АЛГЕБРА, ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ

Н. В. Шевелева, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин
АЛГЕБРА, ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МОСКВА
2011

1(н1щные n
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
Ш37
Авторы: Н.В. Шевелева, канд. физ-мат. наук
Т.А. Корешкова, канд. пед. наук
В.В. Мир о шин, канд. пед. наук
Шевелева Н.В.
Ш37 Математика (алгебра, элементы статистики и теории
вероятностей). 9 класс /Н.В. Шевелева, Т.А.
Корешкова, В.В. Мирошин. — М. : Национальное образование,
2011. — 144 с. : ил. — (Краткий курс).
ISBN 978-5-905084-55-3
Пособие предназначено для учащихся 9 классов. В нём в
краткой и доступной форме представлены сведения по основным темам
курса алгебры 9 класса, а также по разделу «Элементы статистики
и теории вероятностей». Особое внимание уделяется разбору
решения типовых задач.
Книга будет полезна учащимся в процессе обучения, а также
при повторении материала в целях его систематизации и при
подготовке к экзамену.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
© Шевелева Н.В., Корешкова Т.А.,
Мирошин В.В, 2011
ISBN 978-5-905084-55-3 © ООО «Национальное образование», 2011

Зведелше,
Пособие «Математика (алгебра, элементы статистики и
теории вероятностей). 9 класс» серии «Универсальный
краткий курс» содержит информацию, представленную в краткой
и доступной форме, по следующим разделам курса алгебры:
«Рациональные неравенства и их системы», «Системы
уравнений», «Числовые функции», «Прогрессии». В пособие
также включён раздел математики «Элементы статистики и
теории вероятностей».
В пособии представлены методы решения неравенств, их
систем, систем уравнений, а также методы решения
различных текстовых задач; рассмотрены свойства различных
числовых функций, понятия и свойства арифметической и
геометрической прогрессий. Освещены вопросы представления
статистических данных, их средних характеристик; кроме
того, рассмотрены понятия случайного события и его
вероятности, правила нахождения вероятностей.
В конце каждого раздела представлены типовые задачи по
темам данного раздела с подробным разбором их решений.
Аналогичные задачи включены в контрольно измерительные
материалы Государственной итоговой аттестации (ГИА).
Пособие может использоваться с любым из действующих
учебников. Оно поможет вам в освоении курса математики,
повторении материала и при подготовке к экзамену.

и,
Числовые множества:
о множество натуральных чисел N — 1, 2, 3, 4, ...;
О множество целых чисел Z — ... —3, —2, — 1, 0, 1, 2, 3, ...;
О множество рациональных чисел Q.
Рациональным является число, которое можно представить
в виде — , где т — целое число, an — натуральное.
п
Число, которое нельзя представить в виде такого отношения,
называется иррациональным числом;
1 ро 5
1) 105; -0,77; ; 79; 92; \f27 — рациональные числа;
5
2) 7б; З2; Vl6; sin—; n — иррациональные числа.
4
О множество действительных чисел R (множество всех
рациональных и иррациональных чисел).
Среди двух неравных чисел любого числового множества
одно число всегда больше или меньше другого.
■ — Число а больше числа &, если разность а-Ь положительна,
то есть а-Ь>0. Обозначают: а>Ь.
— Число а меньше числа 6, если разность а -Ь отрицательна,
то есть а-Ь<0. Обозначают: а<Ь.
1) число 0,208 больше числа 0,0802, так как
0,208-0,0802 = 0,1278>0;
2) число 0,08 меньше числа 0,0802, так как
0,08-0,0802 = -0,0002<0.
Знаки > и < называют противоположными друг другу.
Если а>Ь9 то Ь<а.

1 Если a>b и 6>с, то а>с. г т ■■
Аналогично, если с<Ъ и ! ПрилЩ). 6>4 и 4>-2, тогда 6>-2. !
&<а, то с<а. ь J
2. Если а>&, то а + с>Ъ + с.
Если к обеим частям неравенства г
прибавить одно и то же число (поло- [
жительное или отрицательное), то i 6>4, тогда 6 + 3>4 + 3.
знак неравенства не изменится. «■
3 Если а + с>Ь, то а>Ь-с.
Любое слагаемое можно переносить
из одной части неравенства в дру- \ ПрилАЛ&р. \
гую, изменяя при этом знак слагае- . 6 + 10>4, тогда 6>4-10. '
мого на противоположный. ^ J
а Ъ
4 Если а>Ь и о0, то аоЬс и — >—. Если а>Ь и с<0,
с с
а Ъ
то ас<Ьс и — <—.
с с
Если обе части неравенства умножить г "■
или разделить на одно и то же поло- , TlfXAJiAZf?. ,
жительное (отрицательное) число, то ' б>4 тогда 6(-3)<4(-3).'
знак неравенства не изменится (знак [ * v / v /м
неравенства изменится на
противоположный).
5 Если а>Ь и c>d, то a + ob + d.
При сложении неравенств одинако- г "■
вого знака получается неравенство \ TlfHtJiAAjP. ,
того же знака. . 6>4иЗ>2, тогда6 + 3>4 + 2. |
<Ь Если для положительных чисел а, Ь, с, d а>Ь и c>d9
то aobd.
При умножении неравенств одинако-
вого знака, у которых левые и пра-
выв части положительны, получает- ' 6>4иЗ>2, тогда6-3>4-2.
ел неравенство того же знака. [
5"

1.2.
Сравнить два числа — это значит выяснить, какой из
знаков > (больше), < (меньше), = (равно) нужно поставить
между этими числами, чтобы получить верное соотношение.
Геометрически неравенство а > Ъ
означает, что на координатной прямой (числовой
оси) точка, соответствующая числу а,
расположена правее точки, соответствующей
числу Ь.
Геометрически неравенство а < b означает,
что на координатной прямой точка,
соответствующая числу а, расположена левее
точки, соответствующей числу Ь.
Расположение заданных чисел в порядке убывания
означает, что каждое следующее записанное число должно быть
меньше предыдущего.
Расположение чисел
ах,
а3 в порядке
убывания означает, что а2 < ах, а3 < а2.
Геометрически это интерпретируется так:
«3 «2
Расположение заданных чисел в порядке возрастания
означает, что каждое следующее записанное число должно
быть больше предыдущего.
Расположение чисел Ъх, Ъ2, Ъ3, Ь4 в порядке
возрастания означает, что Ь2 > Ьх, Ъ3 > Ъ2,
b4 > b3. Геометрически это
интерпретируется так:
ъ
а
а>Ъ
а<Ь
а
Ъ
X
X
х
Ъг Ъ2
Строгими неравенствами называют неравенства со знаками
> (больше) и < (меньше), нестрогими — неравенства со
знаками > (больше или равно) и < (меньше или равно).
Знаки > и < считают противоположными друг другу.
Неравенство а > Ь означает, р
что а > Ь или а = 6, то есть
а НЕ МЕНЬШЕ 6.
Неравенство а < Ь означает,
что а < Ь или а = 6, то есть
а НЕ БОЛЬШЕ 6.
1) а меньше 2 означает а < 2;
2) а не меньше 2 означает а > 2;
3) а не больше 2 означает а < 2.
ь________.___________ — __

Свойства строгих числовых неравенств справедливы и для
нестрогих неравенств.
1) если а>&, то -а<-Ь;
2) если а>0 и Ь>1, то
3) если а>1 и Ь>1, то ab>l.
Два неравенства а > Ь и а < с принято записывать в виде
двойного неравенства b < а < с. Аналогично, а > Ъ и а < с
записывают Ь < а < с.
1) а больше 5 и меньше 7, то есть 5 < а < 7;
2) v не меньше 80 и не больше 120, то есть 80 < v < 120;
3) t больше 0 и не больше 100, то есть 0 < t < 100.
Геометрически неравенство b < а < с
означает, что на координатной прямой
точка, соответствующая числу а,
расположена между точками,
соответствующими числам бис.
Ь<а<с
х
а с
1.3.
С
Рациональным неравенством с одной переменной х
называется неравенство f(x)>g(x), где f(x) и g(x) — алгебраические
выражения, составленные из чисел и переменной х с
помощью арифметических операций и возведения в натуральную
степень. Вместо знака > может быть записан любой из
знаков: <, <, >.
3) у3 - 8 < 0 — рациональные неравенства.

В частности, рациональными являются следующие
неравенства:
о линейное неравенство — неравенство вида ах + Ъ > О, где
а и Ъ — действительные числа, причём а ф 0.
о квадратное неравенство — неравенство вида ах2 + Ьх + с > 0,
где а, Ъ и с — действительные числа, причём а * 0.
Щ Решением неравенства называется значение переменной, при
■ подстановке которого в неравенство оно обращается в верное
числовое неравенство. Вместе с тем решением неравенства
называют также множество всех таких значений переменной.
Решить неравенство — это значит найти все его решения
или установить, что их нет.
р Число 1 является решением неравенства #3-8<0,
так как при подстановке у = 1 в неравенство получается верное
числовое неравенство 1-8<0 или -7<0.
Два рациональных неравенства называются равносильными,
ш если они имеют одни и те же решения (иными словами, все
решения первого неравенства являются решениями второго
и наоборот) или когда они оба не имеют решений.
Для записи равносильности неравенств используют
символ <=>.
При решении неравенства стараются заменить исходное
неравенство более простым, но равносильным ему. При этом
символ равносильности допустимо не записывать.
Если из одной части неравенства перенести слагаемые
в другую часть с противоположными знаками и сохранить
знак неравенства, то полученное неравенство будет
равносильно исходному.
х4>6-х2
8

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число и сохранить знак
неравенства, то полученное неравенство будет равносильно
исходному.
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
I х
-
3
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же выражение, положительное при всех
значениях переменной, и сохранить знак неравенства, то
полученное неравенство будет равносильно исходному.
Так как *2+1>0, то 2 ч >6<£> х>б(х2+1).
, х + 1 v '
L — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ——— — —— — — — — —
4 Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число и изменить знак
неравенства на противоположный, то полученное неравенство
будет равносильно исходному.
> 6 + х2 <» хА < -12-2х2
2
Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же выражение, отрицательное при всех
значениях переменной, и изменить знак неравенства на
противоположный, то полученное неравенство будет
равносильно исходному.
'. Так как -х2-1<0, тох(-х2 -1)>б(-х2 -l)ox<6. J

П/utfa,
1.4.
к,
Решениями простейших неравенств с переменной х: х>а,
х>а, х<а, х<а являются соответствующие числовые
промежутки (лучи), указанные в таблице.
Неравенство
х>а
х>а
х<а
х<а
Числовой
промежуток
(а;+оо)
[а; +оо)
(-оо;а)
{-со; а]
Интерпретация
на координатной прямой
а
а
а
а
Щ Решением системы неравенств с одной переменной является
и множество всех значений переменной, каждое из которых
обращает в верные числовые неравенства все неравенства
системы.
Для записи системы неравенств используют фигурную скобку.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
. Значение х = 0 является одним из решений системы
Г*>-4,
неравенств < так как при подстановке этого значения в оба
|х<1,
неравенства получаем верные числовые неравенства: 0>-4, 0<1.
Решением совокупности неравенств с одной переменной
является множество всех значений переменной, каждое из
которых обращает в верное числовое неравенство хотя бы одно
неравенство совокупности.
Для записи совокупности неравенств — квадратную скобку.
. Значение х = 3 является одним из решений совокупности
Г*>-4,
неравенств так как при подстановке этого значения в
|х<1
первое неравенство получаем верное числовое неравенство 3>-4.

двух,
1 Изобразим на координатной прямой числовые
промежутки, являющиеся решениями каждого неравенства.
Для изображения первого промежутка удобно использовать штри
ховку выше координатной прямой, для второго — штриховку
ниже этой прямой.
. Решениями первого и второго неравенств системы
[х < 1
являются промежутки (-оо;-4] и (-оо;1). Их пересечение (-оо;-4]
является решением системы неравенств.
-4 х
УУУУУУУУУУ^ p. JT
1
2. Для нахождения решения системы неравенств определим
промежуток, имеющий обе штриховки, то есть
пересечение решений обоих неравенств системы.
Для нахождения решения совокупности неравенств
определим промежуток или объединение промежутков,
имеющие хотя бы одну штриховку, то есть объединение
решений обоих неравенств совокупности.
Для записи объединения промежутков используют символ *и.
'. Решением совокупности неравенств является объ-
единение промежутков (-оо;-4] и (-оо;1), то есть промежуток (-оо;1).
;4 Q х
1
При решении двойных неравенств используют правила
равносильности и интерпретацию решений на координатной
прямой.
При этом Правило 1 следует формулировать так: ко всем
частям неравенства можно прибавлять одно и то же число

Плли&а,
или выражение:
-
a<-x<bo-b<x<-a
В случае сложного двойного неравенства его можно
записать в виде системы двух неравенств и решать полученную
систему.
По Правилу 4 при умножении всех частей неравенства на
отрицательное число надо изменить оба знака неравенства на
противоположные. Поэтому a<-x<bo-a>x>-b. Второе
неравенство принято записывать в виде -Ъ<х<-а.
К решению двойных неравенств может привести решение
некоторых линейных неравенств, содержащих модуль.
Модулем (или абсолютной величиной)
числа а называется:
— само это число, если число а
положительное или ноль,
— число, противоположное ему, если число а
отрицательное.
[a, t
-а.
если а>0,
если а<0.
= 25;
= 1,7; 3) |0| = О.
Геометрически \а\ определяет расстояние
от начала координат О до точки с
координатой а.
Важно помнить, что
\а\>0
и
\а\ = \-а\

Решением неравенства |х|<а, где a>0,
является множество всех значений
переменной х, находящихся внутри интервала (-а; а).
О
-а
\х\ < а <=> -а < х < а при а > О
1) |лг| < 2 <=> —2 < л: < 2;
2) |лг - 2| < 5 <=> -5 < л: - 2 < 5;
3) |3л: + 7| < 10 <=> -10 < Зл: + 7 < 10.
х
а
Решением неравенства |х|>а, где а>0,
является множество всех значений
переменной х, принадлежащих объединению двух
промежутков: (-оо; -a) U (a; +<»).
. | \х<-а,
\х\>аЫ приа>0
11 [_х>а *
О
-а
х-2<-5,
х-2>5;
3)|3jc-h7|>10<=>
Заметим, что вместо знаков > и < могут стоять знаки > и <.
Рассмотрим решение квадратных неравенств ах2 + Ьх + с < 0
и ах2 + Ьх + о 0 для случая a > 0.
Если а<0, надо умножить обе части неравенства на (-1)
и свести решение неравенства к случаю а>0.
При решении квадратных неравенств ах2 +bx + c<0 и ax2 +bx + c>0
при а>0 будем использовать график квадратичной функции
у = ах2 +Ьх + с для определения промежутков, на которых эта
функция принимает отрицательные и положительные
значения.

1
0. (Эти значения
на1 Найдём значения х, при которых
зывают нулями функции.)
Для этого решим квадратное уравнение ах2 +Ьдс + с = О, а>0.
Вычислим дискриминант D = b2 - 4ас. Возможны три случая:
1) если D>0, то уравнение имеет два различных корня:
2а * 2а
2) если D = 0, то уравнение имеет единственный корень: хх= ;
3) если D<0, то уравнение корней не имеет.
2 Построим схематично график квадратичной функции
у = ах2+Ьх + с, а>0.
При схематичном построении достаточно отметить точки на
оси Ох, абсциссы которых равны хх и х2.
При а > О графиком квадратичной функции является парабола,
ветви которой направлены вверх.
Если D > О, то парабола пересекает ось Ох в двух различных
точках.
Если D = 0, то парабола касается оси Ох в одной точке.
Если D<0, то парабола не пересекает ось Ох и лежит
полностью выше оси.
3 Найдём значения х, для которых ax2+bx + c<0, то есть
определим промежуток на оси Ох, где часть параболы
лежит ниже оси Ох, и нанесём соответствующую штриховку.
Ответ:
решений нет.
i
Ответ:
{У
X
решений нет.
Для записи ответа «решений нет» используют символ пустого
множества 0.
Найдём значения х, для которых ax2+bx + c>0, то есть
определим промежутки на оси Ох, где части параболы
3-4

лежат выше оси Ох9 и нанесём соответствующую
штриховку.
D>0
Ответ: (-00; xt)u(x2; +оо).
Ответ: (-оо;
1; + оо).
D<0
Ответ: (-00; +оо).
Рассмотрим решение неравенств ах2 + Ьх + с < О и ал:2 + foe + с > О
для случая а>0. Если а<0, надо умножить обе части
неравенства на (-1) и свести решение неравенства к случаю а>0.
При решении нестрогих квадратных неравенств ах2 +Ъх + с<0
и ax2+bx+c>0 при а>0 будем использовать график квадратичной
функции у = ах2+Ьх + с для определения промежутков, на которых
эта функция принимает неположительные (отрицательные или
ноль) и неотрицательные (положительные или ноль) значения.
1 Выполним пункты 1 и 2 из параграфа 1.6.
% Найдём значения х, для которых ах2+Ьх + с < 0, то есть
определим промежуток на оси Ох9 где часть параболы
лежит ниже оси Ох9 и нанесём соответствующую
штриховку. Затем включим точки, в которых парабола пересекает
ось Ох или касается её.
\
Ответ:
X
решений нет.

Найдём значения х, для которых ах2+Ьх + с > 0, то есть
определим промежутки на оси Ох, где части параболы
лежат выше оси Ох, и нанесём соответствующую
штриховку. Затем включим точки, в которых парабола пересекает
ось Ох или касается её.
Z)>0
х
Ответ: (-оо; jcJ
+oo
)•
D<0
/////////А///////////////////',
Ответ: (-оо; +оо).
Рассмотрим квадратное неравенство ах2 + Ъх + с < О, а * О,
когда хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю.
В этом случае корни неполного квадратного уравнения удобнее
находить разложением левой части уравнения на множители.
Используя свойство корня л/л:2 = |
при d>0 можно решать так:
неравенство
x2-d<0
x2-d<0<^>x2<d<^>
X
<yfd <=>-yfd <x<yfd
Линейными неравенствами с параметрами являются
неравенства типа х-Ь<0, ах<2, ^р2-1^х-\-р-1>0 и другие,
содержащие кроме переменной х переменные величины 6, а, р
и другие, которые также могут принимать различные
числовые значения.
3.6

Ре1ыением неравенства с параметром при фиксированном
значении параметра называется такое значение переменной,
при подстановке которого в неравенство оно обращается в
верное числовое неравенство. Вместе с тем решением
неравенства с параметром называют также множество всех таких
значений переменной.
\( 1) при значении параметра 6 = 7 число 1 является
решением неравенства д:-Ь<0, так как при подстановке х = 1 в
неравенство получаем верное числовое неравенство 1-7 < О или -6<0;
2) при значении параметра 6 = 7 число 8 не является решением
неравенства х-Ь<09 так как при подстановке х = 8 в неравенство
получаем неверное числовое неравенство 8-7 < О или 1<0.
Решить неравенство с параметром — значит для каждого
■ допустимого значения параметра найти множество всех
решений данного неравенства или указать, что их нет.
Чтобы решить неравенство ах<2 при всех значениях
параметра а, надо рассмотреть три случая:
1) а<0, поскольку при делении обеих частей исходного
неравенства на отрицательное число изменяется знак неравенства;
2) а = 0, поскольку деление на 0 невозможно;
3) а>0, поскольку при делении обеих частей исходного
неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется.
При решении задач с параметрами находят не только
значения переменной, но и обязательно указывают, при каких
значениях параметра они получены.
Выражение «При всех значениях параметра а» означает, что
a g (-оо; +оо).
При, реллшшАл, нцыЯели^Жа, с
следующие,
i разбить область допустимых значений параметра на такие
промежутки, что для всех значений параметра на каждом
из них неравенство можно решить одним и тем же методом;
Z решить неравенство для каждого из промежутков
значений параметра;
1(н1щные полщ1 сообщества

t:3j записать ответ, указывая значения переменной для
значений параметра на каждом промежутке.
К Решая неравенство ах<2 для всех значений
параметра а, имеем:
1) при а<0 ах<2<=>х>—;
а
2) при а = 0 неравенство принимает вид 0дг<2 или 0<2, что верно
при всех значениях х;
2
3) при а>0 ах<2<^>х<—.
а
Запись ответа практически повторяет решение.
2
Ответ: если а<0, то х>—; если а = 0, то х — любое число; если
2
а>0, то х<—.
а
Типы задач с параметрами
о Ставится задача найти решения неравенства при всех
допустимых значениях параметра.
«Для всех значений параметра решите неравенство...»
о Ставится задача найти значения параметра, при каждом
из которых соответствующие решения неравенства
обладают некоторыми заданными свойствами.
«Найдите все значения параметра, при каждом из которых
решения неравенства удовлетворяют условиям...»
Квадратными неравенствами с параметрами являются
неравенства типа х2 - 2х - Ь < 0, х2 + р > О, х2 - 2ах +1 > 0 и другие,
содержащие кроме переменной х переменные величины 6, р, а и другие,
которые также могут принимать различные числовые значения.
Неравенство типа ах2 + х + 5 > 0 не при всех а является
квадратным. Поэтому при решении этого неравенства в самом начале
необходимо рассмотреть случай а = 0.
\р 1) при а = 0 неравенство ал:2+л: + 5>0 становится
линейным: д: + 5>0;
2) при аФО неравенство ах2 +х + 5>0 квадратное.

Чтобы решить квадратное неравенство с параметром,
необходимо пройти три этапа решения любого неравенства с
параметром.
. Чтобы решить неравенство х2 < а при всех значениях
параметра а, надо рассмотреть три случая:
1) при а<0 неравенство х2 <а не имеет решений, так как д:2>0
при всех х;
2) при а = 0 х2 <0ох2 =0ох = 0, и неравенство имеет
единственное решение;
3) при а>0 х2<ао-у1а<х<у[а.
Ответ: при а<0 решений нет; при а = 0 х = 0; при а>0
VaJ.
Параметр не всегда может принимать все числовые
значения. В этом случае при решении неравенства
рассматривают только допустимые значения параметра, то есть те
значения, при которых выражение, содержащее параметр,
определено.
' Для неравенства
д:2+5<0 допустимыми ЗНачеНИ-
ями параметра а являются все числа, кроме числа 2. Поэтому
при решении этого неравенства надо рассмотреть только два
случая: 1) а-2<0 и 2) а-2>0.
Чтобы определить условия, при которых квадратное
неравенство ах2 + Ъх + о 0 является верным для всех значений
переменной х (то есть любое число является решением
неравенства), нужно рассмотреть два случая.
1 При а = 0 неравенство ах2 + Ъх + о 0 принимает вид Ъх + о О,
и оно верно для всех значений переменной л:, если & = 0,
е>0.
Z При а * 0 неравенство ах2 + Ъх + о О является
квадратным, и оно верно для всех значений
переменной х тогда и только тогда, когда
парабола у = ах2 + Ъх + с целиком расположена
fa>0,
выше оси Ох:

кУ
Аналогично квадратное неравенство ах2 + Ъх + с > О верно
для всех значений переменной х тогда и только тогда, ко-
[а>0,
гда \
[D<0.
Квадратное неравенство ах2 +bx + c<0
верно для всех значений переменной х тогда и
только тогда, когда парабола у = ах2 +Ьх + с
целиком расположена ниже оси Ох, то есть вы-
Га<0,
полняются условия: <
[D<0.
'//////////////////-L
Рассмотрим последовательность решения рациональных
неравенств вида h(x)>g(x) методом интервалов.
Используя правила равносильности неравенств, приведём
неравенство h(x)>g(x) к виду /(л:)>0, где f(x) —
алгебраическая дробь. Если знаменатель дроби — число, то
f(x) является многочленом.
1 v л л л л
6-2x>3^cO2(3-x)~3^Jc
2)х3>хох3-х>0.
х2-2х
>0;
2. Разложим на множители числитель и знаменатель
алгебраической дроби f(x). Если числитель или
знаменатель — квадратный трёхчлен, то используют формулу
ax2+bx + c = a(x-xl)(x-х2), где хх и х2 — корни
квадратного трёхчлена.
2О

Пллъва,
Дальнейшее решение проводить удобнее, когда множители
числителя и знаменателя имеют вид: (х-ах), (х-а2), (х-а3), ... Этого
можно достичь, используя правила равносильности неравенств.
3 Найдём значения х9 в которых: а) числитель дроби f(x)
равен нулю; б) знаменатель дроби f(x) равен нулю.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 1
х(х — 2)
. Для дроби f(x) = —* k
х ~3
а) числитель х(х-2) =
б) знаменатель х-3 =
4 Отметим найденные значения на числовой прямой.
Числовая прямая разбивается отмеченными точками на
промежутки, на каждом из которых f(x) сохраняет постоянный
знак. Этот знак на каждом из полученных промежутков
следует определять вычислением в «удобных» точках,
взятых внутри этих промежутков.
х(х — 2)
>. Определим знаки значений дроби f(x) = —- в «удоб-
х-3
4(4-2) 2,5(2,5-2)
ных» точках промежутков: /(4) = — ->0, /(2,5) = ————-—<0,
4 — 3 ^> *^ — "
/(1) = — ->0, /(-1) = — -<0, и отметим их на числовой
1-3 -1-3
прямой:
О
S Выберем те промежутки, на которых неравенство
становится верным, и запишем ответ.
Отметим те промежутки, для которых
х( х—2
—^
х-3
< 0:
0 2 3
Ответ: (-оо; 0)и(2; 3).
L — — — — — — __ — — — — — — — — — — — — ___ — _____ — — — — — — — — — _ — — — Л

Какое из чисел является рациональным?
/ g
1) V900 2) J— 3) V9000 4) ни одно из этих чисел
900=30, ]—=JL=, V9000 = V900 • VlO = ЗОл/lO.
VlO VO
Поскольку VlO — иррациональное число, то только число V900
является рациональным.
Ноллгр Ьурмлуъо owAtwa:. 1.
2.
Тираже газеты «Аргументы и факты» составляет около 2 млн
990 тыс. экземпляров. Как эта величина записывается в
стандартном виде?
1) 2,99-104 2) 2,99-10е 3) 2,99 107 4) 2,99-105
2 млн 990 тыс. = 2 990 000 = 2,99 106, причём 1<2,99<10.
Нолщ> вьрнхуъо ОФьвемиы 2.
3.
Какое из следующих неравенств нельзя получить из
неравенства Ъ<а + с1
Ь-с<а 2) а>Ь-с 3) а-Ъ + с>0 4) Ь-а-с>0
Если Ь<а + с, то Ь-с<а (Свойство 3). Если Ь<а + с, то а + с>Ь.
Отсюда получаем а>Ь-с и а-Ь + с>0 (Свойство 3). Однако из
Ь<а + с получаем Ь-а-с<0. Итак, неравенство 4) нельзя получить
из неравенства Ь<а + с.
Ноллгр Ьурмлуъо owJfitwuL: 4.
4.
Расположите в порядке убывания следующие числа: 0,0802;
0,08; 0,208.
1) 0,0802; 0,08; 0,208 3) 0,208; 0,0802; 0,08
2) 0,08; 0,0802; 0,208 4) 0,208; 0,08; 0,0802
ZZ

Поскольку 0,208 > 0,0802, а 0,0802 > 0,08, то данные числа в
порядке убывания должны быть расположены так: 0,208; 0,0802;
0,08.
Нолщ> вцииуъо ОФьвеянл: 3.
Задала S.
Численность населения Индии составляет 880 млн человек,
а Китая — 1 млрд 300 млн человек. Во сколько раз
численность населения Китая больше численности населения Индии?
1) не более 1,5 раза 3) не менее 2 раз
2) менее 1,3 раза 4) более 1,5 раза
Релмгшле*
Найдём отношение численности населения Китая к численно-
1300000000 1,3-10е 1,310 130 л А„п
сти населения Индии. 880000000 =^8^ = ~^Г = ^^Л77'
Поскольку неравенство 1,477 < 1,5 верно, а неравенства 1,477 < 1,3,
1,477 > 2 и 1,477>1,5 неверны, то численность населения Китая
больше численности населения Индии не более чем в 1,5 раза.
Нолщ> Ьг/рм/уъо owJUtwuv. 1.
6.
Укажите наибольшее рациональное число из чисел:
1) (V2+l)(V2-l) 2) 0,5 3) - 4) V5
Число л/5 иррациональное. Поскольку (V2+l)(V2-l) = (V2) -12 = 1 и
1>0,5, 1>—, то наибольшее рациональное число из данных чи-
о
сел — это (V2 + l)(V2-l).
Нолщ> вцииуъо owJfitwuL: 1.
7.
о Зх 5 4х-3
Решите неравенство о > .
2 8 6
Чтобы освободиться от дробей, умножим обе части неравен-
ства на 24 (Правило 2): 3-— >-- <^>72-36*>15-4(4х-3).
2 8 6 v '
Раскроем скобки и, используя Правило 1, запишем неравен-
23

ство так, чтобы слева были слагаемые, содержащие
переменные, а справа — числа: 72-36jc>15-4(4jc-3)<=>72-36jc>
> 15-16л: + 12<»-36л: + 16л:> 15 + 12-72 »-20х> -45
Разделим обе части неравенства на -20, изменив при этом знак
неравенства на противоположный (Правило 4):
-20дг > -45 <=> х < о х < — о х < 2—.
-20 4 4
x<2—.
4
8.
Найдите все значения переменной а, при каждом из которых
(а Л а2 -14 Л
значение выражения а —5 +4а неотрицательно.
Найти все значения а, при каждом из которых значение
данного выражения неотрицательно (то есть положительно или равно
нулю) — это значит решить неравенство: а\—5 + 4а>0.
5
Раскроем скобки, а затем умножим обе части неравенства на 3
(Правило 2):
f \ 2 Л А
а\ --5 -а 22
,3 ) 3
Откуда, используя Правила 1 и 4, получим:
-За+14 > 0 <» -За > -14 оа< -— о а < 4-.
-3 3
: а,4§.
Укажите промежуток, являющийся решением системы не-
равенств \ при условии, что а<Ъ.
\х<*Ъ
Решениями первого и второго неравенств данной системы
являются промежутки [а; +оо) и (-<»; Ь\ Их пересечение при условии
а<Ъ — отрезок [a;b] — является решением системы неравенств.
а

го.
Q 3* 5 4*-3
"2">8""
Решите систему неравенств
Чтобы решить систему двух неравенств, сначала решим каждое
неравенство отдельно. Решая первое неравенство системы,
получим: х < 2,25.
Решая второе неравенство системы, получим: х< 13,75.
Решение исходной системы сводится к решению системы нера-
Г х<2,25,
ВеНСТВ Wl3,75.
Изобразим решения неравенств промежут- 2,25 х
ками координатной прямой, и найдем их "sswsrr///////////-
пересечение.
: (-oo;2,25).
11.
Отметьте на координатной прямой решение совокупности
Г*<а,
\х>Ь
неравенств |_ L при условии, что а<Ь.
Решениями первого и второго неравенств данной совокупности
являются промежутки (-оо; а) и (b; +оо). Решением совокупности
неравенств является объединение этих про- а х
межутков. ^ *)>»»»»*
При каких значениях х значения выражения 4-х
принадлежат отрезку [0; 2]?
Значения выражения 4-д: принадлежат отрезку [0; 2] при всех дс,
для которых выполняется условие: 0<4-дс<2. Решим двойное
неравенство:
1) прибавим (—4) ко всем частям неравенства:
О < 4 - х < 2 <=> -4 < -х < -2;
2) умножим все части неравенства на (—1), изменив оба знака
неравенства на противоположные: -4<-jc<-2<=>4>jc>2<=>2<jc<4;
ZS

3) изобразим решения неравенств проме-
жутками координатной прямой и найдём
их пересечение.
[2; 4].
13.
Реп1ите неравенство |Зх-1|<4.
Поскольку при а>0 \х\<а<^>-а<х<а, то |3л: —1|<4
Решим двойное неравенство:
5 2
-4 < Зх -1 < 4 <» -3 < Зх < 5 <» -1 < х < - <=> -1 < х < 1-.
3 3
-1; l|L
—4<Зл: — 1 <4.
14.
Решите неравенство |1-Злг|>4.
Поскольку при а>0
то
, , Гдс<-а,
\х \> а <=>
1 ' [х>а,
l-3x<-4,
l-3x>4
5
з'<=>
Изобразим решения неравенств промежут-
ками координатной прямой и найдём их
объединение.
[о Л
1-;+оо .
'!•
_
3
15".
Рен1ите неравенство Зх2 - 5х - 2 > О.
Рассмотрим функцию у = Зх2-5х-2. Отметим, что 3>0.
1) Найдём значения х, при которых у = 0. Для этого решим уравнение
3jc2-5jc-2 = O. Вычислим дискриминант 2) = &2-4ас = 25-4-3(-2) = 49.
Так как D>0, то квадратное уравнение имеет два различных
-b-y/D 5-7 1 -b + jD 5 + 7 о
1 2 2 3 3 2 2 2 3
2а
2 3
2а
2 3
26

2) Построим схематично график квадратичной функции
у = Зх2-5х-2.
Парабола пересекает ось Ох в точках х1 =—, х2=2.
3
3) Найдём значения х, для которых 3jc2-5jc-2>0 (y>0), то есть
определим промежутки на оси Ох, где
части параболы лежат выше оси Ох, и
нанесём соответствующую штриховку.
Решением неравенства является
объединение двух промежутков: -оо; — и (2; +оо).
V 3)
+<»).
1
л
3
[L
\J2
16.
На рисунке изображён график функции
у = х2 - 2лг - 3. Используя график, решите
неравенство х2 - 3 < 2л\
1) (-оо; +оо) 3) (3; +оо)
2) (-1; 3) 4) (-оо; -1)и(3; +сх>)
Перепишем данное неравенство в виде
jc2-2jc-3<0. По графику функции
определим значения дс, при которых у = 0: ^=-1,
х2=3. Найдём значения х9 для которых
jc2-2jc-3<0 (г/<0), то есть определим
промежутки на оси Ох, где часть параболы
лежит ниже оси Ох, и нанесём
соответствующую штриховку.
Но<лщ> вьрлиуъо ovhAzwa;. 2.
f
X1
1
\
\
\
j
с
г
У-
II
1
/
/
/
-
2.
«;■
-3
1
1
|
1
/л
\
{У
|
1
д
13
I
/
17.
Решите неравенство Злг2-5лг-2<0.
Рассмотрим функцию у = Зх2 - 5дс - 2. Отметим, что 3>0.
1) Значения х, при которых i/ = 0, равны: х1=—, х2=2.
3
2) Построим схематично график функции у = Зх2 - 5х - 2.

3) Найдём значения ху для которых
Зх2 -Ьх-2<0 (или #<0), то есть определим
промежуток на оси Оде, где часть параболы
лежит ниже оси Оде, и нанесём
соответствующую штриховку. Затем включим точки, в
которых парабола пересекает ось Ох.
Решением неравенства является отрезок:
-и
-и
18.
Выясните, имеет ли решения неравенство
Запишем исходное неравенство в виде x2+Jt(4 + 2
Найдём дискриминант квадратного уравнения х2 + х(4 + 2v6j + 20 = 0.
Он равен: 2) = (4 + 2>/б)2-4-20 = 16 + 16>/б+24-80 = 16>/б-40 = 8(2л/б-5).
Чтобы определить знак дискриминанта, сравним числа 2>/б и 5.
Для положительных чисел а и Ъ если а2 < Ь2, то а < Ъ. Сравним
квадраты чисел 2>/б и 5. Поскольку (2>/б) =24, 52=25 и 24<25, то
(2V6J <52. Следовательно, 2v6<5, 2v6-5<0 и дискриминант Z)<0.
Графиком функции i/ = jc2+2jc(2 + v6J + 20 является парабола,
ветви которой направлены вверх. Так как D<0, то парабола
целиком расположена выше оси Ох. Следовательно, неравенство
дг2+л;(4 + 2>/б) + 20<0 решений не имеет.
. решений нет.
Для всех значений параметра а решите неравенство
Запишем данное неравенство в виде (а-2)дс>1 и рассмотрим три
случая.
1) а-2<0 или а<2. При этом (а-2)л:>1 ох< . Знак нера-
CL — 2
венства изменился на противоположный, поскольку выражение
(а-2) отрицательно.
ZS

Плли&а,
2) a-2 = 0 или a = 2. При этом исходное неравенство принимает вид:
Одс>1 или 0>1. Числовое неравенство неверно, следовательно, при
a = 2 исходное неравенство не имеет решений.
3) а-2>0 или а>2. При этом (а-2)х>1 <^>х> . Знак неравен-
а-2
ства не изменился, поскольку выражение (я-2) положительно.
Ответ может быть записан как с помощью простейших
неравенств, так и с помощью числовых промежутков.
при ае(-оо;2) хе -оо; -; при а = 2 решений нет; при ае(2;+а>)
2jO.
Для всех значений параметра Ь решите неравенство 5х-
Используя Правила 1 и 2 равносильности неравенств, получим:
Ъх-Ъ>О<^>Ъх>Ь<^>х>—. Таким образом, при всех Ь9 то есть при
о
&е(-оо;+оо), исходное неравенство равносильно неравенству х>—.
5
при Ье(-оо;+оо) хе\—;+оо .
L5 )
21.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
число 3 является одним из решений неравенства (а-2)х-1>0.
Число 3 является решением данного неравенства — это значит, что
при его подстановке в неравенство получается верное числовое
неравенство. Поэтому должно выполняться неравенство (а-2)-3-1>0.
Итак, (a-2)-3-l>0»3a-6-l>0<=>3a>7<=>a>-. Таким образом,
3
7
при любом а>— число 3 является одним из решений неравенства.
3
—;+оо I.

2.2..
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство х2 +4х + 2ах + 8а + 1<0 не имеет решений.
Запишем исходное неравенство в виде: дс2+2дс(2 + а) + 8а + 1<0.
Рассмотрим функцию у = х2 +2х(2 + а) + 8а + 1. Графиком этой
функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Неравенство дг2+2л;(2 + а) + 8а + 1<0 не имеет решений — это
значит, что никакая часть графика функции у = х2 +2х(2 + а) + 8а + 1
не лежит ниже оси Ох. Отсюда следует, что дискриминант
квадратного трёхчлена D<0. Вычислим: — = (2 +а) -(8а + 1) = а2-4а + 3.
Решая неравенство a2-4a + 3<0, получим: 1<а<3.
[1; 3].
23.
Найдите все значения параметра р9 при каждом из
которых неравенство рх2-6х + р + 8<0 верно для всех значений
переменной х.
Поскольку коэффициент при х2 зависит от параметра р,
рассмотрим три случая.
1) р = 0. Исходное неравенство принимает вид: -6лс + 8<0 или х>—.
3
Это неравенство верно не для всех значений переменной х (а
только для значений, больших —), следовательно, значение параметра
3
р = 0 не удовлетворяет условию задачи.
2) р>0. Графиком функции у = рх2 -6х + р + 8 является парабола,
ветви которой направлены вверх. Такая парабола не может
целиком лежать ниже оси Ох9 следовательно, исходное неравенство не
может быть верно для всех значений х. Таким образом, значения
параметра р>0 не удовлетворяют условию задачи.
3) р<0. Графиком функции у = рх2-6х + р + 8 является парабола,
ветви которой направлены вниз. Такая парабола целиком
лежит ниже оси Ох тогда и только тогда, когда D<0. Вычислим:
— = 32
Получаем: -р2-8р + 9<0<=>р2+8р-9>0<=> ' Условию р<0
1р>1
удовлетворяет лишь неравенство р<-9.
: (-со; -9).
ЪО

24.
2(х + 1) л
Ре1пите неравенство >0.
14-7л:
7
>0<=>.r>0. Умножим обе части неравенства на —,
14-7* -7(х-2) 2
используя Правило 4: ——, ^->0<=> <0. Рассмотрим дробь
-7(дс-2) х-2
JC + 1
f(x) = . Найдём значения х, при которых: а) числитель дро-
х-2
би равен нулю: jc + 1 = O<=>jc = -1; б) знаменатель дроби равен нулю:
Отметим найденные значения на числовой прямой. Числовая
прямая разбивается отмеченными точками на три промежутка, на
каждом из которых дробь f(x) сохраняет постоянный знак.
^, и ч (х - аг)(х - а2)(х - по)
Если в записи дроби /(#) = - *- все а., а2, ач, ...
(х-а4)(х-а5)(х-а6) * 2 3
различны, то можно пользоваться «правилом чередования
знаков»: на промежутке правее самой правой из выделенных точек
/(jc)>0, а далее на промежутках знаки чередуются.
В данном случае можно воспользоваться «правилом
чередования знаков». На самом правом промежутке
(2; +оо) дробь f(x) положительна, а далее на
промежутках знаки чередуются:
Отметим промежуток, для которого <0.
х-2
-: (-1; 2).
ZS.
2(х + 1)
PeniHxe неравенство
14 -7х
Решение данного нестрогого рационального неравенства
повторяет решение предыдущей задачи, однако требуется включить ещё
и значения переменной, при которых дробь f(x) равна нулю, то
есть числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
х + 1
В данном случае дробь f(x) = равна нулю при х = -1. Отметим
х-2
полученное значение тёмным кружком на числовой прямой и
включим в ответ. —=^— х
f
31

Z.1-.
уряЯнелиля, с
щ Рациональным выражением с двумя переменными х и у
называется алгебраическое выражение, составленное из чисел
и переменных х и у с помощью арифметических операций
и возведения в натуральную степень.
Переменные называют ещё неизвестными. Обозначать их
можно различными буквами, например а и 6, и и v.
Щ Рациональным уравнением с двумя переменными х и у
называется уравнение, обе части которого являются
рациональными выражениями с двумя переменными х и у.
— рациональные выражения;
3 1
х = у9 х2 = 4 - у29 — н = 4 — рациональные уравнения.
2
Решением рационального уравнения с двумя
переменными называют пару чисел, которые при подстановке в
уравнение обращают его в верное числовое равенство.
рр. Пара чисел (6; 2) является решением уравнения
= 12, так как при подстановке в уравнение # = 6, у = 2
получаем верное числовое равенство 6-2 = 12.
Решить уравнение — это значит найти все его решения
или установить, что их нет.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют
одни и те же решения или когда они оба не имеют решений.
Для записи равносильности уравнений используют символ о.
за

При решении уравнений исходное уравнение стараются
заменить более простым, но равносильным ему. При этом
символ равносильности <=> допустимо не записывать.
1 Если из одной части уравнения перенести слагаемые
в другую часть с противоположными знаками, то
полученное уравнение будет равносильно исходному.
Из Правила 1 следует, что любое рациональное уравнение
равносильно уравнению р(х; у) = 0, где р(х;у) — рациональное выражение.
Z Если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число или выражение,
существующее и отличное от нуля при всех значениях
переменных, то полученное уравнение будет равносильно
исходному.
= 2у+2<*х-2у-2=0;
Графиком уравнения р(х; у) = 0 с двумя переменными х и у
называют множество всех точек координатной плоскости хОу
с такими координатами (х; г/), что каждая пара (х; у)
является решением этого уравнения.
Если в рациональном уравнении р(х; у) = 0 удаётся выразить
переменную у как функцию переменной х, то есть записать данное
уравнение в виде y = f(x)f то график уравнения р(х; у) = 0 является
одновременно и графиком функции y = f(x).
О Графиком уравнения ах + Ьу + с = О (а и Ъ не
равны нулю одновременно) является
прямая.
2- Математика. 9 класс
33

Графиком уравнения у-с является прямая,
параллельная оси х, проходящая через
точку с координатами (0; с).
Графиком уравнения х = с является прямая,
параллельная оси Оу и проходящая через
точку с координатами (с; 0).
Графиком уравнения х2 + у2 = R2 является
окружность радиусом R с центром в
начале координат.
Графиком уравнения (х-a) +(y-b) =R2
является окружность радиусом R с центром
в точке с координатами (а; Ь).
# Графиком уравнения
у = ах2+Ьх + с9 а*0 является
парабола.
У
1
0
А
X
У1
х = с
1
0.
X
J
34

о Графиком уравнения xy = k9 НфО является гипербола.
Ук
k>0 k<0 ,
С, У,
0.
г
.2. Реллшше, слмхмьм,
Решением системы уравнений с двумя переменными
называют пару чисел, которые при подстановке в эту систему
обращают каждое её уравнение в верное равенство.
Для записи системы уравнений используют фигурную
скобку слева.
'. Пара чисел (6; 2) является решением системы
так как при подстановке в её уравнения х = 6, у - 2
6 2 = 12,
х-2у-2 = 0,
получаем систему верных числовых равенств:
6-2 2-2 = 0.
Если пара чисел удовлетворяет хотя бы одному из данных
уравнений с двумя переменными, то говорят, что эта пара
чисел является решением совокупности уравнений.
Для записи совокупности уравнений используют
квадратную скобку слева.
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — _ — — — ,
П{МА*АА£/р. Например, пары чисел (6; 2); (3; 4); (4; 3) являются
решениями совокупности уравнении так как при
подстановке чисел каждой пары в первое уравнение получаем
верное числовое равенство.
Ъ5

А пары чисел (4; 1) и (8; 3) являются решениями этой же
совокупности уравнений, так как при подстановке чисел каждой
пары во второе уравнение получаем верное числовое равенство.
Решить систему (или совокупность) уравнений — это
значит найти все её решения или установить, что их нет. В
первом случае систему называют совместной, во втором —
несовместной.
Две системы (или совокупности) называются равносильными,
если они имеют одни и те же решения или обе решений не
имеют.
Для записи равносильных систем (или совокупностей)
используют символ о.
11 Если в системе переставить места- г
ми любые два уравнения, то полу- i
ченная система будет равносильна [ (х-2у-2 = 0, {ху = 12,
исходной. . \Ху = 12 ^[х-2у-2 = (
Z Если одно из уравнений системы ' "j^yZT^J^
заменить равносильным ему уравне- i \j/ULsAAJ^Y'
нием, то полученная система будет [ \х-2у-2 = 0,^jx = 2y + 2,
равносильна исходной. ! \ху = 12
3 Если одну из переменных выразить
в каком-либо уравнении системы
через другую и найденное выраже- ■ \х-2у-2 = 0,
ние подставить в другое уравнение, j |jn/ = 12 ^
то полученная система будет
равносильна исходной.
Метод подстановки (Правило 3) можно применять, когда
в каком-либо уравнении системы с помощью преобразований
удаётся выразить одну переменную через другую (в частности,
когда одно из уравнений системы линейное).
36

2.3. *?1шялшл,
4 Если одно уравнение системы заменить уравнением,
полученным путём сложения уравнений системы, то
полученная система будет равносильна исходной.
При сложении уравнений системы складывают соответственно
левые и правые части уравнений.
Из правил 2 и 4 следует:
4* если одно уравнение системы заменить уравнением,
полученным путём сложения уравнений системы, каждое из которых
умножено на некоторое положительное или отрицательное
число, то полученная система будет равносильна исходной.
Метод алгебраического сложения (Правило 4) применяется
в случае, когда в результате сложения уравнений системы
получается более простое уравнение, чем исходные уравнения
системы. Для дальнейшего решения системы могут быть использованы
метод подстановки или метод разложения на множители.
Нередко при упрощении системы удаётся представить одно
уравнение системы в виде равного нулю произведения
множителей. В этом случае уравнение равносильно совокупности
более простых уравнений. Так как произведение двух
множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю,
а другой при этом существует.
37

Пми&а, Z
5 Если одно из уравнений системы равносильно совокупности
двух уравнений, то исходная система равносильна
совокупности двух систем, каждая из которых содержит одно
уравнение совокупности и оставшееся уравнение системы.
Метод разложения на множители (Правило 5) применяется
при решении системы уравнений в том случае, когда одно
уравнение системы удаётся представить в виде равного нулю
произведения множителей. При этом исходная система заменяется
равносильной ей совокупностью двух более простых систем уравнений.
Правило 5 позволяет записывать решение системы с
помощью символа равносильности о, переходя от системы к
совокупности двух систем.
х2-у =
хг-у=1;
2)
ZA.
Метод введения новых переменных состоит в том, что
некоторые выражения, составленные из исходных переменных,
принимаются за новые переменные. В результате получается более
простая система уравнений относительно новых переменных.
. Для решения системы уравнений
введём новые переменные: а = Зх-уиЬ = . Данная системаотно-
сительно новых переменных принимает вид: 1
38

После того как полученная система решена, то есть
найдены значения новых переменных, по ним вычисляются
значения исходных переменных. Для этого должна быть решена
система уравнений, выражающих зависимость между новыми
и исходными переменными. При этом в систему вместо новых
переменных следует подставлять их найденные значения.
. Если найдены значения новых переменных а = 9 и
= 19 которые были введены по формулам а = 3х-у и Ь =
у-1
ТО
i для вычисления значений исходных переменных следует решить ■
систему
■
Использовать метод введения новых переменных можно как
в двух уравнениях системы, так и только в одном из уравнений.
Вводятся две новые переменные, которые используются
в двух уравнениях системы.
При этом систему решают сначала относительно новых
переменных, а затем вычисляют значения исходных переменных.
. Для решения системы уравнений
рационально ввести две новые переменные: а = (х-5) и Ь = -
i Данная система относительно новых переменных примет вид: i
(а + Ь = 1О,
[а-Ъ = 7.
Вводится одна новая переменная, которую используют
только в одном уравнении системы.
Полученное таким образом уравнение решают сначала
относительно новой введённой переменной. Затем
возвращаются к исходным переменным. При этом решение
исходной системы уравнений сводится к решению одной или
нескольких более простых систем (совокупности систем).

. Для решения системы уравнении
[х2+уг=10
рационально ввести одну новую переменную t = xy в первом
уравнении системы, которое примет вид: £2-16*+39 = 0. Поскольку
Г*=з,
*2-16*+ 39 = 0» ' и t = xy9 то исходная система равносильна
t = 13
совокупности двух систем:
[х2+у2=10.
Z.S.
Общего правила введения новых переменных при решении
систем уравнений не существует. Однако для
симметрических систем уравнений известны общие формулы введения
новых переменных.
Многочлен от переменных х и у называется симметрическим,
■ если при замене х на у9 а у на х получается тождественно
равный ему многочлен.
Г — — — — — — — — — — — -■•■•■ — •■ — -■-■-■ — •—•— — — •—■■•— — ■■■■ — — — •— — — — — — — — 1
I П}(МАлЛЛ£ф. х2+ху+у2 и х3 +у3 +2х + 2у+5 — симметрические мно- i
[ гочлены, а многочлен Xs-\-x2y-\-ys симметрическим не является. [
Щ Если обе части всех уравнений системы можно представить
■ в виде симметрических многочленов, то система называется
симметрической.
'. Системы уравнений
являются симметрическими, а система
метрическая.
и
= 61,
несим-
>___.__..______..._._____.__________..____________.j

Для симметрической системы двух уравнений
с двумя переменными х, у новые переменные
вводят по формулам:
. Симметрическая система уравнений
1 при введении новых переменных и = х + у, v = x-y принимает вид:
!
Используя формулы сокращённого умножения, можно
получить следующие полезные формулы, позволяющие заменять
симметрические многочлены от переменных х и у
многочленами от переменных и и и, где и = х + у, v-xy\
х3+у3
х4+у
х2+у2 = х2
= (х+у)(х2-
<=х*+2х2у2
+ У*
хул
u = x+y,v = x
+ 2ху-2ху = {хл
-у2) = (х+у)(х2-\
-2х2у2 ={х2 +у2
У
-2
)2
f-2xy = u2
-2х2у2 = (и
-2v;
,) = u(u2-3v);
2-2vf-2v2.
Эти формулы лучше не заучивать, а получать всякий раз
самостоятельно.
. Относительно новых переменных иу v система
61, Гы2+!; = 61,
принимает вид <
ху = 12 [и = 12,
так как х2+3ху+у2 =(х + у) +xy = u2+v.
Если пара чисел (а; Ь) — решение симметрической системы,
то пара чисел (6; а) также является решением этой системы.
стемы
системы.
. Если (-4; -3), (4; 3) — решения симметрической си-
х2+3ху + у2=61,
то (-3; -4), (3; 4) также решения этой
43-

Если симметрическая система уравнений имеет
единственное решение (а; Ь)9 то а = Ь.
Если выражение в какой-либо части уравнения системы
не является симметрическим многочленом, но при этом
система уравнений с двумя переменными х и у при замене х
на у у а у на х не изменяет своего вида, то новые переменные
также вводят по формулам: и = х + у, v = xy.
.6. Реллшшг,
Системы уравнений с двумя переменными иногда удобно
решать графическим методом.
Суть графического метода решения системы уравнений
с двумя переменными х и у состоит в построении графиков
уравнений системы в координатной плоскости хОу и
нахождении точек пересечения построенных графиков. Координаты
каждой точки пересечения являются решением системы
уравнений.
На рисунке
изображены графики уравнений у = (х-1) -3
и х-у-2 = 0. Решениями системы
«I являются пары чисел
[х-у-2 = 0
(0; -2), (3; 1) — координаты двух
точек пересечения графиков уравнений.
f j/=(*-i)2-3
Щ Графический метод требует обязательной проверки получен-
■ ных решений!
Только непосредственная подстановка каждой найденной пары
значений переменных в уравнения исходной системы
позволяет определить, является ли эта пара значений решением
системы.
Графический метод позволяет определить количество
решений системы и приближённые значения координат точек
пересечения графиков уравнений.

Графический метод решения широко применяется при
решении задач с параметрами. При этом одно уравнение с
параметром задаёт целое семейство графиков (один график для
каждого значения параметра).
: 1) графики уравнения у = х + Ь при различных
значениях Ъ образуют семейство параллельных прямых. На рисунке
изображены графики уравнения у = х + Ь при 6 = 1, Ь = 0, Ъ = -2, Ь = -4;
2) график уравнения у = -(х-1) +а при каждом значении а
является параболой. На рисунке изображены графики уравнения
y--(x-l) +a при а = 1, а = 0, а = -1.
2)
i
1
о
i
1
1
/Л
/^\«
\\a
\a
>
-i-a
= 1
= 0
= -1
Большинство задач с параметрами делятся на два типа.
В частности, задача, в которой требуется найти все значения
параметра, при каждом из которых система уравнений имеет
заданное число решений, относится к задачам второго типа.
. Чтобы найти все значения
параметра а, при которых система
{
о имеет хотя бы
х2+у2=4
одно решение, построим окружность
и семейство прямых, параллельных
оси Оу. Значения параметра а, при
которых графики уравнений имеют
общие точки, удовлетворяют условию:
-2<а<2.
2
II
Н
\
х- -
кУ
1
о
О
II
II
х2
><
>
гЧ
и
II
н
2
(М
к
м
н
= 4 !
X 1
со ■
II 1
II '
Н 1
43

Z7.
Решение многих текстовых задач приводит к системе
уравнений с несколькими переменными. Для решения текстовой
задачи указанные в условии словесные соотношения между
заданными и неизвестными величинами переводят на язык
уравнений, неравенств и их систем. Важно при этом
убедиться, что при составлении уравнений и неравенств были
задействованы все данные условия задачи.
1 Выбор удобных переменных, их обозначение и точное
словесное описание.
Составление уравнений, неравенств или их систем в
соответствии с условием задачи.
3 Решение полученной математической задачи.
4 Выбор тех решений, которые удовлетворяют условиям
задачи; нахождение искомой величины и запись ответа.
При решении текстовых задач во многих случаях
целесообразно вводить не одну, а несколько переменных.
В задачах на работу рассматривают следующие величины:
А — объём работы;
t — время выполнения работы;
р — производительность.
= pt
А
р=т
Производительность — это скорость выполнения работы,
рассматриваемая как количество работы, выполняемой в
единицу времени.
- Если токарь изготавливает 30 деталей в день (то есть
его производительность р = 30), то, работая с такой
производительностью 5 дней (время £ = 5), он выполнит работу A = p-t по
изготовлению 30-5 = 150 деталей.
В задачах на совместную работу обычно рассматривают
производительности двух или трёх участников действия,
обозначая их производительности р19 р2 или ри р29 Р3- Тогда их
44

ftwu&a, Z
общая производительность при совместной работе есть сумма
Рг+Р2 или Pi+P2+P3 соответственно.
А ( + )t
А (а+А+а)*'
Pi
Pi
А
+ Р2
А
+ Р2
+ Рз
Р2
Pi
А
t
+ Р2
+ р3
А
Если два подъёмных крана с производительностями
соответственно рх и р2, работая вместе, выполнили работу А по
разгрузке баржи за 6 часов, приходим к уравнению А = (
При составлении уравнений часто используют не только
всю работу, но и её доли.
1) если заказ на пошив новой коллекции пальто
распределили между двумя компаниями в отношении 2:3, то
2 3
первая компания должна выполнить —А, а вторая — —А, где
о о
А — полный объём работы по выполнению заказа;
2) если объёмы ежегодной добычи угля на первой, второй и
третьей шахтах относятся как 9:10:20, то суммарный объём
А добываемого угля за год можно представить в виде суммы:
А = 9а + 10а + 20а или А = 39а.
2.2.
В задачах на равномерное движение рассматривают следую
щие величины:
S — пройденный путь;
t — время движения;
v — скорость движения.
= vt
V
S
v = —
t
Движение считают равномерным, если в задаче
специально не оговорено другое.

следующее,
Скорость движения объекта (например, катера)
по течению реки равна сумме собственной
скорости объекта и скорости течения реки:
Скорость движения плота по реке равна скорости
течения реки, так как собственная скорость плота
равна 0.
Скорость движения объекта против течения реки
равна разности собственной скорости объекта
и скорости течения реки:
катера
плота
V = V
катера
реки
реки
— V
реки
Если от пристани вниз по течению реки одновременно
отправились катер, скорость которого в стоячей воде (собственная
скорость) равна 30 км/ч, и плот, то расстояние между катером и
плотом после 2 часов пути будет равно (30 + уреки) • 2 - уреки-2 = 60 км.
При движении двух объектов навстречу друг другу со
скоростями vx и v2 скорость их сближения равна сумме
скоростей иг + v2.
' — — — — — — 1
Если два пешехода вышли одновременно навстречу
друг другу из пунктов, расстояние между которыми равно 6 км,
и встретились через 1 час 20 минут, то скорость их сближения
о1 +и2 =6:1— = 4,5 км/ч.
3
• При движении первого объекта за вторым в одном
направлении со скоростями иг и v2 соответственно, то:
а) если vx > v2, то скорость их сближения равна разности
скоростей vx - v2;
б) если vx < v29 то скорость их удаления равна разности
скоростей v2-V).
Следует запомнить также ещё несколько полезных формул.
Если начальное расстояние между телами равно S, а
скорости тел равны ох и v29 то: а) при движении тел навстречу
S
друг другу время, через которое они встретятся, равно ;
vx+v2
46

б) при движении тел в одну сторону (в случае vl > и2) вре-
S
мя, через которое первое тело догонит второе, равно .
Если, отправившись одновременно из одной точки, тела
движутся в одном направлении по замкнутому пути длиной
S со скоростями vx и v29 то время, через которое одно тело
снова поравняется с другим (догонит другое), находится по
формуле t =
(при у, >v2).
Ц2
Если расстояние между телами равно So, а скорости тел
равны ох и v29 то, отправившись одновременно в
противоположных направлениях (не навстречу друг другу), тела через
время t будут находиться на расстоянии S = S0 +{vt +v2) t.
2Я.
Прил, релмллшАА, %оидан, кл
1 Процент от числа.
Чтобы найти р% от числа А, нужно число А
умножить на р и разделить на 100.
100%
В частности, 50% от числа А — это половина числа А, так
как = —; 25% от числа А — это его четверть; 1% от
100 2
А
числа А — это одна сотая часть числа А, то есть
100
80 25
рЦ: 1) 25% от числа 80 равно 20, так как = 20;
2) подоходный налог в 13% на доход в размере 50 000 руб. со-
50000 13 ЛКЛЛ Л
ставляет = 6500 руб.
100
Z Число по заданному значению его процента.
Чтобы найти число, q% которого равно В, нужно
В разделить на q и умножить на 100.
В 100%
q%
47

В частности, если 50% от некоторого числа равно В, то это
число в два раза больше Б, так как = 2Б; если 25%
50
от некоторого числа равно Б, то это число в четыре раза
больше Б.
: 1) если 25% от некоторого числа равно 20, то это
20 100 ОЛ
число равно = 80;
25
2) если подоходный налог в 13% на доход составляет 6500 руб.,
то доход равен ■ = 50000 руб.
13
3 Процентное отношение двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов составляет чис-
ло А от числа В, надо отношение — этих чисел
В
умножить на 100%.
— 100%
В
1) число 20 составляет 25% от числа 80, так как
20
— 100% = 25%;
80
2) 6500 руб. составляет 13% от 50 000 руб.;
3) если в 200 г раствора соли в воде содержится 50 г соли, то
процентное содержание соли в растворе составляет 100% = 25%.
200
4 Число, изменённое на некоторое число процентов.
Если число А увеличить на р%, так что добавка со-
А-р%
ставит 1000/ > то после увеличения получим число, равное
А-р%
100%
или
А- 1 +
р%
100%
Уменьшение числа А на р% приводит к новой величине:
А- 1-
р%
100%
48

. Если цену товара в 300 руб. повысили на 20%, то
цена товара стала 300- 1 + 1 = 300 1,2 = 360 руб.
Если происходит изменение числа А сначала на р%, а
затем на д%, то всякий раз вычисление процентов
происходит от числа, полученного после предыдущего изменения.
. Если цену товара в 300 руб. сначала повысили на 20%,
а затем понизили на 20%, то после повышения цена товара стала
360 руб., а после понижения 360-[l 1 = 360 0,8 = 288 руб.
1.
1.
Решите уравнение (*-4) +(4у-12) =0.
Поскольку (х-4) >0 и (4t/-12) >0 при всех значениях
переменных х и у, то (х-4) +(4г/-12) >0. Равенство нулю возможно лишь
тогда, когда одновременно и (#-4) =0, и (4г/-12) =0. Получаем:
и 4у-12 = 0. Таким образом, имеем систему двух линей-
*-4 = 0,
4у-12 =
х-4 =
ных уравнений с двумя переменными:
: (4; 3).
2.
Постройте график уравнения х2 -2х + у2 -3 = 0.
Выделим полные квадраты для х и для у:
Откуда:
* = 4,
Графиком уравнения на координатной
плоскости хОу является окружность с центром в
точке с координатами (1; 0) и радиусом,
равным 2.
1
/
[о
\
Z
J
(х-1)
\
j
/
X
+ У2=4

Задсиъа, З.
Решите уравнение — = 2-лг, используя
графики, представленные на рисунке.
У
А
л
\
) 1
Графики функций могут быть
использованы и при решении рациональных
уравнений p(x) = q(x) с одной
переменной. Для этого в одной системе
координат хОу надо построить графики двух функций: у = р(х) и
y = q(x) и найти абсциссы точек пересечения. При этом каждое
найденное значение является лишь приближённым значением
корня уравнения. Чтобы доказать, что найденное значение
действительно является корнем уравнения, надо проверить, что при
подстановке его в уравнение оно обращается в верное равенство.
Графики функций # = — и у-2-х имеют одну общую точку, аб-
х
сцисса которой приблизительно равна 1. Подставляя это значение
в исходное уравнение, получим верное числовое равенство 1 = 1.
Решите систему уравнений
fx-2i/-2 = O,
t*i/= 12,
Выразим х из первого уравнения и подставим во второе:
/2+2#-12 = 0
Решая квадратное уравнение у2+#-6 = 0, получаем два значения у:
у = 2 и # = -3. Подставляя каждое из этих значений в
уравнение х = 2у + 2, получим: если # = 2, то х = 6; если у = -3, то # = -4.
Решениями исходной системы служат две пары значений
переменных х и у.
(6; 2); (-4; 3).
Задсиъа, S.
Докажите, что система уравнении
шений.
=9
не имеет ре-

Выразим у из первого уравнения и подставим во второе:
Квадратное уравнение 2jc2-12jc + 27 = 0 не имеет решений, так
как дискриминант D = -72 отрицателен. Следовательно, и система
уравнений не имеет решений.
Решение системы уравнений может
быть интерпретировано геометрически
как определение координат точек
пересечения графиков уравнений системы.
Геометрическая интерпретация того фак-
та, что система уравнений
[х2+у2=
не имеет решений, состоит в том, что
прямая, заданная уравнением х + у = 69
не пересекает окружность, заданную
уравнением х2 + у2=9.
/
N
i
о
IV
Ч
x+i
\
N
\х'
\
\
1 -и
\
+ У
\
\
= 9
X
ч
6.
Решите систему уравнении
Заменим первое уравнение системы суммой первого и второго
уравнений:
2i/ = -3 \х + 3ху-2у = -3
Применяя метод подстановки, получим:
2y = -3 [1 + 3i/- 2# =-3 [у = -4.
Решением исходной системы служит пара значений (1; -4).
: (1; -4).
7.
Решите систему уравнений
\
[х2+у2=10.

Умножим первое уравнение системы на 2, а затем заменим второе
уравнение системы суммой первого и второго уравнений, имея
целью получить во втором уравнении полный квадрат:
2 о 2 / 42
Поскольку х + 2ху + у =[х + у) , получим:
1*0 =
=16.
Так как (jc + i/)2 =16<=>(jc + i/)2 -16 = 0<=>(jc + y-4)(jc + i/4-4) = 0, то
согласно Правилу 5 данная система уравнений равносильна со-
вокупности двух систем:
Решая каждую из полу-
ченных систем методом подстановки и объединяя полученные
решения, получим четыре пары значений.
: (-3; 1); (-1; -3); (1; 3); (3; 1).
2.
Решите систему уравнений
x 2y
з 1
Введём новые переменные: а-— и Ь = —. Данная система относи-
х 2у
\а + Ъ 4,
тельно новых переменных а и о принимает вид: < Решая
[2а—6 = 5.
систему, например, методом сложения, получим: а = 3 и 6 = 1. Для
нахождения значений переменных х и у при а = 3 и 6 = 1
запишем систему:
откуда •! l

Я.
Решите систему уравнении
(x + 2)2+(2i/-l)2=10,
носительно новых переменных а и Ь принимает вид:
Введём новые переменные: а = х + 2 и Ь = 2у-1. Данная система от-
[а2+&2=10,
[аЬ = 3.
Решениями этой системы являются четыре пары значений
переменных а и Ь: (-3; -1); (-1; -3); (1; 3); (3; 1). Для нахождения
значений переменных х и у воспользуемся уравнениями х + 2 = а и
[хл-2 — —3
2у-1 = Ь. При а = -3 и Ь = -1 получим систему: 1 ' откуда
Пара (-5; 0) — первое решение исходной системы
уравнех = -5,
ний. Аналогично находим ещё три решения: (-3; -1); (-1; 2); (1; 1).
: (-5; 0); (-3; -1); (-1; 2); (1; 1).
Решите систему уравнении <
[лгу = 12.
Даная система уравнений является симметрической, поэтому
введём новые переменные по формулам: и = х + у, v = xy. Система
Ги = -7,
принимает вид:
Возвращаясь к
исходным переменным, получим:
Решая каждую из систем методом подстановки и объединяя
решения, получим все решения исходной системы: (-4; -3);
(-3; -4); (3; 4); (4; 3).
: (-4; -3); (-3; -4); (3; 4); (4; 3).

Задсиъа, 11.
Решите систему уравнений
6 6 к
-+- = 5,
^ 6 6 6
Поскольку —+— =
х у ху
, то относительно новых переменных
= х+у> v-x-y исходная система принимает вид: <
v ' Решая
полученную систему с учётом v*0 (vu = 30), получим:
б' Так
и2 =36.
как v2=S6<^>\ 1
то
ы = -
у2=36
и = б,
и = 6,
и=-б,
[v = -6.
Возвращаясь к исходным переменным по формулам х+у = и, ху~и,
получим:
Решая каждую из систем методом подстановки и объединяя
решения, получим все решения исходной системы: (2; 3); (3; 2);
(-6; 1); (1; -6).
(2; 3); (3; 2); (-6; 1); (1; -6).
у
\ху = 6,
х+у = -
Задала,
Используя графический метод решения систем уравнений,
укажите номер системы уравнений, которая не имеет решений:
»fc
=2
2)
—2
4)

Пми&а, Z
Первое уравнение каждой системы
является уравнением параболы i/ = -jc2+1,
второе — уравнением прямой,
параллельной одной из осей координат. Построим
графики уравнений систем и найдём,
графики каких уравнений не
пересекаются. Парабола не пересекается только
с прямой у = 2. Поэтому система под
номером 1 не имеет решений.
в&рль&го
1.
у = 2 '
-
х = -2
Го
i
1
1
\
\
х = 2
X
У = -2
13.
Найдите все значения параметра а<0, при каждом из кото-
рых система уравнении
имеет два решения.
Число решений системы уравнений равно числу точек
пересечения графиков уравнений этой системы. Графиком первого
уравнения на координатной плоскости хОу является окружность
с центром в точке с координатами (1; 0) и радиусом, равным 1.
Графиком второго уравнения у--х2 +2х + а при каждом значении
параметра а является парабола, ветви которой направлены вниз.
Абсцисса и ордината вершины параболы равны: хв=19 ув=1 + а.
Для всех значений параметра абсцисса вершины параболы одна и
та же, а ордината меняется в зависимости от значений а. По
условию а < 0, следовательно, ув < 1. Таким образом, график второго
уравнения задает семейство парабол, которые в зависимости от
значений параметра а<0 располагаются так, как показано на рисунке.
При а = 0 вершина параболы имеет координаты (1; 1), и парабола,
заданная уравнением у = -х2 + 2х, пересекает
окружность в трёх точках.
При -2<а<0 ордината вершины параболы
удовлетворяет условию: -1<ув<1, то есть
вершина параболы лежит внутри
окружности. Следовательно, парабола пересекает
окружность в двух точках.
При а = -2 вершина параболы имеет
координаты (1; -1), и парабола, заданная
уравнением у --х2-\-2x-2, имеет с окружностью одну
общую точку.
1
1
о
!
1
1
1
\
щ
SS

При а<-2 ордината вершины параболы удовлетворяет условию
ув<-1, то есть вершина параболы лежит вне окружности, ниже
её. Следовательно, парабола не пересекает окружность. Таким
образом, исходная система уравнений имеет два решения при
-2<а<0.
(-2; 0).
14.
Две бригады по плану должны были, работая вместе,
отремонтировать повреждённый участок шоссе за 18 дней.
В действительности сначала работала только первая
бригада, а затем — только вторая бригада, производительность
труда которой была более высокой, чем у первой бригады.
В результате ремонт повреждённого участка шоссе занял
40 дней, причём первая бригада выполнила — всей рабо-
3
ты. За сколько дней одна первая бригада смогла бы
отремонтировать повреждённый участок шоссе?
1) Пусть А — вся работа по ремонту повреждённого участка
шоссе, х — число дней, необходимых одной первой бригаде для
выполнения всей работы, а у — число дней, необходимых одной
второй бригаде для выполнения всей работы.
2) Производительность первой бригады равна отношению —,
х
А А А
второй бригады — —. Тогда —+— — общая производительность
У х у
первой и второй бригады. Поскольку по плану они должны
были, работая вместе, выполнить всю работу за 18 дней, по-
(А АЛЛО а 18 18 i „
лучаем: — +— 1о = А<=> — +— = 1. Первая бригада, работая от-
\* У) х У
А 2
дельно с производительностью —, выполнила —А всей работы за
х 3
2 А 2х
—А: — = — дней. Вторая бригада, работая отдельно с производи-
3x3
А 1 л г Л А У
тельностью —, выполнила оставшуюся —А работы за —А: — = —
У 3 3 у 3
дней. Поскольку весь ремонт был выполнен за 40 дней, получаем
2х и
уравнение: — + — = 40.
3 3
S6

Таким образом, приходим к системе двух уравнений с двумя
переменными:
18+18_1
I — -L,
х у
3 3
3) Воспользуемся методом подстановки при решении системы
уравнений:
18 18 л
— + — = 1,
х у
2х у
~з~+з=4°
18
х 120-2*
[у = 120-2х
~ '
[х2-69*+1080
jc(120-2jc)
( = 120-2jc
= 120-2х
= 30,
= 72.
4) Из условия задачи следует, что поскольку производительность
труда второй бригады более высокая, чем у первой бригады, то
число дней, необходимых второй бригаде для выполнения всей
работы, меньше, чем для первой бригады, то есть у<х. Поэтому
условию задачи удовлетворяют лишь дс = 45, у = 30. Итак, одна
первая бригада смогла бы отремонтировать повреждённый
участок шоссе за 45 дней.
45.
Из пункта В в пункт А вышел пешеход. Через 6 часов из
пункта А в пункт В навстречу первому вышел второй
пешеход. При встрече выяснилось, что второй пешеход
прошёл на 12 км меньше первого. Отдохнув, они
одновременно покинули место встречи и продолжили путь, каждый в
своем направлении с прежней скоростью. В результате
второй пешеход пришёл в пункт В через 8 часов, а первый —
в пункт А через 9 часов после встречи. Найдите расстояние
между пунктами А и В.
1) Пусть х км/ч — скорость первого пешехода, а у км/ч -
скорость второго пешехода. Обозначим С — место встречи пешеходов,
причём по условию АС меньше ВС на 12 км.
2) Расстояние СА, которое прошёл АС В
первый пешеход после встречи за • • •
9 часов, равно 9х км, а расстояние //—► *+—/
СВУ которое прошёл второй пешеход после встречи за 8 часов,
равно 8у км. Из условия задачи следует, что 8у-9х = 12. До места
встречи первый пешеход прошёл расстояние ВС за — часов, а
х
57

9х
второй пешеход до места встречи прошёл расстояние АС за —
У
часов. Так как первый пешеход шёл на 6 часов дольше второго,
то — = 6. Приходим к системе двух уравнений с двумя
переде у
менными: <8у 9дг
[х у
х
3) Воспользуемся методом введения новой переменной t = — во вто-
У
8
ром уравнении системы: —9£ =
о'
Условию задачи удовлет-
3
2
воряет только положительное значение t = —.
Приходим к системе \ х _ 2 решая которую методом подста-
1 =
новки, получим
4) Итак, скорости первого и второго пешеходов равны
соответственно 4 км/ч и 6 км/ч, а расстояние между пунктами А и В равно
84 км.
16.
Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%,
затем ещё на 120 руб., и, наконец, ещё на 5%. Какова была
первоначальная цена товара, если в результате повышение
составило 31,25% от первоначальной цены?
&.
Пусть А рублей — первоначальная цена товара. После первого
повышения на 10% цена товара стала равной А- 1+ =1,1 А руб.,
после второго повышения на 120 руб. цена стала равной
(1ДА + 120) руб., и, наконец, после последнего, третьего, повышения
на 5% цена стала равной (1ДА + 120) I 1 + = (1,1А + 120)1,05 руб.
SS

Повышение первоначальной цены товара А на 31,25% (в результате
( 3125^
всех повышений) сделало цену товара равной А-\ 1+—!— =1,3125А.
Заполним таблицу:
100

Начальная
цена
товара
А
Цена товара
после повышения
на 10%
\ +iooj"io ~ '
Цена товара
после
повышения
на 120 руб.
(1ДА + 120)
Цена
товара после
повышения
на 5%
(1,1А + 120)-1,05
Цена товара
после
повышения
на 31,25%
Г 3U5).
к ' юо J
= 1,3125А
Составим уравнение: (1ДА +120)-1,05 = 1,3125А. Решая его, получим:
о 0Д575А = 126 <=> А = 800
800 руб.
Задала 17
Бронза — это сплав меди и олова. Из бронзы можно
изготовить изделие, если в ней содержится 75% меди. Кусок
бронзы массой 1000 кг, содержащий 70% меди, сплавили с
некоторым количеством меди и получили бронзу, пригодную
для изготовления изделия. Определите, сколько
килограммов меди было добавлено.
Пусть х — число килограммов добавленной меди. По условию
задачи составим таблицы.
Бронза
Исходная
масса
1000 кг
Медь
Процентное
содержание
в бронзе
70%
Масса
ЮОО—= 700 кг
100
Бронза
Масса после
сплавления
(1000 + *) кг
Медь
Процентное
содержание
в бронзе
75%
Масса
(ЮОО^-^кг
Итак, к 700 кг меди в исходном куске бронзы добавили х кг
75
и при этом получили (1000 + х) ш7^7- Составим уравнение:
75
-. Откуда х = 200.
100
100
200 кг.

3. ЧиллоОш,
3.1*.
U,
Пусть X и У — некоторые числовые множества, и пусть
указан закон /, по которому каждому элементу jcgX
ставится в соответствие единственный элемент i/еУ. Тогда
говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).
Символ е читается «принадлежит».
Число хеХ называют независимой переменной или
аргументом, а число i/еУ — зависимой переменной или функцией.
Аргумент и функцию не обязательно обозначать буквами
х и у. Вместо них можно использовать любые другие буквы.
Так, зависимость пройденного пути от времени можно
представить в виде: S = f(t).
— Множество X называют областью определения функции
и обозначают D(f) или D(y).
— Если для каждого элемента yeY найдётся элемент хеХ
такой, что f(x) = y, то множество У называют областью
значений функции и обозначают E(f) или Е(у).
Табличный: все значения аргумента располагаются в
одной строке таблицы, а соответствующие им значения
функции — в другой, друг под другом.
X
У
-1
1
1
4
3
1
Также примерами могут служить таблицы квадратов и кубов
натуральных чисел.
Описательный (словесный): зависимость между
аргументом и соответствующим значением функции выражается
словесным описанием. Используется в тех случаях, когда
другие способы невозможны или слишком громоздки.

. Функция */ = [#] задается следующим образом:
каждому числу х ставится в соответствие наибольшее из всех целых
чисел, которые не превосходят х. Эта функция называется целой
частью числа.
• Аналитический: функция задается математической формулой.
9 Графический: функция задается в виде графика.
Графический способ задания функции наилучший с точки
зрения наглядности.
Щ Графиком функции y = f(x) на координатной плоскости хОу
называется множество точек с координатами (я; /(#)), где xeD(f).
Свойство графика функции.
Прямая, проходящая через любую точку
оси Ох, абсцисса которой а е £>(/), и
параллельная оси Оу, пересекает график функции, причём
в одной точке.
i
о
Л
1 а
X
3.2.
(нлфедьлелиля,
Щ Областью определения функции y = f(x) (если она не указана
■ особо) является множество X, для каждого элемента
которого выражение f(x) имеет смысл.
Область определения функции обозначается D(f) или D(y).
• Областью определения функции y = f(x)> где f(x) —
многочлен, является всё множество действительных чисел R.
В частности, D(y) = R для функций:
a) y =
б) у = ах2 +Ьх + су
в) у = х3.
63.

. Для функции у= D(y) = R, так как её
* 1 2 1 7
можно преобразовать: у = — х +—х—.
4 2 4
• Областью определения функции у = \х\ является множество
всех действительных чисел R.
• Областью определения функций у = \[х, у = \[х и вообще
у = 2n+tfx (где степень корня 2п +1 — нечётное число)
является всё множество действительных чисел R.
' Приллгр. Для функции y = \ll-x2 D(y) = R.
• Областью определения функций y = yfx, y = \fx и вообще
у = 2\[х (где степень корня 2п — чётное число) является
множество всех действительных неотрицательных чисел:
[О; +оо).
Область определения функции y = yjf(x) задаётся
неравенством /(jc)>0.
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
I Tlf>U*M&p. Область определения функции y = yJx-7 находится из
[ условия л:-7>0. Отсюда D(y) = [7; +oo).
i
k
Областью определения функции */ = — является множество
X
всех действительных чисел, кроме нуля: (-<»; 0)U(0; -foo).
k
Чтобы найти область определения функции у= , ч, надо
f(*)
из области определения функции y = f(x) исключить те
значения х9 при которых знаменатель дроби обращается
в ноль: /(jc) = O.
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
1 3
. Для функции у = D(y) = (-co; 2)u(2; +oo).
X — ct

f/utfci 3
• Область определения функции у = -
k
П*)
задается
неравенством /(л:)>0.
Область определения функции, составленной из
нескольких функций, задаётся системой неравенств для
нахождения области определения каждой из этих функций.
Область определения функ-
yfx Глг>0,
ции у = находится из системы <
х-2 \хф2.
Отсюда D(y) = [O; 2)и(2; + оо).
Область определения функции может быть
задана графически.
ч
D
\
(
(У
1
>
)-
{У
/
1
-(■
/
-3
/
/
1]
X
3.3.
Областью (множеством) значений функции y = f(x) называется
множество У, для каждого элемента у которого найдётся хотя
бы одно значение аргумента х такое, что *f(x) = y.
Область значений функции y = f(x) обозначается Е(у) или E{f).
I Область значений линейной функции у = кх + Ъ есть
множество всех действительных чисел R9 если k & О, и
множество, состоящее из одного значения 6, если & = 0.
г — — — - — — — — — --- — - — — — — — — — — -- — — — — — - — — — — — — - — — — — — 1
[ П]ШлМ&р. Область значений функции у = 3 состоит из единствен- J
i ного числа 3. i
8 Область значений квадратичной функции у = ах2 + Ъх + с,
аФО определяется ординатой ур вершины параболы и
направлением её ветвей:
— если а>0, то ветви параболы направлены вверх,
и Е(у) = [ув;+°о);
— если а < 0, то ветви параболы направлены вниз,
И Е(у) = [-оо; у).

Чтобы найти значение ув, надо найти значение абсциссы
вершины параболы по формуле хв = , а затем значение
квадратичной функции в этой точке: у(хв) = а(хв)2 +Ьхв+с.
1) область значений функции у = 2л:2 -12л; + 5 есть про-
межуток Е(у) = [-13; + оо), так как а = 2 > 0, хв = = 3,
2*2
1,25].
2) для функции # = -л:2+л: + 1
k
• Область значений функции у = —9 а также функции вида
х
у = , ft* О, есть множество всех действительных чи-
ах+Ъ
сел, кроме числа О, то есть объединение двух
промежутков: Е(г/) = (-оо; 0)U(0; +oo).
'. Область значений функции у= ^ есть объединение
двух промежутков: (-оо; 0)и(0; + оо)#
• Область значений функций у = \1х, у-гЩх (где степень
корня 2п — чётное число), а также у = |*1 есть множество
неотрицательных чисел: Е(у) = [О; +оо).
• Область значений функций у = у[х9 у = 2п+\[х (где степень
корня 2п ■+• 1 — нечётное число), а также у = х3 есть
множество всех действительных чисел R.
Область значений функции, заданной
графически, можно определить как множество
точек оси ординат, обладающих тем
свойством, что прямая, параллельная оси Ох и
проходящая через данную точку, пересекает
график хотя бы в одной точке.
Обратите внимание на различия в
утверждении об области значений функции,
заданной графически, и свойстве графика
функции.
ч
\
(
1
1
\
)
\у
/
1
/
у
/
X
Е(у)=[О; 4]
64

ЪЛ.
и, нАНЛ**лш&, фуьищшл,
Функция y = f(x) называется чётной, если для любого
значения аргумента xeD(y) выполняется равенство f(-x) = f(x).
График чётной функции симметричен относительно оси
ординат.
Функция y = f(x) называется нечётной, если для любого
значения аргумента xeD(y) выполняется равенство f(-x) = -f(x).
График нечётной функции симметричен относительно
начала координат.
Чётная функция
Нечётная
i
функция
Л-;.-
[V
Если значение х = 0 принадлежит области определения нечётной
функции, то /(0) = 0, то есть график функции проходит через
начало координат.
Область определения любой чётной или нечётной функции
симметрична относительно начала координат.
. Симметричны относительно начала координат:
1) вся числовая прямая; 2) интервал (-а; а); 3) объединение
промежутков (-оо; -а) и (а; +оо).
L — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — J
Если область определения некоторой функции не
симметрична относительно начала координат, то такая функция не
может быть ни чётной, ни нечётной.
[ TlfXAJlAZf?. Функция у = л[х не является ни чётной, ни нечётной, [
1 так как область её определения [0; +оо) не симметрична относи- '
i тельно начала координат. i
3- Математика. 9 класс
65*

Единственная функция, которая одновременно четна и
нечётна, — это функция у = 0.
Примеры чётных функций:
i
\
4
о
/ g
1
I
1
о
1
\
X
I
i
\
о
/
/ :
i
y=\x
i
I
О
I
V
i
X
1
Примеры нечётных функций:
X
1
1
X
Любую функцию y = f(x\ заданную на симметричном
относительно начала координат множестве, можно представить в виде
суммы чётной и нечётной функций: /(л:)=-^—^—i+_LJ—1—Z#
3.5*.
Функция y = f[x) называется ограниченной снизу, если
существует такое число А, что для любого xeD{y) выполнено
неравенство f(x)>A.
J ?. Функция у-х2 является ограниченной снизу (А = 0), так [
i как квадрат любого числа неотрицателен. i
Функция y = f(x) называется ограниченной сверху, если
существует такое число S, что для любого xeD(y) выполнено
неравенство f[x)<B.

Гла&а, 3
р. Функция у = -х2 +Зх-2 является ограниченной сверху [
(Б = 0,25), так как область её значений Е(у) = (-оо; 0,25]. i
Функция y = f(x) называется ограниченной, если она
ограничена и снизу, и сверху.
. Функция у-
[ значений Е(у) = (0; 1].
2
ограничена, так как область её
Исследовать функцию на ограниченность означает
определить, является ли она ограниченной снизу,
ограниченной сверху, ограниченной или не является ограниченной ни
сверху, ни снизу.
Вопрос об ограниченности или неограниченности функции
непосредственно связан с нахождением области её значений.
»• Если область значений функции принадлежит лучу [А; +оо),
то она ограничена снизу.
Если область значений функции принадлежит лучу (-оо; В],
то она ограничена сверху.
• Если область значений функции принадлежит отрезку
[А; В], то функция ограничена.
Геометрически ограниченность функции y = f(x) сверху
(снизу) означает, что график данной функции находится не
выше (не ниже) некоторой горизонтальной прямой.
Ограниченность функции означает, что её график
находится внутри горизонтальной полосы.
67

3.6.
Г\р4Л*АЛ&рЬ1>: 1) квадратичная функция у = ах2+Ьх + с9 пфО является
ограниченной снизу, если а>0, и ограниченной сверху, если а<0;
2) функции у-\х\ и у = у[х являются ограниченными снизу;
k
3) линейная функция y = kx + b9 k*09 функция у = —, Л* О и функ-
ции у = х39 у = \[х не являются ограниченными ни сверху, ни снизу.
Функция y = f(x) называется
возрастающей на промежутке, если для
любых двух значений xv x2 из этого
промежутка таких, что хх < х29
выполняется неравенство f{x1)<f(x2).
Иными словами, большему значению
аргумента соответствует большее
значение функции.
Функция называется убывающей на
промежутке, если для любых двух
значений xv x2 из этого промежутка
таких, что хх < х2, выполняется
неравенство f(x1)>f(x2). Иными словами,
большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Возрастающая функция
Убывающая функция
Функция y = f{x) может возрастать на одних промежутках
своей области определения D(y) и убывать на других.
Областью определения функ-
ции */ = —т является множество всех
х
действительных чисел, кроме нуля:
(-оо; 0) и (0; +оо). При этом на
промежутке (-оо; 0) функция возрастает, а на
промежутке (0; +оо) функция убывает.

Термины «возрастающая функция» и «убывающая
функция» объединяют общим названием «монотонная функция».
При этом определение промежутков возрастания и убывания
функции называют исследованием функции на монотонность.
Промежутки монотонности функции, заданной
графически, можно определить по графику.
• Если, двигаясь по графику функции слева направо на
некотором промежутке, мы будто бы поднимаемся в горку,
то на этом промежутке функция возрастает.
• Если, двигаясь по графику функции слева направо на
некотором промежутке, мы будто бы спускаемся с горки, то
на этом промежутке функция убывает.
Областью определения
функции, график которой изображён на
рисунке, является промежуток [-2; 6). При
этом на промежутке [-2; 4] функция
возрастает, а на промежутке [4; 6) функция
убывает.
О
Постоянная функция у = Ь9 где Ь —
произвольное число, не является ни возрастающей,
ни убывающей.
TlfXA*M&j0. Функция г/ = 3 не является ни
возрастающей, ни убывающей, что видно
из её графика.
i
1
о
\у
JL
17 = 3.
X
3.7
U,
Для нахождения всех значений аргумента х, при
которых функция y = f(x) принимает положительные
(отрицательные) значения, необходимо решить неравенство /(л:)>0
(/(л;)<0). Говорят, что при этих значениях х функция
сохраняет знак.

1) функция у = Зх+9 положительна при тех
значениях ху которые удовлетворяют неравенству Зл:+9>0;
2) функция у = -х2+9 отрицательна при тех значениях х, которые
удовлетворяют неравенству -л;2+9<0.
Значения х9 при которых f(x) = O, называют нулями функции
y = f(x).
. Нули функции
1 ,
f=z —_-i являются корнями уравнения
л:2
7-1-0-
Промежутки, на которых функция, заданная графически,
сохраняет знак, можно определить по графику.
# Если на некотором промежутке график функции
расположен выше оси Ох, то на этом промежутке функция
принимает положительные значения (то есть положительна).
• Если на некотором промежутке график функции
расположен ниже оси Оху то на этом промежутке функция
принимает отрицательные значения (то есть отрицательна).
Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох
являются нулями функции.
\р Областью определения
функции £/ = /(#), график которой изображён
на рисунке, является промежуток [-4; 5].
Функция положительна на промежутках
(-3; 1) и (4; 5] и отрицательна на
промежутках [-4; -3) и (1; 4).
Отметим, что точки # = -3, х = 1 и х = 4
являются нулями функции и не содержатся
в промежутках, на которых функция
сохраняет знак.
2-
т_
?—\
У
(
i
f
I
о
У-Т\х)
\
\
\
ч
i ■
/ ■
/ '
it !
[Zt" «
Число М называется наибольшим значением функции y = f(x)
на промежутке, если:
1) существует число х0 из указанного промежутка такое, что
f{xo) = M;
Ю

2) для любого значения х из этого промежутка верно
неравенство f(x)<M.
. Для функции y = f(x), график которой изображён на
рисунке выше, наибольшее значение на промежутке [-4; 5]
равно 4, а наименьшее равно -4.
Число т называется наименьшим значением функции
y = f(x) на промежутке, если:
1) существует число х0 из указанного промежутка такое, что
f(xo) = m;
2) для любого значения х из этого промежутка верно
неравенство f(x)>m.
Если функция y = f(x) возрастает на отрезке [а; Ь], то своё
наибольшее значение она принимает на его правом конце:
М = /(&), а наименьшее — на левом конце: m = f(a).
Для функции y = f(x)9 убывающей на отрезке [а; &],
наоборот: M = f(a), m = f(b).
3.8. Лилшмьа+я,
При решении задач часто встречается зависимость одной
величины от другой, которую можно выразить с помощью
линейной функции.
Функция вида y = kx + b9 где ft и Ъ — заданные числа,
называется линейной функцией.
Область определения линейной функции —
всё множество действительных чисел: D(y) = R.
Область значений — множество всех
действительных чисел i?, если ft*0, и множество,
состоящее из одного значения 6, если ft = O.
Графиком линейной функции y = kx + b
является прямая. Число ft называют угловым
коэффициентом прямой, а уравнение y = kx + b —
уравнением этой прямой.
i
\
1
о
y=kx+b
\.
73-

Частными случаями
линейных функций являются:
— постоянная функция
y = b (k = 0);
— функция y = kx (6 = 0),
называемая прямой
пропорциональностью.
График постоянной
функции — прямая,
параллельная оси Ох. График функции
y = kx — прямая, проходящая
через начало координат.
Функция y = kx нечётная.
Если k>09 то функция
y = kx + b возрастающая.
Если k<09 то функция
y = kx + b убывающая.
Графики линейных функций y = ..L
лельны, если угловые коэффициенты
1
ъ
1
о
i
1
А
[У
у=ь
X
■ ^
1
.У
k>0
/*
[
1
i
\
1
о
\У
y = kx
уГ X
1
^ и y = k2x + b2
парали k2 равны: k1=k2.
. Графики функций у = 2х + 2
и у = 2х-2 параллельны, поскольку
Для нахождения значений k и Ь в формуле линейной
функции y = kx + b9 график которой проходит через две
данные точки, необходимо подставить координаты каждой из
этих точек в уравнение y = kx + b и решить полученную
систему уравнений относительно переменных k и Ь.
9. Если график линейной функции проходит через
точки (1; 2) и (4; -1), то для нахождения чисел k и Ь необходимо
решить систему уравнений:
Прямая, заданная уравнением
через точку с координатами (0; &).
= kx + b9 всегда проходит

ЪЙ.
Функция вида у = ах2 +Ьх + с9 пфО называется квадратичной
функцией (при а Ф О выражение ах2 +Ьх + с является
квадратным трёхчленом).
Область определения квадратичной функции: D(y) = R.
График квадратичной функции — парабола.
Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, при этом
[ув; +оо).
Если а<0, то ветви направлены вниз, при этом
1 = (-°°; ^/el-
Координаты вершины параболы
определяются по формулам:
+Ъхв+с
Значение с есть ордината точки пересечения параболы
с осью ординат: с = у(О).
Расположение графика квадратичной функции относительно
оси абсцисс определяется знаком дискриминанта: D = b2 - 4ас.
Если Z)<0, то парабола не имеет с осью Ох общих точек.
Если D = 0, то парабола имеет с осью Ох одну общую
точку (касается оси Ох).
Если D>0, то парабола пересекает ось Ох в двух точках.
а>0
D<0
Для квадратного трёхчлена х2-2х + Ь
дискриминант D = 4-20 = -16<0. Поэтому график квадратичной функции
у = х2 -2х + Ъ не имеет с осью Ох общих точек.
73

Нулями квадратичной функции ах2 + Ъх + с, а * О
являются корни квадратного трёхчлена, то есть корни уравнения
2
Вычисление корней квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О,а*О
£><0
Корней нет
D = 0
Ъ
1 2а
D>0
-b-y[r> -ь+уГ5
Хл — у Хп —
1 2а 2 2а
Разложение квадратного трёхчлена на множители
На множители
не раскладывается
ах2 + Ьх + с = а\ х+—
1 2а)
ах2 +Ьх + с =
= а[х-х1)[х-х2)
Если второй коэффициент квадратного уравнения — чётное
число: ах2+2рх + с = 0, а^О, то удобнее вычислять Д =— = р2-ас-
4
И если Dx > 0, то корни вычисляются по формулам: х1 = —
х2=-
Для уравнения х2 -6х + 5 = О Д-(-3) -1-5 = 4
. Cffo&CW&L
Для нахождения промежутков, на которых квадратичная
функция принимает положительные значения, необходимо
решить неравенство ах2 +te + c>0, а отрицательные значения —
неравенство ах2 + Ъх + с < 0.
ф. Функция у = -Зд:2 + Ьх + 2 принимает отрицательные
значения для всех значений дс, для которых -Зд:2 + Ъх + 2 < 0 или
3#2-5:х:-2>0.
Промежутки сохранения знака квадратичной функции
указаны в таблице.
74

Fjlcu&o, 3
D<0 D=0
Промежутки сохранения знака при а > О
D>0
у>0
дсе(-оо; + оо)
хе\ -оо;
2а
b
; +00
2a
:1)и(л:2; + оо)
г/<0
0
0
Промежутки сохранения знака при а < О
0
0
у<0
xe\ -oo; Ю ; +00
^ 2a) У 2а
дсе(-оо; л:1)и(л:2; +оо)
а>0
При а>0 ветви параболы направлены вверх,
и квадратичная функция возрастает на
промежутке справа от вершины параболы: [хв; +оо),
а убывает слева от вершины параболы:
(-оо; хв]. При этом функция принимает в точ-
Ь
ке хв- свое наименьшее значение, равное
При а<0, наоборот, квадратичная функция
возрастает на промежутке слева от вершины
параболы: (-оо; хв]9 а убывает справа от вершины
параболы: [хв; +оо)# При а<0 в той же точке —
хв = квадратичная функция принимает своё
£а
наибольшее значение, равное ув=а(хв) +Ьхв + с.
а>0
15

3.13..
= хп
Функция вида у = хп, где п — натуральное число, называется
степенной функцией с натуральным показателем.
У
1
у*
1
У
/
/
1 = Х
/
X
Vk
Графики всех функций вида у = хп9 п>2 называются
параболами /г-го порядка.
График функции у = х2 называют параболой без указания
степени, а график функции у = х3 называют кубической параболой.
Рассмотрим свойства функций y = x2k+1.
• Область определения: D(y) = R.
т Область значений: E(y) = R.
1 Нечётные функции.
• Функции возрастают на промежутке (-оо; +оо).
• Графики функций имеют центр симметрии —
точку О(0; 0).
1
1

2k
Рассмотрим свойства функций y = x
О Область определения: D(y) = R.
о Область значений: Е[у) = [О; + оо).
о Чётные функции.
о Функции y = x2k убывают на промежутке
(-оо; 0] и возрастают на промежутке [0; +оо).
о Графики функций имеют ось симметрии —
ось координат.
Графики всех степенных функций проходят
через две точки: О(0; 0) и А(1; 1)
Знание свойств степенных функций позволяет вывести
правила, которыми часто пользуются при сравнении
степеней неотрицательных чисел.
Из возрастания любой степенной функции с
натуральным показателем у = хп на промежутке [0; +оо) следует, что
два произвольных неотрицательных числа а и Ъ соотносятся
между собой так же, как и любые их натуральные степени.
Для любых а > О и Ъ > О если а > 6, то ап > Ьп.
Верно и обратное.
Для любых а > 0 и Ь > 0 если ап > Ьп9 то а > Ь.
. Поскольку 15,2 > 7,8, то 15,23>7,83.
—
X
Функция вида у=—9 где
X
нальную зависимость между х и у.
k
Функцию у = — рассматривают и при k<0.
X
», задаёт обратную пропорцио-
: 1) при фиксированной длине пути S время t об-
S
ратно пропорционально скорости v: t = —;
v
2) при заданном объёме работы А время t её выполнения обратно
пропорционально производительности р: t = —.
Р
77

У1
1
1
1 k>0
^- X
1
Область определения: D(y) = (-co; 0)u(0; +оо).
Область значений: Е(у) = (-со; 0)и(0; +оо)
k
Графиком функции у = —9 k*0 является
гипербола.
При k>0 ветви гиперболы расположены в
первой и третьей четвертях координатной плоскости,
а при k<0 — во второй и четвёртой четвертях.
Ветви гиперболы неограниченно
приближаются к осям координат, но не пересекают их
(оси координат называют асимптотами).
k
Функция */ = —, НфО нечётная, гипербола
симметрична относительно начала координат.
k
При k>0 функция */ = — убывает на двух
промежутках: (-оо; 0) и (0; +оо)#
k
При k<0 функция */ = — возрастает на двух
х
промежутках: (-оо; 0) и (0; +<»).
Функцию вида у = х~п9 где п — натуральное число, называют
степенной функцией с отрицательным целым показателем.
J
о
k<0
1 х
Г
По определению степени с целым показателем при
1
х'п =
Графики функций вида у = хп или у = — называют
гиперболами n-го порядка.
Ук
1]
\
1
1
1
у=-
X
X
О
L.
1
78

Графики этих функций можно
использовать при решении довольно сложных
уравнений. По графику каждой функции
определяются промежутки её
возрастания и убывания, а также промежутки,
на которых функция принимает
положительные и отрицательные значения.
и,
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного
числа а называют такое неотрицательное число, квадрат
которого равен а (обозначают у[а).
При а > О х = у[а, если х > О и х2 = а.
рЩ,: I) >/9=3, >/Г = 1, >/0=0; 2) >/^9 не существует;
3) число -3 не является арифметическим квадратным корнем
из числа 9.
Рассмотрим свойства функции y = \fx.
Область определения: D(y) = [O; + оо)#
Область значений: Е(у) = [О; + оо)#
Функция у = 4х возрастает на всей области
определения и принимает своё наименьшее
значение у = 0 при х = 0.
Функция у = \[х принимает неотрицательные
значения на всей области определения: у1х>0
для всех х>0.
Кубическим корнем, или корнем третьей степени, из
произвольного числа а называют такое число, куб которого
равен а (обозначают va).
При любом а х = у/а, если х3 = а.
У(
1
о
1
1) ^8=2, 3/1 = 1, 3/0=0; 2) 3/=8 = -2
i 3) число -3 является кубическим корнем из числа -27.

Рассмотрим свойства функции у = \1х.
Область определения: D(i/) = (-oo; + oo) = i?.
Область значений: Е(у) = (-со; + оо) = #.
Функция у = \1х нечётная.
Функция у = у[х возрастает на всей
области определения.
Функция у = \1х принимает положительные значения на
промежутке (0; +оо) и отрицательные значения на промежутке
(-оо; 0). При х = 0 у = 0.
Важно помнить, что л/а2 =|а|; у)а3 =а.
Кроме корней 2 и 3 степени рассматривают и корень
произвольной натуральной степени п.
Корень натуральной степени п из неотрицательного числа
а обозначают символом у[а .
Для любых положительных чисел а > 0 и Ъ > 0 выполняются свойства
корней.
Для корней нечётной степени эти свойства применимы и
к отрицательным числам а и Ь.
= \х\.
Функцию г/ = |л:| определяют следующим образом:
. . \х9 если х>0;
у(х) = \х\ = \
[-х9 если х<0.
Область определения: D(y) = (-оо; +оо)#
SO

Область значений: Е(у) = [О; +оо).
Функция 1/ = |л:| чётная, и её график
симметричен относительно оси ординат.
Функция у = \х\ возрастает на промежутке
[0; +оо) и убывает на промежутке (-<*>; О].
Функция у = \х\ положительна при всех
значениях х, кроме нуля: (-<»; О) и (0; +оо).
Для любой функции y = f[x) можно
задать функцию у = |/(лг)|:
f(x), еслиПх)>0;
[-f(x)> если f(x)<0.
Для построения графика функции
У = |/(*)| надо сохранить точки
графика функции y = f(x)9 лежащие выше
оси Ох или на ней, а точки графика
функции y = f(x)9 лежащие ниже оси
Ох, симметрично отразить
относительно этой оси.
\
о
{
У =
X
/
/
X
1
У = \Нх)\ =
Если функция y = f(x) на разных промежутках области опре-
■ деления задаётся разными формулами, то говорят о кусочно-
заданной функции.
Для записи кусочно-заданной функции используют
фигурную или квадратную скобку.
1)
x9 если х>0;
-x9 если х<0;
{2х9 если х<5;
2
-дг, если х>5.
Область определения кусочно-заданной функции
указывается при задании.
Чтобы построить график кусочно-заданной функции, надо
на каждом из заданных промежутков области определения
построить часть графика, соответствующую указанной формуле.

TlfXA*M&j0. Для построения графика функции
\х2у если х<2;
/(*) =
-2*+ 6, если х>2,
следует:
1) построить график функции у = х2 на
промежутке (-оо; 2], то есть взять ту часть
параболы, для которой х < 2.
2) построить график функции у = -2х + 6 на
промежутке (2; +оо), то есть взять ту часть
прямой, для которой х > 2.
\|
\
\
\
У/
1 f
о
1
/
\
\
X
\
3.15. Пре/убра$<>вп4и1Я, ъцмьфим&в
Иногда удобнее не строить график функции по точкам,
а получить его из уже известного графика с помощью
преобразований. Некоторые из основных видов таких
преобразований рассмотрим ниже.
График функции y = f(x) + b получается из
графика функции y = f(x) параллельным
переносом последнего вдоль оси Оу на Ь
единиц. Если &>0, то график функции y = f(x)
смещается на Ь единиц вверх, а если &<0,
то — на & единиц вниз.
V-f(x)
График функции # = jt2+2
получается из графика функции у = х2
переносом последнего на 2 единицы вверх, а
график функции у = х2-3 получается
переносом того же графика на 3 единицы
вниз.

П/utfot 3
График функции y = f(x-a), где а>0,
получается из графика функции y = f(x)
параллельным переносом последнего вдоль оси Ох
на а единиц вправо. График функции
y = f{x + a)y где а>0, получается из графика
функции i/ = /(jc) параллельным переносом
последнего вдоль оси Ох на а единиц влево.
V-f(x\
\/
График функции y = >lx-i
получается переносом графика функции
у = \[х на 2 единицы вправо.
График функции y = f(x-a) + b получается из графика
функции y = f(x) последовательными параллельными
переносами последнего на а единиц вдоль оси абсцисс и на
Ъ единиц вдоль оси ординат.
Рассмотрим, как
получается график квадратного трёхчлена
у = х2-8х+13. Выделим полный квадрат:
л:2-8л: + 13 = (л:-4)2-3. Следовательно,
график квадратного трёхчлена у = х2 - 8х+13
получается переносом графика функции
у = х2 на 4 единицы вправо и на 3
единицы вниз.
(ИМ,
График функции y = kf(x) есть
множество точек координатной плоскости с
координатами [х\ й•/(#)). Ордината каждой
точки, лежащей на графике функции y = kf(x)9
получается умножением на число k орди-
S3

наты соответствующей точки, лежащей на графике функции
У = /(*)•
Такое преобразование при fe>0 называют растяжением
вдоль оси ординат с коэффициентом к. Точки, ординаты
которых равны нулю, остаются при этом неподвижными.
Если k>l, то действительно происходит растяжение графика.
Если О < k < 1, то вместо растяжения речь идёт о сжатии в — раз.
k
График функции y = -f(x) —
множество точек координатной плоскости с
координатами [х\ -/(#)). Точки с
координатами [х\ /(#)) и [х; -/(#)) симметричны
относительно оси абсцисс. Таким образом,
график функции y = -f(x) симметричен
графику функции y = f(x) относительно
оси абсцисс. При симметрии
относительно оси абсцисс точки графика, лежащие
на ней, остаются неподвижными.
График функции у = -ft • f(x) получают из графика
функции y = f(x) последовательным растяжением вдоль оси
ординат и симметрией относительно оси абсцисс.
О 1
О 1
1
л
1 х
О 1
о

1.
х
Дана функция У = ——г- Найдите значения этой функции
X т!
при х = 09 х = 1, х = -2.
Найти значение функции при заданном значении аргумента —
это значит найти число, получающееся при подстановке значения
аргумента в формулу, задающую функцию. При х = 0 получим:
O; при х = 1 у = -±- = 095; при х = -2 у = —^— = -0А.
0; 0,5; -0,4.
Z.
Длина одной из сторон прямоугольника равна к. Выразите
формулой зависимость между длиной второй стороны
прямоугольника и его площадью.
e*
Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.
Обозначим длину второй стороны дс(дс>0), а площадь
прямоугольника — S. Получим, что S = kx.
= kx.
3.
Функция задана формулой у = -2х2+ах + Ь. Найдите значение
параметра а, если y(v5j = 0.
Запись у(у/Е\ = О является краткой формой записи того, что при
х = у/Е значение функции у = -2х2 +ах + 5 равно 0. Подставляя дс = >/5,
получим: -2U&) +aV5+5 = 0, откуда a = y[b.
Зсидсиъа, 4.
Найдите область определения функции
Область определения функции y = jfjx) задаётся неравенством
/(x)>0. Получаем: 16-jc2>0<»jc2<16<»-4<jc<4.
[-4; 4].
SS

S.
Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области
определения функции f\x) =
Область определения функции задаётся системой неравенств:
[х + 9>0, [х>-9,
<=>< Наименьшее целое число, входящее в область
[хф-1.
определения функции, — число -9.
A -9.
6.
Найдите сумму целых чисел, входящих в область
определения функции у=
Область определения функции задаётся неравенством
Сумма целых чисел, принадлежащих интервалу (-1; 6), равна 15.
15.
7.
Найдите область значений функции у = (х-2)(1-х).
ь.
Раскроем скобки и преобразуем данную функцию к виду
квадратичной функции: у = -х2 +Зх-2. Поскольку а = -1<0, то ветви
параболы направлены вниз и Е(у) = (-<»; ув]. Вычислим абсциссу
вершины параболы, используя формулу хв- : хв= —г = 1,5.
2д ^'("-lj
Затем вычислим значение ординаты ув вершины параболы:
#(хв) = -(1,5)2 +31,5-2 = 0,25. Таким образом, Е(у) = (-оо; 0,25].
; 0,25].
2.
1
х2+1'
Найдите область значений функции У=2
Выясним, для каких значений у найдётся хотя бы одно
значение аргумента х такое, что f(x)=y. Иными словами, определим,
86

когда уравнение f(x) = y имеет хотя бы одно решение. Все такие
значения у образуют область значений функции y = f(x).
Уравнение ——-у при у = 0 не имеет решений, при у*0
получим: х2+1 = — или х2 = — 1. Последнее уравнение имеет хотя бы
У У
одно решение тогда и только тогда, когда его правая часть
неотрицательна, то есть —1>0. Используем правила равносильно-
У
сти: —1>0<=>—— >0<=> ——<0. Решая неравенство методом интер-
У У У
валов, получим: 0<у<1. + ^C^w*^+ »»
: (0; 1]. 0 1
Какие из указанных ниже функций являются чётными, а
какие — нечётными?
1)У = 1 + х2-х4 2)у = -£— 3)у =
Для произвольного значения х из области определения каждой
функции вычислим значение у(-х) и сравним его со значением у(х).
1) у = 1 + х2-х4, i/(-jc) = 1 + (-jc)2-(-jc)4=1 + jc2-jc4. Так как у(-х) = у(х)9
то функция у = 1 + х2 -х4 чётная.
У ~~Х X
2) у = -т—, У(-х) = -(—^—7 = —ГГГ ТаК КаК У(-Х) = -У(х^ то
х —1 (— х) —1 х 1
ция у = —5— нечётная.
х -1
3) у = ——, У\-х) = %— = ~1—Г* Так к^к, например, для х = 2
У 4-1
у(-х)*у(х) и у(-х)ф-у(х\ то функция у = —— не является ни
чётной, ни нечётной.
: 1) чётная; 2) нечётная; 3) ни чётная, ни нечётная.
го.
На рисунке приведены графики некоторых функций. Какие
из них являются чётными, а какие — нечётными?
&.
Сначала установим, симметрична ли область определения
функции относительно начала координат. Если она не симметрична,
87

3)
A.
\JO.
то функция не может быть ни
чётной, ни нечётной. Если же
она симметрична, то определим,
симметричен ли график
функции относительно оси ординат
или начала координат. В первом
случае функция чётная, во
втором нечётная.
Для функции 1) и область
определения [-2; 2], и график
функции симметричны относительно
начала координат. Функция 1)
нечётная.
Для функций 2) и 3) область
определения [-3; 3] симметрична
относительно начала координат, а графики функций
симметричны относительно оси ординат. Функции 2) и 3) чётные.
Для функции 4) область определения [-3; 2] не симметрична
относительно начала координат. Функция 4) ни чётная, ни нечётная.
1) нечётная; 2) чётная; 3) чётная; 4) ни чётная, ни нечётная.
4) ,
1
"A
\y
■J.
11.
Исследуйте на ограниченность функцию у
1) Из определения арифметического квадратного корня следует,
что >]4-х2 >0. Следовательно, функция у = 4 4-х2 ограничена снизу.
2) Так как jc2>0<=>-jc2<0<»4-jc2<4, to yj4-x2 <2. Следовательно,
функция у-ы4-х2 ограничена сверху. Таким образом, функция
у-44-х2 ограничена.
функция ограничена.
12.
*2+3
Докажите, что функция у = —;—- ограничена.
2
Выполним преобразования:
2 л 2
-+—— = 1+
SS

Так как для функции у = -
- область значений Е(у) = (О; 1],
X -hi
то имеет место двойное неравенство: 0<—2—<1.
Используя правила равносильности неравенств, получим:
12 2
0< ——<1<=>0<—^—<2<=>1<1 + —£—<3. Таким образом, исходная
функция ограничена и сверху (#<3), и снизу (#>1)>
следовательно, она ограничена. Утверждение доказано.
13.
Исследуйте на монотонность функцию f(x) = 3x + l (в ответе
укажите промежутки её возрастания и убывания).
Областью определения функции # = Здг + 1 является всё множество
действительных чисел: D(y) = R. Рассмотрим произвольные
значения х1 и х29 такие что хх < х2. Тогда из свойств числовых
неравенств получим, что Здг^Зд^ и Здс1+1<Здс2+1.
Последнее неравенство означает, что f{xx)<f(^x2). Следовательно,
функция /(jc) = 3jc + 1 возрастает на всей числовой прямой,
функция возрастает на промежутке (-<»; +оо)#
14.
По графику функции У = /(#),
изображённому на рисунке, укажите промежутки
возрастания и убывания функции.
—<
Г
\У
«в*
1
А
/
1
г~т~~1
X
Областью определения данной функции
является промежуток [-2; 7). Двигаясь по
графику функции слева направо на промежутке
[-2; 3), мы как будто поднимаемся в горку,
поэтому на промежутке [-2; 3) функция возрастает. Аналогично,
двигаясь по графику функции слева направо на промежутке [3; 7),
мы снова как будто поднимаемся в горку, поэтому и на
промежутке [3; 7) функция возрастает.
Данная функция не является возрастающей на всей области
определения. Поэтому в ответе нельзя указать в качестве промежутка
возрастания [-2; 7).
функция возрастает на промежутках [-2; 3) и [3; 7).

IS.
Найдите все значения аргумента, при которых функция
у = -2х + 8 принимает положительные значения.
Функция г/ = -2дг + 8 принимает положительные значения при всех
значениях х9 удовлетворяющих условию: -2дс + 8>0. Откуда х<4.
-°°; 4).
16.
Найдите все значения аргумента, при которых функция
принимает отрицательные значения.
X — £л
Данная функция принимает отрицательные значения при всех
значениях х, удовлетворяющих условию: <0. Решая нера-
дг-2
венство методом интервалов, получим: хе(-1; 2).
: (-1; 2).
17.
Найдите наименьшее значение функции f(x) =
х +2
Выполним преобразования: — = —- = 1— . Так как для
х2+2 х2+2 х2+2
любого значения х верно неравенство х2 > О, то по свойствам
числовых неравенств получаем: х2-\-2>29 1>-т > — ^—; » —^—ъ и
*v* i О О *у»** | О О *v* _1_ О
JC "Г ^ ^ JC "Г ^ ^ Л i ^i
— <1—^ . Таким образом, для любого значения х значение функ-
2 х +2
ции /(jc)>—. Кроме того, /(0) = —. Следовательно, по определению
Са Са
наименьшее значение функции f(x) = — равно —.
х +2 2
: 0,5.

18.
Найдите линейную функцию, график которой проходит
через точки с координатами (2; 3) и (0; 1).
Для нахождения значений k и Ь подставим координаты точек
(2; 3) и (0; 1) в уравнение y = kx + b. Получим систему: \
IJL = Н' U -f~ и.
Решая систему, получим: \ ' Следовательно, линейная функ-
[Ь = 1.
ция задается формулой # =
Найдите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х + 1
и проходящей через точку с координатами (2; 3).
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны, поэтому
уравнение искомой прямой имеет вид: у = 2х + Ь. По условию
искомая прямая проходит через точку с координатами (2; 3),
значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой:
3 = 2-2 + 6, откуда Ъ = -1. Таким образом, получаем уравнение
искомой прямой: г/ = 2л: —1.
= 2х-1.
ZO.
Найдите наибольшее значение функции у = -2х + 1 на
отрезке [2; 3].
Функция у = -2х + 1 убывающая (& = -2<0), поэтому своё
наибольшее значение на отрезке [2; 3] она принимает на левом конце
отрезка, то есть при х = 2. Найдём это значение: у = -2-2 + 1 = -3.
-3.
Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = х2-Зх + 2 с осью Ох.
яг

Плль&а, 3
Абсциссы точек пересечения графика квадратичной функции
у = х2-Зх + 2 с осью Ох являются корнями уравнения л:2-Зл: + 2 = 0.
Решая его, получим: х1=19 х2=2.
1; 2.
ZZ.
Укажите число общих точек графика функции
и оси абсцисс.
= -Зх2+2х + 5
Число общих точек параболы и оси абсцисс определяется
знаком дискриминанта квадратного трёхчлена. Поскольку
Д =12-(-3)-5 = 16>0, то парабола имеет с осью абсцисс две
точки пересечения.
2.
23.
Найдите ординату точки пересечения графика функции
у =-0,25л:2+7*+ 2 с осью ординат.
Ордината точки пересечения графика функции с осью ординат
равна #(0) = с = 2.
2.
24.
На рисунке приведён график квадратичной
функции у = ах2 +Ьх+с. Укажите знаки
коэффициентов а, &, с и дискриминанта D.
Ветви параболы направлены вверх, следовательно,
а>0. Вершина параболы имеет положительную
абсциссу: хв = , при этом а > 0, следовательно,
Ь<0. Парабола пересекает ось Оу в точке,
ордината которой отрицательна, следовательно, с = у(0) < 0. Парабола
пересекает ось Ох в двух различных точках, следовательно, D>0.
a>0,
c<0, D>0.

ZS.
Найдите все значения х, при которых функция у = -Зх2 + 5х + 2
принимает отрицательные значения.
Для нахождения промежутков, на которых квадратичная
функция принимает отрицательные значения, необходимо решить
неравенство -Зх2 + 5х + 2 < 0. -Зх2 + 5дг + 2 < 0 <=> Зх2 - 5дс - 2 > 0, откуда
: -оо; ^(2; +оо).
26.
Найдите промежуток убывания функции у = 4х2 -2х + 1.
Найдём абсциссу хв = вершины параболы: дгв=0,25. Поскольку
а = 4>0, квадратичная функция г/ = 4д:2-2л; + 1 убывает слева от
вершины параболы на промежутке (-оо; 0,25].
(-оо; 0,25].
27.
Найдите наибольшее значение функции у = -х2+Зх-2.
Найдём абсциссу и ординату вершины параболы: дгв=1,5;
ув=-(1,5) +31,5-2 = 0,25. Поскольку а = -1<0, ветви параболы
направлены вниз, и квадратичная функция у = -х2 +Зх-2 принимает
в точке л:в=1,5 своё наибольшее значение, равное i/e=0,25.
0,25.
ZS.
Найдите наибольшее значение функции
у = -2х2+4х + 3 на отрезке [2; 4].
Так как а - -2 < 0, хв = 1, то квадратичная
функция возрастает на промежутке (-оо; 1] и убывает
на промежутке [1; +оо). Отрезок [2; 4]
принадлежит промежутку убывания функции. Поэтому

своё наибольшее значение на отрезке [2; 4] функция принимает на
левом конце этого отрезка, в точке х = 2: ()
3.
2.9.
Укажите, какое из чисел больше: 1) 0,310 или 0,3310;
2) (-0,2)15 или (-0,5)15.
1) Так как функция у = х10 возрастает на промежутке [0; +х)
и 0,3 < 0,33, то 0,310<0,3310.
2) Так как функция у = х15 возрастающая и -0,2 >-0,5, то
0,3310; 2) (-0,2)15.
ЪО.
Найдите наибольшее значение функции
И 2].
= х3 на промежутке
Функция у = х3 возрастает на промежутке (-оо; +<»). Поэтому своё
наибольшее значение на отрезке [-4; 2] функция принимает на
правом конце отрезка при х = 2. Получим: г/(2) = 23=8.
8.
31.
Решите уравнение лгб+лг-2 = 0.
Запишем исходное уравнение в виде:
х5=-х + 2 и построим графики функций
у = хъ и г/ = -дс + 2. Абсциссы точек
пересечения этих графиков являются
корнями исходного уравнения. Графики
функций пересекаются в точке с
абсциссой, равной 1, что подтверждается
непосредственной проверкой. Функция
у = хъ возрастающая, а функция # = -*: +2
убывающая. Отсюда следует, что
указанная точка пересечения единственная.

Действительно, возрастающая функция у-хь при дсе(-оо; 1)
принимает значения, меньшие 1, а при хе{1; +оо) — значения,
большие 1. В то же время убывающая функция у = -х + 2 при дге(-оо; 1)
принимает значения, большие 1, а при хе(1; +оо) — значения,
меньшие 1. Таким образом, х = 1 — единственное решение
исходного уравнения.
1.
32..
Найдите значение ft, при котором график функции У = —
х
проходит через точку А с координатами (-3; 2).
k
По условию точка А принадлежит графику функции у = —, поэто-
X
му её координаты удовлетворяют уравнению, задающему
функцию. Подставляя координаты, получим: 2 = — <=>& = -6.
—о
: -6.
ЪЪ.
Найдите наибольшее значение функции 2/ = ~ на
промежутке [-3; -1].
о
Функция у = — возрастает на промежутке (-<»; 0), а значит, и на
отрезке [-3; -1]. Поэтому своё наибольшее значение функция
принимает на правом конце отрезка при х = -1. Получим: #(-1) = 3.
3.
34.
Решите уравнение — = Зх-2.
х
Построим графики функций у = —т и у = Зх-2. Абсциссы точек пе-
х
ресечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.
Графики функций пересекаются в точке с абсциссой, равной 1,
что подтверждается непосредственной проверкой. При дг>0 функ-
9S

ция у = —т убывает, а функция у=Зх-2
х
возрастает. Отсюда следует, что на
промежутке (0; +оо) других точек
пересечения графиков этих функций быть
не может. При х = 0 выражение — не
х
определено. При х<0 функция у = —г
х
принимает положительные, а функция
у=Зх-2 — отрицательные значения,
поэтому на промежутке (-°о; 0) их графики не пересекаются, а
исходное уравнение не имеет отрицательных корней. Таким образом,
х = 1 — единственный корень уравнения.
1.
35.
Найдите значение функции у = у/х2 при: 1) лг = б; 2)
Поскольку
для любого значения х, то i/(5) = |
| = 5 и
1) 5; 2) 5.
36.
Какое из чисел больше:
5 /11 и б Н
—\\— или Ъ^Л—'Л—
7 V17 VO V18
тт 5 I11 I55 и /5 /11 /55 „
По свойству корней: а = ^-.^—= ^—, fe = y_.^_ = ^_. Поскольку
функция у = \[х возрастающая и
Следовательно, а<Ь.
Ь.
55 55
<
119 108
то
'55 /55
<
/119 V108

37.
Вычислите \9v81.
Применяя свойства корней, получим:
fay/ы =tf^=№Г9=$!¥=з.
3.
Зсидсиъа, 38.
Найдите значение функции j/ = V3 + jc+V3-jc при x
При jc = 2>/2 значение функции #(2л/2) = л/з + 2л/2 +>/3-2л/2.
Приведём первое подкоренное выражение 3 + 2>/2 к виду полного
квадрата:
Поэтому л/з + 2л/2 = у(l + л/2 )2 = |l + >/21 = 1 + >/2.
Аналогично 3 - 2>/2 = 1 - 2>/2 + 2 = I2 - 2>/2 + (V2) = (l - V2) . Поскольку
l-V2<0, то
Получаем: у
Найдите значение функции
лг = 6,78901.
при
Используя тождество va2 =|a|, получим:
J(5-jc)2 + yj(9-x)2 =|5-jc| + |9-4
Так как 5<дс<9, то 5-дс<0, а 9-доО. Поэтому |5-х| = -(5-х),
а |9-дс| = 9-дс Откуда |5-jc| + |9-jc| = -(5-jc) + (9-jc) = 4. Таким
образом, при х = 6,78901 у = 4.
4.
4- Математика. 9 класс
Cf "J

4О.
Найдите наименьшее значение функции у= лг2-2лг-3
Поскольку для любого значения х л:2-2л:-3|>0 и |д: + 1|>0, т<
I/ = Ijc2 — 2jc—з| -ь Ijc -h l| > 0 на всей области определения функции. IIpi
дс = -1 |# + l| = 0. Заметим, что при х = -1 и х2 -2х-Ъ = 0. Следовательно
|дс2-2л:-3|+|л: + 1| = 0 при х = -1. Таким образом, значение у = 0 удов
летворяет двум условиям наименьшего значения функции.
0.
41.
Задайте аналитически функцию, график
которой представлен на рисунке.
Vi
/
.У
>
=/
1
У
)х
Областью определения функции y = f(x)
является отрезок [-2; 4]. На промежутке [-2; 0)
график функции представляет собой часть
горизонтальной прямой, задаваемой
уравнением y = -lm
Аналогично на промежутке [2; 4] график функции представляет
собой часть горизонтальной прямой, задаваемой уравнением г/ = 3.
На промежутке [0; 2) график функции является частью прямой,
проходящей через точки с координатами (0; 1) и (2; 3). Такая
прямая задаётся уравнением у = х + 1. Таким образом, при -2<#<0
i/ = -l, при 0^дг<2 у = х + 19 при
1-1, если -2<х<0;
*+1, если 0<*<2;
3, если 2<х<4.
42.
Используя график функции у = х29
постройте график функции у = (х-2) +3.
График функции у = (х-2)2 +3 получается из
графика функции у = х2 последовательными
параллельными переносами последнего на
2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.
Вершина параболы О(0; 0) переходит при
этом в точку Ох(2; 3).
\
\
\
\
17 А
\ \1
\\ /
\ /Г
/
/Г
/
г
X
1'

43.
Используя график функции г/ = —,
постройте график функции
Х-1
График функции у- + 1 получает-
х-1
ся из графика функции у-—
последе
довательными параллельными
переносами последнего на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх.
Выполнение этих преобразований можно рассматривать как
перенос графика функции у-— на вектор а(1; 1). Центр симметрии
х
гиперболы О(0; 0) переходит при этом в точку О1(1; 1).
Зада**, 44.
Используя график функции г/ = |х
ции: 1) у = |х-2|-1; 2) у = 2\х\.
постройте график функ-
1) График функции г/ = |дс-2|-1
получается из графика функции у = \х\
последовательными параллельными
переносами последнего на 2 единицы вправо
и на 1 единицу вниз. Выполнение
этих преобразований можно
рассматривать как перенос графика
функции у = \х\ на вектор а (2; -1). Точка
О(0; 0) переходит при этом в точку
0,(2; -1).
2) График функции # = 2|jt|
получается из графика функции у = \х\
растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.
а(2; -1)
\1
о
£г X
1
X

ПллЖа, 3
45\
Постройте график функции
График функции у = \1х + 2
получается переносом графика функции у = \[х
на 2 единицы влево. А график
функции у = -\1х + 2 получается из графика
функции y = Jx + 2 при помощи
симметрии относительно оси Ох.
46.
Постройте график функции у = 2х2-4:Х.
Преобразуем выражение, задающее квадратный двучлен 2jc2-4jc:
2jc2-4jc = 2(jc2-2jc + 1)-2 = 2(jc-1)2-2. Таким образом, исходная
функция преобразуется к виду: у = 2(х-1)2 -2. График исходной
функции у = 2х2-4х получается из графика функции у = х2 растяжением
в 2 раза вдоль оси ординат и затем параллельными переносами на
1 единицу вправо и на 2 единицы вниз.
О 1
= 2х2-4х
График квадратичной функции также можно построить,
определив координаты вершины параболы, направление ветвей и нули
функции (если они есть).
гоо

%ЛЛ4*ЛА>4<НЛ,
Функцию y = f(x), определённую на множестве натуральных
чисел xeN (или его конечном подмножестве), называют
числовой последовательностью и обозначают y = f(n), или
Ух*У2> ••• » Уп> — » или (Уп)-
Индекс п определяет порядковый номер члена
последовательности.
Значения у19 у29 ..., уп называют соответственно первым,
вторым, ... , n-м членами последовательности. Различают
конечные и бесконечные числовые последовательности.
Аналитический: указывается формула n-го члена
последовательности.
. Последовательность квадратов натуральных чисел ,
1, 4, 9, 16, ... задаётся формулой уп-п2. ■
С помощью формулы л-го члена можно вычислить любой
член последовательности, подставив в формулу вместо п
номер вычисляемого члена.
тч 2п + 1 о 2 2 + 1 о с /
. Если уи= , то при /1 = 2 у2= = 2,5 (второй
п 2
. __ 2 20+1 41
член последовательности), при п = 20 Уго111 = — и Т-Д-
1 Словесный: правило составления последовательности
выражается словесным описанием.
((Л 1) последовательность простых двузначных чисел,
меньших 50, есть конечная последовательность:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47;
2) бесконечная последовательность приближений иррационального
числа V3= 1,732050808...: 2, 1,7, 1,73, 1,732, 1,7321, ...
гог

• Рекуррентный: указывается правило, позволяющее
вычислить л-й член последовательности, если известны все её
предыдущие члены.
р. У1=1, Уп=Уп-1'п> если п>2. Вычислим несколько
первых членов этой последовательности: 1, 2, 6, 24, 120, ... . Можно
убедиться в том, что n-й член данной последовательности равен
произведению первых л натуральных чисел: Уп=п\
Графиком последовательности как функции, заданной на
множестве натуральных чисел, являются отдельные,
изолированные точки координатной плоскости.
1) последовательность уп=Зп-2 можно
рассматривать как функцию у = Зх-29 где xeN;
2) последовательность уп = п2 можно рассматривать как функцию
у = х29 где
1)
2)
Числовые последовательности являются функциями,
поэтому некоторые свойства функций переносятся и на
последовательности.
Последовательность (уп) называется возрастающей, если
каждый член этой последовательности (кроме первого) больше
предыдущего: У1<у2<у3<...<уп<уп+1...
Последовательность кубов натуральных чисел 1, 8, [
возрастающая. i
27, 64, ..
1.OZ

Глава, 4
Последовательность (уп) называется убывающей, если
каждый член этой последовательности (кроме первого) меньше
предыдущего: yl>y2>yz>...>yn>yn+1...
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 1
. Последовательность 1, —,—,—,... убывающая. i
Возрастающие и убывающие последовательности называют
общим термином — монотонные. Исследовать
последовательность на монотонность означает выяснить, является она
убывающей, возрастающей или не является монотонной.
: 1) последовательность -1, -4, -9, -16, ... , -п2, ...
убывающая;
2) последовательность -1, 0, 1, 2, ... , (п-2)9 ... возрастающая;
3) последовательность -1, 1, -1, 1, ... , (-1)п, ... не является
монотонной.
Последовательность уп = ап является:
1) возрастающей, если а>1,
2) убывающей, если 0<а<1,
3) и не является монотонной, если а<0.
[ r7pUoUe^tt: 1) последовательность уп=Зп: 3, 9, 27, 81, ... воз-
, растающая (3>1);
i оч flY 1111
i 2) последовательность уп = - : -, —, -—, —~, ... убывающая
i V"/ " 2" 12о оЭ
Последовательность (уп) называется ограниченной сверху, если
существует такое число М, что для любого номера п
выполняется неравенство уп < М.
Иными словами, все члены последовательности не превосходят
некоторого числа М.
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — -|
] ПцХЛлЛЛ&р. Последовательность уп=3-2п: 1, -1, -3, -5, ... огра- J
i ничена сверху (в частности, M=l). i
ЮЗ

Последовательность (уп) называется ограниченной снизу, если
существует такое число т, что для любого номера п
выполняется неравенство уп > т.
P. Последовательность -1, 0, 1, 2, ... , (л-2), ... огра- J
ничена снизу (в частности, m = -l). i
Щ Последовательность (уп) называется ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу.
г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
| Пр<л*М£А0. Последовательность 1, —,—,—,...,—,... ограничена
i 2 3 4 п
1 и сверху, и снизу (в частности, М=1, тп = О).
Свойство ограниченности
последовательности становится
особенно наглядным, если члены
последовательности изобразить точками
числовой прямой.
0
11
54
1
3
1
2
1
X
4.3.
Арифметической прогрессией называется числовая
последовательность (ап), каждый член которой, начиная со второго, равен
сумме предыдущего и некоторого числа d:
Число d называют разностью
арифметической прогрессии.
(( 1) последовательность чисел 0, 2, 4, 6, 8, ...
является арифметической прогрессией, так как разность между
любым членом последовательности, начиная со второго, и
предшествующим ему членом постоянна (d = 2);
2) последовательность чисел 0, 1, 3, 4, 6, ... не является
арифметической прогрессией, так как разность между вторым и
первым членом равна 1, а между третьим и вторым равна 2.

Из определения следует, что если разность между любым
членом последовательности (ап), начиная со второго, и
предшествующим ему членом (#n_i) постоянна, то (ап) —
арифметическая прогрессия.
то (ап) — арифметическая прогрессия.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, необходимо
указать первый член ах и разность d.
jP. Пусть заданы ах = 1, d = 3. Выпишем первые четы-
1 ре члена арифметической прогрессии: Oj=l; a2 = aj+(2 = 1 + 3 = 4;
[ a3=a2+(2 = 4 + 3 = 7; a4 =
Арифметическая прогрессия является возрастающей
последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.
1) арифметическая прогрессия -16, -11, -6, -1, 4, ... возрастающая
(d = 5>0);
2) арифметическая прогрессия 13, 9, 5, 1, -3, ... убывающая
Арифметическая прогрессия обозначается символом -к
Например, ч- ах, а2, ..., ая, ...
Арифметическая прогрессия может иметь как бесконечное
число членов: -г а19 а2, а3, ... ап, ... , так и конечное число:
1) -ь -2, -1, 0, 1, 2 — конечная арифметическая прогрессия;
2) ч- 1, 3, 5, 7, ... — бесконечная арифметическая прогрессия.
Члены арифметической прогрессии можно
интерпретировать точками координатной плоскости.
XOS

4
рр. Члены арифметической прогрессии
-1, 1, 3, 5, ... (а1=-19 d = 2) могут быть
интерпретированы с помощью точек
координатной плоскости. Очевидно, что все построенные
точки координатной плоскости, являющиеся
графиком арифметической прогрессии, лежат
на прямой, заданной уравнением у = 2х-3.
i
1
о
{У
1
4
•
У
4
f
=2х-г
X
4.4.
Арифметическая прогрессия (ап) задаётся рекуррентно:
ах — первый член, an=an_1+d (n- 2, 3, 4, ...), где ах и
d — заданные числа.
. Чтобы найти седьмой член арифметической
прогрессии, если известны её первый член ах=17 и разность d = -2, надо
найти последовательно а2, а3, а4, а5, а6, а7. Получаем:
7-2 = 15, a3 =a2+d = 15-2 = 13, a4=a3 + d = 13-2 = ll,
a5=a4+d = ll-2 = 9, a6=t
a7 =
= al+ 4d,
Существует закономерность:
a2=ax+d9 a3=a2+d = a1+ 2d, a4=a3+d = al+ 3d, as=a4
a6=a5+d = a1+ 5d, a7 =a6+d = a1+ 6d.
Таким образом, можно вычислить a7 без вычисления
предыдущих членов по формуле: a7 -ax +6d = 17 + 6(-2) = 5.
Если заданы первый член аг и разность d
арифметической прогрессии, то любой её член можно
вычислить по формуле /1-го члена
арифметической прогрессии:
Эта формула, которую ещё называют формулой общего
члена, позволяет перейти от рекуррентного задания
арифметической прогрессии к аналитическому.
an=al+(n-l)d
lpj Чтобы найти седьмой член арифметической
прогрессии, если известны её первый член ^=17 и разность
d = -29 нужно просто подставить эти значения, а также
значение /1 = 7 в формулу /г-го члена арифметической прогрессии:
гоь

Рассмотрим формулу n-го члена арифметической прогрессии
и запишем её в виде: ап =dn + (a1 -d). Введём обозначения:
ап=у9 al-d = c. Получим: y = dn + c или y = dx + c9 где xeN.
Арифметическую прогрессию можно рассматривать как
линейную функцию y = dx + c9 заданную на множестве
натуральных чисел: xeN.
Угловым коэффициентом этой линейной
функции является число d — разность
арифметической прогрессии.
Графиком арифметической прогрессии
является множество точек, лежащих на
прямой y = dx + c9 где xeR.
При <2>0 и линейная функция, и
арифметическая прогрессия являются
возрастающими, а при d<0 — убывающими.
1
1
о
1
y=dx+c
X
1) у арифметической прогрессии ч- -2, -1,5, -1, -0,5, 0, 0,5, 1
ах=-29 d = 0,5, аи=-2+0,5(/1-1) или ап =0,5/1-2,5.
Линейная функция у = 0,5* -2,5 и заданная прогрессия являются
возрастающими (<2>0);
2) у арифметической прогрессии + 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2
ах=5, d = -l, аи=5-(/1-1) или ап=6-п.
Линейная функция у = 6-х и заданная прогрессия являются
убывающими (d<0).
/ = 0,5*-2,5
О
= 6-х
X
Вычислить сумму первых п членов арифметической
прогрессии (ап) можно непосредственным сложением членов
последовательности: Sn=a1+a2+... + an.
%О7

DuUta, 4
Первые п членов арифметической прогрессии (ап) сами
образуют конечную арифметическую прогрессию, для которой
можно найти сумму всех её членов.
К Найдём сумму первых 120 членов арифметической
прогрессии + 1, 2, 3, ... , 118, 119, 120, ... , у которой ах=1
и (2 = 1.
Последовательное сложение членов прогрессии в данном
случае применять неудобно, так как придётся провести
достаточно много вычислений. Поэтому воспользуемся приёмом
группировки:
5 = 1 + 2 + ... + 119 + 120 = (1 + 120)+ (2+119) + . ..+(60 + 61) =
= 121 + 121 + . .. + 121 = 121-60 = 7260.
60 слагаемых
Для получения формулы суммы первых п членов
арифметической прогрессии запишем эту сумму двумя способами:
Sn =аг +а2 +а3 +... + ап_2 +ая_г +ап,
Sn =an +ап-1 +ап_2 +... + О, +а2
Используя определение арифметической прогрессии,
запишем эти равенства в виде:
Sn =a, +(a, +d) + (ai +2d) + ... + (a1 +{n-l)d\
Sn =an +(an -d) + (an -2d) + ... + (an -(n-l)d).
Складывая почленно записанные равенства и приводя
подобные слагаемые, получим:
2Sn =
+an) + ... + (a1 +an), или 2Sn =(ax +an)n.
n слагаемых
_a1+an
"" 2
Этой формулой удобно пользоваться,
если известны первый и последний
члены прогрессии ах и ап.
1) найдём сумму натуральных чисел от 1 до 120:
120 =
«120 =
^^
гоъ

Пллъва, 4
2) найдём сумму первых шести членов арифметической
прогрессии, у которой ^=-10 и а6=-20:
Этой формулой удобно пользоваться,
если известны первый член прогрессии
ах и её разность d.
?. Найдём сумму первых девятнадцати членов
арифметической прогрессии, у которой ах - -4 и d = 5:
2 (-4)+5(19-1) <Л _„
= ^19 = 779.
Вторая формула получается из первой, если в ней заменить
/г-й член прогрессии на его значение по формуле ап =аг +d(n-l).
При решении задач можно использовать любую из
формул в зависимости от данных в условии.
4-6-
Рассмотрим арифметическую прогрессию
ах, а2, а3, ..., ап_19 ап, ап+1, ... .
Из определения арифметической прогрессии следует, что
ап+1. Сложив эти равенства, получим:
*п-1»
Это равенство выражает характеристическое
свойство арифметической прогрессии.
Первое характеристическое свойство арифметической
прогрессии (ап).
Каждый член арифметической
прогрессии (кроме первого и последнего) равен
среднему арифметическому двух соседних
с ним членов — предыдущего и
последующего:
П
гоя

4
. Пусть задана арифметическая прогрессия (ап).
1) Если а^+а^ =36, то al5 = ai4*ai6 = 18.
2) Если известно, что ^=-2, то можно найти ae+as. Поскольку
то 22(2) 4
Первое характеристическое свойство объясняет название —
« арифметическая » прогрессия.
Справедливо также утверждение, обратное указанному
свойству и являющееся признаком арифметической прогрессии.
Если числовая последовательность (яп) такова, что для
любого п>1 выполняется равенство ап = ап~1+а"*19 то (ап) —
арифметическая прогрессия.
рр 1) числа 143, 155, 167 являются тремя
последовательными членами арифметической прогрессии, поскольку
второе число — среднее арифметическое первого и третьего:
143+167
2
2) числа 1, >/з, 3 не являются тремя последовательными
членами арифметической прогрессии, поскольку >/з
Первые п членов арифметической прогрессии (ап) сами
образуют конечную арифметическую прогрессию, обладающую
следующим свойством.
Второе характеристическое свойство конечной арифметиче-
■ ской прогрессии (ап).
Сумма первого и последнего членов конечной арифметической
прогрессии равна сумме любых двух её членов,
равноудалённых от концов данной арифметической прогрессии:
al+an=a2+an_l=... = ak
1ZO

1) если для конечной арифметической
прогрессии ах, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10 выполняется равенство:
fl4+alo=41f то a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6 = 41;
2) чтобы найти сумму всех членов конечной арифметической
прогрессии ах> а2, а3, а4, а5, а6, а7, зная, что a3+a5=7, надо учесть,
что aj + a7 = a3 + a5 = 7, и воспользоваться формулой суммы членов
конечной арифметической прогрессии: S7=— --7 =— 7 = 24,5.
4.7.
Геометрической прогрессией называется числовая
последовательность (Ьп\ все члены которой отличны от нуля и
каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на одно и то же число q:
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
1) последовательность чисел -2, -6, -18, -54, ...
является геометрической прогрессией, так как каждый член,
начиная со второго, получается из предыдущего умножением
на число 3 (<7 = 3);
2) последовательность чисел 3, -6, 12, -24, 48, ... является
геометрической прогрессией, знаменатель которой q = -2;
3) последовательность чисел 3, -6, -12, 24, ... не является
геометрической прогрессией, так как второй член получается из
первого умножением на -2, а третий из второго —
умножением на 2.
Из определения следует, что геометрическая
прогрессия — это числовая последовательность (6П), заданная ре-
куррентно соотношением: bn+1 =bnq, где /1 = 1, 2, 3, ... , а Ьх
и q — заданные числа, причём Ьх ф 0, q*0.

Если отношение любого члена последовательности (Ьп),
начиная со второго, к предыдущему члену постоянно, то (Ьп) —
геометрическая прогрессия.
Если — = — = — = ..., то (Ъп) — геометрическая прогрессия
Знаменатель этой прогрессии д = -^-.
К
Чтобы задать геометрическую прогрессию, необходимо
указать первый член Ьх и знаменатель q.
цр. Пусть заданы Ьх = -2 и q = 4. Выпишем первые четыре
члена геометрической прогрессии:
b3=b2q = -8 4 = -S2; b4 =b3q =-32 4 = -128.
Геометрическая прогрессия является:
— возрастающей последовательностью, если Ьх > 0 и q > 1;
— убывающей, если Ьх>0 и
: 1) геометрическая прогрессия 4, 8, 16, 32, ...
возрастающая, так как &х=4>0, q = 2>l;
2) геометрическая прогрессия 7, 1, —, —, ... убывающая, так
7 49
как &1=7>0, д = -, 0<-<1;
7 7
3) последовательность 5, 5, 5, 5, ... не является ни убывающей,
ни возрастающей, её можно рассматривать как геометрическую
прогрессию со знаменателем q = 1 и Ьх = 5.
Если <7<0, то знаки плюс и минус у членов прогрессии
чередуются. Прогрессия в этом случае не является монотонной.
Геометрическая прогрессия обозначается символом ■*.
Например, * Ь19 Ь2, ..., bn, ...
Геометрическая прогрессия может иметь как бесконечное
число членов: чг Ь19 Ь2, Ь3, ... , Ьп, ... , так и конечное число:
4f b19 Ь2, Ь3, ... , Ьп.

уЦА 1) 16, 8, 4, 2, 1 — конечная геометрическая
прогрессия;
2) 1, 3, 9, 27, ... — бесконечная геометрическая прогрессия.
4.8.
Геометрическая прогрессия (бп) задаётся рекуррентно
соотношениями: bn+1=bnq> где п = 1, 2, 3, 4, ... , а 6Х и q — заданные
числа, отличные от нуля.
ур. Чтобы найти пятый член геометрической прогрессии,
если известны её первый член Ьх = 5 и знаменатель q = 3, надо
найти последовательно Ь2, Ь39 64, Ьъ. Получаем:
3 = 405.
_-.-.-.-._.._________________............___........_..___.|
Существует закономерность:
Таким образом, можно вычислить 65 без вычисления
предыдущих членов по формуле 65 = ^i * ?4-
Если заданы первый член Ъх и знаменатель q
геометрической прогрессии, то любой её член можно
вычислить по формуле /1-го члена геометрической прогрессии:
,n-l
Эта формула, которую ещё называют формулой общего
члена, позволяет перейти от рекуррентного задания
геометрической прогрессии к аналитическому.
рр Чтобы найти третий член геометрической
прогрессии, если известны её первый член &1==7 и знаменатель q = -29
нужно просто подставить эти значения, а также значение /1 = 3
в формулу п-то члена геометрической прогрессии:
Рассмотрим формулу п-го члена геометрической
прогрессии bn=b1qn'1 и запишем её в другом виде bn=—qn, вве-
5- Математика. 9 класс
1X3

4
дём обозначения Ьп=у9 — = т. Получим y = mqn или y = mqx,
Q
xeN. Аргумент содержится в показателе степени, поэтому
геометрическую прогрессию можно рассматривать как
показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел.
Функцию у = а* при а>0 и а*1 называют показательной
функцией.
Если <7>0, то члены геометрической прогрессии можно
интерпретировать точками, принадлежащими графику функции
y = mqx9 где xeN.
Пусть задана геометрическая
прогрессия 1, 3, 9, 27, ... . Первый член
этой прогрессии Ьх = 1, знаменатель q = 3,
тогда общий член прогрессии 6||=1-Зя"1.
Обозначим Ьп=у9 п = х9 тогда у = 3х'1 или
j/ = i-3*, xeN.
О
4Я.
Вычислить сумму первых п членов бесконечной
геометрической прогрессии (рп) можно непосредственным сложением
членов последовательности:
Можно также воспользоваться формулой.
Для получения формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии воспользуемся формулой л-го члена
геометрической прогрессии и запишем:
Умножим обе части этого равенства на q и вычтем из
полученного равенства первое:

ГлхЖа, 4
Получим: Snq-Sn=b1qn-b1. Откуда Sn(g-l) = &!(gn-l). Если
Формула суммы первых п членов геометрической
прогрессии (для случая
или
J П\МлЛ\&р. Найдём сумму первых семи членов геометрической
| прогрессии, в которой ^=3, q = 2: S7=—- - = 3-127 = 381.
i 2 — 1
Если знаменатель геометрической прогрессии q = l, то сумма
первых п членов геометрической прогрессии (Ьп) вычисляется
сложением: Sn=b1+b1+b1^- ... +&1=п-61.
полагаемых
Рассмотрим геометрическую прогрессию (Ъп). Выпишем
три её последовательно расположенных члена: Ьп-1, Ьп, Ьп+1.
Известно, что — = bn_l9 bnq = bn+v
Перемножив эти равенства, получим: Ь*=Ьп_гЬп+1.
Щ Первое характеристическое свойство конечной геометриче-
■ ской прогрессии (Ьп).
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, кроме
первого (и последнего — в случае конечной прогрессии),
равен произведению предшествующего и последующего членов:
К =
Если шестой член геометрической прогрессии ■
! Ьв = 12>/2, то &5 А = 288- i

Равенство Ъ\ =&n_i"&n+i может быть записано в виде:
|&n| = V^n-i A+1* Указанное характеристическое свойство
объясняет название — «геометрическая» прогрессия.
Число sub называют средним геометрическим чисел а и Ь.
Справедливо также утверждение, обратное указанному
свойству и являющееся признаком геометрической прогрессии.
Если числовая последовательность (Ьл), состоящая из чисел,
отличных от нуля, такова, что для любого п>1 выполняется
равенство: Ь2п = Ьп_г Ьп+19 то (6П) — геометрическая прогрессия.
1) числа 1, >/3, 3 являются тремя
последовательными членами геометрической прогрессии, поскольку (v3j =13;
2) числа 143, 155, 167 не являются тремя последовательными
членами геометрической прогрессии, поскольку (155) * 143-167.
Первые п членов геометрической прогрессии (Ьп) сами
образуют конечную геометрическую прогрессию, обладающую
следующим свойством.
Щ Второе характеристическое свойство конечной геометрической
■ прогрессии (Ьп).
Произведение первого и последнего членов конечной
геометрической прогрессии равно произведению любых двух её
членов, равноудалённых от концов данной геометрической
прогрессии:
Ь\ Ьп =
1) если для конечной геометрической прогрессии
&i» &2» ^з» ^4» &5»^в» ^7» ^8» ^9» ^ю выполняется равенство: ЬХЬ1О =72,
то Ь2Ь9=Ь3Ьв=Ь4Ъ7=Ь5Ьв=72;
2) чтобы найти восьмой член конечной геометрической прогрессии,
состоящей из десяти членов, если известно, что Ь3=27 и b2b9=3,
надо воспользоваться тем, что Ъ2-bg=b8 bB. Получаем: bs =——-, bs =—.

4
Прослеживается аналогия свойств геометрической
прогрессии со свойствами арифметической прогрессии.
При решении ряда текстовых задач бывает полезным
выяснить, можно ли рассматривать процессы, описанные в
условии задачи, с помощью арифметической или
геометрической прогрессии.
Если по условию задачи можно составить
последовательность, члены которой изменяются (увеличиваются или
уменьшаются) на одно и то же число, то для решения задачи
имеет смысл использовать свойства арифметической прогрессии.
Например, когда в задаче говорится о следующем:
— о заработной плате, которая увеличивается ежегодно на
а руб.;
— о движении, при котором скорость за каждую единицу времени
изменяется на одну и ту же величину;
— о лекарстве, принимаемом по схеме: в первый день а капель,
в каждый последующий день на Ь капель больше (меньше);
— о спортсменах, увеличивающих нагрузку на а единиц
еженедельно.
Часто задачи, связанные с регулярным изменением величин
на определённое число процентов (вклад в банке с заданной
процентной ставкой, выплата ссуды и др.), решаются с
помощью составления арифметической прогрессии. Рассмотрим
пример решения такой задачи.
Пусть клиент банка оформил вклад в размере А руб.
сроком на п лет. Процентная ставка по вкладу составляет р%
годовых, причём начисление процентов по вкладу происходит
по истечении каждого года хранения, однако начисленная
сумма не добавляется к основной сумме вклада (отсутствует
«капитализация процентов по вкладу»). Вкладчик снимает
сумму, начисленную по процентам вклада, после каждого
года хранения. При этом размер вклада для ежегодного
начисления процентов будет одним и тем же: А руб. Какую
сумму получит вкладчик за п лет хранения денег в банке?
После одного года хранения итоговая сумма равна:
А + А руб., после двух лет хранения —А + А-—+А -—=
100 100 100
117

руб., после трёх лет хранения — Ал-Аг^;
+ А—+А—=А + А — руб. и т.д.,
100 100 100
А А
после п лет хранения — А + А
а( Л
= A 1+
руб.
loo ^ loo)
Получаем конечную арифметическую прогрессию:
Р
А, А + А
100'
100
, ... , А + А-
100'
у которой ах = A, d = A •
100
Последний член этой прогрессии равен итоговой сумме,
которую получит вкладчик за п лет хранения денег в банке.
Формула простых процентов:
Вкладчик положил в банк 100 000 руб. под 10%
годовых. Начисление процентов по вкладу банк производил по
окончании каждого года хранения с предоставлением вкладчику
возможности снятия начисленных процентов после каждого года
хранения. Вкладчик ежегодно «снимал проценты», а через пять
лет закрыл вклад. По истечении пяти лет итоговая сумма со-
ставила 100000-
100 )
= 150000 руб.
4.1*2. Релмялше,
Если по условию текстовой задачи можно составить
последовательность, члены которой увеличиваются или
уменьшаются в одно и то же число раз, то для решения задачи
имеет смысл использовать свойства геометрической прогрессии.
Например, когда в задаче говорится о следующем:
— о ценах на основные продукты питания, которые ежегодно
повышаются в а раз;

— о заработной плате, ежегодно увеличивающейся в а раз;
— о движении, когда скорость за каждую единицу времени
изменяется в одно и то же число раз;
— о лекарстве, принимаемом по схеме: в первый день а капель,
в каждый последующий день в Ь раз больше (меньше);
— о спортсменах, увеличивающих нагрузку в а раз еженедельно.
Рассмотрим способ использования свойств геометрической
прогрессии на примере следующей задачи.
Пусть клиент банка оформил вклад в размере А руб.
сроком на п лет. Процентная ставка по вкладу составляет р%
годовых, причём начисление процентов и добавление
полученной величины к сумме вклада («капитализация процентов
по вкладу») происходят по истечении каждого года
хранения. При этом размер вклада для начисления процентов
увеличивается ежегодно в одно и то же число раз. А вкладчик
получит деньги в банке лишь после истечения всего срока
хранения. Какую сумму получит вкладчик за п лет
хранения денег в банке?
После первого года хранения размер вклада будет
составлять А + А-—-- = A i+_iL-1 руб. За первый год размер вклада
юо ^ iooj
увеличится в 1 + -— раз.
После второго года хранения размер вклада будет составлять
руб.
+ IAfi+ Yi+ W(i+
^ юо; юо I 100JL iooj L iooj
За второй год хранения размер вклада также увеличится
раз и т'д-
Каждый год размер вклада увеличивается в 1 + 77Г~ раз.
v 100 у
После л-го года хранения размер вклада составит
A-[l +—I руб.
1, iooj ру
Получаем конечную геометрическую прогрессию:
у которой &i=
100

Последний член этой прогрессии равен итоговой сумме,
которую получит вкладчик за п лет хранения денег в банке.
Формула сложных процентов:
Вкладчик положил в банк 100 000 руб. под 10%
годовых сроком на 5 лет. Начисление процентов и добавление их
к сумме вклада («капитализация процентов по вкладу») банк
проводил по окончании каждого года хранения. По истечении
=
5 лет итоговая сумма составила: 100000-1+
100/
161051 руб.
1.
Укажите номер функции, являющейся числовой
последовательностью:
= 3x-~l9
2) у =
4-х
3) у =
5л:2-1
—,
Функции 1) и 3) не являются числовыми
последовательностями, так как они не заданы на множестве N натуральных чисел.
Функция 2) является числовой последовательностью, так как она
задана на множестве N натуральных чисел.
2.
Найдите первые пять членов последовательности, заданной
рекуррентно: ft =2, yn=yn_i
Чтобы определить n-й член последовательности, начиная со
второго, нужно в рекуррентную формулу подставить значение
предыдущего члена. По условию ух=2. Для второго члена получим:
= 7- Аналогично у8=у2+5 = 12, у4=у3 + Ь = 17, у6=у4+Ь = 22.
2, 7, 12, 17, 22.
Х2О

3.
1 4n
Является ли число 8—- членом последовательности сп = ?
13 л п+3
Приравняем 3— и ся: 3— = . Решим полученное уравнение
13 13 /1 + 3
относительно переменной п: 3 — = <^> 40(п + 3) = An • 13 <^> п = 10.
13 /1 + 3 v ;
Поскольку 10 — натуральное число, то 3— является членом по-
13
следовательности сп: 3— = с10.
13
да.
4.
Укажите номер убывающей последовательности:
1) Сравним между собой два соседних члена последовательности
К и K+v Для этого вычислим их разность:
t 4(/i + l) 4/i 4(n + l)-4/i(/i + 2) 4 ^
& Л-Ь =— = —* * - = Так как раз-
n+1 n /i + 2 /i + l (/i+2)(/i + l) (n + l)(/i + 2)
ность положительна при любом п9 то bn+1>bn, следовательно,
данная последовательность возрастающая.
2) Аналогично сп+1 -сп =2+е/_" ^-^2+— j = ^," ^. Так как раз-
ность отрицательна при любом п, то сп+1 < сп, следовательно,
данная последовательность убывающая.
3) Выпишем несколько первых членов последовательности
х =(-1)п—--: -1 —, —, —, ... Такая последовательность не мо-
v } п2 4 9 16
жет быть монотонной, поскольку, например, х2>х19 а х3<х2.
2.
S.
Является ли ограниченной последовательность хп = -?
п+1
Все члены последовательности х„= — положительные чис-
l
ла, поэтому данная последовательность ограничена снизу (тп = 0).

4
С другой стороны, заметим, что для любого натурального п
верно неравенство —— <1 (так как /к/i + l), поэтому данная после-
/i+l
довательность ограничена сверху (М = 1). Таким образом, данная
последовательность ограниченная,
да.
6.
Укажите номера последовательностей, являющихся
конечными арифметическими прогрессиями:
1) 1, 5, 10, 17, 26 2) 5, 10, 15, 20, 25 3) -5, 10, -15, 20, -25
1) Так как аг-ахФаъ-аг (5-1*10-5), то последовательность не
является арифметической прогрессией.
2) Так как разность между любым членом последовательности и
предшествующим ему членом (между соседними членами
последовательности) постоянна и равна 5, то последовательность
является конечной арифметической прогрессией.
3) Так как с^-а^ад-с^ (10-(-5)*-15-10), то последовательность
не является арифметической прогрессией.
2.
7.
Последовательность задана формулой уп=Зп-2. Является
ли эта последовательность арифметической прогрессией?
с
Вычислим разность между двумя соседними членами данной
последовательности: уп+1 - yn = (3(/i +1) - 2) - (3/1 - 2) = 3/1 + 3 - 2 - 3/1 + 2 = 3.
Поскольку разность постоянна (d = 3), то данная
последовательность — арифметическая прогрессия.
да.
8.
Найдите три числа, которые следует поместить между
числами 5 и 13, чтобы они вместе с данными образовали
арифметическую прогрессию.
e»
Пусть d — разность искомой арифметической прогрессии. Для
искомой конечной арифметической прогрессии: ax=5; a2=al+d = b+d\
a8=a2+d = 5 + d + d = 5 + 2d; a4 =a8+d = 5 + 3d; aB=a4+d = 5+4d. С другой

стороны, по условию а5=13. Получаем уравнение: 5 + 4d = 13<?>d = 2.
Подставляя значение (2 = 2 в выражения для а2, а3, а4, найдём
искомые числа: #2=7, #з=9, а4=11.
7, 9, 11.
Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии,
если известно, что её десятый член равен 16, а разность
равна 2.
*,.
Пользуясь формулой /г-го члена арифметической прогрессии,
запишем выражение для десятого члена прогрессии: а10 =а1+(2(10-1).
Подставляя в это выражение значения alo=16 и (2 = 2, получим:
16 = а1+2-9, откуда аг=-2. Теперь можно вычислить двадцать
первый член данной прогрессии: а21 = a1+(2(21-l) = -2 + 2-20 = 38.
38.
№.
Запишите формулу общего члена арифметической
прогрессии (an ), если аб = 60, а^ = 30.
Пользуясь формулой /г-го члена арифметической прогрессии, найдем
разность: а7-а5 =a1+6d-(a1 + 4d) = 2d. По условию a7-a5 =30-60 = -30.
Следовательно, (2 = -15. Найдем ах из условия а7=30: ах+6(2 = 30,
откуда ах=120, и общий член арифметической прогрессии равен:
-l)(-15), или an =135-15/г.
ап =135-15/г.
11.
Шестой член арифметической прогрессии в 6 раз больше
её третьего члена, а при делении с остатком седьмого
члена на четвёртый в частном получается 2 и в остатке — 7.
Найдите девятнадцатый член этой прогрессии.
По условию задачи a6=6a3 и а7=2а4+7, причём остаток от
деления — неотрицательное целое число, меньшее модуля делителя:
7<|а4|. Применяя формулу общего члена арифметической
прогрессии, выпишем: а3=а1-\-2d; a4=ax+ 3d; a6=ax-\-5(2; a1=al+ 6d.
123

4
Тогда, используя условия задачи, можно составить
систему двух линейных уравнений с двумя переменными: ах и d.
Поскольку а4=ах+3(2 = 8, то условие 7<|а4| выполняется. Таким
образом, aXQ=ax+18d; a19=83.
83.
Найдите сумму первых 16 членов арифметической
прогрессии, если известны два её первых члена: аг=-3,2 и а2=1.
Найдём разность арифметической прогрессии: d = a2-a1 =1 -(-3,2) = 4,2.
Поскольку ^=-3,2 и (2 = 4,2, воспользуемся второй формулой для
вычисления суммы первых п членов арифметической прогрессии.
Получим: S16 = 2-
452,8.
13.
Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии, если суммы первых четырёх и первых шести членов
соответственно равны S4=9 и Se=22,5.
e»
Выразим S4 и S6 через ах и d, используя вторую формулу суммы
арифметической прогрессии. Полученную систему решим методом
алгебраического сложения:
l)
' [4
2a,+(2(6-1) 16a,+15(2 = 22,5 14a, +10(2 = ]
—- i ^6 = 22,5 L L
[4ax +10(2 = 15 [ax=0.

4
14.
Длины сторон многоугольника составляют арифметическую
прогрессию, разность которой равна 3 см. Наибольшая
сторона многоугольника равна 38 см. Найдите число сторон
многоугольника, если его периметр равен 258 см.
ь.
Обозначим длины сторон многоугольника а19 а2, ..., ая. Они
составляют конечную арифметическую прогрессию, у которой
известны разность d = 3, последний член ап = 38 и сумма всех членов
Sn=258. Воспользуемся формулой общего члена и первой
формулой суммы первых п членов арифметической прогрессии и
составим систему уравнений, при решении которой применим метод
подстановки.
о1=41-3/г,
Решая второе уравнение системы, получим п = 12 или п = —.
3
Второе значение п условию задачи не удовлетворяет, так как не
является натуральным числом.
12.
1S\
Сумма всех восьми членов конечной арифметической
прогрессии равна 21—. Найдите сумму третьего и шестого чле-
3
нов этой прогрессии.
е»
Поскольку S8 = ul+a* -8, а по условию Ss=21—, получаем:
2 3
——— 8 = 21—, откуда а1+а8=5—. Используя второе характеристи-
2 3 3
ческое свойство конечной арифметической прогрессии, получим:
ai+ а8= а2+ а7 = аз+ ае = а4 + а5* Таким образом, а3+а6= 5—.
3
3

Пмива, 4
16.
При каких значениях х значения выражений 2х9 Зх+2,
5х+1, взятые в указанном порядке, образуют конечную
арифметическую прогрессию?
В соответствии с характеристическим свойством арифметической
прогрессии заданные выражения должны удовлетворять условию:
(
Поскольку 3#+2 = - -<^6*+4 = 7jt+l<^JC = 3, то при х = 3 зна-
2
чения данных выражений 6, 11, 16 образуют арифметическую
прогрессию, разность которой равна 5.
3.
17.
Укажите номера последовательностей, являющихся
конечными геометрическими прогрессиями:
Х) 4' -1' 7' -^ ZT 3) 5' 15' 45' 135
4 16 64
2) -2, 4, -16, -32 4) 3, -6, 18, 36
Первая и третья последовательности являются геометрическими
прогрессиями, так как отношение любого члена
последовательности, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно (для
первой последовательности q = —, а для третьей q = 3). Вторая и
4
четвёртая последовательности не являются геометрическими
прогрессиями, так как вышеуказанное отношение не постоянно.
1, 3.
12.
Найдите три положительных числа, которые следует
поместить между числами 2 и 10—, чтобы они вместе с данными
образовали геометрическую прогрессию.
Пусть q — знаменатель искомой геометрической прогрессии.
Тогда &1=2, b2=b1-q = 2q, b3=b2-q = 2q\ bA=bzq = 2q\ b5=b4-q = 2q\
С другой стороны, по условию &5 = 10—. Решаем уравнение:
8

Duu&a, 4
2 3
Значение q = — постороннее, так как
3 2
Г"?
все члены прогрессии — положительные числа. Подставляя зна-
Q
чение q = — в выражения для b29 b3, b4, найдём искомые числа:
= 2-2-3 6-2.(21=2 = 4!
1 2 ' 3 UJ 2 2'
ч 41 к3
3, 4-, 6?
27
S
Запишите формулу общего члена геометрической
прогрессии (Ьп)9 если Ьб=1б, 6^=60.
Ъ7 bxqb 2 _ &7 60
дем отношение -^- = -*—- = д . По условию — = — = 4. Следовательно,
Ьь &гд4 &5 15
Используя формулу /г-го члена геометрической прогрессии, най-
де
д2=4. Откуда q = 2 или д = -2. При q = 2 найдём Ьх из условия ЬЬ=1Ъ9
4 15
то есть &i*(2) =15. Откуда &х =—, а общий член геометрической
16
прогрессии равен: Ъп=Ъх qnl =—2пХ =1Ь 2А-2nl =1Ь2п\ При q = -2
16
аналогично получим: fy =—, 6n=15-(-2)n .
16
: &„=15-2"-5, Ъп =15(-2)""5.
Задала. Т.О.
Найдите сумму первых шести членов геометрической
прогрессии (&„), если &4=3-7з, 6^=27.
Чтобы найти сумму S6, надо знать первый член Ьх и знаменатель
q геометрической прогрессии. Поскольку bA=bxq39 b7=bxq6 составим
и решим систему уравнений:
L зТз
=27
Зл/3
=3л/3
<=>
0-27

Зная bt и q, найдём S6:
6 g1 Тз1 /31 (V)(/ )
При каких значениях л: значения выражений х9 2х9 х+29
взятые в указанном порядке, образуют конечную
геометрическую прогрессию?
В соответствии с характеристическим свойством
геометрической прогрессии заданные выражения должны
удовлетворять условию: (2л:) =х(х + 2). Решим полученное уравнение:
Г*=о,
2 При
х = —.
х = 0 значения данных выражений 0, 0, 2 не образуют геометри-
„2 „248
ческой прогрессии. При х = — значения данных выражении —, —, —
3 3 3 3
образуют конечную геометрическую прогрессию.
2
3#
гг.
Найдите произведение первых семи членов геометрической
прогрессии -й- >/2, 1, —, ... .
2
Из условия задачи следует, что bx=yf29 q=-j=. Используя второе
характеристическое свойство геометрической прогрессии (bn) и
формулу её /г-го члена, получим: b1b7=b2b6=b3bb=b?q6.
Тогда ^ЛЛЛЛЛЛ=(^ЛИ^ЛН*ьЛК=К-
128

4
23.
Градусные меры углов треугольника составляют
арифметическую прогрессию. Найдите второй член этой прогрессии.
ч- а19 а2, а3. Используя формулу п-то члена арифметической
прогрессии, запишем: а2=а1+ d; a3=a1+ 2d. Воспользуемся тем
фактом, что сумма углов треугольника равна 180°. Составим и
решим уравнение:
ах +а2+а3 = 180»^ +(o1+d) + (o1+2d) = 180 <>3a1+3d = 180»^ + d = 60.
60.
24.
Тело начинает движение и в первую секунду проходит
4,9 м, а в каждую следующую секунду — на 9,8 м больше,
чем в предыдущую. Какой путь пройдёт тело за 10 секунд?
ь.
Длины отрезков, проходимых телом каждую секунду, — это
члены конечной арифметической прогрессии (#п), где ах=4,9, (2 = 9,8.
Путь, пройденный телом, равен сумме ^ю всех десяти членов
этой прогрессии. Воспользуемся формулой Sn=— -п.
Получим: 510 = 2 4>9 + 9>8(10"1) .10 = (9,8 + 9,8.9) 5 = 490.
490 м.
Ежемесячная квартплата семьи Скворцовых составляет
2000 руб. За каждый просроченный день взимается пеня
в размере 0,1% квартплаты. Какую сумму должны будут
заплатить Скворцовы, если просрочат платёж на 10 дней?
Так как за каждый просроченный день сумма платежа будет
увеличиваться на одно и то же число, равное 0,1% от 2000 руб.,
то мы имеем дело с арифметической прогрессией и можем
применить формулу простых процентов, где А = 2000, р = 0,1, п = 10.
Получим: 2000-I1 + ——^1 = 2000 1,01 = 2020 руб. Таким образом,
ЮО )
Скворцовы заплатят 2020 руб.
2020 руб.

Плль&а, 4
2.6.
Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон
являются вершинами второго квадрата и т.д. Найдите сумму
площадей пяти таких квадратов.
Сторона первого квадрата равна 4. Используя теорему
Пифагора, найдём сторону второго квадрата: &2 = v22+22 = 2v2.
Аналогично найдём стороны следующих квадратов: Ь3=2,
b4 = v2, Ьь = 1. Используя формулу площади квадрата S = а2,
найдём площади пяти квадратов: ^=16, S2=S9 iS3=4, S4=2,
Sj=l. Последовательность 16, 8, 4, 2, 1 является конечной
геометрической прогрессией, первый член которой равен 16, знаме-
натель равен —, а сумма первых пяти членов S5=-
Са
31 см2.
Z7.
Цена пальто составляла 5000 руб. Какова стала цена этого
пальто после того, как она трижды снижалась на 10%?
Для решения задачи можем воспользоваться формулой
А- 1— , аналогичной формуле для вычисления сложных про-
у 100%у
центов. Действительно, уменьшение числа А на р% приводит к
новому значению: А- 1— L Уменьшение полученного значения
I 100%J 2
на р% приводит к значению: А- 1— 1— ° \ = А-\ 1 —
1, 100°/oJ^ 100%J I, 100%J
и т.д. Полученные значения являются членами геометрической
прогрессии, последний член которой А- 1— равен числу, по-
V 100%)
лученному из А, если его п раз последовательно уменьшать на р%.
Искомая цена пальто: A-fl—^-) =5000|l-—| = 3645 (руб.).
1^ 100%J 1, 100j
: 3645 руб.
гъо

5.1. Нсидоры
Наборы (ряды, базы) числовых данных получают в
результате социологических исследований, тестирований, опросов,
измерений каких-либо величин и т.д., то есть в результате
сбора информации в числовом виде.
. Наборами данных могут быть значения возраста
сотрудников компании и стажа их работы; результаты
тестирования, проведённого в школах; измерения температуры воздуха
в течение определённого времени.
Получ
блицы д;
г
к
енную информацию часто представляют в виде
анных.
Фамилия
Стаж работы
Асеева
2
Белов
37
Васина
5
Грибова
25
та-
Дымов
1
Объём набора данных (объём измерения) — это полное ко-
■ личество данных.
Некоторые значения в наборе данных могут быть
одинаковыми и повторяться несколько раз. Тогда говорят о
кратности значений.
j. В наборе значений возраста шести учащихся: 15, 16,
15, 17, 16, 15 значение 15 имеет кратность 3, значение 16 —
кратность 2, а значение 17 — кратность 1.
Сумма кратностей набора равна 6, то есть общему числу
учащихся (объёму данного набора).
Если в наборе данных некоторое значение встретилось ровно
■ k раз, то число k называют кратностью этого значения.
гзг

Пллл&а, S
Если сложить все кратности значений набора, то
получится объём набора.
Частотой значения называют
отношение её кратности к объёму
набора данных.
гг Кратность
Частота = —*-
Объём
Сумма частот различных значений набора равна 1.
Иногда частоту выражают
в процентах.
тт о/ Кратность -ЛЛО/
Частота^ % = —- 100%
Объём
В наборе значений: 15, 16, 15, 17, 16, 15, 13, 14,
15, 16, объём которого равен 10, значение 15 имеет кратность 4.
4
Тогда частота этого значения равна — = 0,4, или 0,4 100% = 40%.
В случае, когда набор данных содержит много
повторяющихся значений, составляют таблицу распределения данных
по кратностям и частотам.
pjp- Для набора значений: 15, 16, 15, 17, 16, 15, 13, 14, 15,
16 можно составить следующую таблицу распределения по частотам.
Значение
Кратность
Частота
Частота, %
13
1
0,1
10%
14
1
0,1
10%
15
4
0,4
40%
16
3
0,3
30%
17
1
0,1
10%
На основании такой таблицы можно построить график
распределения данных (по кратностям или частотам), который
называют также многоугольником, или полигоном. Кроме
графиков часто используют столбчатые и круговые диаграммы.
13 14 15 16 17
гъг

S.Z.
Ъамлшль
Наборы числовых данных обладают следующими
числовыми характеристиками.
Размах набора данных — это разность между максимальным
■ и минимальным значениями.
[ ^. В наборе значений возраста шести учащихся: 15, 16, ]
i 15, 17, 16, 15 — размах равен 17-15 = 2. i
Среднее значение набора данных х19 x2,
х3, ... , хп (среднее арифметическое, или
просто среднее) — это сумма всех
значений числового набора, делённая на
их количество:
хг+х2+х3+.
п
II 1) в наборе значений возраста шести учащихся: 15,
ла лк лп ла лк 15 + 16 + 15 + 17 + 16 + 15 „2
16, 15, 17, 16, 15 — среднее значение: = 15—, ■
о 3
то есть 15 лет и 8 месяцев;
2) для набора из пяти чисел: О, О, 0, 0, -10 среднее арифмети-
0 4 + (-10) о
ческое: - = -2.
5
Если известны кратности различных значений набора данных,
Значение
Кратность
К
К
К
...
...
*«
к
то, чтобы найти среднее, следует каждое
значение х умножить на его кратность k, сложить
полученные произведения и разделить на
объём набора данных, равный сумме кратностей:
рр. В наборе значений
возраста учащихся, заданном таблицей
распределения по кратностям:
Значение
Кратность
15
3
16
2
17
1
среднее значение:
15 3 + 16 2 + 17 1
3 + 2+1
133

f/wu&t 5"
Вместо кратностей для нахождения
среднего можно использовать частоты:
/j + х2 • /2 + • • • + хп
В наборе значений,
заданном таблицей распределения
по частотам:
среднее значение: 15 — + 16 — + 17 — =
о о л
Z о О
Значение
Частота
15
1
2
16
1
3
17
1
6
Мода — это значение, которое в наборе данных встречается
чаще всего.
Если набор данных задан таблицей распределения по
кратностям или частотам, то для определения моды следует
найти наибольшую величину в строке кратностей или частот
и указать соответствующее ей значение данных.
Значение
Кратность
15
3
16
2
17
1
1) в наборе значений возраста
учащихся, заданном таблицей
распределения по кратностям:
модой является число 15, поскольку ему соответствует
наибольшая кратность, равная 3;
2) для распределения данных по частотам
Значение
Частота
0
0,1
1
0,2
2
0,2
3
0,3
4
0,1
5
0,1
модой является значение 3, поскольку ему соответствует
наибольшая частота, равная 0,3.
Медиана — это значение набора данных, которое окажется
посередине, если этот набор упорядочить по возрастанию.
Если набор данных содержит чётное количество чисел, то
берут среднее арифметическое двух чисел, оказавшихся
посередине после упорядочивания.
\\,'. 1) набор чисел 3, 10, 15, 3, 10 после
упорядочивания: 3, 3, 10, 10, 15. Медиана — число 10, стоящее посередине;
2) для набора чисел: 3, 3, 4, 10, 10, 15 медиана равна = 7.
134

5.3. Be^AwMxycwui, cjiaj халмшас
Основными понятиями теории вероятностей являются
понятия испытания, исходов испытания, случайного события
и его вероятности.
Под испытанием понимают некое действие, выполнение
которого должно привести к одному из нескольких
возможных результатов, или исходов, но при этом заранее
неизвестно, к какому именно.
Г — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — -|
I rifXAJiiZjP. Испытание состоит в бросании игрального кубика, i
[ Исходом является выпадение грани с определённым числом точек. [
Случайным событием при выполнении испытания называют
■ наступление любого из исходов, отвечающих какому-либо
заранее заданному требованию или условию.
р При извлечении наугад одного шара из коробки
с чёрными и белыми шарами извлечение какого-то конкретного
шара — один из возможных исходов испытания, а извлечение
чёрного шара — случайное событие.
Если все исходы испытания равновозможны, то вероятностью
Р(А) случайного события А называется отношение числа
исходов, отвечающих условию события А, к общему числу
исходов испытания.
. При извлечении наугад шара из коробки с 7
чёрными и 3 белыми шарами вероятность извлечения чёрного шара:
7 + 3
= 0,7.
А следуешь
1 число N всех возможных исходов испытания;
Z число N(A) исходов, при которых наступает событие А;
3 отношение
N(A)
N
Р(А) =
N

. При бросании игрального кубика возможны 6
различных исходов, число исходов, при которых выпадает чётное число
точек, равно 3 (грани с 2, 4 и 6 точками), следовательно, веро-
Q
ятность выпадения грани с чётным числом точек равна — = 0,5.
6
Вероятность любого события заключена в пределах от 0
до 1: 0<Р(А)<1.
1 Вероятность элементарного события (события, которое
соответствует единственному исходу из N равновозможных)
1
равна —.
N
Я Вероятность невозможного события (события, которое не
наступает ни при каком исходе) равна 0.
3 Вероятность достоверного события (события, которое
наступает при любом исходе) равна 1.
. При бросании игрального кубика вероятность
выпадения грани с 5 точками равна —, грани с 11 точками равна 0,
6
а грани с числом точек, меньшим 10, равна 1.
4 Вероятность события, противоположного событию А
(события, заключающегося в том, что событие А не
наступает), равна 1-Р(А).
Если вероятность купить бракованный товар
равна 0,02, то вероятность купить этот же товар без брака равна
1-0,02 = 0,98.
5" Если известно, что событие А происходит с частотой —,
1 П
то его вероятность равна его частоте: Р(А) = —.
п
р Если при производстве деталей в среднем
выпускается 1 бракованная деталь на 50, то частота брака равна — и
50
вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется
бракованной, равна 0,02.
136

Условия, определяющие случайные события, часто имеют
достаточно сложную структуру. Как правило, такие события
можно охарактеризовать с помощью нескольких более
простых событий.
Произведением событий А и В называют событие А В,
состоящее в наступлении обоих этих событий.
Если события А и В независимы (они происходят в
разных испытаниях, и исход одного испытания не может
влиять на исход другого), то вероятность того, что наступят оба
этих события, равна Р(А)-Р(В). Другими словами,
вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей:
= Р(А)Р(В)
Событие А состоит в том, что при первом бросании
игрального кубика выпало 6 очков, а событие В — в том, что
при втором бросании игрального кубика выпало 6 очков. Тогда
произведение этих событий — это выпадение двух шестёрок при
двукратном бросании кубика. Поскольку результат одного
бросания не зависит от результата другого бросания, события А и В
независимы. Следовательно, вероятность выпадения двух
шестёрок подряд равна Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = —.
6 6 36
Суммой событий А и В называют событие А + В, состоящее
в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Если события А и В несовместны (они не могут
происходить одновременно), то вероятность того, что наступит хотя
бы одно из этих событий, равна Р(А) + Р(В). Другими
словами, вероятность суммы несовместных событий равна сумме
их вероятностей:

Плль&а, S
При стрельбе по мишени спортсмен с вероятностью
0,2 попадает в десятку, а с вероятностью 0,4 — в девятку. Для
одного выстрела попадание в десятку (событие А) и попадание в
девятку (событие Б) несовместны, поскольку не могут
произойти одновременно. Следовательно, вероятность набрать не менее
9 очков при одном выстреле (вероятность суммы событий А и В)
равна Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,2+0,4 = 0,6.
Существует класс задач, в которых требуется определить
вероятность случайного попадания точки в какую-либо часть
отрезка или плоской фигуры. В таких случаях говорят о
геометрической вероятности.
Вероятность того, что точка, случайным —• %«л««е^
образом выбранная на отрезке АВ, окажется
принадлежащей отрезку A1BV целиком
содержащемуся в отрезке АВ, равна отношению
длин этих отрезков:
Р =
АВ
В
На отрезке [0; 5] выбрано произвольное число.
Вероятность того, что оно удовлетворяет неравенству 2<л:<4, равна
отношению длины отрезка [2; 4] к длине отрезка [0; 5]: Р = —= 0,4.
5
Вероятность того, что точка, случайным образом
выбранная из фигуры F> окажется принадлежащей
фигуре F\ целиком содержащейся в
фигуре F, равна отношению площадей этих
фигур:
р Площадь поверхности Земли — 510 млн км2, суша
занимает площадь 150 млн км2. Вероятность того, что метеорит,
случайным образом падающий на Землю, упадёт на сушу, равна
150 = 5
510 17*
гъг

П/uufot S
1.
За решение задач математической олимпиады можно
получить от О до 10 баллов. Баллы, набранные 20 участниками
олимпиады, представлены в таблице.
Номер
участника
Полученный
балл
1
7
2
5
3
4
4
5
5
7
6
6
7
0
8
3
9
2
10
9
11
6
12
6
13
8
14
1
15
2
16
4
17
7
18
6
19
10
20
1
Заполните таблицу распределения результатов олимпиады
по кратностям и частотам.
0 баллов получил только один участник олимпиады под номером 7.
Следовательно, кратность балла 0 равна 1. Объём набора
результатов равен числу участников олимпиады, то есть 20. Частота
балла 0 равна отношению его кратности к объему: — = 0,05.
1 балл получили два участника, поэтому кратность балла 1 рав-
2
на 2, а частота: — = 0,1.
20
Аналогичным образом заполняются остальные клетки таблицы.
Балл
Кратность
Частота
0
1
0,05
1
2
0,1
2
2
0,1
3
1
0,05
4
2
0,1
5
2
0,1
6
4
0,2
7
3
0,15
8
1
0,05
9
1
0,05
10
1
0,05
Обратите внимание: сумма всех кратностей равна числу
участников олимпиады, а сумма частот равна 1.
И 1
40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
Уровень грамотности (%)
На диаграмме представлены
результаты исследования
уровня грамотности (в процентах)
в ряде стран. Сколько стран
участвовало в исследовании?
Чтобы узнать количество стран-
участниц, то есть объём
набора данных, нужно сложить все
кратности: 1 + 3 + 4 + 2 + 2 = 12.
12.
гъч

3.
Стаж работы семи служащих компании представлен в таблице.
Служащий
Стаж работы
1
7
2
17
3
19
4
11
5
22
6
8
7
14
Найдите разность между средним стажем работы служащих
компании и медианой этого набора данных.
Средний стаж работы служащих компании равен среднему
арифметическому заданного набора, состоящего из семи чисел:
7+17+19+11+22+8+14
_
Чтобы найти медиану заданного набора чисел, упорядочим их по
возрастанию: 7, 8, 11, 14, 17, 19, 22. Медианой является
число, стоящее в середине упорядоченного набора, то есть число 14.
Разность между средним стажем работы служащих компании и
медианой этого набора равна 14-14 = 0.
0.
4.
В 9 «А» и 9 «Б» классах проводили тестирование. Результаты
тестирования представлены в таблице.
Класс
9 «А»
9 «Б»
5 баллов
15 учащихся
5 учащихся
4 балла
9 учащихся
8 учащихся
3 балла
4 учащихся
13 учащихся
2 балла
2 учащихся
4 учащихся
Найдите разность между модами результатов тестирования
9 «А» и 9 «Б» классов.
Поскольку результаты тестирования по 5-балльной шкале
представлены в таблице по кратностям, то для определения моды
следует найти наибольшую величину в строке кратностей и
указать соответствующее ей значение данных. Для 9 «А» класса
наибольшая величина кратности, равная 15, соответствует 5
баллам. Следовательно, мода равна 5. Для 9 «Б» класса наибольшая
величина кратности, равная 13, соответствует 3 баллам. Поэтому
мода равна 3. Разность между модами результатов тестирования
9 «А» и 9 «Б» классов равна 5-3 = 2.
2.
140

Задали** S.
При игре в рулетку шарик может остановиться в любом из
секторов с числами от 0 до 36. Какова вероятность того,
что выигравшее число будет больше 30?
е~
Полное число возможных исходов при игре в рулетку совпадает
с количеством секторов, то есть с количеством целых чисел от 0
до 36. Таких чисел 37. Из них ровно 6 исходов (сектора с
числами 31, 32, 33, 34, 35, 36) удовлетворяют условию случайного
события «выигравшее число больше 30». Следовательно,
вероятность данного события равна —.
_6_
37*
Задала 6.
Прогнозы погоды не сбываются в 15% случаев. Какова
вероятность того, что прогноз погоды на завтра окажется верным?
се»
Поскольку прогнозы погоды не сбываются в 15% случаев, то
есть в 15 случаях из 100, частота ошибочных прогнозов равна
, а вероятность того, что какой-то прогноз не сбудется, рав-
100
на 0,15. Вероятность того, что прогноз на завтра сбудется, есть
вероятность противоположного события, следовательно, она равна
1-0,15 = 0,85.
0,85.
Задала 7
Случайным образом выбирают одно из решений
неравенства |х-1|^2. Какова вероятность того, что оно является и
решением неравенства
ь.
Решением неравенства |*-1|<2 служит отрезок [-1; 3], длина
которого равна 4, а решением неравенства |*|<0,5 служит отрезок
[-0,5; 0,5], длина которого равна 1. Следовательно, искомая
вероятность Р = —= 0,25.
4
0,25.

Введение
Глава 1. Рациональные неравенства и их системы
1.1. Числовые множества и числовые неравенства 4
1.2. Сравнение величин 6
1.3. Рациональные неравенства с одной переменной 7
1.4. Решения системы и совокупности неравенств 10
1.5. Линейные неравенства, содержащие модуль 11
1.6. Квадратные неравенства 13
1.7 Нестрогие квадратные неравенства 15
1.8. Линейные неравенства с параметром 16
1.9 Квадратные неравенства с параметром 18
1.10. Метод интервалов 20
Примеры решения задач 22
Глава 2. Системы уравнений
2..1. Рациональные уравнения с двумя переменными 32
2.2. Решение систем уравнений. Метод подстановки 35
2.З. Решение систем уравнений. Метод алгебраического
сложения; Метод разложения на множители 37
2.4. Решение систем уравнений. Метод введения новых
переменных 38
2.5. Решение систем уравнений. Симметрические системы
уравнений 40
2.6. Решение систем уравнений. Графический метод 42
2.7. Решение текстовых задач. Задачи на работу 44
2.8. Решение текстовых задач. Задачи на движение 45
2.9. Решение текстовых задач. Задачи на проценты 47
Примеры решения задач 49
Глава 3. Числовые функции
3.1. Функции и способы их задания 60
З.2. Область определения функции 61
3.3. Область значений функции 63
3.4. Чётные и нечётные функции 65
3.5. Ограниченность функции 66
3.6. Возрастание и убывание функции 68
3.7. Промежутки сохранения знака функции. Наибольшее
и наименьшее значения 69
142

3.8. Линейная функция 71
З.9. Квадратичная функция 73
З.10. Свойства квадратичной функции 74
3.11. Степенные функции у = хп 76
k
3.12. Функции у = — и у = х~п 77
х
3.13. Функции у = у[х и I/ = у[х 79
3.14. Функция у = \х\. Кусочно-заданные функции 80
3.15. Преобразования графиков функций 82
Примеры решения задач 85
Глава 4. Прогрессии
4.1. Определение числовой последовательности 101
4.2. Свойства числовых последовательностей 102
4.3. Арифметическая прогрессия. Основные понятия 104
4.4. Общий член арифметической прогрессии 106
4.5. Сумма первых п членов арифметической прогрессии 107
4.6. Характеристические свойства арифметической прогрессии . .109
4.7 Геометрическая прогрессия. Основные понятия 111
4.8. Общий член геометрической прогрессии 113
4.9. Сумма первых п членов геометрической прогрессии 114
4.10. Характеристические свойства геометрической прогрессии . .115
4.11. Решение задач с использованием свойств арифметической
прогрессии 117
4.12. Решение задач с использованием свойств геометрической
прогрессии 118
Примеры решения задач 121
Глава 5. Элементы статистики и теории
вероятностей
5.1. Наборы данных. Кратность и частота 131
5.2. Основные характеристики наборов данных 133
5.3. Вероятности случайных событий 135
Примеры решения задач 140
143
Глава 4. Прогрессии

Серия «Краткий курс»
Шевелева Наталья Васильевна
Корешкова Татьяна Александровна
Мирошин Владимир Васильевич
и,
9 класс
Издание для дополнительного образования
Главный редактор И.Е. Федосова
Ответственный редактор Е.Ю. Мишняева
Редактор О.В. Чеснокова
Художественный редактор МЛ. Левыкин
Иллюстрации НЛ. Кротов
Компьютерная вёрстка С.Н. Терентьева
Технические редакторы А.С. Колесникова, В.Ю. Фотиева
Корректор Н.В.Багрова
ООО «Национальное образование»
119021, Москва, ул. Россолимо, д. 17, стр. 1, тел. (495) 788-0075(76)
Свои пожелания и предложения по качеству и содержанию книг
Вы можете сообщить по эл. адресу editorial@n-obr.ru
Подписано в печать 15 01.2011. Формат 70x90/16.
Уел печ л 10,53 Печать офсетная Бумага типографская
Тираж 10 000 экз Заказ № 4976
Отпечатано с готовых диапозитивов
в 000 «Полиграфиздат»
144003, г. Электросталь, Московская область, ул. Тевосяна, д. 25

Пособия для эффективного обучения,
повторения материала в течение учебного года
и при подготовке к экзамену
В серии выходят пособия:
Русский язык. 9 класс
Математика. 9 класс
Обществознание. 9 класс
История России. 9 класс
Биология. 9 класс
Химия. 8-9 классы
Физика. 9 класс
География. 8-9 классы
НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
Вы г
обратившись по тел. (495) 988-96-68 или 8 (965) 186-20-09;
адрес в Интернете: www.readmarket.ru