В.И. ЖДАНОВ
АВТОКОЛЕБАНИЯ
В ЖИДКОСТНЫХ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ФОРСУНКАХ
Москва
Издательство МАИ-ПРИНТ
2007

ББК 22.253.3
Ж 42
w 42 Жданов В.И.
Автоколебания в жидкостных центробежных
форсунках. — М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2007. — 204 с: ил.
ISBN 978-5-7035-1919-6
Рассмотрены условия возникновения автоколебательных
режимов работы жидкостных центробежных форсунок.
Приведены результаты теоретических и экспериментальных
исследований нестационарных течений в жидкостных
центробежных форсунках.
Наряду с исследованиями линеаризованной системы
уравнений, описывающей нестационарное течение жидкости в
центробежной форсунке и позволяющей проанализировать
систему в плане устойчивости, учет нелинейных членов в
уравнениях, присущих этому классу форсунок, позволил оценить
значения амплитуды колебаний расхода и давления на
автоколебательных режимах течения.
С помощью вариационного метода показываются
условия и правомерность использования принципа
максимального расхода, наряду с использованием уравнения количества
движения, при расчете параметров жидкостных
центробежных форсунок.
Предназначена для инженеров и специалистов,
работающих в сфере гидравлики и гидродинамики.
Рецензент:
д-р техн. наук, проф. В.Я. Ниязов
ISBN 978-5-7035-1919-6 © Московский авиационный институт
(государственный технический
университет), 2007
© Жданов В.И., 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
1. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГИДРОДИНАМИКИ 11
1.1. Некоторые основные вариационные методы
гидродинамики 11
1.2. Вариационный метод для уравнений состояния
(квадратичный гидродинамический функционал) 27
1.3. Некоторые методы решения нелинейных
уравнений 31
2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ
В ЖИДКОСТНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ФОРСУНКАХ 42
2.1. Принцип максимального расхода и его связь с
уравнением количества движения 42
2.2. Принцип максимального расхода как формы
вариационной постановки задачи гидродинамики 62
3. ДИНАМИКА ЖИДКОСТНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ
ФОРСУНОК 72
3.1. Нестационарное течение жидкости с
распределенными параметрами по длине центробежной
форсунки при гармонических воздействиях 72
3.2. Нестационарное течение жидкости при
квазистационарной зависимости параметров по длине
форсунки 114
4. МЕХАНИЗМЫ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЖИДКОСТНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ
ФОРСУНКАХ 139
4.1. Автоколебания в форсунках с короткой
камерой закручивания 139
4.2. Механизм колебаний с наложением
поверхностных волн и волн циркуляции 147
3

4.3. Автоколебания в двухступенчатой
центробежной форсунке 150
4.4. Механизм автоколебаний, связанный с
замещением воздушного вихря жидкостным 162
4.5. Кавитационные автоколебания в жидкостных
центробежных форсунках 173
5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА
ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ТЕЧЕНИЯ ЖИД-
КОСТИ С ЦЕНТРОБЕЖНЫМИ ФОРСУНКАМИ 183
5.1. Вариационный метод расчета параметров
жидкостных центробежных форсунок 183
5.2. Решение системы уравнений нестационарного
течения жидкости с двухступенчатой центробежной
форсункой 190
5.3. Использование вариационного метода для
определения частоты и амплитуды колебаний при
совместной работе жидкостной центробежной
форсунки с системой подачи 193
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 199

ПРЕДИСЛОВИЕ
Жидкостные центробежные форсунки наряду со струйными
жидкостными форсунками находят широкое применение и
практически невозможно перечислить области, в которых бы они не
использовались. Форсунки, в основном, используются как
средство для распыления жидкости и работают совместно с системой
подачи жидкости. В том случае, если система подачи жидкости
устойчива, т. е. в ней не возникают автоколебания давления
жидкости в трубопроводах, то, как правило, добавление форсунок
также не приводит к потере устойчивости системы. В отношении
струйной форсунки это утверждение справедливо в полной мере, а
что касается жидкостной центробежной форсунки, при
определенных конструктивных и режимных ее параметрах, может
возникнуть пульсирующее, колебательное течение жидкости как в
системе питания так и в самой форсунке. Но при замене данной
центробежной форсунки другой центробежной форсункой подобной
конструкции, имеющей такие же стационарные расходные
параметры, но с другими динамическими характеристиками, или
струйной форсункой с таким же расходом колебания давления не
возникнут.
Весьма интересным является использование
автоколебательного режима работы топливных форсунок для реализации условий
вибрационного горения. При этом появляется возможность
осуществить нестационарный процесс горения с сопровождающими его
положительными факторами для снижения уровня выделения
вредных продуктов горения и уменьшения габаритов
энергетической установки с одновременным уменьшением акустических
колебаний в зоне горения.
Жидкостные форсунки, работающие в автоколебательном
режиме, позволяют создавать пульсирующую скоростную струю для
усиления воздействия на преграду. Становится возможным
практически осуществлять эжектирование жидкостного потока в пуль-

сирующем режиме, что значительно повышает коэффициент
эжекции.
Так как в центробежных форсунках динамика течения
жидкости носит специфический характер, удалось создать
специальные разновидности конструкций жидкостных центробежных
форсунок, работающих в качестве генераторов колебаний расхода и
давления. Эти генераторы работают надежно, так как не имеют
подвижных частей, и с их помощью возможно получать
амплитуды колебания, превосходящие стационарные значения перепада
давления и расхода [21].
Изучение характеристик таких специальных центробежных
форсунок не входит в задачи данной публикации. В данной
публикации рассматриваются условия возникновения автоколебаний
давления и расхода жидкости в обычных центробежных форсунках,
которые используются для распыления жидкостей.
Первоначально интерес к изучению динамических свойств
жидкостных центробежных форсунок возник из-за проблемы борьбы с
частотной неустойчивостью в камере сгорания жидкостных ракетных
двигателей. Исследователям пришлось обратиться к изучению не
только стационарных параметров центробежных форсунок, но и их
динамических характеристик.
В трудах A.M. Прахова [39, 40] исследовалась работа
центробежной форсунки как объекта регулирования. Показано влияние
условий течения жидкости на характеристики форсунки. В
частности, им была теоретически обоснована и экспериментально
установлена возможность возникновения в центробежных форсунках
стоячих волн. Теоретическое исследование динамических
характеристик закрытых центробежных форсунок при течении идеальной
жидкости в линейном приближении было проведено В.Б.Тиняко-
вым. Он анализировал работу центробежной форсунки на
динамическом режиме как при постоянном давлении в системе подачи
жидкости, так и с учетом податливости предфорсуночной полости
и впервые представил передаточную функцию идеализированной
центробежной форсунки. Было установлено, что при наличии
колебаний давления жидкости в предфорсуночной полости, на
выходе из центробежных форсунок различных типов возникают
интенсивные колебания расхода, угла конусности и других параметров
в факеле распыла.
Динамику жидкостных центробежных форсунок исследовал
С.С. Григорьев, который предложил учитывать в расчетах влия-

ние вязкостных потерь на передаточную функцию жидкостной
центробежной форсунки. Полученная им передаточная функция
отражает важные физические особенности нестационарного
течения жидкости в центробежной форсунке и удобна для
практического использования [6].
Значительный вклад в изучение динамики жидкостных
центробежных форсунок внес В.Г. Базаров [6, 9, 34]. Полученные им
теоретические и экспериментальные результаты позволяют
проводить динамический расчет жидкостной центробежной форсунки,
необходимый для обеспечения устойчивой работы двигателя в
целом. На основе анализа течения жидкости в камере
закручивания центробежной форсунки им предложен жидкостный
центробежный демпфер, предназначенный для гашения колебаний
расхода жидкости в трубопроводах.
Изучение нестационарных процессов в жидкостной
центробежной форсунке в линейной постановке задачи позволило
построить передаточную функцию изменения основных ее параметров и
показало возможность возникновения неустойчивости течения
жидкости в трубопроводах, снабженных жидкостными
центробежными форсунками.
Так, при исследовании двухступенчатых жидкостных
центробежных форсунок было обнаружено, что они способны возбуждать
в магистрали колебания давления и расхода жидкости [10, 21].
Двухступенчатая центробежная форсунка представляет собой
жидкостную центробежную форсунку с двумя поясами
тангенциальных каналов, один из которых напорный, а второй
подсоединен к магистрали, в которой дросселируется расход. В этой второй
магистрали форсунки возникают автоколебания давления и
расхода жидкости. Подобные колебания возникают и в обычной
жидкостной центробежной форсунке, если подсоединить к периферии
камеры закручивания магистраль, имеющую податливость.
Способность генерировать колебания расхода и давления
жидкости обычными центробежными форсунками показана в работах
Е.Ю. Марчукова [5, 32, 33]. Он теоретически и экспериментально
показал связь между динамическими характеристиками форсунки
и областью неустойчивости системы подачи. Хорошее
согласование результатов расчета с экспериментальными данными
убедительно подтверждает физическую модель явления, основанную на
усилительных свойствах волн циркуляции в камере закручивания
центробежной форсунки.

В работах Ю.А. Кныша и 0.10. Кныша [25—29] описан
автоколебательный процесс в жидкостных центробежных форсунках,
связанный с периодическим замещением воздушного вихря в
камере закручивания жидкостным вихрем. Данный процесс
наблюдается в центробежных форсунках со значением геометрической
характеристики А < 1. Этот автоколебательный процесс успешно
используется в медицине при создании пульсирующих массажеров.
Представляют также практический интерес кавитационные
автоколебания давления жидкости в центробежных форсунках,
возникающие в камере закручивания и улучшающие мелкость
распыления капель жидкости.
За рубежом проблеме нестационарной работы жидкостных
центробежных форсунок не уделялось должного внимания. Вплоть до
последнего времени не было публикаций даже по особенностям
стационарного течения жидкости в центробежных форсунках и
методам их расчета. Материал по расчету параметров жидкостной
центробежной форсунки, появившийся в работе [50] , во многом
позаимствован из советского издания [15]. Авторы не затронули
многих вопросов по особенностям течения жидкости в
центробежных форсунках, даже не упомянули об основополагающих ранних
работах по теории течения жидкости в центробежной форсунке
своего соотечественника [51, 52] .
Физическому и математическому анализу автоколебательных
процессов, происходящих в жидкостных центробежных
форсунках, посвящено много работ, начиная с фундаментальных [4, 31].
Основателем теории колебаний как общей физической теории
является Л.И. Мандельштам. Он определил предмет теории, ее задачи,
дал основные подходы к исследованию колебаний, указал общие
пути решения многих важных задач о колебаниях в физических
системах. Идеи Л.И. Мандельштама развил академик А.А.
Андронов, который ввел термин "автоколебания".
При изучении автоколебательного процесса предпринимаются
попытки составить основные его звенья: в первую очередь
выявить источник энергии и определить механизм положительной
обратной связи. Во многих случаях удается найти звенья
автоколебательного процесса и параметры автоколебания.
Однако в ряде случаев задача усложнена, и эти звенья не всегда
легко найти. Если существует несколько возможных вариантов
протекания автоколебательного процесса, то решение возможно
найти, только представив задачу в вариационной форме. Примером
8

может служить гипотеза Б.В. Раушенбаха о максимуме
акустической энергии [43]. Используя эту гипотезу, можно из множества
возможных решений найти единственное, которое соответствует
действительному. Вариационной формой постановки задачи
является принцип максимального расхода, применяемый для расчета
коэффициента расхода жидкости центробежных форсунок и впервые
предложенный Г.Н. Абрамовичем [1, 2]. В данном случае для
стационарного течения жидкости ищется решение, соответствующее
максимуму расхода при заданных параметрах форсунки.
В книге предлагается вариационный принцип
гидродинамики, обобщающий принцип минимального принуждения Гаусса на
задачи механики сплошной среды. Этот принцип используется
для расчета параметров автоколебаний в системе подачи
жидкостной центробежной форсункой, а также при выводе принципа
максимального расхода.
Основной задачей данной работы является описание
механизмов, вызывающих автоколебательный режим течения жидкости в
центробежных форсунках. Показано влияние различных
параметров форсунки на ее динамику. Доказано, что основной причиной,
приводящей к пульсирующему режиму течения, является процесс
распространения волны циркуляции по тракту форсунки
усиливающий свойства жидкостного вихря в камере закручивания. Их
описание и составляет основное содержание книги.
В первой главе рассматриваются различные методы
вариационной постановки задач гидродинамики. Рассматриваются не все
известные методы, а лишь те, которые ближе всего подходят к
предложенному вариационному методу. Здесь же
рассматриваются некоторые математические методы решения нелинейных
уравнений типа Ван-дер-Поля.
Вторая глава книги посвящена основным стационарным
соотношениям для жидкостных центробежных форсунок и выявлению
взаимосвязи между уравнением количества движения и
принципом максимального расхода. Благодаря вариационному методу,
доказаны условия правомерности использования принципа
максимального расхода при расчете коэффициента расхода жидкостной
центробежной форсунки.
В третьей главе рассматриваются динамические
характеристики жидкостных центробежных форсунок в линейной постановке.
На основе анализа линеаризованной системы уравнений движения
приведены передаточные функции для жидкостной центробежной

форсунки с длинной и короткой камерами закручивания. Линейная
постановка задачи нестационарного течения в центробежных
форсунках позволила выявить основные факторы, влияющие на потерю
устойчивости течения, и показать физическую картину,
приводящую к автоколебательному режиму истечения.
В четвертой главе теоретически и экспериментально описаны
механизмы автоколебательных режимов в жидкостных
центробежных форсунках. Описаны пять механизмов, которые приводят
к возникновению автоколебательных режимов течения в
центробежных форсунках.
Пятая глава посвящена использованию вариационного метода
(минимум квадратичного гидродинамического функционала) для
определения амплитуды и частоты автоколебаний при работе
жидкостной центробежной форсунки с системой подачи.

1. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ГИДРОДИНАМИКИ
Вариационные методы основаны на той идее, что явления,
которые мы наблюдаем, обладают некоторыми экстремальными
свойствами и основные общие принципы имеют вариационный
характер, т.е. утверждают, что в реально осуществляющихся
процессах некоторые величины достигают своего максимального или
минимального значения.
1.1. Некоторые основные вариационные
методы гидродинамики
Вариационные методы широко используются в динамике
жидкости [11, 38, 48].
Положение динамической системы считается известным, если
известны координаты каждой точки этой системы или если их
можно определить по каким-либо другим известным величинам.
Пусть положение динамической системы определяется некоторым
числом обобщенных координат g^,^»***»^' Если радиус-вектор х
каждой материальной точки системы задан явно с помощью
соотношения вида
x?=*?(gl,.~,gN,*?0), (1.1)
где xQ — радиус-вектор этой материальной точки в начальный
момент времени, то говорят, что система является голономной.
Обобщенные координаты как функции времени g(t) для
голономной системы можно определить из системы уравнений Лагран-
жа второго порядка:
AgL-lL^Q к = 1.2,...,* (1.2)
dt dg dg K
11

с начальными условиями для gt в начальный момент времени.
Здесь Т — кинетическая энергия механической системы —
является функцией скоростей gv Обобщенные внешние силы QK, дейст-
вужющие на систему, можно определить через работу 8А,
совершаемую над системой внешними силами на виртуальном
перемещении системы, которое задается независимыми вариациями 8^:
N
к=1
Системе уравнений (1.2) можно придать следующую
вариационную формулировку (вариационное уравнение Гамильтона):
Ч
(1.4)
причем при варьировании кинетической энергией на
произвольные вариации следует наложить условия на концах временного
отрезка:
O, * = 1,...,JV. (1.5)
Пусть внешние силы имеют потенциал Q = - ^ Тогда диф-
йГк
ференциальная форма (1.2) является полным дифференциалом
потенциальной энергии П. В этом случае из (1.2) вытекает принцип
Гамильтона—Остроградского: действительное движение системы
между ее двумя заданными положениями отличается от
кинематически возможных движений, совершаемых за тот же
промежуток времени, тем, что для действительного движения вариация
действия по Гамильтону равна нулю, т.е.
h
bdt = O, L = T-n. (1.6)
«i
Уравнения Лагранжа (1.2), вариационное уравнение
Гамильтона (1.4) и принцип Гамильтона—Остроградского составляют
основу аналитической механики.
12

Впервые к жидкости вариационное уравнение Гамильтона
было применено Томсоном и Тетом (1867) для решения задачи
движения твердого тела в жидкости. В качестве обобщенных
координат были выбраны шесть координат, определяющих положение
твердого тела, что позволило написать общие уравнения
движения, аналогичные уравнениям движения твердого тела.
Кирхгоф (1869) обратил внимание на то, что при bg^t^ = 5^(£2)
лагранжево перемещение частицы жидкости в момент времени £2
нельзя считать равным нулю, т.е. жидкость не голономна.
Поэтому распространять принцип Гамильтона на эту систему без
доказательства нельзя. Кирхгоф дал убедительное обоснование
вариационного уравнения Гамильтона для жидкости, исходя
непосредственно из уравнений движения жидкости.
С формальной точки зрения принцип стационарного действия
по Гамильтону в форме (1.4) совпадает с задачей вариационного
исчисления. Однако, имея внешнее сходство, они различаются по
существу: в механике под символом понимают виртуальную
вариацию, т.е. не произвольное бесконечно малое изменение, а
смещение, совместимое со связями, наложенными на систему. Отсюда
следует, что лишь для голономной системы виртуальные
вариации являются произвольными, и принцип стационарного
действия (1.6) полностью совпадает с соответствующей задачей
вариационного исчисления [14, 38].
Вследствие этого при приложении общих теорем
аналитической механики возникают особые трудности, из которых наиболее
существенной является невозможность применения уравнений Лаг-
ранжа, если при преобразовании выражения кинетической энергии
Т приходится принимать в расчет неголономные связи. В этом
случае невозможно охарактеризовать систему одной только
функцией Т [7].
Уравнение движения можно получить путем нахождения
минимума функции второй степени. Если составить функцию
(1.7)
где S=-rY mi(&i) — энергия ускорений, содержащая величину
п
gi во второй степени, то уравнение движения можно написать
таким образом:
13

М » в, * ,,, * e..O. (1.8,
Bgt dgx dg2 dgn
Эти уравнения называются уравнениями Апеля. Так как
значения gt определяют ускорения, то можно истолковать этот
результат, говоря, что значения ускорений в каждой момент обращают R в
минимум. Эти уравнения являются следствием принципа
наименьшего принуждения Гаусса [18]. Действительные ускорения giy
i = 1,..., л системы материальных точек с идеальными связями
составляют минимум принуждению по Гауссу:
п 2
=min-
Точно так же, как основные уравнения механики выводятся
из известных вариационных принципов, основные уравнения
термодинамики можно вывести из вариационного принципа, впервые
сформулированного Л. Онсагером и названного принципом
наименьшего рассеяния энергии [22].
Одним из основных принципов линейной термодинамики
является принцип минимума производства энтропии,
установленный И. Пригожиным [20]. Различают три принципа
термодинамических систем по их взаимосвязи с окружающей средой:
изолированные, закрытые и открытые.
По определению, изолированной системой называется
система, не обменивающаяся с окружающей ее средой ни веществом,
ни энергией. Закрытые системы могут обмениваться с внешней
средой через границы энергией путем теплопередачи или совершения
механической работы. Открытые системы характеризуются тем,
что могут обмениваться со средой как энергией, так и веществом.
Классическая термодинамика имеет дело со стационарными
(или квазистационарными) изолированными или закрытыми
системами, находящимися в полном термодинамическом равновесии,
с однородными по всему их объему параметрами. Соотношения
классической термодинамики применимы для любого объема
равновесной системы. Открытые системы не могут быть однородными
по всему объему, они являются макроскопически
неравновесными, однако соотношения равновесной термодинамики применимы,
14

по предположению, к малым элементам сплошной неравновесной
системы, содержащим большое число частиц (гипотеза локального
термодинамического равновесия).
Соотношения равновесной термодинамики, применяемые для
локальных величин, позволяют замкнуть систему уравнений
термодинамики.
Предположение о локальном термодинамическом равновесии
не противоречит тому факту, что система в целом неравновесна.
Локальное равновесие предполагает присутствие в элементарном
объеме, рассматриваемом в термодинамике, большого числа
частиц, в результате столкновений которых достаточно быстро
ликвидируются всякие отклонения от равновесия в этом объеме.
Очевидно, предположение локального равновесия будет
несправедливым для сильно разреженных газов, где становятся
несправедливыми и сами уравнения среды.
В дальнейшем мы будем обращаться к вариационной
трактовке уравнений баланса, в частности баланса энтропии. Уравнение
баланса энтропии для единицы объема системы приводится к ви-
ДУ[8]
|- (pS) = a(S) - Vx, (1.10)
ot
где S — энтропия единицы массы; c(S) — площадь источника
энтропии (производство энтропии); % — плотность потока энтропии
через границы системы.
Плотность источника энтропии, связанного с необратимыми
процессами, можно представить суммой членов, каждый из
которых есть произведение двух величин: обобщенной скорости /а,
характеризующей необратимый процесс, и обобщенной
термодинамической силы Ха, связанной с неоднородностью системы или с
отклонениями некоторой внутренней переменной состояния от ее
равновесного значения. Плотность источника энтропии можно
представить в виде
c(S) = £ Ха/а> 0. (1.11)
При интегрировании по объему получается выражение,
определяющее интенсивность источника энтропии (производство
энтропии) для всей системы:
15

. (1.12)
Этот источник энтропии внутри системы обусловлен диссипа-
тивными процессами в ней. В равновесии как поток, так и силы
исчезают: /а = 0 и X = 0.
Для стационарных состояний, близких к равновесию,
естественно принять линейную связь между 1а и Ха:
7<х = X LapX|3 (a>P = 1,2,...,л). (1.13)
Р
Входящие в эти соотношения (линейные законы Онсагера)
коэффициенты Lan называются феноменологическими.
Диагональные коэффициенты матрицы (1.13) есть собственные
коэффициенты (соответствующие коэффициентам теплопроводности,
электропроводности и т.д.). Коэффициенты Lao (a Ф Р) — коэффициенты
взаимности, характеризующие взаимосвязь необратимых
процессов а и р. По теореме Л. Онсагера коэффициенты взаимности
одинаковы, т.е. матрица коэффициентов симметрична:
Теория стационарных процессов в системах, находящихся
вблизи термодинамического равновесия, составляет предмет линейной
термодинамики необратимых процессов. Одним из основных
принципов линейной термодинамики является принцип минимума
производства энтропии, который можно выразить утверждением, что
в стационарном состоянии, совместимым с внешними
ограничениями, производство энтропии в системе минимально, если
выполняются линейные законы Онсагера, соотношения взаимности
феноменогических коэффициентов и сами коэффициенты
постоянны. И. Дьярмати в работе [22] использует альтернативные формы
выражений (1.13), куда вместо коэффициентов проводимости Lag
входят коэффициенты сопротивления Raa- Вводя матрицу
сопротивлений Ran, обратную матрице Lag, получаем
L L
I Lam^ = I КатЫ = 5а,р (а,р = 1,2,...,L), (1.15)
771=1 771=1
где 8а q — символ Кронекера.
16

Тогда вместо выражения (1.13) имеем
/
Ха = £Дар7р (CC,P = 1,2,...,L), (1.16)
Р=1
Ясф = Яра (a,(5 = l,2,...,L). (1.17)
Тогда выражение (1.11) примет вид
И. Дьярмати вводит однородные квадратичные формы,
локальные аналоги функций рассеяния, впервые введенные Ре леем
и Онсагером, и называет их локальными потенциалами
рассеяния:
= \ X Д«рХаХр > 0, (1.19)
а,р=1
а,р=1
Если справедливы конститутивные линейные уравнения, эти
функции равны половине производства энтропии. Следовательно,
\|/ и Ф, подобно а, являются локальной мерой неравновесности и
отличаются друг от друга лишь способом описания неравновесного
состояния. Действительно, \|/(Х,х) зависит от сил, которые
определяют само неравновесное состояние, а Ф(/,0 является функцией
потоков (обобщенных скоростей) и характеризует параметры
состояния.
И. Дьярмати предложил универсальный принцип локального
экстремума:
o(S) - (\|/ + Ф) = шах. (1.21)
И. Пригожий на основании принципа наименьшего
производства энтропии пришел к заключению, что гауссов принцип
наименьшего принуждения с соответствующими изменениями
справедлив и в термодинамике. Это предложение стимулировало раз-
17

работку представлений принципа Онсагера через потоки и через
силы, предпринятую И. Дьярмати, который показал [22], что для
неравновесных процессов, описываемых линейной теорией
Онсагера, выполняется следующее условие:
1 ( X f
1
Этот экстремальный принцип, точно так же, как принцип
наименьшего принуждения Гаусса, аналогичен принципу
наименьших квадратов (т.е. в него входят квадраты разности двух величин).
Величину С можно рассматривать, исходя из аналогии с
принципом Гаусса как "принуждение" или, точнее, как "локальное
принуждение". Сравнение с принципом Гаусса показывает, что в
термодинамике роль инертных масс играют сопротивления.
Исходя из принципа наименьшего рассеяния было получено уравнение
теплопроводности Фурье в различных представлениях. С
помощью этого метода для случая многокомпонентной изотермической
диффузии и вязкого течения получены уравнения Фика и
уравнение Навье—Стокса в общем виде [22].
Вариационный подход к проблеме решения уравнений баланса
заключается в том, что дифференциальные уравнения баланса
рассматриваются как уравнения Эйлера—Лагранжа для некоторого
вариационного интеграла. Одним из таких подходов является
концепция локального потенциала [20, 47]. Уравнение движения
можно записать в виде [7]
dwi
где wt (i - 1,2,3) — составляющая средней скорости масса; ра —
плотность вещества; Ft — сила на единицу массы, действующая на
компонент а; П.- — составляющая тензора напряжений.
Это уравнение записано в системе прямоугольных декартовых
координат. Производная по времени в последнем уравнении
явления субстанциальной производной
18

Уравнение баланса массы молено записать в виде
dpa dwL dlf *
где j?- — i-я составляющая молекулярного диффузионного потока
вещества а относительно средней массовой скорости; Ма —
молекулярный вес; vao — стехиометрический коэффициент
компонента а в реакции Р; R — полное число одновременно протекающих
химических реакций; kn — скорость реакций (3, выраженная в
молях на единицу времени в единице объема.
Коэффициент vao положителен, если вещество а образуется в
реакции. Так как в химической реакции масса сохраняется, имеем
N
XMavap = 0. (1.26)
сс=1
Суммируя в последнем уравнении все N компонентов,
получаем уравнение неразрывности (общий баланс массы):
do dwt
""; (
Так как составляющие молекулярного диффузионного потока
N
1^ = 0 (1.28)
ос=1
N
о=1
тогда уравнение (1.27) легко выводится из определения
(1.30)
в котором wf — i-я составляющая средней локальной скорости
молекул вещества а.
19

Баланс внутренней энергии можно выразить в различных
формах. Для наших целей, в частности, можно использовать
следующее выражение:
N
1 1 се=1
где и — внутренняя энергия на единицу массы; gx — тепловой
поток; П-- — составляющая тензора напряжений.
Задача, которая рассматривается, состоит в том, чтобы
получить общий критерий, описывающий стационарное состояние
некоторой непрерывной системы.
Предположим, что граничные условия не зависят от времени. Ум-
Э Ма
ножим уравнения (1.23), (1.27), (1.31) соответственно на --г——,
ot 1
\ dw dw I
- тр? — и — —, предварительно представив левые части этих урав-
* ot ot 1
нений по форме (1.24), перенеся вторые члены в правую часть,
введем функцию
п dw; dw^ ^_ Л Мп Эр™ дт Лгш
1 ot at *** ot I dt dt dt
Величина \|/ не положительна (меньше или равна нулю).
Далее определяется некоторая функция
ydV (1.33)
v
как свойство системы, которая также не может быть
положительной. Функция ф стремится к нулю по мере того, как система
переходит в стационарное состояние. Вблизи стационарного состояния
определяется локальный потенциал Е* так, чтобы
ф = ^-<0. (1.34)
Стационарное состояние задачи определяется из условия
минимума Е*.
Однако, к сожалению, данный вариационный метод
неприменим для решения нестационарных задач [48].
20

Весьма важным для практического применения в области
вибрационного горения является вариационный принцип,
предложенный Б.В. Раушенбахом в виде гипотезы о максимуме
акустической энергии [43, 3]. Неустойчивый режим горения с
изменяющимися во времени динамическими характеристиками процесса,
имеющими периодическую составляющую, называется
вибрационным или пульсационным. Переход от стационарного горения к
вибрационному ведет к снижению расхода топлива и вредного
выброса в окружающую среду позволяет повысить
производительность труда, усовершенствовать ряд процессов в теплотехнике,
значительно уменьшить габаритные размеры энергетических
установок. К числу недостатков вибрационного горения относятся
прежде всего шум и вибрации, которые особенно ощутимы в
установках, не предназначенных для работы в этом режиме. В таких
установках вибрации нарушают нормальное протекание рабочего
процесса, ухудшают тепловой режим, вызывают разрушение
конструкции. В связи с этим подавление вибрационного режима в
установках стационарного горения имеет не менее важное значение,
чем его организация в установках вибрационного горения [3].
При вибрационном горении внешние возмущения плотности и
температуры газа возникают за счет теплопередачи от зоны
горения к столбу газа. Поэтому условия возбуждения колебаний
формулируются следующим образом (принцип Рэлея): колебания
устанавливаются, если сдвиг фаз между колебаниями давления и
колебаниями переменной части теплоподвода меньше к/ 2, и
колебания ослабляются, если этот сдвиг фаз превышает 71/2.
Вибрационное горение отличается от других видов
колебательных систем прежде всего тем, что в одном и том же объекте
возможна реализация множества механизмов колебаний, частот и
мод. Это делает возможным реализацию самых различных
амплитудно-фазовых соотношений. Однако из множества возможных
механизмов обратной связи и частот колебаний система стремится
выбрать лишь те, которые обеспечивают наилучшие амплитудно-
фазовые соотношения. Такой критерий выбора механизма и
частоты колебаний был высказан Б.В. Раушенбахом в виде гипотезы о
максимуме акустической энергии. В силу важности такого
положения процитируем содержание гипотезы по работе [3]: "В процессе
развития вибрационного горения колебательная система стремится
реализовать такой механизм возбуждения и такие амплитудные и
фазовые соотношения, которые должны в конкретных условиях
21

опыта обеспечить максимум величины акустической энергии А^,
излучаемой областью горения".
Акустическая энергия определяется выражением
Т
Az = ^\bpbwdt, (1.35)
О
где Ър и Ъьи — вариации давления и скорости; Т — период
колебаний.
Сформулированная здесь гипотеза может быть пояснена
следующим образом. Пусть одновременно существует множество
различных возможных механизмов возбуждения, причем каждый из
них имеет известную свободу в реализации амплитудно-фазовых
соотношений. Тогда тот из них, который в конкретных условиях
опыта дает наибольшую секундную работу А^, обгонит в своем
развитии остальные и в конце концов станет решающим
механизмом возбуждения для данного конкретного случая.
Приведенное пояснение дает возможность указать на одну
существенную деталь: очевидно, здесь идет речь об отборе
механизмов возбуждения по признаку А^ = Атах в процессе разгона
колебаний.
Когда колебания установились, поток акустической энергии
А% определяется потерями. При этом предполагается, что к
моменту установления колебаний процесс, дающий в условиях
опыта А^=Атах, уже успел обогнать в своем развитии другие
возможные процессы.
Надо отметить, что выдвинутая гипотеза предполагает
отсутствие (или малость) потерь акустической энергии. Если потерями
пренебречь нельзя, то приведенная выше формулировка требует
уточнений. При наличии потерь нельзя просто говорить о
наибольшем потоке энергии As, генерируемой в области теплоподво-
да, а следует из этого потока вычитать указанные потери. В связи
с этим получим следующую уточненную формулировку гипотезы о
максимуме акустической энергии: "колебательная система
стремится реализовать такой процесс, который в конкретных
условиях опыта дает максимум величины акустической энергии,
излучаемой областью горения, за вычетом потерь ".
22

Приведенное уточнение является совершенно необходимым,
так как иначе из предположения о стремлении колебательной
системы реализовать условие А^= Атах следовало бы, что система
должна стремиться осуществить процесс с наибольшими
потерями, поскольку наибольшим потерям соответствует наибольшее
значение А^ в установившемся режиме колебаний.
Гипотеза основывается на обобщении опытных фактов. Можно
считать, что в процессе развития вибрационного горения
акустическая система стремится реализовать такую частоту и механизм
колебаний, при которых амплитудно-фазовые соотношения для
данных пространственных условий дают больший за вычетом
акустических потерь поток акустической энергии.
Вибрационное горение — это чисто автоколебательный
процесс, со всеми ему присущими особенностями. В данном случае
вариационный подход к автоколебательному процессу позволяет
получить ценный практический результат.
Существует несколько научных направлений, которые
рассматривают автоколебательный процесс под различными углами.
Но основным, простым и наглядным может служить
механический аналог автоколебательной системы, который многие годы
успешно используется при анализе автоколебательных систем.
Автоколебательной системой называется устройство, способное
создавать незатухающие колебания и характеризующееся наличием
источника энергии, клапана, регулирующего поступление энергии в
колебательную систему, и обратной связью между колебательной
системой и клапаном [8, 46]. Иногда легко распознать в
исследуемой схеме все вышеперечисленные основные части, но бывает, что
при описании процесса трудно выделить эти элементы, особенно
воздействие обратной связи, и, следовательно, понять действие
автоколебательной системы. Такой механический взгляд на
природу автоколебаний не отражает полностью физическую сущность
автоколебательных процессов, происходящих при
нестационарном течении жидкости.
Большинство окружающих нас в природе и технике
нелинейных динамических систем в общем случае неконсервативны.
Практически в любой системе присутствуют потери (трение, излучение,
нагрев и т.д.), и обычно система не является энергетически
изолированной; на нее действуют различные внешние силы и поля как
статические, так и переменные. Принципиально новые (по сравне-
23

нию с консервативными системами) явления возникают в дисси-
пативных системах, в которых колебательная энергия может не
только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неус-
тойчивостей, связанных с неравновесностью системы. Самое
важное и значительное среди таких явлений — генерация
незатухающих, устойчивых как по состоянию к внешним возмущениям, так
и к изменению начальных условий. Системы, обладающие
свойством генерировать такие колебания, А.А. Андронов в тридцатых
годах прошел ого века назвал автоколебательными, впервые придав
им четкое математическое содержание, связав автоколебания с
предельными циклами Пуанкаре [4].
Предельный цикл — замкнутая фазовая траектория, к
которой стремятся все соседние траектории — является образом
периодических автоколебаний. Автоколебания в динамической
системе могут быть не только периодическими, но и
квазипериодическими и даже стохастическими.
Достаточно общее определение автоколебаний звучит
следующим образом. Автоколебания — это незатухающие колебания,
поддерживаемые внешними источниками энергии в нелинейной
диссипативной системе, вид и свойства которых определяются самой
системой и не зависят от начальных условий.
Режим возникновения автоколебаний, не требующий
начального толчка, называется режимом "мягкого" возбуждения.
Встречаются также системы с "жестким" возбуждением, в которых колебания
самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды.
Для перехода систем с жестким возбуждением в режим
стационарной генерации необходимо начальное возбуждение с
амплитудой, большей некоторого критического значения.
Размеры предельного цикла определяют амплитуду
колебаний, время движения изображающей точки по циклу — форму
колебаний. В этом случае задача об исследовании периодических
автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных
циклов в фазовом пространстве и определения их параметров. Единого
метода для их нахождения не существует даже систем 2-го
порядка. То, что режим течения жидкости с произвольными
начальными значениями параметров приобретает со временем значения
параметров, соответствующих некоторому предельному циклу, что
эти параметры в этом случае удовлетворяют экстремуму
некоторого функционала, а следовательно, могут быть найдены с
использованием известных методов.
24

Говоря о вариационном представлении задач гидравлики,
нельзя не упомянуть о принципе максимального расхода. Впервые
принцип (постулат) максимального расхода был применен в 1845 г. Бе-
ланже для гидравлического расчета водослива с широким порогом.
Далее этот принцип был развит Б.А. Бахметьевым, предложившим
в 1912 г. постулат, согласно которому на водосливе устанавливалась
такая глубина, что удельная энергия в сечении становится
минимальной, т.е. на водосливе устанавливается критическая глубина.
Наиболее распространенной теорией центробежной форсунки
для идеальной жидкости является теория, в основе которой лежит
принцип максимального расхода, предложенный Г.Н.
Абрамовичем [1, 2, 15]. Он заключается в том, что в сопле центробежной
форсунки устанавливается воздушный вихрь такого радиуса, при
котором коэффициент расхода при данном напоре принимает
максимальное значение. При этом осевая скорость течения жидкости
в сопле форсунки равна скорости распространения волн на
поверхности воздушного вихря [15].
Данный вариационный принцип нашел широкое
распространение при расчете жидкостных центробежных форсунок.
Преимуществом этого вариационного принципа является
простота при расчете значения коэффициента расхода жидкостной
центробежной форсунки но сравнению с использованием
уравнения количества движения.
Ниже более подробно рассмотрен вопрос использования этого
вариационного способа расчета параметров течения жидкости.
Целью вариационной формулировки рассматриваемой задачи
является не вывод уравнений движения (как в аналитической
механике), а нахождение приближенного решения с использованием
прямых методов. Существует несколько методов нахождения
экстремума функционала. Основная идея прямых методов
заключается в том, что вариационная задача рассматривается как
предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа
переменных. Функционал v[y(x)] можно рассматривать как
функцию бесконечного множества переменных. Это утверждение
становится совершенно очевидным, если предположить, что
допустимые функции могут быть разложены в ряд вида
5>ЛФЛ(*). (1.36)
п=0
где фд(х) — заданные функции.
25

Для задания функции у(х), представленной в виде ряда у{х) =
оо
= ])Г ап(рп(х)9 достаточно задать значения всех коэффициентов ад,
п=0
и, следовательно, значение функционала v[y(x)] в этом случае
определяется заданием бесконечной последовательности чисел
ао,а1,а2,...,лЛ> т.е. функционал является функцией бесконечного
множества переменных
Следовательно, различие между вариационными задачами и
задачами на экстремум функций конечного числа переменных
состоит в том, что в вариационном случае приходится исследовать
на экстремум функции бесконечного множества переменных.
Поэтому основная идея прямых методов заключается в том, что
вариационная задача рассматривается как предельная для задачи на
экстремум функций конечного числа переменных.
В первый период своих исследований в области вариационного
исчисления Эйлер применил метод, называемый теперь конечно-
разностным прямым методом. Но в дальнейшем этот метод
длительное время совсем не применялся.
Другой прямой метод, известный под названием метода Рит-
ца, в настоящее время находит широкое применение при решении
различных вариационных задач.
Третий прямой метод, предложенный П.В. Канторовичем,
применяемый к функционалам, зависящим от функций
нескольких независимых переменных, находит все более широкое
применение в тех лее областях, в которых применяется метод Ритца.
Одним из наиболее распространенных является метод Ритца.
Идея метода Ритца заключается в том, что значения
некоторого функционала v[y(x)] рассматривается не на произвольных
допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевоз-
п
можных линейных комбинациях уп = ^ at wt(x) с постоянными ко-
i=l
эффициентами, составленными из п первых функций некоторой
выбранной последовательности функций w^x), и?2(х),..., wn{x).
26

Функции уп - ^ а • wt(x) должны быть допустимыми в рассмат-
ь=\
ряваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор
последовательности функций w^x). На таких линейных
комбинациях функционал v[y(x)] превращается в функцию qXa^ag,..., ап)
коэффициентов ava2y..,an. Эти коэффициенты выбираются так,
чтобы функция ф(а1,а2» ...,ад) достигала экстремума;
следовательно, а1,а2, "',an должны быть определены из системы уравнений
0 (i = 1,2,...,/i). (1.37)
Совершая предельный переход при п —> °°, получаем, в случае
оо
существования предела, функцию г/ = ^а^^(х), являющуюся
1
(при некоторых ограничениях, налагаемых на функционал v[y(x)]
и на последовательность w^(x),W2(x), ,,,,wn(x)) точным решением
рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать
предельного перехода, а ограничиться лишь п первыми членами
п
yn = j£j ci^w^x), то получим приближенное решение вариационной
задачи.
1.2. Вариационный метод
для уравнений состояния (квадратичный
гидродинамический функционал)
Решению задачи обязательно предшествует весьма важный
этап формализации рассматриваемого физического процесса: его
описание в виде соответствующей системы уравнений.
Система исходных уравнений — это замкнутая система
уравнений и соотношений, которая полностью описывает движение и
состояние среды с учетом ее физико-механических свойств.
27

Система исходных уравнений в обязательном порядке
включает основные общие для всех сплошных сред дифференциальные
законы, выражающие сохранение массы, импульса и энергии.
Важнейшим элементом постановки любой задачи является
формулировка начальных и граничных условий. Их значение
определяется тем, что та или иная система уравнений описывает
целый класс движений, соответствующий данной среде, и лишь
задание отвечающих исследуемому процессу начальных
граничных условий позволяет выделить из этого класса частный случай,
соответствующий решаемой практической задачи.
Начальные и граничные условия составляют неотъемлемую
часть вариационного исследования, и любое изменение начальных
и граничных условий меняет вид функции, реализующей
минимальное (или максимальное) значение функционала.
Классификация различных видов граничных условий и доказательство того,
что эти граничные условия можно включать в интеграл, который
нужно сделать стационарным, приведены в работе [48].
Уравнение движения можно записать в виде
dw] ЭП,,
где wt (i = 1, 2, 3) — составляющая средней скорости массы; р —
плотность вещества; Ft — сила на единицу массы; П.- —
составляющая тензора напряжений.
Представим последнее уравнение в гауссовой форме:
dwi
Вариация последнего уравнения по —— соответствует
уравнепию движения
Э/
(1.40)
28

Уравнение баланса массы в простейшем виде запишется как
dt ~ Ьх, •
В случае, когда рассматриваются тепловые процессы,
необходимо использовать и уравнение энергии. Баланс внутренней
энергии можно выразить в следующем виде:
du dg: dw:
P"w~ = ~7/ ~"П*'— > (1-42)
где и — внутренняя энергия на единицу массы; gt — тепловой
поток; П.- — составляющая тензора напряжений.
Можно сказать, что реальный физический процесс протекает
таким образом, что минимален следующий функционал:
(1.43)
где Х± и \2 — неопределенные множители Лагранжа.
Если удается выразить в явном виде значения зависимых
параметров в первом уравнении, используя второе и третье
уравнения таким образом, что остается только одна зависимая
величина vt, то мы получаем из задачи на условный экстремум задачу на
безусловный экстремум, которая решается значительно проще.
Причем все три уравнения состояния равнозначны и каждое из
них, не только уравнение сохранения количества движения, но и
уравнение сохранения массы и энергии может быть представлено
в гауссовой форме. В этом случае два других являются
уравнениями связи, которые накладываются на уравнение, записанное в
гауссовой форме.
Вместе с тем на уравнения типа (1.38), (1.41), (1.42) можно
смотреть как на задачу об интегрировании уравнения
у = fix,у), а<х<Ъ. (1.44)
29

Эта задача равносильна задаче о минимизации функционала
Ь 2
I{y} = j[y' = f(x,y)]dx. (1.45)
а
Данный метод носит название метода наименьших квадратов
[36, 13].
В работе [36] приведено уравнение Эйлера для последнего
функционала. При этом уравнение Эйлера для функционала (1.45)
имеет второй порядок и получается в результате
дифференцирования исходного уравнения. В этом повышении порядка
производных состоит некоторый недостаток метода наименьших квадратов,
несмотря на его универсальность.
Выражение (1.43) применимо для использования как для
стационарного, так и для нестационарного течений, и в частности
для течения жидкости в автоколебательном режиме.
Квадратичный гидродинамический функционал (1.43)
принимает минимальное значение, когда параметры автоколебания —
это, в первую очередь, частота и амплитуда колебаний —
соответствуют действительным. В этом случае они удовлетворяют
уравнениям движения, т.е. превращают их в тождества.
При анализе уравнений автоколебательного течения,
используя прямые методы для их решения, функционал GJ можно
рассматривать как функционал конечного множества переменных
N
вида ]Г ап smwnt.
i
Вместе с тем можно заметить, что экстремальное значение
наряду с функционалом (1.43) принимают также функционалы вида
Значение последнего функционала всегда положительно и
лишь для значений переменных, при которых дифференциальные
уравнения обращаются в нуль, он принимает минимальное значе-
30

пйе. Наиболее удобен для практического использования
функционал вида
«,-JJ
(1.47)
Условию не быть отрицательным и при варьировании
переменных должны отвечать только первые слагаемые в последнем
выражении, а два других являются только уравнениями,
накладывающими ограничения на экстремум первого члена:
1
(1.48)
Функционал по формуле (1.47) всегда больше нуля при любых
значениях искомых величин. И лишь для параметров, которые
обращают уравнение в нуль, функционал принимает свое
минимальное значение, равное нулю. При этом значения коэффициентов Х1
и Х2 не играют роли и их можно принять равными единице.
1.3. Некоторые методы решения
нелинейных уравнений
Уравнения движения типа Ван-дер-Поля, т.е.
автоколебательные системы с одной степенью свободы, могут быть представлены
в виде
х + 28(х)х + C0q = 0,
(1.49)
где 25(#) — коэффициент затухания, зависящий от
характеристики нелинейного элемента. При приведенной записи уравнения ве-
31

личина 2б(х) пропорциональна крутизне характеристики
нелинейного элемента и содержит, как правило, отрицательную
нелинейную часть, причем последняя ограничивает нарастание
колебаний. Если движение в автоколебательной системе почти
гармоническое, то такое движение мало отличается по форме от движения
в линейной системе. Кроме того, автоколебательная система ква-
зиконсервативна, так как потеря энергии за период существенно
меньше, чем энергия, запасенная в системе. В силу малости
потерь в среднем амплитуда и фаза колебаний мало изменяются за
период. Эти физические предпосылки определяют возможность
создания приближенных методов решения нелинейных уравнений.
К таким методам решения нелинейных уравнений подобного
класса можно отнести следующие аналитические описания.
Метод малого параметра. Этот метод, ведущий свое начало от
работ Пуанкаре, может быть применен для определения амплитуд
и частот стационарных периодических режимов в нелинейных
системах. Идея метода основывается на том, что периодическое
решение исходной нелинейной системы должно быть близко к
одному из периодических решений, соответствующих
консервативной системе. Основная задача метода малого параметра в
большинстве случаев состоит в нахождении порождающего решения и
определении малых поправок к нему.
Асимптотический метод Крылова—Богомолова. Этот метод
представляет собой одно из наиболее мощных средств современной
прикладной математики для получения приближенных
аналитических решений весьма сложных нелинейных дифференциальных
уравнений. Наиболее доступные для исследования этим и другими
аналогичными методами являются системы с малой нелинейностью.
С математической точки зрения исследование систем с произвольной
нелинейностью — трудная проблема, которая, вообще говоря,
требует индивидуального подхода в каждом конкретном случае.
Метод гармонического баланса. Метод был разработан Н.М.
Крыловым и Н.Н. Богомоловым и в дальнейшем развит другими
учеными. Этот метод является одним из широко распространенных
приближенных приемов отыскания периодических режимов в
нелинейных колебательных системах; он основан на том
обстоятельстве, что, несмотря на наличие нелинейности, установившиеся
колебания в системе при определенных условиях оказываются
близкими к гармоничным.
32

Прямой метод Бубунова—Галеркина. Методы приближенного
решения дифференциальных уравнений, основанных на сведении
этой задачи к решению систем алгебраических уравнений,
называются прямыми методами. При применении этих методов
приближенное решение g(t) нелинейного уравнения ищут в виде
линейных колебаний фк(£)> т.е. в виде ряда
к=1
с постоянными коэффициентами ак.
Для того чтобы при т —> «> приближенное решение стремилось
к точному, необходимо, чтобы координатные функции фк(0 были
допустимыми в рассматриваемой задаче. Это означает, что
функции фк(£) должны удовлетворять определенным краевым
условиям, условию линейной независимости функций на некотором
интервале, а также должны быть гладкими.
Метод медленно меняющихся амплитуд. В своей
практической деятельности в области колебаний мы имеем дело с
реальными колебательными системами, которые всегда диссипативны и в
большей или меньшей степени нелинейны. Для исследования
слабо нелинейных систем и слабо диссипативных систем, в
которых колебания мало отличаются от гармонических, разработан и
широко используется асимптотический метод теоретического
исследования — метод медленно меняющихся амплитуд, метод,
адекватный исследуемым слабо нелинейным системам и системам со
слабым затуханием.
Этот метод был предложен Ван-дер-Полем для исследования
почти гармонических колебаний в слабо нелинейных системах и
впервые им применен для решения уравнения
А \ + cojj = £(l-x2)^f , (1.51)
dt
которое описывает колебания в генераторе с колебательным
контуром в цепи сетки электронной лямки и с катушкой обратной
связи в цепи анода.
Нелинейность анодно-сетчатой характеристики электронной
лампы была аппроксимирована двучленом третьей степени. Малое
33

положительное число £ обеспечивает малость всей правой части
уравнения. Однако обоснования метода Ван-дер-Поль не дал. В
связи с этим в течение довольно долгого времени многие
исследователи скептически относились к возможности безоговорочного
применения метода. Теоретическое обоснование строгости метода
сделано Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси.
Малые колебания в слабо нелинейных системах с малыми
потерями энергии можно приближенно представить в виде
x(t) - a cos(co0f + ф), (1.52)
т.е. как гармонические колебания. Но точно в том же виде мы
выражаем колебания в гармоническом осцилляторе, которые
описываем уравнением
d2x о
■^-f+ ЮоХ = О. (1.53)
CLI
Практика показывает, что, например, в линейной системе с очень
малым затуханием 8 колебания, описывающиеся уравнением
о
^-£+ ео§х = -28^, (1.54)
а т
мы приближенно в течение довольно длительного промежутка
времени можем считать незатухающими, а правую часть
уравнения можем рассматривать как весьма слабое возмущение этих
колебаний. Можно надеяться, что то же самое должно наблюдаться
9 dx
и в слабо нелинейной системе при е(1 - х ) — —> 0, при е -> 0, при
этом уравнение Ван-дер-Поля превращается в уравнение
гармонического осциллятора.
Основываясь на этих рассуждениях, мы можем полагать, что
колебания в слабо нелинейных системах можно
удовлетворительно математически описывать с помощью выражений
x(t) = a{t) cos(G)0* + cp(f)), (1.55)
в которых a(t) и ф(£) — функции, очень медленно меняющиеся в
масштабе периода Т-периода колебаний. С этим представлением
связана основная идея метода медленно меняющихся амплитуд,
идея, позволяющая заметно упростить аналитическое решение
нелинейной задачи, не утратив при этом наиболее интересной для
34

теории колебаний информации об амплитуде, фазе и частоте
колебаний, об их устойчивости и о переходных процессах в системе. В
выражении x(t) = a(t) cos (dot + ф(£) нас теперь особенно интересуют
функции a(t) и ф(£) (амплитуда и фаза колебаний, медленно
изменяющиеся во времени). При этом мы упрощаем задачу за счет
отыскания более простых функций a(t) и ф(£). Если удается
"расщепить" уравнение
^ (;^fL е>0и£>1, (1.56)
^ O
имеющее решением транцендентную функцию
x(t) = a(t) cosf~CD0£ + <р(*)1, (1.57)
на два уравнения вида
^ = гА(а,ц>), ^ = еВ(а,ф), (1.58)
в которых функции A(a,ty) и В(а,ф) достаточно просто могут быть
J dx\
найдены, исходя из вида функции f\x; -т- , то можно ожидать,
I )
что задача станет проще.
Такие уравнения действительно можно получить, если
принять, что амплитуда a(t) и фаза ф(£) в течение одного периода
колебаний Т меняются весьма мало, т.е. можно записать
^-Т^а и ^Т«ф. (1.59)
at at
г- « ~ J dx\
Изменения а и ф есть следствие слабой нелинейности Я х; —т- .
Один из способов нахождения уравнений для а и ф был предложен
Ван-дер-Полем. Другой способ — способ нахождения двух
уравнений 1-го порядка для двух медленно меняющихся амплитуд
косинусоид ал ьного и синусоидального колебаний — предложен Л.И.
Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Не приводя здесь доказательства
строгости и общности метода медленно меняющихся амплитуд,
опишем его в виде, предложенном Л.И. Мандельштамом и Н.Д.
Папалекси.
35

Пусть колебания в слабо нелинейной системе описываются
уравнением
(1.60)
в котором |1 — малое положительное число.
Введем собственный масштаб времени т = соо£. Введя
безразмерные переменные и обозначения
получим
Искомое
d2x
dt2
/,
X + Л
dx
dt
решение представим в
*(т)
= и(х)
cosx
X И X =
(*, *').
форме
+■ у(х) sinx.
(1.62)
(1.63)
Здесь и(х) и у(х) — медленно меняющиеся функции времени т.
Найдем первую производную от функции х(х):
х (т) = -и(%) sint + v(%) cost + и (т) cost + v (т) sin т. (1.64)
Будем считать, что
и(х) cost + и(т) sinx = 0. (1.65)
Это условие и будет вторым уравнением для замены
переменной х(х) двумя новыми переменными и(%) и v(%). Найдем
выражение для х (х) с учетом второго условия замены переменных
х (х) = -и cost - v sinx - и sinx + v cosx. (1.66)
Подставим найденные х (х), х(х), х(%) в уравнение
х" + x = \if(x, x). (1.67)
Произведя после подстановки приведение подобных членов,
получим
-и sinx + i? cosx = \if(u cosx + v sinx - и sinx + v cosx). (1.68)
36

Переписав сюда второе условие замены, мы будем иметь два
уравнения для нахождения и и и
u cost + v sinx = 0. (1.69)
Умножая первое уравнение на sinx и второе на cost и, вычитая
второе уравнение из первого, получаем уравнение, связывающее
производную й с функциями и, и и временем т:
и - \if(u cost + и sinT - и sinT + v cost) sinT. (1.70)
Умножив первое уравнение на cost и второе на sinT и сложив
результаты, получим уравнение, связывающее производную v с
функциями и, v и времени т
v = \if(u cost + v sinT - и sinT + и cost) cost. (1.71)
Эти дифференциальные нелинейные уравнения 1-го порядка
для и(т) и и(т) эквивалентны исходному уравнению 2-го порядка.
Однако вид полученных дифференциальных уравнений 1-го
порядка таков, что можно упростить задачу, воспользовавшись
медленностью изменения функций и(т) и и(т) в масштабе времени,
равном периоду колебаний т.
Будем считать, что производные й(%) и и(т) в течение периода
колебаний не меняются и имеют некоторое среднее значение.
Средние значения и и и мы получим, вычисляя определенные
интегралы в пределах одного периода т = 2л и деля их на период
колебаний. Запишем это
2тс
й = — J \if{u cost + и sinT - и sinT + v cost) sinTdT,
271
(
v — — I [if(u cost -I- v sinx — и sinT + v cost) cost^t.
271 о
Мы имеем два дифференциальных уравнения для амплитуд
и(т) и у(т); нелинейные уравнения, но они проще исходных уравне-
37

ний. Полученные уравнения называются "укороченными
уравнениями"
" = Ф("'и)' (1.73)
V = ф(и, V).
В стационарных состояниях амплитуды колебаний не
меняются с течением времени, т.е. и = 0 и v = 0. Укороченные уравнения
для стационарных режимов имеют вид
cp(u,i>) = 0, \|/(m,u) = 0. (1.74)
Решая эту систему относительно и и v, мы найдем
стационарные значения амплитуд.
Метод К.Ф. Теодорчика. Рассмотрим колебательное уравнение
в виде
*" + 2Ъ{х)х + C0q* = 0. (1.75)
Если рассматривать не только стационарные режимы, но и вре-
50
мя установления, то при — << 1 движение, вообще говоря, имеет
со
вид
х = A(t) sin|~co* + cp(f)l = A(t) sin9(0 sin со* + B(t) sinq>(*)* =
= a(t) sinco* + b(t) cosco*, (1.76)
где со ф соо.
Для интервалов времени Д£, если Т «: At < 0, где Т — период
колебаний, а 0 — время установления стационарного режима,
движение в системе можно приближенно рассматривать как
движение с постоянными а и Ь, т.е. считать х = a sinco* + Ъ cos со*.
Учитывая, что частота рассматриваемого движения со, уравнение (1.75)
можно переписать в виде
/ + со2* = Гсо2 - со^* - 280(х)х = I.F. (1.77)
В общем случае, в неавтономном режиме, справа может быть
добавлена и внешняя сила. В представленной записи *LF можно
38

рассматривать как сумму внутренних сил, действующих в системе
на гармонический консервативный осциллятор, уравнение
движения которого записано в левой части последнего уравнения. Сумма
сил ^F является периодической функцией частоты СО и может
быть, следовательно, разложена в ряд Фурье. При действии сил на
консервативный осциллятор существенны только резонансные
члены, т.е. уравнение можно переписать в виде гармоники:
х + (uqX = /х since* + /2 cosю* + гармоники. (1*78)
Гармоники не оказывают действия на консервативный
осциллятор и в первом приближении, когда движение рассматривается
как квазигармоническое, гармониками пренебрегаем. При
действии резонансных сил на осциллятор в нем возможно нарастающее
движение. Левую часть уравнения можно переписать в виде
п
2 da da da
х + со х = —т sin со* + — со cosco* + — со cosco* -
dt dt dt
2 . db2 db db
-aco sma>* + —5- cosco£ - 37 CO smco£ - -77 CO smart -
dt dt at
-fcco2 cos со* - 2co -j7 cos со* - 2co -j: sin со*, (1-79)
ctt dt
откуда
Уравнения (1.80) описывают закономерности установления
^ da л db л
движения в системе. В стационарном режиме —гг = 0, -тт = 0 и
постоянные значения амплитуд а и b определяются из
/1(aCT;bCT) = 0; /2(aCT;bCT) = 0. (1.81)
Если характеристика нелинейного элемента может быть
аппроксимирована кубическим полиномом, то в этом случае сумму
внутренних сил, действующих на консервативный осциллятор,
можно представить в виде гармоники.
39

= [со - C0q]A sinatf - aAco cosco*
0q]A si
+ —г-А со cos со* + гармоники. (1.82)
Тогда уравнение для установившегося автоколебательного
режима примут следующий вид:
C02-c0q\4 = 0; Af-a + -^A3fr 1=0. (1.83)
о о о 4д
В стационарном режиме, если А Ф 0, то со = соо и Аст = ттг .
Энергетический метод. Для определения амплитуды
колебаний, которые определяются кривой сопротивления произвольной
формы. Удобно воспользоваться энергетическим подходом,
который является разновидностью метода усреднения. Энергетический
метод основан на той физической предпосылке, что если в системе
устанавливается некоторая амплитуда колебаний расхода и
давления, то суммарное количество колебательной энергии, генерируемое
системой, равно энергии, рассеиваемой на сопротивление. Этот
метод по физической основе близок к методу К.Ф. Теодорчика.
Интеграл, описывающий работу колебательной системы за
период, равен
Т
А = j; J ZFwdt.
Это можно рассматривать как работу внутренних сил за
период. Раз амплитуды не меняются, ее можно считать равной нулю.
Для акустической системы ILFw = 8p5Q, 5р и 5Q — переменные
составляющие давления и расхода для стационарного
автоколебательного режима. Поэтому можно записать
Т
AA = ±J8p5Qdt = 0. (1.84)
о
Применительно к уравнению Ван-дер-Поля можно сказать,
что колебательная энергия, подводимая за счет отрицательного
40

дифференциального сопротивления, которое в нашем случае
характеризуется коэффициентом а, диссипируется членом,
содержащим коэффициент Ь. Для уравнения вида (1.46), характеристика
нелинейного элемента которого может быть аппроксимирована
кубическим полиномом, будем иметь вид
т т
о о
|2 . ихг\4\%?\ 1. __ [ л|/^ |2 .
^ =0, (1.85)
о
откуда амплитуда колебаний расхода
(1.86)

2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ
В ЖИДКОСТНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ФОРСУНКАХ
2.1. Принцип максимального расхода и его связь
с уравнением количества движения
Принцип максимального расхода наряду с уравнением
количества движения широко применяется для расчета жидкостных
центробежных форсунок, однако до сих пор наблюдается
некоторое противопоставление этих двух методик и непонимание
условий их применения и взаимосвязи.
Рассмотрим подробнее эти положения. Принцип максимума
расхода был выдвинут в гидравлике русловых потоков Беланже в
40-е годы XIX века в связи с расчетом расхода воды через
водослив с широким порогом. Согласно этому постулату, принимается
без доказательств, что при заданном напоре Hq глубина h на
пороге водослива сама собой устанавливается такой, при которой
расход из всех возможных получается наибольшим. Беланже теоре-
h 2
тически определил, что -fF~ ~ ~о •
Но 6
Принцип максимального расхода для течения жидкости в
сопле центробежной форсунки формулируется следующим
образом. В сопле центробежной форсунки устанавливается воздушный
вихрь такого радиуса, при котором коэффициент расхода при
данном напоре принимает максимальное значение, и именно эти
размеры вихря отвечают устойчивому режиму течения [1,15].
Положения принципа максимального расхода наиболее
подробно изложены в работе [15]. Будем придерживаться методики
описания данного вопроса, изложенной в этой работе.
Для течения жидкости в сопле в случае идеальной
несжимаемой жидкости закон сохранения энергии запишется в форме
уравнения Бернулли:
42

АРФ. (2-1)
р — статическое давление в потоке; wT — окружная составляющая
скорости в сопле; wa — осевая составляющая скорости в сопле.
Из уравнения (2.1)
= Yр
=const- (2-2)
шт/пс — тангенциальная составляющая скорости на радиусе
газового вихря.
В центральной части сопла располагается газовый
(воздушный) вихрь, в котором избыточное давление равно нулю. Течение
в сопле происходит через кольцевое сечение, внутренний радиус
которого равен радиусу газового вихря гтс, а радиус сопла гс.
Площадь кольцевого сечения
где ф = 1 - г^, — коэффициент сжатия струи (коэффициент
заполнения сопла):
_ тс
тс ~ г
'с
Выражение для объемного расхода жидкости через сопло
можно записать в виде
'а*
(2.4)
Определим распределения давления по сечению сопла.
Выделив элемент жидкости на радиусе г, толщиной dr,
длиной dl = rdy и высотой, равной единице.
Разность давления на боковых поверхностях элемента должна
уравновешивать центробежную силу
dldp = — dm. (2.5)
Масса элемента dm = pdldr.
43

По закону сохранения момента количества движения
W Г
__ ттс тс
w-r~ г
Подставляя выражения для dm и wT в (2.5), получаем
, 2 dr
откуда, интегрируя по радиусу, получаем
1 Lode ,
р = - 7> р 2 + const- (2-6)
Постоянную интегрирования определим из условия, что на
границе воздушного вихря (г = гтс) избыточное давление р = 0.
Таким образом, распределение давления в поперечном сечении
сопла определяется выражением
(21} (2-7)
Подставляя выражение (2.7) в уравнение (2.1), приходим к
выводу, что осевая (поступательная) составляющая скорости в сопле
остается постоянной по сечению потока:
= const. (2.8)
Воспользовавшись уравнением закона сохранения момента ко-
вхвх
личества движения wTmc = , выразим о>вх через объемный
гтс
расход:
кпгТК
гвх — радиус входа потока в камеру закручивания; wBX — скорость
жидкости в тангенциальных каналах; п — число входных
каналов; гтк0 — радиус тангенциальных каналов.
44

Подставляя w в выражение (2.8 ), получаем
л/2 гвх^
wa = Vp % " га2п^4 ?.2 • (2Л0>
Из уравнения (2.4)
(2.11)
Приравнивая оба выражения для wa, находим
^v
где А — геометрическая характеристика форсунки (безразмерная
величина)
А = ^р-. (2.13)
"ГТК
Умножив числитель и знаменатель на 7Сгс, получаем иную
форму записи для геометрической характеристики форсунки А:
д =
^с^вхО
Fc — площадь сопла форсунки; jPbx — площадь входных тангенци-
гвх
альных каналов; гвх = —^- — степень закрытия сопла форсунки.
'с
Из формулы (2.12 ) следует, что коэффициент расхода
центробежной форсунки зависит от геометрической характеристики
форсунки и коэффициента заполнения сопла:
(2.15)
+
1-Ф ф2
45

Коэффициент заполнения сопла, соответствующий
максимальному коэффициенту расхода, можно найти, дифференцируя
последнее выражение по ф и полагая —— = 0.
с^ф
В результате получим следующую зависимость:
( в)
Подставив полученное выражение в формулу (2.15), найдем
коэффициент расхода центробежной форсунки
(2.17)
При увеличении геометрической характеристики форсунки А
от 0 до оо коэффициент расхода центробежной форсунки |1
уменьшается от 1 до 0.
Для круглых тангенциальных каналов геометрическую
характеристику удобно определять по формуле (2.13). В случае, когда
сечение входных каналов некруглые и их направление не
перпендикулярно оси сопла, выражение для геометрической
характеристики принято использовать в виде [3]
A = _£^Bxginp (2 lg)
FBX — площадь поперечного сечения входного канала; Р — угол
между направлением входного канала и осью сопла.
Последней формулой можно пользоваться только для углов
(5 > 60°. Для малых углов использование последней формулы
приведет к значительным погрешностям.
Согласно принципу максимального расхода, скорость
жидкости, движущейся в цилиндрическом сопле форсунки постоянного
радиусатак же, как по водосливу с широким порогом, высота слоя
тяжелой жидкости над которым определяется из условия
максимального расхода (постулат Беланже) или эквивалентного условия
импульса энергии сечения (постулат Бахметьева), равна
критической, а скорость течения равна скорости распространения длинных
волн на поверхности жидкости.
46

Для центробежной форсунки скорость поступательного
движения жидкости в сопле при установившемся режиме должна быть
равна скорости волн, распространяющихся по свободной
поверхности жидкости в поле действия центробежных сил. При этом
расход через форсунку при данном напоре имеет максимальное
значение.
Скорость распространения волн вдоль поверхности жидкости
в доле действия центробежной силы равна [15]
r2-Ac
о • (2-19)
Скорость поступательного движения жидкости в сопле
форсунки при максимальном расходе совпадает со скоростью
распространения волн.
Из уравнения (2.4) с учетом уравнением (2.9) получаем
Г W
5£- (220)
Если реализуется принцип максимального расхода, то
выполняется условие (2.16).
Подставляя выражение (2.16) в (2.20, получаем
г2-г2
-2—^ . (2.21)
тс
Выражения (2.19) и (2.21) совпадают.
Принципу максимального расхода эквивалентно условие
минимума удельной энергии сечения при течении жидкости в сопле
центробежной форсунки. Выражение для удельной энергии
сечения имеет вид
f (4£ ) (2-22)
где wTmc и и>ТС — значения вращательной составляющей скорости
соответственно при г = гтс и г = гс.
Руководствуясь теми же физическими предположениями,
несколько позднее Дж. Тейлор [51] получил аналогичный результат.
Повторим ход его рассуждений.
47

На границе воздушного вихря можно записать
u>l = u>l + w*. (2.23)
\ - *V —
ц>£ = *V — — полная скорость истечения жидкости из
форсунки; Арф — перепад давления на форсунке; р — плотность
жидкости; wa — осевая скорость жидкости; wT — тангенциальная
скорость жидкости.
Для идеальной жидкости момент количества движения
остается неизменным, т.е. соблюдается закон постоянства
циркуляции: с = wTr= const.
Радиус воздушного вихря в торце камеры закручивается гтк
равен
гтк = ^-- (2-24)
В сопле форсунки
и| = и& + и&- (2.25)
Разделив на полную скорость истечения последнее уравнение,
получим
ДС ТС 1 /л n/j\
—2" + —г" (2.26)
Согласно закону постоянства циркуляции
c = w r = wvr . (2.27)
тс тс Z гик \*-1»ы * j
Удобно ввести относительные радиусы воздушного вихря:
— гтк
гтк = — относительный радиус воздушного вихря в камере
закручивания; гтс = —- — относительный радиус воздушного вихря
с
в сопле центробежной форсунки.
48

Тогда уравнение (2.26) можно записать
"тс
- ^тк
2 ~ L " -2 '
Z тс
(2.28)
Объемный расход жидкости через сопло форсунки запишем в
виде
Q c = n
С учетом уравнения (2.29 ) будем иметь
где величина ц = 1 -
1 -
-2 ^
гтк
гтс
v2
Wy,
(2.29)
(2.30)
— коэффициент расхода
форсунки.
Угол факела распыла 2( с учетом эффекта Скобелкина,
учитывающего срабатывание центробежного давления на срезе сопла в
осевую скорость, определяется выражением [50 ]
cos a =
гтс
1-r;
me
(2.31)
Математически принцип максимального расхода форсунки
формулируется следующим образом:
= О ИЛИ
(2.32)
d\i
2T4 +72 72 +72
al тс ' тк' тс ' тк
1 -
гтс
49

или
"2rmc + 44 + Члт = °- (2-33)
В результате, согласно принципу максимального расхода,
между радиусом воздушного вихря в сопле центробежной
форсунки и радиусом в камере закручивания существует связь в виде
7*
-2 _ тк
тс ~* 4
ГГ W^
«\ / тк тк
+ У 16 + 2
(2.34)
или
-2
'тк
27*
(1 + О
(2.35)
В силу равенства расходов для входного и выходного сечений
форсунки можно записать
Q = wbxFbx-
Согласно закону постоянства циркуляции имеем
(2.36)
W Г —
вх вх
Подставляя wBX в уравнение (2.36) и умножая числитель и
знаменатель на площадь сопла FQ, будем иметь
(2.37)
Отсюда видно, что коэффициент расхода форсунки |ц, = --~ .
Подобное выражение встречается в работе [15 ].
Используя последнее выражение и условие (35), можем записать
тк
f'-i
I _ 7 тк
тс Н 1 ~2
тс
_ 2
тс
/2
, (2.38)
50

т.е. получим выражение (2.16), связывающее значение
геометрической характеристики А и коэффициента закрытия сопла при
условии выполнения принципа максимального расхода.
В работе [47] использование принципа максимального расхода
для расчета центробежных форсунок подвергнуто критике на том
основании, что теория Г.Н. Абрамовича "теоретически не
обоснована".
Отклонения опытных данных от расчетных имеют разные
знаки для разных форсунок. В некоторых случаях расчетные
значения больше действительных, в других, наоборот, меньше.
То положение, что при выполнении принципа максимального
расхода скорость поступательного движения жидкости в сопле
при стационарном режиме равна скорости волн распространения
по свободной поверхности жидкости в поле действия
центробежных сил, не является доказательством того, что в сопле
реализуется именно этот режим течения. В сопле может реализоваться
течение с осевой скоростью большей, чем скорость поверхностных
волн, как это наблюдается при течении закрученной жидкости в
расширяющихся конусных соплах. Критическую скорость
закрученный поток может реализовать перед входом в цилиндрическую
часть сопла, и тогда в сопле она будет больше скорости
поверхностных волн, как в расширяющейся части.
В гидродинамике закон количества движения в интегральном
виде применяется в тех случаях, когда хотят получить самое
общее заключение относительно исследуемого явления движения
жидкости, не рассматривая при этом особенности механизма
самого явления. Закон количества движения применяется к замкнутой
контрольной поверхности, ограничивающей выбранную область
жидкости без каких-либо сведений о движении жидкости внутри
этой области. Наиболее удачную форму уравнений количества
движения для расчета коэффициента расхода центробежной
форсунки предложил A.M. Прахов [39].
Картина истечения жидкости из форсунки показана на рис. 2.1.
Запишем уравнение количества движения исходя из того, что
истечение происходит под действием разности давлений на стенки
вихревого водослива. Так, на вертикальную стенку действуют
реакции Яр Я4 — реакции стенки от центробежного давления
жидкостного вихря, Я3 — реакция сужающегося насадка и Я2 —
реакция жидкостного кольца в сечении сопла. Тогда для контрольной
поверхности уравнение количества движения запишется так:
51

'""'ас = Rl + R4 ~
где т — массовый расход жидкости.
(2.39)
Рис. 2.1. Картина течения жидкости в центробежной форсунке
Учитывая, что
— полная энергия истекаемой жидкости, р — статическое
давление, создаваемое центробежным ускорением, pwa — осевая
составляющая скорости, ри>т — тангенциальная составляющая
скорости, получаем [6]:
г
Ri = ] 2nrpdr=
fl-lt
- In
(2.40)
R2 = J 2nrpdr=
НИ. -i -■-
—-— - in
2?г 7
тс тс
(2.41)
Разность реакций R4 - R% составляет усилие, создаваемое
скоростным напором:
г г
^3 " ^4 = J 2тсрг1^г1 = J 2к
PWa
f
(2.42)
52

так как
2 '
р и р± — статические давления на вертикальной стенке и насадке
в точках одинакового радиуса.
Если длина соплового насадка L принимается бесконечной,
угол ос стремится к нулю, то скорость, касательная к поверхности
соплового насадка в осевой плоскости, будет
т
wa ~ г 2 2т *
(2.44)
Для конусного соплового насадка скорость на конусной части
равна
т
1 - г2в]
(1 +COS0),
(2.45)
20 — угол конусной части сопла, г1 — радиус конусного насадка,
г = гг> — радиус воздушного вихря.
Учитывая, что массовый расход равен
т -
= кг2р(1-Л
'тс Гас - •« р, - -тс
1 -
• <»•<•>
согласно закону постоянства циркуляции можно записать:
WTr=zrmK\
Подставляя значения составляющих в уравнение количества
движения, находим зависимость rmc = f(rmK) По значению гтс
вычислялся коэффициент расхода |И = [ 1 - гт
1 -
тк
гтс
и сравнивая
53

с коэффициентом расхода (Хт, вычисленного согласно принципу
максимального расхода.
Модель расчета параметров центробежной форсунки с
использованием уравнений количества движений в форме, предложенной
A.M. Праховым, подверглась критике [15, 24] .
По мнению авторов [15, 24], ошибка в формулах,
предложенных A.M. Праховым, заключается в следующем[15]: пытаясь
преодолеть затруднения, A.M. Прахов заменяет истинное течение в
форсунке некоторым схематизированным, состоящим из
вращательного движения жидкости вокруг оси форсунки и стока в
сопло. При этом предполагается, что сток жидкости в сопло
происходит равномерно через поверхность шарового сегмента. Для
того чтобы оценить величину ошибки при таком методе
определения скорости стока, поступим аналогично тому, как это было
сделано выше, т.е. рассмотрим истечение из струйной форсунки, в
которую жидкость подается через боковую стенку с моментом
количества движения относительно оси сопла, равным нулю, и
нулевой составляющей количества движения вдоль этой оси.
Скорость стока определим из уравнения неразрывности:
Давление жидкости на задней торцевой стенке равно рт, а на
Pl
передней рт = --^-.
Тогда уравнение количества движения запишется в виде
-J-j -
(2.47)
Подставляя в последнее уравнение т = pwanrQ , получим после
нескольких преобразований выражение для скорости течения
жидкости
(1+COS0)
1 t
z
54

гс
Легко видно, что при 0 > 0 и > О
гвх
1 -
+ COS0)2
1 -
8
' вх
< 2 (2.48)
и, следовательно, расчет по методике A.M. Прахова дает
заниженное значение скорости истечения. При этом, чем больше 0, тем
больше ошибка в определении скорости истечения.
Таким образом, предложенная в работе A.M. Прахова [40 ]
методика расчета приводит для струйной форсунки (А = 0) к
существенным ошибкам в определении коэффициента расхода.
По мере увеличения геометрической характеристики
форсунки ошибка, естественно, снижается, так как уменьшается
значение скорости стока жидкости в сопло. В связи с этим в области
больших значений геометрической характеристики (А > 4)
зависимость |i = /(А), рассчитанная по методике A.M. Прахова,
приближенная к зависимости, полученной Г.Н. Абрамовичем.
По мнению авторов, использование уравнений количества
движений в форме, предложенной A.M. Праховым, приводит к
ошибке в определении скорости истечения жидкости из сопла
струйной форсунки, когда угол конусности сопла 0 > 0 и степень
закрытия сопла (по терминологии для центробежной
форсунах
ки) — < оо. В своих рассуждениях они сразу приняли, что расход
гс
жидкости через сопло равен т = pwanrc, т.е. что коэффициент
расхода для струйной форсунки (1=1. Но таким он может быть
только для плавно сужающегося насадка, т.е. когда угол
конусности сопла 0 Т 0 и степень закрытия -^- Т оо, что и показывает
решение уравнения (2.48). А в том случае, когда 0 Ф 0 и Ф ©о,
гс
мы получаем не уменьшение действительной скорости, а
уменьшение коэффициента расхода для струйной форсунки.
55

Для правильного использования уравнения (2. 47) необходимо
правый член уравнения записать в виде
[ipnrc
cwaf тогда при значе-
2
нии wa, равном
— перепаду давления на форсунке, мы
получим расчетное значение коэффициента расхода |1,
соответствующее данной конструкции струйной форсунки.
Таким образом, использование уравнений, предложенных
A.M. Праховым, применимо во всем диапазоне значений
геометрических характеристик.
Причина уменьшения коэффициента расхода в открытых
центробежных форсунках объясняется в работе [15] тем, что в этих
форсунках увеличиваются потери скорости в тангенциальных каналах
из-за возрастания скорости. Но в этом случае уменьшение расхода
не должно было приводить к уменьшению угла факела раскрытия,
что наблюдается в открытых центробежных форсунках.
Уменьшение угла факела для открытых центробежных форсунок можно
объяснить уменьшением радиуса воздушного вихря в камере
закручивания гтк и увеличением радиуса воздушного вихря в сопле
форсунки из-за уменьшения коэффициента расхода сопла
форсунки. При постоянном значении геометрической характеристики А
и уменьшении степени закрытия сопла происходит изменение
радиусов воздушных вихрей в камере закручивания и сопле как это
качественно показано на рис. 2.2 и уменьшение коэффициента
Рис. 2.2. Изменение радиусов воздушного вихря в форсунке
постоянной геометрической характеристики по мере
изменения степени ее закрытия
56

расхода по мере уменьшения степени закрытия сопла форсунки. В
центробежной форсунке закрутка осуществляется
тангенциальными каналами, а истечение закрученного потока происходит через
тот или иной вид соплового насадка.
Рассмотрим истечение закрученной жидкости через плавно су-
ясаюшийся насадок. По аналогии с водосливом рассмотрим плавно
сужающийся насадок единичного радиуса, через который
происходит истечение закрученной жидкости с постоянной
циркуляцией. Картина такого истечения показана на рис. 2.3,а.
3 2
Рис. 2.3. Расчетные зависимости отношения коэффициента расхода,
вычисленного с использованием уравнения количества движения, к
коэффициенту расхода, вычисленного согласно принципа
максимального расхода, в зависимости от относительной высоты соплового на-
Т h - гпгк
садка h = — при различных гтк :
1 - ~гтк = °>9 ; 2 - ?тк = 0,8 ; 3 - 7тк = 0,7; 4 - ?тк = 0,5;
5 -7= =0,1; 6 -7т=0,01
Полученные с использованием уравнения (2.39)
коэффициенты расхода при различных (циркуляция скорости при
одинаковых скоростях истечения) и различной высоте насадка
показывают, что по мере увеличения высоты плавно сужающегося
соплового насадка коэффициенты расхода, вычисленные по уравнению
57

количества движения и принципа максимума расхода, стремятся
к одному значению (рис. 2.3,6).
Интересно отметить, что, как показывают расчеты, для
насадка гвх при ~гтк* стремящегося к нулю, мы имеем случай незакру-
ченной жидкости, коэффициент расхода \1 = 0,5, как в насадке
Борда, а закрутка потока в насадке приводит к значительному
увеличению коэффициента расхода по сравнению с незакрученной
жидкостью.
Максимально возможные коэффициенты расхода центробежных
форсунок в зависимости от геометрической характеристики А при
различных степенях закрытия для плавно сужающихся сопловых
насадков показаны на рис. 2.4. Приближенно кривые, показанные
на рис. 2.4, можно определить по следующей зависимости
М* 1 +4-
1 —
/ПК
(2.49)
it
где |iT и гтк — параметры, которые определяются, согласно
принципа максимального расхода.
/
^ 0.9
0.8
0,7
0,6
0,5
ОА
0,3
0.2
0,1
\
\
\
\ \
\\ \
\\\
Ч\
\
Твх_=1,5/
/
/
\ у
К\
■>Ъ\
"^-
Гвх—1/
Гих~а.
/
/
^^
=2
1 — «
2
5
Рис. 2.4. Максимально возможные коэффициенты расхода
центробежных форсунок в зависимости от А при различных гвх
58

Для проверки влияния, которое оказывает на течение
различая высота соплового насадка, были проведены проливки
центробежной форсунки, конструкция которой показана на рис. 2.5.
Данная форсунка имела для всех вариантов одинаковые значения
размеров камеры закручивания гкз и сопла гс. Имелось несколько
деталей 1 с различными размерами диаметра 2Л и деталей 2, в
которых были просверлены тангенциальные каналы. Всего было
четыре варианта детали 1 с различными диаметрами 2Л и 3 варианта
детали 2 с различными диаметрами тангенциальных каналов,
обеспечивающие 3 различные значения геометрической
характеристики форсунки. Форсунки, геометрические характеристики
которых равнялись А = 0,75; 1,4; 3, проливались с сопловым
насадком различной высоты.
Рис. 2.5. Конструкция
модельной форсунки:
1 — сопловой насадок;
2 — корпус с
тангенциальными каналами
Результаты проливок, изменение коэффициента расхода
форсунки и угла конусности факела от высоты соплового насадки
показаны на рис. 2.6. Результаты расчетов и проливок показывают,
что при постоянном значении геометрической характеристики А с
уменьшением высоты соплового насадка коэффициент расхода
уменьшается. Уменьшается и угол факела распыла.
В реальных конструкциях центробежных форсунок для
идеальной жидкости коэффициент расхода всегда меньше
вычисленного по принципу максимума расхода и зависят от формы и
высоты соплового насадка. Из сказанного становится ясным причина
заметного уменьшения коэффициента расхода центробежных
форсунок по мере уменьшения степени закрытия последних. Даже
при условии, что коэффициент расхода тангенциальных каналов
не уменьшается и равен единице, коэффициент расхода форсунки
сильно уменьшается за счет уменьшения высоты соплового
насадка, т.е. уменьшения степени закрытия форсунки, ибо любую цент-
59

os-
О.Ъ
Q2
50
3 A
3 h
Рис. 2.6. Изменение коэффициента расхода форсунки
и угла факела от высоты соплового насадка
робежную форсунку можно рассматривать как камеру
закручивания, присоединенную к сопловому насадку той или иной высоты.
В этом случае теоретическое значение коэффициента расхода
может дать только уравнение количества движения. При
использовании коэффициентов расхода, согласно принципа
максимального расхода, вводят поправочные коэффициенты [15], которые
отражают факт уменьшения \У за счет уменьшения закрытия
форсунки.
Коэффициент расхода (I для струйной форсунки в случае
течения идеальной жидкости (несжимаемая и невязкая) зависит от
формы входного в цилиндрическое сопло участка, а также
радиальными размерами этого участка и его длиной. Для
центробежной форсунки коэффициент расхода, кроме этих факторов,
зависит еще и от значения геометрической характеристики А, которая
характеризует отношение площади сопла к приведенной площади
тангенциальных каналов А =
~z— . И это отношение определи-
ет циркуляцию только для одного частного случая форсунки с бес-
60

конечно длинным плавно сужающимся насадком.
Воспользовавшись формулами (2.37 ) и (2.35 ) имеем
А =
тк
1-
7
тк
гтс
тк
(2.50)
Ни у кого не вызывает сомнения тот факт, что при истечении
незакрученной жидкости из насадка определенной геометрии
уменьшение импульса (количества движения) истекаемой
жидкости из-за уменьшения площади соплового насадка приводит к
уменьшению коэффициента расхода сопла струйной форсунки. А
вот что касается истечения закрученной жидкости (с постоянной
циркуляцией) то на протяжении многих лет сложилось мнение,
что коэффициент, вычисленный согласно принципу
максимального расхода, зависит только от значения геометрической
характеристики
А = -
и играет роль только отношение
т.е. отношение степени
закрытия сопла к площади тангенциальных каналов, а сама степень
закрытия сопла (при А = const) из-за уменьшения реакции стенок
сопла уменьшает импульс (количество движения), который
передается истекаемой жидкостью и, следовательно, должен
уменьшаться коэффициент расхода форсунки. Считать, что он остается
постоянным просто безосновательно.
Если при истечении незакрученной жидкости через плавно
сужающийся бесконечно длинный насадок мы имеем коэффициент
расхода (1=1, то при истечении закрученной жидкости (с
постоянной циркуляцией) через этот насадок мы имеем коэффициент
расхода, зависящий только от геометрической характеристики и опреде-
61

ляемый, согласно принципу максимального расхода. И только для
этого случая можно легко получить (в аналитическом виде)
коэффициент расхода |1 (используя уравнение количества движения (2.39)).
Перепишем уравнение (2.39) в виде
— I? _1_ »1|Ц /О f\ 1 \
Для заданного значения циркуляции реакция R1 остается
постоянной, максимальное значение импульса (R2 + ^^ac) будет при
максимальном значении разности реакций (i?4 - R$). Абсолютный
максимум реализуетсяпри стремлении угла конуса 0 к нулю и радиуса
соплового насадка к °° и зависит только от значения осевой
скорости на стенке соплового насадка, а следовательно осевой
скорости в сопле wAC или радиуса гтс. При выполнении этих условий
можно записать, что (R2 + ^^ас) принимает максимальное значение и
9(i?2 + ^^ас^
„ Тогда с учетом уравнений (2.40) и (2.45) будем иметь
тс
(2.52)
и числитель последнего выражения равен 0, что соответствует
выражению (2.33). В этих условиях мы имеем соотношение между
радиусом воздушного вихря в камере закручивания гтк и
радиусом воздушного вихря в сопле rmc, соответствующее принципу
максимального расхода, можно сказать, что принцип
максимального расхода или максимальный расход реализуется максимально
возможным импульсом.
2.2. Принцип максимального расхода как формы
вариационной постановки задачи гидродинамики
Рассмотрим истечение закрученной невязкой жидкости через
плавно сужающийся сопловой насадок. Уравнение неразрывности
в дифференциальном виде можно записать
= 0. (2.53)
62

В интегральном виде уравнение неразрывности запишется
J(div W)dV=O. (2.54)
v
Последний интеграл по объему можно записать как интеграл
по площади интегрирования
(2.55)
Для случая течения жидкости в плавно-сужающемся насадке
имеем
\ (2.56)
где Qi и Q2 — объемный расход жидкости на входе и выходе из
насадка.
Рассмотрим квадратичный функционал
• (2.57)
Стационарное течение жидкости в сопловом насадке можно
представить так, что последний функционал принимает
стационарное значение. Тогда необходимо условие стационарности
запишется в виде
5GJ1 = bQx - 5Q2 = 0. (2.58)
Перепишем последнее уравнение в виде
(38Q, „ Э5Э2 9
8GJ, = 2\-^bric--^ 5r2mc |, (2.59)
[дг дг )
т.е. последнее выражение записано через вариацию радиуса
воздушного вихря в сопле насадка.
Из анализа физической картины течения становится ясно, что
в случае истечения закрученной жидкости через бесконечно
длинный плавно сужающийся насадок расход жидкости на входе не
зависит от изменения радиуса воздушного вихря в сопле насадка
(рис. 2.7).Расход на входе в насадок можно записать в виде
63

wz,
где w<£ — полная скорость жидкости.
(2.60)
fs /////////// / / //// ////// ,
Рис. 2.7. Структура сил, действующих на закрученную жидкость
в сопловом насадке
При стремлении площади на входе к S1 —> °°радиус
воздушного вихря на входе гвн стремится к постоянному радиусу
воздушного вихря в камере закручивания гтк, который не зависит от
изменения радиуса воздушного вихря в сопле гтс. При этом проходное
входное сечение насадка никак не лимитирует расход, так как
жидкость входит в насадок с нулевой скоростью. При таких размерах
насадка в него может войти любой расход. Таким образом,
= 0.
(2.61)
С учетом последнего выражения вытекает условие
= 0,
(2.62)
т.е. реализуется принцип максимального расхода.
В этом случае реализуется условие, при котором радиус
воздушного вихря в сопле принимает такие размеры, при которых
64

расход через сопло максимален при заданной циркуляции,
которая определяется радиусом воздушного вихря в камере
закручивания гтк. В любом другом случае, когда насадок имеет конечные
размеры и радиус воздушного вихря на входе в сопловой насадок
r i отличен от гтк и функционально зависит от изменения радиуса
воздушного вихря в сопле гтс, принцип максимального расхода в
виде ( 2.33) не реализуется. Уравнение (2.59) можно переписать:
= 2
Эг;
тс
(2.63)
В этом случае можно сказать, что ищется максимальный
расход при условии ограничений накладываемых взаимной связью
радиусов гвн и гтс. При этом мы имеем задачу на условный
экстремум.
Уравнения связи, накладывающие ограничения на
варьирование радиусов можно получить, рассмотрев уравнение количества
движения.
Уравнение количества движения на входе в сопловой насадок
можно записать в виде
Rn-R,-p-?r = 0. (2.64)
где Rq — реакция со стороны торцевой стенки (рис. 2.7);
До =
г2 -г2
Г1н гтк
2г2
-In
Г1н
/ПК
(2.65)
.Rj — реакция от центробежных сил жидкостного кольца на входе
в сопловой насадок
(г2 -г2
М,т ' т»т,
= лрс0
Г1н
(2.66)
Площадь сечения жидкостного кольца на входе в насадок S1
равна
(2.67)
65

Уравнение количества движения для соплового насадка
можно записать в виде
RH — реакция от давления на сопловой насадок.
Разность реакций
RW = ROH-RH;
R — реакция на торцевой стенке ниже сопла.
= \w2a2nrdr
(2.68)
(2.69)
(2.70)
wa — значение осевой скорости на произвольном радиусе гн
О
w■ =
(2.71)
Аналитическое определение wa невозможно, так как
невозможно аналитически выразить радиус воздушного вихря гв как
функцию от радиуса насадка гн.
Реакцию Rw можно представить как сумму реакций
RW = RW>-RU, (2.72)
RlB — реакция от торца цилиндрической вставки радиусом rmc
Д1в = тсрс0
R' —реакция от условного скоростного напора
г2 -?
тс вн
(2.73)
и
Rw=% j(wa)22nrdr,
(2.74)
Q
66

Таким приемом мы заменили течение со свободной
поверхностью в сопловом насадке течением, когда в центральную часть
вставлен цилиндр с радиусом гтс. С учетом того, что Ro = RQC + R0H,
можно записать
«I
Rnr + Rw = Rno + Rw' — R-t„ = Ro + p -^— . (2.75)
OL u/ UO и/ J.rJ ^ ' j*4rt
Такое представление Лш не приводит к изменению суммы
реакций на контрольную поверхность по сравнению с исходной
схемой течения.
Для входного участка можно записать
^2
(2.76)
^1
Для всего участка имеем
D — I? _i_ D _i_ /О Г7Г7\
^2
Условие связи можно записать в виде
^2 Л/Г,2
= 0. (2.78)
Итак, мы можем сформулировать задачу на условный
экстремум в следующем виде. Реализуется такое течение жидкости,
которое минимизирует следующее выражение
^ UVtfo I
(2.79)
Для определения неизвестных величин получаем систему
уравнений
3GJ,
—^ = 0; (2.80)
Эгвн
dGJl о
эх -°*
67

Из данной системы уравнений можно найти все неизвестные
величины. Но, как видно, такая постановка задачи не дает
никаких преимуществ перед постановкой задачи в классическом виде.
В частности, используя уравнение количества движения в
интегральном виде, т.е., используя последнее уравнение с уравнением
расхода, можно найти интересующие нас величины.
Наряду с принципом максимального расхода, который
основывается на использовании уравнения сохранения массы,
уравнение сохранения импульсов накладывает ограничение на
экстремум расхода; точно также можно сформулировать вариационный
принцип на основе уравнения сохранения импульсов, а уравнение
сохранения расхода будет накладывать ограничения на
вариационную трактовку уравнения импульсов.
Уравнение импульсов можно записать
•2 л)п I г
[w?.+p)dS = 0. (2.81)
Для нашего случая с учетом уравнения (2.77) можно записать
квадратичный функционал
(2.82)
А с учетом уравнения (2.75)
Можно сказать, что для течения закрученной невязкой
жидкости через плавно сужающийся бесконечно длинный сопловой
насадок реализуется такое течение, при котором сумма импульсов
вдоль замкнутой поверхности принимает минимальное значение.
Oc w2s;
15Г э^ =°- (2-84)
68

Выражение в скобках можно представить в виде
Г ' <
Д.+ — реакции, которые стремятся увеличить суммарный импульс;
#._ — реакции, которые стремятся уменьшить суммарный
импульс.
При варьировании расхода и соответственно площади
выходного кольца жидкости реакция Ri+ возрастает с увеличением
реакции Rw* Максимальное значение Rw будет при стремлении соплового
насадка к <*>. Только в этом случае скорость жидкости на входе в
насадок равна 0.
Учитывая, что при варьировании S2 реакция ROc постоянная и
изменяется только Rw при некотором значении площади
жидкостного кольца в сопле S2 реакция Ri+ примет максимальное значение,
и для этих значений S2 и Ri+ можно записать с учетом уравнения
(2.72)
(2-86)
При стремлении радиуса соплового насадка RlH к
бесконечности
R»> = I Sj ' (2>87)
RU = ^00 = лРс0
(г2 -г2 г
тс тк 1 тс
2r2
-In
тк
j
(2.88)
При этих условиях реакции Ri+ и R^_ зависят только от
изменения площади кольца жидкости в сопле, т.е. от гтс и мы имеем
задачу на абсолютный экстремум.
69

—it
rmc
2 1
1_^к|+Г1_?2
rmc
-2Т4
2 тс
Т2 г2 +Т2
тк тс тк
= 0.
тс
(2.89)
Мы получили соотношение
(2.90)
Последнее уравнение характеризует взаимосвязь между
радиусами воздушного вихря в камере закручивания гтк и сопла 7^.,
соответствующее принципу максимального расхода (2.33). В этих
условиях
ЭД;,
-2 г4 +72 Т2 +72
тс тк тс тк
Эг;
= 0.
(2.91)
тс
что также соответствует принципу максимального расхода. Или
иначе можно сказать, что в этих граничных условиях
реализуется течение, при котором выходной импульс максимален, т.е.
= R2 +
pQ22
—> max.
Таким образом, принцип максимального расхода или
максимальный расход реализуется максимально возможным
импульсом, который возникает только при истечении жидкости через
бесконечно длинный плавно сужающийся сопловой насадок. При
этом уравнение (2.85) превращается в тождество.
В случае конечной длины соплового насадка
(2.92)
мы имеем задачу на условный экстремум с определенной
функциональной зависимостью радиусов воздушного вихря на входе в
сопловой насадок и сопла. В этих условиях
70

Щ+ Щ-
—- = — ±0. (2.93)
дгтс дгтс
При конечной длине соплового насадка реакции Ri+ и Rt_
также стремятся реализовать свое максимальное значение, но их
ограничивают условия на входе в сопловой насадок. В этом случае при
варьировании площади кольца жидкости на выходе S2 изменяется
по определенному закону скорость жидкости на входе в сопловой
насадок Sy В этих условиях реакция Rw зависит не только от
изменения расхода жидкости на выходе сопла, т.е. от гтс, но и от значения
скорости на входе в насадок, т.е. от гвн.
Чтобы найти взаимосвязь между изменениями S2 и Sx
необходимо использовать уравнения связи, которым является уравнение
расхода.
При этом квадратичный функционал с учетом уравнения
(2.78) примет вид
[{ V + «1 Н * S2 ) J
И мы имеем задачу на условный экстремум. Но такая
постановка не дает никаких преимуществ перед способом нахождения
параметров течения, используя уравнение количества движения и
лишь в случае бесконечно длинного насадка мы будем иметь
GJ1=
(2.94)
Г = 5-ЪГ^0- (
Эгтс дгтс дгтс
С учетом уравнений (2.90) и (2.91) и в случае X Ф 0 первый
член тождественно равен 0, мы получаем условие выполнения
Э<32
принципа максимального расхода —о-~ = 0.
д
71

3. ДИНАМИКА ЖИДКОСТНЫХ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ФОРСУНОК
3.1.Нестационарное течение жидкости
с распределенными параметрами по длине
центробежной форсунки при гармонических
воздействиях
Прежде чем непосредственно приступить к описанию
нестационарного течения в форсунке остановимся на вопросе
динамического взаимодействия системы подачи и форсунки. Рассмотрим
наиболее простую структурную схему, состоящую из двух
динамических звеньев: системы подачи и форсунки. Изучение
динамических характеристик звеньев будет проводиться методом частотных
характеристик. Обычно при этом изучаются малые отклонения
параметров системы от их стационарных значений. Последнее
обстоятельство позволяет осуществить линеаризацию уравнений
динамики звеньев вблизи стационарного режима. Если на вход
устойчивого линейного звена подан гармонический сигнал, то на
выходе звена устанавливаются гармонические колебания, имеющие
то же значение частоты, что и входной сигнал, но другую
амплитуду и фазу. Таким образом, на установившемся режиме
воздействие гармонического сигнала на линейное звено можно
охарактеризовать двумя функциями частоты, одна из которых показывает во
сколько раз изменилась амплитуда, и вторая — на сколько
изменилась фаза гармонических колебаний в результате прохождения
через звено. Используя полярную систему координат и взяв в
качестве угла фазу, а в качестве радиуса-вектора отношение амплитуд в
интересующем интервале частот, получаем некоторую кривую,
которая имеет название годографа амплитудно-фазовой частотной
характеристики (АФЧХ). Авторы [6, 9], рассматривая динамику
форсунок совместно с системой подачи, задавались в качестве
входной координаты колебанием давления в камере сгорания 8рк,
72

а выходной — колебанием расхода жидкости 5фф. В этом случае
искомой величиной является проводимость системы совместно с
форсункой W\ = —— или обратная ей функция — импеданс на
выходе Zfo = -3^-. Наряду с этими функциями, для анализа
механизма потери устойчивости системы подачи, работающей совместно с
центробежными форсунками, нам понадобится знание импеданса
на входе в форсунку ZBX:
Щ
Рассмотрим условия статической устойчивости при работе
форсунки с системой подачи. На графике рис. 3.1 кривая 1
изображает изменение расхода в системе подачи от значения
давления в системе подачи, перед форсункой. Для устойчивой системы
подачи увеличение давления на ее выходе приводит к
уменьшению перепада давления на системе подачи и уменьшению расхода
в системе подачи (кривая 1). Это же увеличение давления,
повышая перепад давления на форсунке, приводит к увеличению
расхода через форсунку (кривая 2). Данное состояние является
устойчивым и форсунка с системой подачи, выведенная из этого состо-
а)
Система
подачи
dQfi
-ih-
Форсума
р р
Рис. 3.1. Структурная схема устойчивости
73

яния, стремится вернуться к первоначальному. Если форсунка
имеет расходную характеристику с отрицательным
сопротивлением (рис. 3.1), то такое состояние является неустойчивым. Замкну,
тая динамическая система, состоящая из системы подачи и фор.
сунки, будет устойчива, если в разомкнутом состоянии годограф
характеристической функции не охватывает точку (1,0) —
критерий Найквиста.
Характеристическая функция имеет вид:
w 8QBX 8pBX ZBX
5Л 5Я Z
Представим выходной импеданс системы подачи в виде
ZBMX = аг + ib^ у а входной импеданс форсунки ZBX = а2 + ib2. Тогда
будем иметь
Zbx a2 + ib2 _ а2а1 + Ь2&1 . а1а2 ~ а2Ь1
.
н
Н + ibx a\ + b\ a\ + b\
На границе устойчивости второй член равен 0, при этом имеем
= 1.
Если считать, что система подачи устойчива и имеет
импеданс, действительная часть которого отрицательна, то условием
устойчивости системы является а2 > av т.е. действительная часть
входного импеданса форсунки должна быть больше
действительной части выходного импеданса системы подачи.
В настоящей главе рассмотрена линейная математическая
модель нестационарного течения закрученной маловязкой
несжимаемой жидкости в центробежной форсунке. Данная модель применима
для маловязких жидкостей, вязкость которых не приводит к
заметному отличию от стационарного течения невязкой жидкости. Для
нестационарного течения вязкой жидкости в центробежной
форсунке отсутствует удовлетворительная стационарная модель течения
вязкой жидкости.
Условно центробежную форсунку можно разбить на следующие
элементы (рис. 3.2): тангенциальные каналы, камеру закручивания,
цилиндрическую камеру течения и сопло. Через тангенциальные
каналы жидкость поступает в камеру закручивания центробежной
74

форсунки. В камере закручивания за счет разности реакций от
центробежных сил на торцевые стенки возникает осевая скорость,
g камере течения происходит истечение жидкости с некоторой
осевой скоростью, на входе в сопло осевая скорость возрастает до
скорости распространения поверхностных волн и в сопле осевая
скорость больше или равна скорости распространения
поверхностных волн.
Zcn'7-
Участок 1-2
yi 2х
Участок 2-3
Рис. 3.2. Динамические элементы жидкостного тракта
центробежной форсунки
Предлагается следующая физическая модель
нестационарного течения невязкой жидкости в центробежной форсунке. При ко-
75

лебаниях давления в камере сгорания (в газовом вихре
центробежной форсунки) возникают колебания скорости на выходе из
тангенциальных каналов, приводящие к деформации радиуса
воздушного вихря в камере закручивания и изменению циркуляции.
Волны циркуляции распространяются в камере закручивания в
радиальном направлении с радиальной скоростью. Изменение
давления на жидкостном вихре за счет деформации радиуса вихря и
волн циркуляции приводит к возмущениям осевой скорости и
давления в конце камеры закручивания и на входе в камеру течения.
Возмущения по камере течения распространяются как за счет
поверхностных волн, так и за счет волн циркуляции. Поверхностные
волны распространяются по камере течения со скоростью
распространения возмущений по жидкостному вихрю, частично
отражаются от сопла и образуют систему прямых и обратных волн.
Волны циркуляции распространяются с осевой скоростью
жидкости и приводят к деформации цилиндрической поверхности
воздушного вихря. Вязкостные потери уменьшают колебания как
поверхностных, так и волн циркуляции в камере закручивания и в
камере течения. Нестационарное течение в сопле отличается тем,
что скорость распространения возмущений по поверхности
жидкостного вихря равна осевой скорости жидкости и поэтому
отсутствуют отраженные волны. Рассмотрим динамику течения
жидкости в отдельных элементах и их взаимосвязь.
3.1.1. Нестационарная модель течения жидкости
в камере закручивания
Для описания течения несжимаемой вязкой жидкости в
камере закручивания воспользуемся дифференциальными
уравнениями Навье—Стокса в цилиндрических координатах в отсутствии
внешних массовых сил:
dwr
dt
dwa
dt
dwr
+ dr U
dwa
' dr *
dwr
+T2"
dwa
'г + гЭф "
dwr
+ dz U
wr
^wa
)rT j dz
2dw\
**)
dp
"/(l pdz
(3.D
76

т Эш r dp
w + w + — w + = — —— +
г Э т Э а г Э
+w +w + w +=
Э* дг г гЭф т Эг а г рЭг
2Эшт
где wr, wa, wT — радиальная, осевая и окружная скорость
соответственно.
Считая, что в камере закручивания wT » wr; wa перепишем
систему уравнений (3.1) в виде формы Ламба—Громеки, сохранив
лишь вязкостные члены с окружной скоростью:
-*-..
dp ( \
Эг рЭф y*J
Wl 2 2 2 Эц;т
где —гг = wr + u;_ + u;_ — квадрат полной скорости; i2r = —— — за-
^ ' т " oz
вихренность потока вокруг оси для осесимметричного потока;
dwr dwa d(rwT)
L2fn = —— = —— — завихренность вокруг оси ф; L2, = - —-— — за-
ф Эг Эг z rdz
вихренность вокруг оси z (для осесимметричного течения).
Обозначим wTr= с — циркуляция потока вокруг оси 2.
Предлагаемая картина течения показана на рис. 3.2. Проведем анализ
уравнений системы (3.2), исходя из положения, что стационарное
течение жидкости в центробежной форсунке потенциальное, т.е.
В случае нестационарного течения циркуляция £12 Ф 0, а
циркуляции £1Г и Q остаются равными 0.
С учетом принятых допущений первое уравнение системы
(3.2) запишется в виде:
77

"&• <3-3>
Проанализируем члены последнего уравнения
i{4}=044}
Из анализа течения жидкости в камере закручивания можно
сказать, что
т"
Значение — -~- можно вычислить, зная значение wr = wr(r)9
2 2 2
но, учитывая, что wT » wr + wa, можно записать:
Преобразуя последнее уравнение, получим:
Э Ml Э (с2ЛщЪ_<?
дг { 2 J 2Эг I г21 гЭг г3 '
(3-5)
(3.6)
С учетом уравнений (3.2), (3.6) уравнение (3.3) запишется в
виде;
Второе уравнение системы (3.5), учитывая, что Q.r; Фф = 0, а
Эшг Эа;т
изменение —— и пренебрежительно мало, запишется в виде
dz dz
dt a dz pdz' K * ;
78

Для третьего уравнения системы для осесимметричного
течения будем иметь
Умножив обе части уравнения на г, получим:
*L + W*L + W 3£ = vrA(l*f|.
Э* г дг а дг дг [г дг) У '
Если пренебречь вязкостью жидкости, то правая часть
последнего уравнения равна 0, а левая представляет собой полный
дифференциал, т.е.
dc = 0. (3.11)
Это уравнение говорит о том, что такая циркуляция
сохраняется на всем пути движения частицы.
К системе уравнений (3.2) необходимо добавить уравнение
неразрывности. Ввиду того, что аналитическое определение
радиальной и осевой скорости в камере закручивания затруднительно,
воспользуемся условием сохранения расхода в камере
закручивания в интегральном виде.
Будем считать, что амплитуда колебаний переменных
существенно меньше их установившихся значений, следовательно,
уравнения допускают линеаризацию относительно стационарного
режима:
FB^^ = ^o6 + SKbu>a + wabSK, (3.12)
8йвх — изменение входной скорости; SFo6 — изменение объема
камеры закручивания; Ьъиа — изменение осевой скорости в камере
закручивания; 8SK — изменение площади камеры закручивания.
Преобразуем систему уравнений (3.2) и уравнение (3.12) к
безразмерному виду, относя возмущения величин к их среднему
значению:
8с
сЛ ;
bw
г
9
0
5гтк
bwa -
Ьгтк
гтк
6wa
wa0
9
9
_
Г =
s
С
Г
79

В качестве масштабной (средней) скорости в форсунке примем
скорость
">z = V~^ • (ЗЛЗ)
где w^ — квадрат полной скорости; Арф — перепад давления на
форсунке.
Ограничиваясь только частным периодическим решением для
вариаций возмущений, можно записать:
Ьгтк = 5-гткеш, (3.14)
8с = Ьсеш , (3.15)
Ьша = Ыиаеш , (3.16)
5гтк, 5c, Swa — амплитуды безразмерных вариаций радиуса
воздушного вихря, циркуляции и осевой скорости (величины
комплексные).
Последнее уравнение системы (3.5) может быть решено
отдельно от первых двух уравнений. Можно считать, что в камере
закручивания из-за ее малой длины —- = 0.
дг
Уравнение (3.10) можно записать в безразмерном виде:
ЪЬс ЪЪс д (дЬс) /о _
— + wr —- = vr — — . (3.17)
Э^ г дг дг \гдг \
Преобразовав уравнение (3.17) с учетом (3.15), будем иметь:
где S = ico; % = —%
Уравнение (3.18) является линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с переменным коэффициентом при
первой производной. Чтобы решить уравнение (3.18), надо задать
два граничных условия. Одним из них является значение цирку-
80

д на радиусе тангенциальных каналов — 5сг = 5свх, другое
вх
—- циркуляция на радиусе воздушного вихря, примем 5сг = 0.
тк
Учитывая, что для маловязких жидкостей во всем диапазоне
частот, исключая очень низкие, может рассматриваться малым
параметром, получим решение уравнения методом возмущений [6].
Запишем разложение параметра 5с в виде
дс(гА) =
(3.19)
Подставив (3.19) в (3.18), ограничиваясь первым
приближением, получим:
"V8c
oi
Э28с,
oo
д§с00
Э72 rdr
Решение системы (3.20) будет иметь вид
SrcdT
(3.20)
8с01 = е
пк'^Ьс00 Э8с01
rdr
(3.21)
Подставляя (3.22) в (3.21), получаем с учетом граничных
условий 5сг = 5свх:
ткг
-S -±
J w
Ъс = 5свх е
Э8с(
оо
дТ2 rdr )
dr
. (3.22)
81

Без учета вязкости по уравнению (3.11) уравнение (3.22)
примет вид
5с = 5?вхе Гвх . (3.23)
Из уравнения (3.23) следует, что вариация циркуляции
скорости 5с в некоторый момент времени t на некотором радиусе г
равна циркуляции на радиусе тангенциальных каналов в момент
времени t - т0, где т0 — время, за которое частица жидкости
преодолеет расстояние от тангенциальных каналов до радиуса г.
Время х0 определяется значением радиальной скорости в камере
закручивания форсунки. Если считать, что осевая скорость на
выходе из камеры закручивания имеет по радиусу одинаковое
значение, то можно считать, что сток жидкости из камеры
закручивания в камеру течения по радиусу равномерный. Тогда можно
записать:
ш,2кг1кз = waOn(r2 - riK), (3.24)
где /кз — длина камеры закручивания.
Приведенная осевая скорость равна:
a0
2 _ 2
гк гтк
Из уравнения (3.24) значение радиальной скорости в камере
закручивания равно:
Wr" 2rl
Картина течения показана на рис. 3.3.
(3.26)
гс \ тбг
_ \ Г
^Щ*
82

ln(a0r2 + b0)
2ал
(3.27)
где
wa
VVr
Рис. 3.3. Картина течения жидкости в камере
закручивания форсунки
Проинтегрируем уравнение (3.7) по радиусу, учтя, что
интегрирование ведется по переменному верхнему пределу:
(3.28)
Линеаризуя уравнение (3.28), будем иметь для второго члена
в левой части уравнения (3.17)
г +6? о г
е2 "1К . тк (со + 8с)2 Г(со +
3dr= J —з—dr=i—з
dr+
С г mK (cn + Sc)
J r6
(3.29)
83

С учетом уравнения (3.29) уравнение (3.28) в отклонениях
запишется в таком виде:
<3-30)
Преобразуем уравнение (3.30) к безразмерному виду, разде-
о
лив на масштабную скорость w^ и записав для амплитуд
безразмерных вариации:
Г/пк 2сл
2 J S5w;rc/r + -2 J —3- dr - 2 ,.,2 5гтк "
w| к-
вх
Первый член в уравнении (3.31) характеризует инерционные
свойства жидкостного вихря в радиальном направлении.
Принимая в первом приближении, что нестационарная радиальная
скорость примерно равна скорости на радиусе воздушного вихря
гтк
—-— , имеем:
С учетом (3.32) можно записать:
/пк 9
± J S8wrdr = ^ (?вх - rmK)87mK. (3.33)
вх
Преобразуем второй член уравнения:
г
1
T2cC)5c
84

Значение циркуляции по радиусу берем из уравнений (3.22) и
(3.23). Так, без учета вязкости по уравнению (3.23) будем иметь:
г г
тк _ /пк
г bcdr _ г (
ScB
2а0
<3'35)
где
= aQ
H21=J
cos (со rf0 In г/)
s f sin(G)d0 Ыу)
s f
где И21 и И22 — интегралы действительной и мнимой части от
составляющей давления волны циркуляции.
Рассмотрим правый член уравнения (3.31):
(3.36)
где 5ркз — изменение давления в форсунке на радиусе входа
тангенциальных каналов; 8рк — изменение давления за форсункой.
Изменение давления по камере закручивания с учетом
инерции жидкости в тангенциальных каналах можно записать в виде:
Учитывая, что
1-
-2
'вх
(3.37)
(3.38)
85

а давление подачи
(3.39)
О
разделим на ш2 и с учетом (3.38) получим
Рк + ДРф
4L
(Рк
5св
2 ...2 ^вх
(3.40)
Обозначив
2Дра
, последнее уравнение можно записать
~2 Л
1 гтк
1 1 гтк
Л 2"^
(3.41)
Для амплитуд возмущений последнее уравнение запишется в
виде
/ ~2 N
1 , JL _ Г/пк
йф 2"27^х
1 V
Z r r
ТК С /ПК
(3.42)
Изменение давления перед форсункой представим через
импеданс системы подачи:
5p=z 5uLv. (3.43)
86

Учитывая, что 6u>BX = бсвх, имеем
BX = бсвх,
(3.44)
Уравнение (3.42) перепишется для амплитуд колебаний:
(1 1
f ~r2
1 . 1 гтк |~-
V2 27
"Б" Рс
V
o-
(3.45)
C учетом уравнений (3.34) и (3.35) уравнение (3.31)
перепишем в виде
ср(И21
/ПК
г*
1_
2~
(3.46)
Группируя члены последнего уравнения, можно записать
+ ЛцФк, (3.47)
где
г2
-2 "v
J_ 1 Гшк
ЛФ 2"2^
г вх
-1,
"Т "ф
Рассмотрим второе уравнение системы (3.2)
Э»в Эша Эр
Э^ а dz pdz
(3.48)
Для решения уравнения (3.48) его удобно проинтегрировать
по объему камеры закручивания, т.е. представить в интегральном
87

виде. Из-за малости линейного размера z значением инерционного
члена можно пренебречь, тогда уравнение (3.48) запишется так:
25S
= 5Д2 + w2a5SKp + 2waSK5u>ap,
(3.49)
8RV 8i?2 — изменение реакций на торцах камеры закручивания.
Изменение реакции б^ с учетом уравнения (2.40) можно
записать в виде
= 2крс0
тк
иэг
(3.50)
эг
бг
ткт-
(3.51)
6сэг — эквивалентная циркуляция в камере закручивания, равная
среднему изменению циркуляции по радиусу:
(и9л + и9Л
\ zi zz i
вх
1 -
"4
(3.52)
Разделив уравнение (3.49) на масштабную скорость и приведя
к безразмерному виду, будем иметь:
-2
г2
гтк|
^П
1п Г
88

1-
гткт
г
ткт
(3.53)
= гк-гткт-
Решить уравнение (3.48) также можно, исходя из следующих
соображений.
Если считать камеру закручивания в осевом направлении
достаточно малой, чтобы выполнялось условие одинаковой полной
скорости жидкости на радиусе воздушного вихря, то вместо
уравнения (3.49) можно записать
8(и>|) = 8(0$! + 5(1^. (3.54)
Уравнение (3.54), выраженное через возмущения на радиусе
воздушного вихря, запишется в виде:
0 5Г
2со5с
ткт
(3.55)
Разделив уравнение (3.55) на квадрат полной скорости,
перепишем уравнение для относительных амплитуд возмущений:
28сэг-&тк'-
9Кг - Яг
*осэг огткт
+ 2
- тк
X — г»
ткт
(3.56)
Уравнение сохранения расхода можно переписать:
(3.57)
Радиальная скорость жидкости на радиусе воздушного вихря:
dt
(3.58)
89

Преобразуем уравнение (3.57) к безразмерному виду, записав
для амплитуд соответствующих возмущений:
Яа» — л»* -I- ftu) - лТ* (I
освх w огтк + оа;акт1 m огткт1 * v
к Фк
Для того чтобы решить уравнения (3.56) и (3.59) и установить
связь между перемещениями в камере закручивания в
зависимости от изменения давления за форсункой, необходимо знать связь
между изменением 8м;акт1 и 8гткт1. Эту связь можно определить,
рассмотрев течение в камере течения и в сопле.
3.1.2. Распространение возмущений давления
и скорости по камере течения и соплу
При описании течения закрученной вязкой жидкости в
камере течения и в сопле воспользуемся дифференциальными
уравнениями Новье—Стокса. Будем считать радиальную скорость малой
по сравнению с осевой, тогда система уравнений (3.1) примет вид:
i
г рЭг '
п
Эр Э w
£ T ^ (3.60)
п
dw dw Эр Э w
а dz рЭг
Последнее уравнение системы перепишем в виде
дс дс д2с Э (1 дс)
T-+o;fl- = v —? + vr Т" Г" Т" • (3.61)
Э^ а dz dz2 Эг \г дг\
Линеаризуя и интегрируя первое уравнение системы (3.60) и
учитывая уравнение (3.29), можем записать:
(3.62)
90

РОткт
где орп = з характеризует изменение давления в камере
течения, связанное с изменением радиуса воздушного вихря;
mKl о 2
f 8c _,
§Р = Р J —з~ характеризует изменение давления, связанное с
г
вх
изменением циркуляции по радиусу жидкостного вихря.
Рассмотрим сначала частный случай движения жидкости в
камере течения, когда можно считать, что значение циркуляции
вдоль оси постоянно. Это условие реализуется довольно часто в
закрытых центробежных форсунках при высоких частотах [9], когда
в камере закручивания происходит интегрирование давления,
создаваемого слоями жидкости с различной циркуляцией так, что
суммарное влияние от волн циркуляции равно нулю, т.е. 5рц = 0.
К системе уравнений (3.60) необходимо добавить уравнение
неразрывности. Необходимо учесть, что в поперечном сечении
область течения жидкости представляет собой кольцо, внутренний
радиус которого равен радиусу воздушного вихря. Так как
возможно изменение проходного сечения тракта из-за податливости
воздушного вихря, уравнение неразрывности можно записать в
следующем виде [19]:
d(pSK) d(pwaSK)
dt dz
= 0. (3.63)
Вводя р' = — некоторую эквивалентную плотность, урав-
к
нение расхода можно записать в виде
%„.Х. + ,±.О. ,3.64,
at oz oz
Найдем следующую величину:
- г2 )
= а2. (3.65)
Э5р' 2г\
ткт
Эта величина равна квадрату скорости распространения
возмущений по поверхности жидкостного вихря вдоль камеры
течения [15].
91

С учетом уравнений (3.63) и (3.65) линеаризованная система
уравнений, описывающая распространение возмущений по камере
течения, имеет вид:
п ,_2^а Л.
+ wa + pa 0;
(3.66)
а Э6рп Э 8й>а
+ v
д
= v
Приведем систему уравнений (3.66) к безразмерному виду,
введя безразмерные относительные вариации и безразмерные
переменные 5 и t:
(3.67)
д6Рп
dt
Э8ша
dt
+ м0
+ м0
д6рп
dz
dz
<
+ ак-
1 + *
«к
Эг
Э5рп
Эг
0;
е э2ч*
где
ац;а0
vMo
2 " / ' /
Как и ранее, интересуясь только частным периодическим
решением, будем искать решение в виде
со = — безразмерная частота; 1КТ — длина камеры течения.
Уравнение однородной системы (3.67) имеет вид
М0^3 + f1 " Мо + £rSV " 2MoS^ ~ S2 = °- (3-68)
V )
92

Определение корней из характеристического уравнения (3.68)
весьма затруднительно. Для частного случая М = 0 и значения
? <1в работе [6] приведено решение:
л _ +(q . VC°21 /о дол
В этой же работе показано, что затуханием возмущений Ъюа и
5рп можно пренебречь даже для высоких частот, поэтому член
12 Л
д 0Wa
■ ^— во втором уравнении системы (3.66) можно отбросить.
д2 )
Корни характеристического уравнения для случая V = 0, т.е.
отсутствия вязкостных потерь, равны:
Решение однородной системы (3.67) можно записать в виде
8юл=аЛ5 + вЛ*,
(3.71)
8р = CeXiz + ZteV.
Подставив значения уравнения (3.71) в систему (3.67) , можем
найти:
С учетом уравнения (3.71) уравнения (3.72) и (3.73)
запишутся:
С^-а^А; D = -aKB.
В результате решение системы однородных уравнений
выразится зависимостью:
93

_ A
8wa=Ae
1+Mn
Be
Sz
1-Мл
Sz
Sz
\
(3.74)
Рассмотрим вопрос совместного распространения
поверхностных волн и волн циркуляции по камере течения. Интегрируя
первое уравнение системы (3.60), получаем:
Р =
(3.75)
Постоянную интегрирования найдем из условия постоянного
давления р0 на границе воздушного вихря. В результате будем
иметь
Р-Ро =
(3.76)
Необходимо помнить, что в общем случае функцией z и t
является не только значение циркуляции, но и радиус воздушного
вихря.
Дифференцируя последнее уравнение, получим полный
дифференциал давления:
др . Эр . с2 ,
d d 6
dr
dz
1 Лдс с dr.
г2
ткт
dz. (3.77)
Рассмотрим процесс распространения волн циркуляции по
длине камеры течения. Заменим на входе в камеру течения
значение циркуляции постоянным по радиусу сэг, при этом член в
уравнении (3.61) становится равен 0.
Для амплитуды вариации циркуляции будем иметь
m
Э5сэ
0 -^=
(3.78)
гДе sM = i— •
94

Решение уравнения (3.78) имеет вид
8?эг = Я0Л5,
Где Х% — один из корней характеристического уравнения;
S1 + MQl-£icX2 = 0. (3.79)
Корень Х% определяется зависимостью
(3.80)
Если принять, что 2со^с <1 — относительно малая величина,
и разложить в ряд выражение, стоящее под корнем, взяв три
члена ряда, то получим Х%:
Х= (
Коэффициент Z>q найдем из условия
амплитуда циркуляции в начале камеры течения.
Дифференцируя первое уравнение системы (3.60) по z, а
второе — по г и вычитая одно из другого, получим выражение:
fdw,. dwaVdwa r)d(c
j[ j(3<83)
Из этого уравнения видно, что различное значение
циркуляции по длине камеры течения приводит к завихренности вокруг
dwr dwa
оси ф: О. = —— - -—— и различным значениям скорости по z и г.
v 02 ОГ
Чтобы найти среднее давление в радиальном сечении от волн
циркуляции, воспользуемся уравнением:
95

1 \ /2 2 Л
■ — о Ш гвх — ^кт I —
' ткт
pnct
вх ткт
-In
'ткт
ткт
, (3.84)
откуда
г2 -г2
2 _ вх ' ткт
ср
21п
' вх
г — некоторый радиус, на котором устанавливается среднее по
радиусу давление.
В работе [6] взято аналогичное значение среднего давления по
радиальному сечению.
С учетом уравнения (3.77) система уравнений (3.67) и при
% = 0 запишется в виде:
6> Л/г Э6> а Л
Ё- + Мо -ф + ак —- = 0;
^ dz K Ъг
d8wa
~эГ
aKdz ак
1 -
"2 >
'ткт
(3.85)
7-
с
ср
Учитывая, что изменение давления и радиус воздушного
вихря связаны соотношением 8рп = — -^— $гтктп' системУ уравнений
(3.85) можно переписать:
сС 4-^ = 0;
Э5г„
Э5г
Э*
Эбш
Эг
а1
Э5г
1-
Т2 }
ткт
ср
(3.86)
гт
где ак = - ак -
гткт
96

Как и ранее, интересуясь только частным периодическим
решением из системы уравнений (4.86), получим систему уравнений
для амплитуд вариаций параметров:
, db~wn
(3.87)
d8w
al
02
1-
ср
dz
Решением системы неоднородных уравнений (3.87) для
амплитуд вариаций параметров с учетом граничных условий является
сумма общего решения однородных уравнений и частного
решения системы неоднородных уравнений:
-Si
Sz
(3.88)
Частные решения системы неоднородных уравнений имеют
следующий вид:
А)/31. (3.89)
(3.90)
Подставив решения (3.89) и (3.90) в систему уравнений (3.87)
после несложных преобразований, находим значения Z>01 и D02,
удовлетворяющие этим уравнениям:
97

D02 =
где ft0 =
1
т2
г2
cp
Для случая распространения волн циркуляции без затухания
коэффициенты DQ1 = 0 и Z>q2 = k^D^.
Таким образом, волны циркуляции приводят к деформации
радиуса воздушного вихря, распространяются с осевой скоростью
потока.
Систем уравнений (3.64) близка к системе уравнений,
описывающей распространение энтропийных волн с учетом их
рассеивания в камерах сгорания [19].
По своей физической природе волны циркуляции во многом
аналогичны энтропийным волнам. Если энтропийные волны в
камере сгорания — это волны с различной температурой или
плотностью, то волны циркуляции в центробежной форсунке также
приводят к деформации воздушного вихря и меняют
эквивалентную плотность жидкости по длине камеры течения. Решение
системы (3.87) аналогично решению системы (3.95) с учетом
уравнения (3.94). Физический смысл частных решений уравнений (3.89)
и (3.90) состоит в появлении некоторого добавка к значениям
осевой скорости и давления, связанного с уменьшением деформации
радиуса воздушного вихря по мере диссипации волны
циркуляции. Характерное время распространения поверхностной волны
значительно меньше, чем время заметного изменения 8г/71КТЦ —
возмущения от волны циркуляции, т.е. можно считать, что за
время, когда поверхностная волна пробегает расстояние, равное
тк1ц п
волне циркуляции, последняя изменяется мало, т.е. ———- = 0.
Если проанализировать решение уравнений системы (3.87),
то мы обнаружим, что они не удовлетворяют квазистационарному
режиму работы. Легче всего в этом можно убедиться на примере
течения в открытой центробежной форсунке, где отсутствуют
отраженные поверхностные волны.
Из системы уравнений (3.88) будем иметь для открытой
центробежной форсунки и для квазистационарного режима:
98

5гткт = <*кАе
-Si
°
у02е
1-
гтк
+
1 -
5c.
ЭГ*
(3.93)
При квазистационарном течении жидкости в форсунке
изменение радиуса жидкостного вихря должно быть равным 0. Для
этого должны быть равными по модулю коэффициенты при 5п>а0 и
5cr, a они различны. На квазистационарном режиме амплитуда
О'
осевой скорости bwa должна быть равна 5сэг. Причина
несоответствия исходной системы уравнений квазистационарному режиму
течения возникла из-за принятых предположений при выводе
уравнения (3.86).
Рассмотрим в отдельности распространение только волн
циркуляции в камере течения центробежной форсунки. Такой режим
течения возможен в случае, когда можно считать, что в камере
закручивания реализуется квазистационарный режим течения, т.е.
5сэг = 8свх. Но в случае достаточно длинной камеры закручивания
по ее длине распространяются волны циркуляции и величина Ьсэг(г)
имеет различное значение по длине камеры течения. В первом
приближении будем считать, что волны циркуляции рассматриваются без
перемешивания. Тогда уравнение (3.61) запишется в виде
^ + wa^ = 0. (3.94)
Сравним это уравнение с уравнением неразрывности (3.64)
dt
+ ю„
+ Р
* Ъг
(3.95)
рц — некоторая эквивалентная плотность, вызванная
распространением волны циркуляции.
Эквивалентная плотность рц, вызванная волной циркуляции,
может распространяться только со скоростью жидкости в камере
течения.
99

Уравнение неразрывности (3.95) может быть совместимо с
уравнением (3.94) только, если выполняется условие
dwn
-^ = 0. (3.96)
О2
Тогда второе уравнение системы (3.60) без учета вязкостного
члена запишется в виде
dwn dwn 7)n
—- + w —£ = -~£-. (3.97)
dt Ъг рЭг
Учитывая условие (3.96), вытекает условие
|^ = 0. (3.98)
OZ
Таким образом волна циркуляции, распространяясь по камере
течения, не создает градиент давления по ее длине.
Давление, связанное с изменением циркуляции по радиусу
жидкостного вихря, создает давление на радиусе тангенциальных
каналов
г
6рц = р2с J Ц dr = р2с(-у §-|5сЭ7..
г Г I гткт гвх I
ткт V /
(3.99)
Для того, чтобы выполнялось условие (3.96), необходимо
выполнение следующего равенства:
ткт
т.е. изменение давления в радиальном сечении, связанное с
изменением циркуляции, компенсируется деформацией радиуса
воздушного вихря гткт. Таким образом кольца жидкости с различной
по длине камеры течения циркуляцией и распространяющиеся с
осевой скоростью деформируют радиус воздушного вихря,
который также распространяются с осевой скоростью жидкости.
Вместе с тем распространяющаяся по камере течения волна
циркуляции создает давление, которое меняется по времени. Считая, что
100

возмущения давления распространяются в камере течения с
большей скоростью, чем осевая скорость, можно записать, что среднее
давление в камере течения от волны циркуляции равно
(3.101)
L
;акт1п
Решение уравнения (3.94) находится независимо от решения
системы (3.66), поэтому будем предполагать, что возмущения от
волны циркуляции распространяются независимо от возмущений
поверхностных волн. С учетом этого можно записать для сечения
в начале камеры течения
= 8wA
- _""■"*' (3.102)
"гткт1ц>
где 5йакт1п, 5rmKTln — возмущения осевой скорости и радиуса
воздушного вихря, вызванные поверхностными волнами; 8й>акт1ц,
5гткт1 — возмущения осевой скорости и радиуса воздушного
вихря, вызванные волнами циркуляции.
Среднее давление по длине камеры течения, создаваемое
волнами циркуляции, образует на входе дополнительную реакцию R2TT:
_2
~~ Гткт
2г\
+ In г,
/такт
(3.103)
Эту дополнительную реакцию необходимо учитывать при
использовании уравнения (3.53), а в случае использования
уравнения (3.55) необходимо учитывать дополнительное изменение
осевой скорости:
2крс0
2?
ткт
+ In г„
бг
эгкт1
1 -
ГПК
(3.104)
"Фк
Уравнение (3.100) получено из условия, что волны
циркуляции, распространяясь по камере течения, не меняют среднее дав-
101

ление. В случае изменения давления по всей длине камеры
течения с учетом уравнения (3.101) можно записать
5г,
1 -
ткт
ткт1ц
'вх
J
(3.105)
Зная изменение параметров в начале камеры течения и закон
их изменения, можно найти значения параметров на конце
камеры течения. Так, для нахождения возмущений осевой скорости и
радиуса воздушного вихря, вызванных поверхностными волнами
в конце участка, необходимо воспользоваться уравнением (3.82)
Sz Si
_ . 1+Мп п l-Mn
(3.106)
Sz Sz
1+мо
°
Изменение относительной осевой скорости, связанной с
изменением циркуляции, равно изменению средней по длине камеры
течения циркуляции.
Параметры возмущенного вихря, вызванные волнами
циркуляции в конце камеры течения, т.е. при z = 1 с учетом уравнения
(3.104), запишется
^ткт2ц :
72 V W Л (ЗЛ0?)
гткт " м- '
—— \
I о- мо sr- I
5сэпст1е - 5сэ/кт
V /
\
В конце камеры течения можно записать условия для
суммарного возмущения радиуса воздушного вихря и осевой скорости
аналогично уравнениям (3.102)
(3.108)
= 5гткт2п + 8гткт2ц'
Картина течения на этом участке форсунки показана на рис. 3.4.
Поверхностные волны перемещаются в камере течения от начала
к соплу, распространяются не по цилиндрической поверхности, а
102

по деформированной волнами циркуляции. Будем считать участок
перехода камеры в сопло достаточно малым, чтобы пренебречь
волновыми свойствами потока, по его длине, тогда, записав
уравнения сохранения расхода, количества движения и циркуляции,
можем найти значения параметров в начале сопла форсунки.
Волна циркуляции Поверхностная волна
Рис. 3.4. Картина течения жидкости в камере течения
центробежной форсунки
Уравнение сохранения расхода запишется аналогично
уравнению (3.58):
-Фк
Фк
<Рс
57,
тс1.
(3.109)
Вторым уравнением может служить уравнение количества
движения, аналогичное уравнению (3.49). Для нашего случая, когда
переходный участок достаточно мал и можно считать полную
скорость жидкости одинаковой в сечениях 4—4 и 5—5 (рис. 3.2),
уравнение количества движения можно заменить
линеаризованным уравнение Вернул ли:
гткт
гп
f 5?
иакт2
rmc
'acwacl'
(3.110)
103

Условие одинаковой циркуляции на концах переходного
участка дает условие
В общем случае возмущения скорости и давления в сопле
форсунки складываются из возмущений, вызванных поверхностными
волнами и волнами циркуляции подобно процессам в камере
течения центробежной форсунки. Для сечения в начале сопла
форсунки можно записать:
(3.112)
где 5йас1п, 8rmclix — возмущения осевой скорости и радиуса
воздушного вихря, вызванные поверхностными волнами; bwac\ц) Srmc^ —
возмущения осевой скорости и радиуса воздушного вихря,
вызванные волнами циркуляции.
Для длинного сопла, т.е. с учетом волновых свойств
распространения возмущений по соплу, используя уравнение (3.74), и с
условием, что осевая скорость жидкости в сопле равна скорости
распространения возмущений по поверхности воздушного вихря,
будем иметь:
Sz
^СП=^1+Мс
(3.113)
e1+Mc
W W CL 2
([ — ac . p/ — aC C . — С
ac n;z с
Коэффициент А находим из граничного условия в начале
сопла А = 5пас1п.
Изменение давления, вызванное поверхностными волнами,
связано с изменением осевой скорости зависимостью
104

(3.114)
На конце сопла с учетом системы уравнений (3.113) будем
иметь
S
= bwaclne
1+М
(3.115)
Возмущение радиуса воздушного вихря на конце сопла от
поверхностной волны равно
5г
гтк о—
тс2п
(3.116)
Среднее значение относительной амплитуды колебаний волн
циркуляции по длине сопла найдется из уравнения, подобного
(3.101):
(3.117)
L
Возмущение осевой скорости в начале и в конце сопла из-за
волн циркуляции равно
8"Vi =^lc (3.118)
Возмущение воздушного вихря в конце сопла из-за волн
циркуляции, учитывая уравнение (3.107), можно записать
5г,
тс2ц"
f ~2 \
1 _ Гтс
5сэс1е
(3.119)
Суммарное возмущение воздушного вихря в конце сопла
равно сумме возмущений от волн циркуляции и поверхностных
105

(3.120)
Суммарное возмущение осевой скорости на конце сопла можно
записать в виде
(3.121)
И, наконец, параметры потока на конце сопла можно
определить как изменение объемной скорости на срезе сопла форсунки
2 (1 - Фс)
Фс
or
тс2щ
(3.122)
Направленный граф центробежной форсунки
Направленный граф центробежной форсунки образуется из
направленных графов (подграфов) элементов центробежной
форсунки таким образом, чтобы зависимые переменные в конце
предыдущего элемента становились независимыми в начале следующего
элемента. В этом случае условия стыковки учитываются
автоматически.
Конечные ветви графа замыкаются граничными условиями со
стороны системы подачи и со стороны сопла. Выпишем уравнения
сохранения для всех рассмотренных участков центробежной
форсунки. Для участка тангенциальных каналов между сеч. 1-1 и 2-2
будем иметь:
1.2.
1.3.
где
106

Для участка камеры закручивания между (сеч. 2-2 и 3-3) с
учетом уравнений (3.51), (3.47), (3.55), (3.58), (3.108), (3.98),
(3.111), (3.110), (3.109)
2.1. 5сэг = а215свх;
2-2- ^тк = а228?вх + &22^к + С225РКЗ;
2.4. 5свх = 6ша1
где
°21 =
2.9. 5г,
шкт1
'ткт1п
(и9л + и9«Л л
1-
Г/Л
J гш — Х± • h —
» а22 - л » °22 "
Сц
B
Cqo = •
11
«23 = "2
1-
гтк1
Г771К1
С23 = 2 -2
1 -
гт
тк1
J eV di
а26 =
1
2'
гтк
гтк1
Гу»
ср
<Рк
1-
4
-2
\
ЕС
С
)
107

Для участка камеры течения сеч. 3—3—4—4 с учетом
уравнений (3.112), (3.116), (3.114), (3.115), (3.117), (3.118)
ЗЛ- 8
где
3-3* 5ц;акт2ц=а336сэ*кт'
3.5. «
3.7. .
3.8. J
= 5"
Wt2
= а385сэгкт1
aQ1 =
31 - _-s_ _s_ '
1+Mn 1-Mft
г ° + e °
_о
тк к
H2~~ rL
-S
1+MO 1-MO
г ° + е °
— /
'™ L ■
Гтк1 С
-5
1+Л
е
-S
1+М
>
2
-S
е1+Мо
I
- е
s
1-М
+ i
s \
°J
0
?i-m0
-S
aoo-l; пол - e °; aas -
1-
Г ?L.^
a38-l +
■"■
7
1п Г
-2
^
2*. ■ + 1П?-
1 -
-2 II' вх
ткт
~Фк
108

Для переходного участка камеры течения сопло, с учетом
уравнений (3.120), (3.119), (3.131), (3.133), (3.103), (3.132),
(3.109), (3.124)
4Л- 5"
Vt2
= а428">акт2
4.3.
4.5.
4-6-
где
1 -
гтк
г
1-
72 '
'тк
а
W71KT
-2
1 -
*т
_2
1-
гтк
^гп
С41 =
Фс
гтк
?L
1
гтк
7=2
ткт
гтк
72
ткт
?вх - Фк
1
Фк
-Фс :
Фс
С42~ 1-фс;
2 ^
Фс
J Л2с (Й
а43 =
_ т 1пж,
"46 ~ *■ ~ -2 '
109

*тк
а ~ ^
48 ""г2 а/
На участке сопла сеч. 5-6 с учетом уравнений (3.123), (3.130),
(3.133), (3.132)
5Л-
5-3.
5-5-
Ь55
изменение полученных параметров на срезе сопла,
можем определить изменение расхода:
= 5">
ас2п
где
-S
1
«53 =
wnc
M
e c;
9
«54 =
«56 " 656
2(1
«5
-
Фс
5 =
Фс)
- me
— —2
V /
Полный направленный граф центробежной форсунки показан
на рис. 3.5. На нем графически изображены функциональные
связи между всеми рассмотренными параметрами. Особый
интерес представляет рассмотрение нестационарного течения
жидкости в открытой центробежной форсунке. В сопле центробежной
форсунки осевая скорость такова, что отсутствует отраженная
волна и это упрощает описание распространения возмущений.
Направленный граф открытой центробежной форсунки показан на
рис. 3.6.
110

s
>»
и
Д
s
&
03
s
3
m
eg
Рч
В
3
I
G
d
Oh
111

к
x
X
>»
о
Ф
tf
S
О
Я
о
ов
ft
и
W
ш
м
оЗ
Он
к
СО
со
112

Из-за значительной осевой скорости и малой толщины жидкост-
Яого вихря по длине форсунки волны циркуляции затухают
медленнее, чем в закрытых форсунках и воздействие их на динамические
характеристики более значительно. На рис. 3.7 показан годограф
— SQC
ДФЧХ проводимости центробежной форсунки W4 = —- для фор-
Ф 5^
Рис. 3.7. Годограф АФЧХ проводимости центробежной форсунки:
1 — параметры форсунки:
А = 4; гвх = 1; Lc = 53 мм; dc = 4 мм;
2 — график построен с использованием уравнения (3.88)
113

сунки со следующими параметрами: геометрической
характеристикой А = 4; степень закрытия гвх = 1; длина сопла Lc = 53 мм;
диаметр сопла dc = 5 мм. Перепад давления на форсунке I МПа;
кф = 2. Как видно из рис. 3.7 проводимость форсунки по
сравнению с квазистационарным режимом возрастает за счет различного
значения волны циркуляции по длине, приводящего к
дополнительной деформации радиуса воздушного вихря. Необходимо
отметить, что в диапазоне частот до 200 Гц течение жидкости в
камере закручивания из-за малых размеров можно считать
квазистационарным. На этом же рис. 3.7 кривая 2 рассчитана с
использованием системы уравнений (3.88). Как видно, кривая 2 не
удовлетворяет квазистационарному режиму течения, но по мере
увеличения частоты среднее значение циркуляции по длине стремится
к нулю и результаты расчетов с учетом и без учета средней по
длине циркуляции стремится к одному значению.
3.2. Нестационарное течение жидкости
при квазистационарной зависимости параметров
по длине форсунки
3.2.1. Физическая модель течения
В применяемых двигателях летательных аппаратов с целью
уменьшения вязкостных потерь полной скорости стремятся
уменьшить длину камеры закручивания и сопла.
В случае короткой камеры закручивания, длина которой
одного порядка с диаметром тангенциальных каналов и значительно
меньше длины поверхностных волн и волн циркуляции, можно
упростить расчет радиальной скорости и не учитывать распреде-
ленность параметров в осевом направлении.
Другой важной особенностью течения жидкости в узкой
камере закручивания, показанной на рис. 3.8, это наличие двух
областей течения с различными законами изменения радиальной
скорости. В области течения от гвх до гк закон изменения скорости
определяется формой камеры течения, а в области от гк до гтк можно
принять закон равномерного втекания (поступления) жидкости в
сопло.
114

Рис. 3.8. Картина течения жидкости в центробежной форсунке
с короткой камерой закручивания
Систему уравнений, описывающую течение жидкости в узкой
камере закручивания центробежной форсунки выбираем в виде,
аналогичном системе (3.2).
Из третьего уравнения системы (3.2) для случая невязкой
жидкости условие сохранения циркуляции получаем в виде
c(r,t) =
(3.123)
где c(r,t) — значение циркуляции в точке камеры закручивания с
координатой г в момент времени t; cBX(rBX>£~-t) — значение
циркуляции на радиусе тангенциальных каналов в момент t—x.
Время запаздывания т равно времени пребывания частиц
жидкости с данной циркуляцией в камере закручивания от момента
их поступления в камеру закручивания на радиусе гвх до момента
перемещения на радиус г. Используя уравнение (3.27), можем
записать:
х = {-^г. (3.124)
wr(f)
115

В безразмерных отклонениях в линеаризованном виде условие
(3.1) принимает вид
8с(г,*) = 5свх(гвх;*-т). (3.125)
В первом уравнении системы (3.2) для случая коротких камер
закручивания необходимо учесть член с квадратом радиальной
скорости. Проинтегрировав это уравнение по радиусу и записав
его для вариаций, будем иметь:
5Ркз
-
р
8рк
Г
тк
♦J-
Г
вх
Эс2
г3
тк
■Г
Г
вх
dbw
dt
тк
dr +
i
7
г
вх
f с2
J ^3
тк
д(ЫЬг)2
2дг
dr .
(3.126)
Уравнение движения вдоль оси z в интегральной форме для
вариаций запишется в виде
= /Я ~^Г dV + Я
где 8i? — изменение реакций на границе контрольного объема.
Необходимо отметить, что изменение скорости на выходе из
контрольного объема (в сопле) зависит только от реакций Rx и R2,
т.е. от значения скорости на радиусе воздушного вихря (рис. 3.8).
Шддп>а
—— dV характеризует инерционные свойства жидкостного
иТ
V
вихря в осевом направлении, ввиду малости объема этим членом
можно пренебречь.
JJ ^wac d& показывает изменение количества движения, свя-
v
занное с изменением скорости на выходе из сопла.
Учитывая малые размеры камеры закручивания и сопла,
возможно использование квазистационарной зависимости изменения
осевой скорости в сопле от полной скорости на радиусе
воздушного вихря и отношения радиусов гтк и гтс:
116

"ас
= 5
-2
1 -
rmc
(3.128)
Уравнение неразрывности для контрольного объема имеет вид
= К
б
(3-129)
где 5и>об — изменение контрольного объема, связанное с
деформацией воздушного вихря; 5(u>acSc) — изменение объемного расхода
на выходе контрольного объема (сопла).
В результате имеем систему уравнений:
dbwi
mK- 2
Г*
О J AJ
8ш„„ = 5
ас
1-
W71K
(3.130)
5с = 8cBX(t-x);
Рассмотрим первое уравнение системы. Для короткой камеры
закручивания радиальная скорость жидкости может быть
определена из условия
wr = ф-, (3.131)
1КЗ — длина камеры закручивания, которая в общем виде является
функцией от г.
Для конструкции форсунки, показанной на рис. 3.8, камера
закручивания до некоторого радиуса гк имеет постоянную длину,
а дальше расширяется к соплу с некоторым радиусом гв.
117

На участке от радиуса гвх до гк справедливо уравнение (3.131), а
от радиуса гк до гтк происходит равномерный сток жидкости к
соплу и можно воспользоваться уравнением (3.26). Максимальное
значение радиальной скорости для рассматриваемой форсунки
будет на радиусе гк, поэтому интегрирование первых двух
интегралов в уравнении (3.139) будем вести на первом участке.
Значение радиальной скорости на нижнем участке для вариации
радиальной скорости можно записать в виде
8wr = в* , (3.132)
где
т =
вх кз
Значение первого интеграла в уравнении (3.135) равно
Г Г тЭ6свх
(ЗЛЗЗ)
Значение второго интеграла в уравнении (3.135) равно
К ВХ
Третий интеграл в правой части характеризует изменение
давления жидкостного вихря, связанное с изменением циркуляции
скорости в камере закручивания:
Г/пк-ч 2 On2 Г/пк 2 Г/пк
te^
^fh^ Ji
г гс г с 7
вх вх вх
Для нижней части камеры закручивания время запаздывания
циркуляции тх до радиуса г определяется выражением
118

l^r(^x)Xll+Xl2?2f (3136)
где
Для амплитуды циркуляции можем записать 8с = 8cBXe~STi, тогда
6
1i8cbx
Интеграл (3.137) берется численно, хотя он и имеет решение в
виде ряда.
Перепишем интеграл:
<3-138>
г
К SX ? г-
где N1 = e n J —^g— .
Для верхней части камеры закручивания время запаздывания
циркуляции т2 от текущего радиуса с учетом выражения (3.26)
запишется в виде
г г
-i fg(Qir +&i)
1 * ' -* ■ • * (3.139)
где
alr
1'с
119

Ьо = y1 ; wroi = =~~^ •
С учетом значения уравнения (3.139) интеграл для верхней
части камеры закручивания запишется:
)Цаг = ) 21е_3 ' С°Х dr = N28cBX. (3.140)
С учетом уравнений (3.138) можно записать
No = 21О, 22 e~ST2i, (3.141)
гоо
^02
т21 = "tj время, за которое жидкость, втекающая в камеру за-
С\ / О __ N
кручивания, достигает радиуса гк, FQ2 = кгс [ гвх - гк ] — объем ниж-
ней части камеры закручивания.
С учетом уравнений (3.147) и (3.149) можно записать
Последний интеграл уравнения (3.135) характеризует
изменение давления, связанное с изменением радиуса воздушного вихря:
Гтк~5г/пк 9 6Гтк л2 2
С С f свх
J о « 2
г Г 0 Г^к Атк
тк
Изменение давления в камере закручивания с учетом
инерционности жидкости в тангенциальных каналах можно записать:
(3.144)
120

где давления перед форсункой
5Лл1 = Р<$Рсп = \Рк + ~~о^ |5Лш' (3.145)
/ — длина тангенциальных каналов.
Подставив значения уравнений (3.134), (3.142), (3.144) в
уравнение (3.131), получим
( 1
\РК + -£- fccn 45свх lrrmKcBX dScBX _ рк8Рк
Р Г^ гвх dt Р
77
'тк вх
(3.146)
О ^" mv •
Преобразуя уравнение (3.146) к безразмерному виду, разде-
ф
лим все члены на полную скорость истечения wy = — , введем
Р
обозначения йф = ~ и запишем уравнение для амплитуд соот-
ветствующих возмущений. Учитывая, что^вх=8свх, выразим
через импеданс системы подачи:
6pcn = zcn5cBX. (3.147)
После преобразования уравнения (3.146) получим
I —--U S? --^8г - т тк вх-
1 Г» '''/гтт *ы'*'Т1ЛГ ^'^'■охг
—Ъ~
-ij'""
121

(3.148)
Рассмотрим второе уравнение системы (3.139). Перепишем это
уравнение:
гтс
1-
гтк
rmc
(3.149)
где w^ — полная скорость жидкости на радиусе воздушного вихря,
зависящая от значения циркуляции и изменения радиуса
воздушного вихря.
В линейном приближении, считая w^ < w^ и SrmK < гтк,
можно записать
тк
тк
(3.150)
где 5с — циркуляция жидкости на радиусе воздушного вихря.
/ПК
По мере приближения к радиусу воздушного вихря
радиальная скорость уменьшается и происходит интенсивное
перемешивание слоев жидкости. Основное изменение давления из-за
циркуляции происходит в слое жидкости между радиусами гк и гтк.
Поэтому правомерно заменить изменение циркуляции 8сг на среднее
тк
значение изменения циркуляции в верхнем слое 8сг , создающем
ср
действительное изменение давления:
(3.151)
где JV2 — определяется из выражения (3.150).
Второе слагаемое в уравнении (3.149) характеризует
изменение скорости в сопле форсунки из-за разного изменения радиусов
воздушного вихря в камере закручивания и в сопле.
122

Считаем, что при нестационарной работе форсунки
сохраняется стационарная зависимость, соответствующая принципу
максимального расхода:
rL i
n2 = l£c 1+M +. 1
(3.152)
16 2?2 '
r/frrw i filK. I
Тогда последний член в уравнении (3.158) можно записать в
виде
1-
гтс
2
л •
(3.153)
Из уравнения (3.161) будем иметь:
5л =
ri + fJL + _J_t/2T/2?3 (1 , 1
.4 [16 «Lj J mK[16 2^
(3.154)
С учетом уравнения (3.163) можно записать:
4Й. + <4. + **Л*
; = MW (3.155)
Последнее уравнение системы (3.130), выражающее условие
неразрывности расхода, можно записать в виде:
F 5й = 2кг I 8й?г/7П^ + S юа — 2кг 8г . (3.156)
Радиальная скорость жидкости на радиусе воздушного вихря
-. (3.157)
Преобразуем уравнение (3.156) к безразмерному виду, записав
его для амплитуд соответствующих возмущений:
123

21 г А 2?2
^^ ^mc. (3.158)
/TIC
Последний член в уравнении (3.158) можно записать с учетом
уравнения (3.52)
(3-159)
Приведем уравнение (3.149) к безразмерному виду, разделив
на "V
*Чо = CN К, - 8'W + ГтС2Г;К- (ЗЛ60)
э /1—1
Для амплитуд соответствующих возмущений уравнение (3.160)
можно записать
5wac = c^8cBX - 11 - ^i 57mK. (3.161)
Подставляя значение последнего уравнения в уравнение (3.157),
можно найти:
(1 - Л05свх
^ i *п-^"- <ЗЛ62)
Ф [ /г2 - 1
5rmc
Коэффициент kr) = из уравнения (3.164) был вычислен из
8гтк
предположения соблюдения принципа максимального расхода.
Для центробежных форсунок с конечной степенью закрытия, как
это было показано в гл. 1, коэффициент расхода меньше, чем это
следует из принципа максимального расхода. Можно
предположить, что во столько же уменьшится &Од = k0 —- , |1Д —
коэффициент
ент расхода центробежной форсунки с учетом конечности степени
124

закрытия; jl^, — коэффициент расхода согласно принципу
максимального расхода.
Относительное значение объемного расхода на выходе сопла:
(3.163)
Используя уравнения (3.129), можно записать
Уравнение (3.148) с учетом уравнения (3.162) запишем
2 |~сп^вх -
вх
Кв
'ВХ 41 г
1U
2 Г2
к
L,xr
Передаточную функцию центробежной форсунки найдем с
учетом уравнений (3.173) и (3.174):
5QC
УГф = —£. (3.166)
Ф 8^
Наряду с формой записи уравнения расхода в виде уравнения
(3.129) можно записать это уравнение
Последнее уравнение показывает, что изменение расхода в
тангенциальных каналах ведет к изменению объема жидкости в
125

камере закручивания, а также скорости и коэффициента расхода
в сопле центробежной форсунки. При такой форме записи
уравнения расхода отпадает необходимость во втором уравнении системы
(3.130).
Перепишем уравнение (3.176) в следующем виде:
Разделив все члены последнего уравнения на средний расход,
получим
(3.169)
dt
Как и ранее, предполагая выполнение принципа
максимального расхода, можно записать:
<2
т
= 1-
л
rmc
тк тк . тк
S
1
V
1
1
+
4
г^к +
4с
8'
/
\
'/2
)
(3.170)
Найдем относительное изменение коэффициента расхода как
функцию изменения радиуса воздушного вихря:
и
(ЗЛ71)
г тк
1ек+?
4 тк
+
гр
'тк
1 -
'тк гтк , гтк
Уг
126

Уравнение (3.169) для амплитуд соответствующих возмуще-
яий примет вид
N5cBX - 5~гтк + k^mK. (3.172)
BX 5гтк
Решая уравнение (3.172) относительно, получаем
(1 - N)ScBX
^тк = ~ 21 7 AS = *&**'
Уравнения (ЗЛ52) и (3.171) были получены из
предположения, что для короткой камеры закручивания изменение радиуса
воздушного вихря в камере закручивания и в сопле происходит в
соответствии с принципом максимального расхода. Данное
условие реализуется для квазистационарного течения только в том
случае, когда значения циркуляции в камере закручивания и в
сопле одинаково по радиусу. Когда это не выполняется, то
квазистационарная зависимость нарушается вследствие
дополнительной деформации радиуса воздушного вихря, аналогично
деформации в камере закручивания, рассмотренной в разд. 3.1.
В верхней части камеры закручивания в таком случае
происходит равномерное течение жидкости в сопло форсунки (рис. 3.8).
Частица жидкости от сечения 1-1 до сечения сопла 2-2 пройдет за
время
тс = -^, (3.174)
**Ф
где VK3 — объем сужающейся части сопла.
Циркуляция частиц жидкости на конце сопла связана с
циркуляцией в начале сужающейся части зависимостью
6сс(*) = 8cK(t - т3). (3.175)
Если некоторое количество жидкости с данной циркуляцией
находится в начале камеры сужения радиусом ri и г^+1, то через
время т3 это же количество жидкости будет находиться в сопле
между радиусами г- и г+1.
127

Связь между радиусами можно найти из следующего
соотношения:
г*-г21+1=ЯУс = г2тс), (3.176)
где
г*-г2
Ьк-^2_ 2 ' ^с-^к-
к гтс
Уравнение (3.176), записанное из условия, что в сечении 1-1
и 2-2 осевая скорость по радиусу одинакова.
С учетом уравнения (3.176) можем найти давление,
создаваемое циркуляцией в сопле центробежной форсунки:
f ОС2
= J -^drj. (3.177)
"с г 5c
Эквивалентное значение циркуляции в сопле форсунки
ус
р .... (3.178)
Различные значения циркуляции в камере закручивания и в
сопле приводят к особенностям в течении, которые описаны в разд. 3.1.
Среднее значение циркуляции в камере закручивания и сопле
определяем по формуле
J8cNdz + j,
О
бгсрэ = ^ Г-Гт • (ЗЛ79)
*J I 1-J
Для амплитуды колебаний циркуляции будем иметь
8ссрэ = сМс8свх (3.180)
Сохраняя прежнюю форму записи уравнений (3.171),
необходимо учесть влияние различных значений циркуляции в камере
128

закручивания и сопле форсунки. Уравнение (3.180) можно
записать
8|1 = *й5гтк + *мс8свх. (3.181)
Считая, что изменение радиуса воздушного вихря в сопле в
основном приводит к изменению коэффициента заполнения сопла,
получим
2(1 - Фс)
Фс
1 - -Г""
(cN -cN \
^ ос cpj
(3.182)
С учетом уравнения (3.180) уравнение (3.181) запишется в
' То- тК + N£c«l - 57тк + й„67тк + йис5свх. (3.183)
виде
Выражая 5гтк из последнего уравнения, запишем
2ZK37mKS
(3.184)
Относительное изменение расхода на срезе сопла равно:
2/кзгтк
dt
(3.185)
Уравнение (3.185) в точности соответствует уравнению (3.173).
Для расчета системы подачи, кроме 2ВЫХ, необходимо
определить импеданс центробежной форсунки на входе, т.е. отношение
изменения амплитуды давления перед форсункой к расходу на входе:
—л
7 — ^вх _ Гтъ
вх~ Sw ~ г2
вх 'вх
/ал.
I Г «• П —
Т /ПК . V /ПК у
4
(3.186)
129

Полученные выражения выведены без учета вязкостных
потерь. Вязкостные потери в центробежной форсунке приводят к
уменьшению циркуляции жидкости в камере закручивания по
мере движения жидкости к центру форсунки. При этом
уменьшается перепад на жидкостном вихре и увеличивается суммарный
расход. В результате этого происходит увеличение перепада
давления на тангенциальных каналах, уменьшается радиус воздушного
вихря в камере закручивания и в сопле.
Уменьшение циркуляции на радиусе воздушного вихря
запишем в виде
Ср = Х2^х. (3-187)
где % — коэффициент потерь циркуляции, который можно
приближенно определить при проливках форсунки.
Принимая изменения циркуляции по формуле (3.196),
допускаем, что уменьшение циркуляции происходит сразу же при
поступлении жидкости в камеру закручивания.
С учетом уравнения (3.195) уравнение (3.196) можно записать
в следующем виде:
BX 8lV r^
RV '
вх
T /ПК
WI
(3-188)
3.2.2. Построение годографов амплитудно-фазовых
частотных характеристик центробежных форсунок
с короткой камерой закручивания и соплом
На рис. 3.9—3.13 представлены рассчитанные на ЭВМ
годографы комплексных сопротивлений на входе в центробежные фор-
SpBX
^hkhZbx = —.
UU^BX
Расчеты проводились для форсунок, имеющих геометрические
характеристики А=1; 3; 8. Перепад давления на форсунках
принимался 1 МПа. На рис. 3.9,а представлены значения импедансов
130

о)
51
Рис. 3.9. Годографы комплексных входных сопротивлений
центробежных форсунок:
1 — значение геометрической характеристики А=1;
2 — значение геометрической характеристики А=3;
3 — значение геометрической характеристики А=8
а - rBX=3, lK3 = rc, гр = гс; б-7вх=3,
, гр = гс/3
131

на входе в центробежные форсунки со степенью закрытия гвх = 3
длиной камеры закручивания lK = гс и радиусом ^ = гс. Как видно
из рис. 3.9,а, верхняя часть рисунка — с увеличением
геометрической характеристики значение действительной части импеданса
уменьшается и на определенных частотах даже может принимать
отрицательное значение. С уменьшением длины камеры закручи-
вания до 1КЗ = -г- и гр = -о- действительные части импедансов
уменьшаются. Острые кромки на входе в сопло увеличивают значение
радиальной скорости в области сопла, что усиливает влияние волн
циркуляции (рис. 3.9) и, как следствие, приводит к уменьшению
импеданса. С другой стороны, наличие острой кромки на входе в
сопло уменьшает коэффициент расхода форсунок и его изменение
с изменением радиуса вихря (рис. 3.10). Для значения k = 0,7
построены нижние графики, из которых видно, что уменьшение
изменения коэффициента расхода приводит к увеличению импеданса.
С уменьшением степени закрытия увеличивается доля
срабатываемого на тангенциальных каналах перепада давления, что
приводит к увеличению сопротивления. На рис. 3.11 показаны
годографы АФЧХ входных сопротивлений для степени закрытия
гвх, а на рис. 3.12 — для степени закрытия гвх= 1.
Как видно из рис. 3.11 и 3.12, уменьшение степени закрытия
уменьшает влияние динамики камеры закручивания и при
коротких тангенциальных каналах перепада давления открытая
центробежная форсунка ведет себя как сосредоточенное
сопротивление.
Вязкостные потери в камере закручивания приводят к
уменьшению влияния волн циркуляции в камере закручивания и
увеличению входного импеданса. На рис. 3.13 показаны годографы
АФЧХ входных импедансов форсунок для значений коэффициен-
тов потерь циркуляции % , равных 0,9 и 0,7.
В работах [5, 32] представлены результаты исследований
топливной центробежной форсунки, когда в системе подачи
обнаружены колебания давления, частота которых линейно зависит от
расхода через форсунку. В системе подачи могут возникнуть
автоколебания, если к ней подсоединить сопротивление, имеющее
отрицательную действительную часть. Из результатов расчета
следует, если центробежная форсунка имеет определенный входной им-
132

а)
д)
-16
1тЫ
/\
-\2
3
-Q8
3
! m
«»к
го
V
/\
Рис. 3.10. Годографы комплексных входных сопротивлений
центробежных форсунок:
1 — значение геометрической характеристики А=1;
2 — значение геометрической характеристики А=3;
3 — значение геометрической характеристики А=8
а - 7ВХ = 3, /кз = гс/3, гр = 0; б - 7ВХ = 3, /кз = гс/3, гр = 0, Лц = 0,7
133

а)
-16
61
-16
ImtzJ
Л
-о,в
-ОА
-0*-
MzJ А
-о.в
-пи
-=08-
0.8
X
го
А
2
Relzd
Рис. 3.11. Годографы комплексных входных сопротивлений
центробежных форсунок:
1 — значение геометрической характеристики А=1;
2 — значение геометрической характеристики А=3;
3 — значение геометрической характеристики А=8
а — 7ВХ = 2,1 = г /3, г_ = гс/3, Л = 0,5;б—гвх = 2, Z = г/3, rD = 0, Л
ол КЗ С Р С М- **^ "** ** Р Ц
134

цеданс на некоторой частоте, то с увеличением расхода через
форсунку прежнее значение импеданса сохраняется на частоте,
линейно зависящей от расхода.
го
оа
-го
-w
-ю
Refzd
-го
Рис. 3.12. Годографы комплексных входных сопротивлений
центробежных форсунок:
1 — значение геометрической характеристики А=1;
2 — значение геометрической характеристики А=3;
3 — значение геометрической характеристики А=8
г =1
На рис. 3.14,а представлена форма камеры закручивания
этой центробежной форсунки. На этом же рисунке представлен
годограф АФЧХ входного сопротивления для данной форсунки для
перепада давления 1 МПа. Можно видеть, что на частотах от 180
до 220 Гц у данной форсунки импеданс имеет отрицательную
действительную часть. Это вызвано уменьшением сопротивления из-
за волн циркуляции по радиусу камеры закручивания. Профиль
распределения волн циркуляции по радиусу камеры закручивания
для частоты 200 Гц, при котором форсунка имеет минимальный
импеданс, показан на рис. 3.14. На том же рис. 3.14 показан профиль
распределения волн циркуляции для частоты 400 Гц при этой
частоте у данной форсунки при перепаде давления 1 МПа имеется
второй минимум входного импеданса. На рис. 3.14, внизу, показана
135

а)
5).
ImlzJ
Л
-12
-as
3
Ss^/7^ \# 1?
/m/zj
/\
-1.2
-0.8
-Ql
3
\\00G
te/zJ
Рис. 3.13. Годографы комплексных входных сопротивлений
центробежных форсунок:
1 — значение геометрической характеристики А=1;
2 — значение геометрической характеристики А=3;
3 — значение геометрической характеристики А=8
BX=3,ZK3 = rc/3,rp = rc/3,x2 = 0,9; б~7вх = 3,/^ = гс/3,гр = гс/3, Х
136

137

область частот, при которой рассматриваемая форсунка имеет
импеданс с отрицательной действительной частью. На этом же
графике нанесены значения частот, наблюдаемых при проливках
форсунок. Эти частоты располагаются внутри указанной области и
соответствуют расходам, при которых форсунка имеет
минимальной входной импеданс с отрицательной действительной частью.

4. МЕХАНИЗМЫ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЖИДКОСТНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ
ФОРСУНКАХ
4.1. Автоколебания в форсунках
с короткой камерой закручивания
В предыдущем разделе в линейной постановке рассмотрена
картина нестационарного течения жидкости в центробежных
форсунках.
Приводятся теоретические и экспериментальные данные по
определению амплитуды колебаний давления в гидравлической
магистрали с центробежной форсункой.
В работах [5, 32, 33] приводятся результаты теоретических и
экспериментальных исследований автоколебаний, наблюдаемых в
гидравлической магистрали с центробежной форсункой. В данных
работах показана причина возникновения автоколебаний,
связанных с запаздыванием волн циркуляции в камере закручивания
закрытой центробежной форсунки. В этих работах рассмотрена
линейная модель нестационарного течения в жидкостной
центробежной форсунке с короткой камерой закручивания.
В последние годы заметно возрос интерес к использованию
жидкостных центробежных форсунок в качестве генераторов
колебаний расхода и давления. Поэтому важно оценить не только
границы возникновения колебаний и их частотный диапазон, но и
амплитудные параметры автоколебаний.
Система подачи представляет собой трубопровод, на одном
конце которого располагалась форсунка с вытеснительной
системой подачи жидкости. Схема испытания форсунки показана на
рис. 4.1. Запишем в цилиндрических координатах уравнение
гидродинамики для осесимметричного движения идеальной
жидкости в камере закручивания центробежной форсунки в отсутствии
действия массовых сил. Учитывая малую длину камеры закручи-
139

вания, пренебрегаем распределенностью радиальной и окружной
составляющих скорости в осевом направлении
dt r дг
дс дс
Э*
р Эг '
(4.1)
. = .!&.
р дг '
К уравнениям системы (4.1) добавим уравнение неразрывности
- + F w . (4 2^
/#1С пС \ • ** /
F w = •
вх вх
Рис. 4.1. Схема испытания центробежной форсунки
Пренебрегая инерционными свойствами жидкостного вихря в
осевом направлении и учитывая, что изменение давления на
границах контрольного объема зависит от изменения полной
скорости и значений радиусов воздушного вихря в камере закручивания
и в сопле, результат интегрирования третьего уравнения системы
(4.1) можно записать в виде функциональной зависимости
(4.3)
Учитывая малую длину камеры закручивания и сопла,
зависимость (4.3) можно принять квазистационарной
(4.4)
wtttik — тангенциальная составляющая скорости на радиусе
воздушного вихря в торце форсунки.
140

Учитывая, что форсунка закрытая, можно считать, что
зависимость между радиусом воздушного вихря в сопле форсунки гтс
л на торце камеры закручивания гтк близки к зависимости,
вычисленной согласно принципа максимального расхода.
Для определения закона изменения радиальной
составляющей скорости в камере закручивания, последняя разбивается на
две зоны: I — от радиуса входа из тангенциальных каналов гвх до
радиуса сопла гс и II — от гс до радиуса воздушного вихря гтк
(рис. 4.2).
Рис. 4.2. Форма камеры закручивания центробежной форсунки
Закон изменения радиальной скорости в зоне I определяется
из условия заполнения жидкостного объема камеры закручивания
Fw^ = FKwl (4.5)
или после преобразований
(4.6)
Радиальная скорость во II зоне камеры закручивания
находилась их условия равномерного по радиусу оттока жидкости в
осевом направлении:
.11
(4.7)
г -
141

Так как нас будет интересовать изменение переменных вели*
чин, то представим их в виде суммы постоянной и переменной части.
Закон изменения циркуляции по радиусу, исходя из второго
уравнения системы (4Л), определялся из условий:
c(r,t) = c(rBX, t-т)
или
Время запаздывания т определялось как время, за которое
частица жидкости пройдет путь от радиуса входа гвх до текущего
радиуса:
<«>
Интегрируя первое уравнение системы (1), получим
Гтк Гтк Гтк 2 Гтк
1 7 Эр Т dwr i j. dwrdr Т С2^г
-— -r-dr=\ -r—dr + — — —s~ . (4.10)
р * дг J dt 2 J dr ' г6
вх вх вх вх
Решение этого уравнения дает нам значение давления на
камере закручивания центробежной форсунки. С другой стороны,
давление на камере закручивания равно
Пусть в системе подачи наблюдаются гармонические
колебания расхода Q = Q + Q, тогда эти колебания вызовут колебания
давления со стороны форсунки и системы подачи. Так как
колебания расхода в нашем случае не велики, то будем считать, что
гармонические колебания расхода вызовут также гармоническое
изменение всех переменных. Задавшись гармоническими
колебаниями расхода на входе в форсунку Q =A0 sinatf, используя
уравнение (4.10) с учетом зависимости (4.11), возможно численно
рассчитать значение Рф = Аф sin(co£ - cpj).
142

Было рассчитано изменение давления перед форсункой в
зависимости от частоты колебания расхода для значения амплитуды
кОлебаний, равной 5% от стационарного расхода. При средних
значениях перепада давления на форсунке Арф = 0,3 МПа и массовом
расходе т = 33 г/с результаты этих расчетов показаны на рис. 4.3,а.
У1з рис. 4.3,а. видно, что при частоте колебаний / = 0,01 Гц
изменение давления перед форсункой практически соответствует
стационарной расходной характеристике центробежной форсунки.
С увеличением частоты колебаний форма изменения давления перед
форсункой в зависимости от расхода меняется и имеет гистерезис-
ную форму. Форма кривой, соответствующая автоколебательному
течению жидкости, имеет расходную характеристику — кривая
/ = 128 Гц. Эта кривая с максимальным "отрицательным
сопротивлением", т.е. кривая имеет падающую расходную характеристику.
Каждой расходной характеристике соответствует своя эпюра
распределения циркуляции по радиусу в камере закручивания
форсунки (рис. 4.3,6). Квазистационарному режиму соответствует
постоянное значение циркуляции в камере закручивания форсунки.
Режиму автоколебаний соответствует распределение циркуляции
по радиусу, при котором значение циркуляции на радиусе
воздушного вихря противоположно значению на радиусе
тангенциальных каналов. При таком распределении циркуляции по
радиусу камеры закручивания имеет место течение жидкости, при
котором колебания скорости в противофазе с колебаниями давления.
На режиме автоколебаний расходные характеристики
форсунки меняются. На рис. 4.4,а показано расчетное изменение
расходной характеристики в зависимости от амплитуды колебаний
расхода при постоянном среднем расходе. Кривые построены из
предположения, что жидкость невязкая, без уменьшения циркуляции
в камере закручивания. Как видно из рис. 4.4,а, по мере
увеличения амплитуды колебаний расхода изменяется вид расходной
характеристики, она приобретает вид нелинейной зависимости.
На рис. 4.4,6 показано расчетное изменение расходной
характеристики в зависимости от амплитуды колебаний расхода с
учетом уменьшения значения циркуляции в камере закручивания
8ср
центробежной форсунки % = —^ = 0,5. Из рис. 4.4 видно, что умень-
5с0
шение циркуляции в камере закручивания существенно изменяет
форму расходной характеристики. Если в системе подачи возника-
143

а)
Р 105Па -
3.2 -
3.0 -
2.8 -
2.6
3.1
3.2
3.3
3-4 Q lO"5, £=
R,m -
0.005-
б) 0.004-
0.003-
0.002-
0.001-
С-0
f-160 Гц
0.022 0.0225 0.023 0.0235 0.024 0.0245 С, м2/с
Рис. 4.3. Изменения параметров течения центробежной форсунки:
а — изменение давления перед форсункой от частоты
колебаний рахода;
б — изменение циркуляции скорости по радиусу
камеры закручивания
144

Р105 Па-
а)
б)
на —
3.6-
-
3.2-
2.8-
2.4-
2.0-
Av
<*z^-~
Av
~~A~
• |
= 30% Q,
1
—<±:
= 10%Q0
= 5%Q« /
1 l '
\
\
i4 \
j
i
i • i • i ' i
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
сек
Р 105 Па п
lid —
3.6-
-
3.2-
О Q —
Z.O
2.4-
2.0-
__^^t
Av = 5% Qo
....
7f
I
i
i
i
I
I
Av =
|
[A,
1
30% Qo
,= lO%Qo
• i ■ i
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
"5 —
' сек
Рис. 4.4. Изменение расходной характеристики форсунки
в зависимости от амплитуды колебания расхода:
а — без учета вязкостных потерь; б — с учетом уменьшения
циркуляции из-за вязкостных потерь
145

ет автоколебательный режим течения с некоторым значением
амплитуды колебаний давления и расхода, то при этом поток
акустической энергии, генерируемый системой, на режиме
установившихся колебаний равен нулю, т.е.
Az = J 5p8Qdt = О,
Т
6Q — колебания расхода в системе подачи перед форсункой; Ьр —
колебания давления перед форсункой, вызванные колебаниями
расхода
брф— изменение давления перед форсункой за счет изменения
расхода через форсунку; 8рси — изменение давления со стороны
системы подачи за счет изменения расхода.
Система подачи считалась как трубопровод с открытым
концом (рис. 4.1). Импеданс такой системы равен
Zc=-ihtg
"тр
2ЛР, атм -,
300 400 f, Гц
Рис. 4.5. Изменение двойной амплитуды колебаний давления
перед форсункой
146

С учетом этого были рассчитаны амплитуды колебаний
расхода и давления для системы подачи, показанной на рис. 4.1, и
значениях длин трубопроводов, равных 1,14 и 1,83 м в зависимости
от частоты колебаний.
На рис. 4.5 показано расчетное изменение двойной амплитуды
колебаний давления перед форсункой в зависимости от частоты
колебаний для расходной характеристики с учетом уменьшения
значения циркуляции % = 0,5. Здесь же приведены
экспериментальные значения двойной амплитуды колебаний давления от
частоты колебаний.
4.2. Механизм колебаний с наложением
поверхностных волн и волн циркуляции
Из анализа системы (3.88) вытекает, что в открытой
центробежной форсунке автоколебательный процесс невозможен, так
как поверхностные волны и волны циркуляции,
распространяющиеся с осевой скоростью потока, равной или большей, чем
скорость поверхностных волн. При этом отсутствует отраженная волна
и, следовательно, обратная связь на входе и выходе из форсунки.
Обратная связь между изменением давления на срезе сопла и у
тангенциальных каналов возможна согласно системе уравнений
(3.108), т.е. с учетом давления от усредненной циркуляции по
длине форсунки.
В одной из работ, выполненных в ЦИАМ, рассматривается
течение воды в центробежных форсунках с соплами, выполненными
из прозрачного материала. На фотоснимках проливок модельных
форсунок с прозрачным соплом видны волны на поверхности
жидкостного вихря. Датчик давления, установленный на срезе сопла,
показывает наличие колебаний. Для одного из вариантов
исследуемой форсунки, конструкция которой показана на рис. 4.6,
имеющей значение геометрической характеристики А=1,57 и
соплами, длина которых составляла L = 25 мм, L = 35 мм и L = 45 мм,
были рассчитаны значения импеданса на входе центробежной
форсунки с использованием системы уравнений (3.108). Перепад
давления на форсунке составлял 0,3 МПа и 0,6 МПа. На рис. 4.6
представлена амплитудно-частотная характеристика
действительной части входного импеданса. На этом же графике нанесены зна-
147

чения частот, которые регистрировались датчиком давления,
установленным на срезе сопла.
А* 1,57
Рис. 4.6. Амплитудно-частотная характеристика
действительной части входного импеданса
Как видно из рис. 4.6, регистрируемые частоты колебаний
находятся в области, где действительная часть входного импеданса
имеет отрицательное значение.
Если проанализировать причину того, что является причиной
возникновения автоколебательного процесса, то следует отметить,
в первую очередь, особенности распространения волн циркуляции
по длине форсунки. Волны циркуляции, распространяющиеся по
соплу, создают давление в жидкостном вихре на радиусе
тангенциальных каналов. На длине сопла L форсунки уместится
следующее число волн циркуляции:
148

coL
(О — угловая скорость автоколебаний; wa — осевая скорость
жидкости в сопле форсунки.
Для самых низких частот автоколебания регистрируются в
диапазонах 1,4 < а < 1,8. Картина такого течения показана на рис. 4.7.
По своей физической природе она в некотором роде напоминает
картину автоколебаний в центробежной форсунке с узкой камерой
закручивания с той лишь разницей, что волны циркуляции
распространяются не в радиальном, а в осевом направлении. И если
для форсунки с узкой камерой закручивания отрицательный
входной импеданс возникает за счет запаздывания волны циркуляции
при течении жидкости по радиусу камеры закручивания и в том
случае, когда изменение давления от волны циркуляции на
выходе тангенциальных каналов противоположно изменению скорости
у сопла. Этому течению соответствует частота колебаний, при
которой волна циркуляции имеет форму, показанную на рис. 3.14,6.
В этом случае к соплу подошла полуволна с противоположной
циркуляцией, чем на выходе тангенциальных каналов, что и
вызвало отрицательный импеданс на входе тангенциальных каналов.
\
S/S у ••• ///////// / / / / \ .
tf -г +7ТТ
Рис. 4.7. Картина распространения волны циркуляции
по длине открытой центробежной форсунки
В случае распространения волн циркуляции по длине
открытой центробежной форсунки отрицательный импеданс возникает
за счет запаздывания волны циркуляции при течении жидкости
по длине сопла. Течение жидкости с отрицательным импедансом
соответствует частоте колебаний, при которой к соплу подходит
волна со знаком, противоположным, чем на выходе
тангенциальных каналов (рис. 4.7).
149

4.3. Автоколебания в двухступенчатой
центробежной форсунке
4.3.1. Автоколебательный режим
при квазистационарной зависимости
течения жидкости в камере закручивания
центробежной форсунки
Двухступенчатые жидкостные центробежные форсунки могут
использоваться в качестве смесительных элементов для задач
глубокого плавного регулирования тяги как ВРД, так и ЖРД. Кроме
того, этот класс форсунок обладает рядом особенностей, которые
позволяют использовать их в качестве источников колебаний
давления и расхода в различных типах вибраторов. Двухступенчатые
центробежные форсунки имеют два пояса тангенциальных
каналов, расход жидкости, в которых может подаваться независимо
один от другого (рис. 4.8). Различают малорасходную и больше-
расходную ступень. Жидкость из малорасходной ступени через
тангенциальные каналы dBxl поступает в камеру закручивания
форсунки. Одновременно в эту же камеру закручивания через
тангенциальные каналы dBx2 поступает жидкость из болыперасход-
ной магистрали. В камере закручивания происходит смешение
расходов жидкости малорасходной и болыперасходной ступени на
радиусе смешения гвх и истечение закрученной жидкости через
сопло форсунки радиусом гс При этом в форсунке образуется
воздушный вихрь, радиус которого в камере закручивания равен гтк,
а в сопле гтс. Изменение расхода через форсунку происходит за
счет изменения проходного сечения крана 2 на магистрали боль-
шерасходной ступени.
Порядок расчета двухступенчатой форсунки изложен в работе
[15] применительно к форсунке для воздушно-реактивного
двигателя, работающей совместно с распределительным клапаном,
открывающимся под действием увеличения давления в системе подачи.
В этой работе приведен порядок расчета двухступенчатых
форсунок с использованием эквивалентной геометрической
характеристики Аэ. Этот порядок расчета предполагает обращение к
графической зависимости коэффициента расхода форсунки JI от ее
геометрической характеристики Аэ.
150

А,; 6„
Рис. 4.8. Условная схема течения жидкости
в двухступенчатой центробежной форсунке с системой подачи
Однако двухступенчатые форсунки часто работают по другой
схеме и в иных условиях (в частности, в вибраторах). Для них
характерна иная система подачи жидкости и иной порядок расчета
ее параметров. Рассмотрим случай, когда в трубопроводе больше-
расходной ступени располагается гидравлический элемент,
обладающий податливостью, например емкость, заполненная газом,
объемом Vr. Так, система подачи, показанная на рис. 4.8, имеет
следующие особенности. Жидкость в малорасходную ступень
форсунки поступает с расходом Qv при этом кран 1 поддерживает в
малорасходной магистрали постоянное давление pv Увеличение
расхода в двухступенчатой форсунке происходит за счет открытия
крана 2, который в этом случае подсоединен к нагнетательной
магистрали. Для стационарного режима течения, т.е. в случае
отсутствия колебаний расхода в болыперасходной магистрали, расход
Q2 через болыперасходную ступень постоянен и равен Q2 = Q2q.
151

Кран 2 считается полностью открытым, когда давление в больше-
расходной магистрали р2 будет равно давлению в малорасходной
ступени pv
Кроме того, двухступенчатая форсунка может работать и в
режиме перепускной форсунки. Для этого необходимо отсоединить
болыперасходную магистраль от напорной магистрали и кран 2
соединить со сливной магистралью. В этом случае жидкость из
общей камеры закручивания через тангенциальные каналы боль-
шерасходной ступени и кран 2 пойдет на слив. Рассмотрим
основные уравнения, описывающие течение невязкой жидкости в
двухступенчатой форсунке для случая, когда в магистрали
малорасходной ступени поддерживается постоянный перепад давления, а
дросселирование расхода происходит во второй (болыперасходной)
ступени.
Площадь сопла форсунки
Fc = Qmax , (4.12)
c
где р — плотность жидкости; Др — перепад давления на
малорасходной ступени; (1^ — коэффициент расхода форсунки на
максимальном режиме работы форсунки; Qmax — максимальный
объемный расход жидкости через форсунку при полностью открытом
кране на болыперасходной ступени.
Значение коэффициента расхода форсунки на минимальном
режиме
где Q± — объемный расход жидкости по первой малорасходной
ступени.
Этому значению коэффициента расхода |lmin соответствует
определенное значение геометрической характеристики А^, которое
находим по графику |1 = /(А). Определяем площадь тангенциаль-
152

яых каналов малорасходной ступени F-^ = —т— . Выбирается
А1
число тангенциальных каналов малорасходной ступени п1 (оно
должно быть не менее 3). Диаметр тангенциальных каналов
малорасходной ступени равен
Определим параметры большерасходной ступени. На режиме
полностью открытого крана большерасходной ступени, когда
перепад давления по первой Др^ и второй Ар2 ступени одинаков,
коэффициент расхода форсунки равен |J,£. Этому значению
коэффициента расхода \1% соответствует согласно зависимости (X = /(А)
[1] значение геометрической характеристики А£. По определению
геометрическая характеристика большерасходной ступени равна
А2 Az Ах' (
Зная значение геометрической характеристики
большерасходной ступени А2, можем определить площадь тангенциальных
каналов большерасходной ступени
FcrBX
Выбираем число тангенциальных каналов большерасходной
ступени п2* Их число не должно быть меньше 3. Определив
геометрические параметры двухступенчатой форсунки, можем
определить режимные параметры форсунки. Согласно уравнению
количества движения имеем
<4Л5>
где м>£ВХ — суммарная скорость смеп1ения малорасходной и
большерасходной струй в камере закручивания форсунки; Q^ — объем-
153

ный расход жидкости малорасходной ступени; и>г — скорость
жидкости из тангенциальных каналов малорасходной ступени; Q2 —
объемный расход жидкости болыперасходной ступени; w2 —
скорость жидкости из тангенциальных каналов болыперасходной
ступени; Q^ — суммарный расход жидкости через форсунку.
Для форсунки, у которой тангенциальные каналы второй
ступени направлены в противоположную сторону, чем у
двухступенчатой форсунки, показанной на рис. 4.8, уравнение (4.15/) примет
вид
">Хвв = Q^ > <4Л5 )
В случае, когда жидкость во второй ступени подается в камеру
закручивания без закрутки (радиально или соосно), мы имеем
случай, когда к камере закручивания обычной центробежной
форсунки подсоединена дополнительная магистраль. Тогда уравнение
(4.15 ) примет вид
^IBX = Qz '
Последующие выводы справедливы для всех случаев подвода
жидкости из второй магистрали, а также для случая, когда
отсутствует постоянная составляющая расхода в дополнительной
магистрали Q2. He нарушая общности, в дальнейшем будем вести
анализ течения применительно к двухступенчатой форсунке.
С другой стороны, суммарный расход жидкости на выходе
форсунки можно записать в виде
где w<£ — скорость жидкости на радиусе воздушного вихря, равная
полной скорости жидкости. Коэффициент расхода сопла форсунки
можно определить из следующего соотношения:
1 -
г2
тк
(4.17)
154

где гтс = —- — относительный радиус воздушного вихря в сопле
гс
— гтк
форсунки; гтк = — относительный радиус воздушного вихря в
гс
камере закручивания форсунки.
При расчетах параметров жидкостных центробежных
форсунок используется принцип максимального расхода [15]. Согласно
принципу максимального расхода связь между ?тс и ~гтк
выражается зависимостью
r = —+Л/1 —+ —I (4.18)
В дальнейшем нас будет интересовать значение давления во
второй (болыперасходной) ступени форсунки. Используя закон
сохранения циркуляции скорости, можно записать
_2
1 -
' тк
вх
J
(4.19)
р2 — давление жидкости во второй магистрали.
Используя уравнения (4.2), (4.6), (4.7), (4.8), можно
определить параметры двухступенчатой форсунки в режиме перепуска.
Расход жидкости на перепуск равен Qn = и>2 jF2bx# Уравнение
(4.9) запишется в виде
?1
(4.20)
В результате мы можем определить режимные параметры
двухступенчатой форсунки во всем диапазоне изменения расхода. На
рис. 4.9 показано расчетное изменение основных параметров для
двухступенчатой форсунки со значениями геометрической
характеристики по первой ступени А^ = 22, по второй А2 = 2,5,
диаметром сопла dQ = 6 мм и степенью закрытия форсунки гвх = 2, где
- Qi - Q2
Q1 = ^г— , Q2 = 7)— » ^10 — расход жидкости в первой ступени
155

форсунки на режиме, когда Q2 = 0. На этом же рис. 4.9 показано
изменение относительного расхода в первой ступени Qj и во
второй Q2> a также изменение относительной суммарной скорости
~ и половины угла факела раскрытия а/2 (рис. 4.9).
ъ V2Ap1/p
Ha этом же рис. 4.9 показано изменение давления в камере закру-
Ркз
чивания ркз = и относительного давления во второй
магистрали ро = — . Как видно из графика, в изменении р2 имеется некото-
Pl
рый участок с отрицательным сопротивлением. В этом диапазоне
расхода возможен неустойчивый режим работы. При проливках
двухступенчатой форсунки этот факт наблюдается и на рис. 4.9
показан экспериментальный график изменения относительного
давления /?27Г = —- во второй магистрали в зависимости от расхода
д Pi
через данную форсунку. Если во второй (болыперасходной)
магистрали имеется сосредоточенная податливость (некоторый объем с
воздухом), то в этой магистрали могут возникнуть колебания
расхода и давления.
Q2;Q,
5
л
4
3
2
1
\
0,8
i*
/0.4
1
X
ч
"о"
1
/(
а/2
ч
*-—
.- -
/
—-2
/
>*-
^2
/
j£
О.
vEa
0 1 2 3 4 5 6 7
70
60
50
40
30
20
10
Рис. 4.9. Изменение основных параметров
для двухступенчатой форсунки
156

Записав уравнения возмущенного движения для течения жид-
кости в болыперасходном трубопроводе сначала для участка 1 2.
д затем для участка 2—3 и решив их совместно, получаем
уравнения нестационарного движения жидкости в болыперасходной
магистрали (рис. 4.8)
- «2
где Qo = 7;— — переменная составляющая расхода жидкости во
^20
второй магистрали; хт = — и т^ = -рг соответственно инер-
^20
ционная и емкостная постоянные времени; р2 — среднее давление
для болыперасходной магистрали; Q2 — средний объемный расход
жидкости через болыперасходную магистраль; 12 — длина больше-
расходной магистрали; F2 — площадь трубы болыперасходной
магистрали; а, Ъ — коэффициенты аппроксимации экспериментальной
кривой р2 = /(Q2) кубической параболой относительно точки "О"
(рис. 4.9).
Нелинейное уравнение (4.11) представляет собой уравнение
Ван-дер-Поля, решение которого известно. Это уравнение имеет на
фазовой плоскости устойчивый предельный цикл,
соответствующий режиму стационарных автоколебаний. Значение амплитуды
колебаний расхода
^ (4.22)
Значение амплитуды колебаний давления перед форсункой
(4.23)
Для форсунки, параметры которой представлены на рис. 4.9,
расчетная амплитуда колебаний давления \р2\ - 6,5% (рис. 4.10,
штриховой линией) не зависит от объема газовой полости, т.е. от
частоты колебаний. Экспериментальная зависимость амплитуды ко-
157

лебаний для форсунки с аналогичными геометрическими парамет.
рами показана сплошной линией.
10 20 30 ЬО SO 60 70
Рис. 4.10. Изменение амплитуды колебаний давления
в большерасходной магистрали от объема газовой полости
Пример колебаний, наблюдаемых в магистралях
двухступенчатой форсунки, показан на рис. 4.11.
Рис. 4.11. Осциллограмма колебаний давления
в магистралях двухступенчатой форсунки
158

4.3.2. Автоколебательный режим с учетом
нестационарного течения жидкости
в камере закручивания центробежной форсунки
Ранее рассмотренная модель автоколебательного течения в
магистрали, имеющей податливость и соединенной с камерой
закручивания центробежной форсунки (рис. 4.8), основывалась на
стационарной расходной характеристике форсунки. Мы считали, что
при автоколебательном режиме течения с некоторой частотой
колебаний, равной собственной частоте присоединенной магистрали,
зависимость изменения давления на камере закручивания
форсунки оставалась такой же, как при стационарной проливке, т.е.
рассматривали режим квазистационарный. В действительности с
увеличением частоты колебаний изменение давления на камере
закручивания начинает отличаться от стационарного. Это
изменение давления от расхода при данной частоте колебаний можно
считать, равным стационарному только до тех пор, пока значение
циркуляции по радиусу камеры закручивания остается
постоянным и давление от циркуляции по радиусу мало отличается от
давления, которое мы можем замерить при определении
расходной характеристики второй ступени.
Любое нестационарное изменение параметров форсунки
можно представить как сумму его стационарного значения и
переменного отклонения от этого стационара. Изменение перепада
давления на форсунке запишем в виде
Изменение давления на тангенциальных каналах равно
А- pfQBx + Qsxf Р«вх (а
^ вх J *м вх
Изменение давления на камере закручивания равно
/ПК /ПК / , ~ \2 ПК 2
А^кз = Р J ВХгзВХ dr-p\ -^dr. (4.26)
где с — переменное по радиусу значение циркуляции; ?тк —
изменение радиуса воздушного вихря.
159

Уравнение расхода через центробежную форсунку можно за.
писать в виде
Q + Q = (Д + \i)- Fc- (^z + uz). (4.27)
где (i и w<£ — переменные значения коэффициента расхода и
полной скорости истечения.
Коэффициент расхода центробежной форсунки зависит от
двух параметров: значения радиуса воздушного вихря в камере
закручивания гтк и радиуса воздушного вихря в сопле гтс и
связаны принципом максимального расхода
2 гл J2
.2 тк А / тк ' тк
'тк - 4 V 16 2 *
Эта зависимость справедлива для стационарного случая и в
случае, когда линейный размер в осевом направлении мал (для
форсунки с узкими камерами закручивания и коротким соплом,
длина камеры закручивания LK3 < rQ и длина сопла /с < гс), можно
считать нестационарный процесс квазистационарным в осевом
направлении и воспользоваться последним уравнением.
При нестационарном течении взаимосвязь между гтс и гтк
можно также найти из решения уравнения ( 2.39)
Реакции R1 и R2 зависят от значений гтс и гтк. Использование
данного уравнения целесообразно и для открытых центробежных
форсунок. Для случая узкой камеры закручивания закрытой
центробежной форсунки можно предположить, что в
нестационарном случае сохраняется стационарная взаимосвязь между гтс и
гтк, соответствующая принципу максимального расхода.
При переменном расходе через форсунку будет меняться
перепад давления на ней. В каждый момент времени этому перепаду
давления можно поставить в соответствие некоторую полную
скорость истечения w^. Эту полную скорость будет иметь частица
жидкости с некоторой циркуляцией на воздушном вихре в камере
закручивания гтк.
160

Для варианта форсунки, показанной на рис. 4.9, были
проведены расчеты изменения давления на второй ступени, выходящей
jc камере закручивания форсунки в зависимости от расхода через
эту магистраль. Давление на первой нагнетающей магистрали
считалось постоянным. Зная зависимости изменения давления от
расхода, можно определить амплитуду автоколебаний расхода и
давления из условия баланса акустической энергии. Энергетический
метод основан на той физической предпосылке, что если в системе
устанавливается некоторая амплитуда колебаний расхода, то
суммарное количество колебательной энергии, генерируемое
системой, равно энергии, рассеиваемой на сопротивлении. Это условие
записывается в виде
(4.28)
О
где Т — период колебаний
На рис. 4.12 приведены расчетные значения амплитуд
колебания расхода для двухступенчатой форсунки с параметрами, пока-
Р105Па -
2.4 -
2.0 -
1.6 -
1.2
f=10()ru
f = 380 Гц
Рис. 4.12. Изменение расчетной амплитуды колебаний
расхода двухступенчатой форсунки
161

занными на рис. 4.9, в зависимости от частоты колебаний. Умень-
шеие влияния волны циркуляции на создаваемое ею
центробежное давление, уменьшает энергию генерации колебаний. При этом
меняется и расходная характеристика форсунки. Расчетное
изменение расходной характеристики двухступенчатой форсунки в
зависимости от частоты колебаний показано на рис. 4.13.
1.2-
0.8-
0.4-
0
100
200 300
I
400
Рис. 4.13. Изменение расчетных характеристик
двухступенчатой форсунки
4.4. Механизм автоколебаний, связанный
с замещением воздушного вихря жидкостным
Обычно работа жидкостных центробежных форсунок
протекает в таком режиме течения, что центральная ее часть (область на
оси форсунки) или занята газовым вихрем — как в однокомпо-
нентных форсунках, или твердым цилиндрическим телом другой
форсунки — как в двухкомпонентных форсунках. При этом
считается, что при течении маловязких жидкостей (вода, керосин) в
камере закручивания жидкостной центробежной форсунки закон
изменения тангенциальной скорости по радиусу близок к закону для
идеальной жидкости, т.е. к закону постоянства циркуляции по
радиусу. Различные модели течения жидкости с учетом ее вязкости
[15, 30, 47, 52] в основном направлены на уточнение основных вы-
162

ходных параметров форсунок — это коэффициента расхода и угла
факела распыления. Одни [15, 52] полагают, что все потери энергии
происходят в пограничном слое на стенках форсунок. Жидкость,
находящаяся за пределами пограничного слоя, полагается не
имеющей вязкости.
Другие [ 30, 47] считают, что гидравлические потери в
форсунках, связанные с трением о стенки, составляют лишь небольшую
часть (10—15)% от общих потерь в форсунке. Закон распределения
окружной скорости выражается зависимостью wTr = const, k —
опытная константа, учитывающая гидравлические потери в камере
закручивания. При k = 1 это выражение соответствует закону
вращения идеальной жидкости, а при k = -1 — закону изменения
окружной скорости вращающегося твердого тела.
Движение вязкой закрученной жидкости в пограничном слое
центробежной форсунки в свое время рассмотрел Дж. Тейлор [52]. В
своей работе автор рассмотрел течение закрученной вязкой
жидкости по конусной поверхности. Результаты расчетов траекторий
частиц жидкости в пограничном слое показывает увеличение
радиальной составляющей скорости при уменьшении тангенциальной
составляющей по мере приближения частиц к центру завихрителя.
Физически это понятно. Вязкостные потери, связанные с
силой трения частиц жидкости о стенки камеры закручивания,
приводят к уменьшению тангенциальной скорости, а
центробежные силы от вращающейся жидкости вне пограничного слоя
приводят к радиальному градиенту давления, который вызывает
увеличение радиальной скорости в пограничном слое. Подобный
процесс течения жидкости происходит не только в конусном
сужающемся к соплу насадке, но и на торцевой части стенки
центробежной форсунки. При этом у торца форсунки отсутствует осевая
составляющая скорости. В отсутствии трения жидкости о торцевую
стенку форсунки имеется только одна составляющая скорости —
тангенциальная. В случае трения жидкости о торцевую стенку и
формирования пограничного слоя значение тангенциальной
скорости по радиусу меняется иначе, чем в основном потоке и ее
значение меньше. Меньше и центробежное давление, создаваемое от
тангенциальной составляющей скорости по радиусу вдоль
пограничного слоя. Это вызывает радиальное течение плохо
закрученной жидкости от периферии жидкостного вихря к центру.
163

Уменьшение значения геометрической характеристики
форсунки ведет к уменьшению радиуса воздушного вихря в камере
закручивания гтк. При определении значения гтк и вязкости жид-
кости может наступить момент, когда воздушный вихрь у торца
форсунки исчезнет и его займет жидкостной вихрь, вращающийся
по закону твердого тела за счет радиального потока, движущегося
вдоль пограничного слоя.
Истечение жидкости из сопла центробежной форсунки
происходит за счет того, что давление, которое оказывает вращающаяся
жидкость на торцевую стенку камеры закручивания больше, чем
на поверхности со стороны сопла (рис. 4.14,а). Для определения
расхода через форсунку в данном случае возможно использовать
уравнение количества движения в интегральном виде,
предложенное A.M. Праховым.
Уравнение количества движения отражает тот факт, что
истечение жидкости через сопло происходит под действием разности
давлений на стенке форсунки (рис. 4.14,а). Так на вертикальную
стенку действуют реакции и реакции на торцевой стенке от
центробежного давления жидкостного вихря, — реакция сужающейся
конусной части ий2 — реакция жидкостного кольца в сечении
сопла.
Тогда уравнение количества движения запишется в виде
ac l43 2 (4.29)
Учитывая, что
pw\ pw2r ри>1
Арф — перепад давления на форсунке; р — статическое давление,
создаваемое центробежным ускорением; wa — осевая
составляющая скорости; wr — радиальная составляющая скорости; wT —
тангенциальная составляющая скорости; wac— осевая скорость
жидкости в сопле; т — массовый расход жидкости.
Реакция торцевой стенки JRX равна
Гс f 1 - Г2
Rx = J Znrpdr = ртс(штг)2 _2тк - In ^
тк
164

Гтк ~ РадиУс на гРаниЧе жидкостного вихря в камере
закручивания, где тангенциальная скорость и>ттк = *V & , т.е. равна пол-
Р
ной скорости закрученной жидкости.
Относительный радиус равен ?тк = -^ .
а)
61
6}
^Кпк
vz с р
'СМ
П1С
' ' г' * 'sss у
\Гсм
Рис. 4.14. Картина течения жидкости
в камере закручивания форсунки
165

Реакция жидкостного кольца в сопле форсунки равна
Гс (л г2
f 2 me I
R2 = J 2nrpdr = np(wT r) —щ— - In -y-
r 2rmc rmc
/ПКС ^ j
rmc— радиус на границе жидкостного вихря в сопле. Относите ль-
- гтс
ный радиус гтс = .
гс
Разность реакций составляет усилие, определяемое
скоростным напором
г г о
Т Pwlm
R± - i?3 = J 2nprdr = J 2л —^ rdr.
Так как
p3 и рн — статические давления на торцевой стенке и насадке в
точках одинакового радиуса; wQm — скорость на поверхности
соплового насадка.
В случае конусного насадка скорость на поверхности насадка
равна [39 ]
m(l + cos а)
IV =
С/71
где т — массовый расход жидкости; а — половина угла конусного
соплового насадка; гн — текущий радиус конусного насадка; гв —
текущий радиус воздушного вихря в конусном насадке.
Когда у торцевой стенки центробежной форсунки имеется
радиальный поток слабо закрученной жидкости, поступающий в
центральную часть через пограничный слой, можно выделить две
области закрученной жидкости. В первой, периферической
области, жидкость вращается с постоянной циркуляцией. Эта область в
виде кольца закрученной жидкости располагается между
радиусом гс и некоторым радиусом гсм (рис. 4.14,6).
166

А кольцо закрученной жидкости, расположенное между
радиусом гсм и г0, будем считать вращающимся по закону твердого
тела с постоянной угловой скоростью соо.
Таким образом, реальный жидкостной вихрь с неизвестным
законом изменения циркуляции в камере закручивания
центробежной форсунки, мы заменим двумя жидкостными вихрями с
заданными законами изменения циркуляции.
Значение угловой скорости вращения жидкости равно
'см
(4.30)
где wCM — тангенциальная скорость на границе двух вихрей, т.е.
на радиусе гсм.
Тогда реакция на торцевую стенку R1 будет равна R1 = Я-ц + Л12 •
Реакция i?xl вызвана вращением кольца жидкости в центре
центробежной форсунки по закону твердого тела. Реакция Яп равна
- r20)2Krdr
(4.31)
ртт — давление, создаваемое жидкостным вихрем, вращающимся
по закону твердого тела,
2
тт ^(г2-г20). (4.32)
Реакция #12, вызванная вращением кольца жидкости,
вращающейся по закону невязкой жидкости, слагается из двух слагаемых:
Rl2 = Rl2i+R122. (4.33)
Первое — реакция от вращения кольца невязкой жидкости
равна
г
R12 = J p2nrdr = ртс(и;т rf
2 2
-In
(4.34)
167

Вторая реакция от давления верхнего вихря на нижний
В зависимости от размеров центробежного вихря изменяется
не только реакция Rv но и давление жидкостного вихря в камере
закручивания. От изменения давления на камере закручивания
меняется перепад давления на тангенциальных каналах и,
следовательно, расход через форсунку. Если в центробежной форсунке
имеется жидкостной вихрь, т.е. частицы жидкости вращаются по
закону твердого тела, то они будут вращаться по этому закону и в
сопле форсунки и вызовут изменение реакции R2. Причем кольцо
жидкости в сопле, вращающееся по закону твердого тела,
располагается ближе к центру, что вызовет уменьшение реакции R2 в сопле
форсунки от центробежных сил.
При определенных параметрах центробежной форсунки и
вязкости жидкости радиус воздушного вихря в камере закручивания
может захлопнуться, т.е. г0 = О (рис. 4.14,в).
В этом случае реакция i?n согласно формуле (4.31) будет равна
(4.36)
Мы рассматривали случай, когда в центре центробежной
форсунки отсутствует избыточное давление, т.е. мы считаем, что
давление на торцевой стенке на оси форсунки равно давлению в объеме,
куда истекает жидкость. Но при определенных условиях может реа-
лизовываться течение, при котором давление на оси форсунки у
торцевой стенки будет больше, чем давление за форсункой. В этом
случае жидкость, поступающая к центру вблизи пограничного
слоя, настолько слабо закручена и ее достаточно много, что она
создает избыточное давление на оси форсунки. Это приводит к тому,
что радиус воздушного вихря смещается по потоку в сторону
сопла, как это показано на рис. 4.14,г. Такой тип течения
вызывает дополнительную составляющую в реакцию R1V Она равна
Rl = ^01^> О
о
где р01 — избыточное давление у торца на оси форсунки.
168

На этом же рис. 4.14 показано изменение по радиусу
форсунки тангенциальной скорости, циркуляции С и давления р.
В работе [27] приведены результаты проливок центробежной
форсунки, конструкция которой показана на рис. 4.15,а. В про-
д)
0,8
06
о В
о
а
а
о- "■"■ ■
>>
t
ъ.
Ё
С
а
ь
Рис. 4.15. Результаты проливок модельной форсунки:
а — конструкция модельной форсунки;
б — коэффициента расхода форсунки
169

цессе проведения экспериментов изменялась площадь
тангенциальных каналов в результате чего изменялось значение
геометрической характеристики А и коэффициент расхода сопла форсунки.
Экспериментальное изменение коэффициента расхода в
зависимости от изменения площади тангенциальных каналов показано
на рис. 4.15,6.
На рис. 4.16 представлены расчетные значения реакций R1 и
R2 в зависимости от значения геометрической характеристики А.
Так, для варианта течения рис. 4.14,а видно, что реакция от
вращения кольца жидкости в сопле форсунки по закону идеальной
жидкости имеет максимум. Этот максимум находится в диапазоне
изменения А (0,7—1,1). Этому максимуму соответствует течение
закрученной по закону идеальной жидкости в сопле центробежной
форсунки с некоторой осевой скоростью. При этом в сопле
форсунки протекает некоторый расход Q2, имеющий количество
движения pQ2 W2 •
Предположим этот вариант течения заменен течением
жидкости, в центре которого находится жидкостной вихрь,
вращающийся как твердое тело. В этом случае в сопле также можно
выделить две области течения. В первой — на периферии вихря
жидкость вращается как идеальная жидкость, а центральное кольцо
— как твердое тело.
Давление, создаваемое вращающейся жидкостью, зависит от
циркуляции скорости и от радиуса вращения. Чем меньше радиус
закрутки, тем больше создаваемое давление и, следовательно,
реакция жидкостного кольца в сопле R2. Реакция жидкостного
кольца в сопле #2 сильно зависит от значения циркуляции в центре
кольца. И в случае, когда центральная часть кольца занята
жидкостью с меньшей циркуляцией, приведет к уменьшению
значения реакции R2. А в случае, если при этом значение R± осталось
прежним или уменьшилось, но меньше чем значение R2, это
приведет к увеличению импульса pQ2w2 и, следовательно, расхода
через сопло центробежной форсунки.
В таких условиях возможен автоколебательный режим
жидкости в центробежной форсунке. Рассмотрим такой вариант,
представленный на рис. 4.17. Пусть к центру торцевой стенки
центробежной форсунки подсоединен трубопровод, имеющий
податливость. В случае увеличения жидкости в этом трубопроводе из ка-
170

I ' I ' I 4 • I ' I • I • I • i l I ' I • i i I • I ' I
0 1 г 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A
R2-i
1,0
I ' j ' I ' I ' 1 ' I ' I ' I 4
7 8 9 10 11 12 13 14 A
Рис. 4.16. Изменение реакций
от значения геометрической характеристики А
и R2 в зависимости
171

меры закручивания (рис. 4.17,а), радиус раздела жидкостных
вихрей гсм уменьшается за счет того, что плохо закрученная жидкость
из центра камеры закручивания устремляется в трубопровод, а на
смену поступает хорошо закрученная жидкость из
тангенциальных каналов. При этом реакция в сечении торцевой стенки i?Ql
возрастает. Можно принять, что реакция пропорциональна
реакции Ry Возрастает давление в податливой емкости трубопровода.
Через некоторый момент времени рост давления в магистрали
прекращается и начинается обратный процесс опорожнения емкости
трубопровода (рис. 4.17,6). Слабо закрученная жидкость из
трубопровода попадает в камеру закручивания форсунки и далее в сопло.
а)
/ ///'/' ЧI iTTI
////////////I II
' I IU 111 J 1111 I
Рис. 4.17. Картина течения жидкости в форсунке
при автоколебательном процессе
172

Увеличение расхода жидкости через сопло сопровождается
уменьшением реакции R2 из-за уменьшения закрутки жидкости в
центральной части жидкостного вихря. В этом случае мы имеем
гидравлический элемент с отрицательным сопротивлением —
увеличение расхода приводит к уменьшению гидравлического
сопротивления центробежной форсунки.
Автоколебательный процесс возможен и без центрального
трубопровода, только за счет податливости подводимого
трубопровода. В этом случае увеличение расхода через тангенциальные
каналы вызывает увеличение расхода плохо закрученной жидкости
вдоль торцевой стенки форсунки, что приводит к размыванию
центральной части жидкостного вихря в сопле форсунки,
увеличению расхода и уменьшению давления на камере закручивания и
раскачке колебаний в системе подачи.
4.5. Кавитационные автоколебания
в жидкостных центробежных форсунках
Кавитационные колебания, наблюдаемые в болыперасходной
магистрали двухступенчатой форсунки, по своим
закономерностям близки к кавитационным срывным колебаниям,
наблюдаемым в магистрали за трубкой Вентури, поэтому есть смысл
несколько подробнее остановиться на природе подобных колебаний.
Обычно магистраль с трубкой Вентури представляет собой бак
с наддувом, трубопровод, в котором установлена трубка Вентури,
и трубопровод, заканчивающийся краном или гидравлическим
сопротивлением (рис. 4.18).
Рис. 4.18. Схема испытаний с трубкой Вентури:
1 — бак с водой; 2 — трубка Вентури; 3 — датчик давления;
4 — дроссельный кран
Впервые проливки трубки Вентури с прямоугольным сечением
проточной части, проведенные в лаборатории Московского авиаци-
173

онного института (МАИ) в 1971 году и изложенные в диссертации
B.C. Селифонова, показали наличие колебаний давления в
магистрали за трубкой Вентури. Подобные результаты исследований
приведены в [42], где исследовались колебания, создаваемые трубкой
Вентури с круглым проходным сечением и различным углом
диффузора.
В одной серии испытаний четкие кавитационные
автоколебания зафиксированы только по записям показаний датчика расхода
на выходе из трубки Вентури. Из экспериментальных данных
следует, что кавитационные автоколебания наблюдаются в
определенном диапазоне изменения давления за трубкой Вентури и
прекращаются при существенном увеличении и значительном
снижении давления за трубкой Вентури.
Частота колебаний является собственной частотой колебаний
жидкости в трубопроводе за трубкой Вентури. Значения частот
автоколебаний, рассчитанные по методике, изложенной в
последней работе, удовлетворительно согласуются с
экспериментальными значениями. При испытаниях практически на всех режимах
работы трубки Вентури на основную гармонику кавитационных
автоколебаний накладываются колебания с более высокой
частотой.
При испытаниях трубок Вентури с углами раскрытия
диффузора 20° и 30° амплитуда наложенных колебаний с более высокой
частотой существенно превышает амплитуду собственных частот
трубопровода. К особенностям этого вида автоколебаний относится,
прежде всего, отсутствие зависимости частоты колебаний от длины
трубопровода за трубкой Вентури. Эти колебания возникают при
сравнительно больших углах раскрытия диффузора (3 > 10 .
Отсутствие зависимости частоты колебаний от длины выходного
трубопровода указывает на неакустическую природу этих колебаний.
При возникновении колебаний в гидравлической системе за
кавитирующей трубкой давление на входе в трубку р1 остается
постоянным. При этом максимальное значение давления за трубкой
при колебаниях могут существенно превышать значение давления
на входе в трубку. Скоростная съемка процесса показала, что
колебания обусловлены отрывом и захлопыванием диффузорной
части кавитационной каверны, начинающейся от сечения
перехода цилиндрической части в диффузор. На основании этого
делается вывод, что этот вид автоколебаний обусловлен периодически
срывной кавитацией и природа этих колебаний аналогична приро-
174

де хорошо известных в гидродинамике так называемых струхалев-
ских частот колебаний (частот срыва вихрей при отрывном
обтекании цилиндра в направлении, нормальном оси). Для этих
колебаний характерна линейная зависимость частоты от скорости
набегающего потока и (от характерной скорости) и обратно
пропорциональная зависимость от характерного геометрического размера
(диаметра цилиндра D)
/ = Sh-^, (4.38)
где Sh — число Струхаля, равное 0,21.
Таким образом в системе за трубкой Вентури наблюдаются
колебания давления в диапазоне / = 80—850 Гц, которые не зависят
от длины трубопровода за трубкой Вентури и на некоторых
режимах амплитуд колебаний в магистрали за трубкой в 2,3—2,7 раза
превышает значение давления на входе pv Эти эксперименты
показали следующие закономерности:
• высокочастотные кавитационные колебания давления на-
р2
блюдаются в диапазоне значений отношения — = 0,1—0,6;
Pi
• при р1 = const частота колебаний возрастает с увеличением
отношения — почти по линейному закону, а зависимость
Pi
"двойной амплитуды" от отношения имеет максимум при
^ = 0,3;
Pi
р2
• при постоянном значении отношения — частота и "двойная
^1
амплитуда" колебаний существенно возрастает с
увеличением давления на входе рг;
• с увеличением угла раскрытия диффузора, при прочих
равных условиях, частота колебаний возрастает, а "двойная
амплитуда" уменьшается;
• при угле раскрытия диффузора а = 45° частота колебаний
практически не зависит от давления на входе, но с
увеличением отношения — увеличивается почти линейно.
Pi
175

В данной работе [42] представлены исследования кавитацион-
ных автоколебаний в гидравлических системах, включающих
различные типы диафрагм (жиклеров). Анализ полученных
результатов показывает, что в гидравлической системе возникают кавита-
ционные автоколебания в довольно широком диапазоне значений
р2
отношения — и частот от 100 до 1000 Гц и уровнем максимальных
Pi
значений "двойных амплитуд", соизмеримых со значением давле-
р2
ния на входе. Значение частоты колебаний от значения — отлично
Pi
Р2
от линейного, частота возрастает с увеличением —.
^1
Приведенные результаты относятся к проливкам
расширяющихся насадков с диаметром 14 мм.
В процессе изменения расхода форсунок использовался
регулятор расхода в виде трубки Вентури с иглою, представленной на
рис. 4.19. Диаметр критики составляет 2 и 4 мм. При проливках
различных форсунок, совместно с регулятором в магистрали, за
регулятором наблюдались колебания давления по своим
закономерностям, близким к описанным в работе [42]. В первую очередь,
это близкая к линейной зависимость частоты колебаний от
давления за регулятором и независимость частоты от длины магистра-
ОТО
Рис. 4.19. Конструкция кавитационного регулятора расхода
176

2А/Р2
a)
0,4
0,3
0,2
0,1
/
г
I
\
\
у
к
\.
X
^JL
FT4
400
300
200
100
k
1
\
1
'i
/
i
7
л
/
A
У
V
у
\
i.
0 2 4 6 8 10 12 мпГ f 2 4 6 8 10 12
Pi 101
МПа
2АЛ>2
0,6
0,4
0,2
•
/
/°
/°
r
±
N
V
<1
к
У
\
2.
400
300
200
100
Ci
x/
Ik
/
о °
2 4 6 8 10 МПа 2 4 6 8 10 МПа
Рис. 4.20. Изменение амплитуды и частоты колебаний давления
от давления на выходе регулятора расхода:
1 — давление на входе регулятора р± = 1 МПа; 2 — давление на входе
регулятора рх = 1,5 МПа; 3 — давление на входе регулятора рг = 2 МПа
177

ли. На всех режимах, на которых наблюдались колебания,
регулятор работает в кавитационном режиме, т.е. расход на нем не
зависит от изменения давления за регулятором. При проливках
регулятора на режимах при полностью открытых отверстиях, т.е. игла
не закрывает их, при давлении подачи 1; 1,5; 2 МПа в зависимости
от давления за регулятором представлены зависимости "двойной
амплитуды" и частоты колебаний для диаметров критического
сечения 2 и 4 мм (рис. 4.20,а,б). Как видно из рис. рис. 4.19 и 4.20,
частота колебаний линейно зависит от давления за регулятором,
однако эти кавитационные колебания нельзя назвать струхалев-
скими, так как не соблюдается линейная зависимость от
характерного размера, в данном случае от диаметра критического сечения.
4.5.1. Кавитационные колебания
в двухступенчатых форсунках
Как было описано ранее, в магистрали болыперасходной
ступени двухступенчатой форсунки возникают колебания расхода и
давления с частотой, равной собственной частоте магистрали. Эти
колебания связаны с особенностями гидравлики таких форсунок,
а именно с усилительными свойствами волн циркуляции в камере
закручивания и их частота и амплитуда удовлетворительно
совпадают с расчетной моделью такого течения. При проведении
экспериментов с этими форсунками было замечено, что на основную
частоту накладываются более высокие колебания. Пример таких
колебаний можно видеть на фото рис. 4.21. При возникновении
наложенных колебаний, давление в первой ступени отслеживает
давление в магистрали второй ступени (в камере закручивания)
тем больше, чем меньше амплитуда наложенных колебаний.
Причем в некоторых случаях можно наблюдать, что когда основная
частота пропадает, наложенная частота сохраняется.
Двухступенчатые форсунки проливались на режимах, когда в магистрали
болыперасходной ступени отсутствовала податливость, но датчик
давления, установленный в этой магистрали, показывал
колебания давления синусоидальной формы, значения амплитуды
которых достигали 50% от стационарного значения. При этом датчик,
установленный в магистрали первой ступени, или не показывает
колебания давления, или они весьма малы (рис. 4.21,а). Пролив-
ки двухступенчатой форсунки с различной длиной
болыперасходной магистрали показали, что частота колебаний не зависит от
178

а)
в)
Рис. 4.21. Фотографии колебаний давления в магистралях
двухступенчатой форсунки
179

длины магистрали, а линейно зависит от давления в этой
магистрали (камере закручивания). На рис. 4.22 показано изменение
амплитуды и частоты колебаний.
'2 /О
50
W
30
20
V
О
—
•
о
V
\
\
\
\
\
\
\
\
\
>
\
л
1
4^
Чч
г^
^. •*-
2
2 4 6 8 V 12 % 16 13 20
f ГЦ
125
т
75
50
25
О
?\
/
/ж
—
А
'а
У
}
<
V
о
с
/
—
/
о
—
в 8 Ю 12 % 16 18 20
МПо
Рис. 4.22. Изменение амплитуды и частоты колебаний
в болыыерасходной магистрали двухступенчатой форсунки
от давления перед форсункой:
1 — длина магистрали — 0,5 м; 2 — длина магистрали — 1м;
3 — длина магистрали — 2 м
180

Также были проведены проливки двухступенчатой форсунки
с противодавлением в барокамере 0,1 и 0,2 МПа. Как видно из
рис. 4.23, амплитуда колебаний уменьшается с увеличением
противодавления из-за уменьшения перепада давления на форсунке.
Кривая 1 построена при противодавлении р = 0; 2 — ри = Ю""1 МПа;
3 — рпр = 210 МПа. Частота колебаний завсисит от давления в
W
80
во
W
20
0
f Гц
120
W
80
во
40
20
0
/
1
]/
/
/
Ч
s<
sr
у**
X
\
——-
^^
РгЮ-'Mfh
/
/
7
/
/
/
у
/
1
3
-1 МПа
Рис. 4.23. Изменение амплитуды и частоты колебаний
в болыперасходной магистрали двухступенчатой форсунки
от давления в этой магистрали при значениях противодавления:
1 - РПр = °; 2 — Рпр = °»1 МПа; 3 — Am = °>2 МПа
181

камере закручивания форсунки линейно и не зависит от скорости
течения жидкости в форсунке.
При разборке двухступенчатой форсунки в камере закручива-
ния на радиусе, близком к тангенциальным каналам первой
ступени, обнаружены кавитационные каверны (рис. 4.24). Если это
сопоставить с тем фактом, что давление в малорасходной ступени
остается постоянным, в том случае, когда в болыперасходной
магистрали (и камере закручивания) наблюдаются значительные
колебания давления с амплитудой, достигающей 50 % от
стационарного значения, то из этого следует, что наблюдаемые колебания
вызваны кавитационным процессом в камере закручивания, при
истечении высокоскоростной струи из тангенциальных каналов
малорасходной ступени.
Рис. 4.24. Фотография
торцевой поверхности камеры
закручивания двухступенчатой
форсунки
Высокоскоростная струя жидкости, истекающая из
тангенциального канала в камеру закручивания, теряет часть своей
энергии при внезапном расширении из-за вязкостных потерь в камере
закручивания. Образуется застойная зона, в которой давление
падает ниже давления насыщенных паров, возникает кавитацион-
ный объем, периодический срыв которого и захлопывание,
вызывает колебания давление в камере закручивания, а через
тангенциальные каналы болыперасходной камеры закручивания с
магистралью болыперасходной ступени, где датчик давления
фиксирует колебания давления (рис. 4.25).
у у // S/SSSS j
Рис. 4.25. Физическая картина кавитационных автоколебаний
в камере закручивания центробежной форсунки
182

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА
ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ТЕЧЕНИЯ
ЖИДКОСТИ С ЦЕНТРОБЕЖНЫМИ ФОРСУНКАМИ
5.1. Вариационный метод расчета параметров
жидкостных центробежных форсунок
В разд. 2.2 мы рассмотрели истечение закрученной по закону
идеальной жидкости через плавно сужающийся насадок, то теперь
рассмотрим истечение закрученной невязкой жидкости, которая
поступает через тангенциальные каналы в жидкостную
центробежную форсунку (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Картина течения жидкости в центробежной форсунке
с плавным входом в сопло
В этом случае изменение расхода на выходе сопла форсунки
приведет к изменению расхода в тангенциальных каналах. При
конечной площади тангенциальных каналов это приведет к
изменению скорости на выходе этих каналов и, следовательно, к
изменению тангенциальной скорости на периферии камеры
закручивания. При этом будет меняться значение циркуляции жидкостного
вихря. При постоянном перепаде давления на форсунке это приве-
183

дет к изменению радиуса воздушного вихря гтк. Изменение
радиуса воздушного вихря в камере закручивания связано с
расходом на входе в форсунку формулой (2.37)
ГПК
(5.1)
С другой стороны, расход жидкости на выходе сопла, согласно
формуле (2.30), равен
(5.2)
При равенстве расходов на входе и выходе форсунки имеем
(~АЛ
г
(5.3)
Возведя в квадрат и преобразовав последнее уравнение, будем
иметь
т2 = —
тк ?!
me
me
(5.4)
С учетом последней зависимости нетрудно получить
выражение (2.15), широко используемое при расчете жидкостных
центробежных форсунок
(5.5)
Для нахождения параметров жидкостной центробежной
форсунки к уравнению (5.4) или равнозначному ему (5.5) необходимо
добавить уравнение сохранения количества движения, записанное
для данной конструкции форсунки, или, если это приемлемо,
использовать принцип максимального расхода,
продифференцировав последнее уравнение, и приравнять его к 0 или
воспользоваться аналогичной зависимостью (2.35), задающей взаимосвязь между
радиусом воздушного вихря в камере закручивания и сопла
184

1+72 ' (5*6*
me
В результате решения следующего уравнения:
(5.7)
находится значение радиуса воздушного вихря в сопле (или
коэффициент ф) для заданного значения геометрической
характеристики А. Подставляя данное значение ?тс в уравнение (5.6), находим
радиус воздушного вихря в камере закручивания Ттк и
коэффициент расхода ц.
При рассмотрении истечения закрученной жидкости через
плавно сужающийся насадок в разд. 2.2 в случае варьирования
площади жидкостного кольца на выходе сопла, т.е. изменения
гтс происходит изменение расхода Q2. При этом меняется
значение производной —jj— .
дгтс
Значение величины —£—, т.е. изменение расхода на входе в
дгтс
сопловой насадок от изменения площади жидкостного кольца в
сопле форсунки зависит от высоты соплового насадка, который
определяет радиус воздушного вихря в сечении на входе в сопловой
насадок гвн (см. рис. 2.7). При этом значение радиуса воздушного
вихря в камере закручивания гтк остается постоянным и
независимым от изменения расхода Q2, так как гтк определяется только
значением циркуляции, которое мы принимаем неизменным для
данного варианта течения закрученной жидкости.
В случае течения жидкости в центробежной форсунке при
изменении расхода Q2 ПРИ конечном значении степени закрытия
гвх
форсунки гвх = и, следовательно, конечном значении площади
тангенциальных каналов FBX изменяется значение циркуляции
жидкостного потока и, следовательно, радиус воздушного вихря гтк*
185

В случае стремления степени закрытия форсунки гвх к ©о при
заданном значении геометрической характеристики А площадь
входных тангенциальных каналов FBX меняется пропорционально
гвх, т.е. также стремится к «>
Fс?
Вариация квадратичного функционала (2.59) равна О
98Q, „ 35Q2 „
Эгтс дгтс
(5 9)
С учетом уравнения (5.1) можно записать
_ '- . (5.10)
Но для центробежной форсунки со степенью закрытия гвх —> ©о
гтк — константа. Это является следствием нулевой скорости на
радиусе гвх. При этом гтк1 = гтк (рис. 5.1) и можно записать
следующую зависимость:
ТТ^О- (5.11)
И поэтому с учетом уравнения (5.9)
= 0. (5.12)
Последнее уравнение является условием выполнения
принципа максимального расхода. Для центробежной форсунки
постоянство циркуляции или постоянство радиуса воздушного вихря в
камере закручивания гтк является достаточным условием
выполнения принципа максимального расхода. Уравнений (5.12) и (5.4)
достаточно для определения параметров жидкостной
центробежной форсунки.
186

В случае конечного значения степени закрытия
центробежной форсунки гтк1 > гтк закрученная жидкость подходит к
сопловому насадку с некоторой конечной осевой скоростью. Расход на
входе соплового насадка равен
т*.
- г
| _^
гок1 )\1 2
гтк1
(5.13)
Расход на выходе сопла равен
rl
-JP wz. (5.14)
rmc
При изменении радиуса воздушного вихря в сопле форсунки
гтс и расхода Q2 меняется радиус воздушного вихря в камере
течения и радиус воздушного вихря в камере закручивания гтк.
Если бы мы могли выразить в явном виде зависимость изменения
гтк и гтк от гтс, отличное от зависимости, которую дает нам
уравнение сохранения расхода (5.4), то, подставив эту
зависимость в уравнение (5.9), мы могли бы найти величину —g—, кото-
9QX 3Q2
рая уже не равна 0. И из условия —о— = —s— найти зависимость
rmc = f(rmK). Но такую зависимость в неявном виде может дать
уравнение количества движения. Тогда квадратичный
гидродинамический функционал примет вид (2.79):
(5.15)
Преобразовав уравнение количества движения с учетом
уравнения (2.69) к виду
^н = ^0 "" ^ос "" ^w9 (5.16)
187

получим
(5.17)
Будем искать экстремум функционала, не имея в явном виде
зависимости между гтк1 и гтс и считая их независимыми
переменными. С учетом зависимости величины функционала от этих
переменных можно записать
(5.18)
0; (5.19)
dGJ, pQ? pQ|
^ = R+±R + R + RR^ = 0
^ 1g0 oc w2^
Из уравнения (5.18) можно выразить коэффициент X:
(5.20)
«2
(5.21)
188

Учитывая, что только два первых члена в знаменателе
зависят от гтк1 и рассматривая случай бесконечно большого значения
г , т.е. постоянного значения г , будем иметь
г2 г2 +72
гтк1 гтк + гтк
2г
тк1
гтк1
гтк1
(5.22)
Из анализа последнего члена в зависимости (5.22) можно
сделать вывод, что числитель ~ гвх . Первое слагаемое в знаменателе
имеет такой же порядок. Следовательно, коэффициент X имеет
конечное значение. Уравнение (5.19) можно переписать:
= х
Rw~R2~
(5.23)
Для случая гвхТ«>с учетом уравнений (2.89) и (2.91) правая часть
тождественно равна 0, откуда и вытекает условие максимального
расхода —g— = 0.
Для случая конечной степени закрытия форсунки при
использовании вариационного метода и нахождении коэффициента
X в уравнении (5.21) необходимо знать связь между гтк и гтк1. Эту
189

связь мы можем получить из уравнения, аналогичного уравнению
(5.4)
Гтт,1 —
А2 Г72 -г2 V2?2
А 1гвх 'ткУ гтк1
г2 +А2(72 -Г2
)2 '
Решая систему уравнений (5.18)—(5.20), мы получим все
неизвестные величины для определения параметров жидкостной
центробежной форсунки. Но, как видно, такой подход по
сложности и трудоемкости значительно уступает методу расчета без
привлечения вариационного метода.
5.2. Решение системы уравнений
нестационарного течения жидкости
с двухступенчатой центробежной форсункой
При выводе уравнения нестационарного движения в
дополнительной магистрали двухступенчатой форсунки в разделе
исходной системой уравнений была система
где первое уравнение является уравнением сохранения импульса,
а второе — уравнением сохранения расхода. Ранее мы
использовали эту систему для вывода уравнения нестационарного движения
жидкости и получили уравнение Ван-дер-Поля, решив, которое мы
получили значение амплитуды колебаний расхода и давления и
частоту колебаний.
Аналогичный результат можно получить, используя
вариационный метод. В вариационной форме можно записать, что
следующий функционал принимает минимальное значение
Т I
оо Т/7г
^-^Tl-^l^- ^25>
Так как мы имеем случай течения жидкости в
сосредоточенных параметрах, то можно записать, что минимальное значение
принимает следующий функционал:
190

GJ
" (5P22"5P23)]du (5-26)
Как и прежде, приняв 5Q22 =^ sin cot, будем иметь следующие
зависимости:
dbQ22
dt
= Acocosco£. (5.27)
В нашем случае легко аналитически выразить значения
вариаций давления через изменение расхода. Из второго уравнения
системы (уравнение неразрывности) можно получить
(5.28)
= J ^ sinotfd* =
Аппроксимируя расходную характеристику кубической
параболой, имеем следующую зависимость:
5р23 = -a5Q22 + &§©22 = ^аА sinco^ + ^2 sin3co^. (5.29)
В результате наш функционал зависит только от одной
величины, т.е. мы имеем задачу на абсолютный экстремум, который
легко определить.
Выражение в квадратных скобках уравнения запишется в
виде
= I Т» ~iF ~ 5р22 + 2Km ~ir - 5Р22 |5/>23 + б^3 • (5-30>
С учетом выражений (5.30) будем иметь
= 2\хт А(й- -—\\-aA sinco^ + ЪА sin atf jcosco^ sinco^. (5.31)
191

52р23 = (-аА sin со* + ЬА2 si
= a2A2 sin2 со* - 2аЪАА sin4 со* + ЬА6 sin6со*. (5.32)
Подставляя выражения (5.30)—(5.32) в уравнение (5.26) и
интегрируя по периоду колебаний, получаем
GJ = |Гтт Аю - ^f + \ а2А2 - | аЬА4 + -jfc Ь2А6. (5.33)
Последний функционал при определенном значении частоты
колебаний и амплитуды принимает минимальное значение. Эти
значения и есть действительные параметры колебаний. Для их
определения необходимо приравнять производную функционала по
соответствующему параметру нулю
^У = 0. (5.34)
, 1
0, то % - 9 . = 0;
Так как со Ф О и А Ф О, то % — —$—т = 0; со = , т.е. частота
колебаний равна собственной частоте дополнительной магистрали.
о
Учитывая этот результат и записывая Ао = А , будем иметь
dGJ Э U2Ao
2 24а 8
А +
0 А г
Л0 ~ 15 & А0 + 15 Ь2 - °> А0 - 15 & + 15 & • (
Полученное значение амплитуды несколько меньше чем
обычно получаемое при решении уравнения Ван-дер-Поля различными
методами. Это связано с тем, что при решении не учитываются
гармоники выше третьей, и в нашем случае мы получили в
кубическом члене добавок от шестой гармоники. Без учета этого,
значение последнего слагаемого в выражении (5.35) составит не
5 9 Ч 9 9 Ч
у-^ Ъ Aq , a Twj- b Aq . В этом случае выражение
192

d(GJ) Э (а2 3 2л|1Л. 9 ,2,з1 п
^-fA, + i = O; A>-|f- (5-36)
Мы получили значение амплитуды, соответствующее
обычному решению уравнения Ван-дер-Поля по одному из ранее
рассмотренных методов решения нелинейных уравнений.
Используя систему уравнений (5.24) на предмет возможности
осуществления автоколебательного режима течения
вариационным методом, мы искали ответ на вопрос, принимает ли
квадратичный гидродинамический функционал (5.25) минимальное
значение на режимах течения, при которых переменные зависят от
времени и имеют периодически меняющиеся составляющие.
Функционал (5.25) или в общем случае функционал (1.43)
или (1.48) принимает минимальное значение на стационарном
режиме и может, если возможен автоколебательный режим течения,
принимать минимальное значение и на этом автоколебательном
режиме течения.
Гидродинамическая система уходит из стационарного
состояния, если возможен автоколебательный режим, в состояние
автоколебательного с максимально возможными амплитудами
колебаний [43]. Это происходит из-за того, что гидродинамическая
система стремится к состоянию, при котором реализуется
максимальный расход и соответствующее этому расходу количество
движения в некоторый момент время *тах. Но это состояние
неустойчивое, и система в дальнейшем возвращается в состояние с меньшим
значением расхода и количества движения.
5.3. Использование вариационного метода
для определения частоты и амплитуды колебаний
при совместной работе жидкостной
центробежной форсунки с системой подачи
При рассмотрении задачи работы жидкостной центробежной
форсунки с определенной системой подачи (разд. 4.1) и
определением амплитуды колебаний давления и расхода мы задавались
определенной частотой колебаний. Эту частоту мы брали, ориенти-
193

руясь на экспериментальную частоту автоколебаний,
наблюдаемых при проведении эксперимента. Форсунка может генерировать
колебания расхода в диапазоне частот, где работа акустической
энергии, которую может вырабатывать форсунка, довольно
широкий. Довольно часто наблюдаемые в системе частоты колебаний
работы собственной частоте этой системы. И это понятно именно
на собственной частоте колебательной системы отсутствует
реактивная часть сопротивления, что позволяет максимальному
развитию автоколебательного процесса. Однако это справедливо, когда
генерация акустической энергии либо максимальна на
резонансной частоте, либо эта генерация не зависит от резонансной
частоты. Система подачи препятствует колебаниям на других частотах,
так как минимальные потери акустической энергии будут на
резонансной частоте. Если частота, на которой наблюдается
максимальное генерирование акустической энергии, осуществляемое
центробежной форсункой, совпадает с резонансной частотой
системы подачи, то, как правило, реализуется именно эта частота.
Но в общем случае максимальное генерирование
акустической энергии возможно на одной частоте, минимальное
демпфирование колебаний происходит на другой. В этом случае
гидравлическая система выбирает частоту и амплитуду, при которых
форсунка стремится максимально генерировать колебания, а система
минимизировать свои потери. В результате суммарная
гидравлическая система стремится придти к "компромиссу" в результате
борьбы этих двух факторов. В этом случае только вариационная
постановка задачи отражает физическую картину процесса. При
этом возможно использование гипотезы Раушенбаха о "максимуме
акустической энергии". Можно сказать, что реализуется такой
режим течения, при котором происходят колебания с
максимальной амплитудой. Можно рассчитать несколько режимов с
различной частотой и выбрать тот, при котором амплитуда колебаний
максимальна, и считать, что именно эта частота и реализуется
системой.
Однако задача усложняется, если максимум акустической
энергии реализуется не на одной частоте, а несколькими
частотами с различными амплитудами. В этом случае истинное решение
такого сложного движения может дать только вариационная
форма записи. Реализуется такое движение, при котором
квадратичный гидродинамический функционал GI принимает
минимальное значение.
194

Квадратичный гидродинамический функционал можно
построить аналогично тому, как это было сделано в разд. 1. Но для
упрощения вычислений рассмотрим картину течения, показанную
на рис. 5.2. В каждый момент времени в сечении трубопровода 1—1
перед форсункой при колебательном движении в результате
течения жидкости образуется одно и то же давление. При некотором
расходе жидкости в контрольном сечении правая и левая части
трубопровода оказывают различное сопротивление, так как имеют
различные значения импедансов, но при этом значение давления в
сечении одно и равно
6> = 6>ф-8рсп, (5.37)
где 5рф — изменение давления перед форсункой; 6рсп — изменение
давления со стороны системы подачи.
А „• coscot
Рис. 5.2. Схема нестационарного течения жидкости в магистрали
При такой упрощенной картине квадратичный функционал
можно записать в виде
jjt = O. (5.38)
Расчетным путем мы получили изменение давления на форсунке
в зависимости от амплитуды и частоты колебаний расхода на входе
в форсунку. Давление со стороны системы подачи определялось,
исходя из значения импеданса для трубопровода с открытым
концом.
На рис. 5.3 показано изменение функционала GJ в
зависимости от частоты колебаний при различных значениях амплитуды
колебаний расхода для различных режимов, имеющих различные
перепады давления. На режиме автоколебаний (рис. 5.3,6)
функционал GJ не имеет минимума, стремящегося к нулю на режимах
195

110 115 120 125 130 135 f.fu
200 220 240 260 f/Гц
l0l
1041
103-|
io2i
io'j
Расчет* Ро-ЗМО'.Оо-ЗЗ'Ю"* inO^
Расчёт Б: Ро= 1(ИО$, Qo * бв'КГ* «
Расчет В: Рв=2О»1О*,СЗо-89-Ю4 1О*1 -
320 330 340 350 360 370 f,Tu
Рис. 5.3. Изменение функционала GJ в зависимости
от частоты и амплитуды колебаний:
А—ро = 31О5Па, Q0 = 33-1(T6m3/c; Б — р0 = 10-105 Па,
Qo = 58- КГ6 м3/с; В — р0 = 10-105 Па, Qo = 89- КГ6 м3/с
196

Рис. 5.4 Трехмерное изображение функционала GJ в зависимости от
частоты и амплитуды колебаний (р0 = 3-10 Па, Qo = 33-10 м/с)
с колебаниями расхода, что говорит о невозможности реализации
такого течения. На автоколебательных режимах сначала с
увеличением амплитуды колебаний наблюдается увеличение значения
функционала, затем уменьшение. При некотором значении ампли-
197

туды колебаний функционал достигает своего минимального
значения, а затем увеличивается. То значение амплитуды колебаний,
которое минимизирует функционал, реализуется в
автоколебательном процессе. График 5.3,а в трехмерном изображении
показан на рис. 5.4. Он отражает физическую картину процесса
течения жидкости в магистрали с центробежной форсункой.
Реализуется такое течение жидкости, которое минимизирует функционал
GI.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Абрамович Г.Н. Теория центробежной форсунки//Промыш-
ленная аэродинамика. — М.: Изд-во БНТ ЦАГИ, 1944. — 114 с.
2. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Гос-
техиздат, 1953. — 736 с.
3. Абакумов A.M., Чучкалов А.И. и др. Нестационарное
горение в энергетических установках. — Л.: Недра, 1987. — 157 с.
4. Андронов АЛ., Витт АЛ., Хайкин С.Э. Теория колебаний.
2-е издание. — М.: ГИМФЛ, 1959. — 915 с.
5. Андреев А.В., Базаров В.Г., Жданов В.И., Марчуков Е.Ю.
Условия возникновения гидродинамической неустойчивости в
жидкостной центробежной форсунке//Известия вузов,
Авиационная техника, 1986, № 4. — С. 6—10.
6. Андреев А.В., Базаров В.Г., Григорьев С.С. и др. Динамика
газожидкостных форсунок. — М.: Машиностроение, 1991. — 288 с.
7. Аппелъ П. Теоретическая механика. Т. 1, 2. — М.: ГИФМЛ,
1960. — 515+487 с.
8. Артамонов К.И. Термогидроакустическая устойчивость. —
М.: Машиностроение, 1982. — 261 с.
9. Базаров В.Г. Динамика жидкостных форсунок. — М.:
Машиностроение, 1979. — 134 с.
10. Базаров В.Г., Жданов В.И. Особенности работы
центробежных форсунок в многорежимных камерах сгорания//Гагаринские
научные чтения по космонавтике и авиации. — М.: Наука, 1982.
— 992 с.
199

11. Бердичевский В.П. Вариационные принципы механики
сплошной среды. — М.: Наука, Главная редакция
физико-математической литературы, 1983. — 448 с.
12. Бондариков ГЛ., Иванов И.В. и др. Теория колебаний. —
М.: Изд-во Московского университета, 1983. — 328 с.
13. Березин И.С., Жидкое Н.П. Методы вычислений. Т. 1—2.
— М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1962. — 464+639 с.
14. Бутенин Н.В., Фуфаев НА. Введение в аналитическую
механику. — М.: Наука, 1991. — 256 с.
15. Бородин В А., Дитякин Ю.Ф. и др. Распыливание
жидкостей. — М.: Машиностроение, 1967. — 263 с.
16. Васильев Д.П., Иванов Ю.М. К расчету двухсопловых
центробежных форсунок ГТД//Труды ЦНИТА, выпуск 57, ОНТИ,
1972. — С. 2—8.
17. Гелъфанд И.М., Фомин СВ. Вариационное исчисление. —
М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1961. — 228 с.
18. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. — М.: Изд-во
МГУ, 2000. — 719 с.
19. Гликман Б.Ф. Нестационарные течения в пневмогидравли-
ческих цепях. — М.: Машиностроение, 1979. — 256 с.
20. Гленссдорф М., Пригожий И. Термодинамическая теория
структуры, устойчивости и флуктации. — М.: Мир, 1973. — 280 с.
21. Дыбленко В.П., Камалов Р.Н. др. Повышение
продуктивности и реанимация скважин с применением виброволнового
воздействия. — М.: ООО "Недра Бизнесцентр", 2000. — 381 с.
22. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир,
1974. — 304 с.
23. Жданов В.И. Связь уравнения количества движения и
принципа максимального расхода для расчета центробежных
форсунок/Тематический сборник научных трудов института "Теория
и рабочие процессы двигателей и энергетических установок ЛА".
— М.: МАИ, 1983. — 89 с.
200

24. Клячко П.А. К теории центробежной форсунки//Теплоэ-
нергетика, № 3, 1962. — 263 с.
25. Кныш О.Ю. Автоколебательные процессы в центробежных
форсунках ТД. Сборник научных трудов СГАУ "Актуальные
проблемы производства, технология, организация, управление". —
Самара, 1995. — 414 с.
26. Кныш О.Ю. Динамика развития автоколебательных
процессов при течении жидкости центробежных форсунках ГТД.
Доклады международной научно-технической конференции
"Проблемы и перспективы развития двигателестроения в Поволжском
регионе". — Самара, СГАУ. 1997, часть 2. — С. 151—157.
27. Кныш О.Ю. Исследование автоколебательных процессов в
центробежных форсунках авиационных ГТД. Диссертация на
соискание ученой степени кандидата технических наук. — Самара,
1999.
28. Кныш О.Ю., Урывский А.Ф. Теория взаимодействия
вторичных вихревых структур в закрученных потоках жидкости//
/Известия ВУЗов, Авиационная техника, № 3, 1981. — С. 55—60.
29. Кныш ЮЛ., Лукачев СВ. О механизме неустойчивости
течения закрученных потоков жидкости и газа в элементах ГТД//
Проектирование и доводка авиационных газотурбинных
двигателей. — Куйбышев, КуАИ, 12974, вып. 67. — С. 205—207.
30. Кулагин Л.В., Морошкин М.Я. Форсунки для распылива-
ния тяжелых топлив. — М.: Машиностроение, 1973. — 200 с.
31. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. — М.:
Наука, 1972. — 470 с.
32. М арчу ков Е.Ю. О нестационарной работе топливных
форсунок основной камеры сгорания ГТД//Известия ВУЗов.
Авиационная техника. № 2 1985. — С. 86—88.
33. М арчу ков Е.Ю. Исследование устойчивости течения в
гидравлической магистрали с центробежной форсункой//Изд-во вузов,
"Авиационная техника", 1988, № 4. — С. 35—38.
201

34. Михайлов В.В., Базаров В.Г. Дросселируемые жидкостные
ракетные двигатели. — М.: Машиностроение, 1985. — 165 с.
35. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. — М.:
Наука, 1967. — 640 с.
36. Мышкис. А.Д. Математика для ВТУЗов, специальные
курсы. — М.: Наука, 1971. — 631 с.
37. Натанзон И.С. Неустойчивость горения. — М.:
Машиностроение, 1986. — 248 с.
38. Петров А.Г. Вариационные методы в динамике
несжимаемой жидкости. — М.: Изд-во МГУ, 1995. — 110 с.
39. Прахов А.М. Исследование и расчет центробежной
форсунка/Автоматическое регулирование авиадвигателей. Вып. 1. —
М.: Машиностроение, 1976. — 168 с.
40. Прахов А.М. Некоторые особенности центробежных
форсунок ГТД//В сборнике "Автоматическое регулирование
авиадвигателей". Вып. 4. — М.: Оборонгиз, 1962. — 135 с.
41. Пажи Д.Г., Прахов A.M., Равикович Б.Б. Форсунки в
химической промышленности. — М.: Химия, 1971. — 199 с.
42. Пилипенко В.В. Кавитационные автоколебания. — Киев:
Наукова Думка, 1989. — 316 с.
43. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. — М.: Физматгиз,
1961. — 500 с.
44. Сергиекко АА., Сон Дон Сунн, Жданов В.И.
Кавитационные автоколебаные течения жидкости в расширяющихся насад-
ках//Международная конференция по неравновесносным
процессам в соплах и струях. — Санкт-Петербург, 2002.
45. Теодорович К.Ф. Автоколебательные системы. — М-Л.:
ГИТТЛ, 1952. — 271 с.
46. ХаркевичАЛ. Автоколебания. — М.: ГИТТЛ, 1953. — 271 с.
47. Хавкин Ю.И. Центробежные форсунки. — М.:
Машиностроение, 1976. — 316 с.
202

48. Штехер Р.С. Вариационный метод в инженерных
расчетах. — М.: Мир, 1973. — 291 с.
49. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и
вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
50. Bayvel L. OrzechowsKi Z. Liquid Atomization. 1993.
51. Taylor G. The mechanism of swirl atomizers. Proc. Cogr. For
Applied Mechanics, vol. 2, London, 1948, 280—285 p.
52. Taylor G. The boundary layer in the converging nozzle of a
swirl atomizer. "Quart. Jork. Of Mech. Ap. PI. Mathem, vol. 3,
1950, 129—139 с Journ.

Научное издание
Жданов Владимир Игоревич
АВТОКОЛЕБАНИЯ
В ЖИДКОСТНЫХ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ФОРСУНКАХ
Редактор Р.Н. Фурсова
Компьютерная верстка Т.С. Евгеньевой
Сдано в набор 17.12.07. Подписано в печать 28.01.07.
Бумага офсетная. Формат 60 х 84 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,86. Уч.-изд. л. 12,75.
Тираж 500 экз. Зак. 3875/063.
Издательство МАИ-ПРИНТ
"МАИ", Волоколамское шоссе, д. 4,
Москва, А-80, ГСП-3 125993
Типография Издательства МАИ
"МАИ", Волоколамское шоссе, д. 4,
Москва, А-80, ГСП-3 125993