Теория графов и её применения - Берж К.

Автор: Берж К.
Теги: математика теория графов
Год: 1962
Похожие
Теория конечных графов Т.1
Дискретная математика для программистов
Теория графов
Элементы дискретной математики
Текст
                    К.Берж
ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Книга К.Бержа - первая по теории графов на русском языке. Между тем в
последние годы интерес к теории резко усилился как со стороны математиков, так
и представителей самых различных дисциплин. Это объясняется тем, что методы
теории графов успешно решают многочисленные задачи теории электрических
цепей, теории транспортных цепей, теории информации, кибернетики и др.
В книге Бержа теория графов излагается последовательно, начиная с самых
основ. Предполагается, что читатель обладает весьма скромными
математическими познаниями, хотя и имеет некоторую математическую
культуру. В текст включены многочисленные, зачастую забавные, примеры.
Книга может быть использована для первоначального изучения теории графов.
Математики-профессионалы также найдут в ней много интересного.
Содержание
Введение	5
Глава 1. Основные определения	7
Множества и многозначные отображения	7
Граф. Пути и контуры	11
Цепи и циклы	14
Глава 2. Предварительное изучение квазиупорядоченности	17
Квазипорядок, определяемый графом	17
Индуктивный граф и базы	19
Глава 3. Порядковая функция и функция Гранди для бесконечного	23
графа
Общие соображения относительно бесконечных графов	23
Порядковая функция	27
Функции Гранди	29
Операции над графами	30
Глава 4. Основные числа теории графов	34
Цикломатическое число	34
Хроматическое число	37
Число внутренней устойчивости	43
Число внешней устойчивости	48
Глава 5. Ядра графа	53
Теоремы существования и единственности	53
Приложение к функциям Гранди	59
Глава 6. Игры на графе	61
Игра Ним	61
Общее определение игры (с полной информацией)	67
Стратегии	69
Глава 7. Задача о кратчайшем пути	75
Процессы по этапам	75
Некоторые обобщения	78
Глава 8. Транспортные сети	82
Задача о наибольшем потоке	82
Задача о наименьшем потоке	88
Задача о потоке, совместимом с множеством значений	89
Бесконечные транспортные сети	96
Глава 9. Теорема о полустепенях	98
Полу степени исхода и захода	98
Глава 10. Паросочетание простого графа	104
Задача о наибольшем паросочетании	104
Дефицит простого графа	108
Венгерский алгорифм	112
Обобщение на бесконечный случай	114
Приложение к теории матриц	117
Глава 11. Факторы	120
Гамильтоновы пути и гамильтоновы контуры	120
Нахождение фактора	124
Нахождение частичного графа с заданными полу степенями	128
Глава 12. Центры графа	131
Центры	131
Радиус	132
Глава 13. Диаметр сильно связного графа	135
Общие свойства сильно связных графов без петель	135
Диаметр	138
Глава 14. Матрица смежности графа	142
Применение обычных матричных операций	142
Задачи на подсчет	144
Задача о лидере	147
Применение булевых операций	150
Глава 15. Матрицы инциденций	153
Вполне унимодулярные матрицы	153
Вполне унимодулярные системы	158
Цикломатические матрицы	161
Глава 16. Деревья и прадеревья	165
Деревья	165
Аналитическое исследование	170
Прадеревья	173
Глава 17. Задача Эйлера	179
Эйлеровы циклы	179
Эйлеровы контуры	182
Глава 18. Паросочетание произвольного графа	186
Теория чередующихся цепей	186
Нахождение частичного графа с заданными степенями вершин	189
Совершенное паросочетание	195
Приложение к числу внутренней устойчивости	200
Глава 19. Фактороиды	204
Гамильтоновы циклы и фактороиды	204
Необходимое и достаточное условие существования фактороида	211
Глава 20. Связность графа	215
Точки сочленения	215
Графы без сочленений	217
h-связные графы	221
Глава 21. Плоские графы	227
Основные свойства	227
Обобщение	238
Добавления	241
I.	Off общей теории, игр	243
II.	О транспортных задачах	250
III.	Об использовании, понятия потенциала в транспортных сетях	261
IV.	Нерешенные задачи, и. недоказанные предположения	270
V.	О некоторых основных принципах подсчета (Ж. Риге)	275
VI.	Дополнения к русскому переводу (А.А.Зыков и Г.И.Кожухин)	289
Литература	293
Теория графов и книга К.Бержа (послесловие к русскому переводу)	303
Указатель символов	308
Именной указатель
Предметный указатель
309
311
Абелево слово 282
Абсолютное равновесие 70
Активный игрок 67
Алгорифм 50
-	нахождения кратчайшего дерева
167
---пути 78, 79
-	- наибольшего паросочетания
(венгерский алгорифм) 112
---потока 85, 86, 292
---совместимого множества 192
-	- наименьшего внешне устойчивого
множества 51
---потока 89
-	- потока, производящего
наибольшую работу 258
---совместимого с интервалом
значений 95
-	- пути выхода из лабиринта 76, 77
-	- базы независимых циклов 168
-	непосредственного выявления
эйлерова цикла 181
Предметный указатель
- построения наибольшего
паросочетания 114
- - наименьшей опоры 114
Антисимметрический граф 14
Антиузел 135
База векторного пространства 36
- графа 19
Бержа—Нормана—Рэйбина теорема
190
Бернштейна теорема 115
Бесконечная грань плоского графа
228
- транспортная сеть 96
Бесконечный граф 23, 24
Бинэ—Коши формула 170
Бистохастическая матрица 118
Бихроматический граф 39
Благоприятная (оптимальная)
стратегия 72
Брэттона гипотеза 140
Булево сложение 152
-умножение 152
Бюджет транспортной сети 255
Вектор-цикл 35
Векторное подпространство 35
Величина потока 82
-	рассечения 126
Венгерский алгорифм 112
Верхняя грань 19
-	структура 19
Вершина (точка) графа 12
Вес разбиения 279
Ветвь 135
Вещественное трехмерное
пространство 9
Висячая вершина 165
Внешне устойчивое множество 48
Внутренне устойчивое множество 43
Вполне индуктивный граф 20
-	унимодулярная матрица 153
-	упорядоченное множество 27
Вход 98
-	транспортной сети 82
Выигрыш игрока 68, 244
Выход 98
-	транспортной сети 82
Гамильтонов путь 120
-	контур 120
-	цикл 204
Гамильтонова цепь 204
Г енеалогическое(родословное)
дерево 11
Географическая карта 38
Гипотеза Брэттона 140
-	четырех красок 234, 236
Гранди функция 29
Граничные вершины дуги 12
Г рань 227
Граф (определение) 11, 12
-	антисимметрический 14
-	без контуров 18
-	- сочленений 217
-	бесконечный 23
-	бихроматический 39
-	вполне индуктивный 20
Граф, двойственный данному 236,
239
-	индуктивный 20
-	конечный 23
-	локально конечный 23
-	минимально связный 135
-	однородный 198
-	плоский 38, 227, 238
-	полный 14
-	прогрессивно конечный 23
-	- ограниченный 23
-	простой 51, 88, 104
-	псевдосимметрический 182
-	регрессивно конечный 24
-	- ограниченный 24
-	связный 15
-	сильно связный 14
-	симметрический 14
-	структурный 19
-	топологический 227, 238
-	тотальный 18
-	транзитивный 18
-	частичный 12
-	ай-плоский 76
-	Г -конечный 22
-	Г-1- конечный, 1, 22
-	Г -ограниченный 22
-	/г-связный 223
-	р-хроматический 37
-	^-топологический 238
Группа подстановок 276
Двоичная запись числа 31
Двойственная строчка 99
Двойственный граф 236, 239
Декартово произведение 8
Дерево 165
Дефицит простого графа 108
Диаметр графа 138
Динамические программы 79
-	сети 83
Дирихле задача 262
Дирихле—Неймана задача 262
Длина дуги графа 78
-	пути графа 13
-	ребра графа 166
Дополнительная матрица 142
Дуга (графа) 12
Емкость графа 47
Задача Куайна 193
-	Купманса 266
-	о бомбардировке путей сообщения
222
Задача о волке, козе и капусте 76
-	- воспитанниках и воспитанницах
104
-	- восьми ферзях 43
-	- кёнигсбергских мостах 179
-	- книгах 123
-	- коне Аттилы 221
-	- котловане и насыпи 251
-	- лидере 147
-	- назначении лиц на должности 104
-	- нахождении наименьшего
покрытия 192, 193
-	- прогулке молодых девушек 195
-	- пяти ферзях 49
-	- пятнадцати девушках 44
-	- разбиении прямоугольника на
квадраты 262
-	- распределении товара по
транспортной сети 252
-	- складе 253
-	- трех городах и трех источниках
снабжения 227, 230
-	- урезанной шахматной доске 194
-	- ходе шахматного коня 122
-	- часовых 49
-	- шести красных дисках 49
-	об информационной емкости
множества сигналов 46
-	- оптимальном назначении лиц 252
-	- экскурсии 100
Замкнутая поверхность 238
Замкнутое кругосветное путешествие
120
Заходящая (в вершину, в множество)
дуга 13
---в множество вершин) цепь 187
Игра 61, 67, 243
-	в бридж 245
-	Ним 61, 68
-	- порядка р 64
-	с полной информацией 67, 245
-	- совершенной информацией 245
Игрок 67
Избыток 261
Изолированная вершина (точка) 98,
165
Индекс положения игры 243
Инцидентность 13
Исходящая (из вершины, из
множества) дуга 13
Квазипорядок 17
-	определенный графом 17
Кёнига—Оре теорема 111
Кёнига теорема о бихроматических
графах 39
Кёнига—Холла теорема 104, 108
Класс эквивалентности 9
Классы транзитивности 276, 277
Клика 44
Код 46
Комбинированная стратегия 246
Композиция отображений 10
Компонента (связности) 15
Конец дуги 12
Конечная грань плоского графа 228
Конечный граф 23
Контур 13
Край грани 227
Куна—Бёрча теорема 246
Кусок графа 220, 231
-	- внешний 232
-	- внутренний 232
Лабиринт 75
Лапласа формула 170
Латинские квадраты 107
Лемма Цорна 20
-	Эррера 199
Линейная конфигурация 170
Линейно зависимые векторы 36
-	независимые векторы 35
Линейные программы 41, 81, 84, 190,
249, 250
Мажоранта 17
Максимальный элемент 20
Матрица инциденций для дуг 153
-- ребер 153
-	смежности р-графа 142
Менгера теорема 217
Минимально связный граф 135
Минимальный кусок 220
-	элемент 20
Миноранта 18
Многочленный коэффициент 285
Множество 7
-	изоляции 221
-	информации 243
-	сочленения 221
Моноид 174
Мультиграф 34
Наибольший элемент множества 18
Наименьший элемент множества 18
Напоминание 246
Насыщенная дуга 86
Начало графа 186
-	дуги 12
Недостижимая вершина 186, 195
Независимые циклы 35
Незамкнутое кругосветное
путешествие 121
Ненасыщенная вершина 112, 190, 194
Неприводимая вершина 66
Несравнимые вершины 109
Нижняя грань 19
-	структура 19
Нормальная форма игры 245
Обобщенная сумма матриц 150
Обобщенное произведение матриц
150
-	сложение чисел 150
-	умножение чисел 150
Образ 10
Обратное отображение 10
Объединение 8
Однородный граф 198
Ожидание выигрыша 244, 246
Опора 200, 268
-	оптимальная 266
-	простого графа 109
Ориентируемая поверхность 238
Основной вероятностный закон (в
игре) 243
Отклонение 131
Отклоненность131
Отношение порядка 18
Отображение многозначное 10
-	однозначное 10
Ощипывание графа 220
Паросочетание произвольного графа
194
-	простого графа 104
Пассивный игрок 67
Перемещение 101
Пересечение 8
Перешеек 207
Периферийная точка 131
Перифероидная точка 216
Петерсена—Галлаи теорема 188
Петерсена—Эррера теорема 209
Петля 13
Планирование неполных блоков 89
Плоский граф 38, 227
-	- топологический 227, 238
Поверхность 238
Погоня 69
Подграф 12
Подигра 68
Подмножество 7
Подстановка 275
-	единичная 275
Поединок 72
Покрытие графа 88, 192
Полное паросочетание 112
Полный граф 14
-	поток 86
Положение игры 67, 243
Полу степень захода вершины 98
-	исхода вершины 98
Понтрягина—Куратовского теорема
231
Порядковая функция графа 28
Порядковое (трансфинитное) число
27
Порядок 18
-	вершины графа 28
Поток 82
-	совместимый с избытками 261
--множеством значений 89
Потенциальная функция графа 262
Потребность вершины, множества 90
Правило Тарри 77
-	игры 67, 243
Прадерево 19, 173
Предшествующая вершина 17
Проводимость дуги 262
Прогрессивно конечный граф 23
-	ограниченный граф 23
Произведение графов 30, 46
Пропускная способность дуги 82
-	- разреза 85
Простая цепь 15
Простой граф 51, 88, 104
-	путь 13
-	цикл 15
Псевдосимметрический граф 182
Пустое множество 7
Путь (в графе) 13
Работа потока 255
Равновесие (в игре) 70, 244
Радиус графа 132
-	- ненаправленный («радиоид») 216
Радо теорема 25
Разбиение (множества) 9
-	в смысле теории чисел 279
Размерность отображения 282
-	разбиения 279
Разность потенциалов 261
Разрез (транспортной сети) 85
Рассечение графа 126
Расстояние 131
-	между вершинами 215
Ребро графа 14
-	мультиграфа 34
Регрессивно-конечный граф 24
Регрессивно-ограниченный граф 24
Регулярность отношения 276
-	подстановки 276
Результат игры 72
Рейни проблема 18
Ричардсона теорема 56
Розетка 135
Родословное (генеалогическое)
дерево 11
Род поверхности 239
Связный граф 15
Сеть коммуникаций 215
Сигналы 46
Сила игрока 149
-	- итерированная порядка р 148
Сильно связный граф 14
Сильные вершины 186, 195
-	дуги 112
-ребра 186, 189, 207
Симметрическая группа 277
Симметрический граф 14
Симплекс-метод 42, 85
Слабые вершины 186, 195
-	дуги 112
-ребра 186, 189, 207
Следующая вершина 17
Сохранное отображение 47
Социограммы 147
Способность бюджета 256
Старшинство 14
Степень вершины 180
-	отображения 281
Стратегия 69, 244
Строго предшествующая вершина 17
-	следующая вершина 17
Структурное отношение порядка 19
Структурный граф 19
Стягивание множества вершин 135
Сумма графов 30
-	порядка р игр Ним 64
Схема информации 183
-	коммуникаций 14
Татта теорема 213
Теорема Аардена-Эренфеста — де
Брейна 183
-	Амицура — Левицкого 185
Теорема Бержа—Нормана—Рэйбина
190
-	Бержа о бесконечных транспортных
сетях 115
--наибольшем внутренне
устойчивом множестве 201
-	Бернштейна 115
-	Биркгофа—фон Неймана 119
Бэблера 206
Г ейла 92
Гофмана 93
-	Дирака 124
-	Жордана (о центроидах графа) 216
-	Кёнига 112
-	- о бихроматических графах 39
--гамильтоновом пути 123
--последовательностях 24
-	Кёнига—Ope 111
-	Кёнига—Холла 104, 108
-	Куна—Бёрча 246
-	Менгера 217
-	фон Неймана—Нэша 246
-	о полу степенях 98
-	Перрона—Фробениуса 149, 150
-	Петерсена 206
-	Петерсена—Галлаи 188
-	Петерсена—Эррера 209
-	Понтрягина—Куратовского 231
-	Пуанкаре—Веблена—Александера
160
-	Радо 25
-	Ричардсона 56
-	Ру а 135
-	Татта 213
-	- о совершенном паросочетании 198
-	Татта—Бержа 197
-	Татта—Ботта 176
-	Таусски 265
-	Тэта 238
-	Уитни 224
-	Форда—Фалкерсона 87
-	Харди—Литтлвуда—Пойа 100
-	Хеллера 156
-	Хеллера—Томпкинса—Гейла 153
-	Цермело—фон Неймана 70
Тип отображения 281
-	слова 282
Топологический граф 227, 238
Тотальный граф 18
-	квазипорядок 18
Точка 7
---вершина) графа 12
Точка простого сочленения 215
-	сочленения 215
-	равновесия (в игре) 244
Транзитивная группа 277
-	эквивалентность 275, 277
Транзитивное замыкание
(отображения) 10
Транзитивность 17
Транзитивный граф 18
Транспонированная матрица 142
Транспортная задача 250
-	сеть 82
Трасса 137
Турнирная диаграмма 222
Удаленность вершины 215
Узел 135
Уитни теорема 224
Фактор графа 124
Фактор-множество 276
Фактороид 204
Фан Тан (простая игра Ним) 63
Форда—Фалкерсона теорема 87
Функция предпочтения 67, 243
Характеристическая функция
множества 55
Хассе диаграмма 18
Ход (в игре) 67, 243
Хроматический класс графа 38
Хроматическое число графа 38
Центр графа 131
Центроид 216
Цепь 15
Цермело—фон Неймана теорема 70
Цикл графа 15
-	подстановки 276
Циклическая группа 277
Циклический индекс 280
Цикломатическая матрица (вторая
матрица инциденций) 162
Цикломатическое число 34
Частичная игра 68
Частичный граф 12
-	подграф 12
Чередующаяся цепь 186
Число внешней устойчивости 49
-	внутренней устойчивости 43
-	связности 221
Шахматы 68
Эйлера формула 228
Эйлерова цепь 179
Эйлеров цикл 179
-	контур 182
Эквивалентность 9
Эквивалентные вершины 17
Элемент множества 7
Элементарное произведение матриц
146
Элементарный контур 13
-	путь 13
-	цикл 15
Эффективное предпочтение 53
Ядро графа 53
аб-плоский граф 76
Г-конечный граф 22
Г-1- конечный граф 22
Г-ограниченный граф 22
<7-сумма 31
-	трансфинитных чисел 32
р-граф 98
/7-хроматический граф 37
/г-связный граф 223
5-топологический граф 238
2-граф, 3-граф 34
ВВЕДЕНИЕ
Во многих случаях жизни старая привычка толкает нас рисовать
на бумаге точки, изображающие людей, населенные пункты, хими-
ческие вещества и т. д., и соединять эти точки линиями или стрел-
ками, означающими некоторые отношения. Такие схемы встречаются
всюду под разными названиями: социограммы (в психологии), сим-
плексы (в топологии), электрические цепи (в физике), диаграммы
организации (в экономике), сети коммуникаций, генеалогические
деревья и т. д. Д. Кёниг, без сомнения первый, предложил называть
такие схемы „графами" и систематически изучать их свойства.
Весьма примечательно, что в совершенно различных дисциплинах
приходится использовать аналогичные теоремы; так, понятие „мат-
рицы инцндепций", введенное Кирхгофом для изучения электрических
цепей, было привлечено А. Пуанкаре в топологию при создании его
„analysis situs"; понятие „точки сочленения", с давних пор известное
в социологии, впоследствии появилось в электронике; все примеры
такого рода перечислить невозможно. Чтобы можно было применять
теорию графов в столь разнообразных областях, она должна быть
в высшей степени абстрактной и формализованной.
В действительности такие основные понятия, как „цепь", „путь",
„центр", будучи определены абстрактно, остаются в то же время
неразрывно связанными с графической реальностью и легко распо-
знаются, когда схема начерчена. Вот почему теорию графов нельзя
смешивать с алгебраической теорией отношений, имеющей другие
задачи. В то же время современная комбинаторная топология, игно-
рирующая ориентацию ребер и почти не интересующаяся понятиями,
не обобщаемыми на случай п измерений, до сих пор мало что внесла
в теорию графов. Например, некоторые результаты, относящиеся
к чередующимся цепям, нс похожи ни на алгебраические, ни на
топологические теоремы.
Излагая здесь теорию графов, мы ставим целью дать в руки
читателю математическое орудие, приложимое как к наукам о пове-
дении (теории информации, кибернетике, играм, транспортным сетям),
так и к теории множеств, теории матриц и к другим чисто абст-
рактным дисциплинамг
6
ВВЕДЕНИЕ
Некоторые теоремы, приводимые нами, являются легкими; это
такие теоремы, которые математик применяет „бессознательно*,
воспроизводя их в частной форме в той или иной задаче. Придавая
им возможно более общую форму, мы надеемся лишь добиться тем
самым значительной экономии мышления.
Наряду с такими „мягкими" теоремами имеются „жесткие" тео-
ремы, доказательства которых оказываются весьма тонкими и кото-
рые представляют собой результат многочисленных изысканий.
Подобная разнородность могла быть лишь уменьшена путем расчле-
нения некоторых теорем на большое число отдельных предложений
с более короткими доказательствами.
Порядок, в котором мы рассматриваем различные задачи, отно-
сящиеся к графам, продиктован аналогичными соображениями, не
сразу бросающимися в глаза читателю. Большая часть предложений
необходима для доказательства дальнейших теорем.
Первые главы в основном посвящены понятиям, связанным
с „ориентацией", а последние — понятиям, с ней ие связанным. Опре-
деления из алгебры и теории множеств напоминаются читателю по
мере надобности, а для глав 14, 15 и 16 требуются некоторые све-
дения из теории матриц.
Наконец, доктор Ж. Риге любезно согласился в одном из до-
бавлений к книге развить доклад, прочитанный им на Семинаре по
Алгебре и Теории Чисел (Париж, 1955) и посвященный гонкой за-
даче подсчета числа графов, удовлетворяющих заданным условиям.
Мы выражаем ему благодарность.
ГЛАВА 1
Основные определения *)
Множества н многозначные отображения
В теории графов, как и во всех современных математических
теориях, пользуются стенографическими символами, дающими зна-
чительную экономию мышления и делающими орудие исследования
более гибким и эффективным. Хотя классические символы теории
множеств, без сомнения, известны читателю, мы все же считаем
целесообразным их напомнить.
Множество — это собрание объектов любой природы, называ-
емых его точками (или его элементами). Рассуждения, которые
нам предстоит проводить, не зависят от природы этих объектов:
последние могут быть людьми, городами, числами, функциями и т. д.
Удобно обозначать множества большими латинскими буквами
А, В, X.....а элементы множества — малыми латинскими буквами
а, Ь, х, . . . . Множество А, элементами которого являются a, b, с, d,
обозначают символом А = (a, b, с, d).
Целесообразно рассматривать также пустое множество, совсем
не содержащее элементов; его мы будем обозначать символом 0.
Иногда множество А определяется не перечислением его элементов,
а указанием характеризующего их свойства; например, множество
простых чисел можно записать так: А={х/х простое}.
Если свойство (1) влечет за собой свойство (2), то мы пишем
(1)=ф(2); когда эти два свойства равносильны, пишем (1)ф.';. >(2).
Пусть Л и В — два данных множества; будем пользоваться сле-
дующими обозначениями:
а£А: а есть элемент миожесгва А.
а^А: а не является элементом множества А.
Асв: А содержится в В, или А есть подмножество множества В
(все элементы множества А являются элементами множества В).
А = В: А совпадает с В (Ас В и ВсА).
А Ф В: А не совпадает с В.
’) Эта глава — не более чем перечень самых основных терминов, кото-
рыми мы будем пользоваться; так сказать,правила игры... . Большую часть
этих терминов можно понимать интуитивно, но во избежание недорааумений
следует дать им аксиоматическое опоелеление.
8
ГЛ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЯссВ: А строго содержится в В(АсВ и A ~k- В).
А П В: пересечение А и В (множество элементов, принадлежащих
как А. так и В).
ЛЦЙ: объединение А и В (множество элементов, принадлежа-
щих или А, или В, или обоим этим множествам).
А \ В: множество элементов, при-
надлежащих А, но не принадлежащих В
(см. рис. 1-1).
А X В'- декартово произведение А
и В [множество пар (а, Ь), образован-
ных двумя объектами а£А и
(см. рис. 1—2).
Объединение, пересечение и де-
картово произведение можно опре-
делить не только для двух множеств
А и В, но и для семейства множеств
(Лр Л2, . . .).
Рис. 1—2.
Объединение множеств AL — это множество элементов, каждый
из которых принадлежит хотя бы одному Лр оно обозначается сим-
волом
и А.
I
Пересечение множеств Л.— это множество элементов, принадле-
жащих всем At сразу; оно обозначается символом
Па
i
Декартово произведение множеств А} есть множество последо-
вательностей (аг//=1, 2, ...), где a.i^Ai для каждого I; оно обо-
значается символом
Па
МНОЖЕСТВА И МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
9
Последовательность из п элементов называется п-строчкой\ ее
нельзя смешивать с множеством п элементов (где порядок располо-
жения элементов не играет роли).
Пример. Вещественное трехмерное пространство представляет
собой множество 3-строчек, или просто троек (av а2, д3), где
av а2, а*— вещественные числа; это декартово произведение трех
множеств, каждое из которых совпадает с множеством R веществен-
ных чисел; по этой причине трехмерное вещественное пространство
обозначают символом
R3 = RxRxR.
Вещественное n-мерное пространство обозначается символом R".
Другим важным понятием, которым мы будем часто пользоваться,
является понятие разбиения. Разбиением данного множества X на-
зывается такое семейство множеств {^(//6/), где / — некоторое
множество индексов и AicX при всех £/, что
(1)	0 ас/);
(2) «¥=./=> А 0 Л = 0;
(3)Ua = x.
t
При заданном разбиении {ДД мы пишем х==у, когда х и у
являются элементами одного и того же множества At. Тем самым
определено отношение, которое обозначается символом = и обла-
дает следующими свойствами:
(1)	рефлексивность: х^х\
(2)	симметрия: х =
(3)	транзитивность: x = y, y==z=$x = z.
Всякое отношение == со свойствами (1), (2), (3) называется экви-
валентностью.
В свою очередь, эквивалентность = определяет, очевидно, раз-
биение множества X на множества вида
А. — [х/х£Х, х = х0)
(где — данная точка X).
Множество Aj иногда называют классом эквивалентности
содержащим х0.
Пример 1. Пусть р—целое число; пишем
х =)' (mod р),
если х и _у — два целых числа, отличающихся слагаемым, кратным р.
Ясно, что это отношение — эквивалентность.
10
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пример 2. Если две прямые D и D' параллельны или совпадают,
то пишем £>||£>'; очевидно, || есть отношение эквивалентности.
Пример 3. Если у двух людей х и у глаза одинакового цвета,
то пишем х=?у, ясно, что s есть отношение эквивалентности.
Пусть X и Y— два данных множества; закон а, согласно кото-
рому каждому элементу х£ X ставится в соответствие элемент зх£ Y,
называется однозначным отображением X в Y, или. функцией,
определенной на X и принимающей значения в Y\ например, чи-
словая функция вещественной переменной представляет собой одно-
значное отобрхажение R в R. Многозначное отображение Г мно-
жества X в множество Y есть закон, по которому каждому
элементу х£Х ставится в соответствие некоторое подмножество
ГхсК; при этом не исключается возможность Гх=0.
Говоря просто „отображение", большинство авторов подразумевает
однозначное отображение. Поскольку нам предстоит иметь дело
главным образом с неоднозначными отображениями, мы ие придер-
живаемся упомянутого соглашения и понимаем слово „отображение"
в широком смысле.
Пусть Г — отображение данного множества X в Y. При Дез/Х*
назовем образом множества А множество
ГЛ (J Гх
Можно проверить, что если Лр Л2....Ап— подмножества X, то
г(ул‘)=Угл<-
ГуГр'У с
Если Г и Д— отображения множества X в X, то результат
композиции ГД есть отображение, определяемое следующим образом:
(ГД)х —Г(Дх).
Отображения Г2, Г3, ... определяются так:
Г2х = Г(Гх),
Г3х = Г(Г2х),
Транзитивным замыканием отображения Г называется следую-
щее отображение Г множества X в JV:
Гх = |х} U Гх U Г2х (J Г3х (J ....
Отображение Г~ , обратное отображению Г, определяется так:
г^=^/>€Гх}.
ГРАФ ПУТИ И КОНТУРЫ
11
Если В—подмножество множества X, то полагаем
Г-'В = {х/ГхПВ¥= 0|-
Пример 1. Возьмем в качестве X множество людей и для х^Х
обозначим через Гх множество детей человека х. Тогда:
Г2х: множество внуков х\
Гх: множество, состоящее из х и всех его потомков;
Г-1х: родители х, и т. д.
Изображая людей точками и рисуя стрелку, идущую из х в у,
в случае когда х является отцом или матерью у/, мы получим родо-
словное, или генеалогическое дерево.
Пример 2. Рассмотрим шахматную игру; каждое положение за-
дается диаграммой (местонахождением фигур в данный момент)
и ходом (указанием, кто из игроков должен в этот момент играть).
Пусть X—множество всевозможных положений, Гх (где х£Х)—-
множество положений, которые по правилам игры можно получить
непосредственно из х; если положение х — матовое или патовое,
то Гх = 0.
Имеем:
Г3х — множество положений, которые можно получить из х тремя
ходами;
Гх — множество положений, которые вообще можно рано или
поздно получить, отправляясь от х;
Г-1Л (где AczX) — множество тех положений, из которых воз-
можно одним ходом получить какое-либо положение, входящее в А.
Такая система обозначений позволяет выразить формулой мно-
жество выигрышных положений и вывести отсюда некоторые свойства 1).
В случае шахмат правила игры полностью определяются мно-
жеством X и отображением Г; однако здесь мы имеем дело с таким
большим числом положений, что изобразить все их точками, а ото-
бражение Г—стрелками, соединяющими некоторые точки, практи-
чески невозможно. Тем не менее некоторые свойства, общие для
правил шахматной игры и для отношений родства в группе людей,
можно выявить, обращаясь к аксиоматическому методу; этим мы
займемся в следующих параграфах.
Граф. Пути и контуры
Говорят, что дан граф, если даны:
Г непустое множество Х\
2° отображение Г множества X в X,
*) См. Берж [2].
12
ГЛ 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Собственно говоря, граф, обозначаемый символом G=(X, Г),
есть пара, которая состоит нз множества X и отображения Г. Отно-
шения отцовства и материнства в множестве людей определяют граф;
то же имеет место для правил шахматной игры, для соединений
между собой электрических приборов, для отношения превосходства
одних участников турнира над другими и т. д.
Всякий раз. когда это возможно, будем элементы множества X
изображать точками плоскости, а пары точек х и _у, для которых
у£Гх, соединять непрерывной линией со стрелкой, направленной
от х к _у. Это дает основание называть каждый элемент множества
X точкой, или вершиной графа, а пару элементов (х, _у), в которой
_у£Гх,— дугой графа. Далее множество дуг графа будет обозна-
чаться через U, а сами дуги — буквами и, v или w (в случае надоб-
ности— с индексами).
Пример. У графа G, изображенного на рис. 1—3, множество X
образовано вершинами a, b, с, d, е, х, множество U — дугами (а, Ь),
(Ь, а), (Ь, х), (х, х), (х, с), (с, х), (х, d), (е, е). Отображение Г
определить нетрудно: например,
Гх = (х, с, d],
Г J = 0 и т. д.
Ясно, что множество дуг вполне определяет отображение графа,
и, наоборот, отображение Г определяет множество U\ поэтому граф
можно с одинаковым правом записывать как в виде G = (X, Г), так
и в виде G—(X, U).
Подграфом графа (X, Г) называется граф вида (Л, ГА), где
АаХ. а отображение Гд определено следующим образом;
Глх = ГхПД.
Частичным графом для (X, Г) называется граф вида (X, А),
где ДхедГх прн всех х £ X.
Частичным подграфом графа (X, Г) называется граф вида
(Я, Дд), где ЛсЛ и ДдХсГхПЛ.
Пример. Рассмотрим граф (X, (/), представляющий карту дорог
Франции: X—множество городов Франции, и (х, у)££7, если
имеется дорога, главная или второстепенная, ведущая из города х
в город у; карта главных дорог определяет частичный граф, а карта
всех дорог Нормандии — подграф.
Говорят, что а и b являются граничными вершинами дуги
и = (а, Ь), причем а — начало, а b — конец дуги. Две дуги и и v
называются смежными, если
1® они различны;
2° они имеют общую граничную точку (независимо от того,
является ли эта точка началом или концом дуги и, началом или
концом дуги V).
ГРАФ. ПУТИ И КОНТУРЫ
13
Далее, говорят, что две вершины х и у смежны, если
1Э они различны;
2° существует дуга, идущая от одной из них к другой.
Наконец, говорят, что дуга и исходит из вершины х, если х
является началом, ио не является концом и, и что и заходит r х,
если х является концом, но не является началом и; r обоих случаях
дуга и называется инцидентной
вершине х. Это понятие легко
обобщается: если А — данное мно-
жество вершин, то говорят, что
дуга и исходит из А, если
и = (а, х), а£А, х(£А;
множество дуг, исходящих из А
обозначается символом t/д. Ана-
логично определяется множество
Uа дуг, заходящих в множество
вершин А.
Множество дуг, инцидент-
Рис. 1—3.
ных А, обозначается символом
иА=и\ и и А-
Предоставляем читателю проверить,
на рис. 1—3, для Л=[а, ху имеем
что в графе, изображенном
Ua = {(а, Ь), (х, с), (х, d)j, UA = {(b, а), (&, х), (с, х)}.
Путем в графе. О = (Д', U) называется такая последовательность
(«р и2, . . .) дуг, что конец каждой предыдущей дуги совпадает
с началом следующей. Путь является простым, когда в нем никакая
дуга не встречается дважды, и составным — в противном случае.
Путь р, последовательные вершины которого суть хр х2, . ..
...,хй, xk н, можно обозначить символом р — [хр х2........xk, хй+1];
путь, идущий от х2 к хк по тем же дугам, чго и р, будем обо-
значать
р.[х2, хй| = [х2, х3....хй|.
Путь, в котором никакая вершина не встречается дважды, назы-
вается элементарным', путь может быть конечным или бесконечным.
Нонтур— это конечный путь р = [хр х2........xj, у которого
начальная вершина xt совпадает с конечной xft; при этом контур
называется элементарным, если все его вершины различны (за исклю-
чением начальной и конечной, которые совпадают).
Длина пути р —(Ир и2, .... ик) есть число /(р) — k дуг после-
довательности; в случае бесконечного пути р полагаем /(р) = со.
Наконец, контур длины 1, образованный дугой вида (х, х), назы-
вается петлей.
u
ГЛ 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пример. Старшинство в организации.
Пусть X — множество лиц некоторой организации, например
военной, и пусть Гх — множество лнц, непосредственно подчиненных
липу X. Связь любою начальника с любым подчиненным изобразится
в виде пути I рлфа (X, Г); важно, чтобы граф не имел контуров,
ибо их наличие может привести к противоречивым приказаниям.
С помощью понятий дуги, пути, контура можно охарактеризо-
вать некоторые важные категории графов. Прежде всего, граф (X, U)
называется симметрическим, если
(X, у)еи (у. х)££Л
В симметрическом графе две смежные вершины х и у всегда
соединены двумя противоположно ориентированными дугами; для
упрощения изображения условимся в этом случае соединить обе
точки одной непрерывной линией без стрелок.
Граф (X, U) называется антисимметрическим, если
(X, у)С и => <>' x)tu
(каждая пара смежных вершин соединена только в одном напра-
влении; петли отсутствуют).
Граф (X, U) называется полным, если
(х, у) (J (у, х')£ U
(любые две вершины соединены хотя бы в одном направлении).
Наконец, говорят, что граф сильно связен, когда для любых
двух вершин х и у (xJ=y) существует путь, идущий из х в у.
Пример. Схема коммуникаций. Пусть Х--некоторое множество
людей и пусть (х. у)££Л когда лицо х имеет возможность непо-
средственно передавать сообщения лицу у. Обычно эгог граф — сим-
метрический: например, если связь осуществляется с помощью теле-
графа, телефона, там-тама и т. д.; но граф может и не быть
симметрическим, как в случае ракет или почтовых голубей.
Кроме того, в правильно спроектированной сети коммуникаций
каждый человек должен иметь возможность передать сообщение
любому друюму члену организации или непосредственно, или через
посредников; иными словами, важно, чтобы граф был сильно связен.
Цепи и циклы
Ребром графа G = (X, U) называется множество из двух эле-
ментов х и у, для которых (х, y)£U или (у, x)£U; это понятие
нельзя смешивать с понятием дуги, в котором участвует ориентация.
Так, например, граф, изображенный на рис. 1—3, имеет 8 дуг, но
только 6 ребер.
ЦЕПИ И ЦИКЛЫ
Ребро обозначается жирной латинской буквой: и или у, а мно-
жество ребер — буквой U. Ребро, для которого вершины х и
у— граничные, обозначается символом и = [л', у],
Цепь — эго последовательность ребер (и,, и2, ...), в которой
у каждого ребра uft одна нз граничных вершин является также i ра-
ничной вершиной для а другая — граничной вершиной для ий+1.
Цепь называется простой, если все ее ребра различны, и состав-
ной— в противном случае.
Цикл — это конечная цепь, начинающаяся в некоторой вершине х
и оканчивающаяся в той же вершине х; цикл называется простым,
если все его ребра различны, и составным в противном случае;
наконец, цикл, при обходе которого ни одна вершина не встречается
дважды, называется элементарным.
Граф связен, если любые две его различные вершины можно
соединить цепью. Сильно связный граф связен, но обратное утвер-
ждение неверно.
Обозначим через Са множество, состоящее из данной вершины а
и всех тех вершин графа, которые могут быть соединены с ней
цепью; компонента связности (илн просто компонента) — эго
подграф, порожденный множеством типа Са.
Приведем две очень простые теоремы.
Теорема 1. Различные компоненты графа (X, Г) образуют
разбиение множества Х\ то есть:
(1)
(2)	Са^С„ СаПС„ = 0;
(3)
Так как а£Са, то (1) имеет место.
Для доказательства (2) предположим, что Са(]Сь^-0, и покажем,
что тогда Са = С1}.
Пусть	вершина х может быть соединена цепями как
с а, так и с Ь] поэтому а можно соединить с Ь, т. е. Ь£Са.
Значит,
с,<=са.
Точно так же имеем СасСь (из соображений симметрии), следо-
вательно, Ca = Ch.
(3)	справедливо потому, что
(Jc^ (J f"!=x
й £ X а £ X
откуда
Теорема 2. Граф связен в том и только в том случае,
если он состоит из единственной компоненты.
16
ГЛ. 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Если граф имеет две различные компоненты Са и Сь, то он
несвязен, ибо вершины а и b нельзя соединить цепью.
Если граф несвязен, то найдутся две вершины а и Ь, которые
невозможно соединить цепью, и, значит, Са и Сь будут различными
компонентами.
Замечание. Граф можно рассматривать либо с учетом, либо без
учета ориентации его дуг; в первом случае мы имеем дело с поня-
тиями дуги, пути, контура, сильной связности и т. д., во втором —
с понятиями ребра, цепи, цикла, связности и т. д. В дальнейшем,
когда для некоторого понятия, определяемого в терминах дуг графа,
имеется параллельное понятие, определяемое в терминах ребер, мы
часто будем образовывать второе из первого посредством добавления
суффикса (например, „центр"— „центроид'1 и т. д.),
ГЛАВА 2
Предварительное изучение
квазиупорядоченности
Квазипорядок, определяемый графом
В алгебре говорят, что отношение па множестве X есть
квазипорядок, если имеют место
(1) рефлексивность-. х^х (для всех х£Х}',
(2) транзитивность', х^у, y^iz x^z (х, у, z£X).
Квазипорядки встречаются всюду: „целое число х делится па уа,
„х — вещественное число, большее или равное у", „х— ситуация,
которую я предпочитаю или считаю равносильной ситуации у“, суть
отношения квазипорядка.
Введем на графе G = (X, Г) отношение следующим образом:
для двух вершин х и у пишем х<^у, если х — у или существует
путь нз х в у (иначе говоря, если у£Гх).
Это отношение удовлетворяющее, очевидно, условиям (1)
и (2), называется квазипорядком, определяемым графом О.
Если х<^у, то говорят, что вершина х предшествует вер-
шине у.
Отношение у х можно записать также в виде х">у и сказать,
что вершина х следует за вершиной у.
Если х-Х^у и у<Сх, то пишем х = у и говорим, что вершина х
эквивалентна вершине у; в этом случае х и у совпадают или лежат
на одном и том же контуре. Читатель непосредственно проверит,
что = является отношением эквивалентности, т. е, что имеют место
(1)	рефлексивность-, xsx;
(2)	транзитивность-. х = у, y = z x = z;
(3)	симметрия: х=у ysx.
Если х»<^у, но не х = у, то пишем х<у и говорим, что вер-
шина х строго предшествует вершине у; пишут также у > х и
говорят, что вершина у строго следует за х.
Вершина z, следующая за всеми вершинами некоторого мно-
жества ВаХ называется мажорантой множества В; это можно
записать так;
z^b (Ь£В).
2 К- Берж
18 гл. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ КВАЗИУПОРЯДОЧЕШЮСТИ
Если в В имеется элемент, который служит мажорантой В, то
этот элемент называется наибольшим элементом множества В.
Если b и Ь'— два наибольших элемента множества В, то b
и Ь'следовательно, b = Ь', т. е. все наибольшие элементы
одного и того же множества вершин графа эквивалентны.
Аналогично минорантой В называется такая вершина z, для
которой
(Ь^В).
Миноранта В, принадлежащая В, называется наименьшим элемен-
том множества В,
Эти понятия, хорошо известные из алгебры, прежде всего поз-
воляют легко характеризовать различные категории графов.
Пример 1. Граф без контуров. Если (Д’, Г) нс содержит кон-
туров, то определяемое им отношение обладает свойством
х у С х х = у.
В этом случае говорят, что есть отношение порядка.
Наоборот, если отношение определяемое графом, есть поря-
док, то граф не имеет контуров.
В качестве примера рассмотрим множество X и некоторое
семейство & его подмножеств; назовем диаграммой Хассе семей-
ства граф G, вершинами которого служат различные множества
семейства причем из	в F'идет дуга, если
1е Fccf';
2° не существует такого множества F" £ что fccF'ccf'.
Квазипорядок, определяемый графом G. есть нс что иное, как отно-
шение с; это отношение — порядок: G не содержит контуров.
Было бы интересно выяснить при ?С=(1, 2.......... и},	сколько
семейств допускает данную диаграмму Хассе; эта задача, назы-
ваемая иногда проблемой Рейни (Rainey), не решена еще для п > 5.
Пример 2. Транзитивный граф. Граф (X, U) называется тран-
зитивным, если
X <- У =Ф (X, у) £ и.
Так, если вершины графа изображают людей, а дуги — иерархи-
ческое превосходство (например, старшинство), то граф — транзи-
тивный.
Пример 3. Тотальный граф. Отношение квазипорядка назы-
вается тотальным, когда для любой пары (х, _у) имеет место или
х^у, или у-^х\ граф является тотальным, если связанный с ним
квазипорядок — тотальный. Справедливо следующее утверждение:
всякий сильно связный граф является тотальным.
ИНДУКТИВНЫЙ I РАФ И БАЗЫ
19
Пример 4. Структурный граф и прадеревья. Рассмотрим отно-
шение. порядка определяемое графом (X Г) без контуров; если
множество мажорант некоторого множества ВсЛ' имеет наименьший
элемент с, то с называется верхней	х
гранью множества В; отношение по-	л—*----«
рядка .<£ называется структурным а
{сверху}, если каждое множество В уч	к >
допускает верхнюю грань; в этом \ <z**\”*~	/S*
случае говорят, что граф (X, Г)
является верхней структурой.
Аналогично определяются по-	•
нятия нижней грани и нижней	рис 2—1
структуры.
Частным случаем структурного графа является гак называем ое
прадерева1} с корнем а, например изображенное на рис. 2—1, Пра-
деревья будут изучаться позднее (гл. 16).
Индуктивный граф и базы
Множество ВсА’ называется базой графа {X, Г), если оно удо-
влетворяет следующим двум условиям:
(1) ЬХ£В, t>2£B, зф ни	ни Ь.2ХЬ}.
(2)	существует такая вершина Ь£В, что х.
Пример. Рассмотрим граф, изображенный на рис. 2—2. Множе-
ство В= (др Ь2,	—его база; подграф же, порожденный мно-
жеством Х\В, не имеет базы.

В
Рис. 2—2.
Понятие базы графа участвует в многочисленных конкретных
задачах, относящихся к сетям коммуникаций, и мы увидим позднее
(гл. 5 и 6), что оно применяется и в теории игр. Наконец,
с его помощью можно получать чисто теоретические результаты
1 Мы переводим так термин arborescence.—Прим, перев.
2*
20
ГЛ 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ КВАЗИУПОРЯДОЧЕННОСТИ
топологии или линейного анализа. Здесь мы собираемся только найти
возможно более общие условия существования базы графа как в слу-
чае, когда ои имеет конечное, так и r случае, когда он имеет беско-
нечное множество вершин.
Граф называется индуктивным., если каждый его путь р,=-.
х2, •••] допускает мажоранту, т. е. если для каждого р, существует
такая вершина г, что
z>xn (м=1. 2, 3, Д
Пример 1. Всякий конечный граф является индуктивным, ибо
если путь р, конечен, то мажорантой служит его последняя вершина,
а если р. бесконечен, то по крайней мере одна из вершин этого
пути повторяется бесконечно много раз и поэтому является его
мажорантой.
Пример 2. Напротив, граф, изображенный иа рис. 2—2, не
является индуктивным.
В некоторых вопросах (глава 5) понятие индуктивного графа
оказывается недостаточным; говорят, что граф вполне индуктивен,
если для каждого бесконечного пути р. = [х0,	...] отношение
квазипорядка в подграфе, порожденном множеством вершин
{х0,	...}. можно при достаточно больших номерах I и j пред-
ставить в виде Xj Xj-.
Рис. 2—3.
Пример. Для графа, изображенного на рис. 2—3, имеем:
х^х} (/>3, »3),
значит, он вполне индуктивен.
Очевидно, вполне индуктивный граф индуктивен', кроме того,
имеет место основное свойство: всякий подграф вполне индуктив-
ного графа вполне индуктивен. (Для индуктивных графов аналогич-
ного предложения нет.)
Лемма Цорна. В индуктивном графе (X, Г) для любой
вершины х существует вершина z, не имеющая строго последую-
щих1) и такая, что z^x.
') Вершину, не имеющую строго последующих (строго предшествующих),
называют еще максимальным (соответственно минимальным) элементом;
его нельзя путать с наибольшим (соответственно наименьшим) элемен-
том^. [2], гл. 1). — Прим, перев.
ИНДУКТИВНЫЙ ГРАФ И БАЗЫ
21
Это хорошо известный в теории множеств результат; для дока-
зательства его мы отсылаем читателя к [2] (гл. I) или к Е. Т. F. М.
(гл. 3).
Теорема 1. Всякий индуктивный граф обладает базой1).
Пусть Z — множество тех вершин, у которых нег строго после-
дующих; рассмотрим в Z эквивалентность =, определяемую отно-
шением квазипорядка (z1 = z2, если zx и z2 принадлежат одному
и тому же контуру). В каждом классе эквивалентности Ct выберем
некоторого представителя b-t и покажем, что множество В = [b^i^/] 2)
является базой графа.
1° При 14= j не может быть bi^bp так как в этом случае
было бы b}==bj (вершина bt не имеет строго последующих), т. е. bL
и Ь, принадлежали бы к одному классу эквивалентности (что невоз-
можно, поскольку классы эквивалентности попарно не пересе-
каются).
2° Для х(£В по лемме Цорна существует точка z0, не имеющая
строго последующих и такая, что zG':>-x; пусть bt — представитель
класса эквивалентности Ci= ^z/z^Z, z^z0}; тогда
Ь^В.
Теорема 2. Граф {X, Г), обладающий конечной базой В,
индуктивен.
Пусть р, = [х1, х2, ...] — бесконечный путь графа (если такой
путь существует), и пусть Ьг, Ь2, ...—те вершины базы В, для
которых Ьп4>хп ПРИ всех так как множество В конечно, то по
крайней мере одна вершина Ь% встретится в последовательности (Ьа)
бесконечно много раз; тогда
(rt= 1, 2, .. .)
ч. и т. д.
Теорема 3. В множестве Z вершин, не имеющих строго
последующих, рассмотрим классы эквивалентности [z/z£Z,
z^Zq}; база В, если она существует, образована элементами,
выбранными по одному из каждого класса эквивалентности.
Если В — база, то вершина Ь^В не может иметь строго после-
дующих; действительно, из х > b вытекало бы существование такого
Ь'^В, что Ь' х и, значит, b'^-b, b!4=b, а это невозможно, так
как В — база.
Хотя бы одна вершина из базы В принадлежит классу [zjz^Z,
z = z0}, так как в противном случае не существовало бы пути,
ведущего из z0 в В.
’) Можно, между прочим, показать, что это предложение равносильно
лемме Цорна; поэтому его прямое доказательство было бы длинным и
трудным.
2) I означает множество {i} индексов всех классов С*.— Прим, переи.
22 ГЛ. 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ КВАЗИУПОРЯДОЧЕННОСТИ
Два различных элемента b и Ь' £ В не могут принадлежать одному
и тому же классу эквивалентности, ибо иначе было бы h ~Ь' п
существовал бы путь, ведущий из одной точки В в другую точку В.
Следствие. Если граф обладает базой, то все его базы
имеют одну и ту же мощность; в частности, все базы конеч-
ного графа (который, будучи индуктивным, всегда обладает базой)
имеют одно и то же число элементов,
Это вытекает из того, что классы эквивалентности, о которых
идет речь в теореме 3, образуют разбиение множества Z.
ГЛАВА 3
Порядковая функция и функция Гранди
для бесконечного графа
Общие соображения относительно бесконечных графов
Если А— конечное множество, то через | А| будем обозначать
число его элементов. Если А содержит бесконечно много элементов,
то полагаем |Д| =со.
Граф (X, Г) называется конечным, если ]Х|<эо. Граф Г-ко-
нечен, если |Гх| < оо для всех х, и Г* -конечен, если ]Г-1 х | < оо
для всех х; граф, обладающий этими двумя свойствами одновременно,
называется локально конечным. Очевидно, всякий конечный граф
локально конечен.
Наконец, граф называется Г-ограннченным, если существует
такое целое число т, что	при всех х.
Пример. Граф, изображенный на рис. 3—1, Г-конечен, но не
является Г-ограниченным; он не является также Г^-конечным.
Если в графе не существует путей бесконечной длины, начинаю-
щихся в данной вершине х0, то говорят, что этот граф прогрес-
сивно конечен в х0; граф, прогрессивно конечный в каждой своей
точке, называется прогрессивно конечным.
Граф называется прогрессивно ограниченным в вершине х0. если
существует такое целое число т, что длина каждого пути, начинаю-
щегося в х0, не превосходит т; граф, прогрессивно ограниченный
в каждой своей точке, прогрессивно ограничен. Прогрессивно огра-
ниченный граф является в то же время прогрессивно конечным, но
обратное неверно.
24
ГЛ. 3 ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИЯ ГРАНДИ
Наконец, говорят, что граф (X Г) регрессивно конечен, соответ-
ственно регрессивно ограничен, если граф (X Г-1) прогрессивно
конечен, соответственно прогрессивно ограничен.
Пример. Граф, изображенный на рис. 3—1, прогрессивно конечен,
но не является регрессивно конечным; он прогрессивно ограничен,
хотя и содержит сколь угодно длинные пути.
В этом параграфе мы намереваемся установить весьма общие
теоремы, которые впоследствии позволят распространять утвержде-
ния о конечных графах на некоторые бесконечные графы. Важность
этой задачи очевидна: если в психологии или исследовании операций
имеют дело с конечными графами, то в геометрии и теории мно-
жеств, напротив, приходится сталкиваться главным образом с беско-
нечными графами.
Теорема 1. Для конечных графов свойства „прогрессивно
ограниченный*, „прогрессивно конечный* и „без контуров* равно-
сильны.
(Очевидно.)
Теорема 2. Если граф (X Г) прогрессивно конечен и Г-ко-
нечен, то
|fx|<co (*EX).
В самом деле, допустим, что в некоторой вершине х0 имеет
место |Гх01 = ос; так как |Глг0| < оо, ю в Гх0 найдется хотя бы
одна такая вершина х}, что ITjcJ = ос; точно так же в TjCj найдется
вершина х2, для которой |Гх2| = оо; и т. д. Путь [х0, хр ..хп, . , .]
имеет бесконечную длину, что противоречит условию теоремы.
Следствие 1. Граф (X, Г), прогрессивно конечный в неко-
торой вершине хй и Г-конечный, является также прогрессивно
ограниченным в х0.
В самом деле, подграф, порождаемый множеством Гх0. прогрес-
сивно конечен, а значит, в силу теоремы 2, конечен; так как, кроме
того, он не содержит контуров, то он прогрессивно ограничен
(теорема 1). Следовательно, граф (X Г) прогрессивно ограничен в х0.
Следствие 2 (Кёниг). Пусть (Лр А2, ...) — последователь-
ность конечных непустых попарно непересекающихся множеств,
и пусть -<—отношение, определенное для элементов двух после-
довательных множеств Ап\ если для любого элемента хп^Ап
существует такой элемент хп~}£ Aa_v что хп..{ -< хп, то суще-
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРАФЫ
25
ствует такая последовательность (ар а2, ...), где ап£Ап при
всех п, что
aY-<a2^<a3-< ... -<ап-< ... .
Пусть X — объединение всех множеств Аа. к которому добавлена
произвольная точка х0; определим на X отображение Г следующим
образом:
Гя0 = Лр
гх„=(х/хел„+1,
Граф (X, Г) Г-конечен; он не является прогрессивно ограничен-
ным, ибо для любого т легко построить путь длины т, беря неко-
торую точку ат в Ат, затем am_j в Ат_} с условием ат_1^ат
и г. д. Ввиду следствия 1 граф не является прогрессивно конечным
в х0, поэтому существует бесконечный путь [х0, аг, а2, .после-
довательность (ар а2, ...) удовлетворяет требуемому условию.
Теорема 3. Множества вершин и цепей локально конечного
связного графа можно перенумеровать.
Выберем произвольно вершину х0; пронумеруем цепи длины 1,
выходящие из х0, и их крайние вершины, затем станем нумеровать
цепи длины 2 и их крайние вершины (те, которые еще не получили
номеров) и т. д. Поскольку до любой вершины можно добраться
по цепи, выходящей из х0, все множество X и множество цепей,
идущих из х0, окажутся пронумерованными1).
Теорема Радо [5]. Пусть {X, Г) — локально конечный граф,
Eq—некоторое конечное множество целых чисел1, каждому I^Eq
поставим в соответствие некоторое E(I)cEq. Если для каж-
дого конечного подграфа (А, Гл) существует целозначная функ-
ция удовлетворяющая условию
то на X существует целозначная функция <р(х), такая, что
? О) Е ЕI? (г*)1	{х^Х\
По определению, <р(Гх) означает множество /—{ср(у)/у£Гя]2).
!) А так как множество всех цепей, выходящих из х0, и множество X
всех х0 оба счетны, то и множество всех вообще цепей можно перенумеро-
вать.— Прим, перев.
2) В оригинале отсутствует, а / и Е(1) просто предполагаются конеч-
ными; но в такой формулировке теорема неверна. — прим, перев.
2g	гЛ 3. ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИЯ ГРАНДИ
Пусть -40 — конечное подмножество Х\ будем последовательно
составлять множества
^=ЛоиГ/1сиГ'Х.
Л2 ==Л1иГЛ1иГ"1Л1,
л^л^игл^иг^Л"-!
Множества Лп конечны и образуют расширяющуюся последова-
тельность; кроме того, граф можно предполагать связным (иначе бы
мы стали рассматривать каждую компоненту отдельно) и считать
поэтому, ЧТО	со
п = 0
Обозначим более кратко через ^п=-^л функцию, соответствую-
щую конечному множеству Лл; ее усечение на множестве Ло
(т. с. функцию, заданную только на Ло и совпадающую там с ср )
обозначим через Среди функций (для всевозможных п) имеется
только конечное число различных. Отсюда следует, что <р£ остается
одной и той же для бесконечного множества значений п, скажем для
^0	^2	• • • •
Обозначим через усечение функции <рА на множестве Аг; по
указанной выше причине эти усечения <р’г одинаковы для бесконеч-
ного множества значений п, скажем, для
< /2 < /3 < ....
Обозначим через ср2 усечение функции <р. на множестве А2,
'	п
и т. д.
Функции cpj, ©J, ср2, . . . определены соответственно на множест-
вах Ло, Лр Л2......и если p>q, то
Отсюда следует, что для каждого х^Х величина ^пп(х} при
неограниченном возрастании п стремится к некоторому пределу <р(х)
и тем самым определяется функция <р на X.
Для любой вершины х0 существует такой помер д, что
Лл=> (xoj U Гх0, причем
о» (_с) = Cf (X) (х g Ап).
Следовательно,
cp^gEMIX)].
ч. и т. д.
ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ
27
Порядковая функция
Хорошо известным обобщением понятия целого числа служит
понятие порядкового числа-, напомним его.
В строчке (хр х2, .... Х|2) из 12 объектов место объекта х6
указывается символом 6.
Допустим теперь, что собрание обьектов хр х2, ... бесконечно
и что эти объекты расположены в некотором порядке, скажем
(х4, х5, хб, хр х2, х3),
Если места объектов х4, х5, х6, ... можно определить обычными
целыми числами, то для определения мест объектов хр х2, х3
потребуется ввести новые символы: <n -|-1 для хР о)-|-2 для х2.
<п —3 для х3. Символы 1. 2, .... оэ —|— 1, ш--|-2, ш —3 называются
порядковыми числами первого рода (или непредельными порядко-
выми числами), а символ ш, не определяющий никакого места, —по-
рядковым числом второго рода (или предельным порядковым чис-
лом).
Эти определения можно продолжать и дальше; например, при
порядке
(х3, х5, х-. х9, . . .; х2, х4, х6, х8, . . .; Х|)
место объекта х8 будет место Xj будет о>2-|-1.
Для двух порядковых чисел а и 3 считают, что а<[3, если
объект, место которого указывается символом а, предшествует
объекту, место которого указывается символом р.
Разумеется, порядковые числа можно определить строго при
помощи алгебраических понятий1).
В теории графов понятие порядкового числа имеет большое зна-
чение, так как оно позволяет переносить предложения о конечных
графах на некоторые бесконечные графы.
’) Пара, образованная множеством X и отношением порядка есть
вполне упорядоченное множество, если любое подмножество множества X
имеет наименьший элемент. Два вполне упорядоченных множества (X, <;)
и (У, С) называются эквивалентными, если между X и Y можно установить
взаимно однозначное соответствие с, при котором
---ах'.
Порядковое число будет тогда классом эквивалентное ги, содержащим
лаиное вполне упорядоченное множество. Запомним лишь результат: сами
порядковые числа вполне упорядочены отношением (См., например, [1]
(гл. I).) (См. также П. С. Александров, Введение в общую теорию
множеств и функции, М.—Л._, 1948, или Ф. Хаусдорф, Теория мно-
жеств, М— Л,, 1937. — Прим. ред.).
28
ГЛ. 3. ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИЯ ГРАНДИ
Для заданного графа G = (X, Г) рассмотрим множества:
Х(О)={х/Гх = 0},
Х(1) = (х/Гх<=Х(0)),
X(2) = |x/T’x <=.¥(!)’.
X(k) = {x/Tx<=X(.k — 1)),
-¥(<111— (J Х(а),
П < 03
-I- 1) |х/ГхсдА»),
Ясно, что эти определения можно продолжать неограниченно:
если а — порядковое число первого рода, то полагаем
Х(а)= (х/Гх<= Х(а — 1)),
а если а—порядковое число второго рода, полагаем
Х(а) =□-¥(₽).
3 < «
Заметим, что если два порядковых числа а и 8 удовлетворяют
условию а < [3, то Х(а)сХ(р).
Порядком вершины х называется наименьшее порядковое число а,
для которого	xgX(a),
при всех < а.
Полагаем тогда а = о (х); разумеется, некоторые вершины могут не
иметь порядка: к таким относятся, например, все вершины контура.
Функция о(х), определенная, вообще говоря, не на всем X,
называется порядковой функцией графа.
Рис. 3—2.
Пример. У графа, изображенного на рис. 3—2, каждая вершина х
имеет порядок о(х), который указан па чертеже; лишь одна
вершина у имеет трансфинитный порядок. Здесь X— Х(у> -ф-1).
ФУНКЦИИ ГРАНДИ
Теорема 4. Порядковая функция определена на всем мно-
жестве X в том и только в том случае, если граф (X, Г) про-
грессивно конечен.
1° Пусть о(х) существует для всех х £ X; покажем, что граф
прогрессивно конечен. С этой целью мы допустим, что существует
бесконечный путь [ар о2, ...], и убедимся в том, что это приводит
к противоречию.
Положим А = {ар о2. . . имеем ЛПХ(О)=0.
Если А[}Х($) — 0 для всех порядковых чисел £ < а, то также
АГ\Х(ф)=0. Тогда, в силу принципа индукции,
А(\Х~0.
Отсюда А — 0. что невозможно.
2° Наоборот, предположим, что существует вершина х, не имею-
щая порядка; пусть В— множество всех таких вершин. Имеем В=Р0.
Если хх£В. тоГХ]^=0 |ибо xt£X(0)]. поэтому в найдется
вершина х2£ В; точно так же в Гх2 найдется вершина х3£В, и т. д.
Путь [хр х2, х3, . ..] обладает бесконечной длиной, и граф не
может быть прогрессивно конечным.
Функции Гранди
Рассмотрим конечный граф (X, Г) и функцию g, относящую
каждой вершине х целое число g(x'|>-0. Будем говорить, что g(x)
есть функция Гранди для данного графа, если в каждой вершине х
значение g(x) представляет собой наименьшее из тех целых неотри-
цательных чисел, которые не принадлежат множеству
g(r*)=
Пользуясь траисфипитиыми порядковыми числами, можно опре-
делить функцию Гранди в случае бесконечного графа: g(x) есть
наименьшее порядковое число, не принадлежащее множеству
Изопределения следует, что еслиГх=0, то необходимо £(х) = 0.
Граф может не допускать функции Гранди (например, если у него
есть петля) или же допускать более одной такой функции.
Пример I Граф, изображенный па рис. 3 — 3, допускает две функ-
ции Граиди, значения которых указаны около соответствующих
30
ГЛ .1 ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ и ФУНКЦИЯ ГРАНДИ
вершин; можно убедиться, что если Гх = 'у^ у2, . то g (х) -
наименьшее целое число, отличное от giy^), g(yj), ....
Пример 2. Граф, изображенный на рис. 3—2, допускает единствен-
ную функцию Гранди g(x); эта функция при х =г у равна о(х), а
в вершине у принимает трансфинитное значение w.
Теорема 5. Прогрессивно конечный граф допускает одну и
только одну функцию Гранди g(x); при этом
£(*) <.о(х).
Доказательство получается непосредственно, если провести индук-
цию по множествам
Х(О)={х/Гх=0\,
Х(1) = {x/TxczXCO)},
Х(2)-- jx/rxczX(l)}.
Теорема 6. Если ]Глс]< со, то g (х) |Гх I.
Если g(x) = n, то функция g принимает в Гх все значения
0, 1, 2, .... п—1, поэтому |Гх | 'у> п — g (х).
Теоремы 5 и 6 показывают, что функция g(x) не слишком
охотно принимает большие значения; в частности, для Г-конеч-
ного или для прогрессивно ограниченного графа значения g (х)
остаются конечными числами.
Операции над графами
Рассмотрим п графов G{ —- (X,, Tj), О2 = (Л2. Г2), .... Gn=(Xn, Г„),
а также граф С —(X, Г), определяемый следующим образом:
(1) Х^-Хх Х^Х ... Х*„ = {(Л?!, л-2.........xj/x1 и т. д.)
(декартово произведение множеств Х^,
(2)	1 (Хр х2.....Хп) = I jXj X I 2-^'2 х - - - X 1 пхп-
Этот граф обозначается символом G Gt X G2 X • •  X Gn и
называется произведением графов G^
Подобным же образом сумма графов Gt, по определению, есть
граф (X Г), для которого
(1)	Х^Х^Х ...Х4
(2)	Г(^, х-1.х„)	= |Г,х, X {х.2} X . . .] U
и Iд-,) х гл х • •. ] и ... и И*,! х !-<2! х ... х
Этот граф обозначается символом G = G1-|-G24-	&п-
Операции X н “Н как они здесь определены, хорошо известны
в теории игр; они встречаются и во многих других областях, имею-
щих отношение к теории графов.
ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ
31
Пример. Каждая из двух машин может находиться в определен-
ном числе состояний. Множество состояний первой машины обозна-
чим через АД если состояние хх может следовать за состоянием хр
то полагаем	Тем самым определен граф G1 = (A’J, ГД;
точно так же определяется граф G2 = (A'2, Г2) для второй машины,
Оператор, который может использовать любую из этих двух ма-
шин, запишет в виде (хр х2) ситуацию, когда первая машина
находится в состоянии хр а вторая — в состоянии х2. Если опе-
ратор приведет в действие обе машины одновременно, то граф си-
туаций будет G1 X ^2- Если же оператор станет каждый раз при-
водить в действие только одну из машин, то граф ситуаций будет
G, + G2.
Сохраняют ли операции над графами свойство допускать функцию
Гранди? Прежде чем подойти к этому вопросу, мы должны ввести
понятие d-суммы порядковых чисел; сначала вспомним, что двоеч-
ным разложением целого числа с называется такая строчка (с1,
с2, ck) чисел с1 (которые могут быть только нулями или еди-
ницами), что
с = с14-2с2Ч-4с34- ...
Короче пишут	с — ckck 1 .	. . c2c:
Эта двоичная запись образуется по тому же принципу, что и
десятичная, и легко установить соответствие:
десятичная запись	двоичная запись	двоичное разложение	десятичная запись	двоичная запись	двоичное разложение
0	0	(0)	6	110	(0,1, 1)
1	1	„(1)	7	111	(bl. 1)
2	10	(0,1)	8	1000	(0, 0,0, 1)
3	11	(1,1)	9	1001	(1,0,0,1)
4	100	(0,0,1)	10	1010	(0,1,0. 1)
5	101	(1,0,1)	11	1011	(b 1.0,1)
В арифметике [ц](2), или „п по модулю 2“, означает остаток
(равный нулю или единице) от деления п на 2.
По определению, d-сумма (подробно: поразрядная двоичная
сумма по модулю два) целых чисел cv с2, .сп есть целое
число с = с1Д-с2 + ••• ~\~сп< которое получится, если произвести
двоичные разложения сп = (с\, cl, ...) и положить
(Г п 1 г п 1 г п 1	\
24. 2 4. 2 4 ... Д
= l |(2)	J(2)	!_/< = ! J(2>	/
Так,
3 -i-7 = (1,1) +(1,1,1) = (0,0,1)= 4,
1 -j-3-j- 11 = (l)-j-(l, 1) + (1, 1, 0, 1) = (1, 0, 0, I) = 9 и t. д.
32
ГЛ. 3. ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ и ФУНКЦИЯ ГРАНДИ
Эти понятия без труда переносятся на трансфинитиые порядковые
числа; например, двоичное разложение порядкового числа а = «44 4“
-НшЗ-}-7 есть вполне упорядоченное множество (с1, с2, ...
сш+:1,	..) чисел, равных нулю или единице, которое
образуется следующим образом: первая последовательность (от с1
до есть двоичное разложение числа 7, за которым идет бес-
конечное множество нулей; вторая последовательность (от сш+1 до
c2w+1) есть двоичное разложение числа 3 с последующим бесконеч-
ным множеством нулей; третья последовательность есть двоичное
разложение числа 4 (дальнейшие члены, все равные нулю, не пи-
шутся); итак
ш24 + озЗ-|-7 =(1, 1, 1, 0, 0, . .	1, 1, 0, 0, . . О, 0, 1).
d-сумма порядковых чисел образуется, как и в случае конеч-
ных чисел, сложением по модулю 2 членов, стоящих на одноимен-
ных местах; заметим, что d-сумма трансфинитных порядковых чисел
легко получается с помощью таблицы d-сложения конечных чисел;
например:
(шЗ-и1)_|_(ш7-43)4-11 — ш(3-|-7) 4~(1 -И + 11) = ш4 4-9,
Теорема 7. d-сумма 4" обладает следующими свойствами-.
(1)	ассоциативность (а-р ?) 4" Т — я 4" (? 4" 1)»
(2)	существование нейтрального элемента 0, для которого
а —0 л;
(3)	существование для любого а противоположного элемента
— а, удовлетворяющего условию а4*( — а) = 0;
(4)	коммутативность а-]-? = ?4“&'
(на языке алгебры первые три свойства выражают тот факт, что
порядковые числа образуют группу относительно операции d-сло-
жения, а четвертое—что эта группа абелева).
(Непосредственно.)
Следствие. Для любых двух порядковых чисел а и $ су-
ществует такое порядковое число х, притом единственное, 'tmo
а 4— X •
Это хорошо известное свойство групп; достаточно положить
х = (— я) -j- р = р — а.
Теорема 8. Если графы Ор G2, ••> допускают соот-
ветственно функции Гранди gv g2, .... gn, то граф G = G}-r-
4-О24~ ••• также допускает функцию Гранди g, значе-
ние которой в вершине x = (xv х2........хп) выражается d-суммой-.
g(.xv Х2....X„) = gl(*l)-H'2(*2)+	+£»(•*")
ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ
33
Покажем, что функция g(x), определенная таким образом на
множестве Л'“ zY, X X X • • • X А’л, есть функция Гранди для
суммы G = (А'. Г).
Г Для любого порядкового числа р < у (х) в Гх существует
такая вершина уУ что g(y)=$.
В самом деле, рассмотрим двоичные разложения:
gt(Xt)=(c', с[.
g(x) = (cl, с2, ...), где с'= Ус' .
L^l ‘1(2'
₽ = (В1, ₽2, ...), где Р < g(x).
Пусть г — наибольшее порядковое число, для которого Зг 4= сг
[такое есть, поскольку ?--A g (х) *) ]; ввиду того что P<g(x), имеем
In Т
2d =i-
fe=l J (2)
Значит, среди чисел cj, с^, .. . , с’ имеется хотя бы одно, равное
единице; например, пусть с{=1. Положим
[ сг если
rf5 =
' И+ Hui* если =£<?•
В TjXj существует такая вершина ур что g^ (у,) — (dx. d\ .,
и мы имеем
g(y,, х2, х3, .... х„) = g, (^) 4- g2 (х2) + ... 4-g„(x„) = p.
2° В множестве Гх нет такого у, для которого было бы
g(y) =£(*)
В самом деле, рассмотрим вершину у==(ур х2, х3............хя).
где yj^TjXp и положим
Так как g1 (у J (х ), то dr Ф с\ для некоторого порядкового
числа г и
рг 4- 4 + с', + ... 4- c'a](2l 4 [4 4- <4 4-  • • 4- СУ(2)-
Следовшельно, g (у) g (х).
Этот результат, дающий правило вычисления функции Гранди
для суммы графов, будет играть фундаментальную роль в последую-
щих главах.
’) И поскольку в двоичное разложение любого порядкового числа входит
лишь конечное число единиц. — Прим. ред.
3 К. Берж
ГЛАВА 4
Основные числа теории графов
Цикломатнческое число
Понятие, которое мы собираемся здесь ввести, не зависит от
„ориентации". Для большей общности введем в рассмотрение не просто
графы, а мулыпаграфы} по определению, мулыпиграф (X, U) —
это пара, образованная множеством X вершин и множеством U
ребер, соединяющих некоторые пары вершин; в противополож-
ность обычным графам у мультиграфа одна и та же пара вершин
может соединяться более чем одним ребром.
Во многих задачах удобно вместо обычных графов рассматри-
вать мультиграфы.
Пример (химия). Молекула представляется мультиграфом, вер-
шины которого обозначены символами таблицы Менделеева (Пойа (4)
применил теорию графов к органической химии для подсчета числа
изомеров химических соединений). Говорят также, что эгилен яв-
ляется 2-графом, ацетилен — 3-графом) и т. д. (см. рис. 4—1).
К	/Н
>сос<
Н/	хн
Н—с=с—н
Этилен
Ацетилен
Рис. 4—1.
Рассмотрим мультиграф Осп. вершинами, tn ребрами, р ком-
понентами связности. Положим
р (G) = га — р,
ч(Сп — т — ?{G') = т — п А- р;
v (О) называется цшсломатическим числом мультиграфа G. Его
свойства играют важную ролы1).
’) Дипломатическим числом грифа называется цикломатнческое число
того 2-1рафа который получится, если каждую дугу заменить ребром.—
Прим, перев.
ЦИКЛОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО
35
Теорема 1. Пусть G' — мультиграф, полученный из мульти-
графа G добавлением нового ребра между вершинами а и Ъ\ если
а и b совпадают или могут быть соединены цепью в О, то
p(G') = p(°).	-'(G') = V(G)+1;
в противном случае
9(Gf) = ^(G) \-I, v(G/) = v(G).
(Непосредственно.)
Следствие. p(G)^>0,	v(G)^0.
В самом деле, для графа, образованного всеми вершинами G,
но без ребер, имеем р = 0, v = 0. Каждое добавление ребра либо
увеличивает р, не меняя v, либо увеличивает v, не меняя р; таким
образом, в процессе построения графа G числа р и v могут только
возрастать.
Для дальнейшего удобно следующим образом отождествлять
циклы мультиграфа с векторами: придадим каждому ребру мульти-
графа G произвольную ориентацию; если цикл р проходит через
ребро ий в направлении его ориентации гк раз и в противополож-
ном направлении sk раз, то полагаем ck = rk — sk. Вектор
(с1, с2, . . ck, ст)
m-мерного пространства Rm будем называть вектором-циклом,
соответствующим циклу р, и обозначать через р (или опять
через р, если это не может привести к недоразумению).
Циклы р, р', р", .. . называются независимыми, если соответ-
ствующие им векторы линейно независимы1). Отметим, что это
свойство не зависит от выбора ориентации ребер.
>) Напомним некоторые классические определения линейной алгебры.
Если с = (с1, с2, ... , ст) и d = (d1, d2, ...,dm)—два вектора из R7”,
а а £ R, то полагаем
аС = (ас1, ас2..зС'”),
— с = (— С1, — С2....— С,п),
c + d = (с1	d>, с2+ d2, ...,
0= (0, 0, .... 0).
Множество fcR"1 представляет собой векторное подпростран-
ство, если
а $ R, с С Е тф ic С Е,
с,
Говорят, что векторы с,, с2.с& из линейно независимы, если
“1С1 +	+ ... + З4сй =	= 1, = ... = «ц = 0.
Напротив, когда для некоторых чисел alt пе равных одновременно нулю,
a|C1-f-a2c2+ ••• +	= 0, говорят, что данные векторы линейно
3*
36
ГЛ. 4. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
Имеет место
Теорема 2. Цикломатнческое число v(O) мулътиграфа О
равно наибольшему количеству независимых циклов.
Действительно, возьмем граф без ребер, образованный всеми
вершинами G, и, добавляя к нему ребро за ребром, построим дан-
ный мультиграф G. В силу теоремы 1, цикломатнческое число
увеличивается на единицу, когда добавление ребра приводит к обра-
зованию новых циклов, и не меняется в противоположном случае.
Допустим, что перед добавлением ребра ий уже имелась база,
состоящая пз независимых циклов р,р р.2, .... и чго добавление
повлекло за собой возникновение циклов vp >2....Среди новых
циклов наверняка имеются простые; пусть, например, — простой,
v* = l. Очевидно, vj не может линейно выражаться через (ибо
р* = у* — . . . = 0). С другой стороны, v,2 (и аналогично >3, ...)
можно линейно выразить через vp р.р р2, .. . : в самом деле, век-
тор v —соответствует некоторому циклу, не содержащему uft
(этот цикл получается из v2 заменой ребра ий оставшейся частью vt
с измененным направлением обхода), и, значит, линейно выражается
через tip <i2..Таким образом, каждый шаг, увеличивающий на
единицу цикломатическое число, в то же время увеличивает на
единицу наибольшее количество независимых циклов. Теорема до-
казана.
Следствие 1. Граф О не имеет циклов тогда и только
тогда, когда v(G) = 0.
Следствие 2. Граф G имеет один единственный цикл
тогда и только тогда, когда v(G) = l.
Теорема 3. В сильно связном графе цикломатическое число
равно наибольшему количеству независимых контуров.
В самом деле, рассмотрим 2-граф, получающийся заменой дуг
данного графа О ребрами, и элементарный цикл р.; вершины, встре-
чающиеся в цикле р, можно распределить по следующим множе-
ствам: множество 5 точек, обладающих тем свойством, что одна
из дуг р исходит из точки, а другая заходит в нее; множество S'
зависимы. Если at =£= 0, то можно также написать
с, = ^с!+ ... +^сй;
в этом случае говорят, что Ci линейно выражается через с2, сэ, .... cfe.
База векторного подпространства Е есть такое множество векторов
{е^ е2, ..., ед} из Е, что каждый вектор подпространства Е линейно выра-
жается через векторы наименьшее из чисел /г называется размерностью
подпространства Е.
В Е == Rm одна из баз образуется векторами
0, 0, .... 0), е2 = (0, 1, 0, ...» 0), ...» еда = (0, 0, 0,	1).
ХРОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО
37
точек, из которых исходит по две дуги р; множество S" точек,
в которые заходит по две дуги р (см. рис. 4 — 2).
Так как количество конечных точек равно количеству началь-
ных, то |SZ| = |S"|; итак, пусть x'v х'...х'к— элементы S',
а х" х".....х' — элементы S".
12	ft
В цикле р элементы S' чередуются с элементами S". и мы предпо-
ложим нумерацию вершин такой, что первая вершина после х'., не
принадлежащая S, есть х"\ наконец, если р0— путь, в котором вер-
шина х встречается раньше вершины у, то обозначим через р0[х, у]
частичный путь из х в у. Поскольку граф сильно связен, существует
контур проходящий через x'i_l_1 и х" и содержащий дуги р на
пути от -Ц+1 к х'^. Цикл р является лннейной комбинацией конту-
ров, ибо можно написать
и = |1|4 <] н,[4 <]-нЦ4 <]+••---
=-[>.[< x[j-i-p.jp;, x'j-rpp;. 4][4• 4]+
• •  — Чч + ^2 +   )
Значит, каждый элементарный цикл есть линейная комбинация кон-
туров, и то же справедливо для произвольного цикла (поскольку
он является линейной комбинацией элементарных).
В Rm контуры образуют базу векторного подпространства, порожден-
ного циклами, и в силу теоремы 2 эга база имеет размерность v(G);
поэтому наибольшее число независимых контуров равно \(О).
Хроматическое число
Пусть дано натуральное число р\ говорят, что граф О является
р-хроматическим, если его вершины можно раскрасить р различ-
ными цветами таким образом, чтобы никакие две смежные вершины
38
ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
не были окрашегы одинаково. Наименьшее число р, при котором
граф О является р-хроматическим, называется хроматическим чис-
лом этого графа н обозначается символом у (G).
Пример. Географическая карта.
Нарисуем на плоскости карту, содержащую множество X стран,
и положим (х, у) £ U. если страны х и у граничат между собой.
Рис. 4—3. 4-хроматическая карта (выбор цветов 0, 1, 2, 3
соответствует значениям некоторой функции Гранди для сим-
метрического плоского графа, изображенного жирными ли-
ниями; вершины цвета „О" образуют наибольшее множество,
которое можно закрасить в один цвет).
Граф (X, LT)— симметрический и обладает к тому же весьма приме-
чательным свойством: его можно начертить на плоскости так, чтобы
никакие два ребра не пересекались (в точках, отличных от гранич-
ных). Такие графы называются плоскими. Известно, что хроматиче-
ское число плоского графа никогда не превышает 5 (см. гл. 21);
таким образом, пяти красок достаточно для раскрашивания карпы
(плоской), при котором никакие две соседние страны не окраши-
ваются в один и тот же цвет.
Хроматическим классом графа называется натуральное число q,
обладающее следующими свойствами;
ХРОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО
39
1° каждое ребро графа можно окрасить в какой-нибудь из q цве-
тов таким образом, чтобы никакие два смежных ребра нс были
окрашены одинаково;
2° это невозможно сделать с помощью только q — 1 цветов.
Хроматический класс графа (X, U) совпадает с хроматиче-
ским числом графа (U, Г), определяемого следующим образом:
вершинами его служат ребра исходного графа, и и'^Ги, когда
Р н с. 4—4.
ребра и и и' исходного графа смежны (см. рис. 4 — 4). Таким об-
разом, задача определения хроматического класса сводится к изу-
чению хроматического числа.
Приводим несколько основных результатов, относящихся к хро-
матическим числам.
Теорема Кёнига. Граф является бихроматическим (т. е.
имеет хроматическое число2) в том и только в том случае, если
он не содержит циклов нечетной длины.
(1)	Рассмотрим граф (X, U) без нечетных циклов и покажем,
что он - - дихроматический. Граф можно предполагать связным
(в противном случае мы рассмотрели бы все его компоненты связ-
ности отдельно). Будем последовательно раскрашивать вершины по
следующему правилу:
Г произвольную вершину а окрашиваем в синий цвет;
2° если вершина х уже оказалась синей, то все смежные с ней
вершины окрашиваем в красный цвет; если вершина у—красная,
то все смежные с пей окрашиваем в синий цвет.
Так как граф связен, каждая его вершина рано или поздно
окажется окрашенной, причем никакая вершина х не будет одно-
временно синей и красной, ибо иначе х и а находились бы на од-
ном цикле нечетной длины. Следовательно, граф — бихроматичсский.
(2)	Если граф—дихроматический, то он, очевидно, не содержит
циклов нечетной длины, ибо вершины такого цикла невозможно
окрасить двумя цветами в соответствии с указанным требованием.
Замечание. Свойство:
(1)	Граф О не онеет циклов нечетной длины
равносильно свойству:
40
ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
(2)	граф О не имеет элементарных циклов нечетной длины.
Непосредственно ясно, что (l)z^(2); для доказательства того, что
(2)=^(1). допустим, чго существует цикл у. = [х0> Xj..xp=xD]
нечетной длины р. Каждый раз, когда имеются такие две вер-
шины х} и xk, что J < k < р и xf = хь, цикл и можно разбить
на два частичных цикла р.[лу хД и рДх0. Ху| -k р. [xft, х0], причем
ровно один из этих двух циклов имеет нечетную длину.
Ясно, что если продолжать таким же образом разбивать цикл у,
пока это возможно, то всякий раз будет оставаться в точности один
цикл нечетной длины; дойдя в конце концов до элементарных цик-
лов, мы получим противоречие с (2),
Эти результаты позволяют легко распознавать бихроматические
графы; что же касается других графов, то для них графические ме-
тоды определения хроматического числа неизвестны. Отметим,
однако, что во многих случаях благодаря следующей теореме
действенным орудием оказывается понятие функции Гранди.
Теорема 4. Пусть О — симметрический граф. Чтобы
граф О был р-хроматическим, необходимо и достаточно, чтобы
он допускал функцию Гранди g(x), для которой
max g (х) р — 1.
1° Если такая функция g(x) существует, то граф G является
р-хромагическим: в самом деле, достаточно числам 0, 1....р— 1
поставить и сооюетствие различные цвета и окрасить каждую вер-
шину х в тот цвет, который отвечает числу g(x).
2° Предположим, что граф р-хроматнческий, и докажем, что
на G существует функция Гранди, значения которой не превы-
шают р — 1.
Пусть So, S,.....— множества вершин с одинаковыми цве-
тами. Присоединим к все вершины из не смежные ни с одной
из вершин 50. Далее присоединим к So все вершины из S2, не смеж-
ные пи с одной из вершин 50 и вершин ранее присоединенных
к So. Затем последовательно поступим подобным же образом с мно-
жествами 53......Sp-r В результате получим множество Soz>So.
Пополняя подобным же образом множество S]\S0 не смежными
с ним вершинами из S2\S0, а затем из S3\S0 и т. д„ получим
множество Аналогично определяем множество S2, затем S3
и т. д.
Функция g(x), равная k при x£Sk, есть функция Гранди для
графа G, что и требовалось.
Указания для нахождения хроматического числа. Рассмотрим
граф Gen вершинами и т ребрами; для нахождения его хрома-
ХРОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО
41
тического числа можно воспользоваться эмпирическим способом,
весьма простым, непосредственно применимым, но не всегда эффектив-
ным; можно использовать и аналитический метод, который система-
тически дает решение, но требует, вообще говоря, применения
электронной вычислительной машины1).
Эмпирический способ состоит в том, чтобы, отправляясь от
произвольной раскраски цветами 1,2.....р. стараться постепенно
исключить какой-либо нз этих цветов (который объявляется „крити-
ческим цветом"). Для этого рассмотрим вершину х. имеющую этот
критический цвет, и компоненты связности С]*, C?k, ... подграфа,
порожденного вершинами двух некритических цветов / и k. Если
множества cf ПГх, С^ПГх и Т. д. не являются двухцветными,
то имеется возможность сразу изменить цвет вершины х: берем
отдельно каждую компоненту CJk, для которой все вершины (У* П Г*
нмеют цвет J. затем меняем ролями в этой компоненте цвета j и k
(не меняя цветов других вершин) и, наконец, окрашиваем краской j
вершину х (теперь уже не смежную ни с какой вершиной цвета /).
Аналитический метод проверки возможности раскрашивания
графа G посредством р цветов состоит в следующем. Каждому-
раскрашиванию р цветами можно поставить в соответствие систему
таких чисел “ (где I = 1, 2....п\ q = 1, 2.....р),	что
1, если вершина xi имеет цвет q;
О в противном случае.
Положим
]. если х( — граничная точка ребра up
О в противном случае.
Задача сводится теперь к отысканию таких целых чисел что
Г ^>0
24 = 1
V=1
3° 2	< 1
4=1
(/ = 1,2....н; q = 1, 2....р);
(/= 1, 2. .... те);
(7=1,2....т\ q = 1. 2.р).
Мы получили систему линейных неравенств, соответствующую,
как легко видеть, известным методам „линейных программ"; однако
’) Существует еще рекуррентный способ, (см. (6], [7], [8]). — Прим,
перев.
42
ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
в данном случае требуется выяснить, имеет ли эта система решения
в целых числах, и только совсем недавно был разработан система-
тический способ для нахождения такого решения1).
Рассмотрим теперь два различных графа О и Н\ может оказаться
желательным определить хроматическое число их суммы Q-^H
или их произведения О X Н (см. гл. 3). Имеют место следующие
результаты:
Теорема 5. Пусть О — (рД-1)-хроматический граф,
Н—(q^j- ^-хроматический граф-, обозначим через г наибольшую
из d-сумм p'-\-q', где p'^Lp- q' ^.q-, тогда граф О-\-Н яв-
ляется (гхроматическим.
Действительно, всегда можно предположить, что графы О н Н
симметрические (это никак не изменит ребер графа О-4-Н); по-
строим для О функцию Гранди g(x) с наибольшим значением, не
превосходящим р, а для И— функцию Гранди h (х) с наибольшим
значением, не превосходящим q, в соответствии с предыдущей тео-
ремой. В силу теоремы 8 (гл. 3) граф G — Н допускает функцию
Гранди с наибольшим значением, не превосходящим г; отсюда и
следует справедливость утверждения.
Например, читатель легко проверит, что если О 6-хроматический,
а Н 7-хроматический граф, то граф GН является 8-хрома-
тическим, потому что
Г = б-Н =0’	1)^7.
Теорема 6. Если G и Н—два различных графа с хрома-
тическими числами р и q, a r = min {р. q], то граф О X Н яв-
ляется г-хроматическим.
Предположим для определенности, что p-^q, и раскрасим
граф G с помощью р цветов; в графе О X И придадим вершине
; = (х, у) тот же цвет, который имеет х в О, Тогда смежные вер-
шины графа G X Н будут иметь различные цвета (ибо иначе в G
имелись бы одинаково окрашенные смежные вершины).
Ч. И Т. Д.
Эту теорему можно выразить еще и так:
Т(0ХЖ™1[т(°)‘ 7(Я)Ь
’) Этот систематический способ, которым мы обязаны Гомори [9], осно-
вывается на симплекс-методе Данцига (G. Dantzig) и в общих чертах
состоит в том, что сначала решается обычная линейная программа, а затем
если какой-нибудь из переменных в этом решении отвечает нецелое число,
то составляется некоторая новая система неравенств, которым удовлетворяют
искомые целочисленные значения, но не удовлетворяют уже найденные.
Число внутренней устойчивости
43
Число внутренней устойчивости
Рассмотрим граф О = (X. Г); множество SczX называется
внутренне устойчивым, если никакие две вершины S не смежны,
другими словами, если
Г5П5=0.
Обозначим через семейство всех внутренне устойчивых мно-
жеств графа; имеем
Лс5
По определению, число внутренней устойчивости графа О есть
а (О)	шах IS |.
sc? '
Пример 1 (Гаусс). Задача о восьми ферзях.
Можно ли на шахматной доске расставить восемь ферзей так,
чтобы ни один из них не находился под ударом какого-либо дру-
гого? Эта известная задача сводится к нахождению наибольшего
внутренне устойчивого множества в симметрическом графе с 64 вер-
шинами (клетки шахматной доски), где у£Гх, когда клетки х и у
находятся на одной и той же горизонтали, вертикали или диагонали.
Задача значительно труднее, чем кажется на первый взгляд: Гаусс
первоначально предполагал 76 решений, а в берлинском шахматном
журнале „'Schachzeitung“ в 1854 году было опубликовано всего
40 позиций, найденных различными любителями шахмат. На самом же
деле существует 92 решения, как показывают следующие 12 диаграмм:
(72631485)
(35841726)
(16837425)
(51468273)
(61528374)
(46152837)
(57263184)
(42751863)
(58417263)
(57263148)
(48157263)
(35281746)
44
ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
Каждой перестановке отвечает диаграмма, как на рис. 4-5.
а каждая диаграмма, кроме той. которая соответствует последней
перестановке, порождает восемь различных решений: три возникают
при повороте данной диаграммы на 90°, 180° и 270°, а остальные
четыре — при зеркальном отображении каждой из четырех получив-
шихся диаграмм относительно главной диагонали; последняя пере-
становка (3528174G) дает только четыре решения, так как соответ-
ствующая диаграмма при повороте доски на 180° переходит сама
в себя.
Пример 2. Кликой симметрического графа называется такое мно-
жество С ст А”, что
х у £ С у £ Гх.
Если X—множество лиц, а у£Гх означает согласие между х
и у, то часто требуется разыскать „максимальную клику“, т. е.
общество с наибольшим числом членов. Определим отображение Г'
следующим образом:
у^Г'хф==^у^Гх.
Задача сводится к нахождению наибольшего внутренне устойчивого
множества в графе (X. Г').
Пример 3. Задача о пятнадцати девушках, которая была пред-
метом многочисленных математических работ, может быть сформу-
лирована следующим образом: в пансионе воспитываются пятнадцать
молодых девушек, которых мы обозначим буквами a, b, с, d, е, ft
g, h, I, j, k, I, m, n, о; они ежедневно выходят на прогулку трой-
ками; возможно ли в течение семи дней составлять тройки таким
образом, чтобы никакие две девушки не попадали в одну и ту же
тройку более одного раза?
Пользуясь соображениями симметрии, Кэли нашел следующее
решение:
Воскресенье	Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота
afk	abe	alm	ado	agn	ah]	aci
bgl	СПО	bef	bik	bdj	brnn	bho
chm	dfl	deh	cjl	cek	edg	dkm
din	ghk	gio	egm	(mo	efi	cln
ejo	ijm	jkn	fhn	hil	klo	fgj
Задача о пятнадцати девушках родственна другой, столь же из-
вестной задаче, которую мы назовем вспомогательной задачей:
можно ли из 15 девушек последовательно составить 35 различных
троек так, чтобы никакие две девушки не входили вместе более чем
ЧИСЛО ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
45
в одну тройку? Для решения вспомогательной задачи достаточно по-
строй ib граф О, вершинами которого служат все 455 возможных
троек, причем две тройки считаются смежными, когда в эти тройки
входяг одни и те же две девушки; тогда требуется найти наиболь-
шее внутренне устойчивое множество. Имеем a(G)-<^35, так как
никакая девушка не может входить более чем в семь различных троек,
а это дает самое большее 15Х7Х]/з = 35 троек; поэтому всякое
внутренне устойчивое множество из 35 троек максимально.
Чтобы показать, что решение вспомогательной задачи даст также
ответ на задачу о пятнадцати девушках, построим граф G', верши-
нами которого служат какие-либо 35 гроек, дающие решение вспо-
могательной задачи, причем две тройки считаются смежными, когда
в них входит одна и та же девушка; если хроматическое число *[ (О')
равно 7, то задача о пятнадцати девушках решена; если же у (О') >7,
то надо выбрать другое множество троек, дающее решение вспомо-
гательной задачи. Нетрудно проверить, что существуют такие реше-
ния вспомогательной задачи, которые не приводят к решению задачи
о пятнадцати девушках.
Замечание 1. Хроматическое число у (О) и число внутренней
устойчивости а (О) связаны неравенством
«(О) - Т (О) > ! ^|.
В самом деле, можно разбить X на у (О) внутренне устойчивых
множеств, образованных вершинами одинакового цвета и содержащих
соответственно т}, т2, ...,
вершин. Поэтому'	|
X
। х | = тх 4“ ^2 4- • • 
... 4~ а (О) 4-* (0)4- •••
... 4-a(G) = т (G) . а(0).	/ \ р\
Замечание 2. Можно поста-	/	\
вить вопрос, не являются ли связи р /	\ 1
между обоими понятиями более
тесными и нельзя ли найти хрома-	--------------45ЖС °
тическое число, окрашивая сначала сг°/ ъ°
в цвет (1) наибольшее внутренне	о
устойчивое множество Sp затем	Рис. 4—6.
в цвет (2) наибольшее внутренне
устойчивое множество S2 подграфа, порожденного вершинами X\Sj,
далее в цвет (3) наибольшее внутренне устойчивое множество остав-
шегося подграфа и т. д. Оказывается, это не так, что видно на
примере графа, изображенного на рис. 4—6 (его хроматическое
число, очевидно, равно 4): вершины, изображенные белыми кружками,
образуют единственное наибольшее внутренне устойчивое .множество,
46
ГЛ. -1 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГР4ФОВ
но если их окрасить в один цвет, то остальные вершины a, b, с, d
надо было бы окрасить с помощью только трех цветов, а это, оче-
видно, невозможно.
Иногда для двух графов G и И возникает вопрос о нахождении
числа внутренней усюйчивости произведения GX7/.
Пример (Шеннон |5]). Задача об информационной емкости
множества сигналов.
Рассмотрим простейший случай одного передатчика, который
может передавать пять сигналов a, b, с, d, е\ при приеме каждый
из этих сигналов может быть истолкован двояко: сигнал а дает р
или q, сигнал b дает q или г, и т. д. как показано на схеме,
изображенной па рис. 4—7. Какое наибольшее число сигналов можно
принять, не рискуя спутать их
друг с другом ? Задача сводится
к нахождению наибольшего
внутренне устойчивого множе-
ства 5 графа G (рис. 4—8), где
две вершины смежны, если они
представляют такие сигналы,
которые можно спутать при
приеме; очевидно, a(G) = 2 и
можно взять S = {а, с}.
Вместо однобуквенных сиг-
налов можно пользоваться
„словами** из двух букв с та-
ким расчетом, чтобы эти слова
не путались друг с другом при приеме. Из букв а и с, которые
нельзя спутать, coci является код: аа, ас, са, сс\ таким образом,
получаются [a(G)]2 — 4 слова. Но можно составить еще более бо-
гатый код: аа, be, се, db, ed. (Непосредственно проверяется, что
никакие два из этих слов спутать одно с другим при приеме нельзя.)
Назовем здесь произведением двух графов G = (X, U) и H=(Y, V)
граф Оу(Н, вершинами которого служат пары jvy, где х£Х, у£ Y,
причем две вершины ху и х'у' смежны, если они удовлетворяют
одному из следующих условий:
1°
2°
х = х', (у, у')£У;
(х, х') £ U, у = у';
За
(х. x')£U, (у, у')£У.
(Это определение несколько отличается от определения, данного
б гл. 3, но мы не будем вводить другого обозначения.) Для графа О,
изображенного на рис. 4—8, два слова ху и х'у' могут быть пере-
путаны, если они являются двумя смежными вершинами графа-про-
ЧИСЛО ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
47
изволения G = G‘2, и богатство кода с двухбуквенными словами
выражается числом a(G2) = o; в более общем случае богатство кода
с n-буквенными словами выражается числом внутренней устойчивости
графа-произведения
Gn = GyGy XG.
Лемма 1. Для двух графов G и 11
z(G > а ((7) • а (Я).
Действительно, если 5 и Т — наибольшие внутренне устойчивые
множества соответственно для G и И, то декартово произведение
SyT является внутренне устойчивым в графе G У И, откуда
* (G X Н) > | S X Т | = | S | X | Т\ = а(О)а(Н).
Эта лемма подсказывает нам следующее определение: назовем
емкостью графа G число
9 (G) _4= sup Vа (Х1)-
п
Имеем 0(G)^a(G); мы собираемся показать, что почти всегда
9 (G) =- a (G).
Между прочим, Шеннон установил, что граф О, изображенный
на рис. 4—8, является единственным графом с числом вершин менее
шести, для которого 6(G)=£a(G); фактически его емкость 9(G) не
удалось определить, и известно лишь, что
/5 < 0(0)<4-
Рассмотрим однозначное отображение о множества X в себя;
такое отображение называется сохранным, если
УфХ. у f Гх =$> а(у)^=а(х), а (у) (£ Га (х).
Это отображение сохраняет свойство пары вершин „быть несмеж-
ными и различными*.
Лемма 2. Сохранное отображение о переводит внутренне
устойчивое множество 5 во внутренне устойчивое множество а (5),
и при этом |5| —|5(S)[.
В самом деле, ввиду однозначности отображения о имеем
| о (S) | XI I» а так как о сохранно, то | з (5) | = 151.
Лемма 3. Если множество а (X) внутренне устойчиво, то
число внутренней устойчивости графа G есть a (G) = | с (Х)|.
Действительно, раз а(Х) внутренне устойчиво, то
10 (X) | .<^ max | S j = a (G),
48
ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
С другой стороны, если 50 — наибольшее внутренне устойчивое
множество, то, в силу леммы 2,
I а (X) ! > | о (S„) I = I S'o I = 2 (О).
Отсюда
а (О)= | о (Х)|.
Теорема 7 (Шеннон). Если хотя бы для одного из графов G
и И существует сохранное отображение о, переводящее множе-
ство вершин этого графа во внутренне устойчивое множество, то
а.(О X //) = а(О)а(Я).
Достаточно показать, что ct(G /	пусть а — со-
хранное отображение для G, при котором о(Х) внутренне устойчиво,
и пусть — отображение множества вершин графа G X Н в себя,
определенное следующим образом:
О0(х, у) = [а(х), у].
Отображение а0 переводит две несмежные различные вершины
; = (х, у)и£/ = (х', у') в две несмежные различные вершины (ох, у)
и (ох\ у') и поэтому сохранно.
Если — наибольшее внутренне устойчивое множество графа
G У И, то a(G у Н) = |50| = |о0(50)| в силу леммы 2; распределим
элементы о0(50) по различным классам в зависимости от первой буквы
каждого слова. Согласно лемме 3 получим | о (X) | = а (О) различ-
ных классов. Поскольку никакие два элемента из не смежны,
каждый класс имеет самое большее а (Я) элементов, значит
а(О х Н) = |з0(50)| <а(О)я(//).
Следствие. Если множество вершин графа G при помощи
сохранного отображения о можно перевести во внутренне устой-
чивое множество, то емкость этого графа совпадает с числом
внутренней устойчивости.
В самом деле,
a(0x0) = [a(G)]2,
а (О X G X G) = |а (О)]2 а (О) — [х (ОД3
и т. д.;
отсюда
О (О) — sup К а (Оа) = а(0).
П
Число внешней устойчивости
Пусть дан граф G = (X, Г); говорят, что множество ТаХ внешне
устойчиво, если для каждой вершины х 1 имеем Гл П 7	0,
иначе говоря, если Г {1zdX\1,
ЧИСЛО ВНЕШНЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
49
Вели J* — семейство всех внешне устойчивых множеств графа, то
хе 7.
767. X' ле<7.
По определению, числи внешней устойчивости графа G есть
р(О) — пйп I Т\.
Задача, которая нас сейчас интересует, заключается в построении
внешне устойчивого множества с наименьшим числом элементов,
Пример 1. Задача о часовых. В тюрьме города N около каждой
камеры может быть поставлен	г
часовой. Однако часовой, стоя-	х^х'
ший, например, у камеры xQ,	\\
видит также, что происходит	\
в камерах Хр х2, хЛ и >'4, от	\	^^х
каждой из которых к камере Л'о \
идет коридор, как показано	\	Хз
на рис. 4—9. Каково наимень-	\г/
шее количество часовых, не-	______________ X,.
обходимое для наблюдения за	хч
всеми камерами? Требуется	Рис. 4—9.
найти число р внешней устой-
чивости симметрического графа, изображенного на рис. 4—9; для
этого весьма простого плана р = 2.
Пример 2. Задача о пяти ферзях.
Сколько ферзей достаточно расставить на шахматной доске так,
чтобы каждая клетка доски находилась под ударом хотя бы одного
из них?1) Эта задача сводится к отысканию наименьшего внешне
устойчивого множества в графе с 64 вершинами (клетки доски),
у которого (х, тогда и только тогда, когда клетки х и у
расположены па одной и той же горизонтали, вертикали или диа-
гонали.
Число внешней устойчивости р = 5 для ферзей, [3 = 8 для ладей,
Р=12 для коней. р = 8 для слонов (см. рис. 4—10).
Пример 3. Задача о шести красных дисках.
Любителям французских ярмарок хорошо известна следующая
игра: большой белый диск (радиус которого примем за единицу)
лежит на столе; требуется полностью покрыть его шестью малень-
кими красными дисками (радиуса р< 1), которые последовательно
1) Считая, что клетка, занимаемая фигурой, тоже находится под се уда-
ром — Прим. переи.
4 К. Берж
50
ГЛ. 4. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
кладут на стол, а положив, более уже не перемещают. При каком
наименьшем радиусе р это возможно?
Задача сводится к нахождению наименьшего внешне устойчивого
множества Т для бесконечного графа (X. U), где X— множество
точек белого диска, а (х, y)£U, когда расстояние d(x, у) между х
и у не превышает р.
(3(G2)=Z?
₽(G3)=8

Рис. 4—10.
Для отыскания наибольшего внутренне устойчивого множества
или наименьшего внешне устойчивого множества можно последова-
тельно рассматривать каждое множество Тс.Х и проверять, удовле-
творяет ли оно всем требуемым условиям. Конечно, в общем случае
этот метод исключения практически недоступен, и надо прибегнуть
к какому-либо алгорифму, т. е. к сокращенному способу таких вы-
числений (иногда предполагается использование быстродействующих
электронных вычислительных машин).
ЧИСЛО ВНЕШНЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
51
Ниже мы изложим такой алгорифм для определения наибольшего
внутренне устойчивого множества, непосредственно вытекающий из
дальнейших теорий (гл. 10 для бихроматнческих графов, гл. 18 для
общего случая). Так, например, решить задачу о восьми ферзях при
наличии хорошего алгорифма можно менее чем за три минуты, в то
время как способ исключений потребует десятка часов; кроме того,
следует заметить, что для конкретной расстановки невозможность
увеличения числа ферзей доказывается весьма простым рассуждением;
в более общем случае тоже нужен простой критерий для проверки,
является ли внутренне устойчивое множество наибольшим, и только
хорошо задуманный алгорифм может нас удовлетворить.
Нахождение наименьшего внешне устойчивого множества пред-
ставляет собой более элементарную задачу, которую можно решать
следующим образом,
Алгорифм для нахождения наименьшего внешне устойчивого
множества. Рассмотрим для примера граф G — (X, Г), изображен-
ный на рис. 4—11, и определим отображение Д множества
Х~ (а, Ь, . . .} в новое множество
Х = > Ъ. . . .)
следующим образом:	/ I
у н Xt	у - х или у^Г 1лч	/ т
Тем самым построен так называемый \	1 //
простой [раф1), который мы обозначим \ / I I/
через (X. X, А) (рис. 4—12): если V
Т—внешне устойчивое множество графа G, f	С
то АГ — X; наоборот, если АТ=Х, то	Рис. 4—11.
множество Т внешне устойчиво в G. За-
дача свелась, таким образом, к определению наименьшего множества
ТсХ, для которого АГ—X.
Г Удаляем из простого графа каждую такую вершину х, что
ДлгсЛу для некоторой вершины у х (в самом деле, с точки зре-
ния нашей задачи вершина у будет полностью заменять вершину х).
В нашем примере мы удаляем, таким образом, вершины с, d, f.
2° Если г простом графе имеется висячее ребро (д', у), то, оче-
видно. х£Т. В данном примере множеству Т заведомо принадлежит
вершина а.
3° Исключим из простого графа вершину а, уже входящую в Т,
и множество Д<2 — [а, Ь, е}; в результате получается граф, изобра-
женный па рис, 4—13.
’) Общее определение простого графа, в данный момент не нужное,
дается в гл. 10. — Прим, перев.
4*
52
ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
4° Снова пытаемся удалить некоторую вершину, как в 1°, или
исключить вершину, заведомо принадлежащую Т, как в 2°; если
а b с d	е f д
Рис. 4—12.
упростить граф уже нельзя (как в данном примере), то назовем его
неприводимым. Временно отнесем в Т произвольную вершину, ска-
жем Ь.
5° Исключим, как в 3°, вершину b и множество Ad = {d, е, /}.
6° Продолжаем упрощение, как выше: из полученного графа
можно исключить вершину g, так как bgcAe = jgj. Включая в Т
последнюю вершину е, получаем решение Т~{а, Ь, *}.
Если в 4° попробовать вместо b включить в Т вершину g или е,
то результат не улучшится; поэтому найденное в 6е решение удовле-
творяет поставленным условиям.
ГЛАВА 5
Ядра графа
Теоремы существования и единственности
Пусть G—\Х, Г)-— конечный или бесконечный граф. Множество
S<zX называется ядром графа, если S устойчиво как внутренне, так
и внешне, т. с. если
(1)	л-С5=фГл:П5= 0,
(2)	х ft 5=>Гл:П5 =# 0.
Из условия (1) вытекает, что ядро S не содержит петель, из
условия (2) — что 5 содержит все такие вершины х, для которых
Гх = 0; очевидно, пустое множество 0 не может быть ядром.
Пример 1 (фон Нейман — Моргенштерн [3]). Понятие ядра перво-
начально было введено в теории игр под названием „решения".
Пусть имеется п игроков (I), (2), ..., (п), которые могут сове-
товаться при выборе ситуации х из множества Л’; если игрок ft)
предпочитает ситуацию а ситуации Ь, то пишем а~^>1 Ь, и ясно, что
‘ есть тотальный квазипорядок (пример 3 гл. 2). Так как отдель-
ные предпочтения 1 могут нс быть совместимы, то приходится
вводить понятие эффективного предпочтения >-. Если ситуация а
эффективно предпочитается ситуации Ь, то это означает, что суще-
ствует множество игроков, которые, считая а лучше Ь, имеют воз-
можность добиться того, чтобы угодная им точка зрения одержала
верх; в эюм случае пишем а >- Ь. Если, кроме того, b > с, то
существует множество игроков, способных сделать так, чтобы одер-
жала верх ситуация Ь\ но так как второе множество не обязательно
совпадает с первым, то может не быть а >- с: отношение >- не тран-
зитивно!
Теперь рассмотрим граф fX, Г), где Га' означает множество
ситуаций, эффективно предпочитаемых ситуации х. Пусть 5 — ядро
графа (если оно существует); фон Нейман и Моргенштерн предлагают
') Термином эффективное предпочтение мы обязаны Гильбо, изло-
жившему [2] на основе этого термина; фон Нейман и Моргенштерн поль-
зовались понятием доминирования. О различных математических формули-
ровках эффективного предпочтения см. Берж [1], гл. V.
54
ГЛ. 5 ЯДРА ГРАФА
ограничивать игру элементами S. Внутренняя устойчивость S выра-
жает тот факт, чю никакая ситуация из S не может эффективно
предпочитаться какой-либо другой ситуации из S, а это обеспечивает
известную сплоченность; внешняя устойчивость означает, что любой
ситуации х не из S эффективно предпочитается некоторая ситуация
из 5, в силу чего ситуация х сразу же отвергается.
Пример 2. Рассмотрим некоторый граф (X, Г), допускающий функ-
цию Гранди g(x); множество S = \x/g (х) = 0} служит ядром этого
графа, так как
(1)	х£ £=^Гх fl S =т 0;
(2)	х (£ S=^g(x)^=0, значит ГхГ|5¥=0.
Пример 3. Не всякий граф обладает ядром: в этом читатель может
самостоятельно убедиться па примере графа, изображенного на
Рис. 5—1.
рис. 5--1; если граф имеет ядро $0, то его числа устойчивости удо-
влетворяют условию
a(G) = max I S | ^> | So | min [ Т| — р (G).
5^3	ГС/
У графа G, изображенного на рис. б—1, нет ядра, поскольку
аС<7)= 1 < 2 = p(G).
Напротив, у графа G', изображенного на рис. 5—2, есть два
ядра: S' и S".
Предложим теперь критерии, позволяющие узнавать, имеет ли
граф ядро и является ли оно единственным.
Теорема 1. Если S — ядро графа {X, Г), то множество S —
максимальное в семействе § внутренне устойчивых множеств,
т. е.
А£&. A^S=^A = S.
Пусть А- внутренне устойчивое множество, содержащее ядро 5;
предположим, что А строго содержит S, и покажем, что это при-
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
55
водит к противоречию. В самом деле, тогда существовала бы
такая вершина а, что а£А, а£8, откуда Га П S =/-0 и, значит,
Га П Д 0 в противоречии с условием
Теорема 2. В симметрическом графе без петель каждое
максимальное множество семейства S внутренне устойчивых
множеств представляет собой ядро.
Пусть S—максимальное множество из надо показать, что
для любой вершины x^S имеет место Гх Г) S Ф 0. В самом деле,
если Гх Г) S Ф 0 для некоторой вершины x£S, то множество
Д = 511 |х| внутренне устойчиво (поскольку х^Гх) и в то же
время .4 о S, Д=/=5, что противоречит предположению о макси-
мальности 5 в §.
Следствие. Симметрический граф без петель обладает
ядром.
В самом деле, образуем вспомогательный граф (§, Г), вершинами
которого служат внутренне устойчивые множества данного симметри-
ческого графа, a S£FS' тогда и только тогда, когда 5 о S'.
Вспомогательный граф — индуктивный, следовательно, по лемме
Цорна (гл. 3) существует вершина без строго последующих.
Множество S является максимальным внутренне устойчивым и, зна-
чит, в силу теоремы 2, ядром.
В случае когда данный симметрический граф конечен, это след-
ствие становится очевидным и процесс нахождения ядра сосюит
в следующем.
Берем произвольную вершину ху и полагаем S0={x0|; затем
берем некоторую вершину х2(£Г$0 и полагаем = (х0, xj; далее
берем вершину х2(£Г$1... , и т. д. Так как граф конечен, то
рано или поздно мы получим — X, и Sn, как максимальное мно-
жество в $, будет ядром.
Характеристической функцией ср5(х) множества S называется
функция
е ч ( 1 при х£5,
9с(х) = /
I 0 при х (£$.
Если Гх = 0, то условимся считать, что
max ср. (у) = 0.
уегх
Теорема 3. Для того чтобы множество S было ядром,
необходимо и достаточно, чтобы для характеристической
функции cps (х) выполнялось соотношение
<?4. (х) = 1 — max о (у).
°	«г ги °
56
ГЛ. 5. ЯДРА ГРАФА
1° Пусть S — ядро. В силу внутренней устойчивости
ср (х) = 1 =ф х £ S сф шах » (у) — 0.
В силу внешней устойчивости
(Л) = 0 =ф х £ S сф max <р„ (у) = 1.
у€гх
Отсюда получается требуемое соотношение.
2° Пусть ср5(х)— характеристическая функция некоторого мно-
жества 5; если рассматриваемое соотношение выполнено, то
х £ S гф (х) = 1 =ф max cps (у) — 0 гф Гх П S = 0,
у С Гх
х S гф (х) = 0 гф max ср (у) = 1 гф Гх П 5 ф 0.
Уёгх
Следовательно. 5 — ядро.
Теорема 4. Прогрессивно конечный граф обладает, ядром.
Доказательство получается сразу, если заметить, что характери-
стическая функция <р5(х), удовлетворяющая соотношению преды-
дущей теоремы, по индукции определяется на множествах:
Х(0) = {х/Гх = 0),
Х(1) = |х/Гхс:Х(0)1,
X(2j = {х/Гхс:Х(1)),
Теорема 4 (гл. 3) показывает, чго оким путем ср будет опре-
делена на всем Лг.
Теорема Ричардсона. Конечный граф, не содержащий
контуров нечетной длины, обладает ядром.
Пусть Г) — конечный граф без нечетных контуров; будем
последовательно определять множества /0, Гр У2, ... с: Д' следую-
щим образом.
1° Берем	обозначим через BQ базу (см. гл. 2) подграфа,
порождаемою множеством Л\К0; эта база существует в силу тео-
ремы 1 (гл. 2). Полагаем Г] = 50иГ~1^0-
2° Если множество Yп уже определено, то обозначим через Вп
какую-либо базу подграфа, порождаемого множеством А'ХКд,
удовлетворяющую условию ВлаГ”	\ К^). Легко видещ
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
57
что такая база всегда существует!); далее полагаем

Тогда
0 = ¥,><=	<=К2с=с= ... .
Так как граф предполагается конечным, то существует такой
номер /и, что Ут = Л'; пусть
т-1
s=LK
л = 0
Покажем, что 5—ядро графа (X Г).
1Э S внешне устойчиво, ибо если х(£$. то	для
некоторого номера Л, значит ГхПВЛ=уЬ0 и ГхП5^0.
2Э 5 внутренне устойчиво. В самом деле, никакие два элемента
из Вп не могут быть смежны (ибо Вп является базой некоторого
подграфа); рассмотрим две смежные вершины, одна из которых £.Вп,
другая £ Вр. где р < п (если такие вершины есть). Имеем
ибо Г-1ВрсУр+1 и	Точно
так же 5рлГ'1Вг1=0, так как в противном случае можно было бы
’) Для доказательства того, что граф	\ У ) имеет базу
й,сГ|(Г'Вл.|\Гл.,),
рассмотрим какую-нибудь базу Вп и вершину без строго последующих,
выбранную для нос1роения Вя в соответствии с теоремой 3 (гл. 2); доста-
точно показать, что в Х\ Уп найдется вершина Ь, которой можно заменить
вершину а0 и для которой
п	п
(1) & = (где > — отношение квазипорядка в графе, порожденном
множеством Уп),
(2)
В графе	) существует путь ц — [а0, а,,..., Ь'],
ведущий из а0 в Вп-ъ пусть — первая вершина пути р, принадлежа-
щая Y„. Так как ае g X \ J",,., ае g	то ак £ Г~1В„^, \
(Предполагается, что множество Уп определено по формуле Yn —
= Ул_| U ^п-\II &п-1- Если бы	т0 вершила принадлежала бы
Г“1Сл_1с Yn и, таким образом, не была бы первой вершиной пути р.,
принадлежащей Уп. Следовательно,	а так как ak^.Yrl_}, то
\	— Прим, ред.) Ьсршина = удовлетворяет как
условию (1), ;ак л условию (2).)
58
ГЛ. 5. ЯДРА ГРАФА
построить такой путь р. = |х„. х„,	у,,^. лг„_2...ур. хр|,
ЧТО
л-ое«„. х^'в,-,
хп-1^В„_у,
ype^'B„\Yp,
ХР^ВР.
Заметим, что все вершины пути р, принадлежат Х\ ¥ и что р
идет из Xo£ftp в хр£Вр (см. рис. 5—3); так как Вр—база под-
графа, порожденного множеством ?C\}Z то xQ = xp, таким обра-
зом, путь р представляет собой контур нечетной длины, что про-
тиворечит условию теоремы.
Обобщение 1. Вполне индуктивный граф, не содержащий
контуров нечетной длины, имеет ядро.
Действительно, поскольку всякий подграф вполне индуктивного
графа обладает базой, доказательство в точности совпадает с преды-
дущим: определяются по индукции множества ¥а (где а может теперь
быть трансфинитным порядковым числом).
ПРИЛОЖЕНИЕ К ФУНКЦИЯМ ГРАНДИ
59
Обобщение 2. Локально конечный граф G — (X, Г), не со-
держащий контуров нечетной длины, имеет ядро.
Это следует из теоремы Радо (гл. З)1 * * *).
Приложение к функциям Гранди
Условия существования, установленные для ядер, можно распро-
странить на функции Гранди благодаря следующим результатам.
Теорема 5. Если каждый подграф графа {X, Г) обладает,
ядром, то граф (X, Г) допускает функцию Гранди.
В самом деле, пусть 50—ядро графа (2f, Г), далее, S, — ядро
подграфа, порожденного множеством Л’1=Л’\$0, затем 52 — ядро
подграфа, порожденного множеством А”2 = Л1\31, и т. д.
вообще положим Ха = Хл_^ \ $в_Р если а — порядковое число
первого рода;	если а — порядковое число второго
рода (заметим, что 3> з влечет	и в силу принципа
индукции существует порядковое число 7, при котором XT = 0).
Множества 5а образуют разбиение X, и каждой вершине х мы
отнесем порядковое число g (х) следующим образом:
1) В самом деле, пусть (Л. Гл)— произвольный конечный подграф G;
в силу теоремы Ричардсона, он имеет ядро Положим £0 = {О, I},
£ (0) = Е ({°}) = {'} Е «!}) = Е ({0, 1}) = {0}. Функция
[1 при X е 5Д
f А W = ( .	> „
( 0 ПРИ х £ SA
удовлетворяет условию теоремы Радо, ибо если х С то <р (х) = 1,
Ч’л(Глх) = <0> или 01 £(’а(Гах)) = {'>. а если Зд, то ?д(х) = 0,
<рд (Гдх) = {!} или {0, 1}, Е (ф д (Г.х)) -= ;0) и в обоих случаях ?д(х)с
$Е (у (Гл*)). По теореме Радо существует функция у (х), определенная
иа всем X и такая, что (х) £ £ (у (Гх)). Тогда множество
S = {х/х£ X, (х) --= 1}
является ядром G, так как
х 6 S =$ у (х) = 1 =5> Е (? (Гх)) У 1 пф
=^<р(Гх) =фГхЛ5 = 0,
х £ S =9 у (х) = 0 =ф Е (у (Гх)) J 0 —>
(Гх) э 1 =ф ixf)/? ¥= 0- — Прим, перев.
GO
ГЛ. 5. ЯДРА ГРАФА
Покажем, что g(x)— функция Гранди.
(1) Пусть g(x) = a; покажем, что для любого < а найдется
вершина у£Гх, удовлетворяющая условию g(y) = $.
Так как х£\ и я > р, то х^ЛасгЛр, х £S?i. Так как —
внешне устойчивое множество подграфа, порожденного множест-
вом А^, то в 5р существует вершина у £ Гх; иначе говоря, в Гх
есть такая вершина у, что g(y) = ₽.
(2) Пусть g(x) = a; в Гх не существует такой вершины у,
что g(y) = v., ибо иначе множество S3 не было бы внутренне
устойчивым.
Условия (1) и (2) вместе выражают, что g(x) есть функция
Гранди.
Следствие 1. Симметрический граф допускает функцию
Гранди в том и только том случае, если он не имеет петель.
(Ясно, что граф с петлей не может допускать функций Гранди.)
Следствие 2. Граф без контуров нечетной длины, являю-
щийся или конечным, или локально конечным, или индуктивным,
допускает функцию Гранди.
Замечание. Пусть графы Glt G2....... Gn обладают ядрами;
имеет ли ядро нх сумма (или их произведение)? Безотказным ору-
дием для определения ядра суммы графов служит понятие функции
Гранди (впрочем, это мотивирует также важность понятия ядра для
теории функций Гранди). Комбинируя теорему 8 (гл. 3) с теоре-
мой 5 настоящей главы, мы видим, что если все подграфы графа Gi
обладают ядрами (при всех I), то сумма
допускает функцию Гранди g, а значит, и ядро S= [x/g(x) = 0|.
В следующей главе мы познакомимся с применениями этого
важного замечания.
ГЛАВА 6
Игры на графе
Игра Пим
Граф (X Г) дает возможность определить некоторую игру двух
игроков, которых мы назовем (Л) и (29). Положениями этой игры
служат вершины графа; начальная вершина х0 выбирается жеребьевкой,
и противники играют поочередно: сперва игрек (Л) выбирает вер-
шину ху в множестве Гх0, затем (В) выбирает вершину х2 в мно-
жестве Гхр после этого (Л) опять выбирает вершину х'3 в Гх2,
и т. д. Если один из игроков выбрал вершину xk, для которой
Txk — 0, то партия оканчивается; игрок, выбравший вершину
последним, выиграл, а его противник проиграл. Ясно, что если
граф не является прогрессивно конечным, то партия может никогда
не окончиться.
В честь известного развлечения, которое здесь обобщено, будем
описанную только что игру называть игрой Ним, а определяющий
ее граф обозначать через (X, Г); сейчас наша задача состоит в том,
чтобы охарактеризовать выигрышные положения, т. е. те вершины
графа, выбор которых обеспечивает выигрыш партии независимо от
ответов противника. Главным результатом является следующая
Теорема 1. Если граф имеет ядро S и если один из игроков
выбрал вершину в ядре, то этот выбор обеспечивает ему вы-
игрыш. или ничью.
Действительно, если игрок (Л) выбрал вершину xt £ S, то либо
rxv — 0, и тогда он уже выиграл партию, либо его противник (В)
вынужден выбрать вершину х2 в 2Г\5, а значит, следующим ходом
игрок (Л) может выбрать опять в 5 и продолжать в том же
духе. Если в какой-либо определенный момент один из игроков
выиграл, выбрав вершину xk. для которой Гхк = 0, то xk£S и
выигравшим партнером необходимо является (Л).
Ч. И Т. Д.
Основной метод для хорошего игрока состоит, следовательно,
в вычислении какой-либо функции Гранди, если она существует;
с помощью этой функции g(x) получаем ядро
S = {xlg (х) = 0J
62
ГЛ. 0. ИГРЫ НА ГРАФЕ
рассматриваемого графа. Если начальная вершина такова, что
g(xo) = O, то игрок (Д) находится в критическом положении, ибо
его противник может обеспечить себе выигрыш или ничью; напротив,
если g(.rn)=A0, ю игрок (Д) сам обеспечивает себе выигрыш или
ничью, выбирая такую вершину что ^(х,) = 0.
Следствие. Если граф прогрессивно конечен, то существует
одна и только одна функция Гранди g(x"); каждый выбор такой
вершины у, для которой g(y) = 0, является выигрышным,
а каждый выбор такой вершины z, что g(z') Ф 0, —проигрышным.
(Непосредственно.)
Пример 1 [Лйзекс (R. Isaacs)]. Пусть X—множество точек (р, q)
декартовой плоскости, имеющих целые неотрицательные координаты
р и q\ два партнера поочередно зачеркивают точки множества Х\
Рис. 6—I.
если х — последняя зачеркнутая точка, то игрок, которому нужно
ходить, должен выбрать точку либо на одном из перпендикуляров
ха или xb, опущенных из х на оси координат, либо же на отрезке хс
биссектрисы угла axb, расположенном во внутренней области этого
угла; например, после вершины л = (4. 1) выбор должен быть сделан
ИГРА НИМ
63
из числа вершин (4, 0), (3, 1), (2, 1), (1, 1), (0,1), (3, 0). Игрок,
который сумеет первым достигнуть вершины (0, 0), выигрывает.
Граф (X, Г) прогрессивно конечен и поэтому допускает функцию
Гранди g(x), значения которой в каждой вершине показаны па
рис. 6 — 1; выигрышные выборы обведены кружком. Хотя последние
образуют множество, симметричное относительно главной диагонали,
в их расположении наблюдается нерегулярность.
Пример 2. Граф, изображенный на рис. 6—2, представляет игру
Ним, для которой не существует ни функции Гранди, ни ядра;
предыдущий метод поэтому здесь неприме-
ним. Тем не менее каждый игрок может за-
страховать себя от проигрыша, ограничивая
свой выбор одной из вершин а, Ь, с.
Рассмотрим теперь различные игры Ним
(%,, Г,), (X,. Г2)...(Х„, Г„) и допустим,
что два игрока хотят играть по очереди по
следующему правилу: в очередной момент
игры партнер, которому нужно ходить, вы-
бирает одну из игр Ним и делает ход в этой
игре, не трогая остальных; первый, кто
совсем не сможет играть, проигрывает. Эта
собой игру Ннм на графе, который есть не
графов (Хр Г,) (см. гл. 3); способ выигрыша
ситуация представляет
что иное, как сумма
дается следующим ре-
зультатом.
Теорема 2. Рассмотрим игры (Хр Г0, (Х2, Г2).......(Х„, Гл),
допускающие соответственно функции Гранди gv g2..........Sn>
если играют в сумму этих игр, то выигрыш или ничья обеспе-
чивается выбором таких положений
х = (хр Хз.....хп) X ^2 X  • • X
для которых
g1 -') = АГ, (*1) -<-£2(Л2) -г • •  -4- ёп (А.) = °'
Это непосредственно вытекает из теоремы 8 (гл. 3;.
Пример. Простая игра Ним, или Фан Тан. Два игрока по-
очередно берут спички из п кучек; игрок, которому нужно ходить,
имеет право выбрать какую-нибудь кучку (не пустую) и взять из
нее одну или несколько спичек. Тот, кто сумеет забрать последние
спички, выигрывает.
Эта ситуация есть сумма игр (Хр ГД, (Х2, Г2), .... (Xrt, Гл);
в игре (Xj, Гр любой элемент xk из ХА выражает состояние
/е-й кучки, a gk (xk) равно соответствующему числу спичек,
64
ГЛ. 6. ИГРЫ НА ГРАФЕ
В силу теоремы 2 выбор является выигрышным тогда и только
тогда, когда d-сумма количеств спичек, оставшихся в различных
кучках, равна нулю.
Мы собираемся рассмотреть различные обобщения теоремы 2;
прежде всего, если р п и если (Х,, ГД (Х2, Г2)......(Хп, Гл) —
данные шры Ним, то их сумма порядка р, по определению, есть
игра Ним, в которой каждый игрок, имея перед собой все игры
(Х/( ГД выбирает р из них и играет одновременно в эти р игр. не
трогая остальных; сумма порядка п соответствует произведению
графов, а сумма порядка 1—сумме графов. Для выигрыша имеем
следующий результат.
Теорема 3. Пусть игры Ним (Xv Г,), (Х2, Г2), .... (Хя.
транзитивны (г, е. ГЛ = ГЛ для всех k), и пусть g2.......gn—
их функции Гранда (они всегда существуют); сумма порядка р
этих п игр допускает функцию Гранди g. значение которой
для x = (xv х2, ... , хп) вычисляется следующим образом; найдем
двоичные разложения
и положим
g(x)— S “H/H-i) S 4“(р4~о2 2-+-•••»
L*=i Jip+i	u=i J(p+i)	J(p+i)
где (/wl(p+1) означает остаток от деления т на («т по
модулю р 4~ 1 “).
Выбор х является выигрышным тогда и только тогда, когда
g(x} = Q.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 8 (гл. З)1).
Пример. Игры Ним порядка р (Мур (81). Перед двумя игроками
находятся п кучек спичек; пусть р — целое число < п; игрок, кото-
рый должен сделать очередной ход, выбирает р кучек, а из каждой
выбранной кучки вынимает одну или несколько спичек. Взявший
последние спички выигрывает.
Чтобы узнать, является ли выбор x = (xv х2, .... хп) выигрыш-
ным, надо сосчитать в двоичной системе количества спичек: gk(xk)—.
~(c}k. с*. для &-й кучки — и проверить, что для каждого
номера г
1) Теорема 3 в том виде, как она сформулирована, неверна. В этом
можно убедиться на простых примерах. — Прим. ред.
ИГРА ПИМ
65
Рассмотрим теперь прогрессивно конечную игру Ним с функцией
Гранди g(x); предположим, что на X определена операция т. е.
закон, относящий каждой паре
(а-, .< + х
некоторую вершину z — x-\-y, если Sc:.Y, Тс:Х, то положим
$ + 7 = {$-+/$£$, t£T}.
Часто для выигрыша удается применить следующий результат.
Теорема 4 (Гранди). Если прогрессивно конечный граф (X, Г)
снабжен операцией -j-, удовлетворяющей условию
г (X 4"» = (Гх+j,) и (хЦ-Гу),
то для его функции Гранди g при z = x-\- у имеет место фор-
мула
(О	g (г) = g(x 4- y) = g (х)+ g(y).
Мы докажем эту формулу с помощью индукции, выбирая по-
следовательно точки z = x-\-y в множествах:
^(0)= {х[£х= 0],
Л(1)=!х/Гхс=А'(0)!,
*(2) = {х/Г л: <= <¥(!)},
При z^/V(0) формула (1) верна потому, что
А'(О) =+> (Гат -j— v) U (л* 4 ГУ) == Гг = 0 х, у £ АДО),
откуда
g (г) = о = 0 + 0 = g (х) -i- £(У).
Допустим теперь, что формула (1) уже доказана для всех z из
Х(а— 1), и покажем, что она остается справедливой для любой
вершины z = x-\~y из Х(а); если бы было не так, то выполнялось
бы одно из двух неравенств:
g(*) > £(х)4~£(у).
g-(z)<g(x) + g(y).
1° Если g (z) > g (x) 4- g (у). то существует такая вершина
Zj g Гл, что
№)=г(*)4-?Су).
5 К. Берж
66
ГЛ. 6. ИГРЫ НА ГРАФЕ
Можно написать (с точностью до перестановки х и у) zi = х^-^-у,
где х(£Гх; так как z^rzcXf*—1), то
g 01) — g (*i + у) = g (xi) + g (у)-
Отсюда
g (x) + g W = g Oi) + g (У)-
Из этого, в силу теоремы 7 (гл. 3), вытекает, что g (х) — g (х,);
но это невозможно, так как Xj£Tx.
2° Если g(z) < g(x)-|-g(y), то можно определить [например,
как в теореме 8 (гл. 3)} такое число у, что
gО) = I + gСу); 4<g(x)-
Так как в Гх существует вершина хр для которой у = g(x^,
то, очевидно,
g(z) = g(Xj) + gty)-
Так как xt Ц-У £ ГгсАДа — 1), то
g (А + У) = g О1) + g (у) = g О)-
Но это невозможно, поскольку Xj-j-^CTz.
Пример. Два противника играют поочередно, выбирая кучку
спичек среди п кучек и разделяя выбранную кучку па две неравные
части; последний, кто еще имеет возможность это сделать, выигрывает.
Положение х задается количествами хр х2............ xk спичек
в кучках; положим
у+У = (^1. хг.......->^)+(У1. Уг......У/) —
= (*! Х2..........Xf У1..........У/)-
Операция -(-удовлетворяет условиям:
(1)	Г(* + У) = (Гх + у)и(* + гУ)
(2)	х4-У = У + Л
(3)	х-Н.У+-?) = (* +У)+z
(4)	.t -j = ;
(основной закон);
(коммутативность);
(ассоциативность);
(5)	существует положение е (без спичек), такое, что х-\-е = х
для всех х.
Вершина z называется неприводимой, если невозможно написать
г — х-^-у, хФе, у ф е\ неприводимым вершинам здесь отвечают
конфигурации внда^ = (х1) с одной-единственной кучкой. Имеем:
gW = g<xV х2.........Хк) = g ( (X,) + (Я) + . . . +(TS)) =
= ff(-«i) + 4r(-«2)4- ••• +g(xk).
ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
67
Поэтому достаточно располагать значениями g для неприводимых
положений, чтобы сразу, простым ^-сложением, найти остальные
В более общем случае прогрессивно конечной игры, в которой
существует единственная такая вершина е, что Ге = 0, а операция
удовлетворяет условиям (1), (2), (3), (4), (5), Адамс и Бенсон [1]
доказали, что каждое положение разлагается в конечную сумму
неприводимых положений, причем это разложение единственно
Общее определение игры (с полной информацией)
Общее определение игры, весьма простое для ограниченных
партий, требует большой осторожности в случае отказа от этого
условия. Игрок — это лицо, с которым связан один из эпите-
тов: активный или пассивный-, для двух игроков (Д) и (В) игра
определяется:
1° множеством X, элементы которого называются положениями
игры',
2° многозначным отображением Г множества X в себя, называе-
мым правилом игры',
3° однозначным отображением 0 множества Л в множество (0, 1. 2},
называемым ходом', предполагается, что 9(х) = 0 тогда и только
тогда, когда Гх=0; при 0(х)— 1 говорят, что в положении х
очередной ход должен сделать игрок (Д), а при 9(х) = 2— что
ход игрока (By,
4° двумя вещественными функциями / (х) и g(x), определенными
и ограниченными на X, называемыми функциями предпочтения со-
ответственно для игроков (Д) и (В).
Партия осуществляется следующим образом: начальное положе-
ние Xq£X выбирается по жребию; если, например, 9(х0) = 1, то
игрок (Д), которому нужно сделать ход, должен выбрать положе-
ние х} в множестве Гх0; в свою очередь, игрок, который должен
сделать следующий ход [т. е. (Л), если 6(Xj)=l, нли (В), если
6(х1) = 2], выбирает положение х2 в множестве Гхр и так далее.
Если одни из игроков выбрал такое положение xk, для которого
r*j=0. то партия окончена (разумеется, партия может и никогда
нс окончиться). Если 8<=Х—множество положений, встретившихся
5*
68
ГЛ. 6. ИГРЫ НА ГРАФЕ
в течение партии, то выигрыш игрока (Л), по определению, есть
/ (5) = sup / (у), если игрок (Л) активный;
У$ S
f(S)= inf /(у), если игрок (Л) пассивный.
y£S
Аналогично, посредством функции g, определяется выигрыш
игрока (В). Цель игрока (Л) состоит в получении возможно большего
выигрыша; обычно |/(S)| выражается денежной суммой, которую (Л)
должен получить в случае /(5)^-0 и уплатить в случае /(5)-<0.
Положим ХА — (х/б (х) = 1), Х3 = (х/9 (х) = 2}; надо отметить,
что игра — это не что иное, как граф (X, Г), снабженный в каждой
вершине х вектором (9(Х), /(х), g(x)).
Подграф графа (X, Г) определяет подагру, а частичный граф —
частичную игру; заметим, что при вышеуказанных определениях
каждая подигра и каждая частичная игра сами являются играми
(это неверно при других, более обычных определениях); игра пред-
ставляет собой в точности „структуру1*, заданную на абстрактном
множестве X.
Пример 1. Игра Ним. В случае игры Ним на графе (X, Г) по-
ложение игры есть пара (х, /), где х^Х, а I равно 1 или 2,
смотря по тому, сделан последний ход игроком (В) или игроком (Л);
имеем:
О (х, i) = i, если Гх 4~- 0;
6 (х, /) = 0, если Гх = 0;
Г(х, 1) = ГхХ (2);
Г(х, 2) = Гх х (1|.
Если Гх = 0, то
f(x, 2) = g(x, 1)= 1.
Во всех остальных случаях / (х) = g(х) — 0; оба игрока активны.
Пример 2. Шахматы. Два игрока (Л) и (В) играют соответ-
ственно „белыми* и „черными*; положение х = (хр х2, х3..........О
представляется клетками х1$ х2, х3, .. . шахматной доски, на которых
расположены различные фигуры, и индексом /, равным 1 или 2, —
теоретическим ходом в положении х; х=(хр х2, х3, ...) называется
также диаграммой положения х.
Игрок (Л) активен; /(х)=1, когда х— матовое положение для
черных, во всех же остальных случаях /(х) = 0.
СТРАТЕГИИ
69
Пример 3. Погоня [2]. На поверхности S (пморе“) одна из двух
лодок преследует другую; эту ситуацию можно уподобить игре,
в которой два игрока (Д) и (В) ходят поочередно, например каждую
секунду, перемещая свои лодки. Если Xj—точка моря S, в которой
находится преследующая лодка, а х2 — точка, где находится пре-
следуемая лодка, и если I — теоретический ход, то положением игры
будет х = (хр х2, /). Пусть B^x^cS — „круг* с центром xf. имею-
щий своим радиусом наибольшее расстояние, которое может про-
плыть лодка за одну секунду; имеем:
Г(хр х2, l) = S1(x,)X {x2} X (2),
Г(хр х2, 2) = |х,) X В2(х2) X |1).
Обозначим через d(x, у) расстояние между точками х и у; если
целью преследователя является возможно большее приближение
к преследуемому, то игрок (Д)— активный и
/ (хр х2, /) = — d(xx, х2).
Если цель преследователя состоит в том, чтобы обязательно
настигнуть преследуемого, то (Д) активен и
/(Х|, х2, Z)==l	при	X] = х2,
/ (хр х2, Z) = 0	при	х2 х2.
Если цель преследуемого—не дать себя настигнуть, то игрок (В) —
пассивный и
g(xv х2, 1)=\	при	X, + х2,
g(Xp х2, /) —О	При	Xj — х2.
В нашем случае цель игрока (Д) существенно активна, в то
время как цель игрока (В) существенно пассивна. Подигра по-
лучится, если запретить некоторые области моря S для одной из
лодок; частичная игра получится, если уменьшить максимальную
скорость какой-либо из лодок.
Стратегии
В игре (Д', Г, в, f, g) стратегия игрока (Д) есть, по опреде-
лению, такое однозначное отображение з множества ХА в X, что
ах £ Гх (х £ Лд).
Игрок (Д) придерживается стратегии а, если он a priori решает:
„в квждом положении х, в котором ход мой, я буду в течение
всей партии выбирать положение <зх“. Множество всех возможных
стратегий а игрока (Д) обозначается символом
70
ГЛ. 6 ИГРЫ НА ГРАФЕ
Если начальное положение х0 фиксировано и если игроки (Л)
и (В) придерживаются соответственно стратегий а и т, то партия
полностью определена и мы обозначим через (х0; о, т) множество
встречающихся в ней положений; выигрыш игрока (Л) в таком слу-
чае равен
/ (х0; с, т) = sup {f (х)/х £ (х0; о, т)}, если игрок (Л) активен;
/(х0; с, ') = inf |/(х)/х£ (х0; а, т)), если игрок (Л) пассивен.
Пара (бу, *с0), по определению, есть равновесие (для положе-
ния х), если
/(х; a, t0)</(x; а0, т0)	(о g 2Л),
g(x; о0,	а0, т0)	(тg SB).
Иначе говоря, если перед началом партии игроки договорятся при-
держиваться стратегий б0 и тс, то такое решение будет обладать
определенной устойчивостью: игрок, который попытается изменить
свою стратегию в ходе партии, будет „наказан" за это уменьше-
нием выигрыша.
Пара (б0, т0), являющаяся равновесием для любого положения х,
называется абсолютным равновесием игры; обобщая теорему суще-
ствования ядра у прогрессивно конечного графа, получаем следую-
щий основной результат.
Теорема Цермело — фон Неймана1). Если граф (X Г)
некоторой игры прогрессивно конечен, а множества f {Х'} =
— ।/(*)/* € и конечны, то игра допускает абсолютное
равновесие (б0, t0).
Как и в предыдущей главе, последовательно определяем множе-
ства Д'(а), полагая
Х(0)= |х/Гх= 0};
Д'(а) — {х/ГхсдА’(я—1)}, если а — порядковое число первого
рода;
А'(а)=и Х(£), если а — порядковое число второго рода.
0 < *
Так как граф прогрессивно конечен, то, в силу теоремы 4 (гл. 3),
существует порядковое число у. такое, что А'=А'(у); будем после-
довательно определять равновесие (б0, т0) для всех Д'(а).
’) Эта теорема была открыта Цермело (Е. Zermelo) для шахмат и
почти одновременно распространена Калмаром (F. Kalmar) и фон Нейманом
на игры с платежами (где выигрыш игрока является проигрышем его против-
ника). Затем Кун (W. Н. Kuhn) перенес сс на игры, в которых интересы
игроков не обязательно противоположны; в [2] дается ее обобщение на
случаи нгр с неограниченной продолжительностью и таких игр, в которых
имеется много способов достижения одного положения из другого. Здесь
мы приводим наиболее общую формулировку.
СТРАТЕГИИ
71
В Х(0) отображение <з0 не обязано быть определено, однако мы
положим
□ох = х (х^Х(О)).
Если а — порядковое число первого рода, а равновесие (о0, т0)
уже определено в Х(а— 1), то определяем равновесие (а0, т0) в Х(а)
следующим образом1): пусть ^^ХЛ, тогда
1° в случае х£Х(а — 1) полагаем ^.х — з^х;
2° в случае х£Х(а)\Х(а—1) полагаем aQx — y, где у£Гх, и
/(У; бо> т0) —max/(z; а0, т0).
z^l'x
Очевидно, (а0, тс) есть равновесие для подигры, порожденной
множеством Х(0); допустим теперь, что (<з0, -0)—равновесие для под-
игры, порожденной множеством Х(а — 1), и покажем, что тогда (а0, ту)
является равновесием для подигры, порожденной Х(а), т. е.
(1)	/(х; О, т0Х/(х; Зо, -:0)	х£Л(а));
(Ю g(x-. “о. ’iXgte V*
так как предполагается, что неравенства (1) и (1') уже выполнены
для х£Х(а— 1), то можно считать, что х£Х(а)\Х(а— 1).
Если х£Хд, то пусть gx = z-, ввиду того, что,г£Х(а—1),
имеем
/(г; а, t0)</(z; а,„ т0)<;/(у; о0, т„).
Будем выводить неравенство (1) во всех возможных случаях:
1° если игрок (Д) активен, а / (х)	/(Д'; о, т0), то
/(*! a, Io) = /(z; а, т0)< / (у; а0,	/ (X; а0, тс);
2° если игрок (Д) активен, а /(х)>- f (г; о, т0), то
/(х; о, т0)=	(х; а0, т0);
3° если игрок (Д) пассивен, а / (х) <1 / (у; б0, т0), то
/ (х; о, т0) .< / (x) = f (х; а0, т0);
4° если игрок (Д) пассивен, a f (х)>- /(у; а0, т0), то
/(«: °. ^оХ/(г; о. т„Х/(у; з0, т0) = / (х; а0, т0).
Таким же путем, заменив / на g, докажем неравенство (1')-
‘) Случай, когда а — второго рода, тривиален: будучи определено на
всех множествах расширяющейся последовательности, (о0, т0) тем самым
определено и на их объединении. — Прим, перво.
п
ГЛ. е ИГРЫ НА графе
Следствие 1. Если граф {X, Г) некоторой игры прогрес-
сивно конечен, то для любого з > 0 существует такая пара (а0, т0),
что
f(x; а, т0Х/(х; а„, т0)-Н	(х£Х, a g SA);
g(.x; s0, tXg-O; а0, т0)-Н	(x£X, т g SB).
В самом деле, заменим функции предпочтения / и g такими
функциями J' и gr, чтобы множества
/' (Х) = (/' С*)/*ЕЛ'|.
g' W={g'ix)fx^X]
были конечными и чтобы было
/|х)|<|	(хех).
|g'(*)	—g(*)l	(х£Х);
это	всегда	возможно,	поскольку	/	и	g предполагаются	ограни-
ченными	на	X.	Так как	существует	равновесие с f	и	g’,	то	будет
существовать и ©-равновесие с f и g.
Следствие 2. Если граф (X. Г) некоторой игры прогрес-
сивно конечен, то для любого г > 0 существуют такие стра-
тегии э0 и т0, что
f(xa- a, —	а„, т0Х/(х0; аа, т)-|-е
(каковы бы ни были т£Ев).
Иными словами, в партии с начальным положением х0 игрок (Л)
посредством стратегии а0 может гарантировать выигрыш / (х0,	т0)
(с точностью s); с другой стороны, в силу первого неравенства,
никакая другая стратегия с не даст ему возможности гарантировать
больший выигрыш (с точностью г). Поэтому а0 будет благоприят-
ной (оптимальной) стратегией для (Л).
Чтобы доказать это следствие, достаточно положить / (х) — — g(x)
и рассматривать игрока (Л) как активного, а (В)—как пассивного;
тогда
/(х„; а.	— g(xQ; а. т)
и высказанное утверждение получается сразу.
Каждый раз, когда выигрыши обоих игроков одинаковы по абсо-
лютной величине и противоположны по знаку, говорят, что игра
представляет собой поединок-, значение
/ (3. >:) = —g О. ’)
называется результатом игры. (Л) стремится получить как можно
больший результат, а (В) — как можно меньший. Наибольший резуль-
СТРАТЕГИЙ
73
тат, который (Д) может гарантировать посредством стратегии, есть
aQ = sup inf / (а, т).
5 Т
Наименьший результат, который (В) может гарантировать по-
средством стратегии, есть
₽о = inf sup/(а. -).
Заметим, что а0^^0, ибо если каждый из игроков (А) и (В)
будет придерживаться благоприятной стратегии, то результат ока-
жется не меньше а0 и не больше р0. Но справедливо и значительно
более сильное утверждение.
Теорема 5. Если в поединке граф (X, Г) прогрессивно
конечен, то а0 = р01).
В самом деле, ввиду следствия 2
sup/(а, т0Х/(50, т^ + с.
inf/(o0, т)>/(о0, т0) — е.
откуда
Ро =С/(а0- то) + Е<=[о + 2е-
Поскольку е произвольно,	а так как противоположное
неравенство выполняется всегда, то р0 = %.
Пример 1. Следствий из этой теоремы очень много. Для про-
грессивно конечной игры Ним, где результат может быть только -j-1
или —1, получается уже известное нам утвер-
ждение: при данном начальном положении Xq.
либо существует стратегия для (Д), позволяю- су.а'
ш,ая ему наверняка выиграть (я0 = -|-1), либо
существует стратегия для (В), обеспечивающая
выигрыш ему (а0 = — 1).
Пример 2. Рассмотрим следующую игру: (Л)
и (В) ходят по очереди, передвигая жетон по
ребру графа, изображенного на рнс. 6—3. Если
по окончании партии окажется, что жетон
прошел четное число раз через вершину, отме-
ченную кружком (а нли £), то (Л) платит один франк игроку (В);
в противном случае (В) дает франк игроку (Л).
При поверхностном анализе этой игры возможен следующий
парадоксальный вывод. Можно подумать, что каждый из двух
’) Мы доказали в [3] (гл. I, стр. 15—18), что это утверждение остается
в силе н без предположения о прогрессивной конечности графа.
Рис. 6—3.
74
ГЛ. 6 ИГРЫ НА ГРАФЕ
игроков имеет по две стратегии (указанные на рис. 6—3). Придер-
живаясь стратегии а, игрок (Д) может получить результат
f (а, т) = — 1, а придерживаясь з' — результат / (з\ т') = —1; поэтому
кажется, что лучший вышрыш, который (Д) способен гарантировать,
есть % = — 1. Точно такие же соображения дают ро = -|-1.
Выходит, будто а0 < {Эа, в противоречии с теоремой 5.
В действительности мы имеем здесь дело с одним из тех кажу-
щихся парадоксов, которые нередко встречаются в литературе.
Ошибка объясняется тем, что в данном случае положение
игры — это не вершина графа, а последовательность р. пройденных
вершин *). В конечном счете важно, что выигрыш имеет вид
max {/(х)/х £ (з, т)). При правильной постановке задачи, как легко
проверить, а0 = р0 = -|-1.
’) И, таким образом, у игрока (Л) имеется не две, а четыре страте»
гии, — Прим. ped.
ГЛАВА 7
Задача о кратчайшем пути
Процессы по этапам
Для данного графа (X, Г) и двух его вершин а и b можно
поставить следующие задачи:
Задача 1. Найти в графе путь, ведущий из а в Ь.
Задача 2. Найти путь наименьшей длины, ведущий из а в Ь.
Вторая задача охватывает первую.
Пример 1, Любая игра с одним участником (например, мелела1),
такен, или „игра в 15“ и др.) сводится к „процессу по этапам*1:
дано положение а, мы стремимся последовательными этапами дости-
гнуть положения Ь. Одним из известных примеров является лаби-
ринт'. путешественник, находящийся в а, ищет выход из лабиринта,
двигаясь по коридорам (рис. 7—1а); это сводится к решению
задачи 1 для графа, изображенного на рис. 7 — 1Ь, где X—мно-
жество перекрестков, а у£Гх, когда перекрестки х и у непосред-
ственно соединены коридором.
') Об игре „меледа* (или сплетение колец), по-французски, baguenaudier,
можно прочесть, например, в книге Люкас Э., Математические развлече-
ния, СПБ, 1883. См. также Доморяд А. П., Математические игры и раз-
влечения, Физматгиз, 1961, стр. 67. — Прим, перев.
76
ГЛ. 7. ЗАДАЧИ О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
Пример 2. Задачи, о волке, козе и капусте. Коза, капуста и
волк находятся на берегу реки; перевозчику надо переправить их
через реку, но его лодка так мала, что он может взять с собой не
более одного из этих трех „пассажиров11. По очевидным причинам
нельзя оставлять без надзора волка с козой, а козу с капустой. Как
должен поступить перевозчик?
Эта широко известная задача легко решается в уме благодаря
малому числу вариантов, подлежащих рассмотрению; тем не менее
перед нами типичный пример задачи, сводящейся к задаче 1: чертится
граф, изображенный на рис. 7 — 2, и ищется путь, ведущий из поло-
жения а (когда коза К, капуста Кап, волк В и перевозчик П нахо-
дятся на правом берегу) в положение Ъ (когда все переправлены
на левый берег); искомый путь показан на рисунке жирными линиями.
В более общем случае необходим систематический алгорифм, и
мы изложим несколько методов.
Алгорифм для задачи 1 в плоском случае. Пусть граф G
с двумя отмеченными вершинами а (вход) и b (выход), принадлежа-
щими одной компоненте связности, является ab-плоскилг, последнее
означает, что граф О', полученный из О добавлением нового
ребра [а, Ь], можно полностью поместить на плоскости так, чтобы
никакие два его ребра не имели общих точек, отличных от гра-
ничных (см., например, граф О, изображенный на рис. 7—1Ь).
Пусть, далее, а не является вершиной никакого простого цикла. Для
соответствующего лабиринта (рис. 7—1а) решение задачи 1 значи-
тельно упрощается, и достаточно руководствоваться следующим пра-
вилом: выйдя на перекресток, выбирать всегда самый левый
{или всегда самый правый) коридор.
Общий алгорифм для задачи 1. Рассмотрим сначала граф, пред-
ставляющий собой прадерево с корнем а (см. рис. 2—1), и найдем
путь, ведущий из а в некоторую вершину Ь', имеется следующий
простой способ: выходим из а, идем по какой-нибудь ветви насколько
возможно далеко, затем возвращаемся на ближайший перекресток и
ПРОЦЕССЫ ПО ЭТАПАМ
77
отправляемся по новому, еще не изведанному направлению, и т. д.,
пока не натолкнемся на вершину Ъ. Искомый путь из а в b будет
тогда состоять нз всех тех ребер, которые в процессе поисков
были пройдены ровно по одному разу.
Если граф G не является прадеревом, то мы приходим к преды-
дущему случаю, „отсекая" некоторые ребра и от одной из двух своих
граничных точек х\ это отсечение производим каждый раз, когда,
пройдя по некоторому ребру и, мы попадаем на уже пройденный
ранее перекресток х (ведь после отсечений рёбра, пройденные
хотя бы Один раз, образуют прадерево).
Заметим, что этот алгорифм можно применить к задаче о лаби-
ринте не только тогда, когда известен план, но и в случае, если
путешественник заблудился: достаточно помечать какими-либо зна-
ками встречающиеся на пути перекрестки и коридоры.
Другой алгорифм для задачи 1 (Тарри [5]). Путешественнику,
заблудившемуся в лабиринте, достаточно соблюдать следующее пра-
вило: никогда не проходить дважды по одному и тому же кори-
дору в одном и том же направлении} находясь в х, не выби-
рать того коридора, который привел на перекресток х в пер-
вый раз,—если только имеется возможность другого выбора.
1° Покажем, что если путешественник остановился потому, что
не может более соблюдать это правило, то он находится в а, причем
каждое ребро, инцидентное а, уже пройдено им в обоих направле-
ниях. В самом деле, пусть ои находится в х(х^а) и пусть этот
перекресток был ранее пройден k раз; ребра, инцидентные х, были
пройдены в общей сложности ft-J-l Раз п0 направлению к х и k раз
от х, значит, можно пойти по тому ребру, по которому путеше-
ственник еще не выходил из х.
2° Пусть (д0 = я, а2, . . .) — последовательность различных
пройденных перекрестков, пронумерованных в том порядке, в каком
они встретились впервые; покажем, что каждое ребро, инцидентное
любой вершине ah, было пройдено дважды ’). В самом деле, это
верно при k = 0 (в силу Г); допустим, чго это утверждение верно
при k р—1, и докажем его для k = p. Пусть (at, ар)— ребро,
которое привело путешественника в ар в первый раз; так как I < р,
то это ребро пройдено в обоих направлениях, что, в силу правила
Тарри, возможно лишь в случае, когда все ребра, инцидентные ар.
пройдены в обоих направлениях. Ч. И Т. Д.
3° Если существует путь {а, хр х2........хт> из а в Ь, то,
очевидно, перекресток b рано или поздно встретится путешествен-
нику: действительно, в силу 2° каждая вершина, смежная с уже
пройденной, тоже была когда-либо пройдена.
]) При этом все еще предполагается, что путешественник остановился
в а потому, что не может более соблюдать правило Тарри. — Прим. ред.
78
ГЛ. 7. ЗАДАЧИ О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
Алгорифм для задачи 2. С помощью итерационного метода
постепенно придадим каждой вершине х некоторый индекс, равный
длине кратчайшего пути из а в х:
1° Вершину а пометим индексом О,
2° Если все вершины, помеченные индексом т, образуют известное
множество Л(?п), то помечаем индексом м-|-1 вершины множества:
А (т Д- 1) = {х/х £ ГЛ (т), x^A(k) при всех
З^1 Как только вершина b окажется помеченной, останавливаемся;
если д£Л(т), то рассмотрим такие вершины Ь2, ... . что
b^A(m — 1), дг £ Г-1*,
— 2),	^р
Путь р. = [а — bm, bm_v .... by, д] дает решение задачи.
Некоторые обобщения
Часто возникают следующие задачи, являющиеся обобщениями
задач 1 и 2:
Задача 3. Каждой дуге а данного графа (X (/) отнесем
число 1(и)^0, которое назовем „длиной* дуги а; требуется
найти путь р, ведущий из данной вершины а в данную вер-
шину b и такой, чтобы его полная длина
«Ср-
была наименьшей.
Задача 4. Каждому пути р._[хр _г2............... отнесем
число f (|i); найти путь у., для которого число /(у.) является
наименьшим.
Задача 5. Каждому частичному подграфу О, данного графа G
отнесем число h(Gy)’, найти частичный подграф Gy, для кото-
рого число h(Gy) является наименьшим.
Каждая из этих .задач охватывает предыдущую.
Пример 1. Пусть X—множество географических пунктов, U—мно-
жество дорог, соединяющих некоторые из них, Предполагается, что
все перекрестки дорог входят в X. Для дороги и число /(и) может
означать или ее длину в километрах, или стоимость проезда по ней,
илн же, например, продолжительность проезда (при соблюдении всех
правил движения).
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
79
Тогда для поездки из одного пункта в другой ищется наиболее
короткая, или наиболее экономичная, или наиболее быстрая дорога.
В каждом из этих случаев мы должны решать задачу 3.
Пример 2. Динамические программы (Веллман (2]). Два золотых
месторождения а и b содержат соответственно аир тонн золота;
но для их разработки имеется только одна машина, которая способна
в течение года добыть г % золота, содержащегося в месторождении а
(причем вероятность того, что в следующем году машина сохранит
свою пригодность, равна р), или s% золота, содержащегося в b
(с вероятностью q остаться пригодной для работы в следующем
году). Рассмотрим граф с двумя вершинами а и Ь, где Га — Г& —
= (о, />), и будем искать такой путь [х2, х2, ...] (где xz~a,
если в течение Z-го года предполагается разрабатывать месторожде-
ние а), для которого математическое ожидание прибыли будет наи-
большим. Полное количество золота F (а, р), ожидаемое при опти-
мальной стратегии, определяется функциональным уравнением
F(a. ?) = max	— г)*, ₽). s$ + qp(a. (1 —
Этот тип задачи, называемый „динамической программой", является
частным случаем задачи 4; здесь Гх— постоянное множество, а функ-
ция /(и.) имеет весьма специальный вид.
Мы будем заниматься только задачами типа 3: дан граф G = (X, U),
каждой его дуге отнесена „длина" /(w)^>0; ищется путь и из xQ
в хп, минимизирующий полную „длину":
1	и=2 i W-
“О
Алгорифм для задачи 3 (Форд [3]). Процесс, легко осущест-
вляемый и для сетей с большим количеством вершин, состоит в сле-
дующем:
1° Помечаем каждую вершину xt индексом Xf; первоначально
берем Xq = 0 и Хг = -|-Схэ при I =£ 0.
2° Ищем такую дугу (xz, xfi, для которой Ху — X/>Z(xi, х;);
затем заменяем индекс Ху индексом X/ = X, 1 (xi, хД<Др, заме-
тим, что Ху > 0 при J Ф 0. Продолжаем в том же духе, пока еще
остается хотя бы одна дуга, для которой можно уменьшить Xz.
3° После того как индексы установятся, найдется такая вер-
шина xPv что Х„ — XA=/(xPl, хп); в самом деле, индекс Хл при
нашем процессе монотонно уменьшался, а хр, — последняя вершина,
послужившая для его уменьшения. Точно так же найдется вер-
шина XPi, ДЛЯ которой KPl-^р.~ Хр), и т. д.
Последовательность Хп, XPj, Хр„ ... —строго убывающая, поэтому
в некоторый момент будет — х0. Я утверждаю, что Хл— длина-
80
ГЛ 7. ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
кратчайшего пути из х^в хпи что р.0 = ^х0, хр , хр
XPv */г]
этот кратчайший путь.
Доказательство. Пусть у. = | хо, Х)!х, Хр.Хр^ , = хл] —
произвольный путь между х0 и хл; его длину (в обобщенном смысле)
обозначим через /(а); тогда
Ч —0 </(х0, *£,),
^2)>
хп)'
Складывая почленно зги неравенства, получаем, что для любого
пути [л:
Так как для пути у.о имеем кп = I (у.о), то путь и0—крат-
чайший.
Пример. Предлагаем читателю проверить, что кратчайший путь
между xQ и х9 в симметрическом графе, изображенном на рис. 7—3,
имеет длину /(|i0) == 14.
Замечание. Положим для простоты Z; = l(xi, xj) при (xlt Xj')£ U,
1^ = -\-ое при (xit Xj)(£ U\ каждому пути у. можно отнести числа ,
где clj = 1, если у содержит дугу (xi, xj), и с/==0 в противном
случае. Задача 3 сведется тогда к нахождению системы целых чисел
{^-Д = 0, 1...п; У = 0, 1, ...» п), минимизирующей линейную
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
81
форму и удовлетворяющей системе линейных соотношений
О < У < 1;
2	Й — при i=^Q, I ф п\
У
Другими словами, мы имеем здесь дело с линейной, програм-
мой, которую могут решать обычные электронные вычислительные
машины; но не будет ли это стрельбой из пушки по воробьям?
6 К. Берж
ГЛАВА 8
Транспортные сета
Задача о наибольшем потоке
Транспортной сетью называется конечный граф без петель,
каждой дуге и которого отнесено целое число с(н)^>0 (называемое
пропускной способностью дуги и) н у которого
1° существует одна и только одна такая вершина х0, что Г"’х0 — 0;
эта вершина называется входом сети;
2° существует одна и только одна такая вершина z, что Tz = 0; она
называется выходом сети.
Пусть Ux •—множество дуг, заходящих в х, a L'x—множество
дуг, исходящих из х. Говорят, что функция ?(«), определенная на U
и принимающая целочисленные значения, представляет собой поток
по этой транспортной сети, если
(1)	<?(«)> о («Еу);
(2)	2 т (“) — 5 ? («) = ° (х + -г0- х + г);
и £ и~ и$их
(3)	<? («)< С (и) (и £ U).
Функцию ср (и) мы будем уподоблять количеству вещества, про-
текающего (в единицу времени) по дуге и~(х, у) от х к у, при-
чем это количество не превышает пропускной способности дуги, и
в каждой вершине х, отличной от входа х0 и выхода z, количество
притекающего вещества равно количеству вытекающего.
Из (2) непосредственно следует
(4)	2 ?(«)= 2 ?(«)=?»•
в £ U~	и £ U *
Это число ср , выражающее количество притекающего в z вещества,
называется притоком в точке z, или величиной потока ср; задача,
которой мы здесь займемся, состоит в определении наибольшей вели-
чины потока по данной транспортной сети.
Пример 1. Морской грузооборот между двумя континентами.
Некоторые порты х]5 х2, ... располагают продуктом, имеющим
спрос в портах ур у2, пусть наличный запас продукта в xt
равен S;, а потребность в этом продукте в у^ равна dj. Обозначим
наибольший поток
83
через Су полное количество продукта, которое способны перевезти
суда, плывущие из xz в уу. Возможно ли удовлетворить все потреб-
ности? Как организовать перевозки? Чтобы свести эту задачу к за-
даче о наибольшем потоке, достаточно соединить с уу дугой
пропускной способности Су, затем соединить вход х0 с каждой вер-
шиной xz дугой пропускной способности Sj и, наконец, соединить
каждую из вершин уу с выходом z дугой пропускной способности d,;
если ср — наибольший поток, то ср (xt, будет означать количество
продукта, которое надо перевезти из xz в уу, чтобы удовлетворить
потребности в наибольшей степени.
Пример 2. {Динамические сети (3]'). Из различных городов хр
х2, .... хп в одно и то же место назначения у отправляются авто-
машины; если (xz, хр — дорога, соединяющая два города xz и Xj,
то пусть ty означает продолжительность переезда по ней из xt в х^;
Су — количество автомашин, которое может пропустить эта дорога
за единицу времени (в случае отсутствия дороги с^ = 0); c{i— коли-
чество автомашин, которое может одновременно находиться в го-
роде xz; а£— первоначальное число автомашин в х{.
Как надо организовать движение, чтобы в течение промежутка
времени 9 в пункт у прибыло возможно больше машин?
Определим транспортную сеть, множеством вершин которой слу-
жит декартово произведение
L......Х(о, 1,2..........9}.
Для вершины xz(^) = (xz, 0 определим дуги (xz(/), Ху (t -\-ty))
с пропускной способностью Су и дуги (xz(/), xz(/-|-l)) с пропу-
скной способностью са\ обозначим через
количество автомашин, выезжающих из города xz в момент t н на-
правляющихся в х;-; при этом <р(х;(£), х( (t -1- 1)) будет количеством
автомашин, остающихся в xz в момент t. Наконец, соединим вход х0
с каждой из вершин xz(0) дугой пропускной способности а вер-
шины у(1), у(2).....у(9)— с выходом z дугами пропускной спо-
собности 4" наибольший поток определит тогда оптимальное
использование дорог (см. рис. 8—1).
Замечание. Положим для простоты z~ хл+1 и определим числа
с1, и (при I = 0, 1, 2...../?; j = l, 2, ...»	следующим
образом:
f 0,	если (xz, ху) (£ f/;
С! I c(xz. Ху), если (xz, Ху) £ £7;
Ц=?(хр Ху),
6*
S4
ГЛ. 8. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Задача о наибольшем потоке сводится к определению такой системы
чисел для которой
(1)	0<=j С с1.	(1~0, 1, .... п\ 7 = 1, 2..я-)-	1);
п	п + 1
(2)	S?*—2^ = 0 (i = l, 2...................л);
а=о	;=i
п
(3)	2 и наибольшая.
/=о
Таким образом, задача представляет собой классическую линей-
ную программу, несмотря на то, что искомые & должны быть
целыми числами (в самом деле, из вида условий (1), (2), (3) следует,
что целочисленное решение всегда есть]. Здесь можно было бы вое-
наибольший поток
85
пользоваться симплекс-методом, однако алгорифмы, которые мы
собираемся изложить, настолько проще, что позволяют находить
вручную решение для чрезвычайно сложных сетей. (В корпорации
РАНД этим способом был исследован граф с 500 вершин и 4000
дуг.)
Пусть А<=.Х — такое множество, что
х0£л, z£A.
Множество Ид дуг, заходящих в А, иногда называют разрезом
сети; равным образом, пропускной способностью разреза Ид назы-
вают число
с(ад) = 2 «и-
“«'-'л
Каждая частица вещества, движущаяся от х0 к z, пройдет хотя бы
однажды по какой-нибудь дуге разреза поэтому, каковы бы пи
были поток ср и разрез Ua, всегда
< с(^л).
Следовательно, если для некоторого потока ср и некоторого раз-
реза У мы имеем срг = с (У), то мы можем быть уверены, что поток ср
имеет наибольшую величину (а разрез У обладает наименьшей про-
пускной способностью).
Алгорифм для определения наибольшего потока в плоском
случае (Форд — Фалкерсон [2]). В случае х0г-плоского графа (т. е.
такого графа, который после добавления дуги (х0, z) остается пло-
ским) нахождение наибольшего потока можно осуществлять следую-
щим образом.
1° Соединим х0 и z дугой (г, х0), которую изобразим в виде гори-
зонтального отрезка; граф чертим над отрезком (х0, z) таким образом,
чтобы никакие дуги не пересекались друг с другом в точках,
отличных от граничных; поскольку граф плоский, можно определить
наивысший путь из х0 в z, выбирая всякий раз самую левую дугу
не ведущую только в тупики или в уже пройденные вершины.
2° Рассмотрим наивысший путь щ из х0 в z и найдем дугу
Й1С Рч с наименьшей пропускной способностью. Затем удалим их и
вычтем с(«,) из пропускных способностей всех дуг пути То же
самое проделаем опять, рассматривая новый наивысший путь р.2 и
его дугу w2 с наименьшей пропускной способностью, и т. д.
3° Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не будут
разрушены все пути нз х0 в z. Тогда в исходном графе Q
зададим па каждом пути поток, количественно равный
86
ГЛ R. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
пропускной способности соответствующей дуги ик (взятой в тот
момент построения, когда был наивысшим путем). Суммарный
поток и будет наибольшим потоком по О1).
Общий алгорифм для нахождения наибольшего потока (Форд
н Фалкерсон [2]). Рассмотрим транспортную сеть с потоком ср (х, у),
величину которого мы стремимся улучшить.
1° Дугу и назовем насыщенной, когда ср(н) = с(я); поток назо-
вем полным, если каждый путь из х0 в z содержит по крайней
мере одну насыщенную дугу.
Если поток не является полным, то можно найти путь р.» все
дуги которого не насыщены [при этом применяется тот же алгорифм,
что и в задаче 1 (гл. 7): в частичном графе, образованном ненасы-
щенными дугами, находим путь из х0 в z]. Положим
?'(«) = ?(“)+1 при «g|l,
if' («) = tp («)	при
Очевидно, <?' представляет собой поток с величиной
Ъ = Тг + 1 >
Таким способом нетрудно увеличивать неполный поток до тех пор,
пока он не станет полным.
2° Пусть ср (х, у) — полный поток; с помощью итерационного
процесса будем последовательно помечать те вершины графа, в ко-
торые можно доставить единицу добавочного вещества.
Помечаем х0 индексом 0.
Если xt-2) — уже помеченная вершина, то помечаем индексом -\-1
все те непомеченные вершины у, для которых
(х;, у) g и и ?(х;, у)<с(хг, у).
Если вершина xt помечена, то помечаем индексом —I все не
помеченные еще вершины у, для которых (у, x^£U, ср (у, хг)>0.
Если этим процессом мы добились того, что вершина z оказа-
лась помеченной, то между х0 и z существует цепь р, все вершины
которой различны и (с точностью до знака) помечены номерами пре-
дыдущих вершин. Положим
ср'(а) = ср (а), если
’) Предлагаемое автором доказательство некорректно. Правильное дока-
зательство можно, например, получить путем переделки из работы Форда
и Фалкерсона [2], где рассматриваются сети с неориентированными ребрами
и нецелочисленные потоки. Другое доказательство приводится в добавле-
нии VI. — Прим, перев.
2)	Предполагается, что все вершины графа как-либо перенумерованы. —
Прим. ред.
НАИБОЛЬШИЙ ПОТОК
87
<р' («) — <р (и) 4- 1, если н при следовании по цепи *л от xQ
к z дуга и проходится в направлении ее ориентации;
у' (к) =	—1, если и £ <х и при следовании по ц от х0 к z
дуга и проходшся в направлении, противоположном ее ориентации
(см. рис. 8—2).

Рис. 8—2.
Очевидно, </(я) все еще является потоком, а так как
то величина потока возросла.
3° Если некоторый поток о0 невозможно увеличить предыдущим
методом, т. е. если невозможно пометить вершину г, то я утвер-
ждаю, что ср0 имеет наибольшую величину.
В самом деле, пусть А—множество непомеченных вершин; так
как х0(£а, z£A, то множество А определяет разрез t/д; имеем
?? = 2 ?°(«)“ 2	2 с (а) — 0 = с (t/д).
а^д	«€^д
Поэтому поток ср0 обладает наибольшей возможной величиной,
Из сказанного сразу вытекает фундаментальный результат.
Теорема Форда — Фалкерсона. Для заданной транс-
портной сета наибольшая величина потока равна наименьшей
пропускной способности разреза, т. е.
max — mln г (t/д).
А 4 2
Пример. Рассмотрим транспортную сеть на рис. 8—3 с пол-
ным потоком ©, который насыщает дуги, изображенные жирными
линиями; его величина <рг = 5. Читатель может сразу же получить
наибольший поток величины 6.
88
ГЛ. 8. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Заметим, что для сети этого типа можно непосредственно полу-
чить наибольший поток по следующему правилу, будем увеличивать
единица за единицей пропускаемый поток, перемещая каждую новую
единицу по направлению к такой вершине, из которой может еще
выйти наибольшее количество единиц; как только поток станет
полным, он окажется наибольшим.
Вообще говоря, речь тут идет о некотором псевдоалгорифме,
который оказывается весьма действенным в большинстве случаев, но
не всегда дает наибольший поток и поэтому должен применяться
лишь в первом приближении.
Задача о наименьшем потоке
Для заданной транспортной сети будем искать теперь поток ср
наименьшей величины, удовлетворяющий условию
(3')	<p(«)>c(u)	(u£U).
Эта задача, весьма близкая к предыдущей, встречается столь же
часто.
Пример. Наименьшее покрытие простого графа (X, У, Г). Назо-
вем покрытием графа такое множество V дуг, что любая вершина
графа служит граничной точкой хотя бы для одной из этих дуг.
Ищется покрытие V с возможно меньшим |V|. Эта задача, которая
в общем виде будет решена в главе 18, есть задача о наименьшем
потоке для случая, когда граф—простой, т. е. образован двумя
непересекающимися множествами X, У и отображением Г множества
X на У.
Соединим вход х() с каждой из вершин х^Х, а каждую вер-
шину У;£У — с выходом z дугой пропускной способности + 1 и
примем пропускную способность остальных дуг равной нулю; при
наименьшем потоке ср дуги u£U, для которых <р(а)>0, образуют
наименьшее покрытие.
ПОТОК, СОВМЕСТИМЫЙ С МНОЖЕСТВОМ ЗНАЧЕНИЙ
89
Алгорифм для задачи о наименьшем потоке. Можно приме-
нить процесс, в точности аналогичный процессу для задачи о наи-
большем потоке; можно также свести ее к этой задаче следующим
образом:
Г Ищем поток срр такой, что ср, (а)^>с(я) при всех и (последо-
вательно перемещая единицы вещества к дугам, наиболее далеким от
насыщения).
2° Полагаем с2 (к) = ср, (а)— с (и) и строим при помощи алго-
рифма Форда- Фалкерсона такой наибольший поток ?2, что ср2(к)^
^с2(к) при всех и.
3° Имеем
со, (а) — <р2 (и)	(и) — с2 (к) = с (и),
поэтому ср = ср, — о2 есть искомый наименьший поток.
Задача о потоке, совместимом с множеством значений
Снова рассмотрим транспортную сеть, но каждой дуге и отнесем
вместо числа	множество С (и) натуральных чисел. Возни-
кают следующие задачи:
Задача 1. Построить такой поток <р(«), чтобы ср (и) g С (к)
при всех и.
Задача 2. Построить наибольший поток ср (и), для которого
ср (и) £ С (а) при всех и.
Вторая задача включает первую; опа охватывает также задачу
о наибольшем потоке, если положить
С (и) = (0, 1, 2, . . ., с («)).
Пример 1. [Фишер (R. A. Fisher)]. Какое наибольшее количе-
ство троек можно образовать из п объектов (I), (2), .... (д) таким
образом, чтобы никакие два объекта не находились вместе белее
чем в р различных тройках? Эта задача сводится к отысканию наи-
большего по сока для сети, изображенной на рис. 8—4, где числа
С (и) указаны около каждой дуги и. Заметим, что задача этого типа
возникла в биологии под названием „планирование неполных бло-
ков14 („incomplete balanced block design41) при опытах по выведению
различных сортов пшеницы и что теория, которую мы излагаем
ниже, еще не дает возможности ее решить.
Пример 2 (Гофман —Кун [5]). Пусть X—конечное множество;
5Р S2, .... Sn — некоторые подмножества %; Т}, Т2, .... Тр— неко-
торые попарно непересскающиеся подмножества X; bv b2, ... ,Ьр,
с,, с2....ср — целые числа (0 bL ct при всех Z). Найти в X
множество Y — [у,, у2, у3, .. ., ул], где yk£$k ПРИ = Ь 2, ... ,п,
удовлетворяющее условиям
(Z=l. 2. .... р).
90
ГЛ. 8. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Задача сводится к отысканию наибольшего потока ср по сети,
изображенной на рис. 8—5; множество Y образуется теми у, для
которых <р(у, у) > 0. Эта задача будет полностью решена с помощью
теории, которая излагается ниже.
Начнем с рассмотрения частного случая задачи 1: пусть дана
транспортная сеть с пропускными способностями. с(и)^>^\ су-
ществует ли поток <р°(и), удовлетворяющий условию ср°(а)^с(а)
и насыщающий дуги, идущие в выход zl
Положим для простоты
d(v) = l с(у' есЛИ ;''-Г 'г;
|	0, если у^Г”1^,
d(у) выражает „потребность* вершины у, которую мы стремимся
удовлетворить; будем также называть „потребностью* множества
АсХ число
</(41 = 2 d (у).
Как обычно, обозначаем через Ua множество дуг, заходящих r X,
а через Ua — множество дуг, исходящих из X; через /?(Д) обозна*
чим общее количество потока, которое может войти в А (после
удаления дуг множества
l) Т. е. /?(Л) = шах 2 ?(н) по сети, полученной из исходной сосди*
? “^1
неиием всех вершин множества Л с выходом г дугами бесконечной про*
пускной способности. — Прим, перев.
ПОТОК, СОВМЕСТИМЫЙ С МНОЖЕСТВОМ ЗНАЧЕНИИ
91
Наконец, полную пропускную способность произвольного мно-
жества V дуг обозначаем
с (V) ~ 2 с (й)-
u£V
Лемма. Пусть ЛосX— Х\{я01 zj; если для любого мно-
жества А, удовлетворяющего условию ЛосЛсХ имеет место
х X
Рис. 8—5.
неравенство c(UA)^>d(A), то
F(AQ)^d(A0).
В самом деле, превратим данное множество А^аХ в выход zQ,
удаляя дуги UAa и все дуги, не принадлежащие никакому пути,
идущему из я0 в Ло, и отождествляя все вершины Ло; для новой
сети наибольшая величина потока вследствие теоремы Форда—
Фалкерсона будет
min с (1Г) = Г(Л0).
w
Пусть №70— разрез (новой сети) с наименьшей пропускной спо-
собностью; он определяется некоторым множеством А (исходной
сети), где х0^<4, .4 о.4,,, г^Л; имеем W0 = Ua. откуда
F (Ао) с (VV„) = с (иа) > Л И) > d (Ло).
92
ГЛ. 8. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Теорема 1 (Гейл [4]). Пусть дана транспортная сеть с про-
пускными способностями с(а)^0; поток ср0, удовлетворяющий
условию ср0 (и) с (и) и насыщающий дуги, идущие в z, существует
в том и только в том случае, если
(О	с(£/д)>^(Д) (АаХ= Х\ [х0, z\).
1° Если существует поток, который насыщает дуги, инцидент-
ные Z, то для любого ЛсХ .
c(l/i)>F(4)>d(4).
Отсюда следует неравенство (1).
2° Допустим, что неравенство (1) верно, и рассмотрим произ-
вольный разрез IF, определяемый множеством S, где x0£S, z£S.
Положим z4 = S\{£); в силу леммы,
<1(.A)<.F(AX.c(Ua) = c(Us)— 2 с(х, z) = c(W) — d(X\A).
Х£А
Таким образом, для любого разреза IF
с (IF) > d (4) Д- d (Х\А) = d (X).
Наибольший поток <р° удовлетворяет тогда условию
cp° = minc(\F)>d(A).
w
Следовательно, этот поток насыщает все дуги, идущие в выхода.
Следствие (теорема о насыщении). Поток ср, удо-
влетворяющий условию <р(и)<;с(и) и насыщающий дуги, идущие
в z, существует в том и только в том случае, если
(2)	F(K)>d(K) (ГсГ'г).
Надо доказать равносильность неравенства (1) предыдущей тео-
ремы неравенству (2).
(1) =ф (2), так как, в силу леммы,
F(4)>d(4) (АсЛ),
откуда, в частности,
/=(/)></(/)	(ГсГ-1г).
(2) —Ч (1), ибо если рассмотреть множество АаХ и положить
У = А(\Г~'г, то
d(A) —d(Y:, С /=•(/) </=• (Л).
Важным обобщением теоремы 1 является следующий результат:
ПОТОК. СОВМЕСТИМЫЙ С МНОЖЕСТВОМ ЗНАЧЕНИИ
93
Теорема 2 (Гофман1)). Пусть каждой дуге и некоторой
транспортной сети отнесены два целых числа Ь(и) и с (и)
[О -С Ь (а) -С с («)]• Пусть <Л — семейство тех подмножеств мно-
жества X, которые либо не содержат ни хй, ни г, либо содер-
жат и z одновременно. Поток <р, удовлетворяющий условию
b (к) ср (и) с (к) при всех и, существует в том и только в том
случае, если
с[и^Ь(Ул) (Лё^)-
Пусть дана сеть G с двумя числами Ь(и) и с (и) для каждой
дуги и\ этой сети следующим образом можно поставить в соответ-
ствие сеть G с пропускными способностями с (и): добавим к верши-
нам О две точки Хц и z, которые будут служить входом и выходом
сети О; каждой дуге и=(х, у) из О припишем пропускную способ-
ность с(я) = с(м) — b (иу соединим вход с вершиной у дугой
пропускной способности с(х0, у) = 6 (а), а вершину х соединим
с выходом z дугой пропускной способности с(х, z)~b{u).
Наконец, соединим z с х0 дугой пропускной способности
c(z. х0) = + со.
1° Докажем равносильность двух утверждений:
(1) для сети G существует такой поток ср, что
b <р (к) с (иу.
(2) для сети G существует поток ср, который удовлетворяет усло-
вию ср (к) <1 с (к) и насыщает дуги, идущие в выход z.
(1) =^> (2). В самом деле, если ср существует, то достаточно
определить ср на сети G так:
ср(к) = ср(й) — Ь(и) при u£lJ,
<р(х, z) =5 Ь(Х. у).
У)= S Ь(х, у).
<f(z, х0) = <р2;
!) Этот результат, доказанный Гофманом (A. F. Hoffman) в терминах
линейных программ, был перенесен на теорию сетей Л. Р. Фордом.
94
ГЛ. 8. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
функция ср является потоком по G, так как
1)	ср («) ~ ср («) — />(«)> b (й) — b (а) — 0.
2)	ср (а) = ? («) — /»(«)<;£(«) — b (и) = с («),
з)	2 ?(«)- 2 ?(“)= 2 ?(»)-2 <р(«)=о.
u^U~	и^их	u£Ux	и$их
Очевидно, поток ср насыщает дуги, идущие в выход z.
(2)	(1). В самом деле, если ср существует, то определим
функцию ср так:
?(«) = ?(“)+*(«) («££/);
функция ср является потоком по G, удовлетворяющим требуемым
условиям, так как
1)	ср (д) = ср (й) 4- b (и) > О 4~ b (д) — Ъ («),
2)	?(«) = ? («) 4-ь («X с («) + b (а) = с (и),
з)	2 ?(«)— 2 <pi»~o.
и^их
2° Теперь осталось найти необходимое и достаточное условие
для (2). Для любого множества обозначим через Уд множе-
ство дуг сети О, заходящих в Д, а через d (Д)— потребность мно-
жества Д, определенную для сети О; в силу сказанного выше (тео-
рема 1) условие (2) равносильно условию
c(v;)>rf(X) (ЛсЛ).
Если это неравенство верно для некоторого множества S, не
содержащего ни х0, ни z, то оно тем более верно для множества
7 = S|j (.?}, так как
~с (VF) >F (V£) > d (S) = d (Г).
Для множеств вида A? = S U (x0| это неравенство выполняется
всегда, ибо e(V^) = 4-cc- Ограничимся теперь множествами А се-
мейства Л', в этом случае рассматриваемое неравенство будет
иметь вид
2 е(д)4- 2 с(х0’ Х2 с(х< ?)
Х^А Л^'А
(Д£^).
поток, совместимый с множеством значении
95
или (см. рис. 8—6)
(c(«)-Z,(u))+ 2 *(«)+-
'‘iUA	U4VA
+ 2 *(«)> 2 *(«)+ 2 *(«)	(Л£Л),
“йг’
УС-4	У$Л
или, окончательно,
Алгорифм для задач 1 и 2 в случае, когда множество С (а) —
интервал. 1° Для сети О каждой дуге и, которой отнесены два
Рис. 8—6.
числа д(«) и с (а), удовлетворяющие условию 0 b (к) с (и), на-
ходим такой поток ср, что Ъ (и) ср (и) с (к), отыскивая, как прежде,
наибольший поток ср для сети О и полагая
т («)-=?(«) 4 *(“)
2° Полученный таким образом поток ср не обязательно является
наибольшим; но процесс, аналогичный процессу Форда — Фалкерсона,
позволяет добиться наибольшей величины:
помечаем вершину л*(, коэффициентом 0;
если xt—помеченная вершина, то помечаем коэффициентом -{-I
все те непомеченные вершины у, для которых
(xt, у) £U, a(xt, у)<с(х(, у);
96
ГЛ. 8. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
если xi— помеченная вершина, то помечаем коэффициентом —I
все те непомеченные вершины у, для которых
(у, Xi)£U, <f(y.xl)>b(y,xl).
Если таким путем мы добьемся того, что вершина z окажется
помеченной, то поток можно увеличить по методу Форда — Фалкер-
сона. Если же для некоторого потока пометить z невозможно,
то пусть А— множество тех вершин, которые невозможно пометить.
Имеем х0(^А-, z^A; величина <р° равна
ср»= 2 fw— S ?°(u) = c(Ua) — 1>(Ua)-
Так как, с другой стороны, величина потока не может превышать
с (U~A)-b(ui). то 9>° — наибольший поток.
Из предыдущего следует
Теорема 3. Если для некоторой транспортной сети суще-
ствует такой поток ср, что 0 b (и) <р (и) с (и) для всех
дуг и, то наибольшая величина этого потока равна
Чг = min (с (t/д) — b(UA)).
А г
л Jx,
Бесконечные транспортные сети
Рассмотрим транспортную сеть, определяемую графом (JV, U),
с пропускными способностями с (и); в этом параграфе уже не пред-
полагается, что | А”] < со. Мы обобщим теорему о насыщении.
Теорема 4. Пусть / = {у,. у.2.......уп, ...)—множество
{предполагаемое счетным) вершин, смежных с выходом z бес-
конечной сети; если граф регрессивно конечен и Г1 - конечен
в каждой точке, отличной от г, то необходимым и достаточ-
ным условием существования потока ср0, насыщающего все идущие
в z дуги, является выполнение неравенства
F{A)^.d(A)	(Д<=Г, |Д|<со).
Положим	у2.....yj и обозначим через Хп множество
таких вершин, которые принадлежат по крайней мере одному пути,
идущему от к z через какую-нибудь из точек множества Yn.
Граф, получаемый изменением ориентаций всех дуг и удалением г,
является Г-конечным и прогрессивно конечным, следовательно, в силу
теоремы 2 (гл. 3),
|(Г-1)у|<со (УСГ).
БЕСКОНЕЧНЫЕ ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
97
Значит, множество
Л, й (г”)у» и И
Й = 1
конечно и порождаемая им подсеть Gn конечна.
Обозначим через ФЛ множество потоков уп по сети Gn, насыщаю-
щих выходные дуги [и, кроме того, если и — дуга, не входящая в Gn,
то полагаем <?Л(«) = 0]. Так как Gn — конечная сеть, то |ФЛ| < со;
далее, в силу теоремы Гейла, Ф„¥=0; наконец, каждому потоку
£ Фл можно очевидным образом поставить в соответствие поток
удовлетворяющий условию	тогда ввиду след-
ствия Кёнига (гл. 3) существует последовательность^, .....
где о°£Ф для всех п, такая, что
• /I п
<₽»<<?»< ... о»<....
Положим ;р° («) = sup сро (ц) и покажем, что это — поток, сов-
п
местгмый с сетью G.
Если а Ф z, то множество t/д дуг, заходящих в а, конечно и
существует такое натуральное число р, что
(и) = <р0 (и) (и
Так как — поток по сети Gp, то
S ?’(«)= 2 <?“(«) = 2 ?“(«)= 2 <?“(«)•
uiu+ aiu£
Поэтому — поток; он совместим с пропускными способностями, ибо
Т (и) = sup (и) .< с (и)	(« g £/).
п
Наконец, очевидно, что этот поток насыщает все выходные
дуги; следовательно, он является искомым.
7 К. Берж
ГЛАВА 9
Теорема о полустепенях
Полустепенн исхода и захода
Для большей общности мы рассматриваем здесь не графы,
а мультиграфы; говорят, что мультиграф (X, U) есть р-граф> если
одна и та же пара вершин может соединяться не более чем р
дугами нз U (в каждом направлении).
Рассмотрим теперь р-граф с вершинами хр х2......хп. Назо-
вем полустепенью исхода вершины хк число дуг, исходящих из xk, т. е.
d+(x6) = j(7+| .
Точно так же полустепень захода вершины хк есть число дуг,
заходящих в хк, т. е.
(хг) = | U^k | .
При d+ (х) = d~ (х) = 0 вершина х называется изолированной
точкой, при d+(x)^--0, d^(x) — Q — входом при d+(x) — Q,
d~ (х) =£ О — выходом.
Для заданных целых неотрицательных чисел гр г2, rn,
$р $2.....sn можно поставить вопрос: существует ли р-граф, вер-
шины которого хр х2..... хп удовлетворяют условиям
а+ (хк) = гк.
{Г (x6) = s6 (А= 1, 2.......п).
Вот задача, которую мы собираемся здесь решить.
Теорема о полустепенях. Пусть (rp sj, (r2, $2)...........
(гл> sn)—пары целых неотрицательных чисел, причем нумера-
ция произведена так, что
S]>s2>
Пары (rk, sk) образуют полустепени исхода и захода для вер-
шин некоторого р-графа тогда и только тогда, когда
п	k
(1)	2 min \pk, ri} 2 sj (А = i, 2,..., п),
(2)
ПОЛУСТЕПЕНИ ИСХОДА И ЗАХОДА
99
Поставим множеству пар {rk, sk) в соответствие транспортную
сеть G, образованную вершинами хр х2.........хп, хр х2, ..., хп,
входом х0 и выходом z; вершины xi и х- соединим дугой пропуск-
ной способности с(хр х^)=р, вершины х0 и xt-— дугой пропуск-
ной способности с (х0, х.)~ rt, вершины х. и г — дугой пропускной
способности С(Ху, Z) = S}.
Каждый поток ср, насыщающий входные и выходные дуги сети G,
определяет р-граф (X U), где вершина xz соединена с х. дугами
в количестве ср(хР Ху); систему полустепеней этого р-графа обра-
зуют как раз пары (гл, sfc). Наоборот, каждый р-граф (X U) с си-
стемой полустепеней (rfc, sk) определяет поток по G, насыщающий
входные и выходные дуги. В силу теоремы о насыщении (гл. 8),
необходимое и достаточное условие существования такого потока
состоит в том, чтобы выполнялось равенство (2) и чтобы для каждого
множества Д = /х., х.......... х, 1 наибольшее количество потока,
I и ч	i#)
которое может войти в Д, было не меньше потребности А, т. е.
, X., . . ., x^)>-rf(X., х^.....-С л; </2 < . . . </А);
или
(И)
(Л^л;	<4< • • • < ift)-
Имеем (1?)=ф(1), а так ьак $у пронумерованы в убывающем
порядке, то и (1)=^(1').
Таким образом, оба сформулированных условия налицо.
Прн р = \ эта теорема выражает необходимое и достаточное
условие, при котором пары (гл, $й) образуют полустепени исхода
и захода некоторого графа. Этот результат можно представить
в форме, более удобной для быстрой проверки. Пусть
Г = (Г1, г2, . . .)
конечная строчка целых неотрицательных чисел (пронумерованных
в убывающем порядке); поставим ей в соответствие строчку
где f’k означает количество тех г£, которые не меньше /г; строчка г*
называется двойственной для г. Тогда имеет место
7*
loo
ГЛ. 9. ТЕОРЕМА О ПОЛУСТЕПЕНЯХ
Следствие1). Пусть даны пары целых неотрицательных
чисел (гй, $й); изменим по отдельности нумерации гк и sk так,
чтобы было
... >гл,
S1 2 * * s2	sn-
Образуем, далее, строчку г*=-(г*, г*, двойственную для
г = (гр г2, ,и добавлением нулей добьемся того, чтобы
строчки г* и s имели одну и ту же длину т.
Для того чтобы данные пары образовывали систему полу-
степеней некоторого графа, необходимо и достаточно, чтобы
'* + '•;+ ... +r’6>s1+s2+ ... 4-ss (A<m).
Г1 + Г2 + •   + Г’т = S1 + S2 + • • • + sm-
Это условие сразу получится из предыдущей теоремы, если
показать, что для любого натурального k
2 min \k, rt\=^r’.
Последнее равенство верно при А=1; с другой стороны,
если оно верно для какого-нибудь k, то оно верно и для
поскольку
2 min 1*+ 1, rj = s rni:1 {*. ri} 2 mi" !* 'J +4+i'| =
i = l	r.^k	\r.>k	/
n
= 2 min [Й, r.}+r'+,-=r; + r*+ ... +r^,.
4. И T. Д.
Пример (задача об экскурсии). При поездке на экскурсию надо
распределить т семей по п автобусам; семьи имеют соответственно
гр г2, .... гт членов, а автобусы располагают соответственно
$2, ,.. , sn свободными местами. Можно ли всю группу распределить
так, чтобы никакие два члена одной и той же семьи не попали
в один и тот же автобус? Эта задача сводится к построению простого
графа с заданными полустепенями; граф определяется множествами
А’='х, х,......xj и К=!ур у2...........у„);
’) Этим условием мы, видимо, обязаны Гейлу [1]; в свете хорошо из-
вестной теоремы Харди—Литтлвуда—Нойя [2] эти неравенства выражают
тот факт, что вектор г* является образом вектора s при линейном бисто-
хастическом преобразовании (см., например, Е. Т. F. М., гл. 8). (Другой вы-
вод этого следствия и дальнейшей теоремы, а также некоторые их прило-
жения имеются у Райзера [4]. — Прим, перев.)
ПОЛУСТЕПЕНИ ИСХОДА И ЗАХОДА
101
вершина хк имеет полустепени (rft, о), а вершина у*— полусте-
пени (0, sft).
Пусть для определенности:
свободные места i’ft = 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1,
семьи	га = 8, 8, 5, 5, 4.
Двойственная строчка образуется числами
= г2 ~ гз ~	“ 5; Гд — 4; г* = г' — 2.
Проверяем, разрешима ли задача:
5> 5,
5 + 5=10 + 5-4-5-^Ю
10 + 5= 15> 10 + 4= 14
15 + 5 = 20+14 + 4 = 18
20 + 4 = 24 > 18 + 4 = 22
24 + 2 = 26>22 + 3 = 25
26 + 2 = 28 > 25 + 2 = 27
28 + 2 = 30 > 27 + 1 = 28
30 + 28+ 1 =29
30 = 29+1
Значит, задача разрешима; теперь ее можно решать, как задачу
о наибольшем потоке,
Допустим, что для данной системы полустепенсй удалось построить
граф О = (+ 77); рассмотрим такие вершины х, х', у, у’, что
х^х',	У^У'-,
(х, у)£77, (х1, у')^77;
(х, у')^77,	(х1, y)^U.
Если дуги (х, у) и (х', у') заменить дугами (х, у') и (х', у), то
получится снова граф с той же системой полустепеней; такую замену
мы назовем перемещением', важность этой операции обусловлена
следующей теоремой:
Теорема 2. Если G = (X, U) и И—_(Х, V) — два графа
с соответственно одинаковыми полустепенями исхода и захода
в каждой вершине, то Н можно получить из G конечным числом
перемещений.
102
ГЛ 9 ТЕОРЕМА О ПОЛуСТЕПЕНЯХ
Графу G отнесе»' матрицу А = {а'1^ с п строками и п столбцами
в которой
( 0, если (хр
I	1, если (Хр xf)£U.
Точно так же отнесем графу Н матрицу B = (blj)‘, имеем
п	п
2	alj = 5 ь} = <Г (хр,
/=1
п	п
2	a‘j = 2 ~ d~ (*/)•
;=1	i=1	’
получить Mi
У
I
Матрица С — А — В, по определению, образована элементами
c'j = а*— b1.-, они равны Ц-1, 0 или —1, причем суммы этих эле-
ментов по строкам и по столбцам равны нулю.
В случае 21 р; | = О графы G и И совпадают; в случае 2 | 1 > 0
покажем, что последовательными перемещениями на графах G и//можно
которой 2И| <У|с> |;
I, J 7 I, J J 1
таким образом, повторение
этой операции даст в конце
концов графы G и Н, сов-
падающие друг с другом.
Пусть с'- — некоторый
элемент, равный -j-1; так
как каждый столбец со-
держит столько же —f—1,
сколько и —1, то в у-ом
столбце найдется элемент
с* = — 1; точно так же
в Л-й строке найдется неко-
торый элемент	1,
затем в Z-ом столбце —
некоторый элемент с™ =— 1 и т. д. Тем самым в матрице С определится
путь cj, cj, с*, с™...c.sr, Сг. Если в некоторый момент мы придем
в еще не пройденную точку cj = 4-l уже затронутого ранее
7-го столбца, то отправимся далее в еще не встретившуюся точку
cj = — 1 (это всегда возможно, ибо 7-й столбец имеет столько же-|-1,
сколько —1); так как матрица конечна, то рано или поздно мы
вернемся в точку и получим, таким образом, элементарный контур.
С
к
ПОЛУСТЕПЕНИ ИСХОДА И ЗАХОДА
103
Рассмотрим квадрат с'., ск., ск, с\ (см. рис. 9—1). Возможны сле-
дующие четыре случая:
Случай Г. с1( =—1. Произведем перемещение
(Хр -V;) - > (А'Д
Of	Xj)
на графе G. В полученной матрице С будет с1. — ck. = ск ~ с1. = 0
(остальные элементы — прежние), что соответствует поставленной цели.
Случай 2: с1{ = 0, (x.t £ U. То же перемещение, что и в пер-
вом случае, даст нам с1. = ск ~ ск = 0, с\ = I, а это опять отвечает
цели.
Случай 3: Ci-=0, (xt, x{}£U. Тогда (xit	и перемещение
(xit x{)->(x[t x}),
(хю x^~^(xk' xi)
на графе И приводит к тому же результату для матрицы С, что и
во втором случае.
Случай 4'. с}=-|-1. В этом случае найденный элементарный
контур можно заменить более коротким: с‘, cf, ....	с\. Повто-
ряя для нового контура предыдущие рассуждения, мы либо натолк-
немся на один из случаев 1, 2, 3, либо в конце концов придем
к квадрату с элементами Ц-1, —1, 4-1, —1 в вершинах, после
чего достигнем цели очевидным перемещением.
Таким образом, доказано, что оба графа G и Н можно последо-
вательными перемещениями превратить в один и тот же граф G (= И).
Но операция перемещения обратима, поэтому мы можем сначала
перевести О в О, а затем G в Н (применяя в обратном порядке
перемещения, обратные тем, которые преобразуют Н r G). В конеч-
ном итоге получим Н из G посредством перемещений).
ч. И т. д.
Пример. Пусть
X—{Хр х2, .... хп, у2, ..., у„),
d+ (xf) =u 4-1, <xi} = o.
<*+(y7)=o,	=
Искомый граф отвечает некоторой перестановке индексов
1, 2.....п, и теорема 2 дает известный результат:
Из данной перестановки (i\, 1%> • • •» 4) можно получить любую
другую перестановку тех же элементов при помощи конечного
числа транспозиций.
ГЛАВА 10
Паросочетание простого графа
Задача о наибольшем паросочетанин
Мы будем рассматривать здесь только простой граф (Д', К, Г),
т. е. граф, определяемый двумя непересекающимися множествами X
и К и многозначным отображением Г множества X s К. Те же задачи
мы поставим позднее и для произвольных графов (см. гл. 18), однако
техника их решения будет совсем иной. Сначала предполагаем граф
конечным.
Назовем паросочетанием простого графа (X, Y, I1) такое мно-
жество W его дуг, в котором никакие две дуги не смежны; если
паросочетание устанавливает взаимно однозначное соответствие между
некоторым множеством Лс.Х и некоторым множеством ВсУ, то
говорят, что это паросочетание отображает А на В, или что оно
отображает Л в Y. Мы хотим определить наибольшее число
дуг паросочетания.
Пример 1. Задача о назначении лиц на должности.
В учреждении имеется р работников х., х2.....хр и р должно-
стей ур у2...................................у ; квалификация каждого работника позволяет ему
занимать некоторые из должностей. Возможно ли произвести назна-
чение таким образом, чтобы каждый работник занял должность
в соответствии со своей квалификацией? Если обозначить через Гх.
множество тех должностей, которые может занимать лицо то
зздача сведется к рассмотрению простого графа (X Y, Г) и нахо-
ждению его паросочетания, отображающего X на Y.
Пример 2. Задача о воспитанниках и воспитанницах. В сме-
шанном американском колледже каждая девушка имеет т друзей,
а каждый юноша имеет т подруг; можно ли во время танца сделать
так, чтобы каждая девушка танцевала с одним из своих друзей,
а каждый юноша — с одной из своих подруг? Как мы покажем
а свое время (следствие 2), ответ на этот вопрос — утвердительный.
Теорема Кёнига — Холла [4]. Паросочетание, отобра-
жающее X в Y, существует тогда и только тогда, когда
!ГД|>|Д| для любого множества A<z.X.
ЗАДАЧА О НАИБОЛЬШЕМ ПАРОСОЧЕТАНИН
105
Рассмотрим транспортную сеть, определяемую точками множеств
/ и К, входом и выходом z; соединим с каждой вершиной
Уу£К дугой пропускной способности с(х0,	1; далее соединим
каждую вершину х{ £ X с г дугой пропускной способности c{x-t, z')=l-,
наконец, всякий раз, когда у^Гхр соединяем уу с xi дугой про-
пускной способности оо (рис. 10—1). Если Дс/, то полная потреб-
ность множества А равна d(A) = , А |; наибольшее количество потока,
которое может поступить в А, равно Л(Л)= ГЛ|.
Р и с. 10 -1.
Всякий поток ио сети определяет некоторое паросочетание про-
стого графа, причем точка хг- отображается в у}-, когда по дуге
(Уу, X;) проходит единица потока; наоборот, всякое паросочетание
определяет некоторый поток. Отобразить X в ¥ возможно тогда
и только тогда, когда наибольший поток насыщает выходные дуги,
т. е., в силу теоремы о насыщении (гл. 8), когда
Г(Д)>г/(Л)	(АсА'),
или, иначе,
|гл|>И1	Ис*)-
ч. и т. д.
Итак, нахождение наибольшего паросочетания представляет собой
задачу о наибольшем потоке, и здесь можно применить алгорифм
Форда — Фалкерсона (гл. 8).
Следствие 1. В простом графе G=(X, ¥, Г), у которого
|Х| _ р, |К| =q, пронумеруем вершины х£Х а }'у£К таким
образом, чтобы
|Гх1|<|Гх2|<...<|Гх,,|.
Ir^.Wr-y.b.-.sdr-M
106
ГЛ 10 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Тогда достаточное условие существования паросочетаная,
отображающего X в Y, выразится так’.
(1)	|Гх3|-ЫГ^(+ ... +|Гх,|>
>1Г 'vj | 4- ; Г 'у, | Д- ... 4 I Г I (А = 1, 2....р),
В самом деле, рассмотрим два множества:
и В = {уЛ, у^.....уц^г
с количествами элементов соответственно k и k—1; в силу (1),
| Гх,^	Гл:, J+-.-+I Гл-/4 | > |Г |Г	. -+-|г
Поэтому число дуг, исходящих из Д, строго превышает число
дуг, заходящих в В\ значит, ТАфВ, каково бы ни было множе-
ство В нз k — 1 элементов; отсюда |ГД| —1 = |Д[ — 1 и
окончательно
)ГД|>|Д| (ДсД
Поэтому X можно отобразить в Y требуемым образом.
Следствие 2. Если для простого графа (X, Y, Г) суще-
ствует такое целое число т, что |Гх\ZY-m для любой вершины х£Х
и | Г ’ ху | т для любой вершины y^Y, то можно построить
паросочетание, отображающее X в Y.
Действительно, условие (1) предыдущего следствия здесь вы-
полнено.
Следствие 3. Пусть (X, Y, Г) — простой граф, а
т ~ max | |Гл?|, | Г~‘у |/jc £ X, у £ к);
всегда существует паросочетание., использующее все те вершины х,
для которых |Гаг| = т, и все те вершины у, для которых
| Г”1 у | = т.
1'' Сначала покажем, что можно построить простой граф (Xf, Y'. Г'),
все вершины которого имеют полустепень т и который содержит
(Л", Y, Г) в качестве подграфа.
В самом деле, построим т одинаковых копий графа (X, Y, Г):
(№, У1, Г), (X2, Y2, Г), . . ., (Хт, Ym, Г);
если вершина х£Х такова, что т—|Глс|=Л>0, то рассмотрим
соответственные точки	х2£Х2,	, хт£Хт и каждую из
них соединим дугами со всеми вершинами нового множества
у Ml. X). у (2, х), ... , y(k, X)},
ЗАДАЧА О НАИБОЛЬШЕМ ПАРОСОЧЕТАНИИ
107
состоящего из k точек и специально построенного для нашей цели.
Проделав это со всеми точками х£Х, возьмем точку для
которой |Г~ у| < т, построим вспомогательное множество Х(у} и
все точки этого множества соединим с у, и т. д.
Положим
\Uvu U *(у).
i -< т у $ У
>" U!"'u U н-к)-
х£Х
Простой граф, определяемый множествами X', Е7 и построенными
дугами, удовлетворяет требуемым условиям и содержит (X1, И, Г)
в качестве подграфа.
Заметим, что |A"Z| — | У' |.
2° В силу следствия 2, в новом графе можно построить паро-
сочетание, отображающее X' в У'-, каждой вершине	для
которой [Гх11 — т, будет отвечать вершина в К1, а каждой вер-
шине у1 Для которой |Г-1у! | ~т,—вершина в X1; поэтому
в графе (А1, И, Г), т. е. в (X, У, Г), существует паросочетание, ис-
пользующее все эти вершины.
Следствие 4. Хроматический класс простого графа (X. К, Г)
есть
т — шах ' |Гх|, |	\/х £ X, у£/}.
Надо доказать, что дуги графа можно раскрасить в т различных
цветов так, чтобы смежные дуги не были окрашены одинаково.
Первой краской окрасим все дуги того паросочетания, которое
использует все вершины с полустепенями т\ второй краской окра-
сим дуги паросочетания, использующего вершины наибольшей полу-
степени в том частичном графе, который образован не окрашенными
еще дугами, и т. д. Эти паросочетания существуют, в силу преды-
дущего следствия, и при каждом шаге наибольшая полустепень вер-
шин графа уменьшается на единицу. Поэтому т красок достаточно
для раскрашивания всех дуг графа {X, У, Г).
Пример (латинские квадраты)X Следствие 4 имеет любопытное
применение к теории латинских квадратов, придуманной Эйлером.
Говорят, что дан латинский квадрат порядка п, если клетки квад-
рата п X « заполнены буквами ур у2, ..., уп таким образом, что
ни одна строка и ни один столбец не содержит двух одинаковых
букв. Для выяснения того, является ли заданный прямоугольник
с буквами частью некоторого латинского квадрата, служит следую-
щая теорема:
Пусть Т — прямоугольник р X q, заполненный буквами
Ур у2> •••’ Уп так, что ни одна строка и ни один столбец не
1 В настоящее время латинские квадраты применяются, например
в биометрии. — Прим, перев.
108
ГЛ. 10 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГР-\ФА
содержат, двух одинаковых букв, и пусть буква у встречается
в Т т (у) раз. Для того чтобы путем добавления п — р строк
и п — q столбцов было возможно превратить Т в латинский
квадрат пХ а, необходимо и достаточно, чтобы
m (Уй) > Р Ч~ У ~ п (& — 1 - 2, . . . , и).
1° Условие необходимо. В самом деле, пусть Г, — множество
из п — q букв, не встречающихся в /-Й строке прямоугольника Г, и
пусть т! (у) — число множеств из
Т	Гр Г2, Гр, которые содержат у.
12	q 71	Если можно построить латинский ква-
/[• • •........• • •!	драт, то т'(у)<^п—q, откуда
»....... . .	/«(>') = /? — m'W^p— n-\-q.
2° Условие достаточно. Действи-
...................... тельно, положим Р={1, 2...........р\,
j. 9 в е.....................................................е е е Q У = {ур у2, . . ., уп\, определим мно-
жества Г/? как выше, проведем из каж-
............... дой вершины i£P дуги в те у g У, для
р е в е........в е е которых у£1\, и рассмотрим получен-
г----------------ный простой граф (Р. У, Г); имеем
|Г;|=»-?	(1£Р).
--------------------- Г'\| —</ (УбН-
Рис. 10—2.	Значит, в силу следствия 4, мы
можем раскрасить дуги графа в п — q
цветов: синий, красный и т. д. Начнем пополнять Т новыми
п — q столбцами: первый столбец образуем из концов синих дуг,
исходящих из Р, второй — из концов красных дуг, исходящих
из Р, и т. д. Полученный таким образом прямоугольник Т с раз-
мерами рХп удовлетворяет условию теоремы, поскольку /п(у) =
= р = (р-|-и)— п\ после этого остается повторить аналогичное
рассуждение, переменив ролями столбцы и строки.
Дефицит простого графа
Дефицитом простого графа G = (X. Y, Г) называется число
80 = тах(|Д|— |Г\4|).
АСХ
Всегда 0 (ибо 10 | — |Г0 | — 0), поэтому теорему Кёнига —
Холла можно сформулировать еще и так: необходимое и доста-
точное условие существования паросочетания. отображающего X
в У, состоит в том, чтобы Во = О. Мы здесь ставим целью улуч-
шить этот результат и, точнее, оценить наибольшее число дуг паро-
сочетания.
ДЕФИЦИТ ПРОСТОГО ГРАФА
109
Прежде всего, назовем опорой простого графа G — (X, У, Г)
всякое такое множество CccXj У, что каждая дуга имеет по край-
ней мере одну из своих граничных вершин в С\ это понятие важно
и само ио себе. Имеют место следующие результаты:
Теорема 2. В простом графе G=(X, У, Г) наименьшее
количество элементов опоры, С равно [Х|—Во,
В самом деле,
— % = |АГ| — max (IЛI — |ГД|) -
Лех
= min(|X|- И|-Ь;ГЛ|) = тш(|5| + |Г(^\3)|),
А С X	ВсХ
где В = Х\ Д.
Но множество ВиГ(Х\В) является опорой, причем всякая
наименьшая опора имеет такой вид; поэтому справедлив сформули-
рованный результат.
Теорема 3. Число внутренней устойчивости простого графа
О = (Х, У, Г) равно а (С?) = | К| ~НВ0.
В самом деле, если С — опора, то ее дополнение 5 = (XIJ К) \С
является внутренне устойчивым множеством (никакая дуга не может
иметь обеих граничных точек в 5); наоборот, если S — внутренне
устойчивое множество, то его дополнение является опорой.
Отсюда
а (О) = шах 151 — шах ([Д'! Ц- | У | — |С|) = | Х\ Ц-
s с
+ 1И-тш|С| = |Х|4- И-(И-у= И4Л-
Замечание. Теорему 3 можно сформулировать иначе. В произ-
вольном графе обозначим через &х = [у/у>х] множество вершин,
строго следующих за х (см. гл. 2), и будем говорить, что две
вершины хх и х2 несравнимы, если не имеет места ни х, > х2, ни
х2 > д-р В случае простого графа (Д'. У, Г), очевидно,
Дх = Гх, если х £ Х\
Дх = 0, если х £ У.
Теорему 3 сформулируем следующим образом: наибольшее число
попарно несравнимых вершин, которые можно найти в простом
графе, равно
max (|Д | — | ДД |).
асхцк
no
ГЛ 10 ПАРОС0ЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Замечательно, что в этой формулировке теорема остается в силе
и для произвольных графов т).
Исследуем теперь взаимосвязь между дефицитом простого графа
и наибольшим числом дуг паросочетания.
Лемма 1. Если для A<z.X положить 8(Д)=|Д|— |ГЛ|, то
В (Д, и д2) 4- в (д! П д2) > 8 (Д^ + В (Д2).
В самом деле, справедливы соотношения
14 и 4- IA n a2i =	+ |Л2|,
|Г(Л, и Л2) 1+ |Г(Л, п АЖ1Г4 U ГЛ2 [~|—|ГЛ, п ГА, |= [ГЛ, 1+|гд21.
Вычитая второе соотношение из первого, получим требуемую фор-
мулу.
Лемма 2. Семейство = \ Д/В(Д) = 80} образует структуру
относительно операций J и П, т. е.
Д1 > Д2 £ tA	Д J U Д2 С I П 4 £ <А 
В самом деле, если Др Л2£<А., то, в силу леммы 1,
6 (Л, и л2) 4- 8 (Л, П л2) > s (Л,) + 8 (А2) = 280.
1) Доказательство можно провести, например, так: если {X, Г)— данный
конечный граф, то построим простой граф (X, X, Д), указывающий для каж-
дой вершины все строго последующие, и рассмотрим наименьшую опору
с = 4/,.х^.	х/,- xi,,
Г Сначала покажем, что индексы этих вершин различны. Действительно,
если бы, например, /j = то существовал бы такой индекс k iit i2, ....что
х е 4s
(поскольку множество C\|.v. }, имеющее па один элемент меньше, чем С,
не может быть опорой); по той же причине нашелся бы такой индекс
Л Д, А. • • • . что
но
Xk < Х1г} Xi. xh =Ф Хк < xh>
вопреки тому, что дуга (хй, хА) не имеет своих граничных точек в опоре С.
2° Рассмотрим в графе (X, Г) множество S » Х\ |xf , х, ....
... ; Ху(, Ху2, все его элементы попарно несравнимы, оно — наибольшее
из множеств с этим свойством, и, в силу теоремы 2, имеем
1S j ••= | X | — | С [ = | XI — Г[ X I — max (| А | — | ДЛ |) I = max (| Л , — | ДЛ [).
L Асх	J лсх
Ч. И1.Д,
ДЕФИЦИТ ПРОСТОГО ГРАФА
111
Так как ни одно из слагаемых В(Д,иЛ) и ^(АПДг) ие может
быть больше By, то необходимо B(.4j (J Д2) = 80,. В (Д] П Дг) = &о* что
и доказывает утверждение.
Лемма 3. Если Во > 0, то пересечение До всех множеств
семейства Л = {Д/В(Д) = Во} есть непустое множество этого
семейства.
Так как граф конечен, то До есть пересечение конечного числа
множеств из Л и. в силу предыдущей леммы, А$£Л', кроме того,
если бы До=0, то мы имели бы
8о = 8(До) = 5(0) = О,
что противоречит предположению о том, что Во > 0.
Теорема 4 (Кёниг — Оре [9]). В простом графе наибольшее
число дуг паросочетания равно |Xj — В().
Если Во — 0, то утверждение уже доказано (па основании теоремы
Кёнига — Холла); допустим теперь, что Во > 0, и рассмотрим пере-
сечение Ло (непустое) тех множеств Д, для которых 8(Д) = 8О.
1° Если удалить из графа вершину я0 До, то дефицит не
изменится. В самом деле, дефицит нового графа Bq So; а так как но-
вый граф содержит множество До, для которого В (Д0)=8о, то оо = Во.
2° Если удалить из графа вершину х0£Д(), то дефицит графа
уменьшится ровно на единицу. Действительно, поскольку удале-
ние разрушает все те множества Д, для которых В(Д) = В0, то
дефицит нового графа Во < Ви; поэтому множество До = До\(^о}
удовлетворяет условию
5(До) = ' До| — 1 — |ГДо| < Во = | До| — | ГДо|>
откуда
|ГДо|>|ГДо|.
В силу ДосДо справедливо также обратное неравенство; значит,
|гХ,| = |га,|
и, наконец,
В(^<',) = I Ail — ; г^о| =(| Л()| — 1) — I ГЛ0] = Во— 1;
последнее же ввиду до < во означает, что So = Вд—1,
3° Так же, как и выше, доказывается, что Вс есть наименьшее
число вершин из X. которые надо удалить, чтобы полученный граф
обладал дефицитом Ви = 0, т. е. допускал паросочетание, отображаю-
щее множество его вершин X’ в У; отсюда и следует сформулиро-
ванный результат.
112
ГЛ. 10. ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Следствие (теорема Кёнига) В простом графе наименьшее
число вершин опоры равно наибольшему числу дуг паросочетания.
(Сопоставление теорем 2 и 4).
Последний результат дзет нам возможность установить новый
алгорифм для определения некоторого наибольшего паросочетания;
этот алгорифм, более поучительный в применении к теории графов,
чем алгорифм отыскания наибольшего потока, основан на работах
Эргевари [2] и Куна [5] и обычно известен под именем „венгерского
алгорифма".
Венгерский алгорифм
Рассмотрим простой
которого будем называть
граф (X, Г, Г) и паросочетание W, дуги
сильными и изображать жирными линиями
(остальные дуги называем слабыми и
изображаем тонкими линиями); предполо-
жим, что паросочетание W— полное'.
каждая слабая дуга смежна по крайней
мере с одной сильной дугой.
Вершину г. не являющуюся граничной
ни для какой сильной дуги, назовем не-
насыщенной. Если wgIF, то через Aw
обозначим множество тех сильных дуг,
концы которых смежны с началом дуги -ш;
обозначим через U/+ множество тех силь-
ных дуг, концы которых смежны хотя бы
с одной ненасыщенной вершиной, а че-
рез W —множество сильных дуг, на-
чала которых смежны хотя бы с одной ненасыщенной вершиной
(см. рис. 10—3).
Теперь можно сформулировать теорему.
Теорема 5. Следующие четыре условия равносильны-.
(1)	в простом графе (X У, Г) паросочетание W — наибольшее;
(2)	в простом графе (X, Y, Г) не существует чередующихся
цепей {состоящих из поочередно идущих слабых и сильных дуг),
соединяющих две различные ненасыщенные точки;
(3)	в графе (UZ, Д) не существует пути, идущего из точки
множества W+ в точку множества UZ ;
(4)	в графе (W7, Д) каждую вершину можно пометить знаком
или „—“ так, чтобы все вершины множества получили
знак все вершины множества W —знак „—“ и чтобы ни-
какая дуга {ориентированная) не шла из в „—“
Покажем, что ('1)=ф (2)=ф (3)=> (4)=ф (I).
(l)z^>(2), так как если бы существовала чередующаяся цепь L70,
соединяющая две различные ненасыщенные вершины, то паросочета-
ВЕНГЕРСКИЙ АЛГОРИФМ
113
ние W' =^(1F\ U^) (J (t/0\ W7) имело бы на одну дугу больше, чем W,
т. е. паросочетание W не было бы наибольшим.
(2)=^>(3), так как всякому пути графа (1F, Д), идущему из IF*
в IF , отвечает хотя бы одна чередующаяся цепь, соединяющая две
ненасыщенных точки л'0^Хи у0£К.
(3)=ф(4). Пометим знаком „4-“ все вершины множества AIF*
и знаком „—“ все вершины множества W \ ДМ7-; имеем W7' сДИ/ +
и 11Гс№\Л№+ (так как не существует пути, идущего из W7*
в 1F-); поэтому условие (4) выполняется.
(4)=ф(1) В графе (X, К, Г) с паросочетанисм W7 пометим силь-
ные дуги знаком	“ или *—“ в соответствии с условием (4) и
обозначим через X множество начальных точек сильных дуг, по-
меченных знаком „—а через Х+ — множество конечных точек
сильных дуг, помеченных знаком
Для дуги иу = (х0, у0), удовлетворяющей условию х0^Х ,
Уо^И*. рассмотрим четыре случая расположения (см. рис. 10—4).
Случай 1: вершины xQ и у0 не насыщены. Этот случай невозможен,
так как IF— полное паросочетание.
Случай 2; вершина х0 не насыщена, вершина у,; насыщена. Тогда
существует луга w£lF с концом в у0. Поскольку у0(£ К1', дуга w
должна быть помечена знаком „—Но, с другой стороны, по
определению множества IF *, она должна принадлежать этому множе-
ству и поэтому быть помечена знаком „-р‘. Таким образом, и этот
Случай невозможен.
8 К. Ьерж
114
ГЛ 10 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Случай 3: вершина х0 насыщена, вершина у0 не насыщена. Тогда
существует луга с началом-в х0. Поскольку	дуга w
должна быть помечена знаком „4*“, но, с другой стороны, w £ W7 ’,
и поэтому она должна быть помечена знаком „ — “. Таким образом,
и этот случай невозможен.
Случай 4: вершины х() и у0 насыщены. Рассмотрим дуги и
•ш2, принадлежащие паросочетанию UZ, первая из которых имеет на-
чало в х0, а вторая — конец в у0. Дуга w1 должна быть помечена
знаком „4-“ а дуга — знаком „—“. Но тогда	вопреки
условию (4). по которому никакая дуга не должна идти из „4-“
в „—“. Таким образом, и этот случай невозможен.
Так как все эти случаи невозможны, то не существует дуги
(х0, Уо)' У которой х0£ Х~ и	. Следовательно, множество
С = Л’-и1/+ является опорой.
В силу теоремы Кёнига для любого паросочетания W и любой
опоры С' имеем |W"||СГ|; поскольку в нашем случае |1Г| = |С|,
паросочетание U7 является наибольшим (а опора С — наименьшей).
Алгорифм для построения наибольшего паросочетания. Рас-
сматриваем все вершины X н последовательно пробуем отобразить
их в К; когда никакая вершина не может быть более отображена,
имеем полное паросочетание W7.
Образуем граф (UZ, Д) и ищем путь, идущий из IF+ в U7"
(различные способы для этого были указаны в гл. 7). Если такой
путь существует, то заменяем паросочетание U7 паросочетаннем W',
имеющим на один элемент больше, и начинаем все сначала.
Если такого пути нет, то паросочетание U7— наибольшее.
Алгорифм для построения наименьшей опоры. Действуя, как
выше, находим какое-нибудь наибольшее паросочетание IF.
В графе {X, Y, Г) помечаем дуги множества AlF+, знаком „4*“,
дуги множества IF \ AIF н —знаком „ —	наименьшая опора С
будет состоять из начальных точек сильных дуг, помеченных зна-
ком „—и конечных точек сильных дуг, помеченных знаком „4““-
Следует отметить, что таким же способом строится наибольшее
внутренне устойчивое множество (при помощи перехода к дополнению).
Обобщение на бесконечный случай
Некоторые из предыдущих результатов распространяются на
локально конечные простые графы.
Теорема 6. В локально конечном простом графе {X, У, Г)
паросочетание, отображающее X в Y, существует тогда и
ОБОБЩЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНЫЙ СЛУЧАЙ
115
только тогда, когда
(АсХ, |Д|<сю).
Эта теорема доказывается аналогично теореме Кёнига—Холла, но
только здесь используется теорема о насыщении для бесконечных
транспортных сетей (гл. 8).
Теорема?. В локально конечном простом графе (X, К. Г)
наименьшее число вершин, которые надо удалить из X для того,
чтобы можно было найти паросочетание, отображающее новое
множество вершин X в У, равно
шах (|Д( — |ГЛ|).
АСХ
|А|<»
Когда Во конечно, эта теорема доказывается, как и теорема Кё-
нига— Оре, с помощью рассмотрения пересечения множеств
семейства
=	S(^) = 60<;
заметим, что само А^-УЬ Когда gd бесконечно, утверждение
очевидно
Теорема 8. Хроматический класс простого графа (X, У, Г),
конечный или бесконечный, есть
т = max {jibe j, । Г“1 у \/ х£ X,
При т = со теорема очевидна; при т < оо она доказывается
точно так же, как в случае конечных графов.
Приведем в заключение важную теорему, которая в различной
форме встречается в самых разнообразных задачах и заслуживает
доказательства только для бесконечных графов.
Теорема Бернштейна. Если в бесконечном простом
графе (X, У, Г) существуют паросочетание U7, отображающее
X в У, и паросочетание W", отображающее У в X, то с помощью
некоторого множества дуг WzocU/[J^z/ можно также (взаимно-
однозначно) отобразить X на У.
') Эту теорему можно распространить па любые транспортные сети
(Бсрж [if); получаем: еслиграф некоторой транспортной сети регрессивно
конечен и Т~ -конечен, то наименьшая общая величина, на которую
надо уменьшить потребности, чтобы иметь возможность все их удовле-
творить, равна
— sup [л/(Л) —/=* (Л)].
A CZ Г-' Z
8*
116
ГЛ. 10 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Пусть о — однозначное отображение, относящее каждой вер-
шине х£А такую вершину у£К, что (х, у) £ W, аг — однозначное
отображение, относящее каждой вершине yg К такую вершину х£ А,
что (х, y)£lFz; положим А~ А\тК(рис. 10—5). Обозначим далее
через Л. = [XJi £ /) семейство подмножеств множества X, удовле-
творяющих условиям
(1) А^А.
(2) тЗДсЛ,.
Это семейство Л непусто, ибо Х£Л; если положить S =
то будем иметь
[ SoA
т (oS)=то Па-с ГИ=
I	IV
Поэтому 5£Л\ то же верно и для множества Дут^) — So,
так как
Г 50=>Л,
I т (oS0) с Т (aS) cz А и TaS = So.
Значит, SD=>S; с другой стороны,
So = A (J т:(о5)(=Д (J S =
отсюда, наконец,
ди^(^) = 5.
Рассмотрим теперь множество таких дуг (х, у), что
у = ах, если x£S;
у = т^1х. если
ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ МАТРИЦ
117
Чтобы показать, что оно является паросочетанием, отображаю-
щим X па Y, достаточно убедиться в том, что если положить cS — Т.
то будет
т(У\ T) = X\S.
Но это получается сразу, так как можно написать
т (К \ Т) == т/ \ А \ тТ= тК \ (Д и = тК \ 5 = X \ S.
ч. И т. д.
Пример (планиметрия). Рассмотрим плоское множество, и пусть X
и Y — его проекции на две взаимно перпендикулярные оси координат.
Допустим, что для любого х £ X существуют две точки (х, у^) и (х, у2)
множества, которые проектируются
в х, и положим Гх=(ур у2|; кроме
того, допустим, что для каждого у£У
имеются две точки множества, проекти-
рующиеся в у.
Простой граф (X Y, Г) локально
конечен, и каждой дуге этого графа
отвечает некоторая точка множества
(рис. 10 — 6).
Далее, имеем
|Гх|=2 (х£Х),
|Г"’у! = 2 (убГ).
Поэтому из теоремы б следует,
что можно отобразить X в Y и Y в X.
В силу теоремы Бернштейна существует
паросочетаиие W, исполь-
зующее все вершины X и все вершины К; следовательно, существует
подмножество (на рисунке изображенное жирными линиями), обладаю-
щее свойством: всякая прямая, параллельная любой из координатных
осей, пересекает это подмножество в единственной точке. Таким
образом, доказана весьма тонкая с точки зрения логики теорема
существования.
Приложение к теории матриц,
Квадратная матрица
Р2	 Р'.
Pi  Р]  Pl
Р", ... Р" Р"
118
ГЛ 10. ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
называется бистохастической, если
(i^n, j n);
2 p‘j = 1 U' < я);
i
2 Pl! = 1 <Z < rt)-
Бистохастическне матрицы играют важную роль в различных обобще-
ниях выпуклых функций (см., например, Е. Т. F. М., гл. 8);
Г. Биркгоф {2] показал, что основные свойства таких матриц выво-
дятся из теоремы Кёнига — Холла.
Теорема 9. Все члены определителя произвольной квадратной
матрицы А — (ajj порядка п
равны пул о тогда и только тогда>
когда в матрице А имеется подма-
трица с размерами р~Х,(п—р—|—1)
(где р п), все элементы которой
равны нулю.
В самом деле, положим .V —
= {1, 2, . . ., п] и для i £ N положим
n = (yMpo).
Тем самым образован простой
граф (N, N, Г).
Члены определителя имеют вид
+ а‘-а^ ... а‘».
и все они будут равны нулю тогда,
когда не существует паросочета-
ния, отображающего множество N в /V;
Кёнига — Холла, в этом и только в этом
множество laN, что
i/| > |Г/|.
поэтому, в силу теоремы
случае существует такое
При этом в А найдется нулевая подматрица с размерами
И X (л— И 4- О-
Теорема 10. Если матрица Р = (р‘.^— бистохастическая.
то по крайней мере один член ее определителя отличен от нуля.
В самом деле, допустим, что это не так и что, следовательно,
матрицу Р можно считать состоящей из четырех подматриц: /? = (?<),
.$ = ($}),	и нулевой матрицы О, как показано на рис. 10—7.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ МАТРИЦ
119
Имеем
2 2= — р +1.
* i
Следовательно,
22^(п-р)-(я-р+1)=-1.
/ j
Но это противоречит предположению о том, что 0.
Теорема 11 (Биркгоф— фон Нейман), Всякая бцстохаста-
ческая матрица является центром тяжести матриц подста-
новок.
Надо показать, что если Р— бистохастическая матрица, то суще-
ствуют матрицы подстановок Pv Р2, Pk (у которых в каждой
строке и в каждом столбце ровно один элемент равен единице,
а остальные элементы — нули) и такие числа Хр Х2, .... Xft, что
Xl. 4...?'4>0;
4- X, 4- . . . + X, = 1;
Р —	4~ 4^2 + • • • + XjP
Поскольку не все члены определителя матрицы Р — (aj.) равны нулю,
рассмотрим член aj' а2 ... a'"=f=Q, положим X, = min (а]1, а2\а1*}
и обозначим через Pt матрицу подстановки (tp i2.in); положим,
наконец,
P = \P, + R.
Число элементов, равных нулю, в матрице R больше, чем в ма-
трице Р; если все члены определителя матрицы R равны нулю, то
мы на эюм остановимся, в противном же случае разложим матрицу R
так же, как разложили Р, и т. д.; в конце концов получим
р=х1р1+х.2р,+ ... +ХЛ4-/?,
где R— такая матрица, все члены определителя которой равны нулю.
Поэтому R = 0 (в противном случае нашлось бы такое X > 0, что
матрица Хр была бы бистохастической, а все члены ее определителя
равнялись бы нулю, что противоречит теореме 10). С другой стороны,
2 а‘] = 1 =	+ ^-2 +    4“ Kk'
1 = \
Теорема доказана.
Отметим здесь эффективность того орудия, каким является теория
графов; прямое доказательство теоремы Биркгофа — фон Неймана
значительно длиннее.
Г Л Л В А 11
Факторы
Гамильтоновы пути и гамильтоновы контуры
Путь р = [л:1, л2,	в графе (X, Г) называется гамильто-
новым, если он проходит через все. вершины графа, притом только
по одному разу; точно так же контур р. ~ [х0, хх...гамиль-
тонов, если он проходит через каждую вершину и притом по одному
разу (с гем лишь исключением, что
/	*0 = -«»>
/у^ с S\	Часто бывает важно знать, есть ли
\	У данного графа гамильтоновы пути или
/^ / о А/ \ гамильтоновы контуры.
/ / Д	\ Пример 1. Замкнутое кругосветное
Путеш-ест8ие (Гамильтон). Выберем на
уХ земном шаре 20 городов: а, Ь, с, . . . , t\
для простоты допустим, что эти города
х. V	расположены в вершинах правильного до-
декаэдра (многогранника с 12 пятиутоль-
%	ными гранями и 20 вершинами), изобра-
Рис. и—1.	жающего Землю. Наша цель — пройти
через каждый город ровно один раз и
вернуться в исходный пункт, причем идти можно только по ребрам
додекаэдра. Эта задача сводится к нахождению гамильтонова контура
для симметрического графа, изображенного на рис. 11 — 1.
Заслуживает внимания способ решения, который применил Га-
мильтон. Путешественник, прибывший в граничную точку дуги, дол-
жен осуществить одну из трех возможностей: выбрать дугу, распо-
ложенную справа, — эту операцию обозначим через П; выбрать дугу,
расположенную слева, — эту операцию обозначим через Л; остаться
на месте—эту операцию обозначим через 1. Далее определим про-
изведение операций: ПЛ есть операция, состоящая в том, чтобы сна-
чала идти вправо, а потом влево; ЛЛП, или Л2П — операция, заклю-
чающаяся в том, чтобы два раза подряд идти влево, а затем один
раз вправо; и т. п. Наконец, две операции равны, если обе они от
одной и той же начальной точки приводят к одной и той же конеч-
ной. Произведение некоммутативно (например, ПЛ^ЛП), но ассо-
циативно [например, (ЛЛ) П — Л (ЛП)[.
ГАМИЛЬТОНОВЫ ПУТИ И КОНТУРЫ
121
Имеют место формулы
П5 Л5 = [ t
ПЛ2П = ЛПЛ.
лп2л —плп,
плл=л2,
лп3л = п2.
Можно написать
1 = П5 = П2П3 = (ЛП3Л) П3 = (ЛП3)2 = [Л (ЛП3Л) П]2 =
= (Л2П3ЛП)2 = [Л2 (ЛП3Л) ПЛП]2 = [Л3П3ЛПЛП]2 =
= лллппплплплллппплплп.
Это произведение содержит 20 букв, причем из него невозможно
выделить отрезок, юже равный 1; поэтому последовательность сомно-
жителей полученного произведения задает гамильтонов контур. Вто-
рой контур мы найдем, прочитав последовательность в обратном
порядке; другие гамильтоновы контуры получаются в результате
циклических перестановок обеих последовательностей.
Надо заметить, однако, что путешествие можно начинать в разных
точках указанного кругового контура. Зафиксировав первые 5 горо-
дов (например, a, b, с, d, е), которые должен встретить путеше-
ственник. и ограничиваясь только выборами пуни, начинающимися
с ПЛП. Гамильтон нашел 4 решения:
ПЛПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛПП,
ПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛПППЛ,
П Л П Л П П ПЛ Л Л ПЛ ПЛ П П ПЛ Л л,
ПЛПППЛЛЛПЛПЛПППЛЛЛПЛ.
Пример 2. Незамкнутое кругосветное путешествие. Если в пре-
дыдущем примере не требовать возвращения в исходный пункт, то
число путешествий значительно возрастет: требуется найти все гамиль-
тоновы пути графа, изображенного на рис. 11—1.
Ограничимся указанием тех гамильтоновых путей, которые за-
даются произведениями с первым множителем П; все остальные
гамильтоновы пути получаются отсюда, если поменять ролями буквы
П и Л.
П П ПЛ Г1Л П Л лл п п пл пл пл
плплллппплплплллпп
плллппплплплллпппл
ппплллплплппплллпл
пиппплллплплпппллл
плплппплллплплпппл
плппплллплппплллпл
плпллппплплллпплпл
ппплпплплплпллпллл
122
ГЛ. 11. ФАКТОРЫ
пплплплллппплплплл
плплплллппплплпллл
плллплплппплллплпл
пплллплплппплллплп
ппплллплплплпплппп
плппплллплплпплппп
плплллпплпллппплпл
плллплпплллппплплп
плллплпллппплплллп
плллплппплллплпппл
пппллплппплллплплп
ппплпплплплллппплп
плплплллппплпллппп
плллплпллпплплпппл
ппплпплплплплллппп
плплппплллпплплтлп
ппплллплплплпппллл
плллплпппллплплллп
(произведения, сгруппированные вместе, определяют равные операции)
Пример 3. Ход шахматного коня (Эйлер). Поставим задачу
обойти конем шахматную доску так, чтобы побывать в каждой клетке
ровно по одному разу. Эта задача, сводящаяся к нахождению гамиль-
тонова пути некоторого симметрического графа, интересовала многих
Рис. 11-2.
математиков, особенно Эйлера, де Муавра, Вандермонда и др. Мы
не претендуем на то. чтобы дать все решения,—для этого приме-
нялось неисчислимо много способов. Правило, которое, видимо,
оправдывается на практике, но еще не подтверждено теоретически,
состоит в следующем: всякий раз ходим конем туда, откуда он угро-
жает наименьшему числу еще не пройденных клеток.
Другой способ состоит в нахождении маршрута по половинке
доски, симметричном дублировании его и соединении обоих маршру-
тов (рис. 11—2). Это правило основано на специфике самой шахмат-
ГАМИЛЬТОНОВЫ ПУТИ и контуры
123
ной доски и не переносится на более общие графы. Читатель, инте-
ресующийся такими решениями, может обратиться к [1J, [4], [6].
В исследовании операций нахождение гамильтонова пути служит
ключом к многочисленным задачам на составление расписаний: точ-
нее, когда ищется оптимальный порядок осуществления некоторого
количества действий, эти действия изображают точками хР х2....хп
и рисуют дугу (xz, Ху), если осуществление xt перед х;. ие влечет
никаких потерь; искомое расписание задается, вообще говоря, одним
из гамильтоновых путей графа.
Пример. Задача о книгах (Джонсон (51). Печатник, который
должен изготовить п книг, располагает двумя машинами: печатной
и переплетной. Пусть ak — время, необходимое для напечатания /г-й
книги, а Ьк— время, требующееся для ее переплетения. Допустим,
что KiiHia должна поступать в переплет только после того, как она
отпечатана, и что, следовательно, переплетная машина может более
или менее долго простаивать без дела. В каком порядке должен
работать печатник, чтобы закончить всю работу как можно скорее?
Как легко видеть, мы ничего не потеряем, если порядок поступле-
ния книг в обе машины предположим одним и тем же; оптимальный по-
рядок будет, следовательно, определяться перестановкой (Zp i2, ..., Z?:),
или последовательностью операций: х|р х,2......Х[ . Кроме того,
можно показать, что при оптимальном порядке Z-я книга должна
быть пущена в печать раньше j-й книги в том и только в том слу-
чае, если
min (ар bj\ min (йу, ЬД.
Всякий раз, когда это неравенство имеет место, мы рисуем дугу
(Х[-. уу); в полученном графе ищем гамильтонов путь, и если этот
путь единственный, то он и укажет нам искомый оптимальный по-
рядок.
Теорема 1 (Кёниг). В полном графе (любая пара вершин
которого соединена хотя бы. в одном направлении) всегда суще-
ствует гамильтонов путь ’).
Пусть |i = [ar й2, а3, .... ар]— путь длины р — 1, все вершины
которого различны, и пусть х—вершина, не принадлежащая р; покажем,
что можно составить путь вида р.й = [аР а2, .... ak, х, акп, ..., ар].
В самом деле, допустим, что это не так, т. е. что не существует
такого целого числа k, заключенного между 1 и р, что
(ае, x)£U, (х, as+1)gt/.
1)	Граф предполагается конечным. На бесконечные графы эта теорема
ие переносится, как показывают примеры графа рис. 3—2 (гл. 3), и графа,
полученного из него изменением ориентации всех дуг. — Прим, перев.
124
ГЛ, 11. ФАКТОРЫ
Имеем, следовательно, для 1 k р:
(а4, x)£U=?(x, abH) £ U^(at±v x)£U.
Если не существует пути и0== [х. а}, а2, ..., ар], то (ар х) £ U,
значит (й2,х)£СД (а3, x)g(7, ..., (ар, x)^U, и путь р, =[а,,
л2, ар, х] существует, вопреки допущению.
Таким образом, можно шаг за шагом построить путь, содержащий
все вершины графа т).
Из этого результата вытекает, что всегда возможно упорядочить
множество участников турнира таким образом, чтобы каждый пред-
шествующий был победителем непосредственно следующего2),
Для выяснения того, существует ли гамильтонов путь в более
общих случаях, как будет показано в следующем параграфе, надо
обратиться к теории транспортных сетей.
Нахождение фактора
Назовем фактором графа (X, Г) частичный граф (Д', В), в кото-
ром каждая вершина обладает полустепенями исхода и захода, рав-
ными 1; всякий гамильтонов контур является фактором, но обратное
неверно, ибо фактор может состоять из нескольких контуров
без общих вершин.
Теорема 2. Необходимое и достаточное условие существо-
вания фактора у графа (X, Г) состоит в том, чтобы. |5|^|Г5|
при всех Sc:X.
Действительно, в силу теоремы Кёнига—Холла это условие вы-
ражает тот факт, что в простом графе (X, X, Г)3) существует паро-
сочетание, отображающее X на X.
Следствие. Если граф (X, Г) таков, что |Гх| — | Г"1* | = т
для любой вершины х, то дуги этого графа можно распределить
по т непересекающимся множествам U72............U^m, каждое из
которых образует фактор 4).
’) Этот результат близок к теореме Дирака [2], которая гласит: если
(X, Г)—симметрический связный граф без петель и если | Гх j '>-	1Х[
для всех х^Х, то существует гамильтонов контур.
2)	Если, конечно, ин одна из встреч не заканчивается ничьей. — Прим,
ред.	_
з)	Здесь и в дальнейшем простой граф (X, X, Г), соответствующий дан-
ному произвольному графу (X, Г), строится так: X есть дубликат множества X,
a xjtzTxi в (X, X, Г) тогда и только тогда, когда ху^Гх^ в (X, Г). — Прим,
перев.
4)	Из этого следствия, в частности, вытекает существование фактора
в задаче о «кругосветном путешествии'.
НАХОЖДЕНИЕ ФАКТОРА
125
В самом деле, простой граф (X X, Г) обладает свойством |Гх|=/и,
Т'1 х| = м; в силу следствия 3 из теоремы Кёнига — Холла, можно
отобразить X на X и тем самым определить Wp, в частичном графе,
остающемся после удаления дуг можно отобразить X на X и
тем самым определить V^2; и т. д. ’)
Отыскание фактора является несложным делом, поскольку это
есть задача о наибольшем потоке; а метод нахождения гамильтонова
контура состоит в нахождении всех факторов графа и сохранении
только тех из них, которые состоят из единственного контура. Чаще
стараются „склеить“ друг с другом различные контуры фактора.
Пример. Снова рассмотрим задачу о шахматном коне и найдем его
маршрут, который представляет собой гамильтонов контур. Благодаря
симметрии шахматной доски непосредственно получается фактор, ука-
занный на рис. 11 — 3 (где клетки,
помеченные буквой „а*, образуют
один контур, клетки, помеченные
буквой „t>“,—другой контур,
Рис. 11—4.
и т. д.). Два контура можно объединить тогда и только тогда, когда
две последовательные вершины одного соответственно смежны с двумя
последовательными вершинами другого. Так, можно соединить „аи
и (например, двумя дугами, которые на рисунке показаны пункти-
ром), и „В“ и т. д. Различные возможные соединения показаны
при помощи вспомогательного графа, изображенного иа рис. 11—4,
содержащего ребра [а, С], [а, В] и т.д.; вспомогательный граф имеет
очевидный гамильтонов путь aDbCdAcB, и, соединяя последовательно
в этом порядке различные контуры, мы получим, как можно прове-
рить, искомый гамильтонов контур.
’) Это следствие, вместе с теоремой 2, очевидно, сохраняет силу для
любых локально конечных графов (см. теорему 6 гл. 10). Дальнейшие ре-
зультаты настоящей главы тоже можно (по крайней мере частично) пере-
нести на бесконечные графы. — Прим, перев.
126
Гл. 11 ФАКТОРЫ
Предыдущие результаты могут быть распространены следующим
замечательным образом; для данного графа (X, Г) назовем рассече-
нием такую совокупность элементарных путей или элементарных
контуров, что:
два пути рассечения не имеют общих вершин;
2° каждая вершина графа принадлежит одному из путей рассечения.
Среди различных путей рассечеиия будем различать: элементар-
ные контуры—их обозначаем символом а1 = [до, а1\, ..., арг=ао];
элементарные пути длины ^0 — их обозначаем символом = [£>q.
bq]; пути длины 0, имеющие вид	Обозначим
через А1 миожество вершии, принадлежащих контуру а.1, через
— множество вершин, принадлежащих пути рЛ через Ck— мно-
жество Наконец, положим:
rt(al) = 0,
п (рЛ = 1,
П(Т‘)=1.
По определению, величина рассечения Л =: (а1, а2, ...; р1, р2, ...;
у1, у2, . . .) есть
2 п (я*) п (Р7) п (т*)-
i	J	k
Фактор представляет собой рассечение величины 0. Поставим
целью найти наименьшую величину рассечений заданного графа.
Теорема 3. Наименьшая величина рассечения графа (X, Г)
равна дефициту этого графа, т. е.
?jQ — 1пах(15| — |Г5|).
s<=.x
В самом деле, рассмотрим рассечение ^ — (а1, а2,	р1, р2, ...;
•j1, у2, ...) и образуем простой граф (Д', X, Г). Контуру а‘ в про-
стом графе отвечает паросочетание, содержащее дуг; пути р^
отвечает паросочетание, содержащее |р^|—1 дуг. Объединяя все эти
дуги, получим паросочетание U7 с числом дуг
М = 2 И + S(|B'|->)•
i	J
Имеем:
п = 2 И -^2 |ВЧ +2 |С*| =2 м'1 +
I	j	k	I
+ 2(М - 1)+МЛ)= m
НАХОЖДЕНИЕ ФАКТОРА
127
Это соответствие между паросочетаниями W и рассечениями
взаимно однозначно; следовательно, прииимая во внимание теорему 4
(гл. 10), будем иметь
min к ((?£) — п — max | W | - ~ п — (п — &0) - 80.
Следствие 1. Если существует гамильтонов контур, то
8„ = 0.
(Непосредственно.)
Следствие 2. Если существует гамильтонов путь, то
(Непосредственно.)
Следствие 3. Если граф (X, Г) не содержит контуров, то
его дефицит % равен наименьшему числу попарно непересекаю-
щихен элементарных путей (отдельная вершина рассматривается
при этом как путь длины 0).
(Непосредственно.)
Следствие 4. Если граф не содержит контуров, то необхо-
димое и достаточное условие существования гамильтонова пути
состоит в том, чтобы 80==1.
(Непосредственно.)
Пример. Найдем гамильтонов путь в графе, изображенном на
рис. 11—5, тремя разными способами.
1° Поскольку граф (X, Г) — полный, существование гамильтонова
пути обеспечено (теорема 1); для его нахождения можно действовать
как при доказательстве теоремы 1; иапример, после того как найден
путь each, получаем решение eadeb.
2° Граф (X, Г), очевидио. не содержит контуров, и его дефицит
80 = max(|S|-|rS|) = |{fr}|-|rfr| = l.
128
ГЛ. 11. ФАКТОРЫ
Значит, ввиду следствия 4 существует гамильтонов путь, который
получается отысканием наибольшего паросочетания графа (X, X, Г),
изображенного на рис. 11—6, откуда имеем решение eadcb.
3’ Граф (X, Г) — транзитивный, т. е.
г£Гу, у£Гх г£Гх.
Значит, полустепени исхода вершин, расположенных в порядке га-
мильтоиова пути, убывают. Эти полустепени суть
|Гй|=3, |Г£[=0, |Гс|^1, |IW( = 2, [Г^| = 4.
Отсюда получаем путь eadcb.
Нахождение частичного графа
с заданными полустепенями
Непосредственным обобщением задачи отыскания фактора является
следующая задача: дан граф (X, Г), построить его частичный граф
с заданными полустепенями
вершин. Если AczX, BczX, то
обозначим через т(А, В) ко-
личество тех дуг, которые исхо-
дят из А и заходят в В.
Теорема 4. Пусть дан
12 граф (X, Г) и (для х£Х)
целые числа r(x) и $(х). Для
того чтобы существовал та-
кой частичный граф (X, А),
что |Дх|=г(х), [ Д-1х |=$ (х)
(при всех х£Х), необходимо
и достаточно, чтобы
(1)	2	2 S(x),
х£Х
(’2)	2 min ^(х)’ Ц1* П 51} >- 2 $ О) (5сХ).
'	-rCS
В самом деле, условие (2) выражает тот факт, что для транспорт-
ной сети, изображенной на рис. 11—7, существует поток, насыщающий
выходные дуги, т. е. F(S)^d(S) для всех Sc.X.
При г(х) = $(х) = 1 получается условие существования фактора,
при Гх = X—теорема о полустепенях.
Обобщение I. Пусть (Др А2.......Ар) и (Bv В2, ..., В^ —
два разбиения множества вершин графа (X, Г); гр г2, .... гр.
НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЧНОГО ГРАФА
129
$р s2...sq — целые неотрицательные числа. Частичный граф
(X А), удовлетворяющий условиям
2|A'S:|=j4	(*</>.
существует тогда и только тогда, когда
(О	2г4=2«4-
fe=l Л-1
(2)	т(Х\А,
k£J
2.....р}-	2, .... Xc=UA.;
'	KJ	KJ >
Для транспортной сети, изображенной на рис. 11—8, поток, насы-
щающий выходные дуги, будет существовать, когда при любом мно-
жестве S — /ЦЛиЯиЛ где /с{1, 2........р\,	Ус{1, 2....q]t
A<z.X, B<z.X. имеем
c(t/s)>d(S).
Но это условие в точности совпадает с (2).
Обобщение 2. Рассмотрим для каждой вершины х графа
(X, Г) такие целые числа г(х), r'(x), s(x), s'(x), что 0 ^г(х) О'(х),
О 5 (х) s' (х). .Иля того чтобы существовал частичный граф
(X, А), удовлетворяющий условиям
г (х)	| Ах| < г' (х), 5(х)	| Д-1х |	(х),
9 К. Верж
130
ГЛ. 11. ФАКТОРЫ
необходимо и достаточно, чтобы
(1)	т(Х\ Л, В)+ 2 г' (й) > 2 $ (&)»
Й£Д	ь^в
(2)
т (X \ А, В) + 2 «'W> 2 r(ХК
уfB	х(А
Достаточно выяснить, существует ли поток по сети, изображен-
ной на рис. 11—7, совместимый с множествами [г (х), г' (х)]. [0, 1],
[5(х), $'(х)].
Применение теоремы 2 гл. 8 дает
c(U-s)>t>(U^	(Sg^).
Беря множества 5==Ли^> где ЛсА". BczX, получаем (1); беря
множества S = Л J В (J (х0{ U получаем (2).
ГЛАВА 12
Центры- графа
Центры
Пусть (X, Г) — граф (конечный или бесконечный); отклонением
d(x, у) его вершины х ог вершины у называется длина кратчайшего
нуги из х в у.
При х~у полагаем, по определению, d(x, x) — Q-, при у(£Гх
полагаем d{x, у) = оо.
Теорема 1. d (х, у) удо-
влетворяет условиям:
(1) d(x, х) = 0,
(2) d(x, y)+d(y, z)
(х, z).
Кроме того, если граф
симметрический, то
(3)	d (х, у) = d (у, х).
(Непосредственно.)
Если граф симметрический,
то функция d(x, у), удовле-
творяющая условиям (1), (2), (3), является расстоянием в топологи-
ческом смысле слова.
Назовем отклоненностью вершины х число
е (х) = max d (х, у).
у£Х
Если наименьшая из отклонемностей является конечным числом,
то вершина, в которой этот минимум достигается, носит назваиие
центра графа; вершина с наибольшей отклоиеиностью называется
периферийной точкой графа; граф может иметь много центров и
может не иметь их совсем.
Пример. Первая сеть коммуникаций для почтовых голубей (1870}
представлена графом, изображенным на рис. 12—1.
9*
132
ГЛ, 12. ЦЕНТРЫ ГРАФА
Центром здесь служит каждый город, который может сообщаться
с остальными без использования большого количества передач (значит,
в кратчайшее время); Париж и Лион являются центрами (с огкло-
ненностью, равной двум), Гренобль и Ницца — периферийными точ-
ками (с бесконечной отклоненностыо).
Радиус
Если граф имеет центр х0, то отклоненпость е(х0) называется
радиусом графа; для радиуса р имеем, следовательно, формулу
р = min е (х).
Если у графа нет центров, то полагаем р = оо.
Теорема 2. Если в конечном графе (X, Г) положить JA"! — п,
тах|Гх)=р и если 1 <р<оо, то радиус р графа удовлетво-
ряет условию
> log (/*/> — » + !) _
Р	log р
довательно, граф
У
Рис. 12—2.
При р — со теорема очевидна; допустим, что р < со и что, сле-
имеет центр х{}. Число вершин, от которых вер-
шина отклонена на 1, не превосходит р', число
вершин, от которых xQ отклонена на 2, не пре-
восходит р2; и т. д. Следовательно,
- . г <	9 ,	.	. р? 1 1 — 1
+ р- =	-
или
п(р— 1)4-1 .<//+'.
ИЛИ
log(n/? —rt-h 1) < (р 4 1) log р.
Отсюда и получается требуемая формула.
Теорема 3. Если конечный граф (X. Г)
является полным (т. е. если любые две его
вершины соединены хотя бы в одном направлении'), то его
радиус р<12, а всякая вершина х0, для которой
\ Гх„\ |х0) | = птах | Гх \ {х} |,
служит центром.
При р=-1 теорема очевидна.
Если р> 1, то рассмотрим какую-нибудь вершин)7 х0, в которой
величина |Гх0\ !х0' | принимает наибольшее значение (такая вершина
существует, так как граф Г-ограничен). Поскольку е(х)^.2 при
РАДИУС
133
всех х, то, показав, что е(х0) = 2, мы тем самым сразу докажем,
что xG — центр и что
р = 2.
Рассуждая от противного, допустим, что е (х0) > 2; тогда най-
дется такая вершина у == х0 которая нс может быть достигнута из х0
ни по пути длины 1, ни по пути длины 2. (См. рис. 12—2). Так
как у £Гх0, то
хоегу.
Далее, если z— вершина из Гх0\-х0|, то у^Гг (иначе из х0
в у вел бы путь длины 2), поэтому z£ Гу и
г€гУ \ Ы-
Отсюда
Г^о\ (х0)<=Гу \ [у).
Поскольку -*:0£Гу\{у’, имеет место строгое включение:
Г^о\ {х0}сс=Гу \ [у}.
Следовательно,
|Гу \ !?;• | > )Гх0\ fxoj| =тах|Гх\ 1,Х}|.
хех
Мы пришли, таким образом, к противоречию.
Следствие. Если конечный граф (X, Г) является тоталь-
ным (т. е. если каждая пара его вершин соединена путем по
крайней мере в одном направлении'), то он
имеет центр.
В самом деле, граф (Л, Г) — полный и,
значит, в силу теоремы 3 имеет центр х;
в графе (X, Г) точку х можно соединить с лю-
бой другой вершиной путем конечной длины.
Следовательно, этот граф имеет радиус
р.-^е(х) < гхз и обладает центром.
Пример. Все участники турнира должны
провести одно и то же количество встреч;
как организовать встречи, чтобы наиболее
убедительно определить победителя?
Обозначим через X множество участников и положим (х, y)£U,
если игрок х побеждает игрока у; получим полный граф (X, Г),
например, граф, изображенный на рис. 12—3. Отображение Г не тран-
зитивно: х} побеждает ха, а х3 побеждает х<2, но хг не побеждает х2;
в этом смысле решения, даваемые так называемыми „отборочными"
турнирами1), очень плохи. Чувство справедливости, еще более не-
определенное, побуждает нас считать победителями тех участников,
•) Или турнирами, проводимыми по 5олимпийской системе*. —Прим. ред.
134
ГЛ. 12. ЦЕНТРЫ ГРАФА
которые соответствуют центрам графа (АГ, Г), если последние суще-
ствуют; в данном случае, поскольку граф полный, существование
центра обеспечено (теорема 3), и мы находим двух победителей: хг
и х3. Этот подход, самый простой, может быть подвергнут критике:
не должен ли победитель Хр одержавший верх над другим победи-
телем х3, один занимать первое место? заслужил лн последнее мест о
игрок х2, победивший чемпиона Xj? В дальнейшем (гл. 14) мы по-
кажем, как учесть осе эти обстоятельства.
Турнир с т встречами определяет частичный граф |А'. Г), имею-
щий ровно т ребер; если этот частичный граф обладает центрами,
то соответствующих участников можно рассматривать как ожидаемых
победителей турнира.
ГЛАВА 13
Диаметр сильно связного графа
Общие свойства сильно связных графов без петель
Пусть О = {X, U)— сильно связный граф без петель, удовлетво-
ряющий условию |Х| > 1; каждая его вершина служит началом не-
которого пути, а также концом некоторого пути, так что для любой
вершины х g X имеются по крайней мере две дуги, инцидентные х:
дуга, исходящая из х, и дуга, заходящая в х. Вертины, инцидент-
ные более чем двум дугам, называются узлами, а прочие вершины —
антиузлами. Путь, в котором узлами являются только первая и
последняя вершины, называется ветвью. Сильно связный граф без
петель и с единственным узлом называется розеткой и имеет весьма
простую структуру: различные ветви начинаются и оканчиваются
в единственном узле.
Если I раф Q сильно связен, но утрачивает это свойство после
удаления любого ребра, то он называется минимально связным',
очевидно, розетка — минимально связный граф. Говорят, что мно-
жество A cz X подвергается стягиванию, если все дуги между точ-
ками А опускаются, а все точки А отождествляются. При этом по-
лучается р-граф, который, вообще говоря (если р=£ 1). не является
графом. Следующими резульгаими мы обязаны главным образом
Кристи. Льюсу и Мейси !).
Теорема 1. Пусть в минимально связном графе Q множе-
ство А cz X вершин порождает сильно связный подграф; тогда
в результате стягивания А получается минимально связный
граф.
1° Покажем, что стягивание А приводит к 1-графу. Действи-
тельно. иначе существовали бы вершина х(£А и две вершины а,
а'£А, такие, что (х, a) (х, a')^U [или же, что не меняет доказа-
тельства, (а, х), (д', x)£U]. Удалив одну из этих двух дуг, мы
’) См. [2]. Эти результаты получаются более просто из теоремы Руа [4J,
которая нам стала известна, лишь когда книга была уже сверстана, и которая
гласит; граф (А7, Г) сильно связен тогда и только тогда, когда не суще-
ствует подмножества ЛссХ (в строгом смысле), содержащего свой
образ ГА; доказательство опирается иа теорию трапспоршых сетей.
136
ГЛ. 13. ДИАМЕТР ГРАФА
получили бы все еще сильно связный граф, т. е. граф О не был бы
минимально связным.
2° Покажем, чго стягивание А приводит к минимально связному
графу. В самом деле, в результате стягивания получается сильно
связный граф, ио если из него удалить произвольную дугу и, то
оставшийся граф уже ие будет сильно связным, поскольку не может
быть сильно связным граф (X, U \ («}).
Теорема 2. Пусть G — минимально связный граф, a G' —
граф, полученный из G стягиванием элементарного контура',
тогда цикломатические числа обоих графов связаны соотноше-
нием
v(G) = v(G9H-l.
Контур элементарен, если он не пересекает сам себя; так как G
минимально связен, то стягивание одного элементарного контура р0
не уничтожает других контуров, поэтому наибольшее число незави-
симых контуров уменьшается на 1. Графы G и G' сильно связны
(теорема 1), они имеют соответственно v(G) и v(G') незави-
симых контуров (теорема 3 гл. 4); отсюда и следует доказываемое
равенство.
Теорема 3. Минимально связный граф G имеет по крайней
мере два антиузла.
Имеем v(G)^>l, так как по крайней мере один контур суще-
ствует, в силу предположения о том, что |%| > 1; в случае v(G) = l
теорема очевидна, так как тогда G состоит из одного элементарного
контура.
Допустим, что теорема верна для графов с цикломатическим
числом k— 1, и докажем ее для произвольного графа G, у которого
v(G) = Aj.
Рассмотрим элементарный контур р графа G; предположим р
таким, что либо его стягивание дает узел, либо /(р)^3. Такой
контур [1 всегда существует, потому что всякий контур длины 2,
дающий после стягивания антиузел, легко заменить элементарным
контуром длины 3 (проходящим через обе вершины р и две вер-
шины, инцидентные р).
Стянем контур р; тогда получится минимально связный граф G',
у которого v(Gz) = &—1; согласно предположению, G' имеет два
антиузла:	и у0; хотя бы одна из этих вершин, скажем х0,
является образом р (в противном случае утверждсиие уже было бы
доказано). Значит, в графе G имеем Z(p)^>> 3, поэтому путь р сам
содержит по крайней мере один антиузел z0, и граф G имеет уже
два антнузла: у0 и zQ.
Следствие [1]. Если сильно связный граф G без петель
имеет хотя бы один узел, то существует ветвь, дуги и анти-
СИЛЬНО СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ
137
узлы которой можно удалить без нарушения сильной связности
графа G.
Действительно, если граф имеет единственный узел, то он — ро-
зетка и можно удалить любую ветвь.
Если граф имеет несколько узлов, то рассмотрим граф G. вер-
шинами которого служат узлы G, а лугами — ветви G.
Граф G сильно связен, но не минимально связен, поскольку
у него нет аитиузлов (см. теорему 3); следовательно, из него можно
удалить некоторую дугу без нарушения сильной связности.
Ч. И Т. Д,
Кратчайший путь из х в у, где х, у£Х. х у, называется
трассой от х до у; в сильно связном графе от любой точки до
любой другой существует трасса; если и — дуга, исходящая из х.
то обозначим через 5 (и) множество вершин z, обладающих тем
(В)йством, что от х можно дойти до z по трассе с начальной
дугой и.
Пример. Рассмотрим граф почтовых коммуникаций: X—множе-
ство городов; (х, y}£U, если корреспонденция может доставляться
непосредственно из х в у.
Для почтового служащего в х множество 5(х, у) представляет
список тех мест назначения, в которые письма нужно доставлять
через у.
Нижеследующие теоремы доказаны Брэттоном [1].
Теорема 4. Трасса есть элементарный путь.
По определению, путь из х в у, не являющийся элементарным,
проходит не менее двух раз через какую-либо из своих вершин,
а такой путь всегда можно заменить более коротким.
Теорема 5. Если р = [хр х2......... x/t х-, хл] —
трасса, то p[xz, х;] = [хр х;-]— тоже трасса.
(Очевидно.)
Теорема 6. Путь р является трассой тогда и только
тогда, когда
П 5(«)¥= 0.
Если р. — трасса от х к у, то пересечение всех S(u) содержит у
и поэтому не пусто.
Обратно, пусть существует вершина у, принадлежащая всем S(u),
где и£р = (хр х2, .... xft].
Если d (хр у) = р, то d (х2, у) — р — 1, так как у £ S (хр х2);
по аналогичной причине d(x3, у) — р — 2 и т. д. Значит, р есть
отрезок некоторой трассы, идущей из Xj в у, и, в силу теоремы 5,
сам является трассой.
138
ГЛ. 13 ДИАМЕТР ГРАФА
Следствие. Если р— контур, то
A s(«)=0.
uCy.
(Непосредственно.)
Диаметр
Пусть G — конечный сильно связный граф без петель; назовем
диаметром этого графа длину В его наибольшей трассы; ииыми
словами,
В = max d (х, у).
х. у
Пример, Для каждого из сильио связиых графов, изображенных
на рис. 13—1 (с я = 5), указаны количество дуг т, радиус р, диа-
Злементарный контур	Элементарный цикл	т-6 о*28-4
п)*5, р=4, 8=4	тп=9,р=-2,3=4	’ ’ г ’ ’
Рис. 13—1.
Полный симметричный
граф
гп-20,^1,8=!
метр В; центры обведены кружком, периферийные точки — квадра-
тиком,
Заметим, что при п = 5 всегда	Полный симметриче-
ский граф — единственный, обладающий диаметром 1,
ДИАМЕТР
139
Для конечного графа В < оо; столь же очевидно, что радиус не
превосходит диаметра, то есть р-СВ. В графе, который изображает
возможности непосредственной передачи сообщений между различ-
ными членами организации, диаметр играет важную роль, поскольку
некоторые сообщения будут доходить до места назначения только
через 8 инстанций; если предположить, что при каждой передаче
сообщение в какой-то мере искажается, то следует выбирать граф
с возможно меньшим диаметром. Кроме того, в целях экономии
вообще желательно сводить к минимуму количество дуг.
Теорема 7. В сильно связном графе без п-етель
(1)
(2)
(3)
п.-^т,
т ^.п(п — 1),
8 С п — 1.
Действительно, неравенство (1) имеет место потому, что каждой
вершине х можно отнести по крайней мере одну дугу, исходящую
из х.
Неравенство (2) справедливо потому, что т не может превышать
числа размещений из п вершин по две.
Наконец, неравенство (3) справедливо по той причине, что самая
длинная трасса содержит 8+1 различных вершин, откуда я.>8-4-1,
Замечание. Для элементарного контура в (1) и (3) имеет место
равенство; для полного симметрического графа достигается равенство
в (2). Это говорит о том, что никакое из неравенств (1), (2), (3),
взятое отдельно, ие может быть улучшено.
Напротив, систему неравенств можно улучшить: существуют
числа п, т, 8, удовлетворяющие условиям (1), (2), (3) и такие, что
не может быть сильно связного графа G = (X, U), для которого
|2С| —п, |t/|=w, 8(G) = 8, Эта невозможность проявляется всякий
раз, когда число 8 выбрано слишком малым х).
В связи с этим введем нижнюю грань f (т, п) диаметров сильно
связных графов без петель, с п вершинами и т дугами и пополним
систему неравенств еще одним:
(4)
8 > / (w, п).
') Например, Льюс [2] доказал, что
ряют условиям (1), (2), (3) и если
если числа п, т, S
удовлетво-
(4Г)
6 > 2л — т,
то существует сильно связный граф G без петель, для которого |^[=лг
| U | = т, о (О) =5. К сожалению, имеется много графов, для которых не-
равенство (4') не выполняется (в частности, графы, изображенные иа
рис. 13—2 и 13—3).
140
ГЛ 13. ДИАМЕТР ГРАФА
Хотя это число / (т, п) не удалось еще определить, к нему
можно подойти довольно близко; с этой целью докажем следующую
теорему.
Теорема 8, Пусть q— частное, г — остаток от деления
п—1 на v — m —	Положим
{2q при г = 0,
2q 4- 1 при г = 1,
2q 2 при г 2.
Если G—розетка, то п, т и 8 удовлетворяют неравенствам
(1), (2) предыдущей теоремы и, кроме того, условию
(3')
I <8(т, п) ^8 2п— т.
Наоборот, если п, т, 8—числа, удовлетворяющие условиям
(1), (2), (3'), то существует такая розетка Q — (X, U), что
|Х| =п, 1471 =т, S(G) —S,
Достаточно заме1игь, что розетка с п вершинами и т дугами
имеет ровно v = m — »4‘1 ветвей и что можно переносить анти*
узел с одной вегви на другую
без изменения числа дуг. По-
мещая по одному антиузлу на
Рис. 13—2.
Рис. 13—3.
каждую ветвь, кроме последней, где разместим п — v антиузлов, мы
получим наибольший диаметр
80 — п — v -k 1 = п -— (т — п 4-1)4-1 = 2п — т.
Наименьший диаметр 8} достигается распределением, насколько
возможно равномерным, п — 1 антиузлов по v ветвям, что дает нам
SL = 8 (т, п).
Г ииотеза Брэттона. Поставим целью при фиксированных т
и п определить сильно связный граф без петель, с т дугами и п
ДИАМЕТР
141
вершинами, обладающий наименьшим возможным диаметром. Брэт-
тон [1] мог констатировать, что графы с диаметром меньшим, чем
8(т, п), редки. Однако такие графы существуют: так, граф, изо-
браженный на рис. 13—3, имеет то же количество вершин и дуг,
что и розетка, изображенная на рис. 13—2, и в то же время диаметр
меньший иа единицу,
В графах такого типа, как на рис, 13—3. каждая ветвь является
трассой между двумя узлами и все ветви имеют одну и ту же
длину, равную нечетному числу ^>3. Можно показать |1]. что такие
графы1) всегда имеют диаметр 8(т, я)— 1 и что они — единствен-
ные связные графы со следующими свойствами:
1Э их диаметр меньше B(w, я);
2° каждая ветвь является трассой;
3° для каждой пары узлов существует ровно одна ветвь, идущая
из одного в другой.
Эти результаты делают правдоподобным следующее предположе-
ние, еще ие доказанное: у всякого сильно связного графа без
петель, с т дугами и п вершинами, диаметр больше или равен
8(т, «)— 1.
’) С тремя узлами. — Прим. ред.
ГЛАВА 14
Матрица смежности графа
Применение обычных матричных операций
Рассмотрим здесь для большей общности р-граф G — (X, U),
и пусть X], хг.....хп — его вершины. Обозначим через aj число
дуг U, идущих из xt в Xj. Квадратная матрица (aj) с п строками
и п столбцами называется матрицей смежности р-графа G; а'., как
обычно, означает элемент, стоящий на пересечении Z-й строки
и /-го столбца; а' = а‘г........а1^ обозначает Z-ю вектор-строку,
а а. = (ц}. Ду.....Цу) — у’-й вектор-столбец.
Пример. Если О — граф, то
все элементы его матрицы смеж-
так, для графа, изображенного на
14—1, имеем:
J = 1 2 3 4 5
О
О
о
о
о
1 о
о о
О 1
1 1
о о
I
о
о
о
1
1
о
1
1
о
2
3
4
5
Л =
Заметим, что в матрице А элемент о| на главной диагонали
равен 1 в соответствии с тем, что прн вершине есть петля.
Пусть А —(а'-,}— матрица смежности некоторого р-графа. Ее
транспонированная матрица А* = (а*/) является результатом зер-
кального отображения матрицы А относительно главной диагонали
и поэтому служит матрицей смежности того р-графа, который по-
лучается из исходного переменной ориентации всех дуг.
Матрица А' — {а^у дополнительная для А, определяется так:
а]:=р—а'-у в случае графа (X, Г) она получается из А заменой
ПРИМЕНЕНИЕ ОБЫЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ОПЕРАЦИИ
143
всех единиц пулями и наоборот; это — матрица смежности графа
(X, Г'), где отображение Г' определено следующим образом:
Г'х = %\Гх	UCA'),
Теорема 1. Пусть G — граф, А — его матрица смежности.
Матрица А симметрична (А = А*, или a'. — afy тогда и только
тогда, когда граф G — симметрический. Матрица А антисим-
метрична	или а1.-1-al	I] тогда и только тогда,
когда граф G — антисимметрический. Матрица А полна
или	тогда и только тогда, когда граф
G — полный.
(Непосредственно.)
Теорема 2. Пусть G — (X, U) и Н = (Х> У)— два мульти-
графа с одним и тем же множеством вершин и соответственно
с матрицами смежности А = (а1^ и B = матрице АД-В
отвечает мультиграф, который получается объединением дуг U
и У; матрице АВ отвечает мультиграф, образованный следую-
щим образом', из вершины х в вершину у идет столько дуг,
сколько существует различных путей, ведущих из х в у и со-
ставленных из двух дуг, первая из которых принадлежит U,
а вторая принадлежит У.
1° В мультиграфе (Д', (7 U У) число дуг, идущих из xt в равно
но это не что иное, как общий элемент матрицы
2° Число различных путей вида xk. хМ где
(*r U, (xk, x^V,
равно а* Ь^\ поэтому общее число путей из xt в х^, образованных
дугой из множества U и последующей дугой из множества У, равно
2^ = <а‘, ЬД
где (аг, Ь;) обозначает скалярное произведение вектора-строки а2
и вектора-столбца by, т. е. не что иное, как общий элемент мат-
рицы АВ.
Следствие 1. Если G—р-граф, а А—его матрица смеж-
ности, то элемент plj матрицы Р = Ак (полученной возведением
матрицы А в степень X) равен числу различных путей длины X,
идущих ИЗ X; в х-.
Утверждение тривиально при к=1; если допустить его справед-
ливость при значении ).—1, то оно останется справедливым также
при значении X. нбо ЛХ = Д-ДХ“1 выражает, в силу предыдущей
144
ГЛ. 14. МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
теоремы, число путей длины 1-j-(k—I) — к, идущих из вершины xt
в вершину Xj.
Следствие 2, В графе G существует путь длины X тогда
и только тогда, когда Xх Ф О; не существует контуров тогда
и только тогда, когда Xх = О, начиная с некоторого V).
(Непосредственно, ввиду следствия I.)
Эти результаты позволяют сводить к матричным задачам некото-
рые задачи на р-графы; мы изучим несколько таких задач.
Задачи на подсчет
Практическая выгода описания графа посредством его матрицы
смежности очевидна, если требуется подсчитать пути графа, удовле-
творяющие некоторым заданным условиям. Начнем со следующей
задачи.
Задача 1. В полном антисимметрическом графе {X, U) опре-
делить число контуров длины 3.
Пример (2], Собаке предлагают шесть различных видов пищи
следующим образом: каждый день кладут перед собакой два вида
пищи и отмечают, какую из них она съела первой. Испытав таким
образом все возможные	15 пар, строят граф (X, U), где
X— (хр х2, .... хб] состоит из 6 видов пищи и где (х-, x^^U,
если пищу х( собака предпочитает пище х. Этот граф является
полным; он может быть, например, гра-
фом,изображенным на рис. 14—2. Обо-
/	/\ значим его матрицу смежности через А;
/	\ имеем
11011’
0 0 110
10 111
0 0 0 0 0
0 0 10 1
10 10 0
обакой три вида пищи
[редсказать, что собака
окажет предпочтение пище х3, но если речь идет о пище видов хр
х2, х4, являющихся вершинами контура, то для предсказания больше
не будет оснований, вследствие непостоянства собаки в предшествую-
14—2.
0
помещая перед
Повторим
вместо двух:
теперь опыт.
если это х2, Хо, х4, то можно
*) Взаимосвязь между матрицами типа Xх, их характеристическими чис-
лами, с одной стороны, и геометрическими характеристиками графа (число
путей определенного вида и т. п.), с другой, подробно исследуется
Л. М. Лихтенбаумом и другими авторами (см. дополнительную литературу
к гл. 14 и 15).—Прим, перев.
ЗАДАЧИ НА ПОДСЧЕТ
145
щих опытах. Если £ — число контуров длины 3 в графе (Д', U),
a £’(я)— наибольшее число контуров длины 3 в полном антисимме-
трическом графе порядка п, то можно считать коэффициентом не-
постоянства собаки отношение .
g(n}
Легко показать, что
g(n) =
24
24
при п нечетном,
при п четном.
пг — 4п
В данном случае находим
г(6) = ^.6(6*-4)=8.
Остается определить число т. е. решить задачу 1 для графа
(X
Теорема 3. Пусть G — полный антисимметрический граф
и Л — (afy— его матрица смежности-, если ri~'^aij — сумма
элементов l-й строки, то число контуров длины 3 равно
6 =	— Ч(2«— 1) —
1 = 1
Действительно, число циклов длины 3 равно
Сп = ^п(п — 1)(л — 2).
Цикл длины 3 не является контуром в том и только юм случае,
когда он имеет две дуги, исходящие из одной вершины хр полное
количество тех циклов длины 3, которые не являются контурами,
составляет
S С\ = S 4 г/ ~~ 0 = 4 S (г')2 ~ 4 S г‘-
1 = 1	I	i	i
Замечая, что
г. = | (/[ =С’=	— Ч-
1 = 1
получаем
? =	— !)(«— 2)— 42(''|)! + т'‘ОП =
=4«<a-i)(^+4)-4S<^
откуда и вытекает доказываемая формула.
10 К. Берж
146
ГЛ. 14. МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
Пример. Вернемся к предыдущему примеру, в котором
r1 = 4, /-2 = 2, r3 = 4, r4=l, rs = 2, г6 = 2.
Имеем
-6  5  11 —1(16 + 4+16 + 1 +4+ 4) = 1(55 — 45) = 5.
Вот эти контуры:
[Хр Х2, х4, XJ, [Хр Хд, х4, Xj, [Хр Х-, х4, Xj],
[Хр Xg, х4, Xj], [х2» Х-, Xg, х2].
Задача 2. Рассмотрим граф О и три целых неотрицатель-
ных числа а, р, у; говорят, что путь р. = [у0, ур , у ] отве-
чает тройке арт, если на этом пути имеются две совпадающие
вершины yt и yj (I < /), для которых /(р]у0, yj) = a, /(р[у;, у^1) = р,
Z (р [у^, ynJ) = y, Определить число путей, отвечающих заданной
тройке ару,
Ясно, что предыдущая задача 1 есть частный случай задачи 2
при а = 0, р = 3, у = 0. Если М — произвольная квадратная ма-
трица, то через d(M) обозначим матрицу, главная диагональ кото-
рой та же, что у М, а все остальные элементы — пули.
Теорема 4. Пусть А — матрица смежности графа О,
а $1. — число путей, отвечающих некоторой тройке ару и иду-
щих из xi в Хр тогда матрица S = равна произведению
S = A“d (д’) А1.
В самом деле, количество контуров длины (3 задается диагональ-
ной матрицей d (Д1') (теорема 2), поэтому число путей, отвечающих
тройке 0Ру, выразится матрицей с/(А'')- Ат, а число путей, отвечаю-
щих а(3у, — матрицей А*  d (Д?) - Ат.
Этот результат можно применить для подсчета числа неэлемен-
тарных путей длины k в заданном графе, если k не слишком велико:
достаточно пересмотреть по отдельности все возможные тройки ару
(см. [1], [4], [7]).
Пример. Подсчитаем различные неэлементарные пути длины 4
в графе с матрицей смежности А. Надо рассмотреть тройки 031,
130, 022, 220, 121 и соответствующие матрицы d(A3)A, Ad(A3),
d(A2')A2, Л2^(Д2), Ad (А2) А. Заметим, что некоторые пути длины 4
могут отвечать сразу двум тройкам; для их подсчета введем эле-
ментарное произведение двух матриц Д = (цу) и B = в смысле
Адамара: А X В = (а) X blj}\ составим таблицу:
ЗАДАЧА О ЛИДЕРЕ
147
Пуги		Тройки	Количество путей из Х( в Xj	Матрица
[с, х, Ь,	с, Z?]	031, 220	2	(л х л*) х л’
[с, Ь, х,	с, Z?]	130, 031		А X (/ГТ
[с, Ь, с,	х, Ь]	130, 022	2 Ж) Ж	(Л х А*') X Л2
[х, с, Ь,	с, Ь]	121, 220	2ЧЖ)	А (АХ Л*)
[с, Ь, с,	b. -V]	022, 121	2ЖИ	(А ХА*) Л
Теперь, в графе без петель количества неэлементарных путей
длины 4 задаются матрицей, которая получится, если сложить ма-
трицы, определенные ранее, и вычесть матрицы таблицы.
Задача о лидере
С другим случаем, в котором матрица смежности графа играет
важную роль, мы сталкиваемся, когда X означает множество лиц,
а (х, выражает превосходство (доминирование) х над у.
Говоря, что х превосходит у, мы вкладываем в это слово
весьма широкий смысл: х может быть игроком, победившим в тур-
нире игрока у; или это депутат, который имеет возможность обе-
спечить себе голос депутата у иа выборах председателя; это может
быть член некоторого общества, пользующийся уважением другого
члена у. Задача, которую мы
здесь ставим, заключается в опре-
делении лидера, т. е. того лица х0,
которое следует считать победи-
телем в турнире, или председа-
телем палаты депутатов, или
наиболее представительным чле-
ном организации.
Пример. Рассмотрим граф на
рис. 14—3, где вершины изо-
бражают членов общества, а из
х в у идет дуга, когда лицо х имеет достаточное влияние на у;
такие графы были изучены в социологии под названием „социо-
грамм" (см. Морено [6]).
Часто стремятся выдвинуть в качестве лидера наиболее влиятель-
ное лицо; в графе, изображенном на рис. 14—3, лицо у является
непосредственно самым влиятельным, поскольку оно превосходит
10*
148
ГЛ. 14 МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
пять лиц; однако сами эти пять лиц не влиятельны. Лицо z более
могущественно'. оно непосредственно влияет лишь на трех лиц, но
эти трое в свою очередь весьма влиятельны. Отсюда уже видна
сложность задачи, которой мы занимаемся.
В главе 12 в качестве лидера предполагалось выбирать центр
графа, который наверняка является лицом могущественным', однако
во многих случаях это понятие оказывается слишком грубым: можно
еще измерять силу я(х) каждого лица х, притом и в случае отсут-
ствия центра. Когда эта функция л (х) будет точно определена,
лидером мы обьявим то лицо х0, чья сила я(х0)—наибольшая.
Рассмотрим для определенности шахматный турнир с пятью
участниками х2, «к3, х4,
дугами, направленными из
Рис. 14—4.
х5; выигрыш х, у .х. изображаем двумя
х{- в хг если х1 и Xj сыграли вничью,
то рисуем одну дугу из в х^ и одну
дугу из Xj в x-t. Наконец, при каждой
вершине строим петлю. Если турнир
завершен, то получается 2-граф О — на-
пример, как на рис. 14—4, с матрицей
смежности
1
2
О
О
1
О 2
1 1
1 1
2 О
2 О
2 1
О О
2 2
1 1
1 1
Элементы матрицы А удовлетворяют условию	=-2; кроме
того, матрицу А можно представить в виде суммы кососимметриче-
ской матрицы В и матрицы Е, все элементы которой равны I,
Обозначим через общий элемент матрицы А*, т. е. коли-
чество путей длины k, идущих из х1 в х^ и положим
... -4-pi(A).
Число p*(k) назовем итерированной силой порядка k игрока xt\
оправдаем эту терминологию.
Итерированная сила порядка 1 образуется сложением элемен-
тов матрицы А по строкам, т. е.
pi(l)=l+0 + 2+2 + l = G.
р1 (1) = 2 -1- 1 + 1 + 0 + 0 = 4,
рЗ(1) = о+1 + 1+2 + 2 = 6.
р*(1)^0 + 2 + 0+1 + 1^4,
р5(1)= 1 + 2 + 0+1 + 1=5.
ЗАДАЧА О ЛИДЕРЕ
149
С точки зрения этой силы рг(1) имеем двух победителей: хх и х3,
каждый из которых превосходит наибольшее число игроков [в тур-
нире без ничьих ввиду теоремы 3 (гл. 12) таким способом полу-
чаются все центры графа].
Силу порядка 2 каждого игрока можно найти путем сложения
очков тех игроков, с которыми ои сыграл вничью, и удвоенных
количеств очков игроков, у которых он выиграл; в данном примере
р1 (2) = 6 + 0 + (2 X 6) + (2 X 4)+ 5 = 31,
р2(2) = (2Х 6)4-4 + 6 + 0 + 0 = 22,
р3(2) = 0 + 4+ 6+(2 X 4) +(2 X 5) = 28,
р4 (2) = 0 + (2 X 4) + 0 + 4 +5 = 17,
р5(2) = 6 + (2 X 4)+ 0 + 4 + 5 = 23.
На этот раз игрок Xj занимает один первое место, и это обу-
словлено тем, что он победил более сильных игроков, чем те, ко-
торых победил х3.
Продолжим итерацию:
pl (3)= 31 Ч-0-Н(2 X 28) + (2 х 17) + 23= 144,
р2 (3) = (2 X 31)4-22 + 28-ф-0 4-0= 112,
р3 (3) = 0 + 22 + 28 + (2 X 17) + (2 X 23)= 130,
р4(3) = 0 + (2 X 22)+ 0+ 17 + 23 = 84,
+ (3) = 31 +(2 X 22)+ 0 + 17+ 23 = 115.
Распределение мест здесь то же, что и в предыдущем случае:
хР х3, х5, х2, х4; видимо, оно стабилизировалось, И действительно,
можно эффективно проверить, что при дальнейшем продолжении
итерации порядок мест остается неизменным.
Это побуждает нас определить силу игрока xt как предел при
k—>со отношения
(*)__________
‘k рЧ^+рЧ^) + ... +рп(Ь) *
Вследствие теоремы Перрона — Фробениуса 4 этот предел всегда
существует; более того, он крайне просто вычисляется, поскольку
вектор irft = 0r^, irj-, .... стремится к Одному из собственных
векторов матрицы А 2).
’) См., например, Гантмахср Ф. Р., Теория матриц, гл. 13. — Прим,
перев.
2) Это замечание, которым мы обязаны Уэю (9], можно сформули-
ровать следующим образом.
Рассмотрим матрицу смежности А некоторого р-графа (с петлей
при каждой вершине) и составим определитель
Det (Л— Х/)=/(Х)-
(Окончание сноски па стр, 150.)
150
ГЛ 14. МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
Применение булевых операций
В множестве вещественных чисел X-О определим две операции,
которые назовем обобщенным сложением и обобщенным умноже-
нием. Первая операция oiносит двум числам Xt н Х2 число Х^>0—
их обобщенную сумму, обозначаемую символом X = X(-j-X2; вторая
операция относит числам X, и Х2 их обобщенное произведение Х'^>0,
обозначаемое символом Х/ = Х1ХХ2,
Рассмотрим теперь две матрицы А = (aty и B — (bty, элементы
которых - целые числа ^>0; обобщенная сумма этих матриц есть
матрица S = 4-j-B — (s'), где sl. =	обобщенное произве-
дение есть матрица Р = А  В = (pty, где
р‘1 = X 6/)+К><»})+.. +(а» х b’j).
Таким образом, „обобщенные* операции над матрицами опреде-
ляются в точности так же, как обычные. Предположим, что опера-
ции -j- и X, подобно обычным сложению и умножению, удовле-
творяют условиям:
	X j —j— Х2 — Х2 ~X ।, 4- (\г 4 Ч)= (^1 4 \г) 4
(1)	Х1 ХХ2 = Х2ХХР М X (^2 X ^з)== (^i X \г) X Kj, X (\г 4 ^3) ~ X 4 (^1X
(иначе говоря, имеем „коммутативное кольцо11 относительно этих
операций).
Обобщенным операциям над матрицами посвящена обширнейшая
литература; мы укажем только на те свойства, которые имеют непо-
средственное приложение к интересующим нас вопросам.
Г Корень характеристического уравнения/(Х) = 0, обладающий наи-
меньшей абсолютной величиной, — простой; пусть — этот простой
корень, a t( = (/}, t*.tty — вектор, для которого
At, = Л.,<„ 2 «! = L
4 = 1
2° Вектор стремится к t] при неограниченном возрастании k.
Г Эта первая часть утверждения есть ие что иное, как теорема Перрона —
Фробениуса, хорошо известная в теории стохастических процессов.
2° Вторая часть получается непосредственно, если надлежащим преоб-
разованием координат привести матрицу А к диагональному виду.
ПРИМЕНЕНИЕ БУЛЕВЫХ ОПЕРАЦИЙ
151
Пример. Для сети G, каждой луге и которой отнесена длина 1(и),
рассмотрим матрицу А — где
!1(Х:, Xj) ПрИ (X;, Xj)£U,
ОО При (Xj, Xj) £ U
Положим
Х1 -f-X2 = min {Хр Х2),
Xj X Х2 = X, Х2.
Эти операции удовлетворяют всей системе (1); общим элементом
матрицы А • А = А2 служит
p) = mm (а* —f—а*);
это число выражает длину кратчайшего пути из в х^, образо-
ванного двумя дугами или одной дугой (ибо а(= afi.
Вообще А* указывает длину кратчайшего пути от одной вершины
до другой, составленного не более чем а лугами. Существует зна-
чение Oq, для которого
д’о_________Да°+2 —
Матрица Д’” указывает кратчайшие расстояния от одной вершины
до другой.
Теорема 5. При обобщенных операциях -f- и X матрицы
удовлетворяют условиям:
(1)	A^rB = B-irA,
(2)	Л+(В+С) = (Л + В)4-С,
(3)	Л.(В + С) = (Л.В)4-(Л-С),
(4)	(Л + В)* = В* + Л’,
(5)	(Л • В)* = В*  А*.
Равенства (1), (2) и (4) получаются непосредственно. Для дока-
зательства равенства (3) достаточно выписать общий элемент матрицы
А  (.В+Су.
<а‘, b. + с;) = [а‘ X + с})] +  • • =
=[(4ххс})1 + =<ai' ь,)+(а':’ СД
Для доказательства равенства (5) достаточно учесть, что эле-
мент p*j матрицы	= равен
р‘ =Р\	b;) = (aj. b'> = (b*’, а’)-
152
ГЛ. 14. МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
Заметим, что, вообще говоря, А • В В • А.
Если все рассматриваемые матрицы являются матрицами смеж-
ности некоторых графов, то элементами матриц являются 0 и 1, и
мы определим операции Ц- и X так:
14-1 = 1,	1X1 = 1,
i_j-o = i, 1 хо = о,
0 + 0 = 0,	0X0 — 0,
Иначе :оворя, положим
Х^ —]— kg —- max {Xj, X2} •
Xj X X2 = min (Xp Xj).
Операции и X называются тогда соответственно булевым
сложением и булевым умножением.
Теорема 6. Если А и В—соответственно матрицы смеж-
ности графов G = {X, Г) и Н = (Х. Д), то булева сумма
А-\-В отвечает графу (X, ГиД). а булево произведение А В —
графу (X, Д • Г), где, как обычно,
(Г U Д) л- = Гх U Дх,
(Д • Г)х = Д(Гх).
Этот результат аналогичен теореме 2; элемент произведения
Р = А • В равен
р'=(а'Х&}) + (а'Х^)+ ••• 
Таким образом, если существует путь вида [х2, xk, х.], где
хй£Гх.» x}.£&xk, то ^Хй*=з1, откуда р< = 1; в противном
случае р1. = 0. Значит, р\ — 1 тогда и только тогда, когда
Ху£Д(Гх4), т. е. когда от xt к х} ведет двухзвенная цепь, обра-
зованная дугой из G и последующей дугой из Н.
Следствие. Пусть А — матрица смежности графа G-,
булево произведение —Л  А • ... • А служит матрицей смеж-
ности того графа, который содержит дугу (х, у) тогда и только
тогда, когда в G существует путь длины, а, идущий из х в у
(„граф а-превосходства“).
(Непосредственно.)
Понятно, что алгебра булевых матриц, которая развивается парал-
лельно алгебре обычных матриц, позволяет решать такого рода
задачи на графы, как, например: известен граф ^-превосходства-,
найти исходный граф.
Эта задача аналогична задаче определения корня а-й степени
из матрицы.
ГЛЛВ/Х 15
Матрицы инциденций
Вполне унимодулярные матрицы
Пусть н2, ит— дуги графа G, а хр х2.................хп — его
вершины; положим
[ 4-1, если Uj исходит из х^,
sl, = { —1, если и. заходит в х,;
I 0, если Uj не инцидентна хг
Матрица S = (sj) называется матрицей акциденций для дуг графа.
Если, далее, up и2.....ип означают ребра графа, то положим
i	I ~Н!• если xi иицидеитиа и^;
! I 0 в противном случае.
Матрица R.=(r1^ называется матрицей акциденций для ребер графа.
Матрица А = (а1.'} называется вполне унимодулярной, если опре-
делитель любой ее квадратной подматрицы равен 0, 4-1 или —1,
Каждый элемент такой матрицы, будучи ее минором первого порядка,
тоже равен 0, 4~1 или —h нам теперь нужны критерии для опре-
деления, является ли заданиая матрица с эле-
ментами 0, 4-1, и —1 вполне унимодулярной.
Пример, Для графа, изображенного па
рис. 15—1
010100	0	10100
101000	1	01000
—1—1 о О 0 0	—1—10000
”	0 0—1—111*	“	0	01111'
ООО 0—1 о
О 00010
0 0 0 0 0—1 J	О 00001
Обе эти матрицы вполне унимодулярны.
что можно проверить непосредственно или чго
вытекает из нижесле-
дующих теорем.
Теорема 1 (Хеллер—Томпкинс—Гейл [2]). Пусть А — матрица
с элементами 0, -J-1, —1. каждый столбец которой содержит
154
ГЛ 15 МАТРИЦЫ ИНПИДЕНЦИП
не более двух отличных от нуля элементов’, А вполне унимоду-
лярна в том и только в том случае, если все ее строки можно
распределить по двум непересекающимся множествам Л и /2 с
соблюдением следующих условий:
(1) если два ненулевых элемента одного и того же столбца
имеют одинаковый знак, то один из них принадлежит /р
а другой /2;
(2) если два ненулевых элемента одного и того же столбца
имеют противоположные знаки, то оба они содержатся или
в /р или в /2.
1° Пусть А—матрица, строки которой можно распределить как
указано; любая квадратная подматрица В матрицы А тоже обладает
этим свойством. Для доказательства того, что А вполне унимоду-
лярна. достаточно показать, что Det (В) = 0, -|-1 или - 1,
Это утверждение справедливо для матриц В порядка 1; пред-
положим, что оно верно для матриц порядка q—1, и докажем,
что оно остается справедливым для квадратной матрицы В порядка q,
у которой два непересекающихся множества суть и /2.
Если каждый вектор-столбец Ь,- имеет ровно два ненулевых
элемента, то
2 ь2 — 2 ь'.
-6Л
Значит, векторы-строки линейно зависимы и Det(B) = 0.
Если какой-либо вектор-столбец не имеет ненулевых элементов,
то также Det(B) = 0.
Наконец, если существует вектор-столбец by ровно с одним
ненулевым элементом, скажем = то обозначим через С
квадратную подматрицу, остающуюся после удаления из В /-го
столбца и Z-Й строки; поскольку теорема предполагается верной для
матриц порядка q—1, имеем
Det(B)= ± Det(C) = -f-l, —1 или 0.
Во всех случаях предложение доказано.
2° Допустим, что А — вполне уиимодулярная матрица, каждый
столбец которой имеет не более двух ненулевых элементов, и
докажем, что существует разбиение (/р /2) с указанными выше свой-
ствами. Можно предполагать, что каждый столбец матрицы А содержит
в точности два ненулевых элемента, ибо любой столбец с един-
ственным ненулевым элементом и любой столбец, не содержащий
ненулевых элементов, можно удалить без ущерба для теоремы.
Матрице А отнесем граф G (неориентированный и без петель) следую-
щим образом: Z-й строке ставим в соответствие вершину х{, /-му столб-
цу — ребро и-; последнее будет соединять вершины xk и хк, когда
akji= 0 и aj -j= 0. Наконец, мы скажем, что ребро и,— специальное,
если оба ненулевых элемента вектора-столбца Эу имеют одинаковый
ВПОЛНЕ УНИМОДУЛЯРНЫЕ МАТРИЦЫ
155
знак; покажем, что каждый элементарный цикл графа содержит
четное число специальных ребер.
В самом деле, если бы существовал элементарный цикл, не обла-
дающий этим свойством, например «х=[хг х2.......... хА, хД =
= (Up u2.....и*), то мы развернули бы определитель соответ-
ствующей квадратной подматрицы
ui
Я]
₽,
о

и2 ... uft
О
«2 ... О
?2 ... О
А?1
х2
Xk
О 0 ... ае
Имеем а- -# 0,	0; кроме того, Яу = — для тех индексов J,
которые соответствуют неспециальным ребрам в количестве
& — (2р -f- 1).
Обозначая через 8(Д, /2......../й) число беспорядков в переста-
новке (Zj, 12..................Zft), мы можем написать
Det(B) = (-1)*0’2....%«, ... а4 + (-1)“2....е' 11 ₽2 . . . М,=
= (+O“l«2  •  “» + (—+	.••“»] =
= 2а1а2 ...	= + 2.
Но это противоречит условию, что матрица А вполне уни-
модулярна.
Итак, каждый элементарный цикл содержит четное число спе-
циальных ребер, значит, то же справедливо для любого цикла графа.
Если каждое неспециальнос ребро стянуть в точку, то получится
новый граф без циклов нечетной длины и поэтому бихроматический
(в силу теоремы Кёнига, см. гл. 4); обозначая через множество
индексов вершин окрашенных в синий цвет, а через /2 — мно-
жество индексов вершин x-t, окрашенных в красный, получим два
искомых непересекающихся множества и /2.
Следствие 1. Матрица акциденций S = (sfy для дуг любого
графа вполне унимодулярна.
В самом деле, вектор-столбец Sy состоит из одного элемента —|—1,
одного элемента —1 и элементов 0. Поэтому можно положить:
Л —U> 2, .... п],
Следствие 2. Матрица акциденций R. = (r1^ для ребер графа
вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда граф бихро-
матический.
Действительно, поскольку все ненулевые элементы в /? равны Д-1,
матрица R является вполне уиимодуляриой тогда и только тогда.
156
ГЛ. 15. МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЛ
когда вершины графа можно распределить по двум непересекаю-
щимся внутренне устойчивым множествам:
IWu и
Теорема 2 (Келлер). Пусть А = [а^— матрица с элемен-
тами. О, -*-1 и —1; для двух векторов-строк а1 и положим
когда каждый ненулевой элемент а^ строки равен
э цементу строки az. стоящему в том же столбце. Если
(1)	=£ 0 при каком-либо Агфа1 На7	или а;£-а'.
(2) aLk — — а' 0 при каком-либо k =ф аг — а7 или а^£--------а*,
то матрица А вполне унимодулярна.
Отношение как легко понять, является отношением порядка;
например,
(О, —1, — 1. 0 + 1, +1 + 1)Н(0, —1, 0. О, О, 0 + 1).
Любая квадратная подматрица В матрицы А тоже обладает свой-
ствами (1) и (2); покажем, что Det (В) равен 0, —1 или +1.
Это предложение верно для матриц В порядка 1; допустив, что
оно верно для матриц порядка q— 1, докажем его справедливость
для произвольной матрицы В порядка q.
Если В имеет столбец из одних нулей, то Det (В) = 0; если у В
есть столбец с единственным ненулевым элементом, то Det (В) равен
(с точностью до знака) минору этого элемента, т. е. равен 0,
+ 1 или —1. Осталось разобрать случай, когда в каждом столб-
це имеется по крайней мерс два ненулевых элемента.
Пусть А] и bl — два ненулевых элемента вектора-столбца Ь,; для
определенности предположим, что /?}=+1, Ь\ = + 1. В силу (1)
b]^b2 или b2Hb\ Меняя r случае надобности порядок строк, мы
допустим, что b+b2; в матрице В каждую вектор-строку Ь1. для
которой bJ ± Ь2, заменим на Ьг = Ьг ~ Ь2; в новой матрице В
элементы по-прежнему равны 0, —1 или +1, a Det (В) — Det (В).
Покажем прежде всего, что В удовлетворяет условиям (1) и (2).
В самом деле, строка Ь4 может быть прежней, и тогда пишем Ь\
или измененной, и тогда пишем с1.
Пусть, например, с^ = />^ = +1; покажем, что
с1 Ьг или Ь‘ с1.
Так как А* = 0, то
А! =с]। = + 1 — А'— А',
!i h 1	й А’
ВПОЛНЕ УНИМОДУЛЯРНЫЕ МАТРИЦЫ
157
откуда Ь' Ь1 или Ь1 Ь‘. Но
Ь1 =ф bf Ь1 Ь2 Ьг = Ь1 — Ь2 Ь1 — Ь2 = с1.
С другой стороны, при Ь1 Ь' не может быть ни Ь‘ — Ь2
(ибо тогда мы имели бы Ь1 £ Ь2, что невозможно), ни b2 Н i bZ
(так как ^—1, a b\~ 0); остается рассмотреть два случая: когда
Ь‘Н Ь2 и когда ненулевые элементы строк Ь* и Ь2 распределяются
по двум нелсресекаюишмся множествам столбцов. Имеем:
Ь1 Ь‘ <- Ь2^ с1 — Ь1 — Ь2 Ь' — Ь2 — Ь'
(первый случай)
Ь1 Ь* или
I Ь1 Ь1 = Ьг z=> с1 = Ь1 — b2^bf = b!
I	(второй случай)
В обоих случаях (1) доказано; (2) доказывается точно так же.
Повторяя теперь преобразование В~>В с другими строками, мы
увеличим количество нулей в матрице В\ будем делать это до тех
пор, пока не получим в В столбец, содержащий не более одного
ненулевого элемента. Поскольку для матриц порядка q—1 теорема
предполагается верной,
Det (В) — Det (В) — 0, -j-1 или —1.
Ч. И Т. Д.
Теорема 3. Пусть А и В — две матрицы, элементами
которых являются 0 и 1 и которые удовлетворяют условию (1)
предыдущей теоремы, тогда матрица С, полученная объедине-
нием строк матриц А и В, вполне унимодулярна.
В самом деле, рассмотрим квадратную подматрицу С матрицы С,
составленную из подматрицы А матрицы А и подматрицы В мат-
рицы В, и покажем, что Det (С) = О, -j-1 или —1. Как и в тео-
реме 2, будем уменьшать количество ненулевых элементов матрицы А
(и матрицы В) до тех пор, пока в каждом столбце останется
не более одного элемента, отличного от нуля; матрица С будет
тогда иметь нс более двух ненулевых элементов (которые равны -j~l)
в каждом столбце; если одни из этих элементов принадлежит А, то
другой содержится в 5; поэтому в силу теоремы 1 матрица С
вполне унимодулярна, откуда следует, чю Det (С) = О, -J-1 или — 1.
158
ГЛ 15. МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЙ
Примеры. Непосредственно применяя результаты этого параграфа,
читатель может проверить, что матрицы
-14-1	0 о
0-41—1	0
А =
о о-41—i
+100 —1
— 1 +1	0 +1		+-1	0 +1
— 1	0	0 +-1	с =	+1 4-1 +1
+1 -1 +1 -1		0 +1 +1
вполне унимодулярны.
Вполне унимодулярные системы
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:
(1)
ajx1 + а^х2 + ... +й^хт —0,
^х1 + а^№+ ... -Л-а2тхт = 0,
а^х1 -\-а^х2 + ... -\-а^х!71 = 0.
Полагая х = (х1, х2, .... xffl). 0 = (0, 0, .. ., 0) и А ~ (afy,
можем записать систему в виде
Лх = 0.
Мы исследуем здесь векторы х, удовлетворяющие этому уравнению,
в случае когда матрица А вполне унимодулярна.
Следуя хорошо известному способу решения, рассмотрим наи-
больший, отличный от нуля определитель матрицы А; пусть это,
например,

ВПОЛНЕ УНИМОДУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ
159
Решаем основную систему:
a]x’ + a’x-'+ ... +а;|_рх"-р =
а^х1a[x2... 4*	=
= — (а-	,х'1-₽+1 + ... +а2лг'“'|,
к л-р+1	।	т }'
Придадим сначала неосновным переменным хп’|0 + !, хп~р+'2, . ..,
хт значения 1, 0, 0....0; тогда система (Г) однозначно определит
вектор с1 = (с{, с], .... cj”), /-я координата которого (I п—р)
выражается формулой
= 0, 4~1 или — 1.
а*-р
Итак, координаты вектора Cj равны 0, 4-1 или —1; кроме
того, сР будучи решением системы (Г). является также решением
системы (1) (в силу однородности системы). Эю приводит нас к
следующему результату.
Теорема 41)- Если Л = (о^ — вполне унимодулярная мат*
рица. то уравнение Лх = 0 имеет в качестве решений векторы
линейного пространства т — п-т-р измерений, порожденного век-
торами Ср с2......cm_,l4p, все координаты которых равны 0,
— 1 или 4“1*
’) Гофман и Краскал [3] доказали разновидность этой теоремы, имею-
щую приложения к теории линейных программ; пусть А—матриц! с цело-
численными элементами, а Ь, Ь', а, а'— векторы с целочисленными
координатами: если матрица Л вполне унимодулярна, то на каждой
грани выпуклого полиэдра
{х/*'	^Ъ'1;	а‘<лг<а';1
найдется точка с целочисленными координатами. (В частности, цело-
численными координатами обладают вершины полиэдра, которые являются
нульмерными гранями.)
160
ГЛ. 15. МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИИ
В самом деле, придавая переменным (хл“р+1, хл-р+2, .... х1*)
последовательно системы значений Cj = (1, 0, .... 0), е2=(0, 1. ...
..., 0), ..., егп_п+р = (0, 0- ..., 1), мы определим, как показано
выше, векторы с5, с2, ст_п+р с координатами 0, -|-1 или —1.
Эти векторы линейно независимы, ибо
 -  -j-^'m-n-pCm-nj-p^
4“    “F ^т-п+р^т-п + р = 0 —Ф —    ~ \п-п I р ” 0‘
Поскольку число их равно размерности прострапс1ва решений
уравнения Дх=0. векторы сА образуют фундаментальную систему
решений.
Ч. И Т. Д.
Как видно из первого параграфа гл. 4, каждому циклу р, анти-
симметрического графа можно поставить в соответствие m-мерный век-
тор (с1, с2, .,,, ст) следующим образом: если при обходе цикла а
дуга «у проходится г раз в направлении ее ориентации и $• раз
в противоположном направлении, то с2 = г— $. Мы видели также,
что наибольшее число независимых циклов равно v(G) = m — я Д-р,
где т— число дуг, п — число вершин, р— число компонент (тео-
рема 2 гл. 4).
Теорема 5 (Пуанкаре — Веблен — Александер [6], [7]). Пусть
граф. S =	— его матрица инци-
денций для, дуг\ чтобы вектор
с = (с}, с2...ст) с целочисленными
координатами представлял цикл или
сумму циклов, необходимо и доста-
точно, чтобы Sc=Q.
Г Условие необходимо. Наделишь
показать, что вектор с, отвечающий
элементарному циклу, удовлетворяет
условию Sc = 0. Допустим, что
р. — [Хр х2, . . ., xk, xj
цикл, с =(с1, с'2, ..., ст)— соответ-
ствующий вектор, и покажем, что
(1) s'ci-ps;c2_p ... _р5^т==о	= 1, 2....п).
Если цикл р. не проходит через l-ю вершину х2 графа, то он
не содержит никакой дуги Up инцидентной х(, поэтому <4 = 0 для
всех тех индексов J, для которых #= 0, откуда и следует (1).
Если цикл |i проходит через вершину xjt то он содержит ровно
две дуги Иу и ик, инцидентные х(.; в отношении ориентации этих
G — антисимметрический
— Случай 1
---Случай 2
— Случай 3
Рис.
15—2.
ЭЛ
НИКЛОМАТЙЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
161
дуг возможны три случая, указанные на рис. 15—2. В случае 1 имеем
с> = ck 4= 0; sj. = — $/. ¥= 0.
Отсюда следует -h^cfe = 0, т. е. (1).
В случаях 2 и 3 имеем
с>= — cft=£0; s'=s^Q,
Отсюда следует sl.ci -|- $1кск = 0, т. е. опять (1).
Равенство (1) доказано во всех случаях.
2° Условие достаточно. Всякий вектор с с целочисленными
координатами, для которого Sc = O, является линейной комбинацией
(с целыми коэффициентами) векторов ср с2, . . ст_п^.р, определен-
ных в теореме 4; нам достаточно для каждого £=1,2, . .., т — а~\~р
построить такую систему циклов, чтобы сумма соответствующих им
векторов была равна cft.
Рассмотрим множество uk тех дуг графа G, которым отвечают
ненулевые координаты вектора cft. Так как может равняться
т
только 0. -|-1 или —1, а 2jsW = 0 при любом Z, то I s'с/1 = 1 для
у _ |	*	I J к I
четного количества индексов у; иными словами, каждая вершина x-t
инцидентна четному числу дуг из uk. Отсюда следует, что из всех
дуг множества uk можно составить систему циклов.
Ч. И Т. Д.
Эта теорема дает аналитический метод для нахождения незави-
симых циклов графа; однако в следующей главе мы познакомимся
с гораздо более простым геометрическим методом.
Дипломатические матрицы
Пусть с1 = (с], с,...cj”),
базы независимых циклов графа
. ., о = (cj, cj, . . .,	— векторы
G; рассмотрим матрицу
11 к. Берж
162
ГЛ. 15. МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИП
Она называется цикломатической матрицей графа G. Если век-
торы-столбцы ck выбраны, как в теореме 4, то все элементы
матрицы С равны 0, —1 или -|-1, а сама матрица имеет вид
с{...........cj
с= 1
1	0 0	о
0	10	о
0	0 О	...	1
Произведение матрицы С на матрицу S слева равно матрице О.
ибо
(s',	с,)	(S1.	с2)	...	(s1.	с..)
(S2,	Cj)	\S2,	с2)	...
(s".	Ct)	...	(s’.	c„)
0 0 ... 0
0
0	... 0
Следовательно, если известна цикломатическая матрица С, то
можно найти матрицу ипциденций для дуг из уравнения SC — О', для
нахождения векторов-строк матрицы 5 достаточно решить линейное
уравнение
C*s — 0.
Это замечание имеет многочисленные применения в теории релейных
схем 1).
Пример (Окада [5]). Неизвестное электрическое реле составлено
из 8 выключателей up и2, ug (которые мы для простоты будем
обозначать цифрами 1, 2, . . ., 8). Эти выключатели присоединены
к контактам х., х0,	х4' Х6 в неизвестном порядке. Поставим
целью определить геометрическую конфигурацию реле; для этого
установим, при замыкании каких именно множеств выключателей
реле пропускает ток и лампа горит.
Пусть лампа горит при следующих комбинациях: 13568, 137,
14567, 148, 23458, 23467, 257, 268.
’) Цикломатическая матрица, называемая также второй матрицей акци-
денций, широко применяется ие только в теории релейных схем, но и в
теории электрических сетей с заданными физическими характеристиками
звеиьев (см., например, [83]). — Прим, перев.
ЦИКЛОМАТИЧЕСХИЕ МАТРИЦЫ
163
Теперь можно составить матрицу
до слагаемого, кратного 2. будут:
С) с2 с3 с4 с-
11111
11110
0 0 0 0	1
110 0	1
0 0	111
10	10	1
10	10	0
0	110	0
10 0	11
С; ее элементы, с точностью
С7
1	1	1	Ч,
0	0	0	U[
1	I	1	и,
1	0	0	u3
1	0	0	и,
0	1	0	и5
1	0	1	и6
1	1	0	и;
О	0	1	ия
Отбрасывая столбцы, которые являются линейными комбинациями
остальных1), и транспонируя матрицу относительно главной диаго-
нали, получим
/1	1	0	1	0	1	1	0	IX
_ / 0	1	1	0	1	1	0	1	1 1
“ 000 1 1 00 1 1 ]'
\0	О	О	0	0	1	1	1	1/
’) Отброшены 4-й, 5-й, 7-й и 8-й столбцы, ко 2-му, 3-му и 6-му столбцам
прибавлен 1-й столбец и столбцы переставлены.—Прим. ред.
164
ГЛ. IS. МАТРИЦЫ инцидвнции
Теперь надо решить сравнение C't = O (mod 2), т. е.
Л + ^2 + + ^6 + tl + ^9 S О
*2 ~Ь Ч + *6 •+• ~Ь ^8 + f9 s О
/4 f5 + ?8 f9 S О
^6	~Ь^8 “Ь^9 = О
(mod 2).
(mod 2),
(mod 2).
(mod 2).
Находим фундаментальную систему независимых решений; эти
решения будут строками матрицы
1	1	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1	0	0.
0	0	0	1	0	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0	1
Составляя линейные комбинации строк, добиваемся, чтобы каждый
столбец содержал ровно две единицы; получаем матрицу инциден-
ций R для ребер графа О, изображенного на рис. 15—3;
R =
“о
1
0
о
о
1
о
«1	«2 “3 U4 “s
110 0 0
10 110
0 10 0 1
0	0	10	1
0	0	0 0	0
0	0	0	1	0
u6	u7	u8
0	0	0	Л-,
0	0	0	х,
1	0	0	х3
О	1	0	х4
О	1	1	х5
1	0	1	х5
ГЛАВА 16
Деревья и прадеревья
Деревья
Начиная с этого момента, мы будем интересоваться главным обра-
вом конечными графами без учета ориентации. U = [и,, и2, ....	}
обозначает множество всех ребер, a Ux —множество ребер, инци-
дентных вершине х. Вершина х графа называется висячей, если
существует только одно ребро, инцидентное х, т, е. |UX| = 1; вер-
шина х называется изолированной, если не существует ребер,
инцидентных х, т. е. если |UJ=O. Через Гя обозначаем множе-
ство вершин, соединенных ребром с вершиной х.
Дерево, по определению, есть конечный связный граф без циклов,
имеющий не менее двух вершин. Это важное понятие, введенное
Кэли, можно определить совсем иначе, и в дальнейшем мы будем
пользоваться каждым из шести определений, равносильность которых
утверждается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть Н — граф порядка | А”| — п > 1; следую-
щие характеристические свойства дерева равносильны:
(1)	Н связен и не содержит циклов',
(2)	Н не содержит циклов и имеет п— 1 ребер-,
(3)	И связен и имеет п — 1 ребер:
(4)	Н не содержит циклов, но добавление ребра между
любыми двумя несмежными вершинами приводит к появлению
циклов (и только одного элементарного цикла):
(5)	Н связен, но утрачивает это свойство после удаления
любого ребра:
(6)	всякая пара вершин соединена цепью и только одной.
В самом деле;
(1)	(2), ибо, обозначив через р число компонент, а через
т — число ребер, будем иметь р=\, v — m— п-\-р = 0, откуда
т = п — р = п— 1.
(2)	(3), ибо если > = 0 и т = п — 1, то p = v — т-\-п~ 1
и Н связен.
(3)	(4), нбо из р = 1 и т — п — 1 следует v — т — п р — О,
т. е. Н не содержит циклов; далее, если добавить ребро между
двумя несмежными вершинами, то v станет равным 1, значит появится
в точности один элементарный цикл.
166
ГЛ 16 ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕПЬЯ
(4)	(5), ибо если бы Н не был связен, то у него имелись бы
две вершины х и у, не соединенные никакой цепью и такие, что
добавление ребра [х, у] не приводит к появлению циклов; значит,
р= 1, v = 0, откуда т = п—1. После удаления одного ребра
получим т = п— 2, v = 0, откуда р = >— т^- п = 2, т. е. Н уже
не будет связным.
(5)	(6), ибо для любых двух вершин х и у существует соеди-
няющая их цепь (поскольку Н связен), но не существует двух таких
цепей (так как удаление ребра, принадлежащего второй цепи и не
принадлежащего первой, не нарушило бы связности графа).
(6)	(1), ибо если Н имеет цикл, то удаление какого-нибудь
ребра из цикла не нарушает связности графа.
Теорема 2. Всякое дерево имеет по крайней мере две вися-
чие вершины.
Пусть Н— дерево, не имеющее висячих вершин или имеющее
только одну такую вершину. Представим себе путешественника,
отправившегося из произвольной вершины (в первом случае) или из
висячей вершины (во втором случае): если он решил не проходить
дважды по одному и тому же ребру, то он не сможет дважды ока-
заться в одной и той же вершине (ибо Н не имеет циклов); кроме
того, прибыв в некоторую вершину х, он всегда сможет покинуть
ее по другому ребру (так как вершина х — не висячая и |UX|?>2).
Значит, путешествие будет продолжаться без конца, а это невоз-
можно, поскольку граф Н конечен.
Теорема 3. Граф G = (X U) тогда и только тогда содержит
частичный граф, являющийся деревом, когда он связен.
Если G несвязен, то все его частичные графы несвязны н G не
может содержать частичного дерева.
Если G связен, то выясним, имеется лн в нем ребро, удаление
которого не нарушает связности. В случае, когда таких ребер нет,
О сам является деревом в силу свойства (5); если же такое ребро
есть, то удалим его и выясним, имеется ли в полученном графе
ребро, удаление которого не нарушает связности, и т. д. ...
Когда удаление ребер без нарушения связности станет невозмож-
ным, получим дерево [см. свойство (5)], множеством вершин
которого по-прежнему служит X.
Ч. И Т. Д.
Эта теорема дает также алгорифм для построения некоторого
частичного дерева данного графа. Можно обобщить задачу следую-
щим образом.
Задача 1. Рассмотрим связный граф G — (X, U), каждому ребру и
которого отнесено число /(и)^>0, называемое длиной этого ребра;
ДЕРЕВЬЯ
167
найти такое частичное дерево Н—(Х, V) графа G, чтобы сум-
марная длина / (и) была наименьшей. Эта задача очень часто
и£ v
встречается в технике связи и во многих других областях.
Пример. Какова наименьшая длина кабеля, необходимого для того,
чтобы соединить между собой п данных городов? Вершинами графа здесь
служат города, а /(х, у) выражает в километрах расстояние между
юродами х и у. Искомая кабельная сеть должна быть связной и,
в силу требования минимальности длины, не содержать циклов, т. е.
быть деревом. Таким образом, ищется „кратчайшее” из деревьев,
являющихся частичными графами полного графа с п вершинами.
Докажем сначала лемму.
Лем.мз. Если G~(X. U)—полный граф и длины /(и) его
ребер все различны, то задача 1 имеет единственное решение
(X, V); множество	v2, ... , получается следующим
образом: в качестве Vj берем кратчайшее ребро\ в качестве
v2— самое короткое из тех ребер, для которых v2^=Vj и
V2 — (vP v2) не содержит циклов1, в качестве v3 — самое корот-
кое из тех ребер, для которых v3^-vp v3=#v2 и V3={Vj, v2, v3}
не содержит циклов1, и т. д. .. .
Определим, как сказано, множества V] = |v]), V2, V3, . . . , V& и
допустим, что к VA невозможно добавить ребро без появления цикла.
В силу характеристического свойства (4) граф (X Vft) представляет
собой дерево, а в силу характеристического свойства (2) имеем
k = п - 1.
Пусть (X V) — дерево, для которого S Ци) имеет наименьшее
u £ V
значение; покажем, что У = \Д_|.
Если V^=V„_1 = {v1, v2. ..., vn_j), то пусть vk — первое из
ребер Vp v2, ..., не принадлежащее V.
В силу характеристического свойства (4) в VU{vft} существует
элементарный цикл, притом единственный; на этом цикле имеется
такое ребро и0, что	Если положить W = (VU {vj)\{uc},
то граф (X W) не будет содержать циклов и будет иметь п — 1
ребер, поэтому он представляет собой дерево [свойство (2)].
Vft_,и !и0 ) не имеет циклов (ибо eV), значит, / (u0) > / (vft).
Дерево (X W), которое получается из дерева (X V) заменой и0
на vA. имеет поэтому меньшую суммарную длину, чем (X V); но
это противоречит предположению о том, что дерево (X V) — „крат-
чайшее”.
Алгорифм для задачи 1 (Краскал ]6]). Действуем по этапам,
выбирая каждый раз кратчайшее ребро, не образующее цикла
с выбранными ранее ребрами.
168
ГЛ 16. ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕВЬЯ
Таким способом окажется выбранным множество \п~{ —
— (vr .... из п—1 ребер, и граф {X, ¥„_]) будет деревом
с наименьшей суммарной длиной.
В самом деле, длины всех ребер всегда можно сделать разными:
если, например, Z(u1) = /(u2) = /(u3), то произведем изменения:
I (Uj) -> I' (Uj) = I s.
I (u2) -+1' (u2) — I (u2) -i- 2s,
I (u3) -* T (u3) = I (u3)-i- 3s,
и выберем s столь малым, чтобы не произошло изменений в соотно-
шениях длин ребер.
Точно так же всегда можно сделать граф полным, добавляя
столь длинные ребра wA, чтобы
/(wp > 2 i от-
u£U
В новом графе существует частичное дерево Н=(Х, ¥„_]),
притом единственное, обладающее наименьшей длиной; в силу
теоремы 3, Ул_! не содержит ребер wft(£U, ибо
Kwt)> 2 iw-
u £ и
Поэтому // является частичным деревом исходного графа G,
обладающим наименьшей суммарной длиной.
Заметим, что если длины всех ребер различны, то дерево
Н — единственное. Заметим также, что можно было бы действовать
двойственным образом: удалять шаг за шагом самые длинные ребра,
до тех пор пока это удаление не нарушает связности графа.
Алгорифм для нахождения базы независимых циклов. Можно
считать граф G — (X, U) связным (в противном случае мы рас-
смотрели бы каждую компоненту отдельно). Сначала построим,
как выше, дерево (X,	Пусть up и2, .... um_„+1 — ребра
множества U, не принадлежащие Vn_p добавление к дереву
(Af, V„_i) любого из этих ребер, скажем ий, приводит к появлению
элементарного цикла притом единственного [свойство (4)].
Но циклы fip jig......(Sn-n+i независимы, потому что каждый
из них содержит ребро, не принадлежащее остальным; к тому же
количество этих циклов т — п4-l=v(G), значит они образуют
баву независимых циклов.
Заметим еще только, что в случае плоского графа базу независи-
мых циклов можно находить гораздо проще, как будет показано
впоследствии (теорема 1 гл. 21).
Пример. Рассмотрим симметрическую транспортную сеть (М, U)
с входом xQ и выходом z; соединим вход с выходом ребром [х0, z]
и произвольно ориентируем все ребра. Поток ср (и) по ребру и будет
ДЕРЕВЬЯ
169
тогда ^>0. если его направление совпадает с ориентацией ребра и,
и ^0 в противоположном случае, следовательно.
2 ?(и) = о (xgx).
и € их
Займемся решением следующей задачи.
Определить потоки <р, принимающие на ребрах ир и2, .... пй
заданные значения <p(u1) = X1, <р(и2) = Х2.о (ц#) —
Допустим, например, что в графе G, изображенном на рис. 16—1,
требуется получить
?(ul) = 6. О (иг) = Ф (и3) = 1, <p(u4) = t(u5) = o(u6) = 2.
Здесь можно выявить дерево (показанное жирными линиями), удаляя
ребра и,, и2. . ,., иб с предписанными значениями о, а также ребро п7;
каждое ребро ш (с I 6) определяет вместе с этим деревом некоторый
элементарный цикл аг-. притом единственный, по которому должен
циркулировать замкнутый поток, равный сс(иг) = Хг [по |i7 будет
циркулировать замкнутый поток с произвольным значением о (ц7) = Л].
Складывая эти потоки отдельно для каждого ребра, мы получим
искомый лоток (который в данном случае будет зависеть от пара-
метра X). Поток <р(и) по каждому ребру дается следующей таблицей:
	И]	«2	«з	U, п5	«6	U7 U3 Ug	«10	Ull	«12	и13
Поток по [А,:	4-6			! 1 1-1			4-6	4-6		4-6
по :		+1		+I			-1	—1		
по ц-з:			+1	i 1 1 1 1-			4-1			
по }14:				4-2 |		4-2 -2			4-2	—2
ПО [Х5:				М 1 I 1					4-2	—2
по рв:					+2j	HI				+2
по |х7:				1 1 H+ll			— X			
	6	1	1	2 | 2	2	X ГЛ—б| —2 |6—Л		5	2	4
170
ГЛ. 16. ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕВЬЯ
Если удаление ребра с предписанным значением о нарушает связ-
ность графа, то задача, вообще говоря, не имеет решения.
Аналитическое исследование
Рассмотрим матрицу А=-(а'А с т строками и п столбцами и
положим N — {1, 2, ..., 2И = {1, 2 . . ., т]. Часто бывает
удобно записывать матрицу Л в виде а-^; при этом если IcM,
то aj обозначает подматрицу, полученную из А вычеркиванием тех
столбцов, номера которых не принадлежат /, и тех строк, номера
которых не принадлежат J. Напомним прежде всего две формулы
из теории определителей.
Формула Лапласа1). Пусть а1*— квадратная матрица
порядка п, а число k п\ тогда
Det(°.v) =
(при k = 1 получается формула разложения определителя по первой
строке).
Формула Бинэ — Коши2). Пусть а‘^ и Ь1^—две квадрат-
нее матрицы п-го порядка, К = {1, 2.......тогда
Det(a^£)=	 Det(*y.
JOV
При k = n получается формула для определителя произведения двух
квадратных матриц.
Рассмотрим теперь граф Gen вершинами н т ребрами (т^п);
произвольно ориентировав ребра, составим матрицу инциденций для
дуг S = Квадратная матрица sfy соответствует вершинам
х.2, ... , хт и дугам и2, ... , ит; пара, образованная такого рода
множествами вершин и дуг, называется линейной конфигурацией Н.
Она, вообще говоря, не будет графом, так как ребро может вхо-
дить в Н без своих граничных точек („плавающее" ребро) или
1) См., например, Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных прост-
ранств. — Прим, перев.
2) См., например. Га нт мах ер Ф. Р., Теория матриц. — Прим, перев.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
171
только с одной из двух граничных точек („болтающееся*4 ребро)
Имеет место
Теорема 4. Пусть линейная конфигурация Н составлена
из т вершин хг, х2, . . хт и т дуг uv и2...........если Н
содержит дуги некоторого цикла, то Det(S‘|}) = 0.
Действительно, допустим, что «р и2, .... uk образуют цикл и
что вершины Н па этом цикле имеют нумерацию ,гр х2, х(
(где I k); можно написать
г сК оК л
м 0 $м~к
|_U dAf-/cJ
По формуле Лапласа
Dei + Det (s£)  Det + 0.
Если i = k, to
Det(s9 =
1	0	0...	—1
-1	1	0	...	0
0	- ]	I	, . .
1’	’	0
о	0	0	...	—1	1
(поскольку сумма векторов-строк равна нулевому вектору). Далее,
если i < k, то Det(s^)=0 потому, что k-я строка состоит из одних
нулей. Таким образом, всегда Det = 0.
Теорема 5. Граф G с т 4- 1 вершинами хр х2,	х,п+1
и т ребрами uP и2>	ur77 является деревом тогда и только
тогда, когда определитель квадратной матрицы полученной
из матрицы акциденций вычеркиванием (т-|-1)-# строки,
равен 4-1 или —1; во всех остальных случаях этот определи-
тель равен нулю.
Г Пусть G — граф порядка п — т для которого Det ($$)•£();
в силу теоремы 4, G не содержит циклов; так как, кроме того, G
имеет п — I ребер, то он представляет собой дерево [теорема 1,
свойство (2)].
2° Пусть G — дерево с вершинами хр х2, .... хт + -у, не тро-
гая хт+х, будем менять нумерацию дуг и остальных т вершин [что
может изменить только знак Det(s^), так как такое изменение
нумерации означает перестановку строк и столбцов в определителе].
В силу теоремы 2 дерево G имеет висячую вершину, отличную
or xzw+1; эту вершину обозначим через хр а инцидентное ей ребро —
172
ГЛ. 16. ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕВЬЯ
через Up удалив и ир опять найдем висячую вершину х2 и инци-
дентное ей ребро и2, и т. д. ... В новой нумерации будем иметь
Теорема 6 (Доказательство Трента [8]). В графе G без петель
число различных деревьев, представляющих собой частичные
графы G, равно минору любого из элементов главной диагонали
квадратной матрицы (bfy порядка п, где
( |Гхг| при / = у;
*j = { —1	при i + i, [х/т x,]gU;
О	при 1 + J, |хг, Ху) £ и.
ПРАДЕРЕВЬЯ
173
Придадим ребрам G произвольную ориентацию и образуем матрицу
инциденций S = s% для дуг. Общий элемент матрицы SS* равен
<S\ s;) = (s‘,	=	... +	=
|Гх,.| при i — J',
—  —1 при t4=j, [x;, xz-]£U;
О	при / 4=- J, [хг,
Таким образом, (s’, зЛ = Ь{.\ если положить К — (1, 2.k — п—1},
то минор элемента в силу формулы Бинэ — Коши равен
Afl = Det(d^ = Det(^-^) =
= S Det(s*n • Detfs*') = S iDetfs^)!2.
ГС2Л1	У ' IC.M' V 71
|/|sn-l	|/| = n~1
На основании теоремы 5 последняя сумма как раз выражает
число деревьев с п вершинами, которые можно
получить из G.
Пример. Граф, изображенный на рис. 16—2а.
имеет 16 частичных деревьев; таково значение
Так как граф полный, то этот же результат можно было бы
получить более прямым путем, замечая, что общее число различных
деревьев с /г —4 вершинами равно пД“2 = 42 = 16.
Все 16 частичных деревьев приведены на рис. 16—2.
Прадеревья
Конечный граф (X U) есть прадерево с корнем хх£Х, если
Г в каждую вершину заходит одна-едииственная дуга;
2° в х, не заходит ни одна дуга;
3° (X U) не содержит контуров.
Теорема 7. Всякое прадерево является деревом.
Пусть Н — прадерево с корнем Xj; в силу 3° оно имеет
столько же дуг, сколько ребер. Если п — число вершии, т — число
ребер, то
т — п — 1.
174
ГЛ 16. ДЕРЕВЬЯ И ПОДДЕРЕВЬЯ
Кроме того, Н не содержит циклов, ибо в нем нет контуров,
а всякий цикл, не являющийся контуром, имеет вершину, в которую
заходит не менее двух дуг.
Поэтому Н—дерево.
Внешний вид прадерева представить себе легко: это дерево,
каждое ребро которого однозначно ориентировано и для любой
вершины х которого существует путь от к х (поскольку путе-
шественник, находящийся в х и желающий проходить дуги графа
в направлении, противоположном ориентации, не будет вынужден
остановиться ни в одной вершине, кроме х,).
Рис.
Рис. 16—4.
Пример 1 (планиметрия). Рассмотрим на плоскости п—1 попарно
непересекающихся окружностей. Каждый случай взаимного расположе-
ния этих окружностей можно представить прадеревом с п вершинами
(имеющим в качестве корня х{ „окружность бесконечного радиуса1').
При п — 4 возможны четыре
случая расположения, которые,
как показано на рис. 16—3,
соответствуют четырем праде-
ревьям.
Пример 2. Теория скобок
Лукасевича (J. Lukasiewicz).
Рассмотрим множество А =
= 'я, Ь, с, . . .} и операцию •
в нем, которая коммутативна,
но не ассоциативна: например,
а • (Ь •	• Ь}  с. В алгебре
называют моноидом результат некоторого числа этих операций,
например и — [(а • Ъ) • с] • ([d  (е • /)] • g). Этому моноиду мы поста-
вим в соответствие изображенное на рис. 16- - 4 прадерсво, являющееся
„бифуркантом": для каждой вершины х имеем |Гх|=0 или 2.
В случае некоммутативной операции • надо использовать тополо-
гический граф, то есть граф, эффективно представленный в ориен-
тированной плоскости. Лукасевич предложил задавать моноид и
ПРАДЕРЕВЬЯ
175
последовательностью abcdefg, за которой идет последовательность
1110001101000 (полученная заменой висячих вершин символом 0,
невисячих — символом 1 и записью этих символов в порядке, кото-
рый ясен из приведенного примера)1).
Мы поставим для прадеревьев такие же задачи, как и для
деревьев; в частности: сколько у данного (ориентированного) графа G
имеется частичных графов, представляющих собой прадеревья? Пусть
Л =	— матрица смежности графа G; образуем диагональную
матрицу D = где
di = J 0 при I Ф j,
’ 1|г"'Л'/1 при ‘ = J-
Матрицу D — A = ^dl.— а1.) можно записать в виде
- а" — аг • • • S <
i 7^ п
Ее определитель равен 0 (так как сумма ее векторов-строк есть
нуль-вектор).
Минор этой матрицы, полученный вычеркиванием &-й строки и
Л-го столбца, обозначим через Aft = Aft(aP а2...а„); он не зависит
от вектора ай.
Замечание. Дй(аР а2, . . аи) есть линейная функция от век-
торов-столбцов а;-, т. е.
Д»(а| + <’ Я2....а„) = А»(а1' а2'	an)+M<- ..........а»>
МХа1- аз.....а„) = лД8(а,. а2...а„).
Доказывается непосредственно.
Теорема 8. Пусть А — матрица смежности графа G без
петель, имеющего т=п—1 дугу, граф G является прадеревом
с корнем X] тогда и только тогда, когда Д1 = 1; во всех ос-
тальных случаях Дт = 0.
’) Из этого замечания легко вывести, что количество различных праде-
ревьев-бифуркаптов с п висячими вершинами равно
_1_р + Ц
2п 1 \ п )
176
ГЛ. 16. ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕВЬЯ
1° Если G— прадерево с корнем хр то элементы di равны
|Г'1х/| = 1 (при / = 2, 3, .... /г); перенумеруем вершины так,
чтобы при следовании вдоль любого пути индексы шли в возрастаю-
щем порядке (это всегда возможно, поскольку G — прадерево); тогда
А, =
1 — а-& — аг . . .
О 1 _аз...
О 0	1 . . .
00	0 ...	1
2° Допустим, что А] 0, и покажем, чго G — прадерево с кор-
нем хР В каждую вершину хк (при k 1) заходит по крайней мере
одна дуга графа G (в противном случае (k—1)-й столбец в А, был
бы нулевым и мы имели бы Дт = 0).
Так же, как в теореме 5, доказывается, что граф G — связный
и антисимметрический (иначе имели бы Д] = 0). Но связный граф
сд — 1 ребрами есть дерево [свойство (3)]. Во всякую отличную
от Xj вершину заходит ровно одна дуга (ибо существует ровно
п—1 дуг); поэтому G — прадерево с корнем xv
Теорема ® (Татт, Ботт). Пусть А— матрица смежности
графа G без петель-, количество прадеревьев с корнем хр являю-
щихся частичными графами G, равно Др
В самом деле, обозначим через #й = (0, 0...... 1.	0,	0)
я-мерный вектор, k-я координата которого равна 1, а остальные —
нулю. Положим
/Сг=(ВДх4,
Имеем
(о2’ «а*    -	2	2
\k2£K,
= 2 eki,
Ч>‘
Но, в силу теоремы, 8 минор Aj(e*?,	.....е* ) равен 1, когда
п—1 дуг (хАг, х2), (Хд3, х3), ... образуют прадерево с корнем хр
и равен 0 во всех остальных случаях. Отсюда и следует сформули-
рованный результат.
Замечание 1. Проведенные выше рассуждения в действительности
доказывают более сильный результат, который можно выразить
следующим образом: рассмотрим сеть, образованную графом G без
петель, с пропускными способностями с (и), н пусть C = (cJ)— „об-
общенная матрица смежности", у которой clj =c(xlt xj). Образуем
ПРАДЕРЕВЬЯ
177
диагональную матрицу D, где di =
делитель A = Det(D— С); если
Н = (X. Г) — прадерево с корнем хр
то положим
С (Я)= П с(х> У)-
у£Гл
Тогда минор Aj определителя Л
равен сумме чисел с (Н\ где И
пробегает все прадеревья с кор-
нем являющиеся частичными
графами G.
Этот результат был установлен
Боттом и Мейберри |2] при вы-
2 с(хй, х^, и составим опре^
встречающихся в эконо-
числении определителей некоторых матриц,
мике.
12 К- Бсрж
178
ГЛ, 15. ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕВЬЯ
Ему соответствует матрица
d}	— 1	0—2
—	4	— 1	— 2
D~~C=	—	. J з	_]
-Г*	-2	-2	5
у которой только первый столбец произволен; отсюда получается
сеть, изображенная на рис. 16—5.
Складывая все значения с(Н), указанные в таблице на рис. 16—6,
получим 29; читатель может проверить, что этому числу как раз
и равен определитель
Замечание 2. Пусть А — матрица смежности симметрического
графа G без петель; число симметрических деревьев, являющихся
частичными графами G, равно числу прадеревьев с корнем xk или,
в силу теоремы 9, равно
д1=гд2=...=дв1
Таким образом, мы снова получаем утверждение теоремы 6.
ГЛАВА 17
Задача Эйлера
Эйлеровы циклы
Одна на наиболее старых задач Геометрии Положения, постав-
ленная Эйлером, может быть сформулирована следующим образом:
назовем эйлеровой цепью (соответственно эйлеровым циклом) цепь
(соответственно цикл), содержащую все ребра графа и притом
только по одному разу; как узнать, обладает ли данный граф
эйлеровой цепью или эйлеровым циклом?
Пример 1. Рассмотрим граф, изображенный на рис. 17-1;
можно ли нарисовать этот граф, не отрывая пера от бумаги и не
проходя по уже нарисованной линии
вторично? Перепробовав множество	/К
комбинаций, читатель, даже неосвс-
Рис. 17—1.
Рис. 17—2.
ломленный, r конце концов вынужден будет предположить, что эта
задача неразрешима. Напротив, граф, изображенный на рис. 17—2,
можно нарисовать одним росчерком; почему?
Пример 2 (Эйлер). Через город Кёнигсберг протекает река Пре-
гель, омывающая остров Кнейпхоф; на реке имеется семь мостов,
расположение которых показано на рис. 17 — 3. Может ли пеше-
ход обойти все мосты, пройдя по каждому из них только один
раз?
Эта задача увлекала жителей Кёнигсберга в 1736 году, пока
Эйлер не доказал ее неразрешимость.
Рассматривая 2-граф G, изображенный на рис. 17—4, вершины
которого соответствуют районам a, b, с, d, а каждое ребро изо-
бражает мост, мы видим, что задача сводится к нахождению эйле-
ровой цепи.
12*
180
ГЛ 17. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Теорема 1. Мультиграф G обладает эйлеровой цепью
тогда и только тогда, когда он связен и число вершин нечетной
степени !) равно 0 или 2.
Г Условие необходимо, ибо если эйлерова цепь р- существует,
то граф G, очевидно, связен; далее, нечетной степенью могут обла-
дать только начальная и конечная вершины р (если онн не совпа-
дают), поэтому вершин нечетной сте-
пени может быть только 0 или 2.
2* Условие достаточно. Мы
докажем более точное утверждение:
Рис. 17—3.
если имеются две вершины, а и b нечетной степени, то суще-
ствует эйлерова цепь, начинающаяся в а и оканчивающаяся в Ь;
если вершин нечетной степени нет, то существует эйлеров цикл.
Допустим, что это утверждение справедливо для графов, имею-
щих менее т ребер, и докажем его справедливость для графа G
с т ребрами. Для определенности предположим, что G имеет две
вершины нечетной степени: а и Ь.
Путешественник, который отправляется из а в любом направле-
нии с намерением не проходить по одному и тому же ребру дважды,
определит своим движением цепь р. Если путешественник пришел
в некоторую вершину х 4* то количество ребер, пройденных им
и инцидентных х, нечетно при х 4= а и четно при х = а, и по-
этому он может покинуть х по еще не пройденному ребру; если же
путешественник не имеет возможности идти дальше, то это означает,
что он находится в Ь. Однако при этом произвольном маршруте от
а к b могли быть пройдены не все ребра; в частичном графе G',
образованном оставшимися ребрами, все вершины имеют четную
степень.
Пусть Ср С2, ... , Ck—компоненты G', содержащие хотя бы по
одному ребру; согласно предположению, все эти компоненты обла-
дают эйлеровыми циклами	... ; так как граф G связен, цепь tx
!) Степенью вершины называется число ребер, инцидентных этой вер-
шине. — Прим. ред.
ЭЙЛЕРОВЫ ЦИКЛЫ
181
встречает все С{; допустим, что первые встречи происходят в вер-
шинах	х2£С2......(в указанном горядке).
Рассмотрим теперь цепь
[1|о, Xj] +|1] + tl [Xj, Х2]+[Л2 + . . . + [1 [X,,, Й|.
Это н есть эйлерова цепь графа G. идущая из а в Ь.
Ч. И Т. Д.
Читатель может теперь одним взглядом убедиться в неразреши-
мости задачи о кёнигсбергских мостах (пример 2).
Замечание. Таким же способом доказывается, что если связный
мультиграф имеет 4 вершины нечетной степени, то его можно нари-
совать двумя росчерками, и вообще при наличии 2<у вершин нечет-
ной степени — q росчерками.
Алгорифм для непосредственного выявления эйлерова цикла
[Флёрн (Fleury)]. Рассмотрим связный мультиграф G, все вершины
которого имеют четную степень, и постараемся нарисовать его од-
ним росчерком, не прибегая в процессе построения к исправле-
ниям уже начерченной части траектории. Достаточно придержи-
ваться следующего правила:
1° Выходим из произвольной вершины а\ каждое пройденное
ребро зачеркиваем.
2° Никогда не идем по такому ребру и, которое в рассмат-
риваемый момент является перешейком (т. е. при удалении
которого граф, образованный незачеркнутыми ребрами, распадается
на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребруJ).
Соблюдая это правило, мы всегда будем находиться в благо-
приятном положении, потому что когда мы находимся в х Ф а,
граф (из незачеркнутых ребер) имеет две вершины нечетной степени:
х и а; если отбросить изолированные вершины, то останется связ-
ный граф, который в силу теоремы 1 имеет эйлерову цепь, начи-
нающуюся в х.
Осталось доказать, что всегда возможно соблюдать это правило,
то есть что путешественник, придя на перекресток х, наверняка
имеет в своем распоряжении непройденное ребро, не являющееся
(в данный момент) перешейком. Действительно, если бы все инци-
дентные х ребра были перешейками, то нх было бы по меньшей
мере два (так как в случае j U | == 1 ребро, инцидентное х, может
быть только висячим); два перешейка вели бы в две не связанные
друг с другом компоненты, каждая из которых содержит хотя бы
одну вершину нечетной степени. Но это невозможно, так как а —
единственная вершина нечетной степени (отличная от х).
*) И, разумеется, не выбираем ребра, идущего в а, пока есть другие
возможности.—Прим, перев.
182
ГЛ. 17. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Эйлеровы контуры
контур,
Р и с. 17—5.

Рассмотренные выше понятия интересно распространить на ориен-
тированные графы; эйлеров контур в ориентированном графе
аержащнй все дуги, и только по одному
разу. Каковы те графы, которые обла-
дают эйлеровыми контурами?
Граф называется псевдосимметри-
ческим, если в каждой его вершине
число исходящих дуг равно числу за-
. ходящих, т. е.
Эта терминология оправдывается
тем, что всякий симметрический граф
§ является r то же время псевдосимме-
сс трическим; имеет место
Теорема 2. Граф обладает
эйлеровым контуром тогда и только
1 тогда, когда он является связным
и псевдосимметрическим.
Доказательство точно такое же, как
для теоремы 1.
Пример [Постумус (Posthumus)].
Какова самая длинная круговая после-
довательность из цифр 0 и 1, в кото-
цифр не повторяется? Так как различных
строчек из 0 и 1 существует 2й. такая последовательность не может
иметь более 2ft цифр; покажем с помощью теоремы 2. что можно
эффективно построить искомую круговую последовательность
из 2к цифр.
Рассмотрим граф G, вершинами которого служат всевозможные
(k— 1)-строчки из 0 и 1, и соединим дугой каждую вершину
(ар а2,	y-k-i') с двумя вершинами (а2, а3,	0) и (а2,
а3,	1). Граф G— псевдосимметрический, поэтому он имеет
эйлеров контур. Если с^, ..., aA_j) — первая вершина этого
контура, (я2, а3, . . ., аА)— вторая, (a3,	.... aft+1) — третья и т. д.,
ю искомая последовательность будет	.
При k — 4 граф, изображенный на рис. 17—5, дает нам не-
сколько круговых последовательностей из 24 = 16 цифр, а именно
k
из
abedef ghijklmnpq = 0000101001101 111,
abedkijef ghlmnpq = 0000101101001111,
abcdklpghlmnjefg = 0000101100111101,
ЭЙЛЕРОВЫ КОНТУРЫ
183
abcf ghijedklmnpq = 0000100110101111,
abhijklmnpgcdefq = 0000110111100101,
abhijedkltnnpgcfq =0000110101111001,
abhljefgcdklmnpq — 0000110100101111,
abhi pgcdklmnjefq = 0000110010111101.
(Мы опустили остальные круговые последовательности, которые
получаются перестановкой I и 1тп.) Найдено 16 решений !).
Некоторые авторы усиленно занимаются подсчетом различных
эйлеровых контуров псевдосимметричсского графа; эта задача тесно
связана с задачей подсчета ирадеревьев, решенной выше (гл. 16).
Взаимосвязи между эйлеровыми контурами и прадеревьями являются
весьма тесными, и мы прежде всего отметим следующий результат:
Теорема 3. Пусть (J - связный псевдосимметрический граф,
Xj — одна из его вершин-, G допускает в качестве, частичного
графа некоторое прадерево П с корнем хр которое можно по-
строить следующим образом-, проходим все дуги G, отправив-
шись из Хр и составляем Н из всех тех дуг, которые привели
нас в ту или иную вершину впервые.
Н действительно есть прадерево с корнем хр так как
1е всякая вершина =# х} является концом одной-единственной
Дуги;
2' хх не является концом никакой дуги;
3' И не содержит контуров (ибо если из х в у идет некоторый
путь, образованный дугами И, то вершина х пройдена раньше у и
в Н не существует путей из у в х).
Теорема 4 (Аарден-Эренфсст, де Брейн [1]). Пусть G —
связный и псевдосамметрический граф. А,—число прадеревъев
с корнем Хр являющихся частичными графами G, и ги — полу-
степень исхода (или захода) вершины xk. Тогда число различ-
ных эйлеровых контуров графа G равно
£=]
где п —число вершин графа G.
Заметим, что два эйлеровых контура не считаются различными,
если один можно получить из другого круговой перестановкой. За-
метим также, что число А} известно из теоремы 9 (гл. 16).
J) Эта задача применяется в технике связи для отыскания положения
барабана, градуированного двумя видами делений, с помощью читающей
головки, способной за один раз прочесть k делений. Аналогичная задача
встречается в криптографии в следующем виде: найти слово, в котором
каждое размещение /г букв из алфавита фигурирует один и только один раз.
184
ГЛ. 17. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Рассмотрим прадерево Н с корнем хр являющееся частичным
графом для G, и покажем, что существует ровно
таких эйлеровых контуров, у которых каждая дуга, приводящая пас
в любую вершину впервые, принадлежит Н. Пронумеруем числами
от 1 до rk дуги, заходящие в xk:
и*„ = 1М>). “И2).......
нумерацию произведем так, чтобы ай(гй) была дугой прадерева Н,
заходящей в хк (если £ =# 1). Предполагая дугу «Д1) раз навсегда
фиксированной, будем иметь r точности
П^-1)!
А = 1
возможных нумераций. Каждой нумерации соответствует одни и
только один контур по следующему закону: начиная с ^(l), об-
ходим все дуги графа в направлении, противоположном их ориен-
тации; всякий раз, находясь в хк, выбираем ту еще не пройденную
дугу из которая обладает наименьшим номером.
Таким способом будет определен контур, ибо процесс обхода
может оборваться только в точке хк (во всякой другой вершине,
в которую мы приходим, всегда остается ребро, по которому можно
снова выйги, так как граф псевдосимметрический). Покажем, что
полученный контур является эйлеровым.
Действительно, если бы это было не так, то имелась бы не-
пройденная дуга поскольку rk^j, дуга uk (rk) тоже не могла
быть пройдена; в ее начало хр в свою очередь заходит некоторая
пепройденная дуга «р(гр), и т. д. Все эти иепройденные дуги при-
надлежат прадереву Н, поэтому мы в конце концов доберемся до
корня Хр но это невозможно, ибо раз мы в свое время оказались
в х1 и не смогли оттуда выйти, то все дуги, инцидентные хр были
уже пройдены.
В итоге каждой нумерации отвечает свой эйлеров контур, окан-
чивающийся фиксированной дугой ^(1) и такой, что каждая его
дуга, приводящая в свою конечную вершину впервые, принадлежи г
прадереву. Тем самым теорема доказана !).
*) Когда число дуг графа	ПРИ исследовании эйлеровых кон-
туров обнаруживается любопытное комбинаторное свойство, недавно сформу-
лированное Шютценбергером (М. Р. Schutzenbcrgef). Именно, будем рассмат-
ривать эйлеров контур р- как подстановку дуг графа и говорить, что р- —
четный или нечетный, смотря по тому, четно или нечетно число беспо-
рядков подстановки; тогда в графе G порядка п с числом дуг т 2п 4- 1
ЭЙЛЕРОВЫ КОНТУРЫ
185
Следствие. В псевдосимметрическом графе число праде-
ревьев с корнем xk, являющихся частичными графами, не зави-
сит от выбора вершины xk.
В самом деле, теорему 3 можно с таким же успехом сформули-
ровать для вершины xk вместо х}; так как число эйлеровых конту-
ров от этого не изменится, то Д]=ДА.
(Читатель может таким способом проверить, что число эйлеровых
контуров графа, изображенного па рис. 17—5, равно 16.)
среди эйлеровых контуров, начинающихся с данной дуги, имеется
столько же четных, сколько нечетных.
Заметим, что при т = 2п это утверждение неверно, как показывает
следующий пример: составим граф с дугами иь и2, ..., ип элементарного
контура, проходящего через п вершин, и с петлями u„^t, ип+2. ..., и2л во
всех этих вершинах; для каждой заданной дуги существует только один
эйлеров контур, начинающийся этой дугой, и утверждение уже поэтому
неверно.
Можно показать, что упомянутое свойство графов порядка п равно-
сильно одному свойству матриц n-го порядка, имеющему важное значение
в алгебре (а именно теореме Амицура и Левицкого, см. [5]).
ГЛАВА 18
Паросочетание произвольного графа
Теория чередующихся цепей
Мы обозначаем здесь через О граф (неориентированный) с вер-
шинами а, лГр х2, ха. В G будем различать две категории
ребер: сильные ребра, обозначаемые жирными линиями, и слабые
ребра, обозначаемые тонкими линиями. Наконец, мы предполагаем,
что все ребра, инцидентные точке а, называемой началом графа G, —•
сильные.
Чередующейся цепью называется такая цепь р = (vP v2, .... vA)
графа G, что
1° из двух последовательных ребер у. и v/+l непременно одно
сильное, а другое слабое;
2° цепь и.—простая, т. е. никакое ребро не встречается в р. более
одного раза.
Если существует чередующаяся цепь |л, соединяющая вершину а
с х. то последнее ребро этой цепи мы пометим стрелкой, напра-
вленной к х; таким образом, каждое ребро графа G может оказаться
ориентированным в обоих направлениях, или только в одном напра-
влении, или остаться неориентированным.
Если в вершину х заходит хотя бы одно ориентированное силь-
ное ребро, но не заходит ни одно ориентированное слабое ребро,
то вершину х назовем сильной; множество всех сильных вершин
графа G будем обозначать через Е.
Если в вершину х заходит хотя бы одно слабое ребро, но нс
заходят сильные ребра, то вершину х назовем слабой; множество
слабых вершин будем обозначать через Е.
Если в вершину х заходят как сильные, так и слабые ребра, то
навовем ее смешанной; множество смешанных вершин будем обо-
значать через М.
Наконец, если в вершину х вообще не заходит ни одно ориен-
тированное ребро, то ее назовем недостижимой; множество недо-
стижимых вершин будем обозначать через /.
Несколько по-иному мы распространяем эту терминологию на
вершину й, которую мы выделяем среди остальных как начало
ТЕОРИЯ ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ ЦЕПЕЙ
187
графа О: мы считаем вершину а слабой, если не существует чере-
дующейся цепи, идущей из а обратно в а, и смешанной в против-
ном случае.
Так как всякая вершина G является или слабой, или сильной,
или смешанной, или недостижимой, то Е J F J М J / — X; непосред-
ственно замечаем:
Теорема 1. Две сильные вершины могут быть соединены
только сильным ребром, две слабые вершины могут соединяться
только слабым ребром', смешанная вершина не может со-
единяться с недостижимой никаким ребром; сильная вершина
может соединяться с недостижимой только сильным ребром;
слабая и недостижимая вершины могут быть соединены только
слабым ребром.
Подытожим сказанное при помощи таблицы:
		Л	|	М	1
Е	сильное |	|			сильное
F	| слабое |			слабое
Al	| |			Х/
I	сильное	слабое |		
Подграф графа G, порожденный множеством вершин /И1), имеет
компоненты связности, которые мы обозначим через Л12,
будем говорить, что цепь и. заходит в по ребру [а, Ь], если р.
имеет вид
р. —[а,	л2, ak = a, bt=b, b2, .... bt],
где
a, a}, a2...
ьх, ь2, г>3, ..bt^Mv
Лемма 1. Пусть a^MA. x если некоторая чередую-
щаяся цепь р. [а, х] заходит в по ребру [a, Z»] и оканчивается
сильным (соответственно слабым) ребром, то существует также
чередующаяся цепь р/ [а, х], заходящая в М1 по ребру [а, д] и
оканчивающаяся слабым (соответственно сильным) ребром.
*) При этом предполагается М 4= 0. — Прим, перев.
188
ГЛ 1Я. ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
В самом деле, поскольку х — смешанная вершина, существует
чередующаяся цепь v [а, х], которая оканчивается слабым ребром.
Так как affcMj, х^М^ то в v [а, х] существуют ребра, у которых
одна из граничных точек принадлежит Л\Л1Р а другая принад-
лежит Л1р пусть [с, d\— последнее ребро этого типа.
Пусть, наконец, у— первая точка цепи р,, принадлежащая v [d, xj
(такая точка всегда существует). Если р, [£, у] и v [d, у] оканчиваются
ребрами одной и той же категории, то теорема доказана, так как
искомой чередующейся цепью будет
р/=р,[й, у] _|_у [у, х].
Поэтому можно предполагать, что это не так; но тогда [а, />] =
= [с, б/], потому что в противном случае цепь [л [а, у] -1-v [у, с]
была бы простой чередующейся цепью,
Ч значит точка с была бы смешанной и
принадлежала Л1Р Отсюда заключаем,
\ что цель
х-‘ является чередующейся и удовлетворяет
''с	поставленным условиям.
Рис. 18—1.	Лемма 2. Пусть a£Mv x£Afp
и [а, д] — ориентированное ребро, за-
ходящее в Л4Р тогда существует чередующаяся цепь р[а, х] из
а в х, заходящая в Мх по ребру [а, /;|.
В самом деле, пусть У— множество тех вершин из /Ир которые
достижимы с помощью чередующихся цепей, заходящих по [а, Ь],
и пусть Z— множество остальных вершин М1. Имеем У =У- 0 (ибо
Ь£У), и если бы Z=^0, то существовало бы ребро [у, 2], у кото-
рого у£К, z^Z. Покажем, что это приводит к противоречию.
В силу леммы 1 точка у достижима посредством двух чередую-
щихся цепей pq [а, у] и [а, у], заходящих в Л1, по ребру [а, £],
причем последние ребра этих цепей являются соответственно силь-
ным и слабым; но тогда точка z достижима посредством чере-
дующейся цепи, заходящей в Мг по [а, Ь], что невозможно, так
как z£Z.
Теорема Петерсен а—Г а л л а и ([6], [3]). Пусть —ком-
понента подграфа, порожденного смешанными точками', если
afMv то существует одно и только одно ребро, заходящее
в Afp Если же д£/ИР то не существует ребер, заходящих
в ЖР
ЧАСТИЧНЫЙ ГРАФ С ЗАДАННЫМИ СТЕПЕНЯМ
189
Г Если а /VIр го пусть и. — чередующаяся цепь, идущая из а
в /Ир и пусть Ъ—первая ее вершина, принадлежащая /Ир Чередую-
щаяся цепь Ji [a, ft] заходит в /И} по ребру [a, ft].
Пусть [с, d]— другое ребро, заходящее в /Ир В силу леммы 2,
точка d£/Hj достижима посредством чередующейся цепи, заходящей
по [a, ft], и в силу леммы 1 можно предполагать, что эта цепь окан-
чивается ребром не той категории, к которой принадлежит [с, d]\
но тогда точка с — смешанная, что невозможно, так как
Следовательно, [a, ft] — единственное ребро, заходящее в Мг
2° Случай а£М} можно свести к предыдущему, добавляя вер-
шины aQ и ft0, сильное ребро [а0, ft0] и слабое ребро [ft0, я]. Если
считать началом й0, вместо а, то ребро [ft0, а] окажется единствен-
ным заходящим в Л4р значит, у первоначального графа совсем
нет ребер, заходящих в /Иг
Ч. И Т. Д.
Эта теорема, в частности, показывает, что чередующаяся цепь,
которая пересекла М1 (и вышла из нее), не может вторично встретить
эту компоненту; ниже мы познакомимся с применениями этого свойства.
Нахождение частичного графа
с заданными степенями вершин
Пусть G = (X, U) — неориентированный граф, каждой вершине х
которого отнесено целое число /(х), не превосходящее степени dx(U);
поставим сейчас задачу о построении частичного графа (X, W), у ко-
торого степень вершины х была бы dx(W) = /(x). Говорят, что
множество ребер WcU совместимо с функцией /(х), если
rfJW)<f(x) (х£Х).
Для заданного множества W ребра из W будем считать силь-
ными, а остальные ребра (J — слабыми', задача сводится к нахо-
ждению множества сильных ребер, совместимого с функцией /(х)
и обладающего наибольшим числом элементов.
Эта новая задача имеет некоторую аналогию со следующей за-
дачей, уже рассмотренной в гл. 11: для заданного ориентирован-
ного графа найти частичный граф с наперед заданными полу-
степенями вершин. Однако на этот раз мы не станем применять
теорию наибольшего потока, а воспользуемся другим средством,
каким является теория чередующихся цепей.
Замечание. Задача, которой мы занимаемся, представляет собой
линейную программу. В самом деле, положим bi~f{x!) и обозна-
чим через (г*) матрицу инциденций для ребер. Ищутся такие целые
190
ГЛ 18 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
числа су, равные единице для сильных ребер и; и нулю для слабых
ребер, что
0 -< 'j < 1	(7^ 1, 2, . . . , /и);
(1 = 1,2......и);
т
?. принимает наибольшее значение.
Однако эта линейная программа требует решения в целых числах,
а единственное средство, которым мы располагаем,—алгорифм Гомори
(см. сноску в гл. 4) — едва лн можно считать удобным. Напротив,
необычайно простой „графический* алгорифм позволяет нам легко
находить решения.
Образуем мультиграф G (W), строя сперва G, добавляя затем
начало а и соединяя его с каждой ненасыщенной точкой х, т. е. с такой
вершиной х, для которой dx(W) < / (х); при этом а с х соединяем
сильными ребрами в количестве / (х)— dx (W) штук. Если построен-
ный мультиграф G (W) содержит чередующуюся цепь, идущую из а
обратно в а, то достаточно сделать слабые ребра этой цепи силь-
ными, а сильные—слабыми, чтобы получить новое совместимое мно-
жество, более многочисленное, чем предыдущее. Ниже мы увидим,
то совместимое множество W, которое нельзя более увеличить
таким способом, является наибольшим.
Лемма. Пусть — семейство совместимых множеств, для
которых не существует чередующихся цепей, идущих из а в а-,
если	a W'2— произвольное совместимое множество, та-
кое, что U/]CW'2. то WX = W2.
Действительно, в случае W2Z)=>W1 существовало бы ребро
[х, y]£W2\W1 и, очевидно, в G (W0 вершины х и у были бы не-
насыщенными, поэтому вершина а была бы достижима по чередую-
щейся цепи [а, х! -Их, у] -т [у. «Ь чт0 невозможно, так как W, £ И
(Отметим, что эго рассуждение сохраняет силу и при х = у.)
Теорема Бержа — Нормана—Рейбина. Совместимое
множество Wo является наибольшим тогда и только тогда,
когда не существует чередующейся цепи, идущей из а обратно
в а !).
') Приведенное здесь общее утверждение включает одновременно как тео-
рему Бержа [1], так и теорему Нормана — Рэнбина [5]; идея настоящего до-
казательства принадлежит РэЙбину.
ЧАСТИЧНЫЙ ГРАФ С ЗАДАННЫМИ СТЕПЕНЯМИ
191
Достаточно доказать, что если совместимое множество Wo при-
надлежит определенному выше семейству то это множество —
наибольшее. С эюй целью рассмотрим наибольшее совместимое мно-
жество WM и выберем его таким, чтобы число |W0\WM| было
как можно меньше; если |W0\ W^l = 0, то WocWоткуда, в силу
леммы, W0 = WAI. и наша цель достигнута, Поэтому предположим
| Wo \	> 0 и покажем, что это предположение приводит к про-
тиворечию.
1° Среди ребер графа G. инцидентных данной вершине х,
имеется не меньше принадлежащих \ Wo, чем принадлежа-
щих Wo \ WM. Действительно, в противном случае мы имели бы
rfx(W/M)<^(W0)<./(x),
Если и = [х, у] £ Wo \ WA1, то существует ребро v — [у, z] £ WA1 \ Wo
(иначе W4j U [х, у] было бы совместимым множеством, более много-
численным, чем W^); множество W = (WAI \ |v} ) U !u]—совмести-
мое, ибо
</x(W') = dJ(WJ1)+l </(х),
^(W') = dy(WJ,X/(y),
Поэтому оно является наибольшим совместимым множеством
(так как | W' | — | WjM|); но это невозможно, поскольку
|W0\W'|<|W0\WAI|.
2е Не существует простых циклов четной длины, ребра ко-
торых попеременно принадлежали бы Wo \ WM и WAi \ Wo, ибо
если р, — такой цикл, то множество Wz = (WAJ J р.) \ (WA1 Q р) со-
вместимо и в силу равенства |W/| = |WyW| является наибольшим
совместимым множеством, что невозможно, так как
|W0\ W'l < |w0\WA1|.
3° Пусть р, — (up u2, ..., uft) — самая длинная простая цепь,
ребра которой попеременно принадлежат Wo \ WjW и WA1 \ Wo,
и пусть х^ и хк — крайние точки этой цепи; допустим сначала, что
xk. Ввиду 1° оба крайних ребра и, и иА принадлежат W,w \ Wo,
откуда
dx, (Wo) < dXa (WM) < / (Хо),
192
ГЛ. 18. ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
Следовательно, в O(W0) есть чередующаяся цепь [a, xoj 4-
—|—p.[xQ,	й], идущая из а обратно в а, вопреки предпо-
ложению.
4’. В случае х0 = хл из 2° ясно, что крайние ребра р. не могут
принадлежать к разным категориям, значит оба они входят
в W^XWq1); следовательно,
dXt> (Wo) < dx (WaO - 2 < f (xo) — 2.
Поэтому существует не менее двух сильных ребер, соединяю-
щих а с xQ, н, значит, имеется чередующаяся цепь, идущая из а
обратно в а, вопреки предположению.
Ч. И Т. Д.
Алгорифм для нахождения наибольшего совместимого мно-
жества. Отнеся к числу сильных возможно больше ребер, строим
некоторое совместимое множество W; для построения наибольшего
совместимого множества выясняем, имеется ли в О (W) чередующаяся
цепь, идущая из а в а; процесс состоит в следующем: отправившись
из а, идем по чередующейся цепи как можно дальше, отмечая стрел-
кой каждый шаг этого путешествия. Когда его невозможно более
продолжать, возвращаемся (стирая стрелки) к ближайшему развет-
влению и выходим в новом направлении...
Пример 1. В тюрьме города N, план которой помещен ниже,
каждый часовой, обходя коридор [х, у], должен все время иметь в поле
ж. ________________ зрения две камеры х и у, располо-
Xх	женные в концах коридора; какое
/	наименьшее количество часовых не-
//	обходимо для того, чтобы каждая
\ /Г / s'	камера находилась под наблюде-
\ у' / X	нием?
\ I //	Если, следуя Норману, назвать
Nr	покрытием графа (A’’, U) такое мно-
рис 18____2.	жество ребер VczU, что каждая
вершина х£Х инцидентна хотя бы
одному ребру из V, то задача сведется к нахождению наименьшего
покрытия. Множество V является покрытием тогда и только тогда,
когда множество W = U \ V удовлетворяет условию
(W) < dx (U) — 1 (х G АГ).
Определяя указанным выше способом наибольшее множество W,
совместимое с этим неравенством, мы найдем наименьшее покрытие
1) В противном случае, как легко показать, мы вернулись бы к случаю
—/7/>иж. перев.
ЧАСТИЧНЫЙ ГРАФ С ЗАДАННЫМИ СТЕПЕНЯМИ
193
V—U\W; для графа, изображенного на рис. 18—2, наименьшее
покрытие содержит 5 ребер, т. с. достаточно пяти часовых.
Пример 2 (Рот [7] ). Задача о нахождении наименьшего покрытия
возникает еще, когда для какой-нибудь релейной системы или кон-
трольного устройства желательно составить наиболее простую экви-
валентную схему. Более конкре1но, рассмотрим электрическое реле,
управляемое тремя кнопками А, В и С,
причем положения реле описываются гремя
переменными еЛ. ев, гс: полагаем гА — 1,
когда кнопка А нажата, и ед = 0, когда
она не нажата, и т. д. Каждому вектору
8 = (зл, 5С) с координатами 0,1 (то
есть каждой вершине единичного куба
в трехмерном пространстве R3) поставим
в соответствие число
т(е) = ?(ел, sH. ес).
равное 1. если реле пропускает юк и	Рис. 18—3.
равное 0 R противном случае. Ищется
такая последовательно-параллельная схема с выключателями, упра-
вляемыми кнопками А, В и С, что
1Э схема эквивалентна данному реле, т. е. она проводит ток,
когда <р(ел, ъо, ес) = 1, и не проводит при с (еЛ, ес) = 0;
2° каждая ветвь содержит два выключателя;
3' число ветвей насколько возможно мало !).
Задача сводится к изучению графа О, образованного вершинами е,
для которых ^>(е)= 1, причем две такие точки соединены, когда они
') Эту задачу можно поставить в гораздо более общем виде в терминах
булевой алгебры; опа известна под именем „задачи Куайна11 (см. [7]).
13 К Борж
194
ГЛ 18 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
являются соседними вершинами единичного куба; ищется наименьшее
покрытие (ряс. 18—3), Допустим, что гок проходит при s —ООО.
010, Oil, 111, 101, 100; граф G обладает наименьшим покрытием
из ребер (.00), (1.1). (01.), откуда получается искомая схема
(рис. 18—4).
(Читатель может проверить, что в шести данных положениях ток
проходит, а в остальных не проходит.)
Совершенное паросочетание
Пусть О = (А’, U)—граф, в котором, как прежде, ребра делятся
на сильные и слабые, причем множество сильных ребер обозначается
через W. Говорят, что W есть паросочетание, если никакие два
сильных ребра не смежны.
Вершину х назовем ненасыщенной, если она не инцидентна ни-
какому сильному ребру; в случае, когда ненасыщенных вершин нет,
паросочетание называется совершенным. Первая задача, которую мы
можем поставить, состоит в выяснении, для каких графов наибольшее
паросочетание является совершенным.
Пример 1. Задача об урезанной шахматной доске. Из шахмат-
ной доски 8X8 удалены две противоположные угловые клетки,
как показано на рис. 18—5 (слева). Допустим, кроме того, что у нас
Максимапъное паросочетание
соответствующего графа
18—5.
есть 31 кость домино, каждая из которых может покрыть ровно две
клетки шахматной доски. Задача состоит в следующем; можно ли
покрыть 31 костыо все 62 клетки урезанной шахматной доски?
Эта задача сводится к нахождению наибольшего паросочетания
графа, вершинами которого служат клетки урезанной доскн, причем
соединены тс пары вершин, которые отвечают соседним (по гори-
СОВЕРШЕННОЕ ПАРОСОЧЕТАНИЕ
195
зоптали или по вертикали) клеткам (рис. 18—5 справа); легко видеть,
что это паросочетание не является совершенным, поэтому покрыть
урезанную лоску невозможно. То же можно доказать простым и
изяшным рассуждением, вовсе не пользуясь теорией паросочетаний:
окрасим клетки попеременно в белый и черный цвета (как у обыч-
ной шахматной доски) и заметим, что обе удаленные клетки имеют
одинаковый цвет; каждая кость домино необходимо покрывает одну
белую и одну черную клетку, поэтому 31 кость вместе должна по-
крыть 31 белую и 31 черную клетки, что противоречит нашему за-
мечанию.
Пример 2. Известную задачу, названную Люка (Е. Lucas) „про-
гулкой молодых девушек", можно сформулировать так: если известны
взаимные симпатии воспитанниц женского коллежа, то как органи-
зовать прогулку парами, чтобы каждая пара состояла из симпати-
зирующих друг другу девушек? В каких случаях задача разрешима?
Если А’={х1, х2, .... х„} обозначает воспитанниц, a [xr U
тогда, когда девушки х, и х, испытывают взаимную симпатию, то
задача сводится к выяснению вопроса о том, существует лн у графа
(X, U) совершенное паросочетание.
Пусть G—данный граф, W — наибольшее паросочетание, обра-
зованное сильными ребрами; определим, как в предыдущих парагра-
фах, граф G (W), добавляя к G точку а и соединяя ее сильными
ребрами со всеми ненасыщенными вершинами G.
Как прежде, если существует чередующаяся цепь, идущая из а
в данную вершину х, то на последнем ребре этой цепи рисуем
стрелку, направленную к х. Вершину х, которая служит концом
некоторого ориентированного сильного ребра, но не является кон-
цом никакого ориентированного слабого ребра, называем сильной
и пишем х(~£; если х является концом ориентированного слабого
ребра, но не является концом ориентированного сильного ребра, то
называем х слабой и пишем х^Р', если х служит концом как ориен-
тированного сильного ребра, так и ориентированного слабого ребра,
то называем х смешанной и пишем х£М\ наконец, вершину х, не
являющуюся концом никакого ориентированного ребра, называем
недостижимой и пишем х£1. Таким образом, всякая ненасыщенная
точка будет сильной или смешанной. В G (W) точку а следует рас-
сматривать как слабую вершину: в самом деле, если W — наиболь-
шее паросочетание, то из теоремы Бержа — Нормана—Рэйбина
следует, что вершину а нельзя считать смешанной.
Теорема 2. Паросочетание графа G является наибольшим
тогда и только тогда, когда не существует чередующейся цепи,
соединяющей две различные ненасыщенные вершины.
13*
196
ГЛ 18 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
Это сразу следует из теоремы Бержа—Нормана — Рэйбина; ука-
занное выше условие выражает, что в графе O(W) нет чередую-
щихся цепей, идущих из а обратно в а.
Теорема 3. Пусть W—наибольшее паросочетание, —ком-
понента подграфа, порожденного смешанными точками. 1° В графе
G(W) имеется сильное ребро, заходящее в АГ {и только заходя-
щее)', 2rj все остальные ребра, инцидентные А1Р—слабые и ис-
ходят из Alj (и только исходят).
Г Так как а—слабая вершина, то а Alj и, в силу теоремы Петер-
сена—Галлаи, существует одно и только одно ребро, заходящее в Afp
скажем х0), где с (£ А1Р x0£AfP
Допустим, что [с, х0] — слабое ребро; так как х^— смешанная
вершина, то существует чередующаяся цель р, идущая из а в xQ и
оканчивающаяся сильным ребром; эта цепь р необходимо содержит
ребро [с, х0] (единственный вход в Л41), за которым следует неко-
торое сильное ребро, инцидентное х0, причем оканчивается а другим
сильным ребром, инцидентным х0. Но эго невозможно, поскольку
не существует более одного сильного ребра, инцидентного х0. Зна-
чит, ребро [с, х0] должно быть сильным.
2° Пусть [у, Ь\—другое ребро, инцидентное А1{ и такое, что
у£А1р #(?Afp в силу теоремы Петерсена — Галлаи, оно необходимо
является ориентированным и исходит из А1р Далее, это исходящее
ребро не может быть сильным, ибо иначе вершина у, будучи сме-
шанной, достигалась бы по чередующейся цепи, оканчивающейся
сильным ребром.
Следствие 1. Если W — наибольшее паросочетание, а М} —
компонента подграфа, порожденного множеством М смешанных
вершин, то (А^^З и | AI, | нечетно.
В самом деле, пусть [с, х0]—сильное ребро, инцидентное А1р
где х^Л^. Имеем | Alj 3: иначе вершина не была бы до-
стижима по чередующейся цепи, оканчивающейся слабым ребром.
Так как Aft состоит из точки х0 и таких пар, в которых обе точки
соединены сильным ребром, то число | Afj | нечетно.
Следствие 2. Если W — наибольшее паросочетание, то
каждая вершина, которая смежна с некоторой смешанной точ-
кой, но сама не является смешанной, необходимо есть слабая
вершина.
Действительно, если [с, хД— сильное ребро, инцидентное ком-
поненте /Ир причем с^А1р х0£/ИР то, очевидно, с (£/, с^Е, с £ М,
значит с £ Е.
СОВЕРШЕННОЕ ПАРОСОЧЕТАНИЕ
197
Точно так же если [х, yj— слабое ребро, инцидентное Л4Р при-
чем х^/Ир у£/Ир то х£/, х^Е, х £ Л1 и, следовательно, x£F.
Следствие 3. Если W — наибольшее паросочетание, то
всякая вершина, смежная с сильной вершиной, является слабой.
Если е^Е и если [х, г]—сильное ребро, то х£/ (как гранич-
ная точка ориентированною ребра), х(£Е (иначе вершина е была бы
смешанной), х £ М (в силу следствия 2), поэтом}' x£F.
Если же [х, е]—слабое ребро, то х(£/. х^Е, х£М (в силу
следствия 2), значит x£F.
Теорема 4. Пусть W - наибольшее паросочетание, а 1} —
компонента подграфа, порожденного недостижимыми точками.
Тогда все ребра, инцидентные /р — слабые и неориентированные-,
всякая точка с^/1, смежная с некоторой точкой из /р является
слабой вершиной-, [/J четно и [/J^-2.
1° Если [с, х]—ребро, инцидентное /р причем х£/р то cf£M,
с(^/, с^Е (ввиду следствия 3), поэтому c£F и ребро [с, х]—слабое.
2° Ц не содержит ни а, ни ненасыщенных точек, значит это мно-
жество образовано парами, в которых обе вершины соединены силь-
ным ребром; поэтому число |Д| четно и не меньше 2.
Теорема 5 (Татт [8] в общем виде, Берж [2]). Пусть даны
связный граф G ={Х. U) и некоторое множество S его вершин-,
обозначим через pt{S) число компонент нечетного порядка у под-
графа, порожденного множеством X\S‘, тогда количество не-
насыщенных вершин при наибольшем паросочетании графа G
равно
£ = max	|S|],
sex
1° Рассмотрим множество SczA’, и пусть Ср С2, Ср — ком-
поненты нечетного порядка у подграфа, порожденного множеством
Если компонента Ck не содержит ненасыщенных вершин, то
(так как |Cft| нечетно) существует сильное ребро, один конец
которого находится в Ck, а другой — в некоторой точке
двум различным компонентам Ck соответствуют две разные вер-
шины sk-, поэтому, обозначая через nQ число ненасыщенных вершин,
будем иметь pt (5)— п!} (числу компонент Ск, не содержащих
ненасыщенных точек) |5|. Отсюда
/’<($) —	(5<=ЛЛ).
2Э Покажем, что для надлежащим образом выбранного мно-
жества 5 имеет место равенство р{ (5) — |3>| = «0. Тем самым тео-
рема будет доказана.
198
ГЛ 18 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
Пусть W — наибольшее паросочетание, F — множество слабых
вершин графа G. В силу теоремы 3 и следствий 1, 2, 3
р. (5) — (числу компонент Л1/)Ц-|£'|.
Далее, сильные ребра графа G устанавливают взаимно-однознач-
ное соответствие между множеством F, с одной стороны, и множе-
ством компонент Мр не содержащих ненасыщенных точек, и мно-
жеством насыщенных сильных точек — с другой; поэтому
| 51== (числу компонент	—nQ.
Отсюда
«О = Pl (^) — I FI-
Следствие 1. Число ребер наибольшего паросочетания
в точности равно
4 («-9.
где
Е = max [pi (S) — ISЦ.
sex
(Непосредственно).
Следствие 2 (теорема Татта). Для того чтобы граф допу-
скал совершенное паросочетание, необходимо и достаточно,
чтобы
Pl(S)^\S\	(5<=Х)
(Непосредственно.)
Пусть А—целое неотрицательное число; граф называется одно-
родным графом степени А, если каждая его вершина имеет сте-
пень А; в случае когда G — однородный граф, получаем гораздо
более простые предложения.
Теорема 6. Если связный однородный граф степени h не
содержит такого множества SczczX, что jU5 < h—1, то
существует совершенное паросочетание {).
Действительно, пусть S — подмножество X (в строгом смысле),
и пусть компонента С1 подграфа, порожденного множеством А"\5,
обладает нечетным числом элементов. Согласно предположению,
[lie, | >• А— 1; но не может быть | Uc, I = А— 1, так как в против-
ном случае число ребер в было бы
-g-[А ] С, | — (й — 1)] = 1[Й(|С1|- 1)т- 11.
') Через 11$ обозначается множество ребер, инцидентных S, у каждого
из которых одна граничная точка не принадлежит S. — Прим, ред.
СОВЕРШЕННОЕ ПАРОСОЧЕТАНИЕ
199
т. е., поскольку |CJ нечетно, оно не было бы целым числом. Следо-
ва1бльно,	откуда
Ч 5| > I Us |> 2 I UCi I >hPl(S).
Таким образом, р. (5)<^|5| для всех SczcZzV; это неравенство
имеет место и при S~ X. следовательно, в силу теоремы Татта,
граф допускает совершенное паросочетание.
Лемма [Эррера (А. Еггега)]. Если однородный граф нечетной
степени h — 2k-}-\ не содержит множеств Sc.c.X. для кото-
рых |US| < 2k, и если W — наибольшее паросочетание, образо-
ванное сильными ребрами, то каждое ребро и0 принадлежит не-
которому простому циклу, состоящему попеременно аз сильных
и слабых ребер,
Вследствие теоремы 6 паросочетание W — совершенное; доста-
точно показать, что каждое слабое ребро принадлежит чередую-
щемуся цикл)7 (так как тогда сильное ребро будет принадлежать
тому циклу; па котором лежит смежное с ним слабое ребро),
Допустим, что слабое ребро ц0 не принадлежит никакому чере-
дующемуся циклу; если стянуть и0 в точку а, то в полученном
графе G не будет чередующихся цепей, идущих из а обратно в а,
и вершина а будет поэтому слабой.
Далее, в силу теоремы 3, для компоненты Л1- подграфа, порож-
денного смешанными точками, имеются одно заходящее в нее силь-
ное ребро и исходящие из нее слабые ребра, причем число послед-
них четно (ибо после удаления сильных ребер каждая компонента
связности нового графа будет обладать эйлеровым циклом); так как,
согласно предположению, | U-и, | >. 2k. то можно также утверждать,
что имеется по крайней мере 2k слабых ребер, исходящих из Л1Р
Если каждую компоненту /И, стянуть в сильную вершину, то
полученный граф уже не будет содержать ребер, ориентированных
в двух направлениях; количество слабых ребер, исходящих из силь-
ной вершины, будет 2k, а количество слабых ребер, заходящих
в слабую вершину, будет .«^ 2k, Подсчитывая теперь число сильных
ориентированных ребер полученного графа G в зависимости от
числа [fl его сильных вершин, а затем от числа | Е | его слабых
вершин, найдем
| F | -ф-1 = (числу ориентированных сильных ребер) — ] Е\.
Поступая точно так же с ориентированными слабыми ребрами,
получим
2fc(| F\— 1)?;> (числу ориентированных слабых ребер)?,> 2fc|£j.
Итак'	И + 1 = |£|.
Но эти два неравенства несовместимы, поэтому лемма доказана.
200
ГЛ. 1Я ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
Теорема 7. Если связный однородный граф нечетной сте-
пени h = !2k -|- 1 не обладает множеством	для которого
jU5| < 2k, то существует совершенное паросочетание, содержа-
щее произвольное наперед заданное ребро ис.
Действительно, в силу теоремы 6, существует совершенное паро-
сочетание W; если ребро и0—сильное, го теорема доказана. Если
и0 — слабое, то рассмотрим чередующийся цикл JJI, проходящий че-
рез и0; наличие такого цикла обеспечивается предыдущей леммой.
Заменив сильные, ребра цикла jx слабыми, а слабые сильными,
получим новое совершенное паросочетание, содержащее и0.
Ч. И Т. Д.
Приложение к числу внутренней устойчивости
Теории паросочетания дает нам алгорифм для построения внут-
ренне устойчивого множества 5 с наибольшим числом элементов
для краткости вместо „внутренне устойчивое* будем здесь говорить
просто „устойчивое*.
Лемма 1. Пусть G — граф, W — наибольшее паросочетание',
если граф (J не имеет других вершин, кроме сильных и слабых,
то сильные вершины составляют его наибольшее устойчивое
множество.
Рассмотрим множество Е сильных вершин (оно содержит нена-
сыщенные вершины) и множество F слабых вершин. Множество
СсХ служит опорой графа G, если каждое ребро имеет по край-
ней мере одну граничную точку в С; дополнение опоры есть устой-
чивое множество, и наоборот. Если W—некоторое паросочетание,
С — некоторая опора, то всегда
Поэтому, если данное паросочетание W и данная опора С удо-
влетворяют условию |W| = [С|, то паросочетание — наибольшее,
а опора — наименьшая. Так как в G две сильные вершины не могут
быть смежны (следствие 3), то множество F служит опорой. Раз
W — наибольшее паросочетание, то всякая точка из F является гра-
ничной для некоторого сильного ребра, идущего в Д; значит |Д । — | W|
и F—наименьшая опора.
Следовательно, дополнение Е = X \ F представляет собой наи-
большее устойчивое множество.
Лемма 2. Пусть W — наибольшее паросочетание графа G,
при котором нет. других вершин, кроме сильных и слабых',
в графе G', полученном из G удалением сильной вершины е вместе
’) Для нахождения числа внутренней устойчивости и других связанных
с ним характеристик графа существует еще рекуррентный способ (си. [9]).—
Прим, перев.
ЧИСЛО ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
201
с инцидентными, ей ребрами, множество Е\{^) является наи-
большим устойчивым множеством.
В самом деле. F служит опорой подграфа О', полученного уда-
лением сильной вершины е; покажем, что это—• наименьшая опора
(тем самым будет доказано, что Е\	является наиболь-
шим устойчивым множеством гра-
фа О').
Допустим сперва, что точка е— на-
сыщенная, и пусть [е, /] — сильное
ребро, инцидентное е; тогда W \ [е, /]
представляет собой паросочетание О',
но уже не наибольшее, ввиду теоремы 2,
так как имеется чередующаяся цепь,
идущая из начала а в ненасыщенную
точку /. Поэтому наибольшее паро-
сочетание W' графа О' удовлетворяет
условию iW'f — |W|.
(Если точка е — ненасыщенная, то
W—наибольшее паросочетание и снова	рис |g—6
|W'| = |W|).
Так как для паросочетания Wz и опоры F имеет место равенство
|W'| = |Е|, то F — наименьшая опора графа О'.
ч.и т.д.
Лемма 3. Пусть граф О' получен из О добавлением новых
ребер; тогда числа внутренней устойчивости этих графов
удовлетворяют условию а (О') а (О).
В самом деле, пусть S — семейство устойчивых множеств гра-
фа О, а §)' — аналогичное семейство для О'. Так как то
а (О') = max |5| дС шах |5| — а (О).
Теорема 8 (Берж [1]). Пусть S(Д) обозначает наибольшее
устойчивое множество подграфа, порожденного множеством ДсА’’;
для наибольшего паросочетания W обозначим через /Ир Л42, • • •
компоненты подграфа, порожденного смешанными вершинами,
а через /р /2, ...—компоненты, подграфа, порожденного недо-
стижимыми вершинами, и положим
5 = ^0 5(^)0 5(412)0 U 5(/L) 0 5 (/2) и ....
Если имеется не более одной компоненты подграфа, поро-
жденного смешанными вершинами, то 5 — наибольшее устойчи-
вое множество графа G = (X, U).
В самом деле, каждая вершина, смежная с сильной вершиной,
является слабой (следствие 3), как и любая вершина, смежная с воз-
можной компонентой .4Д (следствие 2), и как всякая вершина, смеж-
ная с компонентой (теорема 4); поэтому 5 — устойчивое множество.
202
ГЛ 18 ПАРОСОЧЕТАНИЕ 11РОИЗНОЛ1 НОГО ГРАФА
Далее, если удалить все ребра, соединяющие слабую вершину
со смешанной или с недостижимой, то граф G распадается на ком-
поненты E{jF, Л1р /р /2......
связкою графа. Восстанавливая
Е представляет собой наибольшее устойчивое множество компо-
ненты E\jE, потому что если из G удалить все Ik и стянуть ком-
поненту в одну точку е}, то новый граф не будет иметь других
точек, кроме слабых и сильных, и можно применить лемму 2. Та-
ким образом, 5 является наибольшим устойчивым множеством не-
теперь ребра, удаленные при преоб-
разовании графа G, мы не увели-
чим числа внутренней устойчивости
(лемма 3); но так как 5 остается
устойчивым и в G, то оно — наи-
большее устойчивое множество.
Замечание 1. Это утверждение
сохраняет силу и при наличии не-
скольких компонент подграфа, по-
рожденного смешанными точками,
если только никакая компонента Mj
не достижима по такой чередую-
щейся цепи, которая предварительно
уже пересекла некоторую компо-
ненту /ЙА. В случае когда суще-
ствует чередующаяся цепь р,, поки-
дающая до вступления в Л1у,
надо посмотреть, может ли увеличиться устойчивое множество 6’ от
замены сильных точек pt слабыми.
Например, в графе, изображенном на рис. 18 — 7, между компо-
нентами /Wj и М<2 имеется слабая точка, и, очевидно, можно путем
добавления ее к $ образовать большее устойчивое множество (вер-
шины которого на рис 18 — 7 обведены кружками).
Замечание 2. Для определения наибольшего устойчивого мно-
жества в компоненте Mj или Ik можно также с пользой применить
теорему 8 и предшествующие леммы. Достаточно добавить ненасыщен-
ную точку, целесообразно соединив ее, или разбить подходящим
образом выбранное слабое ребро, как видно из следующего примера.
ЧИСЛО ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
203
Пример. Рассмотрим граф О, изображенный на рис. 18 — 8, с наи-
большим паросочетаиием W. Замечаем, что этот граф не имеет
ненасыщенных точек, поэтому все его вершины недостижимы. Тем
не меиее добавим точку е и ребро [е, а] и положим F = Xu(^|.
Подграф, порожденный множеством К\Л1Р не имеет других
точек, кроме сильных и слабых, значит вершина е вместе с тремя
вершинами „Ва образует наибольшее устойчивое множество. В силу
леммы 2 подграф, порожденный множеством X\AfP имеет в ка-
честве наибольшего устойчивого множества три вершины „Еи-, по-
этому граф, состоящий из двух не связанных между собой компо-
нент zY’X.Vlj и Afj, имеет четыре обведенные вершины в качестве
наибольшего устойчивого множества. В силу леммы 3 эти же вер-
шины образуют наибольшее устойчивое множество графа G.
ГЛАВА 19
Фактороиды
Гамильтоновы циклы и фактороиды
В конечном графе G гамильтонова, цепь —это цепь, проходящая
через каждую его вершину один и только один раз; гамильтонов
цикл — это цикл, проходящий через каждую вершину (за исключе-
нием начальной вершины, которая совпадает с конечной), один и
только один раз.
Заметим, что если каждое ребро графа ориентировать в двух
направлениях, превратив тем самым G в симметрический граф, то
каждая гамильтонова цепь будет определять гамильтонов путь, и
наоборот, а каждый гамильтонов цикл
определит гамильтонов контур, и наоборот,
у—-- , -Задача нахождения гамильтоновой цепи
\	/ \	или гамильтонова цикла была изучена ра-
>1	1|	нее (] л. 11), и мы можем к ней не возвра-
/	\ /	щаться. Напротив, мы сталкиваемся с по-
/	\у	вой задачей, когда ищем в графе G (X. U)
некоторый фактороид, т. е. частичный
Рис. 19—1.	граф (А”, V), все вершины которого имеют
степень 2 (и который, следовательно, со-
стоит из одного или нескольких иепересекающихся циклов). Сим-
метрический граф, имеющий факторы, может в то же время,
не обладать фактороидами-, чтобы в этом убедиться, достаточно
рассмотреть граф, изображенный на рис. 19—1; дуги, проведенные
жирными линиями, образуют фактор, а фактороидов у графа нет.
Поиски фактороида ведутся, как указано в гл. 18, посредством рас-
смотрения чередующихся цепей из сильных и слабых ребер между двумя
ненасыщенными вершинами; мы ограничимся установлением простых
критериев для непосредственного выяснения существуют ли факто-
роиды. Займемся также определением наибольшего числа фактороидов
без общих ребер, которые можно выявить в заданном графе. Сначала
ограничимся однородными графами степени h.
Пример 1 [Киркман (Kirkman)]. Одиннадцать министров ежедневно
садятся за круглый стол; как их рассаживать, если желательно,
чтобы каждый из них имел на каждом совещании новых соседей?
Сколько дней может это продолжаться?
ГАМИЛЬТОНОВЫ циклы и фактороидьт
205
Задача сводится к отысканию наибольшего числа гамилыоновых
циклов без общих ребер в полном графе с одиннадцатью вершинами
й, Ь, с.i, j\ k. В данном случае, как легко видеть, суще-
ствует только пять циклов без общих ребер, например
а b с d е / g fi I j k a,
acebgdlfkh j a,
a e g с I b k d j f h a,
a g I e k c j b h d fa,
a i k g j e h c f b d a .
Эти циклы получаются вращением линии, проведенной на рис. 19—2,
в направлении стрелок. В более общем случае 2я -j- 1 вершин можно
найти п гамильтоновых циклов без общих ребер.
Пример 2 [Люка (Е. Lucas)]. Шесть юношей a, b. с, d, е. f
и шесть девушек a, b, с, d. е, f водят хоровод, взявшись за руки.
Сколькими способами могут они
девушек только один раз и не хочет ни разу оказаться рядом
с другим юношей?
Задача сводится к нахождению наибольшего числа гамильтоновых
циклов без обшнх ребер у некоторого бихромат ического графа
с двенадцатью вершинами. Имеется три цикла без общих ребер:
aabbeeddeef fa,
aebdeedfea f b a,
aebfead beef da.
Эти циклы получаются вращением линии, проведенной на рис. 19 — 3,
вместе с буквами внешней окружности; теория покажет нам, что
ни гамильтоновых циклов без общих ребер, ни фактороидов без
общих ребер больше найти нельзя.
206
ГЛ. 19. ФЛКТОРОИДЫ
Пример 3 (Гильберт). Рассмотрим натуральные числа р^, где
i < п, j ^п, I < j, и образуем функцию п комплексных переменных:
f(zv z2......z„)= Ц (г, - z/w.
i < J < л
В теории инвариантов Гильберту понадобилось разложить f
в произведение примитивных сомножителей, каждый из которых
можно представить в виде
(г, - гг,)(г2 —г,-,) ...	—ггД
где (jp iQ, .... in)— некоторая перестановка чисел (1, 2......п).
Чтобы выяснить, возможно ли такое разложение, образуем муль-
тиграф Gen вершинами х2, .... хп, соединяя вершины
xt и Xj (где Z < у) ребрами в количестве рц штук; задача сводится
теперь к разложению G на фактороиды без обших ребер.
Теорема 1 [Петерсен (J. Petersen)]. Однородный граф четной
степени h = 2k всегда можно разложить на k фактороидов без
общих ребер.
Действительно, мы можем считать граф связным (в противном
случае нужно было бы рассмотреть каждую компоненту отдельно);
в силу теоремы 1 (гл. 17), граф обладает эйлеровым циклом. Ориен-
тируя каждое ребро в направлении обхода, мы получим псевдосим-
мстричсский граф G', у которого полустспени исхода и захода каждой
вершины равны k. В силу следствия из теоремы 2 (гл. 11), G' можно
разложить на k факторов, которые и будут фактороидами первона-
чального графа.
Теорема 2 [Бэблер (ВаеЫег)]. Однородный граф нечетной
степени n = 2k~\~\ содержит k фактороидов без общих ребер,
если
min I Ue| > 2k.
s^x
Это условие достаточно, но не необходимо1).
В самом деле, в этом случае граф допускает полное паросоче-
тапие (теорема 6, гл. 18). Ребра, не участвующие в паросочетании,
образуют однородный частичный граф степени 2k, который, в силу
теоремы 1, может быть разложен на k фактороидов без общих
ребер.
Ч. И Т. Д.
1) Обобщая этот результат, Бэблер доказал [1]: однородный граф не-
четной степени h — 2k 4- 1 содержит q фактороидов без общих ребер
(где q k), если
min ILLI >2q.
ГАМИЛЬТОНОВЫ никлы и фактороиды
207
Пример. Сколькими способами 2k-\-2 детей могут составить один
или несколько хороводов так, чтобы никакие дети не были соседями
более одного раза? Эта задача сводится к отысканию количества
фактороидов без общих ребер у полного однородного графа сте-
пени —|— 1. Так как в данном случае |1 ^>2k, то имеется k воз-
можных способов.
Нас в особенности будут интересовать фактороиды однородных
графов степени 3 (ввиду той исключительной роли, которую они
играют в „задаче о четырех красках4'). Прежде всего заметим, что
однородный граф G степени 3 без петель является 4-хроматическим,
потому что, будучи симметрическим графом, G допускает функцию
Гранди g(x), причем
max g (х)	max |Гх | =3.
Теорема 4 (гл. 4) показывает тогда, что его хроматическое
число 7 (G)	3 -j- 1 — 4.
А что можно сказать о его хроматическом классе? Ответ суще-
ственно зависит от наличия фактороида. Всякий раз, когда G имеет
фактороид V, он допускает также совершенное паросочетание
W = U \ V (и наоборот); будем считать ребра V слабыми, а ребра
W— сильными. Назовем перешейком связного графа всякое такое
ребро, удаление которого приводит к появлению двух компонент
(каждая из которых содержит хотя бы одно ребро). Имеет место
Теорема 3. Рассмотрим однородный граф G степени 3 без
перешейков', Г его ребра можно распределить по фактороиду V
и совершенному паросочетанию W; 2° через каждое ребро и0
проходит некоторый чередующийся цикл четной длины {ребра
которого принадлежат попеременно V и W).
Первое утверждение сразу следует из теоремы 2, второе — из
леммы Эррера (гл. 18).
Прямое доказательство утверждения 2° (для памяти).
Рассмотрим сначала слабое ребро u0 = [x0, y0}£V и построим,
отправляясь от G, новый граф G, поместив в середину ребра [%0, у01
новую вершину а0 и соединив ее сильным ребром с началом а. Если
ориентировать ребра в направлении чередующихся цепей, исходящих
из а, то около точки а0 граф G будет иметь вид, показанный на
рис. 19 — 4 (так как, по предположению, и0 ие входит ни в какой
четный чередующийся цикл). Каждая вершина графа G принадлежит
к одному из 7 типов, изображенных на рис. 19 — 4; обозначим
через пк число вершин типа k. В силу теоремы 3 (гл. 18) п7 равно
числу компонент М? смешанных точек; ввиду отсутствия перешейков
каждая компонента М, имеет хотя бы одни выход. Число слабых
ребер, инцидентных Л1у, четно (потому что, войдя по какому-нибудь
из этих слабых ребер и не проходя других ребер, кроме еще ие
208
ГЛ 19. ФАКТОРОИДЫ
пройденных слабых, мы наверняка „выскочим" из Л1-). Поэтому
число д7 компонент удовлетворяет условию
(О	2л7<«5.
Сосчитаем число слабых ребер G. ориентированных только в одном
направлении:
(2)	/п,4-2д3 = 2л4-+“Л-,-г2-
Сосчитаем число сильных ребер G, ориентированных только
в одном направлении:
(3)	5	= 1 4~ пА п7.
Если к (1) прибавить (2), умноженное на —1, и (3), умноженное
на 2, то получим п2 —2, что невозможно.
Рис. 19—4.
25 Сильное ребро uz необходимо принадлежит некоторому чере-
дующемуся циклу, ибо ввиду 1° через ребро, смежное с ut, проходит
чередующийся цикл (содержащий ребро Uj).
Следствие. Если G— однородный граф степени 3 и без
перешейков, то: 1° существует совершенное паросочетание,
содержащее произвольно выбранное ребро; 2° существует факто-
роид, содержащий два произвольно выбранных ребра.
1° Если и0 — слабое ребро при некотором паросочетании W. то
рассмотрим чередующийся цикл и, проходящий через и0; тогда
W'=(W \ р.) (J (р \ W) представляет собой совершенное паросоче-
тание, содержащее ребро и0.
2° Рассмотрим два произвольно заданных ребра ut и и2 и пре-
вратим граф G в G', добавляя вершину а} в середине u]t вершину а2
в середине и2 и соединяя а{ с а.2 ребром и0. Тогда G' — однород-
ный граф степени 3, без перешейков, поэтому ои обладает совер-
ГАМИЛЬТОНОВЫ циклы И ФАКТОРОИДЫ
209
шейным паросочетанием, содержащим и0. Слабые ребра образуют
тогда фактороид, содержащий U] и и2.
Теорема 4 (Петерсен — Эррера). Если в однородном графе G
степени 3 все перешейки расположены на одной и той же эле-
ментарной цепи, то существует фактороид.
Действительно, при удалении всех перешейков граф О распадается
иа непересекаюшиеся компоненты С, D и т. д; каждое из множеств
Uc, UD, . . . сосюит из одною пли двух перешейков G.
Допустим, что Uc состоит из двух перешейков v и w, и рас-
смотрим подграф, порожденный множеством С; оба ребра этого
подграфа, смежные с v, соединим в одно, удалив при этом их
общую вершину; то же проделаем с двумя ребрами, смежными с w.
Новый граф будет однородным степени 3, н в силу предыдущего
следствия можно построить его фактороид, содержащий составные
ребра1). Таким способом мы образуем фактороиды всех компонент
С, D, ... и получим фактороид графа G.
Теорема 5. Однородный граф степени 3 относится, к хро-
матическому классу < 5; этот класс 4, если не существует
перешейков или если все перешейки принадлежат одной и той
же элементарной цепи; он <_3, если существует гамильтонов
цикл.
В самом деле, рассмотрим однородный граф G степени 3 и на-
ибольшее паросочетание. ребра которого окрасим в первый цвет.
Если имеются ненасыщенные точки, по для каждой такой точки вы-
берем некоторое инцидентное ей ребро и окрасим выбранные ребра
во второй цвет. После этого останутся неокрашенными только ребра
непересекаюшихся элементарных путей и циклов, для окраски кото-
рых, очевидно, достаточно трех цветов.
Если все перешейки лежат на одной элементарной цепи, то,
в силу предыдущего результата, не существует ненасыщенных точек,
поэтому достаточно 4 цветов.
Если имеется гамильтонов цикл, то оп обладает четной длиной
(потому что число ребер равно Зя/2, и поэтому число вершин и
необходимо четно); таким образом, двух цветов достаточно для
окраски ребер гамильтонова цикла, а трех — для окраски всех ребер
графа.
’) При соединении двух ребер в одно граф переходит, вообще говоря,
в мультиграф (см. рисунок). Однако все утверждения, на которые опирается
доказательство теоремы 4, справедливы и для мультиграфов. — Прим, перев.
4 ~
14 К. БРРЖ
210
ГЛ 19. ФАКТОРОИДЫ
Следует отметить, что произвольный однородный граф степени 3,
даже если он ие содержит перешейков, не всегда обладает гамиль-
тоновым циклом: см., например, граф, изображенный на рнс. 19 — 5
(который относится к хроматическому классу 3).
Следствие. [Смит (С.Л.В. Smith)]. В однородном графе
степени 3 число гамильтоновых циклов, начинающихся произ-
вольно выбранным ребром, четно.
Если гамильтоновых циклов нет, то теорема доказана; если
гамильтоновы циклы есть, то граф относится к хроматическому
классу 3 и не имеет перешейков.
е Будем рассматривать, с одной сто-
роны, множество всевозможных раскра-
сок тс (т. е. разбиений .множества ребер U
на три множества несмежных ребер) н,
с другой стороны, множество факторои-
дов р,, не имеющих циклов нечетной длины.
Всякой раскраске тс соответствуют три
фактороида u-j (тс), р-о(тс) и р3 (~), окра-
шенных каждый двумя цветами, причем
(1) Р-1 (я) + Р-2 W + ь (тс)s 0 (mod 2).
Наоборот, всякому фактороиду р,, имсю-
Р и с. 19—5.	щему элементарных циклов четной
длины без общих ребер, можно отнести
ровно 2 и различных раскрасок тс. Суммируя сравнения (1) по всем
раскраскам тс, получим
2 2^ г = 0 (mod 2).
р-
Следовательно,
2 р-== О (mod 2),
‘7^=1
откуда и вытекает доказываемый результат.
Необходимое и достаточное условие существования
фактороида
В предыдущем параграфе мы установили простые достаточные
условия существования фактороида; теперь будем искать более силь-
ные условия.
Пусть G — граф, в котором требуется найти факгороид, a G —
граф, полученный из G следующим образом: каждую вершину х
из G, для которой, например, = {up u2, .... иЛ}, заменяем двумя
УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ФАКТОРОИД*
211
множествами соответственно из k и k — 2 элементов:
Л(х) = ;х1, х2, ....
^(*) = (У1- у2....
каждую вершину xt соединяем ребром с каждой вершиной у,,
а каждому ребру и, = [х, х'] ставим в соответствие _ребро и,,
соединяющее х, £ Х\х) с некоторой вершиной х' £ Х(х') (см.
рис. 19 — 6).
Исключим случай, когда G имеет вершину степени 1, так как
в этом случае, очевидно, фактороидов не существует; исключим
также случай, когда G имеет вершины степени 2, так как все такие
вершины можно удалить (соединяя при этом соответственные пары
смежных ребер в одно ребро). Иначе говоря, мы будем считать,
что для любой вершины х£Х
|Г(Л7)|	0.
Тогда каждое совершенное паросочетание графа G определяет
некоторый фактороид в О и, наоборот, каждый фактороид графа G
определяет некоторое совершенное паросочетание в G. Мы прихо-
дим к известной задаче: охарактеризовать графы G, допускающие
совершенное паросочетание.
Лемма. Обозначим через X множество вершин графа О
и через Pi(S) число компонент нечетного порядка у подграфа,
14*
212
ГЛ, 19. ФАКТОРОИДЫ
порожденного множеством X\S-, тогда существует множе-
ство S, удовлетворяющее условиям
(0)	|SI = тах_ОД£) — |£|),
£' CZ А'
(1)	ВДп^0^ВДс5,
(2)
(3)	{а/Х(а) cSj П {b/Y (*) с S} = 0.
Мы покажем, что среди множеств 5, удовлетворяющих усло-
вию (0), те, для которых число |S|—наименьшее, удовлетворяют
также условиям (1), (2), (3).
Имеет место (1): допустим, что Х(а)фЗ. Х(а) Q S Ф 0 для
некоторой вершины а£Х, и рассмотрим какую-нибудь вершину
Х(а) Г) S; положим S0 = S\{x0).
Если У (а) ст 5, то
Pi ($о) > Pi (S).
Если же Y (а) S, то />, (So) = р, (S) — 1 или р. (So) = р: (S),
в зависимости от того, соединяются или ие соединяются в точке xQ
две непересекающиеся компоненты подграфа, порожденного множе-
ством Х\5. Окончательно *):
Pt(S)— 1,
is„i = I S| -1.
откуда
Pi (Sq) — jS0| > p(-(S) — 1 — JS) + 1 =max (рд£) —
£CZ x
Но это противоречит тому, что |Sn| < |S|.
Имеет место (2): допустим, что Y (Ъ) П S 0 и Y{b)c£S для
некоторой вершины b £ X, н рассмотрим множество Т = S \ (Y (Ь) Г) 5);
очевидно,
R|<|5f.
Если X(b)a:S, то
Pi(T)>p, (S).
1) Поскольку р. (S) и р. ($ )— числа не компонент вообще, а компонент
нечетного порядка соответствующих подграфов, то при У (я) cz S возможен
и случай р. (So) = р. (S) — 1, а при Y(а)ф S — и случай р. (S^ = р. {S) + Е
Но чаи или иначе, всегда выполняется неравенство pL (So) >• pt (S)—1.—
Прим. ped.
УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ФАКТОРОИДА
213
Если же X(b)c£S, то1)
Pi(T) = Pi (S').
Поэтому во всех случаях pi (Т) 'Х>р> (S') и
А(Ъ — Й > Pi(S) — |S| + 1 > max (р^Ё) — Iff),
лсдх
Но это невозможно.
Имеет место (3): допустим, что X(a)c.S. Y(d)<z.S для неко-
торой вершины а£Х\ пусть У0^/(а); положим Т=5'\(уи}. Тогда
pi(T')=pt{S)-\-1,
171 =|S| — 1.
Отсюда
Р-ДТ)— | Г| = Pits') — |S| 4-2 > max (р^Ё) — |Е|).
ЕС X
А это невозможно.
Теорема Татта. Пусть А и В — два непересекающихся
множества вершин графа О; т(А, В) — число ребер, соединяю-
щих А с В\ q(A, В') - число тех компонент С подграфа, порож-
денного множеством Х\А, для которых т(С, В) нечетно.
Необходимое и достаточное условие существования фактороида
у G состоит в том, чтобы каждая вершина х имела степень
d(x)'^>(2 и для любой, пары непересекающихся множеств А и В
выполнялось неравенство
Ч(А. В)- 2 d(b)-2 | 4| 4-2 |В| > 0.
ь$я
В силу теоремы 5 (гл. 18) искомое условие равносильно тому,
чтобы для определенного выше графа О было
(5)— |S|) = 0.
$сх
В силу леммы можно ограничиться рассмотрением множеств S,
удовлетворяющих условиям (1), (2), (3). Рассмотрим некоторое мно-
жество S такого типа и положим
А = [а/Х(а) с 5},
В = {b[Y(b)czS}.
) И здесь при X (Ь) с£. 3 возможен случай р. (Г) = р. (5) — 1. Но этого
достаточно, так как тогда pz(T) —| Т\^ max (р. (£) — j£|), что противо-
речнт неравенству | 7'| < ] S |. — Прим. ред.
214
ГЛ. 19. ФАКТОРОИДЫ
Так как А н В не пересекаются, то
|S|= 2 <«(«)+ 2 (rf(*)-2)= 2 d(a)+ 2 d(b)~ 2 |B|.
a^A	b~B	a£A	b£B
Подсчитаем теперь pi (S); компоненты С. пересекающиеся с К (4),
имеют вид С— {у), где y£Y(a), а£А. и число таких компонент
равно
2 (d(a)-2) = 2 d(a)-2\A\.
а£Л	а^Л
Если С — компонента, не пересекающаяся с Y(4), то положим
С=(х/Л(х)ПС#= 0);
имеем СП 4 = 0, а числа т(С, В) и |С| обладают одинаковой
четностью. Поэтому количество компонент С нечетного порядка, не
пересекающих И (4), равно q (4, В), откуда окончательно
Pi(S) = q(A, S)+ 2 d(a)-2\A\.
а£А
Искомое условие будет тогда
О = max(p. (S)—|S |) = max) q (А, В) — 2|4|-|-2|В|— 2 rf(6)].
s	а. в L	ь$в J
Отсюда и вытекает утверждение теоремы.
Ясно, что совершенно аналогичным образом получается условие
существования частичного графа с заданными степенями 1).
*) Это условие, которым мы обязаны Татту, к сожалению, слишком
сложно для того, чтобы его применять. Пусть f (х)— степень, которую надо
получить для вершины х, а ^А{х)— степень х в подграфе, порожденном
множеством Х\Л; условие Татта есть
(1)	d(x)^f(x)	ixfX',,
(Ъ f<X»4<A. В)+ 2	(А-	=
Заметим, что таким же способом получается дефицит наибольшего мно-
жества W, совместимого с fix).
(См. также [6], — Прим, перев.)
ГЛАВ А 20
Связность графа
Точки сочленения
Говорят, что вершина х связного графа (X U) является точкой
сочленения, если подграф, получаемый удалением х, несвязен; если,
кроме того, вершина х соединена с каждой из компонент этого
подграфа только одним ребром, то х называют точкой простого
сочленения.
Пример 1. В дереве каждая нсконцевая точка является точкой
простого сочленения. В противоположность этому граф, обладаю-
щий гамильтоновым циклом, ие имеет точек сочленения.
Пример 2 (сеть коммуникаций). Пусть X—множество лиц, при-
надлежащих некоторой организации, и пусть [х, y]£U, если лица
х и у имеют возможность сообщаться. Точками сочленения служат
связные; эти лица — особо уязвимое звено, так как их утрата нару-
шает единство и сплоченность организации.
Теорема 1. Вершина связного графа тогда и только
тогда является точкой сочленения, когда существуют две такие
вершины а и Ъ, что каждая цепь, соединяющая а с Ь, проходит
через %0.
1° Если подграф, порожденный множеством Х\несвязен,
то он содержит по крайней мере две компоненты С и С'; пусть
а — некоторая вершина из С, а Ь — некоторая вершина из С'; в пер-
воначальном связном графе любая цепь, соединяющая а и Ь, необ-
ходимо должна пройти через х0.
2° Если любая цепь, соединяющая две вершины а и Ь, проходит
через %0. то подграф, порожденный множеством	не может
быть связным, и поэтому А'о является точкой сочленения.
Понятие точки сочленения тесно связано с другими понятиями,
аналогичными рассмотренным в гл. 12. В связном графе назовем
расстоянием между двумя вершинами х и у длину d(x, у) самой
короткой цепи, идущей из % в у, а удаленностью вершины
х — число
d (%) = max d (х, у).
216
ГЛ 20 СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
Вершина наименьшей удаленности называется центроидом, а вер-
шина наибольшей удаленности — перифероидной точкой. У симмет-
рического графа эти понятия совпадают с понятиями центра и пери-
ферийной точки. Положим
p = mind(x) {ненаправленный радимс, или „радиоид").
Если AczX, то полагаем
d. (х) = max d (х, у) (удаленность х относительно Л).
уС.а
Теорема 2 [Жордан (С. Jordan)!. Если в связном графе G
точка простого сочленения х0 служит центроидом, то множе-
ство всех центроидов графа G сводится к единственной вершине
или к двум смежным вершинам.
Г В подграфе, порожденном множеством <¥\{х0), имеется по
крайней мере одна компонента Я, для которой
М*») = р-
Кроме того, существует такая компонента В, что
В Л\ d2J(x0) = p или р— 1.
В самом деле, если бы для любой компоненты В^-Л было ds(x0)<
<р — 1, то вершина а, смежная с х0 и принадлежащая А, удовле-
творяла бы условию
d (а) — р — 1 < р = min d (х);
л-ех
но это невозможно.
2° Пусть Xj — центроид ^=х0(ссли таковой существует), и пусть
Cj—та компонента подграфа, порожденного множеством <¥\{х0},
которая содержит х,. Не существует компоненты С-рСх, для кото-
рой dc (х0) = р: если бы такая компонента имелась, то, обозначая
через с вершину из С с наибольшим расстоянием от х0, мы полу-
чили бы
d(Xi)^d(xp c) = d(xp x0)~[~d(x0, с)>1+р;
но это невозможно, так как хх — центроид.
З5 Итак, доказано, что = А и что компонента В, определен-
ная в 1е, удовлетворяет условию dB(x0) = p—1; но тогда хх есть
не что иное, как вершина а, смежная с х0 и принадлежащая А, так
как в противном случае, обозначив через b вершину из В с наиболь-
шим расстоянием ог х0, мы получили бы
dOJ^dQc,, *) = d(xt, x0) + d(x0, *)>2-Нр—1) = р4-1;
а это невозможно, потому что хх— центроид.
ГРАФЫ HF3 СОЧЛЕНЕНИЙ
217
Следствие. Дерево всегда имеет либо один-единственный
центроид. либо ровно два центроида, притом смежных между
собой.
В самом деле, каждый центроид дерева является в то же время
точкой простого сочленения.
Теорема 3. Перифероидная точка никогда не может быть
точкой сочленения.
Действительно, пусть перифероидная точка; рассмотрим та-
кую точку z, что
d z) = inax d (x, y).
Если бы Zu была точкой сочленения, то подграф, порожденный
множеством Х\ {д0}, имел бы несколько компонент; беря точку х
в компоненте, пе содержащей z, мы получили бы
d(x, 2') = d(.v) 2’c)-pd(20, z) > max d(x, y),
что невозможно.
Графы без сочленений
Граф G называется графом без сочленений, если он связен и не
имеет точек сочленения. Основные свойства таких графов выра-
жаются тонкими теоремами, и читатель может при первом чтении
опустить доказательства.
Теорема Мен г ер а [4] (дополненная Дираком [1]). В графе G
без сочленений для каждой элементарной цепи p = ]w(), .....а^,
соединяющей две различные вершины. aQ и ak, существуют две
такие элементарные цепи р/ и и/', что
(1)	крайними вершинами обеих цепей и/ и р" являются aQ
« ak;
(2)	р' и р" не имеют общих вершин, кроме aQ и а!(-,
(3)	при движении по р/ (или р") от а0 к ak индексы встре-
чающихся вершин цепи р идут в возрастающем порядке.
Теорема справедлива для цепи р --]а0, oj длины 1, потому что
если нс является точкой сочленения, то существуй! ноль и/, иду-
щая из r ах и не содержащая ребра [а(), Эта цепь, вместе
С pv — [о0, aj, удовлетворяет поставленным условиям.
Предположим, что теорема верна для элементарных цепей
длины k, и докажем, что она верна для произвольной элементарной
цепи
р — [а0. а1...яЛ-|-1]
длины
218
ГЛ 20 СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
Обозначим через и' и р/' две непересекающиеся цени, соединяю-
щие а0 с ak и удовлетворяющие условиям (1), (2), (3); требуеюя
доказать, что между и ak} , существуют две цели pi' и с ана-
логичными свойствами.
Существует элементарная цепь v = v[a0, яй+]], соединяющая а0
с #ft + l и не проходящая через ak (в противном случае ak в силу
теоремы 1 была бы точкой сочленения). Обозначим через х послед-
нюю вершину цепи v, принадлежащую р. («0, ак} U р/ [я0, J
U р."ak}. Рассмотрим несколько случаев.
Первый случай: х = а{). Искомыми цепями являются
^ = Р-,
Второй случай: x = ak^v Так как х^р.[д0, aft], то либо х£р/,
либо х£у."\ если, например, х£р/, то полагаем
P-o = y-4«0’ х1-
ай+11-
Третий случай: х^ч. В этом случае имеем или х£р/, или
х£р/'; если, например, х£р", то полагаем
Го = Р-'1ао. а„1 + laft. a6-J,
Но = Р-"1а0^] +''[*, «4+1Ь
Четвертый случай: х£р, х=£а0, x-#afe[I. Можно написать
x = aq, где q < А; пусть ар—вершина |i с p -^q, ближайшая к aq
и принадлежащая также pz (J $х"; если, например, ар^ р," (см. рис. 20—1),
то положим
|о0, «„] + [«„, «Л+1|,
Р-о = 1а0' аР] + Р- 1аР' ael + vIa4' а»+1Ь
ГРАФЫ БЕЗ СОЧЛЕНЕНИЙ
219
Поскольку эти четыре случая охватывают все возможности, тео-
рема доказана.
Лемма. В связном графе без петель для любых двух ребер
u и v существует элементарная цепь, которая начинается
ребром и а оканчивается ребром v.
В самом деле, если ц = [а, х]
н v = [&, у], то ввиду связности
графа вершины а и b можно соеди-
нить элементарной цепью у.= [a, av
а2, .... ак = д].
Если у£<х, то искомая
цепь будет
у,0=[х, а1 + !' + 1^’ У1-
Если	у£у., то искомая
цепь будет
Ро=-[*, й] ~На 1а. у] + (У» *]•
Если х£у., у(£р., то искомая
цепь будет
Ио = [а, х] + р(х, й] у].
Если xgy.,	то искомая
цепь будет
|10=|«, х| + |1[х, у]~Ну, И-
Теорема 4. В графе без со-
членений и без петель через лю-
Рис. 20—2.
бые два ребра и и v проходит некоторый
элементарный цикл.
В самом деле, пусть у,= [д0, ах.....tzft] — элементарная цепь,
у которой [а0, ^1 = 11, [afe_P ak\ = v\ такая цепь существует в силу
леммы. Рассмотрим две иепересекающиеся элементарные цепи |V
и у/', соединяющие а0 с ак, существование которых утверждается
теоремой Менгера. Обозначим через х первую вершину цепи ц
(после й0), принадлежащую у/ (J у", а через у — последнюю вершину
цепи у, (перед яй), принадлежащую у/ (J
Первый случай-. x — ak, y = aQ. В этом случае (рис. 20 — 2,
наверху) искомым циклом является
Р-[«о- аЛ-н'1«6. «(,]
Второй случай-. x=£ak, у^аа, х£у/, у£у/. В этом случае
рис, 20 — 2, посредине) искомым циклом является
Мао. *] +г'I*, у] 4-Му- еб1 +11" °ol-
220
ГЛ. 20. СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
Третий случай: x--£ak, у -р а0, л'£р.", у£рЛ Этот случай ана-
логичен предыдущему.
Четвертый случай: х£ак, у4*аь, х£у/, у £ р.". В этом случае
(рис. 20 — 2, внизу) искомым циклом является
МЙ(Р *] +11'	«й1 + еЧйй’ уИ-^Чу. «(jb
Пятый случай: x=£ak, у л=. а^, х^и", у£у/, Этот случай ана-
логичен предыдущему.
Рассмотренными пятью случаями исчерпываются все возможности,
и теорема доказана.
Теорема 5. Для графа G без петель а изолированных вер-
шин следующие условия равносильны:
(1)	через два произвольных ребра всегда проходит элементар-
ный цикл:
(2)	через две произвольных вершины всегда проходит элемен-
тарный цикл:
(3)	граф не имеет сочленений.
Покажем, что (1)=ф(2)=ф(3)=ф(1).
(1)=ф(2), потому что две произвольные вершины х и у служат
граничными точками двух ребер (граф G не имеет изолированных
вершин), а через эти два ребра проходит элементарный цикл, кото-
рому и принадлежат вершины х и у.
(2)	(3), потому что, в силу (2), граф связен; если бы он имел
точку сочленения, то две вершины х и у, разделяемые этой точкой»
не могли бы принадлежать одному элементарному циклу, вопреки (2).
(3)=ф(1) в силу предыдущей теоремы.
Рассмотрим теперь произвольный граф G; если х — одна из его
точек сочленения, а С — одна из компонент» отделяющихся после
удаления х, то подграф G, порожденный множеством С (J (х),
представляет собой, по определению, кусок графа G. Кусок при-
креплен к остальной части графа точкой сочленения. Каждый кусок
может содержать другие, меньшие куски; кусок, не содержащий
меньших кусков, называется минимальным куском.
Это понятие позволяет установить простой критерий для выясне-
ния того, проходит ли через две данные вершины какой-нибудь
элементарный цикл. Именно, если а и b — две различные вершины
элементарного цикла, то можно ощипать граф, последовательно
отделяя от него кускн, не содержащие одновременно а и Ь, и при
этом всегда будет оставаться подграф более чем с одним ребром.
Наоборот, если после ощипывания остается подграф более чем
с одним ребром, то этот подграф не имеет сочленений и содержит
обе вершины а и Ъ\ следовательно, в силу теоремы о существует
элементарный цикл, проходящий через а и Ь. Таким образом,
необходимое и достаточное условие существования элементар-
/.•СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ
221
ного цикла, проходящего через две данные вершины, состоит
в том, чтобы после ощипывания получался подграф более чем
с одним ребром.
Пример. Задача о „Коне Аттилы". На шахматной доске находятся
белый конь („конь Аттилы") и черный король, как показано на
рис. 20—3 (слева); заштрихованные клетки считаются „горящими*.
Требуется дой1и конем до клетки с королем и вернуться в исход-
ную клетку, перемещаясь обычными ходами шахматного коня; при
этом нельзя становиться ни на горящую клетку, ни на клетку, уже
пройденную (потому что, как хорошо известно, конь Аттилы под-
жигает все на своем пути).
Эта задача сводится к определению в графе, изображенном на
рис. 20 — 3 (справа), элементарного цикла, проходящего через две
данные вершины а и Ь\ ощипывание удаляет некоторое количество
кусков (обозначенных пунктиром), а остающийся граф (обозначенный
сплошными линиями) имеет более одного ребра; поэтому задача
разрешима,
й-связные графы
Рассмотрим связный граф Q = (X, U) порядка п— |Х|; непустое
множество Acz.X называется множеством сочленения, если под-
граф, порожденный множеством Л\Л, несвязен. В случае когда Л
сводится к единственной вершине, мы снова получаем точку соч-
ленения.
Если граф несвязен, то пустое множество 0 рассматривается тоже
как множество сочленения. Наконец, назовем множеством изоля-
ции графа порядка п любое множество из п—1 его вершин.
Число связности графа G определяется как наименьшее число
элементов множества, являющегося множеством сочленения или
222
ГЛ. 20. СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
изоляции для G, и обозначается через w(G). Говорят, что граф G
является h-связным, если со (О) h, где А — данное целое число ">0.
Пример 1. Турнирная диаграмма. Понятие связности очень
важно, когда надо организовать встречи между п игроками, участ-
вующими в турнире, ограничивая общее количество встреч числом т.
Турнир будет справедливым, если
небольшая группа игроков не мо-
жет „изолировать" одного или
Рис. 20—4,
нескольких соперников, то есть если соответствующий граф с п вер-
шинами и т ребрами обладает достаточно большим числом связ-
ности, Например, при 5 игроках и 9 встречах следует принять граф,
изображенный на рис. 20—4. который является 3-связным; множество
сочленения состоит из трех игроков, отмеченных пунктирными круж-
ками. При 9 игроках и 20 встречах следует принять граф, изобра-
женный на рис. 20—5 и являющийся 4-связным, и т. д.
Пример 2, Бомбардировка путей сообщения. Обычно считается,
что экономическая и военная мощь вражеской страны существенно
парализована, если в результате бомбардировки коммуникаций уда-
лось полностью изолировать один или несколько районов. Задача
состоит в следующем: какое количество (наименьшее) путей сообще-
ния надо разрушить для достижения этой цели? Построим граф (X, U),
вершины которого изображают районы с богатыми и удачно рас-
положенными внутренними коммуникациями, а ребра — уязвимые
пути сообщения (например, мосты, тоннели, железные дороги и
т. и.), связывающие этн районы между собой. Задача сводится
к нахождению наименьшего числа ребер, удаление которых нару-
шает связность графа.
Можно обратиться к теории связности, строя вспомогательный
граф (U, Д), вершинами которого служат ребра из U, причем
u£Av, когда ребра и и v смежны. Если, например, ставится за-
дача бомбардировки мостов, изображенных на рис. 20—6 (слева), то
получается граф, изображенный справа, который является 3-связным;
л-связныь: графы
223
множеству сочленения [г, v, п] отвечают три моста, разрушения ко-
торых достаточно для достижения поставленной цели.
В дальнейшем везде h будет обозначать натуральное число;
говоря, что некоторый граф G порядка п является „Л-связпым". мы
будем иметь в виду следующее:
(1)	G связен,
(2)	й < /г,
(3)	G не имеет множеств сочленения А с числом элемен-
тов |Д| < h. Граф G является 2-связным тогда и только тогда,
Р н с. 20- 6.
когда он не имеет точек сочленения; те свойства й-связных графов,
которые мы геиерь будем рассматривать, представляют собой обобще-
ния изложенных выше теорем о графах без сочленений.
Теорема 6. В h-связном графе степень каждой вер-
шины й.
Действительно, пусть G — произвольный й-связный граф, х0 —
одна из его вершин. Допустим, что х0 является граничной точкой
не более чем h— 1 ребер, и рассмотрим множество А, составленное
вторыми граничными точками этих Л—1 ребер. Так как граф
й-связен, то
h - 1 {п — 1) — 1 - - п— 2.
Поэтому в G найдется вершина, отличная от и не принадлежа-
щая А; значит, А есть множество сочленения. Ввиду того что
224
ГЛ. 20. СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
| А । = h — 1 < h, граф не является й-связным, вопреки условию
теоремы.
Теорема 7. Подграф G', полученный из h-связного графа G
удалением одной вершины, является (h—Г)-связным.
В самом деле, из h < п вытекает
h — 1 < п — 1 ~ п'.
Кроме того, для нарушения связности графа G' необходимо }гда-
лить по меньшей мере h— 1 вершин; поэтому G’ является (й— 1)-
связным.
Теорема Уитни [5]. Д.ля h-связности графа необходимо
и достаточно, чтобы любые две его вершины aQ и z можно было
соединить h различными элементарными цепями, не имеющими
общих вершин, кроме aQ и z.
Условие достаточно. В самом деле, если две произвольные
вершины соединены h различными цепями, го граф G связен.
Среди h цепей, соединяющих две вершины а§ и z, имеется не более
одной длины 1, а остальные h —1 цепей вместе содержат не менее
h — 1 различных вершин (отличных от й0 и г), значит
«>(й — 1)+2 > й.
Наконец, у G нет множества сочленения А с числом элементов
|Л|< h, потому что если бы такое А имелось, то, выбрав две
точки aQ и z в двух различных компонентах подграфа, порожден-
ного множеством Х\Л, мы не смогли бы провести h цепей без
общих вершин так, чтобы эти цепи соединяли й0 с z и проходили
через Л.
Условие необходимо. Надо показать, что если граф G является
й-связным, то любые две его вершины можно соединить h непере-
секающимися элементарными цепями. При й = 2 утверждение уже до-
казано (теорема Д^енгера); допустим, что теорема справедлива для
всех (й — 1)-связных графов, и докажем ее справедливость для
произвольного й-связного графа G. Иначе говоря, мы рассмотрим
две вершины й0 и z графа G и покажем, что их можно соединить й
элементарными цепями без общих вершин.
Поскольку G не имеет точек сочленения (так как й">2). а{} и z
можно соединить двумя пепересекающимися цепями, из которых
хотя бы одна, скажем
а = [й0, йр а.2, . . ., aQ, z\,
имеет длину >2.
Вершины «0 и й2 соединены h пепересекающимися цепями; в са-
мом деле, если разрушить цепь [йь, йр й21. удалив из графа вер-
Й-СВЯ31ГЫР ГРАФЫ
225
шину av то оставшийся граф будет (й—1)-связиым (теорема 7)
и в нем а0 будет соединена с а7 посредством h—1 непересекаю-
шихся цепей. Теперь надо показать, что если а$ и ak можно сое-
динить й непересекающимися цепями, то можно также соединить
с ak+l посредством h непересекающихся цепей. Обозначим цепи,
соединяющие с ак, через [лР р.9. . . иЛ.
1Э Сначала предположим, что никакая из цепей р.р ...
..., р,л не содержит Так как граф, полученный удале-
нием ак, является (й—1)-связным, то вершины и соединены
непсресекаюшимися цепями vp *2, .... ул_р не проходящими через
Рис. 20--7.
При помощи [ар р2......[1Л, vp у2....vfl_l мы будем составлять
непересекающиеся цепи, соединяющие aQ и ай+р следующим про-
цессом:
1)	Идя по цепи V] or ak+1 к aQ, обозначим через первую
л
точку встречи с и- (отличную от ull+iy, допустим, например, что
t = i
и положим
Ih^iPo- *]+''. Рг ас+1|-
2)	Идя по цепи v2 от ак+1 к aQ, обозначим через й2 первую
л
точку встречи с |л' U (J (отличную от айн1); рассмотрим два слу-
1=2
чая. Если й2£р./1 где i > 1, то положим, как прежде,
=1ЪК М+'-гР,.
Если же £и' (см. рис. 20 — 7), то аннулируем операцию 1) и
положим
[b; = ^p,..	+ <,р2. ав+1];
при этом мы скажем, что цепь перевоплотилась, и в дальней-
шем переставим индексы 1 и 2 у у, и v2.
15 К. Ьерж
226
ГЛ 20. СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
3)	Если перевоплощение не произошло, то идя по цепи v3
от к а0, мы обозначим через первую точку встречи
с jxJ U р/ U [J р.Л; это приведет либо к определению иекоторой
цепи р,' либо к перевоплощению одной из цепей р.', р/; и т. д.
[Если в 2) произошло перевоплощение, то идем по новой
цепи v2, еще не использованной.!
Этот процесс повторяем, пока возможно. Так как каждое пере-
воплощение укорачивает одну из цепей р,р и2.....р.Л (длины кото-
рых конечны), то наступит момент, когда дальнейшее перевоплоще-
ние невозможно, и мы окончательно получим h—1 цепей вида
I*; = Н, [«(,.	й6+1]’
^=Ма<.- *,j H-v2pfa, й6+1].
^-1=^-3 [«о-	а^>Ь
Эти цепи попарно ие имеют общих вершин, ибо если бы, например,
Р-i 1Ло> А/J и v2^‘s’ a*+J имели общую вершину (отличную от aQ
и сй+1), то оставалось бы произвести перевоплощение. Кроме того,
ии одна из цепей vt [AZl, д*+1], v.2[Az,,	....afe+i]
не имеет вершины, принадлежащей цепи p.ft(3a исключением вер-
шины ak+1 и, быть может, вершины aQ, если с ней совпадут какие-
либо из вершин Ь^, .... так как каждая цепь р.? которая
была в некоторый момент изменена нашим процессом, в дальней-
шем остается измененной. Следовательно, никакая из цепей р.',
у'....не встречает цепь
i4=i\ К ‘ь+ib
Цепи у', у'....Р-д образуют искомую систему h цепей.
2° Теперь допустим, что аА+1 принадлежит одной из це-
пей, у--; пусть, например,	Заменим тогда на уЛ [п0, аА+1]
и будем действовать, как выше.
Следствие 1. Граф G', полученный из h-связного графа G
удалением одного ребра, является (h — 1)-связным.
В самом деле, две любые вершины в G можно соединить по
крайней мере h непересекающимися цепями, поэтому в О' их можно
соединить h—1 непересекающимися цепями.
Следствие 2. Граф G', полученный из h-связного графа G
удалением k ребер (А< Л), является (А— ky связным.
(Непосредственно.)
В заключение следует отметить, что для того, чтобы не нару-
шить связность А-связного графа, нужно удалить из него по меньшей
мере h ребер.
ГЛАВА 21
Плоские графы
Основные свойства
Говорят, что граф (или мультиграф) О — плоский, если его
можно изобразить на плоскости так, чтобы вершинам отвечали раз-
личные точки, ребрам — простые дуги и чтобы никакие два ребра
не имели общих точек, отличных от их границ. Изображение (/ на
плоскости, удовлетворяющее этим условиям, называется плоским
топологическим графом, и мы будем обозначать его той же бук-
вой О; плоские графы, которые можно преобразовать друг в друга
непрерывной деформацией плоскости, не считаются различными.
Пример. Задача о трех городах и трех источниках снабже-
ния1). Имеются три города а, Ь, с и три источника снабжения: водо-
напорная башня d, газовый завод е,
электростанция / (см. рис. 21 — 1);
каждый из городов связан с каждым
источником снабжения соответ-
ственно водопроводом, газопрово-
дом. линией электропередачи. Можно
ли начертить (на плане) три города,
три источника и все линии передачи
таким образом, чтобы никакие две
линии не пересекались между собой
в неконцевых точках? Непосред-
ственные попытки показывают, что
всегда можно нарисовать 8 линий,
а девятая обязательно пересечет хотя
мы познакомимся с объяснением этог
бы одну из этих восьми. Ниже
э факта.
Пусть G — плоский топологический граф; его гранью называется
область плоскости, ограничеиная ребрами и не содержащая внутри
себя ни вершин, ни ребер; будем обозначать грани буквами г, s. t,
а множество граней — буквой R. Край грани г — это цикл, образо-
ванный граничными ребрами г. Две граии г и s называются смеж-
') Эта задача хорошо известна у нас как задача о трех домах и трех
колодцах*. — Прим, перев.
15’
228
ГЛ. 21 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
ными, если их края имеют хотя бы одно общее ребро; грани, сопри-
касающиеся только в отдельных вершинах, смежными не считаются.
Пример. Географическая карта (при условии, что нет островных
стран) представляет собой плоский топологический граф; этот граф
бесконечной гранью (иа
имеет ту особенность, что сте-
пени всех его вершин ^>3.
Грань может примыкать к ка-
кой-либо другой грани в не-
скольких местах. Заметим, что
на рис. 21 —2 грани d и g не
смежны, хотя имеют общую
вершину. Строго говоря, граф,
изображенный на рис. 21 — 2,
является мультиграфом. Нако-
нец, отмстим, что у всякого
плоского графа имеется одна,
притом единственная, неогра-
ниченная грань, называемая
(с. <2, У- Л, i, J)— конечные.
рис. 21 — 2 грань е); остальные грани
Теорема 1. В плоском топологическом графе G края раз-
личных конечных граней образуют базу независимых циклов.
Теорема очевидна, когда G имеет 2 конечные грани; предполо-
жим ее справедливой для всех графов с числом конечных гра-
ней /—1 и покажем, что она верна для произвольного плоского
топологического графа G с / конечными гранями.
В самом деле, удаляя из G некоторое ребро и, мы получим
граф G', имеющий / — 1 конечных граней, края которых, согласно
предположению, образуют базу независимых циклов. Восстановив
ребро и, получим новую конечную грань, край которой является
циклом, не зависимым от предыдущих (поскольку он содержит ребро,
не принадлежащее ни одному из них). Так как добавление одного
ребра не может увеличить цикломатическое число более чем иа еди-
ницу, то конечные грани графа G определяют базу независимых циклов,
Следствие 1. Если связный плоский топологический граф
имеет п вершин, т ребер и / граней, то
п — т / = 2 {формула Эйлера).
Действительно, число конечных граней равно цикломатическому
числу ч, поэтому
/ = v 1 ={т — п -|- 1)4" 1 =т — /г4“2.
Отсюда и получается доказываемая формула.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
229
Следствие 2. В любом плоском графе (не являющемся
мультиграфом) хотя бы одна вершина х имеет степень d(x) .<^'5.
В самом деле, у соответствующего плоского топологического
графа каждая грань окаймлена по меньшей мере тремя различными
ребрами; если образовать простой граф инциденций грани — ребра 1),
то число его дуг будет 2m, с одной стороны, и ^>3/, с другой,
, . 2т „	_	.
поэтому /	^сли бы в исходном графе каждая вершина была
инцидентна нс менее чем шести ребрам, то таким же образом 2) .мы
получили бы	значит, в силу формулы Эйлера,
,,	। г т	. 2т „
2 -= п — «+/<-3 - m-3- = О,
что невозможно.
Следствие 3. Географическая карта обладает по крайней
Mflpe одной такой гранью, край которой содержит не более
5 ребер.
Действительно, в географической карте каждая вершина является
граничной точкой не менее чем трех ребер; образуя простой граф
инциденций вершины — ребра, получим, что число ребер, с одной
2т
стороны, :^2т, а с другой стороны, ^Зп. откуда п . Если
допустить, что каждая грань обладает краем по меньшей мере
с G ребрами, и образовать простой граф инциденций грани — ребра,
то получим, что число его дуг 2m и в то же время ^>6/; зна
чит, / .4.—g-. Отсюда
л	। г 2m . т п
2 = п — т-\- j -3-----= О,
что невозможно.
Формула Эйлера, доказанная в следствии 1, имеет многочислен-
ные применения.
Пример 1 (Эйлер). Рассмотрим в трехмерном пространстве связ-
ный многогранник с п вершинами, т ребрами, / гранями. Его.
очевидно, можно изобразить на сфере таким образом, чтобы никакие
два ребра не пересекались в точках, отличных от граничных; произ-
ведя затем стереографическое проектирование с центром внутри
одной из граней, получим изображение на плоскости. Это изобра-
жение будет плоским графом, поэтому имеет место основное соот-
ношение для связных многогранников: п — т-\-/ = 2.
Т. е. граф, состоящий из множества X точек, изображающих грани,
множества Y точек, изображающих ребра, и из дуг, соединяющих х^Х
с у сП всякий раз, когда грань х инцидентна ребру у.
г) Рассмотрев простой граф инциденций вершины — ребра. — Прим. ред.
230
ГЛ. 21. ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
Пример 2. С помощью формулы Эйлера покажем, что граф,
рассматриваемый в задаче о трех городах и трех источниках снаб-
жения (рис. 21—2), не может быть плоским. Допустив, что он пло-
ский. мы имели бы
/ ^2— л Н-т =2 — 6 ^9
Край каждой грани содержит не менее 4 ребер (так как если бы
край какой-либо грани имел только три ребра, то граничными
точками этих ребер были бы три вершины, из которых две принад-
лежат к одной и той же категории: города или источники снабжения;
но две вершины одной и той же категории не смежны). Образуя
простой граф иициденций грани—ребра, мы получим, что число
дуг 2/п и в то же время ^>4/, следовательно,
18 = 2m > 4/ = 20,
что невозможно.
Пример 3. Таким же образом покажем, что полный граф с 5 вер-
шинами не является плоским. Предполагая его плоским, мы полу-
чили бы
/ = 2 — п Н-m = 2 — 5 Д-10 = 7.
Каждая грань имеет на своем крае не менее 3 ребер. Образуя
простой граф иициденций грани — ребра, найдем, что число дуг = 2т
и в то же время ^3/, откуда
20 = 2т>3/ = 21,
что невозможно.
Граф, рассматриваемый в задаче о трех городах и трех источ-
никах снабжения, а также полный граф с пятью вершинами позво-
ляют определить целое семейство неплоских графов: как видно из
(Тип')	(Тип 2)
Рис. 21—3.
рис. 21—3, достаточно поместить на каждое ребро сколько угодно
вершин и таким образом определить новый неплоский граф типа 1
или типа 2. Этот результат можно обратить, что даст нам трудную
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
231
теорему, принадлежащую Куратовскому х), доказательство которой
мы собираемся здесь привести. Предварительно договоримся в отно-
шении языка: если и — некоторый элементарный цикл (на котором
мы произвольно задаем направление) и если а, то через
jx [а, />] будем обозначать последовательность вершин, встречающихся
при движении от а к b в положительном направлении (включая а и Ь),
а через |л] а, Ь[—ту же последовательность, но без а и Ь. Далее,
если G — граф с множеством сочленения А, то куском графа G
(относительно Д) назовем всякую связную компоненту С подграфа,
порожденного множеством	к которой добавлены ребра,
инцидентные С (вместе со своими граничными точками).
Теорема Понтрягина — Куратовского. Необходимое
и достаточное условие, при котором граф G является плоским,
состоит в том, что граф не должен содержать частичных
подграфов типа 1 и типа 2.
Ясно, что граф, содержащий частичный подграф типа 1 или типа 2,
не может быть плоским; покажем, что и наоборот, если граф не
содержит частичных подграфов типа 1 и 2, то он плоский.
Утверждение тривиально для графов G с одним, двумя или тремя
ребрами; далее будем рассуждать по индукции: допустим, что утвер-
ждение верно для всех графов, имеющих менее т ребер, и докажем
его для произвольного графа Gem ребрами.
Пусть G — граф с т ребрами, не имеющий частичных подграфов
типа 1 или 2 и в то же время не плоский. Этот граф связен, ибо
в противном случае все его компоненты были бы плоскими, а зна-
чит, и он сам был бы плоским. Далее, G — граф без сочленений,
иначе его куски относительно точки сочленеиия а были бы плоскими,
но эти куски можно изобразить на плоскости так, чтобы точка а
оказалась на бесконечных гранях этих изображений (при помощи
надлежащего стереографического проектирования); значит, граф G
тоже был бы плоским.
1° Покажем, что после удаления из G произвольного ребра
[а, />] сохранится некоторый элементарный цикл и, проходящий
через а и Ь. Действительно, в противном случае граф G', получае-
мый из G удалением ребра [а, /»], имел бы точку сочленения (в силу
теоремы Менгера, гл. 20); вершины а и b принадлежали бы двум
различным кускам Са и Сь относительно точки сочлеиеиия с 2).
Граф Са, полученный из Са присоединением ребра [а, с],—пло-
ский, так как он не содержит подграфов типа 1 и 2 (как граф,
') Эта теорема была установлена (но не опубликована) r 1927 году
Л. С. Понтрягиным, а в 1930 году, независимо от него, вторично доказана
Куратовским [4]. В дальнейшем мы называем ее теоремой Понтрягина —
Куратовского.—Прим, перев.
2) Иначе с была бы точкой сочленения исходного графа G. — Прим,
перев.
ГЛ. 21. ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
образуемый из G посредством стягиваний). Поэтому можно при
помощи стереографического проектирования изобразить Са иа пло-
скости таким образом, чтобы ребро \а, <?] оказалось на крае бесконеч-
ной грани. По той же причине граф Ch, полученный из Сь присое-
динением ребра [6, с], можно изобразить на плоскости так, чтобы
[Ь, с] оказалось на крае бесконечной грани. Соединяя затем а с Ь,
получим плоский топологический граф, содержащий G, что невоз-
можно в силу предположения относительно G.
2° В плоском топологическом графе О', полученном в результате
удаления ребра [л, Z>], рассмотрим элементарный цикл р, проходя-
щий через а и b и охватывающий наибольшее возможное количество
граней. Придадим циклу р произвольную ориентацию; р разделяет
плоскость на две области; всякий кусок относительно р графа Gz,
вершины которого лежат во внутренней (соответственно внешней)
области, назовем внутренним куском (соответственно внешним кус-
ком} L). Никакой внешний кусок не может содержать более одной
вершины, последовательности р [д, 6] (иначе можно было бы по-
строить цикл р, охватывающий большее число граней); так как то
же самое справедливо и для р [6, а], то внешний кусок может пере-
секать р только в одной или в двух точках. Кроме того, суще-
ствуют по крайней мере один внешний и один внутренний кусок,
каждый из которых пересекает как р] а, &[, так и р] Ь, а [(ибо поме-
стить на плоскости ребро [а. невозможно).
3° Покажем, что существуют внутренний кусок С и внешний
кусок Г), каждый из которых пересекает как р] а, &[, так и
р] Ь, «[, причем эти куски таковы, что точки cud пересече-
ния D с р и точки ей/ пересечения С с р расположены на р
в чередующемся порядке, с, е, d, f.
В самом деле, допустим, что это не так: пусть С2—некоторый
внутренний кусок, пересекающий р] а, b [и р] Ь, а [, пусть ех и
Д—соответственные точки пересечения на р. Можно начертить не-
прерывную линию V, соединяющую Д и е}, проходящую во внеш-
ней области по отношению к р и не пересекающую никакого из
наличных ребер (поскольку, согласно предположению, ие существует
внешних кусков, встречающих как р]ер Д[, так и р] Д, е} [).
Всякий внутренний кусок, имеющий обшке точки только с р[Д, е,].
можно переместить во внешнюю область, в грань, содержащую
линию v; именно этот случай имеет место для куска С\. Но обяза-
тельно останется хотя бы один внутренний кусок С2, который не-
возможно так переместить (иначе а и b можно было бы соединить
в плоскости), и этот кусок имеет с р[Д. ej две последовательные
') Кроме того, внутренним (соответственно внешним) куском следует
называть всякое ребро, которое проходит во внутренней (соответственно
внешней) области и обе граничные точки которого принадлежат р. — Прим,
иерее.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
233
точки пересечения и /2, из которых хотя бы одна принад-
лежит р.] /], е} [.
Проделаем с С2 то же, что мы проделали с Ср и т. д. . . ;
этот процесс никогда ие окончится, вопреки конечности графа.
Обозначим теперь через е, f, g, h такие точки пересечения С
И [1, что
d [,	с[, g’Cp.lfl, />[,	а|.
Очевидно, е -/= / и g h, но может случиться, что e~g. e — fz
и т. п.
4° Если одна из вершин ей/ расположена на у.] а. &[, а дру-
гая— на у.] Ь, а[, то можно положить, например, e = g, f — lv,
непосредственно ясно (рис. 21—4), что G содержит граф типа I,
вопреки предположению.
5^ Если обе вершины ей/ находятся на р.]д. &[, то можно
предположить, что h = c (ибо при	Л£у. мы вериемся
к фигуре, исключенной в п, 4°). Полученная фигура (рис. 21—5)
содержит граф типа 1, что невозможно. По той же причине отпа-
дает случай, когда обе вершины е и / принадлежат и) Ь. а[.
234
ГЛ 21. ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
6Э Если е — а, / 4- b (например, пусть	£(), то полу-
чается граф, изображенный на рис. 21—6 и содержащий граф типа 1,
что невозможно.
7°. Если е — а, / = Ъ, то можно предположить, что g = d и
fi = c (в противном случае мы возвращаемся к одной из фигур,
исключенных в п. 4° и п. 6°). Мыслимы две ситуации: если цепи
графа С, соединяющие cd и е/, имеют более одной общей вершины,
то мы получаем граф, изображенный на рис. 21—7, который содержит
граф
типа 1, что невозможно; если же цепи С, соединяющие cd
не/, не имеют двух общих вершин, то
мы получаем граф, изображенный на
рис. 21—8, который содержит граф типа 2,
что опять невозможно.
Поскольку все мыслимые случаи рас-
положения ей/ рассмотрены, то описан-
ный выше граф G существовать не может.
Теорема доказана.
для произ-
вершина х,
получаемый
Теорема 2. Всякий плоский граф
является 5-хроматическия.
Теорема заведомо справедлива для
плоских графов с 1, 2, 3, 4, 5 вершинами; допустим, что она верна
для плоских графов с п—1 вершинами, и докажем ее
вольного плоского графа Gen вершинами.
Действительно, в силу следствия 2, в G имеется
смежная с 0, 1, 2, 3, 4 или 5 вершинами. Подграф,
удалением х, является 5-хроматическим; раскрасим его вершины
пятью цветами: а, р, -р е. Вершину х легко окрасить всегда,
кроме случая, когда она смежна с пятью различно окрашенными
вершинами.
В этом случае пусть a, b, с, d, е — пять смежных с х вершин
(в порядке обхода вокруг х) и пусть а. р, 7, 8, е — их цвета.
Обозначим через Ов, р подграф, порожденный множеством вершин
цвета <х или цвета (i, и т. п.
1° Если а н с принадлежат различным компонентам связности
графа Ga>r то в компоненте, содержащей а, перекрасим вершины
цвета а в цвет и наоборот. Новая окраска совместима с графом О,
а вершину х, которая окружена теперь вершинами с окраской 7. 0,
7, 8, е, можно окрасить в цвет а.
2° Если а и с принадлежат одной и той же компоненте
графа G , то вершины b и d нельзя соединить в графе G^>a.
Переставляя цвета р и 8 в той компоненте графа G3 8, которая
содержит вершину Ь, мы получим возможность окрасить’х в цвет
Этот результат, по-видимому, может быть улучшен; так назы-
ваемая гипотеза четырех красок состоит в следующем не дока-
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
235
занном до сих пор утверждении: всякий плоский граф является
4-хроматическим !).
Гипотезу четырех красок можно сформулировать иначе, обра-
тившись к понятию двойственности. Рассмотрим связный плоский
Рис. 21—9.
топологический граф О без изолированных вершин; ему можно по-
ставить в соответствие плоский топологический граф G* следующим
образом.
') При доказательстве теоремы 2 индукцию по числу вершин графа G
можно провести еще и так. [См., например, Дынкин Е. Б. и Успен-
ский В. А.. Математические беседы, ГТТИ, 1952].
Пусть х смежна с пятью вершинами a, b, с, d, е; удаляя х и отожде-
ствляя асе, как показано на рисунке, получим граф G' с меньшим числом
вершин, допускающий (в силу предположения индукции) раскраску 5 цве-
тами; при этом для четырех вершин а = с, b. d, е будет использовано не
более 4 красок, и в исходном графе можно окрасить х пятой краской.
Здесь индукция носит локальный характер: для получения раскраски
графа G из раскраски G' не надо перекрашивать тех вершин, которые не
затрагиваются преобразованием (} -> О'
В случае четырех красок, вместо пяти, конкретные примеры показывают,
что для получения раскраски графа G из раскраски графа G', отличаю-
щегося от G только в одном месте, требуется, вообще говоря, тотальное
перекрашивание. В этом, видимо, заключается причина неизмеримо большей
трудности проблемы четырех красок по сравнению с задачей пяти красок.
Доказательство теоре.мы 2 в книге без необходимости использует тоталь-
ную индукцию и поэтому не способствует выявлению глубокой принципиаль-
ной разницы между случаями 4 и 5 красок.—Прим перев.
236
ГЛ 21. ПЛОСКИЕ ГРА.ФЫ
Внутри каждой грани $ графа G поместим вершину графа G*;
каждому ребру и графа G отнесем ребро ui графа G*. соединяющее
ге вершины д'' и у*, которые соответствуют граням 5 и t по обе
стороны от ребра и. Определенный таким образом топологический
граф G* является плоским (см. рис. 21—9), связным и не имеет изо-
лированных вершин; он называется двойственным для G. Заметим, что
Г" Граф, двойственный для G*', есть О; дипломатические числа
обоих графов одинаковы.
2° Каждой петле графа G отвечает висячее ребро графа О*, и на-
оборот.
3° Если G имеет точку сочленения, то G“ тоже имеет такую
точку J).
4° Если G имеет пары вершин, соединенных несколькими ре-
брами, то G* имеет вершины степени два {антиузлы).
Пример. Рассмотрим плоскую транспортную сеть (неориентиро-
ванную) G, каждое ребро и которой обладает пропускной способ-
ностью	О и у которой вход х() н выход z расположены на
одной горизонтали. Образуем двойственный граф G*, причем беско-
нечной грани графа G отнесем две различные вершины: нижней полу-
плоскости— вершину Хп, верхней полуплоскости — вершину 2*.
Ребру и* (отвечающему и) приписываем длину /(и*) — с (и). Рассмо-
трим теперь следующие задачи.
Задача 1. В G найти разрез V с наименьшей пропускной спо-
собностью. то есть минимизировать
2 c(v).
v^v
Задача 2. В G* найти кратчайший путь V* из Хо в z*.
то есть минимизировать
ку)= 2 /(V).
v*£V*
Задача 1 равносильна задаче о наибольшем потоке, а задача 2 —
задаче о кратчайшем пути, и ясно, что для плоского графа эти две
задачи сводятся одна к другой.
Гипотеза четырех красок в двойственной форме гласит: грана
плоского графа G можно окрасить четырьмя цветами так,
чтобы никакие две смежные грани не были окрашены в один
и тот же цвет.
Желая фактически окрасить граф G, мы можем ограничиться слу-
чаем связного графа (так как ничто не мешает нам окрашивать
() Взаимоотношения между связностью G и связностью G* были изу-
чены Уитни [9].
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
237
каждую компоненту отдельно), а также считать G графом без со-
членений. Можно предположить, что у графа нет вершин степени 0,1
или 2. Можно ограничиться рассмотрением однородных графов сте-
пени 3. ибо каждую вершину х степени > 3 можно на время рас-
крашивания покрыть новой гранью, достаточно малой и имеющей
общее ребро с каждой из граней, соприкасающихся в х. Получен-
ный граф будет однородным степени 3, без перешейков (так как он
не имеет точек сочленения) и, в силу теоремы 5 (гл. 19), принад-
лежать хроматическому классу 4.
Лемма. В плоском графе каждому ребру и придадим неко-
торую ориентацию и поставим 8 соответствие натуральное
число тс (и); для любой цепи у и любого ребра и£р положим
тс Ди) — Д-тс (и), если при движении по р. ребро и проходится
в направлении его ориентации, и тс (и)== — тс (и) в противополож-
ном случае. Если край у каждой грани удовлетворяет условию
Vzi'ni^o (mod. 4),
Н £ [Л
то граф является ^-хроматическим.
Всегда можно предполагать граф связным; каждую вершину х
пометим некоторым коэффициентом р(х), определяя эти коэффи-
циенты шаг за шагом:
для некоторой произвольно выбранной вершины х0 положим
Р (л’о) =- 0;
для еще не помеченной вершины у, смежной с уже помеченной
вершиной х, находим р(у), образуя р(х) —тс(х, у) в случае, если
ребро ориентировано от х к у, или р(х)— тс(х, у), если ребро
ориентировано от у к х, и добавляя илн вычитая число, кратное
четырем, с тем чтобы оставшееся число было 0 и <^3.
Таким образом, функция р(х) может принимать только значе-
ния 0, 4-1, -L-2, f-З и будет определена для всего графа (так
как он связен); значение р(х) для каждой вершины х определится
однозначно, ибо если при определении р(х) взяты два различных
пути р.] = р-1 [XQ, X] И Р2 ~ !г2 [Х0’ *1’ 10 Иикл Р-1 — Р-2 будет суммой
краев некоторых граней (в силу теоремы 1); значит
2 тсДи):=0 (mod. 4),
или
2	5 М“) (mod. 4).
Придадим вершине х цвет I — р(х)\ тогда все вершины окажутся
окрашенными четырьмя различными цветами, причем никакие две
смежные вершины не будут окрашены в один и тот же цвет.
Ч. И Т, Д.
238
ГЛ 21 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
Теорема 3 (Тэт [7]), Пусть О — плоский однородный граф сте-
пени 3 без перешейков’, необходимое и достаточное условие воз-
можности такого раскрашивания граней графа 4 цветами, при
котором никакие две смежные грани не окрашиваются в одина-
ковый цвет, состоит в том, чтобы G принадлежал к хромати-
ческому классу 3.
1° Если грани G можно окрасить четырьмя цветами а, р, у, о,
то пометим цифрой 1 ребра, разделяющие грани аир или грани у
и 8; цифрой 2 — ребра, разделяющие грани аи; или грани £ и 8;
цифрой 3 — ребра, разделяющие грани а и 8 или грани ри р Два
смежных ребра никогда не могут оказаться помеченными одной и
той же цифрой (иначе имелись бы две смежные одинаково окрашен-
ные грани); следовательно, граф G принадлежит хроматическому
классу 3.
2° Если граф G принадлежит к хроматическому классу 3, то
каждому ребру и* двойственного графа G* отнесем коэффициент -тс (и*),
равный 1, 2 или 3, смотря по тому, имеет ли ребро и цвет 1, 2
или 3. Как показывает исследование однородных графов (гл. 19),
всегда можно ориентировать ребра в соответствии с условиями леммы.
Тогда, в силу леммы, граф О* будет 4-хроматическим, и тео-
рема доказана,
Обобщение
Предыдущие понятия можно повторить и обобщить, обратившись
к более продвинутым топологическим теориям, выходящим за рамки
настоящей книги т). Мы ограничимся лишь кратким очерком.
Любой граф G можно представить в трехмерном пространстве так,
чтобы никакие два ребра нс пересекались; такое представление будем
называть топологическим графом и обозначать снова через G. Если
5 — некоторая поверхность в пространстве R3 и если существует
взаимпо-однозиачное и непрерывное в обе стороны отображение
графа G в S, то, как известно, никакие два ребра в об не пере-
секаются; по определению, зО есть S-топологический граф. В слу-
чае, когда 5 — плоскость, мы возвращаемся к понятию плоского
топологического графа.
Чтобы не затруднять интуитивного понимания, ограничимся здесь
конечными, замкнутыми и ориентируемыми поверхностями2); для та-
’) См., например, Let sc he tz S., Introduction to Topology, Princeton
University Press, Princeton, 1949.
2) Напомним, что топологическое пространство S есть поверхность, если
каждая точка х $ S обладает окрестностью, гомеоморфной внутренности круга;
если все эти окрестности могут быть ориентированы когерентно то поверх-
ность S называется ориентируемой. Наконец, если S—компактное про-
странство, то говорят, что поверхность S замкнута', так, сфера является
замкнутой поверхностью, плоскость — незамкнутой. Результаты, аналогичные
упоминаемым здесь, можно установить н для иеориентируемых поверхностей
(см. [5]).
ОБОБЩЕНИЕ
239
кой поверхности 5 можно определить ее род g как наибольшее ко-
личество замкнутых попарно непересекающихся кривых, начерченных
на поверхности и не разбивающих ее. Так, сфера имеет род 0, тор
(автомобильная камера) — род ] и т. д.
Из общих теорем (см. fl]), следует, что каждый конечный граф
можно представить на поверхности 5 достаточно большого рода;
далее, S-топологическому графу G можно поставить в соответствие
S-топологический граф G* точно так же, как был определен двой-
ственный граф в плоском случае. Если у(О) означает хроматическое
число графа G, то положим
у (S) = max {у (<?)/(? является S-топологическим};
y'(S) — max {n/полный граф порядка п является S-топологическим}.
Очевидно, Y (S) у (S)2).
Для поверхности S рода g положим
ng — целой части	1)'
Тогда
^ = 0	(сфера)	=Ф^=4.
^=1	(тор)	
5 = 2	(крендель)	
^ = 3		=Ф^ = 9.
и т. д. ...
Как показал Хедвуд2), для поверхности S рода g-> О (т. е. от-
личной от сферы) у (S)<^ng.
’) Рингель показал [11]. что для любой замкнутой поверхности S (ори-
ентируемой или неориентируемой) рода g -=Ь 0 имеет место равенство
7' (S) = * (S). — Прим, перев.
^Доказательство см., например, в книге Гильберт Д. и Кон-
Ф ос сен С., Наглядная геометрия, ГТТИ, 1951.
240
ГЛ. 21 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
Обратимся теперь к числу / (S). Рингель показал [6], что на по-
верхности 5 рода £ > 0
— 2 < / (5) < п^.
Хедвуд высказал предположение, что всегда у' (5) =- ng-, эта гипо-
теза была проверена Хефтером (Heffier) для g = 1, 2......7	и Рин-
гелем для £---8, 9, а также для весьма большого количества других
значений. Для тора Т, например, где g-=l, имеем у/(Т) = 7, и пол-
ный граф с 7 вершинами можно поместить на торе, как показывает
рис. 21 —10; кроме юго, 7 (7)^ 7 (вследствие формулы Хедвуда) и
7 (7) у' (Т) = 7, откуда окончательно у(7) = 71).
’) Подробную библиографию по вопросам раскрашивания карт (и графов)
можно найти в статье Кокстера [10].—Прим, перев.
Добавления
16 К. Бсрл

1. Об общей теории игр
В главе 6 мы дали общее определение игры с полной информа-
цией; если не ограничиваться рассмотрением только той информации,
которую дает игрокам положение игры, то определение игры услож-
нится, но граф, задаваемый правилом игры, может по-прежнему
изучаться на основе тех же общих принципов.
Для двух игроков (Д) и (В) определена игра, если заданы:
1° Абстрактное множество X, элементы которого представляют
собой положения игры.
2° Отображение Г множества X в себя, называемое правилом
игры.
3° Разбиение (Л^, ХА, Хв) множества Х-, при этом
*о = {х{Гх = 0);
говорят, что в любом положении из ХА ход (или право играть)
принадлежит игроку (Л), а в любом положении из Хв ход принад-
лежит игроку (В).
4° Разбиение # = (Ц, U2, ...) множества ХА и разбиение
7/а = (У], У2, ...) множества Хв, U называется схемой информации
игрока (Д). U— множеством информации игрока (Д); пред-
полагается, что мощности множеств Гх при всех положениях х из
одного и того же множества информации одинаковы.
5° Для каждого множества информации U—семейство
таких однозначных отображений U в X, что
(1)	h=kk
(2)	*6	\»Лх1к^Ни} ==Гх;
если у = уЛх, то говорят, что h есть индекс положения у относи-
тельно х.
6° Для множества Z = {х/Г-1х— 0[—основной вероятностный
закон |^0(г)/гС7}.
7° Две числовые функции fix) и g(x), определенные на X и
называемые функциями предпочтения игроков (Д) и (В).
16*
244
ДОБАВЛЕНИЯ
Партия протекает следующим образом: начальное положение
выбирается в Z наудачу, в соответствии с известным вероятностным
законом т:0; если множество информации 17, содержащее х0. принад-
лежит 11, то игрок (Д) будет знать не положение х0, а только
содержащее его множество информации U. Имеем
Гх0 =	£ Н^\.
Тогда игрок (Л) выбирает в Нь, некоторый индекс h, определяя
тем самым положение игры Xj —Если	то игрок (В),
не знающий всего происходившего до этого и информированный
лишь о том, что положение игры принадлежит множеству V£ 7°,
выбирает индекс k в Hv\ это приводит к новому положению игры
х^ — '^х^, и т. д. Игра окончена, если положение х таково, что
Гх = 0.
Стратегией а игрока (Д) называется однозначное отображение,
относящее каждому множеству U из И такой индекс h — aU, что
множество этих индексов обозначим через 2д» говорят,
что (Д) придерживается стратегии а, если каждый раз, когда по-
ложение игры принадлежит множеству	он обязательно выби-
рает индекс h = zU.
Если два игрока придерживаются соответственно стратегий о и т,
то множество положений, получающихся из исходного х0, полностью
определено, и это множество мы обозначим через (х0; а, т); выигрыш
игрока (Д), по определению, есть
/(х0; a, T) = sup(/(x)/jc£(x„; а, т)).
Ожидание выигрыша игрока (Д) есть
т)= 2	о, т).
z£Z
Точно так же ожидание выигрыша игрока (В) есть
О(о, т)-= 2	°-т)-
^Z
Цель каждого игрока состоит в выборе такой стратегии, при ко-
торой ожидание его выигрыша будет наибольшим, с учетом возмож-
ностей выбора у противника.
Как п в главе 6, назовем пару (с0, хи) тонкой равновесия, если
F (3. Ч) < F <°а>	(3 € 2Д
О (з„, т) < G (аа. ~.о)	(т £ 2в)-
Если игроки придерживаются стратегий, представляемых парой
(б0, -0), то ясно, что никому из них не выгодно независимо от дру-
гого менять стратегию.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИГР
245
Ситуация, в которой оба игрока (4) и (В) выбирают одновре-
менно точки о и т и в которой игроку (4) приписывается выигрыш
F(p. т), а игроку (В) — выигрыш О (с, т), тоже есть игра, называе-
мая нормальной формой первоначальной игры.
Пример 1. Каждая игра с полной информацией есть игра, схемой
информации которой служит дискретное разбиение
Таковы, например, шашки, шахматы и др.
Пример 2. Игра в бридж. Представим себе партию в бридж
после объявления: „Юг“ „раскрывает карты1*. Если (4) означает
лагерь Север—Юг, (В) — лагерь Восток — Запад, то получается
игра двух лиц; будучи рассматриваем как один игрок. (В) тем
нс менее состоит из двух агентов, не передающих друг другу све-
дений, но имеющих общую цель. Z есть множество различных воз-
можных „данных**. Обозначим через С, Ю, В, 3 множества карт,
находящихся в данный момент в соответственных руках, через
R— множество карт, уже сброшенных, с указанием, кому они при-
надлежали и в какую взятку входили, через Т—множество карт,
разложенных на столе во время очередной взятки, с указанием,
кому они принадлежат (если это множество пусто, то Т указывает,
чей ход).
Положение игры х будет определяться множествами С, Ю, В, 3
и „направленными** множествами R и Т.
Имеем / (х; = й1(^), g(x) = A2(^). ГДС и ^2— возрастающие
функции, зависящие от применяемой системы обозначений. Например,
для игрока Запад множеством информации Uq, содержащим поло-
жение игры Xq=(Cq, Ю$, BQ, 3g, Rq, Tq), будет множество положе-
ний (С, Ю, В, 3, R, Т), для которого
3 = за,
в и с — 3ti и с„.
!'=: £»•
/'-/<
Пример 3. Игры с совершенной информацией об игроке (В}
Говорят, что некоторый игрок имеет совершенную информацию
об игроке (Z3), если в данный момент игры ему известны множества
Информации, с которыми сталкивался игрок (В) в прошлом, а также
индексы, которые он выбирал.
246
ДОБАВЛЕНИЯ
Говорят, что игра является напоминанием для (Л), если игрок (Д)
имеет совершенную информацию о самом себе. Игра в бридж есть
напоминание для Севера — Юга, но не для Востока — Запада.
Комбинированные стратегии
Чтобы исключить роль хитрости при принятии решения, Э. Борель
ввел понятие комбинированной стратегии. Для определенности
предположим, что стратегии игрока (Д) образуют конечное множество
2л ~ {а1, а2....ат}, и рассмотрим некоторое распределение вероят-
ностей s== \sk[k — 1, 2, .... т\ в 2а5 имеем:
(k— 1, 2, ,,w),
т
2 s * = 1;
!а = 1
по определению, вектор s = ($4 s2...sni) есть комбинированная
стратегия игрока (Д). Простая стратегия, такая, как :k. предста-
вляет собой комбинированную стратегию вида (0, 0. ...» О, 1,
0, ...» 0).
Говорят, что игрок (Д) придерживается комбинированной стра-
тегии s = (^1. $2. .... s'”), если он выбирает наудачу простую стра-
тегию в 2а» приписывая стратегии вероятность sk.
Теперь ясно, что такое поведение игрока <Д) полностью сводит
на нет проницательность противника, ибо нанлучшее средство поме-
шать игроку (Д) состоит в том, чтобы самому не считаться с тем,
что он собирался делать до принятия решения. Как мы увидим,
имеются и другие, еще более важные преимущества.
Если (Д) и (В) придерживаются соответственно комбинированных
стратегий s и t, то ожидание выигрыша игрока (Д) будет
F (s, t) = 2
Л/
Обозначая через S и 7 множества комбинированных стратегий
обоих игроков, можно доказать основные результаты:
Теорема Фон Неймана — Нэша. В комбинированных
стратегиях всегда существует точка равновесия (s0. t0):
F(s, t„X F(s0, Q (s£S).
G(s0.	t„)	(tGO-
Теорема Куна — Бёрча. Если игрок (Д') располагает
совершенной информацией о своем противнике, то существует,
точка равновесия вида (з0, t0), где
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИГР
247
Наибольшее ожидание выигрыша для игрока (Л), которое можно
гарантировать при комбинированной стратегии, есть
а0 = max min F (s, т).
S т
При простой же стратегии можно гарантировать
ctj = max min F (о, т).
Так как	то а0^>ар причем имеется много случаев, когда
поэтому выбор комбинированной стратегии позволяет
гарантировать больше, чем выбор простой стратегии, Более того,
никакой способ игры не позволяет гарантировать больше, чем
позволяет гарантировать комбинированная стратегия (как пока-
зывает теорема Фон Неймана — Нэша при 0 = — F).
Пример (Кун). Рассмотрим игру, определяемую рис, 1: граф
(X, Г) здесь представляет собой прадерево, /(х) =— g(x) и значе-
ния функции / (х) в различных концевых вершинах равны О, 1, —1, 2
и —2, как показано на рисунке [значение /(х) в остальных верши-
нах можно считать равным —ос, н это не помешает, так как игра
конечна]. Принимаем Л — 1 или 2, смотря по тому, илем мы вправо
или влево.
Основной вероятностный закон есть =	, ~|,а выбираемая
наудачу с одной и той же вероятностью вершина есть z} или z2.
Конкретно эта игра описывается следующим образом. Игрок (Д)
состоит из двух агентов (Д') и (Д"), не имеющих права непосред-
ственно сообщаться, а игрок (В) представляет собой одного-един-
ственпого агента. Две карты, на одной из которых написано „старшая*,
248
ДОБАВЛЕНИЯ
а на другой— „младшая*, наудачу распределяются между агентом (Д')
и агентом (В); агент, обладающий старшей картой, получает один
франк от обладателя младшей карты и может либо продолжить, либо
прекратить игру. Если игра продолжается, то (4"), не зная данных,
может либо взять карту у (Д'), либо взять карту у (В), а ему отдать
карту, принадлежавшую (Д'). Снова владелец старшей карты полу-
чает один франк от обладателя младшей карты.
Ожидание выигрыша игрока (Д) есть
/•(з,	= Up °-	+	т)-
Значения этой функции для различных возможных стратегий даны
в следующей таблице:
(В)
I
1	~.2V = 2
(Л)->	= 1;	=4J" = 1	0	1 2
	а2У' = 1;	о2/7" = 2	(J	+ 2
	&U' = 2;	W = 1	*2	0
	з'1Г = 2;	W1 = 2	1 2	0
Если игрок (Д) придерживается простой стратегии, то он должен
выбирать а2 или з3, гарантирующие ему нулевой выигрыш то время
как а1 и а4 гарантируют только —	. Допустим теперь, что он
придерживается комбинированной стратегии s0 —^0, ту >	, о), т. е.
что он механически выбирает между а2 и о3 с одинаковыми вероят-
ностями; это гарантирует вместо 0. ибо
F (So- х1)~ОЧ-ОЧ-у-^-Д-О — у
F(s0, ^)=041.1 + 0 + о = 1.
Нельзя гарантировать больше, так как если (В) будет придержи-
ваться стратегии ty=(y -Vj, то ожидаемый выигрыш окажется
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИГР
249
Замечание. Определение наилучшей стратегии (комбинированной)
есть не что иное, как линейная программа. В самом деле, игрок (Л)
может гарантировать по меньшей мере а тогда и только тогда, когда
вектор s = (s’, s'2. sm) таков, что
( S1 0	(; = 1, 2....т),
ТП
2 s' = 1.
j = l
/^(S, :;)>Й	(J=l,2,..., п).
Если положить F(al, = ~~xf и допустить, что а > О,
то получим
х(. О (г = 1, 2, .. .. т).
2 а\xi (/=1,2......п).
Ищется наибольшее число а, для которого эти соотношения
совместны; задача сводится к нахождению таких xt, что
хг >-0 (z — 1. 2. . . ., т),
2а;х,->1 (7 = 1.2.......И),
т
2 xi имеет наименьшее значение.
И. О транспортных задачах
„Транспортной задачей“ называют всякую задачу, которая анали-
тически выражается следующим образом: даны целые числа ait bp
clj и d} (где	ищутся такие целые числа что
	т 2 С = Ы1	и < »).
(1)	п 2 У=а‘	(/ -С
	т п	(Z т, j п).
<2)	2 2Ж	имеет свое наибольшее значение.
Задачи такого типа встречаются особенно часто при планирова-
нии поставок, распределении товаров между потребителями и т. д.,
а также в вопросах, имеющих более теоретический интерес.
Транспортную задачу приписывали последовательно Хичкоку (7),
который сформулировал ее в 1941 году; Купмансу [9], независимо
изучавшему ее несколькими годами позднее; Л. В. Канторовичу [8],
который исследовал непрерывный случай, В действительности Монж [11]
сформулировал ее еще в 1781 году, и его исследования, весьма гео-
метричные, были продолжены в 1928 году Аппелем [1].
Замечание 1. Если система вида (1) и (2) имеет решение то,
очевидно,
(3)	й/^0.
Кроме того, складывая все получаем
и	т
(4>	2	= 2 ai-
Наконец, привлечем вспомогательную транспортную сеть с верши-
нами Хр х2.......хт, Ур У2.......Уп’ Х0’ z- У которой вход хп
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
251
соединен с каждой точкой xt дугой пропускной способности ait
каждая точка xt соединена с каждой точкой yf дугой способности cjt
а каждая точка соединена с выходом z дугой способности bf. Если
задача разрешима, то в силу теоремы Гейла (гл. 8)
(5)	2 maxja,, S	(Ус= {1, 2..л|).
r = i I KJ Ч KJ
Условия (3), (4), (5), будучи необходимыми, в то же время доста-
точны для существования решения задачи.
Замечание 2. Можно считать, что все	действительно,
в противном случае, полагая
h = — min d\ > О,
М
= +
будем иметь
22«jv =22<г^}+л2«/-
' i	i J	i
Новая задача состоит в том, чтобы максимизировать 22 бу bj.
Это замечание показывает, что замена требования максимизации
требованием минимизации не меняет характера задачи.
Пример 1 (Хичкок). Требуется назначить маршруты нефтеналивных
судов, зная, что имеется т портов погрузки х2, ..хт и п портов
разгрузки ур у2....Уп> Допустим, что стоимость рейса ив xt в yf
составляет rf) и что порт погрузки Xi располагает судами, а порт
разгрузки у, нуждается в судах.
Если мы обозначим через £}• число судов, которое следует отпра-
вить из порта Х( в порт у^, и будем стараться минимизировать пол-
ную стоимость	т0 получим аналитическое выражение, указан-
i. /
ное выше (где ^ = 4-оо).
Пример 2. Задача о котловане и насыпи (Монж). Даны две
поверхности S и 7; на первой поверхности S распределены массы,
которые нужно перенести на вторую поверхность 7 таким образом,
чтобы полная стоимость транспортировки была наименьшей.
Полагая fy==l, когда единица массы переносится из точки
в точку у}£1, и обозначая через d'j расстояние от xt до yf, мы
придем к задаче минимизации выражения
22“^-
"252
ДОБАВЛЕНИЯ
(В действительности, ввиду непрерывного характера задачи, сум-
мирование надо заменить интегрированием.)
Чисто геометрическими рассуждениями легко показать, что:
1° Оптимальная траектория единицы массы из x^S в есть
отрезок прямой х^у причем никакие два таких отрезка не пере-
секаются в точках, отличных от их концов.
2° Отрезки хгу^ образуют оптимальную систему, если существует
выпуклая поверхность R, для которой все отрезки х^у- служат нор-
малями.
Аналогичная задача возникает, когда некоторое количество веще-
ства надо перенести „по чайной ложке" из одного хранилища
в другое.
Пример 3. Оптимальное назначение лиц на должности (Вото
и Орден [13]). Имеется п рабочих xv х2,	хп, которых надо
распределить по п машинам ух, у2, •••• Уп- Производительность
рабочего xt на машине у- выражается числом dlj, которое легко
находится посредством испытаний. Положим —1, если предпола-
гается прикрепить рабочего х- к машине у;, и £; = О в противном
случае; задача состоит в максимизации полной производительности
при условиях
2e) = i. 2С-1-
/=1	г=1
Значит, мы имеем здесь дело с транспортной задачей.
Пример 4. Распределение товара по транспортной сети.
(Орден [12]). Рассмотрим граф (ориентированный) с. п вершинами
хр х2......хп и пропускными способностями с1;—с(х.е x.'j его дуг.
а также некоторое целое число р п; допустим, что в каждой вер-
шине х., где Z<^ р, имеется в избытке некоторое количество ai товара,
а в каждой вершине хр где Z > р, имеется потребность размера Ьг
в этом товаре.
Допустим еше, что
2	2
К.Р } > р
Если (хг. хр—дуга графа, то можно перевезти из х. в х. неко-
торое количество с} 0 товара, причем стоимость перевозки единицы
товара равна rf}. Требуется удовлетворить все потребности, мнними-
П. п
зируя полную стоимость перевозок 2	^/0-
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
253
Для приведения этой задачи к каноническому виду будем искать
такие числа 47'., чтобы
=	при	i^j,	(xt.	x^U;
=0	при	Z =/= j,	(X,.	Xj) f U;
2.5;	пр»	i = J
Эти числа удовлетворяют условиям:
(1)
2 rl'j =- Л (7=1,2............и),
S 71; = * + “г (' < P)-
2	= h — t>i	(‘ > P\
0 < Tfj < C‘f (.1 4-- J),
(' = /)•
П n
Требуется минимизировать 2 2 где
0 при I — j\
d‘j при l^J. (х:.х^и-,
-j-oo при Z#=7. (Xi, Xj)^U.
Мы получили искомую каноническую форму.
Пример 5. Задача о складе (Кан [2]). Рассмотрим наличные коли-
чества некоторого товара на складе в различные моменты времени
1, 2, п и допустим, что известны:
k — полная вместимость склада;
tG — начальное количество хранящегося товара;
— стоимость продажи (за единицу) во время i;
q} стоимость покупки (за единицу) во время i\
rt — стоимость хранения (за единицу) во время I.
Будем в течение промежутка времени от 1 до п производить
куплю и продажу товара так. чтобы в конце количество его оказа-
лось равным первоначальному То. При этом ищутся (для каждого I):
а{- — количество товара, проданное во время г;
- - количество товара, приобретенное во время г;
254
ДОБАВЛЕНИЯ
— количество хранящегося товара после продажи старого;
— количество хранящегося товара после покупки нового.
(О!
Рис. 2.
-1);
Задача состоит в максимизации полной прибыли
при условиях
8<—«1+1—ъ+1=° a=i-2..........«
— «1 — 71 = — А)!
Т( + р, —«, = 0	(?=1, 2....»—1);
Тп+₽л = Г/г;
О	-С со;
(I)
О <1 L к.
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
255
Эта задача сразу сводится к задаче распределения товара по
транспортной сети (пример 4); при п = 4 соответствующая сеть и
потоки по ее дугам показаны на рис. 1; если товар нормирован, то
полное количество, которое можно купить во время п, есть данное
число г0, и мы получаем граф, изображенный на рис. 2.
Венгерский метод
Как читатель смог уже увидеть из условий (1) и (2), транспорт-
ная задача является частным случаем „линейной программы"; как та-
ковую, ее можно решить при помощи симплекс-метода (Данциг [3]),
а теория графов дает заметные упрощения обычного процесса (см, [6]).
Мы изложим здесь вкратце совсем иной метод, непосредственно опи-
рающийся на теорию транспортных сетей (гл. 8), который оказы-
вается значительно эффективнее симплекс-метода. Этот метод, раз-
витый вначале Куном [10], был затем обобщен Фордом и Фалкер-
соном [5], Фладом [4] и др.
§ 1. Здесь нет необходимости обращаться к аналитическим мето-
дам, и мы, не уменьшая надежности, останемся на более интуитивной
точке зрения теории графов.
Рассмотрим некоторую транспортную сеть О с двумя непересе-
кающимися множествами вершин X— 1	х2, ..., хт} и Y = (ур у2, ...
.... уя). Соединим вход х0 с каждой из вершин дугой пропуск-
ной способности с(х0, xj) = al\ каждую вершину уу соединим с вы-
ходом z дугой пропускной способности с(ур z~) — bp наконец,
соединим каждую вершину xz с каждой вершиной у, дугой пропуск-
ной способности c(Xj. у^~Ср Ищется поток ср (и), насыщающий
выходные дуги, т. е. такой, что
О ср (а) с (и) (a£Z7),
?(х0, xi) = ai
<? (У,-. г) = bt U < л).
Работа этого потока, по определению, равна
т п
</[?] = 2 2	У;)-
» = 1 /=1
Общая транспортная задача как она была определена выше, со-
стоит в нахождении потока ср, насыщающего выходные дуги и
производящего наибольшую работу.
Наряду с этой основной задачей мы рассмотрим двойственную
задачу, которая ставится следующим образом: назовем бюджетом
функцию y(w)>-0, заданную на дугах транспортной сети О и та-
кую, что
(2) у (х0, х,) + т (х,. у,) -I- 7 (уу. г) > </) (j < т. j < я).
256
ДОБАВЛЕНИЯ
у (я) можно толковать как денежную сумму, которую надо уплатить
за все транспортные средства при перевозке по дуге и; транспорт,
курсирующий по пути Xj. Ур z], оценивается наибольшей полной
стоимостью работы dp которая при этом будет совершена.
Положим для краткости
7(х0, xz) = a-,
7 + г) = р,
7 Щ. У;) = 7}.
Способность бюджета у определим как
т	т п	п
С [71 =- 2 а.^1 + 22 9 7/ + 2 УУ-
/=1	i=lj=l 7 J ;=1
Поставим задачу найти бюджет у с наименьшей способностью.
Лемма. Для. любого бюджета и любого потока ср
d [?] < С [Т].
В самом деле, можно написать
< +р + 7р; + РЩ,
откуда
т п	т п	т п
<Щ1=-2 2 rfpj + 2^2?;-+2 2 7}?; +
!=17=1	IS=1	1	(Щ| / = 1 } >
пт	т	т п	п
+5	''СS	й/а(-+2 2	+5	с[у]-
7=1 i=l	1=1	1=17=1	7=1
что и требовалось.
В силу этой леммы, если существуют поток ср и бюджет у, удо-
влетворяющие условию d [7] = с [7], то ср — искомый поток.
§ 2. Для упрощения выкладок допустим, что все с1. бесконечны;
тогда все равны нулю. Двойственная задача состоит теперь в на-
хождении таких чисел az>-0 и	что
(/ = 1, 2, т\ 7=1. 2,	л).
Наряду с основной и двойственной задачами рассмотрим вспо-
могательную задачу, которая ставится следующим образом: каждому
бюджету 7 отнесем вспомогательную транспортную сеть G , получае-
мую нз G удалением тех дуг (х{., у;-), для которых
а(. -4- ру > dp
Требуется теперь найти наибольший поток по транспортной
сети G.,.
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
257
Теорема 1. Если при бюджете у граф G. допускает по-
ток ср, насыщающий выходные дуги, то у—бюджет с наимень-
шей способностью, a 9— поток по G, производящий наиболь-
шую работу.
Очевидно, © есть поток по сети G, и он насыщает выходные
дуги G. Его работа равна
_	т п	т	п
dW = 5	= 5 5= 5 Mi + S у7' = ит]-
<-1 м	‘ 1	/=’
Значит, в силу леммы 9 является потоком по G, производящим
наибольшую работу, а у—бюджетом с наименьшей способностью.
Теорема 2. Если при бюджете у сеть G„ не допускает
потока, насыщающего ее выходные дуги, то можно найти новый
бюджет у' со способностью с |ул] < с [у].
Действительно, пусть 9 — наибольший поток, не насыщающий
выходных дуг сети G ; в силу теоремы Форда и Фалкерсона значе-
ние этого потока равно пропускной способности того разреза C7J,
который он насыщает. Пусть
А = [х,, х2...... xr, yv у.2...ys, z}.
Поскольку Ua — разрез с наименьшей пропускной способностью,
он не содержит дуг пропускной способности сю; значит, из 7> г,
js следует, что (ху, у;-) не является дугой графа Gr т. е. что
Далее, можно считать, что все аг > 0 или все > 0, ибо в про-
тивном случае для некоторой пары (I, /) имело бы место равенство
+-е;-о.
Пусть, например,
а. > 0 (/ = 1, 2, .. от),
Положим
f	а.	при	i г,
а. ~= \
1	(	а,	—	1	при	I	> г;
в, = (	₽/	при	j	< S,
ч	I	₽;	н-	1	при	j	> 5.
Покажем, что величины а.'. и образуют бюджет у'; если I > г,
j >'s, то зу-Иру > d‘j, значит,
а‘ + Pj dp
17 К Бсргк
258
ДОБАВЛЕНИЯ
Кроме того, если I > г, то а(. > 0. поэтому
а2>0.
Способность нового бюджета равна
5 аХ+5*;К = Ит] — 5 ai+ 2 Ъ).
»=1	1 1	1=г-\ j=s 1 '
Отсюда
Нт] —c[/] = S	—(s °,-+ S Ч	S ai - ¥г > 0,
1=1	\!=1	/=5+1 /	1.1
т. е. способность нового бюджета меньше, чем первоначального.
Ч. И Т. Д
Алгорифм для нахождения потока, производящего наибольшую
работу, можно теперь описать так: отправляясь от бюджета у, опре-
деляемою условиями
а,- ±= max dlj,
i
p;. = max (dlj — az),
ищем наибольший поток по сети G . Если этот поток не насыщает
выходных дуг, то определяем новый бюджет у' и повторяем все сна-
чала; если же этот поток насыщает выходные дуги, то он и дает
решение задачи.
§ 3. Если не предполагать более, что все с‘, бесконечны, то надо
будет учитывать числа и всегда можно считать
у} = max {о. dlj —	.
Надо поэтому рассмотреть три случая:
1°	т} = °. dj=al+?J (т. е. (I,
2°	-[j = 0, (Р <а.	(m-. e. (I, y)CQ);
3' t' > 0, rfj =	-[•< (m. e, (i,
Определим, как прежде, транспортную сеть G.( с теми же дугами,
что и G, но обладающими теперь пропускными способностями:
a,~at— 2	Ч (i = l, 2, .... т),
b} = b}— 2	Ч (/= 1, 2, . .., n),
ПРИ <4 ЖА
67	( 0 при (Л j. £ Q U А*,
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
259
Теорема 1'. Если при бюджете сеть G допускает по-
ток <р, насыщающий все выходные дуги, то у — бюджет с наи-
меньшей способностью-, кроме того, для сети G потоке ср. произ-
водящий наибольшую работу, определите^ следующий образом-.
vj ПРИ (»• y')€ptjQ,
?	} Cj при (Z, J}£R.
В самом деле,
</[Т]= 5 <<й+ 2	= 2 2 (м-рм; + — d‘jc‘i=
(/..zkpUq ((-лея i-iy-i Г//ГУ (..лея
— 2м._Ь2 РАЗ- 2 dici ~ с ! f]-^ 2 7; 2 с
>-' ((.лея	<3,
- 2 ₽; 2 0— 2 тл-Ь 2 («,- + ₽>-+= сПК
/=( (,л.лея л, лея л,лея 17
Значит, d [ср] = с [•[], и в силу леммы ср —.искомой по ток.
Теорема 2х. Если при бюджете 7 сеть С7-, не допускает,
потока ср, насыщающего выходные дуги, можно на&ти новый
бюджет 7х со способностью с [7х] < с [7].
Действительно, пусть ср — наибольший поток ло согласно
предположению, он не насыщает выходных дуг. рассмо'*'Рим 'такое
множество
Д=(х1, х2, .... хг, у2, ..., д,г z],
что
т
c(Ua) = <(z < 5 «,•
i = 1
Можно считать, как и в теореме 2,
что все д. > о, Поло^кнм теперь
при
при I > г\
при jXs,
При j > 5;
т7
ту- 1 при I < г. J > s. (г, y)g R,
у+1 при 1>г, 7< МЛ 7)6 pUp>
7? в остальных случаях.
Сперва покажем, что новые числа опять определяют некоторый
бюджет; имеем а/^>0, р;^>0, 7',/<'>0. Чтобы проверить, что зна-
чение -4-f3- Ч—т/ — dlj остается >0, изучив с помощью таблицы 1
изменение А этой величины.
17*
260
ДОБАВЛЕНИЯ
Таблица 1
Единственный случай, когда Д= — 1, нас не затруднит, ибо при
(?, 7) 6 Q имеем
а; + ₽; + Т/ — d‘f > 0-
Теперь убедимся, что способность бюджета уменьшилась; именно,
с 11'] = 2 а, + 5 и - 2	=
— с [-(•] — 2 а1 + 5	2 с; 4* с; 4- 5 <7,
'j'iTs
или. окончательно,
с [у7] — с [у] — — 5 ai + S 2 с<] = ~ —- ai + с fa а) < 0-
Теорема полностью доказана.
Замечание. Если даны числа cj* с'-	0, то можно обобщить
задачу, налагая условия:
<?'•'	c"i	т’ J‘ й)-
Мы приходим к классической транспортной задаче для вспомо-
гательной сети G, определенной в главе 8 (стр. 93); во всех слу-
чаях процесс, который следует осуществлять, будет тем же, что и
здесь (стр. 258).
III. Об использовании понятия потенциала
в транспортных сетях
Зададим связный граф G = (X, U) и для каждой вершины х g X
зададим целое число <у(х) (оно может быть и отрицательным), кото-
рое назовем избытком в вершине х. Будем говорить, что функ-
ция 9 (и), определенная на всех дугах и £ U, представляет собой
поток, совместимый с избытками q(x), если
1°	ср (w) О (u£U),
2°	2 ?(«)— 2 =f (“) = 7 (*) (*£*)•
и^их
(В транспортных сетях, рассмотренных в главе 8, избытки равны
нулю везде, кроме входа х0 и выхода 2, где они неизвестны.)
Если jj. = (ttp «2, ...) — некоторый цикл графа, то обозначим
через Vr (р) множество дуг и, направленных в сторону обхода цикла,
а через Vv(p)— множество дуг р, противоположного направления.
Функция 1т(я), определенная на всех дугах u£U, называется раз-
ностью потенциалов, если для любого цикла р. имеет место
со	2 -''«г-- 2 ^(«)=о.
«£Г"(и) и&Т(и)
Замечание 1. Если соотношение (1) выполнено для всех циклов
некоторой фундаментальной базы, то оно выполняется и для любого
цикла графа.
Замечание 2. Если существует разность потенциалов тс (и), то
на X можно определить такую функцию р(х), что для каждой дуги
и = (х, у) будет
(2)	гс (и) = гс (х, у) = р (х) — р (у).
В самом деле, достаточно в произвольно выбранной вершине
положить /?(хо) = О, затем определить значение р(х) для
всех вершин х, смежных с лс"и> потом для вершин, смежных с рас-
смотренными, и т. д. Так как граф связен, р(х) определится шаг
за шагом для всего X. В силу (1) полученное значение в каждой
вершине х будет единственным,
262
ДОБАВЛЕНИЯ
Обратно, если р(х)— функция, определенная на X, то, очевидно,
те (х, у) = р(х)— р(у) есть разность потенциалов. Функция р(х)
называется потенциальной функцией, графа.
В большинстве задач, которых мы здесь коснемся, задается функ-
ция г (и), определенная на каждой из дуг u£U и называемая со-
противлением этой дуги; функция
есть проводимость дуги и.
с (U) — -J-V ,
1 ' Г (и)
по определению,
Задача Дирихле. В данном графе определить поток <р, со-
вместимый с заданными избытками и такой, чтобы л(и) =
= г (w)cp(«) являлась разностью потенциалов.
Задача Дирихле — Неймана. В данном графе определить по-
ток <р, для которого z (и) = г (и) ср (и) есть разность потенциалов,
если в некоторых вершинах х заданы избытки #(х), а а осталь-
ных вершинах — потенциал р х).
Эти задачи первоначально возникли при изучении электрических
цепей, но их можно поставить также во многих областях чистой
математики или в исследовании операций, Поэтому мы считаем
нужным привести здесь несколько простых и легко приложимых
результатов.
Пример 1. Разбиение прямоугольника на квадраты. Данный
прямоугольник требуется разбить на п квадратов, из которых никакие
щий такое разбиение,, назовем совершенным прямоугольником- по-
рядка п. Долгое время считалось, что совершенных прямоугольников
не существует; первый пример был построен в 1925 г. Мороном
ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛА
263
(Moron), а общая теория намечена Спрагом [б] и далее Бруксом,
Смитом, Стоуном и Таттом [2].
Заметим, что с каждым совершенным прямоугольником можно
сопоставить, как показано на рис. 1 и 2, некоторый граф G (вер-
шинами которого служат горизонтальные стороны квадратов). Этот
граф обладает замечательными свойствами: он плоский, связный и
не имеет точек сочленения; кроме того, на G существуют поток у (и)
и разность потенциалов те (а) = ср (и), причем значения ср на разных
дугах различны.
Нахождение совершенного прямоугольника порядка п сводится
вершинами такого частичного
графа, для которого задача Дирихле с сопротивлением г(«)=1
имеет решение с попарно различными значениями координат.
При п < 9 совершенных прямоугольников порядка п нс суще-
ствует; при п = 9 имеется ровно два таких прямоугольника; они
изображены на рис. 1 и 2.
Пример 2 (экономика). Рассмотрим следующую упрощенную
экономическую модель: пусть точки изображают промышленные
предприятия Xj, х2, .... хк и виды продукции у,. у2,	у,; если
предприятие х, использует продукты у, и у2 для производства про-
дуктов Уз и у4, то чертим дуги:
(Ур	(xi> Уз>’ (xi> М
Если (уу, xi)£U' то проводимость этой дуги будет clf < 0, где
| clj | — количество продукта уу, потребляемое предприятием х£, когда
интенсивность работы последнего равна единице; если же (хР ур£ U.
то проводимость будет с' > 0, где — количество продукта уу,
производимого предприятием х1 при единичной интенсивности работы.
Для каждого J исходный запас продукта Уу равен а коли-
чество этого продукта, которое требуется получить, равно
264
ДОБАВЛЕНИЯ
с какой интенсивностью должны работать предприятия, чтобы до-
биться этого результата?
Положим
Я (У;)
/’(Ур = о.
Если существует поток удовлетворяющий этим условиям при
проводимостях с|, то выражает искомую интенсивность для х{.
Если и = (ур x^U, то количество продукта у;-, потребляемого
предприятием хг, будет
?	= р (х/) (- = с‘> Р w - р ол
Если	то количество продукта у}-, изготовляемого
предприятием xlt будет
? (л- у,) = р (х<) = c‘j \р (О - р о
Мы пришли, таким образом, к задаче Дирихле — Неймана.
Задача Дирихле с сопротивлениями /•(«)> О
Положим для простоты г (up = Гу, с (ир=Су, p(xi)=pr q(xt) = qt,
ср(«Р = сру, т(ир = т7г рассмотрим векторы р = (/?], р2,.	рп),
Ч=(?,.?г- Як)’ ?=(?! =?2......... ?,») и ’'=(’'!• ^2... *„,)•
Будем пользоваться матрицей инциденций 5 = ($р для дуг, где
{О, если х, не является граничной точкой дуги Up
-|-1, если xt есть начало дуги и.-;
— 1, если есть конец дуги
Мы используем также диагональную матрицу С = (ср, где
[ 0 при I 4-- j.
С. =
}	| с;- прн 1 = J.
Если	х2)— дуга графа, то можно написать
z7 = z(«/)^/,(x1) —р(лг2)=	=^sj- ₽)'
?)•
Поэтому
f л S*p,
(1)	q =5<р,
' ср =Ся.
ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛА
265
Теорема 1. Задача Дирихле с сопротивлениями г(и)'^<д
имеет решение ср, притом единственное.
1° Единственность. Пусть ср и ср'—два потока, удовлетворяю-
щие условиям задачи: потоку ср' соответствуют избыток q', разность
потенциалов я' и потенциальная функция р'; имеем q' = q, откуда
2 с.	2 (с^.-С^) (г. .-=_ J (ср .	[2 s‘ (/>,-рJ j=
= 2 (р, - р?) [2 si (?, - ъ)] = 2 (л - />;) (?,- - ч\) = о-
Так как с. > 0 при всех j, то т: —и, следовательно,
2° Существование. Задача состоит в следующем: дан вектор
q = (7,, q2, .... qny, ищется такой вектор р— (р}, р2, .... рп), чтобы
q =	= 5CS*p.
Эта система п линейных уравнений с п неизвестными такова,
что ее решение, если оно существует, единственно; значит, разре-
шимость имеет место тогда и только тогда, когда
Det(SCS*)=£0.
Последнее же соотношение непосредственно вытекает из теоремы
Ольги Таусски об определителях [7]]).
В задаче Дирихле — Неймана с избытками q(x), заданными
на множестве АаХ, и потенциалами р(х), заданными на X\<4,
единственность доказывается точно так же, как выше; что же ка-
сается существования, то оно было доказано Даффином [3] другими
методами.
Теорема 2. Пусть Ф — множество потоков ср, совмести-
мых с избытками qx, q2.........qn, и пусть гр л,.........гт':>0‘,
поток ср g Ф, для которого Sf/Cfy)2 достигает своего наимень-
шего значения,—единственный и представляет собой решение
задачи Дирихле (о которой идет речь в теореме 1).
Обозначим через ср решение задачи Дирихле, через у' — произ-
вольный поток из Ф и положим ф'(й) = ф(«)4-®(и)‘ Имеем
2 г! = 2 (г/с₽] + 2r,V; + ГГ1) = 2 rfii (Т/ -Т +
+ 2 (г;)2 =- 2	+ 2 2 r-j w — '?;) + 2 rl Ч/)3-
!) Эффективное решение системы является классическим в электро-
технике, и здесь можно успешно применять теорию графов в сочетании
с методом Крона (см., например, [8]). (Теорема Таусски имеется также в
книге Пароди М., Локализация характеристических чисел матрицы и ее при-
менения, ИЛ, Москва, 1960, гл, П, § 1. — Прим, перев.)
266
ДОБАВЛЕНИЯ
Но
5 ту (5 s'jP^ = 5 Pi4i-
Точно так же
= 2л?>-
Отсюда, окончательно,
S rj (’f')T = 2 ра.+-2 rs (s,.)2.
Из этой формулы видно, что наименьшее значение достигается
при s = 0, т. е. при ср'==ср.
Задача Купманса
Рассмотрим множество портов х,, х2, .... хп и множество линий
морских перевозок иу, и2.....ит. Пусть dj = d{Uj')— время, за-
трачиваемое грузовым судном на холостой рейс по линии и;., и пусть
qi = q(xi) — средний избыток пустых судов в порту dit > О,
порт xi ввозит больше, чем вывозит, и излишек надо распределить
по порожним кораблям, идущим в другие порты. Пусть ср, = <р(я.)—
количество пустых судов, которое предполагалось отправить по ли-
нии uf. Задача состоит в определении потока ср, совместимого
с избытками и минимизирующего полную стоимость перевозок,
равную (с точностью до постоянного множителя)
т
2	(«,) = (d. <р).
Поставленная задача относится к общей категории транспортных
задач, для которых выше был дан алгорифм (см. Добавление II,
пример 4). Тем не менее применение потенциальной функции и
аналогия с электрическими сетями позволяют получить несколько
иную процедуру.
Итак, пусть U — множество всех рассматриваемых линий морских
перевозок (с указанием направлений), а (X, U) — соответствующий
граф.
Мы скажем, что частичный граф (X, И) является оптимальной
опорой, если существует поток ср, совместимый с избытками qt,
минимизирующий (d, 9) и такой, что
9 (и) > 0 при и g И,
ф (а) = 0 при u^UW,
ПОНЯТИЯ ПОТЕНЦИАЛА
267
Теорема 3. Если (X, V) — оптимальная опора, то для
каждой вершины- х£Х существует такое число р(х}, что
(<*(-*.	р(х)\ при (JC, у)£(7,
I d(x, у)=-= р(у) — р(х) при (х, y')£V.
Пусть (X, И) — оптимальная опора, ср — соответствующий опти-
мальный поток. Граф (X, 1Z) можно считать связным (в противном
случае мы рассмотрим каждую компоненту отдельно). Выберем
в этой опоре произвольную вершину х0 и положим р(х0) = О; при
(х, х0) £ V положим
р (х) = р <х0) — <1(х, х0);
при (х0, у) £ V положим
р(у) = р(х0) + й(х0, у).
Всякий раз, определив р в некоторой вершине графа, мы можем
определить эту функцию во всех смежных вершинах, где она еще
не определена, и, таким образом, шаг за шагом определить р
на всем X.
Допустим, что существует дуга и = (х, y)£t/, для которой
d(x> у)< Р(у) — р(х),
и покажем, что это допущение приводит к противоречию. Дуга (х, у)
входит в состав некоторого проходящего через х0 цикла вида
^ = [х0, х].....xz_1 = x, х^у, хй = х0],
где
(х£, или (х^, хг)£1/	(/¥= Л J-C/e).
Обозначим через V' (у) множество дуг р, ориентированных
в направлении обхода, через И" (у)—множество дуг у, ориентиро-
ванных в противоположном направлении, и определим поток ф сле-
дующим образом:
ф (и) Г--<р (и)-j-1 при и £ V' (у),
ф (а) = ср (и)—1 при «£Г"'(у),
ф(п) = ср(«) при «^'(у), «^^(р).
Этот поток ф заведомо совместим с избытками и более выгоден,
чем ср, ибо экономия стоимости составляет
5 ^(«)— S d(u) = — d(x, у) + р (х0) —/>(*,)+
+ p(*i) —pO2) + • • • = — <*(*, у) + р(у) —p(*) + o > о.
Но это противоречит оптимальности <р.
Таким же способом доказывается, что не существует дуги
?)=(х, y)£V, для которой
<Цх- у)> р(у) — р(х).
Следовательно, имеет место (1).
268
ДОБАВЛЕНИЯ
Теорема 4. Если (X И) -— опора1) некоторого потока ср,
совместимого с заданными избытками, и если существуют
числа р(х), удовлетворяющие условию (1), то поток ср — опти-
мальный.
Имеем
2 d W (“) = 2 d (иЛ ? (и,) = - 2 Т (“;) ( 2 ^Pi =-
u£U	iijtV 1	' MyCV' V=l 7	/
п f т \	п
= — 2 pi (2	} = — 2 Pi4i-
Для произвольного потока ф, совместимого с избытками, имеем
222^Pi) = — 2Pt( 2%)=—2/w<-
a£U	j-1 7 \/ = 1 7 /	z = l	V=1 7 7/	f = l
Поэтому <p является оптимальным потоком, а (X, V) — оптималь-
ной опорой.
На этих результатах основан весьма общий метод решения задач
рассмотренного типа. Задавшись возможно более правдоподобной
антисимметрической транспортной сетью (X, И), выясняем, является ли
-(л:, у) =— d(x, у) разностью потенциалов для этой сети. В произ-
вольно выбранной вершине х0^Х полагаем р(хо) = О; с помощью
итерационного процесса определяем значение р(х) в каждой вер-
шине следующим образом: если в х, значение р уже определено,
то в вершине у (еще не имеющей значения) полагаем
(^1)4- d(xv у) при (х,, y^V7,
Р(У) = POi) — У) при (У. XiKzV.
Если существует такая дуга (х, у)£ V, что р(у) — р(х) < d(x, у),
то удаляем ее из нашей транспортной сети. Если же имеется дута
(х, y)£U, для которой р(у)— р(х) > d(х, у), то улучшаем кон-
фигурацию сети по способу „кругового потока0 (см. теорему 3).
Таким образом рано или поздно получим
р (у) — р(х) — (1{х, у) при (х, у)£И,
Р(У)~ р(х) < d(x, у) при (x,y)£U\V.
Новая транспортная сеть (X, И), как легко проверить, допускает
поток, совместимый с избытками, а общий способ нахождения такого
потока был дан выше (гл. 16, стр. 168).
*) Определение опоры естественным образом содержится в определении
оптимальной опоры, данном выше. — Прим, перев.
ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛА
269
Следуя Купмансу и Рейтеру [4]. применим в качестве примера
этот алгорифм к морским путям между портами, зарегистрированным
в 1913 году. Получается схема, изображенная на рис. 3.
Рис. 3. Граф оптимальных холостых рейсов судов в 1913 г.
— па пунктирных линиях: продолжительности d (х, у) рейсов в десятых
долях месяца, х(х, у) =—-J(x.y) представляет собой разность потенциалов;
— обведено кружком: значение р(х) для порта х\
— в скобках: ежемесячный избыток порожних транспортных средств q (л)
в миллионах тонн.
(Эта карта заимствована из [4] с разрешения авторов).
Здесь транспортная сеть является деревом. Она содержит в силу
теоремы 2 (гл. 16) висячую дугу, а так как поток по такой дуге
определяется однозначно, то ее можно удалить (соответственно испра-
вив избытки в ее граничных точках); то же самое проделаем с по-
лученным деревом. Таким путем шаг за шагом находим:
у (Иокогама, Сидней) = 170
с (Сан-Франциско, Сидней) = 20
ср (Дурбан, Сидней) = 50
ср (Дурбан, Ла-Плата) =50
(Лагос, Ла-Плата) = 120
(Афины, Ла-Плата) = 130
¥ (Афины, Одесса) = 960
¥ (Афины, Бомбей) = 290
¥ (Афины, Сингапур) = 20
tf (Афины, Нью-Йорк) — 150
ср (Сент-Томас, Нью-Йорк) = 350
¥ (Лиссабон, Нью-Йорк) == 780
tf (Лиссабон, Роттердам) = 460
Следовательно, поток ср
транспорта; конечно, в
один и тот же тоннаж.
q (Сидней) = — 240 + 170 = — 70
q (Сидней) — — 70 4- 20 = - 50
q (Дурбан) = 100 - - 50 = 4~ 30
q (Ла-Плата) = — 300 4- 50 = — 250
q (Ла-Плата) = — 250 -Н 120 = — 130
q (Афины) = 1550— 130 = 4- 1420
q (Афины) = 1420 — 960 = 4- 460
q (Афины) = 460 — 290 = 4- 170
q (Афины) = 170 — 20 = 4~ 150
q (Нью-Йорк) = — 1280 х 150 = — ИЗО
q (Нью-Йорк) = 1130 — 350 = 4- 780
q (Лиссабон) = 1240 — 780 = 4-460
q (Роттердам) = 0.
стоимость порожнего
что все суда имеют
минимизирует
задаче предполагается,
IV. Нерешенные задача
а недоказанные предположения
Нижеследующий список содержит нерешенные проблемы, которые
представляются нам особо важными.
1.	Глава 4. Задача о пятнадцати девушках (стр. 44) приводит
к другой задаче, не решенной до сих пор, несмотря на усилия Силь-
вестра. Кэли н многих современных алгебраистов: замечая, что число
троек равно 7/5Х 13, Сильвестр поставил вопрос, можно ли водить
воспитанниц на прогулки в течение 13 недель таким образом, чтобы:
1° каждую неделю всякие две девушки оказывались вместе один
и только один раз;
2° в течение 13 недель всякие три девушки оказывались вместе
один и только один раз.
Если рассмотреть граф G, вершинами которого служат 455 воз-
можных троек и в котором ребро соединяет всякие две тройки, раз-
личающиеся не более чем одной девушкой, то задача сведется к до-
казательству того, что хроматическое число графа G равно в точно-
сти 13; оно никак не может быть больше 13: аналогичное утверждение
было доказано в „задаче о 9 девушках*1. С помощью алгорифма
Гомори, нашего замечания па стр. 42 и современной вычислительной
машины мы, без сомнения, можем подтвердить или опровергнуть
предположение Сильвестра в том виде, как оно сформулировано выше.
Укажем, что задача о тройках важна в теории „планирования
опытов1* и обобщается следующим образом: если p-^k^m, то
назовем системой [&, р. т\ семейство S множеств, содержащихся
в некотором множестве Е из т элементов, имеющих по k элементов
и таких, что всякое Рс.Е, для которого j/-5! — р. содержится точно
в одном	Известно (Штейнер), что системы [4, 3, /и] суще-
ствуют тогда и только тогда, когда
т = 2 или 4 (mod 6).
Известно также [Мур (Е. Н. Мооге) и Рейсс (М. Reiss)], что
системы [3, 2, т] существуют тогда и только тогда, когда
т ~ 1 или 3 (mod 6).
ЗАДАЧИ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
271
Конструктивное доказательство без помощи индукции было недавно
дано Ханапи [1].
2.	Можно показать, что если G — конечный граф, то числа
п 	
У а (О”) имеют конечную верхнюю грань; видимо, эта верхняя
грань всегда получается предельным переходом, но предложение
это не, доказано. Также очень важно было бы показать, что если
п\\ _____________________ п_________
fl (G) =£ а (О), то Va(Gfl+1)—Иа(оя)>0 для бесконечного мно-
жества значений п.
[Предположение, высказанное Шюшепбергером (М. Р. Schtit-
zenberger).]
3.	Какова емкость 6(G) графа G, изученного Шенноном (см,
рис. 4—8)?
4.	Глава 5. Обладает ли ядром сумма двух графов, каждый
из которых имеет ядро? Это было доказано только для случая,
когда каждый из графов-слагаемых допускает функцию Гранди1).
5.	Глава 6. Если игры Ним (А'р Г,), (Х2, Г2), .... (ХР Гя) допу-
скают функции Гранди, то их произведение не всегда допускает
функцию Гранди; однако можно доказать существование такой функ-
ции в случае, когда 1’^ = 1^ (при / = 1, 2...п). Очень важно
было бы улучшить это условие, .мало пригодное для фактического
использования.
6.	Глава 10, Когда r простом графе задано наибольшее паро-
сочетание W (образованное сильными ребрами), каждая чередующаяся
цепь |i позволяет определить новое наибольшее паросочетание
W'=(W\p.)U(lx\ W).
То же имеет место, когда р. является чередующимся циклом чет-
ной длины, и такую операцию мы называем „перемещением*. Важная
и не решенная еще задача состоит в следующем: даны два наиболь-
ших паросочетания W и W простого графа\ можно ли полу-
чить W' из W конечным числом перемещений?
Если каждая вершина хбХ смежна с каждой вершиной
то справедлив более сильный результат, именно всегда можно полу-
чить W' из W надлежащими перемещениями в циклах длины 4; см.
теорему 2 (гл. 9).
’) Самые простые примеры показывают, что сумма двух графов, имею-
щих ядро, может ядра не иметь. Это будет, например, выполняться для
графов Gj = (Хр Г]) и G2 = (Х2, Г2), где Л) = {a, b, с, d}, Х2 == {е, f},
—	Г^=={с, d), Г]с=(й, d\, Г]^=0, Г2£ — f, Г2/=0- —
Прим, ред.
ДОБАВЛЕНИЯ
272
7.	Глава 11. Задача о книгах (см. стр. 123) не решена для случая
трех издательских операций вместо двух.
8.	Удивительно, что до сих пор мы не располагаем систематическим
графическим алгорифмом для нахождения гамильтоновых контуров
графа; единственный известный алгорифм является аналитическим и,
видимо, может быть улучшен. Его можно описать следующим обра-
зом: каждому фактору отнесем числа 0, где = если фактор
содержит дугу (xit xj), и — 0 в противном случае. Имеем тогда
систему соотношений
О q,j О;,
<1> <'«”>
2 0 = 1 и < «)
1=1
Если решение системы (1), получаемое симплекс-методом, ие обра-
зует гамильтонова контура, то оно содержит некоторый элементарный
контур L-V/,.	. .]. где 12,	— множество, состоящее
менее чем из п индексов. Каждый гамильтонов контур удовлетворяет,
кроме (I), условию
(2)	2 2
К! J<11
Ищем затем с помошыо симплекс-метода решение системы (1)
и (2), которое, очевидно, будет отличаться от уже найденного. Если
новое решение опять не образует гамильтонова контура, то выводим,
как выше, некоторое неравенство (3) и ищем симнлекс-методом ре-
шение системы (1), (2), (3) и т. д. Таким способом мы через конеч-
ное число шагов получим гамильтоиов контур (если он существует).
Можно ли провести эту идею в терминах транспортных
сетей???
9.	Глава 13. Пока не доказано следующее предложение: если
G — сильно связный граф с цикло матиче с ким числом v (G) > 1,
то существует такое множество трасс, что каждая вершина
принадлежит по крайней мере двум из этих трасс. Это предло-
жение, очевидное для розеток, тривиально в случае, v((7)>>n, так
что можно ограничиться рассмотрением случая l<v(C)<n. Его
важность обусловлена тем, что можно доказать неравенство
8*0» VW "1-
ЗАДАЧИ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
273
[Предположение Брэттона (D. Bratton/]
10.	Глава 14. Метод Уэя — Кендалла (Wei, Kendall) (стр. 149)
заключается в составлении регулярной матрицы D с нулями на глав-
ной диагонали и в нахождении ее собственного вектора у, отвечаю-
щего наибольшему характеристическому числу X; координаты у по-
зволяют тогда квалифицировать п игроков.
Рассмотрим теперь игру со стратегией (см. cip. 248), отвечающей
матрице -у/ — D, между игроком, выбирающим строку, и игроком,
выбирающим столбец; Томпсон показал [2], что искомый вектор у
выражает также оптимальную стратегию (необходимо единственную)
игрока, выбирающего столбцы; доказательства требует следующее
предположение; оптимальная стратегия игрока, выбирающего
столбцы, в игре I — — D выражается той же классификацией,
которую дает вектор у.
(Предположение Томпсона.)
11,	Глава 20. Какова наибольшая связность графа с п вер-
шинами и т ребрами? Эта задача представляет такой же интерес,
как и задача о нахождении наименьшего диаметра графа.
12.	Глава 21. Теорема о четырех красках может оказаться след-
ствием одного весьма общего предложения, которое удалось прове-
рить для многочисленных семейств графов.
Пусть X—множество вершин связного неориентированного
графа. Я буду условно говорить, что некоторое разбиение X является
„вполне связным*, если каждый класс или объединение классов поро-
ждает связный подграф. Далее, я обозначу через FTft множество раз-
биений X на k классов. Теорема, которую требуется доказать, фор-
мулируется следующим образом: если при каждом разбиении
существуют две смежные вершины одного и того же класса, то
вПя11 имеется вполне связное разбиение.
Эта теорема очевидна при л=1 и в = 2 и довольно просто
доказывается при « —3. Если бы удалось доказать ее при п = 4.
то гем самым была бы доказана и теорема о четырех красках, по-
скольку у плоского графа ие существует пяти попарно смежных
вершин.
[Предположение Креверас (G. Kteweras).]
13.	Другое предположение, не доказанное и не опровергнутое,
из которого вытекала бы теорема о четырех красках, состоит в сле-
дующем: всякий плоский однородный граф степени 3 без перешей-
ков обладает фактороидом, все циклы которого — четной длины,
[Предположение Тэта (Р, G. Tait).]
18 К Ворж
274
ДОБАВЛЕНИЯ
14.	Наконец:
Пусть S — поверхность, G — S-топологический граф с хрома-
тическим числом k\ при помощи отождествления смежных вер-
шин (т. е. стягивания ребер) можно получить полный граф с k
вершинами.
Это предположение доказано во многих частных случаях Дираком
(G. Dirac); если доказать его для k = §, то отсюда будет вытекать
теорема о четырех красках.
[Предположение Хадвигера (Hadwiger).p)
’) Так как 5-топологичсский граф после стягивания любого ребра
остается S-топологическим, то из формулировки предположения Хадвигера
можно вовсе исключить упоминание о поверхности. Получим высказывание:
всякий граф с хроматическим числом k можно при помощи стягиваний
ребер превратить в полный k-вершинный граф-, из справедливости этого
предположения при k = 5 по-прежнему вытекает теорема о четырех крас-
ках. — Прим, перев.
V. О некоторых основных принципах
подсчета
Риге (J. Rlguet)
Если для данного графа G нужно подсчитать число различных
типов подграфов пли частичных графов, удовлетворяющих опреде-
ленным условиям, то задача требует алгебраического аппарата; мы
ставим здесь целью изложить в весьма общей форме наиболее суще-
ственные принципы.
Подстановки множества
Пусть X—конечное множество; назовем подстановкой множе-
ства X всякое взаимнооднозначное отображение X на X. Например,
такое отображение е, что е(х) = х при любом х^Х является под-
становкой, называемой единичной подстановкой. Если g— подста-
новка X, то обратное отображение g-1 также есть подстановка X,
Если g и h — две подстановки X. то результирующее отображе-
ние gh, определяемое как gh (х) = g [й(х)], является подстановкой X.
Если g — подстановка X. а п — натуральное число, то отображе-
ние gn, по определению равное
gn<x)^ggg . . . g(x),
есть подстановка X, называемая л-й степенью подстановки g. Ото-
бражение g~n, равное, по определению,
g~n(x)~	... g-1O).
также представляет собой подстановку X, называемую минус л-й
степенью подстановки g. Часто полагают g° = e.
Если для двух элементов х, у£Х существует такое целое
число п, что y = g"(x), то мы напишем y^gX. Отношение ~g есть
эквивалентность, ибо
x = g°(x) (рефлексивность),
у — gn (х) х = g~n (у) (симметрия),
y = g'2(x), z = gm(у) z = g^vn (х) (транзитивность).
Отношение т называется транзитивной эквивалентностью для
подстановки g. Как известно, каждое отношение эквивалентности
18*
276
ДОБАВЛЕНИЯ
на множестве. X определяет разбиение X на попарно нспсресекаю-
щиеся классы эквивалентности; классы эквивалентности для g назы-
ваются классами транзитивности подстановки g.
Циклом подстановки g называется всякая подстановка, которая
получится, если область действия g ограничить одним из ее классов
транзитивности; сама подстановка g представляет собой произведение
циклов, взятых в любом порядке.
Пример. Пусть Х=’а. b, с, d, е}, а подстановка g определена
так:
g(a) = d, g(b) = c, g(c) = b, g(d) — e, g(e) = a.
Обычно пишут
fa b c d e\
g = (	1.
\dcbeaJ
Классами транзитивности g служат подмножества \a,d,e} и с),
а соответственные циклы суть подстановки
fa	d	е	b	с\	fb	с	a	d	е\
} и (	),
\d	е	а	b	с /	\с	b	a	d	е J
обозначаемые также более просто через (ade) и {be). Таким образом,
можно написать
g = (ade)(bc).
Если р — эквивалентность на множестве X, то множество классов
эквивалентности называют фактор-множеством X по р и обозна-
чают символом Х/р. Если все классы эквивалентности С^Л/р обла-
дают одим и тем же числом элементов, то говорят, что отношение
эквивалентности р регулярно.
Подстановка g множества X называется регулярной, если х—
регулярная эквивалентность; в этом случае из x = gn{x) для неко-
торого х£Х следует y = ga{y) для всех у£Х.
Транзитивная эквивалентность группы подстановок
Говорят, что множество G подстановок множества X образует
группу, если
1°	е^Сг,
Т g.h^G^gh^G-
3”	g^G^g-'^G.
Например, множество Sx всех подстановок X является группой,
называемой симметрической группой множества X. Множество
{в, g. g1, g2. ..g~l. g~2. ...J.
ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
277
составленное всеми целыми степенями одной и той же подстановки g,
образует группу, называемую циклической группой, порожденной
подстановкой g.
Пусть G— некоторая группа подстановок множества Az; если
для двух элементов х, у£Х существует такая подстановка g£(7,
что y = g(x), то мы напишем yzGx. Отношение т0 есть эквивалент-
ность, ибо
х = е(х), е £ G (рефлексивность);
У = g (X), gfG =ф х = g~l (у), g-' g G (симметрия);
у  g(x), g g G I
г = Л(У) h^G | z — llS(x'>' hg^G (транзитивность).
Отношение ~0 называется транзитивной эквивалентностью
группы G, а соответственные классы эквивалентности — классами
транзитивности группы G.
Если имеется только один класс транзитивности, то он совпадает
со всем множеством X; в этом случае говорят, что группа G тран-
зитивно.
Если g—подстановка X, a G — циклическая группа, порожден-
ная g, то, очевидно, транзитивная эквивалентность g совпадает с тран-
зитивной эквивалентностью О; подстановка g состоит из одного-
единственного цикла тогда и только тогда, когда циклическая группа,
порожденная g, транзитивла.
Подсчет числа классов транзитивности
Пусть g — некоторая подстановка X; положим
Xg= [x/xgA, g(x) = x|.
Для произвольной группы G подстановок X и произвольного
элемента х £ X положим
°t= {g/g(:a. g(x) = x}.
Непосредственно проверяется, что Gx образует подгруппу группы G.
Поставим задачу о подсчете числа элементов фактор-множества XftQ
в зависимости от различных |X | при g^G.
Лемма 1. Пусть G — некоторая, группа подстановок множе-
ства X, Gx — подгруппа G, образованная теми подстановками G,
которые оставляют неизменным некоторый элемент х£ Х\ тогда
м*)1 =
где -з0(х) означает тот класс транзитивности группы G, кото-
рый содержит элемент х.
278
ДОБАВЛЕНИЯ
Определим однозначное отображение группы G в множество X
следующим образом:
(?) = g (*) (ё € G).
Имеем (G) — т0 (х); кроме того,
(?) = W <==> ё (*) = /> (х) <==ф h £ gGx.
Иначе говоря, с?г есть взаимнооднозначное соответствие между
и G/Gx.
Но. как известно, само G/yxlyx находится во взаимнооднозначном
соответствии с ух (G) = zG (х); тем самым лемма доказана.
Лемма 2. Если х и у— два элемента одного и того же
класса транзитивности группы G, то
|OJ=|O,I-
Действительно, для y = g(x), g£G можно написать
Оу = ОгМ = (Л/Л£О, Ag(x) = g(x)j = {A/Ago, g~'/ig(x) = x}.
Далее,
g~lGxg — {h/h£G; существует такое k£Gv, что h = g~ikg} =
-{Mh^-G, g^hg(x) = x}.
Значит, имеем окончательно Gy = gGvg-1; но, как известно, если
А — любое подмножество группы G, a g, h£G, то |^ЛЛ| = |Д|, ибо
gaTh = ga2h гф a{h — a2h тф а} = а2.
Таким образом, лемма доказана.
Основная теорема. Пусть G — группа подстановок мно-
жества Х\ тогда
g^G
В самом деле, подсчитывая двумя способами такие пары (g, х)
для которых g{x) — x, находим
2|oj==2Xgl-	(О
g£Q К
Но
2|oj= 2 2 |oj.	(2)
х£Х	С€Х/тосеС
ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
279
Рассмотрим некоторый класс транзитивности C^XfxG и некото-
рый элемент	в сил}’ леммы 2
SIOJ =ф0О)1 • IOJ-
с^С
В силу леммы 1
|т0(х) I = I а и OJ.
Следовательно,
2 |о,1 = |0|.
и равенство (2) можно записать так:
2|OJ = l^o|- |О|.	(2')
х£Х
Сравнивая (1) и (2'), получаем требуемую формулу.
Разбиение, связанное с эквивалентностью
Назовем разбиением (в смысле теории чисел) однозначное ото-
бражение а множества (Хр Х2.....XJ натуральных чисел в множе-
ство всех натуральных чисел; разбиение, относящее числам Хр Х2.Х5
соответственно числа ар а2, .... ар удобно обозначать через
.....44-
Ясно, что это понятие нельзя смешивать с тем понятием разбие-
ния, (в смысле теории множеств), которое было определено в гл. I,
но последнее нам здесь не понадобится. Будем называть весом раз-
биения а целое число
(а) — iZjXj~Ьа2^24“ •••
Назовем размерностью разбиения число
d (а) = stj —|— ot2 4~ ,.. —|—
Пример. Разбиение (I3, З2, 4) имеет вес 13 и размерность 6; ему
отвечает следующее разложение числа 13 в сумму натуральных чисел:
13^4 + 3 + 1 4-34- 1 4-1.
Пусть р — отношение эквивалентности на множестве X, а ср —
взаимнооднозначное отображение X на множество У; тогда много-
значное отображение <ррср~* множества Y в себя определяет эквива-
лентность на Y, классы которой ср??"1 (у) являются образами классов
эквивалентности р.
Два отношения эквивалентности р и о, определенные соответ-
ственно на множествах X к Y, называются сопряженными, если су-
ществует такое взаимнооднозначное отображение ср, что а = ^р©-1.
280
ДОБАВЛЕНИЯ
Разбиение, связанное с отношением эквивалентности р,—это
разбиение
»’1р] =(>?, л?, ...),
причем ровно 04 классов содержат по X, элементов, а2 классов —
по Х2 элементов и т. д. Вес р [р] равен | Z|, а размерность равна
]А7р(. Легко доказывается
Предложение 1. Отношения эквивалентности р и о, опре-
деленные соответственно на множествах X и Y, сопряжены
тогда и только тогда, когда связанные с ними разбиения оди-
наковы.
Пример. Аг={а, b. с, d, е, f, g\, р определено классами экви-
валентности:
(“• ь. с}, jrf, е], {/), (gj.
Прн подстановке <? = (adg)(be)(cf) эквивалентность а = сррср-1
имеет классы:
{d, е, /}, {£, S), {с}, (л).
Ясно поэтому, что р [р] = р [^] = (12, 2, 3).
Циклический индекс
Понятие разбиения, связанного с данной эквивалентностью, по-
зволяет по-новому сформулировать основную теорему. Сначала вве-
дем понятие индекса, принадлежащее Пойа.
Пусть G— группа подстановок множества X, a ft — некоторое
разбиение с весом w(a)=|Ar!; обозначим через Л0(п) число таких
подстановок g£G, что р — й.
Назовем циклическим индексом группы G функцию qG, которая
каждому разбиению « относит число
Лемма. Если g£G, то
1^1-14^1(1),
где р[т^](1) — число классов эквивалентности tg, сводящихся
к одному элементу, то есть таких классов, каждый из которых по-
рожден некоторым элементом X, инвариантным относительно g.
Новая формулировка основной теоремы. Если
Q — группа подстановок множества X, то
|х/то|= «(Л|хЛ(л)11(1)'
ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
281
Действительно,
I = Toy S I = Тот S Р Ч) =
zta	' g(o
= ГёТ S ло<ч)Я(1)= У y0(,l)Ct(l).
w(a)=|tf|	w(a) = |Xi
Сопряженные однозначные отображения
Пусть /— однозначное отображение множества X в некоторое
множество Y\ отображение /-1/ определяет отношение эквивалент-
ности на X, причем класс f~lf(x) представляет собой множество
тех элементов X, которые имеют тот же образ, что и х; мы ска-
жем, что f есть отображение типа а, если а==р[/"1/].
Пусть Д — однозначное отображение некоторого множества Xj
в некоторое а /2—однозначное отображение некоторого Х2 в
некоторое Y2; будем говорить, что Д и /2 сопряжены-, если сущест-
вуют такие взаимнооднозначное отображение с? множества Х{ на Х2
и взаимнооднозначное отображение ф множества Kj на К2, что
Л? = ф/1-
Предложение 2. Два
сопряжены тогда и только
однозначных отображения и f2
тогда, когда р[/"Vi] = Р[№/2]-
Предложение 3. Для сопряженности двух однозначных
отображений и f2 множеств Хх и Х2 в К достаточно, чтобы
существовало такое взаимнооднозначное отображение мно-
жества Хх на Х2, что f2v — fx.
Степень однозначного отображения
Пусть /— однозначное отображение конечного множества X на
множество Y\ назовем степенью отображения / такое отображе-
ние оЛ которое каждому относит количество элементов мно-
жества f“l (у).
Предложение 4. Два отображения fx и f2 множеств Хх
и Х2 в Y имеют одну и ту же степень тогда и только тогда,
когда существует такое взаимнооднозначное отображение ср
множества Х} на Х2, что
В частности, из §f{ — Zf2 следует, что Д и /2 имеют один и
тот же образ и сопряжены.
282
ДОБАВЛЕНИЯ
Отсюда, как и прежде, вытекает, что отображение f есть ото-
бражение типа а тогда и только тогда, когда 38/ = а, т. е. когда я
есть разбиение, связанное с 8/.
Предложение 5. Если отображение f — типа а, то ото-
бражение Zf—типа За.
Действительно, из 88/= а следует 888/ = 8а.
Пусть v — однозначное отображение некоторого конечного мно-
жества X в множество натуральных чисел; назовем размерностью v
число
а (у) = 2ч
(в случае, когда v представляет собой разбиение, мы снова получаем
понятие „размерности разбиения1').
Предложение 6. Имеем'.
d(v) = ^(8v),	= </(8v).
Отсюда следует, что если / — однозначное отображение X ъ Y
типа а, то
|X|=w(a),
Слова и абелевы слова
Будем называть словом всякую конечную последовательность
элементов заданного множества X. Типом слова т назовем разбие-
ние а = (Х*', Х^,	Х^), которое указывает, что имеется а, эле-
ментов X, фигурирующих в т ровно Xj раз, <х2 элементов, фигури-
рующих \ раз, и т. д. Таким образом, число элементов X, фигури-
рующих в т, будет d(а), в то время как длина слова равна w(a).
Когда слово рассматривается независимо от порядка расположе-
ния в нем элементов X, говорят, что это абелево слово.
Пример. Если Х~[а, с, р, q, г, £}, то слово trcpaccaqtr имеет
тип (I2, 23, 3). Если это слово абелево, то оно тождественно, напри-
мер. слову aacttrrpqcc\ весьма часто его отождествляют с отобра-
жением X в множество натуральных чисел, именно
f а с р q г t\
\2 3 1 122/
Если слово trcpaccaqtr не является абелевым, то его отожде-
ствляют с отображением интервала /п = {1, 2, 3, 4, ..., 11} на X.
именно
/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ИХ
т = (	, J.
\trcpaccaqi г /
ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
283
Поэтому его степень представляет собой абелево слово
fa	с	р	q	г	t\
5m = G	3	1	!	2	j'
Его тип есть разбиение
В дальнейшем мы через М(Х) будем обозначать множество слов,
содержащих каждый из элементов X хотя бы один раз; через
МА(Х)— множество слов М (X) типа д; через М^(Х)— множество
тех слов М [X), для которых абелево слово есть v; через /WZ(X)— мно-
жество слов Ж (Л-) длины I. Через обозначаем интервал {1,2.I].
Наконец, пусть G— группа подстановок множества lt и пусть
g^G.
Обозначим через g подстановку множества Mt(Xy определяемую
следующим образом:
g (да)  nig (т £ (Az)).
Предложение 7. Множество G подстановок g образует
группу, называемую продолжением G на /И:(Х).
Действительно, если g и Л — две любые подстановки множе-
ства /р то
gir' ^g-7r\
Если а — заданное разбиение, то множество Alv1 (X) слов типа а,
образованных из X и содержащих все элементы X, является объ-
единением попарно непересекающихся подмножеств, образованных
из Afv(2C), где v — степень а:
<(Х) = им>(Х).	(1)
Но существует и другой способ разложения (Ху Именно,
рассмотрим отношение эквивалентности р на множестве целых чисел
jl, 2, .... s—1, 5} и обозначим через М„(Х) множество тех
т£М(Х), для которых да-1да = р. Тогда Л1Ц'(Л) будет объедине-
нием попарно непересекающихся подмножеств, образованных из Л1 (X),
в которых р связано с разбиением а:
ЛЩ*) = U Л1р(Л).	(2)
Р (р] = А
Из двух способов разложения (1) и (2) сразу получается более
мелкое разложение:
М,(Х-)= и М,(Х) n Mf (X).	(3)
« = ,1
284
ДОБАВЛЕНИЯ
Обозначим через 7И?1^(А’) множество таких слов т £ MV(X), для
которых
т~Ат^~.к.
Через Mg(X) обозначим объединение множеств М (X) для всех
эквивалентностей р, удовлетворяющих условию рэ^.
Имеем:
Предложение 8. Если g— подстановка интервала
Л=(1. 2......I}.
то множество слов m^Mt(X), инвариантных относительно
подстановки g, есть М (X).
В самом деле,
g (т) = т mg = т mg (i) = m (0 для всех
^zz=$g{i)£ m~lm(i) при всех
^z=$gn(l)£ т~хт(1) при всех lt и всех целых
^(Z) £	(/) при всех
А это доказывает предложение.
Следствие. Для заданной подстановки g интервала It мно-
жество слов из М„(Х), инвариантных относительно g, есть
Л„ДХ).
Предложение 9. Пусть v — абелево слово из элементов X,
имеющее длину d(y) = l, и пусть G— группа подстановок интер-
вала Пусть G — продолжение G ни МДХ). Тогда
| 'Ч W/To | = ТЩ" I g WI *
gtv
В силу предложения 4 множество тех отображений / множе-
ства X в Y, которые имеют одну и ту же степень и удовлетворяют
условию /’ /z>p, где р — данная эквивалентность, получается умно-
жением одного из таких отображений справа на подстановки
такие что еррер--1 = р.
Это замечание показывает, что |Л4	(Л)! зависит только от 8>
и р [р]. Поэтому положим
| (Л1,.г(А)| = ф(8v, Ир]).
ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
285
Предложение 10. Пусть v— абелево слово над X длины
d(y) = l и пусть G— группа подстановок интервала Ц. Пусть,
далее, G — продолжение G на Л1дХ). Тогда
|4W/TO|= 2	а).
Действительно,
|л,даг|=-щг2ф^ »>м)—2 S «)=
‘ g с G	1 w (а) = I и [tg.] = а
-yly V Ло(11)ф(8,. й) = 2 ?О(Й)Ф(В>, а).
Ъ! (q)=I	w = /
Прежде чем показать, каким образом на этом предложении осно-
вываются процессы подсчета, рассмотрим несколько частных случаев.
Назовем многочленным коэффициентом функцию с, относя-
щую каждому разбиению а = (Х?1...Л“«)	число
с(а) = W-.+ - + °Л)! .
а,!)11...wr
Легко видеть, что число тех отображений множества X на мно-
жество Y, которые имеют заданную степень v, равно с (Sv). Но это
число совпадает с числом таких слов т степени у, для которых
x£m-1m(x). Поэтому
|Л1ДХ)| -
Ф(а, 1®) —с(а).
Так как My(X)f] Мр(Х)^= 0 при d (v) > d (р [р]), то матрица
Ф(Л, Ь) — треугольная (см. рис. 1).
Введем функцию разбиения Л(л), полагая
й(л)--с(Вя).
Легко видеть, что &(а) выражает как раз число абелевых слов
степени а.
Введем также функцию разбиения е(а), полагая
я^_ С (О) А (а) __ -Ь ... -НЛ)’
rf(a)! ’ (X,!)”' ... (М=Ч1 ... «,! '
Легко видеть, что е(а) выражас! как раз число таких отноше-
ний эквивалентности р, для которых р [pj = л.
286
ДОБАВЛЕНИЯ
Пример
Дано шесть шаров: 3 красных, 2 черных и 1 белый, причем
шары одинакового цвета считаются неразличимыми; сколькими спо-
собами можно разместить эти шары по вершинам свободного окта-
эдра в пространстве?
Допустим сначала, вопреки условию, что октаэдр фиксирован,
в пространстве. Пусть Х—\а, Ь, с), где а означает черный цвет,
b — белый, с — красный. Тогда существует взаимнооднозначное
ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
287
соответствие между различными размещениями шаров и словами сте-
[а b с\
пени V, где абелево слово v=J । Поэтому ответ на
вопрос в случае, когда октаэдр фиксирован, будет
j Л1,(Х)| = c(Sv) = с(1, 2, 3) = -п4гзГ = 60.
Рассмотрим теперь свободный октаэдр в пространстве. Здесь
существует взаимнооднозначное соответствие между различными
размещениями шаров и классами транзитивности слов степени v отно-
сительно группы G различных движений октаэдра. Ответом на
вопрос на этот раз будет
|.Ч,(Х)/^|= 2 ?О(Ч)Ф[(1. 2, 3), а].
w (а) = 6
Теперь надо найти циклический индекс qQ для группы G окта-
эдра. Пронумеруем вершины октаэдра цифрами от 1 до 6, как
показано на рисунке 2, и пересчитаем элементы G.
Имеется одна подстановка g£G, для которой рfrj = (Is). —
именно тождественная подстановка.
Имеется 6 подстановок g£G, таких, что р [- ] = С12, 4); они
образованы шестью вращениями на 90° вокруг диагонали, — именно
(4516), (6154), (1243), (3421), (2536), (6352).
288
ДОБАВЛЕНИЯ
Имеются 3 подстановки g£G, такие, что Ц[тг] = (I2, 22); они
образованы тремя вращениями на 1803 вокруг диагонали, — именно
(41)(56), (14)(23), (23)(56).
Имеется 6 подстановок g£G, таких, что £	= (23); они образо-
ваны шестью вращениями на 180° вокруг прямой, проходящей через
середины противоположных ребер, — именно
(12) (34) (56),	(13) (24) (56),	(14) (25) (36),
(14) (35) (26),	(15) (46) (23),	(16) (45) (23).
Имеется 8 подстановок	для которых р (Tg) = (З2); они
образованы восемью вращениями на 120° вокруг прямой, проходят-
щей через центры противоположных граней.
Эти 60 подстановок образуют группу октаэдра G. Следова-
тельно,
W- <М|2'4) = М' М12, 22)-If •
=	?Д32) = |-
остальные значения qQ равны пулю.
Кроме того, нам известно, что
Ф[(1, 2, 3), (I6;] = с(1, 2, 3) —60;
Ф [(1, 2, 3). (I2, 4)J — 0, так как абелево слово а?Ьс2 не со-
держит ни одного элемента в четвертой степени;
Ф [(1, 2, 3), (I2, 22)] = 4, так как абелево слово аЧ>с6 можно
записать четырьмя различными способами:
(S) (с) (а2) (с2),	(S) (с) (с2) (а2).
(с) (£>) (а2) (с2),	(с)(*)(с2)(а2);
Ф [(1, 2, 3), (23)1 = 0,	поскольку абелево	слово	а2Ьс5	не	со-
держит никакой степени трижды;
Ф[(1, 2. 3), (32)1 — 0,	поскольку абелево	слово	а-be3	не	со-
держит трех квадратов в качестве сомножителей.
Итак,
Л (^, = >^--4 = 3.
Следовательно, ответ на поставленную задачу такой: имеется
только три различных способа размещения 3 красных, 2 черных и I
белого шаров на свободном октаэдре в пространстве. На рис 2 эти
три размещения показаны в одном горизонтальном ряду (крестиком
помечены красные шары). Под октаэдром с размещением acbacc
изображен октаэдр с размещением ccbcaa. Эти два размещения,
очевидно, эквивалентны, ибо первое можно перевести во второе вра-
щением октаэдра вокруг диаюнали 2, 3, т. е. подстановкой (4516).
VI. Дополнения к русскому переводу
А. А. Зыков и Г. И. Кожухин
Непосредственные следствия из теоремы Радо
В ряде случаев теорема Радо (гл. 3) позволяет заключить о на-
личии у локально конечного графа G некоторого свойства, если
известно, что этим свойством обладает каждый конечный подграф G.
На таком принципе построено обобщение 2 теоремы Ричардсона
(гл. 5). Мы приведем еще два примера.
1. Пусть G — локально конечный симметрический граф и
пусть каждый его конечный подграф является р-хроматическим\
тогда и сам граф G — р-хроматический,
Для доказательства достаточно в теореме Радо положить
£-0={1. 2.....р}, Е(1)=Е0\1.
2. Пусть G — локально конечный граф и пусть каждый его
конечный подграф допускает функцию Гранди, значения кото-
рой не превышают числа q\ тогда и весь граф G допускает
функцию Гранди со значениями, не превосходящими q.
Это следует из теоремы Радо, если положить
£о=(О, 1, 2,	?},
£(/) = [ 0 "РИ /=0;
\ {п}, где п = min {х[х £	\ /}, при / =/= 0.
Взвешенная окраска вершин графа1)
Пусть G = (X, U)— конечный симметрический граф, |Х| = п,
= Как известно (гл. 4), проверка того, является ли данный
граф /^-хроматическим, сводится к проверке разрешимости в целых
числах системы линейных неравенств 1°, 2и, 3° (стр. 41). Желая
найти этим способом хроматическое число данного графа G, мы
вынуждены последовательно задавать значения р и для каждого из
них выяснять, разрешима ли система.
Можно, однако, составить такую линейную программу, которая
всегда разрешима в целых числах и решение которой дает одну
из окрасок вершин графа G наименьшим количеством цветов. С этой
') Излагаемый здесь результат принадлежит Г. И, Кожухину,
19 К Берж
290
ДОПОЛНЕНИЯ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
целью каждому цвету q=\, 2, 3, . . . отнесем его „вес" — нату-
ральное число причем веса подберем так, чтобы при всех
<7=1, 2.....п выполнялось неравенство
й<п| - а<2") 4- ... — aW 1 + (« — Ч + 1) а<"' <
< (и - Ч) й("Н- ар> + . . . + apt +
т. е.
— (л — Я — 0 а1И);	(*)
это неравенство гарантирует, что „самая легкая" окраска вершин
графа с помощью q-\- 1 цветов все-таки „тяжелее", чем „самая тя-
желая" окраска q цветами. Неравенство (*) наверняка выполняется,
если
j “ — 7)~(п— q — 1)	+ 1;
полагая а^} = 1, мы получаем
Й'Й = ^- ?)[“<'”- 1J+2,
откуда находим последовательно:
а^ = 2,	= п, = п?—4л5..............
Таблицу (с двойным входом) значений коэффициентов с№ можно
составить раз навсегда независимо от графа G.
Задача раскраски вершин заданного графа G наименьшим числом
цветов сводится теперь к нахождению „самой легкой" раскраски,
т. е. к решению в целых числах линейной программы
^>0	(/=1, 2...л; q=l, 2....я);
п
2^?=’	= ь 2....«);
irli’X1 и --=1.2......т- 1, 2, .... я);
Л = 1 7 4
п п
У} \ а№1 принимает наименьшее значение.
; - 1 л - 1
После того как числа найдены, хроматическое число графа G
вычисляется без труда
-t(G)= 2 11-П(1
« = : L 1=1
ДОПОЛНЕНИЯ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
291
Обоснование алгорифма нахождения наибольшего потока
по лу^-плоской транспортной сети
Пусть л^г-плоская транспортная сеть G расположена на плоскости
в соответствии с Г (стр. 85), Если а—произвольный элементарный
путь из в z, то вместе с вспомогательной дугой (г, х0) он обра-
зует элементарный контур; область плоскости, ограниченную этим
контуром (включая границу), будем обозначать через D (р.). Из 1°
ясно, что наивысший путь из х0 в z является элементарным и
характеризуется следующим свойством: всякий элементарный путь
из х0 в z целиком принадлежит ZZ> Ср.1).
Поток по сети G (при конкретном расположении ее в плоскости),
находимый описанным в 1°, 2', 3° процессом, будем кратко назы-
вать FF-потоком. Докажем, что это наибольший поток. Доказа-
тельство будем вести индукцией по величине потока уг.
Утверждение тривиально при —0. Допустим, что оно спра-
ведливо для всех х0г-плоских сетей (при всевозможных расположе-
ниях), обладающих FF-потоком величины ti. Рассмотрим произволь-
ную х0г-плоскую сеть О, для которой FF-иоток ср имеет величину
у2 = п-\-1; надо доказать, что поток ср— наибольший.
Предположим противное: что поток не является наибольшим
и что, следовательно, возможен такой поток ср' по G, для которого
ср' —л-4-2. Можно считать, что О не содержит контуров с поло-
жительными значениями на всех дугах, ибо иначе мы ликвидиро-
вали бы все контурные потоки, вычитая из значений У (и) на дугах
каждого такого контура наименьшее значение (для данного контура) —
эта переделка потока ср' не меняет его величины ср'. Поэтому мы
можем предполагать поток таким, что всякая дуга и сети G,
несущая положительный поток ср'(и), принадлежит некоторому эле-
ментарному пути, который идет из х0 в z и на всех дугах кото-
рого ср' > 0.
Рис. 1
Пусть [ij — наивысший (элементарный) путь сети G. Не может
быть ср'(и) > 0 на всех дугах р.р ибо иначе, уменьшив пропускные
способности дуг этого пути на единицу (без изменения способностей
остальных дуг сети), мы получили бы сеть О', которая, с одной
стороны, допускает поток величины п-)-! и Для которой, с другой
стороны, FF-поток имеет величину п (как следует из определения
19*
292
ДОПОЛНЕНИЯ к РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
FF-потока и из того, что для сети О он обладает величиной п 4 1),
а это противоречит предположению индукции.
Пусть теперь v — наивысший из тех элементарных путей сети G,
идуших из в z, на всех дугах которых <р' > 0; так как ни одна
дуга сети, несущая положительный поток ср', не может лежать вне
области D(y) (иначе существовал бы элементарный путь, несущий
положительный поток ср' из xQ в z и не лежащий целиком в D(v)>
т. е. v не был бы наивысшим), то путь v наверняка содержит все
те дуги пути jip на которых <р' > 0 (см. рис. 1).
Уменьшим на единицу поток по тем дугам пути v, которые
не принадлежат а вместо этого пропустим единичный поток по
дугам р-р не принадлежащим v, Получе.нный такой переделкой из ср'
поток ср" по сети О будет по-прежнему обладать величиной ср'' = я-4 2
и будет положительным на всех дугах пути p.L, а это, как мы уже
видели, невозможно.
ч. И т. д.
Л ИТЕРАТУРД1)
Гл. 1. Основные определения
[1]	Berge С., Espaces topologiques et Fonctions multivoques, Paris, Dunod,
1959, XI, 272 p., ill2).
[2]	Berge C., Sur ITsovalence et la Regularite des Transformateurs, C. R.
Acad. Sciences. 231 (I960), стр. 1404 —Sur une Theorie Ensembliste des
deux Alternates, C. R. Acad. Sciences, 232 (1951), стр. 294.
[3]	Ko nig D„ Theorie der Endlichen und Unendlichen Graphen, Leipzig, 1936
(Akad. Veil. M.B.H.); New York, 1950 (Chelsea).
[4]	R i g u e t F„ Relations binaires, fermentures, correspondances de Galois,
Bull. Soc. Math, de France, 76 (1948), стр. 114.
[5]	S ainte -Lague A., Les Reseaux (on Graphen), Mem. de Sciences Math.,
18 (1926), Paris.
Гл. 2. Предварительное изучение квазиупорядоченности
[1]	С г о i s о t R., Dubreil-JacotinM. L. et L e s i e u r L., Lemons sur la
Theorie des Treillis (Gauthier — Villars. ed.), Paris, 1953.
*[2] Биркгоф Г., Теория структур, ИЛ, М., 1952.
[3] Richardson М., Relativization and Extension of Solutions of Reflexive
Relations, Pacific J. of Math., 5 (1955), стр. 551.
Гл. 3. Порядковая функция и функция Гранди для бесконечного графа
[1] Berge С,, La Fonction de Grundy d'un Graphe Infini, C. R. Acad. Sciences,
242 (1956), стр. 1404.
[2j Berge C., A Problem on Infinite Graphs, Conference au Colloquium Har-
vard— М.1.Т., mai 1957.
[31 De Bruijn N. G., Erdos P., A Colour Problem for Infinite Graphs and
a Problem in the Theory of Relations, Proc, of the Nederl Ak. W., 54
(1951), стр, 371
[4] Gottschalk W. IL, Choise Functions and Tychonoff’s Theorem, Proc.
Amer. Math. Soc., 2 (1951), crp. 172.
*) Работы, помеченные звездочкой, добавлены в русском переводе.
2) В тексте эта книга обозначается Е. Т. F.M.
294
ЛИТЕРАТУРА
[5] R a d о R., Axiomatic Treatment ol Rank in infinite sets, Canad. J. of Math.,
1 (1949), стр. 337.
Гл. 4. Основные числа теории графов
[lj Berge С., Two theorems in graph theory, Proc. Nat. Ac. Sc., 43 (1957),
стр. 842.
[2]	К r a i t c h i к M., Le Probleme des Reines, Bruxelles, 1926.
[3]	Kr ewer as G., Peut-on former un reseau donne avec des parties linies
d’un ensemble denombrable? C. R. Acad. Sciences, 222 (1946), стр. 1025.
[4]	Polya G., Sur le nombre des isometres de certains composes chimiques,
C. R. Acad. Sciences, 202 (1936), стр. 1554.
[5]	Shannon С. E., The zero-error capacity of a noisy channel, Composium
on Information Theory, 1. R. E. Transactions, 3 (1956), стр. 3.
*	[6] Зыков А. А., О некоторых свойствах линейных комплексов, Матем.. об.,
24 (66), 2 (1949), стр. 163.
•	[7] Зыков А. А., Функции от графов, определяемые линейными уравне-
ниями, Сообщение 3, Изе. Саб. отд. АП СССР, 12 (1960), стр. 13.
~[8] Зыков А. А., Рсбсрно-всршннные функции н распределительные свой-
ства графов, ДАН СССР, 139, № 4 (1961), стр. 787. — Цикломатнче-
ские и распределительные свойства мультнграфов (печатается в ДАН
СССР)
*	[9] Gomory R. Е., Outline of an algorithm for integer solutions to
linear programs, Bull. Am. Math. Soc., 64 (1958), № 5, стр. 275.
Гл. 5. Ядра графа
[1] Berge С., Theorie generale des jeux a n personnes, chap. 5: Coalitions,
стр. 82, Mem. des Sciences Math., 138, Paris, 1957 (Gauthier — Villars,
ed.). Есть русский перевод: Бер ж К., Общая теория игр несколь-
ких лиц, Физматгиз, 1961.
[2j Guilbaud G. Т., La theorie des Jeux, Ёсоп. Appl., 1949, стр. 18.
[3] vo n Neumann F. and Morgenstern O., Theory of Games and
Economic Behavior, Princeton, 1944, 1947 et 1953 (Princeton university
Press).
[4] Richardson M., Solutions of irreflexive relations, Annals of Math., 58
(1953), стр. 573.— On Weakly ordered systems, Bull, of the Amer. Math.
Soc., 52 (1946), стр. 113. Extensions theorems for solutions of irrefle-
xive relations, Proc, of the Nat. Acad, of Sciences, 39 (1953), стр. 649.
Гл. 6. Игры на графе
[1]	Adams Е. W., Benson D. C., Nim Type games, Carnegie Inst, of Techno-
logy, Techn. Report, 13 (1956).
[2]	Berge C., Topological games with Perfect Information (Contributions Io
the theory of Games 3), Annals of Math, studies, 39 (1957), стр. 165.—
Бер ж К., Общая теория игр нескольких лиц, Физматгиз, 1961.
ЛИТЕРАТУРА
295
[3]	Berge С. et Schutzenberger M. P, Jeux de Nim et Solutions,
C, /?. Acad, Sciences, 242 (1956), стр. 1672.
[4]	Grundy P. M, Mathematics and Games, Eureka, 2 (1939), стр. 6.
[51 Grundy P. M., Smith С. /X. B., Disjunctive games with the last player
loosing, Proc. Cambridge Phil. Soc., 52 (1956), стр. 527.
[6] Holladay F. C. Cartesian Product oi termination Games (Contributions
to the theory of Games 3), Ann. of Math. St., 39 (1957), стр. 189.
|7] Moore E. H., A generalization of the game called Nim, Ann. of Math., tl
(1909), стр. 93.
[8] Sprague R., Bemerkungen uber eine spezielle Abelsche Gruppe, Math. 7.,
5t (1947), стр. 82. — Uber mathematischc Kanipfspiele, Tokohu J. of
Math , 41 (1936), стр. 438.
[9] Weller С. P., The theory of a class oi games on a sequence of squires,
in terms of the advancing operation in a special group, Proc. Ron.
Nederl, Akad. N. (serie A), 57 (1954), стр, 194.
Гл, 7. Задача о кратчайшем пути
[1]	Beckmann М., McGuire С. В., С. В. W 1 n s t е n, Studies in the eco-
nomics of transportation. New Haven, 1956 (Yale university press).
[2]	Веллман P., Динамическое программирование, ИЛ, M., 1959.
[3]	Ford L R., Network flow theory, Rand Corp, paper, P-923, 1956.
[4j Lucas E., Recreations matcematiques, 1, Paris, 1921, стр. 47; есть рус-
ский перевод: см. Люкас Э., Математические развлечения, СПБ,
1883.
[5] Tarry G., Le probleme des Labyrinthes, Nouvelles Annales de Math., 14
(1895), стр. 187.
Гл, 8. Транспортные сети
[1]	Berge C., Sur la deficience d’un reseau infini, C. R. Acad. Sciences, 245
(1957), стр. 1206.
[2]	Ford L. R., Fulkerson D. R., Maximal flow through a network, Cana-
dian J. of Math., 8 (1956), стр. 399.
[3]	Ford L. R., Fulkerson D. R., Dynamic Network Flow, Rand Corp, pa-
per, P-967, 1956.
[4j Gale D., A theorem on flows in networks, Pacific I. of Math., 7 (1957),
стр. 1073.
[5]Hoffman A. J., Kuhn H. W., On systems of distinct representatives
(Linear inequalities and related systems), Ann. of Math. Studies, 38
(1956), стр. 199; есть русский перевод; Гофман А. Дж., К У н Г. У.,
О системах различных представителей, сб. Линейные неравенства,
ИЛ, М., 1959.
[6] Кг ewer as G., Extension d’un theorems sur les repartitions en classes,
C. R. Acad. Sciences, 222 (1946), стр. 431.
[7] Marcze wski J, Guilbaud G, T, Fssai d’analyse graphique d'une
cornptabilite nafionale, Economie appliquee, 2 (1949), стр. 138.
296
ЛИТЕРАТУРА
Гл. 9. Теорема о полустепенях
[1]	Gale D., A theorem on flows in network, Pacif. J. of Muth., 7 (1957),
стр. 1073.
[2]	Харди Г. Г., Л иттльвуд Дж Е., Полна Г., Неравенства, ИЛ, М.,
1948.
[3]	М u i г h е a d R. F., Some methods applicable to identities and inequalities
of symmetric algebraic functions of n letters, Proc. Edinburgh Math.
Soc., 21 (1903), стр. 144.
*[4] Ryser H. J., Combinatorial properties of matrices of zeros and ones,
Canad. J. Math., 9, № 3 (1957), стр. 371.
Гл. 10. Паросочетание простого графа
[1]	Berge С., Sur la deficience d’un reseau infini, С. R. Acad. Sciences, 245
(1957), стр. 1206.
[2]	Birkhoff G., Tres observaciones sobre el algebra lineal, Rev. Univ пае.
Tucuman, Serie A, 6 (1941), стр. 147.
[3]	Ergevary J., Matrixok kombinatorius tulajdonsagairol, Mat. Fiz. Lapok,
1961, стр. 16.
[4]	Hall P., On representations of subsets, J. London Math. Soc., 10 (1934),
стр. 26.
[5]	H a 1 m о s P. R., Vaughan H. E., The marriage problem, Am. J. of Math.,
72 (1950), стр. 26.
[6]	К 6 n i g D., V a I к о S . Ober mehrdeutige Abbildungen von Mengen, Math.
Ann., 95 (1926), стр. 135.
[7]	Kuhn H. W., The Hungarian Method for the assignement problem, Naval
research Quaterty, 2 (1953), стр. 83.
[8]	Mann H. В., Ryser II, J., Systems of distinct representatives, Am. Math.
Monthly, 60 (1953), стр. 397.
[9]	Ore O., Graphs and matching theorems, Duke Malli. J., 22 (1955), стр. 625.
[10]	Rado R., Factorization of even graphs, Quat. J. of Math., 20 (1949),
стр 95
Гл. 11. Факторы
[1]	Ahrens W., Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Berlin 1910, стр. 319.
[2]	Dirac G. A., The structure of ft-chromatic graphs, Fund. Math., 40 (1953),
стр. 50.
(3]	Euler, Cornmentationes Arithmeticae Collectae, St. Petcrburg, 1766, стр. 337.
[4]	Fl ye S a i n t e - M a r i e, Mote sur un probleme relatif a la marche du ca-
valier sur I'ectiiquier, Bull. Soc. Math, de France, 5 (1876), стр. 144.
[5]	J о h n s о n S., Optimal 2 and 3-stagc production schedules with set up ti-
mes included, Naval Res. Quaterty, 1954.
[6]	Krajtchik M„ La Mathematique des jeux, Bruxelles, 1930, стр. 357.
[7]	Ringel G., Uber drei kombinatorische Probleme arn n-dim. Wiirfel und
Wurfelgitter, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 20 (1955), стр. 10.
[8]	S ai n t e - Lag u e A., Avec des nombres et des lignes, Paris, 1943 (Vuibert,
cd), стр. 291.
ЛИТЕРАТУРА
297
Гл. 13. Диаметр сильно связного графа
[l| Brat Ion D., Efficient communication Networks. Cowles Comm. Disc. Pa-
per, 2119 (1955).
[2]	C h г i s t i e L. S., Luce R. D., Macy J, Communication and Learning
in a taskoriented group, M. I. T. Res. Lab. of electr. technical Report,
231 (1952), стр. 238.
[3]	Rad ner R., Trit ter A., Communication in Networks, Cowles Comm pa-
per, 2098 (1954).
[4]	Roy B., Sur quelques proprietes des graphes fortement connexes, C. R.
Acad. Sciences, 247. № 4 (1958), стр. 399.
Гл. 14. Матрица смежности графа
[1]	Katz L., An application of matrix algebra to the study of human relations,
mirn , Univ, of Morth Carolina, I960.
[2]	Kendall M. D., Rank Correlation methods, Londres 1948 (Griffin, ed.),—
Further contributions to the theory of paired comparisons, Biometrics,
2 (1955), стр. 43.
[3]	Levi-Strauss C., Les structures elementaires de la parente, Paris, 1949
(Presses universitaires).
[4]	Luce R. D., Perry A. D., A method of matrix analysis of group structure,
Psychometrika, 14 (1949), стр. 95.
[5]	Luce R. D., A note on Boolean matrix theory, Proc. Am. Math. Soc., 3
(1952), стр. 382.
[6]	M о г e n о J. L., Fondaments de la Sociometrie (trad. Lesage-Maucorps),
Paris, 1954 (Presses universitaires).
[7]	R о s s I C, HararyF., On the determination of redundancies in socio-
metric chains, Psychometrika, 17 (1952), стр 195.
[8]	Wei T. H., The algebiaic foundations of ranking theory, these, Cambridge,
1952.
Гл. 15. Матрицы инциденций
[1]	Chua rd J., Questions d’analysis situs, Rend. Circ. Palermo, 46 (1922),
стр. 185.
[2]	H e 11 e г I., Tomp-kins С. B., An extension of a theorem of Dantzig’s,
Ann. of math, studies, 38 (1956), crp. 2-17; Хеллер И., Томп-
кинс Ч. Б., Обобщение одной теории Данцига, сб. Линейные не-
равенства, ИЛ, М., 1949.
[3]	Hoffman A, J, Kruskal J. В., Integral boundary points of convex
polyhedra, Ann. of Math. Studies, 38 (1956), стр. 223; есть русский
перевод: Гофман А. Дж., Краскал Дж. Б., Целочисленные
граничные точки выпуклых многогранников, сб. Линейные неравен-
ства, ИЛ, М., 1959.
[4]	Kirchhoff G., Poggendorf Annalen, 72 (1847), стр. 497.
298
ЛИТЕРАТУРА
[5]	Okada S., Algebraic and topological foundations of network synthesis,
Proc. Symp. on Modern Network synthesis, New York, 1955, стр. 283-
[6]	Poincare H, Complement a 1’analysis situs, Rend. Circ. Palermo, 13
(1899), стр. 285.
[7]	Veblen 0., Alexander J. W., Manifolds of n dimensions, Ann. of
Math., 14 (1913), стр. 163.
*[8] Кудрявцев Л. Д., О некоторых математических вопросах теории
электрических цепей, Успехи матем. наук, 3, Ке 4 (1948), стр. 80.
*Дополнительная литература к гл. 14 и 15
[1]	Л и х т е н б а у м Л. М., Характеристические числа неособенного графа,
Труды 3-го Всес. матем. съезда, том. 1, 1956, стр. 135.
[2]	Лихтенбаум Л. М., Теорема двойственности для неособенных графов,
Усп. матем. наук, 13, Ке 5 (1958), стр. 185.
[3]	Лихтенбаум Л. М., Следы степеней матриц соседства вершин и ребер
неособенного графа, Изв. высш, учеба заведений, математика, 5
(1959), стр. 154.
[4]	Л и х т е н б а у м Л. М., Новые теоремы о графах (печатается в Сибир-
ском математическом журнале).
[5]	С о 11 a t z L., Sinogowitz С'., Spektren endlicher Grafen, Abhandl.
Math. Seminar Univ. Hamburg, 21, Ke 1—2 (1957), стр. 63.
Гл. 16. Деревья и прадеревья
[1]	v а п Aardenne-Ehrenfest Т., de В г u i j п N. G., Circuits and
trees in oriented linear graphs, Simon Stevin, 28 (1951), стр. 203.
[2]	Bott R, Mayberry J. P., Matrices and trees, Economic Activity ana-
lysis, New York 1954 (Wifey, ed.), стр. 391.
[3]	С а у 1 e у A., Collected mathematical papers, Cambridge, 3, стр. 242: 13,
стр. 26, и т. д.
[4]	Jordan С., Sur les assemblages de lignes, J. fur die reine und angew.
Math., 70 (1869), стр. 185.
[5]	Kelly P. J., A congruence theorem lor trees, Pacific J. of Math., 7
(1957), стр. 961.
[6]	Kruskal J. B., On the shortest spanning subtree of a graph, Proc. Am.
Math, Sac., 7 (1956), стр. 48.
[7]	de Pol ig пас C., Theorie des ramifications, Bull. Soc. Math. France, 8
(1880), стр. 120.
[8]	Trent H. M., A note on the enumeration and listing of all possible trees
in a connected linear graph, Proc. Nat. Ac. Sciences, 40 (1954), 1004.
*[9	] Weinberg L., Number of trees in a graph, Proc. 1. R. E., 46, № 12
(1958), стр. 1954.
*[10	] Tntte W. T., A contribution to the theory of chromatic polynominals,
Canad. J. Math., 6, № 1 (1954), стр. 80.
ЛИТЕРАТУРА
299
Гл. 17. Задача Эйлера
[1]	van Aardenne-Ehreri fest Т., de В г u i j n N. G., Circuits and trees
in oriented linear graphs, Simon Stevin 28 (1951), стр. 203.
[2]	d с В r u i j n N. G., A combinatorial problem, Proc. Nederl. Akad. Wetensch,
49 (1946), стр. 758.
[3]	G о о d I. J., Normal recurring decimals, Bull. Am. Muth. Soc., 40 (1947),
859.
(4]	Martin M. H., A problem in arrangements, Bull. Am. Math. Soc., 40
(1934), стр. 859.
[5]	Am its ur A. S„ Levitzki J., Proc Am. Math. Soc., 1 (1950), crp. 449.
Гл. 18. Паросочетание произвольного графа
[1]	Berge С., Two theorems in graph theory, Proc. Nat. Ac. Sciences, 43
(1957), стр. 842.
[2]	Berge C., Sur le couplage maximum d’un graphe, C. R. Acad. Sciences,
247 (1958), стр. 258.
[3]	Gallai T., On factorisation of graphs, Acta Math. Hungaricae, 1 (1950),
стр. 133.
[4]	Maunsell F. G., A note on Tutte’s paper, J. London Math. Soc., 27
(1952), стр. 127.
[5]	Norman R. Z„ Rabin M. 0., An algorithmc for a minimum cover of
a graph (abstract), Noties of the Am. Math. Soc., 5, fevrier (1958),
стр. 36.
[6]	Petersen J., Die Theorie der regularen Graphen, Acta, Math., 15 (1891)
стр. 193.
[7]	Roth J. P., Combinatorial topological methods in the synthesis of switching
circuits, 1. В. M. Res. Report, RC-11, Poughkeepsie, 1957.
[8]	T u 11 e W. T., The factorisation of linear graphs, J. London Math. Soc., 22
(1947), стр. 107.
*[9	] Зыков А, А., Функции от графов, определяемые линейными уравне-
ниями, Нзв. Сиб. отд. АН СССР. 5 (1959), стр. 3; 9 (1960), стр 17;
12 (1960), стр. 13
Гл. 19. Фактороиды
[1] Baebler F., Ober die Zerlegung regularen Streckenkomplexe ungerader
Ordnung, Comment. Math. Helvetici, 10 (1938), стр. 275.
{2] Belck H. B., Regnlare Faktoren von Graphen, /. Peine Angew. Math., 188
(1950), стр. 228.
[3]	Saintc-Lagiie A., Les reseaux unicursaux et bicursaux, C. R. Acad.
Sciences, 182 (1926), стр. 747.
[4]	T u t t e W. T., The factors of graphs, Canad. J. of Math., 4 (1957), стр. 314.
A short proof of the factor theorem for finite graphs, Canad. J. of Math.,
6 (1954), стр. 347.
[5]	T u 11 e W. T., On hamiltonian circuits, London Math. Soc. J.. 21 (1946),
стр. 99.
300
ЛИТЕРАТУРА
*[6] Wagner К., Faktorklassen in Graphen, Math. Ann., 141, № 1 (1960),
стр. 49.
Гл. 20. Связность графа
[1]	Dirac G. Л., The structure of A-chromatic graphs, Fund. Math., 40 (1953),
стр. 42. - - Some theorems on abstract graphs, Proc. London Math.
Soc., 2 (1952), cip. 69.
[2]	H a j 6 s G, Zinn rncngerschen Graphensatz, Acta lift. ac. Sc. (Math.), 7
(1934), стр. 44.
[3]	Kelly J. B., Kelly L. M., Paths and circuits in critical graphs, Am J.
of Math., 76 (1954), стр. 790.
[4]Menger K., Zur allgcmeinen Kurventheorie, Fund. Math., 10 (1926),
стр. 96.
[5] Whitney H., Non separable and planar graphs, Trans. Am. Math. Soc,
34 (1932), crp. 339. — Congruent graphs and the connectivity of graphs,
Am. J. of Math., 54 (1932), стр. 150.
Гл, 21. Плоские графы
[1]	Dirac G. A., Map colour theorems related to the Heawood colour for-
mula, J. London Math. Soc, 31 (1956), стр. 460.
[2}	D i r a c G. A., Schuster S., A theorem of Kuratowski, Proc, of Hie
Nederl. Ak. W., 57 (1954), стр, 343.
(3]	Errera J., Du coloriage des cartes, these, Bruxelles, 1921; Mathesis, 36
(1922). стр. 56.
[4]	Kuratowski G., Sur le probleme des combes gauches en topologie,
Fund. Math., 15—16 (1930), стр. 271.
[5]	Ringel G., Bestirnniung der Ma.ximalzahl der Nrachbargebiete auf nichto-
rientierbaren Flachen, Math. Ann., 127 (1954), стр. 181.
[6} Ringel G.. Farbcnsatz fiir orientierbare Flachen vom Geschlechte p > 0,
J. Reine Angew. Math., 193, № 1/2 (1954), стр. 11.
[7]	T a i t P. G., Note on a theorem in geometry of position, Trans. Royal Soc.
of Edinburgh, 29 (1880), стр. 657.
[8]	Whitney H., Planar graphs, Fund. Math., 21 (1933), стр. 73.
[9]	Whitney H, Congruent graphs, and the connectivity of graphs, Am. J.
of Math., 54 (1932), стр. 150.
*[10] Сохе ter H. S. M., Map-colouring problems, Scripta Math., 23, № 1—4
(1958), стр. 11.
*[11] Ringel G. Farbungsprobleme auf Flachen und Graphen, Berlin, V. E.B.
DLschl. Verl. Wiss., 1959, 132 S., ill.
Добавление I. Об общей теории игр
[1]	Berge С., Theorie generale des jeux a n personnes, Mem. des Sc. Math.,
138, Paris (1957). Есть русский перевод (см. стр. 295)
[2]	Kuhn Н., Extensive games and the problem of information, Ann of
Math. St., 28, Princeton, 1953, стр. 193.
ЛИТЕРАТУРА
301
[3]	V i 11 е J., Traitc du Calcul des Probabilites et de ses applications
(E. Borel), 4, Paris, 1938, стр. 105.
Добавление 11. О транспортных задачах
[1]	Appell A., Le probleme geometrique des deblais et retnblais, Mem. des
Sciences Math., 27, Paris, 1928 (Gauthier-Villars, ed.).
[2]	Cahn A. S., The Warehouse Problem, Bull А. 4-1 S, 54 (1948), стр. 1073.
[3]	Da nt zig G. B., Application of the simplex method to a transportation
problem, Activity Analysis, Cowles Com. Monograph, 13, New York,
1951 (Wiley and Sons, ed.).
[4]	Flood M. M., On the Hitchcock distribution problem, Pacific J. of Math.,
3 (1953), стр. 369.
[5]	F о r d L. R., Fulkerson D. R., Solving the transportation problem,
Management Sci., 3 (1956). crp. 24; A primal dual algorithm for the
capacited Hitchcock problem, Rand Res Mem.. P-827. Santa-Monica. 1956.
[6]	Fulkerson D. R., Hitchcock transportation problem, Rand paper, P-890,
Santa-Monica, 1956.
[7]	H i t c h с о с к F. L., The distribution of a product from several sources
to numerous localities, J. Math. Piys., 20 (1941), стр. 224.
[8]	К а и т о p о в и ч Л. В., О транслокации масс, ДАН СССР, 37 (1942),
стр. 99.
[9]	К о о р m а п s Т. С., R е i t е г S„ A model of transportation, Activity Ana-
lysis, Cowles Com. Monograph, 13, New York, 1951 (Wiley and Sons,
ed.), стр. 222.
[10]	Kuhn 11. W., The Hungarian method for the assignment problem, Mavat
Res. Quat., 2 (1955).
[11]	Monge, Deblai et remblai, Memoires de ГАс. des Sci., 1781.
[12]	Or den A., The transshipment problem, Management Sci., 2 (1956).
[13]Votaw D. F., Or den A., The personnel assignment problem, Scoop
Symposium on Linear Inequalities and Programming, Washington, 1952,
стр. 155.
Добавление III. Об использовании понятия потенциала в транспортных сетях
[1]	d’Auriac A., A propos de I'unicite de solution dans les problemes de
reseaiix mailles, La Houille Blanche. 2 (1947), стр. 209.
[2]	Brooks R. L., Smith С. A. B., Stone A. H., Tutte W. T., The dis-
section of rectangles into squares, Duke Math. J., 7 (1940), стр. 312.
[3]	D u f f i n R. J., Non liner networks II, Butt. A. M. S., 53 (1947) стр. 963.
[4]	Koopmans T. C., Reiter S., A model of transportation, Activity Ana-
lysis of Production and Allocation, 2-d ed., стр. 222, New York.
[5]	Parodi M., Sur Texistence des reseaux elcctriques, C. R. Acad. Sc., 223
(1946), стр. 23.
[6]	Sprague R., Zur Abschatzung der Mindestzahl inkongruenter quadrate,
Math. Zeit., 46 (1940), стр. 460.
302
ЛИТЕРАТУРА
[7]	Tans sky 0., A recurring theorem on determinants, Am. Math. Monthly,
56 (1949), стр. 672.
[8]	L c Corbel I I er P., Analyse matricielle des reseaux electriques (Dinod,
ed), стр. 33.
Добавление IV. Нерешенные задачи и недоказанные предположения
[1] Hanani Н., On Steiner’s triples and quadruples, Abstr. Short communs.
Intern. Congress Math, in Edinburgh, Edinburgh, Univ. Edinburgh,
1958, стр. 29—30.
[2] Thompson L. L., I ectu-es on Game Theory, Markov Chains and related
Topics, Sandia Corp. Monograph, 1958.
Добавление V. О некоторых основных принципах подсчета
(Ж. Риге)
Для справок
[1]	Davis, The number of structures of finite relations, Proc. A. M. S., 1953,
стр. 486.
[2]	F о г d G. W., На rar у F., Norman R. Z., Uhlenbeck G. E., Com-
binatorial problems in the theory of graphs, Proc. Nat. Ac. Sc., 42
(1956), стр. 122; 42 (1956), стр. 203; 42 (1956), стр. 529; 43 (1957),
стр. 163.
[3]	Forster R. M., The number of series-parallels networks. Proc, !nt.
Congres of Math., 1950, crp. 646.
[4]	Harary F., Note on the Polya and Otter formulas for enumerating trees,
Michigan Main. J., 3 (1955), стр. 109; The number of dissimilar super-
graphs of a linear graph, Pacific J of Math., 7 (1957), стр. 903; The
number of linear directed rooted and connected graphs, Trans. A. M. S.,
78 (1955), стр. 445.
[5]	Harary F., Norman R. Z., Theory of Graphs (a parattre); The dissi-
milarity characteristic of linear graphs. Proc. A. M. S., 5 (1954),
стр. 131; The dissimilarity characteristic of Husirni trees, Ann. of Math.,
58 (1953), стр. 134.
[6]	Otter R., The number of trees, Ann. of Math., 49 (1948), стр. 583.
[7]	Polya G., Kombinatorische Anzahlbcstimrnungcn fiir Gruppen, Graphen
und chemische Verbindungen, Acta Math., 68 (1937), стр. 145.
Для дополнительных задач и справок
[1]	Izbicki Н., Regulate Graphen 3. 4 und 5 Grades mit vorgegebenen
abstrakten Automorphismengruppen, Farben.zahlen und Zusammen-
hangen, /Vlonah fiir Math., 61 (1957), стр 42
[2]	Riordan J., Introduction to combinatorial analysis (Wiley), New York,
1958; русский перевод- Риордан Дж., Введение в комбинаторным
анализ, ИЛ, М. (в печати).
[3]	S a b i d u s s i G., Graphs with given group and given graph-theoretical
properties, Canad. J., Math., 9 (1957), стр, 515.
ТЕОРИЯ ГРАФОВ И КНИГА К. ВЕРЖА
(ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ)
В самых различных областях человеческой деятельности нередко
возникают математические задачи комбинаторного характера, приво-
дящие к исследованию графов. Наиболее старые задачи на графы,
насчитывающие столетнюю и даже двухсотлетнюю давность, обычно
оформлялись как чисто развлекательные (кенигсбергские мосты, рас-
становка ферзей, ход коня, прогулки девушек и т. п.), но к началу
XX века в этой области появилось немало задач, имеющих теорети-
ческий и практический интерес. Так, если знаменитая проблема
четырех красок, предложенная Кэли членам Лондонского Географи-
ческого Общества в 1879 году, едва ли актуальна для географии
(да и сама математика от попыток решения этой проблемы обога-
щалась тогда гораздо меньше, чем, например, от попыток доказа-
тельства Великой Теоремы Ферма), то важность задачи о подсчете
числа изомеров химических соединений или задачи о выделении наи-
меньшей совокупности контуров электрической сети для составления
полной системы уравнений Кирхгофа не вызывает сомнений.
В XX веке вопросы, прямо или косвенно связанные с графами,
стали возникать в большом количестве не только в химии, физике,
электротехнике, биологии, социологии и т. д., по и в таких областях
чистой математики, как алгебра, топология, теория множеств. Графы
фигурировали в самых различных представлениях и под разными назва-
ниями: карта, лабиринт, схема, сеть, диаграмма, комплекс, дискрет-
ное пространство в смысле Линфилда и др. Термин „граф11 стал
общепринятым после выхода в свет в 1936 г. монографии Кёнига
(см. [3] к гл. 1), где представлен значительный материал и где графы
рассматриваются в абстрактной форме как самостоятельные матема-
тические объекты. В книге имеются наряду с тривиальными интерес-
ные и глубокие теоремы, изучаются не только конечные, но также
и бесконечные графы, однако название „Теория графов1' было тогда,
пожалуй, несколько преждевременным, ибо в этой области не суще-
ствовало сколько-нибудь общих методов и для решения каждой
задачи использовалось свое особое рассуждение, основанное либо на
переборе случаев, в отдельности не интересных, либо на идее, заим-
ствованной из других областей математики.
Цельное и оригинальное направление в теории графов откры-
вается в 1937 г. фундаментальной работой Пойа (см. (7] к Доба-
304
ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
влению V). Основная теорема этой работы, опирающаяся на весьма
простые понятия производящей функции, считающего ряда и цикли-
ческого индекса группы подстановок, даст общий метод подсчета
количеств различных графов с теми или иными свойствами. Во мно-
гих конкретных случаях этот метод весьма эффективен, и сам Пойа
применил его для определения числа изомеров в химии, а впослед-
ствии появились десятки работ Харари, Нормана, Уленбека, Риор-
дана, Рида и других авторов, посвященных математическим и физи-
ческим приложениям.
Другим важным общим методом в теории графов следует считать гео-
метрическую теорию транспортных сетей, созданную в 1956—1957 гг.
Фордом, Фалкерсоном и Гейлом. Эта теория позволяет решать не
толисо „собственно транспортные", но и многие другие прикладные
и даже чисто математические задачи, в том числе из самой теории
графов. Простой и наглядный алгорифм нахождения наибольшего
потока но сети с заданными пропускными способностями звеньев
настолько эффективен, что для сетей с сотнями вершин и тысячами
дуг легко осуществляется „вручную*, без обращения к быстродей-
ствующим вычислительным машинам. В то же время к задаче о наи-
большем потоке сводятся многие (жаль, что не все!) линейные про-
граммы, причем не возникает никаких усложнений в тех случаях,
когда искомое решение должно быть целочисленным.
Еще одним общим методом, объединившим целый ряд разнород-
ных задач и позволяющим эффективно решать многие из них, является
теория чередующихся цепей с основанным на ней „венгерским алго-
рифмом*. Будучи заложен Эргевари еще в тридцатых годах, этот
метод получил дальнейшее мощное развитие четверть века спустя
в работах Галлаи, Куна, Бержа, Нормана и Рэйбина. С помощью
метода чередующихся цепей можно, в частности, находить наибольшее
внутренне устойчивое множество, а также наибольшее паросочетание
в заданном графе; обе эти задачи играют важную роль в теории
информации, теории автоматических устройств и при решении сугубо
практической задачи о наилучшей раскраске проводников в сложных
электрических схемах.
Упомянем также о предпринятой переводчиком попытке система-
тического изучения рекуррентных свойств графов (см. J9] к гл. 18
и [8] к гл. 4). Речь идет о функциях Ф (G), определяемых уравне-
ниями вида
Ф(О) = /(Ф(О1), Ф(О2\ .... Ф(О„)),
где Gj, G2, ..., Gn — графы, получаемые из исходного графа О при-
менением некоторой операции Г и в каком-то смысле более простые,
чем О. Для некоторых типов операций Г удается исследовать соот-
ветствующие функции Ф единым методом. Таким путем выведено,
в частности, несколько новых соотношений между различными число-
выми характеристиками графов.
ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
305
Наряду с общими методами в теории графов имеются „очаги
конденсации11 в виде отдельных трудных проблем.
Очень много исследований посвящено классической проблеме
четырех красок. Наиболее интересные результаты, относящиеся как
к самой проблеме, так и к различным ее обобщениям, можно раз-
делить на две группы. Первую группу составляют критерии и при-
знаки, позволяющие по чисто комбинаторным свойствам абстрактного
графа судить о возможности реализации его в виде плоского топо-
логического комплекса (или. в более общем случае, о возможности
вложения его в поверхность с заданными топологическими свойствами);
сюда относится, например, теорема Понтрягина — Куратовского. За-
дачи этой группы в настоящее время важиы в связи с техникой
печатных электрических схем, но, к сожалению, удобных алгорифмов
для их массового решения пока нет. Ко второй группе относятся
исследования графов в связи с их хроматическими свойствами (хрома-
тическое число; количество способов разбиения на заданное число
внутренне устойчивых множеств). Во многих работах (Г. Дирак,
Дж. Келли, Л. Келли и др.) изучается структура „критических*
графов, т. е. таких, что сами они не допускают разбиения на за-
данное число внутренне устойчивых множеств, но все графы, полу-
чаемые из них удалением любой вершины (или любого ребра),
допускают такие разбиения. Наконец, в программировании сейчас
остро стоит проблема построения удобного алгорифма (который был бы
существенно проще перебора) для нахождения хроматического числа
графа с большим количеством вершин и ребер; она возникла в связи
с задачей наиболее экономного использования ячеек памяти машины.
В случаях когда для нахождения и полного исследования той или
иной числовой функции от графа пет удобных способов, на практике
часто пользуются различными оценками и асимптотическими характе-
ристиками этой функции. Вопросам такого рода посвящены работы
Пойа, Шениона, Джилберта, Г. Н. Поварова, О. Б. Лупанова,
Р. Е. Кричевского, Ф. Я- Ветухновского, Б. А. Трахтенброта,
А. П. Ершова, Г. И. Кожухина и других авторов.
Знаменитая задача Эйлера о кенигсбергских мостах оказалась
связанной с рядом интересных проблем (нахождение факторов, гамиль-
тоновых путей и циклов и т. д., а в более общем случае — нахож-
дение в заданном графе подграфов того или иного вида); эти проб-
лемы имеют приложения в физике, химии, биологии, исследовании
операций, теории игр и даже в некоторых вопросах теории чисел.
Интересной характеристикой графа, обобщающей свойства сим-
метрии в самых различных смыслах, является группа его автомор-
физмов (взаимно однозначных преобразований множества вершин на
себя, сохраняющих бинарное отношение этого графа); в частности,
автоморфизмы графов тесно связаны с задачами подсчета, решаемыми
на основе теоремы Пойа. И здесь получен ряд отдельных резуль-
татов (Сабидусси, Фрухт, Избицкий и др.). Вообще имеется очеиь
20 К. Берж
306
ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
много самых различных характеристик графа, важных в том или
ином отношении и изучаемых в литературе: радиус и диаметр, цикло-
матическое число, „сила"’ связности (наименьшее число вершин, после
удаления которых граф перестает быть связным) и др.
Значительная литература посвящена графам того или иного спе-
циального вида. Так, систематическое изучение деревьев, начатое
еще Кэли, продолжается и сейчас (Оттер, П. Келли, Андреоли,
Краскал и др.); большой интерес проявляется к однородным графам
и плоским графам (Уитни, Биркгоф, Льюс, Грецш). Проблема син-
теза, т. е. построения графа с наперед заданными свойствами, является
одной из центральных в теории 1рафов, а ее прикладное значение,
например, для синтеза автоматических устройств очевидно; к сожа-
лению, никакого общего подхода к этой проблеме пока нет, а связан-
ные с ней вопросы (теоремы существования и единственности, удоб-
ные алгорифмы построения и преобразования графов с заданными
свойствами) решены лишь в некоторых весьма частных случаях.
Отметим, наконец, что сам язык теории графов делает изложе-
ние ряда дисциплин, могущих развиваться и без нее, более удобным
и наглядным. Таковы, например, теория игр, математическая линг-
вистика, некоторые разделы математической эконом! к 1, теория алго-
рифмов (определение алгорифма но А. Н. Колмогорову и В. А. Успен-
скому, граф-схема Л. А. Калужнина), а в особенности теория элек-
трических сетей (см., например, [8] к гл. 15), изложение которой
без понятия „граф“ было бы противоестественным.
Этот не претендующий на полноту перечень общих методов и
отдельных проблем теории графов показывает, что теперь в ее лице
мы действительно имеем дело с теорией, которая интересна сама по
себе и имеет разнообразные и многочисленные приложения. Особенно
велик к ней интерес у лиц, занимающихся кибернетикой и разра-
боткой новых вычислительных устройств. Однако до 1958 г. в лите-
ратуре не было сколько-нибудь полного и систематического изло-
жения теории графов, если не считать ныне уже устаревшей книги
Кёнига. Поэтому выход в свет монографии К. Бержа и перевод ее
на русский язык имеет большое значение, несмотря на то что и
в этой книге современная теория графов представлена далеко не
полностью.
Из общих методов теории графов в книге подробно излагаются
и неоднократно используются два: теория транспортных сетей и теория
чередующихся цепей. К сожалению, метод Пойа, который мог бы
составить прекрасную главу, дан только в добавлении и без всяких
приложений; этот пробел в нашей литературе будет восполнен гото-
вящимся к печати переводом на русский язык монографии Риордана
(Riordan J., An introduction to combinational analysis, New York —
London, 1958).
Из отдельных проблем, перечисленных нами, в книге затронуты
в той или иной степени почти все; ничего не сказано лишь о группе
ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
307
автоморфизмов графа, об асимптотических характеристиках графов
и о критических хроматических графах. Много внимания уделено
понятиям, важным для теории игр (функция Гранди, ядро, сумма
и произведение графов и др.), и изложению самой теории игр на
основе теории графов. Остальные приложения даются в виде отдель-
ных примеров, нередко забавного содержания, но таких, что вдум-
чивый читатель сумеет придать многим из них другое, отнюдь не
развлекательное толкование.
В подлиннике имелись опечатки, неточные формулировки и не-
корректные доказательства; внося при переводе исправления, мы, как
правило, не снабжали их примечаниями. Значительную помощь при
обнаружении неточностей оказали переводчику участники семинара
по теории графов в Институте математики Сибирского отделения
Академии наук СССР; среди них в первую очередь хочется побла-
годарить Л. В. Канторовича. А. И. Фета, В. Г. Визинга, А. А. Берса,
М. И. Кратко и Н. М. Сычеву. Ряд исправлений сделан редактором
перевода И. А. Вайнштейном.
А А Зыков
20*
УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
(X, У обозначают множества; А, В — подмножества X; х, у, ~ — эле-
менты множества Х\ Г, Д — многозначные отображения; k — целое число > 0)
а £ X, х $ X 7
At^B, Л = В 7
А(=(=В 8
Л\В8
ЦК Пл. IIл 8
<рЛ 55
IЛ | 23
R, R4 9
0 7
X = (л<) 170
И(2) 31
k 4-й' 31
с» -1-й 27
ГЛ, Г, Г"1, ГД 10
ГА 12
и = (х, у) 12
U 12
U~A. UА 13
и+, их82
у. = (и1( и2, ,..) = [л-, у.г} 13
I (11). р. [х, г] 13
и = [х, у], U 15
Uv 165
P-.-fi, <+/' 35
л<у, х < у, х = у Ь
G (X. Г) = (X. 17) 12
(7 = (X, У, Г) 104
G (W) 190
G* 235
G X G', G 4-f?' 30
р (<7), v(C7) 34
7((?) 38
d{G) 43
a(G) 47
₽ (G) 49
co (G) 222
p(G) 132
Z(G) 138
d (x, y), e (x) 131
d^ (x), d~ (x) 98
d (x, y), d (x) 215
dx(U) 189
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аарден-Эреифсст (van Aardene-Eh-
rcnfest Т.) 183
Адамар (Hadamard J.) 146
Адамс (Adams Е. W.) 67
Айзекс (Isaacs R.) 62
Александер (Alexander F. W.) 160
Амицур (Amitsur A. S.) 185
Аппель (Appel P.) 250
Бсблср (Baebler F.) 206
Боллман (Bellman R.) 79
Бенсон (Benson D. C.) 67
Берж (Berge C.) 53, 115, 190. 195—
197, 201
Бернштейн (Bernstein F.) 115, 117
Бёрч (Birch) 246
Бикэ (Binet) 170
Биркгоф (Birkhoff G.) 118, 119
Борель (Borel E.) 246
Ботт (Bott R.) 176, 177
де Брейн (de Bruijn N. G.) 183
Брукс (Brooks R. L.) 263
Брэттон (Bratton P.) 137 140 141,
272
Вандермонд (Vandermonde) 122
Веблен (Veblen O.) 166
Boto (Votaw D. F.) 252
Джонсон (Johnson S.) 123
Дирак (Dirac G. A.) 217
Дирихле (Dirichlet L.) 262, 264, 265
Дынкин E. Б. 235
Жордан (Jordan C.) 216
Калмар (Kalmar F.) 70
Кан (Kahn A. S.) 253
Канторович JI. B. 250
Кендалл (Kendall) 273
Кёниг (Konig D.) 24, 39. 104, 111,
112, 114, 115, 118, 123, 124
Киркман (Kirkrnan) 204
Коксетер (Coxeter 11. S. M.) 240
Кон-Фоссеи (Коп-Vosscn S.) 239
Коши (Cauchy O.) 170
Краскал (Kruskal J. B.) 159, 1G7
Креверас (Kreweras G.) 273
Кристи (Christie L. S.) 135
Крон (Kron) 265
Куайн (Quine) 193
Кун (Kuhn W. H.) 70, 89, 112, 246,
247, 255
Купманс (Koopmans T. C.) 250, 266,
269
Куратовскнй (Kuratowski G.) 231
Кэли (Cailey A.) 44
Галлаи (Gallai T.) 188, 196
Гамильтон (Hamilton W.) 120, 121
Гаусс (Gauss K. F-) 43
Гейл (Gale D.) 92. 100
Гильберт (Hilbert D.) 206 239
Гильбо (Guilbaud G. T.) 53
Гомори (Gomory R. E.) 42, 190
Гофмаи (Hoffman A. F.) 89. 93, 159
Гранди (Grundv P. M.) 23 29—33
38, 40, 42, 59—65, 207, 271 '
Лаплас (Laplace P.) 170
Левицкий (Levitzki 1.) 185
Лефшец (Lefschetz S.) 238
Литтлвуд (Littlewood J. E.) 100
Лихтснбаум Л. M. 14-4
Лмкасевич (Lukasiewicz J.) 174
Льюс (Luce R. D.) 135, 139
Люка (Lucas E.) 75, 195, 205
Данциг (Dantzig G. B.) 42, 255
Даффин (Duffin) 265
Мейберри (Mayberry J. P.) 177
Мейси (Macy J.) 135
Менгер (Monger K.) 217, 224
310
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Менделеев Д. И. 34
Монж (Monge G.) 250, 251
Моргенштерн (Morgenstern О.) 53
Морено (Moreno J. L.) 147
Морон (Moron) 262
Mvaup (de Moivres) 122
Мур (Moore E. H.) 64, 270
Нейман (Neumann) 262, 264, 265
фон Нейман (J. von Neumann) 53,
70, 119, 246, 247
Норман (Norman R. Z.) 190, 192,
195, 196
Нэш (Nash) 246, 247
Окада (Okada S.) 162
Орден (Orden A.) 252
Ope (Orc O.) 111
Перрон (Perron O.) 150
Петерсен (Petersen J.) 188, 196. 206,
209
Пойа (Polia G.) 34, 100, 280
Понтрягин Л. C. 231
Постумус (Posthumus) 182
Пуанкаре (Poincare H.) 160
Радо (Rado O.) 25, 59, 290
Райзер (Ryser H. J.) 100
Рейсс (Reiss M.) 270
Рейтер (Reiter S.) 269
Риге (Riquet J.) 275
Риигель (Ringel G.) 105. 240
Ричардсон (Richardson M.) 56, 59
Pot (Roth J. P.) 193
Pya (Roy B.) 135
Рэйбин (Rabin M. O.) 190, 195, 196
Сильвестр (Silvestro) 270
Смит (Smith С. A. B.) 210, 263
Cnpar (Sprague R.) 263
Стоун (Stone A. H.) 263
Тарри (Tarry G.) 77
Татт (Tutte W. T.) 176, 197, 198, 213,
214, 263
Таусски (Taussky O.) 265
Томпсон (Thompson G. L.) 273
Трент (Trent H. M.) 172
Тэт (Tait P. G.) 238, 273
Уитни (Whitney H.) 224, 236
Успенский В. Л. 235
Уэй (Wei Т. Н.) 149, 273
Фалкерсон (Fulkerson D. R.) 85—87,
89, 105, 255, 257
Фишер (Fisher R. А.) 89
Флёрн (Fleury) 181
Флад (Flood М. М.) 255
Форд (Ford L. R.) 79, 85, 86, 87. 89,
105, 255, 257
Фробениус (Frobenius) 150
Хадвигер (Hadviger) 274
Ханани (Hanani) 271
Харди (Hardy G. Н.) 100
Хеллер (Heller J.) 156
Хедвуд (Headwood) 239, 240
Хефтер (Heffter) 240
Хнчкок (Hitchcock F. L.) 250, 251
Холл (Hall Р.) 104, 115, 118, 124
Цермело (Zermelo Е.) 70
Цорн (Zorn) 20, 21
Шенной (Shannon С. Е.) 46—48, 271
Штейнер (Steiner J.) 270
Шютценбергер (Schutzenberger М. Р.)
184, 271
Эйлер (Euler L.) 107, 122, 179, 228,
229
Эргевари (Ergevary J.) 112
Эррера (Errera J.) 199, 209
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелево слово 282
Абсолютное равновесие 70
Активный игрок 67
Алгорифм 50
— нахождения кратчайшего дерева
167
-------пути 78, 79
------- наибольшего паросочетания
(венгерский алгорифм) 112
— — — потока 85, 86, 292
-------совместимого множества 192
•----наименьшего внешне устойчи-
вого множества 51
------- потока 89
-----потока, производящего наи*
большую работу 258
— — — совместимого с интервалом
значений 95
пути выхода из лабиринта 76,
77
-----базы независимых циклов 168
— непосредственного выявления эй-
лерова цикла 181
— построения наибольшего паросочс-
тапия 114
-----наименьшей опоры 114
Антисимметрический граф 14
Антиузел 135
База векторного пространства 36
— графа 19
Бержа—Нормана—Рэйбина теорема
190
Бернштейна теорема 115
Бесконечная грань плоского графа 228
— транспортная сеть 96
Бесконечный граф 23, 24
Бинэ —Коши формула 170
Бисгохэстическая матрица 118
Бнхроматический граф 39
Благоприятная (оптимальная) стра-
тегия 72
Брэттона гипотеза 140
Булево сложение 152
— умножение 152
Бюджет транспортной сети 255
Вектор-цикл 35
Векторное подпространство 35
Величина потока 82
— рассечения 126
Венгерский алгорифм 112
Верхняя грань 19
— структура 19
Вершина (точка) графа 12
Вес разбиения 279
Ветвь 135
Вещественное трехмерное простран-
ство 9
Висячая вершина 165
Внешне устойчивое множество 48
Внутренне устойчивое множество 43
Вполне индуктивный граф 20
- упимодулярная матрица 153
— упорядоченное множество 27
Вход 98
— транспортной сети 82
Выигрыш игрока 68, 244
Выход 98
— транспортной сети 82
Гамильтонов путь 120
— контур 120
— цикл 204
Гамильтонова цепь 204
Генеалогическое (родословное) дере-
во 11
Географическая карта 38
Гипотеза Брэттона 140
— четырех красок 234, 236
Гранди функция 29
Граничные вершины дуги 12
Грань 227
Граф (определение) 11, 12
— антисимметрический 14
— без контуров 18
---- сочленений 217
— бесконечный 23
—	бнхроматический 39
—	вполне индуктивный 20
312
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Граф, двойственный данному 236, 239
—	индуктивный 20
-	конечный 23
—	локально конечный 23
-	- минимально связный 135
—	однородный 198
— плоский 38, 227, 238
—	полный 14
— прогрессивно конечный 23
---ограниченный 23
— простой 51, 88, 104
—	псевдосимметрнческий 182
—	регрессивно конечный 24
—	— ограниченный 24
—	связный 15
—	сильно связный 14
—	симметрический 14
—	структурный 19
—	топологический 227, 238
—	тотальный 18
—	транзитивный 18
—	частичный 12
-	- ой-плоский 76
—	Г -конечный 22
—	Г-1-копечпый 22
—	Г -ограниченный 22
— й-связный 223
— р-хроматический 37
— S-топологический 238
Группа подстановок 276
Двоичная запись числа 31
Двойственная строчка 99
Двойственный граф 236, 239
Декартово произведение 8
Дерево 165
Дефицит простого графа 108
Диаметр графа 138
Динамические программы 79
— сети 83
Дирихле задача 262
Дирихле—Неймана задача 262
Длина дуги графа 78
—	пути графа 13
—	ребра графа 166
Дополнительная матрица 142
Дуга (графа) 12
Емкость графа 47
Задача Куайна 193
— Купманса 266
- о бомбардировке путей сообщения
222
Задача о волке, козе н капусте 76
----воспитанниках и воспитанницах
104
-• — восьми ферзях 43
— — кёнигсбергских мостах 179
— книгах 123
— — коне Аттилы 221
---- котловане и насыпи 251
---- лидере 147
----назначении лиц па должности
104
— — нахождении наименьшего по-
крытия 192, 193
----прогулке молодых девушек 195
—	— пяти ферзях 49
----пятнадцати девушках 44
----разбиении прямоугольника ла
квадраты 262
---- распределении товара по транс-
портной сети 252
—	— складе 253
— — трех городах и трех источниках
снабжения 227, 230
----урезанной шахматной доске
194
----ходе шахматного коня 122
----часовых 49
----шести красных дисках 49
— об информационной емкости мно-
жества сигналов 46
— — оптимальном назначении лиц
252
---- экскурсии 100
Замкнутая поверхность 238
Замкнутое кругосветное путешествие
120
Заходящая (в вершину, в множе-
ство) дуга 13
— (в множество веошин) цепь 187
Игра 61, 67, 243
—	в брндж 245
—	Ним 61, 68
—	— порядка р 64
—	с полной информацией 67, 245
----совершенной информацией 245
Игрок 67
Избыток 261
Изолированная вершина (точка) 98,
165
Индекс положения игры 243
Инцидентность 13
Исходящая (из вершины, из множе-
ства) дуга 13
Квазипорядок 17
—	определенный графом 17
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
313
Кёнига—Оре теорема 111
Кёиига теорема о бихроматичсских
графах 39
Кёнига—Холла теорема 104, 108
Класс эквивалентности 9
Классы транзитивности 276, 277
Клика 44
Код 46
Комбинированная стратегия 246
Композиция отображений 10
Компонента (связности) 15
Конец дуги 12
Конечная грань плоского графа 228
Конечный граф 23
Контур 13
Край грани 227
Куна—Берча теорема 246
Кусок графа 220. 231
---внешний 232
--- внутренний 232
Лабиринт 75
Лапласа формула 170
Латинские квадраты 107
Лемма Цорна 20
—	Эррера 199
Линейная конфигурация 170
Линейно зависимые векторы 36
—	независимые векторы 35
Линейные программы 41, 81, 84, 190,
249, 250
Мажоранта 17
Максимальный элемент 20
Матрица инциденций для дуг 153
—	— — ребер 153
—	смежности р-графа 142
Мецгера теорема 217
Минимально связный граф 135
Минимальный кусок 220
—	элемент 20
Миноранта 18
Многочленный коэффициент 285
Множество 7
—	изоляции 221
—	информации 243
—	сочленения 221
Моноид 174
Мульгиграф 34
Наибольший элемент множества 18
Наименьший элемент множества 18
Напоминание 246
Насыщенная дугг» 86
Начало графа 186
*	— дуги 12
Недостижимая вершина 186, 195
Независимые циклы 35
Незамкнутное кругосветное путеше-
ствие 121
Ненасыщенная вершина 112, 190, 194
Неприводимая вершина 66
Несравнимые вершины 109
Нижняя грань 19
—	структура 19
Нормальная форма игры 245
Обобщенная сумма матриц 150
Обобщенное произведение матриц 150
—	сложение чисел 150
—	умножение чисел 150
Образ 10
Обратное отображение 10
Объединение 8
Однородный граф 198
Ожидание выигрыша 244, 246
Опора 200, 268
— оптимальная 266
—	простого графа 109
Ориентируемая поверхность 238
Основной вероятностный закон (в иг-
ре) 243
Отклонение 131
Отклонспность 131
Отношение порядка 18
Отображение многозначное 10
—	однозначное 10
Ощипывание графа 220
Паросочетание произвольного графа
194
—	простого графа 104
Пассивный игрок 67
Перемещение 101
Пересечение 8
Перешеек 207
Периферийная точка 131
Перифероидная точка 216
Петерсена--Галлаи теорема 188
Петерсена—Эррера теорема 209
Петля 13
Планирование неполных блоков 89
Плоский граф 38, 227
— — топологический 227, 238
Поверхность 238
Погоня 69
Подграф 12
Подпгра 68
Подмножество 7
Подстановка 275
—	единичная 275
Поединок 72
314
предметный указатель
Покрытие графа 88, 192
Полное паросочетание 112
Полный граф 14
-	- лоток 86
Положение игры 67, 243
Полустепень захода вершины 98
—	исхода вершины 98
Понтрягина—Куратовского теорема
231
Порядковая функция графа 28
Порядковое (трансфинитное) число 27
Порядок 18
—	вершины графа 28
Поток 82
— совместимый с избытками 261
---— множеством значений 89
Потенциальная функция графа 262
Потребность вершины, множества 90
Правило Тарри 77
—	игры 67, 243
Прадерево 19, 173
Предшествующая вершина 17
Проводимость дуги 262
Прогрессивно конечный граф 23
—	ограниченный граф 23
Произведение графов 30, 46
Пропускная способность дуги 82
		разреза 85
Простая цепь 15
Простой граф 51, 88, 104
—	путь 13
—	цикл 15
Псевдоспмметрпческий i раф 182
Пустое множество 7
Путь (в графе) 13
Работа потока 255
Равновесие (в игре) 70, 244
Радиус графа 132
— — ненаправленный («радиоид»)
216
Радо теорема 25
Разбиение (множества) 9
—• в смысле теории чисел 279
Размерность отображения 282
—	разбиения 279
Разность потенциалов 261
Разрез (транспортной сети) 85
Рассечение графа 126
Расстояние 131
—	между вершинами 215
Ребро графа 14
—	мультиграфа 34
Регрессивно-конечный граф 24
Регрессивно-ограниченный граф 24
Регулярность отношения 276
— подстановки 276
Результат игры 72
Рейни проблема 18
Ричардсона теорема 56
Розетка 135
Родословное (генеалогическое) дере-
во 11
Род поверхности 239
Связный граф 15
Сеть коммуникаций 215
Сигналы 46
Сила игрока 149
--- итерированная порядка р 148
Сильно связный граф 14
Сильные вершины 186, 195
— дуги 112
— рёбра 186, 189, 207
Симметрическая группа 277
Симметрический граф 14
Симплекс-метод 42, 85
Слабые вершины 186, 195
— дуги 1 [2
— ребра 186, 189, 207
Следующая вершина 17
Слово 282
Смежные вершины 13
— грани 227, 228
—	дуги 12
Смешанная вершина 186, 195
Совершенная информация 245
Совершенное паросочетание 194
Совершенный прямоугольник 262
Совместимость множества ребер с
данной функцией 189
Сопротивление дуги 262
Сопряженная эквивалентность 279
Сопряженное отображение 281
Составная цепь 15
Составной путь 13
—	цикл 15
Сохранное отображение 47
Социограммы 147
Способность бюджета 256
Старшинство 14
Степень вершины 180
—	отображения 281
Crparei ия 69, 244
Строго предшествующая вершина 17
—	следующая вершина 17
Структурное отношение порядка 19
Структурный граф 19
Стягивание множества вершин 135
Сумма графов 30
—	порядка р игр Ним 64
Схема информации 183
—	коммуникаций 14
Татта теорема 213
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
315
Теорема Аардена-Эренфеста — де
Брейна 183
— Амицура— Левицкого 185
Теорема Бержа—Нормана—Рэйбина
190
—	Бержа о бесконечных транспорт-
ных сетях 115
-------наибольшем внутренне ус-
тойчивом множестве 201
—	Бернштейна 115
—	Биркгофа — фон Неймана 119
—	Бэблера 206
—	Гейла 92
—	Гофмана 93
—	Дирака 124
—	Жордана (о центроидах графа)
216
— Кёнига 112
---о бихроматических графах 39
— — — гамильтоновом нут 123
------- последовательностях 24
—	Кёнига—Оре 111
—	Кёнига—Холла 104, 108
—	Куна—Берча 246
—	Менгера 217
—	фон Неймана—Нэша 246
— о полустепенях 98
— Перрона—Фробениуса 149, 150
—	Петерсена 206
—	Петерсена—Галлаи 188
—	Петерсена—Эррера 209
— Понтрягииа--Куратовского 231
—	Пуанкаре—Веблена—Александе-
ра 160
—	Радо 25
—	Ричардсона 56
—	Руа 135
—	Татта 213
—	— о совершенном паросочетании
198
—	Татта—Бержа 197
—	Татта—Ботта 176
—	Таусскн 265
—	Тэта 238
—	Уитни 224
—	Форда—Фалкерсона 87
— Харди—Литтлвуда—Пойа 100
— Хеллера 156
— Хеллера—Томпкинса—Гейла 153
—	Цсрмело—фон Неймана 70
Тип отображения 281
—	слова 282
Топологический граф 227, 238
Тотальный граф 18
—	квазипорядок 18
Точка 7
—	(вершина) графа 12
Точка простого сочленения 215
— сочленения 215
--- равновесия (в игре) 244
Транзитивная группа 277
• - эквивалентность 275, 277
Транзитивное замыкание (отображе-
ния) 10
ТранзичивноС1Ь 17
Транзитивный граф 18
Транспонированная матрица 142
Транспортная задача 250
— сеть 82
Трасса 137
Турнирная диаграмма 222
Удаленность вершины 215
Узел 135
Уитни теорема 224
Фактор графа 124
Фактор-множество 276
Фактороид 204
Фан Тан (простая игра Ним) 63
Форда—Фалкерсона теорема 87
Функция предпочтения 67, 243
Характеристическая функция множе-
ства 55
Хассе диаграмма 18
Ход (в игре) 67, 243
Хроматический класс графа 38
Хроматическое число графа 38
Центр графа 131
Центроид 216
Цепь 15
Цермело—фон Неймана теорема 70
Цикл графа 15
— подстановки 276
Циклическая группа 277
Циклический индекс 280
Цикломатическая матрица (вторая
матрица инциденций) 162
Цикломатическое число 34
Частичная игра 68
Частичный граф 12
— подграф 12
Чередующаяся цепь 186
Число внешней устойчивости 49
•— внутренней устойчивости 43
— связности 221
316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шахматы 68
Эйлера формула 228
Эйлерова цепь 179
Эйлеров цикл 179
—	контур 182
Эквивалентность 9
Эквивалентные вершины 17
Элемент множества 7
Элементарное произведение
146
Элементарный контур 13
—	путь 13
—	цикл 15
Эффективное предпочтение 53
Ядро графа 53
aft-плоский граф 76
Г-конечный граф 22
Г _ 1-конечный граф 22
l’-ограниченный граф 22
d-сумма 31
—	трансфинитных чисел 32
р-граф 98
р-хроматический граф 37
А-связиый граф 223
S-топологический граф 238
2-граф, 3-граф 34
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................ 5
Глава 1. Основные определения.................................... 7
Множества и многозначные отображения....................... 7
Граф. Пути и контуры...................................... 11
Цепи п циклы.............................................. 14
Глава 2. Предварительное изучение квазиупорядоченностн ...	17
Квазипорядок, определяемый графом........................ 17
Индуктивный граф и базы.................................  19
Глава 3. Порядковая функция и функция Гранди для бесконеч-
ного графа..................................................... 23
Общие соображения относительно бесконечных графов........	23
Порядковая функция....................................... 27
Функции Гранди........................................... 29
Операции над графами..................................... 30
Глава 4. Основные числа теории графов............................ 34
Цикломатическое число...................................... 34
Хроматическое число ....................................... 37
Число внутренней устойчивости ............................. 43
Число внешней устойчивости................................. 48
Глава 5. Ядра графа........................................... 53
Теоремы существования и единственности..................  53
Приложение к функциям Гранди............................. 59
Глава 6. Игры на графе........................................ 61
Игра Ним................................................. 61
Общее определение игры (с полной информацией)............ 67
Стратегии................................................ 69
Глава 7. Задача о кратчайшем пути............................. 75
Процессы по этапам......................................  75
Некоторые обобщения...................................... 78
Глава 8. Транспортные сети.................................... 82
Задача о наибольшем потоке............................... 82
Задача о наименьшем потоке............................... 88
Задача о потоке, совместимом с множеством значений....... 89
Бесконечные транспортные сети.......................      96
318
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 9. Теорема о полустепенях................................ 98
Полустепени исхода и захода .............................. 98
Глава 10. Паросочетание простого графа...........................104
Задача о наибольшем паросочетании...........................104
Дефицит простого графа......................................108
Венгерский алгорифм.........................................112
Обобщение па бесконечный случай.............................114
Приложение к теории матриц..................................117
Глава 11. Факторы...............................................120
Гамильтоновы пути и гамильтоновы контуры...................120
Нахождён'иё^'актора........................................124
Нахождение частичного графа с заданными полустепеиями .... 128
Глава 12. Центры графа..........................................131
Центры ....................................................131
Радиус.....................................................132
Глава 13. Диаметр сильно связного графа.........................135
Общие свойства сильно связных графов без петель............135
Диаметр....................................................138
Глава 14. Матрица смежности графа...............................142
Применение обычных матричных операций......................142
Задачи на подсчет..........................................144
Задача о лидере .......................................... 147
Прнмсиснис булевых операций................................150
Глава 15. Матрицы инциденций..................................153
Вполне унимодулярпые матрицы.............................153
Вполне унимодулярные системы.............................158
Цикломатические матрицы..................................161
Глава 16. Деревья и прадеревья.................................165
Деревья...................................................165
Аналитическое исследование .............................. 170
Прадеревья................................................173
Глава 17. Задача Эйлера........................................179
Эйлеровы циклы............................................179
Эйлеровы контуры..........................................182
Глава 18. Паросочетание произвольного графа.....................186
Теория череду юцихся цепей.................................186
Нахождение частичного графа с заданными степенями вершин . . 189
Совершенное паросочетание..................................195
Приложение к числу внутренней устойчивости.................200
Глава 19. Фактороиды............................................204
Гамильтоновы циклы и фактороиды............................204
Необходимое и достаточное условие существования фактороида . 211
Глава 20. Связность графа.......................................215
Точки сочленения...........................................215
Графы без сочленений.......................................217
Л-связпые графы............................................221
ОГЛАВЛЕНИЕ
319
Глава 21. Плоские графы.....................................227
Основные свойства......................................227
Обобщение..............................................238
Добавления..............................................241
I. Об общей теории	игр.........................243
II. О транспортных	задачах......................250
/77. Об использовании понятия потенциала в транспорт-
ных сетях....................................261
IV.	Нерешенные задачи и недоказанные предположения . . 270
V.	О некоторых основных принципах подсчета (ИС. Риге) 275
VI.	Дополнения к русскому переводу (А. А. Зыков и
Г. И. Кожухин).....................................289
Литература ..............................................  293
Теория графов и книга К. Бержа (послесловие к русскому пе-
реводу) .......................................................303
Указатель символов............................................308
Именной указатель...........................................309
Предметный указатель........................................311
К. Б е р ж
ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Художник В. [I. Заикин
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор А. Г. Релоухоеа
Сдано з цроиззодетвг» 27/VI-1961 г.
Подписано к печати 14/V-1962 (.
Бумага 60x9.)'/,, =10 бум. л.
20 печ. л.
Уч -изд. л. 18. Изд. № 1/0245
Цена 1 р. 46 к. Зак. 2G38.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 им. Епг. Соколовой
УП.П Ленсовпархозп
Ленинград, Измайловский нр , 29.