Н. с. АРЖАНИКОВ и В. Н. МАЛЬЦЕВ
АЭРОДИНАМИКА
Допущено '
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебника
для авиационных вузов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Москва 1952

Книга представляет собой учебник по теоретической
аэродинамике.
Книга написана в соответствии с программой,
утвержденной МВО СССР для авиационных институтов.
В первой части излагаются основные понятия и положения
аэродинамики несжимаемой жидкости.
Вторая часть посвящена аэродинамике больших скоростей
(газодинамике).
Книга предназначена для студентов старших курсов
авиационных институтов и будет также полезна для инженерно-
технических работников авиационных заводов и
конструкторских бюро.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основой настоящей книги послужил курс лекций по «Аэро- и
газодинамике», читанный на самолетостроительном факультете
Московского ордена Ленина Авиационного института им. Серго
Орджоникидзе.
В связи с ростом скоростей самолетов советская авиационная
наука и в первую очередь аэродинамика получила исключительное
развитие как в области теоретических исследований, так и
экспериментальных.
Исходя из этого, в программу курса «Аэро- и газодинамика» за
последние несколько лет были внесены существенные изменения,
отражающие новейшие результаты исследований советских
ученых в области теоретической и экспериментальной аэродинамики.
Авторы стремились при изложении всего материала показать
ту огромную роль отечественной школы аэродинамиков,
основанной Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным, которую она сыграла в
создании и развитии аэродинамики, и приоритет советских ученых
в разрешении основных, принципиальных вопросов современной
аэродинамики больших скоростей.
Настоящая книга написана в соответствии с программой и
предназначена для студентов самолетостроительных факультетов
авиационных институтов. Одновременно она может быть полезной для
студентов родственных специальностей, а также служить пособием
для работников конструкторских бюро авиационных заводов и на-
учно-Р1ССледовательских институтов.
Авторы выражают глубокую признательность и благодарность
рецензентам — проф. Г. В. Каменкову, проф. А. К. Мартынову,
проф. С. Г. Нужину, дод. В. И. Путята и доц. А. А. Лебедеву, давшим
ценные указания при просмотре рукописи.
Одновременно авторы выражают благодарность аспирантам
Московского авиационного института Я. М. Котляру, Г. С. Садеко-
вой и Р. А. Орлову за помощь, которую они оказали при подготовке
книги к печати.
Всем товарищам, которые сделают какие-либо замечания или
укажут на отдельные недостатки, авторы будут весьма признательны,
так как это поможет в дальнейшем улучшению книги.

ВВЕДЕНИЕ
Аэродинамика является наукой, изучающей законы движения
как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости, к которой можно
отнести и воздух.
Изучение законов движения воздуха, изучение силового
воздействия, которое воздух оказывает на обтекаемые им тела, составляет
предмет аэродинамики.
Рассмотрение воздуха как несжимаемой жидкости приводит к
тому, что в аэродинамике существует ряд общих законов, методов
и уравнений с гидродинамикой, изучающей законы движения
несжимаемой жидкости. В связи с этим эта область аэродинамики
часто именуется гидроаэродинамикой.
Современная авиация характеризуется большими скоростями
полета самолетов. При больших скоростях движения, сравнимых со
скоростью звука, сжимаемость воздуха существенно влияет на
характер егО' движения. Вследствие этого законы движения воздуха
с большими скоростями отличны от законов движения при
небольших скоростях. Аэродинамика больших скоростей часто именуется
газовой динамикой и является, следовательно, наукой, изучающей
движение сжимаемых жидкостей — газов.
Аэродинамика является теоретической основой авиации,
фундаментом основных аэродинамических расчетов современных
самолетов и других летательных аппаратов. '

Глава I
СССР - РОДИНА АЭРОДИНАМИКИ
§ 1. РАЗВИТИЕ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ в XVIII и XIX ВЕКАХ в РОССИИ
СССР — родина не только' самолета, являющегося изобретением
Александра Федоровича Можайского, но и авиационной* науки.
Великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов
(1711,—1765) в работе «Размышления об упругой силе воздуха»
изучал основные свойстЁа воздуха, исходя из его молекулярного
строения.
М. В. Ломоносов на базе своих исследований разработал и
построил! вертолет, предназначавшийся для подъема на высоту
созданных им приборов для метеорологических исследований. Таким
образом, М. В. Ломоносов впервые в мире доказал возможность полета
машины тяжелее воздуха.
Трудами членов Российской академии наук Л. Эйлера
(1707—1783) и Д. Бернулли (1700—1783) были созданы в XVIII веке
теоретические основы изучения движения 1несжимаемой жидкости,
т. е. основы гидродинамики.
В своем знаменитом труде «Общие принципы движения
жидкостей» (1755) Л. Эйлер впервые вывел основные дифференциальные
уравнения движения так называемой идеальной жидкости, положив
начало важнейшей отрасли механики сплошной среды — гидроаэро-
дивамике.
Открытие фундаментального' закона гидроаэродинамики,
устанавливающего связь между давлением и скоростью в потоке
несжимаемой ЖР1ДКОСТИ и обобщенного ныне на случай сжимаемой
жидкости, принадлежит Д. Бернулли, который опубликовал этот закон
в своем труде «Гидродинамика» (1738).
Проблемами воздухоплавания и авиации во второй половине
XIX века много занимался русский академик М. А. Рыкачев.
М. А. Рыкачеву принадлежит ряд опытов по исследованию
подъемной силы винта. В 1871 г. он опубликовал статью «Первые опыты
над подъемной силой винта, вращаемого в воздухе», в которой
разработан метод определения подъемной силы вращающегося
винта.
Гениальный русский ученый Дмитрий Иванович Менделеев
(1834—1907) оказал большое влияние на развитие русского
воздухоплавания и авиации. Д. И. Менделеев много работал над про-

Глава I, СССР — родина аэродинамики
блемами аэродинамики, придавая большое значение развитию
воздухоплавания и авиации.
iB 1875 г. Менделеев высказал мысль о необходимости изучения
верхних слоев атмосферы с помощью стратостата с герметической
кабиной и 7 августа 1878 г. сам поднялся на аэростате.
В 1888 г. в одном нз писем он писал: «воздухоплавание бывает
и будет двух родов: одно в аэростатах, другое — в аэродинамах».
Д. И. Менделеев предвидел полеты летательных аппарато-в тяжелее
воздуха. «Этот ро<д воздухоплавания,— говорил Д. И. Менделеев,—
указывается самой природой, потому что птица тяжелее воздуха и
есть аэродинам». Мысль об овладении воздушным океаном
приковала внимание Д. И. Менделеева к проблеме сопротивления воздуха.
Его работа, посвяш,енная этому вопросу: «О сопротивлении
жидкостей и воздухоплавании», представляет исключительный интерес.
Д. И. Менделеев в этой работе не только дал глубокий крргтический
анализ существовавших теорий сопротивления, но и указал
важнейшее значение вязкости при определении силы сопротивления трения
хорошо обтекаемых тел. Великий русский аэродинамик профессор
Н. Е. Жуковский, рысоко оценивая эту работу, писал: «русская
литература обязана ему капитальной монографией по сопротивлению
жидкостей, которая и теперь может служить основным руководством
для лиц, занимающихся кораблестроением, воздухоплаванием или
баллистикой».
В декабре 1880 г. по инициативе Д. И. Менделеева в Русском
техническом обществе был создан специальный воздухо'плаватель-
ный' отдел.
Д. И. Менделеев оказывал большую поддержку отечественным
изобретателям, работавшим в области воздухоплавания и авиации,
в том числе А. Ф. Можайскому, К. Э. Циолко-вскому и др.
Так, в 1877 г. Д. И. Менделеев оказал большое содействие
изобретателю первого в мире самолета А. Ф. Можайскому, а в 1890 г.
представил Русскому техническому обществу проект
цельнометаллического дирижабля К. Э. Циолковского, работы которого сыграли
значительную роль в развитии современной реактивной техники.
§ 2. Н. Е. ЖУКОВСКИЙ и С. А. ЧАПЛЫГИН - ОСНОВОПОЛОЖНИКИ
СОВРЕМЕННОЙ АЭРОДИНАМИКИ
Возникновение и развитие отечественной аэродинамики связано
с именами ее создателей, корифеев отечественной науки, крупнейших
русских ученых — Николая Егоровича Жуковското и Сергея
Алексеевича Чаплыгина.
В лице профессора Николая Егоровича Жуковского наша наука
'имела гениального ученого, обогатившего ее фундаментальными
исследованиями в области математики, теоретической и прикладной
механики, астрономии, гидро- и аэромеханики.
Отличительной особенностью дарования этого великого русского
ученого являлось органическое сочетание в его научных исследова-
гшях теории с инженерной практикой.

§ 2. Основоположники современной аэродинамики
Роль Н. Е. Жуковского как крупнейшего ученого и инженера
была хорошо выражена егО' ближайшим учеником и другом
академиком С. А. Чаплыгиным в речи, посвященной памяти
Жуковского: «Огромен был путь, совершенный профессором Н. Е.
Жуковским. Он своей светлой и могучей личностью, объединял в себе и
высокие математические знания и инженерные науки. Он был
лучшим соединением науки и техники, он был почти университетом».
С последнего десятилетия XIX века творческий пытливый ум
замечательного русского ученого Н. Е. Жуковского устремляется к
совершевно новой, только зарождающейся, но таящей огромные
перспективы развития авиационной технике.
К тому времени многие передовые русские изобретатели и ученые
добились замечательных результатов в области авиации.
Был осуществлен первый в мире полет на самолете конструкции
Александра Федоровича Можайского. Были опубликованы
замечательные исследования Д. И. Менделеева в области воздухоплавания,
проведены исследования талантливым экспериментатором С. С. НеЖ-
дано'вским над полетами воздушных коробчатых змеев и планеров,
опередившие во многом известные результаты немецкого планериста
Отто Лилиенталя, и др.
Аэродинамика как теоретическая основа
авиации становится излюбленной областью исследований Н. Е.
Жуковского. '
Своими работами в этой области Н. Е. Жуковский явился
родоначальником !КрупнеЙ1пей в мире и ведущей отечественной школы
аэродинамиков.
90-е годы прошлого века Н. Е. Жуковский интенсивно работает
над проблемами полета, изучает вопросы парения птиц, движения
планеров, Н. Е. Жуковский — пропагандист и организатор во всех
областях воздухоплавания. Он участвует в международных
конгрессах, организует воздухо-плавательные съезды в России, читает
публичные лекции по воздухоплаванию в различных обществах и
городах России. В этот период им написан ряд работ, в том числе «К
теории летания» (1890), «О парении птиц» (1892), «О наивыгоднейшем
угле наклона аэроплана» (1897) и др. В работе «О парении птиц»
Н. Е. Жуковский рассмотрел вопросы скользящего полета, а также
строго доказал возможность выполнения мертвой петли,
осуществленной 22 года спустя известным русским летчиком П. Н.
Нестеровым. «Впоследствии эта работа Н. Е. Жуковского, намного
опередившая свое время, послужила основой всей динамики
скользящего полета, и только тогда она была оценена по достоинству»
(академик Л. С. Лейбензон).
В тот период теоретическая механика не могла дать объяснение
возникновению подъемной силы крыльев самолета. Самолеты
строили вслепую, без надлежащего^ аэродинамического расчета.
В 1905—1910 гг. появляются блестящие работы Н. Е.
Жуковского, в которых он впервые объяснил природу возникновения
подъемной силы, поддерживающей летящий самолет в воздухе. В 1905 г.

8 Глава L СССР — родина аэродинамики
Н. Е. Жуковский докладывает Московскому математическому
обществу свою знаменитую теорему о связи между подъемной силой
и циркуляцией. Это открытие обессмертило имя Н. Е. Жуковского.
В период 1912—1918 гг. Н. Е. Жуковский создает свою
знаменитую теорию гребного винта, полностью решив задачу, которую в
течение ряда десятилетий не могли решить экспериментаторы и
теоретики всего мира. Эта работа явилась одной из наиболее выдаюпхихся
работ XX века по аэродинамике.
В последующих работах «Динамика аэропланов в элементарном
изложении» (1916), «Аэродинамический расчет аэропланов» (1917),
«Динамический метод исследования продольной устойчивости
аэроплана» (1920) и др. Н. Е. Жуковский создает основы
аэродинамического расчета и динамики полета, впоследствии разработанные
его ближайшими учениками академиком Б. Н. Юрьевым, проф.
В, П. Ветчинкиньш, а также профессорами В. С. Пышновым,
А. Н. Журавченко, И. В. Остославским, В. Н. Матвеевым, В. С. Вед-
ровым, С. Г. Козловым и др.
Ценнейшим вкладом в аэродинамическую литературу явился
изданный в 1912 г. курс лекций Н. Е. Жуковского «Теоретические
основы воздухоплавания», являвшийся в течение многих лет
настольной книгой каждого аэродинамика.
Н. Е. Жуковский был не только создателем теоретических основ
авиации. С его именем связано рождение и рост самой русской
авиации. Н. Е. Жуковский разработал первые методы
экспериментальных исследований по аэродинамике, построил первые
измерительные аэродинамические приборы, создал в 1902 г. первую в
России аэродинамическую лабораторию в Московском университете,
которая была в то время единственной в мире. Спустя несколько лет
он создает первоклассную для того времени лабораторию по
аэродинамике в Московском высшем техническом училище, сыгравшую
большую роль в развитии русской авиации, а также
аэродинамическую лабораторию в Кучино. Читая курсы лекций по основам
воздухоплавания, руководя исследовательскими^ работами в
аэродинамических лабораториях, Н. Е. Жуковский создал кадры ученых
теоретиков, блестящих экспериментаторов и талантливых новаторов
конструкторов.
В 1909 г. в МВТУ организовался студенческий научный
воздухоплавательный кружок. Н. Е. Жуковский внимательно следил за
деятельностью этого кружка, всячески поощрял студенческие научно-
исследовательские работы.
Группировавшаяся вокруг Н. Е. Жуковского в МВТУ и
Московском университете молодежь начала разрабатывать проблемы как
теоретической, так и экспериментальной аэродинамики, строить
аэродинамические трубы и приборы, проектировать летательные
аппараты и т. д.
Из членов кружка МВТУ выросли виднейшие ученые-аэродина-
мики — академик Б. Н. Юрьев, профессор В. П. Ветчинкин, авиа-

§ 2. Основоположники современной аэродинамики
ционные конструкторы Герои социалистического труда профессор
А. Н. Туполев и А. А. Архангельский, известные авиационные
деятели член-корреспондент Академии Наук СССР Б. С. Стечкин,,
профессора Г, X. Сабинин, Г. М. Мусинянц, К. А. Ушаков и др.
Сын великого русского народа, подлинный патриот своей родины,
Н. Е. Жуковский горячо приветствовал Великую Октябрьскую
социалистическую революцию, открывшую перед ним неограниченные
творческие возможности. Несмотря на преклонные годы Н. Е.
Жуковский с большой энергией берется за организацию в молодом
советском государстве научно-исследовательских работ по авиации
и за подготовку авиационных научных и инженерных кадров.
Начавшаяся в 1918 г. вооруженная интервенция
империалистических государств против молодой советской республики
потребовала напряженной работы по укреплению военной мощи Красной
Армии и ее военно-воздушных сил.
Проводившиеся в тот период исследования -по аэродинамике
самолетов, моторов, по прочности авиационных конструкций и
изысканию их новых форм были совершенно разрознены и не
обеспечивались надлежащей экспериментальной базой. Назрела
необходимость в создании мощной экспериментальной базы для
проведения исследовательских работ в области авиационной техники
и их координации в едином научно-исследовательском центре!
По инициативе Владимира Ильича Ленина Н. Е. Жуковский с
группой своих учеников взялся за организацию в 1918 г.
Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ). Центральный
аэрогидродинамический институт, носящий ныне имя великого
русского ученого профессора Н. Е. Жуковского, внес неоценимый вклад
в развитие советской авиационной техники.
Велика заслуга Н. Е. Жуковского и в создании авиационных
инженерных кадров для советского воздушного флота.
В 1919 г., в разгар гражданской войны, Владимир Ильич Ленин
поддержал предложение Н. Е. Жуковского — организовать в Москве
Институт инженеров воздушного флота. Ректором этого института
был назначен Н. Е. Жуковский. Большая потребность в инженерах
по эксплуатации материальной части растущей советской авиации
привела к реорганизации этого института в 1922 г. в
военно-воздушную академию, носящую ныне имя ее организатора профессора
Н. Е. Жуковского.
29 августа 1920 г. исполнилось 50 лет научной и педагогической
деятельности Николая Егоровича. Этот знаменательный юбилей
замечательного русского ученого, учителя поколений теоретиков-
механиков и инженеров, выдающегося организатора русской
авиации был отмечен специальным постановлением Совета Народных
Комиссаров.
В этом постановлении Владимир Ильич Ленин назвал Н. Е.
Жуковского «отцом русской авиации», подчеркивая тем самым его
выдающуюся роль в создании теоретических основ авиации, в соз-

'10 Глава I. СССР — родина аэродинамики
даиии научной базы советското воздушного флота, в подготовке
кадров жфвых русских летчиков и первых авиационных инженеров.
Огромная роль в создании и развитии отечественной
аэродинамики принадлежит также академику Сергею Алексеевичу
Чаплыгину.
В лице С. А. Чаплыгина советская авиационная наука имела
крупнейшего теоретика в области авиации, одного из творцов
современной теоретической аэро- и газодинамики.
В 1902 г. С. А. Чаплыгин опубликовал работу «О газовых
струях», сыгравшую огромную роль в развитии газодинамики.
Следует отметить, что в тот перрюд эти проблемы так остро не
ставились, как ставятся сейчас в связи с бурным ростом реактивной
техники.
В этой работе С. А. Чаплыгин, применяя новый метод изучения
газовых потоков, получает исключительно оригинальные и важные
результаты. Чаплыгин прео*бразовывает нелинейные
дифференциальные уравнения движения плоского потока газа в линейные.
Разработав метод интегрирования этих уравнений, С. А. Чаплыгин приме-
ляет его к решению задач об истечении газа через отверстия из
резервуара и о давлении газового потока на пластинку.
Эффективность предложенного С. А. Чаплыгиным метода, позволяющего
рассчитывать плоские дозвуковые газовые потоки, делает эту работу
наиболее выдающимся исследованием по газовой динамике XX века,
значительно опередившим зарубежную науку.
Лишь в годы сталинских пятилеток, обеспечивших бурный
расцвет советской авиационной науки и техники, эта работа С. А. Чап-
^лыгина получила широкое освещение и огромное практическое
применение. Она явилась основой но-вой отрасли аэродинамики —
газодинамики.
«Газовая динамика — новая отрасль аэродинамики, созданная
учеником Николая Егоровича Жуковского, славным русским ученым,
ныне покойным, академиком С. А. Чаплыгиным»,— указывает
академик Л. С. Лейбензон,— «представляет новое, блестящее завоевание
советской науки, вышедшее из школы Н. Е. Жуковского».
Работы С. А. Чаплыгина по аэродинамике настолько значительны,
настолько двинули эту науку вперед, что он по праву вместе со
•своим учителем Н. Е. Жуковским считается создателем
теоретических основ авиации.
Начиная с 1910 г., т. е. с момента появления его первой
фундаментальной работы по аэродинамике «О давлении плоско-параллель-
но'ГО потока на преграждающие тела», С. А. Чаплыгин целиком
отдается разрешению аэродинамических про-блем, и его работы тесно
связываются с развитием авиации в нашей стране.
В этой работе С. А. Чаплыгин создает общий метод определения
результирующей аэродинамической силы и момента, действующих
на произвольное тело, находящееся в плоско-параллельном потоке.
Пользуясь этим методом, ему удалось разработать плоскую теорию
жрыла, решив весьма большое количество различных задач.

§ 2. Основоположники современной аэродинамики И
О глубокой научной проницаемости С. А. Чаплыгина
свидетельствуют его работы по разрезным крыльям. Еще задолго до
появления подобных крыльев в самолетостроении С. А. Чаплыгин
предвидел возможность их практического применения. В 1914 г. в работе
«Теория решетчатого крыла» он дает метод изучения потоков,
обтекающих решетку, состоящую из параллельных пластинок конечной
ширины, а в 1921 г. в своей замечательной работе, посвященной
памяти Н. Е. Жуковского, «Схематическая теория разрезного крыла»
дает теорию этого крыла.
В 1922 г. появляется одна из наиболее крупных работ С. А.
Чаплыгина «К общей теории крыла моноплана».
В этой работе С. А. Чаплыгин открывает ряд аэродинамических
свойств крыла и устанавливает критерий его устойчивости. Эта
теория С. А. Чаплыгина ныне принята во всей авиационной практике.
Большой интерес для аэродинамики представляет вопрос о
неустановившемся движении крыла. В 1926 г. появляется работа
С. А. Чаплыгина, посвященная этому труднейшему вопросу, «О
влиянии плоско-параллельного потока воздуха на движущееся в нем
цилиндрическое крыло». В этой работе автор дает выражение для
подъемной силы и момента применительно' к случаю, когда крыло,
кро<ме поступательното движения, обладает еще некоторым
вращательным движением, и применяет свою теорию к эллиптическому
крылу и к крылу, имеющему форму дуги окружности.
В работе С. А. Чаплыгина, посвященной теории механизации
крыла и написанной в сотрудничестве с проф. Н. С. Аржаниковым,
«К теории открылка и закрылка» дается новая попытка
теоретического объяснения роли закрылка и открылка. Она основана на
изучении обтекания прямолинейного контура с отклоненным на
различные углы концом. В этой работе дается выражение для циркуляции
и подъемной силы в зависимости от угла отклонения конца крыла.
Незадолго до своей смерти (1942) академик С. А. Чаплыгин
опубликовал работу «О новых теоретических профилях типа САЧ»,
в которой им была предлолсена новая серия теоретических профилей,
отвечающих требованиям, предъявляемым к крыльям скоростных
самолетов.
Как указывает акад. С. А. Христианович в предисловии к
«Избранным работам С. А. Чаплыгина по теории крыла», «С. А.
Чаплыгин не ограничился созданием основ теории крыла, а в течение
двадцати лет шаг за шагом разработал законченную теорию этого
вопроса. В его трудах получили решение все главные моменты
математической теории крылового профиля и решеток профилей, т. е.
основы теории крыла и лопаточных машин».
Характеризуя значение работ С. А. Чаплыгина по аэродинамике,
следует особо отметить следующий факт.
Ряд аэродинамических лабораторий во время первой мировой
войны интенсивно работал над испытаниями моделей самолетов,
дирижаблей, цеппелинов и т. д. Накопленный экспериментальный ма-

17 Глава I. СССР — родина аэродинамики
териал позволил в 1918 г. немецкому ученому Л. Прандтлю построить
теорию крыла конечного размаха.
В настоящее время установлено, что приоритет этого крупного
открытия принадлежит С. А. Чаплыгину. С. А. Чаплыгин 20 октября
1913 г., т. е. за 5 лет до Л. Прандтля, сделал на заседании
Московского математического общества доклад, в котором он доложил
полученные им выражения для подъемной силы и индуктивного
сопротивления крыла конечного размаха. Однако, в связи с тем что
эти результаты Чаплыгина не были своевременно проверены
экспериментально', его работа не была опубликована в печати.
Характеризуя в целом работы С. А. Чаплыгина, следует отметить
исключительную монументальность его работ, в которых
проявляется огромная творческая сила этого крупнейшего ученого. В его руках
сложные математические методы применяются с исключительной
виртуозностью и мастерством.
Академик А. Н. Крылов указывает, что «работы С. А. Чаплыгина
надо считать классическими, по ним можно и должно- учиться».
Отличительной особенностью творчества С. А. Чаплыгина
является общность даваемых им методов, что позволило ему и
созданной им школе ученых (к которой принадлежат такие крупные
ученые, как академик С. А. Христианович, академик М. В. Келдыш,
академик М. А. Лаврентьев, член-корреспондент Академии Наук
СССР Л. И. Седов и др.) значительно продвинуть вперед разработку
проблем современной аэродинамики.
Великая Октябрьская социалистическая революция открыла
перед С. А. Чаплыгиным широчайшие возможности для применения
его творческих и организационных способностей. С 1918 г. его имя
тесно связано с развитием советской авиации и деятельностью ее
ведущего научно-исследовательского института — ЦАГИ им.
профессора Н. Е. Жуковского. В 1920 г. С. А. Чаплыгин становится во
главе ЦАГИ в качестве председателя коллегии ЦАГИ и,в
дальнейшем возглавляет всю научную работу ЦАГИ.*
Советское правительство, высоко оценив выдающиеся научные
и организационные заслуги С. А. Чаплыгина в области укрепления
мощи нашей авиации, наградило его орденом Ленина и двумя
орденами Трудового Красного Знамени.
В 1929 г. С. А. Чаплыгину было присвоено звание заслуженного
деятеля науки и техники и в то-м же году он был избран
действительным членом Академии Наук СССР.
В 1933 г., в день 15-летия ЦАГИ, Акзд^емия Наук СССР вынесла
постановление об издании полного собрания его сочинений.
IB 1941 г., в день пятидесятилетия научно-педагогической
деятельности С. А. Чаплыгина, указом Президиума Верховного Совета
СССР ему было присвоено высокое звание Героя Социалистического
Труда.

§ 3. Ведущая роль советских ученых в развитии аэродинамики 13
§ 3. ВЕДУЩАЯ РОЛЬ СОВЕТСКИХ УЧЕНЫХ В РАЗВИТИИ АЭРОДИНАМИКИ
Наша страна, являющаяся родиной авиации, до 1917 г. не могла
претендовать на роль передовой авиационной державы.
Экономическая отсталость царской России, антинародная политика ее
правящих классов, атмосфера низкопоклонства перед иностранщиной,
стремление царизма обеспечить военно-воздушные силы России
материальной частью, ввозимой из-за границы, не давали возможности
создать отечественную авиационную промышленность, душили
творческую инициативу лучших представителей русской авиационной
науки. Только мечтой оставались известные слова Н. Е. Жуковского,
сказанные им в речи на XIII съезде русских естествоиспытателей
и врачей в 1913 г.: «Позвольте высказать пожелание.... чтобы
средства наших аэродинамических лабораторий стали в соответствие
с могуществом и творческими силами нашей Родины».
Только Великая Октябрьская социалистическая революция
создала коренной перелом в развитии отечественной авиации.
Организатором советской авиации явилась партия большевиков
и ее вожди Ленин и Сталин.
В. И. Ленин и И. В. Сталин гениально предвидели значение
авиации и всемерно содействовали ее развитию в нашей стране.
Под непосредственным руководством товарища Сталина наша
авиационная промышленность в годы сталинских пятилеток
небывало выросла, и СССР — родина авиации — превратился в самую
мощную авиационную державу.
И. В. Сталин всегда уделял и уделяет огромное внимание
развитию советской авиационной науки и техники, организации научно-
исследовательских работ в области авиации.
Благодаря неустанной заботе партии и правительства советским
аэродинамикам созданы огромные возможности для творческой
исследовательской работы.
Под руководством партии большевиков и лично товарища
Сталина многочисленный коллектив советских
ученых-аэродинамиков развивает славные традиции русской аэродинамической школы,
созданной Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным, ведет деятельную
работу во всех направлениях современной аэродинамики.
Вооруженные марксистско-ленинской теорией и ее основным
методом познания окружающего нас мира — методом диалектического
материализма, советские аэродинамики в своих исследованиях
руководствуются ленинско-сталинскик принципом сочетания теории п
практики.
В этом состоит одна из характерных, отличительных особенностей
советской аэродинамики, как и всей советской науки. Советские
аэродинамики ведут свои исследования в тесном содружестве с
работниками авиационной промышленности.
Многочисленные и исключительные по своему значению
исследования в области теории крыла и винта, теории сопротивления и
пограничного слоя, флаттера и теории неустановившегося движения,

14 Глава I. СССР —родина аэродинамики
проблемы аэродинамики больших скоростей и др. выросли из
непосредственных запросов советской авиационной промышленности.
Ученики и сподвижники великих русских ученых Н. Е.
Жуковского' и С. А. Чаплыгина значительно продвинули вперед
исследования в области аэродинамики,
В работах одного из ближайших учеников Н. Е. Жуковского
профессора В. П. Ветчинкина вихревая теория винта получила
дальнейшее развитие. Он применил к теории винтов вихревую схему
теории крыла конечного размаха с переменной вдоль лопасти
циркуляцией и дал новые методы расчета винта.
Серьезное развитие инженерных методов расчета винтов было
дано в известных работах академика Б. Н. Юрьева, проф. Г. X.
Сабинина и Г. И. Кузьмина и др. Теория винтов была развита в
фундаментальных теоретических работах академика М. В. Келдыша,
проф. Ф. И. Франкля, проф. Н. Н. Поляхова, проф. Д. В. Халезова
и др.
В. П. Ветчинкину принадлежит большая заслуга в деле
разработки идей Н. Е. Жуковского, относяпхихся к динамике полета, а
также идей К. Э. Циолковского по теории ракет.
В лице ближайшего ученика Н. Е. Жуковского академика
Б. Н. Юрьева советская аэродинамическая наука имеет виднейшего
ученого, значительно продвинувшего вперед теорию крыла конечного
размаха, разработавшего инженерные методы расчета винта,
проведшего крупные исследования в области теории и расчета
вертолетов. Созданный Б. Н. Юрьевым вертолет с автоматом перекоса
является первым в мире аппаратом этого рода.
Большая заслуга Б. Н. Юрьева заключается в совдании
учебников по экспериментальной аэродинамике и винтам, на которых
воспитывались поколения советских аэродинамиков и авиационных
инженеров.
Цикл блестящих теоретических исследований по гидро- и
аэродинамике принадлежит ученику Н. Е. Жуковского академику
А. И. Некрасову. А. И. Некрасов значительно продвинул вперед
исследование проблем струйного обтекания тел.
Ценнейшргм вкладом в современную гидродинамику являются
работы А. И. Некрасова, посвященные теории распространения волн
на поверхности тяжелой жидкости. В этих работах ой предложил
новый оригинальный метод, основанный на применении
интегральных уравнений. В дальнейшем теория волн получила большое
развитие в фундаментальных работах академика Н. Е. Кочина,
академика М. В. Келдыша, члена-корреспондента Академии Наук СССР
Л. И. Сретенского и др.
Разрешению сложной проблемы распространения вихревых
явлений в вязкой жидкости посвящена работа А. И. Некрасова
«Диффузия вихря». Ценным вкладом в теорию неустановившегося
движения крыла явилась капитальная монография А. И. Некрасова
«Теория крыла в нестационарном потоке», изданная Академией
Наук СССР в 1947 г.

§ 3, Ведущая роль советских ученых в развитии аэродинамики 15'
Одному из ближайших учеников, помощнику Н. Е. Жуковского
по проектированию и созданию аэродинамической лаборатории в.
Кучино', виднейшему ученому академику Л. С. Лейбензону
принадлежит ряд исследований как в области пограничного слоя, так и в
области аэродинамики больших скоростей. Особенно большой вклад
в развитие советской науки внес Л. С. Лейбензон своими работами
по теории упругости и гидравлике. Гидравлика вязкой жидкости, яв-
Л1яюш,ася теоретической основой для расчета нефте- и газопроводов,
разработана в СССР в основном трудами академика Л. С. Лейбен-
зона и созданной им научной школы.
Характеризуя кратко основные направления деятельности
советских аэродинамикО'В, следует отметить большие достижения
советской школы аэродинамиков в разработке проблем теории-
крыла. Методы Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина заложили
прочную основу теории крыла в плоско-параллельном потоке и
привели к установлению практически важных профилей крыла.
Дальнейшее развитие этой теории связано с именем ученика
Н. Е. Жуковского член а-корреспондента Академии Наук СССР
B. В. Голубева. В. В. Голубеву, наряду с трудами в области
математики^ принадлежат крупные работы по теории обтекания
составных крыльев, существенно углубившие идеи С. А. Чаплыгина и его
учеников. В. В. Голубев впервые теоретически обосновал
возможность получения выигрыша в подъемной силе путем применения
различных методов управления пограничным слоем и путем
механизации крыла, теоретически исследовал различные виды механизации
крыла, в том числе отсос и сдувание пограничного слоя. Крупные
исследования проведены В. В. Голубевым по теории машущего
крыла, теории вихреобразования и теории крыльев малых
удлинений.
Серьезные исследования по теории крыла были проведены
академиками М. В. Келдышем и М. А. ЛаврентьевыхМ, профессорами
C. Г. Нужиным и Г. Г. Тумашевым и др. Ряду со-ветских ученых за
разработку проблем теории крыла присуждена Сталинская премия.
Среди них П. П. Красильщиков, В. В. Струминский, Я. М. Серебрий-
ский и др.
Одной из важнейших проблем аэродинамики является теория
неустановившегося движения. В этой области особое положение
занимает проблема изучения вибраций крыла и хвостового
оперения— так называемая проблема флаттера. Создателем теории
флаттера и целой школы, занимающейся этими вопросами, явился
один из выдающихся ученых нашей страны академик М. В. Келдыш.
Работами М. В. Келдыша, а также капитальными исследованиями
члена-корреспондента Академии Наук СССР Л. И. Седова,
академиков М. А. Лаврентьева и Н. Е. Кочина и др. по неустановившимся
движениям вписаны блестящие страницы в эту труднейшую область
современной аэродинамики.
Исключительно крупное теоретическое и практическое значение-
для авиации имеют исследования советских аэродинамиков в об-

)6 Глава I, СССР — родина аэродинамики
ласти сопротивления, основанные на теории пограничного слоя.
Работы профессора Л. Г. Лойцянского по созданию новых методов
расчета пограничного слоя значительно опередили зарубежные
исследования. Ценные исследования в области турбулентного
пограничного слоя и изучения влияния шероховатости на сопротивление
•были проведены профессорами К. К. Федяевским, А. П.
Мельниковым и др. Крупный вклад в практическую аэродинамику внесли
своими исследованиями по теории ламинизированных профилей
профессора И. В. Остославский и К. К. Федяевский.
В учении о пограничном слое при больших скоростях движения
советские ученые А. А. Дородницын, Л. Г. Лойцянский и др. создали
новую теорию, оставившую далеко позади все, что было сделано
ранее в этом направлении.
В результате работ советской школы аэродинамиков теория
пограничного слоя получила в СССР исключительное развитие.
Другому виду сопротивления, основанному на образовании
вихрей за обтекаемым телом, так называемому вихревому
сопротивлению, посвящены исследования профессора А. А. Космодемьянского,
подсчитавшего силу сопротивления круглого и эллиптического
цилиндров, профилей Жуковского и Чаплыгина.
Исключительно крупные исследования, особенно за последние
десять лет, проведены советской школой газодинамиков,
возглавляемой выдающимся ученым нашей страны академиком С. А. Хррютиа-
новичем.
В период, когда скорость полета самолетов не превышала
500 км/час, сжимаемость воздуха можно было не учитывать, так как
она не оказывала решающего влияния на аэродинамический расчет
самолета. С ростом скоростей полета учет сжимаемости воздуха стал
неизбежен, в результате чего появилась необходимость в создании
методов исследования движения воздуха с большими скоростями,
т. е. в создании аэродинамики больших скоростей, иначе называемой
газодинамикой.
Проблемой учета сжимаемости при обтекании крыловых
профилей занимались и виднейшие зарубежные ученые. Так, немецким
профессором Л. Прандтлем и английским Глауэртом была создана
приближенная теория крыла в дозвуковом потоке. Как показали
исследования, она оказалась справедливой лишь для очень тонких
профилей, обтекаемых под весьма малыми углами атаки.
В 1940 г. вышло в свет блестящее исследование академика
С. А. Христиановича «Обтекание тел газом при больших дозвуковых
скоростях», где дается исчерпывающее решение этой проблемы.
Метод С. А. Христиановича позволил решить ряд вопросов,
необходимых авиационным конструкторам. На его основе были вычислены
кривые распределения давления по профилям с учетом сжимаемости,
определены так называемые критические числа М, при которых на
крыле возникают местные сверхзвуковые зоны, и т. д. В 1942 г. за
цикл работ по газовой динамике С. А. Христиановичу была
присуждена Сталинская премия.

§ 8. Ведущая роль советских ученых в развитии аэродинамики 17
Дальнейший рост скоростей в авиации, а также развитие
реактивной техники потребовали неотложного исследования
многочисленных вопросов сверхзвукового обтекания тел, а также изучения
так называемой смешанной задачи, относящейся к случаю, когда на
обтекаемом теле образуются одновременно зоны сверхзвуковых п
околозвуковых скоростей. Советские аэродинамики успешно и
всесторонне разрешают эти задачи. Крупнейшие достижения в решении
этих задач были получены в последуюш,их блестящих работах
С. А. Христиановича, а также в работах профессора А. А.
Дородницына, А. А. Никольского, Г. И. Таганова, Е. А. Красильщиковой,
В. В. Татаренчика и др.
В трудах Е. А. Красильщиковой, Л. А. Галина, С. В. Фальковича
и др. получены важные результаты по теории крыла в сверхзвуковом
потоке.
Товарищ Сталин поставил перед советскими учеными
важнейшую и почетную задачу: «Не только догнать, но и превзойти в
ближайшее время достижения науки за пределами нашей страны».
Советские аэродинамики, опирающиеся на огромный опыт
русской аэродинамической школы Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина,
с честью выполняют это указание Великого Сталина. Советская
аэродинамическая школа занимает ведущее место в мировой
авиационной науке и обеспечивает небывалый расцвет и могущество
нашей сталинской авиации.
Аэродинамика

Глава И
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ
§ I. ПОНЯТИЕ ЖИДКОСТИ. МАССОВАЯ И ВЕСОВАЯ ПЛОТНОСТЬ
Движение жидкости значительно сложнее движения твердого
тела, так как в жидкой среде отсутствуют жесткие связи, присущие
твердому телу.
Истинное строение жидкости — молекулярное, т. е. жидкость
состоит из большого числа отдельных молекул, движущихся друг
относительно друга с большими скоростями. Однако для изучения
практических вопросов силового взаимодействия между жидкой
средой Hi находящимся в ней твердым телом, в чем состоит основная
задача гидроаэродинамики, можно отвлечься от молекулярного
строения жидкости и рассматривать жидкость как сплошную среду,
в которой отсутствуют пустоты, междумолекулярные промежутки
и молекулярное движение. Это предположение, общее для всех
видов жидкостей, рассматриваемых в аэродинамике, называется
гипотезой непрерывности или сплошности оюидкой среды.
Гипотеза сплошности крайне полезна, так как дает возможность
рассматривать кинематические и динамические элементы
движущейся жидкости (скорость, давление и др.) как непрерывные функции
некоторых аргументов (например, декартовых координат х, у, z и
времени t), что позволяет использовать математический аппарат^
базирующийся в значительной мере на непрерывных функциях.
Известно, что в механике твердого^ тела или в механике системы,
за исключением отдельных случаев, отвлекаются от физических
свойств движущейся материи. В механике же жидкого тела
учитывают некоторые физические свойства движущейся жидкости,
например, плотность, вязкость, температуру и пр.
Чрезвычайно важной характеристикой жидкой среды является
массовая плотность, характеризующая распределение жидкой массы
в пространстве.
Для определения массовой плотности выделим в жидкости какой-
нибудь объем Л1/ (фиг. 2. 1). Обозначим массу этогО' объема через
Am. Тогда отношение —— будет называться средней массовой
плотностью жидкости, находящейся в объеме А К. Будем теперь стягивать
объем AV^ в точку А. При этом отношение будет стремиться к

§ 2. Классификация жидкостей
19
некоторому пределу, называемому массовой плотностью в данной
точке и обозначаемому через
D = lim —
(2.1)
^
дИ
Найдем размерность массовой плотности в технической системе
единиц:
[pj = [масса/объем] = [кг сек^/м^].
Для воздуха при нормальном
давлении (760 мм рт. ст.) и
температуре t= 15° С р = 0,125 кг сек^/м^^
а для воды при ^=15°С р =
= 102 кг сек^/м^.
Пусть вес объема А У равен
AG. Отношение —- называется
средней весовой плотностью, а
предел этого отношения при
AV->0 называется весовой
плотностью в данной точке и
обозначается через
X
,. AG
* Av^o^v
(2.2)
Фиг. 2. 1. К определению плотности
жидкости в данной точке.
Между массовой и весовой плотностью нетрудно^ установить
соотношение
Y = P^. (2.3)
В самом деле, известно, что
откуда, деля на AV^ и переходя к пределу, получим соотношение
(2.3). Очевидно, что размерность весовой плотности
[ Y ] = [вес/объем]=[кг/м^].
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Соответственно свойству жидкостей и газов изменять в той или
иной степени свой объем под действием давления жидкости
разделяются на несжимаемые (т. е. такие, сжимаемостью которых можно
пренебречь) и сжимаемые или упругие. К числу первых
принадлежит, в частности, вода, которая при давлении в 100 ат изменяет
свой объем лишь на 0,5^/о первоначального объема.
Б первом приближении при решении многих задач воздух также
может рассматриваться как несжимаемая жидкость. Однако, как
показали исследования, при больших скоростях движения воздух
уже не может рассматриваться как несжимаемая жидкость и
необходимо учитывать его сжимаемость.
2*

20
Глава //. Основные понятия гидроаэродинамики
1 ,
\м\
^
^
\м'
1
с:: 1
[П
^ 1 1
'^<Jjj'>-do
^'У'^
—*^^— -^ 1
Фиг. 2.2. Течение вязкой
жидкости вдоль пластинки.
В
Пренебрежение фактором сжимаемости стирает с математической
точки зрения различие между жидкостью и воздухом, и найденные
при этом условии законы движения оказываются одинаково
применимыми как к жидкости, так и к воздуху. Поэтому классическая
аэродинамика, в которой пренебрегают сжимаемостью воздуха, часто
именуется гидроаэродинамикой.
ПомиМ'О сжимаемости, каждой реальной жидкости присуще
свойство сопротивляться напряжениям сдвига. Вязкость жидкости
проявляется в образовании касательных напряжений,
препятствующих напряжениям сдвига, приложенным извне к жидкости,
произвести относительный сдвиг ее частиц.
Чем более вязка жидкость, тем
больше возникающие в ней касательные
напряжения.
Однако решение задач
аэродинамики с учетом вязкости часто приводит
к большим математическим
затруднениям. Вместе с тем в ряде случаев
вязкость жидкости не играет решающ!ей
.'роли и ею можно пренебречь. Поэтому
^полезной является упрощенная модель
реальной жидкости — так называемая
идеальная жидкость. Под идеальной
жидкостью понимают такую
теоретическую жидкость, у которой
отсутствует вязкость, т. е. отсутствует
способность оказывать сопротивление
силам, производящим относительный сдвиг ее частиц.
Не останавливаясь на физической сущности вязкости,
являющейся следствием молекулярного строения жидкости, рассмотрим на
одном частном примере, какие силы (напряжения) будут возникать
под влиянием вязкости в движущейся жидкости при обтекании ею
твердого тела и какие изменения в структуре, потока вызовет
появление этих сил.
Пусть поток вязкой жидкости двигается вдоль некоторой
пластинки АВ (фиг. 2.2). Если бы жидкость была идеальной, то все
частицы жидкости, находящиеся в данный момент времени на
нормали On к пластинке, обладали бы одной и той же скоростью по
величине и направлению. В действительности в случае реальной
жидкости ее частицы, непосредственно находящиеся на пластинке,
под действием молекулярных сил сцепления «прилипают» к ней и
их скорость равна нулю.
Далеко же от пластинки (на бесконечности) жидкость двигается
с некоторой постоянной скоростью. Влияние вязкости приведет к
появлению сил внутреннего трения (касательных напряжений), под
действием которых скорости в жидкости будут уменьшаться по мере
приближения к пластинке. Таким образом, вследствие влияния вяз-

§ 2. Классификация жидкостей 21
КОСТИ каждый сЛой жидкости будет двигаться с присущей ему
скоростью.
Величину возникающих в вязкой жидкости касательных
напряжений можно оценить с помощью установленного Ньютоном в
1687 г. закона внутреннего трения. Существо этого закона состоит в
том, что напряжение силы внутреннего трения в жидкости зависит
только от вязкости жидкости и относительной скорости скольжения
одного ее слоя по отношению к другому. Выразим этот закон
аналитически. Рассмотрим для этого какую-нибудь точку М, находящуюся
на нормали On (см. фиг. 2. 2). Обозначим скорость в этой точке
через V. Очевидно, что величина скорости v будет зависеть от
координаты п, измеряемой по нормали, т. е. v = v(n).
Возьмем на нормали точку М\ бесконечно близкую к точке М
и находящуюся от нее на расстоянии dn. В таком случае скорость
в точке М\ которую обозначим через v\ можно написать с точностью
до малых первого порядка в следующем виде:
^' = ^^(п + dn) ==■- v(n) + -^ dn.
Как видно из полученного выражения, скорость в точке М^
отличается от скорости в точке М на величину— dn, являющуюся отно-
дп
сительной скоростью скольжения одного слоя по отношению к
другому. Эта относительная скорость скольжения, от величины которой
зависит сила внутреннего трения, характеризуется величиной
производной —-,называемой градиентом скорости по нормали. Обозначай
дп
силу внутреннего трения, отнесенную к единице площади, через т,
можно закон внутреннего трения Ньютона написать аналитически
в виде следующей формулы:
х = ,.|^, (2.4)
дп
где коэффициент пропорциональности «л, зависящий от природы
жидкости и ее температуры, называется динамическим
коэффициентом вязкости.
Из формулы (2. 4) нетрудно установить размерность
динамического коэффициента вязкости р,. Очевидно, в технической системе
единиц
ы-
dv
дп
[KZJM^ 1 \кг сек 1
1/сек]*~"1. м'^ \
Наряду с динамическим коэффициентом вязкости часто
рассматривают кинематический коэффициент bhskoctw^, равный частному от
деления р. на плотность р:
v = -i^. (2.5)
Р

22 Глава II. Основные понятия гидроаэродинамщси
Размерность кинематического коэффициента вязкости в
технической системе единиц следующая:
[ Р \ [кгсек^1м^\ ^ ' ^
Так как величина v имеет чисто' кинематическую размерность,
то этот коэффициент и называют кинематическим коэффициентом
вязкости.
За единицу вязкости в системе CGS принимают так называемый
пуаз. Если в формулу
т
ti = —
ov
an"
подставить величину т, равную одной дине на квадратный
сантиметр, и — =1* (с размерностью 1/сек), т. е. считать, что при изме-
dn
нении п па I см скорость изменяется на I см/сек, то получаемая при
этом величина \i называется пуазом. Очевидно, что
, , « 981 000 ;5 ,2
1 кг сек м^ = дина сек еле =
' 10 000
= 98,1 дина ceKJcM^ = 98,1 пуаз.
Для воздуха при /=15"^ С численные значения коэффициентов
вязкости составляют:
11.== 1,82-10-6 кг сек/м^,
v = 1,45-10-^ м^/сек.
Для воды при ^=15^ С
[л= 1,164-10-^ кгсек1м\
v = 0,l 145-10-5 M'^jceK.
Сравнивая эти величины, находим, что
1,45.10""^
—12 7
^воды 0,1145.10
Т. е. кинематический коэффициент вязкости воздуха в 12,7 раза
больше кинематического коэффициента вязкости воды.
Вязкость воздуха изменяется от температуры по линейному
закону, выражаемому следующей формулой:
\^^{иАЪЛ0-^ + Ъ,0ЪЛ0~^4)кгсек1м\
Необходимо отметить, что одновременный учет при изучении
движения жидкости рассмотренных выше свойств вязкости и сжимае-

§ 4. Классификация сил, действующих в жидкости 23
МОСТИ ВНОСИТ исключительные математические трудности, в силу
чею в большинстве случаев отдельно выделяются задачи о движении
вязких жидкостей и о движении сжимаемых жидкостей. Изучение
движения сжимаемых (идеальных) жидкостей вылилось ныне в
отдельную область гидроаэродинамики, которая носит название газовой
динамики.
§ 3. ПОНЯТИЕ О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ДАВЛЕНИИ
В ДАННОЙ ТОЧКЕ ЖИДКОСТИ
Выделим на поверхности 5 рассматриваемого объема жидкости
(фиг. 2. 3) элементарную площадку а5. Пусть на эту площадку
действует результирующая сила воздействия ЛР со стороны
окружающей жидкости. Эта сила в идеальной жидкости будет
ориентирована нормальнок поверхности элемента AS, ибо в противном
случае имелась бы касательная составляющая,
которая, будучи отнесена к площади л5, даст ЛР
касательное напряжение, именуемое напряже- S /
нием трения, существующее лишь в вязкой /""^^^"""^ xN
жидкости. Для определения интенсивности
воздействия окружающей жидкости на точку А
к^)
площадки будем стремить площадь Л5 к нулю, \^^ у
т. е. стягивать площадку к точке А, и рассмот- *---*.—--^
рим предел отношения Фиг. 2. З. Сила гидро-
\р динамического давле-
lim— = /7, (^2.6) ния в жидкости.
Этот предел называется гидродинамическим давлением в данной
точке. Очевидно, размерность гидродинамического давления
[р]={/С2/Ж2].
В аэродинамике принято измерять давление в килограммах на
квадратный метр или в мм ртутного столба. Часто при расчетах,
например, авиадвигателей, пользуются также технической атмосферой,
равной 1 кг/см^. Между единицами измерения давления существует
следующее соотношение:
760 мм рт. ст. =^1,0333 кг/см^ = 10 333 кг/м^.
§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ЖИДКОСТИ
Силы, действующие в жидкости, принято разделять на силы
поверхностные и силы массовые.
Выделим в жидкости некоторый произвольный объем V,
ограниченный замкнутой поверхностью S (фиг. 2.4). В результате^
воздействия на объем V окружающей жидкости по его поверхности 5
будут распределены определенным образом касательные (если
жидкость вязкая) и нормальные напряжения. Эти внутренние,
распределенные по поверхности объема силы, обусловленные пали-

24
Глава II. Основные понятия гидроаэродинамики
Я
чием жидкости вокруг рассматриваемого объема, называются по-
верхностными силами. Как видим, силы гидродинамического
давления являются поверхностными силами.
Кроме того, на выделенный объем
жидкости будут действовать силы, не
зависящие от того, существуют ли
рядом с ним другие частицы жидкости
и распределенные по всему объему V.
Такие силы называются массовыми, К
массовым силам принадлежат сила
тяжести, центробежная сила,
инерционные силы и др.
Примем следующие обозначения
для массовых сил. Будем относить
массовую силу к единице массы, а ее
проекции на оси координат обозначать
через X, Y, Z. Очевидно, что X, Y, Z —
проекции ускорения массовой силы на
координатные оси. Например, если на массу частицы жидкости
будет действовать сила тяжести, являющаяся массовой силой, то
проекции этой массовой силы на оси координат в принятых
обозначениях, очевидно, равны:
Фиг. 2.4. Поверхностная и
массовая силы в жидкости.
.Y=0; Г=
mg
=:-я; ^==0.
§ 5. НЕЗАВИСИМОСТЬ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ!
Рассмотрим в движущейся идеальной жидкости бесконечно
малую частицу в форме элементарного тетраэдра с ребрами dx, dy, dz.
Применим к этой частице принцип
Даламбера, т. е., присоединяя к
поверхностным и массовым силам,
действующим на данную частицу, силы
инерции, напишем условие
равновесия указанных сил. На каждую грань
тетраэдра будут действовать
поверхностные напряжения
(гидродинамические давления) рх, р^, pz, рп,
являющиеся результатом воздействия
окружающей жидкости на данную
частицу. Массовые силы (в том
числе и инерционные), действующие
на тетраэдр, будут величинами
третьего порядка малости ввиду их ^^^ ^^ Распределение поверх-
пропорциональности объему рас- ностных сил по элементарному те-
сматриваемой частицы в отличие от траэдру.

§ 5. Независимость давления в идеальной жидкости от направления 25
поверхностных сил, являющихся малыми второго порядка. Поэтому
уравнения равновесия по осям координат можно написать в
следующем виде:
pJ^^S^—p^^Scos (п,х) +беек, мал. третьего порядка = О,
/7^A5^~p„A5cos(^,j;) + 6ecK. мал. третьего порядка = О,
p^^S^—p^AScos (n,z) +беек. мал. третьего порядка = О,
где Дб"^, ASj,, AS^, А5—площади граней, соответственно
нормальных осям X, Уу Z и нормали п.
Так как
AScos{n,x)= А 5^,
A5cos(/2,j;)== ASy,
AScos(n,z)= А^^,
то в пределе, при, стягивании элементарного тетраэдра в точку,
будем иметь
откуда
Px=Py = Pz=Pn^P' (2.7)
Таким образом, гидродинамическое давление в произвольной
точке идеальной о^сидкости не зависит от направления и в данной
точке жидкости в фиксированный момент времени является вполне
определенной величиной, т. е. является функцией только координат и
времени:
P=f{^y У> 2:, t).
Эта функция при непрерывном характере движения и в силу
гипотезы сплошности является однозначной, непрерывной и конечной
функцией координат х,. у, г.

Глава III
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
§ 1. МЕТОД ЭЙЛЕРА
Основным методом изучения движения жидкости является метод
Эйлера. Леонард Эйлер, крупнейший ученый XVIII века,
являвшийся действительным членом Российской Академии Наук, впервые
создал теоретические основы изучения движения идеальной
жидкости, составив основные дифференциальные урав1нения
гидродинамики, носяш;ие его' имя. Научная деятельность Л. Эйлера в
Российской Академии Наук значительно способствовала развитию
точных наук в России.
Задача кинематического изучения движения жидкости
заключается в определении в каждой точке движущейся жидкости для
любого момента времени t значений скорости. Зная величины
скоростей, можно, как будет показано в дальнейшем, найти
распределение давления, а следовательно, и силы, действующие в жидкости.
Движение жидкости можно изучать двумя путями.
Первый путь состоит собственно не в изучении движения самой
жидкости, а в изучении пространства или его части, заполненной
движущейся жидкостью. При этом изучается изменение различных
элементов движения (скорость и пр.) при переходе от одной точки
пространства к другой, а также изменение этих элементов в
фиксированной точке пространства со временем.
Второй путь состоит в изучении движения отдельных частиц
жидкости, заполняющих сплошным образом некоторый
движущийся объем, причем само изучение состоит в исследовании изменений,
которые претерпевают во времени скорость^ давление и др.
величины при движении какой-либо частицы, а также в исследовании
изменений этих величин при переходе от одной частицы жидкости
к другой.
Метод Эйлера заключается в следующем. ^Вместо изучения
движения жидких частиц вдоль их траекторий рассматривается
распределение скоростей (поле скоростей) в пространстве, заполненном
движущейся жидкостью, т. е. рассматривается некоторая точка в
пространстве с координатами х, у, z vl изучается как изменение
скорости в указанной точке с течением времени, так и изменение
скорости вследствие перехода к другим точкам пространства. Таким

§ 1. Метод Эйлера
27
образом, скорость рассматривается как функция четырех
аргументов X, у, Z, t, называемых переменными Эйлера:
"Vy^fiix, у, Z, t),
■Vz^fsU, У, г, t).
(3.1)
Предполагая движение жидкости непрерывным, буд^м считать
указанные функции однозначными, непрерывными и
дифференцируемыми функциями координат х, у„ z и времени t.
В таком случае для нахождения траектории жидкой частицы
следует в уравнениях (3.1)) заменить i/^, Vy, v^ соответственно
через ~, — и — и интегрировать систему дифференциальных
уравнений
dx
--=fx{x,y,z,t),
at
dt
dz
dt
-=f^{x,y, z, t),
=fb {.X, y, Z, t).
(3.2)
После интегрирования получим уравнения
jc = cpi(/?, а, b, c),\
y^'fzit, a, b, c),\
z = <f3{t, a, b, c).
(3.3)
содержащие три произвольные постоянные а, b, с, значения которых
определяются из начальных условий (см. ниже). Исключая из этих
уравнений время t, найдем уравнение траектории жидкой частицы.
Для определения проекций ускорения жидкой частицы в
переменных Эйлера
w^
w,,
w^
dt
dvy
dt
dVz
dt
следует учесть, что v^c, Vy, Vz в силу уравнений (3. 1) являются
функциями X, у, Z, где х^ у, г в свою очередь при движении частиц
жидкости зависят от t. Следовательно, используя правило
дифференцирования сложной функции, будем иметь
dVx dvjc , dvx dx . dv^ dy . dv^ dz_
dt ^ dt dx~ dt dy dt dz dt

28
Глава III, Кинематика жидкости
ИЛИ, так как
то
w^
Аналогично
dx dy
dt ~ ^' dt
dz
w,= ■
dt "" dx ^ dy "^ dz
dvu , dvy .
w^ = —=^ +v^—^—\-v^
^ ^^ ^ dx ^ dy
^""y ^L... ^%
dt
dv.
+ V
z • d'^z , dv?
dt ^ "" dx ^ dy ^ '
' dz
dv.
dz
(3.4)
§ 2. МЕТОД ЛАГРАНЖА
В отличие от метода Эйлера метод Лагранжа изучает движение
индивидуальны'Х жидких частиц вдоль их траектории. Так как
жидких частиц бесчисленное множество, то следует как-то
характеризовать данную частицу. Это можно сделать, если в качестве
характеристики жидкой частицы выбрать ее координаты в
начальный момент времени ^=0. Пусть при ^==!0 координаты данной
частицы будут а, Ь, с. Это означает, что из всей бесчисленной
совокупности траекторий данной частице будет принаддел<ать та, которая
проходит через точку а, Ь, с. Таким образом, координаты
рассматриваемой жидкой частицы х, у, z будут зависеть от величин а, Ь^ с
и t, называемых переменными Лагранжа, т. е.
у=^ъ{Ка,Ь,с)Л (3.5)
Таким образом, если в методе Эйлера траектории жидких частиц
получаются путем интегрирования дифференциальных
уравнений (3.2), в методе Лагранжа они оказываются заданными
формулами (3.5). Пользуясь уравнениями (3.5), находим проекции
скорости и ускорения частиц:
v^
t\
v.
dx d^i (t,a,byC)
dt
^^y
dt
_^.
dt
^<Рз {t,a,b,c)
dt
_ (^9з (Ла, b ,c)
w^-
Wy--
TO) -
d^x
dt^
__d^y_
dt^
_d^z ___
d^^i(t,a
dt^
d^^2{t,a.
dt^
d^'ioXt,a,b
b,c)
b.c)
^
\ (3.6)
dt
dt
dt^
Метод Эйлера получил преимущественное распространение в
аэродинамике, так как он более прост и дает возможность широко
использовать хорошо развитый раздел математики — векторный
анализ. Метод Эйлера и используется в последующем изложении.

§ 3. Классификация движений жидкости
29
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ
В наиболее общем случае движения жидкости проекции скорости
v^, v^^ Vz И давление р (для сжимаемой жидкости и плотность р)
будут являться функциями координат х, у, г и времени t, т. е.
v,=f^{x,y,zj), \ (3.7)
Это означает, что в фиксированной точке пространства с
координатами X, у, Z проекции скорости Vg-, Vy, v^, давление р и плотность р
будут функциями времени t, т. е. с течением времени будут
изменяться. Такое движение жидкости называется неустановившимся.
Если же в фиксированной точке пространства величины v^^ Vy, Vz>
р, р со временем не меняются,— движение жидкости называется
установившимся. Это означает, что всякая жидкая частица,
приходящая в данную фиксированную точку пространства, будет в ней
обладать такими же значениями v^, Vy, Vz, р и р, какими обладала
Б ней любая из предшествующих частиц жидкости. В этом случае
выражения (3. 7) напишутся, очевидно, в следующем виде:
p=fd^,y.^)'
(3.8)
Из определения установившегося движения следует, что для него
должны выполняться следующие условия:
dvx
dt
_dvy
' dt
" dt '
.^^==^=:0.
dt
dt
(3.9)
Однако полные производные от этих величин отличны от нуля,
так как в общем случае скорость, давление и плотность меняются
при переходе от одной точки пространства к другой. Только в
частном случае, если несжимаемая, однородная^ (p=const) жидкость
движется рав1НОмернО' и прямолинейно, т. е. y=const и p=const, то
dv^
dt
' dt d ~
dt
^0,
dt

30
Глава HI. Кинематика жидкости
Если ЖИДКОСТЬ движется так, что проекции скорости Vic, v^, v^
являются функциями ТОЛЬКО' одной координаты и времени t, то такое
движение называется одномерным неустановившимся. В частном
случав при движении вдоль оси х {Vy=Vz=0) будем иметь
dv-t dvjr , dVr
dt
дх -^
dt
Движение жидкосги называется плоским или двухмерным,
если все частицы, находящиеся на одном и том же перпендикуляре
к некоторой неподвижной фиксированной плоскости, движутся
одинаково параллельно этой плоскости.
При плоском неустановившемся потоке жидкости {Vz=Q) будем
иметь
dt
' дх
dt
dvu dvu , dv
dt дх
oy ^ dt
Если пространственное движение жидкости симметрично
'относительно некоторой оси, например, Ох, то такое движение называется осе-
симметричным,
Осесимметричными течениями являются движения жидкости в
соплах и диффузорах круглого сечения и осевое обтекание тел
вращения различной формы (например, сигарообразной) и т. п.
§ 4. ЛИНИЯ ТОКА
В аэродинамике наряду с понятием траектории как кривой,
очерчиваемой в пространстве движущейся частицей жидкости, вводится
важное понятие линии тока.
Рассмотрим в данный
момент времени t какую-нибудь
точку / пространства,
заполненного жидкостью. Пусть скорость
находящейся в ней частицы
жидкости изображается
вектором Vi (фиг. 3. 1). В этот же
момент времени t возьмем на
векторе скорости Vi точку 2,
бесконечно близкую к точке L
В этой точке находится другая
частица жидкости. Так как
точка 2 имеет другие координаты,
нежели точка 1, то и скорость
в ней будет другая,
изображаемая вектором V2. В тот же момент времени t возьмем на векторе
скорости V2 точку 3, бесконечно близкую к точке 2. В ней вектор
скорости частицы будет v- и т. д.
Фиг. 3. 1. Построение линии тока.

§ 4, Линия тока
31
В результате такого построения (в данный момент времени)
получилась ломаная 1, 2, 3, 4, 5,..., обладающая тем свойством, что
вектор скорости, соответствующий начальной точке любого ее
звена, направлен вдоль этого звена.
Будем неограниченно увеличивать число звеньев ломаной и,
следовательно, стремить к нулю длину каждого ее звена. Тогда в
пределе (фиг. 3.2) получится кривая, называемая линией тока.
Следовательно, линия тока обладает тем свойством, что каждая
частица жидкости, находящаяся на ней в данный момент времени,
имеет скорость, совпадаюш^ую по направлению с касательной к этой
линии.
Посмотрим, какой будет картина
распределения скоростей в момент
времени t\ Если движение
неустановившееся, ТО' в момент f скорость в
точке 1 будет v±\ отличная от Vi,
Следовательно, для того чтобы
передвинуться в соседнюю бесконечно
близкую точку, нужно теперь
двигаться по новому направлению,
изображенному на фиг. 3. 1 пунктиром.
Отсюда следует, что для момента f
линия тока будет иной. Это означает,
что при неустановившемся движении
совокупность линий тока будет
меняться по времени.
Если же движение установившееся, т. е. скорости в точках 1, 2
и т. д. не меняются пО' времени, то очевидно, что и линии тока не
будут зависеть от времени.
Очевидно также, что в случае установившегося движения линии
тока и траектории совпадают. В самом деле, за время dt частица
жидкости переместится вдоль вектора t^i из положения / в
положение 2, где скорость изображается вектором V2. Так как движение
установившееся, то в точке 2 вектор скорости V2 за время dt не
изменится. Это означает, что жидкая частица, придя в точку 2, пойдет
вдоль вектора V2, Рассматривая последовательно дальнейшее
перемещение жидкой частицы, легко убедиться, что при установившемся
движении траектория частицы будет совпадать с линией тока.
Найдем дифференциальное уравнение линий тока. Из условия
совпадения в данной точке линии тока вектора скорости с
касательной к этой линии следует, что
или, представляя векторное произведение в виде определителя
7, 7, ^
Фиг. 3. 2. Линия тока.
'^х' ^г
v.
dx, dy, dz
-О,

-32
Глава UL Кинематика жидкости
где /, I, k — единичные векторы, направленные по координатным
осям. Развертывая этот определитель по первой строке, будем иметь
dy, dz
+j
dz, dx
+ k
dx, dy
-0,
откуда
Vydz—'v^dy^^,
'Vzdx — Vj^dz=^0,
Vj^dy—Vydx = 0,
Полученные уравнения можно написать в следуюпхем виде:
dx dy dz
(ЗЛО)
Vj^(x,y,zj) Vy(x,y,z,t) v^{x,y,zj)
Выражение (3. 10) носит название дифференциального
уравнения линий тока. Дифференциальное же уравнение траектории
жидкой частицы может быть записано в следующем виде (см. § 1):
^ == "^ = ^ =.dt.
Vx{x,y,z,t) Vy(x,y,zJ) v^ix.y.zj)
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Движение жидкости задано проекциями скоростей:
г;^=:—ky, Vy=kx, v^=0,
где А;--постоянная. Требуется найти линии тока.
Решение. Так как Vx, Vy от времени явно не зависят, заключаем, что
рассматриваемое движение установившееся и, следовательно, линии тока и
траектории совпадают. Так как ^^=0, то движение плоское. В случае плоского
движения дифференциальные уравнения линий тока (3. 10) можно записать
в следующем виде: ^
dx dy
— = -^. (3.11)
Подставляя заданные значения v^,v в уравнение (3.11), получим
dx dy
kx
или, разделяя переменные,
Интегрируя, находим
— ky
xdx-\-ydy=0.
Х2+у2=С,
т. е. линии тока представляют собой семейство концентрических окружностей с
центром в начале координат (фиг. 3.3). Для определения направления движения
найдем косинусы углов между вектором скорости и осями х и у:
cos (v, х) =—== -- г .
COS {V,y) =-
•у..
= 4-
Yx^^y^ '

§ 4. Линия тока
33
Так как для точки М с положительными значениями координат cos {v, л^ХО,
то скорость образует с осью х тупой угол, и, следовательно, движение
совершается против часовой стрелки.
Пример 2. Движение жидкости
задано следующими проекциями
скоростей:
v^=x+t, v^= —y + t, v^=0.
Требуется определить:
а) семейство линий тока, а также
линию тока, проходящую через точку Л
(—1, —1) в момент t=0;
б) траекторию частицы М, которая
в момент ^=0 находилась в точке А
(-1, -1).
Решение. Очевидно, что
рассматриваемое движение является плоским
(г?2=0) и неустановившимся, так как в
выражение для v^ и v явно входит
время t. Дифференциальное уравнение
(3. И) линий тока примет
следующий вид:
dx dy
Фиг. 3.3. Движение жидкости по
концентрическим окружностям.
x+t - y^t
Интегрируя полученное уравнение (считая t фиксированным), находим
или
{x-\-t){t~y)=^C. (а)
т. е. семейство линий тока представляет в каждый момент времени семейство
гипербол. Для нахождения линии тока, проходящей в момент времени ^=0
через точку А (—1, —1), подставляем эти значения t, х, у в уравнение (а); тогда
получим
(—1) • ( + 1)=С, т. е. С=—1,
и уравнение искомой линии тока примет вид
ху=1.
(б)
Для определения траекторий необходимо проинтегрировать следующие
уравнения:
dx
—=x+t,
dt
dy
(в)
При интегрировании первого уравнения положим
х=и • V,
где u=u(t), v — v(t). Одна из функций u(t), v(t) может быть выбрана
произвольно, так как x(t) должна удовлетворять одному уравнению (в). Тогда
dx
dt
du dv
— V 4- и —
dt dt
3 Аэродинамика

34 Глава III. Кинематика жидкости
Подставляя значения х и —• в первое из уравнении (в), находнм
du dv
dt dt
или
(du \ dv ^
— —u\v +u— — /=0.
dt / dt
dv=-~re~'^tdt.
Пользуясь произволом в выборе одной из функций u(t) или 11 (О» выберем
функцию u{t) такой, чтобы выполнялось равенство
du
тогда и
dv
и— -/=0,
dt
Интегрируя первое уравнение, находим и=Се^. Подставляя найденное зна»
чение и во второе уравнение, получим
С
Интегрируя по частям, находим
v=~{^te-^-e-'^)-\^Ci.
Подставляя найденные значения функций и и v ь выражение для х, находим
jc=C2^^~-^—1. (г)
Аналогично можно получить выражение для у:
y^Qe-^+i ~ 1. (д)
Для определения уравнения траектории, которую описывает частица М,
находившаяся в момент ^=0 в точке А (—1, —1), определим значения констант С^
и Сз. Подставляя в выражения (г) и (д) t=0, х=—\у у==—1, получим С2=Сз=0.
Таким образом, для искомой траектории будем иметь
откуда, исключая t, находим уравнение траектории
т. е. уравнение прямой.
Таким образом, этот пример показывает, что линии тока и траектории при
неустановившемся движении не совпадают.
§ 5. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
При рассмотрении движения произвольной сжимаемой жидкости
будем предполагать, что движущаяся жидкость сплошным образом
заполняет все простраг-ютво или определенную его часть, т. е. что
пустоты или разрывы не образуются. Это условие называется
условием неразрывности или сплошности движения.

§ 5. Уравнение неразрывности
35
f^x
dx
^Oj,t^(^dx
Ъ
В таком случае, рассматривая протекание жидкости через
некоторую фиксированную в пространстве замкнутую поверхность,
можно заключить, что если за некоторый промежуток времени
количество вытекшей жидкости будет превышать количество втекшей,
то внутри этой поверхности произойдет изменение плотности. (В
случае несжимаемой жидкости количество вытекшей жидкости
вследствие условия неразрывности должно в точности равняться
количеству втекшей жидкости.) Сказанное выше можно представить
аналитически в виде дифференциального уравнения, носящего название
уравнения неразрывности или сплошности движения.
Уравнение
неразрывности в аэродинамике
является выражением закона
сохранения материи,
установленного впервые
великим русским ученым
М. В. Ломоносовым в
1748 г.
Рассмотрим
фиксированную в пространстве
замкнутую поверхность,
имеюпдую форму
прямоугольного
параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz,
через который протекает
некоторая сжимаемая
жидкость.
Пусть в единицу времени и через единицу плои;ади левой грани
параллелепипеда в направлении оси х протекает масса жидкости
ру-й. Так как pv^ есть функция координат и времени, т. е. рУа?=
=1{х, у, Z, t), то для определения массы жидкости, протекаюпхей
в направлении оси х в единицу времени через единицу площади
правой грани, надо координате д: в функции f{x, у, г, t) дать
приращение dx, т. е. надо найти f{x+dx, у, z, t). Но с точностью до ма-
лыд первого порядка
f{x + dx, у, Z, t) =/(л:, у, z,t) + '^ dx,
—-^х
Фиг. 3.4. К выводу уравнения неразрывности
в декартовых координатах.
т. е. через единицу площади правой грани в единицу времени
протекает в направлении оси х масса жидкости, равная
Р^л
дх
dx.
Очевидно, разность между подсчитанными выше вытекшим и
втекшим количествами жидкости равна
дх
dx,

36 Глава HI. Кинематика жидкости
И, следовательно, за время dt через грани площадью dydz вытечег
в направлении оси х масса жидкости
дх -^
Аналогично разность между вытекшим и втекшим количествами
жидкости в направлении 'Осей у и г за время dt можно получить
в виде
~ dx dy dz dt,
ду ^
^Jl^dxdydzdt
dz ^
Если ЗТИ выражения сложить, то получим суммарную разность
между всей вытекшей и втекшей за время dt л<:идкостью:
^(9^х) . d(pvy) d(pvz)
дх ду dz
dx dy dz dt.
Различие в количествах (массе) вытекшей и втекшей жидкости
отразится на количестве жидкости внутри параллелепипеда. В самом
деле, если в момент времени t плотность была р, то в момент t+dt
плютность будет равна
9{x,y,z,t + dt) = p+^ dt,
dt
И, следовательно, за время dt количество (масса) жидкости внутри
параллелепипеда изменится от величины pdxdydz до
(р + — dt) dx dy dz.
т. е. на величину
dxdy dz dt
(здесь берем знак минус, так как выше подсчитывалась разность
между вытекшим и втекшим количествами).
В силу условия неразрывности разность между количествами
вытекшей и втекшей жидкости должна быть равна изменению
количества жидкости внутри параллелепипеда. Поэтому, приравнивая
соответствующие выражения, получаем
d(9Vjc) , d{pvy) d(pv^) dp
дх dy dz dt
ИЛИ
dp d{pvx) d{pvy) d(pv^)
:0. (3.12)
dt dx dy dz

§ 6. Циркуляция скорости 37
Это уравнение носит название дифференциального уравнения
неразрывности для сжимаемой жидкости.
Если движение сжимаемой жидкости установившееся, то, оче-
видно,-^==0, и уравнение неразрывности примет вид
= 0. (3. 13)
дх ду dz
Уравнения неразрывности (3. 12) или (3. 13) часто пишут в
несколько иной форме. Для того чтобы ее получить, выполним
дифференцирование в уравнении (3.12); тогда получим
др до до до /dv^ dvy dvA
dt ^ dx -^ ^dy -^^ dz '^^\dx ^dy ^ dz)
Замечая, что первые четыре слагаемых представляют собой
полную производную от р по времени t, получим уравнение
неразрывности в иной форме:
dp /dVyr dvy dVy\
Иногда это уравнение пишут несколько иначе, вводя коэффициент
кубического расширения 6, характеризуюш.ий относительное
изменение объема жидкости в единицу времени;
dvy dvy dvy
дх ду dz
В таком случае уравнение неразрывности примет вид
-^ + р8 = 0. (3.15)
dt
В частном случае, когда жидкость несжимаемая, т. е. р= const,
коэффициент кубического расширения 0=0. Следовательно,
уравнение неразрывности примет вид
dvr dVy dv^ ,« ч /.ч
_^ + ->' + --i = 0. (3.16)
дх ду dz
Это уравнение носит название уравнения неразрывности для несл<и-
маемой жидкости. В векторной форме оно имеет вид
div^==0. (3.17)
§ е. ЦИРКУЛЯЦИИ скорости
в аэродинамике как теоретической, так и прикладной
исключительно большую роль играет понятие о циркуляции скорости,
обозначаемой через Г. С величиной циркуляции связывается понятие
интенсивности или напряжения вихрей. От закона ее распределения

38
Глава III. Кинематика жидкости
по размаху крыла самолета зависят величины сил и моментов,
действующих на крыло.
Выделим в двигающейся жидкости произвольный
фиксированный в пространстве замкнутый контур С. Пусть в некоторой его
точке М ^корость изображается вектором у., Составим произведение
ycos(t;, ds)ds—v cos ads, напоминающее выражение для
элементарной работы в теоретической механике (там вместо вектора
скорости V рассматривается вектор силы F). Возьмем от этого
выражения криволинейный интеграл по дуге АВ. Тогда будем иметь
r=J'^^cos(t;, ds)ds. (3.18)
J
Фиг. 3. 5. К определению циркуляции
скорости.
Это выражение называется
циркуляцией скорости по дуге АВ,
Обыкновенно циркуляция
исчисляется по всему замкнутому
контуру С, т. е.
Г= J'z:;cos('i^ d's)ds, (3. 19)
с
Направление интегрирования
будем считать положительным,
если охватываемая контуром
площадь остается при
интегрировании слева.
Заменяя в выражении (3. 19) vcos{v,ds) через t^„ где v^ —
проекция скорости на направление касательной, будем иметь
Г-1'г;,^5. (3.20)
с
Замечая, что подинтетральное выражение * в формулу (3. 20)
является скалярным произведением вектора v на вектор ds, можем
н!аписать | ;
Г = 1(^5). (3.21)
с
Используя известную формулу скалярного произведения двух
векторов а{а^, о^, а^ и Ь{Ь^, Ь^, Ь^)\
(а, Ъ) = а^&,, + ciyby + a^b,,
циркуляцию Г на основании выражения (3.21) можно представить
в следующем, весьма распространенном в приложениях виде:
Г = j vjx + Vydy + v,dz. (3.22)

§ 7. Движение жидкой частицы
39
§ 7. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
В кинематике твердого тела доказывается, что в общем случае
движение твердого тела в каждый момент времени складывается
из поступательного перемещения и вращения вокруг некоторой оси,
называемой мгновенной осью вращения. Движение жидкости
гораздо сложнее, так как всякая жидкая частица при своем
движении не только перемещается поступательно и вращательно, но и
деформируется. Последнее приводит к необходимости изучения в
кинематике жидкости так называемого деформационного движения.
Рассмотрим в какой-либо
момент времени t движение беско-
■^-оТ
нечно малой жидкой частицы.
Пусть в некоторой точке М{х, у, г)
внутри частицы (фиг. 3. 6)
проекции скорости суть v^{x, у, z),
Щ{х, у> Z), v,{x, у, Z). Тогда
проекции скорости в некоторой
точке Mi{x+Xi, yi+yi, 2^+2:1) на
поверхности частицы могут быть
написаны в виде
v^^:=Vy{x + x^, У + Уг, z + z^);
v,i =:v^(x + x^, у +уг, z + z{).
Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора и удерживая в
нем ТОЛЬКО' величины первого порядка малости, т. е. члены,
содержащее Xt, yi, Zi в степени не выше первой, получим следующее
выражение для скоростей v^u Щъ '^zi-
rz
Фиг. 3. 6. К рассмотрению движения
жидкой частицы.
Ч)
лг1"
•-V^-f-—-Xi+-—yi-i-—- Zi,
дх ду oz
V.
>!■
dVy dvy dvy
\
(3. 23)
где для краткости написания положено v^ — Vj^{x, у, z), t^^ =
==Vy{Xjy,z)ii'V^^'v^{x,Уу z). Преобразуем эти выражения, для чего
прибавим к правой части первого уравнения (3.23) величины
Zi И перегруппируем члены. В результате
1 dv„
У1 и
~~ 2 дх
будем иметь
V
х1'
■V
dVj^ \ dv^ 1 dv^ 1 dvx
""^ dx ^^ 2 dy -^^ 2 дх -^^^ 2 dz ^ ^
+
2 дх
^1 +
I dvj,
1 dVy
1
dy -^^ 2 дх -^^ 2
dvj. 1 dv2
dz ^ 2 дх ^

40
Глава III. Кинематика жидкости
откуда
dv;c
}_ldv^
dv.
^^ -^ dx 2 \dy дхИ^ 2 \dz дх
1 Idv^
dv.
Z,+
1 /d%
^t;.
2 \ dz dx
1 /^Vy ^г^дД
Аналогичными преобразованиями из второго и третьего
уравнений (3.23) можно получить
V
1 [dv^ dvj,
dvu 1 fdv;y dVy\
1 /аг;^ dvj^ \ (dvz dvy\
~\dx a7/'^^~ \dy~~dzl ^^'
^
a^:
^1 +
1 /a/;.
dv.
+tU-^;-^-
^^1
(?y.
c/2: dx
Введем для краткости обозначения:
1 fdvz dvy
'~~~2 [di ~dz
dvr dv,
dz dx
X,
2 \dy dzh
__ 1 /dvx
'"'YXdz"^
dx
^ 1 /dvy dVj,
4(
2 Ьд: ду
ft '^'^^
(3.24)
Тогда полученные выше выражения для v^x, "Vyi и i^^i можно
переписать в виде
^ = '^у + ^Л + ^Ь + еЛ + '"Л —<»^2:i; [ (3-25)
■Vzx = 'Vz + S^i + ^хУх + 6.2i + co_^ J/i
-CB^Xi-
Введем в рассмотрение следующую вспомогательную
квадратичную функцию
V(М? + 9;,;'? + 6,4 + 2z^yxz, + 2sj, Zi^^i + 2s,x, j/J, (3.26)
Ф:
Производные которой по координатам х^, у^, z^ имеют вид
ду1
= <5vJ'l+S^+S^, }
г Ух + S-^1-
(3. 27)

§ 7. Движение жидкой частицы
41
С ПОМОЩЬЮ функции Ф выражения для проекций скоростей могут
быть написаны в следуюш;ем компактном виде:
V
JCf
■-"^x+^^l •--'^гУ1 +
П
>1-
^'^г/Ч-^^Л'
-^х^1 +
%1 = '^г + ^хУ1 — '^у^1 +
дФ
dxi
дФ
дуг
дФ
\
(3. 28>
^' ^ ' д2г
Выясним физический смысл уравнений (3. 28).
Члены Vic, Vy и Vz представляют собой, очевидно, проекции
скорости перемещения точки М{х, у, z) в пространстве.
Вспоминая решение задачи из теоретической механики о
вращении твердого тела вО'Круг неподвижной оси, замечаем, что члены
QiijZi—^zju ^zXi—озй^г^; o)^yi—
— (i^yXi представляют собой
проекции скорости вращения
частицы жидкости (как твердого
тела) вокруг мгно-венной оси,
проходящей через точку М.
Такое вращательное движение
частиц жидкости называется
вихревым движением, а комоо-
ненты угловой скорости ш^, ш^,,
Шгг — компонентами вихря.
Выясним смысл слагаемых
дФ ^ дФ ^ дФ
dxi' ду1' dzi
''УВ
'^хВ
м
--7
I
^-v.
^х
(гГ
—'X
Фиг. 3. 7. Деформация жидкой частицы,
имеющей форму параллелепипеда.
Прежде всего из физических соображений ясно, что жидкая
частица вследствие различия скоростей в отдельных ее точках должна
деформироваться. Отсюда непосредственно' следует, что члены —'
дФ дФ ^ „ ^ ^
—, — представляют собой компоненты скорости деформации
дух dzi
частицы. Покажем это на простом примере.
Пусть бесконечно малая жидкая частица имеет в момент
времени t форму прямоугольного параллелепипеда. Для упрощения
рассмотрим проекцию этой частицы на плоскость х, у, т. е. бесконечно
малый прямоугольник MBDC (фиг. 3. 7), Если компо^ненты скорости
точки М{х, у) прямоугольника обозначить через Va; и Vy, то
составляющие скорости в точках C{x-{-Xt, у) и В{х, y+yi) можно написать
в виде (с то'чностью до малых первого порядка)
dvy. , dvv
'VxC--
'-"^x^-J^X^. ^J'C = ^j,+
1 ^^JT
dx
dvv
■X,
'".B=='V, + ^y,.
(3.29).

42 Глава III. Кинематика жидкости ^
Поскольку нас интересует относительное перемещение точек С и В
(относительно точки М), перепишем равенства (3.29) в следующем
виде:
dvx dVy
Ясно, что скорости —a:i = 6 лг! и —^ Ул^^^Ух являются скоро-
дх ду ^
стями линейной деформации ребер прямоугольника MBDC. Ско-
dvy dVj^
рости же -— д:1 и -— j^i указывают на поворот ребер МС и МБ
дх ду
(см. фиг. 3.7), т. е. являются скоростями деформации скашивания
прямоугольника MBDC в некоторый косоугольник (пунктир на
фиг. 3.7). Очевидно, что ребро МС поворачивается с угловой
dVy dVx
скоростью --^, а ребро MB —с угловой скоростью — . Так как
скорость изменения прямого угла ВМС складывается из
угловых скоростей вращения ребер МС и MB, то, следовательно,
она представляет собой сумму
дх ду
Проводя аналогичные рассуждения для других граней
параллелепипеда (или их проекций на координатные плоскости), можно
dvz л
также просто показать, что величина-—- Zi='b^ Zt является ско-
dz
ростью линейной деформации вдоль оси z и что величины угловых
скоростей скашивания остальных прямых углов параллелепипеда
выражаются соотношениями
dvy dv.. dVy. dvy
—+ —= 2б^ и —+ —= 2е,.
ду dz -^ dz дх У
Из изложенного следует, чтО' величины
дФ дФ дФ
dxi^ оух' dzi
действительно представляют собой компоненты скорости
деформации жидкой частицы, причем величины Zxj гу и s^ характеризуют
деформацию скашивания, а величины б^, 0^ и 6^ -— линейную
деформацию (растяжение или сжатие). Обращаясь вновь к формулам
(3.28), физический смысл которых теперь полностью выяснен,
приходим к следующему важному выводу:
Элементарное перемещение жидкой^частицы состоит из
поступательного перемещения со скоростью v(Vs,Vy, Vz) ее центра; ера-

§ 7. Движение жидкой частицы
43
щения относительно ^некоторой оси, проходящей через этот центр
с угловой скоростью о^(а)^, щ, (d^); деформационного движения,
характеризуемого функцией Ф (xi, yi, Zi).
Для лучшего уяснения существа деформационного движения в
заключение настоящ^его параграфа рассмотрим физическую
интерпретацию деформационного движения, данную Н. Е. Жуковским
в его курсе лекций «Основы воздухоплавания».
Пусть бесконечно малая жидкая частица имеет в некоторый
момент времени t форму сферы, центр которой расположен в точке
Фиг. 3. 8. Деформация жидкой частицы, имеющей форму шарик*.
0{х, у, Z) и радиус равен а (фиг. 3.8). Расположим подвижные
оси координат Хъ Yu^i (параллельные неподвижным осям х, у, z)
так, чтобы их начало было в центре сферы, и предположим, что при
движении жидкости они будут перемещаться поступательно вместе
с центром сферической жидкой частицы. Пусть компоненты скорости
центра О частицы будут v^q, v^q и Vzq. Тогда компоненты скорости
любой точки N{xt, уи Zi) на поверхности частицы на основании
предыдущего могут быть написаны в виде
■^zyil
dyi
дФ
v-^l)-
(3. 30)
Нетрудно убедиться, что функция Ф, являясь однородным
многочленом второй степени относительно координат Xi, yi, Zt, представляет
собой центральную поверхность второго порядка с центром в начале
координат — эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Из-

44 Глава III. Кинематика жидкости
вестно, что если оси координат х±, yi, z^ направить вдоль осей
эллипсоида деформации, то члены, содержащие произведения
разноименных координат, уничтожатся. Оси эллипсоида* в этом случае
называются главными осями деформации. При таком выборе осей будем
иметь
1 (dvr dvv dv^
1 /dVr dvy dv^ \
2[дх ^ ' ду ^^^ dz ^ I
И, следовательно,
дФ dvx дФ dVi, дФ dv^
y- = ~^u ^-г^Уъ -г = -^гъ 3.31)
ox дх ду ду dz oz
Т. е. вдоль главных осей деформации имеют место только линейные
деформации.
Рассматриваемая нами жидкая частица имеет в начальный
момент (до деформации) форму шарика. Напишем уравнение этого
шарика в виде
xl+yl + zl^^a".
Обозначим через ^2, у2, ^2 координаты (относительно центра О),
которые будет иметь точка N частицы через бесконечно малый
промежуток времени dt. Тогда, ограничиваясь рассмотрением только
движения деформации, на основании (3. 31) можно написать
х^==х^ + —- dt == х^ -f — -^1 dt,
dx-i дх
дФ duy
y2=yi+T-dt = 3^1 + ^У1 dt,
дуг ду
, дФ 1J , dvz 1J
Z2 = z^ + --dt = z^ +~г^1 dt,
dzi dz
дФ дФ дФ 1
ибо — , — и скорости деформации.
dxi ду1 dzi
Отсюда
дх
dVy
ду
l-h — dt
dz

§ 8. Потенциальное двиоюение оюидкоста 45
Подставляя значения Xi, yi, Zi в уравнение шарика, находим
:(l + |^..)^ .»(l+|^..)^ a2(l +
с?то уравнение является уравнением эллипсоида с полуосями:
дх
dvy
ду
l+^-^dt],
dz I
Таким образом, бесконечно малый шарик, деформируясь,
обращается в бесконечно малый эллипсоид, оси которого направлены
по главным осям деформации (см. фиг. 3.8).
Найдем изменение объема рассматриваемой бесконечно малой
частицы. Для этого необходимо из объема эллипсоида вычесть объем
шарика:
4 / dvx \/ Ovy \/ dvz \ 4
3 \ дх \ ^ ду \ dz ) 3
4 ^ /dvjr dvy dvA ,, 4
3 \дх ду dz 3
(. dvx , diK, , dv^ , .
где 0= \- —к -] ? — коэффициент кубического расширения.
дх ду dz
Если жидкость несжимаема, то коэффициент кубического'
расширения 6== О, и мы получим известное уравнение неразрывности для
несжимаемой жидкости
dVjr dvu dv^
дх ду dz
§ 8. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Для большого количества задач аэродинамики и газодинамики
весьма важно изучение потенциального движения жидкости.
Потенциальным движением жидкости называется безвихревое движение,
т. е. такое движение, в котором компоненты вихря ш^, (х>у, ш^ равны
нулю, в этом случае
1 /dv, dvy\
^ 2 \dz дх]
1 1^Ь dVx
О), = =0.
' 2 \дх ду

45
Глава III. Кинематика жидкости
Из «олученных выражений следует:
UVz
dz ~
dvy
dx
UVy
dvz
dx '
dvx
(3. 32)
Рассмотрим теперь дифференциальный трехчлен Vxdx+Pydy+Vzdz.
Как нетрудно видеть, равенства (3.32) являются необходимыми и
достаточными условиями того,
Hk -. чтобы этот дифференциальный
трехчлен был полным
дифференциалом некоторой функции
^{х, у, г), т. е.
Vj^ dx +Vydy + v^ dz == flfcp (x, J/, z).
Функция 9 носит название
потенциала скорости и играет
большую роль в аэродинамике.
Раскроем ее полный дифференциал;
тогда получим
^9
0.
Фиг. 3.9. К выводу основного свой-
•^ва потенциала скорости.
V^dX'\-V^dy-\'V^dZ ^
^ дх
^ ду ^ dz
dx-i-
Сравнивая коэффициенты при dx, dy, dz, будем иметь
'V.
дх '
^9
дФ
""'^fz^ ]
(3.33)
т. е. проекция скорости на координатную ось равна частной
производной от потенциала скорости по соответствующей координате.
Это важное свойство потенциала скорости сохраняется и для
произвольного направления. В самом деле, рассмотрим какую-нибудь
точку М в жидкости, находящуюся на ^произвольной кривой
(фиг. 3. 9). Пусть скорость в точке М равна v. Проведем в точке М

§ 9. Уравнение неразрывности в декартовых координатах
47
касательную к кривой. Так как мы рассматриваем потенциальный.
поток, то существует потенциал скорости ср и можно написать:
д^ д^ dx Ц dy , ^? dz
ds дх ds Qy ds dz ds
= V
cos(i;,a;) \-cos{v,y)
ds
Так как
dx dy
= COS ( S,X), =
ds
ds
dz
(3.34)
= cos(s,j;), — = cos (5,2:)
ds
TO окончательно будем иметь
ds \ у / s
Аналогично для произвольного
направления г
'^ = vcos(v,r) = v,, (3.35)
Фиг. 3. 10. Составляющие
скорости в полярных координатах.
т. е. проекция скорости на произвольное направление равна
производной от потенциала скорости по этому направлению. В частности,
для полярных координат на плоскости будем иметь
^'='i
"•=1^
г дд
(3. 36>
где Vr, Vs — проекции вектора скорости v точки М на направление
полярного радиуса-вектора г и яг направление., перпендикулярное
полярному радиусу-вектору (фиг. 3. 10).
В заключение отметим, что рассмотренная в предыдущем
параграфе квадратичная функция Ф является, очевидно, потенциалом
скоростей деформаций, так как частные производные от нее по
координатам равны соответствующим компонентам скоростей
деформаций [см. формулы (3. 27)]. Следовательно, деформационное
движение жидкости есть потенциальное движение.
§ 9. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Выше было показано, что уравнение неразрывности в общему
виде можно написать следующим образом:
\-р{- 1—- -\
dt \дх ду dz
=0.

48
Глава III. Кинематика жидкости
Подставляя значения компонентов скорости по формулам (3. 33),
будем иметь
/// ' ^Ыг2 ' дуг '
dt
дх^
dz^
:0.
(3. 37)
В случае если жидкость несжимаемая, т. е. p==const, уравнение
неразрывности примет следующий вид: .
^4- —+ —= 0
дх'' ду^ dz-^
(3.38)
Указанное уравнение носит название уравнения Лапласа, а
функция ср, удовлетворяющая этому уравнению,— гармонической
функции. Таким образом, для потенциального потока несжимаемой
жидкости потенциал скорости будет являться гармонической
функцией координат X, у, z.
В случае плоского потенциального движения уравнение
неразрывности для несжимаемой жидкости (уравнение Лапласа)
примет вид
(3.38')
Отсюда можно заключить, что только гармонические функции могут
определять собой потенциальное течение несжимаемой жидкости.
§ 10. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим плоский потенциальный поток несжимаемой
жидкости. Выделим в потоке бесконечно малую площадку АСОВ,
ограниченную двумя бесконечно близкими полярными радиусами и двумя
бесконечно близкими окружностями радиуса г и r+dr (фиг. 3. 11).
Вычислим количества жидкости, втекающей через грани АВ и АС и
вытекающей через грани CD и DB. Через грань АС втекает в
единицу времени масса жидкости, равная
pvrrdb,
а через грань АВ —
Р Vsdr,
Через грань DB вытекает в единицу
времени масса жидкости
pf ^ rrf6 + —■ (рг/;. rdb) dr.
Аналогично через грань CD вытекает
масса
Фиг. 3. 11. К выводу уравнения ^
неразрывности в полярных коорди- ^V^ df -\ {fiV^ dr) db.
натах. дд

§ 11. Циркуляция скорости в потенциальном потоке 49
Для несжимаемой жидкости условие неразрывности требует,
чтобы количества вытекающей и втекающей жидкости были одинаковы.
Приравнивая вычисленное количество втекшей жидкости количеству
вытекшей, будем иметь
^(pv/db)dr+j^{pv,dr)db = Q.
Заменяя Vr и Vs их выражениями по формулам (3.36), получим
дг\ дг) д^\ г дд)
Выполняя дифференцирование и деля почленно на г,
окончательно получаем
^ + -^ + -^ = 0. (3.39)
Уравнение (3. 39) представляет собой уравнение Лапласа в
полярных координатах на плоскости.
§ 11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ в ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОТОКЕ
Выражение для циркуляции скорости в потенциальном потоке
приобретает простую форму. В самом деле, если мы напишем
выражение для циркуляции вдоль какой-нибудь произвольной дуги АВ
в
Т = ^v^dx + Vydy + v^ dz
А . . ^ . .. .
и подставим вместо v^, Vy, Vz их выражения по формулам (3. 33), то
получим
в в
V=[^dx + ^dy + ^dz^[d^ = ^B-^A. (3.40)
J дх ду dz J
А А
Это означает, что циркуляция вдоль дуги АВ не зависит от
формы дуги и равна разности значений потенциала скорости в конечных
точках дуги. В случае когда точки А и В совпадают, т. е. контур
замкнутый и функция ср однозначна, циркуляция становится равной
нулю, и мы можем сформулировать следующую теорему: если
потенциал скорости функция однозначная, то циркуляция в
потенциальном потоке по замкнутому контуру равна нулю.
Если потенциал скорости функция неоднозначная, то эта теорема
становится неверной. Поясним это на следующем примере.
Пример. Потенциальный плоский поток задан потенциалом
скорости
4 Аэродинамика

50
Глава III. Кинематика жидкости
положительная постоянная. Требует-
Фиг. 3.12. К расчету циркуляции
скорости в потенциальном потоке.
где 6 — полярный угол, а k
ся вычислить (фиг. 3. 12):
а) циркуляцию Г по кругу С, уравнение которого
|у б) циркуляцию г по кругу
Ci, уравнение которого
где а>/?.
Решение, Циркуляцию по
кругу С вычислим по формуле
Г = ср^ — ф j^.
Так как в этом случае 9^==
=k - 0=0, срв =k 27Г, ибо при
полном обходе круга угол 6
получает приращение 2ir
(потенциал неоднозначен), то
циркуляция Г=27г^, т. е. не равна
нулю.
Для круга Ci вычислим циркуляцию по той же формуле
Так как в этом случае угол 6 при полном обходе по контуру С^
возвращается к своему первоначальному значению (потенциал
однозначен), то
?л1 = Л-0 = 0,
и, следовательно, циркуляция по кругу Ci равна нулю.
§ 12. ФУНКЦИЯ ТОКА
В аэродинамике большую роль в исследовании потоков играет
так называемая функция тока ([). Выясним ее смысл и значение для
плоского потенциального, установившегося движения несжимаемой
жидкости.
Как известно, дифференциальное уравнение линий тока для
плоского движения жидкости имеет вид
dx
или
v^dy — Vydx = 0. (а)
Подставляя в это уравнение значения v^^ и v^, выраженные в
функции координат дс и у, и интегрируя, можно получить уравнение, свя-

§ 12, Функция тока 51
зывающее х, у и произвольную постоянную. Каждому значению
произвольного постоянного будет соответствовать определенная
линия тока. В случае плоского непрерывного течения несжимаемой
жидкости дифференциальный двучлен (а) интегрируется крайне
просто, так как он оказывается равным полному дифференциалу
некоторой функции ф {х, у).
В самом деле, уравнение неразрывности в этом случае будет
иметь вид
-^ = ——^. (б)
дх ду ^ ^
Из этого соотношения следует, что Уа? и v^ могут быть выражены
через некоторую функцию <[) следуюш,им образом:
Действительно, подставляя в (б), получаем
дх ду дх ду
т. е. тождество.
•Подставляя затем значения v^ и Vy из (3.41) в (а), будем иметь
ду -^ дх ^
откуда, интегрируя, найдем уравнение линий тока
^{х,у)=С, (3.42)
где С — произвольная постоянная.
Уравнение (3. 42) является уравнением семейства линий тока.
Давая постоянному С различные значения, будем получать
различные линии тока, принадлежащие данному семейству. Функция ф
называется функцией тока.
Сравнение формул (3.33) и (3.41) приводит к важному
соотношению
д(р д^
'^'^ дх ду'
-^ ду дх
(3.43)
Если потенциал скорости 9, являющийся функцией координат
л: и у, приравнять постоянному
9{х,у) = С, (3.44)
то, очевидно, будем иметь семейство линий, обладающих тем
свойством, что вдоль каждой такой линии потенциал скорости сохраняет
4*

52
Глава HI. Кинематика жидкости
постоянное значение. Такие линии носят название
эквипотенциальных линий, т. е. линий равното потенциала.
Из формул (3. 43) путем перемножения можно установить
следующее соотношение между функциями 9 и ф:
^^ , д^^ О
дх дх ду ду
Как известно из математики, это соотношение является условием
ортогональности кривых ср(л:, у)—(^ и <|) (х, у)—С. Таким образом,
в плоском установившемся, потенциальном потоке семейство линий
тока и семейство
эквипотенциальных линий взаимно ортогональны.
С по'мош^ью соотношения (3. 43)
можно показать также, что функция
тока t)j для потенциального потока,
как и потенциал скорости 9>
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Действительно, используя условие
потенциальности
У\
dvy,
dvu
■=о
Фиг. 3. 13. К определению
физического смысла функции тока.
ду дх
И соотношение (3.43), получаем'
дх'^ ду^
т. е. уравнение Лапласа.
Выясним физический смысл
функции тока ^р. Рассмотрим в
пространстве, заполненном плоским потенциальным потоком,
произвольную дугу, соединяющую какие-либо две точки А и В
(фиг. 3. 13).
Возьмем на дуге некоторую точку М и пусть скорость в ней будет
изображаться вектором v: Иодсчитаем элементр:рный расход в
точке М дуги, т. е. расход через бесконечно малый элемент ко-нтура ds =^
Очевидно,
dQ = v^dS'\=v^ ds,
где с^п—^проекция скорости на нормаль в точке М. Известно, что
проекция скорости на нормаль Vn может быть выражена через
проекции скорости на координатные оси v^ и v^ следующим образом:
откуда
v^ = v^ cos (я, х) + Vy cos {п,у),
dQ = [Vj^cosin, x) + V cos {n,y)] ds.
* Под расходом жидкости через некоторую дугу при плоском потоке
понимают расход через цилиндрическую поверхность, построенную на этой дуге
как На образующей, высота которой равна К ^ -

§ 13. Метод наложения потенциальных потоков
53
Используя известные вьфал^ения для косинусов углов,
образуемых нормалью с осями координат:
г ^ dy /X dx
Qos(n,x) = -^, cos (л, J/) = —-—,
ds ds
a также формулы (3. 43), получим
Idx ds dy ds J dx dy
dQ^d^\. (3.45)
T. e.
Таким образом, дифференциал функции тока равен расходу
жидкости через элемент дуги ds в единицу времени. Для
определения расхода через всю кривую АВ нужно проинтегрировать
выражение (3. 45):
д = ]'^ф = ф5_ф^,
(3.46)
Фиг. 3. 14. Семейство линий тока.
'Т. е. расход жидкости через
произвольную кривую АВ равен разности
значений функции тока в конечных
ее точках и не зависит от формы
кривой. Отсюда следует, что если сама
кривая АВ является участком линии
тока, то расход Q = 0 (так как вдоль
линии тока ^=const). Из формулы
(3. 46) и фиг. 3. 14 видно, что
количество жидкости, протекающей
между двумя линиями 'юка, например,
<5)=Сл и <5)=Сб, на всем их протяжении есть величина постоянная.
Если койтур замкнут, т. е. если точки Л и В совпадают, то при оЩно-
значности функции тока <[) расход Q = 0.
Если же ф неоднозначная функция, т. е. если при полном обходе
замкнутого контура функция тока не возвратится к своему
первоначальному значению, то' расход Q через такой контур будет
отличен от нуля. Это может иметь место, если внутри контура
осуществляется либо подвод, либо отвод жидкости, т. е. если внутри
контура расположены так называемые источники или стоки (подробнее
см. ниже § 16).
§ 13. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОТОКОВ
Большое практическое значение в исследовании потенциальных
потоков имеет метод наложения потенциальных потоков,
заключающийся в следующем. Пусть мы имеем два потенциальных потока,

54 Глава III. Кинематика жидкости
обладающих потенциалами cpi и s''2, удовлетворяющими, как
известно, уравнению Лапласа, т. е.
'^^^=0,
(3.47)
В таком случае потенциал скорости, равный их сумме
9=<Pi'+:92, (3.48)
также будет удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. будет
представлять некоторый новый поток несжимаемой жидкости. В самом деле,
в силу (3. 48) и (3. 47) будем иметь
дх^ ду'2 [дх^ ду') \ дх^ ду^ I
Новый сложный поток с потенциалом 9=:9i4-i?2 является
результатом наложения двух исходных потоков, т. е. результатом
геометрического суммирования в каждой точке пространства скоростей
первого и второго потоков. В самом деле, для сложного потока
-'=a*=5?+S^=^"+^-
(3.49)
д^ dffi , д^2
ду ду ду
Аналогично можно показать, что для нового сложного потока
функция тока
о^ = ф1+:ф2, (3.50)
т. е. равна алгебраической сумме функций тока исходных потоков.
Таким образом, наложение двух и более потоков сводится к
простому алгебраическому суммированию потенциалов и функций тока
исхоЬных потоков.
IB последующих параграфах будут рассмотрены наиболее
характерные примеры плоских, установившихся потенциальных
потоков, комбинацией (наложением) которых могут быть получены
сложные практически важные потоки.
§ 14. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК
Предположим, что плоско-параллельный поток, задан потенциалом
Ф =ал:+;6у,
где а и b — некоторые действительные числа.

§ 15. Течение внутри прямого угла
55
Для того чтобы исследовать характер течения,
продифференцируем потенциал ср по координатам х и у; тогда получим
дх ду
Следовательно, составляющие скорости течения по
координатным осям
Vx
-а и Vy=b,
т. е. поток движется с постоянной
скоростью V, равной
Найдем линии тока. Так как
уравнение линий тока
то в данном случае
d^=ady—bdx,
откуда •
ф =ау—Ьх,
Очевидно, линии тока представляют со-
Фиг. 3. 15. Прямолинейный рав-
• номерный поток.
бой семейство параллельных прямых
ф =ау—6х=const,
, vy b
наклоненных к оси х под углом а, тангенс которого tga=-^^ = —
Vx а
{фиг. 3. 15). Если поток направлен параллельно оси х, функции о
и ^ представляются в виде
ср =ах, ф =ау\ (3. 51)
при направлении потока параллельно оси у
ср = &у^ ф=—6х. (3.52)
§ 15. ТЕЧЕНИЕ ВНУТРИ ПРЯМОГО УГЛА
Предположим, что плоско-параллельный поток задан следующим
потенциалом скорости:
о=а(д:2—у2), (3.53)
где постоянная а действительна и, кроме того, а>0. Прежде чем
перейти к исследованию этого течения, покажем, что в силу
соотношений (3.43), зная 9^ МОЖНО' определить функцию тока ^ (и
наоборот, если задана функция ф, то можно найти ф). В самом деле,
из первого уравнения (3. 43)
ду дх

56 Гл^ва III. Кинематика жидкости
находим
J
^^ dy + C{x). (а)
Постояниая С есть функция х, так как при интегрировании по у
фиксируется ТОЛЬКО' переменное х. Подставляя значение —, из
уравнения (3. 53) находим
ф = J 2ах dy + С{х)=^2аху + С{х). (б)
Для определения произвольной функции С{х)
продифференцируем уравнение (б) по х. Получим
'^==2ay + f. (в)
дх dx
Используя второе уравнение (3.43) ~-^ ——, будем иметь
—-^ = 2ау + --
ду dx
Так как в данном случае
то, следовательно,
или
dC
ду
2ау = 2ау + '£
О, т. е. C(x) = const.
dx ' ^ ^
Подставляя найденное значение С{х) в уравнение (б), получим
ф =2axy+const
или, отбрасывая произвольную постоянную, получим окончательное
выражение для функции тока рассматриваемого течения
С^=2аху. (3.54)
Для нахождения линий тока приравняем функцию тока ip
постоянной:
ф=2ал:у = const,
откуда
ху=С,
т. е. линии тока представляют собой семейство гипербол с
асимптотами, являющимися осями координат (фиг. 3. 16). При С>0 либо
^>'0, У>0, либо х<^0, у<0, т. е. ветви гипербол располагаются в
первой и третьей четвертях. При С<^0 либо х<^0, у>0, либо х'^0,
у<<0, т. е. ветви гипербол расположены во второй и четвертой чет-

§ 15. Течение внутри прямого угла
57
вертях. Если С=0, то линиями тока являются оси координат х=0^
у=0, т. е. оси координат являются «нулевыми» линиями тока
(«нулевыми» линиями тока будем называть линии тока, соответствующие
значению С=0). Нетрудно убедиться, что в начале координат
v-x=Vg=0. Точка потока, в которой скорость равна нулю, называется
критической точкой. Для того чтобы найти наоравление течения,
рассмотрим некоторую точку М на оси х с координатами х^О, у=0.
Для точки М будем иметь
Фиг. 3. 16, Линии тока и эквипотенциаль- Фиг. 3. 17. Обтекание прямого угла.
ные линии для потока, заданного
потенциалом скорости tf—a(x^ — у^).
т. е. скорость в точке М направлена в положительную сторону оси х
и поток течет в направлении, показанном на фиг. 3. 16 сплошными
линиями.
Если потенциал скорости ср приравнять постоянному, то получим
уравнение семейства эквипотенциальных линий. Очевидно, в
данном случае семейство линий
ср=а(х2—у2)= const
будет представлять собой семейство гипербол с асимптотами,
являющимися биссектрисами координатных углов, ортогональное к
семейству гипербол ху'=С.
Если положительные части осей л: и у, являющиеся нулевыми
линиями тока, принять за твердые стенки (а в идеальной жидкости
это всегда можно сделать, не нарушая характера течения, ибО' в
ней отсутствует вязкость), тО' исследуемое течение будет
представлять течение внутри прямого угла (фиг. 3. 17).

58 Глава III. Кинематика жидкости
Вычислим расход жидкости через произвольную кривую АВ,
концы которой расположены в точках А{х, 0) и 5(0, у). Очевидно,
в этом случае
Q= ф^—фл = (2ал:у) в—{^аху) а =0,
что и должно быть, так как точки Л и 5 лежат на одной и той же
.линии тока <J)=0, распавшейся на две прямых; ^следовательно, ко-
.личество жидкости, втекающей за данный промежуток времени
через кривую АВ в область АОВ, равно количеству жидкости, вы-
^текающей из этой области через ту же кривую.
§ 16. ИСТОЧНИК и сток
Пусть потенциал скорости задан в следующем виде:
ср = 1п1/л-2+у (3.55)
или в полярных координатах
ср=1пл (3.56)
Найдем прежде всего функцию тока, используя уравнения (3. 43).
Из первого уравнения
дх ду
имеем
Так как
то
или
^ = ^^dy + C{x). (а)
(?ср
дх х^+у^
Выполняя интегрирование, находим
ф = arctg(^) + C(x). (б)
Для определения произвольной функции С{х)
продифференцируем уравнение (б) по х:

§ 16. Источник и сток
59
ИЛИ
Так как
д\>
-У
дх ду
С\х).
(в)
х^^у^
д^
то, подставляя найденное значение ^^-^в (в),
дх
получаем
х^-\-у
-+С'(х),
Фиг. 3. 18. Течение от источника.
откуда
С'{х) = 0 или С(л:)== const.
Таким образом, функция
тока для данного течения
представляется уравнением (с
точностью до произвольной
постоянной)
ф==агс1е(-^) (3.57)
или в полярных координатах
ф = е. (3.58)
Исследуем теперь характер
течения. Для этого найдем
линии |Т0ка, приравняв функцию
тока постоянному:
ф = 6 = const.
Отсюда видно, что совокупность линий тока представляет собой
семейство лучей, исходящих из начала координат (фиг. 3. 18).
Чтобы определить направление течения, найдем Vr. Очевидно,
.,= |L_±>o,
дг г
т. е. направление скорости совпадает с положительным
направлением полярного радиуса. Такое течение (см. фиг. 3. 18) называется
течением от источника. Жидкость вытекает из начала координат
(источника) «по линиям тока, представляющим собой семейство
прямолинейных лучей.
Для получения семейства эквипотенциальных линий надо
потенциал скорости приравнять постоянному:
9 =1п r=const, т. е. г=const.
Следовательно, эквипотенциальные линии представляют собой
семейство концентрических окружностей (пунктирные линии на

60 Глава III. Кинематика жидкости
фиг. 3. 18), Ортогональных к семейству линий тока, центры которых
расположены в начале координат.
Допустим, что секундный расход вытекающей из источника
жидкости равен Q. Будем называть Q мондностью источника.
Установим связь между мощностью источника и функциями ср и ^.
В силу усло'вия неразрывности расход жидкости Q, протекающей
через окружность радиуса г, равен:
Так как
' дг dr
(ибо 9 зависит только от г), то
откуда
Интегрируя, находим
dr
^ 2tz г
(p = -^Inr. (3.59)
Легко показать, что функция ^ будет иметь вид
ф=^9. (3.60)
Теперь очевидно, чтО' выражения (3. 55) — (3. 58) представляют
потенциал скорости и функцию тока для исто-чника, мощность!
которого Q = 27r.
В случае когда жидкость течет в обратном направлении, т. е.
втекает в начало координат по прямолинейным лучам, течение
называется течением от стока. Очевидно, что функции ср и ф для
стока мощностью Q будут отличаться от аналогичных функций
для источника только знаком, т. е. для стойка
?=-
ф=-
§17.
2;:
2т:
дипаль
(3.61)
(3.62)
Диполем или дублетом называется комбинация источника
мощностью Q и стока мощностью — Q, помещенных на бесконечно
малом расстоянии друг от друга. Потенциал диполя, используя метод
наложения, можно написать в виде (фиг. 3. 19)

§ 17. Диполь
61
Обозначая через х, у координаты произвольной точки М, через
ri и Г2 — расстояния точки М от источника и стока, из фиг. 3. 19
находим
При этом выражение для потенциала скорости примет вид
или после преобразования
Ф = 1П = —
Если теперь сближать
источник и сток, то величина s будет
стремиться к нулю. Поэтому,
разлагая выражение для со в
ряд по известной формуле
ln(l+2) = 2-^ + -f-...,
In
1 +
4jce
{х~гУ-{-у\
М(х,у)
где Z'
4дгс
(д:-£)2-нУ '
и удерживая в разложении
только члены, содержащие е
в первой степени, получим
4-дгс / \
(а)
»=^
Фиг. 3. 19. Диполь.
47Г (л:-£)2 4-У
Обратимся теперь к функции тока для рассматриваемого течении.
Нетрудно видеть, что функция тока будет иметь вид
Так как из фиг. 3. 19 следует, что
то
tg(6x-92) =
tgB,=
_ tgei-
У
-tg02
tge,=
у
y{x~z) —у{хл-г)
— *lyz
H-tgOitges
^г^-^-у-^
д:*+у2 _ J
Из полученного выражения находим
^i-e^^arctg
2j/£
.дгз+у
»« _е«

62
Глава ///. Кинематика жидкости
Следовательно, функцию ^ можно написать в виде
Ф = -^ arc tg ^ .
Пользуясь известным разложением для
arctg2: = 2; 1
^ 3 5
где 2: =
-2j;e
A:2-rj;2--
И малостью 8, удержим в
разложении, как и выше, лишь члены,
содержащие s в первой степени.
Тогда получим
.Q 2уг
ф =
27Г JC2-fj^2
(б)
Фиг. 3. 20. Линии тока и
эквипотенциальные линии для течения от диполя.
Сближая источник и сток,
будем предполагать, что мощност]!
их неограниченно возрастают так,
что в пределе произведение 2(?£
стремится к некоторой конечной
величине М. Величина М обычно
изображается в виде вектора, направление которого указывает на
направление от стока к источнику.
Ось X в этом случае называется осью диполя. Внося значения
момента М диполя в формулы (а) и (б), в пределе, при s->0,
получим следующие выражения для функций ср и ф:
2л х^+у**
Ф-
М
2ic дгЧз^^
(3.64)
Найдем линии тока и эквипотенциальные линии для течения от
диполя.
Для определения линий тока приравняем* функцию тока ^
постоянному:
х^-^у'^
откуда
Х^ + (У'
2С/
1
4С2
Очевидно, совокупность линий тока будет представлять собой
семейство окружностей с центрами на оси у, касающихся оси х в
начале координат (фиг. 3. 20). Таким образом, жидкость по указан-

§ 18. Вихрь
63
ным окружностям вытекает из начала координат и вновь в него-
втекает. Очевидно, в этом случае расход жидкости через
произвольный замкнутый контур, окружающий диполь, равен нулю.
Совокупность эквипотенциальных линий
будет представлять собой семейство окружностей, ортогональных ^
линиям тока, с центрами на оси х, касающихся оси у в начале
координат (см. фиг. 3.20).
§ 18. ВИХРЬ
В § 16 были получены выражения потенциала скорости ср и
функции тока ^ для плоского источника:
гд^ Q — мощность источника. Рассмотрим теперь такой плоский
поток, в котором потенциал скорости ср и функция тока ф
поменяются местами:
^ 271
^ 2ic
где Q>0 — некоторая постоянная,
физический смысл которой для
нового потока следует определить.
Для определения характера
течения найдем линии тока, приравняв
функцию тока постоянному:
271
In г= const
или
r=iconst.
Фиг. 3.21. Течение» от вихря.
Следовательно, в данном случае совокупность линий тока будет
представлять собой семейство концентрических окружностей с
центрами в начале координат. Найдем направление движения; для
этого вычислим скорость в какой-либо точке М (фиг. 3.21) с
полярными координатами гиб. Используя полученные ранее
формулы для проекций скорости на полярный радиус Vr и на
направление К! нему перпендикулярное Va, будем иметь
.,= ^ = 0,
V.
>0.

^64 Глава III. Кинематика жидкости
Следовательно, скорость v в точке М направлена fio касательной
к окружности радиуса г, и точка М совершает движение по ней в
сторону возрастания угла 6, т. е. против часовой стрелки. Таким
образом, все точки жидкости двигаются по концентрическим
окружностям с постоянной для данной окружности скоростью.
Такое движение жидкости называется плоским вихревым
движением, а начало координат — вихревой точкой или плоским
вихрем. Это означает, что вдоль оси z расположен бесконечно длинный
прямолинейный вихрь, вызывающий в перпендикулярной к нему
плоскости движение частиц жидкости по концентрическим
окружностям (более подробно см. гл. V).
Выясним физический смысл постоянной Q. Для этого вычислим
значение циркуляции в рассматриваемом потоке:
Г== ^Vsds.
Подставляя найденное значение t^s^-^ и выполняя интегрирова-
2тсг
ние по окружности радиуса г, найдем
2тс 2тс
у 2пг J 2кг 2к J
или
Q = r,
Т. е. произвольная постоянная Q равна циркуляции Г (как будет
показано в гл. V, циркуляция связана с так называемым
напряжением или интенсивностью вихря, вследствие чего циркуляция^
рассматриваемого потока будет целиком зависеть от интенсивности
вихря; с увеличением последней циркуляция будет возрастать и
наоборот).
Таким образом, выражения для потенциала скорости и функции
тока плоского вихря принимают вид
<р=^е, • (3.65)
<!. = —1пл (3.66)
приравнивая потенциал скорости ср постоянному, найдем
семейство эквипотенциальных линий:
ср == 6 = const
^ 2к
или
8= const,
т. е. совокупность эквипотенциальных линий представляет собой
семейство прямых, исходящих из начала координат и ортогональных
к линиям тока (см. фиг. 3.21).

§ 19. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра
65
i
/ /
/ / ^
iX
/ V
\ \ V
\ ч "^
\
у
____
"О
г
г"
h-'
"^^.х^
- ^i^-^^^
\^<^\
Х\ \
т J \ \
Л/ \ \
/ ] '
/ / /
X
Фиг. 3.22. Чисто циркуляционное
обтекание круглого цилиндра.
Примем одну из линий тока, например, окружность радиуса
г=Го за твердую границу, что не нарушит характера потока, и будем
рассматривать течение жидкости вне этой окружности. Тогда
получим так называемое чисто циркуляционное обтекание бесконечно
длинного (в направлении оси г) круглого цилиндра радиуса Го, при
котором все линии тока —
концентричные цилиндру окружности.
Скорость V в любой точке вне
цилиндра будет выражаться в
следующем виде:
v = — . (3.67)
27ГГ ^ ^
Максимального значения
скорость будет достигать на
поверхности круглого цилиндра
г
27сго
По мере удаления от
цилиндра, т. е. с увеличением радиуса /",
скорость будет убывать и на
бесконечности
Усе =0.
Как видно из формулы (3.67), скорость будет убывать по
гиперболическому закону
<vr=^ — = const,
2ir
что графически изображено на фиг. 3. 22.
Таким образом, можно окончательно заключить, что потенциал
^ 2л:
представляет собой потенциал чисто циркуляционного потока
вокруг круглого цилиндра.
§ 19. БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
В настояпхем параграфе рассмотрено сложное плоское течение
жидкости, получающееся в результате наложения друг на друга
двух изученных ранее потоков:
1. Равномерного прямолинейного потока, двигающегося в
направлении оси X оо скоростью, равной единице:
ср=л:, ф=у.
2. Потока, получаемого от диполя с моментом М=27г:
_ X . _ у
Аэродинамика

66
Глава III. Кинематика жидкости
Как было выше показано (§' 13), для нахождения потенциала
скорости 9 и функции тока ^ сложного течения нужно сложить
по»тенциалы и функции тока исходных потоков. Следовательно, в
рассматриваемом случае будем иметь следующее выражения для
функций ср и ф сложного потока:
ср = л: +
х^+у"^'
1>==3^ —
х^Л-у^
(3.68)
(3.69)
Чтобы найти линии тока, приравняем функцию тока постоянной:
^^у.
у
С,
откуда
Как видим, линии тока представляют собой семейство кривых
третьего порядка. Для выяснения картины течения найдем нулевую
Фиг. 3.23. Бесциркуляционное обтекание
круглого цилиндра.
линию тока (соответствующую С=0). Для нулевой линии тока
получаем два уравнения:
у=0
и
л:№у2—1=0.
Следовательно, нулевая линия тока представляет собой ось х и
окружность радиуса единицы с центром в начале координат.
Принимая указанную окружность за твердую границу и рассматривая
течение жидкости вне этой окружности, можно трактовать
полученный поток как поток, обтекающий бесконечно длинный цилиндр
радиуса единицы. Линии тока будут иметь вид, изображенный на
фиг. 3. 23. Покажем, что действительно на достаточно большом рас-

§ 19. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра 67
СТОЯНИИ ОТ цилиндра, или, как принято говорить, на бесконечности,
скорость направлена в положительную сторону оси х и равна
'tfoo =i+!l (i^oo представляет собой скорость невозмущенного
потока на достаточно большом расстоянии от цилиндра). Найдем
проекции скорости v^ и Va/.
•^ дх (д:*+3^2)2 '
^ ду (x^-hy^)^
или, переходя к полярным координатам,
cos* 9 — sin' е
^ -1-
v,,^
2 cos 0 sin 9
'У г2
Переходя к пределу при г-^'оо, получаем ('г;^)г=оо =+1, ('t;^=eo=0.
Точки пересечения А и В нулевых линий тока на цилиндре будут
являться критическими точками. Для того чтобы это показать,
представим потенциал скорости (3. 68) в полярных координатах:
?
= (г+—jcose. (3.70)
Подсчитаем проекции скорости в точке М (фиг. 3. 23) на
полярный радиус гит направление, к нему перпендикулярное, т. е.
Vr и Vs:
Из выражения для Vs видно, что циркуляция скорости вокруг
цилиндра равна нулю. Действительно, интегрируя по окружности,
охватывающей цилиндр, получим
^ о
Проверим, удовлетворяются ли граничные условия задачи,
заключающиеся в том, что обтекание цилиндра происходит без отрыва
струй, т. е. что в каждой его точке скорости частиц жидкости
направлены по касательной.
На цилиндре, т. е. при г=1,
(£;г)г:=1=0, {v^)r^i =—2 sin е.

68
Глава III, Кинематика жидкости
Первый результат показывает, что обтекание цилиндра
происходит безотрывно, т. е. что скорость везде направлена по касательной
и поток от цилиндра не отрывается. Из второго, обозначая величину
(модуль) скорости на
цилиндре через V, находим
у = 2 [sin 61.
Полученная формула дает
распределение скорости по
поверхности цилиндра. В
точке А угол 6 =7г,
следовательно, у = 0; в точке В угол
в =0, следовательно, t;=0.
Таким образом, точки А vl В
действительно являются
критическими точками.
Нетрудно убедиться, что
в случае потока,
двигающеюся на бесконечности со
скоростью Voo в
отрицательном направлении оси х и
обтекающего цилиндр радиуса г=Го, для потенциала скорости ср
будем иметь следующее выражение:
Фиг. 3.24. Бесциркуляционное обтекание
круглого цилиндра.
Т=—'^00 cos6 г+
4)-
(3.71)
Проекции скорости Vr и Vs в произвольной точке М в этом ^случае
примут следующий вид (фиг. 3.24):
•(-4)-
' г дЬ °° \ г
Для величины (модуля) скорости на цилиндре находим в этом
случае следующее выражение:
t; = 2t;^jsiaO|,
(3. 72)
т. е. скорость в каждой точке на цилиндре равна удвоенной скорости
на бесконечности, умноженной на синус соответствующего
полярного угла. Точки А и В будут попрежнему критическими точками.
Если 6 = 4:-^, то v=Vja:^^==2Voa. Это означает, что в точках
пересечения окружности с осью ординат скорость v принимает
максимальное значение, не зависящее от радиуса цилиндра и равное
удвоенной скорости на бесконечности.

§ 20. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра
69
§ 20. ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
Чтобы получить так называемое циркуляционное обтекание
круглого цилиндра, наложим на поток, рассмотренный в
предыдущем параграфе, чисто циркуляционный поток от плоского вихря,
расположенного в начале координат (см. § 18). Сложив потенциалы
скоростей указанных потоков, получим:
>= —-'У^созб
(-4)
+
2л
(3.73)
Таким образом, в каждой точке М пространства к скорости Уб. ц
бесциркуляционного потока, обтекающего цилиндр, прибавится ско-
Фиг. 3. 25. Наложение на поток, дающий
бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра,
чисто циркуляционного потока.
рость Уц ОТ чисто циркуляционного потока, и результирующая
скорость будет изображаться диаго-налью параллелограмма,
построенного на скоростях ve. ц и f ц (фиг. 3. 25).
Естественно, что наложение циркуляционного потока нарушит
симметрию линий тока, так как наверху скорость от чисто
циркуляционного потока будет направлена в ту же сторону, что и скорость
бесциркуляционного потока, обтекающего цилиндр, а внизу скорость
чисто циркуляционного потока будет направлена в обратную
сторону. В результате спектр течения примет вид, изображенный на
фиг. 3.26. Вследствие сложения скоростей над цилиндром
образуется область повышенных скоростей, а под цилиндром —область
пониженных скоростей, так как внизу скорости вычитаются.
Критические точки Л и S в этом случае сойдут с оси х и будут
расположены на цилиндре ниже оси х. Найдем угол бкр, опреде-

70
Глава III. Кинематика жидкости
ляющий положение критических точек. Для этого найдем проекции
скорости Vt vi Vs ъ какой-нибудь точке М потока. Так как
or
1 df
(-4).
TO" ДЛЯ точек, расположенных на цилиндре, где г^Го:
27сго
Первое выражение указывает, как и в предыдущем случае, на
безотрывность обтекания, а второе дает выражение для скорости v
на цилиндре:
г
i^ = 2z^o^sin6-f
27т:Го
(3.74)
Так как в критических точках
скорость 1^ = 0, то, приравнивая
правую часть нулю, находим
г
2v^ sin 6,
кр
2шг.
= 0,
откуда
8Ш0«р =
4л»а,Го
(3.75)
Фиг. 3.26. Циркуляционное обтека-
Очевидно, этому значению синуса
-.-г-^ . будут соответствовать два угла,
ние кр|глого цилиндра (r<4irt;Qoro). расположенные' (при Г>>0) В
Третьем и четвертом квадрантах (где
синус отрицателен) и определяющие положение критических точек
Л и iB. Как видно из формулы (3. 75), с увеличением Г критические
точки будут смещаться вниз. В случае когда
получаем
.= —1.
sm'
кр
Это означает, что критические точки слились в одну точку, и
картина потока будет иметь вид, изображенный на фиг. 3. 27. При
дальнейшем увеличении Г т. е. при

§ 20. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра
так как синус не может быть больше единицы, критические точки
с1х|01дят с цилиндра, и поток будет иметь вид, изображенный на
фиг. 3.28. В противоположность предыдущему случаю, когда вся
Фиг. 3.27. Циркуляционное
обтекание круглого цилиндра (Г=4те1/ооГо).
Фиг. 3. 28. Циркуляционное
обтекание круглого цилиндра (Г>4п:1;ооГо).
омывающая цилиндр жидкость уходила в бесконечность, в этом
случае часть жидкости циркулирует вокруг цилиндра, причем эта
циркулирующая жидкость оказывается отделенной от остальной
жидкости замкнутой линией тока.
В заключение убедимся в том, что в рассматриваемом случае
циркуляция скорости вокруг цилиндра будет в точности равна
циркуляции вихря Г. Действительно, интегрируя по окружности
радиуса г, будем иметь

Глава IV
ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
ЖИДКОСТИ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА
Как выше было указано, динамика идеальной жидкости была
разработана знаменитым математиком и механиком, членом
Российской Академии Наук Л. Эйлером в 1755 г., впервые давшим
основные дифференциальные
уравнения ее движения.
Выведем эти
дифференциальные уравнения для
произвольной идеальной сжимаемой
жидкости, двигающейся относи-
тельно прямоугольной системы
осей координат Охуг, Из всей
совокупности двигающихся
жидких частиц выделим в
данный момент какую-нибудь
частицу жидкости в форме
элементарного прямоугольного
параллелепипеда с измерениями
dx, dy, dz (фиг. 4. 1). Очевидно,
если измерения dx, dy, dz
стремить к нулю, то в пределе
рассматриваемый параллелепипед
стянется в точку.
Задачу получения динамических уравнений для двигающейся
жидкости будем решать, используя принцип Даламбера.
Считая, что в данный момент времени бесконечно малая жидкая
частица как бы отвердела, остановим ее и рассмотрим условия
равновесия этой остановленной частицы. Как известно, условиями
равновесия являются шесть уравнений равновесия — три уравнения
для проекций сил на оси координат и три уравнения для проекций
моментов. Чтобы составить эти уравнения, нужно разобраться, какие
силы будут действовать на рассматриваемую частицу жидкости.
На грани частицы будут действовать поверхностные силы Pi,...,
Рб, являющиеся результатом воздействия на частицу окружающ,ей
жидкости (см. фиг. 4.1). Величина каждой из них определится.
О
Фиг. 4.1. К выводу дифференциальных
уравнений движения в форме Эйлера.

§ /. уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера 73
очевидно, произведением среднего гидродинамического давления р,
действующ'его по соответствующей площадке, на ее площадь ds.
Помимо поверхностных сил, на частицу будут действовать
массовые силы, распределенные по всему ее об'ьему, т. е.
воздействующие на каждую точку внутри частицы (например, сила тяжести).
Проекции массовых сил, отнесенных к единице массы частицы,
обозначим через X, Y я Z. Тогда, чтобы получить проекции массовых
сил, действующих на всю частицу, нужно величины X, Y, Z
умножить на массу частицы, равную ^dxdydz. Таким образом, проекции
массовой силы могут быть написаны в виде
рХ dx dy dz, pVdxdy dz, pZ dx dy dz.
Установив, какие силы действуют на частицу жидкости —
поверхностные силы Pi, Р2,..., ^6 и массовые силы X, Y, Z,— для
получения уравнений равновесия нужно применить принцип Даламбера.
Согласно этому принципу действующие на частицу поверхностные
и массовые силы в каждый момент времени уравновешиваются
силами инерции. Найдем величины сил инерции. Обозначим через
Уд., Vy и Vz проекции скорости бесконечно малой частицы по коорди-
натйым осям. Тогда проекции ускорения частицы могут быть
написаны в виде
dv>^ dvy dv-
—^, — и -"^.
dt dt dt
Известно, что сила инерции численно равна произведению
ускорения на массу, но направлена обратно ускорению. Следовательно,
для проекций инерционной силы будем иметь следующие
выражения:
dVj^ dVy. dVy
-—р dxdydZy —p—^dxdydz, ~p—dxdydz.
dt dt dt
Для удобства последующих выкладок составим таблицу
проекций на координатные оси всех полученных выше сил (табл. 4. 1).
Чтобы получить уравнения равновесия, нужно приравнять нулю
сумму поверхностных, массовых и инерционных сил. Для этого^
просуммируем сначала первую строку таблицы и приравняем сумму
нулю, затем то же сделаем со второй строкой и, наконец, с третьей.
В результате будем иметь следующие три уравнения равновесия:
(Pi —Р2) dydz + pXdx dy dz — p-^ dx dy dz = 0;
dvy
(ps—P4) dz dx + pVdx dy dz — p — dx dydz^Q\
dt
(p6 -—рб) ^^ ^y + 9^ ^^ dydz—p -^ dx dy dz = 0.
Прежде чем преобразовывать эти выражения, заметим
следующее. Когда составляются уравнения равновесия твердого тела, пи-

74
Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
Таблица 4,1
Силы
в проекции
на
ось X
ось у
ось Z

Поверхностные 1
р\ dy dz
- /?2 dy dz
Pq dz dx
- /74 dz dx
/?5 dx dy
- Pq dx dy
Массовые
^ Xdxdy dz
p Ydxdydz
^ Z dx dy dz
Инерционные
dVx
— p dx dy dz
^ dt ^
dvy
— p dx dy dz
^ dt ^
dvz
.._ p dx dy dz
dt
шутся также три уравнения для моментов относительно
координатных осей. Очевидно, что в данном случае писать эти три уравнения
не надо, потому что в пределе при rfj^->0, rfy->0, rf^->0 частица
будет стягиваться в точку и все силы будут сходящимися, т. е.
уравнения моментов тождественно обратятся в нуль.
Для преобразования полученных трех уравнений вычислим
прежде всего разность pi—р2.
Так как давление в идеальной жидкости не зависит от
направления, то, следовательно, давление по трем взаимно ортогональным
бесконечно' малым площадкам, «проходящим через одну и ту же точку,
одинаково'. Обозначим его через р. Тогда, очевидно, pi=pz=Pb = P
(см. фнг. 4. 1). В общем случае давление в жидкости есть функция
координат и времени, т. е. р=р{х, у, z, t). Поэтому давление р2 на
правую грань параллелепипеда, отстоящую от левой грани на
расстоянии dx, равно p2=p{x+dx, у, z, t).
Разлагая функцию р в ряд Тейлора и удерживая в разложении
только члены первого порядка малости, получим
дх дх
Р2^Р(^, У у Z, t) +
Следовательно, искомая разность
Подставим найденное выражение для рх—р2 в первое
уравнение. Получим
—~ dxdy dz + ^Xdx dydz — o -^dx dy dz = 0,
dx dt
1 Здесь p\, p2* Pb* Pif P5' /76—гидродинамические давления на
соответствующих площадках (см. фиг. 4.1).

§ 1. уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера
1Ь
Сокращая на dx, dy, dz, будем иметь следующее уравнение:
дх
dt
:0.
Это уравнение можно переписать иначе:
1 др
dv
dt р ^л:
Два другие уравнения получаются аналогично. В результате
будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:
dv
dt
dv,
^-Х-
J_dp^
р дх
1 dp
Р W
dvz у 1_ др^
У
dt
(4.1)
}
dt р dz
Полученные уравнения являются основными
дифференциальными уравнениями движения идеальной жидкости в форме Эйлера.
Эти уравнения применимы как к несжимаемой жидкости, так и к
сжимаемой, т. е. к газу. Различие будет только в характере
изменения плотности р. Если жидкость несжимаемая, то р — величина
постоянная; для газа р будет величиной переменной.
Таким образом, эти уравнения являются исходными уравнениями
для построения не только гидроаэродинамики, но и газовой
динамики.
Преобразуем уравнения Эйлера. Для этого выразим проекции
ускорения через проекции скорости согласно формуле (3.4). Тогда
получим следующие дифференциальные уравнения, являющиеся
уравнениями Эйлера в развернутом виде:
<^^,г г ^. dvjc . . dvx
' + ^.^+^у
dv
дх
1- v^ —- = A
dy dz p дх
Л
+^.^+^.
dvv
Л-'о,
dv,,
dvy , dVz , ^^z I
I-
(4.2)
, \_dp_
dy ' ' дг 9 dy
dt ' "^дх ' ^ду ^ дг p dz
В частном случае идеальной несжимаемой жидкости (p=oonst)
основная задача гидроаэродинамики заключается в определении в
каждой точке двигающейся жидкости и в любой момент времени /
трех проекций скорости Vx, Vy, Vz и давления р, т. е. в определении
четырех функций:
-Vy^fAx, у, z, t),
Ч^г^^/Л^^У, Z, t),
P=fAx, у, z, t).

76 Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
Чтобы найти ЭТИ четыре функции, нужно составить систему из
четырех уравнений. Такими уравнениями будут три уравнения
Эйлера (4. 2) и уравнение неразрывности
dvjc dvy dvz
дх ду dz
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ФОРМЕ ГРОМЕКО
Профессор Ипполит Степанович Громеко (1851—1889 гг.), ру»
ководитель кафедры механики Казанского университета, был одним
из первых русских гидромехаников. Ему принадлежит ряд
выдающихся работ в этой области. В частности, И. С. Громеко впервые
в своей докторской диссертации в 1881 г. предложил новую весьма
удобную форму дифференциальных уравнений движения
(значительно позже указанных английским ученым Лэмбом).
Для вывода уравнений движения в форме Громеко обратимся
к дифференциальным уравнениям движения в форме Эйлера:
p дх dt "" дх У ду "" dz '
1 dp dv^ dvy dvu dv^
P dy dt -^dx ' ^ dy "^ dz '
ry 1 dp dvz , dvy, , dVi , dvy
P dz dt "" dx ^ dy "" dz
Преобразуем первое уравнение Эйлера. Прибавим к правой
части первого уравнения следующие величины:
dvy dv^
— У dx ' — ''dx
Тогда иолучим
1 dp dvx / dvx dvy dvz
P dx dt \ дх ^ dx dx
dvx dvy\ (dvx dvz
Нетрудно усмотреть, что в первой скобке стоит частная
производная по X от половины квадрата скорости. В самом деле,
д 1ф
\ d I vl+vl-hv^ \ dVx dVy дщ

§ 3. Начальньт и граничные условия
11
Поэтому
Р дх dt ^дх [2 l^[dz дх] ' \дх ду ) У'
Выражения, стоящие в скобках справа, как известно, являются
удвоенными угловыми скоростями вращения: 2о^у и 2mz [см^
формулы (3. 24)]. В таком случае первое уравнение Эйлера и по
аналогии два остальных напишутся в следующем виде:
р дх
1 др
Р ду
Z^±-'^
X—
Y-
dz
dvx_
' dt
dvy
dvz
dt"
■£(f) = 2(V.-.^).
д
dz
~) = 2К'У^~-а)^'Г;,),
(|-)-2K.,
■o>yV^).
(4.3)
Эти уравнения носят название дифференциальных уравнений
движения идеальной жидкости в форме Громеко, Достоинством этих
уравнений является введение в них угловых скоростей вращения
жидкости, называемых компонентами вихря.
§ 3. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Интегрируя основные дифференциальные уравнения
гидродинамики, получим решения, содержащие произвольные функции и
произвольные постоянные. Для их определения необходимо ввести
дополнительные условия, носящие название начальных и граничных
условий. Рассмотрим прежде всего начальные условия. Начальные
условия заключаются в задании поля скоростей в начальный момент
времени ^=0. Это означает, что найденные решения Vs{x, у, z, t),
Щ{^, У> ^> О» "^z^x, у, Z, t) должны при ^=0 обращаться в заданные
наперед функции координат /ь /з, /з, т. е.
"Vyix, у, Z, 0)=Л(л:, у, z),
"V.ix, у, Z, 0)=/з(х, у, Z).
(4.4)
Как нетрудно усм'отреть, начальные условия необходимы при
решении задач для неустановившегося движения жидкости.
Граничные условия, играющие огромную роль в проблемах
гидро- и аэродинамики, делятся на два вида условий —
динамические, относящиеся к силам, и кинематические, относящиеся к
скоростям.
Динамические граничные условия, выполняющиеся на свободной
поверхности жидкости, сводятся к равенству давления П внешней

78
Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
среды на поверхнюсти и давления р жидкости у самой поверхнюсти,
т. е. к равенству
р = —П. (4.5)
Обратимся к кинематическим граничным условиям. Рассмотрим,
каковы будут граничные условия для неподвижной стенки,
установленной в потоке жидкости. Пусть уравнение стенки имеет вид
/(X, у. 2) =^0. (а)
Если скорость V частиц жидкости в
какой-либо точке М стенки (фиг. 4. 2) будет
иметь составляющую Vn, направленную по
нормали п к стенке, то это означает, что-
будет происходить отрыв жидкости от стенки.
Таким образом, условие безотрывного
обтекания приводит к требованию
Vn=^0 (вдоль стенки), (4.6)
которое и является кинематическим
граничным условием для случая неподвижной
стенки.
Допустим теперь, что стенка подвижная
и ее уравнение имеет вид
fix, у, Z, 0 = 0. (б)
Обозначая через Vn&r нормальную скорость точек самой стенки,
получим граничное условие (условие безотрывности обтекания) в
таком виде:
v^==v^,,. (4.7)
Представим это условие аналитически. Допустим, что за
бесконечно малый промежуток времени dt стенка сместилась и точка
^{х, у, Z) стенки переместилась в точку M^{x+dx, yi+йу^ z+dz).
Так как точка М^ находится на стенке, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению (б), т. е.
f(x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) = Q.
Разлагая функцию / в ряд и удерживая только члены первого
порядка малости, получим
fix. у, 2, t)+^dx + ^^dy+^-fdz+^dt=0,
ох оу 0Z ot
откуда, деля почленно* на dt и учитывая уравнение (б),
^^ + ^<V_4~——+ —= 0
дх dt ду dt dz dt dt
Фиг. 4,2. Граничное
условие на неподвижной
стенке.
Так как
dx
dt •*
dt
-V,
уст»
dz
dt ^

§ J. Начальные и граничные условия 79
где t^^cT» '^усту '^['гст"^проекции скорости точек стенки, то
предыдущее выражение примет следующий вид:
Используя известные формулы для направляющих косинусов
углов нормали
dl df_ dl
/ \ дх / \ ду / ^\ dz
COS (П, Х) = — , COS {П,у) = -^ > COS (я, 2^) = -^ ,
где
^=/©'+{йГ+Ш"'
и формулы Vj^ — vcos{v,x), Vy = vcos(v,y), V2 = vcos(v,z),
уравнение (в) можно представить в следующем виде:
Nv„ [cos (v„, х) cos{n, х) + COS (%^,y)cos (n,y) +
+ COS {v„, z) COS (n, г)] = — -^
at
или
/V-y„cos('y„,n)=-^.
Отсюда
N
Следовательно, кинематическое граничное условие для случая
подвижной стенки окончательно примет следующий вид:
dt
(4.8)
V(£h(i)'<i:)
В частном случае, если стенка неподвижная, то — =0, и кине-
dt
матическое условие (4.8) сводится к ранее установленному (4.6):
t;n=0.

80 - Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Дифференциальные уравнения движения в форме Эйлера или
Громеко не интегрируются в общем виде. Только в частных
случаях, когда движение жидкости потенциальное и движение жидкости
установившееся, можно найти интегралы дифференциальных
уравнений Эйлера.
Рассмотрим сначала случай потенциального движения. Если
движение жидкости потенциальное, то, как известно^
При этом уравнения (4.3) Громеко упрощаются и принимают
следующий вид:
dvx
р дх дх \2 )
dt
I dp д /v^\ dvy
Yd^'dyXYj'Vt'
P dz dz\2 j
~dt'
Преобразуем эти уравнения следующим образом. Как известно,
лри потенциальном движении
^•^ дх' У ду' ' dz'
Используя эти соотношения, а также свойство независимости
производной от порядка дифференцирования, можно частные
dvjp dvy dv^
производные -—-, —, — написать в следующем виде:
dt dt dt
dor
d /<^y \ ^ /^y \
dt \dxj'~' dx[dt)'
dvy^ д /д^\ д /d^i \
'^'^'^[^/'dyVdlr
dv^ _ _d^ /dcp \ ^ /^9 \
lt'^'dt\dzl"'~dz\dF!'
Тогда уравнения Громеко примут вид
р dx дх \ 2 1~^дх [dt )'
р dy ду [2 ) ' dy [dt )'
р dz dz \2 I dz \dt )
(4.9)

§ 4, Интегралы дифференциальных уравнений движения 81
Представим первые члены правых частей в виде частных
производных по координатам от некоторой функции Р{х, у, г):
1 др дР
^ дх дх ^
1 др _дР
р ду ду '
1 др
р dz
дР
dz
Умножая эти выражения соответственно на dx, dy, dz и складывая,
находим
JLl'^dx + ^-^dy + '-^dzU'-^dx + '-^dy + ^-^dz
р \дх ду dz / дх ду dz
ИЛИ
откуда
dp=^
ч
dp
?
(4.10)
Очевидно, функция Р{х, у, г) будет определена, если задаиа
зависимость р от р, ибо в этом случае интеграл (4. 10) может быть
вычислен.
В аэродинамике обычно рассматриваются такие процессы, когда
плотность р выражается непосредственно через давление, т. е. когда
функция Р(х, у, z) действительно супхествует. Вводя эту функцию
в уравнения (4.9), находим
дх\ ^ 2 dt}'
ду[ ^ 2^ dtj'
dz\ ^ 2 dt
Для инФегрирования этих уравнений умножим их соответственно
на dx, dy и dz и сложим:
Xdx+Ydy + Zdz=^—( P+ — + ^]dx +
дх \ 2 dt /
ду \ 2 dt] -^ dz \ 2 dt]
Выражения, стоящие в скобках,— функции не только х, у, г,
но и t.
Поэтому, интегрируя их, будем считать, что переменное t
закреплено. Тогда правая часть будет полным дифференциалом и,
следовательно,
Xdx-\'Ydy;-VZdz=^d(P^^^^'^,
6 Аэродинамика

82 Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
Поскольку правая часть — полный дифференциал, левая часть
также будет являться полным дифференциалом. Во полный
дифференциал левой части, представляющей элементарную работу
массовых сил, есть, очевидно, дифференциал силовой функции U, т. е. '
\ 2 dtj
Такое уравнение проинтегрировать просто. Интегрируя, получаем
где С — произвольная функция времени i.
Подставляя вместо Р его значение по формуле (4. 10),
окончательно находим
J^ + f + f = f/+C(0. (4.11)
Этот интеграл носит название интеграла Лагранжа для
потенциального неустановившегося движения сжимаемой жидкости.
Если жидкость несжимаемая, т. е. p=const, интеграл Лагранжа
примет вид
-A + ^ + ^ = f/+C(0. (4.12)
При установившемся движении несжимаемой жидкости произ-
водная —^ =0, и произвольная функция C{t) превратится в кон-
dt
станту. Интеграл (4. 12) будет иметь следующий вид:
-^ + " = f/+C. (4.13)
,, .. Этот интеграл носит название интеграла Лагранжа — Бернулли.
Константа С будет иметь постоянное значение для всей массы
жидкости 1.
Рассмотрим теперь, как можно проинтегрировать
дифференциальные уравнения движения для произвольного
(непотенциального) установившегося течения жидкости. Этот интеграл впервые
получил Д. Бернулли - и поэтому его называют интегралам или
уравнением Бернулли.
Пусть жидкость движется по отношению к координатной системе
Охуг. Поскольку движение установившееся, траектории и линии
1 Из изложенного следует, что предположение о потенциальности потока
' приводит к необходимости существования потенциала массовых сил. Это
означает, что потенциальное движение жидкости может быть осуществлено только
под действием консервативных сил.
2 Д. Бернулли, так же как и Эйлер, работал в XVIII веке в Российской
Академии наук.

§ 4, Интегралы дифференциальных уравнений движения
83
тока совпадают, и частица жидкости М движется по траектории,
являющейся одновременно линией тока, с некоторой скоростью v
(фиг. 4.3).
За промежуток времени dt частица жидкости проходит по
траектории элемент пути ds. Этот элемент пути равен скорости,
умноженной на время:
ds — v dt.
Спроектируем элементарное перемещение жидкой частицы вдоль
линии тока на координатные оси х, у, z\ тогда получим
dx — v^ dt,
dy = Vy dt,
dz = v^ dt.
(a)
Напишем теперь
дифференциальные уравнения движения
жидкости в форме (4. 1), вводя
вновь функцию Р{х, у, г). Будем
иметь
dVx
dt
dVy
1й'
dv2_
dt '
дх
дР
dz
У\
0^
Фиг. 4.3. К выводу интеграла Бер-
нулли для произвольного
установившегося течения жидкости.
Чтобы проинтегрировать эти уравнения, умножим каждое из
них на соответствующее элементарное перемещение вдоль линии
тока [см. формулы (а)] и сложим. В результате будем иметь
{v^dv^ + v dv +v,dv,) = {Xdx + Ydy-\-Zdz)^
у
дР . , дР
— dx-\
дх ду
dy + f^dz).
Переходя к интегрированию полученного уравнения, заметим,
что поскольку dx, dy, dz являются элементарными перемещениями
вдоль линии тока, следовательно, и интегрирование уравнения будет
происходить вдоль линии тока. А это означает, что получаемая в
результате интегрирования константа будет иметь постоянное
значение только вдоль данной линии тока, в то время как в
предыдущем интеграле Лагранжа—Бернулли константа имела постоянное
значение лля всей массы жидкости.

84 Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
Очевидно, левая часть полученного уравнения есть полный диф-
ференциал от —. Выражения, стоящие справа, также являются
полными дифференциалами, т. е.
дР , , дР . , дР . ,^
дх ду dz
Xdx + Vdy + Zdz = dU.
Следовательно, уравнение можно переписать в виде
d(^\ = dU-dP
и
После интегрирования получаем
~и+р+ — = с
2
или, используя равенство (4. 10),
_f/+r^ + ^=C. (4.14)
Этот интеграл носит название интеграла Бернулли для
установившегося движения сжимаемой жидкости. Если p=const, то
интеграл Бернулли принимает вид
_f/+^ + i!l = C. (4.15)
Р 2
Как указывалось выше, константа С, входящая в формулы
(4. 14) и (4. 15), имеет постоянное значение только вдоль данной
линии тока. При переходе к соседним линиям тока эта постоянная
будет принимать другие значения.
Если пренебречь массовыми силами и считать для воздуха
силовую функцию и массовых'сил равной нулю, то уравнение (4.15)
примет вид
^ + ^ = С (4.16)
Р 2
ИЛИ
pi;2
Р = С-'-^; (4.17)
для сжимаемой жидкости
^f+^==C. (4.18)

§ 5. Пределы применимости уравнения Бернулли к воздуху
85
§ 5. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ К ВОЗДУХУ
Выясним в настоящем параграфе, какова будет ошибка в
определении давления воздуха при использовании уравнения Бернулли
в форме (4. 17), выведенного в предположении, что воздух является
несжимаемой жидкостью. Для этого сравним значения давлений,
получаемые по формулам
(4. 17) и (4.18).
Допустим, что поток воз- ^с«£
духа обтекает какое-нибудь
тело (фиг. 4.4).
Пусть на достаточно
большом удалении от тела поток
воздуха обладает скоростью
V ^ и давлением Лоо- В
критической точке А скорость v равна нулю, а давление будет
максимальным, равным р1. Используем уравнение Бернулли в форме
(4.17):
Фиг. 4. 4. Произвольное тело в потоке
воздуха.
р=С-
pv^
Константу С определим из условий на бесконечности:
Р. = С^
9<
откуда
С^Р^ +
рК
Подставляя найденное значение С в формулу (4. 17), находим
Р=Р^ +
рК
Для нахождения давления pi в критической точке положим
Р=р1 и v=--0, Будем иметь
Обозначая скоростной напор через q ^
,.2
^00 =
р^«
получим
А =/^00 +^00-
(а)
Определим теперь давление в критической точке А с помощью
уравнения Бернулли, выведенного в предположении, что воздух
сжимаем.

86 Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
Возьмем уравнение Бернулли в форме (4. 18)
I
dp . '0^ _ р
7 2 ■" •
Допустим, что течение воздуха происходит в условиях изэнтро-
пического процесса, для которого, как будет показано ниже (см.
ГЛ1. XII, § 5), имеет место следующее соотношение между
давлением р и плотностью р:
^=C...e.p=p„(i).
Сл
где k = ^ = \A
Ст)
Вычислим интеграл 1— . Подставляя значение р и интегррфуя,
J Р
находим
к
1
dp _р^
Р Роо ^—1 \Роо
уравнение (4. 18) примет теперь вид
-1 Uoo/ 2
Poo k-
Определим константу С из условий на бесконечности:
k Poo j^:^^Q^
k - I P^ 2
Подставляя найденное значение С в предыдущее уравнение, получим
Poo k I р \ ^ . V'^ ^ Рос
Роо ^-1 VPoo/ 2 ^-1 Poo ,2
Положив в этом уравнении p=pi и v = Q, что соответствует
критической точке, будем иметь
1 Роо Ua ' '
^ /^00 /Pi Л ^ ^ Р^ \ ^^
k-l 9аэ \Ро,) ^ — 1 Роо 2
ГОО Xi^QO
или после несложных преобразований
k
Р\
Ро
Будем считать, что
/ k^\ 9^vl\ (4.19)
~У^ k 2pJ '
kp
vl ^j^

§ 5. Пределы применимости уравнения Бернулли к воздуху 87
Как известно из физики, скорость звука выражается
следующей формулой:
р-
2
В таком случае условие -^^-^ < 1 можно переписать в виде
4<1.
Отношение скорости потока к скорости звука обозначается
в аэродинамике через М, т. е. —==М (см. гл. IX, § 3). Следова-
а
тельно, мы рассматриваем такие скорости течения воздуха, для
которых число Mqo<^1, т. е. дозвуковые течения.
При этом условии разложим правую часть формулы (4^ 19) в ряд
по формуле бинома, удерживая лишь члены первой и второй сте-
р t;2
пени относительно
kp
00
k
Pi_j I Popt^^ I k-~i[k-~\ м^-МУ^"""")'I'-
Poo 2/?^ 2! \ k J \ 2/7.
Преобразуя и вводя число* М^, получим
Роо 2/7^ 2! 2 2/7^
ИЛИ, ограничиваясь в первом приближении первыми тремя членами:
. /'I _i+i^/l+<_V (4.20)
/'i=P«+-~^(l+~)- (4.21)
Вводя для скоростного напора обозначения q ^у будем иметь
Pi=P.+<J^ (1 +^)-Р^ +Я.+Я^ ^ . (4.22)
Сравнивая это выражение для давления pi с формулой (а) на
стр. 85, заключаем, что величина
представляет собой погрешность в определении давления,
получаемую при использовании формулы pi~P^+q^- Если ^p отнести к

88
Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
скоростному напору °° °° , то получим так называемую
относительную погрешность
Ь^
Др
РоО^^
Из (4. 22) следует, что
S ^^
(4.23)
Пример. Скорость потока у ^ =34 м1сек. При нормальных
атмосферных условиях число М в этом случае М^,, =0,1. Относитель-
(ОЛ)* 0,01 ^^^,„,
пая погрешность Sp= -^—^ = , или в процентах 8p=0,25'Vo.
4 4
В табл. 4. 2 показано возрастание погрешности е.^ при
увеличении скорости движения воздуха.
Таблица 4. 2
Зависимость поправки на сжимаемость воздуха от числа М^
, v^ MJceK
м^
Sj, %
34
0,1
0,25
68
0,2
1,0
102
0,3
2,25
136
0,4
4,0
170
0,5
6,2
203
0,6
9,0
238
0,7
12.8
272
0,8
17,3
306
0,9
21,9
340
1,0
27,5
Из таблицы видно, что при скоростях движения самолета до
v^ =102 м/сек погрешность при использовании уравнения Бернулли
в форме (4. 17) мала и ею можно пренебречь. Следовательно, при
скоростях самолета, не превышаюш:их 360—400 км/час, в
аэродинамических расчетах самолета можно не учитывать сжимаемость
воздуха. В условиях современной авиации, когда скорость самолета
околозвуковая, воздух нельзя рассматривать несжимаемым.
§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ВНЕ И ВНУТРИ ПЛОСКОГО ВИХРЯ
Для определения распределения давления вне плоского вихря
будем рассматривать вихрь как совокупность жидких частиц, вра-
ш^ающихся по закону вращения твердого тела. Обозначим через Го
радиус ядра вихря и скорость на границе ядра через Vq, Тогда
давление в любой точке вне вихря можно определить с помощью
уравнения Лагранжа—Бернулли (4. 15), которое, пренебрегая
массовыми силами (f/=0), напишем в следующем виде:
р+
ру2
С.

§ 6. Распределение давления ewe и внутри плоского вихря
Ш
Так как вне вихря v= —, то на бесконечности v^
2т1Г
Р.
= 0, а
давление будет равно статическому давлению окружающей вихрь среды.
р^. Исходя из этого можно определить константу С:
т. е.
2
(4. 24).
Очевидно, что по мере приближения к вихрю скорость v будет
возрастать по гиперболическому закону, а давление р падать. Ми--
нимальное значение давления будет
на границе ядра, где скорость будет
максимальной и равна ^о. Давление
на границе ядра будет определяться
следующим выражением:
J^o=/?«
9 4
(4.25)
^х
Фактом падения давления в
окрестности вихря объясняется известное
их свойство подсасывания.
Наблюдающиеся в природе смерчи всегда
засасывают попадающиеся на их
пути предметы.
Рассмотрим теперь, как будет
изменяться давление внутри самого
вихря, т. е. в вихревой области
потока. Обратимся для этого к уравнс:
ниям Эйлера. Так как движение
плоское, установившееся и массовыми силами мы пренебрегаем
уравнения Эйлера напишутся в виде
\__д_р^
р дх
Фиг. 4.5. Распределение скорости
и давления вне и внутри плоского.
вихря.
"" дх^ У ду
dvv
dvv
"" дх^ У ду
1 др
Р ду
Обозначая через ш угловую скорость вращения вихря,
выражения для Va- и Vyy можно написать в следующем виде:
v^
В таком случае
dvx
dv.
= 0, -^ =
дх ' ду
-(^у, Vy = (^X,
dv„
дх
ду

ЭД Глава IV. Основы гидродинамики идеальной жидкости
И уравнения Эйлера примут вид
о 1 др
р дх
9 I др
ону = i—.
Умножая последние уравнения соответственно на dx и dy и
интегрируя, находим
ро)^
1ИЛИ
'-f(x'+y') + C
С = ^-^ + С. (4.26)
2 2
Отнесем уравнение (4. 26) к границе вихря. Будем иметь
•откуда
т. е.
с-р*--,
Подставим вместо ро его значение (4.25). Получим
P=^'.+'y-P^^ (4.27)
По этой формуле можно' подсчитать давление в каждой точке
внутри вихря. В центре вихря р=рс, v=0 и, следовательно,
Рс-=Роо-9'^1- . (4.28)
«Это означает, что в центре вихря давление уменьшилось по
сравнению с давлением в по^коящейся жидкости на удвоенную величину
«скоростного напора на границе вихря, т. е. на pvl^
Сравнение давления в центре вихря и на его границе показывает,
что
A-/'c = f. (4.29)
Таким образом, перепад давления на границах потенциального по-
то-ка (вне вихря) равен перепаду давления внутри вихря, и изме-
-нение давления внутри вихря подчиняется параболическому закону.

Глава V
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИХРЕЙ
Изучение вихревых движений в жидкости имеет большое
практическое значение. Вихревые движения наблюдаются часто* и могут
быть легко обнаружены.
Наблюдая за течением реки и о^бтеканием быков моста, легко
обнаружить вихреобразо'вания; при ударе веслом о воду всегда
образуются вихри и т. д.
Перемещающееся в воде тело (корабль, катер) всегда оставляет
сзади себя вихревую область, на образование которой затрачивается
энергия. Это является источником особого типа сопротивления,
которое называется вихревым сопротивлением и которое надо уметь
вычислять для различных тел.
Наблюдающиеся в атмосфере смерчи и циклоны также являются
вихрями.
Мелкие вихри в воздухе или воде создают так называемую
турбулентность потока, изучение которой представляет одну из
сложнейших проблем современной аэро- и гидродинамики.
Вихревые движения играют большую роль в аэродинамике. На
теории вихрей Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным построена
теория крыла как бесконечного, так и ко'нечного' размаха.
В настоящей главе ^кратко рассмотрены основы теории вихрей.
§ 1. ПОНЯТИЕ О ВИХРЕВОЙ ЛИНИИ
Как было показано в § 7 гл. III, вращательные движения жидких
частиц характеризуются угловыми скоростями
/dv^ dvy\
_ 1 l^^x dv,
'^y~ 2\ dz dx
1 /dvy dVjc \
2 \dx "~ dy )'
(5.1)

92
Глава v. Основы теории вихрей
Это означает, чгго в каждой точке пространства вращение
жидких ч_астиц может быть охарактеризовано вектором угловой
скорости О), модуль которого' равен
: j/ С02 4- 0)2 + 0)2 .
(5.2)
Следовательно, подобно тому как мы представляли себе поле
скоростей потока жидкости, в виде бесчисленной системы векторов
-V, огибающие которых являлись линиями тока, мы можем также
ввести в рассмотрение поле векторов угловых скоростей ш, называя
его условно полем_ вихрей.
Каждый такой вектор ш будет
характеризовать местное вращение
жидкости. Допустим, что в данный
момент времени в какой-нибудь
точке 1 вектор угло'вой скорости
местного вращения равен cui
(фиг. 5. 1). Возьмем в этот же
момент времени на этом векторе
бесконечную близкую к точке 1
точку 2 и построим
соответствующий ей вектор угловой скорости
0)2. Продолжая это построение, в
данный момент времени получим
ломаную линию /, 2, 3, 4...,
которая в пределе, т. е. при
стремлении длины каждого звена ломаной
к нулю, превратится в так
называемую вихревую линию. Отсюда определение вихревой линии:
вихревая линия есть линия, касательная на всем своем протяжении
к векторам угловых скоростей.
По аналогии с линиями тока очевидно, что дифференциальное
уравнение вихревых линий представится в следующем виде:
^=.^_^. (5.3)
Фиг. 5. 1. Построение вихревой линии.
§ 2. ВИХРЕВАЯ ТРУБКА
Вообразим себе пространство, непрерывно заполненное вихрями
(вихревыми линиями). Если в этом пространстве взять
произвольный малый замкнутый контур С, не являющийся вихревой линией,
и через каждую точку контура С провести вихревые линии, то
совокупность этих вихревых линий образует так называемую вихревую
трубку, а объем жидкости, заключенный в ней, представит собой
элемент вихря, называемый вихревым шнуром (фиг. 5.2). С
вихревой трубкой связано одно важное понятие в аэродинамике, именно
понятие о напряжении или интенсивности вихря. Под напряжением

§ 3. Теорема Стокса
вихря, обозначаемым через х, понимают удвоенное произведение
угловой скорости О) вихря на площадь сп нормального сечения
трубки, т. е.
% = 2о)а„.
(5.4)
Величина напряжения х или интенсивности вихря связана с
возникающей вокруг вихря циркуляцией Г. Установлению этой связи
посвящена теорема Стокса.
А
/С
d
b
/Г *
\du
' dx
А-7 А
t
^/l
/
ь
X
с
>J
^
d
o,.pdu \
dy^
di
.•с-.....—d
i
^y 1
^Z
0
Фиг. 5. 2. Вихревая
трубка.
Фиг. 5. 3. Вычисление циркуляции по
бесконечно малому прямоугольному
контуру.
§ 3. ТЕОРЕМА СТОКСА
Рассмотрим в движущейся жидкости вихревое поле, т. е.
предположим, что в жидкости непрерывно распределены вихри
(векторы О)). Выделим в жидкости бесконечно малый объем в форме
прямоугольного параллелепипеда с измерениями dx, dy, dz
(фиг. 5.3). Вычислим циркуляцию по бесконечно малому
замкнутому контуру (abcda) путем обхода вокруг оси, параллельной оси х.
Для удобства рассмотрим в плоскости yz (см. фиг. 5. 3) бесконечно
малый прямоугольник abcda с измерениями dy и dz, являющийся
проекцией рассматриваемого параллелепипеда на плоскость yz.
Подсчитаем циркуляцию Г^ по элементарному контуру (abcda),
приписывая индексу X смысл обхода вокруг оси, параллельной оси х.
Пусть Vy и Vr. — проекции на оси у и z скорости v точки а. Под-

94 Глава V. Основы теории вихрей
считаем величины скоростей, направленных вдоль сторон be и dc
в точках bud:
{'^z)b = '^zi^y y + dy, ^» i) = 'V, + -~dy,
dy
dvy
i'^y)d=='^y(^* y. г + dz, t)=-Vy + — dz.
Циркуляция dr^no контуру abcda будет складываться, очевидно,
из циркуляции вдоль бесконечно малых сторон, равных
произведению скорости на длины соответствующих сторон прямоугольника.
Таким образом, будем иметь
dT^==^Vydy + iv,+-^dy\dz — lvy+ -^dz\dy — v,dz.
Знак минус вдоль сторо-н cd и da берется потому, что
направление обхода обратно направлению скорости. Раскрытая скобки и
производя сокращение, будем иметь
^Г^ = М -\dydz,
^ [ду dzj ^
или в силу формул (5. 1), а также обозначая dydz=doxj
dr, = 2oy,da^.
Аналогично для осей у и z получим
rfr^-2co/a^, dr^ = 2oy^do,.
Распространяя полученный результат на произвольно
расположенную в пространстве бесконечно малую прямоугольную
площадку rfo, будем иметь
dT = 2(0^^3 = 2o)rfa^. (5.5)
где (Dn — проекция угловой ско^рости ш на нормаль к площ,адке.
Следовательно, мы получили следующий результат:* циркуляция по
бесконечно малому прямоугольному контуру равна н1апряжению
вихря^ пронизывающего этот контур.
Пошученный результат можно легко распространить на
произвольный конечный плоский контур L (фиг. 5. 4). Для этого разобьем
площадь, ограниченную ко«туром L, системой взаимно
ортогональных прямых иа бесконечно большое число элементарных
прямоугольников. Рассматривая внешние стороны прямоугольников,
расположенных на периферии, замечаем, что они составляют^
многоугольник, вписанный в данный контур. Рассмотрим циркуляцию
вдоль сто<рон каждого бесконечно малого прямоугольника в
отдельности. Согласно доказанному циркуляция будет равна
напряжению пронизыварощего его вихря. Суммируя циркуляции по всем
бесконечно малым прямоугольникам, замечаем, что циркуляции по
смежным сторонам прямО'угольникО'В будут взаимно уничтожаться,

§ 3. Теорема Стокса
9S
как разные по знаку. Следовательно, в пределе при неограниченном
увеличении числа бесконечно малых прямоугольников суммарная
циркуляция даст циркуляцию вдоль контура L (так как в пределе
вписанный многоугольник превратится в контур L), и поэтому
S
(5.б>
Предыдущий вывод можно обобщить на случай произвольной
по'верхности S, опирающейся на произвольный контур L (фиг. 5.5).
Действительно, разобьем, как и ранее, поверхность S на бесконечно*
\У
^^ -^
<г
Фиг. 5. 4. Вычисление
циркуляции по замкнутому плоскому
контуру.
Фиг. 5.5. Произвольная
поверхность S в пространстве,
пронизываемая потоком вихрей.
большое число бесконечно малых площадок d(^. Тогда, считая
площадки do вследствие их малости плоскими, для любой из них можно
написать
C?r=2a)^c/a. (5.7)
Суммируя полученное равенство по- всем площадкам и переходя
к пределу, будем иметь
Г = 2Ясо>. (5.8)
Эта формула называется интегральной формулой Сто-кса. Она
по'казывает, что циркуляция по произвольному контуру L в
пространстве равна сумме напряжений вихрей, пронизываюищх поверх-
нйсть S, проходяи^ую через контур L.
Если по аналогии с выражением Vnda, представляющим
элементарный расход через площадку do, ввести выражение ^nda,
называемое поФО'Ком вихря через площадку б/а, то интегральная формула
Стокса может быть сфо*рмулирована следующим образом:
циркуляция скорости по замкнутому контуру равна удвоенному полному
потоку вихря через поверхность, опираюи^уюся на этот контур.

S6
Глава V. Основы теории вихрей
§ 4. ТЕОРЕМА ТОМСОНА О ПОСТОЯНСТВЕ ЦИРКУЛЯЦИИ
Рассмотрим в движущейся идеальной жидкости, которую а^^
простоты будем считать несжимаемой, замкнутый контур L
(фиг. 5.6), составленный из одних и тех же частиц жидкости. Такой
«сонтур при движении жидкости не только перемещается вместе' с
ней, но и изменяет- свою
геометрическую форму. Будем
называть его жидким контуром.
Докажем следующую теорему.
Теорема Томсона.
Циркуляция по замкнутому
жидкому контуру в идеальной
жидкости при наличии
массовых сил, обладаюи^их
однозначным потенциалом, не меняется
со временем.
Для доказательства теоремы
возьмем на контуре конечную
дугу АВ, Циркуляцию скорости
по дуге АВ можно представить
в виде
"Фиг. 5.6. К выводу теоремы о постоян-
^ггве циркуляции по замкнутому жидкому
контуру.
T = ^v^dx + Vydy-i-v,dz. (5.9)
Для того чтобы показать1 независимость Г от времени, нужно
.доказать, что —• =0 для жидкого замкнутого контура. Следова-
dV
"телъно, необходимо в первую очередь вычислить — . Дифференци-
dt
руя (5. 9), находим i
Выполняя дифференцирование под интегрального выражения и
имея в виду, что контур жидкий, будем иметь
dt
d
dt
(^^dy)^^dy-^v^-^{dy)=^-^dy + v^dv^,
dt
d dv. d dv^
{v^dz)=-~dz + v,— (dz) = -jdz + v,dv,.
dt
dt
dt
1 Поскольку контур жидкий, пределы интегрирования не зависят от
времени.

§ 4. Теорема Томсона о постоянстве циркуляции 97
Подставим найденные значения для производных под знак
интеграла:
в
dV rf/dv^ dVy , dv.
at
A
C\idVy. dVi. dv^ \
Выражение в последней скобке представляет собой d [ — ]
Заменяя проекции полного ускорения на координатные оси, т. е.
dVx dvy dv^
, ■ , , ИХ
dt dt dt
НИИ движения (4.1)
dVx dVy dv^
, ■ J —, ИХ значениями из дифференциальных уравне-
dt dt dt
dVx у I dp
dt ^ dx
^b__Y L^
dt P o[y '
^__^ 1^^
dt p ^2: '
оудем иметь
в
dt
=j[(^^. + K^^ + Zi.)-L(|..+|.^+|.i.) + ^(^)]:
Так как массовые силы, по предположению, обладают
однозначным потенциалом, то
Xdx + Ydy + Zdz = dU{x, у, z),
где и (х, у, z) —силовая функция массовых сил. Замечая, что во
второй скобке стоит полный дифференциал давления р, выражение
dV
для — можно представить в виде
dt
в
dV
dt
А
ИЛИ
в
dT_
dt
откуда
=Я--^7+''(т)]
^а[и-л.+^). (5.10)
А
^ = (и-^ + ^] -Ги-^ + ^] . (5.11)
I Аэродинамика

98 Глава V. Основы теории вихрей
Так как величины, стоящие в -скобке, т. е. U, р и v, являются
однозначными функциями, то в случае замкнутости контура, т. е.
совпадения точек А и В, выражение
— = 0 или Г = const.
dt
Таким образом, циркуляция действительно не будет зависеть от
времени.
Теорема Томсона нами доказана для случая несжимаемой
жидкости p=const. Однако она остается справедливой и для сжимаемой
г, dV
жидкости, в этом случае выражение для — примет следующий
dt
вид:
А
и далее следуют те же рассуждения, которые приводят к равен-
dV
ству — нулю.
dt
Из теоремы Томсона вытекает важный вывод. Если в идеальной
жидкости отсутствуют вихри, т. е. циркуляция по любому замкнутому
контуру внутри жидкости равна нулю, то, следовательно, в
жидкости вихрей не было раньше и не будет впредь. Наоборот, если в
идеальной жидкости существуют вихри, то они не могут исчезнуть.
Фиг. 5. 7. Возникновение циркуляции вокруг
обтекаемого потоком тела.
К этому выводу легко притти из простых физических
соображений. Действительно, поскольку в идеальной жидкости отсутствуют
касательные напряжения, следовательно, в ней отсутствуют силы,
которые могли бы привести во вращение жидкую частицу или,
наоборот, остановить это вращение. А это и означает, что вихревое
движение в идеальной жидкости не может самопроизвольно
возникнуть, а если оно в ней существует, то затухнуть уже не может.
Теорема Томсона справедлива лишь для идеальной жидкости.
Однако из этого нельзя сделать вывод о непригодности теоремы
для объяснения отдельных явлений, происходящих и в вязкой
жидкости. В некоторых случаях приходится рассматривать различные со-

§ 5. Теоремы Гельмгольца о вихрях 99
СТОЯНИЯ ЖИДКОСТИ, следующие одно за другим через короткий
промежуток времени; тогда с достаточным для практических целей
приближением можно рассматривать циркуляцию неизменной по
замкнутому жидкому контуру, т. е. считать, что за этот малый
промежуток времени вязкость не оказывает существенного влияния на
рассматриваемое явление. Указанное позволяет применить теорему
Томсона для объяснения возникновения циркуляции вокруг тела в
жидкости.
Предположим, что в покоящуюся жидкость погружен
вертикальный цилиндр, поперечное сечение которого имеет форму профиля
крыла (фиг. 5.7). В начальный момент времени циркуляция по
некоторому контуру С, охватывающему цилиндр, будет равна нулю.
Двинем теперь цилиндр рывком влево. При этом, как показывает
опыт, с цилиндра сбежит так называемый разгонный вихрь А,
обладающий циркуляцией Г. Так как циркуляция по контуру С (по
теореме Томсона) остается равной
нулю, то, очевидно, вокруг ци- ^^^^sJ^ ^ jf-s А
линдра возникнет циркуляция, в \)-0 т^ ^ т
точности равная циркуляции
вихря А, но противоположная по
знаку. Наличие циркуляции вокруг ^ /^
цилиндра легко доказать, если его ^1 /
быстро остановить. В этом случае фиг. 5. 8. Возникновение циркуляции
С профиля сбежит второй вихрь В вокруг обтекаемого потоком тела,
(фиг. 5.8), циркуляция которого
равна циркуляции вихря А, но обратна по знаку. Образующаяся
пара вихрей будет двига1ься поступательно вниз со скоростью
г
где а — расстояние между вихрями Л и 5.
§ 5. ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА О ВИХРЯХ
В своей известной работе «О вихревом движении» (1858 г.)
Гельмгольц сформулировал и доказал три теоремы о вихрях,
лежащие наряду с теоремой Стокса в основе теории вихрей.
Первая теорема Гельмгольца гласит: напряжение
по длине вихревой трубки не меняется.
Для доказательства рассмотрим часть вихревой трубки (фиг. 5.9),
заключенную между двумя произвольными сечениями / и //.
Очевидно, теорема будет доказана, если мы сумеем доказать, что
напряжение в сечениях / и // одинаково, т. е. что ч^=^'^\ь
Соединим точки а и 6 обоих сечений произвольной линией аЬ,
лежащей на повер'хности вихревой трубки, и рассмотрим циркуляцию
по контуру abcdebafgha. Так как этот контур является простым
замкнутым контуром, то
Г (abcdebafgha) = 0.
7*

100
Глава V. Основы теории вихрей
Но циркуляция по нему состоит из циркуляции по контурам I, П
и линиям аЬ и Ьа. Следовательно,
Так как очевидно, что
^ Ьа — ^ аЬ^
то
Г1 = Г„.
и, следовательно, на основании теоремы Стокса и
т. е. теорема доказана.
Из этой теоремы можно вывести зак1лючение о возможных
формах существования вихрей. (Б самом деле, важным следствием этой
Фиг. 5.10. Вихревое
кольцо — одна из форм
существования вихрей.
о
дд
Фиг. 5.9. К доказательству
неизменности напряжения
по длине вихревой трубки.
Фиг. 5.11. Прибор для
демонстрации вихревых колец.
теоремы является то, что вследствие постоянства напряжения
вихревой трубки по ее длине, т. е.
X = 2(00 = const,
вихрь не может закончиться в жидкости острием, так как в этом
случае о =0, а cd=oo, что невозможно. Таким образом, возможными
формами существования в природе вихрей являются следующие:
I. Концы вихря совпадают, т. е. вихревая трубка замыкается
сама на себя и образует часто наблюдаемое вихревое кольцо
(фиг. 5. 10).
Образование вихревых колец легко продемонстрировать на
следующем опыте. Если взять ящик (фиг. 5. И), у которого в одной

§ 5. Теоремы Гельмгольца о вихрях
101
стенке имеется отверстие, а противоположная затянута материей,
и заполнить его-дымом, то при легком ударе по материи из отверстия
будут вылетать кольцеобразные вихри, причем каждый вылетающий
вихрь, нагоняет предыдущий и проходит через него-.
Н. Е. Жуковскому принадлежит весьма интересная работа «К
вопросу о разрезании вихревых колец» (1894 г.), в которой он
аналитически строго доказал известный из опыта факт, чтО' при
поднесении сбоку к вихревому кольцу острия ножа вихревое кольцо резко
уклоняется от последнего, в результате чего разрезать вихрь ножом
невозможно.
Фиг. 5. 12.
Возможные формы
существования вихрей.
Фиг. 5. 13. Установка,
искусственно создающая вихрь
(смерч).
2. Концы вихря лежат либо на границах рассматриваемой
жидкости, либо один конец опирается на границу жидкости, а
другой — на твердую границу, например, на стенку. Этот случай
представлен на фиг. 5. 12. К этому типу вихрей принадлежит часто
наблюдаемый в природе смерч, как водяной, так и воздушный.
Водяной вихрь такого типа (искусственный смерч) легко создать
на следующей установке, описанной Н. Е. Жуковским в его книге
«Теоретические основы воздухоплавания». Если над чаном с водой
установить на расстоянии около 3 м полый ш'кив диаметром в 1 м
с несколькими перегородками, расположенными в радиальных
плоскостях, и шк'Ив привести в быстрое вращение, то последний
начинает закручивать воздух (фиг. 5. 13). Ввиду того что внутри
образовавшегося воздушного вихря давление понижено, вода начинает
подниматься и приходит во вращательное движение от трения о
крутящийся воздух. Через некоторое время образуется водяной
столб, снизу сплошной, а вверху образованный из капелек.
Вторая теорема Гельмгольца. Если в идеальной
жидкости действуют массовые силы^ обладающие однозначным по-

102
Глава V. Основы теории вихрей
тенцисиом, то вихревая трубка не разрушается и всегда остается
вихревой трубкой.
Для доказательства возьмем на баковой поверхности
рассматриваемой ви'хревой трубки замкнутый контур С (фиг. 5. 14),
проходящий через одни и те же частицы жидкости. Так как площадь,
охватываемая контуром С, вихрями не пронизывается (а^п^О), то
циркуляция по этому контуру по теореме Стокса равна нулю, т. е.
Гс==0. Но так как по теореме Томсона циркуляция в этом случае
со временем изменяться не будет, то, следовательно, она всегда
будет равна нулю. Это означает, что через контур С никогда вихре-
Фиг. 5. 14. к
доказательству теоремы
о неразрушаемости
вихревой трубки.
Фиг. 5. 15. К
доказательству теоремы о
неизменяемости напряжения
вихревой трубки со
временем.
вые линии не пройдут, и контур С останется лежать на боковой
поверхности вихревой трубки, т. е. вихревая трубка не разрушится.
Указанное свойство вихрей справедливо только для идеальной
жидкости. В реальной жидкости происходит процесс затухания —
диффузия вихря. Изучению этого сложного процесса диффузии
вихря в вязкой жидкости посвящена капитальная работа академика
А. И. Некрасова «Диффузия внхря» [31].
Третья теорема Гельмгольца. Если в идеальной
жидкости действуют массовые силы, обладающие однозначным
потенциалом, то напряжение вихревой трубки со временем не меняется.
Окружим вихревую трубку (фиг. 5. 15) замкнутым жидким
контуром С. Циркуляция по этому ко'нтуру по теореме Томсона
остается неизменной. Но так как по теореме Сто^кса циркуляция Г^
равна напряжению вихревой трубки, то, следовательно, и напряжение
со временем меняться не будет.
§ 6. ФОРМУЛА БИО-САВАРА О ВИХРЕВОМ ВЛИЯНИИ
Найдем скорость, вызываемую вихрем произвольной формы и
напряжением Г в какой-либо точке М жидкости (фиг. 5. 16). Для
этого выделим на вихре элемент dL, Обозначим расстояние от точки
М до элемента dL через г; через а — угол, образуемый радиусом г
с осью вихревого элемента. Тогда скорость dw, индуцируемая эле-

§ 6. Формула Био—Савара о вихревом влиянии
103
ментом вихря dL в точке М, как можно строго доказать, будет
определяться формулой
Г
dw = sin а dL, (5.12)
4лг2
которая носит название формулы Био—Савара и имеет большое
значение в аэродинамике.
Следует отметить, что формула (5. 12) устанавливает
интересную аналогию с электродинамикой. В самом деле, если вообразить,
Фиг. 5. 16. К расчету скоростей, Фиг. 5. 17. К расчету скоростей, вызванных
вызванных в жидкости вихрем в жидкости прямолинейным бесконечно
произвольной формы. длинным вихрем.
ЧТО вихревой криволинейный шнур заменен линейным
проводником, по которому идет ток с напряжением Г, то этот ток, действуя
на единицу магнитной массы в точке М, вызовет силу, величина
и направление которой определятся формулой (5. 12), выражающей
известный закон Био^—Савара.
Для определения полной Скорости, индуцируемой всем вихрем
в точке М, надр' выражение (5. 12) проинтегрировать по длине вихря:
W
__ г г sin(
~47i: J г
sin adL
2
(5.13)
Применим формулу (5. 12) к случаю бесконечно^ длинного
прямолинейного вихря с напряжением >^ = Г. Сначала найдем скорость w,
индуцируемую в точке М конечным участком АВ этого вихря
(фиг. 5. 17).
Радиусы-векторы ri и Гг и углы ai и а2, соответствующие точкам
А и В, г также длину перпендикуляра h, опущенного из точки М
на ось вихря, считаем заданными (задана также и величина Г).

104 Глава V. Основы теории вихрей
Выделим на участке АВ вихря бесконечно малый элемент CD = dL.
Из бесконечно малых треугольников CKD и СМК находим
CD==dL = -^^\ CK^rda\
sin а
отсюда
rda
dL^-
sin а
С Другой стороны, из треугольника ОСМ имеем
h
sin а
Подставляя значения г я dL в формулу (5. 12), находим
, Tsin^ct . hda
aw = sin a
Anh^ sin^ a
ил^и
dq^ = sin adoL.
47th
Для нахождения скорости, индуцируемой всем вихрем АВ в
точке М, надо это выражение проинтегрировать в пределах от а2 до (tt
(в сторону возрастания угла а). Тогда
а,
Г Г* г
W = \ sin ada = (cos а2 — cos аЛ (5.14)
47с/г J ^Tzh
Обозначая OA=Xt и 05=^2, формуле (5. 14) можно придать такой
вид:
Г
w==
_J_/____^___ fl___\ С5 14')
4nh [^ унЧх1 y~h^\ )
Рассмотрим два частных случая.
Первый случай: бесконечно длинный вихревой
«полушнур», простирающийся от точки О до бесконечности. При этом
и, следовательно,
ai = Y' 0^2 = 0,
w= — . (5.15)
47г/г ^ ^
Этой формулой нам придется пользоваться при построении
теории крыла конечного размаха.
Второй случай: бесконечно длинный вихревой шнур,
простирающийся в обе стороны до бесконечности. При этом
ai='7r, а2=Ю,

§ 7. Задача об определении вихревого влияния в оби^ем случае 105
И формула (5. 14) принимает вид
w=—. (5.15')
Как видим, вихревой полушнур вызывает скорости вдвое
меньшие, нежели бесконечно длинный вихревой шнур.
§ 7. ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВИХРЕВОГО ВЛИЯНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
В § 6 рассматривалось влияние одиночного вихря на окружающую его
жидкость. Рассмотрим теперь наиболее общую постановку задачи об
определении вихревого влияния.
Допустим, что в некоторой области, ограниченной объемом V, в каждой
точке заданы компоненты вихря о)^, ю о)^ в функции координат jc, у, z.
Требуется определить в каждой точке этого объема линейную скорость v^
вызванную (индуцированную) вихрями, т. е. величины Vj^, Vy, v^. Как известно,
Vjc;, Vy, Vz связаны с co^., шу, а)^ следующими соотношениями [формулы (5. 1)]:
1
-^-Y
1
^ 2
\ду dz )'
\ dz дх )
/dv^ dv^
I дх ду
Кроме того, как нетрудно проверить, о)^, о , со^ удовлетворяют следующему^
уравнению:
д(и ^ до)., дт
—^ + -^ + —'=0. (5. 16)
дх ду dz
Для нахождения v^, Vy, v^ поступим следующим образом. Введем в
рассмотрение вспомогательный вектор а, который по отношению к ректору линейной
скорости V будет играть ту же роль, что и у по отношению к о),т. е. компоненты
вектора а должны удовлетворять соотношениям, аналогичным (5.1):
1
2
/да^ дйу'
\ ду dz
\ дх ду 1
[ dz
да^
дх
(5. 17)
Если теперь по известному полю векторов угловой скорости со найти
соответствующее ему поле векторов а, то тем самым будет найдено поле векторов
линейной скорости v{Vx,Vy, t/^) с помощью формул (5.17).
Потребуем, чтобы проекции вектора_а, так же как и проекции векторов
линейной скорости V и угловой скорости oi, удовлетворяли условию неразрывности
несжимаемой жидкости, т. е. чтобы выполнялось соотношение
да^, да^ да^
--^ _!--^4--г-=0. (5. 18>
дх ду dz ^ ^

Ю6
Глава V. Основы теории вихрей
Подставим теперь в правые части формул (5.1) вместо t;^, v^, v^ их
значения по формулам (5. 17). Будем иметь
1
dv^ dv
ду
дх \ дх
У
dz
да,,
д /дйу да^
ду \дх ду
да Л / д^а^
ду dz
д /dUj^ да^
dz \ dz дх
д^а^ д^а
дх^
■ +
ду^
+
dz^
Принимая во внимание условие (5.18) и производя аналогичные
операции для со 0)^, получим три следующих уравнения:
д^а^ д^а^
д^а.
дх^ ду^ dz^
д^а„ дЧ
азд,,
дх^
д^а
ду^ ^ dz^ У \
_^ ^ ^
дх^^ "^ ду^ "^ dz^
4о),
(5.19)
"Эти уравнения в частных производных второго порядка носят название
уравнений Пуассона. В частном случае, когда а)^^.=0)^=0)2=О, уравнения Пуассона
превращаются в известные нам уравнения Лапласа. Это означает, что внутри вихревой
-области величины ад;, Оу, а^ удовлетворяют уравнениям Пуассона, а вне вихревой
области — уравнениям Лапласа.
Решения уравнений Пуассона имеют вид [10]
dV 1 ССС dV
Ш-т- 'г-Ш'
т-
dV
(5. 20)
где интегрирование распространяется на весь объем V, заполненный вихрями о).
Применим формулы (5. 20) к случаю, когда в покоящейся жидкости имеется
вихревой шнур произвольной формы. Очевидно, что элемент объема вихревого
шнура dV равен элементу длины dL, умноженному^на площадь а поперечного
сечения шнура: dV=^dL. Составляющие вектора со могут быть представлены
в виде
dl dr\ dC
0)^= со ,
' ^ dL
■ со COS (со,д:) = со
dL
со„ = со
у dL
где ^, тг] и С — текущие координаты вихря в отличие от
X, у, 2г—-координат жидкости вне вихревого шнура.
Подинтегральные выражения формул (5.20) теперь можно представить
ш виде
^xdV
WOflf^
JV
OiGdr,
JV
i£i<3dC
откуда, обозначая coa=—Г, получаем
т С di V rdy] ^ri?L
(5.21)

§ 7. Задача об определении вихревого влияния в общем случае
107
Подставим выражения (5. 21) в формулы (5.17). Будем иметь
\ Г д /Т С d^\ _д_/ Т
~ dz \ 2п
2 [о[у \ 27С J г j' dz[2n } г j
Вычислим частные производные от — , имея в виду, что
Буд(
;м иметь
д1\7)^
r=Y(x
/•3 '
- 5)^+(J' -
'д^\Т)"
-■r\Y+{z-
■п-у
/-3 '
-С)2.
dz \ г
-h
^-z
в таком случае выражения для проекций линейной
скорости примут следующий вид:
/i/f(x,s.2)
Из этих формул можно легко получить
известную формулу Био—Савара, которая была дана без
вывода в предыдущем параграфе.
Возьмем на вихревой линии L (фиг. 5. 18)
произвольную точку Л (^,f]. С). Пусть расстояние точки
М(х, у, г) от точки А определяется
радиусом-вектором г. Отложим в точке А единичный вектор k вдоль
касательной. Его проекции будут
flfj dri д?С
dL' dL' dL '
Фиг. 5. 18. К расчету
скоростей, вызванных G
жидкости вихрем
произвольной формы.
Отложим вдоль радиуса-вектора г единичный вектор 1, Его составляющие будут
иметь вид
I — X Y) —у С, — Z
Обозначим через dw скорость, возбуждаемую в точке М элементом
вихря dL. Тогда очевидно, что составляющими dw являются подинтегральные выраг
жения формул (5.22), а сама величина dw выражается в виде векторного
произведения
- Т - - dL
Беря модуль от обеих частей полученного выражения, получим формулу
Био—Савара (5. 12)
Г
dw— sin а dL.

108
Глава V. Основы теории вихрей
§ 8. ПАРАДОКС ЭЙЛЕРА-ДАЛАМБЕРА
Рассмотрим бесциркуляционное обтекание потенциальным
потоком идеальной несжимаемой жидкости цилиндра радиуса R
(фиг. 5. 19).
Фиг. 5. 19. К объяснению парадокса Эйлера—
Даламбера.
Как было выше установлено, скорость v на цилиндре будет
выражаться следующим образом:
v = 2v^ sinQ.
Вычислим давление на цилиндре, используя уравнение Бернулли
2
Подставляя значение v, находим
Р=Р.+'-^
Р-Ра:
9К
41—4sin2e).
Введем безразмерный коэффициент давления р =
Р^1
Будем иметь
;7 = 1—4sin2e.
Как видим, безразмерный коэффициент давления не зависит но
от радиуса цилиндра, ни от v^ я Poo-
При 6 = 0 (точка А) р = 1.
При 6 = тг (точка В) р = 1.
В точках С и D коэффициент давления p=Pmin==—3, т. е. в этих
точках максимальное разрежение.
Из симметричного распределения давления по цилиндру (ибо р
зависит от sin2 б) следует, что результирующая сила давления по-

§ 9. Теорема Н. Е. Жуковского
109
тч>ка на цилиндр равна нулю. Этот результат может быть
распространен на случай произвольного тела, обтекаемого потенциальным
потоком без образования вихрей и срыва потока. Следовательно,
если в равномерном установившемся потоке идеальной жидкости
помещено какое-нибудь тело, и поток обтекает это тело без срыва
и образования циркуляции, то результирующая сила давления
потока на тело равна нулю, т. е. тело не испытывает сопротивления.
В этом и заключается известный парадокс Эйлера—Даламбера.
' О'' Ж 60"" 90" 120''15Q4S0''
9
Фиг. 5.20. Теоретическая и экспериментальная
кривые зависимости безразмерного
коэффициента давления р от угла 0.
Теоретическая кривая р дана на фиг. 5. 20. Как показал
эксперимент, кривая распределения р будет иметь совершенно иной вид.
В частности, при 6 = 84'^—12ff^ поток перестает омывать цилиндр
и срывается с него, образуя за ним вихревую область.
Это изменение картины обтекания происходит из-за наличия в
реальной (вязкой) жидкости пограничного слоя. Как будет ниже
показано {vr^ XI), в результате О'тсасывания внутрь цилиндра
пограничного слоя можно получить картину обтекания, почти
соответствующую потенциальному потоку (фиг. 5. 19).
§ 9. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО
В основе современной теории крыла лежит знаменитая теорема
Н. Е. Жуковского о результирующей силе давления потока на
обтекаемое им тело. Жуковский, используя модель идеальной
жидкости, предложил искать источник силового воздействия потока на
тело в образовании циркуляции.

no
Глава V. Основы теории вихрей
Поясним это на случае обтекания круглого цилиндра. Как было
выше показано, при бесциркуляционном обтекании цилиндра
скорости и давления распределяются симметрично, что приводит к
отсутствию результирующей силы давления. Если же цилиндр
обтекается с циркуляцией, то
симметрия в распределении
скоростей и давлений нарушает-
ся, в результате чего
появляется результирующая сила
давления. Образование
циркуляции можно представить
как результат воздействия на
поток вихря, расположенного
в центре омываемого
цилиндра.
Рассмотрим эту схему
обтекания с динамической
точки зрения.
Допустим (фиг. 5. 21), что
цилиндр радиуса Го
обтекается поступательным потоком,
текущим справа налево со
скоростью на бесконечности v ^. Как было установлено, потенщиал
скорости такого' потока при наличии циркуляции выражается
следующим образом:
Фиг. 5.21. К доказательству теоремы
Жуковского.
ср= --'УооСО8 0 \Г-\ l-f
27Г
а скорость потока на цилиндре
v = 2v^ sin6 +
2пго
Для нахождения величины результирующей силы давления R
потока на цилиндр рассмотрим сначала проекции на оси Координат
элементарной силы давления pds^ действующей на участок
цилиндра ds. Очевидно, проекции силы pds на оси координат можно
написать в виде
—pds cos б,
—pds sin 0.
В таком случае для составляющих силы R будем иметь
следующие выражения:
Х= — ^ pds cos д,
V== — ^ pds sin Q,
(5.23)

§ 9. Теорема Н. Е. Жуковского
\П
где интегрирование проводится по дуге окружности радиуса Го.
Подставляя давление р по формуле
р = С-
р»2
будем иметь
Х-- r/C-^]cos6rfs,
Г=- r/c-^bin6rfs.
(5.24>
Вычислим величину X. Для этого подставим в (5. 24) выражение
для скорости V на цилиндре и заменим ds^r^db. Тогда получим
|4t;2„sin26+—^ + 2-^^^^sinG Wr^cosbdb,
X
откуда
-ihi
4т:2г^
тего
2тс 27^
Л'=—CroJ cosede + 2proi;2^ f sin^ecosede +
0 о
2it
+ -:-4- I COS 0 rfe
27t
8лс«Го
г cos0rf9+-^ г si
sin б cos 6 rf6.
Так как интегралы
2те 2тс 2тс
Jcoserfe==0, Jsin2ecos9rfe = 0, Jsin0coserf0 = O,
то -Х'=0, Иными словами, при безотрывном обтекании потоком
идеальной жидкости цилиндра сила лобового сопротивления (т. е. сила,
направленная по» направлению скорости v^) оказывается равной
нулю, даже если циркуляция Г и отлична от нуля.
Вычислим теперь величину поддерживающей, или, как говорят,
подъемной силы Y, направленной нормально к скорости у^. Будем
иметь
271:
I Г2 V V .
4^2 sin20H ^-f 2-^— sini
r=
-li-T
471V2
Ttro
Го sin б db
или
2tc
2u
r = — Сго J sin б db + 2^r^vl J sin^ б ^6 +
r^P
0
2%
0
2те
8712/-Q
rsin6fif6+-^^ Гзгп^б^б.

112 Глава V. Основы теории вихрей
Так как интегралы
27Е 2тс 271:
jsinefi?9=o, jsin^e^e^o, jsin^e^ie^Tc,
0 0 о
то окончательно
Y=pYv^. (5.25)
Содержащейся в формуле (5. 25) результат носат название
теоремы Жуковского, являющейся основной теоремой аэрюдгШамики.
Как видно из формулы (5. 25), теорема Жуковского заключается
в следующем: при циркуляционном обтекании цилиндра идеальной
несжимаемой жидкостью на цилиндр действует сила, нормальная к
скорости на бесконечности v^ и равная произведению этой скорости
v^ на циркуляцию Г и плотность р потока. Для определения
направления подъемной силы надо вектор скорости повернуть на 9(Р в
сторону,, обратную циркуляции.
Теорема Жуковского о подъемной силе может быть доказана
применительно к безотрывному обтеканию произвольного контура
несжимаемой жидкостью (см. § 10, гл. VII). Эта же теорема
справедлива и для сжимаемого газа при дозвуковых скоростях течения,
что было впервые доказано М. В. Келдышем и Ф. И. Франклем [И].

Глава VI
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
К ИЗУЧЕНИЮ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОТОКА ИДЕАЛЬНОЙ
ЖИДКОСТИ
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЙ^ПОТЕНЦИАЛ
Эффективным методом изучения свойств плоского течения
является метод комплексного переменного, получивший в аэродинамике
большое распространение. Возможность применения указанного^
метода возникает ввиду следующих причин. Как было показано в § '12
гл, III, основные функции, характеризуюпхие свойства плоского
потенциального течения,— функция тока ^ {х, у) и потенциал
скорости ср (х, у),— связаны между собой следующими уравнениями:
дх ду ' ду дх ' ^^'^f
В теории функций комплексного переменного эти уравнения, как
известно, носят название уравнений Коши—Римана и выражают то
условие, что комплексная комбинация из этих двух функций от двух
действительных переменных, т. е. 9 (х, y)+i^{x, у), является
аналитической функцией комплексного переменного z=x+jiy.
Обозначим эту функцию через w:
^(2;) = (р + гф. (6.2)
Функция w{z), являющаяся аналитической функцией
переменного Z, играет в аэродинамике плоско-параллельного течения
большую роль и носит название комплексного потенциала или
характеристической функции течения. Ниже будет показано, что всякий
плоский поток мол<ет быть задан комплексным потенциалом
Эта связь аэродинамики плоско-параллельного потО'Ка
несжимаемой жидкости с прекрасно разработанной теорией функций
комплексного переменного позволяет с успехом решать для плоско-
параллельного потока задачи, представляющие значительные
трудности в случае произвольного течения в пространстве. Особое
значение этот метод приобрел в проблемах теории крыла.
8 Аэродинамика

114 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
§ 2. КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ
Возьмем производную от комплексного потенциала ш = ср+/:Ф
по комплексному переменному z—x+iy. Как известно из теории
функций комплексного переменного, выражение для производной
будет иметь вид
Vx-fii^x,
dz дх дх
ду ду
V
^ ду дх
Фиг. 6. I. Комплексная скорость.
Ранее было установлено, что
д^ д^
дх ду
Заменяя производные в выра-
dw
жении для с помощью этих
dz
формул, находим
dw . /г. гл\
— ^v.-w^. (6.3)
Это выражение называется kojM-
плексной скоростью.
Очевидно, модуль комплексной скорости будет давать величину
самой скорости v, В самом деле,
dw
dz
= yvl-\-v^y =v.
(6.4)
Комплексную скорость можно интерпретировать геометрически
следующим образом (фиг. 6. 1). Построим в координатах Va-, Vy
вектор, определяющий комплексную величину Vx+iVy. Отображая
зеркально относительно действительной оси х вектор Vx+iVy, т. е. строя
такой же вектор под углом — 6 к оси х, мы, очевидно, получим
вектор, определяющий величину комплексной скорости Vx.—iVy.
Выражению (6.3) для комплексной скорости можно придать
еще другой вид. Так как из фигуры следует, ч^о
"О,,
-vsm\
то
dw
'dz
= V (cos о — i sin 0) = ve~
(6. 5)
§ 3. ПРИМЕРЫ простейших течении
пример 1. Плоское течение задано комплексным
потенциалом
w=az,
где а — комплексная величина, равная а^а^—ia2. Требуется опре
делить характер течения.

§ 3. Примеры простейших течений 115
Подставляя значения w, а я z, получим
ср + /ф = (ai — Ш2)(д: + iyl
откуда, приравнивая действительные и мнимые члены, находим
^ = а1Х + а2Уу
ф= —UzX + a^y.
Приравнивая ф и ф постоянным, получаем уравнения
эквипотенциальных линий и линий тока
aiX,+ a2y=C,
—а2лН-а1у=С^
т. е. уравнения семейств взаимно ортогональных прямых (фиг, 6. 2).
Комплексная скорость в этом случав будет равна — =a=ai—/аг.
^ dz
Следовательно, жидкость будет течь по прямым, наклоненным к
оси X под углом а, тангенс которого tg ot——, со скоростью
I dz
Пример 2. Поток задан комплексным потенциалом
где а — действительная величина.
В этом случае будем иметь
cp!+/t}) =a{x + iy)^
или
С?-^(Х2—у2),
Ф =2аху.
Такой поток был разобран в § 15 гл. III. Линии ф = С, <^^С
будут представлять два семейства взаимно ортогональных гипербол
(фиг. 6. 3). Комплексная скорость в этом случае будет равна
Следовательно,
или
dz
V:e—iVy=2a{x + iy)
V3i=2cix^
v^=^—2ay.

116 Глава VL Применение теории функций комплексного переменного
Т. е. ЖИДКОСТЬ будет двигаться по гиперболическим линиям тока со
скоростью
dw 1
v =
dz
== У {2axf + (— 2ayf == 2a Yx'^ + j/' = 2at.
Начало координат является критической точкой (v=i}).
Фиг. 6. 2. Плоское течение с комплекс- Фиг. 6. 3. Плоское течение с
комплексным потенциалом w=az.
ным потенциалом w — az'^.
Пример 3. Поток задан комплексным потенциалом
где п — любое целое положительное число, большее нуля. В этом
случае для исследования характера течения удобнее
воспользоваться тригонометрическим изображением комплексного переменного
откуда
Линии тока будут представлять собою семейство кривых я-ого
порядка 1
г'^ sin At0 =- С.
Найдем нулевые линии тока
Отсюда
г^ sin /гб = 0.
sm/t0 = O

§ 3. Примеры простейших течений
117
или
т. е.
пЬ = kii.
п
где k — любое целое положительное число от О до 2п—1. Давая k
значения k~Q,\,2,..,,2n—1, найдем, что плоскость потока будет
разбита нулевыми линиями тока—лучами 6==const — на 2п клино-
Фиг. 6.4. Плоское течение с комплекс- Фиг. 6.5. Плоское течение с
комплексным потенциалом w — z^. ным потенциалом w = z^.
образных областей с углами —, между которыми будут расиоло-
п
жены остальные линии тока. Например, при /г=3 таких областей
ше(сть и углы их будут равны 60° (фиг. 6. 4). При л=4 клиновидных
областей будет восемь, а углы их будут равны 45° (фиг. 6. 5).
Следовательно, вообще комплексный потенциал w^^z"- дает обтекание
угла в — градусов (см. фиг. 6.6, соответствующую п=3). Вычи-
п
слим теперь комплексную скорость
X [cos(/Z — 1) 0 + /sin (/г— 1)е].
Отсюда
Vj^ = лг^*-^ cos (л — 1) 6 и Vy== пг"^-^ sin (л — 1) 0.
Для точек, лежащих на оси х, где 6 = 0, получаем
v^
пг"-^>0 и v^ = 0,

118 Глава VI. Применение теории функций комплексного пвременного
т. е. поток течет так, как показано на фиг. 6. 4—6. 6. Начало
координат является очевидно критической точкой, если я>1.
Действительно, при г=0 и /г>1 получаем Vi,= v^^Q. При л=1 начало
координат вполне естественно не .
является критической точкой, |^
так как комплексный потенциал
w=z соответствует поступ а -
тельному потоку,
рассмотренному в примере 1.
j:
Ф^УУУУУУ/Уу'УУУУУуУУУУУУУУУУУУ
Фиг. 6. 6. Обтекание угла в 60^ Фиг. 6. 7. Плоское течение с комплексным
потенциалом ау= In z —источник (сток).
Пример 4. Поток задан комплексным потенциалом
w — \nz. (6.6)
Поступая аналогично предыдущему, находим
ср 4- /ф = In {ге^) = In г + /0,
откуда
ср = 1пГ,
Очевидно, 'линии тока будут^ представлять собой семейство лучей,
исходящих из начала координат, т. е. начало координат будет
являться источником. Это течение было разобрано в § 16 гл. П1.
Докажем, что направление течения соответствует показанному на
фиг. 6'. 7. Найдем для этого проекцию скорости Vr на полярный
радиус г:
дг г
Ч)^
Т. е. Vr совпадает с положительным направлением полярногО'
радиуса г. (Очевидно, комплексный потенциал w=^—\xvz
будет.представлять собой сток.) Для комплексной скорости будем иметь
следующее выражение:
^ = -1. (6.7)
dz Z

§ S. примеры простейших течений 119
Как видим, в этом случае комплексный потенциал w и
комплексная скорость, являющиеся аналитическими функциями
переменного Z, в начале координат перестают быть аналитическими, так как
и W и — обращаются при z=0 в бесконечность. В этом случае
начало координат является так называемо'й особой точкой: для
функции W — изолированной логарифмической точкой, а для комплекс-
dw
но'И скорости полюсом первого порядка.
dz
Бели мощность источника равна Q, то (см. § 16 гл. III)
Следовательно, в общем случае комплексный потенциал
источника будет иметь вид
w = -^-\nz. (6.8)
Если же источник находится не в начале координат, а в точке
2=а, то
w = ^ln(Z — a), (6.9)
2к
Наконец, если на плоскости расположено п источников,
находящихся соответственно в точках z=ai, z=a2,..., z=an, то комплексный
потенциал в этом случае примет вид
п
w^^'^^^iz-a,). (6.10)
Пример 5. Поток задан комплексным потенциалом
w = — . (6.11)
2
В этом случае, как нетрудно проверить,
X
^^-у-
х^+у^
т. е. получаем поток, также разобранный выше (§ 17 гл. III) и
называемый течением от диполя (фиг. 6.8).

120 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
Комплексная скорость для диполя будет иметь вид
dw __ 1
(6.12)
Как и в предыдущем примере, начало координат будет являться
особой точкой: для функции w — полюсом первого порядка, а для
комплексной скорости — полкх:ом второго порядка. Если момент
ДИПОЛ1Я равен М, то комплексный потенциал примет вид
w^^±-. (6.13)
Если же диполь расположен в точке z=a, то комплексный
потенциал будет иметь вид
7е; = —~-^. (6Л4)
2т1 Z — а
Фиг. 6.8. Плоское течение с ком-
1
плексным потенциалом w———ди-
Z
ПОЛЬ.
Фиг. 6.9. Плоское течение с
комплексным потенциалом
xs)~ — — In 2: — вихрь.
2л:
Пример 6. Комплексный потенциал задан в виде
г/ ,
te;= In 2:.
2п
(6.15)
Нетрудно убедиться, что этот потенциал представляет собой
комплексный потенциал плоского вихря (фиг. 6.9). В самом деле, аля
9 и ф имеем
Г .
Ср=:
27U
~— In Г,
2я
(6. 16)

§ 4. Движение пары вихрей 121
где величина Г является циркуляцией. Выражения (6. 16) были
рассмотрены в § 18 гл. III. Линии тока будут представлять собой
семейство концентрич^еских окружностей
г=const.
Для установления направления пото-ка найдем составляющие ско-'
рости Vr и Vs:
т.
е.
скорость
в
каждой
"^г
'^. = -
дг
1 аср _ Г
точке потока
Г
^= —
2пг
(6.17)
И направлена по касательной к соответствующей окружности.
Из выражения для Vs следует, что движение жидкости
совершается в сторону возрастания угла 6, т. е. против часовой стрелки.
Величина комплексной скорости
^=.^Ii_L. (б.18>
dz 2% Z ^ ^
Как и в случае источника, начало координат будет являться ддя
комплексного потенциала вихря логарифмической особой точкой,,
а для комплексной скорости — полюсом первого порядка.
Если вихрь находится не в начале координат, а в точке z=a^ то
выражение для w примет вид
^=~~ —1п(2:—а). (6.19)
Если же на плоскости находится п вихрей, расположенных в точках
2=^1, ^=а2,..., z=an, то комплексный потенциал будет иметь вид
п
w==-^^\n{z-a,). (6.20)
§ 4. ДВИЖЕНИЕ ПАРЫ ВИХРЕЙ
Пусть в точках z—Zu z=Z2 плоскости комплексного переменного z
расположены два вихря с циркуляциями Tj и Гз (фиг. 6.10). Изучим характер
движения этих вихрей. Комплексный потенциал в этом случае, исходя из принципа
наложения потоков, будет равен сумме комплексных потенциалов каждого вихря,
в отдельности, т. е.
Г Г
w=^~ In (z - 2ri) + -^.In (z-Zr,).

122 Глава VL Применение теории функций комплексного переменного
Комплексная скорость
dw
-h;
dz ^ У 2Kiz — zi ' 2п z — Z2'
.Дадим этому выражению другой вид. Учитывая, что z=x—iy, находим, что
dz dx ,dy . dw
dt ~ dt '^ ^ dt "^-^ "" ^^y dz
dz
+ ■
dt 2ш {z — Zi) 2ш (z — ^2)
(6.21)
f^
0
Фиг. 6. 10. Пара вихрей.
Пользуясь выражением (6.21), можно составить дифференциальные
уравнения движения каждого вихря в отдельности. Обратимся к первому внхрю z^Zi.
Так как первый вихрь движется под влиянием лишь второго вихря (2=2:2),
описывая окружность, и сам на себя не влияет, то необходимо для получения
дифференциального уравнения его движения в выражении (6.21) отбросить первый
член правой части, а в оставшейся положить z=^zi. Тогда получим
Г,
dz\
~dt
.Аналогично для второго вихря
dZ2
dt '
Разделяя в полученных выражениях действительные и мнимые части, полу-
^чим систему дифференциальных уравнений, определяющих движение пары
жихрей:
dxi
~dt
2п1 (zi — Z2)
2к1 {Z2 — Zi)
dyi
dt
dX2
dt ''
dy2
dt '
Г2 У1
2k
Гз X,-
2те г*
Г1 yi-
2п г*
Ti хг
— Уч
г^
Х2
'
У2
'
— ^2
2ir
(6. 22)

§ 4. Движение пары вихрей 123
где г — расстояние между вихрями, равное
^=У(^1--^2)Н(Л-~3'2)*.
Для интегрирования системы (6.22) умножим первое уравнение на Г^,
третье — на Гз и сложим. Тогда получим
^ иХл иХо
^ dt ^ dt
откуда
^1^1 -I- Г2Х2 = соп S t. (6. 23)
Умножая второе уравнение на Г^, четвертое на Гз и складывая их,
получим
ri3'j+r23^2==const. (6.24)
Разделив выражения (6.23) и (6.24) на сумму Г^Н-Гд и вводя
обозначения Хс и Ус, будем иметь
Точка С с координатами (х^, jv^:) называется центром инерции вихрей. Из
соотношений (6.23) и (6.24) следует, что центр инерции вихрей остается
неподвижным во все время движения вихрей и лежит на прямой, соединяющей
вихри.
Покажем, что расстояние между вихрями в процессе их движения остается
постоянным. Для этого вычтем из первого уравнения (6. 22) третье, а из
второго — четвертое:
di 27С /-2
^(3^1-3^2)__Г1 + Г2 ЛГ1--Х2
dt 271 г2
Умножим полученные выражения соответственно на (xi—Х2) и (f/i—у^) и
сложим:
d (хл — лго) d (у л — Уо)
^-^^ ~ ""^^ dt + ^^' "-^^^ ^^ -О.
откуда, интегрируя, получаем
(xi—д:2)2 -Ь (3/1 — 3^2)*=''''=const.
Из этого соотношения следует, что вихри вращаются друг относительно друга
так, что расстояние г между ними остается постоянным. Но так как центр
инерции неподвижен и лежит на прямой, соединяющей вихри, то приходим к
выводу, что вихри будут вращаться вокруг центра инерции.
Иная картина будет, если вихри будут обладать циркуляцией, одинаковой
по величине, но обратной по знаку (фиг. 6. 11). В этом случае, так какГ5+Г2=0,
точка С{^с^ у^ уходит в бесконечность. Покажем, что при этом вихри будут
двигаться поступательно, перпендикулярно соединяющей их прямой, с одинако-
Г
вой скоростью V— , где / — расстояние между вихрями. В самом деле, из
2ix/
уравнений (6.21) будем иметь
откуда заключаем, что
azx
dt
dzx
dt ~
^^2
dt'~
dZ2
dt''
~i\-
=0
-~Zr
L
2kI (zi —
■^2) '
И, следовательно,
= const=/.

124 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
ЧУ
-г г
е—^—э.
^=iz
"^2Я1
Фиг. 6. 11. Пара вихрей с циркуляциями,
одинаковыми по величине, но обратными по знаку.
Очевидно, что в этом случае и Zi—Z2=l, т. е.
dzi dZ2 ^
dt " dt"
Tl
2tiU 2tzI
Разделяя действительные и мнимые части, окончательно получаем
Г
Т. е. вихри перемещаются вниз с одинаковой скоростью параллельно оси у.
§ 5. ВИХРЕВАЯ ЦЕПОЧКА
Рассмотрим бесконечный ряд вихрей, расположенных на одной прямой на
одинаковом расстоянии / друг от друга (фиг. 6. 12). Пусть вихри расположены
в точках
. . • » 2?_^, . • • . -2Г_4 , ^__з » ^—2 ' ^~1 » ^0» ^Ь Ч^ 2^3. • • • . ^к. - "
и обладают одинаковой циркуляцией Г.
'^-в Ч Ч Ч ^-2 '-• ^> h h h h h ^\
Фиг. 6. 12. Вихревая цепочка.
Изучим скорости в жидкости, индуцированные этой вихревой цепочкой.
Очевидно, комплексный потенциал w для любой точки жидкости (кроме точек,
соответствующих самим вихрям) будет иметь вид
W-
2ni
In
(^ ~^о) + 2 f^" (^-^а) + ^п(^ ~=^-/fe)]l
k=i

§ 6. Понятие о вихревой дорожкг
125
Умножая {z — 2о) на — и деля соответственно {z—Zk) и (2: — г„^) ял—Ik н
+lk, что отразится лишь на величине произвольной постоянной, получим
W—— ) 1п -h
2Ki I
00
Ik
-f-ln
№)
Заменяя сумму логарифмов логарифмом произведения, будем иметь
Г
w=— In
2ш
(Z — Zq)tz
п
k^l
Ik
Ik
(6.26)
(6.27)
Так KdiK Zf^=^ZQ~\-Ik, z_j^=z^ — Ik, то выражение (6.27) для w можно
представить в следующем виде:
Г
w=—Jn
271/
{z--z^)k
7^n[.-f-irT]
С помощью известной формулы разложения sinTix в бесконечное
произведение
sin тсд:='31;с
п
/г-1
1-4
k^
выражение для комплексного потенциала w примет следующий вид:
Г 71
и;=—-.Insin—(г-2Го).
Ztzi I
(6. 28)
(6. 29)
Отсюда комплексная скорость в любой точке z
dw Г 7t
= V^ — iv.,=^ Ctg ■ (Z — 2?q).
dz "" у 211 ^ I ^ "^
' Нетрудно убедиться, что сама вихревая цепочка остается неподвижной. В самом
деле, любому вихрю, находящемуся в точке 2:=2j^, вихри, лежащие справа,
сообщают скорость, направленную вниз, а вихри, расположенные слева,— скорость,
направленную вверх, причем в силу симметрии скорости эти по величине равйы.
В результате каждый вихрь zj^, а следовательно, и вся цепочка в целом остаются
неподвижными.
§ 6. ПОНЯТИЕ О ВИХРЕВОЙ ДОРОЖКЕ
Рассмотрим теперь две вихревые цепочки, т. е. два параллельных ряда
вихрей (фиг. 6.13). Расстояние между каждой парой вихрей одинаковое и равно L
а расстояние между вихревыми цепочками равно h. Такие две цепочки вихрей
будем называть вихревой дорожкой; вихри верхнего ряда обладают
циркуляцией Гх, а нижнего—циркуляциейГд. Возьмем вихрь, находящийся в точке z—Zu
и ближайший к нему из нижнего ряда в точке z=Z2. В таком случае комплексный
потенциал вихревой дорожки будет иметь вид
Fj TZ Го 71
^=Г". In sin -—{z ~~ z{) Ч-—"т In sin —- {z — Zg). (6.30)
Комплексная скорость в любой точке z жидкости выразится следующим образом:
dw
dz "
^Ь^'^ ^^^ "Г (^ - ^i) +~^ ctg ~f (^ - z^).
211
211
(6.31>

126 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
Определим, с какою скоростью будут перемещаться эти две цепочки, если
предположить, что они перемещаются как одно целое.
Найдем скорость вихрей, находящихся в точках z—Zi и z^z^. Вихрь Zt вер^х-
него ряда будет перемещаться только под влиянием вихрей второго ряда.
Следовательно, скорость v^x—/t'l^ вихря Zi получим, отбросив в выражении (6.31)
первый член и положив во втором z—Zu т. е.
tr,.~rvi^ = ^ctgy (^i-z,).
'Ix
Аналогично для скорости вихря Z2
'2х ■
'2у-
Гг
к/^/i
— —'- ctg — (zi
(6. 32)
(6.33)
■^^-Ф—Ф—е-т-^—э
^—е—е—е—е
Фиг. 6. 13. Вихревая дорожка.
Так как дорожка по условию движется как одно целое, то отсюда следует
равенство скоростей
v.
'\х'
^^l^ = ^2.^-^^2j;»
откуда находим, что
Г.- - Г.
Г,
т. е. напряжение вихрей верхнего и нижнего рядов должно быть одинаковым
по величине, но обратным по знаку. Если предположить, что вихри
перемещаются параллельно оси х (т. е. Viy—V2y—0), то можно показать, что при этом
они должны быть расположены или симметрично, или в шахматном порядке
(см. фиг. 6. 13). Для шахматного расположения вихрей скорость перемещения
дорожки будет выражаться следующим образом [2]:
Г nh
a=v^^=Vcy^=-—: th —.
'Ix
''2x
21
(6.34)
§ 7. ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
Как былО' показано в § 19 гл. III, если в начале координат
поместить диполь и наложить на него прямолинейный равномерный
поток, двигающийся параллельно оси х, то получим обтекание
круглого цилиндра радиуса единицы. В комплексном виде это же можно

§ 7. Обтекание круглого цилиндра 127
получить, суммируя комплексные потенциалы указанных потоков,
т. е. комплексный потенциал искомого течения (при 'V^ = l)
^==2: + — . (б.35>
Z
Разделяя действительную и мнимую части, получим выражение-
для ср и ф в следующем виде:
X
У
Приравнивая ф постоянной величине, находим семейство линий
тока
откуда, полагая C=iO, убеждаемся, что нулевыми линиями тока
являются ось л:(у=0) и цилиндр радиуса единицы (л:2+у2=1).
Нетрудно проверить, что комплексный потенциал для
бесциркуляционного потока, обтекающего цилиндр радиуса R с
направлением скорости на бесконечности v^ в сторону отрицательной оси х^
будет иметь вид
w=^^v^ f^ + —). (6.36>
Z
в самом д^ле, найдем в этом случае комплексную скорость
dw
dz
dw
= -i;oo(l-^). (6.37)
Отсюда
= —v^,T, е. действительно скорость на бесконечности
dz\z~o2
будет равна заданной скорости. Критические точки в этом случае-
находятся на действительной оси. Проверим это. Приравняем
комплексную скорость нулю:
откуда
z=±R.
т. е. действительно критические точки находятся на действительной
оси в точках A{R, 0) и В(—R, 0).
Для получения потока, обтекающего цилиндр радиуса R с
циркуляцией, необходимо на рассмотренный потом наложить поток от'
вихря, поместив последний в начале координат. В таком случае
комплексный потенциал будет иметь следующий вид:
W
--^00 l^z + -f^-^^lnz. (6.38>

128 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
Найдем в этом случае критические точки (фиг, 6. 14), для чего
приравняем комплексную скорость нулю:
dw
dz
■== —t;^
1
R^
г^
2n
1
= 0.
Так как на цилиндре
переменное г=Де^^, то,
подставляя это выражение для
Z в уравнение — =0, будем
dz
иметь
-2f6 '
Г/
'2rtR
f>~ib
Умножая обе части
равенства на е^^ и деля на t;^,
находим
Tl
Фиг. 6. 14. Циркуляционное обтекание
круглого цилиндра плоским потоком.
2kRv^
Деля обе части равенства на
2i, будем иметь
Г
^'^ - е~''
2/
ИЛИ, учитывая, что
2/
sin0Kp==
AnRv^
sinO, окончательно получим
г
AizRv,
(6.39)
т. е. выражение, полученное в § 20 гл. III.
§ 8. ВЫЧЕТ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ
В настоящем параграфе установим связь, существующую меж-
dw
Лу так называемым вычетом комплексной скорости — , циркуля-
* dz
цией Г и расходом Q. Это соотношение, устанавливающее связь
между указанными величинами, будем называть теоремой о вычете
комплексной скорости. Допустим, что в плоском потоке,
определяемом комплексным потенциалом w, задано п особых точек функ-
dw
ции
dz
, представляющих источники, стоки и вихри, расположенные
соответственно в точках ^==ai, z=a2,..., z=an. Обозначим
соответствующие этим точкам вычеты через Л^ Лг,.-, Л^. Если указанные
особые точки окружить произвольным замкнутым контуром L, то,
как известно из теории функций комплексного переменного, криво-
.линейный интеграл

§ 8. Вычет комплексной скорости 129
будет равен сумме вычетов, умноженных на 2тг1, т. е.
Обозначая действительную и мнимую части каждого вычета
через а и /3, т. е. полагая
будем иметь
J(^)^. = 2..-2«*-2«2P*. (6.40)
Подсчитаем теперь левую часть написанного равенства (6.40).
Подставляя значения
dw
находим
j (^) dz= j iv,-w^){dx + idy),
L L
ИЛИ, отделяя действительную часть от мнимой,
\^{^^dz-=Uv^dx + Vydy)+i{v^dy--Vy^^
L L L
Как известно, эти интегралы представляют собой соответственно
выражения для циркуляции Г и расхода Q, т. е.
\'V^dx^4)ydy:=^V,
\п)^ dy—'Vydx = Q.
Следовательно,
J(^)rfz = r + ^Q. (6.41)
L
I
Подставляя найденное значение (6.41) в соотношение (6.40),
получим для Г и Q следующие выражения:
Г=-27г 2 Р„ (6.42)
Q = 27r 2 а,. (6.43)
/г=1
9 Аэродинамика

130 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
Пример. Поток задан следующим комплексным потенциалом:
z
Очевидно, в этом случае в начале координат находится источник,,
комплексный потенциал которого w = b\nz, мощностью Q—\Qtt\
вихрь, комплексный потенциал которого w='\Q ilnz, с циркуляцией
Г =—207г; диполь с моментом, равным 27г. Определим величины Q
dw
И Г с помощью формулы (6.41). Для этого найдем—:
dw_^ ^10^ 1_
dz Z Z z^ '
Возьмем интеграл по какому-нибудь замкнутому контуру L^
окружающему начало координат:
L L
Следовательно, на основании формулы (6.41), разделяя
действительную и мнимую части, находим
Q=107r,
Г=_207г.
Диполь, как известно, через замкнутый контур расхода не дает.
§ 9. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА О РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ СИЛЕ
ДАВЛЕНИЯ
До настоящего времени, изучая свойства плоского потока,
определяемого комплексным потенциалом w,^ мы рассматривали его лишь
с кинематической точки зрения. Естественно возникает вопрос, как,
зная комплексный потенциал w потока, обтекающего какое-нибудь
тело, вычислить результирующую силу давления потока на тело.
Впервые эта задача была решена в 1906 г. Н. Е. Жуковским в
работе «О присоединенных вихрях», где была выведена формула для
результирующей силы давления потока на тело в том случае, когда
поток задан комплексным потенциалом w.
В 1910 г. академик С. А. Чаплыгин в своей известной работе:
«О давлении плоско-параллельного потока на преграждающие тела»
дал общий прием определения результирующей силы и ее момента^
создав основы теории крыла бесконечного размаха i.
Сущность метода Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина сводится
к следующему. Допустим, что задан плоский поток, обтекающий без
срыва цилиндрическое тело произвольной формы, ограниченное в
плоскости X, у контуром L.
1 Позже эти формулы были получены немецким профессором Блазиусом
и в зарубежной литературе совершенно неправильно носят его имя.

§ 9. Теорема Жуковского—Чаплыгина о результирующей силе давления 131
Пусть комплексный потенциал потока ш=ср + ^б.
Рассмотрим на контуре произвольную точку М (фиг. 6. 15).
Проведем в ней касательную т и нормаль п к контуру. Обозначая углы,
образуемые касательной с координатными осями, через а и р, и те
же углы для нормали через о/
и р^ будем иметь
dy
cos а
ds
dx
= —Sin а,
cosP'= Н = +cosa.
ds
(6.44)
4^^^)
Давление p в точке М
контура определим из уравнения
Лагранжа—Бернулли
где V — скорость на контуре. ^ ^ ic; т^ -.т^
хГ ^ -^ ^ Фиг. 6.15. К доказательству теоремы Жу-
Умножая элементарную силу ковского^Чаплыгина о результирующей
давления pas в ТО-ЧКе М на силе давления и теоремы Чаплыгина о
COS а^ и COS р', получим ее моменте результирующей силы давления,
проекции на оси х vl у.
Проекции результирующ,ей силы давления R на координатные оси, т. е.
X и Yj очевидно, выразятся в виде
X=lpdsco^a\
r=J/?rfscosp'
или в силу формул (6. 44)
Х= —^psinadSy
L
У= -{-^р COS ads.
(6. 45)
Умножим обе части выражения для X яа i и сложим со вторым.
Получим
Г + /^ = J /7 (cos а — t sin а) ds.
Подставляя выражение для р из уравнения
Лагранжа—Бернулли, будем иметь , ,, i ' ,
r+iX= Пс--^—\cosa-^isin а) ds.
Q*

132 Глава VI. Применение теории функций комплексного Неременного
Так как интегралы
L L L
L L L
ибо координаты л: и у при полном обходе по контуру L принимают
первоначальное значение, то выражение для Y+iX примет
следующий вид:
Y-^-iX^ ^ ( l/^(cosa —tsina)rf5.
(6.46)
Преобразуем в полученной формуле (6. 46) подинтегральное
выражение. Так как на контуре скорость направлена по касательной,
то
ds
или
С другой стороны, так как контур L является линией тока, на
которой tl)= const, то, следовательно, на контуре L
dw = d{<pr]-if^)=\d^
и потому
yds = dw. (а)
тг г » dw ^
Кроме того, на контуре L для комплексной скорости — будем
иметь
— ==l/^--iK =Kcosa---rVsina==l/(cosa —isina). (б)
dz *
Подставляя выражения (а) и (б) в формулу (6.46), получим
' dw
г+«—fj
dw.
dz
I
Но так как dw^— dz, то окончательно
dz
^^"<—\mV'- ("')
L
Эта формула, позволяющая для потока, заданного комплексным
потенциалом w, найти X и У, а следовательно, и выражение для
полной силы давления /?= ]/Х2+|У2, носит название формулы
Жуковского— Чаплыгина,

§ 10. Теорема Чаплыгина о моменте результирующей силы 133
§ 10. ТЕОРЕМА ЧАПЛЫГИНА О МОМЕНТЕ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ СИЛЫ
ДАВЛЕНИЯ
В аэродинамике важно знать не только величину результирующей
силы R давления потока на тело, но и точку ее приложения,
называемую центром давления. Последний будет известен, если мы
сумеем подсчитать момент результирующей силы давления.
По теореме С. А. Чаплыгина можно вычислить момент
результирующей силы давления, зная комплексный потенциал w потока.
Для нахождения момента М относительно начала координат
(точнее, относительно оси г) результирующей силы R давления
потока на тело поступим следующим образом.
Пусть
Хх=р cos а',
Y^-p cos р' ,
представляют собой проекции на координатные оси л; и у силы
давления в точке М, отнесенной к единице длины контура. В таком
случае момент этой силы относительно начала координат
представится в следующем виде:
xY^ —yXi = хр cos р'—ур cos а'.
Так как по формулам (б. 44)
cosa = =^==—sina,
ds
п, dx
cosp =— = cosa,
ds
TO
xYi—yXx=p{x cos a+iy sin a).
Результирующий момент сил давления, очевидно, получится, если
мы от этого выражения возьмем замкнутый интеграл по контуру L
тела:
Ж = J р (л: cos а + J' sin а) с?5. (6. 48)
L
Подставим в этот интеграл выражение для р из уравнения Лагран-
жа—Бернулли:
Р-^ 2 '
где V — скорость на контуре L, Тогда
7И== ^(С—^—]{х cos а+у sin а) ds
или
Сил: cos а +у sin oi)ds —^ I V^ {х cos а +у sin а) ds.

то
134 Глава VL Применение теории функций комплексного переменного
Покажем, что первый интеграл будет равен нулю. В самом деле,
так как
dx dy f. .
— = COS a, -^ = cos В = sin a,
ds ds
\ {x COS a +y sin a) ^5 = W л: — +y -^ j ds = I xdx -i-ydy =
L 1 L
L
ибо при ПОЛ1НОМ обходе контура L координаты х и у примут
первоначальные значения. Следовательно, выражение для момента М
примет следующий вид:
Ж= — Г V^ {х ZOS а-\-у sin а) ds. (6.49)
L
Для преобразования подинтегрального выражения вычислим
произведение
Вводя обозначения
xV^+yVy = fn,
yV^-xVy = n,
получим
dw , . rx
z — ^ztn + m. (a)
dz
Вычислим теперь произведение I — \dz:
[^)dz===iV,^iV,)idx + idy)==={VJx+V/y) + i{VJy^
Так как
VJx+Vydy::=d^,
VJy — Vydx==d^
и на контуре L, являющемся линией тока, d^ = 0, d(f=Vds, то
(Y]dz=Vds. (б)
Перемножая выражения (а) и (б), получим
z(^Ydz = V(m + in)ds. (в)

§ 10. Теорема Чаплыгина о моменте результирующей силы 135
Так как выражения для тип могут быть представлены в виде
т;= xVj^ +у Vy==V(x cos а +у sin а),
n=yVj,--xVy=^V (усов (x—xsina),
то соотношение (в) перепишется следующим образом:
Z I— ] dz^V^ (х cos а + J^ sin а) ds + i V^ (у cos a—л: sin a) ds.
Сравнивая первый член правой части полученного равенства с
подинтегральным выражением (6.49), а также замечая, что
V^ {х cos а +у sin а) = д. ч. z (—) dz,
окончательно находим
^—-■fl^rfP- (6.50,
L
Полученная формула носит название формулы Чаплыгина и
позволяет для заданного комплексным потенциалом w потока
вычислить результирующий момент М от давления потока на тело.
В качестве примера, иллюстрирующего применение выведенных
формул (6.47) и (6.50), рассмотрим циркуляционноб обтекание
цилиндра.
Как было показано, комплексный потенциал w в этом случае
будет иметь вид
W--
Для нахождения результирующей силы давления на цилиндр
применим формулу Жуковского-—Чаплыгина
где интегрирование производится по контуру цилиндра. Вычислим
комплексную скорость. Дифференцируя w по z, находим
И, подставляя найденное значение — в формулу Жуковского —
dz
Чаплыгина, получаем
L
4-1; v dz.
TZ Z 71 2** J

136 Глава VI. Применение теории функций комплексного переменного
,.,,,., , # - , , , „. .
Кам видим, вычет относительно полюса г=0 даст лишь подчерк-
нутыи член, содержащий — В таком случае будем иметь
Z .
Z \ "К
ИЛИ
откуда
т. е. лобовое сопротивление X отсутствует, а формула для У
представляет известную уже нам теорему Жуковското.
Для нахождения момента М результирующей силы обратимся к
формуле Чаплыгина:
М
—-ij^e^-
или
Подставляя выражение ^( —) в формулу для М, находим
Так как выражение в фигурных скобках представляет чисто тш-
мую величину, то
Отсюда следует, что' результирующая сила Y=9^v^ проходит
через начало координат, относительно которого вычисляется
момент М,

Глава VII
ТЕОРИЯ КРЫЛА В ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОТОКЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
В предыдущей главе было установлено, что для изучения плоско-
параллельного потока идеальной жидкости, обтекаюпхего какой-
нибудь контур, достаточно знать комплексный потенциал этого
потока w{z). Так как непосредственное определение этой функции даже
для простейших контуров представляет значительные трудности, то
во многих задачах комплексный потенциал находят косвенным
путем с помощью метода так называемого конформного отображения,.
играющего большую роль как в задачах теории крыла, так и в
других проблемах гидро- и аэродинамики плоско-параллельного потока
идеальной жидкости.
В главе VI было рассмотрено обтекание тела простейшего
профиля — круглого цилиндра. Метод конформных отображений
позволяет перейти от этого частного случая к построению комплексных
потенциалов потоков, обтекающих тела (профили) произвольной
формы.
Сущность метода конформных отображений заключается в
следующем. Допустим, что в некоторой области 5 плоскости
комплексного переменного z задана некоторая аналитическая функция
С=/(2), (7.1)
Т. е. функция, которая в каждой точке области S плоскости 2=='pc + iy
однозначна и дифференцируема. Гео-метрически это означает, что
каждой точке z=x + iy области 5 соответствует вполне
определенная точка на плоскости (>=f{z) = ^+iy]. Совокупность точек (.^f{z),
соответствующих точкам области S, образует в плоскости С новую
область Si. Следовательно, однозначная аналитическая функция
Q=f{z) осуществляет отображение о^бласти 5 плоскости z=x+iy на
область Sx плоскости С^($;+/7]. В частности, если в области 5
провести некоторую ЛИВИЮ L, проходящую через произвольную точку z,
то в области Si ей будет соответствовать некоторая линия jLi,
проходящая через точку ^=f{z) (фиг. 7. 1).

138
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
По условию функция Z=f{z) имеет определенную производную
в точках Z внутри S, т. е. существует предел отношения
где AZ •
г-'X^ifJ
приращение независимого переменного z.
Выясним гео'метрический
смысл производной
аналитической функции
предполагая ее отличной от
нуля. Для этого представим
комплексное число f^{z) в виде
f (z) =Re '^, где /? — модуль
производной, р. — ее аргумент
{R и у, являются, очевидно,
функциями Z).
Рассмотрим в области S
произвольную кривую L,
проходящую через точку z. Возьмем на
кривой L точку Zi=z+Az,
бесконечно близкую к точке z.
Кривой L на плоскости z
соответствует в плоскости С
кривая Li, проходящая через
точку С =/(2:). В силу
непрерывности функции С=/(:г)'
точке Zi=z-^Az в области S^
соответствует точка Ci,
бесконечно близкая к точке С, т. е.
Приращения Az и ДС, являющиеся комплексными числами,
можно представить в следующей форме:
где со и ?1 —углы, образуемые отрезками прямых, проходящих
через точки г и ^1 и С и Cj. с действительными осями, а г и ri —
величины этих отрезков.
Из равенства
Фиг. 7. 1. Конформное отображение.
находим
/'(;2)==/?e^>=lim — = l'im -'i-^^(^.-T)
lim
Az-*0
= R
Дг^О
(a}

§ 1. Понятие о конформном отображении 139
В Пределе направление вектора Az совпадает с направлением
касательной к линии L в точке z, а направление вектора А С — с
направлением касательной к линии Li в точке С=/(2:).
Обозначая углы, которые образуют касательные к кривым L и
Li в точках г и С с действительными осями соответственно через а
и 3 (см. фиг. 7. 1), получим
lim(?i—ср)=р.
или
3 = o^'+|j.. (а')
Из равенства (а^) следует, что аргумент производной р.—это
угол, на который поворачивается касательная к линии L в точке z
при отображении с помощью аналитической функции С=/(;г), или,
иначе ^ — угол между первоначальным и отображенным
направлением.
Так как линия L является произвольной линией, проходящей
через точку Z, то при изменении направления линии L в точке z будут
изменяться углы а и 3, но угол ^ останется тем же. Следовательно,
проводя через точку z другую линию U и обозначая
соответствующую ей линию, проходящую через точку С=/(г), через L/, а углы,
которые образуют касательные к этим линиям в точках 2 и С с
действительными осями через ,а^ и р', получим
р/=аГ+',., (б)
Из формул (а^) и (б) находим
р^_3 = а'_а, (в)
т. е. угол между касательными и кривым L и L^ в точке z равен углу
между касательными к кривым Li и L/ в точке С. Следовательно,
две произвольные линии, проходящие через точку z, отображаются
с помощью аналитической функции на дре линии, проходящие через
точку ^=f{z) так, что угол между касательными к исходным и
отображенным линиям сохраняется. Таким образом, отображение с
помощью аналитической функции обладает свойством сохранения
углов во всех точках, где производная не равна нулю.
Выясним теперь геометрический смысл модуля производной
lim ^ = /?, (г)
где г — расстояние между точками z и z+ t^z, а Vt— расстояние
между точками С и С + ДС. Равенство (г) показывает, что модуль
производной есть предел отношения расстояния между отображенными
точками С и Ci к расстоянию между исходными точками z и z^.
Поэтому модуль производной \f{z)\=R можно рассматривать как
величину искажения масштаба в произвольной точке z при
отображении с помощью аналитической функции. Равенство (г)
показывает, что величина R не зависит от направления кривой L,

140
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Следовательно, отображение с помощью аналитической функции
С =i(z) обладает в каждой точке z, где f^(z)~/~0, свойством
постоянства растяжений независимо от направления.
Итак, отображение с помощью аналитической функции ^=f{z)
обладает в каждой точке z, где f^{z) =^0, свойством постоянства углов
и растяжений.
Если в плоскости комплексного переменного z взять бесконечно
малый треугольник, одна из вершин которого находится в точке z
(фиг. 7.2), ТО' ему в плоскости комплексного переменного С будет
соответствовать бесконечно малый криволинейный треугольник с
У|
i
.1
л^^—
с\.
X
■ . . . ■ ' ■■' <в»
-*4
Фиг. 7. 2. Конформное отображение в бесконечно малом.
вершиной в точке С=^/(^). Соответственные углы в этих
треугольниках будут равны ввиду свойства сохранения углов при
отображении с помощью аналитической функции; отношения же
соответственных сторон будут равны одному и тому же постоянному числу /?-/~0,
т. е. эти бесконечно' малые треугольники будут подобны.
Следовательно, отобраоюение с помои{ъю аналитической функции сохраняет
подобие в бесконечно малом.
Отображение, обладающее указанным выше свойством
сохранения углов и постоянства растяжений, называете^ конформным
отображением. Отсюда заключаем, что всякое отображение,
устанавливаемое с помощью аналитической функции, будет конформным
во всех точк-ах, где производная аналитической функции отлична
от нуля.
§ 2. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрим несколько простейших конформных отображений,
необходимых в дальнейшем для изучения более сложных
преобразований.
Пример 1. Отображающая функция имеет вид
где Ь — комплексное число, равное b = bi + ib2.
(7.2)

§ 2. Примеры простейших конформных отображений
141
Так как для плоскости С
а для плоскости z
то, используя (7. 2), имеем
у]=у+.Ь2.
Следовательно, преобразование (7. 2) попросту сдвигает каждую
точку в плоскости Z в направлении вектора b на расстояние, равное
п
0
1 ,4V
^^у\
_ Г^^)
KkJy
Фиг. 7. 3. Преобразование переноса ^=^z-{~b,
его модулю. Поэтому преобразовадие (7. 2) носит название
преобразования переноса.
Поясним сказанное на примере.
Пусть в плоскости комплексного переменного z дана окружность
радиуса R с центром в начале координат (фиг. 7. 3):
Х2 + у2 = /^2.
Полагая C^E+Ztq и используя для точек окружности очевидное
соотношение
Z = Re^^ = R (cos 9 + / sin 6),
получим
S ==/? COS 0 + &1,
Y] = /? sin e + Й2.
Исключая 6, находим
Полученное уравнение показывает, что преобразование (7.2)
действительно является преобразованием переноса, так как оно
переводит окружность в плоскости Z радиуса /? и с центром в начале
координат в окружность того же радиуса R, но с центром в
точке 6i, &2-

142
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Пример 2. Отображающая функция имеет вид
где U — действительное число.
(7.3)
Используя тригонометрическое представление комплексного
числа, можем написать
и, подставляя в (7.3), получим
откуда p=R и а=|л-|-6.
Следовательно, преобразование (7. 3) осуществляет простой
поворот произвольного вектора z (без изменения масштаба) на угол ^г.
Фиг. 7.4. Преобразование поворота t,=^e^^z.
В частности, если в плоскости z задана окружность радиуса R с
центром в точке {С, 0), то для ее точек можнО' написать (фиг. 7. 4)
Подставляя в (7.3), получаем
или
С —С^^> = /?^^'<^+»^>.
Как видим, в плоскости С получилась окружность того же радиуса R,
но с центром в точке Се ^>. Точкам окружности в плоскости z,
характеризуемым центральным углом 6, на окружности в плоскости С
соответствуют точки, сдвинутые на угол ^. Следовательно,
преобразование (7. 3) повертывает окружность (как твердое тело) на угол }х.
Если fjL= —, центр окружности будет расположен в плоскости С
на оси г^\ при ]}.=тг центр будет расположен на отрицательной оси 5
на расстоянии С от начала координат.
Итак, функция ^ = e'^^z, не изменяя масштаба, повертывает
фигуру на угол }j.. Поэтому преобразование (7. 3) называется
преобразованием поворота.

§ 2. Примеры простейших конформных отображений
143
Пример 3. Отображающая функция имеет вид
^ = az, f7.4)
где а — действительное положительное число.
Используя тригонометрическое представление комплексных
чисел, можем написать С = р^^°' и z = Re^^y откуда, подставляя в
(7.4),
pe'^' — aRe^^
и, следовательно,
р==а/?; а = е.
Таким образом, преобразование (7.4) осуществляет растяжение
или сжатие любого вектора z (растяжение, если а>1, и сжатие,.
^'
1 0
1
Фиг. 7. 5. Преобразование изменения масштаба
если а<^1). Поэтому оно носит название преобразования
изменения масштаба. В частном случае, если в плоскости z задана
окружность радиуса R с центром в начале координат (фиг. 7. 5)
Zr=zRe^\
то в плоскости с ей соответствует кривая
являющаяся, очевидно, тоже окружностью с центром в начале
координат, но радиуса aR,
Пример 4. Выше были рассмотрены примеры, в которых
отображающая функция С=/(г) удовлетворяла основному условию
конформности— ее производная f{z) была конечной и не обращалась
в нуль ни в одной точке отображаемой области. В настоящем
примере рассмотрена функция, производная которой в некоторой точке
отображаемой области обращается в нуль, и показано, что при этом
конформность отображения в указанной точке нарушается.

144
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Возьмем отображающую функцию в виде
где п — действительное число, причем пФи Очевидно, что
производная этой функции С = /i2;'^~~^обращается в нуль (при п>1) или в
бесконечность (при я<1) в точке z=0.
Фиг. 7.6. Нарушение конформности преобразования
Используя, как и выше, тригонометрическое представление
комплексного числа
С = р^^'°' и z:=Re'\
будем иметь
pe'"" = Т?"^'
откуда
р = /?« и а = я0.
Отсюда следует, что если в плоскости z взять две прямые,
проходящие через начало координат и образующие между собой угол 8,
то в плоскости С им будут соответствовать прямые, также
проходящие через начало координат, но пересекающиеся под углом яр
(фиг. 7.6).
Как видим, равенство нулю или бесконечности производной
отображающей функции в какой-либо точке действительно нарушает
конформность отображения в этой точке — нарушает свойство
сохранения углов. Такие точки называются особыми точками
конформного отображения.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНВЕРСИИ
Рассмотрим отображающую функцию следующего вида:
(7.5)
где / — действительная величина. Для изучения свойств этого
преобразования, называемого преобразованием инверсии, положим

§ 3. преобразование инверсии
145
Подставляя значения ^ и С в (7.5), получим
/2
/?= —, Р =
-а.
(7.6)
Отсюда следует, что преобразование (7. 5) приводит и к
изменению масштаба и к повороту любых кривых, расположенных в
плоскости Z. Совместим плоскости комплексного переменного г и С на
одном чертеже и построим в плоскости z окружность радиуса /
с центром в начале координат (фиг. 7.7). Эту окружность назовем
кругом инверсии.
Взяв какую-либо точку А {z=re''') внутри окружности радиуса I,
определим, в какую точку плоскости С перейдет эта точка в резуль-
тате преобразования/?== —,
совершаемого над ее
модулем г.
Для этого продолжим
линию ОА до некоторой точки К
вне круга и из точки А
проведем перпендикуляр АВ до
пересечения его с окружностью в
точке В. В точке В проведем
касательную к окружности до
пересечения с линией ОК в
точке А\ Из подобия
треугольников ОВА^ и ОВА следует,
что
ОБ ^ ОА'
Но так как ОВ=^1, ОА = г,
то
ОЛ'= — = /?.
г
Фиг. 7. 7. Круг инверсии.
/2
Таким образом, преобразование—переводит точку А в точку А',
называемую зеркальным отображением точки А, относительно
окружности радиуса /.
Теперь нетрудно построить отображение точки А, соответствую-
ш;ее отображающей функции (7,5). Выражение для аргумента в
плоскости С
показывает, что точку А' надо зеркально отобразить относительно
действительной оси. Тогда точка А^\ расположенная в плоскости С,
будет являться отображением точки А с помощью функции (7. 5).
Так как при этом преобразовании точка z=0 переходит в тбчку
С ==оо, то, очевидно, все точки плоскости z, находящееся внутри
круга инверсии, переходят в точки плоскости С, расположенные вне
10 Аэродинамика

146 Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Круга инверсии, или, что тО' же самое, внешность круга плоскости С
переходит во внутренность круга плоскости z.
Докажем следуюш;ую теорему. Преобразование инверсии
преобразует окружности и прямые в плоскости z в окружности или
прямые в плоскости с.
Записывая преобразование инверсии в виде
• 2:== —
С
и полагая z=^x + iy, C = S + /'/], получим
С + ^Т]
Отсюда
Как известно, уравнение произвольной окружности (в том числе
и прямой линии, являющейся окружностью бесконечно большого
радиуса) в плоскости z можно написать в виде
A{x^+y^)\+Bx+Cy+D=^0 (а)
(при Л = 0 получаем уравнение прямой).
Подставим в это уравнение значения л: и у:
или после упрощений
Л/* + В1Ч — С1\ + 0(^2+ Y|2) = 0. (б)
Уравнение (б) представляет собой также уравнение окружности
(или прямой линии при Z) = 0) в плоскости С Из уравнений (а) и
(б) заключаем:
1. Всякая окружность плоскости z, не проходящая через начало
координат (Л =7^0, ОфО), переходит в окружность плоскости С, не
проходящую через начало координат.
2. Всякая окружность плоскости z, проходящая через начало
координат (Л Ф О, Z) = 0), переходит в плоскости С в прямую линию,
не проходящую через начало координат.
3. Всякая прямая плоскости z, не проходящая через начало
координат (Л='0, D=^0), переходит в окружность плоскости С,
проходящую через начало координат.
4. Всякая прямая плоскости z, проходящая через начало
координат (Л=0, D=0), переходит в прямую плоскости С, проходящую
через начало координат.

§ 3. преобразование инверсии
147
Пример. На плоскости z дана прямая у=х+1. Требуется определить,
во что перейдет эта прямая с помощью преобразования инверсии.
В данном случае
Л==0, 5 = 1, С=—1, Z)=l.
Подставляя эти значения коэффициентов в уравнение (б), получаем
hij
Таким образом, в плоскости С прямой j^=^-fl соответствует окружность
радиуса —р=г, проходящая через начало координат (фиг. 7. 8).
Фиг. 7. 8. К преобразованию инверсии С=-
При этом преобразовании правой части плоскости z, заштриховайной на
фиг. 7.8, будет соответствовать внешность окружности на плоскости С, так как
точке Z—0 соответствует точка С=оо.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим метод
построения окружности в плоскости С, в которую переходит с помощью
преобразования инверсии окружность произвольного радиуса R,
центр которой расположен в точке Mi(ai, b^) плоскости г.
Пусть в плоскости z=x+iy задана окружность Ki (фиг. 7. 9)
радиуса R с центром в точке Mi с координатами (ai, bt). Обозначим
отрезок 0Л = /, отрезок AMi^R. Отобразим эту окружность Ki на
/2
плоскость С с помощью преобразования инверсии С = —.
Из предыдущего заключаем, что окружность Ки как не
проходящая через начало координат, перейдет в плоскости С также в
окружность, не проходящую через начало координат. Определим
уравнение отображенной окружности.
Уравнение данной окружности Ki имеет вид
10*

148
Глава VIL Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Из уравнения отображающей функции С==— находим
Z
у-
!1одставляя эти значения х и у в уравнение окружности Ки
поручим
у
' "2^^
Xi
^ч
о)
1
С ^
V -
\'
?
j:
п
+
2 + 1Г1»
+
ЬЛ =R^
или, производя-
алгебраические преобразования,
S +
+
+и
Фиг. 7.9. К преобразованию инверсии Из фиг. 7. 9 легко установить,
£ =
что
в таком случае уравнение отображенной окружности Кг примет вид
\ ^ 2ai+// V 2ai+// (2ai
+ /Г
(a)
Обозначим координаты центра М^ отображенной окружности
через 02, 62, где
(Хо
а^
2ai+l
b,^
b,l
2a,i-l
В комплексном виде положение центра круга /Сг будет
определяться числом
/
2^1+/
или
С2
/ -
2ai-h/
(б)
где ZMi—сопряженное значение числа Zm,^ определяющего
положение центра окружности Кь Отсюда заключаем [имея в виду знак

. § 4. Преобразование Н. Е. Жуковского 149
минус в формуле (б)], что центр М^ окружности /Сг расположен на
некоторой прямой ON, являющейся зеркальным изображением
прямой OtWi, относительно мнимой оси (см. фиг. 7.9).
Покажем, что точка М2 лежит на прямой AMi. Уравнение прямой
ЛЛ^!, проходящей через точки А и Mi, имеет вид
Подставляя в это уравнение координаты центра Мг, легко
убедиться, что оно обращается в тождество. Это и означает, что точка
Мг лежит на прямой AMi, Точно так же нетрудно проверить, что
полученная окружность проходит через точку А. Для этого нужно
в (а) подставить 71=0, $=—/ и убедиться, что оно в этом случае
обращается в тождество.
Таким образом, мы получили следующее правило построения
окружности А'2, получаемой из круга Ki путем преобразования
инверсии (см. фиг. 7.9):
Из начала координат провести прямую ON под углом /_MON
к оси у, равным углу /_MOMi; из точки М^ пересечения прямой ON
с прямой AMi описать окружность /Сг радиуса АМ2, которая и будет
являться отображением окружности /Ci с помощью преобразования
инверсии.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Н. Е. ЖУКОВСКОГО
Одной из задач теории крыла является определение
геометрических и аэродинамических характеристик профилей, получаемых
конформным отображением круга с помощью специально
подбираемых для этой цели отображающих функций.
Подобная задача состоит, следовательно, во-первых, в выборе
отображающей функции и, во-вторых, в выражении
аэродинамических характеристик профиля через некоторые параметры, входящие
в выбранную функцию, при изменении которых будут получаться
различные профили одного и того же семейства.
К числу простейшего семейства теоретических профилей
принадлежит серия профилей Н. Е. Жуковского—С. А. Чаплыгина,
получаемых из круга с помощью преобразования-
носящего название преобразования Н. Е. Жуковского.
Прежде чем перейти к изучению получаемых с помощью
функции (7. 7) профилей, рассмотрим ряд геометрических свойств
преобразования Н. Е. Жуковского.
Покажем, что с помощью этого преобразования окружность
радиуса / с, центром в начале координат (фиг. 7.10) отображается
3 отрезок прямой АВ длиной 2/ в плоскости С.

150
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
В самом деле, для точек окружности радиуса / будем иметь z=te'K
Подставляя это значение z в формулу (7.7), найдем
^-i{^ + i-) = iie^^+e-^^)=l
= / COS (
Полученное выражение показывает, что для точек окружности,
т. е. при изменении О от О до 27г, С является действительной вели-
/I I
О I В
Фиг. 7. 10. Преобразование окружности с помощью
преобразования Жуковского ^ = —{z-{-—1.
чиной и изменяется в пределах от 1+/ до —/ (при изменении 6 от
О до 7г) и от —/ до i+'/ (при изменении 6 от тг до 2тт), Следовательно,
преобразование (7.7) перевело окружность радиуса / в отрезок
действительной оси длиной 21.
§ 5. ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО - ЧАПЛЫГИНА
В настоящем параграфе рассмотрены профили, получаемые из
круга с помощью преобразования Н. Е. Жуковского (7.7)
2
С:
'+т
а^^
.0^^^^
Фиг. 7. 1L Метод округления Жуковского—Чаплыгина.
Поместим в плоскости z окружность/Срадиуса атак (фиг. 7. И),
чтобы центр ее был расположен на мнимой оси на некотором рас-

§ 5. Профили Жуковского—Чаплыгина 151
СТОЯНИИ OM=f от начала координат. Длину отрезка действительной
оси ОА обозначим через /.
Для точек окружности/С имеем z=pe^^, где р —величина
переменная, так как начало координат не совпадает с центром круга К-
Следовательно,
l=j-(p + f-)cos6.
^=т(р-т)''"^-
Умножая первое выражение на sin 0, второе на cos 0, возводя
в квадрат и вычитая, получим
$2sin2e~-7]2cos2 0 = /2sin2ecos2 0. (а)
Если теперь взять на окружности К произвольную точку Р,
положение которой определяется величинами р и 6, то из треугольников
ОМР й ОМА следует, что
a2 = /2-f-/2=/2^p2__2p/sin0,
откуда
и, следовательно,
т. е.
р-—= 2/sin0,
Р
iQ=/sin^0,
Sin2 6=-^. (б)
/
Подставляя выражение (б) в (а), после простых преобразований
получим уравнение отображенной кривой
которое легко привести к виду
^'+[^Ч(т-^)]'="+т(т-^)'
Как видим, мы получили уравнение окружности, центр которой
расположен на мнимой оси в точке ^=0, у] = ^/ и радиус
которой равен
/"Ч(т-^)"
Выражение (б) показывает, что отображенная кривая будет не
полной окружностью, а только ее дугой, расположенной над
действительной осью.

152 Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Если В ПЛОСКОСТИ Z взять окружность /Со радиуса / с центром
в начале координат, то, как уже известно, преобразование (7. 7)
переведет ее в отрезок действительной оси длиной 21, Следовательно,
преобразование (7. 7) переводит точки А vl В окружности К в точки
At и ^1, расположенные на действительной оси g, расстояние между
которыми равно 21. Таким образом, отрезок А^В^ будет являться
хордой дуги AiBi (см. фиг. 7. 11), стрела прогиба которой, как это
следует из выражения (б), равна /.
Проведем в плоскости z окружность Ki с центром в точке М^
так, чтобы она касалась окружности К в точке Л; расстояние ММ^
обозначим через d. Очевидно, центр окружности К^ будет лежать
на продолжении прямой AM.
Выясним, во что отобразится окружность Ki, с помощью
преобразования Жуковского. Так как это преобразование отобразршо
внешность круга К на внешность дуги А^В^, то, поскольку круг Кг
охватывает круг К, ему в плоскости С должна соответствовать
некоторая замкнутая кривая, т. е. некоторый замкнутый профиль,
охватывающий дугу А^В^.
Из общего свойства конформных преобразований (сохранение
углов) следует, что в точке Ai контур профиля должен иметь общую
касательную с дугой A^Bi (так как окружности /С и /Ci в точке А
касаются друг друга). Кроме того, ясно, что точка С окружности /Ci
должна перейти в некоторую точку Ci, лежащую на продолжении
отрезка AiBi. Так как, кроме точки А^, профиль, очевидно, не будет
иметь других общих точек с дугой А^Вх, то в окрестности точки С\
он должен иметь плавное закругление. Указанное хорошо под-
ТЕ^ерждается расчетом.
Примерный вид получаемого таким спосо-бом профиля,
называемого профилем Жуковского — Чаплыгина, показан на фиг. 7. 1L
Из самого построения этого профиля ясно, что длина его хорды
AiDi определяется величиной /, его толщина — величиной d, его
вогнутость — величиной /. Именно, чем больше I, d и f, тем длиннее
хорда профиля, тем он толще и тем более он изогнут.
Следует отметить, что для профилей Жуковского—Чаплыгина
часто вводят понятие теоретической хорды, под 'которой понимают
длину отрезка Л1С1. |Велкчину теоретической хорды можно точно
вычислить аналитически.
Таким образом, определенный класс профилей может быть
получен, как впервые показал Н. Е. Жуковский, с помощью
преобразования (7;. 7) методом округления дуги круга. Независимо от
Н. Е. Жуковского рассматриваемый класс профилей был получен
С. А. Чаплыгиным в работе «О давлении плоско-параллельного
потока на преграждающие тела».
В этой работе С. А. Чаплыгин показал, что этот профиль
принадлежит целой серии профилей, которые могут быть получены из
параболы путем применения к ее точкам преобразования инверсии,
вследствие чего Чаплыгин назвал их профилями «инверсии
параболы».

§ 6. графический метод построения профилей Жуковского—Чаплыгина 153-
§ 6. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА
В 1912 г. известный русский механик профессор А. П. Котельников указал
простой графический способ построения теоретического профиля Жуковского—
Чаплыгина, позже примененный немецким аэродинамиком Трефтц. Сущность
его сводится к следующему.
Совместим плоскости переменных z и С (фиг. 7. 12). По оси х отложим
отрезок АО—1, по оси у отрезок M0==/ — параметр, характеризующий вогнутость,
профиля. На продолжении гипотенузы построенного таким образом прямоуголь--
Фиг. 7. 12.
Построение профиля Жуковского-
Чаплыгина.
ного треугольника АОМ отложим отрезок MMi=d — параметр, характеризующий"
толщину профиля. Из точки Ми как из центра, опишем окружность радиуса AMi
и назовем ее /Сь Это и будет тот круг Ки из которого с помощью преобразования
Н. Е. Жуковского
С
-Thi)
(7.7)..
получится профиль. Для получения профиля построим вспомогательный круг /Сг
с центром в точке М2, получаемый из круга Ki посредством преобразования
С=—'. Метод построения круга /Сг по кругу Ki изложен в § 3. Соответствующие
точки этих кругов лежат на прямых, являющихся зеркальным отображением друг
друга относительно действительной оси. Следовательно, проводя из начала
координат ряд прямолинейных лучей, наклоненных к действительной оси под углами
cj и —в1, 82 и —32 и т. д., в точках их пересечения с окружностями найдем
соответствующие друг другу точки Ai и Л^1, Л2 и Л'г и т. д. Учитывая, что
преобразование С =z переводит произвольную точку окружности /Ci саму в себя,
заключаем, что преобразование (7.7) сводится к тому, что нужно соединить
соответствующие точки кругов Ki и /Сг прямолинейным отрезком и разделить его'
пополам. Таким образом, будут найдены точки профиля Pi, Р2 и т. д., а
следовательно', будет построен и сам профиль.

154
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Следует отметить, что если
преобразование Н. Е. Жуковского имеет вид
С=;г + "
(7.7')
то, например, точка Pi профиля на фиг. 7. 12
определится сложением векторов OAt и
ОЛ/ (а не их полусуммой, как прежде), и
профиль Жуковского—Чаплыгина будет
иметь вид, изображенный на фиг. 7.13.
При практическом построении
профилей Н. Е. Жуковского — С. А. Чаплыгина
вводят параметры вогнутости / и
толщины d, выраженные не в абсолютных
величинах, а в виде отношения их к радиусу круга инверсии /, т. е. вводят
параметры р и ^ [12]:
/ d
"Фиг. 7.13. Профиль Жуковского-
Чаплыгина t^z-\ .
Z
Р^-
Я=
I
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
ЖУКОВСКОГО — ЧАПЛЫГИНА
В предыдущем параграфе были рассмотрены только
геометрические свойства профиля Н. Е. Жуковского — С. А. Чаплыгина.
Покажем на примере этого простейшего профиля метод подсчета
подъемной силы и момента. В § 10 этот метод будет обобщен ]\ля профилей
произвольной формы.
Очевидно, что если бы был известен комплексный потенциал'гг'(С)
обтекания этого профиля, то на основании теоремы Н. Е. Жуков-
-ского — С. А. Чаплыгина
Г+.'Л-_-—pcbf—VdC (7.8)
^'§
2 J \d^^
задача о вычислении подъемной силы сводилась бы к нахождению
вычета квадрата комплексной скорости. Однако непосредственное
построение комплексного потенциала для профиля Н. Е.
Жуковского— С. А. Чаплыгина сопряжено со значительными трудностями.
Поэтому задачу вычисления подъемной силы профиля Н. Е.
Жуковского— С. А. Чаплыгина будем решать иным методом, основанным
на конформном отображении этого профиля на круглый цилиндр.
Пусть в плоскости Z имеет место циркуляционное обтекание ци-
-линдра радиуса R потоком со скоростью на бесконечности, равной
V^ и направленной параллельно действительной оси (фиг. 7.14).
Комплексный потенциал для этого случая, как известно, имеет вид
W
(-)=-V.(^ + ^) + iln.,
(7.9)
где R — радиус цилиндра, Г—циркуляция скорости по контуру,
-охватывающему цилийдр. Выражение для' циркуляции Г, как
известно, имеет вид [см. формулу (3.75)]

§ 7. Определение подъемной силы профиля Жуковского—Чаплыгина 156
где ср — угол, определяющий положение критических точек на
цилиндре.
Из геометрических соображений ясно (см. фиг. 7. 14), что угол
9, определяющий положение критических точек (второй
критической точке соответствует угол тг—ср), равен углу между хордой.
Фиг. 7. 14. Обтекание круглого цилиндра радиуса R.
проходящей через две критические точки на цилиндре, и радиусом
цилиндра. Величина этого угла характеризует величину циркуляции.
Очевидно, величина угла ср не зависит от направления потока в
бесконечности, В самом деле, представим себе, что потО'К, имеющий
в бесконечности ту же скорость V о,, направлен под углом 3 к
действительной оси. Очевидно, что эта задача просто сводится к
предыдущей, если осуществить поворот осей координат на угол 3-
Покажем теперь, что циркуляция скорости при конформном
отображении не изменяется. Если внутри контура, по которому
вычисляется циркуляция, нет ни источников, ни стоков, то циркуляцию
в плоскости Z можно вычислить по формуле
Г =
#(2
dz.
При переходе от плоскости z к плоскости С с помощью
конформного преобразования i = f{z) будем иметь
dw
dz
dz--
dw
_ ^2
dz
dl

156 . Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном, потоке
Прдставляя эти выражения в формулу для Г, получим
/* dw Г dw
т, е. ц,иркул1яция скорости действительно не изменяется при
конформном отображении.
Поскольку циркуляция скорости по формуле Жуковского связана
с величиной подъемной силы, задачу определения подъемной силы
профиля Жуковското — Чаплыгина можно решить с помощью
отображения внешней области окружности на внешнюю область
профиля. Очевидно, что при конформном отображении линии тока
переходят также в линии тока, а эквипотенциальные линии — в
эквипотенциальные линии. Действительно, если в плоскости z комплексный
потенциал обозначить через w{z), то при конформном отображении
(.=f{z) или z=F(^C,)y где / и F—взаимно обратные функции,
комплексный потенциал в плоскости С будет w[F{^)] = W{^). Но так
как w=^\^\+i^, а 1^=Ф+/*1^,то в соответствующих точках, где w==\V,
будем иметь
Ф == ф и ф = 1^
Отсюда следует, что тем линиям в плоскости z, на которых ф =const,
в плоскости С будут соответствовать линии, на которых ^1^'= const.
Но это и будет значить, что линии тока при конформном
отображении переходят в линии тока. Аналогичный вывод, очевидно,
справедлив и для эквипотенциальных линий. Следовательно,
ортогональные .семейства линий тока и эквипотенциальных линий
плоскости Z перейдут при конформном отображении в ортогональные
семейства линий тока и эквипотенциальных линий области С
профиля, т. е. конформное преобразование, ото-бражающее контур
цилиндра на контур профиля, преобразует поток, обтекающцй цилиндр,
в поток, обтекающий профиль. При этом преобразование должно
быть выбрано так, чтобы скорости в области С не обращались в
бесконечность, иначе задача потеряет физический бмысл. Имея это в
виду, определим зависимость между скоростями обтекания
окружности и профиля крыла. Пусть w{z) —комплексный потенциал
потока, обтекающего цилиндр, а С (-г)—функция, реализующая
конформное отображение внешней области цилиндра на внешнюю
область профиля. Тогда
dw
— dw__dw dz dz ^_^ V
'^'d^~' dz d^'~ ^'^ d^'
dz dz
где V — комплексная скорость в плоскости С профиля, ^
V— комплексная скорость в плоскости z цилиндра.

§ 7. Определение подъемной силы профиля Жуковского—Чаплыгина 157
Отсюда сразу следует, что скорость в плоскости С может стать
бесконечно большой там, где—=0. Функция, реализующая кон-
dz
формное отображение, в рассматриваемом случае имеет вид
откуда
2V
<V = '
i_ii ' (^-1^)
Отсюда ясно, что скорость на профиле (см. фиг. 7. И) может
обратиться в бесконечность в точке z='—/, соответствующей задней
кромке профиля. Это можно устранить [см. формулу (7. 11)], если
скорость в точке на окружности, соответствующей задней кромке
профиля, будет равна нулю. Таким образом, мы приходим к
известной гипотезе Н. Е. Жуковского — С. А. Чаплыгина о сходе потока
с профиля, которая в данном случае может быть сформулирована
следующим образом: отображение должно быть выполнено таким
образом, чтобы критической точке на окружности соответствовала
задняя кромка крыла.
Чтобы оценить важность этой гипотезы, следует иметь в виду,
что решение задачи об обтекании произвольного крылового профиля
содержит некоторый произвол, заключающийся в том, что при
заданном значении скорости на бесконечности распределение скорости
на профиле ]у[Ожет быть различным в зависимости от величины
циркуляции Г.
Гипотеза Жуковского—Чаплыгина дает возможность однозначно
определить величину циркуляции и имеет поэтому в аэродинамике
исключительно большое значение.
Как правильно отмечает проф. Л. Г. Лойцянский [1], «Эти две
глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жуковского
и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь (возникновение
циркуляции— прим. авт.) и постулат конечности скорости на задней
кромке крыла — легли в основу всей современной теории крыла».
В силу доказанного свойства постоянства циркуляции при
конформном отображении и пользуясь теоремой Н. Е. Жуковското для
профиля, можно написать
ИЛИ
где V ^—скорость обтекания профиля крыла. Но в нашем случае,
как э;то следует из соотношения (7. И), 2Коо = '^оо- Следовательно,
V^2T:R9^lun^. (7.12)

158
Глава VIL Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Значение угла ср легко определить из построения самого
профиля. В самом деле, пусть мы имеем окружность Ki радиуса R,
обтекаемую потоком, скорость которого на бесконечности
составляет угол 3 с действительной осью (см. фиг. 7. 15, где плоскости z
и С совмещены).
Теоретич.
Фиг. 7. 15. К определению величины подъемной силы для
профиля Жуковского—Чаплыгина.
Пусть ТОЧКИ А \\ в будут критическими точками; прямая,
соединяющая эти точки, будет направлена параллельно скорости на
бесконечности. Как видно из фиг. 7. 15,
9 = а+а (а)
или
9 = pi+7. ^ (б)
Здесь а — угол атаки, отсчитываемый от хорды профиля, а р — угол
атаки, отсчитываемый от теоретической хорды. Углы у и S являются
углами построения и для различных профилей
Жуковского—Чаплыгина имеют различное значение.
Таким образом, подъемная сила может быть представлена в виде
r=2Tr/?pt;^sin(S + a). (7.13)
Из (7. 13) следует, что при а=—Ь сила Р=0. Поэтому угол а=—Ь
называют углом атаки нулевой подъемной силы.
Вводя безразмерный коэффициент подъемной силы Су^ можем
написать
Y=c^S^~,
(7.14)
где S=& • 1 {Ь —длина хорды).

§ 7. Определение подъемной силы профиля Жуковдкого—Чаплыгина 159
Сравнивая (7.13) и (7.14), находим
Аналогично можно получить
(7 =47u-^sin(8 + a). (7Л5>
^^_4^Asin(T + P). (7.16)
Для тонких профилей с малой вогнутостью можно приближенно
считать, что b^^2R, следовательно,
^^ = 2irsin(8 + a).
Это выражение справедливо и для ряда профилей, не
принадлежащих к серии профилей Жуковского — Чаплыгина.
Принимая для малых углов атаки
sin (а + 8)жа + Q,
найдем
da
т, е .теоретический наклон кривой зависимости коэффициента
подъемной силы от угла атаки Cy{ci) равен 27г.
Из соотношения (7. 16) следует, что при 3=0
Су — Ат^-— sin ^. (7.17)
Подставим это значение Су в выражение для подъемной силы
(7. 14):
Y^2npvl^Rsm^.
Из фиг. 7. 15 определим R и sin 7 .*
/? = //2 + /2 + ^,
sinT= ^
Тогда выражение для подъемной силы У можно привести к виду
d
r^2^pvifl^\+yf^
Положив в этой формуле rf=0, получим
V^2izpvif, (7.18)
т. е. величина подъемной силы дугового профиля при 3 = 0 зависит
только от его стрелы прогиба. Этот результат впервые получен
Чаплыгиным в 1910' г. в работе «О давлении плоско-параллельного
патока на преграждающие тела».

160 Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
В указанной работе С. А. Чаплыгин € исчерпывающей полнотой
исследовал теорию дугообразных профилей. Так, им была
полностью решена задача об обтекании дугообразного профиля с
цилиндрическим насадком на конце, решение которой совершенно
незаконно приписывается немецкому ученому Зоненфельд,
исследовавшему эту задачу мяого позже. В этой же работе С. А. Чаплыгин
.исследовал задачу об обтекании кругового профиля в присутствии
«стоячего» вихря.
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ ДЛЯ ПРОФИЛЯ
ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА
При изучении воздействия потока на обтекаемое им тело важно
эйать не только величину подъемной силы, но и ее момент.
По известной формуле Чаплыгина момент подъемной силы
УИ=-д. ч. Л^^^^^р. (7.19)
Как и при определении подъемной силы, для О'пределения
момента нет необходимости вычислять непосредственно функцию w (С)
а достаточно знать функцию, дающую конфо-рмное отображение
круглого цилиндра на контур профиля.
В самом деле, пусть ^=j{z) —функция, реализующая
конформное отображение контура крыла на окружность. Тогда
dw
dw dw йг dz
d^~ dz'lii~ р {z)
Ж
dw
где комплексная скорость для цилиндра.
dz
Формулу (7.19) можно представить в следующем виде:
2 ^\dz) f (z
M^^A. Ч. -Г-.^\ — ] dAJ^ dz. (7.20)
Таким образом, задача сводится к определению комплексного
потенциала обтекания цилиндра и конформному отображению одной
области на другую.
Комплексный потенциал обтекания цилиндра вдоль действитель-
.ной оси имеет вид
,а комплексная скорость
^=_Wi_«i
dzi "I zi ) 2шг,
.2 I ' o_.-. • . (7.21)

§ 8. Определение момента подъемной Силы профиля Жидовского—Чаплыгина 161
Для получения потока, направленного под некоторым углом
7г—3 к оси X (при этом угол атаки, отсчитываемый от теоретической
хорды, равен Irh|j3), достаточно повернуть координатные оси, т. е.
положить
zi=az, (7.22)
где а — некоторая комплексная постоянная, причем |а| = 1.
Подставляя (7.22) в (7.21), можно привести комплексный потенциал
к виду
^ = Л ^'+^'+^ . (7.23)
dz z^
где Л, В, С — некоторые постоянные. Преобразуем несколько
выражение (7.23). На бесконечности
ши-^'^'
следовательно,
Положение критических точек определяется из условия
dz
т. е.
z^' + Bz + C^O,
Пусть корни этого уравнения будут тип. Тогда по известному
соотношению между коэффициентами квадратного уравнения и его
корнями имеем
В= —(т + п\
С = тп.
Подставляя в (7. 23), получим
откуда
dz "^ 2г* *
dz] "^ [ z '^ z2
2тп (m+n) , m^n^
2?з 2:4
В рассматриваемом случае
■]■
t=/(z)=-i-(z+^),
r(^)=i('--?)•
11 Аэродинамика

162
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Следовательно,
f(z) ^g(z«+/')
/' (z) z^ - I*
Ho
- /2 /2 [ ^ Z^ j\ ^ Z^ Z^ I Z^ Z^
Z4-1*
Z2
I ——
Поэтому
Фиг. 7. 16. к определению момента подъемной силы
для профиля Жуковского—Чаплыгина.
/' (г) ' г гз '
{r)"^=»'-^«h=<"'+'')+
+...
Теперь можно составить подинтегральное выражение формулы
для момента
21'^+2тп+{т+пУ
Z
Так как значение интеграла (7. 20) определяется только
вычетом подинтегральной функции, то вычисление его не представляет
труда:
Ж=~-д. ч. -^Vle'^^^2iti[2t^ + 2mn + {m + nf].
Из фиг. 7. 16 следует, что
т = Re-' (^+-Р); п = Re't'^^^-Р] = — /?^^'(<р-Р),

§ 9. Теоретические профили 163
откуда находим
т + п=^ — Re-'^ (е+'*^—^-~^>) == — Re-'Ш sin 9,
{т + nf^— 4/<2^-2^*^ sin^ ср.
Подставляя найденные значения в выражение для М, получим
или, принимая во внимание, что21^о^ == t;^, найдем выражение для
момента аэродинамических сил относительно центра окружности М^
в следующем виде:
yW=+-^p/2^^sin2p. (7.25)
§ 9. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОФИЛИ
Теоретическими профилями, как мы установили, являются такие
профили, которые могут быть получены из круга путем конформного
отображения С =f{z). Таким образом, контур теоретических
профилей не составляется искусственно
подбором дуг на основе эмпирических
зависимостей и экспериментальных
исследований, как это делается для большинства
практических профилей, а получается
аналитически Зная преобразующую функ- ф^^ ^ ^^ Профиль типа
цию Л =/(2:) для каждого теоретического инверсии эллипса; задняя
профиля, можно строго математически, на кромка закруглена,
основе ранее изложенной теории крыла,
созданной Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным, подсчитать
результирующую силу и момент.
Простейшим теоретическим профилем является подробно
рассмотренный профиль Жуковского —Чаплыгина, принадлежащий,
как известно, к серии профилей типа «инверсии параболы». Как
в 1922 г. показал акад. С. А. Чаплыгин в работе «К общей теории
крыла моноплана», с помощью метода инверсии можно построить
другую серию теоретических профилей, являющихся обобщением
предыдущих и называемых профилями типа «инверсии эллипса».
Особенностью этих профилей, один из которых изображен на
фиг. 7. 17, является наличие округленной задней кромки профиля.
В этом случае гипотеза Жуковского — Чаплыгина о сходе потока
с задней острой кромки заменяется гипотезой Чаплыгина о том, что
сбегание потока происходит с точки задней кромки, обладающей
максимальной кривизной.
Однако большого практического применения эти профили не
получили, так же как и профили Жуковского — Чаплыгина.
Последние обладали двумя существенными недостатками:
1. Равенство нулю угла t при задней кромке профиля лишало
его необходимой прочности.
11*

164 Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
2. При малой толщине профиля средняя линия профиля
оказывалась весьма близкой к окружности. Это лишало профиль
надлежащей устойчивости.
Н. Е. Жуковский в 1911 г. i разработал теорию профилей,
составленных из двух пересекающихся дуг окружностей, названных им
профилями типа Антуанет, а также теорию обобщенных профилей
Типа Антуанет с закругленным носком и острой задней кромкой с
углом т, отличным от нуля. Крылья с обобщенными профилями типа
Антуанет, которые следует именовать «обобщенными профилями
Н. Е. Жуковского», широко применялись на самолетах и сыграли
большую роль в развитии авиации. В иностранной литературе
совершенно незаконно эти профили носят название профилей «Кармана—
Трефтца» по имени ученых [13], которые только в 1918 г.
разработали такие профили, изученные проф. Н. Е. Жуковским за 7 лет
до них.
Обобщенный профиль Н. Е. Жуковского строится на основании
следующих соображений.
Преобразование Н. Е. Жуко1вского (7. 7''),с помощью которого
получается профиль типа инверсии параболы, как нетрудно
проверить, может быть переписано в следующем виде:
^^l^^lSzJy, (7.26)
Наличие показателя степени п=2 в правой части равенства
(7. 26) приводит к удвоению угла в точке z=—/, где конформность
нарушается, в силу чего критической точке на цилиндре с внешним
углом 7г будет соответствовать на профиле задняя точка схода
потока с внешним углом 2^, т. е. внутренний угол х оказывается
равным нулю.
Н. Е. Жуковский указал, что для получения профиля с конечным
углом т у задней кромки конформное отображение следует
осуществлять с помощью следующей отображающей функции:
Lz^=.fllJLV ^ (7.27)
где /1 = 2-
X
в этом случае «скелет» нового профиля будет состоять из двух
пересекающихся дуг окружностей с углами т на концах, отличными
от нуля (фиг. 7. 18). Этот профиль и есть первоначально
разобранный Жуковским профиль Антуанет. На этом «скелете» можно
наращивать профиль методом, аналогичным предыдущему.
Обобщенный профиль Жуковского с округленным носком и острой задней
кромкой с углом X Ф О изображен на фиг. 7. 18.
В этом случае, как нетрудно проверить, внешнему углу ir на
круге в критической точке будет соответствовать внешний угол 27г—х
1 Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания,
том XV, 1911.

§ 9. Теоретические профили
165
на задней острой кромке профиля, т. е. дуги профиля будут
пересекаться у задней кромки под углом т.
Таким образом, обобщенный профиль Н. Е. Жуковского зависит
от трех параметров — параметров толщины, вогнутости и от угла т.
Фиг. 7. 18. Обобщенный профиль Н. Е. Жуковского.
Аэродинамические характеристики этих профилей несколько
отличаются от таковых для профилей типа Жуковского — Чаплыгина
благодаря наличию угла х ^ 0.
Так, можно показать, что тангенс угла наклона кривой c^{(i)
будет несколько больше 27г (у предыдущих профилей он был равен
27г) и будет выражаться следующим образом:
^_2irfl + —). (7.28)
da \ ^ 2ml ^ ^
Изложение теории этих
профилей, подсчет результирующей
силы и момента данО' в
монографии проф. В. В. Голубева
«Теория крыла аэроплана в
плоскопараллельном потоке» [14].
Иная серия профилей может
быть получена путем
конформного отображения следующего
вида:
+ А+А +
Z 2*
.+
f^n
(7.29)
Фиг. 7. 19. Профиль Некрасова.
Профили, полученные с помощью преобразования (7.29), были
впервые предложены академиком А. И. Некрасовым (фиг. 7. 19).
Не останавливаясь на теории этих профилей, укажем, что
практическое их применение было ограничено' недостаточной их
устойчивостью.

166 Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
' С. А. Чаплыгин на протяжении ряда лет занимался глубоким
тнсследованием теории профилей. Так, в работе С. А. Чаплыгина
совместна с проф. Н. С. Аржаниковым [16] исследован профиль,
у которого основной линией является ломаная, состоящая из двух
отрезков прямых. В работе С. А. Чаплыгина, выполненной в 1912 г.
и опубликованной в 1935 г. [17], исследован профиль, средняя линия
которого состояла из двух дуг окружностей разного радиуса, ка-
ч:аюш„ихся в конечных точках.
Крупным вкладом в теорию профилей являются созданные
^С. А. Чаплыгиным в 1942 г. профили «САЧ», названные так по
инициалам этого великого ученого.
Профили САЧ были получены Чаплыгиным с помощью
конформного преобразования внешности профиля на внешность
единичного круга. Преобразующая функция, указанная Чаплыгиным,
содержала три произвольных параметра. Изменением последних
достигались нужные значения вогнутости профиля, его толщины
и угла на задней кромке.
Подч^кивая важность метода теоретических профилей,
Чаплыгин указывал, что «следует отметить то преимущество теоретических
профилей, перед обычным, что мы заранее можем знать
распределение давления исследуемого крыла, а, следовательно, и
предугадать его основные характеристики. При этом расчет распределения
давления методом конформных отобрал<ений дает надежные
результаты».
§ 10. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ И МОМЕНТА ДЛЯ ПРОФИЛЯ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
в настоящем параграфе будет рассмотрен метод расчета силы
и момента для профиля крыла произвольной формы.
Допустим, что в плоскости комплексного переменного С задан
комплексный потенциал w{^) плоского потока, обтекающего
произвольный профиль. В таком случае, как известно, результирующая
сила и момент выражаются следующими формулами:
^+'--^- -fm?'-
с
где С — произвольный замкнутый контур, охватывающий профиль.
Разложим комплексную скорость — в ряд Лорана:
f = ^+f + f+ f+..., (7.30)
где коэффициенты An — комплексные числа. Значения
коэффициентов этого разложения зависят от характера обтекания профиля и
его геометрической формы.

§ 10. Вычисление силы и момента для профиля произвольной формы 167
Очевидно, что
[dw
dl /с=оо
откуда
^о = ^со = Кк-^'-, (7.31)
т. е. коэффициент А^ представляет значение комплексной
скорости \v^\e~^^^ на бесконечности.
Применим для определения коэффициента А\ теорему о вычете
комплексной скорости, которая в силу отсутствия в потоке
источников и стоков может быть написана в виде
с с
откуда
Ay^f.- (7.32)
Следовательно, коэффициент Ai целиком определяется величиной
циркуляции Г. Покажем, что сила и момент при обтекании
произвольного профиля зависят только от первых трех коэффициентов Ло,
Лх и ^2 разложения комплексной скорости в ряд. В самом деле,
dw ^
возводя •— в квадрат, будем иметь
^^\2 2AqAx Л^4-2ЛоЛ2
(dw \-
1^/ ""
С
с
или
Y + iX^ —2^р/ЛоЛ1. (7.33)
Отсюда легко получить теорему Жуковского для подъемной силы.
Действительно, воспользовавшись формулами (7.31) п (7.32),
будем иметь
В частности, при 6^=7:
Таким образом, теорема Жуковского о подъемной силе доказана
нами для произвольного профиля в несжимаемой жидкости.

168 Глава VII, Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Аналогично
с
или
Ж=-~т1р д. ч. [^(^? + 2ЛоЛ2)].
Используя выражения (7.31) и (7.32) для коэффициентов Ао
и Ль окончательно получим __
Л1= -27гр д. ч. (fv^A^). (7.34)
Таким образом, для вычисления силы и момента не нужно знать
полностью обтекания крыла, т. е. все коэффициенты разложения
(7.30), а достаточно располагать только первыми тремя
коэффициентами Ло, Ах и Лг.
Первый коэффициент Ло, как -видим, определяется заданием
величины й*направления скорости потока, обтекающего крыло, ибо
Два других коэффициента Ai и Лг можно определить с помощью
конформного отображения внешности рассматриваемого профиля
на внешность круглого цилиндра радиуса R,
Пусть функция
осуществляет указанное отображение и притом такое, что
бесконечно удаленная точка плоскости С переходит в бесконечно'
удаленную точку плоскости цилиндра z, а направления скорости на
бесконечности в плоскости Сив плоскости z сохраняются, т. е.
^00 = °^оо. Указанным соответствием конформное отображение
определяется однозначно.
Тогда коэффициент Л1, входящий в формулу (7. 33) для
подъемной силы, легко определяется, ибо величина циркуляции Г при
конформном отображении не изменяется, а для цилиндра величину Г
просто определить, соблюдая условие о безотрывном обтекании
профиля.
Чтобы определить недостающий коэффициент Лг, рассмотрим
подробнее функцию С ==/(г). Так как комплексная скорость —
должна быть аналитической функцией всюду в области течения и
вместе с тем
dw
dw^^dw dz __ dz .
dz

§ 10. Вычисление силы и момента для профиля произвольной формы 169
то разложение С {z) в ряд Лорана вне цилиндра должно иметь вид
и, следовательно.
С(2:)==а^г + ао + -^ + ^+... (7.36)
-^ = а^~-^~?^2-... (7.37>
при удалении в бесконечность формула (7.35) принимает вид>
ldw\
(dw\ __\dz /г=оэ
Но
\ dz jz^oo
/A'
[dz,
^] =a
Следовательно,
откуда
и так как по условию
ТО
а =^1.
Итак, коэффициент а^ есть действительное положительное число ^
и, следовательно, из равенства
V^co=«^ (7.38).
получаем, что и
V^=a^'V^- (7.39)
Напишем комплексный потенциал для круглого цилиндра *,
полагая, как и выше, V^ = \yj\e-^''^\
w(z) = V^z+V^^ + ^\nz.
Z 2Ш
* Если поток будет направлен вдоль оси Ху т. е. о.^=0, то Voo=V^oo и мы
будем иметь известное выражение для комплексного потенциала цилиндра»
(гл. VI, § 7).

170 Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Используя (7.38) и (7.39), будем иметь.
\ Z j 2Ш
■откуда
dw - /?2 , г 1
az z^ 2ш z
Подставляя выражения для — и — в формулу (7.35), получим
dz dz
/?« Г 1
dw °° °° 2* 2ш Z
или
rfC 271:ш«, Z \Д^ / Z^
Возвращаясь к формуле (7. 30), заметим, что
2ni] dC 2TziJ dC dz
С с
Подставляя сюда — ,Си — соответственно по формулам
(7.40), (7.36) и (7.37), собирая под интегралом коэффициенты
при — и используя теорему о вычете, получим
A, = f. + a,a^v^-alR^v^. (7.41)
Определив А^у формулу (7.34) для момента можно привести к
виду __
Ж=-27гр д. ч. (~^^ + ia,a;^l-ialR^vJj
или. замечая, что а^, R и i;^^^ ^I'l;^!^—действительные числа
М= ^2пр д. ч. (^^ +ia^a^'^i ). (7.42)
Таким образом, момент М для произвольного профиля зависит
только от трех первых коэффициентов а^, «о и Ui разложения в ряд
функции С=/(г), осуществляющей конформное отображение
профиля на круг радиуса R.
Из изложенного следует, что установление конформного
соответствия между исследуемым профилем крыла и кругом радиуса R
позволяет полностью решить задачу об обтекании профиля плоским
оотоком несжимаемой жидкости.

§ //. Теория тонкого профиля " 171
Действительно, если конформное соответствие между точками
круга и точками профиля известно, т. е. известна либо функция
С—/(;г), либо ее разложение в ряд Лорана, то распределение
скорости V по профилю крыла определяется по формуле (7.35),
которую можно переписать в виде
1.1='^^'
dC
dz
Подъемная сила находится по формуле Жуковского Y—^v^Ty
в которой величина Г является известной величиной, ибо Г для
профиля и круга одна и та же (ее величина для круга определяется
из условия безотрывного обтекания профиля).
Наконец, момент М определяется по формуле (7.42).
С. А. Чаплыгину принадлежит замечательное открытие,
заключающееся в том, что если провести линии действия подъемной силы
лля разных углов атаки, то огибающая семейства линий подъемных
сил буд^т параболой, названной им параболой устойчивости или
параболой метацентров. Фокус этой параболы устойчивости
обладает тем свойством, что момент подъемной силы относительно
фокуса есть величина постоянная, не зависящая от угла атаки.
§ 11. ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
в предыдущих параграфах была рассмотрена задача об
обтекании профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой
жидкости. Решение задачи было сведено к установлению
конформного отображения области, внешней профилю, на область, внешнюю
кругу.
Классические работы Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина по
теоретическим профилям, 'основанные на введении отображающих
функций, дали возможность построить точное решение для
ограниченного класса профилей.
Задача об обтекании профиля произвольной формы решается до
конца, если известно конформное преобразование внешности этого
профиля на внешность круга. Однако отыскание такого ко-нформного
преобразования в явном виде для профиля произвольной формы
представляет большие трудности. Поэтому в настоящее время
существуют приближенные методы решения задачи обтекания
крыловых профилей произвольной формы.
Обтекание профилей произвольной формы строится в основном
или методом приближенного конформного отображения или методом,
основанным на замене профиля крыла системой вихрей, непрерывно
расположенных вдоль его средней линии.
Метод построения потенциального потока вокруг профиля крыла
произвольной формы будет рассмотрен в следующем параграфе.
Метод, основанный на замене профиля системой вихрей,
предполагает, что поперечные размеры профиля малы сравнительно с
длиной хорды профиля, т. е. фактически рассматривается обтекание

172
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
не собственно профиля, а его средней линии. Этот метод дает
возможность определить при известных ограничениях суммарные
аэродинамические характеристики тонкого профиля.
По теории тонкого профиля к настоящему времени опубликован
ряд работ [18, 19]. Изложение и анализ этих работ выходит за рамки
настоящей книги. Мы ограничимся в настоящем параграфе
рассмотрением простейшей задачи теории тонкого профиля, основанной
на замене профиля непрерывно распределенными по его средней
линии вихрями.
Прежде всего введем понятие о погонной циркуляции у в данной
точке произвольной кривой, вдоль которой непрерывно
распределены вихри (фиг. 7.20), Выделим на этой кривой элемент ^s и
Фиг. 7.20. К определению
погонной циркуляции.
обозначим через ДГ циркуляцию скорости от вихрей, расположенных
на элементе ^s,
Разделим величину ЛГ на ^s. Отношение -— представляет, оче-
ВИДНО, среднюю погонную циркуляцию на интервале ^s. Стягивая
интервал ^s в точку и переходя к пределу, получим величину
погонной циркуляции в точке
As->o As ds
Введя понятие погонной циркуляции у {х) .в данной точке х,
обратимся к рассмотрению теории тонкого профиля.
Допустим, что плоский установившийся поток идеальной
несжимаемой жидкости, движущийся на бесконечности с заданной
скоростью v^, обтекает тонкий профиль (фиг. 7.21), длину хорды
которого обозначим через b(OA = b),
Поместим начало координат в передней кромке профиля, ось х
направим вдоль хорды, ось у — перпендикулярно ей вверх.
Введем следующие упрощения:
1) Предполагая профиль достаточно тонким, будем считать, что
он мало отличается от своей средней линии О А.
2) Предполагая профиль слабо изогнутым, будем считать, что
его средняя линия ОА незначительно отличается от прямой ОА,
являющейся хордой профиля.

§11. Теория тонкого профиля
173
3) Будем предполагать, что обтекание этого тонкого слабо
изогнутого профиля происходит под малым углом атаки.
Заменим профиль непрерывно расположенными по его средней
линии ОА вихрями, напряжение которых на элементе dx обозначим
через Y{x)dx.
Функцию y(x) следует подобрать из условия, чтобы поток
обтекал профиль без срыва, т. е. чтобы его средняя линия являлась
линией тока,
В такой постановке оказывается возможным установить связь
между формой средней линии профиля и распределением скоростей
уц^
Ус
C2ofr
^'У/
Фиг. 7.21. К теории тонкого профиля (вихревой метод).
на ней, а также определить величину циркуляции скорости
д
r = J '^{x)dx, подъемной силы и момента. Имея в виду упрощение
2), будем считать, что вихри расположены вдоль хорды профиля,
а не на его средней линии. Тогда скорость, индуцированная вихрями
в некоторой точке Xi хорды (см. фиг. 7. 21), определится следующим
образом:
о
Эту индуцированную скорость Vi{xt) на хорде профиля можно
принять равной индуцированной скорости на поверхности профиля,
имея в виду упрощения 1) и 2).
Наличие этой скорости изменит угол атаки а хорды профиля
в точке Xi на величину Ла=
(полагая vi малым по сравнению
с у^ ), и местный угол атаки будет равен (см. фиг. 7.21)
Vi

174 Глава VIL Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Для того чтобы профиль обтекался безотрывно, необходимо,
чтобы^ в. каждой его точке местная скорость была направлена по-
касательной к поверхности профиля, т. е. должно иметь место
равенство
« + —--^, . (7.44)
v^ dx
где у=у{х)^—заданное уравнение средней линии профиля и,
следовательно, -^— известная функция.
dx
Используя выражение (7.43) для Vi, равенство (7.44) можно
переписать в следующем виде:
a + _l_fjrWi£.^^3^. (7.45)
О
уравнение (7.45) представляет собою интегральное уравнение
относительно неизвестной функции т(^)-
Введем вместо х новую независимую переменную б,
определяемую равенством
x== — (1 —cos 6).
Очевидно, когда х изменяется в пределах 0<х<6, переменная О'
изменяется в лределах 0<б<7г.
Будем искать y(^) в виде ряда Фурье:
100 "1
л«1 I
коэффициенты которого Ло, ^i, Л2,... должны бшть подобраны так,
чтобы удовлетворялось условие безотрывности обтекания (7.44)
или (7.45).
Для это'го прежде всего ^приведем эти формулы к переменному 0:
2к \ X'-Xi 2% \ cos 01 —cos 8 ^ ^
0 0
Найдем теперь выражение 7(6)sin6:
t(6)sme==2t;^
««1

§ 11. Теория тонкого профиля
175-
= 2v^\A^{\+cosB)+ ^ Л„8шя0 8ше
«=1
= 2^„ А„(1 +COS 6) + ^Л„^°^<"-^>^-^°^^"+')'
л=1
Подставляя полученное выражение в формулу (7.430, будем^
иметь
'г: те
71 j COS Gj—COS 8 Tu I cos 01
0 0
7C 00
cos 9
, J^ Г'^ Д cos (я-1)6-
27i: \ ^ " cos 8i -
cos (л 4-1) 9
d/0.
cos t
(7.47)1
Так как (см. [3])
p ^9
I cos 01 —cos9
= 0.
p cos
] cos Oj
9^9
-cos 9
p coj
I cos 9i
cos (я9) ,o sin/201
>'— d0 = — ir ^
-cos I
TO, подставляя значения этих интегралов в формулу (7. 47) и
преобразовывая, получим
^/(Gi)--^oo[-
^0+2 A^cosnbj^
^0 1 jU '^п'
(7.48)'
Теперь условие безотрывности обтекания (7. 44) можно переписать
в следующем виде:
00
Коэффициенты An этого уравнения определяются методом,
обычным для рядов Фурье. Умножая обе части уравнения (7.49) по-

176
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
очередно на 1, cos 6, cos 2 6, cos 3 6,... и интегрируя в пределах
от О до 7г, получаем *
TZ J dx
о
"^ п J dx
(7. 50)
где у{х) выражено через 6 с помощью подстановки х=—]{1—icos6).
Подставляя полученные значения коэффициентов в выражение
(7. 48) для Vi,, получим значение индуцироваиной скорости в каждой
точке средней линии профиля. Тем самым решена задача об
отыскании течения около средней линии профиля, эквивалентной в
данной постановке самому профилю.
Теперь легко найти подъемную силу и момент, действующие на
профиль. По теореме Жуковского
и, следовательно.
dV=р^ (х) dx v^ = pv^ dr
y-=^P'V^]'i{^)dx==9V^T.
Переходя к переменному б, получаем
y^9'Vib
I
Ло (1+ COS 6) + V А„ sin пб sin 6
db'
«откуда для коэффициента подъемной силы Су будем иметь
следующее выражение:
Су = 2г^{^А,+^У (7.51)
Аналогично вычисляется момент относительно передней кромки
профиля:
b

§11. Теория тонкого профиля
177
Переходя к переменной б, будем иметь
&2
^{x)xdx^v^
v^b^
Aq (1 —cos^ 6) + (1 — cos e)V Л„ sin nd sin e
00
V A„ sin «6 /sine sin 20]
cf6 =
1 — cos 26
n=l
do.
откуда
2
J^
„J-^i^2^de +
+
D-'ft'
= —p.
TS 00
r2^«sin^9(,
■ + -A-
sin6-
sin 26) </8
= -—P^^ft^
(Л + ^.-^).
Отсюда получим выражение для коэффициента момента:
с„^-^(Ло + А-^). (7.52)
Как видим, значение подъемной силы и момента определяются
лишь первыми тремя коэффициентами разложения Ло, At и Лг;
остальные коэффициенты не влияют на суммарные
аэродинамические характеристики (подъемную силу и момент), а влияют только
на распределение местных скоростей по профилю.
Подставляя в выражения (7.51) и (7.52) коэффициенты An
из уравнений (7.50), значения аэродинамических коэффициентов
профиля можно написать в следующем
видеть = 2т: (а+8Д
где
V-o
о
о
(7.53)
Угол а=—8о называется углом атаки нулевой подъемной силы.
12 Аэродинамика

178
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
Таким образом, определение аэродинамических коэффициентов
для тонкого профиля сведено к вычислению двух простых
интегралов: 8о и ро, что не представляет труда, так как форма профиля'
у=у{х) известна.
В заключение настоящего параграфа следует отметить, что
рассмотренная здесь теория тонкого профиля находит наибольшее
применение лишь в задачах, требуюш,их определения суммарных
аэродинамических характеристик профиля, так как получаемое с ее
помощью распределение местных скоростей (давлений) по профилю
значительно отличается от действительного.
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОТОКА ВОКРУГ ПРОФИЛЯ КРЫЛА
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ (МЕТОД С. Г. НУЖИНА)
Наиболее распространенным методом построения потока вокруг профиля
произвольной формы ранее являлся метод Теодорсена [20], заключавшийся в
том, что подбиралось конформное преобразование, отображающее профиль в
кривую, близкую к кругу, а кривая, близкая к кругу, преобразовывалась в круг.
Фиг. 7. 22. К построению потенциального потока вокруг
профиля крыла произвольной формы.
В появившейся в 1946 г. работе Я. М. Серебрийского [21] давался способ,
который представлял собой усовершенствование метода Теодорсена. В 1947 г.
были опубликованы работы С. Г. Нужина [22] и Л. А. Симонова [23], в которых
были предложены оригинальные методы построения потока вокруг произвольного
профиля путем прямого конформного отображения внешности круга на внеш«
ность профиля.
В настоящем параграфе рассмотрены основные черты метода проф. С. Г.
Нужина.
Метод основан на отображении внешности круга радиуса а на внешность
профиля с хордой 6 = 1 при следующих условиях (фиг. 7.22):
^ (оо)= оо,
dz
= 1.
(а)
При этом преобразовании верхней поверхности профиля BiMiAi соответствует
дуга ВМЛ круга, а нижней поверхности — дуга BNA
Передней и задней кромкам профиля будут соответствовать точки
окружности ае'^^ и ae'^''+^К
Преобразующую функцию С (2) С. Г. Нужин представляет в виде ряда
С=Со+г+2^". (7-54)

§ 12. Построение потока вокруг профиля крыла произвольной формы 179*
где c„=(i;2-b/v„--коэффициенты, подлежащие определению, зависящие от
формы профиля. Ряд (7. 54), очевидно, удовлетворяет условиям (а). На круге
z—ae^^ и ряд (7.54) принимает вид
-ш9
Разделяя в (7. 55) действительную и мнимую части, получим i
^ (6) = {j^0+^cos e+^Cp-nCosnG+v^sinnG),
Yj (0)=vq-|-^ sin 6 +2 {^n cos n6 — jx^ sin n6)
(7.55)
(7.56)
Уравнения (7.56) представляют уравнения профиля в параметрической
форме, выраженные через параметр 6.
Разобьем координаты ^(6) и y](6) на полусуммы и полуразности их зна
чений на круге в точках б и 27г — 6:
ei(0)=
g(e)4-i(27t^e)
=(jLQ-|-2a cos 6 — ^Вп cos п8.
где положено
тогда
e.(в)=-ii^Ьi|ILzJ)..2^„з>„«9.
7] (6) - Y) (27Г — б)
>4^ = v,j. 5^= - }х,„ i?i=fl: — [Aj;
(7.57)
^ (G) = ^i (Q) + I2 (6) = [ло4-2а cos б - 2 Вп cos /гб + 2 Л^ sin пб/
YJ (б)-тг]1 (е) + '^2 (0)=Л+1; ^п cos П64-2 ^^ sin яб. J
Коэффициенты Фурье Л^ и В^ определяются обычными формулами:
(7.58)
(7.59)
г: TG
Ло= ■— [fix (б) й?б, Л^ ==— \ 7)1 (б) cos пЫЬ,
7^ J ^ J
^
?^ = \ YJ2(6) 81ПЛ6^6.
О
(7. 60)
С учетом выражений (7. 58) преобразующая функция (7. 54) примет вид
.2 ^ (_5^+MJa-
С
= ^^о+гЛ+^+-^ "^2'
(7.61)
Уравнения профиля при этом будут выражаться формулами (7.59).
1 Суммирование всюду проводится по /г от 1 дооо.
12*

180
Глава VII. Теория крыла в плоско-параллельном потоке
О 5
10 15 20 25 30 35 АО 45 50 55 50 65 70 75 80 85 90 95Х%
о-^ Расчеп7ид/е то^ни
• - ф ЗнсперименталЬнЬге точна
а)
-10
0.8
0.6
ОА
0,2
Р О
0.2
04
0,6
0,8
1*.
Li
К
\
\
N
л
/
>
1 .п
>н
.^^
-^
Г-о
Ч:
»—ч>
.^
м
(
охняя подерхностЬ
А \х
А.
Иатняя поверхность'
Р-^
к .
1
СЦ'^
п
^Lf ^
■'- \
о S 70 15 20 25 30 35 U0 45 50 55 60 65 70 75 вО 85 90 S5Х%
о - f^ PacuemNbie то^/на
• - ^ ЭисперименталЬнЬ1е точна
б)
Фиг. 7. 23. Сравнение результатов расчета по методу С. Г. Нужина с
результатами эксперимента.
Дальнейшее решение задачи по методу С. Г. Нужина производят
следующим образом. Неизвестные коэффициенты An и В^ определяют методом
последовательных приближений. За нулевое приближение принимают систему чисел
|(O)_2_cos0,
,(«)==о, 4^)=4')=4')=о. а=-^,
(б)
что соответствует конформному отображению на круг плоской пластинки.
Далее, задаваясь последовательными значениями 8 (от О до 2тс) и
определяя по (б) соответствующие значения ^^^\ находят по чертежу профиля крыла
величины ординат г^^^Щ, а также yji^^ (6) и ^^2^{Щ, проведенных через выбран-

§ 12. Построение потока вокруг профиля крыла произвольной формы 181
ные абсциссы. Используя формулы (7. 60), определяют в первом приближении
новые значения коэффициентов Л^^), Л^Ч В^^^. Найденные значения
коэффициентов позволяют найти по первым двум формулам (7. 57) новые значения
функций ^^^^^ (0)Д^^^ (б), что приведет к уточнению значений ординат, а
следовательно, и коэффициентов Aq, А^, В^ и т. д. Сходимость этого процесса
последовательных приближений строго доказана С. Г. Нужиным.
В последующей работе [24] С. Г. Нужин развивает свой метод и
показывает, что путем специального выбора осей координат, связанных с кругом,
можно соответствие между точками окружности и точками профиля сделать
более близким к закону i=—-cos6 и тем самым сократить число
последовательных приближений при вычислении коэффициентов An* Вп (уменьшить его
до двух).
Таким образом, метод Нужина позволяет путем последовательных
приближений найти конформное соответствие между точками заданного профиля и
точками окружности, т. е. найти функцию t,=f{z) (в виде ряда). Если эта функция
найдена, то дальнейший расчет распределения скоростей по профилю не
представляет труда. Действительно, комплексная скорость
dw
dw dz
~di^ dX^ '
dz
dw d^
и так как — для круга известно, а — найдена, то отсюда легко получить
dz dz
формулы для скорости V на профиле [25]. Расчеты по методу Нужина дают
хорошее совпадение с экспериментом. В качестве примера на^фиг. 7.23 приведены
эпюры распределения давления (коэффициента давления р) по хорде профиля,
полученные методом Нужина и экспериментально. Как видим, совпадение теории
и эксперимента вполне удовлетворительное.

Глава VIII
ТЕОРИЯ СТРУЙНОГО И ВИХРЕВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Как выше было установлено, в идеальной жидкости можно
получить результирующую силу давления потока на тело (подъемную
силу), если ввести циркуляцию скорости. Однако циркуляционная
схема обтекания, при которой тело обтекалось плавно без
образования разрывов (являлось линией тока), не дает силы лобового
сопротивления, столь характерной для реального обтекания потоком
какого-либо тела.
Тем не менее, оставаясь в рамках идеальной жидкости, можно
построить такую модель обтекания потоком тела, которая будет
давать силу лобового сопротивления. При этом источником
сопротивления будут являться разрывы, образующиеся в жидкости за
обтекаемым телом, или образующаяся за ним система вихрей.
Рассмотрим основы теории обтекания тела с образованием
разрывов— так называемую струйную модель обтекания.
§ 1. МОДЕЛЬ СТРУЙНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА.
ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ С ОБРАЗОВАНИЕМ СТРУЙ
Модель струйного обтекания тела потоком идеальной жидкости
основывается на предположении, что поток не непрерывно обтекает
всю поверхность находящегося в нем тела, а срывается с некоторой
его части так, что за телом об-
®
разуется так называемая за-
f^Q ^ ^^ 3 стойная область (фиг. 8. 1), где
"" скорость относительно тела
^ ^ 1^^ t; = О и, следовательно, давление
^^0 у^А Л постоянно и равно давлению на
-^ ^^^ бесконечности р^. При этом об-
^" ^^ ласть, занятая жидкостью, раз-
Ф^^ /^^^■"■""''■~-—---^-__ деляется на две части — об-
^^'' 3' ласть течения / и застойную об-
Фиг. 8.1. Схема струйного обтекания. ласть //. Сорвавшийся с тела
поток предполагается
уходящим в бесконечность в виде струи, граница которой АВ или А'В'
является границей застойной области.
Так как в застойной области II давление постоянно, то оно
должно быть постоянно и на границе струи, а отсюда следует, что

§ 1. Модель струйного обтекания тела 183
и величина скорости на границе струи также постоянна и равна,
очевидно, v^.
Как видим, при струйной модели обтекания поле скоростей (но
не поле давлений) терпит разрыв на границе струи (на границе АВ
v = v ^, а в области // v = 0). Наличие такого разрыва, как будет
показано ниже, приводит к образованию силы лобового
сопротивления.
Рассмотрим некоторые особенности струйного обтекания,
предполагая течение плоским.
В области течения / поле скоростей является непрерывным и
потенциальным, поэтому его можно характеризовать, вообще говоря,
комплексным потенциалом
Так как комплексный потенциал определяется с точностью до
аддитивной постоянной a=ai+;ra2, то постоянные ai и «2 можно
считать выбранными так, что потенциал скорости ср обращается в
нуль в точке разветвления С потока и что вдоль линии DCAB или
DCA'B' ^ =0. Вдоль линии тока <^ =0 поток не имеет, кроме точки С,
других критических точек, причем при следовании вдоль линии DC
скорость V изменяется от у = у ^о до t; = 0, а при следовании вдоль
линии САБ или СА^В' изменяется от v=^Q до v^^v^ . Поэтому на
линии тока tp=0, где выполняется соотношение
ds
{s — длина дуги линии ф=0), потенциал ср должен изменяться
монотонно и притом от —^оо до о (вдоль DC) и от О до I+IOO (вдоль
САБ или СА'Б') 1.
Рассмотрим изменение функции тока ^} при следовании вдоль
линии s'5=const. Очевидно,
ск^= — V dx + 'v^dy = v{ — s\nbdx'\- cos в dy) =
= v
[cos /e + — j dx + sin [e + -^\ dy
==vday
где 6 — угол, образуемый вектором скорости с осью х;
da —элемент эквипотенциальной линии, причем за
положительное направление do принимается направление, получаемое при
положительном повороте (против часовой стрелки) вектора v на
тс
угол — .
Отсюда следует, что при движении, например, вдоль линии ср=0
(проходящей через точку С) в положительном направлении (снизу
вверх) функция тока должна изменяться монотонно от —оо до
1 Это следует из того, что, идя вдоль линии тока ф =0 в положительном
направлении (слева направо), имеем у>0 и ds^O и, следовательно, d^==vds^O^
т. е. потенциал ср монотонно возрастает.

184 Глава VIII. Теория струйного и вихревого сопротивления
|+оо, проходя через О в точке С, т. е. линия тока ^ =0i разделяет
область течения / на две области: F, внутри которой ф>0, и Г\
где <5)<0.
Указанный характер изменения функций ^ и ^р приводит к
следующему важному выводу. При струйном обтекании комплексный
потенциал w является вполне определенной функцией координат
точек плоскости течения, т. е. каждой точке плоскости течения
z=X\+iy соответствует определенная точка плоскости w=^\+li^.
Ниже будет показано, что если плоскость комплексного потенциала
W разрезать вдоль действительной оси, то связь между областями
Z и W будет взаимно однозначной.
Для того чтобы установить аналитическую связь между
плоскостями Z и W, введем переменное С:
С = | + г->1 = ^.|^. (8.1)
dw
Так как
то
dw
— ==ve'
dz
iff.—J_ Л-i
dw
C = S + i7] = ^e^'9, (8.2)
V
где 6 — угол, образуемый вектором скорости с осью х;
V — величина скорости.
В ряде случаев легко установить связь между плоскостями С и
W, т. е. найти функцию
'C=f{w), (8.3)
Если эта связь найдена, т. е. функция ^=f(w) определена, то
задача определения о^бтекавия в плоскости z сводится к
квадратурам. В самом деле, если
^-£=^(^)
известная функция, то
z =
— I f(w) dw.
^00 J
Таким образом, основная задача заключается в установлении
зависимости (8. 3), т. е. в построении областей w я ^ и определении
связи между ними i.
В частном случае, когда контур обтекаемого в плоскости z тела
составлен из прямолинейных отрезков, границами жидкости
будут твердые прямолинейные стенки, свободные границы жидкости
1 Такой метод решения струйных задач был предложен Кирхгофом в 1896 г.

§ 1. Мод\ель струйного обтекания тела
185=
И поверхности разрыва, вдоль которых скорость по величине
постоянна. Исходя из этого, легко построить область С. Ее границами,,
очевидно, будут дуги окружностей, соответствующие свободным
границам и поверхностям разрыва, где y=const, а также
прямолинейные отрезки, соответствующие твердым (прямолинейным)
стенкам, где 6 = const [см. формулу (8.2)].
)В! качестве простейшего примера использования указанного
метода рассмотрим задачу об обтекании плоским неограниченным
потоком несжимаемой жидкости пластинки АА^ шириной h (фиг. 8. 2)^^
f=/7^ Щ^
Фиг. 8.2. Схема струйного обтекания плоской пластинки.
установленной нормально к потоку. При струйной модели обтекания
линия тока ^[^=(0 разветвляется в критической точке С, идет вдоль,
сторон пластинки СА и СА^ и в точках А и А^ срывается с пластинки,
образуя так называемые поверхности разрыва или струи АВ и А'В\
Остальные линии тока располагаются, как показано на фиг. 8. 2.
Эквипотенциальные линии расположатся, очевидно, нормально к
линиям тока. Ту эквипотенциальную линию, которая проходит через,
точку С, будем считать нулевой, т. е. считать, что на ней 9=0, а на
линиях cp=const, проходящих через точки А и А\ положим ? = 9о»
где ?о>0.
Установив характер течения в области z, перейдем к
построению области ^ = l + iri = -^ е^^. Так как в плоскости z скорость.
V
нигде не обращается в бесконечность, то, следовательно, ^ФО.
Это значит, что область С не содержит начала координат. В
точках D{D'),B и В' (см. фиг. 8.2) v=^v^, 6 = 0 и, следовательно,
1С|=1, argC^O (фиг. 8.3). В точке А (граница струи) v = v^^.
6=-^. Поэтому для этой точки |С| = 1, argC=—. В точке А'

186
Глава VIII. Теория струйного и вихревого сопротивления
скорость v = v^, угол 6= , в
результате чего |С|
= 1, argC=--
В точке С скорость у = 0, вследствие чего
изображение точки С в области С уходит в
бесконечность. Таким образом, области
потока в плоскости С будет соответствовать
правая полуплоскость за вычетом полукруга
(см. фиг. 8.3)1.
Не устанавливая пока еще области w,
отобразим полученную область С на
верхнюю полуплоскость вспомогательного
переменного t. Для этого используем два после-
до'вательных преобразования
Первое из них просто повернет область С
на 90^ в положительном направлении
(фиг. 8. 4), а второе отобразит область Z на верхнюю полуплоскость
t (фиг. 8.5). Соответствие точек между плоскостями Z и t легко
установить, так как на единичном круге ABA' Z=e^^ и, следо-
Фиг. 8.3. Область С и ее
границы.
Фиг. 8. 4. Область Z и ее границы.
Фиг. 8.5. сЗбласть ^ и ее границы.
вательно, ^=^cos 0. При этом бесконечно удаленные точки
плоскостей Z и t, очевидно, переходят одна в другую. Итак, преобразование
-v(^^+i)-T(^-T)
(8.4)
отображает область С на верхнюю полуплоскость t при соответствии
точек, указанном на фиг. 8. 3 и 8. 5.
Построим область w. В точке С области z (см. фиг. 8. 2) 9 = ф =0,
следовательно, точка С в плоскости w будет находиться в начале
1 На фиг. 8. 3 и в дальнейшем область течения соответствует заштрихован-
'^ной части; жирными линиями обозначены твердые границы, тонкими — свободные
поверхности

§ 1. Модель струйного обтекания тела
187
координат (фиг. 8. 6). Точки А и А\ для которых 9 = ?о>0 и Ф=0,
перейдут в точки на оси 9 с одинаковой абсциссой 9 = ?о>0.
Полагая плоскость W разрезанной вдоль положительной части оси ^^
заключаем, что точка А лежит на верхней стороне разреза, а точка
А'— на нижней, так как, совершая
обход вдоль пластинки от точки А^
через точку С к точке А, имеем
область течения слева. Точки В{В'\
перейдут, очевидно, в бесконечно
удаленную точку оси ср.
Следовательно, область W будет
представлять собой плоскость с разрезом
вдоль положительной части оси ф,
и, как уже указывалось выше,
соответствие между областями z и w
будет взаимно однозначным.
Отобразим область w на
полуплоскость. Для этого используем
преобразование
■Y
W,
Фиг. 8. 6. Область w и ее границы.
которое развернет, очевидно, разрез в области w в прямую линию.
Действительно, так как точка А лежит на верхней стороне разреза,
то аргумент ее равен нулю, и она перейдет в плоскости т в точку
+ Y^o- Аргумент точки А^ равен 27г, и поэтому в плоскости т ей
будет соответствовать точка—l/^o- Следовательно, преобразование
В'-
Фиг. 8. 7. Область т и ее границы.
x==}/^w отображает область w на верхнюю полуплоскость х с
соответствием точек, указанным на фиг. 8. 7.
Для установления связи между переменными t и т нужно
отобразить полуплоскость ^ на полуплоскость т так, чтобы соответ-
ствуюпхие точки перешли друг в друга. Нетрудно убедиться, что
преобразование
.= -1^ (8.5)

188 Глава VIII. Теория струйного и вихревого сопротивления
осуществляет необходимое отображение. Действительно, при ^= + 1
имеем т = =рКсро, т. е. точки А' переходят друг в друга, так же как
и точки А. Бесконечно удаленной точке плоекости t соответствует
в плоскости т нулевая точка, и, наоборот, нулевой точке в плоскости
t соответствует в плоскости т бесконечно удаленная точка.
Итак, преобразование, позволяющее перейти от области w к
верхней полуплоскости t, имеет вид
w=^. (8.6)
Исключая из формул (8.4) и (8.6) вспомогательное
переменное t, получим искомую связь между ш и С
Остается определить значение потенциала скорости ^о в точках
А и А\ выразив его через ширину пластинки h.
Вдоль СА
V
Следовательно, вдоль СА
dz __
dw
dz
dw
dy_
acp
1
=
-c=
idy
d^
1
V
i
V
откуда получаем
Из (8. 6) находим, что вдоль С А, где w = (p,
dt /3
Выразим скорость v на пластинке через переменное t:
откуда
и

§ 1. Модель струйного обтекания тела 189
Перед корнем надо' брать знак минус, если хотим, чтобы при
t = —оо скорость V обращалась в нуль. Итак,
откуда
J__ 1
Искомая зависимость между сро и h определится следующим
интегралом:
J dt J df dt J » <3
—00
-1
CJO
Таким образом.
?o
или
А = ^(4 + :г)
v^
<Po = ^. (8.8)
4 + 71
Остается определить результирующую силу воздействия потока
на пластинку (силу лобового сопротивления пластинки).
Воспользовавшись известной формулой
где ро=Роо —давление в застойной области //, находим
+-
О —с»
_00 —00
Так как
1 -1
или
то
,.2
V

190 Глава VIII. Теория струйного и вихревого сопротивления
Х^ -4pcpot;^ J '^3 ^ ^^=^Р?о^<
Подставляя значение Фо, находим искомую результирующую
силу давления
X^-^.h'vl. (8.9)
Если пластинка обтекается потоком под углом а, то, как
нетрудно показать, формула для результирующей силы давления
примет вид
Х^ т: Sin ОС ^^^^^ ^g .^^^
44-7: sin а
Из формулы (8. 9) следует, что коэффициент лобового
сопротивления плоской пластинки
с, = ^=0,88.
44-тс
Величина этого теоретического коэффициента сопротивления
плоской пластинки приблизительно в два раза меньше его
экспериментального значения. Это объясняется тем, что рассмотренная
струйная модель обтекания не учитывает вихревых явлений за
пластинкой (в застойной области), уменьшающих давление на заднюю
часть пластинки и, следовательно, приводящих к увеличению ее
лобового сопротивления.
Н. Е. Жуковскому принадлежит иной метод решения струйных задач,
предложенный им в 1890 г. [26] и сыгравший большую роль как в развитии методов
решения струйных задач, так и в решении проблем газовой динамики.
Основная идея метода Жуковского состоит в следующем. Рассматривается
функция
С=1п/-^^^\=:1п^ (8.11)
dw V ,
dz j
и устанавливается конформное отображение разрезанной плоскости
комплексного потенциала w на ту часть плоскости С, которая соответствует области
течения в плоскости Z, т. е. устанавливается аналитическая связь C==/(tc;). Если эта
связь найдена, то, так же как и в методе Кирхгофа, задача приводится к
квадратурам. ■ ' ' i i-li' 1
В случае когда обтекаемый в плоскости z—x-{-iy контур составлен из
прямолинейных отрезков, области течения / в плоскости г будет
соответствовать в плоскости C = S + /iQ область, ограниченная прямыми ?=const и
ir]=const. Действительно, так как
v=ve~'^^ и v^=v^e'~^^^,
то
v^e-г^^ ^
C=.S-f/^=ln ^^е ^1п—f/(6-e^). (8.12)
ve ^^ V

§ 2. Понятие о вихревом сопротивлении
191
Отсюда видно, что твердой прямолинейной границе обтекаемого тела
V
6=const соответствует в плоскости С прямая С = 1п ~~^, Yj=const, а границе^
V
свободной струи, где v=v^, —прямая ^=1п 1=0, '/]=9—б^^.
При этом конформное отображение разрезанной области w на плоскость С
может быть осуществлено при помощи известной формулы
Кристоффеля—Шварца [14].
Не входя в детали метода Жуковского, укажем, что с его помощью удалось
решить большое число задач: удар потока о клин, соударение двух струй, удар*
потока о ломаную пластинку, истечение жидкости из сосуда конечной ширины
и много других.
Исследованию обтекания криволинейных тел посвящены работы
зарубежных ученых Леви—Чивита и Билля [2]. Однако их метод ввиду исключительной
сложности оказался мало применимым к решению практических задач.
Большим шагом вперед в развитии струйной теории явилась работа.
акад. А. И. Некрасова «О прерывном течении жидкости в двух измерениях
вокруг препятствия в форме дуги круга» (1922 г.) [27]. Б этой работе А. И.
Некрасов дал новый метод решения задачи об обтекании криволинейных контуров
путем применения теории нелинейных интегральных уравнений. Идеи А. И.
Некрасова были в дальнейшем развиты учеными советской аэродинамической
школы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости [28].
В 1910 г. С. А. Чаплыгин написал работу «О силах, действующих на ци*
линдр, обтекаемый потоком с образованием поверхностей разрыва»,
напечатанную в 1935 г. в трудах ЦАГИ. Б этой работе автор, исследуя поток, обтекающий
цилиндр со срывом струй, показывает, что очертания струй на достаточно
большом расстоянии от тела уподобляются параболе и лобовое сопротивление
пропорционально параметру этой параболы. Если параметр параболы равен нулю,,
т. е. если струя на бесконечности имеет конечную ширину, то и сопротивление
равно нулю. В этой работе С. А. Чаплыгин решил также задачу об обтекании;
круглого цилиндра с отрывом струй. Эта задача лишь 22 года спустя (в 1932 г.)
была решена немецким аэродинамиком Шмиденом.
§ 2. ПОНЯТИЕ О ВИХРЕВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
Схема струйного обтекания, рассмотренная выше, во многих,
случаях является приближенной моделью истинной картины
течения. Как показывает опыт, поток, срывающийся с тела, не образует
О
CZ^^^^^^f^
\h
~^-
-У~
X
Фиг. 8. 8. Вихревая схема обтекания.
за ним СПЛОШНОЙ струи, а ввиду неустойчивости последней
свертывается в вихри. При это'М отрыв потока и образование вихрей носиг
периодический характер — вихри срываются попеременно то с верх--

192
Глава VIII. Теория струйного и вихревого сопротивления
ней, то с нижней части поверхности обтекаемого тела (фиг. 8.8),
образуя за ним вихревую дорожку с шахматным расположением
вихрей. Образование вихрей порождает новый вид сопротивления,
носящий название вихревого сопротивления. Таким образом, опыт
подводит нас к другой схеме обтекания, учитывающей образование
вихрей за телом.
Как показали исследования, плохо обтекаемые тела, например,
круглый и эллиптический цилиндры, нормально расположенная к
потоку пластинка и др., порождают интенсивные вихревые дорожки
:й, следовательно, значительную величину вихревого лобового
сопротивления. Удобообтекаемые тела, к числу которых принадлежат
авиационные профили, при малых
углах атаки обладают
незначительным вихревым
сопротивлением, которым можно
пренебречь,— в этом случае их лобовое
сопротивление порождается в
основном силами трения. Однако
при увеличении угла атаки, когда
плавное обтекание профиля крыла
сменяется обтеканием с отрывом
,струй и интенсивным вихреобразо-
ванием, силу лобового сопротивле-
'^ОС
^Фиг. 8.9. Сравнение зависимости
коэффициента подъемной силы от
угла атаки для потенциального
потока (с^пот) ^ непотенциального,
реального потока (с ).
'У экс/
ния следует рассчитывать с
учетом вихревого СО-противления.
Угол атаки, при котором
совершается переход от плавного
обтекания профиля к обтеканию
отрывному, называется критическим углом атаки и обозначается акр.
Для большинства практически применяемых авиационных профилей
акр=10—15^
Аналитическое исследование течения жидкости осложняется,
когда профиль находится в области углов атаки, превышающих
акр, т. е. в закритическо'й области. Ь закритической области поток,
обтекающий профиль, уже нельзя считать потенциальным, так как
пространство за профилем заполняется интенсивными вихрями i.
Опыт показывает большие расхождения между
экспериментальными значениями коэффициента подъемной силы профиля и
значениями, полученными теоретически, в предположении, что и в
закритической области поток вокруг профиля потенциальный (фиг. 8.9).
Как видим, при переходе в закритическую область следует
воспользоваться вихревой моделью обтекания не только для получения
силы лобового сопротивления, но и для определения подъемной
силы. Следовательно-, вихревая модель обтекания в данном случае
будет вообще более правильно отображать действительность.
1 Строго говоря, при малых углах атаки (докритическая область) течение
жидкости за профилем тоже не является потенциальным, но этим обычно
пренебрегают.

§ 2. Понятие о вихревом сопротивлении
193
Рассмотрим кратко основные положения теории профиля крыла в закрити-
ческой области, разработанные проф. Г. В. Каменковым [29]. Сделаем следующие
предположения:
1. Жидкость всюду идеальная, за исключением очень тонкого пограничного
слоя, прилегающего к поверхности профиля.
2. С поверхности профиля периодически срываются вихри, центры которых
располагаются в два параллельных ряда в шахматном порядке.
3. Течение всюду обладает потенциалом скорости, за исключением центров
сходящих вихрей.
4. Циркуляция скорости по профилю отлична от нуля.
•V
оо
"П
1^-1-0
0
0 ^
J
Фиг. 8. 10. К расчету подъемной силы Y и силы лобового
сопротивления X при вихревой схеме обтекания.
Течение жидкости около профиля, соответствующее этим предположениям,
представлено на фиг. 8. 10.
Пренебрегая размерами пограничного слоя, поставленную задачу решаем
методами, принятыми в теории идеальной жидкости.
Вследствие периодического схода вихрей с поверхности профиля течение
жидкости является неустановившимся, т. е. все основные элементы течения явно
зависят от времени t.
Учитывая это, введем следующие осредненные значения для подъемной
силы Y, лобового сопротивления X и циркуляции Г:
^+о-
41
Y(t)dt,
г
Т
X
41
X[t)dt,
^+
_1_
Т
I
Г {t) dt
L
"2
где Т — период времени, за который образуется одна пара вихрей.
13 Аэродинамика

194 Глава VIII. Теория струйного и вихревого сопротивления
Применяя к рассматриваемому течению^ теорему о количестве движения, для
определения подъемной силы и силы лобового сопротивления можно написать
следующие два уравнения:
L
I
В левых частях этих уравнений интегралы следует вычислять по контуру L,
точки которого достаточно удалены от поверхности профиля; в правых частях—
по площади, ограниченной контуром L и профилем Ln (см. фиг. 8. 10).
С помощью этих двух основных уравнений можно получить формулы,
определяющие подъемную силу и силу лобового сопротивления в следующем виде [29]:
y=^9Voo\l'\
- , h (АГ)2
Х=р1ЛГ| ~(2«~i;J-p-^ (8.13)
где и — скорость перемещения вихревой дорожки [см. формулу (6.34)];
ДГ — циркуляция скорости по контуру, охватывающему один вихрь.
Как видим, расчет силы воздействия потока на профиль крыла в закри-
тической области сводится к определению величин Т, АГ, h н L
Г. В. Каменков предложил в основу определения параметров вихревой
дорожки АГ, /г и / положить принцип наименьшего сопротивления для
установившегося движения твердого тела в жидкости. Установив связь этого принципа
с вопросом об устойчивости дорожки и исходя из теоремы о количестве
движения, Г. В. Каменков получил уравнение для определения параметров дорожки,
дающей наименьшее сопротивление. Характеризующие дорожку величины АГ, h
и / оказались связанными двумя равенствами: одйо из них определяет отно-
h
шение '.
/
1
r/z7ia=—, (8.14)
2Tza
где а =—=0,245,-^ а другое — величину циркуляции
ДГ--сг;/, (8. 15)
4тса
где с=-~- -^0,91.
В результате формулы для подъемной силы У и силы лобового
сопротивления Xk (будем ее теперь обозначать через Х^ в отличие от других
составляющих) принимают вид
'-^^-\'^\'^ 1 (8.16)
Первая из этих формул обобщает теорему Жуковского для закритической
области.
* Следует заметить, что согласно теории Т. Кармана отношение —-
принималось равным 0,2806. Г. В. Каменков в 1933 г. [30] показал ошибочность теории
устойчивости вихревой дорожки Т. Кармана и предложил новый критерий
устойчивости вихрей, исходя из принципа экстремального сопротивления.

§ 2. Понятие о вихревом сопротивлении
195
Вторая формула показывает, что сила лобового сопротивления Хи
пропорциональна плотности, скорости на бесконечности и циркуляции скорости по
контуру, охватывающему одиночный вихрь цепочки. При этом коэффициент
пропорциональности а является универсальным и равным 0,245. Таким образом,
определение величин Y vi Х^ сводится только к подсчету циркуляции Г и
величины АГ.
Введем следующее предположение, названное Г. В. Каменковым «гипотезой
потерянной циркуляции»: циркуляция скорости, потерянная крылом за период
времени Т, равна циркуляции одиночного вихря цепочки ^, т. е.
дг=г —Г,
где Г— циркуляция скорости,
подсчитанная в предположении о
безотрывном потенциальном
обтекании.
Используя уравнение (8.16)
и вводя коэффициент с для
подъемной силы Y и
коэффициент с^ для силы лобового
сопротивления X
^, получим
(8. 17)
Это соотношение хорошо
подтверждается экспериментом.
На основании изложенного
можно написать два следуюш;{1Х
уравнения (фиг 8.11):
Ас.,
'^упот ^у'у
С.^С^— С
X Тр
(8. 18)
/% ШТ
Фиг. 8. и. К расчету обтекания профиля
крыла в закритической области по методу
Каменкова.
при этом коэффициент трения с^ предполагается постоянным на всем
диапазоне углов атаки и равным минимальному значению с^, т. е. Схчь'^^хшЫ.
Уравнения (8. 17) и (8.18) можно использовать для построения кривой
Су (а), если известно изменение с^ по а. Действительно, из этих уравнений
получаем
Су=су^01- -^, (8.19)
где коэффициент Ck следует брать как разность <^r~^xmin*
Кривая, построенная по уравнению (8. 19), хорошо согласуется с
экспериментальными кривыми зависимости коэффициента подъемной силы от угла атаки
в закритической области и, таким образом, подтверждает правильность
сделанных выше предположений, лежащих в основе этой теории.
В заключение покажем, что на основании формул, предложенных
профессором Г. В. Каменковым, можно весьма просто подсчитать силу лобового
сопротивления плоской пластинки.
Решение этой задачи, предложенное Кирхгофом, на основе струйной теории,
как было показано, приводит к значению силы лобового сопротивления, почти
1 Указанное соотношение не является следствием уравнений движений, а
подтверждается экспериментальной проверкой.
13*

196 Глава VIII, Теория струйного и вихревого сопротивления
в два раза меньшему экспериментального. Согласно этому решению коэффициент
лобового сопротивления равен:
с^,=——-0,88.
Обратимся к выражению АГ
Для пластинки (т=0; R—1), находящейся под углом атаки 0=90" к
направлению невозмущенного потока, среднее значение подъемной сичы равно
нулю, следовательно, Г=0 и ^V=^tzIv^.
Подставляя это значение АГ в выражение» для Xf^, найдем численное
значение силы лобового сопротивления:
Коэффициент лобового сопротивления пластинки определится формулой
т. е. результат более близкий к полученному экспериментальным путем.

г л а в а IX
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ жидкости
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
вязкой НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Изучение движения вязкой жидкости показывает, что влияние
вязкости сказывается не только в появлении касательных
напряжений, но и в изменении величин нормальных напряжений по
сравнению с их значениями ддя идеальной жидкости. Это значительно
Фиг. 9. 1. К выводу дифференциальных уравнений
движения вязкой жидкости.
усложняет вид дифференциальных уравнений движения вязкой
жидкости по сравнению с уравнениями Эйлера и, естественно,
создает крайние трудности при их интегрировании.
Обратимся, так же как и в методе Эйлера, к рассмотрению
элементарной жидкой частицы в форме бесконечно малого
параллелепипеда (фиг. 9.1).
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости могут
быть получены подобно уравнениям Эйлера. Различие будет лишь
в том, что в случае вязкой жидкости на грани параллелепипеда
будут действовать не только нормальные напряжения рх, ру, pz> но и
касательные, так как поверхностные силы в вязкой жидкости не

198 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
Ортогональны к рассматриваемой поверхности. Это означает, что на*
правление поверхностной силы, действующей на каждую грань
параллелепипеда, не совпадает с нормалью к грани, и, следовательно,
каждая такая сила (напряжение) будет иметь три проекции на
координатные оси (см. фиг. 9.1).
Введем следующие обозначения. Каждой проекции вектора
напряжения р, действующего на рассматриваемую грань, припишем
два значка (индекса): первый будет характеризовать координатную
ось, перпендикулярную к рассматриваемой грани, а второй —
указывать, на какую ось проектируется поверхностдая сила
(напряжение), действующая на эту грань. В этих обозначениях
составляющие поверхностного напряжения, действующ!его на левую грань,
перпендикулярную к оси х> напишутся в виде рх^^, рху> рж\
составляющие, действующие на грань, перпендикулярную к оси у, в виде рщ,
Ршу Pyz и, наконец, действующие на грань, перпендикулярную к оси г,
в виде рж. ps:y, pzz' Очевидно, рш, pmfj Pzz будут нормальными
напряжениями поверхностных сил, действующих на грани
рассматриваемого элементарного параллелепипеда, а ряау, pxz, Рт. Pw, р2х> Pzy —
касательными напряжениями. Для того чтобы яснее их различать,
будем обозначать касательнью напряжения через т, т. е. положим
^ ху ху^
Pxz^^'^xz'»
Pyx '^ух^ Pyz '^^ '^yz'
Pzx "^ '^г Г' Pzy "^ '^zy
При расположении нормальных и касательных составляющих
по граням параллелепипеда условимся все нормальные
составляющие направлять по внешним нормалям к граням. На трех гранях,
проходящих через точку М{х, у, г), (направим касательные
составляющие обратно положительным направлениям осей координат, а
на остальных трех гранях — в сторону положительного направления
координатных осей. Такое расположение нормальных и касательных
составляющих является условным, но наиболее удобно для вывода
дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости.
За проекциями массовых сил, отнесенных к единице массы,
сохраним их прежние обозначения X, Y, Z.
Приступая к составлению уравнения движения в проекции на
ось X, заметим, что в это уравнение войдут лишь напряжения,
обладающие вторым значком х.
Начнем с нормальных составляющих. Очевидно, на левую
грань будет действовать нормальная сила (—p^^dydz), а на правую
грань сила [рхх+ ^^'^ dx\dydz. Равнодействующая этих сил
будет равна —^^dxdydz.
Из касательных напряжений надо учесть в данном случае
лишь ^ZyJ^. и Т^^

§ 1. уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
199
Проекция на ось д: касательной силы, действующей на
заднюю грань, будет равна { — z^^dxdy), на переднюю грань
х^^Н—-^^dz\dxdy, и, следовательно, равнодействующая этих
сил выразится следующим образом
о>т.
dz
dxdydz.
Очевидно, что для проекций касательных сил, действующих на
нижнюю и верхньою грани, получим равнодействующую
—^^ dx dy dz.
ду
Используя принцип Даламбера, будем иметь
рХ dx dy dz—p—^ dx dy dz H—^^ dx dy dz +
dt
dx„
dy
dx dy dz -
^P.
dx
dz
dx dy dz = 0,
МЛИ
dv^
-P^+(
^P.
dz
yx
dz^
dt ' ' \ dx dy dz
Аналогично можно получить еще два уравнения
dv
) —£_
dt
dv^
?v+
xy
dp
yy
dx
dy
av^ ^ / o'T_ dz.,^ др^Л
p-i = pZ + (—^ +-/? +-^-?i ,
dt \ dx dy dz 1
dz
'-\
dz^
(9.1)
J
Обратимся к уравнению моментов. Вычислим момент
действующих на параллелепипед сил относительно оси, параллельной оси z
и проходящей через центр С параллелепипеда (фиг. 9.2),
ограничиваясь величинами третьего' порядка малости. Заметим, что так
как массовые силы сами являются величинами третьего порядка
малости (они пропорциональны объему частицы dxdydz), то моменг
от них (в результате умножения на бесконечно малое плечо) будет
величиной четвертого порядка малости, вследствие чего им можно
пренебречь. В таком случае, учитывая направление моментов, будем
иметь
-z^^dxdz^ -^(x^^ + dz^^)dxdz^ +
+ ^.ydydz^ + {-.,^ + dx,^)dydz^ = 0
или, отбрасывая величины четвертого порядка малости.
V '^ух '^v V I '^лг V I "^ху)
dx dy dz
= 0,

200
Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
откуда
Аналогично можно убедиться, что
и, следовательно,
у
т = т .
ху ух'
yz гу* ZX XZ
ж^/ >л:> д/г zy^ ZX ^xz*
(9.2)
(9.3)
О
"^уХ ^ ^'f (/X
%ij^^^xy
А
^х
Фиг. 9. 2. К выводу дифференциальных уравнений
движения вязкой жидкости.
Равенства (9. 3) показывают, что из девяти напряжений,
входящих в уравнения (9. 1), независимыми являются лишь шесть.
Отсюда можно заключить, что напряженное состояние жидкости
в любой ее точке характеризуется тремя нормальными и тремя
касательными напряжениями по трем взаимно перпендикулярным
площадкам, проходящим через данную точку.
Обратимся к рассмотрению нормальных напряжений. Если
жидкость идеальная, то, очевидно.
Рхх
Ууу
~-Pzz=^—P'
в случае вязкой жидкости возникают касательные напряжения,
а нормальные напряжения изменяют (по сравнению с идеально-й
жидкостью) свою величину. Следовательно, для вязкой жидкости
Рхх'^—Р-^'^хх^
Руу=—р + '^ууу
Pzz'^—P + ^zz
(9.4)
где тггсФ, тгуу, iTzz — добавочные нормальные напряжения, возникшие
под влиянием вязкости.

^' /. уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
201
Примем гипотезу, что касательные напряжения и изменения
нормальных напряжений не зависят от величины давления р. Тогда
значения напряжений тг^^, тгуу, ttzz не будут зависеть от давления р..
Рассмотрим частицу
жидкости в форме элементарного
тетраэдра АВСМ,
построенного на элементарных
отрезках dx, dy, dz (фиг. 9. 3).
Обозначим направление
нормали к площадке ABC
через п и через П^ — напря-
л^ение силы вязкости,
действующей на площадку ЛВС.
Очевидно, вектор П^ будет
наклонен к этой площадке
и будет иметь нормальные
и касательные составляющие.
Составим уравнение
равновесия всех действующих
на данный тетраэдр сил. При
этом силы инерционные и
массовые учитывать не
будем, как пропорциональные объему тетраэдра, а ограничимся
поверхностными силами вязкости, пропорциональными элементарным
площадям. В результате а^^ составляющих, параллельных оси х,
получим
где dS^, dSy, dS^, ^5—соответствующие площади граней
тетраэдра.
-^
Фиг. 9. 3. К выводу дифференциальных
уравнений движения вязкой жидкости.
В силу формул
dS^= dS cos (п,х),
dSy = dS cos (п, у),
dS. = dS cos in,z)
находим
Kx = Pxx^OS {n,x) + 'Z COS{n,y) + 'Z,^COS {n,Z).
Аналогичные равенства можно получить аля напряжений П^^ и:
П^2, и, следовательно, будем иметь
^пх^Рхх^^^ (n,X)'\-^y^COS{n,y)+'^zx^^^{^' ^)'

202 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
^пу = V COS {П, Х) + Руу ZOS{n,y) + Х^у COS (Д, Z),
^\z = ""xz COS {П, Х) 4- '^у, COS (П,у) +р,, COS (л, ZI
Проектируя вектор П^на нормаль к площадке ЛВС^ получим
значение нормального напряжения Ипп, равное
Кп = Кх COS {п, X) + Л^у COS {п,у) + П„^ COS (/г, z).
Подставляя в этО' выражение значения ^пх^^пу» ^«л и используя
формулы (9.4), а также очевидное соотношение
C0S2(n, Х) +COS2(/2, у) +C0S2(n, Z) = \,
получим
П„„ = —/7 + тг ^^ cos^ {п, х) + 7г^^ cos^ (/г, j;) + тг^^ cos^ {п, Z) +
+ 21^у cos (Аг, л:) cos {ц,у) + 2т^^ cos (я, j/) cos (//, 2) +
+ 2х^^ cos (л, л:) cos (я, 2:) = —/? + Unn. (9.5)
Предположим, что нормальное напряжение 7г„„, обусловленное
исключительно наличием вязкости, для всех направлений п,
исходящих из данной точки, пропорционально скорости линейной
деформации —- ^ причем коэффициент пропорциональности для всех направ-
дп
.лений одинаков и равен 2[а:
-„,= 2,.g2. (9.6)
Скорость линейной деформации —- в произвольном направле-
дп
НИИ п может быть выражена через скорости линейных деформаций
вдоль осей координат и скорости деформаций скашивания в
соответствующих координатных плоскостях следующим образом. Так
как
^п =-v^cos(n,x)-^ Vy cos (я,у) + v^cos (я, z\
то для выбранного' (фиксированного) направления л
dvr, dv^ ^ ^ dvy ^ ^ dv^ , ^
— = —^ COS (п, х)+-^ cos (п,у) + -~- cos (я, 4 (а)
дп дп дп on

§ 1. уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
203
В СВОЮ очередь
dv dv dv dv
—- = —- COS (n, x) + —-COS {n,y) + —- cos (n,z),
dn dx dy dz
dvu
dvy
dvv
dv
У
■ = —~cos{n,x) + — cos (я, у) + —- cos (n,z),
dn dx dy dz
-- = —- cos (я, ^) + ■—- COS (n, y)+-~~ COS (/t, г)-
dn dx dy dz
(6)
Подставляя выраженрш (б) в уравненрте (а), группируя члены
и вводя известные уже из дредыдущего обозначения, получаем
dVfi dv^ dVy dVy
= —Lcos^ (я, X) + -^cos^(n,y) + —^ cos2 (Я, z) +
dn dx dy dz
+ 2sjp cos (Пуу) cos (я, z) + 2e COS (я, x) cos (я, z) +
+ 2e^ COS (я, X) COS (я, _y).
Так как величины тгпи и — связаны равенством (9.6) для любык
dn
направлений я, то это означает, что коэффициенты при
соответствующих косинусах должны быть равны.
Имея это в виду, получаем
/dVy dv ..'х
yz
\dx dy
/dv^ dvy
= 2pe^
Да/ dx J
И, принимая BO внимание равенства (9.4),
dx
duv
Рхх^-рЛ-'!^
Pyy=^-P + 2V^,
(9.7)
(9.8)
Уравнения (9. 7) и (9. 8) показывают, что введенная выше
гипотеза (9. 6) означает по существу пропорциональность компонентов

204
Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
напряжения компонентам скоростей деформации. В частности, из
уравнений (9.7) можно получить известный закон Ньютона для
одномерного течения жидкости. Действительно, полагая, что-
жидкость движется вдоль оси х, из первого уравнения (9. 7)
получаем
В силу уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости
dv dvy dv.
1—-Л = 0 из уравнений (9.8) находим
дх ду дг
Р =
Рхх-^'Руу^Р,
(9.9>
т. е. гидродинамическое давление в вязкой жидкости можно
рассматривать как взятое с обратным знаком среднее арифметическое
от нормальных напряжений по трем произвольным, проходящим
через данную точку взаимно перпендикулярным площадкам.
Подставим теперь выражения (9.7) и (9.8) в уравнения (9. 1)..
Будем иметь
др дЧ^ дЧу
1- 2ft —- + \^
дх дх"^ дх ду
дЧ^
дЧ^
дЧ,
^ ду^ ^ dz^ ^ dxdz
или
dz^
+
dv^ dp /дЧ^ дЧ^ дЧ
^' дх [дх ду дг)
Так как последнее слагаемое равно нулю (в силу уравнения
неразрывности), то
dv^ dp (дЧ^ дЧ^ d^v^
dt
дх
дх'^ ду^
dz^
Таким образом, дифференциальные уравнения движения вязкой
несжимаемой жидкости приводятся к виду
dv^ ^ dp (дч дЧ^ дч:
dz^
^ dt ^ ду ^\дх^ ду^ ^ dz^
dv^ dp /дЧ,
дЧ,
дЧ,
дх^
ду^
дг^
(9.10)

§ 1. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
205
Вводя кинематический коэффициент вязкости v=— и раскры-
Р
вая выражение для полного ускорения, дифференциальные
уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости можно написать
в следующем виде:
dt
+ V
dv^
dv.
^ дх У ду
' дг
дЧ
\
1 др (дЧ^ дЧ^
р дх \ дх"^ ду^ dz
dv dv dv dv
dt ^ "" dx У ду ^ dz
9 .^y
dv
d^v^ дЧ^ d^v^,
дх^ dy^ dz^
dv^ dv^ dv^
dt ""dx^ у dy "^ dz
1 dp /d4.
—~ + ц—-
p dz \ dx*
d^v.
dy^
<^4
(9.11)
Уравнения (9. 10) или (9. 11) являются основными
дифференциальными уравнениями движения вязкой несжимаемой жидкости.
Присоединяя к этим уравнениям уравнение неразрывности
dv
dv., , dv^
dx dy dz
(9.12)
будем иметь основную систему дифференциальных уравнений для
решения задач о движении вязкой, несжимаемой жидкости.
Если при изучении движения вязкой жидкости одновременно
учитывать и сжимаемость, то уравнения движения будут более
сложными [2]:
dv^ I dp
dt р dx
d4^
o'^v^
дЧ,
dt
dv^
dt
1 dp
P dy
dx^
dx^
+
dy^
d4
dz^
^
3 dx
dy
"^ dz^ ' ^
V db
Tdy'
1 dp
p dz
+ v
'd'^v^ d^v^ d^vA V ae
где
dx''
dv
dy^
dv^
dz4 ^ 3 dz
(9.13)
dv^
dx dy dz
(9.14)
Одновременный учет сжимаемости и вязкости вносит
исключительные трудности в интегрирование дифференциальных уравнений

206 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
движения. В связи с зтихМ в большинстве лроблем газодинамики газ
рассматривается как: невязкая, идеальная, но сл^имаемая жидкость.
Для плоской задачи система дифференциальных уравнений
движения вязкой несжимаемой жидкости имеет вид
dv^ dv^ dv^ I dp (^'^'^x ^^^
+ v^-f-+^,'-f~ = X Т- + Ч-ТТ +
[(9.15)
dt -^ dx У dy 9 dx \dx^ dy^
dt "" dx У dy 9 ^y V^A'2 dy^
dv^ dVy
dx dy
§ 2. ПОНЯТИЕ 0 ПОДОБИИ ПОТОКОВ
В аэродинамике особо важную роль играет теория подобия
потоков, так как она устанавливает возможность перенесения
экспериментальных данных, полученных при испытании модели, на
натурный объект.
Рассмотрим два потока, обтекающие натурный объект, и его
модель. Назовем сходственными точками этих потоков такие,
которые геометрически подобно расположены относительно
рассматриваемых тел, предполагаемых также геометрически подобными.
Подобными потоками назовем такие потоки, у которых все
характеризующие их однородные физические величины находятся для
любых сходственных точек в одинаковом отношении. Эти отношения
характеризуются так называемыми масштабами. Основными
масштабами являются масштабы длины, силы и времени.
Если взять произвольный линейный размер модели /i и
разделить его на соответствующий линейный размер натурного объекта,
то получим величину линейного масштаба, обозначаемую через
ki =-^' Деля силу /?1, действующую на всю модель или ее часть, на
силу R, действующую на натурный объект или есз часть, получим
силовой масштаб ^тг =—'-* Считая, что какое-нибудь событие
совершается у модели в течение отрезка времени h, а у натурного объекта
в течение времени /, найдем масштаб времени kt=~^. В случае
подобия эти масштабы в сходственных точках должны быть
постоянными. Все остальные масштабы других физических величин для
подобных явлений также являются постоянными и могут быть
выражены через эти основные масштабы. Рассмотрим некоторые из
них. Пусть St и S — ^сходственные площади двух потоков, а /i и /—
.линейные размеры этих сходственных площадей.
Очевидно,

§ 2. Понятие о подобии потоков
207'
Для масштаба скоростей, понимая под сходственными отрезками
времени ^i и t такие отрезки, за которые частицы! потоков проходят
расстояния между двумя сходственными точками, можно написать^
— —i-r=lim—^=lim-^ — = —^.
V м-*о А/ At^o Ы Ml kt
k r=.
= lim-
Аналогично можно показать, что масштаб весовой плотности
выражается следующим образом:
ДЦ
:lim
Д/?1 А1/
масштаб массовой плотности
Ар =
Pi
Д1/-.0 А/? AKj
и т. д.
Таким образом, считая, что при соблюдении подобия в
пространствах, где происходят сравниваемые явления, масштабы
однородных величин должны сохраняться постоянными, можно сформу-
Фиг. 9. 4. Подобные потоки около подобных тел.
лировать определение подобия в несколько ином виде: два потока
называются подобными, если в любых сходственных точках и в
любые сходственные моменты времени масштабы однородных величин,
характеризующих эти потоки, являются постоянными. Такое подобие
называется полным. Если же этому условию удовлетворяют не все
масштабы, а только часть из них, то подобие называется частичным.
Рассмотрим два подобных потока; один—обтекающий
натурный объект, например, профиль крыла, а другой — обтекающий его
модель (фиг. 9. 4).
Выделим в текущей жидкости два сходственных бесконечно
малых элемента. Пусть на эти элементы будут действовать стшы dR и

208 Глава IX. Основы теории движения вязкой о/сидкости
.flf/?i, создающие ускорения w к Wi. Очевидно, можно- написать
следующие равенства:
dR=w dm
ж
dR^ = Widmi,
где dm и dm±— массы этих элементов. Выразим массы dm и dmi
через плотность и линейные размеры:
dm = pdl^
dmi = pidlf.
Подставляя в выражения для сил, получим
dR = pwdl'^
т
dR^ = PiW^dl\.
Деля почленно, будем иметь
dR pwdl^ ^ ^ ^
Так как масштаб ускорения
k —А
TO выражение для кк можно переписать в виде
Замечая, что
h2 h-2 h2
находим
kR = k,k]kl, (9.16)
Найденное соотношение справедливо^, очевидно, не только для
бесконечно малых объемов жидкости, но и для любых конечных
объемов, так как всякий конечный объем можно разбить на бесконечно
большое число бесконечно малых объемов. Таким образом, заклю-
чаем что постоянство отношении я^тг = , установленное для бес-
* dR
конечно малых объемов, должно в подобных потоках иметь место
и для конечных объемов, на которые действуют конечные силы.
В дальнейшем под R и Ri будем подразумевать полные
аэродинамические силы, действующие на натурный объект и модель, отношение

§ 2. Понятие о подобии потоков 209
которых при условии подобия потоков должно оставаться
постоянным на любом режиме обтекания i:
kR = -—-=const
R.
Переходя от масштабов к основным величинам, можем написать
-—= = const
R p/V
или
Ri _ R
Перепишем эти отношения следуюпхим образом;
Ri 2Si_ R 2S
fil\o\ 2Si p/2t;2 2S *
Тогда, принимая во внимание; что в силу подобия
2l\ 2/а '
получим
R^ R
5i — S
^ 2 2
= Сд
или
I^^Cr^I^S, (9.17)
где сi2-~ безразмерный коэффициент полной аэродинамической
силы, 5—характерная площадь, а ^-~- = ^-~ скоростной напор.
В аэродинамике наряду с аэродинамической силой
рассматривается и ее момент М, Очевидно, для масштаба момента можно
написать
или, переходя к основным величинам,
М р/3с;« '
откуда
^^ ^ = const.
Pi^Fi Р^^^*
I Переход от сил, приложенных к жидкости, к силам, приложенным к
обтекаемому телу, осуществляется на основании третьего закона Ньютона о
равенстве действия ц противодействия.
14 Аэродинамика

210
Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
Полученйое выражение дает возможность ввести следующее
простое выражение для момента аэродинамической силы:
Ж =
2
•mSLq^
(9.18)
где т — безразмерный коэффициент момента аэродинамической
силы. Не входя в детали теории аэродинамических коэффициентов,
так как она с исчерпывающей полнотой изложена в курсах
экспериментальной аэродинамики [9], перейдем к рассмотрению основ-
иых критериев, определяющих подобие потоков в аэродинамике.
§ 3. ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Установим в настоящем параграфе основные критерии
динамического подобия потоков, рассматривая попрежнему два потока: один—
обтекающий натурный объект, а другой — его модель.
Основные критерии подобия можно установить различными
путями. Ниже критерии подобия будут получены исходя из структуры
основных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости.
Обратимся к дифференциальным уравнениям движения вязкой
жидкости
dv
dv^ dv^ dv
+ v
/d^v^ d^v^
dz
= ^-
1 dp
p dx
+
dv
dv
dt ^ '
\ dp
P ^y
dv
dv
dy*
dz^
+
i-^b
dv,
3
dv.
db
dx
dy ^ dz
/d^v^ d^v^ d^v,
.V —^H ^ +
\dx^ dy' di
:*/ 3 dy
dv^
dv^
1 dp
^ + ^^^ + ^^ + ^^^^Z^~^ +
dt
'dx
dy
dy
P 'dz
/дЧ^ d^v^ d'^vA V 56
^ \dx^ dy^ dz^j 3 dz
где
' dx
+ '
dv
dy dz
(a)
Структура этих дифференциальных уравнений движения вязкой
жидкости для двух подобных потоков не должна, очевидно,
зависеть от изменения масштабов входящих в эти уравнения величин.
Изменение масштабов может лишь привести к появлению численных
коэффициентов при всех величинах, чьи масштабы в сравниваемых
потоках различны.

§ 3, Основные критерии подобия 211
Действительно, предположим, что при переходе от обтекания
модели к обтеканию натурного О'бъекта (самолет, ракета и т. д.) все
линейные размеры изменяются в L раз, время — в Г раз, скорости—
в V раз, ускорения массовых сил — в G раз, давления — в Р раз,
плотности — в R раз, динамический коэффидиент вязкости — в
М раз, кинематический козффициент вязкости — в N раз.
Тогда, полагая, что уравнения (а) написаны для натурного
объекта, можем переписать их в виде
V dv^ V^ / dv^ dv^ dv^\ ^ ^^ P / I dp
dt L
NV
dx^ dy^ "^ dz^ ) 3 dx \ dx dy dz
(6)
и т. д.,
где вое размерные величины' относятся уже к модели. Но лля
модели МОЖНО', очевидно, прямо йаписать уравнения движения 6
виде (а), и тогда сравнение этих уравнений с уравнениями (б)
приводит к следующим условиям подобия:
J: = Z! = G=^ = ^. (9.19)
Т L RL L* ^ ^
Анализ, полученного соотношения дает возможность получить
основные критерии подобия.
Получим прежде всего критерий подобия, учитывающей влияние
вязкости в движущейся жидкости. Для этого сравним второй член
равенств (9. 19), наличие которого обусловлено инерционными
членами в уравнениях движения, с последним членом, учитывающим
влияние вязкости:
К^ __NV
Отсюда сразу получаем такой критерий подобия ^
VL
N-'
ИЛИ, имея в виду, что
гДе индексы 1 и 2 относятся к двум сравниваемым подобным
потокам:
VI V2 "

212 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
Безразмерная величина
— = R (9.20)
является критерием частичного подобия с учетом вязкости.
Если модель и натурный объект обтекаются одной и той же
жидкостью с одним и тем же коэффициентом кинематической
вязкости vc=rVj = v2 (Л^=1), то в этом случае условие подобия (9. 20)
напишется в виде
v^l^^v^k, (9.21)
Из соотношения (9.21) следует, что скорость потока,
обтекающего модель, должна быть больше скорости потока, обтекающего
натуру, во столько раз, во сколько линейные размеры модели
меньше размеров натуры.
Таким образом, полученный выше результат означает, что для
соблюдения частичного подобия потоков с учетом влияния вязкости
необходимо не только геометрическое подобие, но и равенство чи-
сел R этих Потоков.
Число R играет большую роль в задачах аэродинамики i. От
числа R зависит, в частности, коэффициент сопротивления
различных тел, обтекаемых потоком вязкой жидкости.
Получим другой критерий подобия, учитывающий влияние силы
тяжести. Сравнивая второй (инерционный) и третий члены
равенства (9* 19), находим
— = 0
L
Так как в уравнения движения входят массовые силы,
отнесенные к единице массы,, тО' для силы тяжести имеем
х=о, y=-g.z=o,
откуда следует, что
G=T.
Таким образом, для соблюдения подобия двух потоков, учитывая
только инерционные силы и силы тяжести, необходимо выполнение
равенства
~^\. (9.22)
которое может быть переписано в виде
f = f. (9.22')
1 Число R служит мерой влияния вязкости на движение жидкости: чем
меньше число R, тем больше это влияние.

§ 3, Основные критерии, подобия 213
Если последнее соотношение поделить на g, то получим
безразмерный критерий подобия
-^-F, (9.23)
учитывающий влияние силы тяжести. Следовательно, условие
частичного подобия с учетом весомости жидкости можно
сформулировать так: для соблюдения частичного подобия двух потоков, с учетом
влияния силы тяжести, необходимо не только геометрическое
подобие, но и равенство чисел F.
Как видим, выдерживая подобие с учетом влияния сил тяжести,
нужно удовлетворить условию (9. 22'), противоречащему условию
(9.21). Действительно, по условию (9.21) при уменьшении
линейных размеров модели в L раз надо во столько же раз увеличить
скорость ее обтекания, а по условию (9. 22') при уменьшении
размеров модели надо уменьшить скорость ее обтекания в V L раз.
Следовательно, одновременное соблюдение подобия (при L=7^ 1) с учетом
сил вязкости и сил тяжести невозможно.
В большинстве задач аэродинамики приходится учитывать
влияние сил вязкости, т. е. соблюдать подобие по числу R (при больших
скоростях движения следует учитывать также сжимаемость
жидкости, о чем будет сказано ниже). Подобие по числу F необходимо
соблюдать в тех случаях, когда рассматривается, например,
движение, в тяжелой жидкости частично погруженного в нее тела. С
такого рода движением встречаются при испытаниях моделей
гидросамолетов, глиссеров, катеров и пр. в гидроканале. При
протаскивании модели на поверхности воды образуются волны, порождающие
тан называемое волновое сопротивление. В задачах этого рода
действием силы тяжести на образование волн пренебречь нельзя и
приходится учитывать подобие по числу F.
В проблемах, где приходится иметь дело с неустановившимися
режимами течения, вводится особый критерий подобия, называемый
критерием подобия по периодичности. Сравним первые два члена
равенства (9. 19), из которых первый характеризует
нестационарность течения, а второй — попрежнему характеризует инерционные
СИЛЫ:
Т L '
Отсюда
^=\ (9.24)
ИЛИ
k h
Полученный критерий применим тогда, когда рассматриваются
какие-либо неустановившиеся, но периодически повторяющиеся про-

214 Глава IX, Основы теории движения вязкой жидкости
цессы, например, отрыв вихрей, волновые колебания жидкости
и т. п. Безразмерное число
— =S (9.25)
характеризует частичное подобие по периодичности.
Таким образом, для соблюдения частичного подобия потоков с
учетом периодичности явлений необходимо не только геометрическое
подобие, но и равенство чисел S.
Число S играет большую роль в проблемах нестационарной
аэродинамики [32].
Обратимся к последнему критерию подобия, играющему в
настоящее время, в связи с большими скоростями полета, огромную
роль — к критерию подобия с учетом сжимаемости жидкости.
Сопоставим второй и четвертый члены уравнения (9. 19),
учитывающие соответственно влияние инерционных сил и сил давления.
Получим
1/2 __ р
или
=1. (а)
У сжимаемой жидкости изменение плотности зависит от изменения
давления. Характер этой зависимости связан со скоростью звука
при помощи соотношения
dp
где а — скорость звука.
Изменяя масштабы в этом уравнении (например, увеличивая
скорость звука в А раз, давление — в Р раз, плотность—^в R раз),
получим
Л'^=—. (б)
R ^ ^
Из соотношений (а) и (б) находим
Р V2.
R
т. е.
А
или
-2---^. (9.26)
«1 ^2

§ 4. Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе 215
Будем обозначать отношение
— ==М. (9.27)
а
Тогда условие частичного подобия с учетам сжимаемости
жидкости может быть сформулировано в следующем виде: для соблюдения
частичного подобия двух потоков с учетом сжимаемости необходимо
не только геометрическое подобие, но и равенство чисел М.
Из изложенного следует, что силовое воздействие потока на
помещенное в нем тело, характеризуемое коэффициентом
аэродинамического сопротивления Се, зависит в общем случае от формы тела,
ориентировки его относительно потока и критериев подобия R, F,
S и М. Следовательно, для данного тела, определенным образом
ориентированного относительно потока,
Се =/(R, F, S, М).
Во многих задачах аэродинамики решающее значение имеют
критерии R и М, т. е. с достаточной для пра'ктич^еских целей
точностью
CE=f(R. М).
§ 4. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Полученные в этой главе общие дифференциальные уравнения
движения вязкой несжимаемой жидкости (9.11) интегрируются
только в некоторых частных случаях, к числу которых, в частности,
принадлежит так называемое ламинарное течение вязкой жидкости
в круглой цилиндриче)Ской трубе.
Прежде чем приступить к решению этой задачи, сделаем
несколько предварительных замечаний о возможных режимах течения
вязкой жидкости (в том числе в круглой цилиндрической трубе).
Наблюдения показали, что могут существовать два различных типа
течения вязкой жидкости:
1) течение плавное, когда' частицы жидкости не смешиваются
между собой и жидкость движется отдельными слоями. Эти течения
получили название ламинарных (слоистых);
2) течение, в кагором существует беспорядочное движение
частиц жидкости, приводящее к ее перемешиванию. Эти течения
получили название турбулентных.
Опытами было установлено также, что наличие того или иного
режима связано с различными значениями критерия подобия R.
При малых числах R (R<2300) устойчивым режимом является
ламинарное течение жидкости.
При больших числах R (обычно^ при R>4000) устойчивым
режимом является турбулентное течение. То значение числа R, *начи-
ная с которого возникает турбулентное течение, обозначается через
Rkp и называется критическим (обычно R,kp='230O—4000).

216
Глава IX, Основы теории движения вязкой жидкости
Перейдем теперь к решению задачи о ламинарном,
установившемся течении жидкЬсти в круглой трубе, используя для этой цели
основные уравнения движения
вязкой несжимаемой жидкости (9.11).
Рассмотрим бесконечно длиннук>
круглую цилиндрическую трубу,,
внутри которой имеется ламинарное
течение жидкости. Ось х (фиг. 9. 5)
направим вдоль оси трубы.
Так как течение одномерное и
ламинарное, то из трех компонентов
скорости только одна Оаг^-О, а осталь?
ные две Vy=Vs!'=^Q. При этом
уравнения движения (9. 11) и урав-нение
неразрывности упропдаются и принимают вид (силами тяжести
пренебрегаем)
Фиг. 9. 5. К решению задачи о
ламинарном течении жидкости по
круглой трубе.
дю^
V
1 др fd^v.
^ дх р дх \дх^
+
:: J ~ I •
0= i.!^
ду
-^
dz
dv^
= 0.
(9.28)
дх
Из последнего уравнения системы (9. 28)' следует, что скорость
t^a, есть функция только координат у и г, а из второ'го и третьего —
что давление р является функцией только координаты х. Поэтому
уравнение (9. 28) можно переписать в виде
d'v^ d^v^
dp
dx
(9.29)
Поскольку левая часть равенства (9.29) является функцией
только у и г, а правая часть — функцией только х,. то отсюда
вытекает, что равенство (9. 29) может иметь место только в случае, когда
ш левая и правая его части — постоянные числа.
Введем следуюш;ее обозначение:
— = const =
dx
(9.30)
где Д/?=р1—р2 —перепад давления на участке трубы длиной /
(анак минус поставлен потому, что давление вдоль трубы падает^

§ 4. Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе
217
т, е.— <]0, а Ар>0). Таким образом, уравнение (9.29) сводится к
линейному уравнению в частных (производных второго порядка
d^v, d^v.
(9.31)
Уравнение (9.31) будем решать при граничном условии,
основывающемся на гипотезе о том, что в точках, где вязкая жидкость
примыкает к твердой неподвижной стенке, скорость жидкости
обращается в нуль 1. Математически это условие напишется в виде
'г;^ = 0 при r=R, (9.32)
max
2222JZZ/2:^ZZZ777777777Z7T?
где г=1/^д;*4-2:^—текущий радиус;
/? —радиус трубы.
Как нетрудно проверить, уравнению
(9.31) и граничному условию (9.32)
можно удовлетворить, представив х)^
в следующем виде:
-C(l-|l), (9.33)
где С — некоторая постоянная, определяемая из условия
удовлетворения уравнению (9. 31):
2 _ Д/7
Фиг, 9.6. Распределение
скорости по сечению круглой трубы
при ламинарном течении
жидкости.
-2С-
/?2
т. е.
4fx/
Следовательно, выражение для Vx приобретает вид
(9.34)
А^1
(9.35)
Полученно1е выражение для искомой скорости у^, показывает, что
скорость по сечению круглой цилиндрической трубы распределяется
по параболическому закону (фиг. 9. 6).
Из уравнения (9. 35) следует также, что максимальное значение
скорости достигается на оси трубы при г=0 и равно
1 Это допущение достаточно хорошо подтверждается опытом.

218 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
Поэтому формулу ДЛЯ v^ можно переписать в виде
^. = ^»ax[l-(^)]- (9.37).
Определим секундный объемный расход жидкости Q через
поперечное сечение трубы. Очевидно, элементарный расход через
площадь кольца, ограниченного радиусами г и r+dr, будет равен
dQ==vJ27zrdr. (9.38)
В таком случае полный расход Q представится в следующем
виде:
R R
о
откуда, интегрируя,
Q^^vJl^rdr=^^^^{R^-r^)rdn
Q==^^_JL/?i. (9.39)
Зная расход, можно найти среднюю по сечению скорость. Для
этого разделим величину расхода Q на площадь сечения трубы.
Тотда
. =.-^==^^. (9.40)
Сравнивая (9.36) и (9.40), находим, что
^ср = -^. (9.41)
т. е. средняя скорость по сечению при ламинарном течении
жидкости в круглой цилиндрической трубе равна половине максимальной
скорости.
Определим сопротивление трубы ламинарному потоку жидкости.
Для этого перепишем формулу (9. 40) в виде
Ap^p^-p^ = ^J}^ (9.42)
ИЛИ
др = ?^р/, (9.43)
где d=2R — диаметр трубы.
Преобразуем полученное выражение, приводя его к известному
из гидравлики виду. Для этого умножим числитель и знаменатель
последней формулы на 2рУср. В результате получим
64v / рг;2
АР = —- —4^. (9.44

§ 5. Понятие о турбулентном течении
219
Вводя ЧИСЛО
окончательно получаем
R^
Уср^
Ар=-
64 /
Р<
R d
64
(9. 45)
(9.46)
V
AAvWwXi
Безразмерный коэффициент — в правой части последней форму-
R
лы носит название коэффициента сопротивления при ламинарном
течении жидкости в круглой трубе и обозначается через X, т. е.
Х = ^. (9.47)
Значения коэффициента сопротивления, получаемые по
формуле (9.47), хорошо подтверждаются экспериментом для малых
чисел' R, соответствующих ламинарному режиму течения в круглой
трубе.
§ 5. ПОНЯТИЕ О ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ
При исследовании движения жидкостей в трубах было
установлено, что 1При значении чисел R>Rkp=2300 ламинарный режим
течения становится неустойчивым и переходит в турбулентный,
характеризующийся неупорядоченным,
хаотическим движением частиц.
В турбулентном течении частицы
жидкости, участвуя в общ,ем
движении жидкости, обладают
дополнительными перемещениями как
поперечными, так и возвратными, с
хаотически переплетенными и
быстро изменяющимися по времени
траекториями.
Механизм турбулентного потока
очень сложен и в настоящее время
еще полностью не изучен.
Рассмотрим основные свойства
турбулентного течения.
Обозначим через v скорость частицы жидкости в момент ее
прохождения через некоторую фиксированную точку пространства.
Опыты показывают, чтО' величина и направление этой скорости в
каждой точке турбулентных потоков изменяются по времени (см.
фиг. 9. 7, где изображена запись изменения скорости частиц,
проходящих через некоторую фиксированную точку пространства).
Как видим, турбулентное течение жидкости по своей внутренней
структуре является существенно неустановившимся, в то время как
Л1аминарное теченрю жидкости может быть и установившимся и не-
установивш^имся.
Зремл
Фиг. 9. 7. Пульсации скорости при
турбулентном течении.

220
Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
Турбулентное течение, как бы ни было оно сложно по своей
внутренней структуре, однако подчиняется общим законам динамики
жидкости, в частности, уравнениям движения вязкой жидкости
(9.11). В то же время точная постановка вопроса о разыскании
решений этих уравнений при строго поставленных начальных и
граничных условиях не имеет смы'сла, так как при турбулентном
течении строго задать начальные и граничные условия невозможно.
К этому следует добавить, что самые ничтожные отклонения от
поставленных начальных и граничны!х условий могут привести к
значительным изменениям в решении уравнений. Ввиду этого
уравнения движения вязкой жидкости в форме (9.11) практически не
могут быть применены для изучения турбулентных течений.
Для исследования турбулентного течения приходится поэтому
применять особые приемы, связанные с заменой истинных
(мгновенных) величин некоторыми осредненными их значениями. Для этого
обратимся к фиг. 9.8, где по оси
''абсцисс отложено время t, а по оси
ординат — истинная скорость Уд,.
Зависимость Пх — ИСТИННОЙ скорости
течения в данной точке от времени
изображается зигзагообразной
кривой. Прийимая некоторый
промежуток времени Г за период
осреднения, введем осредненную скорость Vg^
времй следующим образом (см. фиг. 9. 8):
h
/\АМЛлАЛа/иЛ
I
\%
4-
i-^-.
Фиг. 9.8. Осреднение скорости
турбулентного течения.
т
Таким образом, осредненная скорость v^ за время Т будет
определяться равенством
v^
1
т
J-
dt
Аналогичн©
V
т
'+2
У т
j 'Vydt,
'4
^+ч
^. = у [ •Vzdt.
^-'т

§ 5. Понятие о турбулентном течении 221
Проекции истинной (мгновенной) скорости потока в данной
точке могут быть выражены, очевидно, как алгебраические суммы:
(9. 48)
где величины At^a,, Л% AVz получили название пульсационных
скоростей, или, короче, пульсаций.
Наблюдениями установлено, что хотя изменение истинных
(мгновенных) скоростей с течением 1Времени происходит быстро и не
подчиняется какому-либо закону, осредненные значения скоростей
изменяются вполне закономерно. В частном случае осредненные
значения мотут оставаться постоянными по времени.
Такое осредненное турбулентное течение называется
установившимся, а само турбулентное течение — квазиустановившимся.
Совершенно естественно, что операция осреднения скоростей
может быть распространена и на другие величины, характеризующие
движение жидкости при турбулентном режиме. Так, например,
осредненное значение давления в данной точке турбулентного потока
определяется как интеграл;
т
-ij
pdty
т
мгновенное давление
р^р + Ар,
где Лр — пульсационное давление.
Обобщая изложенное выше, можно написать осредненное
значение для некоторой функции f{x, у, г, t) в следующем виде:
^+2
Т
/(^, y^z,t) = j, J fix, у, z, t)dt (9.49)
.1
2
Если в результате осреднения, проведенного в данной точке в
различные моменты времени t, будут получаться одни и те же
значения /, то такое осредненное движение жидкости называется
установившимся. Другими словами, в этом случае
1^Пх,у, Z), (9.50)
т. е. осредненное значение от / будет функцией только координат
точек пространства, в котором течет турбулентный поток жидкости,

222 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
НО не времени. Как следствие, из (9. 50) получаем очевидное
равенств®
а7=7-/=0, (9.51)
т. е. равенство нулю осредненных значений самих пульсаций.
Рассмотрим в квазиустановившемся турбулентном потоке еще
одну пульсирующую функцию fx{x, у, Z, t). Учитывая равенство
(9. 50), будем иметь
Ж=7/7, (9.52)
где черта сверху попрежнему обозначает осреднение по времени.
Так как операции дифференцирования по координате и
интегрирования по времени независимы, то на основании равенства (9. 49)
получаем
Tf dj W д7 W df
дх дх ' ду dy ^ dz dz
(9.53)
т. е. среднее значение производной от некоторой функции по
координате равно производной от среднего значения функции по той же
коордийате.
Можно убедиться в том, что аналогичным свойством обладаег
и производная по времени, т. е.
^ = ^. (9.54)
dt dt ^ '
В самом деле,
i
'---- j" f{x, у, z, t)dt^jr~ j fix. y, z, t)di-
T T
dt
T T
2 2
T
„-![/(.,.. ...+Z)_^,..,._X)]=XJ|.,
'4
T. e. получаем выражение (9.54).
Будем считать, что турбулентный по'ток состоит из двух потоков,
наложенных друг на друга: «осредненного» и «пульсацио'Нного», из
которых последний характерен тем, что его параметры (скорость,
давление и пр.) все время меняются с течением времени.
Учитывая это условное деление турбулентного течения на два
потока, можно считать, что кинетическая энергия осредненного и

§ 5« Понятие о турбулентном течении 223^^
кинетическая энергия пульсационного потоков будут в сумме
составлять кинетическую энергию исходного турбулентного течения.
Разлагая скорость пульсационного потока по осям координат,
получим кинетические энергии каждого из составляющих пульсаци-
онных потоков, которые будут пропорциональны величинам
представляющим собою средние квадратичные пульсационных
скоростей.
Турбулентность получила название изотропной, если в
рассматриваемой точке соблюдаются равенства
т. е. если кинетическая энергия пульсаций одинакова во всех
направлениях.
Турбулентность называется однородной и изотропной, если это
условие соблюдается во всех точках турбулентного потока.
Рассмотрев основные свойства и определения турбулентного
течения, перейдем к выводу дифференциальных уравнений движения
турбулентного потока.
Напишем основные дифференциальные уравнения движения
вязкой несжимаемой жидкости i:
dVy. dv,. dv^ dv^ I dp
dt dx ^ dy dz p dx
dt dx ^ dy dz p dy ^
dv^ dv^ dv^ dv ^ ^/^ , 2
dt dx ^ dy dz p dz
(9.55)
(массовыми силами пренебрегаем).
Эти уравнения движения содержат, как известно, истинные
(мгновенные) значения скоростей и давления.
Подставим в уравнения движения (9. 55) вместо истинных
значений скоростей и давлений их выражения через соответствующие
ооредненные и пульсационные величины, а затем проведем над
каждым слагаемым этих уравнений операцию осреднения.
1 где v^ (• • •) = —T~i— + —n— + —n—
dx^ ду^ dz^

224 Глава IX, Основы теории движения вязкой жидкости
Пользуясь уравнением неразрывности для несжимаемой
жидкости, первое уравнение системы (9. 55) можно представить в следую-
пхем виде:
dv^ d(v^v^\ ^{'^r'^v) ^i'^x'^z) ^ ^P с. r^ ^,44
'^+ \ + . + I = r- + ^v4- (9.56)
dt dx dy dz ^ dx
Проведя операцию осреднения всех членов уравнения (9. 56) и
учитывая соотношения (9.53) и (9.54), будем иметь
dv^ д{рл)Л d(v^v^ d{v^vj I dp ^— . ^^^
-—+ V " + \ "^ + ! = r^ + V'»;,. (9.57)
dt dx dy dz p dx
Полагая течение квазиустановившимся и используя соотношения
{9.50) и (9.52), средние значения от произведений проекций
скорости можно написать в следующем виде:
или, учитывая уравнение (9.51),
2
Следовательно, уравнение (9. 57) можно написать в следующем
виде:
div^v^) ^ д(у^Уу) , д(у^у,) Li^ + W^'t' -
dx dy dz p dx
d (^yj^^yj,) d (At;^At;J d {^у^^у^)
dx dy dz
Используя осредненное уравнение неразрывности
dy^ dv^ dv^
dx dy dz
будем иметь
- dy^ - at; - dy^ \ dp ^
^ dx ^ dy dz p dx
dx dy dz
Проделав аналогичные преобразования с двумя другими
уравнениями системы (9.55), получим следующую систему осредненных

# 5. Понятие о турбулентном течении
225
дифференциальных уравнений для турбулентного движения
жидкости, называемых уравнениями Рейнольдса:
— dvy — dv^
dvy
Р Г^л
дх
^v~ + 'V,~\^
ду
дх
' dz
д
' дх
+ P'V^t;^ +
+ _(_рД^^д^^)+_(_рД^^д^^) + „(_рД^^д^Д
/— dv., - dv^ — dvA dp ^—
+ — (— рДгг^) + —(—pA^vAt^) + — (— p"aV^)>
_ dv - dv^
p'^^^+^-17+^^^
dp
dz
+ V'V'^'V2 +
+ 7- (—P^'Vx^'Vz) + T- (—PA-Oj,Дг»J + — (—Pl^v,^v;).
дх
ду
dz
(9. 58)
Сравнение полученных уравнений (9. 58) для турбулентною
потока жидкости с общими уравнениями (9. И) показывает, что в
турбулентном потоке образуются некоторые дополнительные
напряжения 1 от пульсационных скоростей (обозначения аналогичны тем,
которые были введены для напряжений в § 1 настоящей главы, но со
значком т)
Р1. = - Р^^;.^^;.; Р];у = - Р^'^у^'^/, Р,
^L
-P^v^^v^
ху ух
■9^v^hVy; xj^^ = xly =
-pAVyAv/, xl^ = -zi =— p^v,^v
(9.59)
Величины полных осредненных напряжений в турбулентном
потоке запишутся в следующем виде:
■p + 2^^~-pi^v^^vJ.
p3>v=—P + ^^
dv.^
ду
dv^
•9(AV AV)
Pzz^-P + ^I^^-Pi^'^z^'^zl
)
(9.60)
1 Термин «дополнительные напряжения» следует здесь понимать как
дополнение к тем напряжениям, которые были бы в ламинарном потоке, в котором
распределение скоростей совпадает с распределением осредненных скоростей
в турбулентном потоке.
15 Аэродинамика

226 Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
^ У" "^Х ду ' дх
dv^ dVy
-p{^v^^vл
У' 'У "^Хду ' dz
dv, dVy,
dv^ dv.
(9.60)
Из уравнений (9. 59) видно, что' для нахождения
дополнительных напряжений, появляющихся от пульсаций скорости, надо знать
осредненные значения соответствующих произведений пульсацион-
ных скоростей. Последнее требует привлечения дополнительных
соотношений.
В связи с таким осложнением появляется необходимость
введения различных дополнительных гипотез о механизме турбулентного
потока.
Не входя в дальнейший анализ теории турбулентного течения,
укажем, что большой вклад в изучение турбулентных потомков
внесли наши отечественные ученые. Профессорам А. А. Фридману
и Л. В. Келлеру принадлежит честь создания так называемой
статистической теории турбулентности, которая была развита А. Н.
Колмогоровым, Л. F. Лойцянским, М. Д. Миллионщиковым, Л. И.
Седовым, А. М. Обуховым [33].
§ 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ТРУБАХ
Задача о квазиустановившемся турбулентном течении жидкости
в цлоской и круглой трубе достаточно удовлетворительно решается
методом полуэмпирической теории.
Наиболее полные исследования турбулентного течения жидкости
в трубах были проведены Л. Г. Лойцянским, А. М. Обуховым,
К. К. Федяевским, Г. А. Гуржиенко [33]. Последнему, в частности,
принадлежит наиболее полное зкспериментальное исследо'вание
турбулентного потомка в цилиндрической трубе.
Из работ зарубежных ученых можно отметить работы,
проведенные в этой области Л. Прандтлем, Т. Карманом, Н. Никурад-
зе [1].
Ниже (гл. X) будет показано, что полуэмпирическая теория
турбулентности находит применение и в задачах о так называемом
пограничном слое.
Рассмотрим вначале турбулентное течение жидкости вдоль
бесконечно длинной плоской трубы, стенку которой примем за ось х,
В этом случае во всех точках потока осредненные скорости вдоль
осей у и г будут равны нулю. Принимая движение квазиустановив-
шимся, будем считать составляющую осредненной скорости v^^
(черточку сверху в дальнейшем опускаем) функцией только поперечной
координаты у, т. е. v^=Vxiy)^

§ 6. Турбулентное течение в плоской и круглой трубах
227
В предыдущем параграфе уже -отмечалось, что в турбулентном
потоке, кроме «юсредненното» поступательного потока жидкости,
существует еще и «пульсационный» поток. В результате пульсациое-
ного поперечного движения частицы жидкости, двигающиеся с
некоторой осредненной скоростью v^; в осевом направлении х, за время dt
перемещаются и в поперечном направлении на некоторое малое
расстояние / (фиг. 9.9). Частица, имевшая осевую скорость Va-,
попадает в зону, где осевая скорость ввиду наличия градиента скорости
уже имеет другое значение, отличающееся на величину аУя?= —^/.
dy
/1^////у у//////////////////
Фиг. 9.9. Турбулентное плоское течение
жидкости.
Вследствие этого в направлении главного движения происходит из-
меяение количества движения частиц жидкости, вызывающее
появление дополнительных сопротивлений движению жидкости.
Если обозначить пульсациойную скорость поперечного движения
частиц жидкости через v^, то через некоторую направленную вдоль
основного потока площадку dS (перпендикулярную к v^i) за
время dt пройдет масса жидкости
dm = pdSVy dt.
Изменение количества движения (параллельно оси х) этой
массы жидкости, перемещаюш^ейся по вертикали на длину I, равно
dv
dm dv^=^o dSv^ dt —— /.
"" ^ ^ dy
(9.61)
Согласно теореме импульсов изменение количества движения
за время dt равно импульсу сил за тот же промежуток времени, т. е.
dmdv^ = Fdt,
где через F обозначено усилие, параллельное основному потоку.

228
Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
Разделив левую и правую части последнего уравнения на dSdt
и учитывая уравнение (9. 61), будем иметь
'^у^'=='^==^''у
dy
l==pv^dv^.
Если допустить, что Vy и dva} — величины одного и того же
порядка малости, т. е. считать v^r-^dv^, то приближенно
(9.62)
Последняя зависимость характеризует дополнительное
напряжение трения, возникающее в турбулентном квазиустановившемся
потоке жидкости из-за наличия поперечных движений отдельных
частиц, т. е. пульсаций скорости.
Л. Прандтль, исходя из
представления о сходстве
между явлением переноса
количества движения при
турбулентном перемешивании и при
столкновении молекул при
ламинарном движении,
предложил трактовать величину / как
турбулентный аналог «пути
свободного пробега молекулы» и
называть ее путем
перемешивания.
На основании изложенного можно сделать заключение о том,
что полное напряжение сил трения в турбулентном потоке будет
определяться суммой, состоящей из основного вязкостного
напряжения и дополнительного напряжения от пульсаций, т. е.
Фиг. 9. 10. Ламинарный подслой.
(9. 63)
В последние годы опытами установлено, что при турбулентном
течении жидкости в непосредственной близости к стенкам в очень
тонком слое течение сохраняется ламинарным (фиг. 9. 10) и трение
в этом сло1е подчиняется закону
dv^
Отсюда следует, что относительное значение каждого из членов,
входящих в выражение (9.63), существенно зависит от
местоположения участка потока, к которому это выражение применяется. Так,
вблизи стенок noroiKa, т. е. в зоне ламинарното слоя, где доминирует
влияние только основных сил вязкости, первое слагаемое уравнения
(9. 63) имеет решающее значение. Наоборот, в центральной зоне,

§ 6. Турбулентное течение в плоской и круглой трубах
229
где явления турбулентного^ перемешиБания наиболее развиты,
основную роль играет второе слагаемое.
Установим порядок толщины ламинарного подслоя. Будем
предполагать, что между толщиной подслоя 8л, физическими константами
жидкости JJL и р и напряжением трения то существует зависимость
8^ = а|х-р''т-,
где а—некоторая безразмерная константа.
Используя теорию размерностей, можем написать
М
\L\
откуда получаем
TL
13
а = 1, Ь=--'
ь\ М
(9.64)
т. е.
Введем обозначение
К^Ч9
2 ^ 2
^0
гк
=/
(9. 65)
(9.66)
Величина v^ имеет размерность скорости и ее принято называть
скоростью касательного напряжения или динамической скоростью
(следует иметь в виду, что v^ не является скоростью движения
частиц жидкости). Таким образом,
. = а-
V.J,
(.9.67)
Постоянная а является одной из наиболее характерных констант,
определяющих турбулентные течения в трубах. Ее значение
определить теоретическим путем не удается. На основании опыто*в
найдено значение а=11,5.
Последнее выражение для 8л можно преобразовать следующим
образом:
r-Q
Т. е.
где
V
^тах^О
^л
/"О
^шах а
% Rm
const
Rm '
Г) ^max ^0
/=
max
(9.68)

230
Глава IX. Основы теории движения вязкой жидкости
На основании формулы (9. 68) можно сделать заключение, что
при больших значениях Кш толщина ламинарного подслоя
составляет ничтожную часть диаметра круглой трубы i.
По современным воззрениям за ламинарным подслоем следует
промежуточная область или переходный слой (зона) от
ламинарного к турбулентному движению, тоже весьма тонкий. За
переходным слоем в центральной части потока располагается так называе-
Турбулеитное ядро
течения
^х
Фиг. 9. 11. Структура потока при турбулентном
течении жидкости по трубе.
мое ядро течения (фиг. 9. 11). В ядре течения движение жидкости
является уже чисто турбз^ентным.
Пренебрегая толщиной ламинарного подслоя и считая течение
в трубе полностью турбулентным, найдем закон распределения
скорости Vx ПО сечению трубы и величину напряжения трения tq.
Эмпирический закон сопротивления для турбулентных течений
в гладких трубах может быт1^ представлен следующей
зависимостью [1]:
Л/;:
4
L !4
Го 2
(9.69)
где Лр — перепад давлений на рассматриваемом участке / гладкой
цилиндрической трубы; Го — радиус трубы; t^cp — средняя скорость
течения; Ci — некоторая постоянная; R= —^^-^ .
Воспользуемся известным уравнением
(9.70)
устанавливающим связь величины падения давления вдоль трубы
на длине / с напряжением трения на стенках трубы т^.
1 Это дает возможность считать, что практически профиль скоростей в
ламинарном подслое—прямолинейный.

§ 6. Турбулентное течение в плоской и круглой трубах
231
Используя формулы (9.69) и (9.70), будем иметь
1 7 1
уг> 4 4
CgpV 'Уср^о
(9.71)
Сделаем два предположения. Во-первых, предположим, что
распределение скоростей по сечению трубы не зависит от расхода и
скорости движения жидкости в
трубе и подчиняется
степенному закону (фиг. 9. 12):
"=""-(ir-
Считая, что максимальная
скорость течения
пропорциональна средней скорости
'Z^mix = Q'^cp^
получим
yi
1
^гг^ ируглой mpt/dt» ^ ^/ти
Ч) 1
г^/туутту///////-// // / // ^/^ ^ ^ ^ ^ ■' ^ ^ > / ^
: const pv'^ 'г;^
7
(9.72)
Фиг. 9. 12. Степенной закон
распределения скорости по сечению круглой трубы
при турбулентном потоке.
Определим величину показателя степени п. Для это-го сделаем
второе предположение, что размеры трубы не влияют на величину
напряжения трения. Тогда, полагая показатель степени при Го в
последней формуле равным нулю, сразу получаем
J__
7
Следовательно, закон распределения скоростей принимает вид
1
« = -
"V^V^
или, учитывая, что у=/'о—^>
"=="-^(^^i)'
(9. 73)
(9.74)
т. е. в случае турбулентного' течения скорость в поперечном сечении
трубы возрастает по направлению от стенки к оси трубы
пропорционально корню седьмой степени из расстояния от стенки.
Этот закон получил название закона корня одной седьмой или
просто закона одной седьмой i и часто употребляется на практике.
1 Существуют более строгие выводы степенного закона (см. [1]). Следует
отметить, что закон одной седьмой xoponio согласуется с опытами только до
чисел R<50 000. При R = 200 000 более подходящим оказывается закон корня
восьмой степени, а при числах R порядка 500 000 — закон корня десятой
степени.

232 Глава IX, Основы теории движения вязкой жидкости
Заметим, что для распределения скорости по сечению трубы
существует более точная формула, имеющая вид
-^ = 5,75 lg^^ +5,5, (9.740
где
-.=/f
Эта формула для распределения скорости получила название
логарифмического закона.
Используя закон одной седьмой, нетрудно получить выражение
для напряжения трения на стенке.
По данным опытов со'отношение между максимальной и средней
скоростями имеет вид
'^ша. = 1.235г;,р.
Поэтому, принимая Сз== 1,235, получим следующее выражение для
искомого напряжения трения на стенке:
1_ 7_ _1_
To = 0,0225pv%'j; ' (9.75)
или
1_
То = 0,0225р^2(—]\ (9.76)
При 'Вычислении то по формулам (9.75) или (9.76) можно
задаваться любым значением у=^АО и у-Х-Го и находить
соответствующее ему значение v но формуле (9. 73).
На основании изложенного можно сделать заключение, что при
турбулентном потоке распределение скорости по сечению трубы
сильно отличается от распределения скорости для ламинарного потока.
При турбулентном течении скорость резко изменяется только
вблизи стенки и весьма мало в пределах основного ядра течения (см.
фиг. 9.11), в связи с чем градиенты скорости при турбулентном
движении в 'ОСНОВНОЙ части потока гораздо меньше, чем при
ламинарном, а у стенки, наоборот, больше.

Глава X
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Точное решение задачи об обтекании потоком вязкой жидкост»
какого-либо тела, например, крыла или фюзеляжа, сводится к
интегрированию сложных дифференциальных уравнений движения
вязкой жидкости при заданных граничных и начальных условиях.
В настоящее время существуют два принципиально отличных
друг от друга метода упрощения уравнений движения вязкой
жидкости. Один из них заключается в ТО'М, что инерционные члены в этих
уравнениях либо полностью отбрасываются, либо оставляются
только важнейшие из них, а остальные отбрасываются. При этом
слагаемые, определяемые вязкостью, сохраняются без изменения.
Таким методом в 1851 г. Стоксом была полностью решена
задача об обтекании потоком вязкой жидкости шара радиуса Го
(инерционные члены отбрасывались). Полученная формула для силы
сопротивления (формула Сто'кса) имеет вид
т. е. сила сопротивления оказывается пропорциональной первой
степени скорости.
Однако формула Стокса применима лишь при очень малых
значениях чисел R (при R<1), ибо полностью пренебрегать силами
инерции по сравнению с силами вязкости можно только в том
случае, если число R достаточно мало по величине. Она применима,
например, к изучению падения капелек тумана в воздухе, но уже для:
случая падения в воздухе дождевых капель она становится
непригодной.
Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод,
Стокса, принадлежит Озину [2] и заключается в том, что в
уравнениях движения оставляются только важнейшие из инерционных
членое, а остальные отбрасываются. iB этом случае нелинейная
система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости,
сводится к линейным уравнениям с частными производными
первого и второго порядков.
Метод Озина приводит к весьма сложным выкладкам и
практически применим только при малых числах R.

234
Глава X. Пограничный слой
Таким образом, практическое применение результатов,
полученных «а основе указанных выше методов, крайне ограничено и для
аэродинамики интереса не представляет.
Другой метод упрощения уравнений движения вязкой жидкости,
принципиально отличный от предыдущих, применим, наоборот, к
изучению обтекания тел при больших числах R, вследствие чего^ он
:имеет огромное значение для авиации.
Этот метод основан на понятии о пограничном слое. Как будет
.показано ниже, он позволяет построить приближенную теорию об-
,0Н^'^
лоток
Фиг. 10. 1. Схема пограничного слоя.
текания тела вязкой жидкостью и определить силу лобового
сопротивления тела в потоке вязкой жидкости.
Обратимся к рассмотрению физической картины обтекания.
Допустим, что йеподвижное тело, например, профиль крыла,
обтекается потоком воздуха (фиг. 10. 1). Непосредственные
наблюдения показывают, что в тонком слое вблизи поверхности тела
происходит резкое нарастание скорости от значения и=0 на
поверхности тела до величины порядка скорости набегающего потока.
Такой слой воздуха, прилегающ;ИЙ к поверхности обтекаемого тела
и представляющий собой область больших значений градиентов
скорости по нормали к телу, носит название пограничного слоя
Частицы пограничного слоя^ пройдя вдоль поверхности
обтекаемого тела, уносятся потоком в область, находящуюся за телом,
сохраняя на себе следы пребывания в пограничном слое. Это
выражается, в частности, в том, что скорости этих частиц, как правило,
меньше скорости в окружающей среде. Заторможенные
частицы образуют за телом область, называемую аэродинамическим
следом.
Как показывают экспериментальные и теоретические
исследования, эта область может быть заполнена и отдельными вихрями,
образующимися при обтекании тела. В этом случае область за телом
представляет собой так называемый вихревой след.

§ 1. Понятие о пограничном слое 235
Формула Ньютона для силы внутреннего трения
dv dv
т = |х— =pv —
on on
показывает, что внутри пограничного слоя и следа, где градиенты
скорости значительны, величиной т — силой внутреннего трения —
пренебрегать нельзя, и жидкость, движущуюся внутри
пограничного слоя, следует считать вязкой даже при малом значении
коэффициента V.
Вне пограничного слоя и следа за телом, где градиенты скорости
малы, силой внутреннего трения можно пренебречь, т. е. считать
жидкость идеальной, а поток жидкости безвихревым
(потенциальным).
Таким образом, жидкость вне пограничного слоя и следа можно
рассматривать как идеальную и ее движение изучать с помотаю
уравнений Эйлера. Внутри же пограничного слоя жидкость следует
рассматривать как вязкую и изучать ее движение с помощью
дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. (В
следующем параграфе будет показано, что благодаря малой толщине
пограничного слоя дифференциальные уравнения движения вязкой
жидкости значительно упрощаются.
Понятие о пограничном слое было впервые отчетливо
сформулировано Н. Е. Жуковским в 1890 г. в работе «О форме судов» [34].
В известном курсе «Теоретические основы воздухоплавания» [35]
Н. Е. Жуковский излагает важнейшие свойства пограничного слоя
и указывает на роль пограничного слоя в образовании силы
сопротивления при движении тела в жидкости.
В этом курсе Жуковский указывает: «Я предлагаю считать (это
не очень точно подтверждено опытами, но все же довольно близко
к действительности), что при стенках скор10сть жидкости равна нулю,
но что затем она очень быстро возрастает и становится равной той
теоретической, которая получается в предположении существования
потенциала скоростей». Далее Н. Е. Жуковский отмечает: «Слой
жидкости около стенок, не имеющий потенциала скоростей, а
следовательно, завихренный, весьма тонок. Его толщина h зависит от
скорости потока: если скор'ость мала, то толщина довольно велика;
а если скорость велика, то толщина мала».
Таким образом, создание схемы обтекания с образованием
пограничного слоя принадлежит нашему великому соотечественнику
Н. Е. Жуко1вскому.
Основные дифференциальные уравнения движения вязкой
жидкости в пограничном слое были даны в 1904 г. Л. Прандтлем.
Ряд важнейших исследований по теории пограничного слоя был
проведен советскими аэродинамиками и в первую очередь научной
школой ЦАГИ. Работы профессоров Л. Г. Лойцянского, А. А. До-
родницина, И. В. Остославского, К. К. Федяевского и др.
значительно опередили зарубежные исследования в этой области. Советские
аэродинамики провели и экспериментальные исследования погра-

236
Глава X. Пограничный слой
ничного СЛОЯ, разработали рациональные формы крыльев и
фюзеляжей, имеющих наименьшее сопротивление, явились создателями
теории пограничного слоя при больших скоростях движения.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Допустим, ЧТО' плоский поток жидкости движется вдоль твердой
границы (контур поверхности тела), которую для простоты будем
считать прямолинейной и
направленной вдоль оси X (фиг. 10.2). Вдоль
этой границы образуется
пограничный слой АВ, толщину которого
обозначим через ^1.
Так как жидкость внутри погра-
ничрЮ'ГО' слоя является вязкой, то для
изучения ее движения рюпользуем
дифференциальные уравнения
движения вязкой жидкости, которые для
плоского потока будут иметь
следующий вид:
Фиг. 10.2. К выводу
дифференциальных уравнений пограничного
слоя.
dv^
dt
dv„
dy
1 dp
• X —-fv
p dx
dt
•V
dx -^ dy p dy
d'^v,,
d^v^
dx^
dy^
Пренебрегая массовыми силами X в Y и присоединяя к
уравнениям движения уравнение неразрывности, получим следующую
систему дифференциальных уравнений для вязкой несжимаемой
жидкости:
dv^
dt
dv,,
dv^ dv
dt
dx
dVy
dy
dv
у .
dy '
dv^
1 dp /d^v d^v^
p dx ' \dx'^ dy^
1 dp /(5>2i; d^V^
[_V( ^-) ^
p dy ydx^ dy^
dv„
dx dy
- = 0.
(10.1)
Величина входящей в эти уравнения координаты у ограничена в
пограничном слое неравенством
1 Следует отметить, что понятие толщины пограничного слоя есть понятие
условное. Обычно под толщиной пограничного слоя 5 подразумевают такое
расстояние ог контура тела, на котором скорость будет отличаться от скорости
потенциального потока на Р/о.

§ 2. Дифференциальные уравнения пограничного слоя 237
Это означает, что величину у можно считать малой величиной
порядка ^:
Заметим, что малость Ь следует понимать в том смысле, что мало
отношение —, где / — характерный размер обтекаемого тела
(например, его длина).
Имея это в виду, оценим порядок членов, входящих в
уравнения (10. 1).
Так как на стенке обтекаемого тела Vx^^O, а на внешней границе
слоя Vj} имеет порядо-к V, где V — характерная скорость
рассматриваемого течения (например, скорость на бесконечности перед
телом)^ то отсюда следует, что при изменении у от О до 5
приращение dv^ имеет порядок V, т. е. dva^^V, приращение ду имеет по-
рядО'К S, т. е. ду^^Ь, а потому
ду ^ Ь '
Аналогично можно показать, что внутри пограничного слоя
d'^v^ V
Чтобы оценить порядок —-, заметим, что при перемещении вдоль
обтекаемого контура на отрезок порядка характерной длины /
скорость Va^ может измениться на величину порядка V (например, от О
до V), т. е. и в этом случае ^Vx'^V. Так как при этом dx'^l, то
дх I
Нетрудно убедиться, что
'дх^ ^ ~F'
Используя уравнение неразрывности
dVj^ dVy
дх ду
dv
приходим к выводу, что —^ имеет тот же порядок ^ что и
-—-, т. е.
дх
ду ^ I '

238 Глава X. Пограничный слой
Поскольку
то отсюда следует, что
'V,,
О
у
о
Имея в виду, что на поверхности обтекаемого тела Vy=Q и зная
порядок Vg в точках внутри слоя, легко определить порядок
производных
Очевидно,
dv^
дх
dVy
дх
УЬ
/^ '
d^Vy d'^Vy
' Ij^ ' '^'
d^v^ УЬ d^Vy
дх'^ ^ /3 ' ду^ "
У
1Ь
Определив порядок скоростей и их производных, входящих в
уравнения (10. 1), перепишем первое из уравнений (10. 1), подписав
под каждым членом его порядок:
dVj^ dv^ dv^ I dp /д^'^х ^^^t
dt "" дх у dy ^ дх \ dx'^ dy^
XI YL К У
II l^ Ь^
d*v
Ясно, что в этом уравнении можно отбросить член —-, как
дх^
d^v^ У У
малый по сравнению с членом , ибо отношение — : "тг ==
^ ду^ /2 S-
f Ь Y
= [—1 есть квадрат малой величины.
Тогда первое уравнение системы (10. 1) примет вид
dv^ dv^ dv^ 1 dp дЧ
dt дх ^ ду р дх ду^
У^ У^ W_
I I S«
Предположим, что внутри пограничного слоя силы вязкости и
силы инерции имеют одинаковый порядок. Тогда отношение
8 \2,
где
1/2 V
; V
/ §2
V
-/ w"'

§ 2. Дифференциальные уравнения пограничного слоя 239
ДОЛЖНО иметь порядок, равный единице, т. е.
Отсюда следует, что отношение
(Я
о
i 1
т. е. порядок толщины пограничного слоя, образующегося при
течениях с большими числами R^ равен —г^ или л/ —.
dv
в первое уравнение (10.1) входят еще величины и
dt
JL Ie^
р дх
Будем предполагать, что изменение течения со временем
dv
происходит настолько плавно, что порядок — не превосходит
dt
порядка —, т. е. не превосходит порядка основных инерционных
членов. Тогда и член ^ должен будет иметь тот же поря-
р дх
1/2
ДОК -у- .
Перейдем теперь ко второму уравнению (10.1):
dt
1/25 К*5
1 др /d^v„ d^v,,
L. + V -^+—i^
^ ду \ дх^ б1у2
/3 В
Пренебрегая членом —-, так как он мал по сравнению^
дх^
С —~ , перепишем это уравнение в виде
dv dv dv 1 dp d4
-JL j^ro ~^-\-<v^—^= h^—- ;
dt "" dx ^ dy p oiy ay
/2 /2 lb
Так как по сделанному выше допущению силы вязкости
имеют тот же порядок, что и силы инерции, и полагая, аналогично^
dt}
предыдущему, что —- имеет порядок основных инерционных чле-
dt

240 Глава X. Пограничный слой
dv^ V^b 1 dp
НОВ, Т. е. —— , приходим к выводу, что также
dt /2 р ду
должно иметь порядок • Выше же было установлено, что
1 др 1/2 _
^ имеет порядок —. Отсюда следует, что отношение этих
градиентов имеет порядок —, т. е. градиент давления — мал
/ ду
по сравнению с градиентом —. Поэтому с достаточной
степенью точности можно заменить второе уравнение системы
(10.1) уравнением
^ = 0. (10.2)
ду
Таким образом, давление внутри пограничного слоя не меняется
вдоль нормали к контуру тела и равняется давлению на внешней
границе слоя в рассматриваемом месте.
Этот результат имеет большое практическое значение и
подтверждается хорошим совпадением величины давления, подсчитанной по
теории потенциального потока, с величиной давления, определенной
из эксперимента. Подсчитывая распределение давления
теоретически на основе потенциального течения, получаем его значения
лишь на верхней границе пограничного слоя, ибо внутри слоя
течение не потенциальное. Определяя давление экспериментальным
путем (путем дренирования), находим распределение давления на
самой поверхности тела. Совпадение закона распределения давления,
определенного этими двумя способами, и подтверждает, что
давление в пограничном слое по нормали к телу не изменяется.
Это облегчает определение распределения давления внутри
пограничного слоя. Действительно, из уравнения (10.2) следует, что
распределение давления вдоль слоя совпадает с распределением
давления на его границе. Последнее же можно найти, решая задачу о
потенциальном обтекании данного тела. Можно также определить
распределение давления вдоль пограничного слоя экспериментально
(с помощью дренажа).
Таким образом, из трех уравнений системы (10. 1) остаются два
уравнения с двумя неизвестными Vx и v^,^ так как давление р{х, t)
может быть заранее определено. Эта система дифференциальных
.уравнений пограничного слоя для плоского неустановившегося
движения имеет следующий вид:
dv^ dv^ dv^ 1 dp d^v.
^.j.^ -£-4-^ —£-= ---4-v—-
dt dx ^ ду p dx dy^
(10.3)
dv^ dv
_L + -i:- = 0.
dx ду
Для плоского установившегося движения, отбрасывая в пер-
dVj, dp
BOM уравнении член —- и заменяя частную производную —

§ 2. Дифференциальные уравнения пограничного слоя 241
на полную —, так как в этом случае давление р будет
функцией только координаты х, получим следующую систему
дифференциальных уравнений пограничного слоя:
dv^ dVj^ 1 dp d^Vj^
"" dx ^ dy p dx dy^
dx dy
(10.4)
Система уравнений (10.4) интегрируется при следующих
граничных условиях:
при у=0 Vie=Vy==0;
при y=S v^=u{x),
где и{х) —распределение скорости на верхней границе
пограничного слоя.
Кроме того, в случае неустановившегося движения нужно
учитывать начальные условия: при t=0 v^ и Vy должны обращаться в
заданные функции от л: и у.
Дифференциальные уравнения (10.3) и (10.4) пограничного
слоя получены в предположении, что граница твердого тела
плоская. Оказывается, что эти уравнения с достаточной точностью
справедливы и для к^риволинейной границы. В этом случае следует
считать ось абсцисс искривленной по контуру тела и отсчитывать
абсциссу X по дуге контура тела от какой-нибудь точки, принятой за
начало коо^рдинат, а ординату у — по нормали к поверхности тела.
Следует отметить, что дифференциальные уравнения
пограничного слоя в форме (10.3) и (10.4) пригодны лишь для изучения
ламинарного движения в пограничном слое. Для изучения
турбулентного движения в пограничном слое они неприменимы по тем
же причинам, по каким уравнения движения вязкой жидкости
неприменимы для изучения турбулентного движения (см. стр, 220).
Дифференциальные уравнения пограничного слоя для осреднен-
ного турбулентного движения могут быть получены, например, из
уравнений (10.3) путем их осреднения.
Решение дифференциальных уравнений движения ламинарного
пограничного слоя (10.3) и (10.4), несмотря на то что они проще
О'бщих уравнений движения вязкой жидкости, вое же достаточно
сложно даже для простейших контуров.
В связи с этим пррюбретает большое значение приближенный
метод решения задач пограничного слоя, основанный на
рассмотрении так называемого интегрального соотношения пограничного
слоя, являющегося математическим выражением теоремы о
количестве движения.
16 Аэродинамика

242
Глава X. Пограничный слой
§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Выделим в пограничном слое бесконечно малую площадку ABDC
(фиг. 10. 3), ограниченную элементом BD твердой границы, которую
примем за ось х, элементом АС верхней границы пограничного слоя
и прямыми АВ и CD, отстояш^ими друг от друга на расстоянии dx.
Применим к объему ABDC теорему о количестве движения.
Вычислим изменение количества движения в направлении оси х за
промежуток времени dt. Очевидно, через участок АВ будет втекать
количество жидкости
о
а через участок CD вытекать
♦- ^
Фиг. 10. 3. К выводу интегрального
соотношения для пограничного
слоя.
К'
dt Ipv^
дх
dx \dy
Таким образом, через участки АВ и
CD будет вытекать количество
жидкости
dtdx-
дх
j^pv^dy.
В силу условия неразрывности для несжимаемой жидкости через
верхнюю границу АС должно втекать такое же количество
жидкости. Это количество жидкости внесет следующее количество
движения (на границе пограничного слоя скорость V3^=u, где и —
составляющая скорости потенциального потока):
udtdx-
дх
jpz/^rfj;.
Подсчитаем количества движения жидкости/ вносимые и
уносимые через участки АВ и CD. Через участок АВ вносится следующее
количество движения:
S о
dt J v^pVj^ dy=dt^ pv\ dy-=^F(x, t).
0 0
Количество движения вытекающей через участок CD жидкости
будет равно
F{x^rdx, t)==^F{x, t) + F{x, t)dx.
Следовательно, через участки АВ и CD в направлении оси х
уносится следующее количество движения:
F{x + dx, t) — F(x, t) = P'{x, t)dx^dtdx~'^pvldy.

§ 3. Итегральнаг соотношение пограничного слоя 243
Если течение неустановившееся, то изменение за время dt
количества движения жидкости, находящейся в объеме ABDC, можно
представить в виде
S
dtdx[^ -^ dy.
о
Считая в соответствии с обычными правилами вытекаюп;ее
количество движения положительным, а втекающее отрицательным,
получим следующую величину общего изменения количества движения
жидкости в объеме ABDC за время dt:
dtdx
.0 0 0
(а)
Вычислим импульсы внешних сил за тот же промежуток времени dt
в направлении оси х. Очевидно, на элемент ABDC в направлении
оси X будут действовать силы давления, приложенные к левой,
верхней и правой граням элемента, и сила трения, приложенная к
нижней его грани BD (силы трения, приложенные к левой и правой
граням, дают проекцию на ось х^ равную нулю, а на верхней
грани Л С они отсутствуют по самому определению внешней границы
пограничного слоя).
Проекции на ось х сил давления, действующих на грани АВ, АС
и DC, будут со'ответственно равны:
где ds = AC и синус угла, который ЛС составляет с осью л:-
ds
Сумма этих проекций равна
vb + pdb—(p-i-^dx\{^ + db)=ph+pdb—pb—pd^ —
^b^l^dx-db^-^dx^-b^-^dx,
дх дх дх
а их импульс за время dt составит
-^b^-^dxdL (б)
дх ^ ^
На границе элемента BD действует сила трения, направленная
влево, величину которой, отнесенную к единице площади, обозначим
16*

244 Глава X. Пограничный слой
через— То. Умножая эту силу на величину площади l.dx и на
промежуток времени dt, получим выражение для импульса силы трения
-r-zodxdt. (в)
Приравнивая выражение (а) для изменения количества движения
сумме величин (б) и (в) для импульсов действуюп:][И|Х сил и
сокращая на dxdt, получим искомое интегральное соотношение
пограничного слоя (для случая плоского неустановившегося движения)
0 0 0
Отбрасывая в этом выражени!? первый член в левой части и
заменяя частные производные полными, получим интегральное
соотношение пограничного слоя для установившегося движения
±'^^,^i,^,A.\^^^iy.^b'J--., 00.6)
О о
Следует отметить, что со^отношения (10.5) и (10.6) являются
более общими, чем системы (10.3) и (10.4) дифференциальных
уравнений, и пригодны для изучения не только ламинарного, но и
турбулентного (осредненного) движения жидкости внутри
пограничного слоя, так как при их выводе не делалось никаких
предположений о природе касательного напряжения* tq.
Входящие в интегральное соотношение пограничного слоя
величины и, — и плотность р можно рассматривать как известные ве-
дх
личины, и тогда неизвестными будут только Va, S и tq.
Действительно, скорость и потенциального потока вне погра-
ничногб слоя можно найти путем решения задачи о потенциальном
обтекании или с помощью эксперимента, а по известному и легко
определить и значение —. Покажем это на примере
установившегося движения.
Так как движение вне пограничного слоя потенциальное, то для
верхней границы пограничного слоя можно написать уравнение
Л агр анжа—Бер нулли
;? + PY== const.
Дифференцируя по х, находим
dp , da ri
JL + ptt —=0,
dx dx

§ 4. Расчет ламинарного пограничного, слоя для плоской пластинки. 245
откуда
dp du ,
dx dx
Т. е. получаем выражение — через известную функцию и{х).
Таким образом, величины w, — и плотность р действительно
можно считать известными. Так как в уравнение (10.6) входят три
неизвестные величины v^, ^ и tq, то для их определения необходимо
иметь еще два дополнительных соотношения, связывающих эти
неизвестные величины. В качестве таких соотношений обычно
принимаются закон распределения скоростей по высоте пограничного слоя
и зависимость касательного напряжения от толщины слоя.
Часто, вместо того чтобы искать функцию распределения
скорости t;fl.=/(y), задают вид этой функции. Если характер
распределения скорости Vx=f{y) внутри пограничного слоя, определяемый
видом функции v^=f\y), задан правильно, то получится хорошее
приближение как для зависимости Ь=Ь[х)^ так и для коэффициента
сопротивления трения.
§ 4. РАСЧЕТ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
В качестве примера применения интетрально'го соотношения
пограничного слоя к решению практических задач рассмотрим задачу
Ьб обтекании пластинки плоским установившимся потоком
несжимаемой жидкости 1.
Решение задачи об обтекании
плоской пластинки играет в теории
сопротивления трения большую роль.
Пластинка, поставленная вдоль
потока, является простейшим удобо'-
обтекаемым телом, сопротивление
которого зависит исключительно от
касательных напряжений. Найденные
для пластинки зависимость ^=^{х)
и величина коэффициента
сопротивления трения могут быть
использованы при приближенных расчетах обтекания других удобообтекаемых
тел, например, тонких профилей.
Допустим, что плоский поток, текущий со скоростью ao=cons{,
обтекает пластинку длиной I (фиг. 10.4). Сверху и снизу пластинки
будет образовываться пограничный слой, толщина которого Ь будет
функцией координаты х, отсчитываемой от передней кромки О
пластинки.
^х
Фиг. 10.4. Ламинарный
пограничный слой на плоской пластинке.
1 В дальнейшем будут рассматриваться только случаи установившегося
движения.

246 Глава X. Пограничный слой
Задача сводится к следующему. Зная кинематический
коэффициент вязкости V жидкости, скорость щ набегающего потока и длину
.пластинки /, определить:
1) закон изменения толщины пограничного слоя, т. е. функцию
2) силу сопротивления трения Хгр.
Для решения задачи обратимся к интегральному соотношению
пограничного слоя (10.6) для установившегося течения
о о
dp_
dx
о
Покажем, что в рассматриваемом случае внутри пограничного
слоя —^ = 0. Выше было установлено, что- на верхней границе по-
dx
граничного слоя
dp du
dx dx
Так как в рассматриваемом случае гг = Wq = const, то — = О,
^^=0 и /? = const на верхней границе слоя. Но давление р
dx
внутри пограничного слоя по нормали к поверхности тела не
изменяется, и, следовательно, р== const и —==0 и внутри по-
dx
граничного слоя. Таким образом, интегральное соотношение
(10.6) принимает вид
j-\,.li,-u,i^\^.iy=-y ('0.7)
о о
Для того чтобы вычислить толщину пограничного слоя и силу
сопротивления, приложенную к пластинке, требуются еще два
дополнительных соотношения, в качестве которых можно взять:
1) закон распределения скорости Va^ по толщине слоя и
2) уравнение, связывающее касательное напряжение на
поверхности тела То с толщиной слоя 8.
Приступая к составлению первого дополнительного уравнения —
закона изменения скорости v^ по высоте слоя у, поступим
следующим образом. Вместо того чтобы искать истинный закон
распределения скорости v^=V3,(y), зададим вид функции v^^vh{y).
Именно положим, что Va^ выражастся через у следующим многочленом
третьей степени:
v^-=^a-\-by-\-cy^^-dy^, (а)
где а, Ь, с и d — неизвестные пока коэффициенты.

§ 4. Расчет ламинарного пограничного слоя для плоской пластинка 247
Для ИХ определения обратимся к граничным условиям.
Граничные условия будут двух родов: кинематические, налагаемые на
скорости на границах пограничного слоя, и динамические, налагаемые
на силы внутреннего трения. Составим эти граничные условия.
L Так как на нижней границе пограничного слоя скорость равна
нулю, то
Ю^-о==0. (I)
2. На верхней границе слоя скорость Vx становится равной
скорости Uq потенциального потока. Следовательно,
{V^)y^b = U,. (II)
3. На верхней границе пограничного слоя сила внутреннего
трения z = ii —^ обращается в нуль. Поэтому
ду
4. Для определения четвертого граничного' условия обратимся
к дифференциальным уравнениям пограничного слоя.
Из первого уравнения системы (10.4) следует, что на нижней
границе пограничного слоя
(так как при у = 0 скорости Viff='V^=0).
Но так как в данном случае -— = 0, то, следовательно, и
dx
Указанные четыре граничных условия позволяют определить
величины четырех коэффициентов а, Ь, с, d:
' 2 5' 2S3
Следовательно, закон распределения скорости v^^^Vxiy) принимает
следующий вид:
.,=t(3.-f). (б)
Итак, первое необходимое дополнительное ооогношение найдено.
Второе дополнительное соотношение найдем, используя закон Нью-
тоиа для внутреннего трения (при ламинарном течении):

248 Глава X. Пограничный слой
^^^j^/g-.^
Так как в данном случае по формуле (б)
ду "~ 2Ь
После подстановки в интегральное соотношение (10.7)
найденных выражений для скорости v^; и касательного напряжения tq
получим дифференциальное уравнение, содержащее одну неизвестную
величину S, решая которое найдем S=B{x).
Действительно, с помощью выражения (б) для скорости Vs легко
вычислить интегралы, входящие в интегральное соотношение (10. 7):
0 0 0 0
2^52 ^2дз 4 8 '^ ^
О о
^452 V ,5 7 / 35 ^ ^
Подставляя эти значения интегралов в соотношение (10.7),
получим дифференциальное уравнение
и <. db Ъ ^ db 3 «о
35 ^ ^^д: S ^ ^dx 2 ^ Ь '
которое после упрощений примет следующий простой вид:
— риг.ЫЬ = а dx.
Интегрируя, находим
Так как при х = 0 толщина 8=0, то», очевидно, С=0.
Следовательно
/280 р^
13 рг/о
или
§=4,641/ ^. (^0.8)

§ 4. Расчет ламинарного пограничного слоя для плоской пластинки 249'
Из формулы (10.8) следует, что внешняя граница пограничного
слоя представляет собой параболу второй степени; толщина Ь
пограничного слоя растет с увеличением х и убывает с ростом скорости
щ набегающего потока.
Более точные методы дают следующую зависимость для закона
изменения S:
5,8]/:^
6 = 5,81/ — • (10.8>
V щ
Как видим, задание закона изменения скорости в виде параболы
третьей степени приводит к сравнительно небольшой ошибке.
Определим силу сопротивления трения Хтр, действующую на одну
сторону пластинки шириной Ь.
На единицу поверхности пластинки действует сила
Следовательно, при ламинарном течении в пограничном слое
касательные напряжения пропорцио'нальны t/o^'^, в чем легко
убедиться, подставив в формулу для tq значение 8 по формуле (10.8).
На элементарную площадку dS = bdx будет действовать сила
TorfS= 'ZQbdx,.
откуда полная сила трения, действующая на одну сторону
пластинки,
о
или
X,^=U — ^bdx.
о
Подставляя значение S по формуле (10.8)^ находим
I
^Р 4,64-2 J /;с
ИЛИ
^.p = ~V\^Pull- (10.9>
Умножая числитель и знаменатель на plu^, будем иметь
.= '.з/;
V pulbl

"250 Глава X. Пограничный слой
ИЛИ
„2
X^^^.hi'^S, (10.9')
где число R = —; площадь S = bc.
Коэффициент сопротивления плоской пластинки
и, следовательно, для случая ламинарного пограничного слоя
^.тр^ит^. (10.10)
Таким образом, коэффициент сопротивления пластинки зависит
от числа R и изменяется обратно пропорционально корню
квадратному из этого числа.
iB настоящем параграфе показано практическое рюпользование
интегрального соотношения (10.6) для случая ламинарного
пограничного слоя. Перейдем к рассмотрению турбулентного
пограничного слоя.
§ 5. РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ
ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
В случае турбулентного течения в пограничном слое изложенный
в предыдущем параграфе способ нахождения двух дополнительных
уравнений к основному интегральному соотношению непригоден,
так как он основан на использовании уравнений (10.4), которые,
как уже отмечалось, неприменимы к турбулентному пограничному
слою. Поэтому в случае турбулентното течения в пограничном слое
два дополнительных уравнения необходимо находить иным
способом.
Так как законы турбулентного движения наиболее полно
исследованы для движения жидкости по трубам, то в качестве
необходимых двух дополнительных уравнений к интегральному соотношению
можно использовать результаты теории течения жидкости по трубам.
Вводя гипотезу о тождественности законов распределения
скорости по толщине пограничного слоя плоской пластинки и по
радиусу круглой цилиндрической трубы, можно Припять, что
изменение скорости внутри пограничного слоя пластинки о-пределяется
зависимостью
L
^ж = "о(^)\ (10.11)
именуемой законом одной седьмой [см. формулу (9. 73)].

§ 5. Расчет турбулентного пограничного слоя для плоской пластинки 251
Эта будет первым дополнительным уравнением к интегральному
соотношению.
Вторым дополнительным уравнением будет зависимость между
величиной касательного напряжения tq, толщиной пограничного
СЛ01Я В и скоростью По набегающего потока. Эту зависимость,
продолжая анало»гию между турбулентным течением жидкости по трубе
и вдоль плоской пластинки, можно принять в виде [см.
формулу (9. 76)]
То = 0,0225рй2/'—V . * (10.12)
Установив два дополнительных необходимых уравнения,
обратимся к интегральному соотношению (10.7)
dx
Вычислим входящие в это соотношение интегралы
6 8 1 S
^7 " '
I pv^dy= \Р^о(^) dy = p-^ у' dy = Ypu,b;
0 0 ^0
Lvldy^ fp«o(f у dy = p4^ СуЫу = 1-ри1Ь.
Подставляя найденные значения интегралов в соотношение
(10. 7), будем иметь
7 ^db
-рК^-ч- (10.13)
Подставляя значение to по (10. 12), получим
L
72
.р».£ = 0,0225р«г(-1,)'
ИЛИ
1
_7_^ ^.ч^^г / V \4
72 dx
= 0.0225 f—)
Разделяя переменные, приведем уравнение к виду
84(i8 = 0,0225 —(—V</jc.
7 V"o/

252 Глава X. Пограничный слой
Интегрируя и определяя произвольную постоянную С из условия:
при х=0 толщина 3=0, после простых преобразований получим
8 = 0,37^—f X. (10.14)
Из полученного выражения следует, что толщина турбулентнога
пограничного слоя нарастает более интенсивно, чем ламинарного,
4_
ибо в этом случае величина S пропорциональна х^ (в ламинарном
слое S была пропорциональна х ].
Этот вывод физически легко объясним, так как перемешивание
частиц, имеющее место в турбулентном слое, способствует более
интенсивному его росту.
Определим силу сопротивления трения Х^р. Используя
выражение (10. 13), будем иметь
0 0 о
Так как из выражения (10. 14) следует, что
1_
5
"■"'"■'Hi) '■
ТО для коэффициента Са,тр, равного
где
будем иметь
2
S=bl,
'-^='''''Ш
или
М72
^.тр=^. (10.15)
Зависимость коэффициентов сопротивления от числа R удобна
изображать в так называемых логарифмических координатах, в
качестве которых принимают IgR и Ig c-»tp (фиг. 10.5). При этом
зависим'ость Схтр для ламинарного пограничного слоя изобразится
прямой 1:
lgc,,p = lgl,3-i-lgR

§ 6. Расчет смешанного пограничного слоя для плоской пластинки 253
е угловым коэффициентом , а зависимость с^-тр для турбулент-
ного пограничного слоя прямой 2\
lg^.Tp = lg0.072—f IgR
<: угловым коэффициентом .
Как видим, в обоих случаях с увеличением числа R коэффициент
сопротивления убывает, но при турбулентном слое значительно
медленнее, чем при ламинарном.
Как показывают опыты, более
точно коэффициент сопротивления
пластинки в случае турбулентного
пограничного слоя выражается
формулой
«•«^' (10.16)
ilgc
^;е тр — ■
R'
,0,2
В пределах 106<R<109 часто
пользуются следующей формулой:
^'^^^ (10.17)
11?
^д: тр —'
(igR)
2,58 '
^Ig^
Фиг. 10. 5. Зависимость с^^^р плоской
пластинки от числа R.
/—ламинарный пограничный слой;
2—турбулентный пограничный слой.
Как ВИДИМ, теория достаточно
хорошо подтверждается
экспериментом, и тем самым
оправдывается введенная выше аналогия
между турбулентными течениями по трубам и в пограничном слое
плоской пластинки.
В большинстве случаев для расчета пограничного слоя
используют интегральное соотношение (10.6), а не уравнения (10.4), так
как последние, являясь дифференциальными уравнениями в частных
производных, более сложны, чем интегральное со^отношение, которое,
как было показано, легко приводится к обыкновенному
дифференциальному уравнению. Однако следует отметить, что при
использовании интегрального соотношения всегда приходится задаваться
законом распределения скоростей в пограничном слое в том или ином
вр1де.
§ 6. РАСЧЕТ СМЕШАННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
Характер пограничного слоя, образующегося при обтекании
потоком жидкости плоской пластинки, существенно зависит от режима
обтекания, определяемого числом R. При сравнительно небольших
числах R вдоль всей пластинки образуется ламинарный
пограничный слой, расчет которого приведен в § 4.
При очень больших значениях числа R практически вдолъ всей
пластинки образуется турбулентный пограничный слой. Этот случай

254
Глава X. Пограничный слой
рассмотрен в § 5. В диапазоне же значений чисел R опт R^/IO^ до
R = 5. 106 в начале пластинки образуется ламинарный пограничный
слой, который, начиная с некоторого места, разрушается и
переходит затем в чисто турбулентный слой.
В настоящем параграфе и будет рассмотрен! случай смешанного
пограничного слоя, когда на передней части пластинки ОА о^бра-
зуется ламинарный пограничный слой, а за ним на участке АВ —
турбулентный (фиг. 10.6).
Сделаем два упрощающих предположения:
а) переход от ламинарного пограничного' слоя к турбулентному
происходит мгновенно в точке Л; расстояние О А обозначим через Хк^;
б) изменение толщины
турбулентного слоя, распределение
скоростей и касательных
напряжений в нем, аналогично тому,
которое было бы, если бы
турбулентный слой начинался не
от точки Л, а от передней
кромки О (см. фиг. 10. 6).
Исходя из этих
предположений, расчет силы сопротивления
трения можно произвести
следующим образом. Обозначим
через Х^\р силу трения всей пластины длиной /, в предположении,
что пограничный слой на всем ее протяжении турбулентный. Тогда,
чтобы получить силу трения Х^^ для смешанного слоя, нужно из Х'^^р
вычесть силу трения переднего участка слоя ОА, считая его
турбулентным, и прибавить к полученной разности силу трения этого же
участка ОА^ считая его ламинарным, т. е.
- ■■ III. I ^^ ^^"ьЛ/
/7
X
КР
в
Фиг. 10. 6. Расчетная схема смешанного
пограничного слоя на плоской пластинке.
^тр == ^тр — ^тр о А + ^'г
тр OAf
где Х:
тр ОА
-сила трения ламинарного участка О А.
Силу трения переднего участка пластины шириной b при
ламинарном пограничном слое можно написать в виде
^.трРу-^'
кр"
а при турбулентном слое в виде
^^трРу-^-Р*-
Разность
дл,р = - х;^ ОА+^^р од = - ^ж трр т -^"р*+^^ ^рр Т" •^"р''=
P«o
-'-rrC^^To-^^J^KP^-
X тр
2
дгтрМкр"

§ 6. Расчет смешанного пограничного слоя для плоской пластинка 25S
Разделим обе части этого равенства на —lb. Тогда для
изменения г^^р пластинки от наличия ламинарного участка будем
иметь
v^jTTp ^дгто)
-^кр^О
где через А обозначена следующая величина:
Д (г" г' Л -^Кр"0 _/^" ^^ ЧС)
И число Rkp= ^^^^ принято называть критическим.
V
Опытным путем установлено, что для гладких пластин величина
Л = 1700. При увеличении шероховатости пластинки или степени
турбулентности набегающего потомка уменьшается критическое число
R и величина А, Для шероховатых пластин Л = 300. Следовательно,
300<Л<1700.
Таким образом, для величины коэффициента трения плоской
пластинки в случае смешанного пограничного слоя получаем следующее
выражение:
0,074 А_
или
Из изложенного следует, что сопротивление трения пластинки
будет тем меньше, чем больше длина ламинарного участка потра-
ничного слоя, т. е. чем дальше точка А перехода ламинарного слоя
в турбулентный отстоит от передней кромки пластинки.
Рассматривая обтекание плоской пластинки как первое
приближение к обтеканию крылового профиля, приходим к выводу, что с
целью уменьшения сопротивления трения профиля выгодно иметь
на нем возможно больший участок ламинарного пограничного слО'Я.
Иными словами, выгодно^ точку А перехода ламинарного
пограничного слоя в турбулентный максимально отодвинуть назад по потоку.
По этому принципу сконструированы специальные крыловые
профили, которые, обладая увеличенной зоной ламинарного
пограничного слоя, дают значительный выигрыш в сопротивлении (так
называемые ламинаризированные профили).

^56 Глава X. Пограничный слой
§ 7. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В предыдущих параграфах рассматривался пограничный слой
•около прямолинейной поверхности. В этом случае скорость попгока
вне пограничного слоя вдоль всей оси х была постоянной.
При обтекании криволинейной поверхности скорость и на
внешней границе пограничного слоя будет величиной переменной,
зависящей от координаты х. Давление в пограничном слое
криволинейной поверхности также будет функцией х, что следует из уравнения
Лагранжа—Бернулли, примененного к внешней границе слоя.
Ранее было установлено, что в пограничном слое распределение
давления вдоль тела мало отличается от распределения давления
в потенциальном потоке идеальной жидкости, ввиду тото что про-
др
изводную -^ в пограничном слое можно считать равной нулю.
Фиг. 10. 7. Пограничный слой на профиле крыла.
Рассмотрим поток, 0|бтекающий криволинейную поверхность,
■например, профиль крыла (фиг. 10.7).
Обозначим через v^ и р^ соответственно скорость и давление,
которыми обладает поток на бесконечности. Выясним, как будет
меняться в этом случае давление на внешней границе пограничного
слоя. Так как на верхней поверхности профиля скорость вначале
возрастает (до некоторой точки М), а затем убывает, то давление
на основании уравнения Лагранжа—Бернулли будет вначале
уменьшаться, а затем расти. В точке М скорость будет максимальна, а
давление минимально. Следовательно, частицы жидкости в
пограничном слое около рассматриваемой криволинейной поверхности
будут двигаться при наличии градиента давления -^ как
отрицательного, так и положительного по знаку.
Этот факт существенно отличает пограничный слой о-коло
криволинейной поверхности от пограничного слоя вдоль плоской пластин-
ки, где --^=0.
дх
Учитывая эту особенность пограничного слоя около
криволинейной поверхности, можно выяснить причины отрыва потока от
обтекаемого тела и образования вихрей, срывающихся с обтекаемой
поверхности.
При течении вязкой жидкости касательная и нормальная
составляющие скорости должны в точках поверхности обращаться в
нуль. Кроме того, на некотором небольшом отдалении от
поверхности обтекаемого тела течение жидкости мало отличается от

§ 7. Пограничный слой на криволинейной поверхности
257
течения идеальной жидкости, при котором нормальная
составляющая скорости на поверхности тела обраш,ается в нуль, а касательная
отлична от нуля. Имея это в виду, приходим к заключению, что
изменение касательной составляющей вдоль нормали к поверхности
тела должно иметь вид, указанный на фиг. 10. 8, кривой,
относящейся к точке Л. Эта кривая показывает, что касательная скорость,
равная нулю в точке Л, для точек, расположенных на нормали к
криволинейной поверхности, постепенно увеличивается и на
некотором расстоянии от поверхности мало отличается от значения,
соответствующею потенциальному течению идеальной жидкости.
Далее известно, что при
обтекании вязкой жидкостью
какой-либо поверхности частицы
жидкости притормаживаются в
пограничном слое силами
вязкости и притом тем в большей
степени, чем ближе траектория
частицы проходит к
поверхности тела. Кроме того, как это
было установлено выше, гра-
др
диент давления —^ для случая
дх
крив'олинейной поверхности
отличен от нуля и, что важна, в
кормовой части тела перепад
давления направлен в сторону,
противоположную основному движению жидкости [—^ >0 |,таккак
в этой части давление возрастает по потоку. Поэтому, попадая в
область задней части тела, где давление возрастает, частицы начинают
получать ускорение в направлении, противоположном основному их
движению. Это дополнительное притормаживание, очевидно,
особенно сильно скажется на частицах, движущихся в непосредственной
близости от тела; так как их кинетическая энергия и без того
уменьшена сравнительно с другими частицами силами вязкости.
В результате касательная скорость ряда частиц обратится в нуль
на некоторой линии SD (см. фиг. 10.8), а в области DSE
касательная скорость изменит знак, т. е. возникнет возвратное движение
жидкости в пограничном слое. Возникновение этого возвратного
движения приведет к отрыву частиц жидкости от поверхности тела
и к образованию вихрей — два столкнувшихся слоя жидкости,
сорвавшись с поверхности тела, свертываются и образуют внхри.
Точка поверхности тела, начиная от которой поток срывается
с обтекаемого им тела, называется точкой отрыва
пограничного слоя. Очевидно, слева от точки отрыва S (см. фиг. 10.8)
~ =tga>0, справа -" - ^ - ' ^^
\ OV /v=0
/^ ос>0
Фиг. 10.8. Эпюры распределения
касательных скоростей около криволинейной
поверхности.
от точки S величина
\ ду 1уж.о
^ 7 Аэродинамика

258
Глава X. Пограничный слой
= tga<0, а в самой точке S производная -~— =tga==0*
\ ду ^у=о
Следовательно, точка S отрыва пограничного слоя характерна
зуется равенством нулю производной — =0.
\ ду /у^о
Инымр! словами, в точке отрыва S эпюра изменения касательной
скорости касается нормали в этой точке (а=0). Отсюда, между
прочим, следует, что и напряжение трения
dv^
-]
ду /у^о
равно нулю в точке отрыва.
Установленный выше вывод, что именно наличие пограничного
слоя обусловливает образование вихрей, хорошо^ подтверждается
следующем опытом. Если в поток жидкости поместить, например,
О о О
О О О
Фиг. 10. 9. Схема обтекания круглого
цилиндра, сопровождающегося вихреобра-
зованиями.
Фиг. 10. 10. Безотрывное
обтекание круглого цилиндра,
полученное в результате отсоса
пограничного слоя через щели А и В.
круглый цилиндр, то непосредственное наблюдение показывает, что
с цилиндра периодически будут срываться вихри, образующие за
ним таи называемую вихревую дорол^ку (фиг. 10'. 9).
Если же слой жидкости, непосредственно прилегающий к
цилиндру, т. е. пограничный слой, отсасывать внутрь цилиндра через
какие-либо щели (фиг. 10.10), то можно значительно улучшить
обтекание цилиндра. Пограничный слой при этом будет «прилипать»
к поверхности цилиндра, обтекание станет более плавным, и отрыв
может быть полностью ликвидирован. В результате вихри
образовываться не будут, и картина обтекания цилиндра примет вид,
показанный на фиг. 10. 10, т. е. будет приближаться к картине
потенциального обтекания. Таким образом, теория пограничного |слоя,
в частности, важна и тем, что она позволила вникнуть в существо
обтекания тела потоком вязкой жидкости и выяснить механизм
образования вихрей при обтекании].
В аэродинамике большое значение теории пограничного слоя
заключается еще и в том, что знание законов движения жидкости

§ 7. Пограничный слой на криво линейной поверхности
259
внутри пограничного слоя поэволило существенно улучшить
аэродинамику крыла самолета путем воздействия на движение жидкости
в пограничном слое. В частности, аэродинамику крыла самолета
можно улучшить с помощью так называемой механизации крыла,
которая позволяет воздействовать на пограничный слой в нужном
направлении [9].
Для тел, имеющих малую кривизну поверхности и обтекаемых
под малыми углами атаки, практически можно считать, что
образование и отрыв вихрей отсутствуют. В этом случае действие сил вяз-
-cfe^?!^^f!f--^.c...
^ЛаминарШй погра-
ничнОт слой
Фиг. 10. 11. Схема смешанного пограничного слоя на
поверхности крыла.
кости сказывается только в пограничном слое у самого тела и в
некоторой узкой области, располагающейся в виде сл^еда позади
тела, а во всей остальной области течение жидкости можно считать
потенциальным.
Внутри пограничного слоя течение может быть ламинарным,
турбулентным или смешанным (фиг. 10. 11). Это зависит от числа
R и от условий обтекания тела (например, от степени гладкости
обтекаемого тела и т. д.).
В заключение настоящего параграфа приведем интегральное
соотношение (10.6) к форме, более удобной для практического
применения при решении задач, связанных с расчетом пограничного
слоя около крив'олинейной поверхности.
Интегральное соотношение (10.6) имеет вид
dx
о о
их
Так как
о о о
dx
а из уравнения Лагранжа—Бернулли следует, что
dp da ^,^ ,
dx ^ dx

260
Глава X. Пограничный слой
ТО интегральное соотношение можно представить в следующем виде:
0 0 0
0 0 0
или
о о
(10.20)
Фиг.
Обратим вни'мание на физический
смысл интегралов в этом уравнении.
Первый интеграл выражает
уменьшение секундного расхода через сечение
в пограничном слое высотой S?,
обусловленное влиянием вязкости. В самом
деле, этот интеграл выражает разность
между секундным расходом через
сечение высотой S для потока,
двигающегося со скоростью и (т. е. для
потока идеальной жидкости), и
секундным расходом для потока,
двигающегося с действительной скоростью t;^.,
т. е. при наличии вязкости.
Учитывая, что в интегралах,
входящих в уравдение (10.20), верхний
предел '8? — величина условная (см,
примечание к стр\. 236) и имея в виду, что значения этих интегралов мало
меняются при неограниченном увеличении верхнего предела, можно
интегралы в уравнении (10. 20) брать от О до оо. При этом
рассматриваемый интеграл изобразится в виде некоторой площади
(фиг. 10. 12, заштрихованная часть).
Этой площади можно поставить в соответствие площадь
равновеликого' прямоугольника (фиг. 10. 12) S*u.
10.12, Толщина
вытеснения
^=-i-J(u-.,
)dy.
Тогда
±.^^{u-vjdy = '^^(\-^)dy. (10.21)
Величина ^* представляет, очевидно, условную толщину
некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу времени, при
постоянной во всех точках сечения скорости и, протекает количество
жидкости, равное указанному выше уменьшению расхода.
Величина ^* получила название толщины вытеснения.
Рассмотрим второй интеграл, входящий в уравнение (10.20).

§ 7. Пограничный слой на криволинейной поверхности 261
Этот интеграл! определяет, очевидно, уменьшение количества
движения жидкости, происходящее под влиянием вязкости. Если бы
вязкость отсутствовала, то количество движения жидкости,
протекающей через некоторое сечение слоя высотой 8**, можно было бы
написать в виде
Выберем толщину S** такой, чтобы выполнялось равенство
о
Тогда
00 00
^**=-^(pvJu-vJdy=^^(l-'^yy. (10.22)
и и
Величина S** носит название толщины потери импульса и
представляет собой условную толщину некоторого слоя, сквозь сечение
которого в единицу времени и с постоянной скоростью и переносится
количество движения, равное указанному выше уменьшению
количества движения.
Подставляя величины S* и 8** в уравнение (10.20), приведем
его к следующему виду:
dx
Проводя дифференцирование, находим
рг^2 ^ ^ рв**2и а' + purr's* == т^.
dx
С целью приведения уравнения к безразмерной форме разделим
его почленно на pw^. Тогда получим
^4- —(28^* + ^*) = — (10.23)
dx и рм*
илм
^4-^^^(2 + Я)=-^, (10.23')
■dx и ^ ' 9U-i
где
Эта форма интегрального соотношения более удобна для расчета
пограничного слоя около криволинейных контуров.

262
Глава X. Пограничный слой
§ 8. РАСЧЕТ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
(МЕТОД Л. Г. ЛОЙЦЯНСКОГО)
Раннее существовавшие методы расчета ламинарного
пограничного слоя около криволинейной поверхности были сложны для
практического применения; наиболее простым из них был метод
Кармана—Польгаузена [37]. Однако этот метод оказался
недостаточно точным, особенно в области замедленного движения в
кормовой части тела, где результаты расчета по этому методу иногда
совершенно не соответствовали действительной картине течения
жидкости.
Советскими аэродинамиками разработаны значительно более
простые и вместе с тем удобные для практики методы расчета.
Ниже излагается метод проф. Л. Г. Лойцянского, получивший
в последние годы наибольшее применение [1]. Метод Лойцянского
базируется на использовании преобразованнО'Го интегрального
соотношения пограничного-слоя (10.23).
Предположим, что профили скоростей в пограничном слое могут
быть представлены однопараметрическим семейством скоростей
в форме
где /
некоторый пока неопределенный параметр, называемый
формпараметром, так как он характеризует влиянрю формы
тела на распределение скоростей в пограничном слое (см.
ниже).
При выполнении условия (10.24) отношение условных толщин
слоя — будет являться функцией только одного параметра /, В
самом деле, так как
S* = |(l_^)rf;;==5-j[l-,(^,/
то
5**
-^ым
d
=Я(/).
(10.25)
Напряжение трения хо также будет фувкцией параметра /.
Действительно,
'•0-
ду
8**
v)
у^О

§ 8. Расчет ламинарного слоя для криволинейной поверхности 263
Т. е.
-o = t^^,C(A (10.26)
так как квадратная скобка является функцией Д Следовательно,
для коэффициента трения будем иметь
^-=~С(/). (10.27)
Полученные выражения (10.25) и (10. 27), содержащие функции
U{f) и С(/), подставим в основное уравнение для пограничного слоя
(10.23'). В результате еолучим следующее уравнение:
'''** • "'•8**[2 + Я(/)] = -^С(/) (10.28)
dx и й5**
или, умножая обе части уравнения на 2-
и^("^±-)=.2Ш)-2'^^[2 + Н(Л]. (10.29)
ах \ -^ и' J V
Если за параметр / для ламинарного слоя принять
f='^^, (10.30)
то уравнению (10.29) можно придать вид обыкновенного
дифференциального уравнения, позволяющего достаточно просто найти
величину /:
:г-(4)=—^(/)' (10-31)
dx \и! I и
^(/) = 2{С(/)-^/[2 + Я(/)]}, (Ю.ЗГ)
где
или окончательно
<^=,Jfl/r(/)+-^/. (10.32)
В общем виде это уравнение не поддается интегрированию. Оно
может быть численно проинтегрировано для каждого конкретного
случая распределения скоростей в потенциальном пото'ке,
окружающем пограничный слой, т. е. для каждого вида функции и = и{х).
Таким образом, расчет пограничного слоя сводится к на-хожде-
йию функций F{f), С(/) и Я(/), так как, зная эти функции, можно
достаточно просто вычислить f{x) из уравнения (10.32), а следо-
1 Полученное уравнение, как это видно из всего хода его вывода,
справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного пограничного слоев.

264 Глава X, Пограничный слой
вательно, 5**(д:) из уравнения (10'. 30) и искомое напряжение
трения То из уравнения (10.26) или (10.27).
Из условия то=0, что соответствует значению функции С(/)=0,
можно найти точку отрыва пограничного слоя.
Приступим к определению функций F{f), С (/) и Я(/). Для этой
цели зададимся семейством профилей скорости, апроксимирующим
распределение скоростей в сечениях пограничного слоя, в виде
следующего многочлена:
v^^u{a, + a,'n + a^-q^ + a,rf +...+ a^tf'), (10.33)
где
' ь
Коэффициенты этого многочлена являются, очевидно, функциями х.
Для того чтобы определить коэффициенты йп, используем
граничные условия и дифференциальные уравнения пограничного 'Слоя
(10.4). Такой метод определения коэффициентов в функциональной
зависимости скорости v^ от у уже применялся выше при решении
задачи об обтекании плоской пластинки (cMi. § 4). Здесь этот метод
определения коэффициентов используется в более общем виде.
На поверхности обтекаемого тела, т. е. при у=0
тг^ = 0, v^^O. (10.34)
На верхней границе пограничного слоя, т. е. при y=S
v^^u, Vy^O. (10.35)
Кроме того, так как на верхней границе пограничного слоя т = 0,
то при у—Ь
^=0. (10.36)
ду
Таким образом, получены три граничных условия (10.34),
(10.35), (10.36). Между тем число коэффициентов, подлежащих
определению, равно N+\. Следовательно, необходимо найти
дополнительные условия для определения коэффициентов an. Эти
дополнительные условия можно получить из первого уравнения
пограничного слоя (10.4)
п) —±. JL. fi) —1-= Uv ,
"" дх У ду р dx dv^
Полагая в этом уравнении у==0 и соответственно "Vj^^v^^O^
найдем первое дополнительное условие для —-
при J/-0
d^Vj^ 1 dp
ду^ pv dx

§ 8. Расчет ламинарного слоя для криволинейной пов\ерхности 265
Имея в виду, ЧТО' на внешней границе 'СЛоя, где поток
потенциальный, в силу уравнения Бернулли
du 1 dp
dx р dx
и учитывая, что распределение давления ют у не зависит, полученное
дополнительное условие можно переписать в таком виде:
при у=0
-f= . (10.37)
Чтобы найти второе дополнительное условие для —-, продиф-
ференцируем уравнение (10'. 4) по у. Тогда, имея в виду, что
давление р в пограничном слое от у не зависит, получим
dv^ dv^ d^v^ dv„dv^ d^v^ d^v^
или
ду дх ^ дхду ду ду ^ ду^ ду^
ду \дх ду I ""дхду ^ ду^ ду^ '
dv dv
Так как в силу уравнения неразрывности \--^=0, то
дЧ^ дЧ^ d^Vj^
•^ дхду У ду^ ду^
Отсюда, полагая 3^ = 0, Vj^ = v^ = Q, находим второе дополнитель-
дЧ^ ^
ное условие для :
ду^
при j; = 0
d^v ^
df
(3
= 0. (10.38>
Аналогично можно получить значения последующих
производных от Уд, по у при у=0.
Однако следует заметить, что такой путь приведет нас к знанию
закона распределения скорости для малых значений у, т. е. вблизи
поверхности тела, а на верхней границе пограничного слоя
найденный закон может сильно отличаться от действительного. В связи
с этим необходимо' учитывать и граничные условия на верхней
границе пограничного слоя, т. е. при у=^,
.Обратимся вновь к уравнению пограничного слоя (10.4). Так
как по уравнению Лагранжа—Бернуллн, написанному для верхней
границы пограничного слоя,
„^= L.^, (10.39)
dx f dx

266 Глава X. Пограничный слой
ТО ИЗ первого уравнения (10.4), используя (10.35) и (10.36),
получим следующее граничное условие:
при у==Ь
—^--0. (10.40)
Полученные граничные условия позволяют определить значения
коэффициентов йп в формуле (10.33). Из условия (10.35) следует,
что ao=il. Используя условия (10.36) и (10.40), приходим к
выводу, что
ai=0 и ^2 = 0.
Нетрудно убедиться в том, что в случае непрерывности производных
от Vx по у до {п—1) порядка включительно будем иметь при у=8
—£ = G (r-Ь.../г). (10.400
Геометрически это означает, что кривая v^^^Ky) касается на верх-
ией границе пограничного слоя прямой Va;=u, а число п определяет
порядок соприкосновения.
Таким образом, выражение для v^^ можно написать следующим
образом:
v^^a{l+aS + cin+ir^'+...+aNyi''). (10.41)
В выражении (10.41) коэффициенты Un следует определять
исходя из граничных условий только на поверхности тела, т. е. при
у = 0>, так как условия (10. 40') на внешней границе слоя учтены тем,
что коэффициенты от ai до an-i положены равными нулю.
С целью упрощения ограничимся тремя коэффициентами, т. е.
положим N=ft-\-2. Тогда
v^^u{l+a^r + ani^i'n''^' + ^n^2t^'). (10.4Г)
Определим коэффициенты Un, a^+i, а„-ь2, используя граничные
условия на поверхности тела:
ери j, = 0(r|==l) v^ = 0; —==-- и — = 0.

Расчет ламинарного слоя для криволинейной поверхности
267
С учетом выражения (10.4F) эти условия могут быть
представлены в виде следующих равенств i:
1 + ^п + ^п+1 + ап+2 = О,
/г (я— 1) а„ + (я +1) яал+1 + (п + 2){п+1) a«4-2 = —
и'52
п{п — 1)(п — 2)а^ + (п+\)п{п—1)ап+1 + {п + 2)(п + 1)пап-^2 = 0.
Таким образом, мы получили систему трех уравнений для онределе-
ния трех коэффициентов an, On+i, ^«+2. Обозначив безразмерную
величину
^-Х (10.42)
и решая систему этих уравнении, находим
а..
1
1
(л + 1)(я + 2),
^n~fl =
-^1 + ^{п-1){п + 2),
л+1 3
С1п+2--
1
2(n-hl)
(я—1)/2.
(10.43)
Теперь, когда коэффициенты йп, ап+ь ^,^+2 найдены, можно выразить
v^ через X' (и значение п) и, следовательно,
■гЧ|(.-^)
dy
5==-
^/г-fl
■^п+2
я-hl
яЧ-2
^гН-З
= Я^^(Х), (10.44)
=т1^(-^)^-
= я*-
-^л+]
^л+2 ^«^/2+1
2п + 1
2/г+З 2w+5
п+1
,^^HJiVb2_yYK-*(X).
п+2
2«/1«,;+2
2n-f-3
(10.45)
при получении этих равенств использовадись очевидные соотношения
dvx dVj^ df]
d'v^
ду
ду^ ду \^ ду
ду^ ду \ду^
дг] ду
) dri\ ду)
дг1 1 d'Vj^
ду
д /d*v^\ d-q
d'f\ \ду^ ) ду '
52 дг^^
ез дг^

268
Глава X. Пограничный слой
Величина С также может быть выражена через I
м
g**
з/=о
'(f)
:Я**(Х)*(Х), (10.46)
у=й
где
д(Х)=
Напряжение трения
/2-hl о
^о = }*/^)_^=/рр«'и'
MX)
(10.46')
(10.47)
Заметим, что величина / также может быть легко выражена
через параметр \:
/=Н:!!!1=.^^(^)' = ХЯ*-. (10.48)
V V \ 5 /
До СИХ пор, строго говоря, все написанные величины были
функциями не одного параметра X, а двух: X и п.
Имея в виду, что семейство (10.41) должно быть однопарамет-
рическим, так как мы располагаем для определения параметра f
или связанного с ним параметра X лишь одним уравнением (10. 32),
выразим показатель степени п также через параметр X.
Проф. Л. Г. Лойцянский, полагая, что п=п{\) и используя
точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя
для частных случаев, когда функция и(х) выражена в форме
степенной зависимости: u(x)=cotist х''\ предложил при1гять
следующий линейный закон связи между /г и X:
/г = 0,15Х+4.
(10.49)
В этом случае, используя вое полученные выше соотношения,
можно получить искомые зависимости в функции только одного
параметра Д т. е. найти Я(/),С (/), /^(/), числовые значения которых для
удобства пользования сведены в табл. 10. 1.
Весьма важно отметить, что при законе однопараметрической
зависимости вид функций f (/), С (/) и H{f) не зависит от характера
протекания и{х), т, е. от формы крылового профиля и его угла
атаки. Поэтому эти функции H{f),i (/) и F(f) получили название
универсальных.
Проинтегрируем уравнение (10. 32). Из табл. (10. 1) следует, что
F я f связаны между собой зависимостью, весьма близкой к
линейной
F{f)==a-bf+zif),
где а=0,44 и 6 = 5,75, а s(/) —некоторая малая поправка к линей-
мому закону.

§ 8. Расчет ламинарного слоя для криволинейной поверхности 269
Таблица 10. 1
f
-0,089
-0,085
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0.04
1 -0,03
-0,02
-0,01
0,00
p(f)
1,04
1,00
0,96
0,88
0,81
0,74
0,68
0,615
0,55
0,495
0,44
^(f)
0,000
0,019
0,039
0,071
0,097
0,120
0,142
0,162
0.181
0,200
0,219
H(f)
3,85
3,66
3,50
3,28
3,12
3,00
i 2,90
2,82
2.74
2,67
2,61
/
0,01 1
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0.08
0,084
0,085
F(f) 1
0,38 i
0,33
0,275
0,22
0,17
0.12
0,07
0,02
0.003
-0,002
^(f)
0.236
0,253
0.270
0,286
0,302
i 0.318
0,335
0.350
0,357
0.357
H(f)
2,55
2.50
2,46
2,41
2,36
2.32
2,28 '
2,24
2.22
2,22
Бели подставить последнее выражение для F{f) в уравнение
(10. 32), то получим
dx \и^ и I и
Интегрируя это дифференциальное уравнение и определяя
произвольную постоянную из условия конечности / при x=0, получим
О о
где ^ — переменная интегрирования i.
Пренебрегая в первом приближении вторым слагаемым в правой
части уравнения, т. е. заменяя функцию F{f) линейной, и подставляя
значения коэффициентов а vi Ь, получим следующую
приближенную формулу для определения параметра /(л:):
fi^)-wj^^,]m)Y'''dt
1 Полученное уравнение является линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением с коэффициентами, зависящими от лг, и может быть
проинтегрировано аналогично уравнению в Примере 2 на стр. 33—34.
Значение х=0 соответствует критической точке.

270 Глава X. Пограничный слой
Последнюю формулу можно» переписать в более удобной для
расчета фо)рме с целыми показателями:
X
fix) = 0,46 -^^ J [« aw dl (10.50)
О
Ошибка в этом случае в величине '^** не превышает ЗР/о.
Полученная формула (10.50) применяется для расчета
характеристик ламинарного' пограничного слоя на поверхности крыла.
Таким образом, расчет пограничного слоя по изложенному
методу Л. Г. Лойцянского! можно проводить по следующей схеме.
Имея заданным распределение скорости и (а следовательно,
и w'), определяем по формуле (10.50) значение параметра f{x)i
Используя (10.30), подсчитываем толщину потери импульса то
формуле
Чдг)
с помощью приведенной выше таблицы по значению f(x)
находим соответствующее ему значение С (л:).
Остальные интересующие нас величины (^*, то) теперь легко
найти.
В частности, напряжение трения то(л:) на поверхности крыла
может быть подсчитано noi формуле [см. уравнение (10. 26)]
Зная To(jc), можно подсчитать сопротивление трения крылового
профиля.
С целью упрощения практических расчетов часто вводят
безразмерные величины
— и — X
и b
00
где и^ — скорость набегающею потока,
b—^ хорда профиля крыла.
В этом случае выражение для f{x) принимает вид
X
/(х)==0,46 "'!f^ f[«(l)prfl (10.50')
Таким образом, метод Л. Г. Лойцянского позволяет полностью
решить сложную задачу расчета ламинарного пограничнотх> слоя

§ 9. Определение точки перехода ламинарного слоя в турбулентный 271:
ОКОЛО кривошинейной по-верхности, причем вое сводится по существу
к нахождению функции; f{x)^.
В заключение этого параграфа отметим, что, используя формулу
(10.30) и (10.50), можно ЛОЛ учить уравнение
о
Ги^(0^^. (10.51)
Полученные выше результаты позволяют найти точку отрыва
ламинарного погранично-го слоя с криволинейной поверхности.
Действительно, в точке отрыва хо=0, т. е. С =0, что соответствует
значению /=—0,069 (см. табл. 10. 1). Следовательно, для точки
отрыва можно написать, ртспользуя уравнение (10. 30)
fi.^_ =-0,089. (10.52)
V
Двумя последними уравнениями (10.51) и (10.52) мы
воспользуемся в следующем параграфе, посвященном исследов1анию
перехода ламинарного пограничного слоя около криволинейной
поверхности в турбулентный.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В ТУРБУЛЕНТНЫЙ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
(МЕТОД А. А. ДОРОДНИЦЫНА - Л. Г. ЛОЙЦЯНСКОГО)
Для расчета сопротивления крыла при заданных условиях полета необходимо,
знать, какую часть пограничного слоя занимает ламинарный участок на
поверхности крылового профиля и какую турбулентный. Для этого необходимо знать
положение точки перехода на профиле крыла, т. е. то место на профиле, начиная
с которого ламинарный пограничный слой сменяется (при определенных
условиях) турбулентным, покрывающим оставшуюся заднюю часть профиля.
Предположим сначала, что идеально гладкое крыло движется равномерно
в неподвижной невозмущенной жидкости. На таком крыле установится
ламинарный пограничный слой, который будет или полностью покрывать крыло, или
оторвется от диффузорной его части в некоторой точке х^, положение которой
определяется теорией ламинарного пограничного слоя, изложенной в предыдущем
параграфе. Как показано выше, в точке отрыва ламинарного слоя
= - 0,089.
V
Вводя в рассмотрение число R'^'*^ , условие отрыва ламинарного
V
С-10Я можно написать в виде
—Г =—R**2=-0,089. (10.53)
1 Метод Лойдянского оказалось возможным применять не только для случая
плоского обтекания крыла, но и для расчета обтекания тел вращения (фюзеляжа
и т. п.) осесимметричным потоком [1].

272 Глава X, Пограничный слой
Как видим, это условие не зависит от числа R потока, равного R= ,
V
где «ро — скорость движения крыла, b — хорда профиля!.
Оторвавшийся ламинарный слой на некотором расстоянии от точки отрыва
теряет устойчивость, становится турбулентным и распадается на отдельные вихри,
уносимые потоком.
В действительных условиях вследствие наличия возмущений в потоке,
набегающем на крыло, или зарождения возмущений на самой поверхности крыла,
например, из-за шероховатости, ламинарный пограничный слой становится
неустойчивым еще до точки отрыва х^.
Внешние возмущения, попадая в пограничный слой, приводят к появлению
в нем пульсаций как самой скорости, так и ее нормальной производной.
Пульсируя, нормальная производная скорости может получить и отрицательные
значения, что соответствует местным обратным токам, а следовательно, и вихре-
образованиям. При этом внешние воамущения не непосредственно вызывают
пульсации скорости в ламинарном пограничном слое, а служат лишь для
образования мгновенных местных отрывов, которые создают мелкие вихри,
заполняющие пограничный слой и делающие его турбулентным.
Таким образом, в зависимости от интенсивности возмущений и других причин
начало области нестационарных вихреобразований может лежать значительно
выше по потоку, чем точка отрыва х^ стационарного ламинарного слоя, и даже
выше, чем точка минимума давления.
Примем начало указанной области за начало области перехода ламинарного
(СЛОЯ в турбулентный 2.
Рассматривая указанное явл^ение мгновенных отрывов из-за наличия
внешних возмущений как некоторое осредненное, квазиустановившееся явление,
напишем для точки перехода условие, аналогичное (10.53), но несколько
видоизмененное
(?-)
R**«==-0,089, (10.54)
тде 7—некоторая величина, оценивающая в среднем влияние местных отрывов,
возникающих из-за наличия внешних возмущений.
В первом прибЛ'Ижении величину ^ можно принять постоянной, зависящей
только от характера потока (и не зависящей от величины скорости, формы
профиля крыла и т. !п.) 3.
При сделанных допущениях расчет положения точки перехода
представляется в следующем виде.
С помощью формулы (10.51)
5**2 0,46 С
«6
1 Равенство (10.53) выражает, в частности, известный опытный факт, что
чем толще пограничный слой, тем при меньших градиентах скорости и' внешнего
потока наступает отрыв ламгшарного пограничного слоя.
2 При больших числах R, в частности, в полете, между ламинарным и
турбулентным участками пограничного слоя существует достаточно резкая граница,
т. е. можно без большой ошибки говорить о точке перехода ламинарного слоя
в турбулентный, а не об области перехода. При продувках в аэродинамических
трубах граница между ламинарным и турбулентным слоем размывается, и
возникает некоторая область перехода, размеры которой зависят от ряда факторов.
3 В обычных аэродинамических трубах -у колеблется в пределах (от — 0,5 до
—2,5) 10 .В трубах со сравнительно малой турбулентностью i можно принять
равной — 0,2* Ю"""^- Эти цифры следует рассматривать лишь как оценивающие
порядок величины 7-

§ 10. Расчет турбулентного слоя для криволинейной поверхности 273
и, переходя к безразмерным величинам, ♦
— и — X
найдем
где __
_ 0.46 Г- - и^Ь
(p(jc)=—=— иЫ^ и R=-^.
"^ J V
о
Очевидно, что в безразмерных величинах
уц^ 1 ц^
где штрих в правой части равенства означает производную по безразмерной
координате X, г. в левой — по размерной координате х.
vu'
Подставляя последние выражения R** и—- в формулу (10.54), получим
уравнение
y|^+t)R?W=~ 0,089 (10.55)
или окончате!льно
где
е(х; 7R)= -0,089, (10.56)
S(x; Т. R)=(|r+TRj?W.
Составляя таблицу функции © (х), стоящей в левой части этого уравнения,
для данного крылового профиля при 01П1ределейном значении Су, у, R можно найти
значение x=Xf, при котором функция © станет равной величине — 0,089. Таким
образом, определится искомая абсцисса точки перехода.
§ 10. РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
(МЕТОД Л. Г. ЛОЙЦЯНСКОГО)
Для расчета турбулентного пограничного слоя на криволинейной
поверхности имеется ряд полуэмпирических приближенных методов.
Ниже рассмотрен метод расчета турбулентного пограничного слоя, который
был предложен Л. Г. Лойцянским [1].
Обратимся к интегральному соотношению пограничного слоя в
форме (10.230:
^+-?^:^(2+Я)=-^. (10.57)
dx и р и*
справедливому как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных
слоев, и рассмотрим входящие в это уравнение две величины, характеризующие
пограничный слой:
-if:^!l=_^5!! „ ^. (10.58)
и dx ри^ • ри2
18 Аэродинамика

274 Глава X. Пограничный слой
♦ Первая из них представляет собой безразмерный продольный градиент
давления, а вторая — безразмерный коэффициент местного трения на поверхности
крыла. Эти величины, меняясь от точки к точке на поверхности крыла,
являются вместе с тем функциями числа R.
В случае ламинарного пограничного слоя умножение этих величин на
делало их независимыми от числа R, причем первая превращалась при этом в
основной параметр /, характеризующий форму профилей скорости в сечениях
слоя (так называемый формпараметр), а вторая — в функцию С (/) от этого форм-
параметра [см. формулы (10.30) и (10.27)].
Предположим, что и в случае турбулентного пограничного слоя существует
некоторая неизвестная функция G(R**), обладающая аналогичным свойством,
таким, что величина Д определяемая равенством
и'В**
/= G(R**) (10.59)
или
^=^R**G(R**), (10.59')
будет формпараметром, а величина С, определяемая равенством
C = -^G(R**), (10.60)
5*
— функцией формпараметра. Точно так же и величину h— будем
рассматривать как функцию формпараметра /.
Для определения функции G(R**) предположим, что при всех значениях /
вид функции G(R**) совпадает с таковым для продольно обтекаемой пластинки
при наличии турбулентного пограничного слоя. Используя известный
логарифмический профиль скоростей [см. формулу (9.74')]
—=5,751g :-1-5,5,
можно получить следующее выражение для безразмерного коэффициента
местного трения на пластинке:
ри^ (5,75 lgR**+3,8)2'
Так как на пластинке w'=0, то для пластинки /=0, а следовательно, и
С(/)=С (0)= const. Полагая для простоты С = 1, т. е. включая константу в
функцию G(R**), получим следующее приближенное выражение G(R**) для
пластинки [см. формулу (10.60)]:
G(R**)=(5,751gR**-b3,8)2=33(lgR**-f0,66)-^. (10.61)
Функция G(R**) в виде (10.61) может быть использована для расчета
турбулентного пограничного слоя на крыловом профиле, и поэтому ее аргумент R**
берется для соответствующего сечения пограничного слоя на рассматриваемом
крыловом профиле.
При практических расчетах удобнее пользоваться следующим выражением
для функции G (R **), полученным яа основании обработки опытных данных:
1_
G(R*|*) = 153,2(R**)6 . (10.610

§ 10. Расчет турбулентного слоя для криволинейной поверхности 275
Выведем основное дифференциальное уравнение для формпараметра /
турбулентного пограничного слоя. Для этого умножим обе части уравнения (10.57)
на Cr(R**). Тогда получим
. G(R**)——+ (2+Я)/=С. (10.62)
Преобразуем первый член:
dx dx I и и' j dx
d I u\ I и rfS** u'^**\
R**G' (R**^ — R** ^^--—- f-
^ ^ dx G(R**)
= -(/-)-
dx \ u' I
d /^ и \ R**G' (R**) , dB** R**G' (R**) ^
dx V И'/ G(R**) ^ ^ dx G(R**)
Вводя обозначение
R**G' (R**) d log (5 (R**)
^ ^ G(R**) flflogR** ^ ^
найдем из предыдущего выражения
[14-/П (R**)] G (R**) —-— = — If—)- m(R**)/
dx dx \ u' J
или, используя равенство (10.62),
£-(/^) = (1+'«)С-[2+/п + (ит)Я]/.
После раскрытия производной в левой части получим искомое уравнение для /:
df и' и"
-^ = —F(/;R**)4-—/ (10.6*)
dx и и'
где
F(f; R**) = (l + m)C-[3-fm4-(l+/n)/^/. (10.65)
Дифференциальное уравнение (10.64) для формпараметра / аналогично
соответствующему уравнению (10.32) для ламинарного пограничного слоя, которое
было положено в основу приближенного метода расчета ламинарного слоя.
Если положить функцию G(R**) равной
G(R**)==R**,
то согласно (10.63) величина т примет значение т=1 и уравнение (10.64)
перейдет в известное соотношение (10.32) для ламинарного пограничного слоя,
а величины Д С (/) и F{f) будут равны соответствующим величинам для
ламинарного слоя [см. формулы (10.30), (10.27) и (10.31')].
В целях дальнейшего использования основных величин, характеризующих
ламинарный слой, для расчета турбулентного слоя введем следующие
нормированные величины. Формпараметр нормируем так, чтобы в точке отрыва его
значение равнялось единице, т. е. введем
18*

J276
Глава X. Пограничный слой
где /j —значение ненормированного параметра / в точке (
разное для турбулентного и ламинарного пограничных слоев
ного/^=-0,089).
Функции с if) и H(f) нормируем так, чтобы при*/=0(и'=(
минимума давления, значения С (/) и Н{/) были равны единиц
С =
(^)/=о
^0
и Я=-
Я
(%=о
где Со и Яд — значения ненормированных параметров С и Я :
мума давления (при /=0), также разные для ламинарного и
пограничных слоев.
Числовые значения нормированных величин, подсчитанных по
кам ламинарного пограничного слоя (см. § 8), приведены в табл. ]
Ti
f
-0,95
-0,90
-0,80
-0,70
-0,60
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
С
1,63
1,60
1,53
1.47
1.41
1,34
1,28
1,21
1,14
1,08
1 1,00
Я
0,85
0,86
0,87
0,88
0.90
0,915
0,93 '
0,95
0,97
0,985
1,000
/
0
0.1
0,2
0,3
0.4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
С
1.00
0,93
0,85
0.77
0,69
0.60
0,515
0,42
0,31
0,175
0,0
Дифференциальное уравнение (10.64) в нормированных вел
деления правой и левой частей на fs) может быть записано в ел
df
и'
~^ = -F(/;R-)-f-/.
dx
где
F{f) R**)=r
1+m
^oC(/)-[3+m + (l-fm) HoH{f)]f.

§ 10. Расчет турбулентного слоя для Криволинейной поверхности 277
Функции F{f\ R**) для ламинарного и турбулентного пограничных слобв
будут совершенно различны. В случае ламинарного слоя (т==1) имеем
— — а
где а=—-
F(f)^~a-^bf,
0,44
-0,089
=4,95 и 6=5,75.
Для определения функции FQ) в случае турбулентного пограничного
слоя необходимо, кроме т (R**), /у, Hq и Со, знать также ^(/)и Н (/).
Л. г; Лойцянский предположил, что связь между этими величинами
такая же, как и в случае ламинарного слоя, т. е., иными словами, функции
С=С (/) и H=H(f) для ламинарного и турбулентного слоев считаются
одинаковыми. Это- предположение хорошо подтверждается экспериментом.
Пользуясь этим допущением и определяя на основании экспериментальных
данных знач.ения т, fs*^o и Со для турбулентного слоя i, можно подставить
выражения С (/) и Я(/),_взятые из табл. 10.2, в формулу (10.67) и таким образом
определить функцию F(f) для турбулентного слоя. Оказывается, что с достаточной
для практики точностью функцию F(f) для турбулентного слоя также можно
считать линейной функцией
f(f)
bf.
(10.68)
где на основании опытных данных а=0,6 и 6=4,8.
Подставляя (10.68) в уравнение (10.66) и интегрируя его, получим формулу
для параметра / в следующем виде:
а'(х)
Чх) =
[«(^)Г
'lUumO-'di
Из условия конечности / при х—0 и м=0 следует, что при полностью
турбулентном слое С=0, т. е.
аи' (X) С ^
1)
Подставляя значения а и 6 для турбулентного слоя, будем иметь
X
7(х) = - 0,6 -—- J «3'« (?) dt (10.70)
о
При наличии начального ламинарного участка длиной xt из условия
совпадения толщины потери импульса 5** на границе между ламинарным и
турбулентным участками получим
и'
/И--^
ft
«^ J
(i)d^
Xt
(10.71)
1 Эти значения можно положить равными: от=0,167, /^^—2, Яо=1,4
и Со-1.

278 Глава X, Пограничный слой
На основании изложенного расчет турбулентного пограничного слоя можно
производить в следующем порядке:
1. Находим7*W по формуле (10.69) или (10.71).
2. Определяем R**(j:), используя формулу (10.590, которую можно пере-
шисать в следующем виде:
^шд (н**)^у-(д;) д _ . (10. 72)
'3. Рассчитываем ^о{х) с помощью формулы (10.60):
,„=^[Zk)Lp„, (10.73)
(для турбулентного пограничного слоя С=С, так как Со=1)-
В заключение заметим, что изложенный наиболее общий метод можно
применять и для расчета ламинарного пограничного слоя, как для jiacTHoro случая.
В этом случае в формулу (10.69) надо подставить значения а=4,95 и 6=5,75,
соответствующие ламинарному слою, и в формулах (10.72) и (10.73) положить
G(R**)=R**.

Глава XI
ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
§ 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В гл. VII рассмотрена теория крыла бесконечного размаха в
плоско-параллельном потоке; эта теория основывалась на
представлении, что крыло обтекается плавнО', т. е. что в области течения нет
ни образования вихрей, ни образования поверхностей разрыва
скорости.
Переходя к рассмотрению крыла конечного размаха, можно
доказать, что при наличии циркуляции по контуру L, охватывающему
крыло, от крыла должны отходить вихри.
В самом деле, пусть крыло конечного
размаха К обтекается идеальной жидкостью и
создает некоторую подъемную силу (фиг. 11. 1).
Про<ведем контур L, охватывающий крыло. Так
как на крыло действует подъемная сила, то,
следовательно, по теореме Жуковского
циркуляция Г по контуру L отлична от нуля.
Построим на контуре L некоторую
поверхность S, не пересекающую крыло (см. фиг. 11.1).
Применяя теорему Стокса к контуру L и
поверхности S, можем написать (см. стр. 95).
L S
Фиг. П. 1. Схема,
поясняющая
существование отходящих от
крыла вихрей.
Отсюда следует, что так как циркуляция Г по контуру L отлична от
нуля, то на любой поверхности 5, построенной указанным выше
образом, должны существовать точки, в которых Шл^т^О.
Иными'словами, если циркуляция вокруг крыла отлична от нуля, то вне крыла
должны существовать вихри, пронизывающие поверхность 5.
Действительная картина обтекания крыла конечною размаха
очень сложна, но только что доказанное положение относительно
наличия вне крыла вихрей позволяет построить некоторые схемы
(модели) обтекания, приближенно отображающие действительную
картину обтекания крыла.
В теории крыла бесконечного размаха в первом приближении
крыло можно заменить бесконечно длинной вихревой нитью, которая
кратко называется присоединенным вихрем крыла (фиг. П. 2,а). Для

280
Глава XL Теория крыла конечного размаха
случая крыла конечного размаха вводить только приооединенньш
(конечный) вихрь нельзя, так как это будет противоречить первой
теореме Гельмгольца о вихрях, в силу которой вихрь не может
обрываться в жидкости (в данном случае в торцевых точках крыла
конечного размаха /). Вместе с тем выше устаноБлено, что если
циркуляция по контуру L, охватывающему крыло, не равна нулю, то
поверхность S, построенная на этом контуре, пронизывается вихрями.
Учитывая все это, приходим к
выводу, что у крыла конечного
размаха присоединенный вихрь
должен выйти за пределы
крыла и, подхваченный потоком
воздуха, должен простираться
до бесконечности в
направлении основного течения, образуя
так называемые вихревые усы
(фиг. 11.2,6). В отличие от
присоединенного вихря его
продолжение (вихревые усы,
сбегающие с торцев крыла)
называют обычно свободными
вихрями.
Таким образом, в первом
приближении крыло конечного
размаха можно заменить одной
бесконечной вихревой нитью'
П-образной формы в плане.
В силу первой теоремы
Гельмгольца о вихрях циркуляция
скорости Г вдоль такого П-образного вихря будет постоянной
(Г = const).
В существовании свободных вихрей легко убедиться, поместив
крыло в аэродинамическую трубу. Внося в поток палочку, к концу
которой привязан на нитке шарик из ваты, поднесем ее к месту
предполагаемого образования свободного вихря. Как только шарик
попадет в зону вихря, он начнет вращаться, описывая вместе с
ниткой некоторый конус; перемещая шарик вдоль аэродинамической
трубы, можно таким образом «прощупать» весь вихрь по его длине.
Если шарик ввести в зону второго вихря, сбегающего с
противоположной торцевой поверхности крыла, он также начнет вращаться,
но в обратную сторону. Вне зоны этих вихрей нитка с шариком
установится по потоку, и шарик будет несколько вибрировать, но
вращаться не будет.
Разработка теории крыла конечного размаха в России началась
почти одновременно с созданием теории крыла бесконечного
размаха. Честь создания теории крыла конечного размаха принадлежит
русскому ученому академику Сергею Алексеевичу Чаплыгину.
Фиг. 11.2. Присоединенный и
свободный вихри.

§ 1. Гидродинамические модели крыла конечного размаха
281
27 октября 1910 г. на заседании научно-технического комитета
Московского общества воздухоплавания С. А. Чаплыгин сделал
сообщение— «Результаты теоретических исследований о движении
аэропланов!», посвященное вопросу воздействия воздуха на крыло,
в котором указал на наличие вихрей, отходящих от крыла конечного
размаха.
Три года спустя (22 октября 1913 г.) С. А. Чаплыгин доложил
Московскому математическому обществу теорию крыла конечно'га
размаха. В этой работе он получил впервые в мире общие
выражения для подъемной силы и силы сопротивления крыла конечного
размаха.
Фиг. 11.3. Вихревая пелена.
Фиг. 11.4. Свертывающаяся
вихревая пелена.
К разработке теории крыла конечного размаха за рубежом
приступили позлее, и ТОЛЬКО' в 1918 г. Л. Прандтль опубликовал
основные ее результаты.
В рассмотренной простейшей вихревой схеме крыла конечного
размаха циркуляция вдоль крыла предполагалась постоянной.
В действительности же, как показывает опыт, циркуляция меняется
вдоль размаха крыла. Вихревую схему обтекания крыла,
учитывающую переменность циркуляции вдоль его размаха, можно
получить, если заменить крыло не одним П-образным вихрем, а
системой П-образных вихрей. Вдоль каждого такого вихря циркуляция
будет постоянной, но при переходе от одного вихря к другому будет
меняться (скачкообразно).
В этой схеме можно положить число вихрей равным
бесконечности, и тогда циркуляция вдоль крыла будет изменяться
непрерывно, уменьшаясь от его центра к торцам. При этом за крылом
свободные вихри сольются в единое целое и образуют так
называемую вихревую пелену (фиг. 11.3), состоящую из бесконечно
большого числа сходящих с крыла вихревых шнуров.
Подобная вихревая схема крыла с непрерывным распределением»
циркуляции и с вихревой пеленой за ним поло-жена в основу теории
крыла конечного размаха и была впервые введена в 1913 г.
Н. Е. Жуковским в его работе по теории воздушных винтов [41]».

:282
Глава XI. Теория крыла конечного размаха
В дальнейшем эта схема Н. Е. Жуковского использовалась многими
учеными, в том числе и Л. Прандтлем, и являлась в том или ином
виде базою для дальнейших работ по теории крыла и винта.
Исследования вихревой пелены за крылом показали, что она
неустойчива и вскоре после сбегания с крыла свертывается в два
вихревых шнура (фиг. 11.4). Поэтому было бы правильнее
рассматривать в теории крыла последнюю вихревую схему; однако ее
использование с математической точки зрения крайне
затруднительно. В связи с этим применяют обычно более упрощенные схемы,
заменяя крыло либо одним П-образным вихрем (фиг. 11.2), либо
сплошной плоской вихревой пеленой (фиг. 11.3).
§ 2. ПОНЯТИЕ О СКОСЕ ПОТОКА И СИЛЕ ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ДЛЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Рассмотрим крыло конечного размаха в двух проекциях
<(фиг. 11.5), считая его прямоугольным. Обозначим размах этого
1крыла через /> а величину— = X., где b — хорда, будем называть
относительным размахом или удлинением крыла. Вдоль размаха
поместим присоединенный вихрь, который переходит затем в два
-свободных вихря, расстояние между которыми обозначим через Zi,
а расстояние между осью
свободного вихря и торцем крыла —
через е. Начало координат
поместим в центре левого свободного
вихря и направим ось z вправо.
Возьмем какую-либо точку А с
координатой Z и определим
скорость Vy, индуцированную в этой
точке левЫхМ свободным вихрем.
Так как левый свободный вихрь
представляет собой бесконечный
полушнур, то, используя формулу
(5. 15), будем иметь
г
v,,=
Фиг. 11.5. Упрощенная вихревая
схема прямоугольного крыла.
Знак минус поставлен потому, что
скорость Vy направлена вниз, а
ось у — вверх.
Из указанной формулы следует, что индуцированная скорость
"ОТ свободного вихря распределяется по размаху крыла по гипербо-
.лическому закону.
Чтобы оценить влияние обоих вихрей, введем среднюю по раз-
.маху индуцированную скорость w.

§ 2. Понятие о скосе потока и силе индуктивного сопротивления 283
Средняя по размаху скорость от левого свободного вихря,
очевидно, равна
тЬ-^"-
в силу симметрии величина средней скорости от правого вихря
будет такой же, а потому средняя индуцированная скорость
w = — \ Vydz, (11. 1)
е
Выясним, какие изменения в физическую картину обтекания
крыла вносит скорость W, индуцированная отходящими от крыла
свободными вихрями. Для этого рас-
см'отрим крыло (фиг. 11.6),
обтекаемое под некоторым углом
атаки а потоком, скорость которого
обозначим через у^ .Очевидно, что
в произвольной точке М потока
около крыла скорость частиц М ^
жидкости будет состоять из двух ^ о
составляющих: скорости v^ набе- Фиг. п. 6. Скос потока у крыла
гающего потока и скорости w, конечного размаха,
индуцированной вихрями. В
результате в точке М крыло будет обтекаться с некоторой скоростью
V, направление которой составит с хордой крыла угол 61^=0,—Ла,
называемый истинным углом атаки.
Таким образом, вблизи крыла происходит изменение угла атаки,
или, как говорят, скос noroiKa. Величина скоса потока определяется
углом А а, называемым углом скоса. Величина этого угла невелика
и составляет несколько градусов. Из фиг. 11.6 следует, что
tgAa= .
Знак минус берется потому, что принято считать угол скоса
положительным, когда индуцированная скорость направлена вниз, т. е.
когда W отрицательно. Так как угол Л а мал, то
Aa«tga=—^^. (11.2)
При отсутствии скоса вектор результирующей силы воздействия
потока на крыло согласно теореме Жуковского нормален к
направлению невозмущенного потока, т. е. к вектору скорости v^ . При
наличии скоса вектор результирующей силы должен быть нормальным
к направлению истинной скорости v. Следовательно, скос потока
приводит к отклонению результирующей силы от направления,
перпендикулярного скорости набегающего потока, на угол ^aL

284
Глава XI. Теория крыла конечного размаха
(фиг. 11.7). В результате у результирующей силы появится
составляющая Хг ПО направлению невозмущенного потока. Эта
дополнительная сила Хг, появившаяся в результате скоса потока, носит
название силы индуктивного
сопротивления. Если эту силу разделить на
2
коэффициента силы индуктивного
сопротивления
У.
величину ^—^ S, то получим величину
Xi
?v^
(11.3)
Фиг.
11.7. Сила индуктивного
сопротивления.
Таким обр азом, сопротивление
крыла конечного размаха будет
состоять из профильного
сопротивления, определяемого сопротивлением
трения и разностью давлений на передней и задней частях крыла, и
индуктивного сопротивления, обусловленного скосом потока, т. е
для крыла конечного^ размаха
C:c=^xp + ^xi' (11-4)
У крыла бесконечного размаха, где скюс потока отсутствует,
индуктивное сопротивление равно нулю, и его сопротивление будет
определяться только профильным сопротивлением.
§ 3. ИНДУЦИРОВАННАЯ СКОРОСТЬ И СКОС ПОТОКА [Г==Г(^)1
Если рассматривать крыло произвольной формы в плане, то
циркуляция Г по размаху крыла будет, вообще говоря, изменяться.
т. е. Г = Г (z), причем максимальное значение циркуляции, как
показывает опыт, будет достигаться в центре крыла.
Как было показано выше, в этом случае с крыла будет сбегать
так называемая вихревая пелена (см. фиг. 11.3).
Исходя из этой наиболее общей схемы крыла конечного' размаха
получим основные соотношения, определяющие скос потока у
крыла, индуктивную скорость v,j, подъемную силу У и индуктивное
сопротивление Хг.
Рассмотрим проекцию крыла на плоскость yz (фиг. 11.8). Вдоль
размаха крыла циркуляция Г будет меняться по некоторому закону
Г = Г(г), который графически можно изобразить кривой-DCS (если
вдоль оси у откладывать значения Г). Рассмотрим действие системы
вихрей (вихревой пелены), сбегающей с крыла, на пронзв-ольную'
точку А (см. фиг, 11.8). Очевидно, с каждого элемента крыла dz
будет сбегать элементарный вихрь с циркуляцией dV, направленный
нормально к плоскости чертежа. Если положение точки А
характеризуется координатой Z, а положение элементарного' вихря,
сбегающего с участка крыла, MiV=c?2i ~ координатой Zt, то скорость, ин-

§ 3. Индуцированная скорость и скос потока [Г = Г(2)1
285
дуцированная этим вихрем в точке А, очевидно, может быть
написана в виде
dv^^—^ .
-^ 47Г (zi — z)
Скорость В точке А, индуцированная всей вихревой пеленой,
будет равна
"V,,
1 I dV
47t 1 Zi —z
I
2
(^ dV
Atz \ Z\ — z
I
2
(11.5)
где Г является функцией ^i,r=r(^i), а координата z для данной
точки А есть величина постоянная. В результате скорость Vy также
будет меняться по размаху
крыла, т. е. Vy=Vy(z),
Интеграл, входящий в
формулу (11.5), является
несобственным интегралом. Чтобы его
вычислить, необходимо из интервала
интегрирования исключить особую
точку ^1=2. Это можно сделать,
разбив интервал интегрирования
( '2 ' "^ "У ) "^ следующие
два интервала:
(-Т' ^-^ « h^' +т)'
Фиг. 11.8. К расчету индуцированной
скорости для крыла произвольной
формы в плане.
где е — малая величина [42].
Тогда значение интеграла (11.5) можно определить как предел
следующего выражения:
:lim
е-*0
dzi"
dz\
dV
dzi'
■dz.
2+e
носящего название главной части интеграла (11.5).
Физически это означает, что мы исключили из рассмотрения
элементарный вихрь, проходящий через точку А, скорость v^ в которой
требуется определить. ^

286 Глава XI. Теория крыла конечного размаха
Для нахождения угла скоса Да, который в общем случае будет
также меняться вдоль размаха крыла, следует воспользоваться
формулой
Aa=-J. (11.6)
Истинный угол атаки а^ какого-либо сечения крыла будет
определяться формулой
a„ = a—Да, (И. 7)
где а — угол атаки, определяемый по направлению скорости на
бесконечности. Угол атаки а в общем случае также может меняться
вдоль размаха крыла, если крыло закручено. Поэтому для любого
сечения крыла местный угол атаки а можно определять как сумму
а = «ц + аз»
где осц — угол атаки центроплана; аз — угол закрутки крыла в рас-
сматриваемО'М сечении.
§ 4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА КРЫЛО. ИНДУКТИВНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ [Г=Г (z)]
Для нахождения подъемной силы крыла выделим элементарный
участок крыла dz и будем считать, что поток в пределах этого
участка является плоско-параллельным. iB таком случае к этому участку
можно применить теорему Жуковского, выведенную для
плоскопараллельного течения:
dY=pV(z)v^dz,
и, следовательно, для всего крыла
У=Р^^ l^riz)dz. (11.8)
_ _-
Численное значение интеграла (11.8), очевидно, равно площади
Q, ограниченной линией DB и кривой DCB (см. фиг. 11.8). Следа-
вательно,
J^=P^oo^• (11.9)
Найдем величину силы индуктивного сопротивления. Для этого
выделим на крыле элементарный участок dz, на который действует
подъемная сила dY. Так как поток в рассматриваемом месте будет
скошен на величину Л а, то вектор dR окажется наклоненным к
направлению скорости на бесконечности, в результате чего появится
слагающая в направлении оси х, называемая силой индуктивного
сопротивления и обозначаемая через dXi. Очевидно, что (см.
фиг. 11.7)
dXJ^dV^a.

§ 5. Основное интегро-дифференциальное уравнение крыла 287
Подставляя в это выражение dY=pT{z)v^dz и Да= ^^
будем иметь
Полная сила индуктивного сопротивления Х% определится
формулой
Х,^-^ J T{z)'Vydz, (11.10)
Подставляя в это выражение величину % по формуле (11.5),
получим
х,= ^-1^ [T{z)dz Г ^L(?i)_^fi.. (11.11)
Как видим, аэродинамические характеристики крыла (Да, Vy, Y,
Хг) можно определить, если известен закон изменения циркуляции,
т. е. функция Г= Г (г), так как все О'Ни зависят от этой функции.
Найдем величину профильного сопротивления крыла Хр,
Обозначим через с'хр местный коэффициент профильного сопротивления,
соответствующий истинному местному углу атаки.
Тогда
dX„=-c -^bdzv^,
где b — хорда крыла, в общем случае меняющаяся вдоль размаха,.
т. е. b = b{z), В таком случае полная сила профильного
сопротивления будет выражаться следующим образом:
^Р = ~- j c'^pbdz=g J c'^^bdz, (11.12)
гдe^ = ^--^^—величина скоростного напора.
§ 5. ОСНОВНОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
«
Выведем уравнение, позволяющее найти функцию Г (2).
Обратимся для этого к так называемому уравнению связи.
При наличии вихревой пелены для элемента крыла dz mo>kho>
написать два следующих равенства:
dV=pr{z)v^dz,
dV=Cy{z)-^b(z)dzvl.

'2S8
Глава XL Теория крыла конечного размаха
Приравнивая их, находим уравнение связи
J_
2
Г(^) =
c^(z)b{z)v^.
(11.13)
Допустим, что угол атаки в данном сечении отсчитывается от так
называемой аэродинамической хорды, т. е. от такого направления,
для которого местный Су=0.
.^щ, тй
Фиг. 11.9. Аэродинамическая хорда.
Обозначая угол атаки, отсчитываемый от аэродинамической
хорды,, через Ла, угол атаки, при котором Cy—Q, через ао, можем
написать следующее очевидное равенство (фиг. 11.9,а):
Отсюда видно, что аэродинамическая хорда повернута по
отношению к геометрической хорде на угол ао вверх (так как обычно
ао<0; см. фиг. 11.9,6).
На прямолинейном участке кривой Су по а справедливо
соотношение
= ^о^а»
(11.14)
где ао — тангенс угла наклона к -оси а прямблинейного участка
кривой Су по а для рассматриваемого профиля (сечения), т. е. для
крыла бесконечного размаха, пр'Офиль которого соответствует
данному.
В данном случае крыла конечного размаха произвольное
сечение крыла обтекается под истинным углом атаки оСи или под
истинным углом атаки, отсчитываемым от аэродинамической хорды аи.а.
Используя равенство (11. 14), можем написать
= аоаи = ^о(аа—Да) = ао(аз + -^).
Следовательно,
r(2)=i-ao6(z)^„j^a,(2:) + y.

§ 6. Расчет распределения циркуляции по размаху крыла 289
Подставляя сюда значение Vy\m> формуле (11.5) и опуская инд^екс а,
можно полученное уравнение написать в окончательном виде
Tiz)^^a,b{z)v^
(11.15)
Это уравнение носит название основного интегро-дифференциаль-
наго уравнения крыла (интегро-дифференциальным оно называется
потому, ЧТО' неизвестная функция Г (z) входит в него и под знакО'М
производной и под знаком интеграла).
Уравнение (11.15) позволяет определить циркуляцию крыла
Г (^) по известным функциям b{z) и а (г), заданным конструкцией
крыла.
Установление закона распределения циркуляции по размаху
крыла позволяет определить все аэродинамические характеристики
крыла.
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦИРКУЛЯЦИИ
ПО РАЗМАХУ КРЫЛА
Как выше установлено, определение аэродинамических
характеристик крыла сводится к решению интегро-дифференциального
уравнения (11.15).
Общцх методов для решения подобного интегро-дифференциаль-
ного уравнения не имеется. В связи с этим приходится применять
приближенные методы решения.
В настояш,ее время имеется ряд приближенных методов решения
основного уравнения крыла, например, методы Глауэрта—Трефтца,
Б. Н. Юрьева, В. В. Голубера [3], Г. Ф. Бураго-, А. Б. Рисберга [43],
С. Г. Нужина, Мультгоппа,
В настоящем параграфе будет рассмотрен один из впервые
применявшихся методов — метод Глауэрта—Трефтца. Этот метод
основан на использовании тригонометрических рядов,.
Переходя к рассмотрению метода Глауэрта—Трефтца, осуихе-
ствим замену независимого .переменного z, положив
z= cos 6.
2
Представим циркуляцию Г в виде бесконечного
тригонометрического ряда
Г =2lv^ I A^sinnb, . (11.16)
/г=1
где ^1, ^2,... — посто>янные коэффициенты, подлежаш^ие
определению.
19 Аэродинамика

290 Глава XL Теория крыла конечного размаха
Выражение для циркуляции (11. 16) нужно подставить в-
основное интегро-дифференциальное уравнение (11 .15). Предварительно
вычислим значение интеграла, входящего в уравнение (11.15).
Учитывая, что
01 = ' COS б^; dZi = — sin 6j dbi;
db
dzi I sin Gj
получаем
Zi—z^ cos6i4 cos б = (cos 6^ —cos 6).
Замечая, что
dr (Zj) __ dT (zi) dbi
dzi rfG, dzi
где
2lv^d( f A^sinnbi )
^ = ^ ^ = 2l^.fnA„ cos nb„
dbi dbi /2=1
будем иметь
= 2to^ V/iA^cos/26i
dT(z,)
dzi -^ j^—-n ^/sinGi
Л-1
Следовательно, искомый интеграл примет вид
1
4tcv^
1
2
dzi
ч-
dzi
z
00
/1 = 1
/
-— (cos 9i — cos 6)
•flf6i =
tt: j^ "- J COs6i- COS б
COS 6i— COS б
л = 1 о

§ 6. Расчет распределения циркуляции по размаху крыла
291
Главное значение интеграла, стоящего под знаком суммы, просто
вычисляется (см. стр. 173)
COS пЬ^ dbi
cos 01— cos 6
sin пЬ
sine '
так ЧТО окончательно получаем
dV(z,)
1
d2i
dz^
Asiv^
Zi — Z
2 пА^ътпЬ
sine
(11.17)
Подставляя в основное уравнение (11.15) значение интеграла
(И. 17) и циркуляцию Г по формуле (11. 16), получим
Лл
а(е)-
2 riAj^sinnb
п=\
sine
6(6)^^
или
«0^(6) S^^;iSin/t6 + 4Zsin6 2 i4„sin/te = aoa(e)*(6)sine.
л=1 л=1
Введя обозначение
До Ь (6)
4/
будем иметь
1А 2 яЛ^ Sin/гО + sin 6 J i4„sinn9 = {xasin0
/2 = 1 Л=1
ИЛИ окончательно
2 (/гP' + siп6)Л^sinя9 = ^lasin6.
л=1
(11.18)
Последнее уравнение, удовлетворяющееся во всех сечениях
крыла, позволяет определить коэффициенты Ли.
Для приближенного его решения поступаем следующим
образом. Выбираем столько сечений крыла, сколько членов
тригонометрического ряда (11. 16) желательно сохранить, и для каждого
сечения составляем уравнение (11.18) (параметр р.,
пропорциональный хорде Ь, и угол атаки а в общем случае являются функциями 6).
В результате получим систему алгебраических уравнений первой
степени для определения коэффициентов Ли.
19*

292 Глава XL Теория крыла конечного размаха
Легко убедиться в том, что- для симметричного! крыла и при
симметричном его обтекании коэффициенты ряда (П. 16) An с Четными
п до'Лжны обратиться в нуль.
Действительно, напишем соотношение (11. 16) для двух то^чек
крыла, равно удаленных от его середины
r(0) = 2to^ I Л^81пя6
r(tc~-e) = 2to^ S Л„8Ш/г(7г—0).
Очевидно, что при четных п
sin я (тг — 6) = — sin /г6,
а при нечетных п
sin /г (тс — 6) == + sin /г6.
Так как по условию симметрии должно выполняться равенство
г (6) = г (и-6),
то отсюда следует, что' коэффициенты An с четными номерами
должны обратиться в нуль.
Следовательно, коэффициенты An с четными п будут отличны
от нуля лишь для несимметричных крыльев (например, крылья с
откло'ненными элеронами) или при несимметричном обтекании
крыла.
Во мно'гих случаях при расчете крыльев приходится пользоваться
коэффициентами An лишь с нечетными п.
Итак, если имеется симметрия относительно среднего сечения
крыла (0 = 90°), то значения 6 будут лежать в интервале между О
и 90°, а в разложении (Г1. 16) сО'Хранятся лишь члены с нечетными
коэффициентами Ai, А^, Л5, Л?,...
Расчетные сечения крыла следует выбирать внаиб-рлее
характерных точках крыла: в местах резкого' изменения профиля, в
местах заметного изменения хорды (например, в месте перехода
прямоугольного центроплана в трапецевидную консоль) и т. д. Практика
расчетов показала, что достаточно удержать первые четыре члена
ряда в разложении циркуляции, чтобы получить хорошее
приближение для аэродинамических характеристик крыла.
Обычно (за исключением особых случаев) за расчетные могут
быть приняты точки (фиг. И. 10), соответствующие значениям
е -!22,5°; 45°; 67,5°; 90°.
В этом случае система уравнений будет состоять из четырех
уравнений вида (И. 18) соответственно'четырем выбранным точкам
полуразмаха. Каждому значению 0 будет соответствовать свое уравнение.

§ 6. Расчет распределения циркуляции по размаху крыла
293
Определив численные значения синусоБ и внося их в уравнения
(11. 18), получим следующую линейную алгебраическую систему
четырех урав14ений для определения четырех неизвестных
коэффициентов Ai, Лз, Лб, Лт тригонометрического ряда (11. 16)
0,383 (^ii + 0,383) Л1 + 0,924 (3[Xi +0,383) А^+0,924 (Ън + 0,383) А, +
+ 0,383 (7ixi + 0,383) Л, = 0,383 [Xjaj;
(1^2 + 0,707) Л, + (3ixo + 0,707) А^ - {Ъ^^ + 0,707) А, -^
—(71^2+ 0.707) Л,-[х^а^;
0,924 (^^3 + 0,924) Л1 ^ 0,383 (3[Хз + 0,924) Лд - 0,383 (5[Хз + 0,924) А, +
+ 0,924 (7|1з + 0,924) Л 7 = 0,924 [Хзаз;
(Ix,+ l)Лl-(3^, + l)Лз + (5^t,+ l)Л.-(7[x,+ l)Л,-^A,
где [Ai, |jb2, р^з> 1^4» ^1> °^2» ^35 «4^-известные величины.
Решая эту срютему, находим искомые коэффициенты.
Следует подчеркнуть, что углы атаки а в соответствующих
сечениях отсчитываются от аэродинамической хорды. В о<бщем случае
угО'Л атаки в произвольном сечении может быть представлен в виде
суммы:
угла атаки некоторото
определенного, характерного
сечения крыла; обычно за такое
сечение принимают сечение,
проходящее в плоскости
симметрии крыла, т. е. а=а(90°);
взятого с обратным
знаком угла атаки, при котором
подъемная сила равна нулю в
плоскости выбранного харак.
терното сечения; обычно его-
обозначают через ао(90'°);
угла закрученности
(крутки) данного сечения крыла
срз (0). СледО'Вательно,
а(6) = а(90°) + ао(90°) + срз(е)
-^!П\
или
а(е),= а,(90^) + срз(6),
где
Фиг. 11. 10. Расчетные сечения крыла.
а,(90°) = а(90°) + ао(90").
Закрутка ^Д^) может быть осуществлена непосредственно
поворотом сечений по отношению к хорде корневото сечения (6 =90^) —
геометрическая крутка. Если же ряд профилей лежит в одной
плоскости, но углы осо(^) У них различные, то в этом случае имеет

294 Глава XL Теория крыла конечного размаха
место-•— аэродинамическая крутка. Наконец, крыло может иметь оба
вида закрученн'ости одновременно — смешанная крутка (иод
положительной .круткой понимают увеличение углов атаки от корневого
к концевому сечению крыла).
Закрученное крыло характеризуется тем, что в различных его
сечениях с^ различный. В частности, при с^/кр^О с^ для различных
сечений не равны нулю. Если же все сечения обладают одним и тем
же Су, то такое крыло называется незакрученным, или плоским;
аэродинамические хорды плоского крыла лежат в одной плоскости.
Итак, метод Глауэрта—Трефтца дает возможность найти распре
деление циркуляции Г вдоль крыльев различной формы в плане.
Однако необходимо отметить, что этот метод эффективен только для
крыльев простейшей формы в плане. В более сложных случаях
(наличие на крыле вырезов, выступов и т. п.) метод Глауэрта—Трефтца
приводит к большим и трудоемким вычислениям.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И СИЛЫ ИНДУКТИВНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ КРЫЛА. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЕРЕСЧЕТА НЕЗАКРУЧЕННЫХ
КРЫЛЬЕВ С ОДНОГО УДЛИНЕНИЯ НА ДРУГОЕ
Положим, что коэффициенты An ряда (11. 16) определены. Тотда
легко определить ряд аэродинамических характеристик крыла..
Найдем, например, подъемную силу крыла и силу индуктив-ного
сопротивления. Выражение для подъемной силы крыла будет иметь
вид
J-
V= ( pv^r{z)dz = p^^^^2 Г [ I Л„ sin fi6 \ sin 6 ^8.
Так как
% тс
г Лх sin 6 sin О f^e = Л1Г sin' 6 rfe = Лi
и при п>1
r4„sinn6sinerfe = /4„
то
sin (п4-1)6 sin(AX - 1) 6 >_Q
2(я+1) 2(rt-l) Jo
:Tl/2p^Ai. (11.19)
2
Таким образом, подъемная сила крыла конечного размаха
выражается только через первый коэффициент разложения циркуляции
в тригонометрический ряд. Остальные коэффициенты, не изменяя
общей величины подъемной силы, влияют лишь на характер распре-

§ 7. Определение подъемной силы и силы индуктивного сопротивления 295
деления циркуляции по крылу, следовательно, на распределение
аэродинамической нагрузки по размаху крыла.
Легко 1найти коэффициент подъемной силы крыла
У 1t/2
p5i;2
Л,
т. е.
с = TzkAi.
(11.20)
Найдем теперь формулы для пересчета крыла с одного
удлинения на другое.
Будем считать, что крыло не имеет
закрутки. Отсчитывая углы атаки от
аэродинамической хорды, для крыла в
целом можно написать (фиг. 11. 11)
Отсюда для крыла определенной формы
в плане имеем следующее равенство:
а-
nlA-i
(11.21) Фиг. 11.11. Пересчет
зависимости Су от а с конечного
удлинения X=Xi на беско-
где а — тангенс угла наклона прямой ^ печное Х=оо.
'Су к оси а.
Для данного крыла и для крыла бесконечного размаха, но с тем
же значением Су можно написать два следующих уравнения:
■•а2.
Су = апа
О^оо)
где а^о — угол атаки крыла бесконечного размаха, при котором
достигается тот же Сц; (фиг. И. 11).
Отсюда получаем
а —а_ =с.
_L_J_Uoi,x/-I—1
Uq
uX
«О-
Вводя обозначение
О'КОйчательно получаем
а-а^=-^{1+х).
(11.22)
(11.23)
(11.24)
Эта формула позволяет пересчитать зависимость с„ по а, известную,
например, из опыта, для крыла конечного размаха на крыло
бесконечного размаха (см. фиг. 11. И).

296
Глава XL Теория крыла конечного размаха
Если МЫ имеем два крыла, составленные из однпх и те;х же
профилей, но с различными удлинениями Ai и ^2, то для каждото из
них можно написать равенства:
71Л^
71X.
(1+^2),
причем, как и выше, рассматриваются режимы с одинаковыми с,„.
Вычитая из первого уравнения
второе, получаем
а^ —а2 = 57,3 -^\
1+Ti
7t L Xi
1+1:2
(11.25)
Фиг. 11.12. Пересчет зависимости с
» Формула (11.25) дает
возможность пересчитать кривую
щ по а, полученную для крыла
с удлинением Xi на крыло с
удлинением Х2 (фиг. 11. 12).
Действительно, из нее следует,
что у второго крыла те же с^г
будут достигаться в точках а2^,
определяемых формулой
от а с одного удлинения li на другое h^. qj° __ д° 57 3
\
l-f-Tj l+Tg
]•
Значения т для разлрхчных крыльев приводятся в следующем
параграфе.
Найдем силу индуктивного сопротивления, имея в виду.
что Да— —
_ МУ
Хг
\ о ^'-'^
2
J^ ^ sin0 2
п=1
о \л=1 1\т=1 I
Так как при т^п
тс ти
г Л2« sin* «9 £/6=Л 2 Г sin2 пЬ d{nb)=пА1^ ,

§ 7. Определение подъемной силы и силы индуктивного сопротивления 297
а при п=^т
тс тс
j пА^ sin ябЛ^ sin тЬ db = пА^А^ J sin /26 sin /яб (i0 = О,
о . о
то
00
^i^-^l'—^riAl. (11.26)
Таким образом, оказывается, что сила индуктивного
сопротивления крыла конечного размаха прямо пропорциональна сумме,
составленной из квадратов коэффициентов разложения циркуляции в
тригонометрический ряд,, умноженных на их порядковые номера.
Эта сумма бсегда положительна, и, следовательно, ни при каком
распределении циркуляции по крылу и с^/^0 индуктивное
сопротивление не может исчезнуть.
Выражение для коэффициента индуктивного сопротивления всего
крыла будет иметь такой вид (здесь X = l^/S):
Х- °о
С^,= ^— = т:\^^пА1
р5г^2
S"^-- (11.27)
2 ^=^
Умножив и разделив правую часть в последнем выражении на
'у
Л? и замечая, что Л^, = -^, получим
2 п4? , S rtAl
или окончательно
где
7iA / Л1 пХ А\
'^(1+0), (11.28)
к\
(11.29)
Как видим, А^я нахождения величины Ь нужно знать
величины коэффициентов An для крыла данной формы в плане.
Значения Ъ для различных крыльев приведены в следующем параграфе.

298 Глава XI. Теория крыла конечного размаха
Из оо'отношения (11.28) следует, что при переходе от крыла с
удлинением Xi к крылу с удлинением Х2 при одном и том же с^
выполняется следующее равенство:
Эта формула позволяет пересчитать индуктивное сопротивление
жрыла с удлинением Xi на крыло с удлинением Хг.
§ 8. НАИВЫГОДНЕЙШАЯ ФОРМА В ПЛАНЕ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Аэродинамически наивыгоднейшим крылом, естественно, следует
.назвать крыло с наименьшим индуктивным сопротивлением.
При заданном значении Су крыла с^г будет минимальным,
очевидно, в том случае, когда ^=0, т. е. когда As=A5=Aj=..,=0. В этом
случае циркуляция Г (г) будет выражаться только через первый
член ряда
r = 2h^AiSinb.
Отсюда при 0 = -;—
т. е.
Го = 2/^^ Ль
1о_
где Г^.— циркуляция в среднем сечении крыла.
Тлк как
z= cose,
2
то
r==2to л
Y^'w
тг
Учитывая, что Ai в данном случае равно -—^—, получим
'-'Y'-ш
(11.31)
Как видим, циркуляция Г (г) меняется по размаху, следуя
эллиптическому закону, т. е. крыло имеет наименьшее индуктивное со-
противление при эллиптическом распределении циркуляции по раз-
.маху.

§ 8. Наивыгоднейшая форма в плане крыла конечного размаха 299
Индуцированная скор'ость в этом случае [формула (11. 17)]
■Vy^-A.v^^-^, (11.32)
Т. е. постоянна по размаху крыла, так же как и угол скоса,
Aa=-^=A=Ji- = 3L^. (11.33)
Коэффициент индуктивного сопротивления
с,,=-^. (11.34)
Имея в виду, что для любого сечения крыла
уравнение (11.31) можно переписать в виде
су у со «^
/■
(i)'
откуда
где
'^у ш i Ш" '"•"*
4^1 /
Последняя формула показывает, что при эллиптическом
распределении циркуляции по размаху хорда крыла также меняется по
эллиптическому закону. Иными словами, аэродинамически
наивыгоднейшим крылом является крыло, имеющее эллиптическую форму
в плане,
(Вычислим подъемную силу эллиптического крыла. Эта сила
выражается через площадь ^э, ограниченную кривой Г (z) (фиг. И. 13):
+ Т
>^=Р'^оо J r{z)dz=pv^
00 Э*
Площадь полуэллипса Qg в данном случае будет равна
^2 2 4

300
Глава XL Теория крыла конечного размаха
Следовательно,
■P'^J^o
(11.36)
Индуктивное сопротивление выразится формулой
где Да = -
Следовательно,
Х, = -
^9П.
(11.37)
Подставляя в последнюю формулу величину Г^ из формулы
(11.36), получим
/2
X, = -^il-,
Отметим, что Хь не заврюит ни от X ни от /. На первый взгляд
это противоречит последней формуле. На самом деле при изменении
размаха в этом случае соответ-
г • ственно возрастает подъемная
^ ^ сила Y [см, (11.36)].
Следует иметь в виду, что
эллиптический закон изменения
циркуляции по размаху можно
получить при некотором а для
крыла любой формы в плане,
например, для прямоугольното
крыла. Для этого нужно лишь
увеличить углы атаки в средней
части крыла по уравнению свя-
Фиг. 11.13. Распределение циркуляции
вдоль эллиптического крыла.
ЗИ Г = — C^bv
и несколько
уменьшить углы атаки у концов крыла, следуя атому же уравнению.
Изменение углов атаки приведет к изменению с,д и если добиться
то'Го, чтобы произведение -^ Cybv^ следовало закону эллипса, lo
такое крылО' по вихревой его схеме ничем не будет отличаться от
эллиптического лля банного а.
Естественно задаться БО<просом: насколько другие крылья
отличаются от эллиптического крыла по распределению циркуляции.
Расчет эллиптического крыла и крыльев другой формы в плане
(при одной и той же подъемной силе) дает результаты,
приведенные на фиг. 11. 14. Рассматривая полученные законы распределения
циркуляции ПО' размаху, можно сделать два основных заключения.
1. Замева крыла одним П-образным вихрем с Г =const вдоль
размаха может служить только в качестве первого приближения
в теории KpbMta конечного* размаха.

§ 8. Наивыгоднейшая форма в плаке крыла конечного размаха
301
2. Некоторым «средним» законном распределения циркуляции по-
размаху для различных крыльев является эллиптический закон,
соответствующий аэродинамически наивыгоднейшему крылу.
Величины т и д, именуемые обычно поправками, для крыльев
неэллиптической формы в плане зависят главным образом <я' формы
крыла в плане и от удлинения X.
На фиг. 11. 15 в качестве примера приведена зависимость
поправок т и 8 от \ для прямоугольного крыла.
Следует заметить, что поправка т для угла скоса оказывается
довольно значительной, и, следовательно, при точных расчетах ее
нужно обязательно
учитывать. Поправка же S для с^ь
весьма мала и ее в
большинстве случаев на практике не
учитываюх.
8
с=]Ос1э<1>
' 2 3 и
Фиг. 11.14 Распределение циркуляции
вдоль крыльев различной формы в плане.
аз
° 2 и 6 8 Ю
Фиг. 11. 15. Пример
зависимости поправок т и 5 от
удлинения X.
В табл. 11.1 даны некоторые средние значения поиравок т и S
jK^^ крыльев различной .формы в плане [9].
Таблица 11. 1
Форма крыла в плане
Эллипс
Трапеция
Прямоугольник
Концы крыла скошены назад
Концы крыла закруглены
Ромб
~ (1+т)
тх.
0,318
0,318
0,375
0,338
0,365
0,363
— (1+S)
7U
0,318
0,318
0,335
0,318
0,318
0,363
Примечание
т=8=0
Сужение т]==2-3
Х=5-8
Х.=5~8
Х=5-8
, '

302 Глава XI. Теория крыла конечного размаха
Ввиду незначительных отклонений аэродинамических
характеристик крыльев различной формы в плане от эллиптических крыльев
на практике чащ1е всего применяют более простые формы крыльев,
но все же близкие к эллиптическим, например, трапецевидные.
§ 9. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КРЫЛА
МЕТОДОМ С. Г. НУЖИНА
В конце § б отмечалось, что для крыльев сложной конфигурации в плане
(наличие вырезо©, выступов), а также для крыльев с работающими элеронами,
закрылками и т. п. метод Глауэрта—Трефтца для определения циркуляции по-
размаху крыла не находит практического применения.
Помимо этого метода, существует ряд других методов расчета
распределения циркуляции. Наибольшее распространение из них получил в последние годы
метод Рисберга [43] и метод Мультгоппа.
Излагаемый в настоящем параграфе метод проф. С. Г. Нужина содержит
основные положительны/е качества последних методов и, кроме того, обладает
преимуществами как в отношении простоты самой теории, так и в отношении
практического применения i.
Закон распределения циркуляции по размаху крыла напишем в прежней
форме:
V^2lv^ f Л„81пл8
/z=l
где угол 6 связан с координатой z соотношением
2= — -—-COS 0.
2
Основное уравнение (11. 18), решение которого ищется, напишем в
следующем виде:
00
2^^8ШЛ0(ц-^)-^л[ао(9О-) + а(9О")+<Рз(в)]. (И.38)
где попрежнему
И-^—-——-===— (11.39)
8
И)
(в этом параграфе через t будем обозначать хорду крыла); срз (0) — угол
закрутки, который в общем случае может состоять из аэродинамической и
геометрической закруток, т. е.
?з(б)==?а.з+?г.з-
Представляя коэффициенты Л^ в виде
^„=Л>1(90°)+л;, (11.40)
* Метод Нужина приводится по рукописи, любезно предоставленной нам
автором.

§ 9. Решение основного уравнения крыла методом И ужина 303 ^
где
ai(90'')=ao(90-)+a(90''),
подберем А^ и А^ так, чтобы выполнялись следующие основные равенства,
вытекающие из основного уравнения (11.38):
00
2^;sinn6(.4-;^)=.; (11.4U.
00
2^>inne(n-^j = №. (11.42).
/г = 1
Таким образом, определение циркуляции около крыла заданной формы сводится
к решению следующих двух отдельных задач: 1) к определению основной
циркуляции вокруг плоского крыла заданной формы в плане (определение
коэффициентов А\) и 2) к определению дополнительной циркуляции от закрутки
(определение коэффициентов А^).
Ввиду того что определение коэффициентов Л ^ и Л„ соответственно из
уравнений (11.41) и (11.42) принципиально ничем не отличается, рассмотрим
наиболее подробно уравнение (11.41) для коэффициентов Л^.
1. Определение основной циркуляции вокруг плоского крыла
(определение коэффициентов А'^
Основным уравнением для определения циркуляции вокруг плоского крыла*
служит уравнение (11.41) с неизвестными А^.
Для их определения, следуя методу Нужина, представим функцию [х (6)«
в виде ряда Фурье:
p.(9)=21^^sin/xe, (11.43>
п
где в силу равенства }х (6)=H-t^ — б) числа п будут иметь только нечетные
значения.
Из формулы (11.43) находим
fi (8) ЧП ' sinn6
ЧП f sin по ,,, .,ч
= >^ ( 1.44>
^ '^ sine ^ ^
Преобразуем это выражение следующим образом. Используя очевидное
соотношение
sin ne=sin пЬ — sin (п — 2) 9 -f sin (п — 2) 0=2 sin 6 cos (n — 1) 6-fsin (n — 2) 6,
будем иметь
sinn6 sin (n — 2) 0 ^ ^ ^^^ /11 лсу
^ ^ ^_^2cos /z— 1)0. (11.45>
sin 6 sin 6
Следовательно, при конечном n
sin/гб
sine
=2 cos (n — 1) 0+2 cos (n - 3) 6+2 cos {n - 5) 0 + .. .+2 cos 26 + 1.

304 Глава XL Теория крыла конечного размаха
Таким образом, выражение (11.44) можно переписать следующим образом:
Р- (б) '^ f sin л6
sin
или
I , sin т v^ '
I «"IhTF ^^^riV^^""^f^"~ ^^^"^^''^^(/x-3)6+.. .+1]
a (8)
'-^=^ -f^ (l4-2cos2e)-f ^r(l4-2cos2e+2cos48) + . . .=
sin 6 ^ "^ ' ^^
-&; + &3 + &5+. . .4-2 2 &2^_i , 2^ cos 2^6 = 2 г?;„__1+22 ^2/2-1+2^ COS 2^6,
n n n
где k — параметр, причем k==^\, 2, 3,... Итак,
^ ^ =mo + 2V//22feCOs2^6, (11.46)
sin 0 JmaU
k
где
яго=24_1, (11.47)
^2fe = i;*2«-l+2ft* (11.48)
Уравнение (11.41) при использовании соотношения (11.46) и (11.43)
приобретает вид
^ А'^ sin /lO Tl ~f-/x /^20+2 2 ^2^; cos 2^б\1 =S ^?^ sin n6
или
2 (1 + /И0П) Л^ sin пб4- ^^^k^'n [^^" (я+2^) 0-f sin (n — 2k) 6] =
л k, n ''
-S^^sinnO. (11.49)
л
сравнивая коэффициенты при синусах дуг одинаковой кратности в левой и
правой частях последнего уравнения, получим систему уравнений:
а\ (1 + то - mg) -f 3/^3 (^2— ^\) -^^^'ъ^Щ -^б)+- • - = ^1'
л] (/722 т4)+^з [(Н-3(то - тб)]+5Л5(т2---/П8)+. . .=^3'
л) (^4 — /Иб)+ЗЛз (то - /"8)+^5 [(^+5 ('"о " ^1о)] + - • -=^5 • )
(11.50)
Прежде чем приступить к решению системы (11.50), укажем метод
определения коэффициентов Ъ^ (коэффициенты тпг^ легко определяются по
уравнениям (11.47) и (11.48), если известны коэффициенты Ь^).
Пользуясь формулами из теории рядов Фурье для определения
коэффициентов 6^ и исходя из уравнения (11.43), будем иметь
ТС "2"
Ь^^ — TfA (6) sin пЫ^ = -^ Г ^(6) sin nOde (11.51)
'о о

§ 9. Решение основного уравнения крыла методом Нужина
305
или иначе
где
1
(11.52)
h
sinn9
z=-
2z
С помощью формул (11.52) и (11.45) найдем выражение для
коэффициентов Ь^ в общем виде для крыльев любой формы в плане:
27С J Tzl'^ ТТЛ
о
'b[+— \ tz4z;
о
1
^5= - 2Ъ[ —ЪЪ'с^^— Г t z^dz
(11.53)
и т. д.. 1.
Установим вид формул (11.53) для ряда крыльев простой формы в плане.
В случае трапецевидных крыльев (фиг. 11.16) интегралы, входящие в
(11.53), могут быть вычислены точно. Действительно, так как для произвольного
сечения 0 трапецевидного крыла без центроплана имеет место соотношенцв
где v =
/(90'')-^(0°)
/
2
/=/(90') -VZ,
(11.54)
=/(90') — i (О") — уменьшение величины хорды
полуразмаха при перемещении по размаху на единицу длины, то выражения (11,53)
для коэффициентов Ь^ приобретают вид
,^_£о / ^(90°) ___2J\^J^.
1 27Г i 1 2 / ^Х '
271
t (90" )
/-^f-
^^-2^
t (Ж)
27Г
/(90°)
(11.55)
1 Из уравнения (11.43) следует, что для среднего сечения крыла,
определяемого УГЛОМ 6=90**, выполняется следующее равенство:
которое может быть использовано или как контрольное при вычислении
коэффициентов ь'^ по формулам (11.53), или как соотношение для
определения коэффициента b-j, если известны коэффициенты Ьр Ь^ и Ь^,
20 Аэродинамика

306
Глава XI, Теория крыла конечного размаха
В случае трапецевидных крыльев с центропланом (фиг. 11.17) будем иметь
- F(90-) V / 72^+2 \
1
I
11^Ыг^-
7 ^Ц1
где <ц1==-—— — длина одной половины центроплана, отнесенная к
полуразмаху крыла, и/(90'*)=^(/цl)-^•v/цl. При этом выражения для коэффициентов
^п ^ уравнении (11.53) приобретают следуюихий вид:
^(90') V / Р
1 -Т '+1
ц1
TzK
б;=-^б;+-
2а.
3 4 V 3
г 8ао,
^5= ~-2&1 ~3&з+ —
^(90')
-i(.4)-1
(11.57)
?t
^1
/r^;
^
■^, ? ^
^7г;
2
;
f(^l
1
f-.^ "^^
■^—4{/ —-
г —-
/"а;
Z
/
Фиг. 11.16. к расчету
коэффициентов Ь' для трапецевидного
крыла без центроплана.
о \l, _j :
Фиг. 11.17. К расчету коэффициентов
Ь' для трапецевидного крыла с
центропланом.
В случае крыльев плавного очертания без вырезов для вычисления
коэффициентов Ь^ рекомендуется следующий весьма простой приближенный способ.
Выражая {X (6) полиномом (11.43)
fx(6) = &jsine + &3sin38 -b&gSinSe (11.58)
и подставляя в него зна^гения б, равные 60" и Ж, найдем коэффициенты Ь^
в следующем виде:
2р. (60'')
(11.59)
h=h
щ
где Ь^~—- предполагается известным.

§ 9, Решение основного уравнения крыла методом Нужина 307
Найдя коэффициенты 6^, без труда можно определить и значения
коэффициентов Шо и Шг;^, входящих В систему уравнений (11.50), используя для этого
формулы (11.47) и (11.48).
Возвращаясь к системе уравнений (11.50), в которой коэффициенты то, ruzk
и Ь'^ будем считать известными, укажем один из возможных методов
определения коэффициентов Л^*—метод последовательных приближений (метод
итераций).
Этот метод заключается в том, что систему линейных уравнений решают
относительно каждого неизвестного Л^ отдельно, отсекая в уравнениях малые
члены. Таким образом, путем получения ряда приближений находят
окончательные значения неизвестных коэффициентов Л^.
Применительно к системе (11.50) метод итераций будет выглядеть
следующим образом.
Так как в первом уравнении (11.50) все члены, начиная со второго,
представляют небольшие величины сравнительно с первым членом и характеризуют
отклонение от эллиптического закона как хорды, так и циркуляции, то,
пренебрегая ими, найдем первое приближение для коэффициента Л\:
Л^=
h
14-^0 — т^
Подставляя это значение Л^^^^ во второе уравнение (11.50) и отбрасывая
третий член, найдем первое приближение для коэффициента А*^:
^ ~" 1 + 3(Шо-Шб)
Подставляя значение коэффициентов Л^^^^ и А'^^^ в третье
уравнение (11.50), найдем
.п^ *5 - К^^^ (^i - ^б) - ЗЛ;(1> (ша ~ /ng)
1+5 (то— ^ю)
После этого, подставляя значения А'^^"^ и Л^^^^в первое уравне ние(11.50)
найдем второе приближение для коэффициента Л^:
Ь[~-гА'^'Цт^^т,)^ЪА'Р{т,^т,)
Л/^^= ^ ;; ' .
l"fmo — /«2
Аналогично найдем ,
h - ^1^^^ (^^2 - ^4) — 5Л5^^^ (^2 - mg)
Л 42).
3 14-3 (то--We)
л:(2)
ь'^ -^ л;(2) ^^^ _ ^^) _ ^хр (^^^ _ ^^)
^ 1+5(/72о —Wio)
Полученные значения коэффициентов Л^ можно принять за окончательные.
Следует заметить, что коэффициенты ряда (11.43) весьма быстро
уменьшаются. Так, например, в случае эллиптического закона изменения хорды по
размаху крыла все коэффициенты, начиная с б'з, равны нулю. Что касается коэф-
20*

308 Глава XL Теория крыла конечного размаха
фициентов m^k* то они также все равны нулю, за исключением коэффициента
то=Ь\. Следовательно, в случае эллиптического изменения хорды по размаху
Л1 =-щг-, Л^=0 при п > 3.
В случае трапецевидных крыльев с центропланом и крыльев плавного
очертания без вырезов можно с достаточной для практических целей точностью
ограничиться тремя коэффициентами Ь'и b'z, Ь\ и соответственно тремя
коэффициентами А\, Л'з и А\.
II. Определение дополнительной циркуляции от закрутки
крыла (определение коэффициентов А\)
Для большей общности будем считать, что закрутка крыла слага1ется из
аэродинамической закрутки и из геометрической, т. е.
?з=?а.з+Тг.з.
Основным уравнением для определения дополнительной циркуляции от
закрутки крыла служит уравнение (11.42) с неизвестными коэффициентами Л„ .
Рассмотрим сначала симметрично распределенную относительно сечения
6=90" закрутку.
При наличии симметрично распределенной закрутки определение
коэффициентов а"^, т. е. определение дополнительной циркуляции из уравнения (11.42),
не будет принципиально отличаться от определения коэффициентов А^
(определения основной циркуляции плоского крыла) из уравнения (11.41). Разница
будет заключаться лишь в том, что в левую часть системы уравнений (11.50)
вместо коэффициентов А^ надо подставить коэффициенты Л„, а в правую
часть этой же системы вместо коэффициентов Ь^ подставить коэффициенты 6^ ,
входящие в разложение
№=/(9)=2^«slnn8 (11.60)
[функция/(6) обращается в нуль при 0=0 и 8=90°].
Коэффициенты ь"^ можно определить достаточно просто, если ограничить
этот ряд тремя членами:
f{b)-=b\ sin0 + ъ\%{пЪ^^Ь\в'тЪЬ
и последовательно положить 8=30*, 60* и 90*.
В этом случае получим три уравнения с тремя неизвестными, решая которые
будем иметь
„ /(30°) _ /(60*) 1
^3 = Y/(30')'
,^ язо*) /(60*)
^5- 3 "" /3" •
(11.61)

§ 9. Решение основного уравнения крыла методом Нужина 309
Рассмотрим теперь асимметрично распределенную закрутку, когда в равно
отстоящих от продольной оси X сечениях крыла углы закрутки «рз равны по
абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Этот вид закрутки имеет место, например, при отклонении элеронов на
равно противоположные углы при Су^^^ =0.
Представляя
Уз(9)+?зК-е)
где 9с. 3^ о ~~ У^^^ симметричной закрутки.
cpgj, 3 = '^ — угол асимметричной закрутки
Уз(9)--?з(^-6)
2
Исходя из уравнения (11.42), получим
00
2^Lsin2ne(l+^) = Wac.3- (11-62)
Подставляя (11.46) в (11.62) и разлагая cp^J, з в ряд
f^?ac.3= S ^2^sin2ne, (11.63)
л=1
будем иметь
^ (1 + 2топ)Л2;,8ш2я84- ^ 2пт^f^A^^ [sin 2 (n+k)bi-sin 2 (п —k)b]^
/г=1 k, n
= f^b'^^sin2nB. (11.64)
я=1
Сравнивая коэффициенты при синусах дуг одинаковой кратности в левой и
правой частях (11.64), получим систему уравнений
^2 [1+2 (то — m^)]i-iAl(m2 — mQ)+6A'Q(m4, — m8)-h- . .-=b\\ \
2А\(т2, - то) ■{- А\[\-{-А {rriQ ~ т^)] ^бЛ^ (wg — то)+. ..==^4> [ (П. 65}
2^2 (^4 — mg)+4Л4 (wg - '"1о)-ЬЛе [1+6(шо - ^13)] + . . .=^ъ\ . J
В системе (11.65) неизвестными являются коэффициенты Лз;^.
Коэффициенты Ь2п могут быть определены по формулам Фурье
тс
IT "2
4=-f- J f^Tac. 3 Sin 2пЫЬ = -^ j [Х9з^. 3 sin 2пЫЬ ^^^' ^^^
0 0
или более просто следующим образом.

310
Глава XI. Теория крыла конечного размаха
Ограничивая ряд (IL63) тремя членами и последовательно подставляя в
правую и левую его части значения 0==ЗСР, 60^ и 75°, получим
. F(30°)4-F(60»)
^2=
Ь\^
Гз-
/^(75')--Г + ^4
,Гз
2 '
(11.67)
где
/^(в)=[-(6)?ас.з(9).
Следует иметь в виду, что если при асимметричном обтекании крыла для
определения циркуляции вдоль крыла требуется решить систему (11.65),, т. е.
^Kp4rf
о - зисперименталь-
иШе точна
Фиг. 11.18. Сравнение расчета крыла
конечного размаха по методу Нужина с
экспериментальными данными. Крыло трапецевидное;
определить коэффициенты Л^, с четными п, а для определения циркуляции в
случае симметричного обтекания крыла (крыло плоское или симметрично
закрученное) нужно решить систему (11.50), т. е. определить коэффициенты Л„ с
нечетными п, то в общем случае несимметричного обтекания крыла в выражение
циркуляции г=2/^00 2 Л„ Sinn Ь будут входить в качестве искомых величин как
четные, так и нечетные коэффициенты Л„. Это потребует решения обеих систем
(11.50) и (11.65). (Подобное распределение циркуляции может иметь место,
например, укрыла с отклоненными элеронами при с^^^ фО.)
В заключение отметим, что приведенный в этом параграфе метод расчета
дает вполне удовлетворительное совпадение с экспериментом (фиг. И. 18).

Глава XII
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЕ! ИЗ ТЕРМОДИНАМИКИ
В предыдущих разд'елах книги предполагалось, что скорости
движения потоков, а следовательно, и разности давления в
различных точках потоков сравнительно невелики. Это позволяло считать
плотность воздуха р постоянной величиной. Другими словами,
эффект сжимаемости воздуха не учитывался.
При течении воздуха с большими скоростями, соизмеримыми со
скоростью звука, изменение плотности воздуха необходимо
учитывать; в противном случае получаемые результаты могут не только
сильно отличаться от действительной картины течения, но и вовсе
ей не соответствовать.
Учитывая, что движение воздуха (газа) с большими скоростями
сопровождается большими изменениями давления, что в свою оче-
р|едь вызывает значительное изменение плотности р и
температуры Т, обратимся вначале к основным положениям учения о теплоте
и напомним основные определения и законы термодинамики.
§ 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ГАЗА
Между основными параметрами, характеризуюпхими состояние
газа: объемом V [жз], весом G [кг\ заключенным в этом объеме,
давлением р [кг1м'^\ абсолютной температурой Г [град.] — суидествует
определенная зависимость. В случае совершенного газа эта
зависимость представляется известной формулой
pV^GRT^ (112.1)
где R — газовая постоянная R [кгм/кг град\ и носит название
уравнения состояния.
Многочисленные эксперименты подтверждают сираведливость
этой зависимости для широкого диапазона изменения давлений и
температур. Опыты показывают, что воздух достаточно точно
следует этому закону при давлении до 100 аг и не слишком низких
температурах. Даже при давлении в 200 ат и температуре от —20"^ до
i-hiSO^C отклонения от уравнения (12.1) для воздуха не
превышают 4®/о. J
Если поделить обе части уравнения (12. I) на G, то получим
уравнение состояния для 1' кг газа
pv^RT (12.2)

312 Глава XII. Основные сведения из термодинамики
или
или 1
где
т
P = 9gRT, (12.3)
^. ^ G 1
G V V
Уравнение (12. 3) дает возможность по любым двум параметрам,
характеризуюш;им состояние газа, определить величину третьего.
§ 2. ПЕРВЫЙ SAKOFS ТЕРМОДИНАМИКИ
Пусть некоторое количество газа G кг находится в равновесном
состоянии. Обозначим через dQ количество подведенного к газу
извне тепла. В результате подвода тепла газ перейдет из
первоначального равновесного состояния в другое. Подвод тепла dQ
может привести К! изменению внутренней энергии газа dU, и, кроме
того, при переходе из одного равновесного состояния в другое газ
может совершать внешнюю механическую работу dL.
Далее, при переходе из одного равновесного состояния в другое
газу в реальных условиях приходится затрачивать механическую
работу dLr на преодоление потерь, например, на трение. В
замкнутой системе эта затраченная газом энергия возвращается в газ в
виде тепла dQr, эквивалентного работе dLr, т. е. dQr—AdLr, где А—
тепловой эквивалент работы, равный 1/427 кал1кгм.
Таким образом, общее количество подведенного к газу тепла dQ^
слагается из тепла, подведенного к газу извне dQ, и из тепла
потерь dQr, т. е.
dQ'=dQ+dQr,
На основании закона сохранения энергии можно написать
следующее равенство:
dQ' = dU'\'AdL + AdL,
или, обозначая
AdL + AdL^=AdL\
dQ'^dU+AdL\ (12.4)
где dU— вся работа, совершенная газом, слагающаяся из ввеш1ней
работы dL и работы потерь dLr.
Внутреннюю работу dU газа при его расширении в процессе
подвода тепла легко выразить через изменение его объема:
dU = dL + dL,=^pdV.
1 Для воздуха, как известно, газовая постоянная равна 29,27 кгм/кгград.
Иногда! за газовую постоянную принимают величину gR, т. е. 287,14/сгж2//сгсе/с2г.

§ 3. Теплоемкость 313
Тогда Предыдущее уравнение можно написать в виде
dQ' = dU+ApdV (12.5)
или, относя все величины к 1 кг газа,
dq' = da + Apdv. (12. 6)
Полученные уравнения (12.4) — (12.6) являются наиболее
общим математическим выражением первого закона термодинамики.
Очевидно, первый закон термодинамики является частным случаем
оби^его закона сохранения энергии и выражает эквивалентность
тепловой и механической энергий.
Если предположить, что переход газа из одного равновесного
состояния в другое совершается без потерь (так называемый
обратимый процесс), то для этого частного случая первый закон
термодинамики: примет вид
dQ^dU+AdL j
или I
dQ = dU+ApdV, \ (12. 7)
или
dq = du + Ар dv,
так как
AdL,= dQ,^0, dV = dL и dQ'^dQ.
Прежде чем перейти к рассмотрению второго закона
термодинамики, напомним несколько важных термодинамических понятий и
формул, которые можно получить, пользуясь уравнением состояния
и первым законом термодинамики.
§ 3. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Рассмотрим некоторый произвольный термодинамический
процесс, в котором участвует 1 кг газа (фиг. 12. 1). Обозначим
температуру газа в точке А процесса через Т, его температуру в смежной
точке а через Г+^ДГ, а количество тепла, подведенного извне к газу
па участке Л а, через ^q.
Отношение — называется средней удельной теплоемкостью
данною процесса, а предел, к которому стремится средняя удельная
теплоемкость при стремлении длины участка Аа к нулю, называется
истинной удельной теплоемкостью, или просто удельной
теплоемкостью, и обозначается через
с = ^. (12.8)
дТ ^
Как видим, удельной теплоемкостью называется количество
тепла, необходимое для подогрева 1 кг газа на один градус.

314
Глава XII. Основные сведения из термодинамики
Удельная теплоемкость с существенно зависит от характера
процесса (для1 процессов АВ, ABi и АВ^ на фиг. V2. 1 теплоемкости с
имеют различные значения в одной и той же точке). Рассмотрим
теплоемкости, соответствующие процессам t;=const и p=bonst
Эти теплоемкости обозначаются
через Cv и Ср,
Удельные теплоемкости Cv и
(прямые ABi И! АВ2 на фиг. 12. 1).
8i
ФиГф 12. 1. К определению теплоемкости
Ор — величины переменные,
зависящие от температуры Т.
Многочисленными опытами
установлено, что теплоемкости
Cv и Ср с возрастанием
температуры также возрастают и
наоборот.
Для процесса t;=const
дифференциал dv={)^ и,
следовательно, на основании формулы
(12.7) dq = du, т. е. все тепло,
подводимое извне к газу в
таком процессе, целиком
тратится на увеличение его
внутренней энергии. Поэтому для
процесса t;==const можно написать
du
с.. = -
dT
(частная производная заменена полной, так как внутренняя энергия
газа есть функция только абсолютной температуры). Таким образом,
dii==:c^dT. (12.9)
или, пренебрегая зависимостью Cv от температуры и имея в виду,
что при Г=0 величина г/=0,
u = cj. (12.9')
Используя формулу (12.9), уравнение (12.'6) можно записать
в следующем виде:
dq' ^CydT -{- Ар dv.
Для процесса р=const
-/-^"l (12.10)
''ЛдТ]^
или, используя уравнение (112.7):
^Р =
p=const
(dv
дТ }p=comt ^ \дТ
/j3=const
Так как внутренняя энергия зависит только от температуры, то
du_
dT
o=const \<
да\
дТ /г^=: const

§ 4. Теплосодержание
315
Из формулы (12.2) находим, что
Следовательно,
1^\ = R-.
\дТ /р=const р
Cp-=-c^ + AR
или
^p-^v'-
.Л/?.
(12.11)
Формула (12. И) показывает, что Cp>'Ct, — !факт, хорошо
известный из физики. Обозначая
(12. 12)
С<гш
получим
AR
(12. 13)
Иоследования показали, что величина k зависит от
молекулярной структуры газа. Так, для одноатомных газов ^=1,66, для
двухатомных газов, в том числе и для воздуха, ^=1,4, для многоатомных
газов fe=l,33.
Ввиду того что теплоемкости Cv и с^ зависят от температуры в
различной степени, величина k также изменяется с температурой —
с увеличением температуры k уменьшается, так как с ростом Т
теплоемкость Ср растет медленнее, чем Cv. В табл. 12,1 показана
зависимость величины k от температуры для воздуха.
Таблица 12. 1
t°C
k
or
1,406
14«
1,405
100'
1,396
2000' J
1,283
Из таблицы видно, что величина k заметно изхменяется только
при значительных изменениях температуры. Поэтому в дальнейшем
будем считать значение k постоянным и для воздуха равным 1,4.
§ 4. ТЕПЛОСОДЕРЖАНИЕ
В газовой динамике часто используется особая функция
состояния газа i, определяемая со'отношением
(12. 14)
(12. 14')
di=^CpdT
или
i^CpT.
Эта функция называется теплосодержанием.

316 Глава XII. Основные сведения из термодинамики
Из определения теплосодержания (12. 14) следует, что
приращение теплосодержания di представляет собой приращение тепла dq
в процессе /? = const. Имея это в виду, из уравнения (12. 7),
интегрируя его в предположении р = const, получаем
i=u + Apv, (12.15)
откуда
i=A—L^JL^ (12.150
Из (12. 15^) можно получить выражение для теплосодержания
не в тепловых единицах, а в механических и не для 1 кг газа, а лля
газа, масса которого равна единице (вес ее, следовательно, будет
ёкг): '
/ = —^—-^
k-\ р
или, учитывая уравнение состояния (12. 2):
' ^ gRT.
k~ 1
§ 5. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ. ЭНТРОПИЯ
При изучении движения газового пото'ка приходится часто
пользоваться особой функцией s состояния, играющей большую роль в
термодинамике и называемой энтропией. Эта функция определяется
следующем дифференциальным уравнением:
^s = ^. (12.16)
Найдем выражение для энтропии в конечной форме. Предвари-
тельно' установим связь между теплосодержанием и энтропией.
Так как
Tds = dq'
и
dq' = da + Apdv=:du + Ad( pv) — Avdp = d{u + Apv) ■—
— Avdp = di—Av dp^
TO
Tds^di—Avdp. (12.17)
Попутно отметим, что если выражение (12. 17) записать не в
тепловых единицах, а в механических и не для 1 кг газа, а для газа,
масса которого равна" единице, то оно будет выглядеть так:
Tds = Jdi-^, (12.17')

где
§ 5. Второй закон термодинамики. Энтропия 317
У = — = 427 кгм1кал.
А '
Деля уравнение (12. 17) на Т, заменяя di через й/=с^4Г и
учитывая, что на основании уравнения состояния (12.2) vdp=RdT—pdVp
получим
dT_ А_
Т Т
ds==c^^'-^(RdT--pdvl
откуда после простых преобразований, используя уравнения (12. 11),
(12. 13) и (12.2), будем иметь
ds={c^-AR)^ + Amdv^-^^^^-^ + A-^dv
^ ^ ^ Т [Т I k-^l г V
или иначе
Интегрируя дифференциальное уравнение (12. 18), находим
выражение для энтропии 5
5 = Л/?1п(г^^^ + С0П81. ^^^- ^^^
Из формулы (12. 19) следует, что энтропия s является функцией
состояния газа, зависящей от двух независимых параметров
состояния (в данном случае Т vl v). Пользуясь уравнением состо^яния
(12.2), нетрудно выразить значение энтропии через другие
параметры, например через р и р.
В самом деле, уравнение (12. 18), используя соотношение (12. 13),
можно написать в следующем виде:
d.= c„[f+(*-l)^f].
откуда
s = c^\n{Tv^-^ ) + const,
или, используя уравнение состояния (12. 2):
s = c^\n {-^\ + const. (12.20)
Из определения энтропии (12. 16) следует, что энтропия системы
будет оставаться постоянной, если отсутствует подвод тепла dq = 0
и термодинамический процесс протекает без потерь dqr'=0, т. е.
если dq'=0 (ибо тогда ^5 = 0 и 5 = const).

318 Глава XII. Основные сведения из термодинамики
Из выражения же для энтропии в конечной форме (12. 19) или
(12.20) следует, что если энтропия s==(const, то для
рассматриваемой системы
1
r^-^t;=const или -4- = const. (12.21)
Процессы, протекающие без теплообмена и при отсутствии
потерь, т. е. с постоянной энтропией, будем называть в дальнейшем
изэнтропическими. Как видим, параметры состояния газа для из-
энтропических процессов овязаны определенными
соотношениями (12. 21). Эти соотношения можно переписать в следующей форме:
Pi
1
57=^(f Г' 1 (12-22)
k_
Pi \Ti 1
где индексы 1 и 2 относятся к каким-либо двум состояниям газа,
участвующим в изэнтропическюм процессе; величину k принято
называть показателем изэнтропы.
Процессы, протекающие без подвода или отвода тепла извне, на^-
зываются адиабатическими. При адиабатических процессах
необратимые потери могут иметь место.
Следует отметить, что во всех реально наблюдаемых процессах
имеют место трение dqr фО и теплообмен dq Ф О, т. е. все они
сопровождаются необратимыми потерями и теплообменом. Однако во
многих случаях теплообмен и необратимые потери невелики, ими
можно пренебречь и, следовательно, считать продесс изэнтропиче-
ским, что сильно облегчает исследование газовых, потоков.
Следует также иметь в виду, что трение является только одним
из видов необратимого превращения механической энергии в тепло.
Существуют и другие виды необратимых превращений
механической энергии в тепло — так называемые скачки уплотнения (см.
гл. XV).
Как известно, второй закон термодинамики состоит в том, что в
изолированной системе, где теплообмен отсутствует (dq~0), при
любом процессе энтропия системы не уменьшается.
Так как выше было показано, что при иззнтропических
процессах {dq^=0) энтропия изолиро^ванной системы остается постоянной,
то, 'Следовательно', при всех остальных, неизэнтропических
процессах энтропия изолированной системы будет возрастать, что и
определяет направление всех реальных процессов в газе.

Глава XIII
СИСТЕМА ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
(13.1)
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Рассмотрим про'извольное установившееся течение газа, который
будем считать идеальной, т. е. невязкой, но сжимаемой жидкостью.
При заданных массовых силах движение газа можно считать
известным, если для любой точки пространства известны значения трех
проекций скорости v^, Vy, Vz, давления р, плотности р и
температуры Т. Определение этих шести функций координат пространства
'^y^fA^y У у ^)>
'^^=/з(^. У у ^\
P^fA^^ У. ^), [
р^ЛС-^, у. А
и составляет основную задачу газодинамики. Для их опред!еления
необходимо составить систему из шести уравнений. Обратимся к
составлению этой системы.
Первыми тремя уравнениями для определения указанных выше
неизвестных являются дифференциальные уравнения движения,
которые для случая установившегося движения газа можно написать
в известной форме Эйлера:
дю^ dv^ dv^
' = 2С -
"V^
ю.
дх
+^,—+^.
dz
дх ду dz
1 dp
p дх
dp
V
dv^ dv^ dv^
^ дх ^ ду dz
=z~~
d_p_
dz
(13.2)

320
Глава XIII. Система основных уравнений газовой динамики
Пренебрегая массовыми силами, т. е. полагая Z=y=Z=0, что
для газовых потоков вполне допустимо, так как эти силы в
большинстве случаев не оказывают существенного^ влияния на движение
газа, перепишем уравнения Эйлера в таком виде:
dv^ I dp
dt р дх '
dv,, 1 dp
р ду
_2^ L^
dt р dz '
у _
dt
dv^
(13.20
Нетрудно убедиться, что если уравнения (13.2') умножить на
соответствуюпхую проекцию элементарного перемещения вдоль
линии тока, т. е. первое уравнение умножить на dx=Vx(it, второе —
на dy—Vydt и третье — на dz=^Vzdt, то, складывая эти уравнения,
получим \
v^ dv^ + V dVy + v^dv,=
^dx + '-^'dy + '-^dz]
dx
dyl
или
где
.(^)=.-л.,,
(13.3)
V'
■■vl + vl + vl.
Полученное уравнение является уравнением Бернулли для газа,
устанавливающим в дифференциальной форме связь между
давлением р и скоростью V газа.
Четвертым основным уравнением газовой динамики является
уравнение неразрывности, которое можно написать в виде
д (pv^)
д (РУ
д (pv^)
дх
или в другой форме:
ду
dv^
dp
dt ^\ дх
дю„
dz
dv.
= 0
ду dz
fr^=o.
(13.4)
(13.4')
Пятым основным уравнением служит уравнение состояния газа,
которое для совершенных газов имеет вид
p = 9gRT.
(13.5)
Таким образом, для определения шести неизвестных функций
(13. 1) составлено пять уравнений.

§ 2. Уравнение энергии 321
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Перейдем теперь к выводу шестого уравнения газовой динамики,
называемому уравнением энергии. Для того чтобы его получить,
рассмотрим в установившемся потоке газа элементарную трубку тока
(фиг. 13. 1). Выделим в момент времени t в каком-либо месте
трубки М элементарную частицу А жидкости, которая займет в момент
времени t + dt новое положение М\ В предположении отсутствия
теплообмена, т. е. для адиабатических процессов, закон сохранения
энергии гласит, что изменение кинетической и внутренней энергии
частиц газа должно быть равно работе действуюш,их на частицы
внешних сил. ^
di W'
Фиг. 13. 1. Движение злемента газа.
Подсчитаем работу сил давления, затрачиваемую на
перемещение dl частицы А из положения М в положение М\ Эта работа dLn,
О'чевидно, равна (см. фиг. 13. 1)
dL^-=^--ApAsdl= — ^ AsAhdl,
где ^s — площадь сечения трубки тока, и так как
г1де V—объем частицы А, то
dL^==-~^VdL
Дробь — представляет перепад давления, приходящийся на
единицу длины А/?, и, следовательно,
^p dp_ ^
тогда
dL^ = —^Vdl=--Vdp,
Работа сил давления, затрачиваемая на расширение частицы,
очевидно, равна
dL^=-pdV.
21 Аэродинамика

322 Глава XIIL Система основных уравнений газовой динамики
Обозначая изменение внутренней энергии частицы в процессе
ее перемещения из положения М в положение М^ через dU^ а
изменение кинетической энергии через dK, приравнивая работу внешних
сил изменению кинетической и внутренней энергий газа, будем
иметь
-AVdp-ApdV = dU+AdK (а)
или
dU+AdK+Ad{pV) = 0,
Так как
dU=Gc^dr
и
d(pV) = GRdT,
то
Gc^dT + AGRdT + AdK=^ О,
откуда
Gc^dT+AdK=0
или
Gdi+AdK==0.
Изменение кинетической энергии рассматриваемой частицы
можно представить в виде
dK=Gd^,
где V — скорость движения частицы газа, и, следовательно^,
.(.+л^)=о,
откуда
i + A — = const (13.6)
Уравнение (13.6) выражает закон сохранения энергии для дви-
жуш^егоюя газа. Из него следует, что вдоль линии тока сумма
теплосодержания и кинетической энергии фиксированного количества
газа (например, 1 кг) есть величина постоянная.
Поэтому уравнение (13. 6) называется уравнением энергии.
В общем случае при движении газа касательные силы (силы
трения) также произведут работу dLr, в результате чего выделится
тепло dQr. Поэтому при составлении баланса энергии в левую часть
уравнения (а) следовало бы добавить члены—AdLr+dQr. Но, как
известно, выделяющееся тепло трения эквивалентно работе трения,
т. е. dQr=AdLr, в силу чего эти члены взаимно уничтожатся. Как
видим, уравнение энергии справедливо и при учете потерь, наличие
которых приводит только к перераспределению энергии внутри
частиц газа — механическая энергия переходит в тепловую (напом-

§ 2. Уравнение энергии 323
НИМ, что уравнение энергии получено в предположении отсутствия
теплообмена).
Очевидно, уравнение энергии можно записать и в такой форме:
Avi Avl
/i+-^ = i2 + —^. (13.7)
Подчеркнем еще раз, что' это уравнение справедливо для двух
сечений одной и той же струйки газа или, точнее, для одной и той
же линии тока. При переходе от одной линии тока к другой полная
энергия, определяемая суммой (13.7), может изменяться.
Если в частном случае скорость v='0^ то /=/о, где to —
теплосодержание 1 кг газа в состоянии покоя. Очевидно, что для данной
линии тО'Ка
h-i + ~^ (13.8)
Отметим, что уравнения (13. 6) — (13. 8) написаны в тепловых
единицах (в кал).
Легко видеть, что в механических единицах, т. е. в кгм,
уравнение (13. 6) для 1 кг газа примет вид
г-Ь ^-^--const, (13.9)
где теплосодержание / 1 кг газа будет выражаться теперь тоже
в механических единицах, т. е.
где У = — = 427 кем!кал.
Уравнение энергии (13.6)
/ +Л — = const
часто используют и в другой форме, которую можно получить,
выразив теплосодержание i через температуру Т и показатель изэнтро-
пы k. Действительно, так как
то
k
ART,
k~ 1
Подставляя это выражение для / в уравнение (13. 6), будем иметь
/?Г+ — = const (13.10)
k~\ 2g
Из последнего уравнения, используя уравнение состояния
p—gpRT, МОЖНО' получить и такую форму уравнения энергии:
_i_^+ii=^const. (13.11)
)fe-l р "^ 2
21*

Глава XIV
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В этой главе рассмотрены одномерные установившиеся течения
газа, т. е. такие течения, где все параметры газа являются
функциями одной переменной, например, х. В частности, течения в трубах
практически в большинстве случаев можно рассматривать как
одномерные течения.
§ 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ИЗЭНТР0ПИ1ЕСКИХ
ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ
Рассмотрим изэнтропическое течение газа в трубе переменного
сечения. Установим связь между основными параметрами,
характеризующими движущийся' газ: скоростью, давлением, плотностью,
температурой и скоростью распространения в газе звуковых волн.
Обозначим параметры газового
потока в сечении А^В^ через ^i, /i,
Ti, рь Pi- Эти же параметры в
сечении АВ обозначим через v, i, Т,
р и р.
На основании уравнения энергии
для сечений А^В^ и АВ можно
написать (в механических единицах)
14. 1. Одномерное течение
газа.
VI
2^
Если предположить, что t^i^O, и обозначить теплосодержание
покоящегося газа через ^о, то
1(^ = 1-^
(14.1)
или
k
k — l
RT,
k-1
RT+
2g
(14.1')
Из этих выражений видно, что при io = const с изменением скорости
течения газа v будет меняться и значение теплосодержания 1, т. е.
температура газа Т.
В этом заключается одно из характерных отличий течения газа
от течения несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости тем-

§ 1. Соотношения для одномерных изэнтропических газовых потоков 325
пература меняется только при подводе к жидкости тепла извне или
при отводе его наружу; условия ее движения, например, сужение
или расширение струи, не могут вызвать изменения ее температуры
(если пренебречь трением),. В газе же температура меняется в
зависимости от усло'вий его движения. Уравнение (14. Г) показывает,
ЧТО' с уменьшением скорости течения температура газа будет
возрастать. Наибольшая температура достигается при t; = 0 и будет
равна температуре Го.
С другой стороны, из уравнения (14. 1) видно, что скорость газа,
обладающего в состоянии покО'Я данным теплосодержанием /о, не
может превосходить некоторого максимального значения t^max, при
приближении к которому величины i, Т, а и р стремятся к нулю.
В самом деле, при максимальной скорости течения, равной Vmax,
температура Т=0 и, как следует из уравнения состояния P^^gpRT,
давление р = 0. Как видим, при скорости течения газа v — Vmax
молекулярные движения в газе прекращаются.
Итак, скорость v будет достигать максимального значения v = Vmax
при 1 = 0, т. е. когда все теплосодержание / перейдет в кинетическую
энергию газа. В этом случае
/* —г
Cq
t =
max
2g '
= /2gV
откуда
(14.2)
Из выражения (14.2) можно сделать заключение, что
максимальная скорость Umax является функцией только теплосодержания
k
покоя /о. Используя выражение io= RTq, а также уравнение со-
стояния ро= PogRToy выражение (14,2) для и^ах можно переписать
в следующем виде:
Параметры газа, соответствующие его состоянию по-коя (t^ = 0),
называются параметрами тормооюения. В частности, температура и
давление, соответствующие этому состоянию, называются
температурой торможения и давлением торможения и обозначаются
соответственно через Го и ро.
Как видим, формула (14.3) связывает максимальную скорость
газового потока со значениями его параметров тормо-жения. Если
принять температуру торможения равной Го^^288° абс, что
соответствует температуре /о= 15° С, и принять для воздуха у%=1,4 и R =
—-gRTQ=756 м/сек
(такой получится, например, максимальная скорость истечения воздуха
в пустоту из котла при температуре газа в котле 15° С). Интересно

326 Глава XIV, Одномерные изэнтропические течения газа
отметить, ЧТО'давление ро не влияет на величину Утах. Давление будет
сказываться лишь на величине расхода при истечении газа.
Нетрудно' выяснить, в какой мере повышается температура газа
при его' торможении от некоторой скорости v до нуля. В самом деле,
из уравнения (14. Г) получаем
h 1 «i2
^ 2k gR
При i^=l,4, i? = 29,27 кгм/кгград, g=9,81 м/сек^ буд^м иметь
^T:
2000
Найдем теперь связь между скоростью v движения газа и скоростью
звука а. Для этого предварительно перепишем уравнение (14. 1) в
следующем виде:
_L_X=i-_J^. (14.4)
^0 То 2glo
Считая течение газа изэнтропическим, будем иметь
k 1
Ро \То) ' Ро Uo-
или, используя (14.4),
^-(1-,—l"^. (14.5)
-^=^-^Г- (И.6)
Ро \ 2^^*о/
Заменяя в формулах (14.5) и (14.6) значение /q через Утах по
формуле (14.2), получим
Ро \ ^шах
р
k-1
^-(l-J^l . ■ (14.7)
(14.8)
-^=1--^. (14.9)
Так как скорость звука в газе связана с его температурой
соотношением
\ a2 = kgRT,
то

§ 1. Соотношения для одномерных изэнтропических газовых потоков 327
10
0,5
где а — скорость звука, соответствующая скорости течения v и
температуре Г; ао — скорость звука в заторможенном газе. Скорость
звука в фиксированно'М месте газового потока в дальнейшем будем
называть местной скоростью звука по аналогии с местной скоростью
потока.
Зависимость давления, плотности, температуры и местной
скорости звука от скорости течения газа (в безразмерных
величинах) представлена на фиг. 14. 2,
построенной по уравнениям (14. 7) —
(14. 10).
Нетрудно дать простое
физическое истолкование полученных
результатов.
При изэнтропическом течении
газа возрастание его кинетической
энергии может происходить только
при условии понижения
теплосодержания газа. Поэтому увеличение
скорости потока при изэнтропическом
течении газа связано с падением его
температуры. Но так как при этом
давление падает интенсивнее, чем
температура, тО' плотность газа с
ростом скорости течения уменьшается
(плотность газа, как известно', прямо
пропорциональна давлению и обратно пропорциональна
температуре). Указанное справедливо и для адиабатических течений газа.
Таким образом, при изэнтропическом или адиабатическом
течении газа с ростом скорости происходит расширение газа,
(Возвращаясь к уравнению (14. 10) и используя уравнения
~1
■"V а 1
Ч \ 1
ХЛчЛд!
о
0.5
'■oL.
Фиг. 14.2. Зависимость давления,
плотности, температуры и скорости
звука в газовой струе от скорости
движения газа.
al = kgRT, и 'vl^ = 2gio:
2k
k— 1
■gRT,,
получим
9 V jnax /•
(14.11)
Из формулы (14. 11) следует, что с увеличением скорости
движения газа V скорость звука а уменьшается и при некоторой
скорости потока становится равной последней.
Эта местная скорость пото'ка, равная местной скорости звука,
называется критической скоростью и обозначается через акр, т. е.*
v = a=a
кр.
Сечение струи газа, в котором местная скорость равна местной
скорости звука, называется критическим.

328 Глава XIV. Одномерные изэнтропические течения газа
)Все остальные параметры газового потока: давление, плотность,
температура, в том месте, где v = a=a,^, тоже называются
критическими и обозначаются соответственно через ркр, Ркр и Т^р.
Если в формуле (14. 1Г) скорости v и а положить равными акр,
то получим
кр 2 ^ max кр/»
откуда
^2 ==ilI_L^2 (14.12)
(для воздуха критическая скорость акр приблизительно составляет
0,44 Vmax)'.
Используя по'лученное равенство и уравнение (14. 11), легко
получить необходимую для дальнейшего зависимость
a^^l±Lal^^^^^v\ (14.12')
2 кр 2 - ^ '
Из выражения (14. 12) следует, что' критическая скорость акр
зависит только от температуры торможения Го.
Действительно, подставляя в формулу (14. 12) значение Umax по
формуле (14.3), по'лучим
^ k+l k-hl k+l ро
Учитывая, что kgRT^^al, находим
<v-^<- 04.14)
В частности, для воздуха (^=1,4, У? = 29,27 кгм/кгград)^ используя
формулу (14. 13), будем иметь (при g=9,81 м/сек^)
а„р«18,ЗУ17- _ (14.15)
Если скорость акр выразить не через температуру торможения Го,
а через температуру газа в том сечении, где местная скорость
течения газа и местная скорость звука равны, т. е. через критическую
температуру Т^р, то на основании формулы
получим
Для температуры газа Т^, соответствующей критической
скорости, имеем соотношение [см. формулу (14.9)]
То «'max '

§ 1. Соотношения для одномерных изэнтропических газовых потоков 329
Т'кр^-т^Т'о- (14.16)
откуда, испо'льзуя соотношение (14. 12), получаем
Так как для изэнтропического процесса
1 k
Ркр / ^кр \ р. Ркр /^кр
РО W о / Ро [ То
ТО, используя (14. 16), будем иметь
1
Ркр = (^Г'ро. (14.17)
^кр
k-hl
k+l
k
"'%,. (14.18)
Таким образом, все параметры газа в сечении, где скорость
потока достигает скорости звука, являются функциями только
параметров торможения Го, ро, Ро-
Формулы (14.16), (14.17), (14.18) при ^=1,4 принимают вид
Т,р = 0,831Го, Ркр-0,636ро, Лр = 0,528/7о. (14.19)
Как известно, отношение скорости потока v в некоторой точке
к скорости звука в той же точке, т. е. — , обозначается через М.
а
Введем безразмерную величину
Х= —, (14.20)
^кр
которую будем называть коэффициентом скорости. Величина X
показывает степень приближения скорости течения газа в данном
месте потока к критической скорости. Очевидно, что при M<;i
и Х<1 течение газа будет дозвуковым, при М>1 и
Х>1—сверхзвуковым, а при М=1 и Х = 1 —звуковым.
В дальнейшем в ряде случаев будет удобно пользоваться
формулами для параметров газа, выраженными не через скорость потока,
как в уравнениях (14.7) — (14.9), а через величины М и X..
Получим эти формулы.
В силу равенств (14. 10), (14. 12) и (14. 14)
1/2 а2 al v^ I v^ \k-l
1--2--;г-М^,
откуда
^шах 4 ^шах ^' \ ^шах / ^
t;2 1
^max l.^M2
2

330
Глава XIV. Одномерные изэнтропическиг течения газа
С Другой стороны, учитывая равенства (14. 12) и (14. 20),
Х)2
< ^'_^-^д
^Lx 4р *+1
Следовательно,
1
шах j_|_ д|2
(14.21)
откуда можно получить
X
=/-^
М
/к- 1
(14. 2Г)
М2
Используя равенства (14. 21), формулы (И 7), (14.8) и (14. 10)
можно привести к виду
k
Ро
н
= 14
k- 1
М^
vk—i
_Ро.
р
— =-^=г1
2 ;
М^
(14.22)
или
Ро
Ро
k—1
Aj+1
Го «S
fe- 1
(14.23)
Из формул (14.22) и (14.23) видно, что с ростом чисел М и >.
температура, скорость звука, давление и njjOTHocTb газа
уменьшаются.
Формула
_Ро_
Р
k- 1
М^
кк-\
(14.24)
имеет большое практическое значение.

§ 2. Связь Meoi6dy скоростью течения газа и формой его струи
331
Ею, в частности, можно
воспользоваться для замера числа М в
дозвуковых потоках. Для этого в
поток вводят мерительный
насадок, имеющий два приемных
канала — центральный и периферийный
(фиг. 14.3).
Манометр, присоединенный к
внутреннему (центральному) каналу
мерительного насадка, замеряет
давление торможения /?о, а манометр,
подключенный к внешнему
(периферийному) каналу насадка,
замеряет давление р в пото-ке, называемое статическим давлением.
Н манометрам
Фиг. 14.3. Мерительный насадок
для определения числа М в
газовом потоке.
§ 2. СВЯЗЬ МЕЖДУ СКОРОСТЬЮ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА И ФОРМОЙ ЕГО СТРУИ
Настоящий параграф посвящен устано'влению связи между
изменением основных параметров газовопо потока и изменением
формы его струи, т. е. изменением площадей ее проходных сечений.
Выяснение этого вопроса даст возможность определить, в каком
направлении следует изменять площади сечений глзово-й струи, для
того чтобь! основные параметры газового потока, в частности, его
скорость, изменялись в нужном направлении.
Для анализа явлений, происходящих в газовой струе
переменного сечения, воспользуемся двумя уравнениями.
)В качестве первого уравнения возьмем дифференциальное
уравнение движения в форме Эйлера, которое для рассматриваемого
одномерного движения газа будет иметь вид
dv
dx
1 dp
р dx
(14.25)
В качестве второго уравнения возьмем уравнение сохранения
массы для одномерных течений
pt;/^= const.
(14.26)
Принимая ось струи (трубы) переменного сечения за ось х,
продифференцируем уравнение (14.26) по х\
dp с. , dv j^ , dp
dx dx dx
:0.
Умножив все члены полученного уравнения на —, получим
pF
flfp о 1 dv , v^ dF ^
dx dx F dx
или
dx \ ^ dx F dx)'
(14.27)

332 Глава XIV. Одномерные изэнтропические течения газа
Заменяя в уравнении (14.27) значение — через
dx
И
используя
уравнение
или окончательно
1
Р
dx
(14.
dp
dx
d^ dp
dp dx
_ 1 dp
a^ dx
25), будем иметь
1 v"^ dp
p a^ dx
_4- ^' ^
F dx
^_v^dp^ v^d^^ (14.28)
a^ j dx ^ F dx ^ ^
Уравнение (14.25) устанавливает зависимость между
производными — и — , а уравнение (14.28) устанавливает зависимость
dx dx
между производными — и —. Следовательно, уравнения (14.25)
dx dx
и (14.28) связывают между собой три величины: F, v и р.
Рассмотрим следующие возможные случаи.
1) Скорость течения газа v меньше скорости звука а, т. е. v<^^-
При этом
откуда в силу уравнения (14.28) следует, что знак производной
— будет совпадать со знаком производной —. Это означает,
dx dx
что если сечение струи F сужается | — < 0|, то давление будет
падать (— <0). При этом скорость v будет увеличиваться, что
очевидно из уравнения (14.25), так как в этом случае ~>0.
dx
Аналогично можно показать, что при увеличении F давление р
возрастает, а скорость v уменьшается.
2) Скорость течения газа v больше скорости звука а, т. е. v'^a.
В этом случае
1
^)«'.
и, следовательно, знаки —и — не будут совпадать. Это означает,
dx dx
что если, например, сечение струи сужается, то давление будет
возрастать. Из уравнения (14.25) видно, что при этом скорость будет
уменьшаться. Следовательно, если скорость газа v больше скорости

§ 2. Связь между скоростью течения газа и формой его струи 333
звука, то характер течения прямо противоположен характеру
течения с дозвуковыми скоростями.
Подчеркнем, что в обоих рассмотренных случаях характер связи
между скоростью и давлением не меняется —- например, если
скорость V растет, то давление р
падает и наоборот [формула
(14.25)]. Но характер связи
между скоростью v (или
давлением р) и сечением струи F
существенно зависит от
отношения скорости потока к скорости
звука [формула (14.28)], т. е.
от числа М=—. В частности,
СиоростЬ

увеличивается
СморостЬ

уменьшается
М</
^^•^Uuiuju
^г^уГГТ^-
Эв»
M>f
»•
^-^"^■"^■^lu,
гтг;^^
Фиг. 14. 4. Зависимость скорости течения
газа от формы газовой струи.
При М>1, т. е. при v^a,
увеличение площади сечения F струи
газа со'провождается не
уменьшением скорости V, как; это
имеет место при М<<1, а,
наоборот, ее увеличением
(фиг. 14.4).
3) Скорость течения газа v равна скорости звука, т. е. у = а
В этом случае
1«-^ = 0
И из уравнения (14.28) следует, что
dF
dx
= 0.
Поскольку при ускорении дозвуково-го' газового потока площади
сечений струи уменьшаются, а при ускорении сверхзвукового
газового потока эти же площади увеличиваются, то отсюда следует, что
при непрерывнО'М переходе скорости потока от дозвуковых значений
к сверхзвуковым сечения струи будут вначале уменьшаться, а
затем увеличиваться. При этом, как показывает последнее равенство
dF f^ ^1
— = 0 при — = 1,
dx а
В наименьшем сечении струи скорость потока достигнет скорости
звука, т. е. v = a~a^.
Как видим, критическое сечение газовой струи является ее ми-
нимальяым сечением.
Из изложенного следует вывод, что одним сужением дозвуковой
струи газа нельзя получить сверхзвуковых скоростей течения. Для
этого необходимо вначале сузить струю до получения в наиболее
узком ее сечении скорости, равной скорости звука (у==акр), а затем
расширить ее для получения сверхзвуко-вых скоростей. Так именно

334
Глава XIV. Одномерные изэнтропические течения газа
И устроены сопла, предназначенные для получения сверхзвуковых
скоростей (сопла Лаваля). На фиг. 14.5 показан характер
изменения скорости и давления по длине такого сопла.
Для ТОГО' чтобы выяснить причины, обусловливающие
установленный выше характер связи между скоростью газовой струи и
площадью ее сечений, рассмотрим
зависимость удельного расхода газа, т. е.
.величины pv, от скорости газа v.
Удельный расход pf можно* записать
в следующем виде:
Ро
где ро — значение плотности при
скорости газа, равной нулю. Используя
формулу (14.8), будем иметь
Фиг. 14. 5. Сверхзвуковое сопло
(сопло Лаваля).
9'V = 9oVl\
1
/e—l
(14.29)
Отсюда видно, что удельный расход ру равен нулю в двух
случаях: во'-первых, при и = 0' и, во-вторых, при v=Vm^x, так как в
последнем случае плотность газа р обращается в нуль. Следовательно,
при каком-то прО'Межуточном значении скорости 0<y<t;max
удельный расход pv должен достигать максимально^го значения (рг^)тах.
Найдем это значение v, для чего приравняем производную от ри
по V «улю:
dv
:0.
Продифференцировав выражение (14. 29) для удельного расхода
по V и приравняв егО' нулю, будем иметь
d{9^)
dv
= Ро 1
-ija \k-i
9Ф
k- 1
»а \k-i 2v
= 0.
1 2~'|
получаем
k~l vi
или
t;2 \~1
'^max "' *■ max

§ 2. Связь между скоростью течения газа и формой его струи
335
Решая последнее уравнение относительно v и учитывая
уравнение (14Л2), 'Находим искомое значение скорости, при
котором p£^=(pt;)niax:
^,2__^^IZ1^,2 __^2 (14.30)
V'
кр
Таким образО'М, удельный расход достигает максимума при
^ = «кр- (14.31)
Зависимость удельного расхода pv от скорости v, рассчитанная
по уравнению (14 29), представлена на фиг. 14.6. Как вртдим, с
увеличением скорости v удельный расход pv вначале растет (при
v<^aKp)y достигает максимума при и = а^^ р^
и затем (при v^a^^) уменьшается. """'
Учтем теперь уравнение расхода,
выражающее условие сохранения секундной
массы газа, проходящей, через различные
сечения F струи:
p^;F=const. (14.32)
Из этого уравнения следует, что в области
дозвуко'вых скоростей, где удельный
расход pv растет, площади F сечений струи
уменьшаются, достигают минимума при
pv= {pv)xnax и затем (в области сверхзву- 0,25
ковых скоростей) начинают расти в
соответствии с уменьшением pv.
Минимальное сечение струи, где pt^= (pt^)max,
является, о!чевидно, критическим сечением,
так как в нем v = aKp. Следовательно, мы
пришли к тем же выводам, что* и ранее,
относительно связи между скоростью
газовой струи и площадью ее сечений.
КрО'Ме ТОГО', установленный характер изменения удельного
расхода pv позволяет выяснить причины, вследствие которых при
ускорении газа в дозвуковой области течения струя его- сужается, а в
сверхзвуковой области — расширяется. Как видим, это проис(ходит
потому, что удельный расход в дозвуковой области растет, а в
сверхзвуковой — уменьшается.
Формула (14.8) показывает, что плотность газа р при
непрерывном увеличении его скорости мо-нотонно' уменьшается (см. также
фиг. 14.2). Отсюда вывод, что в дозвуковой области, где удельный
расход растет, плотность уменьшается медленнее, чем растет
скорость, а в сверхзвуко<вой области, где удельный расход падает,—
плотность уменьшается быстрее, чем растет скорость.
Таким образом, изменение площади струи газа по скорости его
движения определяется характером изменения его плотности.
В дозвуковых потомках, где плотность изменяется медленнее, чем
скорость движения газа, при увеличении последней удельный рас-
2,0
КР
Фиг. 14.6. Зависимость
удельного расхода газа от
скорости его движения.

ЯЗб
Глава XIV. Одномерные йзэнтропические течения газа
ход растет и площади сечений струи уменьшаются. В сверхзвуковых
потоках, где плотность изменяется быстрее, чем скорость движения
газа, с ростом последней удельный расход падает и площади
сечений струи увеличиваются
Рассмотрим возможные случаи течения газа по соплу Лаваля
(фиг. 14.7), предполагая для простоты, что газ втекает в сопло
из котла, где скорость его равна нулю. Изменение скорости и
давления вдоль такого сопла может происходить
двумя различными путями.
Прежде всего очевидно, что при любом
наружном давлении рн в среде, куда
вытекает газ, меньшем давления ро в котле,
течение газа по сужающейся части сопла Лаваля
будет ускоренным, т. е. скорость газа будет
монотонно увеличиваться, а давление —
соответственно падать.
Характер же течения газа вдоль
расширяющейся части сопла Лаваля будет сущ|е-
ственно зависеть от того, достигнет ли
скорость в минимальном сечении сопла
критического значения а^р или нет.
Если наружное давление рп больше
критического давления ркр и мало отличается от
давления в котле ро, 'гО' скорость газа в ми-
еимальном сечении сопла не достигнет
критического значения (t^<C^Kp), поток останется
дозвуковым и скорость газа в
расширяющейся части сопла будет монотонно убывать, а
давление — возрастать до величины рн «а срезе сопла (кривые 1 на
фиг. 14.7). В этом случае расширяющаяся часть сопла Лаваля
будет работать как обычный диффузор и течение всюду в сопле будет
дозвуковым. Если же наружное давление Рн меньше критического
(рн<Сркр), то скорость газа в минимальном сечении сопла достигнет
величины местной скорости звука (t^ = ^Kp) и в расширяющейся части
сорила поток буд^т продолжать ускоряться, т. е. течение в этой
части сопла будет сверхзвуковым (кривые 2 на фпг. 14.7).
Таким образом, на выходе из сопла Лаваля можно получить
сверхзвуковой поток только в том случае, если наружное
давление рн будет меньшим критического давления ркр, величина
которого определяется давлением в котле ро.
Если обратить движение, т. е. предположить, что на входе в
сопло Лаваля скорость потока больше скорости звука, то
теоретически возможен и такой случай: сверхзвуковая скорость потока в
сужающейся части сопла убывает, достигает в минимальном сечении
критического значения и в расширяющейся части сопла продолжает
монотонно убывать (давление при этом должно моноговно
возрастать). В этом случае, представленном на фиг. 14.7 пунктирными
кривыми 3, сопло работало бы как сверхзвуковой диффузор.
Фиг. 14.7. Различные
случаи течения газа по
соплу Лаваля.

§ 2. Связь между скоростью течения газа и формой его струи
337
Однако, как показывает опыт, непрерывный плавный переход от
сверхзвуковой скорости к дозвуковой в трубах переменного
сечения, как и во всех других случаях, не реализуется на практике.
В действительности переход от сверхзвуковой скорости к
дозвуковой сопровождается резким (скачкообразным) уменьшением
скорости от сверхзвуковых значений до дозвуковых и соответствующим
скачкообразным ростом давления (см. гл. XV).
Наконец, возможен также и такой случай, когда скорость
сверхзвукового потока на входе в сопло, уменьшаясь в сужающейся части,
не доходит все же до критического
значения. В результате в
расширяющейся части сопла скорость потока
будет возрастать, т. е. поток по
всему соплу останется сверхзвуковым.
Этому случаю соответствуют
кривые 4 на фиг. 14. 7.
Опытные исследования сопел Ла-
валя подтверждают сделанные выше
заключения о возможных случаях
распределения скорости и давления
по длине сопла (кривые 1, 2 vi 4).
-*B
6)
газа Отбод газа
И||Ц||Г
4т
длине сипла (^кривые i, z п ч), л» -*•-
Следует отметить, что сверхзву- ч/ _^,
iWi,!^uuWiiMtiiy?^fli)<Titii)il^^
Подбод тепла Отбод тпла
Фиг. 14.8. Геометрическое,
расходное и тепловое сопла для
получения сверхзвуковых скоростей
течения газа.
ковые потоки газа можно получить
не только при помощи сопла Лаваля.
В сопле Лаваля при
определенном перепаде давления газ
непрерывно ускоряется, благодаря тому
что сечения сопла вначале умень-
птаются, а затем увеличиваются. В результате в наиболее узком
сечении сопла достигается скорость звука, а в расширяющейся
части сопла и на выходе из него — сверхзвуковые скорости.
Советским ученым Л. А. Вулисом [51] были предложены
принципиально иные способы получения сверхзвуковых скоростей. Для
уяснения существа метода Вулиса рассмотрим некоторые
особенности течения газа по геометрическому соплу — соплу Лаваля
(фиг. 14. 8,а).
Прежде всего нетрудно заметить, что при установившемуся
движении газа по соплу в силу уравнения сохранения массы через
сечение АВ должно проходить в единицу времени то же количество
газа, что и через самое узкое сечение 00,
Далее, считая про-цесс течения газа адиабатическим (т. е. считая,
что тепло извне не подводится и не отводится), замечаем, что полная
энергия, проносимая в единицу времени газом через сечение АВ,
также должна быть равна энергии, проносимой через сечение 00
(по закону сохранения энергии).
Выделим мысленно внутри сопла Лаваля цилиндрический
участок abdc, площадь поперечного' сечения которого равна площади
самого узкого сечения сопла 00.
22 Аэродинамика

338 Глава XIV. Одномерные изэнтропические течения газа
Рассматривая выделенный участок, ограниченный до сечения 00
контуром аЬОО, нетрудно заметить, что секундная масса газа,
проходящая через сечение 00^ будет больше се'кундной массы газа,
проходящей через сечение аЬ, так как сечение аЬ является лишь
частью всего сечения АВ. Точно так же полная энергия, проносимая
газом в единицу времени через сечение 00, будет больше, чем
полная энергия, проносимая газом через сечение аЬ.
Таким образом, в выделенной части потока происходит
увеличение секундной массы и энергии газа в направлении от сечения аЬ
к сечению 00.
Отсюда следует, что для того, чтобы обеспечить в
цилиндрической трубе изменение параметров газа, аналогичное их изменению
в сопле Лаваля (б частности, для того, чтобы попрежнему в
сечении 00 получить скорость, равную скорости звука), необходимо
на участке аО обеспечить соответствующее возрастание секундного
расхода и энергии газа. ;
Аналогично рассматривая течение газа на цршиндричбском участ-
ке cdOO и в сопле Лаваля OOCD правее сечения 00, можно
заключить, что для получения на выходке из цилиндрической трубы
той же сверхзвуковой скорости, что и в выходном сечении сопла,
необходимо на участке трубы между сечениями 00 и cd обеспечить
непрерывное уменьшение секундного расхода газа и его энергии.
Итак, чтобы получить в цилиндрической трубе сверхзвуковые
скорости потока, необходимо вначале подводить к ней опред|елен-
ные количества газа и энергии (например, тепла), а затем
отводить их.
Подвод (отвод) массы или энергии в цилиндрической трубе,
как показал Л. А. Вулис, воздействует на величину скорости газа
в одном и том же направлении и аналогично влиянию сужения
(расширения) сечения струи. Поэтому б цилиндрической трубе можно
получить сверхзвуковую скорость, осуществляя последовательный
подвод и отвод одной только массы или одной только энергии (см.
фиг. 14.8,6 и в). Цилиндрическое сопло, работающее на принципе
подвода и отвода массы газа, Вулис назвал расхддным, а соплО',
работающее на принципе подвода и отвода тепла,— тепловым.
Кроме расходного и теплового сопел, Вулис предложил также
механическое сопло, основанное на том принципе, что совершение газом
работы расширения (например; на лопатках турбины) эквивалентно
в смысле воздействия на его скорость отводу тепла, а подвод к газу
механической энергии (например, в нагнетателе) — подводу тепла.
Таким образом, геометрическое сопло не является единственно
возможным способом получения сверхзвуковых потоков. Как видим,
сверхзвуковые скорости можно получить также с помощью
расходного, теплового и механического сопел.

Глава XV
ТЕОРИЯ ПРЯМОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЯ1У10Г0 СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
Как показывают опыты, обтекание тел сверхзвуковыми
потоками, так же как и течение сверхзвукового потока газа в различных
соплах и насадках, обладает специфическими особенностями по
сравнению с аналогичными течениями дозвуковых потоков газа.
Одна из этих особенностей заключается, в частности, в том, что
в ряде случаев основные параметры, характеризующие движение и
состояние газа: давление, плотность, температура и скорость,— не
являются непрерывными функциями точек пространства,
заполненного текущим газом. Так опыты показывают, что при более или
менее значительном торможении сверхзвукового потока в последнем
возникают поверхности, при прохождении газа через которые
величины указанных выше параметров скачкообразно изменяются.
Места резкого, скачкообразного изменения основных
параметров газового потока, сопровождающегося возрастанием его
давления, плотности, температуры и уменьшением скорости, носят
название скачков уплотнения.
На фиг. 15. 1 показаны скачки уплотнения, возникающие при
обтекании сверхзвуковым потоком остроносого^ тела. Как видим, в
этом случае скачки начинаются на острой кромке тела и имеют
примерно' прямолинейную форму.
Во многих случаях скачо'К уплотнения образуется на некотором
расстоянии от носовой части обтекаемого тела и имеет
криволинейную форму (см. фиг. 15. 2,а).
Опыты показывают, что поверхности образующихся скачков
уплотнения могут быть как перпендикулярны к направлению
скорости набегающего потока (фиг. 15.2,6), так и неперпендикулярны
к ней (фиг. 15. 2,в). В первом случае поток, пройдя скачок
уплотнения, не меняет своего направления и скачок называется прямым,
а вЮ' втором — меняет направление и скачок называется косым.
Очевидно, что криволинейная поверхность скачка уплотнения,
показанная на фиг. 15. 2,а, состоит из прямого скачка (в центральной
части) и системы косых скачков уплотнения.
22*

340
Глава XV. Теория прямого скачка уплотнения
Фиг. 15.1. Фотография обтекания остроносого тела
(пули) сверхзвуковым потоком.
Следует подчеркнуть (это будет доказано ниже), что появление
скачков уплотнения около тела приводит к увеличению его лобового
сопротивления.
Прямойсиаяок
уплотнения
Or
^0
б ' '
^осоасначон
уплотнения
Фиг. 15. 2. Криволинейный
скачок уплотнения и схемы
прямого и косого скачков.
Перейдем к изложению основных свойств скачков уплотнения.
В этой главе рассматривается теория прямого скачка.

§ 1. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения
341
Допустим, что в некотором сечении АВ сверхзвукового потока
газа образовался прямой скачок уплотнения. Обозначим параметры
состояния газа до скачка через pi, pi, Ti и Vi, а после скачка —
через Р2, Р2, ^2 и V2.
На фиг. 15.3 показан характер изменения скорости и давления
в прямом скачке. Поставим задачу, зная значение параметров газа
до скачка, найти их значения после
скачка. Для нахождения зависимости
между параметрами газа за скачком и
перед ним используем уравнение
количества движения, уравнение
неразрывности, уравнение энергии и уравнение
состояния.
Начнем с уравнения количества
движения. Так как изменение количества
движения газа при прохождении через
плоскость скачка происходит в
результате разности давления р2—Ри то
P^-Pi^H'Viiv^-^y (15.1)
Уравнение неразрывности,
выражающее равенство секундных масс
газа до и после скачка, напишем в виде
Pit;i = P2'r^2.
(15.2)
г ,
1
[
^',
к
hv
\
1
4
в
1
rwn
\ "
Рг
\ 'i
1 1
\
Фиг. 15.3. Характер изменения
скорости и давления газа при
прямом скачке.
Равенство полной энергии, которой обладает газ перед скачком
и за ним, запишется в механических единицах для 1 кг газа в
следующем виде:
^+i, = i- + 4. (15.3)
где теплосодержание i^Jc^,
Возможность применения этото уравнения к сечениям струйки,
расположенным по разные стороны от плоскости скачка,
обусловливается тем, что процесс сжатия газа в скачке уплотнения можно
считать адиабатическим (т. е. теплоизолированным).
При прохождении газа через скачок его полная энергия не
изменяется; происходит только перераспределение различных видов
энергии — теплосодержание увеличивается в результате
соответственного уменьшения кинетической энергии.
Используя применительно к скачку уравнение состояния газа
P==PgRT.
будем иметь
' P2~-Pi=^R{9%T,-9iTi). (15.4)
Система четырех уравнений (15.1) — (15.4) позволяет
определить значения параметров газа за скачком по ,их значениям
перед ним.

342 Глава XV. Теория прямого скачка уплотнения
Обозначим разность скоростей до и после скачка через ^v, т, е.
.наложим
Тогда уравнения (15.1) и (15.2) можно переписать в
следующем виде:
P2~Pi = Pi^iA^, (15Л')
9iVi^Pz{Vi—\'v). (15.2')
Преобразуем уравнение (15.3). Так как i=JCpT, то уравнению
(15. 3) можно придать вид
Вводя разность Av = Vi—^2, будем иметь
2j
{Vi + v^)=JCp(Tz-T,)
или
откуда получаем
'^(2^,-Lv)~Jc,{T,-T,).
Таким образом, задача о нахождении четырех параметров газа
после скачка: V2, р2, 92, ^2, сводится к решению следующей системы
четырех уравнений для разностей этих параметров:
^Р =Р2 -Pi = Pi'Vt^'v, (15.5)
^P = p2~Pi = Pif—~T--l)> (15.6)
. ч-
Дг;
- At;
-U-
^P=P2-Pi=-gR{9j^-9iTil (15:8)
причем в (15.8) величина T2 определяется выражением (15.7).
Определим прежде всего Av. Для этого подставим в уравнение
(15.8) значение p2—pi из уравнения (15.5) и значение р2 из
уравнения (15.6). Будем иметь
откуда

§ 1. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения 343
Подставляя в полученное уравнение значение разности Т2—Tt
из уравнения (15.7), находим
или, сокращая на Av,
..,..-M=g«[^(..-f)+r,].
Следует заметить, что при сокращении на А у нами потеряно
решение At; =10. Так как это решение соответствует случаю Vi'=V2y т. е.
отсутствию скачка, то оно нас не интересует.
Замечая, что Jcp= /?, полученное уравнение можно переписать
в виде
Обозначая через at скорость звука в потоке перед скачком и
замечая, что a\=kgRTi^ после простых преобразований получим
следующее выражение:
^v = -^{\A\ 05.9)
ИЛИ
кЛ-\ \ v\
д^=^^!!1_Л L\ (15.10)
где
А! + 1 \ М^
Ч
Подставляя найденное значение At' из формулы (15. 10) в
выражения (15.5), (15.6) и (15.7), находим!
Ap = ^fl-i). 05.11)
^-Ы \ Щ
1 -
1
т2
м
Др = Р1-^—р—^, (15.12)
2 ' mi
АТ= ^-^-7-.-v'(l—^]i\+-rhr]- 05.13)
<^-ш
JgCp(k-{-l)^ '\ МЦ\ кШ\
п
1 Формулы АЛЯ Ар, Ар и АГ можно получить в более простом виде, если их
выразить через критическую скорость (см. стр. 347).

344
Глава XV. Теория прямого скачка уплотнения
Исключая из уравнения (15. 11) pi с помощью известного
соотношения а2= k—, будем иметь
U
р,
р^
40
30
20
Ю
/
/
Фиг.
от
Р%-
-л=
р2 __ 2^
2
15.
чисд
4.
а
У
/_-„.
3 и о 6
ь
CI
5авис
li п
сачке
имо
ри
сть
пpя^
м,
ЮМ
-(М
2
OPi
(15.14)
М?-*^- (15.15)
(?
5
4
/
/
Ф1
1
1—<—
2 3 й 5 6 1 ^Щ
1Г. 11
J
3.5.
Ml п
Зави
ри п
симс
рЯМ(
)сть — от числа
эм скачке.
Зависимость отношения — от числа Mi приведена на фиг. 15. 4.
Р\
Преобразуем формулу (15. 12) следующим образом:
P2-Pl =
Mf-1
k-\
■Pi»
Mj-fl
(15.16)
откуда
Отсюда видно, что
н
k- 1
м
Pi
;^- 1
-+M'f
Ml-* 00 Pi л — 1
(15.17)
Зависимость отношения — от числа Mi дана на фиг. 15. 5.
Pi

§ L Основные соотношения для прямого скачка уплотнения
345
Преобразуем теперь формулу (15. 13). Замечая, что
формулу (15. 13) можно написать так:
■т.-
1 k-\
2k
g kR (k+\f a{
kkgRTA\—^]{\+ '
Mt
Ш
ИЛИ
7 г 1(^111]Ш2А~-ЛУ1+—2l^b
откуда
7^2-T,:
2(^-1)
кЖ\-
1
Mf
-k + \
7^1.
Деля обе части равенства на Ti, будем иметь
_ '2{k-\) , 4А!-(А;-1)'
(^ + 1)
Т2 _2k(k^\)^^^
42 1
(;^+i)2Mf
(^+1)2
(15.18>
(15.19>
Зависимость отношения —^ от числа Mi дана на фиг. 15.6.
Устано'вим теперь связь между Mi и Мг. Так как
Lv=v^ — v^=^'
k+\
1 —
2
м?
t^i
то
^2
п
k+l
(k+i)Mi
(15.20>
Пользуясь соотношениями а] =kgRTi и a\=kgRT2 и используя
т
формулу (15. 19) для —^, после несложных преобразований из фор-
мулы (15.20) находим
М,-
1 + -^М?
^м^
откуда
мгЧ
кШ\-\"
2
k - 1
1
(15.21>

346
Глава XV. Теория прямого скачка уплотнения
Зависимость числа Мг от числа Mi приведена на фиг. 15.7.
Выведенные формулы показывают, что скачки параметров газа
являются функциями только начальных параметров: pi, pi, Ti и
t^i(Mi).
Интересно также отметить, что скачки уплотнения, при которых
Р2—р1>0, Р2~р1>0 и Гг—Г1>0, могут быть только при
сверхзвуковых скоростях, т. е. при Mi>l [см. формулы (15. 1]) (15. 12) и
<15.13)].
Ь
И.
/
I 2 J й 5
Фиг. 15. 6. Зависимость
6П^
Т2
W
0,5
\
\
\
\
ч
Фиг. 15. 7. Зависимость числа Мг
от числа Ml при прямом скачке.
от числа Ml при прямом
скачке.
В заключение настоящего параграфа найдем соотношение между
скоростями перед и за прямым скачко-м и критическо-й скоростью.
Для этого используем уравнения (15. 1), (15.2), (15.3) и
уравнение состояния газа в виде
k
^=-Jgc,T,
k-1 p
Разделим почленно уравнение количества движения на Pi:
Н Pi
Р2^2
Заменив в первом слагаемом р^ через Pi = ^-^-^(h3 уравнения
г?1
сохранения массы), получим
н Pi
Пользуясь уравнением состо'яния, последнее уравнение можно
оереписать в следующем виде:
g k
{i2pi — hv^)=v^v^ (^r^i—v^.

§ 1. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения 347
Из уравнения энергии (15.3) находим выражение для h и fe:
Подставляя выражения для н и Г2 в полученное выше уравнение,
будем иметь
^~1
ИЛИ
откуда
k- 1
2k
Т. е.
и, следовательно, на основании формулы (14. 12)
^,Щ = а1^. (15.23)
Соотношение (15.23) устанавливает зависимость между
скоростями газового потока до и после прямого скачка и критической
скоростью. Это соотношение показывает, что при прямом скачке
критическая скорость газа а^ф является средним геометрическим
между скоростями Vt и V2 до и после скачка.
Из соотношения (15.23) следует также, что прямой скачок мо-
л<:ет существовать только ъ том случае, когда одна из скоростей Vt
или V2 больше критической скорости, а другая меньше ее.
Следовательно, уравнение (15.23) показывает, что прямые скачки не могут
иметь место в чисто дозвуковых потоках или в чисто сверхзвуковых,
а могут образоваться только при переходе скорости потока от сверх-
SByKOiBbix значений к дозвуковым (обратный скачкообразный
переход от дозвуковых значений скорости к сверхзвуковым ее значениям
невозможен в изолиро<ванных системах, что будет показано ниже).
Из (15. 1) —(15. 3), пользуясь соотношением (15. 23), можно
получить формулы для параметров газа за прямым скачком,
выраженные через его начальные параметры и критическую скорость:
P2-Pi=^9ii'vl-al), (15.24)
P2 = Pi^, (15.25)
T,-ri = -^(l—%V (15.26)

348 Глава XV, Теория прямого скачка уплотнения
§ 2. СРАВНЕНИЕ СЖАТИЯ ПРИ ПРЯМОМ СКАЧКЕ С ИЗЭНТРОПИЧЕСКИМ
СЖАТИЕМ
Анализируя кривые изменения —, — и —^ в зависимости
Н Рх Ti
ОТ числа Мр замечаем, что кривая — имеет предел при
Mi-~>oo, равный
н
limiL=.±tl = 6 (при ;fe=l,4).
В TO же время величина — стремится к бесконечности при бес-
Рх
конечном увеличении Mi. Следовательно, сжатие воздуха при
прямом скачке существенно отличается от сжатия при изэнтропическом
процессе. Действительно, при изэнтропическом процессе измененв/е
параметров состояния газа связано простым соотношением
Р^^{М\ (15.27)
Рх \Pi/
из которого следует, что бесконечному увеличению давления при
изэнтропическом сжатии соответствует бесконечное увеличение
плотности газа.
Отсюда видно, что скачкообразное изменение параметров газа
в прямом скачке уплотнения не является изэнтропическим
процессом и может рассматриваться лишь как адиабатический процесс,
если пренебречь рассеиванием тепла, выделяющегося при скачке.
Для прямого скачка также можно получить соотношение,
аналогичное (15.27), связывающее непосредственно давление и
плотность газа. Для этого воспользуемся уравнениями (15. 17) и (15. 15).
Из уравнения (15. 17) следует, что
М2 = ^ . (15.28)
^ (^+l)Pi~(^-l)P2
Подставляя значение Mi из уравнения (15,28) в уравнение
(15. 15),, получим
Р2 _ (^-И)рг-~(^ —1)р1 (15.29)
Рх (^4-1)Р1 —(^--1)Р2
мли
P^^±Z±Jl . (15.29')
Pl _^±L_-P2.
A: —1 pi
Соотношение (15.29) выражает закон ударной адиабаты. На
фиг. 15.8 изображены два закона: изэнтропический и закон
ударной адиабаты в координатах — и —.
Рх Н

§ 2. Сравнение сжатия при прямом скачке с изэнтропическим сжатием 349
Пользуясь уравнением состояния газа до скачка pi^^gpiRTi и за
скачком p2=gP2RT2, можно вывести для прямого скачка зависимость
между отношениями давлений — и отношением температур —^ .
Pi Ti
Для этого в уравнении (15.29^) выразим значения плотности
через соответствующие температуры и давления:
1
Р\
k- 1
21.
Р\
Т2
Решая это уравнение относительно —^
^1
получим
fe+1 р2
k~\ рг
+
т
к+1 Pi
k-\ Рг
(15. 30)
+ 1
4
40
30
20
to
О 1 2^3 ^ 5 В 3-
Фиг. 15.8. Изэнтропа и ударная
адиабата.
Парная
адиабата .
i
i
и
-^
-4 ,
\
(
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
1
i
Уи-1
7 и па
1
На фиг. 15. 9, как и на фиг. 15. 8,
изображены два закона: изэнтро-
пический и закон ударной
адиабаты, но только в координатах
Р\ Ti
Из фиг. 15.9 видно, что при
одинаковых отношениях давлений
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/1 i М-\ -1
'#I#T
и .<sf Ж' г 1
МММ! '^WJJ 1J_J
Ь»414 tp
• w1 М
ктм
П
Фиг. 15. 9. Изэнтропа и ударная
адиабата.
—^ температура при скачкообразном (ударном) сжатии больше, чем
Р\
при изэнтропическом. Этот сильный разогрев газа при скачке и
является причиной того, что плотность газа за скачком даже при
бесконечном возрастании давления р2 остается конечной величиной.
Итак;, простое сравнение изэнтропического сжатия со сжатием
ударным показывает, что последнее не является изэнтропическим.

350 Глава XV. Теория прямого скачка уплотнения
Поскольку ударное сжатие можно рассматривать как процесс
адиабатический, то отсюда следует, что энтропия при ударном сжатии
должна возрастать. Докажем это<.
Предположим, что в процессе лзэнтропического течения газ из
состояния рь р1 перешел в состояние р2из, 92. Предположим также,
что газ из того же состояния pi, pi перешел скачкообразно в
состояние, характеризуемое той же величиной плотности Р2 и
соответствующим ему на ударной адиабате давлением /?2. Тогда из
изложенного выше следует (см. фиг. 15. 8), что
р2^р2 из.
Обратимся теперь к выражению для энтропии
■с„1п>-^
^у
.9
Для изэнтро'пического- процесса изменения параметров газа
S2„3 = Sl = ^.ln/^Wc,ln^^^"^
Для скачкообразного изменения параметров газа
s.==cjn(^
Следовательно,
Р2
Так как
то
Р2>р2 из,
52>5i,
Т. е. при ударном сжатии энтропия действительно воврастает.
Предположим теперь, чтО' газ из состояния pi, Pi перешел
скачкообразно в состо'яние р2, 92 путем скачка разрежения, т. е. p2<ip\
и p2<Pi. Нетрудно убедиться, что для скачков разрежения ударная
адиабата пойдет ниже изэнтропы и, следовательно, при одной и той
же плотности Р2 давление р2<Р2из. Но тогда, проБодя выкладки,
аналогично предыдущему, получим 82<С^и т. е. энтропия
изолированной системы при скачках разрежения должна уменьшаться. Так
как подобное уменьшение энтропии противоречит второму закону
термодинамики, то отсюда следует вывод о невозможности
существования в адиабатических процессах скачков разрежения i.
1 Следует иметь в виду, что условие адиабатичности, на котором основывается
приведенный выше вывод о невозможности скачка разрежения, весьма
существенно. При неадиабатических процессах скачки разрежения возможны и
наблюдаются на практике (так называемые скачки конденсации).

§ 2. Сравнение сжатия при прямом скачке с изэнтропическим сжатием 351
Так как при ударном сжатии энтропия возрастает, ю отсюда
следует, что ударное сжатие является необратимым процессом.
Последнее означает, что при процессах, происходящих по закону
ударной адиабаты, часть механической энергии переходит в тепло-,
которое уже не может быть полностью преобразовано в кинетическую
энергию без дополнительных затрат механической работы. Это
положение будет проиллюстрировано в конце § 4 настояш;,ей главы.
Сравним параметры газа после ударного сжатия с его-
параметрами, соответствующими изэнтропическому сжатию. Предположим,
что газ нз начального состояния t^i, pi, pi, Ti переходит в другое
состояние двумя различными путями: изэнтропически и по закону
ударной адиабаты.
Конечные параметры газа в первом случае обозначим через U2,
р2, Р2, Т2\ соответственно конечные параметры газа во втором
случае— через t;2cK, Р2ск, Р2ск, 7^2 ек. Пусть изэнтропический продесс
пр'отекает так, что конечное давление и давление после скачка
остаются равными друг другу, т. е. р2==р2 ск. То-гда из фиг. 15. 9 следует,,
что Г2<Г2 ск!.
Используем уравнение энергии. Так как начальные условия в
обоих случаях одинаковы, то, очевидно,
-? ь vl^ k
2g k-l 2g ' k-l
Отсюда, имея в виду предыдущее неравенство Г2<Г2 ск, заключаем,
что
V2 ок<У2.
Следовательно, при одинаковых конечных давлениях скорость газа;
за скачком (необратимый процесс) будет меньше скорости в
процессе изэнтропического сжатия, т. е, часть кинетической энергии газа
при скачке необратимо перешла в тепло (температура газа
повысилась).
Сравним те же процессы, но при одинаковых конечных
скоростях, т. е. при V2=Vi2cK. В это-м случае из уравнения энергии
находим, что Т2=Т2ск, откуда (см. фиг. 15.9)
Р2 ск<Р2.
Следовательно, при одинаковых конечных скоростях давление за
скачком (необратимый процесс) будет меньше, чем давление в
обратимом изэнтропическо'М процессе.
Таким образом, при скачкообразных (необратимых) процессах
имеет место ум1еньшение' скорости или уменьшение давления по
сравнению с процессами, протекающими изэнтропически.
Как увидим далее, необратимое превращение механической
энергии в тепловую при скачке является источником так называемого
волнового сопротивления при обтекании тел потоком газа.

352 Глава XV. Теория прямого скачка уплотнения
§ 3. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ. ЗВУКОВАЯ ВОЛНА
Обратим теперь картину течения газа, т. е, предположим, что
плоскость скачка не стоит неподвижно, а движется со скоростью Vt.
В этом случае v^ будет скоростью распространения волны давления
р2 в среде неподвижного газа, где давление pi. Найдем скорость v^
распространения волны давления и покажем, что при уменьшении
разности давлений р2—Pi эта скорость приближается к скорости
звука.
В самом деле, из формуя (15.5) и (15.6), а также выражения
находим
P2-Pl _ Pi ^.2
?2 - Pi H
откуда скорость Vi распространения волны давления р2 в газе с
давлением pi будет иметь вид
-i;,==l/i^ Р'-Р^ . (15.31)
V Pl Р2 - Pi
Ясно, что в пределе при p^-^pi и Рг-^ Pi выражение для Vi
принимает вид
V, = Um i/^+ДР ^ = -i/^. (15.32)
Д/7^0 Г Pl ^Р Г ^Р
Так как в правой части равенства стоит известное выражение для
скорости распространения звука, то, следовательно,
Таким образом, звуковая волна является скачком уплотнения
бесконечно малой интенсивности.
§ 4. ДАВЛЕНИЕ В КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ ЗА ПРЯМЫМ СКАЧКОМ УПЛОТНЕНИЯ
Обозначим через рх и Vi соответственно давление и скорость
сверхзвукового потока перед прямым скачком уплотнения
(фиг. 15. 10), через р2 и V2 — давление и скорость непосредственно
за скачком уплотнения, через р2о — давление в критической точке
(в которой скорость течения газа с^го — О). Будем считать, что поток
до скачка и после скачка изэнтропический.
Найдем давление р2 о в критической точке. Отношение давлений
Р2(\
^—^ можно записать в виде следующего произведения:
Р\
Рц^РгЕм^ (15.33)
Pl Pl Р2

§ 4. Давление в критической точке за прямым скачком уплотнения 353
Отношение — найдем, используя формулу (15.15):
Pi
Р2
2k
Рг
k-\-\
М?-
k-\ k- \
k-hl
k-hl
(15.34)
Используя фор мулы! (14.7)
для изэнтропического процесса,
будем иметь
Р2
Р2 0
k
2 \k~\
или, используя формулу (15.22),
к
P2Q .. \ ^-^1 Щ)
м.
Фиг. 15.10. К определению давления
в критической точке при наличии
прямого скачка уплотнения перед телом.
Если В ЭТОМ уравнении заменить отношение скоростей —^ по фор-
муле (15. 20), то окончательно получим
Р2 0
1^—1
n^ri-i^-i^S ■ ^''■''>
Р2
Р2 0
Подставляя в уравнение (15.33) значения -^ и ^-^, определяе-
Pl Р2
мые уравнениями (15.34) и (15.35), получим искомую формулу для
давления в критической точке за прямым скачком уплотнения
Я2 0^
I
Pi
(^+1)2
k-vl L2(^- 1) J
k—i
Ml
2k
k—\
которая при ^=1,4 приобретает вид
P2Q
166,7Mf
\ М2
2,5 •
Mf
1 »
k-1
(15.36)
(15.37)
Зависимость — от Mi, определяемая этой формулой, приведена
Р1
на фиг. 15. И. Для сравнения на этом же графике приведена кривая,
определяющая давление в критической точке pi о при отсутствии
23 Аэродинамика

354
Глава XV\ Теория прямого скачка уплотнения
скачка уплотнения, вычисленная по формуле (14.22), которая при
^=1,4 принимает вид
т\
W0
50 \
^« = (1+0,2М2)Ч (15.38)
1-2 3
Фиг. 15.11. Зависимость давления
в критической точке потока при
прямом скачке от числа Mi.
7 2 3 и 5 Ml
Фиг. 15. 12. Зависимость
коэффициента потерь о полного напора
при прямом скачке от числа Mi.
Исключая из формул (15.37) и (15.38) давление pi и вводя
обозначение — = о, получим следующее соотношение:
Pi о
Р2 0
Pi о
166,7Mf
(7-^)' (1+0,2М2р
(15.39)
Величина с называется коэффициентом потерь полного' напора.
Зависимость а от числа Мь определяемая формулой (15.39),
приведена на фиг. 15.12. Как видим, при Mj>l коэффициент о<1 и
с ростом числа Mi убывает.
Зависимость (15.37) имеет практическое значение, так как
позволяет определить число Mi потока (при Mi>l) по замеренным
значениям давления р2о и pi.
Фиг. 15. 11 и 15. 12 показывают, что полный нацор рзо за прямым
скачком уплотнения меньше, чем полный напор pi о перед ним.
Вообще, как показывают расчеты и опыты, полный напор за любым
скачком уплотнения (косым, криволинейным) уменьшается
сравнительно с полным напором перед ним. Это обстоятельство хорошо
иллюстрирует вывод, сделанный выше, о том, что при ударном сжа-
. тип тепло, полученное в результате преобразования части
механической энергии, уже не может быть полностью преобразовано в
кинетическую энергию без дополнительных затрат механической
работы.

Глава XVI
ПЛОСКИЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В этой главе рассматриваются только плоские сверхзвуковые
изэнтропически(е течения газа (в частности, не будут
рассматриваться течения, сопровождающиеся трением и образованием ударных
волн).
§ 1. КРИТЕРИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОГО ИЗЭНТРОПИЧЕСКОГО
ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В настоящем параграфе показано, что плоское изэнтропическое
течение газа в дбщем случае не обязательно будет потенциальным,
т. е. таким, в котором отсутствуют вихри.
В изэнтропическом потоке газа вдоль каждой струйки величина
полной энергии io = l+.— и величина энтропии остается постоян-
2^
ной. Допустим, что на бесконечности при переходе от струйки к
струйке величина полной энергии и энтропии также не меняется.
Однако в потоке могут быть такие места, где поток перестает быть
изэнтропическим. Тогда за этими местами поток, увеличив свою
энтропию и становясь в дальнейшем вновь изэнтропическим, уже не
будет обладать свойством постоянства энтропии и полной энергии
при переходе от струйки к струйке.
Примером может служить поток в аэродинамической трубе. До
вентилятора поток можно считать изэнтропическим. Проходя через
плоскость вентилятора, струйки воздуха будут попадать на
различные части вентилятора, всл-эдствие чего будут иметь место различные
потери и, кроме того, к различным струйкам будет подводиться
различное количество энергии. В результате за плоскостью
вентилятора поток хотя и 'Останется изэнтропическим, однако в различных
струйках энтропия и полная энергия будут различными.
Выясним, при каком условии в изэнтропическом потоке будут
отсутствовать вихри.
Рассмотрим (фиг. 16. 1) какую-нибудь линию тока аА.
Проведем в точке а линии тока касательную, направленную вдоль вектора
скорости V, и внзпгреннюю нормаль п. Напишем уравнение движения
газа в проекции на нормаль п:
^=—L^, (16.1)
23*

356
Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
где Оа=г—радиус кривизны;
Х)2
Г
центростремительное ускоре
кие частиц газа.
Допустим, что при переходе от одной линии тока к другой
полная энергия и энтропия будут изменяться. В таком случае будем
иметь
(16.2)
(16.3)
diQ = di + vdv ф О,
^5 = i/rf/-~^Wo,
где i^ — полная энергия, s — энтропия (очевидно, что вдоль линии
тока ввиду изэнтропичности течения d/o = 0 и Й5=0).
Исключая из уравнений (16.2) и (16.3)
величину di, находим
-А ~ (1ц—rodv— Tds,
р
Подставляя значение — в уравнение дви-
Р
жения (16.1), находим
dn
dn dn
или иначе
^/^^M^^iio^rii. (16.4)
\dn г I dn dn ' '
Рассмотрим выражение, стоящее в
скобках, для чего обратимся к фиг. 16. 1.
Возьмем бесконечно близкую линию тока
dc и рассмотрим элементарную площадку
abcda, ограниченную двумя линиями тока
и бескю'нечно близкими полярными
радиусами Оа и Ob. Применим к этой площадке теорему Стокса.
Будем иметь
Фиг. 16. 1. К выводу
условия потенциальности для
изэнтропических плоских
газовых потоков.
abcda"
:2о),Ла^ = 2со^гДгАз1,
(а)
но
^аьыа = '^^Аа - ^г; + £- Аг) (г - АГ) Да
или, раскрывая скобки,
dv
dv
Гд..^- = 1;гАа~-'г;гАа rArAa4-t;ArAa + — Дг^Аа.
dn
dn
Отбрасывая бесконечно малые третьего порядка и подставляя
в (а), находим
\ dn )
ДМа==2(»>,гАгАа

§ 2. Основное уравнение плоского потенциального потока газа 357
ИЛИ.
2со,
-(f-sf)- "«■''
Обращаясь теперь к выражению (16. 4), заключаем, что- для того,
чтобы вихрь отсутствовал, необходимо, чтобы
dtp J. ^__.Q
dn dn
откуда
dn dn
Полученный результат окончательно можно сформулировать так:
если полная энергия и энтропия при переходе от одной струйки газа
к другой не изменяются, то изэнтропический газовый поток является
потенциальным.
Отсюда следует, что если в сверхзвуковом газовом потоке
образуются скачки уплотнения, сопровождающиеся в разных местах
различными потерями, то энтропия при переходе от одной струйки
к другой будет изменяться и, следовательно, в потоке за
поверхностью скачка появятся вихри.
§ 2. ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОГО
ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОТОКА ГАЗА
Рассмотрим плоский потенциальный газовый поток.
Как известно, уравнение для потенциала скорости плоского
потенциального потока несжимаемой жидкости имеет вид уравнения
Лапласа:
^4-—=0
Покажем, что ддя плоского потенциального установившегося
потока газа это уравнение приобретает более сложную форму.
Обратимся для этого к уравнению неразрывности, которое для
плоского установившегося течения газа имеет вид
д{9'^х) , ^(РУ
= 0.
дх ду
Выполняя дифференцирование, находим

358
Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
Выразим значение производных
через компоненты ско-
др др
дх ' ду
рости Vic, % С этой целью представим эти производные в следующем
виде:
^р dp др 1 др
дх dp дх а* дх
др dp др \ др ^ ^ '
ду dp ду Ф ду
Заменим с помощью уравнений Эйлера в выражениях (а)
производные от давления р через значения производных от
компонентов скорости:
др dv^
-9-
дх * dt
др dv
ду ^ dt ^ ^ •
дх ^ ду
dv dv
дх ду
(б)
Используя уравнения (а) и (б), будем иметь
др р / dv^ dv,, \ ]
дх аЛ^ дх ^ У ду)' I
др р / dv
= [qj —2L-
ду а^ \ дх
ду
ду
(в)
Подставляя выражения (в) в уравнение (16.6) и принимая во
внимание, что
v^=^
д^
дх'
дф
получим следующее уравнение для потенциала скорости ^ {х, у):
+ (а2
У^ ду^
(16.7)
дх^ * ^ дхду
Это уравнение является основным дифференциальным
уравнением газовой динамики для плоского потенциального
установившегося газового потока и является нелинейным дифференциальным
уравнением второго порядка в частных производных относительна
неизвестной функции <р.
Покажем, что в частном случае для небольших скоростей
движения газа уравнение (16. 7f) превращается в уравнение Лапласа.
Действительно, деля почленно уравнение (16.7) на величину а^
и полагая скорости движения газа настолько малыми, что величи-
Г.2 ^.2
нами —-,-7 и -^ можно пренебречь, приведем уравнение (16.7)
/7* /1* /1*
К виду
^^9 I ^'?
^0,

§ 3. Характеристики в плоскости течения газа 359
Т. е. К виду уравнения Лапласа, справедливого для случая p=const.
Уравнение (16.7) носит название квазилинейного уравнения в
частных производных второго порядка. Квазилинейным это
уравнение называется потому, что сами частные производные второго
порядка входят в него линейно.
§ 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ В ПЛОСКОСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Предположим, что газовый поток движется слева направо со
сверхзвуковой скоростью v'^a. Пусть в некоторой точке О потока
помещен какой-либо источник возмущений, который возбуждает
малые возмущения,
распространяющиеся в покоящемся м^
газе во все стороны со ско- ^ ,wrv'^i£^^
ростью звука а (фиг. 16.2). /;>^
Если бы газ был неподви- —"
жен, то возмущения,
исходящие из точки О, имели бы
вид концентрических
окружностей (в пространстве —
сфер) с центром в точке О. ^^^^ ^^ ^ Распространение малых возму
При движении газа звуковая щений в сверхзвуковом газовом потоке,
волна, исходящая из точки
О, распространяется со скоростью а, а ее центр движется со
скоростью потока t;>a. Таким образом, за время t звуковая волна
распространится на расстояние (отсчитываемое от ее движущегося
центра) 02M=at, а ее центр пробежит отрезок 002=vt.
Огибающдя этих звуковых В'олн состоит из двух полупрямых ОМ
и OMi, называющихся линиями возмуи^ений, В просгранстве эти
линии образуют так называемый конус возмуи^ений с углом ^i.
Очевидно, линии возмущений ограничивают область возмущенного
(внутри конуса) потока от невозмущенного!. Из фиг. 16. 2 видно, что
для угла конуса возмущений им-еет место следующее соотношение:
sin|ji = -l--^=.+ —= 4- —. (16.8)
Итак, в каждой точке плоскости х„ у, где газ движется со
сверхзвуковыми скоростями, можно провести два направления линий
возмущения. При переходе от одной точки плоскости ^. у к другой
направление линий возмущения может изменяться, так как
значения V и а Е различных точках плоскости х, у, вообще говоря,
различны. Имея это в виду, найдем в плоскости х, у (фиг. 16. 3) такую
линию у=у{х), в каждой точке которой направление касательной
совпадало бы с направлением одной из линий возмущения для
данной точки. Эту линию будем называть характеристикой i.
1 Как будет показано ниже, характеристики имеют большое значение для
исследования потоков газа, движущегося со сверхзвуковыми скоростями. Они,
в частности, позволяют решать уравнение (16.7) при любых граничных условиях.

360 Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
Из Простых геометрических соображений (см. фиг. 16. 3) следует,
что
или
tgf^=tg(T-e)
tgj-tgr
tgj^ =
H-tg7tg8
Учитывая, что
^У х„Л '^У
tgj,= —^_ ^ tgY = —, tg6 =
будем иметь
Возводя в квадрат и приводя подобные члены, получим
\^д:/ а* v^ \dx/ а^ v\ v\
Умножая на a}vl, а затем сокращая на '1/2^^2 _|_ ^2^ приходим
к следующему уравнению:
К-«^) tf )'-2^.^у|^ + ^1-«' = 0. (16. 9)
Полученное квадратное уравнение относительно — является
dx
искомым дифференциальным уравнением характеристики,
проходящей через точку х, у. Легко видеть, что коэффициенты этого
уравнения аналогичны коэффициентам уравнения (16.7)..
Решая уравнение (16.9), находим выражение для тангенса угла
наклона характеристики к оси л:.*
dy _j)^Vy±ay v^^v^y'—a}
dx ~" v\ — a^
(16. 10)
Из уравнения (16. 10) вытекают следующие выводы.
1. Если vy>a, то уравнение (16. 10) имеет два различных
вещественных корня. В соответствии с этим через каждую точку
плоскости X, у, где v'^a^ можно провести два элемента характеристик,
а вся плоскость может быть покрыта двумя семействами
характеристик.
В дальнейшем для определенности будем называть интегральные
кривые yi(x), соответствующие уравнению (16. 10) с положительным

§ 3. Характеристики в плоскости течения газа
361
Фиг. 16. 3. К определению
дифференциального уравнения характеристик в.
плоскости X, у течения газа.
знаком перед радикалом, характеристиками первого семейства, а
интегральные кривые у2(х), соответствующие OTpHuaTCjibFioMy знаку
перед радикалом,—
характеристиками второго семейства.
Итак, в сверхзвуковом потоке
газа существует два семейства ха- ^
рактеристик (фиг. 16.4).
Уравнение (16.7) в этом случае носит
название уравнения
гиперболического типа.
2. Если v=^a, то уравнение
(16. 10) имеет два равных
вещественных корня, т. е. часть
плоскости X, у, где v — a, может быть
покрыта только одним семейством
характеристик.
Уравнение (16.7) в этом
случае носит название уравнения па- >
раболического типа.
3. Если v<^a, т. 6. поток газа
дозвуковой, то уравнение (16. 10)
не имеет вещественных корней.
Характеристик нет. Уравнение (16.7) в этом случае носит название
уравнения эллиптического типа.
В дальнейшем в этой главе будут рассматриваться только
сверхзвуковые течения газа, т. е. только такие случаи, когда вся плоскость
к, у движения газа может
быть покрыта двумя
семействами характеристик:
y=yi{x) и у=У2{х),
В заключение отметим,
что О'пределить
характеристики в плоскости течения-
газа X, у, не зная поля
скоростей Viff, v^, невозможно,
так как коэффициенты в
уравнении (16.9) зависят
от составляющих скорости
V^, Vy.
Иначе будет обстоять
дело, если от плоскости х, у
течения газа перейти к
плоскости годографа скорости
Vx,, Vy, Как показано ниже,,
в этой плоскости
характеристики легко определяются, и это дает возможность решать,,
вообще говоря, любые краевые задачи для сверхзвуковых
течений газа
й-*
^^:^
""сГ
Фиг. 16.4. Семейства характеристик в
плоскости X, у течения газа.

362
Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИКИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ
]Выясним, какие линии будут соответствовать в плоскости v^, Vy
тодографа скорости характеристикам в плоскости х, у.
Допустим, что в каждой точке характеристики плоскости х, у
; известны величина и направление скорости v. Откладывая этот
вектор в плоскости Vx, Vy от начала координат, получим кривую,
описываемую концом вектора v, точки которой будут находиться во
взаимно однозначном соответствии с точками характеристики в пло-
^скости X, у (фиг. 16. 5). Так как через каждую точку плоскости х, у
и
^^''^^i^p
Щх,^)
\
*'Г>%,
^орантеристино
бторого семеастда
\ь v^x
^^\
1 еъ с: \
1 С' ЭС 1
1 о Q 1
1 ^
~^>^'
к^ 1
\
\
\
^о^ ^
... • %^^
Фиг. 16. 5. К выводу уравнений характеристик в плоскости Vx, '^v годографа
скорости.
проходят две характеристики, то на плоскости v^, Vy также получим
две кривые. Эти кривые будем называть характеристиками в
плоскости годографа скорости.
Таким образом, физический смысл характеристик в плоскости
v^^ Vp заключается в том, что они являются годографом скорости
для точек, лежащих на характеристиках в плоскости х, у.
Ясно, что так как мы рассматриваем сверхзвуковые течения газа,
то характеристики в плоскости Va,, Vy будут лежать внутри области,
ограниченной двумя окружностями, описанными из начала
координат, причем радиус наименьшей окружности будет равен акр, а
радиус наибольшей
v„
Для того чтобы найти уравнение характеристик в плоскости
годографа скорости, необходимо воспользоваться основным
уравнением газовой динамики (16.7), которому должны удовлетворять
составляющие скорости Vx и Vy сверхзвукового газового потока. Это
уравнение с помощью соотношений
"" дх ' >" ду

§ 4. Характеристики в плоскости годографа скорости
363
МОЖНО написать в виде
(a^^vl)
дх
'^хЪ
dv.
dv,
■) + (^^-^Р
dv^.
■О. (16.11)
ду дх I У ду
Кроме того, В1следствие потенциальности движения составляющие
скорости связаны соотношением
dVy dv^
дх ду
Уравнение (16. 11) можно переписать в виде
(a^-vl)
dv ^
^х'^у
dv.
дх
< ^У
-V^Vy
dv,.
a^ — v^ dVy
дх
ду
(16.12)
= 0.(16.13)
Рассматривая изменение скорости вдоль характеристик у='у{х),
можно написать два 'очевидных соотношения
dx
dv,,
dv.
дх
dv„
dx
дх
dv^ dy dv^ dv^
—=^ —= —^+ m—^
dy dx dx dy
dVy dy
~дУ dx
dv dv
—~ +m-^
dx dy
(16.14)
dv
где m^-^— определяет наклон характеристик в плоскости х, у.
dx
dv^ dv
Выражая частные производные — и —^^ из соотноше-
dx
дх
иия (16. 14), подставляя их в основное уравнение (16. 13) и
используя условие потенциальности (16.12), приведем уравнение (16.13)
к виду
« dv^
dx
dv
^ ^ dx ^ -^ \ a'^-vl
^x'^y
X
X
dv„
v^Vy\ m-h
'^x'^y I
dv
dx
V^V„
a'^-vi
У _
ду
:0.
(16.15)
Уравнение (16.15) выполняется вдоль характеристик плоскости
X, у, и потому входящие в него составляющие сиор'ости v^ и Vy —
составляющие скор'ости вдоль этих характеристик. Отсюда следует,
что уравнение (16. 15) является дифференциальным уравнением
характеристик в плоскости годографа скорости. Его можно значительно
упростить и даже проинтегрировать в конечном виде. Покажем это.

364 Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
Рассмотрим Дробь, стоящую в квадратной скобке формулы
(16.15):
/ a'^-vlX v^v а^ ~ vl
VJV^A т-\- т 9"+ 9~*
Л = —l^i ---'^ ^ = "--- "---. (16.16)
Используя известное свойство квадратного уравнения (16.9),
dy
котор'ому удовлетворяет величина т==-^^, можем написать
dx
2vjv^ vl — a^
mi + //i2=-2—~ и m^m^==-^ -, (16.17)
где rrit и m2 — тангенсы углов наклона соответственно первого и
второго семейств характеристик в плоскости х, у.
Тогда выражение (16. 16) можно преобразовать к виду
— т •\-mim2
mi-]-m2
т — ■
т (mi + т^) — Imim^
2т -- Ml - /722
Вдоль первого семейства характеристик, для которого m=mi,
величина Л==—mi; вдоль второго семейства характеристик, для которого
т=т2, величина А = —т2. Следовательно, вообще
dx
В таком случае выражение, стоящее в квадратных скобках формулы
(16. 15), будет являться полной производной —-^ вдоль характе-
dx
ристики в плоскости X, у, и уравнение (16. 15) можно переписать
в виде
(«^-<) '^-[^^^.+(«'-^^)('"+^Sf)]
^=0, (16.18)
dx
откуда
dVy
dv^
v^Vy+(a^-
a*-
-^l)[
-<
^;+ "'"' \
r^ a^-vl]
ЙЛЙ
dVy __ 1
~~i 2~+^

§ 4. Характеристики в плоскости годографа скорости 365
или, используя (16.17),
^ = I , (16.19)
dx т — mi— т^
Отсюда следует, что для первого семейства характеристик, где
dVy \ 1 1
dv^ /i т^
dy\ '
dx /2
a для второго семейства характеристик, где т=т2,
dVy\ 1_ 1_
dv^)^ mi ldy_
dx
i
(16.20)
(16.21)
dvy
И, следовательно, —^ можно записать в виде
dx
1
или в виде
^^1 =-
'^^x)l,2
dVy _
dv^
1
=
^2,1
т
mim^
\dx /2,1
(16.22)
(16,23)
Используя формулу (16. 10) для m=--^- и формулу (16. 17) для
т^т^, приведем уравнение характеристик в пл1оскости годографа
(16.23) к окончательному виду
dv,, VyV„ ±а у v1-]-vl — а*
-^- •'^ ; ^ ^ . (16.24)
Прежде чем перейти к интегрированию уравнения (16.24), сделаем
следующие замечания.
Из дифференциальных соотношений (16. 20) — (16. 22) вытекает,
что семейства характеристик в плоскостях х, у и v^, Vy взаимно
перпендикулярны в соответствующих точках. Действительно, на осно
вании уравнений (16.20) — (16.22) молшо написать следующие
равенства:
^^^/Л'^-*/2
(dVy \ (dy \
UJ.UJi

366 Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
показывающие, что при выборе осей х и у параллельными осям
t/fl. и v^ характеристики первого семейства в произвольной точке
плоскости X, у перпендикулйрны характеристикам второго семейства
в соответствующей точке плоскости v^, Vy и, наоборот,
характеристики второго семейства в плоскости х, у перпендикулярны
характеристикам первого семейства в плоскости v^}, Vy (см. фиг. 16.5).
Это свойство характеристик значительно облегчает нахождение
решения основного уравнения (16.7) и широко используется при
графическом его интегрировании.
Далее из уравнения (16.24) следует, что вдоль характеристик
плоскости X, у интегралы дифференциального уравнения (16.7)
Уд? и Vy удовлетворяют обыкновенному дифференциальному
уравнению. Действительно, так как величина а2 выражается только через
t;| + t;2 = t;2^ то правая часть уравнения (16. 24) зависит только от
v^, Vp и не зависит явно от х, у, а потому уравнение (16. 24) является
обыкновенным дифференциальным уравнением в переменных Va-, Vy.
Отсюда вытекает следующий важный вывод: для любых
безвихревых задач характеристики в плоскости годографа скорости
имеют всегда один и тот же вид, определяемый уравнением (16. 24),,
и их можно рассчитать раз и навсегда. При этом следует заметить,,
что в физической плоскости течения х, у характеристики,
определяемые уравнением (16. 10), для различных задач газовой динамики
будут иметь различный вид.
Перейдем теперь к интегрированию уравнения характеристик
(16.24) в плоскости v^, Vy. С этой целью перейдем от переменных
Va^^ Vy К переменным v и Ьу где v=']/^v'^^ + v'^ — величина скорости,
а б — угол наклона скорости к оси х.
Правую часть уравнения (16.24) легко привести к переменным
V и Ь, исходя из следующих соображений. В соответствии с
формулой (16.22) и фиг. 16.4
dvy\ 1
d^jc/i
dVy
^^-r/2
(S-).
-ctg(0~ix),
-ctg(e + rx),
T. e. уравнение ха-рактеристик в плоскости годографа скорости
можно написать в виде
dv
T^=~ctg(6=Fix). (16.25)
Переходя в левой части этого уравнения к новым переменным
и и 0,
'2^j, = t^cos6, t;^ = t;sin6
dVj^ = cos Bdv — vsinbdb; dVy ==smOdv + v cos 6 rfS,

§ 4. Характеристики в плоскости годографа скорости 367
. ' . ,"' " „■ ■ , ".'■'?■
избавляясь от знаменателя и собирая коэффициенты при dv и db^
получим
[sin 0 + ctg (б =й ja) cos 6] dv + [cos G — sin 6 ctg (6 + jx)] vdb=: 0,
откуда
r/A — sin 6 + ctg (9 q^ fx) cos 6 dv
sin 0 ctg (6 Я- M-) — cos 0 V
.Деля числитель и знаменатель правой части полученного
уравнения на cos 8 и заменяя ctg (6 +р.) через tg (0 4^ [х), будем иметь
^е^ tg0tg(0 4={x)+i dv
tg0-tg(0TM') ^ '
откуда
т. е.
Но
а потому
tg(9-
rfO -1-
*^^ — '
tg[x= -
1
-0±tx)
1 ^t;
tgfx V
1
dv
V
dO:
В'оспользовавшись зависимостью между скоростью звука а и
скоростью потока V,
приведем уравнение (16.26) к виду
Ч-
/
(А;+1)а2 -(A>-l)t;2 ,;
кр
где С — произвольная постоянная.
Выполнив интегрирование и выразив его результат через число
М= —, получим уравнение характеристик в плоскости годографа
а
скорости в конечном виде
-arctg>^M«'=T +С. (16.27)

368
Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
Кривые, определяемые
уравнением (16.27), носят
название эпициклоид (фиг. 16.6).
Через каждую точку плоскости
V, 6 (в кольце a^<v<Vmax)
проходит одна эпициклоида
первого семейства и одна
второго семейства. Задавая
различные значения постоянной С,
можно вычертить раз и
навсегда сетку характеристик в
плоскости годографа скорости
(фиг. 16.7, где принято для
воздуха ^=1,405).
Из изложенного следует, что с помощью характеристик можно
решать любые краевые задачи для сверхзвуковых потенциальных
Фиг. 16. 6. Характеристика
(эпициклоида) в плоскости годографа скорости.
Фиг. 16.7. Сетка характеристик (эпициклоид) в плоскости годографа
скорости.

§ 5. Определение характеристик с помощью изэнтропного эллипса 369
течений газа, -если только найдены характеристики в плоскости х, у
течения газа и установлено их соответствие с характеристиками в
плоскости годографа v^, Vy. Таким образом, существо решения
газодинамических задач методом характеристик состоит в разыскании
характеристик в плоскости течения газа.
§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК В ПЛОСКОСТИ ТЕЧЕНИЯ
ГАЗА И В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ ПО ЗАДАННОМУ ВЕКТОРУ
СКОРОСТИ С ПОМОЩЬЮ ИЗЭНТРОПНОГО ЭЛЛИПСА
Поставим задачу—'по заданной скорости v в данной точке О
сверхзвукового газового потока найти направление характеристик
в этой точке. Допустим, что касательные, определяющие
направление характеристик в плоскости газового потока в точке О,
направлены вдоль прямых О В и О А (см. фиг. 16. 8, где плоскости течения
X, у и годографа скорости Vn}, v^ совмещены). Возьмем точку О за
начало координат и направим ось х вдоль линии ОВ, Известно, что
синус угла возмущений определяется равенством sin ^х=—. Сле-
V
довательно, расстояние конца вектора v до линии ОВ (линии
возмущения) равно а, т. е. в этом случае v^=a,
В гл. XlV установлено', что
о ^+1 9 ^ ~ 1 о
•А кр 9
Подставляя сюда значение v^==vl + v^y получим
Так как в рассматриваемом случае Vy=a, то
У 2 *^Р 2 -^
Раскрывая скобки, получим
у 2 «Р 2 -^ 2 '
или
:(.+^)^
k-^l 9 k—l 9
2 кр 2 -^
Отх^юда находим
4 Аэродинамика
2 2
д2 и
;& ~ 1 ^Р
= 1

370
Глава XVL Плоские сверхзвуковые течения газа
^^^ 2 2
V V
-^ + ^ = 1. (16.28)
^гаах ^кр
* Полученному уравнению в плоскости v^?, % соответствует эллипс,
большая полуось которого равна Umax и направлена вдоль линии
возмущения, а малая полуось — равна критической сиор'Ости а^.
На этом эллипсе, игзътаемом_изэнтропньш эллипсом, лежит,
очевидно-, конец вектора скорости v{vst, Vy),
С помощью изэнтропного эллипса можно по заданному вектору
скорости в данной точке газового потока найти направление в этой
точке линий возмущения. В самом
деле, пусть v — скорость в некоторой
точке потока газа (фиг. 16.9).
Совместим в плоскости V0, Vy центр изэнтроп-
%
^в^»*""^ fn.
( *
V 0
[У
/h
'if...
]
"max
X
'i
Фиг. 16.8. К определению направления
характеристик с помощью изэнтропного
эллипса.
Фиг. 16.9. К определению
направления характеристик
с помощью изэнтропного
эллипса.
но'го эллипса с началом координат О и будем вращать его до тех
пор, пока конец вектора v не попадет на эллипс. Тогда направление
большой полуоси эллипса будет определять направление одной из
линий во'змущения ОА или 05. (Очевидно', возможны два
положения эллипса, при которых точка С лежит на нем, см.
фиг. 16.9.)
Как уже известно, направления характеристик в плоскости v^^ Vy
нормальны направлениям характеристик в, плоскости х, у.
Так как направления линий возмущения в плоскости х, у
параллельны, большим осям рассматриваемого эллипса, то^, следовательно,
направления характеристик в плоскости v^t, Vg будут параллельны
малым (ОСЯМ эллипса.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ В ПЛ0СК01У1 СВЕРХЗВУКОВОМ
ПОТЕНЦИАЛЬНО!^! ГАЗОВОМ ПОТОКЕ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК
Рассмотрим несколько наиболее важных задач по^ определению
поля скоростей в сверхзвуковом газовом потоке, используя метод
характеристик. Умение решать эти задачи позволит рассчитать любой
случай плоского потенциального движения газа со сверхзвуковой
скоростью (при отсутствии поверхностей разрыва).

§ 6. Определение поля скоростей методом харащерттт
371
Задача I
В плоскости газового потока дана дуга ЛВ (не являющаяся
характеристикой), в каждой толчке которой скорость задана. Требуется
определить скорость б каждой точке области, ограниченной дугой АВ
и двумя характеристиками АС и ЛС^ исходящими из точек А и В
и являющимися характеристиками двух различных семейств.
Наряду с плоскостью потока х, у рассмотрим плоскость Vx, Vy —
плоскость годографа скорости (фиг. 16.1.0), Возьмем на дуге АВ
ряд точек Ml, М2, iWs, -М4, скорости t^i, V2, v^, v^ в которы|х известны.
Рассмотрим точку Mi, в которой скорость равна Vi, Так как значение
Фиг. 16. 10. К решению задачи I методом характеристик.
скорости Vi{via', Vi^) извсстно, ТО В ПЛОСКОСТИ годотраф'а можно
построить точку М[ с координатами (vi^, Viy)^ соответствующую
точке Ml. Таким образом, совокупности точек Mi, Мг, Мз, М^, распо'-
ложенных на кривой АВ, в плоскости годографа будет
соответствовать совокупность точек -Mi', М2, М^\ М/, расположенных
на кривой А'В\ Это означает, что при передвижении вдоль дуги АВ
конец вектора v в плоскости годотрафа будет описывать
кривую А'В\
Выше было доказано, что если в какой-нибудь точке газового
потока известна скорость v, то в этой то'чке с помощью изэнтро<пного
эллипса можно найти направление линий возмущения. Это
означает, ЧТО! в каждой точке Mi, М2, Af^, М^ можно дровести элементы
характеристик двух семейств. Пусть характеристика АС есть
характеристика второго семейства, а линия ВС — характеристика первого
семейства.
Заметив это, проведем из точки Mt элемент характеристики вто'-
рого семейства, а из точки Мг — элемент характеристики первого-
семейства. Эти линии дают в пересечении точку N^ Найдем скорость в
точке Nx, для чего обратимся к плоскости годографа. Очевидно, что
перемещению вдоль характеристики второго семейства из точки Mi
в точку Ni в плоскости годографа будетсоответствовать перемещение
от ТОЧКИ! Ml по эпициклоиде второгр семейству. Перемещению вдоль
24*

372
Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
характеристики M2iVi первого семeftcTBia в плоскости годографа будет
соответствовать перемещение вдоль эпициклоиды первого семейства.
Точкой их пересечения будет точка Nt. Координаты точки Ni
определят проекции скорости {v[^^ 1^1^), а расстояние ее до начала
координат — вектор f/, т. е, скор*ость в точке Ni,
Таким образом, можно найти скорость в ряде точек iVi, N2, N3,
N4,. Принимая точки iVi, N2, Л/^з, ^4^ за начальные и проводя для них
то же построение, что и для точек Mi, Мг, Мз, М4, можно определить
скорость в последующих точках плоскости х, у. Продолжая это
построение, определим поле скоростей во всем криволинейном
треугольнике, о*граниченно'М дугой АВ и двумя характеристиками АС
и ВС.
Если использовать более частые сетки, т. е. увеличить число точек
на начальной кривой АВ, то мы будем вое более приближаться к
точному решению основного уравнения (16.7).
Задача И
Скорости заданы на двух пересекающихся характеристиках АВ
я АС, принадлежащих различным семействам. Требуется определить
поле скоростей в криволинейном четырехугольнике, ограниченном
данными характеристиками и двумя характеристиками BD и CD,
исходящими из точек В и С (фиг. 16. 11).
^*
+ Ц,
О
-^Х
О
— Ur
Фиг. 16. П. К решению задачи II методом характеристик.
Для нахождения поля скоростей поступим следующим образом.
Возьмем ряд точек Ali, М2, Мз, М4 на характеристике первого
семейства АВ, а на характеристике второго семейства АС возьмем точки
iVi, N2, Л^з, Л^4. Проведем из каждой тючки iVi, N2, Ns, N4,
характеристики первого семейства, а из каждой точки Afi, Ah, Ms, -М4 —
характеристики второго семейства. Характеристики, исходящие из
точек Ni и Мив пересечении дадут точку Pi, Определим скорость
в точке Pi. Перемещение из точки Nt в точку Pt по характеристике
первого семейства означает, что в плоскости годографа мы будем

§ 6. Определение поля скоростей методом, характеристик
373
перемещаться вдоль эпициклоиды перво-го семейства, исходящей из
точки iVj (координаты точки N[ суть компоненты скорости в точке
Nt), Перемещение из точки Mt в точку Pi вдоль характеристики
второто семейства означает, что в плоскости годографа мы будем
перемещаться вдоль эпициклоиды второго семейства, исходящей из
точки My Точка их пересечения будет Р'у Координаты точки P'l —
компоненты скорости в точке Pi. Вектор, исходящий из начала
координат в точку Pi', даст величину этой скорости Vpi,
Проведем из точки Pi характеристику второго семейства до
пересечения с характеристикой первого семейства, исходящей из
точки N2, В пересечении получим точку Рг. Для нахождения ско-
C'^D'
/l'--B'
■^t)^
0~ -X Q
Фиг. 16. 12. К решению частного случая задачи II методом характеристик,
рости В точке Рг обратимся к плоскости годографа. Перемещению
вдоль элемента характеристики Pi, Р2 второго семейства
соответствует перемещение вдоль эпициклоиды второго семейства,
исходящей из точки Pi\ перемещению вдоль характеристики первого^
семейства, исходящей из точки Л^2, соответствует переметцение вдоль
эпициклоиды первого семейства, исходящей из точки N[.
Пересечение этих эпициклоид определит точку Р2, а следовательно, скорость
в точке Рг. Аналогично найдем скорость в точке Рз и т. д., т. е. поле
скоростей внутри криволинейного четырехугольника. Чем более
частой будет сетка характеристик, т. е. чем больше взято точек Мь
Af2, Мз... Л^1, Л/'г, Nz-.; тем точнее будет определено поле скоростей.
Частный случай. Даны две пересекающиеся
характеристики первого и второго семейств АС и АВ, На характеристике второго
семейства АВ скорость постоянна по величине и направлению
(фиг. 16. 12). Требуется доказать, что все характеристики, входящие
в состав второго семейства, в этом случае являются прямыми.
Так как на характеристике АВ скорость постоянна по величине
и направлению, то. эта линия АВ является прямой. Для того чтобы
показать, что все остальные характеристики того же семейства, в
которое входит линия АВ, являются также прямыми, обратимся
к плоскости годографа v^, v^. Очевидно, что точкам прямой АВ
в плоскости годографа будет соответствовать одна точка А=В\

374
Глава XVL' ПлдсШе сверхзвуковые течения газа -
Таким образом, 'XapaKtepEtCTHKaM первого семейства, в том числе
дугам АС и BD, будет осхответствовать одна и та же дуга
эпициклоиды. Тючкам же линии CD {д^ также всякой другой характеристике
второго семейства), сО'Ответствует в плоскости годографа одна
точка—точка пересечения эпициклоиды, соответствующей
характеристике первого семейства,'с эпициклоидой, соответствующей CD.
Отсюда заключаем, цто все характеристики второго семейства —
прямые линии.
Задача III
Скорости заданы яг дуге ЛВ характеристики. Известно, что точка
А лежит на твердой стенке АС. Требуется определить поле ско1ростей
в области, ограниченной дугой АВ, твердой стенкой АС и дугой ВС
характеристики другого семейства (фиг. 16. 13).
-j:
Фиг. 16. 13. К решеник? задачи III методом характеристик.
Будем считать,; что в точке А, лежащей на твердой границе,
скорость параллельна оси х. В таком случае на плоскости годографа
точка Л' будет лежать на оси Va?.
\ Возьмем на характеристике АВ ряд точек Af^j Afg, Ms, скоросгь
в которых известна, В плоскости годографа им будут соответствовать
точки Mi\ М^^ Л^з^.., расположенные на эпициклоиде А'В\
Проведем через точку М^ характеристику второго семейства до
пересечения со стенкой в точке A^i. Очевидно, элементу M^N^ будет
соответствовать элемент эпициклоиды, M^N^, причем положение точки
Л/"/ пока неизвестно^ Для ее нахождения проведем из точки О в
плоскости годографа прямую, образующую с осью у-» такой же угол,
какой образует с осью'л; вектор скор'ости в точке N^ стенки. Тогда
точка пересечения этой прямой с дугой эпициклоиды опредедит
точку Nx. Координаты этой точки суть ко1мпоненты скор'ости в точке
-/Vi стенки. Проведем из точки Мг характеристику второго семейства,
а из точки ,Л^1 — харгактеристику первого семейства. Получим в
пересечении точку Pj. Скорость в точке Рх будет определена проведением
дуг эпициклоид из, точек Ы^ и N^, т. е. нахождением точки Рх —

§ 6. Определение поля скоростей'методом характеристик
375
ТОЧКИ ИХ пересечения. Проведем далее характеристику из точки Pi
до пересечения со стенкой в точке N^. Соответственно в плоскости
годографа продолжим эпициклоиду Мг'-Р/. Где-то на ней должна
находиться точка N2. Для ее нахождения проведем прямую из
начала координат, параллельную вектору скорости в точке ЛГг твердой
стенки до пересечения с эпициклоидой. Таким образом, найдем
точку Л^2^ т. е. определим величину скор|Ости в точке N^ и т. д.
Продолжая аналогичные построения, можно определить поле
скоростей внутри криволинейного треугольника ABC.
Задача IV
Заданы скорости вдоль характеристики АВ (например, второго
семейства) и известно, что точка А лежит на свободной границе
потока. Требуется найти форму свободной границы АС и
распределение скорости в области, лежащей между заданной характеристикой
АВ, свободной границей АС и характеристикой первого семейства
ВС, проходяш^ей через точку В,
1
! р<л
/
/
/VJ
/\"
/ \
/
/
-оя
^^^
-^1
1
1
1
1
/
/
/
/
/
1
4в X
Фиг. 16. 14. К решению задачи IV методом характеристик.
Для решения поставленной задачи возьмем на характеристике
АВ ряд точек Mi, М^ и т. д. Далее воспользуемся тем
обстоятельством, что на искомой свободной границе АС величина давления р
везде одинакова. Отсюда следует, что и величина скорости v для
всех точек свободной границы по- закону Бер'нулли также буд^т
одинакова.
Проведем через точку А элемент прямой, направленной вдоль
известной в точке А скорости; этот элемент примем за элемент
искомой свободной границы, проходящей через точку А,
Из точки All проведем характеристику первого семейства до
пересечения с этим элементом свободной границы в точке N, Для
того чтобы получить в плоскости годографа скорости
соответствующую точку N\ которая будет определять направление скорости в

376
Глава XVI, Плоские сверхзвуковые течения газа
точке N, проведем из точкк Mi, лежащей на эпициклоиде А'В\
характеристику до пересечения с окружностью |t;|=C0'nst=t^^.
Точка пересечения, характеристики, выходящей из точки Af/, с
этой окружностью, т. е, точка N/, и будет определять направление
скорости в точке N, лежащей на свободной границе потока.
Определив скорость в точке Л^, продолжаем свободную границу
в виде отрезка прямой, направленного вдоль скорости в точке Л^.
т. е. параллельно ON^.
Далее находим направление скорости для точки Р, «айдя
предварительно скорость в точке К, являющейся пересечением двух
'характеристик NK и М2К (см. задачу II).
Продолжая это построение, найдем форму искомой свободной
границы ANP...C и поле скор^остей в области AN,..CBA,
§ 7. ОБТЕКАНИЕ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ВЫПУКЛОГО ТУПОГО УГЛА
Предположим, что равномерный сверхзвуковой поток газа течет
со скоростью Vx вдоль прямолинейной стенки АО (фиг. 16. 15,а).
В точке О стенка изменяет направление и образует с первоначаль-
ны!м направлением угол 6 2.
дтттгтттр:^^^
Фиг. 16. 15. Обтекание выпуклого тупого угла сверхзвуковым потоком газа.
За точкой О происходит повор'от потомка, который начинает
двигаться параллельно стенке ОС со скоростью V2. Так как, обтекая
выпуклый угол, сверхзвуковой поток расширяется, то' скорость V2
оказывается больше скорости Vt.
Вершина угла, т. е. точка О, является источником
возникновения в газовом потоке малых возмущений, распространяющихся со
скоростью звука. Проведем из этой точки линию возмущения ОБ,
соответствующую скорости Vi набегающего равномерного потока,
т. е. под углом
sin[Xj =
Ml

§ 7. Обтекание сверхзвуковым потоком выпуклого тупого угла Z11
Из ЭТОЙ же точки: проведем мысленно характеристику, касающуюся
в точке О лийии ОВ. Так как эта характеристика отделяет область
невозмущенного потока от области возмущений, то на ней скорости
постоянны, по величине и направлению и равны V\, Отсюда следует,
что в плоскости годографа скорости этой характеристике
соответствует одна точка эпициклоиды, а, значит, в плоскости течения эта
характеристика является прямой линией. Но так как эта прямая по
условию касается линии возмущения ОВ в точке О, то отсюда
следует, что прямая ОВ и является характеристикой. Вспоминая
следствие задачи II (стр. 373), заключаем, что все характеристики,
исходящие из точки О и принадлежащие к тому же семейству, суть
прямые линии.
Очевидно, что прямолинейная характеристика 0D, наклоненная
к направлению скорости v^ под углом
ограничивает область возмущений от равномерного потока, текущего
вдоль стенки ОС со скор^остью v^.
Внутри области возмущений, образованной двумя крайними
характеристиками ОВ и 0D, пото'К газа не будет равномерным. В этой
области будет происходить noBopior потока и искривление линий
тока.
Покажем, что для рассматриваемого случая легко' найти все
параметры сверхзвукового газового по'тока внутри области BOD.
Введшем для этого полярные координаты г, е, взяв начало
полярных координат в точке О. Угол е будем отсчитывать от вертикали
вправо. Соответственно' введем составляющие скорости по
направлению полярного радиуса Vr и по направлению, перпендикулярному
к полярному радиусу v^.
Очевидно, что обе эти составляющие скорости будут зависеть
только от полярного угла s, т. е.
ds г дг
(16.29)
где ср — потенциал скорости.
Для нахождения составляющих скорости Vr и Vs используем
уравнение энергии в виде
^^. (16.30)
Выражение ддя Vs в рассматриваемом случае может быть
записано- в следующем виде:
t»,= -i5-=« = l/^ —. (16.31)

378
Глава XVL Плоские сверхзвуковые течения газа
так как составляющая скорости в направлении, перпендикулярном
к линии возмущения, всегда равна скорости звука. Отсюда следует,
что
р 1 2
(16.32)
Так как
^ — А i^JL\ — Л- (^JL\
де де \дг /
то, используя уравнение (16. 29),
И учитывая, что компонента скорости Vs не зависит от радиуса г,
можно написать следующее равенство:
't^c=-
fife
(16.33)
Таким образом, учитывая уравнения (16.32) и (16.33),
отношение давления к плотности, входящее в уравнение (16. 30), можно
представить в виде
р 1 [dVrV
9
' k \de)
(16.34)
Подставляя выражения для — и для Vs соответственно из урав-
р
нений (16.34) и (16.33), приведем уравнение (16.30) к виду
k-i\de) ^ ' «^^^
или
Интегрируя это уравнение, получаем
^г = '^шах Sin ['l/ j^ (в + So)
где So — постоянная интегрирования. Вводя обозначение
уравнение (16.35) можно написать так:
{j/'^^*
(16.35)
(16.36)
(16.37)

§ 7. Обтекание сверхзвуковым потоком выпуклого тупого угла 379
Учитывая уравнение (16*33), легко найти вторую компоненту
скорости:
t^.
/k-\ \-ш fk-\
(16.38)
Определив составляющие Vr и Vs, можно найти и потенциал скорости
<р для рассматриваемого течения:
г
Найдем теперь выражение для давления.
Из уравнений (16.31) и (16.38) сл^едует, что
(16.39)
Учитывая, что при изэнтропических течениях
[/^
(16.40;
Ро
Ш
И Vl.
2k /?о
^ - 1 Ро '
где ро и Ро — значения давления и плотности газа при скорости v = 0,
уравнение (16.40) можно переписать в следуюгцем окончательном
виде:
Р=Ро
L^+i \У k+i
k
(16.41)
Полученное выражение для давления в рассматриваемом
сверхзвуковом течении газа показывает, что для численного определения
давления р достаточно знать давление, соответствующ-ее полному
торможению потока, и значение угла г^^:.
Определим теперь уравнение линий тока на том участке, где
поток газа меняет свое направление.
Уравнение для линий тока можно получить исходя из
положения, что секундный массовый расход газа т между любой линией
тока и стенкой будет постоянной величиной (фиг. 16. 15,а). В самом
деле, для любой линии тока можно написать
/7t = pt^/=const
или
г=
т

380 Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
где г — полярный радиус точек этой динии тока. Учитывая, что
течение изэнтропическое, будем иметь
^5
^s Po\p)
Заменяя в этом уравнении значение скорости Vs по формуле
(!16. 318), значение давления р по формуле (16. 41), получим искомое
уравнение для линий тока в следующем виде:
/•= ^ Ш'- 06.42)
где С — постоянная, различная для различных линий тока.
Установим зависимость между углами 6 и s (фиг. 16.15,6), где6—
угол между направлением невозмущенного потока и направлением
потока на выбранной линии тока в точке М; г — угол между
вертикалью и линией возмущений ОМ. Через ^ обозначим текущий угол
между направлением линии возмущений ОМ и направлением
потока в точке М,
Легко видеть, что в данном случае справедливо' равенство
tgix = i^. (16.43)
Vr
Из фиг. 16. 15,6 следует, что
^ 2
или, учитывая уравнение (16. 36),
тс
где
Y + б--^- 06.44)
' + ео. (16.45)
Возвращаясь к равенству (16.43) и подставляя в него вместо р.
его значение по уравнению (16.44), вместо скорости Vs ее значение-
по уравнению (16>. 38) и вместо скорости Vr ее значение по
уравнению (16.37), получим следующее равенство:
tg(f + e.-c,)./^ctg(/^..), (16.46,
которое устанавливает зависимость между углами 6.^. и s :j:.
Полагая б формулах (16.37) и (16.38) угол 8jj:=0, получим
t;,==0
^. = ^шах|/

Обтекание сверхзвуковым потоком выпуклого тупого угла
381
[1;ует, что в случае, когда вдоль стенки АО тупого угла
тный поток течет со скоростью, в точности' равной ско-
i, т. е. при Ml =11, угол S:j: = 0.
симости (16.46) следует, что при 2^=0^ и 6^==0.Отсюда
все полученные выше формулы, содержаш^ие величину е.^^
тветствуют случаю, когда невозмущенный поток течет
ш ЛО выпуклого тупого угла со звуковой скоростью.
16. 1 приведены зависимость между углами Ь^ и s^, а
ения углов fjL {определяемые формулой (16. 44)], числа М,
давлений ~ [определяемые формулой (16.41)] и отно-
/о
ператур — (определяемые по обычным зависимостям
шических течений).
Таблица 16, 1
2*
0
23,72
42,34
55,84
66,53
75,74
84,20
92,12
99,67
106,88
113,89
120,71
126,03
219,32
[-°
90
67,28
52,66
44,16
38,47
34,26
30,80
27,88
25,33
23,12
21,11
19,29
17,97
0,00
М
1
1,084
1,258
1,435
1,608
1.779
1,954
2,135
2,339
2,550
2,778
3,021
3,250
оо
Р
Ро
0,527
0,477
0,381
0,298
0,233
0,179
0,137
0,104
0,075
0,054
0,038
0,027
0,019
0,000
т 1
0,832
0,808
0,757
0,706
0.657
0,609
0,564
0,520
0,474
0,432
0,390
0,351
0,319
0,000
е указывалось и как это видно из табл. 16. 1, начальным
i6^=0 и S:j, = 0 со'ответствует чисто звуковой поток
днако с помощью этой таблицы можно рассчитать обте-
лнего тупого угла и сверхзвуковым потоком газа,
1.

382 Глава XVI. Плоские сверхзвуковые течения газа
Для ЭТОГО надо поступить следующим 'образом:
1. Зная число Ml для потока газа, текущего вдоль стенки АО,^
по табл. 16. 1 отыскиваем фиктивный угол поворота б^ф, да который
должен повернуться звуковой пото'К, чтобы достичь заданного
значения Ml.
2. Добавляя к найденному значению б^ф угол 63 поворота потока
(см. фиг. 16. 1б,а), находим угол
соответствующий суммарному повороту звукового потока.
3. По найденному значению 6^^ из той же таблицы определяем
искомые параметры газа, текущею вдоль стенки ОС тупого угла:
МР2 92 ^2
Ро Ро h
при желании можно о-пределить линии то^ка по формуле (16. 42)„
задавшись величиной С и рядом значений О><6<^02.

Глава XVII
ТЕОРИЯ КОСОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ О KOCOIVI СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ
(Б главе XV отмечалось, что во всех случаях, когда происходит
более или менее значительное торможение сверхзвукового газового
потока, в последнем возникают поверхности, при прохождении через
которые параметры газа скачкообразно изменяются.
Поверхность разрыва, образующая с направлением потока
прямой угол, называется прямым скачком. Если же плоскость скачка
наклонена к набегающ,ему подтоку под углом, отличным от прямого,
то такой скачок называется косым,
В этой главе рассматривается теория плоского косого скачка.
Для ознакомления с
последним рассмотрим обтекание
сверхзвуковым потоком тупого угла
АОС (фиг. 17. 1,а), меньшего 180°.
Допустим, что стенка АО^
около которой течет газ со
сверхзвуковой скоростью с^1, составляет
со стенкой ОС некоторый угол а.
Очевидно, поток газа, текущий
вдоль стенки АО, должен
отклониться на угол а, в результате
чего но'вое направление потока ^2
будет параллельно стенке ОС.
Покажем, что такое изменение
направления сверхзвукового
потока всегда сопровождается нарушением
т. е. возникновением косого скачка.
В самом деле, желая определить направление линии возмущения
в точке О, замечаем, что через точку О можно провести две такие
линии: линию ОВ^ под углом ^i к первоначальному направлению
потока Vi и линию ОВ^^ под углом |i-2 к направлению потока ^2,
причем }:).2>р'1. Но в таком случае изменение параметров газа должно
закончиться на линии возмущения 0В^\ лежащей в области, где
изменение параметров газа фактически еще не начиналось. Отсюда
следует, что в. рассматриваемом случае непрерывное изменение
параметров газа невозможно и должен иметь место скачок уплотнения.
Фиг. 17. 1. Обтекание сверхзвуковым
потоком вогнутого тупого угла.
непрерывности течения.

384 Глава XVII. Теория косого скачка уплотнения
Опыт показывает, что при небольших значениях угла поворота
потока а фронт скачка располагается на некоторой прямой ОК,
лежащей между указанными выше линиями возмущений ОВ' и 0В^\
Направление косого скачка ОК будем определять при помощи
угла 3» отсчитываемого от первоначального направления потока,
текущего со скоростью Vi.
При обтекании сверхзвуковым потожом -остроконечных тел
(клиньев) также образуются косые скачки уплотнения, т. е. такие
скачки, поверхность которых составляет с направлением
(набегающего потока острый угол ft (фиг. 17. 1,6).
Ниже будет показано, что наибольшие уменьшение скорости и
увеличение давления будут при прямом скачке ( р = 90'°). (В этом
случае, как известно, скорость потока за скачком всегда дозвуковая.
При косом же скачке скорость за ним может быть как дозвуковой,
так и сверхзвуковой, в зависимости от величины угла 3-
Перейдем к определению параметров газового потока за косым
скачком уплотнения.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГАЗА ЗА КОСЫМ СКАЧКОМ
Определим вначале скорость за косым скачком уплотнения.
Разложим вектор скорости Vi до скачка на две составляющие
(ф'иг. 17.2): Vtn — по направлению нормали к плоскости скачка и
Vit — по направлению, параллельному плоскости скачка. Аналогично
разложим скорость V2 за скачком
^1 /{ост на составляющие t^2w, V2t. Для
с/<а</ои ^ нахождения скорости после
скачка используем уравнения
неразрывности (расхода), количества
^^
V—*^ [ / ^^^^Q движения, энергии и состояния.
^ I yKjL^^^ Уравнение расхода запишется
л Vi ^ \Z^f^ ^ в этом случае в следующем виде:
Фиг. 17.2. К расчету косого скачка ^
уплотнения. Используем теорему о количе-
стве движения, применяя ее к
направлению, перпендикулярному плоскости скачка. Это уравнение
можно записать так же, как и для случая прямого скачка, с той
лишь разницей, что вместо скоростей t^i и 1^2 в уравнении будут
фигурировать их нормальные составляющие, т. е.
Р2 —Р1 = Pl^ln i'^ln — ^2п)' (17^ 2)
Применим эту теорему к направлению, параллельному плоскости
скачка. Так как вдоль пл-оскости скачка давление не изменяется, то
откуда

§ 2. Определение параметров газа за косым скачком 385
Т. е. касательная еоетавляющая скорости при пер1еходе газа через
плоскость косого скачка не изменяется. Таким образом, при
переходе через плоскость косого скачка терпит разрыв только
нормальная составляющая скорости потока. Это позволяет считать косой ска-
чок прямым скачком для нормальной составляющей скорости
(фиг. 17.2).
Учитывая, что косой скачок можно рассматривать как прямой
для скоростей Vtn и V2n, напишем выражение для полной энергии
газа в направлении, перпендикулярном плоскости скачка:
Тогда критическая скорость для того же направления
кр
^^2^izJL(^2 _^2Ч
k-hl ' k^l
Применяя формулу (15. 23) для прямого скачка к скоростям Vm
и V2n, получим
1«-2.--кр--кр—^1^:7-'^? (17-4)
ИЛИ
^.„^2„ = ^Ках-^?)- (17.5)
Формулы (17.4) И (17.5) дают возможность определить
скорость за косым скачком уплотнения.
Определив скорость за косым скачком, найдем все остальные
параметры газа: р% Р2, 7^2 за ним. Для этого в формулах (15. 15) и
(15. 17) для прямого скачка, полученных в гл. XV, нужно заменить
только число Mi=—^ числом
ах
M: = MiSinP= —sinp=—.
ai ai
В результате получим
^—^^M2sin2p-^^=^; (17.6)
92
f±VMbin=p
Pi ^ . лд2.
(17.7)
-4-MiSin2p
fc — 1
25 Аэродинамика

386 Глава XVII. Теория косого скфька уплотнения
Ti Pi Р2 (^-fl)2 ^ (^-fl)2M2sin2p
(17.8)
Уравнение ударной адиабаты для косого скачка
останется/очевидно, тем же, что и для прямого, так как в него не входят ни
скорости, ни величина полной энергии газа:
Р1 (k+l)Pi~{k-l)92 '
§ 3. связь МЕЖДУ УГЛОМ ПОВОРОТА СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА
И ПОЛОЖЕНИЕМ ФРОНТА КОСОГО СКАЧКА
Формулы предыдущего параграфа показывают, что все
параметры газа за косым скачком уплотнения зависят от угла 3 наклона
фронта скачка к направлению набегающего потока. В насто^ящем
параграфе установлена зависимость угла 3 наклона фронта скачка
от угла а поворота сверхзвукового потока.
Из фиг. 17. 2 находим
tg(p-a) = !:-
или, используя соотношение (17.4),
а ~ f*"^-
Так как (см. фиг. 17. 2)
то
9 k 1 9
tg(p--a) = f^^ . (17.10)
Разделим числитель и знаменатель формулы (17.10) на
квадрат скорости звука а\ и введем число Mi = -^. Тогда получим
ах
^КО ^ - 1 о
-f-—— м cos^p
tg(p-a)=-^ ^ . (17Л1)

§ 3. Связь между углом поворота потола и пЫюжением скачка 387
Так как
^кр ^кр , Ткр Tq
Ti То Ti k + l Тг
Ti ' 2 ' ^'
ТО
«2 2 / k-^l ,
al ki-\\ ^ 2 ^
2
Подставляя выражение для —у- в формулу (17.1Д), будем иметь
2 / k-l . \ А;-1 "п
tg(P-a) = ^-±lA ^ /^ ^ + ^ L
""^^ ' M^sinPeosp
или, преобразовывая,
Используя соотношение
получаем
откуда
^^^ ^ Htgatgp
tg р - tg а 2+(^ — 1) Щ sin2 р
M?sin2p-,1 , , .
На фиг. 17. 3 приведена кривая зависимости угла наклона
скачка 3 от угла поворота потока а, построенная по формуле (17. 13).
Из уравнения (17. 13) следуем, что угол поворота потока а равен
нулю в двух случаях:
а) когда M2sin^p —1=0, т. е. когда
sinB = —= — = sinix. .. ;
25-^

388
Глава XVп. Теария касаго скачка уплотнения
В ЭТОМ случае, как известно,
интенсивность скачка бесконечно
мала, т. е. скачок вырождается в
волну слабых возмущений
(слабый разрыв);
б) когда ctg р = О или р = —,
т. е. при прямом скачке.
Из фиг. 17.3 следует также,
что для каждого числа Mi
существует максимальное значение
угла поворота потока а, на
который сверхзвуковой поток может
повернуться, пройдя через фронт
плоского косого скачка.
Наконец, из фиг. (17.3)
следует, что при данном числе Mi
и при одном и том же угле а
поворота потока возможны два положения фронта скачка,
характеризуемые углом )3. Однако, как показывают опыты, большие
значения углов 3 не реализуются на практике.
Фиг. 17.3. Зависимость между
углами р наклона скачка и углами а
поворота потока при различных
числах Ml-
§ 4. УДАРНАЯ ПОЛЯРА
Найдем геометрическое место концов векторов скорости V2 за
косым скачком, т. е. найдем уравнение годографа скорости V2 ддя
заданной скорости Vi, Обозначив проекции скорости V2 на оси
координат через V2x^, V2^, будем иметь (см. фиг. 17. 2)
V2j, = v^QOS^ + 'V2nSm^, (17. 14)
t;,^=:^^sinp —'г^здсозр. (17.15)
Кроме того,
(17.16)
Используя со'отношения (17. 16) и определяя V2n из формулы
{17. 4), выражение для V2x можно преобразовать к виду
= __f_^/iC0s2p + ~^, (17.17)
^^^==:^^C0S2P-|-
откуда
<-
^^-1
cos^ р =
^+1
i4x
^кр
или
k-hl
Sin^P^l ^^1^^ -i^
•'2Х
П
(17. 18)
(17.18')

§ 4. Ударная поляра
389
Преобразоеывая аналогично выражение (17. 15), получим
v^y^ViZOS PsinP"
^кр
k+X
VI cos3 р
(17. 19)
Vi sin f
k-\
Из соотношения (17. 17) находим
-^1 (^2;.-^! cos2 p) = <-^^ '^?cos^ p
Учитывая это соотношение, уравнение (17. 19) можно записать так:
о • о Щх — "^1 cos' В Q
'^2;/ = '^iCospsinp ^"^ J; ^—'- cosp
или
откуда
sinp
^1 - ^2дг
tgP = -
^'г.у
(17.20)
Обратимся к плоскости годографа скорости v^, Vy (фиг. 17.4)).
Отложив вдоль оси Vx вектор скорости Vi и проведя вектор скорости
V2j соединим концы этих векторов
прямой. Тогда, обозначая через ^
угол, образуемый этой прямой с
осью Vx, получим
Ctgф =
''2у
Т. е.
Фиг. 17.4. Определение направления
косого скачка.
ctg ф =tg 3.
Это соотношение означает, что
углы ф и 3 являются
дополнительными углами до — . Отсюда
ВЫВОД: направление плоскости косого скачка уплотнения всегда
перпендикулярно к прямой, соединяющей концы векторов Vi и г^г-
Зная геометрическое место концов вектора ^2, легко определить
направление плоскости косого скачка уплотнения как прямой,
перпендикулярной к линии, соединяющей точки {vt, 0) и {V2x,\ v^).
Определим уравнение годографа скорости v^. Из фор^мул (17. 18)
и (17. 18') находим
k+
ctg^p:
1 l^2x ^1у\
fe-f-l h2x ^KpV
2 W, v\)
(17.21)

390
Глава XVII. Теория Кббого скачка уплотнения
С другой стороны, из фЬрмулы (17. 20) следует, что
ctg^^P =
''2У
Сравнивая (17.21) и (17. 22), получим
или
''21
(^1-^2..)^
''2Х
кЛ-\
^1
+ ■
^кр
(17.22)
'^L = ('^i~-^2^)'
^2у
кр
(17.23)
k-\-\
■^1-^2^ +
ч
Кривая, представляемая уравнением (17.23), называется
строфоидой или гипоциссоидой (фиг. 17.5) и имеет две ветви BD и BE,
уходящие в бесконечность.
Петлю этой кривой обычно
называют ударной полярой. Отрезок
ОВ изображает скорость Vi
потока до скачка.
Если задаться углом а
поворота потока на скачке, тО'
скорость V2 за ним найдется как
отрезок прямой, . проведенной
из начала координат под углом
а к вектору Vi до пересечения
со строфоидой. Очевидно', что
каждому углу а поворота
потока на скачке соответствуют
Фиг. 17.5. Ударная поляра (строфоида). Три ТОЧКИ пересечения этой
прямой со строфоидой, т. е. три
математически возможных значения скорости v^ (точки 1,, 2 и 3
на фиг. 17. 5).
Нетрудно убедиться в.том, что точка 3, расположенная на
бесконечной ветви ctpoфoиды, соответствует случаю скачка разрежения
(так как n2>t^i), и, следовательно-, эти две ветви строфоиды, как
физически невовможные, должны быть отброшены.
Таким образом, для данного угла а поворота потока возможны
лишь два значения скорости 1^2 за косым скачком.
Для того чтобы установить, какая из этих скоростей реализуется,
обратимся к опытным данным ino обтеканию клина при различных
углах его раствора а.'

§ 4. Ударная поляра
391
Когда угол а достаточно мал, скачок «садится» на тело и
исходит из его острой кромки (фиг. 17. 6). При этом скорость после
скачка остается вначале сверхзвуковой, а затем (см. фиг. 17.5) при
росте угла а становится дозвуковой (с увеличением угла а ко^нец
вектора V2 скользит по ударной поляре от точки '2 к точке М),
При этом из двух возможных значений скорости V2 за скачком
всегда реализуется только большая скорость (точка 2) и,
следовательно, соответствующий ей меньший угол 3 н-аклона плоскости
скачка (см. фиг. 17.3).
Если же угол клина
становится больше некоторого предельного ^
угла атах, скачО'К уплотнения отхо- /^^
дит от клина и располагается впе- /<^'^
реди него (фиг. 17.7),, образуя /^
криволинейную ударную волну.
Фиг. 17.6. Обтекание клина при
« < «max-
Фиг. 17.7. Обтекание клина при
« > «max-
Центральная часть поверхности волны перпендикулярна вектору
скорости Vi^ т. е. здесь скачок является прямым.
По мере удаления от клина вдоль скачка углы на^кло-на скачка
уменьшаются и приближаются к углу линии слабых (звуковых)
возмущений.
На различных участках такого скачка степень уменьшения
скорости потока (и соответствующее изменение всех остальных
параметров газа) различна.
Выясним теперь, в каких случаях составляющая V2^ равна нулю.
Из уравнения (17. 23) следует, что V2y равна нулю при двух
значениях V2x''
1) При Vi—V2w=Q, Т. е. при V2x=V2 = Vi. при это'М, очевидно,
скачок уплотнения вырождается в звуковую волну (3=)^^), т. е. скачок
по существу отсутствует (точка В на фиг. 17.5).
^4™п ^ . ^^., гг .. -^
2) при v<2,x ^=0, т. е. при 'r;2;^ = i^2
^1
Это минимальное значение V2 со-ответствует прямому скачку
(точка А на фиг. 17. 5).
На фиг. 17. 8 изображено семейство ударных поляр, построенных
для различных чисел Mi. Для удобства все отложенные на диаграмме

392
Глава XVIL Теория косого скачка уплотнения
скорости отнесены к крнти|Ческой скорости €Гкр. Очевидно, что 'о^круж-
ность с центром в иачале координат и радиусом R^\ (v^Uk^)
отделяет область дозвуковых скоростей за скачком внутри окружности
от области сверхзвуковых скор'остей вне окружности.
^п-
'КР
Фиг. 17.8. Ударные поляры.
Пользуясь этой диаграммой, можно определить скорость V2
потока после скачка для различных значений скорости vi до скачка и
различных значений угла поворота потока а на скачке i.
1 Иногда на график ударных поляр наносят дополнительно сетку кривых
равной энтропии, с помощью которой можно определить потери давления
р2 о/р1 о при повороте сверхзвукового потока на некоторый угол.

Глава XVIII
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ И КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ О КРИТИЧЕСКОМ ЧИСЛЕ Мкр
Как известно^, на крыло, движущееся в потоке воздуха, действует
аэродинамическая сила, составляющие которой соответственно
равны: подъемная сила
У 2
и лобовое сопротивление
•^ 2
Подъемная сила определяется по теореме Жуковского: для
профиля крыла
и для крыла конечного^ размаха
Г^рг; / r(z)dz.
2
Как показали исследования, аэродинамические коэффициенты Су
и Сф с увеличением числа М,, т. е. с ростом скорости, изменяются. Так,
например, если в потоке несжимаемой жидкости коеф'фид'иент
лобового сопротивления с-г, складывается из так называемого профильного
сопротивления с^р ;и индуктивного сопротивления Са*г, то с
ростом скорости потомка на крыле возникают скачки уплотнения,
которые порождают но'вое дополнительное сопротивление, называемое
волновым сопротивлением. Таким образом, коэффициент лобового
сопротивления становится равным
где ^й^в — коэффициент волнового сопротивления;
Ca?i — коэффициент индуктивного сопротивления.
Число М невозмуи^енного потока, при котором где-либо на крыле
возникает местная звуковая скорость, называется критическим чи

394- Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
СЛОМ М и обозначается через Мкр. При увеличении скорости полета,
т. е. при увеличении числа M(M>>Mj,p), на крыле образуется зона
местных сверхзвуковых скоростей, замыкающаяся скачками
уплотнения, в результате чего появляется волновое сопротивление. Таким
образом, критическое число Мкр резко разграничивает обтекание
крыла (в области М<^1.) на два случая.
Случай I. В потоке, обтекающем крыло, скорость везде меньше
скорости звука, и, следовательно, на крыле местные звуковые
скорости не образуются. В этом случае
М<Мкр.
Случай П. Невозмущенный поток движется с дозвуковой ско-
Р'остъю (М<^1). Однако на крыле возникают местные сверхзвуковые
скорости. Это означает, что
М1ф<:М<Г.
В § 2 настоящей главы излагается приближенная теория
профиля крыла для случая М<^Мкр, известная в литературе под названием
теории Прандтля-Глауэрта. Однако эта теория оказывается
справедливой только для очень топких профилей, обтекаемых под малыми
углами атаки. В 1940 г. академик С. А. Христианович в работе
«Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях» [53] создал
новую стройную теорию учета влияния сжимаемости на распределение
давления, а следовательно, на аэродинамические характеристики
крыла. В основу своей блестящей работы С. А. Христианович
положил метод изучения газовых потоков, предложенный академиком
G. А. Чаплыгиным в 1896 г. и опубликованный в 1902 г. в его
докторской диссертации «О газовых струях», являющейся ныне
фундаментом многих исследований по газовой динамике.
Работа С. А. Христиановича имеет не только большое
теоретическое значение, но и исключительно важное практическое
применение, так как дает возможность определить с^ и Ст для профиля
любой формы, обтекаемого при любом угле,атаки, на
прямолинейном участке зависимости Cy=f{a). Академик С. А. Христианович дал
метод определения критического числа М. Им установлена
теоретическая зависимость между минимальным коэффициентом давления
Ршш и критическим числом Мкр. Как известно, коэффициент
давления р" есть частное ^от деления избыточного давления на скоростной
напор, т. е.
- А/7
При испытании крыла в открытой рабочей части
аэродинамической трубы или в условиях полета
"2" 'Y

§ 2, Приближенная теория профиля крыла в докритической области 395
Установлено', что местная скорость звука на крыле возникает в
точке pmin.
С. А. Христиано'вич показал, что, зная минимальный коэффициент
давления ртш для профиля (по результатам его испытаний на малых
-aj -ко 4,5 •2рр;,,^
Фиг. 18.1. Кривая Христиановича. Зависимость
МьрОТ/Гщш-
скоростях в аэродинамической трубе), можно определить
критическое число М. Эта зависимость между числом Мкр и минимальным
коэффициентом давления ртш приведена на фиг. 18. 1.
§ 2. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ПРОФИЛЯ КРЫЛА В ДОКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
(МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ)
В настоящем параграфе изложен приближенный метод учета
сжимаемости воздуха (метод Прандтля-Глауэрта) для чисел М<^Мйр,
основанный на линеаризации точного уравнения газовой динамики
(^^-^DS-2^.^
д^^
+ (а^
дх^ -^ У дхду
Как видно из дальнейшего^, линеаризация позволяет значительно
упростить это уравнение.
Предположим, что плоский газовый поток, текущий параллельна
оси X со скоростью на бесконечности, равной и, обтекает некоторый
тонкий профиль под малым углом атаки. В таком случае поток около
профиля можно считать мало отличающимся от невозмущенного
плоско-параллельного потока на бесконечности и составляющие
скорости V вблизи профиля представить в следующем виде:
V =Vyy
(18.1)
где t;/, с;/ — малые величины, являющиеся функциями х, у и
стремящиеся к нулю при удалении от профиля. В дальнейп1их рассуж-

396 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
д^ния'Х будем исходить из предположения, что вторыми и более
высокими степенями малых величин у/, v/ можно пренебрегать. Тогда
выражения для основных величин, характеризуюпшх газовый подток,
значительно упростятся). Покажем это.
Рассмотрим прежде всего квадрат скорости:
^1 == ^2 ^ ^2 == (^4-'t^;)^ + !t;;2 =Й2 + 2^-1;; +'i;;2 +'^^^^
Отбрасывая v'^, v'^, будем иметь
roi'^z=zu}-\-2liVx или v = u-\-Vx' (18. Г)
Рассмотрим скорость звука. Как известно,
2 ^^"^ 2
Это же выражение для невозмущенного потока на бесконечности
можно написать в виде
(18.2)
Q max t\
Отсюда
а2 = а^-^>—!-
2
или, используя (18. Г),
а2==а2~-(й—
т. е.
— г h
-(v^—u^)
■l)uv^,
1
1 - l2
(18.3)
a = a\ 1 ==—uv^
Разлагая в ряд по биноминальной формуле и отбрасывая малые
высших порядков, получим
a = a^^-^=^l-v' (18.4)
2 fl -^
Из выражений (18Л') и {18.4) легко найти связь между чис-
лами М=— и М = -=г-.
а а
Действительно,
М
или
\ Z а I

§ 2. Приближеншая теория' профиля крыла в докритической области 397
Используя вновь биноминальное разложение, будем иметь
M.M(i+^)(i+^f.;),
откуда с принятой точностью
М
=M[.+^(,+i^M');
(18.5)
Найдем теперь давление р в возмущенном потоке. Из
формулы Бернулли (13.3)
dp== —pvdv
получаем
V
Ap^p—p^ — lpvd'U,
и
где ;7—давление в невозмущенном потоке, текущем со
скоростью и.
Применяя теорему о среднем, будем иметь
/^-Р=-(р^)ср('^~^)>
где (р'г;)ср—среднее значение удельного расхода на
рассматриваемом интервале.
Так как
то, пренебрегая произведением малых величин p't;' найдем, что
(Р^)ср = р'^.
Таким образом,
/7—/>= — pu(v — u)= — pu(u + Vx — ti),
т. е.
р—'р= — ptw'x. (18.6)
Выражение (18.6) носит название линеаризованного уравнения
Б{ернулли.
Для того- чтобы провести линеаризацию основного уравиения
газовой динамики (16.7), являющегося нелинейным
дифференциальным уравнением, заменим в этом уравнении величины а^, v^a, v% и
Va,Vff по формулам (18.3) й (18.1), Тогда с принятой точностью
получим
ra'-u'-{k^l)uv\] 5- 2«^;,-^+ [a^-(A.-l)«^;jX 5 = 0.
(18.7)

398 Глава XVIIL Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Заметим теперь,.что.вторые производные по координатам от
потенциала Ф сами являются величинами первото порядка малости.
Например,,
дЦ д ^ * д^У- ', :■ dv'
дх^ дх^ ""^ дх^ ^ ^ дх
Поэтому, отбрасывая в уравнении (18. 7) члены второго порядка
малости и деля на a^jокончательно будем *име]гь
Уравнение (18.8) является в противополюжность уравнению
(16.7) линейным дифференциальным уравнением. Рассмотренный
метод носит название метода линеаризации, а сам поток —
линеаризованным потоком. (При М<^1 уравнение (18.8) является
уравнением эллиптического типа, при М>>1 —гиперболического типа.)
Преобразуем уравнение (18.8), приведя его к уравнению
Лапласа. Для этого, производя следующую замену переменных,
Xi=^x, Ух=У
j/l-M^, (18.9)
вычислим производные от потенциала ср:
дх dxi' дх'^ дх:1 ' ду дух dy ду^
ё1у2 dyi\dyjdy дуАду!^ Г
ИЛИ
ду^~ dy'f
,(1-М^).
Подставляя значения' производных в уравнение (18.8), приведем
его к виду уравнения Лапласа:
дч , а2ср ^
4+^^^- • (^^•^°>
Известно, ЧТО' уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал
скорости потока несжимаемой жидкости. Переход от уравнения (18.8)
к уравнению (18. 10) с помощью замены переменных (18.9)
позволяет, пользуясь уравнением Лапласа :(18. 10), найти потенциал
скорости потомка несжимаемой жидкости ф (xi, yi)^ обтекающей
некоторый новый контур. Если в найденном по уравнению Лапласа
потенциале скорости заменить Xi через х, а уг через у У 1—М^, то получим
потенциал скорости для потока сжимаемой жидкости, обтекающей

§ 2. Приближенная теория профиля крыла в докритической области 399
заданный тонкий профиль. При переходе от переменных х, у к
переменным Xi, Ух форма профиля будет меняться. Рассмотрим
характер изменения формы профиля при таком переходе (фиг. 18.2).
Допустим, что в плоскости ху расположен тонкий профиль с
хордой 6, направленной вдоль оси х, и поток сжимаемой жидкости
обтекает этот профиль под малым углом атаки а со скоростью и.
В таком случае в плоскости х^, ух будем иметь какой-то другой
профиль с той же хордой 6,
обтекаемый потоком
несжимаемой жидкости со скоростью
Ui под новым углом атаки а^.
Покажем, что профиль,
находящийся в потоке несжимаемой
жидкости, будет утолщен в
направлении оси у в отношении
1
^г ^', Для этого обратим-
У 1 — М2 ^
ся К рассмотрению изменения
скоростей в направлении
координатных осей.
Так как
д^^дс^ и ^у ^^у i/"2-_jv[2^
дх dxi ду ду1
то
Фиг. 18. 2. Деформация профиля по тес-
(18. 11) рии Прандтля—Глауэрта.
Из формул (18. 11) заключаем, что составляющие скорости по
оси X при таком переходе не меняются и в соответствующих точках
профиля оказываются равными, а составляющие скорости по оси у
увеличиваются в отношении - ._ . Это означает, что тангенсы
Vl- М2
углов наклона касательной к линии тока с осью х, равные—^^ также
увеличиваются в том же отношении и, «следовательно, в таком же
отношении увеличится угол атаки ai, т. е.
а, = -
Изменение углов наклона касательных показывает, что контур
профиля О1Л1, являющийся линией тока, будет во- всех своих точках
иметь наклон касательных, увеличенный по сравнению с наклоном
1
касательных к контуру ОА в сжимаемой жидкости в ■■ ^ __ раз.
Vl -М2

400 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Отсюда заключаем, что и максимальная толщина Ci профиля OiAi
будет связана с максимальной толщиной профиля ОА соотношением
т. е. тонкому профилю в сжимаемой жидкости соответствует
утолщенный профиль в несжимаемой жидкоюти, обтекаемый пюд
большим углом атаки.
Таким образом, для определения обтекания тонкого профиля
крыла потоком сжимаемой жидкости необходимо рассмотреть
обтекание несжимаемой жидкостью профиля,- утолщенного в направлении
оси у в (1—М2) 2 р^з, под углом атаки увеличенным во столько' же
раз. Определив для этого' фиктивного' профиля с помощью
уравнения Лапласа (18. 10) потенциал ср (jci, yi), надо вновь перейти,
пользуясь преобразованием (18.9), к потоку сжимаемого газа. Тогда
в соответственных точках этих потоков, определяемых уравнением
(18.9), значения потенциалов скорости и горизонтальных
составляющих скоростей (формула (18. И) будут совпадать. В силу
линеаризованной формулы Бернулли (18. 6) в этих точках будут совпадать
и давления. Это приводит к выводу, что подъемная сила для
профиля в сжимаемом газе и подъемная сила для утолщенного'
фиктивного профиля в несжимаемой жидкости одинаковы. Известно, что
если* в потоке несжимаемой жидкости профиль, хорда которого рас-
П'оложена вдоль оси х, растягивается в направлении оси у в п раз и
одновременно в п раз увеличивается угол атаки а, то коэффициент
подъемной силы также увеличивается в п раз. Но', с другой
стороны, рассматриваемый профиль в сжимаемом газе ведет себя так, как
утолщенный в (1—М2) ^ р^з фиктивный профиль в потоке
несжимаемой жидкости. Следовательно, профиль в сжимаемом газе,имеет
подъемную силу в (1—М^) ^ раз большую, нежели в
несжимаемой жидкости. Отсюда вывод — влияние сжимаемости при М<Мкр
приводит к увеличению коэффициента подъемной силы. Для
нахождения коэффициента подъемной силы профиля в сжимаемом газе
надо взять значение с^ для данного угла атаки на малых скоростях
обтекания [из диаграммы c^=f{a)] и этот коэффициент умножить
на ^ __ . Таким образом, будем иметь
К I — М2
^^еж=-7=^^. (18.12)
Аналогично будет выражаться и коэффициент момента профиля:
"'"- = ,7^^%- (18.13)
Kl-^M*

§ 3. Уравнения Чаплыгина для исследования газовых потоков
401
§ 3. УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ
ПОТОКОВ С БОЛЬШИМИ ДОЗВУКОВЫМИ Скоростями
в работе «О газовых струях» (1902 г.) акад. С. А. Чашлыгин
ооздал метод изучения газовых потенциальных иотоишв, который
почти полвека спустя получил исключительно^ большое' применение
в решепиИ| газодинамических задач, в том числе и в современной
теории крыла. Идея метода С. А. Чаплыгина заключается в том, что с
помощью вееден'ия новых независимых переменных нелинейные
уравнения газовой динамики для функций ср и ф точно
преобразуются в линейные уравнения, которые затем приближенно-
интегрируются, путем апроксимации изэнтропы линейной зависимостью (см. § 4).
Обратимся к плоскому потенциальному потоку газа. В этом
случае в силу потенциальности потока
V,
д'^
дх
д^
""^-ду '
(18. 14)
а из уравнения неразрывности
д{^у^) ^ д{^Уу) ^Q
дх ду
(18.15)
можно сделать заключение о существовании функции тока ф такой,
что удовлетворяются условия
Ро ^У Ро ^ дх
(18.16)
где Ро — плотность в некоторой характерной точке, соответствующей
скорости Vq,
Из уравнений (18.14) и (18. 16) находим
(18.17)
р ^? _
Ро д-^
аф
ду'
р <^? _
Ро ду
д^
дх
Введем в качестве независимых переменных вместо л: и у
величину скорости V и угол 6, образуемый вектором скорости с осью х.
Тогда, так как
'^^ = t;cos6, t;^ == t; sin б, (18.18)
TO', используя (18. 14) и (18. 16), будем иметь
d^^^-^ dx + — dy =^ю{cosb dx-^smbdy),
д^
.^t^i,- P
d^ = ''-^dx + ''-^dy = ~^v(-sinedx + Qosbdy).
дх ду Ро
(18. 19)
26 Аэродинамика

402 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Из уравнений (18. 19) находим
Ро
dx = ~cos^d<^:—^^ sin6^ф,
t/j; =^ — Sin G ф + -^ cos 6 ^Ф.
г? рг;
Так как из уравнений (18.20) следует, что
дх cos Ь дх Ро , г
df V д^ p-v
ду sin Ь ду , Ро i
d'f V д^ рг;
(18.20)
то
дх дх дер (5д: дс|; cos 0 д^ ро
dt; ^9 dv (?ф dt/ V дг? pt;
Аналогично можно получить
дх^
дЬ
ду
sin
dv
(18.21)
1 л ^9
— cos 6-^
V дЬ
^sinO^i-,
рг; дЬ
1
sino^+^cose^i,
dv V dv pv dv
^Z=±sin6^+J^cos6^i-.
^0 V дЬ pv дд
(18.22)
Для исключения старых переменных х и у найдем производные
д (дх\ _а_ fd_x\ _d_ fd_y_\ _а_ (ду
дЬ [dv )' dv\db)' dd [dv )' dv [dd ^
Учитывая известное свойство независимости к:мешанных
производных от порядка дифференцирования, получим
sin 0
V
cos 0
V
dv
dv
Ро.
рг;
pv
COS
sin
dv
dv
cos 6
v'
sin 0
v^
d^
a9
acp
db
_.,., citi
olll
-COS 6
dd
dd
a
d'
d
dv
\pv)^
Умножая первое из этих уравнений на (— sin 9 ), а второе на cos 6
и складывая, будем иметь
1 ^9 _ д? / Ро \аф
V dv dv\pv ] dd
(18.23)
Умножая первое уравнение на co'sB а второе на sin 6 и
складывая, находим
а0
■-v
Ро ^Ф
р dv
(18.24)

§ 3,. уравнения Чаплыгинй длА тсл^еШвишим тШвых потоков ' ШЗ
Для преобразования уравнения (18.23) заметим, чтб
^ 1 Ро\ d / ро\ 1 1 ро
dv \pv / dv \ р J V v^ р '
С другой стороны.
dv \ p } p^ dv p2 dp dv p2 a^ dv
ИЛИ, используя формулу (13.3),
dv \ p I p a^ '
(18.25)
(18.261)
'
(18.27)
Подставляя (18.27) б (18.25), получим
^ / Po \ _ Po 1 1 Po _ Pn
■^-(M^-l). (18.28)
dv \pv I p d^ v^ p p v^
В таком случае система уравнений (18. 23) и (18. 2И1) примет вид
^==_iLj_(l^M2)^,
dv • f V ^ ^ ае
дЬ р' dv
(18.29)
Полученные уравнения являются уравнениями движения в
плоскости годографа скорости (в полярных коордднатах v м 6), Эти
уравнения линейны, так как коэффициенты при прризводных
являются функциями только независим^ переменн^Х}^. Таким образом,
исключительная важность метода и А. Чаплыгина заключается в
том, что преобразование уравнений движения к ддоскости годографа
скорости точно линеаризует нелинейные уравнения движения газа
в физической плоскости течения.
Преобразуем эти уравнения, введя переменные Чаплыгина т и б,
где
" = -ТГГ^- (18.30)
Из уравнения (14.12') и формулы (18.30) находим
M2=.J!i=..-i_~JL_ (18.31)
или
д«
1
k-^l
1
t
.^ «с
1-т
26*
(18.32)

АЩ Глава XVII1. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Замечая, что
d^ dcp dz f^ Aj — 1 V d^
2^i::^-f^, (18.33)
2:L_L_^^ (18.34)
dv fe+1 fl^ ^^ V /
dil fj ft — 1 f di/
"•кр
И используя формулу (14.22), которую можно написать в виде
1
Р = Р«(1-^)*~Ч (18.35)
окончательно получим ^
1 —
д<^
"а7
^? -.
дЬ
1 т
1 k~l д^
2т -А_ д%
2т аф
(1-т)
I
(18.36)
Система (18.36) носит название системы уравнений Чаплыгина.
В своей работе «О газовых струях» С. А. Чаплыгин применил
полученные уравнения к расчету различных струйных течений газа.
Эта работа С. А. Чаплыгина положила начало^ развитию
аэродинамики больших скор'остей и явилась ^основой ряда выдающихся работ
советских ученых, посвященных разработке проблем газовых течений
и современной теории крыла.
В 1936 г. профессор Н. А. Слезкин [54] применил уравнения
Чаплыгина к изучению задачи о бесциркуляционном обтекании тел
дозвуковым потоком газа. Развитие метода Чаплыгина, как было
выше указано, позволило академику С. А. Христиановичу
разработать теорию обтекания тел газовым потоком при больших скоростях.
Значение полученных С. А. Христиановичем результатов хорошо
охарактеризовано чл.-корр. Академии Наук СССР И. А, Кибелем
в статье «Газовая динамика» [55]. В этой статье И. А. Кибель
указывает: «С появлением работы С. А. Христиановича возрос о
влиянии сжимаемости воздуха на крыло при дозвуковых скоростях был
практически решен. Между тем, заграницей продолжали
появляться работы, посвященные развитию метода Чаплыгина. Но все
исследования ограничивались, если квалифицировать их с точки зрения
метода С. А. Христиано'вича, первым приближением. Более того,
лишь в самое недавнее время иностранные авторы подошли к задаче
обтекания с циркуляцией. Поэтому полезна была работа,,
выполненная в 1946 г. С. А. Христиановйчем и И, М. Юрьевым и дающая
подробный анализ первого приближения Христиановича для задачи
с циркуляцией». :
В заключение этого, параграфа следует указать работу
академика А. И. Некрасова «О плоско-параллельном-движении газа при

§ 4. Метод С. Л. ХристианобичИ
405
дозвуковых скоростях» [56], в которой он решает задачу о движении
газа, приводя дифференциальное уравнение для потенциала скорости
9 с помощью преобразования Лежандра к лилейному виду.
§ 4. МЕТОД С. А. ХРИСТИАНОВИЧА
Приближенная теория Прандтля—Глауэрта, основанная на
методе линеаризации уравнений газовой динамики, справедлива лишь для
весьма тонких профилей, обтекаемых под малыми углами атаки.
Для исследования обтекания дозвуковым потоком крыловых
профилей следует обратиться к точным уравнениям движения
идеального газа. Эти точные уравнения движения газа, как было показано
в предыдущем параграфе, были предложены в Г896 г. С. А.
Чаплыгиным.
С. А. Христианович видоизменил уравнения С. А. Чаплыгина
и построил теорию, позволяющую учитывать влияние сжимаемости
на распределение давления и аэродинамические характеристики
любых профилей при докритических скоростях. Изложим идею
метода С. А. Христиано'вича [1].
Введем в уравнения Чаплыгина
д(р 2т д^
(1~т)
1
k—l
dz
2т
' k~ 1
д^
(1 - т)
k
дЬ
J
(18.37)
вместо независимой переменной т новую переменную
в таком случае, учитывая, что
д _ д дх _ / k-hi 1
ат " а (?т ~ |/ k-l 2У
(18.38)
__д_
\У"7 дХ
Л4-1 1
k-l 2Х дХ
можно уравнения Чаплыгина представить в следующем виде
д^ X д^
(18.39)
дд
д^
дХ
('-'-Sf^O
1 -Х2
ас|л
('-^^■)
^ дЬ
(18.40)

406 Глава XVIII. Основы теории проф0ля и крыла в дозвуковом потоке
Для получения уравнений Чаплыгина в симметричной форме введем
вместо Л независимую переменную s, связанную с X следующим
соотношением:
ds =
/1 ^:1^
1^
s =
(18.41)
В таком случае система уравнений (18.40) примет вид
(9ср
а7
дЬ '
(18.42)
где величина К является следующей функцией X:
1 -1^
К~-
V ^ + 1 /
(18.43)
С. А. Христиано'вич исследовал О'бщий случай циркуляциоиного
обтекания крылового' профиля и предложил метод интегрирования
системы уравнений (18.42)
путем последовательных
приближений. С. А. Христианович
показал, что интегрирование
полученных им уравнений
сжимаемого газа для случая
обтекания профиля крыла может
быть сведено к решению
задачи обтекания
деформированного профиля (близкого К'
заданному) в'несжимаемой
жидкости.
Покажем это, для чего
выразим величину К через число
М, использовав формулу
''^^ (14.210:
Фиг. 18.3. Зависимость функции К от
числа М и коэффициента сдорости X.
а:=(1_м2) 1
)(
1
М^
2
Зависимость ф'ун'1сции К от чисел X и М изображена на фиг. 18. 3.
Как видим, для чисел М<0^6 величина К мало отличается от
единицы. Учитывая ЭТО; обратимся к уравнениям (18.42). Эти
уравнения для сжимаемого газа отличаются от уравнений Коши—
Римана для несжимаемой .жидкости наличием множителя ]^К,

§ 4. Метой С. А. Христиановича - ■ 407
Положим величину YK постоянной и включим ее в состав
функции <р. В частности, можно положить /С=1 (что точно
соответствует несжимаемой жидкости и было использовано
Чаплыгиным) или согласно первому приближению Христиановича К=К^,
где К^ — значение фукнции К, соответствующее параметрам
невозмущенного потока газа {M=MJ. В таком случае вместо точной
системы уравйений (18.42) получим приближенную систему в
плоскости S, 6:
д^ аф д^ аф
^ = "^' а7^~^' (18.44)
ничем не отличающуюся от уравнений Коши—Римана для
несжимаемой жидкости. Приближенные уравнения (18. 44) сравиим с
уравнениями
df^^d^^ ^^_очр^ (18.44')
д^ ds д7 дд
являющимися уравнениями Коши—Римана в плоскости псевдо'Год^-
графа скорости несжимаемой жидкости {s, 6).
Волнистый значок над буквой означает, что рассматриваемые
величины относятся к потомку несжимаемой жидкости. Очевидно,
что Q будет являться углом наклона скорости в потоке несжимаемой
жидкости к оси X, г S — величиной, определяемой равенством
= —, U = —Ь (18.45)
'^ dv
X \ «кр
получающимся из (18.41) при Х = 0.
Допустим, что в плоскости переменного z=^)(^+^iy, явл1ЯЮЩ|ейся
физической ПЛОСКОСТЬЮ течения несжимаемой жидкости, определено
обтекание профиля крыла с циркуляцией, удовлетворяющей гипотезе
Жуковского — Чаплыгина относительно задней кромки профиля.
Тогда, используя существующие методы расчета несжимаемого ПО'-
тенциального потока (например, метод Нул^ина), можно' вычислить
величины v^ Х.Ь , S, ср и ^ в функции х, у и, следовательно, найти
граничные условия в плоскости s, Ь,
Для ТОГО' чтобы перейти к приближенному решению задачи
обтекания профиля крыла сжимаемым потоком газа, потребуем, чтобы
)= Ь, s = s.
(18.46)
Последнее условие означает, очевидно, тождественность течений в
плоскости псевдогодографа скорости 5, 9 газа и в плоскости псевдо-

408 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
годографа скорости s, б несжимаемой жидкости. Из этого условия,
используя (18.41) и (18.45), получается соотношение м'ежду
скоростями течения несжимаемой жидкости и газа:
(18.46')
Константу С можно определить из условия, чтобы отношение
-;^ -^ \, когда X
0.
В табл. 18. 1 и на 1фиг. 18.3 дана связь между X, М и X. Как
видим, в плоскостях годографа скор^ости величины скоростей 1не
совпадают, совпадают только углы б и б.
м
л=
м
<^кр
^кр
Таблица 18. 1
М
^кр
о
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
0
0,0500
0,0998
0,1493
0,1983
0,2467
0,2943
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
0,3410
0,3862
0,4307
0,4734
0,5144
0,5535
0,5904
0,70
0,75
0.80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,6668|
0,7192
0,7727
0,8274
0.8834
0,9409
1.0000
0.6251
0.6568
0,6857
0,7110
0,7324
0.7483
0,7577
При выполнении равенств (18.46) система'уравнений (18.44)
определяет в плоскости s, б поток сжимаемого газа, отвечающий
тем же граничным условиям, что и поток несжимаемой жидкости
в плоскости S, б. Однако в физической плоскости газового потока
X, у контур профиля L не будет совпадать с контуром лрофиля L
в плоскости X, у несжимаемой жидкости. Действительно, в
соответствующих точках профилей, т. е. в точках, где совпадают значения s
и 5, б и 6, а следовательно, совпадают и ср и ср, элементы дуг
профилей L и L удовлетворяют соотношениям (см. стр. 47)
AL=^
AL =
Д9

§ 4. Метод С. Л. Христиановича
409
Но, имея в виду, что скорости в соответствующих точках, вообще
говоря, различны (см. табл. 18. 1), приходим к выводу, что элементы
дуг профилей, а следовательно, и сами профили L и L не совпадают.
В первом приближении будем пренебрегать указанной разницей
в форме профилей для газа и несжимаемой жидкости в плоскостях
Z я Z, (Следует отметить, что С. А. Христиановичем подробно
исследованы вопросы о различии этих профилей и дана теория перехода
от плоскости Z к плоскости z). На основе этого простейшего
приближения установим связь между распределением давления по
профилю в несжимаемой жидкости и распределением давления в
сжимаемом газе. С этой целью напишем выражения для рнс и Рсж*
^ Рас ~~ Рнсоа •> I ^*Hf* ^ * ^ / ^
ГНС ■
РНС 00 '^НС о
\%Соо /
(18. 47)
^РСЖ — РСЖОО ^^Р Р ( V у 2Роо ^
РСЖОО -Ус
Р^'рс
Роо^.
l-f
•м^
1+-
k- 1
1
k—l
2
М2
Используя соотношение М
получить следующее выражение
гсж ,
2V
AMS
ft + l —(А- 1)Х»
МОЖНО для /7„
А+1
■Х2
^2
/^
fe
;^-1
X*
-1
V'-
;^+1
(18.48)
Таким образом, задаваясь скоростью на бесконечности в сжимаемом
газе, т. е. Х^о, по табл. 18.1 найдем соответствующее \^, Затем,
давая X различные значения и определяя по той же таблице X,
можно с помощью формул (18.47) и (18.48) установить искомую
связь между рсж и Рно.
Не входя в детали метода Христиановича ввиду его мате!мати-
ческой сложности и отраниченности настоящего курса, отсылаем
читателя к соответствующей литературе [2, 9].
Покажем, что между р^о и р^ж можно установить прямую
зависимость, если воспользоваться предложенной Чаплыгиным заменой

4Ш Глава XVIП. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
действительной изэнтропы «прямолинейной изэнтропои», в качестве
которой выбирается касательная к изэнтропе в точке Ро, ^о
(фиг. 184). В таком случае уравнение «прямолинейной изэнтропы»
h I 1 \"-^
[т. е. уравнение касательной к изэнтропе PPq=Po
(ро, Ро)] примет вид
(■
в точке
Вводя вместо X новую переменную jj,
^ ао у k+l
(а>
(б)
И используя приближенную изэнтропу (а),
уравнения движения в плоскости годографа (18.29)
приведем к виду
df
дЬ ^ '^ dii
dii
1
д<\^
-^ /
Фиг. 18.4. Апроксимация
изэнтропы прямой.
Нетрудно убедиться, что', вводя
f> еще раз ihoboc переменное 5 с по-
мош;,ыо соотношения
{х/1 + ^2
получим систему уравнений (18. 44). Это означает, что соотношение
(18.46^) заменится следующим более простым равенством:
dp.
i^Vi
+ r
т. е. In [А = In
14-Уц.р.2
+ 1пС.
Считая, что при ^->0 отношение
1, даходим, что С=2.
В таком случае получаем приближенную зависимость между
скоростями сжимаемого и несжимаемого газа
2fx
l+/l-f{x3
или
^г==-
4(х
4-fx2
(18.49)
(Заметим, что полученные приближенные соотношения могут
быть получены из точных путем замены в них, где это нужно-,
k= — 1 и X на р-.) Выразим рнс и Рсж в новых переменных. Используя
(18.47) и (б), «аходим
.-1--/.^V (в)

§ 4. Метод С. А. Хрцстиановича 411
Используя формулу (б) и подставляя k——^1 в выражение
(18. 4'8), получим ^
р^^=^-2Щ^[У\+^^-у\^^-и-
Преобразуя (г) с помощью (18.49), будем иметь
■ ■ ^. (4-^.)(4-!х^)
Так как при ^=—1
,0 /^оо \^ vl ml
(г)
^-t ..2^ 1-Mi
«о/ 4^1+*^ м^)
и замечая, ЧТО 1^1.2 = ^2^ (1—р^^)^ получим для р^ж следующее
выражение:
Заменяя с помощью (18. 49)
°° 1+1^1 + (х^ l+1/l-M^ '
окончательно находим искомую зависимость между р^^ и рнс:
^сж- ^ /- ^2 . (18.50)
Отметим, ЧТО' в качестве точки касания к изэнтропе (фиг. 18.4)
можно взять точку (Роо, р 00 ), соответствующую параметрам невоз-
мущ:енного потока (M=MJ, и этим расширить область
применимости рассмотренного приближенного- метода.
В заключение следует отметить, что С. А. Христианович в каче^
стве первого приближения вместо апроксимации изэнтропы прямой
линией положил в уравнениях (18.42)
Роо
Этот случай был им полностью исследован в 1940' г., в связи с
ч)бм совершенно неправильно в зарубежной литературе этой
апроксимации приписывается имя Кармана, исследовавшего это
приближение позже.

412 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
§ 5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ Г. Ф. БУРАГО ОБТЕКАНИЯ ДОЗВУКОВЫМ
ПОТОКОМ ПРОИЗВОЛЬНЫХ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ
В настоящее время имеются методы для приближенного учета
влияния сжимаемости на обтекание тел дозвуковым потоком газа,
отличные от метода С. А. Христиановича и основанные на гипотезе
неизменяемости формы линий тока с изменением скор'ости невозму-
щенного' потока. Впервые этот метод был предложен проф. С. Г. Ну-
жиным в 1946 г. в работе «К теории обтекания тел газом при
больших дозвуковых скоростях» [58]. В этой работе С. Г. Нужин
предложил приближенный метод, позволяющий привести задачу о
построении потенциального потока сжимаемой жидкости около тел
удо'бообтекаемой формы при дозвуковых скоростях течения к задаче
о построении потока несжимаемой жидкости около тел той же
формы. В 1949 г. С. Г. Нужиным было предложено некоторое
видоизменение уравнений С. А. Христиановича и приближенный метод
построения деформированного профиля [59].
Усовершенствование предложенного С. Г. Нужиным в 1946 г.
метода дано им в 1951 г. в работе «Аэродинамика тонких тел при
докритических скоростях» [60].
В 1949 г. проф. Г. Ф. Бураго [10] предложил простой
приближенный метод учета влияния сжимаемости, основанный на гипотезе
стабилизации линий тока и дающий почти такие же точные
результаты, как и первое приближение по теории С. А. Христиановича.
В этом параграфе рассмотрен метод Г. Ф. Бураго [10].
Напишем уравнение неразрывности для сл^имаемой жидкости:
где ро — плотность газа в критической точке, и условие
потенциальности течения
dVf- dVu *
^ ^ = 0. (18.52)
ду дх
Введем две вспомогательные величины i^ и с, определяемые
равенствами \
2р 2
Ро+р н_^^ (18.53)
^ Ро — Р _ Р
Ро+р Ро j^
(18.54)

§ 5. Приближенная теория Г. Ф. Бураго
413
Отсюда можно получить;
Р
р _ и
Ро Ро 1 + ^
1=и + 0:
1 -а
(18.55)
Нетрудно убедиться, что с помощью функций и и а уравнение
неразрывности и условие потенциальности запишутся следующим
образом:
а Г ир^ 1 д Uivy Л __ Q
^ Г Ц^л
д
"дх
1 -а
(15. 56)
Заменим точные уравнения (18.56) приближенными, исходя из
следующих соображений. Из фиг. 18.5 и 18.6, на которых
изображена зависимость c=f{ —) и с =/i(M), заключаем, что при малых
Ро
числах М значения g малы и лишь при М=1 величина с =0,22.
б
0,31
ол\
од
о\
16
0.
8
ис
?
0,2
П 1
0.1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 М
1 ИМ
VJt\\ 1
1 L>n\ 1 1 1 1 1
0,5
10 М
Фиг. 18. 5. Зависимостьфун-
Р
кции а от отношения —.
Ро
Фиг. 18. 6. Зависимость функции а
от числа М.
Исходя из этого, положим в уравнениях (18.56) с ?^const. В таком
случае, умножая уравнения (18.56) на (1+о) и (1—о) и заменяя
функцию и ее значением (18.53), получим следующие
приближенные уравнения:
д
дх
д
ду
9^х
. Ро+Р .
. PO + P-J
д
д
дх
_Ро + Р .
9^у
_ Ро+Р-
f о, 1
= 0.
(18.57)

414 Глава XVIII. Основы теории профйлЛ и крыла в дозвуковом потоке
Введем в уравнения (18. 57) новые переменные v^^ и 'Г^^, связан^
ные с "Vj^ ш Vy следующим образом:
9 ^Роо+РО
1+^
^ ^ Рос Р + РО ^° ,
^ Р Роо+Ро ^
1+-^
Рсо
: Р
t^..
1 + -^
Poo
(18.58)
где' р^ —плотность не возмущенного газового потока. В таком
случае уравнения (18.57) примут вид
дх ду
dv^
dv,,
ду
дх
= 0.
(18.59)
J
Эти уравнения являются известными уравнениями, характеризую-
пщми плоский потенциальный поток идеальной несжимаемой
жидкости,, текущей со скоростью v^{v^w^, v\).
Рассмотрим граничные условия для этого потока. На
бесконечности (г=оо), где р = Роо, из со'отношений (18.58) находим
'^у^'^у-^уоо'
(18.60)
т. е. граничные условия на бесконечности одинаковы. Покажем, что
одинаковыми будут и граничные условия на поверхности
обтекаемого тела. В самом леле, на контуре тела в газовом пото-ке
нормальная составляющая скорости Vn=0, вследствие чего, как следует
из равенств (Г8. 58), и в несжимаемом потоке на контуре тела будем
иметь
"V^
Р Роо+РО
Роо Р + РО
V„
= 0.
(18.61)
Исходя из изложенного выше, можно заключить, что соотношения
(18. 58) дают приближенную зависимость между скоростями v^, и Vy
газового потока и скоростями vI,h v^^ несжимаемого потока при
обтекании этими потоками одного и того же тела и при одинаковых
условиях на бесконечности. При этом форма линий тока в обоих
потоках также одинакова (гипотеза стабилизации линий тока).

§ 5. 'Приближепная теория Г, Ф. Буриго 415
Обратимся к установлению приближенной зависимости между
давлениями в сжимаемом и несжимаемом потоках. Напишем
уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости
. Р°+^=^.+^. (18.62)
Коэффициент давления определится по' формуле
9vl ^l (18.63)
Переходя от скорости течения t;'° несжимаемого потока к скорости v
газового потока по формулам (18.58), получим
По формуле (18.64) коэффициент давления р'° в некоторой точке
несжимаемого потока в.ыражается через величины р и t; газового
потока в той же точке.
Коэффициент давления газового потока равен
Но
9^vl 9^vl\p^ ) (18.65)
1 1 ai
Poo "^l k Vl, kMl''
Следовательно,
Рассмотрим тождество
a2 «n
Так как
о
~i=i+?—Lм^
TO

416 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Подставим найденное значение -у- в выражение (18.64) для/7°.
Будем иметь
^ д/12
м= ^+^^^
м^
1+^^М^
i+(i+V-M^):
1_ —I
k-l
(18.68)
Ро
Заменяя отношения — и -^^ через числа М и М^ в фор-
РО Роо
муле (18.66), найдем
k
hMi
14-^-М^
k—i
- 1
1+-
-М2
(18.69)
Теперь следует путем исключения числа М из уравнений (18.68) и
{18.69) установить зависимость
p=f(p°, мл
Так как в явном виде получить эту зависимость невозможно, то
для расчета коэффициента давления р по заданным значениям р"^
и М^ Г. Ф. Бураго рекомендует поступать следующим образом.
Обозначим через F{N[) и Ф (М) следуюш^рте выражения:
ДМ) = (
Ф(М):
М2
1+^::11м>
[i+(i/-i^M=)
1 -|2
k-l
(18.70)
(18.71)
В таком случае формулы (18.68) и (18.69) можно записать в
следующем виде:
0(M) = 0(Mj(l-p-); (18.72)
2 ( l'(M^)
kNii
[ F(M) У
(18.73)
Ha фиг. 18.7 представлены значения функций Ф (М) и /^(М).
Допустим, что в некоторой точке профиля известно значение
коэффициента давления р'°.. Требуется в этой же точке определить
значение коэффициента давления р при заданном числе М
набегающего потока М^. Для этого по значению М^ с помощью фиг. 18. 7

§ 5. Приближенная теория Г. Ф. Бураго
417
находим значение Ф(М^). Затем, зная />° и O(M^), по формуле
(18. 72) вычисляем Ф(М) и по графику на фиг, 18j7 на!ходим число
М, соответствующее найденному значению функции Ф (М). После
ф
аз
ом
Oh
0.2
0
F
! я
IjO
IR _
/,i/
lA
1^4
19
Ц
i£^
ф/
г
О а2 ол ом 0,8 ком
[Фиг. 18. 7. Зависимость функций Ф и -F от числа М.
этого по заданному числу М^ и по- найденному значению М
находим на той же фигуре соответствующие им значения F{]A^
и Р{Щ^. Наконец, по формуле (18.73) находим коэффициент
давления р.
-2,0\
-15
-1,0
-0,5
О
ОА 0,5 ОМ 0,7 0,8 0,9Ш^^
Фиг. 18. 8. Сравнение методов Христиановича и Бураго.
Как показал Г. Ф. Бураго, предложенный им метод дает
возможность найти зависимость р'°т1п=/(Мкр), довольно близко
совпадающую с кривой С. А. Христиановича.
\
^^
^
\\
ПоХристиан
По бураго
/
/
^^
r^!^>w^
06U4LJ
27 Аэродинамика

418 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Установим связ^ь между Мкр и р'^тш. Положив в формуле (18. 68)
М^ —М^ф, М=1, p''=^ffmin, ^='1,4, будем име^ь
;pmin= 1--^ []/l+0,2M'p + (l +0,2М^р)^]'. (18.74)
кр
кривая, выражающая эту зависимость, нанесена на фиг. 18.8 и
довольно близко подходит к кривой С. А. Христиановича.
Для нахождения скорости потока в данной точке профиля
поступают так. Зная числа М^ и М и пользуясь формулой
1± = (\ -lItlL
1
\k—i
вычисляют плотность в данной точке, после чего' по формулам
(18.58) находим Vx и Vy.
§ 6. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА ВЕЛИЧИНУ ИНДУКТИВНОЙ СКОРОСТИ КРЫЛА
При изменении скорости воздушного потока, набегающего на тело, поле
скоростей вокруг него изменяется с числом М, а следовательно, изменяются и
индуктивные скорости крыла. Влияние сжимаемости на величину индуктивной
скорости было исследовано Л. А. Симоновым и С. А. Христиановичем [61]. Ими
установлено, что сжимаемость вносит существенное изменение в формулу Био—
Савара. i i i
Рассмотрим, как изменяется под влиянием сжимаемости воздуха поле
скоростей, вызываемое вихревой нитью. Обратимся к основному уравнению газовой
динамики, которое для пространственного случая имеет вид
Компоненты вихря, предполагаемые известными, определяются уравнениями
Скорость звука a связана со скоростью v в данной точке потока соотношением
Уравнения (18.75) и (18.76) представляют собой нелинейную систему уравнений.
Как показали Л. А. Симонов и С. А. Христианович, решение задачи
определения поля скоростей по данной системе вихрей при наличии сжимаемости
воздуха можно упростить для случая, относящегося к исследованию крыла (или
винта) в силу следующих соображений. В этом случае поле скоростей
определяется потоком, набегающим на крыло со скоростью V (скорость потока на
бесконечности), а также добавочными скоростями, вызываемыми присутствием

§ 6. Влияние сжимаемости на индуктивную етрдсть крыла
419
крыЛа W представляющими собой малые Ёвличины (Sa исключением небольших
областей в непосредственной близости от крылia)] Вихревую пелену будем
считать простирающейся неограниченно^ так что влиянием: • местных зон. у
поверхности крыла, где имеются незначительные возмущения, будем пренебрегать»
Положим г?;^=К+г?^ и будем считать, что г>!^,, v^, v^^ —малые величины.
В таком случае система уравнений (18.75) и (18.76) может быть
преобразована в следующую:
dV;i dvy
фГ ~ ~дг^^"'"
dv^
да
dv^ dv„ dvz
(1-М^)-^ + -^+—=Q;
дх ду dz
dv^ dv dv
dx У' dx^
dy
(18. 79)
(18. 80)
V
где M= — , a^ — скорость звука, соответствующая скорости V потока.
Как известно, систему уравнений (18.79) и (18.80) можно с помощью пре-
образования
1^1 -М2
, У =
У
-М2
(18. 81)
привести к системе уравнений, отвечающих случаю несжимаемой жидкости,
именно к системе
dvx dv dVz
дх^ ду dz
(18. 82)
dvz dv^
dv.
. . >-^^, ^ .,—yr - .^, ^, ^ =20)^ l/l-M«. (18.83)
dy dz dz dx' У дх^ dy
Таким образом, задача сведена к определению поля скоростей по заданной
системе вихрей в несжимаемой жидкости. Этот случай рассмотрен в гл. V, § 7.
Следует указать, что вместо рассмотренного, преобразования можно было бы
воспользоваться другим, совершенно ему эквивалентным
х^=х, y=_yl/l —М2, z'=zY\-m^. (18.84)
Как было показано в гл. V, § 7, решение системы уравнений (18.82) и (18.83)
имеет вид
_ 1 (daz da
2 \ду
^у—^
1 (da^
dz
dUz
Jx'
I /да^,
Vz=-
2 \dx'
dy
(18.85)
где
<^x(i' V^-^'* ^'^)
Y(x' - iy -^iy- 7])2 4- (z - C}^;
УТ^^з r o)^ (^f ]/ГЗм?, Y), C)
^j/ = ^ ; J 1/"(д:' - ^y i-iy- ri)^ + (F^=t)?
Yu^^W f 0)^ (C' yn^^M2, Y]. C)
di'd-qd^;
) ]/(A:'-i')^+(j/-'/])^ + (i^-C)*
flf^' c/y) rfC.
(18. 86)
27*

420 Глава XVIП. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Интегрирование ведется по области х\ соответствующей в пространстве
х^у, Z области t, заполненной вихрями.
Перейдем к рассмотрению вихревой линии с напряжением Г=2ша. В
таком случае
d^ dri d^
a)jp=ai COS (а),л:) = й)
ds
'"y="''ds'
ds
Принимая BO внимание, что dz—d'^dr^d^^ods, находим
d^' d^
oijgd^^dr\df^=oyd'z — — (nQdb,'.
Кроме того,
flfi ds
dH df) (oadf]
(a dVdrid(^=
d^ ds |Al~M^ '
В таком случае формулы (18.86) примут следующий вид:
i.' L' L'
где г'=>^(л:' — 6')* +(J/— тг))^+{2: —0*. Интегрирование проводится по оси
вихревой линии в пространстве х', у, z.
Из формул (18.86) 1и (18.87); выражающих закон Бис—Савара, следует,
что для того, чтобы при учете сжимаемости воздуха найти скорость,
индуцированную вихревой линией в какой-нибудь точке пространства {х, у, z), следует
растянуть вихревую линию, не изменяя ее напряжения, в направлении потока на
бесконечности в —z== раз и определить, пользуясь законом Био^—Савара,
скорость, вызванную этой вихревой линией в точке /—
V/1-
увеличить полученную добавочную составляющую скорости в направлении на-
раз.
М2
у, 2? I; затем надо
бегающего потока в ^
Обращаясь к вихревой схеме крыла конечного размаха, вспомним, что
сбегающая с крыла вихревая пелена представляет систему полубесконечных
прямолинейных вихрей. Для определения поля индуцированных скоростей
достаточно определить поле скоростей, возбужденное полубескопечным
прямолинейным вихрем, и затем проинтегрировать по всем вихрям.
С этой целью воспользуемся обобщенной формулой Био—Савара.
Рассмотрим прямолинейный отрезок вихревой линии, совпадающей по на-
правл(ению со скоростью на бесконечности. Пусть точки А{х^,у^, z^) и В (х^,ув^ ^в)
будут конечными точками этого вихревого отрезка. Скорость v^ направлена
параллельно оси X. Рассмотрим произвольную точку Р(х, у, г). Индуцируемая в
ней вихревым отрезком скорость будет лежать в плоскости, перпендикулярной
оси вихря.
Добавочные составляющие скорости, параллельные скорости набегающего
потока, будут, следовательно, равны нулю. В таком случае скорость v в пло-
cKoctH, перпендикулярной оси вихря, согласно полученному результату
определится следующим образом:
V—-
471/г
/^
-+
Н-/г2
f-
.l/"l-M*.
+ /z2
(18.88)

§ 7. Крыло конечнога размаха при дозвуковых скоростях
421
где Л=}^ (З'—3^1)^+(2—-г^)^—расстояние точ^и Р от вих;ря. В частном
случае для. бесконечного полушнура будем иметь
4тсЛ
-Ха
Kl~M2
-+1
4-Л2
(18. 89)
Для скорости в точке плоскости, перпендикулярной оси полушнура и
проходящей через его конец, т. ei. при x=Xj^, получим.
Г
^47г/г
Отсюда заключаем, что для крыла в дозвуковом потоке сжимаемой жидкости
индуктивные скорости на несущей линии (и на всей поверхности, проходящей
через нее перпендикулярно ркорости набегающего потока) будут теми же, что
и для крыла в несжимаемой жидкости с тем же распределением циркуляции
по размаху. Влияние сжимаемости воздуха сказывается только на изменении
характеристик сечений крыла.
§ 7. КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
Напомним основы теории крыла конечного размаха для
несжимаемой жидкости.
iB случае крыла с переменной циркуляцией по размаху Г=Г(2:)
крыло схематизировалось несущей линией, идущей вдоль размаха
крыла (присоединенный вихрь), а вихревая пелеиа — в виде
плоской полосы, состоящей из системы свободных вихрей. Как было
установлено, выражение для индуцированной скорости v,j имеет
следующий вид:
+^
t^«
'4i J
dzi zi — z
(18.90)
Пользуясь гипотезой плоских сечений, т. е. гипотезой о том, что
вокруг профиля крыла развивается та же циркуляция, что и при
обтекании соответствующего крыла бесконечного размаха,
применим теорему Н. Е. Жуковского сначала к произвольному сечению
dY=pv^T{z)dz,
а затем и ко всему крылу
+^
Y = pv^ J Y{z)dz.
(18.91)

422 Глава XV111. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Деля на —pt;^5, > где' 5—площадь крыла в плане, для
коэффициента подъемной силы с получим следующее выражение:
2/&п.ах Г Y{z)dz
ИЛИ
«'"шах
+ h
2-^SH. Г _LM_cj/M, (18.92)
2
Для величины силы индуктивного сопротивления находим
dX,^dY\oi= -dY^^=^ -^T{z)Vy{z)dz,
а затем
■ ' +^-
■" 2"
Переходя к коэффициенту силы индуктивного сопротивления ^-^
будем иметк
^w= —2——
^-^^ — . (18.93)
^оо^тах ^00 V ^ /
2
Ввиду того ЧТО выражение для индуктивной скорости Vy по формуле
(18.90) справедливо для любой дозвуковой скор^рсти (М<Мкр),
заключаем, что коэффициент индуктивного сопротивления Са;г при
заданном законе распределения циркуляции и М<Мкр не зависит от
числа М.
Обратимся к построению интегро-дифференциального уравнения
крыла конечного размаха, из которого определяется закон
распределения циркуляции, т. е. Г==Г(г). [62].
Для линейного участка кривой Cg=f{a) имеем
где ао — угол нулевой подъемной силы. В соответствии с теорией
профиля крыла в сжимаемой жидкости (М<^1) можно считать, что
а= . ""' -, (18.94)

§ 7. Крыло конечного размаха при дозвуковых скоростях
423
где «о — значение коэффициента а, соответствующее случаю, когда
М=0.
Используя уравнение связи
Г(0) = ^&(2)С,,
будем иметь
Г{г) = '^Ь{г)а(г)[ф) + а,(г)+^]
ИЛИ, записывая это уравнение в безразмерном вид-е с помощью
обозначений
= ь,
получим
r(z)=^biz)a(z)
+ 5
« + «0 +
4п
/ J dz^
dzi
z^ — z
(18.95)
Уравнение (18.95) представляет обобщенное на случай сжимаемой
жидкости интегро-дифференциальное уравнение крыла конечного
размаха, отличающееся от уравнения для несжимаемой жидкости
значением коэффициента а.
Используя выражение (18.94), интегро-дифференциальное
уравнение крыла можно записать в следующем виде:
X
г-
«
)/"1-М2
_
T{z)^^b{z)a,(z)X
+т
ао 1 &тах С dV dz^
YV^m^ Arz lyV^W J dZiZi^J
""2"
(18.96)
Отсюда можно сделать следующий вывод. Циркуляция вокруг
крыла в сжимаемой жидкости, отнесенная к произведению скорости
на максимальную хорду, равна соответствующей безразмерной
циркуляции некоторого другого крыла в несжимаемой жидкости,
отличающегося от рассматриваемого крыла тем, что:
1. Угол атаки и угол нулевой подъемной силы каждого профиля
увеличены делением на 1/^1—Ms.
2. Удлинение ^=-^ уменьшено умножением на F1—М^.

424 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
§ 8. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА В ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ.
РАСЧЕТ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ Г. Ф. БУРАГО
Как указывалось выше, в случае,' когда 1>М^ >Мкр, поток
движется с дозвуковой скоростью, >но на поверхности крыла возникают
зоны сверхзвуковых скоростей, замыкаюш,иеся скачками
уплотнения.
Скачки уплотнения, возникающие в сверхзвуковой зоне, могут
иметь самый различный вид. Однако большинство' опытов
показывает, ЧТО' при достаточно развившейся сверхзвуковой зоне от
поверхности крыла в глубь потока идет мощный скачок уплотнения
СВ, близкий к прямому (фиг. 18.9). Иногда перед ним садится на
Фиг. 18.9. Обтекание крыла при 1>М>Мкр.
крыло косой скачок DE, вследствие чего скачок такого типа
называется Х-образным. Наличие косого скачка несколько' уменьшает
интенсивность прямото, так как поток, пройдя косой скачок,
подходит к прямому с уменьшенной скоростью. Но' одновременно наличие
косого скачка может ухудшить условия обтекания крыла, ибо
изменение 'Направления скорости после косого скачка может привести
к отрыву потока.
Следует отметить, что- местные сверхзвуковые зовы и скачки
уплотнения могут образовываться как на верхней, так и на нижней
поверхностях крыла.
Скачок уплотнения, образо'вавшийся на поверхности крыла,
порождает волновое сопротивление. То сопротивление, которое
порождается ухудшением условий обтекания из-за наличия скачков,
будем, следуя С. А. Христиановичу и Я. М. Серебрнйскому, называть
добавочным сопротивлением. Как показали опыты, величина
«добавочного» сопротивления для хорошо обтекаемых тел мала, что
следует из вполне удовлетворительного' совпадения для этих тел
вычисленных теоретических значений волнового сопротивления со
значениями, йолученными опытным путем.
Впервые метод расчета волно-вого' сопротивления был предложен
в 1944 г. С. А. Христиановичем и Я. М. Серебрийским.
В настоящем параграфе paccMiorpeH расчет волнового
сопротивления ПО' методу проф. Г. Ф. Бураго.

§ 8. Расчет волнового сопротивления профиля крыла
425
Предположим, что на верхней поверхности крыла (фиг. 18. 10)
образовалась местная сверхзвуковая зона ABC, заканчивающаяся
прямым скачком уплотнения. Выделим в потоке элементарную
струйку, проходящую через скачок уплотнения. Параметры газа
перед скачком обозначим: скорость через Vi, давление через ри
плотность через рь после скачка — соответственно через ^2, рг^
Р2. Проведем на достаточно большом удалении от профиля две
контрольные плоскости /—/ и //—//. Обозначим соответственно
через Pi^, /7i^, v^^, dyi^ плотность, давление, скорость и
элемент длины вдоль первой плоскости, а через Р2оо> р2ооу '^2» ^"^ ^У2оо—'
Фиг. 18. 10. Расчетная схема обтекания профиля крыла при
наличии прямого скачка.
те же величины вдоль второй плоскости. Из условия постоянства
расхода для каждой струйки будем иметь
9ic.'^io.dyioo = 92oo^2^dy2,
(18.97)
Применяя теорему о количестве движения к массе жидкости,
заключенной между контрольными поБСрхностями, получим
-)- СХ -|-00 -j- 00
IP2oo'yL^J'2o,- h^yiJyio.^^ ! iPio.-p2jdy—X^ (18.98)
—.00 00 . 00
или, принимая во виимание соотношение (18.97),
+ 00 -[-00
^в = j (Pi 00 -Р2 „) а[У + Pi 00^1 ос J i'Vi о, —f2 J dy. (18.99)
В случае отсутствия скачка уплотнения, т. е. в случае
непрерывного обтекания профиля изэнтролическим потомком газа при удалении
контрольных поверхностей в бесконечность, получим Xs=0.
При наличии скачка на поверхности профиля анализ формулы
(18.99) упрощается, если предположить, что либо давление р, либо

426 Глава XVIП. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
скорость V потока полностью в сечении //—// восстанавливаются
и принимают те же значения, что и в контрольной плоскости /—L
С. А. Христиан01вич и Я. М. Серебрийский в своей работе
предположили, что давление р впереди и позади тела стремится к общему
значению р^, значение же скорости V2^ стремится к ^i^ только
в тех струйках, которые не пересекают скачка уплотнения. Это
означает, что
+ 00
lim J iPio.-P2jdy = 0,
и вне следа от скачка
limjpi^'r;i^(^/i^~-t;2j^j; = 0.
Следовательно,
^B==Jpico'^ioo(^ico-^2j4y, (18.100)
о
где S — длина скачка уплотнения.
Примем согласно Г. Ф. Бураго предположение, что за крылом
происходит выравнивание скоростей, т. е. ^i^ =t;2oo. В таком случае
для Xj, будем иметь более простое выражение
-|-оо
X^^^p.^Ul-^j^yy. (18.101)
00
Учитывая, что при одинаковых скоростях давление па контрольной
плоскости //—// должно быть меньше, чем в плоскости /—/, так как
между ними находится скачок уплотнения, получим
/М _?2^_^<1^ (18Л02)
Как установлено выше (см. стр. 354), величина g может быть
принята равной
16б,7М?
<1, (18.103)
(-„ii
^ ^^'^(1+0,2м2)^'^
где число Ml соответствует скорости потока 'Непосредств1енно пе!ред
скачком

§ 8. Расчет волнбвбгд сопротивления профиля крыла 427
Очевидно, что для всех струек, не пересекающих скачок
уплотнения, <з = 1.
Вводя о в выражение (18. 101), а также замечая, что
Р1 oo'^i ^dyi ^ = pi't/i ds или dyi^ = dy = —^-^-^— ds,
Pi 00^1 00
получим
s
^.=PiJ-^^^^il-^)ds. (18.104)
J Р1З0С,
где интегрирование ведется по длине скачка уплотнения (вне
скачка 0 = 1).
Так как на скачке уплотнения с<^1, то Хб>0, и с уменьшением
о величина ^в будет возрастать.
На фиг. 15. 12 показано изменение величины а с ростом числа Mi.
С помощью выражения (18. 103) можно показать, что при Mi=l
Производные =0 и "^^ =0, а —^ ~/=0. В таком случае,
разлагая выражение (1—о) в степенной ряд в окрестности точки Mi==l,
МОЖНО' получить ^
1.2.3 ^мГ
Это означает, что волновое сопротивление Х^ будет пропорционально
(Ml—1)3. Но разность (Mi—1) можно в первом приближении
считать пропорциональной разности (М^ —Мкр), гак как обе разности
при M^=Miф обращаются в нуль (действительно, °при М^ =Мкр
число Ml перед скачком по определению равно единице). В таком
случае для коэффициента волнового сопротивления
Pi ^1
' ^ со ^00 *
можно принять
^.. = ^(М„-Чр)'- (18.105)
с. А. Христианович и Я. М. Серебрийский в предположении
выравнивания давления за крылом также пришли к выражению
(18. 105), коюрое по их заключению имеет место для чисел М^ , не
превышающих Мкр+0,15. Величина коэффициента А зависит от
типа профиля и распределения давления. В качестве средней
величины принимают A=IU

428 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
На фиг. 18. 11' Представлен характер распределения давления по
симметричному профилю, обтекаемому под нулевым углом атаки
при наличии скачка уплотнения на верхней поверхности. Эпюра
давл1ения показана на нижней поверхности профиля соответственно
верхней картине обтекания. В критической точке О имеет место
наибольшее давление ро. Далее давление по профилю падает и в
точке Л, где v = a^, достигает критического значения р=ркр. В сверх-
звукоБой зоне АВ давление еще более падает и лишь на скачке ВС
скачкообразно возрастает.
^ В дальнейшем давление
продолжает возрастать, а
течение сжимаемой жидко»-
сти к концу профиля
замедляется. Между тем,
если бы торможение
сверхзвукового потока
происходило безударно*, т. е. бе^
скачка уплотнения, то при
тех же скоростях мы
имели бы в кормовой части
про1ф1иля большие
давления, изменяющиеся по
линии KG'H' (вместо GH). Таким образом, при наличии скачка
уплотнения давление в кормовой части профиля понижено по
сравнению с безударным обтеканием, что и приводит к появлению до-
П'олнительного лобового сопротивления, называемого волновым.
Фиг. 18.11. Распределение давления по
профилю в случае I^Mqo > Мкр.
§ 9. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОФИЛЯ В ЗАКРИТИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТИ
На фиг. 18. 12 показано примерное изменение картины
распределения давления на поверхности профиля при различных числах
М^ и при постоянном угле атаки [9].
При М^ =0,4 местная скорость около профиля нигде не доходит
до значения скорости, равной местной скорости звука. Скачок
уплотнения Bi данно'М случае, естественно, отсутствует.
При М^ =0,6 в некоторой точке А верхней поверхности профиля
местная скорость достигает величины местной скор'ости звука, и
давление становится критическим. Точка А обычно располагается
недалеко от передней кромки профиля.
За точкой А скорость на некотором расстоянии продолжает
нарастать. Образуется небольшой сверхзвуко-вой участок между
точками А и В. Давление на этом участке соответственно падает. В
точке В сверхзвуковая скорость скачком переходит в дозвуковую, а
давление скачкообразно возрастает—образуется скачок,
замыкающий сверхзвуковой участок.
При М^ =0J и 0,77 имеем картину, аналогичную предыдущей,
но только с более расширенной зоной сверхзвуковых скоростей на

§ 9. Аэродинамические характеристика профиля в закритической области 429
верхней поверхности профиля, приближающейся все ближе и ближе
к задней кромке профиля»
При М^ =0,8 сверхзвуковая зона AiBi образуется уже и на
нижней поверхности профиля, где давление становится также меньше
критического.
При М^ =0,85 сверхзвуковые зоны, существующие на обеих
сторонах профиля, расширяются, захватывая почти всю поверхность
профиля.
Приведенные эпюры распределения давлений наглядно
показывают, что с ростом числа М^ зоны разрежения на задней части
профиля увеличиваются, что приводит к значительному росту
сопротивления.
На фиг. 18. 13 приведена зависимость коэффициента
сопротивления профиля с^ от числа М^ , причем возрастание коэффициента
сопротивления сопоставлено со спектрами обтекания профиля при
различных числах М^.
Фиг. 18. 13 хорошо иллюстрирует связь между развитием скачков
уплотнения на профиле крыла и возрастанием коэффициента
сопротивления профиля. С ростом числа М^ скачки уплотнения
перемещаются в направлении к задней кромке и одновременно становятся
все протяженнее и мощнее; Сх профиля быстро возрастает.
Образование сверхзвуковых зон и замыкающих их скачков
уплотнения с ростом числа М^ вызывает не только значительное
изменение коэффициента Сх профиля, но и коэффициента подъемной
СИЛЫ! С>у.
На фиг. 18. 14 приведена примерная зависимость коэффициента
\Су от числа М^.
При значении М^, близком к критическому значению, с^^ пройдя
через максимум, начинает уменьшаться.
Это можно объяснить тем, что на верхней по-верхности, как было
показано выше, за образовавшимся скачком уплотнения давление
значительно возрастает (см. фиг. 18. 12), что и приводит к
уменьшению с^.
При дальнейшем увеличении числа М^ область повышенных
давлений на верхней поверхности профиля уменьшается, так как
скачок передвигается к задней кромке, а на нижней поверхности при
возникновении скачка уплотнения давление значительно
увеличивается.
Все это в совокупности приводит к тому^ что коэффициент
подъемной силы с^ вновь начинает возрастать.
Значительное перераспределение давления на поверхности
профиля с ростом числа М^ при М^ >Мкр, естественно, сказывается
и на коэффициенте момента.
На фиг. 18Л5 приведена одна из эпюр распределения давления
при Мк1><М^ <1. Интересно отметить, что при таком расположении
скачков, которое приведено на фигуре, будет возникать
пикирующий момент.

430 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
щ,<^
[
^//
1
1
1
^
1
_-±
^
»-«*J
«Q.
Со
с:5
счз
«-3I-0
Со
^8
'id
|сх.^
i
1
1
\
... 1^
Со
<N0
l«^
Со
CD*"
<3o
cso
J4|<s
—^,..,..J,.._ ,
с
■i.
1
f
I
1
l'~
1
QQ-
V
/
/
/
7
/
r
/f
/
- <V)
:::з
*
Co
CNO
«a
<N)
CO
err
or
QO СЧ5

§ 9. Аэродинамические характеристики профиля в закритической области
сзс
5^
II
^ Г
S
щ
V/
///
//у
^
V/.
V/
У/,
^
1С
1
у/,
/Л
1
1
1
т~р"
\ 1
1
л
и
tr
Со
1С^
c\j

432 Глава XVIII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
0,1 50\
0,1U0
0,130^^
0,1Z0\
0,110
0,100\
0,09о\
0,08о\
0fi70\
0,06О\
0,05о\
0,0Щ
0,030
0,020
0,010
0,30 0,^0 0,50 0,60
0,90\А^
Фиг. 18. 13. Схематические изображение влияния местных скачков
уплотнения на коэффициент сопротивления профиля.
поверхность
Верхняя t-
поверхность
Фиг. 18.14. Характер зависимости
коэффициента подъемной силы профиля от
числа Моо полета при некотором
постоянном угле атаки.
Ш)княя
тверхность I
Фиг. 18. 15. Характер
распределения давления на профиле при
появлении пикирующего момента
(Мкр<М„<1).

§ 9. Аэродинамические характеристики профиля в закритической области 433
Этот пикирующий, момент может достигать больших значений,
в СВЯЗИ' с чем появляется необходимость применения яа самолете
специальных устройств для его компенсации.
Как было установлено, влияние сжимаемости воздуха на
аэродинамические характеристики профиля крыла в некотором
диапазоне чисел М^ может оказаться весьма существенным.
Это влияние можно значительно ослабить путем применения
специальных форм крыльев в плане — так называемых
стреловидных крыльев.
Фиг. 18. 16. Стреловидное крыло,
л—прямая стреловидность; б"—обратная стреловидность.
Крылья, ОСЬ которых ПО размаху крыла имеет форму ломаной
линии, образующей с поперечной осью z некоторый угол х> получили
название стреловидных крыльев (см. фиг. 18. 16).
Угол 1 называется углом стреловидности. Эффект влияния
стреловидности на аэродинамические характеристики крыла можно
объяснить следующим образом.
Стреловидное крыло в первом приближении можно
рассматривать как крыло, составленное из двух половин, поставленных косо
к набегающему потомку, скорость которого обозначим через v.
Очевидно, что если бы мы имели крыло бесконечнО'Го
размаха и поток подходил к крылу перпендикулярно размаху (см.
фиг. 18. 17,а), то в этом случае скорость в каждой точке профиля
имела бы свое определенное значение, отличающееся от скорости
набегающего потока из-за влияния толщины профиля.
В зависимости от распределения скор'ости по профилю на нем
установится соответствующая картина распределения давления,
которое также будет отличаться от давления в набегающем потоке.
28 Аэродинамика

434 Глава XVIIL Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
Если бы мы имели то же крыло (см. фиг. 18. 17,6), но (поток,
набегающий на крыло, шел вдоль бесконечного размаха крыла,
то в этом случае значение скорости около' всех точек профиля
было бы величиной постоянной и совпадало бы со значением
скорости у, так как профили в каждом сечении, перпендикулярном
размаху, предполагаются одинаковыми. Что касается распределения
давлений, то в силу равенства скоростей будут равны и давления во
всех точках такого бесконечного крыла.
и
и
а)
б)
Фиг. 18. 17. Различные случаи обтекания крыла бесконечного размаха.
Рассмотрим теперь случай (см. фиг. 18. 17,в), когда крыло
бесконечного размаха наклонено к набегающему потоку v под
некоторым углом Х-
Разлагая скорость v на две составляющие: v cos /и и sin х,
можно на основании рассмотренных выше двух случаев сразу
отбросить влияние составляющей скорости t; sin X и учитывать только
влияние составляющей v cos X.
Компонента скорости t;cos х обозначается через Vni
Легко видеть, что в этом случае эффективным числом М будет
М„ = МС08Х-
Таким образом, мы приходим к важному выводу. Волновой
кризис у Kocoi обдуваемого крыла может возникнуть только тогда, когда
составляющая скорости, перпендикулярная размаху ycosX, а не
полная скорость v, превысит критическое значение; при этом М^ к^
будет больше Мкр.
Стреловидное крыло в основном сходно с рассмотренным косо
обдуваемым крылом. Поэтому у стреловидного крыла критическое
ЧИСЛО! М обычно бывае1[' больше, чем у нестреловидного крыла с
таким же набором профилей, т. е. начало волнового кризиса
отодвигается у стреловидного крыла на большие числа М.

§ 9. Аэродинамические характеристики профиля в закритической области 435
На фиг. 18. 18 приведена зависимость коэффициента лобового
сопротивления от числа М^ для некоторого прямоугольного крыла
без стреловидности (х=0) и
для того же крыла со- стре- ^^^
ловидностью (Х=40^,
средняя кривая).
На этой же фигуре дана
для того же стреловидного
крыла кривая Сх по
М^^,построенная на оснований
теоретических расчетов.
Расхождение нижних двух
кривых объясняется
следующим.
Во-первых, теория
относится к крылу бесконечного
размаха с постоянной хордой.
Во-вторых, на реальных стреловидных крыльях сказывается
взаимное влияние двух его половин. В месте сопряжения половин
крыла эффект косой обдувки нарушается.
Тем не менее выигрыш от придания крылу стреловидности
оказывается значительным и ощутимо сказывается на понижении Мкр
для всего крыла.
аог
0,2 Q^ Ofi 0,8 10 Ш^
Фиг. 18.1'8. Характер зависимости
коэффициента лобового сопротивления от числа М^а
для некоторого прямоугольного крыла без
стреловидности (х==0°) и для того же
крыла с углом стреловидности х =40°.
28-^

Глава XIX
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ и КРЫЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ
ГАЗОВОМ ПОТОКЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ЛИНЕАРИЗОВАННОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ РАЗРЕЖЕНИЯ
И СЖАТИЯ ГАЗА ВДОЛЬ ТВЕРДОЙ ГРАНИЦЫ
Рассмотрим плоское сверхзвуковое потенциальное течение газа
вдоль твердой границы, составленной из двух прямолинейных
участков АО п ВС и соединяющего их криволинейного участка ОВ
(фиг. 19.1 и фиг. 19.2). Случай, представленный на фиг. 19.1,
соответствует течению разрежения, а на фиг. 19. 2 ^—течению
сжатия. В обоих случаях кривая ОВ и полупрямые АО и ВС имеют
дТТТТТТТТ^
Фиг. 19. 1. Плоское сверхзвуковое течение газа вдоль выпуклой стенки.
в точках О и В общие касательные. Невозмущенный сверхзвуковой
поток газа, текущий вдоль границы АО, обладает скоростью t^i,
давлением р1 и плотностью Pi.
Прежде чем приступить к изучению этих двух течений с помощью
метх>да линеаризации, обратимся к рассмотрению следующего
случая.
Допустим, что равномерный сверхзвуковой поток газа, текущий
вдоль твердой стенки АО со скоростью v, отклоняется на некоторый
малый угол db, причем отклонение потока вызвано отклонением
стенки АО за точкой О на угол dO (фиг 19. 1).

§ 1. Линеаризованное сверхзвуковое течение разрежения и сжатия 437
Точка О будет являться источником малых возмущений в
рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Из точки О проведем
характеристику От. Впереди этой характеристики поток будет
невозмущен и ВО' всех точках будет иметь одну и ту же скорость t;.
Следовательно, характеристика От (как и другие характеристики этого
с-емейства) — прямая линия, совпадающая с линией возмущения.
Пересекая линию возмущений От, поток несколько изменит
свое направление, отклоняясь от первоначального направления на
угол d6, и будет двигаться параллельно стенке ОВ с несколько
измененными скоростью v-rdv и давлением p+dp.
Найдем зависимость между
величиной приращения скорости dv и
изменением направления
течения d 6.
С этой целью воспользуемся
уравнениями неразрывности и
количества движения.
Используя уравнение
неразрывности, будем иметь
7777Т77Т7777Г.
М и
-X
Р^„ = (р + ФЖ + ^'г;„)(19. 1)
Фиг. 19. 2. Плоское сверхзвуковое
течение газа вдоль вогнутой стенки.
ИЛИ, оставляя только малые первого порядка,
Применяя уравнение количества движения в проекции на
направление, параллельное линии возмущения, получим
Р'^Л! = (Р + Ф) (^« + dv^) v^,
откуда, учитывая уравнение (19. 1),
^t2 = '^^.
(19.2)
т. е. тангенциальные составляющие скорости с обеих сторон линии
возмущения равны. Из уравнения количества движения в проекции
на направление, перпендикулярное к линии возмущения, можно
получить
Р
(19.2')
Приращение абсолютной величины скор^ости v (см. фиг. 19. 1)
можно написать в виде
dv = dv^ cos [90° — {i^ + db)l
откуда с точностью до малых ^первого порядк;а
dv==dv^sm\i'.
(19.3)

438 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
Из фиг. (19.1) следует также простое соотношение
't; sin (^6) = fif'y^ sin [90^—([1 + cf6)],
откуда с той же точностью можно получить
dv„ cos м-
d% = -^ -. (19.3')
V
Используя последние два уравнения, находим соотношение между
приращением скорости dv и изменением направления течения rfO
в следующей дифференциальной форме:
V
Замечая, что улол возмущения р. связан с числом М соотноЩением
1
tgl^ =
Ym -1
преобразуем последнее дифференциальное уравнение к следующему
окончательному виду:
dv 1
/М«- 1
db. (19.4)
Сравнение формулы (19.4) с формулой (16.26) показывает,
что дифференциальное соотношение между приращением скорости
и изменением направления течения одно и то же как для точек,
лежащих на характеристиках, так и вдоль линий тока (в частности,
вдоль твердой стенки). Но, как было показано в гл. XVI, уравнение
(19.4) интегрируется в конечном виде, и интегральной кривой
является эпициклоида. Следовательно, эпициклоиды (характеристики
в плоскости Vx, Vy) можно рассматривать как годограф скорости для
сверхзвукового течения около выпуклой или вогнутой криволинейной
поверхности (в последнем случае образование скачков уплотнения
не учитывается).
Применяя формулу (19.4) для отклонения потока от первона-
чального направления к линии возмущения, расположенной за
рассмотренной выше (возникновение этой линии обусловлено наличием
второй угловой точки на обтекаемой стенке), можно определить
скорость и другие параметры газа за этой линией возмущения.
Продолжая этот процесс далее и переходя к пределу, придем к
картине течения около некоторой криволинейной стенки,
изображенной на фиг. 19. 1.
Обратимся теперь к линеаризации уравнений газовой динамики,
считая все возмущения, возникающие в газовом потоке, малыми.
Как известно, разлагая какую-либо функцию f{x) в ряд Тейлора
в окрестности некоторой точки Xq

§ 1. Линеаризованное сверхзвуковое течение разрежения и сжатия 439
МОЖНО Б первом приближении считать, что приращение функции при
удалении от точки Хо происходит по линейному закону
f(x)-f(x,)==f{x,){x^x,\ (19.5)
т. е. ограничиться лишь одним членом разложения f{x) — /(^о) в ряд.
Используем формулу (19.5) для разложения в ряд скорости v
газа по переменному 6 (см. фиг. 19. 1 и 19.2). Тогда получим
-m~-m+(%j=4+(%j. (19.6)
На основании уравнения (19.4) имеем
dv у
Так как при 0 = 0 v==Vi, то
(dv \ Vi
(19.7)
Подставив найденное выражение /—| в формулу (19.6),
будем иметь
'Г» = <ГЬ J-
Км?-!
t^^t^iH ""' е. (19.8)
Связь между давлением и скоростью с точностью до малых первого
норядка выражается линеаризованным уравнением Бернуллн,
подобным уравнению (18.6):
p—pt = — 9ivi(v—v^). (19.9)
С помощью выражения (19.8) линеаризованное уравнение Бер-
нулли (19,9) примет вид
]/"м2-1
Вводя в эту формулу обозначение для скоростного напора, соот-
жетствующего скорости t^i,
^1 = ^7Г-'

440 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
получим
р=р, 7==е. (19.10)
/м?-1
Угол 6 отсчитывается в направлении от вектора v к
положительному направлению оси х. Если это направление соответствует
повороту вектора скорости v против часовой стрелки, то углу 6
приписывается знак плюс, в противном случае — знак минус. При этом
из формулы (19. 10) следует, что при обтекании выпуклой стенки
сверхзвуковым потоком давление падает, а при обтекании вогнутой
стенки — возрастает.
Заметим, что формула (19. 10) является формулой первого
приближения. Как будет показано ниже, формулу второго приближения
можно легко получить, если в разложении вртда (19.5)
ограничиться не одним членом, а двумя (см. § 4 настоящей главы).
Обратимся к исследо'ванию величины наклона линий
возмущения к оси X в рассматриваемых двух течениях разрежения и сжатия
(вдоль стенок). В течении разрежения наклон линий возмущения
уменьшается и становится в точке В наименьшим (см. фиг. 19. 1);
в течении сжатия, наоборот, наклон линий возмущения возрастает
и в точке В становится наибольшим (см. фиг. 19.2).
Обозначим угол, образуемый вектором скорости с направлением
характеристики, через р. (угол возмущений). Известно, что
а \ , 1
8Ш[х = == ИЛИ tg[x:
М ^ |/"М«—1
и, кроме того, угол наклона характеристик удовлетворяет
соотношению
^ = tg(6 + ,x). (19.11)
При сравнительно небольших числах М можно принять
^ = 4v-u (19.12)
т. е. считать наклон линий возмущений во всем потоке неизменным
и равным наклону этих линий в невозмущенном потоке (расчеты
показывают, что сетку линий возмущений можно считать
составленной из параллельных прямых до' числа Mi==3).
Таким образом, мы пришли к схеме течений, изображенных на
фиг. 19.3 и 19.4, где линии тока представляют собой
эквидистантные кривые и вдоль каждой линии возмущения скорость и другие
параметры потока постоянны.
Выясним, что будет происходить в газовом потоке, если
постепенно приближать точку В стенки ВС к точке 0^ не изменяя
наклона стенки ВС к оси х. Для этого обратимся вначале к фиг. 19. 4;
При переходе через каждую линию возмущения первого семейства,
исходящую из любой точки стенки ОВ, имеет место бесконечно
малое повышение давления. Если точка В будет приближаться к

§ 1. Линеаризованное сверхзвуковое течение разрежения и сжатия 441
точке О, то будет происходить более интенсивный рост давления на
единицу длины стенки ОВ, и, когда точки В к О совпадут, давление
будет скачкообразно возрастать на линии Omi. В этом случав линия
возмущения Orui станет линией уплотнения (фиг. 19. Е). Следова-
-^
Фиг. 19.3. Линеаризованное течение
разрежения.
Фиг. 19. 4. Линеаризованное течение
сжатия.
тельно, при совпадении точек О и В получим линеаризованное
направление линии косого скачка уплотнения и линеаризованное
обтекание тупого угла, меньшего 180°.
В случае обтекания выпуклой стенки (фиг. 19. 3) с помощью тех,
же рассуждений придем к выводу, что на линии возмущения От%
Фиг. 19.5. Линеаризованная линия
уплотнения.
Фиг. 19. 6. Линеаризованная линия
разрежения.
давление будет резко понижаться, и эта линия будет играть роль
линии скачкообразного разрежения (фиг. 19.6). Таким образом,,
в линеаризованной теории обтекания тупого угла, большего 180^,
в точке В угла возникает плоская поверхность разрыва—скачок
разрежения. Как известно, при точном решении задачи об обтекании
выпуклого тупого угла из точки В угла исходит пучок элементарных
волн разрежения.
В дальнейшем будем изображать линию уплотнения сплошной
линией, а линию разрежения ^—пунктиром.

442 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
§ 2. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
Рассмотренная схема линеаризованного течения разрежения и
сжатия вдоль стенки позволяет довольно просто построить схему
обтекания потоком газа плоской пластинки. Допустим, что пластинка
ОВ поставлена под углом атаки а к потоку, набегающему на нее
со скоростью v{^ai.
В то<чке О передней кромки пластинки набегающий поток
разделяется на два потока. Наверху около точки О имеем обтекание
тупого угла большего- 180^, что
вызывает образование
линии прерывного разрежения-
Внизу около точки О имеем
обтекание тупого угла
меньшего 180°, т. е. вниз из
точки О исходит линия
уплотнения. После этих линий
верхний и нижний потоки текут
параллельно пластинке ОВ.
В точке В задней кромки
пластинки происходит
смыкание обоих потоков. Это
смыкание происходит так, что
верхний и нижний потоки
пр иобр ета ют один а koibo е
давление и одно и то же направление. Для этою достаточно
верхнему и нижнему потокам повернуться около точки В на
угол а против часовой стрелки. Тогда из уравнения Бернулли
следует, что они приобретут одно и то же давление, равное
давлению рх невозмущенного потока. Стало быть, смыкание
потоков в точке В будет сопровождаться возникновением у точки В
в верхнем потоке линии уплотнения, а в нижнем потоке — линии
'прерывного разрежения, после которых поток течет параллельно
невозмущенному потомку.
Перейдем к вычислению аэродинамических сил, действующих
на пластинку. Давления рв и рщ действующие на пластинку,
постоянны по ее длине и нормальны к ее поверхности, следовательно,
на пластинку будет действовать полная аэродинамическая сила R,
нормальная к ее поверхности и приложенная в середине пластинки
(фиг. 19.8), т. е. центр давления плоской пластинки определяется
соотношением
д:д=0,5&.
Вычислим полную аэродинамическую силу, приходящуюся на
единицу длины размаха пластинки:
Фиг. 19. 7. К линеаризованной теории
обтекания плоской пластинки в сверхзвуковом
потоке.
/?=(Рн—Рв)&.

§ 2. Линеаризованная теория обтекания плоской пластинки
443
Обращаясь к формуле (19. 10)^ получим
p^ = Pi — 2q,atg[i^,
и, следовательно, величина
Введем коэффициент силы R
(19.13)

Свили
Так как
tgPi=-
qib qib
C/? = 4atg[Xi.
1
/м?-1 '
то окончательно находим выражение для коэффициента силы R:
4а
Cr=^
/м?
1
(19.14)
Чтобы определить коэффициент лобового сопротивления с» и
подъемной силы Су пластинки, разложим коэффициент Cj^ на два
направления (фиг. 19.9). Так как угол атаки а мал, то cosa^^^l
Фиг. 19.8. Направление и точка
приложения аэродинамической силы R,
действующей на плоскую пластинку в
сверхзвуковом потоке.
Фиг, 19.9. Составляющие
коэффициента Cr-
и sin а?^а. В таком случае формулы для коэффициентов подъемной
силы и лобового со'Противления пластинки в сверхзвуковом потоке
примут вид
gy-,^-4 ' (19.15)
4а2
y^i-i
(19.16)

444 Глава XIX. Основы тории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
Отсюда можню заключить, что величина аэродинамического
качества
для пластинки в сверхзвуковом потоке будет равна
к=
Следовательно, качество пластинки зависит только^ от угла атаки а
(а во всех формулах выражен в радианах).
(^
Для коэффициента с^ пластинки имеем с^= ^ =
2а
— ^ ; фокус же пластинки совпадает с центром
давления, так как с^^==0.
§ 3. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
На основании изложенного в предыдущих параграфах легко
построить линеаризованную картину обтекания тонкого профиля в
плоском сверхзвуковом потоке. На фиг. 19. 10 изображен случай.
Лший прерд/б-
ного pa3pementai\
Линая
Линия преро/дного
разренсения
Фиг. 19.10. Линеаризованная картина обтекания тонкого
профиля сверхзвуковым потоком (первый случай).
когда из точки О исходят как линия прерывного разрежения, так
и линия уплотнения. На фиг. 19. И из точки О исходят две линии
уплотнения (вверх и вниз). Реализация того или иного случая при
заданной форме профиля зависит, очевидно, от угла атаки ot. Как
было показано в предыдущем параграфе, в точке В происходит
смыкание обоих потоков, в результате которого верхний и нижний
потоки приобретают одинаковое давление pi н одинаковое
направление, совпадающее с направлением невозмущенного потока.

§ 3. Линеаризованная теория обтекания тонкого профиля
445
Направим ось х по хорде профиля, приняв переднюю кромку за
начало координат, а ось у направим вверх нормально хорде (см.
фиг. 19.12).
Линия уллотненил
^Х
Фиг. 19. 11. Линеаризованная картина
обтекания тонкого профиля сверхзвуковым потоком
(второй случай).
Пусть верхний контур представляет собою кривую, уравнение
которой напишем в виде
У.-^уМ- (19.17)
Аналогично для нижнего контура
j/„=j/„(^)- (19.18)
Фиг. 19. 12. К расчету аэродинамических сил, действующих на
профиль в сверхзвуковом потоке.
Найдем величину давления в точках верхнего и нижнего
контуров профиля. Представим углы 6^ и Q,,, образуемые элементом
поверхности с направлением скорости потока, в следующем виде:

446 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
Знаки углов 6^ и б^, 6^ и 0^ выбираются так же, как и знаки
углов атаки крыла.
Давление в любой точке верхнего контура будет определяться
с помощью уравнения
^B=^--2^itgl^i(9; + a),
где можно принять
dx '
В точках нижнего контура
где
0'=^.
" dx
Подъемная сила У и сила лобового сопротивления X (по
направлению скорости потока v) выразятся следующими формулами:
У^ (p„cos(6; + a)flfs„-~|/?3COs(0; + a)i/53; (19.19)
Х= ]\ sin (0; + а) ds, - '[рз sin (е; + а) ^^з. (19.20)
В этих выражениях ds^ и ds^^ — элементы дуг, образующих верхнюю
и нижнюю стороны профиля; Sb и Sh — полные длины этих дуг.
Чтобы выдержать допущения, связанные с принятием условия
линеаризации, положим
dSj^ = fi?s„ = dx,
где dx — элемент хорды профиля;
cos(0; + a) = cos(03 + oc)^U
sin(0; + a) = 0; + a; sin (0„ + а) = е;, + а;
^в = ^н = ^.
Для тонкого профиля эти допущения дают хорошую степень
точности.
При принятых допущениях выражения (19. 19) и (19.20) можно
заменить приближенными выражениями:
Y=^(p„-p.)dx, (19.21)
О
^=1/'„(9;+«)^-^-{/'в(9;+«)^-^- 09.22)

§ 3. Линеаризованная теория обтекания тонкого профиля 447
Подставляя в уравнение (19.21) выражения для рп и рв,
полученные ранее, находим
b b
о о
= 4^1 atg tti& + 2^1 tg 1^1 I (6^ + e;) rfx.
0
Так как при сделанных выше допущениях можно принять
|(в. + «.)'<Д:=|(-|--+|')«*-=(-Л+л1г=0.
О О
то
r = 4^iatg[Xi6
и
1/м?-1
Из формулы (19.23) следует, что в первом приближении
коэффициент подъемной силы Су профиля не зависит от формы профиля
и выражается так же, как и Су для плоской пластинки.
Перейдем к расчету силы лобового сопротивления:
^=jA(9„ + a)^-^ + 2yitgtii J(6; + a)2rf^^
о о
- \Pi (Q; + o)dx + 2q, tg til J (6^ + a)^ dx.
0 0
b
производя преобразования и учитывая, что J ^'dx='0^ получим
о
X = 4q,a'b tg v, + 2q, tg ^г J (6^' + К')^х.
О
Вводя обозначение
b
B==-j^iK' + K')dx, (19.24)
О
где величина В зависит только от формы профиля, находим для
коэффициента силы лобового (волнового) сопротивления
следующее выражение:
с,= ,i!l—+ ^^g— ■ (19.25)
Анализ этого выражения приводит к важному заключению —
лобовое (волновое) сопротивление тонкого профиля в сверхзвуковом

448 Глава XIX. Основы 7\еории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
потоке состоит из двух частей: из сопротивления, зависящего от
угла атаки и равного сопротивлению тонкой пластинки
4а2 Л/'ц^ \
^х1—7===-^^ Су. (19.26)
/м?-
и из сопротивления
'^=^4^' (l^•27)
/м?-
зависящего только от формы профиля и его относительной толщины.
Эта часть сопротивления представляет собой минимальное волновое
сО'Противление данного профиля, получаемого при а=0.
Как видим, по лобовому сопротивлению тонкая пластинка
является наилучшим теоретическим профилем для сверхзвукового
потока. Очевидно, практические профили будут тем лучше по
лобовому сопротивлению, чем более они приближаются к этой форме.
§ 4. УТОЧНЕННЫЕ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Выше была рассмотрена теория первого приближения, при
которой зависимость между разностью давлений и углом отклонения
потока от невозмущенного направления принималась линейной:
где q и М — скоростной напор и число М для невозмущенного
потока. Эта зависимость справедлива для достаточно малых значений
угла 6, т. е. для весьма тонких профилей, обтекаемых под малым
углом атаки.
Рассмотрим основные положения теории второго приближения.
Используя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь только
двумя первыми членами разложения, получим зависимость между
разностью давлений hp и углом 6 в следуюгцем виде:
или
Vн=(^Л + ^29^)<7, (19.28)
i^Ps={-cA + c,b^:)q, (19.29)
где попрежвему индексы н и в относятся соответственно к нижней
и верхней поверхностям профиля.
Коэффициенты Ci и С2 выражаются следующим образом:
^ ]/^ М2 - 1
(19.30)

§ 4. Уточненные теории профиля в сверхзвуковом потоке
449
Для подъемной силы Y, лобового сопротивления X и момента
Ms> справедливы формулы
У= I ^РнCOS 0нds^— J Д/7зCOS 03 ds^.
о и
Z= J А/?„ sin 0н ds^ — J А/7з sin 63 ^^3,
о о
^г= i Vh cos е;д: rfs„ — J д^Оз COS e;A; ^/«3
(19.31)
(19.32)
(19.33)
Интегралы (19.31) — (19.33) можно вычислить, если известны
геометрические характеристики профиля.
Подставим значения р„ (19.28) и ре (19.29) в выражение для У
(19.31) и так же, как и ранее, приближенно положим
Тогда получим
cos6?=sl, sini
J'=J'(^ie„+^2e^)^rf.^-J(-fA+^2e^)9^-^.
u и
Введя новое переменное х=^—, Ь=1, будем иметь
b
Cy = ]{cA + c,^l)dx-]i-c,G, + c,b^;)dx. (19.34)
О О
Подставляй вместо 6н и 6^ их значения, выраженные через углы
а и Ь\ получим
о .
О
или иначе
с = aci + Ci J бнйл: + c^oi^ + 2с^а^ 6н^л:+ ^з J бм^^л: +
•^ о 0 0
1 1
+ ^1^ - ^ J бв ^-^"- ^2^' — 2с^а J e^djc -- с J e^^rfx.
Группируя члены, находим
1 _ 1 _
^v=^ J (9н - б^) flfx+^ J (бн' - 9;^) flf^+
+ а
2^i + 2^J(6;~6;)^^
(19.35)
29 Аэродинамика

450 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
Производя такие же выкладки для величины X, будем иметь
+ [2^ike; + 9;)rf^+3cJ(6;'---e^^)rfxla +
+
2c^ + dcJ{bl,---b'^)dx
(19.36)
Аналогично можно получить выражение для коэффициента
момента [72]:
1 _ _ 1 _ _1
Сг 1(6н + %)xdx + С, J (6;^ - b'^^)xdx
Ci + 2c^^{bn~^B)xdx
а.
(19.37)
Произведем следующие упрощения. Примем, что
1 _ 1 _
J Kdx ж О, J b^dx ж 0.
. о о
Эти интегралы в точности будут равны нулю, если профиль
симметричен. Выражения
1 _ 1 _
i^ndx и JOe^dA:
о о
также являются малыми величинами, которыми можно пренебречь.
В таком ^случае формулы (19.35), (19.36), (19.37) можно
переписать в следующем виде *: '
Су=:2сгОс + Ас^, (19.38)
с^ = Вс^ + ЗЛс^а + 2с^^^, (19.39)
<^т= -(^1 + Dc,)a^{Ec, + Fc,), (19.40)
где
о
О
1 _ __
D==2^{(i'^ — b^)xdx,
о
1
E=^{b^ + ^',)xdx,
о
1 _ ___
F=^(C — €)xdx.
(19.41)
* Легко видеть, что если в полученных выражениях коэффициент сг
положить равным нулю, то получим формулы линеаризованной теории.

§ 4. Уточненные теории профили в ^сверхэвутв&м потоке
451
Как вытекает из полученных формул, влияние числа М на
аэродинамические характеристики профиля учитывается лишь
коэффициентами Ci и С2. Зависимость этих коэффициентов от числа М,
рассчитанная по формулам (19.30)»
изображена на фиг. 19.13. Влия- ^^
ние же формы профиля целиком ^^^
определяется значениями
параметров А, В, D, Е, F, Эти
параметры являются, таким
образом, Реометрическими параметра- 3,0
ми профиля и равны нулю для
пластинки.
Из пяти параметров три — А,
Е, F — учитывают
несимметричность профиля (они равны нулю
для симметричного профиля).
Параметры В я D учитывают
толщину профиля, причем 5>0,
aD<0.
Исследованиями,
проведенными в Московском авиационном
институте им. С. Орджойикидзе
А. А. Лебедевым, установлена следующая зависимость
аэродинамических характеристик профиля в сверхзвуковом потоке от его
конструктивных параметров:
АО
10
2.0
W
п
н—1
1
Л
,
i
V.
,\.
...^
~~~~1
\
f
С,
^}
1.0 щ /,4 1.6 1.8 го г.г м
Фиг. 19113. Зависимость
коэффициентов Ci и са от числа М;
Cy = 2Ci(a—аД - , . . '
(19.42)
где ao — угол атаки профиля при с,у=0; с — относительная толщив-а
профиля; / — относительная вогнутость профиля; л:^?,— координата
фо^куса профиля; &i, ^2, ^з — некоторые численное коэффициенты;,
зависящие от (|)ормы профиля.
Значения этих коэффициентов для ряда профилей приведецы
в табл, 19. 1. .
29*

452 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
Таблица 19. 1
Профиль
Линейный
1
-^С V* -^с)
1~^с
Линейный ромбовидный
(:;^с=0,5)
Профиль К. Э.
Циолковского
Образованный двумя
синусоидами
1X2
тс
4
7Г»
Образованный двумя
•Дугами окружностей^
16
3
16
3
Из формул (19.42), в частности, следует, что c^a^/Bmin
пропорционален квадратам толщины и вогнутости профиля.
Из приведенной таблицы следует, что наименьшим волновым
сопротивлением обладает профиль в виде ромба (/^i=4), для
которого
^х min — 2^ ^1 ■
4с*
]/ М« - 1
(19.42')
Следует отметить, что клиновидная форма профилей, как
наивыгоднейшая для сверхзвуковых скоростей, впервые была указана
К. Э. Циолковским.
Рассмотренная выше теория профиля в сверхзвуковом потоке
является теорией второго приближения.
К числу более точных теорий принадлежит теория профиля р
сверхзвуковом потоке, разработанная в СССР А. Е. Доновым.
А. Е. Донов получает формулы для аэродинамических
коэффициентов (Car и с<у) е учетом четвертой степени углов 9.
В связи с тем, что результаты А. Е. Донова не выражают в
яэном виде зависимости аэродинамических характеристик профиля
от его геометрических параметров, они здесь не приводятсяо [63].

§ 5, Точное решение задачи об обтекании некоторых профилей 453
§ 5. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЕЙ, СОСТАВЛЕННЫХ
ИЗ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ОТРЕЗКОВ, СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
Разобранные в предыдущих главах теория косых скачков
уплотнения и теория обтекания выпуклого тупого угла позволяют
рассчитать обтекание сверхзвуковым потомком газа любых профилей,
контур которых составлен из прямолинейных отрезков.
Результаты расчета в этом случае оказываются более точными,
чем получаемые, например, с помощью линеаризованной теории.
Фиг. 19. 14. Схема обтекания профиля, составленного из прямолин-ейных
отрезков, сверхзвуковым потоком (первый случай).
Допустим, что сверхзвуковой поток газа обтекает под некоторым
углом атаки а. произвольный профиль, составленный из
прямолинейных отрезков (см. фиг. 19. 14). Как и ранее, введем следующие
обозначения: Vi — скорость набегающего на профиль
невозмущенного сверхзвукового потока газа; pi — давление в этом потоке;
«1 — скорость звука в набегающем потоке; Mi= ~ число М на-
бегающего потока. Установим вначале характер обтекания потоком
передней кромки профиля А.
Если рассматриваемый профиль установлен в потоке газа так,
что угол между направлением скорости v± и прямолинейными
участками профиля АВ и ABi меньше 18(F, то при обтекании верхней
поверхности профиля в окрестности точки А имеет место течение,
аналогичное обтеканию клина с углом раствора,^в—а. При обте^ка-
нии же нижней поверхности профиля течение в окрестности точки А
аналогично обтеканию клина с углом раствора в^+ а.

454 Глава XIX. Основы т^еории профиля и крыла е сверхзвуковом потоке
Отсюда следует, что если углы раствора этих клиньев меньше
предельного угла, то при обтекании передней кромки А профиля
образуются два косых скачка уплотнения АК и AKi. Пройдя через
плоскости этих скачков, поток газа изменит свое первоначальное
направление и будет двигаться параллельно стенкам профиля АВ
и АВи
Основываясь на теории косых скачков уплотнения, можно'
определить все газодинамические параметры газа, текущего вдоль
стенок АВ и ABt,
В качестве примера укажем путь определения параметров газа,
текущего вдоль стенки Л5. Зная число Mi набегающего потока и
угол ^в—а поворота потока на скачке АК, легко найти угол р,
образованный плоскостью косого скачка АК с первоначальным
направлением потока Vi, Для этой цели можно использовать график
зависимости угла р от угла раствора клина (см, фпг. 17. 3).
Далее для определения параметров газа за плоскостью скачка
АК воспользуемся результатами (17.6), (17.7) и (17.8),
полученными в § 2 гл. XVII. Например, для определения давления рАвмож-
но воспользоваться формулой (17.6)
— = М? sin2 8 ,
где рав — искомое давление вдоль стенки АВ,
Скорость газового потока, текущего вдоль стенки АВ^ нетрудно
определить графически, используя для этой цели ударную поляру
(см. фиг. 17., 8).
Совершенно аналогично можно рассчитать параметры газа за
косым скачком АКи т. е. вдоль стенки АВ^
Из фиг. 19. 14 видно, что, пройдя косые скачки, потО'К газа будет
последовательно обтекать ряд выпуклых тупых углов: ABC, BCD,
CDE — на верхней поверхности и ABiCi^ 5iCiDi, CtDtE — на
нижней по<верхности. При обтекании этих углов поток газа меняет
направление соответственно на углы 6^, 6с, ^о' и т. д. Параметры
газа вдоль каждого из прямолинейных отрезков ВС, CD и т. д.
также не трудно рассчитать, используя формулы для обтекания
выпуклого^ тупого угла (гл. XVI, § 7). Для практических расчетов
удобно пользоваться табл. 16. 1, приведенной на стр. 381. Ход расчета
можно рекомендовать следующий.
По определенной выше скорости vab определяем величину числа
Мав потока, текущего вдоль стенки АВ. Далее по табл. 16. 1
отыскиваем фиктивный угол поворота потока %ав^ соответствующий
значению числа Мав (^%ав—угол, на который должен повернуться
поток, текущий со скоростью звука, чтобы достичь заданного
значения числа М=Мав). Суммарный угол поворота звукового потока
при обтекании угла ЛВС будет, очевидно, равен
:о [ -/ ' ^ %вс = ^^Ав + ^в*

§ 5. Точное решение задачи об обтекании некоторых профилей 465
Для значения б^вс из табл. 16.1 можно найти параметры газа,
текущего вдоль стенки ВС^ отнесенные к параметрам торможения
дд Рве ^вс
Ро То
Определив параметры торможения ро и Го, по выведенным выше
формулам (14.22) иайдем искомые параметры рве и Гвс-
Аналогично можно определить параметры газа, текуш;его вдоль стенок
СЯ DE и т. д.
Фиг. 19. 15. Схема обтекания профиля, составленного
из прямолинейных отрезков, сверхзвуковым потоком
(второй случай).
Что касается задней кромки профиля Е^ то от нее в соответствии
с фиг. 19. 14 отойдут два косых скачка уплотнения. За этими
скачками поток, сбегаюпхий с верхней и нижней сторон профиля, вновь
приобретет первоначальное направление, давление становится
равным давлению невозмущенного потока pi, но скорости потока
непосредственно за скачками будут различными, скачкообразно
изменяясь на вихревой поверхности раздела, условно показанной на
фиг. 19. 14 двумя близкими линиями, исходящими из точки £■,
Рассмотренная схема расчета обтекания профиля, составленного
из прямолинейных отрезков, дает возможность достаточно точно
определить давление вдоль каждого из прямолинейных участков
профиля, а следовательно, подсчитать и силовое воздействие «а
профиль сверхзвукового потока. Приведенная схема расчета
принципиально не изменится, если ее применить к профилю,
изображенному на фиг. 19. 15. Особенность расчета в этом случае будет
состоять только в том, что при определении параметров газа вдоль
стенки АВ нужно пользоваться формулами для обтекания выпуклого
тупого угла, поворачивающего поток на угол 6^.

456 Глава XIX.. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
В заключение следует еще раз подчеркнуть, что излс^женная
схема расчета применима лишь при таких углах атаки ot, при кото--
рых углы раствора клиньев у передней кромки профиля меньше
предельного угла для заданного числа Mi набегающего потока.
В противном случае перед профилем образуется скачок уплотнения
с криволинейным фронтом, для которого ДО' настоящего времени еще
не разработан метод теоретического расчета.
Расчет обтекания профиля рассматриваемой формы значительно
осложняется также и в том случае, когда прямолинейная
характеристика, выходящая, например, из точки В профиля, встречает
фронт косого скачка уплотнения и, «отразившись» от него, снова
попадает на профиль.
§ 6. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА БЕСКОНЕЧНО ДЛИННУЮ
ПЛОСКУЮ ПЛАСТИНКУ ПРИ ЕЕ СКОЛЬЖЕНИИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим обтекание бесконечно длинной плоской пластинки сверхзвуковым
потоком при наличии скольжения (фиг. 19.16).
Обозначим через v скорость потока, набегающего на пластинку. Скорость v
можно разложить на две компоненты: и,^— компоненту скорости,
перпендикулярную передней кромке, и Vt — компоненту скорости, совпадающую с направлением
передней кромки. Угол х»
образованный векторами скорости v
и f^, называется углом
скольжения.
Таким образом, обтекание
пластинки со скольжением (ХфО)
отличается от обычного обтекания
наличием составляющей скорости
вдоль передней кромки Vf.
При определении
аэродинамических сил, действующих на
пластинку при скольжении, будем
предполагать, что на
распределение давлений оказывает влияние
только компонента нормальной
составляющей скорости и,2^\ Это
означает, что обтекание
скользящей пластинки можно
рассматривать как обтекание пластинки
плоско-параллельным потоком со ско-
Фиг. 19. 16. Движение бесконечно длинной ростью.
плоской пластинки со скольжением. ^ =«;cos7. (19.43)
Число М и скоростной напор, соответствующие компоненте скорости v^y
очевидно, равны
M;,=Mcosx. (19,44)
gn^q cos^X. (19.45)
Определим угол атаки скользящей пластинки. Угол между скоростью по-
тока V и хордой крыла, лежащей в плоскости, совпадающей с направлением
скорости у, обозначим через а. Угол атаки а лежит в плоскости, параллельной
* Это предположение строго справедливо только для потенциального течения,
так как течение в пограничном слое в некоторой степени зависит от составляющей
скорости, параллельной передней крбмке.

§ 6. Силы, действующие на пластинку при ее скольжении
457
потоку. Угол между скоростью t;^ и хордой, лежащей в плоскости,
перпендикулярной к передней кромке, обозначим через а^. Угол атаки а^ лежит в плоскости,
перпендикулярной к передней кромке. Как видим, для скользящей пластинки
характерны два угла атаки а и «;,.
Углы а VL а^ связаны между собой простой зависимостью
sin а—sm cLfi cos^.
При малых углах атаки можно положить
a=a^cosx.
(19.46)
Заметим, что в зависимости от угла скольжения х и числа М возможны два
случая обтекания скользящей пластинки (крыла) сверхзвуковым потоком.
В первом случае (фиг. 19. 17)
M^=Mcosx>l,
и передняя кромка; пластинки встречает невозмущенный сверхзвуковой пбток,
так как волны возмущения, исходящие из каждой точки передней кромки
пластинки, находятся позади передней кромки.
Фиг. 19.17. Сверхзвуковая
передняя кромка крыла.
Фиг. 19. 18. Дозвуковая
передняя кромка крыла.
При этом угол х<90° —[Д.], где угол возмущений, соответствующий
скорости потока V, определяется равенством
1
fxi = arc sin — .
Передняя кромка в этом случае называется сверхзвуковой.
Во втором случае (фиг. 19. 18)
M^=Mcosx<l,
и передняя кромка пластинки встречает возмущенный сверхзвуковой поток, так
как волны возмущения, исходящие из каждой точки передней кромки
пластинки, находятся впереди передней кромки.
В этом случае х>90'— [х^, где jx^ — попрежнему угол возмущений,
соответствующий скорости потока v.
Передняя кромка в этом случае называется дозвуковой.
Остановимся несколько подробнее на первом случае (М«>1).
Учитывая, что обтекание скользящей пластинки определяется (в смысле
аэродинамического воздействия на нее потока) обтеканием этой пластинки плоско-

458 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
параллельным потоком, направленным перпендикулярно к передней кромке,
можно написать следующее выражение для определения избыточного давления на
поверхности пластинки [см. формулу (19.10)]:
1
«;, = ±Cia^,
(19.47)
где значения М , ^ и а определяются соответственно формулами (19. 44),
{19. 45) и (19. 46).
Если в уравнении (19.47) величины q^^ и Мп выразить соответственно
через q и Ж невозмущенного потока, то получим
Л/7 2cos2x
V^/M^cossx—1 ''''•
(19. 48)
Заменяя в уравнении (19.48) угол а^ через а [72] по уравнению (19.46),
получим выражение для избыточного давления Д/? в следующем виде:
Ар 2 cos X
q "—"|/"M2cosax- 1
С целью упрощения записи введем обозначение
2 COSX
тогда
|/"M2cos2x— 1
А/7
q
^Cipy
(19. 49)
(19.50)
(19.51)
На фиг. 19. 19 приведена зависимость коэффициента Сстр от числа М для
различных углов стреловидности х-
\ \ \ ^
р^
! ' ^
1
^V
г^
s»==«
/
/
15
2,0
2,5
3 М
Фиг. 19.19. Зависимость коэффициента Сстр от
числа М при различных углах х стреловидности
передней кромки.
Как видим, у пластинки при сохранении угла атаки а стреловидность
передней кромки (X >0) при одном и том же числе М набегающего потока при-
водит к увеличению разности давлений , так как график на фиг. 19. 19 nojca-
Я
зывает, что CcTp>Ci- С увеличением числа М влияние стреловидности передней
кромки уменьщается.
Вычислим теперь аэродинамические силы, действующие на бесконечно
длинную пластинку при наличии скольжения.

§ 7. Крыло конечного размаха в сверхзвуковом потоке 459
Выражение для коэффициента подъемной силы можно написать в
следующем виде, используя для этого уравнения (19.48)—(19.51):
2 А» 4 cos^v
^-^^ ^—- ^ а. (19. 52)
или
4 cos 1
с.,= ^^= ==- а=2Сгтг1 ^- (19.53)
^ I/M^ossx-I
Последнее выражение показывает, что при постоянном угле атаки а с
увеличением угла скольжения х коэффициент Су несколько возрастает (см. фиг. 19. 19).
Найдем коэффициент силы волнового сопротивления скользящей пластинки.
Для этого надо найти проекцию силы давления на направление скорости
потока V.
Учитывая, что силы давления направлены перпендикулярно к поверхности
пластинки, будем иметь (см. фиг, 19. 16)
^х=Схп cosx=c^ sin а^ cos X. (19. 54)
т. е.
f^x=Cya^cosx (19.55)
Cjc = Cya
(19.56)
Подставляя в уравнение (19. 56) значения Су соответственно по формулам (19. 52)
или (19.53), получим
4 cos^ V о
^x=77=f====r^l. (19.57)
YM^ cos^x - 1
4 cos X
(49. 58)
']/"M8cos2x—1
Сд,=2сстра2, (19.59)
и в соответствии с (19. 53)
cj,^' ^7^" " ^ с' (19.60)
Ум' cos^ X - 1 2
4cosx -^ *
В заключение этого параграфа заметим, что при М,г<1 сопротивление
плоской скользящей пластинки будет равно нулю, так как этот случай соответствует
обтеканию крыла плоско-параллельным дозвуковым потоком, когда при
отсутствии циркуляции имеет место известный парадокс Эйлера—Даламбера.
§ 7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О КРЫЛЕ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком газа тонкого крыла
конечного размаха [74]. Угол атаки, под которым обтекается это крыло, будем полагать
малым. Скорость набегающего потока, давление и плотность обозначим
соответственно через Vi, pi и Pi. Оси Хи Уь ^i выберем так, чтобы ось Xi совпадала
с направлением скорости Ui. С целью упрощения поставленной задачи будем
полагать возмущения, создаваемые крылом, малыми. Движение газа будем
считать установившимся и потенциальным. Внешние силы учитывать не будем.
В силу малости возмущений будем иметь
^x,-=vi-hv^; V r:^v' v.^v/, p=Pi+p', (19.611

460 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
где г?д-, t> , v^ и р' — малые величины, квадратами и произведениями которых
можно пренебречь сравнительно с первыми степенями.
Условие потенциальности можно-написать в виде
Уравнение неразрывности
дХх
--ь
^ (P^j,,)
5(рг;,
ду1
•+-
а^1
=0
может быть преобразовано методом, показанным выше, в основное уравнение
газовой динамики, которое в данном случае ввиду малости возмущений
приобретет вид
дх\
^?1
ду\
где т
= г
VI
(19. 62)
"1

-скорость звука в невозмущенном
потоке перед крылом.
Таким образом, задача
определения поля скоростей около крыла
сводится к отысканию погенциала
скорости 9t. удовлетворяющего
уравнению (19.62) при определенных
граничных условиях.
Важно заметить, что если крыло
конечного размаха находрпся в свер>с-
звуковом потоке, то влияние каждой
точки поверхности крыла будет
сказываться только внутри конуса
возмущений с вершиной в этой точке, а все крыло будет находиться внутри
огибающей поверхности конусов с вершинами на передней кромке. Полный
угол раствора конусов равен 2{Ai, где
ctg^-m. (19.63)
Эту поверхность будем называть волновой и обозначать V (фиг. 19. 20).
Обозначим потенциал возмущенной скорости через ^ (xi, yi, Zi).
Внутри волновой поверхности V имеем
Фиг. 19.20.
круг крыла.
Волновая поверхность во-
, двигающегося со
сверхзвуковой скоростью.
dxi
дер
дуг'
д^
где значение потенциала ср также удовлетворяет уравнению
д«(р
* дх\
ду\
д^
dz\
=0.
(19.62), т. е.
(19.64)
Это уравнение будет основным уравнением для определения потенциала
скорости ср внутри волновой поверхности ^. Что касается пространства вне
волновой поверхности, то в нем значение потенциала «р будет просто равно нулю,
туда возмущения от крыла не доходят.
Установим теперь граничные условия, которым должен удовлетворять
потенциал скорости ф. С этой целью используем условия безотрывного обтекания
]крыла.

^ 7, Крыло конечного размаха в сверхзвуковом потоке
461
Будем полагать, что передняя и задняя кромки крыла заданы уравнениями
^i^h(^i)r -^1=^2(2^2),
а НИЖНЯЯ и верхняя поверхности — уравнениями
Тогда, исходя из условий безотрывного обтекания крыла в пределах точности
линеаризованной теории, получим i
df
(19.65)
так как для тонкого слабо изогнутого крыла -— величина малая; здесь для
иХ\
верхней поверхности в качестве функции f надо брать функцию /г, а для нижней
поверхности д.
Задачу будем решать при условии существования сверхзвуковых передней
и задней кромок крыла (см. § 6 этой главы), т. е. на функции фх и фгналожим
следующие ограничения:
<ctgp-i и
d^
dZi
< ctg H-
(19.66)
С целью определения потенциала ср (дг^, yi, Zi), что даст возможность
определить аэродинамические характеристики (Cj^ и Су) крыла конечного
размаха в сверхзвуковом потоке, введем новые переменные:
XI
х=-^ ; y=yi; z==zi.
т
(19.67)
Тогда для определения потенциала ср {xi, yi, Zi) =9 {х:, у, z) будем иметь
следующие уравнения (так как df\ii=dxi=mdx; dzi=dz):.
^2ср ^2,р ^2(р
дх^ ду* dz^
(19.68)
(19. 69)
(19.70)
(в преобразованной плоскости угол y.i=4b'*). Заметим, что если m = 1, ,т. е.
М=)^~2~~, то разницы между Хх, уь Zi и х, у, z нет.
С. В. Фалькович [66] дает в качестве решения для потенциала ср следующее
выражение:
/а?
\ -
.3-
^
\ду ) у=о т дх
dz
<1.
#2
dz
<1
? (-^0.3^0» ^о) =
"^Я(
da
ду )у=о У (хо - х)^ - [(zo -zf ^у1 ] '
(19.71)
1 Для линеаризованной задачи граничные условия с поверхности крыла
можно перенести параллельно оси |/i на проекцию крыла в плоскости yi=0.

462 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
где а — часть плоскости х, z^ отсекаемая конусом с вершиной в точке М
(-^0» >Vo» ^о)' ось которого параллельна оси х^ а угол раствора равен —
(фиг. 19. 21); эта часть плоскости лг, г ограничена спереди передней кром«
кой крыла; d<3~dxdz.
Формула (19.71) имеет смысл только в тех случаях, когда значения —
ду
известны на поверхности а и условия (19.70) выполняются.
Фиг. 19.21. К определению потенциала скорости ср.
В дальнейшем ограничимся изучением только этого случая. Если же на
некоторой части площадки а значения -— неизвестны, то решение задачи сильна
дер
осложняется. Значения производной —- на этой части площадки определяются»
специальным образом. Этот случай подробно рассмотрен Е. А. Красильщиковой,
которой принадлежит наиболее общее решение задачи о сверхзвуковом
обтекании крыла конечного размаха [64].
Итак, определив потенциал ср в точках, лежащих на поверхности крыла
(точнее, при t/=0), можно определить и перепады давления при любом числе М,
перейдя от ф {х, у^ z) к ^ (Хи yi\, Zi) с помощью линеаризованного уравнения
Бернулли (18. 6):
дер
OXq
(19. 72)
а следовательно, можно вычислить и подъемную силу.
В случае плоского крыла с прямолинейными передней и задней кромками
все вычисления значительно упрощаются.
В этом случае уравнение поверхности крыла (пластинки) примет вид
У-
\ду 1 у=^о
поверхности ]
"" ]] V (x,~xy^{z,-^zY
Следовательно, для точек на поверхности крыла (^о=0) будем иметь
?(а:о,0,2Го)=^^ '
(19.73)
(19.74)

§ 8. Ромбовидное плоское крыло
463
Чтобы облегчить нахождение потенциала скорости ^ (-^Oi ^о)» перейдем к
новой прямоугольной системе координат 8» т) с началом в точке М (XQfyo),
3
для чего осуществим параллельный перенос и поворот осей х, z на угол — к,
4
Новые оси (фиг. 19.22) будут совпадать в плоскости у=0 с образующими
конуса возмущений М (фиг. 19.22), который отсекает на поверхности крыла
площадь а {MQN).
П
Фиг. 19. 22. Переход к новым переменным S и т).
При этом будет иметь место следующая зависимость:
e+Y) е-
и формула (19.74) приобретает следующий вид:
d<3 ща^ Г df] rj
_ Via у 2
dfi.
(19.75)
где уравнение передней кромки в новых переменных обозначено через 1 =
=ti(^)» а тг]д^ —точка пересечения передней кромки крыла с осью i\.
§ 8. РОМБОВИДНОЕ ПЛОСКОЕ КРЫЛО
Рассмотрим обтекание плоского ромбовидного крыла (фиг. 19.23).
Обтекание крыла вначале рассмотрим в пространстве х, у, z (т. е. при M^yj") а
окончательные формулы дадим и для пространства Xi, у и ги т. е. для любых значений
числа М. Введем обозначения:

464 Глава XIX. Основы т^ёории профиля а крыла в сверхзвуковом потоке
где вследствие принятых ограничений, введенных в § 7,
Тогда уравнения передних кромок (ОВ и ОВ') будут иметь вид
Z= — kiX
или в переменных 5, yj соответственно
ki + l ^ *i-f-l '
4i(^i).
(19.76)
Учитывая симметрию, рассмотрим обтекание одной половины крыла.
Выделим две области на крыле: / (BOD) и // (DOC), на которые делится крыло
головным конусом, выходящим из точки О.
Z
е\
1
ц=^а
^ nX
^>>^
^'\
^--^х
\S^
N
ч
\
^
/ 1^'
Фиг. 19. 23. Обтекание плоского ромбовидного крыла сверхзвуковым
потоком. "
Найдем значение потенциала ср для этих областей. Заметим, что при
определении потенциала Ф по формуле (19.75) вдочке М (^о, ^^о), принадлежащей
первой области, площадью интегрирования будет служить треугольник MQN; для
точки М, принадлежащей второй области,— четырехугольник MLON.
Для области / имеем из (19.76)
'ж
Следовательно, выражение для потенциала (19.75) приобретает вид
__ ^ж
ViaY 2
?(-^о»^о)=-
У\
kiXQ - Zq Y'Y — ^^~ ^
(^1+1)^ AJl+1
dri.

§ 8, Ромбовидное плоское крыло
465
Интегрируя, получим
¥(-^о.^о)=-
VlOL
/k\^l
-{kiXQ — Z^).
(19.77)
В переменных (xi, уи Zi), т. е. для любого значения числа М, будем иметь (не
меняя индексы)
9(^о»2^о) =
V\a
УтГ^ - 1
(Мо —2Го),
(19. 78)
где
n=mki.
Определяя потенциал скорости в области //, интегрирование по у] следует
разбить на две части: от точки М (лго, Zq) до точки Р и от Р до N. Учитывая, что
выражение для потенциала (19.75) можно написать в виде
9{^о>^о) =
«^1
«"KTi
VT-
h+i
dri +
^1-^0+^0 YT- ^^^^
(h-i)fi
кг-I
df]
(19. 79)
В переменных (^i, у и 2^i), т. е. при любом значении числа М, после
преобразований будем иметь (отбросив индексы)
?(-*^Oi^o) =
2t?ia
тг /л2 - 1
-f Zq arc sin k
{kiXQ — 2Го) -y - kiXQ arc sin
i^-
m^klxl-zl)'^
/4-^''4 1
(19. 80)
Из формул (19.78) и (19.80), в частности, следует, что на луче 0D
потенциал скорости разрыва не претерпевает.
Определив потенциал скорости для областей крыла / и II, перейдем к
определению сил.
На участке / из уравнения (19.78) имеем
д^_ viaki
dxQ уп* - 1
(19.81)
30 Аэродинамика

466 Глава XIX. Основы тории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
На основании формулы (19.72) можно заключить, что давление не зависит
от координат точки М (;С(?, Zo)i.
Используя формулу (19-72) и вводя полярные координаты г, 0 с полюсом
в точке О, можно написать выражение для подъемной силы на первом участке
крыла в следующем виде:
''^ I __
J'l^SpiVil \ -^rdrdb, где Г1-— ^^^^
■Я:
dxQ sin 6 -f /^2 cos 6
о a
Т. е.
y^.f-^^ ^ь
где 5i-—площадь первого участка крыла.
Если ввести обозначение
n' — mk^
и учесть, что
k^n^ {п - \)Ь1
2(л'4-1)(п+я')'
то выражение для подъемной силы на первом участке крыла можно
представить в следующем окончательном виде:
2а^1^1^2«'(я — 1) bl
^=(л'-М)(.+«')К^1 • <>'-«^'>
На участке // из уравнения (19.80) имеем
— arc cos
Oxq tu у п2 - 1
V m2 (^2^2 _ ^2j
-2!!i^L arc cos |/-L=l^^!igli. (19. 82)
: Yn^ - I У n^- m2 tg2 e
1 Попутно заметим, что для рассматриваемой части крыла легко подсчитать,
значение коэффициента Су, В самом деле,
^ „ Ри~Рв 4^^? 4aki
откуда при 7i = "X~
•^ p,t;2 ^1 ^-^0 'Kns-l
47

§ S. Ромбовидное плоское крыло 467
Из этого выражения следует [см. формулу (19.72)], что вдоль луча 6=const
давление постоянно.
Используя формулу (19.72) и вновь вводя полярные координаты г, О с
полюсом в точке О, можно написать выражение для подъемной силы на втором
участке крыла в следующем виде:
«1 ri
4pii;2ifeia С С Г \^гпЧ\
Утт— I \ arc COS I/
rdrdb.
0 0
После преобразований получим выражение для подъемной силы второго
умастка в следующем окончательном виде:
^ ^ ^aq^hhn^b^ Г iz(\-n) ]//г2 ~ 1
" 7г Yn'^ - 1 [2 (л' + Щп+п') п! (п^ - я'2) ^
/ П2 ]/л2- 1 /г'2 1/^г^*^\1
X I у. arc sin — г arc sin I .
(19. 82')
Коэффициент подъемной силы крыла можно определить по формуле
2(Г1^Гп)
где S — площадь всего крыла (двух половин).
Окончательно получим
8сх / Л2 Уп'^- 1 я'2 1/"п'2~1^
^ I —- arc sin — ^ -arc sin ,
У (n — n')m7z\Yn^~l п Yn'^ — l п' j
1(19. 83)
В частном случае, если задняя (или передняя) кромка перпендикулярна к
вектору скорости набегающего потока, то
/или 71=—, n=^coj,
т. е. такие треугольные крылья дают тот же коэффициент подъемной силы, что
и пластинка (см. § 6).
Учитывая, что результирующая аэродинамическая сила перпендикулярна к
поверхности крыла (пластинки), сопротивление треугольной пластинки также
равно сопротивлению пластинки бесконечного размаха в плоско-параллельном
нотоке:
4
c^ = C3,a=2Cia2=--^. (19. 85)
Обратим внимание на то, что изложенный метод можно применять для
расчета аэродинамических характеристик крыльев различной формы в плане (ко-
мвчно, при выполнении указанных выше ограничений).
30^

468 Глава XIX. Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом потоке
Фиг. 19. 24. Трапецевидное плоское крыло в сверхзвуковом потоке.
N /
ioc
Фиг. 19. 25. Пятиугольное плоское крыло в
сверхзвуковом потоке.

§ 8. Ромбовидное плоское крыло
469
В заключение приведем окончательные формулы для определения
аэродинамических характеристик некоторых крыльев в сверхзвуковом потоке.
Для трапецевидного плоского крыла (фиг. 19.24)
Аа /~0,5^>(tg[xi-tgeo)
(19.86)
Если положить бо=0, то получим значения Су и с^ для прямоугольного
крыла:
Аа I b \
, = —tg f^i(l-0,5—tgjxij,
(19. 87)
Сх=Суа.
Для пятиугольного плоского крыла (фиг. 19.25) коэффициент подъемной
силы всего крыла
\bl-ll)m L^^^^HK n^l 2J
(19.88)
Легко видеть, что при 6к=0 из (19.88) получаем формулу (19.84), что и
следовало ожидать.

список ЛИТЕРАТУРЫ
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Л о й ця н с к и й л. Г., Механика жидкости и газа, ГИТТЛ, 1950.
2. Ко ч и н Н. е., к и б е л ь И. А., Розе Н. В., Теоретическая
гидромеханика, ГИТТЛ, ч. I, II, 1948.
3. Голубев В. В., Лекции по теории крыла, ГИТТЛ, 1949.
4. Христианович С. А., Гальперин В. Г., Миллионщиков М. Д.,
Симонов Л. А., Прикладная газовая динамика, 1948.
5. Фабрикант Н. Я., Аэродинамика, ГИТТЛ, ч. I, 1949.
6. Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, ГИТТЛ,
1950.
7. Л ев и неон Я. И., Аэродинамика больших скоростей, Оборонгиз, 1950.
8. Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, ГИТТЛ, 1951.
9. Мартынов А. К.» Экспериментальная аэродинамика, Оборонгиз, 1950.
10. Бураго Г. Ф., Теория крыловых профилей с учетом влияния
сжимаемости воздуха, ВВИА им. Жуковского, 1949.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
11. Келдыш М. В. и Франкль Ф. И., Внешняя задача Неймана для
линейных эллиптических уравнений в приложениях к теории крыла в сжимаемом
газе, Известия АН СССР, серия матем., № 4, 1934.
12. О г л об л и н А. П., Систематическое исследование крыльев. Труды ЦАГИ,
вып. 147, 1933.
13. Глауэрт, Основы теории крыла и винта, THTJH, 1931.
14. Голубев В. В., Теория крыла аэроплана в плоско-параллельном
потоке, ГОНТИ/, НКТП, 1938.
15. Мизес, Теория полета, Издательство иностр. литературы, 1949.
16. Чаплыгин С. А. и Аржаников Н. С, К теории открылка и
закрылка. Труды ЦАГИ, вып. 105, 1931.
17. Чаплыгин С. А., Подъемная хила составного крыла, Собрание
сочинений, т. III, 1935.
18. Седов Л. И, Теория плоских движений идеальной жидкости,
Оборонгиз, 1939.
19. Нужин С. Г., К теории тонкого профиля. Труды КАИ, вып. 1937.
* 20. Theo do г sen. General Potential Theory of Arbitrary Wing Sections,
NACA Report № 452 (1933).
21. С ереб p ИЙ с кий Я. М., Обтекание крыловых профилей произвольной
формы. Инженерный сборник, гл. III, вып. 1, 1946.

Список литературы 471
221 Н у ж и н С. Г., Построение потенциального потока несжимаемой
жидкости около крыловых профилей произвольной формы. Прикладная математика
и механика, т. XI, вып. 1, 1947.
23. Симонов Л. А., Расчет обтекания крыловых профилей и построение
профиля по распределению скоростей на его поверхности. Прикладная математика
и механика, т. XI, вып. 1, 1947.
24. Н у ж и н С. Г., К теории крыла в плоско-параллельном потоке.
Труды КАИ, вып. ХХ< 1948.
25. Н у ж и н G. Г. и Киселев А. М., К технике построения
потенциального потока несжимаемой жидкости около крыловых профилей произвольной
формы> Труды КАИ, вы>1. XXVI, 1951.
26. Ж у к о в с к и й Н. е.. Видоизменения метода Кирхгофа для определения
движения жидкости.
Сборник сочинений, т. П. Госуд. издательство технико-теоретической
литературы, М.—Л., 1949.
27. Некрасов А. Н., О прерывном течении жидкости в двух измерениях
вокруг препятствия в форме дуги круга. Изв. Иваново-Вознесенского
политехнического института, № 5, 1922.
28. Голубев В. В., Крыло и винт самолета. Механика в СССР за тридцать
лет, ГИТТЛ, 1950.
29. Каменков Г. В., Теория крыла в закритической области. Труды КЛИ,
вып. XVIII, 1947.
30. Каменков Г., В., О вихревой теории лобового сопротивления. Труды
III Всесоюзной конференции по аэродинамике, ч. II, изд. ЦАГИ, 1935.
31. Некрасов А. И., Диффузия вихря. Труды ЦАГИ, вып. 84, 1931.
32. Некрасов А. И., Теория крыла в нестационарном потоке, Изд. Ака
демии Наук СССР, 1947.
33. Обухов А. М., Турбулентность. Механика в СССР за тридцать лет,
ГИТТЛ, 1950.
34. Л о й ц я н с к и й Л. Г., Пограничный слой. Механика в СССР за тридцать
лет, ГИТТЛ, 1950.
35. Жуковский Н. е.. Теоретические основы воздухоплавания (посмерт
ное издание), ГТИ, М., 1925.
36. Голубев В. В., Теория крыла аэроплана конечного размах^ Труды
ЦАГИ, вып. 108(, 1931.
37. Л ойця н с ки й Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГИТТЛ, 1941.
38. Д о р од н ицы н А. А. и Л ойця некий Л. Г., Переход ламинарного
пограничного слоя в турбулентный и ламинарные профили. Труды ЦАГИ,
№ 563, 1945. Прикладная математика и механика, т. IX, вып. 4, 1945.
39. Дородницын А. А., Пограничный слой в сжимаемом газе.
Прикладная математика и механика, т. VI, вып. б, 1942.
40. Журнал «Прикладная математика и механика», Академия Наук СССР.
Посвящается С. А. Чаплыгину, т. V, вып. 2, 1941.
41. Жуковский Н. е., Вихревая теория гребного винта (статья вторая).
Собрание сочинений, т. IV, 1949.
42. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, Гостехиздат, 1933,
стр. 415. . .
4i. Р и с О е р г А. Б., Влияние формы крыла на распределение нагрузки по
размаху и продольную устойчивость. Труды ЦАГИ, вып. 335, 1937.
44. Т а р г С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, ГИТТЛ, 1951.

472 Основная литература
45. Голубев В. В., К теории крыла малого удлинения. Известия АН СССР,
Отделение технических наук, № 3, 1947.
46. Ча;плыгин С. А., Избранные работы по теории крыла, ГИТТЛ, 194^.
47. О гл об ЛИН А. П., Основы гидромеханики, Оборонгиз, 1945.
48. Астров В., Левин Е., Павлов Л., Хр и сти анович С, О
расчете сопел Лаваля. Прикладная математика и механика, т. VII, вып. 1, 1943.
49. Л и с с Н. Ю., Расчет распределения циркуляции по размаху крыла
произвольной формы в плане. Труды КАИ, вып. XXIV, 1949.
50. Д ор о д н и цы н А. А., Обобщение теории несущей линии на случай
крыла с изогнутой осью и осью, не перпендикулярной к потоку. Прикладная
математика и механика, т. VIII, вып. 1, 1944.
51. Вулис Л. А., Термодинамика газовых потоков, Энергоиздат, 1950.
52. Христи анович С. А., О сверхзвуковых течениях газа. Труды ЦАГИ,
вып. 543, 1941.
53. Христианович С. А., Обтекание тел газом при больших дозвуковых
скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940.
54. С лез кип Н. А., К вопросу о плоском движении газа. ДАН, новая
серия, т. III, № 9, 1936.
55. Кибель И. А., Газовая динамика. Механика в СССР за тридцать лет»
ГИГГТЛ, 1950.
56. Некрасов А. И., О плоско-параллельном движении газа при
дозвуковых скоростях. Прикладная математика и механика, т. VIII, вып. 4, 1944.
57. Полядский В. С, Влияние сжимаемости на аэродинамические
характеристики профиля крыла при больших скоростях полета. Изд. БНТ НКАП,
вып. 21, 1943.
58. Н у ж и н С. Г., К теории обтекания тел газом при больших дозвуковых
скоростях. Прикладная математика и механика, т. X, вып. 5—6, 1946.
59. Н у ж и н С. Г., К теории обтекания крылового профиля при докритиче-
ской скорости потока. Труды КАИ, т. XXIII, 1949.
60. Н у ж и н С. Г., Аэродинамика тонких тел при докритических скоростях.
Труды КАИ, вып. XXV, 1951.
61. Симонов Л. А. и Христианович С. А., Влияние сжимаемости на
индуктивные скорости крыла и винта. Прикладная математика и механика, т. VIII,
вып. 2, 1944.
62. Франкль Ф. И. и Карпович Е. А., ГазодиЕГамика тонких тел, Гос-
техиздат, 1948.
63. Донов Н. е., Плоское крыло с острыми кромками в сверхзвуковом
потоке. Известия Академии Наук СССР, серия математ., № 6, 1939.
64. Кр аси л ьщи ков а Е. А., Крыло конечного размаха в сжимаемом
потоке. ГИТТЛ, 1952.
65. Фальков и ч С. В., О подъемной силе крыла конечного размаха в
сверхзвуковом потоке. Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 1, 1947.
66. Фалькович С. В., К теории крыла конечного размаха в сверхзвуковом
потоке, Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 4, 1947.
67. Г а л и н Л. А., О крыле конечного размаха в сверхзвуковом потоке, При-
кла'дная математика и механика, т. XI, вып. 3, 1947.
68. Галин Л. А., Крыло прямоугольной формы в плане в сверхзвуковом
потоке, Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 4, 1947.

Список литературы 473
69. Гуревич М. И., Подъемная сила стреловидного крыла в
сверхзвуковом потоке, Прикладная математика и механика, т. X, вып. 4, 1946.
70. Гуревич М. И., Замечания об обтекании стреловидного крыла в
сверхзвуковом потоке. Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 2^ 1947.
71'. Гуревич М. И., К вопросу о тонком треугольном крыле, движуш,емся
со сверхзвуковой скоростью, Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 3,
1947.
72. Лебедев А. А., Некоторые вопросы аэродинамики крыла в
сверхзвуковом потоке (кандидатская диссертация), МАИ, 1947.
73. К а п и л е в и ч М. Б., Аэродинамические характеристики стреловидного
крыла в сверхзвуковом потоке. Технич. отчет МАП No 126, 1948.
74. Ф,едоров Е. Я., К расчету подъемной силы плоского крыла конечного
размаха в сверхзвуковом потоке. Труды КАИ, вып. XXIV, 1949.
75. Ф р а н к л ь Ф. И. и Карпович Е. А., Сопротивление стреловидного
крыла при сверхзвуковых скоростях. Прикладная математика и механика, т. XI,
вып. 4, 1947.

Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение . .
Глава I
СССР — родина аэродинамики
§ 1. Развитие гидроаэродинамики в XVIII и XIX веках в России .... 5
§ 2. Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин — основоположники
современной аэродинамики 6
§ 3. Ведущая роль советских ученых в развитии аэродинамики .... 13
Г л а в а II
Основные понятия гидроаэродинамики
§ 1(. Понятие жидкости. Массовая и весовая плотность 18
§ 2. Классификация жидкостей .^ 19
§ 3. Понятие о гидродинамическом давлении в данной точке жидкости 23
§ 4. Классификация сил, действующих в жидкости 23
§ 5. Независимость гидродинамического давления в идеальной жидкости
от направления 24
Глава III
Кинематика жидкости
§ 1. Метод Эйлера 26
§ 2. Метод Лагранжа i 28
§ 3. Классификация движений жидкости * . . . . 29
§ 4. Линия тока 30
§ 5. Уравнение неразрывности 34
§ 6. Циркуляция скорости .4 ^^
§ 7. Движение жидкой частицы 39
§ 8. Потенциальное движение жидкости 45
§ 9. Уравнение неразрывности для потенциального движения жидкости
в декартовых координатах 47

Оглавление
§ 10. Уравнение неразрывности для потенциального движения
несжимаемой жидкости в полярных координатах на плоскости
§ II. Циркуляция скорости в потенциальном потоке
§ 12. Функция тока
§ 13. Метод наложения потенциальных потоков
§ 14. Прямолинейный равномерный поток
§ 15. Течение внутри прямого угла
§ 16. Источник и сток .<
§ 17. Диполь
§ 18. Вихрь
§ 19. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра
§ 20. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра
Глава IV
Основы гидродинамики идеальной жидкости
§ 1. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в
форме Эйлера . . . \
§ 2. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в
форме Громеко
§ 3. Начальные и граничные условия
§ 4. Интегралы дифференциальных уравнений движения
§ 5. Пределы применимости уравнения Бернулли к воздуху
§ 6. Распределение давления вне и внутри плоского вихря
Глава V
Основы теории вихрей
<^ !. Понятие о вихревой линии 91
§ 2. Вихревая трубка 92
§ 3. Теорема Стокса 93
§ 4. Теорема Томсона о постоянстве циркуляции 96
§ 5. Теоремы Гельмгольца о вихрях 99
§ 6. Формула Био-Савара о вихревом влиянии ; 102
§ 7. Задача об определении вихревого влияния в общем случае .... 105
§ 8. Парадокс Эйлера-Даламбера 108
§ 9. Теорема Н. Е. Жуковского 109

476 Оглавление
Стр,
Глава VI
Применение теории функций комплексного переменного к изучению
плоско-параллельного потока идеальной жидкости
§ 1. Комплексный потенциал ИЗ:
§ 2. Комплексная скорость 114
§ 3. Примеры простейших течений 114
§ 4. Двчл^ение паруы вихрей 121
§ 5. Вихревая цепочка 124
§ 6. Понятие о вихревой дорожке 125
§ 7. Обтекание круглого цилиндра 126
§ 8. Вычет комплексной скорости 128
§ 9. Теорема Жуковского—Чаплыгина о результирующей силе давления 130
§ 10. Теорема Чаплыгина о моменте результирующей силы давления . . 13S
Глава VII
Теория крыла в плоско-параллельном потоке
§ 1. Понятие о конформном отображении 137
§ 2. Примеры простейших конформных отображений 140
§ 3. Преобразование инверсии 144
§ 4. Преобразование Н. Е. Жуковского 149
§ 5. Профили Жуковского—Чаплыгина 150
§ 6. Графический метод построения профилей Жуковского—Чаплыгина . 153
§ 7. Определение величины подъемной силы теоретического профиля
Жуковского—Чаплыгина 154
§ 8. Определение момента подъемной силы для профиля Жуковского—
Чаплыгина ^ 160
§ 9. Теоретические профили 163
§ 10. Вычисление силы и момента для профиля произвольной формы . . 166
§ 11. Теория тонкого профиля 171
§ 12. Построение потенциального потока вокруг профиля крыла
произвольной формы (метод С. Г. Нужина) 17S
Глава VIII
Теория струйного и вихревого сопротивления
§ 1. Модель струйного обтекания тела. Обтекание пластинки с
образованием струй Ig2
§ 2. Понятие о вихревом сопротивлении 191

Оглавление 477
Сгр,
Глава IX
Основы теории движения вязкой жидкости
§ 1. Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой
жидкости 197
§ 2. Понятие о подобии потоков 206
§ 3. Основные критерии подобия 210
§ 4. Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической
трубе 215
§ 5. Понятие о турбулентном течении 219
§ 6. Турбулентное течение в плоской и круглой трубах 226
Глава X
Пограничный слой
§ 1. Понятие о пограничном слое 233
§ 2. Дифференциальные уравнения пограничного слоя 236
§ 3. Интегральное соотношение пограничного слоя 242
§ 4. Расчет ламинарного пограничного слоя для плоской пластинки . . . 245
§ 5. Расчет турбулентного пограничного слоя для плоской пластинки . . 250
§ 6. Расчет смешанного пограничного слоя для плоской пластинки . . . 253
§ 7. Пограничный слой на криволинейной поверхности 256
§ 8. Расчет ламинарного пограничного слоя для криволинейной
поверхности (метод Л. Г. Лойцянского) . . . .• 262
§ 9. Определение точки перехода ламинарного пограничного слоя в
турбулентный для криволинейной поверхности (метод А. А.
Дородницына— Л. Г. Лойцянского) 271
§ 10. Расчет турбулентного пограничного слоя для криволинейной
поверхности (метод Л. Г. Лойцянского) 273
Глава XI
Теория крыла конечного размаха
§ 1. Гидродинамические модели крыла конечного размаха 279
§ 2. Понятие о скосе потока и силе индуктивного сопротивления для
крыла конечного размаха 282
§ 3. Индуцированная скорость и скос потока [Г=Г(2)] 284
§ 4. Силы, действующие на крыло. Индуктивное сопротивление [Г=Г(2:)] 286
§ 5. Основное интегро-дифференциальное уравнение крыла конечного
размаха . 287
§ 6. Приближенный метод расчета распределения циркуляции по размаху
крыла 289

478 Оглавление
Стр.
§ 7. Определение подъемной силы и силы индуктивного сопротивления
крыла. Формулы для пересчета незакрученных крыльев с одного
удлинения на другое 294
§ 8. Наивыгоднейшая форма в плане крыла конечного размаха .... 298
§ 9, Решение интегро-дифференциального уравнения крыла методом
С. Г. Нужина . 302
Глава XII
Основные сведения из термодинамики
§ 1. Уравнение состояния газа 311
§ 2. Первый закон термодинамики 312
§ 3. Теплоемкость 313
§ 4. Теплосодержание 315
§ 5. Второй закон термодинамики. Энтропия 316
Глава XIII
Система основных дифференциальных уравнений газовой динамики
§ 1. Постановка задачи и основные уравнения газовой динамики .... 319
§ 2. Уравнение энергии 321
Глава XIV
Одномерные изэнтропические течения газа
§ I. Основные соотношения для одномерных изэнтропических газовых
потоков 324
§ 2. Связь между скоростью течения газа и формой его струи 331
Глава XV
Теория прямого скачка уплотнения
§ 1. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения 339
§ 2. Сравнение сжатия при прямом скачке с изэнтропическим сжатием 348
§ 3. Скорость распространения волны давления. Звуковая волна .... 352
§ 4. Давление в критической точке за прямым скачком уплотнения . 352
Глава XVI
Плоские сверхзвуковые течения газа
§ 1. Критерий потенциальности для плоского изэнтропического течения
газа 355
§ 2. Основное дифференциальное уравнение плоского потенциального
потока газа 357

Оглавление 47^
Стр,
§ 3. Характеристики в плоскости течения газа 359"
§ 4. Характеристики в плоскости годографа скорости 362
§ 5. Определение направления характеристик в плоскости течения газа
и в плоскости годографа скорости по заданному вектору скорости с
помощью изэнтропного эллипса 369'
§ 6. Определение поля скоростей в плоском сверхзвуковом потенциальном
газовом потоке методом характеристик 370
§ 7. Обтекание сверхзвуковым потоком выпуклого тупого угла 376
Глава XVII
Теория косого скачка уплотнения
§ 1. Понятие о косом скачке уплотнения 383
§ 2. Определение параметров газа за косым скачком 384
§ 3. Связь между углом поворота сверхзвукового потока и положением
фронта косого скачка 386-
§ 4. Ударная поляра 388
Глава XVIII
Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке
§ 1. Понятие о критическом числе Мкр 393
§ 2. Приближенная теория профиля крыла в докритической области
(метод линеаризации) 395
§ 3. Уравнения Чаплыгина для исследования движения газовых потоков
с большими дозвуковыми скоростями 401
§ 4. Метод С. А. Христиановича 405'
§ 5. Приближенная теория Г. Ф. Бураго обтекания дозвуковым потоком
произвольных крыловых профилей 412
§ 6. Влияние сжимаемости на величину индуктивной скорости крыла . 418-
§ 7. Крыло конечного размаха в потоке сжимаемой жидкости при
дозвуковых скоростях 421
§ 8. Обтекание профиля крыла в закритической области. Расчет волнового
сопротивления по методу Г. Ф. Бураго 424
§ 9. Аэродинамические характеристики профиля в закритической области 428-
Глава XIX
Основы теории профиля и крыла в сверхзвуковом газовом потоке
§ 1. Понятие о линеаризованном сверхзвуковом течении разрежения
и сжатия газа вдоль твердой границы 436
§ 2. Линеаризованная теория обтекания плоской пластинки
сверхзвуковым потоком 442'
§ 3. Линеаризованная теория обтекания тонкого профиля сверхзвуковым
потоком 444

480 Оглавление
Стр.
§ 4. Уточненные теории профиля в сверхзвуковом потоке 448
§ 5. Точное решение задачи об обтекании профилей, составленных из
прямолинейных отрезков, сверхзвуковым потоком газа 453
§ 6. Аэродинамические силы, действующие на бесконечно длинную
плоскую пластинку при ее скольжении в сверхзвуковом потоке . . 456
§ 7. Постановка задачи о крыле конечного размаха в сверхзвуковом
потоке 459
§ 8. Ромбовидное плоское крыло 463
Список литературы 470
Редактор Я. М. Котляр Техн. редактор Я. Н. Пискарева
Г-81181. Подписано в печать 18/XI 1952 г. Учетно-изд. л* 31,4
Формат бумаги 60x92Vi6=15 бум. л.—30 печ. л.
Цена в переплете 12 р. 50 к. Заказ 792/1300
Типография Оборонгиза

>f v
Список опечаток
Стр.
40
40
158
288 1
365
410
439
Строка
7 сверху
9
6 снизу
3 „ 1
формула (16. 19)
2 сверху
формула (19. 6)
Напечатано
(dv, до^\
[дУк dvz \
\ dz ~ дх ) "^^
Р-0
«0%
dvy
dx
Ро- 5о
г?(б)=г;(а)4-
Следует читать
2 \ду dz 1 ^
2 \dz дх 1 ^
Г==0
^0 <^-и. а
РО' РО
t;(9)=t;(0) +
Н. с. Аржаников и В. Н. Мальцев.
Аэродинамика.
it Д
/п^ь/ .';%1 ,, /