И. А. ДРУЖИНСКИЙ
лауреат Государственной премии СССР
доктор технических наук
МЕХАНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
ЛЕНИНГРАД
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1977
6П5.1
Д76
УДК 621.01
Рецензент Д. Г. Гольцикер
Я?
I КРАСНОЯРСКАЯ
1	КРА.БЗАЯ
I библ й о т £ яА
Дружинский И. А.
Д76 Механические цепи. Л., «Машиностроение»
(Ленингр. отд-ние), 1977.
240 с. с ил.
Книга содержит необходимые теоретические материалы
и практические приемы решения динамических задач механики
при гармоническом воздействии с использованием метода комп-
лексных сопротивлений. Рассмотрены линейные системы с со-х
средоточенными элементами, находящиеся в поступательном,
вращательном и комбинированном движениях.
В качестве рабочего органа подробно изложены механи-
ческие цепи: их сущность, способы построения в зависимости
от действия сил (крутящих моментов) или скоростей (угловых
скоростей), средства для проведения анализа и синтеза механи-
ческих цепей.
Книга предназначена для инженеров-механиков, работаю-
щих в области конструирования и исследования машин; она
также может быть полезной для аспирантов и студентов стар-
ших курсов механико-машиностроительных факультетов.
д
............°01-77
038(01)—77
6П5.1
© Издательство «Машиностроение», 1977 г.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
т— масса тела, кг*с2/м;
г — сопротивление, пропорциональное скорости, кгс* с/м;
k — упругость, кгс/м;
1/k — эластичность, м/кгс;
Q — внешняя сила, кгс;	*
Qm, Qr, Qk — часть внешней силы, идущей на преодоление соответ-
ственно массы, сопротивления или упругости, кгс;
у — линейное перемещение, м;
Ут, Уг, УЬ — часть линейного перемещения, образуемого под действием
частей внешней силы, м;
v = dy!(dt) ~ У.— линейная скорость, м/с;
а = v = у — линейное ускорение, м/с2;
И — момент инерции тела, кгс*м*с2
р — сопротивление вращению, пропорциональное угловой
скорости, кгс • м • с/р ад;
х — упругость крутильная, кгс-м/рад;
М—внешний крутящий момент, кгс-м;
/Ия, /Ир, /Их — часть внешнего крутящего момента, идущего на прео-
доление соответственно момента инерции, сопротивле-
ния вращению 1 и упругости крутильной, рад;
Ф — угол поворота, рад;
фя, фр, Фх — часть углового поворота образуемого под действием
частей внешнего крутящего момента, рад;
S = dtp (dt) = — угловая скорость, рад/с;
8 = 6 == ф — угловое ускорение, рад/с2;
t — время, с;
w — круговая частота, рад/с;
/ = ®/(2л) — циклическая частота, рад;
__? — фазовый угол, рад;
/ = К—1 — мнимое число (/2 — — 1; /3 = — /; /4 — 1);
т = 1// — 2 л/со — период колебания, с/рад.
1 Момент сопротивления в данном понимании не соответствует принятому
в курсе «Сопротивления материалов» термину и имеющему размерность м3.
1*
3
Посвящается рабочим, техникам, инженерам
ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции
Станкостроительного объединения имени Я, М, Свердлова,
где многие годы проработал конструктором автор
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий период развития науки и техники характери-
зуется процессом взаимного проникновения различных отраслей
наук, которое приводит к тому, что грани между науками ста-
новятся условными, а наиболее рациональные методы исследо-
ваний, применяемые в сопредельных областях знаний, исполь-
зуются и в других науках: в теоретической механике, в теории
автоматического регулирования, теории радиоэлектрических и
электронных цепей используют различные методы решения задач,
связанных с применением корректирующих звеньев. Кроме того,
необходимо отметить возможности использования методов, при-
меняемых в электротехнике.
Физическая теория современной механики располагает мощ-
ными средствами анализа сложных динамических систем. К ним
относятся принцип Гамильтона и его частные решения в виде
уравнений Лагранжа, концепции виртуальных перемещений и
принцип Даламбера, основанные на законах Ньютона.
Классический метод анализа динамических механических си-
стем позволяет привести такие этапы решений, как определение
системы, установление и решение уравнений движения, выбор
граничных условий и определение постоянных, введение пара-
метров действительной системы в общее решение и получение
частных решений. Этот общий метод применим к любой системе
в том единственном случае, когда дифференциальные уравнения
могут быть решены. Однако время, затрачиваемое на решение,
столь значительно, что вынуждает отказываться от такого ана-
лиза. Более рациональное решение сложных динамических задач
позволяют осуществить методы, разработанные в последние
тридцать лет. К ним относятся методы решений Фурье, Бромвича,
Лурье, Данилевского, Лапласа, Карсона, Хевисайда, Дюамеля.
Для большого класса динамических линейных задач с до-
статочной простотой, но значительной полнотой применим метод
комплексных сопротивлений, который в этой работе систематизи-
рованно рассматривается. Введение абстрагированных механиче-
ских цепей позволяет в алгебраической форме решать сложнейшие
4
дифференциальные уравнения и, что важно, получать конкретные
решения для всех сил и скоростей в динамической системе, ее
звеньях и отдельных элементах.
Широкий круг вопросов из разных областей технологии, ме-
ханики и математики, рассматриваемых в этой книге, затруднил
выбор буквенных обозначений физических величин, поэтому автор
был вынужден применять буквенные обозначения, не всегда при-
нятые в технической литературе.
В этом направлении, которое исследует автор, были опубли-
кованы отдельные статьи в СССР и за рубежом. Это работы,
А. Белова, Л. Варшавского, Г. Гамбурцева, В. Федоровича,
А. Харкевича и несколько позже работы Г. Хехта (Германия),
Г. Ольсона, К. Моллоя, Р. Торна (США). Однако в этих работах
рассматриваются несложные системы и не исследуются задачи,
связанные с действием нескольких сил, систем, приводящих к не-
планарным цепям и использованию четырехполюсников.
Автор будет считать свою цель достигнутой, если материал,
изложенный в книге, поможет исследователям и конструкторам
решать конкретные задачи, вызовет интерес развивать и допол-
нять изложенные методы, а, возможно, будет способствовать
созданию еще более эффективных средств’решения задач. t
Все замечания и пожелания автор просит направлять по
адресу: 191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского, 10, издатель-
ство «Машиностроение».
ВВЕДЕНИЕ
Действие силы или крутящего момента на тело во время его
поступательного или вращательного движения вызывает различ-
ные результаты из-за того, что это тело может вести себя по-раз-
ному — как масса (инерция), сопротивление или упругость —
и показывать, таким образом, три различные формы явлений.
В физически осуществимой механической динамической си-
стеме, находящейся в поступательном или во вращательном дви-
жении, весьма сложно рассматривать массу, наделенную свой-
ствами упругости и сопротивления, упругость, наделенную свой-
ствами массы и сопротивления, и сопротивление, наделенное
свойствами массы и упругости.
В теории и на практике принимается гипотеза, согласно кото-
рой механическая динамическая система упрощается и в ней
рассматриваются идеализированные сосредоточенные элементы
системы. Под сосредоточенным элементом понимают абстрагиро-
ванный предел реальной системы при бесконечном уменьшении
влияния прочих свойств системы. Ниже будут рассмотрены линей-
ные динамические системы с сосредоточенными элементами,
приведены сведения о гармонических колебаниях и частотах,
подробно рассмотрены пассивные и активные элементы, комплекс-
ные сопротивления и подвижности элементов для поступательного
и вращательного движений, а также сведения по электромехани-
ческим аналогиям. В работе широко используются комплексные
числа, поэтому при изучении свойств целой функции у = f (х) =
= Аохп + Д1хп~1 + • • • + А„_аха + Д„_1% + Ап под х будем
понимать не только действительные, но и комплексные числа вида
а = at 4- ja2 (где величину j называют мнимой единицей, а вели-
чину /аа — мнимым числом), используя все три формы комплекс-
ного числа: алгебраическую, тригонометрическую и показатель-
ную: а = ar + ja2 = a (cos а + j sin а) = ае'“.
При выполнении действий с вектором будем помнить, что умно-
жение на +/ или деление на —j дает поворот вектора а против
часовой стрелки на угол +л/2. Аналогично умножение на —j
или деление на +] дает поворот вектора а по часовой стрелке на
6
угол —л/2; умножение й Делеййе вектора на соответствует повб-
роту на угол ±л. Если обозначить а угол между векторами а
и ах, причем а2 = ах tg а, то модуль комплексного числа а =
= ]/~ al + al и аргумент комплексного числа а = arctg а^а^.
Более часто будем пользоваться элементами операционного
исчисления, основанного на изображении функции времени t
новой переменной р, переход к которой от функции времени t
выполняется при помощи преобразований Лапласа. Условимся
называть изображением данной функции f (t) вещественного
переменного t функцию F (р) комплексного переменного р, опре-
00
деляемую равенством F (р) — j е-^ f (?) dt и обозначаемую F (р)
о
= /(£), причем р = р + /о, а вещественная часть 0 положи-
тельна и достаточно велика, чтобы интеграл был конечным [1 ].
Покажем простейшие формулы перехода от функции времени t
к функции времени р. Изображение постоянной величины а:
00	00	*
F(a) = \e-ptadt --;=^ | = -А(0-1)= «
о	р о
i
Изображение первой и второй производной функции f (t):
f' (t) = pF(p)- f" (f) = p2F (p).
t
Изображение интеграла J f (t) dt:
о
t
F (p) == F (p)/p = J f (/) dt.
Изображение экспоненциальной функции f (t) =
F (p) = l/(p + ».
Изображение основных тригонометрических функций:
sin at = ®/(p* + co2); cos co / = p/(p2 + co2).
Гармонические колебания. Гармоническая функция # = Л sin (Ы + £)
образуется как проекция точки а при вращении кривошипа радусом Оа на пло-
скость хОу. Здесь А — амплитуда синусоиды, равная высоте полуволны; со —
круговая частота или угловая скорость; £ — угол сдвига фазы; время t отсчиты-
вается от момента, когда т = £, т. е. т = со/+ £. Время, в течение которого
точка А описывает полную окружность, называется периодом: т = 2л/со. Обрат-
ная величина 1/т = / = со/(2л) — циклическая частота (рис. В.1, а, б), со =
= 2л/. Ограничимся кратким анализом функции у = A sin (со?+ Q.
Изменение со. Чем величина (о больше, тем больше будут высокочастотные
колебания, а период колебаний будет меньше; при низкочастотных колебаниях
период колебаний будет больше. Деформации синусоиды происходят вдоль
оси Ох (рис. В.1,в).
Изменение А. Если А > 0, то функция соответствует изображению
, sin (со/+ Q; предельное значение этой функции будет ±А sin(co^+ Q. Если
7
A < 0, то синусоида будет иметь зеркальное изображение (рис. ВЛ, г). Дефор-
мации синусоиды происходят вдоль оси Оу,
Изменение j. Если £ = О, то синусоида проходит через начало координат.
Если ь =^= О, то при £ > О, когда <о/ + 0 начало координат следует перенести
влево на величину | + £ Ь а при £ < О, когда со/ — £, — вправо на величину | —5 Ь
Следовательно, изменение угла сдвига фазы производит смещение синусоиды
вдоль оси Ох без изменения характера кривой (рис. В. 1, б).
Дифференцирование функции # = 4 sin (<о/-|-С) приводит к смещению
синусоиды на величину +л/2; у = соЛ cos (со/+ 0.
Рис. ВЛ. Графическое изображение гармонического колебания
Интегрирование этой же функции приводит к смещению синусоиды на
величину — я/2; j# dt = —Л/со cos (со/ + Q.
В этих операциях следует изменить амплитуду: при дифференцировании —
на величину соЛ и (—сА4), а при интегрировании на величину Л/со и —Л/со2.
В частном случае, если со = 1, деформация синусоиды вдоль оси Оу не проис-
ходит.
При сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты обра-
зуется новое колебание такой же частоты: #1=41sin (со/+ £х); у2 ==
== Л281п(со/+ ?2); #12 = г/1+ у% — А12 sin (со/ + ?12).
При этом Л?2 = Л1 + Лз + 2АгА2 cos (0 — £2); ' 02 = (A sin 0 +
+ Л2 sin 0)/(4х cos 0 + Л2 cos 0).
При сложении двух гармонических колебаний с разными частотами полу-
чается обычно сложная кривая, отличная от синусоиды; при этом, если частоты
очень близки, образуется кривая с периодическим биением (рис. В.2, а); если
частоты отличаются очень заметно, то высокочастотная слагаемая выступает
на суммарной кривой как пульсация, наложенная на низкочастотную слагаемую
(рис. В.2, б); если частоты отличаются не очень заметно, то суммарная кривая
приобретает характер, близкий к трапеции (рис. В.2, в).
Частоты, Вокруг нас находятся колебания различного происхождения:
физические явления природы (движение облаков, волны моря и озера, землетря-
сения, солнечные лучи и мерцание звезд), человеческая речь, уличные и произ-
водственные шумы (вибрации при полете самолета, движении поезда и автомо-
биля), звуки музыки (гармоничные и дисгармоничные, с красивым тембром и
глухие, как звук барабана с порваной кожей).
8
На рис. В.З показан музыкальный ряд колебаний; он приведен для восприя-
тия количественных показателей частот и очень полезен для практических
сравнений. Область восприятия человеком музыкальных звуковых колебаний
находится в пределах диапазона пианино от звука си субконтроктавы с со =
= 27,5 1/с, до звука ля четвертой октавы с со = 3520 1/с. Каждая октава отли-
чается изменением частоты в два раза, при этом, как наглядно показано на
Рис. В.2. Сложение двух гармонических кривых с раз-
ными круговыми частотами
сетке, нанесенной на клавиатуру, все частоты располагаются по логарифми-
ческой шкале. Подобное знакомство позволяет представлять себе характер
звуков в процессе испытания машин, приборов с порядком возникающих частот.
Окраска звука или тембра характеризуется сложностью гармоник, образующих
эти колебания (рис. В.4). Эта периодическая функция получается в результате
сложения нескольких гармоник с разной (в данном случае кратной) частотой
и одинаковой амплитудой; при этом кривую с наименьшей частотой называют
основной гармоникой, а все последующие— 1, 2-й .. . гармониками.
В практике диапазон частот значительно больше музыкального и нахо-
дится в пределах от дробных до нескольких тысяч в секунду; при этом принято
считать низкими частоты до 300 1/с, или 300 Гц; средними — до
750 Гц; высокими — свыше 750 Гц.
9

8-----
Рис. В.З. Частоты музыкального ряда. Октавы и логарифмические зависимости
О
Сибконтр
октава
&
(Ноты изображены с пропусками)
&
S
6
7
		8	Большая октава	Малая октава	Первая октава	Вторая октава	Третья октава	Четвертая октава
	Ob	** ** o> S	. *• «о Co Q>	Cc <C ё °C	>	<C Сэ >	S	is S? 5	j »Ъ 00	<5
<*3	; £ <о ё г >	О	Qi M £ & §T £	: Г s" §‘	£ C\l o> Cm	Г	GO4 Os' >	9> Go	g	g	£	£	в	в	§ S	$г	'e	2?	Й	&	$	
§ СМ 1	й	§	й:	§ 5 5” ST £ S' g" I 1 1	1 l 1 I		s	5	в	J.	£	Ч	§ <<Г	?	fn"	?	“~f §	$s	2?	8;	sj	5 1 I I Illi		U>	Jo	05	Cs. <Xj	CM	05 <2 ?2 III!	Co	Q> Co	°i	Q> 4	<cT	oT bx	o>	$0 Cx III	§	в	8 В	й	в §	<M	’•s 1	1	1
ILJLLJLllJLlJL.lJLlJLl.JLlJLaJLlJllJLlJLlill.Jl.JI							
1 1	1 II 1			f,25	1	2,5 13,0	kJ	LL	|/,25	L	L-J. «>
2„5-Ю' 3-ю’
5-Ю'	7-Ю1 Юг
2
2-!0
Ц-Юг
7-102	103
2-Ю3
ч-ю3
Пассивные элементы. Пассивными будем считать элементы,
не имеющие независимых источников силы (крутящего момента)
или линейной (угловой) скорости, либо имеющие несколько
источников силы или скорости, алгебраическая сумма которых
равна нулю.
Масса в поступательном движении. Масса — пассивный эле-
мент механической системы, препятствующий изменению скорости
движения и накапливающий кинетическую энергию Е движения.
При поступательном движении кинетическая энергия массы уве-
Рис. В.4. Сложение нескольких гармонических кривых
личивается при увеличении ее линейной скорости (у2 > ох,
Е%> £х), т. е. при наличии линейного ускорения; кинетическая
энергия уменьшается при уменьшении линейной скорости массы
(о % < vit Е2 < £х) и остается постоянной при постоянной ско-
рости массы (оа — vx = v — const, Е2 = Ег = Е = const).
Кроме поступательного движения массы, ее можно вращать вокруг
оси; на вращение тела влияет не только масса тела, но и ее распре-
деление вокруг оси вращения. Математическая зависимость между
массой и так называемым радиусом инерции характеризует момент
инерции. Таким образом, момент инерции представляет постоян-
ную во времени величину, характеризующую пассивный элемент,
обладающий инерцией, в котором накапливается кинетическая
энергия вращательного движения. Также как для поступательного,
во вращательном движении кинетическая энергия инерционного
элемента увеличивается или уменьшается при соответствующем
увеличении или уменьшении угловой скорости (ба > 6Х, Е% > Ех;
ба < 6Х, £а < £х; 6а — 6Х — 6 = const, Ez = £х = Е = const).
Известно, что при изменении линейной скорости vm, действу-
ющей на массу, возникает сила
(ВЛ)
11
Из (В.1) можно написать, что изменение скорости при дей-
ствии силы на массу происходит по уравнению
vm = ±\Qmdt.	(В.2)
Пусть изменение величины скорости, действующей на массу,
происходит по гармоническому закону
Ут = Vmn sin (at 4- С),	(В.З)
где Vmn — наибольшее (предельное) значение скорости, или
амплитуда скорости.
Подставляя значение vm из (В.2) в (В.З), получаем
'	1/w J Q.mdt = Vmn sin (со/ -J- £).
Преобразовывая это выражение и дифференцируя его, полу-
чаем
j Qn dt = tnVma sin (со/ 4- £);
-%-jQmdt = -^ [rnVmn sin (at 4- £)]; Qm = amVmn cos (co 14- Q.
Помня, что cos (at 4- P = sin (at 4" C 4- n/2), получаем
QOT = Qmnsin(co/4-C + -r).	(B.4)
Так как Qmn = jam.Vmn или Qm - jarny и зная, что j соответ-
ствует повороту вектора против часовой стрелки на угол 4-л/2,
замечаем, что выражение (В.4) отличается от (В.З) на угол 4-л/2.
Последнее выражение, графически изображаемое поворотом
вектора j на угол 4-л/2, показывает, что скорость отстает от
силы на угол л/2 (рис. В.7, а, б). В тот момент, когда скорость vm
проходит через нуль, сила Qm достигает наибольшего положитель-
ного или отрицательного значения.
Рассмотрим противоположную задачу, когда при изменении
силы Qm, действующей на массу, возникает скорость vm (В.2)
и изменение силы при действии скорости на массу происходит
по уравнению (В.1).
Пусть изменение силы, действующей на массу, происходит
по закону (В.4). Подставим значение Qm из (В.1) в (В.4)
т dvm/(dt) = Qmn sin (at 4- £ 4- л/2).
Преобразовывая это выражение и интегрируя его, получаем
= sl„(“' + S + 4-); J*„ = ^Jsin(<»/ + £+4)*;
Srcos(“‘ + £+-5r)-
12
Зная, что [—cos (at + £ + л/2)] = sin (at + £) и Qmn =
= jVmnam, можем написать Qmn /(am) = jVmn и окончательно
как в (В.З). Сравнивая (В.4) и (В.З), обнаруживаем наличие
угла +л/2, что компенсирует отсутствие величины j в выводимой
зависимости и это также подтверждает опережение силы перед
Рис. В.5. Действие сил и скоростей в системе с одной степенью сво-
боды
Проводя подобные рассуждения для массы во вращательном
движении, обладающей моментом инерции И, напишем, что
крутящий момент Ми = И ddH/(dt) и угловая скорость =
— \/И j Ми dt. Если изменение угловой скорости, действующей
на вращающуюся массу, происходит по закону 8И = ДЯп sin (at +
+ Р, где ДИп — наибольшее (предельное) значение угловой ско-
рости или амплитуда угловой скорости, то изменения крутящего
момента будут происходить по закону Ми — МИв sin (at +
+ £ 4- л/2), где МИа = аИ при этом крутящий момент,
13
так же как и сила, опережает угловую скорость (скорость в по-
ступательном движении) на угол +л/2 или на величину +/•
Сопротивление в поступательном движении. Наименее кон-
кретным понятием в механике, обусловленным значительным
количеством поправочных коэффициентов, является понятие со-
противления, которое возникает от взаимодействия двух переме-
щающихся сред, в результате чего получается необратимый про-
цесс преобразования кинетической энергии в тепло. Этот процесс
является полезным, когда рассматриваются тормозящие устрой-
ства (парашюты, гидравлические и механические тормоза и муфты,
разного рода демпферы), и является вредным во многих происхо-
дящих на земле процессах: при постоянной внешней нагрузке
скорость в воздухе будет больше, чем в воде, а в воде больше,
чем в масле.
Итак, сопротивление — пассивный элемент механической си-
стемы, пропорциональный первой степени скорости, что соответ-
ствует вязкому трению1.
В механических системах между двумя взаимно перемещаемыми
поверхностями, если сопротивление г мало и стремится к нулю
(г 0), то это значит, что даже при небольшой внешней силе
скорость, определяемая только процессом торможения, будет
стремиться.к бесконечности (и—> оо); и наоборот, если сопротив-
ление будет увеличиваться, то оно, достигая бесконечно большой
величины (г —» оо), делает перемещение невозможным (и —> 0).
Напомним, что в ряде отделов физики взгляд на сопротивление
иной: в электричестве, если сопротивление равно нулю, это соот-
ветствует замыканию цепи, где отсутствует сопротивление, а если
сопротивление равно бесконечности, то это соответствует преры-
ванию цепи.
Известно, что при изменении линейной скорости vr, действу-
ющей на сопротивление, возникает сила
Qr = rvr.	(В-5)
Из (В.5) можно написать, что изменение скорости при действии
силы на сопротивление происходит по уравнению
=	(В.6)
Пусть изменение скорости, действующей на сопротивление,
происходит по гармоническому закону
vr = Vrn sin {(dt + £),	(В.7)
где Vrn — наибольшее (предельное) значение скорости, или ам-
плитуда скорости.
1 Не рассматриваются вопросы сухого (кулонова) трения и трения, пропор-
ционального иной степени скорости.
14
Подставляя значение vr из (В.6) в (В.7), получаем Qr/r =
= Vr„ sin (<о/ + £) или Qr = rVr„ sin (<о/ + £)•
Принимая из (В.5), что Qrn = rVrn, находим
Qr = Qrn sin (®/ + p.	(B.8)
Сравнивая уравнения (B.8) и (В.7), устанавливаем, чта сила
и скорость, действующие через сопротивление, совпадают по фазе,
что видно из рис. В. 7, а, в.
Проводя подобные рассуждения для сопротивления во враща-
тельном движении, напишем, что крутящий момент Мр = р6р
и угловая скорость 6р = Мр/р.
Если изменение угловой скорости происходит по закону
6р = Дрп sin (at + £), где Лрп — наибольшее значение угловой
скорости, изменение крутящего момента происходит по закону
Мр = Л4рл sin (at + С), где Мрп = рДрп, ПРИ этом крутящий
момент и угловая скорость, действующие через сопротивление
вращению, совпадают по фазе.
Упругость в поступательном движении". Упругость — пассив-
ный элемент механической системы с неизменяемой во времени
жесткостью, препятствующий изменению нагрузки, в котором
накапливается потенциальная энергия (27). При поступательном
движении потенциальная энергия этой упругости увеличивается
при увеличении силы (Q2 > Яа > #1)» потенциальная энер-
гия этой упругости уменьшается при уменьшении силы (Qa <
< Qi> 77 а < и остается постоянной при постоянной силе
(Q, = Qi = Q = const, 77 а = Пг = П = const).
Известно, что при изменении линейной скорости действу-
ющей на упругость, возникает сила
Qk = k J vk dt.	(B.9)
Это выражение становится понятным из следующих рассужде-
ний. Зависимость между силой и перемещением пружины будет
Qk — tyk- Если мы продифференцируем это выражение, то
^k=k^-=koh	(B-Ю)
dt R dt	v
отсюда Qk = k j vk dt.
Из (В. 10) можно написать, что скорость при действии силы
на упругость изменяется следующим образом:
“.-ТТ-	(в-ч>
Пусть изменение скорости, действующей на упругость, про-
исходит по гармоническому закону
vk=	+	(В. 12)
где Vkn — наибольшее (предельное) значение скорости, или
амплитуда скорости.
15
Подставляя значение (В. 11) в (В. 12), получаем \lk dQkl(dt) —
= Vkn sin + Q. Преобразовывая это выражение и интегри-
руя его, получаем:
sin (со? 4- О; Qk = kVkn j sin (®/ + £) dt\
Qk =—nr1-cos (®f-H);
&== Qfc. sin (cof+ £-£)•	(B.13)
Так как &/(j<o) VAn = Qftn, то можно заметить, что выражения
(В. 12) и (В. 13) отличаются значением угла—л/2. Иными сло-
вами, сила отстает от скорости на угол я/2, что соответствует
величине —/.
Проводя подобные рассуждения для упругости во вращатель-
ном движении напишем, что изменение угловой скорости 'будет
бн = (/фх/((//). Как показано ниже, Мк = х<ри, или dMH/(dt) =
= х d<pK/(dt) = х6и, и изменение крутящего момента Мк =
= х J 6И di. Если оно происходит по закону Л4Н = Л1Хп sin (со/ +
+ £), где Мк„ — наибольшее значение крутящего момента, или
амплитуда, тобк = ДИп sin (cat + £ + л/2). Так же как для посту-
пательного движения устанавливаем, что крутящий момент
отстает на угол л/2 от угловой скорости при действии на крутиль-
ную упругость, что видно из рис. В.7, а, г.
Активные элементы. Источник силы и источник скорости,
представляющие собой два типа источников энергии и зависящие
от времени, являются активными элементами. Несмотря на то
что подобная классификация условна и носит скорее математиче-
ский характер, она весьма удобна.
Поведение силы и скорости или реакция системы определяются
параметрами системы, так же как и их взаимоотношения. И сила
и скорость могут быть либо причиной, либо следствием в системе
в зависимости от того, что является причиной движения. Если
причиной движения является сила, то в системе, как следствие,
произойдет изменение скорости. Если причиной движения яв-
ляется скорость (точнее гармоническое перемещение или кинема-
тическое воздействие), то, как следствие, сила будет зависимой
функцией: в системе произойдет изменение силы. Все это под-
черкивает обратимость второго закона Ньютона Q = ту, у =
= 1/m J Q di.
Источник силы и ее производные. Система (см. рис. В.5, б)
под действием силы Q (t) может быть описана одним из трех урав-
нений в зависимости от функции у, v, а:
(ВЛ4)
16
W-^+n> + ^Jvd/ = Q(/);	(В.15)
та + r J a dt + k j j a dt2 = Q(t).
Рассуждая подобным образом, можно написать интегрально-
дифференциальные уравнения, йапример для dM (t)/(dt)
И dzl(df) -f- ре + х | е dt = dM (t)/(dt) или И d8q>/(dts) +
+ pd2<p/(dt2) + x dq/(df) = dM (t)/(dt) или для j Q (/) dt tnv +
+ r j v dt 4- k J| v dt2 = | Q (t) dt.
В табл. B.l и В.2 показаны изменения величин перемещений,
скоростей и ускорений для пассивных элементов. В этих таблицах
Таблица ВЛ
Параметры перемещения (углового поворота),
скорости (угловой скорости) и ускорения
(углового ускорения) для пассивных элементов
в зависимости от действия силы (крутящего момента)
или ее (его) производных

	dQ(t). dM(t) dt * dt	Q(t)',M(t)	fQ(t)dt;fM(t)dt
т,И	dt dt	ma; He	Tnfadt;Hjedt k
П/>	ra; pe	rfadt;pfedt	rffadt2;pffedt2.
Л, %	kfadt; xjedt	kffadt2; xffedt2	kfj]adt3;xjffedt3
Дифференциал по ускорению Ускорение (угловое
(угловому ускорению)'"^	ускорение )

т,И		dt2		(it	mvyJiS<^	
Г.р					rjvdi£fi>	f&dt
k,x			k/ydt^.	fate	kffvdt?^	
Скорость	Интеграл от пере-
чуеловая	\ Перемещение мещения (углового
скорость) (угловой, поворот) поворота)
т,И	d3y.d3q> т^-И^	т^У..И^И dt2’ dt2	dt dt
r,p	rd^.pd^p	riM-,p^- dt J dt	ry'*P<p
K,26	kdy_.x^L Kdt ’ dt	ку;и<р	kfydt; xj(pdt
2
17
Таблица В.2
Параметры силы (крутящего момента) и ее (его) производных
для пассивных элементов в зависимости
от действия скорости (угловой скорости)
Двойной интеграл от силы (крутящего момента)
Интеграл от силы (крутящее
Сила (крутящий мо- ।
мент)
о момен-
та)
	dt dt* dS d2tp dt~ dt! 1^	fadt=v=^ dt f6dt=8=^£ dt L.	ffadt?-fvdt -y ffedt2=J$dt,=<p
т, И	M m		
г-р	/ dM r dt/i'-dt.	i	
к. ос	. / d*M	l^dQ^.1 dM к d^^dt	к
*	Дифференциал от силы			
(крутящего момента)
Дбойной дифференциал от силы (крутящего момента)
наклонные линии соединяют клетки с одинаковыми значениями
параметров в зависимости от действия сил и скоростей. Номограмма
(рис. В.6) устанавливает связь между параметрами пассивных
и активных элементов динамической системы.
Источник скорости и ее производные. Система (см. рис. В.6, а)
под действием скорости о (t) может быть описана уравнением
l/rnQm + 1/г dQr/(dt) + l/k d*Qkl(dt2) - dv (t)/(dt) = a (t). Со-
гласно номограмме для источника J о (t) dt можно написать
l/m J J Qm dt2 + 1/r J Qr dt + \/kQk = у (t) = J v (0 dt.
Это уравнение для вращательного движения имеет вид
IIИ JJ Ми dt2 + 1/р J dt + 1/хМх = <р (0 = f 6 (0 dt.
Особенностью для источника энергии — скорости является не-
обходимость брать значения пассивных элементов в виде дроби
(1/m; 1/r; i/k), показанные вверху номограммы.
Комплексные сопротивления. Рассмотрим полное комплексное
сопротивление (ПКС) поступательной системы, имеющей внеш-
ним источником воздействия силу Пусть имеется динамическая
18
система с одной степенью свободы (рис. В.5, а), в которой поршень
с массой т перемещается в цилиндрических направляющих и вы-
зывает появление сопротивления г, пропорционального скорости.
Перемещение массы производится периодической силой Q (0,
создаваемой вращающимся с круговой частотой со кривошипом
Рис. В.6. Номограмма для выбора параметров динамической системы
радиуса R, палец которого входит в прорезь кулисы, соединенной
с поршнем; силовое замыкание системы осуществляется пружиной
с упругостью k.
На рис. В.5, б показано в виде динамической схемы описан-
ное конструктивное решение. Действие периодической силы Q (0
в векторном изображении (рис. В.5, в) обозначим
Q = Qo (cos at + j sin ®0 = Qoe,e>i.	(B.16)
Линейное перемещение в общем виде
у = у0 (cos at + j sin at) = y^’®*.	(B. 17)
Линейная скорость определяется из уравнения (В. 17) у =
= ja (г/ое/а<) = jay или
(В18)
2*
19
Линейное ускорение определяется из уравнения (В. 18):
У = ja (j(ayoele>t) = jay = (/<o)az/ = —co2«/;
У = 1®У-	(В. 19)
Согласно принципу Даламбера алгебраическая сумма сил,
действующих на тело, равна нулю, т. е. Q — Qm— Qr — Qk = 0.
Рис. В.7. Динамическая система с одной степенью свободы
При этом, используя (В. 18) и (В. 19), получим
Qrn = ту = jatmy-,	(В.20)
Qr = r'y,	(В.21)
q*=^=4^;	(В-22)
Q= +	(В.23)
Отношение Q/y называют импедансом, или ПКС поступатель-
ной системы и обозначают:
S = -?- = /(o/n + r + -A-.	(В.24)
у
20
Уравнение (В.24) перепишем в виде:
S^/com-j-|- + r = j (com--|-) + r = /ff + r, (В.25)
здесь ст = (ат — k/a) — активная составляющая комплексного
сопротивления; г — реактивная составляющая комплексного со-
противления; ат — сопротивление массы; k/a — сопротивление
упругости. Если ат > k/a, то о > 0; если ат < k/со, то ст < 0,
если ат — k/a, то ст = 0.
Периодическую силу в векторном изображении обозначим Q,
а линейное перемещение в векторном изображении у.
Для вращательной системы (рис. В.5, г) получим
ми = Яф = /®Яф; Л4Р = pq>;
Ми = Хф=-^-ф.	(В.26)
Отношение M/у называют импедансом, или ПКС враща-
тельной системы и обозначают S. В таком случае
5 = Л = /®Я + р+-^-.	>(В.27)
ф
Частные комплексные сопротивления (ЧКС) поступательной
или вращательной системы. Для каждого элемента существует
комплексное сопротивление, которое будем называть частным
сопротивлением.
Принимая ЧКС, как частное от деления силы (крутящего
момента) на скорость (угловую скорость), можем написать:
для поступательной системы
Sn^=jam-, Sf = ^=r; Sa = -^- = A, (В.28)
у	у	у
для вращательной системы:
S„ = ^ = /Wf; Sp = ^ = p; Sh = ^ = -£. (В.29)
ф	ф	ф Jw
Полная комплексная подвижность (ПКП) поступательной
системы, имеющей внешним источником воздействия перемещение
или его производную — скорость. Пусть имеется динамическая
система (рис. В.6, а), находящаяся под воздействием кинематиче-
ского возбуждения. Примерами такого возбуждения, передавае-
мого на конструкцию, являются подрессоривание подвижного
экипажа (локомотива, автомобиля, изолированного фундамента
прецизионного станка, вибраторов и т. п.) (рис. В.6, б, в, г).
Ранее были получены (В. 17)—(В. 19) значения для линейных
21
перемещений у, скорости у и ускорения у в зависимости от дей-
ствующих сил.
Из принципа Даламбера 1 следует, что алгебраическая сумма
скоростей, действующих на тело, также равна нулю, т. е.
У — Ут — У г — yk = 0.	(В.30)
Рис. В.8. Внешнее воздействие в виде перемещения или скорости (кине-
матическое возбуждение)
При этом, используя (В.20)—(В.22), получим:
»« = %- илиу^^Л..^;	(В.31)
(В.32)
„ли	(В.ЗЗ)
Следовательно, у — Qml(pm) — Qr/r — (pQk)/k = 0.
1 Выражение Даламбера для скоростей можно получить зная, что выраже-
ние Q — ту= рыпу соответствует выражению для скоростей j/ = Q/(/com) =
= 1/mj Q dt. В этих выражениях заложен глубокий смысл: если для силы сое-
динение элементов должно быть параллельным, то для скорости — последова-
тельным, что весьма важно для построения механических цепей.
22
Далее будет показано, что силы, действующие в элементах,
равны между собой и в то же время равны внешней силе, т. е.
Q = Qm = Qr = Qk’ поэтому у = Q (\!(рт) + 1/г + p/kl.
пкс
е = Q =	1	=	1	.
У * । 1 । Р	kr + pkm + ртг ’
pm *" г k	pkmr
о_______pkmr
pm (k + г) + kr *
(B.34)
Рис. В.9. Электрические цепи
пкп
q  у   1 __ pm (£ -|“ г) + kr _ £ + г  1 _ & + г	.
Q ~ S ~ pkmr	~~ kr ‘ pm ~~ kr	‘ /сот ’
Л = -^-/ —.	(В.35)
kr ' ат	'	’
Частные комплексные подвижности (ЧКП) элементов
Лт = —= J- = —; Л= —; ЛА =	(В.36)
т pm jam 1 am r г * k J k '	'
Комплексное сопротивление S выражают в килограммах силы
в секунду на метр (кгс-с/м), а комплексную подвижность Л
в метрах на килограмм силы в секунду (м/кгс-с). В соответствии
с выражением <р — <рй— <рр — <ри = 0 для вращательной системы
можно вывести полные и частичные комплексные подвижности
Л, Л„, Лф, Лх.
Принципы электромеханических аналогий. Первая электроме-
ханическая аналогия (напряжение — сила). При прохождении тока i
через электрическую цепь, состоящую из последовательно соеди-
ненных пассивных элементов — индуктивность L, сопротивление
R и емкость С (рис. В.9, а), — на зажимах цепи создается напря-
жение, равное (по второму закону^Кирхгофа) сумме падений на-
пряжений в отдельных элементах «д + ис + иц = и (0 или,
23
заменяя uR = RiR; uL = L di/{dt\, ic = C duct{dt) или uc =
= 1/C j ic dt, получим
+	+	=	(B.37)
Для установившегося режима можно написать, что изменение
тока происходит по закону I = /п sin (со/ + О» чт0 после преоб-
разования приводит к зависимости между комплексным током и
напряжением I — U/jZR* + (a L —	= где % —
ПКС или импеданс цепи. Известно, что скорость изменения
электрического заряда q в емкости С равна силе тока i = dq!{dt)-,
отсюда di/(dt) = dtq^dt2); q = j i dt. В таком случае уравнение
(В.37) будет иметь вид L d2q/(dt2) + R dq/{df) + 1/Cq = и (t).
Сравнивая это уравнение с уравнением для механической
системы (например, поступательной) (В. 14), можем найти анало-
гию между коэффициентами L и т, R и г, а также 1/С и k\ однако
для электрической цепи с последовательным соединением пассив-
ных элементов, как будет видно из гл. 1, для механической ана-
логии необходимо параллельное соединение элементов.
Вторая электромеханическая аналогия {ток—сила). При про-
хождении через электрическую цепь, состоящую из параллельно
соединенных пассивных элементов L, R, С, ток i равен (по первому
закону Кирхгофа) сумме токов в отдельных элементах iL +	+
+ ic = i (t), что дает после подстановки
_^jud/ + ^.u+C-g. = i(t).	(В.38)
Для установившегося режима и = U„ sin (со/ + С)» что после
преобразования приводит к зависимости между комплексными
напряжением и током U = /| jZ(^2)	---<й^)2 =
где Y — ПКП или адмитанц цепи.
Если сравнить уравнение (В.38) с уравнением для механиче-
ской системы (В. 15), можем найти аналогию между коэффициен-
тами С и т, 11R и г, а также 1/L и k\ однако, как это будет видно
из дальнейшего, для обеих цепей будет параллельное соединение
пассивных элементов.
ГЛАВА 1
ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В таком понимании, как это принято в электротехнике, в ме-
ханике не существует цепей. Однако введение такого понятия
в механику позволяет значительно упростить рассмотрение мно-
гих сложных динамических задач, встречающихся в машинострое-
нии. Подобные цепи представляют собой условную взаимосвязь
между носителями механической энергии. Под механической
цепью будем подразумевать совокупность активных и пассивных
элементов, составляющих динамическую систему и условно свя-
занных между собой линиями взаимного влияния сил и скоростей,
возникающих в результате внешнего воздействия. Звеном будем
называть соединение двух и более одноименных или разноименных
пассивных элементов. Обозначение всех элементов показано на
рис. 1.1. Условное обозначение массы (рис. 1.1, а) подчеркивает,
что перемещение, скорость и ускорение массы рассматриваются
по отношению к какой-то координатной системе, что символ
массы, который принимается для динамических схем в виде ква-
драта, берется для изображения механических цепей в обяза-
тельном сочетании с символом координатной системы (уголок),
что элемент массы рассматривается как имеющий два плюса —
один из них расположен на самой массе, а второй — на системе
отсчета, в данном случае неподвижная поверхность или «земля»,
что упрощает построение механических цепей, например, колеба-
ния режущего инструмента в жестком суппорте токарного станка
при отделочных работах, колебания мембраны в крупном корпусе
и др. Рядом с обозначением проставляется индекс массы — т.
Условное обозначение момента инерции (рис. 1.1, б) имеет много
общего с массой в поступательном движении, но вместо квадрата
показана окружность, напоминающая о вращении массы в системе
координат, как начало отсчета. Рядом с обозначением простав-
ляется индекс момента инерции — И. Условные обозначения со-
противления для поступательного и вращательного движения
(рис. 1.1, в) представляют собой схему демпфера, состоящего из
корпуса и подвижного поршня. Заметный зазор между поршнем
и корпусом показывает, что заполняющая среда может входить
25
и выходить из пространства демпфера с принятым предложение^
о вязком, линейном трении. Рядом с обозначением проставляется
индекс сопротивления г или р. Условное обозначение упругости
для поступательного и вращательного движения (рис. 1.1, а)
представляет собой схему пружины. Рядом с обозначением про-
ставляется индекс упругости k или х. Условные обозначения
активных элементов представляют собой для поступательного
и вращательного движения ромбы, причем для силы и крутящего
момента (рис. 1.1, д) внутри расположен затемненный треуголь-
Рис. 1.1. Условные обозначения пассивных и активных элементов и
звеньев
ник, а для скорости в поступательном движении и угловой ско-
рости во вращательном движении (рис. 1.1, е) вверху внутри ромба
расположена стрелка. Рядом с обозначением источника простав-
ляется соответственно индекс Q, М, v или 6, или в более общем
виде Q (0, М (0, v (0, 6 (0; часто скорости обозначаются их про-
изводными, например у (0 или <р (0.
В общем виде пассивные элементы будем изображать в виде
прямоугольников с обозначением сопротивления, в более кон-
кретных случаях в них проставляется обозначение элемента (рис.
1.1, ж, з).
Пассивные элементы между собой могут соединяться в звенья
в различных сочетаниях — в параллельном, в последователь-
ном, в смешанном соединениях (рис. 1.1, и, к, л). Установим ана-
литические зависимости, получающиеся в результате последова-
тельного и параллельного соединения: как эти соединения элемен-
тов отражаются на изменении сил, скоростей и сопротивлений
во всей системе.
Рассмотрим несколько теорем по этому вопросу.
26
1.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СОЕДИНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗВЕНЬЯ
Теорема 1. При последовательном соединении элементов отно-
сительное перемещение крайних элементов в соединении равно
сумме относительных перемещений концов каждого из элементов.
Дано'. В системе хОу (рис. 1.2, а) вдоль оси Оу расположены,
соединенные последовательно, п элементов.
Рис. 1.2. Соединения элементов: а — по-
следовательное; б — отдельный элемент
под действием силы; в — параллельное
Доказательство: Пусть перемещения концов элементов, от-
считываемые от Ох, будут соответственно у0, уг, yit ..., уп. Отно-
сительные перемещения концов каждого элемента представим:
&У1 = У1 — Уз, ЬУъ = Уз — Уй &Уз~ Уз~Уз - ^Уп-i =
== У п-1	Уп-3, ^Уп ~ Уп	У п-1'
Сгруппируем и сложим левые и правые части:
&У1 + дУа + ^Уз + ’ ’ + &Уп-1 + &уп = (У 1 — У о) +
+ (Уз — У,) + (Уз — Уз) Н------F (.Уп-1 — Уп-з) + (Уп ~ Уп-1)\
2 (Д#1 + А«/а + Д#з + • • • + ЬУп-i + &Уп) = £ д«/ =
п	п
= —Уз + Уп-
В правой части остальные члены, кроме —уй и уп, взаимно
сократятся. Итак, сумма относительных перемещений концов
27
каждого из элементов 2 &У равна относительному перемещению
п
крайних элементов уп — yot
^^У = Уп — Уо-	(11)
п
Как следствие из выражения (1.1) можно сделать два вывода.
Вывод 1. При последовательном соединении элементов отно-,
сительная скорость крайних элементов в соединении равна сумме
относительных скоростей концов каждого из элементов:
ЕДя =	— f0.	(1-2)
п
Для двух элементов можно написать
v = Цх + v2.	(1.3)
Вывод 2. При последовательном соединении элементов отно-
сительное ускорение крайних элементов в соединении равно
сумме относительных ускорений концов каждого из элементов
£Да = а„ —а0.	(I-4)
п
Теорема 2. При последовательном соединении элементов сила,
действующая на каждый элемент соединения, равна силе Q,
приложенной ко всему последовательному соединению.
Дано'. В системе хОу вдоль оси Оу расположены, соединенные
последовательно, п элементов.
Доказательство. Нарушим последовательное соединение, от-
делив последний элемент.
Вместо нарушенного соединения введем две силы Q1( действо-
вавшие в точке соединения на каждой из этих элементов
(рис. 1.2, б). Эти две силы равны непрямо противоположны на
основании закона Ньютона (действие равно противодействию).
Однако сила должна быть равна силе Q, так как в ином случае
Q + (—Qi) =А 0, а это противоречит положению, что в отдельной
взятой системе сумма действующих сил равна нулю. Рассуждая
так для последующих’элементов, заметим, что Q не может быть не
равна Q2, Q3, ..., Q{. Другими словами
Qi ~ Qa ~ Qs    = Qi ~ Q-	(1-5)
Теорема 3. При параллельном соединении элементов относи-
тельное перемещение всего соединения (см. рис. 1.4, а) равно
относительному перемещению жестко соединенных между собой
концов каждого элемента. Эта формулировка есть определение
понятия соединения, которое можно выразить так: соединением
двух точек называется установление между ними абсолютно жест-
кой связи или, что то же, две соединенные между собой точки
совершают одно и то же перемещение:
У = Ух = Уг-
(1-6)
28
Вывод 1. При параллельном соединении элементов две соеди-
ненные между собой точки имеют одинаковые относительные
скорости
v =	= v2.	(1.7)
Вывод 2. При параллельном соединении элементов две соеди-
ненные между собой точки имеют одинаковые относительные
ускорения
а = at = а2.	(1.8)
Очевидно, что зависимости (1.1)—(1.8) для поступательного дви-
жения соответствуют таким же зависимостям для вращательного
движения.
Теорема 4. При параллельном соединении элементов разные
по величине силы, действующие на каждый элемент, входящий
в соединение, в сумме равны внешней силе, действующей на
соединение.
Дано1. В системе хОу (рис. 1.2, в) расположены соединенные
параллельно п элементов, при этом силы действующие в каждом
элементе, не равны между собой Qx =h Q2 =/= Q3 =k • • • ¥= Qn-
Доказательство: Пусть к каждому i-му элементу приложена
сила Q(, подобранная таким образом, что: 1) сумма сил Q, равна
внешней силе Q, приложенной к этим элементам; 2) относительное
перемещение концов каждого элемента одинаково для всех эле-
ментов. Другими словами Qx = Fx; Q2 = F2,-‘- ., Qn = Fn, где
Ft — сила реакции i-го элемента от действия силы Qp
Если условие 2 выполнено, то элементы, находящиеся в парал-
лельном соединении, не изменят характера движения
Q1 + Q2+---+Q„ = F1 + F2+---+F„;	=
п	п
По условию 1 IjQ/ = Q. Следовательно, ^Fi — F, что и
п	п
требовалось доказать.
Теорема 5. При последовательном соединении элементов ПКС
равно дробному числу, у которого числитель представляет собой
произведение частных комплексных сопротивлений отдельных
элементов, или элементов и звеньев, составляющих данное соеди-
нение, а знаменатель — сумму ЧКС этих отдельных элементов
или элементов и звеньев, составляющих данное соединение.
Дано: Два сопротивления Sx и S2, соединенные (рис. 1.3, а)
последовательно; каждое сопротивление представляет собой двух-
полюсник с соответственными полюсами 1—2 и 2—3. Например,
две пружины с полюсами 1—3 (рис. 1.3, б). В теоремах 1 и 2 дока-
зано, что при последовательном соединении двух элементов Q =
— Qi — Qz сила результирующая равна силам, действующим
в элементах, которые, в свою очередь, равны между собой (1.5),
а скорость (1.3) результирующая равна сумме скоростей,, дей-.
29-
ствующих в элементах, v = vt + v2. Ранее (В.24) получено, что
S = Qlv. Для каждого элемента можно написать
= s2 = —
1	* v2
(1.9)
Из выражений (1.9) можно написать: vx = Q1/S1, v2 = Q^/S^
Для всего соединения v = Q/S. Помня (1.3), можно написать
Q/S - Ql/S1 + Q2/S2.
Рис. 1.3. Последовательное соединение двух элемен-
тов
Из (1.5), сокращая на Q, получим
1 __ 1 I 1 ____ Si 4- S2
“я"	"^7
^1^2
Si + s2
(110)
Если в последовательном соединении имеется п элементов, то

Si + И- 4"    4* $п
(1.11)
На рис. 1.3, в показано последовательное соединение. Если
вокруг полюса 2 повернем сопротивление Sx против часовой
стрелки, получим расположение этого звена, как Г — St — 2 —
Sa— 3. К полюсам Г и 3 приложены силы Q. Если вместо Q
30
нарисовать источник силы, получим элементарную цепь
(рис. 1.3, г) в последовательном соединении.
Вывод. При последовательном соединении элементов ПКП
соединения равна сумме элементов, составляющих соедине-
ние. Действительно, если Л = v/Q; Лг =	Л2 = v2/Q2
(рис. 1.3, д'), то помня, чему равна сила и скорость, получим
Рис. 1.4. Параллельное соединение двух элементов
v = Лф, Vj, = Л^, v2 = Л^2, ЛЦ = Л1<21 + Л2(?2 и окон-
чательно
Л = ЛХ+Л2.	(1.12)
Если в последовательном соединении находится п элементов, то
Л = Лх + Л2+Л3+---+Лп.	(1.13)
При вычерчивании механической цепи все подвижности и внешний
источник (скорость) изображаются, как показано на рис. 1.3, е.
Теорема 6. При параллельном соединении элементов ПКС
соединения равно сумме ЧКС элементов, составляющих соеди-
нение.
Дано-. Два сопротивления Зх и S2, соединенные параллельно
(рис. 1.4, а); каждое сопротивление представляет собой двухпо-
люсник с соответствующими полюсами 1—2 и 3—4\ выходные
полюсы этого звена будут 5—6\ например, две пружины с полю-
сами 5—6 (рис. 1.4, б).
В теоремах 3 и 4 доказано, что при параллельном соедине-
нии элементов сила результирующая равна сумме сил каждого
сопротивления, входящего в соединение, а скорость, резуль-
тирующая по величине, равна скоростям, действующим в элемен-
31
тах, которые, в свою очередь, равны между собой (1.7). Ранее
(В.24) получено, что S = QJv. Для каждого элемента можно на-
писать (1.9), что преобразовывается = Sxvt и Q2 — S2v2;
для всего соединения Q — Sv. Помня, что Q =	+ Q2, напи-
шем, что St» = Sit»i + S2v2; но v = vt = v2, поэтому
S =	+ S2.	(1.14)
Если в соединении п элементов, то
S = S1 + S2 + S8+---+Sn.	(1.15)
На рис. 1.4, в показано рассмотренное параллельное соедине-
ние. Если повернем концы выходных полюсов 5 и 6 и вместо знаков
сил Q проставим источник силы, то получим (рис. 1.4, г) элемен-
тарную цепь в параллельном соединении.
Вывод. При параллельном соединении элементов ПКП соедине-
ния равна дробному числу, у которого числитель представляет
собой произведение ЧКП отдельных элементов, или элементов
и звеньев или звеньев, составляющих данное соединение, а зна-
менатель — сумму ЧКП этих отдельных элементов или элемен-
тов и звеньев или звеньев, составляющих данное соединение.
Действительно, если Л = v/Q, Лг = vxIQv, Л2 = v2/Q2
(рис. 1.4, д), то помня, что для данного соединения Q = Qi + Q2
и v = vt = v2> получим Q = v/Л, Qi = о^Л^, Q2 = о2/Л2.
Подставляя эти значения в выражение Q = Qi + Q2, имеем
v/Л = Vi/Лг + о21Л2, учитывая равенство скоростей, имеем
1 = +	=	О-16)
Если в параллельном соединении находятся п элементов, то
1 _ 1 . i , i ,	. 1 _
Л ~ Л^ Л2 Л3	*" Лп ~
__ Л$Лз‘ • -Лп Л^Лз' • -Лп Л^Лз- • ‘Лп_^ #
ЛуЛзЛз* • *Лп
tj ______________ЛуПзДз' • -Лп___________ ,. .
Л2Л2'• -Лп -\-Л]Л2' • .Лп -|- • • * 4“ Л]Лз' • ‘Лц~1
При вычерчивании механической цепи все подвижности и внешний
источник (скорость) изображаются, как показано на рис. 1.4, е.
Строго говоря, рассмотренные шесть теорем дают на первых
порах элементарные понятия для соединения в простейшие звенья
двух элементов и возможность при этом определить ПКС или ПКП
такого звена. В гл. 2 этих данных будет достаточно, чтобы, дей-
ствуя систематически, определять ПКС для очень сложных дина-
мических систем, преобразованных в механические цепи.
32
1.3.	ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПРИ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ СИЛЫ
ИЛИ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
Из физики известно, что каждый активный и пассивный эле-
менты цепи являются двухполюсниками; это особенно явно выра-
жено для элементов упругости и сопротивления; что касается эле-
мента массы, то это свойство выражено неявно, так как вторым
полюсом является замыкание «на землю» из-за гравитационного
притяжения: на схемах построений механических цепей второй
полюс будем находить штриховой линией, соединяющей массу
с неподвижным основанием или «землей».
Сущность построения механической цепи по данной динамиче-
ской схеме заключается в следующем: каждая динамическая
схема представляет собой закономерное соединение пассивных
и активных элементов ее составляющих; каждый элемент обладает
двумя полюсами; для упругостей и сопротивлений эти полюсы
выглядят явно, а для массы только один полюс выглядит явно,
а второй полюс нужно представить соединив эту массу с неподвиж-
ной поверхностью, к которой присоединена динамическая система,
что выполняется пунктирной линией; полюсы различных эле-
ментов, которые движутся совместно, соединяют между собой;
полюсы различных элементов, которые остаются неподвижными,
соединяют с неподвижной поверхностью.
Для доказательства аналогичности механической и электриче-
ской цепей следует проделать следующие действия х: около каж-
дого активного элемента (источник силы или скорости) нанести
стрелку, указывающую положительное направление силы или
скорости; около каждого подвижного узла соединения пассивных
элементов проставить определенную координату и стрелкой ука-
зать направление отсчета положительных значений этих коор-
динат.
Построенная подобным образом аналогия между более слож-
ными механической и электрической цепями подтверждается
путем сравнения коэффициентов. Приступим к изучению построе-
ния цепей.
Система, состоящая из сопротивления и упругости. Дано
сопротивление г и упругость k\ ня невесомую балку 2—4, соеди-
няющую оба элемента, действует сила Q (/), величина которой
изменяется по гармоническому закону (рис. 1.5, а).
Для построения механической цепи необходимо выполнить
вспомогательную схему; при определенном навыке в выполнении
вспомогательной схемы нет необходимости, но для систематиче-
ского изложения проделаем все операции последовательно.
1 С физической точки зрения теория аналогий наилучшим образом изложена
в статье: Варшавский Л., Федорович В. Электромеханические аналогии. —
«Известия электропромышленности слабого тока», № 3, 1936.
3 И. А. Дружинский	33
1)	На заданной схеме обозначим полюсы 1 и 2 для упругости
и 3 и 4 для сопротивления; при этом точки 1 и 3 принадлежат
поверхности, которая остается неподвижной и относительно
которой перемещается динамическая система.
2)	Проведем линию 1—3 (рис. 1.5, б), что соответствует не-
подвижной плоскости; от точек 1 и 3 вычертим символы упру-
гости и сопротивления и получим точки 2 и 4, которые соединим
между собой линией 2—4. Изобразим силу и реакцию Q.
3)	Для дальнейших построений повернем линии действия
силы и реакции Q вдоль контурных линий 1—3 и 2—4; это пока-
зано штриховой линией (рис. 1.5, в).
4)	Введем вместо силы и реакции Q символ источника энергии
силы. На рис. 1.5, г показан окончательный вид механической
цепи.
Рис. 1.5. Соединение упругости и сопротивления
Система, состоящая из массы и упругости. Дана масса т,
упругость k и сила Q (/), действующая на массу (рис. 1.6, а),
при этом упругость закреплена к неподвижной поверхности.
1)	Упругость имеет два полюса 1 и 2. Масса имеет также два
полюса, одним полюсом является точка 2, которой масса соеди-
нена с упругостью, а вторым полюсом будет являться неподвиж-
ная поверхность, с которой масса соединена условной линией 3—4:
естественно, что точки 2 и 3 имеют одинаковое значение.
2)	От линии 1—4' строим символы массы в виде двухполюс-
ника 4—3 и упругости 1—2. Линия 1—4 соответствует неподвиж-
ной поверхности, а линия 2—3 соединяет упругость с массой
(рис. 1.6, б).
3)	Обозначаем действие силы и реакции Q на эту систему.
Действие силы и реакции поворачиваем (штриховые линии)
вдоль контурных линий 4—1 и 3—2; эта схема изображена на
рис. 1 6, в.
4)	Введем вместо силы и реакции Q символ источника энергии
силы. На рис. 1.6, г показан окончательный вид механической
цепи.
5)	В действительности, при решении сложных механических
цепей, пользоваться изображением на рис. 1 6, г затруднительно,
так как решение задач вначале приходится делать в общем виде.
Для того чтобы не вводить на первом этапе решений конкретные
34
пассивные элементы, будем вводить комплексные сопротивле-
ния S2... этих элементов; поэтому вместо символа элементов
вычерчиваем прямоугольники с обозначением Sit а внутри их
конкретный элемент (рис. 16, д).
Как вывод из этого раздела отметим, что если в динамической
системе масса и упругость или масса и сопротивление располо-
жены последовательно, то при математическом описании механи-
ческой цепи общее комплексное сопротивление звена является
суммой комплексных сопротивлений элементов, составляющих
звено. ]
Рис. 1.6. Соединение массы и упругости
Система, состоящая'из массы, сопротивления и упругости.
Даны сопротивление г и упругость k, присоединенные своими
полюсами 1 и 3 к неподвижной поверхности (рис. 1.7, а); к полю-
сам 2—4 этих элементов присоединена масса т, на которую дей-
ствует сила Q (t). Одним из полюсов массы будет точка 5 (так же
как 2 и 4 и вообще любая точка на массе); другим полюсом массы
будет точка 6 на неподвижной поверхности, которая условно штри-
ховой линией соединена с точкой 5.
1)	Проведем линию 1—3, отвечающую неподвижной поверх-
ности (рис. 1.7, б); от точек 1 и 3 построим символы элементов г
и k со вторыми полюсами 2 и 4. Присоединим к линии 2—4 массу т
и точку 5 массы соединим штриховой линией с точкой 6. Начертим
действие силы и реакции Q. Для упрощения — сила Q (0 про-
ставляется на динамической схеме и когда вычерчивается символ
источника энергии; в процессе построения сила обозначается
величиной Q.
2)	Расположим массу т (точнее ее символ) между точками 5
и 6, а два элемента г и k обозначим с их полюсами. Действие
силы Q проведем пунктиром вдоль контурных линий цепи
(рис. 1.7, в).
3*	35
3)	Вместо знака силы и реакции Q вычертим (рис. 1.7, г) источ-
ник энергии — силы Q (t), что приведет к окончательному виду
механической цепи (рис. 1.7, д) или в общем виде на рис. 1.7, е.
Динамическую систему, изображенную на рис. 1.7, а, можно
изобразить в виде (рис. 1.7, ж), когда неподвижная плоскость
с точками 1 и 3 как бы повернулась_на угол (от 0 до 90°). Про-
Рис. 1.7. Соединение массы,
сопротивления и упругости
изводя этот поворот относительно точки О и создавая разрыв
у плоскостей с точками 1 и 3, можно представить себе эту модифи-
кацию в виде рис. 1.7, з (поворот на 180°); при этом линия грави-
тационного притяжения может быть представлена в виде 5—6
или 5—7, что имеет одинаковое значение. Все эти три модификации
имеют одинаковые динамические последствия, при этом модифи-
кации а и з одинаковы, а для угла поворота в пределах между
0 и 180° необходимо делать поправки для определения нагрузки,,
действующие в системе, исходя из геометрических соотношений.
Система, состоящая из массы и двух упругостей. Даны упру-
гость /г2, масса т и упругость k2 (рис. 1.8, а); к упругости kx
приложена внешняя сила Q(t).
36
1)	Обозначим полюсы 1—2, 3—4 для элементов k2 и kr и по-
люсы 5—6 для массы.
2)	От линии /—6 вычерчиваем элемент kz с полюсами 1—2
и элемент т с полюсами 5—6; от полюса 3 (то же что 5) изображаем
элемент с полюсами 3—4. Располагаем силу й реакцию Q
(рис. 1.8, б).
3)	Поворачиваем от точек 3; 5, как из центра, по часовой
стрелке элемент и переносим линии действия силы и реакции Q.
Рис. 1.8. Соединение массы и двух упругостей
4)	Вычерчиваем механическую цепь (рис. 1.8, в), сохраняя
пассивные элементы и обозначения полюсов; на рис. 1.8, г вычер-
чиваем цепь в общем виде с введением прямоугольников с ком-
плексным сопротивлением Зх, 32...
В действительности вся схема по рис. 1.8, б изображена так,
чтобы элементы последовательного соединения (в данном случае —
kt) располагались по верхней линии. В дальнейшем всегда будем
поступать таким образом.
Следует обратить внимание на физический смысл построенной
механической цепи: упругость k2 и масса т образуют звено в па-
раллельном соединении, а упругость и звено (ktfri) образуют
новое звено S123, находящееся в последовательном соединении.
На рис. 1.8, д, е показаны динамическая система и механиче-
ская цепь для несколько измененной динамической системы,
когда вместо элемента kx введен элемент г:
Система вращательная, состоящая из двух инерций и двух
упругостей крутильных (рис. 1.9, а), на которую действует через
инерцию Их крутящий момент М (t).
37
Динамическую схему (рис. 1.9, б) построим, начиная от не-
подвижной поверхности, изображая вал в виде упругости х2;
затем показываем инерцию Я2, к которой присоединяем вал в виде
Рис. 1.9. Соединение двух инерций и двух крутильных упру*
гостей
упругости кг и затем инерцию Их. На эту инерцию действует
крутящий момент, который изображен в виде стрелки с индексом
М (/). Построение вспомогательной схемы (рис. 1.9, в) строим
Рис. 1.10. Система в состоянии опоры
от неподвижной плоскости 1—6, откуда изображаем в параллель-
ном соединении упругость х2 и инерцию Я2, к которой последо-
вательно от точки 3 присоединяем упругость и инерцию
38
которая точками 4\ 7 соединяется с точкой 8 на неподвижной по-
верхности 1—6—8. Указываем расположение источника энергии —
крутящий момент — ив окончательном виде механическую цепь
изображаем на рис. 1.9, г.
Система, состоящая из двух масс, одного сопротивления и
двух упругостей. Расположение динамической системы в состоя-
нии «опоры», а не «подвеса», изображенное в предыдущих по-
строениях, дано для того, чтобы показать, что никаких различий.
в построении механической цепи при этом не существует.
Даны массы /пх, /и2, сопротивление г и упругости kt, k2.
Внешняя сила Q (/) действует на массу
На рис. 1.10, а изображены полюсы всех входящих в динами-
ческую систему элементов, причем для массы штриховая
линия второго полюса будет 9—10', а для массы т2 — 7—8.
1)	От линии 1—8 неподвижной поверхности вычерчиваем
элементы /п2 и k2, затем от полюса 7 массы т2 вычерчиваем эле-
менты г и kx со своими полюсами 5—6 и 3—4 (рис. 1 10, б).
39
2)	От линии 4—6 вычерчиваем расположение массы тг с по-
люсами 9—10.
3)	Действие силы Q (/) будет происходить через полюсы 9—10.
4)	Вместо силы Q вычертим символ источника силы и получим
окончательную механичеспую цепь (рис. 1.10, в).
Сравнивая рассмотренные шесть случаев, можем отметить
следующее: при внешнем источнике — силе, этот источник и
масса располагаются между собой параллельно; элементы упру-
гости и сопротивления, расположенные между собой в системе
параллельно, располагаются в цепи также параллельно; элементы
упругости и сопротивления, расположенные в системе последо-
вательно, располагаются в цепи также последовательно.
Понятие о непланарных механических цепях. Имеются сложные
динамические системы с двойными связями, вызывающие заметные
осложнения при расчетах. Эти дополнительные связи бывают
двух видов: 1) связи с неподвижной поверхностью (рис. 1.11, а);
2) связи между звеньями (рис. 1.11, в). В первом случае, например,
имеется основная система т1——т3—k2; кроме того, имеется
упругость k3, соединяющая массу /пх с неподвижной поверхностью.
На механической цепи (рис. 1.11, б) эта упругость показывается
параллельно массе тх и рядом с ней.
Во втором случае имеется основная система тг——т2—
kz—т3—k3, кроме того, имеется упругость kit соединяющая
между собой массы /пх и т3. На механической цепи (рис. 1.11, г)
эта упругость показывается в последовательной цепи к массам
между полюсами 13 и 14 и образует так называемую цепь с пере-
крещивающимися линиями, что не позволяет расположить линии
связи между элементами в одной плоскости: отсюда название
непланарная цепь. Расчет подобной цепи приводится в п. 2.7.
1.4.	ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПРИ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ НЕСКОЛЬКИХ
ОДНОВРЕМЕННО ДЕЙСТВУЮЩИХ СИЛ
ИЛИ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
В реальных условиях на динамическую систему могут воздей-
ствовать несколько сил, действующих одновременно или на раз-
ные элементы воздействуют в определенной последовательности.
Для этих случаев ниже приводятся методы построения механи-
ческих цепей.
Система, состоящая из двух масс и двух упругостей. Пусть
на систему (рис. 1.12, а) действуют две силы Qx и Q2. Построение
механической цепи выполняется от двух элементов tn2k2, соеди-
ненных параллельно: полюсы 1—2, 5—6. На массу т2 действует
сила Q2 (рис. 1.12, б), что отмечается на полюсах 1—2. Дальней-
шее построение цепи для элементов #х и тг приводит к построению
полюсов 3—4, 7—8. На массу тх действует сила Qx; последнее
изображено расположением силы Qx на полюсах 7—8. В обоих
40
случаях раздельное действие сил Qx и Q2 показывает, что реак-
ция будет восприниматься упругостью k2, закрепленной на не-
подвижной поверхности — полюс /; при действии силы Q2 через
массу т2, ее реакция также на плоскости 1—6, при действии силы
Qx через массу /пх, ее реакция также на плоскости 1—8. Поэтому
на механической цепи (рис. 1.12, в) символ силы Qx располагается
у полюсов 4—8, а символ силы Q2 — у полюсов 1—2. Если обе
Рис. 1.12. Одновременное действие двух сил
силы действуют одновременно, то оба источника на схеме изобра-
жаются одновременно; если действует только сила Q2, то от по-
люсов 4—8 источник Qx не вычерчивается. Если действует в цепи
только сила Q2, то для удобства последующих расчетов можно
цепь изображать в обычном начертании — слева от источника Q2
цепь в перевернутом виде (рис. 1.12, г).
Система, состоящая из трех масс и трех упругостей
(рис. 1.13, а). Силы в системе действуют на каждую из масс.
Построение механической цепи (рис. 1.13, б) не вызывает
, затруднений, и в ней размещаются три внешних источника: Qx
и Q3 по краям цепи и сила Q2 между упругостью kt и массой /п2.
Пусть в данной системе отсутствуют силы Qx и Q3, а действует
только одна сила Q2. Ее расположение в цепи строго определено.
Расположенные слева от силы Q2 упругость и масса /пх или,
что то же, сопротивления S2 и Sx, можно представить в вйде
звена S12, как изображено на рис. 1.13, в; точно также располо-
женные справа от силы Q2 массы т2 и т3, а также упругости k2
и k3 можно представить в виде звена S3456, как изображено также
на рис. 1.13, в. Очевидно, эту схему справедливо представить
41
в виде двух односторонне расположенных двухполюсников S12,
S345e (рис. 1.13, г) и соединенных линиями с внешним источником
(точки 1—6).
Рис. 1.13. К расчету двухполюсников и четырехполюсников
Рис. 1.14. Система, не имеющая опоры, под действием силы
Система, не соединенная с неподвижной поверхностью, нахо-
дящаяся под действием силы (рис. 1.14, а). Пусть дана система,
состоящая из трех масс и двух упругостей и находящаяся под
действием силы Q (/). Подобную систему можно представить в двух
случаях: при отсутствии упругости k3 или при условии когда
42
масса т3 вначале равна бесконечности, а затем принимает конеч-
ное значение. В обоих случаях на рис. 1 14, б, в показаны методы
построения механических цепей (рис. 1.14, г, д). В первом случае,
если считать, что отсутствует упругость k3, необходимо из схемы,
где она включена параллельно массе /п3, ее исключить; во втором
случае, когда вместо бесконечной массы т3 вводится конечная
масса, необходимо ее включить последовательно к упругости k3.
Если идти от системы с тремя степенями свободы, то из цепи
необходимо исключить упругость k3 (параллельно массе /п3);
если идти от системы с двумя степенями свободы, то в цепи сле-
дует ввести массу т3 (последовательно упругости k3).
1.0. КОРРЕКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
И ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Определение частотных зависимостей во вращательных систе-
мах, состоящих из многоваловых схем, имеет существенное зна-
чение в редукторо-, станко-, автостроении; особенную роль эти
расчеты имеют в механизмах многоскоростных, требующих пере-
ключения зубчатых колес. Эти расчеты крутильных колебаний
валов в сочетании с зубчатыми колесами позволяют свести их
к расчету эквивалентных динамических систем, состоящих из
ряда вращающихся масс и валов в виде упругостей.
Редуктор 1 состоит из двух валов 1 и 2 (рис. 1.15, а), соединен-
ных между собой зубчатыми колесами с числом зубцов и z3
с передаточным числом г] = zjz^
Случай 1. Ях > И3, И4 > И3, Иг Приведем систему
на рис. 1.15, а к другой системе, эквивалентной первой системе
(рис. 1 15, б). Известно, что между колесами на валах 1 и 2 суще-
ствуют кинематические зависимости v = R^i = #2^2, где Rlt
R2 — радиусы зубчатых колес, а м — модуль зубчатого колеса 2.
MZj = 2лРх, mz2 = 2nR3,
zt/z3 = RjRz = 1A],
где г| — передаточное число.
Можно написать
62 = RjR^i = l/^i или d82/(dt) = 1/т) dbJtdf). (1.18)
Крутящий момент
М2 = Ri/RiMj. =	d83/(dt).
1 В настоящее время часто вместо термина «редуктор» употребляют термин
«машинный агрегат».
2 Автор вынужден ввести такое обозначение, так как буквой т обозначается
по всей книге масса тела.
43
Мощность
Р = Мз.бх/75 = М262/75 = [Я4 d&2/(dt)] 63/75 =
= Я4 [1/т| d61/(d01 6х/т] 1/75.
Обозначим через ИЛ1 приведенный к валу двигателя момент
инерции нагрузки
Я41 = Я4(1/Л2).	(1.19)
Рис. 1.15. Редуктор, состоящий из двух валов
В таком случае
Р = Я416х/75 [d^/fclt)].	(1.20)
Сделаем два вывода:	х
1. Суммарный момент инерции, необходимый для ускорения
двигателя,
Я21 - Иг + Я41 =	+ Я4 (1/п2).	(1.21)
2. Получаемый после несложных преобразований суммарный
момент инерции двигателя и нагрузки относительно вала нагрузки
= И12 + И. =	+ Я4.	(1.22)
44
Изменяя упругость на кручение вала 2 в том же отношении, как
и момент инерции нагрузки, определим приведенную упругость
вала 2 к валу 1
«21 = 1/п2«2-	(1-23)
Изображенная на рис. 1.15, б система в виде одного вала пере-
менного сечения и двух моментов инерций представляет собой
эквивалентную схему зубчатой передачи, у которой массы зубча-
тых колес не учитываются.
Приведенная крутильная упругость х определится из двух
соединенных последовательно сопротивлений Sa, S3 механиче-
ской цепи (рис. 1.15, г):
Xj %21	,	%2
5 _ SiS3 1® 7®	_	(«1«21) /<*>	__ j V .
23 $а + $з «1 , «21	(/®)2 (ХХ + Х21)	'	/ Х2 \ ’
/со /со	\ Т)а /
о ___ _ j_____XjXg______ __ : ^121 _______ : X
23	1 <0 (XjT)3 + х2)	1 (О	‘ (й '
Здесь
х = х1а1 =—' (1.24)
lil Х1Г)2 4- х2	v ’
Случай 2. Моменты инерции редуктора соизмеримы с нагруз-
кой. В таком случае приведем всю схему (рис. 1.15, а) к первой
оси: момент инерции Их и упругость хх будут без изменений;
моменты инерции И3 и И3 приведем к общему момент^ инерции
//<32)1 = И2 + Из1 = И2 + Из (1/т)2). Упругость «2 приведем’
также к первой оси ха1 = x^l/^2).
Момент инерции массы Я4, приведенный к первой оси, Я41 =
= И. (1/п2).
На основании динамической системы (рис. 1.15, е) построим
механическую цепь (рис. 1.15, ж).
Редуктор с паразитной осью (рис. 1.15, з). Имеется редуктор,
состоящий из трех осей и имеющий момент инерции Иг ротора
двигателя, моменты инерции И %, И3, И± зубчатых колес и момент
инерции внешней нагрузки И3, отрезки валов 1 и 3 имеют соответ-
ственные упругости х4 и х2. Зубчатое колесо с моментом инерции
И3 на коротких цапфах примем абсолютно упругим; это колесо
может выполнять одну из следующих функций — увеличение рас-
стояния между осями 1 и 3; изменение направления вращения
вала нагрузки; момент инерции И3 используется как средство
для увеличения времени разгона редуктора при пуске. Передаточ-
ное число передачи т) = z4/za: промежуточное зубчатое колесо z3
не влияет на изменение передаточного числа между 1 и 3 валами.
Однако Т)! = z3/za; т]а = zjz3; т] = ЛхЛа = г4/га.
Приведем по внешнему виду всю систему (рис. 1.15, з) к пер-
вой оси. Значения, однако, для трех валов будут другие. Мо-
45
менты инерций Иг, и упругость Xj будут без изменений; мо-
менты инерций И3, И± приведем к общему моменту инерций:
Я<43)1 = Яз1 + Иц = Из (1/т]1) + Hi (1/rj2). Упругость х2 при-
ведем также к первой оси х21 = ха (1/т)2). Момент инерции Иъ,
приведенный к первой оси, будет И-а1 = Иъ (1/ri2); /7S1 = Ил +
+ Я2 + Из (1/т]?) + Я4 (1/п2) + Из (1А]2).
По построенной механической цепи, внешний вид которой
соответствует рис. 1 15, ж, можно произвести расчет всех ее
параметров.
Рис. 1.16. Редуктор, состоящий из трех валов
Редуктор с двумя парами зубчатых колес (рис. 1.16, а). Имеется
редуктор, состоящий из трех осей с шестью моментами инерции.
Необходимо построить механическую цепь этой вращательной
системы. Первым шагом найдем приведенную к первой оси дина-
мическую систему (рис. 1.16, б). Приведем к первой оси массы:
(без изменений остаются Hi и Я2) И^ i = И% + И31 = И% +
+ Из (W). где z2/z3 = 1/т)1, Я(54)1 = Иц + И31 = Я4 (1/tf) +
+ Я5(1/г]2), где zjzb = 1/-П2; l/П = l^li 1/П2; Ив1 = Я6(1/т]2)-
Приведем к первой оси упругости: xi, x2i = х2 (l/rji); Х31 =
= «з (l/"n2)- Вторым шагом построим механическую цепь на
рис. 1.16, в.
К подобной динамической системе и механической цепи можно
привести кинематическую схему (рис. 1.16, г), состоящую из
пары зубчатых колес и червячной передачи с инерциями И1г .... Ив
И упруГОСТЯМИ Xj, ха, х3.
Система, состоящая из двух выходных валов, имеющих мо-
менты инерции (разветвленные динамические вращательные си-
стемы). Для построения механической цепи (рис. 1 17, а) системы
найдем эквивалентную разветвленную схему, соответствующую
46

заданной. Будем вместо моментов инерции И % и И3 иметь приве-
денный к оси 1 момент инерции И<з2> i = Иг + Из (1/т]3), вместо
момента инерции Иь иметь Приведенный к оси 1 момент инерции
ИЪ1 = Иъ (1Л]а); вместо упругости и8 приведенную к оси /-упру-
гость «а, = «з (1/tj2). Моменты инерции Иг, И^ а также упру-
гости «х и «а останутся без изменений. Эта эквивалентная схема
(рис. 1.17, б) представляет собой механический четырехполюсник,
изображенный на рис. 1.17, в. Действительно, при отсутствии
ветви И3 — «з — И5 механическая цепь представляла бы собой
цепь в пределах фигуры 1—4, и только вместо Зз для Я(з2) i надо
было бы иметь З3 для И2.
Присоединение новой ветви выполняется так: вводится экви-
валентная масса /7(32)1, а затем от точек 5—8 строится дополни-
тельная цепь «з1—И51, соответствующая эквивалентной упруго-
сти «з и моменту инерции Я5, присоединенных через колесо И3
к основной системе (см. гл. 3).
Редуктор состоящий из трех осей и трех пар рабочих зубчатых
колес. В этом редукторе (рис. 1.18, а) одна пара колес действует
как масса, с дискретным изменением угловой скорости. В зави-
симости от того, какие зубчатые колеса (И5 или И3) находятся
в зацеплении, он имеет разные угловые скорости на валу 3, а также
иные ПКС системы и, следовательно, иные частотные характе-
ристики. Рассмотрим два случая.
Случай 1 В зацеплении находятся колеса 4\ 5. Моменты инер-
ции колес /74, И5, Ив соизмеримы с Я7. Построим эквивалентную
схему (рис. 1.18, б). По этой схеме построим механическую цепь
(рис. 1.18, г). После рассмотренных ряда систем построение этой
механической цепи не должно вызвать каких-то трудностей.
Случай 2. В зацеплении находятся колеса Я4 и И6. Особен-
ностью построения эквивалентной схемы (рис. 1.18, в) будет то,
что от момента инерции Ив образовываются две ветви: одна из них
«5—Hi, а другая «4—И$. Поэтому от момента инерции И(64) i
необходимо построить обе эти ветви, приведенные к 1: «84 и /77Х,
а также «41 и ИЪ1. Построение механической цепи (рис. 1.18, д)
выполняется, как ранее описано.
1.6. ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПРИ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ СКОРОСТИ
ИЛИ ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Ранее (В.20) и (В.31) были установлены два значения закона
Ньютона, которые были выражены уравнениями для силы Q =
= т dv/(dt) = tnpv и для скорости v — 1/т j Q dt = HmQ/p.
Формальный смысл этих зависимостей заключается в том, что
если при действии силы масса находится в параллельном соедине-
нии к ней, то при действии скорости величина обратная массе
находится в последовательном соединении. В операционном
исчислении это показано знаком pv для действия силы — диф-
48
Рис. 1.19. Действие скорости на систему
ференциал скорости — параллельное соединение, и знаком Q/p
для действия скорости — интеграл силы — последовательное со-
единение.
На рис. 1 19, а показана механическая цепь с внешним источ-
ником силой Q; на последующих рисунках показано построение
механической цепи, у которой внешним источником является
скорость v. Обведем штриховым контуром сопротивления S2
и S3, образуя этим самым звено 23. В цепи в последовательном
соединении имеются два сопротивления Sx и S23. Для действия
скорости эти два сопроти-
вления образуют две под-
вижности Лг = 1/SX и
Л23 = 1/S23, образующие
параллельное соединение
(рис. 1.19, б). Так как в
звене 23 обе подвижности
Л2 и Л3 должны быть
последовательны по от-
ношению к сопротивле-
ниям S2 и S3 на рис. 1.19,а,
получим механическую
цепь на рис. 1.19, в. Окон-
чательный вид цепи изоб-
ражен на рис. 1.19, г.
На рис. 1.20 приводят-
ся три более сложные ме-
ханические цепи при действии силы; рядом на этих рисунках пока-
зан с учетом данных пояснений окончательный вид механических
цепей для действия скорости. Действительно (рис. 1.20, а) звено
сопротивления 34 в последовательном соединении превращается
(рис. 1.20, б) в звено подвижности 34 в параллельном соединении
(Л34). Сопротивление S2 по отношению к звену сопротивления 34
находится в параллельном соединении, а под действием скорости
подвижность Л2 находится в последовательном соединении по
отношению к звену подвижности 34 (рис. 1.20, б). На рис. 1.20, в
и рис. 1.20, д и в преобразованных схемах (рис. 1.20, г, е) строго
соблюдены рассмотренные правила.
Система, состоящая из массы и упругости (рис. 1.21, а), пред-
ставляет собой при действии силы параллельное соединение (см.
рис. 1.6, а); под действием скорости механическая цепь будет
представлять собой последовательное соединение элементов, что
изображено на рис. 1.21, б.
Система, состоящая из упругости, сопротивления и массы.
Упругость k и сопротивление г соединены с массой т и подвижной
невесомой платформой (рис. 1.21, в), на которую действует ско-
рость у (f) или кинематическое возбуждение. Для построения ме-
ханической цепи изображаем последовательную цепь (рис. 1.21, г),
состоящую из массы, сопротивления и упругости. Сравнивая
4 И. А. Дружи некий	49
эту цепь с той, что построена для условий, когда действует сила
(см. рис. 1.7, д), отмечаем соответствие в первом случае параллель-
ного соединения и при действии скорости — последовательного.
Система, состоящая из двух масс и двух упругостей. Массы тг
и /п2, соединенные между собой упругостью k3 и с подвижной
платформой упругостью k2 (рис. 1.21, д).
Рис. 1.20. Сложные механические цепи при действии
силы и скорости
Для построения механической цепи под действием скорости
(см. рис. 1.9, г) следует массы mlf т2 и упругость k2 расположить
в последовательном соединении, а упругость klt соединяющую
массы, — в параллельном соединении (рис. 1.21, е).
Система, состоящая из двух масс, двух упругостей и одного
сопротивления. Массы mlt т2 соединены между собой упру-
гостью и сопротивлением г, а масса /п2 соединена упругостью k2
с подвижной платформой (рис. 1.21, ж). Для построения механи-
ческой цепи под действием v (см. рис. 1.10, в) следует массы mlt mz
и упругость k2 расположить в последовательном соединении,
а упругость kx и сопротивление г — в параллельном соединении
между обеими массами по отношению к источнику скорости, но
в последовательном соединении между самими элементами k2
и г (рис. 1.21, з).
50
Рис. 1.21. Построение механических цепей при действии скорости
Рис. 1.22. Сложные системы при действии скорости
4*
51
Система, состоящая из двух масс, двух упругостей и одного
сопротивления. Массы /пх, т2, соединенные между собой упру-
гостью ki и с подвижной платформой упругостью k2, кроме того,
масса тг с платформой соединена.сопротивлением г (рис. 1.22, а).
При построении механической цепи массы mlt т2, сопротивле-
ние г и упругость k2 будут находиться в последовательном соеди-
нении; упругость kx (рис. 1.22, б) будет находиться в параллель-
ном соединении по отношению к источнику скорости и включаться
между массами.
Система, состоящая из трех масс, четырех упругостей и двух
сопротивлений. Массы mlt т2, т3, соединенные между собой и
платформой упругостями klt k2, k3, кроме того, массы тг и т2
соединены сопротивлением гх, а масса т2 с платформой — сопро-
тивлением г2 (рис. 1.22, в). При построении механической цепи
массы mlt т2, т3 соединяются последовательно, кроме масс по-
следовательно соединяются упругости k3, и сопротивление г2.
В параллельную цепь (по отношению к источнику скорости)
включается цепь с упругостью и сопротивлением гх и упру-
гость k2 (рис. 1.22, г).
Характерным примером, когда внешний источник пути (ско-
рости) дополнительно воздействует на элементы системы, является
движение автомобиля по дороге с гармоническими неровностями
вида у (t). Система автомобиля (рис. 1.22, д) упрощенно представ-
ляет собой массу /п1( упругость и сопротивление (демпфирова-
ние) г рессор; на кузове укреплена на упругости k2 масса т2
зеркала, указывающего состояние дороги сзади.
На рис. 1.22, е показана динамическая система, а на
рис. 1.22, ж — механическая цепь всей конструкции.
1.7. ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ СИЛЫ И СКОРОСТИ
Действие скорости на часть цепи как следствие действия
внешнего источника силы. Пусть дана динамическая система
(рис. 1.23, а); на рис. 1.23, б показана находящаяся под действием
силы механическая цепь для этой системы. На рис. 1.23, в изобра-
жена похожая по структуре динамическая система, но находящаяся
под действием скорости; механическая цепь для этой системы по-
казана на рис. 1.23, г.
Рассмотрим новую систему (рис. 1.23, б), состоящую из двух
масс и двух упругостей, причем сила Q (/) воздействует на эту
систему через массу /и2; механическая цепь для этой системы пока-
зана на рис. 1.23, ж. Как будет понятно из содержания гл. 2,
а сейчас примем без доказательств, скорость в параллельном
звене m2k2 будет скоростью всей системы у; эта скорость будет
исходной для приведения в движение звена kitn^ изображенного
на рис. 1.23, г. Сравнивая построение цепи на рис. 1.23, е и на
рис. 1.23, г, убеждаемся, что перемещение массы т2 является
52
как бы перемещением платформы, совершающей гармоническое
колебание, для звена m-Ji^ эта часть цепи находится под воздей-
ствием скорости платформы (рис. 1.23, е).
Рис. 1.23. Действие силы и скорости на систему
На рис. 1.24, а показана более сложная динамическая система.
Изображенная тонкими линиями часть системы находится под
действием внешней силы Q (t)j отдельно показана на рис. 1.24, б;
Рис. 1.24. Действие силы и скорости на систему
толстыми линиями показана часть системы, которая приводится
в колебательный процесс массой /п2, выполняющей роль платформы
и перемещаемой со скоростью v (/); отдельно показано на
53
рис. 1.24, в. Соединение частей механической цепи (проекции на
рис. 1.24, г, д) приводят к механической цепи (рис. 1.24, е), на-
ходящейся как бы под двумя внешними источниками Q (/) и v (f).
Окончательная для расчета цепь показана на рис. 1.24, ж.
Одновременное действие силы и скорости на механическую
цепь. На рис. 1.25, а изображена элементарная динамическая
система, состоящая из подвижной невесомой платформы, упру-
гости и массы. Платформа подвергается гармоническому переме-
щению у (/), что соответствует скорости у (/) = у (t)\ на массу
действует сила Q (/). Построим механическую цепь этой системы
(рис. 1.25, б) для внешнего источника у (f) или в несколько ином
виде, удобном для дальнейшего использования на рис. 1.25, в:
Рис. 1.25. Понятие одновременного действия силы и скорости на систему
(цифрами у полюсов показан порядок соединения элементов)
цепь представляет собой последовательное соединение элементов.
Если бы платформа была бы неподвижной, т. е. отсутствовало бы
влияние у (/), то колебательный процесс мог быть осуществлен
от силы Q (Z). Соединим обе механические цепи и получим окон-
чательную механическую цепь (рис. 1.25, г), когда действуют
оба внешних источника; естественно, что между полюсами 5; 6
следует разместить источник силы, между 1 и 2 — скорости;
точка 3; 4 (рис. 1.25, б) растягивается в линию 3—4 (рис. 1.25, в).
Более сложная динамическая система, на которую воздей-
ствует сила и скорость одновременно показана на рис. 1.26, а.
Электровоз движется по рельсам с высотой неровности у,
вызывающей благодаря вертикальной подвеске ktr колебания
электровоза; внутри электровоза на жесткой раме расположена
динамическая система 1г2т2, причем на массу передается сила
Q (/)'. Необходимо построить механическую цепь этой сложной
системы (рис. 1.26, б). Для такой системы проще построить ме-
ханическую цепь, считая электровоз неподвижным, когда отсут-
ствует источник скорости у (/), а существует только источник
силы Q (/); начало этой цепи показано на рис. 1.26, в, а вся цепь —
на рис. 1.26, г. Перестроим эту цепь для источника скорости, при
этом Q = 0. Теперь необходимо ввести действие силы Q (t) на
54
массу /п2. Механическая цепь для действия обоих источников
энергии показана на рис. 1.26, д.
Рассмотрим системы, находящиеся под дей-
ствием скорости, и о'имеющие дополнитель-
ные связи. На рис. 1.27, а, в, д показаны системы, у которых
имеется или дополнительная подвеска с неподвижной поверх-
ностью (рис. 1.27, а, в), или вся система имеет подвеску к непо-
Рис. 1.26. Упрощенная динамическая система электровоза
движной плоскости, но на систему оказывает влияние кинема-
тическое (рис. 1.27, д) воздействие в виде скорости гармоническое
перемещение у (/). Обратив внимание на ранее приведенные рас-
суждения, можно при построении механической цепи проделать
следующее: в случае системы (рис. 1.27, а), если бы отсутствовало
сопротивление г, то цепь состояла бы из двух последовательно
соединенных элементов k и т\ введение сопротивления г можно
отождествить с введением -силы Q (/), действующей на массу,
что влечет образование (при отсутствии элемента k) схемы, вклю-
чающей Q (/)—г—т\ при отсутствии силы Q (t) сопротивление г
остается в параллельном соединении с массой т (рис. 1.27, б).
Система, состоящая из сопротивления г и массы т (рис. 1.27, в),
находится под воздействием скорости; к этой системе добавляется
упругость k, второй полюс которой неподвижен. Если бы на эту
систему действовала сила (на рис. 1.27, г показано пунктиром),
то построение цепи было бы вполне ясным; вводя символ скорости,
получим схему цепи; другими словами, элемент k в цепи впи-
сывается параллельно источнику скорости. Соединение двух
55
рассмотренных схем (рис. 1.27, а, в) отражено на рис. 1.27, д', на
рис. 1.27, е пунктиром показано подключение источника силы.
В элементарной цепи, состоящей из сопротивления гу и массы т,
Рис. 1.27. Связанные системы при действии скорости
соединенных последовательно при действии скорости, упругость k,
соединенная с неподвижной поверхностью, располагается парал-
лельно источнику скорости, а сопротивление г2 — параллельно
массе т.
1.8. ПОСТРОЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ДЛЯ РЫЧАЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Системы рычажные, имеющие неподвижные точки поворота.
Эти системы являются частным видом вращательного движения,
когда предполагается поворот рычага на незначительный угол
и проекция повернутого рычага, например, на Ох, остается не-
изменной, а угол поворота а близок к нулю (а & 0°, cos а 1).
Таким образом, как допущение, принимается перемещение при
повороте рычага как поступательное.
Рассмотрим рычаг первого рода (рис, 1.28, а)
и определим комплексное сопротивление S этой системы. Если Q —
действующая сила, a F — реакция на эту силу, то
QA.1 — EXj.
(1-25)
56
Из уравнения (В.24) можно написать
F = Sii/p	(1.26)
Подставляя (1.26) в (1.25), получим
— SjVjKz.	(1.27)
Перемещения у и ух концов рычага в зависимости от и Л,
будут
ylyi = %i/Xa и у/y'r = v/vj, = Xj/Xa,	(1.28)
отсюда
Vj =	= тр,	(1.29)
здесь т] = Х2/Хх — передаточное число рычага.
Рис. 1.28. Понятие о рычажных системах с точкой опоры
Подставляя (1.29) в (1.27), имеем Qkx = S3X2 (X2/Xj v) =
= SAi/lii), отсюда S = Q/v = (SiXl/Xfo): v = SiT|2.
Итак,
S = Sp2.	(1.30)
Пример 1. Пусть вместо сопротивления Sx в общем виде имеется пру-
жина (Sx = k/(ja) и k= 1000 кгс/м); = 10 см, Х2 = 30 см. Из уравнения (1.30)
S = 5хГ)а = й/(/<в) П2 = 1000/(/со) (3/1 )2 = —/9000/со кгс-с/м.
Рассмотрим рычаг второго рода (рис. 1.28, б) и
определим комплексное сопротивление S этой системы. Исполь-
зуя предыдущие обозначения и (1.25), (1.26) и зная, что z/l2 =
= yikr, QXi = SiViA,2 = S1X2 (WMv)» получим S — Q/v — (SAiAiw:
: t>) = Sit)2.
57
Другими словами, формула (1.30) действительна для рычаж-
ной системы первого и второго родов.
Рассмотрим два более общих случая, когда для рычага первого
рода по направлению действия внешней силы расположено до-
полнительное сопротивление 3 (рис. 1.28, в). Опуская выводы,
можно написать что ПКС системы
S = S2 + Sxt]2.	(1.31)
Для рычага второго рода рассмотрим более сложную систему,
когда имеются два сопротивления Зх и 32 и третье сопротивле-
ние Ss, расположенное по направлению действия внешней силы Q
(рис. 1.28, г). Примем т]х = Хд/Хх и т)2 = Х2/Хх, тогда окончательно
S = Зз + ЗгТ]! + Sit]?.
Пример 2. Дана рычажная система второго рода (рис. 1.28, д), состоя-
щая из массы т и упругости k и имеющая соотношение плеч рычага Х2 : Лх =
= 1]. Пусть zn = 1 кгс-с2/м =1 кг; k = 1000 кгс/м; Х2 : %х = 1 : 3; t] = 1/3.
Согласно уравнениям (1.31) и (В.24) получим, что ПКС си-
стемы
S = Зх + 32т]2 =	4- (/com) irf = / (comi)2 -	;
На рис. 1.28, е представлена механическая цепь рычажной
системы с передаточным числом т].
Рассмотрим способы построения механиче-
ских цепей для рычажных систем, имеющих неподвижные
точки поворота системы. Вначале следует оговориться, что изобра-
женные на рис. 1.29, а — е динамические системы имеют оди-
наковую механическую цепь при условии, что величина tj равна
1 (%х = Х2). Приложение массы к точке 1 или 2 (рис. 1.29, б, в)
не изменяет существа построенной механической цепи (см.
рис. 1.6, г).
Более сложная динамическая система, показанная на
рис. 1.29, ж, представляет собой массы mlt тъ и упругости klt k3.
По существу эта система с двумя степенями свободы и ее механи-
ческая цепь построена ранее (см. рис. 1.9, г). В рычажной системе
величина т] может быть отличной от единицы; в таком случае сле-
дует учитывать значение передаточного числа, что учитывается
особым знаком с простановкой в нем величины т] (при г] 4= 1).
Следующая далее ветвь /и2 — &х — /пх, как это видно из
рис. 1.29, з, находится за знаком с величиной т] и при дальней-
ших расчетах подпадает под влияние этого знака.
Интересной особенностью является следующее: допустим в точ-
ке 1 рычага расположена масса т3, в таком случае в механической
58
цепи эту массу следует расположить рядом с массой /п2, но масса т3
не попадает под влияние значения ц. При условии, что т] = 1
учитывать передаточное число не нужно и в параллельной цепи
оказываются две массы /п2 и т3, которые согласно теореме 6 имеют
Рис. 1.29. Простейшие рычажные системы с точкой опоры
ЧКС S = S2 + S3 = j® (m2 + m3) и массы складываются. Это
обстоятельство показано в изображенной механической цепи на
рис. 1.29, и.
Рис. 1.30. Сложные рычажные системы с точкой опоры
Рассмотрим несколько примеров на построение механических
цепей. Дана динамическая рычажная система первого порядка
(рис. 1.30, а) с двумя степенями свободы. Сила Q (?) действует на
массу /Их. Масса т2 с неподвижной поверхностью соединена через
полюсы 3—4 упругостью k2. Через полюсы 1—2 эта масса т2
жестким стержнем соединяется с неподвижной поверхностью. На
механической цепи (рис. 1.30, б) поэтому показаны два возмож-
59
ных варианта построения: при наличии упругости &2 в цепи, эта
упругость построена между точками 3—4; естественно, стержень
1—2 отсутствует; при условии, когда k2 = ©о, иными словами,
масса и неподвижная поверхность соединены жестко; поэтому
упругости k2 в цепи не будет; не будет также и массы с полюсами
5—6. Жесткий стержень 1—2 может быть изображен перед массой
в виде линии Г—2'; однако’при слиянии массы т2 с неподвижной
Рис. 1.31. Понятие о системах, не имеющих неподвижной точки поворота
поверхностью рычаг свои функции также не выполняет и пере-
даточного отношения не существует: цепь от источника силы Q (t)
замыкается по линии 1"—2".
Система рычажная, не имеющая неподвижной точки поворота
(рис. 1.31, а, б). Эта система отличается от предыдущей наличием
двух степеней свободы. Для расчетов такой системы нужно иметь
две независимые координаты; представленные шесть случаев
имеют следующие возможности: 1) ylt а; 2) уг, у2, 3) а1( а2; 4) об-
щий центр поворота на расстоянии Ь, а; 5) ylt а3; 6) у2, а4. Пусть
дан рычаг 1—3, расположенный условно вдоль оси Ох; этот рычаг
под действием силы Q (I), связанный с двумя сопротивлениями Sj
и S2, занимает положение 1'—3'. Определим зависимости, свя-
занные с независимыми координатами и нагрузками. Рассмотрим
первый случай для условия (j/x, а), т. е. перемещение рычага на
величину уг, а затем поворот его на угол а вокруг точки Г.
Напишем уравнение сил: для сопротивления Sx Qx = Sxvx =
= Sx«/x = SiPyx, Для сопротивления S2 Q2 = Saox = S2yr —
= S2pyx. В переносном перемещении на величину уг сила будет
60
Q12 = Qi + Qa = РУ1 (Si + S2). К этой нагрузке необходимо
прибавить силу поворота на угол a Q3 = S2X2a = S2X2pa.
Общее уравнение сил
Q = Qi2 4" Q3 — pyi (Si + S2) -|- S2%2pa.	(1.32)
Напишем уравнение моментов относительно точки Г:
момент при повороте
Q3X2 — S2^2pa%2 = S2X2pOC',
момент при перемещении сопротивления 32 на величину
Q2^-2 — S2/?i/i%2.
Общее уравнение моментов
Q (М 4- ^2) ~ S2X2pot 4~ S2pt/A2.	(1.33)
Итак, уравнение сил (1.32) и уравнение моментов (1.33) поз-
воляют использовать координаты и а через силу Q, размеры
рычага %i и 12, а также комплексные сопротивления Зх и 32.
Точно также можно проанализировать и другие независимые
координаты по пяти схемам'(рис. 1.31, в, г, д, ж, е). i
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1.31, в.
Для точки 2' у2 = У1 + и ру2 = руг 4- Х2ра.
Из (1.33) имеем
Q (М 4* ^2) =	4~ S2P1/A2 =
= S2%2 (рг/i 4- ^2ра);
Q (%i 4- ^2) — S^tPyz-	(1.34)
Из (1.32)
Q = РУ1 (St 4- 3.) 4- S2l2pa = Sipr/i 4-
4- S2pyt 4* S2%2poc;
Q = Sip^i 4- S2 (pz/x 4- X2pa) = Sipz/i 4- S2p«/2.	(1.35)
Из уравнений (1.34) и (1.35) найдем координаты уг и р2.
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1.31, г, уг =
р2 = 12а2; а = а2 — аг.
РУ1 —	РУ2 = ^2ра2.	(1.36)
Если заменить уг и yz в уравнениях (1.34) и (1.35) на значе-
ния (1.36), получим
Q (^1 4“ ^<2) = S2^<2pZ/2 ~ S2%2 (^-2Р®2) =
Х2Х2ра2;	(1.37)
Q — Sipyi 4" $ъРУъ ~ SiX2pai 4” S2X2pa2. (1.38)
61
Определим а2 из (1.37)
„  Q (^i4"	____ Q	___ Q	.
2— s2Wp	- pS№ - pS2	’
Хх 4" X2 Xg , Xx
Xi + xf
a2 = —4-------- = 1/M I + WM Q/(pS2) =
1 Аг 4“ Xj/%2
= Q(Xi 4-	(1.39)
Определим ах из (1.38) Q = ЗхХ2рах + S2X2pa2;
Q = Sjk%poLi -j- S^zP [ 1/^2 (1 4~ ^1/^2) Q/(pS^] •
Можно написать и так
Q = SjX^pai 4" S2A2P [Q (M 4- М/(MpS2) ] =
= S1X2pa14- Q (^14- MAa-
Q%2 = Si%2P®i 4* QM 4" Qh’, —QXi — SiX2pai>
ai = -MQ/(MpSi).	(1.40)
Найдем комплексное сопротивление S в месте приложения
силы Q. Если под силой Q перемещение равно у, то
a — {У — l/i)/Ai 4~ ^а) = (1/а — Pi)/^2-	(1-41)
Уравнение моментов относительно точки 2' и Г
QXx = Sxpt/x^2’> l/i — A,xQ/(X2pSx); 1
Q Ai4- ^2) —	1/2 — Q (^14" ^/(^Р^з)’ J
Подставим значения (1.42) в (1.41)
a = [у — (—^iQ/AapSOl/Ai 4- M =
= [Q Ai + M/(W - (-^QI^pS.)]/^
1 . 1 MQ___ Q (^14- M2 1 MQ м iii.
------vsT“ + vs?
1 ..__0. (M 4~ ^2)а I ^iQ / M 4~ ^2_ i \_ Q (M 4~ ^г)а । ^2Q .
X2/7S2	P*51 \	^2	/	%2P^2	^2р^1 ’
Xi -J- X2 1	Xi 4- X2 — X2	Xj
имея в виду, что -4-^--2- — 1 =	/------- = пА;
Л>2	^2	^2
//= [(^7“У V(pS2)4-(W2 1/(pSx)] Q;
S = Q/v = Q/y = Q/(j)y) =
= {[(Xx 4- Xa)/X2]« 1/(₽S2) 4- (X1/X2)« l/(pSx)} 1/p:
62
С __ _______________1______________
[(%! + Х2)/Л2р 1/S2 + (%1Д2)2 1/S1 '
1 = 1
1/S2 + 1/^1 (Si + Si) /(SJSi) ’
S = SiS2/(Si + S2).	(1.43)
По структуре этой формулы можно заключить, что комплекс-
ное выходное сопротивление свободного рычага можно сравнить
с последовательным соединением в данном случае двух элементов
Рис. 1.32. Системы рыча-
жные с подвижной точкой
поворота
с сопротивлениями S' и S2 (рис. 1.31, з). Из-за масштабного коэф-
фициента, образуемого плечами рычага и %2 эти сопротивле-
ния имеют следующие поправки
S2 = [А|/(М 4“ ^2)2] S2; Si = (А.2/Л4) Sj.	(1 -44)
Система рычажная, с подвижной точкой поворота, состоящая
из массы и упругости (рис. 1.32, а). Из уравнения (1 43) имеем
Q —.______________!____________ _
(*i + М2/Ц i/s2 + (М-2)21/SX
__	1
 ’ (Хх + X2)2Ai ja/k 4- (М2)21 /(jam) ’
e _	/®mXi	_	. .2	jam
(jaym/k^ + W + W	1 — (co/a>o)a [(Ла +	*
здесь Si = j<o/n; S2 = k/(ja); k/m — coo-
Случай 1. При очень низких частотах пружина не деформи-
руется и система ведет себя так, как при рычаге первого рода на
неподвижной опоре (см. рис. 1.28, а), при 5 = Sxt)2, где т) =
= в этом случае k = 00; S = j®/nr]2; если %х = Х2, то
S = jam.	(1-45)
Случай 2. При очень высоких частотах масса почти неподвижна
и система ведет себя как при рычаге второго рода за счет
63
деформации пружины, (см. рис. 1 .28, б), при этом S = S2T]a, где
Т] = %2/(Л.х Н” ^а)>
3 =	[%2/(Z,x + Ml2; если = Х2 = %, то
S = £/(/©) (1/2)а = А/О4со).	(1.46)
На рис. 1.32, в показана более сложная рычажная система, не
имеющая неподвижной точки поворота, и ее механическая цепь
(рис. 1.32, г). Подобные системы имеют отношение к механическим
фильтрам, и они будут рассмотрены в гл. 5.
Рис. 1.33. Система рыча-
жная с двумя ветвями со-
противления
Система рычажная поступательная, в которой одновременно
действуют две и более ветвей сопротивлений. Представим себе
невесомую, но жесткую рычажную систему (7—6), имеющую точку
поворота 6, соединительный рычаг 2—5, точки 3—4, присоединен-
ные к сопротивлениям Зх и З3, точку 1, к которой приложена
сила Q (рис. 1.33, а). Действие силы Q передается в точки 3 и 4
и вызывает реакции в сопротивлениях Зх и S3. Малое линейное
перемещение у в точке 1 под действием силы Q равно векторной
сумме перемещений ух и у9 в точках 3 и 4: у = ух + у3. Скорости
в этих точках будут у = уг + у3. Если в системе скорости склады-
ваются, то это соответствует последовательному соединению меха-
нической цепи, что вызывает сопротивление 3 = S1S3/(S1 + S3).
-Случай 1. Если З3 = оо (рис. 1.3, б), то в точке 4 не может быть
движения и система ведет себя так, как будто точки 1 и 3 соединены
между собой: у = уг.
Случай 2. Если Sj = оо (рис. 1.33, в), то в точке 3 не может
быть движения и система ведет себя так, будто точки 1 и 4 соеди-
- йены между собой: у = у3.
64
При дифференциальном движении точка 1 перемещается на
величину у = tji + у3, точка 4 — на величину уа- точки 5 и 2 —
на величину Уз/2-, точка 3 — на величину i/t (плечи равные).
Подобный механизм можно использовать для изображения по-
следовательных и параллельных ветвей цепи. Если обе точки 3; 6
представляют собой опоры, то можно рассматривать последова-
тельную ветвь системы, проходящую по линии действия силы Q
и сопротивления З3, при этом 3 = З3. Если шарнир 3 сделать
Рис. 1.34. Конструктивные решения рычажных систем
подвижным и к точкам 3 и 4 присоединить два разных сопротивле-
ния, то в шарнире 1 необходимо приложить силу, суммирую-
щую оба сопротивления двух ветвей. При рассмотрении схемы
(рис. 1.34, а) очевидно, что эта схема одинакова со схемой
на рис. 1.21, а, и механическая цепь соответствует рис. 1.21, б.
Динамическая схема на рис. 1.34, б соответствует схеме на
рис. 1.7, а, и механическая цепь должна быть изображена одина-
ковой с рис. 1.7, д. Динамическая схема по рис. 1.34, в соответ-
ствует схеме на рис. 1.8, а, и ее механическая цепь будет соответ-
ствовать рис. 1.8, в. Более сложная рычажная система изображена
на рис. 1.34, г и может быть перестроена в динамическую систему
на рис. 1.34, д. Механическая цепь этой системы изображена на
рис. 1.34, е.
На рис. 1.34, ж показана рычажная система, когда в точке 4
приложено сопротивление 3, а внешние силы Qx (t) и Q2 (t) при-
ложены в точках 1 и 3. Эта система может быть преобразована
в изображенную на рйс. 1.34, з, построение которой показано
на рис. 1.28, д.
5 И. А. Дружинский
65
ГЛАВА 2
МЕХАНИЧЕСКИЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛНЫХ И ЧАСТНЫХ
КОМПЛЕКСНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
ПКС является функцией от частот, действующих в системе,
и показывает степень напряженности в преодолении динамической
системой той нагрузки, которая действует на нее. При наличии
в системе г сопротивлений ПКС будет иметь комплексное значение
типа S = аг + ja2; при отсутствии их — вещественное значение
типа S = аг.	_ .
ЧКС выражаются отношением нагрузки (силы) Qf(Z) к комплекс-
ной скорости Vi (/), действующих в звеньях или элементах си-
стемы.
Определение ЧКС и ПКС является первой ступенью в подго-
товке данных для нахождения сил и скоростей.
Система (см. рис. 1.6, а), состоящая из массы и упругости.
На рис. 1.6, г, д изображена механическая цепь, в которой оба
элемента соединены параллельно. На основании (В.24) можем на-
писать, что для данной цепи, состоящей из двух элементов, ЧКС
будут: Зх = /<о/п для массы и S2 = —j (k/a>) — для упругости.
ПКС этой цепи будет S = Sx + S2 (см. рис. 1 4). Подставляя
вместо Sx и S2 их ЧКС, определим
S — / (а>т — k/ti)) = / [(co2m — й)/со].	(2.1)
Система, состоящая из массы и двух упругостей (см. рис. 1.8 а).
Сила Q (t) действует на свободный полюс упругости kv Механи-
ческая цепь представлена на рис. 1.8, г и показывает, что сопро-
тивления 32 и S3, представляющие собой звено S23 (оно обведено
штриховой линией), соединены между собой параллельно, а эле-
мент Sx соединен со звеном S23 последовательно. ЧКС элементов
будут следующие: Sx = —jkjai; S2 = j®/n; S3 = —ЧКС
звена S23 = S2 + S3; ПКС системы будет S = SXS23/(SX + S23).
Подставляя вместо Sx и S23 значение элементов, найдем
S23 = S2 -|- S3 = jam. j — = / \ш--— j = / T© J •
6,6
с _ $1$23 __	(^2 ~Ь ^3)	<0 0^ © )
+ *">23	$! + (^2 + 53)	. kr . .	. k2
Действия c j будут справедливы, если вспомним, что jj = /а =
= (/—Г)2 = — 1; / (—j) = —j2 = — (/—D2 = +1, поэтому
в первом случае следует перед новым выражением поставить знак
минус, во втором случае — знак плюс
S = (-^m+ja-^)fl) в М«>г-М2	..
—Mi +	— jki —ja> (kt — <i>2m Ц- k2) ’
e _ ;	M"»©2 —fe2) . e = ; f ki 1т(°2 — ^2] \	/9 ™
7 ©Ц^+^-г-®»/»]’	7 \ ©Mi + ^a —w2m] /'	'	7
Система, состоящая из массы, упругости и сопротивления
(рис. 2.1, а). Из - механической цепи (рис. 2.1, б) видно, что
Рис. 2.1. Система т—г—k, когда сила действует
на массу
звено S23 состоит из двух элементов в последовательном соедине-
нии, а для образования ПКС системы элемент Sx и звено S23
составляют параллельное соединение. Итак, ЧКС элементов будут
Sj — jam.', Sz.= r\ S3 = —jk/а, ЧКС звена S23 будет (1.10)
r ( • & \
о______S2S3  	\ * ® /   —i^r	/9 o\
- ,. d23- S2 + S8 “	“ ra>-jk•	^-O7
Г \ 7 <© )
ПКС системы
e c 1 <?	1 —ikr №тг-\-®Ьт— jkr /o
S-S1 + S23 = /(o/n+-?s-^=-------—j-k-----.	(2.4)
Для того чтобы определить вещественную и мнимую части друг
от друга, необходимо освободиться от величины j в знаменателе
5*	67
путем умножения и деления выражения (2.4) на величину
г® + jk
__ (/<oamr 4~	— jkr) (r<n + jk)
(r<o — jk) (r<0 + jk) ’
после преобразования
S = <»2ra 4- k* + <o2r2 + k* "I"	~	•
Динамическая система (рис. 2.2, а), состоящая из трех масс,
двух сопротивлений и четырех упругостей. На примере механи-
ческой цепи (рис. 2.2, б) показан последовательный порядок на-
хождения ЧКС звеньев и всей системы. ЧКС элементов будет
Si = joinii, S2 = j -±-; S3 = r\\ St = —/	;
S5 = jantz, Se = —j ; <S7 = jatnts, S8 = r2; S9 — —j	.
ЧКС звеньев будем определять, двигаясь от самых отдаленных
от внешнего источника (силы) элементов, в данном случае S7,
S8, S9, находящихся в параллельном соединении; определяемые
звенья последовательно обведены жирными линиями.
Для сопротивлений S7, S8, S9, представляющих параллельное
соединение (рис. 2.2, в) трех элементов ЧКС,
S78# = S7 4~ Sg 4" Sg.	(2.5)
Сопротивление Se co звеном S789 находится в последовательном
соединении, поэтому (рис. 2.2, г)
О ____ ^6^78» _ Se ($7 4~ $8 4~ S9)	/9
«•••* s. -j- S799	Se 4- S7 + S84-S,
Звено S46, состоящее из двух параллельно соединенных эле-
ментов (рис. 2.2, д), будет иметь
s« = S4 + S,.	(2.7)
Звенья Si5 и Se 9 также соединены параллельно и для них
s..„. - + 5.- (S. + S,) +	.	(2.8)
Звено З23 состоит из двух элементов, соединенных параллельно
(рис. 2.2, е)
S23 ~ S2 4“ Sg.	(2.9)
Звенья S28 и S4 9 находятся в последовательном соединении
и для них (рис. 2.2, ж)
68

В заключение определим ПКС всей цепи, учитывая, что эле-
мент Si и звено S2 9 находятся в параллельном соединении
(рис. 2.2, з)
;	s = 51 + s2 9 = 51+	(2.Ц)
j Опускай преобразования, окончательный вид ПКС системы
будет |	..	; |,
; о 1 »>i	~Ь -^4 Ч~ SB) ('Sg 4~ -S? Ч~ 4~ Sp) 4~ Se ($7 + Sg + ^»)] ।
! Г ‘ fS2 + s3 + s4 + s5)(se + s7 + s8 + s9) + s6(s7 + s8 + se) "i"
I j : ‘
♦	’ ~Р $8) [(S4 + Ss) (S6 + ^7 + ^8 + S9) + Sfi ($7 H~ «$8 4~ ^9)1 /9 194
< (S| + S3 + S4 S6) (S6 + S7 + 58 4- S9) + ^6 (^7 + S8 + S9)
Порставим вместо.QKC их значения, найдем ПКС
S789 =/<в/Пз + г2 - /;	(2.13) /

(2-14)
(2.15)
(2.16)
(2-17)
(2-18)
70..
ПКС всей системы будет S —	+ S2.„9; из (2.12). .имеем;
/шт1 [ (_ А + Г1 _ А + /йт2) ( - А + /«W + h - 4s) -
_А(/юот, + г,-А)].
(-V + ri“44 + /w^)(-^ + /wm8 + r2-
-^О'штз+^-$) ' - :
(“ v+Г1) [ (- 44 +/МОТ2) (-42+/<В/Из + г* ~	г \
-4(/®тз + '-2-43)]
~Г^1-------м “V-------------------/м-~-(2Л9)
(- v+ri- ш +1<атгд- 4+/штз»г. '!
—4(/®/пз+г2—4)	*
(О \	- , (д /	,	’ . • Д« / о >
Преобразовывая значения элементов, подставляя при реше-
нии численные значения, получим S = /•(©);№,-.	*
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ И СКОРОСТЕЙ В СИСТЕМЕ,
ЗВЕНЬЯХ И ЭЛЕМЕНТАХ В ОБЩЕМ ВИДЕ
После того как определено ПКС системы, можно приступить
к определению сил и скоростей; если для определения ПКС ход
расчета начинался со звеньев, расположенных в наиболее удален-,
ных звеньях цепи от источника, то определение сиу^.ц скоростей
производится в обратном направлении. Обычно внешняя на-
грузка — сила задана в виде выражения Q (/); зная ПКС в виде 3„
определяем скорость системы о =.Q/S; обычно это, выражение
комплексное и можно построить график изменения скорости во
времени. Затем начинаем определять силы и скорости в ближай^
ших звеньях и элементах. На рис. 2.2, б первым будет Элемент
с сопротивлением Sx и звено с сопротивлением S23456789; этот
элемент и звено соединены между собой параллельно, следова-
тельно, у них скорости системы, элемента и звена будут рдвны
между собой v = Vi = н2...9- Значения Зх — }фтл й опре-
делены ранее (2.10). Поэтому можем написать • значение д^гй.. сияй
Qi *$101 и Q2...9 — *$г...9у2...9-. Следующим шагом’ буде^ рас-
смотрение звена 23. Это звено соединено с другой частью звейй
234 ... 9 последовательно, поэтому действующая сила Q4 9
= Q23 = Q45...9- Для звена 23 ЧКС Т>уХет (2.^X7 = 32 +%к,
поэтому скорость этого звена v23 = Q23/S23. "’Само звёно 28;со-
стоит из двух элементов, соединенных параллельно, например,
для элемента S2 =f	скорость в элементах и с,ад!о^.^еце
одинаковая, т. е. t>23 = t>2 = va. Следовательно, сила^$2 =
= $а»8 = ki/(j<a) о23 и т. д.
Предоставляем читателю разобрать пример на рис. 2.2 само-
стоятельно, а для этого разберем несколько более простых задач
по определению сил и скоростей.
Система, состоящая из трех элементов, соединенных парал-
лельно (табл. 2.1). Разберем последовательно ход решения. Если
в системе один элемент, то ПКС системы будет Sx. Внешней
нагрузкой будет сила Q, поэтому скорость системы будет у=Q/SX
Элемент Sx соединен параллельно с источником, следовательно,
скорость в элементе ух = у; сила Qx = Sxyx = Q = SjV. Если
в системе два элемента соединены параллельно, то ПКС си-
стемы будет S=Sj+S2; скорость в системе будет v= QIS = Q/(SX+
+ S8); для того чтобы определить Qt- и vt в элементах, будем пом-
нить, что в параллельном соединении элементов скорости равны
между собой v =	= у2, а сила Q = Qx + Q2. Для элемента Sx
получаем ух = v и Qt = Sxvx = SiV, также для элемента S2 по-
лучаем v3 = v и Qt = S2y2 = S2y.
Таблица 2.1
Определение ПКС, сил и скоростей в каждом элементе
в системе из трех элементов
Стро- ка	ПКС	s		Si		s2		S3	
		Q	V	Qi	Vi		V	<?3	Vs
1	S= Si	Q	Q/S	Q	V	—	—	—	(
2	S = sx + s2	Q	Q/S	Siv	V	S2t>	V	—	
3	s = S1+S2+S3	Q	Q/S	Siv	V	S2v	V	S3v	V
Если в системе три элемента соединены параллельно, то
ПКС системы будет S = Sx + S2 + S8; скорость в системе будет
v — QIS = Q/(SX + S2 4- S3). В элементе Sx получаем ух =^у и
Qx = Sxox = S х о; в элементе S 2 получаем у2 = vhQ2 — S2v2 =
= S2v; в элементе S3 получаем у3 = v и Qa = S3v3 = S3y. Про-
изведем проверку S — St + S2 + S3 = Qx/vx + Q2lv2 + Q3/y3—
= (Qi + Q3 + Q3)/v = 4-
В табл,: J. 1 роказан эскиз такого соединения и значения со-
противлений >сцл и скоростей в зависимости рт S.
72	’'* '"
Система, состоящая из
четырех элементов. В этой
системе первый элемент сое-
динен последовательно, а
остальные параллельно
(табл. 2.2);
Рассмотрение зависимо-
стей начнем с системы, состоя-
щей из двух элементов
и S2, соединенных после-
довательно (табл.2.2, строка
1); ПКС такой системы будет
S = SxS2/(Si Н- S2). При
внешней силе Q скорость в
системе будет v = Q/S =
= a (Si + s2)/(SjS2).
Для элементов Sx и 32,
составляющих последова-
тельное соединение, Q = Qi =
= Q2; поэтому в элементе
Sx Qx = Q и — Qi/Sj =
— Q/Si, в элементе S2 Q2=
= Q и о2 = Q2/S2 = Q/S2.
Рассмотрим систему, со-
стоящую из трех эле-
ментов, при этом элемен-
ты S2 и S3 соединены между
собой параллельно, а эле-
мент Si последовательно по
отношению к звену 23.
Нахождение ПКС начнем
с определения ЧКС звена 23.
S23 — S2 +S3. Рассматривая
последовательное соединение
элемента 1 и звена 23 (стро-
ка 2), найдем ПКС системы.
С __	^1^23	__ $1 ($2 ~Ь $з)
S1 + $23	$! -|- S2 + S8
Определим скорость всей
системы v — Q/S, где Q —
внешняя сила. Для элемента
1, соединенного последова-
тельно со звеном 23, Qx = Q;
= Qi/Si = Q/Sx. Для звена
23 сила Q23 == Qi Q,
= <?2з/52з = Q/($2 + S3).
После этого определим дан-
	а*	1 1 -sf О’
со	4 О’	! ,4 со о
	а	, а 1 ^2 ^2 О’ О’
Со	с?	Л 1SS о §
	а	со со со О' О' О'
СО	й О’	j Л со СО
coco	а*	1 о» <5»
	С?	| о» о
со	а	.!§ ^5 $ О' О' СУ
	О’	О’ О’ О’
со	t>	«СО со СО О’ о с?
	Су	О' О' о
•	пкс		+ + t со Со СО II II II со СО со
еяойхэ		-И сч со
73
. . ——	 —- ..и	г.  		 -----	т аб лица 2.3~ , «Определение	сдо и скоростей в каждом элемер^еЭД в каждой звене ^^истеме пятиу^лёМентфв *>*	 ~ у	. Я	-Д'- г	7	I 1	I	5	4 '№ 	-	—- - 	 ' 	 - • -	1 £	US й	„ го со 1 1 О'
		О'	-J? 1 1 а
			to W г*® 1 О’ о*
		О’	1	G 1 со со
	со	г? 00 О’	«. ’3 2Р «	» во О О’ О’
			эго» « э э ©4 со во • СО СО СО
	« » СОСО '	р*	< « 1 со л ~ О’ СУ
			~s . ® -3 3 S со «о
	с« со	s’ м О’	(М ©J « СО СО СО СЧ ©1	04 -О» О’ О’
			-ч » % § • г” г” Л • СО СО СО
	аза ОСО со	С S С О	э э э
			г> % 3 а « со Со ср
	со	S	э э э
		О	э э э со Со со
	со	S О’	со со со О’ О’ О’
			О’ О О’
	.о Е		8 J I со со со Н—1—F со со со II II II со со со
	вяоЦхэ		— сч со'
ные для элементов, соеди-
ненных параллельно. В
элементе 2	= v23, Q2=
==S2v2; в элементе 3 v3=
= ^23> Qs = S3V2.
В системе из четы-
рех элементов эле-
менты S2, S3, 34 соедине-
ны между собой парал-
лельно, а элемент Зх по-
следовательно по отноше-
нию к звену 234. Для на-
хождения ПКС опреде-
лим ЧКС звена 234. S2j4 =
— S2 S3 S4.? Затем,
рассматривая последова-
тельное соединение эле-
мента 1 и звена 234
(табл. 2.2, строка 3),
найдем ПКС системы
О _	^1^234	_
Si + s^-
__ 5t ($2 4~ 53 4~ $4)
>Si + S2 -|- Ss + 54
Определим скорость
всей системы
= QjSi + S2 + S3 + S4)
5i (52 + 53 34)
Для элемента 1, соеди-
ненного последовательно
со звеном 234, =Qi/Sx;
Qx = Q. Для звена 234
У234 = Сг34^234» Сг34= Q'
После чего определим дан-
ные для элементов, соеди-
ненных параллельно: в
элементе 2 v2 = и234, Q2=
= S2t)2, в элементе 3 v3=
^234» Q3 ^з^з» в эле-
менте 4 O4=v234, Q4=S4v4.
Система, состоящая из
пяти элементов (табл. 2.3).
Рассмотрение зависимо-
стей начнем с системы,
состоящей из трех эле-
л
74
Ментов Sx, S2, S3, при этом Элементы S2 и S3 соединены после-
довательно, а элемент Sx параллельно к. звену 23. Для .нахр^Двл
ния ПКС системы определим ЧКС звена 23 (табл. 2.3, строка. Д),
S23 = *$25з/(52 4“ S3).
Рассматривая ЧКС элемента 1 и звена 23, соединенных парал-
лельно, найдем ПКС системы
е <j_i_e  с । S2S3 __________SiS2 4" SXS3 4" S2S3
д - О, + д23 -	-------Sa + ^	.	.
При внешней силе Q скорость в системе будет
.___________________ Q_______Q (S2 4-S3)	 -! - -
S SXS2 4* SXS3 + S2S3 ......
В элементе 1 их = v, Qx = Sxfx = Sxo; взвене 23 v23 ^'v,
Q23 = “^гз^гз = S23V.
После этого определим данные для элементов звена 23, соеди-
ненных последовательно: в элементе 2 Q2 = Q23 = S23o, v2 =
= Q2/S2; в элементе 3 Q3 = Q23 = S23v, v3 = Q3/S3> .	4
Система состоит из четырех элементов
S3, S4, при этом звено 34 состоит из параллельно соединенных
элементов S3 и S4; звено 234 состоит из последовательно ^^дйнедг
ных элемента S2 и звена 34, и вся система состоит из элемента?Д<
соединенного параллельно со звеном 234 (табл. -2.3, .Строка? 2).
Определим ЧКС звеньев 34 и 234	. 9-; .	,	;. гшам эан
^34 = «3 4” ^4>	'	5
, * .«ЛГл’ЗИ
е __	S2S34 __ [$2	S4)'	'	- •'
234 S2 4“ S34	S‘2 4" Sg	’ • jSi'. ’
и ПКС системы:	:
e__ e I e _____ c ।	4" S3S4 __ SXS2 4" SXS3 4~ SXS4 4~ S2S3 4~ S3S4 .
6 ~ 1 + 231 “ 61 + S2 4- S3 + s4 -	Sa4-Sg‘4- S2 - -	’
e -	(S2 4-S»fyS4) 4-53(^4-54)	 .p	'
s2 + s34-s4
Определим скорость всей системы . с	. .	’
.. _ Q ________Q (S2 4~ S3 4~ S4)_
S Sx (S2 4- S3 4- s4) 4" S2 (S3 -} S4)
В элементе 1 vx = v, Qx =f Sxvx = Sxt>; в звене 234'^2м == v,
Q234 = 5234у234 = S231v; в элементе 2 Q2 = Q234,' Д = ,Qa?S2;
в звене 34 Q34 = Q231, v34 = Q31/S34; в элементе 3 vs	„=
= S3t>3; в элементе 4 vt = v3i, Q4 = S4n4.	' 'Cl ''
Система состоит из пяти элементов Sx, SpS3,;S4, S^npH
этом звено 345 состоит из параллельно соединенных элементов
S3, S4 и SB; звено 2345 состоит из последовательного соединения
75
элемента S2 и звена 345, и вся система состоит из элемента 1,
соединенного параллельно со звеном 2345 (табл. 2.3, строка 3).
Определим ЧКС звеньев 345 и 2345
S845 ~ $з + S4 + S5;
С_______^2^345	_ S2 ($3 ~Ь ^4 ~Ь $5)
2‘"5 S2 + $345	$2 + $3 + ^4 + $5
и ПКС системы
S — Si 4* 32>„5 — Si -|-
$2 (S8 4~ $4 4~ S8) _
$2 4" S3 4- S4 4* $з
Sx ($2 4- S3 4- $4 4- S5) 4~ $2 (S, + $4 4- £5)
$2 4- S3 + $4 4* $5
Скорость всей системы будет
„ _ Q______________Q (S2 + $з + S4 4- S5)______
s $1 ($2 + $3 4" S4 4" S5) + $2 (S3 4- S4 4- sp
В элементе 1 ох = о, Qx = SxOi = Sxo; в звене 2345	=
— v, Q8...j = S2...6t>2.„6 = S2...6o; в элементе 2 Qa = Q2 6, о2 =
= Q2/S2; в звене 345 Q34B = Q2..5, v345 = Qms/Ssm; в элементе 3
о3 = v345, Qs = S3o3; в элементе 4 v4 = и346, Q4 = S4o4; в эле-
менте 5 v6 = р345, Q5 = S6v6.
Система, состоящая из пяти элементов (табл. 2.4). Рассмотре-
ние зависимостей начнем с системы, состоящей из четырех
элементов Зп S2, S3, S4, при этом элементы 1 и 2 соединены
параллельно, элементы 3 и 4 соединены последовательно, а звенья
12 и 34 между собой соединены параллельно (табл. 2.4, строка 1).
Для определения ПКС системы найдем ЧКС звеньев 12 и 34
_____________________с । е. с ______ S3S4
12 — “Г °2> °34 — S3 4-$4 ’
ПКС системы
о____с । с ____zc । с \ । S3S4 _____(Si + $2) (S3 + $4) 4* S3S4
о ом 4- ом — (О14- о2) 4-	—-------$з + $4-------*
Скорость в системе
„ = Q_ _	Q(S84-S4)
S	(Si 4- s2) (Ss 4- s4) 4- S3S4 ‘
В звене 12 оХ2 = о, QX2 = Si2oX2 = SX2t); в элементе 1 ох =
= »12 — о; Qi — SxVi = Sxo; в элементе 2 о2 = оХ2 = о; Q2 =
я» S2v2 = S3 о; в звене 34	=0;	= S^o; в эле-
менте 3 Q3 = Q34 = S34o, v3 = Q3/S3; в элементе 4 Q4 = Q34 =
= ^340,	= QJS4.
Рассмотрим систему, состоящую из пяти элемен-
тов $!, S2, S3, S4, S6, при этом элементы 1, 2, 4, 5 соединены
параллельно, элемент 3 со звеном 45 соединены последовательно,
76
а звенья 12 и 345 между собой
соединены параллельно (табл.
2.4, строка 2). Определение ПКС
системы начнем с определения
ЧКС звеньев 12, 45 и 345:
S12 = Sx 4~ S2; S4B = S4 4" SB,
e________S3S45	_ S3 (S4 + SB)
345 “ s8+$« “s3+s4+s;-
ПКС системы
S = S12 4- S34B = (Si 4- S2) 4~
I S8 (S4 4~ Sg) .
+ s4 + S5 ’
(Si 4- S2) (S8 -J- S4 -|- S6) 4-
o._______4~ S8 (S4 4~ S5)_
°-	s8+s4 + s8
Скорость в системе
.. . Q _ Q (S3 4~ S4 4- Ss)
s (Si 4- s2) (S8 4- s4 + s6)+ •
4-S3 (S44-s5)
В звене 12 v12 = v, Qi2=
— Si2Vi2 = Si2v; в элементе 1
Vi = ^12 = V» Qi = S1U1 =
=Si«; в элементе 2 u2 =
=	2 ~ Q2 = S2t>2 : S2oj
в звене 345 п34В = v, Q34B =
= 5345 ^846 = S345 V; в элементе
3 Q3 — Qs45 = Vg — Qg/Sg'f
в звене 45 Q4B = Q345 = SM6u;
^45 ~ Qisl^46 = QstsJS4B; в эле-
менте 4 v4 = v4B, <?4 = S4o4; в
элементе 5 v6 = u45, Q6= SBnB.
2.3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Динамическая система, со-
стоящая из массы и упругости
(рис, 1.6, а). Для решения за-
дачи на рис. 1.6, г, д построена
механическая цепь. Даны внеш-
няя сила наибольшей ампли-
туды Q„ = 20 кгс, круговая ча-
стота со = 100 ... 250 1/с, упру-
гость k = 1000 кгс/м, масса
т — 2 кгс с2/м. Требуется опре-
сч
со
tf
S
ч
\о
са
Е
*
£
КО СО	о	JS 1 Q СУ
	о?	-4? 1	° 1	45 ' СО
со		Cq со е? о»
	О’	со СО
0?	О	3 1 - 1 а
	О	1 i
со	я?	п со со ,со СУ СУ
	О	Й Ъ « п со
« м со со	сГ	.а а
	о	-s » f S I со со
О?-		
	со О’	а а са е» СО СО
со	р	г>
	о	гЧ 1-1 со со
а со		
	о	сч сч г4 гЧ со со
со		со^^з 6^
	О’	о> О
пкс		s J со со + + ©4 еч СО II || со со
ЕЯОсНЭ		— сч
77
делить силы, скорости, полные и частные комплексные сопро-
тивления в элементах и всей системе.
Для этой системы можно написать иг = v2 = v; Q’=	+ Q2’,
Sj-+ S2 = S; S = Q/v.
При этом S = Sj + S2 =	+ &/(jco) = j (am — £/<o).
Общая скорость системы
V S \am— k/a) *
Для элемента 1 имеем Si = /com; v, = v = —j (-------
A	J » A	J у (jJ/fl   #/(0 J
Q1 = S101 = -/ (-^r} =
1 x J \co/n — k/а/	am — k/a
Для элемента 2 имеем S2 = k/ja; v2 = v = —/ ( —.-7-^;
( q-L. \
Q2 = S2u2 = — j I-!%— =-------—.
X2 2 2	‘ \a>m— k!®) alfim— й/со)
Произведя подстановку заданных величин Q, т, k, со в выве-
денные зависимости для Slt S2, S, vx, t»2, v> Qi и Q2» получаем
зависимости, изображенные на рис. 2.3 в полулогарифмических
координатах.
При этом S = /190 кгс с/м при со = 100 1/с и 3 = /500 кгс-с/м
при со = 250 1/с. Эта зависимость нелинейная, так как 3 =
= Sx + S2 — jam — j (fe/co), где Л/со с изменением со приобре-
тает гиперболический характер. Кривая для Зх линейная, близко
расположена от кривой 3, это означает, что масса имеет наиболь-
шее значение для этого примера. Для 32 кривая расположена под
линией абсцисс, так как 32 = —j (k/a). Сила Qx, зависящая от
массы, изменяется незначительно. Например, при со — 100 1/с
Qx = 20,1 кгс, а при со = 250 1/с Qx = 20,02 кгс. В то же время
сила Q2, действующая в противоположную сторону, изменяется
от —1,05 кгс при со = 100 1/с до’—0,16 кгс при со = 250 1/с.
Скорость v, которая будет действовать также в каждом элементе т
и k, будет одинакова (т. е. v =	= о2) и будет изменяться от
—/0,105 м/с при со = 100 1/с до —/0,04 м/с при со = 250 1/с.
В действительности на этих графиках изображены наибольшие
значения величин Q = Qn sin со/ и v = Vn cos со/. Для каждого
значения со, Q, v можно построить действительные графики коле-
бательных процессов. На рис. 2.4 изображены изменения внешней
нагрузки Q = 20 кгс для со = 100 и 250 1/с и скорости системы v
для со = 100 1/с, при этом Уп = —/0,105 м/с и для со = 250 1/с,
когда Уп = —/0,04 м/с.
Рассмотрим частоты, пределы которых приближаются к резо-
нансу сил, который, как известно, наступает при 3 = 0,а для
уравнения S = Sx + 32 резонанс наступает, когда ат = k/a;
со2 = k/m; a =Vkhn = /1000/2 = /500 = 22,36 1/с.
78
i v,m/c
Рис. 2.4. Изменение значений Q и v в пределах цикла
Пусть диапазон частот будет от 1 до 1000 1/с. В таком случае,
подставляя значения частот в формулы для v, S, Slt Sz, Qlt Qz,
получим численные значения и построим кривые в логарифми-
ческих координатах. Для простоты на ординатах откладываем
значения для выражения а = at + jaz для =tja2; а также для draj
в одинаковом масштабе. В пределах частот от 1 до 10 1/с и от 40
Рис. 2.5. Изменение значений Si, oi, Q/ в зоне резо-
нанса
до 1000 1/с и более зоны работ динамической системы не опасны.
В пределах частот от 10 до 40 1/с характер изменения всех кривых
меняется и эта зона является опасной. В окрестностях со =
= 22,36 1/с, точнее в пределах от 20 до 25 1/с, зона действия яв-
ляется катастрофической, если механизм не построен для того,
чтобы вызвать искусственно выход из строя (рис. 2.5).
Динамическая система, состоящая из массы и двух упруго-
стей. Система и ее механическая цепь показаны на рис. 1.8, а, в, г.
Даны внешняя сила Qn = 20 кгс, приложенная к упругости kA =
= 500 кгс/м; круговая частота со = 100 ... 250 1/с; упругость
kz = 1000 кгс/м; масса т = 2 кгс са/м; требуется определить
80
силы, скорости, полные и частные комплексные сопротивления
в элементах, звеньях и цепи системы.
Решение системы начнем с определения ЧКС для звена 23
в параллельном соединении: S23 = S2 + S3 = jcom + &2/jco;
ПКС звена 123 в последовательном соединении будет
/ •	।	\
о__о _____	($а -Ь З3) _ /со \ ___j(& )_
123	<$1	+	$23	+	53	kj	k2
-	Н	Ч-;—
/(О----------'	/СО
_____.• Г &х (ю2т — fe2) j
' [ со (<o2m — ki — k2) J ’
Определим скорость в системе
_ Q _ Q (Si + $м)	: Qm (m2/n — fei — k2)
S S1S23	(<o2m — k2)	t
Зная значения Sx, S2, S3, s, v, можем определить силы и скоро-
сти в элементах 1, 2, 3 и звена 23. В элементе 1 и звене 23, нахо-
дящихся между собой в последовательном соединении, Q—Qi=
= Q23. Sx = /гх//со; vt =	= jQa/ki
Для звена 23, зная значения для Q23 и S23, имеем:
_ Ом _ Qm	• ( Qm \
23	S23	j (®2ffl — ^2)	\ т2/и — k2)'
Для элемента 2 звена 23 в параллельном соединении имеем
S2 = /co/n; о2 = v23, следовательно, Qa = S2v2 = — /.( - г ) x
\ CO ГП-------------------------------------------------/?2 /
.. .	Qm2m
X m = —£--------г-.
1 <n?m — k2
Для элемента 3 звена 23, находящегося в параллельном соеди-
нении, имеем: S3 = й2/(/со); v3 = о23, следовательно, Q3 = S3v3 =
= —j [<2®/(<£>гт — k2)] &2/(/<») = —Q^2/(®2m — k3).
Произведя подстановку заданных величин Q, tn, klt k2, со
в выведенные зависимости для Sx, S2, S3, S23, vx, u2, v3, t»23,
Qi> Q2, получаем кривые, изображенные на рис. 2.6 в полуло-
гарифмических координатах.
При этом Sx = —5 кгс с/м при со = 100 1/с и Sx = —/2 кгс X
X с/м при со = 250 1/с; S2 = /200 кгс с/м при со = 100 1/с и
S2 = /500 кгс с/м при со = 250 1/с; S3 = —/10 кгс с/м при
со = 100 1/с и S3 = —/4 кгс с/м при со = 250 1/с; S23 = /190 кгс X
X с/м при со = 100 1/с и S23 = /496 кгс с/м при со = 250 1/с.
Следует здесь отметить, что в звене 23 величина S23 зависит от
массы т, а во всей системе величина S в данной задаче зависит от
комплексного сопротивления Sx, т. е. от упругости kt.
Силы Q, Q23 и Qx равны 20 кгс.
б И. А. Дружинркий
81
Величина Q2 изменяется от 21,05 кгс при со = 100 1/с до
20,16 кгс при со = 250 1/с; величина Q3 изменяется от —1,05 кгс
при со = 100 1/с до —0,163 кгс при со = 250 1/с. Эта сила имеет
обратный знак ко всем остальным силам и ее величина незначи-
тельна. Теперь отметим величины действующих скоростей. Изме-
нение скорости и всей системы: v = /3,9 м/с при со = 100 1/с и
v = /9,95 м/с при со = 250 1/с. Скорость деформации упру-
гости klt на которую действует внешняя сила, незначительно от-
личается от скорости V. = /4 м/с при со = 100 1/с и «! = /10 м/с
при со = 250 1/с.
Скорость v23 = у2 — уз будет находиться в зависимости от
частоты следующим образом: v23 = —/0,105 м/с при со = 100 1/с
и у2з = —/0,04 м/с при со — 250 1/с, при этом скорости массы т
и упругости k2 будут одинаковыми.
Динамическая система, состоящая из массы, сопротивления
и упругости. Система и ее механическая цепь показаны на
рис. 1.8, д, е. Это видоизмененная динамическая система по
рис. 1.8, а, где вместо элемента упругости = 500 кгс/м введен
элемент сопротивления г = 100 кгс с/м.
Также масса т — 2 кгс с2/м; упругость k = k2 = 1000 кгс/м,
внешняя сила Q = 20 кгс; круговая частота ® = 100 ... 250 1/с.
Частное комплексное сопротивление З23 = ! № — К)1<о.
ПКС
е __ ^1^23	_ 51 (52 + 53)
+ S23 5х S2 + 53
./ k \
_	\_______м )	_ /г(сО2/П —fe)	,9
~	, .( k \ ~ (or + i^m-k) •
r + ]lam— — J
Один раз подробно произведем действия преобразования ПКС
для того, чтобы выделить действительные и мнимые величины.
Выражение (2.20) умножаем и делим на выражение [сог — j —
- 6)1:
„__[jr (co2m — fe)] [cor — j (co2m — fe)] _	/rfe)Jwr--/c»2m2b/^). .
(cor)2 — j2 (co2/n — A)2	(cor)2 4- (®2m — £)2	’
__ jco3mr2 + co4m2r — a2mrk — /cofer2 — co2mr£ -j- rk2 _
(cor)2 + (<o2m — k)2	~
_ co4nt2r — 2co2/nrfe + k2r + /cor2 (co2m — k).
—	(cor)2 (co2/n — k)2	’
<? _ r — fe)2 + jw2 (<o2/» — k) ,
(cor)2 + (co2/n — k)2	’
S = С 2Г(й>2М2~1^ 12	- k) + /СОГ].
(co2m — k)2 -f- (wr)2 l' ' 1 1 4
82
10?
ml	I ЕЕ
-j
Рис. 2.6. Изменение значений ц, Qi в зависи-
мости от со
Рис. 2.7. Изменение значений 5/, иг-, Qi в зависи-
мости от со
Однако зачастую в практических задачах проще пользоваться
выражением (2.20).
Определим скорость системы в общем виде v = Q/S. Найдем
силы и скорости в звене и элементах. В элементе 1 для последо-
вательного соединения со звеном 23 величина Qx = Q = Q23,
Sx — г, поэтому их = Qx/Sx = Q/r.
Для звена 23, зная значения Q23 и Sw, имеем v23 = Q23/S23 =
= Q©/[/ (©2/и — &)] — —— k).
Для элемента 2 звена 23 в параллельном соединении
имеем S2 = /со/n; и2 = п23; следовательно, Q2 = S2n2 =
= —jQdajtiitn/^in — k) = Q(O2/n/((i)2/n — k).
Для элемента 3 звена 23 имеем S3 = /г/(/©); Уз = Vn', следо-
вательно, Q3 = S3t»3 = —jQakl [(©2/n — k) /©] = —Qfe/(©2/n— k)
Подставив величины Q, m, r, k, © в выведенные зависимости
для Sx, S2, S3, S23, vlt v2, Vg, v2S, Qx, Q2, Q3, получаем кривые,
изображенные на рис. 2.7. Сравните изменения между графиками
на рис. 2.6 и рис. 2.7- Vi = QJr = 20/100 = 0,2 м/с.
Значения для п23, t»2, п3, Q2, Q3 остаются одинаковыми с пре-
дыдущей задачей.
Динамическая система, состоящая из массы, сопротивления
и упругости. Система и ее механическая цепь показаны на
рис. 1.7, а, д, е. Даны внешняя сила Qa = 20 кгс; круговая ча-
стота со = 100 . 250 1/с, упругость k = 1000 кгс/м, масса т =
= 2 кгс-с2/м, сопротивление г = 100 кгс-с/м. Определим силы,
скорости и комплексные сопротивления в элементах системы:
Sx = /сот; S2 = г; S3 = &/(/©); v = ух = y2 = Уз-
Приводим окончательные формулы без выводов:
S = Sx + S2 + S3 = г + j l(co2/n —	]; у = Qco/[(co2m —
— fe)2 -f- (r©)2 ] [r© — j (a2m — fe)]; Qx = Q©2/n/[(©2/n — k)2 +
-f- (rco)2] [(©2m — k.) + /r©], Q2 = Qra/l(a2m— k)2 + (rco)2] X
X [rco — j (©2/n — k)], Qg = —(Qk)l[(©2m — k)2 -j- (rco)2] X
X [(©2m — k) + /rco].
Подставляя заданные значения, получаем численные уравнения.
Для S имеем: S = 100 -Ь /190 при со = 100 1/с; S = 100 +
+ /294 при со = 150 1/с; S = 100 + /395 для со = 200 1/с; S =
= 100 + /496 при со = 250 1/с.
Для v = их = v2 = у3 имеем: у = 0,043 — /0,083 при со =
= 100 1/с; v = 0,021 — /0,061 при со = 150 1/с; у = 0,012 —
— /0,048 при со = 200 1/с; v = 0,0078 — /0,039 при со = 250 1/с.
Для Sx имеем: Sx = /200 при со = 100 1/с; Sx = /300 при
со = 150 1/с; Sx = /400 при со = 200 1/с; Sx = /500 при со =
= 250 1/с.
Для S3 имеем: S3 = —при со = 100 1/с; S3 = —при
со = 150 1/с; S3=—/5 при со = 200 1/с; S3 = —/4 при © = 250 1/с.
Для S2 имеем: г = 100 при всех значениях со.
Для Qx имеем: Qx = 16,3 + /8,6 при со = 100 1/с; Qx = 18,5 +
+ /6,3 при со = 150 1/с; Qx = 19 + /4,8 при © = 200 1/с; Qx =
= 19,8 + /4 при © = 250 1/с.
84
Для Q3 имеем: Q3 — —0,83 — /0,4 при co = 100 1/c; Q3 =
= —0,4 — /0,14 при co — 150 1/с; Q3 = —0,24 — /0,06 при со =
-- 200 1/с; Q3 = —0,16 — /0,03 при со = 250 1/с.
Для Q2 имеем: Q2 = 4,3 — /8,3 при со = 100 1/с; Q2 = 2,1 —
— /6,1 при со = 150 1/с; Q2 = 1,2 — /4,8 при со = 200 1/с; Q2 =
= 0,78 — /3,9 при со = 250 1/с.
Эти численные уравнения представлены на рис. 2.8.
Из рисунка видно, что сила Qi нарастает, а силы Q2 и Q3 умень-
шаются (при этом для наглядности координаты силы Qa увели-
Рис. 2.8. Построение изменений величин сил в элементах си-
стемы в зависимости от сопротивления
чены в пять раз) Линии действия сил для массы, сопротивления
и упругости подтверждают ранее выведенную зависимость, что
силы Qx и Q3 расположены на одной прямой линии, хотя и имеют
противоположные знаки, а сила Q2 располагается перпендику-
лярно к линии QXQ3.
С увеличением со все соответствующие векторы сил Q1( Q2, Q3
поворачиваются по часовой стрелке, сохраняя между собой взаимо-
связанную угловую зависимость.
Динамическая система, состоящая из массы, сопротивления
и упругости. Система и ее механическая цепь показаны на рис. 2.9.
Для этой системы (рис. 2.9, а) рассмотрим два варианта: действие
силы Q' (/) через массу и действие силы Q" (/) через полюс, соеди-
няющий элементы г и k. Для обоих вариантов параметрами си-
стемы будут1 масса т = 2 кгс-с2/м, сопротивление г — 100кгс*с/м,
упругость k = 1000 кгс/м; внешняя сила Q' = Q" = 20 кгс, кру-
говая частота со = 100	250 1/с. Построенная механическая
85
цепь (рис. 2.9, б) для силы Q' рассматривается от точек 6 — (3;
4) — 2—1—5, а для силы Q" от точек 7—2 — (3; 4) — 5—1.
Требуется определить силы, скорости и комплексные сопро-
тивления в элементах и звеньях системы. Приводим окончатель-
ные формулы без выводов:
(o2m2r
(со/и)2 +
[(cozn)2 + г2] k — ы2тг2~] 1
(со/и)2 + r2\ J О) ’
(О2/П2Г	.	. / (ЫПГ2
(со/п)2 4- г2 "г * \ (asm)2 4- г2
Рис. 2.9. Система т—г—k, когда сила действует в по-
люсе между г и k
= «з = Ок = гл(^т — к)» + ^т)» Х
X {(o3/n2r — j [г2(а2т — k) — ®2А/п2]},
= S2 = r, S'3 = -j^;
Q12 = Qi = Q2.
На рис. 2.10 показаны частотные зависимости для'всех пара-
метров S', Si, S2, S3, S12, Q', Qi, Q2, Q3, Q12, v', v'i, V2, V3, v'12,
S’, Si, S2, S2’3, S3’, Q’, Qi, Q2, Qs, Q23, vi, V2, V3, V23, v. По вто-
рому варианту при тех же параметрах системы также опреде-
ляем силы, скорости и комплексные сопротивления в элементах
и звене системы.
Приводим окончательные формулы без выводов:
k*r . . Г<0 [т (6)М + Р) — fer2]
(сог)2 4- k2 * L (юг)2 4"
Q
V = t>! = t>23 = 7Т---2 Та _L /--М2	(®2f2 + &2) — ^21) >
°	(£г —<о2тг)24-(со/и&)2'1 j l \ I / jj
86
Si = /со/п; S2 = r, S3 =	; S23 = -((0r)^fe2 (k - jar)-,
$з = $ = $ =	Kkr-tfmr) - jamk]-,
v> = (kr-^+(^ № ~	~
Рис. 2.10. Изменение значений S/, Vi, Qi в зависи-
мости от w
На рис. 2.10 показаны количественные и качественные изме-
нения, зависящие от места приложения внешней нагрузки. Осо-
бенно это заметно для значений сил Qx, Q?, Q3, Q83, а также ско-
ростей V, Uj, vi9, v12.
87
2.4. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ И СКОРОСТЕЙ
В МЕХАНИЧЕСКОЙ ЦЕПИ И ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Очень важно при исследовании работы механизма или части
его представлять истинное взаимодействие между элементами, со-
ставляющими механизм, понимать взаимосвязь между ними, учи-
тывать скрытые связи действительной динамической системы.
В этом разделе на ряде примеров показаны эпюры распределения
сил и скоростей.
2	5

г)	6	8
Рис. 2.11 Распределение сил и скоростей в системе tn—г—k
Система, состоящая из массы, сопротивления и упругости
(рис. 2.11). Для наглядности рядом с динамическими системами
(рис. 2.11, а, в) изображены соответствующие механические цепи
(рис. 2.11, б, г), на которых четко выделены элементы, соединенные
в звенья, что будет оправдано. Обе системы здесь одинаковые, но
на рис. 2.11, а сила приложена к массе, а на рис. 2.11, в —
в точке 6. Как видно из рис. 2.11, б, в цепях 1—2 и 3—4—5 ско-
рости будут одинаковые (v =	= v23 = u2 + уз)> a в элемен-
тах S2 и S3— одинаковые силы (Q23 = Q2 = Q3 = Q). В случае
приложения силы в точке 6—8 (рис. 2.11, в) эпюра Q, и t»(- будет
иная — скорости в цепях 6—7 и 8—9—10 будут одинаковые
v = v3 = Vi2 =	4- ц2, а в элементах S2 и Sx будут одинако-
вые силы: Q = Q3 + Qi2 = Qi = Сг-
Построенные рядом с динамической системой эпюры сил и
скоростей наглядно представляют разобранное.
88
а) Силы

Рис. 2.12. Распределение сил и скоростей в системе ky—т—k2
77bf
Рис. 2.13. Распределение сил и скоростей в системе тх—k±—т2—k2
89
Система, состоящая из массы и двух упругостей (рис. 2.12).
Рассматривая построенную механическую цепь (рис. 2.12, б),
следует отметить, что на упругость klt на которую действует сила Q,
и на два элемента S2 и S3, соединенные параллельно, действует
сила Q = Qx = Q23 = Q2 + Q3. На каждый из элементов S2 и S3
также действуют одинаковые скорости v = vx + ц23 = v2 = v3.
Другими словами — в цепях 1—2 и 2—7 силы одинаковые; в це-
пях 3—4 и 5—6 одинаковые скорости.
Система, состоящая из двух масс и двух упругостей (рис. 2.13).
Когда сила Q действует на массу mlt то в двух параллельных це-
пях 1—2 и 3—9 одинаковые скорости равны скорости системы
ох = О234‘, в цепях 3—4 и 4—9 одинаковые силы (Q2 = Q84 =
= Q234)» а в Цепях 5—6 и 7—8 — одинаковые, но иной величины
(O34 = из = 04) скорости. Следует обратить внимание, что в слу-
чае, когда сила Q приложена к массе т2, эпюра распределения
получается несколько иная: в цепях 10—17 и 18—20 также дей-
ствуют одинаковые скорости, равные скорости системы, при этом
в цепях 12—13 и 14—15 скорости также .равны скорости системы,
т. е. v = v3 =	= t>34 = у12 = t>i v2. Силы находятся в та-
кой зависимости- Q = Q12 + Q34; Q12 = Qi = Q2, Q3< = Qs + Q4-
2.5. ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ДВУХ СИЛ
В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Имеются случаи в практике, когда на динамическую систему
действуют несколько гармонических сил с разной амплитудой и
разной круговой частотой. Общим методом решения такой задачи
с использованием механических цепей будет анализ поведения
системы от действия каждой силы — определение ПКС и ЧКС
системы, звеньев и элементов, а также сил и скоростей в них; все
это сводится в таблицу. С такой же последовательностью необ-
ходимо проделать заполнение граф таблицы для каждой после-
дующей силы; с учетом знаков, стоящих перед коэффициентами,
найдем результативные значения.
Динамическая система, состоящая из массы, сопротивления
и упругости (рис. 2.14, а). На систему действуют одновременно
две силы Q' (0 и Q" (0, первая действует через массу т,
а вторая — через полюс, соединяющий сопротивление и упру-
гость.
Рассмотрим два случая: частоты гармонических колебаний
одинаковые и разные.
Случай 1. со == <ох = со2. Определение действия силы Q' на
элементы т, г, k. Из предыдущего материала установлено, что
ЧКС звена 23 будет S23 = S2S3/(S2 + S3).
ПКС системы
S' | S — ‘S*	+ ^2^3
<$2 + S3
90
Скорость в системе будет v' —Q' /S', при этом одним штрихом
будем обозначать значения ПКС, ЧКС, Qi и v'i при действии силы Q',
а двумя штрихами — при действии силы Q".
В элементе 1 vi = v' =	= о /e4vt~f3c с > Qi = Sjoi;
в звене 23 ^23 = v = vi, Q23 = S23V23 = S23V'; в элементе 2 Q2 =
= Q23; v'2 = Q2/S2; в элементе 3 Q3 = Q23, ^з = Q3/S3.
Рис. 2.14. Одновременное действие двух сил в системе
Подставим в выведенные уравнения "значения комплексных
сопротивлений элементов при действии силы Q' (/):
k
П ___ S2S3 _____	j(£>	_ krj(O _______ kr
23 “ S2 + S3 “ k ~ j(i) (k + /or) ~ k + /(0Г ’
/to
С/ Q I c	I kr i®ktn — tfinr + kr .
О =014-023= (ЫП 4	. •  = 2------Г-Т—:--!---
1 1 J 1 k 4 J(j)r	k 4 ](j)r	’
91
,	'	, Qf (k + jar)
V	’ ^23	— ^2mr fofan ’
zy __ Q 7,' __	(k + Ж) . n' _ n' — nf •
11	kr — a2mr + jtokm ’ ^2	^23’
Q'kr
•$1 + $2
Q"(Si + S2)
П' _ q n' —	krQ'(k + jar)	_____________________
**23	23 (k + /or) (kr — a2mr + jtokm) (kr — co2mr + jaktri) ’
'	=________Q'krja_________________jarQ'______.
2	S2	(kr — (&2mr + jaktri) k	(kr — a2tnr + jakm) ’
V =	=__________®'kr_______=____________________
3	S3	(kr — a2mr + jtoktri) r	(kr — a2mr + jakm)
Определение действия силы Q" на элементы mt г, k.
ЧКС звена 12 S12 = S^Z^HF S2).
ПКС системы S" = S3 + S12 =
Скорость в системе
v" —	----------------
S" S3(S1 + S2) + S1S2-
В элементе 3 v3 = v”, Q3 = S3U3; в звене 12 v'12 = v'3 = v",
Q12 = S12V12, в элементе 1 Qi = Q12 = Q2, Vi = Q17Si, в эле-
менте 2 »2 = Q2/S2.
Подставим в эти выведенные уравнения значения комплексных
сопротивлений элементов при действии силы Q" (7):
k
'	/<о	_ iakm
12 ~~~ k~ ~~ k —	'
__	1	j(dkm _ kr — (i^tnr -F jwkfn ,
Г ' k — (й2т ~~ k — ($2fn	'
„ _ Q2 = ОЧ^-соМ
S" kr — (02/ПГ + jddkfn
В элементе 3 v'z = v\
O" —	~~ r •
**3 kr — to2mr + j(i)km ’
в звене 12 vn -- vl =	Q'{2 --•= S12V12;
___________j(dkmQ" (k — co2m)_____________________jtokmQ"	.
^12 ~' (k — co2/n) (kr — (&2mr + jwkfri)________________kr — (d2mr + jwkm ’
в элементе 1
-	= 01 =_________________________________________Q"k .
V	1 St (kr — (o2/nr + jakm) jwn (kr — to2/nr + jwkm) ’
n  Q2  _____________jd)kmQffjG)_______________—Qzz(o2/n
V	2	ST ~~ (kr — (d2mr + jtokm) k ~~ (kr — <o2mr + jwktri)9
Q'{ = Qb = Q^
92
Найдем значения сил и скоростей в элементах, учитывая влия-
ние сил Q' (0 и Q" (0:
л _ п’ । г," _ j<omQ' (k + jar) ,
Qi — Qi + Qi kr __ a2fnr + jmkm +
I______jakmQ” _ jam [Q' (k 4- jar) 4- Q”k]
' kr — a2mr 4- jakm kr — a2mr + jakm
Примем (kr — a*mr -f- jakm) = b, тогда
q2 = Qz + <?2 =	; Q2 = 4 ®'r+
<2з = <2з + Зз = -^+
Qa = y- iQ’k + Q" (k - (Ли)]; V1 = vi + vi =	+	+	;
«I = y- IQ' (k + jar) + Q”k];
, . „ j(drQ' , /	(02/nQ"\ ,
= +	.Ц-------
co z. л,	r .	// Q'k . Q"(k— to2m) i
V2 = T(jrQ —amQ)-, v3 = v3 + v3 = y- +	*---- >
v3 = y~ IQ'£ + Q" (k — ®2m)].
Случай 2. ©j =/= ©2. Окончательные выражения при действии
силы Q' будут:
™_______kr , «у _____ jaykrn — almr + kr.
23	k 4- ja^ ’	k 4- j^r ’
o' = o; =	= Q'	.
1	23 kr — cof/nr + ja^km ’
q' _ i^Q' (k +	. Qr	Q'kr .
kr — G^rnr + jerkin ’ <*23 kr — almr + foikm ’
Q23 = Q2 == Q3;
vr	j^rQ' . v,	Q'k
2	kr —- &\mr + ja^mk ’	3 kr — co^mr + l^mk ’
Окончательные выражения при действии силы Q" будут:
Q" —	. С" ___	“ C02mr +	.
12 ~ k — (О^/П ’	k —	’
V == v = V9 =	(A —(Dim)	. Q,, _ Q” (k — (dim) г .
12	3	kr—(dlmr+j(d2km^ <*3	kr — (dlmr 4- j(d2km ’
Qrr = i<d2kmQ" . rr ________________Q”k_______.
<*12	kr — (ofmr 4- j(d2km ’	1	kr — (&ltnr 4- j(o2km ’
v" =____~~
2	kr — <n%mr 4- fakm ’	3	kr — co|mr 4- j(o2km *
93
Значения сил и скоростей при совместном действии сил Q' и
Q" на систему:
Qi = Qi + Q1
j®2kmQ”
kr — (й%тг + jto2tnk ’
Q"jto2ktn .
kr — (ifynr +	’
Q" (k — co|m) r
___ j^tnQ' (k + ](ягг)
kr — ©1 mr 4- jay^tnk
Q'kr
0.2 = Q2 + Q2
Q3 — Q3 + Q’3
kr — (itfrnr + jti)vmk
____________Q'kr_________	______________________
kr — (d[mr + ja^mk kr — ©jmr + ja^mk ’
Qf(k + j^r) ,Q"k
^2 - ^2 v'z fa — ^mr
Q'k
+ ^1	— ^mr	“Г . ^тг jd)2mk *
jtoirQ'________L f_______________^mQ" \ .
kr — (o|mr + j®2mk J ’
V — v' I V =__________________4 K____________L Q" ~~
3	3 ' 3 kr — a^tnr + j^tnk ‘ kr — (ifyiir + ja)2mk *
Пример 1. Пусть m =2 кгс-с2/м; г =100 кгс*с/м; k = 1000 кгс/м;
Q' = 20 кгс; Q" = 10 кгс; ch = со2 = © = 100 1/с. Пропуская предваритель-
ные расчеты, на рис. 2.14, в изобразим зависимости сил и скоростей при дей-
ствии отдельных и совместных сил Q' (0, Q" (0*
2,6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ И СКОРОСТЕЙ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА СИСТЕМУ
Система, состоящая из массы и упругости (см. рис. 1.21, а).
Из (1.6) известно, что для этой системы при действии гармониче-
ской скорости v (t) (так называемое кинематическое воздействие)
механическая цепь представлена на рис. 1.21, б. Согласно теореме 5
можно написать, что ПКП системы Л = Лх + Л2. Так как Лг =
= 1/SX = 1/(/<в/п) = —/ • 1/(<ош); Л2 = 1/S2 = kj^ = jalk;
Л = Лг + Л2 = —/- 1/(со/п) + /со/fe = j [(©2m — k)H®km)].
Определим силы и скорости в системе и элементах. Если S =
= Q/v, то 1/S = y/Q; Л — v/Q.
Зная скорость, определим силу в системе .Q = v/Л.
Сила Q будет действовать во всех элементах последовательного
соединения, поэтому Q — Qx = Qa. Скорость в элементе Лх vx =
= «jjQ = —jQKam)-, скорость в элементе Л2 v2 = Л2(? =
=,/Q(o/fe.
Система, состоящая из массы, упругости и сопротивления
(рис. 1.21, в). Для этой системы механическая цепь состоит из
последовательно соединенных элементов.(см. .рис; 1.21, г) т, г, k,
а внешним источником является скорость v (t): ПКП системы Л =
= Лг + Л2 + Л$, Лг = —j l/(ct)/n); Л2 = 1/г; Л3 = /со/&;
Л — j [a)/k — 11(<ып)] + 1/г = / [(6>2т — fe)/(<ofe/n)l + 1/г =
=	— ityHakm) + 1/r = (ja)amr — jkr + ©fe/n)/((ofemr);
Л = 1/r + j [(®2/n — k)/(G)km)]. 
94
Определим силу в системе Q — vIJI = Qx = Q2 = Q3, Q ==
= va>ktnr/[jr (co2/n — k) + <nkm].
Пусть jr (а>2т — k) + cofe/n — ф. Скорости в отдельных
элементах будут: 1»х = Л4ф = 1/(/<от) vakmr/yp = vkr/(J^) =
= —jvkr/ty-, v2 = Л2(? — 1/rQ = vakmr/np = vakm/xp; vs = J7sQ —
= i®lkv®kmr/ty = jve^mrlty.
Система, состоящая из массы, сопротивления и двух упруго-
стей (рис. 2.15, а). Механическая цепь (рис. 2.15, б) представ-
ляет собой повторение предыдущей схемы, однако наличие в по-
Рис. 2.15. Система под действием скорости, передавае-
мой на платформу
следовательном соединении упругости fex в системе требует ее
изображения в параллельной с элементом г цепи. ЧКП звена 34
представляет собой параллельное соединение, в котором скорость
будет общая, т. е. о34 = v3 = и4, а сила Q34 = Q3 + Q4. Поэтому
= Л3Л4/(Л3 + Л4). Если Лх = —/1/(©т); Л2 = ja/k2, Л3 =
= ja/kf, Л4 = 1/г, то Л34 =	= kj[№r+kji(kir)] =
_	/<О
/СОГ + ki
ЧКП звена 12 будет ЛХ2 = Л\ + Л2 — —jl/fam) + ja>lk2 =
= / [(co2/n — kj/(ak2m)].
ПКП системы соответствует Л = Л12 + Л34 = (ja2m —
— jk2)l((>)k2m) +	+ fex); Л = [(/®2/n — jk2) (J<&r + kJ +
+ j<>)2k2m]/(j(t>2k2mr + ®fexfe2/n); Л = [®r (fe2 — ®2/n) +
-j- j — kjk2 + ®2fe2m)]/[(ofe2/n(j®r + kJ],
Зная ПКП системы, найдём силу Q = vIJI, а дальше по звеньям
и элементам найдем силы й скорости в них.
Система, состоящая из двух масс и трех упругостей (рис. 2.15, в).
Механическая цепь показана на рис. 2.15, г.
95
Укажем основные пути решения: Л№ = Л4 4~ Л5; Л345 =
= Л3Л4В/(Л3 4“ Л^-я), Л^3 ~ Л± 4* Л3, Л — Лц-\- Лз4з = К*^1 4“
+ Л j (Л3 + Л4 + Ль) + Л3 (Л4 + Лъ) ]/(Л3 + Л4 + Л6)
Определим силу в системе и силы и скорости в звеньях и эле-
ментах по ранее показанной методике.
Система типа трамвая, у которой имеется подвеска колес типа
«упругость—сопротивление» и сиденье с упругим элементом
(рис. 2.16, а). На основании конструктивного решения построена
динамическая система (рис. 2.16, б), основная масса т2, масса
сиденья с пассажиром тг. Механическая цепь показана на
о)
Рис. 2.16. Система типа трамвая
рис. 2.16, в. Определим ЧКП звеньев и ПКП системы: Л^ = Л4 +
+ лъ + Л6, Л23 = Л2 Н- Л3; Л2. в — Л23Л46в/(Л23 4- Л45в) —
— 1(Лг 4" Л3) (Л4 4- Л5 4- Л6)]/(Л2 4- Л3 4- Л4 + Л5 4- Лв); Л =
Л1 + Л2..,6 = [Лх (Л2 4- Л3 + Л44~ Лб4- лв) 4~ (Л2 4* Л^ (Л^ 4~
4- Л5 4- Л3)]/(Л2 4- Л3 4- Л4 4- Л6 4- Лв). Остальные действия
по определению численных значений сил, скоростей, ПКС и ЧКС
вполне очевидны.
2.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
В НЕПЛАНАРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Существуют динамические системы, решение которых не мо-
жет быть осуществлено обычными методами, рассмотренными
в этой работе; имеются в виду системы со многими степенями сво-
боды, у которых, как правило, помимо связей между тремя мас-
сами (рис. 2.17, а) или другими элементами существует прямая
связь между первой и третьей массами (или другими элементами).
При построении механической цепи (рис. 2.17, б) возникает до-
полнительная ветвь, в данном случае с параллельно соединенной
упругостью kit это так называемые цепи с перекрещивающимися
линиями соединения элементов или непланарные механические
цепи. Подобная механическая цепь с перекрещивающимися ли-
ниями в полюсах 1 и 2 не позволяет пользоваться обычными ме-
тодами расчета комплексных сопротивлений, сил и скоростей.
96
Как видно из рис. 2.17, в, упругости klt k2, или соответствую-
щие этим элементам сопротивления, которые для данного случая
обозначим через S31, Sa3, S12, образуют соединение треугольни-
ком с вершинами 1, 2, 3.
Рис. 2.17. Непланарная динамическая система
Можно поставить задачу о преобразовании данного механи-
ческого треугольника в соединение эквивалентных
элементов, составляющих механическую звезду. Соот-
Рис. 2.18. Соединение механических сопротивлений
типа звезды и треугольника
ношение это формальное, так как сопротивление г в механическом
соединении и R в электрическом соединении находятся в обрат-
ной зависимости г = 1/R. Эквивалентность должна состоять в том,
чтобы входные сопротивления звезды между полюсами 1—2, 2—3,
7 И. А. Дружинский	97
3—1 были бы равны соответствующим входным сопротивлениям
треугольника.
Соединение сопротивлений в виде звезды. Пусть дано соеди-
нение механических элементов с комплексными сопротивлени-
ями S2, S3, соединенными в виде звезды (рис. 2.18, а). В точ-
ках 1, 2, 3 приложены соответственно силы Qb Q2, Q3, выраженные
в звезде через разности действующих скоростей vlt v2, vs, v0 и
сопротивления двухполюсных элементов соединения Slt S2, S3.
Для соединения звездой
Кроме того,
Qi + Qz + Q3 = 0.
Qi = (ui — °о) Si;
Q3 = (vz — vo) S2;
Q.3 ~ (vs — уо) $»• .
Подставляя значения Qz из (2.22) в (2.21), имеем:
(fi — Vo) Si + (v2 — v0) S2 4- (u3 — v0) S3 = 0;
Sit»i — SiV0 4- S2t>2 — Sa Vq 4- S3o3 — S3t>0 — 0;
Si^i 4- S2v2 4- S3u3 = o0 (Si 4* S2 4~ S3);.
4~ S2v2 4~ 33t>3
Si 4" 4" 33
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Подставим значения o0 из (2.23) в (2.22) и получим:
л	4" S2v2 4" S3V3 \ о _
Q1 V1----------si + s2 + s3
__ (Sjflj 4“ S2Uj 4~ S3Uj — SjPj — S2V2 — S3P3) Sj •
+ «$з
__ S1 (S2 4“ S3) ______SjS2V2______S1S3V3
1 Si 4- S2 + S3 Si + S2 4- S3 Si + S2 4“ S3
r) __Л,	+ S2u2 + S3V3 \ q __
Q2-^2 S1 + S2 + S3
__ (S1W2 4" S2t/2 4” *$з1>2 — SiVi — S2t>2 — S3V3) S2
Si + s2 4- s3
q ____ Sg (Sj 4“ S3) V2___SjS2Vi________S2S3t>3
2 Si 4“ S2 4” S3 Si 4“ S2 4“ S3 Si 4- S2 4- S3
r\ __(S1O14- S2v2 + S3V3 \ о _______
уз - V3 3х4-32 + $з ) дз “
__ (S1V3 4* S2v3 4“ S3U3 — Sj^i — S2a2 — S3O3) S3 ,
Si 4" S2 + S3	’
q __ S3 (Sj 4- S2) v3_____S1S3P1________S2S3v2
3 Si 4" S2 4- Ss Si 4- S2 4- S3 Si 4- s2 4- s3
98
Для соединения треугольником (рис. 2.18, б) имеем, учитывая
индексы у скоростей по направлению действия сил:
Qi ~ Qia — Qsi = (yi — уг) 512 (уз — ^i) 531;
Q1 ~ 512^1 -- 512^2 -- 531У3 + S31U1;
Q1 — (512 + 531) £>i — 512^2 — 531v3.
Приравнивая значения коэффициентов при v2 в
(2.27) и (2.24), получаем:
_S12u2 = — Si+-S2_^
е _____
О12_«1 + 5а + 5з’
S^SgVg
(2.27)
уравнениях
(2.28)
Точно так же
—S31v3 = — Si+-S2 + S3,
о____________5г$з
31	4- S2 + S3
Точно так же, для соединения треугольником напишем зависи-
мости для Q3:
Q2 Фаз — Q13 ~	— ^з) 52з — (^£ — V3) Si3;
Q3 = S33^3 — 5 23v3 — 5i2Vi + Si2u3j
Q2 — (52з + 513)	— 53з^3 — Si3Vi.
Приравнивая значения коэффициентов при 14 в
ниях (2.30) и (2.25), получаем: —Si3*4 = ~ о ?
^1 ПГ *>2 Т
S S
= „ , с 8i с > что доказано ранее в (2.28). Точно также
•^l Т Т й3
е ________________________	52S3V3 ф
Sj + Sa+S3>
о_______s2s3
d23~s1 + s2 + s3-
Итак, найдены эквивалентные комплексные сопротивления для
перехода от звезды к треугольнику:
с — 5tS2 ,
12 Si + S2+s3 ’
о	_____S2S3__
°2з~51 + 52 + 5з
5з5х

(2.29)
(2.30)
уравне-
S *$12 —
(2.31)
(2.32)
*"*31 Sj + S2 + S3 *
Соединение сопротивлений^ виде треугольника. Определим
теперь комплексные сопротивления Si, S8, Ss для соединения тре-
7*	99
угольником по известным сопротивлениям S12, S23, S31 соедине-
ния звездой. Преобразуем величины в (2.32) на обратные, т. е.
представим эти сопротивления в виде подвижностей.
Пусть
Лг = 1/SX; Л2 = 1/S2; Л3 = 1/S3;	(2.33)
*^12 ~ 1/‘SX2; Л23 = 1/S23; Дзх = 1/S3X.	(2.34)
Напишем уравнения в новых обозначениях:
_L + _L+_L
JJ   1   S1+S2 + S3   Ml	Л 2	^3 .
12	512 SXS2	1 1
»Z7i eZ72
*^1*^2 4“ *^3 Ч" *^2*^3
тт __	Л-^Л^Л^	_(Л1Л2 4“ Л±Л3 -j- Л^Л^) ЛгЛ2_
12 “	1___	-	ЛХЛ2Л3	-
ЛуЛ2
__лгл2 4- л±л3 л 2л3
Л3
Пусть
Л-^Л^ + ЛуЛ3 -j- Л,Л, = £.	(2.35)
В таком случае
или
Л Х2 = Е!Л3\
Л %3 = Е1ЛГ\
Лзх Е!Л%. t
Л3 = Е1Л12\
Лх = Е1Л^з\
Л% = Е!Л31.
(2.36)
(2.37)
*^23*^12	*^31*^12
Подставим в (2.35) значения (2.37) и получим
£ = — -^-4- — -L_l — — = Е2 ( 1 4-
23*^31	«^23*^12	*^31*^12	\*^2Ь«^31
после преобразования
Р   р2 (*^12 Ч~ *^31 4“ *^23 \ . р   Л 12*^23*^31	/О ОО\
\ л12л23л81 У’ с"_л124-л23 + л31-	^-оо>
Подставляя выражение (2.38) в первое значение (2.37), найдем
П   _______*^12*^23*^31_ ___ *^23*^31	/О OQ\
3	(*^12 4“ *^23 Ч" ^31) *^12	»^12 4“ «^23 Чг *^31
Подставляя выражение (2.38) во второе значение (2.37), най-
дем
тт ____________*^12*^23*^31________ ___ *^12*^31
1	^^12 4- »^23 + *^31) *^23	*^12 Чг «^23 4“ *^31
(2.40)
100
Подставляя выражение (2.38) в третье значение (2.37), найдем
пг ___ ______________________________ ^12*^23
2	(«712 + *^23 + "7з1) *^з1	*712 4* *723 + JI3i
(2.41)
Подставим в выражения (2.39), (2.40), (2.41) значения из (2.33)
и (2.34) и получим:
1 1
1 _____ _______«^23 *^31	___ ______________^12*^23*^31_______________ .
*$3	1 j_____1 j______J_ (*^23*^31 + 512^31 + *$12*$2з) *^23*^31 ’
512	$23	$31
1 1
Q Q 1__ Q I *^2з$з1.	1 ___	*$12 *$31	____
г>з-*\з + ‘>з1 + -§^-> J_ ।
$12	$23 Ssi
_________________*^12*^23*^31_____________. С 	 О I С |	*^12*^31 .
(*^23*^31 4* *$12*$31 4“ *512*^23) *312$31 ’	*_31	*323
J______1_
1 _	*$12 *$23	= ________________*312$23*3з1_______________ .
$2	1 I J I__________1	(^23$31 4~ *312*3з1 4“ *312*$2з) З12$23 ’
$12	$23	*3з1
___ Q I С I *312*323
3 — °12 4“ ^23 Н-----------с----•
°31
Итак, найдены эквивалентные комплексные сопротивления для
перехода от треугольника к звезде:
Si S12	«$з1 4" S12S81/S23; 1
S2 = *$12 “Ь S23 Н“ Sx2<S23^31; !	(2.42)
S8j= S23 4" S31 4“ ^гз^зх/^хг* J
Пример 2. Определить ПКС динамической системы (рис. 2.17, а), обла-
дающей свойством непланарности. Механическая цепь этой системы (рис. 2.17, г)
рассчитывается с учетом выведенных формул (2.42) для перехода от треуголь-
ника с сопротивлениями $i2, $23, $31 (рис. 2.17, б) к звезде с эквивалентными
сопротивлениями $ь $2, $3.
Этап 1. Определение эквивалентных сопротивлений звезды:
^4 ^1
s1=sia+s3i+^=4+4+пЛ=
О23	й2
7©
=	। ^1^4 .	$	^1^2 + ^4 (^1 4~ ^2) .
/© j(dk3 ’	1	j(dk3 ’
^4 ^2
о Q _L О _L ‘^12*328	^4 I ^2 1 j® ^2 4” ^4 i ^2^4 •
52 = S12 + $234-^ = ^ + ^ + ^r = —+
jo
101
s2 =
&1&2 "|“ £4	+ ^2)
/CD^l
Q __ C IQ I 523S31 _____ ^2 I ^1
53- 523+S31 + -^—-^ + -^
^2 ^1
I /<0 /<0	__ ^1 + &2	I	^A .	g __	A + ^4 A	+ ^2)
&4	/(0	‘	/<A ’	8 "*	/(0^4
7®
Этап 2. ЧКС всех элементов системы:
$4 = /co/ni; S5 =/со/п2; Se = /шт3; S7 = MM); 512=MM); 523 = MM)
& A + &4 A4- ^2)	.	g _	& A +	^4 A + ^2)	.
ja>k2	9	2	jaki	’
53 =
^1^2 + ^4 (^1 + ^2)
/(0&4
Этап 3. Определение ЧКС звеньев и ПКС системы: для звена 67
5«7 = М^з +	>
JW
для звена 267
S -	+ М4) А — ю^з) .
267 /СО (^х^2 + ^1&4 + ^2^4 4" ^1^3 "— ®2^1/Из) ’
для звена 35
с _ /со/п2 А + & А + kfM	.
36 А^г + &А + М4 — ®2т2^4) ’
для звена 5ЗБ2в7
с _ jcan^tk^ + kik^ + kM ,
85267	(М2 4- *А 4- М4 - ©2М2)
.	(# А 4- &А 4- &А) А ~~ в>2/пз)
"Г М А^2 + £ А 4“ М4 4- Мз — (&2kiin3) ’
где
^1^2 + ^1^4 + ^А = /ц
<?	— Mfflaft ।________________/iA~ co2m3) .
36267 "* h — d)2k^n2	/0 (h + k±k3 —- ®2^1m3) ’
для звена 135267
h / ja^rnji_______________h (k3 — o)2m3)	\
e __ M^2 \h— GWwn2 M (h + kjk3 — оAm3)/ .
135267 — / ^fj(tim2h	h (k3 — fi>2m3)	\ ’
\ jtok2 Л — co2^4m2 /ш (h + kik3 — (oAm3) /
h / j(i)tn2h	h (k3 — 6)2/n3)	\
с == .	।	M^2 \ Я — M Am2	/ш t(h + k±k3 — (a2kTjn3))
1	V	,	/iA-(»2m3)	\ *
\ j(i)k2 h — <o2A4m2 /co (h + krk3 — (o2Zs1m3) /
Пример 3. Предыдущий пример проделан при следующих параметрах:
= /п2 = т3 = 2 кгс-с2/м; kr = k2 = k3 =	= 1000 кгс/м; co = 100 1/с.
В таком случае: S4 =/200; S3I = S12 = S23 = S7 = — /10; S4 = S5 = Se=
= /200. Вычисленные значения для сложных элементов соответствуют Sx =
= S2 = S3 = — j 30.
102
Случай 1. В динамической системе (рис. 2.17, а, б) т2 — 0; в этом случае
отсутствует непланарность цепи, так как S5 = 0. Вычисленная величина ПКС
S = j 183,8 кгс-с/м.
Случай 2. В динамической системе т2 — 0 и — 0; в этом случае также
отсутствует непланарность цепи, так как $5 = 0 и, кроме того, S12 = 0.
Величина ПКС S = / 194,6 кгс-с/м.
Случай 3. В динамической системе = 0; в этом случае также отсутствует
непланарность цепи, так как S12 = 0. Величина ПКС S = j 189,5 кгс-с/м.
Случай 4. Механическая цепь непланарная (рис. 2.17, г). Величина ПКС
S = /178,8 кгс-с/м.
Наибольшим будет ПКС у системы, состоящей из двух масс (случай 2).
Система с тремя степенями свободы (случай 3) несколько уменьшает ПКС. Даль-
нейшее снижение ПКС заметно у системы с двумя степенями свободы, но с парал-
лельными ветвями упругости (случай 1). Наименьшая величина ПКС наблю-
дается у непланарной цепи системы (случай 4).
В этой главе рассмотрены способы определения ПКС и ЧКС
для широкого круга динамических задач по построенным механи-
ческим цепям; на основании этого систематически показано, как
определить силу и скорость в каждом элементе, в каждом звене и
во всей системе при действии на нее силы или скорости (или пере-
мещения). В то же время этот метод позволяет определить действи-
тельную силу, скорость или перемещение в интересующем эле-
менте системы. Все это показано на ряде подобранных примеров.
Вместе с тем показаны методы решения задач при одновременном
действии двух или более сил. В заключении главы приводится
метод решения задач для непланарных механических цепей.
ГЛАВА 3
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
3.1. СУЩНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Механическим четырехполюсником называется любая механи-
ческая система, в которой отмечены две пары точек, поведение
которых взаимозависимо. Различие между двухполюсником и
четырехполюсником заключается не в свойствах системы элемен-
тов, а в способе описания этих свойств: одна и та же система мо-
жет рассматриваться в качестве двухполюсника и в качестве че-
тырехполюсника.
Рис. 3.1. Понятие о МЧП
Рассмотрим соединение пары двухполюсников с сопротивле-
ниями 8Х и S2 между точками 1 и 2, на которое действует сила Q1
(рис. 3.1, а). Этих данных достаточно, чтобы определить ПКС и
скорость для последовательного соединения:
S =	+ S8); v = Q/S = Q (Sx + S2)/(SXS2).
Эти же двухполюсники можно рассматривать иначе, если известна
сила между точками 1 и 2. Требуется определить скорость, напри-
мер, между точками 3 и 2 (рис. 3.1, б). В данном случае эта система
будет представлять собой четырехполюсник с входными полю-
сами 1 и 2 и выходными 3 и 2 (рис. 3.1, в, г). Таким образом, в то
время как двухполюсник характеризуется силой и скоростью,
1 Подразумевается комплексная сила вида Q (/); для упрощения рассужде-
ний обозначена Q.
104
МЧП характеризуется двумя силами и двумя скоростями: Qlt vt
на входе и Q2, v2 на выходе. Режим работы МЧП полностью опре-
деляется, если известны силы Q1( Q2 и скорости п1( v2; обычно
две из этих величин известны, две другие определяются из основ-
ных уравнений четырехполюсника, записываемых в одном из
шести вариантов (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Взаимосвязи между силами (крутящими моментами) и скоростями
(угловыми скоростями) механического четырехполюсника
		Величины			
		неизвестные	|		известные	
Варианты	Система параметров	Движение			
*		поступа- тельное	вращатель- ное	поступа- тельное	вращатель- ное
1	Л	01, 02	61, 62	Qi, Qi	Ml, ‘м2
2	S	Qi, Q2	Ml, мг	01, о2	61, 62
3	Б	Qi, 01	Ml, 61	02, Qi	6^, М2
4	В	Q2, о2	М2, 62	oi, Qi	6Ь Mi
5	Ш	Q2, oi	мг, 61	02, Q1	6г, Mi
6	W	Qi, о2	Ml, 6г	oi, Qi	6i, М2
3.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЧП
В соответствии со вторым законом Ньютона и его развитием,
принципом Даламбера, для механических динамических систем
число уравнений соответствует числу степеней свободы.
Пусть для системы с п степеней свободы существует п урав-
нений
Qi — Sn«i 4" Sj2v2 Ч- • • ’ 4* Sirevn;
Q2 ^2i^i 4“ S22v2 4- • • • 4-^2п^/г>
(3.1)
Qn 4- Sn2v2 4- • • • 4- Snnvn.
Неизвестные величины скоростей найдем решением этой системы
методом определителей.
Решение системы уравнений методом определителей. Возьмем
систему трех уравнений с тремя неизвестными:
«и*1 + аХ2х2 4- «13*3 = Ь1‘,
«21*1 4- «22*2 + «23*3 = Ь2;
«31*1 4- «32*2 Ч” «33*3	Ь3. 
(3.2)
105
Исключая одно из неизвестных, например х3, из (3.2), получим:
______	— а11Х1	^12Х2 _ ^2 — ^21-^1	^22Х2 .
лз —	п-—	п->
“13	“23
^1«23 ---- ^11^23^1 ---- #12^23^2 =	2^13 - ^13^21^1 ----
--- ^13^22^2»
%1 («ц«23 ----- ^13^21) 4" %2 (#12^23 ------ ^13^22) =
= &1«23 ----- &2^13*>	(3*3)
v ___ ^2 — ^гЛ — а22Х2 ______ ^3 — а31Х1 — а32Х2 .
Л3 -- '	— -------------------- ,
#23	а33
(«21^33	^23^31) 4” ^2 (^22^33 ““ ^23^32)
= &2^33 ----- ^3^23*	(3*4)
Исключая из (3.3) и (3.4) х2, получим:
= ^1д22дЗЗ — ^1Д23Д32 + fl13^2g32 — ^12^2^33 4~~ ^12^23^3 — g13fl22^3	.
Яц«22а33 — а11а23а32 + ^13^21^32 — а12Л21Л33 4" ^12^23^31 — а13а22а31
__	Дц^2Д33 — Д11Д23^3 4~ a13fl21^3 — ^1^21^33 4“ ^lfl23fl31 — Д 13^2^31	•
а11а22а33 — а11Л23а32 + Л13а21а32 — а12а21Л33 4“ а12а23а31 — а13а22а31 ’	(3*5)
_	а11д22^3 — g11^2g32 4" ^1^21^32 — ^12^21^3 4~ ^12^2^31 — ^lfl22fl31
^11^22^33	^11^23^32 4“ ^13^21^32	^12^21^33 4“ ^11^23^1 — ^13^22^31
Таблица 3.2
Коэффициенты
определителя
третьего порядка
В этой формуле все уравнения имеют
общий знаменатель, который можно пред-
ставить в виде определителя третьего
порядка
«И «12 «13
«21 «22 ^23
#31 ^32 ^33
(3.6)
Для наглядности приведем табл. 3.2 раз-
ложения определителя (в клетках поме-
чены индексы коэффициента а) (аг1а^а33—
^11^23^32 *i* ^12^23^31	^12^21^33 “Ь
4"а13^21^32 - #13a22^31).
Структура числителя и знаки перед
многочленом точно такие же, как и у зна-
менателя, но в определенном порядке
вместо соответствующих коэффициентов при неизвестных располо-
жены постоянные коэффициенты правой части уравнений (blt
Ь2> ba). Поэтому систему уравнений (3.5) можно представить в иной
записи:
106
	&1 #12 #13 &2 #22 #23 &3 #32 #33
	#11 #12 #13 #21 #22 #23 #31 #32 #33
	#11 &1 #13 #21	#23 #31 ^2 #33
Л2 		#ц #12 #13 #21 #22 #23 #31 #32 #33
#11 #12 ^1 #21 #22 ^2 #31 #32 ^3	
#11 #12	#13
#21 #22	#23
#31 #32	#33
(3.7)
Произведем перегруппировку членов в знаменателе а1г
— #2з#зг) — #21 (#12^33 — #1з#зг) + #3i (#12#2з — #1з#2г)* Члены,
расположенные в скобках, являются развернутыми опреде-
лителями второго порядка. Представим запись знаменателя
в виде определителя А третьего порядка
ап #12 #13
#21 #22 #23
— #ц
#31 #32 #33
#22 #23
#32 #33
#12 #13
#32 #33
#12 #13
#22 #23
.(3.8)
Определитель следующего низшего порядка, получающийся
путем вычеркивания строки и столбца, в котором стоит известный
элемент, называется минором этого элемента. В определителе
й11 fl12 fl13
#21 #22 #23
#31 #32 #33
минор члена ах1 есть определитель Ап =
^22 ®23
^3 2 ®33
Минор называют алгебраическим дополнением соответствую-
щего элемента, если перед ним стоит определенный знак. Пусть
элемент расположен в а-й строке и в Ь-м столбце; его минор, умно-
женный на (—1)а+6, называется алгебраическим дополнением эле-
мента и проставляется перед каждым минором; если а + b —
величина нечетная, то перед минором будет знак минус, напри-
мер (—1)*+2 = (—I)3 = —1; если а + b — величина четная, то
перед минором будет знак плюс, например (—1)2+2 = (—I)4 = +1,
Рассмотрим следующие свойства определителей: а) разложение
определителя n-го порядка дает п! членов; б) если все элементы
столбца или строки есть нули, то определитель равен нулю;
в) если все элементы столбца или строки, кроме одного, равны
нулю, то определитель равен произведению этого элемента на его
алгебраическое дополнение:
6Х О
tij ^2 ^2
а3 Ь3 О
а3 b3 С* а3 Ь3
107
г) величина определителя не изменяется, если заменить строки
столбцами или наоборот; д) перестановка двух строк или столб-
цов одного на место другого изменяет знак определителя; е) если
две строки или два столбца определителя одинаковы, то опреде-
литель равен нулю.
Решение системы п-уравнений в общем виде. Для решения
системы с n-степенями свободы (3.1) определителем коэффициен-
тов системы уравнений будет
Sii S12. . . Sln
Л __ ^21	^22- • • $2П
3П1	• • §ПП
Минором члена S22 будет определитель
Д22 —	*5ц S8i	Sjg. . S33. .	• Sln • ssn
	Sni	Sn3* •	• Snn
Алгебраические дополнения элементов определителя будут:
	Qi	Si2..	• Sin			*5ц	Qi 5	13- ,	. sln
Д1 =	Q2	S22. .	• $2n	, Д2	=	S2i	Q2 S	>23- •	• s2n
	Qn	Srt2.	• Snn			Sni	Qn Sf^. .		• Snn
			Sn	S12. .	. S:	1 (n-1)	Qi		
		Дп =	S2i	S22. .		2 (n-1)	Q2		
			Sni	Sn2*	\ Sn (n— 1)		Qn		
(3.10)
В таком случае неизвестные vlf о2, ..., vn находятся из (3.5) сле-
дующим образом:
vi=Qi^+Q2^+ •••+<?„ 4г-;
v8=Q148+Q2^+-+Qn-^-;
Подставляя значения АХ1 из (3.9) и другие Д12, Д23 ... в (3.11),
получим решение системы уравнений в виде:
108
Qi
S22 S23. . . S2n
S32 S33. . . S3n
^1+2 Qi
$n2 Sn3« . Snn
S12 S13. . . Sln
S32 S33. . S3n
'n3‘
Qn
Sn2
S12
S22
Sn3- • Snn
S13
S23
• • Sin
• • • S2n
v2 = (-D2+1-%
S(n-l) 2
S(n-l) 3- •
S21 S23. . S2n
S31 S33. . . S3n
S(n-l) n
*2+2 Qi
&
•n %
vn = (-ir+1-^
Sm
Sii
S31
Sn3« . . Snn
S13. . Sln
S33. . . S3n
(3.12)
$nl
S3
s,
S(
SftQ. , . Snn
’ll	S13	• •	• Sin
'21	S23	• S2n
’(n-П 1	S(n_i)3. .	• S(n—1) n
S21	S22	..	. S2 (n-1)
S31	S32	. .	S3 (n-I)
S(n-l) 1	S(n—1) 2.	• S(n—l) (fl-1)
+(-l)"+2-§-
S11	S12	• Si (n-1)
S31	S32	. .	• S3 (n-1)
•S(n-l) I	S(n—I) 2.	 S(n-l) (n-1)
Qn
S11	S12	. Si (n-1)
S2i	S22	. .	• S2 (n-1)
S(n-l) 1	S(n-l) 2. .	• S(n—1) (n-1)
109
В действительности рассмотренная система «-уравнений для
четырехполюсника будет иметь несколько иной вид, так как только
в двух уравнениях имеются силы; например, действующая
сила +Qi на входе и реактивная сила —Q2 на выходе; для всех
остальных уравнений внутри четырехполюсника, не имеющих
источника силы значения Q; = Q3 = Q4 = .. = 0.
В таком случае
(+Q1) =	+	S12v2	+	• • •	+	SlnVn,
( Q2) =	4~	$21^1	4~	• • •	4~	S2non;
0 — S31V1 + S32o2	4~	• • •	4~	S3„t»„;
(3.13)
0 — SniVj 4- S„2v2+ • • • 4- Snnvn.
Рассматривая первые два уравнения и учитывая правила зна-
ков для силы на выходе —Q2 и для алгебраических дополнений,
можно написать основные уравнения четырехполюсника в общем
виде:
+VX = (-1)Ж Qi +	Q2 (_!)!« [Q8 = 0]	)
АЛ	А 1(3.14)
-ч = (-1)2+1 Qx ^-2 4- (-1)2+2 &	+ (-’)2+3 К?» = 0] ;

(3.15)
Существует значительное количество параметров, характери-
зующих четырехполюсник. Принято все параметры разделять на
первичные и вторичные. К первичным параметрам относятся пара-
метры систем в зависимости от сочетаний сил и скоростей, вхо-
дящих на вход и на выход системы.
Ко вторичным параметрам относятся так называемые характе-
ристики сопротивления, коэффициенты трансформации и распро-
странения, которые будут рассмотрены в гл. 5.
Таким образом, для решения задачи взаимосвязи между вхо-
дом и выходом или воздействием и реакцией в четырехполюснике
нужно располагать системой двух уравнений с двумя неизвест-
ными, которые называются основными уравнениями МЧП. В даль-
нейшем будут рассматриваться только линейные и пассивные че-
тырехполюсники, т. е. не содержащие источников энергии или
содержащие, но взаимно скомпенсированные, а также обратимые,
т. е. подчиняющиеся принципу взаимности, когда отношение силы
на входе к скорости на выходе не зависит от того, что в МЧП
является входом и что выходом.
ПО
Основной смысл теории МЧП заключается в том, что, поль-
зуясь некоторыми обобщенными параметрами четырехполюсника,
можно аналитически связать и исследовать силы и скорости на
входе и выходе, не производя расчетов сил и скоростей внутри
четырехполюсника.
3.3. ПЕРВИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МЧП
Система Л-параметров (вариант 1). Этой системой пользуются,
когда требуется определить скорости на входе vx и на выходе v2,
при условии, что известны силы на входе Qx и выходе Q2.
Рассматривая уравнения (3.15), примем:
ДХХ/Д_.— Лц‘, ----Д2Х/Д — ЛХ25 ДХ2^Д — Л21»
—— Л 22-
(3.16)
В таком случае уравнения (3.15) для системы Л-параметров
будут представлены:
~ ^iiQi Н- Л^Оъ
1*2 — ЛИ- Л22р2.
(3.17)
Коэффициенты (3.17), в общем случае комплексные, зависят
от частоты и могут быть определены из табл. 3.3. Систему уравне-
ний (3.17) можно переписать, пользуясь методами матричного
исчисления:
л“ л"|'|с|=|Л,'|с|
(3.18)
Из уравнений (3.17) следует, что если Q2 = 0, то Лх£ = vx/Qx
и Л2Х = v2/Qx; если Qx = 0, то Л12 = t>x/Q2 и Л22 = o2/Q2. Во
всех случаях для этой системы размерность [Л] — [u/Q] =
= [м/(кгс-с)] и соответствует подвижности.
В случае обратимого четырехполюсника Лх2 =—Л2Х; для
симметричного четырехполюсника Лхх = —Л22 и ЛХ2 = —Л21.
Система 5-параметров (вариант 2). Этой системой пользуются,
когда требуется определить силы на входе Qx и на выходе Q2,
если известны скорости на входе цх и на выходе ц2. Для перехода
от системы Л-параметров в систему S-параметров выполним сле-
дующее. Определим из (3.17) Qx и упростим
Qi = (vi Л1^^)/Л11 = (о2 — Л22ф2)/Л2Х;
Л2Хих — Л == ЛцТ)^ — Л ХХЛ22Q2;
Q2 (ЛХХЛ22 — ЛХ2Л2Х) — —Л2хох Н- Лц1>2 — Q2IЛ|
Значение определителя | Л | = ЛХХЛ22 — ЛХ2Л2Х взято из
табл. 3.3 на пересечении первой строки и столбца 9.
0,2 — — рц vi + у^у V2 —	+ S22u2,
(3.19)
111
Первичные
Системы уравнений	Коэффициен- ты	Матрицы					
		IIЛ»	IISII	11511	IIВII	IIBZH	
1	2	3	4	5	6	7	
(3.17)	Лц Лц Л21 Л22	Лц Лц Л21 Л22	522 (	512 \ 1 5 I к ISI7 к |5|/|3|	Л|~ Я* to 1	** |» £?Е 		(-И/- f |вй в22 к 512 / 512	1	1 to |X » 1 £|- el is to Ito	
(3.23)	5ц 5ц 52i 522	Л22 Г	 Лц \ |Л|к 1 Л |/ (	Л,Л Ли к |Л|У Iл 1	Со	Со Со	Со to to	to	«к Ф чк	~|дУ oqloj Si N flD 1 *» oq _.1°3 1	1	aM a|a: 1	1 		' V	X 1 N И « к ek	
(3.30)	01 tl tl tn tO	tO	М to	to	f	 л22^ 1	 \ Л21/ Л21 / |Л|\Лц к Л21/ Л21	Col	Col co м 1 । • S H "P4 T" col Co Coly £ |g 2 p° V.	3^	сл сл to	Ь* **	и* ь N>	to	1 bls’ b|s° fi? ^!?	e e = 1 " 1 1 e Я65 ** — X Im	
(3.35)	to to to tn <O	tO	►* tO	tO	**	к Лц/ Лц / |Л_|\ Лц \	Л12/ Л12	522 (	1 5 |\ 512 к 512 / s^(_ s;;)	522 f	 512 \ 15|к 15 1/ (	 52i \ 5ц к 15|/ |Б|	to	to to	** H*	** to	to to to	to	ш22 ш22 ( 1 1, ,W22J Ш22	
(3.39)	ZZ7n ^12 ш21 ш22	1 еч «_* 1 «9 h .—Ч Й| N 		52i 1 5 | 5ц 5ц — 5ц к 5ц/	1 Cnl^ =1 ** 1»*	1 5 | 512 522 522 С-Вц) J_ к 522/ 522	Ш±1 ш12 Ш21 ш22	
(3.43)	я to	to	H	M to	m-	to	w	(_ л„\ I \ Лц/Лц I Л 1 Л21 Лц Ли	S18 |3| 522 522 T-f-T1)	1	tol- Сл| Сл “ 1— to leo	* $>|$> Сл1	“Iм to 1 *•* to 1	J_L 511 к 5iJ 52i 1 5 1 5ц 5ц	Шгг( Ш1Д \Ш\\ ( ШгД Шц к	|25|	
112
параметры МЧП
Таблица 3.3
		Определители					
	II W' 11	1 Л |	ISI	IBI	|В|	\ ш \	1 В7|
	8	9	10	11	12	13	14
	^1 1ю	М. >-» w |ю ы 1 "		*	Л11.Л 22 — Л12Л21	1/1 SI	— Б21/Б12	— ^21/В12	ш211Ш12	г„/г„
	(	1 Г|	i \	W2J	W2i f-	bz22\	J_ \	wtj	1F21	1/1 л 1	1 s «CQ « ®* <ol	-512/б21	— Bi2lB2i	ШХ2/Ш21	I
	if22 bz22 f	rtt) 1 \ WZ2J 1F22	~~ Л12/Л 21	— Si2/S21	БцБ22 — — 512Б21	1/1ВI	Ш221Ш12	W'ti/W'sj
	1 (_ Wil \ wtJ W21 1Г| wtl wlt	— Л211Л12	— 52i/Si2	1/1 Б |	ВцВ22 — — В12В21	Ш^1Ш22	lF22/^n
	Z“ (_ Kill urn nn/ (	wtl \ IW'l/IW'l	— Лц/Л22	— S22/Su	Б22/Б11	BiJB22	Ш1хш22^ - Ш12ш21	i/l w\
	IFti BZ12 1^21 W22	— Л22/Л11	—S11/S22	Бц/Б22	B22IBH	ц\ш\	W11W22- - Wr12Wr2i
8 И. А. Дружинский
113
отсюда
S» = “W S-"W-	O'20»
Точно так же, из (3.17) определим Q2:
Q2 = (t>i — Л М/Л 12 = (v2 — Л 21Q1)/«ZZ 22»
Л22Р1 — Л11Л22Q1 = «^12^2 — Л12Л21Qli
Q1 (ЛцЛ^^ — ^12*^21) ~ Л22^1 — Л 12v2 == Q11Л |;
Qi =	= SiA + 51A,	(3.21)
отсюда имеем
д11~Тлр д12------------------------W	( J
Учитывая полученные значения (3.19) и (3.21) для Qx и Q2,
уравнения системы S-параметров будут:
Qi = 5цО1 + SX2v2; 1
Q2 = S21ox + S22v2. j
Коэффициенты (3.20) и (3.22) в общем случае комплексные,
зависят от частоты и могут быть определены по табл. 3.3. Систему
уравнений (3.23) можно переписать, пользуясь методами матрич-
ного исчисления:
Из уравнений (3.23) следует, что если о2 = 0, то Sxx= Qx/vx
и S2X = Q2/vlt если vx = 0, то SX2 =Qx/u2 и S22 = Q2/t>2. Bo
всех случаях для этой системы размерность [S] = [Q/v] =
= [кгс-с/м] и соответствует сопротивлению.
В случае обратимого четырехполюсника S12 = —S2X; для'сим-
метричного четырехполюсника Sxx = —S22 и SX2 = —S2X.
Система Б-параметров (вариант 3). Этой системой пользуются,
когда требуется определить данные о входе: силу Qx и скорость ох,
при условии, что известны данные о выходе: сила Q2 и скорость о2.
Для перехода от системы S-параметров в систему Б-параметров •
выполним следующее. Из второго уравнения (3.23) определим ох:
S2xox — Qa — S22t>2j
vx = >-^v2.	(3.25)
021	^21
114
Подставим полученное выражение для ох в первое уравне-
ние (3.23):
Q1 = Su ( > - ФМ + S12o2 - <?2 -	Vi + s1A;
\ ^21	^21	/	^21	^21
Qi =	+ (s12- v2 = ^Q2 + (S1A1^iS1A) »2.
Qi = Ф-1 Q2 +	v2 = ф1 q2 + (_ HL)v2. (3.26)
021	L	°21	J	*^21	\	^21 /
Выражение SXXS22 — SX2S21 взято из табл. 3.3 на пересече-
нии второй строки и столбца 10 и равно | S |.
Примем:
ft = £“; 4г = £-	<3'27’
В таком случае Qx = 5X1Q2 + БХ2о2. Из уравнения (3.25)
можем написать	‘
+	(3.28)
Примем:
Ф- = Ь2Х;	(_^) =	Б22.	(3.29)
°21	\	°21/
Уравнения системы Б-параметров будут:
Q1 =	+ ^12^2> 1
»1 = Ь21<?2 + 52202. J	1	'
Коэффициенты (3.27) и (3.29) в общем случае комплексные, за-
висят от частоты и могут быть определены по табл. 3.3.
Из уравнений (3.30) следует, что если »2 = 0, то Би = Qx/Q2
и Бц = O1/Q2; если Q2 — 0, то Б12 = Qx/o2 и Б22 = ох/о2.
Коэффициенты уравнений: [БХ1]— безразмерный; 1Б12] =
= [кгс-с/м]—сопротивление; [Б21] = [м/кгс-с] — подвиж-
ность; [Б22] — безразмерный.
В случае обратимого четырехполюсника можно написать
г? г? I? п   Л22Лц 1 Г —(ЛцЛяъ Л712"^21) 1  
ЬцЬ22 - ЬХ2Ь21------— — - —	j -
__ Л^Л22 . ЛцЛ22	л^^л^  Л^2  1
*^21	*^21
так как Л12 = —Л21 или окончательно БХ1Б22 — Б12Б2Х = 1.
Для симметричного четырехполюсника Б Х1 — Б^пяжБы =
= /1 + Б12Б21.
8*
115
Для вращательного движения уравнения в системе Б-пара-
метров будут следующие:
= БцМ.% 4- AfX262; 1
бх = Б2ХЛ12 Б22$2. J
Система В-параметров (вариант 4). Этой системой пользуются,
когда требуется определить данные о выходе — силу Q2 и ско-
рость v2, при условии, что известны данные о входе — сила Qx
и скорость vx. Для перехода от системы Б-параметров в систему
В-параметров выполним следующие действия. Определим из пер-
вого уравнения (3.30) Q2:
BllQz — Ql — ВХ2О2 или Q2 —	v2,	(3.31)
D11 аи
Определим из второго уравнения (3.30) о2
Б22у2 = «1 — B21Q2 или v2 =	— f21 Q2.	(3.32)
"22	£>22
Значение v2 из (3.32) подставим в (3.31) и получим:
Q2=A-^(i-JlQ2) =
"11	"11 \ £>22	£>22	/
—	_ ^12 r. I £12^21	.
£ц БцБ22У1^ Б^Б^2'
Г) / 1   ^12^21 \   Q1   £12	.
2 \	£ц£22/	£ц £ц£22 1>
/) / £ц£г2 — £^£21 \  Qi  £12 7.
42 V £ц£22	/	£ц £ц£22 р
Умножая обе части уравнения на £1Х£22, получаем
Q2 =	-- £12^1*	(3.33)
Для определения и2 подставим выражение (3.33) в (3.32) и
получим
=-г- - тг
£>22	"22	"22	"22
V2 —----£21Q1 4" ( £----1---д 21 ) V1 = ---^21Q1 +
\ £>22	^>22	/
। / £ц£22 — £12£г1 | £i2£2i \	.
+ k--------R---------1--R------ / V1’
\	£>22	"22	/
v2 = —521Q1 4"	(3.34)
Примем: Вц — £22» £12 — —£12; £21 — £2iJ £22	£ц*
В таком случае из выражений (3.33) и (3.34) имеем
Q2 — £nQi 4” £xavi; 1
у2 = £2iQi 4" £22^. J
(3.35)
116
Коэффициенты (3.35) в общем случае комплексные, зависят
от частоты и могут быть определены по табл. 3.3. Уравнение (3.35)
можно переписать, пользуясь методами матричного исчисления:
инвары:
(3.36)
Из уравнений (3.35) следует, что если vx — 0, то Вхх = Q2/Qx
и В2Х = u2/Qx; если Qx = 0, то ВХ2 = Q2/ux и В22 = v2/vx.
Коэффициенты уравнений: [Вхх I — безразмерный; [ВХ2] =
= [кгс с/м] — сопротивление; [В2ХI = [м/кгс с] — подвиж-
ность; [В221 — безразмерный.
В случае обратимого четырехполюсника | В | = ВХХВ22 —
— ВХ2В2Х, что получается из | Б | = БцБ^ъ — ВХ2В2Х =
= В22ВХХ ( ВХ2) ( — В2Х) = вххв22 ВХ2В2Х = | В | = 1.
Для симметричного четырехполюсника BJX = В22.
Система ///-параметров (вариант 5). Этой системой пользуются,
когда требуется определить силу Q2 на выходе и скорость ох на
входе, при условии, что известны силы Qx на входе и скорость ц2
на выходе. Для перехода от системы Б-параметров в систему
///-параметров выполним следующее. Определим ах из уравне-
ния (3.34):
Bxxvx = ^2 -f- В2Х(?Х или t>x =	—р	Qx. (3.37)
*11 *ii
Подставив значение t»x в (3.33), получим:
О, = аА - 5» (+ -fj а) = s „<2, - 5^ », -	<?.,
_ ( £11^22 — £12^21 \ Л	^12
“I в;,
Qa = J#J-Qi—(3.38)
ь>11
Примем, исходя из (3.37) и (3.38): ///хх = ^; Ш12 = —	;
///21 = -fj > В722 =	; тогда
Qa = B/XXQX + /Z/X2f2; 1
vi = B/siQi +	(	’
Коэффициенты (3.39) в общем случае комплексные, зависят
от частоты и могут быть определены по табл. 3.3. Уравнения
(3.39) можно переписать, пользуясь методами матричного исчис-
ления:
Ши Ш12
(3.40)
117
Из уравнений (3.39) следует, что если и2 = О, то —
= QJQ1 и Ш21 = vJQi, если Qt = 0, то Ш12 = Q2/v2 и Д/22 =
= Vi/t»2. Коэффициенты уравнений: Ш1 г11 — безразмерный;
[Ш121 = [кгс с/м[ — сопротивление; [ZZZ21 ] = [м/кгс-с! — по-
движность; [Z£f22I — безразмерный. В случае обратимого четырех-
полюсника Ш12 = Ш21; для симметричного четырехполюсника
\Ш\ = ШпШгг-Ш12Шг1.
Система ^-параметров (вариант 6). Этой системой пользуются,
когда требуется определить силу Qx на входе и скорость о2 на
выходе, при условии, что известны данные о силе Q2 на выходе
и скорости г»! на входе. Для перехода от системы Б-параметров
в систему IT-параметров выполним следующее.
Из второго уравнения (3.30) имеем
Б221»2 =	или о2 = г,1 —r.2^ Qa. (3.41)
"22	"22
Подставляя значение о2 из (3.41) в первое уравнение (3.30),
имеем
Qi = 51А + Ь12 (-Х - -f*- Q2)= B1xQ2 + Vi -	Q2;
\ *>22	D22	/	£>22	*>22
Q1 = (Би -	) Q2 +	=
\	*>22	/	£>22
___ / £11^22 — ^>12^21	| ^12
“ \	+ ~Б^
+	(3.42)
£>22	£>22
Примем 1Уц = | Б |/Б22; W12 = Б^/Б^у',	— —Бц/Б^^л
И^22 = 1^Б 22.
Уравнения системы ^-параметров будут:
Q1 = ^11Фг 4“
v2 = r21Q2 4- Г22ОХ.	(	’
Коэффициенты Wi в общем случае комплексные, зависят от
частоты й могут быть определены по табл. 3.3. Уравнения (3.43)
можно переписать, пользуясь методами матричного исчисления:
(3.44)
Из уравнений (3.43) следует, что если = 0, то 1Гц =
= Qj/Q2 и F2i = v2/Q2; если Q2 = 0, то 1Г12 = Qj/oi и W22 —
= vjvt. Коэффициенты уравнений ИУц! — безразмерный;
ПУ121 = [кгс-с/м!—сопротивление; [IF2ij = [м/кгс-с! — по-
движность; [Г221 — безразмерный.
В случае обратимого четырехполюсника 1У12 = IF2i. Для сим-
метричного четырехполюсника 11F| =	—W12W2i-
118
3.4. ОБРАЗОВАНИЕ СЛОЖНЫХ МЧП
Соединение механических цепей четырехполюсников. В резуль-
тате соединения между собой двух и более четырехполюсников
можно образовать сложный МЧП. В зависимости от известных и
неизвестных величин входа и выхода соединения четырехполюс-
ников могут быть: в системе Л-параметров — последовательное;
в системе S-параметров — параллельное; в системе Б- и В-пара-
метров — ступенчатое; в системе Ш-параметров — последова-
тельно-параллельное; в системе ^-параметров — параллельно-
последовательное соединение.
Последовательное соединение четырехполюсников. Пусть даны
два четырехполюсника, в которых известны силы Qx и Q2, а тре-
буется определить скоро-
сти Vi и v2; это соответст-
вует варианту 1, поэтому
оба четырехполюсника сле-
дует представить в системе
Л-параметров с матрицами
J Л'Ц и || Л" Ц1. В четырех-
полюснике Л' обозначим
силы на входе и на выходе
Qi и Qz и скорости — vi
и V2, в четырехполюснике
Л" введем соответствую-
щие обозначения Qi, Q2,
vi, V2 (рис. 3.2). Линии связи между четырехполюсниками пока-
зывают последовательность прохождения внешней энергии. Для
последовательного соединения элементов ранее доказано в за-
писи в общем виде для сил '(1.5), что Q = Qx = Q2, для ско-
ростей (1.3), что v = их + п2, для комплексных подвижностей
(1.12), что Л = Лх + Л2. Для рассматриваемых условий двух
четырехполюсников Qi =.Qi = Qi и 0з^= Оз = Q2, а также для
скоростей Vi = vi + vi и V2 = vz +
В матричной записи это будет
Рис. 3.2. Последовательное соединение МЧП
V2-
Vi
V2
'	(3.45)
При соединении двух четырехполюсников запишем, что при
v = vx + v2
vi
V2
ИЦ.
Qi
Qz
(3.46)
1 В дальнейшем матрицы будем обозначать ||Л2|| или ||SX|| или ||Б8||; при
сложении — через индексы вверху, например ||у7"||, || S' ||, ||5"'||.
119
Матрица результирующего четырехполюсника
матриц составляющих четырехполюсников:
II 77 II — II	Л'12 + (I
11 1|-||Л21 + Л21 Л22 + Л22 1
равна сумме
(3.47)
Пусть даны
Параллельное соединение четырехполюсников.
два четырехполюсника, в которых известны скорости на входе
и выходе и2, а требуется определить силы Qx и Q2; это соответ-
ствует варианту 2, поэтому четырехполюсники следует предста-
вить в системе S-параметров с матрицами ||S'|] и ||S"||. Для этой
системы в параллельном соединении элементов следует помнить,
Расположив
скорости, может написать:
01 = V1 = 01, 02 = 02 = 02,
а также Qi =	+ Qi,
Q2 = 0,2 +
Рассмотрим
что о = Oi = о2, 0 = Qi + Оъ и S = Si + S2.
на схеме (рис. 3.3) действующие силы и
Рис. 3.3. Параллельное соединение МЧП
II
II V2 ’
Vl
К
02
(3.48)
Складывая обе матри-
цы и помня зависимости
для v, Q и S, напишем:
I«l+l®k4s'i+is'4-|»l; IqJ1=iis"-|vJ! (з-4Э)
Матрица результирующего четырехполюсника равна сумме
матриц составляющих четырехполюсников
Ц5Ц =
Sii -|- S11
S21 S21
S$2	S12
S22 + ^22
(3.50)
Ступенчатое соединение четырехполюсников в системе Б-па-
раметров. Пусть даны два четырехполюсника, в которых изве-
стны сила Q2 и скорость v2 на выходе, а требуется определить
силу Qx и скорость на входе; это соответствует варианту 3,
поэтому оба четырехполюсника следует представить в системе
Б-параметров с матрицами ||Б'|| и ||Б"||. При ступенчатом соеди-
нении четырехполюсников (рис. 3.4, а) силы на входе первого
четырехполюсника и всей системы должны быть равны между
собой Qi = силы на выходе первого и на входе второго четырех-
полюсника равны между собой = Qr, силы на выходе второго
четырехполюсника и всей системы равны между собой Q? = Qz.
120
Очевидно, рассуждения для скоростей будут такими же, как и
для сил: vi = v'r, v'2 = v{, v'2 = V2. Рассмотрим
Qi
fi
=m-
Q2
02
(3.51)
= Q'i; t»2 = v'r, Q2" = Q2;
V2 =
Учитывая предыдущие зависимости Qi = Qi; 01 = v'r, Q2 =
II Qi
t>2> можно написать:	=
vi
Qi II
выражение (3.51), получим
Подставляя вместо
II Qi Г II 02 ’ II Q2II
|* =mi-[miJ=iBij^| <3-52>
Рис. 3.4. Ступенчатое соединение МЧП
Таким образом,
|| Б || = || Б' |Н|Г || =
Ьп-6'12 II I ВцВ^ I
Б21522 Г| £21^22 |
(3.53)
Напомним, что произведение двух матриц выполняется сле-
дующим образом:
a	b	II	II е f j ае -j- bg af-\-bh
с	d	II	I g b ~~ 1| ce +	dg cf-[-dh
Для нашего случая произведение двух матриц будет
। ||	и	|| Б'иБи + Б{2Б21	Б'пБп + Б12Б22
11 Б 1 ,|1 Б	11	= I В^ВЬ + й2Й	Б21Б12 + Б’яБ22
(3.54)
Учитывая, что умножение матриц не обладает переместитель-
ным свойством (АВ #= ВЛ), при ступенчатом соединении че-
тырехполюсников матрицы, подлежащие перемножению, должны
располагаться в порядке соединения четырехполюсников.
Ступенчатое соединение четырехполюсников в системе В-па-
раметров. Пусть даны два четырехполюсника, в которых изве-
стны сила Qx и скорость на входе, а требуется определить силу Q2
121
и скорость п2 на выходе; это соответствует варианту 4, поэтому
оба четырехполюсника следует представить в системе S-параме-
тр ов с матрицами || В' || и ||В"||. При ступенчатом соединении
четырехполюсников (рис. 3.4, б) зависимость между силами и
скоростями должна быть следующая:
Q2 = Q2; Q2 = Qi; Qi = Qi и v2 = V2 — щ; vi = vi.
Рассмотрим
Учитывая зависимости между силами и скоростями, можно на-
^2II || р, и II ® II п	II $
v О = К В II •	. Подставляя вместо
писать
ражение (3.55), получим
I Qi=iis'ii
II V2 ||
Таким образом
второе вы-
(3.56)
II В'цВ12 || || BilBiz ||
Произведение двух матриц будет
В'цВп -|- В12В21 ВцВ12 + В12В22
11 в 11 = | вм + ВМ + Ог
(3.57)
Последовательно-параллельное соединение четырехполюсни-
ков. Пусть даны два четырехполюсника, в которых известны
сила Q] на входе и скорость v2 на выходе, а требуется определить
силу Q2 на выходе и скорость на входе; это соответствует
варианту 5, поэтому оба четырехполюсника следует представить
в системе ///-параметров с матрицами ||ZZZ' || и ||///"||. При нахожде-
нии скорости на входе следует помнить о варианте 1 с после-
довательным соединением четырехполюсников (v = QJI), а при
нахождении силы Qg на выходе следует помнить о варианте 2
с параллельным соединением четырехполюсника (Q = vS); по-
этому левая часть схемы (на входе) должна быть выполнена в по-
следовательном соединении, а правая часть схемы (на выходе) —
в параллельном соединении (рис. 3.5).
Для рассматриваемого соединения следует брать для левой
части vi = vi + щ; Qi = Qi = Qi, для правой части V2 =
— V2 = t»2i Q2 = Qi + Q2.
Рассмотрим
|®|=н®|; |®|=|т'|й|	<3-88>
122
Так как Q2 + Q2 = Q2, v'i + Vi = vr, a Qi = Q' = Qi, 02 =
= t>2 = 02, то при складывании этих матричных уравнений
||4=[im+iizo-|!N	(3.59)
II II	II va II
Матрица результирующего четырехполюсника равна сумме
матриц составных четырехполюсников:
Шп + Ши Шп + Ши
ш, +И1	(3.60)
Рис. 3.5. Последовательно-параллельное сое-
динение МЧП
Параллельно-последовательное соединение четырехполюсни-
ков. Пусть дано два четырехполюсника, в которых известны'
сила Q2 на выходе и ско-
рость Vt на входе, а тре-
буется определить силу Qx
на входе и скорость о2 на
выходе; это соответствует
варианту 6, поэтому оба
четырехполюсника следу-
ет представить в системе
^-параметров с матрица-
ми || IF || и ||1Г"||. При на-
хождении скорости о2 на
выходе систему следует
брать в последовательном
соединении v = QJI, а при
нахождении силы Qx на входе —• в параллельном соединении
Q = vS; поэтому правая часть схемы (на выходе) должна быть
выполнена в^последовательном соединении, а левая часть схемы
(на входе) — в параллель-
ном соединении (рис. 3.6).
Для рассматриваемого со-
единения следует брать
для правой частной = 02+
+ %; Q2 = Qi = Q2; для
левой,, части vi = v'i = щ;
Qi = Qi 4- Оь Берем обе
матрицы
Рис. 3.6. Параллельно-последовательное сое-
динение МЧП
(3.61)
Так, как Qi + Qi = Qi, й +	=
= V1 = Vu TO
Qi
v2
02, a Q2’= Qi = Qi, v'l =
*11.14	<3-62)
123
Матрица результирующего четырехполюсника равна сумме
матриц составных четырехполюсников
II + Wu w{2 + r;21|
1471=^'1+11^1=1^;^	(з.бз)
3.5. МАТРИЦЫ МЧП
Одноэлементные четырехполюсники. Возможны два случая
механической цепи с одним элементом: когда элемент находится
в цепи в параллельном или последовательном соединении. Из-
Рис. 3.7. Матрицы МЧП
вестно, что четырехполюс-
ник с двумя входами и
двумя выходами можно
описать системой из двух
линейных уравнений, на-
пример, в системе 5-пара-
метров (3.30)
Qi ~	+ Б12п2; |
Vi = Б21Q2	522i*2, j
Параллельное соедине-
ние одного элемента.
Пусть дана схема четы-
рехполюсника с одним
элементом в цепи в парал-
лельном соединении (рис.
3.7, а). Известно, что в па-
раллельном соединении
= о2 и Qi —Q2 = Sv2.
Исходя из (3.30), эти ра-
венства можно записать
Qi = IQa + So2; |
t>i = 0Q2 + lu2, J
(3.64)
отсюда видно, что
Бн — 1; 5j2 — S; 52j — 0; 522 — 1	(3.65)
или
(3.66)
Запишем систему уравнений (3.64) в системе Л-параметров.
Из табл. 3.3 на пересечении первой строки и столбца 5 имеем
Л1Х = 522/Б12. Подставляя значения 512 и Б22 из (3.65), полу-
чим ЛХ1 = 1/S. Точно также Л12 = —| Б |/512, имеем
Г ___ ^11^22-----^12#21 ___	1’1---SO__________1 .
12 “	Б12	~ S ~~ S ’
гт _____ I ________!_• п ____________ #п _______________!_
*//21 — Б12 ~ S ’	“512 s ’
124
Уравнения для системы Л-параметров (3.17) будут
= ^iiQi 4- JInQi == -$• Qi 4~	Qz = -j- (Qi — Qs);
vz = Л21фх + Л22ф2= "у Qi + (—4") = 4" ~ Q2)’
что подтверждает равенство скоростей для одного элемента в па-
раллельном соединении (их = о2).
Последовательное соединение одного элемента. Пусть дана
схема четырехполюсника с одним элементом в цепи в последова-
тельном соединении (рис. 3.7, б). Известно, что в последовательном
соединении Qx = Q2 и — vz — Qz/S. Исходя из (3.30) и помня,
что S = 1/Л, эти равенства можно записать:
Qi = IQ2 +	|
Vi = Л(?24- lv2, J .	1	’
отсюда видно, что	*
Бц — 1; ВХ2 = 0; Б2i — Л; Б22 — 1.	(3.68)
Система уравнений (3.67) в матричном исчислении .запишется так:
Г1-м-Г‘к ‘UH
II Vl II II fs II Л 1 || || V2 Ц
Запишем (3.69) в системе В-параметров; из табл. 3.3 на пере-
сечении четвертой строки и столбца 5 имеем:
D __ ^22 _ 1 _ 1 .	О _ Бц	_	0	_ л.
Й11-ТбТ_Т-1’	й12-----W---“	’
Л21- Тё| 1-----------л’	22-'	l£i	” 1	-1‘
Уравнение для системы В-параметров будет:
Q2 = B11Q1 "Ь -Bi2°i = IQi 4*	= Qi> 1
l>2 ~ B2XQX + ^22^1 = -•BQl 4“ lt>l — VX -ЛфХ. /
Для системы S-параметров система уравнений (3.69) полу-
чится, если из табл. 3.3 возьмем коэффициенты на пересечении
строки 2 и столбца 5
е ___ Бц __ 1 с. с ______	1^1 ____	1 ___ о.
д12---------------~Л----
__ 1 е. е _________	_ о
21---к-----«->>	°22-----г---------°’
О21
Уравнение для системы S-параметров будет:
Qi — Sii^i ”Ь SX2v2 = St>j — Sva — S (vx — ^2); I
Qa —	4" S22v2 = St>j — Sv2 = (®i	^2)» J
125
что подтверждает ранее принятые величины Qx = Q2 и — t>2 —
= *Z7Q2.
Пример 1. Для поступательного движения массы под действием силы
матрица запишется так:
ннсн; :-н; tiki
Для вращательного движения матрица будет
р1
II «г
О AJJ_|| 1 1<йИ || || М2 I
IIМ-II0 1 Г1|б2 II
Двухэлементные четырехполюсники. Четырехполюсники из
двух элементов можно представить в двух вариантах. Первый
вариант в виде прямого Г-образного соединения — одного па-
Рис. 3.8. Варианты одноэлементных матриц
раллельного и одного по-
следовательного одноэле-
ментных двухполюсников
(рис. 3.7, в). Второй ва-
риант в виде обратного
Г-образного соединения—
одного последовательного
и одного параллельного
одноэлементных двухпо-
люсников (рис. 3.7, г).
Здесь не рассматриваются
соединения таких двух
элементов, которые обра-
зуют только параллельное
(рис. 3.8, а, б) или только
последовательное (рис.
3.8, в, г) соединения: по-
добные соединения после
нахождения общего комплексного сопротивления представляют
собой одноэлементные четырехполюсники.
Прямое Г-образное соединение. Для прямого Г-образного ме-
ханического четырехполюсника матрица в системе 5-параметров
запишется как произведение двух матриц одноэлементных двух-
полюсников
трица 5Х =
(рис. 3.7, в). Для параллельного соединения ма-
| 1 5i i
| ^	, а для последовательного соединения ма-
трица
126
1
sa
о
1
ы+s * 1-O + Sjl
02
0-1 + 14- О-О+Ы
□2
Si
s2
1
S2
St
1

(3.70)
Уравнение в системе 5-параметров будет иметь вид:
Q1 — £11^2 + ^12У2 — (	2 ) ^2 "I- ^1У2’
°1 = ^21@2 + Ь22и2 — 4" Qa + 1у2-
О2
(3.71)
Для двух зубчатых колес, находящихся в зацеплении, имеем
для ведущего (входного) колеса 7ИХ, 6Х, zx, для ведомого (выход-
ного) колеса Л42, 62, z2. Пусть передаточное число от выходного
к входному колесу будет т) = z2/zx; при этом очевидно, что при
внешнем зацеплении, если колесо zx вращается по часовой стрелке,
колесо z2 вращается против часовой стрелки. Известно, что окруж-
ные скорости будут v = (лп)/30 D/2 = 6xDx/2 = 82D2/2 =
= бхжгх = 62 мг2, здесь Dlt D2 — начальные диаметры колес,
а м — модуль зацепления (см. рис. 1.15, а). С учетом направления
вращения 6xzx = — 62z2; Afx/zx = —M2/z2.
Уравнение четырехполюсника для двух зубчатых колес
МХ=(—|0Л42 + Об2;
61 = 0 М2 + (-А)б2.
При этом 5ХХ = —zx/z2 = —1/т|; 2>Х2 = 0; Д2Х = 0; 522 =
~ - —z2lzi = —Т].
Если в зацеплении находятся три колеса (см. рис. 1.15, з),
то направления вращения первого и третьего колес будут одина-
ковые; в таком случае 6xzx = 63z3 и Mx/zx = A43/zs, при этом
5ХХ — z-jjz2 = 1/t); 5Х2 = 0; 52Х = 0; 522 — z2lz-± — т|.
127
Напишем уравнения в системе Л-параметров. Из табл. 3.3
на пересечении первой строки и столбца 5 имеем (3.70):
п ___	1 ___ TJ И _____	1^1 ___	1 __ п .
= -о- = Л1,
£>12
+ *~>2
77	_ _ £ц __________^2	___ _ ^1 + $2 .
22	^12	£i	£1^2	5
Л22 = —	37) — (Л1 “Ь <»•
Уравнение в системе Л-параметров имеет вид
= Лцф! + Л12С2 = Лгф! + ( Лхф2) = Лх (Qi QahLg 72)
^2 = *^2iQi 4“	=	— («^1 “И ^2) Qz* f
Обратное Г-образное соединение. Для обратного Г-образного
МЧП матрица в системе Б-параметров запишется как произве-
дение двух матриц одноэлементных двухполюсников: || Б || =
1 0 II II 1 5i II
1/521|-|о
_ Ы + 0-0 l-Si + 0-l
(l/S2)l + bO (l/S^Si + l-l ;
1	Sx
1	4*	S2
S2	S2
(3.73)
Уравнения в системе ^-параметров будут иметь вид
Qi — S11Q2 Н- — IQa Н- SjUaJ
V1 = S21Q2 4" S22^2 = Q2 "I-	~) ^2-
(3-74)
(3.75)
Представим матричное уравнение (3.75) в системе S-параме-
тров. Из табл. 3.3 на пересечении второй строки и столбца 5
имеем следующие коэффициенты:
е __ Sii _ 1 __о. о ____	|5| _	1 _ е.
дц--g---д2, г>12------------j-- — г>2,
»$2
	L _ 1 ___ Q . Q 		Б22 __	+--___ /Q 1 Q \
21 —______________________________________- — ~Г“ “ d2>	d22_ё-_i- ~ -Pl “Г d2h
*>21	1	*>21	£	1
Уравнения в системе S-параметров имеют вид:
Ql — SjiUj +	= 5,^1 S2V2 = $2 (^1	^г)>
Qg = «$21^1 “b ^22^2 ~ 5,^1	(^1 "Ь Б3) 1>2 —
== Sg (Vj — U2) SiUg-	1
(3.76)
Трехэлементные четырехполюсники. Четырехполюсник, со-
стоящий из трех элементов, можно представить в нескольких
вариантах; наибольшее распространение имеют Т-образные и
П-образные четырехполюсни-
ки (рис. 3.7, д, е). Здесь не
рассматриваются соединения
таких трех элементов, кото-
рые в результате преобразо-
вания приводятся к прямым
или обратным Г-образным
четырехполюсникам или к од-
ноэлементным четырехполюс-
никам в последовательном
или параллельном соедине-
нии (рис. 3.9, а—з).
Т-образное соединение.
Т-образный МЧП представ-
ляет собой последовательное
соединение двух и параллель-
ное соединение одного двух-
полюсников (рис. 3.7, д). Для
получения общей матрицы
в системе Б-параметров воз-
можны три варианта рассмо-
трения отдельных матриц:
1) перемножение матриц по-
следовательного — S 2, парал-
лельного — и последова-
тельного — S3 элементов;
2) перемножение матриц по-
Рис. 3.9. Варианты сложных матриц
следовательного элемента S2 на матрицу прямого Г-образного
соединения SXS3; 3) перемножение матрицы обратного Г-образ-
ного соединения SgSjt на матрицу последовательного эле-
мента S3.
Случай 1. Для получения общей матрицы необходимо пере-
множить последовательно три матрицы в системе Б-параметров:
1 О
«Б|| = || Б8НАНД.11 =
1 S, 1 0
0	1-х-1
д3
9 И. А. Дружинский
129
l-l+o-o 1-Si + O-l
4--1 + 1-0 j-Sx+ 1-1
1 0
I	Si
1 Si 4~ S2
S2	s2
1 0
1-1 + SX-J- 1-0+-S1-1
°3
Si + S3
Si 4~ S2 4~ S3
S2S3
Si + S2
(3.77)
Уравнения в системе 5-параметров будут иметь вид:
Qi __ EnQ2 + -Б12у2 =- (—3 ) Q2 + ^1У2;
»! = БЛ + Б,Л = (S1%+S1) ?! + (	»!
(3.78)
В матричном изображении эти уравнения будут представлены
так:
Sx + S3 Sx
S3
Sx + S2 + S3 Sx + Sa
Q2
(3.79)
Случай 2. Для получения общей матрицы необходимо пере-
множить матрицу последовательного элемента 32 на матрицу
прямого Г-образного соединения SXS3:
sx + s3
||5|М|Б2|Н|Бхз|| =
>(++)++
1 ( sx + S3 \ । । _1_
S2 k s3	) т s3
l-Sx + 0-l
Jrsx + 1-1
1 о
130
Si 4~ S3
S3
Sj s2 4~ s3
S2S3
Sx
Si + s2
Это выражение одинаково с (3.77).
Случай 3. Для получения общей матрицы необходимо пере-
множить матрицу обратного Г-образного соединения S^Si на
матрицу последовательного элемента S3:
||5Ы|521||-||Бз|| =
Sx
-Ь ^2
1
1
«2
1 о
ы -HSx4-
^3
1 1 I ( Sx 4“ S2 \ _1_
S2 	\ Sa ) S3
bO + Si 1
Si + S3	Q
---~----- di
^3
Si + s2 4- s3 Si 4- s2
S2S3	S2
Это выражение также одинаково с (3.77).
Представим матричное уравнение (3.79) в систему ^-пара-
метров. Из табл. 3.3 на пересечении шестой строки и столбца 5
найдем требуемые коэффициенты:
? ____ I S I _____	1	____ S2 t ТТП- ______________ />12 ____
S22 Si 4~ S2 Si 4~ S2 ’	J-2	S22
s2
____ Si ___________ SXS2 ,
Si 4~~ S2 Si 4" S2 ’
S2
Si 4~ S2 4- S3
— _ ^21 _________________S2S3_____________ (Si 4~ S2 4~ S3) S2 ,
S22 Si 4- s2	s2s3 (Si 4* s2) ’
S2
___Si 4~ S2 4~ S3, Tjn- ______ 1 _______	1	__ S2
S3 (Si 4" S2) ’	22	s22 Si 4- s2 Si 4- s2
S2
Уравнения в системе ТГ-параметров имеют вид:
Q, - F„<2. +	= (	) <2, + (-5) 01;
9*
131
П-образное соединение. П-образный четырехполюсник пред-
ставляет собой последовательное соединение, одного и параллель-
ное соединение двух двухполюсников (рис. 3.7, е). Для получе-
ния общей матрицы в системе Б-параметров возможны три
варианта рассмотрения отдельных матриц: 1) перемножение ма-
триц параллельного — Slt последовательного — S2 и параллель-
ного — S3 элементов; 2) перемножение матрицы прямого
Г-образного соединения SrS2 на матрицу параллельного эле-
мента S3; 3) перемножение матрицы параллельного элемента Бх
на матрицу обратного Г-образного соединения S2S3.
Случай 1. Для получения общей матрицы необходимо пере-
множить последовательно три матрицы в системе Б-параметров:
1-O + Sj-l
02
0-1 + ь4- оон-1-i
^2
$1 32
«$2
1
1 S3
О 1
I S3
о f
31 4“ 32
S2
s2
Si 4- з2
s2
0 (
VS3 +
^1+ ~h -SyS3 + S2S3
S2
Sa + S3
S2
(3.80)
Уравнения в системе Б-параметров будут иметь вид:
Ql = 51А +	+
^1 = БыО.2 + ^22^2 = Qa +	~ ) ^2-
(3.81)
так:
В матричном изображении эти уравнения будут представлены
31 4~ 32
32
1
32
3jS2 + 3iS3 4~ 32S3
32
З2 з3
32
(3.82)
132
Случай 2. Для получения общей матрицы необходимо пере-
множить матрицу прямого Г-образного соединения SjS2 на ма-
трицу параллельного элемента 38:
||Б|| = ||Б12 IHIБ31| =
£1 4~ $2
<S2
1
S2
1 Ssll
О 1 Г
Из варианта 1 имеем:
Si -Ь S2
$2
S^S2 -J- SjSj -|- S2S3
*->2 ~Ь $3
Случай 3. Для получения общей матрицы необходимо пере-
множить матрицу параллельного элемента Sx на матрицу обрат-
ного Г-образного соединения S2S3 (3.73):
Ы+Sx-l- +
о-1 +1-4- о-з3+1-Ф+5з)
О2	^2
£1 + $2
S2
1
£2
SiS2 + *Si*S8 4~ £2£3
$2 4~ $3
£2
£2 + £3
Напишем эти уравнения в системе Л-параметров. Из табл. 3.3
на пересечении первой строки и столбца 5 имеем:
п =	^22 _(	*$2 4~	\ (_____£2______ ______________
11	£12	\	$2	/ \ £i£2 + £i£3	4" £г£з ) SiS2 + S1S3 4“ £з£з ’
77	1^1 -	52
«//12 —-Б-------------”-------
/>12
JJ = * =____________-__ -
Z>12	<S1S2 4“ $1$3 4“ $2$3 9
^11 _(£14~ £2) £2£14~ $2
£i2	£2 (£1£г 4~ £1£з 4" £г£з)	£1£г 4" £1£з 4~ £г£з
£1£2 + Sl$3 4“ S2S3 *
£2________ .
^22
133
Уравнения в системе Л-параметров будут иметь вид:
V. = л^ + ЛхА =	Q1 _
“GxSa + sJs + S^J^
v* = Ля®! + Л22(?2 =• ( S.S, + sfs3 + S2S3 ) & “
_ (_____Si +	\ Q
ksxs2 + sxs3 + s2sj **•
Пример 2. Дана динамическая система (рис. 3.10, а) со значениями эле-
ментов т1 = 2 кгс-с2/м; т2 = 5 кгс*с2/м; k±= 500 кгс/м; k2 = 1000 кгс/м.
Известно, что Qx (?) = 20 cos 5/ (кгс) действует на массу т19 Q2 (?) = 10 cos 5?
(кгс) действует на массу т2. Требуется определить у2.
Рис. 3.10. Матрицы системы с двумя степенями свободы
Построим механическую цепь (рис. 3.10,6) и проведем ее преобразование
с тем, чтобы привести механическую цепь к схеме четырехполюсника в П-образ-
ном соединении. Для этого объединим звено с элементами т2 и k2 в одно и обозна-
чим его S34 = Sa+ S4 = /<о/п2 + k2/(jd)) (рис. 3.10, в).
Определим значения ЧКС для Slf S2, S34; из co? = 5?; со = 5 1/с:
St= /со/пх = /5*2 = /10; S2 = ^/(/со) = 500/ (/5) = —/100;
S3l = /5*5 + 1000/(/5) = — /175. ]
Определим значения коэффициентов в системе Б-параметров -(3.80): Б1Х —
= 0,9; Б12 = —/147,5; Б21 = /0,01; Б22 = 2,75. Ввиду того, что неизвестными
являются скорости vlf v2, дальнейшее решение проводится в системе Л-пара-
метров. По табл. 3.3 для системы «/7-параметров имеем коэффициенты:
Ли =	= 7-^5? = + /°-018644; Л12 = - -^1 =
£12	(—/147,5)	Ь12
---итж--'0'™677966'
л“ = ^ = Т=ТПмГ = 'ода779№
Ла ---Й- - -<=гпзд - -' °'“10'694'
134
Подставим зйачейия Qlt Q2, а также коэффициенты ||Л|| в (3.17), получим
искомые значения р2:
+ Л12р2 = /0,018644-20 + (—/0,00677966). 10 = /0,3050834;
v2 =	+ ^22Q2 = /0,00677966-20 + (—/0,006101694). 10 = /0,07457626.
Округленно = /0,3 м/с; v2 = /0,075 м/с.
Примерз. Дана динамическая система (рис. 3.10, а) со значениями эле-
ментов, показанных в примере 2. Известно, что сила Q2 (t) = 10 cos Ы кгс дей-
ствует на массу /п2, скорость v2 = +/0,07457626 м/с проходит через массу т2.
Требуется определить Qx (/),	(/), действующую на массу /пх. Воспользуемся
построенной цепью (рис. 3.10, в) и данными для ЧКС Slt S2, Б31при со — 5 1/с;
= /10; S2 = —/ТОО; 53i — — /175. Нам также известно = 0,9; Б12 —
= —/147,5; £21= /0,01; Б22 = 2,75. Ввиду того что неизвестными являются
сила Qi и скорость дальнейшее решение следует проводить в системе Б-пара-
метров (3.30): Qi = £nQ2 + Б12и2 = 0,9-10 + (—/147,5) (+ /0,07457626) =
= 9 + 10,9999 = 19,9999; определим Vi = 521Q2+ S22v2 = /0,01 • 10 +
+ 2,75 (+/0,07457626) = /0,1 + /0,2050847 = /0,30508471; Qx = 20 кгс, v =
= /0,30508 м/с, что соответствует величинам предыдущей задачи.
Если бы заданы были, например, vlf Q2, то требовалось найти Qi и у2. Для
этого нужно было взять уравнения в системе IF-параметров, предварительно
определив коэффициенты матрицы || Ц7|| через известные коэффициенты Бы, Б12у
Б2р -^22> при этом IFц ~ | Б |/Б22; IFi2 = Б-^2/Б22\ IF2i = —Б21/Б22>
IF22 — 1/Б22 и подставить в систему уравнений
Qi= IFnQ2+ IFi2tii; 1
v2 = IF2iQ2+ IF22t>i, )	*
откуда получатся требуемые значения Qx, v2.
ГЛАВА 4
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4.1.	НУЛИ И ПОЛЮСЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Виброустойчивость машины в процессе эксплуатации при
заданной характеристике упругой системы зависит от параме-
тров, при которых работает производственная машина. Для оценки
математического или конструктивного решения динамической
системы важно иметь представление о ее частотных характери-
стиках и в первую очередь о зонах резонансов сил и скоростей;
надежными средствами решения являются методы теории функций
комплексного переменного.
Уравнение, связывающее воздействие и реакцию линейной
системы с постоянными сосредоточенными параметрами, может
быть записано таким образом:
dnx , dn~lx .	. d2x . dx ______
a* ~dP "t" a«-i H---Г «2 -fir + «1	+ O0 —
< dmy । l	. * d2y . < dy . <
—dtm~l + ’ ' * + ^2 ~di* + ~dt “I" ^°’
здесь x = x (0 — воздействие, на входе системы; у = у (t) —
реакция на выходе системы.
Вводя преобразование Лапласа при нулевых условиях, полу-
чим:	(апрп + ап^рп'1 + • • 4- а2р2 + ахр + а0) X = (Ьтрт +
+ Ьт^рт~1 + • • + Ь2р2 + Ьхр + 60) Y или
Д(р)Х = В(р)У,	(4.1)
здесь А (р) и В (р) — полиномы от р; X и Y — изображение
функций х и у, которые, в свою очередь, могут быть полиномами
от р. Выражение А (р)/В (р) = Y/X = К (р) называется пере-
даточной функцией.
С этим выражением связана структура механической цепи
в зависимости от применяемой системы воздействия и реакции;
в двухполюсниках обычно это связано с полным комплексным
сопротивлением.
Одним из важнейших свойств передаточных функций является
то, что они представляют собой дробно-рациональные функции
комплексной переменной р.
136
В общем виде К (р) можно представить так:
К , ч _ А (р) _ апрп + аЛ-1Р'г~1 Н-h «гР2 + «1Р + а»
В(р) bmp^ + bin.1P^^+--.+b2p» + b1p + b<t-
Разложим на множители полиномы в числителе и знаменателе
К(Р) =
ап(р" +-^LPn'1+ • • + V’P3 +-у-Р 4
\ “п	ап ап
До \
ап )
(4-3)
Основываясь на свойствах функций комплексного перемен-
ного и прилагаемых ниже выводах (теорема Виета), уравнение
(4.3) можно представить:
К (п\ = а" • (Р —Р1)(Р-~Рз)(Р — А>) • •  (Р — Рп-1) (Р — Рп) и лд
ьт (р-Р2)(р-р^(р-рв) • .(Р-Рт-1)(Р-Рт) ’
Отношение (ап: Ьт) постоянно и представляет собой масштаб-
ный коэффициент; корни уравнения А (р) = 0, при которых
К (р) = 0, называются нулями и на графиках обозначаются зна-
ком Q; для отличия эти корни имеют нечетные индексы: plt р3,
р3 ... Корни уравнения В (р) = 0, при которых К (р) = <х>, на-
зываются полюсами и на графиках обозначаются знаком X; эти
корни имеют четные индексы ра, р4, рв, р8 ...
Рис. 4.1. Распределение нулей и полюсов на комплексной плоскости
Пример 1. Изображение и численные значения нулей и полюсов функции
вида
о /п\ __ Pi (Рз + 0 (Рб + 2 -Ь /) (р7 + 2 — /)
(Р22,4 + 1)(Рб + 1+/2)(Р8 + 1-/2) ‘
Получаем для нулей значения: рг = 0; р3 = —1; р5 = —-2 — /; р7 = —2 + j’
для полюсов р2 = +/; р4 = —рб = —-1 — /2; р8 = —1 +/2 (рис. 4.1, б).
Нахождение числа корней и их величин в операторном уравнении.
137
Преобразуем числитель уравнения (4.2):
апРп + аП-1Рп~1 +  +а3Р3 + а2р2 + адз + а0 = ап ( Рп+-^г~Рп'1 +
\ ап
+ Рп~2 +	+ "~-Р2 +Р +	== ап[рп + р”-"1 (Р1+Ръ+ +
“п	ап ап ап /
+ Рп-1 + Рп) + РП~2 (Р1Р2 + Р1Рз +	+ Р1Рп-1 + PlPn + Р2Р3 + • • +*
+ Р2Рп + РзР4+•• +РзРп+ +Рп-1Рп)+рл-3(Р1Р2Рз+Р1Р2Р4+	+
4“Р1Р2Рп+Р2РзР4 +----ЬРгРзРп +---Pn-zPn-iPn) +	+ Pn~k (^PiPz • • • Pk +
+ P1P2 • . • P^+i + P1P2 • • -Pk^+ +""£членовРП + •’) +
/V TlMlCrlVJD	J
+ pn-(n-l)=l(Pip2 Pn-i+PiPa -Pn + PaPs • • Pn) + P1P2 • • • Pn-iPn-
ЗДеСЬ	= (Pi + Pa + • • + Pn)<
ап-21аП = (P1P2 + P1P3 + • • + PiPn-i + PiPn + РаРз 4-+ Pn-tPnY,
ап-з!an ~ (P1P2P3	P1P2P4+ •• + PiPaPra + P2P3P4 + • + Pn-iPn-iPnY,
—~~ = KPiPz Pk) + (P1P2 • ₽fc+i) + (PiPa • • Pn) + (P2P3 • • P*+i) +
un
(P2P3 • ‘Pm)+ *1»	x
~ = [(PlPa • • Pn-i) + (P1P2  • Рп) + (РаРз •	Pn)]!
ao /	x
— = (Р1РаРз • -Pn-iPn)-
an
Представленные здесь результаты в общем виде показаны
в табл. 4.1. Покажем порядок вычисления зависимостей для кор-
ней уравнений 1; 2; 3, 4-й степеней: р + рг = р1 [1] + pQ [II
(в квадратных скобках показано количество членов)
(Р + Pi) (Р + Ра) = Р2 + PPi + РР2 + PiPa =
= р2 + р (Pi + р2) + Р1Р2 = р2 [1 ] + р1 [21 + р° [11;
(Р + Pi) (Р + Ра) (Р + Рз) = (Р + Pi) (Р2 + РРа +
+ РРз + РгРз) = Р3 + р2ра + Р2Рз + РР2Р3 +
+Р2Р1 + РР1Р2 + РРхРз + Р1Р2Р3 = Р8 + Р2 (Pi +
+ р2 + Рз) + Р (Р1Р2 + РхРз + р2Рз) + РхРгРз =
= р3 [И+ра [3] + р1 [3] + р°[1];
(Р + Pi) (Р + Ра) (Р + Рз) (Р + Pt) ==
= Р4 + Р3 (Pi + Ра + Рз + Pi) + Р2 (PiPa +
+ Р1Рз + PiPi + РгРз + Р2Р4 + РзР1) + Р1 (Р1Р2Р3 +
+ Р1Р2Р4 + Р2Р3Р4) + Р1Р2Р3Р4 = Р4 [И + Р3 [41 +
+ р2 [6] + р1 [3] +р° И].
138
Таблица 4.1
Коэффициенты уравнений линейной системы
Наи- большая степень полинома	Общее число членов	Степень члена полинома, вынесенного за скобки																			
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	|	2		1	1 |																		
2 j 4		1	2 | 1	Пример: р7 [1] + р6 [7] + р& {21 ] + р4 [15] + р3 [10] + р2 [6] + р1 [3] + р» [1]																	
3	|	8		1	3 | 3	1 1								1 1	1 1								
4	|	15		1	3 1 6	4 j 1				Illi					III II								
5	| 2G		1	3 1 6	10 1 5		1		Illi				1 1	1	1	1								
6	|	42		1	3 | 6	10 I 15		6	1		1 I	1 1				1	1	1	1			1	1	1		Illi			
7	|	64		1	3 | 6	10 | 15		21	7	Mill													
8	|	93		1	3 [ 6	10 | 15		21 I	| 28	8 1 1 1 I 1				1				1	1	1		Illi			
9	|	130		1	3 1 6 1	| 10 1 15 1 21 1			28	36 | 9		1 |		1	1 1								
10	|	176		1	3 1 6 1	| 10 | 15 | 21 |			28	36	1 45	10 1 1			1 1								
11	|	232		1 1	1 3 1 6	| 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45						55 | 11		11	1 1								
12 j 299		1 1	1 з 1 6 1	| 10 | 15 | 21 |			28 | 36 | 45			55 | 66		12 I	1 j	1				1 1		1	1 1			
13	|	378		1	1 3 I 6	| 10 | 15 | 21 |			28 | 36 | 45			55 | 66		78 |	13 j 1 1								
14	|	470		1 1	1 з 1 6 1	| 10 | 15 | 21 |			28 | 36 | 45			55 | 66		78 1 91 | 14 | 1									
15	|	576		1 1	1 з 1 6 1	| 10 | 15 | 21 |			28 | 36 | 45			55 | 66		78 |	91 | 105 | 15			1 1	1					
16	|	697		1 1	1 3 1 6	| 10 | 15 | 21 |			| 28 | 36 | 45			55 | 66		78 |	91 1 105 | 120			16 1 1 1		1	1 1			
17	|	834		1	1 з 1 6	| 10 | 15 | 21 |			| 28 | 36 | 45			55 | 66		78 |	91 | 105 | 120			136 1 17 I		11 1 II			
18	|	988		1	1 з I 6 1	| Ю | 15 | 21 |			i 28 j 36 j 45			55 | 66 |		78 j	91 | 105 | 120			136 | 153 |		18 | 1 |	|			
19	1 1160		1	1 з 1 6 1	| 10 | 15 | 21 |			28 | 36 | 45			55 | 66 | 78 |			*91 | 105 | 120			136 | 153 |		171 | 19 | 1 |			l_
20	| 1351		1	1 3 | 6	| 10 | 15 | 21 |			28 j 36 | 45			55 | 66 |		78 |	91 | 105 | 120			136 | 153 |		171 | 190 | 20 j			1
Проведенные вычисления подтверждают равенство выражения
апря +	+ • • + а2р* + atp + а0 = а„(р — pj (р —
— Рз) (р — р5)---(р — Рп-1) (р — Рп)-
Основные требования к функциям входного комплексного
сопротивления. Примем без доказательств, что функции входного
сопротивления S (р) пассивного двухполюсника должны удовле-
творять следующим требованиям: вещественные части нулей и
полюсов не должны быть положительными и, следовательно, не
могут встречаться в правой полуплоскости (рис. 4.1, а); степени
полинома числителя и знаменателя этого полинома не могут
различаться больше, чем на единицу; разность между числом
нулей и числом полюсов не может быть больше единицы; нули
и полюсы функции S (р) = 0, расположенные на мнимой оси,
могут быть только простыми, но не кратными; физически нуль
S (р) соответствует резонансу сил, а полюс S (р) соответствует
резонансу скоростей; расположенные по вещественной оси нули
и полюсы обязательно чередуются.
4.2. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ ОДНОГО ЭЛЕМЕНТА
Масса под действием силы подчиняется закону Q = tn dv/(dt) =
= mpv, ЧКС для этого элемента S — jam (рис. 4.2, а) или <о =
= S/(jm).
Масса под действием скорости подчиняется закону v =
= 1/т J Q dt = Q/(mp); ЧКП для этого элемента Л = —j- 1/(®/п)
(рис. 4.2, а) или <о = \ЩтЛ).
В зависимости от частоты сопротивление массы перемещению
будет большим при высоких частотах и меньшим при низких;
при этом во всем спектре частот сопротивление положительно
и изменяется по линейному закону; подвижность массы будет
большей при низких частотах и меньшей при высоких; при этом
во всем спектре частот подвижность отрицательна и изменяется
по гиперболическому закону. Из выражения S = рт можно
написать, что нулем элемента будет ргт — 0 и рх = 0, т. е. ре-
зонанс сил будет при ®01 = 0, а резонанс скоростей будет при
го02 = оо (рис. 4.2, б).
Упругость под действием силы подчиняется закону Q =
= k j v dt = kvlp\ ЧКС для этого элемента S = kl(j<n) = —jk/a
(рис. 4.2, в) или о = k/(jS).
Упругость под действием скорости подчиняется закону v =
= l/k(dQ/dt) = pQ]k. ЧКП для этого элемента Л = ja>/k
(рис. 4.2, в) или — кЛЦ.
140
В зависимости от частоты сопротивление упругости перемеще-
нию будет бблыпим при низких частотах и меньшим при высоких;
при этом во всем спектре частот сопротивление имеет отрицатель-
ные значения, изменяющиеся по гиперболическому закону; по-
движность упругости будет большей при высоких частотах и
меньшей при низких; при этом во всем спектре частот подвижность
имеет положительные значения, изменяющиеся по линейному
закону. Из выражения S = Ыр можно написать, что полюсом
Рис. 4.2. Частотные характеристики системы из одного
элемента
элемента будет pjk = 0; ра — 0, т. е. резонанс скоростей
будет при ®оа = 0; резонанс сил будет при ю01 — оо (рис. 4.2, г).
Существует две возможности учитывать количество резонансов:
1) с учетом рассмотренных двух обязательных резонансов при
значениях <о = 0 и © = оо, число резонансов з равно числу
элементов плюс один: з = п + 1; -2) без учета рассмотренных
двух резонансов в каждом элементе з = п — 1. Этой зависимо-
стью будем пользоваться в дальнейшем. Из нее вытекает, что
для одноэлементных двухполюсников во всем диапазоне частот
резонансы отсутствуют и сопротивление выражается только через
текущую частоту.
4.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ
Соединение массы и упругости под действием силы. Система
и механическая цепь (см. рис. 1.6, а, д) позволяют решить во-
прос о нулях и полюсах системы S (р) = Sx (р) + Sa (р) =
141
= pm + kip = (р*т + k)/p. Для определения нулей рассмотрим
значение числителя
Р1,з/и + k = 0; pi,3 = ± —k/m = ±У — 1 Уk/m = ±j Уk/m',
Pl = +j Уk/m; p3 = — j уk/m,
что показано на рис. 4.3, а; это соответствует резонансу сил.
Для определения полюсов рассмотрим значение знаменателя
р2 = 0, что показано на рис. 4.3, а; это соответствует резонансу
скоростей. Частотную характеристику совместного действия эле-
ментов найдем из ПКС (рис. 4.3, б) S = Sx + S2 = jam —
— jk/a = j (am — k/a). При определенной частоте <оО1, когда
сопротивление Sj = S2, ПКС равно нулю и наступает резонанс
сил соо] т = k/a01 Эта зависимость показывает, что резонанс
сил наступает при <»01 = Уk/m; влево от значения ®01 величины
имеют упругостный характер и имеют отрицательное значение,
вправо от значения а>01 сопротивления имеют массовый характер
и имеют положительное значение. Считая, что a>oi = k/m, можем
написать, что сопротивление системы будет:
142
или
jm (	~	) = т ( ЮО1 — 0)2 ) .
Подвижность системы будет (рис. 4.3, в)
(д
<ogl — <02
(4-5)
(4-6)
На рис. 4.4 приведены графические
сопротивлений массы и упругости от
зависимости комплексных
частот. Параметры масс
т
изменяются от 1 до 10 кгсса/м, а параметры упругостей — от
500 до 25 000 кгс/м. Для различных сочетаний этих элементов
диапазон резонансов сил находится в пределах частот от 10 до
158 1/с.
Рассматривая сочетания любой пары кривых для т и k, точку
резонанса можно определить, установив равенство ординат для
этих кривых между собой. Так, для кривых Sm = /ТО® и S4 =
— —j (1000/®) резонанс будет в точке I, где ®ох = 10 1/с; для
143
кривых Sm = jlOco и Sk = —] (25 000/со) резонанс будет в точке//,
где (о01 = 50 1/с; для кривых Sm = /1(0 и = —j (10 000/со)
резонанс будет в точке ///, где соо1 == 100 1/с.
Для того чтобы уменьшить частоту соо1 резонанса, необходимо
массу увеличивать, а упругость уменьшать; и наоборот, при
wCti/c
1000 -
800-
700-
600-
500-
400-
300-
250-
200-
150-
125-
100 -
80-
70-
60-
50-
40-
30-
25-
20-
15-
12J5-
10-
Рис. 4.5. Номограмма для определения собственной
частоты системы из двух элементов
необходимости увеличения частоты соо1 резонанса необходимо
уменьшить массу и увеличивать упругость. На номограмме
(рис. 4.5) операции по нахождению параметров <оо1 между т и k
выполнять еще удобнее; достаточно вокруг выбранного значения
(оо1 вращать линейку и получать связанные точки /их- и
Пример 2. Имеется динамическая система [ink] с параметрами т =
= 2 кгс-с2/м и k— 1000 кгс/м, имеющая резонанс сил при (00i = 22,38 1/с.
Необходимо сместить резонанс до порядка coOi = 50 1/с изменением параметров
массы или упругости.
Определим параметры: 1) при <о01 = 50 1/с величина Sk — —- jk/a =
— — jWMbfo — —/20; в таком случае	— j5Qm = | /201; т = 20/50 =
144
— 0,4 кгс-с2/м. Необходимо массу взять вместо т = 2, tn — 0,4 кгс-с2/м. Если
размеры конструкции нельзя изменить, следует взять материал меньшей плот-
ности; 2) оставляем в системе массу т — 2 кгс-с2/м; при необходимости иметь
резонанс при частоте соо1= 50 1/с следует подобрать соответствующую упругость.
Для массы Sm — jwn = /50-2 = /100. В этом случае	— —/ k/o —
= __ jk/50 = /100; k = | — 5000| = 5000 кгс/м.
Следовательно, жесткость пружины необходимо увеличить.
Замечания о наглядности графиков. Для того чтобы график
сделать наглядным, необходимо использовать возможности чисел,
выраженных в натуральном или логарифмическом ряду. Если
считать, что логарифмическая шкала является математическим
Рис. 4.6. Характер изменения сопротивлений в зависимости
от масштаба координат
микроскопом, то появляется возможность раздвинуть пределы
графика, что особенно заметно в окрестностях чисел, близких
единице, когда желательно иметь значения, например, для 0,1
или 0,01 какой-то величины. Для наглядности этого положения
построим график (рис. 4.6), в котором сравниваются кривые S =
= jam и S = —jk/a) для системы, где т — 2 кгс с2/м и k =
= 1000 кгс/м. Эти кривые построены в четырех системах шкал.
10 И. А. Дружинский	145
1.	Шкалы для чисел по осям координат <в и S взяты натураль-
ные (линии /); координата ®01 резонанса по оси со находится
в точке I (1а = 16).
2.	Шкала для чисел по оси координат со взята натуральная,
а по оси S — логарифмическая (линии 2); координата соо1 резо-
нанса по оси со находится в точке / (1в = 1г).
3.	Шкала для чисел по оси координат со взята логарифмиче-
ская, а по оси S — натуральная (линии 3); координата соо1 резо-
нанса по оси со находится в точке II (Нд = Не).
4.	Шкалы для чисел по осям координат со и S взяты логариф-
мические (они для обеих зависимостей представлены прямыми
линиями — линии 4); координата со01 резонанса по оси со нахо-
дится в точке II (Ни = Нк), хотя для всех четырех случаев
соох = 22,38 1/с.
Соединение массы и упругости под действием скорости. Система
и механическая цепь (см. рис. 1.23, а, б) позволяют решить вопрос
о частотной характеристике совместного действия элементов.
Найдем ПКП Л '= Лг + Л2 = \.Г]®т + jtsslk. При Л = 0 ®01/& =
= 1/cooi/n; cooi = klm или, используя зависимость 1/cooi = m/k,
можно написать:
п _	1	/_____k_\ _	1	/ <о2 — (Ogx \	( 6>01 — со2 \
— jk \ ты )	— jk \ со /	k \ (о /
(4.7)
Это изображено на рис. 4.3, г; изображение не в подвижности,
а в сопротивлении показано на рис. 4.3, д и будет
S = jk( riY	(4-8)
Сопротивление или подвижность системы из двух элементов
содержит одну разность квадратов резонансной и текущей частот
в числителе или знаменателе в зависимости от того, действует
на систему сила или скорость: уравнения (4.5), (4.6) или (4.7),
(4-8).
4.4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ
Соединения из двух элементов представляют параллельное
или последовательное соединение разных элементов (массы и
упругости); присоединением третьего элемента можно составить
только четыре разных схемы соединения (рис. 4.7, а—г), и они
будут иметь по две резонансных частоты. Присоединение после-
довательно или параллельно к одному из двух элементов третьего
элемента, одинакового с ним по характеру сопротивления, напри-
146
мер упругости, изменит не количество резонансных частот, а
только резонансную частоту; для схем на рис. 4.7, д—з изменения
количества резонансов не произойдет.
Рис. 4.7. Динамические системы, состоящие из трех элементов: а, б,
в, г — имеют по два резонанса; д, е,ж, з — имеют по одному резонансу
Система из одной массы и двух упругостей под действием силы
(см. рис. 1.8, а, г). Определение нулей и полюсов системы.
(Р) = 52 (р) + S3 (р) = рт 4- -у- — -—;

10*
147
Л (р)
p^m + kt + kj .
+ k^k2 ’
е/ \	p^m + kiki
{P>	p(p2m+k1+k2) •
Нули системы: p2k\m + kikz = 0;	/4,з = —kM(kim) =
= —k2ltn\ pli3 = ztj У k3/tn-, p! = +iVrk3/m-, p3 = —j Vk^/tn,
что соответствует резонансу сил (рис. 4.8, а).

^Рб
*г-Р2
Рис. 4.8. Система
ki—т—k3, имеющая
два резонанса


Полюсы системы: рг = 0; /4,6/» + fa. +	= 0; /4,6 ~~
= —(^i + k3)/m; рм =	+ k3)/m; pt= +/K(^i + k2)lm-,
P« = —j V (kx 4- k3)lm, что соответствует резонансу скоростей
(рис. 4.8, а).
148
Частотные характеристики совместного действия элементов
системы определяются из ПКС системы. ЧКС звена 23:
•$2з = «$2 S3 = /©/и j— = jtn (©	;
"	1 \ та>/
ЧКП звена 23 будет
ПКП системы
Л = Л1 + Л2з = ^- + ^-(<-г-^—2).	(4.9)
11 м kt т \ kz — mtifl}	v '
В момент, когда S23 = О, то /п©2 — &2 = О соответствует
резонансу сил <оог, тоэох — k = 0; ©oi = k^m', ©01 = V kjm.
Подставляя значение ©oi в (4.9), получаем
77 _ A. _l 1 f а \ - >а < 1	\ М 1(П
Jl~~ + т *2. _(В2 - V+ т \	(4ли'
\ т /
Второй член выражения (4.10) при частоте © > ®01 имеет,
характер массы; при какой-то частоте ®02, когда подвижности
Л1 и Л2з будут равны по величине, но противоположны по знаку,
наступает второй резонанс — резонанс скоростей
/©02  ____1_ /	©Q2	\ . 1  _____1_ /	1	-,\
ki	т \ wgt — G>g2/’ kr	т \ш?г —®§2/
Подставляя вместо a>oi = k^ltn, получим:
т (~^г~	= — ki, /г2 — «мою = — fef.
2	•	1 1	2 k-t *4- k»
т(й(у2 = kl + ki‘, ©02 = —-—
<й — 1Л
®02 - У m
(4.П)
Окончательную подвижность можно написать, используя (4.11),
Л — ]<й/ki[ 1 И- kiltn (l/tt>oi — ®2)].
Из (4. И) можно написать ®ог = (ki + k^lm = kiltn + kilm =
= kilm + ®2i; kiltn — ©02 — ®oi, полученное уравнение под-
ставим в выражение для Л:
TJ   Г 1 I ©02 — ©011   /© / ©01 ©2 ©02 ©01
kr L ©gi—©2J ~ к \	©Oi—®2
jj _ /© / ©02— ©2
kl \ ©01 — “2
(4.12)
149
Для сопротивления
е ; А /	— СО2 \
(0 \ 0^2 — СО2 / *
(4.13)
Обе кривые изображены на рис. 4.8, б, в.
Рис. 4.9. Система	—k—т2, имеющая два резонанса
Система, состоящая из двух масс и одной упругости под дей-
ствием силы (рис. 4.9’, а, б). Определим нули и полюсы системы:
(Р) - л, (р) + Л, (р) - X +	;
150
s (P) = Sx (P) + S23 (P) = pm2 +
pm2 (p2m1 + £) + pknt!
p2mr + k
e / м _ P Ip^rn^ + k(mt + /n2)]
d (p> “	p2/nx + k
Нули системы: pi = 0;	= —k (mi + m2); рз,5 =
_ ____ k (mx + m2) _	_____k______
тгт2	m^Knix + m2) *
Выражение m1m2/(m1 + m2)=m12 представляет собой взаим-
ную массу.	____ __________________
т '^12	'	m12
что соответствует резонансу сил (рис. 4.9, в).
Полюсы системы: p2,4ffii + k = 0; pl,4 = —klmi, p% =
= 4- ‘1УЫтъ р4 = —jVk/nii, что соответствует резонансу ско-
ростей (рис. 4.9, в).
Частотная характеристика совместного действия элементов
системы определяется из ПКС системы.
ЧКП звена 23
П	ТТ I ТТ /® I 1	®2^1
Л 93 Лъ + Л о :==: —т~ ~ :—т----------- ,	*
23	213	& 1	i(akm1
___ jakirii
23 — k — ы2пг1 '
В момент, когда Л23 = 0, то k —	= 0 соответствует ре-
зонансу скоростей ®oi: k —	= 0; ®oi — k/ihi, «01 =
= V k/niy.
ПКС системы S = Sx + S23 =	+ (jaktn-^Kk —
Так как cooi = k/mx, то при делении числителя и знаменателя
второго члена на тг получим
S - /(о/Пг + k,G>k = /©/ns +	•	(4.14)
Я___ш2	Ю01 — “
т1
Второй член выражения (4.14) имеет характер упругости при
ю > ®oi> поэтому при какой-то частоте <оО2, когда сопротивления
Sx и S23 будут равны по величине, но противоположны по знаку,
наступит второй резонанс — резонанс сил.
/сот2 =------г~~2 ’ ^02^2 = ----k (- о --—»- 'j —--.
“о! — ®	02 2	\®01 — ®О2/	k — tnja^
Подставим значение cooi = k/mi, найдем значение ®ог-
(002^2 (k — /П1®02) = —fe/ni®02', km4 — /П1/П2<О02 = —
2
«02 =
k (Стх -|- /п2) .
* г
(4.15)
151
Окончательно из формулы (4.14) можем написать, учитывая, что
k = /П1СОо1> так:
2 — imm Г m2 (“о* —	1 - inur, Г	— m2®2 +	1 .
5 - /Ю/”« L	J “12 I ----------------J ’
Г 2 / l \	21	-H
e_ ;мт Г ®oi (ffli + rn2) - maCD2 ] _	01\ m2 J
5 — jcom2 |	^(^-0)2) J— /®rn2^ (Ogj-ws
(4.16)
Из (4.15) a>02 —	~	( т1т~т2 )’ полУченное значение
подставляем в числитель выражения (4.16)
s=MS^)-	(4-17>
Подвижность' будет
«-IS)
Обе кривые частотных характеристик и их построение изображены
на рис. 4.9, г, д.
Система, состоящая из одной массы и двух упругостей, под
действием силы, приложенной в полюсе между упругостями. Опре-
деление нулей и полюсов системы (рис. 4.10, а, б):
ад=ад+ад=А+^ = '^;
__I п\ । 2 t п\ 	। pk^m	p2k2m -|- &1Л2 + p2k1tn ,
-	(р) + д23 (р) - — + -2/п + £- - p^m + kj.) ’
с /пч p^rnjki + k2) + kiki
W p(p2m + ^)	’
Нули системы: pl- ttn (ki + fe) = —pi: з = -Ш [tn (ki +
+ k2)] — —k13!m, где fe12 — взаимная упругость; pt —
= +j Vkxk2l [(&! 4- &2) /nJ; p3 = — j vkik^l [(&! + k2) m], что
соответствует резонансу сил (рис. 4.10, в). Полюсы системы: р2 =
= 0; pl, бот + fei = 0; p4>6 = V— kilnv, pi =-[-jVkilm-, рв =
— —что соответствует резонансу скоростей (рис. 4.10, в).
Частотная характеристика совместного действия элементов си-
стемы определяется из ПКС системы.
ЧКП звена 23 Л23 = Л2 + Л3 = jalkx + 1/(/<л>т) = j/ki [со —
— ^1/(com) ]. В момент когда Л33 = 0, то kj — a>zm — 0, что
152
соответствует резонансу скоростей ®02:
йог = kiltn-, ki — ®02»г;	(4-19)
П — _L(m	_ / / <02 —	_ 1 ( <»02 — 0>2 \ .
23 ki \ сот /	\ со ) jki \ <в ) ’
5зз = ^1(^2-®2)-
ПКС системы S = Sx + S23 =	+ jk.	• (4-20)
Рис. 4.10. Система
т—kr—k2, имеющая два
резонанса
Так как второй член выражения (4.20) имеет характер упру-
гости при со > <о02, то при какой-то частоте соо1, когда сопротив-
ления Sj и Sаз будут равны по величине, но противоположны
по знаку, наступит второй резонанс — резонанс сил <о01. Из (4.20)
__ : ^2 „	 :	.	^2 __ IL (	^01	\
®01____________________________________^02 — ^01 *	®01	1 \ ®02 — ®01 /
153
Подставим вместо (О02 = kjm и определим со0ь
("rn---~	^1^2 — &2Я^01 = &imO)0b
^1^2 = woi (k\ -J- kz) m\
^1Ла_______
(fei 4- k2) tn
(4-21)
Учитывая (4.19), что ki/m = (002 и т — ki/oim, окончательно
сопротивление запишем из (4.20) так:
е_ 1 Гд _ъ 0)2	1 _ 1 /Мог —М2—М2\
/и L 2	1 Нз — ®2) J /<0 \	— о2 )'
Из выражений (4.19) и (4.21)
®01 (&I	k2) = ~^2 = «02^2 >
это значение подставим в числитель предыдущего выражения
s= 1 Г <ogi - <о2 (fei + fe2) 1 = t Г (fei + &2) Mi-w2)] .
J® L	<0§2—®2	J /® L «02— ®2 J ’
C  (^1 4* ^2) / ®ol	\	/ д gg\
—	/<0	\ W§2 — “2 / ’	( • )
Подвижность системы
л = -2^. (4^4 V	(4.23)
(ki 4- k2) \ <0^—co2;	v >
Обе кривые изображены на рис. 4.10, г, д.
Система, состоящая из двух последовательно соединенных
упругостей и одной массы под действием силы, приложенной
к массе (рис. 4.11, а, б). Механическая цепь показывает, что в пер-
вом расчете ЧКС звена 23 представлены обе упругости — это
и определяет, что число резонансов в подобной системе из трех
элементов равно одному.
Определение нулей и полюсов системы:
(р) - Л, (р) + Л. („) = f + f	+ « ;
з(р) «= S, (р)+(р)=р/» + р{^1Л;
S (р) = P^(fei + ^)-hfeife,2.	(4.24)
p(*i + *2)	'	’
Примем &12 =	+ k2) и, подставив в (4.24), получим:
S (р) = (р2/п + й12)/р.
154
Нули системы
pi, з = —knlm\ pi = +jVkv/m; p3 = — j Vkii/m.
Полюсы системы p2 = 0.
Эти значения нулей и полюсов изображены на рис. 4.11, в.
Частотная характеристика совместного действия элементов си-
стемы определяется из ПКС системы.
ЧКП звена 23
Л = Л I Л = I __ ~Ь _ /<О . е _ ^12
23	2 г 3	"Т" £2	kikt	Й12 ’	/(О
ПКС системы 3 = Sx + S23 = joim + 412- =
155
Резонанс сил будет при S = О, когда со = ю01:
2
&12 — cooim = 0;
__ ^12 _____	^1^2
01 т ~	+ k2) т ’
®01" V (ki + k^m ’
что изображено на рис. 4.11, г, д.
Для случаев, показанных на рис. 4.7, е, ж, з, выводы для до-
казательства того, что число резонансов будет один, примерно
одинаковые — они основываются на том, что либо S23, либо Л23
дают сложение двух упругостей, результирующая которых не
имеет дополнительных резонансов от 0 до оо.
4.6.	ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМ Ы
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ
При рассмотрении механической цепи, состоящей из трех
элементов, возникает желание усложнить эту схему, добавить
один элемент (массу или упругость). Вполне очевидно, что
если для соединения из трех элементов получилось четыре ва-
рианта цепи, которая имеет по два резонанса (другие варианты
соединения элементов приводят к однорезонансным системам),
то для соединения из четырех элементов получится восемь ва-
риантов цепи, которые будут иметь по три резонанса (другие
варианты соединения элементов приводят к двухрезонансным
или даже однорезонансным системам). На рис. 4.12, а—з пока-
заны восемь вариантов динамических систем и их механических
цепей, которые образуют по три резонанса: два резонанса сил и
один резонанс скоростей или, наоборот, в зависимости от распо-
ложения элементов в системе.
На рис. 4.13 показаны варианты динамических систем и их
механических цепей, которые обладают тремя, двумя и даже
одним резонансом.
Система, состоящая из двух масс и двух упругостей, находя-
щаяся под действием силы (рис. 4.14; а). Определение нулей
и полюсов системы.
$34 (Р) — 53 (р) + 54 (р) = Pmi +	= -—1; Ast (р) —	+ ’
512 (Р) = 5Х (р) + S2 (р) = pm, + А =	;
г	г
Лц(р) =
Л(Р) = Л„(р) +	+_z_ _
_ р (p2ml + kl)+p (р2т* + kj).
(p8mi4-Ai)(p’m3-|-ft2)	’
156
Рис. 4.12. Динамические системы, имеющие по три резонанса
157
Рис. 4.13. Динамические системы, имеющие по четыре-пять элементов
и от одного до трех резонансов: а — система с одним резонансом; б —
с тремя резонансами; в, г, д — система с одним резонансом и ее частот-
ные характеристики
158
Рис. 4.14. Построение частотных характеристик, имеющих три резонанса
159
JJ(O\ _	+ pki + Р*т2 4- pk2 = р (р2 (тх Ц- т2) + (kx -fr kt)} .
' р^т^а 4- p^afflx 4 P2^im2 4 k-jka pim1nia + p2 (^i«2 4 ka/щ) 4 ktka ’
x P^mitna + p2 (kttna -j-/e2mt) + k^a	..
P[p2('n1 + 'n2)-h(*i + *2)]	•
Нули системы
p4mi/n2 4- pa (,kxm2 4- katn^) 4-	— 0.
Пусть pa = и; p4 = u2; mvm2 — a; k^nta 4- к2тг = b; kxk2 — c.
2 । <	। a — & ±j/"i>2 — 4ac
ati* 4- bu 4- c = 0; и =----------=-^----------;
___ — (feiWa 4~ ^2^1) ± V(kjnia 4~ fe2wi)2 — ^m^makyka .
2тхт2
__ — (fei/n2 4- к2тх) ± V(kytria — fe2OTi)2 _
2t7lx77l2
__	— (^lm2 + ^2ml) ± (^1^2 — &2^1) .
^2 *
__
mx
2mxm2	’
	 — kxm2 — k2mx -|- kxm2 — /?2^i _ 2k2mx
1_______________________________________________2mxm2_2m1m2
____ — kxm2 — k2mx — kxm2 + k2mx   2kxm2
2___2mxm2	2tnxtn2
Нулями системы будут: p = Уи\ plt3 — —k2lm2, pi =
= +/• vk2/m2; Pa = — j V k2lm3, p6t 7 = У—kJm^ p& =
= + j Уkjmx\ p, = —j Уkjmt.
Полюсы системы:
рг = 0; p4; 6 (/Mi + /712) + (&i + fe) = 0;
Pl; 6 = —(&1 + fe)/(/771 + /77г); Pi = +/ У(k\ + ^2)/(Т771 + /77г);
Po = —j У(к1 + к2)/(тц + m2).
На рис. 4.14, б показаны нули и полюсы системы. Частотная
характеристика совместного действия элементов системы опре-
деляется из ПКС системы. ЧКС звена 34 будет:
о _ Q I Q _ т1 / ®оГ— “2\. п _ / (	“	\
>34-^3 +^4- —	),	Л34-—
при этом
kJ mi = cooi.	(4.26)
ЧКС звена 12 будет
C QiQ	( ®оз — ®2\. лг_ if to \
г>12 = >14-^2= — -------—)^ ‘/yi2--^'l<®02s-'to2J’
при этом
kjm^ = йоз.
(4-27)
160
ПКП системы
Л_Л1! + Л11 = ^(^у)+^г(^3^у).	(4.28)
При определенной частоте сооа, когда Л12 и Л34 равны по ве-
личине, но противоположны по знаку, наступит резонанс скоро-
стей. Значение этой резонансной частоты найдем из (4.28), когда
Л = °:
/ /	<002	\  _____I / СОр2 \ .	«2     <0р1 — СОр2 .
та\ <°01—<002/	т2 \cog3 —<og2/’	«1 ~~ cog3 —cog2’
^1	9
--------®02
=-------------j ^2 — И02/И2 = — (&1 — tt>02/ni)>
«1	_22_ _ m2
02	2	2
ki — awtnz = — ki + <002/^1; ki + ki = (002 (/ni + /n2);
®02 = -^^-.	(4.29)
^1 "T ^2	v 1
Подставляя значение ®§2 из (4.29) в преобразованное выраже-
ние (4.28), получим значение подвижности и сопротивления си-
стемы:
J1 —	/	( m,n2	। ООТ1 \	I
/Пх/Пг \ «>01 — ®2 <°оз—СО2 / ~
_ j	Г сопг2 « — <о2) + com а (<ogt — со2) ~1 .
“ /Пх/Пг L « — ®2) (<о|з — со2) J ’
_ х_ j Г <осо|3/п2 — co3m2 -j- сосор^/Пх—№Рт1 )
— mima L (сОрх — со2) « — со2) J ’
Подставим значения т2 и /пх из (4.26) и (4.27):
Ю“23	— “3 («1 + «г) + С0С0р2х
_____Ш03___________________ WQ1 .
(<Орх — СО2) (СОрз — со2)	J’
j Г cofe2 + <ofet — со3 (mt + /п2)1
mitn2 L (<Ooi — со2) (<og3 — со2) J '
Разделим числитель и знаменатель на (7nx + m2) и, помня (4.29),
получим:
Г со (fet 4- fe2) со3 (mt + m2) ’
jj __	/ wix 4~	4~ сид ____
“ Ш1Ш2 (cogi—co2) (co§3—co2) —
Л=-^-
/Пх/П2
<0 (fei + k2) co3 (mt + m2) '
«1 + «2	ffli + /«a
«-co2) «-co2)
m14- ma
_ / (nil + Г______________<OC022 — CO8
—	/П1/П2 L (coll — со2)Нз — co2)
Л = ,<B Г №02 — co2 1.
«12 L «-co2) (co|3-co2) J ’
<? = mi2 Г «—co2) (cogs—co2) 1
/<0 L cog2 —co2 J"
11 И. А Дружинский
Это будет выражение ПКС системы в зависимости от резонанс-
ных и текущих частот системы; в числителе расположены разно-
сти квадратов частоты резонансов сил и текущей частоты, в зна-
менателе — разность квадратов частот резонанса скоростей и
текущей частоты.
На рис. 4.14, в, г показаны порядок нахождения частотных
характеристик в зависимости от соединения ЧКС S3 + S4;	+
+ S2, а также ЧКП Л12 + Л34. В результате находятся кривые
для ПКС и ПКП. На оси абсцисс отмечаются точки пересечения
этих кривых, соответствующие резонансам.
Пример 3. Дана динамическая система с двумя степенями свободы
(рис. 1.12, а); сила Q2 (0 действует на массу т2\ механическая цепь показана
на рис. 1.12, г. Определить резонансные частоты, если /nx = 2 кгс-с2/м; т2 =
= 5 кгс-с2/м; k± = 500 кгс/м; k2 = 1000 кгс/м. Полюсы системы будут согласно
выводов р2 = 0. Частота © = 0 не учитывается; p4t е = zt k1hn1 =
= — j V500/2 = — /15,8; положительная частота ©б, /©б = +/15,8 или ©в =
= 15,8 1/с.
Пропуская вывод, можно написать, что нули системы получим после
решения уравнения	— ©2	+ Z?1/n2 + £2mi) + &1Л2 = 0. Под-
ставим численные значения элементов 10©4 — со2 (103 + 2,5-103 + 2-103) +
+ 5-105=0; со4 — 5,5-102©2 + 5-104 = 0; соО1 = 10,7 1/с; соОз = —10,7 1/с;
©05 — 20,85 1/с; ©07 = —20,85 1/с.
Итак, резонансами сил будут ©01 = 10,7 1/с; ©05 = 20,85 1/с, резонансом
скоростей будут ©6 = 15,8 1/с.
4.6. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ БОЛЬШОГО ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ
Добавлением еще одного элемента к системе из четырех эле-
ментов получаем динамические системы, состоящие из пяти эле-
ментов; в такой системе будет четыре резонанса: два резонанса
сил и два резонанса скоростей. Выражение, для сопротивления
будет типа
S==H	~“У”3 ~~	.	(4.31)
Н2 — <о2)(й& — и2)	v 1
При этом Н может иметь вид /сот; или jak; а выра-
жения, стоящие в числителе и знаменателе, могут поменяться
местами. Если для двухэлементных могут быть два типа схемы,
для трехэлементных — четыре, для четырехэлементных — восемь,
то для пятиэлементных получается тридцать два типа схемы.
Добавляя по одному элементу, получаются системы с шестью,
семью, восемью и более элементами, при этом число резонансов
будет всегда на один меньше числа элементов, если они не со-
единены таким образом, что позволяют произвести такие соеди-
нения между собой, что уменьшает число резонансов.
Обобщая результаты выводов, полученных ранее, можно напи-
сать формулы сопротивлений, состоящих из п элементов типа т
или k.
162
Динамическая система, состоящая из нечетного числа эле-
ментов, при этом число маСс больше числа упругостей на еди-
ницу. Если п — число элементов, то число масс будет (п + 1)/2,
а число упругостей (п — 1)/2. В этом случае будет четное число
резонансов сил и скоростей; первым резонансом будет резонанс
сил, последним — резонанс скоростей. Поведение системы будет
соответствовать характеру массы как при нулевой, так и беско-
нечно большой частотах. Выражение для комплексного сопро-
тивления будет
_	(<о202 - СО2) (<4 - (О2) (4 - О»2) • • • «1 -
(Ш201_<в2)((о23_-со2)(со25_<о2) .(®2_2_со2) ’
здесь т соответствует выражению массы при бесконечно большой
частоте (рис. 4.15, а).
Динамическая система, состоящая из нечетного числа элемен-
тов, при этом число упругостей больше числа масс на единицу.
Если п — число элементов, то число масс будет (п — 1)/2, а число
упругостей (п + 1)/2. В этом случае будет также четное число
резонансов сил и скоростей; первым резонансом будет резонанс
скоростей, последним — резонанс сил. Поведение системы будет
соответствовать характеру упругости, как при нулевой,, так и
при бесконечно большой частотах. Выражение для комплексного
сопротивления будет
(“о1 ~	~ ю2)	~ т2)'' •	~ ю2) м W
здесь k соответствует выражению упругости при бесконечно боль-
шой частоте (рис. 4.15, б).
Динамическая система, состоящая из четного числа элементов,
при этом число масс и упругостей одинаковое. Если п— число
элементов, то число масс и упругостей п/2. В этом случае система
имеет нечетное число резонансов сил и скоростей; первым и по-
следним резонансом будет резонанс сил. Поведение системы
будет соответствовать характеру массы при нулевой частоте и
характеру упругости при бесконечно большой частоте. Выраже-
ние для комплексного сопротивления будет:
(<4 - <”2) (Ю04 - <°2) (№06 - °>2) • • • (Юл-2 - ю2)
(®01 - и2) (со2, - а2) (<4 - (О2)... (а2 _! - а2) ’
(4.34)
При этом здесь k соответствует выражению упругости при бес-
конечно большой частоте (рис. 4.15, в).
Динамическая система, состоящая из четного числа элементов^
при этом число масс и упругостей одинаковое. Если п — число
элементов, то число масс и упругостей п/2. В этом случае система
имеет нечетное число резонансов скоростей и сил; первым и
последним резонансом будет резонанс скоростей. Поведение
11*	163
системы будет соответствовать характеру упругости при нулевой
частоте и характеру массы при бесконечно большой частоте.
Выражение для сопротивления будет-
е , _т « - ®2) (®03 - °>2) (®05 - ю2) (“Li - ю2)
® (ГС02-ГС2)Н4-®2) (®06-ГС2)	(ГС2_2-ГС2) ’
здесь т соответствует выражению массы при бесконечно большой
частоте (рис. 4.15, г).
Рис. 4.15. Четыре возможных случая частотных характе-
'	ристик динамических систем
Приведем несколько примеров для определения вида частот-
ных характеристик.
П р и м е р 4. Динамическая система показана на рис. 1.11, а. Она содержит
пять пассивных элементов: две массы и три упругости. Согласно уравнению (4.33)
система обладает четным числом резонансов: первым и третьим резонансами
164
будут резонансы скоростей, вторым и четвертым — будут резонансы сил
(рис. 4.16, а). Выражение для комплексного сопротивления будет
_с  fe (®201-®2)Нз~®2)
' “ (®02-®2)(®04-“2)‘
П р и м е р 5. Динамическая система показана на рис. 1.13, а. Она содержит
шесть пассивных элементов: три массы и три упругости. Согласно уравнению
(4.34) система обладает нечетным числом резонансов: первым, третьим и пятым
резонансами будут резонансы сил, а вторым и четвертым — резонансы скоро-
стей (рис. 4.15, в). Выражение для комплексного сопротивления будет
(®ог *“ ®2) (®м — ®2)
(4-®2)(4-®2)(<4-®2) '
S = j(dk
Пример 6. Динамическая
система показана на рис. 4.10, а.
Она содержит три пассивных
элемента: две упругости и одну
массу. Согласно уравнению (4.33)
система обладает четным числом
резонансов: первым будет резо-
нанс скоростей, а вторым — ре-
зонанс сил (рис. 4.16, б). Вы-
ражение для комплексного со-
противления будет
k (®01-®2)
1 ® к2-®2) ’
4.7. ГАШЕНИЕ
И ВОЗБУЖДЕНИЕ
КОЛЕБАНИЙ
В конструкторской
практике при рассмотре-
нии динамических систем
приходится решать задачи
зачастую противополож-
ные по содержанию. Дей-
ствительно, в одних зада-
чах необходимо в системе,
находящейся в колебатель-
Рис. 4.16. Примеры частотных характеристик
ном процессе, ввести массу,
которая должна погасить колебательный процесс; в других за-
дачах необходимо системе, находящейся в покое, создать условия
для возникновения колебаний определенной амплитуды и ча-
стоты; в третьих задачах необходимо системе, находящейся в по-
кое, обеспечить защиту передачи колебаний от массы, находящейся
внутри системы, в колебательном процессе. В табл. 4.2 показаны
динамическая система и три возможных варианта задач, возни-
кающих в практике. Постановка таких задач является тем более
правомерной, что процесс колебаний сам по себе и вызываемые
165’
им вибрации для одних машин и механизмов являются полезными
и, следовательно, необходимо стремиться защитить конструкцию
от вредных влияний вибрации с точки зрения прочности, жестко-
сти, концентрации напряжений при знакопеременной нагрузке,
для других машин и механизмов этот процесс является вредным,
и необходимо принять все меры для гашения этого процесса или
Таблица 4.2
Сочетания колебаний в системе
с двумя степенями свободы
Вариант	Колебания в системе	
	ГП1	т2
1	Не имеются	Имеются
2	Имеются	»
3	»	Не имеются
снижения его до такой величины, когда последствия находятся
в допустимых пределах. (В данной работе под термином «гашение»
подразумевается введение различных средств сопротивления;
под термином «затухание» подразумевается процесс снижения
колебаний во времени).
Рис. 4.17. Динамическая система гашения колебаний
Рассмотрим основы гашения вибрации для вращательной си-
стемы, состоящей из инерции и упругости. Пусть на массу с инер-
цией Их,[находящуюся на валу (рис. 4.17, а), с крутильной упру-
гостью действует внешний крутящий момент М (t), например
М (0 = М cos (at + В зависимости от величины частот вал.
будет находиться в колебательном процессе с какой-то ампли-
тудой. Имеется ряд способов уменьшения амплитуды вынужден-
ных колебаний; одним из способов может быть введение допол-
нительного колебательного контура, состоящего из массы с инер-,
166
цией И2 и вала с упругостью х2; построим динамическую систему
и механическую цепь этого устройства (рис. 4.17, б, в). Определим
величины угловых поворотов <рх и <р4х для инерций И1 и И2 соот-
ветственно.
Вначале определим комплексные сопротивления системы и
угловые скорости для инерций Иг и Я2:
„ _	/<ОХ2Я2	. о _ %! —(О1 2#! .
“ х2-а2Я2 ’	1512------>	’
— (ххЯ2 + х2Я1 + х2Я2) а2 4- ххх2
/а(х2-а2Я2)
Обозначим значение числителя через А. Угловая скорость
системы и инерции Иг
ф, /^(X2-W2^)>	(4 36)
Угол поворота инерции Их
<Р1 =	= Л4(х2 —<о2Я2)	<4 37)
Когда срх = 0, движение основного контура затухнет и тогда
х2 — со2И2 = 0 или со = У х3/И3.	(4.38)
Для определения <р2 и <р2 инерции И3 найдем М&, зная, что
б =	= б2 = б34 — ф34; М34 = S34634;
м _ (/ах2Я2) [/аЛ4 (х2 —а2Я2)]
34	(«2 — <02Я2) А
(Юг Ми2И2
А
• Известно, что М4 = M3i = М3. Следовательно, угловая ско-
рость инерции И3 (или S4) будет:
• _ о __ М4 __ (/а)2 Л1х2Я2 _ /аМх2
Ф4^-о4—	—	А.&Иг	—	;
й, Л1х2
Л1х2	/А. ол\
4)4 = //1Я2<04 — (хД + х2Ях + х2Я2) (О2 + Х!Х2 •
Подставляя вместо х2 = со2Я2 в (4.39), получим:
_	Мсо2Я2	__ Мсо2Я2 .
ф4 Я1Я2о4~х1^202--Я1Я2(о4--Я1(о4 + Х1Я2й)2 ~ — со4/7§;
(р = _ м __________ М — _	(4 40)
ф4 (о2Я2 х2	х2	( • /
1 Вместо индекса 2 взят индекс 4, так как (рис. 4.17, в) инерции И2 соответ-
ствует комплексное, сопротивление S4.
167
168
Рис. 4.18. Конструктивные примеры гашения колебаний
Угловой поворот введенной колебательной системы будет происхо-
дить в обратном направлении от внешнего момента, действующего
на систему Иг, и будет отличаться на величину упругости вала
введенной системы и находиться в той же фазе.
Для определения размеров введенного контура следует поль-
зоваться уравнениями (4.38) и (4.40). Из курса «Теория упругости»
известно, что х = Л4/<р, а <р = М1ЮИп-, здесь I — длина вала,
м; G — модуль сдвига, кгс/м2; Ип — полярный момент инерции,
м4. Из приведенных выше зависимостей для к и <р можно написать
_ М _MGH„ _ ОЯп
И2— <р “ Ml	I •
Из уравнения (4.40)
х2<р4 === — Mcos(co/ + C).	(4 41)
Для гашения вибраций имеется ряд проверенных конструк-
тивных решений, соответствующих введению только массы или
массы и упругости. Для многоцилиндровых двигателей подобная
подвижная масса помещается на щеках противовесов (рис. 4.18, а)
или вводится в виде цилиндра, помещенного в отверстие большого
диаметра (рис. 4.18, б). Наиболее строго отгечающая расчетам
была бы такая система из трех рассмотренных элементов, которая
располагалась бы под углом 120° относительно оси коленчатого
вала. Для вращательных систем также применяется следующее
устройство (рис. 4.18, м): с валом 1 вращается диск 2, кроме того,
на валу 1 свободно посажен рычаг 3 с определенной расчетной
массой; пружины 4 одним полюсом имеют выступы на диске 2,
а другим — упираются в рычаг 3. Подобный гаситель имеет тот
недостаток, что он может быть настроен только на одной частоте;
при наличии двух резонансов эта система не имеет оптимального
решения. Лучшей системой является маятниковый гаситель с вне-
центровой установкой (рис. 4.18, н). На валу 1 укреплен диск 2;
на этом диске на оси 4 расположен маятниковый гаситель 3..
В роли гасителей вибрации могут быть устройства ударного
действия, представляющие из себя массу расчетной величины —
шар (рис. 4.18, в) или цилиндр (рис. 4.18, г), свободно располо-
женные с диаметральным зазором в полости конструкции, вибра-
цию которой стремятся снизить, или в виде втулки на оси с зазо-
ром (рис. 4.18, д); при этом необходимо ограничить возможность
перемещения этого тела от плоскости, вдоль которой происходят
колебания, например, направляющим штифтом. Для гашения
вибраций применяются решения в виде рычага 2 на оси поворота /
и массы 3, удерживаемой двумя пружинами 4; очевидно, что
собственная частота гасителя должна соответствовать частоте,
с которой колеблется балка 5 (рис. 4.18, е). Идея подобного га-
сителя с угловым поворотом использована в другой конструкции
с поступательным перемещением массы 2, пружин 1 и сопротивле-
ния 3 (рис. 4.18, ж). Корпус 4 гасителя соединяется жестко с кон*
170
струкцией 5, колебания которой необходимо снизить. Несколько
иное конструктивное решение (рис. 4.18, з) состоит в том, что
к основной конструкции, на которой хотят снизить вибрации
(в данном случае — балка /), прикрепляют по две планки 2
с каждой стороны; к планкам крепят упругие пластины 3, а к ним
массы 4. В данном случае гасителем является'динамическая си-
стема, состоящая из массы и упругости, выполненной в двойном
Рис. 4.19. Динамические системы возбуждения колебаний:
а, б — система, состоящая из массы, упругости и сопротив-
ления; в, г — система, состоящая из двух масс, упругости
и сопротивления; д, е — система, состоящая из массы, двух
упругостей и сопротивлений; ж, з — система, состоящая из
массы, упругости и двух сопротивлений
количестве. Для гашения вибраций подвижных в вертикальной
плоскости фундаментов, на которых установлены шлифовальные,
координатно-расточные или другие прецизионные станки, в на-
стоящее время имеются пружинные опоры нескольких конструк-
тивных решений; с наличием дополнительного гасителя в виде
масляной жидкости (рис. 4.18, м, к) или резиновых пластин
(рис. 4.18, л).
Возбуждение колебаний может производиться четырьмя ви-
дами приводов: кинематически-жестким, инерционным, упругим
с эластичным звеном и вязким. Периодическое воздействие внеш-
ней силы на систему создает в ней вынужденное возбуждение
колебаний.
На рис. 4.19 показаны виды возбудителей колебаний, их кине-
матические схемы и механические цепи.
171
4.8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ПРОЦЕССОВ ЗАТУХАНИЯ
Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
выражаются уравнением
ту + ry + ky = Qo sin at,	(4.42)
где Qo — наибольшая амплитуда внешней силы. Частное решение
уравнения (4.42) имеет вид
= Qo sin (at — g) _
Уч	V(k — т^)г + (гы2)
= У sin («*-£), (4.43)
где £ — отставание по фазе,
а У — амплитуда гармониче-
ского колебания в устано-
вившемся движении.
Общее решение уравнения
(4.42) имеет вид
y = #c + f/4 = (Cie<M+ '
с
л=о
п
2
Рис. 4.20. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики
где ус — решение уравнения свободных колебаний при Qo = 0.
В уравнении (4.43) разделим числитель и знаменатель на k и
выражение Q0/k обозначим через Уо:
v______________Хо_________
\lkV{k — m©2)2 + (r©)2
Если обозначить rlk = 2M«oc; р = ®/®с, то коэффициент усиления
К = Y/Yo = 1/1/(1 - р2)2 + (2%р)2.	(4.44)
172
Отставание по фазе определится из уравнения
При этом, если <о < ®с, то £ < л/2; если <о = сос, то £ = л/2;
если со > ®c, то £ > л/2; если со —> оо, то £ —> л. На рис. 4.20, а
показана амплитудно-частотная характеристика для рассматривае-
мой системы. Начало координат кривой выходит из точки с коор-
динатами р = 0, К = 1, что получается из уравнения (4.44) вне
зависимости от наличия в системе г гашения. Найдем значение р
на нисходящей ветви резонансной кривой (под линией абсцисс)
на рис. 4.20, б. Если К. = —1 и % = 0, то р = +1,41 Для удоб-
ства рассматриваем зеркальное изображение резонансной кривой.
Резонанс происходит при р = 1, если X = 0, К. = оо. В общем
виде К = 1/(2Х); например, если к = 0,2, р = 1, то К = 2,5.
Установившаяся реакция выражается через Y sin (со / — £), воз-
мущающая сила Qo sin at. Обе величины не достигают наиболь-
шего значения в одно и то же время t; это происходит из-за влия-
ния фазового угла £ (4.45). При р = 0 £ = 0°; при р = 1 и X* = 0
£ = 0°. При отсутствии гашения £ = 0 или л. Изображение фазо-
частотной характеристики показано на рис. 4.20, в.
ГЛАВА В
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
5.1. АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЧП
Прежде чем рассматривать существо фильтров, остановимся
на некоторых вопросах анализа зависимостей МЧП и их параме-
трах.
Ранее было установлено, что четырехполюсник характери-
зуется двумя силами и двумя скоростями на входе и выходе и,
следовательно, двумя сопротивлениями, измеренными на входе
и на выходе, следовательно, входное сопротивление S01 = Qj/Vi;
выходное сопротивление S02 = Q2/v2. Если уравнения четырех-
полюсника описаны в системе Б-параметров, то (3.30):
Qi = SuQz Б12р2; j
Vi = Б21Q2 ~Ь Б22и2. J
Между коэффициентами этой системы существует зависимость:
||Б|| = БХ1Б22— Б12Б21 = 1, исходя из которой пассивный
четырехполюсник можно характеризовать тремя независимыми
величинами Бп = (1 + Б12Б2])/Б22. Если четырехполюсник
симметричен' (при БХ1 = Б22), то его можно характеризовать
двумя величинами: Би = 1 + Б12Б21; Би = ]/1	Б12Б21.
Найдем для уравнения (3.30) входное сопротивление при
условии, что нагрузка передается от входа 1 к выходу 2, и выход-
ное
Q' _ Q1____SllQa ~Ь £12v2	.	/СП
601 ~ V1 ~	521(?2 + Б22и2	’	(ЬЛ)
S62 = -77-;	Q2 = 5о2П2-	(5.2)
f2
Подставляя (5.2) в (5.1), имеем:
S __ Дц5о2Ц2 4- Д12У2 __ _(5nSo2_+^12)_^2_ _ ^11^02 ~Ь Д12
в1 52lSy2y2 -|- Z>22V2	(521Sq2 + S22) t>2 52iSq2 ^22
В режиме мгновенной остановки S62 = 0 и входное сопроти-
вление
S6i(M.o)	(5-3>
£>22
174
В режиме холостого хода S02 = оо и входное сопротивление
С I £12	JC f £12
£>п	—	£>ц -f- ——’	д
Q'	_ >02	___ £>11
*>01 (х. х) —	Б —	Б	— —г •
г; 1	£>22	г. |	£>22	£>21
^21 +	-- £>21	——
О02	00
Если нагрузка передается в обратном направлении от выхода 2
к входу 1, то из первого уравнения (3.30) для Q2 и из второго
уравнения для
(5.4)
v2 имеем:
= -------------------
£>11	£>11
J. _ _Е1_____^21	Г)
U2----С------д	42-
£>22	/>22
значение v2 из (5.6) в (5.5) и преобразовывая,
(5.5)
(5-6)
Подставляя
получаем
Подставляя
получаем
Qa —	(5-7)
значение Q2 из (5.5) в (5.6) и преобразовывая,
v2 = EiiVi — ^ziQv	(5.8)
Система уравнений (5.7) и (5.8) представляет собой математи-
ческое выражение действия нагрузки от выхода к входу. Так
как нагрузка передается в обратном направлении, следует изме-
нить знак действия скоростей; поэтому:
So'2 = Q2/—v2; Sm = QiZ-vj.	(5.9)
Подставляя значения (5.7) и (5.8) в (5.9) и заменяя Qx —
— —SmVi, получаем:
О"	SjzQl — 512^1_____^>22 (—%О1) —	(^22^01 ~Ь Бц) .
02	— (—S2iQi + БцУ])	Б21 (—ЗоЛ) ““	—Vi (521^01 + Бц)'
е" __ ^22^01 + Б12
<302 Пп Qrr j Я •
^>21^01 ~г £>11
В режиме мгновенной остановки Soi = 0 и входное сопротивле-
ние Зо2(м. о) = Bi2/Sn. В режиме холостого хода Soi = оо и
входное сопротивление
д I £12
£>22 П-
С"	°01
*>02 (х. х) ---Б—
Ft	Ьп
£>21 “Г “qTF-
°01
п	.	^12
= б22
г	। £ц	£21
521+—
5.2. ВТОРИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МЧП
Введем первое понятие вторичных параметров — характе-
ристическое сопротивление L; будем считать
характеристическим такое сопротивление, которое, будучи вклю-
ченным на выходе четырехполюсника, обеспечивает на входе
такое же сопротивление, т. е.
L =	= Q2/v2.	(5.10)
175
Если четырехполюсник симметричный (при БХ1 = Б22), то
уравнение (3.30) имеет вид:
Qi — EiiQz + 512п2;
t>i = £21Q2 + БцУ2.
(5-11)
Подставляя в (5.11) значения из (5.10), Q2 = £у2, имеем: QL =
= ^ц£^2 ”1” ^12^2 =	-^12) ^2» ^1 =	4“ j5jiV2 =
= (Б21Ь + Бц) v2. Разделим первое уравнение на второе
L =	= (Б1Х£ + Б12)/(Б21£ + 5iih______ Б21£2 + Б1Х£ =
= БцЬ + Б12; Б21Ь2 = Б12; L = У Б12/Б 21. Это выражение
представляет собой характеристическое сопротивление в зави-
симости от коэффициентов четырехполюсника. Здесь и дальше
перед корнем знак минус опускается; только^в этом случае L
имеет физический смысл.
Рис. 5.1. Входные сопротивления в зависимости от передачи нагрузки:
а — нагрузка от входа к выходу; б — нагрузка от выхода к входу
Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть имеется некоторый
линейный пассивный МЧП (рис. 5.1). Необходимо найти два
сопротивления Lt и Ь2, которые находились бы между собой
в следующем взаимодействии: при внешней нагрузке на выходе,
равной сопротивлению Ь2, в четырехполюснике на входе было
бы сопротивление £х и, наоборот, при внешней нагрузке на входе,
равной сопротивлению £х, в четырехполюснике на выходе было
бы сопротивление Ь2. В первом случае, когда нагрузка передается
(рис. 5.1, а) от входа к выходу, из (5.1) и (5.2) получаем, принимая
для согласованных на входе и выходе сопротивлений:
Li — S'oi —	; Qi = L1V1 и L2 = S02 = Q2 = £2^2.
t>l	v2
B11Q2 4~ &12v2  (В11В2 -|- j>l2) У2 .
B21Q2 + Б22у2 (B2iL2 4- В22) к2 ’
БцБ2 + Б22
(5.12)
Во втором случае, когда нагрузка передается (рис. 5.1, б) от
выхода к входу, из (5.7), (5.8) и (5.9) получаем, принимая для
согласованного на выходе и входе сопротивления:
£5 = 5® = -^-; Q2 = —£2п2; £i = Soi = -^-; Qi = -£i»i;
— v2	—
176
Т	£gaQl — £12^1	__ —V1 (^22^1 +	.
2	°02	_ (___ 521Q1 + 511У1) - -У1 (£21L1 + 511) >
г ^>22^1 ~Ь £12
2	£21^1 + £11
Подставляя из (5.13) в (5.12), получаем
£22^1 Ч~ £12
£21^1 + £ц
£22^1 Ч~ £12
£21^1 + £ц
и после преобразования
(5.13)
12
22
£1=Т/^1|1£.
Г £>21^22
Подставляя из (5.12) в (5.13), получаем:
БцЪ2 -Ь 512 \ I г
^21^-2 + 522 /_
5ц£2 + 512 \ । г
^21^2 + 522 /
и после преобразования
/-2 = V Б 12.Б ЪъКБ цБ 21) .
(5-14)
12
11
‘(5.15)

^2
Четырехполюсник, в котором сопротивление нагрузки S2
равно выходному характеристическому сопротивлению L2, на-
зывается согласованным на выходе.
Пример 1. Используем данные примера 2 главы 3 и Б11=0,9;
Б12 = —/147,5; 52Х = /0,01; Б22 = 2,75. Найдем Lj и L2, используя значения
<21(0; Q2(0; МО; МО-
Из этого примера можно определить, что входное и выходное
сопротивления: S'n =	= 20//0,3 = —/66,6 кгс с/м; S'O2 =
=	= 10//0.075 = —/133,3 кгс с/м.
В режиме мгновенной остановки входное сопротивление (5.3)
Soi (м. о) = Б12/Б22 = —/147,5/2,75 =—/53,6 кгс с/м. В режиме
холостого хода входное сопротивление (5.4) Soi(X.x) = Б11/Б21 =
= 0,9/(/0,01) = —/90 кгс с/м. Сопротивление, согласованное на
входе,	_____________
Ц = У= У °,-о(^/124755)- = /—/90(—/’53,6) =
Г £>21^22	*	Z,/O
= /—4824,
Li = /69,46 кгс с/м.
Введем второе понятие вторичных параметров — коэффи-
циент передачи механического четырех-
полюсника. Пусть имеется четырехполюсник с согласован-
ной нагрузкой, у которого
L2 — <S()2 — Q2/V2 == / Б12Б 22КБ цБ 21)	(5.16)
12 И. А. Дружинский
177
Напишем уравнение в системе Б-параметров, используя (5.16):
Qi = 5hQ2 + 5^2 = 5uQ2 +	.Б^ =
1/ £12^22
К 5и521
= q.U+/
\	Г	£>12^22	/
Qi = q2 (бц + У Б1^Бг1);	'	(5.17)
1>1 = 521Q2 -}“ Б22П2 = ^21U2 У “Ь ^22^2 —
= •>.(«»+ /
\	У <Оц£>21 /
»1 = v2 (ь22 + У -^1^-).	(5.18)
Введем выражение р2 = Lx/L2 или р = УLVIL2, которое
назовем коэффициентом передачи. Используя значения Lx и L2
из (5.14) и (5.15), имеем:
Р2 = У д1-ф2-—= 1/-11Б™Би- = У = 4^;
Г 521522 л/ Д12£22 У Б222^21 У ^22
V Б11Б21
р =/Бп/Б22.	(5.19)
Для симметричного четырехполюсника, когда Бц = Б22,
Р = 1-
Произведем преобразования выражений (5.17), (5.19):
= Бц У^	• ]/Б12Б21 = Бц -|- р VБ12Б21 =
\ н	/
-L -§!- = Бн -££+/адг - УБА + /адг. (5.20)
И 42	у Бц
Произведем преобразование выражений (5.18), (5.19):
%-=ь22+у~^~ /б^г=б22+4	=
&2	Г Ь11	И
= — (Б22Н + yf ^12^21 )>
Г
нт- = (ь22+/адГ;(5.21)
^2	\ г ^22	/
178
так как правые части выражений (5.20) и (5.21) равны, то
(1/р) (Qi/Qa) = |Wi/v2 или Qi/Q2 =
Qi/Ui = p.2Q2/t>2-
Отношение сил на входе и выходе согласованного МЧП, умень-
шенное в р. раз, равно подобному отношению скоростей, увели-
ченному во столько же раз.
Введем третье понятие вторичных параметров — коэффи-
циент распространения механического
четырехполюсника, обозначаемое буквой г:
l/p Q1/Q2 =	= V"^11^22 Н- V^12^21 = ег; (5.22)
In. Qi/pQ2 = In [Wi/y2 = In ег = г.
Если в рассматриваемом механическом четырехполюснике г = 0,
то ег = 1 и
Q1/Q2 — Р-5	= 1/р-	(5.23)
Следовательно, р представляет собой коэффициент передачи
сил или обратных им скоростей четырехполюсника, у которого
коэффициент распространения г = 0. С точки зрения физической
осуществимости выражения (5.23) представляют собой рычажный
механизм или зубчатый редуктор без потерь.
Определим более простые зависимости для коэффициента г.
Пусть дан несогласованный четырехполюсник, у которого L2 ¥=
+ Зю- Из (5.22) напишем, что
ег = 1/^11^22 4" V^12^21»
V 6ц7>22 + V £12621
Умножим и разделим выражение (5.24) на (У^БцБ^ —
— рг512Б21); помня, что (БиБм — Б12Б21) = 1 и (а + Ь)(а —
— Ь) = а* — Ьг, имеем (/БцБ22 )2 — (РХгЬг! )2 = 1> то
е-’ =	= УБА - УБА- (5.25)
Складывая и вычитая выражения (5.22) и (5.25), получим:
ег + ѓà = (V* ^11^22 + 1/^12^21 ) + (1^ £11^22 — 1/" £12^21 ) =
= 2 ]/"БцБ22 ;
сЬг = -^Ц^ = /адГ;	(5.26)
ег — е-г = 2/Б12Б21;
sh г = -<5*1 =	(5.27)
179
12*
Определение уравнений в системе Б-параметров в зависимости
от вторичных параметров L, р, г для несимметричного механи-
ческого четырехполюсника. Будем последовательно определять
коэффициенты матрицы ||Б||. Определение Б1г. Перемножим вы-
ражения (5.26) и (5.19): 
Би = р ch г.	(5.28)
Определение Б12. Перемножим выражения (5.14) и (5.15).
т т  	5ц512 1 / 512522   1 / ^12   512 .
12 - К 521522 V 5u521 -у	4 “ Б21 ’
/ГА = 1/-^-	(5.29)
У 521
Перемножим теперь выражения (5.27) и (5.29):
sh г /ZA =
Б12 = shr/LA?.	(5.30)
Определение Б21. Разделим выражение (5.27) на (5.29):
г _ shГ
Бг1 ~ у-цц"
/ 512521   с
---д-------£»21>
£>12
(5.31)
Определение Б22. Разделим выражение (5.26) на (5.19):
б22=~-	(5-32)
г
Уравнения в системе Б-параметров будут иметь вид:
Qi = -S11Q2 “Ь ^12^2 = Н ch г Q2 “4“ sh г yf
г n 1 n	shr , ch г	(5.33)
— ^21Qz + ^22^2 — 17r-	0,2 н У2-
V L1L2	г
Преобразовывая коэффициенты Бц, Б12, Б21, Б22 по табл. 3.3,
можно получить уравнение для другой системы параметров
четырехполюсников.
Определение уравнений в системе Б-параметров в зависимости
от вторичных параметров £, р, г для симметричного механиче-
180
ского четырехполюсника. При этом Бц = Б22,	= L2 = L;
р, = 1 В таком случае из (5.28) и (5.32) имеем
Бц = Б 22 == chr.	(5.34)
Из (5.30) Бц = Lshr, из (5.31) Б21 =-^.
Поэтому уравнения (5.33) имеют вид:
Qx = ch rQ2 + L sh rw2;
Qx + ch гу2.
(5.35)
Определим из зависимости (5.35) общее выражение для вход-
ного сопротивления S01 симметричного механического четырех-
полюсника, имеющего на выходе произвольное сопротивление
S02 — Qa/f2. Разделим первое уравнение на второе
^oi —
Qi
ch rQ2 + L sh ro2
sh г Л , .
—Q2 + ch ro2
(5.36)
Разделим в этом выражении числитель и знаменатель на и2 ch г,
помня о значении S02 = Q2/f2.
о ___ o024-Lthr ___ Ь (Sea Ц-L th г) .
01 - S02thr ~ S02thr-|-L ’
L +
о ___ L(S024-Lthr)
01 — S02 thr-f-L ‘
Произведем анализ последнего уравнения: если
о _ L(O + Lthr) _ . ...
ooi(M.o) Othr + L —
если S02 = co, то
lfl+ -Tr-thr)
•$01(x.x) = —------------L\
(5.37)
S02 = о, то
(5.38)
thr + -^-
002
5oi (x. x)	= L cth г. thr + —	thr + 0 оо	(5.39)
Из (5.38) имеем	г = Arth Soi(M.o)/L.	(5.40)
Из (5.39) имеем	г = Arcth Soi(x.x)/L.	
181
Исходя из (5.38) и (5.39), можно выражение (5.37) представить:
_ L (S02 + £ th Г) _ ^02 + Spl (м.о) _ 502+ -$01 (и, о) .
01	§02 th г £	so2 | |	S02	, । ’
£cthr+	$01<х.х)
о ____ S02 + 501 (m .0)
d01 (x.x)
Если перемножить (5.38) на (5.39), то имеем:
Soi (м.о)Soi (x.x) = L th г Л cth г =
= l/'Soi (м. o)Soi (x. x) •	(5.41)
Из выражения (5.40) и (5.41):
Г = Arth	=. Arth - 5o1 (*-0)-=
1/ ^01 (m. o)^01 (x. x)
— Arth S(H (m. o)]/^01 (m. o) .
(/s^T)VW^’
г = Arth 1/	« .
V d01 (x. x)
6.3. ЗАТУХАНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Во всех значениях для г нужно отделить вещественную часть
от мнимой.
Из(5.22)ег = УБХ1Б22 + УБ12Б21, а г = In (УБцБ22 +
+ У512Б21). Для симметричного механического четырехпо-
люсника, когда Б1Х = Б221
г = In (Би + /Б^бТГ)-	(5.42)
Так как БпБгг — Б12Б21 = 1, то Б12Б21 = Бц — 1; под-
ставляя эту зависимость в (5.42), имеем г = In (Бц + р^Бп — 1).
Из таблиц функций имеем: Arch и = In (и zt У и2 — 1),
получим г = In (Бц + ]/*5и — 1) = Arch Бп "или из (5.27)
г Arsh У*Б12Б21 .
В общем виде коэффициент г представляет собой комплексную
величину
г = ах + /а2.	(5.43)
В согласованном четырехполюснике, когда Бп = Б12 и р = 1,
из (5.22) имеем: Qi/Q2 = ох/и2 = ег;
г = In Qx/Q2 = In vxtv2.
182
Отношение комплекс-
ных амплитуд QJQz можно
представить в показатель-
ной форме
= Qi/Q2e/t, (5.44)
где С — угол сдвига фаз
между силами Qx и Q2.
Выражение (5.44) можно
изобразить
г = In = In	=
=	4~ /£ = ai Н-
(5.45)
Коэффициент ах назы-
вается собственным зату-
ханием четырехполюсника
и характеризует степень
изменения амплитуд сил
или скоростей при пере-
ходе от входа к выходу;
коэффициент t называется
фазовой постоянной и ра-
вен углу сдвига фаз между
силами на входе и на вы-
ходе (то же для скоростей)
согласованного четырехпо-
люсника.
Величину ах можно из-
образить, как
1 Qi
ln-5i- = ax или
42
_2i. _ о.
Затухание ах можно
рассматривать и как пока-
затель степени, в которую
нужно возвести основание
натурального логарифма
е, чтобы получить отноше-
ние Qx : Q2 (или vx : о2).
Это число содержит ах еди-
ниц, называемых непера-
ми. Затухание ах = 1 Нп
а)
	
wo- 90- 80- 70- 60-	-9,1	7T"I 1	1 «Ь Co XJ QJi
50-	-% 90-	-1,5
. -3 30- -2,3 20-	-2 -3
-1,5 15'	V	-9
-J 10-	~$l	1 1
0-	-7
IpUJ т—г OQ	
В -	Ф	-to
5-	
9-	'У	-15
-1,5 3-	-20
-2,3 2-	-30
-3 f’5~	-3,9	-90
-3,7 i J	L	-50 -60
Рис. 5.2. Номограмма для опреде-
ления затухания
183
соответствует QJQz = v-Jvz
= vx/o2 = e° — 1- Зависимость между ах =
или затуханием
в
а,,об
^Az
100-10s
so- .
80--104
70-
60--Ю3
ся -500
50-
40-100
-50
30-
-20
20+l0
-7
15 ~-5
ю-.3
9- а
8--2,5
7-
±1,12
Рис. 5.3. Номограмма
для определения затуха-
ния
= е1 = 2,78; если = 0, то Qx/Q2 =
.	_ In Qx/Q2 = In l)x/l)2
неперах и Qx/Q2 — изображена на
рис. 5.2, а.
Затуханию в 2,3 Нп соответствует со-
отношение сил Qx/Q2 = 10; затуханию
в 4,6 Нп соответствует соотношение сил,
равное 100; и, наконец, затуханию в 6,9 Нп
соответствует соотношение сил, равное
1000 (рис. 5.2, б).
Зачастую вместо соотношения в нату-
ральных логарифмах In Qx/Q2 берут соот-
ношение в десятичных логарифмах lgQx/Q2;
в таком случае ах = 2 lg Qx/Q2 =
= 2 lg vx/u2 обозначается другой единицей,
называемой белом. Qx/Q2 = ох/о2 = 10°*/2,
но единица бел весьма крупна и ею
пользоваться неудобно, поэтому обычно
пользуются единицей более мелкой, рав-
ной 0,1 Б и называемой децибелом:
ах = 20 lg Qx/Q2 = 20 lg t)x/t»2; Qx/Q2 =
at
= t)x/v2 =10 20
На рис. 5.3 показано, что затуханию
в 20 дБ соответствует соотношение сил,
равное 10, затуханию в 40 дБ соответст-
вует соотношение сил, равное 100, зату-
ханию в 60 дБ соответствует соотношение
сил, равное 1000.
Неперы и децибелы связаны меэ^^д^
собой следующими зависимостями: ах =
= In Qx/Q2 Нп = 20 lg Qx/Q2 дБ. Если
Qx/Q2 = Ю» то In 10 = 20 lg 10 или
2,ЗНп = 20дБ, 1 дБ =2,3/20 = 0,115 Нп;
1 Нп = 20/2,3 = 8,686 дБ.
Если любое число децибелов увеличи-
вается или уменьшается на величину,
кратную 20, то соответствующее отноше-
ние сил или скоростей увеличивается или
уменьшается в 10" раз, где п— число раз
увеличения или уменьшения децибелов.
Приближенные соотношения: 1,5 соответ-
ствует 3,5 дБ; 2 соответствует 6 дБ;
2,5 соответствует 8 дБ, 3 соответствует 9,5 дБ; 10 соответствует
20 дБ Следовательно, 34 дБ = (20 + 8 4-6) дБ = 10x2,5-х
X 2 = 50 (точная величина 50,12).
Ориентировочно 1 дБ соответствует около 11,5% увеличения
или уменьшения скорости или силы.
6—2
5--1,8
-1,6
-1,5
-i,s
-1,3
2--1,25
ч
з
1,5- 1,2
184
5.4. ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ
И РАСЧЕТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ
Необходимость защиты конструкции от возможных колебаний
в диапазоне нежелательных частот или снижения амплитуд за-
ставляет изучать природу этих колебаний, создавать устройства,
демпфирующие колебания в области определенных частот или
заметно снижающие их характеристики.
Рис. 5.4. Графики идеальных фильтров: а — фильтр нижних частот;
б — фильтр верхних частот; в — полосовой фильтр; г — заграждаю-
щий фильтр
п — полоса пропускания; з— полоса затухания
В общем виде фильтром называют последовательность из
нескольких одинаковых четырехполюсников, соединенных между
собой таким образом, что выход предыдущего четырехполюсника
является входом последующего четырехполюсника. В частности,
механическим фильтром 1 будем называть устройство, способ-
ное отделять друг от друга механические колебания разных ча-
стот. Фильтр представляет собой пассивный четырехполюсник,
пропускающий некоторую определенную полосу частот с малым
затуханием; те полосы частот, которые не пропускаются филь-
тром, имеют большее затухание.
В дальнейшем будем пользоваться терминами полоса про-
пускания — это полоса частот, в зоне которой затухание
1 Классической моделью механического фильтра является струна, нагру-
женная равноотстоящими массами в виде бус; подобную модель исследовал Лаг-
ранж еще в XVIII столетии в работе «Аналитическая механика».
185
амплитуд колебаний небольшое; полоса затухания —
это полоса частот, в зоне которой затухание амплитуд колебаний
большое.
Значение частот, соответствующих границам полос пропус-
кания и полос затухания, носит название граничных частотфильтра.
В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры
бывают (рис. 5.4) для низких и высоких частот, полосовые (одна
полоса пропускания), заграждающие (две полосы пропускания
и одна полоса затухания).
Наименьшее число элементов, из которых может быть образо-
ван механический фильтр, соответствует двум; это может быть
прямое или обратное Г-образное звено; кроме того, фильтр мо-
жет состоять из трех элементов и в простейшем виде образующих
Т- и П-образные звенья (рис. 5.5).
Характеристические сопротивления для двухэлементных Г-об-
разных механических четырехполюсников (рис. 5.5, а, 6) со сто-
роны последовательного и параллельного элементов цепи. Пусть
£д — характеристическое сопротивление со стороны элемента, на-
ходящегося в последовательном соединении и Ln — характери-
стическое сопротивление элемента, находящегося в параллель-
ном соединении цепи. В таком случае для прямого Г-образного
четырёхполюсника, помня, что = (Sj + S2)/S2; Б12 = Sx;
= 1/*S2; Z>22 = 1:
186
1)
на основании (5.14) имеем, помня, что Ь'л = у Б^ё^ ’
//Si + Sa \ ех
V = /$!($!+ $а).
S7
Подставляя значения S^^ySjj иХ2 = (2S2) по рис. 5.5, а,
имеем:	__________
а; - /4(4+2S0 = j/4 (1 + 4) =
= =4/?+^;
2) на основании (5.15) имеем, помня значения коэффициентов:
т' _ ~\f БцБд _ Г_________ I / .^1^2	,
д~ Г 511521 “V /51+5г\ 1 И S1 + S8 •
Г \	$2	/ Sa
Подставляя значения для Sx и S2 по рис. 5.5, а, имеем:.
При расчете механических фильтров, когда соединяются два
Г-образных четырехполюсника, целесообразно обозначать коэф-
фициент распространения через г/2, чтобы при согласованном
последовательном соединении получился бы Т- или П-образный
четырехполюсник с коэффициентом распространения г (рис. 5.5, в, г).
Из (5.26) имеем, подставляя вместо Sx = 1/2SX [и S2 = (2S2)
ch-J- = Т/А±^- = 1Л
* F 4o2	'
187?:
Из (5.27) имеем:
sh -g- = ]/5i2/>2i = J/^Si	’
*4 =/14	<5-46>
Произведем определение характеристических сопротивлений
для обратного Г-образного четырехполюсника на основании (5.15),
помня, что Ьд = Ln и что Бхх = 1; Б12 = Sx, Б2Х = 1/S2; Б22 =
= (Sx + S2)/S2,
Подставляя значения для Sx = f-g- Sx^ и S2 = (2S2)
Подставляя значения для Sx и S2, имеем:
- /4 (4+2S«) = /4 (1 + х)=
Для дальнейшего использования запишем значение матрицы
для прямого и обратного Г-образного четырехполюсника при вы-
бранных значениях Sx = (X/2SX) и S2 = (2S2), удобных для полу-
чения симметричных Т- и П-образных четырехполюсников. Для
прямого Г-образного МЧП
/ ) | $! \
'г'=1“Р'	1	2
^21	-02211	1	1
2$2	1
188
Для обратного Г-образного МЧП
Бц Б1%
1
1
2S2
Характеристическое сопротивление для трехэлементных четы-
рехполюсников. Т-образный МЧП. Воспользуемся ранее выведен-
ными соотношениями (5.14) и (3.77)	= ]/ЛБ11Б12/(Б21Б22);
Я —
(Si 4- S3) «
=
Si ~F S2 4~ S3 \ / Sx 4~ S2 \
S2S3 / \ S2 /
S1Sj(S1 + S3)
V (Si + S2) (Si + s2 + s3)
Подставляя выбранные значения по рис. 5.5, д Sx
S2 = 2S2; S3 = 2S2, получаем
= ‘51;
Si(2S3)8 [St + 2S2]
(Sx + 2S2) (Sx + 2S2 4- 2S2)
4SjS^
Si + 4S2

2S2_
Яг
(5.47)
(5.48)
Для дальнейшего использования, согласно выбранных по
рис. 5.5, д значений Sx, S2, S3, напишем матрицу симметричного
Т-образного МЧП:
1|5|| =
5ц
52i
512
522
/Si + 2S2\
\	2S2	}
/ Si -j- 4S2 \
\	4S1	)
S1
/ Si + 2S2 \
\	2S2	)
(5.49)
П-образный МЧП. Воспользуемся ранее выведенными соотноше-
ниями (5.14) и (3.80) Lx — VБ12!Б2ГБ

л/ \	; к s2
Г Ш (ЯЯ)
_ I (Si 4~ s2) (SXS2 4- S1S3 4~ S2s3)
У	(S2 + S3)
Si -|- S2 \ / S1S2 SiS3 S2S8
189
Подставляя выбранные значения по рис. 5.5, е S1=Sa = -^-;
Для дальнейшего использования согласно выбранным' по
рис. 5.5, е значениям Sj, S2, S3 напишем матрицу симметричного
П-образного МЧП:
£ц 2>12
/>21
Условие существования полосы пропускания механического
фильтра рассматривается в предположении, что фильтр работает
на согласованную нагрузку.
Из (5.23) прир = 1 имеем
-£-=-^ = ег или -^- = -^=е"г.
Q2 и2	Qi
При наличии п звеньев
Q2 > Q3 =	..........Qn = Q«-ie
или Q3 — Q2e~r = Q1e~r-e~r = Qxe-2r;
Qn = Qie~ (п~1} г или Qx = QnJn~1} r. (5.52)
Такая же зависимость существует для скоростей = une('!-I) г.
Если Г-образный или симметричный Т- или П-образный четырех-
полюсник состоит из одних масс и упругостей, то Sx = =t /aj;
S2 = — /<т2- При этом Oi и сг2 — абсолютные значения сопротив-
лений будут для массы положительные +<от, а для упругости
отрицательные — k/a.
Для того чтобы четырехполюсник мог выполнять функции
фильтра и имел бы полосу пропускания, необходимо, чтобы эле-
менты его были разными: знаки у Sx и S2 должны быть разными.
Действительно, согласно (5.43), (5.45) г = аг + /а2; «1 — In Qt/Q^,
а8 = £. В таком случае sh г/2 = sh (ах/2 + /а2/2). Из теории
гиперболических функций известно, что sh (х + у) = sh х х
19а
Xch у + ch x- sh у, поэтому sh (x + 1У) — shx-ch jy + ch x x
xsh jy Помня, что sh jy = / sin у и ch jy = cos у, получаем
sh r/2 = sh (ax/2 + jaa/2) = sh -y- cos — + j ch -y- sin -y .
Принимая во внимание (5.46), что sh r/2 = l/S^Sa,
sh = sh cos + j ch -f sin f	.
Допустим	___
(5.53)
тогда
ch-у sin-у-= 0.	(5.54)
Гиперболический косинус от действительного аргумента всегда
больше нуля (chax/2> 1), то на основании (5.54) sin аа/2 т= 0,
и в таком случае cos аа/2 = =Ы, и уравнение (5.53) примет вид:
sh aJ2 = ]/04/404. Здесь аг > 0 и четырехполюсник не имеет
полосы пропускания и не является фильтром. Для того (чтобы
четырехполюсник становился фильтром, необходимо, чтобы Sx
и S2 имели бы разные знаки: Sx = ± /<тх; S2 = =й /ff2- В таком
случае выражения (5.53) и (5.54) должны иметь обратные зна-
чения, а именно:
sh-ycos-у = 0.	•	(5.55)
chfsln-b = =)/i.	(5.56)
Исходя из этих выражений,
shi = /(chislnf) = =)}/A.
Зависимость (5.55) может иметь два решения, когда shax/2 = 0
или cos аа/2 — 0; в первом случае согласно графику функций
(рис. 5.6) при ах = 0 ch ах/2 = 1 и поэтому из (5.56) sin а212 =
= =±]/ох/4оа.
Это очень важный вывод; по такой зависимости изменяется
величина аа — коэффициент фазы четырехполюсника в полосе
пропускания. Во втором случае выражение (5.55) cos а212 — 0
соответствует полосе затухания. При этом аг = в выражении
(5.56) sin аа/2 = — 1 и ch ах/2 = у ох/4оа. По такой зависимости
происходит затухание фильтра в полосе затухания.
Итак, необходимыми и достаточными условиями существова-
ния полосы пропускания являются два положения: 1) сопротив-
ления ах и оа должны иметь разные знаки; 2) по абсолютной ве-
личине <4 должна быть меньше 4<та, то есть 04 < 4оа.
191
Определение ширины пропускания механического фильтра.
Ранее найдено, что сопротивление мгновенной остановки (5.38)
SM о = L th г и сопротивление холостого хода (5.39) Sx х =
= L cth г.
Для симметричного Т-образного четырехполюсника сопроти-
вление (5.48) Lx = =t(2S2)/]/l + 4S2/SX. Для симметричного
Рис. 5.6. Экспоненциальные и гиперболические
функции
П-образного четырехполюсника (5.50) сопротивление Lx =
= =tSx/21^1 + 4S2/Sx Сопротивление мгновенной остановки
для симметричного Т-образного МЧП из (5.3) и (5.49) SM. о —
= БХ2/Б22 = 2SxS2/(Sx + 2S2) Сопротивление холостого хода
из (5.4) и (5.49) Sx. х = БХХ/Б2Х = 2S2(SX + 2S2)/(SX + 4S2).
Для симметричного П-образного МЧП из (5.3) и (5.51)
о ____ Б12 _(4$2 ~4~ Sx) SX2S2_Sx (4S2 -р Sx),
“• 0 — Б22 ~ 4S2 (2S2 + Sx) ~ 2 (2S2 + Sx) ’
192
также из (5.4) и (5.49)
о ____ fin _ (2S2 4~ Si) S2  2S2 4- Si
x-x — fin 2S2	2
Из (5.38) известно, что SM.O — L th г и Sx x =	, отсюда
+h г__ S». Q _ sM, Q ..
inr j- - Sx xthr ,
• thr=y^i. 
Для симметричного Т-образного МЧП
ft. г  1 f Sm. о   1/” 2SiS2 (Si 4S2)	_ 1 f Si (Si 4* 4S2),
Г Sx.x “ Г (S14-2S2)(S14-2S2)2Sa	V (Sx4-2S2pr
= /‘+>
Й + 23,)	S,(l+^)	1+^ ' ’
Для симметричного П-образного МЧП th г = |/ -^-2
th _ ~|/ SX(SX4-4S2)2	_ 1/ S1 0 + Si ) _ У1 + Si
. V 2(S14-2S2)(Si4-2S2) Г (SX4~2S2)2 ~(1_)_М2^'
Выражение для th г получается одинаковым для обоих видов
звеньев (Т- и П-образных).
Для определения границ полосы пропускания коэффициент г
должен быть мнимым на том основании, что Arth /х. = / arc etg х.
Если
]Л+^
r = Arth—----45.57>
'	~ Si
то выражение под корнем должно быть отрицательным 1 +
+ 4S2/Sx < 0.
Вторым пределом будет значение (— оо):
— оо < 1 4-^- < 0
или	1
—	1.	(5.58)
Это неравенство представляет собой зависимость для определения
ширины полосы пропускания для фильтра, составленного из
симметричных Т- или П-образных звеньев и нагруженного на
характеристическое сопротивление.
13 и. А. Дружииский	193
Частотными характеристиками фильтра являются зависимости
ах(©) — амплитудно- и а2(ю) — фазо-частотная характеристики.
В полосе пропускания фильтра затухания ах = О и частотная
характеристика ах (to) сливается с осью частот. Найдем вид функ-
ции ах (со) в полосе затухания.
Из теории гиперболических функций известно, что ch (%+//) =
= ch x-ch# + shX'Sht/, поэтому chr = ch (ax + /a2) = chax X
Xch /a2 + sh axsh/a2, известно, что ch/x = cos x и sh Jx =
= j sin x, поэтому chr = ch ax cos a2 + j shax sin a2.
Для T- и П-образных МЧП (5.34), (5.49), (5.51) chr = Бхх =
= 1 + Sx/(2S2). Следовательно, chr=ch ax cos a2+/ sh ax sin a2=
= 1 +Sx/(2S2). Известно, что Sx = /<тх, S2=/a2 — величины мни-
мые, a 1 + SX/(2S2) — величина вещественная. Для того чтобы
chr=l+(/ox)//2o2=l+ (ох)/2а2, необходимо, чтобы shax sin а2=0
и ch ах cos а2 = 1 + SX/(2S2).
Механический фильтр нижних частот. Рассмотрим динамиче-
скую систему, состоящую из масс и упругостей (рис. 5.7, а) и ее
механическую цепь (рис. 5.7, б). Из (5.58) известна зависимость
для определения ширины пропускания фильтра — оо < 4S2/SX <
< — 1.
Для рассматриваемого случая Sx = jam, S2 = — j (k/a) и
5a/Sx = — jk/a/(jam) = —k/(azm). Пусть ©0 = У k/m.
В таком случае
S2/Si = — ©о/®2.	. (5.59)
Определим границы полосы пропускания фильтра. Нижняя
граница полосы пропускания ©х определится из зависимости
4S2/Sj = — 4©o/®i = — оо,
откуда
©х = 0.	(5.60)
Верхняя граница полосы пропускания ©2 определится из
выражения — 4©о/©2 = — 1, откуда
©2 = — ]/Г4соо = 12©о|.	(5.61)
Итак, для фильтра нижних частот (ФНЧ) ®х = 0, со2 =
= 2]/^ k/m. Следовательно, в интервале частот от ©х = 0 до
®2 у такого фильтра будет полоса пропускания, а при © > ®2
будет полоса затухания. В неравенстве 0 < © < ©2 коэффициент
распространения г имеет мнимое значение; вещественное значение
он принимает в полосе затухания, т. е. когда © > ©2. В полосе
пропускания амплитуды сил и скоростей при следовании волны
вдоль фильтра остаются постоянными; в полосе затухания ампли-
туды сил и скоростей уменьшаются с каждым звеном, составляю-
щим фильтр.
194
Из выражений (5.52) и (5.58)
Qi
Qn
(п—1) Arth
(5.62)

= е
Эта зависимость возрастает тем быстрее, чем больше число
звеньев и, составляющих фильтр. Для того чтобы не было смы-
ш, =0	ш
Рис. 5.7. Механический фильтр нижних частот
вания, нерезкости на границе пропусканий и затуханий, следует:
конструировать фильтры из большего числа звеньев (на рис. 5.7, г
показаны амплитуды колебаний постоянных в полосе пропуска-
ния и убывающих в полосе затухания); вводить пассивные эле-
менты в параллельные ветви механической цепи фильтра нижних
частот (массы с наименьшими сопротивлениями на нижних
13*	195
частотах и с наибольшими на верхних) и в последовательные соп-
ротивления (упругости с малой подвижностью на нижних ча-
стотах и с большой подвижностью на верхних).
Графическое определение (рис. 5.7, в) полосы пропускания
МФНЧ производится построением изменений функций сопротив-
ления элементов, составляющих фильтр — в данном случае Зх =
= | ат |, и другого сопротивления, взятого с обратным знаком,
32 = |—k/a |; точка пересечения рх двух кривых определяет
частоту резонанса ©0; верхняя граница ФНЧ со2 = 2^k/m'>
естественно, что нижней границей фильтра будет ®х = 0.
В настоящей работе рассматриваются фильтры только для
симметричных Т- и П-образных, а также несимметричных Г-об-
разных четырехполюсников.
Пример 2. Пусть дана система (рис. 1.13, a). Qx = 10 кгс; тх = та =
= та= 2 кгс-с2/м; Лх = kt= k3 = 1000 кгс/м. Нужно определить границы
пропускания фильтра: S1j=Jwm1 = /2<о; S2= k1/(j<a)= 1000/(/(о), известно,
что <оо = Vk1/m1 = j/"^^s22,4 1/с.
Нижняя граница полосы пропускания определяется из условия (5.60)
<вх = 0; верхняя граница полосы пропускания определяется из условия (5.61)
4coq/«>2 = 1, при этом <о2 = 2<о0 = 2-22,4 s 45 1/с. Затухание силы для треть-
его звена определится из уравнения (5.62)
(п—1) Arth
.А
Ь Sx
2S2
Sx
2Arth
Qi
Qs
1/~1	4000
2Arth \
Q1	~
Q3
4 Л000
’ /(й/2®
2ЛООО
/ со • /2(0
= е
= е
©i = 50 1/с, Q3 = 3,88 кгс; со2 == 75 1/с, Q3 = 1,59 кгс, <о3 = 100 1/с, Q3 = 0 кгс.
Механический фильтр верхних частот. Теоретически механиче-
ская цепь фильтра верхних частот должна бы иметь вид, изо-
браженный на рис. 5.8, а. Однако осуществить подобную схему
не просто из-за того, что масса имеет один неподвижный конец
и не может соединяться цепочкой, если число элементов массы
более одного.
В полученной схеме в качестве параллельной ветви включена
упругость, которая будет представлять большое сопротивление
для низких частот и, таким образом, способствовать их удержа-
нию. В последовательную ветвь включена масса, которая будет
увеличивать подвижность на низких частотах и уменьшит подвиж-
ность на высоких частотах. Таким образом, в фильтре верхних
частот Sx = к/(/(о); S2 = jam.
Графическое определение (рис. 5.8, б) полосы пропускания
механического фильтра верхних частот производится построением
196
изменения функций сопротивления элементов составляющих
фильтр — в данном случае Sx = k/(jai) и другого сопротивления,
взятого с обратным знаком S2 = — jam. Точка пересечения р2
двух кривых определяет частоту резонанса со0; нижняя граница
ФВЧ определяется так: — 4S2 = — 4®/п; 4со1/п = fc/cox; =
Рис. 5.8. Механический фильтр верхних частот
= Л/4/n; <ох = 0,5 Ыт. На всех более высоких частотах | Зх| <
< |4S2[; поэтому все частоты, превышающие ©х, относятся к по-
лосе пропускания; полоса в пределах от со = 0 до ®х есть полоса
затухания.
Ранее в п. 1.8 было установлено, что свободный рычаг, нагру-
женный тремя сопротивлениями (рис. 5.8, в) Зъ Sa, S3, может
быть заменен механической цепью (рис. 5.8, г), при этом сопро-
тивлениями могут быть любые пассивные элементы, в частности
и массы. Исходя из этого, можно представить механический фильтр
верхних частот (рис. 5.8, е, ж, з) в виде подпружиненной шарнир-
197
ной системы, у которой между шарнирами расположены массы.
В таком конструктивном выполнении механическая цепь будет
изображена на рис. 5.8, а. Также исходя из ранее выполненных
решений (1.8), для фильтра (рис. 5.8, в) можем написать для схемы
на рис. 5.8, г
S2 =	4- М2] S2 и S3 = (%2/М)2 S3.	(5.63)
Для того чтобы приведенное сопротивление каждого после-
дующего рычага равнялось действительному его сопротивлению
(S3 = S3), достаточно сделать рычаги равными, т. е. М = Х2.
Следует отметить, что собственно длина плеч не имеет значения,
а в рассматриваемую схему входят приведенные, а не истинные
значения масс, расположенные в середине рычагов. Из (5.63)
можем написать: S2/S2 = Хг/(М + Х2)2 = tn\Jmi = 1/4, mi =
— 4m'i.
Последняя, очень важная зависимость показывает, что истин-
ное значение масс нужно брать в четыре раза больше того зна-
чения, которое рассчитано, исходя из граничной частоты по экви-
198
валентной схеме фильтра. Эта граничная частота определяется
согласно (5.59) S 2/5х = (jam) ja/k = (/со2 *) mlk = — со2/©о; при
этом для нижней границы 4(о2/®о = 1, откуда coj = 1соо/2.
Для верхней границы 4®г/®о = откуда (о2 = оо. На рис. 5.8, д
показан график изменения частот фильтра.
Механический полосовой фильтр. Ранее на рис. 5.4, в отмечен
механический фильтр, у которого имеется по несколько полос
пропускания и затухания. Представленная динамическая система
(рис. 5.9, а), состоящая из масс и упругостей, причем в отличие от
фильтра нижних частот (рис. 5.7, а) в данной конструкции до-
полнительные упругости ku k3, k5 соединяют соответствующие
массы с основанием. Эта система представляет собой механичес-
кий полосовой фильтр. Соответствующее преобразование дина-
мической системы (рис. 5.9, б) позволяет получить механическую
цепь этого полосового фильтра (рис. 5.9, в).
Граничные частоты будем определять так:
Si = /СО/И! + А = j(i)tni =	s2 = fa
^2
S2 _________/со___________k2(0	_	k2 j
si ~	~ /<>/ Hi®8 — fei)	(«iW2—*0
S2	1	1/^2
=	; если ПРИНЯТЬ(Й<>2= то
ю k2 k2
$2_ =_______1
Si	со2*i
“02	*2
Нижняя граница ®oi полосового фильтра находится из условия
_	I «1
«02	*2
(0? = (0^4t = A.41=A = (d2 .
Поэтому
к2 nt! к2 т.!
Верхняя граница <о2 полосового фильтра находится из условия
4 i_A-i.
51 '	_1_А
®Q2 ki
®2 = /4 4- ~\ CDQ2 = 4(002 + -Т1- •	= 4®02 +	;
\	«2 /	' Л2 /П1	/П1
2	,2.2
С02 = 4(002 -г ®01*
199
Таким образом, учитывая выражения для и ©2, установим
полосу пропускания полосового фильтра (рис. 5.9, а)
(01 < (0 <	(001 <С (0 <С 4©02 + ®01.
На рис. 5.9, д показана конструктивная, схема полосового
механического фильтра.
Механический заграждающий фильтр. Для контроля колеба-
ний в динамических системах при различных частотах, когда
1
(Do (iff шг ш3 ш
Рис. 5.10. Механический заграждающий фильтр
вероятно появление нескольких полос колебаний и, следовательно,
возникает необходимость в подавлении этих колебаний, наиболее
реальным устройством для этих целей является использование
заграждающих фильтров. Такие заграждающие фильтры подав-
ляют скорости линейные или угловые, частоты которых нахо-
дятся между двумя предельными частотами и пропускают ско-
рости всех частот, не входящие в эту полосу. Как было выяснено
ранее, ширина пропусканий фильтра — оо < 4S2/SX < — 1.
Следовательно, подавление частот происходит когда S2/Sx по
абсолютной величине не меньше четырех и, наоборот, будут
пропускать скорости с частотами, имеющими отношение S2/Sx
в пределах от нуля до минус четырех.
Пусть дан фильтр, механическая цепь которого (рис. 5.10, а)
состоит из последовательно включенных в параллельной ветви
массы и упругости и параллельно включенных в последователь-
200
ную ветвь тоже массы и упругости. Одно из возможных констр ук-
тивных решений такого фильтра показано на рис. 5.10, б.
Граничные частоты будем определять так:
Вначале определим сопротивление для параллельной ветви
1 _	1	.	/6) _ kt — СО2^! .	g
Sx	/СО/ПХ	‘	kx ~ /СО^х/Пх ’	1	kx — Ш2Шх *
Определим S2 для последовательной ветви
S2 = /шт2 + Л- =	.
2	2 /СО	/со
Возьмем отношение
£2 — co2m2
S2 __ /со _ (fe2 — co2/n2) (kt — co2mi)
Sx /co&xftii
kr — co2mx
k2 ( 1 _	f 1 — -^co2")
_	2 \ k2 /	\ kj )
—ti^kitni
Возьмем
В таком
®oi = V~ и «оа = 1^--- и
Г /«Х	Г /И2
случае:
2	2	2
пусть COoi — ©02= С0х.
Sx	—<о2апх
Выражение kilmi = k2lm2 умножим на kjki, так
t ^*2 __ ^2	^2 *	^2 __ ^2	^*2	^2
mi ki т2 , ki ’ mi ~ т2 kt 02 ki
В таком случае
/| W2 \2 2 *2	Л ®2 \2 k2
О 2  	\____Л /______ __ \______ /______
Si	и2	<оа
Из этого выражения получаются граничные частоты (рис. 5.10, в).
ГЛАВА 6
СРЕДСТВА КОРРЕКЦИИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
6.1.	ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Под передаточной функцией системы будем понимать отношение
изображений выходной величины к изображению входной вели-
чины при нулевых начальных условиях; передаточная функция
дает полное представление о динамических свойствах системы и
может быть задана в аналитической форме частотной характери-
стикой. Обычно при исследовании динамической системы в ка-
честве входной величины используют синусоидальную (гармони-
ческую) функцию, изменяющуюся с определенной частотой: по
входной величине наблюдают поведение системы и в частности
выходной величины, ее амплитуды и начальной фазы.
Будем считать, что А (р) изображение выходной величины,
а В(р) изображение входной величины, тогда (4.1) передаточная
функция К (р) = А (р)/В (р). Частота р в выражении К (р)
является комплексным числом р = (3 + /со. В частном случае,
когда частота изменяется вдоль мнимой оси (0 = 0, р = /со),
передаточная функция равна амплитудно-фазовой частотной ха-
рактеристике К (р) = К (Ja).
В динамических системах используются последовательные и
параллельные соединения.
При последовательном соединении МЧП выходная величина
предыдущего четырехполюсника является входной величиной по-
следующего. Пусть известны передаточные функции отдельных
четырехполюсников (рис. 6.1, а).
Кп(р)~га-
Произведение всех передаточных функций будет
(6.1)
По определению Лх(р) = В2(р); Л2 (р) = В8 (р); Л(„„1) (р) =
= Вп (р).
В таком случае, производя сокращения в (6.1), имеем К. (р) =
= Кх (Р) -к8 (Р) ... Кп (Р) = К (Р) =КХ (Р).ка (р)... Кп (Р).
202
Передаточная функция последовательного соединения четырех-
полюсников равна произведению передаточных функций отдель-
ных МЧП.
При параллельном соединении МЧП на вход всех четырех-
полюсников с передаточными функциями (р), К2(р),.. , Кп (р)
подается общая входная величина В (р), а выходная величина
А (р) является суммой выходных величин отдельных- четырех-
полюсников (рис. 6.1, б), при этом
А (Р) = А, (р) +
+ Ла(р)+ ... + А„(р),	(6.2)
At (Р) = Ki (Р) В (р), А8(р) = К2 (р) В (р) ... Ая (р) =
= Кп (р) В (р).
В таком случае из (6.2)
Л(р) = В(р) [Т(1(р) + к2(р) + ... + К„(р)];
К	= - W = (Р) + (Р) + • • • + ^ (Р) •
Передаточная функция параллельного соединения четырех-
полюсников равна сумме передаточных функций отдельных МЧП.
Произведем одновременное исследование изменения амплитуд
и фаз проходящих входных и выходных величин в динамической
системе, применяя метод комплексных величин.
Пусть комплексное значение входной величины В = ВеЛ«,
а комплексное значение выходной величины А = Ле^«.
Отношение комплексных значений выходной и входной вели-
чин является также комплексной величиной и называется комплек-
сной передаточной функцией или комплексной подвижностью
системы: К. (/и) = А/В.
Обычно считают, что начальная фаза входной величины равна
нулю и для упрощения берут £2 = £; в таком случае, помня,
203
что е^1 = е/° = 1, напишем
К(» = Ле/Е/В = /<(й))е,е<<й).	(6.3)
Модуль К (®) комплексной передаточной функции показывает
отношение амплитуд выходной и входной величин, а аргумент
(со) отмечает происходящий в динамической системе сдвиг фаз;
построение графика зависимости К. (со) и £ (со) называют соответ-
ственно амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками
динамической системы.
Выражение (6.3) можно преобразовывать следующим образом:
К (/<о) = П1 + ja2 = К (со) е/: (ш) == К (со) [cos С (со) + j sin С (со)];
К (jto) = К (to) cos t, (со) 4- /к (со) sin С (to).
Здесь первый член правой части ах вещественная частотная
характеристика, а второй член а2 мнимая частотная характери-
стика, при этом
К (to)	У alal	(6.4)
g (®) = arctg-у-.
ai
Величина обратная К (/со), т. е. 1/[К(/<в)] называется ком-
плексным сопротивлением звена или системы.
6.2.	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Логарифмические координаты. Для практического применения
частотные характеристики удобно наносить в логарифмических
координатах. Действительно, ведь десятикратному изменению
частоты соответствует изменение логарифма только на единицу;
характеристики простых динамических звеньев при этом изо-
бражаются в виде отрезков прямых линий. Самое главное, что
при использовании логарифмических характеристик можно сравни-
тельно легко оценить качество динамической системы, а также
определить, как будет реагировать система на вводимые изме-
нения в соединение элементов и звеньев.
Таким образом, логарифмической называют такую систему
координат, в которой по обеим осям координат вместо числовых
значений величин откладывают логарифмы этих значений. Си-
стема будет полулогарифмической, если логарифмы значений
откладывают только по одной оси. Для изменения комплекс-
ной передаточной функции в логарифмическом масштабе приме-
няют ранее рассмотренную единицу — децибел. Ординаты лога-
рифмической амплитудной характеристики L (со) (в дБ) опре-
деляют следующим образом: L (to) = 20 1g А/В = 20 1g К (to)
или 201g К.
Пример 1. Подставляя значения К (6.4), получим выражения: 1) К =
= 10; £(<»)= 20 1g 10 =20-1 = 20 дБ; 2) К=20; L (<в) = 20 1g20 =
204
= 20 (1g 2 + 1g 10) = 20 (0,3 + 1) = 26 дБ; 3) К = 100; L (<o) = 201g 100 =
= 20-2= 40 дБ; 4) К = 200; L (to) = 20 1g 200 = 20 (1g 2 + 1g 100) =
= 20 (0,3 + 2) = 46 дБ.
При анализе частотных характеристик в логарифмическом
масштабе применяется новая единица измерения — декада. Де-
кадой называется диапазон частот, в пределах которого частота
изменяется в десять раз. При двукратном изменении частоты счи-
тается, что частота изменилась на октаву. Таким образом, число
октав, расположенных в интервале частот ®х и <о2 определяется
соотношением
1g
<°1 _	*	I,-, юа _о оо i„ <*>2
1g 2 “ 0,3 Ig	’
при этом число декад, расположенных в этом же интервале ча-
стот <ох, со 2 будет 1g <о2/<»х.
Логарифмические частотные характеристики определяются вы-
ражением для передаточной функции системы или звена (6.3);
после логарифмирования при In е — 1 имеем:	«
In К (/©) = In К (®) + /С (со) In е = In К (со) + /£ (®).
Кривые, построенные в логарифмическом масштабе частот dn (<о),
соответствующие выражению In. К (<о), называют натуральной
логарифмической амплитудно-частотной, а соответствующие вы-
ражению £ (со) — натуральной логарифмической фазо-частотной
характеристиками.
6.3.	ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОСНОВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Основными звеньями, которые позволяют осуществлять опре-
деленные физические явления, являются следующие: инерцион-
ное; безынерционное; форсирующее; дифференцирующее; инте-
грирующее; колебательное.
Инерционное звено образуется в результате соединения эле-
мента, способного запасать энергию, и элемента, создающего по-
тери энергии (рис. 6.2, а).
Рассмотрим построенную схему механического четырехпо-
люсника (рис. 6.2, б). Напишем уравнение четырехполюсника
в системе S-параметров:
Qi =	-f- S12o2; 1
Qa = Sai^i "Ь S22t>2. )
Коэффициенты матрицы обратного Г-образного соединения (3.76)
Su = S2 = —;	S12 — S2 =
Sal = S2=^-; S22=-(S1 + S2) = -(A + r).
205
В таком случае	k
Qi — ^2^1 — S2v2 = (t>i — v2);
Q2 = S2w г (Si + S2) o2 = — t>i — ro2 —— v2 =
k ,	4
= -^i —t>2)-ro2;
В таком случае
Qa == Qi — Q2 -£ •
Обозначим r/k = T,
Q.z +Q^Tp = Q.i, (6.5)
«М =7FM -I6-6)
Рис. 6.2. Инерционное звено
Дифференциальное уравнение (6.5) решается так
r-^+Q2-=Qi;. TdQ2 = -(Qil-Q1)^;
__ dt  dQ% ______ d (Q2 — Qi)
У 0.2 Qi Q2 Qi
После интегрирования (—t/T) + In C == In (Q2 — Qi), здесь C —
постоянная интегрирования.
206
В таком случае
е т eln с = e,n (Qj-Q1) »
так как
elnC = C; eln (Qs-Q1) = Q2 - Qx, то Ce"^’ = Q2-Q1.
Значение постоянной С найдем так:
«—
в момент t = 0 сила на выходе Q2 = 0 и Се т = —Qi (е° = 1),
С = —Qx и, окончательно,
_ j_	/	__ _f_\
Qi® = Q2 Qi> Qa= Qi v е /.
Эта зависимость характеризуется нарастанием по экспоненциаль-
ному закону величины Q2 (от нуля до максимума), имея аперио-
дический характер (рис. 6.2, в).
Используя (6.6), напишем значение комплексной передаточ-
ной функции
к —	1	_ i — i^T	1 —i<£>T
W 7	14-/®?	(1+/©Т)(1-/©Т)	1 +<№ -	(
Это выражение можно представить
Д’(/<») = 01 + ja2 — j _j_ш27,2	j	) •
Модуль
К (со) = У al + а1=У ( t +1ю2Г2) + (1+“^т) ;
К( \ — 1/ 1 4- ®2?2 _	1
Л ~ V (1 + ®2?2)2 ~ /1+(02Г2 "
L (со) = 201g (/ 1 4- со2?2)"1 = — 201g V1 + со2?2.	(6.7)
Фазовая характеристика £ («о) = arctg aa/ai;
—<оТ
t, (со) = arctg	= — arctg <лТ.
1 + <o2T2
При со < 1/Т можно пренебречь величиной со2Т2 по сравнению
с единицей. Из (6.7) L (со) = — 20 1g 1 = 0 при со > 1/Т можно
пренебречь единицей по сравнению с величиной со2Т2
L (со) = — 20 1g Тео;
при со = 1/Т; L (со) = — 201g/2 = — 20 1g 1,41 = — 20Х
х 0,15 = — 3 дБ.
Эта частота называется сопрягающей, причем значение (— 3 дБ)
величина наибольшей ошибки при сопряжении. Поэтому ЛАХ
207
может быть представлена двумя прямолинейными отрезками
(рис. 6.2, г). Точкой пересечения линии с осью абсцисс является
частота © — ЦТ.	*
Изменяя частоту на декаду, то есть беря со и 10®, имеем:
L (10®) = —20 1g Т® = —20 1g Т-10® - —20 1g ЮТ®;
L (®) = —20 1g Т®, получаем L (10®) — L (®) ==
= — 20 1g 10 Т® — (—20 1g Т®) =
= -20 (1g	= -20 1g 10 = -20.
ЛФХ будет £ (®) = —arctg (Ти) и изображается на рис. 6.2, д.
Рис. 6.3. Безынерционное звено
Безынерционное звено представляет собой такое соединение
элементов, в котором выходная величина Q2 без искажений и
запаздываний воспроизводит входную величину Qx. Отношение
этих величин называют коэффициентом усиления
Q2 = KQi-	(6.8)
При этом постоянная времени настолько мала, что ею можно пре-
небречь. Такое звено не обладает инерционностью и мгновенно
дает на выходе пропорциональную величину KQX; поэтому такие
208
звенья называют пропорциональными. В общем виде можно
было бы зависимость записать в виде дифференциального уравне-
ния для апериодического процесса TdQjdt + Q2 = KQt, од-
нако при Т = 0 оно принимает вид (6.8), (6.6).
Характерными примерами безынерционных звеньев будут сое-
динения зубчатых колес и рычажные механизмы (6.3, а, б). Из-за
жесткости деталей явле-
ния переходного про-
цесса, как правило, от-
сутствуют
Комплексная переда-
точная функция безы-
нерционного звена при
t = О К (/®) = Ке'°=К.
Это означает, что на
всех частотах усиление
постоянно, а сдвиг фаз
Рис. 6.4. Интегрирующее звено
отсутствует. L (со) — 20 1g К и £ = 0. Логарифмические^ харак-
теристики, соответствующие этим величинам, показаны на рис. 6.3,
в, г. Если К < 1, то L (со) < 0 — отрицательное число.
В п. 1.8 подробно рассмотрены динамические системы с ры-
чажными передачами и способы построения механических цепей.
Представление о физическом смысле интегрирующего звена
дает механизм поступательного перемещения управляющего и
исполнительного поршней гидравлического устройства (рис. 6.4, а)
В этом механизме в качестве входной величины принят поток
жидкости пропорциональный перемещению управляющего
поршня, а выходной величины — путь у2 исполнительного пор-
шня (рис. 6.4, б) dy2l(dt) = Kyi
14 И. А. Дружинский
209
Эта зависимость представляет собой уравнение интегрирую-
щего звена; где К — коэффициент усиления; при этом К =	—
= (dy2l dt)l у
В общем виде это уравнение решается так:
t	t
Уг j %У1 dt-K^y^ dt.
о	о
Передаточную функцию интегрирующего звена получают так:
РУъ = Куй К (р) = У2/У1 = К/р.
Вспомним из введения е/и = cos <0 + /sin <0, что если со =
. л
J п
— л/2, то е = 0 + j • 1 = j, поэтому
*(/<о)=|Ь^=ке"'я/%>,	(6.9)
ше' 2
при К = 1 К (ja) = е~,я121<а.
Интегрирующее звено создает отставание выходной величины
на л/2 при всех частотах. Амплитуда выходной величины умень-
шается с частотой.
Из приведенного соотношения (6.9) видно, что усиление звена
обратно пропорционально частоте, а сдвиг фаз на всех частотах
составляет величину — л/2-А (со) = 1/<о; (со) = — л/2; от-
сюда L (со) = 20 1g К (со) — 20 1g со-1 = — 20 1g со.
Из этих зависимостей можно сделать вывод, что логарифми-
ческая амплитудная характеристика интегрирующего звена имеет
наклон — 20 дБ/дек, а логарифмическая фазовая характеристика
проходит параллельно оси абсцисс и имеет величину — 90°
(рис. 6.4, в, г).
В общем виде для форсирующего звена справедливо диффе-
ренциальное уравнение движения в виде:
+ Q2 = К ( 7^ + Qx)	(6.10)
или в операционной записи Q2 (7\р + 1) = KQi (Т2р + 1). Про-
анализируем данное выражение в зависимости от влияния по-
стоянных времени:
1)	Пусть Т2 = 0, тогда 7\ = Т и Q2 (Тр + 1) = KQi', это
выражение соответствует уравнению движения инерционного
звена (6.5).
2)	Пусть Ti^>0, тогда	и величиной Q2 можно пре-
небречь; точно так же, поскольку 7\ > Т2, можно пренебречь
величиной TapQx, что дает возможность выражение (6.10) напи-
сать так: Tj= Т и TpQz = KQi- Это выражение соответствует
свойствам интегрирующего звена.
210
3)	Пусть 7\ = Т2, тогда, сокращая (Тр + 1), получаем Q2 =
= KQi, что соответствует свойствам безынерционного звена.
4)	Пусть 1\ - 0, тогда Т2 = Т и Q2 = (Тр + 1); полу-
чается интересная зависимость, когда выходная величина пропор-
циональна сумме входной величины и ее производной. Подобные
звенья называют форсирующими. Передаточная функция форси-
рующего звена К (р) = Q2/Qi = К (Тр + 1). Это значение яв-
ляется обратным по сравнению со значением передаточной функ-
ции инерционного звена.
Если применять в конструкции механизма совместно два
звена — инерционное и форсирующее, то при равенстве их по-
стоянных времени влияние звеньев будет уравновешено и система
станет безынерционной:	(р) =	(р) (р)=Кх1(Тр -Н)х
хК2 (Тр	— К или Q2 = KQi- Можно написать, что
комплексной передаточной функцией форсирующего звена
будет выражение К (/со) =Н (1 + /соТ). Очевидно К (со) =
= W + al = /Л2 + (КсоТ)2 = /</!+ со2Т2 или [L (со) =
= 20 1g 1 + а>2Т2 и £ (со) = arctg со Г.
Произведем анализ характеристик (рис. 6.5, а, б):
1)	При очень низких частотах, когда со < ИТ или соТ< 1,
можно считать, что а>Т sz 0. Тогда К (со) s К или L (со) =
14*	211
= 20 1g 1 =0, £ (со) = arctg 0 = 0. На низких частотах ампли-
тудные и фазовые характеристики совпадают с осью абсцисс.
2)	При очень высоких частотах, когда со +> 1/Т или соТ + 1,
можно считать, что К (со) = /+|Zco2T2 = Ка>Т или при К= 1,
К. (со) = соТ, или L (со) = 20 1g соТ = 20 1g Т + 20 1g со. Это бу-
дет сочетание прямой, идущей под наклоном +20 дБ/дек и пере-
секающей ось абсцисс при
со = 1/Т; на этой частоте
К (со) = 1 и L (со) = 0. Оче-
видно, что £ (со)= arctgcoT=
= arctg оо = л/2, сдвиг фаз
составляет 90°.
3)	Интересно уточнить,
что вблизи частоты сопря-
жения со = 1/Т К. (со) =
=/ 1 + Т2/Т2 = /2 и Л(со) =
= 20 lg ]/2= 20 lg 20-5 = 10 lg 2 = 10 -0,3 — 3 дБ, что отмечено на
рис. 6.5, в.
Таким образом, можно ответить, что форсирующее звено в об-
ласти высоких частот создает положительный сдвиг фаз и повы-
шает усиление.
Идеальное дифференцирующее звено представляет собой уст-
ройство, которое на выходе дает без искажений производную по
времени от входной величины, например, под воздействием силы
Qi Q2=KdQ1/(dt) или под воздействием скорости v^KdvJidt).
В общем виде у (t) = dx (f)/(df)‘, в операторной записи можно
написать А (р) = рВ (р) и К (р) = А (р)/В (р) = р или К (/+») =
= /со = сое 2.
212
Рассмотрим (рис. 6.6, а) динамическую систему, состоящую
из упругости и сопротивления. Определим передаточную функ-
цию К (р) = Q2/Qi по механической цепи этой системы (рис. 6.6, б).
Уравнение четырехполюсника в системе S-параметров
Qi = Sn^i + SJ2o2, j
Q2 = S2it>i + S22v2. J
Коэффициенты матрицы обратного Г-образного соединения
= S2 = Г; $12 = — $2 ~	^21 ~ $2 =
S22 = -(Si + S2) = -(A + r).
В таком случае
Qi = ГО1 — ro2 = г (t»i — о2);
Q2 = rvr — ( у + r) v2 = г (01 - v2) - у t>2 = Qi - у v2.
Так как y- = S2; у2 = у- = -—, поэтому Q2 = Qi—
-TV-1 если T=-^, to Q2 = Q1-A; Q8(l+^) =
= Qx; с учетом коэффициента усиления К	1
К- (р)« _21 —___— = _КТр__
(р) Ъ	14—L	1+тр
Для установившегося процесса
- fa>KT (I — jaT) _ 1<дКТ+&кт* .
! + ]аТ — (1-|_/<в7’)(1_;й>7’) —	1+(02Р	’
V®'	1 4-<о2Т2 ‘ Ц 1 +<о2Т2 ) *
Модуль К (®) = Vaf + a|;
к - l/ ( V । /	~2 •
a (®) — у i	+ \ 1 +(02T2/ ’
И 1+<O2T2 “ |<1 +(02f2
представляет собой амплитудно-частотную характеристику звена.
Аргумент
/ <лКТ \
И = arct§ $ -	\ = arcte -^Г 
\ 1-Ь(02Г2 )
Логарифмическая амплитудная характеристика представляет
собой график прямой пропорциональности — прямая линия, про-
213
ходящая через начало координат (рис. 6.6, в) L (со) = +20 1g со.
Коэффициент усиления возрастает на 20 дБ на декаду. Логариф-
мическая фазовая характеристика (рис. 6.6, г) представляет со-
бой прямую линию, параллельную оси абсцисс к проходящую
через точку +л/2.
Колебательное звено получается в результате соединения,
например, массы и упругостй, способные запасать энергию и
взаимно воздействовать друг на друга. Возникающий в резуль-
тате обмена энергией колебательный процесс может быть зату-
хающим (рис. 6.7, а) и неустойчивым (рис. 6.7, б).
Пусть дана динамическая система (рис. 6.7, в) и её механи-
ческая цепь (рис. 6.7, г).
Уравнение движения можно записать в виде
ту + ry + ky = Q sin <at. .
214.
Общее решение удовлетворяет уравнению
my + ry + ky == 0.	(6.11)
Пусть у = y^pt, тогда
у = Р (.Уо&р*) = РУ, У = Р2У-	(6-12)
Подставляя (6.11) в (6.12), получаем:
тр2у + гру + ky = 0, или помня, что ky = Q, то
тр^+гР^- + Q = °.	(6.13)
— = илй Т2 = Д-=™	(6.14)
т	со2 k	v '
с
— = 2Хсо или -£- = —-?- = 2Хсос —;
tn	с k т k	с <в2
С
-^ = 2Х—= 2ЬТ.	(6-15)
k <ос
Подставляем (6.14) и (6.15) в (6.13) и получаем
7VQ + 2%TpQ + Q = 0.
Пусть на входе будет сила Qx, а на выходе сила Q2, в таком
случае
7VQ2 + 2XTpQ2 + Q2 = KQX.
Передаточная функция колебательного звена будет .
=	= т2р2 + 2ХТр + 1 •	(6‘16)
Передаточную функцию в установившемся режиме возьмем из
(6.16) при р = /со
.	К	_ К
А и®)	Т2 (у®)2 + 2%т О®) + 1 — 1 + /2X7® — Г2®2 '
Временно обозначим 2=1 — Т2со2; в таком случае
К	К (В — j2XTa)	_ К(а-/2ХТ®) .
А — а _|_ jZkTa	(3 + /2X7®) (8 — /2X7®) ~ В2 + (2Х7®)2 ’
к (Ь) _ (1 - Т2“2 - /2^“) _	(1 - Г2“2)
А — (1 — 7^2)2 + (2ХТ®)2 ~ (1 — 72®2)2 + (2Х7®)2
2КХТ®
41 —Т2®2)2 +(2ХТ®)2'
Здесь а -	к<1~Т2<й2)	• а - - 2КкТа ________________
одесь uj ц _ Г2(о2)а + (2ХТ®)2’ “2 —	(1 — Т2®2)2 + (2ХТ®)2'
Амплитудная частотная характеристика К (со) = Уа2 + al;
К ( \ — 1.^Г К(1 —У2<02) I2 I Г	2К1Т® Т2.
А (®) у [(1 — Т2®2)2+(2XT®)2J “i" L (1 — Т2со2)2+ (2X7w)2J ’
215
_ п/' K4(l-rW + (2m>)2]
а — у [(1 _ TW)2 + (2т>)2]2 ’
К (®) =	к .
/(1 — Т2<о2)2+ (2КТа)2
Фазовая частотная характеристика (рис. 6.7, е):
£ (®) = arctg = arctg _Г2(о2^ = arctg ц _T2ft)2j • (6.17)
Амплитудно-фазовую частотную характеристику колебатель-
ного звена можно записать в показательной форме
К (/и) = К (®) е/С (®) = (	к	е-/ агс‘8 V-TW)'
\ /(1 — Т2<в2)2 + (2ХТ®)2 /
Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика для ко-
лебательного звена имеет вид:
In К (/®) = In А — In /(1 - Т2®2)2 + (2%Т®)2 -
. 2А.Тю ,
-/arctg Г2<о2)-1пе.
Логарифмическую амплитудную характеристику найдем, поль-
зуясь тем, что L (®) = 20 1g /С (и)
L (®) = 20 lg f. К	=
v	/(1 — Т2®2)2 4- (2ХТ®)2
= 201g К - 20 lg /(1 - Г2®2)2 + (2%Т®)2.
При К = 1; 20 1g К = 0
L (®) = — 20 lg /(1 - Т2®2)2 + (2%Т®)2.	(6.18)
Для анализа сделаем такие допущения:
1) При очень низких частотах ® < 1/Т в уравнении (6.18)
можно пренебречь членами, содержащими ®Т; в таком случае
L (®) = 0.
2) На высоких частотах при ®	1/Т следует считаться
только с членом Т4®4; в таком случае L (®) = г— 201g Т2®2;
L ( ®) = — 20 lg (Т®)2 — — 40 lg Т®. Следовательно, на высо-
ких частотах ЛАХ имеет наклон —40 дБ/дек.
Частота сопряжения обоих ветвей характеристики будет при
® = 1/Т; при этом К. (®) = 1/(2%) и L (®) = — 20 1g 2%. Таким
образом, зная значение затухания 2%, можно найти положение
характеристики в районе ® = 1/Т.
Возможны такие случаи:
2% = 1, то L (®) =0; кривая приподнимается над осью абсцисс,
пересекает ее при частоте © = 1/Т (рис. 6.7, д);
216
2% > 1, то L (®) < 0; кривая пройдет под осью абсцисс в точке
© = 1/Т (рис. 6.7, д); 2% < 1, то £(©) >0; кривая на частоте со-
пряжения пойдет вверх над осью абсцисс (рис. 6.7, д);
Кривую логарифмической фазовой характеристики можно
определить при анализе уравнения (6.17).
Рис. 6.8. К построению ЛЧХ систем; наклоны, соответст-
вующие ЛЧХ разных звеньев
Возможны такие случаи: при низких частотах, можно при-
нять <яТ 0, тогда £ = 0; на частоте сопряжения, когда ©—
= 1/Т, то £ = — arctg оо — —— л/2; на высоких частотах при
®Т ^>1, то £ = — arctg 0 = — л; это наибольший сдвиг фаз,
создаваемый колебательным звеном.
Вернемся к уравнению (6.16); если отсутствует затухание,
то Л = 0 и К (р) = KJ(T*p* + 1); это дифференциальное уравне-
ние гармонических незатухающих колебаний с постоянной ам-
плитудой.
На рис. 6.8 показаны наклоны типовых ЛАХ в децибелах на
декаду и фазовые углы в градусах. Член в знаменателе пере-
даточной функции соответствуют интегрированию, член /®
217
в числителе соответствует дифференцированию. При синусоидаль-
ной входной величине интегрирование приводит к фазовому
запаздыванию в системе, а дифференцирование — к опережению
Соединение нескольких звеньев динамической системы. Рас-
смотрим построение ЛАХ и ЛФХ системы, состоящей из пяти
основных механических звеньев: безынерционного, форсирую-
щего, интегрирующего и двух инерционных.
Общая комплексная передаточная функция системы
/<о(/®Т1-|-1)(/(оТз+1) *
Возьмем постоянные времени звеньев системы
1\ = 0,25 с, Т2 = 0,1 с, Т3 = 0,01 с.
Определим частоты сопряжений
= -уг- = о>25 — 4 1/с;	= -jt- = од- — Ю 1/с’
218
со3 = 1/Т3 = 1/0,01 = 100 1/с. Расположим последовательно
эти частоты на графике (рис. 6.9, а) = 4 1/с — первая частота
сопряжений, со2 = 10 1/с — вторая частота сопряжения, <о3 =
= 100 1/с — третья частота сопряжений.
Построение графика выполняется следующим образом: на го-
ризонтальной линии АБ от точки 0 вправо откладываем величины
декад [расстояния (01), (12), (23), (0, —1)1; на них откладываем
в логарифмическом масштабе значения для чисел 2; 3; 4; 5; 8.
Это будет ось 1g со. Через точку 0 проводим вертикальную линию —
ось К и на ней откладываем равные отрезки в децибелах. Вверх
от начала координат плюс 10; 20; 30 дБ; вниз — минус 10; 20;
30; 40; 50; 60. Все эти отмеченные точки соединяем с точкой с коор-
динатами —1; 0. Образованное семейство прямых линий показы-
вает наклон в децибелах на декаду. В дальнейшем, проводя на
основном графике требуемые линии, параллельные соответствен-
ным линиям построенного семейства, получаем требуемый гра-
фик для ЛАХ. Первой линией от точки 0 проведем с наклоном
—20 дБ/дек линию для интегрирующего звена до пересечения
с линией ©! = 4 1/с; это будет точка В Начиная от точки В под
воздействием первого инерционного звена наклон характеристики
возрастет до —40 дБ/дек; с таким наклоном линия пройдет до
пересечения с линией <в2 = 10 1/с; это будет точка Г. Далёе под
воздействием форсирующего звена наклон характеристики за-
медлится и будет составлять —20 дБ/дек; с таким наклоном ли-
ния пройдет до пересечения с линией <о3 = 100 1/с; это будет
точка Д. Последним будет второе инерционное звено, характери-
стика которого будет иметь наклон —40 дБ/дек. Похожим образом
строится и приближенная ЛФХ. При этом необходимо предва-
рительно найти точки излома приближенной характеристики.
Эти точки удалены на декаду вправо и влево от частот сопряже-
ния. Они обозначаются стрелками, перпендикулярными оси аб-
сцисс и имеющими направление вниз, если в данной точке с ро-
стом частоты наклон характеристики возрастает, и вверх, если
он убывает (рис. 6.9, б).
Такими точками для инерционных звеньев будут соответст-
венно Е и И для одного и 3 и Л — для другого, а для форсируюг
щего — Ж и К. Дальнейшее построение не вызывает каких-либо
трудностей.
На начальном участке (до точки Е) сдвиг фаз будет опреде-
ляться только наличием интегрирующего звена и будет равен
— 90°. Характеристика пойдет без наклона. В точке Е за декаду
до ©j наклон ЛФХ изменится, увеличившись на 45 град/дек за
счет воздействия первого инерционного звена. С наклоном
—45 град/дек характеристика пойдет до точки Ж. В этой точке,
отстоящей на декаду от <о 2, под воздействием форсирующего звена
наклон ЛФХ уменьшится на 45 град/дек и характеристика опять
пойдет без наклона. Дальнейшее построение характеристики прог
изведем чисто формально, принимая во внимание лишь стрелки,
г	219
проставленные ранее у оси абсцисс. В точке 3 наклон возрастет на
45 град/дек, в точке И — уменьшится, в точке К — опять воз-
растет и, наконец, в точке Л — опять уменьшится. Далее ЛФХ
пойдет параллельно оси абсцисс и сдвиг фаз будет оставаться по-
стоянным и равным —180°. Этого следовало ожидать, так как
интегрирующее и два инерционных звена создадут максимальный
суммарный сдвиг фаз в —270°, а форсирующее +90°.
Рис. 6.10. ЛЧХ сложной динамической системы
В зависимости от установленного в системе усиления следует
сместить ось абсцисс графика ЛАХ на величину 20 1g К. и уже
от этой оси производить отсчет усиления.
Пример 2. Найти ЛАХ для динамической системы (рис. 6.10, а), меха-
ническая цепь которой изображена на рис. 6.10,6.
По характеру механической цепи имеем для сопротивлений S1( S2, S3 коле-
бательное звено, а для сопротивлений S4, S5 — инерционное звено. Общая ком-
плексная передаточная функция будет иметь вид:
к = [ 1 - /2%т2(о+и] (1+т ’
К (у<й) = (1 — /2АТ2со — со2П) (1 + /шТ)) •
Пусть /и = 2 кгс-с2/м; = 1000 кгс/м; k2 = 500 кгс/м; гг = 50 кгс-с/м;
г2 = 100 кгс-с/м.
Постоянные времени звеньев определим так: <о2 = k-Jtn = 1000/2 = 500;
(о 2 = ©с — 22,2	1/с; rjm = 2Хсос; % = гх/(2т©с) = 50/(2-2-22,2) = 0,56;
Т2 = 1/ш2 = 1/22,2 = 0,045 с; Тг = r2lk2 = 100/500 = 0,2 с.
220
На рис. 6.10, в от начала координат откладываем по оси 1g со (ось абсцисс)
<а2 = 22,2 1/с и coj = 1/Т1 = 1/0,2 = 5 1/с.
От точки О ведем ЛАХ по линии абсцисс до встречи с линией <ох = 5 1/с; от этой
точки проводим наклонную линию —20 дБ/дек, соответствующую инерционному
звену, до встречи с линией со2 = 22,2 1/с. От точки Б встречи проводим линию
БВ колебательного звена под наклоном (—40 дБ/дек). Приближенное значение
ЛАХ в окрестностях точки Б получается путем проведения двух прямых линий
—20 и —40 дБ/дек; точная аппроксимация строится в соответствии рис. 6.7, 5;
для этого % = 0,56.
Перемещение ЛАХ параллельно самой себе вверх или вниз
вдоль оси К обеспечивает лучшую или худшую устойчивость
системы; однако эти вопросы выходят за пределы этой работы.
6.4. КОРРЕКЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Замена отдельных элементов и звеньев в динамической системе
заметно преображает схему механической цепи и последователь-
ность решения задачи. Особенность замены элементов и звеньев
(изъятие и введение новых) становится понятнее после рассмотре-
ния динамических характеристик основных механических звеньев
и их влияния на происходящие процессы
Рассмотрим динамическую систему (рис. 6.11, а) и ее механи-
ческую цепь (рис. 6.11, б); будем подразумевать наличие Элемен-
тов сопротивлений включенных параллельно, как в звене г — k3.
Случай 1. k5 = 0; Qx = Q3 — 0. В таком случае (рис. 6.11, г)
механическую цепь можно представить в виде двух сложных двух-
полюсников (см. 1.4, рис. 1.13).
Случай 2.	= г = 0; Q2 = Qs = 0. Динамическая система
представлена на рис. 6.11, д, а ее механическая цепь — на
рис. 6.11, ж.
Случай 3. fe2 = г = 0; Q2 = Q3 = 0. В этом случае образуется
симметричная дважды связанная динамическая система и ее
механическая цепь, изображенные на рис. 6.11, в, е.
Случай 4. kL =	= 0; Q2 = Qa = 0- В этой системе
(рис. 6.11, и) одна ветвь находится под действием силыф]., а начи-
ная от массы т3, вторая ветвь k2 — m2 находится под кинемати-
ческим возбуждением (под действием скорости от массы т3). Ме-
ханическая цепь показана на рис. 6.11, з.
Введение корректирующих звеньев и элементов в динамиче-
скую систему. Пусть в механической цепи (рис. 6.12, а) будут два
сопротивления S3, представляющие собой Sx — входное со-
противление, a S3 — выходное сопротивление.
Известно, что параметры такой механической цепи при из-
вестных Q, S], S3 будут следующие:
S = Sx + S3; v = Q/(SX + S3); S = Q/v,
= v8 = “Ь S8) = Qi = SiPi= QSi/(Si~b "S3),
Q3 ='S3v3 = QS3/(SX -J- $,).
221
222
При необходимости введения корректирующего звена в про-
стейшем случае возможны два решения (рис. 6.12, б, в).
На рис. 6.12, б изображено введение коррекции в виде сопро-
тивления S2, — показанного в общем виде в последовательном
соединении с входным сопротивлением Sx и выходным сопротив-
лением S3.
На рис. 6.12, в изображено введение коррекции также в виде
сопротивления S2, показанного в общем виде в параллельном
соединении с входным сопротивлением Зх и выходным сопротивле-
нием S3.
Для последовательного соединения корректирующего звена
параметры механической цепи при известных Q, Sx, S2, S3 будут
следующие:
о S2S3 , с,_______ ole _____ с । S2S3 ____
^23- -S2 + S--.	+	Sa + S”-
__ Si'Sa Ч~ Si$3+ S2S3 ____ Э
$2 + S3	S2 + S3
Здесь Э = SjS2 + SXS3 + S2S3.	‘
-. __ Q ____ Q ($2 + Sg) ___ 7. _ v . f) _____ c v __ Q$i (^2 + S3) ,
V — у —-----------------— Vi — u2S, — OxUj----------------------------
z) e	_ S2S3 Q (S2 Ц- <S3)  л  zj   QS2S3 ,
Угз — ^ззЩз - (Sa + Sj) —э	Ч2 — Чз - g >
__ Q2	_ QS2S3	_ QS3 _________ Q3	__ QS2S3	__ QS2
2 ~ S2	~ 3S2	~ Э	’ 3 — S3	“ ;3S3	~ Э	•
Для параллельного соединения корректирующего звена пара-
метры механической цепи при известных Q, Sx S2, S3 будут сле-
дующие: S = Sx + S2 + S3;
Q
V = у = Vi = v2 = u3;
Qi — Q2 = ,$2y2> Q.3 = S3v3.
Если проанализировать возможность введения корректирующих
звеньев, то только для массы и упругости существуют следующие
варианты (они используются, например, для последовательного
соединения; с учетом параллельного соединения эти данные дол-
жны быть удвоены): одна масса и одна упругость отдельно — по
одному варианту (рис. 6.13, а—г); соединение массы и упругости—
четыре варианта (рис. 6.13, д—з). Введение элемента гашения
значительно увеличивает возможные варианты: одно сопротивле-
ние — один вариант; одно сопротивление и одна масса — четыре
варианта; одно сопротивление и одна упругость — четыре вари-
анта. Три элемента в разных сочетаниях дают 17 вариантов.
Всего для последовательного соединения теоретически может быть
32 варианта; с учетом параллельного соединения — 64 варианта.
Однако ряд вариантов для механических конструкций могут
223
224
15 И. А. Дружинский
225
не иметь или иметь, но весьма в сложном исполнении, физически
реализуемые механические цепи для их дальнейшего преобразо-
вания в динамические системы. Линия скругления между ветвями
частотных характеристик — следствие влияния элемента сопро-
тивления.
Ожидаемые результаты от корректирующей цепи. Рассмотрим
рычажную систему (рис. 6.13, а), представляющую собой универ-
сальную модель динамической системы, в которой имеются две
группы пассивных элементов Sx и S3 под действием внешней силы
Q (0 При необходимости внесения коррекции в систему ее можно
в виде звена пассивных элементов с сопротивлением S2 вводить
или последовательным соединением в точке 3 или параллельным
соединением в точке 1.
Корректирующее звено в виде массы. Присоединение массы
в точке 3 соответствует в механической цепи последовательному
соединению (рис. 6.13, б). Если сопротивление массы мало по
сравнению с силой Q, то скорость массы будет большая, а скорость
передачи предыдущей нагрузки в точке 4 на сопротивление S2
небольшая v3 = QS2/[S2 (Sx + S3) + SXS3].
Если же сопротивление массы имеет заметную величину, то
масса практически остается неподвижной, а скорости перемещения
в точках 1 и 4 будут одинаковыми. Передаточная функция
будет увеличиваться с частотой, так как сопротивление массы
пропорционально частоте. Присоединение массы в точке 1
соответствует в механической цепи параллельному соединению
(рис. 6.13, а). Если сопротивление массы мало по сравнению с си-
лой Q, то увеличение массы вызовет очень небольшое уменьшение
скорости, передаваемое на сопротивление S3 v3 = Q/[S2 +
+ (Sx + S3)]. Если сопротивление массы имеет большую величину,
то масса практически будет неподвижной и скорость, передавае-
мая на сопротивление S3, будет небольшой.
Корректирующее звено в виде упругости. Присоединение упру-
гости в точке 3 соответствует в механической цепи последователь-
ному соединению (рис. 6.13, г). При низких частотах скорость
упругого элемента будет мала и скорости в точках 1 и 4 будут
примерно равными; при высоких частотах скорость упругого
элемента будет стремиться гасить перемещение, передаваемое на
сопротивление S3. Что находит отражение на графике переда-
точной функции в зависимости от частоты.
Присоединение упругости в точке 1 соответствует параллель-
ному соединению в механической цепи (рис. 6.13, в), когда все
скорости в параллельных звеньях vlt v2, v3 одинаковы. При
низких частотах скорость на входе упругого элемента небольшая,
благодаря чему влияние на перемещение точки 4 скажется не-
значительно; при больших частотах .перемещения точки 4 будут
более заметными.
Вывод из сравнения четырех схем включения корректи-
рующих элементов может быть следующий: влияния на изменение
226
передаточной функции могут быть одинаковыми при включении
массы в параллельном или упругости в последовательном соеди-
нении и наоборот.
Корректирующие звенья в виде массы и упругости совместно.
В последовательном соединении (масса и упругость параллельны,
и изображены на рис. 6.13, е). При низких частотах влияние упру-
гости будет больше и передаточная функция будет иметь боль-
шие значения, при высоких частотах влияние массы будет боль-
шое и передаточная функция будет также иметь большие значе-
ния; при резонансных частотах будут наименьшие значения пере-
даточной функции, так как в этот момент сила равна нулю;
S2 = jam + k/ja.
В последовательном соединении (масса и упругость последо-
вательны). В этом случае (рис. 6.13, з) значение передаточной
функции будет состоять из двух отрезков соответствующих
(рис. 6.13, а, в).
При низких и высоких частотах передаточные функции и^еют
небольшие значения; при резонансных частотах они достигают
наибольших значений.
В параллельном соединении (масса и упругость параллельны)
График передаточных функций (рис. 6.13, д) имеет сходство со
схемой, когда масса и упругость соединены последовательно, а это
звено включено последовательно в механическую цепь.
В параллельном соединении (масса и упругость последователь-
ны). График передаточных функций (рис. 6.13, ж) имеет сходство
со схемой, когда масса и упругость соединены параллельно, а это
звено включено последовательно в механическую цепь.
Корректирующие звенья с дополнительным включением эле-
мента сопротивления снижают значение передаточной функции,
что особенно заметно для звеньев, вызывающих в определенном
интервале частот резонансы. На рис. 6.13, а—з эти изменения
передаточных функций показаны штриховыми линиями.
15
ГЛАВА 7
ОСНОВЫ СИНТЕЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
7.1. СУЩНОСТЬ СИНТЕЗА МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Предыдущий материал в большей мере посвящен задачам ана-
лиза динамических систем, когда известными величинами явля-
ются внешние силы или скорости и собственно динамическая си-
стема, а неизвестными величинами являются реактивные силы
или скорости, воспринимаемые этой же системой. При этом
решение всегда однозначное.
В отличие от этой задачи синтеза являются обратными: в них
известны внешние активные, а также реактивные силы или ско-
рости и требуется определить механическую цепь и, на ее основе,
динамическую систему и ее параметры. Отличительной особен-
ностью задач синтеза является то, что для них не существует
однозначного решения, если вообще такое существует; следова-
тельно, для задач синтеза одним из важных является условие
физической реализуемости. Последнее обстоятельство относится
к проблеме аппроксимации задаваемых уравнений, к подбору
реактивных сил или скоростей, выраженных в виде функций, и
поиску из определенного многообразия решений физически реа-
лизуемой цепи и системы. Основная идея синтеза линейных меха-
нических цепей состоит в реализации такого представления частот-
ных характеристик, при котором каждый член математического
выражения характеристики соответствовал бы определенному
элементу цепи, а взаимосвязь между этими членами соответство-
вала бы определенной схеме соединения этих элементов в меха-
нической цепи.
Функция F (р) комплексного переменного р = jJ + j<o может
быть комплексным сопротивлением S (р) или комплексной под-
вижностью Л (р) некоторой пассивной механической цепи с со-
средоточенными параметрами, определяющими динамическую
систему.
Входное сопротивление S (р) или подвижность Л (р) обоб-
щаются одним термином «входная функция» S (р) и могут быть
осуществлены в виде механической цепи при условии, что она
является дробно-рациональной функцией вида
S (р) = Н <P-pMp-pJ • (Р-Р^ .	(7 1)
V	(Р — Рг)(Р~ Pt) ••(Р — Рт)
228
При этом Н = ап1Ьт постоянно и представляет собой мас-
штабный коэффициент; все полюсы рт =	+ j<am лежат в ле-
вой части комплексной полуплоскости, т е. < 0, в том числе
могут лежать на мнимой оси, т е. рт = ja>m, будучи простыми
(не кратными) полюсами; все нули рп =	входных функ-
ций лежат в левой полуплоскости, в том числе могут лежать
на мнимой оси.
Основными свойствами входных функций пассивных механи-
ческих цепей будет положительность коэффициентов az, bt (4.3);
наибольшие степени числителя и знаменателя отличаются только
на единицу.
Итак, входное сопротивление механического двухполюсника
S (р), как функция оператора р, представляет собой отношение
операторного изображения входной силы к операторному изоб-
ражению входной скорости S (р) = Q (p)lv (р)
Метод цепных дробей. Для определения слагающих отноше-
ния Q (р): v (р) или наоборот v (р) . Q (р) можно воспользоваться
теорией цепных или непрерывных дробей, которая изучает спе-
циальный алгоритм, являющийся одним из важнейших орудий
математики и механики.
В общем виде простейшая цепная дробь имеет вид (
. 1
ао Н-------------------j------------
ai Н----------------i----------
а2+------------j----------
аз +
и называется конечной или, точнее, n-членной цепной дробью,
при этом очевидно, что она имеет п + 1 элементов. Из уравнения
(7.1) после алгебраического деления числителя на знаменатель
получаем
S (р) = ajp + Q' (p)/v(p),
причем Q' (р)/о (р) — остаток; Q' (р) — полином степени (2п — 2),
a v (р) — полином степени (2п — 1). Возьмем обратную величину
остатка и продолжим деление, тогда
5	= а1р + V + v'/Q' ’
причем v' — многочлен степени (2п — 3), т. е. на единицу мень-
шей степени полинома Q'.
229
Продолжая процесс деления дальше, получаем'
S (р) =	4-------------------1—j------------
btP 4------------------i--------
«2Р4---------------:------
62p 4-.-----------j—
<%p 4-----------
(7.2)
a)
•+апР + -^-р
Такой же вид имеет выражение для входного сопротивления
двухполюсника по рис. 7.1, а, имеющего лестничное построение
s (р) = sx +------------Ц----------
Лг 4-------------i
S34---------Ц----
л. +--------г
8б + ~ЗЦ
(7.3)
или S (р) = Sx + S21;
Ssi = -j----; S22 = S3 4- S23‘, SS3 = -j
s; + s22	ST+SS4
Сравнивая выражения (7.3) и (7.2), получаем а{р = Sz; &,р = Л,-.
Для механической цепи все элементы, включенные параллельно,
определяются как прямые сопротивления, а элементы, включен-
ные последовательно, — как обратные сопротивления (или по-
движности).
230
7.2.	ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ
СИНТЕЗА
Пусть S (р) = (р2 + 6р + 8)/(0,01р2 + 0,04р + 0,03). Тре-
буется найти динамическую систему и ее параметры.
Для того чтобы понять, какие элементы цепи получаются в ре-
зультате вычислений, вспомним, что сопротивление массы Sm =
= рт, сопротивление упругости Sk = kip и сопротивление дем-
пфера (сопротивления) Sr = г. Поэтому коэффициент при умно-
жении на р есть величина массы с размерностью кгс-с2/м, коэф-
фициент при делении на р есть величина упругости с размерностью
кгс/м и коэффициент без использования р есть величина сопротив-
ления с размерностью кгс-с/м.
Первым шагом разделим числитель на знаменатель
р2 + 6р + 8 0,01р2 + 0,04р + 0,03
ра-}- 4р —|- 3	100
2р + 5
Следовательно,
S (р) = 100 + 0)01р2 4- о,О4р + 0,03 ’
Поэтому в параллельной цепи (рис. 7.1, б) располагается эле-
мент сопротивления 8Х = 100 кгс-с/м = гх.
Вторым шагом из второго члена выражения (7.4) выделим
неправильную дробь
2р + 5	_	1
0,01р2 + 0,04р + 0,03 ~ 0,01 р2 + 0,04р + 0,03
2р + 5
и найдем целую часть
0,01р2 + 0,04р + 0,03 2р + 5
0,01ра + 0,025р	0,005р
0,015р + 0,03
Следовательно, </7а = 0,005р или = -%$', S2 =	.
Поэтому в последовательной цепи располагается элемент
упругости 82 = 200 кгс/м — kt. Выражение
51'1) “100<;^ _	О.015р + 0.03 •	<7-5>
°’005/’ +---2TF5----
Третьим шагом из третьего члена выражения (7.5) выделим
неправильную дробь
0,015р + 0,03	1
2р 4- 5	~ 2р + 5
0,015р + 0,03
231
400
3
и найдем целую часть
_ 2р + 5 0,015р+ 0,03
2р + 4
1
Следовательно, Ss = 400/3 = 133,3 кгс • с/м и этот элемент
сопротивления располагается в параллельной цепи (г2).
S (р) = 100 + ---------—j---------.
«•Ю5'’+™-—i—
3 "i" 0,015р + 0,03
Остаток представлен в виде неправильной дроби
1 _ 1
0,015р4-0,03 — 1	_1_'
s4 + S8
Это означает, что
rr 1 Л Л, е С	1	66,6
•^4 —	— 0,015р; S4 о,О15р ~ р~ ’
k2 = 66,6 кгс/м; —	0,03; S5 = тДу = 33,3;
О5	u,Uo
rs = 33,3 кгс-с/м.
Оба эти элемента S4 и S8 соединены параллельно в последо-
вательной цепи, как изображено на рис. 7.1, б. Динамическая
система этой цепи изображена на рис. 7 1, в и понятна без пояс-
нений.
Проделаем более сложный пример, в котором необходимо
найти динамическую систему и параметры ее по известным комп-
лексной силе Q (р) = ЮООр5 + 400р4 4- 340р3 + 80р2 4- 29р 4-
4- 2 + 1/2р и комплексной скорости v (р) = 500р4 4- 200р3 +
4- 145ра + ЗОр 4- 8,5.
Комплексное входное сопротивление будет
Л . ЮООр5 + 400р* + 340р3 + 80р2 + 29р + 2 + -1
W__________________________________________£Р_
— v (р) —	500Р4 + 200Р8 + 145р2 + ЗОр + 8,5
Первый шаг. Разделим числитель на знаменатель
_ ЮООр5 + 400р4 + 340р3 + 80р2 + 29р + 2 + ± 50°Р‘‘	+
ЮООр5 4- 400р4 + 290Р3 + 60р2 4- 17р___ 2р
50р34-20р24- 12р + 2 4--^-
Следовательно,
50р3 + 20р2+12р + 2+-1-
S (р) = 2р 4- 500р4 + 200р3 + 145р2 + зор + 8,5 ‘
232
Первый член этого выражения Sx = 2р показывает, что это со-
противление массы т1 = 2кгс-с2/м и в механической цепи оно
находится в параллельном соединении.
50р 3+ 20 р2+12р +2+ jp_
500p‘,+200pJ+145p2+30p + 8,5
Рис. 7.2. Последовательные операции синтеза
Механическая цепь для первого шага представлена на рис. 7.2, а.
Второй шаг. Из выражения (7.6) выделим неправильную дробь
и найдем целую ее часть
50р» + 20^+12р + 2+^-	!
500/ + 200р3 + 145р2 + ЗОр + 8,5 = 500р« + 200Р3 + 145р2 + ЗОр + 8,5 ’
50р3 + 20р3+12р + 2+-^-
500р4 + 200р3 + 145р2 + ЗОр + 8,5 50р3 + 20р2 + 12р + 2 +
500р4 + 200р3 + 120р2 + 20р + 5	-----------------------
25р2 + Юр + 3,5
233
Следовательно,
п 1 in е 1	0,1
- зг10р; SiW - ~Р~ ’
1 =_L ___________25ра+ Юр 4-3,5
S21 s2 50ps 4- 20р2 4- 12р 4- 2 4-
Первый член этого выражения показывает, что это сопротивле-
ние S2 включено последовательно и соответствует элементу упру-
гости &! = 0,1 кгс/м. Механическая цепь для второго шага пред-
ставлена на рис. 7.2, б.
Третий шаг. Из выражения (7.7) выделим неправильную дробь
и найдем целую ее часть
(7-7)
25р24- Юр 4-3,5	_____________1___________.
50р8 + 20р24-12р4-2 4-4г	50р3 4-20р24-12р + 2 4-4г
25р2 + Юр+ 3,5
50р3 4- 20р2 + 12р + 2 + ^- 25р2 4- Юр + 3,5 .
бОр3 20р2 4~ 7р 2р
5р + 2 + V
Следовательно, S3 = 2р.
5р+2+4-
Р8)
Первый член этого выражения S3 — 2р показывает, что это
сопротивление массы т2 = 2 кгс-с2/м и в механической цепи
включено параллельно. Механическая цепь для третьего шага
показана на рис. 7.2, в.
Четвертый шаг. Из выражения (7.8) выделим неправильную
дробь в третьем члене и найдем целую ее часть.
5|, + 2 + 4г .
25р2 + Юр 4- 3,5 — 25р2 4- Юр 4- 3,5 ’
5P + 2 + V
_25р2 4-Юр 4-3,5 5р + 2 4- +
25р2-4 Юр + 2,5	----------
Следовательно,
ji___________________1 г	с   1   0,2 .
Л4—	—5р, S4 — 5р — Р ,
54	। - I О t 1
S3	бр + 24--^
(7.9)
234
Первый член этого выражения показывает, что это сопротив-
ление S4 включено последовательно и соответствует элементу
упругости = 0»2 кгс/м. Механическая цепь для четвертого
элемента показана на рис. 7.2, г.
Пятый шаг. Из выражения (7.9) возьмем знаменатель, который
и соответствует последнему звену цепи: первый член S8 соответ-
ствует массе т3 = 5 кгс-с2/м; второй член S6 соответствует со-
противлению г = 2 кгс«с/м; третий член S7 соответствует упру-
гости k3 = 0,5 кгс/м. Все эти элементы включены в параллельное
соединение (рис. 7.2, д). Это будет полная механическая цепь,
соответствующая заданному комплексному входному сопротив-
лению. Динамическая система, соответствующая этой механичес-
кой цепи, показана на рис. 7.2, е. Параметры элементов цепи
приведены по мере синтеза этой системы.
Рассмотренный способ синтеза динамических систем весьма
успешно применяется для механических цепей, имеющих так
называемое лестничное построение, когда элементы чередуются
в параллельном и последовательном соединении.	(
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. Пер. с фр. М.,
«Наука», 1964. 772 с.
2.	Атабеков Г. И. Теория линейных электрических цепей. М., «Советское
радио», 1960. 712 с.
3.	Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лап-
ласа. Пер. с нем. М., «Наука», 1965. 288 с.
4.	Дружинский И. А. Методы обработки сложных поверхностей на металло-
режущих станках. Изд. 3-е. Л., «Машиностроение», 1965. 600 с.
5.	Жуковский Н. Е. Аналитическая механика. Л., Госиздат, 1925. 270 с.
6.	Зубков П. И. Теория электромеханических аналогий.—В кн.: Гарднер
М. Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах. Пер. с англ.
Изд. 3-е. Физматгиз, 1961, с. 408—442.
7.	Кирхгоф Г. Р. Механика. Пер. с нем. М., Изд-во АН СССР, 1962. 402 с.
8.	Мэнли Р. Дж. Анализ и обработка записей колебаний. Пер. с англ. М.,
Машгиз, 1948. 252 с.
9.	Ольсон Г. Ф. Динамические аналогии. Пер. с англ. М., Изд-во иностр,
лит., 1947. 224 с.
10.	Харкевич А. А. Электромеханические аналогии. — «Журнал технической
физики», 1931, т. 1, вып. 2, с. 136—158.
11.	Харкевич А. А. Теория электроакустических аппаратов. М., Связьиздат,
1940. 248 с.
12.	Цзе Ф. С., Морзе И. Е., Хинкл Р. Т. Механические колебания. Пер.
с англ. М., «Машиностроение», 1966. 508 с.
13.	Hecht Н. Schaltschemata und diff erent ialgleichungen elektrischer und
mechanischer schwingungsgebilde. Leipzig, J A. Barth, 1959, S. 176.
14.	Tom R. The mobility method. — «Machine Design», 1959, N 25, p. 144—
157; N 26, p. 104—111.
15.	Jewusiak H., Bigley W. Mechanical network analysis.— «Machine Design»,
1964, N 25, p. 180—183; N 26, p. 182—186; N 27, p. 185—190; N 28, p. 165—
171; N 29, p. 159-164.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения	...	3
Предисловие	....	4
Введение .	.	6
Глава 1. Построение механических цепей .	25
1.1.	Определения и условные обозначения .	—
1.2.	Основные теоремы соединения элементов в звенья .	*	27
1.3.	Построение механических цепей при внешнем воздействии
силы или крутящего момента.................................   33
1.4.	Построение механических цепей при внешнем воздействии
нескольких одновременно действующих сил или крутящих
моментов .................................................... 40
1.5.	Коррекция динамической системы для вращательного дви-
жения и построение механической	цепи...................  43
1.6.	Построение механических цепей при внешнем воздействии
скорости или ее производных.................................. 48
1.7.	Построение механических цепей при одновременном воздей-
ствии силы и скорости........................................ 52
1.8.	Построение механических цепей для рычажных динамических
систем...................................................     56
Глава 2. Механические двухполюсники................................ 66
2.1.	Определение полных и частных комплексных сопротивлений —
2.2.	Определение сил и скоростей в системе, звеньях и элементах
в общем виде.................................... л	.	71
2.3.	Численные решения основных задач........................ 77
2.4.	Анализ распределения сил и скоростей в Механической цепи
и динамической системе ...................................... 88
2.5.	Одновременное действие двух сил в динамической системе ...	90
2.6.	Определение сил и скоростей при воздействии на систему 94
2.7.	Определение комплексных сопротивлений в непланарных ме-
ханических цепях...........................................   96
Глава 3. Механические четырехполюсники............................ 104
3.1.	Сущность механических четырехполюсников.................. —
3.2.	Основные уравнения МЧП................................. 105
3.3.	Первичные параметры МЧП ............................... 111
3.4.	Образование сложных МЧП ............................... 119
3.5.	Матрицы МЧП............................................ 124
237
Глава 4. Частотные характеристики динамических систем . .	136
4.1.	Нули и полюсы динамических систем.......................... —
4.2.	Частотные характеристики динамической системы, состоя-
щей из одного элемента ................................. .	.	140
4.3.	Частотные характеристики динамической системы, состоящей
из двух элементов ...	........................... 141
4.4.	Частотные характеристики динамической системы, состоящей
из трех элементов............................................. 146
4.5.	Частотные характеристики динамической системы, состоящей
из четырех элементов ......................................... 156
4.6.	Частотные характеристики динамической системы, состоящей
из большого числа элементов................................... 162
4.7.	Гашение и возбуждение колебаний ......................... 165
4.8.	Математические выражения процессов затухания ............ 172
Г л а в а 5. Механические фильтры .................................. 174
5.1.	Анализ зависимостей	МЧП	...	  —
5.2.	Вторичные параметры	МЧП ............................... 175
5.3.	Затухание четырехполюсников ............................. 182
5.4.	Основные конструктивные решения и расчеты механических
фильтров.......................................................185
Г л а в а 6. Средства коррекции динамических систем................. 202
6.1.	Передаточные функции......................................  —
6.2;	Логарифмические частотные характеристики................. 204
6.3.	Динамические характеристики основных механических звеньев 205
6.4.	Коррекция механической цепи ............................. 221
Глава 7. Основы синтеза динамических систем с использованием меха-
нических цепей ............. ...................................... 228
7.1. Сущность синтеза механических цепей........................ —
7.2. .Численные решения элементарных задач синтеза..........	231
Список литературы .................................................  236