Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике - Попов В.Н.

Автор: Попов В.Н.
Теги: математика физика математическая физика квантовая теория поля квантовая физика
Год: 1976
Похожие
Квантовая теория поля
Квантовая теория поля. Том 1
Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния
Текст
                    В.Н.ПОПОВ
КОНТИНУАЛЬНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
В КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
И СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1976

УДК 519.4 : 539.12
Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой
теории поля И статистической физике.
М., Атомиздат, 1976, 256 с.
В книге излагаются основы метода континуального ин-
интегрирования с приложением к широкому кругу задач сов-
современной теоретической физики.. Построен формализм конти-
континуальных интегралов в квантовой механике, квантовой те-
теории поля и статистической физики.-
Рассмотрены также попытки построения единой калибро-
калибровочной инвариантной теории слабых и электромагнитных
взаимодействий. Развит единый подход к вычислению низко-
низкоэнергетической и высокоэнергетической асимптотик в кванто-
квантовой теории поля._
Рассмотрены методы описания коллективных вихрепо-
добных возбуждений в релятивистской квантовой теории
поля.
Книга предназначена для научных сотрудников, аспи-
аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся
по теоретической и математической физике.
Список литературы—160 наименований.
20402—009
П 034/0|ч ?6 9—76 © Атомиздат, 1976
Виктор Николаевич Попов
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
и статистической физике
Редактор Т. Е. Бузаева
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника Н. А. Смирнова
Технический редактор С. В. Долгополова
Корректор И. И. Кщпикова
Сдано в набор 16/Х 1975 Г. Подписано к печати 16/IV 1976 г. Т-08209,
Формат бОХЭО'/щ. Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 16,0. Уч.-изд. л. 15,82.
Тираж 4000 экз. Зак. изд. 73164 Зак. твп. 496. Цена 1 р. 82 к.
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5
Московская типография Ш 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Москва, И-41,
Б, Переяславская, 46

ПРЕДИСЛОВИЕ
Континуальное интегрирование — один из наиболее мощных
методов современной теоретической физики, позволяющий упро-
упростить, ускорить и сделать более наглядным процесс аналитической
работы теоретика. Непрерывно возрастает интерес к этому методу
и стремление творчески им овладеть. Однако в настоящее время
почти полностью отсутствует монографическая литература на рус-
русском языке по рассматриваемому вопросу. Переведенную в 1968 г.
издательством «Мир» книгу Фейнмана и Хиббса «Квантовая меха-
механика и интегралы по траекториям» можно рассматривать лишь как
введение в предмет.
Данная книга должна в какой-то степени заполнить этот про-
пробел. В книге рассмотрены приложения методов континуального
интегрирования к широкому кругу задач современной теоретиче-
теоретической физики.
Понятие континуального интеграла вводится как метод кванто-
квантования конечномерных механических систем, альтернативный мето-
методам обычной квантовой механики. Вопросы квантования систем со
связями и квантования на многообразиях рассматриваются впер-
впервые в монографической литературе.
Применение методов континуального интегрирования к систе-
системам с бесконечным числом степеней свободы позволяет единым обра-
образом вывести и сформулировать диаграммную теорию возмущений
в квантовой теории поля и статистической физике, что существенно
проще общепринятого вывода в операторном подходе.
Большая часть книги посвящена развитию нестандартных ме-
методов теории возмущений на конкретных примерах, первый из ко-
которых — теория калибровочных полей. Необходимая здесь модифи-
модификация континуального интеграла использована для квантования
электромагнитного поля, полей Янга — Миллса и поля тяготения.
Рассмотрены также попытки построения единой калибровочно-ин-
вариантной теории электромагнитных и слабых взаимодействий.
Следующее приложение континуального интеграла — вывод инфра-
инфракрасной асимптотики функций Грина квантовой электродинамики.
Рассмотрено применение континуального интегрирования к задачам
рассеяния частиц высоких энергий. Получены формулы дважды
логарифмической асимптотики и эйконального приближения.

Приложения континуальных интегралов к Задачам статистиче-
статистической физики начинаются примерами сверхтекучести, сверхпроводи-
сверхпроводимости и теории плазмы. Модифицированная теория возмущений для
сверхтекучих бозе- и ферми-систем использована для построения
в микроскопическом подходе гидродинамического гамильтониана
системы и уравнений сверхтекучей гидродинамики. Впервые в мо-
монографической литературе освещается вопрос о сверхтекучести
двумерных и одномерных бозе-систем. Развит метод описания кванто-
квантовых вихрей в бозе- и ферми-системах, применяемый, в частности,
к теории сверхпроводимости второго рода. Метод гидродинамическо-
гидродинамического гамильтониана для систем с кулоновским взаимодействием иллю-
иллюстрируется в применении к теории плазменных колебаний. Примером
задачи, допускающей такое решение в формализме континуального
интеграла, служит модель Изинга. В последней из глав, относящих-
относящихся к статистической физике, рассмотрен метод Вильсона, использую-
использующий континуальный интеграл в теории фазовых переходов.
Заключительная глава книги распространяет концепцию воз-
возбуждений типа квантовых вихрей, обычную в статистической физи-
физике, на квантовую теорию поля. Это направление, призванное умень-
уменьшить число фундаментальных полей, стало разрабатываться в по-
последнее время.
Книгу не обязательно читать всю подряд. После ознакомления
с определением континуального интеграла и методами построения
диаграммной теории возмущений (см. гл. 1, 2) читатель может со-
сосредоточиться лишь на тех приложениях континуальных интегралов
к физическим системам, которые представляют для него наибольший
интерес. Выбор конкретных примеров обусловлен в значительной
степени научными интересами автора.
Мне хотелось бы поблагодарить В. Алонсо за помощь при под-
подготовке рукописи к печати.

ГЛАВА 1
КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ И КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Континуальные интегралы были введены в математику в 20-х
годах в работах Винера как метод решения задач теории диффу-
диффузии и броуновского движения [1]. В физике континуальные
интегралы были переоткрыты в 40-х годах Фейнманом и использо-
использованы им для переформулировки квантовой механики. В конце 40-х
годов Фейнман строит на основе континуальных интегралов новую
формулировку квантовой электродинамики и развивает знаменитую
теперь диаграммную технику теории возмущений [2—4]. Новая
теория возмущений существенно упростила вычисления и помогла
построить теорию перенормировок. Последняя явилась важным ша-
шагом в решении проблемы бесконечностей, возникшей в квантовой
электродинамике с момента ее формулировки в работе Гейзенберга
и Паули в 1929 г. [5]. В настоящее время теория электромагнитных
взаимодействий согласуется с экспериментом с точностью до седь-
седьмого десятичного знака — это заслуга новой теории возмущений.
Начиная с 50-х годов интенсивно изучаются континуальные ин-
интегралы, возникшие при решении функциональных уравнений в
квантовой теории поля (уравнения Швингера [6]). Функциональная
формулировка квантовой теории поля рассматривалась в работах
Н. Н. Боголюбова [7], И. М. Гельфанда и Р. А. Минлоса [8],Мэтью-
са и А. Салама [9], И. М. Халатникова [10], Е. С. Фрадкина [11].
В 60-е годы появилась новая область применения континуаль-
континуальных интегралов — квантование калибровочных полей. Примерами
калибровочных полей являются электромагнитное поле, поле тя-
тяготения Эйнштейна, поля Янга — Миллса и киральные. Функцио-
Функционалы действия этих полей инвариантны относительно калибровоч-
калибровочных преобразований, зависящих от одной или нескольких произволь-
произвольных функций. С точки зрения математики калибровочные поля —
это поля геометрического происхождения, которые являются связ-
ностями в некотором расслоении над четырехмерным пространст-
пространством — временем. Специфику геометрических полей необходимо
учитывать при их квантовании; в противном случае можно полу-
получить неправильные результаты.
Впервые это заметил Фейнман [12] на примерах поля Янга —
Миллса и поля тяготения. Он показал, что квантование по методу,
аналогичному методу Ферми в квантовой электродинамике, нарушает

условие унитарности. Фейнман же Наметил путь устранения ука-
указанной им трудности.
Впоследствии в результате работ нескольких авторов была ре-
решена задача квантования калибровочных полей; наиболее удобным
методом оказалось континуальное интегрирование [13—18].
Особое место среди калибровочных полей занимает поле тяготе-
тяготения. Вопрос о его квантований связан с надеждами на то, что гра-
гравитационное поле является естественным физическим регуляриза-
тором, образующим взаимодействие на малых расстояниях. Первые
результаты, поддерживающие эту точку зрения, были получены
де-Виттом [19] и И. Б. Хрипловичем [20].
В настоящее время метод континуального интегрирования стал
наиболее часто применяться к проблемам, так или иначе связанным
с калибровочными полями. Особо следует отметить его использова-
использование в попытках построения объединенной теории электромагнитных
и слабых взаимодействий [21—23].
Существует много других приложений континуальных интегра-
интегралов в квантовой теории поля. Например, с его помощью просто
выводятся различные асимптотические формулы для инфракрасной
и ультрафиолетовой асимптотик функций Грина и амплитуд рассея-
рассеяния [60, 67—71]. Интересным является использование континуаль-
континуальных интегралов в дуальных моделях.
В конце 60-х — начале 70-х годов стала развиваться теория
автомодельного (скэйлингового) поведения амплитуд квантовой
теории поля при больших энергиях, имеющая много общего с тео-
теорией фазовых переходов второго рода в статистической физике.
Здесь метод континуального интегрирования помогает качественно
описать картины рассеяния частиц высоких энергий и критических
явлений, приближенно вычислить показатели степеней (критиче-
(критические индексы).
В последнее время появилась новая область применения конти-
континуальных интегралов, связанная с поиском возбуждений в кванто-
квантовой теории поля, аналогичных квантовым вихрям в статистической
физике. Идея о том, что некоторые элементарные частицы можно
рассматривать как коллективные возбуждения системы взаимодей-
взаимодействующих основных полей, позволяет сократить число основных
(фундаментальных) полей. Метод континуального интегрирования,
возможно, единственный приемлемый подход к решению возникаю-
возникающих здесь проблем. Некоторые из полученных в этом направлении
результатов изложены в гл. 2 настоящей книги.
Применение континуальных интегралов в статистической фи-
физике позволяет вывести много интересных результатов, получаемых
с трудом другими методами. Фейнман применил открытый им метод
к теории полярона и жидкому гелию [24, 25], ему удалось вычислить
с большой точностью собственную энергию полярона и рассмотреть
качественные особенности ^.-перехода в жидком гелии.
Теория фазовых переходов второго рода, сверхтекучесть, сверх-
сверхпроводимость, лазеры, плазма, эффект Кондо, модель Изинга —
6

вот неполный перечень проблем, применение к которым метода кон-
континуальных интегралов оказывается весьма полезным. В одних
случаях это позволяет обосновать результаты, получаемые другими
методами, выяснить пределы их применимости и наметить способ
вычисления поправок. Если возможно точное решение, метод конти-
континуального интегрирования дает простой способ его получения.
В проблемах, далеких от строгого решения (общая теория фазовых
переходов), использование континуальных интегралов помогает
представить качественную, картину явления и развить приближён-
приближённые методы вычислений.
Континуальные интегралы особенно удобны для описания кол-
коллективных возбуждений, таких, как плазменные колебания в тео-
теории систем частиц с кулоновским взаимодействием, квантовые
вихри и длинноволновые фононы в теории сверхтекучести и сверх-
сверхпроводимости. Это тот случай, когда стандартная теория возмуще-
возмущений . должна быть модифицирована. Континуальные интегралы
представляют собой достаточно гибкий математический аппарат,
приспособленный для такой перестройки и подсказывающий способ
ее конкретной реализации.
Континуальное интегрирование — это «интегральное исчисле-
исчисление»', приспособленное к требованиям современной физики. Однако
в настоящее время отсутствуют строгая математическая теория и кор-
корректное определение континуальных интегралов, используемых
в квантовой теории поля и статистической физике.
Строгое определение и корректная математическая теория по-
построены для континуальных интегралов, дающих решения диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе урав-
уравнений квантовой механики и теории диффузии. Математические
вопросы теории континуальных интегралов изложены в обзорах
И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [26], И. М. Ковальчика [27], в кни-
книгах М. Каца [281 и Ф. А. Березина [29]. Отметим также работы
Ф. А. Березина [30], Ю. Л. Далецкого [311, М. А. Евграфова [32],
В. С. Буслаева и А. Л. Алимова [33], посвященные строгому опре-
определению некоторых континуальных интегралов.
В работах, выполненных на физическом уровне строгости,
континуальный интеграл используется как эвристическое средство
для построения теории возмущений и перехода от одной теории воз-
возмущений к другой. Именно с такой точки зрения рассматриваются
континуальные интегралы в этой книге.
§ 2. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
Дадим определение континуального интеграла в квантовой ме-
механике. Фейнман в статье [2] 1948 г. ввел и исследовал континуаль-
континуальный интеграл по траекториям в конфигурационном пространстве.
Однако для многих приложений более удобным оказывается введен-
введенное Фейнманом в 1951 г. [41 выражение для континуального инте-
7

грала, в котором интегрирование ведется по траекториям в фазовом
пространстве.
Рассмотрим одномерную механическую систему, определяемую
своей функцией Гамильтона Н (д, р), где q — координата; р —
канонически сопряженный импульс. Каноническое квантование
такой системы заключается в замене координаты q и импульса р
операторами q и р по правилу
q-^q~q, p->p=—ih-^-, B.1)
dq
где h — постоянная Планка. В дальнейшем будет использована
система единиц с h = 1. Операторы действуют в гильбертовом про-
пространстве комплексных функций ? (q). Согласно B.1), действие опе-
оператора координаты на функцию W (q) сводится к умножению этой
функции на переменную q, а оператор импульса пропорционален
оператору дифференцирования d/dq.
Эволюция состояния во времени определяется уравнением Шре-
дингера
ff> B.2)
dt
в котором Н — оператор энергии, получающийся из классической
функции Гамильтона Н (q, р) заменой q и р операторами q и р
по правилу B.1) при некотором способе упорядочения операторов.
Формальное решение уравнения B.2) можно записать в виде
4(t) = G(t,taL(ta), B.3)
где оператор эволюции
?/(*,*e) = exp(i (*„-*) Я) B.4)
есть показательная функция от оператора энергии Н.
Метод континуального интегрирования позволяет представить
матричный элемент оператора эволюции в виде среднего по траекто-
траекториям в фазовом пространстве от выражения
exp (IS [/„,*]), B.5)
где
S [t0, t] = J (р (т) q (т)-Я (q (т), р (т))) dx B.6)
t.
классическое действие для траектории (q, (т), р (т)), (^0 < т < t)
в фазовом пространстве q (т) s= dq (x)/dx.
Среднее по траекториям и есть континуальный интеграл Фейн-
мана. Обычно континуальный интеграл определяют как предел ко-
конечномерного интеграла. Приведем одно из возможных определе-
определений.

Разделим интервал [t0, t\ на N равных частей точками ти ...t
тлг-ь Рассмотрим на интервале lt0, Л функции р (т), постоянные на
интервалах
[/0, т), (ть т2), ..., (%n-i, п, B.7)
и непрерывные функции q (т), линейные на интервалах B.7). За-
Зафиксируем значения функции q (т) на концах интервала Уо, п,
положив
Я (^о) — <7о> Ч @ = fl'- B>8)
Траектория (q (t), p (т)) определяется значениями кусочно-линей-
кусочно-линейной функции q (т) в точках %ъ ..., %н-\ (обозначим их qlt ..., qN-i)
и значениями кусочно-постоянной функции р (т) на интервалах
th+1). Обозначим эти значения рь ..., рм.
Рассмотрим конечномерный интеграл
Bn)~N Г dpx dqx... dqN_ l dpN exp (iS [^0, t]) ^ Jw (90, ^; t0, t), B.9)
где S №0, t\ — действие B.6) для только что описанной траектории
(Я (т)» Р (т))» определяемой параметрами qly ..., ^, р1э..., pN. Основ-
Основное утверждение заключается в том, что предел интеграла B.9)
при N ->- оо совпадает с матричным элементом оператора эволюции:
lira JN(q0, q; t0, t) = <q\exp(i(to—t)H)\qo>. B.1C)
N-oo
Нетрудно проверить это утверждение в случаях, когда гамильто-
гамильтониан Н зависит только от координаты или только от импульса.
Если Н = Н (q) (H зависит только от координаты), классическое
действие для описанной выше траектории (q (т), р (т)) имеет вид
dx. B.11)
\H(q(i))
Интегрируя в B.9) по импульсам, получим произведение 8-
функций:
S (<7i - 1») S (qt - Яг) - 8 (q - qN-i). f B.12)
Это произведение позволяет считать выражение ехр (—i J H(q (т)) dx)
равным exp (i (^0 — t) H (q0)) и вынести его за знак интеграла. Даль-
Дальнейшее интегрирование по координатам qlt ..., qN-\ снимает все
б-функции, кроме одной, приводя к результату
б (<7о - q) exp (i (to -t)H Ы), B.13)
совпадающему с матричным элементом оператора эволюции.

Если Я = Я (р) (Я зависит только от импульса), действие при-
принимает вид
I
t
(Р (т) д (т)-Я (р(т)) dx = рх {qx~
t
NN\
Интегрируя в B.9) сначала по координатам дъ ..., ды-\, а затем
по всем импульсам plt ..., pN, получим выражение
B.15)
равное матричному элементу оператора эволюции для гамильтониа-
гамильтониана Я = Я (J5).
Доказательство формулы B.10) усложняется, если гамильтониан
нетривиально зависит от координаты и импульса. В этом случае
допредельное выражение B.9) не совпадает со tBOHM пределом —
матричным элементом оператора эволюции. Формула, аналогичная
B.10) для оператора эволюции уравнения параболического типа
доказана, например, в работе М. А. Евграфова [32]. Для уравнения
Шредингера доказательство известно лишь в случае, когда опера-
оператор Я есть сумма функции от координат и функции от импульсов:
Я = Нг (д) + Яа (р). B.16)
В нерелятивистской квантовой механике применяются именно га-
гамильтонианы типа B.16).
Континуальный интеграл, определенный как предел выражения
B.9) при N -> оо, обозначим символом
f exp(iS^0, tDYl'"™™ • B-17)
ее.) t
Такое обозначение удобно, оно не отражает того факта, что в до-
допредельном выражении B.9) число интегрирований по импульсам
на единицу больше, чем по координатам.
Заметим, что континуальный интеграл, определяемый формулой
B.10) как предел конечномерного, зависит от способа аппроксима-
аппроксимации траектории (д (т), р (т)). Это связано с тем, что при замене аргу-
аргументов функции Я (д, р) некоммутирующими между собой оператора-
операторами q и р мы не имеем естественного рецепта упорядочения. Однако
операторы, имеющие физический смысл, как правило, соответствуют
функциям, в которых замена аргументов некоммутирующими опе-
операторами ведет к однозначному ответу. Таким является оператор
энергии нерелятивистской квантовой механики, равный сумме ква-
квадратичной функции импульсов и функции координат. В таких слу-
ю

чаях и континуальный интеграл также приводит к однозначному
ответу.
Обобщим формализм континуального интеграла на системы с лю-
любым конечным числом степеней свободы.
Действие механической системы с п степенями свободы имеет
вид
SIU. Ц = Г (' 2 А ф-Н{q, p)\ d%. B.18)
Здесь (f — t-я каноническая координата; pt — сопряженный с ией
канонический импульс;
Н (q, р) s= Я (<Д .... q"; pi, ..., рп) — гамильтониан.
Континуальный интеграл для матричного элемента оператора
эволюции, по определению, — это предел конечномерного интегра-
интеграла, получающегося и» B.9) заменой
B«rW + B«rWn; dqk+f\dq'k; dph=f\dpt>hl B.19)
<=i 1=1
где qi — значение t-й координаты в точке %h (k = 1, ..., N — 1);
Pik — значение t-ro импульса на интервале (%k-i, тЛ). При этом нет
обходимо считать фиксированными значения всех координат q1, ...
..., q" на обоих концах временного интервала [/„, t].
Определенный таким образом континуальный интеграл будем
обозначать символом
%^« B-20)
§ 3. КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ
В предыдущем параграфе рассмотрено квантование конечномер-
конечномерных механических систем с действием гамильтонова вида B.18)
с помощью континуального интеграла. Теорию поля можно рассма-
рассматривать как бесконечномерный аналог механической системы с дей-
действием B.18). При таком подходе теории калибровочных полей яв-
являются аналогом механических систем со связями. Квантование ко-
конечномерной системы со связями требует модификации континуаль-
континуального интеграла.
Классическое действие конечномерной механической системы со
связями
f %) C-1)
содержит кроме координат q и импульсов р еще и переменные Яв,
входящие линейно и играющие роль множителей Лагранжа. Коэф-
Коэффициенты при них <р° (q, p) имеют смысл связей. Переменные q, p
И

образуют фазовое пространство размерности 2п. Число связей обоз-
обозначим т. Предположим, что т<.пк что связи сра и гамильтониан Н
находятся в инволюции, т. е. удовлетворяют условиям
^.«pH^eSV-J C)
В этих формулах ?, cf — некоторые функции q и р; {f, g} — скоб-
скобки Пуассона:
Система уравнений движения для действия C,1) кроме канонических
уравнений
C.4)
дН
содержит уравнения связи
Ф0 (q, р) = 0, а = 1, ..., т. C.5)
Из уравнений связи C.5) видно, что некоторые из переменных q,
р — лишние и их надо исключить. На практике исключение лишних
переменных, т. е. решение уравнений связи, часто оказывается за-
затруднительным. Поэтому желательно иметь формализм, не требую-
требующий явного решения уравнений связи.
Уравнения связи C.5) определяют в фазовом пространстве Г по-
поверхность М размерности 2п — т. Условия инволюции C.2) гаран-
гарантируют выполнение уравнений связи C.5) при произвольных функ-
функциях %а (t), если эти уравнения выполнены для начальных условий.
Другими словами, траектория, начавшаяся на поверхности М, не
покидает ее.
Наблюдаемыми величинами на многообразии М будем считать
такие, на изменении которых со временем не сказывается произвол
в выборе Ка @- Этому требованию удовлетворяют функции f(q, p),
подчиняющиеся условиям
ф6- C-6)
Действительно, в уравнениях движения для таких функций
f = {H,f}+2K{r,n C-7)
а
члены, зависящие от Ка, исчезают на М.
19

Заданная на М и удовлетворяющая условиям C.6) функция
f (q, р) существенно зависит не от всех переменных. Условия
C.6) можно рассматривать как систему т дифференциальных урав-
уравнений первого порядка на М, для которых уравнения C.2) —
условия интегрируемости. Поэтому функция / однозначно опреде-
определяется своими значениями на подмногообразии начальных усло-
условий для этой системы, имеющем размерность Bл—т) — т = 2 (п—
— т). В качестве такого подмногообразия удобно взять поверхность
Г*, определяемую уравнениями связи C.5) и т дополнительными
условиями:
ХвG, р) = 0, а= 1, .... т. C.8)
Функции Ха должны удовлетворять условию
det ||{Хв, ФЬ}Н Ф0, C.9)
так как только в этом случае Г* может служить начальной поверх-
поверхностью для уравнений C.6). Удобно считать, что %а коммутируют
друг с другом*:
ha- %Ь) = 0. C.10)
В этом случае на многообразии Г* можно ввести канонические пере-
переменные. Действительно, если выполнено условие C.9), то при помощи
канонического преобразования в Г-можно перейти к новым перемен-
переменным, в которых %а примут простой вид:
Ха (q, р) = ра, а= 1, ..., т, C.11)
где ра (а = 1, ..., т) —часть канонических импульсов новой си-
системы переменных. Пусть д" — сопряженные с ними координаты и
пусть q*, р* — остальные канонические переменные. В новых пере-
переменных условие C.9) запишется в виде
det
Ф0, C.12)
так что уравнения связи C.6) можно разрешить относительно q°.
В результате поверхность Г* задается в Г уравнениями
Ра = 0, ^ = ^(9*. />*), C.13)
так что q* яр* — независимые переменные на Г* и являются кано-
каноническими по построению.
Рассмотрим, как выглядит континуальный интеграл для конеч-
конечномерной механической системы со связями. Подберем дополнитель-
дополнительные условия Ха (<7> р) так, чтобы были выполнены соотношения C.9)
* Здесь и далее коммутатором двух функций / и g иа фазовом про-
пространстве называются скобки Пуассона {/, g) C.3). Функции коммутируют,
есди нх скобки Пуассона равны нулю,
13

и C.10). Основное утверждение состоит в том, что матричный элемент
оператора эволюции дается континуальным интегралом
^)\Uq(), p(x)), C.14)
—1 I ) х .
в котором мера интегрирования определена формулой
tf|i(х) = (йяу*det || {х„, Ф6} Ц П s(Х«)«(Фа) П <# (*) <fo (х). C.15)
а j=l
Для доказательства преобразуем интеграл C.14) с мерой C.15)
к интегралу B.20), в котором интегрирование ведется по траектори-
траекториям в физическом фазовом пространстве Г*. Перейдем к описанным
выше координатам q°, q*t pa, р*. При этом интеграл C.14) превра-
превращается в интеграл с мерой
которую можно переписать еще так:
а /=1
Интегрирование по q° и ра снимается б-функциями. В результате
интеграл принимает вид
f } Г! i^
совпадающий с B.20). Поэтому можно считать формулы C.14),
C.15) доказанными.
Заметим, что интеграл C.14) можно переписать в виде
\ехр| i Г (ypiqi—H—%Куа\йт\
J I J \1 а ) \
\ to I
a i=l Ь
Символ 1 'Ах -~ показывает, что в допредельном выражении фигу ри-
ъ
руют интегралы по переменным Яь (xt) (xt — точки деления интер-
интервала 1/0. t]) вида
I. b
U

Выражение C.20) равно произведению 6-функций
Пб [<р- (<7 (т,), р(т,))]. C.21)
Это означает, что в интеграле C.19) можно провести интегрирова*
ние по Яь и вернуться к интегралу ^3.14).
Покажем, что континуальный интеграл C.14) не зависит от выбора
дополнительных условий. Пусть бха — бесконечно малое изменение
этих условий. С точностью до линейной комбинации связей можно
представить 6%а как результат инфинитезимального канонического
преобразования в Г, генератор которого есть линейная комбинация
связей. Действительно, 8%а можно представить в виде
Ьср*. C.22)
b
где
Фа, C.23)
а
а в качестве ha можно взять решение системы уравнений
-8ха. C.24)
В силу условия C.9) эта система имеет однозначное решение. При
описанном каноническом преобразовании связи заменяются своими
линейными комбинациями
6ф' = 2ЛьчД C.25)
ь
где
Aab = {hb, qX-b-SW. <3-26)
Величины, участвующие в интеграле C.14) и мере C.15), изменяют*
ся следующим образом:
det || {га
В результате канонического преобразования мера интегрирования
отличается от меры C.15) лишь заменой Ха -*• Ха + бХа- Это и до-
доказывает независимость интеграла C.14) от выбора дополнительных
условий.
15

Полученные в этом и предыдущем параграфах континуальные
интегралы для конечномерных механических систем обобщаются
в следующей главе на теорию поля, описывающую системы с беско-
бесконечным числом степеней свободы.
§ 4. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КВАНТОВАНИЕ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
В этом параграфе рассмотрены два примера вычисления конти-
континуальных интегралов, с помощью которых осуществляется кванто-
квантование механических систем на многообразиях. Методом континуаль-
континуального интегрирования можно вычислить спектр наблюдаемых динами-
динамической системы, а если многообразие является группой, то этот метод
бывает полезен для нахождения неприводимых представлений груп-
группы. Приведенные ниже примеры различаются структурой фазово-
фазового пространства Г.
1. Г = и A) X R (цилиндр). Рассмотрим континуальный
интеграл вида
^ D.1)
по фазовому пространству механической системы, у которой коор-
координатное пространство есть единичная окружность (отрезок @,2л)
с отождествленными концами).
Континуальный интеграл D.1) с гамильтонианом, зависящим от
импульсов, относится к классу точно вычисляемых (§ 1). Однако
компактность координатного пространства ведет к его существенному
изменению по сравнению со случаем, рассмотренным в § 1, где коор-
координатным пространством была прямая.
Для вычисления интеграла D.1) заменим показатель экспоненты
допредельным выражением
i2nt (ф*+1 -*~ фг) — i^H (лг) At, D.2)
где Я| — значения л на интервалах (ti+1 — ti),i= I, 2, ..., N.
Проинтегрируем сначала по переменным ф,- — значениям перемен-
переменной ф (t) на концах интервала *4i — h, отличным от t0 = t, tN—
= t'. Легко увидеть, что для этого надо проинтегрировать по пере-
переменным ф* (i =1, ..., N — 1) по всей вещественной оси, а затем про-
просуммировать по всем функциям ф (f) с условиями
Ф (t) — ф, ф (f) = ф' + 2пт, т — целое число. D.3)
По импульсным переменным нужно интегрировать по всей вещест-
вещественной оси. Таким образом, необходимо вычислить выражение
о, N JV-1
Bяг* 2 jn^n^
\nN2nm—\^Н(щ)Му D.4)
16

Интегрирование по tpf дает
Bjt)-"fexp(i2 я,(ф,+1—q
N—l
= Bя)-1 I~J б(я!+1—nt)expi(nN tp'—яхф). D.5)
Произведение N — 1 б-функций позволяет проинтегрировать по
всем импульсным переменным, кроме одной. Выражение C.4) прини-
принимает вид
n' J ехр{ш'(<р' — ф) + 2лт — i(f —t)H(n')}. D.6)
т = —оо
Просуммировав по т
2exp(in'2nm)= 2 б(п'~ т) D.7)
и взяв интеграл по я', получим
Bл) 2 ехрПт(ф'-ф)]ехри(/'-/)Я(т)]. D.8)
Этот результат можно интерпретировать следующим образом.
Выражение exp (i/ncp) есть одномерное неприводимое представление
группы U A), тогда D.8) дает сумму по всем таким представлениям.
Из формулы D.8) видно, что при квантовании системы на одно-
одномерной группе вращения спектр оператора импульса дискретный
(целочисленный). Аналогичную формулу можно получить и для
других групп, в частности для группы трехмерных вращений О C).
В следующем примере рассмотрено квантование динамической
системы на торо-компактном фазовом пространстве конечного объема.
Объем фазового пространства должен быть кратен 2л.
2. Г = И A) X И A) (т о р; 0 < х < а, 0 < у < Ь). Пред-
Представим в виде континуального интеграла матричный элемент
<х'|ехр(— \Ш)\хУ D.9)
Определим континуальный интеграл как предел конечномерного
интеграла по значениям ylt ..., г/лг кусочно-постоянной функции
у (t) и по значениям хи ..., xN-i кусочно-линейной функции х (t)
в точках деления т^ ..., т^_ь Вследствие непрерывности функции
х (t) цадо интегрировать по переменным хи ..., xn-\ по всей веще-
вещественной оси, а затем просуммировать по траекториям, приходящим
в точки х + та (т — целое число), как и при квантовании на ци-
цилиндре. Что касается интегралов по у-переменным, то легко ви-
видеть, что по одной из них (например yt) следует интегрировать по
17

йтрезку tO, b\, а по остальным (yit ..., yN) — no всей вещественной
оси.
Допредельное выражение
x ...dxN_1 dyN exp{iyx (xx—x)
-xN_l)-i§ Hdt) D.10)
§ )
можно вычислить точно, если Н зависит только от у. Без ограниче-
ограничения общности можно считать Я периодической функцией <; периодом
Ь. Интеграл по ж-переменным имеет вид
Bn)~N^dxx... dxN~l exp{iy1(x1—
/дг_1— yN)exp {\yN{xf + 2nm) — iy1x). D.11)
Интегрирование по ylt ..., yN снимает все б-функции, и получается
выражение
ь
BЯ)'12 J dyexp {\у(х'—х + та)-Ш (у) (t'—t)}. D.I2)
Воспользовавшись формулой
H=^2e("-v)' D13)
получим вместо D.12) выражение
ь
о
Функция D.13) обладает естественным свойством 6-периодично-
стн, если аЫ2п есть целое число к. Получаем условие «квантования
объема»:
ab — 2nk, k — целое число. D.15)
Если условие квантования объема выполнено, выражение D.14)
принимает вид
д 1
а2 exp{i (•*¦'—*)]ехр{—-i(?'—t)fi(— b j|. D.16)
Отсюда следует, что при фиксированном k возможные значения для
у, = ~-Ь s = 0, I k—l. D.17)
18

Аналогично возможные значения
*,= — а 8 = 0,1 k — 1. D.18)
Условие квантования объема D.15) эквивалентно полученному
в работе Ф. А. Березина [148] условию квантования постоянной
Планка h (h = 2n/k). Чтобы убедиться в этом, введем вместо х, у
«циклические переменные» xlt хг по формулам
и обозначим возникающий перед действием S множитель аЫЫ*
как /г1.

ГЛАВА 2
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Теорию поля можно рассматривать как теорию механической
системы с бесконечным числом степеней свободы. Континуальный
интеграл в теории поля можно строить различными способами.
Во-первых, можно исходить из действия поля, записанного в гамиль-
тоновой форме, и строить континуальный интеграл по фазовому
пространству системы с бесконечным числом степеней свободы.
Во-вторых, можно исходить из действия, не записанного в явно га-
мильтоновой форме, и рассматривать континуальный интеграл по
всем полям, что позволяет построить явно релятивистскую теорию.
При гамильтоновом подходе релятивистская инвариантность часто
не является очевидной и требует специального доказательства.
Объяснение и обоснование метода интегрирования по всем по-
полям можно дать в том случае, когда удается преобразовать полу-
получающиеся здесь континуальные интегралы к интегралам гамиль-
тонова вида.
Рассмотрим определение и правила работы с континуальными
интегралами на примере теории скалярного поля с действием:
дх» дх* 2 Y 3! Т Г v ;
Здесь ф(дг) — зависящие от точки х = (х°, х1, х%, х3) псевдо-
псевдоевклидова пространства V4 полевые функции; gftv — диагональный
тензор Минковского [1, —1, —1, —1]. Действие — сумма квадра-
квадратичного по полю ср функционала So> дающего действие свободного
поля и интеграла от — ^ ф3, описывающего самодействие с констан-
константой связи g. Множитель дг перед gy3 выбран для удобства.
При определении континуального интеграла по всем полям ча-
часто используется конечномерная аппроксимация.
Возьмем в пространстве V4 большой кубический объем V, раз-
разделенный на N* равных маленьких кубиков уг (/ = 1, ..., iV4). Ап-
Аппроксимируем функцию ф (х) в объеме V функцией, постоянной
в объемах vu а первые производные -^- конечными разностями:
-^-[ф(^+б^А/)-ф(^)], E.2)
20

где At — длина ребра кубика vt. Аппроксимирующая кусочно-
постоянная функция ф (х) определяется своими значениями в объе-
объемах vt.
Рассмотрим конечномерный интеграл
exp (iS) П п (*) ^Ф (*) E-3)
по значениям функции ф (х) в объемах vi. Здесь S — интеграл дей-
действия для аппроксимирующей функции ф (х) с аппроксимацией
E.2) для ее первых производных; п (х) — не зависящий от ф (х)
множитель, выбранный так, чтобы при V -*¦ оо, vt -*¦ О интеграл
E.3) имел бы асимптотический вид exp (cV) с не зависящей от V
константой с. Обычно п (х) имеет вид
п (х) = а (Д/)а E.4)
с постоянными (не зависящими от х) константами а и а.
Конечномерные интегралы типа E.3) фигурируют в допредель-
допредельных выражениях при определении встречающихся в теории поля
континуальных интегралов. Запишем функции Грина в виде конти-
континуального интеграла.
Функции Грина — среднее от произведения двух и более поле-
полевых функций с весом exp (iS). Например, двухточечная функция
определяется формулой
G(x, 0)=-1<ф(*)ф@)> =
J ехр A5) Ф (х) ф (у) П п (х) dq> (x)
--Him ^i E.5)
»,"*о fexp(i5) П n(x)dy(x)
i l
Стоящий в правой части этой формулы предел обозначим символом
~1 n(x)d<p(x)
¦ E.6)
Функции Грина считают известными,, если известен производя-
производящий функционал
J exp i (s+J" Ti (x) ф {x)d* х}Пп (x) dep (x)
. E.7)
21

В частности, двухточечная функция Грина дается формулой
В теории свободного поля функционал Z [г\] нетрудно вычислить.
Для этого при интегрировании по ф в числителе формулы E.7)
сделаем сдвиг
Ф (х) -> ф (х) + фо (*), E.9)
подобрав фо (х) из условия сокращения в показателе экспоненты
членов, линейных по ф. Это приводит к уравнению
—(IZ1 + т2) фо (д:) = —л (д;) E.10)
для ф0 (х). Решение уравнения E.10) выражается через функцию
Грина D (х, у) оператора (— Ы — /л2) формулой
щ (х) = - $ D (х, y)r\{y)d% E.11)
Функция Грина — это решение уравнения
(- IIU - m2) D (х, у) = б (х - у) E.12)
с б-функцией в правой части.
После сдвига E.9) интеграл в числителе правой части E.7) сво-
сводится к произведению интеграла в знаменателе иа множитель
ехр
который и дает значение производящего функционала в случае сво-
свободного поля. Двухточечная функция в теории свободного поля
[обозначим ее Go (x, у)}, вычисленная согласно формуле E.8), есть
функция Грина оператора (— ? — тг):
Go (х, у) = D (х, у). E.14)
Эта функция определена уравнением E.12) не однозначно, а лишь
с точностью до аддитивной добавки — решения однородного урав-
уравнения
(-?— ет2)/ = 0. E.15)
Существует наиболее естественный выбор для функции D (х, у).
Его можно обосновать многими аргументами. Приведем один из
них.
Выражение ехр (iS) есть осциллирующий функционал от ф (х).
Рассмотрим вместо него функционал ехр (iSe), где Se — завися-
зависящее от неотрицательного параметра е комплексное действие
{—i-Jri(*)I>(*,*/)Ti(«,)d**d*«,}, E.13)
Se = — Гф(—?— т*+\г)ч>&х, E.16)
2 J
подобранное так, чтобы функционал ехр (iSe) был по абсолютной
величине меньше единицы и исчезал при J ф2^*л;-»- оо.
22

у получаются однозначными, если использовать при
определении функций Грина «исправленное» действие Se, а в ответах
перейти к пределу е -*- + 0. В частности, D (х, у) становится преде-
пределом функции Грина оператора (— ? — т% + ie). Последняя опре-
определена однозначно. Она зависит от разности и дается формулой
Предел этой функции прие-»-+0 назьшается причинной нлнфейн-
маяовской функцией Грина и обозначается Df (х — у).
Для среднего от произведения двух полей q> (x) и <р (у) в теории
свободного поля имеем
<Ф (*) Ф (</)> = ^ (х-У). E.18)
Среднее от произведения любого конечного числа функций
Ф (*i). •¦¦. Ф (Хп) в теории свободного поля получим, взяв п-кратную
функциональную производную от выражения E.13) и положив
4 = 0.
Среднее от нечетного числа функций q> равно, очевидно, нулю.
Для среднего от четного числа функций нетрудно вывести утвер-
утверждение, известное под названием теоремы Вика.
Среднее от произведения четного числа функций <р (*i), ..., <р (*ап)
равно сумме произведений всевозможных попарных средних. На-
Например,
<Ф (*i) Ф (*«) Ф (*з) Ф (*«) > = <Ф (*i) 9WX<p (*») Ф W> +
+ <Ф i*i) Ф(*э)> < Ф (xt) Ф (**)> + <ф (*i) ф (*4)> <Ф МХф(х,)).
E.19)
Доказательство для среднего от 2п функций получим, продиффе-
продифференцировав 2п раз функционал E.13) и положив у\ = 0.
Теорема Вика используется при построении формальной теории
возмущений и связанной с ней диаграммной техники. Построим тео-
теорию возмущений для скалярного поля с лагранжианом E.1). Пред-
Представим функционал exp (IS) в виде
exp (iS) = exp (iS0) exp (iSO, E.20)
где So — действие свободного поля и член
iJ1 E21)
описывает самодействие. Теория возмущений основана на разложе-
разложении exp (iSj) под знаком континуального интеграла в ряд по g
exp(iS,)= 2
и последующем почленном интегрировании получающихся рядов.
23

Например, для двухточечной функции получается представление
в виде частного двух рядов
G(x, у)=>
¦
— exp (iS0) (
E.23)
d* хп П п (х) dq> (х)
х
Если разделить числитель и знаменатель правой части выражения
E.23) на интеграл
jexp (\Su)Un(x)d(p(x), E.24)
то задача сводится к вычислению средних типа
f exp (iS0) ф« (*i),..., Ф" (хп) П п (х) dy {x)
E.25)
в знаменателе правой части E.23) и к вычислению средних
<Ф (*) Ф (у) ф3 (Xl), .... Ф3(^)>о E.26)
в числителе. Здесь применяется теорема Вика, которая представляет
средние <...>о в виде суммы всевозможных попарных средних,
позволяя вычислить любой член рядов в E.23). Фейнман указал на
то, что каждому члену рассматриваемых рядов можно сопоставить
рисунок-диаграмму. Теория возмущений, каждому члену которой
сопоставляется диаграмма, получила название диаграммной техни-
техники. В рассматриваемой теории скалярного поля с самодействием
можно прийти к диаграммам следующим образом.
Сопоставим среднему E.25) диаграмму в виде п точек (каждая
с тремя отростками), отображающих точки хи ..., хпв псевдоевкли-
псевдоевклидовом пространстве. Такая диаграмма для случая п — 4 имеет
вид
у, у, у
E.27)
Среднему E.26) сопоставим диаграмму, получающуюся из со-
соответствующей диаграммы для среднего E.25) добавлением двух
точек (каждая с одним отростком), соединяющим точки х и у в VV
24

Например, для п = 4 получим
- л- >^ г- г- - E-28>
Введенные таким образом диаграммы назовем преддааграмма-
ми, в отличие от тех, которые появятся далее. Преддиаграммы обла-
обладают симметрией относительно перестановки точек хъ ..., Хп, а так-
также относительно перестановки отростков в каждой точке. Поэтому
можно говорить о группе симметрии Gn л-точечной преддиаграммы
порядка
Rn = п\ C!)". E.29)
Симметрия преддиаграмм .отражает симметрию соответствую-
соответствующих им средних E.25), E.26), не меняющихся при перестановке
аргументов хг, ..., хп и при перестановке под знаком среднего в каж-
каждой тройке полевых функций ф (xt) ц> (xt) ф (xi) = ф3 (xi).
Заметим, что выражение Rn1 [вместе с(—i^)"] фигурирует в ря-
рядах E.23) как множитель перед средними <...H.
Согласно теореме Вика, средние E.25), E.26) — суммы произ-
произведений всевозможных попарных средних. Каждому способу обра-
образования попарных средних сопоставим диаграмму, соединив линией
каждую пару точек хи х} преддиаграммы, если среди попарных сред-
средних есть среднее <q> (хг) ф (а;/)>0. Число линий равно числу пар,
т. е. уменьшенному вдвое числу усредняемых полевых функций.
Все диаграммы, возникающие из преддиаграммы E.27), пред-
представлены в E.30), а все возникающие из преддиаграммы E.28)—
в E.31):
а. Ь ^
E.30)
ее
а
ее
О'
25

Выражение, соответствующее диаграмме, получится, если про-
произведение попарных средних проинтегрировать по xlt ..., Хп, умно-
умножив результат на (— ig^Rn1 и на число способов, которыми данная
диаграмма получается из преддиаграммы. Нетрудно заметить, что
указанное число способов равно отношению RJrn,d порядка Rn
группы симметрии преддиаграммы к порядку гП)й группы симме-
симметрии диаграммы, полученной из преддиаграммы соединением ее
вершин линиями. В результате численный множитель перед инте-
интегралом по Xi, .... Хп становится равным (—ig)nr^l.
Полученные правила соответствия можно сформулировать сле-
следующим образом. Сопоставим каждой линии, соединяющей точки.
xt и X], функцию Грина Df (xi — xj), отличающуюся от среднего
<<р (xt) ф (*;)><, множителем i, а вершине — константу связи g:.
*(
E.32)
Выражение для диаграммы получится, если произведение выра-
выражений, соответствующих элементам диаграмм — вершинам и ли-
линиям, проинтегрировать по координатам вершин и умножить полу-
получившийся результат на (i)'-"-' Гп}, где/—число линий диаграммы;
h — число ее вершин, rn>d — порядок группы симметрии.^
Наличие множителя симметрии rn,h не всегда отмечается в ли-
литературе. Возможно, это вызвано тем, что в квантовой электроди-
электродинамике (единственной теории, в которой для сравнения с экспери-
экспериментом необходимо учитьшать высшие диаграммы) этот множитель
равен единице для всех диаграмм, кроме вакуумных, которые при
описании физических эффектов можно не рассматривать.
При вычислении вкладов от различных диаграмм в функцию
Грина всегда можно ограничиться связными диаграммами, т. е.
такими, в которых можно пройти из любой вершины диаграммы в лю-
любую другую вершину, двигаясь по линиям диаграммы. При доказа-
доказательстве учтем, что диаграммы, соответствующие ряду в знаменате-
знаменателе формулы E.23), дают суммарный вклад вида
где S DJ — сумма вкладов всех связных вакуумных диаграмм (без
внешних линий). Формула E.33) следует из того, что диаграмма,
состоящая из Пх связных компонент одного сорта, л2 связных компо-
компонент второго сорта и т. д. имеет множителем симметрии
г-1 = П((«1Iг?')~\ E-34)

где ft — порядок груйпы симметрии связной компойейты /-го
сорта. Множители ((я*)!) отражают симметрию диаграммы относи-
относительно перестановок одинаковых компонент и приводят к показа-
показательной функции E.33). Остается заметить, что сумма вкладов диа-
диаграмм в числитель E.23) сводится к произведению суммы вкладов
связных компонент на множитель E.33).
В учебниках квантовой теории (см., например, [35—373) диа-
диаграммная техника строится обычно в рамках операторного метода.
Приведенный здесь на примере скалярного поля ее вывод с помощью
континуальных интегралов — более естественный. Фейнман пришел
к своим диаграммам именно через континуальный интеграл.
Для конкретных расчетов более удобна диаграммная техника
в импульсном пространстве. Она возникает, если перейти к преоб-
преобразованию Фурье ф (k) функций поля ф (х):
ф (х) = _L_ Г exp (ikx) $ (k) d* k E.35)
Bя)« J v
и рассматривать в качестве функций Грина средние вида
<Ф(*!),..., $(fcn)>. E.36)
Выражения, соответствующие элементам диаграмм — вершинам
и линиям, принимают вид
к1 кг г ь . -1
E.37)
Вклад конкретной диаграммы в импульсной диаграммной тех-
технике получится, если произведение выражений, соответствующих,
согласно E.37), ее элементам, проинтегрировать по всем внутренним
импульсам и умножить результат на г^A/Bя))'~"~|, где я — число
вершин; / — число линий; rn>d — порядок группы симметрии диа-
диаграммы.
Отметим, что функции Грина в импульсном пространстве содер-
содержат множителем б-функцию б (S^)» обеспечивающую сохранение
4-импульса: '
G (kt) = M (ktN Bikt). E.38)
27

Зная функции Грина, можно вычислить элементы S-матрицы
по формуле
S (*!,..., *n) = lim M(kt)[fl (к}-ш1) B(±i
.2 2 lit
ft ,• —»¦ /л," ч ( = 1
E.39)
Доказательство формулы E.39) здесь не приводится, его можно
найти во многих учебниках квантовой теории поля.
Объяснение и обоснование континуальным интегралам по всем
полям в квантовой теории поля можно дать в том случае, когда уда-
удается преобразовать полученные здесь континуальные интегралы
к интегралам в гамильтоновой форме, являющимся обобщением на
теорию поля интегралов, полученных выше при квантовании коне-
конечномерных механических систем.
Продолжая рассматривать пример скалярного поля, запишем
в гамильтоновой форме континуальный интеграл
J exp (iS) Un (x) dp (х). E.40)
X
Для этого рассмотрим интеграл
J exp (iS [ф, я]) Ш (х) dy (x) dn (x), E.41)
X
где выражение
совпадает с действием E.1) при замене я (х) на д0 ф (х). Действие
E.42) имеет гамильтонов вид. Соответствующая функция Гамиль-
Гамильтона есть
где функции ф (х), л (х) имеют смысл плотности координаты и со-
сопряженного ей импульса. Покажем, что интеграл E.41) по перемен-
переменным ф (а;) и я (а;) сводится к интегралу E.40) по всем полям. Для
этого заметим, что интеграл по я в формуле E.41) можно взять
в явном виде, если сделать сдвиг
я (х) -> я (х) + <Э0Ф (х), E.44)
после которого интеграл превращается в произведение интеграла
E.40) по ф и интеграла по я
Jexp(—i-J^(x)d*x)n<ta(x), E.45)
сводящегося к произведению нормировочных множителей. В фор-
формулах для функций Грина — средних от произведения нескольких
28

полей ф — интегралы типа E,45) входят в числитель и знаменатель
и поэтому сокращаются.
Таким образом, удалось привести континуальный интеграл в те-
теории скалярного поля к гамильтонову виду, искусственно введя
интеграл по новой переменной — каноническому импульсу. Такой
прием будет использован далее при доказательстве гамильтоново-
сти конкретных систем квантовой теории поля и статистической фи-
физики.
Схема континуального интегрирования по всем полям дает метод
квантования бозе-полей. В операторном формализме такое кванто-
квантование сводится к замене полевых функций операторами с бозевски-
ми перестановочными соотношениями.
Квантование ферми-полей можно реализовать с помощью конти-
континуального интеграла по антикоммутирующим переменным (подроб-
(подробнее в книге Ф. А. Березина [29]). Для этого необходимы следующие
основные факты.
' Интеграл по ферми-полям (по бесконечной грассмановой алгебре
с инволюцией) определяется как предел интеграла по алгебре с еди-
единицей и конечным четным числом образующих xlt х* (i = 1, 2, ..., п)
с перестановочными соотношениями
xt Xj + Xj xt = 0; x* x* + x* x* = 0; xlx*-\-x* xt — 0. E.46)
Любой элемент алгебры / (x, x*) есть полином вида
f (*,*•)= 2 " с«» «я». »»*Sv.-,'<"(*f)\-.., (О"" E-47)
60 1
с коэффициентами спу, ..., пп Ъу, ..., Ьп из поля комплексных чисел.
В силу перестановочных соотношений E.42) при i = j имеем xf =
= (x*)s = 0, так что степени образующих выше первой исчезают.
Можно ограничиться порядком расположения множителей, приня-
принятым в E.47), так как любой другой порядок можно привести к дан-
данному с помощью перестановочных соотношений E.46) при / Ф \.
Определим операцию инволюции, действующую на элемент
E.47) по правилу
/-*/•= 2 Се, anbt Ья(Хп)Ь«,..., (Xl)^(x*n)an (*!)"'.
ai Ьi = 0, 1
E.48)
На описанной алгебре можно ввести интеграл
,...,xn,x*l xZ)dxtdx1,...tdxZdxn, E.49)
определив его соотношениями
dx, = 0; <ydx*i = 0; Jxtdxt = l;^xf dx\ = 1 E.50)
29

и требованием, чтобы символы dxit dx* антйкоммутировали дру1*
с другом и с образующими, если наложить естественное условие ли-
линейности
$ \ci h + с2 h) dx* dx^-c^ h dx* dx + c2 $f2 dx* dx, E.51)
При интегрировании суммы E.47) отличен от нуля только вклад
от слагаемого, у которого aj = bt — 1 для всех / = 1, ..., п.
В дальнейшем будут полезными следующие две формулы:
ехр (—х* Ах) dx* dx = det A; E.52)
Uxp(—x*Ax+r\*x+x*i\)dx*dx ,
^—— =
exp(TjM-1ri), E.53)
J ехр ( — х* Ах) dx* dx
где
х* Ах = 2 oik х* xk E.54)
есть квадратичная форма образующих Xt, x*, соответствующая ма-
матрице А.
Выражения
Л** = 2лГ*!; **т1=5'.х',ч, E.55)
i i
являются линейными формами образующих xt, x*, коэффициенты
которых y\i, r\* антикоммутируют друг с другом и с образующими.
Элементы Tjj, tj* вместе с образующими Хи х* можно считать образую-
образующими более широкой алгебры. Выражение ч\*А~\ в формуле E.51)
есть квадратичная форма матрицы А'1, обратной матрице А
Показательная функция в подынтегральных выражениях формул
E.52) и E.53) определяется разложением в ряд, где в силу переста-
перестановочных соотношений E.46) лишь несколько первых членов раз-
разложения отличны от нуля.
Формулу E.52) нетрудно доказать, заметив, что вклад в интеграл
дает лишь n-й член разложения показательной функции. Формула
E.53) доказывается сдвигом x-*-x + i\, x* -*¦ х* + т}*, уничто-
уничтожающим линейную форму по х, х* в подынтегральной экспоненте.
Подробное доказательство и некоторые обобщения формул E.52),
E.53) можно найти в упомянутой монографии Ф. А. Березина.
§ 6. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕМПЕРАТУРНАЯ
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
В этой главе методом континуального интегрирования выведена
температурная диаграммная техника теории возмущений в кванто-
квантовой статистической физике.
Существует несколько модификаций функций Грина для кванто-
вомеханических систем при температурах, отличных от нуля, —тем-
30

пературные, температурно-временные и т. п. Однако диаграммная
техника теории возмущений непосредственно может быть получена
только для температурных функций Грина. Они удобны для вычис-
вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат ин-
информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинети-
кинетических явлениях.
Рассмотрим формализм континуального интеграла для системы
бозе-частиц, помещенной в кубический объем V — L8 с периодиче-
периодическими граничными условиями. Континуальный интеграл в этом слу-
случае — это интеграл по пространству комплексных функций («полей»)
ф (х, т), ф (х, т), где х € V, периодичных по параметру т («времени»)
с периодом Р = (&Т)~\ где k — постоянная Больцмана; Т —
абсолютная температура*.
Определим функции Грина как средние по указанному простран-
пространству от произведений нескольких полей ф, ф от различных аргумен-
аргументов с весом exp S, где S — функционал от ф, ф, имеющий смысл
действия
S^dx^x^{x,x)dx^(x,x)-^H'{x)dx; F.1)
о о
Я'(т)—гамильтониан вида
+ -1 ¦ J d* xd* yu (х-у) ф (х, т) ф (у, т) ф (у, т) ф (х,т). F.2)
Здесь Я, — химический потенциал системы; и (х — у) — парный
потенциал взаимодействия между двумя бозе-частицами.
Вследствие периодичности функции ф, ф разлагаются в ряды
Фурье:
ур (х, х) = (JJV)-»/2 2 е-1 »*-«> а (к, ш);
k, a
ф(х, T) = (pV)-1/s 2 e'«"-«)fl+(kl (о), F-3)
к, о)
где
© ^ ю„ = 2яп/р; ^i = 2ant/L; F.4)
n, n? — целые числа.
* В дальнейшем будем использовать систему единиц с ft = k =• 1, где
ft — постоянная Планка; к — постоянная БольцМана.
31

Разложения типа F.3) справедливы для функций Грина. Напри-
Например, представим одночастичную функцию Грина
G (х, т; хъ тх) = — <ф (х, т) ф (хъ Tj)> =
в виде частного двух континуальных интегралов, меру обозначим
символом йч|хзРф.
Функция F.5) зависит, очевидно, от разностей х — xlt т — тх.
Подставляя вместо o|), ty разложения Фурье F.3), получим, что
функция F.5) выражается через средние
G (к, ©) = ¦—(а (к, о) а+ (к, <о)>. • F.6)
Рассмотрим диаграммную технику теории возмущений, возникаю-
возникающую при вычислении интегралов типа F.5). Будем считать невозму-
невозмущенным действием So квадратичную форму по ф, if в действии F.1),
а форму четвертой степени, которую обозначим Sx, будем рассматри-
рассматривать как возмущение.
Перейдем в действии от функций ф, if» к их коэффициентам Фу-
Фурье а, а+. Получим выражение
= 2 (ко— — + х)а+(к,о>)а{к, ю) —
к. аЛ 2/п )
v (ki—k3)a+(k1,co1)a+ (k2, ю2) a (k3, ю3) a (k4)
P k. + k^k. + k,
1I + 0J=0K+0L
F.7)
Здесь у (k) — фурье-образ потенциала и (х), определяемый форму-
формулой
2k'x)yW- F-8)
Использование коэффициентов Фурье а (к, ю), а+ (к, а>) придает
особенно простой вид континуальному интегралу, а также диаграм-
диаграммной теории возмущений. Мера в континуальном интеграле F.5),
символически обозначаемая dilpdty, может быть записана в виде
= П da+ (k, ©) da (к, <о). F.9)
к, а
Континуальный интеграл можно считать пределом конечномерного
интеграла по переменным а+ (к, ш), а (к, ш) с | к| < k0, | со| < й0
при k0, Qo -*~ оо,
32

Построим диаграммную технику теории возмущений, используя
схему, рассмотренную в § 5 на примере скалярного поля. Невозму-
Невозмущенную функцию Грина легко найти, зная производящий функцио-
функционал.
2j (т)+(к, ю)а(к, а>)+т](к, со )а+ (к, со)) 1 X
. « J
2
к.
хП da+(k, со) da (к, со)
exp(S0) П da+(k, со) da (к, со)
F.10)
J к.
Вычислим этот функционал, сделав сдвиг, уничтожающий ли-
линейные формы по т], т]+ в экспоненте подынтегрального выражения.
В результате получим
Z0[r\, т1+] = ехр{-1ГЛ+(к>со)л(к(о))(^-^- + ^). F.11)
Дифференцируя это выражение сначала по т} (к, ю), затем по
г\+ (к, ш) и положив т] = т]+ = 0, получим выражение для невозму-
невозмущенной функции Грина:
\а(к, со)о+(k, co)es° П da+da
к, в
F-12)
Из формулы F.10) следует теорема Вика для средних вида
< П а (к„ щ) f\a+ (к,, ш,)\ F.13)
где
^(о+, o)es» П io+io
</(a+, a)>0= Ь- F.14)
\ es' П do+ da
J к.ш
Согласно теореме Вика, среднее F.13) равно сумме произведений
всевозможных попарных средних вида
;,ю,)>= —бЬ(^бВ(в;е0(к„ю,). F.15)
Построим теорию возмущений, разлагая функционал exp S =
= exp So exp 5X под знаком континуального интеграла в ряд по
2 Зак. 496 33

степеням Sv Функцию Грина F.5) представим в виде частного двух
.рядов
00 1
— <o(k,co)o+(k,co)s;>0
G(k,©)=— -=a . F.16)
Каждое Su стоящее под знаком <...H. есть форма четвертой степе-
степени по переменным интегрирования а, с&. Таким образом, в знаме-
знаменателе F.16) мы имеем дело со средними
п
/ П а+ (ки ач)а+ (k2i W2j) а 04/»«/) а (к^ ю^. F.17)
В числителе фигурируют средние
п
/а (к, ш) а+ (к, ю) П «+ (к^ ©,у) а+ (к2/) ©г/) а (к3/, ю3^) а (к^( ю4/ f>0.
F.18)
Сопоставим среднему F.17) преддиаграмму в виде п вершин
четвертого порядка. Для п = 2 преддиаграмма имеет вид
X X <6Л9>
Входящие в вершину стрелки сопоставим переменным а, выходящие—
переменным а+. Среднему F.18) сопоставим преддиаграмму вида
X X
F.20)
Согласно теореме Вика, средние F.17), F.18) являются сумма-
суммами всевозможных попарных средних. Сопоставим каждому фиксиро-
фиксированному способу образования попарных средних диаграмму, сое-
соединив линией каждую пару вершин с номерами /, /, если среди по-
попарных средних есть среднее
<а(к„ю,)а+(к,, ©,)>„.
Перечислим для п = 2 все диаграммы, возникающие из преддиа-
грамм F.19):
ооо
F.21)

а также все диаграммы, возникающие из преддйаграммы F.20)
ооо
QQq.oo ,
F.22)
Выражение, соответствующее данной диаграмме, получится, если
произведение попарных средних умножить на выражение
( — 1)" A v(kii~ksi) ,fi 9оч
я! /J,
стоящее перед средними, а также на число способов, которыми дан-
данная диаграмма получается из преддйаграммы, а затем просуммиро-
просуммировать по импульсам и частотам внутренних линий диаграммы.
Полученные правила соответствия удобно несколько переформу-
переформулировать. Запишем возмущение Sx в виде
~ isv 2 {v (ki ~кз
v (кг ~
Ха(к3,<о3)а(к4)(о4), F.24)
где коэффициент при а+ (klf ©j) а+ (кг, ш2) а (к3, ш3) я (к4, «J сим-
симметричен относительно замен
(к,, %) ^± (ка, со2), (к3, ©з) ^± (к4, (&J.
Указанная симметрия позволяет говорить о группе симметрии
преддйаграммы порядка
Rn = 4«n! F.25)
Множитель 4" соответствует группам симметрии в каждой вершине
четвертого порядка; и! — группе перестановок вершин. Умножая
выражение Rn1 на число способов, которыми данная диаграмма по-
получается из преддйаграммы, получим Гп,\, где rn>d — порядок
группы симметрии диаграммы. Появление множителя симметрии
ПТ,} — общий факт в диаграммной теории возмущений — отмечал-
2* 35

ся в §5, где речь шла о теории возмущений для релятивистской тео-
теории скалярного поля с самодействием.
Приведенные рассуждения позволяют сформулировать правила
соответствия следующим образом. Будем сопоставлять линии диа-
диаграммы функцию Грина Go (k, ю), вершине — симметризованный
потенциал
F.26)
Выражение, соответствующее диаграмме для знаменателя
в F.16), получим, просуммировав по независимым импульсам и ча-
частотам произведения выражений, соответствующих линиям и верши-
вершинам диаграммы, и умножив затем получившийся результат на
()"" <627>
rn,d
где / — число линий; и — число вершин; rnd — порядок группы
симметрии диаграммы. Для диаграммы числителя множитель перед
диаграммой равен
L(LV—' F.28)
rn,d
где / — и — 1 = с есть число независимых контуров диаграммы.
Вклад в функцию Грина дает лишь связные диаграммы числите-
числителя в F.16). Знаменатель в F.16) имеет вид
2^
га=0
где ^D' — сумма всех связных вакуумных диаграмм. Числитель
в F.16) есть произведение множителя F.29) на сумму всех связных
диаграмм. Переход к связным диаграммам — такой же общий факт,
как и отмеченное выше появление множителя /•„,?•
Построенная для бозе-системы теория возмущений совпадает
с температурной диаграммной техникой, изложенной, например,
в книге [38]. Вывод ее в формализме континуального интеграла более
прост, чем в операторном формализме. Кроме того, метод контину-
континуального интегрирования удобен для перестройки теории возмуще-
возмущений, которая применяется в случаях, когда построенная "здесь
стандартная теория возмущений оказывается неприменимой. С точки
зрения континуального интегрирования такая перестройка — это
36

другой способ асимптотического вычисления континуального инте-
интеграла.
Остановимся теперь на континуальном интеграле и диаграммной
технике для ферми-систем. Квантование фермн-систем осущест-
осуществляется в результате интегрирования по пространству антикоммути-
рующих функций (элементов бесконечномерной грассмановой алгеб-
алгебры). Для получения правильной статистики необходимо наложить
на i|>, г): условия антипериодичности по т:
ф (х, т + Р) = —1|> (х, т), Ц (х, т +¦ Р) = -гр (х, т). F.30)
В результате функции г|>, 'ф разлагаются в ряды Фурье вида
i|5 (х, т) = (рУ)-1/2 Б ехр [ — i (kx—сот)] а (к, со);
к.(о
ф(х,т) = (PV)-*/»2 ехр [i (kx —«и)] а+ (к, со), F.31)
к,о>
где
со = 2л (п + 1/2)/Р; ^г = 2nnj/L; F.32)
п, tii — целые числа. В отличие от бозе-случая фермиевские часто-
частоты со пропорциональны полуцелым числам п + 1/2.
Действие S для ферми-систем имеет формально тот же вид F.1),
что и для бозе-систем. При переходе к коэффициентам Фурье удоб-
удобно записать S в виде
ха(к3)соз)а(к4,со4I F.33)
антисимметризовав потенциал. Вывод диаграммной техники совер-
совершенно аналогичен проведенному выше для бозе-системы. Элементы
диаграммной техники
F.34)
отличаются от соответствующих элементов для бозе-снстемы «полу-
«полуцелостью» частот со = 2л (а + 1/2)/р и антисимметризацией потен-
потенциала.
Выражение, соответствующее диаграмме, получим, просумми-
просуммировав по независимым импульсам и частотам произведение выраже-
37

ний, соответствующих элементам диаграммы и умножив результат
на множитель
( \\F J i_
( ' rn,d { PV
для вакуумных диаграмм и на множитель
F.35)
F.36)
для диаграмм, соответствующих одночастичной функции Грина.
Выражения F.35) и F.36) отличаются от аналогичных выражений
F.27), F.28).для бозе-систем множителем (—1)F, Где"/1 — число
независимых замкнутых ферми-циклов диаграммы. Множитель
(—l)'' обязан своим происхождением антикоммутативности ферми-
полей i|), я|>.
Построенная здесь теория возмущений для функций Грина допу-
допускает модификации, связанные с частичным суммированием ди-
диаграмм. Выше было показано, что вакуумные диаграммы не дают
вклада в функции Грина. Функция Грина представляется в виде
суммы вкладов связных диаграмм, в которых можно пройти от вхо-
входа к выходу, двигаясь по линиям диаграммы.
Известно, что полную функцию Грина G (к, со) можно выразить
через неприводимую собственно энергетическую часть 2 (к, со),
которая есть сумма вкладов всех диаграмм с двумя отростками,
таких, что вход диаграммы нельзя отделить от-выхода разрывом
одной линии диаграммы. Частичное суммирование диаграмм, поз-
позволяющее выразить функцию G (к, со) через Go (к, со) и 2 (к, со),
видно из графического равенства
F.37)
Аналитическая форма этого равенства есть
G(k, co)=G0(k, co)+,G0(k, со) 2 (к, со) Go (k, со)+
+ Go (k, со) 2 (k, со) Go (k,-«) 2 (k, со) <?0-(k, to) +'... =
= Go (k, со) + Go (k, со) 2 (k, со) G (k, со). F.38)
Решение уравнения F.38) имеет вид
G (к, со) = (Go (k, ю)- ! — 2 (к, со))" \ F.39)
38

Таким образом, при вычислении функции Грина G (к, ю) доста-
достаточно найти ее собственно энергетическую часть.
Рассмотрим теперь модификацию теории возмущений, которую
называют скелетной диаграммной техникой. К ней мы приходим,
выполнив частичное суммирование диаграмм, ведущее к замене
светлых внутренних линий диаграмм, соответствующих невозмущен-
невозмущенным функциям Грина, жирными линиями, которым сопоставляются
полные функции Грина. Элементы скелетной диаграммной техники—
невозмущенные вершины и полные функции Грина. Однако, в от-
отличие от обычной диаграммной техники, здесь не надо учитывать диа-
диаграммы с вставками собственно энергетических частей во внутрен-
внутренние линии. Выражения для полных функций заранее неизвестны,
так что для их определения получают систему уравнений. Первое
из них — это уравнение F.39), второе — это уравнение для собст-
собственно энергетической части 2 (к, ш):
представляющее ее как сумму бесконечного числа диаграмм скелет-
скелетной диаграммной техники, элементами которых являются полные
функции Грина.
Скелетная диаграммная техника оказывается удобной, в част-
частности, в теориях с аномальными функциями Грина, тождественно
равными нулю при их вычислении по стандартной теории возмуще-
возмущений. Такая ситуация встретится в теории сверхпроводимости
(см. гл. 7). Система уравнений, обобщающая систему F.39), F.40)
на случай, когда существуют аномальные функции Грина, имеет
наряду с тривиальными решениями для аномальных функций Грина
также и нетривиальные решения, появляющиеся ниже точки фазо-
фазового перехода.
Возможность частичного суммирования есть общий факт диа-
диаграммной теории возмущений, верный для статистической физики
и релятивистской квантовой теории поля.
В заключение этого параграфа приведем выражения для неко-
некоторых физических величин, таких, как среднее число частиц, им-
импульс, кинетическая энергия и давление.
Рассмотрим сначала бозе-систему. Получим среднее число ча-
частиц системы N, усредняя функционал
J ф (х, т) Ч> (х, т) d?x. F.41)
Это дает формулу
f
=
J
j exp (S) dip dtp
F.42)
39

В трансляционно-инвариантной системе с действием F.1) функция
Грина F.5) зависит от разности х — х1( т — rv Поэтому F.42)
можно записать в виде
т,->т
Это выражение зависит от способа перехода к пределу. Например,
если положить х1 = х, то получаются разные пределы при х1 -*~
-»- т — 0 и х1 -»- т + 0.. Покажем это на рримере идеальной бозе-
системы с функцией Грина F.26), в этом случае
х,Т)*(xltTl}> = -L
2 .
F.44)
Положим здесь х1 = x, тх = т + e (e >• 0). Вычисление суммы
по частотам дает
(| )- HEi^»L, F.46)
где е (к) = 2^- — ^. В пределе е -»- 0 получается функция бозе-
распределения
(ехр [ре (к)] - I). F.46)
Если же в F.44) е < 0, то в пределе е ->- —0 получим вместо
F.46) выражение
(ехр [ре (к)] - I)-1 + 1. F.47)
Правильный ответ получается при хг—т -»- + 0. В этом случае для
плотности р = NIV находим неизвестную формулу бозе-распреде-
ления
^(|) ]~\ F.48)
Способ стремления тх -»- т + 0 дает правильный ответ и для неиде-
неидеальной системы. В результате получается формула
ЛГ/У = р=— Hm -p-yexp(i©e)G(k,©), F.49)
е- + 0 V f**
выражающая плотность через функцию Грина G (к, ю) в (к, («^-пред-
(«^-представлении.
Среднее значение импульса и кинетической энергии получим,
усредняя функционалы
— Г (V TJnp—ip Щ) d3x; F.50)
— Г Vip VTprf3^. F.51)
2m J
40

Это приводит к формулам, в которых 8 -> + 0:
K/V = —(T/V) S exp (icoe) kG (к, со); F.52)
HvajV- -(T/V) 2 exp ^)~ G (k.<*>)• F-53)
k,Q
Приведем еще выражение для давления, исходя из формулы для
отношения статистических сумм неидеальной и идеальной систем
через сумму вакуумных диаграмм:
Z/Zo = exp(-pQ)/exp(-pQ0) =
= ^ exp (S\dij>di|>/j exp (So) d^dT|) = exp 2 ^?- F-54)
Здесь й0, fi — Q-потенциалы идеальной и иеидеальной систем.
Имеем
Q = —pV, F.55)
где ро. Р — давление идеальной и неидеальной систем. Из F.54),
F.55) следует формула
> F-56)
выражающая давление р через давление р0 и сумму вкладов вакуум-
вакуумных диаграмм.
Формула F.56) верна и для ферми-систем. Формулы для средне-
среднего числа частиц, импульса и кинетической энергии на единицу объе-
объема для ферми-системы отличаются от соответствующих формул для
бозе-системы F.49), F.52), F.53) знаком и заменой бозевских частот
со = 2ппТ на фермиевские пТ Bп + 1).

ГЛАВА 3
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
§ 7. КВАНТОВАНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
Калибровочные поля имеют геометрическое происхождение. Их
можно рассматривать как связности расслоенного пространства,
базой которого служит пространство—время Vif а слоем является
конечномерное пространство представлений некоторой группы.
Геометрическая природа калибровочных полей проявляется
и при построении их квантовой теории. Попытки квантовать геоме-
геометрические поля стандартными методами приводят к трудностям
и противоречиям, которые встречаются уже в задаче ковариантного
квантования электромагнитного поля, простейшего по своей геомет-
геометрической структуре. Здесь трудности можно избежать, квантуя
электромагнитное поле по методу Ферми с использованием инде-
индефинитной метрики (см., например, [35—373). Оказалось, однако,
что некритическое перенесение метода Ферми, обоснованного в кван-
квантовой электродинамике, на более сложные системы может приве-
привести к нарушению унитарности теории. Впервые это было обнаружено
Фейнманом [12] в 1963 г. на примерах теории поля Янга — Миллса
и поля тяготения. Фейнман наметил путь устранения указанной им
трудности. Он показал, что унитарность диаграммы, имеющей вид
замкнутого кольца, можно восстановить, если вычесть из нее другую
диаграмму, тоже имеющую вид кольца и описывающую распростра-
распространение фиктивной частицы.
Метод Фейнмана не давал возможности прямого обобщения на
более сложные диаграммы. Решение проблемы для любых диаграмм
было дано в 1967 г. Де-Виттом [13], а также Л. Д. Фаддеевым
и В.. Н. Поповым [14, 15], с помощью существенно различных-под-
различных-подходов. Объединяет оба подхода применение метода континуального
интегрирования, дающего схему ковариантной теории возмущений
для калибровочных полей.
Метод, развитый в [14, 15], основан на следующей идее. Поля,
получающиеся друг из друга калибровочными преобразованиями
(например, А^ и АI + д^А в электродинамике), описывают одну
и ту же физическую (геометрическую) ситуацию и поэтому физи-
физически (геометрически) неразличимы. Это наводит на мысль, что ос-
основными объектами теории должны стать классы полей, получающих-
получающихся друг из друга калибровочными преобразованиями. Так, в элек-
42

тродинамике в один класс с полем Лц объединяются все поля вида
А ц + дцА.
Действие в теории калибровочных полей одинаково для всех
полей, получающихся друг из друга калибровочными преобразова-
преобразованиями. Другими словами, действие есть функционал на классах.
В формализме континуального интеграла можно получить тео-
теорию, в которой основными объектами являются классы, если окажет-
окажется возможным записать континуальный интеграл как интеграл по
всем классам. Это можно сделать, если, например, вести интегриро-
интегрирование по однократно пересекающейся с каждым классом поверхности
в многообразии всех полей. Тогда каждый класс будет иметь на ука-
указанной поверхности точно одного своего представителя. Возникаю-
Возникающая на таких поверхностях мера интегрирования меняется при из-
изменении формы поверхности, однако все физические результаты не
должны зависеть от выбора поверхности.
Сформулируем общее правило квантования калибровочных по-
полей в формализме континуального интеграла по всем полям.
Обозначим калибровочное поле А, его компоненты — Лц, где
(д. = 0, -1, 2, 3 — пространственно-временной, ^ а —изотопический
индексы.
Калибровочная группа G — прямое произведение групп Go,
действующих в каждой точке х пространства-времени:
G = UG0 (х). G.1)
X
Пусть Q — элемент калибровочной группы, являющийся функ-
функцией на У4 со значениями в Go. Обозначим Аа результат действия
элемента Q на поле А. Совокупность полей Ла, где А фиксировано,
Q пробегает калибровочную группу G, называется орбитой калибро-
калибровочной группы.
В § 5 говорилось, что квантование поля с действием S сводится
к усреднению функционала exp iS по всем полям. В теории калиб-
калибровочных полей действие S [А] калибровочно инвариантно, т. е.
одинаково для всех полей, получающихся друг от друга калибровоч-
калибровочными преобразованиями
S [ЛаЗ = S [Л]. G.2)
Для построения континуального интеграла необходимо выбрать
меру на многообразии всех полей А. Простейшей является мера
где символ П был определен в § 5. Назовем эту меру локальной.
X
В конкретных примерах из теории калибровочных полей мера G.3)
обладает свойством калибровочной инвариантности
dp [А° ] = 4i \A]. G.4)
43

Инвариантность действия S [А] и меры dp [А] относительно кали-
калибровочных преобразований А ->¦ Аа приводит к тому, что соответст-
соответствующий континуальный интеграл
J exp (iS Ш) dp Ш G.5)
становится пропорциональным «объему орбиты», т. е. континуаль-
континуальному интегралу
J ГОЙ (х) G.6)
X
по калибровочной группе G. Здесь Шй (х) — инвариантная мера
X
на группе G, равная произведению мер на группах Go, действую-
действующих в каждой точке пространства—времени' Vv
Излагаемый здесь подход к интегрированию по классам состоит
в явном выделении этого множителя из континуального интеграла.
Такое выделение можно реализовать несколькими способами. Идея
одного из них состоит в переходе от интеграла G.5) по всем полям
к интегралу по поверхности в многообразии всех полей, однократ-
однократно пересекающейся с орбитами калибровочной группы. Пусть урав-
уравнение поверхности есть
Ж) = 0. . G.7)
Уравнение / (Аа) = 0 должно иметь при любом А (х) единствен-
единственное решение относительно Q (х).
Введем функционал Д^ [А], определив его условием
Д, 1А] jri6 (J (Aa (x))) du (x) = 1 G.8)
X
Здесь проводится интегрирование по калибровочной группе G бес-
бесконечномерной б-функции Пб (/ (Ав (х))). Такая б-функция есть
х
функционал, определяемый заданием правила его интегрирования
с другими функционалами. В дальнейшем будет приведено несколько
конкретных примеров вычисления интегралов типа G.8). Заметим,
что функционал Д^ [А\ калибровочно инвариантен, т. е.
Д, [А°] = Д, 1А1 G.9)
Чтобы выделить из континуального интеграла G.4) множитель
G.6), вставим под знак интеграла левую часть формулы G.8) (рав-
(равную единице) и сделаем замену переменной Ла-> А. Мера dp [A]
и функционалы S [А], Д^ [А\ инвариантны при такой замене. Инте-
Интеграл G.4) сводится к произведению объема группы Шй (х) на инте-
х
грал
J exp (iS [А]) Д, [А] [Пб (f (A))] dp [A]. G.10)
X
Именно этот интеграл будет исходным в квантовой теории калибро-
калибровочных полей.
Покажем, что интеграл G.10), формально зависящий от выбора
поверхности f [А] = 0, на самом деле инвариантен по отношению
44

к выбору поверхности. Для доказательства вставим нод знак инте-
интеграла G.10) «другую единицу»:
1 = &g [А 1 | Пб [g (Аа (х))} dQ (х), G.11)
где g (A) = 0 — уравнение другой поверхности, которая, как и по-
поверхность f (А) = 0, однократно пересекается с орбитами группы G.
Изменив порядок интегрирования по А и й, сделав затем сдвиг
Аа ->• А и, наконец, снова поменяв местами порядок интегрирования
по А и Q, приведем интеграл G.10) к виду
J exp (iS [А]) Дй [А] [Пб (g (A))] dp [A]. G.12)
X
Описанный прием позволяет переходить в континуальном инте-
интеграле от одной поверхности к другой, или, можно сказать, от одной
калибровки к другой. В частности, такой способ удобен при пере-
переходе от гамильтоновой формы континуального интеграла к инте-
интегралу в релятивистской калибровке. Ниже проследим такой пере-
переход на конкретных примерах.
Можно указать метод выделения из континуального.интеграла
объема калибровочной группы более общий, чем только что описан-
описанный. Рассмотрим калибровочно-неинвариантный функционал
F [А]. Определим функционал Ф [А] уравнением
х) = 1. G.13)
Этот функционал калибровочно-инвариантен. Конечно, необходимо
потребовать, чтобы континуальный интеграл в левой части выраже-
выражения G.13) действительно существовал. Вставив левую часть G.13)
в интеграл G.5) и сделав затем сдвиг Аа -*~ А, получим произведение
объема группы G.6) на интеграл
exp (iS [А]) Ф [A] F [А] ф, [А]. G.14)
Введенный выше интеграл G.10)—частный случай G.14). Независи-
Независимость интеграла G.14) от выбора функционала доказывается так же,
как и независимость интеграла G.10) от выбора поверхности / (Л)=0.
Функции Грина в теории калибровочных полей определим как
средние от произведения функций поля в различных точках прост-
пространства — времени У4. Производящий функционал для функций
Грина имеет вид
^x?[lS[A] + l^riA^x\FlA]OlA]dnlA]
(/-10)
где S [A] — действие поля A; dfx [А] — локальная калибровочно-
инвариантная мера; функционалы F и Ф определены выше. Через
J" v^Adtx обозначен линейный функционал
G.16)
45

еде т# (л;) — произвольные пробные функции. Функции Грина —
вариационные производные функционала G.15) — зависят от вы-
выбора калибровки, т. е. от выбора функционала F [Л]. Физические
результаты, получаемые усреднением калибровочно-инвариантных
функционалов, от выбора калибровки не зависят.
Отметим характерное отличие теории возмущений в теории ка-
калибровочных полей от развитой в § 5 для теории скалярного поли.
Пусть действие S содержит малый параметр е. Действие So,
соответствующее нулевому значению параметра е, будем считать
квадратичной формой полевых функций. Именно так обстоит дело
в большинстве примеров из теории поля.
При построении теории возмущений в формализме континуаль-
¦ного интеграла в § 5 функционал ехр iS разлагают в ряд вида
оо
ехр (iS) = ехр (I So) ехр (i SJ = ехр (i So) Y il an G.17)
So nl
по степеням е. Получившийся функциональный ряд почленно инте-
интегрируется, причем отдельные члены ряда теории возмущений вычис-
вычисляются с помощью теоремы Вика, которая следует из того, что So —
«ев.ь1рожденная. квадратичная. форма.
В теории калибровочных полей под знак континуального инте-
интеграла кроме функционала ехр (iS) входит еще произведение функцио-
функционалов РФ. Это произведение в теории возмущений также разла-
разлагается в ряд по е. Если F — 8-функционал, его разложение в ряд
по е затруднительно. Поэтому следует так выбирать уравнение по-
поверхности /(Л)=0, чтобы оно не содержало параметра е. Таковы, на-
например, уравнения, выделяющие лоренцеву и кулонову калибровки
в электродинамике, а также в теории Янга — Миллса. В теории
тяготения уравнениями с аналогичными свойствами являются, на-
например, условия гармоничности.
Отметим, что функция Ду [А] зависит от параметра е даже в том
случае, когда уравнение / (А) = 0 этого параметра не содержит.
При этом необходимо разлагать функционал Af [А] ехр (i5 [Л])
в ряд вида
ехр(iSo[Л]) У^-Ьп[А]. G.18)
В общем случае произведение
Л,Ф0 ехр (iSe) = М,>, G.19)
где ^0, Фо — главные члены функционалов F и Ф, должно быть
таким, чтобы при интегрировании с Мо произведения полей выпол-
выполнялась теорема Вика. Это свойство выполняется, если Мо есть
экспонента от невырожденной квадратичной формы-или произведе-
произведение экспоненты с вырожденной квадратичной формой на б-функцио-
нал, соответствующий плоской поверхности, ортогональной нуле-
нулевым направлениям этой квадратичной формы.
46

Рассмотрим на конкретных примерах построение теории возму-
возмущений, возникающей из разложения G.18). Только что сформулиро-
сформулированное правило, обеспечивающее справедливость теоремы Вика,
там будет выполняться.
§ 8. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Покажем на конкретных примерах, как работает общая схема
квантования калибровочных полей. Рассмотрим электромагнитное
поле, наиболее простое по геометрической структуре *
Действие свободного электромагнитного поля
^v-tfvAJV4* (8Л)
инвариантно относительно абелевой группы калибровочных преоб-
преобразований
A?(x)-+Alk(x) + dJ.(x). (8.2)
Из предыдущего параграфа следует, что квантование калибро-
калибровочных полей осуществляется с помощью континуального интеграла
от функционала
OF exp (iS), (8.3)
где S — действие системы; F — произвольный калибровочно-ин-
вариантный функционал, а функционал Ф — среднее от F по
калибровочной группе.
Локальная мера интегрирования, имеющая в данном случае вид
*|*[Л]=П А йАу,(х), (8.4)
к ц = 0
является, очевидно, калибровочно-инвариантной. Остается выбрать
функционал F [А]. Наиболее удобными для дальнейшего построе-
построения теории возмущений оказываются функционалы вида:
(8.5)
Fз [А) = ехр { -±- j (Зв Лц (*))• d\
* В этом и следующих параграфах будем писать векторные индек-
индексы внизу, не делая различия между ka и контравариантными составляю-
составляющими. По повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирова-
суммирование с учетом псевдоевклидовой метрики, по повторяющимся латинским—сум-
латинским—суммирование по значениям 1, 2, 3. Например, № = kjt = k\ — к2, д А =
! Об Ь
" 5в^з. Hh = k\ + k\ + *!• Обозначим. Ь^т тен-
тензор Мииковского (с отличными от нуля составляющими 6оО= —би ~ — Ьгг =
= — бз» =1).
47

Функционалы F± и F% приводят к явно релятивистскому квантова-
квантованию, а использование Fz удобно при переходе к гамильтоновой
теории. Соответствующие калибровочно-инвариантные функционалы
даются формулами:
фгi [Л] = \ ПбEц(Л„(х) + дцК(x)))dX(x);
" X
ФГ' И] = \ П б (div (А (х) + VK (х))) dX (х);
Ф3-' [А] = f ехр (-± Г EЦ (Лц (лг)+ааЯ
(8.6)
Все эти функционалы не зависят на самом деле от поля Лц (х),
в чем можно убедиться, сделав в первом и третьем из них сдвиг
к-*-к — П ^(Иц, а во второмЯ,->- К — П div А. Поэтому с точ-
точностью до (бесконечного) постоянного множителя можно считать,
что
ф1 = ф2 = ф3 = 1. (8.7)
Теперь вид континуального интеграла определен во всех трех слу-
случаях.
Использование функционала F2 означает интегрировать по по-
полям, удовлетворяющим уравнению
div A = 0. (8.8)
Это хорошо известное условие кулоновой калибровки. Покажем,
как интеграл с функционалом F% можно преобразовать к интегралу
явно гамильтонова вида. Такое преобразование возможно, как пока-
показано в § 5 на примере скалярного поля, если ввести интеграл по
вспомогательным полям. В нашем случае к цели приводит контину-
континуальный интеграл вида
\ ехр (i
i S [Лц, F^\) П б (div А (х)) П dA» (x) П dF^ (x) (8.9)
|1 < V
с действием
J (Лv- 5V Лц) j d*x, (8.10)
= J (-j
зависящим не только от вектора Л^ (х), но и от антисимметричного
тензора /"uv (x). В классической теории ^^v — напряженность
электромагнитного поля:
/^ = дцЛу — 3УЛЦ. (8.11)
При переходе к квантовой теории необходимо считать функции Ли,
Fuv независимыми и интегрировать по ним как по независимым пе-
48

ременным. Интеграл по Р^ в (8.9) можно взять точно. Для этого
достаточно сделать сдвиг
(8.12)
превращающий интеграл (8.9) в произведение интеграла по
и интеграла по /^v вида
Г ехр (-L Г
d'x) П П dF»v (x). (8.13)
/ <
)
Этот интеграл есть просто нормировочная постоянная.
Перепишем действие (8.10) в трехмерных обозначениях:
J (Ed0A - | ?2 + 1 Я2 - (Н, rot А) + Л о div E) Л, (8.14)
где
?j == Fqu Нх = /'гз! #2 = ^3i! #з = ^ia- (8.15)
Возьмем в (8.9) интеграл по Н, что сводится к замене Н -> rot A
в действии (8.14). Затем проинтегрируем по Ло, что дает функцио-
функционал
IT6(divE(x)). (8.16)
Получаем х
з
[ ехр (i S [А, Е]) П б (div А (х)) б (div E (*)) П dA, (x) dE, (x) (8.17)
с действием гамильтонова вида
д0А= — ?2— — (rotA)a)d4x. (8.18)
Интеграл (8.17) является аналогом интегралов, рассмотренных
в § 3 при квантовании конечномерных механических систем со.свя-
со.связями. Здесь роль связи играет div E, роль дополнительного усло-
условия—уравнение кулоновой калибровки (8.8). Независимыми пере-
переменными можно считать поперечные в трехмерном смысле соста-
составляющие векторов А и Е — векторного потенциала и напряжен-
напряженности электрического поля.
Разобранная система квантования электромагнитного поля позво-
позволяет построить формализм квантовой электродинамики без введения
индефинитной метрики.
Необходимость модификации континуального интеграла в кван-
квантовой электродинамике отмечалась Бялыницким-Бирулей [391,
который, по-видимому, впервые рассмотрел континуальный инте-
интеграл с 6-функционаломПб (дцЛц) (однако без указания на возмож-
*
ность появления дополнительного множителя типа А^ при переходе
к теории поля с неабелевой калибровочной группой.)
49

Лагранжиан спинорной квантовой электродинамики
L (х) = ф (х) Aуц (^ - \еА» (х)) -т)Мр (х) -
[ (8.19)
где уц — матрица Дирака, содержит кроме электромагнитного по-
поля АЦ (х) четырехкомпонентные спиноры ур (x),ty (x), описывающие
фермиевское электронно-позитронное поле. Коэффициент при трех-
трехлинейном члене ^ц^Лц описывает взаимодействие электромагнит-
электромагнитного поля с электронно-позитронным. Лагранжиан (8.19) инвариан-
инвариантен относительно абелевой группы калибровочных преобразований:
Ali(x)-^All(x) + dllK(xy,
ij> (др) -> exp (ieX (x)) ф (х); ф (х)-+* (х) ехр {-\е% (х)).- (8.20)
В схеме континуального интегрирования будем считать компо-
компоненты спиноров r|)w (x), ура. (х) антикоммутирующими между собой
элементами грассмановой алгебры и интегрировать функционал
expiS по мере
П (П Ж4ц (х) П dia (x) d$a (x)) = П dAdy dy. (8.21)
Наметим построение теории возмущений по параметру е. Так
как функционалы Flt F%, F3h& зависят от е, то все сводится к почлен-
почленному интегрированию ряда
ехр (i е AS) = У {^- (ASH. (8.22)
Вид функций Грина зависит от выбора функционала F [А].
Найдем производящие функционалы для невозмущенных функций,
соответствующих нулевому значению параметра е. При выборе'
F = Fi вычислим интеграл
Jехр {i E0+ J(fa +?л + Лц^) й4*)} П б (Эц Л
'¦ , (8.23)
где irj, т|, tju — «источники» полей \р, % А^. Интегрирование в (8.23)
ведется по полям А^ (х), удовлетворяющим условию Лоренца
ацЛц (х) = 0. (8.24)
Поэтому интегралы с функционалом Ft [А] называем интегралами
в лоренцевой калибровке. Вычисляется функционал (8.23) стан-
стандартным приемом -— сдвигом
<8.25)
60

уничтожающим линейные по if», tJj, A ^ члены в показателе подынте-
подынтегральной экспоненты в числителе (8.23). Чтобы при сдвиге (8.25)
не изменился б-функционал Fx [А], достаточно выбрать поле Лц0> (jc)
поперечным, т. е. удовлетворяющим условию (8.24).
Выражение для функционала Zo [r\] оказывается равным
ехр ( — i fi (х) G (х—у)т\ (у) йЫ*у —
--1 j%(х)D%{х-у)T)V(у)d*xd*y), (8.26)
где
О(х-у)= Bл)-* j>pexp[i(p, *-*/)] —2-
D»v(x-y) = Pn)-i f d4feexp[i(fe, x—y)]"
(8.27)
Здесь (p, x — y) = /v (x — у)», р.= 7цРц
Необходимость замены k2 -*¦ k2 + Ю в подынтегральных выра-
выражениях для функций Грина была объяснена в § 5. Из формулы (8.27)
следует справедливость теоремы Вика, что приводит к диаграммной
технике, в которой каждой электронной, соответственно фотонной,
линии сопоставляется функция G, соответственно D^v, каждой вер-
вершине — константа связи е.
Аналогичные схемы теории возмущений, отличающиеся только
видом фотонной функции Грина, возникают при использовании функ-
функционалов Fz и F3. Интегралы с функционалом Fz назовем интегра-
интегралами в кулоновой калибровке. Невозмущенная функция Грина в ку-
лоновой калибровке дается формулами
DU(х -У) = Bл)-4 JйЧгехр Ц(fe, х-у)}D?v(fe);
Невозмущенная функция D^ для функционала ^з имеет вид
(k2.+ iO)-2 {-k2b^ + A — dL) fe^v). (8.29)
Формула (8.29) принимает простой вид при dt = 1. Соответствую-
Соответствующую функцию Грина 8цУ (—k2 — iO) называют обычно функцией
в фейнманоеской калибровке.
Таким образом, получены три схемы теории возмущений, отли-
отличающиеся видом фотонных функций Грина. Эти схемы хорошо из-
известны и ведут к одним и тем же результатам для физических вели-
величин.
Метод континуального интегрирования удобен и при выводе точ-
точных соотношений, являющихся следствием калибровочной инва-
51-

О/, (х—у) = — i СЧ> (х
Г exp (i S) ф (х) $ (у) П б (Э Л )
риантности. Для иллюстрации выведем тождество Уорда, а также
связь функций Грина в разных калибровках. Рассмотрим электрон-
электронную функцию Грина в лоренцевой калибровке:
(8.30>
Поворот спинорных полей 1|з (х) -»- exp (iec (х)) ф (х), ф (х) -»-
-> ip (х) exp (—iec (л:)) в интеграле числителя (8.30) ведет к появле-
появлению в подынтегральном выражении множителя
ехр \е (с (х) - с (у) + J с (г) ^ (г) Л), (8.31)
где /ц = '«И'ц'ф. Дифференцируя по с (г) и положив затем с = 0,
получим формулу
GL (х -у)[8(х-г)-6(у — г)] =
= К-ф (х) ф (у) d^V (г) > ь (8.32)
из которой после перехода к импульсному представлению получает-
получается тождество Уорда [401:
G-i (р)_G-i (9) = (р-д^ Гц (р, 9), (8.33)
связывающее электронную функцию Грина G (р) и неприводимую
вершинную часть Гц (/>, ^). Видно, что это тождество справедливо
при любой калибровке фотонной функции, так как при его выводе
замена переменных в континуальном интеграле затрагивала только
спинорные поля.
Проследим теперь переход от кулоновой калибровки к лоренце-
лоренцевой на примере одноэлектронной функции:
Or (х—у) = — i
| exp (i S) ф (*) У (у) П б (div A) dAd f dip
и— i г -. . (8.34)
Г exp (i S) П б (div A) dA *|> dip
J X
Подставим в числитель и знаменатель правой части этой форму-
формулы интеграл j П б (д^А ^ — ПЯ) dk (х), который не зависит от А^ (х),
х
х
и сделаем не меняющее действия преобразование (8.20). При этом
б-функция б (дцЛц—пЯ.) превращается в б(дцЛц), б (div А) —
в б (div А+АЯ). В числителе появляется множитель ехр \е (Я (х)—
— Я- (у)), в котором можно заменить Я (я) решением с (х) уравнения
Ас (х) + div А (х) = 0, ' (8.35)
52

т е. функцией
-i-C |х—г\-Ч(х0—zQ)A\yA(z)diz = \li{x-z)Ai{z)diz, (8.36)
где
/ /„ ,\ X I v - \ " //1тт I v -ш\ \ —1 /С 47^
t,-(^ Z) — О ^.Vj — 2jj DЯ | X—Z\) . @.0/)
dxi
После этого интегралы по к(х) в числителе и знаменателе сокращают
ся. Получившаяся формула
= - i <г|> (*Й (У)expie^(/, (x-z)-lt (у-г)) А,(г)dh)L (8.38)
выражает функцию Грина в кулоновой калибровке после разложения
по степеням е в виде ряда по функциям Грина:
<Ъ(х)у(у) П А ЛгкЫ
в лоренцевой калибровке.
§ 9. ПОЛЯ ЯНГА —МИЛЛСА
Теория поля Янга — Миллса [41] — простейший пример теории
с неабелевой калибровочной группой.
Векторное поле Янга — Миллса, связанное с простой компакт-
компактной группой Ли G, удобно описывать матрицами В^ (х) со значе-
значениями в алгебре Ли этой группы:
(9-1)
0=1
Здесь т„ — линейно-независимые матрицы в присоединенном пред-
представлении алгебры Ли, нормированные условиями
trToT6 = -28ab) (9.2)
п — число параметров группы; Ь? (х) — числовая функция с век-
векторным индексом ц и «изотопическим» а. Как известно, в присоеди-
присоединенном представлении последний индекс можно использовать и для
нумерации матричных элементов, так что
(В»)аь = (Tjab&Ji = tabcbl (9.3)
где tabc — структурные константы группы, антисимметричные по
всем трем индексам.
53

Лагранжиан поля Янга—Миллса
где
инвариантен относительно калибровочных преобразований
(9.4)
(9.5)
(9.6)
с матрицей Q, действующей в присоединенном представлении группы.
При квантовании в формализме континуального интеграла ока-
оказываются удобными аналоги функционалов F[A], используемых
в § 8 для квантовой электродинамики.Здесь они имеют внд:
= Пs (д»
=П Пs (д»
[В] = П в (div5 (*)) = П Пб (div bfl (jc));
х х а
[В] = ехр(^- j tr (ац Вц (х))* d*xj =
(9.7)
функционалы fj и /'а выделяют среди всех полей поля, удовлетво»
ряющие условиям
= 0 для Л:
= 0 для Ft.
(9.8)
Каждое из этих уравнений матричное и представляет собой на
самом деле п дополнительных условий (по числу параметров груп-
группы G).
Множитель Ф1? соответствующий функционалу Flf обозначим
Al. В континуальном интеграле этот множитель стоит перед
б-функционалом от д^В^, и поэтому достаточно знать его значение
только для поперечных полей (д^В^ = 0). В этом случае весь
вклад в интеграл
! [В] =
(х)) dQ (х)
(9.9)
вносит окрестность единичного элемента, в которой можно сделать
замену
Q (х) = 1 + еи(х), (9.10)
54

Где и (х) — элемент алгебры Ли, и оставить в дцВ° только линейные
по и члены
= П" — е Шц,' дцы] = Аи, (9.11)
ведем
(912)
где ? = Ао— оператор Даламбера. Вместо мйриц и (х) введем
столбец
на который оператор А действует по правилу
= D«a-^abc^^«c- (9-13)
Интеграл (9.9) можно записать в виде
и)а)<Ь*а- (9.14)
Формально Al [В] есть определитель оператора А. Выделив три-
тривиальный (бесконечный) множитель detr], можно затем разложить
логарифм Al IB] в ряд по е:
In Az. [В] = In (det A /det Д} = SP Jn A —
ха*D(*i-*,),..., ^„D^-xO- (9.15)
Здесь D (д;) — функция Грина оператора Даламбера E.17). Символ
Sp в (9.15) и далее означает след в операторном смысле в отличие от
tr — следа матрицы.
Соответствующий множитель в кулоновой калибровке обозна-
обозначим Д#. Аналогичные вычисления приводят к формуле
In Ад [?} = Sp ln(l —еА-1 Bt д,) =
Т f ., Bin(x))x
n=2 "
X^d^-jc.) dtnD(xn-Xl), (9.16)
где
^j^ (9.17)
Индексы /j /n в (9.16) пробегают значения 1, 2, 3.
65

Множитель Ф8 (В) дается формулой
Ф*1 [В}= texp(-±-fir {д„В$(х)?#х^П da (х). (9.18)
Для правой части (9.18) не удается получить замкнутое выражение,
аналогичное формулам (9.15), (9.16), представляющим множители
А/.; Ад в виде определителей, но это обстоятельство, как показано
ниже, не мешает и в этом случае развить простую схему теории воз-
возмущений.
Построим сначала теорию возмущений в лоренцевой калибровке.
Она возникает при разложении в ряд no e функционала
А,. [В] exp (iSIB]) = exp (iS + lnAL IB]). (9.19)
Выражение in Al удобно интерпретировать как добавку к действию
5. Член n-го порядка разложения In Al в ряд по е приведет к появ-
появлению в диаграммах вершины с п выходящими линиями. Явное вы-
выражение для этого члена, следующее из (9.15), подсказывает интер-
интерпретацию вершины как кольца с п выходящими линиями, по кото-
которому распространяется фиктивная скалярная частица, взаимо-
взаимодействующая с векторным полем по закону ~etr (фЯцд^ф). Этому
утверждению можно придать точный смысл, если записать опреде-
определитель в виде интеграла по антикоммутирующим переменным т]а,
det(D— 65^) =
= J ехр П J L (Яц, П. л) * *) П П <*п"
х а
где
L (Яц, tj. л) = \ trjn (? — е#и h) Л =
(9.2.1)
Формула (9.20) является бесконечномерным аналогом E.52). Она
показывает, что нашу систему можно рассматривать как систему
бозе-полей Ь%. (х), взаимодействующих друг с другом и со скаляр-
скалярными ферми-полями т]а (х), ца (х).
Построение теории возмущений и диаграммной техники во мно-
многом аналогично намеченному в § 8 для квантовой электродинамики.
Элементы диаграммной техники в теории Янга—Миллса — линии
двух сортов, соответствующие поперечным векторным и фиктивным
скалярным частицам, а также вершины, описывающие взаимодей-
взаимодействие векторных частиц со скалярными и друг с другом.
58

Будем изображать векторные частицы сплошными, а фиктивные
скалярные частицы — пунктирными линиями. Элементы диаграмм—
вершины и линии вида
pa
vl
аь
p2vb
ai
"X
Psf>c
p2vb
Pi)"*
aba
Vj
aica
(P)
/Pi*
,abc
(9.22)
Выпишем выражения для изображенных в (9.22) элементов диаграмм
в импульсном представлении:
G& (Р) - -6^ (р28^
(9.23)
f\i, vp = le'
» HVpa == 6 to
P —PiP
Ovo — 0
Чтобы найти вклад данной диаграммы, необходимо произведение
выражений, соответствующих всем ее элементам, проинтегрировать
по независимым 4-импульсам, просуммировать по независимым дис-
дискретным индексам и умножить результат на
0~\-2); (9.24)
где v — число вершин диаграммы; / — число ее внутренних линий;
s — число замкнутых циклов фиктивных скалярных частиц; г —
порядок группы симметрии диаграммы. Заметим, что / — v — 1 =
= с — число независимых контуров диаграммы.
Покажем, что в развитой теории возмущений поперечную функ-
функцию Грина G?v можно без изменения физических результатов за-
заменить функцией с произвольной продольной частью йх:
G$(di, P)= -S^+ior'Gt^v + ^-l)/^). (9.25)
Первоначальное доказательство этого факта, данное де-Виттом [13],
было довольно громоздким. Приведем здесь доказательство, пред-
предложенное Хоофтом [18]. Рассмотрим семейство калибровочных усло-
условий вида
дцЯц (х) - с (х) = 0. (9.26)
57

Среднее от калибровочно-инварнантного функционала X по
Полям с калибровочным условием (9.26) записывается в виде
X [В] exp (iS [В]) Дс [В] П б C^ Вц-с) dB
, (9:27)
jj exp (iS [В]) Дс [В] П б (<^ Вр-с) dB
где Ас [В] — множитель, соответствующий условию (9.26). Числи-
Числитель и знаменатель в правой части (9.27) не зависят от с. Используя
это обстоятельство, перепишем выражение (9.27) в виде
Г ехр (-ц- Г tr с« d* *) dc jX [В] exp (iS [В]) Ас [В] П б (дц В^-с
;^s -¦•¦¦¦ —in»! i .' ii . ii - и»- >¦ ¦— ii ii mi.,
Г exp ( -^- Г tr ca d* x^j dc J exp (iS [В]) Дс [В] П б (дц В^-с) d
(9.28)
т. е. как частное континуальных интегралов по переменной с (х) =
= 2 тоС° (*)• Проинтегрировав по с, получим для среднего <Х>
а
выражение
<*> =
XfBj'SfBJexpfi (S[B]+—— ftr^^B^ad**^) П dB
4 ^— . (9.29)
Множитель
А[В] = Дс[В]|е=5ц^ (9.30)
определяется равенством
(x). (9.31)
Вычисление множителя Дс [В] аналогично вычислению AL (9.9).
Весь вклад в интеграл (9.31) вносит окрестность единичного элемен-
элемента, в которой можно сделать замену (9.10) и оставить в (д^В^ — с)
только линейные по и члены:
ы)-51м. (9.32)

Оператор А действует на столбец и (х), определенный выше фор-
формулой (9.12), по правилу
&u)a = nua-stabcd^uc). (9.33)
Оператор А является сопряженным.,по отношению к А, поэтому
определители операторов Л и Л совпадают:
Д [В] = det Л = det A = AL [В]. (9.34)
Вычисление <Х) как частного континуальных интегралов (9.29)
по теории возмущений приводит к диаграммной технике с функцией
Грина векторной частицы Янга—Миллса (9.25). Вклад множителя
AL [В] — Д [В] по-прежнему интерпретируется как вклад допол-
дополнительных диаграмм, описывающих взаимодействие векторных час-
частиц с фиктивными скалярными частицами.
Развитая теория возмущений — не единственно возможная.
Другая форма теории возмущений и диаграммной техники возни-
возникает в так называемом формализме первого порядка. Этот формализм
получается, если записать лагранжиан (9.4) в виде
!(•*:)= — —
О
+ 4" tr/7nv (dvЯц—дц Bv + e [Яц, Bv]) (9.35)
4
и интегрировать по 5ц, Р^ч как по независимым переменным. Тер-
Термин «формализм первого порядка» означает, что знак производной
входит в лагранжиан (9.35) в степени не выше первой.
Используя лоренцеву калибровку, получим континуальный ин-
интеграл вида
exp (iS [В, F]) AL [В] Ylb^B^dBdF, (9.36)
где выражение
йВ (х) dF (х) = П ( П dbl (х) \ П df^ (x), (9.37)
так же как и йВ (х), калибровочно-инвариантно.
Если под знаком интеграла (9.36) провести разложение функцио-
функционала Al [В] exp (iS IB, F]) в ряд по е, то получим новый вариант
диаграммной теории возмущений с тремя линиями, соответствуют
щими функциям (ВВ)>, (Я/7), (FF), и одной вершиной, описываю-
59

щей трехлинейное взаимодействие eFBB. Элементы диаграммной
техники имеют вид
P3VC
(9.38)
где поле В изображено одинарной линией, поле F — двойной. Вы-
Выражения, соответствующие элементам (9.38), даются формулами:
-2.
= iSob (Pv бцр-JV 6vp)
= Kb (Slip Sva- (ТЦО 6vp) - (/>* + iO) X
X
abc
(9.39)
Линии и вершины, описывающие распространение фиктивных
скалярных частиц и их взаимодействие с векторными, остаются
такими же, как и в формализме второго порядка, так как множитель
Al, зависящий только от В, но не от F, остается тем же самым.
Формализм первого порядка удобен для перехода к каноническо-
каноническому квантованию. Рассмотрим такой переход, исходя из интеграла по
Вц в кулоновой калибровке с источниками, являющимися производя-
производящим функционалом для функций Грина:
Jexp{iS[B,F]+i
П
X
П б (div В) dB dF
(9.40)
Как и в электродинамике, возьмем в качестве динамических пе-
переменных поперечные в трехмерном смысле составляющие полей
Sj. Pot ('¦ = 1> 2, 3). Будем считать, что источники стоят только при
выбранных динамических переменных, . т. е. удовлетворяются
условия
Поа = T]ifta = dtr\ola = dir\ta = 0. (9.41)
60

В трехмерных обозначениях лагранжиан (9.35) принимает вид
?(*)= tr{ 1-FthFth+-LFotFot +
—LBo(dtFot-elBt,Fol])}. (9.42)
Так как при Во, Fth нет источников, в (9.40) можно проинтегри-
проинтегрировать по этим переменным, что сводится к появлению б-функцио-
нала
П 8(diFol - elBt, Foi]) (9.43)
и к замене Fih на х
Hih = дф, - d,Bh + еШь Вк] (9.44)
в интеграле по оставшимся переменным Bt, Foi. Подставим в ин-
интеграл (9.40) множитель
J Пб (Дс + dtFoi)dc (х), (9.45)
X
не зависящий на самом деле от FQi, и сделаем затем сдвиг Foi -*¦
-*¦ Foi — dtc. При этом функционал Пб (Дс + diFQi) превращается
в Пб (diFQix), а Пб (diFui—e [Bh Foi])—в выражение Пб (Дс—dtFoi—
-Л [В,, dtc)+ elBt, Foi)), равное Пб (Дс — е ВДс] +е [Bh F^]),
X
так как dtFoi = 0.
Пусть с0 (х) — решение уравнения
Дс — е [Bh dtc] = —е lBt, -Foil, (9-46)
выражающееся через зависящую от В функцию Грина
с0 (х) = -ej?> (х, у; B)lBt (у), Foi (y)]dsy. (9.47)
После сдвига с-*- с + с0 возникает функционал П б(Дс —е[5г,
дгс], и функцию с (х) можно положить равной нулю везде, кроме
аргумента этого б-функционала. Интеграл
J Пб (Дс — е [Ви dic])dc (x) (9.48)
сокращается с множителем AR[B]. В итоге функционал (9.40) при-
приводит к виду
exp { iS [Bi, Foi] + i J (rtf &? + tig/ /g,-)} d« хП б Cj В,) б (dt Foi) dB dF
rexp{iS[B,, Foi]}
(9.49)
61

ГДе
S [Bit Foi]= J dx0 (I faot d06? (Рх-Н); (9.50)
Я= f rf8* f-r А?*Л?* + -i- fg, /g, + -5- d,cS d,eg). (9.51)
J \ 4 z z
В этих формулах 5 [Bt, Foi] — действие, соответствующее гамиль-
гамильтониану Я, где поперечные поля bu fQi имеют смысл канонически
сопряженных-координат и импульсов.
Как показано в § 5 на примере скалярного поля, формализм кон-
континуального интеграла по каноническим сопряженным коорди-
координатам и импульсам эквивалентен каноническому квантованию.
В применении к системе с гамильтонианом (9.51) каноническое кван-
квантование сводится к замене функций Ь?, /о/, через которые выра-
выражаются hfk, Со, операторами Ъ1 (х), /о* (у) с перестановочными
соотношениями
Bя)«
jd»*expi(k,x-y) (ву—^-). (9.52)
Гамильтониан (9.51) становится самосопряженным и положительно
определенным оператором энергии. Такое квантование поля Янга —
Миллса было предложено Швингером [42]. Было показано, как фор-
формализм континуального интеграла приводит к каноническому кван-
квантованию Швингера. Подчеркнем, что наличие множителя Дд [В]
в исходном интеграле (9.40) было существенно для приведения его
к явно гамильтонову виду.
Рассмотрим построение S-матрицы для поля Янга—Миллса.
Естественно исходить из континуального интеграла в кулоновой
калибровке. Именно в этой калибровке интеграл приводится к ин-
интегралу по каноническим переменным. Унитарность S-матрицы здесь
очевидна, во всяком случае при вычислении ее элементов по теории
возмущений.
Элемент S-матрицы, описывающий превращение m входящих
частиц в (п — т) выходящих, выражается через преобразование
Фурье G''"' °п (ри ..., рп) функции Грина в кулоновой калибровке
§ exp(iS) Дд [В] П б (div В (*)) dB (x)
62
(9.53)

формулой
s°i ;n
'1. —. tn
['
= lim [' П Zr 1/2 uk Сек\ A G;;; :;;';.a" (Pl />„), (9.54)
где
/- \ - (Ph)i(Ph)j ..¦„.
(«*)« = 6W j—i (9.55)
pk
есть оператор (поперечный) поляризации, а множители Ый рав-
равны р!0 (р?) |2^|-'/2 Bя)-3/2 для входящих частиц и
PkQ(—р1)\2р%\-112\Bп)-312дпя выходящих. Наконец, Z^ecTb вы-
вычет при р% -> 0 полной одночастичной функции Грина в кулоновой
калибровке. Предположим, что при рг->0 одночастичная функция
Грина имеет вид
Z6 (Pi Pj \ ,Q -„.
j (9-56)
Выражения для элементов S-матрицы в кулоновой калибровке
не являются явно релятивистски-инвариантными. Преобразуем
их, перейдя к релятивистской лоренцевой калибровке.
Вставим в континуальные интегралы в числителе и знаменателе
множитель
Дх. [?] f П 8 (dyflftdQ (я), (9.57)
J х
f
х
равный единице. Сделаем затем сдвиг ??а->?; В-^-В0. Получится
интеграл по калибровочной группе
1 (xn))aS П 6(div*Q-1)dQ(x), (9.58)
из которого можно вынести произведениеВа~1(х1)^,,.., 5й
Оставшийся интеграл по Й сокращается с Ar[5].
Выражение (9.53) для функции Грина принимает вид
. (9.59)
В (9.59) матрица Q выбирается из условия трехмерной попереч-
ности поля В°~ (div BQ~ =0). При разложении В0'1 по степеням
е возникает ряд
1 r+ ... (9.60)
63

Здесь приведены два первых члена разложения, а индекс tr означает
трехмерно-поперечную часть соответствующего вектора. Интеграл
(9.59) можно вычислить по теории возмущений, если предварительно
разложить функции Ва в ряды (9.60), сопоставив каждому члену
разложения, зависящему от произведения m полей В, вершину с т
выходящими из нее линиями.
Переход к лоренцевой калибровке для функций Грина оказы-
оказывается достаточно сложным. Однако при построении S-матрицы
достаточно знать функции Грина только на массовой оболочке (все
р|-> 0). При этом множители uh исчезают, а переход к лореицевой
калибровке сводится к вставкам во внешние концы:
(9.61)
Вклад в эту вставку (обозначим его а) дают все поддиаграммы, на-
начинающиеся с вершины, порожденной разложением (9.60), и закан-
заканчивающиеся вершиной, соединенной с остальной частью диаграммы
только одной линией. Именно в диаграммах указанной структуры
обращение в нуль множителей и^ компенсируется полюсами одно-
частичных функций Gl в лоренцевой калибровке (с вычетами Zj).
Вклад всех остальных диаграмм исчезает при выходе на массовую
оболочку, а функция Грина (9.59) в кулоновой калибровке отли-
отличается от соответствующей функции в лоренцевой калибровке мно-.
жителем ап. Из сравнения одночастичных функций [первое из
диаграммных равенств [9.61)] следует, что а — (Zr/ZlI/2, т. е. вы-
выражается через отношение вычетов. В результате оказывается, что
на массовой оболочке можно перейти к функциям Грина в лорен-
лоренцевой калибровке и Zr заменить на Zu тем самым записав S-мат-
ричный элемент в явно лоренц-инвариантном виде.
В заключение этого параграфа рассмотрим поправки второго
порядка теории возмущений и функции Грина. Они представляют
интерес потому, что указывают на ситуацию, противоположную из-
известной ситуации нуль-заряда в квантовой электродинамике [37].
Функция Грина фотона в поперечной калибровке при k2 > m2
имеет вид
)-1 (k2 Suv—feu Jfev) [k2+\0~
In (-—))~\ (9.62)
64

если в качестве собственно энергетической части ограничиться од-
нопетлевой диаграммой второго порядка, взяв ее асимптотику при
k% ^§> т.2. -Приближение (9.62) содержит нефизический («призрач-
(«призрачный») полюс при (е2/12л2) In (—&2/m2) « 1, возможное существова-
существование которого приводит к серьезным противоречиям с рядом общих
положений теории [35, 37].
Для- поля Янга—Миллса формула для функции Грина при k* ^>
2
-^))~\ (9.63)
где М2 — перенормировочная постоянная, имеет перед логарифми-
логарифмическим членом в знаменателе знак +, и трудности с нефизическим
полюсом и нуль-зарядом не возникают. Этот факт рассматривался
в работах [43, 44]. Позднее было показано, что ситуация не меняется
и при учете высших диаграмм теории возмущений.
Формулу C.63) просто доказать в «формализме первого порядка»,
где необходимо вычислить следующие диаграммы:
rah
(9.64)
В этих диаграммах фигурируют внутренние линии трех типов для
поля Янга—Миллса и пунктирные линии, соответствующие фиктив-
фиктивным скалярным частицам.
Выражения для собственно энергетических частей (9.63) вы-
вычисляются по сформулированным выше правилам и оказываются
равными следующим выражениям:
- ?u kv) In ( - -^) - (ak* + b)
а
1
-j-
Здесь k0—некоторый фиксированный 4-импульс с kl > 0;
(9.65)
3 Зак. 496
65

a, b, c,d,e — ренормировочные постоянные. На самом деле однознач-
однозначно определены первые производные от 2?t, ро (?)> вторые от 2 ?*, o(fy
и третьи от S^,t (k). Для поперечности 2?t (&) необходимо Ъ =* О,
а = —с. Зная собственно энергетические части (9.65), вычислим
функцию Грина во втором порядке теории возмущений по формуле
Gab
+ /-<ac \cd /->db , />ac VVd /~<db
UU. P^ Zjpv, a WavT" "u.pX^jpX, at wox.v =
(9.66)
где ренормировочная константа / есть линейная комбинация
a, d, e (f — а — d—е). Функция Грина G%, o(k) и собственно энер-
энергетическая часть 2?t,a (k) отличаются знаком от соответственно
G(j*iiv (^)« SSfjlv (k)- Формула (9.63) доказана.
§ 10. КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Как уже упоминалось во введении, при построении квантовой
теории тяготения учитывается, что гравитационное поле может стать
естественным «физическим регулятором», устраняющим бесконеч-
бесконечности из квантовой теории поля. Гравитационное поле можно рас-
рассматривать как частный случай калибровочного поля, а его кванто-
квантование осуществлять по общей схеме квантования калибровочных
полей. Калибровочные преобразования — это координатные преоб-
преобразования, не затрагивающие пространственной бесконечности,
а группа симметрии — группа Пуанкаре.
Особенности квантования гравитационного поля связаны в пер-
первую очередь с его самодействием. Поэтому будем рассматривать
главным образом «свободное» самодействующее гравитационное
поле.
Среди различных способов параметризации гравитационного
поля наиболее распространенными являются следующие два:
метрический тензор и подвижный репер (тетрады). Приведем их
формулировку.
В формализме метрического тензора гравитационное поле опи-
описывается потенциалами guv (x) и символами Кристоффеля r?v (*)•
Последние можно считать как независимыми динамическими вели-
величинами (формализм Палатини), так и функциями g^:
{ЮЛ)

Контраварйантная ^-матрица обратна g^, ^—определи-
^—определитель матрицы g^.
Рассмотрим только асимптотически плоские поля. В этом
случае многообразие пространства — времени, топологически эк-
эквивалентное четырехмерному евклидову пространству, может
быть параметризовано глобальными координатами лгц(—со <
<Хц< +оо, ц, = 0, 1, 2, 3). Эти координаты будем считать со-
согласованными с условиями на пространственной бесконечности,
так что
() (^) A02)
где г — V{xxJ + (л2J +¦ (я3J; Лцу — тензор Минковского. Здесь
используется сигнатура (+ ).
Функционал действия, имеющий вид
где х — константа Ньютона, инвариантен по отношению к группе
координатных преобразований, действующей на величины g* ,
r?v по правилам
A0.4)
Здесь вьшисаны формулы инфинитезимальных преобразований; ц
бесконечно малые компоненты векторного поля, порождающего
координатные преобразования
6х» = ti" (л:). A0.5)
Варьирование действия A0.3) по F?v приводит к уравнениям,
решения которых — функции A0.1). В этом смысле Г?у можно счи-
считать независимыми переменными.
При подстановке в A0.3) явного выражения A0.1) символов
Кристоффеля r?v через метрический тензор действие приобретает
вид
hdp\hda\h\dx, A0.6)
где для удобства используется контравариантная плоскость
/tiiv = у HJjuv, h = dethw. A0.7)
3* 67

В формализме подвижного репера гравитационное поле описы-
описывается компонентами репера е»а (х) и коэффициентами кручения
<V а» (х) = —©ц,ьа (*)• Набор е<ш(х) образует матрицу с положи-
положительным определителем е (х). Функционал действия
= — Г [
д^ (е-х е»а evb) — а^аьду (<r
+ е-1 е»а е*ь (со„ас о& — «vac Чь)] A0.8)
инвариантен по отношению к координатным преобразованиям
и по отношению к локальным лоренцевым вращениям
Ое ^ье ' с A0.10)
Варьирование S по © приводит к уравнениям, которые позволяют
явно выразить со через е. Решение удобно записать в виде
J а — ®cabh A0.11)
где
Qabc = <V fiSc = е^а {el dv e%—е? dw eg).
Можно считать, что это уже сделано, так что 5 — функционал только
переменных е»а.
О формализме первого порядка говорят, если переменные guv
и Г?у (или е^а и со11) аЬ) считаются независимыми. Если же Г выра-
выражены через g, а е — через о, то говорят о формализме второго по-
порядка.
Описание свободного гравитационного поля в терминах gw и
&>¦"¦ эквивалентно. Различное число компонент — 10 в первом слу-
случае и 16 во втором — компенсируется различием в калибровочной
группе, параметризуемой четырьмя функциями в первом случае
и десятью во втором. Формализм подвижного репера удобен для
описания взаимодействия со спинорным полем.
Эквивалентность формализмов первого и второго порядков мо-
может исчезать при включении взаимодействий с другими полями.
Геометрически формула A0.11) определяет связность без кручения.
Минимальное взаимодействие гравитационного поля со спинорным
в формализме первого порядка приводит к появлению кручения [45].
Дальнейшее изложение в этой главе будет проведено в основном
на примере тензорного формализма второго порядка.
Координатные преобразования метрического тензора образуют
неабелеву калибровочную группу, зависящую от четырех произ-
68

больных функций (формула A0.4) дает инфинитезимальные преоб-
преобразования]. Поэтому, согласно общей схеме квантования калибро-
калибровочных полей, при квантовании системы с действием S надо инте-
интегрировать функционал ехр iS по поверхности в многообразии всех
полей, заданной четырьмя уравнениями. В качестве таких уравне-
уравнений удобно взять условия гармоничности Де-Дондера—Фока
= l>4x), A0-12)
где № -{х) — заданное векторное поле. Произвол в выборе № (х)
будет удобен для формальных преобразований. Условия гармонич-
гармоничности A0.12) являются аналогом лоренцевой калибровки в электро-
электродинамике и теории Янга-Миллса.
Условия A0.12) не общековариантны и именно поэтому могут
служить для параметризации классов. Аналог уравнения / (AQ) =
= 0 представляет собой сложное нелинейное уравнение для па-
параметров координатного преобразования, переводящего данную
метрику в гармоническую. В рамках теории возмущений это урав-
уравнение имеет единственное решение.
Локальная калибровочно-инвариантная мера имеет вид
П S5/2 (х) П ^v (*) = П Л'2 (х) П dh»v (х). A0.13)
X U<V X
Для доказательства калибровочной инвариантности меры A0.13)
рассмотрим произведение П как произведение по «физическим»
X
точкам. Преобразование метрического тензора в одной и той же
«физической» точке дается формулами A0.4) без последнего члена,
так что
A0.14)
Поэтому
П d(«*v+e^v) = (i+5duri11) П
A<V Ц< V
A0.15)
Отсюда следует для фиксированной «физической» точки инвариант-
инвариантность выражения g5^2 П dg^v, которая обеспечивает калибровочную
u<v
инвариантность меры A0.13).
Имея параметризацию классов A0.12) и меру A0.13), получим
следующее выражение для континуального интеграла:
П dgm)\ A0.16)
69

где в соответствий с G.8) функционал Ah lg\ определяется уравне-
уравнением
\( = l A0Л7)
и выражается через интеграл по калибровочной группе от б -функ-
-функционала.
Вычислим этот интеграл. Выражение Ah [g] входит в интеграл
A0.16) только на поверхности, определяемой уравнениями A0.12).
Для таких g^ полный вклад в интеграл в A0.17) дает бесконечно
малая окрестность единичного элемента группы. В этой окрестности
действие преобразований группы на Л<*у и меру на калибровочной
группе da можно параметризовать введенными выше A0.5) инфини-
тезимальными функциями хр (х). В такой параметризации
. A0.18)
Мера da в единичном элементе имеет простой вид:
di = П П *|» (я). A0.19)
X (i
В результате данный интеграл записывается следующим образом:
-& (ду № ч»-)) dr\» (х). A0.20)
х.
Формально этот интеграл равен (det А)'1, где А — оператор, дей-
действующий на четверку функций т^ по правилу
{Ar\Y = dy(h^dx^)-dx(dvh^ чх). A0.21)
Таким образом, найдено, что
Ah \g] = det A. A0.22)
Для формулировки теории возмущений удобно представить
det А как гауссов интеграл по вспомогательным полям. Эти поля
должны быть антикоммутирующими, так как интеграл должен да-
давать первую степень определителя. Этим требованиям удовлетворяет
выражение
det А = J ехр (\ \ 0Й (лг) А^ 6V (x) d* x \ \\ d№ {x) dQ* (x), A0.23)
\ / х, ц
где в»* (х), 0>* (х)—аитикоммутирующие классические поля, удов-
удовлетворяющие соотношению
9й (х) 6V (у) + 0VO/) в» (ж) = 0 A0.24)
и аналогичным соотношениям для @, 9), (9^ 0),
70

Теперь интеграл A0.16) можно записать в виде
exp fiS[?) + *$6»А^[g]6vфх\ П (Пs@v fi^—
П ^У\П №d& \ A0.25)
и непосредственно применить для формулировки теории возмущений.
Однако преобразуем его еще, воспользовавшись произволом в вы-
выборе Р. Метод преобразования, предложенный Хоофтом [18], был
объяснен выше, в § 9 на примере поля Янга—Миллса. Интеграл
A0.25) не зависит от I* по самому построению. Поэтому можно усред-
усреднить его по I* с произвольным весом. Возьмем в качестве веса экс-
экспоненту от квадратичной формы полей
exp f-iS- ГI» (х) 0MV /v (x) d4 x V A0.26)
где tinv — тензор Минковского. Усреднение проводится явно и дает
выражение
j exp {iS [^] + -f- j dp Aw %v a0 /iv0 d*x +
П ^Л/П^^У A0.27)
[1<V /\ Ц /
содержащее квадратичную форму продольных частей поля h»v
с произвольным коэффициентом а. Из данного рассуждения следует,
что интеграл от а не зависит.
Получим из выражения A0.27) диаграммную технику теории
возмущений. Будем считать независимыми переменными в конти-
континуальном интеграле A0.27) ftt*v = У—gg»v, а также 6»*, в»1. Поло-
Положим
ftnv = ^v _|_ и unv A0.28)
и будем считать W" тензорным полем, описывающим гравитационное
поле. Функционал действия принимает вид
S = S2+ 2 ип+г- A0.29)
где S, — квадратичная форма; Sn — форма степени п и переменных
и*™ и их первых производных.
Линеаризация A0.12) во многих отношениях может быть не-
неестественной. Она может нарушать сигнатуру метрического тензора,
если «»*v недостаточно мало. Существуют параметризации, свободные
от этого недостатка, например экспоненциальная параметризация
= ^v [еХр (и
71

В принципе мояшо вычислить разложение A0.29) и в этой пара-
параметризации. Отметим, что квадратичная форма Sa от выбора пара-
параметризации не зависит.
Вследствие инвариантности действия по отношению к преобра-
преобразованиям A0.4) квадратичная форма
—
A0.31)
вырождена. Она не содержит продольных компонент. Введением
вспомогательных фиктивных полей Q», Q» мы добились того, что
квадратичная форма в экспоненте подынтегрального выражения
в A0.27) стала невырожденной. Тем самым однозначно определяются
операторы, обратные к операторам квадратичных форм по A»*v, 0>\
814, т. е. пропагаторы частиц, соответствующие линиям диаграмм.
Будем изображать сплошной линией пропагатор гравитона
< А^уЛрог>,_а пунктирной — пропагатор фиктивной векторной час-
частицы <0^0V>. Вершины диаграмм _порождены формами Sn + 2 из
разложения A0.29), а также формой J 8Мц,9'Л, включающей трех-
трехлинейное взаимодействие ~0«0 гравитона с фиктивной векторной
частицей.
Элементы диаграммной техники имеют вид
A0.32)
)
Выражение, соответствующее пропагатору гравитона, дается
формулой
v, pa (M = _L
2Aа~1) {2k»
— k* k° tivp — kv kP x\w>). A0.33)
Формула содержит параметр a. Величина a аналогична параметру
di в квантовой электродинамике и теории Янга—Миллса и имеет
смысл коэффициента при продольной части пропагатора.
Физические результаты не зависят от произвола в выборе кон-
константы а.
73

Пропагатор фиктивной векторной частицы имеет вид
G^v = _t^v/й», A0.34)
а вершина взаимодействия ее с гравитонами дается выражением
)WzfrAtjp jlu) WWu ituflf A0.35)
J
причем kx + k2 + k3 = 0.
Приведем также явное выражение для вершины третьего по-
порядка, соответствующее линеаризации A0.28):
( k2
~^~ (^^v Лра Tltv + Лцт TlvX Лра + Лца Л^ Лрт +
flM.v T]px + Чцт; t\Xp ^va + Лца %р Л^т + Я vx Лцр Я?.а + ^а Лир Ли) +
Лрт ЛЫ + (&2ц ^3v + ^2v ^Зи) ЛЯр Лат +
Лрт + Л?Ф Лат) — К Кх (Лд^. Лра + Лдр Л?.а) —
рт + Лдр Лгт) — ^1д kix (i)v% Лрт + 4\vp + Лга) —
— &1И feia (Лг?. Лрт + ^vp ЛЯт) — ^2V k3P 1)Va Лдт — ^2V k3% Лра Лдт —
— ^гд^ЗР ЛХстЛут— ^2д^ ЛpaЛvт — ^^зрЛЯт Лда— A0.36)
— &2V ^з^ Лрт Лда — &2Д ^зр Л^т Лva — ^гд ^ Лрт Лva +
+ сумма по перестановкам пар (ji, v), (8, т), (к, р)}.
Вклад от данной диаграммы получается, если произведение вы-
выражений вида A0.33)—A0.36), сопоставленных ее элементам, про-
проинтегрировать по внутренним импульсам, а результат умножить на
"~' <1037)
где г — порядок группы симметрии диаграммы, / — число внутрен-
внутренних линий; v — число вершин; s — число петель фиктивных век-
векторных частиц.
Соответствующие этим полям фиктивные векторные частицы яв-
являются фермионами, т. е. для них нарушается связь спина и ста-
статистики. Это показывает, что их роль сводится к вычитанию вкладов
нефизических степеней свободы.
Помимо описанных диаграмм теория возмущений содержит вкла-
вклады перенормировочного типа, пропорциональные степеням бD)@).
73

Эти вклады порождаются локальным множителем ПЛ-5'2(л:), участ-
X
вующим в мере. При линеаризации A0.28) имеем
A0.38)
х, д, v х, д, v
Этот множитель следует учитывать при построении теории возму-
возмущений. Формально его роль сводится к появлению добавки к дей-
действию вида
AS = — i8<4> @) Г In h (x) d*x, A0.39)
которая порождает вершины, пропорциональные 8<4) @). Появление
таких перенормировочных членов отмечается во многих работах,
рассматривающих нелинейные теории (см. [46, 47]). Заметим, что
этих членов не будет в экспоненциальной параметризации A0.30).
В ней мера A0.13) с точностью-до постоянного множителя имеет
простой вид
П П
без всяких локальных добавок.
Таким образом, получена диаграммная теория возмущений
в формализме континуального интеграла по полям g^v (или fti»v).
В ряде случаев, в частности при переходе к гамильтоновой форму-
формулировке, более удобным оказывается формализм первого порядка.
О формализме первого порядка говорят, если переменные g** и
r?v считаются независимыми. Мера в этом случае (с точностью до
степеней объема) имеет вид
gis/2 у] dgw П dTiv = hW П <№» П dr?v. A0.41)
Jl<V Jl^iV A<V A<V
P P
Степень определителя g в мере такая, что после взятия гауссова
интеграла по переменным Г мера совпадает с A0.13).
Опишем возникающую в формализме первого порядка диаграмм-
диаграммную технику. Элементы диаграмм, связанные с фиктивными вектор-
векторными частицами, не изменяются. Помимо тензорного пропагатора
(ии) A0.33) в схему теории возмущений входят пропагаторы <uv>
и <уу)- Трем разным пропагаторам соответствуют линии
<ии>. =
<ф
A0.42)
74

В импульсном представлении они имеют вид
(k) = Y (Лов $ ft, + Т)та Sg ka-H]m T)tp
8^ 8? ^v
= 1 /4 F?
t)vt
A0.43)
Единственная гравитонная вершина порождается трехлинейной
формой
Y j uJlv (v?a 8^v -V^v Ypa) d4 x A0.44)
и имеет выражение
6a
8a—
во вт cv вР st ca
— 8V 8a од 8p — 8^ 8a
eg
A U.4o)
Перенормировочные элементы, пропорциональные 8D)@), по-
порождаются локальным множителем П h5/2(x) в мере A0.41), вклад
х
которого можно интерпретировать как добавку к действию вида
AS-—— i6<*> @) Г In Л(Jt) d4 jc A0.46)
Подробно был рассмотрен случай гравитационного поля в пус-
пустоте. Введение взаимодействия с другими полями не изменит су-
существенно схемы построения теории возмущений. Для полей мате-
материи с невырожденными лагранжианами, взаимодействующих с гра-
гравитационным полем, новые фиктивные частицы не возникают.Такие
частицы и соответствующие им диаграммы появляются только при
¦включении поля с калибровочной группой более широкой, чем в тео-
теории, тяготения, например электромагнитного поля или поля Янга —
ДОиллса. Не рассматривая этот случай подробно, приведем зыраже-
75.

ние для континуального интеграла, соответствующего взаимодей-
взаимодействующим электромагнитному и гравитационному полям:
exp {\S [g»v, Л^]} A [g] П 8 (дц (/mv ЛД)) П б (dv hw) x
X Д,
gw n dA» A0-47)
И
4
(Ю.48)
где Sg — действие свободного гравитационного поля; д [g] равно
произведению определителей
deMdet^/i^dv)), A0.49)
в котором А — оператор A0.21). Наличие в этом произведении не-
нетривиального второго множителя показывает, что несущественная
фиктивная скалярная частица, которую можно было бы ввести при
описании электромагнитного поля, также взаимодействует с грави-
гравитационным полем. Таким образом, в ковариантной теории возмуще-
возмущений для электромагнитного и гравитационного полей кроме уже
описанных элементов участвует фиктивная нейтральная скалярная
частица.
Рассмотрим переход к гамильтоновой теории в формализме кон-
континуального интеграла. Гамильтонова формулировка в классичес-
классической теории тяготения была впервые разработана Дираком [48].
Несколько вариантов такой формулировки было получено многими
авторами [49—53]. При построении явно гамильтоновой формы урав-
уравнений Эйнштейна встречается трудная задача — решение уравнений
связи. Здесь будет рассматриваться обобщенная гамильтонова фор-
формулировка теории тяготения, при которой не надо решать уравне-
уравнения связи, а можно ограничиться лишь проверкой их коммутацион-
коммутационных соотношений. Такая обобщенная формулировка является теоре-
теоретико-полевым аналогом развитой в § 3 формулировки для конечно-
конечномерных механических систем. Покажем, что действие гравитацион-
гравитационного поля можно привести к виду, аналогичному C.1) для конечно-
конечномерных систем, причем соответствующие связи и гамильтониан
удовлетворяют условиям C.2). Мы будем следовать методу, пред-
предложенному Л. Д. Фаддеевым в форме, специально приспособленной
для гравитационного поля [53].
Для этих целей удобно использовать формализм первого порядка.
Рассмотрим выражение для действия гравитационного поля в виде
A0.3) и соберем члены в плотности функции Лагранжа, содержащие
производные по времени:
+ (Г?о -F?*) д0 А'°-Г'о, д0 h00). A0.50)
76

Это выражение не содержит переменных Г?о, которые входят
в L (А, Г) линейно и имеют смысл множителей Лагранжа. Стоящие
при Г#о множители (обозначим их А™) являются связями. Уравне-
Уравнения связей
г00 J
дают возможность выразить переменные Г^, Т% — Г** через Г?*
и A»lV. При этом члены, содержащие производные по времени, при-
принимают вид
1 ^-до(А«>А»—А'°А«>), A0.52)
2x2 А00
если опустить слагаемые
1 (% h<*> dihi0—dt А00 д0 Ый) = — (д0 In А00 йг А'0 — dt In А00 50 А10),
A0.53)
исчезающие при интегрировании по частям.
Формула A0.52) подсказывает, что естественными динамически-
динамическими переменными являются
L rj. A0.54)
Переменные Г{Й, отличные от Г?*, нединамические. Они могут быть
исключены с помощью уравнений связи
rgv^r?*). A0.55)
К*
В систему A0.55) входят уравнения A0.52) вместе с уравнениями
дк А'» + А" Г°* + А«> Г|о + А»' II* -Л"» TL = 0; j g6
)
Решение системы A0.51), A0.56), выражающее «нединамические»
Г?о, Г(*о, Г?/ через A^v, Г?й, имеет вид:
Л. А00 b°S
A0.57)
7?.

Здесь П/ — трехмерные коэффициенты связности, порожденные
трехмерной метрикой glk (i, k = 1, 2, 3).
Подставим найденные выражения A0.57) для Г<°о, Г*о, Г?/
в плотность функции Лагранжа L (h, Г). Пренебрегая слагаемыми ти-
типа дивергенции, исчезающими при интегрировании по трехмерному
пространству с учетом асимптотических условий A0.51), приведем
результат подстановки к виду
(х)
Tt(x)); A0.58)
А00 (х)
То (х) = q4 qk' (nik яп—яи як1) +gs R3;
A0.59)
Здесь g3 — detgik; R3 — трехмерный скаляр кривизны, порожден-
порожденный трехмерной метрикой gih (i, k = 1, 2,3). Символ Ah в выраже-
выражениях для связей Tt означает ковариантную производную по отно-
отношению к метрике gik.
Арновитт, Дезер и Мизнер [49] отметили, что канонические пе-
переменные в выражении для связей имеют наглядный геометрический
смысл. Функции ^*, nik служат коэффициентами первой и второй
квадратичных форм поверхности х° = const, погруженной в четы-
четырехмерное пространство—время с метрикой g^ и связностью F?v.
Точнее, cfk — контравариантная плотность метрики веса +2;
nih — ковариантная плотность метрики веса—1. Связи — это из-
известные в теории поверхностей соотношения Кодацци и Гаусса
[см., например, [54]).
Формула A0.58) представляет собой решение задачи приведения
действия гравитационного поля к обобщенному гамильтонову виду,
аналогичному C.1); для конечномерной системы со связями исполь-
используется формула A0.58). Связи Т^, как можно проверить, находятся
в инволюции. Для записи явных соотношений удобно ввести вели-
величины
. A0.60)
Здесь т) — векторное поле; ср — скалярное поле, точнее скалярная
плотность веса — 1. Имеют место соотношения."
A0.61)
78

— скобка векторных полей, т. е. векторное поле с компонен-
компоненli. Лг р р
тами т)'^* — т]'2дгт)*; ЛФ = Л'^/Ф — <W<P> % — векторное по-
поле с компонентами qikdhy. Соотношения A0.61) — теоретико-по-
теоретико-полевой аналог равенств C.2). Первая строка в A0.61) показывает,
что связи Tk (х) F = 1,2,3) имеют смысл генераторов координатных
преобразований. Остальные соотношения не имеют простого группо-
группового смысла.
Отметим дивергенцию (—didh(^k) в плотности гамильтониана
Я (х). Если выполнены уравнения связей Т^ — 0, гамильтониан Я
сводится к трехмерному интегралу от дивергенции, т. е. к интегралу
по бесконечно удаленной поверхности. Последний интеграл опреде-
определяется асимптотикой функций <fk при г = | х | -> оо. Для асимпто-
асимптотически плоского гравитационного поля имеем
> A062)
где М — полная масса, которую можно получить, интегрируя Я (х):
-L-lim §dhq»dSt=M. A0.63)
2Х2 S->-oo J
Таким образом, можно считать, что Я = | Я (x)d3x имеет зна-
значение энергии. Подынтегральное выражение
Я (х) = То (х) - didkcfk (x), A0.64)
имеющее смысл плотности энергии, равно сумме двух квадратичных
форм — квадратичной формы первых производных от cfk и квадра-
квадратичной формы «импульсов» nik — как и полагается плотности энер-
энергии волнового поля. В данном случае это энергия гравитационного
поля, которое имеет две поляризации в соответствии с обычным под-
подсчетом:
2 = 6 (координат) — 4 (связи), A0.65^
В приближении слабого поля гамильтониан представляется
квадратичной формой от полностью поперечных компонент линеари-
линеаризованного поля.
Именно это обстоятельство, а также показанное выше равенство
A0.63) энергии гравитационного поля массе служат оправданием
выбора действия этого поля в виде A0.3), где производные дейст-
действуют не на символы Кристоффеля r{Jv, а на метрический тензор ^v.
После того как действие гравитационного поля приведено к обоб-
обобщенному гамильтонову виду, можно построить гамильтонову фор-
форму континуального интеграла. Принято использовать условия,
впервые предложенные Дираком [48]:
= 0, /=1,2,3; я=^ягй = 0, A0.66)
79

где q = ciet qik. Эти условия имеют простой геометрический смысл:
поверхность х° = const минимальна, а координаты х1, х2, х3 на ней
«гармоничны» (уравнения dk (q~~i/iq'k) = 0 — это условия «трех-
«трехмерной гармоничности»).
Для доказательства эквивалентности канонической и реляти-
релятивистской форм континуального интеграла окажутся удобнее другие
дополнительные условия, а именно
In q = Ф (jc); qik = 0; {ф k, A0.67)
где Ф — функция с асимптотикой с/г на бесконечности. Условия ком-
коммутации C.2) для этих условий выполняются. Матрица скобок Пуас-
Пуассона условий A1.18) со связями определяется формулами:
(Ст])° = {Tr\, In q—Ф (*)} = - тр да \nq— 4d8 тр + 4ят]0;
(Ю.68)
5 —2 (я31—931 я) т)°;
— 2^12 д, т)!—2 (я12—912 я) Т1О,
где
A0.69)
Матрица С не вырождена, если кривизна метрики gik отлична от
нуля.
Введем обозначения:
In q - Ф = Хо; <723 = Xi;
A0.70)
Континуальный интеграл в гамильтоновой форме для гравитацион-
гравитационного поля выглядит следующим образом:
A0.71)
Приведем это выражение к виду, где интегрирование ведется только
по полю gv-s. Это даст возможность идентифицировать искомую ин-
инвариантную меру. С этой целью надо проинтегрировать по полям
ntu- От nik зависит не только функционал exp (iS), но и определи-
определитель det {Тц, Хо}- Запишем этот определитель в видеконтинуального
интеграла по антикоммутирующим переменным г\», ф (ц=0,1,2,3):
80

det {74 xJ =¦-= J exp(i J ^C,v (я, ?) tp # * ) П dip (x) dip (x).
A0.72)
Функции nik входят только в коэффициенты Сйо оператора С, не
содержащие производных, причем линейным образом. Сделаем
в интеграле по nlh сдвиг:
nik -+ nik + nih (g), A0.73)
где nih (g) — выражение nih = —A/Л00)Г« через метрический тен-
тензор согласно A0.1). При таком сдвиге функционал действия 5 [g^,
\ — интеграл от выражения A0.58) — переходит в
qki
A04)
Здесь 5 [gw] — действие A0.3), в котором символы Кристоффеля
r^v выражены через метрический тензор. Квадратичная форма
т^Сцу (jijfe, ^fe) T|v превращается в
^ СЙУ (nik.(g), qt*) t|v +^й /ц (я.,) ло, A0.75)
где /й (nih) — линейные формы по nik, явный вид которых не пона-
понадобится. Сделаем теперь в интеграле по nik еще один сдвиг, уничто-
уничтожающий линейную по nlk форму ту* /w (ягл)т1°. Вместо этой формы воз-
возникает форма, квадратичная по т^0 и не содержащая производных,
а поэтому равная нулю тождественно, так как (п0J = 0. После это-
этого возьмем гауссов интеграл по nik. Интеграл же по if, г\» снова
можно записать как определитель оператора Clt отличающегося от
оператора С тем, что в нем символы nlh заменены их выражениями
через метрический тензор. Действие оператора Сх определяется фор-
формулами:
= -1\Чк\щ-4двЦ*-
^
+ ?2s aa ti3 + <f* ds tJ - 2<723 ds xf +
l
U00
=-r\Kdx q31
ls ds yf -
d8 i
h00
A0.76)
61

ЛокальНые множители в произведениях дифференциалов вместе
с локальным множителем, возникшим от интегрирования по nik,
и самими дифференциалами собираются в выражение
П(л°°)-4<г2П dh^ A077)
X |i< V
Здесь множители перед дифференциалами можно привести к виду
/7|00\-1/,-5/2о1/2 (\Г) JQ)
причем последний множитель можно опустить вследствие условия
связи q = ехр Ф. В результате наш континуальный интеграл при-
принимает вид
П
A0.79)
где оператор Вх отличается от Сг локальным множителем (Л00).
Покажем теперь, что выписанный интеграл является интегра-
интегралом по классам гравитационных полей в смысле § 7, причем классы
параметризуются условиями A0.67), а инвариантная мера имеет
вид A0.13). Для этого достаточно проверить, что det Bx совпадает
с множителем Дх [h], определяемым следующим образом:
A0.80)
Интеграл в этом выражении можно вычислить тем же способом, что
и интеграл в формуле A0.17). При этом получится
A0.81)
где оператор В определяется следующим образом:
= - & Эх In q-
d,
h03 2
ftoo q
дЛ1
/too
2/i°s „.
1 —т-1
t? -
(B t,K = -
ds ? -
h»1
° — 2-
/too
A0.82)

Нетрудно убедиться, что
det В = det \. A0.83)
Действительно, можно перейти от одного оператора к другому тре-
треугольной заменой:
?о = Т1о. р = С» + _^_Т)о> j=-, 1,2,3. A0.84)
Итак, явно унитарная гамильтонова форма континуального
интеграла после формальных замен переменных интегрирования
была представлена в виде интеграла по классам эквивалентных
полей при некоторой конкретной параметризации классов. Соответ-
Соответствующая инвариантная мера имеет вид A0.13). Этим оправдано
лоренц-инвариантное выражение для континуального интеграла
A0,16), которое представляет собой запись того же интеграла в дру-
другой параметризации классов.
Теперь появляется более трудная задача, которая состоит в по-
последовательном проведении перенормйровочной процедуры, осно-
основанной на инвариантной регуляризации. Трудности обусловлены
громоздкостью теории, а также тем, что с формальной точки зрения
она не является перенормируемой.
§ И. ПОПЫТКИ ПОСТРОЕНИЯ КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНОИ
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО И СЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Рассмотренные выше примеры калибровочно-инвариантных тео-
теорий строятся как часть более широкой теоретической схемы, вклю-
включающей в себя все существующие взаимодействия. Рассмотрение
такой общей модели — пока еще довольно сложная задача. Более
частная — это идея объединения электромагнитного и слабого взаи-
взаимодействий (ЕМ + W) ПРИ помощи мультиплета калибровочных
полей, давно привлекающая к себе внимание теоретиков. Реализация
этой идеи вызвала к жизни некоторые модели, из которых наиб,оль-
щую известность получила модель Вейнберга [213. В этом параграфе
будет кратко рассмотрена модель Вейнберга, а также калибровочно-
инвариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействий
лёптонов, предложенная Л. Д. Фаддеевым [23]. Как и любые теории
калибровочных полей, эти модели наиболее естественно формули-.
руются на языке континуальных интегралов.
В основу модели Вейнберга положена идея спонтанного нару-
нарушения первоначально существующей инвариантности относительно
калибровочных преобразований векторных безмассовых полей
типа Янга—Миллса. Калибровочной группой модели служит группа
U B), изоморфная группе унитарных матриц второго порядка, сво-
сводящаяся к произведению группы V A) фазовых преобразований на
группу унитарных матриц второго порядка с единичным определи-
определителем,
83

Порождаемая группой U B) связность образована векторными
полями двух типов — мультиплетом Ар (а — 1, 2, 3) янг-миллсов-
ского типа и полем Вц. Кроме этих полей в модели имеются поля леп-
тонов и поля вспомогательных скалярных полей, приводящие к
спонтанному нарушению калибровочной U B)-инвариантности. Из
полей лептонного поля в модель Вейнберга входят поля электрон-
электронного типа:
A1.1)
где i|)e — поле электронов; ve — поле электронного нейтрино.
Скалярные поля образуют дублет
/<Ро\
ф =
A1.2)
Лагранжиан модели имеет вид
~Y ( дцФ- igt \+\
A1.3)
'
где g, g — константы связи соответственно мультиплета Лй и син-
сингл ета Вц.
Механизм спонтанного нарушения симметрии и образования
массы, предложенный впервые Хиггсом [56], сводится к появлению
аномального среднего
А, = <Ф°> A1.4)
для нулевой компоненты ф-поля. Такой механизм встречается в тео-
теории сверхтекучести (см. гл. 6). Перейдем от первоначальных полей
к новым «физическим» полям, вычтя из ф-полей их аномальные сред-
средние. В качестве таких полей можно взять ф~-поле и поля
A1.5)
В первом порядке теории возмущений величина Я определяется из
условия максимума выражения —М!ф+ф + h (ф+фJ при подста-
подстановке в него ф° = Я, ф~ = 0. Это приводит к формуле
Я2 = MV2H. (П.6)
84

В результате оказывается, что поле ф2 имеет массу Мх , а поля
Ф2 и ф" остаются безмассовыми. Появление безмассовых возбуждений
в моделях со спонтанным нарушением симметрии впервые было четко
отмечено Голдстоуном [127]. Однако здесь эти возбуждения не имеют
непосредственного физического смысла и могут быть устранены ка-
калибровочными U ^-преобразованиями.
Масса фх-мезона оказывается очень большой (по сравнению с мас-
массой электрона те), и по этой причине связью ф с остальными полями
можно пренебречь.
В результате оказывается, что эффект появления аномального
среднего A1.4) можно в первом приближении учесть простой заме-
заменой поля ф его вакуумным ожиданием
При такой замене исходный лагранжиан A1.3) превращается в вы-
выражение
-Ry» (dp-ig' Вд) R -Ту» (д„ + igtA»-{l/2) g' BJ L—
-A/8)^V W + №- (l/S)(gA'^ + g'В^-МЛ^е- (И.8)
Электрон получает массу
me = We. A1.9)
Заряженное векторное поле
WVk = 2-1i*{Al + \A*) A1.10)
описывает промежуточный бозон с массой
±. A1.11)
g
Из-нейтральных полей А^, В^ можно образовать комбинации:
A1-12)
с массами
МА=0. A1.13)
Таким образом, одна из компонент мультиплета векторных полей
А^ имеет нулевую массу, и эту компоненту следует считать фотон-
фотонным полем.
85

Член взаимодействия лептонов с векторными полями можно
записать в виде
A1.14)
Второе слагаемое в A1.14) показывает, что электронный заряд е есть
е = gg'(g* + g'*)~l/2 (И-15)
и, таким образом, меньше^ чем каждый из затравочных зарядов g,
g1. Предполагая, что W^ связан, как обычно, с адронами и мюоном,
получаем соотношение
=4г- о*-16)
Из A1.12), A1.16) следует, что массы промежуточных бозонов очень
велики:
Mz > 80 Гае, Mw > 40 Гэв A1.17)
по сравнению не только с массой электрона, но и с массой адронов.
Модель Вейнберга приводит к взаимодействию нейтральных то-
токов. Чтобы убедиться в этом, исключим поле промежуточных бозо-
бозонов, сделав преобразование W^ -»- W^ + W», исключающее линей-
линейные по W^ члены взаимодействия с лептонами. Это приводит к пря-
прямому взаимодействию лептонных токов вида
fi-y), A1.18)
где
D(x~ y) = {2n)-*^(k*-Mfr— iO)-2exp[i^(x—y)}d*k A1.19)
есть пропагатор W-поля массы Mw При больших Mw можно пре-
пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения k2 по сравнению
с Mw и заменить выражение A1.19) на
-М**6(х—у). A1.20)
После такой замены члены лептонного взаимодействия принимают
вид
2^d* */«(*)/*(*). A1.20а)
а, Ь"
Слагаемые
$<*«*/«(*)/*(*) A1.21)

соответствуют ьзаимодействию нейтральных тбкоь. Такое взаимо
действие.характерно для модели Вейнберга и отсутствует в (V — А)-
варианте модели слабого взаимодействия.
Наличие взаимодействия нейтральных токов было недавно под-
подтверждено экспериментально [133]. Это серьезный аргумент в поль-
пользу модели Вейнберга.
Методы теории калибровочных полей [12—18] позволяют оправ-
оправдать предположение Вейнберга о перенормируемости его модели
[21]. Для более простых примеров это было сделано Хоофтом [57].
Здесь не будет доказываться перенормируемость модели Вейнберга.
Заметим только, что построение корректной теории возмущений
следует проводить согласно общей схеме квантования калибровоч-
калибровочных полей, изложенной в этой главе.
Несмотря на полученное к настоящему времени качественное
согласие выводов из модели Вейнберга с экспериментом [133, 134],
эту модель нельзя еще с полной уверенностью считать единственным
приемлемым вариантом единой калибровочной теории слабых и
электромагнитных взаимодействий. Эта модель обладает рядом эсте-
эстетических недостатков, из которых отметим два: 1) использование
непростой группы п (х) в качестве калибровочной группы нарушает
идею универсальности взаимодействия; 2) введение линейного муль-
типлета скалярных полей с последующим спонтанным нарушением
симметрии (механизм Хиггса) не имеет естественного толкования
в рамках идеи калибровочной инвариантности.
Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного и слабо-
слабого взаимодействий лептонов, свободная от этих недостатков, пред-
предложена Л. Д. Фаддеевым [23]. В оставшейся части этого параграфа
рассмотрим модель Фаддеева, следуя в основном его работе ч23].
Модель основана на простейшей нетривиальной калибровочной
группе О C) (трехмерной группе вращения) и содержит только
триплет векторных полей. Вместо скалярного поля Хиггса здесь
вводится поле направлений п (х) в зарядовом пространстве, опреде-
определяющее в нем нейтральное подпространство. Набор физических час-
частиц в модели включаете себя известные лептоны, фотоны и заряжен-
заряженные промежуточные бозоны.
Остановимся на геометрических идеях, лежащих в основе модели.
Классические поля делятся на два класса.
1. Сечения некоторого расслоения над многообразием про-
пространства—времени, инвариантные по отношению к локальному
действию калибровочной группы.
2. Связности в этом расслоении, задающие параллельный пере-
перенос полей первого класса.
Слой является обычно произведением линейного пространства,
в котором реализуется представление группы Лоренца в соответст-
соответствии Со спинами рассматриваемых полей первого класса и внутрен-
внутреннего (зарядового) пространства, в котором действует группа внут-
внутренней симметрии. При пренебрежении эффектами тяготения не-
нетривиальная связность порождается только последней группой
87

и задается набором векторных полей Янга—Миллса UU, число ко-
которых совпадает с размерностью калибровочной группы. В рассмат-
рассматриваемой модели набор полей первого класса содержит спинорные
поля лептонов, а калибровочная группа — это группа О C). В ка-
качестве внутреннего пространства взято произведение линейного
пространства ее представления и нелинейного многообразия, в ко-
котором она действует. Линейной компоненте слоя сопоставлен муль-
типлет спинорных полей лептонов. Простейшей возможностью для
нее является пространство векторного представления R3. Известные
лептоны |i, e, v = ve + v^ (антимюон, электрон и нейтрино) объе-
объединяются в трехмерный вектор, так что пространство Rs хорошее
с физической точки зрения.
Можно отличить нейтральный лептон от заряженного, если ука-
указать, какой из генераторов группы О C) является зарядом. Таким
образом, задание заряда равносильно введению направления в R3,
которое можно назвать нейтральным. В результате возникает много-
многообразие направлений 52, которое считается прямым множителем во
внутреннем пространстве.
Итак, в модели присутствуют три фермиона tylt г|J, \|K, объеди-
объединенных в изовектор i|) 6 R3, набор скалярных полей пх, п2, п3, удов-
удовлетворяющих условию
П\ ~Г tl2 + tl3 = 1 A1.It)
и образующих единичный вектор п 6 S2, и три векторных поля
Z,i, Z?, Z?, образующих изовектор Z^ ? R3.
Удобно ввести три вещественные антисимметричные матрицы:
/О 0 0\ /00 —1\ / 010\
У1= 0 Oil; V2= 00 0 ; V3= -1001, A1.23)
\0—10/ \10 0/ \ 00 0/
задающие представление алгебры Ли группы О C), и рассматривать
набор Vlt V2, V3 как трехмерный вектор V.
Действие калибровочной группы запишем в инфинитезимальной
форме:
г; б/г = /гДе; bZ^ = Зце + Z^e, A1.24)
где е = е (х) — вектор бесконечно малого локального поворота.
Здесь используются обозначения (,), Д Для скалярного и векторного
произведений в R3, например ^Де == (V, е)г|).
Через поля Z^ и п можно построить еще два триплета векторных
полей:
Уц = д^п + Z»f\n; Хц = п Д УЦ) A1.25)
которые векторно преобразуются при калибровочных преобразова-
преобразованиях
6К „ - К„Ле; 6ХД - Хм \я. A1.26)
88

Эти поля можно использовать в дополнение к полю Z^ при опреде-
определении ковариантной производной поля т|>, получая матрицы путем
тензорного умножения Хц, У"ц на п.
Рассмотрим конкретную комбинацию:
V^ = ^ + (Z^ m + (ХД)п + п®Х„)у5ур, A1.27)
построенную с помощью матрицы у5 (у? = —Vs. V* = — 0- Она
выделена дополнительным условием коммутации Vw с преобразова-
преобразованием:
Лф ая(пу1|>); бп 0;| (Ц 28)
где а — бесконечно малая константа. Выражение A1.27) определяет
инфинитезимальную связность, ассоциированную с группой SU C).
Лептонное число L, порожденное обычным фазовым преобразо-
преобразованием:
Si|) = фф; б/г = 0; Ы^ = 0, A1.29)
где р — константа (не зависит от я), и заряд Q, порожденный гене-
генератором (V, п), определяют полный набор квантовых чисел для
классификации лептонов.
Преобразование A1.28) при этом производит дополнительную
классификацию нейтральных лептонов, абсолютизируя различие
их противоположных спиральностей.
Лагранжиан, инвариантный по отношению к описанным преоб-
преобразованиям, имеет вид
r
A1-30)
где Lym — лагранжиан Янга—Миллса для поля Z^.
Д Zv. A1.31)
Константа е безразмерна, т имеет размерность массы.
Выпишем отдельно члены лагранжиана A1.31), описывающие
взаимодействие фермионов с векторным полем:
1л = i (Zm, о„) + i (X^), A1.32)
где
"и == ФVn ^; аи =¦• (Ф») YnVe^ +^Yn Ye («^)- 01 -33)
Выражение A1.33) аналогично стандартной (V — Л)-структуре
в обычной теории слабых взаимодействий. Эта аналогия подтверж-
подтверждается поведением Z,x по отношению к операторам пространственного
отражения Р и отражения заряда Rq. Швингер [58] определил гео-
геометрически отражение Rq как переход к античастицам с последую-
89

щим изменением знака нейтрального напряжения в зарядовом про-
пространстве R3. В явном виде Rq определяется следующим образом:
'Г^^ я-*»-я; 1 (П34)
(Л —*¦"~~ Z/jj j Z/ц—*- Z/ц , J I**""*" * М-* ^Ц ""^ ^-Ц
Zl-^iZ^n); Z^ = Zv,—(ZVL,n)n. A1.35)
Заметим, что Хр = У? = 0. Билинейные формы ой, ай преобразуют-
преобразуются следующим образом:
Од-»-— вЦ; ujf'-vuji", fl^-va^; a^-*-— a;{-, A1.36)
так что при отражении заряда второе слагаемое в A1.32) меняет
знак. Оно же меняет знак при пространственном отражении, так что
взаимодействие Ьг инвариантно относительно преобразования ком-
комбинированной четности RqP.
Рассмотрим теперь возможную структуру массовых членов для
фермионов, имея в виду, что их можно добавлять к затравочному
лагранжиану A1.30) или вычислять динамически. Возьмем три под-
подходящие матрицы /, i (Vn), n($ n, линейной комбинацией которых
может быть матрица массового члена М. Условие инвариантности
по отношению к преобразованию A1.29) дает матрицу М вида
Л* = a (/ — п®п) + ib(Vn), A1.37)
причем коэффициенты а и Ь имеют размерность массы.
Для физической интерпретации модели рассмотрим ее в частной
калибровке п = щ, где щ — постоянный вектор @, 0, 1). Это усло-
условие означает, что заряд связан с матрицей — iVs и полеф3 нейтраль-
нейтрально. Поля 1^ + b$>2, tyi — и|>2 имеют массы а + Ь, а — Ь и заряды 1,
—1 соответственно. Нейтральное поле it>3 имеет массу 0. Поля Хй,
Ун имеют компоненты
Лц —2ц| Ац = 2ц| Ац = Oj Yц = Z^; *ц = —Z ц\ Уц —0, A1.оо)
так что взаимодействие Lx принимает вид
jl. (И-39)
Последнее слагаемое в лагранжиане A1.30) дает массовый член
для векторных мезонов ZJ, Z^. В результате лагранжиан 1^ опи-
описывает слабое (V — Л) взаимодействие электронов, fi-мезонов и
нейтрино, переносимое промежуточными массивными векторными
бозонами W$, и взаимодействие заряженных лептонов с электромаг-
электромагнитным полем в стандартной форме
90
{Л г. (фе у г. %+Ф(ц) Vx ^(ц)) + Wi \$в у к A + i Y6)^e+Ч'(й) Ух X
.}, A1,40)

если произвести отождествление:
? ew I (Ц.41)
J
Постоянная е при этом имеет смысл электрического заряда,
elm дает константу слабого взаимодействия, т—массу промежуточ-
промежуточных бозонов.
При квантовании описанной модели удобно использовать в ка-
качестве калибровочного условия поперечности векторных полей
0^ = 0. A1.42)
При этом, в соответствии с общими методами квантования калибро-
калибровочных полей, к лагранжиану A1.30) следует добавить компенси-
компенсирующий член, содержащий взаимодействие векторных частиц с фик-
фиктивными скалярными фермионами. В поперечной калибровке поле
п (х) не только не исчезает из лагранжиана, но входит в него су-
существенно нелинейно. Вопрос о правильном квантовании поля
л (х) имеет важнейшее значение. Можно надеяться, что применение
методов континуального интегрирования поможет получить пра-
правильный ответ.

ГЛАВА 4
ИНФРАКРАСНАЯ АСИМПТОТИКА ФУНКЦИЙ ГРИНА
§ 12. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
СНАЧАЛА ПО «БЫСТРЫМ», А ЗАТЕМ ПО «МЕДЛЕННЫМ»
ПОЛЯМ
В этом параграфе рассматриваются возможности применения
метода континуального интегрирования к вычислению асимптотики
некоторых функций Грина при малых энергиях и импульсах (ин-
(инфракрасная асимптотика).
Стандартная теория возмущений приводит к трудностям, если
в системе присутствуют кванты сколь угодно малой энергии. Такое
положение встречается в квантовой электродинамике и в некоторых
примерах из статистической физики — в теории сверхтекучести,
теории плазмы и общей теории фазовых переходов. Упомянутые
трудности состоят в том, что каждая диаграмма обычной теории воз-
возмущений имеет так называемую инфракрасную особенность. Это
означает, что соответствующее диаграмме выражение, представляю-
представляющее собой интеграл по импульсным переменным, сингулярно при
стремлении внешнего импульса диаграммы к нулю. В этом случае
желательна перестройка теории возмущений. Один из возможных
вариантов такой перестройки можно назвать методом последователь-
последовательного интегрирования сначала по «.быстрым», а затем по ^медленным»
полям.
Представим каждое поле i|), по которому интегрируем, в виде
суммы двух слагаемых, одно из которых назовем медленно меняю-
меняющимся полем i|H, а второе — быстропеременным полем ^:
Ф=^о + Фх A2.1)
Для определенности рассмотрим случай, когда ф — комплексное
скалярное поле. В релятивистской теории поля функции г|), г|з0, i|)x
зависят от точки пространства—времени (х0, xlt jc2, *з)- В задачах
статистической физики ijj, г|з — это функции от (х, т), где х 6 V,
х 6 Юр] (см. § 6). Определим сначала, что называть быстроперемен-
ной, а что медленно меняющейся частью поля в статистической физи-
физике. Как уже говорилось в § 6, функция г|> (х, т), предполагаемая пе-
периодической функцией своих аргументов, разлагается в ряд Фурье:
^ У exp[i((OT-k-x)]a(k,(o). A2.2)
ft
92

Назовем медленно меняющейся частью г|>0 (х, т) поля \|) (х, т) сумму
слагаемых в разложении A2.2) с
|к|<А0; |ю|<ю0. A2.3)
Быстропеременной частью грх (х, т) назовем разность л]э (х, т) —
— if>0 (х, т). Эта разность, очевидно, есть сумма тех слагаемых
в A2.2), для которых или | к | > k0, или | со | > со0.
В релятивистской теории поля аналог разложения A2.2) имеет
вид
Й A2.4)
где k — 4-вектор (k0, kx, къ ka,);kx = koX0 — kxxx — кгхг — k jX3.
Один из возможных способов разбить функцию гр на быстропере-
менную и медленно меняющуюся части — назвать медленно меняю-
меняющейся частью интеграл по области | k? | н= | k\ — kz | ^ т%, быстро-
переменной частью — интеграл по области | ft21 > ml.
Другой способ состоит в переходе к евклидовой теории поля,
в которой координаты и время совершенно равноправны. Скалярное
произведение имеет вид kx — 2&^. При этом медленно меняющуюся
2
часть функции л]э (а;) определим как интеграл A2.4) по области
i A2.5)
i
быстропеременную часть — как интеграл по
?2= 2JA?>mJ. A2.6)
Переход к физическому случаю псевдоевклидовой метрики осу-
осуществляется в ответах, полученных методом континуального
интеграла для евклидовой теории поля, путем аналитического про-
продолжения.
Следует отметить, что граница между «медленными» и «быстрыми»
полями в конкретных задачах квантовой теории поля и статистиче-
статистической физики в значительной мере условна. Это проявляется в том,
что k0, (оо, /п0, отделяющие «медленные» переменные от «быстрых»,
определяются не точно, а по порядку величины.
В статистической физике, как было показано в § 6, континуаль-
континуальный интеграл — это интеграл по мере
П da+(k, ©)da(k, (о). A2.7)
к, и
В евклидовой теории поля мера может быть представлена в виде
A2.8)
93

f. e. как предел на реШетке, в которой расстояние между ближай-
ближайшими точками решетки стремится к нулю, а объем части ^-простран-
^-пространства, занятого решеткой, стремится к бесконечности.
Основная идея перестройки теории возмущений состоит в по-
последовательном интегрировании сначала по быстропеременным, а
затем по медленно меняющимся полям с использованием на этих двух
этапах различных схем теории возмущений. На первом этапе ин-
интегрируемою коэффициентам Фурье.а (к, со), а+(к, со) соответствен-
соответственно ty(k), ij> (k), у которых индексы (к, со), соответственно k лежат
в области, определяющей быстрые переменные, а на втором этапе —
по коэффициентам Фурье с индексами, характеризующими медлен-
медленные поля.
При интегрировании по быстрым полям можно пользоваться
теорией возмущений и следующей из нее диаграммной техникой,
отличающейся от стандартной теории возмущений, изложенной в
§ 5, 6 в двух пунктах.
1. Интегралы (суммы) по 4-импульсам обрезаны на нижнем пре-
пределе.
2. Появляются дополнительные вершины, описывающие взаимо-
взаимодействие поля ifo с медленно меняющимся полем i|j0-
Первое ясно из того, что индексы (к, со) (или k) быстроперемен-
ного поля должны принадлежать области, определяющей «быстрые»
переменные.
Причина появления дополнительных вершин в том, что в исход-
исходное действие поля S входит г|) = \j>0 + i^, так что в члены третьей'
и более высоких степеней дают вклад перекрестные члены, которые
могут исчезать в квадратичной форме.
Обрезание интегралов на нижнем пределе предохраняет от ин-
инфракрасных расходимостей на первом этапе интегрирования. На
втором этапе (интегрирование по медленно меняющимся полям) мож-
можно добиться исчезновения инфракрасных расходимостей, если пе-
перейти к нетривиальной схеме теории возмущений, используя спе-
специфику системы. Например, в теории сверхтекучести при интегриро-
интегрировании по медленно меняющимся бозе-полям гро (х, т), г|H (х, т) ока-
оказывается удобным перейти к полярным координатам
1|з0 (х, т) - Ур (х, т) exp [i ф (к, т)]; j ^2 ^
фо (х, т) = У9 (х. т) ехр [ — i ф (х, т)] {
и интегрировать по полям р (х, т), ф (х, т). Теорию возмущений в ин-
интеграле по медленно меняющимся полям будем строить в терминах
функций Грина полей р (х, т), ф (х,_т). Такая теория возмущений,
как показано в следующей главе, свободна от инфракрасных расхо-
расходимостей.
Вычисление инфракрасных особенностей функций Грина в кван-
квантовой электродинамике проведено в следующем параграфе.
В теории фазовых переходов используется метод многократного
последовательного интегрирования. Такой подход, далекий от воз-
94

можности его строгого обоснования, тем не менее полезен, так как
приводит к определенной качественной картине критических явле-
явлений и дает приближенный метод вычисления критических индексов.
§ 13. инфракрасная асимптотика функции грина
квантовой электродинамики
Физическая причина инфракрасных особенностей квантовой
электродинамики — существование фотонов сколь угодно малой
энергии. Проявляются эти особенности в электронной функции
Грина, которые вместо полюса р% = т2 имеют степенную особен-
особенность. Это связано с тем, что реальный электрон окружен облаком
виртуальных фотонов, среди которых могут быть фотоны сколь угод-
угодно малой энергии (сколь угодно большой длины волны).
Впервые степенная особенность функции Грина электрона при
р2 « /я2 была получена в работе Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосова
и И. М. Халатникова [59], просуммировавших последовательность
главной диаграммы стандартной теории возмущений. Функциональ-
. ные методы к этой проблеме применялись Е. С. Фрадкиным [11]
и некоторыми другими авторами [67].
Характерные инфракрасные особенности появляются не только
у функций Грина, но и у элементов S-матрицы, если эти элементы
определять по стандартным методам квантовой теории поля. В связи
с этим возникает проблема переопределения S-матрицы и сечений
рассеяния, с тем чтобы переопределенные выражения уже не содер-
содержали инфракрасных особенностей. Эта проблема не рассматривается
в настоящей книге, с ней можно ознакомиться по работам [61—65].
Вычислим инфракрасные особенности функций Грина квантовой
электродинамики. Мы найдем функции Грина евклидовой квантовой
электродинамики, а для псевдоевклидовой метрики получим их пу-
путем аналитического продолжения. Одинаковая трактовка коорди-
координат и времени в евклидовой теории упрощает выкладки. Фигурирую-
Фигурирующий в псевдоевклидовой теории функционал ехр (IS) при переходе
в евклидовой метрике превращается в функционал, убывающий при
больших значениях полей.
Одночастичная электронная функция Грина евклидовой кван-
квантовой электродинамики определяется по формуле
-J * (*) * (У) (ехр (S)) (П б (в AJ) d-ф dip dA
—- ? /jg j\
J (exp (S)) (П 6C^ Aj) d$ d$ dA
где функционал
: A3.2)

имеет смысл действия. Матрицы Дирака Yn (^ = 1,2, 3, 4) удовлет-
удовлетворяют перестановочным соотношениям
YnYv + YvYn = 26^. A3.3)
Континуальные интегралы в A3.1) — это интегралы в лоренце-
вой калибровке, написанные с учетом требований квантовой теории
калибровочных полей (см. гл. 3).
Будем вычислять функцию Грина A3.1) в такой последователь-
последовательности.
1. Вычислим интеграл по ферми-полям в числителе и знаменате-
знаменателе формулы A3.1).
2. Вычислим интеграл по быстропеременному электромагнит-
электромагнитному полю.
3. Вычислим интеграл по медленно меняющемуся электромаг-
электромагнитному полю.
В соответствии со сказанным в § 12 определим медленно меняю-
меняющуюся А"'(#) и быстропеременную А1^у(х) части поля А^ (х) как ин-
интегралы по области k ^ k0, соответственно k > k0 в разложении
A3.4)
Интеграл по ферми-полям можно взять в замкнутом виде, исполь-
используя формулы
[ (exp S) dty dip = exp So [A] det (y^ (d^ + i eA^—m);
A3.5)
= expSo[A]G(x, y; A)det{yil(dll + ieAli) — m).
Здесь So [A] — действие свободного электромагнитного поля (функ-
(функционал exp So [А] выносится за знак интеграла поф, ф); G (х, у; А) —
функция Грина электрона в электромагнитном поле А ^; det (y^ (дд+
+ ieA^) — т) — определитель оператора Дирака во внешнем поле.
Этот определитель можно регулировать делением на определитель
свободного оператора Дирака:
det [уц (дц + i еАц) — т] /det (у^ д^—т) =
^ ^ \) G(xn-
л=1 П J
A3.6)
Здесь G (x) — функция Грина оператора (т — д):
-A3.7)
v ; Bя)« J ip+m
96

Символ tr означает след в матричном смысле. Ограничение в сумме
по п четными степенями е2п возможно в силу четности по А (х) функ-
функционала A3.6); утверждение о четности по А (х) определителя опе-
оператора Дирака во внешнем поле называется обычно теоремой Фар-
ри ИЗО].
Для ее доказательства конкретизируем представление четырех-
четырехмерных матриц Дирака, удовлетворяющих перестановочным соот-
соотношениям A3.3):
Здесь at — двумерные матрицы Паули:
/ — двумерная единичная матрица. Легко видеть, что операция
транспонирования Т действует на yt следующим образом:
Yr = Y|t j=l, 3, 4; Vr=-Y2. A3-10)
Четность функционала A3.6) следует из цепочки равенств:
det A + ,Д- i еЛ ) = det A + i еЛ
д—m ! \ а—т./
— det ( 1 + (i еЛ -— i | = det A + ^~ i еЛт ) =
^ \ а—m * / \ а —m j
A3.11)
ef ^\е
V д—m
Последнее из равенств этой цепочки — следствие формул
у2дту^=д; у,АтуГ^-Л, A3.12)
верных в силу A3.10) и очевидного соотношения
dj = —di, i = 1, 2, 3, 4. A3.13)
Интегрирование по электромагнитному полю А не приводит к
замкнутым выражениям типа A3.5), поэтому применяют прибли-
приближенные методы. Первое нетривиальное приближение можно полу-
получить следующим образом.
1. Положим в первом приближении функционал A3.6) равным
единице, что означает пренебрежение эффектами поляризации ваку-
вакуума.
4 Зак. 496 97

2. Используем для функции Грина электрона в электромагнит-
электромагнитном поле приближенную формулу
G (х, у; Л<°> + AM) « G (х, у; А™) ехр { i e J А$> (г) dzJ , A3.14)
согласно которой влияние медленно меняющегося поля А\?у (х) сво-
сводится к умножению функции Грина на фазовый множитель. Ин-
Интеграл в этой формуле берется по прямой, соединяющей точки х и у.
Формула A3.14) — точная, если А^ (г) есть градиент д^с ска-
скаляра с. Можно показать, что при фиксированных х, у формула A3.14)
асимптотически точна в пределе k,0 -> 0.
Приняв сделанные приближения, представим функцию Грина
A3.1) в виде произведения двух множителей:
(^ у;
Jexp (So[i4(°)] + lej^(«)^) (Пб^Л^)) dA™
X — . A3.15)
J(S[A(»)])J(n6(a^W))d^)]
Первый множитель есть квантовая функция Грина, полученная при
учете только быстропеременного поля. Она дается формулой
где
G(i?) = (ip + m-S(p))-1 A3.17)
выражено через собственно энергетическую часть 2 (/?), которая
в первом приближении дается диаграммой
03.18)
Импульс внутренней фотонной линии в этой диаграмме обрезан
на нижнем пределе k0. Из этого следует, что первый множитель
в A3.15) зависит от k0. Эта зависимость сокращается с вкладом от
второго множителя в A3.15).
Второй множитель можно назвать собственно «инфракрасным»,
его рассмотрим в первую очередь. Это интеграл гауссова типа, вы-
вычисляемый стандартным приемом — сдвигом, уничтожающим, ли-
98

нейную форму поЛр,0> в показателе экспоненты. Представив эту
линейную форму в виде
A3.19)
легко написать ответ
= ехр { —|-1J dziVLdz2v D$ (zx-г,)}. A3.20)
В него входит D$ (zx — Za) — поперечная фотонная функция Гри-
Грина медленно меняющегося поля:
*
Подставив A3.21) в A3.20), получим в показателе экспоненты выра
жение
Линейные интегралы вычисляются по формуле
J
A3.22)
если ввести переменную t:
2ц = Н + (У — *)и*. A3.24)
изменяющуюся от 0-до 1. Выражение A3.22) с учетом A3.23)
принимает вид
— Г (—————^-^—— )A—cos(k, x—у)) . A3.25)
Bя)« J \ (k, x-y)t )K y" k* K '
Обозначим | х — у | = г и перейдем к полярным координатам.
Тогда (х — у, k)'— rk cos 0, и для A3.25) получим выражение
kt r i cos e i
С l^cosx
J х х
99

которое зависит от параметра ktf. Рассмотрим его асимптотический
вид при koT^> 1. Используем формулу
sin4 9 _ 1 . cos 26 _3_
cos2 6 cos2 9 2 2
и найдем сначала вклад последнего (постоянного) слагаемого в ин-
интервал A3.26).
Так как при kor^> 1
ktr | cos 8 |
Г 1~C0SjC dx^\nk0r\cosQ\-\-C,
о
где С — постоянная Эйлера, то
я
—- Г (in ^0 г | cos е [ + С)
о
Чтобы вычислить вклад от остальных слагаемых, проинтегрируем
по частям:
kor | cos 8
f
+
cosze 2
о
я
J
о
я
sins 6 1 \ /1 . г» .n .
1 A —cos k0 г cos 0) dQ +
о
я
+ Г —-— A —cos k0 r cos Э) dQ.
J cosze ° '
Первый из интервалов при kor^> 1 стремится к постоянной —Зя/4,
а второй равен интегралу
00
С l-cos
J X"
kQrx
с точностью до величин, стремящихся к нулю при kor -> оо.
Таким образом, при kor -> оо инфракрасный множитель ока-
оказывается равным
|J?). A3.28)
Первый множитель в произведении A3.15) определяется собствен-
собственно энергетической частью 2, при вычислении которой ограничимся
100

e2 f1
~~ Bn)« J
простейшей диаграммой теории возмущений A3.18). Соответствую-
Соответствующее диаграмме выражение имеет вид
"v;Vvy»i(,-j+n,yy о»-*»
Интеграл A3.29) расходится и должен быть обрезан на верхнем пре-
пределе при \k\ — Л 2> т. Асимптотика функции Грина с собственно
энергетической частью A3.29) в дг-пространстве определяется пове-
поведением этой функции в р-пространстве в окрестности р2 да —т2 (при
аналитическом продолжении). Вычисляя интеграл A3.29), получаем
следующую формулу (при р2 да —/п2):
где
№
A3.31)
Здесь uft0 — ренормировочный множитель; /nft0 — масса электро-
электрона, вычисленная во втором порядке теории возмущений, с учетом
взаимодействия только с быстропеременным полем.
Функция Грина G (х) есть
Gft (x) = ah (mh —д)—±- Г exp(ip^) dt (\Ъ.Ъ2)
Обозначив |*| = г, получим при rm^> 1
Bя) J p+ J
0
1_ С exp(ipx) di = _1_ rexp(_r(
я)* J p2+m2 4яаг J *V K
0
-mr)- A3-33)
0
Подставив в A3.32), получим
") exp(-mftor), A3.34)
у
где п = ПцУи= —Ти- Умножив эту функцию на инфракрасный
множитель A3.28), получим выражение, не содержащее произ-
произвольного параметра k0:
3 Зе'
^ 2 ""'^ A3.35)
101

Здесь а — нормировочный множитель; т — физическая масса
электрона;
а = 1+-^-(С—2—In 2); A3.36)
ОЛ.2
A3.37)
Переходя от функции G (х) A3.35) к ее преобразованию Фурье,
получим в окрестности особенности р2 « —/па
-—У A3.38)
\1+ rrfi j
Входящие в эту формулу параметры—коэффициент перед функцией
Грина 1 — 2"Т, физическая масса электрона т, и показатель
степени I + g-j — вычислены во втором порядке теории возмуще-
возмущений.
Покажем, что асимптотическая формула
<?(/>)= a ^? A3.39)
остается справедливой, если не делать указанные выше приближе-
приближения 1, 2. В этом случае показатель степени е имеет смысл физиче-
физического (ренормированного) заряда. Выберем параметр k0 сколь угодно
малым и используем приближенную формулу A3.14), точность ко-
которой увеличивается при уменьшении k0. Взяв интеграл по ферми-
полям, необходимо затем проинтегрировать по быстропеременному
полю произведение A3.14). Заметим, что параметр е в этой формуле—
это затравочный (неренормированный) заряд. Экспоненциальный
множитель в A3.14) выносится за знак интеграла по Л<Х). Интеграл
от функции Грина G (х, у; Л<Х)) вычисляется по формуле
(x, у;
X П8(Ми)^ = Сйо(х, </)ехрE[Л@>]), A3.40)
X
где
A3 41)
?
J exp (So [A]) det [d-m~ie0 A] П 6 (д^А^) dA
X
102

есть квантовая функция Грина в быстропеременном поле, а функцио-
функционал
A3.42)
получен в результате интегрирования функционала exp S по ферми-
полям и быстропеременному полю А?К Выражение S [Л<°>1, имеющее
смысл действия медленно меняющегося поля, представлено как
A3.43)
где точками обозначены члены с высшими производными и функцио-
функционалы выше второй степени. Константа Z — Z3 имеет смысл отноше-
отношения квадратов затравочного и физического зарядов:
— 7 t&le1 Г1Ч441
Это ясно из того, что если вычислять фотонную функцию Грина
при малых k, то в первом приближении по k она и есть в точности
функция Грина оператора в квадратичной форме A3.43) и имеет
вид
ZD (k) = — (k2b v k kv). A3 45)
Л4
Таким образом, Z есть константа перенормировки Z3 фотонной функ-
функции Грина, равная, как известно, еУеЬ.
Возвращаясь к электронной функции Грина, видим, что осталось
найти инфракрасный множитель по формулам, приведенным выше
A3.20), причем параметр Z в A3.43) превращает е0 в е.
Функция Gft0 (x, у) A3.41), учитывающая только быстроперемен-
ное поле, имеет в р-представлении полюс ~(р2 + tnly1, а в х-
представлении—асимптотику типа A3.34). В результате для функции
G (х) получим асимптотику типа A3.35), а для G (р) — A3.39), в ко-
которых е2 — квадрат перенормированного заряда.
Рассмотренный здесь метод получения инфракрасной асимпто-
асимптотики применим к любой теории электромагнитного взаимодействия,
в которой электромагнитное поле вводится заменой обычных про*
изводных дц ковариантными Уц = дц + i eA». Например, в скаляр-
скалярной электродинамике с действием (в евклидовой метрике)
— f (I (дц + »еЛд) $ I2 + тг 11|> |2) &х A3.46)
функция Грина скалярного поля имеет в р-представлении при р* «
' « —/п2 вид
— -^-(l +— )~*'~3e'/8n' ( A3.47)
т \ т* J
103

где Za — ренормировочная постоянная. Дело в том, что формула
A3.14) для функции Грина частицы заряда е в медленно меняющемся
поле является универсальной. Это приводит к универсальности ин-
инфракрасного множителя A3.47), который и определяет показатель
2 2
степени в асимптотике при р2 « —/п2
Р бй й ф
р р
Рассмотрим общий случай функции Грина вида
A3-48)
Найдем асимптотику этой функции, когда ее аргументы л^, ..., хп,
Ух> • ••» Уп1 *i> • •••» г* удалены друг от друга. Именно эта асимптотика
определяет асимптотику в импульсном пространстве вблизи поверх-
поверхности масс. Запишем функцию A3.48) в виде континуального ин-
интеграла и проинтегрируем сначала по спинорному полю t|), ijj, а за-
затем по быстр опеременному полю А^\ На этом этапе можно исполь-
использовать обычную диаграммную технику с указанными выше, в § 12
(см. с. 94), модификациями. Нетривиальная часть функции A3.48)
дается суммой всех связных диаграмм вида
A3.49)
где М — неприводимая связная часть.
Соответствующее диаграмме A3.48) выражение имеет вид
ьщ; Aw)Gh(vt,yt;A™)x
X YlDfijVjtej' WJ'> A(O))Mho, Vl vft(«i, »!, Wj). A3.50)
i=i
Здесь Gft0 (x, и; Л(°>) — квантовая функция Грина электрона в мед-
медленно меняющемся поле Л@). Она дается приближенной формулой
Gko(x, и; A^)*Gko(x-u)ex?(ie tj A^(z)dz»), A3.51)
где первый множитель есть квантовая функция Грина электрона,
полученная усреднением по быстропеременному полю А^К В ка-
качестве функций D н М можно использовать квантовые функции, вы-
вычисленные при учете взаимодействия электронов только с быстро-
переменным полем.
104

Интеграл по медленно меняющемуся полю — это гауссов ин-
интеграл от выражения
4ZS
+ i ^lei[Atl(z)dzX A3.52)
где
{ " " ' I A3.53)
Гауссов интеграл по ехр К назовем инфракрасным множителем,
соответствующим функции Грина A3.48). Он имеет вид
<ехр/С>л(о> =ехр(—X), A3.54)
где
X = -J- Г ** Й f k*(Xi-Ui, xj-uj) j\
2BяL J Л* 2j ' 4(fe, x*—щ)(к, x,~и,) J
X (exp(\xik)—exp(iulk))(exp(—ixjk)—exp(—\ufk)). A3.55)
Таким образом, для выражения, соответствующего диаграмме
A3.49), получается формула
71
exp(—X)Y\Gho(xi—ui)Gk(j(vi—yi)x
X П Dvi}vj(zi—^-)^Vvi vft ("ь vt> w*)' A3-56)
Зависимость от k0 в функциях G, Д М должна сократиться при ум-
умножении на инфракрасный множитель ехр (—X).
Найдем импульсное представление от выражения A3.56). Заме-
Заметим, что в выражении
(ехр (ikxt) — ехр (ikut))(exp (—ikx}) — ехр (—Угщ)) =
= ехр [ik {щ — щ)\ х
X (ехр [ik (xt — щ)] — 1) (ехр [—ik (xj — uj)\ — 1),
которое фигурирует в ехр (—X), множитель ехр [i& (ut — uj)\
можно считать равным единице, так как главный вклад в интеграл
по щ, V], дает область, где н* и V] достаточно близки (k0 \ut — щ\ <С
•^ 1). Можно считать, таким образом, что выражение
ехр (—X) П Gft0 (Xi—Щ) Gfto (vt—yt) A3.57)
105

забисит от разностей х% — щ, у% — vt (так как М зависит от щ,
v%% we, D^v — от zj — wi). Взяв преобразование Фурье по аргу-
аргументам xt — щ, t/i — vit Zi — wit щ, vit wt, получим
П {-iPt + m) f\ i-ipj-m) П ^gvg(^g) X
1=1 /*=1 S = l
Bn k \
i=l s-l /
X
о б i
где
2п
1
k<kt
^-^- -l). A3.59)
Входящий в выражение A3.58) интеграл имеет степенные особен-
особенности ~ A + р|//п2)-1-Cе'/8я1) п0 каждой из импульсных перемен-
переменных pi вблизи массовой оболочки pf « —т2.

ГЛАВА 5
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
§ 14. ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА
В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Применим метод континуального интегрирования к некоторым
задачам рассеяния частиц высоких энергий. В этом параграфе полу-
получим дважды логарифмическую асимптотику вершинной функции
Грина в квантовой электродинамике. В следующем параграфе выве-
выведено эйкональное приближение для амплитуды рассеяния двух час-
частиц в модели скалярного поля ф массы М, взаимодействующего
с другим скалярным полем и массы т<^Мпо закону guy*.
Понятие дважды логарифмическая асимптотика появилось
в квантовой электродинамике при исследовании амплитуды рассея-
рассеяния электрона внешним полем с большой передачей импульса:
(рг - ptf шя р\2 > т\ A4.1)
где рг и рг — импульсы начального и конечного состояний. В рабо-
работах [137—1381 было показано, что для получения правильного отве-
ответа необходимо просуммировать бесконечное число «главных» диа-
диаграмм теории возмущений. Затем эти результаты были получены бо-
более естественным методом континуального интегрирования [60].
Выведем только главный член асимптотики вершинной части.
Метод аналогичен использованному выше, в § 13, для Получения
инфракрасной асимптотики. Покажем, что интересующий нас ре-
результат содержится по существу в формулах A3.58), A3.59) для
амплитуд квантовой электродинамики и может быть извлечен из
них после соответствующей модификации. Эти формулы не обяза-
обязательно использовать на поверхности масс в пределе &* ->¦ 0, р\ -*• т2.
Вне поверхности масс эти формулы описывают виртуальные про-
процессы с точным учетом взаимодействия с длинноволновыми фотона-
фотонами. Именно это взаимодействие и приводит к дважды логарифми-
логарифмической асимптотике вершинной части в области
(Pi-P2J»P?, Pl^m\ A4.2)
В дальнейшем в первом приближении будем пренебрегать членами
порядка а = j- « -™ по сравнению с единицей. Предположим, что
неравенство
aln-^-<l A4.3)
т2 .
107

выполняется для всех фигурирующих далее импульсов р — pi,.p2,
Pi,г» и будем пренебрегать членами порядка а \прЧтй по сравне-
сравнению с единицей. Область, где величина a In рЧт2 порядка единицы,
— это область очень высоких энергий, в настоящее время экспери-
экспериментально недостижимая. В то же время будем считать, что
%->1. A4.4)
Другими словами, логарифмы отношений импульсов, малые по
сравнению с величиной а, считаем сравнимыми по порядку
с а-1/2.
Вершинную часть получим, полагая в A3.58) п = 1, k = 1. Для
импульсовplt рг, р1J в области A4.2) главный вклад в интегралы по
Ot дают at ~ рг2. Верхний предел k0 в интегралах по k в A3.59) под-
подчиним условию
bl О4-5)
означающему, что мы считаем длинноволновыми фотоны с импульса-
импульсами, меньшими переданного импульса р1<2. Компоненты импульсов
электрона ръ рг должны быть порядка ри2 в силу закона сохранения
4-импульса рх— р2 = /?12. Поэтому однократный акт взаимодей-
взаимодействия с фотоном с импульсом k <. k0 не влияет существенно на дви-
движение электрона.
Рассмотрим выражение У" A3.59). Первым слагаемым y-j- 2аг
в области аг ~ pfa можно пренебречь по сравнению с единицей.
Остается сумма четырех интегралов
Yu + Yi2 + Ylt + Ya. A4.6)
Вычислим сначала
k<ko
« J
J
k<k,
X (exp [ -2iaa (pt k)]—l) [fe2 (kPl
T Г •^¦(expt2iff1(p1*)]-l)(exp[-2ia1(pl*)l-l). A4.7)
*<Ji. k
Второе слагаемое в правой части A4.7) есть величина порядка
« jn (PiPi—ОаРгJ A4 8)
2я о\р\о\рЩ '
которой можно пренебречь по сравнению с единицей.
Вычислим первое слагаемое в правой части A4-.7) в области им-
импульсов A4.2). Перейдя к псевдоевклидовой метрике для импульсов
108

Pi, pa и импульса интегрирования k, получим для F12 выражение
вида
Y12^-^^^d4(exP[2ia1(Plk)]-l)(exp[-2ia2(pik)]-l) х
X[(Plk)(Pik)(k*-iO)]-\ A4.9)
в котором скалярное произведение и квадраты векторов понимаются
в псевдоевклидовой метрике (ab) — aobo — афх — a2ft2 — azbz.
Для вычисления интеграла A4.9) удобно перейти к новым пере-
переменным интегрирования. С этой целью представим вектор k в виде
k = k± + и (kPl) + v (&ра), A4.10)
где и, v — два 4-вектора в подпространстве, порожденном векто'
рами plt pa, удовлетворяющими условиям
(uk±) = (vk±) = 0. A4.12)
Решение и, v уравнений A4.11), A4.12) имеет вид
и = а (р2 + aPl); v = Ь (рх + рр2) A4.13)
с |оь|, 1Р1<^.1. Условия A4.11) приводят в области A4.2) к форму-
формулам
Условия A4.12)
и получается
р\ _ р\
2Pl Pi Pi,
СВОДЯТСЯ К
(k±pl.
• В»
2
) = (^±Pl
(PlPa)
р!.
" (Р1Р2)
г) = 0,
2
P?.i"
~ Pi
а •
Pi,a
A4.
A4.
A4.
14)
15)
16)
Разложение A4.10) приводит к формуле
А2 = 2(uv)(kPl)(kp2) + k\. . A4.17)
Вектор &j_» ортогональный в силу A4.15) времениподобным век-
векторам рг и р2, сам является пространственно-подобным, а его квад-
квадрат
k\ = —г2 A4.18)
есть с обратным знаком квадрат евклидова двумерного вектора г.
Компоненты этого вектора вместе с (kpx), (kp2) возьмем за новые пе-
переменные интегрирования. Имеем
d*k = | J | d (kpjdikpjtfr, A4.19)
где / — якобиан перехода к переменным (kp^, (fep2) в плоскости,
порождаемой рг, ра, определяемый формулой
det
И2 UV
UV V2
1/2
(Н.20).
109

В новых переменных выражение A4.9) принимает вид
Ylt« --^-4 J d (kPl) d {kPi) cP r (exp [2iax (kfr)]-1) X
X (exp [ -2ia2 (kPi)] -1) (kpj-i (kp^ j> + -±- (kPl)(kp2) + lo]-1.
A4-21)
Интегралы в A4.21) предполагаются обрезанными на пределах г ~
~ k0, (kp!), (kpj) ~ «olPi.al- Точные значения этих пределов при
вычислениях с логарифмической точностью не существенны.
Интеграл по г в A4.21) есть
I
*8
¦ = Л
Pi,%
). A4.22)
При интегрировании первого слагаемого по (^рх), (Ар2) получается
выражение
A4.23)
малое по сравнению с единицей при kl < pi,2, ог ~ рт%, os ~ pi *.
Главный вклад в интеграл ло (kpj), (kp^ дает второе слагаемое
в A4.22). Интегрирование с логарифмической точностью дает вы-
выражение
f
J
X
0
f
J
р1>1!|а^ A4.24)
Очевидно, Y21 = Y12. Аналогичное рассмотрение интегралов Уц,
К22 приводит к выводу, что они малы по сравнению с единицей (по-
(порядка ^ In Qt l/jjl k0), и ими можно пренебречь.
ПО

Заменяя с логарифмической точностью сгх ~ pTt, <*ъ ~ Ръ *» kl-~
~ Р?,2 в A4.24), получаем для У приближенную формулу
r«ria+ral-^_In-^ln —=—In—In—, A4.25)
не содержащую at. Это позволяет вынести ехр (—Y) за знак инте-
интеграла по ст4. Выполнив интегрирование по ст,-, получим выражение
(--y). A4.26)
Взяв первое приближение Mv = ^Yvt получим для неприводимой
вершинной части Гй формулу
(^^1^1) A4.27)
дающую дважды логарифмическую асимптотику.
При выводе формул такого типа методами теории возмущений
необходимо выполнить суммирование рядов, первые члены которых
больше по порядку, чем результат суммирования. Это значит, что
члены ряда сокращают друг друга. По этой причине вывод дважды
логарифмической асимптотики методом континуального интегри-
интегрирования представляется более предпочтительным.
. Напомним, что исходным пунктом была приближенная формула
A3.11) для функции Грина электрона в медленно меняющемся поле.
§ 15. ЭЙКОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Применим метод континуального интегрирования к выводу
формулы так называемого эйконального приближения для ампли-
амплитуды рассеяния частиц высоких энергий. Для иллюстрации метода
выбрана модель релятивистской теории поля, действие которой в
евклидовых переменных имеет вид
S= -у J№J + mV+(VuJ + *i2«a+gcp2«]^*- A5.1)
Действие A5.1) описывает систему двух вещественных скалярных
полей ф и и, взаимодействующих по закону ~сра«. В дальнейшем
будем считать, что
т>ц. A52)
Рассмотрим рассеяние двух тяжелых частиц (массы пг) высокой
энергии, так что
где s — энергия сталкивающихся частиц в системе центра масс.
Амплитуду рассеяния этого процесса можно получить из функ-
функции Грина евклидовой теории
< Ф (хдЧ> (*а)ф (*8)Ф (*J > A5.4)
Ш

после перехода к преобразованию Фурье с последующим аналити-
аналитическим продолжением на массовую поверхность. Знак (...) в A5.4)
означает, как обычно, усреднение по всем полям с весом exp S:
jXexpSTldq>(x)du(x) .
- ? A5.5)
j exp S П d<p (х) du (*) y '
Интегрирование по полю тяжелых частиц ср (х) можно провести
явно с помощью формул
J (exp S) [ф (Xl)(f (х2) ф (ха) ф (*4)]П d<p (x)
— х- = G(xu х%\ и) G(x3, х^и) +
j exp S П <fq> (x)
+ G (xlt xa\u)G (xt, x4\u) + G(xo Xt| u)G(xt, xt\u); A5.6>
J exp S П d<p (x)
x() A5.7)
где M — оператор:
M = — V2 + m2-+ gu (x); A5.8)
Mo — оператор М при g == 0; G (x, y\ и) — функция Грина опера-
оператора M.
Считая в первом приближении множитель det (M/Mo) равным
единице, что означает пренебрежение эффектами поляризации ва-
вакуума, сведем вычисление функции Грина A5.4) к усреднению выра-
выражения A5.6) по полю легких частиц и {х) с весом
ехр{—i-f((Va)» + l*'и1) <***}¦ A5.9)
Для приближенного усреднения используем асимптотический вид
функции Грина G (х, у\и) при \х — у\ -> оо. Его можно получить
из следующих соображений. При g — 0 функция Грина оператора
М имеет вид
_1_С exp[i(fe, х-у)] фк A5ЛО)
2я)* J
Bя
В пределе х — у -> оо это выражение имеет асимптотический вид
т^2Bп\х — г/|)/2ехр( — т\х—у\). A5.11)
Если g Ф 0, то при вычислении функции Грина оператора М A5.8)
выражение gu (x) можно считать поправкой к квадрату массы та
и говорить о функции Грина частицы с «переменной массой»:
^LA5.12)
In
112

Считая поправку " к массе т малой по сравнению с самой мас-
массой, можно получить асимптотику функции Грина частицы с «пе-
«переменной массой» заменой в показателе экспоненты
т\х—у \ — mids-+ { m(x)ds «m *\ds + — ^u(x)ds. A5.13)
Таким образом, получаем приближенную формулу
y A5.14)
у
Здесь интеграл J считается взятым по прямой, соединяющей точки
х
хну.
Подставим выражение A5.14) в правую часть A5.6). Второе сла-
слагаемое примет вид
Go(Xi—Хз) Go (Хъ—xJ exp j—-?- ( Г и (z)ds (г) +
A5.15)
Первое и третье слагаемые получаются из него перестановками
аргументов. Усреднение выражения A5.15) по полю и (х) с весом
A5.9) сводится к вычислению гауссова континуального интеграла
и дает результат
*-*0 \ X — **3/ ^*0 \ 2 — **4/ ^л-р ^^— i —- X
x I Г exp (ikz) ds{z)+ f exp (ife) dsB) 2. A5.16)
X, X,
Следующая задача состоит в переходе к преобразованию Фурье
с выходом на массовую поверхность. Рассмотрим амплитуду, соот-
соответствующую переданному импульсу, малому по сравнению с самим
импульсом в системе центра масс. Другими словами, будем рассмат-
рассматривать рассеяние частиц на малые углы. В этом случае из трех сла-
слагаемых типа A5.16), соответствующих трем слагаемым в правой
части формулы A5.6), главный вклад дает одно из них, описываю-
описывающее прямое рассеяние без обмена. Пусть таким главным слагае-
слагаемым будет A5.16).
Показатель экспоненты в A5.16) можно разбить на четыре сла-
слагаемых. Одно из них описывает виртуальное взаимодействие тяже-
тяжелой частицы, распространяющейся по пути х^ -*¦ х8 с легкими ча-
113

стицами. Второе слагаемое соответствует аналогичному взаимодей-
взаимодействию для второй тяжелой частицы, распространяющейся по пути
лга ->- xt. Указанные слагаемые дают вклад в перенормировку мас-
массы и перенормировку вычета в полюсе функции Грина тяжелой ча-
частицы.
В первом приближении не будем учитывать указанные слагае-
слагаемые перенормировочного типа.
Эффект рассеяния зависит от перекрестных членов, описываю-
описывающих обмен легкими квантами между двумя тяжелыми частицами.
Их сумму можно записать в виде
ш (J exp (i kZl) Л (Zl) Iexp (~[
J exp (-ifeO ds BX) J*exp (\kz%) ds(z^. A5.17)
8m8 Bл)*
В этом месте удобно перейти к псеьдоевклидовой метрике, заменив
, A5.18)
ds (г) ->- ids (г).
Выражение A5.17) переходит в
exp( —ib1)ds(z1) J exp (iteB) ds (zj I A5.19)
X
Вычислим интегралы по ds B), считая, что тяжелые частицы дви-
движутся по прямолинейным траекториям со скоростями vlt i>a. Тогда:
A5.20)
ds (zj == exp (ifej /1 —vf J exp [i (kv^ t] dt =
= 2я exp (itej) V 1 — vf б (kvi), A5.21)
а выражение A5.19) оказывается равным
114

Это выражение легко вычислить в системе центра масс, где
Р = (Ро, Ри 0. 0); р2 = (Ро. —Pi, 0, 0). A5.23)
Интеграл по составляющим k0, kx импульса k дает множитель
{р\ + рХГх = \к*&)-т*Г\ A5.24)
где s — энергия в системе центра масс. Остается интеграл по попе-
поперечным переменным
iff2 С d2 k .
^ ±- COS (kj_, Z1 — Z2) =
Bs-4m2) BяJ J kl + ц* v x. l ^
выражающийся через A^o^IZi—z2|) — функцию Неймана, имею-
имеющую асимптотику при малых аргументах:
#„(*)» -In*. A5.26)
Таким образом, усреднение по и (х) экспоненты
X, Х4
ехр-^- ( j «(г) ds (г) + j м (г) ds (г) j A5.27)
дает при переходе к псевдоевклидовой метрике, так называемый
эйкональный фазовый множитель
ехр ix, (I5.28)
где % определено формулой A5.25). Для функции Грина A5.4) по-
получается приближенная формула
Go fa — *3)G0(*2 — *<)ехр (ix)- A5.29)
Вычтя отсюда выражение G0(*i — ^3)^0(^2 — *.*)> описывающее
прохождение частиц без рассеяния, получим :
'Оо(хх — x3)G0(x2 - ^(exp (i%) - 1). A5.30)
Чтобы получить из этого выражения амплитуду рассеяния, необ-
необходимо перейти к преобразованию Фурье и вычислить коэффи-
коэффициент при S(px + р2 — Рз — Рд- Ясно, что амплитуда / пропорцио-
пропорциональна преобразованию Фурье от выражения ехр (ix) — 1, которое
зависит от поперечной переменной:
/ = ajexp [ip±(z1 — z2) J(exp(ix) — l^fa — z2)x, A5.31)
причем параметр р± имеет смысл переданного импульса. Коэффи-
Коэффициент пропорциональности а в первом приближении не зависит
от константы связи g и может быть найден переходом к пределу
g-+ 0 в левой и правой частях в A5.31). Предел левой части легко
115

найти, учтя, что в пределе g -> О амплитуда дается простейшей диа-
диаграммой
A5.32)
рг * * * Р*
выражение для которой есть
A5.33)
гДе Рх — квадрат переданного импульса в системе центра масс.
Правая часть A5.31) в пределе g-*-0 имеет вид
\а Гexp[ipI (z,—гЛ, 1 vd2(г,— гЛ, =
Гexp[ipI (,гЛ1 vd(г, гЛх
х j* exp [ipx (zx~z2)±] C°Sk^~Z*)x d2(zx-22kcPk± =
12?!A5.34)
Сравнив с A5.33), получим
a=iBs — 4m2). A5.35)
Окончательная формула эйконального приближения для амп-
амплитуды рассеяния имеет вид
f = i Bs — 4/n*)j?ftx(exp[ix (zx)! - l)exp (tp±2±). A5.36)
Формула учитывает многократный обмен квантами легких частиц
между тяжелыми частицами, движущимися в первом приближении
по прямолинейным траекториям. Приведенный здесь ее вывод
близок по идее к выводу инфракрасной асимптотики функций Грина
квантовой электродинамики в гл. 4 и дважды логарифмической
асимптотики в предыдущем параграфе.
Другие способы вывода эйконального приближения в форма-
формализме континуального интеграла можно найти в работах многих
авторов [67^—713. Нетрудно получить и высшие приближения к ос-
основному приближению прямолинейных путей. Например в рабо-
работах [70, 711 рассматривается учет поправок поляризации вакуума
и развит метод вычисления вклада в амплитуду за счет обмена слож-
сложными комплексами между двумя основными частицами.
Здесь не будем рассматривать эти вопросы и выходить за рамки
приближения, соответствующего обмену легкими частицами, КОТО'
рое приводит к эйкональной формуле A5.36),
116

ГЛАВА 6
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
§ 16. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХТЕКУЧИХ
БОЗЕ-СИСТЕМ
Использование континуального интегрирования для вывода
теории возмущений статистической физики рассмотрено в § 6. Та-
Такая теория возмущений применима, вообще говоря, только при до-
достаточно высоких температурах — выше температуры фазового
перехода. В системе взаимодействующих бозе-частиц (бозе-систе-
ме) возможен переход в сверхтекучее состояние, связанный с по-
появлением конденсата — макроскопически заполненного нижнего
квантового уровня.
Впервые задача о бозе-газе со слабым взаимодействием была
решена Н. Н. Боголюбовым в 1947 г. [73]. Высшие приближения
рассматривались в работе Н. Н. Боголюбова и Д. Н. Зубарева [74]
с помощью метода коллективных переменных, а также Ю. А. Цер-
ковниковым [75] и В. В. Толмачевым [76], которые использовали
метод температурных функций Грина.
Методы квантовой теории поля к бозе-газу малой плотности
при Т — 0 впервые применялись С. Т. Беляевым [77], а также
Пайнсом и Гугенгольцем [78].
Задача о бозе-газе при Т Ф 0 с помощью метода псевдопотен-
псевдопотенциала рассмотрена в работах Ли и Янга [80]. Отметим еще работы
[81—88], посвященные различным вопросам теории сверхтекучих
бозе-систем.
Как было выяснено в работах [90—93], характерным признаком
сверхтекучести следует считать не сам по себе конденсат, а наличие
дальнодействующих корреляций. Это означает, что средние
<ф(х, т)ф(у, тх)> A6.1)
убывают при г = |х — у | ->- оо не экспоненциально, как при тем-
температуре выше перехода, а степенным образом. Именно такое по-
поведение средних A6.1) имеет место в двумерной модели бозе-газа
при низких температурах и в одномерной при Т = 0. В трехмер-
трехмерной же сверхтекучей системе среднее A6.1) при г->-0 стремится
к постоянной ро, которое и есть плотность конденсата.
В этой главе метод континуальных интегралов применяется
к различным вопросам теории бозе-систем. Начнем с рассмотрения
трехмерной бозе-системы, в которой возможно образование кон-
конденсата.
117

Простейший вариант теории возмущений, учитывающей конден-
конденсат получается в формализме континуального интеграла, если
сделать сдвиг в функционале действия F,1)
ф(х, т)->г|>(х,т) + а; ф(х, т)-^(х, т) + а, A6.2)
где | а |a = р0 — плотность конденсата, и строить теорию возму-
возмущений, считая невозмущенным действием квадратичную форму по
новым переменным *ф, т|з, а формы остальных степеней рассматривать
как возмущение. В операторном формализме этот вариант диаграмм
мной техники рассматривался в работах Л. Д. Фаддеева и В. Н. По-
Попова [94].
Такая схема теории возмущений, позволяющая получить термо-
термодинамические функции системы и функции Грина, плохо сходится
при малых импульсах и частотах, а отдельные члены ряда теории
возмущений сингулярны при к, (о -*- 0. Между тем именно функции
Грина G (к, ш) при малых к, ю (точнее , их аналитические продол-
продолжения i<o -*¦ Е при малых к, Е) содержат существенную информа-
информацию о свойствах системы, определяя, в частности, её низкочастот-
низкочастотный энергетический спектр. Поэтому, изложив в этом параграфе
простейшую схему теории возмущений с применением в § 17 к бозе-
газу малой плотности, рассмотрим затем (в § 18) ее модификацию,
приспособленную для вычисления низкочастотной асимптотики
функции Грина. В § 19 развит метод построения гидродинамиче-
гидродинамического гамильтониана в формализме континуального интеграла,
используемый в § 20 в теории двумерной и одномерной сверхтеку-
сверхтекучести и в § 21 для описания квантовых вихрей в бозе-системах.
Теорию возмущений удобнее всего строить в к, ©-представле-
©-представлении, перейдя по формулам F.3) от функций -ф (х, т) к их коэффи-
коэффициентам Фурье а (к, <о). Обозначим совокупность переменных к, <л
буквой р. Запишем сдвиг A6.2) для а, а+ в виде
перейдя к новым коэффициентам Фурье Ь (р), Ь+{р), Здесь бр0 = 1
для р — 0 и 0 для р Ф 0; а — пока произвольное постоянное
комплексное число. После сдвига A6.3) действие S в терминах Ь,
&+ выглядит следующим образом:
-21 «I2 (и @) + и (к)) Ь+ (р) 6 (р) - 4- S «(к) «2 6+ (р) Ь+(-р) +
р « р

x (ab+ (Pl) b+ <p2) b (p3) + ab+ (p3) b
- k*))b+ (Pi) b+
Рш+Р*
A6.4)
Здесь
C0 = X|a|2-(l/2)u@)|a|2; v = a(^X) + «@)|oj2). A6.5)
В качестве невозмущенного действия возьмем квадратичную
форму, соответствующую идеальному бозе-газу:
A0.0)
Остальные формы первой» второй, третьей и четвертой степеней
будем считать возмущением. Теория возмущений описывается
в терминах графиков, составленных из нижеперечисленных эле-
элементов, рядом с которыми стоят соответствующие им выражения;
р/^Рг
/ >
\ос\г(и@)+а(к))
аги(Ю ;
A6.7)
Здесь один тип линии и восемь типов вершин в соответствии со
структурой возмущения.
В одночастичную функцию Грина
A6.8)
119-

вносят вклад все диаграммы с одной входящей и одной выходящей
линией, не имеющие частей, не соединенных хотя бы с одной из
внешних линий. Выражение для каждой такой диаграммы полу-
получается, если составить произведение выражений для каждого
входящего в нее элемента, учесть закон сохранения «4-импульса»
р = к, © в каждой вершине, просуммировать по всем независимым
импульсам и частотам и умножить результат на
1-', A6.9)
где v — число вершин; / — число линий; г — порядок группы сим-
симметрии диаграммы. Заметим, что v + 1 — 1-е есть число неза-
независимых контуров диаграммы.
Среди диаграмм, составленных из перечисленных элементов,
встречаются графики, содержащие части без внешних линий, соеди-
соединенные с остальной частью диаграммы одной линией. Эта послед-
последняя линия имеет р = 0. Назовем описанные части вставками нуле-
нулевого импульса. Выберем постоянную а, потребовав, чтобы исчезла
сумма всех вставок нулевого импульса, графическое выражение
которой имеет вид
. , A6.10)
+ ••< =1 + ts 0
Это условие эквивалентно соотношениям
<6 @)> = <Ь+@)> = 0, A6.11)
так что при его выполнении имеем
<e@)> = o(pV)»/2; <a+@)> = a(pV)^2, A6.12)
а связь средних <aa+> и <&&+> особенно проста:
<а (р)а+ (р)> -
= <Ь (р)Ь+(р)> + §V | а 12бро. A6.13)
Из выражения A6.13) следует, что |а|2 имеет смысл плотности кон-
конденсата. Если выполнено условие A6.10), то при вычислении любых
функций Грина достаточно рассматривать графики без вставок
нулевого импульса.
Как показано в § 6, функцию Грина можно выразить через
неприводимую собственно энергетическую часть. Для сверхтеку-
сверхтекучей системы наряду с «нормальной» функцией Грина A6,8) мы бу-
будем иметь две аномальные функции
G1(p) = -<a(p)a(-p)>, Gx(p) = -<a+(p)a+(-/>)>, A6.14)
120

и две аномальные собственно энергетические части В (р), В (р).
Функции Грина G, Gx можно выразить через собственно энергети-
энергетические части А, В, решив систему линейных уравнений
A6.15)
или в аналитическом виде
G(p)*= G0(p) + G0(p)A (p)G (p) + G0(p)B (pI(p) j
Grip) = GQ(-p)B (p)G (p) + G0(-p)A (-p)G1(p). j A6> 16)
Решение системы A6.16) имеет вид (В (р) =?(—р))
A6.17)
Обсудим подробнее условия выбора параметра а A6.10). Обо-
Обозначим Г сумму вкладов диаграмм с одной входящей или выходящей
стрелкой. Условие A6.10) можно записать в виде алгебраического
соотношения
G0@)(T + Г) = 0. A6.18)
Первый сомножитель отличен от нуля, а для второго докажем
формулу
у + Г = а (А @) - В @) — К), A6.19)
верную, если постоянную а выбрать вещественной, так что прихо-
приходим к уравнению
а (А @) — В @) — X) = 0. A6.20)
?го уравнение имеет тривиальное решение а = 0 и может иметь
нетривиальное, если второй сомножитель обращается в нуль. В даль-
дальнейшем покажем по теории возмущений, что при достаточно низ-
низких температурах нетривиальное решение существует. При этом
следует пользоваться именно им, так как тривиальное решение
приводит к противоречиям. При повышении температуры нетриви-
нетривиальное решение пропадает, и следует использовать выражение для
функции Грина, вычисляемое по обычной теории возмущений.
121

Заметим, что если существует нетривиальное решение уравнения
A6.20), то функции Грина A6.17) сингулярны при р — 0, так как
при этом их знаменатели исчезают. Это связано с тем, что одно-
частичный спектр возбуждений имеет фононный характер.
До?ажем формулу A6.19). Заметим, что дифференцирование
по а (а) любого элемента диаграммы, кроме вершин первого поряд-
порядка, приводит к присоединению к этому элементу входящей (вы-
(выходящей) стрелки. Например:
о;
A6.21)
д , . , _ п
да и
Поэтому дифференцирование произвольной диаграммы по а (а)
приводит к присоединению к ней всеми возможными способами
входящей (выходящей) стрелки.
Рассмотрим диаграммы для давления р = —Q/V. Вклад в р
дают константа Со, давление рй идеального бозе-газа и сумма всех
связных вакуумных диаграмм. Непосредственным сравнением диа-
диаграмм можно убедиться в правильности следующих соотношений:
^-тт
Зада
A6.22)
Ясно, что р зависит от а и а посредством произведения аа = г.
Поэтому выписанные соотношения можно переписать в виде
В@)—?
A6.23)
Отсюда и следует A6.19) при а = а = ]/р^Т Заметим в заключение,
что принятое условие выбора р0 означает экстремальность основ-
основной термодинамической функции — давления р как функции па-
параметра р0:
-|^-=0. A6.24)
122

§ 17. БОЗЕ-ГАЗ МАЛОЙ ПЛОТНОСТИ
Найдем функции Грина и термодинамические функции ^бозе-
газа с помощью только что изложенной теории возмущений. Усло-
Условие малой плотности означает, что радиус действия а потенциала
между бозе-частицами мал по сравнению со средним расстоянием
между частицами, т. е. мал газовый параметр 6:
essp^aCl, A7.1)
где р = N/V — плотность.
Кроме плотности р состояние системы характеризуется темпе-
температурой Г, и в зависимости от соотношения между плотностью и
температурой можно выделить несколько областей, в которых
асимптотические по плотности формулы имеют различные выраже-
выражения. Рассмотрим область температуры *
Т~р2/3. A7.2)
Кай показано ниже, именно в этой области происходит фазовый
нереход. При значениях температуры, больших по порядку, чем
р'/», система находится в нормальном состоянии. Низкотемпера-
Низкотемпературная область рассмотрена в § 19. Промежуточные области здесь
рассматривать не будем.
Начнем с.рассмотрения диаграмм, дающих вклад в давление р\
р = С0 + po + D, A7,3)
где Со — константа, определяемая формулой A6.5); р0 — давление
идеального бозе-газа; D — сумма всех связных вакуумных диа-
диаграмм.
Вклад отдельного графика уменьшают следующие факторы.
1. Наличие в диаграмме вершин второго и третьего порядка,
содержащих множители р0, ]/"р0, уменьшает вклад от графика,,
так как р0 — малый параметр, не превосходящий полной плот-
плотности р.
2. Наличие замкнутых петель из линий, которые можно обой-
обойти, двигаясь по стрелкам диаграммы, уменьшает вклад от графика,
так как при суммировании по частотам возникают множители
(exp [jJe (k)] — I), где е (к) = k%— %, которые обрезают область
суммирования по импульсам на пределе k ~ У~Т, меньшем, чем
предел k ~ с, на котором суммы по импульсам эффективно обре-
обрезаются из-за наличия потенциала.
* Далее в этом параграфе используется система единиц с 2т = I, где
—масса бозе-частицы.
123

Поэтому главный вклад в сумму вакуумных диаграмм дают
графики с минимально возможным числом указанных факторов:
A7.4)
Эти диаграммы содержат или две вершины второго порядка, или
по два независимых цикла из линий диаграммы, или один незави-
независимый цикл в сочетании с одной вершиной второго порядка либо
с двумя вершинами третьего порядка. Диаграммы объединяются
в три последовательности а, Ь, с. Их суммирование сводится к сум-
суммированию следующей последовательности для четырехполюсника:
A7.5)
внутри диаграмм. Такое суммирование равносильно решению
уравнения
??=x
A7.6)
Главный вклад в сумму по внутренним импульсам в A7.6) вносят
k — с > УТ > У "к. Поэтому можно пренебречь Я в функции
Грина, а сумму по частотам в этом уравнении заменить интегра-
интегралом. В результате уравнение A7.6) сводится к уравнению для
/-матрицы (амплитуды рассеяния)
t (klf ka, z) = и (к, -кг)-Bя)-3 J d8 k3 и (кх- к3) BЛ5-2)-11 (k3, ka,z),
A7.7)
а четырехполюсник A7.6) представляется в виде
(^^ ) A7.8)
124

Рассмотрим значения четырехполюсника при импульсных и
частотных аргументах, меньших по порядку, чем k ~ а, со ~ а~2.
При таких к, со ^-матрицу можно считать постоянной
ЦО, О, 0)э<„. A7.9)
В результате получаем, что сумма слагаемого A/2)роы @) и после-
последовательности а A7.4) равна A/2)ро^о> последовательность Ь равна
А>Рь ДЛЯ с получается выражение 2foPoPi» где рг — вклад графика
О
A7.10)
изображающего плотность «надконденсатных» частиц рх (с импуль-
импульсами =^=0). В первом приближении имеем (е -> +0)
Pl = —^7-
p
d3k
»/\ A7.11)
где ? (s) — ^-функция.
Наконец, давление р0 идеального газа дается формулой
A7.12)
Подставим полученные выражения в A7.3):
р = Dя)/2 ? E/2) Г«/» + Я Dя)-3/21 C/2) Г3/2 + Яр0 1. р« __
-/opf-»oPoPi. A7ЛЗ)
где выражение рх зависит только от температуры Т, Определим
теперь р0 из,условия A6.24) -Л- = 0
ро = -^ 2рх= — 2Dя)-3/2ЦЗ/2)Г3/2 =—. A7.14)
to to to
Из этой формулы следует, что положительное решение для плот-
плотности конденсата р0 существует только при Л > 0, Уравнение
Л = 0 A7.15)
дает в первом приближении уравнение линии фазового перехода
в Я— Г-плоскости. Из A7.11), A7.14) следует формула для пол-
полной плотности
A7.16)
125

Выражение для давления р в терминах Я и Т имеет вид
р = Dп)~3/21 (В/2)Т6'2 + — Я Dл)-3/2 ? C/2) Г3'2 + Dя)~3 ?2 х
ХC/2)/0Т«. A7.17).
Здесь первый член является главным, все остальные — одного по-
порядка, а их отношение к главному имеет порядок
Выражение A7.16) для р получается дифференцированием по Я
выражения A7.17) для р, как и должно быть согласно известной
термодинамической формуле р = Jr. Формулы для давления и
плотности в нормальном состоянии имеют вид
—Dп)-3 ?2C/2) tQTs;
A7.18)
Соображения, отбирающие главные последовательности диа-
диаграмм для р, применимы и к собственно энергетическим частям
функций Грина А, В. Здесь главные последовательности имеют вид
Они содержат вершину второго порядка и все диаграммы с двумя
вершинами третьего порядка без петель (последовательность а),
все диаграммы с одной петлей без вершин второго и третьего по-
порядка (Ь) и, наконец, вершину второго порядка и все диаграммы
с-йтой вершиной без петель (с).
Легко видеть, что суммирование этих последовательностей сво-
сводится к замене потенциала /-матрицей, которую в существенной
области импульсов k <, Т"/« можно считать постоянной t0. В ре-
результате получим выражения
А да 2/о(Ро + Рх); Я^*оРо = Л. A7.20)
126

Подстановка их в A6.17) дает нормальную и аномальную функ-
функции Грина при Л > 0:
При Л < 0 (выше перехода) существуют только нормальная функ-
функция Грина и соответствующая собственно энергетическая часть,
имеющие вид
А = 2?oPl; G = (ice - k* + Л). A7.22)
Положив в формулах A7.21), A7.22), ш = Е, можно найти энер-
энергетический спектр, определяемый полюсами функций Грина:
E (ki + 2Ak*I/\ Л>0
Л>0;
|, Л<0. A7.23)
Первая из этих формул есть спектр Боголюбова, который перехо-
переходит в спектр свободных частиц при k > УХ= kc и линеен по k
при k < kc. Импульс k = k c естественно назвать корреляционным,
так как именно при k ~ k c происходит переход от спектра свобод-
свободных частиц к линейному фононному спектру.
Заметим, что при Л = 0 полученные выражения для функций
"Грина и энергетического спектра для нормального и сверхтекучего
состояний переходят друг в друга.
Знание функций Грина A7.21), A7.22) позволяет определить
с большей точностью плотность надконденсатных частиц рх, сов-
совпадающую при Л<0 с полной плотностью. Имеем при А < 0
(+0)^
Р = Pi = -~- У exp (icoe) (ia>-k^|ЛI)-1 =
р
= "f 2(ехр Р (^2+1A D — I)-1 = D«)/s ^ C/2) Г3/а—
— Dя)-1Г|Л|1/а; A7.24)
при Л > 0
Рг = -у 2 exp (i сое) (i со -f k* + Л) (соа + & + гЛА8) =
= J_V ( *а+л cth pe(k) l)-
= Dя)-8/Ч C/2)Г3/2 — (8л)-1 ТBА)г'\ A7.25)
где е (к) — энергетический спектр Боголюбова A7.23). Сложнее
вычислить во втором приближении плотность конденсата р0. Это
можно сделать, найдя второе приближение для собственно энерге-
энергетических частей А (р), В (р). С этой целью учтем наибольшие из
диаграмм,' не учтенных в первом приближении, а учтенные в пер-
127

вом приближении вычислим с большей точностью. Встречающиеся
в диаграммах функции Грина целесообразно заменить функциями
Грина первого приближения A7.21). Тогда можно не учитывать
диаграммы, содержащие поддиаграммы типа собственно энергети-
энергетических частей. Таким образом, для собственно энергетических
частей А (р), В (р) во втором приближении имеем
0ХЗ0
A7.26)
Можно показать, что вклады в Л, В от диаграмм с более чем
двумя вершинами третьего порядка, или более чем с одной замкну-
замкнутой петлей из нормальных линий, или более чем с двумя аномаль-
аномальными линиями дают вклад меньшего порядка (во всяком случае
при k ^ k c), и их учитывать не надо. В диаграммных равенствах
A7.26) светлым линиям соответствуют функции Грина первого
приближения A7.20), кружку с четырьмя стрелками соответствует
последовательность A7.5), а та же последовательность, умножен-
умноженная на а (а), с одним из внешних импульсов, равных нулю, изо-
изображается кружком с тремя стрелками. Жирной линии диаграммы
Ъх соответствует полная аномальная функция Грина, так что это
соотношение представляет собой уравнение.
Диаграммы аи b{ (i — 0, 1, ..., 6) по существу совпадают
с теми, которые учитывались С. Т. Беляевым в случае 7 = 0.
В данной температурной области соответствующие этим диаграм-
диаграммам выражения совсем другие.
В диаграммах щ{1 > 3), bt(i ;> 2) в области k — kc можно за-
заменить выражения, соответствующие кружкам с тремя стрелками,
постоянными множителями 2]/^,,, после чего получим:
A7.27)
p. )
128

Выражение ао(р) + а^р) представляет собой умноженную на р0
последовательность A7.5), когда один входящий и один выходя-
выходящий импульсы равны нулю; и при k <^ а равно
\] A7.28)
ki I со, J
где k2 = k — kx.
Для вычисления ах достаточно замкнуть вход и выход четырех-
четырехполюсника нормальной линией и просуммировать по 4-импульсу
этой линии рх. Главный вклад при таком суммировании вносит об-
область kx~VT, в которой зависимостью четырехполюсника от р
можно пренебречь. Используя выражение для плотности рх над-
конденсатных частиц A7.25), получим при k < а'1, со < а
ах (р) « 2t0 Pl = 2t0 (Dя)-»/« С C/2) Г3/2- (8л) Т BЛ)^). A7.29)
Найдем Ьо + Ьг. Имеем
В (р) = Ьо + Ьх + F = ф (k) + F, A7.30)
где F — добавки, из которых самые существенные изображаются
диаграммами A7.26);
где М — знаменатель функции Грина Gx в A7.20). Вклады F в сум-
сумму по кл существенны при kx — kc. Малость объема этой области
в ^-пространстве приводит к тому, что вклад F в 2 есть величина
Pi
высшего порядка. Положим М = со2 + &4 + 2Л&2, просуммируем
по частотам, прибавив к обеим частям A7.31) одно и то же выра-
выражение, получим уравнение
A7-32)
где е (к) — энергетический спектр Боголюбова A7.23). Оператор,
действующий в левой части этого уравнения на if (k), можно обра-
обратить.
5 Зак. 49С 129

Действительно, левая часть уравнения A7.32) получается из левой
части уравнения для ^-матрицы A7.32), если перенести в нем инте-
интегральный член в левую часть и затем положить г — 0. В правой
части A7.32) есть выражение и (к), а также и (к — кх) под знаком
суммы по кг. Поэтому решение A7.32) получим, заменив и (к) на
t (к, 0, 0), и (к — кО на t (к, кь 0):
Мр(к) = Ро*(к,0,0) + -±- 2'(к,кь0)ф(кх) х
к? 8 (kj) 2
В сумму по кх главный вклад дает область импульсов kx <, k c»
в которой ^ (k, kj, 0) л; ^ (к, 0, 0). В результате получим при
y(cth
2V т^kl 8(ki) 2 J
A7.33)
Описанный прием оказывается полезным и будет еще исполь-
использован в дальнейшем. Теперь, зная вклад каждой из диаграмм at,
Ьг (i = 0, 1, ..., 6), можно определить р0 из уравнения
Я = А @) — В @), A7.34)
следующего из A6.20) при а Ф 0.
Получим
ро = А + ЛГBЛI/2. A7.35)
t0 . 8л
Сложив р0 с найденной выше A7.24) плотностью надконденсатных
частиц plt получим
p^Po + Pl=:i—Dя)-3/2^C/2)Г3/2 + Dя)-1ГBЛI/2. A7.36)
Используя формулу 9 —Ж' можно найти поправку к выражению
для р A7.17), соответствующую поправке Dп)Г BЛ)'/« к плот-
плотности:
А^ = A2п)-1ГBЛK/2. A7.37)
Для нормального состояния соответствующая поправка к A7.18)
имеет вид
{Gnj-iTiAK'2, A7.38)
130

Рассмотрим явление сверхтекучести. Возьмем бозе-систему
в системе координат, движущейся со скоростью v. В этом случае
система описывается функционалом действия
S+ f dr[dxv — (v^W3— гр v^)> A7.39)
J J 2m
о
где S — функционал F.1).
В нормальном состоянии средние значения числа частиц и им-
импульса связаны соотношением
K = mvN = mvVp, A7.40)
означающим, что система движется как целое со скоростью v.
При наличии конденсата систему можно считать состоящей из
двух компонент: нормальной р„, движущейся со скоростью v, и
сверхтекучей р3 = р — р„, движущейся со скоростью конденсата
v0, которая может отличаться от v. Например, для покоящегося
конденсата вместо A7.40) получим меньшее значение
К = mvVpn. A7.41)
В первом приближении функция Грина в движущейся системе
координат получается из A7.21) заменой ш-> iw + (vk) и имеет
вид
G(p) = to+ft'+kv+A {]742)
v ' (ift)+(kv) + ^ + A)(ift)+kv—/г2 —Л)+Л2
энергетический спектр
Е(к)=— (vk) + F4 + 2Afe2I/2 A7.43)
устойчив (?>0) при и< BЛI/*. Зная функцию Грина A7.42),
можно найти среднее значение импульса
К = — Т 2 exp (iwe) kG (p)«
—Fя)ГBЛI/2]. A7.44)
Сравнив с A7.41), находим
р„ = Dя)-»/а I C/2) Т3'2-Fл) Т BЛ)>/2;
A7.45)
Эти формулы можно получить и другим способом, а именно исходя
из асимптотической формулы
G(k,0)«—2^-. A7.46)
Рз«2
Эта формула впервые получена Н. Н. Боголюбовым [81]. В следую-
следующем параграфе приведено ее доказательство в формализме конти-
континуального интеграла.
5* 131

Из A7.46) следует
Hm 2(Л(М)+^Ц k- . A7.47)
к-+о Л(к,0) + /г2 — Х+В(к,О) /г2+А(к,0) — В(к,О)—X '
Первый множитель в правой части этой формулы стремится к 1.
Положим
А (к, 0) — К = Л + Ах (к, 0);
В (к, 0) = Л + Bi(k, 0),
где Ла(к, 0), Вг(к, 0) — поправки второго приближения, опреде-
определяемые диаграммами A7.26). Выражения для этих поправок имеют
вид
Аг (к, 0) = <оГBАI/2 Гв —9л:-1 arctg — - 2* arctg x——1;
1DJX {_ 2t J*X> J
A7.48)
i — yx arcxg ——ax arcxg* —
Bi(k,)
где л:— — . Подставив в A7.47), получим
\imk4k + A(k,0)B(k,0) %) 1 +
Ро к-+0 12я
A7.49)
формула показывает отличие р0 от ps и ведет для р„, ps опять
к выражениям A7.45).
В заключение этого параграфа рассмотрим пределы примени-
применимости изложенной теории возмущений. Собственно энергетиче-
энергетические части первого приближения имеют порядок Л, а поправки вто-
второго приближения t0TA'/'. Вблизи фазового перехода (Л -> 0)
отношение второго приближения к первому (порядка t0TA~1/2) пе-
перестает быть малым, а ряд теории возмущений становится плохо
сходящимся.
Кроме того, даже вдали от фазового перехода ряд теории возму-
возмущений плохо сходится при малых импульсах к. Это видно, напри-
например, из формул A7.48) для поправок второго приближения.
При к ->¦ 0 они неограниченно возрастают по абсолютной величине,
а при к — t0T сравнимы с собственно энергетическими частями
первого приближения. Ясно, что при вычислении физических
величин расходимости должны сокращаться. Например, это имеет
место при вычислении предела A7.49). Однако наличие сингуляр-
ностей в отдельных диаграммах теории возмущений неудобно. Же-
Желательно перестроить теорию возмущений для исключения син-
гулярностей. Такая перестройка в формализме континуального
интеграла рассматривается в следующем параграфе.
132

§ 18. ПРИМЕНЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
К ВЫВОДУ НИЗКОЧАСТОТНОЙ АСИМПТОТИКИ
ФУНКЦИЙ ГРИНА
Изложенная в § 16 теория возмущений основана на преобразо-
преобразовании A6.2), выделяющем конденсат. Было показано, что она пло-
плохо сходится при малых импульсах и частотах. В этом параграфе
изложим модифицированную теорию возмущений для вычисления
низкочастотной асимптотики функций Грина [97], 149. Основная
идея указана в § 12 и состоит в последовательном интегрирова-
интегрировании сначала по быстропеременным, а затем по медленно меняю-
меняющимся полям с использованием на этих этапах различных схем
теории возмущений. Медленно меняющейся частью -фо(х, т) функ-
функции if (x, т) назовем сумму слагаемых в разложении
я1з(х,т) = (рУ)-1/2 2 exp[ — i(kx —сот)]а(к,со) A8.1)
к, ю
с импульсами к, меньшими некоторого k0. Быстропеременной ча-
частью фх(х, т) назовем разность г|з (х, т) —фо(х, х). Разделения ча-
частот со на быстрые и медленные проводить не будем. Таким обра-
образом, имеем
ф (х, т) = 1|>0(х, т) +Ъ(х, т). A8.2)
Величина k0, отделяющая «малые» импульсы от «больших»,
зависит от конкретной бозе-системы и определяется по порядку
величины. Для бозе-газа порядок k0 указан в конце этого пара-
параграфа.
Если рассмотреть низкочастотную асимптотику одночастичной
функции Грина — среднего от произведения г|з (х, t)iJ) (у, хг),
то в нее дает вклад только среднее от произведения медленно
меняющихся полей г|>0(х, х)фо(у, т^, т. е. интеграл от этого произ-
произведения с весом exp S по всем полям. На первом этапе необходимо
взять интеграл
Jexp Sd^dypx = exp Що, %), A8.3)
который имеет смысл статистической суммы для системы «быстрых»
частиц, описываемых полем %, в медленно меняющемся поле \|H.
Для вычисления интеграла A8.3) можно развить теорию возму-
возмущений, которая не имеет расходимостей при малых импульсах,
так как суммы по импульсам обрезаны на нижнем пределе k0.
На втором этапе интегрирования — по «медленным» полям
¦фо(х, т), г|зо(х, т) — удобно перейти к новым переменным — плотно-
плотности р (х, х) и фазе <р (х, т) по формулам
¦Фо (х> т) = Vp (х, т) ехр [1ф (х, г)]; Цо (х, т) =
-1ф(х,т)], A8.4)
причем
dyo(x, т)Ж|зо(х, т) = ф (х, r)dcp (x, т). A8.5)
133

Наличие конденсата при низких температурах проявляется в том,
что главный вклад в интеграл по плотности р (х, т) вносит окрест-
окрестность некоторого положительного р0, имеющего смысл плотности
конденсата. Величину р0 можно определить из условия экстремаль-
экстремальности функционала S [ур0, г|з0], который при г|з0 = г|з0 = Ур1 =
= const становится функцией от р0. Таким образом, должно быть
— = 0. A8.6)
Именно такое уравнение было получено в § 16 [уравнение A6.24)].
При вычислении S [р0] можно пользоваться теорией возмущений,
отличающейся от развитой в § 16 тем, что суммирование по внут-
внутренним импульсам обрезано на нижнем пределе k0. Поэтому здесь
3>, а следовательно, и р0 зависят от k0. Величину po(ko) назовем
затравочным конденсатом. В трехмерной бозе-системе po(ko) мало
отличается от истинного р0, определяемого как предел среднего
<г|з (х, х)ф (у, хх)> при | х — у | ->¦ оо. В двумерной системе при
Т > 0, как будет показано в § 19, могут существовать затравоч-
затравочный конденсат р0(&о) >0и сверхтекучесть, в то время как истин-
истинное р0 = 0. В предположении, что конденсат (затравочный) сущест-
существует, естественно ввести переменную л (х, т) формулой
я (х, т) = р (х, х) — po(ko) A8.7)
и рассматривать функционал S в переменных <р (х, т), л (х, т).
Рассмотрим подробнее вычисление функционала S. Исходный
функционал S после подстановки A8.2) принимает вид
J dr J
\
о
(х, г) ih (х,т) %(у, т) ур0 (у, т) +
(х, t)jh (у, t) q0 (у,х) % (х, т) +
(х, т).Ч>х (У. т) ifo (x> x) ifo (У- т) +
(х, т)Ц0 (у, х) ih (х, х) ^ (у, х) +
0 (х, т)^ (у, х) Ъ (у, т) fc (x, t) +
(х; т) ^ (у, т) Ъ (у, х) г(з0 (х, т) +
^ (х, т) й (у, х) ^ (у, х) Ъ (х, х). A8.8)
134

Здесь учтено, что перекрестные члены в квадратичной форме
—"Фо^и №о исчезают при интегрировании по объему V. Для выяв-
выявления зависимости функционала Ъ от фазы ф (х, т) сделаем в ин-
интеграле по ф1( -фх замену переменной
4>i(x, *)->-^i(x, x)exp[i<p(x, х)];"^, т)-»-^(х, т) expl—iy (x, тI,
A8.9)
где ф (х, х) — фаза медленно меняющегося поля. После подстановки
A8.9) в A8.8) часть действия, содержащая потенциал, зависит
только от квадрата модуля р (х, х) == po(ko) + jiJx, x) функции
¦фо(х, т). Квадратичная форма по переменным tylt ^ в A8.8) при-
принимает вид
f*J-
1 - ¦ i -
Теорию возмущений можно построить, взяв за невозмущенное дей-
действие квадратичную форму
е
J I 2m / '
которая описывает идеальный газ бозе-частиц с импульсами k > kQ.
Остальные слагаемые в действии S, содержащие ^lt ifo, будем рас-
рассматривать как возмущение. Таким образом, получим теорию воз-
возмущений, отличающуюся от изложенной в § 16 в следующих пун-
пунктах:
1. Фигурирующие в A6.7) вершины второго и третьего порядка,
описывающие взаимодействие с медленно меняющимся полем, за-
зависят от-переменной функции р (х, т).
2. Появляются вершины второго порядка, описывающие взаи-
взаимодействие с ф-полем. Они определяются членами квадратичной
формы в A8.10), зависящими от ф.
3. Все суммы (интегралы) по внутренним импульсам диаграмм
обрезаны на нижнем пределе k0.
Разложим выражение S в функциональный ряд по переменным
Ф (х, х), л (х, х):
= S 10,0] + -i- \dx dy dx dx' [Сц (х, т | у, тх) ф (х,т) ф (у, xj +
+ 2а1г (х, т | у, тх) ф (х, т) п (у, т^) -f о,а (х, т | у, хх) п (х, т) п(у,х1)]+ ...
A8.12)
135

В этом разложении отсутствуют линейные члены. Действительно,
S, как мы видели, зависит от градиентов фазы. Коэффициентные
функции при Уф, Зяф трансляционно-инвариантны и поэтому ис-
исчезают после интегрирования с Уф, дтф. Коэффициентная функция
при п (х, т) пропорциональна dS/dp0 ив силу выбора р0 A8.6)" рав-
равна нулю.
Если выбрать импульс k0 сколь угодно малым, в разложении
A8.12) можно ограничиться членами второго порядка по ф, п.
Низкочастотная асимптотика функции Грина определяется в этом
случае коэффициентными функциями ап, а1г, аг%. При наличии кон-
конденсата целесообразно из функции Грина вычесть ее асимптотику
при |х — у|->- °о и рассматривать выражение
S (х, т | у, г,) = - <Ц> (х, г) у (у, т,)> + <Ч> (х, т)> <^ (у, tJ> =
Г2 <Ур (х, т) р (у, тх) exp [i (ф (х, т)—ф (у, тх))]> . /jg |3\
[ <Ур(х, т)ехр [iy (x, х)]> <Vp(y, Xj)exp[—i
Ограничимся в пределе k0 ->¦ О членами не выше второго порядка
в разложении A8.12). При больших |х — у| можно пренебречь
отличием переменных р(х, т), р (у, т^ от плотности затравочного
конденсата ро(&о)>'так как ПРИ вычислении по теории возмущений
средние <фл>, <ял> с разными аргументами (х, т), (у, xj)
убывают^при |х — у|->- °о быстрее, чем <фф> 1это следует из
формул A9.16)], а средние <фя>, <лл> с одинаковыми аргу-
аргументами [или (х, т), или (у, X])] одни и те же в числителе и знаме-
знаменателе и потому сокращаются. В результате получаем формулу
8(х,г|у,т,)«рЛ1 <ехр[!(Ф(х,т)-ф(у,т1))]> N
V °\ <ехР[1ф(х,т)]><ехр[-1ф(у,т1)]> )
с континуальными интегралами гауссова типа. Значения этих
интегралов определяются коэффициентными функциями Оц, а12,
агг в A8.22), которые можно считать матричными элементами опе-
оператора А, и выражаются через матричные элементы обратного
оператора А:
<ехр [i (ф (х, т) — Ф (y,Tj))]> = exp {—1- (Л-% (х, т| х, т)—
-\ {А~1)п (У, т1|у,т1)+-^-Дп1 (х-х I У. Ti) + \ "АГг* (У. Т! | х, х)};
A8.15)
<ехр [1ф (х, т)]> = exp J 1- (А.-1)^ (х, т | х, t^J;
<ехр[ —1ф(у,т1)]> = ехр|—1-(А~1)п(у, хж|у,х,)J.

Поэтому функция Грина G в пределе | х — у | ->¦ <х> имеет
вид
A8.16)
(здесь используется неравенство | (Л~1I1(х, т | у,^) | <^ 1 при
больших | х — у | ).
Для коэффициента Фурье функции G формула A8.16) запишется
таким образом:
G(k,co)« —
p0a22(k, со)
ап (к,
(ксо)—а12(к, (о) а12 ( — к,— (о)
.A8.17)
Входящие в эту формулу коэффициенты Фурье функций au, a12,
a22 получаются двукратным дифференцированием функционала
S [ф., п] по переменным ф, л.
Следующие точные диаграммные равенства представляют каж-
каждый из коэффициентов Фурье ап, а12, а22 в виде суммы бесконеч-
бесконечного числа диаграмм температурной диаграммной техники, отли-
отличающейся от рассмотренной в § 16—17 тем, что интегралы по внут-
внутренним импульсам обрезаны на нижнем пределе k0.
к> О
1а,г(к,со) = -1а12(-к,-
\ A8.18)
= ш
= LCO +
Внутренним линиям диаграмм A8.18) соответствуют полные
нормальные и аномальные функции Грина. Их можно различить,
расставив на концах стрелки, направленные в одну сторону для
нормальных функций Грина и в разные стороны для аномальных.
В диаграммах A8.18) подразумевается суммирование по всевозмож-
всевозможным расстановкам стрелок на концах внутренних линий.
137

После расстановки стрелок в диаграммах A8.18) возникают
различные вершинные части следующего вида:
Pt+P
\. 1л\ . Tn T\ In 1\
A8.19)
Они получаются дифференцированием по аргументам ф, я нор-
нормальных и аномальных собственно энергетических частей, сосчи-
сосчитанных во внешнем поле ip0. Результаты дифференцирования по
переменным ф обозначены D/q) (j = 1, 2, 3), по переменной л — ?>/я.
Символами d((p, d\n обозначены вклады в Z)/(p соответственно
Djn диаграмм, неприводимых в смысле невозможности оторвать
вершину взаимодействия с внешним полем разрывом не более
двух внутренних линий. Вклад неприводимых в том же смысле
диаграмм в выражение аЛ2, получаемый двукратным дифференци-
дифференцированием S [ф, л] по п, обозначен t. Отметим, что выражения для
неприводимых диаграмм d^ известны точно и даются форму-
формулами
dw = dw = 0; dw = ia> — kk^m, A8.20)
где (k, to), (klt щ) — 4-импульсы внешнего поля ф и внутренней
линии диаграммы, подходящей к вершине d2(p. Выражение A8.20)
определяется квадратичной по yplt ifo формой A8.10). Диаграмма
О
в A8.18), равная плотности надконденсатных частиц рь опре-
определяется интегралом от выражения ilvMVcpJ. К pt добавляется jmot-
ность конденсата р0, происходящая от выражения —Bm)~1Vi|3oVi|3o
после выделения слагаемого, пропорционального (УфJ. Сумма
Ро + Pi есть полная плотность_р. Член ico в формуле A8.18) для
io!2 соответствует выражению tyodxtyo в интеграле действия.
Подчеркнем, что диаграммные равенства A8.18) не используют
предположение о малой плотности и в этом смысле являются
точными. Используется лишь малость импульса k по сравнению
с импульсом k0.
Из приведенных формул легко получить асимптотику функции
Грина при <в = 0. Действительно, выражение а12(р) при со = 0
и малых к пропорционально k*, a22 стремится к постоянной а22@).
Так как Оц(к, 0) ~ №, то при малых к G (к, 0) « —р0/оц (к).
Второе слагаемое в формуле A8.18) для ац при со = 0 равно
—(тУ)~1A(К), где К — среднее значение импульса в системе коор-
координат, движущейся со скоростью v. По определению нормальной
компоненты A7.41) имеем К = Vpnk. В результате формула для
138

Оц принимает вид
аи» (р—р„) = — , (lo.zl)
т т
где ps = Р — Рп — плотность сверхтекучей компоненты. Это дает
для функции G известную асимптотическую формулу Боголю-
Боголюбова [81]
б(к,О)«—&?-. A8.22)
формулы
с импульсом к следует, что при
Из этой формулы и формулы F.49) для среднего числа частиц
к к -> О
+ 0A), A8.23)
так как слагаемые с й#0 в F.49) дают конечный вклад при
к -*¦ 0. Из A8.23) следует невозможность образования конденсата
в двумерных и одномерных системах при Т =/=¦ 0, так как функция
к~% не интегрируема при малых импульсах в одномерном и двумер-
двумерном ^-пространстве.
Более сложным является рассмотрение функции G (к, со) при
со Ф 0 и, в частности, ее аналитическое продолжение iсо ->¦ Е в об-
область Ех, Ы <, 1, где % — время релаксации; / — длина свобод-
свободного пробега. В этом случае суммирование диаграмм A8.18) сво-
сводится к решению уравнений типа кинетических [97]. В гидроди-
гидродинамической области Ех, Ы С 1 для функции Грина G (k, E) полу-
получается выражение с полюсами, соответствующими первому и вто-
второму звукам. В следующем параграфе выведем кинетические урав-
уравнения для бозе-газа малой плотности в пределе низких значений
температуры Т -*- 0.
А сейчас оценим порядок величины импульса k0, отделяющего
«большие» импульсы от «малых». В общей теории k0 можно считать
сколь угодно малым. Однако при конкретных вычислениях теории
возмущений целесообразно выбирать k0 так, чтобы при k ~ k0
хорошо сходилась теория возмущений, изложенная в § 16. Это
дает для k0 оценку снизу. Например, для области Т — р'/*, рас-
рассмотренной в предыдущем параграфе, поправки второго порядка
теории возмущений A7.48) ведут себя как At^Tk'1 при k < A'/j.
Потребовав, чтобы при k ~ k0 они оставались меньше по порядку,
чем собственно энергетические части первого приближения, имею-
имеющие порядок Л, получим условие k0 > t0T. Оценим k0 сверху, по-
потребовав, чтобы при k ~ kc — Л'/' теория возмущений § 16 была
справедлива. В результате приходим к условию
hT «. k0 « Л1/. A8.24)
для температурной области Т — р!/». Это условие записано в при-
принятых в § 17 единицах B/л = 1). Следующее из A8.24) неравенство
t0T < А'/' справедливо везде, кроме узкой области вблизи фазо-
фазового перехода.
139

§ 19. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ГАМИЛЬТОНИАН
НЕИДЕАЛЬНОГО БОЗЕ-ГАЗА
Микроскопическая теория сверхтекучести впервые была раз-
развита Н. Н. Боголюбовым [73]. Более ранняя полуфеноменологйче-
ская теория Л. Д. Ландау [72] опиралась на постулируемый в ней
гамильтониан, описывающий гидродинамику квантовой жидкости.
Обоснование метода гидродинамического гамильтониана может
быть получено в микроскопической теории. Построим гидродина-
гидродинамический гамильтониан для неидеального бозе-газа, используя
формализм интегрирования сначала по быстропеременным, а затем
по медленно меняющимся полям. Сначала получим не сам гидро-
гидродинамический гамильтониан, а функционал гидродинамического дей-
действия. Это функционал от полей я|зо(х, т), я|эо(х, т), который удобно
записать в новых переменных плотность — фаза, перейдя по фор-
формулам A8.4) к полярным координатам р (х, т), <р (х, т). Переход
к полярным координатам фактически используется и в методике
коллективных переменных (см. работу Н. Н. Боголюбова и
Д. Н. Зубарева [74]). Теория возмущений, построенная в терминах
функций Грина переменных р, ф, не содержит расходимостей
при малых энергиях и импульсах, она удобна для вычисления
низкочастотного энергетического спектра и вывода кинетических
уравнений. В следующем параграфе метод построения гидродина-
гидродинамического гамильтониана распространяется на двумерные и одно-
одномерные бозе-системы.
Рассмотрим бозе-систему при низких температурах в пределе
Гидродинамический гамильтониан получается в результате
интегрирования функционала exp S по быстропеременным полям
я|5х(х, х). Такой интеграл A8.3) имеет смысл статистической суммы
для системы частиц в медленно меняющемся поле г|H- Результат
интегрирования обозначим exp S. Разложим ? в функциональный
ряд по переменным ф (х, т), л (х, т) = р (х, т) — Ро(^о)- При низ-
низких температурах коэффициентные функции этого разложения
можно считать равными соответствующим функциям при нулевой
температуре. Главные слагаемые, зависящие от переменных ф, п,
в S даются квадратичной формой переменных ф, п. Коэффициент-
Коэффициентные функции квадратичной формы выражаются через термодина-
термодинамические функции, причем не только для бозе-газа, но и для произ-
произвольной бозе-системы. Чтобы убедиться в этом, сделаем замену
A8.9) в интеграле по быстрым переменным, после чего квадра-
квадратичная форма по \j>!, tyx принимает вид A8.10). Дело обстоит так,
как если бы описываемая полем ^lt г^ система частиц, взаимодей-
взаимодействующая с неоднородным конденсатом р (х, х), находилась в поле
неоднородного химического потенциала
2^ A9.1)
140

и в поле скоростей
v(x,x) = — V<p(x,T). A9.2)
tn
Неоднородности, вызываемые медленно меняющимися функ-
функциями ф (х, т), р (х, т), учитываются в первом (квазиоднородном)
приближении формулой
S = Idxdxp (К (х, г), р (х, т), v (х, т)), A9.3)
где р (К, р0, v) — давление однородной системы с химическим
потенциалом X, плотностью покоящегося конденсата po(ko) в дви-
жущейся системе координат со скоростью v.
Разложим р по степеням неоднородности. Коэффициент при
v2 пропорционален плотности нормальной компоненты рп и исче-
исчезает в пределе Т -> 0, а коэффициент при v равен нулю в силу
трансляционной инвариантности. Поэтому, ограничиваясь чле-
членами не выше второго порядка по v, получим, что S от v не зави-
зависит. Используя, что рр„ = 0, можно записать разложение^ в виде
S = Р (Я., ро(U 0) рТ + jdt dx
Выделив из A9.4) квадратичную форму по ф, л, получим
A9.5)
Коэффициенты квадратичной формы в A9.5) выражаются через
производные от р (К, р0), т. е. через термодинамические функции.
Приведем теперь некоторые из членов разложения 5, не учи-
учитываемых формулой A9.5). Для бозе-газа главные из этих членов
происходят от выражения
¦J
dxds х — V4>0 Що A9.6)
1m
в функционале S. Это выражение описывает кинетическую энер-
энергию медленно меняющегося поля. Записав A9.6) в переменных
Ф, п;
A9.7)
141

заметим, что первое слагаемое в A9.7) дает вклад в квадратичную
форму A9.5). В третьем слагаемом можно в выражении р0 + п
пренебречь л, так что сам по себе третий член уже служит по-
поправкой к квадратичной форме, которая приводит к отклонению
энергетического спектра от линейного. Добавляя вклад от второго
и третьего слагаемых в A9.7) к функционалу A9.5), получаем
J
dxd*х jipxp. яд* Ф - &ХЩ*~- ~ (дх
2 8тро
Выражение р (к, р0) при Г = 0 в первом приближении легко
сосчитать по схеме, использованной в § 17 в температурной обла-
области Т ~ p*/j. При Т = О плотность надноконденсатных частиц
р по порядку меньше, чем плотность конденсата р0. Диаграммы
A7.4) содержат один или два цикла из нормальных линий, которые
можно обойти, двигаясь по стрелкам диаграммы (последователь-
(последовательности Ъ, с в A7.4) дают меньший по порядку вклад, чем последова-
последовательность а). По этой же причине можно пренебречь вкладом
давления идеального бозе-газа р0. В результате первое приближе-
приближение для давления р при Т — 0 получаетсй из формулы A7.13),
если положить в ней Т = 0 и пренебречь ра:
р = Хр0 - (to/2)pl A9.9)
Отсюда
1; Рь = р = ро; Рп.=0; pP.p,=—tv, A9.10)
функционал A9.9) принимает вид
^Ш) A9.11)
(mdx?(V4>yn
\ 2m 2 8/про
и может быть интерпретирован как действие, соответствующее
гамильтониану
где v = — уф- ^гот гамильтониан является вариантом гидроди-
гидродинамического гамильтониана Ландау. Нетрудно построить гидро-
гидродинамический гамильтониан бозе-газа и в следующих приближе-
приближениях по плотности.
Гидродинамическое действие A9.8) позволяет построить теорию
возмущений без расходимостей при малых энергиях и импульсах.
За невозмущенное действие возьмем квадратичную форму по ф, п,
Н2

считая возмущением трехлинейное взаимодействие, пропорций-1
нальное л (УфJ. Заметим, что возмущение здесь происходит от сла-
слагаемого (Vi|?o, Vt|j0), которое в теории возмущений, изложенной
в § 16, целиком включается в невозмущенное действие.
Перейдя от функций <р, л, к их коэффициентам Фурье по фор-
формулам типа F.3), запишем действие в виде
—2ри>, °>Ф (Р)п (— Р) + (Pp. p. —
п (р) л (—р) +
— 2
г Р * Pi "г Ра — Рз
[кг)
2т
A9.13)
где р — 4-вектор (к, <о). Отметим аналогию этой формулы с фор-
формулой B.6) работы [74].
В р-представлении элементы диаграммной техники имеют вид
<у(р)(р(-р)>0 ;
<jrfp)jr(-p)>g;
A9.14)
<х(р)Ч>(-р)>в}
т
На диаграммах ^поле~<р ^обозначается одинарной линией, я —
двойной.
Невозмущенные функции <<р (р)у (—р)>0, <ф (р)я(—р)H,
<я (р)ф (—р)>0, <л (р)л (—р)>0 образуют матрицу G0(p), об-
обратную матрице
р
р
р
р
-р
-р
-р
-р
— Pp. р. +
A9.15)
4/пр0

Выпишем невозмущенные функции в приближении, где про-
производные рь, pu» PXpo. /Wo заменены их первыми приближени-
приближениями согласно A9.10):
<ф (р)ф ()> S; <я()(р)> т
е*(к)
A9.16)
, A9.17)
где е2(к) = (— ) Н—— б2 есть квадрат спектра Боголюбова.
\ 2/п/ от
)
\ 2/п/
Построенная теория возмущений не имеет расходимостей при
малых импульсах. Действительно, сингулярность, пропорцио-
пропорциональная k~2 в функции <ф (р)ф (—р)>о прн © = 0, компенси-
компенсируется импульсами, стоящими в каждой из двух вершин третьего
порядка, из которых исходит ф-линия.
Низкочастотный энергетический спектр определяется после
аналитического продолжения i<o -*¦ Е уравнением
det G (р) = det (G-»(р)- 2 (р))- 0, A9.18
где S (р) — матрица собственно энергетических частей. В пре-
пренебрежении матрицей S и членом -. в Go1 уравнение A9.18)
4flip0
принимает вид
(^2-Pu?2)(-/>p.p.)-/>U?2 = 0. A9.19)
Его решение
^^гЦ-'*!* A9.20)
т \ Pp.p./ m
описывает звуковое возбуждение, скорость звука дается формулой
^ ~ ~т do ^ПРИ Условии Рр« = 0 выражение
равно полной производной -^ функции р (X, ро(Х)) по перемен-
переменной к].
Член -^— в матрице Go1 A9.15) дает отклонение спектра от ли-
линейного. При учете трехлинейного взаимодействия в спектре по-
появляется мнимая часть, а при температуре, отличной от нуля, —
и вторая звуковая ветвь.
144

Рассмотрим диаграммы второго порядка для матрицы
с d e
A9.21)
Вклад в мнимую часть спектра дают все диаграммы A9.21), кро-
кроме а. В результате получается
A922)
где
6A ±2 — 3) =
-1)-1; е? =
±к2— к3N(е1±е2 ~е3);
tn
с — скорость звука A9.20).
Если Т = 0, то A9.22) дает при малых импульсах
А (к) = fe1e2e26(l-2—3)d3k2d3k3= —^-—. A9.24)
V ; 128n2p/ncaJ V ; 2 з б40ятр v
т. е. воспроизводит известный результат С. Т. Беляева [77]. Од-
Однако в теории возмущений, излагаемой здесь, число диаграмм
второго порядка меньше, чем в формализме Беляева, а сами диа-
диаграммы не расходятся при малых импульсах.
При Т Ф 0 и малых к выражение A9.22)
Л 00 =
40 pmc4
A9.25)
линейно по k. Линейная зависимость A9.25) перестает быть вер-
верной в кинетической области kl ? 1, Ex <, 1, где / — длина сво-
свободного пробега; т — время релаксации. Правильный ответ полу-
получается, если выполнить суммирование диаграмм, сводящееся
к решению уравнений типа кинетических.
Рассмотрим сумму диаграмм, определяемую диаграммными ра-
равенствами
о
>¦
A9.26)
146

Первое йЗ них выражает собственно энергетическую часть 2
через 2 0 — вклад диаграмм, в которых нельзя отделить вход от
выхода разрывом двух внутренних линий диаграммы, и полную
вершинную часть D. Второе равенство A9.26) есть приближение
для неприводимого четырехполюсника /С. Внутренним линиям
диаграмм A9.26) соответствуют полные функции Грина <<р<р>,
<яя>, <яр>. Для конкретизации схем A9.26) необходимо их
просуммировать по всевозможным внутренним линиям диаграмм.
Вершинные части будут различаться подвиду линий, присоеди-
присоединяемых к их входам. Всего имеем шесть различных вершинных
частей:
Дрф, <р> Аря, <р» Dnn, <p; Арф, я'г Дря, j»J Dnn,n. A9.27)
Здесь первые два индекса показывают, какие линии присоединя-
присоединяются к внутренним входам диаграмм, а последний — вид линии,
присоединяемой к внешнему входу.
Как уже говорилось, уравнения A9.26) преобразуются в ки-
кинетические. Укажем основные моменты вывода кинетических
уравнений.
Вершинные части A9.27), зависящие от двух частот и, о^ при
аналитическом продолжении io^ -> z, заданы на комплексной
плоскости z с двумя разрезами Imz = 0, и. Уравнения A9.26)
можно преобразовать к уравнениям для граничных значений ана*
литнческих функций D (со, г) на берегах разрезов. Обозначим D*
граничные значения D на внешних берегах разрезов Imz = —О,
© + О, D1— на внутренних Imz = +0, <о—0. Функции De в первом
приближении оказываются равными соответствующим неприводи-
неприводимым частям:
0* « d. A9.28)
После аналитического продолжения i<o -*• Е в область Е <, т
нетривиальной оказывается система уравнений для 1У граничных
значений функций D на внутренних берегах разрезов. В действую-
действующих на функции D1 интегральных операторах главный вклад при
Е < т дают окрестности близко расположенных особенностей
функций Грина. Эти особенности имеют полюсной характер, так
что в окрестности особенностей функции Грина пропорциональны
функции
(I, A9.29)
где х — энергетическая переменная; в (кх) — энергетический спектр
с мнимой частью А (к^. В интегралах по энергетической перемен-
переменной х можно вынести за знак интеграла в точке х — е (kj) все
функции, кроме сингулярностей A9.29), произведение которых
интегрируется по формуле вида
. A9.30)
146

Здесь
Z = Е-г (кг + к) + е (кх)+ 2i (Д (кх) + Д (кх + к))«
ж?—2e;(k1k) + 2iA(k1), A9.31)
де (Ы
где 6i = -ir-
Можно показать, что после указанного интегрирования по х
вершинные функции D' входят в уравнения в следующих ком-
комбинациях:
А (к„ к, Е) = -1 (дФЯ. ф- DU. ф + i (t0 + ^-) ef' D^. ф +
2Z ^ ^ 1Щ)
m • \to'-*E + iO
g (К к, Е) - —?¦ {i 0U. »- 4«. п) + (t, + ^-J e
ef' Д
ia»i-»-ei —10'
la-*E+lO
где Z определено выше A9.31).ИменноэтикомбинацииЛи g удов-
удовлетворяют уравнениям
(Е- 2е; (к;кх)) Л + il (Л) = — (к • ка);
т
A9.33)
В A9.33) выражение
—А,) + ехр(Ре1) 6A -2-3) (^-h^—^cPk.cP^ A9.34)
обозначено I (Л). Здесь Лг =з Л (kjk, ?). Остальные сокращения
объяснены выше.
По форме уравнения A9.33) являются линеаризованными ки-
кинетическими уравнениями, в которых выражения I (Л), I (g) имеют
смысл интегралов столкновений. Отметим, что неоднородные чле-
члены — (к • kj), e (kj) уравнений A9.33) являются интегралами дви-
движения, обращающими в нуль интегралы столкновений.
В гидродинамической области (?т, Ы < 1) к уравнениям A9.33)
можно применить метод Чепмена — Энскога — Гильберта [99].
Смысл его в том, что ищем решение кинетических уравнений
A9.33) в виде
h = ое (kj + (b • kO + 6Л; 1
j K • ;
147

т. е. как суммы линейной комбинации интегралов движения
е (кг), кг и малых по сравнению с ними добавок 6Л, 8g. В интегра-
интегралах столкновений исчезает вклад от главных членов, а во внеин-
тегральных можно пренебречь добавками bh, 8g.
Используем теперь условие ортогональности интеграла столк-
столкновений / и интегралов движения е (k^, ка с весом
. A9.36)
Это условие приводит к системе линейных уравнений для коэффи-
коэффициентов а, аи b, bj при интегралах движения в A9.35). Решив эту
систему, получим следующие формулы для первого приближения
метода Чепмена — Энскога — Гильберта (это приближение обыч-
обычно называют акустическим):
h =
_
A9.37
где
A9.38),
3 «#» <<62»
Выражения для собственно энергетических частей 2фф, 2Яф,
р
через функции h, g имеют вид
(k-ki)
^яФ — —— ЧЧе1 «>> — -—\ч
dp ^Р
A9.39)
Подставим сюда вместо h, g их значения A9.37) и используем
полученные выражения для вычисления спектра по формуле
A9.18). Уравнение A9.18) приобретает вид
V7 п \ 1 1 п
01 Рп „2 hi \ (Р% ГУ3 Ь2\ _1_ гп
16 р ° ) 4 р
где
С2 —
m
/dp'
(dp
'г
= 0
i <<^2>> 2Я2Г*
3m 45/nrf
A9.40)
A9.41)
148

Уравнение A9.40) совпадает с известным уравнением Ландау для
скоростей звуков (уравнение B0.13) в [100]) применительно к мо-
модели бозе-газа, а его решения имеют вид
«ее>*2»2
ft».
A9.42)
Формулы A9.42) верны при низких температурах (в фононной
области температур). Они содержат температурные поправки к ско-
скоростям звуков, в которые дают вклад все диаграммы второго по-
порядка A9.21).
Во втором (вязком) приближении метода Чепмена — Энскога —
Гильберта добавки 6Л, 8g в формуле A9.35) формально получа-
получаются обращением оператора — интеграла столкновений. Коэффи-
Коэффициенты а, аг, b, Ьа, как и в первом приближении, но с большей
точностью, находятся из условий ортогональности. В результате
линейные по k ветви спектра A9.42) приобретают мнимые добав-
добавки, пропорциональные /г2. Коэффициенты при б2 выражаются через
кинетические коэффициенты первой вязкости, второй вязкости и
теплопроводности. Основным среди них при низких температурах
является коэффициент первой вязкости т).
Формулы вязкого приближения для звуковых ветвей имеют вид
8 тр
— -3-
3 трп
A9.43)
Здесь учтен только вклад коэффициента первой вязкости, опре-
определяемого равенством
A9.44)
где / (&2) — решение уравнения
A9.45)
В пределе Т ->¦ 0 коэффициент первой вязкости г\ для бозе-газа
вычисляется В явном виде в квадратурах:
DяOр / Т \-«
Зв53Д тс»
A9.46)
149

где J — интеграл
. A9.47)
Температурная зависимость коэффициента первой вязкости,
пропорционального Т~ъ, оказывается такой же, как и в теории
Ландау — Халатникова [100], в которой главный вклад в вязкость
дают четырехфононные процессы.
Вклад кинетических коэффициентов второй вязкости и тепло-
теплопроводности в затухание спектра оказывается по сравнению с вкла-
вкладом первой вязкости величиной, пропорциональной Т8. Именно
поэтому его можно не учитывать в пределе Т -*• 0.
§ 20. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ДВУМЕРНЫХ И ОДНОМЕРНЫХ
БОЗЕ-СИСТЕМ
Сверхтекучесть трехмерной бозе-системы связана с макроско-
макроскопическим заполнением нижнего квантового уровня — конденсата.
В двумерных и одномерных системах при Т Ф 0 конденсат от-
отсутствует. Это утверждение следует из теоремы Боголюбова о k~2
[81] и было доказано в § 18.
Отсутствие конденсата не исключает возможности сверхтеку-
сверхтекучести. Соображения в пользу такой возможности, высказанные
в некоторых работах, основаны или на вариационном расчете
волновой функции основного состояния (метод коллективных пере-
переменных) 189, 90], или на методе когерентных состояний 191].
В. Л. Березинский [92] развил метод, который использует переход
от непрерывной системы к дискретной системе плоских ротаторов.
Применим к двумерным и одномерным системам метод конти-
континуального интегрирования сначала по быстропеременным, а за-
затем по медленно меняющимся полям. Результаты подтверждают
наличие сверхтекучести в двумерных бозе-системах и указы-
указывают на возможность сверхтекучести в одномерных системах.
Основная физическая идея состоит в том, что частицы с малы-
малыми импульсами ведут себя как «затравочный конденсат», который
порождает сверхтекучую плотность ps порядка полной плотности
системы р. Метод континуального интегрирования позволяет реа-
реализовать эту идею и построить гидродинамическое действие,
характерное для сверхтекучих систем.
Рассмотрим двумерную бозе-систему. В ней возможно сущест-
существование конденсата при нулевой температуре. Плотность конден-
конденсата ро определяется из уравнения dS/dp0 = 0,.где 5 — гидроди-
гидродинамическое действие системы, получаемое интегрированием по
быстропеременным полям.
Рассмотрим разложение функционала 5 в функциональный ряд
по переменным <р (х, т), я (х, т) = р (х, т) — ро(&о)- В пределе
150

T -*¦ 0 и фиксированном k0 можно считать коэффициентные фунК^
ции равными их значениям при Т — 0.
Проведенный в предыдущем параграфе вывод гидродинами-
гидродинамического действия распространяется и на двумерную систему.
Главный, зависящий от <р, я вклад в S дает квадратичная форма
f dxdHi- -^(УФJ- -^(дтФJ + */>л<,.ядхф + -^РР.Р.п2), B0.1)
v у zm z z I
где р%, ри., рьр,, рм, — частные производные функции р (к,
р0), причем рр, = 0. Выражение B0.1) описывает невзаимодей-
невзаимодействующие звуковые возбуждения, энергия которых линейно за-
зависит от импульса. Следующие члены разложения приводят к от-
отклонению спектра от линейного и к взаимодействию возбужде-
возбуждений.
Для бозе-газа малой плотности главные члены разложения S,
не учитываемые квадратичной формой, содержатся в функционале,
соответствующем кинетической энергии медленно меняющегося
поля:
Первое слагаемое под интегралом в правой части B0.2) дает вклад
в квадратичную форму B0.1). Второе и третье слагаемые дают до-
добавку к квадратичной форме, причем в третьем слагаемом можно
пренебречь я по сравнению с р0.
Квадратичная форма B0.1) вместе с указанными добавками
образует функционал
имеющий смысл гидродинамического действия.
Считая интеграл от выражения Ц~ возмущением по от-
отношению к квадратичной форме по ф, я, можно построить теорию
возмущений, которая, как и построенная в § 19 для трехмерной
системы, не имеет расходимостей при малых импульсах. Примене-
Применение теории возмущений к вычислению низкочастотного спектра
дает при Т Ф 0 спектр с двумя звуковыми ветвями, характерный
для сверхтекучей бозе-системы.
Найдем асимптотику одиочастичной функции Грина
- -<(р (х, т) р (у, тОI'2 exp i (Ф (х, т)-Ф (у, тЛ», B0.4)
где <...> —усреднение по медленно меняющимся полям с весом
exp S при т = | х — у |'-»- оо.
151

Возьмем импульс k0, отделяющий «большие» импульсы от «ма-
«малых», достаточно малым, чтобы при вычислении среднего B0.4)
можно было в первом приближении пренебречь отличием перемен-
переменных р (х, т), р (у, tj) от плотности конденсата р0 при нулевой тем-
температуре, а в качестве S использовать квадратичную форму B0.1).
Тогда интеграл сведется к гауссову, а для функции Грина B0.4)
получим выражение
-роехр{—|-<(<p(x, т)-Ф(У> tJJ)}, B0.5)
где
_L<(cp(x)T) — Ф(у, Т!)J)^У
x|exp[i(kx—сот)] —exp[i(k.y—(oTi)] \ B0.6)
Была использована формула
<Ф(к, со)ф(-к, -<о)> = 2—— B0.7)
для среднего <фф> в (к, (о)-представлении (см. предыдущий па-
параграф). Здесь с2 есть квадрат скорости звука:
= _L^. Bо.8)
Ppo Po
Асимптотика выражения B0.6) на больших расстояниях г->- <х>
есть
X
l-cos(k, x-y)
ck
m
In -?- + const. B0.9)
Отсюда следует, что при г-*- оо функция Грина убывает как
степень г~а с показателем
« = -?г- B0Л°)
Покажем, что степенная асимптотика функции Грина сохраня-
сохраняется и при повышении температуры. Показатель степени имеет вид
а , B0.11)
отличаясь от B0.10) заменой полной плотности плотностью сверх-
сверхтекучей компоненты. В пределе Т-*-0 р = р„ и B0.11) переходит
в B0.10).
153

При Т Ф 0 решение уравнения dS/dp0 = О имеет смысл плот-
плотности затравочного конденсата ро(&о). Как будет видно, ро(&0) ~ К-
Рассмотрим разложение S в функциональный ряд по переменным
Ф (х, т), я (х, т) = р (х, т) — ро(^о). Коэффициент при ^?
в квадратичной форме B0.1) при ТфО оказывается равным
), B0.12)
где Ро(^о). Pi(^o) — плотности чисел частиц с k < k0 и k > k0;
р„ — плотность числа частиц нормальной компоненты с k >¦ k0.
Вывод выражения B0.12) аналогичен проведенному в § 18 для
трехмерной системы. В пределе k0 -*¦ 0 выражение B0.12) можно
считать равным р„ — р = —ps, где р„ — плотность сверхтеку-
сверхтекучей компоненты.
Вернемся к функции Грина. Соображения, использованные
выше при переходе от B0.4) к B0.5), можно применить и здесь
с заменой в B0.5) р0 на ро(&о)> а в B0.6), B0.7) — р на ps. В сумме
по частотам B0.6) главный вклад дает слагаемое с со = 0. Фор-
Формула B0.9) заменяется формулой
,«. 1—cos(k, x—у) m л и i ,Пл 1 о\
<rk ^-^ ii- = mkor-\-cx, B0.13)
где сх — константа, не зависящая от k0. Для функции Грина полу-
получим асимптотику
G « —Po(ko)(k0r)~a*xp (—°i)- B0-14)
Функция Грина не зависит от импульса k0 в B0.14), если
предположить, что ро(^о) ~ &%• Такое предположение является
самосогласованным. Оно приводит к формуле
Gtt—as-* B0.15)
с Сц не зависящим от k0. Из B0.15) следует асимптотическая фор-
формула для числа.частиц N (к) при малых k вида
N (к) « a2ka~2. B0.16)
Она приводит к выражению
= Bл)-2 J N(k)d4 = a3k« B0.17)
для плотности Ро(^о)» которое и предполагалось.
Проведенное рассмотрение показывает, что одночастичная функ-
функция Грина B0.4) для двумерных бозе-систем при достаточно низ-
низких температурах убывает как г~а при | х — у | -*¦ <».
В трехмерном случае функция Грина стремится к плотности
конденсата р0. О дальнодействующих корреляциях в двумерных
бозе-системах можно говорить именно в том смысле, что одноча-
стичные функции Грина убьгеают степенным образом, а не экспо-
экспоненциально, как при достаточно высокой температуре. Темпера-
153

тура перехода от экспоненциального убывания функции Грина
к степенному является, очевидно, температурой фазового пере-
перехода в сверхтекучее состояние.
До сих пор не.учитывались возбуждения системы типа кван-
квантовых вихрей. Описание вихрей в формализме континуального ин-
интеграла можно найти в следующем параграфе. Там, в частности,
показано, что роль вихрей несущественна, пока мал показатель
а B0.11). Если а < 1, то степенное убывание функции Грина бу-
будет н при учете вихрей.
Возможна ли сверхтекучесть в одномерных бозе-системах?
Рассмотрим одномерный газ бозе-частиц, взаимодействующих
через б-образный отталкивающий потенциал:
и (х - у) = g8 (х - у). B0.18)
Для такой системы известно точное выражение энергии основ-
основного состояния (Либ и Линигер [101, 102]). Термодинамические
функции системы, найденные авторами работы [103], не имеют
особенностей, так что фазовый переход при конечных темпе-
температурах в системе отсутствует. Возможность сверхтекучести в этой
модельной системе при 7 = 0 рассматривалась Э. Б. Сониным
[89].
Покажем, что в этой системе возможны дальнодействующие
корреляции, убывающие степенным образом, при 7 = 0. Частицы
с малыми значениями импульса образуют затравочный конденсат,
порождающий сверхтекучую плотность порядка полной плотно-
плотности р. В этом можно убедиться, применив в одномерном случае
вывод гидродинамического действия. В одномерном случае урав-
уравнение d§/dpo = О. определяющее плотность затравочного конден-
конденсата ро(&<>)> имеет степенную асимптотику
B0.19)
Показатель степени выражается через плотность и скорость звука.
Асимптотика функции Грина при г ->- оо и низких температурах
(в частности, при 7 = 0) дается формулой
-^-Г exp|i(kx —сот)]-
—exp[i(ky—сот!)]^, B0.20)
аналогичной B0.5), B0.6). При 7 = 0 формула B0.20) принимает
вид
G« —ро(?о)ехр(—— lnfc3o(fc4c26a) + const), B0.21)
I 4яр J
где 6=т—хъ илн
<3ъ— а^ + с^-т/г. B0.22)
154

Самосогласованность предположения po(ko)~ H очевидна. Дей-
Действительно, при ро(&о) ~ ^о коэффициент в B0.22) не зависит от
k0, а из B0.22) получим, что N (к) ~ k*-\ po(ko) ~ k%. Если
Т Ф 0, то выражение B0.20) дает экспоненциально убывающую
при г-> оо функцию Грина
С~ехр( %- г). B0.23)
Видно, что в одномерной бозе-системе дальнодействующие кор-
корреляции, убывающие как степень, а не как экспонента, сущест-
существуют только при Т = 0. Естественно считать поэтому, что свой-
свойством сверхтекучести одномерная система обладает только прн
нулевой температуре. Этот вывод согласуется с результатом точ-
точного термодинамического расчета в работе [103], не обнаруживаю-
обнаруживающим нарушения аналитичности термодинамических функций при
конечных значениях температуры.
Найдем функции Грина, термодинамические функции и урав-
уравнение кривой фазового перехода для двумерного неидеального
бозе-газа малой плотности.
В трехмерном случае ответы выражаются через t0 — ^-матрицу
при нулевых значениях энергии и импульса, описывающую рассея-
рассеяние двух бозе-частиц в пустоте.
В двумерном случае /-матрица, определяемая уравнением
t (k1; k2, z) + Bя)~2 Г da k3 и (^ -k3) ( -*?- -г ) 1 (k3) k2, z) =
= M(k1-k2), B0.24)
при малых klt k2, z имеет асимптотический вид
4я
B0.25)
mln
—г
и исчезает в пределе к1% к2, г -*¦ 0. Асимптотика B0.25) верна при
lKi|. 1кг1 <^ r~o, |z| < tfrVo*. где г0 — радиус действия потен-
потенциала. Величина е0 в B0.25) имеет порядок /rrVjf2, так что
| In | (е0/- г) | » 1.
Для вывода B0.25) перенесем второе слагаемое в левой части
B0.24) вправо, а затем прибавим к обеим частям одно и то же вы-
выражение:
t (klf k2, z) + Bя)-2 J d2 ka и (kx-k3) (-^ -z0 ) 1 (k,, k2, 2) =
155

Здесь z0 — произвольный параметр. Оператор, действующий
в левой части B0.26) на /-матрицу, можно обратить. Это равно-
равносильно замене потенциала в правой части /-матрицей
t (klt к,, г) = t (klt k2, z0) + Bя)-2 J d2k3t (klf k8, zp) x
Переход от B0.24) к B0.27) есть преобразование уравнения для
/-матрицы
tt + uRz tt = u B0.28)
к тождеству Гильберта
tz-t*, = t*ARz.-Rz)tz, B0.29)
где Rz = (#о — г)'1 — резольвента невозмущенного оператора
Шредингера (без потенциала) tz, и — операторы /-матрицы и потен-
потенциальной энергии.
В асимптотической области |ki|, |ks|C fo1. |z|, |го|^С
<^ m~1rui можно считать, что / не зависит от импульсов. Это при-
приводит формулу B0.27) к виду
= —/(zo)/(z)ln— , B0.30)
4я z0
откуда и следует B0.25).
Для исключения потенциала и перехода к ^-матрице исполь-
используем следующий прием. Проинтегрируем сначала функционал
exp S по переменным а+ (к, со), а (к, со) с импульсамиk > k'o, где
k'o удовлетворяет неравенствам
maxflH Г)<-^-<е0. B0.31)
Результат интегрирования есть функционал от переменных
о+(к, со), а (к, со) с k < k'o, обозначаемый далее exp S'. Для систе-
системы малой плотности формула первого приближения для S' име-
имеет вид
S'=
a.
B0-32)
и отличается от формулы F.7) для S тем, что суммы по импуль-
импульсам обрезаны на верхнем пределе k'o, а потенциал заменен /-матри-
156

цей, в определении которой B0.24) интеграл по k3 обрезан на
нижнем пределе k'o. Такая /-матрица (обозначенная t') имеет вид
4я , B0.33)
от1п
t
«о
ОТ
Проинтегрируем функционал exp S' по переменным а+ (/?),
а (р) с импульсами k, удовлетворяющими условию k0 < k < &о.
При этом переменные а+(р), а (р) с й < й0 по отношению к пере-
переменным интегрирования а+, а с &? [&0, &о) имеют смысл «неодно-
«неоднородного конденсата». Порядок величины kQ определяется в конце
этого параграфа. Во всяком случае, при всех значениях темпера-
температуры ниже температуры фазового перехода имеем k0 < (тЯI'2.
При вычислении термодинамических функций будем считать
конденсат в первом приближении однородным и учтем его, заме-
заменив в S' переменные а+(р), а (р), для которых k < k0:
а+(р), а(р)-+ (po(*o)PVT'26p.. B0.34)
Величина po(ko) в B0.34) имеет смысл плотности частиц с k < k0.
Эта плотность, как и плотность р^&о) частиц с k > k0, зависит
от выбора &0-импульса, разделяющего «медленные» и «быстрые»
частицы. Полная плотность р = po(ko) + Pi(k0) не должна зави-
сеть от выбора k0.
Первое приближение для ро(&о) определяется из условия мак-
максимума вклада в S' от слагаемых, не содержащих а+, а после за-
замены B0.34), т. е. максимума выражения
W (Хр0(?„)--ф- рао (Йо)), B0.35)
отсюда получаем
р (k0) = -^- = -^1п-^. B0.36)
0V t' @) An kl
После замены B0.34) можно использовать формализм теории воз-
возмущений с нормальными и аномальными функциями Грина, ана-
аналогичный рассмотренному в § 16 для трехмерного случая. Главный
вклад в собственно энергетические части А, В дают вершины
второго порядка, тогда получим
А ъ 2t'(O)Po(ko) = 2К; В « t'(O)9o(ko) = %. B0.37)
Нормальная и аномальная функции Грина первого приближения
даются формулами
<oi-\-ei (к) ш^-|-еа(к)
где
B0.38)
(к) = (-^-У + — k2. B0.39)
2от / от
15?

Значение плотности р^о) вычисляется по формуле
B0.40)
Получается интеграл, логарифмически расходящийся при &0 ->¦
->- 0. Эта расходимость должна сокращаться при сложении с ве-
величиной Ро(&о), вычисленной с учетом второго порядка теории
возмущений. Определим р0(&о) из равенства
X = А @) — В @) B0.41)
равносильного уравнения dS/dp0 = 0. Это равенство служило
для определения р0 во втором порядке теории возмущений и для
трехмерного бозе-газа в § 17. Учтем диаграммы для собственно
энергетических частей вида
-О-
Q. , -^гу- <20-42>
Для конкретизации диаграмм B0.42) необходимо расставить стрел-
стрелки на входах диаграмм и просуммировать по всевозможным рас-
расстановкам стрелок на концах внутренних линий, причем линиям
с одинаковым направлением стрелок на концах соответствуют
нормальные, с противоположным — аномальные функции Грина.
Уравнение B0.41) конкретизируется в виде
ft, < k C *i
(G(k,co)G(-k,-co)-G1(k, co)G1(-k, -co))
B0.43)
и приводит для ро(&о) к выражению
W-tellnx 2J (ЗП)> J
A >
e(k) exp(Pe(k))-l •
Г20.44)
В отличие от первого приближения B0.36) выражение B0.44) не
зависит от импульса k'o. Сложив B0.40) и B0.44), получим полную
плотность
p = -^(ln_?o А 1—{с1П— ! B0.45)
Р 4я V X / BяJ J 2/ne(k) exp(Pe(k))-l K '
158

Интеграл в B0.45) не расходится, даже если устремить в нем им-
импульс обрезания k0 к нулю. Таким образом, получили выражение
для плотности, не зависящее от величин k0, ko, которые являются
вспомогательными и определенными только по порядку величины.
Приведем соответствующее B0.45) выражение для давления:
B0.46)
а также формулы для плотностей нормальной и сверхтекучей ком-
компонент:
- Р Ofcjp ехр(рвA0)
2/пBя)* J (ехр(ре(к))-1)*
2m
1 pft»exp(p8(k))
exp(Pe(k))-l (exp(pB(k))-l)*
d*k B0.47)
Плотность р„ легко вычислить, сосчитав среднее значение импуль-
импульса в системе координат, движущейся со скоростью v. Такое вы-
вычисление дословно повторяет проделанное в § 17 для трехмер-
трехмерного случая с помощью функции Грина, получающейся из B0.38)
заменой
1<» —>- ico + v • k.
Формулы B0.45) — B0.47) определяют термодинамику ниже
фазового перехода. Уравнение линии фазового перехода найдем
из условия
Р = рп, B0.48)
означающего, что исчезает сверхтекучая плотность р„. Решение
уравнения B0.48) может существовать только при Т > к, так как
если Т < к, то р„ < пгк, р ~ шМп у, р > р„. При Т > Я, урав-
уравнение B0.48) можно переписать в виде
J!*J 2L-I.. B0.49)
In in.
4я X п %
Отсюда для температуры перехода Тс получим выражение
Тс « — B0.50)
4 ев
ll
При Т > Тс система находится в нормальном состоянии, а при
рычислении функций Грина и термодинамических функций можно

пользоваться обычной теорией возмущений. Одночастичная функ-
функция Грина дается формулой
G=('i©— — +ЛГ\ B0.51)
где
B0.52)
Л ХГ
„„,„-••- J «p»(*V2«+|A|)]-i-
|Л|
причем добавка к Я, в B0.52) дается диаграммой В B0.42).
Оценим теперь порядок величины импульса k0 для двумерного
бозе-газа. Как и в § 18, где k0 было определено по порядку для
трехмерной модели, потребуем, чтобы при к > k0 собственно энер-
энергетическая часть второго порядка теории возмущений
не превосходила главного числа, имеющего порядок X.
Положив для простоты внешнюю частоту со этой диаграммы
равной нулю, ограничимся при оценке порядка величины одним
слагаемым с^ = 0 в сумме по внутренней частоте. Тогда соответ-
соответствующее диаграмме B0.53) выражение оценивается через
G (ki, 0) G (k—klt 0) d%. B0.54)
В силу B0.38) G (к, 0) ~ /лАг2. Учтя, что интеграл в B0.54) берет-
берется по области kx > k0, | к — кх| > k0, получим для него оценку
порядка m2ko*. Так как p0(k0) < тк\п (ео/Х), tf'@) ~ (m In (bq/X))'1,
получаем, что диаграмма B0.53) не превосходит по порядку ве-
величины
тТ% . B0.55)
Отношение диаграммы B0.53) к функции первого приближения не
превосходит по порядку величину mT(kl In eo/A,)~\ откуда следует
оценка снизу для k0:
^- > —— . B0.56)
т In (ео/Я.)
Можно оценить k0 сверху, потребовав, чтобы при k2/m -~ к была
еще применима «обычная» теория возмущений с нормальными и ано-
аномальными функциями Грина. В итоге получаем условия, налагае-
налагаемые на импульс k0:
^ B0-57)
In (е0Д) т.
160

Следующее из этих условий неравенство Т < А,1п(е<Д) выпол-
выполняется при всех значениях температуры ниже температуры фа-
фазового перехода, так кар согласно B0.50) Т с < Я1п (е<Д).
Развитый здесь подход к расчету функций Грина и термоди-
термодинамических функций двумерного бозе-газа применим, пока не
очень мала величина | \ — Т1Тс\. При 7<ТС для применимо-
применимости теории возмущений необходимо условие а < 1, означающее,
что мала вероятность образования квантовых вихрей.
§ 21. КВАНТОВЫЕ ВИХРИ В БОЗЕ-СИСТЕМАХ
В сверхтекучей бозе-системе кроме описанных выше звуковых
возбуждений могут существовать специфические возбуждения,
называемые квантовыми вихрями.
Попытки учесть вихревые возбуждения имелись уже в перво-
первоначальном варианте теории Ландау [72]. Существование перио-
периодической решетки квантовых вихрей в сверхпроводнике, поме-
помещенном в магнитном поле, было предсказано А. А. Абрикосовым
в 1952 г. [104]. Представление о квантовых вихрях, образующихся
во вращающемся гелии ниже Я,-точки, было высказано независимо
друг от друга Онзагером и Фейиманом [139, 140].
В этом параграфе будет изложен способ описания квантовых
вихрей в формализме континуального интеграла. Будем рассмат-
рассматривать в основном двумерную бозе-систему и покажем, что суще-
существующая в ней при низких температурах система фононов и вих-
вихрей эквивалентна двумерной релятивистской электродинамике,
причем фононы имеют значение фотонов, вихри — заряженных
частиц. При низкой температуре вихри могут присутствовать толь-
только в виде связанных пар противоположного знака. Будет пока-
показано, что учет таких пар не меняет степенного характера асимпто-
асимптотики одночастичной функцииг Грина на больших расстояниях.
Далее обсудим значение квантовых вихрей в фазовом пере-
переходе из сверхтекучего состояния в нормальное. В двумерной си-
системе такой переход связан с диссоциацией связанных пар вих-
вихрей противоположного знака. Аналогичный подход к трехмер-
трехмерной системе приводит к выводу, что здесь фазовый переход в нор-
нормальное состояние сопровождается появлением длинных вихре-
вихревых нитей.
Используем подход, основанный на идее последовательного ин-
интегрирования сначала по быстропеременным, а затем по медленно
меняющимся полям с различными схемами теории возмущений на
этих двух этапах.
Получаемый при интегрировании по быстропеременным полям
функционал
J exp S d^ dfc = exp S [ф0, i|>e] B1.1)
можно интерпретировать как статистическую сумму для системы
«быстрых» частиц в медленно меняющемся поле ty0- Функционал
6 Зак, 496 161

S имеет смысл «гидродинамического действия». В интеграле по
^о. 4>о_ удобно перейти к переменным р, ф (tt>0 = l^pexp (i<p), >p0 —
= 1/рехр (—1ф)).
Для модели двумерного бозе-газа выражение S дается формулой
B0.3) (в пределе Т->-0). Заметим, что коэффициент при —^^—
в гидродинамическом действии имеет смысл плотности сверхте-
сверхтекучей компоненты ps, которая в пределе Т -> 0 совпадает с полной
плотностью р = р^. Имея в виду это замечание, в дальнейшем
будем заменять рх на ps.
При выводе выражения B0.3) для гидродинамического дей-
действия двумерного бозе-газа по существу учитывались только функ-
функции г|з0, г|з0, не обращающиеся в нуль. Учтем теперь вклад в конти-
континуальный интеграл от функций i]:0, i]:0, обращающихся в нуль на
дискретном множестве точек плоскости х (при каждом фиксиро-
фиксированном т). При обходе вокруг каждой такой точки фаза приобре-
приобретает дополнительное слагаемое 2пп (п — целое). Ограничимся'рас-
Ограничимся'рассмотрением точек с п = +1 и будем говорить о них как о центрах
квантовых вихрей, вращающихся в положительном или отрица-
отрицательном направлении. Точки с | п | > 1 можно рассматривать как
точки слияния | п | вихрей, вращающихся в одном направлении.
Такие образования неустойчивы и распадаются на отдельные вих-
ри с | п | = 1.
Из сказанного ясно, что учет вихрей сводится к интегрирова-
интегрированию по функциям ф (х, т), приобретающим приращение ±2я при
обходе вокруг «особых точек» — нулей функции \|з0, г|H. Необходи-
Необходимо интегрировать по переменным — плотности р (х, т) и фазе ф (х, т)
указанными условиями многозначности, а также по траекториям
центров вихрей в (х, т)-пространстве.
Опустим в подынтегральном выражении в B0.3) два последних
слагаемых [пропорциональных (VnJ и я (УфJ], которые приводят
к отклонению фононного спектра от линейного и к фонон-фонон-
ному взаимодействию. Если теперь взять интеграл от exp S по
переменной л, то приведем действие к виду
) B1.2)
где с2 — квадрат скорости звука. ¦ Замена р\ = р -*• ps объяснена
выше. Она обеспечивает справедливость формул и в случае, когда
ps существенно отлично от р.
Выражение B1.2) представляет собой записанное в евклидовых
переменных действие релятивистской системы, где значение ско-
скорости света принимает скорость звука с. Придерживаясь реляти-
релятивистской аналогии, покажем, что при учете вихрей действие B1.2)
есть по существу действие двумерной [ B + 1)-мерной] релятивист-
релятивистской электродинамики, в которой значение фотонов принимают фо*
номы, аначение заряженных частиц — квантовые вихри.
162

В переменных xlt хг, xs = сх выражение B1.2) имеет вид
B1.3)
где у Ф—трехмерный градиент фазы ср. Интеграл по ф можно взять
с помощью сдвига фазы
Ф (х)-> Ф (х) + фо(х) B1.4)
на функцию фо(х) — решение трехмерного уравнения Лапласа,
«вбирающее» в себя неоднозначность фазы. Для нахождения функ-
функции фо(х) заметим, что ее трехмерный градиент Уфо(х) = h (x) есть
решение задачи магнитостатики в трехмерном пространстве, задан-
заданной уравнениями
roth = 2nj; divh = 0. B1.5)
Здесь j — сумма единичных линейных токов, текущих по траек-
траекториям центров вихрей. Функция фо(х) есть неоднозначный ска-
скалярный потенциал магнитного поля h, порождаемого системой
линейных токов. Квадрат градиента (УфJ под интегралом B0.3)
после сдвига B1.4) превращается в сумму (УфJ + (Уф0J. Инте-
Интеграл от первого слагаемого описывает невзаимодействующее поле
и не представляет интереса. Интеграл же от (Уф0J = А2 пропор-
пропорционален энергии магнитного поля системы линейных токов.
Обычно решают задачу магнитостатики B1.5) с помощью век-
векторного потенциала a (x)(h = rot a, div a =0). Для системы ли-
линейных токов векторный потенциал а есть сумма вкладов от ли-
линейных токов
!2^.
Действие, получающееся из B1.3) заменой ф -*¦ ф0, можно пред-
представить в виде двойной суммы вкладов от различных токов:
d]t(x)d\h(y) ,», _.
f |х-у| ' V ' ;
Слагаемые с i = k в B1.7) расходятся при х, близких к у.
Эта расходимость — результат приближения, в котором вихри счи-
считаются точечными, а соответствующие им токи — линейными. Для
устранения расходимостей необходимо учесть конечные размеры
вихрей. С этой целью выделим центры вихрей кружками радиуса
г0, большего, чем радиус ствола вихря, но меньшего, чем среднее
расстояние между вихрями. Учет конечных размеров вихрей
сводится к замене
IPs y ГР dh(*)dlt(y) EB(r0) v Cj /о, оч
2mc *? JJ | x—у I с *f J
1 |x-y|<r. ' »¦ «
163

Здесь ds — j d\ \ = V~d^; Ёв(г„) -г~ часть энергии вихря в кружке
радиуса г0. Выражение ?в(го) логарифмически зависит от г0:
?в(г0)=^1п^. B1.9)
т а
Величину а в B1.9) естественно назвать радиусом ствола вихря.
По порядку величины а~ (km)—1/*, где X — химический потенциал;
т — масса бозе-частицы. Для определения а можно использовать,
например, решение Л. П. Питаевского [106] уравнений Гинзбур-
Гинзбурга — Ландау, описывающее структуру вихря.
Преобразуем теперь интегралы по |х — у | > г0 в B1.7), Вве-
Введем новый векторный потенциал А (х), разложение которого
А(х)= $ exp(ikx)a(k)d3? B1.10)
ограничивается импульсами, меньшими k0 ~ го1. Действие B0.7)
можно привести к виду
где _
тв(го)^Ев(го)^ B1-12)
есть «масса» вихря, а коэффициент
Я=2*У -fT B1ЛЗ)
имеет значение константы связи.
Записанное в евклидовых переменных действие B1.11) опи-
описывает систему заряженных частиц, взаимодействующих с элек-
электромагнитным полем А (х) (импульсы которого обрезаны на верх-
верхнем пределе k0 ~ го1). Функционал exp S' необходимо интегриро-
интегрировать по полю А (х) и по траекториям заряженных частиц. Именно
так надо поступать при квантовании системы с действием B1.11).
Интеграл по полю А (х) от exp S' может быть взят точно с помощью
сдвига А -> А + Ао, уничтожающего линейную форму по А в
B1.11). При этом возвращаемся к действию B1.7), что и доказы-
доказывает правильность выражения B1.11).
Для описания движения вихрей со скоростями, много мень-
меньшими с, удобно перейти в действии B1.11) к нерелятивистскому
приближению. В этом приближении имеем
^ B114)
о
164

Вклад скалярного потенциала Ао в действие B1.11) можно
преобразовать к члену прямого взаимодействия заряженных
частиц через логарифмический потенциал. В результате действие
B1.11) в нерелятивистском приближении имеет вид
^dtdxcPy]0(x, T)/0(y, тIп]х-у|. B1.15)
Здесь Аг — векторный потенциал в центре г'-го вихря, движу-
движущегося со скоростью Vt и обладающего зарядом g, причем
¦? = ??•, B1.16)
4я т
функция
B1.17)
в B1.15) есть плотность заряда.
Рассмотрим некоторые следствия эквивалентности системы фо-
ноны + вихри двумерной электродинамике.
При низких значениях температуры вихри в системе могут су-
существовать только в виде пар противоположного знака, связан-
связанных дальнодействующим логарифмическим потенциалом.
Покажем, что учет связанных пар вихрей не меняет степенного
характера асимптотики одночастичной функции Грина на больших
расстояниях. Возьмем в качестве S-гидродинамического действия
квадратичную форму B1.1) с заменой px->ps. Ограничимся инте-
интегрированием по функциям р, ср, не зависящим от т. Можно пока-
показать, что учет функций, зависящих от т, сводится в первом при*
ближении к поправке к коэффициенту перед степенью г~а. Этот
коэффициент здесь вычислять не будем. Ограничимся вычисле-
вычислением показателя а при учете связанных ^iap вихрей. Задача сво-
сводится к вычислению континуального интеграла от выражения
B1.18)
При наличии вихрей функции ф (г) приобретают слагаемые ±2я
при обходе вокруг вихря и потому неоднозначны. Восстановим
однозначность, проведя разрезы, соединяющие вихри каждой
пары. Удобно, кроме того, считать, что вихри, а также «источники»
х и у окружены кружками радиуса а (а — радиус ствола вихря),
и интегрировать по области вне этих кружков.
165

Сделаем в интеграле сдвиг:
где
^^4 B1.19)
При наличии вихрей возникающее при преобразовании интеграла
в B1.18) выражение
^j B1.20)
сводится не только к интегралам по окружностям вокруг «источ-
«источников» х и у, но и к сумме интегралов по разрезам. Это приводит
к дополнительному множителю
exptfSMVXoilsinej, B1.21)
при гг — расстояние между вихрями /-и пары; | Ухог | — длина
вектора VXo в месте расположения пары; Qt — угол между век-
векторами т, и VXoi- Усредняя множитель B1.21) по направлениям век-
векторов Ti, получаем
2
При большом г = | х — у | имеем
— У г] (Vxo,-J = — ¦*3sL &z = — In —. B1.23)
Здесь SB/S есть средняя относительная площадь, занятая парами
вихрей, если площадью, занятой г-й парой с расстоянием между
вихрями, считать величину 2nrf.
Формула B1.23) показывает, что степенной характер асимпто-
асимптотики имеет место и при учете вихрей, а показатель степени при-
приобретает добавку
Асе = SJS, B1.24)
малую по сравнению с а при малых a (Aa/a ->- 0 при Т -> 0) и
имеющую смысл относительной площади, занятой парами вихрей.
Рассмотрим роль квантовых вихрей в фазовом переходе из
сверхтекучего состояния в нормальное. При повышении темпера-
температуры число связанных пар вихрей увеличивается, а среднее рас-
расстояние между ними уменьшается. Наконец, при некоторой тем-
температуре Т с происходит диссоциация связанных пар. Выше тем-
166

пературы диссоциации в системе кроме связанных пар появля-
появляются также и отдельные вихри и образуется состояние, похожее
на плазму. Естественно предположить, что именно к диссоциации
связанных пар и сводится фазовый переход из сверхтекучего со-
состояния в нормальное.
Дальнодействующие корреляции при Т>ТС в состоянии
типа плазмы исчезают в результате характерного_дебаевского эк-
экранирования. В частности, коррелятор <ij) (x, т)ф (у, х{) > убы-
убывает при Т > Т с экспоненциально. Отметим еще, что исчезнове-
исчезновение второго звука при Т> Тс можно интерпретировать как прев-
превращение второй звуковой ветви в ветвь плазменных колебаний.
В то же время величина ps, определенная как коэффициент
при — ~2%г в гидродинамическом действии, не исчезает и при
Т>ТС. Этот коэффициент аналогичен величине р8, введенной
В. Л. Березинским 192] для модели плоских ротаторов. Практи-
Практически этот коэффициент совпадает при Т < Т с с макроскопически
определенной сверхтекучей плотностью везде, кроме узкой обла-
области фазового перехода, в которой начинается интенсивное образо-
образование квантовых вихрей. Таким образом, приходим к выводу, что
описание двумерной бозе-системы в терминах нормальной и сверх-
сверхтекучих компонент, пронизанных квантовыми вихрями, возмож-
возможно как ниже, так и выше фазового перехода и теряет смысл только
тогда, когда радиус ствола вихря становится порядка среднего
расстояния между вихрями.
Развитый вьпие метод описания квантовых вихрей распростра-
распространяется и на трехмерные бозе-системы. Как и в двумерном случае,
квантовым вихрям соответствуют нули функций ¦§ (х, т). Комп-
Комплексная функция ур в трехмерном пространстве при фиксирован-
фиксированном т обращается в нуль на линиях (множествах размерности 1),
а в четырехмерном (х, т) пространстве — на двумерных поверхно-
поверхностях. Необходимо интегрировать по функциям i|), i|), обращающих-
обращающихся в нуль на двумерных поверхностях в (х, т)-пространстве, а за-
затем по конфигурациям поверхностей.
Не останавливаясь подробно на особенности формализма
в применении к трехмерным системам, ограничимся качественным
рассмотрением квантовых вихрей в фазовом переходе. Получаемые
при этом выводы аналогичны сделанным в работах [107, 1083, где
использована аналогия с моделью Изинга.
При низких значениях температуры в невращающейся бозе-
системе могут существовать возбуждения в виде вихревых колец.
В формализме континуального интеграла им соответствуют замк-
замкнутые линии, на которых обращаются в нуль функции ty, ty. С по-
повышением температуры число вихревых колец в единице объема
увеличивается, а среднее расстояние между ними уменьшается.
Когда среднее расстояние между кольцами становится порядка
средней длины кольца, начинает проявляться тенденция к обра-
167

зованию длинных вихревых колец. Естественно предположить,
что фазовый переход из сверхтекучего .состояния в нормальное
связан с появлением в системе вихревых нитей бесконечной длины
(в реальной системе нитей, начинающихся и заканчивающихся
на стенках сосуда). Длинная вихревая нить образуется не сразу,
а путем последовательного объединения и удлинения вихревых
колец конечной длины. Поэтому в ситуации, когда число вихре-
вихревых колец на единицу объема достаточно велико, вероятность
существования бесконечно длинных вихревых нитей может стать
отнюдь не бесконечно малой.
Заметим, что величина р5, определенная как коэффициент при
— -)^-р в гидродинамическом действии, продолжает оставаться
отличной от нуля и выше перехода, как и в двумерной системе.
Другими словами, описание системы в терминах нормальной и
сверхтекучих компонент, пронизанных квантовыми вихрями, воз-
возможно и выше перехода. В связи с этим возникает идея, что отли-
отличие нормальной жидкости от сверхтекучей определяется харак-
характером существующих в системе вихревых возбуждений — в нор-
нормальной жидкости кроме вихревых колец должны присутствовать
и длинные вихревые нити*.
Таким образом, качественное рассмотрение показывает, что
в трехмерной системе, как и в двумерной, фазовый переход связан
с квантовыми вихрями. Замкнутые вихревые кольца в трехмерной
системе можно считать аналогом связанных пар в двумерной, а
длинные вихревые нити — аналогом единичных вихрей.
Квантовые вихри выше А,-точки во вращающемся жидком
гелии наблюдались в опытах Е. Л. Андроникашвили и сотр.
[109] в течение 18—20 мин после нагревания системы на 0,1—0,2° К
выше Я-точки. Изложенный выше материал объясняет существова-
существование квантовых вихрей выше А,-точки. Срыв же упорядоченной вих-
вихревой структуры после нагревания выше Я,-точки осуществляется
образующимися хаотически расположенными длинными вихре-
вихревыми нитями.
В заключение приведем сводку основных результатов, изло-
изложенных в этой главе.
1. Методом континуального интегрирования легко получить
теорию возмущений для сверхтекучих бозе-систем (см. § 16, 17).
2. Модификация метода с последовательным интегрированием
по быстропеременным и медленно меняющимся полям удобна для
построения низкочастотной асимптотики функций Грина и вывода
кинетических уравнений (см. § 18).
3. Интегрирование по быстрым переменным позволяет вычис-
вычислить функционал гидродинамического действия и соответствующий
ему гидродинамический гамильтониан, постулируемый в полуфе-
полуфеноменологической теории сверхтекучести (см. § 19).
4. Метод гидродинамического действия переносится на двумер-
двумерные и одномерные бозе-системы, в которых возможна сверхтеку-
168

честь без конденсата. Фазовый переход здесь означает появление
дальнодействующих корреляций, убывающих не экспоненци-
экспоненциально, а степенным образом.
5. Квантовые вихри в формализме континуального интеграла
соответствуют нулям функций ф (х, т), tj) (x, т), по которым про-
происходит интегрирование. В сверхтекучем состояни» главный
вклад в интеграл дают функции ф, ф, не обращающиеся в нуль и
описывающие состояния без квантовых вихрей, а в нормальном —
функции типа суперпозиции плоских волн. В окрестности фазо-
фазового перехода главный вклад в интеграл дают функции, почти по-
постоянные по модулю, везде, кроме стволов вихрей (см. § 21).
6. Квантовые вихри могут существовать и в нормальной бозе-
системе. Фазовый переход из сверхтекучего состояния в нормаль-
нормальное сводится в двумерной системе к диссоциации связанных пар
вихрей, а в трехмерной — к появлению длинных вихревых нитей.

ГЛАВА 7
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 22. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ
ФЕРМИ-СИСТЕМ
Явление сверхпроводимости в ферми-системах родственно сверх-
сверхтекучести бозе-систем., За основу при построении теории сверхпро-
сверхпроводимости можно взять наличие дальнодействующих корреляций,
которые появляются при температуре фазового перехода. В форма-
формализме континуального интеграла аналогом бозе-поля г|зв служит
произведение ферми-полей typ^F- Аналогом одночастичного кор-
коррелятора
,)> B2.1)
для бозе-систем в ферми-системах является двухчастичный корре-
коррелятор
тО ф (х,, т2) ф (х3> т3) ф (х4) т4)> B2.2)
(среднее четырех ферми-полей).
Будем говорить, что в системе существуют дальнодействующие
корреляции, если при фиксированных разностях хг — х2, х3 — х4
(и фиксированных тг) в пределе |хх — х3|-> оо коррелятор B2.2)
убывает медленнее, чем экспоненциально, или имеет конечный
предел. В последнем случае можно считать, что существуют ано-
аномальные функции Грина
хх, тх) ф (х2, т2)>; <ф (х„ тз) ф(х4, т4)>. B2.3)
Рассмотрим теорию возмущений для сверхпроводящих ферми-
систем, предполагая существование аномальных средних B2.3).
Такие средние тождественно равны нулю при вычислении по обыч-
обычной теории возмущений.
Один из способов получить аномальные средние — добавить
к действию ферми-системы «функционал источников»
2 (л (Р) а (р) а (-р) + л (Р)«+ (Р)«+ (~Р)) B2-4)
р
с исчезающе малыми комплексными функциями r\ {p), r\ (p), p =
= (к, а). Выражение B2.4) не удовлетворяет закону сохранения
числа частиц, и при ц,"^, отличных от нуля, будут отличны от нуля
170

и аномальные средние B2.3). Вопрос теперь в том, что будет в пре-
пределе т),~т) -*¦ 0? Если при этом аномальные средние исчезают, то
система находится в нормальном состоянии. Если же в пределе т),
т) -*¦ 0 аномальные средние имеют предел, отличный от нуля, то
имеем сверхпроводящее состояние.
Метод «источников» был использован в формализме «квазисред-
«квазисредних» Н. Н. Боголюбова [81] и с тех пор широко применяется в мно-
многочисленных работах.
К такому же результату можно прийти, используя вариант ске-
скелетной диаграммной техники, отличающийся от рассмотренного
в § 6 тем, что в нем наряду с нормальньми существуют и аномаль-
аномальные функции Грина. Напомним, что в этой диаграммной технике
линиям диаграмм соответствуют полные функции Грина, но зато
рассматриваются только диаграммы, не имеющие поддиаграмм
типа собственно энергетических частей. Вершины диаграмм сов-
совпадают с вершинами обычной диаграммной техники.
Для конкретизации диаграммной техники необходимо учесть
спин ферми-частицы и описывать частицы с различной проекцией
спина s на выделенное направление различными функциями \|)s(x, т).
Рассмотрим случай, когда отличны от нуля аномальные средние
(X, Т) 1|>_, (у, Т,)>; <№ (X, Т) Ч>±, (у, Tj)>
B2.5)
пар полей с противоположным спином, а средние <tM>e>,-
<^s>b+> тождественно равны нулю.
Диаграммная техника в этом случае содержит следующие эле-
элементы и соответствующие им выражения:
ps
ps
ps
ps
-ps
-ps
Pss\/Pis
p^s /\pzs
B2.6)
Здесь G — полная нормальная; Gt, Gx — полные аномальные функ-
функции Грина. Они заранее неизвестны и должны определяться из си-
системы уравнений. Во-первых, это уравнения Дайсона — Горькова,
выражающие функции Грина через нормальную А (р) и аномаль-
171

ную В (р) собственно энергетические части. Графически они имеют
вид
B2.7)
тождественный уравнениям Дайсона—Беляева [77] для сверхте-
сверхтекучих бозе-систем. В аналитической форме эти уравнения записы-
записываются следующим образом:
G (р) = G0(p) + G0(p)A (p)G (p) + G0(p)B ip)G1(p)l
Gt(p) = -GO(-P)B (p)G (p) + GQ(-p)A (-^(p). B2.8)
Учтя, что G0(p) дается формулой F.34), можно написать решение
этой системы в виде
?2
(~ р)
Щр)
B2.9)
Каждая из собственно энергетических частей А (р), В (р) дается
суммой диаграмм скелетнбй теории возмущений
B2.10)
Уравнения B2.7), B2.10) и образуют систему для определения
нормальных и аномальных функций Грина. Для решения этой
системы необходимо в уравнениях B2.10) ограничиться несколь-
несколькими первыми членами ряда теории возмущений или выделить глав-
главную последовательность диаграмм. Подставив вместо функций Гри-
Грина их выражения через собственно энергетические части B2.9),
сведем задачу к системе интегральных уравнений для собственно
энергетических частей.
172

Решим систему уравнений B2.7), B2.10) модели ферми-газа.
Предполагая малым газовый параметр р!/3а:
р'/3а«1, B2.11)
нетрудно выделить в B2.10) главные последовательности диаграмм
для А и В. Здесь действуют те же факторы, уменьшающие порядок
диаграммы, что и в теории бозе-газа (§ 17), а именно наличие в диа-
диаграмме аномальных и замкнутых циклов из нормальных линий,
которые можно обойти, двигаясь по стрелкам диаграммы. Поэтому
главный вклад в собственно энергетические части А (р) и В (р)
дают диаграммы, в которых эти факторы встречаются в наимень-
наименьшем количестве. Это будут все диаграммы без аномальных линий
с одним замкнутым диклом из нормальных линий для А (р) и диа-
диаграмма без замкнутых циклов с одной аномальной линией для В (р)
[существует только одна такая диаграмма для В (р), а именно
первая из указанных в диаграммном равенстве B2.10I. Остальные
диаграммы дают вклад, содержащий по сравнению с учтенными
высшие степени газового параметра. Таким образом, приходим
к приближенным равенствам
B2.12)
Фигурирующий в диаграмме для А (р) четырехполюсник изо-
изображает последовательность диаграмм
+ «•• B2.13)
Как и в теории бозе-газа, суммирование этой последовательности
сводится к замене потенциала /-матрицей, которую в области им-
импульсов k _< k,F = У^пй, можно заменить константой /0 = / {kx =
= 0, k2 = 0, z = 0). Вершина, которая в B2.6) описывает рассея-
рассеяние частиц с одинаковым спином, содержит антисимметризован-
ный потенциал и (кх — к3) — и (кх — к4). При суммировании
B2.13) это выражение превращается в антисимметризованную
/-матрицу, обращающуюся в нуль при замене /->-/0. Поэтому
в первом приближении остается только /-матрица, описывающая
рассеяние частиц с противоположными спинами. Для собственно
энергетической части А (р) получим
Л+ = /ор..; Л_ = /ор+. B2.14)
Здесь Л± — собственно энергетические части для частицы со спи-
спином ±; р± — соответствующие плотности. В отсутствие магнит-
магнитного поля и других причин, по-разному влияющих на частицы
с противоположным спином, А+ — Л_, р+ = р_. Плотности р±
173

вычислим в первом приближении по невозмущенной функции
Грина 00{р) (e-v+0):
?" • B215)
¦=p~= V-
p
={2nys[
В дальнейшем будем считать ферми-газ вырожденным, т. е. (& > L
Потом будет показано, что это на самом деле так при всех значениях
температуры ниже температуры перехода Тс в сверхпроводящее
состояние. В вырожденном ферми-газе плотность дается формулой
- B2-16)
Собственно энергетическая часть Л (р) в приближении B2.14
получается постоянной
А±= (°{2тХK'2 B2.17)
и может рассматриваться как малая поправка Ат к химическому
потенциалу %. Действительно,
1- B2.18)
Второй из диаграммных равенств B2.12) есть уравнение для
аномальной собственно энергетической части В, которая в этом
приближении не зависит от ю. Аномальная функция Грина в этом
приближении дается формулой
Gi (Р) = ,kt 8{k) , B2.19)
где параметр
B2.20)
имеет смысл ренормированного химического потенциала.
Уравнение для функции В конкретизируется в виде
174

где
Для решения уравнения B2.21) применим прием, уже использо-
использованный в § 17 для модели бозе-газа. Прибавив к обеим частям
B2.21) одно и то же выражение, запишем уравнение в виде
В (к) + Bя) j и (к - к,) В (кО -J dsk, =
B2.23)
Оператор, действующий в левой части этого уравнения на В (к),
можно обратить. Это равносильно замене в правой части потен-
потенциала /-матрицей, которую в области импульсов k ?, kp, дающей
главный вклад в интеграл, можно заменить постоянной t0. По-
Получаем следующее уравнение для В (к):
Г / th—-— \
В (к) = -А. В (к2) — — dskv B2.24)
Уравнение имеет тривиальное решение В (к) = 0 и может иметь
нетривиальное, которое и реализуется для сверхпроводящего
состояния. В силу B2.24) функция В (к) в области к ? kF есть
постоянная
В (к) = А.
Эта постоянная имеет смысл щели в энергетическом спектре, полу-
получаемом из условия обращения в нуль знаменателя функций Грина
B2.9) в приближении К — А ->¦ ц., В (к) ->- А при аналитическом
продолжении iw ->- ?. Функции Грина имеют полюса Е = ±е (к),
где е (к) дается формулой B2.22), в которой можно заменить
В (к) -*¦ А. Величина А есть- минимальное значение е (к), дости-
гаемое на поверхности Ферми при ^ = ц. Считая А Ф- 0, получим
для А уравнение
о»
1« ^й f d* (' 1 /' th i- ]/FTAl, B2.25)
о
J
о
в котором
\ (k) = k42m — (i. B2.26)
Так как в дальнейшем А оказывается малым (д С Я), то можно
пренебречь А и заменить th (p/2)V^Ia + А2 единицей везде, кроме
176

узкого интервала Ikp — k0, kF -+- k0] вблизи поверхности Ферми,
если выбрать k0 так, чтобы выполнялись неравенства
Л«^«Ь; ^»7\ B2.27)
В результате получим для интегралов по \k — &F|;>? и |& —
—kp\ < k0 выражения
Г
J
f (i kJ—
\k-kF\>ku
k*
0
Уравнение B2.25) можно переписать в виде
f *ьр/2/р + Д'^у B2.28)
Для решения этого уравнения необходимо, чтобы *0 было отрица-
тельйо. Это значит, что потенциал взаимодействия ферми-частиц
должен быть притягивающим. Обозначим
2я2
Параметр ? мал (?< 1) в силу условия малой плотности B2.11).
Уравнение B2.28) имеет решение только при достаточно низ-
низких температурах Т — (З. Температура перехода Т с определяется*
как температура, при которой решение исчезает (А = 0). При
А = 0 имеем
f)/ .
С th(p/2)T/|2+A2
о
(opj 7 tax . . 2AoftfY
о
176

где In v = С = 0,577... — постоянная Эйлера. Подстановка
B2.30) в B2.28) дает
лт
B2.31)
Найдем теперь значение А @) щели А при Т — 0. Подставив
в B2.28)
1п=^, B2.32)
о
получим
¦1/?—2). B2.33)-
m
Вспомогательный параметр k0 в окончательные ответы B2.31),
B2.33) не входит, как и должно быть. Разделив B2.31) на B2.33),
получим соотношение
Тс = G/я)Д (б), B2.34)
общее в теории сверхпроводимости. Оно верно также в модели
БКШ [141] и в модели электрон-фононного взаимодействия [38].
Заметим в заключение, что, как и предполагалось, ферми-газ
остается вырожденным вплоть до Т = Тс, так как
? «Х B2.35)
Лп
и условие вырождения РА, > 1 выполнено при Т^.ТС.
§ 23. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ ВТОРОГО РОДА
'Взаимодействие электронов сверхпроводимости с электромаг-
электромагнитным полем приводит к некоторым интересным эффектам. Одним
из самых известных является, эффект Мейснера, заключающийся
в том, что достаточно слабое магнитное поле выталкивается из
сверхпроводника. При увеличении магнитного поля возможны
два случая.
1. Поле проникает в сверхпроводник, переводя его в нормаль-
нормальное состояние. Такие сверхпроводники называются сверхпровод-
сверхпроводниками первого рода.
„ 2. Образуется так называемое смешанное состояние. При этом
поле частично проникает в сверхпроводник, в котором образуется
периодическая решетка квантовых вихрей. Это явление называется
сверхпроводимостью второго рода, а сверхпроводники, где оно воз-
возможно, — сверхпроводниками второго рода.
Образование решетки квантовых вихрей было предсказано
А. А. Абрикосовым еще в 1952 г. [104] на основе феноменологической
177

теории сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау [144]. Появлений
микроскопической теории сверхпроводимости позволило вывести
уравнения Гинзбурга — Ландау из микроскопической теории и
выяснить смысл параметров, входящих в уравнения. Оказалось,
в частности, что входящий в теорию эффективный заряд равен
удвоенному заряду электрона, т. е. заряду куперовской пары.
В этом параграфе рассмотрим применение метода континуального
интегрирования к некоторым вопросам сверхпроводимости второго
рода. Прежде всего докажем, что в постоянном однородном магнит-
магнитном поле невозможно однородное сверхпроводящее состояние. От-
Отсюда следуют три возможности:
а) магнитное поле выталкивается из сверхпроводника (эффект
Мейснера);
б) магнитное поле разрушает сверхпроводимость;
в) образуется неоднородное состояние сверхпроводимости.
Именно последняя возможность реализуется в сверхпроводни-
сверхпроводниках второго рода, где образуется решетка Абрикосова. Покажем,
что площадь параллелограмма решетки определяется чисто кинема-
кинематически из соображений градиентной инвариантности.
Далее на примере ферми-газа выведем уравнения Гинзбурга —
Ландау методом континуального интегрирования по быстрым и мед-
медленным полям. Эти уравнения дают условия экстремума функцио-
функционала, имеющего смысл гидродинамического действия сверхпровод-
сверхпроводника. Известно, что уравнения Гинзбурга — Ландау справедливы
вблизи фазового перехода, когда энергетическая щель А в спектре
одночастичных возбуждений мала по сравнению с ее значением при
7 = 0. При низких значениях температуры в слабом электромагнит-
электромагнитном поле можно получить уравнение для функции, имеющей смысл
отклонения параметра порядка от равновесного значения.
Функционал действия S ферми-системы в электромагнитном поле
отличается от функционала F.1) заменой
дх -*¦ дх + tap, V -*¦ V + \е А, B3.1)
а также добавкой, описывающей взаимодействие снина с магнитным
полем. В постоянном магнитном поле Н имеем:
Ф = 0; А = -^[Н, х]; B3.2)
s = f dx dx 2 (ф/а, v- V-1 (v+ieA) ч>. |2+ад, +
,1)Р.-<У,ч), B3.3)
у)р.()
$s'
где
Р.(*.'0 = ф.(х,т)Ч>.(х,т) B3.4)
есть плотность электронов с проекцией спина s.
178

Рассмотрим, как изменяются нормальные и аномальные средние
G (х, т; у, xt) = <ф, (х, т) $, (у, т^);
J
G,(x,t; y,Ti) = <4>.(x.*L>-.(y.*i)> / ( ' ;
при трансляциях х -»- х + а, у -»- у + а. Средние B3.5) можно за-
записать через континуальные интегралы от произведений усредняе-
усредняемых антикоммутирующих полей с весом exp S. Заменим в действии
Sx-»-x + a, у -» у + а. При этом
[Hx]^A' J[Hx]+J[Ha] B36)
Будем считать функции t|>8 (х + а, т), -ф3 (х + а, т) новыми перемен-
переменными континуального интегрирования. Это приводит к выводу, что
средние B3.5) от полей со сдвинутыми аргументами равны средним
от полей с первоначальными аргументами, но вычисленным при век-
векторном потенциале А' B3.6) вместо А B3.2). Можно возвратиться
к первоначальному вектор-потенциалу А, совершив фазовые преоб-
преобразования ферми-полей:
,(x, т);
Ч>, (х, т)-»- ехр ^—- [На] х\ % (х, т).
При этом восстанавливается форма действия B3.3), а из-под знака
континуального интеграла выносится множитель ехр D-lHa] (х ± у)).
Получаем формулы
Q (х + а, т; у + а, хг) = ехр ( Ц- [На] (х — у)) Q (х„ г, у, rt);
G1(x + a, т; y + a,Ti) = exp/^-[Ha], x + yJG1(x,t; y.-rj.
B3.8)
Вторая из них приводит к невозможности однородного сверхпрово-
сверхпроводящего состояния в однородном магнитном поле. Действительно,
для однородного состояния формулы B3.8) были бы верны для любо-
любого а. Если теперь в B3.8) сделать еще один сдвиг х-^-х + Ь,
у -*¦ у + b на произвольный вектор Ь, то получим, что функция
Gx при сдвиге ее аргументов х, у на а + b приобретает множитель
ехр (ie[На] Ь) ехр f ^-e[H, a+ b], x + у]. B3.9)
С другой стороны, если просто заменить в B3.8) а -*~ а + Ь, полу-
получим вместо B3.9) множитель
ехр у (е[Н, а + Ь]х + у). B3.10)
179

Совпадение B3.9) и B3.10) возможно только при условии
exp i (eH la, Ы) = 1, B3.11)
которое не может быть выполнено при любых а, Ь. Таким образом,
однородное сверхпроводящее состояние в магнитном поле невозмож-
невозможно.
Можно удовлетворить равенству B3.11), считая, что векторы
a, b образуют в плоскости, перпендикулярной к Н, периодическую
решетку с площадью минимального параллелограмма
, B3.12)
где п — целое положительное число. Положив п = 1 и считая ре-
решетку треугольной, имеем длину стороны а:
/ *L_y/. B3.13)
Таким образом, получена возможность периодической структуры
в сверхпроводнике.
Выведем теперь функционал гидродинамического действия для
модели ферми-газа с исходным действием B3.3). Условия его экст-
экстремума дают уравнения, детально описывающие периодическую
структуру. Распространим идею последовательного интегрирования
по быстрым и медленным переменным на ферми-системы. Медленно
меняющейся частью гр0 (х, т) ферми-поля ty (x, т) назовем часть сла-
слагаемых в разложении
*(x,x) = (pV0-1/a 2exp[i(coT-kx)]a(/>) B3.14)
k,«> v '
с импульсами к в узком слое | k — kF \ <. k0 вблизи поверхности
Ферми. Разность ij)—1)H назовем быстропеременной частью ^
поля ij).
Взяв континуальный интеграл по быстрым переменным
exp Sd^ <% = exp S' [%, %], B3.15)
получим функционал от медленных переменных %, tjv Нетрудно
вычислить функционал S' для системы малой плотности. В первом
приближении можно ограничиться членами не выше четвертого по-
порядка по полям ф0, фо- В этом приближении S' имеет вид
^^dxdx. B3.16)
В отличие от исходного действия B3.3) здесь свободный член p$V,
а химический потенциал Я и потенциал взаимодействия и (х — у)
заменены ренормированными величинами jt и f б (х — у). Величина
180

р0, имеющая смысл давления неидеального ферми-газа без частиц
с импульсами | k — kp \ < k0, дается формулой
Ро = -тёп J ln(l+exp[-pell(k)])d»ftx
|*-*F|>*o
X(-t')(Bn)-s Г — V. B3.17)
.. J exp[Pe0(k)]+l '
\ |*-*F|>*« /
Здесь 8o(k) = 9^—A, — невозмущенный энергетический спектр;
t' — определенная ниже B3.21) ^-матрица. Ренормировка X->-\i
дается формулой
р = К *—' Г ** . B3.18)
BitK J exp [pe0 (k)] + 1
Наконец, ^-матрица t' получается в результате суммирования
последовательности диаграмм B2.13), описывающих рассеяние час-
частиц с противоположным спином, причем импульсы внутренних
линий в этих диаграммах расположены вне слоя j k — kp \< k0.
Такая /-матрица определяется уравнением
/'(ki, k2;
х J и (кг- к3) * Г (к3, к,; 0) d'k, =
= Ы(к1-к2).. B3.19)
Перепишем его в виде
1-к3)Г(к3, к2; 0)-^d»*,=
8
п)-^ «(^-^/'(к,, к2; 0) -2-
J \ Jfef
2во(кз)
B3.20)
и обратим оператор, действующий на t' слева. Такой прием, уже
многократно использованный выше, дает функцию /' (к1( к2; 0),
которую в области k ~ kp можно заменить постоянной
t'=ta +
mtl ? ' Ш
tlkB I 4k.
B"K ik-ki\>k. \k% 2e»(k) f
B3.21)
181

зависящей от вспомогательного параметра k0. Далее будет видно,
что окончательные ответы не зависят от k0. Сделаем еще два замеча-
замечания к формуле B3.16).
1. Учет рассеяния частиц с одинаковым спином ведет к замене
антисимметризованного потенциала антисимметризованной /-мат-
/-матрицей t', исчезающей, если заменить f константой. Поэтому
в первом приближении взаимодействие частиц с одинаковым спином
не дает вклада в 5'.
2. Мы пренебрегли зависимостью р0 от А, ф. О законности такого
пренебрежения будет сказано ниже.
Явление сверхпроводимости должно получаться при интегриро-
интегрировании функционала ехр 5' по медленным переменным 4f>0, \f>0. Перей-
Перейдем от интеграла по ферми-полям'фо, 'Фок интегралу по вспомогатель-
вспомогательным бозе-полям. Это делает еще более полной аналогию сверхпро-
сверхпроводимости со сверхтекучестью бозе-систем. Для реализации этой
идеи введем под знак интеграла по ферми-полям ^0, ф0 гауссов ин-
интеграл
J ехр {jj did3 х (С)'1 с (х, т) с (х, т)} dcdc B3.22)
по вспомогательному комплексному бозе-полю с (х, т). Квадратич-
Квадратичная форма в экспоненте подынтегрального выражения B3.22) отри-
отрицательно определена, если считать потенциал взаимодействия
и (х — у) притягивающим, а величину f — отрицательной. Сделав
в интеграле по с, с сдвиг
с (х, т) ->- с (х, т) + ? ^0+ (х, т) %. (х, т);
с (х, т) -*¦ с (х, т) + /' %- (х- т) Фо+ (*т)
преобразуем подынтегральное выражение в интеграле по
с, с в ехр 5", где функционал 5"
} B3.23)
у\с\2} B3-24)
квадратичен по i]jOs, i|)Og. Теперь можно вычислить гауссов интеграл
по i()es, ifos- Формально он равен определителю оператора
М=\ 1 B3.25)
—с, дх+ — + — (V—iekf—ц — \еу
2М 2М
действующего на пару ферми-полей rj?o+, г|зо_. Оператор зависит
от функций ф, А, с, с. Его определитель можно регуляризовать,
182

разделив на определитель оператора Мо с нулевыми значениями
Ф, А, с, с. Таким образом, можно написать
== $ ехр {$ (О1 с \\d% dx + \n det M/Mo} dc dc. B3.26)
Вычислим In det M/Mo по формуле
In det M/Mo = In det M/Mt + In det MJMO, B3.27)
где Mi — оператор М B3.25) при с = с = 0. Второе слагаемое в
B3.27) не зависит от бозе-поля с (х, т), оно будет рассмотрено позже.
Первое слагаемое разложим в функциональный ряд по с, с:
In det M/Mj. = Sp In M/Mi = Sp In (/ — Gu) =
°° l г "
= — У. П dSjCi d%i iTG (XL ТЬ Хг.Т2|ф, A) «(Xj, T2) X
xG(x2l та; x3, т3|ф, А)ы(х3> т3), ..., «(х^т^. B3.28)
Здесь знак tr означает след матрицы второго порядка, и (х, т) —
матрица
б — матрица Грина
а} B3-30)
в которой G± — функции Грина, определяемые уравнениями
±(х)т; у, Т1|ф, А) =
= б(х-у)в(т-т1). B3.31)
В разложение B3.28) дают вклад только четные п, так как G — диа-
диагональная матрица, а диагональные элементы и равны нулю.
Ограничимся в разложении B3.28) членами второго и четвертого
порядка по с (х, т). Это возможно вблизи фазового перехода, где,
как будет видно далее, главный вклад в интеграл по | с (х, т) | 2
дает окрестность положительного р0, которое имеет смысл плотно-
плотности конденсата и исчезает в пределе Т -*~Те.
В члене четвертого порядка пренебрежем зависимостью функций
Грина G± от полей ф, А и будем в первом приближении считать аргу-
183

менты всех функций и совпадающими. Это приводит к следующему
выражению для члена четвертого порядка:
4-f П
2 J <=i
|с(х,т)|*0+A,2H.B,3H+C,4H.D,1), B3.32)
где /j± A, 2) = G± (хь тх; х^, т^.
Перейдя к импульсному представлению для функций Грина
G±, можно взять интеграл по (ха, т2), (ха, х3), (х4, tJ. Это приводит
для B3.32) к формуле
—L Г | с (х, т) |* dxds х. B3.33)
Коэффициент Ъ
Т vi/..« , ^9/,_ч\_? B3.34)
р
легко вычислить, перейдя к интегралу по | (к) = ^ — ц, (в слое
= mkp JL JL V _!_ = 7?C)mfef , B3.35)
где ? C) — ^-функция Римана при s = 3; Г в формуле B3.35) сле-
следует считать равной температуре фазового перехода Те B2.31).
Член второго порядка разложения B3.28) имеет вид
— ^ dx dy dxx G+ (х, т; у, тх; ф, A) G_ (у, тх; х, т; ф, А) х
Х'с(х,х)с(у,х1). B3.36)
Используем далее приближение
У
G± (х, т; у, т1; ф, А) ехр {± i e$ (A dx+<pdx)} Go± (х-у, т-т,), B3.37)
X
учитывающее зависимость G± от полей ф, А. Эта формула получает-
получается в нерелятивистском приближении из формулы A3.14) для функ-
функции Грина электрона в медленно меняющемся поле, причем интег-
интеграл взят по прямой линии, соединяющей (х, т) и (у, Tj).
Использовав далее формулу
5 (x,T), . B3.38)
X
134

можно переписать B3.36) в виде
0+(x—y,x—T')G0_{y — x,x' — x)c(x, т) х
X exp i I ((V + 2ieA) dx + (d, +.2ieq>) dt)\ с (х, т). B3.39)
Из этой формулы видно, что для вычисления этого функционала на-
надо сначала вычислить его для нулевых значений внешнего поля,
заменив затем в окончательных ответах действующие на с (х, т)
производные «ковариантными» по правилу
V->V + 2 ieA; дх -*¦ дх + 2 i«p. B3.40)
Функционал B3.36) при ф = 0, А = 0 легче всего вычислить
в р-представлении, где он равен
— 2 А (р) с+ (р) с (р). B3.41)
р
Здесь
..реПч) Ре (k-
th—-— + th— -
= —Bя)~3 ' — d3klt B3.42)
*i 2(e(k) + 8(kk)ico)
|*,i|<*. 8(k-kJ)-ico)
где ъ{к)=~-\к.
Выделим из А (р) постоянную А @), вклад от которой объеди-
объединим с (f)~l \ | е |2 dxdx. Получим при ф = 0, А = 0 выражение
2 (А@)-А(р))с+(р)с(р)
\c(x,x)\dxdx. B3.43)
Этот функционал напоминает функционал действия неидеального
бозе-газа. Здесь первое слагаемое — кинетический член, а третье
описывает самодействие бозе-поля с (х, т). Используя B3.21), коэф-
коэффициент перед вторым слагаемым можно записать в виде
(к)
+Bя)
-з
2е(к)
кр *0
J -l~d\\. B3.44)
185

Это выражение исчезает при Т — Тс в силу B2.28). Поэтому можно
переписать его в виде
mkp
oo
¦1
I
Тс
In— :
Т
mkB ДГ
—-?¦ — B3.45)
2lt2 Ге
где АГ = Г с— Т. При Т <ТС коэффициент B3.44) положителен,
а функционал B3.43) имеет максимум при | с (х, т) [2 = р0 = const.
Это постоянное значение
mk.
16 Тс ДГ
2я2 Т, Ъ
B3.46)
имеет смысл плотности конденсата.
Таким образом, в развитом формализме фазовый переход ферми-
систёмы описывается так же, как в теории бозе-газа. Главный вклад
в интеграл по вспомогательному бозе-полю с (х, т) дают функции,
у которых квадрат модуля Jc|2 близок к плотности конденсата р0.
В дальнейшем применим функционал B3.43) только к описанию
стационарных явлений в сверхпроводниках. С этой целью проин-
проинтегрируем по коэффициентам Фурье с (р), с+ (р) с <а Ф 0. Это дает
постоянную добавку к действию B3.43) и приводит к ренормировке
коэффициентов в формах второй и четвертой степеней в B3.49).
Можно показать, что эти поправки малы и ими можно в первом приб-
приближении пренебрегать. Таким образом, с точностью до несуществен-
несущественного постоянного слагаемого результат интегрирования по с (р),
с+ (р), <а^=0 сводится к тому, что можно оставить в B3.43) функции
с (х, т), с+ (х,т), не зависящие от т, коэффициенты Фурье которых
с (р), с+ (р) имеют частоту <а = 0.
В результате вместо B3.43) получим функционал
B3.47)
При малых к имеем
Л@) — Л(к) = Bя)~3
X
186

4|
F ни ..\н dx
384 я2 тТ\
f(th*)'—, B3.48)
причем
(thx)" —= — У =—— SC). B3.49)
л= 0
В результате кинетический член в B3.47) преобразуется к виду
)-Л(к, 0))|c(k,0)|2 =
= — F8F ?( ) (|Vc/x х)\*<13Х,
48я*Г? J
B3.50)
где 8f = |л — энергия Ферми.
Введем вместо с (х) новую функцию
и запишем функционал B3.47), заменив производную V в кинети-
кинетическом члене ковариантной V + 2ieA согласно B3.40):
Р j ( —-^
(V + 2ieA) Мр (х)
+ Л | ф (х) Р-
B3.52)
Здесь
с~1т at Pit* Ts
B3.53)
г 14tC)m*Fe?
К функционалу B3.52) следует добавить выражение
—Ё_ Г (rot AJ d3 х, B3.54)
вписывающее стационарное магнитное поле, а также вклад in det
Мг!Мй в B3.57). Этот функционал описывает магнитную поляриза-
поляризацию среды. Для слабых полей А (х) он отличается от B3.54) коэф-
коэффициентом поляризации х. Коэффициент х имеет порядок kvf/c,
где а = -у^ — постоянная тонкой структуры; vfIc — отношение
187

скорости на поверхности Ферми к скорости света. Так как х < 1,
можно в первом приближении пренебречь вкладом In det MXIMO и
иметь дело с функционалом
5-" = _р j" ^ х ^JL {rot АJ + _L |(v + 2\е\) Ч> (х) |г-
) B3.55)
Функционал exp S"' надо интегрировать по комплексным функ-
функциям^ (х),ф (х), а также по векторному потенциалу А (х). Главный
вклад в такой интеграл дают окрестности классических решений.
Эти решения удовлетворяют системе уравнений
rotrotA = j = !?-(уг)>г|з—Мр\/Мр) — ф^А, B3.56)
2/71 т
которые и представляют собой уравнения Гинзбурга — Ландау.
Метод континуального интегрирования, использованный для вы-
вывода этих_ уравнений, позволяет в принципе учесть и флуктуации
полей *ф» -ф, А вокруг классических решений. Для их учета необхо-
необходимо произвести в континуальном интеграле сдвиг на решения клас-
классических уравнений
1|,_>1j,+1|,0; ^-^4% А-^А + А0 B3.57)
и построить теорию возмущений, взяв за невозмущенное действие
квадратичную форму по полям г|з, •$, А, а формы высших степеней
рассматривая как врзмущения. Здесь этим заниматься не будем.
В качестве примера применения уравнений Гинзбурга — Ландау
определим структуру вихревой решетки вблизи фазового перехода и
величину критического магнитного поля Н (для него общепринято
обозначение НСа). Величина Нс, — это поле, которое надо прило-
приложить к сверхпроводнику, чтобы перевести его в нормальное состоя-
состояние. Вблизи фазового перехода можно пренебречь правой частью
во втором и членом g | ф | ф в первом уравнении. Второе уравнение
имеет решение А = у (Нх).
Первое уравнение
(У+ИНх]Jг|з(х) Л1|)(х) B3.58)
есть уравнение Шредингера для частицы заряда 2е и массы 2т
в постоянном магнитном поле Н. Если решение^ не зависит от сос-
188

тавляющей х вдоль Н, спектр возможных значений Л (уровни Лан-
Ландау) имеет вид
A=^L(n+±), /1 = 0,1,2,... B3.59)
т \ 2 У
Наименьшее возможное значение (я = 0) соответствует наибольшей
величине критического поля
B3.60)
Построим решение B3.58), описывающее периодическую струк-
структуру. Возьмем частное решение ф (х), соответствующее низшему
уровню Ландау. Функция ф (х + а) удовлетворяет уравнению
B3.58) с заменой [Нх] -> [Нх] + [На], что соответствует изменению
калибровки векторного лотенциала. Можно возвратиться к прежней
калибровке, заменив ф -»- ф ехр ( — \е [На)х);
Таким образом, функция ф (х + а) ехр (— \е [На] х) также
удовлетворяет уравнению B3.58). Полагая а равным вектору решет-
решетки и суммируя по всем таким векторам, получим функцию
ф (х) = 2ехР ( —{е 1На1х) Ф (х + а), B3.61)
описывающую периодическую структуру. Напомним, что любые
два вектора решетки должны удовлетворять условию B3.11). Ис-
Используя это равенство, получим закон преобразования г|з (х) при
сдвиге на вектор решетки Ь:
ij5(x + b) = exp(ie[Hb]x)r|3(x). B3.62)
Удобно взять в качестве частного решения ф (х), соответствующего
низшему уровню Ландау, функцию
Ф (х) = (х-п/)ехр ( —^(х* + у>) ), B3.63)
где х, у — координаты на плоскости, перпендикулярной к Я. Соот-
Соответствующая ему функция i|) (х) B3.61) обращается в нуль в точках
решетки, а ее фаза получает при обходе вокруг этих точек прираще-
приращение — 2л. Поэтому можно сказать, что функция B3.61) описывает
решетку квантовых вихрей, образующуюся в сверхпроводнике в маг-
магнитном поле, меньшем критического Нс, B3.60). Можно показать
[при учете нелинейных членов в уравнениях B3.56)], что наимень-
наименьшая энергия достигается для треугольной решетки.
Периодическая решетка квантовых вихрей образуется также
во вращающейся сверхтекучей бозе-системе, где вместо магнитного
поля Н существует вектор угловой скорости to. Развитый в этом па-
параграфе метод описания вихревой решетки применим и к бозе-сис-
темам.
189

ГЛАВА S
ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ
§ 24. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ В ТЕОРИИ
ПЛАЗМЫ
В этой главе рассматривается применение метода континуаль-
континуального интегрирования к плазме, т. е. системе ферми-частиц с куло-
новским взаимодействием. Для такой системы стандартная теория
возмущений приводит к расходимостям, родственным инфракрасным
расходимостям квантовой электродинамики. Чтобы устранить их,
используют метод интегрирования по быстрым и медленным пере-
переменным (см. § 12) и с его помощью получают функционал гидродина-
гидродинамического действия для плазмы. Из многочисленных приложений,
возможных для этого функционала, выбрана задача о плазменном
спектре и его затухании.
Для простоты рассмотрим модельную систему электронов на
фоне однородного компенсирующего заряда противоположного
знака.
Исходный функционал действия имеет вид
S = Сdx\dx(ф(х, т)дхф (х, 1)—±-Щ(х, т) Vr|>(x, т) +
х [х^у| г|Чу,тЖх,т). B4-1)
Здесь первое слагаемое описывает систему невзаимодействующих
электронов, а второе — кулоновское взаимодействие.
Учет фона сводится к тому, что в фурье-разложении потенциала
exp[ik(x-y)]k-2 B4.2)
отсутствует слагаемое с к = 0.
Как обычно, функции Грина определим как средние с весомч
exp S от произведения нескольких ферми-полей ijj, \|> с различными
пространственно-временными аргументами. Стандартная теория воз-
190

мущений может привести к расходимостям, так как выражение, со-
соответствующее вершине кулоновского взаимодействия ферми-частиц
|к1-кз|-2-|к1-к1П, B4.3)
бесконечно в пределе кх -> к3 или кх -*¦ к4. При интегрировании
произведений типа B4.3) и возникают сингулярности.
Для перестройки теории возмущений^ введем под знак конти-
континуального интеграла по ферми-полям •§, ty континуальный интеграл
по вспомогательному бозе-полю ф (х, т):
^) B4.4)
где d<p — мера интегрирования.
Сделаем в интеграле по ср (х, т) сдвиг
Ф (х, т) -*» Ф (х, т) + ie2 f d3_y $ (у, т) ф (у, т), B4.5)
J I ^ УI
сокращающий член кулоновского взаимодействия в исходном дейст-
действии B4.1). В результате получаем действие вида
f dx dx [ ijj дх ф—^1 _j_ Цур _ j ф (Х> т) ij> (x, т) ф (х, т) —
Л B4.6)
Это выражение описывает систему ферми-частиц, взаимодействую-
взаимодействующих с полем скалярного потенциала ф (х, т). Переходом от B4.1)
к B4.6) по существу была реализована идея Фарадея о близко-
действии. Для системы с действием B4.6) нетрудно сформулировать
теорию возмущений. Обозначая поле ^ сплошной направленной
линией, а поле ф — волнистой линией, будем иметь следующую
диаграммную технику:
B4.7)
Такая теория возмущений по существу совпадает со стандартной
теорией возмущений с вершиной B4.3) и еще не ведет к устранению
расходимостей при малых импульсах. Желаемого результата можно
добиться, используя идею последовательного интегрирования по бы-
быстрым и медленным переменным (§12).
191

Определим медленно меняющуюся часть <р0 (х, т) поля ср (х, т)
как сумму составляющих в разложения
Ф (х, т) = -4= 2 ехР П (©т-kx)] ф (р) B4.8)
с импульсами к, меньшими некоторого k0. Быстропеременной частью
<pt (х, т) назовем разность <р (х, т) — ф0 (х, т).
Физическая основа разбиения поля ер на быструю и медленную
компоненты в том, что для описания рассеяния в среде двух электро-
электронов с малой передачей импульса необходим учет коллективных эф-
эффектов, в то время как столкновение двух электронов с большой
передачей импульса можно рассматривать независимо от других
частиц среды.
Разбиение электронного поля на быструю и медленную компонен-
компоненты полезно в тех случаях, когда электроны с большими импульсами
существенно определяют свойства плазмы. Например, во внешнем
электрическом поле быстрые электроны могут привести к неустойчи-
неустойчивости системы.
Под гидродинамическим действием плазмы понимают действие
быстрых электронов tyv ifo в медленно меняющемся поле ф0. Оно оп-
определяется формулой
expS [%, г|з, ф0] = ^ exp S [% + Ь,% + ifo, Фо + <рх] d% d% йщ.
B4.9)
Если отсутствует внешнее поле, то нет необходимости в рассмот-
рассмотрении быстрых электронов, поэтому можно положить % = % = О,
Фо = ф| ^о — "Ф- В этом случае гидродинамическое действие
S [фо1 описывает плазмоны и их взаимодействие. Для его получения
проинтегрируем функционал exp S по ферми-полям ф, ф и по быстрой
компоненте фх бозе-поля ф.
Интеграл по ферми-полям tp, ф гауссов и формально равен опре-
определителю оператора
2т
Для регуляризации разделим det M на определитель det Mo опера-
оператора, получающегося из М при ф = 0. Таким образом, можно на-
написать
fexpSd*d>|) = exp(lndet-Af/Al0—Д— Г(Уф)а dxdx). B4.10)
J ( 8ле2 J j
Прежде чем разложить In det M/Mo в функциональный ряд по
Ф (х, т), удобно преобразовать зависимость этого выражения от мед-
медленно меняющегося поля ф0 (х, т). Представим ф0 (х, т) в виде суммы
Ф0 (х, т) = фо (х, т) + фо (х, т) B4.11)
192

постоянной по «времени» т, составляющей ф0 (x) и слагаемых с час-
частотами со -ф 0:
Фо(х. т) =
со =И= 0
expli(kx—ют)]ф(р).
Сделаем в интеграле по i|?, ip замену переменных
t
1р (х, т) -*• ф (х, т) exp i § ф0 (х, т) dr;
где
_ _ т
Ч> (х, т) -»- ф (х, т) ехр - i J ф0 (х, т) dx, B4.12)
B4.13)
Гфо(х,т)с1т = —^— У т^-
Ш ^ 0
Это преобразование, не меняющее определителя, превращает опера-
оператор М в оператор
1 / . С -
2m \ J °
x, т)).
B4.14)
Разложим функционал In det Мг1М0 в ряд по переменным ф0, фг.
Изображая это разложение графически, сохраним волнистую ли-
линию за полем фг, а медленно меняющемуся полю ф0 будем сопостав-
сопоставлять двойную линию. Согласно структуре выражения B4.14),
будем иметь два типа вершин, описывающих взаимодействие элект-
электронов с медленно меняющимся полем:
Pi
В этих обозначениях разложение
7 Зак. 496
B4.15
B4.16
19:

представляется суммой колец из электронных линий, к которым
всевозможными способами присоединим вершины взаимодействия
с быстрыми и медленными компонентами потенциала ф. Заметим,
что вклад кольца с одним отростком исчезает в силу учета фона.
Интегрирование по фх можно выполнить с помощью обычной
диаграммной техники (с обрезанием интегралов по импульсам на
нижнем пределе k0). Это соответствует всевозможным сцеплениям
диаграмм B4.16) линиями, соответствующими полю фх.
Таким образом, приходим к функционалу гидродинамического
действия:
B4.17)
)
Здесь Со — сумма всех вакуумных диаграмм, не зависящих от поля
ф0. В квадратичную по ф0 часть гидродинамического действия дают
вклад интерал от (Уф„J и все диаграммы с двумя отростками, изоб-
изображающими поле фо [например, диаграмма а, Ь, с, d, e, f в B4.17)].
Диаграммы g, h дают примеры членов третьего и четвертого поряд-
порядков в S [фо1.
На последнем этапе континуального интегрирования по полю
Фо теория возмущений определяется структурой гидродинамическо-
гидродинамического действия B4.17). Линиям диаграмм соответствует выражение
-((^)"-')
B4.18)
1
обратное коэффициенту при — -к фо (р) фо (— р) в квадратичной
форме в S [ф0]. Здесь P = a+b + c + c + d+ ... — сумма вкла-
вкладов всех диаграмм с двумя отростками. Вершины третьего и высших
порядков определяются формами степени выше второй в So [ф].
Новая теория возмущений, в отличие от диаграммной техники
B4.6), не имеет расходимостей при малых импульсах. Действитель-
Действительно, сингулярная при к->- 0 функция 4 пе%~2 заменяется выражением
B4.18). Если ю = 0, то Р конечно и отлично от нуля в пределе
к ->- 0. Формула первого приближения для Р выписана ниже B4.23).
В результате функция Go (о) = 0, к) оказывается конечной при
к ->- 0 и не ведет к расходимостям при интегрировании по к. Если
же со Ф 0, то Go (p) остается сингулярной (пропорциональной)
k~2, так как Р ~ tr в силу фор'мул B4.15) для вершины взаимодей-
взаимодействия фо-поля с электроном при со Ф 0. Однако в диаграммах линия
194

Сю^О упирается 6 две вершины, каждая из которых содержит
в силу B4.15) линейный по к множитель. Таким образом, сингуляр-
сингулярности сокращаются. Этот механизм сокращения сингулярностей
встречался выше, в теории бозе-систем (см. § 19).
Поясним физический смысл отдельных слагаемых в гидродина-
гидродинамическом действии So [ф0]. Интеграл от (V<p0J вместе с однопетле-
выми диаграммами а, Ъ описывает плазменные колебания и бесстол-
кновительное затухание Ландау. Учет диаграмм с, d, e, f необходим
при вычислении затухания плазменных колебаний, вызываемого
столкновениями заряженных частиц и плазмон-плазмонным взаимо-
взаимодействием. Наконец, диаграммы g, h описывают взаимодействие
длинноволновых плазмонов (с малыми к).
Задача о плазменном спектре, определяемом действием B4.17),
рассмотрена в следующем параграфе. Она сводится к вычислению
полюсов коррелятора
<фо(/>) Фо( — Р) > B4.19)
при аналитическом продолжении i со -»- Е.
Рассмотрим коррелятор B4.19) в статическом случае со = О,
когда он имеет смысл потенциала взаимодействия двух электронов
в среде. В первом приближении коррелятор совпадает с невозмущен-
невозмущенным B4.18), в' котором учитывается только вклад простейшей одно-
петлевой диаграммы Ь (диаграмма а равна нулю при ю = 0). Со-
Соответствующее диаграмме Ь выражение есть
Т_
v
= —V "(e(fci + fc))—"(e(fci)) , B4.20)
V J*-i iw + E(k! + k)—e(ki)
где п = (exp @e) + I) — функция ферми-распределения. Для
больцмановской плазмы
п(е)«ехр(—Ре);' е = — Я. B4.21)
2ffi
Положив в B4.20) со = 0 и считая внешний импульс к меньше по
порядку, чем среднетепловой Y^2mT, можем заменить
n(e(k!+k))—n(e(k!)) dn R ,„, „„>
что выражает
1=—L B4.23)
2
через р — плотность плазмы и температуру Т. Подставив B4.23)
в B4.18), получим
7* 195

где
рн1Р у\ B4.25)
Фурье-образ B4.24)
(е2/г) ехр (—аг) B4.26)
называется потенциалом Дебая, а величина Го — а'1 — радиу-
радиусом Дебая. Потенциал Дебая — это экранирующий потенциал взаи-
взаимодействия двух электронов в плазме, а радиус Дебая — это радиус
экранировки.
В сфере радиуса го должно содержаться много частиц, т. е.
должно быть
-^-гЬ>р~1. B4.27)
О
Следующее отсюда в силу определения rD неравенство
е2р1/3<71 B4.28)
означает, что потенциальная энергия взаимодействия двух элект-
электронов, находящихся на расстоянии г ~ р~1/3, значительно меньше
средней кинетической энергии порядка Т. Другое условие на пара-
параметры системы можно получить из требования, чтобы вклад от диа-
диаграммы d был меньше по порядку, чем от диаграммы Ъ. Вклад
d при со = О
d = ~ 2 (uo1-e(k1))-8(ic
к,, к,
ki,kt
равен произведению Т~* на выражение, имеющее смысл средней
потенциальной энергии кулоновского взаимодействия на единицу
объема. Условие \d] <^ \b\ ~ рГ означает малость средней по-
потенциальной энергии в системе по сравнению со средней кинетиче-
кинетической. Так как в силу B4.29) \d\ ~ ^m-1^-8, условие \d\<^\b\
можно записать в виде
тп
или а<//п7\ B4.30)
означающем, что характерный импульс а мал по сравнению со
среднетепловым.
Нетрудно показать, что при условиях B4.28), B4.30) вклад всех
остальных диаграмм теории возмущений в G (а» — 0, к) мал по срав-
сравнению с вкладом основной диаграммы Ь.
196

§ 25. ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Применим гидродинамическое действие B4.17) к вычислению
плазменного спектра, определяемого полюсами коррелятора B4.19)
при аналитическом продолжении io)->? [150].
Учтя только простейшие однопетлевые диаграммы а, Ь B4.17),
получим коррелятор с полюсами Е = ± Е (к), где приk<^La ~ гЪ1
B5.1)
Здесь первое, постоянное слагаемое ш0 есть плазменная частота
«.= (^)'". B5.2)
Второе слагаемое в B5.1) определяет.дисперсию плазменного спект-
спектра, а третье дает известное затухание Ландау [ПО].
Если ограничиться диаграммой а, равной
2 ? , B5.3)
fcl.
то получим коррелятор
Заменив ico —>- ?, получим плазменный спектр Е= ± ш0, не
зависящий от к. Чтобы получить дисперсию и Затухание, учтем диа-
диаграмму Ь, равную
З
х
B5.4)
При замене ico ->- ? это выражение в пределе к ->¦ 0 имеет вид
• B5.5)
197

Мнимая часть B5.4) есть
ехр(_fl./2fe«). B5.6)
i
3kT3/2
Добавка B5.5) и B5.6) к B5.3) приводит к спектру B5.1).
Затухание Ландау убывает при к -»- 0 быстрее любой степени
k. Это объясняется его бесстолкновительным механизмом, связан-
связанным с передачей энергии плазмона Е (к) электронам со скоростями,
большими фазовой скорости плазмона —-р ^ ^ (обратный эф-
эффект Вавилова — Черенкова). Число таких электронов очень бы-
быстро убывает при к -»- 0, что и приводит к столь быстрому падению
затухания Ландау.
Кроме бесстолкновительного существуют другие механизмы
затухания:
а) столкновительное затухание вызывается столкновениями за-
заряженных частиц. Этот механизм дает в рассматриваемой модели
затухание, пропорциональное &2 при к->- 0 [111];
б) затухание, обусловленное взаимодействием плазмонов, в пре-
пределе к -»- 0 конечно и отлично от нуля.
К конечному пределу стремится и столкновительное затухание
в модели двухкомпонентной плазмы частиц разной массы [111].
Как столкновительное затухание, так и плазмон-плазмонное
в пределе к-*0 превосходят затухание Ландау и поэтому являются
определяющими.
Наметим метод вычисления этих величин с помощью функциона-
функционала гидродинамического действия B4.17). Подчиним импульс k0, от-
отделяющий быстрые поля от медленных, неравенствам
B5.7)
которые выполняются при условии
72>4яре2/т = а>3, B5.8)
верном для невырожденной плазмы. Малость фазового объема об-
области малых импульсов дает возможность ограничиться в функцио-
функционале B4.17) квадратичной формой полей ср.
Проведем частичное суммирование в диаграммах с, d, e, f, вклю-
включив в волнистую линию все простейшие собственно энергетические
вставки. Обозначив результат такого суммирования двойной волнис-
волнистой линией, можно написать
B5.9)
198

Результат такого суммирования (впервые проведенного Гелл-
Манном и Бракнером [145] ) дается формулой B4.18), где Р (ico, k)
имеет вид
п г
B5.10)
Подчеркнем, что здесь было проведено суммирование B5.9) во виут"
ренних линиях диаграмм. Приближение B4.19) с Р вида B5.10)
для всего коррелятора равносильно учету только двух диаграмм
а, Ъ в B4.18) и было рассмотрено выше.
Основной результат состоит в том, что столкновительное затуха-
затухание определяется мнимыми частями диаграмм
С'
B5.11)
получающихся из диаграмм с, d, e B4.17) заменой одинарных вол-
волнистых линий двойными согласно B5.9).
Плазмон-плазмонное затухание определяется диаграммой
B5.12)
Ниже приведем аргументы, доказывающие, что именно выделен-
выделенные диаграммы B5.11) и B5.12) дают главный вклад в эффекты зату-
затухания плазменных колебаний.
Мнимые части этих диаграмм можно вычислить по общим прави-
правилам [146]. Мнимая часть диаграммы равна сумме вкладов от всех
сечений диаграммы, разделяющих ее на две части и отделяющих
ее вход от выхода. Вклад от каждого сечения выражается формулой
АВ*
Bя)
B5.13)
;=1
Здесь n — число рассекаемых линий, ImGj — мнимая часть г-й
рассекаемой линии, множители ct даются формулами
с+ (г,) = ch
ферми-линии,
с_ (zt) = sh -S-S- для бозе-линии.
B5.14)
199

Под знаком б-функций в B5.13) е, к — соответственно внешняя
энергия и внешний импульс. Наконец, А в B5.13) — выражение для
части диаграммы слева, В* — справа от сечения.
Сечение принято изображать перечеркиванием линий диаграм-
диаграммы. Из определения B5.9) следует символическая формула для се-
сечения двойной волнистой линии
B5.15)
Сечения, рассекающие только две электронные линии, приводят
к выражениям типа затухания Ландау. Они содержат множитель
ехр ( — (кго)~*) и при к -*¦ О убывают быстрее любой степени k.
Поэтому мы их не учитываем.
Обратимся к сечениям, рассекающим четыре электронные линии.
Простейшие из них определяются диаграммами с', d', e' B5.11).
Более сложные диаграммы, т. е. содержащие большее число линий
взаимодействия, дают меньший вклад. То же самое можно сказать и
о сечениях, рассекающих большее число электронных линий —
шесть и т. д.
Главный вклад в мнимые части диаграмм с', d' B5.11) дают сече-
сечения, рассекающие двойные волнистые линии. Используя B5.15),
эти сечения можно записать в виде
+ J О Ь B5.16)
Главный вклад в мнимую часть диаграммы е' B5.11) определяется
сечением
B5.17)
не проходящим через волнистые линии.
Сумму вкладов сечений B5.16), B5.17) можно записать в виде
Г
J
х
Bп)« BпI
200
B5.18)

Здесь
(]r _ Ь _J_|/4
B5.19)
ег = /г?/2т —X, Go —функция Грина B4.19),
hi = (E + e(ki) —е(кг +к) + Ю)-\ 1 = 1,2 B5.20)
(? + е(кг—k) — e(k;) + iO)~1, t = 3,4,
rtj = (ехр фе{) + I) — фермиевская функция распределения.
В формуле B5.18) интегрируем по области \ кг — к31 < к0.
Часть затухания, определяемая выражением B5.18), дается
формулой
B5.21)
k
Интеграл B5.18) описывает неупругое рассеяние на малые углы
частиц с функцией распределения п (е). Поэтому затухание B5.21)
называется столкновительным.
Вычислим интеграл B5.18) для горячей больцмановской плазмы
с функцией распределения щ = ехр (— р*ег). Введем новые пере-
переменные
B5.22)
В этих переменных выражение для АР (<оо. Ц принимает вид
ДР(<к)= ^ |
Р<к
х ехр ( gg
( —gg Р(р2+?2) ) dPdpdq. B5.23)
\ т 4т J
Выражение для столкновительного затухания, полученное в ра-
работе [111], соответствует отбрасыванию второго слагаемого под зна-
знаком модуля в B5.19) и замене ht -> (Е—^V* в B5.20). Исполь-
Использование более точного выражения для АА* приводит к появлению
постоянной составляющей затухания порядка atoNB1 и к измене-
изменению залогарифмического члена в выражении для затухания поряд-
порядка (krof (uqNd1 In Л.
Покажем, что член, пропорциональный k*, имеет вид
201

где
In Л = in— + a B5.25)
есть так называемый «кулоновский логарифм», в котором с — «за-
логарифмический член» — безразмерная постоянная, для которой
можно получить выражение в виде конечнократного интеграла.
Ограничимся вычислением постоянной составляющей затухания
порядка coqA^d1- Она определяется членом, пропорциональным
к2 в АА*:
Часть затухания, определяемая им, имеет вид
X exp ( - p f — + p2+q2 ) ) d3 Pd3 pd3 q, B5.27)
\ \ m 4m /1
где n — k/k — единичный вектор.
Интеграл по угловой части Р легко считается
?)r B5-28)
Интеграл по q легко вычисляется
d3qb ¦*2--\-и>0 ехр —^— =—-—ехр ,
J Ч \ т ^ ° ) V \ Am ) Рр V \ 4(prDJ )'
B5.29)
так же как и интеграл по угловой части р
jdQp(np)» = -^-. B5.30)
Используя формулу
получим
TrD
Г_^Л_ (_р)= (рх)/_т_у/2 3
J Bя)? ^V К ; v XV '[ 2яЭ ) у '
« = а —1 е— J B5.32)
202

со
где Л = f dx exp (—л:2) Г dss* exp (— 1 /4s2) \u+ (¦
21/2
23/2s
,sA—u-
B5.33)
В этом интеграле мы перешли к безразмерным переменным х = р/^г,
s = pro, причем интегрирование по р с относительной точностью
порядка (коГйУ2 можно распространить до бесконечности:
ФB)=1—
Кроме вычисленной столкновительной части затухания B5.32)
часть затухания, определяемая сечением
B5.35)
в котором рассекаются две плазмонные линии, также постоянна
в пределе k -*¦ 0.
При вычислении получаем следующее выражение для затухания
B5.36)
6BяJ TrD
где
оо оо
= f dJ— Г
dss* Аи
_, sA Аи (-Ш-, sA X
2 / V sV2 /
Au = «+ — «-,
B5.37)
). B5.38)
Здесь z = Zj/coq, s — kxrD — безразмерные переменные. Интег-
Интегрирование no s с относительной точностью порядка {к0го)~г рас-
распространено до бесконечности.
Итак, затухание плазменных колебаний в модели однокомпонент-
ной плазмы имеет постоянный длинноволновый предел
limy (к) = 7!+ Т2, B5.39).
к-0
гДе Тъ Уг определяются формулами B5.32), B5.36) соответственно.
Изложенный в этой главе метод построения функционала гидро-
гидродинамического действия и теория затухания длинноволновых плаз-
плазменных колебаний обобщаются и на более реалистическую модель
двухкомпонентной электрон-ионной плазмы.
203

ГЛАВА 9
МОДЕЛЬ ИЗИНГА
§ 26. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА МОДЕЛИ ИЗИНГА
КАК КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Двумерная модель Изинга — одна из немногих нетривиальных
моделей статистической физики, испытывающих фазовый переход
второго рода и в то же время допускающих точное решение.
Первое решение двумерной модели Изинга получил Онзагер
[ИЗ], вычислив свободную энергию системы в пределе бесконечного
объема. Впоследствии результат Онзагера был получен различны-
различными методами некоторыми авторами [114—120]. Все используемые ме-
методы достаточно громоздки и многие не могут считаться вполне
строгими.
В этой главе будут выведены формулы для статистической суммы
и корреляционной функции конечной двумерной модели Изинга
с использованием формализма континуального интегрирования по
антикоммутирующим ферми-полям. При этом использованы неко-
некоторые результаты работы А. А. Молоканова [121].
Для расчета статистической суммы в пределе бесконечного объ-
объема континуальный интеграл применялся в работах Ф. А. Березина
[122] и Е. С. Фрадкина [123].
Напомним определение модели Изинга. Рассмотрим плоскую
квадратную решетку размером L X L, узлы которой занумерованы
индексом (k, 0, где k — номер строки;- / — номер столбца, 1 ^ k,
I ^ L, L2 = N есть число узлов решетки.
Сопоставим узлам решетки спиновые переменные sw, принимаю-
принимающие два значения ± 1. Наложим периодические граничные условия
Sfti = Sft+L1 i — Sk^l+L, B6.1)
которые придают решетке топологию тора. Состояние {s} спино-
спиновой системы определяется набором значений N спиновых перемен-
переменных. Будем рассматривать систему с гамильтонианом
HN(s) = — g2(ShiSh, i+i+ SftiSft+i, i)- B6.2)
Это выражение удобно интерпретировать как энергию взаимодейст-
взаимодействия спинов, причем взаимодействуют только ближайшие соседи
с постоянной взаимодействия g.
204

Статистическая сумма модели Изинга с гамильтонианом B6.2)
определяется формулой
ZN = 2exp[ — $HN (s)] = 2exp fx ^(sk,sk> m + sft,sft+li ,)j,
B6.3)
в которой Р — обратная температура; x — $g; 2 означает сумму по
s
2" спиновым состояниям.
Перепишем выражение B6.3) в виде
г> B6-4)
S
как сумму произведений, каждый сомножитель которых соответст-
соответствует определенной паре ближайших соседей или, как будем говорить,
одной связи. Всего в решетке 2N связей — N вертикальных (им
соответствуют пары k, I; k, I. -fc- 1) и N горизонтальных (им соответ-
соответствуют пары k, I; k + 1, t).
Представим множитель, соответствующий одной связи, в виде
thx). B6.5)
Вынеся (chx)m за знак суммы, получим
2 П A +sklsh. r thx). B6.6)
Перемножив произведение по связям, представим статистическую
сумму в виде
1 2N
(ch*)* 2 П (shlsk>i>)ni№x)"}. B6.7)
, «» JV —°/—1
Здесь каждый индекс П/ (/ = 1, ..., 2iV) пробегает два-значения:
О или 1.
2N
Сопоставим каждому члену П (sktsk>r) ) (thx) i диаграмму
на решетке, проводя линию вдоль связи, если щ= 1, и не проводя,
если п.] — 0.
При суммировании по спиновым переменным sAi = ±1 члены
суммы в B6.7), содержащие хотя бы одну переменную shl в нечетной
степени, исчезают, а члены, содержащие все спиновые переменные
в четной степени, умножаются на число состояний 2^.
Таким образом,
Z.N = 2N(chx)™SN, B6.8)
где Sjv можно рассматривать как сумму по всем диаграммам, в каж-
каждом узле которых сходится четное число отрезков @, 2 или 4). Вклад
205

каждой такой диаграммы в Ss есть (thx)', где / — число связей
диаграммы.
Вычисление суммы вкладов указанных диаграмм — наиболее
трудоемкая часть вычисления статистической суммы модели Изинга.
Начнем с замены каждого узла решетки, в котором сходятся
четыре линии, тремя узлами
J L
I
B6.9)
В узлах а, Ъ устранены пересечения линий, а в узле с есть пересече-
пересечение вертикальной и горизонтальной линий. Можно перейти к сум-
суммированию по диаграммам с узлами а, Ь, с, если узлы с, Ь учитывать
с положительным знаком, а узлы типа с — с отрицательным.
Каждая из новых диаграмм состоит из нескольких замкнутых
петель, проходящих по связям решетки. Вклад каждой диаграммы
есть
(—l)«(thx)', B6.10)
где п — число пересечений линий диаграммы. Ясно, что
п = Г + 2та, B6.11)
а
где уа — число самопересечений петель, входящих в диаграмму;
Г — число пересечений между различными петлями. Для петель на
плоскости Г всегда четно, и (— 1)г = 1. Для петель на торе это
уже не так.
В результате получаем выражение для Sn
)'«, B6.12)
где 2 есть сумма по диаграммам; П — произведение по циклам,
а
образующим диаграмму; 1а — число связей, образующих петлю а.
Так как каждая линия диаграммы однократна, то каждая петля не
имеет общих связей ни с другими петлями, ни с самой собой. Это
значит, что не надо учитывать диаграммы
П
B6.13)
Преобразуем выражения для чисел уа, Г в B6.12). Было уже
сказано, что граничные условия B6.1) позволяют рассматривать ре-
решетку как решетку на торе. Все замкнутые петли на торе разделя-
разделяются на гомотопические классы, которые будем обозначать символом
1т, п]. Петля класса [т, п] совершает т полных оборотов в горизон-

тальном направлении и п — в вертикальном. Для неориентирован'
ных петель символы [т, п] и [ — т, — п] означают один и тот же
класс. Класс [0, 0] образован петлями, которые непрерывной де-
деформацией можно стянуть в точку.
Число попарных пересечений нескольких петель есть
B6.14)
где mi — индекс i-й петли; щ — индекс /-й петли. Поэтому
(_1)г = (_1)^/ '. B6.15)
Известно, что полный угол поворота касательного вектора при об-
обходе замкнутой петли а на плоскости (или петли класса [0,0] на торе)
равен 2зх (/ -+- 1), где целое число / совпадает по четности с числом
самопересечений уа петли а. Сопоставим каждому узлу петли а,
в котором петля поворачивает на угол ф (ф = 0, ± ^-), множитель
exp (i<p/2) (множитель Каца — Уорда). Произведение этих множи-
множителей после обхода петли дает
. B6.-16)
а
так что
(-1)*«=_ПехрAф/2). B6.17)
а
Обобщение этой формулы для петли класса [т, п] имеет вид
(_1)т« = (_l)mn+m+«+i j-j еХрAф/2). B6.18)
а
С учетом B6.15) и B6.18) выражение B6.12) для Sn можно пред-
представить в виде
B те) Bп„)
e ° П(-1)^+^+1(ПехР0<р/2))(ш*)'а.
B6.19)
Воспользуемся тождеством
(_l)mn==_L(i + (-l)'« + (—1)«_ (_!)«+«), B6,20)
в которое подставим т = 2 "h,, п — 2 "«• ^го дает возможность
а а
записать Sn в виде
L), B6.21)
207

где
= 2 П (-
a
=2 П (-
a
= 2 П (-
)Ь П exp (i
*)<«П exp (i Ф/2);
x)'a П exp (iq>/2).
B6.22)
Здесь оказывается удобным представить квадрат каждой из
величин (S$J как гауссов континуальный интеграл по антикомму-
тирующим переменным.
Возведение Sjv в квадрат можно интерпретировать как переход
от неориентированных петель к ориентированным. Например,
' П B6.23)
где П — произведение по всем ориентированным петлям, не имею-
a
щий общих одинаково ориентированных связей. Индексы m«, tta
пробегают все целые положительные и отрицательные числа.
Представим знаковый множитель ( — i)ma+na B виде
(_ i)«B+«a = Y\ exp[(i n/L) {Ax + Ay)], B6.24)
где П — произведение по последовательным узлам решетки при
обходе ориентированной петли а, в котором А*, Ау — выраженное
в единицах длины решетки приращение координат х и у при переходе
от середины связи, предшествующей данному узлу, к середине связи,
следующей за данным узлом. Например,
г*-?, Ау- 0 ; -»J
B6.25)
Аналогичные представления
(— 1)«а = Пехр[ая/1)Дг/]; (—1)"^= П exp[(i я/L) Ад;] B6.26)
существуют для знаковых множителей в Sif\ Sffi.
Объединив произведение B6.24) с П exp (i<p/2), запишем B6.23)
в виде
<« П
ехр
Ji
B6.27)
208

Именно это выражение оказывается возможным записать в виде
континуального интеграла. Сопоставим каждой ориентированной
связи пару взаимно сопряженных ферми-полей с, с*:
тп
тп
с,(т,п)}
ct(m,n),
с, (т,п) ;
с*(т,п);
B6.2а)
Покажем, что выражения B6.27) можно представить в виде
гауссова континуального интеграла по 8N переменным B6.27):
Здесь
ехр (—с* Сс) dc*dc.
dc* dc — Y\ dc* (m, n) dct (m, n)
m,n,l
B6.29)
B6-30)
есть мера континуального интегрирования; с*Сс — квадратичная
форма вида
с*Сс-= 2 с* (т, л) Ctj ct (m, n), B6.31)
т,п
где С — матричный оператор:
C = I—thxA,
B6.32)
причем / — четырехмерная единичная матрица; А — оператор
вида
in d
L dm
0 g L dm
in In , d 1л d
L 4 dn p 4 dn
e L
4 dm g 4 dm
i? rf_
g 4 rfm
_1я_ _?_
a dn
in d_
4 dn
ln_ \n_ d_
X. 4 dn
0
L 4 dm
0
1л d_
L dn
B6.33)
209

ехр (± ~—\ сг (т, n) = ci (т ± 1, л);
ехр ( ± — \ d (m, л) = ct (m, n ± 1).
Здесь ехр ( ±3^), exp (± ^ j— операторы сдвига, действующие
по правилу
B6.34)
Для доказательства того, что (Sji/*J представляется континуальным
интегралом B5.30), заметим сначала, что квадратичную форму
ihxc*Ac = thx 2 с* (т, п) Ас}(т, п) B6.35)
m,n,i,i
можно интерпретировать графически как сумму вкладов по всевоз-
всевозможным способам перехода от одной направленной связи к соседней
направленной связи:
> ¦• » -*-* » -*1 '
¦ B6.36)
При этом стрелке, выходящей из узла (т, я), соответствует ферми-
поле с* (т, п), где индекс г = 1, 2, 3, 4 определяется направлением
выходящей стрелки — налево, направо, вверх или вниз. Стрелке,
входящей в узел (т, п); соответствует поле ct (m', п'), где индекс
j определяется направлением входящей стрелки, а (т', п') — ко-
координаты узла, соседнего с (т, п), из которого можно прийти в (т, п),
двигаясь по стрелке. Коэффициент при с* (т, ri) Cj (rri, n')
th*exp ^- + ^.(Ax + \y)yj=znnU B6.37)
есть произведение thx на множитель, фигурирующий во внутреннем
произведении формулы B6.27).
Интеграл B6.29) представляется в виде
dc* dc ехр (—с* с) П ехР (zmmj с* (т, n)cj(m'', п')) =
mnij
',n')), B6.38)
mai\
210

где
2
m,n,i
c?(m,n)Ci(m.n).
B6.39)
Раскрыв произведение П A + zc*c), сведем задачу к вычислению
интегралов типа
J ехр ( — с*с) {с*с) (с*с), ..., {с*с) dc* dc B6.40)
от произведений пар ферми-полей с* с с весом ехр (— с*с). Если
среди полей с или с* имеются хотя бы два одинаковых, интеграл ра-
равен нулю. Интеграл B6.40) отличен от нуля, если графические эле-
элементы, сопоставленные согласно B6.36) парам с*с, образуют один
или несколько замкнутых петель из ориентированных связей, при-
причем петли не имеют общих одинаково ориентированных связей. Дру-
Другими словами, получаются те же петли, которые учтены в формуле
B6.27). Так как при каждой паре с*с стоит множительzmnu B6.37),
а интеграл B6.40) равен ( — 1)', где / — число независимых петель,
то для интеграла B6.29) получаем выражение
B6.41)
совпадающее, очевидно, с B6.27). Тем самым представление (Sj}y)*
континуальным интегралом B6.29) доказано.
Для вычисления интеграла B6.29) перейдем от переменных
с*, с к их фурье-представлениям по формулам
c*t
ct (m, п) = -i- 2 -fli (Р< Я) ехр
*t (m; «) = -J- 2 а*1 (Р« Ч) ехР ( — 2jr~
B6.42)
осуществляющим унитарное преобразование. При этом
2 c*t (m, n) ct (m, п)= 2 at {p, g) a, (p, q)\
i I
2
т, п, i
2 ct (m, п) Аи С) (m, n) =
B6.43)
р. я,
p, q, I
a*t (p, q) Ai} (p, q) as (p, q), B6.44)
где Aij{p, q) образует матрицу, получаемую из оператора А заменой
B6.45)
ехр ±--
dm!
211:

В переменных а, а* квадратичная форма с*Сс представляется
в виде суммы квадратичных форм от а* (р, q), a} (р, q):
2 2 (8„-th хАtJ (p, q)) a*t (p, q) aj (p, q). B6.46)
р, р Ч
Интеграл B6.29) сводится к произведению интегралов
П [ildat(p,q)dat(p,q)x
Р.Ч i
X ехр { — 2 Фи—th xAu (p, q)) at (p, q) at (p, q)} =
= Hdet(I—thx A (p,q)), B6.47)
p. я
где det (/—thxA (p,q)) есть определитель четырехмерной матрицы,
равный
A + th2 xf — 2 th x A — th2 x) x
X (cos —Bp—q) + cos — Bq— \)\ B6.48)
Величину
S#> = П [A + ttfxf—2 th x A —tha x) (cos — Bp— 1) +
p. Л K L
^)]I/2 B6.49)
получим, извлекая из B6.47) корень таким образом, чтобы получа-
получалось выражение, стремящееся к 1 в пределе х-*- 0. Аналогично по-
получаются формулы
р,ч
— 2th*(l— th»*)/cos— Bp ]
S^4> = П ГA +Ш2д;J—2thx(l— ih%x) x
Р.Ч
x/COs2iLp + cos^a)l1/2. B6.50)
Окончательный ответ для статистической суммы конечной дву-
двумерной модели Изинга имеет вид
-Sk4>). B6.51)
212

Рассмотрим выражение B6.51) в пределе N -+¦ оо . С этой целью
запишем величины (Sji/'J в виде
-i§f^f!M}; B6.52,
где
f(zv Zt) = (l+th*x)*-2tbx(l-th*x)(z1 + zri+zi + zr1), B6.53)
а контур Г состоит из двух окружностей |z4| = 1 ± б (i = 1, 2)
с достаточно малым б > О, причем внешняя из них обходится в поло-
положительном направлении, а внутренняя — в отрицательном. Интег-
Интегралы по Г сводятся к суммам вычетов в корнях полиномов 1 ± г\,
1 ± г\. Это возвращает нас к B6.49), B6.50) и тем самым доказы-
доказывает формулы B6.52).
Из разложений
ясно, что при L ^> 1 главный вклад в интегралы по Г дает 1 в
первом из разложений B6.55), а остаток есть величина порядка
L* ехр (— aL). В этом можно убедиться, расширяя большую и
сжимая меньшую окружности до их пересечения с особенностями
функции In / (zx, Z2). Величина а определяется расстоянием от еди-
единичной окружности до особенностей функции In/ (ги z2). Функция
/ (zlt za) строго положительна при всех | гх \ = | гг \ = 1 для всех х,
кроме j х | == хс, где
th xc = /2—Ь B6.55)
При х = хс f (zu za) обращается в нуль при zx = г% =; 1, а при
я = — хс — при zx = za = —1.
Из сказанного следует асимптотическая формула
2я 2я
\Sn) =exp|— \ dxx \ dx2 In f (ехр (i xj, exp(i*2)) +
+ 0 (L2 exp (—aL))), B6.56)
верная при всех х, кроме |*| = хс, причем О-оценка равномер-
равномерна при || х\ — хс\ > е.
213

Если постоянная g в гамильтониане B6.2) положительна (случай
притяжения), физической областью изменения параметра х = Cg
служит положительная полуось х > 0. При х = хс выражение
Sn ) меняет знак, так как сомножитель в П ср = ^=0 имеет вид
р. ч
2—4th*(l— t
= (V2+14-th*)(V2—1—thx). B6.57)
Остальные величины S$ i — 1, 2, 3 остаются положительными при
всех х > 0. Поэтому получаются следующие асимптотические фор-
формулы:
ZN (x<xc) = Zohs A + 0A));
ZN (х >хс) = 2 Zo нз A + 0 A)),
где выражение
20„з = 2^(сЬлJ^ х
2я 2я
X ехр {-¦?-s J j dxxdx2 In/ (exp(i xx), exp (i *,))} B6.59)
называют обычно статистической суммой Онзагера. Следующее из
B6.58), B6.59) выражение для предельной свободной энергии на
один спин
F= — — lim i^ = —L
2Я 2я
^dx{dx,In[(
—2th*(l—ttfxXcos^ + cosx^lJ B6.60)
было впервые получено Онзагером [113].
При х = хс выражение B6.60) имеет неаналитическую особен-
особенность, возникающую из-за обращения в нуль выражения под лога-
логарифмом при хг '=. хг = 0. Соответствующая температура
т _ 1 g
с
Э.
с
интерпретируется как температура фазового перехода.
Отметим, что при Т<.Тсв асимптотических формулах B6.58)
перед Zohs появляется множитель 2. Это соответствует тому, что
система стремится находиться в одном из двух возможных состояний
с наименьшей энергией — с параллельными спинами для ф
214

магнитной системы (g > 0) и с антйпараЛлеЛЬньшй в антиферромаг-
антиферромагнитных системах (g < 0). Множитель 2 не влияет на термодинами-
термодинамический предел B6.60) для свободной энергии F.
Заметим в заключение, что изложенный в этом параграфе метод
можно применять для произвольных плоских решеток без пересека-
пересекающихся связей.
§ 27. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Метод, развитый выше для вычисления статистической суммы
двумерной модели Изинга, можно использовать и для нахождения
корреляционных функций. Для простоты рассмотрим парную кор-
корреляционную функцию двух спинов, находящихся на одной строке
решетки:
GN (г) = Z?х 2 shi Ч i+r exp {x 2 (su sk+1, / + shl sk. /+1)}- B7.1)
s kl
Здесь ZN — вычисленная выше статистическая сумма.
Используя формулу B6.5) и вынеся (chjcJw за знак суммы, све-
сведем задачу к вычислению выражения
2 shl s*. i+2 П A + th х shl &.,'), B7.2)
s
в котором произведение взято по всем связям решетки. Раскрыв про-
произведение и просуммировав по спиновым переменным sftJ, пред-
представим B7.2) как произведение числа состояний 2N на сумму
вкладов диаграмм, отличающихся от диаграмм для статистической
суммы тем, что в узлах (k, /), (k, I + г) сходится нечетное число ли-
линий A или 3). Это приводит к формуле
GnW^S^gnir), B7.3)
где Stf определено выше B6.8), a gN (r) есть сумма вкладов указан-
указанных диаграмм, каждый из которых есть (th*)', где / — число свя-
связей, образующих диаграмму.
Следующий шаг — переход к связным диаграммам. С этой целью
заменим каждый узел, в котором сходятся 4 линии, тремя узлами
по схеме B6/9). Узел, в котором сходятся 3 линии, заменим тремя
узлами по схеме
B7.4)
Узлам а, Ъ сопоставим фактор 1, узлу с — фактор — 1. В резуль-
результате величина gs (r) представляется суммой вкладов диаграмм,
каждая из которых состоит из нескольких замкнутых петель и од-
одной незамкнутой линии, соединяющей узлы (A, t) и (k, I + г).
215

Вклад каждой диаграммы есть
(—l)»(th*)', B7.5)
где п — число пересечений линий диаграммы. Имеем
B7.6)
где уа — число самопересечений.петли а, входящей в диаграмму;
у — число самопересечений незамкнутой линии; Г — число взаимо-
взаимопересечений между различными связными компонентами.
Соединив выделенные узлы (k, [), (k, I -\- r) линией
<27-7)
выразим знаковые множители
(—l)v« = (—l)m«"«+m«+n!*IIeXp(i<p/2);
B7.8)
ПехрAф/2)
через v — число пересечений незамкнутой линии к с линией ц;
v0 — число пересечений петли а с линией ц и индексы nux, tia, т, п,
дающие число полных обходов замкнутых петель и незамкнутой ли-
вдя вокруг тора-в горизонтальном и вертикальном направлениях.
Учитывая B7.8), получаем
(S na+n)
1)* ° [(
ХП(—l)m«+na+1 + v°(th^/anexp(i9/2). B7.9)
a
Здесь S есть сумма по всем диаграммам указанной структуры;
П ехр Aф/2) — произведение множителей Каца — Уорда для замк-
замкнутых петель а или незамкнутой линии к. Используя тождество
B6.20), в котором заменим т -> т+2 /"а. п-> п + 2 "а> представим
a a
gN (r) в виде
8я(г)= ±^Чг) + д&(г) + ё&(г)-ёр(г)), B7.10)
где
X П (—l)m«+no+1 +v« (th x)'a П ехр (i q>/2);

X П (— l)n«+' +v° (th x)l<* П exp (i ф/2);
a
gN3)(r) = 2 [(— l)m+' +v (th х)Ь П exp (i ф/2)] х
g№ (r) = S [(- l)v+' (th xI*- П exp (i ф/2)] x
x П (— II +v° (th x)'*П exp (i ф/2).
a J
Следующий этап—написать выражения для квадратов (g$ (r))%
и интерпретировать их в терминах ориентированных диаграмм.
При этом произведение вкладов от незамкнутых линий можно, соло-
ставить замкнутой петле, проходящей через две выделенные Точки
решетки (k, Г) и (k, I + г).
Приредем выражение для (g#}(r))a:
хП(—l)"*+"» + 1+Ve(th*)/enexp(iq>/2). B7.12)
а
Здесь 2 — знак суммы по всем ориентированным петлям, одна из
которых проходит через две выделенных точки решетки. Формулы
для (g/?J / = 2, 3, 4 можно получить из B7.12) заменой знаковых
множителей ( — 1)"» + п на ( — 1)л, ( — 1)т или 1, ( — 1)та + п« На
(—1L ('— I)* или 1.
Выражение B7.12) можно представить в виде континуального
интеграла по введенным выше B6.28) ферми-полям ct (пг, п), с* (т, п),
отличающимся от гауссова интеграла B6.29) в двух пунктах:
1. Кроме экспоненты от квадратичной формы под знаком интег-
интеграла будет стоять произведение двух квадратичных форм ферми-
полей, соответствующих двум выделенным узлам решетки.
2. Сама квадратичная форма отличается от определяемой форму-
формулами B6.31) — B6.33). Отличие объясняется существованием до-
дополнительных знаковых множителей ( — l)v, ( — l)Va, учитываю-
учитывающих пересечение линий диаграммы с проведенной выше линией
ц B7.7). Учет таких множителей достигается заменой
А^В^А—2АР, B7.13)
где А—определенный выше матричный оператор B6.33), диаго-
диагональный по индексам (т, п); Р — оператор проектирования на
г + 1-связей, пересекаемых линией ц.
217

Представление (g^ (г)L континуальным интегралом имеет вид
(gW (r)f = J ехр (—с* Сс) dc* dc X
X {<D (k, I) D(k,l + r)> - <D (k, /)> <D (A, / + r)>}. B7.14)
Здесь dc*dc — мера интегрирования B6.30)
C=I — thxB B7.15)
есть оператор квадратичной формы, знак <...> означает контину-
континуальное усреднение:
Jexp—(c*Cc)dc* dc
с весом ехр ( — c*Cc); D {k, t) — квадратичная форма:
D (k, I) = S c* (k, I) Da cs (k, I) B7.17)
с матричным оператором
d /in d\ I in d\
exp— 0 exp —-f— exp—-+ —
dm \ 4 dm \ 4 dm
D =
d I in d\ /in d \
0 exp— exp — — — -— exp —-——
dm \ 4 dn) \ i dm)
I in , d\ /in d\ I d\
exp—-+— exp —+ — exp — 0
V 4 dn) \ 4 dn) \dn)
in
B7.18)
в котором ехр ( ± d/dm), exp ( ± dldn) — операторы сдвига B6.34).
Для доказательства представления B7.14) рассмотрим выраже-
выражение
ехр (—с* Сс) dc* dc <D {k, l)D{k,l
, I + r) exp (-c* Cc) dc*dc. B7.19)
Стоящий в правой части континуальный интеграл можно вычислять
по теории возмущений, считая оператор — th x В в B7.15) поправ-
поправкой к единичному оператору /. Возникающее при этом очевидное
графическое представление дает диаграммы двух типов. Диаграмма
первого типа состоит из нескольких замкнутых петель и одной петли,
218

проходящей через выделенные точки- (k, /), (k, I + г). Именно эти
диаграммы и дают вклад в выражение (gW (r)J. Диаграмма второго
типа состоит из нескольких замкнутых петель, одной петли, прохо-
проходящей через точку (kl), и одной петли, проходящей через точку
(k, l-\-r). Нетрудно видеть, что вклад диаграмм второго типа дается
выражением
ф (k, /)> <D (k, / + r)> Jexp—(c* Cc) dc* dc, B7.20)
входящим в B7.14) с отрицательным знаком. Это означает, что диаг-
диаграммы второго типа не дают вклада в формулу B7.14). Тем самым
представление B7.14) можно считать доказанным.
Выражения, входящие в B7.14), можно вычислить по формулам
J ехр (—с* Cc) dc* dc = det С; B7.21)
(D{k, l)D(k,l + r))-(D(k, /)><D(A, / + r)> =
= trDC (k, l;k,l+ r) DC-1 (k, l + r, k,l). {21.Щ
В первой из них det С есть определитель оператора, действующего
в 4 ./V-мерном пространстве. Во второй знак tr означает след по мат-
матричным индексам i, }, пробегающим 4 значения i, / = 1, 2, 3, 4;
С (/, k, I", /, k, l + r) — матричный элемент оператора С, об-
обратного С.
Найдем сначала определитель B7.21). Имеем
det С = det С det (С-1 С) =
= det(/—thxA)det(l— 2ihxA p) . B7.23)
Здесь первый множитель есть не что иное, как вычисленная в преды-
предыдущем параграфе величина (S^1'J [см. формулу B6.47I:
det(/—thxi)-^J. B7.24)
Второй множитель можно представить как определитель опера-
оператора
I+ihA B7.25)
I—thxA
действующего в 2 (г + 1)-мерном собственном подпространстве про-
проектора Р. Оператор К может быть записан в виде
B7-26)
219

где D, F — подматрицы (г + 1)-го порядка с элементами:
Dmn=--L-% У. expf-^B*1+l)(m-n)]x
(я л
1—у*—2(/(l+(/!)cos— Bfex + l)+2 i (/A—у) sin — i
!«—2(/ A—(/a) cos —B,
V L
Ay* sin T-Bfei + l)
B7.27)
A +(/2J—2(/ A —(/J1 cos —
V
где # ^ th x.
Определитель det К вычисляется по формуле
det К = det (D + i f) det (D—i f). B7.28)
Перейдем к выражению B7.22). Наличие операторов D под зна-
знаком следа tr позволяет заменить оператор С на РС~гР и затем свес-
свести выражение B7.22) к
(Ф*1' (г))\ B7.29)
где
(О ... 01
0 ... 0, ik\
B7.30)
D
Hf- B7-31)
черта над матрицами D, F означает, что у соответствующей матрицы
отсутствует верхняя строка. Черта справа от матрицы означает,
что у матрицы отсутствует крайняя строка справа.
Раскрывая определитель в B7.30) и учитывая, что матрицы
D + [F и D — \F взаимно транспонированы и потому имеют совпа-
совпадающие определители, выражение (gW (r)J приведем к виду
A!3>}2, B7.32)
где
220
, h* ; B7.33)
Ay 2 Ay V '

A,1', Al^ — теплнцевы определители порядка г, выписанные ниже.
Диалогично получается для любого i — 1, 2, 3, 4
<f>r}2. B7.34)
Чтобы получить выражения для &%, преобразуем сначала форму-
формулы B7.27) для матричных элементов Dmn, Fmn, просуммировав
no kt:
sin 7-Bft,+ 1)
L
j-Bft,+ 1))
= 0; B7.35)
L
ft,= i
где
t s
a—46*
B7-36)
B7.37)
Контур Г в B7.36) состоит из двух окружностей \г\ = 1 ± б,
причем большая обходится в положительном направлении, а мень-
меньшая — в отрицательном.
Вычислив интеграл- по вычетам, выпишем элементы матриц
в виде однократных сумм:
iF)mn = -1 У exp f-^
-n)l X
У
(exp [^Bft + l)]-W*) (l/'-i/exp [^
(D-iF)mn = 7- У expf--^B/s+l)(m-«)l
L *= l L L J
(exp [^
X
X
11/2
if* exp [^
B7,38)
221

где
" 1+lf
Теплицевы определители
*; 0<m;
B7.39)
<Д Е»
B7.40)
имеют элементами выражения:
A = 1
x
1 -(/(/• exp p^
j) [y* exp ["^-BА+1I-If)
1/2
X
x-
2Аг> = ^- У ехрГ-if
^ A 1 L L
X
-</!/* exp [-у-
* exp
-j- BA+.1)] -If)
1/2
-yy* exp
Г A-yy*
L (exp(i
(exp(i2nft/L)-yy*)<y-yexp(l2nfe/L))
(y*expA2nfe/L)-y) I'/» \k(k)-\ /27 41)
>--yexp(l2nfe/L)) J Et(fe) + 1
222

где
2b
B7.42)
Заметим, что равенство \2 (k) = 1 возможно только при у = уе,
т. е. в точке фазового перехода и при k = 0.
Извлечение корня из выражений B7.34) дает формулы
= (-iySJP (ch2** A^-sh2** A«r}. B7.43)
Наличие знакового множителя ( — 1)г легко проверяется при пере-
переходе к пределу у — th* -*¦ 0.
Формулы B7.3), B7.10), B7.34), B7.43) приводят к окончатель-
окончательному ответу для корреляции двух спинов одной строки:
Это выражение совпадает по форме с формулой Кауфман — Онза-
гера для бесконечной решетки [117] и переходит в нее в пределе
L-> оо .
Переход к пределу осуществляется таким же образом, как и
в случае статистической суммы, и ведет к следующей асимптоти-
асимптотической формуле:
GN (г) = (-1)' {ch2x* Ar— sh2x* Д_г} + О (ехр (—aL)). B7.45)
где Аг, А_г — теплицевы определители B7.40) с элементами
2я
n = _L P
о
о
B7.46)
а О-оценка в B7.45) равномерна при || х | — хс \ > е.
Переходя к пределу L -> оо, получаем формулу Кауфмана —
Онзагера:
G (г) = lim Gw (r) = (— 1)' {ch2 x* Ar— sh2 x* A_r}- B7.47)
223

ГЛАВА 10
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
§ 28. ВЫДЕЛЕННАЯ РОЛЬ РАЗМЕРНОСТИ d=4
В этой главе метод континуального интегрирования применяется
к теории фазовых переходов второго рода. Характерный признак
фазового перехода — появление дальнодействующих корреляций.
Это значит, что корреляционная функция, которая при значениях
температуры выше температуры перехода убывает экспоненциально,
а в точке фазового перехода убывает более медленно.
Наиболее естественным представляется предположение о сте-
степенном убывании соответствующего коррелятора. Степенная функ-
функция g (г) = сг~а при замене г-*-Хг (преобразование подобия) ум-
умножается на постоянный множитель
k-ag(r), B8.1)
т< е. также испытывает преобразование подобия. Поэтому предпо-
предположение о степенном убывании корреляторов в точке фазового пере-
перехода называется обычно гипотезой подобия или скэйлинга. Показа-
Показатель степени убывания коррелятора называется критическим ин-
индексом. Другие критические индексы определяются как показатели
степеней, дающие поведение термодинамических функций вблизи
фазового перехода как функций от разности Т — Т с вида
\Т-ТС\». B8.2)
Приведем определение наиболее употребительных критических
индексов. Пусть в точке фазового перехода «дальнодействующйм»
становится коррелятор
G (х — у, т - тх) = < Ф (х, т) ф (у, Tl) > . B8.3)
Здесв < ... > означает, как обычно, усреднение в смысле конти-
континуального интеграла с весом exp S. Предполагая степенное убыва-
убывание коррелятора B8.3), запишем его асимптотику при г = | х —
у|-»- оо в виде
G^ar2-*-*, B8.4)
— размерность, пространства; т)—критический индекс, опреде-
определяющий закон убывания коррелятора в точке фазового перехода.
Пусть при Т >ТС коррелятор B8.3) убывает экспоненциально:
G~exp(-^-). B8.5)
224

Здесь выписана наиболее быстро убывающая при г -*¦ оо часть асим-
асимптотики, а «предэкспоиента» опущена. Величина | G), определяю-
определяющая убывание коррелятора выше температуры фазового перехода,
называется корреляционной длиной. Появление дальнодействующих
корреляции при Г-> Тс + 0 означает, что в этом пределе ? (T).
неограниченно возрастает. Предполагая, что это возрастание проис-
происходит по формуле
ЦТ)~\Т-Те\~*. B8.6)
получаем второй критический индекс v.
Критический индекс а определяет сингулярность теплоемко-
теплоемкости (при постоянном объеме) в пределе Т -> Т с:
CV~\T—TC\-". B8.7)
Критический индекс р дает поведение аномального среднего
<Ф(х, т)>~(Гс-Лр, B8.8)
существующего при Т < Т с, в пределе Т ->- Тс — 0.
Следующий критический индекс у связан с поведением воспри-
восприимчивости % в пределе Т -> Т с + 0:
Х~G-Гс)-^. B8.9)
Восприимчивость % — это коэффициент при ? в среднем.
< Ф (х, т) > , вычисленном при наличии добавки
') B8.10)
к действию 5 (в пределе ?-»-0); из приведенного определения сле-
следует формула
% = J G (х - у, т - т') d (х - у) d (т - т'), B8.11)
выражающая % как интеграл от коррелятора B8.3) по пространству и
времени т — %'.
Наконец, критический индекс б описывает зависимость р — рс
отр —рс при Т = Тс:
р-рс~(р-Рс)*. B8.12)
В этой главе изложен подход к вычислению критических индек-
индексов, развитый главным образом Вильсоном [124]. Наметим его основ-
основную идею.
Как было показано выше на примерах из квантовой теории поля
и статистической физики, для вычисления инфракрасной асимпто-
асимптотики корреляционных функций в формализме континуального интег-
интеграла удобно проинтегрировать сначала по быстрым, а затем по мед-
медленным переменным, используя на этих двух этапах различные схе-
схемы теории возмущений. Напомним, что быстрые переменные — это
компоненты поля с большими волновыми векторами k (k > k0),
а медленные — с малыми к ф < k0).
8 Зак. 496 225

Е проблеме фазовых переходов такой подход недостаточен.
Получающийся после интегрирования по быстрым переменным функ-
функционал («гидродинамическое действие») не позволяет непосредствен-
непосредственно найти интересующие нас корреляционные функции в длинно-
длинноволновом пределе или построить для их вычисления теорию возму-
возмущений по малому параметру.
Метод, предложенный Вильсоном, сводится к приближенному
многократному последовательному интегрированию по полям
с уменьшающимся нижним пределом k0. Такой подход приводит
к определенной качественной картине поведения систем вблизи фа-
фазового перехода и дает приближенный метод вычисления критиче-
критических индексов. Кроме того, становится ясной выделенная роль раз-
размерности пространства d = 4. При d > 4 оказывается возможным
использовать обычную теорию возмущений. Случай d = 4 подроб-
подробно исследован в известной работе А. И. Ларкина и Д. Е. Хмель-
Хмельницкого [125]. Они выделили главную последовательность диаграмм
теории возмущений, которую удалось просуммировать методом «пар-
«паркета». Это позволило найти асимптотику корреляционных функций
в окрестности фазового перехода и определить характер неаналитич-
неаналитичности термодинамических функций в окрестности Т ~ Т с для d = 4.
Это обстоятельство помогло Вильсону и Фишеру [126] выдвинуть
идею г-разложения по параметру б = 4 — d отклонения размерно-
размерности пространства d от критической размерности dc = 4. Эта идея
привела к методу вычисления критических индексов в виде степен-
степенных рядов по параметру б. В применении к реальным системам не-
необходимо положить б = 1 (d = 3) или б = 2 (d = 2). Вычисления
показывают, что коэффициенты Б-рядов сначала убывают, а затем
начинают быстро возрастать. Это можно считать указанием на то,
что Б-ряд является асимптотическим. Тем не менее, ограничиваясь
двумя-тремя членами, можно получить разумные значения для кри-
критических индексов, согласующиеся с вычислениями по теории возму-
возмущений для решетчатых систем.
Проблема обоснования подхода Вильсона далека от сколько-
нибудь удовлетворительного решения. К тому же метод вычисления
критических индексов в применении к реальным системам с размер-
размерностью d = 2 или d = 3 является приближенным по самой своей
сути, а учет поправок к нему не представляется реально возможным
в настоящее время. Даже сама по себе гипотеза подобия не доказана.
В этой ситуации существует возможность того, что корреляцион-
корреляционная функция в точке фазового перехода имеет асимптотику
ехр{ — (rlroy) B8.13)
с 0<v<l- Функция B8.13) убывает медленнее экспоненты
ехр — (г/г0) с любым г0 > 0, но быстрее любой отрицательной
степени r~a.
В этом параграфе излагается метод приближенного последова-
последовательного интегрирования на примере модели вещественного скаляр-
скалярного поля ф с самодействием, пропорциональным ф4. В следующем
226

параграфе будет показано, как сделать метод асимптотически точным
в пределе б = 4 — d -> О и получить Б-разложение Вильсона для
критических индексов.
Рассмотрим систему статистической механики с функционалом
действия:
[(±-(dx<tr+±-(Vvr-±.<t* + -$rv*y B8.14)
где х?У, 0 ^ т ^ р. Этот функционал описывает релятивистское
вещественное скалярное поле ср при конечной температуре Т. Тем-
Температурная диаграммная техника имеет элементами вершины и
линии
X
B8.15)
Если коэффициент Я, в. B8.14) отрицателен, функционал отрицатель-
отрицательно определен и фазовый переход в системе отсутствует. Если же
А. > 0, система может претерпевать фазовый переход, ниже которо-
которого появляются аномальные средние
<Ф(х, т)>=^0. B8.16)
Для описания системы в окрестности фазового перехода проин-
проинтегрируем функционал exp S по быстрым переменным, которыми бу-
будем считать коэффициенты Фурье q> (k, to) с со Ф О и со = 0, k > k0,
в разложении:
/2 2 ехрП(сот—кх)]ф(к, со). B8.17)
к, со
Определяемый формулой
П <*Ф(к, <o) = expS0 B818)
to ф о ш=0
к к>к0
функционал 50 зависит от компонент ф (к, 0), которые далее обозна-
обозначаем ф (к). Общий вид функционала So
So-Cb-T \ щ
J
к<к0
п=2 ( k<k ^
J
<
есть сумма функционалов четной степени Чп (п = 0, 1, 2, ...), в кото-
которых интегралы по импульсам кг обрезаны на верхнем пределе k0,
а б-функция б (Skj) обеспечивает трансляционную инвариантность.
8* 227

Ко'нстайта Со йе влияет йа дальнейшие ийтегрйровайия и потому Не-
Несущественна.
Рассмотрим коэффициентную функцию иг (к). Пусть в окрестно-
окрестности к = 0 ы2 (к) имеет разложение
"а (к) = 0 + ия«*' + ... B8.20)
по четным степеням k. Сделаем преобразование подобия
Ф (к) -у ?Ф (к), B8.21)
выбрав его коэффициент ? из условия
Ся«„ = 1. B8.22)
В результате приходим к функционалу 50 вида B8.19), в котором
ы2 (к) = г + yfe* + ... B8.23)
Проинтегрируем теперь функционал ехр 50 по компонентам
Ф(к) с ko/2<k<k0.
Определяемый формулой
CexpS0 П d9(k) = exp5! B8.24)
^ */2<А<А
функционал 5Х отличается от So значением константы Со и видом
коэффициентных функций ы271 (к(). Интегралы по к; в Sx обрезаны
на верхнем пределе -? (вместо k0 в 50). Сделаем теперь преобразова-
преобразование
к -> 2к, ф (к) -> ф Bк), B8.25)
превращающее область импульсов k <. у- в область k <. k0, с кото-
которой встречались в функционале 50. Сделаем затем преобразование
B8.21) так, чтобы новая коэффициентная функция квадратичной
формы в Sx (обозначим ее «г1' (к)) имела разложение
*#> (к) =Г1+ ?*+..., B8.26)
аналогичное B8.23), т. е. с коэффициентом при k2, равным единице.
Таким образом, континуальное интегрирование B8.24) с после-
последующей заменой переменных B8.21), B8.25) переводит функционал
So — Со в функционал Sx — Сх такого же вида, но с другими коэф-
коэффициентными функциями «2n} (kj). Можно говорить о нелинейном
преобразовании
Ми = и& B8.27)
последовательности коэффициентных функций
и = {и2 (к), щ (кО, н6 (к,) } B8.28)
в последовательность
и1» = К> (к), «il> (к,), ы^1» (к,),... }. B8.29)
228

Применяя к ыA) тот же метод, который был применен к и, получим
= Мг и. B8.30)
Продолжая, можно смотреть на последовательное континуальное
интегрирование полей со все меньшими импульсами как на последо-
последовательное применение М-преобразования к исходной последова-
последовательности и.
Гипотеза подобия для фазовых переходов делает естественным
следующее предположение.
На линии фазового перехода последовательное применение
^-преобразования к последовательности имеет пределом «стацио-
«стационарную» последовательность
ио = Ми0. B8.31)
Действительно, если при достаточно больших п имеем
то изменение в два раза масштаба импульсов в ^-пространстве сво-
сводится к преобразованию подобия k->2 k, q>-> ?q>.
Покажем, что коррелятор B8.3) в пределе г -> оо имеет степен-
степенную асимптотику B8.4), причем показатель степени просто выра-
выражается через параметр ? преобразования B8.1). Рассмотрим кор-
коррелятор B8.3) в к-пространстве:
< Ф (к) Ф (к') > = d (к) б (к + к'). B8.32)
Пусть условие стационарности B8.32) выполнено при п > п0, т. е.
в области импульсов
k0. B8.33)
Выберем теперь сколь угодно малое к и целое п так, чтобы импульс
кх = 2"к лежал в области
2—- > К < *i < 2-"* К- B8.34)
Тогда вследствие условия стационарности B8.32) будем иметь
<Ф (к) Ф (к')> = Р» <Ф (к,) Ф (к,')> B8.35)
или
D (к) = ?2" 2-"* D (к,): B8.36)
Переписав это равенство в виде
D(k)kln2 =D(k1)k1ln2 , B8.37)
получим асимптотику
ck In2, B8.38)
229

верную в пределе к -> 0. Перейдя к фурье-представлению, получим,
что коррелятор B8.3) при больших г = \х — у| ведет себя как
степень
г 1п2 B8.39)
Сравнив с B8.4), получим формулу для критического индекса
ri = 2 + d-^-. B8.40)
Выведем формулу для корреляционной длины ? (Г) в окрестно-
окрестности фазового перехода. Отклонение от линии фазового перехода ведет
к тому, что последовательное применение М-преобразования уже
не имеет пределом стационарную последовательность и в конце
концов выводит ип из окрестности и0. Чем ближе к фазовому перехо-
переходу, тем больше шагов п необходимо сделать, чтобы вывести ип из
фиксированной окрестности и0. Для оценки числа п линеаризуем
М -преобразование в окрестности
ип+1-и0 = А(ип — и0), B8.41)
где А — линейный оператор. Предполагая систему близкой к фа-
фазовому переходу, можно считать, что при достаточно большом п0
разность ип„ — «о пропорциональна разности Т — Т с. Тогда вели-
величина Un+n0 — «о в силу B8.41) будет иметь порядок
К1(Т—ТС), B8.42)
где ^ — наибольшее собственное значение линейного оператора А.
Оценим величину 'п, потребовав, чтобы выражение B8.42) при
п ~7г имело порядок Т с. Это приводит к соотношению
Г~Гс-^ • B8.43)
Можно считать, что, применив к системе с функционалом 50 п-крат-
ное М-преобразование, выведена система из окрестности фазового
перехода. Корреляционная функция новой системы убывает экспо-
экспоненциально и имеет в пределе г-»- с» асимптотику
ехр
(-v) <28'44)
(с точностью до предэкспоненты), причем г0 можно считать по по-
порядку равным ko1. Но новая система — не что иное как исходная
при увеличении масштаба в 2" раз. Поэтому коррелятор исходной
системы имеет при г -> оо асимптотику
еХр/ — V B8.45)
230

Отсюда и из B8.43) следует искомая формула для корреляционной
длины:
1п2
\(Т)~2» ~(Т—Тс) 1а^ . B8.46)
Вспомнив определение B8.6) критического индекса v, получим для
него выражение
^ B8.47)
In A.1
Рассмотрим еще восприимчивость % в пределе Т -*¦ Т с.
Определения B8.11), B8.32) приводят к формуле
Х~Д(к = 0). B8.48)
Рассуждения, аналогичные использованным выше при выводе фор-
формул для индексов т], v, приводят к соотношению
0)~^2-^, B8.49)
где п — число шагов ^-преобразования, необходимое для того,
чтобы система покинула фиксированную окрестность фазового пе-
перехода. Из B8.43) при Т -> Тс + 0 B8.48), B8.49) следует асимпто-
асимптотика
In2rf 2 Ing
%~(Т— ГсIп^ ~~^ B8.50)
и выражение для соответствующего критического индекса у
^ln^_dJn2_ 2g5
* 1пЯ 1пЯ v ;
Полученные здесь критические индексы r\, v, у связаны соотноше-
соотношением
7 = B — Tj) v. B8.52)
Заметим, что замена в B8.52) знака = на знак < превращает это
равенство в одно из неравенств Гриффитса [147].
Таким образом, метод континуального интегрирования в сочета-
сочетании с гипотезой Вильсона о связи фазового перехода с неподвижны-
неподвижными точками М-преобразования позволил выразить критические ин-
индексы через параметры этого преобразования и установить точное
соотношение B8.52). Естественно поэтому назвать гипотезу Виль-
Вильсона обобщенной гипотезой подобия.
Для вычисления критических индексов, остающихся независи-
независимыми, необходимы приближенные методы. Один из них, предложен-
предложенный Вильсоном, заключается в следующем. Пренебрегая всеми выс-
высшими коэффициентными функциями, начиная с ие используем для
uf) и uf) приближения
; «<»)=«„. B8.53)
231

Формулы перехода от (и<?\ ы<4л)) к (ы(8л+1), u^+V) можно записать
в виде
B8.54)
Используя преобразования подобия B8.21), B8.25), ограничимся
диаграммами а, Ь, приведенными в B8.54). Диаграмма а в прибли-
приближении, где uf> есть константа, не зависит от внешнего импульса.
Требуя, чтобы коэффициент при k% в u<s"+1) (k) был равен 1, най-
найдем ?:
? = 2'+"/2. B8.55)
После этого формулы B8.54) конкретизируются в виде
(к,) « «.« =
Г
B8.56)
Множитель 3 перед интегралом во второй из этих формул получает-
получается при учете трех_^диаграмм:
B8 57)
а множитель 1/2 есть множитель симметрии диаграммы.
Таким образом, при сделанных упрощениях М-преобразование
сводится к нелинейному преобразованию пары (г„, ы„) в (г„ + 1,
ип + х) по формулам B8.56). Вторая из них указывает на выделенную
роль размерности d — 4.
При d> 4 из формулы B8.56) следует неравенство
Ьп2«-*, B8.58)
если только исходное ы0 достаточно мало и положительно. Поэтому
tin -v 0 и в предельной паре (и, г) должно' быть * = 0, а тогда и
232

г = 0. В результате действие Sn в пределе п -> оо есть действие сво*
бодного поля
—А. Гй2ф(к)ф(—k)dk. B8.59)
Это приводит к тому, что корреляционная функция и термодинами-
термодинамические функции ведут себя в окрестности фазового перехода так Же,
как соответствующие величины в теории свободного поля. Крити-
Критические индексы совпадают с критическими индексами теории свобод-
свободного поля. В частности,
y|=o, v = y> f = h <28-60)
При d = 4 TW-преобразование B8.56) также ведет к пределу
г = 0, и — 0, а критические индексы совпадают с их значениями
в теории свободного поля. Более подробную информацию о поведе-
поведении системы для предельной размерности d = 4 читатель найдет
в упомянутой работе А. И. Ларкина и Д. Е. Хмельницкого [1251.
В случае d < 4лположение существенно, иное. Исходя из пары
(г0, щ) с достаточно малыми г0, и0 (причем и0 > 0), приходим обя-
обязательно к нетривиальному решению (г, и) уравнений стационарно-
стационарности с и Ф 0, а именно
Г—-—Г\
J (*2+'LJ
B8.61)
где г определяется из уравнения
причем интегралы в B8.61), B8.62) взяты по области (kJV) <k<
< де-
делинеаризация преобразований B8.56) в окрестности точки ста-
стационарности имеет вид
+ («„-«) 2*-" Л **- Г dA V B8.63)
\ Bя)" J (*«+r)« У
233

Оператор А есть в этом случае матрица второго порядка
. B8.64)
Определенная выше величина Ях есть наибольшее собственное зна-
чедие этой матрицы. При d >• 4 имеем и = г = 0 и получаем Хг =
= 4 — результат теории свободного поля. При d < 4 А^ отличается
от 4 и дает, согласно B8.47), критический индекс v, отличающийся
от значения 1/2 в теории свободного поля.
Заметим, что приближение B8.55) для ? совпадает с результатом
теории свободного поля и дает нулевой критический индекс т).
Таким образом, получен приближенный метод вычисления кри-
критических индексов. Сделанный в рамках этого подхода вывод о вы-
выделенной роли размерности d = 4 сохраняет силу и при более под-
подробном рассмотрении систем «с размерностью, близкой к 4», в сле-
следующем параграфе.
§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ
И РАЗЛОЖЕНИЕ ВИЛЬСОНА
Выделенная роль размерности d — 4 привела Вильсона и Фишера
[126] к идее разложения по параметру е = 4 — d. Такое разложение
предполагает рассмотрение наряду с обычными системами статисти-
статистической механики в пространствах целой размерности также и систем
с «нецелой размерностью». Это означает распространение диаграм-
диаграммной техники теории возмущений, в которой выражения для диаг-
диаграмм даются кратными интегралами по пространству размерности
на случай, когда d перестает быть целым числом. Поясним это на
примере диаграммной техники с элементами
G(k)=-(k* + r)-\ V4 = g, B9.1)
где G (к) — выражение, соответствующее линии; У4 соответствует
вершине четвертого порядка.
Задача здесь заключается в распространении на случай нецелой
размерности d интеграла от произведения функций
П (kt+r)-\ B9.2)
соответствующих линиям диаграммы. Используя представление
Фейнмана
П W-Hr)-1 —(/—1)! Г П dat8 ( 2 o,-l) f 2 W
B9.3)
234

сведем задачу к продолжению на произвольные значения d ин-
интеграла:
B9.4)
по независимым импульсам диаграммы ka, число которых рав-
равно числу независимых контуров.
С помощью линейного преобразования
ka-+ S a*$h + K* B9.5)
P=I
выражение
ij«i(*? + r) B9.6)
можно привести к виду
2 « + Д B9.7)
а=1
где D — функция внешних импульсов диаграммы и параметров
ос* представления Фейнмана. Элементы а^р матрицы преобразова-
преобразования B9.5) не зависят от размерности d ^-пространства, а полу-
получающийся при преобразовании элемента объема
П dk^idetuatf П dka B9.8)
а=1 а=1
множитель (det Oap)d выносится за знак интеграла по ka. Получаем
интеграл
Г П dka(m + D)-i, B9.9)
^ а=1
равный интегралу
dk B9.10)
по ^-пространству размерности cd. Этот интеграл есть произведение
одномерного интеграла
оо
Г к° ~ dk B9.11)
J (?2-fD)'
на элемент площади единичной сферы в cd-мерном пространстве
B9.12)
235

Выражения B9.11), B9.12) определены не только для целых d.
Таким образом, распространение диаграммной техники с элемента-
элементами B9.1) на нецелые d не встречает затруднений.
Рассмотрим метод последовательного континуального интегри-
интегрирования для систем размерности d = 4 — е с малым е. Для
такой системы можно определить М-преобразование, как и для
системы с целым й~. Естественно считать, что, как и для целого d,
фазовый переход связан с тем, что ^-преобразование при его пов-
повторном многократном применении к исходному действию So дает
действие S, инвариантное относительно М-преобразования. Фор-
Формулы М-преобразования имеют вид
+ ...;
B9.13)
Покажем, что условия стационарности Ми = и в пределе е -> О
допускают решения в виде рядов по степеням е. Получающееся та-
таким образом е-разложение функций и2п ведет к е-разложениям для
критических индексов.
Решение уравнений стационарности уИ-преобразования B9.13)
имеет вид
г Ц ), B9.14)
где с — константа, не зависящая от е. Малость вершины взаимодей-
взаимодействия позволяет ограничиться несколькими первыми диаграммами
теории возмущений. Если функции ut (k), ы4 (М имеют вид B9.14),
первая из приведенных в B9.13) диаграмм для ыа (к) есть сумма
слагаемого, не зависящего от к (порядка ekl) и величины, по порядку
не превосходящей kle2. Остальные диаграммы также дают вклад,
не превосходящий по порядку ?§е8. Если потребовать, чтобы коэф-
коэффициент при k% в ыа (к) был равен 1, получим равенство
l=^2-a-rf(l+0(e2)), B9.15)
откуда
? = 21+d/2(l+O(ea)). B9.16)
236.

Это показывает, что формула B8.55) для ? верна с точностью О (еа).
Подставим формулу для ? B9.16) во второе из уравнений B9.13),
в котором затем положим kj == 0 (i = 1, 2, 3, 4). Обозначив
ы4(к* = 0) =ы, B9.17)
получим уравнение
B9.18)
в котором интеграл взят по области k0l2 < k < k0. Учтя, что d-мер-
ный интеграл с относительной погрешностью порядка е равен четы-
четырехмерному, перепишем уравнение в виде
1п2 + О(е)). B9.19)
16л4 /
Решение этого уравнения есть
u = _i^l_ (i _ 2r*) + О (еа) - 16"ае + О (е2). B9.20)
о 3
Тем самым определили константу с в B9.14):
с - ^ . B9.21)
Зная в первом приближении ы4 (кг) л; и, найдем добавку к k2
в ы2 (к). В первом приближении эта поправка не зависит от k. Обоз-
Обозначим ее г. Уравнение для г
2 Bл)«
имеет решение
^ Г-^-+О(е2)^ B9.22)
r=—L3± = —Lkbe. B9.23)
3 32п2 9 v ;
Итак,
ыг(к) = йа -^е + О^е2); ы4=-^-е + О(еа). B9.24)
У 3
Отметим теперь, что коэффициенты ?2<г<1-2л> перед uin\-i)
в уравнениях стационарности для высших коэффициентных функ-
функций и%п (к*), начиная с ыв. в приближении B8.55) для % меньше еди-
237

няцы и стремятся к нулю (как 2rdn) при п ->• оо . Входящие в эти
уравнения диаграммы имеют высшие порядки по е (е2 в ыв, е8 в иа
и т. д.). Это приводит к тому, что высшие коэффициентные функции
в пределе е ->¦ 0 оказываются несущественными и их необходимо
учитывать только в высших порядках по е.
В низших порядках по е М-преобразование сводится к преобра-
преобразованию над и2 и ы4 по формулам B8.56). Другими словами, изло-
изложенный в предыдущем параграфе приближенный метод становится
асимптотически точным в пределе е -> 0.
Это соображение позволяет, найти наибольшее собственное зна-
значение Ях линеаризованного оператора А М-преобразования как наи-
наибольшее собственное значение матрицы B8.64). С точностью О
(еа) %! равно элементу Лп этой матрицы:
= 4—**- f —У— + О (е2) = 4 —iii^-
B)" J (Р+г)* У ' An*
= 4—-&1п2 + О(е2). B9.25)
3
Подстановка Ях в B8.47) дает критический индекс
^ ^ ). B9.26)
Для нахождения критического индекса с большей точностью
необходимо знание с большей точностью коэффициента ?, который
в силу B8.40) определяет критический индекс ц. Это можно сделать,
учтя вторую из диаграмм, изображенных в уравнении B9.13) для
и2 (к). Получим выражение для г\ другим способом, связанным
с меньшими вычислительными трудностями. Критический индекс
к] — О (е2) связан с асимптотикой функции определенной соотноше-
соотношением B8.32):
D(k)~^-2- B9.27)
Функция D (к) с точностью до знака есть функция Грина ср-поля
в ^-пространстве. Она выражается через собственно энергетическую
часть 2 (к) формулой
D (к) = (и, (к) + 2 (к))-1, B9.28)
где
B9.29)
есть сумма диаграмм теории возмущений, в которых линиям соот-
соответствуют функции «2 * (к), вершинам — игп (kt) с п > 2,
238

В этих диаграммах интегралы по импульсам внутренних линий бе*
рутся по всей области k < k0, в отличие от области &0/2 < k < k0,
с которой встречаемся в диаграммах, описывающих УИ-преобразо-
вание.
Вычислим критический индекс г\, сравнив формулу
D (к) ~ *<-2+п> » (k2 — k2 ц In (k/ko))-\ B9.30)
следующую из B9.27) в области ?<??„, | т] In (&„/&) I <S 1. с форму-
формулой B9.28) в этой же области. Мы должны получить асимптотиче-
асимптотическую формулу
& — k2 т) In (k/k0) « u, (k) + 2 (k). B9.31)
Вычтем из правой части значение этой формулы при к = 0
ы2 @) + 2 @), равное, очевидно, нулю в силу B9.27). Так как
и, (к) — и, @) = ?а + О (А4), B9.32)
то в указанной выше области должно получиться соотношение
2 (к) — 2 @) » — цкг In (Л/*о). B9.33)
Главный вклад в разность 2 (к) — 2 @) вносит диаграмма Ь.
B9.29), так как диаграмма а дает постоянный вклад, В выраже-
выражении
2 (к)—2 @) = Г и2 dkx dk2 x
3!Bя)<* J
хКЧМыгЧУ [и^ЧЪ + Ю-^ЧЪ + К + Щ] B9.34)
можно в первом приближении положить и2 (к) = k2, щ — и,
d = 4:
2 (к)-2 @) = —^— Г {dhdk2 kr 2ki* x
W V ' 3! Bл)8 J
x^+k^-^ + k. + k)-2]}. B9.35)
Применим к этому выражению квадрат четырехмерного оператора
Лапласа Д|, который пронесем под знак интеграла, воспользовав-
воспользовавшись формулой
Д4&-2 = — 4п2б (к). B9.36)
Это дает
А! B (к)-2 @)) = А4 -~-^- f dk, dk% kГ2 k;2 4я« б (к, + k2 + к) =
3!Bя)8 J '
3!Bл)*
B9.37)
Отсюда нетрудно восстановить 2 (к) — 2 @):
i>2 ьа
2 (к)—2 @) = —^- (In (*/*„) + const). B9.38)
239

Сравнив эту формулу с B9.33), получим
•Л = еа/54.
B9.39)
Исследуя уравнение стационарности. М-преобразования с боль-
большей точностью, нетрудно получить следующие члены разложения
критических индексов v и т).
В заключение приведем результаты вычислений [124] критиче-
критических индексов v, т), а, р\ у, б для системы с исходным функционалом
действия:
==-J(t 2
2
B9.40)
обобщающим выражение B8.14) на случай многокомпонентного по-
поля cpj (х, т) (i = 1, ...,' п). В этой главе была рассмотрена система
с п — 1. Случай п = 2 соответствует комплексному скалярному
полю,
В приводимых ниже формулах для критических индексов п есть
число компонент поля
'
v^ ' I
2 ^ 4(я+8)
8 +
na-f23n-f60
2 (n + 8)*
n+2
2(Л+8)*|
[-"он^—TJ1
2(Л+8)
Зе
(я + 2)Bя+1)
2 2(
(я+2)
2(я+8)
(л+2)(па+22я+52)
4(п+8)«
B9.41)

ГЛАВА 11
ВИХРЕПОДОБНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 30. ВИХРИ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МОДЕЛИ
ГОЛДСТОУНА
В последнее время концепция возбуждений типа квантовых
вихрей, возникшая в теории сверхпроводимости и сверхтекучести,
переносится на релятивистскую квантовую теорию поля. Основа-
Основанием для этого служит гипотеза, что сильно взаимодействующие
частицы (если не все, то по крайней мере некоторые из них) являются
вихреподобными возбуждениями. Такая гипотеза позволяет сни-
снизить число фундаментальных полей. Необходимость в этом ощущает-
ощущается особенно сильно в последнее время, когда число открытых сильно
взаимодействующих частиц вместе с резонансами стало порядка
100—200. В этой ситуации стандартная схема теории поля, сопос-
сопоставляющая каждой частице фундаментальное поле, становится гро-
громоздкой, неэффективной для практического использования и не-
непривлекательной с точки зрения красоты теории.
Вихреподобные возбуждения существуют как в точно решаемых
моделях, где они получили название «солитоны», так и в других
теориях. Рассмотрим одну из простейших моделей релятивистской
теории поля, в которой возможны вихреподобные возбуждения,—
модель Голдстоуна [127] с одним временным и двумя пространствен-
пространственными измерениями. В следующем параграфе рассмотрена возмож-
возможность существования вихреподобных возбуждений в некоторых
моделях теории поля в четырехмерном пространстве—времени.
Метод континуального интегрирования представляется наиболее
подходящим в этой области, где возбуждения существенно коллек-
коллективные и образованы многими исходными частицами.
Перейдем к рассмотрению релятивистской модели Голдстоуна.
Функционал действия этой модели удобно записать в евклидовых
переменных
j(f). C0.1)
Функционал C0.1) описывает комплексное скалярное поле, само-
самодействующее с константой связиg > 0. Коэффициент X положителен.
Это соответствует тому, что при выключенном взаимодействии
(g = 0) имеются частицы с отрицательным значением квадрата мае*
сы (тахионы).
841

Голдстоун обратил внимание на то, что при включении взаимо-
взаимодействия в системе происходит бозе-конденсация [127]. В результате
появляются частицы нулевой и конечной массы (с положительным
квадратом). Частицы конечной массы, как будет видно, неустойчи-
неустойчивы и имеют конечное время жизни.
Вид функционала действия C0.1) напоминает соответствующий
функционал для неидеального бозе-газа. Естественно предполо-
предположить, что в модели Голдстоуна могут существовать возбуждения
типа квантовых вихрей, характерные для сверхтекучих бозе-систем.
Прежде чем рассмотреть непосредственно квантовые вихри, по-
построим для модели Голдстоуна теорию возмущений, аналогичную
развитой в § 16 для бозе-газа. Такая теория возмущений не содержит
инфракрасных расходимостей и оказывается удобной, в частности,
для вычисления времени жизни нестабильной частицы. Не будем
пока конкретизировать размерность модели п.
Плотность конденсата определяется в первом приближении из
условия максимума выражения
C0.2)
ч
и равна
о о g
Перейдем в_ действии C0.1) к полярным координатам \|э =
*= Vp exp (icp),i|) = V'p exp(—iy), а затем вместо р введем перемен-
переменную я = р — р0. В переменных <р, я действие имеет вид
g J
dx. C0.4).
Здесь выражение — j dx — вклад бозе-конденсата.
Сделаем в континуальном интеграле по переменным <р (х) п (х)-
преобразование
1 л> C0.5)
превращающее выражение C0.4) в
C0.6)
242

Константа V2/p~ определяет силу взаимодействия ср- и я-полей,
а также самодействия я-поля.
Заметим, что из формулы C0.6) следует неустойчивость системы
взаимодействующих тахионов относительно сколь угодно слабого
стабилизирующего возмущения. Действительно, если при фиксиро-
фиксированном Я рассмотреть в C0.6) предел g-+ + 0, то получим, что вто-
второе слагаемое в C0.6) стремится к бесконечности, а первое превра-
превращается в квадратичную форму, описывающую невзаимодействующие
безмассовые частицы и частицы с положительным значением квад-
квадрата массы т2 = 2К. Учет взаимодействия делает массивную час-
частицу неустойчивой.
Построим теорию возмущений в терминах переменных ср, я.
Элементами диаграмм теории возмущений будут две линии, соответ-
соответствующие полям ф и я, одна вершина, соответствующая <р — я-
взаимодействию, и бесконечное число вершин, соответствующих
я — я-взаимодействию. Приведем выражения для линий, вершины
Ф — я-взаимодействия и первой из вершин я — я-взаимодействия:
-к'2
г C0.7)
kz
Обозначим ф-поле одинарной линией, я-поле — двойной. В я —
я-вершине черточками отмечены выходы вершины, несущие импуль-
импульсы кх и &2. Скалярное произведение именно этих импульсов фигури-
фигурирует в выражении, соответствующем этой вершине.
Выражение, соответствующее диаграмме теории возмущений,
можно получить, проинтегрировав произведение выражений, соот-
соответствующих элементам диаграммы, по независимым импульсам и
умножив результат на множитель
C0.8)
где г — порядок группы симметрии; с — число независимых конту-
контуров диаграммы. Так как построение теории происходит в евклидо-
евклидовых переменных, то для получения физических результатов необ-
необходимо соответствующие диаграммам выражения продолжать в об-
область физических энергий и импульсов.
Полученная теория возмущений напоминает построенную в § 20
для теории бозе-газа. Она не содержит инфракрасных расходи-
мостей, но расходится при больших импульсах и формально яв-
является неперенормируемой. Поэтому более последовательно было бы
243.

сначала __проинтегрировать по быстропеременным составляющим
полей i|j, -ф, а уже в интеграле по медленно меняющимся полям перей-
перейти к полярным координатам. Проинтегрировав^функционал exp S
по быстропеременным составляющим полей ф, ф, получим функцио-
функционал exp S, содержащий только медленно меняющиеся составляющие
полей ij), ^. Выражение для S в первом приближении совпадает с вы-
выражением для S и отличается от него поправками, которые сокра-
сокращают расходимости при интегрировании по медленно меняющимся
полям. Эти поправки здесь рассматриваться не будут. Импульс kOx
разделяющий большие и малые импульсы, можно оценить по порядку
величины, аналогично тому как это было сделано в теории бозе-
газа. Результат такой оценки формулируется в виде неравенств
— для /1 = 4;
C0.9)
которым можно удовлетворить, если мала константа связи g.
В качестве примера приложения теории возмущений с элементами
C0.7) вычислим время жизни массивной частицы, определяемое диа-
диаграммой второго порядка:
О
C0.10)
Диаграммы, возникающие за счет я — я-взаимодействия, не дают
вклада в мнимую часть. Физически это соответствует тому, что рас-
распад массивной частицы на две другие такой же массы невозможен.
Соответствующее диаграмме C0.10) выражение имеет вид
L_2 L_ [dnk (kih)* _ g ?daf. (feifeaK
2 Po Bix)n J X *i *! 2X I2n)n J k\ k\
C0.11)
Рассмотрим мнимую часть этого выражения при k? — — 2Я,. Вслед-
Вследствие равенства k — kt + k2 имеем
244

Вклад в мнимую часть дает только первое слагаемое Я2 в правой час-
части последней формулы. Остальные слагаемые приводят к веществен-
вещественным, хотя и формально расходящимся интегралам типа
Таким образом, имеем
ImS=-lm Kg f-^-. C0.12)
2Bя)" J *?*S V
Интеграл в этой формуле сходится для случая п = 3 и расходит-
расходится логарифмически для п = 4. Мнимая часть интеграла конечна как
при п — 3, так и при п = 4. Совершив аналитическое продолжение
&2 ->¦ — 2 X + Ю, получим
для n = 3; Im2 = -^- для п = 4. C0.13)
26 26 я
Соответствующие формулы для времени жизни я-частицы имеют
вид
т = 2в?-х для п = 3; т = 27я^-1BЯ)-1/2 для п = 4. C0.14)
Модификация континуального интеграла, необходимая для уче-
учета квантовых вихрей, аналогична сделанной в § 21 для бозе-систем.
Здесь будет рассмотрен случай п = 3 (одномерное время и двумер-
двумерное пространство). Квантовым вихрям соответствуют линии в трех-
трехмерном пространстве (*0, хг, х2), на которых обращаются в нуль
функции ф, Ф и по которым происходит интегрирование. Фаза ф функ-
функции i|) получает приращение 2 пп (п — целое) при обходе вокруг
линии. Будут рассмотрены только вихри с приращением фазы
± л (| п | = 1). Состояния с | п | > 1 неустойчивы и распадаются на
вихри с | п] > 1.
Отдельному вихрю соответствует решение уравнения
0> C0.15)
полученного вариацией действия S C0.1) по ф, зависящее от пере-
переменных в плоскости, ортогональной мировой линии, и имеющее
вид/(r)exp(i0), где 0 — полярный угол; f (г) — вещественная
функция расстояния г от оси вихря. Уравнение C0.15) сводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции / (г):
? у f3 = °> C0Л6)
245

совпадающему с соответствующим уравнением в теории бозе-газа,
рассмотренным Л. П. Питаевским 1106]. Решение этого уравнения
обращается в нуль при г = 0 и стремится к Vp^ ПРИ г ~~>~ °° • Ха-
рактерную длину А,-1'2 естественно назвать радиусом ствола вихря.
Чтобы описать ситуацию с несколькими вихрями, заключим каж-
каждую мировую линию в трубку радиуса г0, значительно большего,
чем радиус ствола вихря Х~'^2. Сумму интегралов по вихревым труб-
трубкам в функционале действия 5 можно в первом приближении пред-
представить в виде
__2mB(roMdsf C0.17)
Здесь dst — элемент длины г-й вихревой линии; тв (г0) — масса
(энергия) вихря, заключенная в трубке. Вторая величина логариф-
логарифмически зависит от г0 и дается формулой
тв (го) = 2 jtp0 In (rja), C0.18)
где а — параметр порядка радиуса ствола вихря. Формулы C0.17),
C0.18) получаются аналогично соответствующим формулам B1.8),
B1.9) в теории бозе-систем.
Выделим вклад в действие C0,4) от вихревых трубок и сделаем
затем замену переменных C0.5). Получим выражение
- 2 тв W j" ds% + — Jd*. C0.19)
Функционал exp S необходимо интегрировать по полям ф, л, а также
по траекториям центров вихрей. Функция ср (х) в действии C0.19)
неоднозначна и получает приращение
±2л1/2р7еее±#. C0.20)
Величина q имеет смысл электрического заряда. Чтобы доказать
это, можно перейти к континуальному интегралу по новой перемен-
переменной, имеющей смысл векторного потенциала электромагнитного
поля. Переход к новой переменной аналогичен проведенному в § 21
для бозе-газа, и здесь его повторять не будем. Отметим, что заряд
# обратно пропорционален константе связи <р—я- ил — л-взаимо-
действий.
Квантовые вихри существуют как самостоятельные частицы.
Очевидный закон сохранения разности числа вихрей, вращающихся
246

ё положительном и отрицательном направлениях, служит аналогом
закона сохранения разности числа частиц и античастиц.
Масса одиночного вихря, строго говоря, бесконечна за счет энер-
энергии ф-поля, окружающего вихрь. Можно говорить о конечной массе
(энергии) внутри конечного объема. Например, масса (энергия)
тв (г) внутри круга радиуса г с центром, совпадающим с центром
вихря, дается формулой C0.18) с заменой г0 ->¦ г.
Модель Голдстоуна с квантовыми вихрями можно назвать про-
простейшей моделью сильных + электромагнитных взаимодействий
в B + 1)-мерном пространстве—времени. Квантовые вихри здесь
имеют смысл протонов, я-частицы — смысл я-мезонов, ф-частицы —
смысл фотонов. Поводом для такой аналогии служат свойства час-
частиц и соответствующих им полей. Действительно, взаимодействие
между квантовыми вихрями на больших расстояниях переносится
Ф-полем, а на малых — также и я-полем аналогично тому, что взаи-
взаимодействие между протонами на больших расстояниях переносится
фотонами, а на малых — также и я-мезонами. Кроме того, распад
массивной я-частицы на две безмассовые можно считать аналогом
распада я-мезона на 2 у-кванта. Наконец, для квантовых вихрей со-
сохраняется разность числа «частиц» и «античастиц». Эта разность
имеет смысл электрического заряда, совпадающего в этой модели
с барионным.
§ 31. О ВИХРЕПОДОБНЫХ РЕШЕНИЯХ В КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
Рассмотрим возможность существования вихреподобных возбуж-
возбуждений в некоторых моделях теории поля в четырехмерном простран-
пространстве — времени. Обобщением на этот случай модели Голдстоуна,
рассмотренной в предыдущем параграфе, служит модель с тремя
вещественными скалярными полями и функционалом действия вида
который записан здесь в евклидовых переменных. Условие 8S = 0
есть уравнение
Это уравнение имеет постоянное решение фа = const с условием
CL3)
a S
а также решение, описывающее вихреподобное возбуждение, не за-
зависящее от «временной» координаты х4 вида
q>f(r) C14)
247

где г — (х\ + х\ + xiyi2 — расстояние от выделенного начала
координат в трехмерном пространстве. Уравнение C1.3) сводится
к уравнению второго порядка для функции / вида
Рассмотрим решение этого уравнения, ведущее себя ~ г при т -*¦ О
и стремящееся к константе (Vg)l/2 при г->- оо . Можно показать,
что решение этого уравнения действительно существует. Однако
функционал
¦и
дающий энергию возбуждения в объеме г < г0, пропорционален
г0 в пределе г0 -*¦ оо . Таким образом, вихреподобное возбужде-
возбуждение имеет бесконечную энергию и не может быть интерпретировано
как новая частица.
Более сложные вихреподобные решения существуют в моделях
с полями типа Янга — Миллса. Например, для системы с действием
—J J
~ f 2 M-dvbZ + BBabcb№yd*x C1.7)
можно искать решение вида
Фв (*) = *„ в (г) г-1; Ь;(х)^г11аЪхь(а(г)-(вгТ11 C1-8)
Такое решение предложено и исследовано Хоофгом [129] и не-
независимо А. М. Поляковым [128]. Было показано, что оно имеет ко-
конечный функционал энергии и, таким образом, может быть сопостав-
сопоставлено новой частице.
Поиски других, более реалистических моделей теории поля
с вихреподобными решениями являются в настоящее время весьма
актуальной задачей. Не исключено, что именно на этом пути лежит
ключ к построению последовательной теории сильных взаимодейст-
взаимодействий [151 — 158].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wiener N. Differential space. — cj. Math. Phys.», 1923, v. 2, N3,
p. 131—174; The average value of a functional. — «Proc. Lond. Math.
Soc», 1924, v. 22, N 6, p. 454—467.
2. Feynman R. P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mecha-
mechanics. — «Rev. Mod. Phys.», 1948, v. 20, N 2, p. 367—387.
3. Feynman R. P. Mathematical formulation of the quantum theory of
electromagnetic interaction. — «Phys. Rev.», 1950, v. 80, N 3, p. 440—457.
4. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum
electrodynamics. — «Phys. Rev.», 1951, v. 84, N 2, p. 108—128.
5. Hefcenberg W., Pauli W. Quantum dynamics of wave fields.—«Z. Phys.»,
1929, Bd 56, N 1—2, S. 1—61.
6. Schwinger J. Quantum electrodynamics I. A Covenant formulation. —
«Phys. Rev.», 1948, v. 74, N 10, p. 1439—1461. II. Vacuum polarization
and self-energy. —«Phys. Rev.», 1949, v. 75, N 4, p. 651—679.
7. Боголюбов Н. Н. О представлении функций Грина — Швингера при по-
помощи функциональных интегралов.—«Докл. АН СССР», 1954, т. 99,
№ 1, с. 225—226.
8. Гельфанд И. М., Миилос Р. А. Решение уравнений квантовых полей. —
«Докл. АН СССР», 1954, т. 97, №2, с. 209—212.
9. Matthews P. Т., Salam A. The Green's functions of quantized fields. —
«Nuovo cimento», 1954, v. 12, N 4, p. 563—565.
10. Халатников И. М. Об одном методе вычисления статистической суммы. —
«Докл. АН СССР», 1952, т. 87, № 4^с. 539—542. Представление функций
Грина в квантовой электродинамике в-форме континуальных интегралов. —
«Журн. эксперим. н теор. физики», 1955, т. 28, № 5, с. 633—636.
11. Фрадкин Е. С. Метод функций Грина в теории квантовых полей и в кван-
квантовой статистике. — «Тр. Физ. ин-та АН СССР», 1965, т. 29, с. 7—138.
12. Feynman R. P. Quantum theory of gravitation. — «Acta Phys. polon.»,
1963, v. 24, N 6, p. 697—722.
13. De-Witt B. S. Quantum theory of gravity. — «Phys. Rev.», 1967, v- 160,
N5, p. 1113; v. 162, N5, p. 1195, 1239.
14. Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman diagrams for Yang-Mills field. —
«Phys. Lett.», 1967, v. 25B, p. 30—31.
15. Попов В. Н., Фаддеев Л. Д. Теория возмущений для калибровочно-ин-
вариантиых полей. Препринт Ин-та теор. физ. АН УССР, Киев, 1967.
16. Mandelstam S. Feynman rules for electromagnetic and Yang-Mills fields
from the gauge-independent field-theoretic formalism. — «Phys. Rev.»,
1968, v. 175, N 5, p. 1580; Feynman rules for the gravitational fields
from coordinate-independent field-theoretic formalism. — «Phys. Rev.»,
1968, v. 175, N 5, p. 1604.
17. Fradkin E. S., Tyutin I. V. S-matrix for Yang-Mills and gravitational
fields. — «Phys. Lett. B», 1969, v. 30, N 8, p. 562—563; «Phys. Rev. D»,
1970, v. 2, N 12, p. 2841—2856.
18. Hooft G. Renormalization of massless Yang-Mills fields. — «Nucl. Phys. B»,
1971, v. 33, N 1, p. 173—199.
19. De-Witt B. Gravity: a universal regulator. —«Phys. Rev. Lett.», 1964,
v. 13, N3,«p. 114—118.
20. Хриплович И. Б. Гравитация и конечные перенормировки в квантовой
электродинамике."—«Ядерная физика», 1966, т. 3, №3, с. 575—581.
21. Weinberg S. A model of leptons. — «Phys. Rev. Lett.», 1967, v. 19, N 21,
p. 1264—1266.
249

22. Lee В. W. Renormalizable massive vector-meson theory-Perturbation
theory of the Higgs phenomenon. — «Phys. Rev.», 1972, v. 5, N 4,
p. 823—835.
23. Фаддеев Л. Д. Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного
и слабого взаимодействия лептонов. — Препринт Ленингр. отд. Матем.
ин-та АН СССР, 1972.
24. Feynman R. P. Atomic theory of the transition in Helium. — «Phys.
Rev.», 1953, v. 91, N 5, p. 1291; Atomic theory of liquid Helium near
absolute zero. — «Phys. Rev.», 1953, v. 91, N 5, p. 1301.
25. Feynman R. P. Slow electrons in polar crystals. — «Phys. Rev.», 1954,
v. 97, N 3, p. 660—665.
26. Гельфанд И. М., Яглом А. М. Интегрирование в функциональных про-
пространствах и его применение в квантовой физике. — «Успехи мат. наук»,
1956, т. 11, вып. 1, с. 77—114.
27. Ковальчик И. М. Интеграл Винера. — «Успехи мат. наук», 1963, т. 18,
вып. 1, с. 97—134.
28. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1965.
29. Березнн Ф. А. Метод вторичного квантования. М., «Наука», 1965.
30. Березин Ф. А. Невинеровские континуальные интегралы. — «Теор. и
и мат. физика», 1971, т. 6, №2, с. 194—212.
31. Далецкий Ю. Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными
эволюционными уравнениями. — «Успехи мат. наук», 1962, т. 17, вып. 5,
с. 3—115.
32. Евграфов М. А. Об одной формуле для представления фундаментального
решения дифференциального уравнения континуальным интегралом. —
«Докл. АН СССР», 1970, т. 191, №5, с. 979.
33. Алимов А. Л., Буслаев В. С. О континуальном интеграле для параболи-
параболического уравнения второго порядка. — «Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.
мат.», 1972, № 1, с. 5—14; Алимов А. Л. О связи между континуальными
интегралами и дифференциальными уравнениями. — «Теор. и мат. фи-
физика», 1972, т. 11, №2, с. 182—189.
34. Фаддеев Л. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов. —
«Теор. и мат. физика», 1969, т. 1, № 1, с. 3—17.
35. Боголюбов Н. Н., Шнрков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.
М., ГИТТЛ, 1957.
36. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. Пер.
с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1963.
37. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М., «Нау-
«Наука», 1969.
38. Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой
теории поля в статистической физике. М., Физматгиз, 1962.
39. Bialynicki-Blrula I. T. Of the gauge covariance of quantum electrody-
electrodynamics. — «J. Math. Phys.», 1962, v. 3, N 6, p. 1094—1098.
40. Ward Т. С The scattering of light by light. — «Phys. Rev. Lett.», 1949,
v. 77, N 2, p. 293; An udentity in quantum electrodunamics. —«Phys.
Rev. Lett.», 1950, v. 78, N 2, p. 182.
41. Yang С N., Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge
invariance. — «Phys. Rev.», 1954, v. 96, N 1, p. 191 — 198.
42. Schwinger. Non-abelian gauge fields. — «Phys. Rev.», 1962* v. 125, N 3,
p. 1043; v. 127, N 1, p. 324.
43. Gross D. Т., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theo-
theories. — «Phys. Rev. Lett.», 1973, v. 30, N 26, p. 1343—1346.
44. Politzer H. D. Reliable perturbation results for strong interactions. —
«Phys. Rev. Lett.», 1973, v. 30, N 26, p. 1346—1349.
45. Weyl H. A remark on the coupling of gravitation and electron. — «Phys.
Rev.», 1W50, v. 77, N 5, p. 699—705.
46. Umezawa H., Takahashl Y. The general theory of the interaction repre-
representation. — «Progr. Theor. Phys.», 1953, v. 9, p. 14—32, 501 —523.
250

47. Lee T. D., Yang С. N. Theory of charged vector mesons interacting with
electromagnetic field. — «Phys. Rev.», 1962, v. 128, N 2, p. 885.
48. Dirac P. A. M. Generalized Hamiltonian dynamics. — «Proc. Roy. Soc»,
1958, v. A246, p. 326—332; The theory of gravitation in Hamilton form. —
«Proc. Roy. Soc. A», 1958, v. 246, p. 333—343.
49. Amowitt R., Deser S., Misner С W. Canonical variables for general
relativity. —«Phys. Rev.», 1960, v. 117, N6, p. 1595—1602.
50. Schwinger J. Quantized gravitational field. — «Phys. Rev.», 1963, v. 130,
N 3, p. 1253; v. 132, N 3, p. 1317.
51. Bergman P. Observables in general relativity. — «Rev. Mod. Phys.»,
1961, v. 33, N4, p. 510—514.
52. Andersen T.L. Coordinate conditions and canonical formalism in gravi-
gravitational theory. —«Rev. Mod. Phys.», 1964, v. 36, N4, p. 929—938.
53. Фаддеев Л. Д. Гамильтонова форма теории тяготения. Тезисы 5-й Между-
Международной конференции по гравитации и относительности. Тбилиси, 1968.
54. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. Пер. с франц.
М., Йзд-во иностр. лит., 1960.
55. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М., Физматгиз,
1961.
56. Higgs P. W. Spontaneous symmetry, breckdown without massless bosons. —
«Phys. Rev.», 1966, v. 145, N4, p. 1156—1163.
57. Hooft G. Renormalizable lagrangians for massive Yang-Mills fields. —
«Nucl. Phys. B», 1971, v. 35, N 1, p. 167—188.
58. Schwinger J. On the enclidean structure of relativistic field theory. —
«Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1958, v. 44, N 9, p. 956—965.
59. Абрикосов А. А., Ландау Л. Д., Халатников И. М. Об устранении беско-
бесконечностей в квантовой электродинамике.—«Докл. АН СССР», 1954, т. 95,
№ 3, с. 497; Асимптотическое выражение для гриновской функции элек-
электрона в квантовой электродинамике. ¦— «Докл. АН СССР», 1954, т. 95,
№ 4, с. 773; Асимптотическое выражение для гриновской функции фотона
в квантовой электродинамике. — «Докл. АН СССР», 1954, т. 95, № 6,
с. 1177.
60. Милехин Г. А., Фрадкин Е. С, Дважды логарифмическое приближение
в квантовой электродинамике. — «Журн. эксперим. и теор. физики»,
1963, т. 45, в. 6, с. 1926—1939.
61. Yennle D. R., Frautschi S. С, Suura H.The infrared divergence pheno-
phenomena and high energy processes. — «Ann. Phys.», 1961, v. 13, N 2, p. 379.
62. Chung V. Infrared divergence in quantum electrodynamics. — «Phys.
Rev. B», 1965, v. 140, N4, p. 1110—1122.
63. Кулиш П. П., Фаддеев Л. Д. Асимптотические условия и инфракрасные
расходимости в квантовой электродинамике. — «Теор. и мат. физика»,
1970, т. 4, № 2, с. 153—170.
64. Герджиков В. С, Кулиш П. П. О низкоэнергетических теоремах для фо-
фотонов и инфракрасных расходимостях. — «Теор. и мат. физика», 1974,
т. 18, № 1, с. 51—55.
65. Соловьев Л. Д. Низкоэнергетические теоремы и дисперсионные соотноше-
соотношения в квантовой электродинамике. — «Теор. и мат. физика», 1973, т. 15,
№ 1, с. 59—69.
66. Nordstrom D. L. Some applications of coherent states in quantum electro-
electrodynamics. — Iowa State Univ. Ames USA thesis, 1970.
67. Барбашов Б. М. Функциональные интегралы в квантовой электродинами-
электродинамике и инфракрасная асимптотика функций Грина. — «Журн. эксперим.
и теор. физ.», 1965, т. 48, вып. 2, с. 607.
68. Первушин В. Н. Метод функционального интегрирования и эйкональное
приближение амплитуд потенциального рассеяния. — «Теор. и мат. физи-
физика», 1970, т. 4, № 1, с. 22—31.
69. Abarbanel H.D.I., Itzykson С. Relativistic eikonal expansion.—«Phys.
Rev. Lett.», 1969, v. 23, N 1, p. 53—56.
70. Straight-line paths approximation for studying high energy elastic and
inelastic hadron collisions in quantum fieldtheory. — «Phys. Lett. B»,
251

1970, v. 33, N t, p. 484-488. Auth.: В. M. Barbashov, S. P. KuleshoV,
V. A. Matveev, V. N. Pervushin, A. N. Sissakian, A. N. Tavhelidze.
71. Барбашов Б. М., Нестеренко В. В. Об одной аппроксимации пропагатороЕ
виртуальных частиц и высокоэнергетическом поведении диаграмм Фейн-
мана. — «Теор. и мат. физика», 1970-, т. 4, № 3, с. 293; Функциональное
интегрирование и редже-эйкональиое представлеине амплитуды рассея-
рассеяния. — «Теор. и мат. фнзнка», 1972, т. 10, № 2, с. 196.
72. Ландау Л. Д. Теория сверхтекучести гелия. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1941, т. 1, с. 592.
73. Боголюбов Н. Н. К теории сверхтекучести. — «Изв. АН СССР». Сер.
фна.», 1947, т. 11, № 1, с. 77.
74.. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н. Волновая функция нижнего состояния
системы взаимодействующих бозе-частиц. — «Журн. эксперим. и теор,
фнз.», 1955, т. 28, вып. 2, с. 129—139.
75. Церковников Ю. А. К теории идеального бозе-газа при температуре, от-
отличной от нуля. — «Докл. АН СССР», 1962, т. 143, № 4, с. 832; Прибли-
Приближение хаотических фаз в теории неидеального бозе-газа. — «Докл. АН
СССР», 1964, т. 169, № 3, с. 1023; Второй звук в слабонеидеальном бозе-
газе. — сДокл. АН СССР», 1964, т. 169, № 6, с. 1264.
76. Толмачев В. В. Связь статистического вариационного принципа с методом
частичного суммирования диаграмм термодинамической теории возмуще-
возмущений в модифицированной формулировке проблемы бозе-эйнштейновской
системы. —«Докл. АН СССР»,- 1960, т. 134, № 6, с. 1324; Построение
асимптотических при слабом взаимодействии разложений из формальной
термодинамической теории возмущений в модифицированной формули-
формулировке проблемы нендеальной бозе-эйнштейиовской системы. — «Докл.
АН СССР», 1960, т. 135, № 1,с. 41; Температурные элементарные возбуж-
возбуждения в нендеальной бозе-эйнштейновской системе. — «Докл. АН СССР»,
1960, т. 135, № 4, с. 825—828.
77. Беляев С. Т. Применение методов квантовой теории поля к системе бозе-
частиц. — «Жури, экспернм. н теор. физ.», 1958, т. 34, вып. 2, с. 417;
Энергетический спектр неидеального бозе-газа. — «Журн. эксперим,
и теор. физ.», 1958, т. 34, вып. 2, с. 433—446.
78. Hugengoltz N. М., Pines D. Ground state energy and excitatior
spectrum of a system of interacting besons. — «Phys. Rev.», 1959,
v. 116, N3, p. 489—506.
79. Lee T. D., Yang С N. Many-body problem in quantum mechanics and
quantum statistical mechanics. — «Phys. Rev.», 1957, v. 105, N 3, p. 1119.
80. Lee T. D., Yang С N. Low temperature behavior of a dilute Bose system
of hard spheres. — «Phys. Rev.», 1968, v. 112, № 5, p. 1419; 1959, v.113,
N 6, p. 1406; Many-body problem in quantum statistical mechanics.
(I—V). —«Phys. Rev.», 1959, v. 113, N 65, p. 1166; 1959, v. 116, N 1,
p. 25; 1960, v. 117, N 1, p. 12, N 4, p. 897.
81. Боголюбов Н. Н. Квазнсредние в задачах статистической механики.
Препринт ОИЯИ Д-781, 1961.
82. Боголюбов Н. Н. К вопросу о гидродинамике сверхтекучей жидкости.
Препринт ОИЯИ Р-1395, 1963.
83. Галасевич 3. Асимптотическое вычисление функции Грина в приближении
вязкой жидкости для сверхтекучих бозе-снстем. Препринт ОИЯИ Р-1517,
1964.
84. Oirardeau, Arnowitt R. Theory of many-boson systems. Pair theory. —
«Phys. Rev.», 1969, v. 113, N3, p. 755.
85. Luban M. Statistical mechanics of a nonideal boson gas: Pair Hamil-
tonian model. — «Phys. Rev.», 1962, v. 128, N 2, p. 965—987.
86. Huang K-, Yeng С N. Quantum mechanical many-body problem with
hard-sphere interactions. — «Phys. Rev.», 1957, v. 105, N 3, p. 767.
87. Weller W. Zur superfluiditat eines Bose-systems. — «Z. Naturforsch.»,
1963, Bd 18a, N 1, S. 279; Zur Begrundung des Zweiflussigkeitenmodella
zur Helium II a us der mikroskopischen Theorie. — «Z. Naturforsch ¦>,
1964, Bd I9a, N 2, S. 410.
262

86. Gavoret Т., Nozieres P. Structure of the perturbation expansion for the 6ose
liquid of zero temperature. — cAnn. Phys.>, 1964, v. 28, N 2, p. 349.
89. Сонин Э. Б. Флуктуации, дальний порядок в сверхтекучесть. —«Журн.
эксперим. в теор. физ.>, 1970, т. 59, вьш. 4, с.1416—1428.
90. Reatto L., Chester Q. V. Phonons and the properties of a Bose system. —
«Phys. Rev.>, 1967, v.155, N 1, p. 88—100.
91. Lasher G. Coherent phonon states and long-range order in two dimensio-
dimensional Bose-systems.'— «Phys. Rev.>, 1968, v. 172, Nl,p. 224—229.
92. Березинский В. Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и дву-
двумерных системах С непрерывной группой симметрии. — «Журн. экспе-
рвм. н теор. фнз.>, 1970, т. 69, вьш. 3(9), с. 907; 1971, т. -61, вып. 3.(9),
<;. 1144.
93. Попов В. Н. К теории сверхтекучести двумерных и одномерных бозе-
, свстем. — сТеор. в мат: физвка>, 1972, т. 11, № 3, с. 354—365.
94. Попов В. Н,, Фаддеев Л. Д. Об одном подходе к теории бозе-газа при
низких температурах. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1964, т. 47
выя. 4, с. 1315-1321.
95. Попов В. Н. Функции Грина в термодинамические функции нендеаль-
ного бозе-газа. — «Журн. эксперим. в теор. фнз.>, 1964, т. 47, вып. 5,
с. 1759—1764.
96. Попов В. Н. Функции Грина и термодинамические функции неидеаль-
неидеального -бозе-газа (второе приближение). — «Вестн. Леннигр. ун-та. Сер.
физики в химии», 1965, № 22, вып. 4, с. 58—64.
97. Понов В. Н. Првмененне коитвнуального внтегрврованвя к выводу
низкочастотной асимптотики функцвй Грина и книетвческих уравне-
нвй для ыендеального бозе-газа. — «Теор. в мат. физика», 1971,
т. 6, N 1, с. 90—108.
98. Попов В. Н. Гидродинамический гамильтониан для неидеальиого бозе-
газа. — «Теор. в мат. фнзика>, 1972, т. 11,.№ 2, с. 236—247.
99. Чепмен С, Каулннг Т. Математическая теория неоднородных газов.
Пери с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1960.
100. Халатников И. М. Теория сверхтекучести. М., «Наука», 1971.
101. ЬкЬ Е. Н., Liniger W. Exact analysis of an interacting Bose gas I. The
general solution and the ground state. — «Phys. Rev.», 1963, v.130, N 5,
p. 1605—1616.
102. Lkb E. H. Exact analysis of an interacting Bose gas II. The excitation
spectrum. — «Phys. Rev.», 1963, v. 130, N 5, p. 1616—1624.
103. Yang С N., Yang С. Р. Thermodynamics of a one dimensional system of
bosons with repulsive delta function interaction. — «J. Math. Phys.»,
1969, v.IO, N 7, p. 1115—1122.
104. Абрикосов А. А. Влияние размеров на крвтнческое поле сверхпровод-
сверхпроводников второй группы. — «Докл. АН СССР», 1952, т. 86, № 3, с.489;
О магнвтных свойствах сверхпроводников второй группы. — «Жури,
эксперим. н теор. физ.», 1957, т. 32, вып. 6, с. 1442.
105. Попов В. Н. Квантовые вихри и фазовый переход в бозе-системах. —
«Журн. экспернм. в теор. фвз.», 1973, т. 64, вып. 2, с. 674—680.
106. Питаевский Л. П. Вихревые нити в нендеальном бозе-газе. — «Жури,
эксперим. н теор. физ.», 1961, т. 40, вып. 2, с. 646—651.
107. Byding E. Vortex lines and the Л-transition. — «Ann. Phys.», 1965, v. 32,
N 2, p. 367—376.
108. Wiegel F. W. Vortex-ring model of Bose condensation. — «Physica», 1973,
v. 65, p. 321—336.
J09. Andronlkashvili E. L., Mamaladze Yn. G. Quantization of macroscopic
motions and hydrodynamics of rotating Helium II. — «Rev. Mod. Phys.»,
1966, v. 38, N 4, p. 567—625.
ПО. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы. — Журн. экспернм.
и теор. фнз.», 1946, т. 16, с. 574.
Ш. Капитонов В. С. Попов В. Н. Затухание длинноволновых плазменных
колебаний. — «Жури, эксперим. в теор. фнз.», 1972, т. 63, вып. 1, с. 143—
149.
253

112. Перель В. И., Элиашберг Г. М. Поглощение электромагнитных ВОЛН
в плазме. — «Жури, эксперим. и теор. физ.», 1961, т. 41, с. 886.
113. Onsager L. Crystal statistics I. A two-dimensional model with an order-
disorder transition. —«Phys. Rev.», 1944, v. 65, p.117—149.
114. Yang C. N. The spontaneous magnetization of a twodimensional Ising
model. — «Phys. Rev.», 1952, v. 85, p. 808.
115. Kac M., Ward Т. С A combinatorial solution of the twodimensional Ising
model. —«Phys. Rev.», 1951, v. 88, p. 1332—1337.
116. Potts R. В., Ward Т. С The combinatorial method and the two-dimensio-
two-dimensional Ising model. — «Prog. Theor. Phys.», 1955, v. 13, p. 38—46.
117. Kaufman B. Crystal statistics II. Partition function evaluated by spinor
analysis. — «Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 1232—1252.
118. Румер Ю. Б. Термодинамические средние для бесконечной плоской решет-
решетки Изинга. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1964, т. 47, вып. 1,
с. 278—293.
119. Вдовиченко Н. В. Вычисление статистической суммы плоской диполь-
ной решетки. — «Журн. эксперим. н теор. физ.», 1964, т. 47, вып. 2,
с. 715; Спонтанная намагниченность плоской дипольной решетки. —
«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1965, т. 48, вып. 2, с. 526.
120. Рязанов Г. В. Корреляционные функции конечной модели Изинга. —
«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1968, т. 54, вып. 3, с. 1010—1015.
121. Молоканов А. А. Дипломная работа. ЛГУ, 1971.
122. Березин Ф. А. Плоская модель Изинга. — «Успехи мат. наук», 1969,
т. 24, вып. 3, с. 3—22.
123. Фрадкин Е. С, Калашников О. К. К теории модели Изинга. — Пре-
Препринт ФИАН СССР № 93, 1968.
124. Wilson K-, Kogut G. The renormalization group and the t-Expansion. —
«Phys. Reports C», 1974, v. 12, N 2, p. 75—200.
125. Ларкин А. И., Хмельницкий Д. Е. Фазовый переход в одноосных сегнето-
электриках. — «Журн. эксперим. н теор. физ.», 1969, т. 56, вып. 6,
с. 2087—2098.
126. Wilson К-> Fisher M. E. Critical exponents in 3,99 dimensions. — «Phys.
Rev. Lett.», 1972, v. 28, N 4, p. 240—243.
127. Go Ids tone J. Field theories with «superconductor» solutions. — «Nuovo
cimento», 1961, v.19, N 1, p. 154—164.
128. Поляков А. М. Спектр частиц в квантовой теории поля. — «Письма
в ЖЭТФ», 1974, т. 20, вып. 6, с. 430—433.
129. Hooft G. Magnetic monopoles in unified gauge theories. — «Nucl. Phys.
B», 1974, v. 79, N 1, p. 276—284.
130. Furry W. A symmetry theorem in the positron theory. — «Phys. Rev.»,
1937, v. 51, N 2, p.125—129.
131. Фаддеев Л. Д., Попов В. Н. Ковариантное квантование гравитационного
поля. —«Успехи физ. наук», 1973, т. 111, с. 428—450.
132. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. М., "Атомиздат,
1972.
133. Search for elastic muon-neutrino electron scattering. — «Phys. Lett. B»,
1973, v. 46, N 1, p. 121 — 124. Auth.: F. J. Hasert e. a.).
134. Hasert F. J. e.a. Ohservation of neutrino like interactions without muon
or electron in the Gargamelle neutrino experiment. — «Phys. Lett. B»,
1973, v. 46, N 1, p. 138—140. Auth: Hasert F. J. e. a.
135. Kibble T. W. B. Coherent soft-photon states and infared divergenses. —
«J. Math. Phys.», 1968, v.9, N 2, p. 315—324.
136. Coherent soft-photpn states and infrared divergences. II. Mass-shell singu-
singularities of green's functions. — «Phys. Rev.», 1968, v. 173, N 5, p. 1527;
III. Asymptotic states and reduction formulas.—«Phys. Rev.», 1968, v. 174,
N5, p. 1882; IV. The scattering operator. —«Phys. Rev.», 1968, v.175,
N 5, p. 1624—1640.
137. Абрикосов А. А. Об инфракрасной катастрофе в квантовой электродина-
электродинамике. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1956, т. 30, вып. 1, с. 96;
Комптон-эффект при больших энергиях. — «Журн. эксперим. и теор.
254

физ.», 1966, т. 30, вып. 1, с. 386; О рассеянии электрона на электроне
и позитрона на электроне при больших энергиях.—«Журн. экспернм.
и теор. фнз.», 1956, т. 30, вып. 3, с. 544.
138. Судаков В. В. Вершинные функции для сверхвысоких энергий в кванто-
квантовой электродинамике. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1956, т. 30,
вып. 1, с. 87—95.
139. Onsager L. Statistical hydrodinamics. — «Nuovo cimento, 1949, Suppl.,
v. 6, N 2, p. 279—287.
140. Feynman R. P. Application of quantum mechanics to liquid helium. —
«Prog. Low Temperature Phys.», 1955, v.l, ch. 2, North-Holland, Amster-
Amsterdam.
141. Bardeen Т., Cooper L. N., Schrieffer T. R. Theory of superconductivity.—
«Phys. Rev.», 1957, v.108, N 5, p. 1175—1204.
142. Боголюбов Н. Н. О новом методе в теории сверхпроводимости I. —
сЖурн. экспернм. н теор. физ.», 1958, т. 34, вып. 1, с. 58; Толмачев В. В.,
Тябликов С. В. О новом методе в теории сверхпроводимости II. — «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1958, т. 34, вып. 1, с. 66; Боголюбов Н. Н. О но-
новом методе в теории сверхпроводимости III. — «Журн. эксперим. и
теор. физ.», 1958, т. 34, вып. 1, с. 73.
143. Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод в теории
сверхпроводимости. М., Изд-во АН СССР, 1958.
144. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. К теории сверхпроводимости. — «Журн.
эксперим. и теор. фнз.», 1950, т. 20, с. 1064—1082.
145. Gell-Mann M., Brueckner К- A. Correlation energy of an electron gas at
high density. — «Phys. Rev.», 1957, v.106, N 2, p. 354—372.
146. Малеев С. В. Аналитическое продолжение температурных диаграмм
и условия унитарности при конечных температурах. — «Теор. и мат.
физика», 1970, т. 4, № 1, с. 86—100.
147. Стенли Г. Фазовые переходы н критические явления. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1973.
148. Березин Ф. А. Квантование. —«Изв. АН СССР, Сер. матем.», т. 38, № 5,
с. 1116—1175.
149. Свидзинский А. В. Метод функционального интегрирования в теории
сверхпроводимости.—«Теор. и мат. физика», 1971, т. 9, № 2, с. 273—290.
150. Андрианов В. А., Попов В. Н. Низкочастотная асимптотика функции
Грниа и кинетические уравнения для ферми — бозе — газа. —«Вестн.
Ленингр. ин-та», 1974, № 16, с. 7—15.
151. Капитонов В. С, Попов В. Н. Гидродинамическое действие для плаз-
плазмы. — «Теор. и мат. физика», 1976, т. 26, № 2, с. 246—255.
152. Фаддеев Л. Д. Адроны из лептонов? — «Письма в ЖЭТФ», 1976, т. 21,
с. 25.
153. Арефьева И. Я., Коренин В. Е. Рассеяние в двухмерной модели с лаг-
лагранжианом у~1[2~1 (dfiuJ + cos и — 1] — «Письма в ЖЭТФ», 1974,
т. 20. с 312. '
154. Коренин В. Е., Кумин П. П., Фаддеев Л. Д. Квантование солитонов.—
«Письма в ЖЭТФ», 1975, т. 21, с. 138.
155. Корейин В. Е., Фаддеев Л. Д. Квантование солитонов. — «Теор. и мат.
физика», 1975, т. 25, с. 147.
156. Dashen R. E., Hasiacher В., Nevean A. Nonperturbative methods and
extended — hadron models in field theory. — «Phys. Rev. D.», 1974,
v. 10, № 12, p. 4125.
157. Christ N., Lee T. D. Quantum expansion of soliton solutions. — «Phys.
Rev. D.>, 1976, v.12, № 6, p. 1607.
158. Tomboulis E. Canonical quantisation of non linear waves. Phys. Rev.
D. 1975, v.12, №6, p. 1678.
159. Tackiw R., Woo N. Semiclassical scattering of quantised nonlinear wa-
waves. — «Phys. Rev.», D.», 1975, v. 12, № 6, p. 1705.
160. Faddeev I. D. Vortex-live Solutions of a Unified Model of Electromag-
'netic and Wear Interactions of Leptons. Munchen preprint MPI-PAE/Pth
16, 1974.
255

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Континуальный интеграл и квантовая механика 5
§ 1. Введение 5
§ 2. Континуальный интеграл в квантовой механике 7
§3. Квантование систем со связями . < И
§ 4. Континуальные интегралы и квантование иа многообразиях. 16
Глава 2. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и стати-
статистической физике 20
§ 5. Континуальный интеграл и теория возмущений в кван-
квантовой теории поля 20
§ 6. Континуальные интегралы и температурная диаграммная
техника в статистической физике. ... 30
Глава 3. Калибровочные поля • 42
§ 7. Квантование калибровочных полей 42
§ 8. Квантовая электродинамика 47
§ 9. Поля Янга—Миллса 53
§ 10. Квантование гравитационного поля 66
§ 11. Попытки построения калибровочио.-инвариантной теории
электромагнитного и слабого взаимодействий 83
Глава 4. Инфракрасная асимптотика функций Грина 92
§ 12. Метод последовательного- интегрирования сначала по
«быстрым», а затем по «медленным» полям 92
§ 13. Инфракрасная асимптотика функций Грина квантовой
электродинамики 95
Глава 5. Рассеяние частиц высоких энергий 107
§ 14. Дважды логарифмическая асимптотика в квантовой элек-
электродинамике 107
§ 15. Эйкональное приближение 111
Глава 6. Сверхтекучесть 117
§ 16. Теория возмущений для сверхтекучих бозе-систем 117
§ 17. Бозе-газ малой плотности . 123
§ 18. Применение континуальных интегралов к выводу низкочас-
низкочастотной асимптотики функций Грина , 133
§ 19. Гидродинамический гамильтониан неидеального бозе-газа 140
§ 20. Сверхтекучесть двумерных и одномерных бозе-систем . 150
§ 21. Квантовые вихри в бозе-снстемах 161
Глава 7. Сверхпроводимость 170
§22. Теория ¦ возмущений для сверхпроводящих фермн-систем 170"
§23. Сверхпроводимость второго рода 177
Глава 8. Теория плазмы 190
§ 24. Гидродинамическое действие в теории плазмы 190
§ 25. Затухание плазменных колебаний 197
Глава 9. Модель Изиига 204
§ 26. Статистическая сумма модели Изиига как континуальный
интеграл 204
§ 27. Корреляционная функция модели Изинга 215
Глава 10. Фазовые переходы ....... 224
§ 28. Выделенная роль размерности d — 4 224
§ 29. Вычисление критических индексов и разложение Вильсона 234
Глава 11. Вихреподобиые возбуждения в релятивистской теории поля 241
§ 30. Вихри в релятивистской модели Голдстоуиа 241
§ 31. О внхреподобных решениях в квантовой теории поля . . 247
Список литературы .•...., 249