28
Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах
Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая про-
порция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии.
Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между
дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней ча-
стью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами
губ и нижней частью подбородка (рисунок 26) [2]. Это отношение равно золо-
той пропорции.
Рисунок 26 - Пропорции головы в профиль. Леонардо да Винчи, 1488 г.
Эти факты означают, что золотое сечение является не только мерилом
гармонии в природе и в произведениях искусства, но и основой красоты.
5.3.	Музыка
Каждый человек с детских лез знает, что в спектре солнечного света семь
цветов, а в музыкальной октаве семь основных звуков (рисунок 27). Многие
ученые задавались вопросом: есть ли в этом какая-то закономерность. Пифагору
принадлежит объяснение подобного явления. По его мнению, наиболее естест-
венно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в
простых числовых отношениях [2]. Вот откуда и отношение частот в октаве 1:2
и трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины
струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков. Но остается вопрос: по-
чему наши предки приняли звукоряд из 7 нот, к которым впоследствии добави-
ли еще 5 (черные клавиши пианино).
29
Рисунок 27 - Солнечный спектр Ньютона Ньютон утверждал соответст-
вие светового спектра музыкальной гамме [1]
По свидетельству историков, древнейшая греческая лира (Орфея) имела
четыре струны. Первая струна - основа, у второй струны число колебаний отно-
сится к числу колебаний первой струны как 4:3 (как у катетов “священного еги-
петского треугольника”). Это кварта основного тона. Число колебаний третьей
струны по отношению к основному тону равно 3:2, это квинта основного тона.
Четвертая струна - октава, число колебаний у нес в два раза больше, чем у ос-
новы (как отношение катетов в треугольнике 1:2: VJ).
Значительно позже появилась семиструнная греческая гамма. В ней от-
ношение частот рядом расположенных звуков равно 1,12 (например,
ре/до=294/262; соль/фа=392/349). Но очень близкое отношение имеют стороны
треугольника 1:2:V5, оно равно -/5/2=1,118 [2].
Трудно допустить, что древние музыканты знали что-либо о природе зву-
ков, скорее всего музыкальная гамма была найдена на основании интуиции че-
ловека.
Описана интересная находка у местечка Рас-Шамра в Сирии. Здесь обна-
ружена глиняная табличка с музыкальной записью старинной песни. По мне-
нию ученых, эта запись сделана в 14 в. до н. э., то есть за 9 столетий до Пифа-
гора.
30
Некоторые ученые утверждают, что музыкальной гамме соответствует
расположение планет солнечной системы, таблица Менделеева, по об этом
позже.
Интересные закономерности можно установить при анализе произведений
великих композиторов. Но прежде немного математики. Введем понятие о на-
рушенной симметрии [1] (SH). По мнению М. Марутаева (открывателя Sn) сим-
метрия существует вместе с нарушением, если нет симметрии, то нет и наруше-
ния; и в этом сущность гармонии. Не случайно многие архитектурные сооруже-
ния не симметричны относительно центра. Например, все гот же храм Василия
Блаженного (см. рисунок 21). Симметрия отражает “мертвую красоту” [2] , не-
даром она наиболее отчетливо выражена в неживой природе, а в живой всегда
приближенна. М. Марутаев получил “основные числа нарушенной симметрии”:
0,713, 0,718; 0,729 и т.д. до 0,992. Мерой нарушения симметрии композитор
считает величину 2 3/11=1,37035..., которая в первых шести знаках совпадает с
одной из фундаментальных констант природы hc/c-1,3703598-102 (где h- посто-
янная Планка, с - скорость света, е- заряд электрона). Но причем здесь музыка?
Оказалось, что соотношение частей во многих музыкальных произведениях от-
вечает числам нарушенной симметрии, а после их математического преобразо-
вания получается величина 1,37- мера гармонии природьф 1 ].
При анализе темперированного звукоряда, в котором октава разбита на 12
частей, центром симметрии является V2 (рисунок 28).
Рисунок 28 - Чистый и темперированный строй (принятые в музыке), в
которых октава разбита на 12 частей [1]
31
После исключения из ряда числа 2 была получена усредненная величина
нарушенной симметрии. Таким образом, считает М. Марутаев, установлена
связь звукоряда с мировой физической величиной.
В композиции многих музыкальных произведений можно найти такую
высокую точку, когда после длительного периода нарастания эмоционального
напряжения следует остановка и после - более краткий период спада, причем
такое построение характерно не только для произведения в целом, но и его от-
дельных частей. Эта точка находится чаще всего именно в точке золотого сече-
ния. Иногда композиторы намеренно смещали вершину музыкального произве-
дения от точки золотого сечения, например, при сочинении скерцо, рондооб-
разных финалов (это придавало мелодиям неустойчивый характер) [2].
В изученных 1770 сочинений 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых
сечений [2]. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых
имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%),
Моцарта(91%), Шопена (92%). Интересно, что в этюдах Шопена не одно выра-
жение золотой пропорции, а целый ряд величин, связанных этим отношением:
0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090 и 0,058; реже встречались 0,854; 0,764 и 0,472.
Первый ряд из шести чисел образует геометрическую прогрессию с показате-
лем, равным 1,618, а три другие являются производными золотой пропорции
(0,764:0,472 = 1,618). Мелодия как бы растет и развивается, подчиняясь закону
золотого сечения [2].
Наиболее часто золотая пропорция обнаруживается в произведениях ав-
торов, признанных во всем мире гениальными. Интересно, что в музыкальных
произведениях 20 века золотое сечение встречается значительно реже.
5.4.	Поэзия
Во многих чертах музыка схожа с поэзией. Четкий ритм, закономерное
чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихо-
творений, их эмоциональная окраска роднит этот вид искусства с музыкой. По-
этому неудивительно, что закономерности, характерные для музыкальных про-
32
изведений,проявятся в поэзии.
Произведения А.С. Пушкина - образец выдающихся творений русской
культуры. Были рассмотрены его стихи периода 1829 - 1836 года - период соз-
дания наиболее совершенных стихов. Число строк в них изменялось от 4 до 116
(рисунок 29). Казалось бы эта величина абсолютно произвольна, однако это не
так.
На графике распределения стихотворений А.С. Пушкина но числу строк в
них отчетливо выделяется несколько максимумов - наиболее часто встречаю-
щихся размеров [2]. Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34.
14
12
10
8
6
4
2

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68
Рисунок 29 - График распределения количества строк
в стихотворениях А.С. Пушкина [2]
Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта,
он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам Фибо-
наччи. Следует учесть, что законы стихосложения требуют, как правило, четно-
го числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Неудиви-
тельно поэтому, что стихотворения с числом 12 и 14 встречаются значительно
чаще, чем с числом строк 13. Это же справедливо и для интервала 20 - 22 стро-
ки [2].
Числа Фибоначчи проявляются не только в размерах стихотворений, но и
в их структуре - числе строк в стихах, числе стихов в произведении. Некоторые
стихи построены по схеме 5:8, 5:3, 3:8, 5:8, 8:8. У А.С. Пушкина есть стихотво-
33
рения с числом строк 13 и 21, то есть с нечетным числом строк, что явно не со-
ответствует распространенным канонам стихосложения. Сюда относятся такие
известные стихи, как “Поедем, я готов...”. “Сапожник”, состоящие из 13 строк
[2]. Числа Фибоначчи определяют во многих случаях и внутреннюю компози-
цию стихотворений: число стихов и число строк в них. Из 106 рассмотренных
стихотворений в 54 встречаются числа 3, 5, 8,13, 21, 34, 55 [2].
После приведенного анализа стихотворений уже не кажется простой слу-
чайностью тот факт, что роман в стихах “Евгений Онегин” состоит из 8 глав, в
каждой главе в среднем около 50 стихов, а каждый стих состоит из 14 строчек
[2]. Тяготение А.С. Пушкина к числам Фибоначчи очевидно и, конечно, не слу-
чайно. Наличие этих чисел свидетельствует о гениальности поэта, стихи кото-
рого отвечают критериям гармонии.
Конечно, и у других поэтов проявляется тяготение размера стихов к 8, 13,
21 строчкам, но ни у одного из русских поэтов эта тенденция не выражена так
отчетливо, как у А С. Пушкина. Так, у С. Есенина преобладающая часть стихо-
творений построена из четырехстрочных стихов. Чанде всего встречаются сти-
хотворения типа 4:4, 6:7 и 7:4 [2]. При всей певучести и благозвучности стихов
С. Есенина их структура построения довольно однообразна, примитивно сим-
метрична [2] и не идет ни в какое сравнение с пушкинскими поэтическими
формами.
Обратимся теперь к прозе. В повести А.С. Пушкина “Пиковая дама”
кульминационным моментом является сцена в спальне графини, которая закан-
чивается ее смертью. Этому отвечает 535-я строка, при этом в повести (издание
1978 года) 853 строки. Эта строка расположена в повести почти точно в месте
золотого сечения, так как 853:535=1,6 [2].
В наше время появился новый вид искусства - кино. У кинофильмов свои
специфические особенности композиции, свои требования к форме и содержа-
нию. Но ведь основы гармонии должны сохраняться и здесь, если это действи-
тельно высокое искусство. Первым анализ фильма сделал С. Эйзенштейн. Ана-
34
лизируя композицию своего фильма “Броненосец Потемкин”, он отмечает гос-
подствующую роль в ней золотой пропорции. Точка апогея фильма находится в
точке золотого сечения, отсчитываемой от конца фильма. Золотая пропорция
характерна не только для всего фильма, но и для его частей.
Таким образом, проявление золотого сечения в различных видах искусст-
ва дает основания предполагать единые критерии гармонии, справедливые для
всей природы.
6.	Химия и числа Фибоначчи
6.1.	Стехиометрия
Трудом английского ученого Д. Дальтона в химии утвердилось атомарное
учение. Был сформулирован закон кратных отношений, по которому между
атомами в соединениях устанавливаются простые целочисленные соотношения.
Это дало возможность описывать состав химических соединений простыми
формулами. Химия стала точной наукой. Родилась даже целая область химии,
изучающая соотношение атомов в соединениях и называемая стехиометрией.
Атомы различных элементов могут образовать бесконечно много всевоз-
можных сочетаний, но только некоторые из них являются устойчивыми и со-
храняются.
Среди химических соединений нередко встречаются такие, в формулах
которых имеются числа 1, 2, 3, 5, 8. Однако возможно, что это только случай-
ные совпадения. Только наличие в формулах соединений чисел ряда в их зако-
номерном, а не случайном сочетании позволило бы сделать вывод» о связи та-
ких соединений с числами Фибоначчи. Н. Васютинскому удалось обнаружить
такие соединения при изучении окислов урана и хрома. При окислении урана
состав образующихся окислов изменяется не непрерывно, а скачкообразно - от
одного устойчивого соединения к другому [2]. Между окислами урана UO2 и
ПОз образуется целый ряд промежуточных соединений, состав которых описы-
вается формулами U2O5, U3O8, U5O13, U8O2i, U13O34. Видно, что в них отноше-
ния атомов равны отношениям чисел Фибоначчи, расположенным через одно
35
12].
Но среди соединений урана приводятся составы, описываемые формула-
ми: U3O?, U^On, U7O1R, U11O29 и UisCln Этот ряд окислов урана отражает сте-
хиометрию соединений, построенную в соответствии с другим рядом чисел -
рядом Люка: 1; 3, 4; 7; 11; 18; 29; 49..., который является производным от ряда
Фибоначчи [2]. В ряде Люка отношение рядом стоящих чисел в пределе также
стремится к золотой пропорции.
Итак, химические соединения, отвечающие числам Фибоначчи, сущест-
вуют.
6.2.	Строение атомов
Известно, что ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Чем больше
в ядре атомов протонов, тем больше в них и нейтронов. Однако, при увеличе-
нии номера элемента возрастает число “избыточных нейтронов”. Например, у
урана в ядре содержится 92 протона и 146 нейтронов. В связи с этой особенно-
стью состава ядер отношение числа нейтронов к числу протонов возрастает по
мере усложнения атомов и увеличения их массы - от единицы у первых элемен-
тов до величины 1,56-1,57 у последних элементов, то есть близко к 1,6 [2]. Соз-
дается впечатление, что в пределе отношения массы элемента к количеству
протонов и количества нейтронов к количеству протонов в ядрах элементов
стремят ся к золотой пропорции [2].
Наиболее распространены в природе изотопы с числами нейтронов в них
8; 20; 30; 50; 82; 126, которые называют “магическими”. Их природа не объяс-
нена. Характерно, что ряд “магических” чисел обнаруживает свойство рекур-
рентности, то есть является последовательностью, в которой каждый член -
функция предыдущих.
Кроме того, после деления чисел на 6 преобразуется в ряд, очень близкий
111	2
к числам Фибоначчи. 1	3-; 5; 8-; 15; 13-; 21 [2]. Но пока это только гипо-
3	3	3	3
теза.
36
6.3.	Таблица Менделеева
После утверждения атомно - молекулярной теории важнейшим событием
в химии было открытие периодического закона Д.И. Менделеевым. Его сущ-
ность - повторяемость свойств химических элементов в подгруппах, на основе
которой элементы делятся на три группы: основные, переходные и лантаниды.
Казалось бы, как к ней относится золотое сечение? Но М. Марутасв установил
связь.
Если расположить элементы таблицы Менделеева на одну прямую, а ана-
логи по подгруппам одинаковыми буквами, то мы получим таблицу
(рисунок 30).
Се т 58	Рг у 59	Nd Ф 60	Pm X 61	Sm ц 62	Ей ч 63	Gd ш 64	ТЬ т 65	Dy У 66	Но Ф 67	Ег X 68	Тт ц 69	Yb ч 70	Lu ш 71
14
Рисунок 30 - Таблица химических элементов, предложенная
М. Марутаевым [1]
При этом получается семь ритмов, которые связывают таблицу в целом.
Ритм - это число, характеризующее группу с определенной последовательно-
стью свойств элементов [1]. Получается два “ритма-нарушителя” 10 и 14. Име-
ем также группу чисел, составляющих группу целого: 1; 2, 3; 6; 9; 10; 12; 15;
37
16; 18. Возьмем все соотношения между числами в каждой из этих групп, за ис-
ключением соотношения ритма 10 [1]. После математических преобразований
получается ряд, изображенный на рисунке 28. То есть чистый музыкальный
_Ю 5
строи. При этом отношение ритмов-нарушителеи — = — совпадает со значени-
ем тритона в музыке - характерного диссонанса-нарушителя. Кроме того, дан-
ный подход позволяет предсказать конечный элемент в таблице с номером 118
[1]. Установив связь таблицы Менделеева с музыкальным звукорядом, ученый
установил связь периодического закона с золотым сечением, то есть доказал
фундаментальность золотой пропорции, которой соответствует не только искус-
ство и живая природа, но и точные науки, в частности, химия.
7.	Земля как самоорганизующаяся структура
Рассмотрим Землю в целом как космическое тело. Ее поверхность по-
крыта водой и сушей. Площадь океанов близка к 62%, остальная поверхность
планеты занята материками и морями [2]. Отношение этих двух образований
отвечает золотой пропорции. Случайно ли это?
Британский ученый Дж. Лавлок предложил рассматривать Землю как
космическую живую самоорганизующуюся структуру. Если бы в воздухе Земли
было 25% кислорода, а не 21, как сейчас, то лес мог бы гореть под дождем, счи-
тает Дж. Лавлок. А если бы кислорода было всего 10%, то не горела бы даже
сухая древесина. Похоже, что 21% кислорода в нашей атмосфере величина не
случайная, а результат жизнедеятельности биосферы, итог самоорганизации
планеты [2].
Э.М. Сороко пришел к выводу, что состав атмосферы Земли отражает
требования гармонической организации систем. Для сухого воздуха, содержа-
щего 78,88% азота, 20,95% кислорода, 0,93% аргона, 0,031% углекислого газа,
он рассчитал по своей методике значение избыточности как меры организации
субстрата. Это значение равно 0,683, что является инвариантом золотой про-
порции.
38
Отношение содержания кислых пород в составе земной коры к основным
равно 1,6 для докембрийских пород и 1,66 для послекембрийских [2]. Распреде-
ление минералов по их структуре - сингонии (набор элементов симметрии) так-
же характеризуется золотой пропорцией. Рассмотрим важнейшее природное
образование - почву. Известно очень много различных видов почв. С севера на
юг особенно отчетливо видно изменение мощности почвенного покрова.
И. Степанов с сотрудниками изучил профили почв нашей страны. Оказа-
лось, что мощности почвы равны в среднем 5 см в пустынном светлоземе, 8 см -
в серо-бурой почве, 13 см - в бурой полупустынной, 21 см - в светло-
каштановой, 34 см - в темно-каштановой, 55 см - в черноземе обыкновенном и
89 см - в черноземе выщелоченном, самом мощном. Затем от выщелоченного
чернозема в направлении к тундровым почвам мощность слоя вновь начинает
уменьшаться к серым лесным и подзолистым почвам и от них к тундровым в
последовательности 55, 34, 13, 8 и 5, т.е. ряду Фибоначчи.
Содержание в различных почвах фосфора, калия и азота, а также продук-
тивность растительности образуют зеркально-симметричный ряд, который так-
же подчиняется золотой пропорции. Даже по отражательной способности света
почвы делятся на ряд, характеризуемый числами Фибоначчи [2].
Ученые давно обратили внимание на асимметричность нашей планеты.
Расположение материков и океанов на поверхности планеты, наличие различ-
ных аномальных областей на ней крайне неравномерны и не отвечают ее шаро-
образной форме. Ряд авторов статистически показали, что параллели с широта-
ми примерно 35° и 50°обладают особыми свойствами, им наиболее характерны
различные образования и аномалии. Б.Л. Дичков и И.И. Шафрановский отмети-
ли, что горные цепи располагаются главным образом на параллели 35°-40° в
Северном полушарии, а на 30°-35°-х параллелях в океанах наблюдаются полосы
наиболее соленой воды. На параллели 35° отмечено существование затропиче-
ских барометрических максимумов.
Геологическая эволюция Земли носила циклический характер. Это позво-
39
лило выделить в истории развития планеты несколько геологических эр и пе-
риодов. Их границы 70, 225, 600, 950, 1700, 2600, 3500 и 4500 миллионов лет
[2]. Эти переломные моменты характеризуют переход в качественно новое со-
стояние. Указанные числа близки числам Фибоначчи: 1, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
развернутым из настоящего в прошлое [2]. Они отражают основную фундамен-
тальную закономерность эволюции нашей планеты.
Все эти закономерности не являются случайностью. В них заключены
общие закономерности развития биосферы, которая в целом является живой
системой [2]. Земля как космическое тело формировалась миллиарды лет, и
планета в результате должна была прийти к некоторой гармонии в своей само-
организации.
8.	Золотое сечение в расположении планет, их периодах вращения
и геометрической форме
Уже давно человечество пыталось найти законы расположения планет
Солнечной системы. Существовало множество гипотез, выражающих эту зави-
симость, но фактически расчеты ни по одному из них не соответствовали дейст-
вительности.
В одной из статей бюллетеня астрономического общества, посвященном
планетным расстояниям, К. Домбровский предположил, что Солнце и планеты
можно рассматривать как некоторую колебательную систему, которая будет на-
ходиться в устойчивом состоянии неограниченно долгое время только в том
случае, если периоды и амплитуды колебаний будут относиться как иррацио-
нальные числа [2]. В соответствии с выводами К. Домбровского расстояния
планет до Солнца должны быть пропорциональны ряду чисел золотой пропор-
ции: 0,38; 0,62; 1,00; 1,62, ... . Сравнение радиусов орбит планет с расчетными
величинами геометрической пропорции 1,618 показало наличие определенного
соответствия. Среднее отклонение расчетных величин составило 6,7 % [2].
Аналогичные закономерности были установлены К. Домбровским при
изучении расположения спутников Марса, Юпитера, Урана, Нептуна [2].
40
К. Бутусов в 1978 году рассчитал средние периоды обращения планет
Солнечной системы и сопоставил их с геометрической прогрессией со знамена-
телем, равным золотой пропорции. Получилось очень точное соответствие
(ошибка около 4%). Из сопоставления величин видно, что отношение периодов
вращения планет вокруг Солнца равны либо Ф, либо Ф2. Частоты обращения
планет и их разности образуют спектр, подчиненный золотой пропорции [2].
К. Бутусов приходит к выводу, что спектр гравитационных и акустических воз-
мущений, создаваемых планетами, является наиболее совершенным из всех
возможных вариантов. Ученый математически доказал, что при резонансе волн
биения соседних планет отношение периодов принимает значение Ф., если оно
равно сумме, и Ф2 - если разности периодов обращения этих тел. Указанные со-
отношения обеспечивают резонанс планет Солнечной системы, сс устойчивость
[2]. К. Бутусов установил также, что ряд параметров планет (масса, объем, ор-
битальный момент, ускорение силы тяжести) пропорциональны числам Фибо-
наччи или производным им числам Люка.
М. Марутаев показал, что отношение радиусов-орбит планет соответству-
ет степеням числа ст:0,967, где а - одно из чисел нарушенной симметрии (Sh), о
которой говорилось выше (таблица 1).
Таблица 1
Отношение радиусов-векторов орбит планет [1]
Название планет	Лшп/Гтах	Ошибка совпадения
Меркурий	0,65 W3	0,005
Венера	0,986~з/а	0,002
Земля	0,967этз	0,002
Марс	0,829«аб	0,001
Юпитер	0,908эт?	0,002
Сатурн	0,894~Va7	0,001
Уран	0,910=с?	0,000
Нептун	0,983^а	0,001
Плутон	0,602»а16	0,0026
Рассмотрим теперь саму Землю. Земля находится под воздействием
Солнца, которое имеет множество циклов. За последнюю тысячу лет Солнце
41
имело три ярко выраженных аномальных эпизода: в XI - XII вв. произошло рез-
кое потепление климата, а в XV - XVII вв. - два резких похолодания... Но не-
смотря на всяческие катаклизмы. Земля достаточно прочна. Дело в том, что так
называемый геометрический коэффициент стабильности нашей планеты очень
близок к золотому сечению[7]. А это свидетельствует о том, что Земля находит-
ся на наиболее благоприятном расстоянии от Солнца. Г. Кочемасов, определяя
устойчивую жизнь как правильное сочетание жизни и смерти, обнаруживает,
что у Венеры коэффициент стабильности очень высок - 0,830 - созидание пре-
обладает над разрушением, а у Марса, наоборот, чересчур низок - 0,420 - раз-
рушение преобладает над созиданием. И только у Земли он близок к гармонич-
ному - 0, 637 - созидание преобладает над разрушением в пропорции золотого
сечения. Как полагает ученый, если на Марсе и была жизнь, то она не имела и
не могла иметь продолжения. На Венере , судя по всему, случилось обратное:
бактериальная жизнь была слишком бурной, и она, выделяя всяческие газы, по-
давила сама себя. На Земле же, где жизнь уже существует более трех миллиар-
дов лет, расклад совсем иной: если одни виды гибнут, то непременно возникают
другие. Итак, именно от “правильного” солнечно-земного расстояния, опреде-
ляющего волновую функцию планеты, и зависит устойчивая жизнь землян [7].
9.	Возраст человека
Люди давно уже обратили внимание на то, что жизнь человека протекает
не равномерно, а с некоторой периодичностью. Жизнь каждого человека - от
рождения до старости - делится на несколько качественно различных частей [2].
Сколько же их? Стоит посмотреть, как складывалась жизнь творческих людей.
Конечно, такие периоды проявляются у каждого человека, но далеко не у всех
они отчетливо видны из-за подавления средой, обычаями, служебными распо-
рядками.
Обратимся к жизни и творчеству Л.С. Пушкина. Первые стихотворения
Пушкин написал в возрасте 13 лет, в период его пребывания в Лицее. Очевид-
но, в этом возрасте он родился как поэт. В 1819-1820 годах А С. Пушкин пере-
42
живает глубокий внутренний кризис. Он разочарован городской жизнью и
стремится уйти от светского общества в деревню. Этот период жизни совпадает
с его южной ссылкой. По мнению многих исследователей, 1833 год был для по-
эта переломным. А.С. Пушкин начинает работать над крупными произведения-
ми прозы. Убедительным свидетельством душевного надлома поэта явилась его
поэма “Медный всадник”. В этом возрасте (34 года) Пушкин начинает думать
об отставке. Как видим [2], кризисные годы выражены очень отчетливо и отве-
чают числам Фибоначчи.
Рассмотрим биографию Гете. В возрасте 21 года Гете переехал в Страс-
бург, увлекся народной поэзией, начал писать стихи. К 30 годам он занял высо-
кое положение в обществе, но постепенно в нем назревало разочарование, рос-
ло переутомление и усталость. Этот переломный период близок к 34 годам. Не
найдя в себе мужества бросить службу, он начал заниматься наукой (в его соб-
рании сочинений 14 томов посвящено научным работам). В возрасте 56 лет Ге-
те сильно заболел. После болезни произошел перелом: он вновь обратился к по-
эзии.
Острый душевный кризис пережил Н.В. Гоголь в возрасте 34 лет. Он сжи-
гает написанную вторую часть “Мертвых душ”. И у Л. Бетховена в 34 года на-
блюдается резкий творческий спад. И уже не кажется случайным [2], что Ленин
умер на 55-м году жизни.
Очевидно, не случайно в жизни великих людей в возрасте 21, 34, 55 лет
отмечаются кризисы, переломы. К 21 году юноша созревает, становится муж-
чиной; к 33 годам, как указывает И. Перна, человек созревает как деятель. В 55
лет мужчина вступает в период “поздней молодости”, расцвета чувственности
[2].
Но характерно, что кризисные, переломные годы у мужчин и женщин не
совпадают; у женщин они опережают мужские [2]. Но это и неудивительно; из-
вестно, что женщины формируются и стареют раньше муж-чин. Старческие из-
менения у женщин начинаются на 6-8 лет раньше.
43
В жизни мужчины можно выделить семь этапов, отвечающих ряду Фибо-
наччи. Периодичность в жизни женщин подчиняется другому ряду лет, близких
к числовому ряду Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 (рисунок 31).
1 3 5 8	13	21______34_________55________________89
критические возрасты мужчин
134 7 11	18	29 47 76
критические возрасты женщин
Рисунок 31 - Кризисные годы мужчин и женщин
Возрастные интервалы согласуются с более ранним развитием девочек,
половая перестройка у них начинается раньше, чем у мальчиков, и к 18 годам
заканчивается формирование организма. Возрастные периоды женщин анало-
гичны мужским.
Переломы в физиологии, психике и мировоззрении в возрасте 21, 34 и 55
лет определяют жизненный путь взрослого человека. Может быть, и А.С. Пуш-
кин избежал бы гибели, если бы после 34 лет выехал из Петербурга, порвал со
светским обществом, т.е. стал жить так, как хотел. После каждого переломного
периода человек меняется, он как бы рождается заново. Японцы уже давно об-
ратили на это внимание; у них существовал древний обычай несколько раз в
жизни человека менять его имя.
В последнее время в печати появились сообщения о депрессии, нервных
срывах руководителей некоторых фирм В расцвете сил - 38-40 лет - они вне-
запно охладевают к работе, наступает апатия. Иногда это даже приводит к са-
моубийству. Не случайно, что это начинается после 34 лет. Неучет своего “я” в
итоге ведет к кризису [2].
Интересно отметить, что в советах врачей о лучшем возрасте мужчин и
женщин для их вступления в брак всегда рекомендуется, чтобы жена была мо-
ложе мужа, причем эта разница в возрасте определяется двумя указанными ря-
дами чисел: 21 (муж.) - 18 (жен), 34 (муж.) - 29 (жен.), 55 (муж.) - 47 (жен.).
44
Очевидно [2], союз супругов будет гармоничным в том случае, когда их кри-
зисные годы совпадают, то есть когда они мужают и стареют синхронно.
Семь периодов человека различны по физическому времени: первый этап
длится 1 год, а последний - 34 года; но по биологическому времени они одина-
ковы [2]. Биологическое время отражает скорость различных процессов, проте-
кающих в организме. Течение собственного времени у быстро и медленно жи-
вущих существ также различается. В процессе старения человека происходит
замедление темпа его собственного биологического времени. Поэтому и возни-
кает ощущение, что с годами время бежит скорее.
Английские ученые А. Каррел и И. Эбелинг установили, что в 50-летнем
возрасте жизненные процессы протекают в 10 раз медленнее, а темп биологиче-
ского времени соответственно в 10 раз медленнее, чем в пятилетием.
10.	Ритмы сердца и мозга
Сердце человека в состоянии покоя совершает около 60 ударов в минуту.
Давление крови постоянно изменяется в процессе работы сердца. Отношение
максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению
равно в среднем 1,6, т е. близко к золотой пропорции [2]. Случайно ли это?
Работа сердца должна быть оптимальной, обусловленной законами само-
организации биологических систем [2].
При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить
специальным прибором и получить кривую - электрокардиограмму с характер-
ными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На электрокар-
диограмме человека выделяются два участка различной длительности, соответ-
ствующие систолической (ts) и диастолической (Lj) (рисунок 32).
Рисунок 32 - Электрокардиограмма человека [2]
45
В.Д. Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих име-
ется оптимальная частота сердцебиения, при которой длительности систолы,
диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции
0,382:0,618:1, то есть в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, напри-
мер, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, что отвечает реальной
частоте сердцебиения в состоянии покоя [2].
Далее В.Д. Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте
равно 0,382, а диастолическое 0,618 от среднего давления крови в аорте. Кроме
того, работа сердца в отношении объемов желудочков оптимизирована по пра-
вилу золотого сечения.
По мнению В.Д. Цветкова, организация сердечного цикла в соответствии
с золотой пропорцией и числами Фибоначчи является результатом длительной
эволюции млекопитающих, в которой организм стремился обеспечить себя при
минимальной затрате энергии.
Но деятельность сердца тесно связана с деятельностью мозга. И действи-
тельно, мозг человека также подчиняется правилу золотой пропорции.
Конфигурация нейронных сетей представляет собой колебательные элек-
трические цепи. Различным состояниям мозга соответствуют колебания с раз-
ными частотами. Многочисленные исследования показали, что в мозгу взросло-
го человека при различных его состояниях преобладают электрические колеба-
ния определенных частот. Изменение активации мозга происходит не непре-
рывно, а скачками, от одного уровня к другому [2]. Каждому состоянию мозга
соответствуют свои специфические волны электрических колебаний (таблица
2). Нетрудно заметить, что граничные частоты ритмов мозга или точно отвеча-
ют числам Фибоначчи, или очень близки к ним.
Одной из характеристик работы мозга является среднее геометриче-
ское значение крайних частот, определяемое по формуле: f=^f]  1?2 , где fi и
1з - крайние частоты колебаний.
46
Таблица 2
Электрические колебания мозга человека [2]
Ритмы мозга	Диапазон колебаний, герц	Состояние мозга человека
А	1,5-4	восприятие неприятностей
0	4-7	сон
а	8-13	покой
Р	14-35	умственная работа
Y	34-55	эмоциональное возбуждение
Средняя геометрическая частота делит диапазон частот любой волны
мозга на высокочастотную и низкочастотную области. Отношение этих облас-
тей - постоянная величина для данной длины волны. Для p-ритма, ответствен-
ного за умственную деятельность человека, эта величина близка к золотой про-
порции. При изучении ритмов мозга Я.А. и А.А. Соколовы пришли к формуле,
которая описывает электрические колебания мозга: Ьр-Ьч=1, где р=2, 3, 4, 9.
q=l, 2. Корни этих уравнений и являются инвариантами различных ритмов.
Кроме известных четырех, были получены значения 1,272 и 1,221. Соколовы
считают, что эти еще не обнаруженные опытами, но полученные в результате
теоретических расчетов, инварианты характеризуют свойства ритмов g и ко-
торые доминируют при творческой деятельности мозга.
В процессе эволюции организмов от наиболее простых ко все более
сложным происходило возрастание числа ритмов мозга и повышение их часто-
ты [2]. В этом проявилась одна из наиболее фундаментальных закономерностей
развития систем, их самоорганизации и эволюции.
11.	Белки и золотая пропорция
Важнейшей составной частью всех живых организмов являются белки
Они являются основой кожи, мышц, хрящей, ногтей. К белкам относятся и
ферменты - катализаторы разнообразных биохимических реакций, протекаю-
щих в организме. Белком является гемоглобин, переносящий кислород в крови.
Характерно, что самые разнообразные белки состоят из 21 аминокислоты
47
[2]	. Молекулярная масса белков изменяется в очень широких пределах - от не-
скольких тысяч до нескольких миллионов. По характеру изменения массы бел-
ков можно судить о закономерностях эволюции белковых молекул В.В. Колом-
бет построил частотную кривую распределения различных белков по их массе
(рисунок 33).
Рисунок 33 - Кривая распределения различных белков по их массе [2]
Кривая распределения снижается не монотонно, не плавно. На ней отчет-
ливо видны пики — максимумы и минимумы. Пики на кривой отвечают сле-
дующим значениям предпочтительных масс : 31; 81,2; 140,6; 231; 319; 1000
единиц. Нетрудно заметить, что этот ряд величин очень близок последователь-
ному ряду чисел Фибоначчи. 3; 8; 13; 21 ;34; среднее отклонение от этих вели-
чин составляет всего 0,04.
Практически все биохимические реакции в живых организмах протекают
с участием ферментов. Установлено, что ферменты образуют упорядоченные
структуры - мультиферментные комплексы. Б.И. Курганов , изучая сборку таких
комплексов, установил, что они образуют 4 различные композиции, в состав ко-
торых входит 1, 5, 13 и 21 молекула ферментов
48
Ученый А. Фрей-Висслинг обратил внимание на некоторые закономерно-
сти строения биологических молекул. По его данным, расположение аминокис-
лотных остатков в спиралях белков определяются отношением чисел 11/3, 18/5,
29/8, 47/13 для различных молекулярных цепей. Эти отношения и задают углы
расхождения аминокислотных остатков. По мнению Фрей-Висслинга, знамена-
телем в них являются числа Фибоначчи, а числителями - ряд Люка.
В живых организмах встречаются и неорганические соединения в виде
материала зубов, скелета, отложения солей, камней в почках. Как оказалось, в
живых организмах используется всего 4 минерала: апатит, кальций, арагонит и
кристаллит, причем их решетки связаны пропорциями золотого сечения [2].
12.	Спираль развития
Итак, золотая пропорция является критерием гармонии и красоты. Ей
подчиняется не только живая природа, но и другие объекты природы до плане-
ты в целом. В процессе эволюции происходило усложнение организмов, причем
оно совершалось не только непрерывно, но и дискретно, следуя как бы некото-
рой программе развития. Этой программой, по-видимому, является золотое се-
чение, пропорция и ряд чисел Фибоначчи.
Характерной чертой строения растений является спиральность. Еще Гете
считал спиральность одним из признаков всех организмов. Спиральность обна-
руживается и в историческом развитии Земли, и в Солнечной системе. Не про-
является ли здесь закономерность развития систем, их самоорганизации и эво-
люции? Как уже было показано выше, спираль геологических событий жизни
на Земле не разворачивалась во времени, а наоборот, закономерно сворачива-
лась. С увеличением возраста Земли в единицу физического времени
(определяемого количеством оборотов Земли вокруг Солнца) происходило все
больше событий, собственное геологическое время планеты непрерывно уско-
рялось [2], то есть за меньший промежуток времени происходило больше собы-
тий.
Если взять этапы жизни на Земле, то получим следущий ряд чисел. 20
49
миллиардов лет назад - Большой взрыв, который привел к образованию нашей
Вселенной [8]; 3,5 - 1,2 млрд, лет назад - А.рхей (простейшие организмы): 1,2 -
0,5 - Протерозой (распространение бактерий, грибов и водорослей); 0,5 - 0,185 -
Палеозой (достаточно развитые формы жизни), 0,185 - 0,07 - Мезозой (начало
формирования современной земной биосферы), 0,07 - 0,001 - Кайнозой
(формирование современной биосферы) [9] Расположим эти этапы на прямой
времени (рисунок 34).
610	89 t 21 <8
©———/ /•    —  '  ф -—— ~~©~ — © •	--- Л®»"
° МГ11>Д ЛеТ
Рисунок 34 - Прямая времени
Каждая из этих эр характеризует переход на новый этап развития. В древ-
ние времена общий уровень организации биосферы был относительно невысо-
ким, а структура биосферы - относительно простой. Но с течением времени
биосфера развивалась и появлялись новые виды организмов, уровень организа-
ции биосферы становился все более высоким. При сравнении данные периоды
отвечают следующему ряду чисел: 2: 3; 8; 21; 89, 610 (например, отношение
продолжительности Протерозойской эры (0,7 млрд, лет) и Палеозоя (0,315
млрд, лет) - 21:8), близкому к числам Фибоначчи. Следует иметь в виду, что
данные периоды времени весьма неточны и у разных авторов различия дости-
гают нескольких миллионов лет.
Однако, мы постоянно наблюдаем отклонения от стройного плана разви-
тия, выраженного золотым сечением. Как известно, иррациональные числа вы-
ражают характеристики подвижных, изменчивых объектов и явлений природы.
Соотношение рядом расположенных чисел все время колеблются около значе-
ния золотого сечения и по мере развертывания ряда все ближе приближаются к
этой иррациональной величине. Это и неудивительно. Система, являясь в пер-
воначальном состоянии гармоничной, не нуждается в развитии, то есть не стре-
50
мится к более сложной и высокоорганизованной форме, поэтому необходим за-
кон, который выводит систему из равновесия (гармонии), то есть закон откло-
нения.
Если представить этот закон и закон золотого сечения в виде полей, то
программа развития планеты - это поверхность их прикосновения, в основе ко-
торой лежит спираль - спираль развития, подчиненная геометрической прогрес-
сии. На этой поверхности одновременно действуют оба этих закона: первый от-
клоняет систему от состояния равновесия, а второй стремится привести ее об-
ратно, в результате чего спираль раскручивается. При этом с каждым витком
спирали происходит увеличение информации, которая выражается в увеличе-
нии разнообразия организмов.
В качестве примера ограничивающего действия закона золотой пропор-
ции на закон отклонений можно рассмотреть отклонения количества изотопов
элементов таблицы Менделеева от количества изотопов золота - элемента, ко-
торый для них всех является энергетическим эквивалентом (рисунок 35).
Порядковый номер элемента
Рисунок 35 - Зависимость отклонения количества изотопов элементов
таблицы Менделеева (от количества изотопов золота)
от порядкового номера элементов
Видно, что элементы с порядковыми номерами, близкими к ряду Фибо-
наччи (21, 34, 55, 89), ограничивают максимальные колебания этого графика

Положение нашей цивилизации
Рисунок Зб - пираль развития
52
Если совместить прямую времени со спиралью развития, можно просле-
дить отчетливую связь при переходе от одного витка спирали к другому с пере-
ходом на новый уровень развития (рисунок 36).
При подробном рассмотрении временного ряда можно предположить.,
что продолжительность следующего этапа развития жизни на Земле будет равна
единице или около 35 млн. лет, то есть через 30 млн. лет жизнь на Земле перей-
дет в качественно новое состояние или исчезнет (см. рисунок 36).
13.	Золотая пропорция и фуллерены
Еще одним примером универсальности золотого сечения служит его при-
менение к фуллеренам, которое впервые было предложено В.С. Ивановой и ее
коллегами [10,11].
Фуллерены относятся к самоорганизующимся* структурам и являются
третьей формой углерода, кроме известных структур алмаза и графита (рисунок
37).
Рисунок 37 - Структура молекулы С-60 (а) и С-70 (б) [12]
Они представляют собой замкнутые сферические или сфероидальные
молекулы, поверхность которых состоит из пяти- и шестиугольников [13]. Были
*см. страницу 61
53
обнаружены фуллерены с четным количеством атомов углерода (они наиболее
устойчивы) от 28 до 960. Необычные свойства этих структур привлекают вни-
мание ученых всего мира и открывают широкие перспективы их использования
в различных областях науки и техники.
Как было установлено в [11], самоподобие фуллеренов, как геомегриче-
ских, так и природных, контролируется золотой пропорцией, или ее производ-
ными [3], связанными с обобщенной золотой р-пропорцией. Выше упомина-
лось, что обобщенная золотая р-пропорция обладает теми же свойствами, что и
первая: dp-l=l/dp=Ap. Это дает ряд обобщенных Ар пропорций:
А 1
pl
-0,618;
Др2=0,465; Ар3=0,380; ДрД =0,324..
В [10, И] показано, что для анализа фуллереновых самоподобных струк-
тур эффективным является использование второго корня обобщенной золотой
р-пропорции Др2 -0,465 с представлением функции самоподобия в виде
I*n-i /ГП=ДР21/т, при ш=2, 4, 8, 16, ... ,оо,
где Гп.1,1*ц - параметры, контролирующие неустойчивость структурного состоя-
ния в точках бифуркации*, связанных с неравновесными (кинетическими) фа-
зовыми переходами.
В соответствии с подходами синергетики*, параметры, контролирующие
эти точки, обладают свойствами самоподобия. Хорошим подтверждением этого
свойства является наличие в масс-спектре (рисунок 38) продуктов термического
испарения графита пиков, отвечающих самоподобным замкнутым фуллеренам
С-24, С-28, С-32, С-50, С-60 и С-70. Их самоподобие характеризуется условием
т=1 в соотношении
С-24/С-50=С-28/С-60=С-32/С-70=0,47«Др2.
54
Рисунок 38 - Масс спектр термического испарения графита [13]
Фуллеренная модель образования структуры железо-углеродистых
сплавов
В процессе кристаллизации, в зависимости от условий охлаждения, могут
реализовываться различные механизмы формирования структуры сплавов. Тра-
диционные представления о процессах кристаллизации рассматриваются в [14,
15], однако, последние достижения в области углеродных соединений позволя-
ют предположить, что в железо-углеродистых сплавах возможно образование
свободного углерода в виде фуллеренов, бакитъюбов и глобул.
По нашему мнению, при низких скоростях охлаждения возможно фрак-
ционирование (разделение) атомов железа и углерода (рисунок 39) из-за боль-
шого различия в размерах атомов(0,126 и 0,077 нм соответственно). Любое вне-
дрение атомов углерода в кристаллическую решетку железа энергетически не
выгодно, так как это приводит к се деформации и искажению. Скопления ато-
мов углерода могут привести к образованию не пластинчатого, а замкнутого, в
виде фуллеренов, строения.
Углерод как фаза, имеющая более высокую температуру перехода в кри-
сталлическое состояние, образуется в жидком расплаве первым в виде фуллере-
нов, которые могут являться центрами кристаллизации для железа (как моди-
55
фикаторы).
расплав
дислокации
Рисунок 39 -Фракционирование атомов железа и углерода по размеру
Количество атомов железа, которое осаждается на поверхности фуллере-
на,зависит от его симметрии. Если принять форму атома железа и фуллерена в
виде сферы, то их объем определяется
V=4TtR3/3 ,
где R - радиус атома железа или фуллерена.
Объем одного атома железа равен
Уж=43,14*(0,126*10-9)3/3=8,345*10-30 м3.
Объем фуллерена С-60 равен
Уф=4*3,14*(0,357*10-9)3/3=0,19*10-27 м3
56
Объем фуллеренно-железной глобулы равен
Угл—4*3,14*[(0,357 г2*0,126)*10‘9]3/3=0,946*10'27 м3
Число атомов железа, которое осаждается на поверхности фуллерена в
один слой, равно
п=(Угл-Уф)/Уж=(0,946* 10-27.0,19*10'27)/8,345* 10'30=90,2.
Этот расчет не учитывает объемы пустот, которые образуются между
контактирующими сферами, поэтому результат получается завышенным. Более
жесткие условия - в случае, если атом железа принять в виде куба. При этом
число атомов равно 47,2. Среднее значение числа атомов железа получается
между этими граничными значениями и для С-60 составляют порядка 60 ато-
мов.
Критический размер зародыша при кристаллизации железа [14] опреде-
ляется
Rc=2Qa/Ap,
где Q - удельный объем, занимаемый в кристалле атомом, м3;
а - удельная свободная поверхностная энергия, Дж/м2;
Ар - разность химических потенциалов при переходе расплав - кри-
сталл, Дж.
Подставляя значения [14], получаем
Rc=2*7,66*10-6*0,204/2435-1,28*10-9 м.
10
Пусть некоторое дерево растет гак, что каждая новая ветвь в первый год
только тянется вверх или в сторону, а затем, начиная со второго года дает по
одному боковому побегу (см. рисунок 4). Легко заметить, что у двухлетнего де-
рева имеется только одна ветвь, у грехлетнего - две, у четырехлетнего число
ветвей увеличивается до трех, у пятилетнего - до пяти, у шестилетнего - до
восьми и т.д. в соответствии с последовательностью Фибоначчи, поскольку
число ветвей равно сумме ветвей, которые были год назад, и вновь появивших-
ся побегов.
Члены прогрессии an-ai-qn, где п=1, 2, 3, 4, 5, 6... являются числами Фи-
боначчи an.an.2+an.i, если q будет корнем квадратного уравнения q2=l r-q. Это
(-Л + 1)	(V5 - 1)
уравнение имеет два корня: qi=—- =Ф; q?=—-—Ф , совпадающие с
отношениями золотого сечения Ф и Ф'1.
Другим уникальным свойством чисел Фибоначчи является приближение
отношения соседних чисел Фибоначчи с ростом их номеров к золотому отно-
шению, например, ащ/ ад = 55 / 34 = 1,6176,.,, ац / ад= 89 / 55 = 1,6182... [4], то
есть
lim а„/ ап-1=Ф^-1,618034...
Природа дает нам многочисленные примеры расположений однородных
предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных
расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства
спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в
другом - против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются со-
седними числами Фибоначчи. Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заме-
тить, что хвоинки образуют две спирали, идущие справа снизу налево вверх.
Вместе с тем они же составляют три спирали, идущие слева снизу направо
вверх. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.
У многих сложноцветных, например, у маргаритки или ромашки,заметно
11
спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях - корзинках. Число
спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответ-
ственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении
семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может дости-
гать соответственно 55 и 89 (рисунок 5).
Рисунок 5 - Головка подсолнечника с удаленной частью семечек [5]
Очевидно [3], что подобные соотношения заложены в растениях генети-
ческим кодом. Это позволяет предположить, что некоторые явления, которые
мы наблюдаем на макроскопическом уровне, связаны с золотым отношением,
сохраняющимся в микроскопических масштабах вплоть до атомного уровня.
4.Формообразование в природе
Одним из важных свойств золотого сечения является единство аддитив-
ности и мультипликативности.
В математике аддитивность означает, что в числовом ряду Ф], Ф3, Ф3, Ф4,
Фз,... Фп I, Фп каждый предыдущий член ряда равен сумме двух последующих:
Ф1=Ф2+Ф3; Ф2=Ф3 Тф4;.. .;фп.2=ф11.1+фп.
Мультипликативность означает, что в числовом ряду Ф3, Ф2 Ф3, Ф4, Ф5...
Фп-1, Фп все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию: Ф; : Ф3 = Фг:
Ф3 = Ф3: Ф4 = ... = Фп.1: Фп = const.
Число золотого сечения, соединяющее свойства аддитивности и мульти-
пликативности, находится как общий корень двух уравнений:
12
a + b = с (аддитивность),
a : b = b : с (мультипликативность),
в которых целое представлено состоящим из двух частей а+Ь.
Поскольку отношение золотого сечения - широко распространенная за-
кономерность организации живых структур, попытаемся понять, что скрыто за
единством аддитивности и мультипликативности.
Понятие аддитивности [1] значит, что целое структурно, то есть состоит
из частей. Понятие мультипликативности свидетельствует, что само целое и его
части обладают одной и той же способностью изменять свои параметры - расти.
В едином организме все части растут по одному закону - закону геометрической
прогрессии. Это значит, что чем больше стала одна его часть, тем больше (и во
столько же раз) другая его часть и, соответственно, все целое. Но отношение
целого к своим частям остается неизменным. В природе - это принцип устойчи-
вости, который составляет основу генетики.
Изобразим на вертикали отрезок, разделенный в золотом отношении на
две неравные части b и с (рисунок 6) [I].
Рисунок 6 - Деление отрезка в золотом отношении [1]
Пользуясь свойством аддитивности,начнем распространять золотую пень
вверх и вниз так, как это показано на рисунке. Проведя две окружности,легко
заметить, что точки пересечения этих окружностей принадлежат горизонтали,
13
которая пересекает вертикаль под углом 90° так, что исходный отрезок с разде-
лен на равные части с/2, а обе триады - на неравные в пропорциях, вместе со-
ставляющих 10 (K/k+M/m=10). Чтобы придать чертежу законченный вид, нужно
найти предел, к которому стремятся убывающие звенья. В итоге мы получим
ассиметричный А-ромб - пространство симметрии подобий (рисунок 7).
Рисунок 7 - Пространство симметрии подобий [1]
Его составляющей единицей служит прямоугольный треугольник, в ко-
тором отношение малого катета к большому равно отношению большого катета
к гипотенузе. Любой отрезок в структуре А-ромба можно принять за линейную
меру длины. Тогда длина любого другого его элемента есть число Vo п, где п-
целые числа, положительные либо отрицательные. А-ромб не имеет мерности.
Угол основания А-ромба 2А. с точностью до пятого знака совпал с золотым чис-
лом; при измерении в радианах
2Л=	1 радиан = 1,809.
Но главным эмоциональным эффектом открытого в мае 1979 года по-
сгроения была заключенная в нем ассоциация с явлением роста в живой приро-
14
де. Положения осей симметрии и радиальные направления, расходящиеся под
углом X, воспроизводят нервагуру, характерную для листа клена. Оказалось
также, что углу 2Х отвечает радиальный рост морских раковин типа Pecten и
что угол 2Х = 103° 39' 20” практически является углом внутримолекулярных
связей в молекуле воды (рисунок 8).
—1.8001 рад-
-103^9'16,5"
Рисунок 8 - Элементарная единица структуры пространства симметрии
подобий [1]
Чертеж элементарной единицы пространства симметрии подобий есть
чертеж положения атомов в молекуле воды 112О. А вода, как известно, лежит в
основе жизни по многим параметрам, жизнь возникла в воде; ничто живое без
воды не может существовать.
Было замечено, что и линейный отрезок деленный в золоте, и треуголь-
ник 7ф описывается одним и тем же уравнением. Отрезок, деленный в золоте,
устанавливает связь трех величин: двух его частей и целого. Целое и его части
можно выразить как х2, х и 1, но и треугольник А-ромба Уф также имеет от-
ношение сторон 1, х и х2. Значит, деление отрезка в золоте - частный случай
треугольника х/Ф (рисунок 9) [1].
15
Рисунок 9 - Рост раковины «Nautilus»: поворотная симметрия л/2
и закон изменения мерности строит логарифмическую спираль [1 ]
Рассмотрим “живой треугольник”, в котором одна сторона лежит на
вертикали, являясь осью симметрии на плоскости или же осью вращения в
пространстве. Одна величина есть квадрат другой Очевидно, данная задача
имеет шесть вариантов решения (рисунок 10) [1]:
Рисунок 10 - «Живой треугольник» [ 1 ]
Движущаяся вершина треугольника очерчивает формы, напоминающие
16
Рисунок 11 - А-ромб, очерченная «живым» треугольником замкнутая
кривая - и яблоко [1]
Рисунок 12 - Морская раковина «Pecten» [I]
Рисунок 13 - Черепа человека (а) и шимпанзе короткоголового (б)
17
хорошо известные формы живой природы: яйцо, яблоко, морскую раковину.
Если реальное яблоко разрезать по вертикали и совместить плоскость разреза с
плоскостью очерченной кривой, центр завязи совпадает с точкой начала
построения кривой (рисунок 11). То же самое можно сказать о кольцах роста
раковины - начало роста живого объекта вновь совпало с точкой начала на
чертеже (рисунок 12). Геометрическое обобщение частных случаев золотого
сечения привело нас к формам живых объектов. Это также демонстрирует
рисунок 13.
5. Золотое сечение в искусстве
5.1.Число и образ в архитектуре
Прежде чем перейти к анализу образов в архитектуре, вспомним
геометрию. Рассмотрим простейший прямоугольный треугольник с
отношением катетов 1:2 (рисунок 14).
Рисунок 14 - Геометрическое построение «золотого» треугольника
В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большого - 2. По
теореме Пифагора длина гипотенузы в нем равна V5 .Соотношение сторон
данного треугольника а, b и с очень простые и понятные каждому, знающему
основы геометрии: а/Ь = 1/2, с/а = V5/1, c/b = V5/2. Однако из этих величин
следует и еще одно отношение:
—с = —,618033
b 2
то есть золотое сечение.
18
Золотая пропорция встречается и в других геометрических фигурах.
Например, сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность
радиуса R, равна радиусу, деленному на золотую пропорцию. Интересные
закономерности обнаружил И. Шевелев: если в прямоугольнике со сторонами
1:2 провести диагональ и описать полуокружность радиусом, равным
диагонали, то получим фигуру, в которой содержатся интересные пропорции
(рисунок 15). Вспомним панели-доски, найденные в гробнице Хеси-Ра.
Рисунок 15 - Геометрическое построение системы
взаимопроникающих подобий [2]
По мнению И. Шевелева, отношения этой фигуры содержат пропорции
египетских пирамид, греческого храма Парфенона, размерностей русских
саженей, морской сажени и золотой пропорции.
Египетские пирамиды относятся к одному из семи чудес света. Они
поражают своими громадными размерами, совершенством геометрической
формы. Пирамиды были атрибутами величия, могущества, свидетельством
достижения науки. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает
великая пирамида фараона Хеопса (рисунок 16). Длина основания пирамиды (L)
принята равной 233,16 м. Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году
определил английский полковник Г. Вайз: он равен 51°5Г. Ему отвечает
тангенс (tg X), равный 1,27306. Эта величина, отвечающая отношению высот
19
пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному золотой
пропорции д/ф= 1,27202. То есть в основу треугольника OMN пирамиды
Хеопса было заложено отношение OM/MN, равное VФ. Если рассмотреть
другие отношения, то мы неоднократно встретим золотое сечение [2]. Подобное
соотношение размеров не является случайным. Об этом свидетельствуют
замеры других египетских пирамид.
Рисунок 16 - Строение пирамиды Хеопса [2]
Перенесемся теперь в эпоху классической Греции. Великолепные
памятники архитектуры оставили нам зодчие древней Греции. И среди них
первое место по праву принадлежит Парфенону. Храм Афины - Парфенон был
построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической
композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части,
соорудив для этого мощную насыпь (рисунок 17).
Рисунок 17 - Парфенон
20
Как указывает Г.И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном,
длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрез-
ки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения мону-
ментальных ворот у входа в город (пропилеи) отношения массива скалы у храма
также соответствует золотой пропорции [2]. Таким образом, золотая пропорция
была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.
Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфе-
нона, искали и находили в соотношениях ее частей золотое сечение (рисунок
18). Если принять за единицу ширины торцовый фассад храма, то получим про-
грессию, состоящую из восьми членов ряда: 1 : <р : ср2 : <р3 . ф4 : ср5 . ф6 : ф7, где
(р=1,618 [2].
Рисунок 18 - Золотое сечение в пропорциях Парфенона [2]
Не менее интересен и другой подход: основным соотношением частей
Парфенона являются пропорции 1 и V5 (рисунок 19) [1].
В некоторых сооружениях древнего мира золотая пропорция выражена в
деталях внутренней композиции, даже в числе мест для зрителей. Построенный
11оликлетом - младшим театр в Эпидавре был рассчитан на 15 тысяч человек.
Места для зрителей имели 2 яруса: первый 34 ряда мест, а второй 21 ряд (числа
Фибоначчи). Угол, охватывающий пространство между пристройкой для пере-
21
одевания актеров, делит окружность основания амфитеатра в отношении
1:1,618. Это соотношение углов реализовано практически во всех античных те-
атрах.
Рисунок 19 - Соо тношение размеров колонны и храма [1]
Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые
строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или
опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторо-
нами 1:2. Рассмотрим подробнее некоторые из них. Одним из бесспорных ше-
девров русского зодчества является церковь Вознесения в Коломенском
(рисунок 20). В основу пропорции этого храма положен прямоугольник со сто-
ронами 1 и 75-1, который состоит из двух прямоугольников золотого сечения.
Все элементы церкви от плана до любого членения фасада подчинены двум от-
ношениям: повторению размеров (1:1) и отношению 1:(75-1)^0,809 [1].
22
Нижняя часть креста делится полумесяцем на нижнюю и верхнюю часть
как (л/5-1)/2=0,618. На гранях шатра имеется выполненная из белого камня сет-
ка ромбического рисунка,подчеркивающая движение вверх. Ромбы делят грань
шатра на отрезки,связанные попарно: внизу - 1 : (Vs -I) и вверху (-Уб -1): 2 [2].
Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия
Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удиви-
тельным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в
нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определен-
ной логикой и последовательностью развития форм Исследуя его,пришли к вы-
воду о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора
за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части,
образуют ряд золотого сечения: 1 : <р : <р2 : <р’ : <р4 : <р5 . <рй •. <р7, где <р =0,618
(рисунок 21).
•7П	(14,30)
14,30
Рисунок 20 - Церковь Вознесения в Коломенском [1]