмами жесткости
а — прямоугольной формы; б — непрямоугольной формы; в — в виде внутренней продольной стены; 1 — поперечные несущие стены; 2~ диафрагма жесткости; 3 — продольная стена
элементов через этаж (см. рис. 4, а) можно увеличить шаг стоек каркаса, так как попарно соединенные подкосами ригели образуют жесткие фермы высотой в этаж.
Еще одна разновидность каркасных систем — рамно-’ дисковые системы, представляющие собой комбинацию стержневых элементов (колонн, ригелей) и прямоугольных пластинок (дисков), в которые защемлены стержневые элементы (см. рис. 4, д'). Включение в рамную систему дисков иовы-щает ее жесткость и улучшает условия восприятия горизонтальных нагрузок на здание.
В плоскостенных системах вертикальными несущими конструкциями являются параллельно расположенные стены, на которые непосредственно опираются перекрытия, работающие преимущественно по балочной схеме. Несущими чаще всего являются поперечные стены. Устойчивость здания в направлении, перпендикулярном несущим стенам, обеспечивается вертикальными диафрагмами жесткости. В зданиях с поперечными несущими стенами та-ст™(рте 5)ГМаМИ СЛужат Участки внутренних продольных жЛ^УШЙИЯ‘ Условий статической работы диафрагм в ИХ °бъединяют с несущими стенами и превращают Г-обоачнпй непРямоУгольной формы в плане (тавровой, и Др-), которые лучше сопротивляются горизон-
тальным нагрузкам, а такжг
диафрагм жесткости перекрытия^ДКмат₽ ивают пригрузку мыкающие к диафрагмам жесткости^™ "'^“Рытий пп„У. как опертые по трем сторонам В м’„™М слУчае PatoX ности для обеспечения их устойчивЛЯХ "0Выше“»°й этХ правлении могут Устранвайм е™*™ в "Рояльном иа-дольные стены или может примеияД. внутРе™№ про-ма расположения несущих стеНР по» Г см™анная схе-стен — поперечные, а другая - PnpoZ°b₽Hb“e4aCTb НК№
Рис. 6. Ствольные системы
ЩИЙ ствол;12 — консольноееп”ре%)ы^	д ~ мостовые; / - несу-
В ствольных системах (рис. 6) все конструкции тем или '™м Тгб0М опнРаются «а вертикальные несущи^опоры (стволы). Стволы чаще всего выполняют в виде полых призматических оболочек замкнутого сечения, внутри которых располагаются вертикальные транспортные и инженерные коммуникации (лифты, лестницы, вентиляционные шахты, вертикальные трубопроводы).
Здание ствольной системы похоже на дерево (особенно если имеется только один несущий ствол), ствол которого поддерживает крону и обеспечивает ее функциональную связь через корни с грунтом. Несущий ствол здания также служит единственной опорной для всех конструкций и одновременно обеспечивает необходимую для функционирования здания связь этажей с землей. Вследствие сосредоточенной передачи нагрузок основанию удается как бы привод* Нять здание над поверхностью земли. Образующееся свобод-
тнапгтво под зданием можно использовать для сто-ное пр0^иин проходов, проездов, кроме того, оно улучшает яиок машин, пр^^ кварталах.
В0ЭпУХи^ение ствольных систем пока весьма ограничено.
Пр Лапт пой системы могут оказаться рационалЬНЫМИ Здания ство, °й р Г логических условий, например
••РУН-г-х.Д.-в
опор и удаление остальной час, и здания ^Ености грунта создает наилучшие условия для со.
ГраиеХ вечномерзлого состояния грунта.
Р Гтвопьные системы найдут, по-видимому, применение п сейсмостойком строительстве зданий повышенной этаж-пости так как сравнительно небольшая жесткость несущего ствола позволяет снизить сейсмические нагрузки. Вместе с тем благодаря замкнутому в плаве очертанию несу-щего ствола горизонтальные сечения имеют повышенный момент сопротивления, что способствует уменьшению возникающих при изгибе ствола напряжений.
Здания ствольной системы могут проектироваться с одной и несколькими вертикальными опорами (см. рис. 6). Одноствольные системы по способу опирания на них остальных конструкций подразделяются на консольные, эркерные, этажерочные и подвесные.
В консольных системах перекрытия либо защемляются непосредственно в несущие вертикальные опоры, либо опираются на консольные выпуски из несущих опор высотой в этаж. Еще одним вариантом консольной системы является навеска на несущий ствол коробчатых элементов.
В эркерных системах в отличие от консольных опирающиеся на несущий ствол конструкции объединены между собой и образуют консольные балки-стенки. Статическая работа таких систем более благоприятна, чем консольных, благодаря высокой жесткости консольных балок-стенок.
В этажерочных системах в нескольких уровнях по высоте несущего ствола устраиваются мощные консольные ростверки, на которые устанавливают поэтажные конструкции. Аналогичное решение имеют ствольные системы с подвесными этажами, в которых промежуточные между ростверками этажи подвешиваются к ростверкам.
Миогос1ВОЛЬНЬ1С системы по способу опирания на них РекРытии подразделяются на консольно-балочные, мостовые и этажерочные.
стпплкиНС0ЛЬИ0’Палочных системах, как и в балочных одно-ствплч Иагр>'зкЛ ог перекрытий передается на несущие оэтажно. При неразрезных перекрытиях их про
лет может быть доведен до 10-15 м. Перекрытия могут опи-раться на ией.есущие стволы не непосредственно, а через си-стему ршелеи. Весьма рациональная система, в которой ригели имеют высоту в этаж. Такие ригели в виде ферм ити балок могут располагаться через этаж (в этом случае на один ригель опираются перекрытия двух этажей).
В мостовых системах опирающихся на вертикальные стволы горизонтальные несущие конструкции объезиняют-ся между собой и образуют единую статическую систему высокой жесткости. Мостовая конструкция может быть выполнена в виде пространственной фермы (структуры), монолитной или сборно-монолитной железобетонной коробчатой конструкции и др. Мостовые системы позволяют наилучшим образом использовать материал конструкций за счет дифференциации их функций и обеспечения совместной пространственной работы несущих конструкций.
Многоствольные этажерочные системы аналогичны по конструктивному решению одноствольным этажерочным. Несущий ствол зданий ствольной системы представляет собой призматическую оболочку замкнутого в плане сечения, которая ослаблена большим числом отверстий (дверных проемов). Статическая работа такой оболочки сходна с работой несущих стен бескаркасных зданий, поэтому для расчета несущих стволов, как и для расчета связевых элементов каркасных зданий, могут быть применимы методы расчета бескаркасных систем.
Оболочковые системы применяются преимущественно в высотном строительстве (в зданиях высотой более 40 этажей).
Здания оболочковой системы имеют высокую пространственную жесткость, которая обеспечивается рассредоточенным расположением несущих конструкций по контуру здания и объединением их в единую статическую систему. Замкнутое в плане сечение здания оболочковой системы оптимально по расходу материалов. По сравнению с любыми сечениями открытого профиля замкнутый профиль имеет наибольший радиус инерции. Поэтому горизонтальные нагрузки, приложенные к конструкциям с одинаковой площадью поперечного сечения, вызывают значительно меньшие усилия и перемещения при замкнутой форме сечения.
В зданиях оболочковой системы перекрытия опираются на несущие конструкции, расположенные в плоскости наружных стен, без промежуточных опор; все внутренние конструкции опираются на перекрытия. Такая система опира-
имя позволяет избежать неодинаковых вертикали мешений внутренних и наружных конструкций п*Ре-
В других системах, применяемых для высотны* приходится устраивать специальные распредХ^И устройства (ростверки), предназначенные для выпа* ель,1Ые вертикальных перемещений конструкций. Однако пНи* лочковой системе перекрытия имеют максимальный** лет, что неизбежно вызывает дополнительный расхо Пр0* риалов.	од Мате.
Наружная несущая оболочка зданий оболочковой системы может иметь различные конструктивные решения (рис. 7). Для зданий высотой 40—60 этажей наружную оболочку обычно образует система часто расположенных колонн» объединенных высокими ригелями (высотой, равной Рас‘ стоянию между оконными проемами). Для более высоки зданий применяются раскосные конструкции в виде про странственных ферм, элементы которых подразделяются ^ичиые и вторичные. Первичные конструкции образу ространственную макроферму; вторичные служат запо.
пением этой фермы и передают на нее нагрузки от группы этажей. При этом перекрытия нескольких этажей могут подвешиваться к первичным несущим конструкциям Такое конструктивное решение создает температурные швы по высоте здания.
Несмотря на разнообразие конструктивных форм и применяемых материалов (металл, железобетон), статическая работа различных оболочковых систем в основном сходна — вертикальные и горизонтальные нагрузки воспринимаются только внешней оболочкой.
Оболочковая система применяется также в малоэтажном домостроении. Так, кирпичный или деревянный дом с несущими наружными стенами, на которые непосредственно опираются перекрытия, следует отнести к оболочковой системе. Такую же систему имеют одноэтажные дома из объемных блоков, так как отдельный объемный блок представляет по существу оболочковую систему.
Производные системы
Производные системы образуются в результате сочетания двух или более основных. Попарное сочетание основных систем дает шесть производных. Так, сочетание оболочковой системы, изображенной в центре классификационной схемы (см. рис. 3), с другими дает следующие производные системы: /—IV — каркасно-оболочковую, II—IV — ячеистую, III—IV— оболочково-ствольную.
Каркас в каркасно-оболочковой системе (рис. 8) может выполнять различные статические функции. При шарнирном присоединении ригелей к стойкам в элементах внутреннего каркаса возникают усилия только от вертикальных нагрузок, а горизонтальные нагрузки воспринимаются внешней несущей оболочкой. Изгиб оболочки приводит к ее продольным перемещениям, стойки же каркаса не получают продольных перемещений. Разные продольные перемещения вертикальных несущих элементов могут вызвать растрескивание перегородок и расстройство сопряжений, поэтому в высотных зданиях рассматриваемой системы устраивают распределительные ростверки (см. рис. 8, 6). Их назначение—выравнивать продольные перемещения стоек каркаса и оболочки.
При жестком присоединении ригелей к колоннам каркас работает, как рама, и вместе с внешней оболочкой воспринимает горизонтальные нагрузки,	Однако жест-
кость внешней оболочки намного’ боляще жесткости вну-
. । 17
треннего каркаса, поэтому пл последний приходи незначительная часть горизонтальных нагрузок. Вол 9(|х|)екти1Я1ое участие каркаса в восприятии этих liarovi? достигается при устройстве распределительных ростверке»
Ячеистые системы - промежуточные между оболочкой/ мн и плоскостенпымн. Кроме внешней несущей оболочки в ячеистых системах имеются несущие внутренние поперечные и продольные стены (рис. 9). Ячеистые системы приМе* няются в виде подсистем: с продольными несущими стенами к поперечными диафрагмами жесткости, с поперечными и продольными несущими степами.
Рис. 9. Ячеистые системы
н, б —с Продольными несущими стенами: в. г — с поперечными и продольными несущими стенпмн
В зданиях с продольными несущими стенами диафрагмами жесткости служат стены лестничных клеток и торцовые. Для зданий повышенной этажности часто приходится вводить дополнительные поперечные стены, а также развивать сечения диафрагм жесткости за счет их объединения с несущими стенами перпендикулярного направления. В последнем случае необходимо учитывать различия деформаций сопрягаемых стен от вертикальных нагрузок и усадки, так как при недостаточной прочности сопряжений в ряде случаев образуются недопустимо большие трещины в конструкциях.
Перекрытия должны быть жесткими в своей плоскости для перераспределения горизонтальных нагрузок между несущими стенами и выполнения роли поэтажных горизонтальных опор для несущих степ при изгибе их из плоскости. Для зданий с продольными несущими степами нормы ре гламентируют предельное расстояние между поперечным! Диафрагмами жесткости. Если расстояние между 1111М111' превышает нормативной величины, то перекрытия считают абсолютно жесткими горизонтальными опорами для пр дольных несущих стен. В противном случае необходимо у1
тывать податливость перекрытий при изгибе их в своей плоскости.
Конструктивная система с продольными несущими степами получила наибольшее распространение для строительства кирпичных, блочных и панельных жилых домов высотой 4—9 этажей. При такой этажности толщина наружных однослойных стен, назначаемая по теплотехническим соображениям, как правило, достаточна и по условиям прочности. Для зданий повышенной этажности при продольных несущих степах приходится увеличивать их толщину или значительно повышать марку бетона (кладки) по условиям прочности.
В панельном строительстве наиболее широко применяется конструктивная система с несущими поперечными и продольными стенами, на которые по контуру опираются перекрытия. Высокая пространственная жесткость зданий такой системы позволяет возводить их практически в любых инженерно-геологических условиях строительства без ограничений по этажности.
Разновидностью системы с несущими поперечными и продольными степами является система, образованная столбами из объемных (коробчатых) элементов (см. рис. 9, г). Чаще всего применяется сплошная схема расстановки объемных элементов, образующих вертикальные столбы. Каждый столб практически независимо воспринимает вертикальные нагрузки. Совместная работа столбов проявляется при горизонтальных нагрузках и неравномерных деформациях основания, по в значительно меньшей степени, чем для систем с несущими стенами. Для зданий из объемных элементов характерна значительная деформативность горизонтальных диафрагм жесткости (перекрытий) из-за весьма податливых соединений блоков между собой.
Статическая работа столба из объемных элементов во многом зависит от способа опирания. Применяют две основные схемы опирания: точечное (как правило, в углах объемных элементов) и линейное (по периметру стен). При угловом опирании стены сжаты неравномерно. Наиболее сжаты участки, примыкающие к вертикальным граням. Объемный элемент же в целом работает на изгиб под нагрузкой от собственного веса и полезной нагрузки. При линейном опирании стены сжаты более равномерно, но испытывают при этом значительный изгиб на плоскости, вызванный эксцентрицитетом передачи вертикальных нагрузок.
При прерывистой схеме расстановки объемных элементов вводятся дополнительные плоскостные элементы (стены, пе-
19
) участвующие совместно с объемными элемеп
реКР восприятии внешних нагрузок и воздействий. Стат ное напряженное состояние пластинок, сопровождающееся
В работа таких здании имеет одновременно особенное?6 деформациями как в плоскости, так и из плоскости. Эти де-сКа Р плоскостенных и ячеистых систем.	Н0Сти лЛмяп™ R ППНТИУ СЛГПЯЯХ MOWT татаппита
pa R оболочково-ствольной системе вертикальные и гоп, Г “1Ые нагрузки воспринимают совместно nai.v-2.
оболочка и внутренний ствол, образованный стенами^ нотно-лифтового узла. При изгибе здания элементы обо™' КН и ствола получают неодинаковые продольные перемен’' НИЯ Во избежание растрескивания перегородок и возник новения других повреждений в зданиях оболочково-стволГ ной системы целесообразно устраивать, как и в ранее рас' смотренных системах, распределительные ростверки.
Рассмотрим производные системы, образованные сочетанием систем I, II и III.
Система I— II представляет собой каркасное здание с диафрагмами жесткости сплошного сечения. При жесткое присоединении ригелей к стойкам каркаса статическая схема такой системы сходна с рамной системой, имеющей вертикальные связевые элементы. При шарнирном присоединении ригелей к стойкам каркас воспринимает только вертикальные нагрузки, а горизонтальные нагрузки передаются на вертикальные диафрагмы жесткости. Статическая работа диафрагм сходна с работой несущих стен.
Система I—III представляет собой каркасное здание с ядром жесткости. В зависимости от способа присоединения ригелей к колоннам для этой системы также различаются два случая, аналогичные рассмотренным для системы I— II.
Система II—III является промежуточной между системой с несущими стенами и ствольной, поэтому ей свойственны особенности статической работы исходных систем.
Из десяти рассмотренных основных и производных систем шесть систем бескаркасные, а еще три (системы I— I—III и I—/V) промежуточные между бескаркасными и каркасными. Таким образом, кроме каркасной системы все остальные в большей или меньшей степени имеют особенности бескаркасных систем, расчет которых излагаете в данной книге.
ное напряженное состояние пластинок, сопровождающееся формации в одних случаях могут быть вполне упругими’ а в других- нелинейными из-за развития пластических деформации, образования трещин и других причин. Для тонких стен имеет место кроме физической также геометрическая нелинейность, проявляющаяся при продольном сжатии панелей. Такой же нелинейный характер могут иметь деформации стыковых соединений. Картина совместной работы конструкций здания еще более усложняется, если учесть влияние длительных процессов, стохастическую природу большинства нагрузок и изменчивость характеристик материалов конструкций.
Статический расчет описанной физической модели бескаркасного здания невозможен без существенной ее идеализации. Такой идеализированной, упрощенной моделью здания является его расчетная схема.
Для расчета бескаркасных зданий используется большое число расчетных схем, что, с одной стороны, обусловлено разнообразием конструктивных решений таких зданий, а с другой — невозможностью на данном этапе развития вычислительной техники использовать универсальные расчетные схемы, которые позволили бы рассчитывать конструкции на все виды нагрузок и воздействий.
Расчетные схемы, используемые для статического расчета зданий, можно классифицировать по различным признакам: по характеру учета пространственной работы конструкций, способу введения неизвестных, виду рассчитываемых конструкций и др.
По характеру учета пространственной работы расчетные схемы подразделяются на одно-, двух-и трехмерные.
При одномерной расчетной схеме здание рассматривается как стержень с некоторыми обобщенными жесткостными характеристиками, определяющими сопротивление конструкций изгибу, сдвигу, кручению. Такая наиболее простая расчетная схема используется главным образом для приближенного определения динамических характеристик здания, вычисления динамических составляющих ветровой нагрузки и нахождения сейсмических нагрузок. Одномерная расчетная схема в самом первом приближении позволяет также определить усилия в конструкциях, если предположить, что внешние нагрузки распределяются между несущими элементами пропорционально какому-нибудь одному параметру, например изгибнои жесткости.
§ 3. Расчетные схемы бескаркасных зданий
Физическую модель бескаркасного здания м0***емами)> ставить в виде системы пластинок (глухих и с Р вЫМн соединенных между собой в общем случае под сЛ0?к-связями. Внешние нагрузки и воздействия вызы 20
При двухмерной расчетной схеме здание рассматривается как плоская конструкция, способная воспринимать только такую внешнюю нагрузку, которая действует в ее плоскости. Двухмерные расчетные схемы имеют наиболее широкое распространение, так как сравнительно просты и вместе с тем позволяют учесть многие специфические особенности взаимодействия несущих конструкций при их изгибе. Однако на основе двухмерных расчетных схем нельзя рассчитывать здание на кручение, такие схемы не учитывают пространственное взаимодействие конструкций и поэтому занижают пространственную жесткость здания.
При трехмерных расчетных схемах здание рассматривается как пространственная система, способная воспринимать приложенную к ней пространственную систему сил. Трехмерные расчетные схемы наиболее точно учитывают все особенности взаимодействия несущих конструкций, но сложны и поэтому находят лишь ограниченное применение (например, если внешние горизонтальные нагрузки вызывают кручение).
Использование двух- и трехмерных расчетных схем, как правило, приводит к расчету многократно статически неопределимой системы. Раскрытие статической неопределимости связано с определением неизвестных усилий или перемещений либо тех и других одновременно.
В зависимости от характера неизвестных расчетные схемы подразделяются на дискретные, дискретно-континуальные и континуальные (по терминологии В. 3. Власова [69]). В дискретных расчетных схемах неизвестные усилия или перемещения находятся из решения системы алгебраических уравнений. При использовании дискретно-континуальных расчетных схем силовые факторы или перемещения в одном из направлений (например, по высоте здания) разыскиваются в виде непрерывных функций (функциональные неизвестные) и в остальных — в виде дискретных величин. Неизвестные параметры определяются решением краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Континуальные расчетные схемы основаны на рассмотрении здания или его элементов в виде толстостенной или многослойной пластинки, расчет которой сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных. В бескаркасном здании одни элементы лучше описываются дискретными расчетными схемами (например, вертикальные стыковые соединения), другие — континуальными (панели стен и перекрытий, объемные блоки). Такие комбинирован-22
ные расчетные схемы пока не получили распространения из-за их сложности, но они наиболее соответствуют рассчитываемой системе, поэтому представляются весьма перспективными.
Еще одним классификационным признаком, по которому можно подразделять расчетные схемы зданий, является вид конструкции, положенный в основу расчетной схемы. В строительной механике и теории упругости все конструкции обычно делятся на четыре группы: стержневые системы (балки, рамы, фермы и др.), пластинки, оболочки и массивные системы. Для расчета бескаркасных зданий чаще всего используются расчетные схемы в виде стержневых систем. В последние годы начинают применяться также расчетные схемы в виде плоской или пространственной системы пластинок и призматической оболочки.
При изложении методов расчета жилых домов используем последний из перечисленных классификационных признаков. Выделим расчетные схемы в виде стержневых систем, призматических оболочек и пластинчатых систем.
По аналогии с терминологией, принятой в теории обо
лочек, назовем длинными стержни, расчет которых на изгиб производится без учета деформаций сдвига, и короткими — рассчитываемые с учетом деформаций сдвига. Для расчета бескаркасных зданий используются расчетные схемы в виде систем как длинных, так и коротких стержней.
Расчетные схемы в виде стержневых систем делятся на две группы: с дискретными и непрерывными (континуальными) связями. В расчетных схемах с дискретными связями стержни, являющиеся основными несущими элементами, соединяются между собой в конечном числе точек, называемых узлами системы. В расчетных схемах с непрерывными связями обеспечивается совместность деформаций несущих
элементов по всей их длине.
Расчетные схемы с дискретными связями в свою очередь можно разделить на балочные, перекрестные, рамные и решетчатые (фермообразные).
В балочных расчетных схемах несущими элементами служат стержни, работающие преимущественно на изгиб. Длина стержней равна длине рассчитываемой системы, в зависимости от рода задачи стержни располагаются вертикально (при расчете, например, на горизонтальные нагруз ки) или горизонтально (при расчете на неравномерные де-формации основания). Совместность деформации стержней обеспечивается в дискретном числе сечении. Связи^между несущими элементами могут считаться абсолютно жесткими
пли податливыми. В первом случае все несущие элементы в уровнях расположения связей имеют одинаковые перемещения. Во втором случае при определении совместности деформаций несущих элементов должна учитываться податливость связей. Пример балочной расчетной схрмм -
совместности R?.TLC7x Пидат-расчетной схемы для приближенного расчета здания на ветровые нагрузки (без учета работы надпроемных перемычек) приведен на рис. 10.
Рис. 10. Балочная расчетная схема
а — конструктивная схема в плане; б — расчетная схема; 1—5 — номера несущих элементов
Рис. 11. Расчетная схема в виде перекрестной системы
В расчетных схемах в виде перекрестных стержневых систем несущие стержни расположены в двух направлениях (рис. 11). Принимается, что в местах пересечения стержней их перемещения одинаковы. Такие расчетные схемы позволяют более полно по сравнению с балочными учитывать взаимодействие несущих конструкций здания и выявлять пространственную форму их деформаций. Однако при расчете на основе таких расчетных схем не обеспечивается совместность продольных деформаций параллельно расположенных стержней, в связи с чем несколько занижается пространственная жесткость. Данная расчетная схема рекомендуется для расчета на горизонтальные нагрузки зданий с редко расположенными поперечными несущими стенами, а также для расчета на неравномерные деформации основания зданий с продольными несущими стенами, го кпМНЫе расчетные схемы можно применить для широко-по1ьХа3адач’ возникающих при расчете зданий. При ис-24* НИИ рамиых расчетных схем для определения уси
лий, действующих в плоскости стены, стена здания рассматривается как многоэтажная многопролетная рама (рис. 12, б, в) или как система рамок с жесткими узлами, соединенных в общем случае податливыми связями (рис. 12, а). Стойками рам являются глухие (без проемов) участки стен, а ригелями — перемычки и перекрытия. При расчете обычно принимается, что ригели имеют пере-
еУ
а)
Рис. 12. Расчетные схемы в виде рамных систем а —исходная система; б, в — миогопролетные многоэтажные рамы; г —система рам с жесткими узлами
менную жесткость (бесконечно большую в пределах длины простенков и конечную в местах проемов).
По рамным расчетным схемам определяют также усилия, вызывающие изгиб несущих стен из их плоскости. В этом случае из стены выделяется вертикальная полоса с примыкающими к ней участками перекрытий. Ширина вертикальной полосы принимается равной ширине простенка, а ширина перекрытий — расстоянию между осями проемов, примыкающих слева и справа к рассчитываемой полосе. В зависимости от конструктивного решения здания вертикальная полоса может считаться неразрезной конструкцией (при стенах из кирпича, монолитного бетона) или разрез-
. е vnovro-податливыми или шарнирными связями в нои с у РУр	д /при крупнопанельных стенах).
УР Пот решетчатых расчетных схемах здание в целом или
П| „Е элементы (например, стеновые панели) за-мекЯХТс“сХй“ертккальных, торнзонтальных и „а-клотнш сгержией, шарнирно-соединенных между собой „ »"Гз) Такие стержни испытывают только продольные усилия (растажения-сжатия). Решетчатая система, обра-
зующая расчетную схему, как правило, многократно статически неопределима. Решетчатые расчетные схемы пока применяются ограниченно, хотя весьма перспективны, особенно для решения нелинейных задач.
Рассмотренные расчетные схемы в виде стержневых систем с дискретными связями позволяют решать практически любые задачи расчета зданий, их дискретность наилучшим образом соответствует специфике расчета на цифровых вычислительных машинах.
Рис. 13. Решетчатые расчетные схемы а —для здания в целом; б —для расчета диафрагмы с проемами
Однако использование таких расчетных схем обычно приводит к необходимости решать для раскрытия статической неопределимости весьма большие системы алгебраических уравнений. Число неизвестных достигает сотен
и даже тысяч.
На современном этапе развития вычислительной техники решение задач часто оказывается затруднительным или требует слишком больших затрат машинного времени, поэтому используются различные приближенные приемы, позволяющие упростить расчет. Один из них — выполнение условий совместности деформаций не во всех уровнях расположения связей между несущими элементами. Возможен иной подход. Дискретно расположенные связи можно заменить непрерывными, что позволяет вместо групп дискретны® неизвестных ввести неизвестные непрерывные функции, определить которые в ряде случаев оказывается проще.
Замене дискретных связей непрерывными и введению *™иональн“х неизвестных обычно благоприятствует 26 У яркость конструктивно-планировочной схемы жилых
домов. Действительно, в жилых домах все этажи , ключением в отдельных случаях пепвогл ’ ис' вую высоту, схему расположения несущих стен и Г™' Это позволяет дискретно расположенное Д проемов, рых играют надпроемныеРперемычки, вертикал™Ь Г™' вые соединения и перекрытия заменить	стыко-
зями (рис. 14). Полученную в результате тай зХ™ы р“'
Рис. 14. Расчетная схема в виде вертикальной составной стержневой системы
а — рассчитываемая система; б — расчетная схема

четную схему называют вертикальной составной стержневой системой. Используется также расчетная схема в виде горизонтальной составной стержневой системы (рис. 15). Стержни, образующие составную систему, называются ее несущими элементами. Направление вдоль несущих элементов называется продольным, а перпендикулярное направление — поперечным.
В составной системе различают продольные и поперечные связи. Продольные связи препятствуют взаимным смещениям несущих элементов вдоль их длины (в продольном направлении). Поперечные связи препятствуют сближению (удалению) несущих элементов в поперечном направлении. Продольные связи между несущими элементами могут быть любой жесткости (от нулевой, когда продольная связь отсутствует, до бесконечно большой, когда два несущих элемента монолитно соединены между собой). Попереч-
иые связи чаще всего считаются абсолютно жег могут приниматься и конечной жесткости СТкимц}
Составную систему с абсолютно жесткими пп ’ ° связями назовем составным блоком (далее дляРечнЫМи составной блок называется блоком). Мес коль KpaTH°Cb соединенных податливыми поперечными свячеА., К° блоко? систему блоков (рис. 16).	Ми> °бРазу^
Рис. 17. Расчетная схема в виде пространственной системы пластинок
Рис. 15. Расчетная схема в виде горизонтальной составной стержневой системы
Рис. 16. Система пространственных блоков
Будем различать плоские и пространственные составные системы. Плоская составная система способна воспринимать только такую приложенную к ней нагрузку, которая действует в ее плоскости. Пространственная составная
система способна воспринимать произвольно приложенную внешнюю нагрузку, в том числе вызывающую ее кручение.
На современном этапе развития теории расчета бескаркасных зданий расчетная схема в виде составной стержневой системы наиболее употребима. На ее основе разработаны различные методы расчета и составлены многочисленн программы для ЭВМ. Дальнейшим развитием данной ра четной схемы является расчетная схема в виде состав____
призматической оболочки. Если составной стержень одномерная конструкция, то составная оболочка ДВУ*‘ ть пая. Тонкостенность оболочек позволяет рассматр при расчете только деформации ее срединной повеР* ме-(Срединной поверхностью называется геометричес 28
сто точек, равноудаленных от поверхностей оболочки) которые зависят от двух координат.
Расчетная схема в виде составной призматической оболочки наиболее соответствует бескаркасным зданиям средней] этажности. В таких зданиях часто имеются стены, высота которых соизмерима с длиной в плане Данная расчетная схема может быть также использована для расчета пространственных ядер жесткости каркасных зданий, особенно при сложной многоконтурной форме горизонтальных сечений ядер. Наконец, для зданий оболочковой системы данная расчетная схема, несомненно, является наилучшей. При использовании расчетной схемы в виде призматической оболочки, как и при расчете составных стержней, рассчитываемая система превращается в непрерывную в одном из направлений. Такая идеализация позволяет упростить расчет, но и вносит определенные погрешности.
Наиболее совершенной является расчетная схема бескаркасного здания в виде пространственной системы пластинок, соединенных между собой тем или иным способом (рис. 17). Отдельные пластинки могут иметь проемы. Из-за чрезмерно большого числа неизвестных на основе такой расчетной схемы не всегда удается рассчитать здание в целом, поэтому используются различные упрощающие расчет приемы. Один из них — приближенное удовлетворение условий совместности деформаций пластинок, например, принимается, что они шарнирно соединены между собой в углах. Другой приближенный прием основан на том, что каждая отдельная пластинка считается абсолютно жесткой (т. е. является жестким диском), а связи между ними, наоборот, считаются податливыми. При этом их податливость определяется с учетом деформаций примыкающих к связям участков пластинок.
Частный случай расчетной схемы здания в виде системы пластинок— расчетная схема в виде одной пластинки с проемами или без проемов. Такая расчетная схема используется для выявления напряженно-деформированного состояния плоских диафрагм жесткости, исследования местных напряжений в стенах, например в местах опирания на свайные фундаменты.
Глава 2
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ К РАСЧЕТУ КОНСТРУКЦИЙ БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАНИИ
§ 4. Предпосылки и допущения
Ратные схемы, описанные в §3, идеализируют кон-расчетные	’ зданий с точки зрения их геометри-
ХТсхемы Для расчета необходима также идеализация Физических свойств и статических условии работы кон-струкдай, что достигается введением тех или иных пред, посылок и допущений.
Несущие конструкции бескаркасных здании выполняются из бетона, железобетона, каменной кладки—материалов, для которых характерны нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями, изменение физико-механических свойств во времени (в результате твердения бетона и раствора), развитие деформаций ползучести и усадки, образование трещин. Учет в полной мере всех перечисленных особенностей физической работы конструкций здания, рассматриваемых как единая пространственная система, приводит к существенному усложнению задачи, решение которой оказывается возможным лишь для отдельных частных случаев. Поэтому неизбежна идеализация физических свойств материала конструкций.
В большинстве методов расчета статически неопределимых систем, образуемых конструкциями зданий, используется допущение о линейной зависимости между напряжениями (усилиями) и деформациями (перемещениями). Такая зависимость строго выполняется лишь при относительно небольших напряжениях. При более высоких напряже-™х Расчетиаоснове линейной зависимости приводит к зна-оез5л^я1тмПпГреШН°СТЯМ’ Чтобы уменьшить их влияние на пыеУппирмм РДспчета’ используются различные приближен-характевистнкиИчпА3 НИХ основан на том» что жесткостные том ожидаемых п ементов конструкций назначают с уче-ве предварительногог/СИЛИИ’ К0Т0Рые оценивают на осно-ных характеристик ХТЧеТа С учетом начальных жесткост-пластических дедюомяпий* снн*ения вследствие развития варительный расче/можно не°вып3°ВаНИЯ тРещин)- ПРед* предыдущих оасчртпп i«DO Не вьшолнять, если на основе лий в элементах конструкций1 и Че^твенпЬ1Й характер уси-30	инструкции. Например, при расчете зда
ний на ветровые нагрузки часто можно пренебречь нелинейной работой простенков, если их горизонтальные сечения остаются сжатыми с учетом совместного действия вертикальных и горизонтальных нагрузок. Нелинейная работа конструкций здания в целом в этом случае связана с образованием трещин и развитием пластических деформаций в надпроемных перемычках и вертикальных стыковых соединениях (для полносборных зданий), являющихся связями сдвига между простенками. Как показали исследования выполненные в МИСИ им. В. В. Куйбышева [82], нелинейная работа перемычек как связей приближенно может быть учтена введением в расчет их жесткости при перекосе для стадии, близкой к предельному состоянию с учетом их фактического армирования.
Описанный приближенный прием учета нелинейной работы конструкций является наиболее простым, но наименее точным. Повышение точности расчета возможно на основе пересчета жесткостных характеристик в ходе последовательных приближений. Однако такой процесс не всегда является сходящимся. Для повышения устойчивости процесса последовательных приближений используют шаговый метод, называемый иначе методом многоступенчатого загружения.
Расчет железобетонных статически неопределимых конструкций на основе шагового метода разработан А. А. Городецким [136]. Шаговый метод использовался для решения некоторых задач расчета зданий С. М. Крыловым, А. Л. Пекарским, А. И. Козачевским [137], Л. И. Гельфандом [135] и др. Шаговый метод является разновидностью метода последовательных загружений, который основан на замене нелинейных уравнений задачи рекуррентной последовательностью линейных. Такая замена выполняется на основе допущения, что при небольшом приращении внешней нагрузки несущественно изменяются жесткостные характеристики элементов системы, поэтому на каждом шаге система может рассматриваться как линейная.
Метод последовательных загружений „позволяет получить решение задачи с любой необходимой степенью точности, что достигается выбором шага изменения нагрузок и числом повторных пересчетов жесткостных характеристик на каждом шаге. Шаговый метод может быть использован также для решения геометрически нелинейных задач, например для расчета конструкций по деформированной схеме. Недостатком метода является необходимость многократного расчета всех конструкций, что приводит часто к непри-
« бо > Некого примени я в мк   ' 	мяться,™ ПО мрре ум
'т...........................'  ?
'	3	3.	3 : еь о ,ко ас .«скпх
"З"...' мож о «о горреяч »ва - ре « ' о j 33	 ... ... ,ве „	... мостей, вводя """"
3,3'.	." jвкутрен хс> Э < (олжнь вы
3	, ve , ЧТОбЫ усилия во всех цементах не
....'.	, х ас стома в № ом е реврач .. .
в механизм.
. же одобеташых конструкций перераспределение усилии нз-за развития пластических деформаций имеет огра е ь ха >актер 11о  ' огни с расчет еразрез ..у	" ЗА . CW	'	33 .'3 .3	'.  \ 3.3.	' .V/' ЧТО
- .. .. уме . з ?' \з з элементах здания из-за пластического перераспределения усилий ио превышает 20—30%. Данное предположение требует прямой экспериментальной проверки. Между тем предварительный • з . гческмх испытаний натурных зданий в крупномасштабных моделей показывает, что предполагаемые пре-,з з  3 з з- з .	3 33 3 3.3 .33 .з '33 .3 \ }сн; . . НВ 1ЯЮТСЯ
.зз . .ечз.о осторожными с точки зрения необходимых .запа-
сов прочности.
В наибольшей степени резервы несущей способности конструкций могут быть выявлены при прямом использовании метода предельного равновесия (121. Метод может быть применен, если выполняются ;зз. тсззззя з-з первых ' ЙО .схс; .зз зззззаззз рдзрх; ',сзз/ КВКИХ ..зла ' ' ч РУКЦМЙ? во-вторых, перемещения в стадии предельного равновесия должны быть настолько малыми,
	. '' зззз'. > з\ с' зз: <'\, геометрических
размеров. Второе условие обычно выполняется. Хуже обстоит дело с выполнением первого условия. Например, 1ля крупнопанельных зданий усилия перекоса могут вызы-; ‘ х№пкое 1 ение . . з з . и перемычек Xз\ пк! й характер имеет разру шение стеновых панелей от сжатия при йгибе Однако конструктивными мерами моипй '' характер разрушь я отде, ь ых элементов
’ например, если вертикальные стыковые соединения
.з законе з\ ро < . ...	..... х	.
разрушению при сдвиге превышало сопротивление разпх ше-иню при смятии, то будет предотвращено хрхакое разрешу-
' '' х "v - '' еле (ля защ о х Разрушения ере . , - у< . ерекоса мож  несколько уменьшать их продольное армирование Тогда При применении мягкой стали с большой площадкой тек\-: / ощ . моме . юс '	.-. аем • . о
ч"'	'	Ml  .3 3 3'3 . з з .
торые могут быть переданы на перемычку при перекосе.
- я ‘ 3' .3 3 3	.3	'.	\ ". Q	v   с ;
сжатии следует стремнгьзя к тому, чтобы несущая способное 3,- .3 3 33 . 33'. 33..3. - 3 3 ta S з . 33 | 33- 3 .	\
мыкающих к горнаои тал иным растворным швам. Предот-;	' Х ' КО© 3	"	3	3 3 3 3 .	\	33, 3 .33 33
армированием торцов панелей, применением пластичных
растворов для заполнения стыков и другими мерами.
Вероятно, можно найти и другие решения, обеспечивающие упругопластнческий характер работы бетонных и же-.3 -ззг: ззззх кр\ 3 : 3 > . \ ,3 .3 зз ., . . \ 3". ,3 ВЫХ аз/ .'.зззз. . | 'з з зз. з ,з\ ,\ зз ' | Ю - з-з . /зз считывать конструкции зданий методом предельного равновесия. При этом открывается возможность регулировать усилия в конструкциях. Такой прием, широко используемый при проектировании сборных железобетонных каркасов связевой снсэтмы. позволяет резко упростить расчет и вме-
сте с тем получить весьма экономичные проектные решения. Однако если условия у ппугопластической работы конструктивно ио обеспечены, то метод предельного равновесия при-
менять нельзя.
В силу отмеченных ограничений наиболее универсальным является деформационный расчет с учетом физической и геометрической нелинейности. Такой расчет обычно вы-
. г г,- ?г?.. (конмым методом, причем на каждом шаге итерации система рассматривается как лпнейио-деформируе-мач. Таким образом, расчет систем в предположении линейной зависимости межд\ на ряжен . 1еформац
-з си состав з' з. ью . х расчетеj как i Л1 е ню так и в нелинейной постановке, поэтому в дальнейшемих -иовное внимание уделим методам расчета линейно-деформируемых систем.
Важным допущением, позволяющим существенно упростить расчет, является принцип независимого действия сил.
 yimyrux сметем гакое юпуирдаие справедливо, аедв расчет производится по иедеформируемой «хеме, когда не
нллрпечиых перемещений на возник, учитывали	ь усилий ОТ I/рОДОЛЬНЫХ СИЛ. ДЛЯ
новеиие дополнит . ы У	допущение в больший,
бескаркасных	по/р( /ш/ос,им.
СТ0(! елунвев I с I 1 ЯВЛ}ПЬ лиш(1 ВЫСОТНЬЛ- ЗДаНИЯ, ДЛЯ Исключение ^ У1 ;j (,/,уЧЯеВ ПрОВСрКЙ ИХ об/ЦР.Й кспорых >^)бх(;	‘1 независимости действия сил не.
Ус7ничи,юст 1 ^'^;.ч;.1(.,(О11Иих <-/(•// и;, местную устой-чЕХи их продсХюм из/ ибо. Для иелииейно-деформц-nvcMiIXсинем принцип независимое III деи< гвия сил также КгХястся, одиако при применении ша! оного метода для каждого /нага допустимо ею использование.
l ine одним допущением, принимаемым при расчете бес. каркасных зданий, является предположение, что усилия, действующие в плоскости стен и вызывающие, из, ио и -. нло. скости, могут быть найдены независимо. '1 акое допущение позволяет расчленить расчет на две независимые части: определение плоского напряженного СОСТОЯНИЯ коиструк-ний и определение их изгиба из плоскости. Обычно расчет начинается с определения усилий и плоскости конструкций, а затем с учетом найденных на первом этапе усилий произ-водится расчет конструкций на изгиб из плоскости. 11ри решении некоторых задач, например при определении усилий в конструкциях, вызванных климатическими температурными воздействиями, необходимо одновременно учитывать про. дольные деформации стен и их изгиб из плоскости. В боль, шинстве же случаев расчет производится независимо на усилия, действующие в плоскости и из плоскости стены.
Среди геометрических допущений, принимаемых при расчете конструкций зданий, наиболее важно допущение о тоикостенности несущих конструкций. Введение его поз* волш-'i рассматривать только деформации срединной поверхности (пси и перекрытий. Учен тоикостенности конструкций особенно полезен при расчете здания в целом на изгиб и кручение.
Перечисленные допущения являются основными В зависимое//и от особенностей той или иной задачи вводятся дополнительные допущения.
§ б. Вариационные принципы расчета упругих систем
Шхжти««пЧш? сложнь,х статически неопределимых систем основываютсяСПОЛЬ?ОВЖ1И(; вариационных методов. Все они начале возможны*^НАамеитальном принципе механики — х перемещений, согласно которому мсха-
ническая (шлема находится в равновесии в том и только в том случае, ко,да суммарная работа всех внешних и внутренних сил на любом возможно малом обратимом перемещении равна нулю. При этом возможным считаются любые перемещения, которые и»’ нарушают наложенных ня систему внешних и внутренних кинематических <:вязей (кинематическими называются связи, которые уменьшаю'/ число (тепе-ней свободы рассматриваемой механической системы).
Начало возможных перемещений является основным и по сути /(ела единственным постулатом аналитической механики и приложимо не только к задачам статики, ио и к задачам динамики, на которые оно обобщайся с помощью принципа Деламбсра |I9J.
Особое значение начало возможных перемещений имеет в механике упругих систем. Упругие системы после снятия внешней нагрузки полностью восстанавливают свою первоначальную форму, э/о обусловлено тем, что приложение внешних нагрузок приводи'/ к накоплению энергии в обра тимой форме. Работа внутренних сил, производимая в процессе постепенной полной разгрузки упругой системы, называется се потенциальной энергией деформации. Эта работа считается положительной. Работа внутренних сил, производимая в процессе постепенной нагрузки упругой системы, равна потенциальной энергии деформации упругой системы, взятой со знаком минус.
Для определения потенциальной энергии деформации упругой системы рассматриваются два бесконечно близких деформированных состояния: первое, характеризующееся перемещениями u, v, w в произвольной точке с коорди-иатами /,//,/, и второе, при котором перемещения в той же. точке соо/век л вен по равны и Ьи\ V b ,  где Ьи, bv, bw составляющие кинематически возможной вариации перемещения.
Упругое тело мысленно расчленяют на бесконечно малые параллелепипеды с размерами ребер с/х, dy, dz и подсчитывают приращение работы, затрачиваемой на //(формирование элементарною параллелепипеда при переходе из первого состояния во второе. Приращение работы равно приращению потенциальной энергии деформации. Приращение потенциальной энергии деформации единицы объема упругого тела определяется по формуле 1271
Ьа <ухЬех 4* Oybfy Ь 4 тл1/в'уж1/4’
4- tul Ьуиг 4- т1Хбугж,
где ах, ву, ot—нормальные напряжения; 6ех, бе 6в2 — вариации относительных продольных перемещений* тху, Tvz> т2Я—касательные напряжения; 6уху, 6yyz, 6yzx__l вариации относительных деформаций сдвига.
При подсчете приращения потенциальной энергии напряжения ох, т2Х предполагаются неизменными. Варьируются только компоненты перемещений и соответствующие им относительные деформации.
Приращение потенциальной энергии деформации всего упругого тела 6/7 определяется суммированием по всему объему приращений потенциальных энергий единичных объемов:
6/7 = 6а dxdydz.	(2)
v
Так как внутренняя энергия упругого тела является функцией ее деформаций, то приращение потенциальной энергии упругого объема можно определить также по формуле
л да с » да . да с да с
60 = 5гЛ+ 9++
+	(3)
Сравнивая правые части равенств (1) и (3), найдем: да	да	да
q -----• q —-----; Qz = --;
dex	dty	dez
__ да _ да	_ да	' TzX~~d^'
Формулы (4), называемые соотношениями Грина, позволяют выразить компоненты напряжений через потенциальную энергию деформации.
Применение начала возможных перемещений к исследованию равновесия упругого тела, загруженного поверхностными силами с компонентами вдоль осей х, у, г соответственно X, У, Z и объемными силами с компонентами X, У, Z приводит к уравнению [21]:
(Хбм 4- Уб v + Z&w) d% + £
+Г6и4-26ц’) pdxdydz— = 0.	(5)
v
Первое слагаемое в левой части формулы (5) определяет работу поверхностных сил на возможных перемещениях с компонентами би, 8v, 6w. Интегрирование в этом слагаемом выполняется по той части поверхности упругого тела 2, где заданы внешние поверхностные силы". Второе слагаемое в левой части формулы (5) определяет работу на возможных перемещениях объемных сил. Интегрирование в этом слагаемом выполняется по всему объему упругого тела V. При вариации перемещений внешние силы остают-' ся постоянными, поэтому сумма рассмотренных двух первых слагаемых равна вариации 6Л работы внешних сил, где А — работа внешних сил на действительных перемещениях и, v, w.
Последнее слагаемое в левой части уравнения (5) определяет работу внутренних сил, которая выражена через потенциальную энергию деформации (работа внутренних сил на возможном бесконечно малом перемещении с компонентами би, бц, равна вариации потенциальной энергии деформации, взятой с обратным знаком).
Уравнение (5) можно сокращенно записать так:
6Л — 6П = 0.	(6)
Вынесем за скобку7 .знак вариации и поменяем местами слагаемые, тогда вместо уравнения (6) получим:
б (Я — Л) = 0.	(7)
Выражение в круглых скобках в формуле (7) называется полной потенциальной энергией упругой системы, которую обозначим Э. Тогда можно записать
65 = 0.	(8)
Равенство нулю первой вариации функционала Э является условием стационарного значения этого функционала, поэтому уравнение (8) можно сформулировать в виде следующего вариационного принципа, носящего название принципа Лагранжа: из всех кинематически возможных перемещений упругой системы, находящейся в равновесии под действием сил, действительным перемещениям соответствуют те, при которых полная потенциальная энергия деформированной системы принимает стационарное значение. Вариационный принцип Лагранжа является наиболее общим принципом статики. На его основе могут быть получены все дифференциальные уравнения равновесия Коши для сплошного упругого тела и все граничные условия. Для стержневой статически неопределимой системы
, поинцип Лагранжа приводит к каноническим вариашгонаыи пр “ емещений. Принцип Лагранжа поз-уравнениям “активные приближенные решения за-водяет П‘,"Р°'<С1,„ упругого тела. Он применим не только дачи °.Равн° . к „елинейио-деформируемым упругим си-к линейно-, ни
стеи,“основе начала возможных перемещений можно уста.
На также другой вариационным принцип, носящий на-"°Вои₽ по«ципа Кастильяно. Для этого вводятся поия-тня аополнительной работы» и «дополнительной энергии ™,я„*7, ПИ- Для определения дополнительной энер-™ Ермании рассматриваются два бесконечно близких «впряженных состояния упругого тела. Первое из этих состояний характеризуется напряжениями .......
которые полностью удовлетворяют уравнениям статики, второе — напряжениями сгх + оох, ...» %zx + 6т2х, где ба ... 6тм — статически возможные бесконечно малые вариации напряженного состояния. Перемещения системы и, v, w vi. соответствующие им относительные деформации считаются неизменными для обоих состояний. Приращение дополнительной энергии единицы объема упругого тела определяется по формуле
ба = ех6ах + е^ба^ + ег 6а2 + ухУ 6тхг/ + ууг бтУг + yzx 6т2Х, (9) а приращение дополнительной энергии деформации всего упругого тела — по формуле
6/7 = Щ да dxdydz.
(10)
Приращение дополнительной работы внутренних сил равно^ приращению дополнительной энергии деформации, взятой со знаком минус.
Если на части или всей поверхности упругого тела Sn тпенмЫ выиуждеиные перемещения ~й, v, w, то при рассмо-Р и двух напряженных состояний необходимо учесть с^тически возможную вариацию поверхностных сил 6Х, Ряю^уравненипм внешние и внутренние силы удовлетво-возможных ПРПЯМ Равн?весия> поэтому на основе начала перемещении Ращений работа сил на всяком возможном Щения можнсЛт13 Нулю’ В качестве возможного перемени действии вирп ЯТЬ пеРемещения и, v, w, возникающие 38	Шних сил> приложенных к упругому те*
лу. Тогда на основе начала возможного перемещения можно записать следующее уравнение:
S (и&Х -I- v6Y + wtS) de -	(e, 6a, + e„ 6a„ + B, 6a, +
z"	v
+ Уху &Хху + Ууг fcy2 + ylx бт1Ж) dxdydz - 0,	(11)
где 6X, 6У, 6Z — статически возможные вариации внешних поверхностных сил.
Первое слагаемое в левой части уравнения (11) определяет работу внешних поверхностных сил, обусловленную их статически возможной вариацией. Интегрирование в этом слагаемом выполняется по той части поверхности упругого тела, на которой заданы перемещения. Второе слагаемое определяет работу внутренних сил, обусловленную статически возможной вариацией напряженного состояния упругого тела. Это слагаемое есть не что иное, как дополнительная работа.
Разность между дополнительной энергией деформации 17 и работой внешних сил А называют дополнительной потенциальной энергией поэтому уравнение (11)
полной деформации Э П — А, можно переписать в виде
6Э = О.	(12)
На основе уравнения (12) можно установить следующий вариационный принцип, называемый обобщенным принципом Кастильяно: из всех статически возможных напряженных состояний упругой системы, для которой выполняются условия совместности деформации, действительным напряжениям соответствуют те, при которых дополнительная потенциальная энергия полной деформации принимает стационарное значение.
Обобщенный вариационный принцип Кастильяно справедлив для любых упругих систем (линейно- и нелипейно-деформируемых). В этом его отличие от обычного принципа Кастильяно, излагаемого в курсе теории упругости и применимого только к линейно-деформпрусмым системам. Обобщенный принцип Кастильяно предложен Д. Т. Ар-гиросом [11], который показал, что условию совместности деформаций упругой системы отвечает минимальное значение дополнительной потенциальной энергии полной деформации.
Представляет особый интерес случаи, когда отсутствуют заданные перемещения на поверхности тела. Тогда 39
п навой части уравнения (11) равно нулю.
ге“^»-;^;меетвид:
(13)
• оИР /'вариация) дополнительной опер» девЛ-’Р^отределяемое по формуле (10) гии л*Рмац i’„„Mvnv (9). можно ПОЛУЧИТЬ обобщенные
Используя форму  устанавливающие зависимость ком-формулы Кастилия дополнитеЛьной энергии деформа-понентов ^волнительная энергия деформации являет-еТфУн^Напряжений Е"^’И УПРУ_ГОГ° ТеЛ3’ ™
е- = А8щ-р-^60г+^6ог + дах дои в z
.	dryz дт^
(14)
Сравнивая правые части уравнений (9) и (14), можно установить, что:
да о _ да .	. _ да_ .
6х-^’ v доу’ 2 ао2’
' 1 да	да _	_да
Уху = дЧу' Ууг ~ УгХ~dxzx ' .
Формулы (15) называются обобщенными формулами Ка-стильяно.
В случае линейно-деформируемой упругой системы дополнительная энергия деформации равна потенциальной энергии деформации (/7 = 77). Тогда вариационное уравнение (13) можно рассматривать как следующий вариационный принцип (принцип Кастильяно): из всех статически возможных состояний упругой линейно-деформируемой системы, для которой выполняются условия совместности деформаций, при отсутствии заданных перемещений действительным напряжениям соответствуют те, при которых потенциальная энергия деформации имеет стационарное значение. На основе вариационного принципа Кастильяно для линейно-деформируемых упругих сплошных тел можно npdJn»nb ЬСе диФФеРенВДальные уравнения совместности voaRHPUH™’ а Аля стеРжневых систем — канонические Уравнения метода перемещений.
идеФопмяпи линейной зависимости между напряжениями реформациями удельная потенциальная энергия единицы
объема упругого тела определяется по формуле Клапейрона 12/J.
а = Т	Sx + °у &у + е*+ Хху yxV + хУг ууг + т2хЬх). (16)
На основе закона Гука потенциальную энергию деформации можно представить в виде квадратичного функционала, выраженного через напряжения или деформации, а также упругие константы, число которых в общем случае равно 21. Для изотропного тела, характеризующегося эквивалентностью всех направлений, число упругих постоянных равно двум (модуль деформации Е и коэффициент Пуассона v).
Вариационные методы являются эффективным средством для построения различных приближенных методов расчета сложных статически неопределимых систем, в том числе и для расчета конструкций бескаркасных зданий.
§ 6.	Прямые вариационные методы
При использовании прямых вариационных методов искомые перемещения или напряжения представляются в виде конечных разложений по координатным функциям. Эти разложения содержат произвольные параметры, определяемые на основе того или иного вариационного принципа. Координатные функции задаются предварительно. Они должны удовлетворять ряду требований, которые изложены в литературе по прямым вариационным методам. Наиболее полно вопросы выбора координатных функций, оценки точности решений и устойчивости вычислительных процессов рассмотрены в работах С. Г. Михлина [22 24]. Ниже покажем общую; схему расчета на основе прямых вариационных методов.
При решении задачи в перемещениях используется вариационное уравнение Лагранжа (5). Искомые перемещения задаются в виде [20]:
и = Uo + 2 Ui Фг (х> У’ г)>
v=v0 + 2	(*,*/> z);
tt) = Wo + 2 wi (Х> У>
шинные координаты.' функции, уМ11и.
ГД...	"’.'.„„WHI.lUJ'' ПОСТОЯННЫ.'	ш,. U(h
*ве“ю'рдя"«™«' функции. .......'ОД.'рж.'ИЦИ.'
функции выбираются ток, чтобы вы,,,,,,.
КооТ, г™метрич«ки.' условии не повсрхно.-то у|1|, ИЯЛИСЬ ВС*-
т'ииртшм ВХМ«И'' ” У1’ав",'""‘' <?>“Р."™"" н.'р.'М.'щ,,.
/Н, %„ ta4.'|»' i разложении (17). l.ui как функции " t wo н<* содержат произвольных постоянных, то и°' °'	in	ж
*м 2Л bv	hw	(i8)
। i	1	1
Вариацию- потенциальной энергии деформации Ml цы. разим через перемещения, которые представим в виде р;) )-ложеиий (17). Тогда
<// V | bill | ‘"1	, \	(19)
\дщ ikit dwt /
Подставим формулы (18) и (19) в уравнение (б) и учтем, что вариации buh bvt, произвольны и ничем между собой не (вязаны. Тогда получим следующую систему алге-брвических уравнений для определения параметров uh vt, wt:
й Т(	I рф/ X dx dt/ dr,
S ф| T JV l Щ РФ, Y dx di/ldi,	(20)
*n	V
IK», z jx jpc/г, 2n	у
заданные поверхностные силы; X, У, /
.....₽хност"“ <=*““1 *• ’2
рианич1Ици''\1И" 'адачи 11 напряжениях используется ва-Кзстильяно (II). Искомые напри-
к'>ордиц;П|.|1М *г,;‘'1|О|‘ я в виде конечных разложений »о < iaiH4<.< kJ2IIKI"’>,M' K,noPw‘‘ должны удовлетворя,ь нож-гия	*раиич11ым условиям и уравнениям ряв'
н»тным фунюивш lh‘o0x°AHMo разложи ть в ряд ПО коорДИ' ‘У К,1,‘НМ все шесть компонентов напряжений-
В случи»- плоскою напряженного СОСТОЯНИЙ, KOI ла раины пулю компоненты НЛНрЯЖ» ПИЙ на ПЛОЩЯДКах, параллельных П 101 К0< ГИ П 181 ГИН1 И (О	i. ())	.. J . . •• .
зи1Ь ненулевые компоненты напряжений ч<-р< ч функцию напряжений /• (функция Эри) по формулам:
_	, дЧ
х	и ' dx*’
<гч
dx dy'
(21)
л функцию напряжений представить и виде следующею конечного разложения по координатным функциям <р(:
/' <Ро I ,2 А Фо	(22)
Координатные функции ф01 <р/ должны выбирани я тик, чтобы ВЫПОЛНЯЛИСЬ все усЛОВНЯ ИЗ КОИТуре ПЛИСТННЫ И условия равновесия.
Вели на контуре заданы только поверхностные силы, то вариация напряжений ня контуре пла» дины рання нулю, Тогда уравнение (11) в случае плоского напряженного состояния имеет вид:
6//	0,	(23)
Выразим потенциальную энергию деформации через функцию напряжений в виде (22). Тогда на основании формулы (23) можно записать
В силу произвольности вариаций bfi при любых номерах должно выполняться равенство:
dJL - 0.	(24)
М
Таким образом, при отсутствии заданных смещений параметры определяются из условия равенства нулю часы hi,с- прои ИЮ,IHMJ ПОТ! ИЦИ1Л1 НОЙ -  '	
стивы II по этим параметрам.
Описанный прямой вариационный метод решения »а-дач называйся методом 1’птнл Метод основан на использовании экстремальных свойств полной потенциальной шер
43
*Апм«иии (при решении зад»..< перемещениях) „л„
Г"2 на ьн , звергии деформации ш<Уrpei«<i»x сид (при n0WllU,J' , в напряжениях). При использовании ме-'дТгппш'ие о6яз:и«ьно >доилепюригь псе краевые уе-,»«> При раечеп' на	..я .•кираижа могут
пат СЯ нс полностью статические граничные условия, аТрн расчете на основе уравнений Кастильяно - геометри-^КодСрТтца является эффективным средством решения многих задач теории упругости, в том числе задач устойчивости и динамики 1211. Метод удобен с точки зрения применения цифровых вычислительных машин, так как позволяет ерчзе дискретизировать задачи расчета сплошных упругих теп ’пластинок, оболочек. При использовании метода Ритца отпадает необходимость в составлении дифференциальных уравнений равновесия или совместности деформаций. К числу недостатков метода можно отнести: сложность оценки точности решений, недостаточную устойчивость вычислительного процесса при неудачном выборе координатных функций, относительную трудоемкость вычисления коэффициентов. Существенно ухудшается сходимость вы-
числительного процесса при наличии сосредоточенных нагрузок пли воздействий.
Другим прямым методом решения задач расчета упругих систем является метод Галеркина, называемый также методом Бубнова—Галеркина. При использовании метода Галеркина в отличие от метода Ритца не обязательно формулировать вариационную проблему, поэтому он применим непосредственно к дифференциальному уравнению независимо от его происхождения. Дифференциальное сравнение задачи записывается
Ь (и) - /,
(25)
uuLjL ФУНКЦИ0Нал» зависящий от искомой функции u7; 7, -КЦИЯ’ зависяи1ая только от внешних нагрузок или воздействий.
них пяТнлЗ’л Ка-К 11 в методе Ритца, ищется в виде конеч-ЦИЯМР кт«пНИИ ИСКОМЫХ функций ПО КООрДИНЯТНЫМ фуНК-краевым vennf должны обязательно удовлетворять всем > ням задачи (статическим и геометрическим):
I краметры и, определяются из условия ортогональности функционала L, в котором функция и задана в виде (261 любой координатной функции	'
| cpjds = O, (/-1,2, ....JV), (27)
где D область задания искомой функции.
Метод 1 алеркнна приводит к тем же результатам, что и метод Ритца, если при использовании последнего координатные функции удовлетворяют всем краевым условиям.
Имеются и другие прямые методы (метод Треффтца, обобщенный метод ортогонализации), которые пока не нашли применения при расчете зданий.
§ 7. Метод Власова — Канторовича
Метод предложен почти одновременно (1931—1933 гг.) двумя советскими учеными—В. 3. Власовым [69] и Л. В. Канторовичем 116]. Метод позволяет привести многомерную задачу расчета упругих систем к одномерной, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.
Как и в прямых вариационных методах, неизвестные функции разыскиваются в виде конечных разложений по координатным функциям, по вместо постоянных параметров, на которые умножаются координатные функции, вводятся неизвестные функции одной из координат. Для определения этих функций в методе В. 3. Власова используется начало возможных перемещений, а в методе Л. В. Канторовича — принцип минимума полной потенциальной энергии деформации Лагранжа. Так как принцип Лагранжа является следствием начала возможных перемещений, то оба метода приводят к одинаковым конечным результатам.
Для задач расчета липейно-деформируемых систем нам представляется более удобным вариант метода, предложенный Л. В. Канторовичем. Покажем схему его применения на примере расчета плоского напряженного состояния прямоугольной пластинки, вытянутой вдоль одной из осей, называемой полосой. Направление вдоль длинной стороны полосы назовем продольным, а направление вдоль короткой стороны — поперечным (рис. 18). Полосу будем считать жестко защемленной в основании, а внешние нагрузки приложим только вдоль длинных сторон. Будем считать эти нагрузки распределенными. Нагрузки,
Рис. 18. Схема нагрузок на защемленную в основании полосу
действущие в продольном и поперечном направлении, назовем соответственно продольными и поперечными (эти нагрузки обозначены р и q).
Вариационные уравнения Лагранжа (5) в рассматриваемом случае можно представить в виде н
J (Pi Р2 б«2 + о
+7i	—?2 буг) dx—бП = 0, (2 8)
где «1, «2 — продольные перемещения вертикальных кромок, где приложены силы plf р2; vlt v2 — поперечные перемещения вертикальных кромок, где приложены силы qt, q2, Н—высота полосы.
Потенциальная энергия деформации П определяется интегрированием по всему объему полосы удельной потенциальной энергии деформации, которая в случае плоского напряженного состояния выражается через перемещения и, v по формуле [21]
0=_L[»!+/w+2v^*’+ 2(1—v2) [ \дх)	\ду /	дх ду
Функции и и v будем искать в виде следующих конечных разложений:
“(х,У) = и0(х,у) + 2 Ui (x)<pf (z/);
v(x,y)=v0(x,y) + УДх)фДг/), / = i	"
(30)
(bvHKnwu0 „/Р^рн^ьно выбранные координатные задачи- )уУА??ле'ГВ0РяюЩие всем геометрическим условиям координаты y искомые функции, зависящие только от Условиям- w УАОВлетвоРяющие однородным краевым В качестве функпийТ1316 К00РАинатные функции.
перемещения Ц И и°’ можно> например, принять 46 Щ Я консольного стержня, найденные на основе
Гипотезы плоских сечений. Координатные функции ©• ф. могут зависеть от обеих координат, но такая форма их задания применяется редко, поэтому будем считать что они являются функцией только координаты у
С учетом формул (28)—(30) выражение для полной потенциальной энергии деформации Э можно сокращенно за* писать:
н
3=	....и„ U'„ .... и;, V,.V,,у;.....v.)dx,
О
где Ф — квадратичный функционал, зависящий от коор* динаты z, неизвестных функций Uit Vj и их производных по zU'i, Vj (i = 1, 2, ..., г; j = 1, 2, ..., s).
Удобно ввести для функций U и V единое обозначение.
Примем, что
Ui при k^.r;
Vj при k = r-\-j.
(31)
Функцию Xk назовем обобщенным перемещением поло* сы (/г = 1,2, ...» т = г + s). Тогда функционал Ф = Ф (х, Х1( .... Хт, Х{, .... Х'т\
Для определения вариации потенциальной энергии де* формации 63 рассмотрим возможное деформированное со* стояние, характеризующееся компонентами обобщенных перемещений (Хк + 6Xfe). Это деформированное состояние вызывает приращение потенциальной энергии деформации
и
ЬЭ = J Ф (x, Xk 4*6Xk, Xk+SXk)dx о
Я	т	/ ла
_ j Ф (х, Хк, X'b) dx = £ j 6Х.+
О	.‘До
_|_ Д 8Xi}dx+..., (k=l, 2,	(32)
дХ k /
где многоточием заменены члены порядка выше первого относительно 6Xft, 8X'k.
Из вариационного исчисления [13] известно, что вариа ция функционала 63 представляет собой главную линейную
ппиоашения ЬЭ. Следовательно, интегральный член "**е• (32) и есть искомая вариация 63, т. д.
65» i лЖ“'‘ + ^6Х'9с/л- и А=1 О
Предполагая существование производных ~ ФХ'к и используя формулу интегрирования по частям, проинтегри-руем второе слагаемое в правой части формулы (33). Тогда so _ У Г( — dXhdx + ~ 6ХЛ I 1(34)
Вариации 6Xh не зависят друг от друга, поэтому вариацию 63 можно представить в виде суммы независимых вариаций 63ft:
6Э	"tl™.—£ ^7\ьх„Лх+ — 6Xt Г "	(35)
1 J Ua» dx dX'k! h г dXh	'	(*>)
0	И
При расчете на основе принципа Лагранжа вариации искомых перемещений должны удовлетворять всем геометрическим краевым условиям. Для защемленной в основании полосы в сечении х = Н должно выполняться условие X* (Я) = 0(6—— 1, 2,..., т). Следовательно, в этом сечении 6Xfe (Я) = 0. В остальном вариации обобщенных перемещений 6Xft могут быть совершенно произвольными, поэтому можно сначала рассмотреть случай, когда вариации обобщенных перемещений равны нулю в сечении х ~ 2; Пусть варьируется только обобщенное перемеще-иие Хк = U„(k = 1, 2, .... г). Тогда:
8“=^;	=	6ц=0.	(ЭД
представить "“^’чен|,ых выражений уравнение (28) можно
н
(37)
Так как есриацим тервале (0<хг<^Г жение. заключенное’
ЯХ......
^ариация 6Uk совершенно произвольна в ин-то должно быть равно нулю выра-' В квадратные скобки в формуле (37):
(38) dx dlJk
На основе аналогичных рассуждений для обобщенных перемещении Xr + k = Vh (k = 1, 2.s) можно получить.
дФ d_ дФ_ dVk dx dV'k
(39)
Формулы (38) и (39) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа соответствующей вариационной задачи Если подставить в них развернутое выражение для функционала Ф, то после выполнения необходимых преобразований получим для всех 1г = 1, 2, ..., т систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
При выводе уравнений (38) и (39) предполагалось равенство нулю вариаций 6Xk в сечении х -- 0. Будем теперь считать, что в этом сечении вариации не равны нулю, но по всей длине полосы удовлетворяют уравнения.м Эйлера-Лагранжа. Тогда в формуле (35) равен нулю интегральный член. Так как в сечении х — Н 6Xh = 0, то
63- , <40’ ОЛ k	|х = О
Подставим выражение (40) в уравнение (28). Если в сечении х = 0 отсутствуют сосредоточенные силы, то
дФ [
dXh\xO
(41)
Выражение (41) определяет так называемые естественные краевые условия для сечения, где не заданы геометрические краевые условия.
Для сечения х = Н краевые условия геометрические и имеют вид:
Xh (И) = 0.	(42)
Формулы (41) и (42) полностью определяют краевые условия, которые необходимо учесть при совместном решении системы дифференциальных уравнений (38) и (39).
Метод Власова—Канторовича служит математической основой для расчета зданий на основе дискретно-континуальных расчетных схем в виде составных тонкостенных стержней и составных призматических оболочек. Такие схемы наиболее часто используются для расчета зданий, так как на современном этапе развития методов расчета и вычислительной техники являются часто единственными, которые позволяют рассмотреть пространственную работу здания в целом.
s 8. Метод сеток
H.un К задачам расчета бескаркасных зда-Применительн	Д тся чаще всег0 для расчета стен>
ний метод сеток и . расчете методом сеток на по-ослабленных пр • Р МЫСленно наносится сетка, верхности Р/Хентов которой называются узлами. В ка-пер^неизвестных принимаются перемещения или компо-,еС™ няпояжений в узлах сетки. Внешние нагрузки счи-ненты напряж	таются приложенными только в
узлах сетки.
Для каждого узла составляются дифференциальные уравнения равновесия (при расчете методом перемещений) или совместности деформаций (при расчете методом сил). При этом на основе формул приближенного дифференцирования все дифференциальные члены заменяются конечно-разностными. Для определения перемещений (напряжений) на контуре используются краевые условия, в кото-
Рис. 19. Схема нумерации узлов сетки
рых дифференциальные члены также заменяются конечно-разностными. При этом используются фиктивные узлы, расположенные за пределами рассчитываемого тела.
Описанный способ получения уравнений метода конечных разностей в ряде случаев (при смешанных краевых условиях, в углах и др.) может приводить к несимметричным матрицам, что представляет неудобство для реализации на ЭВМ. Д. В. Вайнбергом [102], предложен вариационноразностный метод построения разностных уравнений, свободный от указанного недостатка.
Для вывода разностных уравнений кроме основной наносится вспомогательная, вдвое более густая сетка. На рис. 19 показан произвольный узел i, который окружают узлы основной сетки k, I, т, и, о, р, а, г и узлы вспомога-1^п0И СеТКИ а> с* d'Каждый узел основной ипй °могательн°й сеток принимается за центр прямоуголь-с пл°щадыо Р, = 0,25М„. Каждой прямо-энепгмя л^аСТИ Si соо™етствует полная потенциальная энергия деформации 3t:
3i hi SJ adxdy ~ (Xi Ut + Yi vt) dx dy, (43)
50	1	Si
где Si — площадь рассматриваемого прямоугольника с центром в узле i; йг — толщина пластинки; Х£Уг — внеш ние силы, приложенные в узле г, uh vt - перемещения узла i вдоль осей Ох, Оу, а — вычисляется по формуле (29)
Если площадь области St выбрана достаточно малой, то при вычислении Э£ по формуле (43) интегрирование можно заменить суммированием. Заменим производные в формуле (29) их разностными аппроксимациями. Для узла i, расположенного вне контура пластинки, используя центральные разности, можно записать:
'2EV =7 “li-Uhi \2. fdu\2 = [ vmi — vni \Д.
< dx Ji \ Xx ) \dy)i \ Xy / _ fumi~ “ni\2. (dv\2 _ fvu~vhi \2.
Jyji \ Xy ) ’ \dx)i \	/
(du\ _ud—uc + ub—ua Vd—Vb-\-vc—va .
\dx)i \diji	2Xx	2Xy
Zdu\ fdv\ __Ud—Ub-\-Uc — Ua Vd—Vc-yVb — Va
\dy)i \dx)i	2ky	2KX
(44)
В формулах (44) использованы различные конечно-разностные выражения для аппроксимации производных. Это сделано для того, чтобы упростились конечно-разностные уравнения, которые составляются на основе условий:
дЭ ____ dI7j_____q,
dui	dui
дЭ ____ дП j	q
dvi ~ dvi
(45)
В формулах (45) суммирование производится по всем узлам сетки (основным и вспомогательным). Выполнение условий (45) приводит к следующим конечно-разностным уравнениям для определения перемещений uit vc.
4 (а + Р)	—2а (wft + wz) — 2(3 (wn + ит) +
+ 2 у (о0 + v г—vp—vg)—2(oXi = °;
4(a + P)v/—2а (Уп + ут)—2P(vfe+ v£) -Ь 4- 2y (ur + w0 — up ~ liJ “	°’
(46)
где
₽=Lr“;
(47)
Аналогично составляются уравнения для узлов, распо-ложенных на контуре.
§ 9. Метод конечных элементов
Пон расчете методом конечных элементов поверхность пассчитываемого тела расчленяется на небольшие элементы почтой формы, называемые конечными элементами. В случае тоской задачи конечные элементы обычно выбираются в виде треугольников или прямоугольников. Предполагается, что соседние конечные элементы соединяются между собой одноименными частями: ребро с ребром, вершина с вершиной. В качестве производных принимаются перемещения узлов, где сходятся вершины смежных конечных элементов (возможен также расчет методом сил, но он применяется реже).
Принимается, что перемещения между узлами меняются по линейной зависимости. Неизвестные находят с использованием вариационных принципов.
Как показал Л. А. Розин [114], метод конечных элементов имеет общие черты с сеточными методами (расчленение тела на элементы, определение неизвестных для узлов сеток) и прямыми вариационными методами (использование вариационных принципов, аппроксимация перемещений конечных элементов). При этом методу конечных элементов присущи преимущества обоих методов. Как и сеточные методы, метод конечных элементов применим к расчету тел произвольной формы, в том числе с различными вырезами. Разрешающая система уравнений, как правило, хорошо обусловлена, что обеспечивает устойчивость решения уравнений. Матрица коэффициентов при неизвестных слабо заполненная, что создает удобства ее формирования. Сходство с вариационными методами облегчает доказательство сходи-S’ оценки погрешности приближений, позволяет ис-„ ПТЬ И3 РассмотРения естественные граничные условия, форме °ЗМ0ЖН0СТЬ ВЬ1В°АИТЬ все зависимости в матричной 52
Несомненным достоинством метода конечных элементов является его наглядность, что особенно привлекает при решении инженерных задач.
При расчете методом конечных элементов сначала рассчитываются отдельные конечные элементы независимо. Каждый элемент считается закрепленным от перемещений в вершинах. Определяются реакции в связях от поочередных единичных смещений вершин. Эти реакции записываются в виде таблицы, называемой матрицей жесткости конечного элемента. Далее с использованием вариационного принципа Лагранжа составляются уравнения равновесия всех узлов, в которых соединяются конечные элементы. Вследствие дискретности задачи уравнения равновесия представляют собой систему обыкновенных алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить перемещения всех узлов. Найденные перемещения узлов используются затем для расчета каждого конечного элемента. Расчет производится с помощью ЭВМ. Формирование матриц жесткости и определение усилий в конечных элементах сводится к многократному применению небольшого числа расчетных формул, что значительно упрощает программирование. Наиболее трудоемкой частью расчета является решение системы алгебраических уравнений, па основе которой определяются перемещения узлов.
Рассмотрим более подробно особенности расчета методом конечных элементов на примере расчета пластинки при плоском напряженном состоянии. Конечные элементы примем прямоугольной формы. Такая форма конечных элементов используется обычно при расчете зданий.
Пусть рассчитываемая пластинка состоит из W конечных элементов и имеет п узлов, образуемых вершинами конечных элементов. Внешние нагрузки приведем к сосредоточенным силам, которые приложим в узлах. В качестве неизвестных примем перемещения узлов. Для произвольного узла номер /г перемещения вдоль осей Ох и Оу обозначим соответственно tik и v^.
Полная потенциальная энергия деформации Э рассматриваемой пластинки в случае плоского напряженного со стояния определяется по формуле
2V, Л* . 1 Ч 1 "" : 1 "Тр .......................................... " 1
(48)
P h v __ соответственно модуль упругости, тол-шина и койфиииент Пуассона для г-го конечного элсменза; шина и ^{ешни(1 СОСредоточениые силы, приложенные „ '’"/г и действующие соответственно вдоль осей Ох и Ou- а b — половины длин сторон r-го конечного элемента ’ соответственно вдоль осей Ох и Оу, ц местные безразмерные координаты, имеющие начало в центре конечного элемента г (£	Г1 У^г)-
В методе конечных элементов принимается, что перемещения и и v линейно зависят от перемещений узлов:
п
и (х, у) 2 uh <рЛ (х, у}\ k 1
п
V(x,y) % vhqh(x,y),
(49)
где фй, координатные функции, определяющие перемещения между узловыми точками.
Способы задания координатных функций рассмотрим ниже. С учетом формул (49) полную потенциальную энергию деформаций пластинки Э можно представить в виде квадратичной функции перемещений узлов ufl, (l< -1, .... n).
Для дальнейших выкладок удобно использовать матрич-ии^>^ОрМУ3апИСИ' Компоиенты перемещений узлов и внеш-/71 с<^Релоточеннис силы представим в виде векторов W и {Р} размера 2п:

{/д
|Л’
।
Тогда выражения (4ft) в матричной форме’ можно записать так:
" '.2 W4KHZ) . (/){/').	(51)
где IК\ квадратная симметрическая матрица размера 2п называемая матрицей жесткости. Индекс «т» означай что матрица или вектор транспонированы по отношению к исходным.
Для определения перемещений (Z) используем принцип наименьшей работы Лагранжа, согласно которому равна пулю производная от полной потенциальной энергии деформации, взятая ио любому из компонентов искомых перемещений:
0 (/' 1,2.....2п>- <52’
Выполним дифференцирование но всем компонентам перемещений /h и сложим полученные выражения. Найденное выражение в матричной форме можно записать так:
1X1 {7} {Р}.	(53)
Уравнение (53) в развернутом виде представляет собой систему обыкновенных алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений ZA. Полученное уравнение является основным матричным уравнением метода конечных элементов. Обратим внимание на сходство уравнения (53) с каноническими уравнениями метода перемещений для стержневых систем, если их записать в матричной форме.
Таким образом, для решения рассматриваемой задачи необходимо составить матрицу жесткости 1X1. Вид матрицы жесткости зависит от способа задания координатных функций (риф в формуле (49). Чаще всею координатные функции задаются но формулам (114, 1151:
Фл aih I х "Ь авл У "Ь ху, |
Фл «ел ( «ел X \ У I- «ел ху. 1
Коэффициенты а,/„ .... а„л м^ут быть найдены из условия, что для вершины номер k ср/, фл 1> а Для с тальных вершин рассматриваемого конечного элемента <рд фЛ 0. Тогда для изображенного на рис. 20 конечного
1 Необходимые сведения из теории матриц читатель найдет а работах (30, 35J.
элемента с вершинами /, /. X?» т на основе формул (54) перемещения и произвольной точки с координатами (^ составят:
-У «1 -в (1 - >1) +(1 + ю (| - ч) «>+ + (i+5)(i+n)«m т (I—£)(1- n)«J;
J-[(i 5>(i-n)t'<+(n-a<i-n)frh
ННВО+чМ
(55)
Рис. 20. Прямоугольный конечный элемент
Напомним, что Ч - местные координаты с началом в центре рассматриваемого конечного ^элемента. Перемещения и и V, определяемые формулами (55), полностью удовлетворяют условию совместности перемещении в местах сопряжения конечных элементов.
Используется также другой способ задания координатных функций, который был предложен в одной из первых работ по методу конечных элементов (1181, Для построения координатных функций используется функция напряжений Эри в виде полинома
F оцл4 4- а»х8 г аяху 4-+ а4//а +	(56)
на основе которой перемещения и и о точек конечного элемента выражаются через параметры а.
В вершинах конечного элемента его перемещения должны быть равны
искомым перемещениям uht vk, (k I, 2, .... n). Из этого условия параметры а выражаются через неизвестные перемещения ик, щ.
При данном способе задания координатных функций совместность перемещений конечных элементов обеспечи-пЙ(р)я тольк° в узлах. Однако, как показали исследования ы, данный способ обеспечивает повышенную точность сравнению с первым из рассмотренных.
hwy Р1шенякДеи также иные способы задания координатных функций (см., например, 11081).
Глава 3
РАСЧЕТ БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ НА ОСНОВЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ
В ВИДЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 10. Гипотезы, используемые при расчете стержней
В зависимости от соотношения характерных размеров поперечного сечения различают сплошные и тонкостенные стержни. Расчет стержней сплошного сечения основывается на допущении о линейном законе распределения продольных нормальных напряжений (гипотеза Навье) или линейном законе распределения продольных перемещений (гипотеза плоских сечений Бернулли). Для длинных прямолинейных упругих стержней обе гипотезы тождественны и подтверждаются экспериментально. Для коротких стержней возможны отклонения от гипотезы плоских сечений вследствие влияния деформаций сдвига. При этом к относительно меньшим погрешностям приводит гипотеза Навье, так как ее введение не препятствует учету отклонений продольных перемещений от линейного закона.
Для длинных тонкостенных стержней гипотеза плоских сечений может использоваться только при расчете стержней на изгиб без кручения. При кручении поперечные сечения не остаются плоскими, а депланируют (термин предложен В. 3. Власовым 1691) (рис. 21). Депланация может также возникать при продольном сжатии (растяжении) стержня. Для коротких тонкостенных стержней возможна депланация и при изгибе. Расчет тонкостенных стержней с учетом депланации поперечных сечении требует введения уточненных гипотез и допущений.
Стержни, образующие стержневые системы бескаркасных зданий, как правило, относятся к тонкостенным. Расчет с помощью ЭВМ систем из стержней сплошного сечения всесторонне разработан и изложен в многочисленных монографиях, учебниках и пособиях (см., например, 129. 31—351). Для систем тонкостенных стержней рассмотрены в основном задачи, относящиеся к составным системам из длинных тонкостенных стержней открытого профиля, расчет которых выполняется без учета деформаций сдвига их срединной поверхности (расчет разработан П. Ф. Дроздовым 1811 и Д. М. Подольским 1611). Предложенные методы применимы для расчета зданий повышенной этажности Для зданий средней этажности пренебрежение деформация.
Рис. 21. Продольные перемещения составного тонкостенного стержня при кручении а — при нулевой жесткости продольных связей; б - при конечной жесткости продольных связей: п — при абсолютно жестких поперечных связях; / - продольная снять
мн сдвига срединной поверхности стен может приводить к ощутимым погрешностям, что ограничивает область применения имеющихся методов.
В связи с задачами расчета бескаркасных здании различной этажности автором разработан метод расчета, применимый для тонкостенных стержней произвольного профиля (открытого, закрытого и смешанного) и различной длины (коротких и длинных). Метод ориентирован на применение ЭВМ и учитывает специфику автоматизированных расчетов. Отмеченные особенности метода обеспечивают значительную универсальность программ расчета, составленных на его основе. Изложению основных положений данного ме
тода посвящена настоящая глава.
Прежде чем перейти к рассмотрению стержневых систем, рассмотрим принципы расчета отдельных тонкостенных стержней и проанализируем допущения, принимаемые в различных технических теориях их расчета. Наиболее общее и строгое решение для тонкостенного стержня может быть получено, если рассматривать его как двухмерное тело, т. е. как оболочку.
Расчет тонкостенных стержней на основе теории оболочек разработан А. Л. Гольденвейзером [41]. Тонкостенный стержень рассматривается как длинная цилиндрическая оболочка произвольного очертания. Решение ищется на основе качественного анализа интегралов теории оболочек. Из общей совокупности интегралов полной системы уравнении оболочек выделяются все те, которые соответ-ТОТГ OCHOBHlJM напряженным состояниям стержней. а. л. 1 ольденвейзером показано, что на напряженное со-ис 5°икостен1’ого стержня основное влияние оказы-измом^?°₽Ма*ии’ при КОТОРЫХ поперечное сечение не своей формы. Поэтому при построении техниче
ской теории расчета тонкостенных стержней можно пои-нить допущение о недеформнруемости поперечного контупа Что же касается продольных деформаций, то в общем civl чае они существенно отличаются от линейного распоетете-ния и имеют различный характер для стержней открытого н закрытого профиля.
Ввиду сложности расчета тонкостенных стержней на основе теории оболочек для практических расчетов используются приближенные методы, основанные на введении ряда дополнительных гипотез. Такне гипотезы вводятся с учетом особенностей деформирования стержней различного профиля. При этом для расчета стержней открытого и закрытого профиля некоторые гипотезы оказываются взаимоисключающими.
Техническая теория расчета тонкостенных стержней открытого профиля разработана В.З. Власовым [38]. При расчете таких стержней принимаются две основные гипотезы: I) поперечный контур стержня считается недеформируемым в плоскости поперечного сечения; 2) деформации сдвига срединной поверхности стенок тонкостенного стержня принимаются равными нулю.
Первая гипотеза совпадает с допущением, принимаемым при расчете нетонкостенных стержней. На основе этой гипотезы поперечные перемещения v произвольной точки срединной поверхности можно выразить через три обобщенных поперечных перемещения, которые обозначим Ух, У^, У2, Два первых определяют перемещения сечения в целом соответственно вдоль осей Ох и Оу, а последнее —угол поворота относительно продольной осн Ог.
Вторая гипотеза позволяет выразить продольные перемещения срединной поверхности через поперечные н установить закон их изменения по длине поперечного сечения. При этом депланации точек срединной поверхности для фиксированного поперечного сечения оказываются пропорциональными секторнальным координатам <о этих точек [381. В результате продольные перемещения поперечного сечения могут быть выражены через четыре обобщенных продольных перемещения.
Рассмотренные гипотезы являются основными геометрическими гипотезами, принимаемыми при расчете тонкостенных стержней открытого профиля. Кроме них используются также физические и статические гипотезы. К числу физических относится гипотеза о линейной зависимости между напряжениями и деформациями (закон Гука). Статические гипотезы устанавливают закон изменения напряжений по
19
NUlOOIItUOd.lOll 1X1*111110111'01110.' 4 llioamillll 10ЖОН1 'yOu’Uh .HVIO'IV'I ‘yiulOAl Xl'llilllO; oil UOIIOWIldtl ‘UHIIUtfV X I'llIOUMdU'lOOV xinxoxo wih.ioiuHkI II ximxoXpuroiioii ‘yoioKdoa.' xiim.uhIom mrV •iiiihgIoi.' oi’iiuimrV ‘I.iihii'i.uih.'.’iid oimo.i. nw'ioou ллчтгошюи уонмокмо x 1*111110.1 oom uo.i umlooi. omioohiiuxoi oi'iiimfomiQ
' К If 1|ф
• odll O.lO.U'ldMUV yoiUKlk'.l.' Hlftf o.iomoiiuw^ v V " K»rm|mdu oioii'id'i.io уонмокно x 1*111110.1004110.1. Hirtf imoomrii j: i| voioii -III XIl'IllOlAllI O.LOH.LOOO 11М1Ю(1Н1ГЛИ(1оф .I.IKIIIlVO'lQO Hi O.IOlIll.l HiMinoiniuiiin.-iioV OVVIUA'IIIOKV* Ol ,1 Hi:iiuo'KoifVod|| Wi’iVM -0\diiixdot|>otf0ii Moioituiho tuoKdo.io uA’.uiom yi‘liihodono| ।
ouiionXdM ooiiVoyouo nil KiOKdvi.i..' o.iom A'hll.lVIXVlldll U.lOhOl.'d I II KAIOIoroVodllO II l<U4(do.l.' KllllOhOO o.i()iihodoiioii i'iwdoi|> .io tiioiltiui: (// *,v) Л» пиКМнАф VH|( Kiili uuiihXibiin: uir.iA Hii'Kiloio I'liiHirV AdiiiiiiVo uil oiiiiio'iuudiidii n (fi ‘л) d> yiiiiowmlumi пиимнХф uii’iiruiioiilidoiiodu пиной \d*( mln yiiuohoo xMiihodoiiou uiniuiiinfiioV oa.h ‘mxioimiinimlii 01 VllirOIIIOKlf ()| I lllldoo.1 Я Щ('1|фо(1|1 (’.lO.l.l’ld'lUV II 0.10.1, 1*1(1.4,10 yoiiwdo.l o X 1*111110.1004HO I. Hlftf IMOh ‘udo.l Ml.’dux O.IOII.I OUh ooiroy I'ho.toiiiLi i*nio'Koiroii u.iohoud iiiidoox Auoiioo || l;;|-| oi: •VllirOIIU'K'lf ()| I UllU.loyildwd Klilh|»odu O.IOll'liroHl IlOUU IJOII 'Ktl.n.) Xl’lllllo.l .'OMHOl U.IOhOial IHldo.l.l IH.'M.’.'lillllXO.l. KUlUQQ
luoiiowd xii KirV woiiii.i.o.1 uuodu H.UHIIOIIU.IO IO.IOI1III XI‘III.IOhOVd Ollhllirvud ‘yri.ll’lduui.	XU.I
AdU UH i: *‘iirii(|iod(i yi'i.ii'hImi.o xini.iouhX XiiiiVo i:il xiiliioioMi ‘H.Hixfdoio Xl’lllllo.lЛО4НО1. uirir o4i:iiVq yoilM<do.io ноши. xi*i.i Au -tUXOIIX 1 11 OloV'IOOl U.IJhOUd I'lVolOlX Ol'lllUll.t40(|x|)f *1.1 tu>d.|..»OII .n>ihironvo11 ‘Hiriu|iodn o.io.ii’uhiuu it o.io.iridnio yoioiulo.io xi’iu li.O lOMHOl. Atohoud mill Jl'IWOAWlfOUOIl ‘i’ll OIOIIII.I OllhOlJUJ
IllXHIIIl
•aUioN.idou mxi'iiiiio'iiiyoyo uwidmoh u.'ioiAviido.iumlux om< Min miiio’iiiAw.'d.Hi .M'lii’iiroVodil Н1гц(|н)(|ц о loiiud'irv yoiDKdo.i.' i rV ’woiudtjo wiimi.'i ||ч;| (•» rti.miitlfdooM oi'iii'iirinido.iЧ.М .iiimi.mitjoijo iii xHiii tn ivHinalooM xi’iii’iirumlo.ioioo o.loowh iur.»o ’mii(|>t>tlu о io.i.hhI mi о ihimoLho iiiiii.tiu.Hxod.ui ximimrotfmlii iiiiH.Hi.Hvi и iMi>m>\ir> .) i.'iiVuuiioj owdo(|i oil i,11*ido.i.oч ‘yiuioliiow >d.ni xHii’iiroVodif imnoitoHvii IIO'IUV HoifuoHii.i.'X mriu|iodii m <>ii’id'ii:i H.tiiMfd.H > XI’|||||.II004HO.I Kirtf hv.>1011111 non. 01101100 ”|| UlOl.ihAtlM IXIIIIII.IIIMI.) II (XOIlVtXJOH > lldli 11041111111(0 liliu •Hn'.' OlOllh.idnilOU OIO|||IUUOdHOMIu|l >101(0.1. llllll01ll.>IM.>d0ll XI4II mwodit miiMiinm it homwi: iiodoioM oiiouir.io > 'Лишним irinioi 11,1111,1 Io1; Iним ниц»д* у v iiiiiiotiAdM mln 0111101100 ijiut itinru.Hf nHH0H'0tf0diio mrv Wrimbwoiiuud ii.'.uHiwiiumln 11ч
II 'I • JIIHUII.OI on 1)1111,1М<К(||1(Ж хн11*|1Г0|.и.4П| 0111Г01Г0Т(0(|ц >nd 11
<ш ooiixdouon voiuiiitfodo ’’iiiiiVo niniHw<l<x|>w »<.ш>шнтцЬх nirii(|x>du oaau'idMut илнмо1о.1.л oiohoifd mln nifH$odu otomdM ,10 \|О11М<(1о.1л 10 ailhllWO Я HAl.OlUhUlMO OIIHaill л.НнХл ИНПЛ1Ц X||ptf ОНМООЫШМО И OllMOOhlld.l.OHIOOl ОЖ «Н'Ш’ПГЬМЛО щ|А.111оМ oioiihodouoii hi oonioXditwdo<|>otfoii о ouiiohiAuotf iiAiotiwHiindu ЛЖМП1 1<1ГН<|ки1и OlOll’Ill'ltO. IJOIIMUloiA XNIIIUUOOMIlOl KirV
HlOOllxdoUOU yOHIIHVOlb IMHHtfO Ijrtliuwdoilwtf 1‘i'HiX v’tj tioiohowd hioowmioHiidii RTntnvd.1 чi.iutmiiri,oA .loiKiroinoii mio omihiVq uo.iohoud xini.Mhii.iMinlii HirV riwoirwomluoiruw Химии II W|(KW(| | || UtflUOW OOH .'KOtfOO.IOIlMHl NtfO.IOW OIHIllllf|| dtfll |(if| UIIOMpodo^ Ц If'lsl'l uini'lduw V H ,;шц1 V V <1 xKHHjuil u riiiowoirtfodu uiooiixdoiioil iioiuiiitfodл u iiiiiVo Hinii!wdoi|>olixoiohA л niou|x>du (HOJ.i’id'iio yoiiwdo.i ’ Х1ЧНПЛ1oomiioi 1.,1льл»н1 FMxwyv ЦННлж ndllUII Olllllillll'Oll l.'U IMOh ‘НП'К(1л1Л НЛО XKIIIlOlllOWodoil nil КЛ
I.OIIflll'll НЧЛ OHIIOU.I.OO’lllAO 00K4MJ H IHUtfO •(/1.| UOMKlIollIO^ q |[ inn.ioion ми\| Maooimiod ion ixi'iMi.iAliio м H.LMiiiidii io'Koix i:.i illlV'O |)IH'll|.*lXdOt|K)V .lOhAoil *1<11>К(1о,1Л IJOIIHirl; Л Wlld.HXl HOA xrid O.I.0M 1И11кН1ЛЛ o.loilhodoiioit (I.HNI ial |11'ни1л.1'11:(1н\ ’|1ЛН'К(1л.1 Л Xll'liodo'l Hir'lf •|JOll'Kdu.l Л XIMIIIlHlfV Hlftf OM‘lli'0,1. Moyillllo ХГП1 imhiллЧиХл подол in lohoini oil Hirii(|4)du oio.ii’id'i.io uiiwdoij иi.ooiixibtioii ijoiuiHtfodo iMiiutf.' |jii'iu?wdoi|x)V hiiuiaiXaio qo oiiiiaIiiAiio'i/ iModai iiouiiotf'iiro | |f 'tf imioii'iioihuлК vdK.uioM oi oiihodoiiou и i oowoXdiinidoi|>otfoii о ihi oioiih.i 'Iiло1мл1гмо1н1| i
I.IIIILillI\UoA XinilOlAlll.’.IOU.l.OOO KllllOtfOllll t«X) VI'IHIIOIIIfOll I'lll ‘lioiohoud Xl'lll'll Л1IIIIIM ЛОНОЛ 1X0.1 All II OIIMIfU.lllOWHlLillO'U. ‘i MlifHdouodti oiuiodo.i >лл11 'kii'iiiIxhIii 0.10,1 imiIm io iioiowdoi > ximii ЦЛ1ЛОМ1Ю1. u.i.ohoiid nndoo.i 11 oruxoiHXHiindii 'hhiioIiiAiio)/'
IIIIIIOhXdM IXO.IOIIh Itdu HIl'KlIo.l .’ II I.>04.1 >0'K II KU wdo.io iiiiiii.'iiiihXdMUH uir.iA oiiiiioliii.'diidii iioirunoinidouodii no 1,1 h *oi 11 lol 11A110к hoiiitfoiiti hi iioixoix o.ioliiMiAd'i 0.100. hiiiioi.' Htfodlio Hi. I;' .Hill,>!(.>> ooilhodonoil 00U UH Aixolllioiiudl.’odll.iud
•щн I IIOIXOIAI IXIl'llIK I \d'l l.ll.l IIOl.'iniHfl
..............................    ‘ifH.i	ЩХ01ЛПЛ Hiidoiu u 'Hiooiixdoiioii |.'"ll|linfl)l| > II 10ОМЛО1Ч1 H IXinilolAll.I.oyol ‘WHHinioA IXI’IH'H/Л11: > |!M M UllOVoilIldll 'l.ll’IG I0W0W 1‘‘11Л 1ЯХ01ЛПЛ KIHldO|| l‘IIIHUll,OL ...................................................................  iiMllH.MIHl?
'XuiAixoiM AiMo'iiiKiXd'i m
|IOHOI.‘.\’ll Л III.OOWIlOlltll.,l. |t(HiyOlllllf II.>10110101X1. И Л|<|(|().ЮМ <HHIIO'Klf(llll.‘H * IIIIIIO'K lid HUH Ol’IIHI H I OllllVOd || ifHO 1ХЛ1.ЛНЛ \Autf oVhii u 'iiiiiib'.io > IO.II’iUm IO HHMoloi l OIOIIHOIOOMIKU lltloi\il	•НН11Л'КН(||||.‘11 ONIPIIAU
onillf Oil Н.МО1ННЛ1Х1 и JriU'lli'AI l‘ >l.,4 ihkoi ion HiiiM'KHdiitni oi4H‘ii.'uixd(>ii
1,1 H >1 л|?1хнninl| । hii'ioIji > >• ioiiii.h >0'1110,1 moiioi 1 oiuniit'ot
(,ll IIMII.II,> Allll'llll.'ol
•’l’IU’IK‘01 и,н;>| |ii;d(
Vodu oiokoix
'f,»»\| II.IAOWIIOIIIIIM
Атпнчие работы коротких стержней в том, что деп. Основное отличиер не ш1ЬК0 при кручении. но и при ланяиия M0*tTe уак например, в широкополочном корот-изгибе стержня. изгибе в плоскости стенки нормаль-ком двутавре п[ „апряжевня распределяются неравномерные проД^ьные приводит к их депланации. Поэтому НОПОДЛИ1К «и ’ 1ч тонкостенных стержней необходимо "бывать возможность деплаиацчй сечений при любых воздействиях. а не только при кручении.
rvmL'Tb разработанного автором метода расчета тон-кос^ных стержней 173, 74. 109] заключается в том, что •^пжень' рассматривается как система прямоугольных пмос монолитно соединенных между собой. Для каждой полосы принимается справедливой гипотеза плоских сечении Стержни, имеющие криволинейную форму поперечного сечения, заменяются складчатой поверхностью. Такая замена эффективно используется при расчете цилиндрических оболочек путем их сведения к призматическим [69]. Б пределах длины плоских элементов, образующих стержень. можно выделить несколько полос, что позволяет
учесть депланацию в пределах длины поперечного сечения такого элемента. Полосы могут иметь произвольное расположение в поперечном сечении и образовывать открытые и закрытые контуры. Расчет полос производится с учетом деформаций сдвига их срединной поверхности.
Кроме гипотезы плоских сечений для отдельных полос используем также следующие гипотезы и допущения: 1) поперечный контур стержня недеформируем в плоскости поперечного сечения; 2) нормальные продольные напряжения равномерно распределены по толщине полосы; 3) касательные напряжения, действующие в плоскостях, которые параллельны срединной поверхности полосы, изменяются по толщине полосы по линейному закону.
Два первых допущения используются во всех технических теориях расчета тонкостенных стержней. Третье допущение принимается для стержней открытого профиля. трЛиСТе^ЖНеи закРыт°го профиля используется ДОПОЛНН-Wann 8Я ГИП0Теза’ в соответствии с которой касательные считаются распределенными равномерно по ния ма стеРЖНЯ- Таким образом, принятые нами допуще* теориях Р°тиворечат используемым в других технических
§11. Теория расчета коротких тонкостенных стержней произвольного профиля
Тонкостенный стержень, состоящий более чем из одной полосы, при принятых в § 10 допущениях является статически неопределимым и не может быть рассчитан с использованием только уравнений равновесия. Расчет стержня выполним в перемещениях. В качестве функциональных неизвестных примем обобщенные перемещения, для определения которых используем вариационный метод.
Полную потенциальную энергию деформации стержня Э представим в виде суммы полных потенциальных энергий деформации отдельных полос, образующих стержень. С этой целью рассмотрим напряженно-деформированное состояние отдельной полосы и запишем выражение для потенциальной энергии внутренних сил. В силу принятых допущений нормальные напряжения считаются постоянными по толщине полосы, а касательные — изменяющимися по линейной зависимости. Представим касательные напряжения в виде двух составляющих, первая из которых (тг5) равномерно распределена по толщине, а вторая (т^)— изменяется по линейной зависимости с нулевой точкой на срединной поверхности полосы. Нормальные напряжения и касательные напряжения t.s обусловливают плоское напряженное состояние полосы. Касательные напряжения ткр статически эквивалентны некоторому крутящему моменту Мкр.
Введем еще одно допущение, используемое в теории кручения тонкостенных стержней открытого профиля. Примем, что крутящий момент Мвр может быть найден нз расчета полосы на свободное кручение по формуле
MBP = G/KP«'.	(5П
где G/Kp — жесткость полосы при свободном кручении, определяемая приближенно по формуле
67кр = -| (6-0,63Л)Л»;	(58)
ГДе G — модуль сдвига; Ъ — длина полосы; Л — толщина полосы; •&' — приращение угла поворота полосы на единиц} ** ^формуле (57) и всех последующих штрихом обозначена производная по координате вдоль длины полосы (стержня).
ЬЗ
(59)
— коэффициент Пуассона, связаны между собой по
„	теперь плоское напряженное состояние поло-
рэссяотрнмтепеи	местные координатные осн:
тлтьной BQCK И 0Es — в поперечном направ-0^—срединной поверхности).Компоненты •^ояпий плоском напряженном состоянии связаны Напряжениями по формулам: ei=-i-(<’.--vo*'; е*=‘£(°’ где £ - модуль упругости: v -
Упругие константы Е, О и v формуле	Е
6 ~ 2(1 —v)
Вследствие гипотезы о недеформируемости поперечного контура стержня полосы несжимаемы в поперечном направленна-. Поэтому е, =0. Испатьзуя две первые формулы (59), найдем
(60)
При малых перемещениях деформации полосы е. и уя определяются через продольные uk и поперечные vk перемещения полосы k по формулам:
= —(61) дг	ds дг
На основе принятой гипотезы о линейном законе продольных перемещений паюсы ее продлтьные перемещения «4 можно выразить через два обобщенных перемещения L=. и
4, первое из которых определяет продлтьное перемещение центра тяжести плюсы, а второе — углт поворота поперечного сечения:
«4 (А з) -	(г) - $tVk (z),	(62).
?-с s\ поперечная координата произвлтьной точки срединной поверхности плюсы отсчитанная вдлть ширины пл.осы в местной системе координат с началом отсчета в центре тяжести плюсы k.
Поперечные перемещения г -> k-и плюсы в силу гипотезы ^“ёд^юрмируемости поперечного контура выразим через гри ооюбщениых поперечных перемещения стержня г
Мл s)= V ф* f(s)Vr(z), I6®
где Ф*. g (s)— предварительно
функции, зависящие только от координаХ
щенные перемещения, зависящие толькЛот «ii. ^°б"
Примем, что функции V, и I	КООРДИИЭТЫ г
перемещения, а функция V,—
сительно вертикальной оси Oz Тогда О - v R^n °П">’ динатных функций <- и соответстн’ ’ 3	^Р’
перемещений Г. будет рассмотрен ниже °&б“1енных
С учетом полученных формул потеягтиллк»^ « внутренних сил плюсы k запишем: •циа,7ьн>ю терпло

н
у) I EF^Ui^El^Wi+GI^ hv;+ о 1

(64)
где Н длина стержня; EF_.. EIk, GFk— соответственно продлтьная изгибная и сдвиговая жесткости плюсы k, определяемые по формулам:
7 J ГУ '	-
Ел Ль
2(14-тя)
. (65)

GFKP k — жесткость плюсы k при свободном кручении, определяемая по формуле (58).
Индекс k в формулах (65) определяет, что соответствующие параметры вычисляются для Л-й плюсы.
Запишем теперь работу всех внешних сил на обобщенных перемещениях:
П г щ	3	1
.4= f V iplt\4-pl гф1Га)— V ^V£ldz, (66)
где pl — внешняя распределенная продлтьная сила, действующая вдлть продлтьной оси плюсы k\ 4—внешний распределенный изгибающий момент, действующий в плоскости срединной поверхности плюсы kr, — внешние распределенные поперечные силы, соответствующие обобщенным перемещениям
При наличии сосредоточенных сил правая часть формулы (66) должна быть допл!нена слагаемыми, учитывающими работу этих сил.
3 Эл. us/	65
,,, „ (66) позволяют представить ватную по-форну.щ ^тонкостенного стержня в ваде Функ-теядиальную энщ - -сионала
и
Э f ФЛг,
(67)
. .. -г ;	~нгза-
где Ф = Ф L 4’£1’й координаты Я?, обобщенных попе-ввсяпхнй ОТ пр— ----- - • г>бо6шенныл продольных пере-: 
g	»=’»“ Ф>’»киионал ф ,меет слад>'ювд,й
вид:
v -	7 77 ~ 7	’ ~
' - з
- о . ’.G~ 1 - : 7	1
- V (Я^ + рЬ+еИ7*)]-	(68)
Ятя того чтобы введенные обобщенные перемещения удовлетворяли совместности деформаций полос, должны выполняться следующие дополни тельные условия:
I = :	;T,,)-(C\,-Lir„) = o. (/=1,2....m), (69)
где/— номер линии пересечения полос, монолитно соединенных между собой; /1, j2 — номера полос, пересекающихся по линии /; т —число линий попарного пересечения полос; S-, ы — координаты точки поперечного сечения, где пересекаются полосы /1 и /2 «отсчитываются в местных системах координат полос).
Равенствами 69) можно распорядиться двояко. Их можно использовать, чтобы исключить т обобщенных поперечных перемещений. Например, с ппмощыо равенств (69) можно выразил» обобщенные перемещения L\x и U » через обобщенные перемещения Т-, и или наоборот. Другой путь заключается в том, что липшие обобщенные перемещения не исключаются, а равенства (69) рассматриваются как дополнительные условия, которым должна удовлетворять полная потенциальная энергия стержня при достижении стационарного значения, т. е. задача определения аб-«
салютного экстремума функционала (67) заменяется задачей на )словныи экстремум.
второй путь предпочтительнее, так как позватяет пату-чить дифференциальные уравнения в канонической форме при этом легко автоматизировать вычисление кьлДДеЦ тов уравнении.	•г
Наиболее эффективным приемом решения задач на услов-нь..< зжстремум является метод неопределенных множителей Лагранже Согласно этому методу задача на условный экстремум для функционала (67) с дополнительными условиями (68) заменяется задачей на абсолютный экстремум для функционала
ф = фщ у;	(70)
f=!
7~z О—зг.релел.чещ.я п: / уле • 1	— .	.
ленные множители, являющиеся функцией координаты г, <Гу — функции, определяемые по формуле (69).
Функционал Ф тождественно равен Ф, так как все функции <ру равны нулю. Необходимым условием стационарного значения функционала Ф является выполнение вариационных уравнений Эйлера—Лагранжа:
d	дФ	ЭФ
dz	dU'k	dCk
d	дФ	дФ	g.
dz	dFfe
-- ________<	. .. .... 1 
dz	dVf	i
(71)
Формулы (71) дают (2m — 3) уравнений, число же неизвестных функций равно (2т — 3 — т. В качестве недостающих т уравнений используются равенства (69). Эти равенства могул быть также получены, если продифференцировать функционал Ф по функциям Lf (/ = 1, 2, ..., т) и приравнять полученные выражения нулю.	_
Для получения однозначного решения уравнении </1) необходимо использовать краевые условия, которые могут быть геометрическими, статическими или смешанными. I ео-./ет-щ-.щ • :т?з- -	*
Условия удовлетворяются в интегральной форме в виде естественных краевых условий. Например, если тон костей-Ч»	67
иый стержень жестко защемлен одним концом, то для ЭТп конца имеют место геометрические, а для незащемленнг/0 конца — статические краевые условия.	‘ Ого
Естественные краевые условия при использовании риационного метода записываются путем развертывай8' следующих выражений:	Ня
0; - I 0; -д7> Ur. dv;
о
<Q>
(k 1,2...., г»: I 1.2,3).	(72)
В формулах (72) индекс, поставленный у черты, означает, что производные вычисляются для сечения, где заданы статические краевые условия.
Запишем в развернутом виде уравнения (71). Получим три группы обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка:
ЕЕ, и;- V ,Lr\ pl 0; 1—1
£ZkIF?-GF,irk-G/-„ v Я —1
— У fyn+A.Af |-Pm4 ft
HI
У ' к У (С/*, s | Glk Фл, e Ф*. । ; e—i	।
+ 2 (?М*ЛЖМ ft-1
(*=*1, 2,..,, m: / = 1.2,3),
(73)
В уравнениях (73) для симметрии записи приняты обозначения:
<?4i = G/M«0; G/M = G/Z₽.	(75)
Уравнения первой и второй групп системы (73) содержат по одной старшей производной функций, поэтому их легко привести к канонической форме. Уравнения третьей группы содержат по три старших производных. Однако при соответствующем выборе координатных функций ф можно добиться разделения старших производных. Для этого необходимо задать функции ф так, чтобы при ц ф I выполнялись равенства:
У СТЧФ*. 0.	(76)
*=-1
Так как поперечное сечение стержня считается недефор-мируемым, то перемещение любой точки срединной поверхности можно выразить через перемещения произвольной точки Д с координатами (хд, t/д). Обозначим поступательные перемещения точки Л вдоль осей Ох и Оу соответственно V.v и Vv (положительные перемещения совпадают с положительными направлениями координатных осей). Угол поворота поперечного сечения вокруг вертикальной оси, проходящей через точку Л, обозначим Vt (положительный угол поворота при вращении по часовой стрелке, если смотреть из начала координат вдоль положительного направления оси 0г).
Выразим поперечные перемещения центра поперечного сечения полосы k через перемещения точки Л. При малых перемещениях:
t'ft.x =	(Ук—Ул)\
(77)
где
1 при A’ fl, — 1 при k -f2,
0 при k^f\ Д A’#=fo;
при k fl,
—S/ при k f2, 0 при Л? =#= f 1 A k=£f2.
где v, vh> у — перемещения центра полосы k соответственно вдоль осей Ох и Оу, хл, ук — координаты центра полосы k.
Перемещения полосы k плоскости ее срединной поверхности можно выразить через перемещения х, г*. s по формуле
оА., = 1’а. х cos аА + у sin аА,	(78)
где ak — угол наклона полосы k к осн Ох (угол отсчитывается между положительным направлением осп Ох и прямой, вдоль которой расположена полоса k).
(79)
С учетом формулы (77) вместо формулы (78) можно зап». сать:
VAi t = Vx cos аЛ + V(, sin a,t + Vzrh, где
rk = (Xk — xA) sin ah — (yh — yA) cos aA.
Используя рис. 22, определим расстояния АВ от точки А до полосы k:
АВ = АС sin ak = (AD — ~DC) sin ak -=
= (*k—xa) sinah — (yk—уA) cos ah.
(80)
Полученное выражение совпадает с формулой (80) для rh. Следовательно, гд определяет расстояние от точки А до полосы k.
Формулу (79) перепишем в виде vk., = Ма. х + Мл, у +
cos аА;фй v = sin 2 = rh. (82) рые п^в(ХН?В' Ю системУ координат с осями Ох, Оу, кото-В новой^истемр w УГ°Л а относительно осей Ох, Оу (рис. 23). £ вдоль ее спрп К00Р^ииат поперечные перемещения полосы нием (84) мп»«НИ0Й повеР*пости по аналогии с выраже-можно определить по формуле
= Vp|)fcl 4-	+ y3qh3t
(83)
70
где VJt V2, V3--соответственно поступательные перемете, иия вдоль осей Ох и Оу и угол поворота относительно вертикальной оси, проходящей через точку А: Р
фм = соваА; sinaA;	|
'Фйв	(xk—*») sin cth—(yk—уА) cos ah, |
где cth — угол наклона полосы k к оси Ox (ah <xh — a); Хь, Ук — координаты в новой системе координат центра тяжести полосы k\ хл, Уа — то же, точки А.
На основании известных формулы преобразования коор. динат при повороте осей:
хА~х cos аsi па; у- у cos а—xsina.
Формулы (84) можно переписать в виде:
= cos(afc—а); фАг- sin(aft-a);
Флз [(xfc—X4)cosa + (^—//4)sina]sin(aft—a)— — I(.Ук—У a) cos а—(xk—хА) sin a] cos (аА—а).
(85)
Формулы (85) содержат три произвольных постоянных координаты Ха, Уа и угол поворота а. Выберем их так, чтобы выполнялись равенства (76). Из условия У GFhtyhityhf -
о с учетом двух первых формул (85) получим
У G Fh cos (aft—a) si n (aA—a) 0;
* = i
откуда найдем следующие уравнения для определения угла а:
cos 2а £ sin 2а* = sin 2а Д GFk C0S 2а*'
Координаты хА, у а определим на основе условий
V GFhqhl фАз"0 V	°-
яат и глрлуюшей системе двух алгебраиче-сда^виений относительно координат точки Л в системе осей хОу.
'хл ( £ GFh cos «» sin х ,)-Ул	GF„ cos’ 7.„)
v Ahcosah;

(88)
Y Aksinah,
где
Ak - GFh [xh (cos a sin ah + sin a cos a J + | 4- yh (sin a sin ak—cos a cos aft)].
Решая совместно уравнения (88), найдем искомые координаты хА, уА.
Для ортогональной системы полос, расположенных вдоль осей Ох и Оу, из уравнения (86) найдем, что a 0, тогда а* аА. Пронумеруем полосы, расположенные вдоль оси Ох, от J до тх, а расположенные вдоль оси Оу от (тх 1) до (тх - Шу). Тогда для ортогональной системы полос из уравнений (88) найдем:
1
ха ха - V GFh xh’,
(90)
где
MF, 'v ' GF,; SGF, = Y GF». (90 novx-^nut' ’ bi следУет» что ДДя ортогональной системы •^нк^ениогостер^ж"' ПеНТР°М СДВИГОВЫХ жестК0СТ п
Игак’ %>ЛУЧ<ЛНМ У«ло®и«» при которых выполняются
(73) можно переписать так:	* ' .Равнении
V”1 X (G/k,i i GFk^lit) 4.
+ Д	- <7* 0, (I 1,2,3).
Обозначим
(92)
XGri , £ (GFh W.i + GJ,' t).
Тогда из уравнений (92) с учетом формулы (93) найдем
Vi 1'
/Тля ортогональной системы полос:
ZGF,	У GFk~2GFx,
тХЛту lGFt	£ GF, IGF,,
кжтх^’ *
m*	(95)
IGF. ^GFh(yh yAf k^=i mx+my	mx+my
4 GFh(xk-~xA)2	V	x
k’~n,x^'i	*“*
xG/kP IGF,.
Воспользуемся формулой (94), чтобы исключить из системы уравнений (73) обобщенные поперечные перемещения. Для этого проинтегрируем уравнение (92) no z от 0 до z. С учетом краевых условий (72) получим где
Ол f <Zf (z) dz.	(97)
.... u„.„,оЛАмииую v... пи,у
Ф..|1МУЛЛ <IJ ""I	...ржня i.учетом формулы
......•...........A ........
(<)(,) rill гему уравнений (л ) I
/- I
/7ли; я/тЛ*
(9 b)
r-l
Уравнения (9H) образуют спетому из 2т обыкновенных дифференциальных уравнений относительно (2ш I т) не-ii.iihttiii.ix функций V/(, U"h, /7 (А'	1.2, . , т\ f 1,2,....
.... mi). Дли определении чтпх псизпеетпых к уравнениям (98) необходимо присоединить т уравнений вида
U, Sf\Vf 0.	(99)
ИИЛНЮ1ЦНХСИ ДО|1ОЛП11ТеЛЫ1ЫМН условиями (09), и учесть Краевые условии задачи.
Дли определенности дальнейших выкладок примем, что стержни, инцемлен и сеченнн / II и загружен па конце : о сосредоточенными продольными силами Тогда для чицемленныо конца стержни при .•	//
<Т (//)  «>»(//)	0(Д.	1,2,	(100)
" ми с*овадкого копт. 0 ип основании формул (72)
1И 0;/:/,и'чю) ।/>j।» о
IЛ<- И сосредоточенная продольная сила, приложенная вдоль продольной о< 11 поло< i.i /. в <еч<иии - о /-сосредоточенный изгибающий момент, ПрИЛОЖеиНЫйТпО^ ЛОге /,' Н ССЧОНИН О,
Уривиепня (98) в дифференциальной форме определяют условия равновесия составного стержня. Уравнения (99) определяют условия совместности деформаций полос в мео тих их сочленения, петому предложенный метод расчета следует рассматривать кик смешанный, в котором, как и в методе перемещений, используются условия равновесия, и кик в методе сил условия совместности деформаций,
§ 12. Расчет пространственного блока СМЕШАННЫМ методом
Полученные н § (I уравнения для короткого тонкостенного стержня е абсолютно жесткими продольными связями между полосами легко обобщаются на случай, когда часть связей или все связи между полосами податливые, а также па расчет системы стержней, соединенных абсолютно жесткими поперечными спя шмн и податливыми продольными (последние могут отсутствовать). Для записи дифференциальных уравнений равновесия составного пространственного блока снова используем вариационный метод. Потенциальная HiepniH внутренних сил пространственного блоки равна сумме потенциальных энергий внутренних сил отдельных полос llh, определяемых но формуле (64), и потенциальной энергии внутренних сил при деформации связен. Как и для абсолютно жестких связей между полосами, обозначим // и /2 номера полос, соединенных между собой податливой продольной связью с номером f ([ I. -*> •••. ш)- Потенциальная энергия внутренних сил при деформации связи определяется по формуле
Ilf
(102)
где 0. жесткость связи /; х„ х, координаты связи К отсчитанные вдоль срединной поверхности полос // и /~ в местных для этих полос системах координат.
После необходимых преобразований, которые аналогичны выполненным для тонкостенного стержня, получим
/5
следующую с1|стемУ уравнений:
EFkUl /-I

+
/-»
« ’ (»/', •Г.’.-, g Ч’'. . 11 <
М i i' -'.
(103)
f-i
+ Х^т+А, fLt-Pm + k~ GFh^ X
/-I
x±L^, (fet 1,2,..., m).
которая при наличии абсолютно жестких продольных связей должна решаться совместно с уравнениями (99).
Уравнения (103) являются дифференциальными уравнениями равновесия составного пространственного блока. Если все связи между полосами податливые (гп 0), то в уравнениях (103) неизвестными являются только обобщенные перемещения t/A, (k 1,2,.... m) и всефункции Lf == 0. Данный частный случай уравнения (103) соответствует расчетной схеме в виде составной пространственной многополосной системы, которая используется для расчета крупнопанельных зданий с учетом податливости вертикальных стыковых соединений. В другом частном случае, когда от-СУ^В>'ЮГ податливые продольные связи (л: — 0), уравнения (10о) определяют условия равновесия системы тонкостенных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями, распределенными непрерывно по длине стержней.
1аким образом, уравнения (ЮЗ) и (99) являются весьма щимн и позволяют на их основе решать широкий круг за-ми!’ П0эгом^ нх целесообразно использовать для построе-здднийВТОМаТИЗИР0Ванных мет°Дов расчета бескаркасных
Запишем систему уравнений (99) н (103) в виде одного матричного дифференциального уравнения. Для sror°
введем единое обозначение для всех неизвестных:
Zh — Uh\ Zm+k = Zlm+/ = Lf
m\	(Ю4)
и перейдем к безразмерным координатам
С в z/Я.	(105)
Тогда в матричной записи уравнения (103) и (104) можно представить так:
=1Л) {z ®)_(₽ ®>’ (|06)
где [£>] — квадратная диагональная матрица размера (2т + т), компоненты которой определяются по формулам:
j _ EFk .	,	_ Elk
k	jp *
d2m+h = 0 (*=1,2..... m; /=1,2,..., m);	(107)
[Л] — квадратная симметрическая матрица'размером (2m + m), которая в блочной записи имеет вид
М] =
м+и [А]’
Ml.
[в) ]
(108)
{Z (£)} — вектор размера (2т + т), определяющий неизвестные функции (7, W, L\ (Р (£)} — вектор того же размера, определяющий обобщенные внешние нагрузки; компоненты вектора определяются по формулам:
(О+
х v
ZGFg J
(k- 1,2.. m);
р,»+/ = о (/=1.2...m).
(109)
Мадошы И (D-квадратные симметрические раз. u Д 2„ Матрица IЛ зависит от сдвиговой жесткости полос. Компоненты матрицы Й) вычисляются по формулам:
вт+Ь. m+k
VGE,
(k = 1, 2,..., m);
ОА, t ~ ^k, m+l ~ am+i, k~® (>,/=1,2,..., m); am+k, nt+i ~ am+i, m+fc
(110)
3 GFh 4^ , g GFt iff, ?
= "2 IGF.
g=> i
(k, /=1, 2,..., nv, i=£k).
Матрица [Я] зависит от жесткости продольных связей. Матрицу (Л1 представим в виде суммы m матриц 1Я7], каждая из которых соответствует одной из податливых продольных связей / = 1, 2, .... tn. Ненулевые компоненты матрицы (Afl вычисляются по формулам:
Л/1, /1 = afi. f2 ~ Р/’’ Д/1, /2 ~ а12, /]-
тп+/1 “ Р/ 5 Л am+/2, rn+/2 ~ Р/ sf» afl, m+fl~am+fi, fl P/Sy; fl/l» m+/2~flm+/2, fl~ ~Р/ Sf, a12, m+fl ~ am+jl, 12 ~ — Р/ Sf, aFl. m+ft ~ am+12, 12 ~ + Р/ Sf, am+fi,m+12~^m+f2^ m+fl ~fifSfSf’
(Hl)
-Матрица [A1 — прямоугольная, имеет tn столбцов и 2m строк. Ненулевые компоненты столбца f этой матрицы вычисляются по формулам:
ain 1‘. «/,/2= — l;
fl/.rn+n Sf, ahm^f2^
7Й H.U.4
Матрица 16] нулевая квадратная размера т. Так как л </ л 1 // :
dz	dz Н '
то краевое условие (101) в матричной записи имеет вид
//|0){^Г’}+!И=о,	(|13)
а условия (100)
~ {£(!)}	0.	(Ц4)
Для интегрирования уравнения (106) с краевыми условиями (113) и Н14) используем метод Галеркина. Предварительно выполним следующее преобразование. Вектор {Z (£)} представим в виде суммы двух векторов {Z0 (£)} и {Z (£)},, первый из которых удовлетворяет краевым условиям (113) и (114), а второй—однородным краевым условиям:
0; {Z(l)} = 0.
Примем, что компоненты вектора {Z° С)} равны нулю и выполняется условие
{Z(0> {Z (£)}-;- {Z°(^)}.
(ИЗ)
при k > 2т
(Н6)
С учетом формулы (116) уравнение (106) приведем к виду:
Ю1
-Ю)	<117>
I f
Рассмотрим вспомогательное уравнение
|0>|) ^•©1 + {р.(0Н0,	(118)
I d£ )
где [£)*] — диагональная матрица размера 2m, компоненты которой равны первым 2m компонентам матрицы I 1, //* (П) __ вектор неизвестных размера 2m: К ) вектор свободных членов размера 2m, получаемый из вектора {Р} путем отбрасывания компонент, номера которых k > 2m.
79
Do.hum гпавнения (118) при краевых условиях (113) и , R т r матоиие [£>*) все члены на главной диагона-"te X нУ^ХтиаяматрицаID*]-1 неособенная. По^му "равнение (118) имеет следующее решение:
{г*(0Н-^-Г‘(1-С){П +

(119)
Вернемся к уравнению (117). Если компоненты вектора {Z° (С)} ПРИ & < 2m совпадают с компонентами вектора {Z* (£)}, а при /г>2т равны нулю, то выражение в круглых скобках в уравнении (117) равно нулю. Тогда вместо уравнения (117) получим следующее:
[DJ 1-^Р-1 = [Л] {Z (С)} + [4] {Z« (0).	(120)
где вектор {Z° (0} будем считать'известным и удовлетворяющим изложенным выше условиям. Этот вектор зависит от внешних нагрузок и жесткостных характеристик полос. Представим его в виде двух слагаемых, первое из которых зависит только от продольных, а второе—от поперечных нагрузок:
{Z0 (0}={Z₽(O}+[Bq {z<	,	(121)
где [B₽] — диагональная матрица размера (2т 4- т), характеризующая податливость полос при действии продольных нагрузок:
-—(при
Н /
— (при m-H</?<2m);
(122)
0 (при&>2/п);
дольных 'Ln того же размера, зависящий от про-Доточенными₽^к Иа полосы’ ПРИ загружении полос сосре-обобщенными продольными силами P°k в сече-
ими £ - 0 и равномерно распределенными продольными нагрузками Pl (k = 1, 2, .... 2m)	аашными на-
zp (Г\	(1 ~ + Р* Н О’РИ 2m);
Z*(O=	2	(123)
I 0	(при 6>2m);
1ВЧ — прямоугольная матрица, имеющая (2m + т) стоок и три столбца (по числу обобщенных поперечных нагрузок):

о	(при 1 < Л < т);
П^Г1^<прн Н т<4<2т); (124)
О	(при &>2т);
{Z’ (С)} — вектор из трех элементов, определяющий поперечные нагрузки на блок; если обобщенные поперечные нагрузки изменяются вдоль координаты по линейной зависимости
^(0 = ^“^(0.	(125)
то
0-Р>-*£(1-И-	(126)
Неизвестную функцию {Z (0} будем искать в виде следующего конечного разложения:
{Z (£)}-= 2 {^}cos(a>,£).	(127)
i= 1
где
w. = А (21 -1 )(л = 3,1415 ...).	(128)
Функция (127) удовлетворяет однородным краевым условиям (115). Поэтому для определения неизвестных параметров {Z1} можно воспользоваться методом Галеркина. Применим этот метод уравнению (120). Для этого подставим вместо функции {Z О ее приближенное выражение в виде разложения (127), умножим обе части равенства на
81
, „ п „ проинтегрируем от 0 до I В результате получим сТвд^е матричные'алгебраические уравнения:
рц v '/>} '	' ]li
V {Z‘} cos(Wi Рcos(U/Д) -I Mix
b
I’2’ ’
(129)
Учитывая ортогональность принятых координатных функций, после выполнения необходимых преобразований получим'U независимых матричных уравнений вида
(130)
(/- 1,2, Вектор {В'} при внешних нагрузках, заданных формулами (123) и (126), определяется по формуле
{В1} [ВР]({Р°}	\	[ВЧ] х
х({?,}2Й-(?}Л?)//,	(131)
где {</’), {/’) — векторы из трех элементов, определяющие внешние поперечные нагрузки; J{t!) — безразмерные параметры, зависящие от номера приближения j(t 1,II,III, IV):
4»
7 И /; .......
;Wi - Д- (,in wi-
(132)

(13т^^*осительно вскто1’а <Zi) матричные уравнения систа ' И3 КОТОРЬ1Х в развернутом виде представляет ему из (2т |- щ) алгебраических уравнений. Обозначим 1д/1 (133) “ будем считать, что матрица 1Д/|-  ие особенная.
Тогда обобщенные основе формулы (116) формулам:
продольные перемещения полос на и последующих можно определить по
при расчете на сосредоточенные продольные ложенные в сечении £	0 (нагрузка типа I):
силы, при-
{^(5)} f(l — £)|£]- V Ц/>со$(шД)][Д/]-1 х
/ ।
Х(Л)]|В») (/>");
(134)
при расчете на равномерно распределенную продольную нагрузку (нагрузка типа II):
{2(0} I !	(5) V!'" « С г М МП «мАх
X IS’llp0) //;	(135)
при расчете на равномерно распределенную поперечную нагрузку (нагрузка типа III):
{2 (0) - (±=£-) (Е)- 2cos(“701|Л'Г*1Л1) X
Х[В’)(?)Я;	(136)
при расчете на поперечную нагрузку, изменяющуюся по длине по линейной зависимости (нагрузка типа IV):
{2(0} - (-!=£.[£)- V|<cos(a;.0iM']-4-lj ) х
XIB’JOTB,	(137)
где [£] —единичная матрица размера (2т 4- т).
В случае загружений пространственного блока сосредоточенной поперечной нагрузкой S0/ в сечении обобщенные продольные перемещения определяются по формуле
(2(C)): ^(С)1£1- 1 cos	Ml) X
хрЧф0}.	(138)
вз
где
(при 0<^Cz);
( 0,5(1— 2^-?2S/C—С2) (при^СС^1);  /(«-^-(sina-y-sin^C,)).	(139)
. /iW —(138) имеют одинаковую структуру что Обеспечивает единообразие расчетов на различные типы
нагрузок.
Для определения обобщенных перемещений необходимо предварительно выполнить обращение матриц f Л/]. Остальные операции сводятся к элементарному перемножению и
сложению матриц.
Для систем с большим числом неизвестных обращение матрицы коэффициентов при неизвестных представляет собой весьма трудоемкую операцию. Существенная экономия машинного времени может быть достигнута, если не обращать матрицу 1ЛД а непосредственно решать системы уравнений для конкретных нагрузок. При этом для пространственного блока, загруженного произвольной поперечной нагрузкой, необходимо и достаточно решить каждую систему уравнений всего для трех вариантов свободных членов, соответствующих обобщенным поперечным нагрузкам qx, qy, qz, Исследуем сходимость полученных рядов. Рассмотрим сначала случай, когда компоненты матрицы [Л] значительно превышают соответствующие компоненты матрицы Ю]. Тогда приближенно [Л']-1 « [Д]-1. Так как произведение обратной матрицы на исходную матрицу равно единичной матрице (1Л]-ЧЛ] = 1EJ), то выражения под знаком суммы в формулах (134)—(138) можно переписать в виде
£ JW[^r4>l]cos(^0=	V Jjcos(^0,
/=i	/=1
где вычисляется по одной из формул (132) в зависимости от вида нагрузок.
Введем ряд сравнений:
7=	7(/) cos(ayy£),	(140)
/=1
коэффициенты которого будем определять	по	формул6
~я/)	2 .	(141)
84	'
Для нагрузок
аля нагрузок типа II—IV коэффициенты JW Следовательно, ряд сравнения мт*"" --------
мажорирующий по отношению к исходном знакопеременный, абсолютно сходящийся.
Поэтому исходный ряд также абсолютно сх причем сходимость его не хуже мажорирующего знакопеременного ряда остаток Rj оценивается абсолютному значению по формуле
г ^^иопсния можно рассматривать как мажорирующий по отношению к исходному ряду. Ряд (140) чййкппопа.-а....-	ЭДЯШИЙса
' сходящийся,
— ряда. Для сверху по
I Я/К !«/+i I-
Для ряда сравнения
— 1 __ 16
л3 (2(1+0 — I)3	лЗ(2/-{-1)з ’
Для получения суммы ряда с точностью мо, чтобы выполнялось условие
е
1 <е (2/+ I)3	£’
необходи-
(142)
откуда следует, что при е = 0,01 достаточно учесть всего два члена ряда, а при 8 — 0,001 — пять членов ряда.
При оценке сходимости рядов мы допустили, что [Л] > > [О]. Если компоненты обеих матриц одного порядка, то матрица [Л/]-1 зависит от номера /, причем с увеличением номера у уменьшается, что обеспечивает ускорение сходимости рядов. Поэтому полученная выше оценка сходимости справедлива и в случае, когда [Л] « [D].
Для нагрузки типа I ряды также сходятся, но более медленно.
§ 13. Расчет пространственного блока методом сил
При расчете пространственного блока методом сил примем следующие обобщенные неизвестные: изгибающие моменты в полосах Rk, вызванные поперечной нагрузкой на них, и продольные силы Т перераспределяемые линейными и угловыми связями между полосами.
Для пространственного блока с ортогонально расположенными полосами изгибающие моменты Rk должны удов-
летворять условиям равновесия: тх
У
I
v /?; (?»;
*-^хЬ I
mx	тя+ти
V Rh (yh - У*) V R'< (х1‘ ~- х*)
А“ I	Л‘“гггх Г1
Qi(y0 yJ-Q^(xo ~^) I М^,
(ИЗ)
где (ft, (ft — поперечные силы от внешней нагрузки на блок вдоль осей соответственно Ох и О^;Л4кР- внешний крутящий момент; х0, у<} • координаты равнодействующей внешней нагрузки; х*, у*..координаты произвольной точки
в плане блока.
При автоматизированном расчете удобно считать, что между всеми полосами имеются продольные связи. Тогда число неизвестных Th равно m I myv (in число полос, myv - число угловых связей). Фиктивные дополнительные связи имеют пулевую жесткость (бесконечно большую податливость). Так как при расчете на ЭВМ нельзя оперировать с бесконечно большими числами, будем задавать податливость фиктивных связей отрицательной, а алгоритмом расчета предусматривать проверку знака коэффициентов
податливости.
Усилия в полосах через обобщенные силы Rh и Th определяются по формулам:
/лси
f «ж m Г I
« - /”с« "
Л4/< Rk 4- S/,-1 Ta-i — S/t Th~ v bhf sTf, l—irn 1
где
[	1 (при k fl),
j — l (при k f2),
I 0(при/e^fl ^»f2);
sf sf если li^mx,
ю st, если /г>тх. кв
(144)
Сдвигающая сила в /г-ft связи
Рп ^Tk.	(145)
Для определения обобщенных усилий Rh и Т используем принцип Кастильяно (см. гл. 2).
Потенциальная энергия деформации пространственного блока определяется по формуле
и	-	"
2 . л /;/.»  /•:/,, (Ikij
Ь I * -1
Pl
(146)
(де ЛД, Л4/(, Qlt, ph определяются по формулам (136)—(142)' (143)ЭГ°М АОЛЖНЫ вь,п°лняться дополнительные условия
Чтобы удовлетворить условиям (143), используем принцип неопределенных множителей Лагранжа. Выражение (146) с учетом формул (144)—(145) может быть представлено так:
и
П ^^T^Tl.R^R^L^dz (k 1,2. ...,/п;
s х, у, г),	(147)
где Ф - функционал вида
। m Г । (	">съ
У 2 М + Л-х- Л У +
тск
Ru I sh iTu ) ShTk
/ m	\	f ,n	\
v дл_<г»)-£,( 2;	(us)
\ к “ H- mx	)	' к “I
В формуле (148) Lu, Lt неопределенные множители Лагранжа, являющиеся дополнительными функциональными неизвестными.
Ппи отсутствии заданных деформации в соответствии С принципом Кастильяно вариация потенциальной энергии 8П должна быть равна нулю, необходимым условием чего является выполнение уравнении Лагранжа—Эйлера:
d дФ дФ Q. fa &T't dTt
rf	о
dz dR'k dRh
(149)
которые приводят к следующей системе дифференциальных уравнений:
=-^ («»+?»-! tv,б„.д,тД + GFk Elk \	f=«4-1	/
-f-L$ + LzФа	= 1,2,ni)\	(150)
£f»+, / E/h Rh + £ZX+, *+»-7»-lx
/_l_ , 'l r / 1	_1	, ~»l ,
'.££» Elk /+ *',££>. ' £F»+1 ’ Elh +
sl \	/	1	, sh Sft + 1 \
Eh+i )	*+1 \ EFk+i ' E/fe+i /
I 1	, sk sf
\ EFh 'Г EIk
Х(ж^ + ^Г)]т'/(^-:1.2.my. (151)
4i-=-('2'L_^.Ap . Ло .r x ь > EFk. EFk, )+Elk R"l + TFk R” ~rTl‘1-' X
x I “r?— + ~1-1,11 1 — 7 ( 1 r »»i« \ t x
v i.. 1	। Uh9-i tn. \	/ i 7,.. X
x(£FH+i^)]	.mc»)-	(152)
В уравнениях (150) пои k < т /	/
гебраических уравнений относивST пр«тРранетХХИбл“ДЖ^
как естественные краевые^^иГпо ^рХ”’”'’
дФ |
дТ\\г...н	° (k 1,2.....т^'
дФ I
№iL„	°<* *•*......»)
откуда
T'k(H) 0 (k 1,2,.... mCB); ।
R'k(H)-0(k-. 1,2, ...,т) I
Краевые условия для сечения г 0:
Th (0) —О (k---- 1,2../исв); ]
/?(0) -0 (Л . l,2,...,/n). j
(153)
(154)
(155)
Краевые условия для дополнительных неизвестных функций L, (s — х, у, z) имеют вид:
д (0)	£;(//)	.	(156)
v ' GFt м 7 GFt
В ЦНИИЭП жилища разработана программа расчета 164] на ЭВМ «Минск-22» составного пространственного блока методом сил для частного случая, когда внешние нагрузки не вызывают кручения (алгоритм расчета на основе метода автора разработала Е. Г. Валь, программа составлена К. П. Песоцким и С.С. Бояриным). При разработке программы проанализированы различные пути решения краевой задачи для дифференциальных уравнений совместности деформаций пространственного составного блока.
В бескаркасных зданиях число несущих элементов даже с учетом возможной симметрии составляет обычно несколько
W
лп я число функциональных неизвестных может д0, десятков, а чис/ Использование для столь больших СТИГа?пиХренциальных уравнений аналитических мето-СИСТе”Ящих полного анализа собственных значений и
Ри?ых Функций, весьма затруднительно. Поэтому собственнь ФУ основные численные приемы решения " сведение задачи к задаче Коши, замена дифферс„. пнальных уравнений конечно-разностными, использование ппямых вариационных методов.
Р Л ?я пешения задачи Коши Гипротисом составлена про, гоамма для ЭВМ «Минск-22», которая дает удовлетворите явную точность, ио позволяет решать до 32 дифференциала ных уравнений первого порядка (или соответственно до 16 уравнений второго порядка). Как отмечалось, при расчете зданий часто возникает необходимость решения систем уравнений более высокого порядка.
В случае замены дифференциальных уравнений конечно-разностными уравнениями используется метод «прогонки». В МНИИТЭП на основе этого метода разработана программа для ЭВМ «Минск-22», позволяющая интегрировать системы до 45 дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями общего вида [65]. Эта программа
успешно использована как составная часть программы автоматизированного расчета зданий АРЗ. В программе используется только оперативная память машины. При использовании внешней памяти число уравнений, входящих в систему, может быть значительно увеличено. По предельно возможному числу решаемых уравнений данный метод вполне удовлетворяет требованиям практики. Однако он имеет некоторые недостатки. Если одна часть продольных или поперечных связей имеет нулевую податливость, а другая — конечную, то часть дифференциальных уравнений задачи превращается в алгебраические. В этом случае программа не дает решения.
Весьма эффективным приемом расчета сложных составных систем является определение функциональных неизвестных путем разложения их в ряд по предварительно задаваемым координатным функциям. Коэффициенты, являющиеся множителями координатных функций, находятся одним из прямых вариационных методов. Применение для разложений веизвес™Ь1Х тригонометрических взаимно ортогональ-функций позволяет получить решение в виде независи-систем алгебраических уравнений. Число таких систем равно принимаемому числу членов ряда (числу приближе-
но
§ 14.	Влияние жесткости связей на пространственную работу конструкций
^пПоР™ а расчета [64] использована для анализа пространственной работы бескаркасных зданий на изгиб при действии поперечных (горизонтальных) нагрузок [55 64]. В частности, по этой программе рассчитан экспериментальный 8-этажныи крупнопанельный дом серии Э-147 (рис 24) для строительства в Алма-Ате — в районе 9-балльной сейсмичности (проект разработан ЦНИИЭП жилиша и Алма-Атинским домостроительным комбинатом при участии ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко). Для расчета был выделен симметричный в плане фрагмент (рис. 25), который рассчитывался на заданную поперечную нагрузку, изменяющуюся по высоте здания по линейной зависимости. Применение расчетной схемы в виде пространственной системы позволило
значительно снизить расчетное армирование в здании по сравнению с требуемым по расчету на основе плоской расчетной схемы. Площадь растянутой арматуры в глухих межсекционных и торцовых стенах уменьшена в 1,5 раза, а продольное и поперечное армирование перемычек уменьшено на 20%.
Пространственная работа экспериментального здания подтверждена натурными испытаниями с помощью мощной вибрационной машины конструкции ЦНИИЭП жилища. Прогибы здания при действии вибрационной нагрузки вдоль поперечных стен значительно меньше подсчитанных для плоской системы и достаточно хорошо согласуются с расчетными величинами для пространственной расчетной схемы.
Для того чтобы выявить, как влияет жесткость связей на совместную пространственную работу конструкций, фрагмент, показанный на рис. 25, был рассчитан при различных комбинациях коэффициентов жесткости связей, расположен-
Рис. 24. Схематический план дома серии Э-147
Рис. 25. План рассчитываемого фрагмента (а) и его расчетная схема (б)
I, II — номера диафрагм
ных в плоскости действия внеш-ней нагрузки (связи ря) и в перпендикулярном’ направлении (связи Рр). Всего рассчитано 25 вариантов [55].
На рис. 26 показано влияние связей на прогибы фрагмента и на изгибающие моменты в глухой диафрагме (тип I) при различных соотношениях коэффициентов жесткости связей. За 100% приняты прогибы и изгибающие моменты в системе, рассчитанной по плоской расчетной схеме при нулевой жесткости связей в направлении, перпендикулярном действию внешней нагрузки (Ру = 0). Штриховая линия соответствует случаю, когда связи, перпендикулярные направлению действия поперечной нагрузки, абсолютно жесткие.
В наибольшей степени пространственная работа конструкций проявляется при нулевой
жесткости связей. При бесконечно большой жесткости связей перпендикулярного направления прогибы уменьшаются до 30%, а изгибающие моменты в наиболее жест-
кой диафрагме—до 35% (по сравнению со случаем, когда Ру = 0). С увеличением жесткости связей рх (при сохране-
Рис. 26. Влияние увеличения жесткости связей ру на уменьшение прогибов (а) и изгибающих моментов (б) в глухой диафрагме (но-
/-₽х-0; 2-0Х-3.46 МН/м2; 3-0х-17,3 МН/м2; 4— ₽х-34,б МН/м2
нии фиксированной жесткости связей 0,) прогибы и Усилия приближаются к подсчитанным по расчетной схеме в виде плоского составного стержня.
6 -ЛПРЗеМН/м^0ВЗД-^м0ЖИЦпеНТЫ жесткос™ Равны: Рх — 17,3 МН/м - 92М Н/м2. При таком соотношении жесткостей изгибающие моменты в наиболее жесткой диафрагме снижаются на 11% по сравнению с усилиями подсчитанными по плоской расчетной схеме. Однако сравнительно небольшое уменьшение изгибающего момента в случае больших эксцентрицитетов продольных сил в плоскости стены приводит к значительному уменьшению площади требуемой растянутой арматуры (до полутора раз).
§ 15.	Расчет пространственного блока как составной призматической оболочки
Расчетная схема здания в виде призматической оболочки использовалась для расчета на различные виды нагрузок и воздействия многими авторами. Методы расчета зданий как призматических оболочек основываются на теории расчета таких оболочек В. 3. Власова [69], которая была разработана им для монолитных призматических систем. В развитие этой теории ЦНИИСКом [70] разработан расчет составных призматических систем произвольного поперечного профиля, который был применен для расчета на изгиб и кручение сборных объемных блоков жилых домов. В дальнейшем предложенный ЦНИИСКом метод расчета был уточнен путем отказа от некоторых принимавшихся ранее допущении и применен для расчета зданий [71]. Полученные уравнения равновесия составной призматической оболочки имеют весьма общий характер и позволяют решать на их основе разнообразные задачи расчета сборных и монолитных пространственных призматических конструкций. Программа расчета на ЭВМ «М-220» по этому методу составлена в ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко.
Расчет пространственных составных призматических систем, учитывающий специфические особенности многоэтажных полносборных жилых зданий, разработан автором в ЦНИИЭП жилища [73, 74]. Принимается, что все элементы системы имеют прямоугольную форму в плане; горизонтальные диафрагмы жесткости, образованные перекрытиями, деформируются только в местах их ослабления лестничнолифтовыми узлами, а на остальных участках могут рассматриваться как абсолютно жесткие диски. Такое допущение позволяет рассматривать коробку здания как систему про-
странствуй ых блоков с недеформируемыми попереч. конторами, которые соединены между собой в общем { 7., податливости поперечными и продольными связями 'УЧ*
Каждая из полос рассматриваться как тонкостей, консольная пластинка, деформации которой могут не п* чиниться гипотезе плоских сечений. В силу тонкое тениг ' конструкций принимается, что Ж&ст кость каж>	'
при изгибе ее из плоскости и кручении пренебрежимо Продольные перемещения срединной поверхности ч-г*43' нок, следуя методу В. 3. Власова (69J, ищутся в визе ных разложений	Л КОг1^
X •hCV^fz),
(157)
где фу ($) — предварительно выбираемые координатные функции, одинаковые для всех поперечных сечений пластинки; бу (г) — искомые обобщенные продольные перемещения, определяемые путем решения уравнений равновесия составной призматической системы.
В качестве первых двух координатных функций k-й пластинки принимаются фц - 1 и ф>,2 с которыми описываются продольные деформации, удовлетворяющие закону плоских сечений (sk координата геометрического центра поперечного сечения пластинки вдоль оси 0$).
Последующие координатные функции предлагается принимать в виде:
~ bk f —---COS	| ;
I «	bk J
I *>Ьк	hh \
(158)
где 5*—-длина (высота) поперечного сечения плз
Принятые координатные функции взаимно ортогональны.
•		' ".	и/. 7. -.7	'  у
поперечные перемещения блока. Для каждого из них && дятся по три координатные функции ф, которым сослветсу вуют обобщенные перемещения /	. ощие ПОСТУ^
тельные перемещения и угол закручивания блока относ»'
, 'У ' 	"	/ 77...  7. .-7'. 7 -7.-. ' - ,
догоблока выбираются на сюиове соображений, аналогичны изложенным в 111
Диф>реи1.'иал?л;.ые уравнения равновесия образуют
\>1 ы Уравнений. Первая группа уравнений выражав
условие совместности продольных перемещений системы,
' '' ; ' ’  ” ' ' '   • "
При выбтфе взаимно ортогонально х координатных функций все уравнения имеют коническую форму, т е. в каждом из них содержится только одна старшая производная
Достаточно общий характер предложенной расчетной ' /т -мы иеи'//'жио приводит к некоторому / Д'/ЖИСИИЮ отру к-туры дифференциальных уравнений задачи и увеличению их числа. Для частного случая, когда поперечные связи
" >7	'. 7 КЗ ' ‘ 77' 7 7	7
уравнений можно исключить поперечные перемещения Тогда неизвестными яв-.яхлся только об</>шеииыс продольные перемещения полос.
Дитрференпиальные уравнения равиовег.ия составной призматической системы из пластинок при абсолютно жео ких поперечных связях по структуре сходны с уравнениями равновесия составного пространственного блока из стержневых элементов (см. § 12).
Если между некбяорыми пластинками имеются абсолютно жесткие продольные связи, то координатные функции для каждой из пластинок и1- могут п.у сниматься независимо При расчете таких составных пластинчатых систем пеле- ооб >а	ю»а .	-з 7.  	>	 7,-
Лагранжа (с.м 11), потволяюьгий благодаря вв/деиию дополнительных фуииииоиальных иеизги/.тиых сохранитьеди-
777 С7-./7'	7 . . . .	;		'	'
мати.заиию расчетов.
§ 16.	Расчет
составных пространственных стержневых систем без учета деформаций сдвига стержней
стержневых систем поверхности несу-паи ей стране И Е. Милейков-' Под оды. к и v< за рубежом та-
ранствег
.Методы расчета прост; без учета дсфс>рмаиий сдвг щих элементов предложень ским, П. Ф. Дроздовым, Д. -> ,	_________
кие методы разрабс>тали Бек, (орачек, Роик, Ро-тмаи и др.
И. Е. Милейковский 1661 в 1952 г. получил дифференциальные уравнения равновесия простраисттмнной (.главной стержневой системы с податливыми поперечными и продольными связями. Для вывода уравнений использован принцип возможных перемf.пд-ний Латранжа. В качестве возможных перемещений для каждого стержня составной системы приняты четыре функции, которые определяют де-формации тонкостенного стержня в соответ твии с гипотезой 96
• г законом секториальных площадей. ДЛя плоских сечении с	меще„ий использовано допу.
ОП₽еДТппенХжимо малой деформации сдвига, позволяю-щениеопренеореж перемещения через продольные щее выразить по Р н Ми^йковским дифференциальные П°'мчя оавтовесия не имеют канонического вида (вкаж-из уравнений в общем случае входит несколько старших ™ зводных от искомых функций), что затрудняет их реше-ние Поэтому хотя эти уравнения описывают деформации пространственной составной стержневой системы при ее изгибе и кручении, использовать их для расчета оказалось весьма сложным.
П. Ф. Дроздов [57] ввел в расчет пространственной стержневой системы ряд допущений, связанных с особенностями сборных железобетонных конструкций многоэтаж-ных зданий (их тонкостенностью, прямоугольной формой сечения и взаимно ортогональным расположением в плане). Благодаря этому оказалось возможным не принимать во внимание сопротивления отдельных вертикальных элементов чистому кручению, а секториальные характеристики сечений и бимоменты выразить соответственно через произведения и квадраты координат. В результате удалось свести расчет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с числом уравнений, равным числу вертикальных элементов. В качестве неизвестных приняты продольные силы в вертикальных полосах.
При расчете здания как пространственной системы П. Ф. Дроздов использовал допущение о недеформируемости поперечного контура здания. Полученные по методике П. Ф. Дроздова усилия в элементах конструкции от кручения строго справедливы для несущих систем, в которых связи не образуют в плане замкнутых контуров; решение будет тем более точным, чем относительно более слабыми будут связи, замыкающие эти контуры. Предложенный П. Ф-Дроздовым метод расчета развит Л. Л. Паньшиным [139].
олее общий случай пространственных составных стержней рассмотрел Д. М. Подольский [61, 62]. Разработанный и пРименим Для составных стержней с податливыми спя™ пи™0 Жесткими поперечными связями. Продольные связи принимаются податливыми.
попеоецнЗ?ЖНеВЬ1Х систем с податливыми продольными’ связей- опта связями Рассмотрены два типа поперечн
Г^мХи^НаЛЬНЫе и неортогональные.
вУет оасполп-^КаЯ схема ортогональных связей соотв‘	х
с*.	нию в каждом шве не более трех попереч
составляющих, препятствующих сдвигу ветвей в направлении взаимно перпендикулярных осей шва и повороту относительно некоторого полюса шва. При ортогональных поперечных связях основная система образуется путем удаления всех связей между ветвями. За неизвестные функции приняты нормальные силы, моменты и бимоменты в соседних с данным швом ветвях от действия погонных усилий в швах. При таком выборе основной системы уравнения сразу получают каноническую форму, т. е. в каждое из уравнений входит только одна старшая производная.
Для расчета стержневых систем с неортогональными связями использован смешанный метод. В качестве неизвестных приняты главные поперечные перемещения ветвей и обобщенные продольные сдвигающие усилия в швах. Уравнения получены в удобной для интегрирования канонической форме.
Для составных пространственных систем с абсолютно жесткими поперечными связями Д. М. Подольский получил дифференциальные уравнения совместности деформаций, совпадающие с точностью до постоянных коэффициентов с уравнениями плоских составных стержней А. Р. Ржани-цына [88]. В качестве функциональных неизвестных, каки в методе расчета плоских составных стержней, принимаются продольные силы Т, перераспределяемые податливыми продольными связями. Дифференциальные уравнения совместности деформаций имеют следующий вид:
Я2 рл W
(fe= 1.2, ...,«),
(159)
где m — число податливых продольных связей между стержнями составной системы; — коэффициент при неизвестных, характеризующий взаимный сдвиг в основной системе стержней вдоль шва от единичной продольной силы в шве; Аа (£) — функции, определяющие взаимный сдвиг в основной системе стержней вдоль k-ro шва от заданных внешних нагрузок.
Краевые условия, используемые при решении системы уравнений (159), для защемленного в основании (в сечении 4 Зак. 1257	97
1 имеют вид: Тк (0)0;
. о di
. п составного стержня V	прнЕ 0 1
_1
при t•- 1
(160)
две программы автоматн-
крайний Л М. Подольским метод использован для расч^> на кручение пространственных ядер жесткости ВЫТ'к^Лнш'1ЭП разработаны две программы автомата-зипованного расчета зданий на ЭЬМ ..'Iuhck-22».
В первой из них решение дифференциальных уравнений совместности деформаций пространственной составной стержневой системы производится аналитическими методами Используется подстановка Лагранжа, позволяющая привести исходную систему дифференциальных уравнений к системе независимых друг от друга уравнений. Аналитическое решение задачи приводит к необходимости нахождения собственных чисел и собственных векторов для определителей высокого порядка. Для определения их используется численный метод. Недостатком данного метода является то, что при высокой жесткости связей возможна значительная потеря точности.
В другой программе, составленной Э. Г. Давыдовой [561, краевая задача для дифференциальных уравнений пространственной составной системы решается численным методом путем разложения неизвестных и свободных членов уравнений в тригонометрический ряд. Такой прием позволил значительно сократить машинное время решения задачи. Число членов ряда предлагается принимать равным числу этажей здания. При этом расчет сводится к повторному решению независимых систем алгебраических уравнений, в каждой их которых число уравнений равно числу продольных связей между полосами.
Для интегрирования уравнений (159) эффективны прямые вариационные методы. Решение уравнений упрощается в наибольшей степени, если предварительно применить следующую подстановку;
Л (У=П(й,161)
Функция, определяемая решением краевой за* Да,и МФФеренциального уравнения
‘₽ГИС> , ...	(162)
И’Р» цр
При краевых условиях, аналогичных условиям (160):
при С=о П(0)=0; при с= 1	- = о. (163)
Рассмотрим следующие основные типы нагрузок, встречающиеся при расчете зданий: тип I — сосредоточенные продольные силы в сечении ц - 0 и неизменные подлине стержня вынужденные внешние воздействия, вызывающие его продольные деформации; тип II — равномерно распределенная по длине стержней внешняя продольная нагрузка; тип III — равномерно распределенная по длине стержней внешняя поперечная нагрузка q\ тип IV — распределенная по длине стержней внешняя поперечная нагрузка, изменяющаяся по линейной зависимости от нуля в сечении £ = = 0 до q в сечении £ = 1.
Для каждого из перечисленных типов нагрузок решение уравнения (162) можно представить в виде:
(И*)
где д k — коэффициент, зависящий только от типа нагрузки; ft (£) — безразмерная функция, зависящая от типа нагрузки и продольной координаты 7
Для нагрузок типа I—IV функции ft (С) имеют вид:
/ш (С) = y	[г;
Лу(*1	—720 ’
(165)
Подставим выражения (161) в УРавнени^'5г?,„„ формулы (164) падучим новую снстему_днфференциальных уравнений относительно неизвестных Г,.
1 Г, О V - г _
- Д V». 1 tf1 Р» X. кА (* = I • 2......«)	(166)

снять в виде. еле-
(167)
. »п« -WW***"» W'-""1/
’ V	Функции Л «) «УЛ» mMnh "
1'4'31'1 (»< С1.
Z <'.//» - 	,:"'И...	7- ' а.а
ЛЯ;Х ",„НП.СМ < лелуишгих 1'СМ^ имш синем мгсбр»». веских уравнений:
( v
//»рл	/Т|
где
£ т»,/«’₽Ал,.ЛЛ (168)
V 2$/|®»1п(»(04.	(К»)
о п(>к типа1 IV параметры /Р определяются по
Для иягру' формулам:
Д'	.
wt
Ж	;
Wl
а . u>i
]<!]	г’41,
Wi
(170)
где ./р вычисляются по формулам (132).
Параметры ./ре увеличением номера I значительно уменьшаются, вследствие чего обеспечивается быстрая с.хо-димогть ряда.
# 17. Определение податливости продольных святей
Продольными связями в вертикальной составной свете-к, ' ',,И|.""	,,<'1’,иШ'льиые стыковые соединения <борш>|Х
ллтлипУр"иГ'’ ";,;1,,Р(’<’миые перемычки и перекрытия. П°* ЛЛ1Л1ЦКИ и, <"‘’д,пи"”и характеризуется кофрициеитом по* при сдвиге лоя, который определяет раэМ<Р
взаимного f/шига 'одиня'-мых яичной сдвигающей билой.
'Дементов/ вы -.ванного еди-
Для шпоночного соединения
ТОНОМ /. и . Ий и . • еииЙ '	' ’’ ° '' '	' V
ЛИЙ (панелей, блоков/ ко'хЫЬипи‘" Т0Р";!Х ? ^риых ичде-муле	риадижеяно подсчитан по фор.
ши
(171)

'ипи^и-'б М0ЛУг,''	^«.«.„-ичиваиия
пшоики (/ го ж<-, при сдвиге; /< ь ,... эмпиоичее /,м плоимдь емятия, через кглорук, передается ежи-МЛК.И.,-,» < ил.-, „..р,,;,му (второму) сборному элементу ™„ взвимиом слей...; /•.„	„л01,(аль с(,г<.«йена затоноли”
чиваиия ШПОНКИ.	««»«лнми
По экспериментальным данным института МНИИТЭП для пшонок, тамоноличенных тяжелым бетоном k
>{) см. Ко-х|м|,иниеит /есд приближенно равен расстоянию между углублениями шпонок.
Для армированного шпоночного соединения коэффициент податливости Хсл до образования трещин может определяться но формуле (171), а после образования трещин — по формуле
G (' 1	' —L
Hfi \ hfii Емои 1-б2 /
где с1п диаметр арматурных связей, расположенных в шпоночном соединении; пв число арматурных связей; /(«г) модуль деформации первого (второго) соединяемого элемента.
Формула (172) может использоваться для определения ко-х|х|)ициента податливости при сдвиге соединений сборных элементов без шпонок с помощью замоноличенных бетоном арматурных выпусков, которые сварены между собой.
Для соединения, образуемого сваркой заанкеренных в панелях закладных деталей, коэффициент податливости при сдвиге определяется как сумма коэффициентов податливости закладных деталей в каждом из соединяемых элементов. Для закладной детали с анкерами, расположенными перпендикулярно направлению сдвига и вдоль направления
, ..„„„сг податлпоости может определять:, «ИГ». КО«|Ч'"Ш1С| формуле
(173)
1—rt f
гас I. мочуле цнс.ю анкерных но направлению •южеиных IVUVU,
^ед пяк /f) ^,/н нц I 'Ь/ц П») деформации бетона: п„ • диаметр и
,4
pnc. 27. К определению косе)
,i - фрагмент степы с проемами.
гггмы; п ехгмп перемещений «•.
Ktvt.vvn сил; i. - номера соединяемых нп.ън
податливости перемычек при едппге (пере
аент стены v щюгч.пмн. б рпечегппм схема п move бесконечной система перемещений одпоягажного фрагмента; г основная система
••• • •	Л.1ЛНННИПЫМХ ПОЛОС
где
		
Mb

Опертые по контуру панели перекрытий при платформенном стыке стеновых панелей могут рассматриваться как связи сдвига между степами перпендикулярного направления. Для такой связи при марке раствора в швах не ниже ЮО в деформациях сдвига пе более 0,5 мм коэффициент податливости при сдвиге Х,.ч ,	5-10 "м/кН.
При наличии нескольких типов связей сдвига в предела' высоты этажа может определяться осредпеппый коэффнцнен податливости при сдвиге всех связей данного этажа:
1	(170
v я<
где t число типов связей; н( число связей тн^’й *“ коэффициент податливости при сдвиге свял
Коэффициент податливости перемычки при сдвиге определим из условия, что
Чл Д/Т,	(175)
где А единичное взаимное смещение по вертикали простенков, в которых защемлены перемычки; /’ поперечная сила в перемычке от смещения простенков на размер \
Для определен ня силы 7' используем основную систему метода сил (рис. 27). Из условия совместности деформаций:
анв) • угол поворота первой (второй) опоры перемычки из-за местного изгиба простенка
Условия (176) представляют собой следующую сиг гему из двух уравнений относительно неизвестных Г и Л!:
% " I
| Kn) f М(»1 s <! Ь, I
где Х„	.
is»,,
Решая уравнения (177) совместно, получим:
Г----------------\---------------•	(178)
Хи -| at s? Д а8 «| ~ / («Iа» S»P
Подставив выражение (178) в формулу (175), получим:
4t.и - *п I- «| s? + а»у' (а. «1 «в5«)в-
юз
Обозначим:
.1". (», b «,‘ЛЛ lH’r
(179)
Тогда окончательно получим
.. ча ч«
/хЗ /’it
(180)
Нгличииа м„ вычисляемая по формуле (179), опреде-л«ет оасстояние от середины пролети перемычки в свету до ПУШ’ПОЙ точки эпюры моментов в перемычке. Расстояние х считает»'я положительным, если пулевая точка смещена в'сторону второго несущего элемента.
формула (180) позволяет определить коэффициент ио. дятлиаости перемычки с учетом местного изгиба простенков, в которые она защемлена. Если длина простенков превышает высоту этажа, то влияние местного изгиба простенков можно не учитывать Тогда коэффициент податливости перемычки Х,7Ь11 Хп.
Экспериментальные исследования фрагментов стены с проемами, выполненные в НИИ надземного строительства (ВУПС) ЧССР, показали, что при определении податливое in перемычек при сдвиге необходимо также учитывать дополнительные деформации, возникающие из-за конечной жесткости защемления перемычки и стенку (даже в том случае, когда перемычка монолитно соединена с простенками). Дли учета конечной жесткости защемления рекомендуется увеличивать расчетный пролет перемычки и определять коэффициент податливости по формуле

Ult I ’’П Йц)'1 .	11,
12Sn G7tj
(1«1)
’Де А',, коэффициент, изменяющийся в интервале 0,5 -о,7; высота перемычки.
Для сборных перемычек коэффициент податливости может определяться по формуле
I (а, -i o,)-	| а, | a,)xS, (|82)
\ ''И
17И- а,,,, коэффициент податливости при повороте связей соединяющих перемычку . первым (вторым) '„ростом’
'Л, (,„/»„+а1+с,,	'	(|И)>
Формула (182) может использоваться для приближен-ного определения	............ ртюилкн
< учетом трещин в опорных сечениях'. В этом^лучае"»^ коси, перемычки /1„ определяется как для упругого тела, а колрфициент податливости при повороте а вычисляется по формуле
кого определения
податливости перемычек и при сдвиге
I'll /.'I
(184)
где /г,, коэффициент, зависящий от вида продольной арматуры и принимаемый равным: для стержней периодического профиля 1; для гладких стержней 1,3; &длкоэффициент, учитывающий длительность сдвига перемычки и принимаемый равным: при кратковременном сдвиге 1; при длительном сдвиге между панелями из бетонов тяжелых и на пористых заполнителях 1,5; kd— коэффициент, выраженный в единицах длины и зависящий от диаметра d продольной арматуры; если диаметр стержня задап в сантиметрах, то lid 15^3; £n, Fa соответственно модуль деформации и площадь сечения продольной арматуры перемычки.
Глава 4
РАСЧЕТ БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ
НА ОСНОВЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ
В ВИДЕ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ 18. Расчет плоских составных стержней без учета деформаций сдвига стержней
Расчетная схема здания п виде плоской стержневоЛси-стемы с непрерывными или дискретными связи 1 употрсбима для расчета зданий. На ее основ различные программы расчета на ЭВМ, котор“р “"1^дсДв. меняются в проектной практике. Плоские еисте ляют частный случай пространственных, 11	- р‘вен110
ные формулы для них могут быть получены	1
«АппжЬоомулдля пространственной задачи. В рядеслу.
п"™ некоторых дополнительных преобразован^ мХо существенно упростить структуру расчетных фор. ' , Пои использовании расчетных схем в виде плоских систем значительно уменьшается число неизвестных. Все это обеспечивает простоту расчета.
Упрощение расчета достигается ценой определенных потерь: занижается пространственная жесткость здания, не учитывается выравнивание напряжении в результате совместной пространственной работы всех несущих конструкций. Однако не всегда эти потери столь существенные. Например, при расчете на ветровые нагрузки зданий сред-ней этажности (до 9—12 этажей), несущие стены которых расположены симметрично относительно оси вдоль расчетного направления ветра, использование плоской расчетной схемы вполне оправдано, так как ветровые нагрузки увеличивают напряжения в стенах таких здании всего на на 20—30%. При этом для бетонных конструкций принимаются повышенные расчетные сопротивления, учитывающие кратковременность ветровых нагрузок. В результате использование более точной расчетной схемы не может ощутимо повлиять на выбор конструктивных решений.
Для расчета зданий на основе плоских расчетных схем чаще всего используется теория составных стержней. При расчете обычно вводятся следующие допущения:
1)	перекрытия считаются абсолютно жесткими в своей плоскости, что позволяет не учитывать возможные искажения контура поперечного сечения;
2)	участки стен между проемами или вертикальными стыковыми соединениями рассматриваются как консольные стержни, для которых не учитывается влияние деформации сдвига;
3)	надпроемные перемычки и вертикальные стыковые соединения рассматриваются как непрерывные упругие продольные связи между стенами.
первые теория составных стержней для расчета здании ыла использована при расчете оболочки каркаса высотной асти Дворца культуры и науки в Варшаве [63].
оябпт настоящемУ времени опубликовано большое число ссктйЁы КОТОРЫХ в т°й или иной форме использована теория составных стержней [79—87, 89-95].
зуется\«К2Чета п,1?ских составных систем обычно исполь-стен а пппо СИЛ' ^СЛИ не Учитываются деформации сдвига т° пвинима^геЧНЫе связи считаются абсолютно жесткими, 106	тся основная система в виде системы консоль
ных стержней, соединенных только поперечными связями. Продольные связи, препятствующие взаимному сдвигу стержней, учитываются введением функциональных неизвестных. В качестве таких неизвестных обычно принимаются продольные усилия, перераспределяющиеся между стержнями продольными связями. В этом случае для расчета плоской системы диафрагм с проемами могут быть использованы уравнения, предложенные для расчета составных стержней А. Р. Ржаницыным [88].
П. Ф. Дроздов в качестве неизвестных в основной системе принимает продольные усилия в столбах (участках стен между проемами). Разработанный им метод расчета применим для систем, состоящих из рам, рамодиафрагм и диафрагм с произвольным числом проемов.
Уравнения А. Р. Ржаницына для плоского составного стержня с точностью для постоянных совпадают с уравнениями (159). Коэффициенты при неизвестных ykj для плоского составного стержня определяются по формулам:
yh,h EFh ' EFh+l~ ZE Г
к<Гп>’
= (при |Л-/|>1),
(185)
где EFh(h+1) — продольная жесткость стержня k (k -г 1); ЪЕ1 — сумма изгибных жесткостей всех стержней составного стержня; — расстояние между геометрическими центрами поперечных сечений стержней k и (k 4- 1).
Функция Ад (£) для нагрузок, рассмотренных в § 14, определяется по формуле
(£) = Дь* Я-Ап,*С+^ш, * ь24" Aiv, (186)
где
Ai,$
)Н;
’	\ EFk bt-k+i.'
qLk Н'2
(187)
s
Для стержня с одним рядом связей усилия весьма просто можно определить аналитически. На основе такого решения на рис. 28 приведены графики, характеризующие изменение продольных сил по_высоте стержня в зависимости от параметра р-п = #эт/₽?•
Для интегрирования дифференциальных уравнений совместности деформаций многоэлементного составного стержня целесообразно использовать метод Галеркина (см. § 12).
Теория составных стержней А. Р. Ржаницына использована для расчета зданий повышенной этажности па вертикальные и горизонтальные нагрузки, температурные воздействия и неравномерные осадки основания в серии программ АРЗ, разработанных в МНИИТЭП [84].
По программе АРЗ-1 можно рассчитывать на ЭВМ «Минск-32» плоские составные системы с числом вертикальных рядов связей до 24. Для решения дифференциальных уравнений совместности деформаций используется численный метод разностной прогонки. Время счета 40—50 мин. Программа позволяет автоматизировать весь расчет, включая вычисление коэффициентов уравнений, решение уравнений, определение усилий, их расчетных сочетаний и проверку прочности сечений.
В программе АРЗ-2 заложена расчетная схема зданий в виде плоской четырехступенчатой по высоте составной системы (с постоянными характеристиками стен и связей сдвига между ними в пределах каждой «ступени»), благодаря чему имеется возможность рассчитывать здания с изменяющейся по высоте толщиной стен. Программа АРЗ-2 позволяет рассчитывать здания, содержащие до 30 вертикальных рядов связей. Ориентировочное время счета на ЭЦВМ «Минск-22» для самых сложных систем 1 ч, для систем, содержащих 20 рядов связей, 30 мин. Основные положения используемой в программах АРЗ методики расчета приняты согласно проекту указаний [10].
§ 19. Расчет плоских составных стержней с учетом деформаций сдвига стержней
Расчет плоских составных стержней с учетом деформаций сдвига срединной поверхности несущих элементов может выполняться методом перемещения и методом сил.
При расчете методом перемещений дифференциальные уравнения равновесия являются частным случаем уравнений равновесия (103) составного пространственного блока. 110
Число неизвестных обобщенных перемещений составного стержня равно удвоенном? Д плоского В качестве неизвестных принимаются7 Z У стеРжней-мещения U геометрических центров степжиАй°ЛЬНЫе пере' рота W поперечных сечений стержней РЖНе и углы пов°-
Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид:
EFhUl= -А-Ж.-Ыф».,_
---₽А+1 ^k+l~ fik-lSk-! Wk_x
+ (₽»-i	K'„- ₽«,“* W\+l — pi',
EIhWl = OFh^Vh-^-. Gr.w/j-
— Pft-i	^л-1+ (pft_1sft_l-|-pft sk)Uh —
— Pa sk Uh+1—pft_x sft_x sft_x W\_x 4-
+ (Pft-14-1 + pft si) Wh— sk sk Wh +x —
(k= 1,2, ..., m),
(188)
где Q° — поперечная сила от внешней поперечной нагрузки на составной стержень. Остальные обозначения пояснены в § 12.
Для интегрирования уравнений (188) могут быть использованы приемы, рассмотренные в гл. 3 для пространственных составных стержней.
При расчете методом сил дифференциальные уравнения совместности деформаций плоского составного стержня являются частным случаем системы уравнений (150)—(152) пространственного составного стержня. Для плоского составного стержня можно исключить дополнительные условия (143), если ввести новые неизвестные R, которые связаны со старыми неизвестными R по формуле
R = M°GFh/^GR^-Rh-1-R^ (189)
где М° — изгибающий момент от внешней поперечной нагрузки на составной стержень; 2GF—сумма „сдвиговых жесткостей всех стержней, образующих составной стержень.
Новые неизвестные R определяют изгибающие ч в несущих элементах, перераспределяемые попеое<?еНты связями. С учетом равенства (189) условия (143) д7ЧНЫа,н ского составного стержня превращаются в тождест Я Пл°' соотношения и могут быть отброшены.	Венные
Дифференциальные уравнения совместности дефо плоского составного стержня в общем случае, когд МаЦий всеми стержнями имеются продольные связи к Ме;кдУ жесткости, имеют вид:	к°нечной
(*=-- 1, 2, ... m—1).
(191)
Th
1 _
EFk Elk
/—— 4-	г - I — 4------—
UFfc+1 Eik-J h>1 \EFh EFk-
st- I	T sh ~D  i SA
£7, •	»*л‘+1+(’й;
EFk
Eh ) \EFh^ -.1 skGFk_lKGFh+1 \ EIk __ R'k-i GFh
Eh+i
I (190)
—---------— i- 1	I
GFk GFk+1> GFk^ Elh
~~ 4-----1— ) - Kjb-H ___
Eh Eik-riJ Eik-i-i Elk k~'
1 и»+, АР Гс7
• Г2-~ ]).
\ Eh Е1к^ 1
Gffc GFk+i
' Eh	1
(*=1.2,...
В Уравнениях (190)	~ d _ л
-ХЛЯ КОНСОЛЬНОГО f	— Rn — 0.
•'энного в сечении ' -с^тавного стержня, жестко зашем-)словня:	'	’ имсют место следующие краевые
При z= О 7\(0) = /?«(0) = 0; при 2 = H T'k(H )-=()
+&(»>(— GFh	\ GFj
_£щот_=о
GFh+i
Если между стержнями / и (j 1) отсутствует продольная связь (коэффициент погонной жесткости'р 0) то из системы уравнений (190) вычеркивается /Ч -.равнение’ номер которого соответствует го леру продольной связи нулевой жесткости, а во всех оставшихся уравнениях принимаются равными нулю коэффициенты при неизвестных ТУ В частном случае все продольные связи могут иметь н -левую жесткость. Тогда в системе уравнений (190) неизвестными являются только функции R.
Уравнения (190) для плоского составного стержня положены в основу программы автоматизированного расчета ПАРАД 187], которая составлена в Гипротисе ГА Каспэ по алгоритму автора.
По программе ПАРАД могут ра чнтываться на вертикальные и горизонтальные (ветровые и сейсмические) нагрузки бескаркасные дома разных конструктивных типов.
Рассчитываемые здания должны удовлетворять следующим условиям, которые являются ограничениями для применения программы:
1. Высота здания должна быть не менее четырех этажей Предельная этажность ограничивается допустимостью расчета здания по недеформированной схеме, а при расчете на сейсмические нагрузки — допустимостью учета только первой «основной) формы собственных колебаний
Для бескаркасных жилых зданий расчет во дефюрмяро-ванной схеме обычно не требуется для зданий высотой до 25—30 этажей. Поэтому если выполняются остальные ограничения. по программе ПАРАД могуд рассчитываться из ветровые нагрузки здания высотой до 25 этажей
Учет высших форм свободных колебании при сейсмические нагрузки не
ных колебаний не превышает О.э с. Д.	к - • Д* •
ний это условие обычно выполняется Л-я здави до 9—12 этажей.	к-
- Ь : -л -		~	- -	.		.	..
тнвно-планировочную схе < . пр эт . •< проемы в —й
,,u 6ыть расположены регулярно по высоте. 1олщины Сте„ деформации. коэффициенты податливости связей также не должны изменяться по высоте здания. Высота ЭГа. жей должна быть одинаковой.
Попускается считать перечисленные выше параметры одинаковыми, если они изменяются по высоте не более чем на 30%. В этом случае в расчет вводятся характеристики, соответствующие нижним этажам здания.
3.	Стены здания считаются жестко защемленными в ц0. кольно-фундаментной части.
4.	Внешние нагрузки не вызывают кручения.
5.	Все стены расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Хотя перечисленные ограничения сужают круг решаемых задач, все же программу ПАРАД можно считать достаточно универсальной. На ее основе могут рассчитываться здания как средней этажности, для которых необходим учет деформаций сдвига срединной поверхности стен, так и повышенной этажности, для которых необходимо учитывать динамическое действие ветровой нагрузки. По программе могут рассчитываться сборные и монолитные стены. Программа позволяет приближенно учитывать де-формативность перекрытий в их плоскости, определять динамические характеристики здания, учитывать влияние податливости основания на прогибы здания.
На основе программы ПАРАД могут рассчитываться составные системы с весьма большим числом несущих элементов. Предельное число несущих элементов определяется по формуле	'
w _ 4865 + 4Q-9A;yp 15ф6Й + 7А’ур
(192)
ченнй тга ЛЛ0 членов РяДа’- &vp — число расчетных се-
В зявиеимУ?РЫХ подсчитываются усилия и перемещения, ной системы Ш» ТИ °Т особенностей рассчитываемой состав-отбдо 15 Л1рНьЛ0 члеиов Ряда (приближений) принимается зданий спе^йТ ЧИСЛ° "Ряжений принимается для сущих элементах ™*ности ПРИ близких по жесткости не-ближений твебхеД податливых связях. Большее число принести при LL™ При расчете зданий повышенной этаж-элементах и врекмо Различаюи4ихся по жесткости несущих фициенты податтив^ТКИХ связях (в том числе, когда коэф-114 податливости некоторых или всех связей равны
нулю). Приведенные рекомендации по выбору числа приближении носят ориентировочный характер и могут уточняться по мере накопления опыта расчетов по программе
В связи с тем, что максимальное число несущих элементов зависит от числа расчетных сечений А’ур, можно вводить такие сечения не во всех этажах, но при этом число сечений следует принимать не менее четырех.
Для пятиэтажных зданий при Q /еур 5 по формуле (192) тл. 60, т. с. программа ПАРАД позволяет рассчитать здание с 60 несущими элементами. Для 20-этажного здания при вычислении усилий и перемещений для 10 сечений (через этаж) при 10 приближениях рассчитываемая система может иметь до 33 несущих элементов.
Исходные данные для расчета по программе ПАРАД задаются в виде, нескольких компактных таблиц, заполнение которых не требует знания программирования и может выполняться инженером-проектировщиком. Для ввода исходных данных используется язык ВХОД, разработанный в Гнпротисе.
Подготовка исходных данных для расчета без сбора вертикальных нагрузок занимает 2 — 8 ч. В результате рас
чета определяются расчетные нагрузки на здание в целом, вызываемые ими перемещения и ускорения колебаний здания, а также усилия во всех несущих и связевых элемен-
тах.
Матрица разрешающей системы уравнений имеет ленточную структуру. Учет ленточной структуры уравнений позволили уменьшить число неизвестных и сократить время счета.
Хотя основные блоки программы составлены на эталонном алгоритмическом языке АЛГАМС, что несколько увеличивает время счета по сравнению с кодовыми программами, но по сравнению с другими программами для расчета зданий время, затрачиваемое на расчет, невелико. Это вр• зависит в основном от числа членов ряда, в виде к р >. ищутся обобщенные усилия в связях, числа Расч<^• -1 ней и числа несущих элементов. Продолжит .	>
чета в зависимости от этих факторов от 1о до о _
Блягплапя перечисленным преимуществам программа ПАРАД получила достаточно и2»Ро^оей"Р”ме”е"ноПанел^ ектной практике для расчета сеисмостои . У1 n./Bepp0Bbie ных и монолитных зданий, а также для расчета на ветровые нагрузки зданий повышенной этажное , фрагм жесткости каркасных здании.
s 20. о влиянии деформаций сдвига ня совместную работу стен при действии горизонтальных нагрузок
Учет деформаций сдвига срединной поверхности полос образующих несущие элементы составной системы, Неи31 бежно усложняет расчет. Так, для плоской составной системы число функциональных неизвестных увеличивается примерно вдвое, усложняется структура уравнений. ДЛя того чтобы выявить условия, когда обязательно учитывать деформации сдвига несущих элементов, в ЦНИИЭП жилища автором совместно с Е. I Валь выполнены сопоставительные расчеты различных фрагментов бескаркасных зданий [551. Для расчета использовалась расчетная схема в виде плоского составного стержня с податливыми продольными и абсолютно жесткими поперечными связями. Расчет составных стержней без учета деформаций сдвига выполнен на основе уравнений А. Р. Ржанинына. Для интегрирования уравнений использовался метод Галеркина. Расчет составных стержней с учетом деформации сдвига выполнялся по программе ПАРАД. Кроме того, применялся предложенный П. Ф. Дроздовым приближенный прием учета деформаций сдвига введением дополнительных фиктивных продольных связей.
Расчеты позволили установить, что учет деформаций сдвига несущих элементов при расчете составных систем на изгиб наиболее существенно сказывается на значениях поперечных перемещений и усилий в поперечных связях. В то же время усилия в продольных связях, подсчитанные с учетом и без учета деформаций сдвига, весьма близки по значению (рис. 29).
Под влиянием деформаций сдвига происходит некоторое выравнивание усилий между несущими элементами. Изгибающие моменты и поперечные силы в наиболее жестких идущих элементах уменьшаются, а в менее жестких, наоборот, увеличиваются. При этом суммарное значение изгибающих моментов в несущих элементах при абсолютно жест-их поперечных связях сохраняется примерно одинаковым.
ри жестком защемлении составной системы в основании сили в	элементах в местах их защеМ'
элементов°ПОРциональны сдвиговым жесткостям несущи силищи ??Счеге Г*'' Учета деформаций сдвига поперечные изгибны./^ Же сечении Распределяются пропорниональ Иб жвстк°стям несущих элементов.
Рис. 29. Примеры расчета^нтоГ^Цифр^в скобках^од-маций сдвига несущих элементов iu .ji « считаны без учета деформаии	этажяая расчетам
а-рассчитываема* Хб*аютм мохеатоа и поперечных см Г^ре^/и'Х^«жно» системах
х^тпиовленные закономерности позволяют рекоменлп
5 Л-чета составных систем с абсолютно жестких?* вать для рас *мн следующий приближенный nD11 И (^^выполняется расчет без учета деформаций сдв^’ из Хве которого определяются усилия в продольны^ связях Затем продольные связи удаляются, а их влиЯНй* заменяется найденными усилиями. Производится расче* сисХ стержней, соединенных только поперечными свя. чямп При использовании вариационных методов расчег сводится к решению независимых систем трехчленных урав. пенни, аналогичных по структуре уравнениям трех моментов для неразрезной балки.
Описанный прием целесообразно использовать для расчета составных систем из весьма большого числа элементов, а также для приближенного расчета пространственных систем. При расчете таких сложных составных систем вариационными методами требуется решать большие системы алгебраических уравнений. Из-за неизбежных ошибок округления решение может оказаться неустойчивым. Расчленение расчета на два этапа позволяет резко повысить устойчивость решении. Это достигается тем, что на первом этапе расположенные на главной диагонали коэффициенты уравнений, начиная с некоторого номера приближения, превышают сумму всех остальных коэффициентов, а на втором этапе матрица коэффициентов при неизвестных слабозаполненная и имеет трехдиагональную структуру.
§ 21. Расчет стержневых систем с дискретными связями
До сих пор нами рассматривались стержневые системы с непрерывными связями между стержнями. При этом дискретно расположенные связи для расчета заменялись эквивалентными по жесткости непрерывными. Такая замена позволила ввести функциональные неизвестные, определить которые для систем с постоянными жесткостными характеристиками в ряде случаев проще, чем дискретные неизвест-п«е ДЛЯ псходнон системы. Если же жесткостные характе-гги?Л,КИ ”ес-щих 11 связевых элементов изменяются подлине паецрти°И системы» то Целесообразно применять дискретные расчетные схемы.
ва±!1” РаспР°стРанение получила дискретная Стойками „ хема в внде многоэтажной многопролетпой рамы-а ригелями явля10тся глухие (без проемов) участки стен,
' перемычки и перекрытия. Принимается, что
pin ели имеют переменную жесткость (бескоиеиип в пределах длины простенков и конечную в S?
Расчет рам производится классическими м^Х"Р<ЖМОВ)' ительноп механики (методами сил и перемеЛЗ п СТр°’ пользовании метода сил петеетбппV Щ ии'- ПРИ "с-неизвестные. Наиболее просто с испо1ьчпПВя°ДИТЬ гр> пповые расчетной схемы решается задача оасчетя и НИеМ дискРетно» нагрузки вертикально^^
Для симметричной диафрашы при введении rpvnnXx'Se’ известных метода сил задача сводится к решен™ с,ктомй трехчленных алгебраических уравнений ( так пазыв»™ уравнение трех поперечных сил, полеченное впервые Б. Г. Галеркиным).	’ шгервые
Для диафрагмы постоянного сечения по высоте здания все уравнения кроме первого и последнего, оказываются одинаковыми. Поэтому эти уравнения могут рассматриваться как конечно-разностное представление дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого не представляет затруднений.
Такой прием использовался для расчета регулярных по высоте рам М. В. Ляпиным [75], А. II. Сегалем, А. С. Кал-манком [58]. Расчет диафрагмы с одним рядом проемов путем сведения задачи к дифференциальному уравнению выполнил Р. Б. Кондратьев [83].
Однотипность уравнений метода сил при применении групповых неизвестных позволяет определять неизвестные по относительно простым рекуррентным формулам. Этот прием расчета для диафрагм с одним вертикальным рядом проемов разработал С. В. Поляков [100, 101]. При вычислении коэффициентов канонической системы уравнений С. В. Поляковым учтены перемещения от действия изгибающих моментов, перерезывающих и продольных сил, а также податливость горизонтальных растворных швов. Влияние отдельных компонентов оценено на численных примерах. Расчеты показали, что деформации в результате податливости стыков могут составлять до 5О°о общих деформаций конструкции здания под действием горизонтальной нагрузки.
Метод сил с учетом тех или иных упрощающих расчет предпосылок использовался во многих работах зар) бежных исследователей для расчета диафрагм с одним рядом проемов.
При более чем одном вертикальном ряде проемов расчет на основе дискретной расчетной схемы становится с трудоемким и требует обязательного применения
и Институте строительной механики и еейсмосТой
п гтпч АЛ ГрузССР па основе работ A. j JRtH (ТИ9^ Ставлена программа р.-к че,,, па МИМ Дн;„Л;'» е болпп пм числом вертикальных рядов проем,,,,. ДЛ1, IP' м шХ числа неизвестных в задаче приме,,™ мстод „J  нательного «спаривания» полос. Но этому методу С11 две полосы, соединенные дискретно расположи,,|11Ми * зями рассчитываются па единичные силы, приложенные их контуру. Затем присоединяется следующая полоса и on,,. ’ производится расчет на единичные силы и т. д.	"ь
Весьма универсальной программой расчета на ЭВМ мнп гоэтажных рам является программа МЛРОС-106. 1|„ программе здание может быть рассчитано па сосредоточен-ные и распределенные нагрузки, температурные воздействия, деформационные нагрузки (нагрузки, возникающие при перемещении одного или нескольких узлов стержневой системы), динамические воздействия. Программа МЛРСС-105 предназначена для расчета на ЭВМ «Минск-22» плоских и пространственных стержневых систем, образованных прямолинейными стержнями постоянного или ступенчато изменяющегося сечения. Расчет выполняется методом сил.
Результатами расчета пространственной стержневой системы являются шесть внутренних усилий (нормальная и две поперечные силы, крутящий и два изгибающих момента), возникающих в концевых поперечных сечениях каждого стержня при статическом и динамическом приложении внешних нагрузок. Результаты расчета плоской стержневой системы три внутренних усилия на концах каждого стержня (нормальная и поперечная сила, изгибающий момент), основные недостатки программы МАРСС сложная и рудоемкая подготовка исходных данных и большее время cjiv^p ЛЯ,3аДаЧ сРедцей сложности до 3	4 ч). В ряде
уляииЛЛВ03М?Жна значительная потеря точности из-за яе-айтлма-™, ВЬ1’юРа основной системы, которая назначается в ходе ВЬП1олиения программы. разоаТХ?^НЬ,Х 11еА°с™тков лишена программа АПР-5, ПрогпТммп ° ипститУте Лсипроект для ЭВМ «Минск-22». пРостраиствеи1е5НаЗНаЧе11а также Для расчета плоских и нову ппогп^м Х мпогозтажных многопролстиых рам. В основании этот м поло>кеи метод перемещений. При исполь-значно (все v™t.CT<?Aa ОС1,О0ная система назначается одно-от поворота v nL1Д? пеРесекаются стержни, закрепляются Имеет полИленто«и11еЙИЫХ смец*ений), а система уравнении 120 сточную структуру.
Для решения системы алгебраических уравнений ис-пользуекя метод Гаусса. Программа решения '/равнений составлена весьма экономично, на ее основе можно решать системы с. тысячью и более неизвестными. Предельные возможности программы зависят от особенностей рас читываемой системы.
Программа АПР-о характеризуется высоким быстродействием и простотой подготовки исходных данных.
Для протяженных в плане зданий при неодинаковых по жесткости стенах необходимо учитывать деформативность горизонтальных диафрагм жесткости, образ овинных перекрытиями.
Здание в этом случае может рассматривания как перекрестная система. В такой системе элементами одного направления являются стены, которые рассматриваются как заделанные в основание консоли, а элементами другого направления диски перекрытий. Усилия взаимодействия между элементами обоих направлений находятся из условий равенства их горизонтальных перемещений.
Пространственные расчетные схемы в виде перекрестных систем использовали в расчетах А. Г. Берая 1981, В. К. 1’лупов 1971, Р. В. Кондратьев, С. В. Поляков 1101).
Учет деформаций перекрытий в их плоскости приводит к существенному усложнению расчета. Между тем нет достаточно надежных экспериментальных данных, которые позволяли бы судить о фактической жесткости перекрытий при изгибе в горизонтальном направлении.
Испытания натурных зданий и моделей обычно показывают, что фактическая жесткость перекрытий для бескаркасных зданий превышает расчетную. По-видимому жесг-кость перекрытий существенно повышается благодаря пклг ....
.....
крупнопанельною дома показали, г ’ 1	дегЬорми-
ПЫ модели к ее ширине, равном I,), ^мо ^к!г нри-руются подобно жестким дискам псз
ложения усилия в плане.
§ 22. Сопоставление результатов
,„,яии,си.м
При расчете зданий на ос	и. на-
дискретные связи могут’	Допустимость такой
оборот, непрерывные дискр
л.илкмегся на многочжленных эипеРнме8п^ ""У^^Гатджена результатах сопоставительныхрЛ
аозннкаюшнх при замене одного тнпаТ^ Х*4с^мен-а-ьные исследования отдельных вертикаль. ...........  ...  - • •' ‘7 '  .•=:
^„*. ,'Ч'пс^-р-1=асненноч>пт11чес-к:л' метадом на меде-,. “опгаческн активных материалов многими иееледовп^
«ми.
Р Родман приводит сопоставление результатов исгц*. г”_-г< - д •••-• нымп расчета модели .с своему методу Модель представляла собой 10-этажную диафрагму с одним рягол( проеюв. Полхчеко хорошее сов	тальных
 теоретических данных. Нормальные краевые напряжения в диафрагме меняют знак по высоте, что подтверждает тео-реткческее изменение знака в эпюре моментов вверху диафрагм.
М Аркан (891 сравнивает результаты испытания моделей. которые представляют собой диафрагмы с симметрично и нессимегрично расположенными проемами, с резуль-татамж расчета этак моделей по методу, близкому к методу А. Р. Ржанацына: вместо перемычек в расчет вводится эквивалентная по жесткости полоса Подсчитанные теоретически а найденные экспериментально усилия в перемычках оказались весьма близкими по значению.
О. Пэеструд и А. Уолвидсн [93] описывают испытания трех сборных железобетонных диафрагм: двух глухих а одной с двумя рядами проемов высотой 14 этажей, панели соединены бетонными, японками. При экспериментальных нагрузках вертикальные и горизонтальные стыки не ска-ЗЫБалкь ка Р2^1® *иелн. Экспериментальные данные со-уу^у12*< результатами расчета моделей в упругой стадйн по методу конечных элементов, по программе расчета рам и по методу Родмана ]94. 95].
т ^?гВЕеййе Результатов расчета по трем методам с резуль-
Лп'': 20каза’‘1° во всех трех случаях хорошее чфГ.^У‘.‘е Результаты расчета по методу Розмана, когда эям/,е^ехычкн - замелены непрерывными свя-расчетЕе:начктелыю отличались от результатов Г Те .- У2 *“к рамы и по методу конечного элемента лснмеЛ.у'.	здания как составного стержня была
<0П(хгтав-зения данных испытаний
жж.тнща [:	Й 3 ’ прутой стадии, проведенных в ЦНН1 &
Экспериментальные данные сопоставлены с теоретическими, полученными в результате расчета стен с как составного стержня по методике П. Ф ДроНм Р*-четные значения поперечных сил в перемычках нХ^ НЫХ сил н моментов в простаках для начальной “прегоМ елани работы достаточно близки к эксперимента^™’ Экспериментальные и расчетные ; 6i- клл.?,к: ,7С-чалнсь довольно значительно. Это	ГОД
что не учитывались деформации сдвига в диафрагмах. Испытания показали, что доля горизонтальных прогибов вызванных сдвиговыми деформациям?, в простенках, до-статочно ве.шка. н^и жестком осн два ?.?.?. она составлсет от 20% общих прогибов вверху и до 50 в нижних этажах; это обстоятельство особенно существенно сказывается на распределении поперечных сил между отдельными элементами в уровне первого этажа.
Для выявления погрешности от замены дискретных связей непрерывными выполнен расчел нескольких фрагментов зданий высотой 4. 8. 16 и 32 этажа [86]. Фрагменты рассчитывались на горизонтальную нагрузку по программе А1АРСС ^дискретная расчетная схема) и по программе ПАРАД (дискретно-континуальная расчетная схема». Результаты расчетов показывают, что уже начиная с четвертого этажа максимальные усилия в несущих элементах отличаются не более чем на 5 . . II только в верхних этажах, где усилия значительно меньше расчетных, расхождение результатов расчета до 1,5— 2 раз. Поэтому дискретно-континуальные схемы можно применять для расчета здании, начиная с высоты в четыре этажа, прн условна, что жестко-стные и геометрические параметры рассчитываемой састемы не изменяются по высоте здания.
Глава 5
РАСЧЕТ БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАННЛ НА ОСНОВЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ В ВИДЕ СИСТЕМ ПЛАСТИНОК
§ 23. Допущения прн расчете здания как системы пластинок
Расчетная схема бескаркасного здания в виде системы пластинок наиболее соответствует объекту расчета и позволяет учесть практически любые особенности работы жон-струкцнй при различных нагрузках а воздеигтвичх. Од-1?3
ияко расчет па основе данной схемы связан со значит^ чымн вычислительными трудностями главная из которые весьма большое число неизвестных (до нескольких тысяч). Поэтому ори расчете здания как системы пластин вВ0ДЯТ(.' те или иные упрощающие расчет допущения. Рассмотри», основные из них.
Пластинки, образующие расчетную схему бескаркас-иого здания, обычно рассчитываются независимо на нагрузки, действующие в их плоскости и вызывающие изгиб из плоскости.
При использовании упрощенных расчетных схем (на-пример, стержневых) такое допущение приводит к погрешностям,’ соизмеримым с условностями расчетной схемы. При уточнении расчетной схемы искажение результатов расчета вследствие независимого расчета конструкций на усилия, действующие в их плоскости и вызывающие изгиб из плоскости, может обесценивать уточненный расчет. Поэтому данное допущение необходимо использовать с осторожностью, особенно при расчете стен на температурные воздействия, проверке стен на местную устойчивость и в других случаях, когда изгиб степ из плоскости является решающим.
Для взаимного влияния усилий, действующих в плоскости стен и перекрытий и вызывающих их изгиб из плоскости, может быть использован итерационный процесс, при котором попеременно учитывается только одна группа усилий. В качестве первого приближения можно принять плоское напряженное состояние, определенное из условия, что конструкции не испытывают изгиба из плоскости. Найденные на первом этапе усилия используются для определения моментов, вызывающих изгиб конструкций из плоскости. При этом учитывается совместность работы конструкций при их взаимном повороте, а деформации в плоскости стен и перекрытий считаются равными пулю. На основе расчета определяются приведенные модули упругости, учитывающие изменение осевой жесткости в результате местного изгиба. Далее с учетом найденных приведенных модулей повторяется расчет без учета местного изгиба, nnZnMatH°Ba К0РРектиРУЮтся приведенные модули. Расчет рЛк па Д° достижеиия требуемой точности.
ные модули Шаге итеРа™вного процесса приведен-Симости И« п/ РУГ0СТИ опРеделять также с учетом зави-KoXu1.1nt7,14HH 01 напРяжсний и вводить приведенные "ОДаТЛИВ0-и связей* Учитывающие нелинейную, зависимость их деформаций от усилий, то появляется 124
возможность учесть физические особенности деформаций бетонных и железобетонных конструкций, связанных с развитием пластических деформаций, образованием трещин, односторонним раскрытием стыков и т. п.
При расчете бескаркасных зданий в виде системы пластинок используются различные приемы идеализации конструкций. Расчетные схемы в виде системы пластинок в зависимости от характера связей между пластинками подразделяются на следующие группы: с дискретными связями; с непрерывными связями; с комбинированными связями.
Связи между пластинками в перечисленных группах расчетных схем могут быть абсолютно жесткие или податливые. Сами пластинки могут рассматриваться как абсолютно жесткие диски или как элементы конечной жесткости. В зависимости от особенностей задачи возможны различные комбинации допущений о жесткости связей и пластинок.
Наиболее общей, но и наиболее сложной является расчетная схема, при которой учитывается конечная жесткость пластинок и связей между ними, а характер расположения связей соответствует реальным связям в здании. Например, для крупнопанельных зданий характерны непрерывные связи по горизонтальным стыкам панелей и дискретные (в уровне перекрытий) связи по вертикальным стыкам. Все связи податливые.
С целью упрощения расчета податливость горизонталь-иых стыков может учитываться введением "Р—°™ модуля упругости панели, или, иаобор ,	‘ У
считаться абсолютно жесткими Дисками а учитываться введением приведенных эфф
ЛИВОСТИ СТЫКОВ.	пыпол-
Расчет здания как системы. пластинок
няется несколькими этапами. ричные нагрузки или ваются отдельные пластинки н Д руются матрицы единичные заданные смещен ия и ф<р , F > с исполь. податливостей или жесткости ас^^ матрнц рассчиты-зованием полученных на перв
вается система пластинок. п,.ППЛНяется численными
Расчет отдельных пластано наибольшее распрост-методами, рассмотренными ®	‘ ’9лементов, метод стерж-
раиение получили метод ко1'^ оазпОстный метод. Д-™ иевой аппроксимации, кон'с	Р.тн используется также
расчета пластинок ..а изгиб из метод решения уравнении в р /
„ ^.ппкасных жилых домов характерна повТоп0 для Гк^ карю	ячеек Однотипность конструктив
МОСТ'йповочпых решений но всех этажах э.|«|>сктш„,0 „сп* планировочны н	континуальных расчетных сх
35Яые были Рвсемотрены вгл.З- -I. При расчете зд*”; кот0|,ые1»л I схсм в „де системы пластинок так» “Образно учесть повторяемость отдельных объемов* пысоте п по длине здания.
Жилые многоэтажные здания чаще всего имеют секцед.
> структуру, причем ограниченное число секций много-крото повторяется ио длине здания. Поэтому №мо ° уменьшение числа неизвестных задачи путем выделен частей, регулярно повторяющихся по длине ЗДанн (СМ. рис. 16). Если выделенный фрагмент имеет форму, в Пла. не близкую квадратной, то при его расчете можно принять допущение о недеформируемостп поперечного контура. Такой фрагмент здания с недеформирусмым поперечным контуром мы называем пространственным блоком.
Расчетная схема здания в виде системы пространственных блоков предложена автором в статье 11091, где членение здания на блоки использовалось для учета деформаций перекрытий в их плоскости. Эти деформации учитывались путем введения между блоками податливых поперечных связей, препятствующих взаимным смещениям блоков в плане. Предлагалось здание расчленять на блоки в местах расположения лестнично-лифтовых узлов, где перекрытия наиболее ослаблены и имеют минимальную жесткость в своей плоскости.
Пространственный блок в свою очередь может быть расчленен на фрагменты высотой в этаж. Так как конструктивно-планировочные решения бескаркасного здании обычно одинаковые, за исключением нижних этажей, то для расчета пространственного блока необходимо предварительно рассчитать небольшое число фрагментов высотой в этаж. Каждый такой фрагмент рассчитывается па единичные внешние силы (при расчете методом сил) или на единичные перемещения (при расчете методом перемещений).
1аким образом, расчет пространственной системы пл • сводится к последовательному расчету сначала oi fn-,rHUX пластин<>к. затем системы пластинок одноэтажны-KoH(Jei,T0B здання* Далее пространственных блоков и. D8cu^CHCTeMU нравственных блоков. Па каждом эта£ стема Р®^матРнвается статически неопределимая ческойнР^елимость которой значительно ниже <
К0Й неопРедеЛимости системы в целом.
Предлагаемый прием расчета схппм. -
С.'ЮЖНЫХ СП1Т1!Ч(Ч'1Ж 	'
Дж. Аргирясом 1281 np!XX7™V“P3^3"'''« пых конструкций. Разница в ТОМ что считы»^ "110"‘ в здании многократно повторяющихся npocTOaHcSZx элементов. Частично прием используется «
серии ГАММА, разработок... для Хет” кв7ЕГ’ЗХ
ных зданий в КиевЗНИНЭП 1105. 1061. По э?нм прогмм мам расчет производится в два этана. На первом - Ходом конечных элементов рассчитываются отдельные плоХ |ла«енты(па1 .	.
велико. Па втором этапе рассматривается система панелей статическая неопределимость каждой из которых премз! рптельно раскрыта па первом этапе расчета. Однако а про-граммах серии I АММА не учитывается повторяемость отдельных пространственных элементов.
Особенности расчета зданий на основе различных модификаций расчетной схемы в виде системы пластинок рассмотрены в следующих параграфах.
§ 24. Расчет здания как системы пластинок с дискретными связями
Расчетная схема в виде системы пластинок с дискретными связями предложена впервые для расчета крупнопанельных здании II. Е. Милейковским 11111. Отдельные панели в расчетной схеме II. Е. Милейковского рассматриваются как абсолютно жесткие диски в силу условного сосредоточения их податливости по линиям расположения связей. Перемещения точек каждой из пластинок в своей плоскости определяются тремя параметрами. Поэтому общее число неизвестных равно утроенному числу панелей. Для упрощения расчета перемещения точек элементов конструкций разыскиваются в виде конечных разложении вдоль трех координатных осей. Цля опред< -	  
эффициентов разложения используется принцип возможных перемещений. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнении.	1ЯЛ,.т,и«
Предложенная расчетная схема до ен\ пор не Jy - ' \ применения 1ля расчета а I ши!. хотя обм км , ними преимуществами благодаря сравните. F расчетов на ее основе.	пясчртная
Меньшей степенью идеализации об. ад Iтея схема, в которой отдельные пластинки ль 1 * чн0 как элементы конечной жесткости при СДВ1
127
большой жесткости при усилиях окатя растяжения. По. лятливопь пластинок при таких усилиях учитывается цри. еденными жсеткостными хараюерш гиками связей, ,<0. торы.’ располагаются ио углам пластинок (рис. 30).
Данная расчетная схема применена Л. Вайсманом П()3 1041 для расчета зданий из коробчатых элементов (объёмных блоков). Грани коробчатых элементов считаются работающими па чистый сдвиг. Каждый элемент считается опертым по углам. Такая схема опирания является стати-чески неопределимой. В уровне каждого этажа всею дие «лившие» связи, усилия в которых определяются из уело* пня совместности деформаций опирающихся друг на друга коробчатых элементов. В результате расчет отдельного стол-ба па единичные внешние воздействия сводится к расчету 2 и раз статически неопределимой системы (где и число коробчатых элементов, образующих рассчитываемый столб). Для подсчета компонент матрицы перемещений несимметричного столба высотой до 10 этажей составлена программа СТОЛБ для ЭВМ «Минск-22». Матрица податливостей столба является полной, гак как не удалось найти такую группировку внешних единичных сил, чтобы получить ленточную матрицу. Однако в большинстве строк матрицы члены па главной диагонали являются преобладающими (что обеспечивает устойчивость решения при большом числе неизвестных).
Для расчета системы столбов также используется метод сил. В качестве неизвестных принимаются усилия в связях, расположенных в верхних углах каждого коробчатого элемента.
Представляется целесообразным и для данной расчетной схемы использовать метод перемещений, применение которого автоматически обеспечивает локализацию неизвестных и получение ленточной ма трицы коэффициентов при неизвестных /мпччмои । ...
___________________(,„..1/Hwi ан и программа рнечези *'ГГ’ попапелыюго здания как системы из пластинок, coe^1H1 пых в углах жесткими связями. Программа позволяем Р считывать здание на различные воздействия (статическ! . динамические, просадку опор) с учетом пространстве”’1 работы продольных и поперечных степ и податливости Пб| крытий. Обьем оперативной памяти машины дагт ??ЗМ(\п, пость рассчитывать систему со 150 неизвестными.,, щенствование программы с привлечением внешней 11!'\п й позволило повысить порядок решаемой системы УР:11""'\И до 1500 неизвестных. Расчет панельного здания по про* Р’
12»
ме производится в перемещениях. По принятой расчетной схеме здание представляется в виде прямоугольных пластин (стен и перекрытий), соединенных между собой в углах. Исходя из такой расчетной схемы расчет панельного здания выполняется в два этапа.
Па первом этапе по методу плоских сечений определяются жесткостные характеристики пластин, представляющие собой реакции в связях, наложенных на угловые точки, от перемещения каждой из связей на единицу но направле-
Рис. 30. Расчетная схема столбов из коробчатых элементов, соединенных по углам
Рис. 31. Стержневые аппроксимации конечного элемента
'I л лиде перекрестных стержней; в -  шарнир-но-стержиелая
пию координатных осей. Расчет пластин выполняется методом конечного элемента. Для расчета конечного элемента используется стержневая аппроксимация в виде двух взаимно перпендикулярных стержней, защемленных в контурную рамку (рис. 31). Стержни, образующие контурную рамку, считаются абсолютно жесткими, а их соединения в уг-
лах — шарнирными.
На втором этапе рассчитывается система пластин, соединенных между собой по углам абсолютно жесткими связями. Для расчета используется метод перемещений. Неизвестными являются линейные смещения узлов сопряжения панелей по направлению трех координатных осей.
Подготовка исходной информации требует знания программирования. Исходными данными при расчете являются параметры системы, характеристики материала панелей по типам, массивы, в которых записываются номера стержней, узлов, типов, н т. д.
6
В результате расчета получаются усилия в пряжений панелей и перемещения этих же точек°ЧКах Соной нагрузки.	Кот задан.
Недостатками метода расчета, реализованного мой ГАММА, является то, что не учитывается ползПР°Грам' стыковых соединений панелей; введение связей пВ°СТь панелей особенно сильно искажает условия работы в Углам с проемами. Отмеченные недостатки могут быть елей введением дополнительных неизвестных, ио при этомРаНе11Ы их существенно возрастает.	ЧИсло
Расчет плоской системы из пластинок, соединенных датливыми связями, реализован в программе расчета стеТ крупнопанельного здания на неравномерные осадки основания, которая разработана А. А. Пекарским и А. II. зачевским 1140]. Для расчета пластинок используется стер»* невая аппроксимация в виде шарнирно-стержневой модели. Расчет системы пластинок выполняется методом перемещений с использованием матриц жесткостей отдельных пластинок. Для учета нелинейного деформирования конструкций используется метод многоступенчатого загружения.
Глава 6
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПАНЕЛЬНЫХ СТЕН
§ 25. Определение усилии в панельных стенах с учетом влияния деформаций ползучести и усадки
В зданиях повышенной этажности в ряде случаев возникают недопустимые по величине трещины в местах сопряжения наружных и внутренних стен. Такие трещины, например, были обнаружены во многих кирпичных зданиях высотой 8 — 9 этажей, наружные стены которых были сложены из керамических блоков, а внутренние—из сили ного кирпича 1132, 133]. Аналогичные по характеру треш возникали в 12-этажных крупноблочных домах в а • сопряжения несущих вентиляционных блоков в,,^ераМ. стен из тяжелого бетона с блоками наружных стен .,пиопа-зитобетона. Такие трещины наблюдаются н D ^ренн«е цельных зданиях, особенно если наружные и стены выполнены из неодинакового материала.в1яеТСя пере*
Чаще всего причиной образования трещин стеяамм> распределение вертикальных нагрузок ме
вызванное неодинаковыми нагрузками на них, различиями упругих и пластических деформаций стен, температурно-влажностными воздействиями и неравномерными осадками основания.
Перераспределение вертикальных нагрузок является длительиым процессом, который связан с развитием деформаций усадки и ползучести материала стен.
Существенно влияют на совместную работу стен температурные условия. В процессе монтажа температура воздуха внутри и вне здания обычно примерно одинаковая. Однако температура воздуха влияет на характер нарастания прочности раствора и бетона замоноличивания стыковых соединении. При положительных температурах прочность раствора (бетона) постепенно увеличивается от нуля (в момент укладки) до проектной (в возрасте около 28 сут), а примерно через год возрастает в 1,5—2 раза. При отрицательных температурах раствор, наоборот, сначала может иметь прочность выше проектной и сохранять ее до оттаивания раствора при положительной температуре. В момент оттаивания прочность резко снижается (для растворов без добавок до пуля, для растворов с добавками до 25 — 30% от проектной). Затем, как и при летних условиях монтажа, происходит постепенный, но более медленный набор прочности и соответственно уменьшение деформативности.
Деформации, возникающие в момент оттаивания, как правило, приводят к существенному перераспределению вертикальных нагрузок и могут вызвать недопустимое тре-щинообразование.
Оттаивание растворных швов может происходить не только из-за увеличения температуры наружного воздуха, но и после пуска отопления. В этом случае раствор• стык .~ соединений внутренних стен оттаивает быстР®®» ,™ое?нИХ ных, что приводит к повышенным деформац .	&асши.
стен. Одновременно происходит их темпер ур Р ~ рение, которое превышает’	по-
В процессе монтажа и в	"^Еостп" стеновых
происходит значительное изменен1‘е ’ жностн, которую материалов. Потеря высокой начальн • одит к уСа-нмеют конструкции в момент нзготовл > ^е0ДИ'нак0Выми дочным деформациям, которые мор ьная” влажность для наружных и внутренних стен- легкого или яче-панелей наружных стен, выполняемых
131 5*
истого бетона, обычно выше, чем внутренних из тяжелого бетона Оцнако из-за повышенной толщины наружных стен и их одностороннего прогрева уменьшение влажности происходит медленнее, чем внутренних. Поэтому сначала интенсивнее нарастают деформации внутренних стен. Это приводит к перераспределению части вертикальной нагрузки с внутренних стен на наружные. Затем, когда влажность обеих стен достигает равновесного значения, усадочные деформации наружных стен начинают превышать деформации внутренних, что приводит к новому перераспределению вертикальных нагрузок.
Для удобства анализа выделим три характерных периода, для которых условия совместной работы стен имеют свои особенности, а именно: монтажный, начальный и последующий эксплуатационные периоды.
В ходе монтажа здания возрастают нагрузки на его стены, а, следовательно, увеличивается обжатие стеновых панелей и их стыковых соединений вертикальной нагрузкой. Одновременно развиваются деформации ползучести, усадки, происходит интенсивное увеличение прочности раствора (бетона) стыковых соединений и соответствующее уменьшение их деформатнвностн.
Ко второму периоду (начальному эксплуатационному) будем относить промежуток времени от момента окончания монтажа до стабилизации начального перераспределения вертикальных нагрузок между стенами под влиянием ползучести и усадки, вызванной необратимым уменьшением влажности стен.
Последний период, продолжительность которого измеряется десятками лет вплоть до окончания службы здания, характеризуется обратимыми температурными и влажностными деформациями стен, вызванными сезонными и суточными изменениями температуры и влажности стен.
Наиболее сложный характер совместная работа стен имеет в двух первых периодах. Вместе с тем именно в эти периоды, как правило, возникают недопустимые трещины и повреждения в конструкциях. В дальнейшем под влиянием сезонных и суточных изменений температуры и влажности воздуха происходит попеременное раскрытие и закрытие трещин относительно некоторого среднего значения. Длительные циклические взаимные смещения стен весьма неприятны в эксплуатационном отношении. Для предотвращения их или по крайней мере для ограничения взаимных смещений желательно ограничивать появление и раскрытие трещин в первый период эксплуатации здания.
Влияние ползучести бетона на усилия ПЛ в конструкциях крупнопанельных зданий ппиВ®3‘,нкающие ных осадках основания, рассмотрено Л?” еравномер’ [124]. Выполненные расчеты показали что бпагоЛ Раб°ТС витию деформаций ползучести значительно т?" раз* усилия в конструкциях от веравноХГЛокТХ НИЯ. Была установлена зависимость усилий от скод«т) монтажа здания н особенностей нарастания осадок“нова ния во времени. Сравнение напряженного состояний кон-струкции здания с учетом и без учета стадийности возве-деиия выявило их существенные различия. Поэтому и при решении задачи о перераспределении вертикальных' нагрузок при совместной работе наружных и внутренних стен необходимо учитывать стадийность возведения здания.
Оценку влияния различных факторов, определяющих совместную работу стен крупнопанельных зданий с учетом развития деформаций ползучести, целесообразно произвести на основе достаточно общей постановки задачи с точки зрения выбора расчетной схемы системы, и физических зависимостей, учитывающих развитие деформаций ползучести. Решение задачи в такой постановке, разработанное автором в ЦНИИЭП жилища, излагается ниже 1125].
Примем, что деформации материала панелей и стыковых соединений подчиняются зависимостям линейной теории упругоползучего тела Н. X. Арутюняна — Г. Н. .Маслова [119] (наследственная теория старения). В соответствии с этой теорией вводятся следующие допущения: материал панелей считается однородным и изотропным; существует линейная зависимость между полными деформациями и напряжениями; справедлив принцип наложения; абсолютные величины деформаций не зависят от знака напряжении.
Допущение об однородности и изотропности ма^Р”^‘ обычно всегда вводится при решении задач стро i механики и теории упругости.	лгп.ппшр»1ном
Второе допущение справедливо лишь при р< ле‘й уровне напряжений в конструкциях. Для СН|1Я не зависимость можно считать линейной, ес < Прочности, превосходят примерно Полов™“ пр“ всегда выполняет-Для стеновых панелей это условие по	ений линей-
СЯ. Для работающих на сдвиг “та образования тре-ная зависимость соблюдается до мо
щин в бетоне замоноличивания. ^_ипе1НИЯ практически
Работающие на сдвиг стыковыi	уСНЛИя в них не
всегда можно законструировать > трещннообразо-будут превосходить усилий, вызывающи
ваиие я именно это является целью настоящего исследования’. Поэтому и ДЛЯ работающих на сдвиг свячен можно считать линейной зависимость между полными деформациями и напряжениями.
Справедливость допущения о линейной .зависимости между полными деформациями сжатия и напряжениями для горизонтальных растворных швов требует дополнительной экспериментальной проверки. Даже при кратковременном загружеиии эта зависимость может несколько отличаться от линейной. Так, для растворных швов, обжатых в раннем возрасте, кривая напряжении деформации часто имеет начальный нелинейный участок. С увеличением обжатия соединения зависимость принимает линейный характер. Наличие начального нелинейного участка не должно существенно сказываться на работе степ, так как в верхних смонтированных этажах, где может проявляться нелинейность, вертикальные стыковые соединения имеют повышенную податливость и незначительно перераспределяют нагрузки между стенами.
Принцип наложения в последнее время подвергся тщательной экспериментальной проверке, которая в целом подтвердила допустимость его применения для бетона. Априорно будем считать его справедливым и для стыковых соединений.
Кроме перечисленных допущений введем также следующие, вытекающие из особенностей рассчитываемой системы.
Панели стен будем рассматривать как стержневые элементы, воспринимающие только продольные силы. Продольные деформации стен будем определять с учетом их возможного изгиба, который вызывается впецеитренпым приложением продольных сил и перепадом температур по толщине стены (для наружных стен).
Для упрощения расчета будем считать эксцентрицитет действия продольных сил в стенах постоянным и равным для наружных степ и ев для внутренних стен.
Примем, что омоноличивапие связей, препятствующих взаимному сдвигу стен, происходит одновременно с монтажом < ценовых панелей вышерасположенного этажа. Прочность бетона замоноличивапия и раствора горизонтальных егыков набирается постепенно в зависимости от условий твердения.
Прочность панелей к моменту их монтажа, как правило, 11<ка проектной. Дальнейшее увеличение их прочности з рачительное. Поэтому будем считать материал панелей 134
«старым». Для такого материала модуль vnnv™,.. няется во времени, а предельная мера нолзу-Хп е М<?* сит от возраста панелей в момент загружен^ 41* ,ИВИ' щение можно нс вводить, если известны фактичс(-«[° Л°Лу‘ „ость бетона панелей к моменту монт^и™ пия прочности во времени.	иараста-
Расчет будем выполнять с. учетом стадийности возведения здания. Примем при этом, что включение очередной связи, работающей па сдвиг, совпадает с моментом'омоно личивапия стыка, а нагрузка от веса монтируемых кон-струкнии прикладывается ступенями. Продолжительность нарастания нагрузки каждого из этанов будем считать малой по сравнению с. длительностью этапа, но такой что можно не учитывать динамического характера приложения нагрузки.
1 фактически все временные нагрузки для жилых зданий
относятся к числу кратковременно действующих. Поэтому в расчете будем учитывать только постоянные нагрузки от собственного веса конструкций.
В качестве внешних воздействий учтем также вынужденные деформации степ, возникающие из-за уменьшения начальной влажности панелей, бетона и раствора замоноличивапия стыковых соединений.
Вынужденные влажностные деформации подразделяются на непериодические и периодические. Непериодические деформации возникают в результате необратимого уменьшения начальной высокой влажности панелей до равновес-
ного состояния, периодические— под влиянием сезонных колебаний влажности воздуха и термодиффузии. Непериодические температурные деформации связаны с резким изменением температуры стен, например в момент пуска отопления. Периодические деформации вызываются суточными и сезонными колебаниями температуры воздуха.
I Апериодические влажностные деформации стен момента времени t зададим но формулам:
е„(/) еГП схр(—с„
(193)
—относительная величин» предельиоода» Усадки наружной (внутренней)	“Хороге деформа-
коэффициенты; тус—момент времени, д Нии усадки отсутствовали.
Необходимость введения времени ту,. вызвана тем, что пип отрицательной температуре воздуха уменьшения влажности. а следовательно, развития деформации усадки нс происходит. Поэтому деформации усадки могут начаться не с момента монтажа панелей, а несколько позже.
Разность относительных продольных деформаций однослойных степ, вызываемых неодинаковыми изменениями температуры наружного и внутреннего воздуха, приближенно может определяться по формуле
4“ ап (С ^о)’
(194)
где ан(п)-- коэффициент линейного (температурного) расширения материала наружной (внутренней) стены; ?н(в).п— температура наружной (внутренней) поверхности наружной стены в рассматриваемый момент времени; t0  — начальная температура, при которой наружные и внутренние степы имеют одинаковую температуру; с„ - расстояние от геометрического центра наружной панели до центра жесткости опорной площадки, если панель закреплена по высоте этажа от продольного изгиба, то еи 0; htl — толщина наружной стены; — средняя температура внутренней стены.
Формулой (194) приближенно учитывается местный изгиб наружных панелей вследствие перепада температуры по их толщине.
При расчете для зимних условий эксплуатации здания в формуле (194) приближенно может приниматься, что
‘ 4» где /в— нормируемая температура воздуха внутри отапливаемого здания. Для летних условий эксплуатации при расчете на температурные деформации вследствие суточных колебаний температуры воздуха и прямой солнечной радиации также можно принять, что /0 где /в — среднесуточная температура наружного воздуха.
Совместную работу стен с учетом стадийности возведения конструкций зданий, развития деформаций ползучести и усадки рассмотрим на примере составного таврового в плане элемента, полкой которого является простенок наружной стены, а стенкой примыкающая к ней внутренняя стена (рис. 32, а). В здании стены расположены, как правило, симметрично, поэтому не будем учитывать изгиб стен от вертикальной нагрузки. Полученные ниже формулы
°ЫТЬ использо»аны также для расчета составных двутавровых элементов с равными полками.
«ст.. 1	..... стиие сдвиг,.. ТХЙ /Т
В связях, расположенных выше пассмятп„и. Л} (включая связь в уровнГпе^рЗ^Тм
т‘®' ’ X'W,
где k номер последнего смонтированного этажа (k <Т»а п - число этажей в здании; t ~ текущий момент времени
Рис. 32. Расчетная схема (о) и основная система (6) для опреаел'-иня перераспределения вертикальных нагрузок между пару’ внутренними стенами с учетом развития деформаций У усадки
Обозначим т, — момент времени, с00тв^^®"’3Л мыканию этажа i (т. е. устройству связи 9Ta«0H /) и внутренней стенами в уровне "еРекР^ иазывать Лм Интервал времени т/ г <- ч+i этапом (рис. 33).	,	zinin найдем
Для /е-го этапа, используя форм}.} ( сдвигающее усилие в связи этажа /•
при i < k Xt (/) - Tt (/) — Л +i (О» а при i-^k Xh(t) = Th(t)>
Усилие Tt (/) представим и ваде суммы поэтапных приращений усилий
Л(0	S&4- 2. 5;,/(ту+1)-Н5;л(/),	(196)
где «Sf./ - упругомгновенное приращение усилия Tt в момент приложения нагрузки на этапе /	А*; Л'*/у - при-
ращение усилия Г,- из-за развития деформаций ползучести и усадка за время / . т; н.
(при j =“ * Sl+u S,+1j — 0);
г,.н — продольное перемещение наружной степы в уровне перекрытия над этажом i (в месте присоединения i-й связи):
W(0
Из условия совместности деформаций в любом уровне аЯА(г)-^(/)-^(0.	(197)
где СА (/) — взаимное смещение (сдвиг) стен в уровне i в момент времени /:
 --с' i (С
*-l VH <
’ J 77	(T)— Si :• l.* (01 Si* (6 0 </r
J $gл(т)6^(/, т)^т ТЛ
+ '«(/) J
и, (/) то же, для внутренней стены:
ww = yl— у
I f в
£ Н '4/=к
P"^(t.r,)+ ^51,6^.^ +
л-i T;+i $
+ 2 J
i-g ту
ТЛ	J	I
В приведенных выше формулах обозначено: гн(в)	1 г -
1 g — площадь горизонтального сечения соответствен-но наружной (внутренней) стены; Явт— высота этажа;
If? — относительная величина вынужденных деформаций (например, температурно-усадочных) наружной (внутренней) стены; Р”(в) — внешняя нагрузка, прикладываемая в уровне / в момент времени т; к наружной (внутренней) стене; 6/д (/, т) — деформация сдвига стыкового соединения в уровне i за время (/ — т) от единичной сдвигающей нагрузки, приложенной в момент времени т; S/ ' (Z1, т) — суммарное укорочение или удлинение панели 11 горизонтального растворного шва этажа / наружной (внутренней) стены за время (/ — т) от единичной нормальной нагрузки, приложенной в момент времени т к горизонтальному сечению стены.
популярной системы, в которой толщины стен, Мар. ки конструкция связей одинаковы во всех этажах, бсдт)=лсд (0,)+ссл &> б«):	)
т) = у7ад-{Яэт[-^Г(Б) + СН( ’&-1’ °г-1)]+	(]9^
+ Ашн (в) (0.^) + Сшв W (&-!> 0/-1)} ,	)
гле ^сд _ коэффициент податливости при сдвиге r-й связи между стенами; ^шн(в) — коэффициент податливости горизонтального растворного шва наружной (внутренней) стены между этажами (г — 1) и i, Е , 7- -) — модуль деформации и площадь горизонтального сечения наружной (внутренней) стены; Сс« — мера ползучести i-й связи-Сн(в) _ то же, панели наружной (внутренней) стены этажа /; Сшв™ — то же, горизонтального растворного шва наружной (внутренней) стены между (/ — ]).и ;.м этажами; 0,-, 0,-1 — возраст материала панели или связи к моменту приложения нагрузки;
0/ = т — тг; 0j—1 = т — тг_,;
&,	—то же, к рассматриваемому моменту времени:
= тг; If-! =/ —тг_г
Коэффициенты податливости X стыковых соединений уменьшаются по мере твердения бетона (раствора) замоно-личивания. Примем, что
А, J %(28) j+^2 R (28) 14-A!i/?(0)	. qq)
1 + Aj7?(28) 1-|-£2/?(0) ’
где Z/28) — коэффициент податливости соединения при проектной прочности бетона (раствора) замоноличивания (в возрасте 28 сут); величины коэффициентов податливости различных типов соединений приведены в работе [64];
(0) — прочность бетона (раствора) замоноличивания, возраст которого 0; klt k2—эмпирические коэффициенты (по данным М. Е. Соколова, = 0,005, /г2 = 0,5).
Прочность бетона (раствора) стыковых соединений в зависимости от возраста будем определять по формуле
^(6) = -А1 ^(28)	<200)
d2+ 0
По данным лабораторных испытаний М я ттт на [127] dr = 1,2, d2 = 6,5.	М' Я’ Шустерма-
При твердении бетона (раствора) в зимниг момента оттаивания будем считать, что 7? где- эмпирический коэффициент. После оттаивания R (0) будем определять по формуле (200), назиачм коХ™. циенты 4 и d, в соответствии с экспериментальным™, ными.
Меру ползучести С (Л т) будем определять по формуле
С (t, т) = т](0) f (| — 0)>	(201)
гдеп (0) —функция, учитывающая влияние фактического возраста материала; f (е — 0) — функция, характеризующая нарастание деформаций ползучести во времени
Функции т] (0) и f (g — 0) зададим в виде:
n(0) = C1 + C2exp(-C30S; 7(^-0) = 1 -exp [—C5(g—0)ee].
(202)
(203)
Деформации ползучести и усадки стыковых соединений панелей исследовались в МНИИТЭП М. Я. Шустерманом под руководством автора [127]. Лабораторные исследования показали, что деформации усадки горизонтальных растворных швов составляют менее 5% суммарных деформаций усадки панели (на высоту этажа), поэтому ими можно пренебречь при расчете. Деформации ползучести стыковых соединений примерно равны по величине деформациям
ползучести стен, поэтому оказывают существенное влияние на совместную работу стен.
На основе лабораторных исследований установлено, что деформации ползучести сжатого стыкового соединения линейно зависят от нагрузки на стык. Предельные деформации ползучести существенно зависят от возраста раствора в стыке в момент приложения нагрузки. При изменении возраста с 4 до 28 сут предельные деформации ползучести уменьшаются почти в 3 раза. В возрасте более 28 сут -предельные деформации меняются незначительно, поэтому Для описания деформаций ползучести в таком возрасте может быть использована наследственная теория П0ЛЗУ^ ;
Для деформаций ползучести сжатых стыковы нений характерно очень быстрое нгщастание деф Р сразу после приложения нагрузки. В дальн[ей Дается резкое замедление скорости деформац У > стабилизация деформаций достигается чере после загружения.
141
По полученным экспериментальным данным в форму п (201) и (202) могут быть приняты следующие значения раметров для сжатых стыков:	Па'
Q — 6 • IO"6 м/МПа; С2 = 40 • 10~6 м/МПа;
С, = 0,9; С4 = 0,4; С5 = 0,43; С6 = 0,31. ’
Для пропаренного бетона в формуле (202) С,- = о 97 С6 = 3. Данные о предельном значении меры ползучести для различных бетонов имеются в нормативных доку ментах.	У'
Подставив полученные выражения формулу (197) получим систему интегральных уравнений, число которых равно номеру этапа, т. е. числу смонтированных этажей В эти уравнения входят в качестве неизвестных величин S// и функции S*j (j = i, i + 1, , k).
Когда выполняется k-й этап расчета, усилия Si} и S.-для j < k уже определены. Неизвестные S°ik можно определить из условия совместности деформаций для упругомгновенной задачи, соответствующей моменту времени т По аналогии с уравнением (197) запишем:	к'
и^иъ-и^,
где
(204)
1/?»= 2
g=l g
(205)
(206)
(207)
U‘k fg +	62	•
При i - k в формуле (205) S) 1 опетйпыт» ----------- l'
iц н формуле (205) S?+1>ft = 0.
Подставив выражения (205) — (2’07) в уравнение (204), получим систему алгебраических уравнений, решая которые найдем все SSSt.	°	., £). Эти уравнения имеют сле-
найдем все S°ik (i = I 2
Дующий вид:	’ ’
2 (—l)VSz + 2+v,£ Д’,/—2 4-v = Pi.k (1 = 2, 3.......k— 1),
— Sk—\k Ak—ik + Sk,k A-k,k = Bk,k,
(208)
где
A, ^ = 6^,^);
A,i+i = б°д(Ч, Th);
Tft) + 6^(T/l(Tfe) +
+ 6? (rh, Tk) + 6? (Tft, Tft);
Bih = Pl 67(Tft, Th)-P- ^(Th,Tk).
Интегральные уравнения, получающиеся в результате развертывания формулы (197), по структуре аналогичны уравнениям (208).
Так, например, для i = 2, 3, ..., k— 1 уравнение имеет вид:
з	t
2	1)V.[	77	А-1-нДт) Л, ;_2+v(Z, T)dr =
v=l	г/г
3	k-l	XJ+1
" ~ 2 (	2 j 77 A*-2+v(t) A, z-2+vx
V=1	/ = /—2-pv Xj
3	k
X(t,T)dx 2 (—l)v i A?—24-vj A,z—24-v (i, n)A v=l	J = i~2+v
+ .2А7^Ъ-)+Нэт^(0.	(209)
Уравнения (201) образуют систему обыкновенных алгебраических уравнений, решение которой не представляет трудностей. Уравнения (209) — интегральные. Для решения их используем численные методы. Заменим непрерывные переменные t и т дискретными. Разобьем временную ось на участки. Будем считать одинаковой продолжительность монтажа одного этажа. Пусть в монтажный период длина одного участка равна Д1? а после окончания монтажа— Д2. Длину Дх примем кратной продолжительности монтажа этажа и4.
Назовем узловыми точки, соответствующие началам этапов. Таких точек здания высотой в п этажей будет также п. Число промежуточных точек для монтажного периода зависит от величины Дх.
Все точки числовой оси перенумеруем подряд целыми числами, начиная с единицы. Точка 1 соответствует момен-143
ту «замыкания» связей первого этажа. Всего будем иметь (Л.я + «а) точек, где л,  м^Д,; nt * м*/Д» (ut— про-длпжнтольность пос.темонтажного периода)
;	. функций в точках дискретной временной оси
0\ тем помечать номерами этих точек, которые будем заключать в квадратные скобки. Например, Г I.H]-—усилие Т в точке .И; г I.U) • момент времени, соответствующий точке .U.
В уравнениях (209) интегральные члены представим в виде с\ ммы интегралов, границы которых совпадают с точками деления временной оси. Тогда
| Ф(Л т) Jr
.м-i Ш+1]
v I Ф (/, т) dx, i-u ф]
где
(й — 1) Hi < М < knr',
Ф((,х)	^5*фА(/.т).
Используем метод Н. М. Крылова—Н. Н. Боголюбова (161. в соответствии с которым предполагается, что если промежуток времени (/ [/	1)) — t ]/)) мал. то
НН-Ч	»[/+!]
I Ф (/. т) dx « A (.4, (Z -К 0,5)J |	— s* (t)Jt.
Обозначим
S LUI S* 1ЛП — $♦ [.Ч — IL
Тогда уравнение (209) системы интегральных уравнений задачи можно передисатъ в следующем виде относительно новых неизвестных S I.U'
3
v^( ^V^<-R-Kvl-U) Am—3+»l-U (.4— 0,5)] =
l4» i v ’
+	5f-‘+« 3.	pi. /.)}+
+ S bmim, ij+«„.r(M).	(S’®
IM
где
/v = (<-3+v)	+ 1; /. = Ц_ 1)ni + j
(<• = 2, 3...k - 1).
Аналогичные \равнения можно записать для i- i „ i- Л. Полученные урмиеиия яыяются ал«£>аИчес^и* «ЭТ ’ "Х П0ЛН<К1ЬЮ С001^™« структуреТрав-
Решив эти уравнения совместно, найдем прноашения обобщенных усилии за время с [,М] __ t [\j _ с ж
марные усилия 7\ [Л1] определяются по формуле
Л [Л!]- 1 S.-

(211)
где Тс (i — 1) nt - 1.
После того как найдены обобщенные силы Т (ЛЛ, можно определить усилия в связях и продольные силы в стенах.
На основе изложенного алгоритма отделом математических методов и вычислительной техники МНИИТЭП составлена программа ПУСК-1 «автор программы Л. И. Иванова) для ЭВМ <Мннск-22» U26L Программа позволяет определять перераспределение вертикальных нагрузок между двумя сопрягаемыми стенами крупнопанельного здания с учетом следующих факторов:
изменения расчетной схемы по мере роста числа смонтированных этажей;
поэтажного приложения нагрузок в процессе монтажа здания;
продолжительност монтажа одного этажа:
нарастания прочности раствора и бетона
вання стыковых соединен- й и уменьшения ах	*
ностн во времен ; при этом могут учитываться J вые законы изменения проч ост..	.д-;.у.'-
•• • \ :Лк.1 с:
влияния при отра ;.:тх. - тем...: а. _	. н.
вання раствора и бетона омоколнчивания и нений «при возведении здания):	v ганелях
pJSS. Жфорнии*
н нх горизонтальных и	щпаы внрмтанн»
ДЛЯ которых могут приккматъия .ЗОН
деформз.шн патах чо?тн во времен и.	XY1IKH сопря-
развнтнч н^инаковых деформаций wax
гаемых стен;	145
мнения температуры стен в момент пуска влияния из^»Хоуемого в зимних условиях здания.
копления для монтиРУ икальнЫХ нагрузок под влия-Перераспределен и необходимо учитывать, копием перечисленных у не£динак0Вых материалов, что Ча. гда стены выполнены	х ц внутренних стен. При оди.
сто имеет место Для Р/гаемых стен влияние ползучести, паковом материал тРльных процессов на перераспреде. усадки и ДРУ™* а наГпУзок обычно незначительно.
Ле”поХрКамме ПУСК-1 рассчитывается система из двух " ома из которых наружная, а другая внутренняя, nможет быть использована и для совместного рас-чХву” наружных ИЛИ двух внутренних стен, выполнен-их как из одинаковых, так и из разных материалов. Влия-ние остальных стен при этом не учитывается, что обычно не приводит к большой погрешности, так как перераспределен вертикальных нагрузок имеет местный характер.
Продолжительность расчета на ЭВМ «Минск-22» по программе ПУСК-1 —от 15 мин до 1 ч (в зависимости от этажности здания и требуемой точности вычислений).
§ 26. Учет частичного защемления опорных сечений стеновых панелей
Статический расчет стен на вертикальную нагрузку обычно ведется по упрощенной шарнирной схеме без учета конечной жесткости горизонтальных растворных швов.
Исходной предпосылкой расчета является представление о конструктивной схеме стены как системе одноэтажных стоек, шарнирно-соединенных между собой в уровнях перекрытий. При определении эксцентрицитетов продольных нагрузок шарниры каждой стойки считаются расположенными на вертикальной оси, проходящей через центры тяжести* горизонтальных сечений несущего слоя рассматриваемой панели, а равнодействующая вертикальных усилий от вышерасположенных этажей принимается приложенной по оси растворного шва, через который осуществляется контакт панелей в горизонтальном стыке. При такой методике расчета несущая способность стеновых панелей недооценивается. Вследствие этого необоснованно увеличивается марка бетона или количество арматуры, так как заменятьра4366 констРУктивн9е армирование приходится ст?мг^3еРВ0М пов^шения расчетной несущей способности вых панелей является учет частичного защемления
опорных сечений в горизонтальных стыках [72, 82]. Частичная заделка панелей в горизонтальных стыках при-одит к уменьшению отрицательного влияния продольного изгиба и значения эксцентрицитета равнодействующей внутренних вертикальных усилий при действии нагрузки от вышерасположенных этажей и в этом отношении является благоприятным фактором. Но в то же время при такой заделке возможно появление дополнительного момента в сте-
рис 34. Расчетные схемы, учитывающие стадийность возведения здания
] 2, .... k  (п + 1) - стадии монтажа и загруже-ния
новых панелях вследствие поворота опорных участков панелей перекрытий при их изгибе, что с точки зрения несущей способности наружной стены неблагоприятно.
Степень защемления панелей наружной стены в горизонтальном стыке зависит от сопротивления примыкающих панелей и растворных швов единичному повороту стыка и определяется изгибной жесткостью этих панелей и податливостью растворных швов.
Для правильной оценки влияния частичного защемления панелей в горизонтальных стыках следует учитывать изменения расчетной схемы здания в процессе его возведения, С этой целью необходимо рассчитать последовательный ряд конструктивных схем, которые соответствуют равным этапам монтажа и загружения здания (рис. 34), и затем просуммировать полученные эпюры изгибающих моментов.
На каждой стадии монтажа расчетная схема может быть принята в виде плоской многоэтажной однопролетной рамы, 6*	147
стойкам» которой служат несущие слои стеновых панелей, а оигелями- - перекрытия. Для определения размеров сечения элементов рамы и действующих па нее нагрузок в здании выделяется вертикальная полоса.
Узлы сопряжения панелей перекрытий с наружной стеной рассматриваются как упругоподатливые. Опирание панелей перекрытий на внутреннюю степу, параллельную рассчитываемой наружной, принимается шарнирным, что идет в запас прочности.
Податливость одних и тех же швов в расчетных схемах, соответствующих последовательным этапам монтажа, принимается различной, так как по мере роста прочности раствора в период монтажа дома деформативные свойства швов могут существенно изменяться.
При назначении размеров расчетных схем рам учитываются начальные несовершенства системы, являющиеся следствием неточности изготовления и монтажа и выражающиеся, например, во взаимном поперечном смещении вертикальных осей стеновых панелей соседних этажей, в изменении глубины заведения перекрытия за внутреннюю поверхность наружной стены по сравнению с проектной и т. п.
При расчете рамы будем учитывать только изгибные деформации стоек и ригелей, в том числе возникающие за счет конечной жесткости стыковых соединений при повороте. Продольные деформации элементов рамы будем считать пренебрежимо малыми. Связи, препятствующие взаимному смещению панелей стен и перекрытий в горизонтальном направлении, принимаем абсолютно жесткими.
При таких допущениях расчетная схема рамы имеет вид, показанный на рис. 35 (связи, препятствующие взаимному смещению панелей наружной степы и перекрытий по горизонтали, на рисунке условно не показаны).
Для расчета используем метод перемещений. В качестве основной примем систему, в которой опорные сечения ригеле» закреплены от поворота (см. рис. 35, 6)', а в качестве неизвестных-углы поворота опорных сечений ригелей Z-
Для раскрытия статической неопределимости основной стап Ы рассмотрим вспомогательную задачу о расчете ствр^рГ С упругнми защемлениями опор (рис. 36). В каче-связях 1звестпых примем изгибающие моменты т в угловых
Щие1Рмом^,атТмИ 1*Г° стержня продольной силой Pi изгибаю-щне моменты в нижней „ верхней (т„) угловых
СВЯЗЯХ определяются по формулам: тц-1 —	+ 4v2/) 4“2е2г v2i];
р.
^21== —“5. "b 4v2/-i) + 2e2i_1v2jf.J,
где
Di — 1	(v2/_x 4-v4<)-f-12vaJ v2t_x;
l„lik-2i-i	FJ j X<2i
V2i~y Hi V2i ^'нТТГ'
(212)
(213)
(214)
Pt — продольная сила в стойке, соответстующей стеновой панели Pro этажа; e2i_n e2i — начальные эксцентрицитеты приложения силы соответственно в нижнем и верхнем сечениях i-ro стержня в основной системе (при нулевой жесткости угловых связей); EIt — изгибная жесткость несущего слоя стеновой панели Pro этажа при изгибе его из плоскости стены; Hi — высота панели i-ro этажа;
Рис. 35. Расчетная схема (а) и ‘,сн0°“?" система (б) для расчета несущей с с учетом конечной жесткости стыковых с единений панелей при повороте
Рис. 36. Основная система ДЛЯ расчета стержня, упру гозакреп-ленного по концам
I^i-ъ — моменты инерции соответственно нижней ц верхней площадок, по которым осуществляется контакт панели 4-го этажа с перекрытиями (момент инерции опре-деляется относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба стены); Х2/_х, ^21 — коэффициенты податливости при сжатии горизонтальных растворных швов, расположенных соответственно под стеновой па. нелью 4-го этажа и над ней.
При прямоугольном сечении стеновой панели безразмерные параметры:
V2r-1 =
Ei^2i / V 'нг(лй')’ (215)
где ht — толщина несущего слоя стеновой панели 4-го этажа; h2i-1, h2i — глубины площадок контакта стеновой панели с перекрытиями соответственно в ее нижнем и верхнем опорных сечениях.
При повороте опорных закреплений Z-й панели на углы Zt_i и Zi изгибающие моменты в угловых связях определяются по формулам:
msi-i =—(т-[(6»2|4-2)г,_, + Z,];
Ui Hi
+2) Z, 4-Z(+1],
Vf n i
(216)
При выводе формул (212) и (216) принято, что моменты положительны, если они вращают опорные закрепления против часовой стрелки. Углы поворота опорных закреплений считаются положительными при повороте по часовой стрелке.
Из условия равенства нулю изгибающих моментов в опорных закреплениях получим следующую систему трехчленных алгебраических уравнений для определения углов поворота опор Z:
rii + г12 Z2 + Rr = О,
r4.i-i	i Z{ H-rii+1 Zi+1 + Ri — 0,
(217)
rh, b-1 Zh_1-]~ rh< h Zh-\-Rh ~ 0 (i = l, 2, .... k),
ГД® эВщщ	3
lo‘p X(1+3W’.
x) + fetiZi+i v Ht+iDt+t
__	_ 2£j+i. I i+i .
D/+1
ЗВцер I ^Ehlh zi . □	.
rh h -------- 1 n n, ’ 6V2/<-V>
11' /пер rlkDk
r. [e2< (Di~ 1 +4v2i_j) - 26^^^]-
(i<k) Di
[e«+i (D1+i-1 - 4v!j+2) -Di+i
- 2e8(+,v2l+2]—
Rh =	1	— 2eah_1v2ft_1]
R II ^2k~l'
(218)
где Bnep — изгибная жесткость перекрытия, опирающегося на рассчитываемую стену; /пео — пролет перекрытия в направлении, перпендикулярном плоскости стены; gf —• временная погонная нагрузка па перекрытие z-го этажа; /г— число смонтированных этажей (1 k С м); п — общее число этажей, включая цокольный.
Для определения усилий в стене необходимо последовательно решить системы уравнений (217) для k = 1, 2, ..., п, п + 1. На этапах k<Zn определяются усилия отвеса конструкций очередного монтируемого (k-f 1)-го этажа,. на этапе k — n— от веса кровли, на этапе k ~ п + 1 от временной нагрузки на перекрытия (см. рис. 34).
На каждом этапе усилия в верхней смонтированной стеновой панели от веса наружного слоя, утеплителя и перекрытия, опирающегося на данную панель, находятся по статически определимой шарнирной схеме без учета жес КОСТИ УГЛОВЫХ СВЯЗеЙ.	_тяпях
Усилия в каждой панели, определенные на в суммируются
Уравнения (217) по своей структуре аналогичны^ура^в-нениям трех моментов для неразрезнои балк’п , оазЛ11ч-Решения этих уравнений могут быть использов Р 11е|1ИЙ ные известные приемы решения алгебраиче У1
трехчленной структуры, в частности метод прогонки, позволяющий, решая последовательно уравнения системы (217), выражать все неизвестные через одно из них, например Z|. Затем все неизвестные определяются обратной про-гонкой. Этот математический прием соответствует методу расчета неразрезных балок с помощью фокусных соотношений.
В уравнениях (217) коэффициенты, расположенные на главной диагонали, превышают сумму других коэффициентов при неизвестных. Поэтому для решения уравнений мо-жет быть эффективно использован метод последовательных приближений.
Представляет интерес частный случай, когда все параметры системы не меняются по высоте здания и все площадки сопряжения стеновых панелей с перекрытиями равны. Тогда все эксцентрицитеты с и безразмерные параметры v и D имеют постоянное значение, не зависящее от номера этажа. При загружении такой системы продольной силой Р, приложенной вверху, все свободные члены < k равны нулю. Отличен от нуля лишь свободный член последнего уравнения системы (217). Произвольное /-е уравнение системы при i < /г можно представить в виде
(Z,.., 2Z,+Z,+1)+ (б+12у +1,5	0. (219)
Уравнение (219) можно рассматривать как однородное разностное уравнение второго порядка. Для его решения необходимо использовать краевые условия. Одно из них выражает условие равенства нулю угла поворота опоры номер 0:
Zo - 0.	(220)
Второе краевое условие определяется из последнего уравнения системы (217):
j i (2-1 6v 1,5HD \ у (1 \-6v)//pe
J '	2/;/
(221)
Решение разностного уравнения (219) с учетом краевых условий (220) и (221) Показывает, что с уменьшением номеров этажей функции Z( резко уменьшаются и стремятся к нулю. На основе этого для приближенного расчета можно 162
Принять углы поворота опорных закреплений во в<р. Уп. Jax равными нулю. Пида изгибающие моменты m в у.ло-вых связях произвольною но этажа, уваленного ,п ы г у я системы, определяются формулами (212), в которых шя регулярной по высоте системы следует принять:
(’ll I ~	V2I-1 ~ V9/ V,
I) I -I 8v I 12v®	(1 4- 2v) (1 4 frv).
Тогда
Ni e
m T#’	<222)
где Nt — суммарная продольная сила в рассматриваемой /•й панели от веса всех вышерасположенных этажей
(Hi -
/— j
Изгибающий момент в несущем слое рассматриваемой панели определяется по формуле
Mt Nt е — т,	(223)
или
Л ,	(225)
2UV
4 Коэффициент податливости одного растворного шва при сжатии; /ш момент инерции горизонтального сечения растворного шва относительно его центральной оси, вроходягцей параллельно поверхности стены, который определяется при расчетной ширине шва Л,п.
Формула (224) может быть использована для приблн-«еииого определения изгибающих моментов в стеновых лий^^* внецеитреином действии вертикальных уси-^риближенные формулы для определения изгибающих Тй1!4е,,тов trt Действия временной нагрузки ня пеР^кР^яя
К/К*’ могут быть получены на основе уравнений (217), давленных для регулярной по высоте системы.
Для удобства расчета распределенную нагрузку ня иер(  1игЛ,1Ип Уамеиим узловой в виде сосредоточенных сил и из-
^кицих моментов, приложенных о узлях рамы Рассмот-
моментами Z из уравнения
(227)
рим отдельно влияние сосредоточенных сил и изгибающих
Изгибающие моменты в стойках от действия сосредо-точенных сил могут быть приближенно определены по фор. муле (224), если принять силу Nt равной сумме сосредоточенных сил, приложенных выше рассматриваемого этажа. Для определения усилий, возникающих в стене вследствие поворота опорных участков перекрытии при их изгибе, рассмотрим снова Z-e уравнение системы (217), которое для регулярной по высоте рамы, загруженной в узлах изгибающими моментами Lt имеет вид:
+ (6+12v+l,5^^')Zi-Li = 0.	(226)
В отличие от уравнения (219) уравнение (226) неоднородное.
Введем бесконечную основную систему (с бесконечно большим числом этажей). Для регулярной бесконечной системы при загружений ее одинаковыми все углы поворота также одинаковы. Тогда (226) получим, что
z=-------------------
6+12v+l,6 - nep /пер ^7
Изгибающие моменты в угловых связях в этом случае по формулам (216), в которых принимается 2г_1 = Z[ = Z.
Если изгибающие моменты в узлах имеют одинаковое абсолютное значение, но действуют в соседних узлах в разные стороны, в регулярной бесконечно основной системе углы поворота соседних узлов будут также одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку. Тогда из уравнения (226) найдем, что
Z —--------L_________
2+12v-|-l,5 -пер — /пер EI
Комбинируя результаты обоих решений, можно определить углы поворота сечений для случая загружения системы изгибающими моментами через узел. Такое загружение, кп”ВуЮЩее пРИЛ0Жению временных нагрузок на пере-чеРез этаж, приводит к наибольшим изгибающим моментам в стене.
154
определяются
(228)
§ 27. Некоторые вопросы оптимизации несущих стен панельных зданий 1
Выбор конструкции жилых домов чаще всего пооизнп дится на основе технико-экономического анализа проектируемых или уже построенных зданий. Лучшие kohctdvk тивные решения находятся в процессе сопоставления небольшого числа вариантов, удовлетворяющих прочностным и эксплуатационным требованиям. Одновременно с вопросами технико-экономического анализа развивается теория оптимального проектирования конструкций, позволяющая выбирать оптимальное решение по заданному критерию из всего множества возможных вариантов. При этом учитываются ограничения, обусловленные требованиями норм, конструктивными условиями, имеющимися ресурсами и др. Для оптимального проектирования применяются методы математического программирования, позволяющие при использовании ЭВМ эффективно решать разнообразные задачи оптимизации.
В большинстве задач оптимального проектирования рассматриваются отдельные конструктивные элементы (балки, колонны, плиты и т. п.) вне их взаимосвязи между собой. Оптимизация всей совокупности конструкций здания встречает значительные трудности.
Для нахождения оптимальных конструктивных решений здания в целом задача обычно разбивается на ряд подзадач, размерность каждой из которых значительно меньше размерности исходной задачи. Такой путь решения использован для оптимизации параметров несущих стен панельных зданий.
Основные положения предлагаемой методики, разработанной в ЦНИИЭП жилища под руководством автора книги, рассматриваются ниже.
Несущие стены панельного здания можно рассматривать как сложную систему. Изменение параметров (толщины, марки бетона, армирования) одной из стеновых панелей изменяет соотношение жесткостей стен, массу K0HCTP-J^ ’ а следовательно, и усилий в элементах. Задачу вы Р тимальных параметров несущих стен предлагаете • пять в два этапа: первый —оптимальное аРмиР бетона-Дой из панелей при заданной толщине и мар па’ второй—выбор оптимальных толщин и мар нелей для всего комплекта сборных изделии.
1 Параграф написан Э. И. Киреевой.
155
НТеш”Хда"ТиаР первом этапе основано на ии.„
, пирожных путей обеспечения прочности стены за счет ь Если прочность обеспечивается сопроХ лением только бетона, расчетное армирование не требуется.
Усилия в рассчитываемом элементе (изгибающий момент М, продольная М и поперечная Q силы) считаются извест-НЫПпи совместном действии нагрузок, вызывающих сжатие с изгибом в плоскости и из плоскости стены, продольная сжимающая нагрузка N считается приложенной к горизонтальному сечению внецентренно с эксцентрицитетом eoh из плоскости стены и эксцентрицитетом еоЪ в плоскости. Эксцентрицитет eoh возникает из-за конструктивных особенностей узла сопряжения стен с перекрытиями, обусловливающих внецентренную передачу вертикальных нагрузок; наличия поперечной нагрузки, вызывающей изгиб стены из плоскости, а также различных случайных факторов (начальный выгиб, отклонение стен от проектного положения, неоднородность свойств бетона по толщине стены и др.). Эксцентрицитет еоЪ равен отношению действующего в плоскости стены изгибающего момента к продольной силе N.
В зависимости от эксцентрицитета еоЬ различаются два расчетных случая: случай малых эксцентрицитетов, когда несущая способность стены определяется сопротивлением сжатой зоны; случай больших эксцентрицитетов, когда несущая способность стены определяется сопротивлением растянутой зоны.
Во втором расчетном случае одновременно с растянутой может исчерпываться несущая способность сжатой зоны.
Границей между случаями малых и больших эксцентрицитетов приближенно может служить условие еоЬ = = 0,45 уь (уъ — расстояние от геометрического центра сечения до наиболее сжатой его грани).
В случае малых эксцентрицитетов принимается, что сопротивление растянутой зоны сечения равно нулю, а размеры сжатой зоны определяются из условия, что расстоя-ие между геометрическими центрами всего сечения и услов-ои сжатой зоны равно эксцентрицитету в плоскости сте-ны еоЬ-
156
, t-тпих эксцентрицитетов учитывается со-В случае бо^.той арматуры и сопротивление бетона появление PacS* ' условной сжатой зоны и требуемая Сатой зоне„?й растянутой арматуры Fa определяются ^°ШловияКрВавновесия сил и моментов, действующих в плоскости стень? гя<атой зоны сжимающие о и срезающие х
В предел ся равномерно распределенными, при-напряжениа ___ п0 всей площади сжатой зоны (с учетом чем сжй^т противоположного направления), а сдвигаю-работы 1 ее стенки.
ЩИдмпелим четыре группы расчетной арматуры панельных Б Определенную по длине панели вертикальную ар-стен. рас } А еделенНую по высоте панели горизонтальную арматуру Д, сосредоточенную по краям панели Хзную вертикальную арматуру А и косвенную арматуру опорных сечений панелей A h (для косвенной арматуры коэффициент армирования pift задается по объему). Каждая да указанных групп арматуры выполняет определенную функцию в обеспечении несущей способности панели. Арматура Лв увеличивает прочность панели при внецентрен-ном сжатии из плоскости стен, арматура Лг обеспечивает прочность панели при действии сдвигающих усилий и т. д.
Изменение площади арматуры одной из групп влияет на требуемое сечение арматуры других групп. Например, в случае больших эксцентрицитетов при увеличении коэффициентов армирования цп или цк несколько снижается требуемая площадь арматуры А, устанавливаемой для обеспечения прочности растянутой зоны стены при изгибе ее в собственной плоскости, и наоборот. Сопротивление стены усилиям сдвига зависит от соотношения коэффициентов армирования р,в и рг.
Для решения задачи оптимизации расчетного армирования стены выявлены максимальные проценты армирования, исследовано взаимное влияние разных групп арматуры на экономичность получаемых решений.
Исследование выполнялось методом экспериментального нструирования с использованием дискретного ряда воз-гатРпкДт^ХеМ аРмиРРвания- Рассмотрены четыре вспомо-поспеХпг33^411' Расчеты выполнялись на ЭВМ М220 по специальной программе.
негосечени!'п°ПреДеЛИТЬ оптимальное армирование сред-
УСЛОВИЯМ прочнос™ на “недентрен-скости стены е”, > ^тентрицитета продольных сил в пло-
р.ч-мопхчтемриантов армирования панелей е рпзлнч-Р^с.мо1рчии	1Юказало, что увеличение ар-
BNXH! коч,|<|.1ни <	  ,	арматуры
V'"l том”' колпмеег,,,. армапгы увелиннваетея. сто у оотнма.н.ным решением являете-, такое, при кото-'	о т е. раечетва-i распределенная вертикальная
!	пе требуете., (по условиям обссие-.еппя прочности
;! к-тей прн вагогоилепив, трачепортарованш., ск.чэдпро-а ,'„ „ мовк.же может усгававливаг.-ея в.-ртикальпая арматура, не учитываемая при расчете прочности стен в эк-силуатацпонном состоянии).
Задача 2. Условия тоже, что и в задаче 1, но эксцентрицитет <•//„ '	> 0.45 /Л, «' предельный коэф-
фнциент, при котором сечение в плоскости < топы, можс! считаться бетонным при постановке конструктивной арматуры |А0).
Прн таких эксцентрицитетах прочность сечения может быть обеспечена только сопротивлением сжатой зоны (первый вариант) или совместно сопротивлением сжатой зоны и растянутой арматуры (второй вариант). Оптимальным оказался второй вариант, при котором арматура Л определяется по расчету.
Задача 3. Определить оптимальное армирование по условию обеспечения прочности на сдвиг.
Прн расчете среднего сечения железобетонных панелей на срез возникают два варианта возможной их работы: без учета растянутой зоны и с учетом включения ее в работу. В первом случае повышение сопротивления срезу напели осуществляется усилением только сжатой зоны, что может быть достигнуто как за счет увеличения горизонтального, так и вертикального ее армирования, во втором - усилением всего сечения панели путем постановки горизонтальной и вертикальной арматуры по всей длине панели. Расчеты показали, что приведенные затраты па арматуру меньше во втором случае, если выполняются условия р.и > 0 "	.. J1’’наличии расчетной горизонтальной
гпнп^ТИКа’ПЬН0’’ аРматУРЫ в панелях необходимо учитывать 1 чнвлеине растянутой зоны сечения усилиям сдвига.
П(п\'Да,Ча *’ ^п1н'лел,п'ь оптимальное армирование опор-пеипоо	110 Условиям прочности па впецсит-
иыхсил вкп^к^ХатеныПЬШИХ эксце,1ТРи^итет0В ПРОДОЛЬ’ вмспо а^атут?ла'п?ОГ11'П1;' ,1(М’таповке первой, по /‘и Рассматривается арматура Л„. Полу-
решение перечисленных задач nnm
3V [11т1мМыто схему армп|,<,1М1,ия вЖ^яТ"1,t’* гообразня вариантов.	“H’eoopa всего мио-
Найденные направления поиска оптимальных п.,„  использованы п алгоритме программ,, постпетеп (ОГПЧХ) В Р.-<х,Х'1 J .................4«>ч-
ме, составленной и ЦНИИЭП житют г у г" „предел,.етем один ппрнаптармирования паве^п^сёмТвад! ми арматуры.	*кхми и‘^а’
Конечной целью .чщпчп оптимального проектирования является выбор оптимальных расчетных параметров панелей (толщины, марки бегопа и армирования) для всего ком-плекта внутренних стен. Но своей постановке она делится па две части и предусматривает сначала определение оптимальных параметров дли одного рассчитываемого элемента, а затем для всей проектируемой серии жилых домов.
Решение первой части задачи дает ответ на вопрос, что экономичнее: увеличивать марку бетона, толщину панели пли армирование. Задача решена путем построения зависимостей приведенных затрат от расчетных параметров панелей. Рассмотрены панели толщиной 12, 14, 16, 18 и 20 см с марками бетона М150, М200, М2Б0 и МЗОО при 3% армирования: щ, 0, р„ р„ми„ 0,15% и p,t |1имяКС-• 0,3%.
Рассматриваемые толщины панелей и марки бетона характеризуют весь диапазон указанных параметров для домов массового строительства. Минимальная толщина (1* дм) принята из условий требуемой звукоизоляции для межкомнатных стен, максимальная (20 см) из условия ире.-Вль пой грузоподъемности крана подлине панелей ‘	’
всех соотношений расчетных параметров по•11 < I* '• ОПРОС определена несущая способнссть к работе па внецентревное сжатие из шкх к<к и.
Анализ полученных зависимостей воказа- . аемь1Х
I)	диапазон несущих cnoco^'rS9 1965 кН; для панелей составляет: для A’.v,	° ‘ " eoon»eivгвхк.г
А'»,..	2 от 2(i I до 1966 к! I Этому ,w   у» П1ММ
52 варианта расчетных Т,1|К,В с7„нп’- ковук> толщину, марку Понимается сечение, имеющее од и бетона и армирование);	.. экономичнее железо-
2)	бетонные панели (при %	t предпочтительнее
бетонных, поэтому в процессе 10,п'ше1| ммркой бетона переходить па бетонную панель	159
И даже с большей толщиной, чем вводить расчетное армщ рование рв;
3)	при выборе оптимальных расчетных параметров всегда эффективнее идти по пути увеличения марки бетона, чем ее толщины.
Полученные выводы позволяют установить оптимальный ряд расчетных типов сечений, к которому может быть сведено все многообразие вариантов, возникающих при расчете из плоскости.
Для группы панелей межкомнатных стен при диапазоне нагрузок для А’Д1 = 1 от 369 до 804 кН и для /гдл = 2 от 261 до 589 кН этот ряд состоит из пяти вариантов оптимальных соотношении расчетных параметров. Все они характеризуются одной толщиной 12 см, принятой из условия звукоизоляции, п отличаются марками бетона и армированием. В четырех вариантах панели приняты бетонными и одном—железобетонными с процентом армирования рв = = 0,15% (примарке бетона М300).
Для группы панелей межквартирных стен при диапазоне нагрузок для /гдл = 1 от 623 до 1966 кН и для /?дл = 2 от 521 до 1858 кН ряд оптимальных расчетных типов сечений состоит из семи вариантов. В пяти вариантах приняты панели толщиной 16 см (четыре из них — бетонные с маркой бетона М150, М200, 31250, М300 и один вариант — железобетонная панель с рв = 0,15% при марке бетона М300), в двух вариантах толщины стен 20 см и марка бетона М300 (с рв = 0 и рв = 0,15%).
При действии на межкомнатные панели сжимающих нагрузок, больших, чем способны воспринимать стены толщиной 12 см, выбор их оптимальных расчетных параметров осуществляется далее как для панелей межквартирных стен толщиной 16 см, начиная с марки бетона М250.
Таким образом найден оптимальный набор соотношений параметров панелей при расчете на внецентренное сжатие из плоскости, которые позволили все многообразие рассматриваемых вариантов (52 варианта) свести к 12 оптимальным вариантам, перекрывающим весь диапазон несущих способностей в домах массового строительства. Такой подход к определению оптимальных соотношений толщин,. марок бе-??н%н Расчетного армирования был использован ранее 1 ’ ’ 'инцем (ЦНИИЭП жилища) при составлении прей-»u?^vTa опт„овых йен на крупнопанельные конструкции жилых зданий.
Используя результаты этих исследований, можно сокол тить объем рассматриваемой задачи: исследовать в процессе ее решения всего три возможные толщины панелей—12 16 и 20 см. Для пяти- и девятиэтажных домов массового строительства число толщин может быть равно двум т. е 12 и 16 см. В пределах каждой толщины (12 и 16 см)’могут рассматриваться в основном бетонные панели (рв—0) при всех марках бетона и один вариант — железобетонная панель при рв = 0,15% и марке бетона М300.
Для стен с большими эксцентрицитетами в процессе расчета возникает ряд вариантов соотношений расчетных параметров в плоскости и из плоскости, удовлетворяющих требуемым условиям прочности. Общее число вариантов может быть представлено матрицей, где по горизонтали располагаются оптимальные расчетные типы сечений, а по вертикали — соответствующие им значения растянутой арматуры ра. С достаточной точностью для практики оптимальным решением может считаться вариант с наименьшими параметрами при расчете из плоскости и соответствующим ему значением ра.
Вторая часть задачи ставит своей целью получить оптимальные расчетные параметры панелей (толщину, марку бетона и армирование) для всей проектируемой серии жилых домов. Являясь задачей оптимальной унификации параметров, она в общем виде рассматривается для конкретных условий строительства.
Исходными данными в задаче являются архитектурнопланировочные решения этой серии, известные инженерногеологические условия строительной площадки (например, сейсмичность территории 7 — 8 баллов), объем строительства в течение планируемого периода, набор типов здании По этажности и балльности района застройки, производственная программа изделий внутренних стен на планируемый период.
В результате решения первой части задачи определены ментМаЛЬНЫе паРаметРы Для каждого рассчитываемого эле-м^Общее число вариантов соотношений расчетных пара-
Р°в Для всех элементов равно числу оптимальных рас-
161
четных Типов сечений из оптимального ряда, умноженного на число вариантов ра.
Естественно, все многообразие вариантов соотношений расчетных параметров стен не может быть принято на домо-строительных заводах. Требуется унификация параметров, которая будет способствовать сокращению числа марок изделий. Для упорядочения параметров составляется теоретический неунифицированный их комплект при оптимальном решении в каждом элементе. Задача сводится к оптимальной унификации как расчетных типов сечений, так и вариантов армирования А для всей проектируемой серии жилых домов.
Исследования, связанные с изучением влияния увеличения прочности панели при расчете из плоскости на арматуру Fa в плоскости позволяют расчленить задачу и решать ее отдельно для параметров из плоскости (расчетных типов сечений) и параметров в плоскости (ца).
Постановка задачи такова: задан уровень унификации (число расчетных типов сечения или вариантов ра), требуется определить в первом случае оптимальное соотношение параметров: толщины h, марки бетона и армирования цв, во втором — оптимальные значения р.а.
В первом случае критерием оценки служат приведенные затраты на 1 м2 панелей, во втором—приведенные затраты на арматуру ра, располагаемую по концам панели в пределах одного этажа.
Порядок решения задачи следующий: 1) определяем оптимальные унифицированные расчетные типы сечений, 2) составляем теоретический комплект вариантов арматуры А при найденных значениях расчетных типов; 3) находим унифицированные значения ра.
При решении задачи оптимальной унификации растянутой арматуры следует различать три возможных случая ее размещения: в стыке, в панели и частично в стыке, частично в панели. При расположении арматуры А в стыке (случай, когда изменение ее количества не вызывает появления дополнительных марок изделий) задача унификации решается сразу для всей проектируемой серии (для всех вертикальных стыков). При расположении арматуры А в панели изменение ее количества влечет за собой появление дополнительных марок панелей ( или типовых элементов), поэтому задача унификации должна решаться в пределах
ТИИ0РазмеРа (элементов с одинаковыми геометриче-размерами), а еще точнее в пределах найденного оп-
тимального унифицированного расчетного типа сечения отдельно для левой и правой арматуры.
При расположении арматуры А частично в панели и частично в стыке ее унификация может идти: а) по пути изменения арматуры в стыке при постоянном значении в панели-б) при постоянном зачении в стыке и изменении в панели’ в) отдельно при изменении арматуры в стыке и панели.
Во всех рассмотренных постановках, располагая приведенные затраты в порядке возрастания и определив планируемое количество каждого соотношения расчетных параметров, задача может быть решена методом динамического программирования, в основе которого лежит принцип Бел-мана [1441, который использован М. И. Рейтманом и Л. И. Яриным для решения задач оптимальной унификации дискретного ряда параметров с заданным числом ступеней (или заданным уровнем унификации) [1451. Составлена программа для автоматизированного решения аналогичных задач на ЭВМ «Минск-2» 11461, с помощью которой может быть решена поставленная задача оптимальной унификации расчетных параметров панелей.
Предложенный метод не учитывает зависимость стоимости (приведенных затрат) от числа элементов в серии. Отсутствие достаточно точного математического выражения этой невозрастающей зависимости на современном этапе делает эту задачу самостоятельной. В то же время продолжительность выпуска изделий каждой серии способствует тому, что число изготовляемых в ней элементов за срок действия может быть очень велико. Можно предположить, что зависимость приведенных затрат от числа элементов в серии будет стремиться к бесконечности. Это позволяет с достаточной точностью применять рассмотренный метод Для решения практических задач.
Если число рассматриваемых вариантов в замче невелико, ее можно также решить без применения ЭН. , неавтоматизированным способом, используя при этом как алгоритм Белмана, так и применяя методы минимальных разностей, максимизации Раз'1(* ы комбинации [147, 1481. Одни и те же задачи методами динамического програ.ммировани У,.чеиы вания минимальных разностей. Во всех
ИЛИ ОДИН и те же результат.., „ли•	X-
хождения, то они составляли около _ • практических комендовать названные способы для реп задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Л ля современных методов расчета сложных статически неопределимых систем бескаркасных зданий характерны следующие особенности обусловленные применением ЭВМ:
1 Широкое применение классических методов расчета, основанных на использовании вариационных принципов механики.
До появления ЭВМ наиболее сложной и трудоемкой частью расчета было решение систем алгебраических уравнении. Поэтому применялись различные методы предварительного преобразования уравнений группировки неизвестных, направленные на уменьшение числа неизвестных. Вводились также те или иные допущения, позволявшие упростить расчет, но вместе с тем искажавшие его результаты. Со-средства позволяют решать системы алгебраических уравнений с сотнями и даже тысячами неизвестных, что дает возможность без вспомогательных преобразований и допущений рассчитывать сложные статически неопределимые системы классическими методами строительной механики.
Однако необходимо учитывать, что при решении больших систем алгебраических уравнений может происходить значительная потеря точности из-за плохой обусловленности системы уравнений и неизбежных ошибок округления. Уменьшить потерю точности можно при выборе неизвестных, эпюры усилий от которых локализованы на небольших участках рассчитываемой системы. Такая локализация неизвестных приближает матрицу системы канонических уравнений к ортонормпрованной, в которой большое число нулевых элементов, а расположенные на главной диагонали компоненты преобладают над остальными. Все это делает систему уравнений менее чувствительной к ошибкам округления. Поэтому при использовании ЭВМ следует уделять особое внимание выбору неизвестных с тем, чтобы получать хорошо обусловленную систему уравнений.
2. Матричная форма записи, позволяющая систематизировать и упростить расчеты, а также достичь исключительной математической четкости и ясности. Матричная форма расчета хорошо приспособлена к применению ЭВМ. Она удобна для программирования и выполнения вычислений машиной.
3.	Использование уточненных расчетных схем, более полно учитывающих совместную пространственную работу конструкций и их реальные деформативные свойства.
о "ГМеНеНйе ЭВМ позволяет рассчитывать здание в целом как птмп^ип1)-?СТраНСТВеННую снстемУ- Пространственный расчет дает KOHcmw?.^ выявить Резервы несущей способности и жесткости прптрныо п ” Тем самым получить более экономичные проектные чили -тлёта™НаК° пРостРанственные расчетные схемы еще не полу-зданий мч.ао Чц° ШИРОКОГО применения для расчета бескаркасных кости пйейртлвео0СТаТ0ЧН0Г0 программного обеспечения и трудоем-основеРтаеиму На ИХ основе- Если при этом учесть, что расчет на статочную иля Рвсчетных схем но многих случаях обеспечивает до-от их применения аКТИК" точность- то пока не следует отказываться
4.	Применение ЭВМ позволяет пеоейти „
с учетом пластических деформаций ползучее™ Р*СЧету констРУкиий изменения физико-механических свойствен рещинообРазования, в0 времени. Учет реальных физических осойннХТЛНСТрукций ния особенно важен для бетонных и каменн»^ Й деФ°Рм"РОва-нейная работа которых имеет ярко выраженный т»поСТрукций’ нелн'
Перспективным направлением, которое XоХ?  трудности расчета нелинейно-деформируемых систем яД™ МН0Гие пользование для расчета бескаркасных зданий метода ^Яется ,,с‘ равновесия. Этот метод позволяет значительно vnnne™ предельного Нунций, но может быть применен
из идеального упругопластического материала. Для того Рчтобы метод предельного равновесия можно было применять к расч™ железобетонных конструкции, они должны удовлетворять ряду тое бовании, поэтому возможности его применения для расчета совое менных железобетонных конструкций зданий весьма ограничены
Применение более совершенных методов расчета зданий с’уче том приспособляемости, надежности конструкций сулит большие экономические выгоды.
Таким образом, применение ЭВМ позволяет не только автоматизировать расчет, но и значительно его уточнить благодаря использованию более совершенных расчетных схем и методов расчета. Однако необходимо учитывать, что возможности современных вычислительных средств все же не беспредельны. Поэтому перечисленные особенности методов расчета с применением ЭВМ следует рассматривать как тенденцию, общее направление развития методов расчета. В отдельных же частных случаях возможны значительные отступления. Например, при использовании матричных методов приходится вводить в ЭВМ и хранить в их «памяти» много нулевых элементов. При этом не удается полезно использовать такие особенности матриц уравнений строительной механики, как их симметричность, ленточная структура и др. Все это резко ограничивает порядок решаемых уравнений и увеличивает время счета. Поэтому во многих программах матричные методы используются не на всех этапах расчета (в основном для вычисления и формирования коэффициентов уравнении . Для решения же систем уравнений применяются специжь <ПР я’ мы, позволяющие более компактно разместить инфор д полной ти» машины и сократить время счета. Не Дсегд	наиболее
мере учесть пространственную работу коне: р}	•	Расчет
употребимы для расчета зданиД ДОСК^а^овке Но даже с учетом чаще всего выполняется в	"в оляет существенно уточнить
этих ограничений применение ЭВМ позволяет с>ще расчет и уменьшить затраты труда пр Р
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Конструктивные системы многоэтажных зданий
1	Дыховичный Ю. А. Конструирование и расчет жилых и общественных зданий повышенной этажности. М., Стройиздат, 1970.
2	Здания из объемных блоков. М., Строииздат, 1974.
з’ Маклакова Т. Г. Конструктивные системы крупнопанельных зданий. — В кн.: Конструкции крупнопанельных зданий. М., ЦНИИЭП жилища. 1973.
4	. Маклакова Т. Г. Конструирование крупнопанельных здании.
М., Стройиздат, 1975.
5	Попкова О. М. Конструкции высотных здании за рубежом (обзор). М„ ЦИНИС Госстроя СССР, 1973.
6.	Уберти О. Несущие системы для высотных зданий большой этажности. Сборник научных работ аспирантов инженерного факультета Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы. М., 1971.
7.	Унификация конструкций крупнопанельных жилых зданий. Киев, «Буд1вельник», 1967. Авт.: Дехтяр С. Б., Медведев М. И., Сраженный А. М., Чечельницкий А. К., Шутова Л. М.
8.	Указания по применению модульной системы и по унификации объемно-планировочных параметров и конструкций жилых и общественных зданий. М., ЦНИИЭП жилища, 1968.
9.	Указания по проектированию конструкций крупнопанельных жилых домов. СН 321-65. М., Стройиздат, 1966.
10.	Указания по проектированию конструкций крупнопанельных бескаркасных жилых домов высотой 10—16 этажей. Проект. М., ЦНИИЭП жилища, 1968.
Вариационные методы в строительной механике и теории упругости
1. Аргирос Д. Т. Энергетические теоремы и расчет конструкции. — В кн.: Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Л., Судпромгиз, 1961.
12. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М., Стройиздат, 1949.
Физматиздат^ЭбЛ М’’ Фомин С‘ В' ВаРиаиионное исчисление. М., в тААпии°^ЬДенблат J1, И' Экстремальные и вариационные принципы (1017— 1й|ДТР?1ЖеНИИ' Тл В кн,: Строительная механика в СССР и	Рабиновича. М., Госстройиздат, 1957.
ния чяпйпи рович Л. В. Один прямой метод приближенного реше-ОМЫ^	АН СССР,
шегоАнализаРМИЧп^'^'’ К'рылов в- и- Приближенные методы выс-17 л и Физматиздат, 1962.
18 Коллати hW УПРУГОСТИ- М., Гостехиздат, 1956.
тематика. Пер. с нем. М.^Жр^ТэбЭ ЭНаЛИЗ ” вычислительная ма‘ М., «Мир», 1965 К ВаРиаииомные принципы механики. Пер. с англ. 166
20.	Лейбензон Л. С. Вариационные мето,., „
рии упругости. М.—Л., Гостехиз  1943 ‘ '' л
21.	Лейбензон Л. С. Курс теории упругости М Л
1947.	' 7 м.—лГостехиздат,
22.	Михлин С. Г. Прямые методы
М,—Л., Гостехиздат, 1950.	“Тематической физики.
23.	Михлин С. Г. Вариационные мето нм о
ке. М„ «Наука», 1970.	СТ°ДЫ в ^тематической физи-
24.	Михлин С. Г. Численная реализация
М., «Наука», 1966.	реализация вариационных методов.
25.	Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной ханике. М.—Л., Гостехиздат, 1948.	р тельной ме-
26.	Ржаницын А Р Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов. М., Госстройиздат, 1954.	^пнеских
думка7» ^972ШеИК° С’ П‘ КурС Теории >'пРУгости- Киев, «Наукова
Матричные методы расчета строительных конструкций
28.	Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. Пер. с англ. М., Стройиздат,
29.	Киселев В. А. Строительная механика. 2-е изд. М., Стройиздат, 1967.
30.	Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М., Стройиздат, 1965. Авт.: Смирнов А. Ф. и др.
31.	Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Под ред. А. П. Филина. М., «Судостроение», 1974.
32.	Резников Р. А. Решение задач строительной механики на ЭЦМ. М., Строиздат, 1971.
33.	Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Сб. Пер. с англ. Под ред. А. П. Филина. Л., Судпром-гиз, 1961.	к
34.	Сосис П. М. Статически неопределимые системы. Киев, «ьу-д!вельник», 1968.	п м
35.	Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем. Л.—М., Стройиздат, 1966.
Тонкостенные стержни
36.	Ададуров Р. А. Напряжен» » леФ=«_" ХХ'Тн оболочке с жесткими поперечными сече
СССР», 1948, т. 62, № 2.	„пявнение равновесия стесненно-
37.	Болотин В. В. Интегральное уравнение ра __ «Приклад-Го кручения и устойчивости тонкостенных стержней. Р ная математика и механика», 1953, в“п_/. стержни. М., Физмат-
38.	Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержн
издат, 1959.	гоединной поверхности на
39.	Воробьев Л. В. Влияние сдвига' сРстдениых стержнях откры-величину деформаций и напряжении __ «научные труды Ново-того профиля с неформируемым кон ур	^зд Ереванского
черкасского политехи, ин-та», , университета].	1пва... и дополнительных углах за-
40.	Гаврилин Ю. М.	двутавра. - «Вестник Львов-
кручивания при стесненном КРУ ского политехи, ин-та», 1965, №
л tl О теории тонкостенных стержней. —
41. Гольденвейзер А. Л- u I Q4Q утц	р
‘'^«'’дХеяидаГг'ю.'вариашюняая формулировка теории той-коJ»wx”"py™ стержней. - «Прикладная математика и меха-
Джмымзе Г. 10., Пановко Я. Г. Статика упругих тонко-етМ44\СмРС."н.'Ла"ОТвко »Jr8.' Элементы строительной механики тонкостенных конструкций. М., Оборонгиз, 1949.
тонкоете“	в А приближенный расчет коротких открытых ци-
линдрических оболочек. В кн.: Расчет пространственных конст-DVKUHif Вып. 1. М., Машстроииздат, 19о0.
₽У 46 Малашенко Л. Л. Расчет тонкостенных стержней в условиях общей деформации. -- Труды Харьковского инж.-строит, ин-та, 1961,
вып. 17.	„	,
47.	Мещеряков В. Б. О влиянии сдвигов на работу тонкостенных стержней. — «Инженерный журнал», 1965, т. 5, вып. 1.
48.	Мищенко П. Д- Влияние сдвига на величину напряжений прн изгибе тонкостенных балок. — «Изв. вузов. Строительство и архитектура», 1959, № 9.
49.	Никольский Е. Н. Деформации и напряжения в цилиндрических оболочках и тонкостенных стержнях с неизгибаемым контуром поперечного сечения. — «Изв. АН СССР, ОТН», 1956, № 6.
50.	Туркин К. Д. Расчет цилиндрической оболочки при стесненном кручении на основе новой гипотезы. — В кн.: Расчет пространственных конструкций. Вып. 3. М., Госстройиздат, 1955.
51.	Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиакопст-рукций. М., Оборонгиз, 1939.
52.	Уманский А. А. О нормальных напряжениях при кручении крыла самолета. — «Техника воздушного флота», 1940, № 12.
53.	Урбан И. В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. М., Трансжелдориздат, 1955.
54.	Элиашвили Д. Г. О прикладной теории тонкостенных стержней с неизменяемым профилем. — «Труды ЛИСИ», 1966, вып. 49.
Пространственные составные стержни
55.	Валь Е. Г. Исследование пространственного взаимодействия различных по жесткости диафрагм бескаркасных зданий. — В кн.: Конструкции крупнопанельных жилых домов. М„ ЦНИИЭП жили-
• Ж . ДавыД°ва Э. I. Пространственный расчет зданий повышенной этажности как тонкостенных составных стержней при действии произвольной горизонтальной нагрузки. — В кн.: ЭВМ в исследо-
97пП1)ОеКТИРова|,ии объектов строительства. Киев, «Буд1вель-
nonimrk^?,°3A0B П Расчет пространственных несущих систем насчет ennnvX мн?гоэтажных зданий. — «Строительная' механика и расчет сооружений», 1968, № 1.
этажш1чК^1'МаН0КллА,,-С' Пространственная работа сборных много-59 Л М-> Стройиздат, 1956.
ной этажности ** РасчетУ крупнопанельных зданий повышен-1969, № 1	«строительная механика и расчет сооружений»,
60. Милейковский И. строительной механики обо 168
Е. Расчет составных стержней методами лочек. — в кн.: Экспериментальные и тео-
«онсгрух.
61 Подольский Д. М. Расчет объемных элементен жесткости ^"нХШ?^ТГ"0СТИ' ~ 'С^— «-аника , ра°™ шейной	РаМеТ
63.	Ржаницын А Р., Милейковский И. Е. Расчет оболочек каркаса высотной части Дворца культуры и науки в Варшаве на ветровую нагрузку. — «Строительная промышленность», 1954. № 2.
64.	Рекомендации по расчету бескаркасных жилых зданий с учетом пространственной работы несущих конструкций М ЦНИИЭП жилища, 1973.
65.	Руководство по интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений со смешанными краевыми условиями методом прогонки. Библиотека программ для ЭВМ «Минск-22» М МНИИТЭП, 1970.
66.	Beck Н., Schafer Н. Die Berechnung von Hochhausern durch Zusammenfassung aller aussteifenden Bauteile zu einem Balken. — «Der Bauingenieur», 44 (1969), № 3.
67.	Horacek E. Raumliche Scheibensysteme mit Ossnungsreihen bei Hochbauten. — «Der Bauingenieur», 45 (1970), № 12; 46 (1971), № 11; 49 (1974), № 3.
Расчет зданий как призматических оболочек
68.	Васильков В. С. Расчет зданий из крупнопанельных и объемных элементов как тонкостенных пространственных систем. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1964, № 2.
69.	Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат, 1958.
70.	Вольфсон Б. П. Расчет коробчатых конструкций на изгиб и кручение. М., Стройиздат, 1971.
71.	Вольфсон Б. П. Расчет зданий как сборных (монолитных) тонкостенных пространственных систем. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1972, № 5.
72.	Косицын Б. А. Статический расчет крупнопанельных и каркасных зданий. М., Стройиздат, 1971.
73.	Лишак В. И. Расчет несущих стен бескаркасных зданий повышенной этажности как составной пространственной пластинчатой системы. — В сб.: Работа конструкций жилых зданий из крупноразмерных элементов № 3. М., Стройиздат, 1971.
74.	Лишак В. И. Вариационные методы расчета многоэтажных бескаркасных здании как составных пространственных систем.. — В кн • Автоматизация проектирования строительных конструкции на ЭЦВМ. М„ МНИИТЭП, 1971.
75.	Ляпин М. В. Расчет ветровой коробки выс£>т"огог^“”_
В кн.: Расчет пространственных конструкции. Вып. 3. М., Строиизда ,
76.	Макаров Г. Д. Расчет панельных зданий с учетом пространственности. - В кн.: Строительные конструкции. Вып. 12. Киев,
77 Медведько В. Н. Использование матричного метода при изучении напряженно-деформированного состояния л»афрагм здан . «Строительная механика и расчет сооружении», 1971, № Ь.
Pphiix В В о расчете крупнопанельных зданий как про-CTpJei„енных спстем.	«(’1 рои тельная механика и расчет спору,
женнй», 1963. № 8
Плоские составные стержни
7') Гусельников В. М. К расчету крупнопанельных зданий повышенной этажности. «Строительная механика и расчет спору, женнй», 1965, № 2.
КО Давыдова Э. Г., Ржпннцын Л. Р. Расчет сжато-изогнутого еогтаиного стержня. «Строительная механика и расчет сооруже ннй», 1969, № б.
81	Дроздов II. Ф. Расчет крупнопанельных зданий на вертикальные и горизонтальные нагрузки. «Строительная механика и расчет сооружений*, 1966, № 6.
82	Дроздов II Ф-, Себекин И. М. Проектирование крупнопанельных зданий (каркасных и бескаркасных). М., Сгройпздат, 1967.
83	Кондратьев Р. Б. О приведенной жесткости поперечников, состоящих из двух сгоек-стснок, связанных маложееткими ригелями-поперечниками. Информационный листок Ленпроекта, 196о.
84	. Инструкция но комплексному расчету здании (ЛРЗ-2). М, ЛАНИН ГЭП. 1971.
85	Лнноямч II. Г. Расчет ослабленных проемами пен на ветровую нагрузку. «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 3.
86	. Лишак В. М., Валь Е. Г. Влияние деформаций сдвига стен на их совместную работу при действии горизонтальных нагрузок. В кн.: Работа конструкций жилых зданий из крупноразмерных эле ментов. Вып I ЛА., Сгройпздат, 197-1
87	Программа автоматизированного расчета домов для ЭВМ «Минск 22» (ПАРАД). Отраслевой фонд алгоритмов и программ. Выи. 1 139 М, Гнпротис Госстроя СССР, 1971.
88	Ржпницын Л. Р. Теория составных стержней строительных коне!р\кцнй. М , Сгройпздат, 1948.
,Ч	;1 Агсаи М. Berechnungsverfahren fiir Wandscheiben mit einen Ixeihe von Offnung Spannungsoptlsche Untersuchung. «Die Ban lechnlk», 1964. № 3.
90	Beck II. Contribution to the analysis of coupled shear wall. «Al A Journal Proceedings», 1962, № 8.
91	Cardan B. ( onerete shear walls combined with Rigid Frames m Multistory Buildings abjeckt io Lateral loads. «AC.! Journal. Pioceedings», 1961. № 3; 1962. № 3.
9.	(mill Q. Stresses analysis ot shear walls. «Civil Enginee ‘ng and Puhhe pCVUCVi Ю65, № 7
 i o'	^holewidci Л. Model Test on shear walls compo
>'.1 lelabneated concrete llemente C1B, 1969
Rosman R. Approximate analysis of shear walls subject to .V	*ACJ Journal. Proceedings». 1964, № 6.
mehrn i .°sl.na" ^uincrisehes Verfahren zur exskten Untersuchung ХЧ|969 №14еГ ScheibensysRl'n 6es Hoehbanes «Die Bauteeh-
Стержне системы с дискретными связник
на ее|?л">..\ ? ‘ а°пР°£ы Ранета жилых крупнопанельных зда-жешпУ ГЛ.....11 ''с Щейетпня р кн : Сейсмоп ойкоеть еоору-
зМеиннеребд», |%5
97.	Егупов В. К. Расчет чпяимА
лебаппя. Киев, «Буд1вельник» 1965 Прочпость> Устойчивость и ко-
98.	Завриев К. С., Берая А Г Ра
воздействия. Тбилиси, «Мецниереба» 1967^ ЗДаИИЙ на Гемические
99.	Инструкция по подготовке
РРостраиствеиных степжнЛт^ *..^8Ных для расчета МАРСС-105. Отраслевой фонд	„с"сте“ ™> программе
М., Гнпротис, 1971.	ритмов и программ. Вып. 1-129.
ных диафрагм на	сбор-
ника п расчет сооружений», 1966, № 5 5	~ «Строительная меха-
101.	Поляков С. В к DBCl'lATV MX
диафрагм на горизонтальную₽ нагрузку *”ЫХ ’^симметричных панельных и каменных зданий. М.?Стройиздат, 1967 С М0СТ0ЙК0СТЬ
Системы из пластинок
102.	Вайнберг Д В. Справочник по прочности устойчивости и колебаниям пластин. Киев, «Бущвельник», 1973.
103.	Вайсман Э. Л. Расчет конструкций из линейно опертых бе-тонных объемных блоков с учетом пластических свойств материа-В кн" Конструкции индустриальных жилых домов. М. ЦНИИЭП жилища, 1972.
104.	Вайсман Э. Л. К расчету здания из несущих железобетонных блоков с основной системой в виде группы столбов. — В кн.: Конструкции крупнопанельных жилых домов. М„ ЦНИИЭП жилища, 1973.
105.	Дмитриев Л. Г., Городецкий А. С., Лажечникова Е. К. Расчет крупнопанельных зданий на ЭЦВМ. — В кн.: Строительство н архитектура. Вып. 5. Киев, «Буд1вельник», 1966.
106.	Инструкция к программе, расчета крупнопанельных зданий как пространственных систем на основе метода конечного элемента на ЭВМ «Минск-22». Киев, КиевЗНИИЭП, 1971.
107.	Клаф Р. У. Метод конечного элемента в решении плоской задачи теории упругости. — В кн.: Расчет строительных конструкций с применением электронных машин. Под ред. А. Ф. Смирнова. М„ Стройиэдат, 1967.
108.	Лажечникова Е. К. Уточнение модели конечного элемента путем учета сдвиговой жесткости. — В кн.: ЭВМ в исследованиях /проектировании объектов строительства. Киев. «Буд1вельник», 1972.
109	Л ишак В И. Некоторые проблемы совершенствования методов расчета бетонных и железобетонных конструкций крупнопанельных зданий. - В кн.: Конструкции индустриальных жилых домов. М., ЦНИИЭП жилища, 1972.
ПО. Масленников А. М. Метод конечного элемента - В кн.: ('nnnuviHHK по теории упругости. Киев, «Будшельник», 1971.
111. Милейковский Й. Е. Применение УР^^к^^ношанель-
.............: яЕ................
CBOIKTB м.чг<ри.1.к u. ~.1DU м мНПИТЭП 1974 тельных конструкций на ЭЦВМ. М., МНИМ1	1.
л .и Л Р Представление сплошного изо1 ровною Vli
ЛЗ. Ржаницын АL Р.Д жневой системы. В кн.: ИеслеДо. pvroro №,\вппВ”1ем строительной механики и теории пластичности вания по вопрос
М., Госстроииздат, расчет гидротехнических сооружении. Метод 114. Розин •  <Энергия»1 1971.
конечных элементов.	ужений и оснований методом конеч-
115. Ухов • лСИ им Куйбышева, 1973.
hux,TZhh A П Приближенные методы математического анали-
U6. Филин л.  ннике твердых деформируемых тел (вопро-за, используемые в х kq укций) д., Стройиздат, 1971.
сы прочности эле.	-jationaiPmethods for the solution of problems
117 Courant к Jon Bu]1 Amer Math Soc > 1943, 4g, of equhbrnuri and	R w Martin H C„ Topp L. V. Stifb
ness and Deflection Analysis of Complex Structures. Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 23, Sept., 1УЭО.
Расчет стен с учетом ползучести
119	Александровский С. В. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на температурные и влажностные воздействия (с учетом ползучести). М-, Стройиздат, 1966.
120.	Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. М., Гостехтеориздат, 1952.
121.	Гинзбург И. И. К расчету соединении в каркасно-панельных зданиях. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1969, № 3.
122.	Клепиков М. Н. Влияние усадки и ползучести бетона на усилия в стыках крупнопанельных зданий. — «Бетон и железобетон», 1967, № 5.
123.	Лейзерович Л. А. Продольно-поперечный изгиб составных стержней с учетом ползучести связей сдвига. — В кн.: Новые методы расчета строительных конструкций. М., Стройиздат, 1971.
124.	Лишак В. И. Расчет круцнопанельных зданий на неравномерные осадки основания с учетом фактора времени. — В кн.: Работа конструкций жилых зданий из крупноразмерных элементов. Вып. 2. М., Строиздат, 1965.
125.	Лишак В. И. Влияние ползучести и усадки па перераспределение усилий между стенами крупнопанельных зданий. — В кн.: Исследование прочности и расчет конструкций многоэтажных зданий. М„ МНИИТЭП. 1970.
126.	Лишак В. И., Иванова Л. В. Применение ЭЦВМ для расчета стен крупнопанельных зданий с учетом длительных процессов.— оттКп автоматизация проектирования строительных конструкций на ЭЦВМ. М, МНИИТЭП, 1971.
127.	Лишак В. И., Шустерман М. Я. Экспериментальное иссле-д вайи.е длитольных Деформаций горизонтальных стыков стеновых ' лен- ~ ” .кн/ ИсслеДОвания прочности и деформаций многоэтажных здании. М„ Стройиздат, 1973.
Госстрой"”™,К°959' В> Длительное сжатие кирпичной кладки. М, женнпр Пр°к°пович И. Е. Влияние длительных процессов на напря-издат 1д0зДе<РоРмиРованн°е состояние сооружений. М., Госстрой-чест13ппиЫпбЛ„0В. В’ И2 ГоРбоаеЦ И. 3., Москалев А. Л. Учет ползу-172 Р Р СЧе*е ДИаФРагм конструктивных схем зданий. Рефера-
. Лпойик «Проектирование й исследование жилых и общест-гивиыч	в Москве. Автоматизация проектирования». М.,
ГнЙи^менцов С. А. Деформации и напряжения в керамических зданий с железобетонным каркасом. — В кн.: Исследо-облиновк“каменным конструкциям. М., Госстройиздат, 1957.
0аН'и9 Шахназаров Р. С. Исследование причин трещинообразова-‘п внутренних несущих стенах жилых домов серий И-20-01 ния о СДКБ. _ В кн.: Анализ причин аварий и повреждений № конструкций. М, Стройиздат, 1964.
с Р 133 Шишкин А. А. Причины появления трещин в каменных и . очных зданиях повышенной этажности с несущими поперечными «ами и методы их устранения. — В кн.: Анализ причин аварий Строительных конструкций. М. Строиздат, 1968.
Учет нелинейной работы конструкций
134.	Вольфсон Б. П. Расчет зданий как тонкостенных пространственных систем при произвольной диаграмме работы материала в простом нагружении. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1975, № 5.
135.	Гельфанд Л. И. К расчету стен многоэтажных крупнопанельных зданий с учетом неупругой работы их элементов и основания. _ в сб.: Работы конструкций жилых зданий из крупноразмерных элементов № 4. М., Стройиздат, 1974.
136.	Городецкий А. А. Вопросы расчета конструкций в упругопластической стадии с учетом применения ЭЦВМ. — Труды первого Всесоюзного совещания по применению ЭЦВМ в строительной механике. Л,—М., Стройиздат, 1966.
137.	Крылов С. М., Козачевский А. И., Пекарский А. Л. Влияние неупругих свойств железобетона на величину и распределение усилий в крупнопанельных системах на подрабатываемых территориях. — В сб.: Воздействие статических, динамических и многократно повторяющихся нагрузок на бетон и элементы железобетонных конструкций. М., Стройиздат, 1972.
138.	Обозов И. И. К расчету на ЭВМ железобетонных диафрагм с проемами. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1971, № 6.
139.	Паньшин Л. Л. Расчет многоэтажных зданий как пространственной системы с учетом нелинейной деформации связей. — В сб.: Работа конструкций жилых зданий из крупноразмерных элементов. М., Стройиздат, 1971.
140.	Пекарский А. А. и Козачевский А. И. Расчет крупнопанельных^ зданий на заданные осадки основания с учетом пластических свойств материалов. — В кн : Автоматизация проектирования строительных конструкций на ЭЦВМ. М., МНИИТЭП, 1971.
141.	Ржаницын А. Р. Расчет составных стержней в состоянии предельного равновесия. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1967, № 5.
142.	Ржаницын А. Р., Захаров В. М. Расчет составных стержней из неупругого материала с неупругими связями сдвига. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 1.
143.	Фрайнт М. Я. О предельных условиях для плосконапряженных железобетонных пластин. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1975, № 1.
HI Кслман I’ Чннамичсекос программирование AV. II.’I. |<)(jq
| |.< I’ciliMHii M II OllTIIMil льное проскlнронанне и Унификации M*Mcip\MU'H e помощью .динамического программированин, «ц, ...... nv.n'ii Серна Строн ic.’ti.cm» ii архитектура". 19GB. № 5
116 OuniM.i.ti. 11,14 \ ипфикацнн uicKpeinoro рчдл параметрон an. l.-IHIIIJM ЧИСЛОМ .'IMielleil МСТОДОМ ЦИНЯМНЧеСКОГО liporpilMMIlpOlUUinq Hun IV ()rp«v.'ionort фонд n.’iropiri'Mon и программ, l iiiipoinr 1969.
II/ laac.'irc II. Ii. К luuipocv nidOop.i oiiriiMa.'ii.iiwx типовых •mcmciiгон vrpuiuv.ii-iujx конструкций Груды Уральского ноли’, rvxil ни га. |96H. ,\v I «’6
H8 Ганслсс II. I»., Коган Л. Л. К вопросу оптимальной типи, .«ацип ч.к'мснгоп строительных копо рукцнй «Д' троп голыши механика и расчет сооружений'', 19/1, № 3.
о г.'I \ вл г: и и ।
Стр.
Впедонио ................................................ з
I л л п п I Конструктивные системы н расчетные схемы
§ I Конструктивные решения жилых домой Терминологии	5
§ Коцегруктиппые системы много л ажных зданпй .	,	I)
§ 3 Расчетные схемы бескаркасных зданий...............20
Г л и в а Приложение методов теории упругости к расчету конструкций бескаркасных зданий
I. Предпосылки и допущения ...... 30
§ 1>	Вариационные принципы расчета упругих систем .	34
§ 6.	Прямые вариационные методы	.	 4!
§ 7,	Метод Власова Канторовича . .	,	... 45
§ 8.	Метод соток ...	 50
§ 9.	Метод конечных моментов .	.	 52
Глава 3. Расчет бескаркасных зданий на основе расчетных схем в виде пространственных стержневых систем и призматических оболочек
§ 10.	Гипотезы. используемые при расчете стержней 57
§ II.	Георня расчета коротких тонкостенных стержней про невольного профиля.......................................63
§ 12.	Расчет пространственного блока смешанным методом 75
§ 13	Расчет пространственного блока методом сил .	85
§ I	I. Влияние жесткости связей на пространственную ра боту конструкций .	.......................91
§ 15.	Расчет пространственного блока как составной приз
мо । нчоской обо гонки 	...	. . 83
§ 16	Расчет составных пространственных стержневых ен
с гем беи \чега деформаций сдвига стержней ,	. 95
§ 17	Определение податливоетп продольных связей .	. 100
Глава I. Расчет бескаркасных зданий на основе расчетных схем в виде плоских стержневых систем
§
§
§
§
§
18 Расчет плоских составных стержней без yieia дефор н,	егержкел
2(1 <>"aaim'mm ч.'форшшчй .11.m-а на .-..ач.ч'гиу«> ('авоту стен ПРИ действии горизонтальных нагрузок .
р'",^ ХГти.а nier.-M ' W.mp.amNMH .......ми
•_»_> Сопоставление рейлингов расчета стержневых иь егем е дискретными и непрерывными связями .	»
105
ПО
116
118
121
175
r n 5 расчет бескаркасных зданий на основе расчетных схем в «ИДС систем пластинок
& 94 Допущения при расчете здания как системы пластинок
§ 24 Расчет здания как системы пластинок с дискретными 3 связями......................................... |27
Г лава 6. Особенности расчета панельных стен
& 25 Определение усилий в панельных стенах с учетом
' влияния деформаций ползучести и усадки .	.	13о
§ 2G, Учет частичного защемления опорных сечений стеновых панелей................................’	•	•	. 146
§ 27. Некоторые вопросы оптимизации несущих стен панельных зданий.................................•	•	. 155
Заключение............................................ .	164
Список литературы....................................  .	166
ИБ № 413
ВАДИМ ИЗРАИЛЕВИЧ ЛИШАК
РАСЧЕТ БЕСКАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
Редакция литературы по строительным
материалам и конструкциям
Зав. редакцией И. А. Ра бипови ч
Редактор И. С. Бородина
Мл. редактор Ф. М. Я д р ы ш в и к о в а
Внешнее оформление художника
Прокофьева В. М.
Технические редакторы Н. Г. Бочкова, Т. В. Кузнецова
Корректоры Г. I. Мороз опека я, II. П. Чугунова__________________
Сдано в набор 20/Х 1976 г. Подписано к печати 12/1 1977 г.
Формат 84Х 108*/з2 Д- л. Бумага типографская № 2.
9,24 усл. печ. л. (уч.-изд. 9,34 л.) Тираж 5.900 экз.
Изд. № ИУ1-6352 Зак. № 1257 Цена 47 коп._________ . Jjj
Стройиздат
103006, Москва, Каляевская, д. 23а
Московская типография 4 Союзполиграфпрома
”1’и Государственном комитете Совета Министров по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Москва, И-41/. Б. Переяславская ул., д. 46