Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования - Бендриков Г.А., Айзерман М.А., Воронов А.А., Красовский А.А.

Автор: Бендриков Г.А. Айзерман М.А. Воронов А.А. Красовский А.А.
Теги: электротехника кибернетика системы управления математическое моделирование теория автоматического управления теория управления
Год: 1967
Похожие
Основы автоматического регулирования. Теория
Расчет автоматических систем
Динамика и регулирование гидропневмосистем
Теория автоматического управления техническими системами
Текст
                    к 50-летию
Великой
Октябрьской
социалистической
революции
Scan AAW,
DjVu Dmitry7

ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА
СЕРИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ МОНОГРАФИЙ
Под редакцией
доктора технических наук,
профессора
В. В. СОЛОДОВНИКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО

ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
КНИГА
1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ,
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВА СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
«МАШИНОСТРОЕНИЕ» • МОСКВА • 1967

УДК 621.3.078.001.1
ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА. Теория
автоматического регулирования. Книга 1. Математическое
описание, анализ устойчивости и качества систем
автоматического регулирования. Колл. авторов. Под
ред. д-ра техн. наук, проф. В. В. Солодовникова,
изд-во «Машиностроение», 1967, стр. 770.
Настоящая книга представляет собой первую из
трех книг, систематически излагающих теорию
автоматического регулирования.
После краткого исторического очерка в книге
даются основные понятия и определения этой
теории, иллюстрируемые на типовых схемах.
Рассматриваются общие дифференциальные уравнения,
методы структурного преобразования, статические и
динамические характеристики систем
автоматического регулирования.
Приводятся методы анализа устойчивости,
качества и переходных процессов непрерывных
линейных систем, применение которых поясняется на
ряде типовых примеров.
Табл. 18. Илл. 364. Библ. 440.
АВТОРЫ КНИГИ
М. А. АЙЗЕРМАН, д-р техн. наук проф. (гл. XIII); Г. А. БЕНДРИКОВ,
канд. физ.-мат. наук доц. (гл. XVII, §§ 3—5); А. А. ВОРОНОВ, д-р техн
наук проф. (гл. III, V); А. А. КРАСОВСКИЙ, д-р техн. наук проф. (гл. XIX)
Н. Т. КУЗОВКОВ, д-р техн. наук проф. (гл. XVIII); А. Я. ЛЕРНЕР, д-р техн
наук проф. (гл. VIII, §§ 13—18); А. М. ЛЕТОВ, д-р физ.-мат. наук проф,
(гл. XI); Б. Н. ПЕТРОВ, академик (гл. IV, XVII); В. В. ПЕТРОВ, д-р техн
наук проф. (гл. VI); В. В. СОЛОДОВНИКОВ, д-р техн. наук проф. (Пре
дисловие, введение, гл. II, IV§2, VII, VIII, IX § 6, XII, XV, XVI, вводные за
мечания к разделам и приложение); К- Ф. ТЕОДОРЧИК, Д-р физ.-мат
наук проф. (гл. XVII, §§ 3—5); Ю. И. ТОПЧЕЕВ, д-р техн. наук проф
(гл. X, XIV); Э. Г. УДЕРМАН, д-р техн. наук проф. (гл. XVII, §§6—9)
А. В. ХРАМОЙ|, канд. техн. наук (гл. I); Я. 3. ЦЫПКИН, д-р техн. наук
проф. (гл. XII, §§ 2—3); Д. С. ШАРИПОВ, канд. техн. наук (гл. IX, §8);
А. С. ШАТАЛОВ, д-р техн. наук проф. (гл. IX)
Редактор инж. Л. П. Строганов
3-3-14
84-67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 12
Раздел I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И СТРУКТУРНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава I. Очерк о развитии теории автоматического регулирования
в СССР 21
1. Теория автоматического регулирования в дореволюционный период (21).
2. Развитие теории автоматического регулирования после Октябрьской
Социалистической революции (25)
Глава 77. Основные понятия и определения теории автоматического
регулирования 37
1. Сущность проблемы автоматического управления (37). 2. Проблема
регулирования как частный случай проблемы управления (45). 3. Основной принцип
действия и определение систем автоматического регулирования (48). 4. Классификация
систем автоматического регулирования в зависимости от управляющего
воздействия (53). 5. Основные устройства систем автоматического регулирования и их
классификация по назначению (54). 6. Классификация систем автоматического
регулирования в зависимости от характера сигналов (55). 7. Классификация систем
автоматического регулирования в зависимости от идеализации, принятой при их
математическом описании (58). 8. Структурные схемы, одноконтурные и
многоконтурные, несвязанные и связанные системы автоматического регулирования (60). 9.
Классификация систем автоматического регулирования в зависимости от характера
контролируемых изменений (63). 10. Требования, предъявляемые к динамическим
свойствам систем автоматического регулирования (66).
Глава III. Основные устройства и типовые схемы систем
автоматического регулирования 75
1. Краткая характеристика устройств, из которых состоят системы
регулирования (75). 2. Система автоматического регулирования скорости гидротурбины
(77). 3. Электронный регулятор напряжения ВЭИ (84) 4. Система автоматического
регулирования ядерного реактора по мощности (87). 5. Следящая система
радиолокационной станции (90). 6. Система автоматического управления универсальными
летучими ножницами (93). 7. Следящая система копировально-фрезерного
полуавтомата (98). 8. Программное управление металлорежущими станками (101). 9. Принцип
действия электрического автопилота (105). 10. Регулирование многих величин при
автоматическом управлении перегонкой нефти (108). 11. Система автоматического
управления реверсивным прокатным станом с использованием цифровой
вычислительной машины (112). Литература (117).
Глава IV. Дифференциальные уравнения систем автоматического
регулирования 118
1. Дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода (119). 2. Общие диф
ференциальные уравнения системы автоматического регулирования (122). 3. Общие
линеаризованные уравнения системы автоматического регулирования (129). 4.
Пример составления уравнения объекта регулирования (132).
5

Глава V. Статика систем автоматического регулирования 140
1. Статические характеристики простейших звеньев (140). 2. Статические
характеристики основных типов соединений звеньев (143). 3. Коррекция статических
характеристик (149). 4. Статизм регулирования (154). 5. Статика линейных систем
с несколькими регулируемыми величинами (156). Литература (159).
Глава VI. Типичные нелинейные статические характеристики
типовых звеньев систем автоматического регулирования 160
1. Нелинейные характеристики систем автоматического регулирования (160).
2. Виды типичных нелинейных статических характеристик систем автоматического
регулирования (163). 3. Типичные нелинейные характеристики систем
автоматического регулирования (163). 4. Зоны нечувствительности (176). 5. Зоны линейности и
неоднозначности (181). 6. Зоны насыщения (183). 7. Поле кривых, представляющих
характеристику серводвигателя с нагрузкой (184). 8. Экспериментальное выявление
нелинейности характеристик системы автоматического регулирования (185).
Литература (186).
Глава VII. Переходные функции, передаточные функции и
частотные характеристики динамических элементов 187
1. Классификация динамических элементов (188). 2. Общее определение
импульсной переходной и передаточной функций динамической системы или
динамического элемента (189). 3. Импульсная переходная функция непрерывной
стационарной линейной системы (191). 4. Передаточная функция непрерывной линейной
стационарной системы (193). 5. Частотные характеристики линейной стационарной
непрерывной динамической системы (196). 6. Дифференциальные уравнения
динамического элемента с распределенными параметрами (199). 7. Применение
преобразования Лапласа к решению уравнений элемента с распределенными параметрами (200).
8. Передаточная функция динамического элемента с распределенными
параметрами (203). 9. Передаточная функция последовательного соединения динамических
элементов с сосредоточенными и с распределенными параметрами (205). 10.
Передаточная функция запаздывающего элемента (206). 11. Частотные характеристики
элемента с распределенными параметрами (207). 12. Импульсная переходная функция
динамического элемента с распределенными параметрами (209). 13. Передаточная
функция системы с гармонической модуляцией (210). 14. Импульсная переходная и
передаточная функции дискретной линейной стационарной системы (212). 15.
Прохождение сигнала через импульсный элемент (216). 16. Последовательное соединение
импульсного элемента и непрерывного динамического элемента (218). 17.
Импульсная переходная функция линейной нестационарной системы (системы с переменными
параметрами) (219). 18. Передаточная функция непрерывной линейной
нестационарной системы (221). 19. Многомерные импульсные переходные и передаточные функции
нелинейных систем (224). 20. Многомерные передаточные функции нелинейных
систем (226). Литература (227).
Глава VIIГ Передаточные функции, частотные характеристики и
интегральные уравнения непрерывных линейных систем автоматического
регулирования 228
1. Передаточные функции систем автоматического регулирования (229).
2. Передаточные функции статических и астатических систем (232). 3. Частотные
характеристики (238). 4. Взаимная связь между частотными характеристиками
замкнутой и разомкнутой системы (240). 5. Круговые диаграммы (241). 6. Номограммы
замыкания (249). 7. Условия однозначной связи между частотными
характеристиками (259). 8. Определение передаточной функции по одной из частотных
характеристик, заданной аналитически (262). 9. Формула для вычисления фазовой
частотной характеристики по заданной амплитудной частотной характеристике (263).
10. Зависимость между логарифмической амплитудной и фазовой частотными
характеристиками (264). 11. Графический метод определения фазовой характеристики
по заданной амплитудной характеристике (267). 12. Интегральные выражения для
ошибки и интегральные уравнения систем автоматического регулирования (267).
13. Типовые звенья (270). 14. Апериодическое звено (272). 15. Колебательное
звено (279). 16. Интегрирующее звено (288). 17. Дифференцирующее звено первого
порядка (291). 18. Дифференцирующее звено второго порядка (292). 19.
Коэффициенты ошибки (294). Литература (302).
Глава IX. Методы структурных преобразований в системах
автоматического регулирования 303
1. Графические изображения условий преобразования сигналов (304). 2. Схемы
с элементами, обладающими и не обладающими свойством направленности
действия (308). 3. Детализированные структуры (313). 4. Преобразования
многоконтурных структурных схем, допускающих последовательное применение правил
свертывания контуров, и некоторые эквивалентные преобразования (316). 5. Преобразования
перекрестных структурных схем методом развязки контуров и некоторые
эквивалентные преобразования (323). 6. Применение структурных методов для определения
передаточных функций многоконтурных систем (329). 7. Составление и преобразование
структурной схемы на примере электродвигателя постоянного тока двойного питания
(337). 8. Структурные схемы механических объектов регулирования с редукторами,
6

дифференциалами и упругими элементами в силовых передачах (348). 9. Правила
структурных преобразований для систем с переменными параметрами (360).
10: Функциональные структурные схемы для анализа совместных статических
характеристик нелинейных звеньев (372). Литература (380).
Глава X. Примеры составления дифференциальных уравнений,
структурных схем и передаточных функций систем автоматического
регулирования 381
1. Система автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины
(381). 2. Электронный регулятор напряжения ВЭИ (392). 3. Система
автоматического регулирования мощности ядерного энергетического реактора на тепловых
нейтронах (396). 4. Следящая система радиолокационной станции (403). 5. Система
автоматического управления универсальных летучих ножниц (413). 6. Самолет
с автопилотом (419). 7. Следящая система копировально-фрезерного станка (427).
Литература (432).
Раздел II
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава XI. Общая постановка задачи устойчивости по Ляпунову и
анализ устойчивости систем автоматического регулирования 435
1. Постановка задачи об устойчивости в теории автоматического регулирования
(435). 2. Исследование (устойчивости установившихся движений по уравнен-ню
первого приближения (440). 3. О прямом методе Ляпунова (442). 4. О применении
прямого метода Ляпунова к анализу устойчивости одного класса систем
автоматического регулирования (447). Литература (454).
Глава XII. Критерии и методы анализа устойчивости
линеаризованных систем автоматического регулирования 455
1. Устойчивость и принцип аргумента (456). 2. Критерий устойчивости
Михайлова (458). 3. Критерий устойчивости Рауса и Гурвица (461). 4. Частотный критерий
устойчивости (466). 5. Обобщение частотного критерия на астатические системы (471).
6. Обобщение частотного критерия; на случай, когда разомкнутая система
неустойчива (475). 7. Частотный критерий устойчивости для обратной амплитудно-фазовой
характеристики (477). 8. Анализ устойчивости одноконтурных систем
автоматического регулирования по их логарифмическим частотным характеристикам (480).
9. Приближенный способ построения логарифмических частотных характеристик
одноконтурных систем (483). 10. Обобщение частотного критерия устойчивости на
многоконтурные системы (486). 11. Анализ устойчивости многоконтурных систем
автоматического регулирования при помощи логарифмических частотных
характеристик (489). Литература (491).
Глава XIII. Выделение областей устойчивости 492
1. Понятие о Д-разбиении пространства коэффициентов характеристического
уравнения и пространства параметров (493). 2. Д-разбиение плоскости одного
комплексного параметра (494). 3. Связь Д-разбиения с критериями устойчивости (499).
4. Д-разбиение плоскости двух действительных параметров (диаграмма Вышнеград-
ского) (502). 5. Условия существования области устойчивости (509). Литература (510).
Глава XIV. Примеры анализа устойчивости систем автоматического
регулирования 512
1. Система автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины
(512). 2. Следящая система копировально-фрезерного станка (520). 3. Система
автоматической стабилизации самолета (автопилот) (522). 4. Система автоматического
регулирования мощности ядерного энергетического реактора (529). Литература (534).
Раздел III
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава XV. Частотный метод анализа переходных процессов .... 537
1. Обобщенные частотные характеристики и их связь с переходными процессами
(539). 2. Определение обобщенных частотных характеристик в общем случае (542).
3. Случай, когда функция X (s) не содержит особенностей во всей правой
полуплоскости и на мнимой оси (543). 4. Связь между частотными характеристиками Р (со),
7

Q (со) и импульсной переходной функцией k (t) (544). 5. Случай, когда все полюса
функции X (s) расположены в левой полуплоскости, за исключением полюса в начале
координат (545). 6. Связь между частотными характеристиками и переходной
функцией h (t) (547). 7. Случай, когда функция X (s) имеет два сопряженных полюса на
мнимой оси (548). 8. Анализ переходных процессов методом трапецеидальных
частотных характеристик (550). 9. О некоторых частных случаях метода трапецеидальных
частотных характеристик (556). 10. Об условиях применимости частотного метода
анализа переходных процессов (558). 11. Определение дискретных значений
переходной функции (559). Литература (562).
Глава XVI. Частотный метод анализа качества 563
1. Частотный критерий качества регулирования (564). 2. Частотный критерий
отсутствия перерегулирований и частотный критерий монотонности (568). 3. О
проверке выполнения сформулированных критериев (569). 4. Некоторые признаки
неудовлетворения критериев качества и критериев отсутствия перерегулирований и
монотонности (571). 5. Некоторые элементарные свойства частотных характеристик
(572). 6. Достаточные условия для малых перерегулирований и необходимые
условия для отсутствия перерегулирований (578) 7. Критерий, определяющий
достаточные условия для монотонности (581). 8. Оценки величины перерегулирования и
времени переходного процесса (585). 9. Оценка абсолютного значения разности между
переходными функциями по соответствующим им частотным характеристикам (588).
10. Связь между свойствами амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой
системы и качеством (592). 11. Требования к частотным характеристикам,
обеспечивающие высокую точность в следящих системах (597). 12. Связь между свойствами
логарифмической амплитудной характеристики и качеством (599). 13. Определение
величины передаточного коэффициента или добротности по логарифмической
амплитудной характеристике (602). 14. Определение установившейся ошибки при
гармоническом управляющем воздействии по логарифмической амплитудной характеристике
(603). 15. Приближенный способ вычисления переходного процесса по сопрягающим
частотам логарифмической амплитудной частотной характеристики (604). 16.
Номограмма для определения запаса устойчивости, показателей качества и
коэффициентов ошибок по виду логарифмической амплитудной характеристики (609).
Литература (616).
Глава XVII. Связь между качеством переходного процесса и
распределением нулей и полюсов передаточной функции. Метод корневых
годографов 618
1. Общие выражения, определяющие переходные процессы (619). 2. Анализ
распределения корней характеристического уравнения системы и оценка качества
переходного процесса (621). 3. Геометрический метод построения корневого годографа
(622). 4. Аналитическое построение геометрического места корней (631). 5.
Определение областей устойчивости линейных систем методом корневого годографа (635).
6. Оценки параметров переходной и частотной характеристик по корневому
годографу (637). 7. Влияние расположения нулей и полюсов замкнутой системы на
переходную характеристику h (t) (642). 8. Влияние расположения нулей и полюсов
замкнутой системы на ее полосу частот (651). 9. Корневой годограф и переходная
характеристика системы при возмущениях, приложенных не к основному входу
системы (655). 10. Влияние распределения нулей и полюсов передаточной функции
на качество переходного процесса при наличии внешнего воздействия (661).
Литература (672).
Глава XVIII. Метод логарифмических корневых годографов .... 674
1. Логарифмические комплексно-частотные характеристики звеньев первого
порядка (675). 2. Определение корней замкнутой системы по логарифмической
амплитудной комплексно-частотной характеристике разомкнутой системы (684).
3. Логарифмические корневые годографы (687). 4. Логарифмические комплексно-
частотные характеристики звеньев второго порядка (690). 5. Пример построения
логарифмического корневого годографа (695). Литература (698).
Глава XIX. Интегральные оценки и критерии качества регулирования 700
1. Вычисление интегральных квадратичных оценок (701). 2. Методика
применения интегральных квадратичных оценок (712). 3. Линейные интегральные оценки
(718). Литература (720).
Приложение. Таблица Их-функций 722
Библиография по разделам книги 743
Алфавитно-предметный указатель 764

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий труд в известной мере базируется на содержании
книги «Основы автоматического регулирования. Теория», Машгиз,
1954 г. Цель книги состоит в систематическом изложении теории
автоматического регулирования, с учетом всех тех существенных
достижений и новых результатов, которые были получены за
последние годы.
Предлагаемый вниманию читателя коллективный труд: «Теория
автоматического регулирования» состоит из трех самостоятельных
книг.
В первой книге изложены общие основы, понятия и определения,
методы математического описания, структурного преобразования,
а также методы анализа устойчивости, переходных процессов и
качества непрерывных линейных систем автоматического
регулирования.
Во второй книге рассмотрены методы анализа точности, методы
экспериментального определения статических и динамических
характеристик и синтеза линейных непрерывных систем. В последнем
разделе второй книги изложены основы теории специальных
классов систем автоматического регулирования: с распределенными
параметрами, с амплитудной модуляцией, а также импульсных и
дискретно-непрерывных систем.
Третья книга посвящена теории нестационарных, нелинейных и
самонастраивающихся систем.
Приведенное выше краткое содержание труда для читателей,
знакомых с упомянутой выше книгой, показывает, что круг
рассматриваемых вопросов существенно расширен. К числу
последних, в частности, относятся: структурные методы преобразования,
9

метод корневых годографов, все содержание второй книги,
теория нестационарных систем, метод гармонической линеаризации,
статистическая динамика нелинейных систем, теория
самонастраивающихся систем и др. Все остальные главы были пересмотрены
заново, дополнены и исправлены. Ряд глав первого издания
опущен или объединен с другими главами.
Труд подготовлен коллективом авторов, в большинстве своем
имеющих оригинальные работы, главным образом, по тем вопросам,
которые ими здесь излагаются. Это позволило дать достаточно
полное изложение теории автоматического регулирования по
сравнению со всеми известными нам книгами, посвященными
рассматриваемому вопросу не только в отечественной, но и иностранной
литературе.
Настоящий труд в отличие от большинства вышедших за
последние годы работ, посвященных тому же кругу вопросов, но менее
полных по содержанию, все же назван теорией автоматического
регулирования, а не теорией автоматического управления.
Это объясняется следующими причинами.
Во-первых, теория автоматического регулирования может
рассматриваться, на наш взгляд, как самостоятельная дисциплина с
четко определенным предметом исследования. Во-вторых, ставя
себе целью разработку методов анализа и синтеза автоматических
регуляторов и следящих систем, она имеет очень большое
практическое значение, так как в настоящее время вряд ли можно назвать
такую отрасль техники, в которой принципы автоматического
регулирования не находили бы себе применения. В-третьих, изучение
принципов, идей и методов теории автоматического регулирования
облегчает последующее изучение теории автоматического
управления, являющейся более общей и более сложной дисциплиной.
Поэтому вряд ли можно считать оправданным то, что термин
автоматическое управление постепенно вытесняет в нашей
научно-технической литературе термин автоматическое регулирование. На наш
взгляд оба этих термина имеют право на самостоятельное
существование, конечно, при наличии четкого определения каждого из них.
Предпочтение, которое обычно отдается термину автоматическое
управление, часто объясняется скорее стремлением не «отстать от
века», чем содержанием излагаемого материала.
Предмет теории автоматического регулирования был в свое время
достаточно полно определен в литературе (см., например, приве-
10

денную выше книгу) и нет особых оснований для того, чтобы его
менять. Необходимость в новом термине «автоматическое
управление» тем и объясняется, что проблема автоматического управления
не укладывается в рамки проблемы регулирования и нуждается
в самостоятельном определении. Однако многие авторы, излагая
по существу вопросы регулирования, пользуются термином
управление или применяют, на всякий случай, оба этих термина, что
создает терминологическую путаницу.
Необходимо указать, что настоящий труд, посвященный теории
автоматического регулирования, хотя и представляет собою
законченное произведение, имеющее самостоятельный интерес, но в то
же время он открывает серию книг под общим названием
«техническая кибернетика», издание которой предпринимается
издательством «Машиностроение». Последующие книги серии предполагается
посвятить: элементам и устройствам систем автоматического
управления, регуляторам, следящим системам, управляющим машинам,
теории автоматического управления и системам автоматического
управления.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить
искреннюю благодарность доктору технических наук Ю. И. Топчееву за
оказанную помощь в подготовке настоящего труда к изданию.
Москва,^ Mapmt 1967 е.
СОЛОДОВНИКОВ В. В.

ВВЕДЕНИЕ
Кибернетика как общая наука о целеустремленном управлении
находится в стадии интенсивного развития и формирования.
Общей чертой процессов управления вне зависимости от того,
к какой категории явлений они относятся: технической,
биологической или любой другой, является их информационный характер.
Действительно, всякий процесс управления для достижения
поставленной цели требует сбора, передачи, переработки и
использования информации о внешних и внутренних условиях для
приспособления к ним и эффективного воздействия на них.
Основным методом изучения информационных процессов
управления, принятым в кибернетике, является метод их алгоритмизации.
Этот метод заключается в том, что любой информационный процесс
управления представляется в виде некоторой последовательности,
связанных друг с другом и причинно обусловленных
математических и логических операций, представляющих собою так
называемый алгоритм рассматриваемого процесса.
Ставя себе задачей изучить общие принципы и законы
эффективного управления объектами различной природы, кибернетика
стремится установить алгоритмический изоморфизм, т. е. структурное,
количественное и логическое сходство между процессами
управления, протекающими в различных системах управления. С этой точки
зрения можно сказать, что предмет кибернетики состоит в анализе,
синтезе и реализации алгоритмов управления как уже имеющихся
в природе, так и необходимых для приспособления к ней и
эффективного воздействия на нее при достижении определенных целей.
Кибернетика не делает упора на физическую, биологическую,
физиологическую или какую-либо другую природу процессов
управления. Она стремится использовать результаты различных наук,
специально посвященных изучению различных классов систем
управления для того, чтобы обобщить эти результаты в области,
касающейся вопросов управления, выявить общие принципы и
законы управления различными объектами на основе понятия
информации.
Такое абстрагирование позволяет кибернетике на основе точного
количественного определения понятия информации применять для
12

исследования информационных процессов управления методы
точных наук и современный математический аппарат вне зависимости
от того, к какой категории явлений они относятся.
Но с другой стороны, это абстрагирование ограничивает рамки
кибернетики границами применимости алгоритмического и
информационного подхода к изучению процессов управления, а также
аналогий, которые можно провести в рамках этих понятий.
В зависимости от того, к какой области знаний применяется
информационный и алгоритмический подход к изучению процессов
управления, можно говорить о технической кибернетике,
биологической кибернетике, экономической кибернетике и т. д.
Наряду с подразделением кибернетики по областям знаний,
в ней целесообразно выделить два основных направления. Первое
из этих направлений занимается изучением и анализом уже
существующих в живой природе процессов управления, например
процессов управления в человеческом организме, информационных
процессов, управляющих наследственностью, и т. д. Это
направление кибернетики естественно назвать «аналитической»
кибернетикой.
Основная задача второго направления состоит в разработке
принципов и методов реализации алгоритмов управления
объектами различной природы в соответствии с целями, которые ставятся
человеком. В противоположность первому направлению это —
«активная» кибернетика, служащая цели покорения человеком сил
природы путем его активного вмешательства в окружающие
процессы и явления. В свое время г было предложено этот раздел
кибернетики называть регнетикой (от латинского слова regnare, что
значит управлять).
Под технической кибернетикой, как уже отмечалось выше,
условимся понимать применение идей и методов кибернетики в
области техники. Итак, предметом технической кибернетики является
анализ информационных процессов управления техническими
объектами, синтез алгоритмов управления ими и создание систем
управления, реализующих эти алгоритмы.
Всякий процесс управления предполагает наличие одного или
нескольких управляемых объектов и управляющей ими системы,
которые в совокупности образуют систему управления.
Основными вопросами, входящими в предмет технической
кибернетики, являются следующие:
1) формулировка и выбор критериев эффективности управления
на основе заданной цели управления;
2) анализ внешних по отношению к системе управления условий
или окружающей ее обстановки;
1 См. Солодовников В. В., Основные черты технической
кибернетики. Сб. «Автоматическое управление и вычислительная техника». Вып. 1.
1958.
13

3) анализ внутренних условий, т. е. свойств системы управления
(в частности, математическое описание объектов управления,
моделирование систем управления и т. д.);
4) разработка принципов управления и синтез алгоритмов
управления, обеспечивающих требуемую эффективность управления;
5) сбор и передача информации, требуемой для управления
при наличии помех;
6) переработка информации в соответствии с алгоритмом
управления с целью выработки управляющих сигналов;
7) использование переработанной информации, т. е. отработка
управляющих сигналов с целью усиления их мощности до уровня,
достаточного для воздействия на объекты;
8) анализ динамической точности реализации алгоритмов
управления;
9) разработка методов обеспечения надежности систем
управления;
10) исследование взаимодействия оператора (человека) и
технических средств в системах управления.
Очевидно, что техническая кибернетика и автоматика имеют
тесную связь друг с другом. Для того чтобы уточнить этот вопрос,
определим понятие автоматики.
Автоматика — это прикладная дисциплина, изучающая
общие принципы и методы построения автоматических систем, т. е.
автоматических машин агрегатов, цехов, заводов, выполняющих
поставленные перед ними цели без непосредственного участия человека.
Автоматические системы можно подразделить на два основных
класса:
Циклические (или д етерминированные),
автоматические системы, осуществляющие заданную им
цель без всякой свободы выбора, выходящей за пределы
установленной для них жесткой программы; в них не происходит
информационных процессов или они играют вспомогательную роль (станки-
автоматы, автоматические линии и т. д.).
Ациклические (или информационные)
автоматические системы, т. е. системы, осуществляющие
заданную им цель с большей или меньшей свободой выбора,
определяемой происходящими в них информационными процессами.
В задачи технической кибернетики входит изучение лишь
ациклических, или информационных, систем и уже этим она отличается
от автоматики.
Другим отличием технической кибернетики от автоматики
является то, что первая, будучи разделом кибернетики, ставит себе
задачей техническую реализацию открытых в живой природе
новых принципов управления, что непосредственно не входит в задачи
автоматики.
Наконец, третье отличие технической кибернетики от
автоматики состоит в том, что в задачи первой дисциплины входит изуче-
14

ние оператора, как сложной кибернетической системы со всеми
особенностями, имеющими значение для ее функционирования как
звена систем управления, что также выходит за рамки
автоматики.
Теория автоматического регулирования сыграла большую роль
в развитии технической кибернетики. Автоматическое
регулирование представляет собою наиболее совершенный принцип
автоматики в период частичной автоматизации, когда технические средства
автоматики осуществляют лишь простые функции управления,
связанные с измерением, анализом, контролем различных величин
и отработкой решений, принятых оператором в виде уставок,
программ или других сигналов управления.
В настоящее время на смену частичной приходит комплексная
автоматизация, когда осуществляется автоматизация не только
простых функций управления, связанных с отработкой сигналов
управления, но и значительно более сложных, связанных с самой
выработкой этих сигналов или с принятием решений, исходя из
цели управления.
Сложность автоматических систем значительно возрасла. Если
в период частичной автоматизации они обычно состояли из
отдельных систем автоматического регулирования, взаимная координация
действия которых осуществлялась человеком, то теперь возникла
необходимость в автоматической координации их действий и,
следовательно, в создании сложных взаимосвязанных систем
автоматического управления. В основе их построения лежит принцип,
который заключается в том, что сложные системы управления
образуются из ряда ступеней. Причем на первой ступени исследуются
и автоматизируются сравнительно простые локальные
информационные процессы управления. На второй ступени
автоматизируются процессы управления, имеющие более общий и сложный
характер и т. д.
С этой точки зрения, теория автоматического регулирования
представляет собою основы построения первой ступени, а теория
автоматического управления — основы построения всей
иерархической лестницы информационных процессов управления,
необходимых для комплексной автоматизации сложных объектов.
Таким образом теорию автоматического управления можно
рассматривать, как обобщение и дальнейшее развитие теории
автоматического регулирования, требующее, в частности, широкого
использования понятия информации, которое в теории регулирования
играет сравнительно небольшую роль.
Принцип действия всякой системы автоматического
регулирования заключается в том, чтобы обнаруживать отклонения
регулируемых величин, характеризующих работу машины или
протекание процесса от требуемого режима и при этом воздействовать на
машину или процесс так, чтобы устранять эти отклонения.
Автоматическое определение требуемого режима в виде законов изменения
15

или некоторых постоянных значений регулируемых величин, исходя
из цели управления, не входит в задачи системы автоматического
регулирования и производится на стадии частичной автоматизации
оператором, а на стадии комплексной автоматизации следующими
ступенями системы автоматического управления, для которых
системы регулирования играют роль исполнительных устройств и
усилителей мощности.
Системы автоматического регулирования можно рассматривать,
как класс динамических систем, отличительной особенностью
которых является наличие обратной связи.
В теории автоматического регулирования основными являются
проблемы: устойчивости, качества и переходных процессов,
динамической точности, автоколебаний, оптимизации, синтеза и
отождествления (идентификации).
Задачи общей теории автоматического регулирования
заключаются в решении перечисленных проблем и в разработке на этой
основе:
1) методов синтеза систем автоматического регулирования,
позволяющих выбрать схему взаимодействия их элементов, а также
параметры и характеристики этих элементов таким образом, чтобы
система в целом удовлетворяла заданным требованиям к ее
поведению в статике и в динамике;
2) методов анализа систем автоматического регулирования,
позволяющих определить, удовлетворяют ли они предъявляемым к ним
требованиям, и показывающих пути улучшения их динамических
свойств;
3) методов количественной характеристики статических и
динамических характеристик объектов регулирования, не имеющих
математического описания («черный ящик») при помощи
экспериментального исследования входных и выходных сигналов (проблема
отождествления, или идентификации, которую можно
рассматривать как частный случай проблемы распознавания образов);
4) принципов построения и методов коррекции динамических
свойств.
Разработка и проектирование систем автоматического
регулирования является сложной задачей, которая обычно состоит из
следующих этапов:
а) изучения объекта регулирования, определения его
характеристик и параметров, условий его работы и воздействий, которые
он испытывает;
б) формулирования требований к системе регулирования;
в) выбора первоначальной схемы регулирования;
г) выбора элементов схемы регулирования, исходя из
требований к их мощности, надежности, имеющихся источников энергии,
эксплуатационных требований и т. д.;
д) уточнения структурной схемы регулирования, выбора и
расчета элементов и параметров системы регулирования на
16

основе требований к статическим и динамическим свойствам
системы;
е) экспериментального исследования системы регулирования (или
отдельных ее частей) в лабораторных условиях и внесения
соответствующих исправлений в схему регулирования;
ж) проектирования, изготовления и монтажа системы
регулирования;
з) наладки системы регулирования в реальных условиях ее
работы;
и) опытной эксплуатации системы регулирования.
Теория автоматического регулирования, имеющая целью
решение прикладных инженерных задач, в то же время вынуждена
использовать весьма сложный математический аппарат. Это
объясняется тем, что системы автоматического регулирования
представляют собою динамические системы со многими степенями свободы,
содержащие не только постоянные, но и переменные, нелинейные,
а порой и распределенные параметры. Поэтому необходимо иметь
в виду, что эффективное использование методов теории
регулирования обычно требует: во-первых, надлежащей идеализации в
математическом описании системы; во-вторых, учета того
обстоятельства, что теория автоматического регулирования по указанным
выше причинам часто дает возможность получить лишь
приближенные результаты и, в-третьих, что для уточнения результатов и
окончательного выбора параметров систем регулирования обычно
необходимо использование средств математического моделирования
и вычислительной техники с последующей окончательной доводкой
и настройкой регуляторов в реальных условиях. Однако это не
умаляет значения теории автоматического регулирования, дающей
возможность получить приближенное решение задачи, выбрать
рациональную схему регулирования и ориентировочные значения ее
параметров, указать пути улучшения динамических свойств систем
регулирования и, таким образом, постепенно превращающей
разработку и проектирование систем автоматического регулирования
в стройную инженерную дисциплину, покоющуюся на прочном
основании, а не на одном лишь экспериментировании, результаты
которого зависят от интуиции экспериментатора, а порой и от
счастливой случайности.
Из сказанного выше очевидно, что математический аппарат
играет в теории регулирования очень большую, но все же
вспомогательную роль и приобретает значение лишь в том случае, когда
он дает метод решения проблем теории автоматического
регулирования в виде алгоритма, позволяющего довести решение до числовых
значений. Разработка рабочего аппарата для анализа и расчета
представляет собою порой не менее сложную задачу, чем
разработка общего математического метода. В качестве примера можно
сослаться на замечательную работу А. Н. Колмогорова, в
которой поставлена и решена задача интерполяции и экстраполяции
17

стационарных случайных последовательностей. Даже после того,
как Н. Винер дал решение той же проблемы в замкнутой форме
для непрерывного случая, она еще, по существу, не вошла
в арсенал средств теории автоматического регулирования. И лишь
после того, как рядом авторов была показана специфика
применения этих результатов для оптимизации систем с обратной связью,
и разработана методика синтеза корректирующих устройств,
метод Колмогорова — Винера получил надлежащее признание и
применение для расчета и проектирования автоматических систем.
Все сказанное выше, конечно, относится и к теории
автоматического управления, в которой сложность требуемого
математического аппарата является еще более высокой, чем в теории
автоматического регулирования.
Изложенные выше соображения, как нам кажется, могут
служить своего рода критерием при решении вопроса о том, следует ли
тот или иной математический результат или метод включать в
арсенал средств теории автоматического управления (или
автоматического регулирования). Этот критерий очень важен для того, чтобы
предупредить излишнюю формализацию теории автоматического
управления, затрудняющую ее использование для решения
конкретных задач.
Теория автоматического регулирования представляет собою в
настоящее время довольно развитую и в значительной мере
сложившуюся дисциплину. Но практика ставит перед ней все более
сложные задачи и поэтому перспективы ее дальнейшего развития
несомненны.
Если решение перечисленных выше основных проблем теории
регулирования линейных систем с постоянными параметрами имеет
более или менее законченный характер, то теория систем с
переменными и с нелинейными параметрами разработана еще недостаточно
и именно в этом направлении будут сосредоточены усилия ученых
в ближайшие годы.

РАЗДЕЛ I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
И СТРУКТУРНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

В разделе I излагаются общие сведения, основные понятия,
определения и методы математического описания и структурного преобразования
систем автоматического регулирования.
Очерк о развитии теории автоматического регулирования в СССР,
которому посвящена гл. I, содержит освещение дореволюционного и советского
периодов развития теории регулирования.
В гл. II даются основные понятия и определения, а в гл. Ill приводится
краткая характеристика основных типов элементов, из которых обычно
состоят регуляторы и следящие системы, и показывается на нескольких
примерах, каким образом из этих элементов образуются системы
автоматического регулирования.
В гл. IV изложена методика составления дифференциальных
уравнений систем автоматического регулирования. В качестве исходных
уравнений используются уравнения Лагранжа не только потому, что их
применение в ряде случаев оказывается удобным, но и по той причине, что тем
самым подчеркивается непосредственная связь теории автоматического
регулирования с аналитической динамикой.
Глава V содержит основные понятия и положения статики систем
регулирования. Здесь же рассматривается вопрос об определении
статической характеристики нескольких соединенных друг с другом элементов с
заданными статическими характеристиками.
В гл. VI дается классификация и рассматриваются типичные нелинейные
статические характеристики.
Задачи гл. VII состоят в том, чтобы показать общность и
универсальность таких основных для теории автоматического регулирования понятий,
какими являются понятия: передаточной функции, частотных характеристик
и переходной функции. Показывается, что они могут быть обобщены и
представляют интерес для анализа не только систем с постоянными
параметрами, но и для систем с переменными, распределенными и даже с
нелинейными параметрами, а также для импульсных и дискретных систем.
Глава VIII посвящена изучению передаточных функций, частотных
характеристик и переходных функций линейных систем с постоянными
параметрами. Здесь же приводятся интегральные уравнения систем
регулирования, вводятся понятия: типовых звеньев и коэффициентов ошибки.
В гл. IX излагаются методы структурного преобразования, получившие
широкое распространение для анализа и синтеза систем автоматического
регулирования с постоянными и с переменными параметрами.
Наконец, в последней главе раздела (гл. X) на примерах,
рассмотренных в гл. Ill, поясняется методика составления дифференциальных
уравнений, структурных схем и передаточных функций систем автоматического
регулирования.

ГЛАВА I
ОЧЕРК О РАЗВИТИИ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ В СССР
Теорию автоматического регулирования на современном уровне
необходимо рассматривать в связи с ее историческим развитием,
так как это дает возможность правильно оценить достигнутые
результаты и наметить дальнейшие перспективы.
Гением выдающихся отечественных ученых И. А. Вышнеград-
ского [29], [31]* и А. М. Ляпунова [НО] были заложены строгие
математические основы теории автоматического регулирования.
Выдвинутые ими идеи определили рождение новой науки, которая
в настоящее время имеет большое значение для технического
прогресса.
Развитие отечественной теории и техники автоматического
регулирования в советский период достигает исключительно высокого
уровня. Освоение атомной энергетики и космоса невозможно без
применения высококачественных систем автоматического
регулирования. В 1954 г. в СССР впервые в мире была введена в
постоянную эксплуатацию полностью автоматизированная атомная
электростанция, а в 1957 г. — выведен на орбиту искусственный
спутник Земли. В 1961 г. был совершен первый в истории человечества
космический полет, а в 1966 г. осуществлена мягкая посадка на
Луну. Эти достижения были бы невозможны без надлежащего
использования современных принципов и методов автоматического
регулирования и управления.
1. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ДОРЕВОЛЮЦИОННЫЙ ПЕРИОД**
Теория автоматического регулирования начала формироваться
как самостоятельная научная дисциплина в 30—40-х годах
прошлого столетия на основе развития отдельных направлений
* См. библиографию к разделу I (гл. I), помещенную в конце книги
(стр. 743).
** Очерк о развитии теории автоматического регулирования до
Октябрьской Социалистической революции написан по материалам А. В. Храмого
[207] — [209]. Последующий период развития теории составлен на основании
докладов, прочитанных на I, II и III Всесоюзных совещаниях по теории
автоматического регулирования.
21

теоретической механики для решения конкретных технических задач.
Применяемые в различных видах производств в России паровые
машины снабжались центробежными регуляторами. Повышение
точности регулирования числа оборотов вала в системе (паровая
машина — центробежный регулятор) определило необходимость
разработки теоретических методов, позволяющих выбирать цара-
метры регуляторов.
В 1838 г. известный русский ученый Н.Ф. Ястржембский
исследует различные схемы центробежных регуляторов и определяет
из уравнений статики математические зависимости для выбора
параметров регулятора [235], [236]. Эти исследования относились
к регуляторам прямого действия, когда измерительный элемент
непосредственно воздействует на устройство подачи пара в машину.
Значительное повышение мощности паровых машин привело к
появлению регулятора непрямого действия. В 1846 г. Н. Я.
Ястржембский в курсе лекций по теоретической механике [236]
излагает основы выбора параметров регуляторов непрямого действия,
с механическими и гидравлическими усилителями моментов.
Профессор механики Петербургского университета Д. С. Чижов
в 1838 г. опубликовал курс теории регуляторов [231], который вошел
в учебники и монографии по механике и паровым машинам.
Успехи в деле конструирования и построения регуляторов,
равно как и достижения в области теории регуляторов и теории
малых колебаний в 70-х годах прошлого столетия послужили основой
для дальнейшего развития отечественной теории регулирования.
Увеличение быстроходности паровых машин и повышение
требований к точности их регулирования приводили во многих
случаях к появлению незатухающих колебаний в системе (паровая
машина — центробежный регулятор). Этот вопрос можно было
решить на основе изучения техники регулирования паровой машины,
применяя математический аппарат теории малых колебаний и
устойчивости.
Необходимо было обобщить опыт эксплуатации регуляторов,
а также результаты полученных к тому времени теоретических
исследований и создать научно-обоснованную теорию, которая
позволила бы рассчитывать работоспособные регуляторы для
промышленности.
Крупнейший русский машиностроитель прошлого века И. А. Вы-
шнеградский, обладавший опытом инженера-механика и знаниями
ученого-математика, выполнил эту задачу. Впервые И. А. Вышне-
градский сделал сообщение о своей работе по теории регуляторов
прямого действия в 1872 г. В этой работе он рассматривает
паровую машину и центробежный регулятор, как единую
динамическую систему. Результаты исследования И. А. Вышнеградский
опубликовал в работе под названием «Об общей теории регуляторов»,
которая появилась в 1876 г. в докладах французской Академии
наук [30].
22

В ней он сосредоточил свое внимание на наиболее
интересном с точки зрения промышленной практики того времени
случае, когда самовыравнивание в паровой машине практически
отсутствует [32].
Исходя из учета условий работы паровой машины с
центробежным регулятором, И. А. Вышнеградский значительно упростил
задачу путем ее линеаризации (метод малых колебаний). Введя
упрощающее предположение о том, что нагрузка меняется
мгновенно и остается затем неизменной, Вышнеградский описал
систему (объект с регулятором) линейным дифференциальным
уравнением и свел задачу исследования движения системы к решению
однородного уравнения. Исследуя полученное уравнение, он
показал, что динамика системы регулирования определяется двумя
параметрами; вывел условие устойчивости системы и впервые
осуществил разбиение плоскости параметров на области
устойчивости и неустойчивости (диаграмма Вышнеградского).
И. А. Вышнеградский впервые рассмотрел один из
существенных вопросов, связанных, если пользоваться современной
терминологией, с понятием качества регулирования, а именно выяснил
условия монотонности переходного процесса в паровой машине
с регулятором прямого действия, вызванного мгновенным сбросом
нагрузки. Его работа, появившаяся впервые в 1876 г., стала
теоретической основой регуляторостроения, так как ему удалось
решить задачу о промышленном статическом регуляторе. До работы
И. А. Вышнеградского основной проблемой регулирования было
построение совершенного (без трения) астатического (изохронного)
регулятора. После опубликования результатов исследования
И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия эта
проблема потеряла свою актуальность [29], [31], [32].
Надо отметить, что первая в мире работа по нелинейным
вопросам теории регулирования принадлежит также И. А. Вышне-
градскому («О регуляторах непрямого действия»). В ней был
рассмотрен регулятор релейного типа [30].
Оценивая великое наследие научных работ И. А.
Вышнеградского, следует считать, что именно он заложил основы
математически строгой и достаточно стройной линейной теории
автоматического регулирования [5], [6], [240]. Идеи И. А. Вышнеградского
получили свое дальнейшее развитие в работах [69], [70], [71],
[127], [172], [179], в которых исследовались линейные и
нелинейные регуляторы.
Фундаментальные исследования в области устойчивости
движения принадлежат великому русскому ученому Н. Е. Жуковскому,
создавшему в 1882 г. теорию орбитальной устойчивости, на основе
вариационных принципов динамики [47]. Теоретические
результаты работы Н. Е. Жуковского были сразу же использованы на
практике как для анализа конкретных систем регулирования,
так и дальнейшего развития теории [9].
23

В 1892 г. вышла в свет работа А. М. Ляпунова «Общая задача
об устойчивости движения», явившаяся важной вехой в развитии
теории устойчивости и теории регулирования. В ней А. М. Ляпунов
дал первое в истории науки математически строгое определение
понятия устойчивости движения, а также разработал два метода
решения задачи об устойчивости. Особое значение первого метода,
или метода первого приближения, заключается в обосновании
и установлении точных границ применимости анализа
устойчивости нелинейных систем по линейным уравнениям. Теоремы,
доказанные А. М. Ляпуновым, являются математическим обоснованием
всей теории устойчивости систем автоматического регулирования
«в малом». Теоремы второго метода позволяют в ряде случаев
исследовать устойчивость не только «в малом», но и при конечных
отклонениях (устойчивость «в большом») [ПО], [122]. Работы А. М.
Ляпунова по проблеме устойчивости движения определили целую
эпоху в развитии механики, а затем и теории автоматического
регулирования не только в СССР, но и за рубежом [2], [46], [51],
[109], [111], [117], [177], [239], [241], [242], [243], [247], [251],
[252], [253], [254], [255], [258].
Значительную роль в развитии теории автоматического
регулирования сыграли работы выдающегося математика и механика
П. Л. Чебышева, который в 1871 г. опубликовал работу «О
центробежном уравнителе», где впервые поставлена задача о синтезе
регулятора прямого действия, обеспечивающего наибольшую
точность регулирования при заданной схеме регулятора [228], [237].
С 1870 г. начинают разрабатываться автоматические системы
и регуляторы, работающие с использованием электрической
энергии. Так, в 1880 г. А. П. Давыдов создает первую электрическую
следящую систему пушечной установки со счетно-решающим
устройством [207].
В 1898 г. великий русский ученый К. Э. Циолковский предложил
«автоматический регулятор горизонтального руля с электрическим
приводом», который предназначался для стабилизации полета
дирижабля [211]. Эта работа легла в основу дальнейших
исследований по созданию автопилотов для различных видов летательных
аппаратов [164]. В 1899 г. Н. В. Попов разработал электрический
регулятор для паровой машины [160].
Созданная И. А. Вышнеградским школа регулирования
развивалась в ряде высших учебных заведений. Среди курсов,
прочитанных по теории регулирования в этот период, особо следует
отметить курс лекций Н. Е. Жуковского, прочитанный в
Московском высшем техническом училище [49]. В этих лекциях Н. Е.
Жуковский рассмотрел уравнения динамики паровой машины,
которые он линеаризовал и привел к одному уравнению третьего
порядка. Им была предложена форма записи уравнений динамики,
основанная на введении относительных переменных, которой
пользуются и в настоящее время в теории автоматического регулиро-
24

вания. Н. Е. Жуковский исследовал влияние сухого трения в
регуляторах на работу систем регулирования.
При рассмотрении систем автоматического регулирования
паровых машин, работающих с отсечкой пара, Н. Е. Жуковский
вводит в рассмотрение разностные уравнения, что позволяет ему
достаточно строго анализировать динамические процессы
регулирования. Первый курс лекций Н. Е. Жуковского издается в 1909 г.
в виде отдельной книги, которая содержит классическое изложение
теории регуляторов прямого действия [49]. Эта книга получила
широкое распространение в России и была настольной книгой
инженеров, создающих регуляторы.
На Втором Всероссийском воздухоплавательном съезде в 1912 г.
Н. Е. Жуковский делает доклад «Об автоматической стабилизации»,
где впервые излагаются теоретические основы динамики
управления летательных аппаратов.
В 1898 г. известный механик Я. И. Грдина на страницах
технических журналов указал [38], [39]* на ошибки, допущенные
А. В. Гречаниновым [42], [43], [44] в оценке теоретических
положений И. А. Вышкеградского, утверждая, что последний якобы
не учитывал влияние кулоновского трения на устойчивость.
2. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПОСЛЕ ОКТЯБРЬСКОЙ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
В первые годы после Октябрьской Социалистической революции
работы по автоматическому регулированию проводились в
основном в высших учебных заведениях страны. Так, в Ленинградском
технологическом институте крупный инженер и ученый И. Н.
Вознесенский проводит многочисленные исследования в области систем
автоматического регулирования паровых и гидравлических турбин.
В 1922 г. им были опубликованы две статьи: «О регуляторах
непрямого действия» [23] и «Быстродействующие сервомоторы» [22],
где излагаются основы линейной теории регуляторов и
сервомоторов; даются конкретные инженерные рекомендации по выбору схем
и параметров турбин и регуляторов.
В 1924 г. в трудах Днепропетровского горного института
К. Э. Рерих [173], а затем Я. И. Грдина [40] публикуют статьи,
посвященные исследованиям прерывистых регуляторов
быстроходных машин [41]. К. Э. Рерих рассматривает динамику
процессов регулирования паровых машин с переменной отсечкой пара,
пользуясь для этого разностными уравнениями. Из анализа этих
уравнений он приходит к формуле, связывающей постоянную
времени регулятора, постоянную времени паровой машины с
коэффициентом неравномерности регулятора. Я. И. Грдина показывает,
* См. также работы А. Стодолы [256], [257], М. Толле [259], [260], Трин-
кса [261], А. А. Андронова [4], [5], [7], И.Н. Вознесенского [6], Р. Мизеса [248],
где указывается на правильность теоретических положений И. А. Вышнеград-
ского и излагается ошибочность взглядов Л. Лекорню [245], [246].
25

что с помощью этой формулы могут выбираться параметры
регулятора и паровой машины для достаточно широкого диапазона ее
работы. Ему удается выяснить, насколько расширяется область
устойчивой работы системы от действия сухого трения регулятора
и дополнительного трения катаракта. Он также рассмотрел
устойчивость прерывистых систем регулирования паровых машин [41].
В эти годы отечественная промышленность сделала важный шаг
в развитии регуляторостроения. На ряде предприятий осваивается
выпуск серийных регуляторов. Так, например, первый регулятор
для водяной турбины был изготовлен в 1925 г., а в 1927 г.
построена партия термоэлектрических регуляторов.
В 1930 г. Е. Л. Николаи издает учебник по теории
автоматического регулирования [126], в котором рассматривает динамику
процессов для регуляторов прямого и непрямого действия с
помощью дифференциальных уравнений в вариациях. Там же были
даны рекомендации по наивыгоднейшим с точки зрения
устойчивости параметрам паровой машины, регулятора и гидравлического
серводвигателя. Рассматривая схемы непрерывных систем прямого
регулирования, Е. Л. Николаи оценивает влияние сухого трения
на сходимость процессов и определяет минимальную величину
коэффициента нечувствительности, при котором колебания
регулятора затухают [125]. Для практического использования этих
результатов им был дан график, разбивающий плоскость на области
устойчивых и неустойчивых состояний, в зависимости от
обобщенных коэффициентов неравномерности и нечувствительности.
Большое значение для развития отечественного
регуляторостроения имело создание в начале 30-х годов научно-исследовательских
институтов: Центрального котлотурбиккого, Всесоюзного
электротехнического и Всесоюзного теплотехнического.
В 1934 г. И. Н. Вознесенский впервые предложил принцип
автономности для систем автоматического регулирования с
несколькими регулируемыми параметрами [24]. Ему удается найти
математические зависимости, определяющие условия автономности
систем непрямого регулирования. В эти же годы он создает методику
выбора рациональных кинематических связей в системах прямого
регулирования [25]. Развивая теоретические положения этих двух
работ, И. Н. Вознесенский в 1938 г. обобщил полученные им
результаты на объекты с п параметрами [26], где показал, что путем
выбора надлежащих кинематических связей обеспечивается
автономность в сложных системах автоматического регулирования [27].
Оценивая деятельность такого крупного ученого, каким был
И. Н. Вознесенский, нельзя не сказать о его инженерной
деятельности в области регуляторостроения [54], [146]. Первые
отечественные высококачественные регуляторы мощных турбин были созданы
еще в 1923 г. по чертежам, разработанным И. Н. Вознесенским.
Это позволило в последующие годы отечественному турбостроению
занять ведущее место в мире.
26

С 1932 г. в периодической печати появляются многочисленные
работы другого крупного ученого В. С. Кулебакина, развивающего
теорию автоматического регулирования применительно к
электрическим машинам и регуляторам [21], [150]. Первые работы В. С.
Кулебакина откосились к теории вибрационных регуляторов
электрических машин [82], где по соотношениям периодов замыканий и
размыканий, учету времени запаздывания вспомогательного реле
выбираются допустимые частоты вибраций контактов и амплитуды
пульсаций напряжения возбудителя для различных режимов
работы электрических машин. В последующих работах он
рассматривает установившиеся и переходные режимы возбуждения
синхронных машин, устанавливает определенные соотношения по
скорости возбуждения в зависимости от применяемых схем включения
возбудителей, а также определяет условия устойчивости
параллельно работающих синхронных машин [83]. В 1940 г. В. С. Куле-
бакин в ряде своих статей [84], [85] высказывает некоторые
соображения по выбору типов регуляторов под заданные
характеристики объектов регулирования, что явилось дальнейшим шагом
в проблеме синтеза автоматических систем. Большую известность
получили его работы в области самолетных вибрационных
регуляторов [86] и специальных электрических машин [87], [232].
Исключительно важную роль в развитии теории
автоматического регулирования сыграли работы А. В. Михайлова, которые
были выполнены во Всесоюзном электротехническом институте
в 1936 г. Они послужили основой для создания и развития
частотных методов в теории регулирования [134] и были опубликованы
в 1938 г. [118], [119]. Он впервые обратил внимание на общность
теории ламповых усилителей с обратной связью, разработанную
Г. Найквистом [249], с теорией линейных систем автоматического
регулирования и предложил использовать частотный критерий
устойчивости для анализа устойчивости автоматических систем*.
В своих работах [120], [121] А. В. Михайлов предложил новый
критерий устойчивости линейных систем, основанный на
графическом представлении функции комплексного переменного,
представляющей собой левую часть характеристического уравнения,
и показал его связь с критерием А. Гурвица. Ему также
принадлежат идеи типизации динамических звеньев систем
автоматического регулирования и структурных методов анализа.
В результате дальнейшего развития техники в этот период
назрела острая необходимость в методах исследования качества
и точности регулирования при возмущающих воздействиях.
В 1939 г. В. В. Солодовников сформулировал условия качества
регулирования и применил преобразование Лапласа для
получения общих уравнений системы регулирования в операторной форме
* В СССР частотный критерий устойчивости обычно называют критерием
устойчивости Найквиста — Михайлова.
27

и разработал основы частотного метода анализа качества [180].
Им же частотный метод анализа устойчивости и качества был
обобщен на системы с распределенными параметрами [182].
В 1938 г. известным ученым Г. В. Щипаковым были
сформулированы условия полной компенсации вынужденной составляющей
отклонений регулируемого параметра, вызываемых внешним
возмущением, изменяющимся произвольно [208], [233], [234]. Эти
работы привлекли внимание такого крупного математика, как
Н. Н. Лузина [101 ] и его ученика П. И. Кузнецова. С помощью
теории матриц они доказали теоремы о полной и частичной
компенсации возмущений и ввели новое название принципа компенсации
Щипанова — принцип инвариантности.
Нелинейная теория регулирования получила значительное
развитие в послевоенные годы. Но это было достигнуто при помощи
методов, разработанных гораздо раньше применительно к задачам
механики и теории колебаний. Этими методами явились: уже
упоминавшийся выше второй метод Ляпунова [111]—[116], метод
фазового пространства [7] и методы малого параметра [11], [16], [20].
В 1932 г. выдающиеся ученые Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов
создали метод гармонического баланса. В основу этого метода
были положены асимптотические разложения, представляющие
собой дальнейшее развитие методов теории возмущений [76], [77],
[78]. Впервые этот метод был применен для решения нелинейных
задач теории регулирования Л. С. Гольдфарбом в 1940 г.
Рассматривая процессы в ламповом генераторе, как в
нелинейной динамической системе, известный физик А. А. Андронов
и ряд других советских ученых разработали методы исследований
нелинейных колебаний на основе понятия-фазового пространства
[1], [37], [128].
В этот период были опубликованы «Введение в нелинейную
механику» Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [79] и «Теория
колебаний» А. А. Андронова, А. А. Витте и С. Э. Хайкина [8],
которые получили мировую известность *. Основные
теоретические положения, высказанные в этих работах, позволили
отечественным ученым в последующие годы создать основы теории
нелинейных систем автоматического регулирования.
Развитие военной техники и промышленности в период Великой
Отечественной войны сыграло большую роль в формировании
теории автоматического регулирования. Созданные в эти годы
многочисленные системы автоматического регулирования успешно
работали в машиностроении, металлургии, энергетике и других
отраслях народного хозяйства. С этого времени начинается период
массового применения регуляторов и следящих систем в
промышленности, что естественно накладывает определенное влияние на
развитие теории регулирования. Теория автоматического регули-
* См. также [11], [12].
28

рования становится дисциплиной, необходимой для широкого
круга инженеров и конструкторов. В это время (1945—1953 гг.)
частотный метод анализа и синтеза, дающий единую и
взаимосвязанную методику решения основных задач линейной теории
регулирования, приобретает в значительной мере законченную форму,
благодаря работам В. В. Солодовникова [ 183]—--[192]. Этот метод
становится основным методом расчета и проектирования систем
автоматического регулирования, допускающих линеаризацию.
Важнейшими результатами, полученными в данном
направлении, являются: обобщение частотного метода на ненулевые
начальные условия и широкий класс типовых воздействий [185],
установление свойств критериев и теорем, позволяющих судить
о качестве и характере переходного процесса непосредственно по
виду частотных характеристик [187], разработка метода
трапецеидальных частотных характеристик для построения переходных
процессов [188], [195], и создание метода синтеза корректирующих
устройств [190], [192] при помощи логарифмических частотных
характеристик [184]. В это же время (1947—1948 гг.) Ю. И. Ней-
марк развил метод Д-разбиения плоскости двух параметров
для линеаризованной системы, позволяющей выделять области
устойчивости [123], [124]. Он же показал, что все известные
критерии устойчивости линейных систем можно рассматривать как
различные формы Д-разбиекия.
Наряду с частотными методами развивались методы анализа
качества процессов регулирования, основанные на исследовании
расположения полюсов и нулей передаточной функции и методы
интегральных оценок. В частности, Я. 3. Цыпкиным и П. В. Бром-
бергом было введено понятие степени устойчивости, а С. П.
Стрелковым исследовано влияние расположения полюсов и кулей на
качество воспроизведения внешних воздействий.
Первое применение метода интегральных оценок в теории
регулирования было сделано В. С. Кулебакиным, предложившим
в 1940 г. оценивать качество переходного процесса по
ограничиваемой им площади [84], [85]. Позже этот метод получил
существенное развитие в работах А. А. Красовского и А. А. Фельдбаума.
Широкое применение следящих систем, работающих в условиях
помех, выдвигает, как одну из главных задач теории
регулирования, решение проблем динамической точности следящих систем,
находящихся под влиянием случайных воздействий. В 1950 г.
В. В. Солодовников, основываясь на классических работах
А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и Н. Винера*, в которых были
* Колмогоров А. Н. Интерполяция и экстраполяция
стационарных случайных последовательностей. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1941, №5.
X и н ч и н А. Я. Теория корреляции стационарных случайных
процессов, успехи матем. наук, 1938, вып. 5.
Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time
Series J. Wiley, N—Y, 1949.
29

заложены математические основы теории стационарных случайных
процессов и решения проблем интерполяции и экстраполяции,
опубликовал монографию «Введение в статистическую динамику
систем автоматического управления»* [191]. Эта книга послужила
основой для формирования нового раздела теории автоматического
регулирования.
В последующие годы им разрабатывается методика синтеза
систем автоматического регулирования с постоянными [190], [193],
[194] и переменными [200] параметрами при наличии помех поза-
данным требованиям к качеству и динамической точности [192],
а также принцип построения и теория аналитических
самонастраивающихся систем [196], [201].
В 1950 г. В. С. Пугачевым был разработан математический
аппарат для анализа динамических систем, находящихся под
влиянием случайных воздействий, не связанный с предположением об
их стационарности. Он также предложил способ представления
случайных функций в виде канонических разложений [165], [166],
которые он применил для определения оптимальных линейных [167]
и нелинейных систем автоматического регулирования. В своих
последующих работах он разрабатывает методы определения
оптимальных систем по произвольному [168] и по общему Байессву
[169] критериям, уменьшающим число ограничений,
накладываемых на системы. Значительный интерес представляют работы
В. С. Пугачева, посвященные созданию метода анализа
одномерных и многомерных систем регулирования, находящихся под
влиянием нестационарных случайных воздействий [170].
Теоретические основы дискретных систем автоматического
регулирования развиваются Я. 3. Цыпкиным [215], который еще в
1948 г. предлагает частотный критерий устойчивости дискретных
систем, а затем на основе дискретного преобразования Лапласа
создает основы общей теории таких систем, формально подобную
теории линейных непрерывных систем. Начиная с 1952 г., им
успешно были решены проблемы качества [216]—[218], [225] и
динамической точности [219] дискретных систем. Большой интерес
представляют его работы, посвященные методам синтеза
дискретных корректирующих устройств [222], дискретным системам с
экстраполирующими устройствами [223]. В 1958 г. выходит книга
«Теория импульсных систем»**, в которой Я. 3. Цыпкин с единых
позиций излагает общую теорию анализа и синтеза дискретных
систем управления. Эта книга представляла собой наиболее
полную монографию, посвященную теории линейных импульсных
систем. В теории релейных систем автоматического регулирования
* Второе издание этой книги под названием «Статистическая динамика
линейных систем автоматического управления» вышло в 1960 г. [199].
** Второе издание этой книги под названием «Теория линейных
импульсных систем» вышло в 1963 г. [224].
30

Я. 3. Цыпкин разработал точный метод решения задачи о
вынужденных колебаниях [217]. В своих работах, посвященных
исследованию устойчивости периодических режимов, он распространяет
частотные методы анализа и синтеза на релейные системы
регулирования [218], [220], [221].
Значительные научные результаты в теории релейных систем
регулирования были получены А. А. Фельдбаумом. Он использовал
фазовую плоскость для исследования влияния неоднозначной
релейной характеристики и различных видов обратных связей на
поведение релейных автоматических систем [204], [205]. Развивая
эти направления, он поставил и в 1955 г. решил задачу синтеза
оптимальных релейных систем регулирования [206].
Общее решение проблемы оптимальных по быстродействию
систем автоматического регулирования было дано в работах Л. С. Пон-
трягина и его учеников (1956—1960 гг.), сформулировавших
принцип максимума [148], [149].
Методом медленно меняющихся функций Г. С. Поспелов
исследовал релейные системы автоматического регулирования и показал
на возможность получения в них режимов вибрационной
линеаризации [161], [162]. Он также разработал некоторые способы
подавления автоколебаний в релейных системах [163].
Теория нелинейных систем автоматического регулирования
развивается по трем направлениям: дальнейшее совершенствование
второго метода Ляпунова, методов фазового пространства и малого
параметра.
Н. Г. Четаев, используя метод Ляпунова, формулирует задачу
устойчивости на конечном интервале [229]; развивает теорию
характеристических чисел; показывает на аналитические и
геометрические возможности прямого метода [230]. А. И. Лурье предложил
метод построения функций Ляпунова, основываясь на приведении
уравнений систем автоматического регулирования к канонической
форме [107]. Этот метод, доведенный А. И. Лурье до рабочего
алгоритма, существенным образом упрощает задачу анализа
устойчивости одного из классов нелинейных систем [105]—[108].
А. М. Летов, используя идеи Ляпунова по оценке времени
затухания переходного процесса, предложил способ отыскания
экстремальных значений квадратичной формы замкнутой поверхности
для оценки качества нелинейных систем регулирования [97], [98],
[100]. Вслед за этими работами появляются статьи и книги
Н. П. Еругина и В. И. Зубова, в которых они дали наиболее полное
решение проблемы обращения в теории устойчивости Ляпунова*
[45], [53].
В 1953 г. В. И. Зубов [50] предлагает применять в нелинейных
системах метод кажущейся линеаризации, позволяющий иногда
* С помощью проблемы обращения в теории нелинейных систем
решаются задачи нахождения функций Ляпунова для устойчивых систем.
31

достаточно просто анализировать устойчивость нелинейных
систем [52].
Методы определения режимов автоколебаний в нелинейных
системах были разработаны А. А.Андроновым [1], [3], [244]. С
помощью метода точечных преобразований он исследовал фазовое
пространство ряда нелинейных систем автоматического
регулирования, имеющих большое практическое значение. В наиболее
полном виде им были исследованы: системы непрямого регулирования
с учетом сухого трения в чувствительном элементе [7], системы
стабилизации самолета с рулевыми приводами, имеющими
постоянную скорость и зону нечувствительности, а также некоторые
другие системы [8]. В последующие годы это направление,
связанное с построением фазового пространства, успешно развивается
В. В. Петровым. Совместно с Г. М. Улановым им были
исследованы системы регулирования с одной и несколькими нелинейно-
стями, для которых впервые использовались многолистные
фазовые поверхности [141]—[143]. С помощью многолистной
поверхности он исследует скользящие, или пульсирующие, режимы,
устанавливая общность скользящих и оптимальных режимов [144].
В. В. Петров предложил применять метод вырожденных циклов
для определения границы устойчивости двухкаскадных
нелинейных сервомеханизмов [145].
Известный ученый Б. В. Булгаков еще в 1942 г. рассмотрел
возможность применения метода А. Пуанкаре [250] к определению
периодических режимов в нелинейных системах [15].
Периодические решения по этому методу находятся в виде рядов по степеням
малого параметра [16]. Им был разработан метод получения
приближенных («укороченных») уравнений для нелинейных систем,
позволяющий исследовать не только периодические процессы, но
и процессы установления [20]. Важное значение для синтеза
нелинейных систем имеет работа Б. В. Булгакова «Автоколебания
регулируемых систем», где ставится и решается задача выбора
нелинейной функции, предотвращающей возникновение
автоколебаний в системе автоматического регулирования [15].
В области линейной теории Б. В. Булгаков разрабатывает
методы оценки возмущений в системах (метод накопления) [17], [18]
и некоторые вопросы синтеза корректирующих устройств [19].
Изданная в 1949 г. монография Б. В. Булгакова «Колебания»*
посвящена рассмотрению методов расчета систем автоматического
регулирования.
Значительное развитие получают приближенные способы
анализа нелинейных систем регулирования, основанные на методе
гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н, Боголюбова.
Используя амплитудно-фазовую частотную характеристику линей-
* В 1954 г. вышло второе дополненное издание книги Б. В. Булгакова
«Колебаниям [20].
32

ной части системы и эквивалентные характеристики нелинейной
части, Л. С. Гольдфарб предлагает метод определения
автоколебаний в системах автоматического регулирования [33], [35]. С
помощью этого метода он исследует вибрационные регуляторы [34],
системы регулирования с исполнительными двигателями,
имеющими ограничение скорости [36].
Существенные результаты, полученные советской школой в
области автоматического регулирования к началу 60-х годов, были
обобщены и систематизированы в получившем широкую
известность коллективном труде «Основы автоматического
регулирования. Теория», вышедшем в 1954 г.
Развивая идеи Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, Е. П. Попов
создает теорию гармонической линеаризации [151], [158],
получившую в последующие годы широкое практическое применение.
Ему также принадлежит способ определения автоколебаний,
основанный на применении годографа Михайлова линейной части
и эквивалентной передаточной функции нелинейной части системы
[153], [155]. В 1953 г. он распространяет методы гармонической
линеаризации на системы с несколькими нелинейностями. В своих
последующих работах ему удается разработать метод,
позволяющий уточнять результаты первого приближения, при определении
амплитуд и частот автоколебаний, за счет учета высших гармоник
[152], [154]. Весьма важны результаты, полученные Е. П. Поповым
при исследовании режимов автоколебаний нелинейных систем, на
вход которых действуют различного рода внешние воздействия
[156]. В качестве внешних воздействий он рассматривает сначала
вибрации, а затем и медленно меняющиеся случайные воздействия,
создав тем самым единый аппарат линеаризации (гармонический
и статистический). Е. П. Попов обобщает асимптотический метод
Крылова — Боголюбова на исследование переходных процессов в
нелинейных системах [157], [159]. В 1960 г. Е. П. Попов совместно
с И. П. Пальтовым публикует книгу «Приближенные методы
исследования нелинейных автоматических систем».
Значительный вклад в статистическую теорию нелинейных
систем регулирования был сделан П. И. Кузнецовым [81], который
применил статистические методы к исследованию нелинейных
систем, учитывая распределение характеристических функций и
моментов при наличии многократных корреляций между ними.
Анализируя встречающиеся на практике плотности
вероятности, незначительно отличающиеся от нормальной, ему удалось
представить их в виде ряда по многомерным ортогональным полиномам
Эрмита. Развивая эти теоретические положения, П. И. Кузнецову
удается показать, что при линейных и нелинейных
преобразованиях случайных процессов коэффициенты разложения, т. е.
квазимоменты, преобразуются в линейные. С целью упрощения методики
синтеза нелинейных систем в его работах даны формулы для
определения плотности вероятности, корреляционных и моментных
2 Техническая кибернетика, кн. 1
33

функций при линейных и нелинейных (полиноминальных)
преобразованиях случайных процессов. Ему также удалось решить задачу
выбора параметров системы, обеспечивающих воспроизведение
полезных сигналов при наличии шумов с минимальной
среднеквадратичной погрешностью [80].
Развивая матричные методы в теории автоматического
регулирования, Б. Н. Петров в 1945 г. предложил способы преобразования
структурных схем, без применения которых в настоящее время
невозможен расчет и проектирование реальных систем
регулирования [129], [130], [133]. Кроме того, он разработал на основе
метода С. А. Чаплыгина аналитические способы анализа систем
автоматического регулирования, описываемых дифференциальными
уравнениями второго порядка с переменными параметрами [132],
[133].
На основе обобщенных представлений линейных систем А. С.
Шаталов разработал способы структурных преобразований систем
автоматического регулирования*.
Важным направлением теории автоматического регулирования,
по-прежнему, является теория инвариантности. В классе систем
регулирования, работающих по отклонению с одним регулируемым
параметром, задача абсолютной инвариантности может быть
решена только при бесконечно большом коэффициенте усиления.
Невозможность получения этого на практике выдвигает задачу
о частичной инвариантности. Решению этой задачи с точностью
до е посвящены работы Н. Н. Лузина и П. И. Кузнецова [102],
опубликованные в 1946—1951гг.
Создание систем, инвариантных до е, следует рассматривать
как одно из основных направлений достижения независимости
динамических свойств системы от внешних воздействий. Постановка
задачи о компенсации внешних возмущений с точностью до
значений, обусловленных старшими производными от внешних
возмущений, была высказана Б. А. Рябовым еще в 1939 г. [175], [176].
В эти же годы В. С. Кулебакин разрабатывает общие принципы
физической реализуемости инвариантных систем [88]—[90]. Одно
из центральных мест в его теории занимает К (£>)-изображение.
С помощью физической реализации идей К (£>)-изображения можно
обеспечить полную инвариантность систем регулирования по
отношению к возмущающему воздействию [91], [92]. При
дальнейшем развитии этого направления В. С. Кулебакин приходит
к методам синтеза инвариантных систем регулирования [93].
Многочисленные работы В. С. Кулебакина [94]—[96] и А. Г. Ивахненко
[55]—[59] посвящены теоретическим методам выбора структур и
параметров комбинированных систем управления.
* Шаталов А. С. Структурные методы исследования линейных систем
с переменными параметрами. Сб. «Автоматическое управление и
вычислительная техника», Машгиз, 1961, вып, 4. Ш а т а л о в А. С. Преобразование
сигналов автоматического управления. М.—Л., Изд-во «Энергия», 1965.
34

В 1956 г. Б. Н. Петров предлагает критерий физической
осуществимости абсолютно инвариантных систем, на основе которого
в настоящее время проектируются высококачественные системы
автоматического регулирования. В последующих работах,
выполненных в 1960—1965 гг., он разрабатывает принципы создания
двухканальных систем регулирования, инвариантных к
возмущающему воздействию [136]—[139].
Первые работы в области экстремальных систем регулирования
были выполнены В. В. Казакевичем [67]. В них он рассмотрел
различные схемы релейных экстремальных регуляторов,
исследовал влияние коммутатора, зазора в механической передаче,
запаздывания и времени выбега в серводвигателе на периодическом
участке движения. Ему также принадлежат способы улучшения
устойчивости и качества систем экстремального регулирования
[64]-[66].
Существенные результаты в теории экстремальных регуляторов
были получены А. А. Красовским, который рассмотрел
динамические режимы квазистационарных экстремальных регуляторов
в нормальных и форсированных режимах [72], [74]. Он решил
общую задачу синтеза линейной непрерывной системы
экстремального регулирования [73], [75].
В связи с усложнением объектов регулирования и
необходимостью автоматизации процессов, не имеющих математического
описания, большое развитие получают экспериментальные
статистические методы определения динамических характеристик в
процессе нормальной эксплуатации, основанные на применении средств
вычислительной техники [198].
Наряду с теорией поисковых самонастраивающихся систем
начинает формироваться теория аналитических самонастраивающихся
систем [196], [197], [201].
Говоря об истории теории автоматического регулирования, нельзя
не отметить роль Института автоматики и телемеханики [209],
где в течение многих лет работали и работают наиболее крупные
советские ученые по автоматическому регулированию: В. С. Куле-
бакин, В. А. Трапезников, Б. Н. Петров, Б. С. Сотсков, В. В.
Солодовников, Я. 3. Цыпкин, А. М. Летов, В. В. Петров и многие
другие.
Заканчивая на этом краткий исторический очерк развития
теории автоматического регулирования в СССР, необходимо, прежде
всего, отметить, что последний не претендует на полноту, и многие
интересные результаты не нашли в нем освещения.
Это объясняется следующими причинами. Во-первых, полное
исследование истории развития теории регулирования в СССР —
достаточно обширная тема, чтобы ее можно было бы осветить в пределах
одной главы. Во-вторых, в этот очерк намеренно не включены многие
из результатов, полученных за последние годы, поскольку они,
согласно принятой нами терминологии, относятся уже скорее к теории
2*
35

управления, чем к теории регулирования и, следовательно,
выходят за рамки настоящей книги.
Большую роль в формировании теории автоматического
регулирования сыграли Всесоюзные совещания (первое — 1940 г.,
второе — 1953 г. [134]; третье—1965 г.).
Современная теория автоматического регулирования
располагает мощными методами анализа и синтеза, позволяющими
создавать высококачественные и высоконадежные автоматические
системы и регуляторы.
Теория автоматического регулирования является одной из
основных наук, имеющих исключительно важное значение для
формирования инженерных знаний, поэтому в настоящее время в нашей
стране нет ни одного высшего технического учебного заведения,
где не преподавалась бы теория автоматического регулирования.
Дальнейшее развитие теории автоматического регулирования
с помощью современных методов и цифровых вычислительных
машин позволит создавать более совершенные автоматические
системы, значительно повышающие уровень промышленного
производства.

ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Настоящая глава посвящена изложению основных понятий
и определений теории автоматического регулирования. Проблему
автоматического регулирования можно рассматривать как частный
случай проблемы автоматического управления. Системы
автоматического регулирования представляют собою определенный класс
динамических систем, а именно: класс замкнутых активных
динамических систем направленного действия. Классификация систем
автоматического регулирования может быть дана в зависимости: от
характера управляющих воздействий, от содержащихся в них
элементов для преобразования сигналов, от идеализации, принятой
при математическом описании, от характера
контролируемых^изменений их свойств. Классификация устройств, из которых состоят
системы автоматического регулирования, обычно дается по
функциональному признаку. Очень важным понятием теории
регулирования является понятие структурной схемы и структурных
элементов. Требования, предъявляемые к динамическим свойствам систем
автоматического регулирования, разнообразны и зависят от
конкретных условий их работы.
1. СУЩНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Проблема регулирования может рассматриваться как частный
случай проблемы управления. Поэтому остановимся прежде всего
на формулировке последней.
Всякий процесс управления подразумевает наличие одного или
нескольких объектов управления и управляющей ими системы.
Совокупность нескольких управляемых объектов, объединенных
единством цели управления, назовем управляемой
системой (рис. II. 1). В качестве управляемой системы можно
рассматривать, например, цех завода, состоящий из ряда
взаимодействующих друг с другом и управляемых в соответствии с единой целью
агрегатов и машин. Совокупность средств, стремящихся обеспечить
выполнение управляемой системой определенной цели, назовем
37

управляющей системой. Управляемая и управляющая
системы, находящиеся во взаимодействии друг с другом, образуют
систему управления.
Поведение всякой системы управления определяется: целью
управления, окружающей обстановкой или внешними условиями и
внутренними условиями, т. е. свойствами управляемой и
управляющей систем.
Система управления называется автоматической, если
основные функции управления, необходимые в процессе работы
Цель управления
14
I*
Объект
X
Объект
41
Объект
dJ
*и
,..*?>
>
Управляемая система
Управляющая
система
Рис. II. 1. Система управления
системы для достижения цели управления, осуществляются в ней
без непосредственного участия человека.
Управляемые системы и объекты характеризуются следующими
группами переменных:
переменными состояния хг (О, *2 (0, ..., хт (0» представляющими
собою их обобщенные координаты;
управляющими переменными г1 (/), r2 (t), ..., гт (/),
представляющими собою воздействия на управляемый объект, создаваемые
управляющей системой;
внешними переменными или возмущающими воздействиями
/i(0>--- /г(0» ••• fk (0» создаваемыми окружающей средой (внешние
условия);
наблюдаемыми переменными zx(t), ..., zt (/), представляющими
собою те из обобщенных координат управляемой системы, сведения
об изменении которых поступают на управляющую систему. Наблю-
33

даемыми переменными, в частности, могут быть переменные
состояния х{ (t).
Условимся рассматривать эти переменные как компоненты
многомерных векторных функций:
x(t)
*i(0
XniO
r(t) =
rxit)
r,V)
s
rmit)
7(0 =
M0 1
hit)'
5
MO
z(t)
MO
MO
и называть вектора x(t), r(t), f(t), z(t) соответственно,
векторами состояния, управления, возмущения
и наблюдения.
В дальнейшем для упрощения предположим, что вектор
состояния совпадает с вектором наблюдения.
В любой момент времени t состояние управляемой системы
является функцией начального состояния х (t0) и векторов г (/0)
и f(t0), т. е. _
*(0 = Х{*(/0); 7(/, /0); 7(t,tQ)}. (II.1)
Уравнение (II. 1) эквивалентно системе из п зависимостей:
М0=*/{*('<>); ?(t, t0); /(/, *0)Ь (II.la)
где i = 1, 2, ..., п.
Уравнения (II. 1) и (II.la) можно рассматривать как уравнения
математической модели управляемой системы. Для систем,
описываемых дифференциальными уравнениями, приведенные выше
уравнения можно привести к следующему виду:
% = X {х (0;
dt
7it); fit)}
(11.2)
или
Г1 у >. _> _*
X\x(t); r Ц); /},
где влияние вектора возмущений / (t) учтено явной зависимостью
оператора X от времени t.
Часто на изменения вектора состояния ~х (t) (или на его
производные) и вектора управления 7 (t) накладываются ограничения
ВИДа *(0(ЕЛ(0;{
-. М (п.3)
39

которые означают, что изменения векторов х (t) и г (t) должны быть
ограничены замкнутыми областями A (t) и В (t) соответственно
векторного пространства состояний и векторного пространства
управлений.
Предположим, что цель управления определяется экстремумом
некоторого функционала £, называемого в дальнейшем показателем
цели управления:
£ = £{*(/); 7(0; 7(0Ь (IL4)
Решение проблемы управления состоит в том, чтобы найти вектор
управления 7 (t), обеспечивающий выполнение условия
Е (х (0; 7 (/); J(/)} = extremum (II.5)
и одновременно удовлетворяющий ограничениям и связям,
налагаемым внутренними свойствами системы.
Решение этой экстремальной проблемы ввиду ее трудности можно
представить себе основанным на методе последовательных
приближений, причем первое и второе приближения определяются в
результате:
а) этапа идеальной, или первичной
оптимизации, состоящего в нахождении идеального, но обычно
нереализуемого вектора управления 7ид (t)\
б) этапа вторичной оптимизации, или
оптимизации качества управления, состоящего в
нахождений оптимального и в то же время реализуемого вектора
управления Fonm(t).
Этап первичной оптимизации заключается в том, что
экстремальная задача (II.5) решается в идеализированной постановке,
учитывающей лишь важнейшие свойства системы управления.
Так, например, можно представить себе, что на этом этапе
учитываются лишь ограничения вида (П.З) или, что помимо этих
ограничений, решение экстремальной задачи должно удовлетворять
еще определенным зависимостям, например, вида
^ = Xud{x(tyt 7(/); *}, (II.6)
называемым уравнениями идеальной модели системы
управления.
Вектор управления г(/), удовлетворяющий принятой
идеализированной постановке проблемы, назовем идеальным вектором
управления rud(t), а его зависимость от вектора состояния и вектора
возмущения
7«а(0=Д«д f*(0» t}— (11.7)
идеальным алгоритмом управления.
40

Подставляя выражение (II.7) в уравнение (П.6) и решая
последнее относительно ~х (/), можно найти идеальный вектор
состояния Xrfif).
Идеальный алгоритм управления, как это было указано, можно
рассматривать как первое приближение к решению проблемы
управления, причем обычно он практически нереализуем.
Этап вторичной оптимизации заключается в том, чтобы
получить решение, наименее отличающееся от идеального и в то же
время учитывающее возможно более полно ограничения и связи,
налагаемые свойствами системы управления, т. е. в том, чтобы
получить не только оптимальное, но и реализуемое решение.
Для количественной характеристики отношения оптимального
реализуемого решения от идеального введем величину, которая
может быть названа показателем качества управления и
представляет собою функционал вида
Q = Q{Eud-E}, (II/8)
где Еид — экстремум показателя цели управления (П.4),
соответствующий идеальной системе управления;
Е — значение показателя цели управления, обеспечиваемое
реальной системой.
Стремление обеспечить минимум величины Q обычно вступает
в противоречие с имеющимися условиями реализуемости
управляющей системы, которые могут характеризоваться ее сложностью,
стоимостью, надежностью и т. д. Действительно, чем выше
качество управления, т. е. чем выше точность аппроксимации
идеального алгоритма управления, тем обычно сложнее, дороже и
ненадежнее управляющая система, тем большего количества
оборудования она требует для своей реализации. Поэтому основная задача
синтеза управляющих систем состоит в том, чтобы достигнуть
наивыгоднейших условий компромисса между противоречивыми
требованиями качества и реализуемости управления.
Сказанное выше можно сформулировать также следующим
образом.
Введем в рассмотрение величину Р, представляющую собою
основную характеристику условий реализуемости управляющей
системы (например, меру ее стоимости, сложности, ненадежности
и т. д. или обобщенную меру совокупности всех этих качеств).
Показателем, характеризующим эффективность управления, можно
тогда назвать функционал
C = C{Q, P}9 (II.9)
в частном случае имеющий вид
C^Q + XP, (Ц, 9а)
где X — некоторый весовой коэффициент.
41

Итак, задачей вторичной оптимизации назовем задачу
определения вектора управления Г (О, обеспечивающего минимум
величины С:
C{Q, P} = min
и одновременно удовлетворяющего уравнениям математической
модели управляемой системы (II. 1) или (II.2), а также
ограничениям (И.З). Оптимальный реализуемый алгоритм управления
представим в виде
?onm(t) = R0nm{x(ty, t]. (НЛО)
Частные случаи этой формулировки задачи вторичной
оптимизации сводятся к тому, чтобы найти вектор управления г (/),
обеспечивающий минимум величины Q (t) при заданной величине Р, т. е.
Q=Q(t) = min при Р = Р0, (11.11)
или, наоборот, минимум величины Р (t) при заданной величине Q,
т. е.
р = р (t) = min при Q = Q0. (II.12)
Подводя итоги, можно дать следующую формулировку
проблемы управления: проблема управления состоит в определении и
реализации вектора управления г (/), обеспечивающего экстремум
показателя эффективности управления (II.9) при достижении цели
управления (II.5) и удовлетворяющего имеющимся связям
[например, вида (II.2)] и ограничениям [например, вида (И.З)].
На рис. II.2 приведена схема, поясняющая приведенную выше
формулировку проблемы управления и способ реализации вектора
управления F(t). Управляемый объект / находится под влиянием
вектора возмущений / (t) и зектора управления7 (t). Интересующее
нас состояние объекта описывается вектором состояния х (t).
Идеальная модель 2 реализует уравнения (II.6) с учетом ограничений (И.З).
Вычислитель идеального режима 3 решает вариационную
проблему (II.5) в принятой идеальной постановке, определяя rud(t) и
идеальный показатель цели управления Еид. Вычислитель 4 по
известным x(t), T(i) nj(t) определяет приближенное значение
действительного показателя цели управления Ег. Сигналы,
пропорциональные ЕидиЕг, сравниваются в устройстве5, и сигнал ошибки
АЕ по показателю цели управления, совместно с необходимой
добавочной информацией /, поступает на оптимизатор качества,
или эффективности управления б, который решает вариационную
задачу (НЛО), определяя оптимальный вектор управления ronm(t).
Для реализации вектора ronm(t) обычно необходимы усилители
мощности с обратной связью 7.
Реализация системы управления, по этому принципу (рис. II.2),
представляет собою большие трудности. Одной из наиболее
4?

существенной является необходимость формирования ошибки
АЕ по показателю цели управления, требующая вычисления
текущего значения показателя цели управления в условиях,
приближающихся к реальным. Кроме того, в ней отсутствует
непосредственное сравнение идеального режима xad(t) с действительным
текущим режимом # (/), т. е. она является разомкнутой по вектору
состояния.
Поэтому задача управления в изложенной выше общей
постановке часто заменяется более простой задачей, когда показатель
"ид
Идеальная
модель
2
Вычислитель
идеального
режима 3
p&i
о
Вычислитель
4
l
*ттт
i
Оптимизатор
качества
управления 6
Усилитель
мощности
7
Объект
1
Рис. II.2. Принцип построения системы автоматического
управления, требующий формирования ошибки АЕ по показателю
цели управления
качества управления не зависит в явной форме от показателя цели
управления. В этом случае необходимость формирования сигнала
АЕ отпадает, и задача значительно упрощается. Таким показателем
может служить показатель точности управления,
определяемый следующим образом.
Рассмотрим вектор ошибки:
"е*д (0 = *иа(0—*(').
(11.13)
где ~xud(t)i х (t) — соответственно идеальный и реальный векторы
состояния.
Идеальный вектор состояния xud(t) определяет идеальный режим
системы управления.
43

Показателем точности назовем функционал от ошибки
e(t) = <b{iud(t)}. (И.14)
Очевидно, что решение задачи минимизации функционала (11.14)
значительно проще минимизации функционала (II.8).
В качестве показателя точности обычно выбирается функционал
вида
т
e=[<p{ittd(f)}dt, (11.15)
о
где ф{еяд} — некоторая непрерывная функция от ~гид.
Функционал е является мерой отклонения на интервале (О, Т)
действительного вектора состояния х (f) от идеального вектора
состояния jcad(t)9 совместимого с имеющимися ограничениями на
изменения вектора 7(f).
Заметим, что если представляет интерес мера полного отклонения
на достаточно большом интервале времени, то вместо
функционала (II. 15) с конечными пределами рассматривается функционал
вида
оо
е= \ q{iad{t)}dt (II.16)
— 00
с бесконечными пределами.
Возможен также и другой предельный случай, когда интерес
представляет мера ошибки cp{s} лишь в определенный момент
времени t = Т. В этом случае
е = ф{евд} (11.17)
при t = Т.
Решение задачи на минимум функционала (11.14) при
имеющихся ограничениях и связях позволяет найти вектор состояния,
который мы назовем оптимальным и обозначим через xGnm(t).
Оптимальный вектор состояния ~xonm(t) называется также вектором
задания и обозначается через g (t).
На рис. П.З изображена схема, поясняющая рассмотренный
выше принцип управления, когда показателем эффективности
управления является показатель точности (11.14). Здесь, так же
как и на рис. II.2, имеется объект регулирования /, идеальная
модель 2, вычислитель идеального режима 3, усилитель мощности 7,
но цепь для формирования сигнала ошибки Д£ по показателю цели
управления уже оказывается не нужной, что существенно упрощает
систему.
Оптимизатор качества управления 6 (рис. П.2) в
рассматриваемом случае (рио. И.З) сводится к оптимизатору точности
управления 5, входными сигналами для которого является сигнал ошибки
44

e (t), получаемый на выходе сравнивающего устройства 4, а также
необходимая дополнительная информация /. Оптимальный вектор
состояния xonm(t), или вектор задания g (t) (что, то же), сравни-
Вычислитель
идеального
режима 3
лид
'ид
Идеальная
модель
2
Л* А 7
Т5
Оптипизатор
точности
управления 5
^5
Усилитель
мощности
7
Объект
/
Рис. П.З. Принцип построения системы автоматического
управления, требующий формирования сигнала ошибки по вектору
задания хид (О = g (/)
вается с действительным вектором состояния х (t) в сравнивающем
устройстве б, на выходе которого получается сигнал ошибки 1ь (О,
т. е.
e(t)=Xonm(t)-x(t). (И.18)
2. ПРОБЛЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПРОБЛЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ
Условимся называть проблемой регулирования частный случай
проблемы управления, к которому последняя сводится при
следующих упрощающих предположениях:
1) идеальный вектор состояния ~xonm(f) или вектор задания g(t)
предполагается известным;
2) задача отыскания экстремума обобщенного показателя (II.9)
эффективности управления заменяется п раздельными или
самостоятельными задачами отыскания экстремума п показателей эффек-
тивности ei = % ^ {t)_Xi{t)] = ф; ы> (ИЛ9)
каждый из которых зависит только от одной составляющей еД/)
вектора ошибки Г(/);
3) вектор управления 7 (t) в явной форме зависит не от вектора
состояния х (0, а от вектора ошибки е (t).
45

Учитывая сказанное, проблема регулирования может быть
сформулирована следующим образом.
Предполагая вектор задания g (t) известным, найти вектор
управления г (t) как функцию вектора ошибки ёГ(/) [а в общем
случае и вектора возмущения / (t)\, т. е.
'(0 = £{e(/); t],
(11.20)
/
Им Л Tit)
^UQ.
Tit)
Tit)
который обеспечивает экстремум п частных показателей
эффективности (11.19) и удовлетворяет имеющимся связям (II.2) и
ограничениям (Н.З). Условимся в
случае решения задач
регулирования называть зависимость (11.20)
алгоритмом, или
законом регулирования,
а вектор r(t)y определяемый
выражением (11.20), —
вектором регулирования.
Составляющие gL(t) вектора
задания g (t) называются в
дальнейшем, в соответствии с установившейся терминологией,
управляющими воздействиями. Управляющие воздействия
Рис. 11.4. Обобщенная структурная
схема системы автоматического
регулирования
1l L-
•i*(.
%
Уп
?
ft^
1
£,
щ
f: 2 ^
\
3
о
; Г2
: гп
'■\f. ij
1 Г
■чь ■* Ь'
Л/
•»"■■»
h
Мл
1' »»
Рис. 11.5. Структурная схема системы автоматического
регулирования, учитывающая разделимость каналов
формирования ошибки
gXt) не следует путать с управляющими переменными rtf).
Последние являются составляющими вектора управленпя7 (/) и в теории
регулирования их принято называть регулирующими
воздействиями.
Схема, с помощью которой реализуют решение проблемы
регулирования, приведена на рис. II.4. Она имеет объект /,
сравнивающее устройство 2 и устройство 3, реализующее алгоритм
регулирования. Схема системы регулирования в более развернутой форме,
учитывающей разделимость каналов минимизации по каждой из
составляющих вектора ошибки, приведена на рис. II.5. Эта
46

обобщенная структурная схема системы регулирования, так же
как и система управления, состоит из двух частей: регулируемой
части, или объекта регулирования, и регулирующей
части, или регулятора.
Согласно данному выше определению, теорию регулирования
можно рассматривать как раздел теории управления, а системы
регулирования — как частный случай систем управления. На
практике выбор того или иного термина до недавнего времени был
довольно произволен и часто определялся сложностью системы.
Сравнительно простые и прежде всего одномерные системы обычно
назывались системами регулирования, а более сложные
многомерные системы — системами управления. Данное выше определение
регулирования позволяет более строго подходить к решению этого
вопроса и полезно в том смысле, что оно выделяет сравнительно
простой, но зато уже в значительной мере сформировавшийся раздел
общей теории управления, который можно рассматривать как
введение к этой значительно более сложной теории.
В виде примера, поясняющего отличие проблемы управления
от проблемы регулирования, рассмотрим самолет, снабженный
системой управления, содержащей автопилот, способный изменять
требуемым образом угловые координаты самолета относительно
центра тяжести, воздействуя на рули управления.
Предположим, что цель управления состоит в том, чтобы
обеспечить максимум вероятности прибытия самолета в заданную
точку пространства за кратчайший промежуток времени при всех
возможных возмущениях атмосферы, при заданных значениях
возможных перегрузок, максимальных отклонений рулей и мощности
рулевых машин. Реализация этой проблемы, как проблемы
управления, требует:
1) решения задачи идеальной или первичной оптимизации,
в частности, определения идеального закона изменения
положения рулей и соответствующей идеальной траектории самолета при
имеющейся в распоряжении ограниченной информации и
необходимых упрощающих предположениях;
2) решения задачи вторичной оптимизации, при которой
необходимо обеспечить наилучшее приближение к идеальным условиям
в смысле экстремума показателя точности е, зависящим, вообще
говоря, от изменения всех координат самолета и от отклонения
всех рулей.
Введем теперь следующие упрощающие предположения.
Допустим, во-первых, что решение задачи первичной
оптимизации, исходящей из конечной цели управления, не ставится,
например, ввиду того, что идеальная траектория известна заранее
(что имеет место в случае задачи стабилизации угловых координат
самолета при некоторых постоянных значениях).
Допустим, во-вторых, что о качестве управления мы судим по
совокупности из трех показателей точности (по курсу, по крену,
47

по тангажу), каждый из которых зависит от отклонения от
идеальной траектории только одной из угловых координат самолета.
И, наконец, в-третьих, допустим, что автопилот вырабатывает
требуемые отклонения рулей на основании поступающих на его
вход сигналов об отклонениях угловых координат самолета от
идеальной траектории.
Тогда, согласно данному выше общему определению, задача
управления при сделанных допущениях сводится к проблеме
регулирования. Очевидно, что решение проблемы регулирования
(например, стабилизации) самолета значительно проще, чем
решение проблемы управления им, так как при этом: 1) задача
определения идеальной траектории предполагается решенной заранее;
2) задача вторичной оптимизации упрощается, так как решается
раздельно, относительно каждой составляющей ошибки ь, 3)
структура системы в известной мере оказывается предопределенной
заранее [имеется в виду предположение о явной зависимости
г (0 от ?(*)!.
3. ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Выше была дана общая математическая формулировка проблемы
регулирования. В данном параграфе поясняется основной принцип
действия и даются определения основных терминов, связанных
с физической реализацией систем автоматического
регулирования 2.
Основная цель автоматического регулирования какого-либо
объекта или процесса, как мы видели, заключается в том, чтобы
обеспечить определенную функциональную зависимость между
изменениями некоторых переменных, называемых переменными
состояния, или регулируемыми переменными, и управляющими, или
задающими, воздействиями при наличии возмущающих
воздействий.
Чаще всего такого рода функциональной зависимостью является
простая пропорциональная зависимость, при которой
регулируемая величина должна воспроизводить обычно на более высоком
уровне мощности изменения управляющего воздействия.
Однако применяются и такие системы автоматического
регулирования, в которых регулируемая переменная должна являться
производной, интегралом или некоторой более сложной функцией
от управляющего воздействия.
1 Т. е. обобщенный показатель е, зависящий от л-мерного вектора
ошибки 8 (/), заменяется частными показателями £/, зависящими от одномерных
составляющих ошибки е^.
2 Для упрощения все рассуждения ведутся для частного случая
одномерного вектора состояния х (/).
4§

Для осуществления требуемой функциональной связи между
переменными применяются два основных принципа: принцип
разомкнутого или принцип замкнутого
циклов.
Принцип разомкнутого цикла состоит в том, чтобы обеспечить
требуемое изменение (или постоянство) регулируемой величины
Рис. II.6. Система регулирования числа оборотов двигателя
постоянного тока, работающая по принципу разомкнутого цикла
непосредственно при помощи управляющего сигнала без
необходимости сравнения требуемого и действительного изменения
регулируемой величины.
Принцип замкнутого цикла, или принцип обратной связи,
состоит в сравнении требуемого изменения регулируемой перемен-
Рис. 11.7. Система регулирования числа оборотов двигателя
постоянного тока, работающая по принципу замкнутого цикла
ной, определяемого управляющим воздействием, с действительным
ее изменением. Получающийся при этом сигнал ошибки
используется затем для создания при помощи соответствующих
источников энергии регулирующего воздействия на объект, при котором
эта ошибка не выходит из допустимых пределов.
Для пояснения обоих принципов рассмотрим две системы
регулирования числа оборотов двигателя постоянного тока, первая из
которых фис. П.6) работает по принципу разомкнутого, а вторая
(рис. II.7) —по принципу замкнутого цикла.
В системе разомкнутого цикла на рис. II.6 управляющее
воздействие перемещает движок 2 потенциометра 1 и тем самым
изменяет ток в обмотке возбуждения 3 генератора 4. Зто приводит
49

к изменению тока в якоре электродвигателя 5, что, в свою очередь,
вызывает изменение его угловой скорости. Последняя может
измеряться при помощи тахометра 6 и измерительного прибора 7,
но результаты этого измерения для управления числом оборотов
не используются. Схема не имеет замкнутого пути обхода.
Поэтому система является разомкнутой.
Для нормального функционирования систем разомкнутого цикла
необходимо соблюдение ряда мер. Прежде всего они должны быть
тщательно отградуированы, т. е. каждому положению движка 2
должно соответствовать определенное (в установившемся режиме)
число оборотов электродвигателя 5. Однако ясно, что сохранение
градуировки при износе и старении элементов схемы, а также при
значительных колебаниях температуры, влажности и т. д.
представляет собою Еесьма трудную задачу. Поэтому схемы,
работающие по принципу разомкнутого цикла, обычно могут обеспечить
лишь очень невысокую точность. В них не измеряется результат,
вызываемый управляющим воздействием, и не осуществляется
никаких действий, если этот результат не соответствует желаемому.
Система замкнутого цикла, -показанная на рис. II.7, отличается
от системы, приведенной на рис. II.6, тем, что напряжение на
зажимах тахогенератора 6 сравнивается с напряжением, снимаемым
с потенциометра 1 при помощи движка 2. Если скорость
электродвигателя отличается от заданной, то оба напряжения делаются
не равными друг другу, и возникает сигнал ошибки. Последний
усиливается и передается на обмотку возбуждения 3 генератора 4,
изменяя скорость электродвигателя 5. При этом сигнал ошибки
уменьшается, а скорость возвращается к заданному значению.
Описанный выше принцип действия системы с замкнутым циклом,
основанный на измерении ошибки вне зависимости от причин,
вызвавших ее появление, и на использовании результатов
измерения для уменьшения этой ошибки, не требует точной градуировки
и в значительной мере сохраняет свою точность даже в том
случае, если параметры элементов испытывают существенные
изменения во время их работы.
В настоящее время оба принципа управления (по замкнутому и
по разомкнутому циклу) иногда используются в сочетании друг
с другом.
Рассмотренный пример показывает, что в системах с замкнутым
циклом или с обратной связью точность регулирования, т. е.
точность поддержания требуемой функциональной связи между
входом и выходом в основном зависит от точности, с которой
производится сравнение требуемого и действительного изменения,
регулируемой переменной. Системам автоматического регулирования,
использующим принцип как замкнутого, так и разомкнутого
циклов, можно дать следующее определение. Системой
автоматического регулирования называется
динамическая система, стремящаяся сохранять в допустимых
50

пределах ошибки между требуемыми и действительными
изменениями регулируемых переменных при помощи их сравнения и
использования получающихся при этом сигналоз для управления
источниками энергии.
Изменения регулируемых величин вызываются не только
управляющими, но и возмущающими, воздействиями, приложенными
к системе автоматического регулирования. Возмущающим
называется всякое воздействие, которое стремится нарушить
требуемую функциональную связь между управляющим воздействием
и регулируемой переменной.
Для схемы, изображенной на рис. II.7, возмущающим воздей*
ствием может служить, например, момент нагрузки, приложенный
к валу электродвигателя. Ясно, что система регулирования должна
вести себя по отношению к указанным двум типам воздействия
существенно различным образом. В то время как управляющие
воздействия должны определять
изменения регулируемых переменных, воз- ]/М
мущающие воздействия должны,
наоборот, возможно менее влиять на git)^ * e(t)^
изменения регулируемых перемен- "TV *"
ных. x(t) I
*Ш
Отметим еще одно различие между
управляющими и возмущающими Рис IL8e система регулиро-
воздействиями, связанное с местом вания с одной регулируемой
их приложения к системе. Назовем величиной
сравнивающим устройством системы
устройство, служащее для сравнения управляющей и регулируемой
переменных. В то время как управляющее воздействие g (t) может
быть приложено к системе только через сравнивающее устройство
(рис. II.8), возмущающее воздействие / (t) может быть приложено
к любой точке системы, включая и чувствительный элемент.
Компенсация вредного влияния возмущающих воздействий
и получение требуемой функциональной зависимости регулируемых
переменных от управляющих воздействий, может производиться
как на основе принципа замкнутого цикла, так и на основе
принципа разомкнутого цикла.
Внешние воздействия, приложенные к системе, всегда приводят
к тому, что требуемые и действительные значения регулируемой
величины отличаются друг от друга. Разность между требуемым
и действительным значением регулируемой величины назовем
ошибкой системы автоматического регулирования.
Отклонением регулируемой величины условимся
называть разность между значением регулируемой величины в данный
момент времени и некоторым фиксированным ее значением,
принятым за начало отсчета.
Для того чтобы уяснить различие между понятиями «ошибка»
и «отклонение», рассмотрим следующий пример. Предположим,
51

что управляющее воздействие, приложенное к системе
регулирования, внезапно изменилось на некоторую постоянную величину
(рис. II.9). Это изменение управляющего воздействия вызовет
соответствующее изменение регулируемой величины.
Отклонением х (t) регулируемой величины в момент tx называется величина
ВС, а ошибкой е (t) — величина АС — ВС = АВ.
Заметим, что в то время как отклонение х (t) регулируемой
величины при неограниченно возрастающих управляющих
воздействиях является также неограниченно возрастающей функцией
времени, ошибка е (t) во всякой удовлетворительно работающей
системе остается всегда ограниченной (рис. 11.10).
Воздействие, приложенное к сравнивающему элементу системы
регулирования, условимся называть входным сигналом,
Управляющее Воздействие
А
Рис. П.9. Ошибка и
отклонение регулируемой величины
t t
Рис. 11.10. Случай
неограниченно возрастающего
отклонения и ограниченной
ошибки
или величиной на входе, системы автоматического
регулирования. Величиной на выходе будем называть
регулируемую величину.
Системы автоматического регулирования часто называют
системами с обратной связью. Это объясняется тем, что во всякой системе
автоматического регулирования должна иметься не только прямая
связь между входом (управляющим воздействием) и выходом
(регулируемой величиной), при помощи которой производится
управление регулируемой переменной, но и обратная связь между выходом
и входом, служащая для сравнения обеих величин.
Сигнал, поступающий с выхода системы на ее вход, назовем
сигналом главной обратной связи, а разность
между входным сигналом и сигналом главной обратной связи —
сигналом ошибки.
Следует отметить еще одну характерную особенность систем
автоматического регулирования, которая состоит в направленности
их действия. Эта особенность заключается в том, что входной
сигнал не оказывает существенного влияния на сигнал главной
обратной связи непосредственно через сравнивающий элемент,
52

а может воздействовать на него лишь обойдя всю систему в каком-
либо определенном направлении (например, по часовой стрелке,
как это показано на рис. П.8).
Итак, системы автоматического регулирования — это
замкнутые активные динамические системы направленного действия.
4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УПРАВЛЯЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Системы автоматического регулирования в зависимости от
характера изменения составляющих вектора задания g(0, называемых
управляющими воздействиями, в реальных условиях работы можно
подразделить на следующие три основных класса:
1) собственно системы автоматического регулирования, или
системы автоматической стабилизации, в которых составляющие
вектора задания (задающие воздействия) представляют собой
заданные постоянные величины;
2) системы программного регулирования, в которых одно или
несколько задающих воздействий являются известными функциями,
а остальные — заданными постоянными величинами;
3) следящие системы, в которых все или несколько задающих
воздействий представляют собою заранее неизвестные функции
времени.
Поясним эту классификацию на следующем простом примере.
Предположим, например, что движок потенциометра в схеме
на рис. II.7 неподвижен. В этом случае управляющее воздействие
отсутствует, входной сигнал (напряжение, снимаемое с движка
потенциометра) сохраняет постоянное значение, и мы имеем
систему автоматической стабилизации скорости электродвигателя
постоянного тока.
Постоянное значение, которое имеет входной сигнал в системах
автоматической стабилизации, часто называется настройкой, или
уставкой регулятора. Оно соответствует требуемому значению
регулируемой переменной. Если же движок потенциометра
перемещается, скажем, при помощи какого-либо кулачкового
механизма и снимаемое с него напряжение является заданной функцией
времени, то система на рис. II.7 может рассматриваться как система
программного регулирования скорости.
Наконец, если движок потенциометра перемещается вручную
или автоматически, например в соответствии с изменяющимися
показаниями какого-либо измерительного прибора, и скорость
электродвигателя должна находиться в определенной
функциональной зависимости от положения движка, то мы имеем
следящую систему.
В случае использования принципа разомкнутого цикла
динамические свойства канала или тракта между точкой приложения
возмущающего воздействия и регулируемой переменной выбираются
55

таким образом, чтобы уменьшить, скомпенсировать влияние этого
воздействия, сделать систему инвариантной, т. е. нечувствительной,
по отношению к нему.
При замкнутом цикле нежелательные изменения регулируемой
переменной, обусловленные возмущающим воздействием, вызывают
появление сигнала ошибки, который стремится уменьшить эти
изменения до допустимой величины.
Очевидно, что в первом случае необходимо знание свойств
канала возмущающего воздействия, между тем как во втором
случае этого не требуется.
Итак, основным назначением обратной связи является
обеспечение высокой точности регулирования при высоком уровне
мощности с помощью точного сравнивающего устройства,
производящего сравнение входа и выхода.
В зависимости от того, является ли число п вводимых в
рассмотрение составляющих вектора состояния х (/) равным единице,
двум или большим двух, системы автоматического регулирования
называются соответственно одномерными,
двухмерными, многомерными.
5. ОСНОВНЫЕ УСТРОЙСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ ПО НАЗНАЧЕНИЮ
Системы автоматического регулирования состоят из объекта
регулирования и автоматических регуляторов.
Сербомеханизм
/I
Датчик
Рис. 11.11. Типовая функциональная схема системы автоматического
регулирования и основные устройства, входящие в ее состав
На рис. 11.11 изображена типовая функциональная схема
системы автоматического регулирования с одной регулируемой
величиной х (t). В нее входит объект и автоматический регулятор.
Последний состоит из устройств, которые по функциональному
признаку, т. е. по их назначению, могут быть классифицированы
следующим образом:
54

g(t)\
e(t)

Сервомеханизм
r(t)
Объект
x(
1) задающее устройство /, имеющее целью преобразовать
управляющее воздействие g (t) в управляющий сигнал, удобный для
сравнения с регулируемой величиной х (t);
2) сравнивающее устройство 2, дающее на основании сравнения
управляющего сигнала и сигнала главной обратной связи
первичный сигнал управления или сигнал ошибки 8 (t);
3) преобразующее устройство 5, превращающее сигнал ошибки
в изменения физической величины, удобные для последующего
усиления или преобразования;
4) последовательное корректирующее устройство 4, придающее
системе требуемые
динамические свойства;
5) вспомогательное
сравнивающее устройство 5,
сопоставляющее сигнал в
промежуточной точке прямой цепи
с сигналом местной обратной
связи;
6) усилительное
устройство 6;
7) исполнительное
устройство 7, вырабатывающее
регулирующее воздействие г (t), прикладываемое к объекту
регулирования;
8) параллельное корректирующее устройство 5, придающее
системе требуемые динамические свойства;
9) измерительное устройство, или чувствительный элемент 9,
воспринимающий изменения регулируемой переменной;
10) устройство главной обратной связи 10, выполняющее
функциональное преобразование, или модуляцию сигнала
чувствительного элемента.
Часть регулятора, формирующая сигнал ошибки *Г(^),
называется датчиком регулятора. Датчик регулятора
состоит из задающего, измерительного и сравнивающего устройств.
Часть регулятора, преобразовывающая сигнал ошибки е (t)
в регулирующее воздействие г (t), называется
сервомеханизмом.
Итак, всякая система автоматического регулирования состоит
из трех частей (см. рис. 11.12): объекта, датчика и
сервомеханизма.
Рис. 11.12. Система автоматического
регулирования как совокупность из трех
основных частей: объекта, датчика и
сервомеханизма
6. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ХАРАКТЕРА СИГНАЛОВ
Некоторые системы регулирования содержат элементы,
служащие для преобразования структуры или характера сигналов путем
их модуляции или квантования,
55

Обычно применяют один из следующих двух способов
модуляции: гармонический или импульсный. При гармонической
модуляции непрерывный входной сигнал модулирует, т. е. изменяет
в соответствии со своим текущим значением, один из параметров
гармонически изменяющегося сигнала (несущей частоты).
Гармонически изменяющийся сигнал определяется тремя параметрами:
амплитудой, частотой и фазой. Поэтому различают: амплитудную
Рис. 11.13. Типы модуляции:
' * а — амплитудная (AM); б — частотная (ЧМ);
в — фазовая (ФМ)
6)
(AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ) модуляцию. Типы
гармонической модуляции показаны на рис. 11.13.
Элементы, осуществляющие гармоническую модуляцию
непрерывного сигнала, называются модуляторами, а
выполняющие обратное преобразование гармонически модулированного
сигнала в непрерывный — демодуляторами.
При импульсной модуляции непрерывный входной сигнал
модулирует один из параметров периодической последовательности
импульсов. Последовательность импульсов характеризуется:
высотой (амплитудой) импульсов, длительностью импульсов, их
положением во времени (фазой) и частотой повторения. В соответствии
с этим различают: амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ),
широтно-импульсную модуляцию (ШИМ), фазовую импульсную
модуляцию (ФИМ) и частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ).
56

Различные типы импульсной модуляции приведены на рис. 11.14.
Элементы, осуществляющие импульсную модуляцию непрерывного
сигнала, называют импульсными модуляторами,
или импульсными элементами. Элементы,
осуществляющие обратное преобразование сигнала, называются
импульсными экстраполяторами.
Импульсную модуляцию непрерывного сигнала можно
рассматривать как его квантование во времени в том смысле, что при
модуляции передаются лишь отдельные, дискретные значения не-
S
/
4
/
а)
-Т-Л
^
/
-^
/
U-r,~Ur2
*т<л*т*
6)
Рис. 11.14. Типы импульсной
модуляции:
а — амплитудно-импульсная (АИМ);
б — широтно-импульсная (ШИМ);
в — частотно-импульсная (ЧИМ)
прерывного входного сигнала (рис. 11.15). Квантование
непрерывного сигнала возможно не только по времени, но и по уровню
(рис. 11.16). При квантовании по уровню непрерывный входной
сигнал превращается в ступенчатый сигнал, причем амплитуда
каждой ступеньки, в частности, может быть равна лишь целому
кратному от некоторого элементарного ступенчатого сигнала,
называемого шагом квантования по уровню. Элементы,
осуществляющие квантование сигнала по уровню, называют релейными
элементами.
В зависимости от характера сигналов, передаваемых от одного
элемента системы к другому, системы автоматического
регулирования подразделяются на следующие пять основных классов:
непрерывные, в которых сигналы на входе и на выходе
всех элементов системы представляют собою непрерывные функции
времени;
системы с гармонической модуляцией
сигнала, содержащие модуляторы;
$7

импульсные, или системы с импульсной
модуляцией сигнала, содержащие импульсные элементы
и осуществляющие квантование сигнала по времени;
релейные, содержащие релейные элементы и
осуществляющие квантование сигнала по уровню;
Импульсный
элемент
Выход
G
t
Рис. 11.15.
Амплитудная импульсная
модуляция, как
квантование непрерывного
сигнала во времени
релейно-импульсные, или кодово-импульс-
ные, в которых происходит квантование сигнала как по времени,
так и по уровню.
вход
Релейный
элемент
Выход
Рис. 11.16.
Квантование непрерывного
t сигнала по уровню
К кодово-импульсным системам относятся системы,
содержащие цифровые вычислительные машины или их элементы. Такого
рода кодово-импульсные системы называются цифровыми.
7. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИДЕАЛИЗАЦИИ, ПРИНЯТОЙ
ПРИ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ
Первый основной вопрос, который возникает при
количественном анализе и расчете системы автоматического регулирования,
состоит в выборе адэкватной ей, с требуемой степенью
приближения, математической модели, определяющей изменение переменных
состояния системы с течением времени.
58

Строго говоря, почти всякая система автоматического
регулирования представляет собою нелинейную систему, содержащую
как переменные, так и распределенные параметры, в которой
значение переменных состояния в текущий момент времени часто
зависит не только от текущих, но и прошлых значений этих
переменных.
Очевидно, что точное математическое описание таких систем
представляет собою большие трудности, да и не связано с
практической необходимостью. Поэтому успех анализа систем
автоматического регулирования (как и других динамических систем) в
значительной мере зависит от того, насколько правильно выбрана
САР
Линейные
X I X
Нелинейные
Непрерыв»ые\ \Дискретше\ \Zpepb?eZe\ f'прерывные \ \Дискретные\ \.^рерь"в„ые
^ZEZX
Дискретно-
| Стационарные |
■
'
Сосредото 1
ченные |
П
<
1 Распреде-1
1 ленные \
[Нестационарные
ара
Сосредото 1
ченные \
ч е /77 p
\Pacnpede-
| ленные
Стационарные
1 1
[Нестационарные
Сосредото
ченные

Распределенные
Сосредото
ченные

Распределенные
Рис. 11.17. Классификация систем автоматического регулирования, в
зависимости от идеализации, принятой при их математическом описании
степень идеализации при их математическом описании или,
другими словами, при выборе их математической модели.
Методы теории автоматического регулирования разработаны
применительно к различным типовым математическим моделям
реальных систем автоматического регулирования.
Системы автоматического регулирования подразделяют на
линейные и нелинейные (рис. 11.17) в зависимости от
того, линейная или нелинейная математическая модель
выбирается при их исследовании, или, другими словами, в зависимости
от того, являются линейными или нелинейными дифференциальные,
интегральные, дифференциально-разностные уравнения или
операторы, применяемые для их математического описания. Как
линейные, так и нелинейные системы подразделяют на следующие три
класса: непрерывные, дискретные и
дискретно-непрерывные. Непрерывные системы описываются
дифференциальными уравнениями; дискретные — дифференциально-
разностными, а дискретно-непрерывные — как теми, так и другими
59

уравнениями. И, наконец, каждый из этих трех классов
подразделяется на следующие подклассы:
1) стационарные с сосредоточенными параметрами;
2) стационарные с сосредоточенными и с распределенными
параметрами;
3) переменные, или нестационарные системы, с
сосредоточенными параметрами;
4) переменные, или нестационарные системы, с
сосредоточенными и распределенными параметрами.
Кроме того, системы (или математические модели) каждого из
указанных выше классов и подклассов могут быть, в свою очередь,
подразделены на детерминированные и
статистические.
Математическая модель системы называется детерминированной,
если приложенные к ней воздействия и характеризующие ее
параметры предполагаются константами или детерминированными
функциями переменных состояния и времени.
Математическая модель системы называется статистической,
если приложенные к ней воздействия и характеризующие ее
параметры являются случайными функциями или случайными
величинами.
8. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ, ОДНОКОНТУРНЫЕ И МНОГОКОНТУРНЫЕ,
НЕСВЯЗАННЫЕ И СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
При анализе сложных систем автоматического регулирования
особое значение приобретают их структурные схемы,
показывающие точки приложения воздействий и возможные
пути распространения сигналов, осуществляющих взаимодействие
между элементами системы.
Структурные схемы состоят из следующих структурных
элементов:
динамических,осуществляющих некоторую функциональную или
операторную связь между их входными и выходными сигналами;
преобразующих, служащих для преобразования характера или
структуры сигналов;
сравнения, в которых происходит вычитание или сложение
сигналов;
точек разветвления, в которых путь распространения сигнала
разветвляется на несколько путей, ведущих к различным точкам
системы;
связей или линий структурной схемы, указывающих
направления распространения сигналов;
точек приложения воздействий;
логических, осуществляющих логические операции.
Выше нами указывалось, что всякая система автоматического
регулирования согласно самому принципу ее действия всегда
60

имеет, по крайней мере, одну обратную связь, служащую для
сравнения действительного и требуемого значения регулируемой
величины. Такого рода обратную связь мы условились называть
главной.
Нужно, однако, заметить, что современные системы
автоматического регулирования, помимо главных обратных связей, число
которых равно числу регулируемых величин, часто имеют еще
несколько вспомогательных или местных обратных связей. Системы
автоматического регулирования с одной регулируемой величиной,
имеющие только одну главную обратную связь и не имеющие
местных обратных связей, называют одноконтурными. В
одноконтурных системах воздействие, приложенное к какой-либо точке,
может обойти систему и вернуться в первоначальную точку, следуя
только по одному пути обхода (см. рис. II.8). Системы
автоматического регулирования, имеющие, помимо одной главной обратной
связи, еще одну или несколько главных или местных обратных
связей, называют многоконтурными. Многоконтурные
системы характеризуются тем, что в них воздействие, приложенное
к какой-либо точке, может обойти систему и вернуться в
первоначальную точку, следуя по нескольким различным путям
обхода.
В качестве примера многоконтурной (двухконтурной)" системы
автоматического регулирования с одной регулируемой величиной
можно привести следящую систему, в которой, помимо главной
обратной связи, служащей для образования сигнала ошибки и
осуществляемой при помощи сельсина-датчика и сельсина-приемника,
имеется еще местная обратная связь; последняя осуществляется
при помощи тахогенератора и приключенного к ней 7?С-контура,
напряжение с выхода которого вычитается из сигнала ошибки.
Примером многоконтурной системы автоматического
регулирования с несколькими регулируемыми величинами является система
регулирования авиационного двигателя, в которой регулируемыми
величинами могут быть число оборотов двигателя, давление
наддува, угол опережения зажигания, температура масла, температура
охлаждающей жидкости и другие величины.
Причины введения местных обратных связей в систему
автоматического регулирования бывают самые различные. Так, например,
их применяют в корректирующих элементах для преобразования
сигнала в соответствии с требуемым законом регулирования, в
усилительных элементах — для линеаризации, понижения уровня
шумов, понижения выходного сопротивления, в исполнительных
элементах — для повышения мощности.
Обратные связи, охватывающие несколько последовательно
соединенных элементов системы, могут вводиться для придания
им требуемых динамических свойств.
Многомерные системы автоматического регулирования, т. е.
системы с несколькими регулируемыми величинами, подразделяют
61

на системы несвязанного и связанного
регулирования.
Системами несвязанного регулирования
называют такие, в которых регуляторы, предназначенные для
регулирования различных величин, не связаны друг с другом и могут
взаимодействовать лишь через общий для них объект
регулирования. Системы несвязанного регулирования, в свою очередь, можно
подразделить на зависимые и независимые.
Зависимые системы несвязанного регулирования
характеризуются тем, что в них изменение одной из регулируемых величин
зависит от изменения остальных. Вследствие этого в таких
системах процессы регулирования различных регулируемых величин
нельзя рассматривать независимо, изолированно друг от друга.
Примером зависимой системы несвязанного регулирования
может служить самолет с автопилотом, имеющий самостоятельные
каналы управления рулями. Предположим, например, что самолет
отклонился от заданного курса. Это вызовет благодаря наличию
автопилота отклонение руля поворота. При возвращении к
заданному курсу угловые скорости обеих несущих поверхностей
самолета, а следовательно, и действующие на них подъемные силы
сделаются неодинаковыми, что вызовет крен самолета. При этом
автопилот отклонит элероны. В результате отклонений руля
поворота и элеронов лобовое сопротивление самолета возрастет.
Поэтому он начнет терять высоту, и его продольная ось отклонится
от горизонтали. При этом автопилот отклонит руль высоты.
Таким образом, в рассмотренном примере процессы
регулирования трех регулируемых величин — курса, поперечного крена и
продольного крена,—строго говоря, нельзя считать
независимыми друг от друга, несмотря на наличие самостоятельных каналов
управления.
Независимая система несвязанного регулирования
характеризуется тем, что в ней изменение каждой из регулируемых величин
не зависит от изменения остальных, благодаря чему процессы
регулирования различных величин можно рассматривать
изолированно друг от друга. В качестве примера независимых систем
несвязанного регулирования часто можно рассматривать систему
регулирования числа оборотов гидротурбины и систему
регулирования напряжения вращаемого ею синхронного генератора.
Процессы регулирования в этих системах независимы, вследствие того,
что процесс регулирования напряжения обычно протекает во много
раз быстрее, чем процесс регулирования числа оборотов.
Системами связанного регулирования
называют такие системы, в которых регуляторы различных
регулируемых величин имеют друг с другом взаимные связи,
осуществляющие взаимодействие между ними вне объекта регулирования.
Систему связанного регулирования называют
автономной, если связи между входящими в ее состав регуляторами та-
S2

ковы, что изменение одной из регулируемых величин в процессе
регулирования не вызывает изменения остальных регулируемых
величин.
9. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ*
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ХАРАКТЕРА КОНТРОЛИРУЕМЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
Для достижения требуемой точности регулирования
автоматический регулятор может не только создавать регулирующие
воздействия, приложенные к объекту регулирования, но и изменять
свои собственные свойства: вводить дополнительные воздействия,
изменять свои параметры, структуру, закон регулирования и т. д.
Свойства системы регулирования определяются: параметрами,
воздействиями, алгоритмом регулирования, структурой и т. д.
Назовем контролируемыми изменениями
изменения свойств системы, производимые регулятором для повышения
эффективности регулирования на основании текущей информации 2
о внешних и внутренних условиях ее работы.
Предположим, например, что закон регулирования сводится
к простейшему виду г = &е. Тогда в качестве контролируемых
изменений параметров закона регулирования можно
рассматривать, например, изменения коэффициента k, производимые самим
регулятором преднамеренно, чтобы выполнить цель регулирования.
Контролируемые изменения следует отличать от
неконтролируемых изменений, которыми в данном примере могут
быть изменения коэффициента k, в частности, вследствие старения
элементов системы.
Автоматические регуляторы можно подразделить на п р и с п о -
сабливающиеся и неприспосабливаю щиеся
(рис. 11.18), в зависимости от того, обладают они способностью
осуществлять контролируемые изменения свойств системы
регулирования или нет.
Неприспосабливающимися системами
регулирования назовем системы, не способные производить контролируемые
изменения своих свойств. В этих системах вся имеющаяся
априорная информация используется для выбора и реализации таких
свойств системы регулирования, которые являются оптимальными
для некоторых типовых или наиболее вероятных внешних и
внутренних условий работы. Во время эксплуатации системы
выбранные заранее свойства системы могут изменяться лишь
неконтролируемым образом.
1 Эта классификация относится также и к системам автоматического
управления. См. «Аналитические самонастраивающиеся системы автоматического
управления», под ред. В. В. Солодовникова, Машиностроение, 1965 г.
2 Здесь текущая информация противопоставляется априорной информации,
имевшейся до начала работы системы на этапе ее проектирования.
63

К числу ^приспосабливающихся относится большинство
находящихся сейчас в эксплуатации систем автоматического
регулирования, в которых схемы и параметры корректирующих устройств
выбираются исходя из априорной информации, имеющейся на
этапе их проектирования.
Приспосабливающимися, или адаптивными,
системами регулирования назовем такие системы, которые способны
производить контролируемые изменения своих свойств.
САР
тгх
Рис. 11.18. Классификация систем автоматического
регулирования, в зависимости от характера контролируемых
изменений их свойств
Самонастраивающимися назовем такие
самоприспосабливающиеся системы, в которых контролируемыми
изменениями свойств системы являются изменения ее параметров или
воздействий.
Самонастраивающимися системами с переменной структурой,
которые можно отнести к числу самоорганизующихся
систем, назовем такие самоприспосабливающиеся системы, в
которых контролируемыми изменениями являются изменения
структуры.
В зависимости от способа, которым осуществляются
контролируемые изменения, приспосабливающиеся системы подразделяют на
пассивные и активные.
Пассивными приспосабливающимися назовем системы,
в которых контролируемые изменения связаны программной
зависимостью с текущей информацией о внешних и внутренних условиях
работы; причем эту зависимость выбирают заранее на основании
64

априорной информации, имеющейся при проектировании системы.
Таким образом, в пассивных самонастраивающихся системах, так
же как и в обычных, решение задачи оптимизации может
производиться лишь на стадии проектирования и наладки, до пуска
системы в реальную эксплуатацию.
К числу пассивных приспосабливающихся систем можно
отнести систему самолет—автопилот, параметры которой изменяются
во время полета заранее предусмотренным при ее проектировании
способом в зависимости, например, от скорости, высоты полета,
плотности атмосферы и т. д.
Активными приспосабливающимися системами являются
системы, определяющие и осуществляющие контролируемые
изменения в результате решения задачи оптимизации качества
регулирования в реальных условиях эксплуатации в зависимости от
текущей информации об условиях работы системы управления.
Приспосабливающиеся системы можно также подразделить на
системы с разомкнутым и замкнутым циклом приспособления.
Приспосабливающимися системами с разомкнутым циклом, или,
просто, разомкнутыми приспосабливающимися системами назовем
такие, в которых отсутствует самоанализ успешности
осуществляемых ими контролируемых изменений. Приспосабливающиеся системы
с замкнутым циклом, или замкнутые приспосабливающиеся
системы, наоборот, обладают способностью производить самоанализ
успешности осуществляемых ими контролируемых изменений.
По своей структуре замкнутые приспосабливающиеся системы
отличаются от разомкнутых наличием дополнительного замкду-
того контура — контура приспосабливания, служащего для
анализа эффекта контролируемых изменений системы управления.
Этот анализ производится при помощи критерия, называемого
критерием эффективности, или качества,
приспособления.
Разомкнутые активные системы не обладают свойством
производить сравнение найденного ими текущего оптимального режима,
с действительным текущим режимом, полученным в результате
контролируемых изменений их свойств. Другими словами, эти
системы не обладают свойством производить самоанализ
успешности осуществляемых ими контролируемых изменений с точки
зрения текущих условий экстремума показателя качества
регулирования.
Замкнутые активные самоприспосабливающиеся системы в
отличие от разомкнутых обладают средствами не только для
отыскания условий экстремума показателя эффективности
регулирования е, но и для такого изменения или приспособления
действительного режима работы системы, при котором обеспечивается
наилучшее приближение к этим условиям. Итак, замкнутые активные
самоприспосабливающиеся системы в отличие от разомкнутых могут
производить самоанализ успешности контролируемых изменений
3 Техническая кибернетика, кн. 1
65

своих свойств системы с точки зрения условий экстремума
выбранного показателя эффективности или качества приспособления.
В зависимости от способа, при помощи которого система
стремится обеспечить требуемую эффективность, или качество,
регулирования, самоприспосабливающиеся системы можно подразделить
на аналитические, или вычислительные (самосинтезирующиеся), и
поисковые.
Аналитической, или вычислительной,
самоприспосабливающейся системой назовем систему, в которой
контролируемые изменения свойств системы производятся в
результате аналитического определения ее динамических характеристик из
условий экстремума, определяющих эффективность регулирования.
Под аналитическим определением условий экстремума имеются
в виду вычисления, производимые в соответствии с алгоритмом
(в самоалгоритмизирующихся системах этот алгоритм может
меняться в зависимости от условий работы), представляющим собой
аналитическое численное решение указанной экстремальной задачи.
Поисковой самоприспосабливающейся системой назовем
систему, в которой контролируемые изменения свойств системы
производятся в результате поиска условий экстремума. Если
контролируемые изменения производятся на основе как
аналитического, так и поискового способов отыскания условий экстремума,
то условимся называть самоприспосабливающуюся систему
комбинированной.
Так, например, в комбинированной системе оптимальный
режим, соответствующий экстремуму показателя качества
регулирования, может определяться аналитически, а условия экстремума
показателя качества приспособления — в результате процесса
поиска.
При сравнении аналитических и поисковых
самоприспосабливающихся систем необходимо иметь в виду следующее:
первые нуждаются в информации и времени для вычисления
оптимального решения, но не требуют времени на поиск;
вторые, наоборот, требуют времени на поиск оптимального
решения, но не нуждаются в такой полной информации, как первые.
10. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К ДИНАМИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Согласно данному выше определению, основным требованием,
предъявляемым к системам автоматического регулирования,
является сохранение в допустимых пределах ошибки между
требуемыми и действительными изменениями регулируемых переменных.
Системы, для которых эти ошибки равны нулю во все моменты
времени, называются идеальными. На практике
осуществление идеальных систем регулирования, согласно самому принципу
их действия, основанному на измерении этих ошибок, невозможно.
66

Поэтому, так же как и в рассмотренном выше общем случае
многомерных систем автоматического управления, при проектировании
систем автоматического регулирования весьма полезным
оказывается введение того или иного критерия эффективности или
качества регулирования, определяющего оптимальные условия работы
системы.
Критерии качества регулирования весьма разнообразны,
причем их выбор зависит от конкретных условий работы системы. Эти
критерии рассматриваются в последующих главах книги. Здесь
целесообразно ограничиться лишь некоторыми общими замечаниями.
Не только идеальная, но и оптимальная система
автоматического регулирования, удовлетворяющая принятому критерию
качества, т. е. обеспечивающая экстремум принятого показателя
качества, может быть реализована лишь с большей или меньшей
степенью приближения. Поэтому оптимальная система может
рассматриваться как своего рода предел, «начало отсчета», к которому
нужно стремиться, но который нельзя реализовать совершенно
точно. При этом чем выше эта степень приближения, т. е. чем
меньше отклонения регулируемых переменных и чем,
следовательно, выше качество, тем сложнее оказывается система
регулирования. В связи с этим задача проектирования систем
автоматического регулирования, так же как и решение почти любой
инженерной задачи, сводится к нахождению разумного компромисса
между стремлением получить возможно более высокое качество
работы и стремлением достигнуть решения этой задачи возможно
более простыми техническими средствами. Кроме того, нужно иметь
в виду, что решение задачи оптимизации иногда представляет
собою большие трудности и не всегда необходимо на практике.
Вследствие этого при расчете и проектировании системы
автоматического регулирования, наряду с критерием качества
регулирования, определяющим оптимальные условия работы, необходимо
располагать требованиями, определяющими допустимые условия
работы системы.
Так как требования, предъявляемые к поведению систем
регулирования в динамике, зависят от их назначения, характера
воздействия, конкретных условий и т. д., то они могут быть самыми
различными. Их можно подразделить на следующие четыре
категории:
требования к запасу устойчивости системы;
требования к величине ошибок в установившемся состоянии или
к статической точности;
требования к поведению системы в переходном процессе (эти
требования обычно называются условиями качества);
требования к динамической точности системы, т. е. к величине
ошибок при наличии непрерывно изменяющихся воздействий.
Поясним вкратце смысл каждой из указанных выше категорий
требований.
3*
67

Системы регулирования вследствие самого принципа их
действия, благодаря которому часть энергии с их выхода может
возвращаться обратно на вход, являются системами, склонными к
колебаниям.
Рассмотрим, например, самолет, снабженный автоматом курса,
реагирующим на отклонения самолета от требуемого направления.
Предположим, что в начальный момент времени благодаря
действию тех или иных возмущающих причин продольная ось
самолета не совпадает с требуемым направлением движения. Тогда
чувствительный элемент автомата курса выработает сигнал,
который заставит отклониться руль направления.
В результате отклонения руля от нейтрали возникает
вращающий момент, который будет стремиться возвратить самолет на
заданный курс. Однако в момент, когда продольная ось самолета
совпадет с требуемым направлением движения, его вращательное
движение не прекратится. Это произойдет, во-первых, потому, что
самолет, имеющий значительный момент инерции, будет обладать
при подходе к заданному курсу определенным запасом
кинетической энергии, и, во-вторых, потому, что автомат курса, обладающий
некоторым запаздыванием, возвратит руль в нейтральное
положение лишь через некоторый промежуток времени после того, как
продольная ось самолета совпадет с заданным курсом.
Вследствие указанных причин самолет будет отклоняться от
заданного курса в направлении, противоположном
первоначальному отклонению, до тех пор, пока автомат курса не произведет
перекладку руля и пока в результате этого не разовьется
вращающий момент, достаточный для того, чтобы заставить самолет опять
стремиться к заданном/ курсу. Теперь самолет подойдет к нему
уже с другой стороны, и по тем же причинам, которые были
приведены выше, опять возникнет отклонение от заданного курса,
имеющее тот же знак, что и первоначальное отклонение. Затем весь
процесс повторится снова и т. д. При этом если демпфирование
самолета невелико, а его инерция и запаздывание автомата курса
значительны, то амплитуда колебаний самолета относительно
заданного курса будет постепенно возрастать и, таким образом,
сохранение требуемого курса не сможет быть достигнуто.
Приведенный пример показывает, что принцип обратной связи,
лежащей в основе действия систем регулирования, может
превратиться из средства подавления колебаний и уменьшения ошибки
в средство генерации колебаний и увеличения ошибки. Из этого
примера также видно, что для удовлетворительной работы системы
регулирования прежде всего необходимо, чтобы она была
устойчива, т. е. система должна обладать свойством, при котором
начальные отклонения регулируемой величины от требуемого закона
изменения должны стремиться к нулю с течением времени. Поэтому
требование устойчивости является первым и важнейшим условием
нормальной работы систем регулирования. При этом необходимо
68

подчеркнуть, что требование устойчивости должно удовлетворяться
с некоторым запасом, предусматривающим возможные изменения
параметров системы во время ее работы.
Однако понятие устойчивости, связанное, как мы видели, с
рассмотрением поведения систем в отсутствии воздействий, является
лишь необходимым, но далеко не достаточным для характеристики
динамических свойств систем регулирования в реальных условиях
их работы, при наличии воздействий. Для того чтобы
охарактеризовать эти динамические свойства, необходимо прежде всего
уточнить вопрос о том, какие воздействия следует иметь в виду, так
как поведение системы регулирования, конечно, существенно
зависит от величины и характера изменения воздействий. Решение этого
вопроса вызывает определенные трудности, так как обычно
воздействия, приложенные к системам регулирования, представляют собой
непрерывно изменяющиеся функции времени, точный закон
изменения которых невозможно
предугадать. Однако при вниматель- fit)
ном рассмотрении конкретных
условий работы системы часто
все же оказывается возможным
выбрать среди всего
многообразия возможных воздействий та-
т
t
кое, которое являлось бы наи- " '
более типичным или наиболее Рис. 11.19. Единичное ступенчатое
неблагоприятным. Выбрав такое воздействие
типичное воздействие и изучив
вызываемый им переходный процесс, можно составить себе
довольно полное представление о динамических свойствах системы.
В виде типового воздействия при анализе динамики систем
автоматического регулирования весьма часто выбирают так
называемое ступенчатое воздействие, или единичный скачок (рис. 11.19).
Такого рода воздействию соответствуют, например, сбросы или
набросы нагрузки в системах регулирования скорости двигателей,
отказ мотора в системе двухмоторный самолет — автомат курса,
внезапное изменение положения задающей оси в следящих
системах и т. д.
Иногда типовым воздействием служит воздействие в форме
дельтафункции, т. е. импульса произвольной формы, имеющего
определенную площадь и весьма малую продолжительность по
сравнению с ожидаемой продолжительностью переходного
процесса. В реальных условиях такого рода воздействие может иметь
место, например, в случае внезапного вхождения самолета в струю
воздуха, движущегося перпендикулярно траектории движения
самолета. Другим примером может служить импульсная нагрузка,
которая возникает на валу двигателя в следящем приводе,
служащем для управления летучими ножницами в стане горячей
прокатки при разрезании полосы на листы и т. д.
69

В случае следящих систем весьма часто пользуются типовым
управляющим воздействием вида
g(0 = §о + git + ft*8 + ■■■ +gS, t>0,
g(0 = 0, *<0,
частными случаями которого, например, являются
g(t)=g1t, *>0,
g(/) = 0, *<0
(11.21)
(11.22)
или
g(t) = o, ко.
(11.23)
Случаю (11.22) соответствует изменение управляющей оси с
постоянной скоростью, а случаю (11.23) — его изменение с
постоянным ускорением (рис. II. 20). «^j.
Рис. 11.20. Основные
характеристики типовых управляющих
воздействий:
/ — при постоянной скорости;
2 — при постоянном ускорении
Рис. 11.21. Типовое управляющее
воздействие для радиолокационных
систем g'(t) = arctg bt
При анализе некоторых следящих систем, например,
применяемых для управления антенной радиолокатора, в качестве типового
управляющего воздействия пользуются выражением
g (0 = arctg bt, (11.24)
представляющим собой (рис. 11.21) закон изменения азимутального
угла между направлением на цель и некоторым фиксированным
направлением в случае прямолинейного и равномерного движения
цели. Наконец, в отдельных случаях типовые воздействия могут
иметь весьма сложную форму, определяемую непосредственно из
эксперимента.
Каким бы ни было выбранное типовое воздействие, оно всегда
вызовет в системе некоторый переходный процесс, после затухания
которого система придет в установившееся состояние (такое
затухание обязательно произойдет, поскольку предполагается, что
условие устойчивости удовлетворяется).
В соответствии с указанными двумя стадиями реакции системы
70

регулирования на типовые воздействия естественно подразделить
и требования, которые следует предъявлять к динамическим
свойствам системы (их обычно называют условиями качества 3), на
требования к ее поведению в установившемся состоянии и в
переходном процессе.
Первая группа требований определяет так называемую
статическую точность системы регулирования, т. е.
отклонение регулируемой величины от требуемого закона
изменения или величину ошибки через достаточно большой промежуток
времени после приложения воздействия. Следующая группа
требований характеризует поведение системы в переходном процессе,
т. е. ее поведение в промежуток времени, непосредственно
следующий за моментом
приложения выбранного типового воз- х^»
действия.
Поведение системы в
переходном процессе,
вызванном типовым воздействием,
стремящимся с течением
времени к постоянному
установившемуся значению, или, как
обычно говорят, качество
системы, принято часто
характеризовать при помощи следующих величин, называемых
показателями качества (рис. 11.22):
1) максимального отклонения регулируемой величины хтаху
если отклонение регулируемой величины х (t) с течением времени
стремится к нулю, или величины перерегулирования:
х — дг(оо)
f'
/ *
\ s—*^. "^i
II!
1 !
Рис. 11.22. Кривая переходного
процесса и показатели качества
*% =
х (со)
100%,
где х (со) — статическое отклонение, т. е. х (об) — lim x (t)\
/—СО
2) статического отклонения х (оо);
3) времени переходного процесса, или времени
регулирования Тр1 т. е. наименьшего из значений времени, отсчитываемого от
момента приложения воздействия, после которого имеет место
неравенство
| х (t) — х (со) | ^ Д,
где Д — заданная малая постоянная величина [величина х (со)
в частном случае может равняться нулю];
4) числа колебаний N регулируемой величины х (t) в течение
времени переходного процесса Тр.
При этом обычно считается, что система обладает требуемым
качеством, если она удовлетворяет заданным условиям качества,
1 В. В. Солодовников, «Бюллетень ВЭИ», вып. 4, Госэнергоиздат,
1941.
71

т. е. если показатели качества не превышают некоторых заранее
заданных значений.
Графически условия качества обычно сводятся к тому, чтобы
отклонение регулируемой величины х (f) не выходило ни при каких
значениях t из некоторой области, изображенной на рис. 11,23.
Эта область называется областью допустимых
отклонений регулируемой величины в переходном процессе г.
Рис. 11.23. Область допустимых
отклонений регулируемой
величины
Рис. 11.24. Кривая изменения ошибки
и показатели качества
В случае следящих систем условиям качества обычно должна
удовлетворять ошибка 8 (t). Понятие о показателях качества
применительно к ошибке пояснено на рис. 11.24.
О t
Рис. 11.25. Основные типы переходных процессов
Обычно условия качества допускают не более одного-двух
колебаний в течение переходного процесса, а иногда они требуют,
чтобы колебания вообще отсутствовали. Поэтому переходные
процессы при статическом отклонении, не равном нулю, удобно
подразделить на следующие основные типы (рис. 11.25):
1) колебательные процессы (кривая /), характеризуемые
наличием двух или большего числа перерегулирований;
1 Приведенное выше понятие качества систем автоматического
регулирования, а также понятие о допустимой области отклонений регулируемой
величины было предложено в работе [180], см. библиографию стр. 751.
72

2) малоколебательные процессы (кривая 2), характеризуемые
наличием только одного перерегулирования;
3) процессы без перерегулирования (кривая 3),
характеризуемые тем, что отклонение регулируемой величины остается в
переходном процессе меньше ее установившегося значения, т. е.
условием х (t) ^ х (оо) при всех t (с точностью до А);
4) монотонные процессы (кривая 4), характеризуемые тем, что
скорость изменения регулируемой величины не меняет знака в
течение всего переходного процесса, т.е. условием тг^® при
О ^ t «-g Тр и условием \х (t) — х (оо)| ^ Д при t ]> Тр.
Заметим, что в случае воздействий, неограниченно
возрастающих с течением времени, отклонение регулируемой величины
также неограниченно возрастает. Поэтому говорят не об
установившемся и максимальном отклонении, а об установившейся и
n(th
Рис. 11.26. Воздействие, являющееся случайной
функцией времени
максимальной ошибке, причем условия качества предъявляются
не к отклонению регулируемой величины, а к ошибке.
Приведенные выше показатели качества часто оказываются
вполне достаточными для характеристики динамических свойств
системы регулирования в переходном процессе, вызванном тем
или иным типовым воздействием.
Однако иногда реальные условия работы системы регулирования
могут быть такими, что само понятие «переходный процесс» теряет
смысл. В особенности это относится к тем случаям, когда
воздействия представляют собой такие непрерывно и быстро
изменяющиеся функции времени, какими являются, например, различного
рода помехи и шумы (рис. 11.26).
Характерным примером может служить следящая система для
управления антенной радиолокатора. В ней на входной сигнал,
воспроизводящий действительный закон движения цели, за
которой следит радиолокатор, накладываются помехи или флюктуации,
представляющие собой быстро изменяющиеся случайные функции
времени. Флюктуации входного сигнала создаются непрерывным
изменением коэффициента отражения самолета в процессе его
облучения радиолокатором вследствие рыскания и качки самолета,
неоднородности отражающей поверхности, вращения винта и
других причин.
73

Такого рода воздействия при анализе не могут быть заменены
типовым воздействием в виде заданной функции времени, и в то же
время ими нельзя пренебречь, так как от них существенным
образом зависит общая величина ошибки системы.
При этом такие показатели качества, как время переходного
процесса, статическое отклонение, число колебаний, а также
перерегулирование, теряют смысл, и сохраняет значение лишь
максимальное отклонение хтах, характеризующее в отличие от х (сю) не
статическую точность системы в установившемся состоянии, а ее
динамическую точность в неустановившемся состоянии.
Следует, однако, заметить, что как вследствие трудности оценки
максимальных значений хтах, так и вследствие того, что
последние часто недостаточны для характеристики работы системы
при непрерывно изменяющихся случайных воздействиях, в этих
случаях обычно вводят в рассмотрение некоторые средние значения
от х (t), определяющие динамическую точность системы в
статистическом смысле для некоторых промежутков времени
(подробнее об этом см. в книге 2, гл. I).
Примером такого рода показателей качества могут служить
средние квадратические значения отклонений регулируемой
величины или ошибки.
Обычно системы регулирования наряду с требованиями к
динамическим свойствам должны удовлетворять ряду требований,
связанных с условиями их эксплуатации.
Эти требования часто имеют решающее значение при выборе
элементов систем регулирования. При этом, поскольку каждое
конкретное устройство обладает своими динамическими
характеристиками, ясно, что эксплуатационные требования имеют
существенное влияние на динамические свойства системы и что,
следовательно, к анализу динамики нужно переходить лишь тогда, когда
имеется уверенность в том, чГто элементы системы регулирования
выбраны с учетом этих требований.
Ввиду многообразия условий эксплуатации, в которых
приходится работать различным системам регулирования, мы не имеем
возможности останавливаться на этом вопросе сколько-нибудь
подробно, но считаем необходимым подчеркнуть, что анализ
условий эксплуатации и вытекающих из них требований должен
предшествовать проектированию любой системы регулирования.

ГЛАВА III
ОСНОВНЫЕ УСТРОЙСТВА И ТИПОВЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Системы автоматического регулирования (сокращенно САР)
состоят из отдельных устройств. Многочисленные и разнообразные
по конструктивному оформлению устройства можно разделить на
сравнительно небольшое число типовых узлов, обладающих
некоторыми общими свойствами.
Разделение устройств систем автоматического регулирования
на группы и выделение типовых устройств и узлов производят,
основываясь на целевом признаке, характеризующем назначение
того или иного устройства в схеме, или на динамическом признаке,
характеризующем его динамические свойства.
В данной главе в основу подразделения устройств на типовые
группы будет положен целевой функциональный признак.
Классификация устройств по этому признаку была дана в главе П. В
настоящей главе приведена более подробная характеристика каждой
типовой группы устройств, а также показано на нескольких
примерах, каким образом эти устройства в соединении и
взаимодействии друг с другом образуют системы автоматического
регулирования.
1. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТРОЙСТВ, ИЗ КОТОРЫХ СОСТОЯТ
СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Объект регулирования. Основным элементом
системы регулирования является объект регулирования, т. е.
машина или установка, требуемый режим работы которых должен
поддерживаться регуляторами при помощи регулирующих
органов.
Регулирующий орган — устройство, с помощью
которого в САР осуществляется изменение режима объекта.
Регулирующие органы обычно конструируются, как часть объекта (рули
самолета, вентили паросиловых установок, обмотки возбуждения
электрических машин и т. д.). Рассмотрим основные устройства, из
которых состоят регуляторы.
75

Чувствительные, или измерительные,
элементы регулятора предназначаются для точного преобразования
регулируемых величин или возмущающих воздействий в сигналы
управления, удобные для дальнейшего использования в процессе
регулирования. Чаще всего значения регулируемых величин
преобразуются в пропорциональные электрические сигналы или в
механические перемещения. Чувствительные элементы, так же как и
в измерительных приборах, должны удовлетворять определенному
классу точности. Обычно диапазон измерения чувствительных
элементов регуляторов уже, чем измерительных приборов, а
мощность — больше. Особенно мощным должны быть чувствительные
элементы регуляторов прямого действия.
Устройство сравнения предназначено для
измерения отклонений регулируемых величин от заданных
значений. Чаще всего оно представляет собой простейшее
арифметическое устройство, осуществляющее вычитание из измеренного
чувствительным элементом значения регулируемой величины
другой величины, принятой в данном регуляторе за опорную заданную
величину. Заданное значение вырабатывается задающим
устройством.
Задающее устройство вырабатывает сигнал,
пропорциональный заданному значению регулируемой величины.
Задающими устройствами могут быть пружины, калиброванные
сопротивления, грузы, уровни и т. п. Иногда их применяют для
выработки программы, т. е. сигнала, обеспечивающего заданную
последовательность состояний в функции времени (или других
координат). Программные устройства используются в системах
программного регулирования, где заданное значение регулируемой
величины должно изменяться по определенному закону. В
простейших регуляторах программные элементы выполняются в виде
профилированных кулачков, шаблонов, фигурных реостатов и т. п.;
в более сложных современных системах выработка заданной
функции осуществляется счетно-решающими или вычислительными
устройствами, называемыми программирующими устройствами.
Усилительные устройства предназначаются для
усиления мощности сигналов в регуляторах. Они управляют
энергией, поступающей от постороннего источника энергии. В
настоящее время применяют электронные и электромагнитные усилители,
позволяющие использовать для действия регуляторов мощность
электрической сети или батарей; гидравлические золотники,
управляющие энергией маслонапорных установок, пневматические
усилители, использующие энергию сжатого газа, и т. д.
Исполнительные устройства, оконечные
усилители в регуляторе, осуществляют непосредственное воздействие на
регулирующий орган (например, возбудители, питающие обмотку
возбуждения генератора; электродвигатели, приводящие в
движение регулирующие клапаны, и т. д.). Исполнительные устройства,
76

осуществляющие механическое перемещение регулирующего органа,
называются исполнительными двигателями, или сервомоторами.
Корректирующие устройства включают в
систему регулирования для повышения устойчивости и улучшения
динамических свойств системы регулирования. В зависимости от
способа включения корректирующие устройства подразделяют на
последовательные и параллельные. С помощью последовательных
корректирующих устройств обычно в закон регулирования вводятся
воздействия по производным и интегралам регулируемых величин
по времени. Для понимания принципов действия корректирующих
устройств необходимо знакомство с основами теории
регулирования, поэтому описание основных типов корректирующих элементов
и устройств дается в последующих главах.
Преобразующие устройства. Строго говоря,
любое из упомянутых выше устройств выполняет то или иное
преобразование одной величины б другую и является преобразующим.
Но преобразующими устройствами в технике регулирования
принято называть такие элементы, которые не выполняют функций
измерения, усиления или коррекции и лишь преобразуют одну
физическую величину в другую, более удобную для использования
в процессе регулирования (например, неэлектрическую величину
в электрическую, переменный ток в постоянный и т. п.).
Типовая функциональная схема системы автоматического
регулирования была рассмотрена в главе II, рис. 11.11. Однако
конкретные схемы систем регулирования могут отличаться от
приведенной типовой схемы.
В ряде случаев часть устройств может отсутствовать (например,
корректирующие элементы), или же конструктивно объединяться
в одном устройстве. Так, довольно часто в одном устройстве
объединяются функции элементов измерения и сравнения и т. п. Далее
САР могут иметь и другие элементы, не показанные на схеме
(например, функциональные преобразователи, модуляторы,
демодуляторы и т. п.); могут также видоизменяться схемы включения
корректирующих устройств. При этом функции последних будут
выполнять цифровые или аналоговые вычислительные машины.
Ознакомившись в общих чертах с основными видами устройств
САР, рассмотрим на нескольких примерах, каким образом эти
устройства в соединении и взаимодействии друг с другом образуют
системы автоматического регулирования.
2. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ ГИДРОТУРБИНЫ
Принцип действия системы регулирования скорости
гидротурбины поясняется упрощенной схемой, показанной на рис. III. 1.
Чувствительный элемент регулятора скорости — центробежный
маятник 2 связан с валом турбины 1. При изменении скорости
вращения вала турбины грузы маятника изменяют свое положение.
77

Их перемещение вызывает перемещение золотника 5,
управляющего серводвигателем 4, Серводвигатель перемещает орган 5,
изменяющий количество воды, поступающей из водоема 6 по
трубопроводу 7 в турбину в единицу времени.
Рассмотрим несколько более детально принципиальную
кинематическую схему комплексного регулятора Ленинградского
металлического завода, который предназначен для регулирования
скорости мощных поворотно-лопастных турбин на электростанциях.
Чувствительным элементом регулятора (рис. II 1.2) является
центробежный маятник, приводимый во вращение синхронным
электродвигателем /. Последний по- .
Рис. III. 1. Схема регулирования скорости турбины
синхронного генератора (пендель-генератора), насаженного на вал
турбины. Синхронный электродвигатель заменяет механическую
передачу от вала турбины к маятнику. Скорость вращения
синхронного электродвигателя пропорциональна частоте переменного
тока генератора, т. е. скорости вращения вала турбины [3]. *
Вместе с диском маятника 2 вращаются два цилиндрических
груза 3, охваченных гибкой стальной лентой 4. К лапам грузов 5
прикреплены две пружины б, которые стремятся сблизить грузы
друг с другом. Сближению грузов препятствует центробежная
сила. При изменениях центробежной сильл грузы перекатываются
по диску и ленте. Давление ленты передается на пяту и штифт 7
маятника. При возрастании скорости грузы расходятся и лента
перемещает штифт 7 вниз. При уменьшении скорости грузы
сближаются и пружина 9 поднимает штифт вверх. Трение скольжения при
такой конструкции регулятора незначительно и чувствительность
маятника очень высока.
* Здесь и далее в тексте основная литература приведена в конце
отдельных глав, а дополнительная (с указанием страниц библиографии) — в
конце книги.
78

Усилия, передаваемые штифтом 7, весьма малы для перестановки
громоздкого направляющего устройства турбины, поэтому между
чувствительным элементом регулятора и направляющим
устройством необходимо включить несколько усилителей. Таким образом,
рассматриваемая схема является примером схемы непрямого
регулирования.
Первым усилителем служит так называемый побудительный
золотник 13, управляющий вспомогательным серводвигателем 18.
Рис. III.2. Схема комплексного регулятора скорости
При перемещении тела побудительного золотника 14, например, вверх
(при уменьшении скорости) масло, поступающее из маслонапорной
установки (не показанной на рисунке), направляется в верхнюю
трубку серводвигателя 18 и заставляет поршень 17 перемещаться
вниз, вытесняя по нижней трубке масло из нижней полости в
сливной бак. Перемещаясь вниз, поршень через тягу обратной связи 15
тянет вниз золотник 14. Одновременно, при движении вниз
поршня 17 вспомогательного серводвигателя происходит перемещение
главного золотника 16 второго усилителя. При этом по нижней
грубке масло поступает в исполнительное устройство —
серводвигатель 37 регулирующего органа — направляющего устройства
турбины (не показанного на рис. II 1.2), который изменяет (в
рассматриваемом случае увеличивает) доступ воды в турбину, в
результате чего скорость вращения вала турбины начинает возрастать
79

Если произошло возрастание скорости, то движения всех
рассмотренных элементов происходят в противоположных
направлениях, в результате чего подача воды в турбину уменьшается и ее
скорость начинает падать.
Одновременно с перемещением направляющего устройства
поршень серводвигателя 37 через рычаг 35 поворачивает вал жесткой
обратной связи 29 (так называемый вал выключателя). Стрелкой
указано направление поворота вала при открытии направляющего
устройства. Поворот вала приводит в действие ряд механизмов.
Прежде всего с помощью тяг 24, 28 и золотникового рычага 8
перемещается тело золотника 14 в сторону, обратную перемещению
маятника, и осуществляется таким образом жесткая отрицательная
обратная связь. Благодаря этой связи равновесие наступит не при
заданной, а при несколько меньшей скорости.
Таким образом, приведенная выше схема является примером
системы статического регулирования. Переставляя ползунок 25,
можно изменять соотношения длин плеч рычага обратной связи
и тем самым регулировать величину статизма.
Однако, если бы система состояла только из указанных устройств,
процесс регулирования был бы или неустойчивым, или
неудовлетворительным по качеству. Для обеспечения устойчивости в регуляторе
имеется дополнительный корректирующий элемент — гибкая, или
изодромная, обратная связь. При повороте вала 29 с помощью
рычагов 28 и 24 производится перемещение стакана изодрома 11.
Движение стакана через заполняющее его масло передается на поршень 12
изодрома, который, в свою очередь, воздействует на золотниковый
рычаг 5. В процессе движения масло в изодроме под давлением
пружин 10 перегоняется по узкой трубке (байпасу) 23 из одной
половины стакана в другую. Сопротивление перетеканию масла может
регулироваться вручную винтом 22. Изодромная обратная связь
называется гибкой, потому что действие ее возрастает с
возрастанием скорости движения серводвигателя. При неподвижном
серводвигателе пружина 10 приводит постепенно поршень 12 в исходное
состояние и действие гибкой обратной связи прекращается.
Если исключить действие механизма изменения статизма, убрав,
например, рычаг 28, то система регулирования станет астатической,
так как установившийся режим будет возможен лишь при строго
определенном положении золотникового рычага 8, при котором
пружина 10 будет находиться в ненапряженном состоянии. Но на
практике всегда настраивают регулятор так, чтобы он имел
определенный статизм. Объясняется это тем, что на электрических станциях
электроэнергия вырабатывается несколькими агрегатами,
работающими на общую электрическую сеть. Нагрузка каждого из
параллельно работающих агрегатов будет обратно пропорциональной
статизму его регулировочной характеристики. На рис. III. 3, а
показаны характеристики зависимости мощности от частоты для
двух агрегатов (турбогенераторов).
60

Очевидно, что при одной и той же частоте нагрузка между
турбогенераторами / и // будет распределяться неодинаково: агрегат //
с более пологой характеристикой (т. е. с меньшим статизмом)
примет на себя большую часть нагрузки. Таким образом, если требуется
равномерно распределять нагрузку между агрегатами, то
необходимо их статическим характеристикам 1 и 2 придать одинаковый
наклон. Минимальная величина этого наклона определяется
допустимой шириной зоны нечувствительности (заштрихованная зона
на рис. III.3, а), внутри которой нагрузка агрегата будет оставаться
неопределенной. Обычно ста-
тизм выбирается в пределах
3-6%.
Однако частота
электростанции в нормальном
режиме должна поддерживаться
строго постоянной, т. е. в
конечном итоге регулирование
должно быть астатическим.
Совместить эти два
противоречивых требования можно
путем введения так
называемой астатической коррекции.
Величина статизма
определяется соотношением плеч
рычага АВ и ВС (рис. III.2),
т. е. положением ползунка 25.
Если, сохраняя положение
ползунка, изменить
положение точки С, то тем
самым характеристика регулятора сместится параллельно самой себе.
Пусть в некоторый момент времени нагрузки агрегатов были
Рг и Р2, а частота точно равнялась заданной (рис. III.3, б).
Предположим, что произошло увеличение нагрузки в сети так, что
агрегаты стали отдавать мощности Р[ и Р'2. Из рисунка видно, что это
будет возможно, если характеристики 1 и 2 останутся в прежнем
положении, лишь при уменьшении частоты до значения
/'.Установим теперь на агрегате / астатический корректор, который при
уменьшении частоты начнет перемещать точку С, а следовательно,
и всю характеристику вверх до тех пор, пока частота не
восстановится (характеристика 3). Тогда нагрузка агрегата // вернется
к прежнему значению Р2, а агрегат / примет на себя весь избыток
нагрузки, и его мощность станет равной Р\.
Астатическая коррекция может осуществляться на одном
агрегате — такой метод регулирования называется методом ведущего
агрегата. При этом все колебания нагрузки будет воспринимать
агрегат с астатической коррекцией, нагрузка остальных будет
оставаться постоянной. Астатическую коррекцию можно осущест-
Рис. II 1.3. Характеристики
регулирования двух параллельно работающих
агрегатов
ai

влять на группе агрегатов или на всех агрегатах станции; в
последнем случае данная станция принимает на себя все изменения
нагрузки (метод ведущей станции). Возможны установки астатических
корректоров на нескольких станциях, входящих в энергосистему,
или на всех станциях.
Обычно астатическая коррекция осуществляется с помощью
регулятора частоты, который измеряет отклонение частоты от
заданного значения и включает электродвигатель 26
(электродвигатель механизма изменения частоты; см. рис. II 1.2), смещающий точку С
в нужном направлении. Кроме электродвигателя 26, в механизме
изменения частоты предусмотрен сельсин-приемник 27, с помощью
которого возможно осуществлять одновременное групповое
управление агрегатами с пульта, С последнего возможно и ручное
управление отдельными агрегатами. Для этого предусмотрены
кнопки, которыми можно изменять направление вращения
электродвигателя 26.
Так как частота пропорциональна скорости вращения вала
турбины, то в системе обеспечивается двойное регулирование одной и
той же величины с помощью двух регуляторов — регулятора
скорости (первичное регулирование) и регулятора частоты (вторичное
регулирование). Очевидно, что принципиально можно осуществлять
регулирование с астатической коррекцией и от одного
измерительного элемента. Использовать для этой цели центробежный маятник
неудобно из-за чисто конструктивных трудностей. Поэтому в
последние годы начали получать распространение единые
электрогидравлические регуляторы, у которых чувствительным элементом
является схема для измерения частоты, а центробежный маятник
отсутствует. Чувствительный элемент по одному каналу
воздействует на электромагнит, управляющий движением побудительного
золотника, а по другому — на электродвигатель механизма
изменения частоты. Наличие электрического измерительного элемента
дает возможность легко вводить различные дополнительные
воздействия — по производным изменения скорости, по нагрузке и по
другим величинам, что делает более гибким и совершенным закон
регулирования.
В поворотно-лопастных турбинах, кроме рассмотренного выше
процесса регулирования скорости, используется еще поворот
лопастей рабочего колеса турбины с целью получения наивысшего
к.п.д. турбины. В существующих в настоящее время регуляторах
скорости требуемая установка лопастей в функции угла открытия
направляющего устройства вычисляется заранее на основе
экспериментов на модельной турбине. Для осуществления поворота
лопастей в соответствии с этими данными к регулятору скорости
пристраивается дополнительно система программного управления
поворотом лопастей рабочего колеса. Она состоит из датчика
программы (программирующего устройства) и следящей системы,
обрабатывающей заданную программу.
$2

Датчиком программы служит механический функциональный
преобразователь — профилированный кулачок 34, насаженный на
вал 29. Профиль кулачка выполнен в соответствии с требуемой
зависимостью угла поворота лопастей рабочего колеса от угла
открытия направляющего устройства. Через ролик 32 и систему
рычагов 33, 30, 31 кулачок воздействует на золотник 21, который через
вспомогательный серводвигатель 19 управляет телом главного
золотника 20 серводвигателя рабочего колеса. Золотники и
серводвигатель рабочего колеса образуют собой следящую систему,
отрабатывающую заданное кулачком 34 угловое перемещение. Серводви-
жос
Рис. II1.4. Схема взаимодействия элементов регулятора скорости
гидротурбины
гатель рабочего колеса встроен в вал турбины и на схеме не показан.
Через трос 36 осуществляется обратная связь от серводвигателя
к золотниковому рычагу 31, который служит в качестве органа
сравнения следящей системы.
Так как наиболее экономичные характеристики турбины и ее
модели не совпадают точно друг с другом, установка лопастей
рабочего колеса с помощью жесткой программы не обеспечивает
действительно оптимального режима. Более совершенной в данном случае
была бы схема экстремального регулирования, осуществляющая
замер отношения полезной мощности генератора к мощности
водяного потока и устанавливающая такое значение угла поворота
лопастей рабочего колеса, при котором это отношение было бы
максимальным. Однако из-за трудности достаточно точного измерения
расхода воды в турбине такие схемы оптимизации пока еще не
нашли применения.
Схема взаимодействий между отдельными элементами
регулятора показана на рис. II 1.4.
83

Турбина Т, приводящая во вращение главный генератор /7\
имеет два регулирующих органа: направляющий аппарат НУ
и лопасти рабочего колеса ЛРК. Регулятор скорости состоит из
вспомогательного генератора ПГ, электродвигателя
центробежного маятника ДЦМ, центробежного маятника ЦМ,
побудительного золотника ПЗН и вспомогательного серводвигателя
направляющего аппарата ВСН, главного золотника ГЗН и серводвигателя СН
направляющего аппарата; ЖОС — жесткие обратные связи, ГОС—
гибкая обратная связь (изодром).
Цепь управления положением лопастей рабочего колеса
включает кулачок К, побудительный золотник ПЗР, вспомогательный
серводвигатель ВСД рабочего колеса, главный золотник ГЗР и
серводвигатель СР рабочего колеса.
Цепь астатической автоматической коррекции состоит из
регулятора частоты РЧ и электродвигателя механизма изменения
частоты ДЧ. Ручная коррекция осуществляется с помощью кнопки
Кн. Сельсин для группового регулирования обозначен СС.
3. ЭЛЕКТРОННЫЙ РЕГУЛЯТОР НАПРЯЖЕНИЯ ВЭИ
На рис. II 1.5 приведена схема электронного регулятора
напряжения РНЭ-300-6 *, разработанного ВЭИ для регулирования
напряжения синхронных генераторов большой мощности на
электростанциях.
Измерительный элемент ИЭ регулятора представляет собой
уравновешенный при нормальном напряжении мост, одно из плеч
которого, диод с вольфрамовой нитью Л\у нелинейно, так как
диод работает в режиме сильного насыщения, когда его анодный
ток практически не зависит от напряжения. Мост питается от
трансформатора напряжения Тръ через выпрямитель Вг и
сглаживающий фильтр Ф. Нить накала диода получает питание от специальной
обмотки трансформатора Трх. Колебания напряжения на клеммах
синхронного генератора приводят к изменению сопротивления
диода и к нарушению равновесия моста.
Установки регулятора изменяются с помощью сопротивления Ry
в цепи первичной обмотки трансформатора. Балансировку моста
при смене диода производят сопротивлением R6.
Напряжение Ае с диагонали моста, примерно пропорциональное
отклонению напряжения от заданного значения, подводится к
управляющей сетке лампы Л2 фазового моста ФМ. Последний
одновременно служит усилителем и преобразователем сигнала в
соответствующий сдвиг фаз сеточного напряжения тиратронов Л3 и </74.
В одном плече фазового моста включена постоянная емкость С5,
в другом — переменное сопротивление (лампа Л2). При питании
* Регулятор напряжения электронный, наибольшее напряжение силового
элемента 300 в, наибольший ток б а.
84

•такого моста переменным током в его диагонали можно получить
переменное напряжение, амплитуда которого при изменении
сопротивления будет оставаться неизменной, а фаза изменяться в пве-
делах z±= Y* с?то напряжение с фазой, зависящей от величины и
знака Де, подводится к трансформатору 7>3, от которого получают
питание сетки тиратронов Л3 и Л4 тиратронного усилителя мощности
(ГУ), включенных по двухтактной схеме. При изменении фазы
сеточного напряжения меняется средний ток тиратронов i
Рис. III.5. Схема электронного регулятора напряжения ВЭИ
Исполнительным элементом в данной схеме является
возбудитель В. Обмотка возбуждения возбудителя ОВВ получает основное
питание от якоря возбудителя В, а дополнительное в виде тока i
от тиратронов Л3 и Л4. Таким образом, от тиратронов получается
не вся мощность, необходимая для возбуждения возбудителя,
а только ее часть, которая нужна для управления возбудителем.
При уменьшении напряжения синхронного генератора СГ ток icp
увеличивается, что приводит к увеличению потока возбуждения
возбудителя и, следовательно, к увеличению напряжения сети.
Для коррекции в схеме применена так называемая гибкая
обратная связь, состоящая из сопротивлений #5 и R6 и емкости С3.
Гибкая обратная связь (ГОС) действует только во время протека-
кия переходного процесса. Конденсатор не пропускает
постоянного тока, и в установившемся режиме обратная связь не
оказывает воздействия на усилительный элемент.
85

Рассмотренная схема является системой статического
регулирования. В самом деле, при изменении нагрузки на генератор
необходимо устанавливать для поддержания напряжения на прежнем
уровне различные значения токов возбуждения. Это означает, что
при различных нагрузках нужно иметь различные значения фазы
управляющего тиратронами напряжения, а следовательно, и
различные значения Ае на выходе моста чувствительного элемента.
Итак, при изменении нагрузки в системе возникает неизбежно
статическая ошибка.
Величина статизма регулирования в данной схеме может
изменяться с помощью устройства токовой стабилизации, состоящего
Рис. II 1.6. Функциональная схема регулятора напряжения Волжской ГЭС
им. В. И. Ленина
из сопротивления RCi включенного в цепь трансформатора тока Трт.
С помощью этого устройства обеспечивается устойчивое
распределение реактивной нагрузки между параллельно работающими
генераторами. Для синхронных генераторов, работающих на дальние
линии электропередачи, закон регулирования усложняется путем
введения воздействий не только по отклонению напряжения, но
также по его производным по времени, а также по току статора и
его производным.
На рис. II 1.6 показана функциональная схема регулятора
напряжения Волжской ГЭС им. «Ленина [4]. Поддержание заданного
напряжения на шинах ГЭС осуществляется рядом устройств.
Основным блоком воздействия по отклонению напряжения является блок
напряжения (БН). Напряжение, пройдя через фильтр Фг
(напряжение и), сравнивается с напряжением блока эталонного
напряжения БЭН, в котором использован стабилизатор напряжения СН.
Разность напряжений Аи поступает на вход промежуточного
инвертора И1. В нем осуществляется сложение воздействий по
отклонению напряжения и по току /. Воздействие по току осуществляется
86

от блока тока БТ через фильтр Ф2 и катодный повторитель, не
показанный на схеме.
С выхода инвертора Их сигналы поступают на вход сумматора С.
Кроме упомянутых выше сигналов, на вход последнего подаются
также усиленные усилителем УПТ сигналы воздействия по
производным тока и напряжения, снимаемые с дифференцирующих
цепочек. Через инвертор Я2 сигналы далее поступают на силовой
блок СБ, управляющий ионной системой возбуждения СВ.
В качестве корректирующих цепей использованы жесткая
обратная связь ЖОС и гибкая обратная связь ГОС, вход которых
подключен к разделительному устройству РУ, необходимому для
исключения гальванической связи между цепями возбуждения параллельно
работающих генераторов.
Если в системах имеется телепередача фазового угла между
векторами э. д. с. генератора и напряжения приемной системы, то
устройство переключается от трансформаторов тока на устройство
телепередачи 8.
4. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА
ПО МОЩНОСТИ
С 1954 г. ядерные реакторы стали применяться в качестве
тепловыделяющих блоков энергетических установок атомных
электростанций. В энергетическую установку атомной электростанции вхо-
Пердичный
контур
У
Вторичный
контур
Рис. II 1.7. Блок-схема взаимодействия элементов энергетической
установки с ядерным реактором
дят следующие основные устройства: ядерный реактор / (рис. II 1.7),
охлаждающая жидкость 2, образующая первичный тепловой
контур, парогенератор 3, паровая турбина 4, турбогенератор 5,
конденсатор 6.
67

Паровая турбина, парогенератор и конденсатор образуют
вторичный тепловой контур. В парогенераторе охлаждающая
жидкость передает полученное в реакторе тепло во вторичный контур.
Рассмотрим процессы, происходящие в ядерном энергетическом
реакторе. В центральной части реактора размещается урановое
топливо 6 (рис. II 1.8) и замедляющее вещество (бериллий) 8.
Замедляющее вещество и урановое топливо образуют активную зону
реактора. При вводе внутри активной зоны источника первичных
Рис. III.8. Схема автоматического регулирования мощности ядерного
реактора на тепловых нейтронах
нейтронов в реакторе происходит поглощение ядрами урана
свободных нейтронов. Каждое ядро урана, поглотившее нейтрон,
испускает два-три нейтрона, которые, в свою очередь, поглощаются
другими ядрами урана. При таком процессе распада ядер урана
образуется цепная реакция с выделением большого количества тепловой
энергии.
Для поддержания цепной реакции количество образующихся
нейтронов должно быть равно количеству нейтронов, теряемых за
счет поглощения и утечки. Мощность ядерного реактора
пропорциональна количеству выделенных нейтронов в процессе деления.
Поэтому изменение мощности реактора наиболее простым способом
может быть получено путем увеличения или уменьшения
количества поглощаемых нейтронов,
88

Введение в активную зону реактора кадмиевых стержней 7
увеличивает число поглощаемых нейтронов, а следовательно,
вызывает снижение уровня мощности, отдаваемой реактором. Для
повышения мощности необходимо выводить кадмиевые стержни из
активной зоны.
В реакторах применяются три типа стержней: компенсирующие—
для грубой установки заданного уровня мощности,
регулирующие — для точной установки уровня мощности и, наконец,
аварийные, после введения которых прекращается процесс
деления.
Через активную зону реактора проходят трубопроводы 9, где
циркулирует теплоноситель. Он отводит тепло от реактора и
передает его через парогенератор паровой турбине.
Рассмотрим работу системы автоматического регулирования
мощности ядерного реактора без учета влияния температуры и
процессов его отравления ксеноном [8]. При необходимости
повысить мощность, отдаваемую реактором, оператор на пульте
перемещает движок задающего потенциометра Rn. Равновесие моста,
образованного Rn, Rly RK и ионизационной камерой Ю,
нарушается, и на входе электронного усилителя образуется
напряжение Д&£.
Электронный усилитель / с несимметричным входом, собранный
на лампах Лх — Л6, усиливает сигнал. В оконечном каскаде
усилителя установлены лампы Ль и Л6, в цепь катодов которых включен
соленоид 2 и при наличии сигнала Дие в одной из его обмоток
ток увеличится. Золотник 3 переместится влево, и масло от насоса
поступает к нижней полости силового цилиндра 5. Шток поршня
силового цилиндра переместится вверх, а вместе с ним и
поднимется регулирующий стержень 7. Процесс поглощения нейтронов
в активной зоне уменьшится, а следовательно, возрастет
количество нейтронов и мощность реактора повысится. Одновременно
с этим начнет увеличиваться ток ионизационной камеры и мост
начнет балансироваться. Напряжение Дие будет уменьшаться;
регулировочный стержень, перемещаясь вниз, снова займет
прежнее положение, отвечающее критическому состоянию реактора.
Мощность реактора устанавливается на уровне, заданном задатчи-
ком.
Устойчивость работы системы автомагического регулирования
реактором обеспечивается параллельным корректирующим
устройством, состоящим из тахогенератора 4 и четырехполюсника R
и С.
Задатчик мощности энергетической атомной станции может
быть связан с устройством, измеряющим напряжение на клеммах
турбогенератора. Тогда при колебаниях нагрузки генератора
система автоматического регулирования будет изменять мощность
реактора, поддерживая напряжение сети переменного тока
постоянным.
89

5. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ
Радиолокационная станция предназначена для обнаружения
цели и для последующего слежения за нею. В период обнаружения
станция работает в режиме поиска, когда ее антенна периодически
по определенному закону обегает определенный участок
пространства. В этот период осуществляется программное управление
положением антенны по заданному закону.
Не разбирая режима поиска, перейдем к рассмотрению режима
слежения за целью. В процессе поиска направленное излучение
антенны попадает на поверхность цели, отраженный от цели импульс
улавливается радиолокатором и станция переключается с режима
поиска на режим автоматического сопровождения цели. В режиме
сопровождения следящая система непрерывно изменяет
направление оси антенны так, чтобы она была с заданной точностью
направлена на цель. При этом определяются угловые координаты цели.
В описываемой ниже схеме станции SCR-584 погрешность
определения угловых координат не превышает 0,06° [6].
Процесс слежения затрудняется целым рядом обстоятельств.
Движение цели, которое является управляющим сигналом для
следящей системы, невозможно заранее предвидеть. Цель может
двигаться равномерно или совершать различные маневры. Сигнал
управления в общем случае представляет собой случайную
функцию времени. Слежение осуществляется при наличии флюктуации
отраженных сигналов от цели и других помех. Для облегчения
отделения полезного сигнала от помех излучающему вибратору станции,
помещенному в фокусе параболического отражателя, сообщается
периодическое движение с определенной частотой: он непрерывно
вращается, вследствие чего ось излучения, отклоненная на
1,25° от оси параболоида, описывает в пространстве круговой
конус.
На рис. II 1.9, а, б показано сечение конуса и луча, а также
кривые амплитуды отраженных сигналов. Если цель находится
в центре конуса А (на оси параболоида), то при вращении луча
она облучается равномерно и амплитуда отраженного сигнала
постоянна (кривая /). При смещении цели от оси параболоида
интенсивность облучения начинает периодически изменяться. Так,
если цель находится в точке В, то интенсивность облучения
будет минимальной, когда луч находится в точке /, и максимальной,
когда он переместится в точку 2. Следовательно, при смещении цели
от оси параболоида амплитуда отраженного импульса начинает
изменяться примерно по синусоидальному закону с частотой
вращения луча, а амплитуда огибающей модулированного сигнала
будет при этом примерно пропорциональна угловому отклонению
цели от оси параболоида (кривая //). При смещении цели в точку С
на угол а от точки В произойдет сдвиг фазы огибающей также на
угол а (кривая ///),
90

Положение цели относительно осей х, у, связанных с
параболоидом, может быть изображено вектором 0L. Модуль этого вектора
пропорционален амплитуде огибающей сигнала, а его аргумент а
равен фазе огибающей относительно некоторого фиксированного
положения. Следящая система корректирует отклонение оси
параболоида от оси цели по азимуту (ось х) и углу места (ось у). Для
этого сигнала ошибки (вектор огибающей) разлагается на две
проекции по этим осям и вырабатываются два напряжения, пропорцио-
шшшж
Сечение луча Пить движения
центра луча
а)
Азимут х 6)
Рис. III.9. Образование сигнала ошибки станции SCR-584
нальные этим проекциям. Каждое из этих напряжений подается
на вход своей следящей системы, и поворот антенны осуществляется
двумя двигателями.
Разложение вектора 0L на составляющие выполняется с помощью
генератора опорных напряжений. Ротор генератора, имеющий две
взаимно перпендикулярные обмотки, вращается синхронно с
вибратором и вырабатывает два переменных напряжения той же частоты,
что и частота сигнала, но сдвинутых относительно друг друга по
фазе на 90°. Эти напряжения преобразуются в последовательности
прямоугольных импульсов, каждый из которых подводится ко входу
своей следящей системы одновременно с сигналом ошибки.
Взаимодействие этих импульсов с сигналом ошибки таково, что на входе
следящей системы азимута вырабатывается напряжение,
пропорциональное OL cos а (т. е. отклонению азимута), а на входе следя-
91

щей системы угла места — пропорциональное О Lsin а (т. е.
отклонению угла места).
Блок-схема управления антенной показана на рис. ШЛО.
Рассмотрим несколько подробнее схему следящей системы угла
места цели.
Управляющим воздействием g (t) в этой следящей системе
является угол места цели; координатой объекта х (t) — угол места
антенны. Эта координата преобразована в опорное напряжение
генератора по углу места. Сигнал ошибки е (t) = g (t) — х (t) —
напряжение, выработанное на выходе коммутатора угла места.
сз ш
§*
53
4:
-4 Приемник
Отраженные
"■С t
импцльсы
Генератор оперного
напряжения
Опорное напряжение
угла песта
Опорное напряжение
с
азимута
Коммутатор
азимута
tilt)
Следящая
система
Коммутатор
угла места
(t)
Следящая
система
азимута
Электродвигатели
L_ ,—i—, угла
места
Рис. ШЛО. Блок-схема управления антенной станции SCR-584
Упрощенные электрическая и структурная схемы следящей системы
показаны на рис. 111.11.
Выпрямленное напряжение от выхода коммутатора угла места
поступает в сглаживающий фильтр. Напряжение на выходе этого
фильтра ur (t) — сглаженное напряжение постоянного тока —
пропорционально рассогласованию между осью параболического
отражателя и направлением на цель по углу места. Это напряжение
поступает на двухтактный усилитель, питающий обмотки
электромашинного усилителя ЭМУ. Разность намагничивающих ампер-
витков этих двух обмоток, пропорциональная е (/), вызывает на
щетках ЭМУ напряжение иэму (0» которое подводится к якорю
электродвигателя постоянного тока. Когда ось отражателя
совпадает с направлением на цель, е (/) и иэму (0 равны нулю,
электродвигатель неподвижен. При появлении 8 (t) двигатель начинает
вращаться со скоростью, пропорциональной иэму (0> И через
92

редуктор поворачивает антенну по направлению к цели. Схема
обладает большой чувствительностью. Без корректирующих
устройств она была бы неустойчивой. В схеме в качестве
корректирующего устройства использована тахометрическая обратная связь по
скорости. Мостовая схема тахометрической обратной связи
вырабатывает напряжение us (t), пропорциональное угловой скорости
вращения электродвигателя. Пройдя через специальный контур,
9(t) ^ x(t) I Редуктор
—_^_\* 1 привода
^г^ П и т о и и i i
e(t)
Усилитель Корректирующий
обратной контур
связи.

Электродвигатель
[UJ1

Радиолокационный
приепник
Е
Третий
детектор
и фильтр
СМ

Коммутатор
¥
Эталонное
напряжение
(30 гц)
Выходной каскад
Электромашинный
усилитель (ЭМУ)
Рис. II 1.11. Электрическая и структурная схемы следящей
системы
это напряжение преобразуется в напряжение обратной связи.
Делитель напряжения на выходе контура позволяет получить требуемый
коэффициент обратной связи.
Напряжение обратной связи подводится к сеткам двухтактного
усилителя, питающего ЭМУ, и включено навстречу напряжению
ошибки 8 (t). Как будет показано в последующих главах, при
надлежащем выборе параметров корректирующей цепи можно не только
добиться устойчивости системы, но и придать процессу
регулирования требуемые показатели качества и точности.
6. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫМИ
ЛЕТУЧИМИ НОЖНИЦАМИ
Универсальные летучие ножницы системы ВНИИМЕТМАШа
производят автоматическое резание выходящего из прокатного стана
сортового металла на мерные длины 2, 4, 6 и 8 .м и 30 м при резке
93

металла на холодильник, со скоростями движения полос до 6 м/сек
[1]. Для обеспечения указанных режимов резания с высокой
степенью точности по длине отрезаемых полос применяются две
синхронно-следящие системы для управления приводами барабанов и
эксцентриковых валов.
Кинематическая схема универсальных летучих ножниц с двумя
различными положениями ножей показана на рис. III. 12. При
пропуске полосы положение эксцентриковых валов и барабанов
показано на рис. III. 12, а, а при резе полосы на мерные длины — на
рис. III.12, б.
Следящие системы приводов барабанов и эксцентриковых валов
не только синхронизируют скорости их вращения, но и
обеспечивают вполне определенное положение ножей, исключая при этом
Рис. III. 12. Упрощенная кинематическая схема универсальных летучих
ножниц при двух положениях барабанов и ножей
накопление ошибки следящей системы, получающейся при
непрерывной подаче металлической полосы.
Для точного реза первой мерной длины при непрерывной
подаче полосы применяется сельсинная система регулирования
положения ножей (следящая система эксцентриковых валов), которая
обеспечивает синхронизацию положения при первом резе.
Последующие резы полосы обеспечиваются синхронизацией скоростей
вращения барабанов и эксцентриковых валов. При установлении
синхронной скорости вращения этих валов происходит рез полос
на длине I = 2 м. На рис. III. 12, б показано положение ножей и
барабанов при резе на первой мерной длине. При скорости вращения
барабана, в 2 раза большей скорости вращения эксцентриковых
валов, происходит один пропуск реза и полосы разрезаются на длины
/ = 4 м. Если скорость вращения барабанов превышает скорость
вращения эксцентриковых валов в 3 или 4 реза, то производится
рез полосы на длины I = 6 м, I = 8 м. На рис. III. 12, а показано
положение ножей и барабанов, соответствующее пропуску листа
при резе на мерные длины 1^>2'м.
94

Принципиальная схема следящих систем для управления
летучими ножницами показана на рис. III. 13. Полоса металла 2 с
помощью подающих роликов / движется к барабанам 4 с двумя режу-
ПриВод барабанов
& г
Привод эксиентрикобых Вало8
Э
<Jj»r£?
п=0"
ГОТО7©;
25
$2Sk
Рис. 111.13. Принципиальная схема следящих систем для управления
летучими ножницами
щими ножами 5. Барабаны приводятся во вращение через силовой
редуктор 8 от электродвигателя главного привода 23, имеющего
обмотку возбуждения 22. Оба барабана установлены на двух
95

эксцентриковых валах 3, синхронизация вращения которых
обеспечивается специальным редуктором. Эксцентриковые валы приводятся
во вращение от электродвигателя 27 с независимой обмоткой
возбуждения 28.
В синхронно-следящую систему главного привода входят
следующие основные устройства: генератор 21 с обмоткой
возбуждения 30, электромашинный усилитель 34 с тремя обмотками
управления 36, 43 и 48, магнитный усилитель 44 и добавочное
сопротивление 31. Для синхронизации угловых скоростей вращения
подающих роликов и барабанов применены два встречно включенных
тахогенератора 7 и 9.
Сельсиная схема обеспечивает вполне определенное
пространственное положение ножей. В нее входят: сельсин-датчик 16, ротор
которого через электромагнитную муфту 15 связан с валом
подающих роликов, и сельсин-приемник 18. Ротор сельсина-приемника
связан через четырехступенчатый кинематический редуктор 25
с барабанами ножниц. Статорная обмотка сельсина-датчика может
быть подсоединена через контакты К\ к дифференциальному
сельсину 17 или контактами /С2 к стопорному сельсину //. Сельсины
11 и 16 образуют синхронную схему, в которой сельсины
используются в моторном режиме. Напряжение с ротора
сельсина-приемника 18 поступает через выпрямитель 10 на вход магнитного
усилителя 44.
Для получения требуемых показателей устойчивости и качества
управления в системе главного привода использованы
стабилизирующий трансформатор 45—45' и четырехполюсники 6 и 24.
Синхронно-следящая система привода эксцентриковых валов
состоит из тех же основных устройств, что и система главного
привода. В нее входят генератор 29 с обмоткой возбуждения 33;
электромашинный усилитель 35 с обмотками управления 41, 47, 49\
магнитный усилитель 46\ тахогенераторы 37 и «39, сельсин-датчик 20;
дифференциальный сельсин 19 и два сельсина-приемника 12 и 13.
Статорные обмотки сельсинов-приемников присоединяются к
обмоткам сельсина-датчика через контакты К3 и /С4. а
дифференциальный сельсин подключается с помощью контактов Къ. В качестве
корректирующих устройств используются: стабилизирующий
трансформатор 4Q—40' (или токовая обратная связь с выпрямителями 42),
четырехполюсники 26 и 38.
Сельсины 16 и 18 включены в трансформаторном режиме и
напряжение рассогласования через выпрямитель 10 поступает на вход
магнитного усилителя. При отсутствии на подающих роликах
металлической полосы сельсин-приемник 18 и электромагнитная
хМуфта 15 отключаются. Тогда сельсин-датчик 16 подключается к
стопорному сельсину //, за счет чего осуществляется фиксация
пространственного положения ножей.
После поступления полосы на подающие ролики контакты /С2
отключают сельсин 11 и подключают через контакты /Сх сельсин-
96

датчик 16 к цепям сельсина-приемника 18. И снова сельсины 16
и 18 включаются в трансформаторный режим. Сельсины 12 и 20
также включены в трансформаторном режиме и обеспечивают
строгое соотношение между скоростями вращения барабанов и
эксцентриков. Сигнал от сельсинов поступает на магнитный усилитель
через выпрямитель 14.
Переключением четырехступенчатого кинематического
редуктора 25 изменяется передаточное число к сельсину 20, а
соответственно с этим меняется соотношение между скоростями вращения
барабанов и эксцентриковых валов (за счет чего обеспечивается
разрезание полос металла на мерные длины 2, 4, 6 и 8 м).
--QD"
ч
~ГТТЧ~^РЧ"ЖУ,
| Wc
—[ШнГЦ-
■—I
1^^^
Рис. III.14. Блок-схема следящей системы для привода эксцентриковых
валов летучих ножниц
С эксцентриковыми валами связаны роторы сельсинов 12 и 13,
сдвинутые на 90°. При данном расположении роторов получается
такое пространственное положение барабанов и эксцентриков,
которое исключает резание металла на мерные длины. Этот режим
работы привода эксцентриковых валов используется для резки
полос на холодильник.
Импульсный сигнал на резание формируется в командоаппара-
те 32. Привод эксцентриковых валов стабилизируется двумя тахо-
генераторами 37 и 39.
Блок-схема следящей системы для привода эксцентриковых
валов летучих ножниц показана на рис. II 1.14. Сплошными
линиями показаны основные линии связей системы управления,
штриховыми — вспомогательные, включаемые в аварийных
режимах работы ножниц. При этом приняты следующие обозначения:
Рг — редуктор сельсина-датчика (СЦ)\ Р2 — редуктор тахогене-
ратора (Тгг)\ КУ\ — корректирующее устройство; М —
выпрямитель-мост; СП — сельсин-приемник; МУ — магнитный усилитель;
4 Техническая кибернетика, кн, 1
97

ЭМУ — электромашинный усилитель; Г — генератор; СТрх —
стабилизирующий трансформатор; ЭДв — электродвигатель
привода; 7>2 — тахогенератор; Р3 — силовой редуктор; ОН — цепь
ограничения напряжения; ОТ — цепь ограничения тока
электродвигателя; ЖОС — жесткая обратная связь.
7. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА КОПИРОВАЛЬНО-ФРЕЗЕРНОГО ПОЛУАВТОМАТА
Копировально-фрезерный полуавтомат предназначен для
обработки металлических изделий, имеющих пространственно сложную
форму, не поддающуюся или трудно поддающуюся обработке на
обычных универсально-фрезерных станках. На полуавтоматическом
станке процесс обработки
происходит по копирам, изготовленным в
масштабе 1:1.
На одной из стоек станка
закрепляется обрабатываемое
изделие, на другой — копир. По
копиру перемещается копировальный
палец, по изделию — фреза,
воспроизводящая движение
копировального пальца.
В процессе обработки по
копиру обрабатываемое изделие вместе
с копиром и режущий инструмент
перемещаются в двух взаимно
перпендикулярных направлениях.
Движение изделия и копира
происходит непрерывно в одном и
том же направлении (в
горизонтальном) и носит название
задающей подачи.
Движение фрезы, воспроизводящей движение копировального
пальца, называется следящей подачей. Следящая подача
происходит по вертикали и может в зависимости от изменения контура
профиля или от рассогласования между фрезой и пальцем изменять
направление (вверх или вниз).
С помощью рис. III. 15 поясняется схема движения изделия и
фрезы.
При обработке поверхностей с ллавными изменениями профиля
скорость задающей подачи может быть постоянной. Универсальные
станки, рассчитанные на обработку разнообразных изделий, имеют
взаимносвязанное регулирование обеих подач.
Скорость следящей подачи зависит от величины рассогласования
между положениями фрезы и копира и от кривизны профиля.
Скорость задающей-подачи должна автоматически уменьшаться с
увеличением скорости следящей подачи. Для сохранения постоянной
Рис. 111.15. Схема движения
изделия и фрезы в копировально-фре-
зерном полуавтомате:
/ — шаблон (копир); 2 —
копировальный палец; 3 — обрабатываемое изделие;
4 — фреза; 5 — чувствительный элемент;
6 — усилитель; 7 — электродвигатель
задающей (горизонтальной) подачи; 8 —
электродвигатель следящей
(вертикальной) подачи.
98

результирующей скорости перемещения копирующего органа по
заданному профилю необходимо соблюдение соотношений
v3 = i>psina;
vc = ypcosa,
где v3 — скорость задающей подачи;
vc — скорость следящей подачи;
vp — результирующая скорость (задается режимом резания);
a — угол наклона
касательной к профилю.
Рассмотрим более подробно
схему следящей системы
полуавтомата, а также ее связь
с системой задающей подачи.
Принципиальная схема
следящей системы (одного канала)
показана на рис. III. 16.
По кривой поверхности
шаблона 1 скользит
копировальный палец 2, связанный
с якорем дифференциального
трансформатора 3. В среднем
положении якоря, которое
возможно при точно
согласованном размещении фрезы и
копировального пальца,
напряжения во вторичных
обмотках дифференциального
трансформатора равны и
противоположны по фазе. В этом
случае суммарное
напряжение трансформатора 4,
питающего входной каскад системы,
равно нулю. При этом по
обмоткам 5 и 6 управления
электромашинного
усилителя (ЭМУ) 7 протекают равные
и противоположные по знаку
токи; напряжение, развиваемое на щетках ЭМУ, равно нулю;
электродвигатель 8 неподвижен.
Пусть теперь, скользя по профилю модели, копировальный
палец поднялся на величину 8. Это означает, что между положениями
фрезы и пальца появилось рассогласование, равное е. Вместе с
пальцем поднимется и якорь, зазор между якорем и верхним
сердечником уменьшится, а между якорем и нижним сердечником
увеличится; э. д. с. верхней обмотки дифференциального
трансформатора увеличится, а нижнего — уменьшится. Абсолютная величина
Рис. III. 16. Принципиальная схема
следящей системы копировально-фре-
зерного полуавтомата
4*
99

разности этих двух э. д. с, питающая трансформатор 4, будет
приблизительно пропорциональна отклонению 8, а ее фаза будет зависеть
от того, к какому из сердечников — верхнему или нижнему —
приблизится якорь, т. е. от знака е. В цепи анода одной из
половинок двойного триода Л1 (именно в той половине, для которой
напряжение рассогласования будет совпадать по фазе с анодным
напряжением) анодный ток увеличится, а в другой половине
уменьшится.
Если бы схема не содержала корректирующих устройств,
разность между анодными токами была бы пропорциональной
отклонению е. Благодаря наличию корректирующих устройств эта
разность будет некоторой функцией как самого отклонения е, так и
его производной -^-. Не имея, возможности в настоящей главе
подробно исследовать зависимость разности анодных токов от е,
ограничимся общим указанием на то, что введение производных от
8 осуществляется дифференцирующими трансформаторами 9 и 10.
Эти мероприятия позволяют повысить устойчивость системы и ее
точность.
К сеткам ламп Л2 и Л3 подводится напряжение,
пропорциональное разности анодных токов лампы Лг, т. е. зависящее
от 8 и его производной. В анодную цепь ламп Л2 и Л3
включены встречно управляющие обмотки ЭМУ. Поэтому
создаваемое ЭМУ напряжение пропорционально разности анодных токов
ламп Л2 и Л3. Таким образом, напряжение, подводимое к
электродвигателю 8 от ЭМУ, будет функцией г и его производной.
Электродвигатель придет во вращение и осуществит перемещение
фрезы вслед за копировальным пальцем. Одновременно с фрезой
перемещается корпус, на котором помещены сердечники
дифференциального трансформатора 3. В результате этого сердечники
будут стремиться занять положение, симметричное относительно
якоря. При восстановлении симметрии движение подачи
прекратится.
При больших скоростях движения пальца по профилю, т. е.
при резких изменениях профиля необходимо уменьшить скорость
задающей подачи.
Для этой цели сеточная цепь входного каскада системы задающей
подачи связана с анодными цепями лампы Лх проводами / и //.
Напряжение между ними будет увеличиваться с возрастанием
рассогласования е и его производной.
Дополнительное воздействие по производной достигается тем,
что в цепь проводов I и II последовательно введены вторичные
обмотки дифференцирующих трансформаторов 9 и 10. Напряжение
между проводами подведено к системе задающей подачи так, что
оно запирает входную лампу этой системы.
Таким образом, скорость задающей подачи наибольшая при
отсутствии рассогласования. Она уменьшается как при увеличении
100

абсолютной величины рассогласования, так и при возрастании
скорости изменения угла рассогласования. Более детальное
исследование данной системы приведено в главе X, § 7.
8. ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕТАЛЛОРЕЖУЩИМИ СТАНКАМИ
Использование в технике быстродействующих вычислительных
машин создало широкие возможности применения вместо
копировальных полуавтоматов для обработки деталей сложной формы,
требующих изготовления модели изделия или специального чертежа,
выполненного с высокой точностью, станков, управляемых с
помощью перфокарт, перфолент или магнитных лент.
Применяемые в машиностроении сложные поверхности и кривые
описываются известными уравнениями или могут быть апроксими-
рованы по участкам плоскостями и прямыми линиями, или
поверхностями и кривыми второго порядка. Это дает возможность
сравнительно удобно программировать процесс определения координат
точек кривой и поверхности на вычислительных машинах. Поскольку
число точек, которыми должно задаваться положение рабочего
инструмента при достаточно высокой точности обработки,
получается исключительно большим, то на универсальных цифровых
машинах вычисляют лишь сравнительно небольшое число опорных
точек, которые обычно являются точками сопряжения кривых,
описываемых разными уравнениями. Эти данные выдаются в виде
первичной программы для последующей обработки на значительно
более простых вычислительных машинах, осуществляющих
интерполяцию между опорными точками и выполняющих некоторые
другие операции (управление скоростью инструмента, учет его износа
и т. д.). Использование машин подобного типа может быть двояким:
либо с их помощью обрабатывают первичную программу в местном
вычислительном бюро и записывают координаты всех точек кривых
на магнитную ленту, у станка же находится только управляющее
устройство, считывающее данные с ленты и преобразующее их в
перемещение инструмента; либо интерполятор входит в состав
управляющего устройства, расположенного у станка, и тогда станок
управляется непосредственно от первичной программы.
Первый вариант при современном состоянии вычислительной
техники более надежен, так как условия работы вычислительных
машин непосредственно у станка гораздо тяжелее, чем в
вычислительных бюро, но зато он требует гораздо большего количества
ленты для записи информации. Второй вариант менее надежен, но
требует гораздо меньшего объема информации.
Рассмотрим пример реализации первого варианта. При этом
предполагаем, что вся информация записана на магнитную ленту
в унитарном коде, т. е. в виде серии импульсов, причем реализация
каждого из импульсов приводит к перемещению рабочего
инструмента на определенную величину, называемую шагом. В современ-
101

ных системах программного управления величина одного шага
составляет 5 мкм в точных системах и доли миллиметра в менее
точных.
Удобство хранения и транспортировки ленты и значительно
большая простота процесса записи программы в сравнении с
процессом изготовления шаблона для копировального станка, а также
возможность получения исключительно высоких точностей состав-
Рис. III. 17. Упрощенная схема двух
координатной импульсно-фазовой си
стемы программного управления
фрезерного станка
ляют основные преимущества программного управления данного
типа.
На рис. III. 17 изображена упрощенная схема импульсно-фазовой
системы программного управления по двум координатам трехкоорди-
натным фрезерным станком. Обрабатываемую деталь /
устанавливают на столе 2 станка. Перемещение стола в горизонтальной
плоскости осуществляется от систем программного управления по двум
осям: вдоль оси л: и по оси z.
Учитывая одинаковость систем программного управления по
осям х и г, везде далее будем рассматривать систему подачи по
оси х.
Перемещение фрезы 3 производится с помощью системы
управления по вертикальной оси у.
Программа управления по координатам х и у записывается
на трех дорожках магнитной ленты: на двух из них — требуемые
102

перемещения, на третьей — контрольные импульсы (для проверки
правильности считывания числа записанных импульсов) [9].
Сигналы с ленты поступают в блок воспроизведения БВ, в который
входят считывающие магнитные головки и предварительные
усилители импульсов. Из БВ импульсы направляются в блоки
формирования БФ через схему контроля К. Последняя выдает сигналы в
случае пропуска импульсов по одной из координат. Блок
формирования выявляет знак поступающих с магнитной ленты импульсов,
по которому определяется направление движения электродвигателя.
Далее эти импульсы поступают на вход
импульсно-фазового-преобразователя ИФП. На другой вход блока ИФП поступают импульсы
от тактового генератора импульса Г. Последний питает также
эталонный канал, частота в котором будет всегда точно равна
частоте тактовых импульсов. Этот канал создает опорную частоту
импульсов.
На выходах эталонного канала и импульсно-фазовых
преобразователей сигналы преобразуются в синусоидальные напряжения,
которые через расщепители фазы ФР и фазовые дискриминаторы
ФД поступают в обмотки вращающихся трансформаторов ВТр,
связанных с ходовыми винтами 4, 5 подач станка.
Фазорасщепители предназначены для преобразования
однофазного напряжения в двухфазное, которое необходимо для работы
вращающегося трансформатора в режиме фазовращателя.
Обмотки статора ВТр питаются от фазорасщепителей; обмотки
роторов подключены ко вторичным обмоткам фазовых
дискриминаторов ФД.
В случае отсутствия сигналов на ленте от генератора Г
проходит одинаковая частота как по цепи ФР — ВТр — ФД, так и по
цепи ИФП — ФД, вследствие чего на выходе фазового
дискриминатора ФД управляющее напряжение будет равно нулю. Если с ленты
считываются положительные импульсы, то они, пройдя через БФ,
в импульсно-фазовом преобразователе будут складываться с
импульсами генератора Г. Вследствие этого на выходе произойдет
увеличение частоты (частотная модуляция), а на выходе ФД появится
управляющее напряжение, пропорциональное девиации частоты.
Отрицательные импульсы будут в ИФП вычитаться из
импульсов генератора Г. Это даст отрицательную девиацию частоты на
выходе ИФП и вызовет на выходе ФД появление управляющего
напряжения обратной фазы. Напряжение на выходе фазового
дискриминатора будет пропорционально частоте импульсов программы,
а полярность его будет определяться знаком импульсов.
Управляющее напряжение с выхода ФД усиливается в
управляющем устройстве УУ и подводится к электродвигателю
соответствующей подачи ЭДв, который приводит во вращение ходовой винт
подачи. Тахогенератор ТГ и корректирующее устройство КУ
осуществляют коррекцию в системе управления. Электродвигатель
будет вращать ходовой винт до тех пор, пока в результате поворота
103

ротора ВТ не произойдет компенсации фазового рассогласования
между импульсами, поступающими в фазовый дискриминатор.
Таким образом, ФД является элементом сравнения, выявляющим
разность между заданным фазовым углом (числом записанных
импульсов) и углом, пройденным фактически.
В некоторых системах программного управления фрезерными
станками используются импульсные преобразующие устройства.
Упрощенная схема системы управления по одной координате
изображена на рис. III. 18. Как и в предыдущей схеме, программа,
записанная на магнитной ленте 4, пропускается через считывающее
Фг'
ф
СУ
Рис. III. 18. Упрощенная
схема однокоординат-
ной импульсной системы
программного
управления фрезерного станка
устройство СУ. С выхода считывающего устройства сигналы
поступают в блок формирования импульсов ФЯ, который преобразует
импульсы в прямоугольные.
Синхронизаторы С разделяют во времени импульсы прямых
сигналов и п от импульсов обратной связи и$с г. Сигналы обратной
связи, пропорциональные истинному перемещению стола
фрезерного станка, в виде импульсов снимаются с преобразователя «вал —
цифра» ВЦ. Этот сигнал также проходит через блок ФИ.
При наличии рассогласования в числе задающих импульсов и*
и импульсов обратной связи и% на выходе реверсивного счетчика PC,
образуется сигнал разности Аи * = и % — и%с- Сигнал Аи *
поступает в преобразователь «цифра — напряжение» ЦН, где
импульсный сигнал преобразуется в непрерывный Аи. Знак
непрерывного напряжения Аи совпадает со знаком рассогласования Аи *.
Напряжение Аи, усиленное электронным ЭУ и электромашин-
1 В отличие от непрерывных, импульсные сигналы обозначены буквами
со звездочкой вверху.
104

ным ЭМУ усилителями, поступает к электродвигателю ЭДв,
приводящему во вращение через редуктор Р ходовой винт 5 подачи стола.
Электродвигатель будет вращать ходовой винт до тех пор, пока
в результате поворота преобразователя ВУ число отработанных
импульсов не станет равным числу заданных импульсов, т. е. Ди*=0.
Для обеспечения устойчивости цифровой следящей системы
фрезерного станка применена гибкая отрицательная обратная связь.
В нее входят: тахогенератор 7Т, вал которого связан с валом
электродвигателя, и корректирующее устройство /СУ.
9. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО АВТОПИЛОТА
На рис. III. 19 показана упрощенная схема электрического
автопилота ЭАП. Она может служить примером системы хвязанного
автоматического регулирования.
Электрический автопилот предназначен для поддержания
заданных курса, крена и тангажа самолета. ЭАП позволяет
стабилизировать положение самолета в горизонтальном полете, производить
подъем, спуск и планирование, плоские и координированные
развороты при различных режимах полета и т. д.[7]. Ниже будут
рассмотрены лишь те функции автопилота, которые относятся к
поддержанию курса, крена и тангажа. Чувствительным элементом,
воспринимающим отклонения от заданного курса самолета,
является гирополукомпас 1. Основной его частью является азимутально-
свободный гироскоп, ось которого направлена вдоль заданного курса.
При отклонении самолета от курса ось гироскопа и связанные
с ней с помощью рычага 3 ползунки реостатных датчиков курса 9
и поворота 8 в силу известного свойства гироскопа сохраняют свое
положение в пространстве, а корпус самолета вместе с
проволочными сопротивлениями датчиков 8 и 9 смещаются, в результате чего
происходит смещение ползунов относительно средних точек
сопротивлений, пропорциональное величине отклонения самолета от
заданного курса.
Чувствительным элементом, воспринимающим отклонения от
заданного в пространстве направления (например, от вертикали
или от горизонтальной плоскости), служит гировертикаль 2.
Основной ее частью является свободный гироскоп, ось которого
перпендикулярна горизонтальной плоскости. Гировертикаль связана с
ползунками реостатных датчиков по двум осям. При отклонении
оси самолета от горизонта в продольной оси происходит
относительное смещение ползунка датчика тангажа 7; при отклонении самолета
в горизонтальной плоскости возникают относительные смещения
ползунков датчиков крена 4, 5 и 6.
Регулирующими органами самолета являются рули поворота 15,
высоты 17 и элероны 16, а исполнительными элементами,
управляющими положениями рулей, — рулевые машинки курса, тангажа и
крена.
105

Рис. 111.19. Упрощенная схема электрического автопилота ЭАП

Рассмотрим работу какого-либо одного из трех каналов
управления, учитывая, что действия двух других каналов аналогичны.
Рулевая машинка каждого из рулей связана с потенциометри-
ческим датчиком обратной связи. Основной потенциометрический
датчик / (рис. II 1.20) соединен с соответствующим датчиком обратной
связи 3 по мостовой схеме. Диагональ моста подключена к
усилителю (на рис. III. 19 усилители обозначены номером 10). Когда
происходит отклонение самолета от заданного направления полета,
ползунок основного датчика смещается. В диагонали моста
появляется напряжение. В результате этого срабатывает
соответствующее электромагнитное реле на выходе усилителя, которое своими
контактами замыкает цепь
электромагнитной муфты 11, барабан 12
соответствующей рулевой машинки
сцепляется с валом непрерывно
вращающегося электродвигателя
постоянного тока 13.
Наматывающиеся на барабан (или
сматывающиеся с него) тросы начинают
поворачивать соответствующий
руль самолета и перемещать
одновременно щетку потенциометра
Обратной СВЯЗИ 14. Когда щетка Рис. III.20. Мостовая схема
потенциометра обратной связи сме- автопилота
стится на столько же, насколько
сместилась щетка потенциометрического датчика, напряжение в
диагонали моста станет равным нулю и движение данного руля
прекратится. При этом руль будет повернут на угол, необходимый
для поворота самолета на заданное направление, и самолет начнет
возвращаться к заданному направлению под действием
аэродинамического момента. При этом щетка основного датчика будет, по мере
устранения рассогласования, возвращаться к среднему положению,
а это повлечет за собой действие рулевой машинки в обратном
направлении и к повороту руля в исходное нейтральное
положение.
Выходные каскады автопилота, начиная от усилителей 10 и
кончая рулевыми машинками, совершенно идентичны, входные же
несколько отличаются друг от друга. Ползунок датчика курса
связан с гирополукомпасом не жестко, а с помощью пружины 18
и демпфера 19. Благодаря такой связи ползунок получает, кроме
перемещения, пропорционального отклонению от курса,
дополнительное перемещение, примерно пропорциональное первой
производной отклонения по времени. Кроме того, во всех каналах, кроме
основных потенциометрических датчиков, предусмотрены
дополнительные датчики, осуществляющие связанное регулирование по
различным осям между собой, т. е. необходимую координацию
действия всех трех рулей.
Г » "W у -у 4 Х^ Y
ТЕ
>
107

Вспомогательные датчики 2 включены по схеме, показанной
на рис. 111.20.
Такое включение обеспечивает алгебраическое сложение
сигналов основного и дополнительного датчиков на входе усилителя 10.
В канале управления курсом такими вспомогательными датчиками
служат датчики крена и разворота (осуществляемого лётчиком
вручную). В канале управления креном установлены
дополнительные датчики поворота и разворота (датчик поворота отличается от
датчика курса тем, что его отклонение пропорционально только
отклонению от курса, но не зависит от первой производной).
В канале управления тангажом установлен дополнительный
датчик крена.
Связывание каналов управления вызвано тем, что при движении
самолета его крен, например, вызывает одновременно поворот и
изменение тангажа, и наоборот.
10. РЕГУЛИРОВАНИЕ МНОГИХ ВЕЛИЧИН
ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОМ УПРАВЛЕНИИ ПЕРЕГОНКОЙ НЕФТИ
Выше был рассмотрен пример системы автоматической
стабилизации самолета, состоящей из трех взаимосвязанных систем
автоматического регулирования.
Однако встречаются такие процессы управления производством,
в которых необходимо осуществлять одновременное регулирование
большого количества переменных.
Примером может служить процесс перегонки нефти. Так,
современные нефтеочистительные заводы при перегонке нефти
используют информацию о температуре, давлении, расходе и составе
нефтепродуктов, получаемую от 200 датчиков. Время, отводимое
на их опрос, составляет примерно 10 мин. С помощью этой
информации в системе вырабатываются сигналы управления 30
различными регуляторами.
Рассмотрим вкратце процесс регулирования режима
ректификационной колонны для фракционной перегонки нефти (рис. II 1.21)
[5]. В колонне нефть разделяется на фракции, т. е. на части,
кипящие в заданном интервале температур. Фракции в колонне
располагаются слоями. На рисунке показаны блок-схемы регулирования
лишь двух фракций: наиболее легкой — верхней и наиболее
тяжелой — нижней. В колонну поступает сырье, подлежащее перегонке.
Скорость потока должна поддерживаться на определенном уровне.
Цепь регулирования потока сырья (цепь /) включает в себя диа-
фрагменный датчик расхода сырья ДРСУ который воздействует
на регулятор расхода сырья РРСУ управляющий регулирующим
органом РОС (вентилем).
Цепь регулирования температуры нижней части колонны (цепь 2)
состоит из измерительного элемента датчика температуры ДГ,
108

который воздействует на регулятор температуры РТ, управляющий
открытием регулирующего органа температуры РОТ (вентилем
подачи горячего пара в куб К).
При нагревании фракции до определенной температуры
последняя начинает кипеть. Из верхней части колонны пары легкой
Мазут
Рис. II 1.21. Схема регулирования режима ректификационной
колонны для фракционной перегонки нефти
фракции (бензин) поступают в конденсатор КНДУ где
конденсируются, и в виде жидкой фазы собираются в аккумуляторе Л.
Давление паров в верхней части колонны регулируется с помощью
датчика давления ДД, воздействующего на регулятор давления
РД, который управляет регулирующим органом давления РОД —
вентилем подачи в конденсатор охлаждающей воды.
Из аккумулятора бензин насосом направляется по двум путям.
Часть его возвращается в верхнюю зону колонны в качестве флегмы.
Обратный переток регулируется цепью: датчик перегона ДП,
регулятор перетока РП, регулирующий орган (вентиль) перетока РОП.
Другая часть бензина (готовый продукт) направляется в бензохра-
109

йилище. Поступление в бензохранилище регулируется регулятором
уровня РУ1у воздействующим на регулирующий орган РО. Другие
фракции отбираются с промежуточных слоев (тарелок) колонны.
Из нижней части колонны отводится наиболее тяжелая фракция
(мазут). Ее поступление во внешний резервуар также регулируется
регулятором уровня РУ2.
В данном примере каждая из изображенных цепей
регулирования представляет собой цепь регулирования одной переменной,
на первый взгляд совершенно изолированной, не связанной с
другими цепями регулирования. Но на самом деле все цепи
регулирования связаны между собой динамикой процесса перегонки, что
приводит к существенным затруднениям при регулировании. Так,
если по каким-либо причинам увеличится поступление нефти в
колонну, то это вызовет понижение температуры в нижней ее части
и уменьшение давления. Одновременно с этим происходит
повышение уровня нижней фракции и уменьшение уровня верхней
фракции. Таким образом возникнет переходный процесс изменения всех
переменных, пока колонна не придет в новое состояние равновесия.
В ряде случаев простое присоединение на связанных между собой
регуляторов отдельных величин не обеспечивает устойчивого
регулирования. Поэтому для того чтобы компенсировать действия
внутренних связей между переменными через объект, во многих
случаях приходится вводить дополнительные внешние связи между
регуляторами.
Одним из простейших примеров связывания регуляторов может
служить их каскадное (последовательное) включение. Обычно
целесообразно бывает принять за условную нагрузку быстроизме-
няющуюся переменную и сделать регулятор по ней основным,
а более медленный регулятор использовать для изменения
уставки «основного» регулятора. Так, в рассматриваемом примере
регулирование скорости обратного перетока в верхней части колонны
имеет основной целью косвенное регулирование температуры
верхней фракции. Изменения скорости обратного перетока приводят
к быстрому изменению температуры, но это регулирование будет
грубым, так как температура зависит еще и от многих других
факторов, но изменения температуры, вызываемые этими факторами,
происходят медленно. На рис. II 1.21 приведена схема каскадного
включения регуляторов, в которой регулятор температуры РТ
сравнительно медленно изменяет уставку регулятора перетока.
При соизмеримых значениях степени влияния нескольких
факторов и соизмеримых постоянных времени процессов более
целесообразно осуществлять параллельное связывание, при котором
чувствительные элементы нескольких регуляторов действуют на
вход одного усилителя.
Подобрав соответствующим образом связи между регуляторами
и воздействиями по нерегулируемым возмущениям, можно
получить удовлетворительное качество регулирования по всем пере-
110

менным и в некоторых случаях добиться компенсации воздействия
ряда связанных величин на данную регулируемую величину.
Однако действительно оптимальное управление процессом
перегонки нефти, дающее максимально возможный экономический
эффект, практически невозможно без использования цифровой
вычислительной машины, координирующей действие регуляторов.
Цифровая вычислительная машина в процессе управления решает
три уравнения: срока службы катализатора, октанового числа и
t t t t t м м 11
Управляющая цифровая вычислительная машина
ВУ
Рис. 111.22. Схема управления ректификационной колонны для фракционной
перегонки нефти с помощью УВМ
выхода бензина. Максимум выхода бензина определяется
вариационным методом. Схема регулирования ректификационной
колонны для перегонки нефти с управляющей цифровой
вычислительной машиной показана на рис. III.22. Информация отдатчиков
давления ДД, температуры ДТ, расхода сырья ДРС, выхода
бензина ДКБУ перетока жидкости ДП, качественного состава ДКС
поступает через систему преобразований «напряжение — цифра» НЦ
на УВМ. После выполнения расчетов на машине с ее выходных
регистров через преобразователи «цифра — напряжение» ЦН выдаются
команды управления различным регуляторам (РОС, РП, РОП,
РОД)у назначение которых было описано выше.
На выходе вычислительной машины включены выводное
устройство ВВУ, с помощью которого регистрируется информация о ходе
процесса перегонки нефти и эксплуатационных расходов завода.
Ш

Решение проблем оптимального управления процессом перегонки
нефти является предметом теории управления и не входит в задачи
настоящей книги. Теория регулирования дает методы
проектирования отдельных систем регулирования, входящих в систему
управления, а не всей системы в целом. Это же замечание относится к
системе автоматического управления прокатным станом,
рассматриваемым в следующем параграфе.
11. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕВЕРСИВНЫМ ПРОКАТНЫМ
СТАНОМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦИФРОВОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
В настоящее время в прокатном производстве также стали
применяться управляющие цифровые вычислительные машины УВМ,
позволяющие полностью автоматизировать управление прокатными
станами.
Система управления прокатным станом с управляющей
вычислительной машиной позволяет вести процесс прокатки по
оптимальному режиму, учитывающему производительность и износ стана.
В управляющую вычислительную машину вводятся параметры
слитка, желаемые размеры листа, перегрузочная способность стана,
максимально допустимое обжатие, дуга захвата, текущие параметры
прокатываемого листа (размеры, температура и т. д.) [2].
На основе применения управляющей вычислительной машины
можно создать системы комплексной автоматизации прокатного
производства.
Рассмотрим систему программного управления реверсивным
прокатным станом [10], упрощенная схема которой показана на
рис. II 1.23. Стан прокатывает слябы весом до 28 т на листы шириной
5 м, длиной 42 м и толщиной 5—380 мм.
Перфораторное устройство 20 посылает импульсами данные
о слябе (марка стали, размеры сляба, его температуры, желаемые
размеры листа) в память вычислительной машины 21.
Вычислительная машина рассчитывает режим прокатки: необходимое число
пропусков, величину обжатия в каждом пропуске и моменты
времени реверсирования главного привода. При вычислении режима
прокатки учитываются допустимое давление на валик, изменение
температуры прокатываемого листа.
Процесс прокатки на стане с программным управлением
производится следующим образом. Сляб / из печи 8 поступает на
рольганг 9. Управление рольгангом производится вычислительной
машиной 2/, с помощью преобразователей «код—аналог» и «аналог—
код», панели управления 19 и электроприводов 10.
Сляб, перемещаясь по рольгангам, поступает на устройство
для ломки окалины 14, которое управляется с помощью нажимных
винтов 4 и привода 13. Сигналы от УВМ 21 поступают через панели
управления на преобразователи. При этом происходит операция
чернового пропуска сляба. Далее производится кантовка сляба на 90°
112

Рис. II 1.23. Упрощенная схема программного управления реверсивным прокатным станом

с помощью кантователей // и уширительные пропуски сляба.
Управление кантователями 11 и обжимными винтами 4 стана
выполняется по командам от УВМ через панели управления 19 и
электроприводы 12,4. Главный привод 15 валков 16 и привод отводящего
рольганга 17 также управляются от УВМ.
Затем снова производится кантовка на 90° и прокатка металла
до требуемого размера листа. Размеры листа при его толщине свыше
50 мм контролируются по усилию прокатки мессдозой 7 и
индикаторами положения валков 3. При толщинах листов, меньших 50 мм,
контроль осуществляется радиационным микрометром 5. Длина
листа измеряется специальными приборами 6. Выход
прокатываемого листа контролируется датчиками 2.
Информация с приборов контроля через преобразователи
«аналог — код» и панели управления 19 поступает на УВМ, где она
используется для выработки команд управления.
Применяемая в этой системе УВМ имеет следующие основные
данные: двоичная система счисления; параллельное одноадресное
арифметическое устройство на 18 разрядов; ферритовое
запоминающее устройство на 4096 чисел, со временем обращения 4 мксек.
Скорость счета вычислительной машины при сложении 12 мксек,
при умножении 38 мксек. Время опроса 75 входных каналов
составляет 1 сек. Наряду с оперативной памятью в машине имеется
барабанное запоминающее устройство на 64000 чисел со временем
обращения 8300 мксек.
В системе также предусмотрено ручное управление, которое
осуществляется от специального пульта 18.
Все цифровые следящие системы реверсивного прокатного стана
с программным управлением выполняются по единой типовой схеме,
которая показана на рис. II 1.24. На управляющей цифровой
вычислительной машине рассчитывается программа прокатки с учетом
изменения температуры и действительных значений давления.
После окончания расчетов на УВМ с ее выхода напряжения уставок
и *, и% ,..., Um поступают на цифровые сумматоры (на рис. II 1.24
цифровой сумматор обозначен 2 *), где сравниваются с
соответствующими цифровыми сигналами устройств управления.
Напряжения уставок изменяются в процессе прокатки и после
соответствующего пропуска листа поступают на входы
сумматоров.
Рассмотрим принцип работы цифровой следящей системы
применительно к устройству управления нажимными винтами (см.
рис. III. 24). Напряжение уставки и* с выхода УВМ поступает на
цифровой сумматор 2 *, где сравнивается с цифровым напряжением
преобразователя В — Цг и *в9 измеряющим истинное положение
валков. Образующая напряжения ошибки Аи * = и * —и %
поступает на преобразователь «цифра — напряжение» Ц — Н1 и
управляющую матрицу УМЛ. В зависимости от величины ошибки
матрица формирует закон управления.
114

При значительном напряжении рассогласования сигнал и*
через цифровой сумматор и управляющую матрицу поступает на
релейное устройство РУХ (выключатель Вх разомкнут).
Максимальное напряжение с выхода РУг поступает через усилитель привода
УПг на электропривод ЭПр1 механизма нажимных валков. Валки
перемещаются с максимальной скоростью, и через преобразователь
«вал — цифра» В — Цг сигнал обратной связи поступает на
сумматор. Угол рассогласования уменьшается: управляющая матрица
включает ползучую скорость ЭПр1 (примерно равную 30% от
максимальной скорости). После замыкания выключателя Вх напря-
Ге7
\ш
УВМ
К механизму
нажимных балков
\
*"^2 1 К цифровым сумматорам
> ц*) следящих систем
1 W/7?
Г (I*)
13f}pi Ьк
К механизму
манипуляторов
Рис. II 1.24. Блок-схема двух каналов цифровых следящих систем
(управлением нажимных винтов и манипуляторов) реверсивного прокатного стана
жение рассогласования от преобразования Ц — Нх поступает на
электропривод управления механизма нажимных валков,
обеспечивая линейный закон изменения скорости. При этом существенно
повышается точность установки механизма нажимных валков. Если
не требуется высокая точность установки манипуляторов, то
линейный закон управления в следящих системах исключают. В этом
случае двухрежимный закон управления электропривода обеспечивается
релейным устройством РУт, усилителем УПтУ электроприводом
ЭПрт режима максимальной и ползучей скоростей, а также
преобразователем «вал-цифра» В—Цт. Цифровая следящая система
управления манипуляторами выделена на рис. III.24 штриховой линией.
В систему комплексной автоматизации блюминга входит
несколько полупроводниковых управляющих цифровых
вычислительных машин УВМ и главная вычислительная машина ЦВМ,
управляющая всем процессом проката (рис. II 1.25).
Управляющая цифровая вычислительная машина УВМХ
управляет нагревательной печью /. Клещевыми кранами 2 управляет
115

Рис. 111.25. Упрощенная схема системы комплексной автоматизации прокатного цеха с помощью цифровых
вычислительных машин

УВМ2, а средствами транспортировки блюмсов 3 управляет
вычислительная машина УВМ3.
Система управления блюмингом 4 состоит из нескольких
автоматических систем: взвешивания блюмсов САУЪ управления
рольгангами САУ2, очистки окалины САУ3> управления манипуляторами
СЛУ4иСЛУ7, нажимными винтами САУЪи главным приводом САУв.
Все эти системы получают команды управления от вычислительной
машины УВМ±. Системы автоматического управления САУ8, САУ10
и САУп обеспечивают обрубку (позиция 5), резку (позиция б),
маркировку (позиция 7). Команды управления вырабатываются
вычислительными машинами УВМЬ, УВМе и УВМ7. С помощью
управляющей вычислительной машины УВМ8 производится управление
размещением готовой продукции на складе (позиция 8).
Информация о наличии блюмсов в печах, их размеры, температура, желаемые
типы проката поступают на ЦВМ, где производятся вычисления
программ для корректировки УВМ. Кроме того, на ЦВМ поступает
информация о количестве окалины (позиция 10), обрезках металла
(позиция 9; САУ9) готовой продукции, поступающей на склад
(позиция 5), а также о расходе электроэнергии, времени работы рабочих,
техников и инженеров, обслуживающих блюминг. На ЦВМ
производится вычисление стоимости процесса прокатки, рассчитывается
заработная плата сотрудникам и производятся другие
экономические расчеты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьев В. Д. Электропривод автоматических летучих ножниц.
Госэнергоиздат, 1962.
2. Белостоцкий А. А., Вальденберг Ю. С,
Меркурьев Л. И. Применение вычислительных машин для автоматизации
производственных процессов. Изд-во «Энергия», 1964.
3. Гаркави Ю. Е., Смирнов М. И. Регулирование гидротурбин.
Машгиз, 1954.
4. Герценберг Г. F. Автоматический регулятор напряжения для
гидрогенераторов с ионной системой возбуждения для Волжской ГЭС имени
В. И. Ленина. «Вестник электропромышленности», 1961, № 6.
5. Карпов П. П. Переработка нефти. М. — Л., Гостоптехиздат, 1953.
6. Наземные американские и английские радиолокационные станции.
Воениздат. 1947.
7. ПельпорД. С. Гироскопические приборы и автопилоты. М., Изд-во
«Машиностроение», 1964.
8. Попов А. Ф. Системы управления и контроля ядерных реакторов
электростанций. Госэнергоиздат, 1961.
9. ШадринВ. Н. Фазовое управление от магнитной ленты. Библиотека
по автоматике. Изд-во «Энергия», 1964.
10. Browning Е. Н., С о и г с о и 1 a s I. H., Computer Control for
the steel industry, VVestinghouse Engr, 1961, V. 21, N 5.

ГЛАВА IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для решения любой задачи, связанной с анализом динамики
систем автоматического регулирования, необходимо прежде всего
составить дифференциальные уравнения или дать математическое
описание исследуемой системы.
Основная цель настоящей главы состоит в рассмотрении общих
дифференциальных уравнений систем автоматического
регулирования.
Различают два рода уравнений: установившихся режимов, или
уравнения статики, и переходных процессов, или уравнения
динамики процесса регулирования.
Уравнения установившихся режимов, при которых
возмущающие воздействия и величина нагрузки принимаются постоянными,
обычно являются алгебраическими уравнениями, чаще всего
линейными.
Уравнения динамики процесса регулирования обычно являются
дифференциальными или интегро-дифференциальными. Для систем
с распределенными параметрами уравнения динамики получаются
в частных производных. Они определяют поведение системы
автоматического регулирования в переходном процессе при действии
возмущающих сил или после прекращения их действия.
Для составления уравнений динамики система регулирования
разбивается на элементы (звенья), и для каждого из них составляется
соответствующее уравнение на основании того физического закона,
который определяет процесс, протекающий в данном элементе.
Совокупность уравнений динамики, составленных для всех элементов
системы, определяет процесс автоматического регулирования.
В ряде случаев задачу составления дифференциальных уравнений
процесса регулирования облегчает применение уравнений Лаг-
ранжа второго рода, составленных для обобщенных координат
системы. Этот метод целесообразно использовать тогда, когда
составление выражений кинетической и потенциальной энергии системы
и диссипативной функции не представляет затруднений.
118

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим динамическую систему с конечным числом степеней
свободы, имеющую к обобщенных координат хъ лг2,..., хк, и
предположим, что все связи этой системы не зависят от времени и что
среди них нет неинтегрируемых дифференциальных связей. Вообще
говоря, обобщенные координаты могут иметь размерность, не
обязательно совпадающую с размерностью длины, протяженности.
Точно так же и размерность обобщенных сил, действующих на
обобщенные координаты, может отличаться от размерности силы.
Обобщенные силы могут иметь размерность момента, давления,
напряжения и т. п.
Если динамическая система обладает запасом кинетической
энергии 7\ то ее движение может быть описано системой
дифференциальных уравнений Лагранжа.
Уравнения Лагранжа могут быть получены из вариационного
принципа Гамильтона. Согласно этому принципу всякая
динамическая система, находящаяся под влиянием консервативных сил,
движется таким образом, чтобы минимизировать среднее значение
по времени разности между кинетической и потенциальной
энергиями, т. е. h
Ь\ (T — V)dt = 0, (IV. 1)
где Т (xh xt) — кинетическая энергия;
V (хд — потенциальная энергия.
Если ввести функцию Лагранжа
L = L (xh xt) = Т (xh xt) - V (*,), (IV.2)
то принцип Гамильтона [формула (IV. 1)] можно представить в виде
h
\ 6Ldt = 0. (IV.3)
h
Учитывая выражение (IV.2), запишем
бЬ = 2"ёг6^'+2-йгбл:г- (iv.4)
i i
Подставляя выражение (IV.4) в формулу (IV.3) и полагая
8xt = 0 при t = tx и t = t2, найдем
ti ti i ti i
i ti ti i
-te-*(&)]•**• (,v-5)
119

Так как число обобщенных координат xt равно числу степеней
свободы и так как 8xt не зависят от времени, то уравнения (IV.5)
справедливы лишь в том случае, если выражения в скобках равны
нулю, т. е. d (dL\ dL п . t Q /TV a.
Wtej—3Sr = 0; ' = 1.2f...fic. (IV.6)
Уравнения вида (IV.6) называются уравнениями Лагранжа.
Необходимо подчеркнуть, что уравнения Лагранжа не зависят от
выбора координат, т. е. они сохраняют свой вид или, другими
словами, остаются инвариантными при переходе от одной системы
координат к другой.
Учитывая выражение (IV.2), уравнения (IV.6) можно переписать
в следующем виде:
d ( дТ\ дТ dV • 1 о п\т тч
ж[1Щ)-1^==-^ ' = 1.2, ...,/с. (IV.7)
Уравнение (IV.7) можно рассматривать как частный случай
уравнений Лагранжа второго рода:
где Qi — обобщенные силы.
В случае использования уравнения (IV.7)
Обобщенные силы, определяемые последним равенством и
зависящие только от обобщенных координат xh, называются силами,
имеющими потенциал.
В качестве простого примера, поясняющего применение
уравнений Лагранжа, рассмотрим, пренебрегая силой трения,
элементарную механическую систему, состоящую из груза с массой т,
подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости k.
Кинетическая энергия движущейся массы
Т = ~ mi2,
а потенциальная энергия пружины
х
V= ^kxdx = ~kx2.
о
Подставляя найденные выражения для Г и У в уравнение (IV.7),
найдем следующее дифференциальное уравнение рассматриваемой
системы:
m% + kx = 0.
Система уравнений (IV.8) описывает поведение консервативной
динамической системы, в которой рассеяние энергии отсутствует.
120

Однако во всех системах автоматического регулирования
действуют силы трения и имеет место рассеяние энергии. Диссипатив-
ные силы или силы вязкого трения QR, пропорциональные скорости,
могут быть определены через функцию рассеяния энергии JR:
о -_i*
В общем случае, когда в системе действуют обобщенные силы Qv,
имеющие потенциал У, обобщенные диссипативные силы QR и
внешние силы fi (t), уравнения движения принимают вид
Кинетическая энергия Т представляет однородную
квадратичную положительно определенную форму от обобщенных скоростей,
в которой коэффициенты в общем случае являются функциями
координат. Таким образом, можно записать выражение
кинетической энергии в следующем виде:
к к
где ти = тп.
Коэффициенты т,ц носят название коэффициентов инерции.
Потенциальная энергия V в первом приближении представляет
положительно определенную квадратичную форму относительно
обобщенных координат:
к к
v = 2.2 2 v<*/.
i=iy=l
где
ч dxi dxj *
В данном случае все производные вычисляются в положении
равновесия при Xi = Xj = 0 и, таким образом, являются постоянными.
Функция рассеяния, или диссипативная функция /?, является
положительно определенной квадратической формой от
обобщенных скоростей системы и имеет вид
к к
# ^ -2 21 2j ^v*****
При %ij — %л производные функции рассеяния по скорости,
взятые с обратным знаком, равны обобщенным диссипативным
силам.
Функция рассеяния R характеризует собой скорость
рассеяния энергии в системе. Работа сил сопротивления, пропорциональ-
121

ных скорости, в единицу времени численно равна функций
рассеяния R, взятой с обратным знаком.
Если 1и = — lJb то получается 1и = 0. При этом R = 0,
несмотря на то, что в системе действуют силы, пропорциональные
обобщенным скоростям. Такие силы называются гироскопическими
силами. Эти силы не производят работы, так как они действуют
перпендикулярно направлению движения точки, на которую они
действуют. Примером таких сил являются гироскопические силы,
возникающие при вращении тел, силы Кориолиса, а также
электромагнитные силы, действующие на заряженную частицу,
движущуюся в магнитном поле.
Уравнения Лагранжа (IV.9) в общем случае переходят в систему
к нелинейных уравнений второго порядка вида
Xi {U *i, *i> *i, .. -, хК9 хКу хк} = 0; / = 1, 2, ..., /с. (IV. 10)
2. ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Уравнения, описывающие систему автоматического
регулирования, состоят из следующих трех групп уравнений: уравнений
объекта регулирования, уравнений регулятора и уравнений ошибки.
щ№У
It,
Щ
Uzzi
пнШ
ft(U
\fN(U
\ПкШ
IlL
С2р
гпр
Ыщ
XfS
*2S
xns
Рис. IV.1. Общая структурная схема п-мерной системы
автоматического регулирования
Объект регулирования в общем случае представляет собою
динамическую систему, описываемую матрицей обобщенных
координат xiK, которую мы обозначим через х (t). Итак,
x(t)
xn{t), ..
*2l(0> •■
xls
*2S
(0
4s (0
(IV.ll)
122

xns (f), входящие в последний столбец, уело-
Переменные хи,
вимся считать регулируемыми, или выходными переменными
(рис. IV. 1). Они образуют матрицу-столбец или вектор:
x(t)=xs(t)-
*i*(0
*2S (О
Xnsty
(IV.12)
Векторная функция x(f), определяемая выражением (IV. 12),
называется вектором состояния объекта
регулирования.
Векторные функции:
Хк (/) =
Х\к {t)
Х2к (t)
Хпк \t)
(к=1, 2, ..., s-1),
(IV.13)
образующие остальные s — I столбцов матрицы (IV. II), называются
промежуточными векторными переменными объекта.
Регулятор, так же как и объект регулирования, в общем случае
представляет собою динамическую систему, описываемую матрицей
обобщенных координат:
r{t) =
г и it), ..
r„i(0> ••
.. rlp(t)
.. rtp(t)
.. rnp{t)
(IV. 14)
Переменные rlp (f), ..., rnp (f), входящие в последний столбец,
являются выходными переменными регулятора и одновременно
входными переменными объекта. Они называются также
регулирующими воздействиями и образуют матрицу-столбец или вектор
регулирования:
r(t) = rp(t):
'ip (О
(О
<2р
' пр
(О
(IV. 15)
Следует заметить, что только переменные rip (t) являются теми
из обобщенных координат регулятора, которые входят не только
в уравнения регулятора, но и в уравнения объекта регулирования.
Объект регулирования находится под влиянием возмущающих
воздействий fj (t).
123

Таким образом, общие уравнения объекта регулирования,
учитывая выражение (IV. 10), можно представить в следующем
виде:
*/{М0> МО, МО. ..-> М0>~М0> МО; МО, Fp(f)9 rp(0} =
= /,(*); /=1, 2, ..., V(=nx5). (IV.16)
Если предположить, что в процессе регулирования объект
непосредственно не оказывает обратной реакции на регулятор, а
воздействует на него лишь через обратную связь и элемент сравнения,
т.е. что регулятор является системой направленного действия, то
уравнения регулятора не будут содержать обобщенных координат
объекта xiK (t). Внешними воздействиями для регулятора являются
сигналы ошибки, число которых равно числу регулируемых
переменных, т. е. п. Кроме того, к регулятору могут быть приложены
возмущающие воздействия rij (t), которые принято называть
помехами.
Учитывая сказанное, уравнения регулятора можно записать
в виде
Rj ft (0. ?г (0. К (0. ..., гр (0, ?р (0, Ь (0} = Nj {г)
/ = 1, 2, ..., |х(= лхр),
где
Г\к (0
Г2к (0
I
Гпк (0
МО;
(IV.17)
МО'
(к=19 2,...р).
Функции Nj {e}, определяющие входные воздействия на
регулятор и зависящие от составляющих ошибки, иногда называются
законом регулирования. Они отличны от нуля лишь
для п уравнений (IV. 17), общее число которых равно пр.
Наконец, третьей группой уравнений являются уравнения
ошибок:
M*) = */te«W, *isV)}> (IV.18a)
которые обычно сводятся к виду
МО = МО ~ МО; (i=U 2, .
или в векторной форме:
?(o = i(o-*(o-
124
.., п)
(IV.186)
(IV.18)

Итак, общие уравнения системы связанного зависимого
автоматического регулирования (рис. IV. 1) имеют вид:
1) уравнения объекта регулирования
Xjfc®, £(/), *7(0. .... *Д0. £(0, *Л0. УР{(), fpit), М0} =
= /,(0; /=1, 2, .... v(=nxs); (IV.19)
tl
ф
н
1
<э—'м.
-<^-с
%
гпр
й... • I/,
k*w|
*AJ
*25
—^
*/w
Рис. IV.2. Структурная схема /г-мерной системы
несвязанного регулирования
2) уравнения регулятора
Rj {гг (0, ?i (0. ?i (0; • • •; ^(0, ?РЮЛV)} = #/ W + П] (/);
/= 1, 2, ..., ц(=лхр); . (IV.20)
3) уравнения ошибок
*/ (0 = ft W - */, (0; i = 1■ 2, ..., п. (IV.21)
В случае систем несвязанного регулирования уравнения
регулятора (IV.20) упрощаются, т. е. они распадаются на п взаимно
независимых систем уравнений, каждая из которых описывает
h
£/
>
>
12 ЧрЧ
\ ^ _ ЧИ ^ N.
Пр
4s
Рис. 1V.3. Структурная схема регулятора, состоящего
из звеньев направленного действия без внутренних
обратных связей
один из п каналов регулирования или один из одномерных
регуляторов (рис. IV.2), т. е. таких регуляторов, каждый из которых
имеет свой собственный канал формирования регулирующего
воздействия rip (t).
Дальнейшее упрощение уравнений регуляторов можно
получить, если учесть их характерную особенность, как динамических
систем. Последняя заключается в том, что они обычно состоят из
простых элементов или звеньев направленного действия (рис. IV.3).
125

Каждое из таких звеньев описывается в большинстве случаев
уравнением не выше второго порядка, в которое входят лишь две
переменных: обобщенная координата или выход рассматриваемого звена,
например ги- (/), и обобщенная координата или выход
предшествующего звена rh j_t (t), являющаяся для рассматриваемого звена
внешним воздействием. Поэтому уравнения, например, i-ro канала
регулятора, описываемого обобщенными координатами rn, ri2l ...,
ripj пренебрегая помехами, можно представить в виде
д±Ф\
nt
>
Rn {Гц, Л-1, rn] = Nt {8,};
RipVip-i ripi ripl = ri.p-l\4- I
Гш
(IV.22)
rtf£(1
KH >РФ*
>
< H
>
1 A <
>
rtp
Рис. IV.4. Структурная схема регулятора, имеющего внутренние
обратные связи
Если регулятор имеет внутренние обратные связи (рис. IV.4),
то некоторые из уравнений (IV.22) принимают вид
Rite yiKi fiKi fircf — &ifC9
где
в* = /-,,*_!-г*. (IV.23)
В случае несвязанных и независимых систем автоматического
регулирования на п независимых систем уравнений разделяются
не только уравнения регулятора, но и уравнения объекта
регулирования (рис. IV.5). Таким образом, n-мерная несвязанная
и независимая система может рассматриваться состоящей из п
одномерных систем, каждая из которых описывается следующими
уравнениями:
г'-го канала объекта регулирования
X-iK\Xiii Хц> Хц> .♦., Xisi Xis, Xisi rp, Kp, Гр\ —/« й',
1, 2, ..., s;
(IV.24)
1-го канала регулятора
Ri*{r,i> Л-i. Гц rip, ^p,-rip} = Nbc{B) + nlK(t); (IV.25)
126

ошибки
в/(О =£,W-*/*(/). (IV.26)
Отличие уравнений (IV. 19) — (IV.21) от уравнений (IV.24) —
(IV.26) состоит в том, что в первые входят векторные функции ~xt (t)
и rt (t), а в последние — скалярные функции xiK (t) и rifC (t).
о ft)
щ.
1
g2(t)
W
\ и
J
\
c,>i r"
*l K-U...P
-»jC\_
-^J«|,.,
/
>«
^
^2 1
{
:
»£
N
i
Ei
5НЧ
i
, £ft
r^
?пц
x1x
K=f,'L.3 f
*tf
jAfj
1 1 **~
1 r^
1 1 *
Рис. IV.5. Структурная схема n-мерной несвязанной
независимой системы автоматического регулирования
В частном случае системы с одной регулируемой величиной
(рис. IV.6) необходимость в значке i в уравнениях (IV.24) — (IV.26),
^е
=А
J *
k=f,2...p
r(t)
X
xtt)
Рис IV.6. Одномерная система
автоматического регулирования
обозначающем номер канала, отпадает и уравнения принимают вид:
объекта регулирования
Ак \Х1) Xly Xi9 . . . , XS1 XSi Xs, Tpj Гр, Гр\ -=
= /Л0; *= 1, 2, .... s; (IV.27)
регулятора
Кк vi> ^i» ?!, ..., Гр, Гр, Гр\ =
= NK {г} + пк (/); к = 1, 2, ..., р; (IV.28)
ошибки
в (0 = « W-^(0- (IV.29)
Рассмотренные выше общие уравнения объекта (IV. 19) и
регулятора (IV.20), вообще говоря, являются уравнениями второго
порядка относительно входящих в них переменных xiK (t) и riK (/).
127

Однако заменой
dxh
или
dt ~
UXk
dt
vifc(t);
drh
-^- = и- (t)
dt и^КЧ>
МО; тг = «ЛО
(IV.30)
они всегда могут быть сведены к уравнениям первого порядка, т. е.
Xj {xlt vv vl9...9 xS9 vS9 vS9 rp9 up, up}=fj(f)\ /=l,2,...v;
(IV.31)
Rj { ?x, ul9 ul9 ... , ~fp9 up9 tlp} = Nj {г} + rtj(t)\
/=1,2 |x. (IV.32)
Иногда уравнения (IV.31), (IV.32) удается решить относительно
производных viK (t) и щк (t) и они принимают вид
dvit
dt
■ = У ы {xv <V> *2> v2, .-.',xs, vS9 rp9 up\ t}\ * = 1, 2, ..., n\
К — 1, Z, . . . , S]
(IV.33)
duuc
dt
= i/^ { 7l9 иг; ~r29 u2\ ...; />, iT; xs; /}; (/ = 1, 2,,.. ,p), (IV.34)
где наличие в правой части уравнений (IV.31), (IV.32) функций
времени /;- (/), nj(t)9 g (t) учтено тем, что правые части
уравнений (IV.33), (IV.34) рассматриваются как явные функции от t.
Введем обозначения:
V, •= X
■5+1»
Vs — X^s'y
h — *Уы» • • • > up ~ r2p'
(IV.35)
Тогда уравнения (IV.33), (IV.34) принимают вид
Д£ == * iK { #i> ^2' • • • t ^2s> Гpf r2p\ * i> J = 1, Д . . . , #,
/c = s-+1, s-j-2 2s; (IV.36)
к = р + 1, p + 2,...,2p. (IV.37)
Полученная форма уравнений, называемая нормальной формой,
весьма удобна, в частности, для исследования устойчивости.
Вектор состояния ~xs появился в уравнениях регулятора (IV.36) в
результате учета формулы (IV. 18), связывающей вектор ошибки е (t)
с вектором состояния xs (t).
128

3. ОБЩИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим одномерную систему автоматического
регулирования \ описываемую уравнениями (IV.27) — (IV.29), и
предположим, что заданным начальным условиям и заданным воздействиям
1к (0> S (0» пк (0 = 0 соответствует решение этих уравнений,
определяемое функциями хк (t), rK (t).
Пусть в процессе регулирования
/,(/)= }K(t) + дыо; (iv.38)
g(t) = g(t) + &g(t),
причем воздействиям (IV.38) соответствует решение уравнений,
определяемых функциями:
хк (/) = хк (t) + Ахк (/), к --- I, 2,..., s; |
> (IV.о9)
rK(t)=rK(t) + ArK(t), к=1,2,...,р, j
где отклонения Дх,Д^) и ArK(t) соответственно от xK(t) и МО малы.
Подставляя выражение (IV.39) в уравнения (IV.27), (IV.28),
получим
Хк { х + Axv 1 + А Хъ Хг + АХг\...; xs + Axs, Xs + Axs, Xs +
+ AXS; ?p + Arp, }p + Arp, fp + Arp \ = }K (t) + AfK (t),
к= 1, 2,...,s; (IV.40)
RK { rx + Arlf h + Аг1У Гг + АГг; ...;rp + Arpy }p + Atp, ?p + A?p} =
= tf,{e}, /c=l, 2 p. (IV.41)
Допустим, что функции Хк и RK являются непрерывными
однозначными функциями, и разложим эти функции в ряд по
возрастающим степеням Ахк и Агк,
Мы получим
Хк \ хх, £ъ Хх\...; xS9 Xs, Xs\ fp, r~, fp}+ { -^ Axt + -^Axx +
+ M*M x+... + ^Ax s+^Ax s + d4?-Axs + d-^Ar +^Д/> +
Г dXx l ^ dxs s дЛ8 s dxs s drp p^ drp pi
+ 9s ^P} + I ЧЛеНЫ ВЫСШИХ \ = h «) + A/, (0.
drp pi iпорядков малости)
/c=l,2 s; (IV.42)
/?.{?». К ?i...., rp, ?p, fp} + {^Ar1+^A/1 + ^-Af; +
.члены высших Р|=^Д^-+%» к _ , 2
I порядков малости) де да де
(IV.43)
1 Приводимые ниже рассуждения легко обобщаются и на многомерные
системы.
5 Техническая кибернетика, кн. I 129

В уравнениях (IV.42), (IV.43) частные производные
( g^j вычисляются при текущих значениях xt и fh являющихся в
общем случае функциями времени, и, следовательно, вообще говоря,
они также зависят от времени.
Имея в виду, чтохд. (t) и rK (t) удовлетворяют уравнениям (IV.27),
(IV.28) при xs (f) = g (/), т. е. прие (t) = 0, и пренебрегая в
выражениях (IV.42), (IV.43) величинами второго и более высокого
порядка малости, получим
^Ax1+^AXK + ^AX1 + ... + ^Axs + ^A£8 + ^AXs +
дхг d*i dxi dxs dXs dXs
дХк
дХк
+ ^Arp+^A?p + u-^Arp==AfK(t), /c= 1, 2 s; (IV.44)
дгр и дгр р df-p y
РАг. + ^Аг.+^АГ. + ^. + ^Аг р + д^Аг p + fAfp =
drY dri dfy л" г л, г ла v
дгр р д?р р д?„
._dN dNK- dNK~ 2
(IV.45)
Введем обозначения р =
дХ.
d_
dt'
к — п.-дХк— ft.. ^ __ v •
d?P ~ pK' Wp ~ PpK' Wp - a"K'
dRK dRK dRK
drt drt dt(
(IV.46)
У^Р2 + fW + Щк = aiK (p); |
°i*P* + Pp«P + V = V (P)'» \ (IV-47)
V4kP2 + ViKp + Tj/K = Ьы (p), J
^o^ + ^i*P +.. • = dK (p).
Тогда уравнения (IV.29), (IV.44), (IV.45) можно переписать
в следующем виде:
S
2 aiK (р) Ах, - AfK (/) — срк (р) Arpi к - 1, 2, ... , s; (IV.48)
2 *** (P) Аг1^йк{р)г> к = 1, 2, ... , р; (IV.49)
e(*) = Ag(/)—Д*Л0 (IV.50)
или в развернутой форме, опуская для простоты записи значение Д
130

и предполагая, что имеется только одно регулирующее воздействие
rp (?) в праэой части первого уравнения объекта:
«п (Р) xi + аи (Р) х2 + • • • + als (р) xs = /i (/) + ср1 (р) rp (*); )
«21 (Р)*\ + «22 (р) *а + • • • + a*s(P)*s = /2(0; (IV.51)
«Л (Р) *1 + «52 (Р) *2 + • • • + «53 (Р) *5 = /5 (*)• '
Уравнения регулятора в развернутой форме, если предположить,
что единственным приложенным к нему воздействием является
воздействие, зависящее от ошибки в правой части первого уравнения,
имеют вид
Ьц (Р) гг + Ьп (р) г9 + ... + blp (p) rp = d (p) е;
&2i (Р) ri + &22 (р)г2+... + Ь2р (р) гр = 0;
(IV.52)
Ьрг (Р) г г + Ьр2 (г2) + ... + Ьрр (р) гр = 0;
е(0=в(0-^(0. (IV.63)
Уравнения (IV.51) — (IV.53) линейны относительно
переменных Xi (t) и rt (f), являющихся малыми отклонениями системы от
заданного состояния % (/), Тх (/); их называют
линеаризованными уравнениями системы автоматического
регулирования. Если эта система упорядочена, т. е. если номер уравнения к
и номер к возмущающей силы fK (t) соответствуют номеру к той
координаты, для которой это уравнение составлено, то в каждом
уравнении член с операторным коэффициентом аы, имеющим
равные индексы i — /с, является собственным членом, определяющим
свободные движения (свободные колебания) данной координаты.
Все остальные члены уравнений с коэффициентами аы, имеющими
разные индексы i Ф /с, выражают воздействия других обобщенных
координат на данную.
Далее заметим, что если регулятор представляет собою
последовательное соединение элементов направленного действия, то
уравнения упрощаются и принимают вид
Ьц (Р) ri = n (Р) *>
*2i (P) ri + ^22 (P) rг = 0;
^32 (Р) гг + &зз (Р) >*з = 0;
(IV.54)
bp>P-i(p)rp.1 + bpp(p)rp = 0. J
Обозначим через D0 и через В главные определители
соответственно систем уравнений (IV.51) и (IV.52), т. е.
|«п(р)> ап(р), ... , als(p)
«2l(P)> «22 (Р)> ••• » <*2*Ф)\
£>о(Р) =
«51 (Р)> «52(Р)> ••• » «55 (Р)
(IV.55)
б*
131

В(р) =
Ьц(р), Ь12(р), ... , Ьи,{р)
Ьп(Р)> Ь^(р)у ... , Ь2р{р)
(IV.56*
\Ьр1(р), Ьр2(р), ... , Ьрр(р)\
Тогда, предполагая, что интерес представляют только изменения
регулируемой переменной xs (t) = х (t) регулирующего
воздействия rp (t) = r (f), исключим из выражений (IV.51), (IV.52) все
переменные, кроме х (t) и г (/), а также допустим для
определенности, что fK (0 = 0, для всех к (кроме к = 1). В результате
получим следующие уравнения:
объекта регулирования
D0 (р) х (t) = М0 (р) f (t) + С0 (р) г (0; (IV.57)
регулятора
B{p)r(t) = N(p)E(f)\ (IV.58)
ошибки
*(t)=g(t)-x(t). (IV.59)
В уравнении (IV.57) через М0 (р) обозначен минор определителя
(IV.55), получающийся из последнего вычеркиванием первой строки
и последнего столбца, а через С0(р) — произведение минора того же
определителя на оператор ср1 (р) (с обратным знаком). Точно так
же через N (р) обозначено произведение минора определителя В (р)
на оператор d (p).
В развернутой форме линеаризованные уравнения (IV.57), (IV.58)
системы автоматического регулирования имеют вид:
объекта регулирования
d2sx dV-ix , , dx __ / dmf df Л
a2s-fi2s + ^25-1 ^FT + • • • -Г alTt^~ a°X ~~~ Гт dtm~^~' ' '~l~eidt + е°Г) +
+ (c^ + - + 4! + v); (IV-6°)
регулятора
°2p dt2P + °2P-i dt2p-i -r • • • i- ог dt -j-
+ V = rfvg+-.-+rfl^+rf08. (IV.61)
Коэффициенты ah eh ch bh dh входящие в уравнения (IV.60),
(IV.61), являются функциями параметров (IV.46), которые можно
найти, раскрыв соответствующие миноры определителей (IV,55),
(IV.56).
4. ПРИМЕР СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ОБЪЕКТА РЕГУЛИРОВАНИЯ
В большинстве случаев уравнения элементов систем
автоматического регулирования оказываются нелинейными. Однако в одних
случаях нелинейности являются несущественными, не вносящими
132

ничего качественно нового в процесс регулирования, в других они
носят определяющий характер, и пренебрежение ими в "корне
меняет картину переходного процесса. При составлении
дифференциальных уравнений необходимо проанализировать возможность и
долустимость их упрощения и, в частности, линеаризации.
Рассмотрим методику составления дифференциальных
уравнений элементов, допускающих линеаризацию. К числу таких
элементов относится большинство объектов автоматического
регулирования.
Первым шагом в составлении уравнения динамики выделенного
элемента системы автоматического регулирования является
выявление физического закона, определяющего его поведение. Обычно
таким законом является закон сохранения вещества (объекты
регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объекты
регулирования температуры), второй закон Ньютона (объекты
регулирования скорости, центробежный маятник и др.) или какой-
либо из других основных законов физики. Математическое
выражение соответствующего физического закона, который определяет
процесс, протекающий в данном элементе системы регулирования,
и является исходным дифференциальным уравнением этого
элемента.
Например, для системы регулирования числа оборотов
двигателя исходным уравнением объекта будет
JdTt = M'-M» <IV-62>
где (о — угловая скорость вала двигателя;
J — момент инерции движущихся частей, приведенный к валу
двигателя;
Мд — движущий момент, приложенный к валу;
Мс — момент сопротивления на валу двигателя;
t — время.
Вторым шагом должно быть определение факторов, от которых
зависят переменные, входящие в исходное уравнение, и
установление выражений, характеризующих эту зависимость. Последние
могут быть аналитическими функциями или заданы графически.
В большинстве случаев они являются нелинейными зависимостями.
Подставив найденные выражения в исходное уравнение, получаем
нелинейное уравнение элемента (в частности, объекта
регулирования).
Для нашего примера необходимо установить, от каких величин
зависят и какими выражениями определяются движущий момент Мд>
момент сопротивления Мс и является ли постоянной величиной
приведенный момент инерции </.
Для случая регулирования числа оборотов авиационного
двигателя при помощи винта с изменяющимся шагом движущий момент
зависит от угловой скорости двигателя и величины наддува, кото-
133

рая задается летчиком и не может быть заранее определена
(является неизвестной функцией времени). Поэтому можем написать
Мд = Мд(®, /).
Момент сопротивления зависит от угловой скорости двигателя,
угла установки лопасти винта фл и ряда других факторов
(плотности воздуха, скорости полета и др.), изменение которых учесть
затруднительно. Допустим, что выражение для момента
сопротивления имеет вид
Мс = Мс(а, ц>л, t).
На основании теории двигателей можно получить аналитические
выражения полученных функций или представить их в виде
графиков. Приведенный к валу двигателя момент инерции
вращающихся частей будем считать постоянным.
С целью упрощения исследования процесса регулирования
линеаризируем полученное уравнение, убедившись в допустимости
линеаризации. Отсутствие разрывных, неоднозначных или резко
изгибающихся характеристик и справедливость уравнения в течение всего
интервала времени регулирования обычно являются достаточными
признаками возможности проводить линеаризацию.
Линеаризацию уравнений производят при помощи формулы
Тейлора, которая позволяет разложить нелинейную функцию
нескольких переменных по степеням малых приращений этих
переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих
установившемуся режиму, как это уже указывалось выше.
Формула содержит остаточный член, исследование которого позволяет
оценить величину ошибки, получающейся в том случае, когда
ограничиваются первыми членами разложения. Формула Тейлора,
например, для трех переменных х, у и г имеет вид
F (х, у, г) = F {х0 + Ах, у0 + Ay, z0 + Az) =
+ 2 x {£A*+%ау+diAz1+***> (J v-63)
где x = x0 + Ar, у = y0 + Ay; z = z0 + Az; x0 = const; y0 =
= const; z0 = const; RnJrl — остаточный член.
Показатели степени, в которую возводятся выражения, стоящие
в скобках, имеют символический смысл. Они указывают на
необходимость выполнения при раскрытии скобок операций, ясных из
следующего примера для второй степени:
(6F л „ . dF л , OF A \(2) ^А2 , d*F л 2 , а2/7 л о ,
[&сАх + ТуАУ+ТгАг) ==^А^2+^А^2 + ^А^ +
+ 2^A^ + 2SA^ + 2a|£A^
134

Частные производные вычисляются в точке с координатами г0,
у0, г0 и поэтому являются постоянными.
При линеаризации нелинейных уравнений обычно
ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая
остаточным членом R2i т. е. полагают, что
r)F r)F r)F
F (*, y,z)^F (x0, r/0, z0) + °£ Д* + °fy Ay + °-£ Az. (IV.64)
Для исследования устойчивости процесса регулирования такого
приближения в большинстве случаев вполне достаточно. Однако
иногда линеаризованные уравнения используются для
исследования качества процесса регулирования, и в этом случае приращения
переменных могут быть не всегда малыми. Тогда для строгой оценки
допускаемой погрешности проводится анализ остаточного члена R2l
который удобнее всего брать в форме Лагранжа:
*. ЧШ4*+(!)/*+САН-
В последнем выражении (з-V , (з-) и f-^j —частные
производные, вычисленные в точке с координатами £, ц и £, где
х0<Ъ<х0 + Ах;
Уо<Ч<Уо + &У,
£0<£<г0 + Дг.
Найдем выражение приращения AF (х, у, z) функции F (х, у, г),
которое определим как разность между текущим значением этой
функции F (ху у, г) и ее значением F (x0, y0, z0) в некоторой
фиксированной точке, заданной координатами х0, у0, г0. Учитывая
выражение (IV.64) с точностью до /?2> можно записать
AF(x,y,z)^d£Ax + d-£yAy + d-£zAz. (IV.65)
Полученным выражением удобнее всего пользоваться при
линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений.
Для того чтобы непосредственно применить найденное из
формулы Тейлора выражение для приращения нелинейной функции
к линеаризации дифференциального уравнения, необходимо
несколько преобразовать последнее.
Составим уравнение установившегося режима для данного
элемента (объекта регулирования) и вычтем его из уравнения динамики
элемента. Тогда в правой части уравнения будут только
приращения нелинейных функций относительно их значений в
установившемся режиме, для определения которых мы получили выражение
из формулы Тейлора.
В качестве установившегося режима может выбираться либо
режим, существовавший до действия возмущения и начала пере-
135

ходного процесса, либо режим, который установится после
затухания переходного процесса. При установившемся режиме до начала
переходного процесса или после его окончания приращения
переменных должны соответственно отсчитываться от их постоянных
значений. Заметим, что если отсчет приращений переменных
(обобщенных координат) производить от их значений при новом
установившемся режиме, наступающем после окончания переходного
процесса, то с течением времени приращения всех переменных
стремятся к нулю (для устойчивых систем).
Для взятого примера уравнение установившегося режима будет
Мд0 = Мсо. (IV.66)
Далее примем
Мд = Мд0-\~АМд\ МС = МС0 + АМС.
Вычитая из исходного уравнения динамики (IV.62) уравнение
статики (уравнение установившегося режима) (IV.66), получим
уравнение в приращениях или в вариациях:
J^t = AMd — АМС. (IV.67)
Приведя уравнение динамики к такому виду, при его
линеаризации мы можем пользоваться не выражением (IV.64), а уже более
простым выражением (IV.65) для приращения функций АМд и
АМС.
Найдем отдельно каждое из этих приращений, обозначив через
АМд (t) и АМС (t) составляющие приращений Мд и Мс,
изменяющиеся во времени по неизвестному или заданному закону:
ДЛ^-^Дсо + ДМДО;
Угол установки лопасти винта фл изменяется при помощи
исполнительного механизма регулятора, координату которого
обозначим через т\ тогда
Функция фл = / (т) обычно задается графически и частная
производная -4^ определяется как тангенс угла наклона
касательной к кривой ф^ = / (т) в точке, соответствующей
установившемуся режиму. Тогда
136

Подставляя полученные выражения в уравнение (IV.67), получим
Перенеся в левую часть члены, содержащие Асо, и обозначив
AMd(t) — ЛМС (t) = Ш (/),
найдем
'£ + (&-£)*—««P>-S£-fe**- (IV.68)
Таким образом, мы получили линеаризованное уравнение в
отклонениях (или в приращениях, в вариациях), выраженных в
абсолютных единицах.
До сих пор при выводе уравнений мы имели дело с абсолютными
величинами, с именованными единицами. Размерность каждого члена
уравнения — вполне определенная. В нашем примере каждый член
уравнения имеет размерность момента. Однако при исследовании
систем регулирования, особенно при сравнении таких систем и их
элементов между собой, большие удобства представляют
уравнения в относительных единицах с безразмерными коэффициентами
или с коэффициентами, имеющими размерность времени в степени,
равной порядку производной, при которой стоит данный
коэффициент.
Для приведения дифференциального уравнения в абсолютных
отклонениях к уравнению в относительных единицах с
безразмерными коэффициентами произведем следующие элементарные
операции:
1. Разделим все члены уравнения на некоторую постоянную
величину, имеющую размерность членов этого уравнения (в нашем
примере — размерность момента). Такой величиной обычно
выбирается номинальное значение, максимальное значение или
некоторое начальное значение данной переменной.
В рассматриваемом примере возьмем номинальное значение
момента Мн и разделим на него почленно уравнение (IV.68):
£ дсо_ , 1 (дМс дМд\.ШУ) 1_ дМа_ дул д
Мн ' dt ~t"MH{ да dec ) ^ш Мн ~МН' дул ' дт т'
В результате этого каждый член уравнения стал безразмерным.
2. Перейдем к относительным единицам.
Выберем некоторые постоянные значения для каждой
координаты, для каждого приращения, входящего в полученное
уравнение, и отнесем к нему его приращение. Так, для угловой скорости
примем ее номинальное значение сон, для координаты
серводвигателя — его максимальный ход тт. Умножим и разделим каждый
член уравнения, в который входит та или иная переменная, на
соответствующую ей выбранную постоянную величину.
137

После этого уравнение в рассматриваемом примере будет иметь
следующий вид:
Мн rfco . со„ 1дМс дМд\ Дсо _ ДМ (t) тт дМс дул Am
Мн(он '~Ж ' Жн \ дсо дсо ) ын ~~ Мн Мн' дфл ' дт
Учитывая, что
dco _ d (Дсо) ф дМ
~di ~ dt ' "Ж
и т. д., можно написать
+
Мн
Мн
4~)
dt
AM(t)
\ . Дсо Л Дсо / o)w
V со„
° Мн
Мн дул дАт тп
мн мн
Г дШ
i — <Э(Дсо)
д^ 1 '
(0„ /
дул Д/и
Мн " Мн \ Дсо
3. Введем обозначения относительных единиц и коэффициентов
уравнения.
В нашем примере обозначим
Дсо Am АМС
н тт
АМд
JmH rp
-~^\ Мн -1
AM(t) f „у
мн - Iм w
дул d\i r
Подставляя эти обозначения в полученное уравнение, найдем
;дф дф
Обозначая
дхс _ дХд_ = k
дф дф с'
получим окончательно
Г9§- + *сФ = /*(0-*а1*. (IV.70)
Следовательно, все величины, входящие в уравнение (IV.70),
за исключением времени t и постоянной Г , приведены к
безразмерному виду.
На практике пользуются двумя формами уравнений в
относительных единицах. В первой форме, полученной нами выше, время
не приводится к безразмерному виду, и тогда при каждой
производной, входящей в дифференциальное уравнение, стоит коэффициент,
имеющий размерность времени в степени, равной порядку произ-
138

водной: при первой производной коэффициент имеет размерность
сек, при второй производной — сек2, при третьей — сек3 и т. д.
Во второй форме время, как и все другие переменные, приводят
к безразмерному виду. Для этого его относят к некоторой
постоянной времени, чаще всего к времени Т?, или так называемой
постоянной времени звена
> h ■
Рассмотрим переход к уравнению с безразмерным временем.
Первый член дифференциального уравнения (IV.70) можно пред-
2
• \ i
а)
\г
/ъ
1 1
10
i 7
t
Рис. IV.7. Размерный и безразмерный масштаб времени
ставить в следующем виде:
1 ч dt
dcp _ dq>
где
т =
Таким преобразованием мы получили безразмерный
коэффициент при первом члене дифференциального уравнения, в данном
случае единицу, и перешли к безразмерному времени т. После
этого рассматриваем процесс регулирования, протекающим не во
времени t (рис. IV.7, а), измеренном в единицах /, а во времени т,
измеренном в другом масштабе, в единицах Т9 (рис. IV.7, б).
Дифференциальное уравнение (IV.70) после этого примет вид
!!+*.»
Ы*) — hv-
(IV.71)
Систему относительных единиц с безразмерным временем обычно
удобно применять при моделировании, когда необходимо изменить
масштаб времени процесса, приспособляя его к возможностям
моделирующей установки.
В классической теории регулирования обычно используется
первая форма относительных единиц, в которой время не приводится
к безразмерному виду.

ГЛАВА V
СТАТИКА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Статика изучает равновесные установившиеся состояния системы
или ее частей при постоянных значениях возмущающих и
управляющих воздействий. В статике не изучаются вопросы
устойчивости состояний равновесия. Основной задачей настоящей главы
является определение установившихся состояний системы по
известным статическим характеристикам образующих ее звеньев.
1. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТЕЙШИХ ЗВЕНЬЕВ
Начнем с рассмотрения статических характеристик простейших
звеньев, состояние которых определяется одной переменной
(выходом) хвыХ) зависящей от другой переменной (входа) хвх.
Можно указать следующие два основных.типа простейших
звеньев с одним выходом и одним входом.
К первому типу относятся такие звенья, для которых
зависимость постоянного установившегося значения выходной величины
может быть выражена, как некоторая функция входной величины:
Хвых = Ч>(Хвх). (V.1)
Второй тип звеньев имеет произвольное положение равновесия,
когда входная переменная равна нулю, и совсем не имеет
положений равновесия при наличии воздействия.
Уравнение (V.1) называется уравнением статики
звена, а график, изображающий функцию ср в координатах хвх>
хвыХу называется статической характеристикой
звена. Звенья, уравнения которых в динамике не отличаются от
их уравнений в статике, называются статическими, или
безынерционными, звеньями.
Статическая характеристика называется аналитической, если
функция ф непрерывна и имеет во всех точках непрерывные
производные. Аналитические статические характеристики представляют
собой гладкие кривые. Частным случаем аналитических
статических характеристик являются линейные статические
140

характеристики, уравнение которых есть уравнение
примой линии:
Хвых — $о г RXexi
(V.2)
где а0 и k — постоянные величины.
Величину k называют передаточным коэффициентом, или
коэффициентом усиления, звена. Безынерционное звено, обладающее
хвых= &
V
Рис. V.I. Генератор постоянного тока:
а — схема; б — основная кривая намагничивания
линейной статической характеристикой, называют линейным
статическим звеном. Примером аналитической характеристики звена
первого типа может служить основная кривая намагничивания
электрического генератора (рис. V.1, а и б).
L
р
1
*8ых
1
ио
*8Х
-4
а)
Х8ЫХ
ио
Х8Х
-и0
б)
Х-8ЫХ
4
К
*8х
Uomn U-cp
-и*
6)
Рис. V.2. Трехпозиционное поляризованное
реле:
а — схема; б — характеристика реле без гистерезиса; в — с гистерезисом
Неаналитические статические характеристики имеют разрывы
непрерывности либо самой выходной координаты, либо ее
производных.
На рис. V.2, а, б показаны соответственно схема и
характеристика поляризованного трехпозиционного реле с коэффициентом
возврата, равным единице. Характеристика имеет разрыв
непрерывности по координате.
141

На рис. V.3, а, б показаны соответственно схема и статическая
характеристика диодного функционального преобразователя.
Последняя имеет два линейных участка. Участок / обусловлен
прохождением тока через диод Дг. Когда входное напряжение станет
больше напряжения запирания и3, устанавливаемого на делителе
напряжения Д#3, отпирается диод Д2. Участок 2 характеристики
обусловлен прохождением тока через диод Д2. Кусочно-линейная
статическая характеристика этого преобразователя непрерывна, но
ее первая производная в точках излома характеристики имеет
разрывы непрерывности.
Статические характеристики могут быть однозначными
и неоднозначными. Петля гистерезиса в кривой
намагничивания может служить примером аналитической неоднозначной
ивых
Рис. V.3. Диодный функциональный преобразователь:
а — Ъхема; б — статическая характеристика
характеристики. Пример неаналитической неоднозначной
характеристики показан на рис. V.2, в — это характеристика трехпо-
зиционного поляризованного реле с неидеальным возвратом (с
гистерезисом), которое срабатывает при большем, а отпускает при
меньшем входном напряжении.
В качестве примера звеньев второго типа рассмотрим
электродвигатель. Когда приложенное к обмотке напряжение равно нулю,
угол поворота его вала может быть любым; при наличии же
напряжения ротор электродвигателя вращается и состояния равновесия
нет. Строго говоря, функциональной зависимости между выходом
и входом такого звена, а следовательно, и статической
характеристики, не существует. Звенья этого типа называются
астатическими звеньями. Для них можно геометрически
изобразить область установившихся состояний при отсутствии
воздействия. Условно эту область называют «статической
характеристикой». Условная статическая характеристика такого
звена совпадает с осью абсцисс (рис. V.4, а). Если £вено имеет зону
нечувствительности (например, электродвигатель трогается с места
лишь при условии, что напряжение больше некоторого значения),
142

то геометрическим местом состояний равновесия будет некоторая
область, заштрихованная на рис. V.4, б.
Уравнения линейных статических характеристик обычно
преобразовывают так, чтобы в них входили не абсолютные значения
координат, а их отклонения от некоторого положения,
принимаемого за начальное. Тогда уравнение
статики будет иметь вид
где
&хвых = kAxeX) (V.3)
&Хвых — %вых -^о вых\
&Х>вх — Х>вх -^п вх >
причем начальные значения
удовлетворяют исходному уравнению (V.2):
%0 вых — #о I &%0 вх •
*6ых
%цм
Ъ
»ех
а)
Щ
ж
*Sx
1
Рис. V.4. Условные
статические характеристики
астатического звена:
а — без зоны нечувствительности;
б — с зоной нечувствительности
В этом случае статическая
характеристика изображается прямой линией, проходящей через начало
координат.
2. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНЫХ ТИПОВ
СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ
В системах автоматического регулирования применяют три
основных типа соединений звеньев: параллельное, последовательное
и обратное.
Параллельное соединение. При параллельном соединении звенья
имеют общий вход, а их выходные величины суммируются
(рис. V.5, а). При этом подразумевается, что звенья обладают н а -
правленностью действия. Если заданы уравнения
статики п параллельно включенных звеньев
%i вых ==z ф|"1^влр)> ^ == * > ^' • • • > Я,
то выходная величина по определению будет равна
Хвых — 2ji Ф' \Хвх)-
*=1
(V.4)
Отсюда вытекает очевидный способ построения статической
характеристики соединения по статическим характеристикам звеньев:
задавшись некоторым хвХ9 определяем ординаты статических
характеристик всех звеньев и затем находим для этого хвх ординату
характеристики соединения, как сумму ординат характеристик
звеньев. На рис. V.5, б показано построение характеристики для
двух звеньев,
143

Так, при хвх = хвх1
Хвых 1 = Охах + Ox&i = О^ц.
Для параллельно включаемых линейных звеньев имеем:
уравнения звеньев
&Xi вых — fci&Xex\
уравнение соединения
п
Ахвых = Ахвх 2 */ = КАхвХ9 (V.5)
где /С — передаточный коэффициент соединения:
K=tkf (v-6)
£=1
Передаточный коэффициент параллельного соединения
направленных линейных звеньев равен сумме передаточных
коэффициентов отдельных звеньев.
*ta
/
г
\ п
_- *
1
<0
\ХЙШ
\Хбых/ /
1 ft'
Af
/tf
_v
з\
2 I
/I
%/
%
б)
Рис. V.5. Параллельное соединение звеньев:
а — структурная схема; б — построение статической характеристики
Последовательное соединение. При последовательном
соединении звенья образуют цепочку, в которой выходная переменная или
координата каждого из предыдущих звеньев является входной
переменной или координатой для последующего звена (рис. V.6, а).
На рис. V.6, б показан метод графического определения
статической характеристики последовательного соединения трех
направленных звеньев.
В первом квадранте по оси абсцисс откладывается хвх1 первого
звена, по оси ординат — хвыХ1 первого звена, которое по
определению равно хвх2 для второго звена. ,В этих осях построена
статическая характеристика / первого звена. Во втором квадранте по
144

вертикальной оси откладывается хвх2 = хвыхъ по горизонтальной
оси — хвыХ2, и в этих осях строится характеристика // второго
звена.
В третьем квадранте по горизонтальной оси отложено хвх3 =
= хвых2, по вертикальной оси — хвыхз и построена статическая
характеристика /// третьего звена.
Так как хвх1 одновременно является входом рассматриваемой
системы, а хвыхз — ее выходом, то в четвертом квадранте легко
получить искомую статическую характеристику IV системы. Для
этого задаемся некоторым значением хвх1 (например, точкой / на
рис. V.6, б). Затем строим прямоугольник, одна из сторон которого
проходит через точку 1. Стороны прямоугольника параллельны
Чх
1
Хвых1=*вкг
=хдх(п)
х8ых
а)
Л
«->
*
«NJ
*5
«О
ш
<к
0\
x6X2=/ffb/X7 ^
1
*
ш
хз
=х
тх
1
>
5
[
«о
II
X
/
\w
б)
Рис. V.6. Последовательное соединение звеньев:
— структурная схема; б — построение статической
характеристики
координатным осям, а вершины (точки 2, 3 и 4) лежат на
характеристиках звеньев. Четвертая вершина (точка 5) определит точку
на искомой статической характеристике. Аналогичным
построением определяем и другие точки характеристики.
Если число последовательно включенных звеньев в системе
больше трех, то разбиваем их на группы по три и ищем
характеристики групп. Далее, рассматривая каждую группу как звено,
строим характеристику системы. Когда же ищется характеристика
двух звеньев, то описанное построение легко применить, если
добавить к двум данным звеньям еще одно с передаточным
коэффициентом, равным единице. Характеристика этого звена будет
изображаться биссектрисой квадрантного угла.
145

При последовательном подключении п линейных звеньев система
уравнений (в отклонениях координат от начальных значений) будет
иметь следующий вид:
ЛвЫХ 2 == &9,ХВХ 9 == КъХв
хвыХ2 — К2ЛВХ2 — к2лвых1>
(V.7)
Хвых — %вых п — &пХвхп — &пХвы.х {п — \) <
Исключая из этих уравнений промежуточные координаты хвыХ1,
Хвых2> ■•• > Хшх (rt_i), ПОЛУЧИМ
п
Хвых = хвх П ki = KxeXi (V.8)
где "i
K=f\kh (V.9)
Таким образом, передаточный коэффициент К цепочки
последовательно включенных линейных направленных звеньев равен
произведению передаточных коэффициентов отдельных звеньев.
Система с обратной связью. В этом случае звено подключают
навстречу одному или нескольким звеньям. Часть величины с
выхода звена подается на его вход (или на вход одного из предыдущих
звеньев, рис. V.7, а). Звено, подключенное таким образом,
называют звеном обратной связи (ОС), а всю схему —схемой
с обратной связью.
Графический метод определения статической характеристики
схемы с обратной связью показан на рис. V.7, б, е.
Пусть статическая характеристика звена без обратной связи
выражается уравнением ^ = а (е)? {WAQ)
а статическая характеристика звена обратной связи имеет вид
Хос=Ч>(Хвых). (V.11)
Тогда статическая характеристика схемы с обратной связью
будет х6ЫХ = о[хвх±Ч>(хвых)1 (V.12)
В зависимости от того, складывается переменная на выходе
звена обратной связи с входной переменной или вычитается из нее,
обратную связь называют соответственно положительной
или отрицательной.
Определение статической характеристики соединения удобнее
вести в обратном порядке, задаваясь хвых и отыскивая х8Х. Для этой
цели введем в рассмотрение обратную статическую характеристику
схемы: в=*ы.
Как видно из схемы рис. V.7, а,
£ =г Х8Х ZL Xqq ,
146

или
Верхний знак в этих формулах берется для положительной, а
нижний—для отрицательной обратной связи.
Далее запишем
хвх = i|> (хвих) =ь Ф Ы (V. 13)
Из выражения (V.13) вытекает следующий графический способ
построения статической характеристики соединения.
В случае положительной обратной связи по оси абсцисс будем
откладывать е, хос и хвх (в одинаковом масштабе); по оси орди-
0 2 3 *6х KQC 3 0 2 х$я
б) в)
Рис. V.7. Система с обратной связью:
а — структурная схема; б — построение статической характеристики при положительной
обратной связи; в — то же при отрицательной обратной связи
нат хвлх. Построим в этих осях характеристики (рис. V.7, б) звена
без обратной связи (кривая /) и звена обратной связи, применяя
уравнение (V. 11) (кривая //), используя для этого
функциональную зависимость (V.10). Зададимся некоторым хвЬ1Х (точка 1) и
определим е = г|) (хвых) и хос •= ф (хвЬ1Х) (соответственно точки 2 и 3).
В случае положительной обратной связи хвх = г — хос, т. е.
расстоянию между точками 2 и 3. Перенесем отрезок ab влево по
горизонтали так, чтобы его конец а совпал на оси ординат с
точкой У, тогда конец b отрезка (точка 4) и будет точкой искомой
характеристики. Повторив построение для ряда хвЬ1Х9 определяем ряд
точек искомой характеристики (кривая ///).
В случае отрицательной обратной связней
хвх удобно откладывать по горизонтальной оси вправо, а хос —
влево и строить характеристику звена обратной связи во втором
квадранте (рис. V.7, в). При этом хвх = г + \хос\, т. е.
расстоянию ab. Передвинув отрезок ab вправо по горизонтали так, чтобы
его конец а совпал с точкой /, найдем точку 4 искомой
характеристики.
При отрицательной обратной связи результирующая
характеристика /// (рис. V.7, в) идет обычно более полого, чем характери-
147

стика / звена без обратной связи, а при положительной обратной
связи — наоборот.
В случае линейного звена с передаточным коэффициентом k0
и линейного звена обратной связи с коэффициентом kc из
выражения (V.13) находим __ jl r _4_ jl
откуда
%вых == 1 — и и %вх == Л#влг>
где
г
К
Кп
1
KqKc
(V.14)
(V.15)
при отрицательной обратной связи, при которой используют в
знаменателе знак плюс, результирующий коэффициент К будет всегда
меньше &0; при положительной
X/ ' ' А ' ' °
Л
J
к
г
/
А
bh
Е
В
Хз
а)
*/.
~\
т
I
Е
А
■^—
Ч
5)
Е
Рис. V.8.
а — исходная схема; б -
схема
Преобразование
структурной схемы:
преобразованная
обратной связи и при kQkc <^1
он будет всегда больше kQ; при
k0kc = 1 К обращается в
бесконечность. Практически при этом
линейное звено становится
астатическим, а нелинейное обычно
переходит в релейный режим.
Перекрестные обратные
связи. При перекрестных обратных
связях непосредственное
применение графического метода,
аналогичного описанному выше,
хотя и возможно, но
использование его становится весьма
сложным [1]. Поэтому более удобно
сначала привести схему к
некоторой эквивалентной ей схеме без перекрестных обратных связей [2].
Проиллюстрируем это на частном примере. Схемы, показанные на
рис. V.8, а, б, эквивалентны, так как в узловых точках Л, В и
на входе звена / значения переменных одни и те же.
Пусть теперь дана схема (рис. V.9, а) с двумя перекрестными
обратными связями /; 2. Применяя метод приведения, сначала
преобразуем схему к виду, показанному на рис. V.9, б, где точка входа
обратной связи перенесена с выхода звена /// на его вход.
Далее определяем характеристику эквивалентного звена V7,
как последовательного соединения звеньев /// и V (рис. V.9, в).
Дальнейшие преобразования показаны на рис. V.9, г — е.
Охват отрицательной обратной связью астатического
интегрирующего звена. Пусть отрицательной обратной связью с
характеристикой хос = ф (хвлх) охвачено интегрирующее звено,
описываемое уравнением
Т 8ЫХ
1 dt ~~
%вх ф \Хвых)*
(V.16)
148

В установившемся режиме XV*X = 0, откуда
ф \Хвых)
ИЛИ
Хвых — y \Хвх)>
где i|) (xev) — характеристика, обратная ф (хвых).
2U0-
■ч
-)—
Ik
1
2&-
\*б
и
л
h
Ж
7
(¥ш\
*/
(V.17)
л
Г" "
ft
IY
J' ,
пп
ГеГ
[.ж
*3
1
1т1
"\
*
ш~\
*<•
ж
д)
*3 .
27
**
Рис. V.9. Преобразование схемы с
перекрестными обратными связями:
а — исходная схема; б — е — этапы
преобразования
Итак, статическая характеристика интегрирующего звена,
охваченного обратной связью, равна обратной статической
характеристике обратной связи.
3. КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В практике могут иметь место случаи, когда стандартный
элемент, используемый в САР, не обладает требуемой статической
характеристикой. В таких случаях для получения требуемой
характеристики в систему можно добавить статические
корректирующие звенья со специально подогнанными статическими
характеристиками.
В принципе для коррекции можно использовать любой вид
соединения — параллельный, последовательный или обратную
149

X8blX
связь. Для нахождения искомой характеристики может быть
использован любой из описанных выше графических методов, но порядок
решения задачи изменяется, т. е. сначала задаются исходной
характеристикой звена и требуемой результирующей
характеристикой, а затем отыскивается характеристика промежуточного звена.
Так, при параллельном соединении задаются характеристики 1 и 3
(рис. V.5, б), а ординаты характеристики 2 находятся, как
разности ординат характеристики 3 и 1.
При последовательном соединении задаются характеристики /
и IV (рис. 6. б), в качестве вспомогательной характеристики ///
вычерчивается биссектриса квадрантного угла и аналогичным
описанному выше построением находится характеристика //.
При коррекции с помощью обратной связи задаются
характеристики / и /// (рис. V.7, б, в) и определяется характеристика //.
В результате такого построения находится требуемая
характеристика корректирующего
звена и конструируется звено,
обладающее подобной
характеристикой. Путь создания
специальных нелинейных
звеньев далеко не всегда
может оказаться приемлемым
(например, когда
характеристика электромашинного
усилителя не удовлетворяет
необходимым требованиям), но
имеется диодный
функциональный преобразователь, характеристика которого отвечает
поставленным условиям. Однако диодный преобразователь не
обладает достаточной мощностью и не может заменить
электромашинный усилитель. Поэтому возникает необходимость так
построить схему с электромашинным усилителем и имеющимся
маломощным функциональным преобразователем, чтобы ее
характеристика определялась только характеристикой функционального
преобразователя.
Один из распространенных способов решения этой задачи
состоит в том, что последовательно с данным элементом включается
усилитель с большим коэффициентом усиления k и вся цепочка
охватывается обратной связью, обладающей определенной
заданной статической характеристикой (рис. V.10).
Пусть и = о (е) — характеристика основного элемента, причем
о (0) = 0, а хс = ф (Хвых) — характеристика звена обратной связи.
В случае отрицательной обратной связи имеем
Хвх = *с + е = ф (хвых) + v (~|-),
где v ( х*£х )— характеристика, обратная а (е), v (0) = 0.
:>.£»
i
6
u* к
кс
к
X
Рис. V.10. Схема с усилителем и
обратной связью
(V.18)
150

Далее выберем коэффициент усиления k таким, чтобы можно
было бы пренебречь членом v I Л *"* ).
Тогда
Хвх^у{хвых)\ (V.19a)
Хвых — ^ \Хвх)>
(V.196)
т. е. в такой схеме статическая характеристика с большой
точностью совпадает с характеристикой, обратной статической
характеристике обратной связи.
Этот результат совпадает с результатом, полученным при охвате
обратной связью интегрирующего звена. Это понятно, так как
интегрирующее звено можно
рассматривать как
усилитель с бесконечно большим
коэффициентом усиления.
В качестве частного
примера можно привести
спрямление нелинейных
характеристик. В этом
случае обратная связь имеет
линейную характеристику,
т. е. хс = kcxebLXl а
функциональная зависимость
(V.196) принимает вид
' Хвх*
(V.20)
У
и
0,8
0,6
ол
ОЛ
А
/л
4УУР
0У
vfs\
1 Л
///
7
/ '/
/ /хх
/ХхО
/xxSc
/X/s^
ххХ
К=50
^20
к=10
У/\
о
ол ot
0,6 0,8
f,o
Рис. V. 11. Спрямление нелинейных
характеристик при помощи системы, показанной
на рис. V.10
На рис. V.11 показан
пример спрямления
характеристики / при
использовании обратной связи с
передаточным коэффициентом kc = 1 и усилителя с передаточными
коэффициентами k = 10, 20 и 50 (соответственно кривые 2, 3 и 4).
Штриховой линией показана характеристика обратной связи.
Схема (рис. V. 10) применяется также для повышения точности
устройств. При достаточно больших k погрешность схемы
определяется погрешностью элемента в цепи обратной связи. Поэтому
для получения прецизионной схемы (рис. V. 10) к звену и усилителю
с неточными характеристиками достаточно добавить прецизионную
обратную связь. При охвате цепочки с передаточным
коэффициентом k отрицательной обратной связью с коэффициентом kc
k " t. (V.21)
Хвых —
\+kkc
Пусть параметры цепочки (a, k) нестабильны и коэффициент k
изменяется на величину Д&, а параметры обратной связи стабильны
(изменениями kc можно пренебречь). Тогда относительную погреш-
151

ность выходной координаты можно вычислить, заменив
приближенно отклонения Ахвих и Ak их дифференциалами:
Ах.
dxR
= £[.
кХо^
dk
1
dk
Ф-
Таким образо.м, введение стабильной обратной связи уменьшает
относительную погрешность от разброса параметров основной цепи
в 1 + kkc раз.
Подобные схемы находят применение в электронных
моделирующих установках и в измерительных приборах типа автоматических
компенсаторов.
Статическая характеристика замкнутой одномерной системы
регулирования. Как бы ни была сложна одномерная система
регулирования ее с помощью описанных выше
приемов можно привести к эквивалентной
статической схеме, показанной на рис. V. 12.
На объект О действуют нагрузка / и
перемещение регулирующего органа у.
Регулятор состоит из двух частей: Рх —
реагирующей на отклонение регулируемой
величины х и Pf — фиксирующей
нагрузку. Если регулятор работает только по
отклонению, Pf будет отсутствовать.
Перемещение регулирующего органа у=и—у,
где v и и — соответственно выходные
координаты регуляторов по отклонению Рх
и Pf.
Объект регулирования уже не относится
к числу рассмотренных выше звеньев с
одним входом и одним выходом. Уравнение
статики объекта будет содержать несколько
переменных. Рассмотрим случай, когда выходная координата х
объекта будет функцией двух переменных — перемещения
регулирующего органа у и нагрузки /:
Рис. V.12. Эквивалентная
статическая схема
системы комбинированного
регулирования по
отклонению и нагрузке
Х = <5(У> /)•
(V.23)
Геометрически функция (V.23) может быть изображена
поверхностью в системе координат х, у и /. Но построение
пространственных моделей не всегда удобно, поэтому статическую
характеристику объекта обычно представляют в виде семейства
характеристик:
х = аг {у)
при различных постоянных значениях /;
х - а2 (/)
при различных постоянных значениях у.
152

На рис. V.13, а статические характеристики объекта первого
типа показаны семейством кривых /, обозначенных /0, Д...
Кривая /0 — кривая холостого хода объекта, соответствующая / = 0.
Статическая характеристика регулятора по отклонению х = cpj (у)
(при отсутствии канала воздействия по нагрузке) находится в
семействе кривых // и обозначена /0. Это падающая кривая, так как
при уменьшении х открытие регулирующего органа должно
возрастать. Точки пересечения этой кривой с характеристиками
объекта дают нам значения х при различных нагрузках, устанавливаю-
Рис. V.13. Статические характеристики системы комбинированного
регулирования:
а — семейства характеристик объекта / и регулятора по отклонению 11;
б — статическая характеристика регулятора по нагрузке
щиеся в системе регулирования только по отклонению. По этим
данным можно построить и характеристику регулирования
* = »(/), (V.24)
которая представляет собой зависимость регулируемой величины
от нагрузки.
Если мы знаем статические характеристики регулятора по
нагрузке и = ф2 (/), мы можем построить статические характеристики
комбинированного регулятора по отклонению и нагрузке.
Зададимся /=Д и вычислим их = ф2 (/i). Эта величина
добавится к воздействию v регулятора Rx. Следовательно, сместив
кривую /0 регулятора вправо на иъ получим характеристику
комбинированного регулятора для / = Д. Далее также находим значения
смещения характеристик для / = /2 и т. д., в результате чего
получаем семейство кривых Л регулятора. Отметим точки
пересечения кривых регулятора и объекта, имеющих одинаковые индексы fh
т. е. точки А0, Аъ ... Через эти точки пройдет статическая
характеристика системы комбинированного регулирования (штри-
153

ховая линия). Как видно, при соответствующем подборе
характеристик ее можно сделать горизонтальной прямой.
С помощью описанных характеристик можно решать и обратную
задачу подбора характеристик регуляторов. Пусть, например,
заданы характеристика объекта, регулятора по напряжению, и
характеристика регулирования А0А3 (рис. V.13, а). Опускаем из
точек Аъ А2 ... перпендикуляры на ось у и находим значения иь
и2 ..., соответствующие нагрузкам /ь /2... По этим точкам строим
требуемую статическую характеристику регулятора по нагрузке
(рис. V.13, б).
Статическая характеристика линейной замкнутой системы. Пусть
даны уравнения:
статики объекта
x-Ky-kj', (V.25)
статики регуляторов по нагрузке и отклонению
У\ = — V> #2 = *«/; (v-26)
связи регуляторов с регулирующим органом
*/ = i/i + 02 = — V + kHf (V.27)
(знак минус при воздействии по отклонению указывает на
отрицательную обратную связь по отклонению).
Определим зависимость регулируемой величины от
нагрузки, исключив у из выражений
(V.25) - (V.27):
v __ КК — *i
*Ш* ■ —.^.^«^^
— 1+м;Л (V-28)
для регулятора только по
отклонению kH = О
X =
/. (V.29)
1 "т RoRp
4. СТАТИЗМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рис. V.14. Статическая харак- ПУСТЬ Дана характеристика регу-
теристика регулирования без лирования (рис. V.14)
зоны нечувствительности а /£\
J X = Ф (/).
Обозначим через fH номинальную нагрузку, хт\п —
соответствующее ей значение регулируемой величины, а хтах — значение
регулируемой величины при холостом ходе.
Введем обозначения относительных отклонений:
f-
/н
(V.30)
154

Относительный наклон характеристики в какой-либо точке
(V.31)
dv
называется статизмом регулирования в данной точке.
При этом если характеристика линейна, то
И'тах xmin
vmax ~~ °— fn
хтах -^min
•^min
Srmax "шш "max "ram дг «о\
= — v~ ^ 0=7— =—7~ • (V*32)
vmax H LH min
fn
Регуляторы на параллельно работающих машинах. Если
несколько машин со статическими регуляторами работают
параллельно (например, электрические генераторы на общую сеть), то
при жесткой связи между ними регулируемая величина будет общей
для всех машин.
Пусть схема отрегулирована так, что при отсутствии нагрузки
все машины работают на холостом ходу, т. е. нет перекачки энергии
из одной машины в другую, тогда
|i = — 6xVi = — 62v2 ==... = — dnvn
где б,- — статизм регулирования 1-й машины;
V; — нагрузка t-й машины.
Откуда
ую
п
"'-—£■ 2v*—»*2 -5Г5
i=1 i=\
V, 1
2" e-U
(V.33)
т. е. каждая машина берет долю о0щей нагрузки, обратно
пропорциональную ее статизму регулирования.
Отсюда видно, что при астатическом регулировании параллельно
работающих машин распределение нагрузок между агрегатами
становится неопределенным. Для того чтобы устранить этот недостаток,
нужно снабдить САР дополнительным устройством автоматического
распределения нагрузок или задать определенные величины ста-
тизмов 6t-, обеспечивающие распределение нагрузок с заданной
точностью.
Наличие зоны нечувствительности в регуляторе приводит к
возрастанию установившейся ошибки в системе.
Если обозначить х0 тах и х0 т\п минимальное и максимальное
значения регулируемой величины, которые имели бы место при
идеальном регуляторе (без зоны нечувствительности) при статизме
регулирования б, то действительные максимальные и минимальные
155

значения регулируемой величины при наличии зоны
нечувствительности шириной ±Ал:е (рис. V.15) будут равны
■^тах == %о max "Г &Х&> -^min = ^о min — Д#в>
откуда максимальная относительная установившаяся ошибка
Ашах = **" ~~*min = Х° тах""Х° т1п + -^- - б + 2в, (V.34)
Х0 min xo min xq min
где e = ? относительная ширина зоны нечувствительности.
Х0 min
Величину е целесообразно сделать возможно меньшей, но
чрезмерное уменьшение е удорожает регулятор, поскольку при этом
повышается его класс точности. Обыч-
'ё/г/ту^ но ПРИ установке регуляторов про-
^^Ш^^^г^7^-Х мышленного выпуска 8 принимается
\zzzrs~s~s~jrz&^^^n\ как заданная величина.
! ^ Если речь идет о регулировании
j параллельно работающих агрегатов,
~f то при заданной точности распределе-
Рис. V.15. Статическая харак- ния нагрузки между агрегатами мож-
теристика регулирования при но установить определенную связь
наличии зоны нечувствительно- между б И 8 [3].
сти в регуляторе При заданном значении
регулируемой величины х0 наличие зоны
нечувствительности в регуляторе приводит к тому, что значение
нагрузки внутри зоны становится неопределенным в пределах зоны
/0 ± А/, При этом д _ 6 min
Ж " ~ЛГ (V-35)
или
* = ^-, (V.36)
Че
АЛ
где г)в =~^- — относительная максимальная погрешность в рас-
Тн
пределении нагрузки.
Если заданы допустимые отклонения Атах и г]£, то, решая
совместно уравнения (V.34)—(V.36), получим
5. СТАТИКА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ РЕГУЛИРУЕМЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
Рассмотрим объект регулирования с линейной статической
характеристикой, характеризующейся двумя регулируемыми
величинами, управляемый двумя регулирующими органами и зависящий
от двух нагрузок. При большем числе переменных методика анализа
сохраняется, но выкладки становится более громоздкими.
156

Уравнения статики объекта в отклонениях от равновесного
состояния запишем в виде
*i = <*иУ1 + апУ2 + бц/i + b12f2\ J 3g
X* = А21Й + а22У2 + b21h + b22f2t J
где х — отклонения регулируемых величин:
у — отклонения регулируемых органов;
/—изменения нагрузок.
Рассмотрим общий случай комбинированного регулятора,
действующего по отклонениям и нагрузкам. Статические
характеристики регулятора выразим уравнениями
У\ == С11Х1 + ^12^2 + #11/1 + "12/2» | /у QQ4
У2 — С21*1 Н~ С22*2 + "21/1 "Ь "22/2- J
Поставим задачу выбрать коэффициенты связей су регуляторов
по отклонениям и dy регуляторов по нагрузкам с регулирующим
органом так, чтобы удовлетворить условиям независимости
установившихся значений координат от нагрузок (эти условия называются
условиями статической инвариантности координат по нагрузкам)
и условиям независимости координат друг от друга (условия
статической автономности).
Условия полной статической инвариантности получим,
приравняв нулю частные производные от координат хх и х2 по
нагрузкам Д и /2:
дхг __ dxi _ дх2 __ дх2
0. (V.40)
Дифференцируя формулу (V.39) по Д и по /2 и учитывая
выражение (V.40), найдем
dfx ~ fl"' df2 - a™>
дУ* — и дУ* — и
д?2 ~ 21' df2~~ 22'
(V.41)
Дифференцируя уравнения (V.38) сначала по fl9 а затем по f2y
и учитывая (V.41), получим четыре уравнения:
andn + a12d21 + bn = 0; )
«11^12 + ai2rf22 + b12 = 0;
a2ldn + a22d21 + b21 = 0;
#21^12 + #22^22 + &22 = 0-
(V.42)
167

Решая уравнения (V.42) относительно du, d12, dn, d22, получим:
du = -г (ацЬп — 6па2з). d2l = х (fl2i&n ~ «iAi);
(V.43)
of,
(#12^22 ^22^12/» ^22 ~ А (^21^12 ^11^22/»
где А = апа22 — а12а21.
Условия автономности состоят в том, что мы требуем
независимости координат хг и х2 друг от друга. Их можно получить,
приравняв нулю частные производные от одной координаты по
другой, т. е.
^1 = --2 = О
дх2 dxi
(V.44)
Дифференцируя уравнения (V.39) по xL и х2 и учитывая (V.44),
найдем:
дх[ ~~ Сп' Ьх2 ~ Cl2'
дхг
ду±
Ь21' дх2
(V.45)
Дифференцируя уравнения (V.38) сначала по xlf а затем по
х2, и учитывая (V.45), получим четыре уравнения:
^11^11 I ^12^21 == * > I
^21^11 ~Г ^22^21 == ^»
^11^12 I ^12^22 == ^>
^21^12 Т" #22^22 == * • J
(V.46)
Решая эти уравнения относительно си, с12, с21 и с22, получим:
с*
Г — -22
^11 - д-,
и11
Г — *«
'12
-21
L22
д
«и
Д
(V.47)
Рассматривая выражения (V.43) и (V.47), можно сделать
вывод, что условия статической автономности не зависят от
коэффициентов b и d, т. е. от степени влияния нагрузок на регулируемые
величины и от коэффициентов воздействия по нагрузкам в цепи
регулирования, и могут быть обеспечены путем соответствующей
настройки регулятора, действующего только по отклонению.
Условия статической инвариантности зависят от коэффициентов b
и d и могут быть обеспечены регулятором, действующим только
по нагрузке. Путем соответствующей настройки комбинированного
регулятора, действующего и по отклонению и по нагрузке, можно
т

получить одновременное выполнение условий автономности и
инвариантности.
Аналогичным образом можно определить параметры связей, при
которых обеспечиваются заданные величины статизмов
регулирования по различным координатам и нагрузкам. Для этого вместо
равенства (V.40) следует использовать соотношения:
(V.48)
где хгб, *2б, Дб, /гб — базовые значения соответствующих
координат и нагрузок;
б/у- — заданные коэффициенты статизма i'-й координаты по /-й
нагрузке.
Дифференцируя уравнения (V.39) по Д и /2 и учитывая
соотношения (V.48), получим уравнения:
^=2c»^e«+rfv '»/=*»2 ••• (V-49)
k
Дифференцируя уравнения (V.38) сначала по Д, а затем по Д
и используя уравнения (V.49), получим четыре уравнения, из
которых можно определить четыре коэффициента с,-у при заданных
dij (в частности и при dtj = 0) и заданных статизмах 6l7.
Л#7£/М7УРЛ
1. Воронов А. А Элементы теории автоматического регулирования.
Изд. 2-е. М., Воениздат, 1954, стр. 77—78.
2. В о р о н о в А. А. Основы теории автоматического управления, ч. I.
М., Изд-во «Энергия», 1965.
3. Остры й П. П. Автоматическое регулирование частоты и активной
мощности импульсными регуляторами. М., Госэнергоиздат, 1954.

ГЛАВА VI
ТИПИЧНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В задачу настоящей главы не входит рассмотрение всего
многообразия нелинейных характеристик различных объектов,
регуляторов и их устройств. Мы постараемся по возможности выделить
из числа существенных нелинейных характеристик типичные для
систем автоматического регулирования и показать, как эти типичные
нелинейности могут быть представлены математически и выявлены
экспериментально.
1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Движение различных объектов регулирования, элементов
регуляторов, сервомеханизмов и т. д. часто можно описать
уравнениями вида
А^ = Мг-М,\ /,*,*, = 1, 2, ..., п, 1Ф\. (VI.1)
Так, например, в случае двигателя (к = 1) х = со — угловая
скорость вращения вала машины; Mt = Мд—движущий момент;
Mj = Мс — момент сопротивления; коэффициент А = J — момент
инерции вращающихся масс.
В случае газового резервуара х = у — плотность газа; Mt =
= Dn — количество подаваемого газа в единицу времени; Mj =
= Dom — количество отводимого газа в единицу времени;
коэффициент А = V — емкость газового резервуара.
Правые части уравнений вида (VI. 1) могут являться различными
функциями времени, обобщенных координат системы и их
производных по времени. Коэффициенты левых частей также могут
меняться как в функции времени, так и в зависимости от координат.
Исходя из задачи настоящей главы, примем, что коэффициенты
левой части уравнений (VI. 1) постоянны; рассмотрим лишь
зависимости правых частей уравнений (VI. 1) от обобщенных координат
и их производных. Эти зависимости представляют характеристики
160

Мдо\Мсо
Рис. VI. 1. Характеристики двигателя
Мс (со) и Мд (т, со)
машин, процессов, устройств автоматического регулирования и т. д.
при разных условиях и режимах их работы.
Нас будут интересовать выражения этих зависимостей при
различных установившихся режимах, а потому такие
характеристики, представляющие функциональную связь правых частей
уравнений от координат в
различных установившихся состоя- ^д 'Л
ниях, называются статическими
(см. гл. V).
В большинстве случаев
статические характеристики систем
автоматического регулирования
являются нелинейными
характеристиками сложного вида,
(рис. VI.1). Так, например, если
рассматривать двигатель,
основным исходным уравнением
которого является приведенное выше
уравнение (VI. 1) для случая вращающихся масс, то движущий
момент его зависит (приближенно) от координаты регулирующего
органа г и угловой скорости со, а момент сопротивления — от угловой
скорости со. На рис. VI. 1 равновесное состояние двигателя
обозначено индексом 0.
Или, если рассматривать процесс заполнения газом объема V,
исходным уравнением динамики которого является уравнение,
выражающее закон сохранения
материи, то количество
подаваемого газа в единицу
времени можно представить
приближенно, характеристикой,
изображенной на рис. VI.2,
при постоянном давлении
источника ра в зависимости
от проходного сечения
регулирующего органа Fs и
давления газа р в резервуаре.
Наконец, если
рассматривать процесс вращения
электрического серводвигателя с релейным управлением, то снова
исходным уравнением его движения будет уравнение (VI. 1) для случая
вращающихся масс. При этом его движущий момент будет зависеть
от координаты входа управляющего элемента — тока реле if а
момент сопротивления M'ci — от угловой скорости со и нагрузки М'^.
Характеристики серводвигателя для различных постоянных
нагрузок приведены на рис. VI.3 и VI.4.
Отличительной особенностью некоторых характеристик звеньев
систем автоматического регулирования является возможность
Рис. VI.2. Характеристики притока газа
Dnp в зависимости от противодавления р
и сечения регулирующего органа Fsi
6 Техническая кибернетика, кн, 1
161

линеаризации их, т. е. замены на некоторых участках в небольшом
диапазоне прямыми, несущественно отличающимися от этих
характеристик. Линеаризация характеристик иногда может быть
проведена не для всех режимов работы систем автоматического
регулирования, а для какого-либо одного, представляющего основной
интерес.
В этом случае нелинейные участки характеристик около
выбранного положения равновесия заменяются линейными (например,
касательными с угловыми коэффициентами, отличными от нуля и
бесконечности).
Диапазон линеаризации зависит от вида этих нелинейных
характеристик и при сравнительно малой нелинейности может
охватывать большинство режимов
Мд'М мр fy Мс1йМс работы исследуемой системы.
Мэ=const
и
МС"*0
п
Мег
и
Mi
сз
1>ср
Lm «
Рис. VI.3. Характеристики
электропривода постоянного тока, управляемого
при помощи реле (М'^ — постоянные
нагрузки)
Рис. VI.4. Характеристики
электропривода постоянного тока,
управляемого при помощи реле
Будем называть характеристики, линеаризуемые в достаточно
широком диапазоне, или характеристики, диапазон линеаризации
которых является не столь существенным для исследования
устойчивости и качества переходных процессов систем автоматического
регулирования, несущественными нелинейными
характеристиками. Наряду с последними имеются также
такие, линеаризовать которые нельзя без потери их существенных
особенностей. К таким характеристикам относятся нелинейные
характеристики, которые не могут быть линеаризованы в требуемом
диапазоне изменения входной величины или представляются
функциями, которые не могут быть разложены в ряд Тейлора и пр.
Отличительной чертой этих характеристик является также разрывной
характер функции, а также ее первой, второй и т. д. производных
по входной координате.
В качестве примеров устройств, имеющих подобные
характеристики, могут быть приведены ламповый генератор, нелинейный
мост, серводвигатель с постоянной скоростью, устройства,
обладающие сухим трением, зазорами, релейной характеристикой и т, д.
162

Такие характеристики будем называть существенно
нелинейными.
В системах автоматического регулирования встречаются
устройства с разнообразными существенно нелинейными характеристиками,
но за последнее время рядом исследований нелинейных систем (см.,
например, [1]—[12]) из всего их многообразия выделен класс
существенно нелинейных характеристик, которые могут быть отнесены
к типичным нелинейным характеристикам систем автоматического
регулирования. Такие характеристики1 включают в себя зоны
нечувствительности, насыщения, неоднозначности (или гистерезиса) и т. п.
2. ВИДЫ ТИПИЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Прежде чем перейти к ознакомлению с примерами элементов
и устройств систем автоматического регулирования, обладающих
типичными нелинейными характеристиками, приведем их различные
виды (табл. VI. 1).
В табл. VI. 1 приведены не все возможные виды нелинейных
характеристик, а наиболее характерные и часто встречающиеся в
практике регулирования. В ней приведена примерная классификация
типичных нелинейных статических характеристик систем
автоматического регулирования. Для наглядности выделения основных
типичных зон и участков нелинейные характеристики представлены
в аппроксимированном виде с
помощью кусочно-линейных функций.
Заметим, что по оси абсцисс
отложена входная координата
устройства хвх, а по оси
ординат — выходная координата xejlx,
которые могут означать
отклонения, скорости, ускорения и др. Их
физический смысл будет рассмотрен
ниже на конкретных примерах.
От масляного
насоса
На слиЗ
Рис. VI.5. Схема гидравлического
серводвигателя, управляемого
отсечным золотником
3. ТИПИЧНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим ряд примеров
устройств автоматического
регулирования, имеющих типичные нелинейные характеристики.
В качестве первого примера возьмем характеристику
гидравлического серводвигателя, управляемого отсечным золотником.
На рис. VI.5 изображена схема этого устройства, а на рис. VI.6 —его
статическая характеристика Ts\x = ф(а), где |Х — относительная
1 В дальнейшем нелинейные характеристики разбиваются на зоны и
участки. Участок характеристики, охватывающий начало координат, будем
называть зоной.
6*
163

Таблица VIA
Виды типичных нелинейных характеристик систем
автоматического регулирования
(примерная классификация)
Наименование
характеристик
Линейная
Нелинейная
однозначная
То же
Нелинейная
неоднознач-.
ная
То же
Вид характеристики
*6ых
~/
*8ЫХ
Чых\
А
*8ь>х
*бых
ZJ
*вы>
L
/.
*ь*
Г
хвх
J
*ел
*Вх
V
V *9*
Краткое описание
характеристики
Линейная
характеристика во всем
диапазоне изменения
входной координаты
Квадратичная
характеристика
(аппроксимированная
кусочно-линейной
функцией)
То же
Характеристика
устройства с
ограниченным изменением
выходной
координаты (отклонение,
скорость, ускорение)
То же, но с
перекрытиями в
управляющем устройстве или
трением в
исполнительном элементе
Характеристика
устройства, имеющего
зазор, сухое трение
Характеристика
устройства,
имеющего зазор, трение и
ограничение
изменения выходной
координаты
Основные зоны^
(участки) нелинейной
характеристики
Линейная зона
Зона и участки
линейности
То же
Линейная зона,
участки
насыщения
Зона
нечувствительности; участки
линейности;
участки насыщения
Зона
неоднозначности
Зона
неоднозначности; участки
насыщения
164

Продолжение табл. VI.1
Наименование
характеристик
Нелинейная

неоднозначная
То же
Нелинейная

неоднозначная
несимметричная
Нелинейная
однозначная
То же
Нелинейная
Релейная
однозначная
Вид характеристики
*вых
1/
*6ы>
и
хвых 1
/У
-II
*6ых 1
/1
/
Л
х8ых
А
*вых
—1j
\п
1 хвх
1 *вх
\fT
1
| *1*
/
/ *вЛ
/ *вх
г г1
1 Чх
*8ых 1
*ta
Краткое описание
характеристики
Характеристика
устройства,
имеющего зазор, трение и
перекрытие в
управляющем устройстве,
предварительный
натяг и т. п.
Характеристика
устройства,
имеющего зазор, трение,
перекрытие и
ограничение выходной
координаты
То же, но для
несимметричной
характеристики
Характеристика
устройства с
отрицательными
перекрытиями (струйная
трубка и т. д.)
Характеристика
устройства с
отрицательными
перекрытиями, но при
ограниченности
изменения выходной
координаты
Характеристика
устройства с
релейным изменением
выходной координаты за
линейной частью
Характеристика
релейного устройства
серводвигателя с
постоянной скоростью
и т. п.
Основные зоны
(участки) нелинейной
характеристики
Зона
нечувствительности, участки
неоднозначности
Зона
нечувствительности; участки
неоднозначности;
участки
насыщения
То же
Отрицательная
зоны
нечувствительности; участки
линейности
Отрицательная
зоны
нечувствительности; участки
линейности;
участки насыщения
Зона
линейности; зона
насыщения при релейном
переходе
Участки
насыщения
165

Продолжение табл. VI.1
Наименование
характеристик
Релейная
однозначная
Релейная

неоднозначная
Релейная

неоднозначная
несимметричная
Релейная

неоднозначная
То же
Линейное
поле
характеристик
Вид характеристики
Ных
J
Хвых\
1 1
*бых
*Вых
*8ых
|;
*Вык
■А
w
\Г
*вх
*в*
хдх
h4-!
1 хвх
f
у *вх
Краткое описание
характеристики
Характеристика
релейного устройства
серводвигателя с
постоянной скоростью,
имеющего
межконтактное расстояние, 1
перекрытия и т. п.
Характеристики
релейного устройства,
имеющего зазор,
сухое трение, гистерезис
и т. п.
То же, но для
несимметричной
характеристики
Характеристика
несимметричного
релейного устройства,
имеющего зазор,
сухое трение,гистерезис
и т. п.
Характеристики
устройства с
релейным управлением при
учете в нем сухого
трения
(серводвигатель с релейным
управлением с учетом
трения)
Характеристики ли-
| нейного устройства
при различных
значениях параметра у
(например, при
различных постоянных
нагрузках)
Основные зоны
(участки) нелинейной
характеристики
Зона
нечувствительности; участки
насыщения
Зона
неоднозначности, участки
насыщения
То же
Зона
нечувствительности; участки
насыщения;
участки
неоднозначности
Участки
неоднозначности,
совмещенные с
участками насыщения
Линейное поле
характеристик
, , 4 1.Щ. -_
166

Продолжение табл. VI.1
Наименование
характеристик
Вид характеристики
Краткое описание
характеристики
Основные зоны
(участки) нелинейной
характеристики
Нелинейное
поле
характеристик
То же
х6ых
хбх
х6ых
х6ы,\
W
Характеристики
нелинейных устройств
при различных
значениях параметра у
(серводвигатель,
управляемый отсечным
золотником при
различных постоянных
нагрузках)
То же, при
ограниченном изменении
выходной координаты
Характеристики
нелинейного устройства
при различных
значениях параметра у
и при ограничении
изменения выходной
координаты
(серводвигатель,
управляемый струйной
трубкой, дросселями и
другими элементами,
при различных
постоянных нагрузках)
и т. п.
Характеристики
нелинейного устройства
при учете сухого
трения в серводвигателе,
расстоянии между
соплами струйного
управляющего
элемента и т. п.
Нелинейное
поле характеристик,
отражающее
произведение двух
переменных
Нелинейное
поле характеристик,
отражающее
произведение двух
переменных
Зона линейности
(линейное поле
характеристик),
участки насыщения
(нелинейное поле
характеристик)
Зона
нечувствительности; участки
линейности
(линейное поле
характеристики);
участки насыщения
(нелинейное поле
характеристик)
Поле
релейных
характеристик
х8ых
ш
хдх
Характеристики
устройства с
релейным управлением для
различных
постоянных нагрузок при
учете
межконтактного расстояния и т. п.
Зона
нечувствительности; участки
насыщения
(нелинейное поле
характеристик)

Продолжение табл. VI. 1
Наименование
характеристик
Вид характеристики
Краткое описание
характеристики
Основные зоны
(участки) нелинейной
характеристики
Поле
релейных
характеристик

неоднозначное
хвых
ш
Р!
*8х
То же при учете
коэффициента
возврата реле и т. п.
Зона
нечувствительности; участки
неоднозначности;
участки
насыщения
Нелинейное
поле
характеристик
Характеристики
устройства при
учете гистерезисных
свойств и
зависимости от величины
изменения входной
координаты
Поле
нелинейных
неоднозначных характеристик
величина скорости поршня сервомотора; о — относительный ход
золотника; Ts — постоянная времени.
Характеристика представляет зависимость скорости
перемещения ненагруженного поршня серводвигателя от хода золотника при
. отключенной обратной свя-
^' ' * зи. Эта характеристика
является нечетной функцией
и может быть представлена
в следующем виде:
Ф(о) = -ф(-а), (VI.2)
а также аппроксимирована
с достаточной для целей
практики точностью
кусочно-линейной функцией
(штриховая линия на рис.
VI.6). Как действительная,
так и аппроксимированная
функции включают в себя
три типичные зоны (или
участка) характеристики: зону нечувствительности, участки
линейности и насыщения. В дальнейшем для простоты изложения
будем рассматривать нелинейные характеристики,
аппроксимированные кусочно-линейной функцией.
В зоне нечувствительности выходная координата серводвигателя,
скорость движения поршня, не изменяется и равна нулю, несмотря
на наличие входного сигнала.
Значения о = ±ав, при которых ji = 0, определяют величину
зоны нечувствительности.
Рис. VI.6. Характеристика гидравлического
серводвигателя, управляемого обычным
золотником
168

В данном примере зона нечувствительности вызывается в
основном наличием перекрыш поршней золотника относительно его
впускных окон.
На участке линейности выходная координата изменяется
примерно пропорционально величине открытия окон золотника как
при открытии окна, впускающего масло в одну полость поршневого
исполнительного механизма, так и при открытии окна,
выпускающего масло в противоположную полость.
При дальнейшем перемещении золотника, если увеличения
проходных сечений больше не происходит, то количество поступающего
масла остается неизменным. Скорость поршня на этом участке хода
золотника постоянна и не зависит от величины его перемещения.
На характеристике показан участок насыщения от -\-ал (или
от —о J до +от (или —ат) максимального хода золотника. Ха-
Рис. VI.7. Графики изменения скорости
безынерционного гидропривода во времени при синусоидальном
колебании золотника
рактеристика такого серводвигателя представляет существенно-
нелинейную функцию. Для того чтобы более наглядно показать
существенную нелинейность характеристики, на рис. VI.7
приведены графики изменения скорости гидравлического поршневого
исполнительного механизма во времени ji при синусоидальном
колебании золотника a = cr0sin(o/; через Tsl и Ts2 обозначены
постоянные времени серводвигателя. Покажем теперь, как нелинейная
характеристика серводвигателя может быть представлена
математически. Например, с помощью кусочно-линейной аппроксимации
функции ее математическое выражение будет иметь следующий вид:
Ф(а):
+ JT
* S
при
•=^(а —
1 S
О при
у.) при
1°1<<г.;
(VI.3)
(a + ffe) при о*
при а:
169

От масляного
насоса "*"
На слад
Рис. VI.8. Схема мембранного
механизма, нагруженного золотником
В качестве другого примера возьмем характеристику
мембранного исполнительного механизма, нагруженного гидравлическим
золотником и нулевой пружиной. Схема этого устройства
изображена на рис. VI.8, а его статическая характеристика о = <р (р) —
на рис. VI.9 (где о — относительный ход золотника, р
—относительная величина перепада
давления воздуха на
мембране).
Характеристика
представляет зависимость перемещения
золотника, поджатого нулевой
пружиной, от перепада
давления воздуха по сторонам
мембраны. Эта характеристика,
снятая при прямом и обратном
ходе, т. е. при изменении
перепада давления воздуха сначала
в одном направлении, а затем в
другом, показывает, что зависимость между аир представляет
существенно нелинейную неоднозначную функцию. В
характеристике можно выделить два типичных участка нелинейности: зоны
нечувствительности и неоднозначности. Последние имеют вид
петель. Участки
неоднозначности характеристики могут
перекрывать частично или
полностью зону
нечувствительности.
Линейные участки
характеристики показывают, что на
этих участках выходная
координата о изменяется (для
р ^>0) пропорционально
разности (р—ре2) при движении
в одну сторону и разности
(р—P.i) ПРИ движении в
другую сторону.
Появление зоны
нечувствительности в этом примере
вызывается предварительным
поджатием нулевой пружины и сухим трением в золотнике.
Участки неоднозначности вызываются только наличием сухого
трения в золотнике. Наклон линейных участков
характеристики определяется коэффициентом жесткости нулевой
пружины.
Необходимо отметить, что вид статической характеристики
такого устройства во многом зависит от гидродинамических
усилий, действующих на поршни золотника при протекании через
8од.ст;р
без протекания
моем через золотник
При протекании
тела через золотник
Рис. VI.9. Статическая характеристика
мембранного механизма, нагруженного
золотником: х — перемещение штока
золотника р
170

Ъ(р№
~Лл
-А О
Je
J)*'
J>
Рис. VI. 10. Характеристика
мембранного устройства,
нагруженного золотником и нулевой пружиной
с учетом предварительного под-
жатия
него масла и особенно при открытии и закрытии окон
золотника 1.
При уменьшении перепада давления воздуха на мембране, т. е.
при уменьшении силы, действующей на золотник, поршень
золотника остается неподвижным в
отклоненном состоянии, пока
перепад давлений не уменьшится на
величину, соответствующую
удвоенной силе трения; таким
образом, ширина петли определяется
удвоенной величиной силы сухого
трения. Если допустить, что в
золотнике нет сухого трения, то
характеристика о = фх (р) при
наличии только предварительного
поджатая пружины будет иметь
вид, графически изображенный на
рис. VI. 10.
Графики перемещения
золотника во времени при синусоидальном колебании перепада
давления воздуха на мембране
приведены на рис. VI. 11.
Математическое
описание характеристики,
приведенной на рис. VI. 10,
аналогично данному ранее
для характеристики,
показанной на рис. VI.6. Если
же допустить, что в
золотнике действуют силы
сухого трения, а
предварительного поджатая у нулевой
пружины нет, то
статическая характеристика
изменится и будет иметь вид,
графически изображенный
на рис. VI. 12. В этом
случае статическая
характеристика о = Ф2(р) имеет гистерезисный вид и зависит не только от
значения р, но и от знака скорости изменения а. Для наглядности
1 Для золотников с поршнями диаметром до 6 мм и при давлении масла
на входе до 10 кг/см2 эти гидродинамические усилия сравнительно малы, но
для золотников больших диаметров таким явлением уже нельзя пренебречь,
так как оно значительно влияет на увеличение зоны нечувствительности.
Явления в золотниках, связанные с гидродинамикой, сравнительно малоизучены;
можно указать на работу А. В. Щегляева [14], в которой приведены
некоторые результаты экспериментальных исследований и рекомендации
относительно конструктивного выполнения золотников.
б,р
0
/ У/^ р -р0 sin cut
С-коэффициент Vv4*--*S
жесткости. V4,4-—^
пружины \^ j
,/]
Ж- t
Рис. VI.11. Графики перемещения
золотника во времени при синусоидальном
колебании перепада давления воздуха на
мембранном устройстве (сдвиг по фазе между
р и о не учитывается, устройство
рассматривается как статическое звено с
характеристикой, изображенной на рис. VI. 10)
171

представления движения элемента с такой характеристикой на
рис.VI. 13 изображены графики изменения а во времени при
синусоидальном колебании р.
Характерным является возникновение участков «зависания»
координаты а, вызванное наличием сухого трения в золотнике (на
участках 2р8 изменения а не происходит). В отличие от графика
рис. VI. 11 выходная координата а не имеет зоны покоя в области
нулевых значений. Эги особенности приводят к существенному
различию влияния на динамику систем автоматического регулирования
Рис. VI. 12. Характеристика
мембранного устройства,
нагруженного золотником и
пружиной, при учете сухого
трения в золотнике
б;р
/I \
6(t);c=
P'Posit
lUlt
\J_J/ *
-А
Рис. VI. 13. График перемещения
золотника во времени при
синусоидальном колебании перепада давления
воздуха на мембранном устройстве
(сдвиг фаз между а и р не
учитывается, устройство рассматривается как
статическое звено с характеристикой,
изображенной на рис. VI. 12)
устройств с сухим трением и предварительного поджатия пружины,
хотя нечувствительность системы может иметь одно и то же
значение.
Характеристику безынерционного устройства с сухим трением
можно записать
ko = р— esgncr, (VI.4)
где k — постоянный коэффициент;
е — коэффициент нечувствительности, характеризующий
величину силы трения;
sgn a = +1 при a^> 0;
sgn a = —1 при a <^ 0.
Если же a = 0. то уравнение заменяется соотношением a = a0.
Последнее выражение показывает, что в течение некоторого
промежутка времени координата а имеет неизменное значение а0,
соответствующее мрменту остановки золотника. Пока входная
координата не изменится настолько, чтобы превысить силу сухого
172

трения выходная координата не будет изменяться. С изменением
направления действия выходная координата начнет меняться лишь
тогда, когда значение входной координаты изменится на величину,
равную удвоенному значению силы сухого трения. Итак,
характеристика устройства с сухим трением может быть описана:
ko = р — е, если \ko — р|^>е и а]>0;
ко = р -f е,
а = const,
если
если
\ka-
\ka-
-р|<8.
и а<0;
(VI.5)
Приведем еще одну типичную нелинейную характеристику, часто
встречающуюся в системах автоматического регулирования, осо-
-Q $ е —, бенно, когда элементом, управляющим
подачей энергии, является электрическое
реле. В качестве примера рассмотрим
устройство, представляющее электрический
серводвигатель, управляемый с помощью
Рис. VI. 14. Схема
управления электроприводом
с помощью реле
Рис. VI. 15. Статическая характеристика двух-
позиционного реле
реле. Схема этого устройства изображена на рис. VI. 14, а
статическая характеристика реле — на рис. VI.15. Характеристика
представляет зависимость напряжения и, подаваемого на клеммы
электродвигателя (обычно через рабочие контакты реле), от тока
управления i. Включенное напряжение является выходной
координатой элемента, а ток управления — входной координатой. Эта
характеристика представляет собой так называемую релейную
характеристику, отличительной особенностью которой является
то, что выходная координата (напряжение) меняется скачком в
зависимости от изменения входной координаты (тока управления)
и может принимать одно из трех значений: +ит, О, —ит. Такая
характеристика является примером существенно нелинейной
функции. В последнем случае можно выделить три типичные зоны
нелинейности характеристики: зоны нечувствительности,
неоднозначности и насыщения.
Зона нечувствительности определяется величиной тока
срабатывания реле, которая, в свою очередь, определяется межконтакт-
173

ным расстоянием, а также тем, что для срабатывания реле
необходимо создать определенное давление между его подвижным и
неподвижным контактами и т. п.
Зону неоднозначности представляют петли, образуемые
вертикальными и горизонтальными участками характеристики. В этом
случае релейного включения энергии уже нет линейных участков
характеристики. Петля характеристики вызывается тем, что ток
отпускания реле имеет меньшее значение, чем ток срабатывания.
Таким образом, для одного и того же значения тока управления в
пределах тока срабатывания и тока отпускания реле могут быть два
значения включаемого напряжения: ±ит и и = 0.
Зоны насыщения определяются релейным характером
включения энергии, а именно: по достижении током управления величины,
равной току срабатывания, происходит включение напряжения на
полное значение, которое и остается неизменным для всех значений
тока управления, больших величины тока срабатывания реле (при
обратном ходе — больших величины тока отпускания реле).
График изменения напряжения на выходе реле при
синусоидальном колебании тока управления реле приведен на рис. VI. 16.
В отличие от предыдущего случая неоднозначной характеристики,
вызываемой сухим трением, выходная координата (напряжение и)
в области нулевых значений входной координаты равна нулю.
Однако в силу разных значений токов срабатывания и отпускания
реле выключение напряжения происходит с некоторым
запаздыванием по сравнению с моментом включения напряжения.
В заключение приведем математическое выражение нелинейной
характеристики релейного типа:
Ф (0 =
+ ит при i^i
ср
di_
dt
0 при
I ^ * отп '
lorn \ * \ 1ср
>0;
<0;
^ 0, если ф (/0) = + и„
>0;
di_
dt
di ■
It'
di_
dt
— icp < i < ic
— um при
I < icp
di
di
И -rr
dt
di ^ n
и Ж<°> (VI.6)
г 0, если ф (£0) = 0;
i «S — 1ср и
'<— lor,
ш<Ъ
dt
dt -^u'
di
1 it
0, если ф (/0) ^= — ип
174

Рассмотренные примеры характеристик различных устройств
автоматического регулирования (гидравлического серводвигателя,
мембранного механизма, нагруженного золотником и нулевой
пружиной, электрического реле) показывают, что в каждой из таких
характеристик обнаруживаются типичные нелинейности.
Так, в первом примере типичными нелинейностями являются
зона нечувствительности и участки насыщения, а также встроенные
между ними линейные участки. Во втором примере типичные
нелинейности — зона нечувствительности и участки неоднозначности,
причем последние представляют петли, составленные из двух
линейных участков характеристики, раздвинутых между собой на
ширину петли. Во втором
дополнительном примере
(с сухим трением в
золотнике) зона
нечувствительности и участки
неоднозначности совмещены,
образуя зону
неоднозначности в виде петли,
составленной из двух линейных и
двух горизонтальных
участков. При этом такой вид
характеристики может быть
и у устройств без сухого
трения, например у
некоторых устройств, имеющих
зазоры. В третьем примере
типичными нелинейностями
являются зона
нечувствительности, участки
неоднозначности и участки насыщения. Отличительной особенностью
такой характеристики является ее релейный вид. В этом случае
также возможны разные модификации такой релейной
характеристики, связанные с различными причинами, обусловившими
нелинейности.
Например, возможна релейная характеристика, в которой
совмещены зона нечувствительности и участки неоднозначности,
образуя зону неоднозначности в виде петли, составленной из двух
вертикальных и двух горизонтальных участков (характеристика
устройств с сухим трением и релейным включением энергии).
Зона нечувствительности практически всегда имеется в системах
автоматического регулирования, но в теоретических расчетах ее
иногда не учитывают ввиду малости последней. Выходная
координата реле в этом случае принимается (в пределе) равной нулю при
нулевом значении входной координаты и равной максимальному
значению с тем знаком, который определяется направлением
подхода входной координаты к нулевому значению.
Рис. VI. 16. График изменения напряжения
на выходе реле при синусоидальном
колебании тока управления (устройство
рассматривается как статическое звено с
характеристикой, изображенной на рис. VI. 15)
175

При отсутствии петли в релейной характеристике и зоны
нечувствительности получим нелинейную характеристику типа «да—нет»
(серводвигатель с постоянной скоростью). Если же учитывать зону
нечувствительности, то придем также к известной релейной
характеристике трехпозиционного типа или к характеристике
серводвигателя с постоянной скоростью и зоной нечувствительности и т. п.
Таким образом*, к типичным нелинейным характеристикам систем
автоматического регулирования, следящих систем и регуляторов
могут быть отнесены характеристики, содержащие зоны
нечувствительности, неоднозначности, насыщения, а также различные
характеристики релейного типа.
Следует отметить, что приведенные выше примеры не охватывают
всего многообразия нелинейных характеристик, поскольку
рассмотренные нелинейности по-разному отражаются в уравнениях
движения различных устройств автоматики. В частности, такие
нелинейные характеристики могут быть у элементов систем
автоматического регулирования, для которых уравнение динамики
представляется возможным заменить уравнением связи между входной
и выходной координатами. В этом случае нелинейности не входят
в дифференциальное уравнение. Эти нелинейности часто
присутствуют в характеристиках чувствительных элементов и их датчиков,
в преобразующих устройствах, в усилительных устройствах,
составляющих совместно со стабилизирующими устройствами
сервомеханизмы, регуляторы и т. д. Кроме того, нелинейности такого
типа встречаются и в характеристиках связей между
исполнительными элементами и регулирующими органами, а также и в
характеристиках самих регулирующих органов. Все это приводит к тому,
что влияние этих типичных нелинейностей на динамику систем
автоматического регулирования и их устройств различно. Это
влияние зависит не только от природы нелинейных характеристик,
а также от того, какому элементу системы автоматического
регулирования они принадлежат.
В связи с этим целесообразно подробнее рассмотреть причины,
вызывающие появление перечисленных типичных нелинейностей
в характеристиках различных устройств автоматического
регулирования, и и* влияние на вид этих характеристик.
4. ЗОНЫ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Дадим определение понятия нечувствительности системы
автоматического регулирования.
Если на вход системы или ее элементов, обладающих
нечувствительностью, подается сигнал, то пока величина этого сигнала не
превысит некоторого определенного значения на выходе, не
возникнет никакого ответного сигнала. Это пороговое значение входного
сигнала определяет величину нечувствительности данного
устройства или системы.
176

Пороговые значения входных сигналов разных знаков (разных
направлений) определяют величину зоны нечувствительности.
Для выявления зоны нечувствительности снимается статическая
характеристика системы или ее элемента, представляющая
зависимость выходного сигнала (выходной координаты) от входного
сигнала (входной координаты).
Зона нечувствительности отразится в виде некоторого участка
статической характеристики, расположенного по оси абсцисс (ось
входной координаты) около начала координат с ординатой
(выходная координата), равной нулю.
Появление зон нечувствительности в характеристиках различных
элементов может вызываться различными причинами, зависящими
от конструктивного выполнения данного устройства, типа его, вида
вспомогательной энергии и т. д. Заметим при этом, что как природа
нечувствительности, так и то, в характеристике какого элемента
системы автоматического регулирования имеется зона
нечувствительности (чувствительного, усилительного, исполнительного и
т. п.), существенно различно влияет на динамику системы. В одних
случаях наличие зоны нечувствительности может вызвать
неустойчивость системы или автоколебания ее, а в других случаях,
наоборот, способствовать устойчивости и подавлению автоколебаний.
Нечувствительность может вызываться, например, перекрышами
в управляющих элементах типа сопло — заслонка; перекрышами
в пневматических и гидравлических золотниках; предварительным
поджатием нулевых пружин; сухим трением в подвижных частях
различных элементов систем автоматического регулирования
(чувствительном, измерительном, усилительном, исполнительном и т. д.);
внешней нагрузкой постоянного действия и другими видами
нагрузки; зазорами в шарнирных и зубчатых соединениях элементов,
контактным давлением в реле, определяющим ток срабатывания,
и т. п.
Приведем ряд примеров устройств автоматического
регулирования, обладающих нечувствительностью, вызванной одним из
перечисленных факторов, а также рассмотрим, как влияет этот фактор
на вид статической характеристики.
На рис. VI. 17 изображена схема пневматического усилителя,
состоящего из управляющего элемента типа сопло—заслонка и
мембранного исполнительного механизма. Входной координатой
является угол поворота заслонки ос, выходной координатой — перепад
давлений воздуха по сторонам мембраны Др. Статическая
характеристика этого элемента изображена на рис. VI. 18.
Характеристика — однозначная, и зона нечувствительности определяется
только углом перекрыши заслонки. Эта характеристика показана
на рис. VI.18 сплошной линией 1. Если сопла пневмоусилителя
приводятся через зубчатую передачу, как это изображено на рис. VI. 19,
то статическая характеристика пневмоусилителя вследствие наличия
зазора Д в передаче будет иметь петлевой вид (рис. VI.20). Входной
177

координатой будет угол поворота конического зубчатого колеса р.
Зона нечувствительности определится не только углом перекрыши
заслонки ап (см., например, рис. VI. 17 и VI. 18), но и зазором
в передаче А.Величина ее, приведенная к углу поворота ведущей
шестерни, равна 2 (ря + -к].
\ Подбод воздухе *]|(*
Рис. VI. 17. Схема пневматического усилителя
Влияние перекрыши золотника, предварительного поджатия
нулевой пружины и сухого трения в золотнике на
нечувствительность и соответствующие этим случаям статические характеристики
нами уже рассмотрены.
мм вод.ст\
Рис. VI. 18. Статическая характеристика пневмо-
усилителя
На рис. VI.21 изображена схема передающего устройства с
зазором и нулевой пружиной, удерживающей поводок в среднем
положении. Статическая характеристика такого элемента
изображена на рис. VI.22. Существенным здесь является то, что, несмотря
на наличие зазора, характеристика не имеет петли и является
однозначной. Зона нечувствительности определяется величиной зазора.
Характеристика такого же устройства, но без нулевой пружины
(рис. VI.23, а), уже неоднозначна. Зона нечувствительности по-
прежнему равна зазору Д (рис. VI.24).
178

На рис. VI.23, б изображена схема устройства, имитирующего
трение вала в колодке. Момент, прикладываемый на вход,
пропорционален углу скручивания а. Величина момента сухого трения
пропорциональна -у. Устройство имеет такую же характеристику,
как и на рис. VI.24 (с петлей, ширина которой равна А). Зона
нечувствительности также равна А.
На рис. VI. 14 показана принципиальная схема управления
электроприводом с помощью реле, которую мы уже
рассматривали. Пусть входной координатой является угол поворота
подвижного контакта (якоря) реле а, а выходной координатой —
напряжение на клеммах электродвигателя и. Если коэффициент возврата
реле можно не учитывать и считать
равным единице, то статическая
Рис. VI. 19. Схема управляющего
элемента сопло—заслонка с приводом
через зубчатую передачу (в передаче
имеется зазор)
Рис. VI.20. Статическая
характеристика усилителя при наличии зазора
в передаче
характеристика такой системы будет иметь вид, графически
изображенный на рис. VI.25. Характеристика является однозначной
релейного типа. Зона нечувствительности в этом случае
определяется расстоянием между контактами.
На рис. VI.26 приведена схема гидравлического исполнительного
механизма, управляемого струйной трубкой. В подвижных частях
привода имеется трение (в подшипниках, в уплотнении, между
поршнем и цилиндром и т. п.). Гидропривод не нагружен. Входной
координатой является угол поворота струйной трубки г], а выходной
координатой — скорость перемещения поршня гидропривода [i.
Статическая характеристика такого устройства изображена на
рис. VI.27. Характерным является то, что влияние сухого трения
в этом случае аналогично влиянию перекрыш в отсечном золотнике.
Характеристика в таких координатах не имеет петли. Попутно
отметим, что сухое трение в гидроприводах с отсечными золотниками
будет сказываться по-иному: в статических характеристиках типа
jx = <р (а) при постоянном давлении масла перед золотником
проявление его нельзя будет обнаружить,
179

^f
p
2
*i
a
Рис. VI.21. Схема устройства с зазором
и нулевой пружиной
Рис. VI.22. Статическая
характеристика передающего
устройства с зазором
Рис. VI.23. Схемы устройств: Рис. VI.24. Статическая характе-
а - с зазором; б - с трением вала в колодке и РИСТИКа устройств, имеющих Люфт
пружиной
L
и
\
)
0
1
2
\
£
*
-
Рис. VI.25. Статическая
характеристика электропривода с
управлением от реле
Рис. VI.26. Гидропривод, управляемый
струйной трубкой
-Пгп
~fo
f=0
р
-'7/7 '/?£
/ /
J
/f
//
f-
fo
\ % От Ч
Рис. VI.27. Статическая
характеристика гидропривода,
управляемого струйной трубкой, при
наличии сухого трения в приводе
180

Как видно из рис. VI.27, зона нечувствительности для
рассматриваемого устройства определится величиной силы сухого трения.
Если такой привод со струйной трубкой работает на
преодоление сопротивления, пропорционального его перемещению
(пружинная нагрузка), то его статическая характеристика в координатах \х
(перемещение привода) и ц (отклонение струйной трубки) будет иметь
петлю, ширина которой определяется величиной силы сухого трения.
Отметим, что если гидроприводу, управляемому струйной
трубкой, приходится преодолевать нагрузку постоянной величины ±/0,
то зона нечувствительности его увеличивается. В этом случае
характеристика будет иметь вид, показанный на рис. VI.27
штриховой линией. В то же время у гидропривода, управляемого отсечным
золотником, нагрузка такого рода не вызовет увеличения зоны
нечувствительности.
Влияние зазоров между контактами и контактного давления на
нечувствительность и соответствующие этим случаям
характеристики нами были рассмотрены ранее.
5. ЗОНЫ ЛИНЕЙНОСТИ И НЕОДНОЗНАЧНОСТИ
В зонах линейности выходная координата изменяется
пропорционально разности текущего значения входной координаты и
значения ее, соответствующего порогу нечувствительности. Угол
наклона этой части характеристики определяет передаточный
коэффициент системы автоматического регулирования или ее элемента
при отсутствии зоны нечувствительности. По мере увеличения угла
наклона характеристика приближается к релейному виду.
Если характеристика устройства однозначна, то наличие зоны
нечувствительности снижает эквивалентный передаточный
коэффициент системы. На рис. VI. 18 пунктиром изображена
статическая характеристика 2 пневмоусилителя при отсутствии зоны
нечувствительности, а штрих-пунктирными линиями изображен ряд
линейных аппроксимаций характеристики 3,4 и 5. Далее видно, что
эквивалентный передаточный коэффициент для различных
линейных аппроксимаций характеристики все же ниже,чем для устройства
без зоны нечувствительности (характеристика 2).
Если характеристика устройства неоднозначна и имеет вид петли
(например, рис. VI.24), то эквивалентный передаточный
коэффициент может иметь меньшее и большее значение (характеристики 2 и 3)
по сравнению с передаточным коэффициентом устройства без люфта
(характеристика /).
Наличие линейных участков в характеристике вызывается
желанием иметь пропорциональное изменение выходной координаты
для повышения устойчивости системы. Поэтому ширина зоны
линейности зависит в первую очередь от условий устойчивости и
качества регулирования, а кроме того, определяется и
конструктивным выполнением того или иного элемента систем автоматического
181

регулирования. В некоторых случаях в системах автоматического
регулирования используются готовые элементы, у которых ширина
зоны линейности выбрана по конструктивным соображениям
(например, усилители, выполненные на электронных лампах).
Во многих случаях нелинейные характеристики устройств
автоматики не имеют зоны линейности, а имеют зоны неоднозначности,
представляющие- в аппроксимированном виде линейные участки,
раздвинутые на ширину петли. При этом зоны неоднозначности
могут частично или полностью перекрывать зону
нечувствительности (рис. VI.20 и VI.24). Этому одновременно сопутствует
расширение зон насыщения характеристики.
Для характеристик с зонами неоднозначности обычным является
то, что в динамике выходная координата того или иного устройства
изменяется по одной ветви при положительном знаке скорости и по
другой ветви — при отрицательном знаке скорости ее изменения.
Однако могут существовать и частные (менее характерные) виды
движения, которым не будут соответствовать изменения выходной
координаты по той или иной ветви в зависимости от значения
входной координаты и знака ее скорости. Это обстоятельство указывает
на то, что такая характеристика не может быть представлена
однозначно не только как функция входной координаты, но и в виде
функции входной координаты и скорости ее изменения.
Так же как и в случае зоны линейности, сужение линейных
участков зоны неоднозначности приводит к увеличению угла наклона
линейных участков. В пределе такая характеристика переходит
в характеристику релейного типа с петлей, которая будет
образовываться вертикальными участками характеристики.
У некоторых устройств автоматики петлевые характеристики
не остаются постоянными при любом значении входной
координаты, а с возрастанием входной координаты увеличивается ширина
петли.
Появление зон неоднозначности в характеристиках может
вызываться различными причинами и в основном тогда, когда имеется
последствие. Примером такого последствия могут служить гистере-
зисные характеристики магнитопроводов различных электрических
элементов. Поэтому характеристики, имеющие зоны
неоднозначности (петли), часто называются характеристиками гистерезисного
типа.
Приведенные примеры устройств автоматики (рис. VI.8, VI. 17,
VI. 19) и их нелинейные характеристики (рис. VI.9 и VI. 19)
иллюстрируют то общее положение, что образование зон неоднозначности
в характеристиках механических устройств обусловлено обычно
наличием трения в их элементах, зазоров в связях и т. п.
Петлевые характеристики также часто бывают у электрических
управляющих элементов релейного типа.
В заключение заметим, что существование зон неоднозначности
в характеристике системы может вызывать неустойчивые процессы
182

или автоколебания. В настоящее время применяются специальные
средства, позволяющие если не полностью, то в значительной мере
локализовать вредное действие таких петлевых характеристик.
К таким средствам относится, например, введение в схему
автоматического регулирования вибрационных устройств.
6. ЗОНЫ НАСЫЩЕНИЯ
В зонах насыщения выходная координата системы
автоматического регулирования или ее устройства не меняется с изменением
входной координаты. В характеристике это отражается наличием
участка, параллельного оси абсцисс.
Характерным примером могут служить гидравлический
серводвигатель и пневмоусилитель (рис. VI.5 и VI. 17). Для наглядности
примем, что зона нечувствительности отсутствует. Тогда вслед за
линейной зоной в характеристике расположатся участки
насыщения. Если в линейном диапазоне для рассматриваемых случаев
передаточный коэффициент системы остается постоянным, то по мере
вхождения в зону насыщения значение эквивалентного
передаточного коэффициента будет уменьшаться, т. е. передаточный
коэффициент такой нелинейной характеристики всегда будет меньше, чем
у линейной зоны. Поэтому, если система автоматического
регулирования с такой нелинейной характеристикой может при некотором
передаточном коэффициенте (линейной зоны) приходить в
расходящиеся колебания, то при отклонении выходной координаты за
линейную зону эквивалентный передаточный коэффициент усиления
будет снижаться и в системе могут установиться стационарные
колебания (автоколебания).
Наличие зон насыщения в характеристиках систем
автоматического регулирования объясняется ограниченными мощностями
вспомогательных источников энергии, ограниченными размерами
элементов, устройств и пр. При разработке тех или иных устройств
стремятся повысить передаточный коэффициент, с тем чтобы
получить возможно большее быстродействие системы. Однако
выдерживать во всем необходимом диапазоне изменения входной координаты
требуемый передаточный коэффициент часто конструктивно весьма
сложно, так как это может привести к резкому увеличению
потребляемых мощностей, а также габаритов, весов и т. д.
Далее, так как устойчивость обеспечивается малыми
отклонениями относительно заданного состояния, то обычно достаточно
узкого диапазона линейности характеристики. Наличие же широкого
диапазона насыщения способствует быстрому возвращению
регулируемого параметра системы автоматического регулирования к
заданному состоянию, что повышает качество регулирования и
стабилизации.
Примером устройства, имеющего теоретически наибольшее
быстродействие, может служить система автоматического регулирова-
183

ния с релейной характеристикой включения энергии. Однако
получить при такой характеристике устойчивую систему является не
таким простым делом.
Приведем ряд устройств, иллюстрирующих образование в
характеристике зоны насыщения.
Пневмоусилитель (рис. VI. 18) в узком диапазоне изменения
входной координаты (угла поворота сопел относительно заслонки)
имеет линейный участок (а я« 1,5 угл. град)\ в остальном диапазоне
изменения входной координаты (а ^±30 угл. град) изменения
выходной координаты (перепада давления воздуха на мембране) не
происходит. У гидравлического серводвигателя, управляемого
отсечным золотником (рис. VI.6) только в небольшом диапазоне хода
золотника, скорость поршня изменяется примерно пропорционально
открытию. Дальнейшее увеличение хода золотника уже почти не
вызывает изменения скорости поршня. Наконец, в релейном
устройстве (рис. VI. 15) линейный участок вообще отсутствует в
характеристике, состоящей из зоны нечувствительности и зоны насыщения
(без учета зоны неоднозначности).
7. ПОЛЕ КРИВЫХ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИКУ СЕРВОДВИГАТЕЛЯ
С НАГРУЗКОЙ
Рассмотрим кратко характеристики серводвигателя с
нагрузкой. В отличие от обычного представления характеристики
серводвигателя без нагрузки в том виде, как это приводится в работах
М
-б€ 0
Ч
Ч
ч
ь-
h-
Г--
_1_
f-o
to
ft
Ь
d>6r
Рис. VI.28. Характеристики
серводвигателя с постоянной скоростью [1
для ряда постоянных нагрузок \-г\
о& — зона нечувствительности
Рис. VI.29. Зависимость
скорости серводвигателя от нагрузки,
изменяющейся
пропорционально входному сигналу
[3]—[5], характеристику (рис. VI.6) серводвигателя при его работе
под нагрузкой целесообразно представлять семейством кривых,
которые могут быть названы полем характеристик серводвигателя
с нагрузкой.
В качестве примера возьмем электрический серводвигатель с
184

постоянной скоростью, управляемый реле при нагрузке,
изменяющейся пропорционально его выходной координате. Характеристику
такого серводвигателя удобно представить семейством кривых,
соответствующих ряду постоянных по величине нагрузок. Эти
характеристики позволяют обычно легко установить связь между
выходной и входной координатами и нагрузкой.
На рис. VI.28 изображено поле характеристик такого
серводвигателя, а на рис. VI.29 — зависимость выходной координаты
(скорости) от нагрузки, преодолеваемой серводвигателем. Последняя
характеристика получается из первой построением в новых
координатах.
8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ВЫЯВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Установленная в настоящее время методика экспериментального
выявления типичных нелинейностей заключается в снятии
статических характеристик двух видов. К первому виду относятся
статические характеристики системы или устройства в замкнутом
состоянии при отсутствии нагрузки и при нагрузке, характер
изменения которой имеет место в действительности. Ко второму виду
относятся статические характеристики системы или устройства в
разомкнутом состоянии при отсутствии нагрузки и при нагрузках,
постоянных по величине. Первый вид характеристик снимается
для прямого и обратного хода, т. е. сначала снимается ряд точек
при увеличении входной координаты, а затем — при уменьшении
ее. Эти характеристики позволяют выявить зону нечувствительности
и зону насыщения устройства по выходной координате, обычно
определяющей положение следующего элемента схемы или
регулирующего органа. Одновременно с этим, и в этом главное, вследствие
снятия характеристики при прямом и обратном ходе выявляется
и зона неоднозначности характеристики, т. е. ее петля. Второй
вид характеристик обычно представляет зависимость скорости
изменения выходной координаты от изменения входной
координаты.
Описанные выше характеристики также позволяют выявить зону
нечувствительности устройства, но установить с их помощью
природу этой зоны обычно нельзя. Однако они позволяют установить,
как изменяется скорость на выходе системы или устройства в
зависимости от входного сигнала. Примером таких характеристик
могут служить характеристики серводвигателя (рис. VI.6 и VI.27).
Подобные характеристики при разных постоянных нагрузках
представляют поле характеристик, позволяющих выявить влияние
нагрузки на скорость изменения выходной координаты.
В заключение отметим, что как тот, так и другой вид
характеристик совершенно необходим при снятии динамических
характеристик устройств.
185

ЛИТЕРАТУРА
1. А й з е р м а н М. А, «Известия ОТН», 1945 № 12.
2. А й з е р м а н М. А. Введение в динамику автоматического
регулирования двигателя. Машгиз, 1950.
3. Андронов А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний, ОНТИ,
1937.
4. А н д р о н о в А. А., Б а у т и н Н. Н., Г о р е л и к К. С.
«Автоматика и телемеханика», 1946, № 1.
5. Булгаков Б. В. Прикладная математика и механика. Т. VII.
Вып. 2, 1943.
6. Гольдфарб Л. С. «Автоматика и телемеханика», 1947, № 5,
стр. 349—383.
7. Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического
регулирования. ГИТТЛ, 1951.
8. Петров В. В. Диссертация. Исследование пневмогидравлического
сервомеханизма автопилота, 1948. «Автоматика и телемеханика», 1951, № 1.
9. П е т р о в В. В., Уланов Г. М. «Автоматика и телемеханика»,
1950, № 5, 1951, № 2 и 1952, № 6.
10. Петров В. В. Труды 2-го Всесоюзного совещания по теории
автоматического регулирования. Т 1., М., Изд-во АН СССР, 1955, стр. 387—409.
11. Сборник статей под ред. Хейфеца. Исследования в области
регулирования паровых турбин. ГЭИ, 1950.
12. Солодовников В. В. «Известия ОТН», 1945, № 12, стр. 1203—
1212.
13. Ф е л ь д б а у м А. А. Введение в теорию нелинейных цепей ГЭИ,
1948.
14. Щ е г л я е в А. В. Регулирование паровых турбин. ОНТИ, 1938.

ГЛАВА VII
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ, ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Системы автоматического регулирования представляют собой,
как это мы видели в главе И, совокупность устройств, основные
функции которых заключаются в измерении регулируемой величины
и выявлении отклонения ее от заданного значения, преобразовании
сигнала ошибки, формировании регулирующего воздействия и т. д.
При анализе устойчивости, точности и переходных процессов
необходима классификация устройств систем автоматического
регулирования не по их функциям или по конструктивному
оформлению, а по другим признакам. Важно различать устройства по их
динамическим свойствам, по их месту и роли в преобразовании
сигналов, осуществляющих взаимодействие между составными
частями системы автоматического регулирования.
Для этой цели в главе II, §8 было введено понятие структурных
элементов и дана их классификация. Одним из важнейших
структурных элементов является динамический элемент,
осуществляющий некоторую функциональную или операторную связь между
входными и выходными сигналами.
Обычно эта функциональная связь математически описывается
при помощи дифференциальных, интегро-дифференциальных или
дифференциально-разностных уравнений.
Поэтому в основу классификации динамических элементов
естественно положить вид уравнений, применяемых для их
математического описания.
В теории автоматического регулирования наряду с таким
классическим способом математического описания, широкое применение
получили способы математического описания, основанные на
введении понятий переходной функции, передаточной функции и
частотных характеристик.
В настоящей главе дается классификация динамических
элементов и обобщенное определение импульсной переходной функции,
передаточной функции и частотных характеристик. Показывается,
что эги понятия представляют интерес для описания
динамических свойств не только непрерывных стационарных линейных
187

динамических элементов с сосредоточенными и распределенными
параметрами, но и для динамических элементов с гармонической
модуляцией, а также дискретных, импульсных и нелинейных
динамических элементов. Таким образом, эта глава указывает на
общность этих понятий для теории автоматического
регулирования.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Классификация динамических элементов систем автоматического
регулирования, а также любых динамических систем, в зависимости
от способа их математического описания, представлена на рис. VII. 1.
Все динамические элементы подразделяются на два больших
класса: непрерывные и дискретные. Непрерывные
Динамические элементы
\Непрерь
7^~
| Линейные |
1вные\
[Нелинейные]
\Х7
1 Стационарные \
7\
\Сосредото\ 1 РаспредеА
\ ченные \ \ ленные \
{Нестационарные \
7\
Сосредото] \Распреде-\
ченные \ \ ленные \
^к
Линейные
Дискретные
Нелинейные
Стационарные
ТУ
&<г
Looped ото
ченные

Распределенные
[Нестационарные]
Распреде-
Сосредото
ченные
Рис. VI 1.1. Классификация динамических элементов
динамические элементы описываются дифференциальными
уравнениями в полных или частных производных. Дискретные
динамические элементы описываются дифференциально-разностными
уравнениями. В свою очередь, непрерывные и дискретные динамические
элементы подразделяются на линейные и нелинейные
элементы в зависимости от того, линейны или нелинейны
уравнения, применяемые для их описания. Как линейные, так и
нелинейные динамические элементы могут относиться к одному из
следующих четырех классов:
стационарные с сосредоточенными параметрами (первый класс);
стационарные с распределенными параметрами (второй класс);
нестационарные с сосредоточенными параметрами (третий класс);
нестационарные с распределенными параметрами (четвертый
класс).
Непрерывные динамические элементы первого класса
описываются линейными дифференциальными уравнениями в полных
производных с постоянными коэффициентами или параметрами; второго
класса — дифференциальными уравнениями в частных производных
188

с постоянными параметрами; третьего класса — дифференциальными
уравнениями в полных производных с параметрами, являющимися
функциями времени; четвертого класса — дифференциальными
уравнениями в частных производных с параметрами, являющимися
функциями времени.
Все динамические элементы подразделяются на элементы еде-
терминированными и со случайными
параметрами.
Динамический элемент представляет собой элемент с
детерминированными параметрами, если последние рассматриваются как
фиксированные величины или как некоторые детерминированные
функции.
В случае динамического элемента со случайными параметрами,
по крайней мере, некоторые из этих параметров представляют собой
случайные величины или случайные функции времени.
2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ И ПЕРЕДАТОЧНОЙ
ФУНКЦИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА
Рассмотрим динамическую систему, описываемую системой
нелинейных дифференциальных уравнений с переменными
параметрами в полных производных:
Чг =xi (xv ч> .■.,*«,*) + / (0;
dt
~~jjj~ — Xn(Xv Х2, ..., Хп, t).
(VII.l)
В качестве воздействия / (/) выберем дельта-функцию,
приложенную к системе в момент времени т, т. е. предположим, что
/(/) = а-6(/ —т). (VII.2)
Импульсной переходной функцией k рассматриваемой системы
назовем решение описывающих ее уравнений (VII. 1) при нулевых
начальных условиях и при воздействии вида (VI 1.2).
Импульсная переходная функция k в общем случае является
функцией от текущего момента времени t, момента приложения
воздействия т и параметра а, так что
k = k(t, т, а).
Очевидно, что любое непрерывное воздействие / (t) можно
представить в виде т
f(t)= lim 2/(я-Дт)6(г-/г-Дт)Дт, (VII.3)
Дт-»о,г=0
или (см. рис. VII.2) в виде
со
/(/) = $/(т)6(/-т)</т, (VI 1.4)
о
189

т. е. рассматривать k (ty t, а) как бесконечную
последовательность дельта-функций с амплитудой / (т), определяемой ординатой
функции / (0, соответствующей моменту приложения
дельта-функции.
Каждая из дельта-функций вызывает в системе переходный
процесс, определяемый текущей импульсной переходной функцией.
Задача анализа системы при произвольном воздействии / (t) на основе,
понятия импульсной переходной функции k (t, т, а) состоит в том,
чтобы выразить решение системы уравнений (VII.1) через Щ, т, а).
В общем случае, когда несправедлив принцип суперпозиции, эта
задача неразрешима, но в ряде частных случаев решение может
быть получено и тогда понятие импульсной переходной функции
приобретает смысл важной, а иногда и универсальной динамической
характеристики системы. В частности,
это имеет место для линейных
стационарных и нестационарных систем, для
которых справедлив принцип
суперпозиции.
Другой весьма важной
характеристикой динамических систем является
понятие передаточной функции.
Передаточную функцию
можно определить как
некоторое
соответствующим образом выбранное
преобразование от импульс-
функции:
f(T)5(t-z)uT
Рис.
VI 1.2. Непрерывное
воздействие f (t)
интегральное
ной переходной
К (w, /, а) = 5 k(t, т, а)1|)(ш, т) dxt
(VII.5)
где t|) (w, x) — известная функция, называемая ядром интегрального
преобразования (VII.5), причем предполагается, что интеграл
(VII.5) существует. Частным случаем преобразования (VII.5),
которым обычно пользуются в теории регулирования, является
преобразование Лапласа:
Y (s, t, a) == ^ k (/, т, а) е
имеющее ядро
s(t-
я|> (s, т) = е~
Ыт,
(VII 6)
(VII.7)
где s — комплексная переменная.
Понятие передаточной функции тесно связано с понятием
частотных характеристик.
Амплитудно-фазовой частотной характеристикой или просто
частотной характеристикой динамической системы назовем ее пере-
190

даточную функцию Y (s, ty а), рассматриваемую при чисто мнимых
значениях аргумента s, т. е. при s = /со.
Предположим, что в выражении для частотной характеристики
Y (/со, t, а) можно отделить вещественную часть от мнимой:
У (/со, /, а) = Р(со, /, a) + /Q(co, /, a). (VII.8)
Вещественные функции Р (со, /, а) и Q (со, /, а) называются
соответственно вещественной и мнимой частотными
характеристиками системы. Предположим, что выражение для частотной
характеристики Y (/со, t, a) может быть представлено в виде
Y(/со, t, а) = Л(а>, t, а)б>Л>«°'<» а>. (VII.9)
Вещественные функции А (со, tf, а) и ф (со, t, а) называются
соответственно амплитудной и фазовой частотными
характеристиками системы.
Аналогичным образом можно определить понятия импульсной
переходной функции, передаточной функции и частотных
характеристик для дискретных динамических элементов.
3. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ
ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Линейная система с постоянными параметрами, рассматриваемая
здесь как динамический элемент системы регулирования,
описывается системой линейных дифференциальных уравнений (IV.60),
(IV.61), которая, если представляет интерес только одна из
переменных, например xt = х, может быть сведена к одному уравнению
вида
and^ + ... + al§ + a0x = bm^- + ... + bLf + bj. (VII.10)
В соответствии с общим определением импульсная переходная
функция k (t) рассматриваемой системы является решением
уравнения (VII. 10) при нулевых начальных условиях для случая
воздействия в виде дельта-функции. Таким образом, импульсная
переходная функция k (t) представляет собой решение уравнения
а" S" + • • • + а^ Ж + a»k = b™ S^ +''' + bl Я + b°6' W11-11)
Ввиду стационарности системы импульсная переходная функция
не зависит от момента приложения воздействия, а в силу
линейности — линейно зависит от амплитуды а дельта-функции, т. е.
ka(t, т, a) = ak(t — т), (VII. 12)
где через k (t — т) обозначена единичная импульсная переходная
функция, соответствующая воздействию в виде единичной дельта-
функции, т. е. воздействию (VI 1.2) при a = 1:
/(/) = &(/ —т). (VII.13)
191

Принимая за начало отсчета момент времени т или, другими
словами, вводя новую переменную t' = t — т, легко видеть, что
единичная или просто импульсная переходная функция линейной
стационарной системы является функцией только одной переменной
t\ а не трех переменных /, т, и а, как это имело место в общем случае.
Импульсная переходная функция k (t) удовлетворяет следующим
двум основным условиям:
Л(/) = 0, /<0; (VII.14)
] I *(')!*<<
(VII.15)
h
о\
f
fir)
T=t Г
Условие (VII. 14) называется условием физической
осуществимости, или условием причинности, и
следует из того очевидного обстоятельства, что в любой реальной
динамической системе эффект, т. е.
переходный процесс k (/), не может
возникнуть раньше причины, его
вызвавшей [дельта-функции б (/),
приложенной в момент времени t = 0].
Условие(VII. 15) представляет собой,
по существу, условие устойчивости.
Весьма важным свойством
линейных систем является то, что для них
справедлив принцип
суперпозиции, который можно
сформулировать следующим образом. Эффект, вызываемый суммой
нескольких воздействий, равен сумме эффектов каждого из
воздействий в отдельности.
Пользуясь этим принципом, можно найти решение уравнения
(VII. 10) при любом воздействии / (/), если известно его решение
при воздействии в виде дельта-функции, т. е. импульсная
переходная функция. Действительно, представляя произвольное
воздействие в виде бесконечной суммы воздействий / (т)6 (t — т) di,
основываясь на принципе суперпозиции и учитывая условие (VII. 14)
физической осуществимости, получим
Рис. VI 1.3. К пояснению
понятия «памяти» динамического
элемента
ИЛИ
x(t) = j f(x)k(t — x)dx,
— оо
оо
x{t) = \f(t — x)k(x)dx.
(VII. 16)
(VII.17)
Выражение (VII.16) или (VII.17) показывает,* что импульсная
переходная функция k (t) стационарной системы представляет
собой ее универсальную динамическую характеристику в том смысле,
что она позволяет найти переходный процесс, вызываемый в системе
любым воздействием / (/).
192

Вид импульсной переходной функции k (/) позволяет судить
о том, насколько сильно значения воздействия / (т) в моменты,
предшествующие моменту t, влияют на переходный процесс в
рассматриваемый момент времени t. Чем «шире» функция k (t)
[например, kx(t — т) «шире» кг (t — т)], т.е. чем больше интервал
времени, на котором она отличается от нуля, тем более отдаленные
значения функции / (т) принимаются во внимание при вычислении
х (0 по формуле (VI 1.16), рис. VI 1.3. Поэтому интервал времени Т
часто называют «памятью» системы.
Память системы определяет условия, при которых возможно
качественное воспроизведение ею входных воздействий. Очевидно,
что динамическая система будет хорошо воспроизводить лишь такое
воздействие, которое мало изменяется в пределах интервала
времени Г, определяющего память системы. И наоборот, она будет
значительно искажать воздействия / (/), которые существенно
изменяются в течение времени Т.
4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ
СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
В соответствии с данным выше общим определением
уравнения (VI 1.6) передаточная функция Y(s) линейной стационарной
системы динамического элемента представляет собой
преобразование Лапласа от импульсной переходной функции, т. е.
оо
Y(s) = lk(f)e-S'dt. (VII. 18)
о
Пользуясь формулой обращения преобразования Лапласа для
систем, удовлетворяющих условию (VII. 15), можно также написать
+;оо
k® = ij $ y(s)e"ds. (VII. 19)
—) со
Таким образом, передаточная функция Y (s) и импульсная
переходная функция к (t) определяются взаимно однозначно при
помощи преобразования Лапласа и формулы его обращения.
Передаточная функция Y (s) может быть найдена непосредственно по
дифференциальному уравнению (VII. 10) без необходимости
предварительного определения импульсной переходной функции k (t).
Действительно, преобразуем уравнение (VII. 11) по Лапласу.
Учитывая, что согласно уравнению (VII.6) передаточная функция
Y (s) является преобразованием Лапласа от импульсной переходной
функции k(t) и что (см., например [199])
со
7 Техническая кибернетика, кн. I
193

на основании уравнения (VI 1.11) получим
со
Y(s)=[k (t) e~st dt = *<* + "' + М + Ч (VII -20)
0
Найденное выражение (VIL20) позволяет найти передаточную
функцию Y (s) непосредственно по дифференциальному уравнению
(VII. 10) системы. Передаточная функция, так же как и импульсная
переходная функция, определяет переходный процесс х (t)>
вызванный любым воздействием / (t). Действительно предположим, что
функция / (/) удовлетворяет условиям
/(0-0, /<0; )
\\f(t)\e-ctdt<oo,
(VII.21)
где с — абсцисса абсолютной сходимости и, следовательно, для нее
существует преобразование Лапласа.
со
F(s) = \f{t)e-Stdt. (VI 1.22)
о
Предполагая для исходной системы уравнений случай нулевых
начальных условий, умножая все члены уравнения (VII. 10) на
e~st и интегрируя в пределах от 0 до оо, получим
(ansn+ ... +alS + aQ)X(s) = (bmsm+ ... -f bxs + b0)F(s), (VII.23)
где со
X{s) = \x{t)e-Sidt, (VI 1.24)
о
Следовательно,
X(s) = Y{s)F{s), (VII.25)
где Y (s) определяется выражением (VI 1.20) и, согласно данному
выше определению, является передаточной функцией
рассматриваемой системы. По формуле обращения
С+/0Э
с —/со
Подставляя выражение (VII,25) в (VII.26), найдем
С+/00
х® = щ \ У (s) F (s) est ds. (VII.27)
с —/со
Формула (VI 1.27) определяет при нулевых начальных условиях
переходный процесс х (/), вызванный любым воздействием / (*),
имеющим преобразование Лапласа F (s).
194

Если абсцисса абсолютной сходимости с в выражении (VII.21)
равна нулю, т. е. все полюса X (s) расположены в левой
полуплоскости, то в формулах (VI 1.26) или (VI 1.27) можно положить s =
= /со и мы получим выражение для х (t) в виде интеграла Фурье:
оо
*w = 4 $ ко©) «*"<*©,
— со
или
х (t) = ~ {у (/со) F (/со) е*»< dco,
— ОО
где Y (/со) — передаточная функция 7 (s) системы, рассматриваемая
при чисто мнимых значениях аргумента.
Выражение (VI 1.29) справедливо для устойчивых систем и для
воздействий, удовлетворяющих условию абсолютной
интегрируемости оо
]\f{f)\dt<oo. (VI 1.30)
—00
Заметим, что, пользуясь выражением (VI 1.25), можно написать
Y(s) = t$ (VH.31)
и дать передаточной функции Y (s) определение, не зависящее от
понятия импульсной переходной функции k (t).
Действительно, согласно выражению (VI 1.31), передаточной
функцией Y (s) линейной стационарной динамической системы
называется отношение преобразования Лапласа X (s) величины х (t)
на ее выходе к преобразованию Лапласа F (s) воздействия / (f) на
ее входе (при нулевых начальных условиях).
Поэтому передаточные функции могут рассматриваться как
основные характеристики всякой линейной динамической системы.
Передаточные функции устойчивых динамических систем с
сосредоточенными параметрами обладают следующими основными
свойствами.
1. Передаточная функция Y (s) представляет собой
дробно-рациональную функцию вида (VII. 20), причем порядок т числителя
не превышает порядка п знаменателя. Это следует из того, что
порядок числителя определяется минором М0 (р), а порядок
знаменателя — главным определителем D0 (p) (см. формулу (IV. 55))
системы уравнений (IV. 51).
2. Все коэффициенты &0, Ьъ ..., Ьт\ а0, аъ ..., ап передаточной
функции вещественны. Это следует из того, что они представляют
собой функции от параметров системы, которые могут быть только
вещественными.
3. Невещественные нули и полюсы передаточной функции могут
быть лишь комплексно-сопряженными. Действительно,
предположи.28)
(VI 1.29)
7*
195

жим, что %1 есть один из комплексных полюсов передаточной
функции. Это означает, что при s = К{ знаменатель D (s) передаточной
функций Y (s) обращается в нуль, т. е.
[D (5)]5=Я1 = {ansn + ... +a±s + а0)8=к1 = 0.
Последнее равенство не нарушится, если в нем все комплексные
числа заменить на сопряженные. Но все коэффициенты а0, alt ..., ап,
будучи действительными, останутся при этом без изменения, и мы
приходим к равенству
{ansn + ... + axs + a0)s=}* = 0,
где через К * обозначено число, комплексно-сопряженное Хг.
Таким образом, мы доказали, что невещественные полюсы
передаточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными.
Такой же вывод при помощи аналогичных рассуждений можно
сделать и в отношении нулей передаточной функций.
4. Все полюсы передаточной функции Y (s) расположены в
левой полуплоскости (условие устойчивости). Это вытекает из того,
что для устойчивости динамической системы необходимо и
достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения
D(l) = anXn+ ... +fl^ + a0 = 0
находились в левой полуплоскости. Заметим, что все полюсы
функции Y (/со), получающейся из Y (s) в результате замены переменной
5на /со, в случае устойчивой системы расположены в верхней
полуплоскости со.
5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В соответствии с общим определением частотные характеристики
линейной стационарной системы могут быть найдены из выражения
(VI 1.20) для передаточной функции Y (s), если в нем положить
s = /со.
Заменяя в выражении (VI 1.20) s на /со, найдем
Y (/CO) = >mU*r+---+>J* + b0 (VILg2)
Отделяя в числителе и знаменателе выражения (VI 1.32)
вещественную часть от мнимой, можно написать
Г(/сй) = ^Ш^, (VII.33)
VJ ' с (со) + jd (со)' х '
где
а (со) = Ь0 — 62со2 + bjsfi —
b (со) = 6хсо — b3(ds + &5со5 — ...;
с (со) = а0 — а2со2 + я4со4 —
d (со) = а±(й — а3со'3 -f а5со5 — ...
196

Выражение (VI1.33) для Y (/со) можно также представить в
следующем виде:
V (1<л\ — Д (со) с (со) + b(a)d((u) . Ь (со) с (со) — а (со) d (со) А/и ~л\
эистик
(VI 1.35)
:(С0) + ^2(С0) ' ' С2(С0) + ^2(С0)
Но согласно общему определению частотных характеристик
и У(/со) = Р(со) + /дИ;
У (/со) = А (ю)еМю)э
а, следовательно, формулы, позволяющие найти частотные
характеристики по известной передаточной функции Y (s) при s = /со,
имеют вид ас + ы ас - <и/ )
; (VI 1.35a)
Частотные характеристики имеют простую физическую
интерпретацию и могут быть определены экспериментально из анализа
вынужденных колебаний, вызываемых в системе гармоническим
возмущающим воздействием.
Действительно, найдем частное решение уравнения (VII. 10) для
того случая, когда воздействие / (t) представляет собой
гармоническую функцию времени, т. е. может быть представлено в виде
линейной комбинации функции sin со/ и cos со/ или в виде
/(0 = /0со5И + Фо)> (VI 1.36)
где /0 — амплитуда;
со — угловая частота;
ф0 — фаза.
Если предположить, что ф0 = 0, то
/(/) = /0cosco/. (VI 1.37)
Гармоническое воздействие вида (VI 1.37) может рассматриваться
как сумма двух экспоненциальных воздействий, т. е. вместо
выражения (VI 1.37) можно написать
/ (t) = /0 cos со/ = (%&"* +f^e-^. (VI 1.38)
Заметим, что рассмотрение экспоненциальных воздействий весьма
удобно с математической точки зрения в силу того, что как
производная, так и интеграл от экспоненциальной функции представляют
собой по-прежнему экспоненциальную функцию.
Найдем эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных
воздействий в отдельности. Положив
f(t) = ^eW, (VI 1.39)
197

будем искать частное решение уравнения (VII. 10) в виде
xu(t) = ^Y(ja)e;»<. (VI 1.40)
Подставляя выражения (VI 1.39) и (VI 1.40) в (VI 1.10), получим
[а„. (/со)" + ... + <¥'со + а0] Y (/со) eiwt =
= [Ьт(]Ъ)т + ...+ 6х/со + Ь0] е>« (VI1.41)
и, следовательно,
ут = ьт(мг+...+ъи» + ь■„ (VH 42)
Подставляя выражение (VI 1.35) в формулу (VI 1.40). получим
хи {t) = ^ Л (а>)еЛ®'+ф<*»]. (VI1.43)
Точно так же, если положить в уравнении (VII. 10)
то для вынужденных колебаний х2в (t) найдем
X28(t)^^Y{-j<*)e-^,
или f
Х26 (/) = 4>° Л (©)*-Л©' + Ф(«»1. (VI 1.44)
Итак, если / (/) является функцией вида (VII.37), то
*в (0 = *и (0 + 4s (0 = т ^ (со) [*/«*** + г'"*-*] -
= /0Л (©) cos [со/ + ф (со)]. (VII.45)
Выражение (VII.45) показывает, что вынужденные колебания,
вызываемые в линейной динамической системе гармоническим
воздействием, представляют собой также гармоническую функцию
времени, имеющую ту же угловую частоту со, что и воздействие, но
отличающуюся от последнего по амплитуде и по фазе. При этом,
как ясно из формулы (VI 1.45), относительная амплитуда и фаза
вынужденных колебаний определяются соответственно
амплитудной А (со) и фазовой ф (со) частотными характеристиками.
Способ экспериментального определения этих характеристик
ясен из формулы (VI 1.45) и заключается в следующем. Приложим
к системе гармоническое воздействие, имеющее угловую частоту со.
В результате в системе возникнут переходный процесс и
вынужденные колебания с частотой со. Через некоторое время, достаточное
для затухания переходного процесса, — а такое затухание всегда
произойдет, если только система устойчива, — останутся лишь вы-
198

нужденные колебания. Последние будут иметь частоту со, равную
частоте воздействия.
Предположим, что мы располагаем измерительной аппаратурой,
позволяющей находить частоту со приложенного воздействия, его
амплитуду /0) амплитуду колебаний интересующей нас переменной
.V и сдвиг фазы между ними.
Произведем ряд таких измерений, постепенно повышая частоту
воздействия от со = 0 до такого значения со = со0> при котором
амплитуда колебаний переменной х сделается настолько малой, что
окажется уже вне предела точности нашей измерительной
аппаратуры.
Кривые отношения амплитуды переменной х к амплитуде
воздействия / и сдвига фазы между ними в зависимости от частоты,
найденные изложенным способом, и будут представлять собой
соответственно амплитудную и фазовую частотные характеристики
системы.
Если характеристики А (со) и ср (со) найдены, то характеристики
Р (со) и Q (со) могут быть определены из соотношений
Р (со) = А (со) cos Ф (со); )
Q(g)) = А (со) sin ср (со), j
вытекающих из выражений (VI 1.35), (VI 1.36). Из этих выражений
также следует, что
А (со) == VO" (©) + <? И; |
х ГО (соЛ (VII-47>
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА
G РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Для простоты изложения ограничимся в дальнейшем
рассмотрением динамических элементов с распределенными параметрами
типа длинных линий, характеризуемых одной пространственной
координатой 1.
Предположим, что динамический элемент с распределенными
параметрами описывается двумя линейными дифференциальными
уравнениями в частных производных первого порядка вида
да , , да . , , dv , , dv , , с ,, V4
ai т + bi Tfi + ciu + di 7Г/ + h Try + hiv = /i & X)'>
dt ' УЧ1 ' "ll* Т"ЧГ п dl
du , du , , dv , dv
! dt + °2 Ж "*" C*U + U*Tt + '2 Ж
du , u du . , . dv . ; dv . , £ t. V4
(VI 1.48)
где X — пространственная координата с соответствующими
начальными и краевыми условиями.
199

Очевидно, что уравнения (VII.48) могут быть заменены одним
дифференциальным уравнением в частных производных второго
порядка вида
aw + bw + cim: + dTt + lM + hv=:fV>1)- <VI1-49)
Заметим, что при решении задач теории регулирования обычно
не требуется получать полное решение уравнений (VI 1.48), т. е.
определять функции и (t, X) и v (/, X) для всех значений
пространственной координаты X (О ^ X ^ L). Обычно интерес представляет
поведение этих функций лишь на входе и на выходе элемента
с распределенными параметрами, т. е. в тех его точках %ех и %еых,
которые присоединены к предыдущему и последующему элементам.
Эти точки часто совпадают соответственно с началом и с концом
распределенного элемента, т. е. %вх = 0 и ХвЫх = L\
или
и (X, t) |Xe0 = и (0, /); и (X, /) |,_L = и (L, /); J
7. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕМЕНТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Умножая обе части уравнений (VI 1.48) на e~~siy интегрируя по t
от 0 до со и вводя обозначения
00
U(s, X) = \и (X, f)e~stdt\ (VI1.51)
о
оо
V(sfX) = lv (X, t) e~stdt\ (VI 1.52)
о
оо
F(s, X) = 5/(X, t)e'stdt, (VII.53)
о
получим
Ь^+{а,8 + cjU + kft + id.s + h±)V = F,- ]
dU dv (VIL54)
Исключая У и ^ из уравнений (VI1.54), получим
а ^ Ш + ®&Ж+У (*) и~Ъ (s) Fi + li (*) F2- (VII.55a)
200

/if I
Точно так же исключая U и -^ из уравнений (VI 1.54), найдем
<* (s) ^ + р (5) ^ + Y (5) V - £2 (5) /ч + £2 (5) F2, (VI1.556)
В уравнениях (VI 1.55а) и (VI 1.556) коэффициенты а, р, у, £,
| представляют собой сложные функции вещественных параметров
аъ а2, Ьъ Ъ2 и комплексной переменной s.
Общее решение уравнений (VI 1.55) состоит из суммы двух
решений: общего решения однородных уравнений
a(s)%g+$(s)% + y(s)U = 0;
v(s)d^2+$(s)% + y(s)V==0
(VI1,56)
и частного решения неоднородных уравнений (VI 1.55) (с учетом
правой части).
Предположим, что элемент с распределенными параметрами
не подвергается воздействию, распределенному вдоль его длины,
Л С X) =/2 (*, X) = 0. (VII.57)
Другими словами, ограничимся рассмотрением лишь однородных
уравнений (VI 1.56). Их общее решение имеет вид
V-am+D^,} <V,,'58)
где <7i, Й2 — СУТЬ корни характеристического уравнения:
aq2 + $q + y = 0, (VII.59)
а постоянные интегрирования Л, В, С, D могут быть определены из
краевых условий.
Поясним нахождение решения (VI 1.58) для частного случая,
когда уравнения элемента с распределенными параметрами имеют
вид
dv . да . Л
+ а17й + сги== °»
д!
да
Ж
dt
+ d,% + h2v = 0
(VI 1.60)
или в других обозначениях, принятых в теории электрических цепей:
(VII.6I)
dv . i di , . п
di , dv . n
ax
так как нахождение решения уравнений (VI 1.48) в общем случае
связано с довольно громоздкими выкладками.
201

Уравнения (VII.61) описывают, например, переходные процессы
в длинной электрической линии, имеющей распределенные
индуктивность, омическое сопротивление, емкость и проводимость,
соответственно равные /, г, с, g единицам на единицу длины.
Применяя к обоим частям уравнений (VII.61) преобразование
Лапласа, получим
£ —г/-Ь/;
или
™ = (r + ls)(q + cs)V;
£р = (г + Is) (g + cs)J.
(VI 1.62)
(VI 1.63)
Введем обозначение
<72= (r + ls)(q + cs),
тогда вместо уравнений (VI1.63) можем написать
dt? ч у '
Решение уравнений (VI 1.65) имеет вид
V = Аеп + Ве~п;
(VII.64)
(VI 1.65)
(VII.66)
Учитывая уравнения (VI 1.62), можно четыре неизвестных
постоянных интегрирования А, В, С, D свести к двум:
V = Аёп + Вет; ]
или
где
я я I
V = Аеп + Ве'П;
1 = — AZ-ЧЫ + BZ'xe~n,
■*-v\
+ ls
(VI 1.67)
(VI 1.68)
(VI 1.69)
g + cs'
Постоянные интегрирования А и В можно определить из краевых
условий.
Пусть, например, к левому концу элемента приложено
воздействие v (t), а правый конец линии уходит в бесконечность. Тогда
202

очевидно, что А = О, так как v {%, f) не может возрастать
нечности при бесконечном возрастании %. Следовательно,
V = Be~qt\ \
I==BZe~qX. \
Но согласно левому краевому условию
B = Vt(s)
и, следовательно,
I = VtZe^\ )
8. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Передаточной функцией динамического элемента с
распределенными параметрами в соответствии с общим определением назовем
отношение преобразования Лапласа величины на выходе к
преобразованию Лапласа величины на входе при нулевых начальных
условиях. Динамические элементы с распределенными параметрами
рассматриваемого нами класса, имеющие одну пространственную
координату X, могут находиться под влиянием трех воздействий:
сосредоточенного воздействия vt (t), приложенного к левому краю
элемента (в точке X = 0); сосредоточенного воздействия v0 (/),
приложенного к правому краю элемента (в точке X = L) и
распределенного воздействия / (X, t), приложенного к элементу по всей его
длине.
Ограничимся рассмотрением двух первых воздействий и
введем обозначения
со
Vi{s) = \vi{t)e-Stdt\ (VI 1.73)
о
оо
V0(s) = \v0(t)e-S'dt; (VI 1.74)
о
В соответствии с указанными выше двумя воздействиями, можно
ввести в рассмотрение две передаточные функции:
F0(s,X) = ^b (VII.76)
203
до беско-
(VI 1.70)
(VII.71)
(VII.72)

Выходом элемента может быть любая его точка X. Однако часто
можно предположить, что выходом является фиксированная точка
X = L. Этому случаю соответствуют передаточные функции
V(sy D ь
Vi(s) '
У (s, L)
Yi{s,L)
Yo(s, Ц =
V0(s)
(VI 1.77)
(VI 1.78)
Если элемент с распределенными параметрами является
элементом направленного действия с выходом в точке X = L и
распределенное воздействие / (X, t) отсутствует, то он полностью
характеризуется одной передаточной функцией (VII.77).
Найдем передаточную функцию Y (s, L) элемента с
распределенными параметрами, описываемого уравнениями (VI 1.61) при крае-
. вых условиях
г-Г- L~ ■ ^ v (X, /) \^0 = vt (0;
Ыт (VI 1.79)
4? i(X,/)L=0 (VI 1.80)
Рис. VII.4. Электрическая длинная
линия
и нулевых начальных условиях.
Учитывая условия (VI 1.79),
(VI 1.80), получим следующие
соотношения для определения постоянных интегрирования Л, В в
уравнениях (VII.68):
У; = А + В- (VII.81)
0 = —AeqL + Be-qL ' (VI 1.82)
Пользуясь этими выражениями, на основании первой из
формул (VI 1.66), получим
V (X, s) = V (0, s)
-ql
0qL
+ е
^r^ +
оЯЬ
-ql
ql
+ <
-ql
r«],
и, следовательно, передаточная функция
Y (У Л - У<Ъ s) - chg(Z,—-X)
I \K, ^-V(0, s) ~* Ch ql
Y(L,s)
или в развернутой форме
Y(L,s)
eqi + e-qi
ch qL
eY(r + ls)(g + cs)L j^ e-V(r + ls)(gi-cs)L #
(VI 1.83)
(VI 1.84)
(VI 1.85)
Заметим, что рассмотренный выше случай соответствует
физически, например, электрической линии длины L, открытой справа
(рис. VI 1.4), на вход которой в момент времени t = 0 подано
напряжение v0 (t).
204

9. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда элемент
направленного действия содержит как распределенные, так и
сосредоточенные параметры.
В качестве примера рассмотрим электрическую линию длины L
(рис. VI 1.5), на входе которой имеется импеданц Zx (s), а на выходе —
импеданц Z2 (s). Предположим, что к точке X = 0 через импеданц
Zx (s) в момент времени t = 0 приложено воздействие е (t).
Us)
wy
Z2(S)
77777
Рис. VI 1.5. Электрическая длинная линия с импе-
данцами на входе и на выходе
Краевые условия имеют вид
Zl(s)l(0,s)=E(s)-V(0,s);
Za{s) I (L, s) = V (L, s).
Перепишем решение (VI 1.68) в виде
V = A sh ql + В ch q%;
I = — AZ'1 (ch q% + В sh q%).
(VI 1.86)
(VII.87)
Постоянные А я В могут быть найдены из краевых условий
(VII.86), если подставить в них значения для / из выражения
(VI 1.87):
— ZZXA =E — B;
— Z (A ch qL + В sh qL) Z2 = A sh qL + В ch qL.
Решая эту систему относительно А и В и подставляя в первое
из уравнений (VII.87), получим
Z (s) Z2 (s) ch q (L — X) -f- sh q (L — 1)
[Zx (s) + Z2 (s)] ch qL + [1 + Zx (s) Z2 (s) q*] sh qL
(VII.88)
у 11 s\ Z(s)Z2(s) ^ fVII 89)
Y (L, S) - [Zi (s) + ^ {s)] ch ?L + Ll + 2i (s) z% (s) g2] sh gL • I -°*)
205

Как это ясно из предыдущего, наиболее характерной чертой
передаточных функций элементов с распределенными параметрами
является то, что они представляют собой трансцендентные функции
от s.
10. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА
Рассмотрим систему с распределенными параметрами,
описываемую уравнениями (VII.61), и предположим, что i (X, 0) =
- v (X, 6) - 0.
В этом случае уравнения (VII.61) имеют решение:
V (X, s) = Ac\\q% + BshqX\ )
А В (VI 1.90)
/(X, s) = — ~shq% — ~chq%, K
где через А и В обозначены постоянные интегрирования, которые
должны быть найдены так, чтобы удовлетворялись граничные
условия.
Особый интерес представляет собой рассмотрение соотношения
между V (X, s) и / (X, s) в точках X = 0 и X = L, т. е. на концах
распределенного элемента, который, например, может представлять
собой длинную линию или трубопровод.
В результате несложных преобразований получим
V (L, s) = V (0, s) ch qL — 11 (0, s) sh qL\ \
in ^ V(0,s) u / . //n W / (VIL91)
/ (L, s) = Ц— sh #L + / (0, s) cnqL.
Рассмотрим частный случай, обычно исследуемый в теории
электрических длинных линий, когда отношение V (L, s) к / (L, s) равно
Z (s). В этом случае из уравнений (VII.91) получим
V(L} S) /(Z., S) __p-ql /VT1 Q94
VTO^T = -Щ1) - e ' (V11.92)
и, следовательно, длинная линия имеет передаточную функцию
Y(s) = e~gL. (VI 1.93)
В теории электрических цепей показывается, что соотношение
(VI 1.93) имеет место, когда на конце длинной линии включен импе-
данц, равный ее волновому импеданцу Z (s), и что в этом случае
длинная линия передает энергию только в одном направлении —
без отражений.
Динамический элемент, называемый обычно элементом чистого
запаздывания, или запаздывающим звеном, можно рассматривать
как длинную линию, не имеющую потерь, т. е. линию, для которой
г = g = 0. При таком предположении, выражение для q принимает
вид ,/ -
q — s у lc>
205

Тогда передаточную функцию (VII.93) можно записать
Y(s) = e~s^L. (VII.94)
Выражение -= имеет размерность скорости, а выражение
у 1с
Ylcb — размерность времени.
Введем обозначение лГт-. ..... __v
x=ylcL (VII.95)
и назовем величину т запаздыванием.
Подставляя выражение для т, получим
Y(s) = e~xs. (VI 1.96)
Если на вход запаздывающего звена подано воздействие,
имеющее преобразование Лапласа F (s), то преобразование Лапласа
X (s) величины на выходе запаздывающего звена будет иметь вид
X(s)=e-™F(s) (VI 1.97)
и, следовательно, если перейти от изображений к оригиналам,
*(/) = /(/ —т). (VII.98)
11. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Частотные характеристики элемента с распределенными
параметрами определяются по его передаточной функции Y (X, s), так
же как и для элемента с сосредоточенными параметрами.
Пусть
Г(Х, /со) = Л(Х, (о)е^^ = Р(Х, co) + /Q(X, со). (VII.99)
Тогда А (%, со), ф (X, со), Р (X, со), Q (X, со) называются
соответственно амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотными
характеристиками элемента с распределенными параметрами.
Таким образом, задача определения частотных характеристик
по заданной аналитически передаточной функции Y (X, /со) сводится
к отысканию модуля и аргумента или вещественной и мнимой части
трансцендентной функции от /со (или s), причем пространственная
координата X рассматривается как параметр.
Приведем несколько примеров.
Передаточная функция запаздывающего звена, как мы видели,
имеет вид у (/Чо) = ^_ту(0> (VII. 100)
Его частотные характеристики
Л(©)=1; {
Ф(со) = -тш;
Р (со) = cos тсо; v '
Q(o)) = — sin тсо. J
207

Для определения частотных характеристик более сложных
элементов с распределенными параметрами могут оказаться полезными
приводимые ниже формулы, определяющие модуль и фазу,
вещественную и мнимую части некоторых типовых трансцендентных
функций.
Пусть
/(/со) = #(ю) + /S (ю) - У и (со) + iv (со), • (VII. 102)
где и (со) и v (со) — известные функции.
Требуется найти R (со) и S (со).
Возводя уравнение (VII. 102) в квадрат и выполнив простые
преобразования, получим
*(Ш) = ±/£*±|!±»;
(VII.103)
Далее найдем модуль М (со) и фазу i|) (со) выражения
/(/©)== Af (©)*/*i«>\ (VII.104)
Легко видеть, что
М = У и2 + v2; )
(VII.105)
и '
г]; = arctg—.
Применим формулы (VII. 103) — (VII. 105) для определения
частотных характеристик распределенного элемента в виде открытой
электрической линии бесконечной длины. Передаточная функция
этого элемента определяется формулой
у^)-тт=УШ' (VIL106)
или
Y (/со) = У и ((л) + /у(ш), (VI 1.107)
где
gr — с /со2
г/ (со)
v (со) ==
г2 + /2со2
(сг — gl) со
г2-4-/2со2 "
(VII. 108)
Подставляя выражения (VI1.108) в формулы (VI1.103) и (VI1.105),
найдем соответствующие частотные характеристики. Затем находим
частотные характеристики распределенного элемента в виде
открытой линии конечной длины L. Ее передаточная функция
определяется формулой (VII.84), на основании которой можно написать
У (/со) = ,_ ! (VII. 10?)
ch yu((x))+jv((o) > i
208

где
и (аз) = L2{rg — lc®2)\
v(g>) = L2(lg + cr)®,
(VII. ПО)
Согласно формулам (VII. 103) можно написать
Vu + jv = a + /p, (VII.111)
где
Пусть
(VII.112)
1 =/? + /S, (VII. 113)
но
ch(a+y'P)
ch (a -f /(J) = ch a cos |3 -f / sh a • sin p
и, следовательно,
o/m\ = ch a (со) cos p (со) . Am - - ,.
AV } ch2a(co)cos2P(co)+sh2a(co)sin2P(o)) ' vvn.iit;
c/qjX = - sh a (со) sin P (со) y]] ---
°v ; ch2 a (со) cos2 P (со) + sh2 a (со) sin2 P (со) ' vv 1Ш'
где a(co) и Р (со) определяются формулами (VII. 112).
12. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Импульсная переходная функция элемента с распределенными
параметрами k (/, X) в отличие от элемента с сосредоточенными
параметрами, является функцией двух переменных: времени t и
пространственной координаты X.
В случае краевых условий вида (VI 1.49) импульсная
переходная функция k (/, X) представляет собой решение уравнений (VI 1.48)
при краевом воздействии на входе
^ (/) = 6 (*). (VII.116)
Так как для линейных элементов с распределенными
параметрами справедлив принцип суперпозиции, то для любого краевого
воздействия vl (t) Ф 6 (t) и однородного условия при отсутствии
распределенного воздействия реакция системы определяется
интегралом:
со
v(t, %) = lvi(t — x)k(x,X)dx, (VII. 117)
209

Передаточная и импульсная переходная функция связаны друг
с другом преобразованиями Лапласа (или Фурье)
У (s, X) = ^ k(t,%)e~s'dt;
о
1 с+/°°
й(/,Х) = ^ $ V(s,X)e"ds.
c—jca
(VII.118)
(VII.119)
Если интерес представляет реакция элемента в фиксированной
точке, например, на выходе, как это имеет место в системах
регулирования, то импульсная переходная функция может
рассматриваться как функция одной переменной t, и выражения (VII. 117),
(VII.118), (VII.119) упрощаются.
Заметим, что функция k (/, X) должна удовлетворять условию
физической осуществимости:
£(/,Х) = 0; /<0 (VII. 120)
и, если она соответствует устойчивому элементу, условию
абсолютной интегрируемости:
5l*(/,X)|d/<oo.
(VII.121)
13. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ С ГАРМОНИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Рассмотрим систему с гармонической модуляцией (рис. VI 1.6),
состоящую из последовательно включенных: гармонического
модулятора М, линейного стационарного динамического элемента с
передаточной функцией Y (s) и синхронного детектора D.
\C0S(jJot
\cos{(A)0t+b
fit)
Y(s)
XnW
Рис. VII.6. Система с гармонической модуляцией
Входное воздействие / (t) модулирует в модуляторе М несущую
частоту, в результате чего на выходе последнего получается
модулированный сигнал
fM (t)^f(t) cos a0t, (VII. 122)
или
(VII. 122а)
M/)=*-£-(e.w+e-*>.0/(Q.
Преобразуя выражение (VII. 122а) по Лапласу, получим
F» (s) = тг [F (s — /и0) -f /• (s + ;©„)],
(VII. 123)
210

где
F (s) = J f{t)testdt
о
и
oo
FM(s) = \f(f)cosv>Je-8tdt.
о
Преобразование Лапласа Хм (s) для сигнала на выходе
динамического элемента, очевидно, имеет вид
X„(s) = ~ [F(s-j(oQ) + F(s + j<*0)]Y(s). (VII.123а)
Применяя к уравнению (VII. 123а) обратное преобразование
Лапласа, найдем
хм (/) = ~ { L-i [Y (s + /ш0) F (s)] *-'«•' + L"M Г (s -
—/co0)FCs)]^^}, (VII.124)
или
xM(t) = *р(0 cos со0/ + /^ (/) sin ©0/, (VII. 125)
где
хр (0 = у L-MIV (5 + /©о) +У{*~ /4)1 Z7 (s)}
и
хч (t) = | L-i {[Г (s - /Ч) - Y (s + /ш0)] F (s)}.
Синхронный детектор D можно рассматривать как умножитель
и фильтр, в котором модулированный сигнал хм (t) сначала
умножается на гармонически изменяющуюся функцию cos (coQt + 80),
имеющую ту же частоту со0, что и несущая, но сдвинутую
относительно нее на угол б0, а затем фильтруется. После умножения
получится сигнал
2хм (t) cos (co0/ + 60) = 2 [хр (t) cos <o0t + \xq (t) sin ®0t] x
X cos (ca0/ + 60) = [xp (t) cos 80 + jxq (t) sin 80] + [cos 80 cos 2©0f +
+ sin 60 sin 2co0/] xp (t) + j [cos 0O sin 2co0/ —
— sin 60 cos 2 co0t] xq {t). (VII. 126)
В результате фильтрации синхронный детектор не пропустит
сигналы двойной частоты и, следовательно, величина на выходе
х (/) будет равна первому члену в квадратных скобках выражения
(VII.126), т.е.
х (f) = хр (/) cos б0 + jxq (t) sin 80. (VII. 127)
Переходя в выражении (VII. 127) к преобразованиям Лапласа,
получим
X (s) = Xp [s) cos 80 +- jXq (s) sin 80, (VI1.128^
211

где
Хр (s) = L [хр (/)] = \ [Y (s + /<о0) + У (s - /©о)] ^ (s)
и
** (s) = i [xq (t)] = 1 [F (s - /<o0) - Г (s + /4)] ^ (s).
Введем обозначения
Yp (s) = 4 [7 (s + /4) + F (s - /<o0)] cos 60;
*% (s) = у [V (s - /4) - У (s + ;4)] sin 80.
Тогда вместо выражения (VI1.128) можно написать
X(s) = [Yp(s) + jYq(s)]F(s). (VII. 129)
Таким образом, согласно определению передаточная функция
системы с гармонической модуляцией равна
YM(s)=y$=Yp{s)+jYq{s)9 (VII.130)
или в развернутом виде
YM(s) = ±[Y (s + /ш0) + У (s - /со0)] cos 80 + / у [^ (* - /Ч) -
— Г (s + /4)] sin 80. (VII.131)
Если сигнал несущей частоты модулятора и опорный сигнал
демодулятора находятся в фазе, то 80 = 0 и выражение (VII. 131)
принимает более простой вид:
YM (s) = 1 [У (s + /Ч) + Y (s - /со0)]. (VII.132)
Наконец, если динамический элемент обладает свойством
симметричности, т. е. у (s + /о)0) ъ Y (s - /со0),
то выражение (VII. 132) еще более упрощается и можно написать
YM{s)**Y(s + ja>Q), >
или I (VII. 133)
YM{s)**Y(s-jnQ). J
14. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ И ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНОЙ
ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим непрерывную функцию / (t). Придадим ее аргументу
t дискретные значения 0, тг, 2тг, ..., ixn ...оо (тг — некоторый
интервал). Совокупность всех значений функции/ (/) при i = 0,1,2,..со
будем называть дискретной функцией и отмечать звездочкой, т. е.
/*(0=/("г). i = 0. 1, 2 оо,
212

или, сокращенно,
Импульсной дискретной линейной стационарной системой
(дискретным фильтром) называется система, описываемая линейным
неоднородным уравнением в конечных разностях вида;
anAnxt + а;_ 1Д""1*, +... + a[Axt + шх = bmAmfi +... +
+ Ь;ДД. + Ьо/ь (VII. 134)
где /,• = /* (/) — известная дискретная функция;
х{ = х * (/) — искомая дискретная функция, являющаяся
решением уравнения (VII. 134);
HXi = xI+1 — х£ ДД- - //+1 — £■; Д2х,- = Д*/+1 — Д*,.; Д% =
Д""^^! — Д""1^-; Д"1// = Дт~7/+1 — Д"1"1// — разности
первого, второго и последующих порядков от xt и от ft\
#о, —, «Л1 bQ...,bm — постоянные коэффициенты.
Разностному уравнению (VII. 134) можно также придать другую
форму:
anxi+n + an-ixi+n-l + ■ • • + alxi+l ~Г aoxi z=z bmfi+m + &m-l/7+m-l + • • • +
H-bi/w + fro//, (VII.135)
где коэффициенты а0, ..., an;'b0, ..., bm могут быть найдены по
известным коэффициентам об, ..., яй; £>о &m, если учесть, что
A"Xi = 2 С^,.+*_, (- 1)', (VI1.136)
/ = 0
причем через Ок в выражении (VII. 136) обозначены коэффициенты
бинома Ньютона.
При определенных упрощающих предположениях в качестве
дискретной линейной стационарной системы, описываемой
уравнением (VII. 135), или, как часто принято говорить, в качестве
импульсного фильтра, можно рассматривать цифровую вычислительную
машину. Этими упрощающими предположениями являются
следующие: интервал хг постоянен; время вычислений мало по сравнению
с тг (однако если это не так, то его можно учесть); существует
взаимно однозначное соответствие между входом и выходом
вычислительной машины; вычислительная машина осуществляет любую
линейную операцию; вычислительная машина работает в реальном
времени, используя только прошлую или настоящую (но не
будущую) информацию.
Итак, рассмотрим вычислительную машину, для которой
входной и выходной сигналы являются дискретной последовательностью
чисел. Для получения выходного дискретного значения сигнала х{
для данного момента времени вычислительная машина может
213

использовать входное дискретное значение сигнала Д- для данного
момента и некоторое конечное число входных и выходных данных
за предшествующие моменты, т. е.
*i e bofi + &1Л-1 +.. - + bjt_m — a^-i —...
т п
или, используя введенные выше обозначения,
(VII. 137)
** (о = 2 **/* (* - kxr) - s ***• if - kxr).
к=0
(VII.138)
Импульсной переходной функцией k* (t—т) дискретной линейной
стационарной системы называется решение разностного уравнения
(VII.134) или уравнения (VI 1.135)
к*№
О
при
P(t-%) = 6{t-%).
И
Импульсная переходная
функция k* (/) = Л (лгг), (г =
= 0,1, 2...) состоит из последо-
Рис. VII.7. Импульсная переходная вательности дискретных орди
функция k* (t) дискретного
динамического элемента
нат kh называемой весовой
последовательностью
(рис. VI 1.7).
Реакция дискретной линейной системы на дискретную
последовательность входных импульсов / (0), / (тг), / (2тг), ... в силу ее
линейности и справедливости принципа суперпозиции представляет
собой сумму реакций на каждый из импульсов. Но реакцией на
каждый из импульсов, согласно определению, является импульсная
переходная функция.
Следовательно,
** (0 = k* (0/(0) + fe* (t-xr)f(Tr) + k* (/-2тг)/(2тг) +...+
+ k*(t-nxr)f(nxr);
**(/)= j}k*(t-tTr)f(txr),
i=0
или
**(0 = Er(t-K)k{ixr).
i = 0
(VII.139)
(VII.140)
Выражения (VII. 139), (VII. 140) являются аналогом интеграла
суперпозиции для непрерывных систем. Импульсная переходная
функция &* (t) дискретной линейной системы может быть предста-
214

влена в виде последовательности дельта-функций с ординатами
k (0), k (тД ..., k (nxr), т. е.
оо
к* (*)=£* (rtr) б (t — ixr). (VII.141)
Согласно общему определению, передаточная функция F* (s)
дискретной системы является преобразованием Лапласа от
импульсной переходной функции k* (t):
ОО CO ОО
У* (s) = \ k* (t) estdt = \ estdt jj * (ftr) б (/ — ixr)
0 0 i=0
и, следовательно,
oo
У* (S) = 2 * (^r)e"'v. (VII.142)
i = 0
Найдем передаточную функцию У* (s) цифрового фильтра,
описываемого уравнением (VII. 138). Преобразуя это уравнение по
Лапласу^ получим
т п.
X* (s) = 2 bKe"Kzrs F* (s) - 2 flwT*Vx* (s), (VII.143)
где
ОО ОО
X* (s) = \ х* (t) e~stdt\ F* (s) = ^ /* if) e~Stdt-
о о
Передаточная функция F* (5) может быть найдена как отношение
преобразования Лапласа X* (s) для выхода к преобразованию
Лапласа F* (s) для входа, т. е.
т
У * (s) = £§> = -^ , (VI1.144)
к; = 1
ИЛИ
Y*(s)^ + b^Ys+- + b^^ . (VII.145)
Из выражения (VII. 145) легко видеть, что передаточная
функция цифрового фильтра является трансцендентной функцией от s.
Если в выражении (VII. 145) заменить s через /со, то получим
частотную характеристику дискретного динамического элемента:
У* (/оз) = bJlhL^^±^+^-^lt (VII.145,a)
215

являющуюся периодической функцией частоты со с периодом
Вещественная Р* (со), мнимая Q* (со), амплитудная Л* (со) и
фазовая ф* (со) частотные характеристики дискретного
динамического элемента определяются по его передаточной функции Y* (s)
Рис. VII.8. Амплитудная характеристика
дискретного динамического элемента
или частотной характеристики F* (/со) при помощи выражений,
аналогичных формулам (VI 1.35), (VII.35а). Примерный вид
амплитудной частотной характеристики дискретного динамического
элемента изображен на рис. VI 1.8. Ее характерной особенностью по
сравнению с частотными характеристиками непрерывных
динамических элементов являются периодичность и неограниченность
занимаемой полосы частот.
15. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ИМПУЛЬСНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Импульсный элемент представляет собой ключ или модулятор
импульсов, преобразующий непрерывно изменяющийся входной сиг-
xit)
2
ult)
X
fit)
Jr
а)
Рис. VI 1.9.
Импульсный элемент как
модулятор импульсов
x(t)
u*(t)
Ль)
ILL
5)
нал в последовательность модулированных импульсов (рис. VII.9, а).
В настоящем параграфе мы ограничимся рассмотрением импульсных
элементов, осуществляющих амплитудно-импульсную модуляцию
216.

с интервалом повторения хг или частотой повторения импульсов
сог = ~ , причем будем предполагать, что длительность импуль-
хг
сов очень мала по сравнению с интервалом повторения тг,
Выход #* (/) импульсного элемента в этом случае молено представить
в виде (рис. VII.9, б) х* {t) = х (/) и* (/)>
где х (t) — непрерывный входной сигнал, а и* (t) —
последовательность единичных импульсов или дельта-функций:
Найдем преобразование Лапласа для функции х* (/),
воспользовавшись теоремой свертки в области комплексного переменного.
При этом имеем с+/оо
X»(s)=Mtt*(0*(01=2S/ \ ^*(s)X(s-^)ds,
с —/со
где
U*(s) = L [и* (/)] = 1 + *~v + «" V + ... = ^згг =
1 — ^ V
= WY (VIL146)
Согласно теории вычетов, интеграл в правой части определяется
выражением ^ 1
и Хк суть корни уравнения
равные
Итак,
х-
{8)==Ь 2 ^(s + /vcor). (VII.147)
Заметим, что функция X* (s), характеризующая сигнал х* (/) на
выходе импульсного элемента, так же как и в случае дискретного
динамического элемента, является периодической функцией с
периодом озг, т. е.
X
(s + ja,) = ±. 2 X[s + /(v+l)o>r]-X^s). (VII. 148)
217

Амплитудный частотный спектр сигнала на выходе импульсного
элемента в соответствии с выражением (VII. 147) является
периодическим, так же как и в случае дискретного фильтра (рис. VII.8).
Он состоит из спектра входного сигнала, но ослабленного в —• раз,
хг
ориентированного относительно нулевой частоты, и бесконечного
числа смещенных спектров, ориентированных относительно частот
± vcor.
16. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕМЕНТА
И НЕПРЕРЫВНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА
Рассмотрим последовательное соединение импульсного и
непрерывного динамического элементов. Последний имеет передаточную
функцию Y (s) (рис. VII. 10).
FIS)
f*(S) _
Y(S)
X(s) ^ __ F(s).
Ш£ -Ч
\**is)* =Fty-
vis) f~£
X*(s)
Рис. VII. 10. Последовательное соеди- Рис. VII.11. Последовательное
соединение импульсного и непрерывного нение непрерывного динамического
динамического элементов и импульсного элементов
Согласно предыдущему, выход импульсного элемента
(VII. 149)
а выход непрерывного динамического элемента
00
X{s) = Y®(s)± 2 F(s+jvar).
(VII. 150)
Согласно общему определению и формуле (VII. 150),
передаточная функция системы Y® (s) (рис. VII. 10) может быть выражена
через передаточную функцию Y (s) непрерывной части и через
преобразование Лапласа F (s) входного сигнала:
— ^ F(s+jvcor)
у® (s) = -^^^ Y (s).
F(s)
(VII.151)
Рассмотрим теперь последовательное соединение непрерывного
динамического и импульсного элементов (рис. VII.II). При этом
предположим, что на вход непрерывного элемента подан дискретный
сигнал i7* (s).
218

На выходе непрерывного элемента
X(s)=7(s)f*(s) (VII. 152;
и, следовательно, согласно формуле (VII. 148) на выходе импульсного
элемента
оо оо
v = —oo v = —oo
X Y(s + jv®,). (VII. 153)
Учитывая, что F* (5) является периодической функцией, вместо
выражения (VII. 153) можно написать
X* (s) = F* (s) .1 ^ K(s + /v(»,). (VII. 154)
V= — ОО
По общему определению передаточная функция У* (s) системы
(рис. VI-I.11) равна
Г* <*>=£(§-■ (VII.155)
т. е. совпадает с обычным выражением для передаточной функции.
Далее, используя выражения (VII. 155) и (VII. 154), получим
Y*®=4; 2 у(* + ^шг).
Из последнего выражения видно, что передаточная функция
У* (s) соединения (рис. VII. 11), состоящего из непрерывного
динамического и импульсного элементов, не может быть выражена
в замкнутой форме через передаточную функцию Y (s) непрерывного
динамического элемента.
17. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
СИСТЕМЫ (СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ)
Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую
линейным дифференциальным уравнением с переменными
коэффициентами:
an(t)^ + an_1(t)d-^1 + --- + a1(t)d£ + a0(t)x = bm(t)d-^ +
+ ...+ b1(t)%+b0(t)f (VII. 156)
и предположим, что / (t) = 0, t < 0.
Уравнение (VII. 156) можно записать в сокращенном виде:
D(p,t)x(t) = M(p,t)f(t), (VII. 156а)
219

где через D (p, t) и М (р, t) обозначены операторы
D (p, t) = ^ a, {t)ljr, M(p,t)= ^ *' M^i.
i = 0 i = О
В соответствии с общим определением импульсной переходной
функцией или .весовой функцией k (ty х) нестационарной линейной
системы называется общее решение уравнения (VII. 156) или
(VII. 156а) при воздействии в виде дельта-функции б (t — т),
приложенного в момент / = т, и нулевых или однородных начальных уело-
dx dn~^x
виях в момент t = т", т. е. х (t) = ^- = ... = ~^=i = 0 при t = т".
Итак, дифференциальное уравнение,
определяющее функцию k (t, т), имеет вид
D (р, t) k {t9 х) = М (р, f)6(t — x).
(VIIЛ 57)
В отличие от стационарной системы,
в которой импульсная переходная
функция k (t) зависит только от одной
переменной, нестационарная система имеет
импульсную переходную функцию
k (tt т), зависящую от двух переменных:
текущего момента времени или момента
наблюдения t и момента приложения т
воздействия в виде дельта-функции. Это
объясняется тем, что свойства
нестационарной системы изменяются во времени, а поэтому реакция системы
на воздействие в виде импульса, естественно, зависит от момента
его приложения т, а не только от текущего момента времени t.
Импульсные переходныефункции k (t, x) реальных
нестационарных систем удовлетворяют следующему основному условию:
k(t,x) = 0 при t<x, (VII.158)
называемому условием физической осуществимости нестационарной
системы. Так же, как и в случае стационарной системы, равенство
(VII.158) означает, что реакция k (t9 x) реальной физической
системы не может предшествовать, вызвавшей ее причине б (/—т).
Кроме того, функция k (t, x) часто является абсолютно
интегрируемой функцией
Рис. VII. 12. Импульсная
переходная функция k (t, т)
линейной нестационарной
системы
§ | k (/, т) | dt <^оо при любых т.
(VII. 159)
Условие (VII. 159) называют условием устойчивости.
Она свидетельствует о том, что функция k (t, x) при достаточно
больших t и любых х стремится к нулю. Импульсная переходная
функция k (t, х) графически может быть представлена [рис. (VII.12)]
220

в виде поверхности, ограниченной прямой t = т [слева от этой
прямой согласно выражению (VII. 158)] функция k (t, т) обращается
в нуль.
Ввиду того, что для линейных нестационарных систем
справедлив принцип суперпозиции, решение уравнения (VI 1.156) при
любом воздействии / (t) можно выразить через импульсную переходную
функцию. Действительно, воздействие вида / (т) б (t — x)dx
вызывает в системе реакцию / (т) k (t, х) dx.
Следовательно, воздействие
оо
/(/)== \ f(x)6(t-x)dx
— оо
вызовет в системе, согласно принципу суперпозиции, реакцию
оо
*(/)= \ f(x)k(t,x)dx. (VI 1.160)
ОО
Если / (t) = 0 при t <^ 0, то, учитывая условие (VII. 158) вместо
(VII. 160), можно написать
x{t) = \f{x)k{tix)dx. (VII.161)
о
Интеграл (VII. 161), определяющий выход х (t) нестационарной
системы через ее вход / (t), иногда называют интегралом
суперпозиции, или интегралом свертки. Это
выражение показывает, что импульсная переходная функция k (t, x)
нестационарной системы может рассматриваться как ее
универсальная динамическая характеристика.
18. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
Перейдем к определению передаточной функций нестационарной
системы. Согласно формуле (VI 1.6) можно записать
/ оо
Y(s9f)= \ k{t,x)e-s«-* = \ k{t,t — x)e-™dx. (VII. 162)
— со 0
Полученное выражение представляет собой функцию двух
переменных: комплексной s и вещественной t.
Формула обращения для выражения (VII. 162) имеет вид
+£»
*('.*)-=2^ \ ПМ)^~Т)^. (VII.163)
—У'оо
221

Выразим величину на выходе х (f) нестационарной системы через
ее передаточную функцию Y (s, t). Пусть
с +/со
М = йЬ \ F^^ds. (VII. 164)
с — у оо
Тогда, подставляя выражение (VII.164) в формулу (VII.161),
получим
с-\-j'co t с+/°°
Х®=*Ш] \ F(s)ds[ k{t,i)e"dT = ±j ^ F(s)e>'dsx
С — JCO — 00 С — /СО
х [ k{t,x)er-*«-^d%. (VII.165)
— оо
Далее, учитывая выражение (VII. 162), получим
с-}-/со
x(f)*=^. \ F (s) Y (s, 0 «*' ds. (VII.166)
с —/со
Последнее выражение является обобщением формулы (VI 1.27)
на случай, когда передаточная функция Y зависит от параметра t.
Оно также показывает, что, зная передаточную функцию Y (s, t)
нестационарной системы, можно найти переходный процесс,
вызываемый в ней любым воздействием f(t).
Для частного случая, когда
/(/) = в(*_Т)
и
F (s) = e-sx ,
формула (VII. 166), очевидно, сводится к выражению (VII. 163).
Таким образом, задача анализа линейных систем с переменными
параметрами решается достаточно просто, если известны импульсная
переходная или передаточная функция системы. Однако чаще всего
эти характеристики не известны, а задано только дифференциальное
уравнение системы. Поэтому практически очень часто возникает
задача определения k (t, т) или Y (s, t) по известному
дифференциальному уравнению системы (VII. 156). Решение этой задачи,
достаточно простой в случае линейных систем с постоянными
параметрами, для линейных переменных систем связано с
определенными трудностями. Они являются следствием того, что в настоящее
время отсутствуют регулярные методы нахождения решений
линейных дифференциальных уравнений типа (VII. 156), за
исключением случаев, когда п = 1,2. А именно, к решению таких
уравнений и сводится задача определения k (t, x) и Y (s, t).
Действительно, выше было отмечено, что для определения
импульсной переходной функции системы, описываемой уравне-
222

нием (VII. 156), необходимо решить дифференциальное уравнение
(VII.157), совпадающее с уравнением (VII.157) при f (t) = б (t—т).
Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
передаточная функция системы, определяемая дифференциальным
уравнением (VII. 157). Применяя к обеим частям уравнения (VII. 157)
преобразование Лапласа по переменной 5, будем иметь
D{pJ)Y (s, t) e8' = М (s, f) est. (VII. 167)
Так как
то, полагая и (t) = Y (s, t) и v (t) = est, на основании последней
формулы и уравнения (VII. 167), получим дифференциальное
уравнение для Y (s, t):
JL дп° ts> *) rf"y(M) <_<№_(М) ^>7(s>0
n! dsw ' dtn + • • • + ds ' d* ~^~
+ D (s, /) Y (s, 0 = M (s, /). (VII.168)
Введя обозначения
/A 1 d*D(s,*) . n i о
получим
a* (/) —rf^ + a*-i W <tt*V + • • • + ai (0 —зг~' +
+ a0 (/) Y (s, /) = Af (s, /). (VII. 169)
Сравнивая полученное выражение с уравнением (VII. 156), мы
видим, что оно имеет такой же порядок. Следовательно, его решение
так же трудно найти, как и решение уравнения (VII. 156). Однако
использование функций k (t9 т) и Y (s, t) все же упрощает задачу,
так как для исследования реакции системы на любое входное
воздействие необходимо только один раз решить уравнение (VI 1.157)
или (VII.169), а при использовании уравнения (VII.156) его
частное решение требуется определять для каждого вида воздействия.
Частотные характеристики линейной нестационарной системы
к(/«>,0 = />(<»,/) + #КО; } rvnnm
У (/с», 9 = Д(т,/)«*><«>•«, / ( '
так же как и передаточная функция Y (s, t), в отличие от
стационарных систем являются функциями не одной переменной со, а двух со
и t.
223

19. МНОГОМЕРНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим вначале простую нелинейную систему (рис. VII. 13),
состоящую из последовательного соединения линейной системы с
импульсной переходной функцией k (t) и
f(0 Г77Л Ш-ПмПхт квадратора.
—* Величина на выходе хл (t)
линейной части равна
kit)
xMth

Квадратор
Рис. VII. 13. Последовательное
соединение линейного
динамического элемента и квадратора
а величина на выход х (t) квадратора:
x(t) = xl(t).
Подставляя выражение (VII. 171) в (VII. 172), найдем
*,(')= \ f(t-x)k{x)dxf
— оо
(VII.171)
(VII.172)
или
где
х(0 = \ k{x1)f{t — x1)dx1\ k{x2)f{t — x2)dx2,
— оо — оо
оо оо
x(t)= $ I kiiTi.TjfV-xJfy-TjdTidT» (VII.173)
— оо —со
Пусть / (t) = б (t)9 тогда хл (t) = k (t) и, следовательно, х (f)
согласно уравнению (VII. 173) можно записать в виде
оо оо
x(f)= [ I k2 (хи т2) 6(t — тх) б (t — т8) dx1dx2 - /г2 (0. (VI1.174)
— ОО — СО
Таким образом выражение &2 (*i, т2) можно рассматривать как
импульсную переходную функцию нелинейной системы (рис. VII. 13).
Рассмотрим теперь более общий
случай (рис. VII. 14), когда
нелинейная часть системы может быть пред- f(V Г
ставлена в виде произвольной
непрерывной функции:
Рис. VII. 14. Последовательное
X (/) = ф [хл (/) ]. (VI 1.175) соединение линейного
динамического и нелинейного элементов
Аппроксимируем ф (хл)
последовательностью полиномов в интервале — со<^<[сю. В результате
получим
хя (0 = соп + с1пхл + ... + сппх». (VI1.176)
Рассуждая так же, как и выше, для величины х (t) я^ xn (t) на
выходе системы (рис. VII. 14) получим
ОО СО 00
ха (0 = соп + сы \ К (т) f(jt — x)dT + c.in \ \ k2 (т1( т2) / (/—тх) х
—оэ — оэ — то
224
М)
ш
9Ы
т

ОО 00 00
X / (/ — Т2) d,Xxdxt + Csn $ I $ MTl« *S. *•)/(* — Xt)f(t — T2) X
— oo —oo — oo
CO 00
Xf{t — t3)dx1dx2dx3 + ... + cnn \ ... \ kn(xltx2 xn)f{t —
— 00 —OO
— 4) • •. / (t — xn) dxxdx2... dxn, (V11Л 77)
где
M*i> т2,т8) = Л(т1)*(та)/5(т8)
и
*л (ть t2, ... , тя) - k (хг) 6 (t2)... k (тл).
Импульсная переходная функция системы определяется
выражением
К (t) - ст + clnk (t) + c2nk* (/) + ...+ cnnkn (i). (VI1.178)
Выражение (VII. 177) показывает, что импульсная переходная
функция k (t) линейной части системы определяет реакцию
нелинейной системы при любом воздействии и, следовательно, может
рассматриваться как ее универсальная динамическая
характеристика. Однако вместо интеграла суперпозиции с одномерным ядром
теперь получается выражение (VII. 177), содержащее многократные
интегралы с многомерными ядрами.
Функционалы вида
ОО ОО
**»(0= \ ••• \ ki{x1,x2,...,xi)f(t — x1)...
— 00 —00
...f(t — xi)dxi...dxi (VII.179)
называются однородными регулярными функционалами /-й степени.
Ядро kt (хъ хъ ..., xt) функционала (VII. 179) может быть
представлено в виде
kt (ti, t2, ..., т,.) = k (xx) k (т2) ...k (т,), (VII. 180)
т. е. обладает свойством разделимости.
Свойство однородности функционала (VII. 179)
заключается в том, что если в нем заменить / (t) через af (t)9 то xin (t)
сделается равным a1 xin (t). Точно так же, как и в линейном случае,
ядро kt (т1? хъ ...,т,.), удовлетворяющее условию
^(Ъ^..-.^)=0 прит^О; т2<0; ...;т,<0, (VII.181)
называется физически реализуемым.
Ядро kt называется устойчивым при условии, что
ОО ОО
\ ... \ I M*i, *. т,) dxxdx2... dxt<oo. (VI1.182)
•--OO — OO
8 Техническая кибернетика, кн. 1 225

Если функция ф (хл) аналитическая в некоторой области, то ее
можно разложить в степенной ряд, т. е.
х (t) = Ф [хл (/) ]=а0 + а1хл + а3х* + ... (VI1.183)
Преимуществом степенных рядов (VII. 183) по сравнению с
последовательностью полиномов (VII. 176) является то, что можно дать
оценку ошибки разложения. Их недостаток заключается в том, что
разложение (VII. 183) справедливо лишь для ограниченной области
значений t.
Изложенный выше подход к описанию нелинейных систем,
требующий введения импульсной переходной функции k (f) ее линейной
части, можно обобщить и на более сложные системы, состоящие из
последовательного соединения линейных динамических элементов
и нелинейных статических элементов (не имеющих «памяти»).
20. МНОГОМЕРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОИСТЕМ
Введем теперь в рассмотрение многомерное преобразование
Лапласа для многомерных ядер, определяемое следующим образом:
*я (51> S2> • • • > Sn) =
00 00
= S -..$ ka(ti,tt,...,Qe-*...e-*t*dt1...dtn. (VII.184)
— оо —оо
Согласно общему определению функция Yn может быть названа
многомерной передаточной функцией соединения, состоящего из
динамического линейного и нелинейного элементов (рис. VII. 14).
В частности, двумерное преобразование Лапласа
00 ОО 00
У (Si, h) = \ \ К (h, Q e-^er^dtjdU = \ k (t^e-^dt, х
— 00 —00 —ОО
оо
X I k(tJe—bdtt=Y(sJY(sJ. (VII. 185)
— 00
Точно так же
00 СО ОО
— со — оо — оо
X dtxdt%dtz = Y (sj) Y (s2) Y (s3) (V11.186)
и, вообще,
Yn(sx, s2 sn) = Y(Sl) Y(Si)...Y(sn). (VII. 187)
Таким образом, n-мерное преобразование Лапласа для n-мерного
ядра, обладающего свойством разделимости, является также
разделимым.
226

Найдем многомерное преобразование Лапласа
оо со
*л(%, ...>5Л)= $ ... $ хп(тът2у...,тп)е~5хк..е-8хпх
— оо — со
X Агх ... Лгя (VII.188)
для выражения
со оо
*я(9= S —S &(TX(...,T„)/(^-T1).../(^-T„)dT1...rfTn(VII.189)
— СО — СО
Легко видеть, что
Xn(sl9 S2, ... , S„) - Гя(*1> ... , 5W)/7(51)F(S2)...F(5W).
Согласно предыдущему многомерное преобразование Лапласа
для i-го члена разложения (VII. 176) имеет вид
СщУ (*i) Y (s2)... У (st) F (S<) F (s2)... F (s{).
Соответствующая функция времени xt (t) может быть найдена,
если найти обратное преобразование Лапласа х{ (tlt t%, ..., tt) для
X; (slf s2, ..., Si), а затем положить tx = U = ... tt = t, т. е.
xn (t) = ^o« + ^1^Г1 {У (s) X (s)} + c2n {£rl [Y(s±) Y (s2) Ffo) x
X F («Ж-*.-/ + c3n {L7^[Y (Sl) Y (s2) Y (s3) F (sx) F (s2) X
...Y (sn) F (Sl) F (52) ...F (*„)[}*-,.-..., (VII. 190)
Итак, переходный процесс х (t) в нелинейной системе данного
класса при любом воздействии / (t) можно найти при помощи
формулы (VII. 190), если известна передаточная функция Y (s) ее
линейной части.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ван-Трис Г., Синтез оптимальных нелинейных систем управления,
М., Изд-во «Мир», 1964.
2. Карслоу X., ЕгерД. Операционные методы в прикладной
математике. М., ГИИЛ, 1948.
3. Солодовников В. В. Применение операторного метода к
исследованию процесса регулирования скорости гидротурбины. Автоматика и
телемеханика, 1941, № 1.
4. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления. М., Физматгиз, 1960.
5. Т у Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического
управления. М., Изд-во «Машиностроение», 1964.
6. Е 1 ger d О., Analysis of linear Control Systems containing distributed
and lumped parameters, IRE Convention Record, 1961, 9, № 4.

ГЛАВА VIII
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В предыдущей главе было дано общее определение
передаточной и импульдной переходной функции, а также частотных
характеристик и было показано, какой смысл имеют эти понятия для
различных типов динамических элементов.
В настоящей главе подробно рассмотрены передаточные
функции, частотные характеристики, а также интегральные уравнения
систем автоматического регулирования, состоящих только из одного
типа динамических элементов, а именно: непрерывных линейных
динамических элементов. Показано, что одномерная система
автоматического регулирования обычно полностью может быть
охарактеризована при помощи задания только двух передаточных
функций системы в разомкнутом состоянии. Значительное внимание
уделено свойствам передаточных функций статических и
астатических систем регулирования.
Рассмотрены различные типы частотных характеристик систем
регулирования и даны аналитические и графические способы
(круговые диаграммы, номограммы замыкания) для нахождения
частотных характеристик замкнутой системы по заданным частотным
характеристикам разомкнутой системы (и обратно).
Приведены условия однозначной связи между частотными
характеристиками, а также выяснен смысл понятия:
минимально-фазовой системы; даны способы определения передаточной функции
но аналитическому выражению амплитудной частотной
характеристики и фазовой характеристики — по той же характеристике,
заданной графически; приведены интегральные соотношения и
интегральные уравнения, являющиеся аналогами в области вещественного
переменного / для выражений, определяющих преобразования
Лапласа регулируемой величины и ошибки в области комплексного
переменного s; рассмотрены передаточные переходные функции
и частотные характеристики типовых звеньев.
228

1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим общие дифференциальные уравнения линейной
системы автоматического регулирования, приведенной на рис. VIII. 1
(см. гл. IV) [3] — [5]. Эти уравнения имеют вид:
объекта регулирования
DQ(p)x(t) = M0(p)f(t)+C0(p)r(t)\ (VIII.1)
регулятора
B{p)r(f) = N(p)B(t); (VII 1.2)
ошибки
eW==g(0-*(0. (VHI.3)
Применяя к уравнениям (VIII. 1)—(VII 1.3) преобразование
Лапласа и вводя обозначения ..,,.
9ft)
X(s) = \ x{t)e'stdt\
о
00
E{s) = \ z(t)e-stdt
(VIII.4)
W^ s(tj | 1 r(t)
Kit)
Рис. VIII.1. Линейная система
автоматического регулирования
и т. д. и учитывая начальные условия, получим
D0 (s) X (s) = M0 (s) F (s) + C0 (s) R (s) + MlH (s); j
B(s)R(s) = N(s)E(s)+M2H(s); (VIII.5)
E(s) = G(s) — X(s). J
Исключая из уравнений (VIII.5) функции R(s) и E(s), найдем
X (s) = N(s)C°(s) G (s) + B (s)M°(s) F(s) + M"(s) (VIII 6)
^ ; D0(s)B(s) + C0(s)N(s) ' " ;
где
M« (s) = В (s) M1H (s) + C0 (s) M2„ (s).
Исключая из уравнений (VI11.5) функции R (s) н X (s), будем
иметь
Do (s) 5 (s) О (s) - Af0 (s) g (s) F (s) - AfK (s)
D0(s)B(s) + C0(s)yV(s)
£(s)
(VIII.7)
Разделив все члены выражений (VI11.6) и (VI11.7) на D0(s) fi (s)
и введя обозначения
w м - C0(s)N(s),
w W- DQ{s)B{sy
I (s) = AJ^-
(VIII.8)
Vh{s)
D0(sy
MH(s)
(VI11.9)
229

получим
x(s) = TTW)G(s) + r^f(s) + rTW) (VIIM0)
и
£(s) = TqrWG(s)-iW(^F(s)-bFW7i)- (VIIL11)
Очевидно, что первое слагаемое в правой части выражений
(VIII. 10), а также (VIII. 11) характеризует эффект управляющего
воздействия g (t), второе слагаемое в правых частях этих
выражений — эффект возмущающего воздействия / (t), а третье
слагаемое — эффект начальных условий.
Формулы (VIII. 10) и (VIII. 11), предположив случай нулевых
начальных условий, можно также переписать в следующем виде:
X (s)= Ф (s) G(s) + Y (s) F (s); (VIII. 12)
Е (s) = (Dg(s)G (s) — Y (s) F (s), (VIII.13)
где Ф^)==ТТЩГУ (VIILM)
Y^-YTWVy (VIIM5)
ФЛ*) = 1-ф(*)-ГТтГ(5). (Viii.16)
Остановимся теперь на интерпретации смысла функций
W(s), /(s), Ф(5), Y(s), Ф;(5).
Положив возмущающе^ воздействие / (t) равным нулю,
получим согласно уравнению (VIII. 12)
X (s) =я Ф (s) G (s), (VIII.17)
откуда Ф (s) *= Щ-у (VIII.18)
Таким образом, как это следует из приведенного в предыдущей
главе определения, функция Ф (s) является передаточной функцией
системы автоматического регулирования по отношению к
управляющему воздействию g (f).
Точно так же, положив управляющее воздействие g (t) равным
нулю, найдем
X(s) = Y(s)F(s), (VIII.19)
откуда Y(s) = £&. (VII 1.20)
Следовательно, функция Y (s) представляет собой передаточную
функцию системы автоматического регулирования по отношению
к возмущающему воздействию / (/),
230

9W Щ
I
r(t)
\
Функцию <I>6(s), которая при / (/) = 0 определяется, как это
видно из уравнения (VIII. 13), отношением
Ф«<8> = §8Ь (VIII.21)
мы условимся называть передаточной функцией
ошибки.
Перейдем теперь к рассмотрению функции W (s). Как уже
указывалось, всякая система автоматического регулирования является
замкнутой динамической системой, так как в ней всегда существует
взаимодействие, или, как обычно говорят, обратная связь между
величиной х (t) на ее выходе и величинойg (t) на ее входе, благодаря
которой сигнал, пропорциональный ошибке е (/), может обойти всю
систему и вернуться к месту
своего возникновения (т. е. ищ
к элементу, измеряющему \_
ошибку). 9(Ц^ W) 1 | r(t)\ \ ^ | x(t)
Математически на наличие
этой связи указывает
уравнение ошибки (VII 1.3).
Предположим, ЧТО обратная СВЯЗЬ Рис. VIII.2. Разомкнутая система
между ВЫХОДОМ И ВХОДОМ на- автоматического регулирования
рушена. Физически это
означает, что чувствительный элемент, измеряющий разность между
входом и выходом, отключен от выхода, или, другими словами,
от регулируемой переменной (рис. VIII.2). Систему автоматического
регулирования, в которой нарушена обратная связь между выходом
и входом через чувствительный элемент, измеряющий ошибку,
принято называть разомкнутой.
Посмотрим, что произойдет с уравнениями (VIII. 1)—(VII 1.3),
если не производить измерения ошибки е (/) и приложить ко входу
измерительного элемента воздействие g(t). При этом, очевидно,
уравнение ошибки (VIII.3) вообще перестанет существовать, а
уравнение регулятора сведется к виду
B{p)r(t)=N(p)g(t) (VIII.22)
или, переходя к изображениям,
B{s)R(s) = N(s)G(s). (VIII.23)
Решая уравнение (VIII.23) относительно R (s) и подставив
результат в первое из уравнений (VIII.5) для случая разомкнутой системы,
полу™ *,W_%$fW+£gagj0W. (VI.,.24,
Положив в выражении (VIII.24) F (s) = О и учитывая
обозначения (VIII.8), будем иметь
Ш=ШШ=*®* (VIIL25)
231

откуда следует, что функция W (s) представляет собой передаточную
функцию разомкнутой системы автоматического регулирования по
отношению к управляющему воздействию g (t).
Точно так же, положив в выражении (VIII.24) G (s) = 0 и
учитывая уравнение (VIII. 19), получим
Ш-Ш)^1^ (VIIL26)
откуда следует, что функция / (s) представляет собой передаточную
функцию разомкнутой системы автоматического регулирования по
отношению к возмущающему воздействию / (t).
2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СТАТИЧЕСКИХ И АСТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Системы автоматического регулирования принято подразделять
на статические и астатическиев зависимости от
того, имеют они или не имеют
отклонение или ошибку в
установившемся состоянии
при воздействиях,
удовлетворяющих определенным
условиям.
Система регулирования
называется статической
17ТТТП „ по отношению к воз-
Рис. VIII.3. Кривые переходного про- „
цесса в статической (кривая 2) и аста мущающему ВОЗДеи
тической (кривая 3) системах в случае С Т В И Ю, если При ВОЗДеи-
возмущающего воздействия (кривая 1) ствии, стремящемся с
течением времени к некоторому
установившемуся постоянному значению (кривая У, рис. VIII.3),
отклонение регулируемой величины также стремится к постоянному
значению, зависящему от величины воздействия (кривая 2).
Система автоматического регулирования называется
астатической по отношению к возмущающему
воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением
времени к некоторому установившемуся постоянному значению,
отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне
зависимости от величины воздействия (кривая 3).
В статической системе зависимость установившегося значения
регулируемой величины от установившегося значения воздействия
изображается некоторой кривой, которая приближенно может
быть заменена, по крайней мере для некоторого интервала
установившихся значений воздействия, наклонной прямой линией
(рис. VIII.4, а).
В случае астатических систем соответствующая зависимость
изображается прямой, параллельной оси абсцисс (рис. VIII.4, б).
232

Согласно рис. VIII.4, а при изменении величины воздействия от
нуля до некоторого /тах регулируемая величина может изменяться
от Хтах до хт-т. Одно из значений х в этом интервале, равное,
например, среднему арифметическому
+ хп
(VI 11.27)
принимают за номинальное значение регулируемой величины, а
статизмом или коэффициентом неравномерности называют величину
(VIII.28)
б)
Рис. VII 1.4. Зависимость установившегося значения
регулируемой величины от установившегося значения
воздействия для статической (а) и астатической (б)
систем регулирования
Система автоматического регулирования называется
статической по отношению к управляющему
воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением
времени к некоторому установившемуся постоянному значению,
ошибка также стремится к постоянному значению, зависящему от
величины управляющего воздействия (рис. VIII.5).
а) б)
Рис. VII 1.5. Кривые изменения ошибки в
статической (а) и астатической (б) системах
Следует подчеркнуть, что одна и та же система может быть
статической по отношению, скажем, к какому-либо возмущающему
233

воздействию и астатической по отношению к управляющему
воздействию и наоборот. Таким образом, если это может вызвать
недоразумения, то следует указывать, в какой точке системы приложено
воздействие, по отношению к которому последняя является
статической или астатической. Так, в случае систем автоматической
стабилизации управляющее воздействие сохраняет постоянное
значение (оно может изменяться лишь при перенастройке регулятора),
и возникает вопрос о том, является ли система статической или
астатической по отношению к возмущающему воздействию [5].
В случае следящих систем, наоборот, интересуются обычно
тем, является ли система статической или астатической по
отношению к управляющему воздействию.
Найдем, какими свойствами должны обладать передаточные
функции статических и астатических систем. Имея вначале в виду
управляющие воздействия, рассмотрим первый член в правой
части выражения (VIII. 13), т. е. положим, что
E(s) = <bt(s)G(s). (VIII.29)
Согласно определению и теореме о конечном значении система
является статической по отношению к управляющему воздействию,
если
lim e (t) = lim s Ф8 (s) G (s) = const ф 0, (VIII.30)
и астатической, если
lime (0 = lim s Фе (s) G (s) = 0, (VIII.31)
/-+OO S-+0
при условии, что
lim g(t) = lim sG (s) = const ф 0. (VIII.32)
/-♦00 S-+0
Очевидно, что условие (VIII.32) удовлетворяется, если функция
G (s) может быть представлена в виде
G(s)=2±@-9 (VIII.33)
где
lim GQ (s) = const Ф О,
s-+ 0
т. е. если функция G (s) имеет полюс первого порядка в начале
координат.
Простейшим примером может служить функция G (s) =
—представляющая собой, как известно, преобразование Лапласа для
единичной ступенчатой функции.
Подставляя соотношение (VIII.33) в выражение (VI 11.30) и
пользуясь теоремой о конечном значении, получим
lim e (t) = lim <Pe(s)G0 (s). (VIII.34)
/-+00 $-+0
234

Заметим, что выражение (VIII.34) стремится к постоянной ве*
личине, отличной от нуля, а система является статической, т. е.
имеет ошибку в установившемся состоянии, если числитель и
знаменатель функции <P£(s) имеют свободные члены, не зависящие
от s.
Если же функция ФДя) имеет нуль какого-либо порядка при
5 = 0, то система является астатической, т. е. не имеет ошибки
в установившемся состоянии.
Итак, система автоматического регулирования является
статической по отношению к управляющему воздействию, если
передаточная функция ошибки <P£(s) обращается в постоянную величину
при s = 0, и астатической по отношению к управляющему
воздействию, если передаточная функция ошибки <Ps(s) имеет нуль
какого-либо порядка при s = 0.
Условимся говорить, что система имеет астатизм v-ro порядка,
если передаточная функция ошибки <P£(s) имеет нуль v-ro п о -
рядка при s = 0.
Покажем теперь, что в случае управляющих воздействий в виде
полинома от s система с астатизмом v-ro порядка либо не имеет
статической ошибки, либо имеет статическую ошибку или
безгранично возрастающую ошибку в зависимости от того, является ли
степень полинома более низкой, равной или более высокой, чем
порядок астатизма системы.
Действительно, пусть
«(')=&+ ei' + -.. + fi^ (VIII.35)
и, следовательно,
G(s)=f + f2 + ... + 4#-- (VIII.36)
Так как система обладает астатизмом v-ro порядка, то по
определению
Ф.(5) = **Фо.(*), (VIII.37)
где
lim Ф05 (s) = const Ф 0.
S-+0
Найдем ошибку в установившемся состоянии. Принимая во
внимание выражения (VIII.34)—(VIII.37), можем записать
е (сю) = lim e (t) = lim зФ8 (s) G (s) = lim sv+1©0s (s) x
x[f+ § + ...+ -^|f-]. (VIII.38)
Из уравнения (VI11.38) видно, что при г <^v статическая ошибка
е(оо) равна нулю, при г = v
e(oo) = v! &Фо.(0), (VIII.39)
а при г^> v
е (оо) =■ оо.
235

На практике широкое применение получили системы
регулирования с астатизмом нулевого, первого и второго порядка по
отношению к управляющим воздействиям, принадлежащие к классу
следящих систем.
Согласно только что доказанному утверждению, следящие
системы с астатизмом первого порядка не имеют ошибки в
установившемся состоянии при единичном ступенчатом управляющем
воздействии, но если управляющее воздействие изменяется с постоянной
скоростью, т. е. ... , ,. п
то они дают статическую ошибку
в(оо)=&Ф0.(0).
Точно так же следящие системы с астатизмом второго порядка
не имеют ошибки в установившемся состоянии как при единичном
ступенчатом управляющем воздействии, так и при воздействии,
изменяющемся с постоянной скоростью, но если управляющее
воздействие изменяется с постоянным ускорением, т. е.
то они дают статическую ошибку
в(~) = 2йФ0,(0).
Установим теперь, пользуясь формулой (VIII. 16), каким
свойством должна обладать передаточная функция разомкнутой
системы W (s) для того, чтобы замкнутая система имела астатизм
требуемого порядка.
Далее отметим, что кратность нуля функции Ф£(я) при s = О
равна кратности полюса функции W (s) при s = 0.
Действительно, пусть функция W (s) имеет полюс кратности v
при s = 0, т. е.
W(s)=%4£3 (VI И.40)
s
где
W0 (0) = const -ф 0.
Подставляя выражение (VIII.40) в (VIII.16), получим для Os(s)
выражение
Ф^) = ^ЩГу (VIII.41)
имеющее нуль кратности v при s = 0.
Имея теперь в виду, что порядок астатизма системы определяется
кратностью нуля функции (De(s) при s = 0, мы можем высказать
следующее утверждение. Для того чтобы система обладала
астатизмом v-ro порядка по отношению к управляющему воздействию, ее
передаточная функция в разомкнутом состоянии W (s) должна иметь
полюс v-й кратности при s = 0.
236

Таким образом, в случае статических систем функция W (s)
не имеет полюса в начале координат, в случае астатических систем
первого порядка функция W (s) имеет простой полюс в начале
координат, т. е. может быть представлена в виде
W(s)=^^. (VMI.42)
В случае астатических систем второго порядка функция W (s)
имеет двукратный полюс в начале координат, т. е. может быть
представлена в виде
W(s) = ^jfi (VIII.43)
и т. д.
Перейдем теперь к рассмотрению условий, при которых система
регулирования является статической или астатической по
отношению к возмущающему воздействию.
Преобразование Лапласа X (s) для отклонения регулируемой
величины, вызываемого возмущающим воздействием, согласно
уравнению (VIII. 19) определяется формулой
X(s) = 7(s)F(s). (VIII.44)
Применяя к уравнению (VI 11.44) те же рассуждения, которые
были применены выше к формуле (VIII.29), и замечая, что в
уравнении (VIII.44) вместо передаточной функции ошибки Фе(я) входит
передаточная функция замкнутой системы Y (s), мы легко придем
к следующему выводу. Для того чтобы система автоматического
регулирования являлась астатической системой v-ro порядка по
отношению к возмущающему воздействию / (/), ее передаточная
функция Y (s) по отношению к этому воздействию должна иметь
нуль кратности v при s = 0.
В заключение установим, пользуясь формулой
каким свойством должна обладать передаточная функция
разомкнутой системы W (s) для того, чтобы замкнутая система имела аста-
тизм требуемого порядка по отношению к возмущающему
воздействию.
Отличие от случая, когда рассматривалась передаточная
функция ошибки ®e(s), состоит в том, что в числитель выражения для
Y (s) входит функция / (s). Поэтому поведение функции Y (s)
в нуле определяется в отличие от Фе (s) поведением не только
функции W (s), но и I(s). Учитывая это обстоятельство, можно
сформулировать следующее правило.
Если передаточная функция / (s) объекта имеет полюс (или нуль)
кратности х при s = 0, то для того чтобы замкнутая система
обладала астатизмом v-ro порядка по отношению к возмущающему
237

воздействию, передаточная функция разомкнутой системы W (s)
должна иметь полюс кратности v + хв начале координат.
Действительно, предположим, что
/(s) =Щ^ (VIII.46)
и
W(s) = ^, (VIII.47)
где
/0 (0) = const ф 0; W0 (0) = const ф 0.
Пользуясь формулами (VIII.46) и (VIII.47), получим на
основании (VIII .45) следующее выражение:
^(s)=^rt(i). <VI11-48)
имеющее нуль v-й кратности при s — 0, что, как мы видели,
является достаточным условием для того, чтобы система обладала
астатизмом v-ro порядка. В частном случае, когда передаточная
функция объекта / (s) не имеет ни полюса, ни нуля в начале
координат, порядок астатизма системы по отношению к возмущающему
воздействию определяется, так же как и в случае управляющего
воздействия, порядком полюса функции W (s) в начале координат.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Каждой из пяти передаточных функций. Ф (s), Y (s), CPs(s),
W (s), / (s), характеризующих систему автоматического
регулирования, соответствуют свои частотные характеристики 14], [5].
Мы можем написать
ф (/о) = Р (со) + jQ (со); (VIII.49)
Ф(/со) = Л(со)б/?(а>), (VIII.50)
причем функции Р (со), Q (со), Л (со), ф (со) называются
соответственно вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой
частотными характеристиками замкнутой системы по отношению" к
управляющему воздействию.
Аналогично
F(/co)==Pr(co) + /Qy(co) (VIII.51)
и
Y (/со) = Лу(со) А(о>), (VI 11.52)
причем функции Ру(со), QF(co), Лк(со), фу(со) называются
соответственно вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой частотными
характеристиками замкнутой системы по отношению к
возмущающему воздействию.
238

а также
Точно так же
Ф5 (М = Р* N + /Q. N, (VIII.53)
Ф8(/а))-Л8(со)Лн (VIII.54)
W (/со) - £/ (со) + /V (со), (VIII.55)
^(^^^((o)^, (VIII.56)
/ (/о) =, ^(со) + /F» (VIII.57)
/ (/о) = Я7 (со) /'и, (VIII. 58)
причем функции Ре (со), Qe (со), Аг (со), ф£(со) называются
соответственно вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой частотными
характеристиками ошибки; функции V (со), V (со), Я (со), б (со) —
соответственно вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой
частотными характеристиками разомкнутой системы и, наконец,
функции £//(со), V/(co), ЯДсо), 8Дсо) — соответственно вещественной,
мнимой, амплитудной и фазовой частотными характеристиками
разомкнутой системы по отношению к возмущающему воздействию.
Кривая, соответствующая любой из функций Ф (/со), Y (/со),
Ф8 (/со), Щ/со), / (/со), построенная в соответствующих
прямоугольных или полярных координатах, называется
амплитудно-фазовой частотной характеристикой.
Наряду с рассмотренными выше частотными характеристиками,
широкое применение в теории регулирования получили
логарифмические частотные характеристики [1], [8]. Последние определяются
следующим образом. Рассмотрим, например, выражение (VIII.56),
связывающее передаточную функцию W (s) разомкнутой системы
при s = /со с амплитудной Я (со) и фазовой 8 (со) частотными
характеристиками.
Прологарифмировав рассматриваемое выражение, получим
In W (/со) = In Я (со) + /6 (со). (VIII.59)
Кривые, соответствующие функциям In Я (со) и 8 (со),
построенные в логарифмическом масштабе частот In со, называются
натуральными логарифмическими
амплитудной и фазовой частотными
характеристиками. Однако на практике обычно пользуются логарифмическими
частотными характеристиками, основанными на десятичных, а не на
натуральных логарифмах.
Логарифмической амплитудной
частотной характеристикой разомкнутой систе-
м ы называется кривая, соответствующая 20 десятичным
логарифмам модуля передаточной функции W (/со) разомкнутой системы,
построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот.
Мы условимся обозначать эту характеристику через L (со).
Итак> L (со) = 20 lg | W (/со) |. (VIИ.60)
239

Иногда 20 lg модуля передаточной функции для краткости
обозначаются через Lm, т. е.
20 lg | Г (/со) | = Lm | W (/со) |. (VIII.60a)
Логарифмической фазовой частотной
характеристикой разомкнутой системы
называется фазовая частотная характеристика 8 (со), построенная в
логарифмическом масштабе частот lg со.
Логарифм модуля передаточной функции W (/со) отсчитывается
в децибелах. Напомним, что децибелом в теории связи является
единица измерения для усиления или затухания. Если усиление
или затухание определяется числом N, то выраженное в децибелах
оно будет равно п = 20 lg N.
В теории связи термин «децибел» имеет более узкий смысл, чем
в теории регулирования, и относится лишь к отвлеченным числам.
В теории регулирования в децибелах выражается модуль
передаточной функции, который может и не быть отвлеченным числом,
а иметь определенную размерность.
Введем еще два термина, которые нам понадобятся в
дальнейшем. При двукратном изменении частоты условимся говорить, что
частота изменилась на о к т а в у, а при 10-кратном изменении —
на д е к а д у. Число октав, заключенное в интервале частот (со2, сох),
определяется соотношением
lg2 ~6>62щ'
а число декад, соответствующее тому же интервалу частот, равно
Выше были рассмотрены логарифмические частотные
характеристики, соответствующие передаточной функции разомкнутой системы
W (/со). Аналогичным образом могут быть определены и
логарифмические частотные характеристики, соответствующие всем
остальным передаточным функциям системы автоматического
регулирования.
Рассмотрим взаимную связь между введенными выше в
рассмотрение частотными характеристиками.
4. ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЗАМКНУТОЙ
И РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Взаимная связь между частотными характеристиками замкнутой
и разомкнутой системы определяется выражением
ф^-ттткг (VIII-61>
которое может быть получено из формулы (VIII. 14), если заменить $
через со.
240

Предположим, что известны амплитудно-фазовая W (/со), а
следовательно, вещественная U (со) и мнимая V (со) частотные
характеристики разомкнутой системы. Требуется найти частотные
характеристики Р (со), Q (со) замкнутой системы. Подставляя
формулы (VIII.49), (VIII.55) в выражение для передаточной функции
Ф (/со) и отделяя вещественную часть от мнимой, найдем
р (а) e t/м [1+</«■»]+ у(и), (VIII б2)
Q^-U + ulP+VH.y (VIII-63)
Точно так же, подставляя в выражение (VIII.61) формулы
(VIII.50), (VIII.55), найдем
Ae/9=TTvijv' (VIIL64)
откуда после преобразований получим
Л(в,)-+К ГГТТТ^Г-Г^Й (VIII.65)
и
Ф И = arctg-^w[1+^)1+17^, (VIII.66)
Подставляя в формулы (VI 11.62), (VIII.63), (VIII.65), (VIII.66)
числовые значения ^7 (со) и V (со) для различных со, можно найти
Р (со), Q (со), А (со), ф (со) для тех же значений со. Однако на
практике для решения этой задачи более удобно пользоваться не
числовыми расчетами, основанными на приведенных выше формулах,
а специальными круговыми диаграммами [5].
5. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ
Вещественная и мнимая круговые диаграммы [5], [9].
Графический способ нахождения частотных характеристик замкнутой
системы по амплитудно-фазовой характеристике может быть основан
на том, что в плоскости W (/со) строится сетка кривых, позволяющая
привести в соответствие каждой точке этой плоскости (в случае
прохождения через нее амплитудно-фазовой характеристики)
определенное значение той или иной частотной характеристики
замкнутой системы.
Уравнение этой кривой для случая вещественной частотной
характеристики Р (со) согласно формуле (VIП.61) имеет вид
Ч1±+иШ1=р (VIII 67)
где Рс — некоторое заданное значение Р (со).
241

После несложных преобразований на основании формулы
(VIII.67) получим
[и + т^Ш + v*- w±p&- (VIIL68)
Последнее выражение является уравнением окружности в
прямоугольных координатах Uf V с центром, расположенным на
расстоянии
d—w=i% (VIII-69)
от начала координат, и радиусом
r = T|r^Pj- (V"I-70)
Построим семейство окружностей, задаваясь различными
значениями Рс (рис. VIII.6), которое мы условимся называть
вещественной круговой диаграммой, а значения Рс, отмеченные на
вещественной круговой диаграмме, будем именовать индексами.
Предположим теперь, что построена амплитудно-фазовая
характеристика W (/со) исследуемой системы в тех же координатах
U, V. Рассмотрим какую-либо точку А (рис. VIII.7), находящуюся
на амплитудно-фазовой характеристике W (/со) и в то же время
принадлежащую окружности вещественной круговой диаграммы
с индексом Рс (в данном случае Рс = 0,6).
Для того чтобы найти Р (со) при со, соответствующем точке А
на W (/со), не располагая вещественной. круговой диаграммой,
нужно было бы подставить значения прямоугольных координат
U, V этой точки в формулу (VIII.62) и произвести соответствующие
вычисления. Но для всех точек рассматриваемой окружности
результат этих вычислений уже известен и равен ее индексу Рс.
Отсюда ясно, что если амплитудно-фазовая характеристика
пересекает при некоторой частоте сод одну из окружностей (VIII.68)
вещественной круговой диаграммы, то это означает, что ордината
частотной характеристики Р (со) при этой частоте равна тому
значению индекса Рс в формуле (VIII.68), которому эта кривая
соответствует. В этом и заключается простое правило построения
вещественной частотной характеристики замкнутой системы по
амплитудно-фазовой характеристике.
Заметим, что все окружности (VIИ.68) пересекают
вещественную ось U в точке (— 1, /0), причем прямая, в которую они
вырождаются при Рс = 1, проходящая через эту точку параллельно
оси ординат (рис. VIII.6 и рис. VIII.7), делит всю плоскость W
на две области; правая область соответствует значениям РС9
меньшим единицы, а левая — значениям Рс, большим единицы.
Область, в которой индексы Рс являются отрицательными,
ограничивается окружностью, проходящей через начало координат и
242

Рис. VIII.6. Вещественная и мнимая круговые диаграммы

точку (— 1, /0), (рис. VIII.6). Уравнение этой окружности, для
которой Рс = 0, очевидно, имеет вид
u+Tf + Vt==T- (VIII.71)
Аналогичным образом может быть найдена сетка кривых,
позволяющая определить по амплитудно-фазовой характеристике
мнимую частотную характеристику Q (со) замкнутой системы.
Для получения правила
построения этой сетки кривых
найдем на плоскости W
геометрическое место точек,
соответствующее заданному
значению мнимой частотной
характеристики замкнутой
системы:
Q(co) = Qc.
Уравнение этой кривой,
имеющее вид
V
(\+U)*+V*'
•Q„ (VIII.72)
после несложных
преобразований можно привести к виду
(i+ur + [V
1л
1
1_
(VIII.73)
Последнее выражение
является уравнением
окружностей с центрами,
расположенными на прямой,
параллельной мнимой оси V, проходящей через точку (— 1, /0). Центры
окружностей, имеющих радиус
(VIII.74)
Рис. VIII.7. Определение
вещественной частотной характеристики Р (со) по
амплитудно-фазовой характеристике
W (/со) при помощи вещественной
круговой диаграммы
2 |Ос
располагаются вдоль этой прямой на расстоянии
1
d = — 2^7 (VIII.75)
от вещественной оси U.
Сетка окружностей, соответствующая уравнению (VIII.73) и
изображенная на рис. VI11.6 и VI11.8, может быть названа мнимой
круговой диаграммой. Значения Qc, для которых построены окружности
мнимой круговой диаграммы, условимся называть индексами этой
диаграммы.
244

Построив на листе прозрачной бумаги рассмотренные выше
круговые диаграммы и наложив его на амплитудно-фазовую
характеристику, легко найти частотные характеристики замкнутой
системы Р (со) и Q (со).
Рис. VIII.8. Вещественная и мнимая круговые диаграммы вблизи
критической точки (— 1, /0)
Амплитудная и фазовая круговые диаграммы [1]. Они
представляют собой кривые на плоскости W (/со), соответствующие
геометрическим местам точек
А (©) - const - М (VI 11.76)
Ф (со) = const - фс. (VIII.77)
При помощи рассуждений, аналогичных тем, которые были
использованы при построении вещественной круговой диаграммы,
можно показать, что уравнение кривой (VIII.76) имеет вид
+ V" = (t^wJ- (VIH.78)
и т
1 — Л42
Уравнение (VII 1.78) является уравнением окружности, имеющей
радиус
г = jiSmr (vm-79>
и центр в точке
на оси U.
245

Амплитудная и фазовая круговая диаграмма изображена на
рис. VIII.9. При М -> оо центр окружности приближается к точке
(— 1, /0), а радиус окружности стремится к нулю. При М = 1 радиус
равен бесконечности и окружность превращается в прямую,
пересекающую ось U в точке(— у). Все окружности, которым
соответствуют значения индексов М ^> 1, расположены слева от этой
прямой, а все окружности с индексами М <^\ — справа от нее.
4
Jj
г
\
0
•1
'2
-3
104
1,з\
/о°\
^
7Г
>_а
Г1
<
г^
К£г
45°
-61?
-30
9>=20°
оА
'/I
(р=-20°
Ч
OJ0
_z
\\
1
-5 -4 -3*4012
Рис. VIII.9. Амплитудная и фазовая
круговая диаграмма
Рис. VIII. 10. Фазовая
круговая диаграмма
Точно так же можно показать, что кривые постоянных значений
1
Ф (со) являются окружностями с центрами на прямой U

^проходящими через начало координат и точку (— 1, /0) (рис. VIII .10).
Координаты центров окружностей фазовой круговой диаграммы
определяются формулами
i/ = -4-; (VIII.81)
V=;
or--- (VIII.82)
2 tg фс v ;
Обратные вещественная и мнимая круговые диаграммы. Иногда
при нахождении частотных характеристик замкнутой системы
оказывается удобным исходить не из обычной W (уса), а из обратной
амплитудно-фазовой характеристики [W (/со)]"1.
246

Согласно формуле (VIП.61), связь между функцией Ф (/со)
и функцией [W (/со)]-1 имеет вид
ф^>- i + [J(/«)r- (VIIL83)
Пусть
[W О'©)]"1 = Г (со) + /Y (со), (VIII.84)
тогда, подставляя последнее выражение в формулу (VIII.83) и
отделяя вещественную часть от мнимой, получим
р и = tttwtW; (VIII-85)
QN-TT+f^qW- (VIII-86)
Полученные выражения определяют вещественную и мнимую
частотные характеристики замкнутой системы по ее вещественной и
мнимой обратным частотным характеристикам Г (со) и ¥ (со) в
разомкнутом состоянии. Далее можно показать, что геометрическое
место точек на плоскости обратной передаточной функции [W]'1,
соответствующее заданному постоянному значению Р (со)
вещественной частотной характеристики Р (со) замкнутой системы,
определяется уравнением
[Г + ?%Fi]2+ У* - щ, (VIII.87)
являющимся уравнением окружности с центром, расположенным
на расстоянии
d^-Щ^- (VIII.88)
от начала координат, и с радиусом
r = w (VIIL89)
Сетка такого рода окружностей изображена на рис. VIII. 11.
Точно так же геометрическое место точек на плоскости [И?]"1,
соответствующее заданному постоянному значению Qc мнимой
частотной характеристики замкнутой системы, определяется
уравнением / 1 \2 1
(Г+^ + ^ + Щ:) =Щ> (VIII-9°)
представляющим уравнение окружности с центром, расположенным
в точке с координатами (— 1, —1о~б~) и с РадиУС0М
' = W (VIIL91)
Ниже приведено весьма простое правило построения
вещественной и мнимой круговых диаграмм на плоскости [И?]-1 соответственно
W

-5-5L
Рис. Vlfl.ll. Вещественная и мнимая круговые диаграммы для обратной амплитудно-фазовой характеристики

по вещественной и мнимой круговым диаграммам на плоскости W
(рис. VIII.6 и VIII.И).
Для того чтобы найти вещественную круговую диаграмму на
плоскости [W]'1 по вещественной круговой диаграмме на плоскости
W, необходимо лишь, не изменяя вида самой диаграммы, заменить
отмеченные на ней значения индексов индексами, равными 1 — Рс.
Мнимая круговая диаграмма на плоскости [1^]-1 может быть
получена из мнимой круговой диаграммы на плоскости W при
помощи простого изменения знака индексов Qc.
Это следует из сравнения выражений (VIII.68), (VIII.73) и
(VIII.87), (VIII.90). Действительно, легко видеть, что выражение
(VIII.68) сводится к (VIII.87), если в нем заменить £/, V
соответственно через Ги¥, а величину Рс — через I — Рс.
Точно так же выражение (VIII.73) сводится к формуле (VIII.90),
если £/, V заменить через Г, 4х, a Qc через — Qc.
6. НОМОГРАММЫ ЗАМЫКАНИЯ
Номограммы для определения
амплитудной Л (со) и фазовой ф (со) частотных
характеристик по заданным L т Н (со) и 8(со)[1].
Предположим, что известны амплитудная и фазовая частотные
характеристики Я (со) и б (со) разомкнутой системы. Требуется найти
амплитудную и фазовую частотные характеристики А (со) и ф (со)
замкнутой системы.
Подставляя формулы (VIII.50), (VIII.56) в выражение (VIII. 14)
для передаточной функции Ф (/со), получим
и, следовательно,
A'1 cos ф — /Л"1 sin ф = 1 + (Я)"1 cos 8 — / (Я)""1 sin е. (VII1.93)
Приравнивая вещественные и мнимые части равенства (VIII.93),
после простых преобразований получим
А (со) = + —— Я(со) (V1II.94)
/ \ х [ Я (СО) Sin 6 ((О) \ /лгттт глг\
* (М) = arCt§ {//(»)+сое 8 (»)Ь (VIII-95>
Формулы, с помощью которых можно решить обратную задачу
нахождения Я (со) и 0 (со) по заданным А (со) и ф (со), могут быть
получены из выражения (VIII.92) аналогичным способом. Они
будут иметь следующий вид:
Я (со) - 1 = (VIII.96)
4 ' JA —2[Л(со)Г1со8ф(со) + [Л (©)]-» v '
6 (0)) ^ arctg { ^Щ^]. (VIII.97)
4 ' ь (cos ф (со) — А (со) j ч '
249

Фаза в
-360° -320° -280° -240° 480° -120* -80* -40° 0°
щ гп—I—I п I—I—I—I—|—| I иг 1 I п
-180° -Н0° '100° -60* -20° 0 20° 60° 100° Н0° Ж)[
Избыток фазы
а)
Рис. VIII. 12. Номограммы замыкания для амплитудной А (со)
и фазовой ф (со) частотных характеристик:
а — для диапазона изменения избытка фазы от —180° до -J-i80"j

[в, г рад
-280 -240 -200 '160 -120
б)
Рис. VIII.12. (продолжение)
б — для диапазона изменения фазовых углов от —360° до +360°;
Техническая кибернетика, кн. I, Зак. 532.

«к

ьль о
в)
Рис. VIII. 12 (продолжение)
в — для фазовых углов от — 80° до 0 (в укрупненном масштабе);

Фаза 9
Избыток а
Фазы V
460°
-Ц0°
420°
400е
У>=-!7О°~/6О°-?50О-М'> '130
Рис. VIIL12. (продолжение)
г — часть номограммы для значения фазы от —90° до —180° и
амплитуды от 4- № до до --6 до (в укрупненном масштабе)

Формулы (VI11.96), (VI11.97) являются исходными для
построения номограмм, позволяющих по заданным логарифмическим (или
обычным) частотным характеристикам разомкнутой системы Н (со)
и 6 (со) находить логарифмические (или обычные) частотные
характеристики замкнутой системы А (со) и ф (со). Эти же
номограммы могут быть использованы для решения обратной
задачи.
Номограммы строятся следующим образом. По оси ординат
откладывают значения Н (со) в децибелах, а по оси абсцисс —
фазы б (со) или значения так называемого избытка фазы
у = я + 6 (VIII.98)
в градусах.
На этой плоскости, прямоугольными координатами которой
являются Lm# (со) и 6(со), строятся кривые, соответствующие
геометрическим местам точек, имеющих заданные постоянные
значения А при переменном ф и заданные постоянные значения ф при
переменном Л.
Номограммы для определения амплитудной А (со) и фазовой
Ф (со) частотных характеристик по амплитудной Н (со) и фазовой
б (со) частотным характеристикам изображены на рис. VIII. 12, а, в, г\
рис. VIII. 12,6(см. вклейку); значения модуля А вдбданы без скобок,
а в относительных единицах — в скобках. Значения А и ф, для
которых построены кривые, составляющие номограмму, отмечены
на рис. VIII. 12 соответствующими цифрами, называемыми
индексами.
Номограммой пользуются следующим образом.
Построим в координатах логарифм модуля —- фаза, в которых
построена номограмма, кривую L (0), представляющую
зависимость L (со) = Lm\W (/со)| от б (со) = arg {W (/со)} для исследуемой
системы, рассматривая угловую частоту со как параметр и отмечая
значения со вдоль кривой L (0).
Если кривая L (0) пересекает одну из кривых номограммы,
имеющую индекс Nx = LmAi при некотором значении со = сох,
то отсюда следует, что при этом значении со логарифмическая
амплитудная частотная характеристика Lm А имеет значение, равное
Nx. Точно так же, если при со = сох кривая L (б) пересекает одну
из кривых номограммы, имеющую индекс фь то из этого следует, что
при со == сох фазовая частотная характеристика ф (со) имеет
значение, равное фх.
Таким образом, логарифмические характеристики А (со) и ф (а))
могут быть построены, если вдоль оси частот откладывать значения
со, соответствующие точкам пересечения кривой L (б) с кривыми,
из которых состоит номограмма, а вдоль оси ординат — значения
индексов для указанных точек пересечения. Предположим,
например, что логарифмические характеристики для передаточной
функции W (/со) имеют вид, графически изображенный на рис. VIII. 13.
253

Кривая L (б), соответствующая этим характеристикам,
изображена на рис. VIII. 14, а логарифмическая характеристика LmA((s))—
на рис. VIII.15.
Заметим, что номограммами, показанными на рис. VIII. 12, а — г,
обычно следует пользоваться лишь при значениях Lm|flP|»
лежащих в пределах—20^Lm| W\^
М
Но
60
40\
го\
0.
-го
4 1
RL
пч
Г
чк
1^
Uj
м^
11
^[/
7\-\
ГтЧ
^^
/ 1 г
^4J.
"Т*н£
U
\\ 1
1
*мк
Ж,
V*
1 Л
град
110
■130
-150
-170
-190
-210
Ц-230
0.002 ОМ 0,01 ОМ ОМ0.06 0.1 0.2 0.4 0.6 1 2cj
Рис. VIII. 13. Логарифмические
стотные характеристики \W\ и
ча-
^20, так как с
1 дб имеем Lm
Ьт|Г|^20 дб
и
w
ТОЧНОСТЬЮ
W
ДО
1 + №
0 при
Lm
1+ W
Lm\W
Lm\W\ при
— 20 дб.
Номограммы для
определения? (со) и Q (со)
по заданным Lm H (со) и
б (со) [10]. Ниже дается способ
построения диаграммы,
позволяющей находить функции Р(со),
Q (со) по логарифмическим
частотным характеристикам ра-
Ы
дб
60
20
о\
-40\
up
1 w
m\hV
/]44
ГЛ
"7Д",м1
\
сч| >**<o <=a сь и
Рис. VIII. 14. Кривая L (6),
соответствующая кривым \W\ и б,
изображенным на рис. VIII.13
Рис. VIII. 15. Логарифмическая
амплитудная частотная характеристика
LmA (со), соответствующая
характеристикам \W\ и 0, изображенным
на рис. VIII.13
зомкнутой системы Lm H (со)
(VIII.56) в (VIII.61), получим
и 6 (со). Подставляя выражение
(Ь с \ _ Hcmb+jH sin 6
Ф W - l + //cos6+y//sine
(VIII.99)
254

Отделяя в правой части выражения (VIII.99) вещественную
часть Р (со) от мнимой Q (со), будем иметь
^H^Xti' (VIIU00)
в<*>= яч-?яТов9е + 1' (VIIU01>
Геометрическое место точек
Р (со) = const = Рс
дается уравнением
Я2 Ч- /У cos б п
Я2 + 2Ясо8б + 1 *с
или Я cos б (1 — 2РС) = Я2 (Рс— 1) + Рс. (VIII.102)
Точно так же геометрическое место точек
Q (о) = const = Qc
дается уравнением
тгпршл+г^ О™1-103)
Пользуясь формулами (VIII. 102) и (VIII. 103), можно построить
искомые диаграммы следующим образом [10].
Условимся откладывать по оси ординат значения L (со) =
= Lm Я (со), а по оси абсцисс — значения 0 (со). Тогда, задаваясь,
например, фиксированным значением б, а также различными
значениями Рс, Qc, можно вычислить, пользуясь уравнениями (VIII .102)
и (VIII. 103), величину L в соответствующих точках прямой,
параллельной оси абсцисс. Повторив такого рода вычисления для ряда
значений Рс, Qc и соединив точки, соответствующие одним и тем же
значениям индексов Рс, Qc плавными кривыми, получим искомые
сетки кривых (рис. VIII.16 и рис. VIII. 17), позволяющих найти
вещественную Р (со) и мнимую Q (со) частотные характеристики
замкнутой системы по ее логарифмической L (со) и фазовой б (со)
частотным характеристикам в разомкнутом состоянии.
Общее представление о структуре диаграммы для определения
Р (со) можно получить, задавшись в выражении (VIII. 102)
некоторыми значениями Рс.
Если Рс = у, то Я = 1 для всех б; если Рсф у» то
cos6- НЧн{~Лрс)Г ■ <VI11-104)
Наконец, если
то cos6 = -i 1^_2^ (VIII.105
265

Легко видеть, что при замене Н в равенствах (VIII. 104)
и (VIII. 105) через тт и С через — С их вид остается неизменным.
Отсюда следует, что если вдоль оси абсцисс откладывать значения
б, а вдоль оси ординат — значения L, то геометрические места
-3№ -300° -260° -220° -180° -НО0 ~W0Q '60° 9 (и)
Рис. VII 1.16. Номограмма замыкания для вещественной частотной
характеристики Р (о)
точек на плоскости (L, 0), соответствующие различным
значениям Рс, будут симметричны относительно линии, соответствующей
L = 0.
Об использовании номограмм в более общих случаях. Выше был
изложен способ определения частотных характеристик замкнутой
системы Р (со), Q (со) по частотным характеристикам системы в
разомкнутом состоянии, в основе которого лежит формула (VIII. 14)
или (VIII. 61), устанавливающая связь между передаточными
функциями системы в замкнутом и разомкнутом состоянии.
256

Необходимо, однако, напомнить, что формула (VIII. 14)
справедлива лишь в том случае, когда в качестве передаточной функции
замкнутой системы рассматривается отношение преобразования
Лапласа X (s) для отклонения регулируемой величины к
преобразованию Лапласа G (s) для управляющего воздействия,
обозначаемое нами через Ф (s). Последнее, как мы знаем, характеризуется
Рис. VIII. 17. Номограмма замыкания для мнимой частотной характеристики
QW
тем, что оно прикладывается к элементу сравнения системы
автоматического регулирования. В более же общем случае, когда
представляет интерес эффект возмущающего воздействия / (/),
которое может быть приложено к любой точке системы, связь между
передаточными функциями замкнутой Y (s) и разомкнутой W (s)
системы выражается уже не формулой (VIII. 14), а выражением
(VIII. 15), принимающим при s = /со следующий вид:
YM = TTwbsr (VIIM06)
Однако и в этом случае описанные выше диаграммы оказываются
полезными. Предположим, например, что необходимо найти графики
вещественной PY (со) и мнимой QF(co) частотных характеристик
9 Техническая кибернетика, кн. 1
257

замкнутой системы, определяемых выражением (VIII.51).
Представим функцию Y (/со) в виде произведения двух множителей: / (/со)
и [1 + W (/со)]-1.
На основании выражения (VIII. 106) можно написать
^-'(Wiffffwr (VIIU07)
и, следовательно,
Lm|ri = Lm|/| + Lm| {|^g | (VIII.108)
и
arg Y = arg/ + arg^-^^]. (VIII.I09)
Из формул (VIII. 108), (VIII. 109) вытекает следующее правило
построения логарифмических (или обычных) частотных
характеристик, соответствующих передаточной функции Y (/со) по заданным
передаточным функциям / (/со) и W (/со):
1) при помощи номограммы (рис. VIII. 12) определяются
характеристики
W1 1 и ami {wr 1-
Lm
\ + (wy
2) ординаты найденных характеристик и заданных
характеристик
Lm | / | и arg /
суммируются.
Располагая амплитудной Лг(со) и фазовой срк(со)
характеристиками, вещественную PF(co) и мнимую Qy(co) частотные
характеристики можно найти по формулам
PY = Аусо$Ц)у, QY = Ayslncpy.
Можно также воспользоваться номограммами, показанными
на рис. VIII. 16 и VIII. 17, для определения вещественной Р£(со)
и мнимой Qe(co) части выражения
ф^>= i + *w- i+TJrwi" (VIIU10)
и затем найти искомые частотные характеристики PF(co) и Qr(co)
при помощи формул
PY(a) = PjWP.W-QiWQA®) (VIII.ill)
Qy(fi>) = P/((D)Qi(©)+Q/HP.H. (VIII. 112)
Заметим, что преобразования Лапласа
для ошибки
£(S) = TTW' (VIII.113)
258

для свободных колебаний при ненулевых начальных условиях
A>) = TTW (VIII.114)
и для отклонения регулируемой величины, вызываемого
возмущающим воздействием,
*(*)= i + wwF® (VII1.115)
имеют такой же вид, как и формула (VIII. 15) или (VIII. 106).
Поэтому способы определения частотных характеристик,
соответствующих выражению (VIII. 106), остаются справедливыми и для
обобщенных частотных характеристик, соответствующих всем трем последним
формулам.
Амплитудная и фазовая частотные характеристики,
соответствующие формуле (VIII. 106), могут быть найдены при помощи
номограммы на рис. VIII. 12 следующим образом.
7. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ СВЯЗИ
МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ *
Из соотношений (VIII.49), (VIII.50) следует, что передаточная
функция Ф (/со) всегда может быть найдена, если задана какая-
либо пара соответствующих ей частотных характеристик:
амплитудная и фазовая или вещественная и мнимая (очевидно, что это
утверждение справедливо и для других передаточных функций).
Однако на самом деле для определения передаточной функции
Ф (/со) во многих случаях достаточно задания только
какой-нибудь одной, а не двух частотных характеристик. Это следует из
того, что между вещественной Р (со) и мнимой Q (со), а также между
амплитудной А (со) и фазовой ф (со) частотными характеристиками
при определенных условиях существует однозначная зависимость
и, следовательно, если одна из них задана, то другая может быть
всегда определена.
Можно показать, что эта зависимость определяется выражениями
оо
— со
со
<*И-4$ i^du, (VIII. 117)
— со
в которых подразумевается главное значение интеграла при и = со.
Эти выражения называются преобразованиями Гильберта.
1 См. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Гостех-
издат, 1948.
9*
259

Условия однозначной связи * между вещественной и мнимой
частотными характеристиками формулы (VIII.116) и (VIII. 117)
заключается в том, чтобы соответствующая им передаточная функция
Ф (/со) была аналитической и ограниченной (в частности, не имела
полюсов) в нижней полуплоскости и на вещественной оси со.
Рассмотрим теперь условия однозначной зависимости между
амплитудной и* фазовой характеристиками. Прологарифмируем
выражение (VIII.50), т. е.
1пФ (/со) = In А (со) + / Ф И. (VIII. 118)
Сравнивая выражения (VIII.49) и (VIII. 118), отметим, что
логарифмическая амплитудная In А (со) и фазовая ср (со) частотные
характеристики связаны с логарифмом передаточной функции
In Ф (/со) таким же соотношением, как вещественная Р (со) и
мнимая Q (со) частотные характеристики с самой передаточной
функцией Ф (/со). Поэтому, заменяя в выражениях (VIII. 116), (VIII. 117)
Р (со) через In А (со) и Q (со) через ф (со), получим
00
1пЛ(*>) = -1 $ ^du (VIII.119)
— 00
И
оо
*и = 4-$ iH^rf"- (VIIU2°)
— оо
Как мы видели, формулы (VIII. 116), (VIII. 117) справедливы
лишь в том случае, если функция Ф (/со) — аналитическая и
ограниченная в нижней полуплоскости. Теперь роль функции Ф (/со)
играет ее логарифм In Ф (/со). Поэтомуформулы(УП1.119) и (VIII.120),
позволяющие определить In А (со) через ф (со), будут
справедливы лишь в том случае, если функция In Ф (/со) также
является аналитической и ограниченной в нижней полуплоскости.
На основании сказанного, учитывая, что нуль функции Ф (/со)
является бесконечностью для ее логарифма, т. е. особенностью для
функции 1пФ(/со), отметим следующее: условие существования
однозначной связи между логарифмической амплитудной
характеристикой In А (со) системы и ее фазовой характеристикой ф (со)
заключается в том, чтобы передаточная функция Ф (/со) не имела
не только полюсов, но и нулей во всей нижней полуплоскости,
включая вещественную ось.
Системы, удовлетворяющие этому условию, называются м и -
нимально-фазовыми системами2. Физически си-
1 Строгое доказательство приводимых ниже формул см. в книге Е. Тит-
чмарша (см. сноску на стр. 259).
2 Б о д е Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью.
ИЛ, 1948.
260

стемы минимально-фазового типа отличаются тем, что из всех
возможных систем с одной и той же логарифмической амплитудной
характеристикой они дают наименьший сдвиг фазы при любой
частоте.
Поясним сформулированные выше условия однозначности.
Очевидно, что функции Ф (/со) и ФхО'со) = Ф (/со) + G, где
С — некоторая постоянная, будут иметь одинаковые мнимые части.
Отсюда следует, что вещественная составляющая функции Ф (/со)
может быть определена по заданной мнимой составляющей лишь
с точностью до аддитивной постоянной С, которая, однако, обычно
может быть найдена из условий задачи.
Разложим функцию Ф (s) на простые дроби, т, е. представим
ее в виде
ф(5) = А + Аа + - + 7^Г„ + Со. (VIH.12I)
где
С,= lim [(s-X,)0(s)J,
причем %i представляют собой полюсы функции Ф (s), и
предположим, что какие-либо два полюса, например ^ и А,а, расположены на
мнимой оси и, следовательно, имеют чисто мнимые сопряженные
значения ± ja>v Тогда вместо выражения (VIII.121) можно напи-
ф(5) = ^тк + А3 + - + т\п + Со- (VIH.122)
Рассмотрим теперь функцию Фх(5) и предположим, что она
отличается от Ф (s) лишь тем, что не имеет полюсов ± /сох на мнимой
оси. Ее разложение на простые дроби имеет вид
ф^-А3+-+Ап+со- (VIIU23)
Заметим, что в то время, как вещественные части обеих функций
Ф (s) и Ф^я) при s = /со одинаковы, их мнимые части отличаются
друг от друга выражением _ а* + а>*'
Таким образом, если две функции Ф (s) и Oi(s) имеют при s = /со
одинаковые вещественные части, но не все полюсы этих функций
расположены в левой полуплоскости, то, вообще говоря, это еще
не означает, что они также имеют и одинаковые мнимые части,
т. е. взаимная связь между вещественной и мнимой частотными
характеристиками при этих условиях не является однозначной.
Простейшей системой не минимально-фазового типа, которую
можно назвать звеном с равномерным пропусканием первого
порядка, может служить система, имеющая передаточную функцию
ф(*) = 7Т§"- (VIII.124)
261

Очевидно, что модуль функции Ф (s) при s = /со равен единице
при всех со, т. е.
| Ф (/со) 1 = 1,
между тем как фаза
argO (/со) = ф (со) = arctg J^f
и, следовательно, системы, имеющие звенья с равномерным
пропусканием, могут иметь одинаковые амплитудные и различные
фазовые характеристики.
Простейшей системой с распределенными параметрами, для
которой не удовлетворяются условия однозначной зависимости
между амплитудной и фазовой характеристиками, может служить
запаздывающее звено с передаточной функцией е—Ts, амплитудная
характеристика которого представляет собой постоянную величину,
никоим образом не зависящую от фазовой характеристики —тсо.
Указанным условиям однозначности, очевидно, не
удовлетворяют, например, передаточные функции астатических систем,
имеющие полюс в начале координат. Однако можно показать \ что
в этом случае нужно только учесть, что такого рода полюс дает
увеличение фазы на f~\ , где v — его кратность.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО ОДНОЙ ИЗ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК, ЗАДАННОЙ АНАЛИТИЧЕСКИ
Рассмотрим способ определения передаточной функции по
соответствующей ей амплитудной частотной характеристике для систем
минимально-фазового типа, передаточные функции которых не
имеют не только полюсов, но и нулей в нижней полуплоскости. Пусть
Ф (/со) Ф* (/со) = | Ф (/со) |2 - Л2 (со). (VIII. 125)
Далее, так как Л2(со) является четной функцией от со, то
последняя может быть представлена в виде
Учитывая, что корни числителя и знаменателя выражения
(VIII. 126) являются комплексно-сопряженными, можно написать
Л2 Ы - \лГ*™ (со ""Vl) - (<° -Ум> 1 у
AW-\y IT (со-^)..Д^Шх
х [•■/«» ("-УГ)-("-УУ1 (vill 127)
Y; = «г + /Р*; а,- > 0; Р, > 0; у? = а, — /р,.
где
1 Антокольский М. Л. О связи между частотными и фазовыми
характеристиками в линейных системах. ^ТФ. Т. 17, 1947, № 2, стр. 203—210.
262

Сравнивая выражение (VIII. 125) с (VIII. 127), отметим, что
передаточной функцией является один из двух множителей в прямых
скобках в правой части уравнения (VIII. 127). Так как первое из
выражений в прямых скобках содержит нули и полюсы,
расположенные в верхней полуплоскости, а второе содержит нули и полюсы,
расположенные в нижней полуплоскости, то с передаточной
функцией следует отождествить первое из этих выражений, т. е.
Ф (/со)
(Ш —Yi)...(Q> —Ym)
(© -^...(CD —Хя)
(VIII. 128)
9, ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО ЗАДАННОЙ АМПЛИТУДНОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ1
Выражения (VIII.119), (VIII.120) представляют собой общие
формулы связи между логарифмической амплитудной и фазовой
частотными характеристиками минимально-фазовых систем.
На практике, однако, оказывается более удобным пользоваться
выражениями (VIII. 119), (VIII. 120), представленными в несколько
другом виде.
Так, например, выражение (VIII. 120) можно привести к
следующему виду:
/ Ч 1 Г dL 1 +U I ^
dK,
(VIII.129)
где
L = \nA и Х = 1п-
График функции
lncthl
In
(VIII.130)
изображен на рис. VIII. 18.
Выражение (VIII. 129) и рис. VIII. 18 показывают, что:
1) значение фазы ср (со) при любой частоте со пропорционально
среднему взвешенному значению производной от логарифмической
амплитудной частотной характеристики;
2) наиболее существенное влияние, как это показывает вид
функции веса (VIII. 130), на значение функции ф (со) при данной
частоте со имеет наклон логарифмической характеристики вблизи
этой частоты, а влияние ее наклона при более удаленных частотах
уменьшается пропорционально логарифму их расстояния от
рассматриваемой частоты со.
1 Б о д е Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью.
ИЛ, 1948.
263

Предположим, что нам задана амплитудная частотная
характеристика. Установим, существует ли общий критерий, при
помощи- которого можно судить о том, соответствует или нет этой
характеристике физически осуществимая
система?
Будем под этим понимать следующее.
Пусть А (со) — произвольная
амплитудная характеристика, т. е. четная
неотрицательная функция со, имеющая
преобразование Фурье. Тогда А (со)
физически осуществима, если с этой функцией
возможно связать фазовую
характеристику ф (со) так, чтобы функции А (со)е/ф(ш)
' cj соответствовала импульсная переходная
Рис. VIII.18. График функции Функция k (/), обращающаяся в нуль
к I I и 4- ПРИ ' ^ ®'
~2 Is 1п I ~ | Критерий физической осуществимо-
' 'и сти может быть сформулирован
следующим образом ь.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
амплитудная частотная характеристика А (со) была физически
осуществимой, заключается в том, чтобы существовал
интеграл
\и+а)\
\и-ь)\
1
\
\
^^J
0,1
lncth
to
10%
| In Л (со) | , ^
1 . , / aco <г со.
1 + CO2 ^
(VIII.131)
10. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
АМПЛИТУДНОЙ И ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Логарифмическая
амплитудная характеристика с
постоянным наклоном. Предположим, что
логарифмическая амплитудная
характеристика представляет прямую линию (рис. VIII. 19)
в логарифмическом масштабе частот.
В этом случае
dL(K)
d%
= const = — v. (VIII.132)
Рис. VIII. 19.
Логарифмическая
амплитудная частотная
характеристика с
постоянным наклоном и
соответствующая ей
фазовая частотная
характеристика
Подставляя выражение (VIII. 132) в формулу (VIII. 129), получим
Ф(©) = —i \ In
cth
dX.
(VIII. 133)
1 Р а 1 е у R. E., W 1 е п е г N. Fourier Tranforms in the complex domain,
Am. Math. Soc. Colloq. Pub., т. 19, 1934, гл. I.
264

Последнее выражение представляет собой табличный интеграл,
я2
который равен -к-.
Следовательно,
ф(со) = — v~. (VIII.134)
Это означает, что если L (со) имеет постоянный наклон, равный
6v дб на октаву, то соответствующая фазовая характеристика ф (со)
не зависит от частоты и представляет
собой постоянную величину, равную
v| pad (рис. VIII.19).
Прямоугольная
логарифмическая
амплитудная характеристика.
Предположим, что логарифмическая
амплитудная характеристика L (со) имеет
вид, изображенный на рис. VIII.20,
т. е. при со = сос имеет наклон, равный
бесконечности. Эту характеристику
можно аппроксимировать кривой с очень
крутым наклоном в окрестности со = сос,
т. е. считать, что dL/dX везде равно
нулю, кроме очень узкой полосы частот,
в которой dL/dX имеет постоянное значение. Таким образом, вместо
формулы (VIII. 129) можно написать
Рис. VI 11.20. Прямоугольная
логарифмическая
амплитудная частотная
характеристика и соответствующая ей
фазовая частотная
характеристика
фИ
dl
Ж
lncth
dk.
(VIII.135)
- Дсо
Так как Асо очень мало, то можно считать, что lncth
остается
постоянным в интервале 2Дсо, поэтому мы можем вынести эту
функцию из-под знака интеграла. Таким образом, заменяя In cth
через In
и — со
получим
Ф(со)
U
и + со
(VIII. 136)
где L0 — ордината L (со).
Мы видим, что в точке, в которой кривая L (со) имеет
бесконечно большой наклон, фаза обращается в бесконечность (см. рис.
VIII.20).
Полубесконечная логарифмическая
характеристика с постоянным наклоном. В
качестве примера, имеющего для нас большой интерес, рассмотрим
265

полубесконечную логарифмическую характеристику с постоянным
наклоном, приведенную на рис. VIII.21, сохраняющую постоянное
значение в области частот 0 <[ со <^ со0 и имеющую постоянный
наклон v во всей остальной области.
Вычисление фазы в этом случае значительно сложнее, чем в двух
предыдущих Однако можно показать \ что
Ф
±)^±v± при 0<^<0,414;
<о0/ я со0 r ^ ш0 ^- '
(а
1--
"_lln®ln—В»-
4 я со0 it®
при 0,414<^<1,
2_
со
СОп
1 + -
(VIII.137)
J
где со0 — точка сопряжения обоих прямолинейных отрезков, из
которых состоит L (со), причем максимальная ошибка
в определении ф(-) по формулам
Ци1д§
го—
(VIII.137) не превышает 2%.
Рассмотрение формулы (VI11.137)
/ со ^
показывает, что ср
СОп
О 0,2 ОА 0,6 1,0 i 4 6 8WU0
для nS)
при — ;>10 приобретает уже почти
со0
постоянное значение, равное v
2»
Рис. VIII.21. Полубесконечная
логарифмическая амплитудная
частотная характеристика
своего
я
при со = со0 равна половине
асимптотического значения
v ~ и обладает в логарифмическом
частотном масштабе нечетной
симметрией относительно этой точки;
при частотах со < 0,414 со0 в первом приближении можно
считать, что фаза линейно зависит от частоты.
Действительно, если выражение (VIII. 137) экстраполировать до
2
со = со0 (положив v = 1), то ф = — = 36,5°, между тем как точное
значение ср в этой точке равно 45°, или -j-. Таким образом,
погрешность не превышает 8,5°. При этом следует заметить, что почти во
всей области частот со <^ со0 погрешность значительно меньше, так
как отклонение от линейности происходит в непосредственной
окрестности точки со0.
См. книгу Г. Воде (сноска на стр. 263),
266

11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО ЗАДАННОЙ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Ци)\
Перейдем теперь к изложению графического метода определения
фазовой характеристики ф (со) по заданной логарифмической
характеристике L (со).
Этот метод может иметь практическое значение, например, в том
случае, когда требуется по экспериментально определенной
амплитудной (или логарифмической
амплитудной) частотной
характеристике определить фазовую
частотную характеристику,
экспериментальное определение которой,
как известно, связано обычно со
значительными трудностями.
Метод основан на том, что
заданная логарифмическая
амплитудная характеристика
аппроксимируется отрезками прямых линий
рис. VIII.22, в результате чего
первоначальная кривая заменяется
рядом полубесконечных
составляющих с постоянным наклоном.
Так как фазовая
характеристика, соответствующая такого рода
логарифмической характеристике,
может быть вычислена раз и
навсегда при помощи формул
(VIII. 137), приведенных в
предыдущем параграфе, то вычисление фазы сводится к простому
сложению ординат ряда аналогичных друг другу кривых.
В работе ([199], стр. 752) дана таблица значений фазовой
частотной характеристики ср (со), соответствующей логарифмической
полубесконечной характеристики с единичными наклоном, т. е.
наклоном в 6 дб на октаву, или 20 дб на декаду.
1 *,/
/
L у
1
/
/
1 N
1 ^^^^
/
/
/
/~кг
/
1. .,
\
Cxi
\ и
\
\ к*
\
\
Рис. VIII.22. Аппроксимация
логарифмической частотной
характеристики полубесконечными
характеристиками
12. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОШИБКИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Выше, производя анализ в области комплексного переменного
s, мы нашли формулы (VIII. 10) и (VIII.И), определяющие
преобразование Лапласа для отклонения регулируемой величины и для
ошибки через передаточные функции замкнутой системы и
преобразования Лапласа для воздействий. Интегральные соотношения,
приведенные ниже, можно считать аналогами этих выражений в
области вещественного переменного ^ [6], [11].
267

Введем, помимо импульсной переходной функции k (/),
соответствующей управляющему воздействию g (t) в виде единичного
импульса, импульсную переходную функцию kY(t), соответствующую
возмущающему воздействию / (t) в виде единичного импульса. Мы
можем написать
оо
kY W = i \ Y W ^' d(0'> (VIII. 138)
— оо
00
k (t) = 2^г [ Ф (/ю) е'ы da. (VI11.139)
— ОО
Если функции Ф (s), Y (s) заданы аналитически, то импульсные
переходные функции k (t) и kY (t) могут быть вычислены по
формулам (VIII.138) и (VIII.139). Если же аналитические выражения для
Ф (s), Y (s) неизвестны, то k (t) и kY (t) можно определить
экспериментально, приложив к системе автоматического регулирования
соответственно управляющее или возмущающее воздействие в виде
дельта-функции и регистрируя получающиеся при этом кривые
изменения регулируемой величины.
Воспользовавшись теоремой умножения изображений,
переходный процесс х (0, вызванный в системе автоматического
регулирования воздействиями g (t) и / (f), на основании формулы (VIII. 12)
можно представить в следующем виде:
оо оо
х (t) = \ g (t — х) k (t) dx + [f (t — x) ky (t) dx. (VIII. 140)
о о
Так как ошибка е (t) регулируемой переменной х (t) определяется
равенством ... ...
то, принимая во внимание уравнение (VIII. 140), мы можем написать
00 00
«О =£(')—$ g{t — x)k(x)dx — \ f{t — x)ky{x)dx. (VIII.141)
о о
Точно так же на основании выражения (VIII. 13) можем написать
ОО 00
е (t) = ]g(t — x) k& (т) dx — \ f (t — х) kY(t) dx9 (VIII. 142)
о о
где
00
К (0 = i 5 Фе (/(0)^ d<*- (VIII.из)
— оо
В частном случае, когда точки приложения управляющего g (t)
и возмущающего / (t) воздействий совпадают, можно написать
ky(t) = k(t)
268

r(s) = /(s).
Выражение (VIII. 141) при этом сводится к виду
оо
в (0 = g (0 - Us V - *) + / С - *)} * W dT- (VIII. 144)
О
Аналогами выражений, определяющих преобразования Лапласа
для отклонения регулируемой величины х (t) и для ошибки 8 (t)
через передаточную функцию разомкнутой системы и
преобразования Лапласа для воздействий в области вещественного
переменного t, являются интегральные уравнения систем автоматического
регулирования, которые могут быть получены следующим образом.
Введем в рассмотрение импульсные переходные функции
разомкнутой системы w (t) и объекта w0 {t), соответствующие передаточным
функциям разомкнутой системы W (s) и объекта / (s):
Ci 4-/00
И') =257 J W(s)es4s; (VIII.145)
Ci—/00
Шо (0 = 2Н? S 5 I^eS<ds' (VIII. 146)
CQ —J CO
где сг и с2 — соответствующие абсциссы абсолютной сходимости.
Если функции W (s) и / (s) заданы аналитически, то импульсные
переходные функции w (t) и w0 (t) могут быть вычислены по
формулам (VIII. 145) и (VIII. 146). Если же аналитические выражения для
функций / (s) и W (s) известны, то w (t) и w0 (t) можно иногда
определить экспериментально, приложив к разомкнутой системе
автоматического регулирования соответственно управляющее или
возмущающее воздействия в виде дельта-функции и регистрируя
получающиеся при этом кривые изменения регулируемой величины.
Выражения (VIII. 10) и (VIII. 11) при VH (s) = О могут быть
переписаны следующим образом:
X(s) + W (s) X(s) = W (s) G{s) + I (s) F (s); (VIII.147)
E (s) + W (s) E(s) = G (s) — I{s)F (s). (VIII. 148)
Применив теорему умножения изображений к формулам
(VIII. 147) и (VII 1.148), мы можем написать
/ t
x{t) + \w(t — %)x{x)dx^\w(t — x)g (т) dx +
о о
+ \w0(t — x)f(x)dx (VIII. 149)
о
269

e (t) + \w (t — t) 8 (t) dx = g (t) - $ w0 (t — x)f (t) dr. (VIII. 150)
о о
Выражения (VIII. 149) и (VIII. 150) представляют собой искомые
интегральные уравнения 1 систем автоматического регулирования,
определяющие в явном виде отклонение регулируемой величины
х {t) и ошибку 8 (t) через воздействия g (t), f (t) и импульсные
переходные функции w (0, Щ (0-
Заметим, что уравнения (VIII. 149) и (VIII. 150) относятся к
интегральным уравнениям второго рода типа Вольтерра, ядрами
которых являются импульсные переходные функции w (t — т), w0 (t—т).
13. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
При анализе динамических свойств систем автоматического
регулирования часто оказывается удобным вводить в рассмотрение
понятие типовых звеньев как некоторых простейших
составных частей динамического элемента. [2], [7]. В случае
стационарных линейных динамических элементов с
сосредоточенными параметрами понятие типовых звеньев может быть введено
следующим образом.
Как это было показано выше, передаточная функция такого
динамического элемента представляет собой дробно-рациональную
функцию от s вида
*<*>-£5+:::+£+£-• <VIIU51>
Если теперь предположить, что нам известны все корни как
числителя, так и знаменателя в выражении (VIII.151), то, разлагая его
на множители, получим
W (с\ == Ьт (S--yi)(s--V2)-"(s--Vm)
W КЬ) ап (8-Ьг)(8-Ья)...(*-Ья) •
Предполагая теперь, что числитель имеет v нулевых корней,
преобразуя сомножители числителя и знаменателя, соответствующие
вещественным корням Хь =— со,-, у1 =— рг, к виду
s — Я, = s + со. = _ (Tts + 1);
s_Y/ = 5 + pz = -^(x/s+ 1),
где
_____ J'- <*r l " Р/ '
1 Они называются интегральными потому, что неизвестные функции к (t)
и е (t) входят в них под знак интеграла.
270

и преобразуя сомножители числителя и знаменателя,
соответствующие комплексным сопряженным корням, к виду
(s _ Я.) (S _ %.+1) = S2 + 2a/s + (a? + p?) =
= ~ (T%iS* + 2lKiTKis + 1),
1 Ki
где
а также
(s - у,) (s - Y/+1) = s2 + 2a,s + (of + Р/) =
где
вместо выражения (VIII. 151) можем написать
П *< П (t*s +1} П(t^2 + 2^'T^S + !>
W» = i==1 p^! ^ . (VIII. 152)
sV П{TiS +1} П <г^2+2^r^s + !>
В соответствии с этой формой выражения для передаточной
функции, содержащей шесть видов сомножителей, любой
структурный элемент можно рассматривать как последовательное соединение
в общем случае шести типов элементарных структурных звеньев.
Следует подчеркнуть, что расчленение систем регулирования
на типовые звенья имеет под собой не только формальную
математическую, но и техническую основу, заключающуюся в следующем.
Несмотря на то, что функциональные устройства, входящие в состав
системы регулирования, могут иметь самое различное
конструктивное оформление и принцип действия, их математическое описание
часто сводится к дифференциальным уравнениям первого или
второго порядка. Поэтому передаточные функции этих устройств также
имеют первый или второй порядок, причем коэффициенты, входящие
в выражения для передаточных функций, непосредственно связаны
с конструктивными параметрами устройства. Функциональные
устройства, входящие в состав системы регулирования, часто обладают
свойством направленности действия, благодаря которому (о чем
подробнее говорится ниже) передаточные функции
последовательного соединения таких устройств могут быть получены как
результат перемножения передаточных функций каждого из устройств,
без изменения их вида. Именно, вследствие этого обстоятельства
передаточные функции сложных динамических элементов систем
регулирования часто имеют вид выражения (VIII. 152), состоящего
27J

из произведения простых сомножителей первого или второго
порядка. Другими словами, целесообразность расчленения
динамического элемента на типовые звенья объясняется особенностью
технической реализации систем регулирования, состоящих обычно из
совокупности сравнительно не сложных устройств направленного
действия.
Звенья, имеющие передаточные функции, соответствующие трем
типам сомножителей, входящих в знаменатель, будем называть
соответственно интегрирующими,
апериодическими и колебательными.1
Если все члены какого-либо сомножителя в знаменателе
выражения (VIII. 152) положительны, то оно соответствует
устойчивому звену, а если хотя бы один из них отрицателен, то н е-
устойчивому.
При дальнейшем изложении там, где это не может вызвать
недоразумений, мы будем для краткости опускать слово
«устойчивые», говоря об устойчивых звеньях. Звенья, имеющие
передаточные функции, соответствующие трем типам сомножителей, входящих
в числитель, будем называть соответственно усилительными,
дифференцирующими первого порядка и
дифференцирующими второго порядка1.
Так как звенья имеют различные передаточные функции, то они
различаются и по виду переходного процесса, возникающего при
изменении входной величины. Для исследования и сравнения
звеньев принято, помимо их передаточных функций, рассматривать
переходный процесс при определенном стандартном типе
возмущения, а именно — при скачкообразном изменении входной величины
на единицу и при нулевых начальных условиях (звено в покое),
т. е. при единичном ступенчатом воздействии. Функция,
определяющая изменение величины на выходе звена при этих условиях,
называется переходной функцией звена. Очевидно, что
импульсная переходная функция является производной от
переходной функции.
Перейдем к рассмотрению передаточных функций, частотных
характеристик и переходных функций типовых звеньев.
14. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
Апериодическим звеном называется простейший динамический
элемент или его составная часть, имеющая передаточную функцию
вида и
W& = TtTT> (VIII.153)
где k — передаточный коэффициент;
Т — постоянная времени.
1 В литературе встречаются и другие названия для этих звеньев, Так,
апериодическое звено иногда называют инерционным.
272

Примеры устройств, которые можно рассматривать как
апериодические звенья, приведены на рис. VIII.23. На рис. VIII.23, а
входной величиной является давление воздуха в магистрали,
выходной— давление воздуха в резервуаре; на рис. VIII.23, б, в
входной величиной является напряжение, поданное на зажимы
/—2 цепи, выходной — напряжение на емкости или на
сопротивлении (зажимы 3—4); на рис. VIII.23, г входной величиной является
температура жидкости, выходной — температура тела.
Рис. VI 11.23. Примеры элементов систем
автоматического регулирования, которые могут рассматриваться
как устойчивое апериодическое звено
В соответствии с видом передаточной функции (VIII. 153)
дифференциальное уравнение апериодического звена можно записать
в следующей форме:
T^ + x2 = kxlf (VIII. 154)
где хг — величина на входе;
х2 — величина на выходе.
Переходная функция апериодического
звена. Решение уравнения (VIII.154) для случая, когда
величина на входехх представляет собой единичную функцию хх (t) = [У],
определяет переходную функцию, которую мы будем обозначать
h (t). Выражение для переходной функции апериодического звена
имеет вид
h(t) = k(l—e T). (VIII.155)
Эта функция изображена на рис. VII 1.^24, а (кривая 1).
273

Соответственно для неустойчивого апериодического звена,
имеющего передаточную функцию
W(S) = YI^T> (VIII.156)
переходная функция имеет вид
h(t) = k(eT —1). (VIII. 157)
Эта функция изображена на рис. VIII.24, а (кривая 2).
*1
0
t
*,(t)
о)
Рис. VI 11.24. Кривые переходных процессов типовых
звеньев при скачкообразном изменении входной величины:
а — в апериодическом звене (/ — устойчивом, 2 — неустойчивом);
б — в колебательном звене (/ — устойчивом, 2 — неустойчивом);
в — в интегрирующем звене; г — в усилительном звене
Частотные характеристики
апериодического звена. Для получения частотных характеристик в
формулу (VIII. 153) передаточной функции апериодического звена вместо
s подставим /со. В результате получим
W i /о) = , k - e-Jarct*ш. (VI11.158)
274

Модуль этой функции представляет собой амплитудную
частотную характеристику апериодического звена
k
И И
У 7"2со2-Н
(VIII.159)
Рис. VI 11.25. Амплитудно- фазовая
характеристика апериодического звена
Аргумент этой функции является фазовой частотной
характеристикой апериодического звена
6 (со) = — arctg Г со. (VI11.160)
Амплитудная и фазовая частотные характеристики, как это
уже указывалось, могут быть сняты экспериментально путем
измерения амплитуды и фазы выходной величины звена, когда на вход
подается синусоидально
изменяющееся воздействие
различной частоты
Кривая, описываемая
концом вектора W (/со) на
комплексной плоскости при
изменении со от —оо до +оо,
называется амплитудно-фазовой
характеристикой.
Амплитудно-фазовая
характеристика апериодического звена
при со ]> 0 представляет собой
полуокружность, изображенную
на рис. VI 11.25. Стрелка около характеристики показывает
направление перемещения конца вектора W (/со) при увеличении со.
Характеристика начинается из точки на действительной оси (при со = 0).
По мере увеличения частоты модуль W (/со) уменьшается, а фаза
сдвигается вплоть до —90°, когда со стремится к бесконечности.
Диаметр окружности равен передаточному коэффициенту &,
распределение отметок со на характеристике определяется величиной
постоянной времени Т. Распределение этих отметок на рис. VIII.25
дано для одного конкретного численного значения Т.
Найдем, пользуясь уравнением (VIII. 158), логарифмические
частотные характеристики апериодического звена, предположив,
что k = 1, т. е.
In W (/со) = — In Ут2ю* + 1 — / arctg Г со.
Таким образом, логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики апериодического звена определяются выраже-
НИЯМИ b(co) = -201gl/"r2co2+l; (VIII. 161)
8(co) = —arctgTco. (VIII. 162)
Рассмотрим формулу (VIII. 161) для L (со).
275

Пренебрегая величиной Т2©2 по сравнению с единицей при со Г ^
^ 1 и единицей по сравнению с Т2©2 при ©Г^ 1, приближенно
можем написать:
L(со) = — 20lgl/Г2©2 +1^0 при ©Г<1; ]
L(©)^ — 201gT© при ©Гз*1; (VIII.163)
L(©)^ —3 56 при ©Г = 1. )
Соотношения (VIII. 163) показывают, что логарифмическая
амплитудная характеристика апериодического звена L (со)
приближенно может быть представлена двумя прямолинейными отрезками
(асимптотами):
£(со)я^0 при со<у;
(VIII.164)
£(©) = —20 lgT© при со^~,
сопрягающимися друг с другом при частоте
coa = -f, (VIII. 165)
называемой сопрягающей частотой, причем максимальная
ошибка, которую мы при этом допускаем, имеет место при
сопрягающей частоте соа и равна — 3 дб.
Найдем наклон, который имеет асимптота (VIII. 164) по
отношению к оси частот. При каком-либо значении сог- ^> соа
L(©£) = -201gT©/,e
а при со = 2©/
L(2©0 = — 201g27©;.
и, следовательно,
L(2©f) — L(©,) = — 20 lg2 ^ — 6 дб.
Итак, мы видим, что при двукратном изменении частоты
характеристика затухания L (©) уменьшилась на 6 дб, или, другими
словами, асимптота (VIII. 164) имеет наклон, равный — 6 дб на октаву.
Если изменить частоту ©г- на декаду, т. е. положить в уравнении
(VIII.164) © = 10 ©£, то мы получим
1(10©,) — L (©,) = — 20 дб.
Таким образом, наклон амплитудной характеристики — 6 дб
на октаву эквивалентен наклону — 20 дб на декаду.
На рис. VIII.26 даны логарифмические амплитудные частотные
характеристики апериодического звена, построенные по
точной (VIII. 161) и по приближенным формулам (VIII. 164). Заметим,
что вне интервала, равного двум октавам вправо и влево от
сопрягающей частоты, обе характеристики (точная и приближенная)
практически не отличаются друг от друга.
276

Ниже, в табл. VIII. 1, приведены значения ошибки 8 для
различных ~, которые получаются при замене истинной логарифмической
амплитудной характеристики (VIII. 16) двумя сопрягающимися
асимптотами (VIII. 164).
Таблица VIII.1
О)
Ь в дб
0,1
0,04
0,25
0,32
0,4
0,65
0,5
1,0
Ю
3,01
2,0
1,0
2,5
0,65
4,0
0,32
10,0
0,04
Кривая зависимости поправок б от — показана на рис. VIII.27, а.
Рассматривая фазовую частотную характеристику 8 (со) (рис.
VIII.26), т. е.
8 (со) = — arctg
CD
(VIII.166)
можно заметить, что в логарифмическом масштабе частот
кривая, описываемая выражением (VIII. 166), является кососимметрич-
ной относительно точки ыа = т
1 _ »_ п >1 г о ff/TJ-—■ ■ ■ .■■■■.—■ ■ ■ ■ —^-г-^™— "\\в,град
0
-20
= ^, в которой 9 =—45°. аб
Другими словами, если от- °
кладывать вдоль оси абсцисс -ю
то в точках То - го
-30
-ио
величину ■
и jr~> симметрично
расположенных относительно точки
1,0 (так как логарифмы от -ю
обеих величин равны и
противоположны ПО знаку), зна- Рис. VIII.26. Логарифмические амплитуд-
чения фазы 0 (—) и Э (~) ная L И и Фазовая 8(со) частотные ха-
^ W«v / у (о / рактеристики апериодического звена
11111» < 1 ниш | пицц
]\Щ(и)точная \ \ \\\\\\\
^(и)прибли-\ \\\щ
кч)
|Ш|
0,01
0,1
ио
-во
-80
Ю %-Таи
связаны соотношением
Действительно,
2
.0 *а
(VIII. 167)
t£
««(й-^-'^)]-
откуда и следует формула (VIII.167).
Построение кривой по выражению (VIII. 166) можно облегчить,
если пользоваться номограммой, изображенной на рис. VIII.27, б.
Для того чтобы найти сдвиг фазы при какой-либо частоте со,
связанный с наличием сопрягающей частоты при соа, необходимо лишь
совместить точку / на нижней шкале номограммы с сопрягающей
277

частотой и произвести отсчет сдвига фазы, соответствующий
интересующему нас значению со, по верхней шкале номограммы. При
этом, конечно, масштаб вдоль оси частот для кривой, построенной
по выражению (VIII. 166), должен совпадать с масштабом для —
на нижней шкале номограммы.
Если нас интересует сдвиг фазы, соответствующий сопрягающей
частоте юа при частотах, находящихся вне интервала 0,5 < т- <С
T14J
г
II WiTtlll
Ш\ /II г
Ш/ \Ш
Рис. VIII.27. Кривая
поправок и номограмма:
а — для асимптотической
логарифмической амплитудной
частотной характеристики
апериодического звена; б —
для построения фазовой
частотной характеристики
апериодического звена
0,1 0,2 0,5
1,0
а)
2,0 3,0 5,0 Wjfa-Tau
0,6 1.
Фаза в градусах
2 Ь 6 8101520 30 40 50 60 70 80 85 8687 88 89 89А
-*-С
i—г-—1—г—-т
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2
б)
I i,lit|h l,t I i ,l
0,5 1,0 2 5 10 20
50 tk
< 2,0, то можно воспользоваться следующими приближенными
соотношениями:
со
при ~<0,5;
8 (СО);
l(co)^-
соЛ
(VIII.168)
(VIII.169)
при
>2,0,
полученными при помощи разложения arctg — в ряд и отбрасывания
членов выше первого порядка малости.
Ниже, в табл. VII 1.2, приведены значения ошибки б при
вычислении сдвига фазы по формулам (VIII. 168) и (VIII. 169).
Таблица VIII.2
со
Ь в град. . . .
0,25
0,4
0,5
2
1,0
12,4
2,0
2
4,0
0,4
Приведенная выше таблица показывает, что ошибка при
пользовании выражениями (VIII. 168) и (VIII.169) вне интервала
278

0,5<[— <^ 2 не превышает 0,4°, а внутри этого интервала достигает
максимального значения 12,4° при со == со„.
Неустойчивое апериодическое звено.
Передаточная функция (VIII. 156) неустойчивого апериодического звена при
k = 1 может быть представлена в виде
W (/(D) - A_J е-Ая-arctgTo^ (VIII.170)
4 j/Y2G)2 +1
Из сравнения формул (VIII. 158) и (VIII. 170) ясно, что
логарифмическая амплитудная характеристика или характеристика
затухания устойчивого и неустойчивого апериодического звена
совпадают друг с другом, фазовые же характеристики отличаются друг
от друга. В то время как фазовая характеристика устойчивого
звена при малых со стремится к нулю, а при достаточно больших
сок (—£); фазовая характеристика неустойчивого звена при ма-
лых со стремится к —я, а при достаточно больших со — к (—~).
Изложенные выше соображения о приближенном построении
логарифмических характеристик устойчивого апериодического звена
без труда могут быть использованы и в случае неустойчивого
апериодического звена.
15. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО
Колебательным звеном называется один из
простейших динамических элементов или его составная часть, имеющая
передаточную функцию вида
w^-rwrhjTT- (VIIL171>
Неустойчивые колебательные звенья имеют передаточные
функции вида и
*<*> " TSindb^+T' (VIIL172)
или
*Н«)-7у + 2б*,г«.-1- опнлтз)
Примеры устойчивых колебательных звеньев приведены на
рис. VIII.28, а — в. При скачкообразном изменении входной
величины выходная величина устойчивого колебательного звена
совершает затухающее колебательное движение, показанное на
рис. VIII. 24, б (кривая У).
В соответствии с выражением (VIII.171) динамические свойства
колебательного звена описываются дифференциальным уравнением
второго порядка:
Тф + 2lKTK!g + x2 = kx±. (VIII.174)
279

Дифференциальные уравнения неустойчивых колебательных
звеньев имеют вид
Т2 ** -^2
К'
dP
OS Т 2 _i_ v
:rf^
fitt
: kXX\
R>X>-^ .
(VIII.175)
(VIII.176)
Свойства колебательного звена определяются тремя параметрами:
постоянной времени ТКУ относительным коэффициентом затухания
1К и передаточным коэффициентом k. Уравнение (VIII. 174) является
линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Ха-
<
^
ИНГ
«J
Рис. VI 11.28. Примеры элементов систем автоматического регулирования,
которые могут рассматриваться как устойчивое колебательное звено:
а — сообщающиеся сосуды, соединенные через гидравлическое сопротивление R; б — масса
М, соединенная с пружиной/7 и снабженная катарактом К', в — электрическая цепь LRC
рактеристическое уравнение, соответствующее этому
дифференциальному уравнению, имеет вид
ПХ* + 2ЪкТкХ+1 = 0. (VIII. 177)
Корни квадратного уравнения (VIII. 177) находятся по формуле
Ч. = -г &± VIF1"!). (VIII.178)
1 к
Если параметры звена таковы, что имеет место неравенство \>к<^ 1,
то корни характеристического уравнения (VIII. 178) получаются
комплексными х и могут быть представлены в виде
%Г~а+®;\ (VIH.179)
^2 = — а — /Р> ]
1 Если корни характеристического уравнения (VIII. 178) получаются
действительными, то колебательное звено эквивалентно двум последовательно
включенным апериодическим звеньям.
280

где
1 К
Р = т •
(VIII.180)
Величина а характеризует быстроту затухания колебаний в звене
и называется коэффициентом затухания; (3 есть
угловая частота колебаний.
Если коэффициент %к при первой производной в
дифференциальном уравнении звена равен нулю, то передаточная функция звена
имеет вид
W(S) = T^+T (VIII.181)
а = 0, р=1 = ю0. (VIII. 182)
Колебания при этом не затухают и имеют угловую частоту <о0
(собственная угловая частота). Колебательное звено, для которого
а = I = 0, иногда называют консервативным звеном.
Если коэффициент при первой производной выходной величины
в уравнении движения системы отрицателен, как это имеет место
в уравнении (VIII. 175), то коэффициент затухания также
отрицателен и амплитуда колебаний выходной величины звена с течением
времени будет возрастать.
Переходная функция колебательного
звена. При скачкообразном изменении входной величины звена
решение уравнения (VIII. 174) имеет вид
z^t .
A(0-ft[l-^^sin(^S/ + arctg^^)].(VIII.183)
Последнее уравнение описывает затухающий колебательный
процесс с относительным коэффициентом затухания I и угловой
частотой р, стремящийся к установившемуся значению h (об) = k
при t-^oo (см. рис. VIII.24, б, кривая /). Соответственно для
неустойчивого колебательного звена (см. кривую 2, рис. VIII 24, б)
h(t)^kT}4=^ei\m{^
у 1 — 1% \ 1 к ък I
Если параметры звена таковы, что удовлетворяется неравенство
1К^> 1, то корни характеристического уравнения получаются
действительными и равными
^--1; К = -г> (VIII.185)
281

где
Т.
1 k-j/K-i'
Т
b + yit^T
В этом случае переходная функция имеет вид
Л (t)
k(l
Тг-
+ ■
Т*
(VIII. 186)
(VII1.187)
(VIIIЛ88)
Звено такого рода может быть всегда представлено как два
апериодических звена (первого порядка), обладающих постоянными
времени 7\ и Т2 и коэффициентами усиления Лх и Л2 (кгк2 = А),
соединенных последовательно: выход первого со входом второго.
Частотные характеристики
колебательного звена. Для получения частотных характеристик заменим
s на /со в выражении для передаточной функции (VIII.171). В
результате получим
-yarctg K *
^(/(0) = — * ==е *-т&\ (VIII.189)
Модуль этой функции является амплитудной частотной
характеристикой, аргумент — фазовой частотной характеристикой
колебательного звена.
Амплитудно-фазовая характеристика имеет вид,
показанный на рис. VIII.29. Она
начинается в точке k на
действительной оси (при о) = 0). Модуль
\W (уса) | достигает максимума при
определенной частоте, меньшей
чем со0. Эта частота является
резонансной частотой звена. При
угловой частоте (о0 частотная
характеристика пересекает мнимую ось.
При со -> оо частотная
характеристика подходит к началу
координат, однако в отличие от
характеристики апериодического звена
кривая в этой точке касается
действительной, а не мнимой оси. Выходная величина при частоте,
близкой к бесконечности, отстает от входной на угол 180°.
В системах автоматического регулирования часто встречаются
элементы или совокупность элементов, которые по своим
динамическим свойствам достаточно близко подходят к свойствам
колебательного звена. Такими элементами являются, например, мембранный
и=0,5
Рис. VIII.29. Амплитудно-фазовая
характеристика устойчивого
колебательного звена
282

исполнительный механизм, электрический фильтр, измерительная
система дифференциального манометра и т. п.
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики колебательного звена [1], [8], как это следует из формулы
(VIII. 189), определяются выражениями
L (со) =: -20 lgl/"(l — Псо2)2 + (2^7»2 (VIII.190)
и
в(со) aFctgj^^,. (VIII.191)
Семейство кривых L (со) и 6 (со) для различных \к и одного и того
же значения Тк приведено на рис. VIII.30 и VI 11.31. Как можно
0,1 0,2 0,3 04 0,5 0,6 08 1,0 2 3 4 5 6 8 Ткси
Рис. VII 1.30. Логарифмические амплитудные частотные характеристики
колебательного звена
видеть из рис. VI 11.30, кривые L (со) могут иметь существенный
пик при соГк = 1. Поэтому представление кривых L (со) в виде
сопрягающих прямолинейных отрезков в окрестности точки со Тк = 1
может быть недопустимо. Однако при значениях (о^гг и значе-
*■ к
ниях со ^> ~г логарифмическая амплитудная характеристика
(VIII. 189) может быть приближенно заменена прямыми линиями.
Действительно, на основании формулы (VIII. 190) можно
приближенно написать
L(o))^0 при со<^; (VII 1.192)
* к
I (и) я« — 20 lg (7\-со)2 при со>^. (VIII.193)
263

Из выражений (VIII. 192) и (VIII. 193) очевидно, что
логарифмическая амплитудная характеристика колебательного звена при
малых со асимптотически стремится к оси частот, т. е. к прямой,
имеющей нулевой наклон, а при больших со асимптотически
стремится к прямой, имеющей наклон, равный —12 дб на октаву или
— 40 дб на декаду.
Найдем частоту coi, определяющую интервал частот (0, o>i),
в пределах которого равенство (VIII. 192) остается справедливым
0,2 0,3 0Л 0.5 0.6 0.5 1,0
4 5 6 8 Lcj
Рис. VIII.31. Фазовые частотные характеристики колебательного звена
с точностью до ± 3 дб. Это значение частоты coi определяется
соотношением
- 20 lg V{\ - Псо?)2 + VtxT^y = ± 3 = db 20 lg 1/2", (VIII.194)
откуда
1 = У(1 -2U)+V(l -2U)* + l, (VIII.195)
- - У (I -21J)—V(l -2liy-W%, (VIII.196)
к
причем из двух выражений (VIII. 195) и (VIII. 196) для — следует
выбирать то из них, которое при данном 1К имеет меньшее
вещественное значение.
(Oi
В приводимой ниже табл. VIII.3 даны значения —, СООТВеТСТВуЮ-
Таблица VIII.3
ИЛИ
со*
щие различным 1К:
и
<°1
0,0
0,54
од
0,55
0,2
0,58
0,3
0,64
0,4
1,00
0,5
1,00
0,6
1,00
0,7
1,00
0,8
0,87
0,9
0,75
1,0
0,64
284

Найдем теперь частоту соц, определяющую интервал частот
(соц,оо), в пределах которого равенство (VIII. 193) остается
справедливым с точностью до ± 3 дб. Частота <оц может быть найдена
из соотношения
- 20 lg]/"(l - Tfab)2 + (2£JVo)2 + 20 lg (7>п)« = ±3. (VIII.197)
Решая уравнение (VIII. 197) относительно соц, получим
"II V&ll-l)+№&-!)*+1, (VIII.198)
со*
или
.^2(1—2g5)+Vr4(l—2gJ)-2, (VIII.199)
причем из двух получившихся выражений (VIII.198) и (VIII.199) для
(Отт
— следует выбирать то из них, кото- ьъ.ип
рое при данной \к имеет наибольшее ы^Ша
вещественное значение.
В приводимой ниже табл. VII 1.3 16\
даны значения —, соответствующие
различным gK. %R
На рис. VIII. 32 даны области
частот, в которых ошибка при заме- М\
не логарифмической амплитудной
характеристики колебательного звена OAl
двумя сопрягающимися прямыми пре- 0> "'" "'* *"~ ~'~ vr
вышает 3 дб. Эти области построены Рис, VIIL32. Области частот, в
на основании табл. VIII.4. которых ошибки при замене
Для облегчения построения лога- логарифмической амплитудной
рифмической амплитудной характери- характеристики колебательного
r ^ ^ J r r звена двумя сопрягающимися
стики колебательных звеньев в ин- прямыми превышают ±3 дб,
тервале частот coi < со < соц, в кото- заштрихованы
е*
"и
0,0
1,85
0,1
1,82
0,2
1,74
0,3
1,57
0,4
1,00
0,5
1,0
0,6
1,0
0,7
1,0
Таблица
0,8
1,15
0,9
1,34
VIII.
1,0
1,55
ром они не могут быть заменены прямолинейными асимптотами,
могут служить кривые поправок, приведенные на рис. VIII.33.
Эти поправки, выраженные в децибелах, должны учитываться при
замене точного выражения (VIII. 190) для L (со) двумя асимптотами
(VIII.192) и (VIII.193).
285

Итак, можно предложить следующее правило построения
логарифмической амплитудной характеристики или характеристики
затухания колебательного звена:
1) отмечаем на оси частот сопрягающую частоту ®к = уг и
проводим из нее прямую с наклоном —40 дб на декаду; в результате
получаем первое приближение для логарифмической амплитудной
12
А
и
I
т
W,
Ч;
1
t=o.os
ж
Fi \\
1§£^^
ш<%
\о,з " ^o^S,
ш^ ^
\^^-
%/^у^
Ao.i/'
W
^^
0.2
03 0А 0.5 0.6 0.8 10
5 6 7 8 9Ткш
Рис. VI 11.33. Кривые поправок для асимптотических логарифмических
амплитудных частотных характеристик колебательного звена
характеристики в виде прямолинейных асимптот, сопрягающихся
в точке (ок = rfr\
* к
2) определяем частоты ©ь «и; если при этом окажется, что
coi ^>соц, то первое приближение, о котором говорится в
предыдущем пункте, будет обеспечивать точность, не меньшую 3 дб*;
3) если coi <^соц, то для уточнения вида логарифмической
амплитудной характеристики в интервале частот coi <^ о) <[ соц
пользуемся кривой поправок, которой соответствует значение \к,
наименее отличающееся от рассматриваемого; поправки откладываем от
сопрягающихся асимптот.
* Заметим, что указанная точность обеспечивается при всех со для значений
%к, заключенных в пределах 0,38^^^0,7,
286

Для вычисления фазы G (со) часто можно пользоваться вместо
точной формулы (VII 1.191) приближенными формулами:
arctg 2g"7> *
>21кТка>
при 7> < 0,4
и
, 21кТкы
2?*
(VI11.200)
(VIII.201)
при 7> > 2,5.
Ошибка в вычислении фазы по этим формулам при любом 1К
не превышает 2°.
Неустойчивое
колебательное звено. В
случае неустойчивого
колебательного звена, имеющего передаточную
функцию вида (VIII. 176),
выражения для логарифмической
амплитудной и фазовой частотных
характеристик при k = 1 имеют вид
м<») =
= - 20 \gV(\ + W)8 + (2|кГкю)3;
(VII 1.202)
■J
-<t
6 (со) = arctg Щ^.
(VI11.203)
1 1 k=fl4
U,41
0,6 \
\\\\г\
Шш
Ш\
Шш
\\\Ш
\\\}
WT/fU
Рис. VIII. 34. Кривые отклонений
логарифмических амплитудных
частотных характеристик
неустойчивого колебательного звена
Кривые отклонении точных
амплитудных характеристик от
асимптотических и семейство фа- -д
зовых характеристик, опреде- 0.1
ляемых формулами (VIII.202) и
(VIII.203), приведены
соответственно на рис. VIII.34 и VIII.35.
В случае неустойчивого
колебательного звена, имеющего переда- W (s) =
точную функцию вида (VIII. 175),
выражения для логарифмической
амплитудной и фазовой частотных характеристик
имеют вид
L (со) = - 20 lg V( 1 - TWf + {2lKTK<*)*\
TK*s*-2lKTKs+l
асимптотических
от
6 (со) = arctg 1 _ p
со2'
при k = 1
(VIII.204)
(VIIL205)
Сравнивая формулы (VI11.204) и (VI11.205) с формулами
(VIII. 190) и (VIII. 191), отметим, что характеристики затухания
287

Ц(х>) рассматриваемых неустойчивого и устойчивого колебательных
звеньев одинаковы, а их фазовые характеристики отличаются лишь
знаком.
Таким образом, при построении логарифмических амплитудных
характеристик (VIII.204) мы можем пользоваться рис. VIII.30, а
0,1 iO,orKu
Рис. VI 11.35. Фазовые частотные характеристики
при построении фазовых характеристик (VIII.205) — рис. VI 11.31,
зеркально отобразив последние относительно оси со.
16. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Звено, передаточная функция которого имеет вид
W(s) = j9 (VIII.206)
называется интегрирующим звеном. Скорость
изменения выходной величины такого звена пропорциональна входной
величине. Если отвлечься от имеющей иногда место ограниченности
рабочего участка соответствующего элемента системы, выходная
величина интегрирующего звена может неограниченно нарастать
или убывать при неизменном значении входной величины. В
отличие от апериодического и колебательного звена в интегрирующем
звене нет определенного соотношения между установившимися
значениями входной и выходной величин, а есть лишь определенное
соотношение между значениями входной величины и скоростью
изменения выходной величины..
Примеры интегрирующих звеньев даны на рис. VIII.36. При
единичном скачке входной величины, величина на выходе
интегрирующего звена изменяется с постоянной скоростью (рис. VIII.24, в).
Поэтому мы должны в качестве входных величин принять
(рис. VIII.36, а — в) соответственно: поток жидкости, напряжение
на якоре, поток масла, а в качестве выходных величин — высоту
288

уровня, угол поворота, путь, пройденный поршнем *. Уравнение
интегрирующего звена имеет вид
^ = кхг. (VI 11.207)
Из формулы (VIII.207) видно, что интегрирующее звено
характеризуется только одним параметром k — передаточным
коэффициентом. Передаточный коэффициент интегрирующего звена есть
[Оли б ь)
Рис. VIII.36. Примеры элементов систем
автоматического регулирования, которые могут
рассматриваться как интегрирующие звенья:
а — резервуар; б — электродвигатель постоянного тока;
в — поршневой исполнительный механизм
отношение скорости изменения выходной величины к входной
величине.
Переходная функция интегрирующего
звена. Полагая, что входная величина в уравнении (VIII.207)
является единичной ступенчатой функцией, получим следующее
выражение для переходной функции интегрирующего звена:
h(t) = kt. (VIII.208)
Эта зависимость представлена на рис. VIП.24, в.
1 В обоих последних примерах мы полагаем, что можно пренебречь
влиянием массы движущихся частей на переходные процессы.
Ю Техническая кибернетика, кн. 1
289

Частотные характеристики
интегрирующего звена. Для получения частотных характеристик
заменим s на /со в выражении (VIII.206) передаточной функции звена.
Тогда получим
, .я
W(M^^e
(VIII.209)
При изменении со от нуля до бесконечности конец вектора W (/со)
движется по отрицательной части мнимой оси от —оо до нуля
(рис. VIII.37). Интегрирующее звено
создает отставание выходной величины
6J = c
Ци)
дб
го
10
о
-10
-20
'30
-40
щ
ш
Ire
и
|
\т<ч>
III
1
II
и
IHI
1111НИ
йград
60
ЗС
0
-30
-60
-90
0,1
1,0
Рис. VIII.37. Амплитудно- Рис. VIII.38. Логарифмические амплитудная
фазовая характеристика ин- и фазовая частотные характеристики инте-
тегрирующего звена грирующего звена
на 90° при всех частотах. Амплитуда выходной величины тем
меньше, чем больше частота.
Интегрирующие звенья часто встречаются в системах
автоматического регулирования (например, гидравлические и электрические
исполнительные механизмы, операционные усилители и т. д. имеют
передаточные функции, аналогичные передаточной функции
интегрирующего звена).
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики интегрирующего звена согласно формуле (VIИ.209) при
k = 1 (рис. VIII.38) определяются выражениями
L(со) = — 20 lgсо; (VIII.210)
>(*>) = -;
(VIII.211)
Усилительное звено. При подаче на вход
усилительного звена единичной ступенчатой функции получим на его выходе
мгновенное изменение сигнала (см. рис. VIII.24, г).
290

17. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Дифференцирующим звеном первого порядка называется звено,
передаточная функция которого имеет вид
W(s) = k(xs+l), (VIII.212)
где k — передаточный коэффициент звена;
т — постоянная, имеющая размерность времени,
характеризующая степень влияния скорости изменения входной
величины на выходную величину.
Выходная величина этого звена определяется не только текущим
значением, но и скоростью изменения входной величины
(производной от входной величины).
it
"М
а)
Рис. VI 11.39. Переходная функция (а) и
амплитудно-фазовая характеристика (б)
дифференцирующего звена первого порядка
Уравнение этого звена согласно передаточной функции (VIII.212)
имеет вид , d ч
X2 = k(r^r + Xl)-
(VIII.213)
Переходная функция дифференцирующего
звена первого порядка. При скачкообразном изменении
входной величины на выходе дифференцирующего звена получается
мгновенный импульс с бесконечно большой амплитудой,
соответствующей бесконечно большой скорости изменения входной
величины в момент скачка, а затем выходная величина принимает
постоянное установившееся значение. Итак,
h(t) = k{x-6(t) + [l]}, (VIII.214)
где через б (т) обозначена дельта-функция (рис. VIП.39, а).
Частотные характеристики
дифференцирующего звена первого порядка. Выражение для
амплитудно-фазовой характеристики получим после замены s через
/со в выражении (VII 1.212):
W (/со) = kVr2<*2+leJ*rcteX(D. (VIII.215)
10*
291

Модуль этой функции является амплитудной частотной
характеристикой, аргумент —- фазовой частотной характеристикой.
Амплитудно-фазовая характеристика
L
дб
so
20
ю
о
•10
ЩИ in
IWf
Щииц [
0,1
1,0
10
■го
Рис. VIII.40. Логарифмические частотные
характеристики дифференцирующего
звена первого порядка
параллельна мнимой оси
(рис. VIII.39, б).
Дифференцирующее звено создает
опережение выходной величины,
тем большее, чем больше
частота; при большой частоте
сдвиг приближается к 90°.
Логарифмические частотные
характеристики
дифференцирующего звена приведены на
рис. VIII.40.
Наличие
дифференцирующего звена первого порядка
в основном контуре системы
означает введение
производной в закон регулирования и обычно бывает полезно для
улучшения качества регулирования и обеспечения устойчивости.
18. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО ВТОРОГО ПОРЯДКА
Дифференцирующим звеном второго порядка назовем звено,
передаточная функция которого имеет вид
W(s) = k(x}s* + 2tdxds+l).
(VIII.216)
Далее предположим, что последнее выражение нельзя
представить в виде произведения двух двучленов первой степени, так как
иначе это звено можно было бы заменить двумя
дифференцирующими звеньями первого порядка, соединенными последовательно.
Трехчлен выражения (VIII.216) нельзя разложить на простые
сомножители, когда он имеет комплексные корни.
Уравнение такого звена согласно выражению (VII 1.216) имеет
вид
(VIII.217)
Ч = * feS + 2£Л* -w + *i
dt*
dt
Из уравнения (VIII.217) видно, что выходная величина звена
определяется не только входной величиной, но и первой и второй
производными от нее. Звено характеризуется тремя параметрами:
передаточным коэффициентом k и постоянными xd и Z>d. Эти
постоянные характеризуют дифференцирующее действие звена.
Переходная функциядифференцирующего
звена второго порядка. При скачкообразном изменении
входной величины в первый момент на выходе получаются
мгновенные импульсы бесконечно большой амплитуды, соответствующие
бесконечно большой скорости изменения входной величины и ее
292

производной в момент скачка, а затем выходная величина принимает
постоянное значение (рис VIII. 41, а). Итак,
h(t)^k{xd^ + 2tdxd6(t) + [!]}. (VIII.218)
Частотные характеристики идеального
дифференцирующего звена второго порядка.
После замены s на /со в выражении передаточной функции (VIII.216)
получим
2^У°
W (/со) = kV(l -xfa*)* + (2ldxd®Ye * 1-соч§. (VIII.219)
Модуль этой функции является амплитудной частотной
характеристикой, аргумент — фазовой частотной характеристикой.
и
alt)
18
«;
ю
Рис. VIII.41. Переходная функция (а) и
амплитудно-фазовая характеристика (б) дифференцирующего звена второго
порядка
Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой
параболу в верхней полуплоскости (рис. VIII.41, б), которая начинается
из точки k. Как видно, дифференцирующее звено второго порядка
создает опережение выходной величины, тем большее, чем больше
частота. При со -> со опережение приближается к 180°.
Наличие дифференцирующего звена второго порядка в основном
контуре системы регулирования означает введение первой и второй
производных в закон регулирования, что часто бывает полезно для
улучшения качества регулирования.
Дифференцирующее звено второго порядка при k = 1 имеет
логарифмические частотные характеристики вида
L (со) = 20 lg Vr(l-tJo)2)2 + (2^Trf(u)2;
9((o) = arctgT^®5.
v / ь 1 — т§со2
Сравнивая формулы (VIII.220) и (VIII.221) с формулами
(VIII. 190) и (VIII. 191), отметим, что логарифмические амплитудные
(VIII.220)
(VIII.221)
293

и фазовые частотные характеристики устойчивого колебательного
звена и дифференцирующего звена при Тк = %d> lK = t>d отличаются
друг от друга лишь знаком. Поэтому кривые L (со), 9 (со),
определяемые формулами (VIII.220) и (VIII.221), могут быть получены
при помощи зеркального отображения кривых, изображенных на
рис. VIII.30 и VIII.31 относительно оси частот. То же утверждение
справедливо и для поправочных кривых на рис. VII 1.33.
19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБКИ
Как это было показано выше, связь между ошибкой 8 (/) и
воздействием g (t) может быть представлена в виде
e(o=e(o—S g(t-x)k(%)d%,
(VIII.222)
где k (t) — импульсная переходная функция.
Предположим, что воздействие g (t) является функцией, имеющей
г первых производных в интервале 0 ^ t ^ Г, тогда можно написать
g(t-r) = g(t)-re(t) + lj^g(t)- ... +
+ {0^g{r~i)(t)+RnO<:t<:Tot (vin.223)
ЯГ = Ц^(Г)('~-Л*)> 0<Д<1, 0<т<Г. (VIII.223 а)
Подставляя выражение (VIП.223) в уравнение (VIII.222), получим
С2
e(t) = C0g(t) + C1g(t) + ^g(ty+ ... +
_|_ Сг-1
к»
Т
(г— l)!s ^ ' г!
т
С0 = 1 — \k (т) dx\
о
т
Сг = \xk(x)dx\
о
т
Са = (- l)\x*k(x)dx;
о
т
Cr = (—iy~1\xrk(x)dx-y
о
т
Кг = (— 1Г1 $ xrk^ (t — At) k (t) rft;
о
oo
Ka = ~l g(t-x)k(x)dx.
(VI11.224)
(VIII.225)
294

Если функция g (t) имеет г первых производных в интервале
O^t^oo и Т = оо, то формулы (VIII.225) принимают, вид
00
С0 = 1 — $ ft (т) dx\
о
Сг = (— If1] rrk{x)dx\
о
00
Кг = (— 1 Г1 \ rr&r) (t — At) k {%) dx;
о
Итак, в этом случае 8 (t) = ес (t) + er (t), где
г
Выражение (VI11.224) представляет собою разложение ошибки
е (/) в р^яд по производным от воздействия. Каждый из членов этого
ряда можно интерпретировать как составляющую ошибки е (/),
вызываемую соответствующей производной от воздействия^^ (/).
Коэффициент пропорциональности между составляющей ошибки
е (*), обусловливаемой i'-й производной от воздействия g{i) (t),
множенный на Л, принято называть i-ы коэффициентом
ошибки.
В случае медленно изменяющихся воздействий, когда в
выражении (VIII.224) можно ограничиться небольшим числом членов,
последнее оказывается удобным для вычисления 8 (/), так как при
этом не требуется знания корней характеристического уравнения
системы.
Заметим, что если импульсная переходная функция
неотрицательна при всех t, то первые коэффициенты Ct ряда (VI 11.224) имеют
простую геометрическую интерпретацию. Действительно, величина
1 — С0 представляет собою площадь фигуры, ограничиваемой
импульсной переходной функцией k(t), а Сх — координату центра
тяжести этой фигуры или время отставания максимума k (t) от
момента приложения импульсного воздействия.
Коэффициенты Q могут быть вычислены не только по заданной
импульсной переходной функции, входящей в выражение (VI 11.225)
но и по заданной передаточной функции Фе (s) [или Ф (s)].
Действительно,
00 00
Фе (s) = 1 _Ф (s) = 1 — J ft (т)er**dx = \k, (т) е-"dt. (VIII.227)
о о
(VIII.226)
295

(VI11.229 а)
Дифференцируя выражение (VIII.227) I раз по s и переходя
к пределу при s -> 0, получим
оо
[^S^Lo^^^i^W^' гДе1' = °. 1. 2> ••• '.(VIII.228)
Сравнение формул (VIII.228) и (VIII.226) даст
с'=PS^Lo'где ('=0, ]> 2- •••r> (viil229)
или, учитывая выражение (VIII.227),
С0 = [1~Ф(5)],_0; |
г - _ \*ки<ьщ
Ь*"~ [ rfs(*> Js-0* J
где i = 1, 2, ..., г.
Следует, однако, заметить, что формулы (VIII.229 а) неудобны для
вычислений. Для того чтобы получить более удобные формулы,
разложим выражение для передаточной функции Фе (s) в ряд Макло-
рена при малых s:
фг (s) = К0 + Kxs + K2s2 + ... (VIII .230)
Таким образом, преобразование Лапласа Е (s) для ошибки е (t)
на выходе можно представить в следующем виде:
[£(s)]^o = [0.(s)G(s)]^0 =
= [(/Co + 'C1s + /(8s8+ ...)G(s)]s^o. (VIII.231)
Применяя к выражению (VI 11.231) обратное преобразование
Лапласа, получим
е (0 = KQg (t) + К4 (t) + K2g (/)+... (VI11.232)
Сравнивая выражение (VI11.232) с (VII 1.224) легко видеть, что
С0 = Ко, Сг = Кг; С2 = 2! К2\ ... Сг = г! Кп (VIII.233)
Итак, вычисление коэффициентов Q сводится к определению
коэффициентов разложения в ряд Маклорена передаточной функции
Ф2 (s) при s -> 0. Пользуясь этим обстоятельством, легко получить
общую формулу для определения коэффициентов С£. Действительно,
переходя в выражении (VIП.230) к пределу при s -> 0, получим
К0 = С0 == limФ8 (s). (VIII.234 а)
Разделив обе части равенства (VII 1.230) на s и переходя к
пределу при s —> 0, найдем
Кх - Сх - lim [ [Ф8 (s) - /С0]. (VIII.234 б)
296

Точно так же, разделив обе части равенства (VI 11.230) на s2 и
переходя к пределу при s -> 0, получим
К, ~ % = lim i [Ф. (s) - (Ко + K±s)] (VIII .234 в)
и, вообще,
Итак,
£-1
Kt = £' = lims4 [Ф.(5) - ^ №]- (VHI.234 г)
■л
-1
Сг. = Нт^-[фг(5)- 2 &s*]- (VHI.234)
Формула (VIII.234) позволяет найти каждый последующий
коэффициент Ct по известным предыдущим коэффициентам С0, Си ...,
Если передаточная функция Фе (s) системы является дробно-
рациональной функцией вида:
ф rs\ _ go + gis+ — +ет*т
l + axs+ ... +ansn '
то коэффициенты Kt удобнее всего вычислять простым делением
числителя передаточной функции Ф5 (s) на ее знаменатель.
Легко убедиться в том, что результат будет иметь вид ряда
(VIII.230), где
Кг = ег — К0ах\
К/ = et — K0a>i — 2 ^«а«- к •
Итак,
£-1
С, = « [е, - СЛ - 2 &*''-*]• (VIII.235)
К'=1
Формула (VI 11.235) представляет собою явную зависимость каждого
последующего коэффициента Ct от предыдущих С0, ...,Q_! и
коэффициентов передаточной функции Фе (s).
Важным свойством астатических следящих систем является то,
что для астатической системы с порядком астатизма равным v
первые v коэффициентов ошибки С0, (?!,...,CVel равны нулю.
Действительно, в этом случае передаточная функция ошибки
Фе (s) имеет нуль v-ro порядка в начале координат, т. е. может быть
представлена в виде
297

и, следовательно, применяя формулы (VIII.234), мы для всех
коэффициентов Ct с индексом до i ^ v — 1 получим результат, равный
нулю.
Таким образом, в случае системы с астатизмом первого порядка
С0 = 0; в случае системы с астатизмом второго порядка С0 = Сх =
= 0 и т. д.
Выше уже подчеркивалось, что применение излагаемого метода
определения величины х (t) на выходе оказывается особенно
удобным, когда в разложении (VIII.232) можно ограничиться небольшим
числом членов, т. е. когда с достаточной степенью приближения
можно написать
е (t) ~ Cog Ц) + C,g (/) + ^g (t) + ... + T^[)j£('-1) (0, (VIII.236)
где г — невелико.
Поэтому существенно уметь оценивать погрешность, которую
мы допускаем, ограничиваясь в разложении (VIII. 236) первыми г
членами и пренебрегая остаточными членами KR и Ка- Покажем,
каким образом можно оценить сверху остаточный член KR,
определяемый формулой (VIII.223а) если, Т =оо, Ка = 0 и известно, что
| /<Г>(/)|<ЛТ0. (VII 1.237)
Предположим, что выражение для импульсной переходной
функции k (t) имеет вид п
k^-lww)eht (VIIL238)
и, следовательно, передаточная функция Ф (s) определяется
выражением п
Учитывая неравенство (VIII.237), мы можем пользуясь
выражением (VIII.226) написать со
I Кя I ^M0 $ rr\k (т) | d%. (VIII.240)
о
НО оо по
f| k (т) | dx = [^ ^ ег* | k (т) | dx]smmQ. (VIII.241)
выражение (VIII. 239) в уравнение (VIII.241),
со п
5^|й(т)|Л = |2^-^|. (VIH.242)
= 1
Итак, „
^<^'2 |^|-ПОТ" ^111-243)
В табл. VIII.5 приведено несколько первых
коэффициентов ошибки, вычисленных при помощи формулы (VIII.235)
293

Таблица Vllt.5
Коэффициенты ошибок*

Коэффициенты
СО I КЭ 1 »"* 1 О
1 1 _
00 Ю | Н* О
о» 1 м 1 и 1 о
♦Для слу
Формулы
1
(«i-Pi)*
(1 + Ю2
2(«2-Р2)/С , 2«, (р, —а,)^ . 2pt (P, — «Л*1
(1+/SQ2 + 0+*)* Ai~ 0+*)*
6/C(«8-S3) вЛГРал—2/fplpt + (AT—lXerfj + aA)]
(1+/03 0+*)* '
■ 6/f («i -Pi) («, +W
+ U+*)4
0
1
2(в.-Р,) 2
AT К}
6 , 12(Pj—a,) 6(a2-p2) ,60, & — «.,) |
^ -r ^ -г д. -г д- |
0
0
2
6(«l-p,)
К
чая Гй-- — -&=- .
sv 1 + *is + a2s2 + • • • V '
299
Астатическая] I Астатическая Статическая
второго порядка первого порядка
* I I |
Тип

системы

для статических и для астатических систем первого и второго
порядка, имеющих передаточную функцию W (s) вида
Ш (с\ = К * + PiS + P2S2+ - + Ът*т
w y ; sv 1 + 0ls + a2s2 + ... + ansn '
В случае использования логарифмических частотных
характеристик, коэффициенты ошибок могут быть выражены
непосредственно через сопрягающие частоты.
Иногда интерес представляет влияние медленно изменяющегося
возмущающего воздействия на регулируемую величину х (f). В этом
случае разложение (VIII.232) принимает вид
x(f) = Kof(t) + KJ(f)+ (VIII.244)
Коэффициенты Кг называются системными коэффициентами. Они
могут вычисляться при помощи формул, аналогичных формулам
(VIII.234а)—(VIII.234r), где, однако, вместо передаточной функции
ошибки Фе (s) должна применяться передаточная функция Y (s),
соответствующая точке приложения рассматриваемого воздействия f (t).
При решении вопросов анализа и синтеза каскадного или
последовательного соединения следящих систем существенный
интерес имеют зависимости между коэффициентами ошибки всей системы
в целом и каждой из входящих в ее состав следящих систем.
Обозначим передаточные функции следящих систем через Фь
Ф2...ФГ. Тогда, если предположить, что все следящие системы
обладают направленностью действия, то передаточная функция всей
системы
ф (S) = Фг (s) Ф2 (s) ... Фг (s). (VIII .245)
Обозначим через CiK i-й, коэффициент ошибки /с-й системы.
Имеем:
E(s) = {l-©(s)}G(s) = {l-no,(s)}G(s)
или
Е (s) = {1 - П (Ко/ + Kus + K„s« + K3,ss +...)} G (s)
или
r
= {l-H{l-Coi-CliS-^s^-^s^-...)}G(s). (VI11.246)
1=1
Требуемые соотношения можно теперь получить, приравнивая
выражения при одинаковых степенях s в правой и левой частях
равенства (VIII.246).
300

Так, например, для двух последовательно соединенных
следящих систем имеем
^01^02»
^1 == U ^0l) ^12 4~ (1 ^02) ^11>
~2 ^ ^ii^i2 + y (I ^oi) ^22 + ~2 О 4)2) С21;
"6" ~ 2 ^ И 22 4*" ^12^2l) ^" "g~ [(1 Q)l) ^23 4~
+ (1-С02)С31].
(VIII.247)
Если каждая из систем обладает астатизмом первого порядка,
то формулы (VIII.247) сводятся к виду
-С —
2 U2 ~
С0 = 0;
Ql^l2 4" ~2 ^21 +
-Г •
2 ^22»
"g" £3 ~~ 2 (11 22 4~ ^12^21) "г g (^23 4*^3i)» j
(VI11.248)
Для трех последовательно соединенных следящих систем имеем
С0 = 1 — (1 — С01) (1 - С02) (1 - С03);
Сх = (1 — С01) (1 - С02) С13 + (1 - С02) (1 - С03) Сп +
+ (l-Cos)(l-C01)Clt;
"о" ^2 = U ^01/ ^ 12^13 (' ^0г) ^ 13^11 U
(VI 11.249)
- С03) CUCU + (1 - С01) (1 - С02) ^ + (1 - С02) (1 -
^оз) у + (1 Ч)з) 4>i "у 5
-g- С3 = Ch4l2W3 ~2 [(1 — С01) (С13С22 + ^12^23) 4~
+ (1 - С02) (CnC2S + С13С21) + (1 - С„з) (СиС22 +
+ СиСп)] + { [(1 -С01) (1 -CoojCa, + (1 -С01) (1 -
^03/ ^32 4" (I С02) (1 (>оз) ^31J •
Если все три системы являются астатическими с астатизмом
1-го порядка, то формулы (VIII.249) сводятся к виду
С0 = 0;
^i ~ ^13 4" ^12 4~ ^и>
~2 ^2 == ~2 ^21 "^ 22 ~^~ 23' ^12^13 ^IsQll "~
^11^12»
"б- ^з ~ "g* (C31 4~ £32 4~ ^33) 4" Cu C12C13
" ~2~ 1^13^22 "I * ^12^23 4~ ^11^23 "Г ^13^21 4~ ^11^22
+ С1аСа1).
(VIII.250)
301

ЛИТЕРАТУРА
1. Джеймс X., НикольсН., ФиллипсР. Теория следящих
систем. ИИЛ, 1951.
2. М и х а й л о в А. В. Метод гармонического анализа в теории
регулирования. Автоматика и телемеханика № 3, 1938, с. 27—81.
3. Солодовников В. В. Некоторые методы исследования систем
автоматического регулирования. Дисс, ВЭИ, М. 1939.
4. Солодовников В. В. Метод частотных характеристик в теории
регулирования. Автоматика и телемеханика. Т. 8, № 2, 1947, с. 65—-88.
5. Солодовников В. В. Частотный метод анализа следящих и
регулируемых систем. Докт. дисс, ИАТ АН СССР, М., 1948.
6. Солодовников В. В. Интегральное уравнение системы
регулирования. Бюллетень ВЭИ, М., № 5, 1941.
7. Солодовников В. В. Устойчивость линейных следящих систем
и систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, № 1,
1946.
8. Солодовников В. В. Применение метода логарифмических
частотных характеристик. Автоматика и телемеханика. Т. 9, № 2, 1948, с.
85—103.
9. СолодовниковВ. В. Анализ устойчивости и качества следящих
систем по их амплитудно-фазовым характеристикам. Известия АН СССР, ОТН,
№ 4, 1949, с. 473—491.
10. СолодовниковВ. В., ТопчеевЮ. И., Крутикова Г. В.
Частотный метод построения переходных процессов. М., Гостехтеоретиздат,
1955.
11. К u p f m u 1 1 е г К., ENT, V. 5, № 11, 1928, pp. 459—467.

ГЛАВА IX
МЕТОДЫ СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Структура системы графически отображает ее состав, входящие
в систему элементы и связи между ними.
В отличие от физических схем, где отражаются аппаратурные
особенности, энергетика, физическая природа величин-носителей
сигнала и т. п., в структуре ставится задача: в наиболее наглядной
форме показать математическую сторону преобразования сигналов,
изменяющихся во времени, отдельными элементами и всей системой
в целом.
Структура может быть задана во временной области, в которой
условия преобразования сигналов описываются в общем случае
дифференциальными уравнениями, и в области преобразований или
изображений по Лапласу или Фурье, где справедливы алгебраические
соотношения.
Наибольшее распространение получили структурные схемы
линейных систем с постоянными параметрами, в которых свойства
элементов задаются достаточно просто их передаточными функциями.
Для систем с изменяющимися во времени параметрами
математические зависимости в области временного аргумента получают
графическое изображение, аналогичное системам с постоянными
параметрами. Достаточно эффективен структурный переход к зависимостям
в области второго временного аргумента, входящего в сопряженные
дифференциальные уравнения. Эти структуры называются
структурными изображениями уравнений. Существуют для переменных
систем и структурные схемы в области комплексного аргумента,
содержащие параметрическую передаточную функцию,
преобразуемую значительно более сложно.
Для нелинейных систем вводится понятие функциональной
структурной схемы, но имеется существенное ограничение в
использовании структурных методов, так как принцип суперпозиции для
нелинейных систем несправедлив. Область структурного анализа
существенно расширяется при переходе к линеаризованным схемам.
Структурные методы охватывают: правила начертания структуры
системы по заданным исходным данным, способы эквивалентных
303

преобразований заданных структур для выявления передаточных
свойств системы между характерными точками схемы при ее
анализе и, наконец, рекомендации по целенаправленному изменению
структуры системы при ее синтезе.
Структурные методы в применении к отдельным динамическим
элементам позволяют вскрывать их внутреннюю структуру, что
способствует более ясному пониманию существа процессов,
протекающих в элементах, и позволяет правильно подойти к улучшению
характеристик путем наложения дополнительных внешних связей,
усиливающих благоприятные или нейтрализующие нежелательные
внутренние связи.
Применительно к системе в целом структурные методы позволяют
установить рациональность системы с точки зрения решения
основной возлагаемой на нее задачи по воспроизведению управляющего
воздействия при одновременной компенсации действующих на
систему возмущений. Структурные методы не могут быть
противопоставлены в своей основе аналитическим методам линейных
преобразований, но делают их более наглядными и удобными для практики.
Аналогом структурных преобразований может служить метод
преобразования из звезды в треугольник и обратно, широко
применяемый при ряде расчетов электрических цепей вместо аналитических
методов контурных токов или узловых напряжений.
В задачу структурных методов не входит полное решение
дифференциальных уравнений звеньев и системы в целом, но
детализированная структура непосредственно используется для настройки по
ней схемы электронной вычислительной машины непрерывного
действия, на которой могут быть получены искомые решения.
Разработка структурных методов ведется уже достаточно давно.
Так была предложена специальная алгебра структурного анализа и
синтеза [5]. Разработаны элементы структурных методов
применительно к задачам устойчивости [4], [3], а также доказаны теоремы
структурных преобразований [2] и предложены своеобразные
обозначения и терминология в области структурных методов [1].
В монографии [7] структурные методы положены в основу
изложения всего курса теории управления и электроавтоматики.
1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ УСЛОВИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
Понятие о структурных схемах и входящих в их состав
структурных элементах было дано в главе II.8.
На рис. IX. 1 приведен ряд обозначений, используемых для
графического изображения элементов структуры системы как в области
временного аргумента (область оригиналов), так и в области
изображений или преобразований процессов по Лапласу. Суммирование
переменных величин обозначается на структурах одинаково в
области оригиналов и изображений. На структурных схемах вводятся
обозначения в виде сумматора (рис. IX. 1, а).
Ь04

Для разности величин применяются обозначения в виде
устройств сравнения (рис. IX. 1, б).
Ответвление от тракта передачи сигналов обозначается также
одинаково для обеих областей в форме узла (рис. IX. 1, в).
Прохождение через безынерционный усилитель только изменяет масштаб
сигнала в k раз. Стрелка, подведенная к звену, означает, что сигнал
умножается на коэффициент усиления звена k однотипно для обеих
областей (рис. IX. 1, г). При умножении на переменный
безынерционный коэффициент т (t) во временной области он записывается внутри
элемента (блока), к которому линией со стрелкой подводится сигнал
9(t)\
Ж) ^ ®W(t)
x(t)
G(s)
W(s) L±
X(s)
д(Щ
-x(Hd)
g(B)
a) —*\®W(t,8)\-*-x*(t0)
fi(5).
W(t,s)
X(ts)
*)
ад
г x(s)
Рис. IX. 1. Графические обозначения схемных элементов и условий
преобразования сигналов и их изображений структурными элементами
(рис. IX. 1, <3). В области изображений в этом же случае Хг (s)
подвергается Ц -преобразованию. Последовательность этих
операций отражена на графике. При большом числе операций удобно на
входной линии в блоке ставить точку, а не стрелку, и такую же точку
повторить под знаком %\ -преобразования.
Для любой из эквивалентных схем рис. IX. 1, Э изображения
читаются так: X2(s) = М [^ (s)].
Так, для безынерционного коэффициента, изменяющегося во
времени по экспоненциальной функции
тг(/) = е-в'
^-преобразование имеет известную форму
X2(s) = M[X1(s)] = X1(s + o)i
т. е. сводится к вещественному смещению аргумента в области
изображений.
305

Для коэффициента в форме комплексной экспоненты
m(t) = e (t) = е^е~ ^ +*»> * (IX. 1)
Яё-преобразование дополнительно содержит комплексное смещение
аргумента
X2(s) = eJ*X1(s + 4 + jc*). (IX.2)
Реальные блоки систем управления имеют вещественные
параметры, большинство из них может быть получено из комплексной
экспоненты (IX. 1) путем приравнивания нулю отдельных ее
параметров (ф, г], со); выделения вещественной или мнимой частей (Re,
Im) и дифференцирования или интегрирования по параметру,
Ф = 0
Г)= — G
например:
т (t) = te~ot cos at = ё (t)
да
Re.
Преобразования комплексной экспоненты во временной области,
требующиеся для перехода к функции т (/), как раз и будут
^-преобразованием изображения входного процесса для перехода к
изображению произведения:
b{te-°tcosatx(t)} = lm[X(s)]^Re{^X(s + o + j(u)}.
Умножение одной переменной величины на другую
x8(t) = Xl(t)-x2(t) (IX.3)
обозначается на временной структуре (рис, IX. 1, ё) знаком
умножения, помещенным в квадрате, отображающем множительный
блок.
Динамические элементы во временной области преобразуют
сигнал на основе уравнения свертки, поэтому на укрупненных схемах
в блоках записывается значок свертки ф и весовая функция звена
(рис. IX. 1, ж), что читается так:
x2(t) = xL(t)®w(t), (IX А)
или в развернутой форме
оо
х2 (t) =^ x1(t — x)w (т) dx.
о
Можно вместо общего блока, характеризующего звено, задать
его детализированную структуру, тогда вместо символа свертки®
будет применяться обычное умножение на постоянные коэффициенты
а и алгебраизованные символы дифференцирования (д).
Подробно детализированные структуры рассмотрены в § 4.
В области изображений в блоке записывается передаточная функция
30S

элемента, на которую умножается изображение входного сигнала,
или детализированная структурная схема. Для переменных систем
реакция на входной сигнал g (t — #) зависит от формы сигнала
g (t) и его смещения Ф от начала изменения переменных
коэффициентов.
Реакция на смещенный g (t — Ф) входной сигнал х (t — '&,'&)
равна нулю при t <^ Ф и далее (при t ^> Ф) изменяется в функции
аргумента t при фиксированном параметре д.
В блоке, характеризующем преобразования сигнала элементом
во временной области, может быть записана только функция
преобразования (рис. IX. 1, з), заданная в неявной форме F (/, д, х).
Наличие в ней выходной величины х вызывает в ее
детализированной структуре образование обратных связей.
В переменной системе (рис. IX. 1, и), в которой изучается
реакция в заданный момент наблюдения t = tH на сигнал установленной
формы, можно указать наглядные структурные свойства при
переходе к области второго временного аргумента 0 — рабочего
интервала. Для этой области справедливо уравнение свертки
где w# {t, б) — параметрическая весовая функция при
фиксированном моменте наблюдения t и переменном рабочем интервале 6, т. е.
интервале между моментом подачи возбуждающего импульса и
моментом наблюдения 0 = tH — #;
** (U 9) — реакция в фиксированный момент наблюдения,
зависящая от длительности действия входного сигнала от его начала
до момента наблюдения, т. е. от рабочего интервала.
При переходе к L изображениям, т. е. от области рабочего
интервала б к области комплексного переменного s, передаточные свойства
элемента описываются параметрической передаточной функцией,
более подробно рассмотренной в § 9.
Одновременное наличие в схеме (рис. IX. 1, k) постоянных
динамических элементов и блоков переменных коэффициентов приводит во
временной области к обозначениям операций умножения и свертки,
а в области изображений — к обозначениям ^-преобразования
(точка) и умножения на передаточную функцию (стрелка). Для схемы
с обратной связью можно связать изображение входного сигнала
с изображением выходного сигнала только в неявной форме:
X (s) = W, (s) \ {G(s) + %n [W2 (s) X (s)]}. (ix.5)
Если вместо переменных коэффициентов в той же схеме
применены постоянные коэффициенты hi = 1, Хц =— 1, то
X (s) = W (s) G(s) — W (s) X (s) (IX.6)
или
Q (s) - T+W)~ ~~ (S}' (1X*7)
807

Если из предыдущей схемы устранить динамические элементы,
то во временной области (рис. IX. 1, л)
*(0 = /М01я(*) + 'М')*(')]э
откуда
x(t) _ m1(t) . (]Х ~
В области изображений можно применить два ^-преобразования
согласно формуле (IX.5) при Wx (s) = 1 и W2 (s) =— 1, или одно
^-преобразование соответственно общей функции времени (IX.8).
2. СХЕМЫ С ЭЛЕМЕНТАМИ, ОБЛАДАЮЩИМИ И НЕ ОБЛАДАЮЩИМИ СВОЙСТВОМ
НАПРАВЛЕННОСТИ ДЕЙСТВИЯ
На рис. IX.2, а приведен электрический четырехполюсник в
режиме двойного питания напряжениями Ux (s) и (72 (s).
Для изучения свойств четырехполюсника достаточно
охарактеризовать его тремя операторными проводимостями короткого
замыкания: входной — Yu (s), выходной — Y%K (s) и взаимной
(проходной) — Yтк (s). Тогда при указанных на рисунке направлениях
токов и напряжений, принятых за положительные, получим
следующие уравнения четырехполюсника:
h W = Ux (s) Kie (s) - U2 (s) YmK (s); |
/2 (s) = Ux (s) YmK (s) - U2 (s) Y%K (s). j (1Л-9)
По этим уравнениям на рис. IX.2, б построена структурная
схема. Если выполнить условие
U1(s)YmK(s) = U2(s)Y2K(s)1 (IX.10)
то вторичный ток окажется равным нулю, т. е.
/,(s) = 0f
и соотношение (IX. 10) можно использовать для определения
вторичного напряжения холостого хода четырехполюсника при
одностороннем питании:
Un (s) = ^Fg} U, (s) = YmK (s) 1гк (s)6\ (s).
Передаточная функция холостого хода при этом составит
r"(s) = ^f = ^|j = ymK(s)Z2K(s). (IX.ll)
Далее рассмотрим представленную на рис. IX.2, в каскадную
схему из трех четырехполюсников, каждый из которых имеет
передаточную функцию холостого хода
^(s) = nK(s)-2«K(s), i-1,2,3.
S08

Построим на рис. IX.2, г так называемую блочную структурную
схему, которая повторяет расположение блоков и связи между
ними, имеющиеся в электрической схеме, и рассмотрим, в каком
оЛ га>
°,(й
ц}
~±ф
Г5П--е—-
. -ft
«
*U^
<//'
imt
1'гк I
' mi
W°2(s)
U2o
№
7?r
f4n г:?-» nJ"» P^H
Рис. IX.2. Схемы четырехполюсников:
a, e — электрические; б, г ~~ ж — структурные
случае- будет справедлив принцип перемножения передаточных
функций для каскадно-включенных блоков
W(s) = Wl(s)Wi(s)Wl{s).
(IX.12)
ЗОЭ

Ответ на этот вопрос дает теорема Тевенена, связывающая
напряжение на выходной нагрузке четырехполюсника 11н с
напряжением холостого хода:
Wt (s) - Wj (s) . Z»°°. . (IX. 13)
Если при подстановке s = /со выполняется неравенство
Z2K(s)
ZH{s)
<1, (IX.14)
то второй сомножитель выражения (IX. 13) близок к единице и
формула (IX. 12) справедлива.
Для того чтобы нагрузка четырехполюсника намного превышала
его вторичное сопротивление короткого замыкания, необходимо
в каждом последующем каскаде существенно повышать все
сопротивления по сравнению с предыдущим каскадом или между ними
ставить развязывающие усилители (повторители) с высокоомным
входом. Такая электрическая схема, для которой справедлива
блочная структурная схема без каких-либо дополнительных связей,
называется однонаправленной, или схемой
направленного действия.
Рассмотрим случай, когда условие (IX. 14) не выполняется.
Для третьего четырехполюсника (рис. IX.2, в) составим
структурную схему, положив в схеме (рис. IX.2, б)
U2H(s) = I2(s)ZH(s)
и учтя это соотношение в виде отдельной связи, которая показана
на рис. IX.2, д. Последняя структурная схема повторена на
рис. IX.2, е в эквивалентной форме, где две последние прямые
цепи заменены обратными, величинами
Z2k(s) = у , ч ;
У2\{8) (IX. 15)
Y^--zhr )
после взаимной перестановки элементов. Эквивалентность схем,
приведенных на рис. IX.2, д, е, легко доказывается путем
составления передаточной функции цепи между точками А и Б:
W (о\ — ZH(s) Z2K (s) /tv i£\
Рассмотрим теперь, какую нагрузку представляет третий
четырехполюсник для второго. Проводимость нагрузки УЛн (s)
оценивается функцией передачи между первичным напряжением £/х
и током 1г третьего четырехполюсника. Эта связь дается всей
структурной схемой как передаточной функцией между точками В и Г,
при учете показанных пунктиром звеньев, перенесенных из схемы
рис. IX,2, б с одновременным изменением знака проводимости
310

Yu (s) для согласования знаков обоих слагаемых на верхнем в схеме
сумматоре:
Yin* (s) Z2K (s)
Yu (s) = - WBr(s) - У, . (s) - t +^;(s) ^}. (IX.17)
Справа в приведенной формуле дано аналитическое выражение
для проводимости. Работу второго четырехполюсника можно
описать такой структурной схемой (рис. IX.2, е), как для третьего
четырехполюсника, если вместо одного блока — YH (s),
характеризующего проводимость нагрузки последнего звена с обратным знаком,
Рис. IX.3. Гидромеханическая система управления
нарисовать всю цепочку звеньев между U'[' и —Г[\ используя
рис. IX.2, е.
Устанавливаем, что вся структурная схема между линиями
U\ и —Г[ представляет проводимость нагрузки с обратным знаком
для первого четырехполюсника, и, развивая его структуру,
получаем общую структурную схему каскада из трех четырехполюсников
(рис. IX.2, ж). Сопоставим рис. IX.2, г и ж, откуда видно, что
блочная схема усложнена дополнительными связями. Так, по схеме
(рис. IX.2, ж) можно проследить, как YH (s) влияет на ток Г[ и т. д.
Поскольку в последней структурной схеме связей больше, чем
в физической схеме (рис. IX.2, в), т. е. эквивалентной блочной
структурной схемы для рассматриваемой системы не существует, то
каскадное включение четырехполюсников при невыполнении условия
(IX. 14) образует электрическую схему, не обладающую свойством
направленности действия.
Пояснение подобных свойств можно дать также на примере одной
из механических систем с гидравлическим регулятором скорости.
Пусть гидравлический насос (рис. IX.3, а), ось которого
приводится во вращение первичным электродвигателем с установленной
ЗИ

в процессе управления скоростью Qx, имеет секундную
производительность
Q«?gQ*. (ix.18)
Последняя при отсутствии утечек определяет скорость
гидромотора
•y = Qv=l%Q. (IX.19)
Для перехода от скорости к углу вводим кинематическое
интегрирующее звено
Y(s) = \Qy(s) = A(s) (IX.20)
и цепочку преобразований (IX.18) —(IX.20) отображаем блочной
структурной схемой, предполагая, что рассматриваемая
гидравлическая система однонаправленная.
Теперь допустим, что гидромотор вращает рулевое устройство
в потоке газа или жидкости (рис. IX.3, в) с большим шарнирным
МОМеНТОМ . . , /TV о ix
Mm = kma9 (IX.21)
вызванным несовпадением центра давления с осью вращения руля.
Этот момент пересчитывается на вал насоса обратно
пропорционально отношению номинальных скоростей
МН = МШ§^. (IX.22)
Если первичный электродвигатель имеет наклон механических
характеристик S®, то под влиянием нагрузки будет наблюдаться
падение его скорости
AQ = S*MHf (IX.23)
что может быть учтено на структурной схеме (рис. IX.3, г)
путем добавления обратной отрицательной связи с общим
коэффициентом koc, получаемым из формул (IX.22), (IX.23):
Aoe = *»§-S2- (IX.24)
Отступление от блочной структурной схемы (рис. IX.3, б)
показывает, что механическая система с гидравлическим
управлением является неоднонаправленной при нежесткой механической
характеристике первичного двигателя и только при S® = 0
выполняется свойство однонаправленности.
Отметим, что неоднонаправленность только усложняет, по
сравнению с блочной структурной схемой, построение полной
структурной схемы дополнительными связями. Но после того, как
полная структурная схема построена, дальнейшие ее
преобразования ведутся на основе принципа суперпозиции, являющегося мате-
312

матической основой линейных уравнений. Поэтому, всякая
структурная схема является по существу однонаправленной, так как
в ней допустимы линейные преобразования.
3. ДЕТАЛИЗИРОВАННЫЕ СТРУКТУРЫ
Детализированными структурами во временной области
называются структурные изображения, содержащие только
дифференцирующие, интегрирующие и усилительные звенья (в том числе
и усилительные звенья с переменными параметрами) с полностью
вскрытыми связями между этими звеньями.
Переход к детализированному структурному изображению
поясним на относительно простом примере. Пусть задано линейное
дифференциальное уравнение с переменными параметрами вида
[д* + аг (/) д + а0 (/)] х (0 - [Ь0 (/) + Ьх (/) д + b2 (t) d2] g (/), (IX.25)
где д • а«
д=%; У-|г (IX.26)
— символы частных производных, введенные для учета случая двух
аргументов.
В данном случае порядок уравнения принят относительно
небольшим (п = т = 2), но методика построения структуры
обобщается на линейное уравнение любой сложности.
Переход к детализированной структуре проведем по этапам.
Первый этап — получение уравнения в
условно-разрешенной форме. Перенесем в выражении (IX.25) все члены левой
части, кроме старшего, в правую часть:
« = [bo (0 + Ьг (0 д + b2 (t) d2] g - [а0 (/) + аг (0 д] х
и, проведя формальное интегрирование, перейдем к
условно-разрешенной форме уравнения:
* (0 = i [bo (0 + Ьг (t) д + Ь2 (/) a2] g- [а0 (/) + ах (0 д] х (*), (IX.27)
Второй этап — разметка основных линий на структуре.
На рис. IX.4, а размечаем линии входной g и выходной величины х
и линию сигнала, соответствующего всей правой части уравнения
(IX.26). П (*) = { Ь0 (/) + [Ьг (0 + b2 (t) d]d}g. (IX.28)
Третий этап — построение прямых и обратных связей.
Используя формулу (IX.28), строим левый участок структуры,
содержащей согласно-параллельные связи, а по формуле
д*
[П W-lMO-MOd]*}, <1Х-29)
313

получаемой путем несложных преобразований формулы (IX.27),
строим правую часть структуры, содержащую обратные (встречно-
параллельные) связи. Тот же результат получается при переходе
от общего уравнения (IX.25) к нормальной системе уравнений
Коши.
Если физическая система имеет постоянные коэффициенты, то
принцип построения детализированной структуры остается неиз-
«У
1 \-a0(t)\
Ф)
Щ*у~&
И
Ts
б)
Н ьоМ)
W(t,8)
U(s)
Н b,(t-B)
9*Y®Ah
bz(t-B)
W)
i—b
6)
Lj-g,Cf-g;|-l
-a0(t-B)
^
Рис. IX.4. Детализированные структуры системы управления
с переменными параметрами
менным, но в блоках коэффициентов записываются постоянные
числа, а не функции времени. Заменой д1 = sl при нулевых начальных
условиях от структурного изображения просто перейти к
структурной схеме, но можно условные решения сразу получать в области
изображений. Так, для операторного уравнения апериодического
звена (Ts+l)X(s) = kG(s).
Условное решение относительно старшего члена левой части
составляет i
*(S)= ~[kG(S)-X(s)].
314

Ему отвечает детализированная структурная схема,
приведенная на рис. IX.4, б. Если условное решение получить относительно
младшего члена левой части уравнения
X (s) = kG (s) — Ts X (s), (IX.30)
то соответственно изменяется вид детализированной структурной
схемы (рис. IX.4, в).
Для дальнейшего математического и структурного анализа могут
применяться различные условно-разрешенные формы уравнений.
Для решения уравнений методами машинной математики, главным
образом на непрерывных вычислительных электронных машинах,
используется детализированная структура на интеграторах. В этом
случае детализированное структурное изображение одновременно
является структурой электронной модели. Если для системы с
переменными параметрами определяются условия накопления реакции
в заданный момент наблюдения t = tH от воздействия установленной
формы, но с изменяющимся рабочим интервалом 0, то
предварительно определяется параметрическая весовая функция w (t, 9)
из сопряженных уравнений с
реверсированным аргументом, которые мы условимся называть просто
сопряженными уравнениями.
Для системы, имевшей исходное уравнение (IX.25),
сопряженные уравнения имеют вид
d%k(t,d) + d*[ax(t-Q)k(t9b)]+a0(t-b)k(trB)==6(b), (IX.3I)
w (/, в) = М' - в) * ('■ в) + а* [Ь± (t-B)k (/,0)] +
+ dllb2(t-9)k(t99)]9 (IX.32)
а* ~" дь •
Для построения детализированной структуры надо уравнение
(IX.31) преобразовать в условно-разрешенную форму
*(',в) = 1{1[в(в)-а0(/-в)*(^в)}-а1(/-
где _е)*(/,в)}. (IX.33)
После этого, как показано на рис. IX.4, г, легко наметить
цепочку двукратного интегрирования для импульса (/2 = 2),
входящего в первый член правой части условного решения, и далее
образовать отрицательные обратные связи Ct для каждого из
последующих слагаемых. При п = 2 получаем следующие группы
преобразований сигнала k (t9 6) местными обратными связями:
С, = ^0-8) ft (/,6).
315

Далее следует использовать сопряженное уравнение (IX.32) для
перехода от k (/, 0) к w {t, 9). На рис. IX.4, г, слева показаны
согласно-параллельные линии схемы В;, соответствующие слагаемым
в уравнении для т = 2:
B1 = B0(t-9)k(tfB)\
В2 = ^{61(/-в)А(/,в)};
BB = di{bt(t-B)k(W)}.
Сопоставляя структурные схемы (рис. IX.4, а—г), замечаем,
что переход от исходной структуры к сопряженной достигается:
переменой местами входа и выхода путем изменения направлений
сигналов во всех цепях; заменой узлов на сумматоры и сумматоров
на узлы; переходом к новому аргументу 8 во входном импульсе и
t — Э в блоках коэффициентов а{ (t — Э).
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОКОНТУРНЫХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ, ДОПУСКАЮЩИХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛ СВЕРТЫВАНИЯ КОНТУРОВ,
И НЕКОТОРЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
На рис. IX.5, а—е приведены многоконтурные схемы без
перекрестных связей. Общее правило при свертывании таких схем
таковы: начинать с внутреннего контура, применяя к нему формулы
свертывания согласно-параллельных или встречно-параллельных
схем, затем каскадировать свернутый контур со смежными звеньями,
снова применять формулы свертывания и т. д.
Для согласно-параллельной схемы (рис. IX.5, а) запишем эту
процедуру в операторной форме, справедливой для звеньев с
постоянными параметрами:
W (s) = B3 (s) + П3 (s) {B2 (s) + {П2 (s) [Вг (s) +
+ П1(8)]ПЛ(8)}ПБ(8)}. (IX.34)
Раскрытие последней формулы надо начинать с внутренних
квадратных скобок.
Свертывание встречно-параллельной схемы (рис. IX.5, б) со
взаимным полным охватом внутренних связей внешними также
следует начинать с внутреннего контура обратной связи. В
операторной форме записи общую передаточную функцию схемы наиболее
просто получить на основе инверсии схемы. Действительно,
инверсная передаточная функция
Hi (s) J Ид (s) i Пв (s) •
316

Рис. IX.5. Многоконтурные структурные схемы систем
автоматического регулирования

(IX.36)
Приводя правую часть к общему знаменателю, находим прямую
передаточную функцию:
TF7M..... П1(»)П|(>)П,(Р,(»)П5(8)
- Пх (s) П2 (s) П8 (s) Пд (s) ПБ (s) Я3 (s)
Обозначив произведение передаточных функций всех звеньев
в каждом разомкнутом контуре общими операторами
^(8) = IMs)/Ms);
Ce(s) = rMs)IMs)nA(s)tfa(s);
С3 (s) = Пх (s) П2 (s) П8 (s) Пл (s) ПБ (s) H3 (s);
П (s) = П, (s) П2 (s) П3 (s) Пл (s) ПБ (s),
получим
*(s>-i-Cl(.)-ff(.)-c.W- <IX-37>
Для случая всех отрицательных обратных связей
*(«>" l + Cl(s)+n^) + C3(s) • (IX-38)
Обобщая результат на любое число контуров, сформулируем
правило: общая передаточная функция многоконтурной схемы
с отрицательными неперекрестными обратными связями равна
передаточной функции прямого тракта, деленной на единицу, плюс
сумма передаточных функций всех разомкнутых контуров.
Частный случай для одноконтурной встречно-параллельной
схемы гт /о\ п (*\
^^ = тЩу = т+Шш (1Х-39)
был рассмотрен ранее.
На схеме (рис. IX.5, в) также имеются только обратные связи,
но с неполным взаимным охватом контуров; так, контур
C1(s) = -n,(s)^1(s)
не охватывает контур
C2(s) = -TlA(s)H2(s), (IX.40)
и наоборот.
Добавим к этим обозначениям контуров еще внешний контур
C3(s) = -n(s)tf3(s), (IX.41)
и, положив, что все связи отрицательные, запишем инверсную
передаточную функцию
w® = я* <*) + тга- \н *<s> + -Ww] -ww [я-(s) +
318

откуда переходим к прямой передаточной функции
w (s) = i + Cl (s) + C2 (s) + C3 (s) + d (s) C2 (s) " (Ix-42)
Новым в этой формуле по сравнению с выражением (IX.37)
является появление в знаменателе произведения передаточных
функций контуров, взаимно не охваченных один другим.
Схема (рис. IX.5, г) со встречно-параллельным контуром в
прямой цепи
С1(8)=;-П1(8)Я1(8) (IX.43)
и в цепи обратной связи
C2(s) = -n4(s)#2(s) (IX.44)
при наличии внешнего контура
С3 (s) = - Пг (s) П2 (s) Пл (s) ПБ (s) П4 (s) П3 (s) (IX.45)
имеет общую инверсную передаточную функцию
W, - пи [Ww + "• <s>] п?)+П« <s> ТТ&) п°«
или прямую передаточную функцию
WW- l+C1(s) + C2(s)+C3(s) + C1(s)C2(s)> <1ЛЛ0'
т. е. в знаменателе, помимо суммы передаточных функций всех
имеющихся контуров, появляется еще произведение взаимно нео-
хватывающих друг друга контуров, а в числителе, помимо
передаточных функций звеньев прямого тракта, добавляется знаменатель
передаточной функции замкнутого контура, имеющегося в обратной
связи [1 + С2 (S)].
Для лестничной схемы (рис. IX.5, д), имеющей
многоступенчатую однородную обратную связь с непрерывным наращиванием
первой обратной связи последующими встречно-параллельными
контурами, общую передаточную функцию схемы удобно
записывать в непреобразованной форме на основе многократного
применения формулы (IX. 39):
W (s) = n^L . (IX.47)
{ , C2(s)
1
l±C3(s)_
CA(s)
1 + Съ (s)
При выводе этой формулы сначала свертывается контур
Сх (s) = П± (s) HA (s) П2 (s) Нг (5), (IX.48)
319

имеющий в прямой цепи звено П^ (s), включенное в числитель
(IX.47), но при этом следует учитывать, что звено П2 (s) в контуре
Сг (s), в свою очередь, охвачено обратной связью, входя в контур
С2 (s) = П2 (s) Я2 (s) П8 (s) НБ (s), (I X .49)
т. е. при замыкании передаточную функцию П2 (s) надо поделить
на 1 + С2 (s), что и проделано в знаменателе формулы (IX.47).
Но в контуре С2 (s) имеется звено П3 (s), которое охвачено
дополнительной обратной связью, входя в контур
С3(s) = П3 (s) HB(s) П4 (s) H3 (s), (IX.50)
следовательно, передаточную функцию звена П3 (s), входящего
в С2 (s), следует поделить на 1 + С3 (s), что и проделано в формуле
(IX.47). На этом свертывание трехконтурной схемы заканчивается.
Но если лестничная схема имеет большее число контуров С4 (s),
С5 (s) и т. д., расположенных в том же порядке, что и предыдущие
контуры Сг (s), С2 (s), C3 (s), то формула (IX.47) развивается по
принципам построения непрерывной дроби (как показано ниже
штрих-пунктирной линии), отделяющей формулу для
трехконтурной схемы от последующей добавки.
Рассмотрим теперь лестничную схему (рис. IX.5, <3),
характеризуемую неоднородной многоконтурной обратной связью с
чередованием контуров отрицательной обратной связи:
С1(5) = П1(8)ЯЛ(5)П2(5)Я1(5); )
C3(s) = n8(S)//3(s)n4(S)/Ms) J U }
и согласно-параллельной цепи
B2(s) = #5(s)n3(s)#2(s). (IX.52)
Для получения симметричной формы записи умножим В2 (s)
на инверсную передаточную функцию звена П2 (s) и обозначим
Д2(8)^НБ(8)ПА*)Н2(з)1[^-у (IX.53)
Тем самым, Д2 (s) стала равноценной передаточной функцией
условного контура, отмеченного на рис. IX.5, е штриховой стрелкой.
Свертывание схемы (рис. IX.5, д) начинаем по тому же
принципу, что и предыдущей схемы, т. е. учитываем весь контур
обратной связи Сг (s) путем деления передаточной функции прямого
тракта П! (s) на сумму 1 + С1 (s), а затем принимаем во внимание,
что имеющееся в этом контуре звено П2 (s) должно быть заменено
алгебраической суммой
П2(5)~52(5) = П2(5)[1-Д2(8)1, (IX.54)
учитывающей согласно-параллельную ветвь В2 (s) опять-таки в
целом. Благодаря введенному обозначению (IX.53) все сводится
к умножению Сг (s) на дополнительный множитель 1 — Д2 (s).
320

Далее приходится учитывать, что в составе Д2 (s) имеется звено
П3 (s), охваченное обратной связью, что требует коррекции его
передаточной функции путем деления на 1 + С3 (s) и приводит
окончательно к общей передаточной функции
W{s)== и "l(s) дм ^ (1Х<55)
1 + Cl(s) 1+С>(„
7Я1
Для трехконтурной схемы выражение в квадратных скобках
равно единице. При числе контуров больше трех в формуле
усложняется дробь в квадратных скобках. Ее числитель будет Д4 (S)>
а знаменатель 1 + Cb(s). Затем С5 (s) умножается на 1 —Дв (s)
и т. д.
Примером для применения формулы (IX.55) может служить
каскадная схема неоднонаправленных четырехполюсников,
структура которой рассматривалась на рис. IX.2, г—ж при определении
передаточной функции между входом l)[ (s) и выходом U\ (s).
Для первого четырехполюсника, нагруженного сложной схемой,
передаточная функция будет
^«(^тЩ-- (1Х-56>
В схеме (рис. IX.2, ж) имеются следующие три контура в
обратной связи:
Сх = Z'2KY'U С3 = Zw2kYu\ Съ = Z'2KYH (IX.57)
и два условных контура
Д2 (s) - [Y'mK (s)]2 Z\K (s) ZSk (s); \
Д,(s) = [YZk (s)]2 Zu(s) Z&(s). J ( ' Ъ)
Поэтому, учитывая формулу (IX.55), общую передаточную
функцию будем иметь в виде
V\ (s> утк (s) Z'2te (s)
C/J(s)
t V(^k(s) ^2д: (s)
1 + Z2«(s)yfw(s)l r -•"''
+ Z2fC (s)Y\K(s)
Ущк (s) ^1« (s) ^2* (s)
1 + Z'te (s) rw (s)
Ущк (s) z2* (s) /JX 59)
K(s)
Числитель в этой формуле дает передаточную функцию холостого
хода первого четырехполюсника, а знаменатель, обозначенный
общей функцией К (s), позволяет учитывать влияние на
передаточную функцию последующих четырехполюсников, включенных кас-
кадно.
11 Техническая кибернетика, кн. 1 321

Из рис. IX.5, е можно также получить дополнительную
передаточную функцию для выхода Н (s), используя готовую
передаточную функцию (IX.55) для точки / и последовательно передвигаясь
к точкам 2—4 схемы. Так как все условия замыкания уже были
учтены при выводе формулы (IX.55), достаточно домножить
результат только на передаточные функции элементов, попадающих в
прямой тракт 1—4 для нового выхода и учитывать параллельные
и обратные связи, наложенные только на элементы нового прямого
тракта. Так, в формуле
w <s>=ш=Ш н*(s) н*(s) "I'+ffff (IX-60>
Учитывается только контур С3 (s); контуры Д2 (s) и Сг (s)
учитывать не надо, поскольку их влияние уже было отражено при
формировании сигнала в точке / по формуле (IX.55) и сигнала в точке 3
после умножения на На (s) Нб (s). При дальнейшем учете
элементов нового прямого тракта можно, как показано на рис. IX.5, а,
отсечь пунктирной линией все звенья нижней части схемы и
рассчитывать передаточную функцию только ее верхней части.
X(s)
Подставляя в формулу (IX.60) значение ——■ из выражения
(IX.55), получим
W3{s) = - =-* . (IX.61)
{^^(Ч^ТТТО)]}^^^
В числителе формулы перемножены передаточные функции всех
элементов нового прямого тракта; знаменатель сформирован путем
двукратного применения формулы (IX.55) сначала ко всем звеньям,
а затем к элементам выше пунктирной линии (IX.5, ё).
Если схема имеет, например, пять контуров, то формула для
свертывания приобретает вид
^5 w - 7— - -п (s)
h'1'-^ra}}f,+c'w
Л4 (S)
1 + Съ (s)
(IX.62)
где П (s) — произведение передаточных функций всех элементов
нового прямого тракта.
Для рис. IX.2, ж по формуле (IX.62) может быть вычислена
л UH (s)
передаточная функция трехкаскаднои схемы •*!;) : .
В этом случае новый прямой тракт образуется из элементов
П (s) - YmK (s) Z2« (s) У'шк (s) Z2* (s) Y„K (s) Z'2'K (s) = WQ (s) (IX.63)
322

и определяет передаточную функцию блочной структурной схемы,
соответствующей случаю однонаправленности исходной
электрической схемы (рис. IX.5, в). Остальные передаточные функции
контуров определены формулами (IX.57), что позволяет написать
общую передаточную функцию трехкаскадной электрической схемы:
w ,<л = Wo (s) WZ (s) W'p' (s)
K(s) jl + ZJ, (s) Y>{K (s) jl C+ZZ(s)YH{s)\) [1 + Z*«(S) K«(S)]
(IX.64)
где К (s) — соответствует знаменателю формулы (IX.59).
В буквенной форме можно провести некоторые упрощения,
перемножив компоненты знаменателя, но при проведении числовых
расчетов удобнее оставить непреобразованную формулу (IX.64),
используя результаты расчетов менее сложных членов при
определении более сложных.
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЕРЕКРЕСТНЫХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ МЕТОДОМ
РАЗВЯЗКИ КОНТУРОВ И НЕКОТОРЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Перекрестной будем называть любую структурную
схему, для которой последовательное свертывание внутренних
контуров на основе выведенных выше формул не может быть
непосредственно проведено из-за присутствия в контурах дополнительных
узлов или сумматоров. Через эти элементы данный контур обычно
связан с другими контурами, или в него вводятся дополнительные
входные воздействия, а также могут изучаться дополнительные
реакции. Затрудняющие свертывание схемы узлы и сумматоры
могут быть перенесены в другое более удобное место схемы при
соблюдении эквивалентности сигналов во всех входных и выходных
линиях.
Перестановка однородных элементов.
Взаимная перестановка сумматоров, показанная на схеме рис. IX.6, а,
всегда допустима, так как от перестановки слагаемых сумма не
меняется. Взаимная перестановка узлов, показанная на схеме
(рис. IX.6, б), обосновывается свойством однонаправленности
структурной схемы, согласно которому любое число ответвлений узлов
не меняет величину сигнала (уменьшение сигнала отмечалось бы
сумматором с отрицательной связью).
К однородным элементам можно также отнести динамические
элементы с постоянными параметрами, которые могут быть просто
переставлены местами в каскадной схеме (рис. IX.6, в) и в согласно-
параллельной схеме (рис. IX.6, г), а во встречно-параллельной
схеме (рис. IX.6, д) при перестановке динамических элементов из
прямой цепи в цепь обратной связи и наоборот одновременно надо
заменять передаточную функцию элементов W (s), И (s) инверс-
11*
323

ными передаточными функциями ^ггт, jrrr при изменении знаков
всех передаточных функций на обратные, т. е.
'ТЩ\
1-
— 1 -1
W(s)
H(s)\
W(s)
\ — W(s)H (s)"
(IX.65)
Рис. IX.6. Правила переноса узлов, сумматоров и звеньев при
структурных преобразованиях
В случае отрицательной обратной связи — N (s) = H (s)
применение этой формулы дает результат согласно схеме,
изображенной на рис. IX.6, е:
1 _
_ W(s)
1
N(s)
1
1
1+ W(s)N(s) *
(IX.66)
W(s) N(s)
Последняя формула уже применялась при переходе от схемы,
приведенной на рис. IX.2, д, к схеме, показанной на рис. IX.2, е.
324

Прямое дублирование. При переносе сумматора
через узел по ходу сигнала или узла через сумматор против хода
сигнала, как показано на рис. IX.6, ж, сумматор необходимо
повторить — задублировать в ответвляющейся цепи, чтобы сохранить
в ней прежнюю величину сигнала хъ = хг + х2.
При переносе через звено сумматора по ходу сигнала или узла
против хода сигнала, в параллельную цепь, показанную на схеме
(рис. IX.6, з), вводятся дублирующие элементы, благодаря чему
на входе звена К (s) в точке 1 сигнал Хг (s) Wx (s) не изменяется и
на выходе в точке 2 добавочный сигнал от параллельной ветви
Хг (s) W3 (s) остается неизменным.
Инверсное дублирование. При переносе
сумматора через узел против хода сигнала или узла через сумматор по
ходу сигнала, как показано на рис. IX.6, и, в ответвляющуюся
цепь вводится обращенный сумматор, т. е. из сигнала х3 вычитается
излишняя добавка х2, чтобы восстановить первоначальное значение
сигнала в этой цепи хх = х3 — х2.
Аналогичные переносы сумматора через динамический элемент
против хода сигнала и узла через элемент по ходу сигнала
сопровождаются введением во встречно-параллельную цепь
нейтрализующих элементов, т. е. для случая постоянства параметров
элементов с инверсными передаточными функциями, как показано
на схеме рис. IX.6, /с.
Действительно, на вход элемента Н (s) в точке 3 при указанных пре-
X (s)
образованиях поступает неизменный сигнал Хз (s) = J\ \. Точно
так же на вход элемента W2 (s) поступает неизменная добавка
Х2 (s) w ( , Wx (s) = Х[ (s)y т. е. исходная и преобразованная схемы
эквивалентны.
Правила прямого и инверсного дублирования в одной и той же
схеме могут применяться многократно. Так, для рис. IX.5, а все
сумматоры можно перенести на выход схемы, тогда после
сложения передаточных функций преобразованных ветвей получится
передаточная функция всей схемы (IX.34), но записанная с
раскрытыми скобками. Эти же правила применимы и для динамических
элементов с переменными параметрами, структуры для которых
строятся во временной области. Прямое дублирование в этом
случае будет простым повторением уравнения связи элемента:
a (t, д) х = b (t, д) g, а инверсное дублирование, или
нейтрализация, будет состоять в переносе операций, записанных в
левой части уравнения, в его правую часть и наоборот, т. е. в
перестановке местами в уравнении левой и правой частей: b (tf д) х =
= a (t, д) g.
Примеры типовых преобразований
структурных с х е м. На рис. IX.7—IX.10 показаны элементарные
перекрестные схемы, в которых применению правил свертывания
325

препятствуют находящиеся в контуре дополнительные узлы или
сумматоры бокового тракта.
Общее правило освобождения контура от узлов или сумматоров
состоит в переносе элементов через одноименные структурные
х-»•
6)
Ув
Wn
а
1
1
—г
L
wn+wB
w„w6
Ц+w*
-Ф-*
\ WB
»/
f
2
„ f
,„«,. -i
в) L
V J Щт
1 WnWs
1 w„+wB
.№. ?
~*V
w„
w„
г)
t-Ф
L__^
^ к?
-t—\w„+ws\ 1 ' /
i)
Рис. IX.7. Преобразование структурной схемы при выносе
узла из контура:
а — исходная схема с одним узлом; б, е — преобразованные схемы
(с одним узлом); г — исходная схема с двумя узлами; д —
преобразованная схема (с двумя узлами)
is.
х,
41 г-
х,
I W. I—I
о;
—-©4s
Hw„\ \
к3
X,
&[щГ
-.B.f
i
"\--fclMifM.
r/"""*|)V/r'4fl
1
с
ъ*1
г
1
«
2 КФ—г
^я кф^
Ч-i-NJH ^ I—'
г)
Рис. IX.8.
Преобразование
структурной схемы при
выносе сумматора
из контура:-
а — исходная схема;
б — г —
преобразованные схемы
элементы (узлы и сумматоры), так как при этом согласно схемам
рис. IX.6, а, б не появляется дополнительных ветвей. Однако иногда
по условиям преобразований сложных схем для их структурных
элементов приходится нарушать эту рекомендацию. Поэтому на
рис. IX.7 — IX. 10 рассмотрены оба случая переноса.
326

На рис. IX.И, а—д показаны условия преобразования схемы,
форсирующей связи, в схему эквивалентной обратной связи,
накладываемой на тот же динамический элемент. На рис. IX.И, е—к
показаны обратные преобразования. На рис. IX. 12—IX. 14 даны
эквивалентные преобразования многолучевых схем,
позволяющих сохранить все входные и выходные лучи для последующего
анализа.
На рис. IX. 15 приведены примеры преобразования согласно-
параллельной связи во встречно-параллельную, но наложенную
на другой динамический элемент замкнутого контура (в отличие от
рис. IX. 11, где эквивалентная связь накладывалась на тот же
L—nvTl J
iih
——>»©>
q;
5)
1-W„Wh
—\WA
w4
1-WnW,
V
Wn
1-WnWn
w5
1-WnWti
tm
1-HiWh
в)
Рис. IX.9. Преобразование структурной
схемы при выносе сумматора из контура
обратной связи:
а — исходная схема; б — д •—
преобразованные схемы
Рис. IX. 10. Преобразование
структурной схемы при выносе узла из
контура обратной связи:
а — исходная схема; б — д —
преобразованные схемы
элемент). При заданной по отношению к элементу Wa прямой
связи W'д эквивалентная отрицательная обратная связь WЕ на
элементе WB вычисляется согласно формуле (рис. IX.6, з)
WE(s) = Wr(s)WA(s)WB(s),
(IX.67)
а при заданной отрицательной обратной связи Е на элементе В
передаточная функция эквивалентной прямой цепи по отношению к
элементу А находится по формуле (рис. IX.6, к)
^д(з)
WE(s)
Wr(s)WB(s)'
(IX.68)
Эквивалентность контуров предопределяет полную
однотипность описания собственного движения замкнутой системы но не
гарантирует однотипность передаточных функций между задан-
327

Рис. IX.11. Переход от
согласно-параллельной схемы к
встречно-параллельной и обратно
Рис. IX. 12. Структурные
преобразования трехлучевых
согласно-параллельных схем
1
итш
ЩщЩ}^
&
~\wA+wB\
&Н~ —
*AWBtWr
r\wA+w9
UWs+Wr
ф*- =
у\щ*щщщу
1—fiwi
mfflr
Рис. IX. 13. Структурные преобразования трехлучевых перекрестных
структурных схем

ными входами и выходами. Преобразование передаточных функций
ведется на основе правил переноса узла и сумматора добавочной
ветви через узел и сумматор, на которых формируется выход и
вход всей схемы.
<*-,-» 111/ к7 К'I .
—•JkV^kV^H^I -—*"
—*lh/ It' l i_
„ lh' I
* | I'Vg |
—^\wAwBwBwrwAw£\^
-^\WAWsW8WaWs\—^
лкл/ W Ы h'l »
^ ♦[ИцИгд Wgnk\ *
-
S1
i
I
Рис. IX. 14. Структурные преобразования многолучевой
схемы:
1 — 7 входные сигналы
Рис. IX. 15. К условиям
получения
эквивалентности для замкнутого
контура согласно-параллельной
и встречно-параллельной
схем, наложенных на
различные элементы
к
к
-ф
-wB
Wr
Щ
wB
-WE
-w8
I
/
Kj
6. ПРИМЕНЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ
Для того чтобы найти передаточную функцию любой
многоконтурной системы, нужно, вообще говоря, составить
соответствующую систему дифференциальных уравнений, применить к ней
преобразование Лапласа и решить полученную таким образом систему
алгебраических уравнений относительно интересующей нас
переменной. Однако часто более удобным для указанной цели является
способ, основанный на предварительном преобразовании
структурных схем. Этот способ заключается в составлении структурной схемы
рассматриваемой многоконтурной системы и последующего ее
преобразования к эквивалентной одноконтурной системе при помощи
рассмотренных выше правил. Его преимущество заключается в том,
что громоздкое формальное решение совместных уравнений
заменяется наглядными преобразованиями, имеющими геометрическую
интерпретацию и уменьшающими возможность ошибок.
Правила для эквивалентного преобразования структурных схем
приведены в табл. IX. 1,
329

Таблица 1Х.1
Структурные преобразования схем с постоянными параметрами
Вид
преобразования
Первоначальная схема
Эквивалентная схема
Перестановка
элементов
ц
wz
w,v-*~-\ %
2. Перестановка
сумматоров
*1r CD *^*z а*±Хг±т*'
Тх2 1х3
«*3 1/2
3. Изменение по-1
ложения сумма-
торов \
Х?±Х2±*Д
lx2 |x3
4. Перестановка
узлов
*2 I у
-^ \-Л Xz
5. Передвижение
сумматора с
выхода элемента
на его вход
н
<z^ X^XztXj _
Й%
(-)
W,
*?
*5
б. Передвижение
сумматора со
входа элемента
на его выход I
*1 Л&г
Wf
*5
w7
HA
х2
7. Передвижение
узла с выхода
на вход
элемента
8. Передвижение
узла с входа на
выход элемента
*1 у
J£-
щ
г*'2
7J
I
Wi М
W,
*> а
«*'
7
НА
Щ_
^2
Х-)
9. Передвижение
узла с выхода
на вход
сумматора
х3 Н
Хз-XjtX^
х***!*Хк*э
10. Передвижение
точки съема с
входа на
выход сумматора
Н
%
х3=х,±хг
Хза*1±Х1
330

Продолжение табл. IX. 1
Вид
преобразования
Первоначальная схема
Эквивалентная схема
11. Объединение

последовательно
соединенных элементов
W,
W*
w,w2
*г
12. Удаление
элемента из
прямой связи
*1 П^1хг^/^хг±х3
—"— Щ г?т
LJ~w~l
w2
*"
h-
7
—*—
w,
^«A^^Aj
*J
13. Введение
элемента в
прямую связь
jf 2 sr\XtaX2—Xi
Л1 \А/ Л1 П\Л'*,ЯЛ2-Л
гп
Т
_^L
W2
L^L
X,
*2А;
HI "
14. Удаление
прямой связи
щ №&«***>
bj Wo I 1
Wj + Wi
x^
15. Удаление
элемента из
обратной связи
*1 - *3
njj^u
*7 I 7 I Л I I I I *'/
16. Введение
элемента в
обратную связь
*2*
Шт"
н\ ,—,
I w L——
17. Удаление
обратной связи
—Г^Н
w7
7+V//^2
18. Частный
случай 17 при
единичной
обратной связи
Wt
nw1
19. Частный
случай 17 при
единичной
прямой связи
1— vv, —*
пщ
331

Продолжение табл. ГХ.1
Вид
преобразования
Первоначальная схема
Эквивалентная схема
20. Замена
элемента
системой с обратной
связью
w7
Wi
1-W1
21. Другой вид

преобразования схемы 20
"tgJ
Рассмотрим несколько примеров, показывающих, каким
образом можно преобразовывать сложные структурные схемы в более
простые.
Пример 1. Рассмотрим блок-схему фотокомпенсационной
измерительной системы (рис. IX. 16). Она состоит из двух
измерительных приборов с постоянными магнитами, рамки которых
укреплены на одной и той же оси. Входной сигнал ig измеряется рамкой Rg
,_ и уравновешивается выходным током ie,
питающим рамку Ra. Всякое отклонение оси от
равновесного состояния обнаруживается
фотоэлементами, управляющими
усилителем. Ток ie на
выходе усилителя пи-
Rt Ri тает рамку прибора
Re, служащего для
измерения входного сиг-
Rg^i
^
>
RaB,
±0
I'-
нала t
g-
Рис. IX. 16. Блок-схема
фотокомпенсационной
измерительной системы (фотокомпенсатор)
Уравнения системы имеют вид
eg = Rgig + e1
ei - kl li
Мг = kxig
M2 = k2ie
1 d*e . и
dt* ' Ydt
e* = kb
Mx—M2
(so fVi
вл = К
db_
2dt''
dde
dt
4 = Rie + *3 + *Y>
Rz== Ra + Re + Rc + Ri\
M3 = k3ie;
(IX.69)
^8,
dQt
h-^ + b^ + m^Mz,
332

Где еъ е3, е4 — протнво-э. д. с. в рамках;
е2 — напряжение на выходе усилителя;
Э, вв — углы поворота рамок;
Мъ Мъ М3 — вращающие моменты;
Rc — выходное сопротивление усилителя;
Rt — сопротивление линии.
Структурная схема системы изображена на рис. IX. 17, а.
Объединим последовательно соединенные элементы и устраним эле*
мент из цепи прямой связи e3i используя правило 14 табл. IX. 1.
Перенесем сумматор для Мг и М2 влево, а точку разветвления для ie
вправо, пользуясь правилами 5 и 8. Тогда структурная схема примет
вид, изображенный на рис. IX. 17, б. Наконец, исключим,
пользуясь правилом 17, внутренние контуры обратной связи. В резуль-
■ЙН
/
\%s2+b2s+k
Ш
Рис. IX. 17.
Структурная схема
фотокомпенсатора
тате получим одноконтурную систему, передаточная функция
которой * (\ может быть без труда получена при помощи правила 17,
а именно:
М»)
Eg(s)
k±k3 (k — k2s)
s (jRgJjLS + Rgh + k\) [#72s2 + (Rb2 + k\) s + Щ Re
7~ k2 (k - k2s) (72s2 + b2s + k) "
1 -f- —
(IX.70)
s (RgJlS + RgbL + k\)[RJ2s* + (Rb2 + Щ) s + Rk]
Пример 2. В качестве примера преобразования структурной
схемы сложной системы регулирования с несколькими
регулируемыми величинами рассмотрим самолет с автопилотом (рис. IX. 18).
Эта система включает в себя объект регулирования (самолет) и
автопилот, состоящий по существу из трех регуляторов,
осуществляющих координированное друг с другом управление самолетом
по трем каналам: руля высоты, руля поворота и элеронов.
333

Для простоты мы, однако, ограничимся лишь рассмотрением
курсовой и поперечной стабилизации самолета с автопилотом,
предположив, что боковые и продольные движения самолета
являются независимыми друг от друга.
Чувствительным элементом курсовой стабилизации служит
свободный гироскоп с горизонтальной осью свободного вращения.
При помощи чувствительного элемента, специального
демпфирующего устройства и потенциометра в автопилоте вырабатывается
напряжение, пропорциональное углу отклонения самолета от
заданного курса и его угловой скорости относительно вертикальной
оси. Это напряжение подается на вход лампового усилителя, кото-
Рис. IX. 18. Размещение и соединение агрегатов автопилота самолета:
/ — курсовой гироскоп; 2 — гировертикаль; 3 — канал высоты; 4 — канал курса;
5 — элероны; 6 — руль поворота; 7 — руль высоты; 8 — канал крена
рый воздействует на серводвигатель (рулевую машинку),
управляющий движением руля поворота. Серводвигатель имеет электрическую
обратную связь.
На вход усилителя канала руля поворота подается напряжение,
пропорциональное не только углу рысканья, но и углу бокового
крена самолета. Это напряжение поступает от потенциометра,
которым снабжен другой чувствительный элемент автопилота —
гироскоп продольно-поперечной стабилизации, представляющий собой
свободный гироскоп с вертикальной осью свободного вращения.
На вход лампового усилителя канала элеронов подается
сумма напряжений, одно из которых пропорционально углу
бокового крена, а другое — углу отклонения самолета от заданного
курса. Этот ламповый усилитель воздействует на серводвигатель,
334

управляющий поворотом элеронов. Серводвигатель канала
элеронов также имеет электрическую обратную связь.
Если не рассматривать системы продольной стабилизации и
внутренних обратных связей в автопилоте, то рассматриваемую
систему можно представить себе состоящей из четырех замкнутых
контуров:
самолет — гироскоп курсовой стабилизации — усилитель и
серводвигатель курсового канала — руль направления — самолет;
самолет — гироскоп продольно-поперечной стабилизации —
усилитель и серводвигатель канала элеронов — элероны — самолет;
самолет — гироскоп курсовой стабилизации — усилитель и
серводвигатель канала элеронов — элероны — самолет;
самолет — гироскоп продольно-поперечной стабилизации —
усилитель и серводвигатель канала направления — руль
направления — самолет.
В соответствии с этим, структурную схему рассматриваемой
системы можно представить, как показано на рис. IX. 19, а, где через
tyg (t) и Ф^ (t) обозначены требуемые законы изменения курсового
угла и угла бокового крена, а через г|? (t) и Ф (/) их действительные
значения, так что
*Ф (0 = % (t) - * (/); 8Ф (0 = ф, (0 - Ф (*).
При этом через Wx (s) и W2 (s) обозначены передаточные
функции, соответственно, каналов руля направления и элеронов
автопилота, а через Ws (s) и WA (s), Wb (s) и We (s) передаточные
функции самолета, характеризующие, соответственно, эффекты
отклонений элеронов на углы бокового крена и отклонений руля на углы
бокового крена и рысканья.
Преобразуем схему к виду рис. IX. 19, б, представив самолет
в виде четырех параллельно соединенных элементов с
передаточными функциями Ws (s) — W6 (s).
Так как сигнал от каждого из элементов сравнения
распространяется по двум параллельным путям, один из которых идет через
канал Wx (s), а другой — через канал W2 (s), то для определения
передаточной функции, характеризующей, например, изменение
курсового угла г|э (t) в зависимости от сигнала ошибки еф (f), схему,
показанную на рис. IX. 19, б, можно разложить на две схемы —
рис. IX. 19, в и г. Схема, приведенная на рис. IX. 19, в,
характеризует влияние сигнала ошибки е (t) на курсовой угол г|э (t) через
канал руля Wi9 а схема на рис. IX. 19, г характеризует влияние
сигнала ошибки е6 (t) на ^ (t) через канал элеронов W2.
Выявим теперь параллельные пути распространения сигнала
в схемах на рис. IX. 19, я, г, положив, что Ф^. (t) = 0, и заменив
элемент сравнения для угла бокового крена Ф (/) передаточной
функцией, равной — 1. Возможность такой замены вытекает из
того, что если в уравнении
вФ(*) = Ф*(0 —Ф(0
335

положить Ф„ (О
О, то мы получим
Ф(5)
= —1.
Итак, схемы на рис. IX. 19, в, г могут быть сведены к виду,
изображенному на рис. IX. 19, д и е. Заметив теперь, что сигнал
г=-©*—
| ф-ЧЮ—'
_3ь-чш
"V®—
Рис. IX. 19. Структурная схема самолета с автопилотом
ошибки еф (/) после прохождения через структурный элемент Wx (s)
разветвляется по двум параллельным путям: через элементы W6 (s)
и Wb (s), сумматор, элемент с передаточной функцией, равной — 1,
элементы W2 (s) и W4 (s), мы можем преобразовать схему,
приведенную на рис. IX.19, в, к виду, изображенному на рис. IX.19, д.
Точно так же схема на рис. IX. 19, г может быть сведена к схеме
на рис. IX. 19, е. Передаточная функция для каждой из этих схем
может быть написана без всяких затруднений.
336

Действительно, для схемы на рис. IX. 19, д
а для схемы на рис. IX. 19, е
и, следовательно, искомая передаточная функция системы с
разомкнутым каналом курса
хг = {Ш\ +im\ =
\E^(S))W1 ' U?4;(s)Jwt
TF/ IF/ ! IF/ W/ ^1 ^2^4^5 ^^^з^б /TV 7Q\
= wtw9 + w2Wt - i + W2W3—TTw^T- (ix.73)
7. СОСТАВЛЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ НА ПРИМЕРЕ
ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ
Полная система уравнений для общего
случая. На рис. IX.20, а приведена схема питания
электродвигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря и по цепи
возбуждения.
Для первого канала управления входной величиной примем
напряжение цепи якоря £/, а для второго канала, в целях
сокращения промежуточных преобразований, сразу перейдем к
управляющему магнитному потоку Ф. В качестве выходной величины будем
рассматривать скорость вращения вала Q. Перейдем теперь к
составлению системы уравнений.
Ускорение вала электродвигателя пропорционально избыточ-
ному моменту J& = Md-MH, (IX.74)
где J — момент инерции ьсех вращающихся и перемещающихся
частей, приведенный к валу электродвигателя;
Мд — вращающий момент электродвигателя;
Мн — момент нагрузки, заданный постоянным числом или
графиком в функции времени и рассматриваемый как
внешнее возмущение.
Момент электродвигателя пропорционален току и потоку:
ЛЬ = ^/Ф. (IX.75)
Коэффициентом пропорциональности принято называть
отношение номинального момента к произведению номинального тока и
потока. При / = /0, Ф = Ф0 имеем Мд = М0.
В справочных данных об электродвигателе обычно приводят
величину отношения м
С* = ^, (IX.76)
337

I \%Г^ ^ч_
б)
-&MH(s)
1\
&U(5)-
-Ео
RIc(Ts+1)\
Т
/
RI0(Ts+n\
Ф
ms)
Ф—<S
т
^
М0
Js
йШ
UMH(s)
6)
1
AU(s)
Мп
Rio
/?я
J7bm
TMs+1
AQ(s)
I
s
Ш)
V
Q
Рис. IX.20. Электрическая и структурные схемы
электродвигателя постоянного тока двойного питания

при номинальном потоке; это отношение называют
коэффициентом момента.
Далее запишем уравнения для тока в цепи якоря
IR + IL = U — E (IX.77)
и для противо-э. д. с.
£ = ^Q(D. (IX.78)
В формуле для э. д. с. в качестве коэффициента
пропорциональности принято отношение номинальных величин э. д. с. и
произведения номинальной скорости на номинальный магнитный поток.
При Q = Я0, Ф = Ф0 имеем Е = Е0. В каталогах
электродвигателей обычно дается коэффициент э. д. с. при номинальном потоке:
С£ = |. (IX.79)
Поскольку неизвестных величин, введенных в уравнения,
оказалось четыре: й, Мд, /, £, то приведенные уравнения (IX.74) —
(IX.77) составляют полную систему, так как величины U, Ф, Мн
относятся к заданным воздействиям — управляющим и
возмущающим. На рис. IX. 20, а все они отмечены двойными стрелками.
Линеаризация общих уравнений и
составление структурной схемы. В предыдущие уравнения
вошли номинальные величины £0, й0, Ф0, М0; установим еще
номиналы для тока /0 и момента нагрузки Mi, произведем
линеаризацию уравнений (IX.74) — (IX.77) вблизи указанных номиналов и
перейдем к изображениям приращений регулируемых величин:
JsAQ (s) « Шд (s) — ДМ„ (s), (IX.80)
или
AQ(s) = [Шд(8) - &MH(s)]~i;
или
Ls A/ (s) + R/ (s) = Ш (s) — AE (s); (IX.81)
Д/ (s) = [AU (s) - AE (s)] jj^ = [AU (s) - AE (s)] -^j , (IX.82)
где T = -5- — постоянная времени цепи якоря;
A£(s) = £0[^ + ^]. (IX.83)
По уравнениям (IX.80)—(IX.83) на рис. IX.20, б построена
структурная схема со входными величинами ^s , Д U (s), A MH (s).
Число уравнений соответствует числу сумматоров в схеме.
Штрих-пунктирными линиями охвачены звенья, относящиеся
33*

к соответственным уравнениям (IX.80) — (IX.83) и к участкам схему
I—IV (рис. IX.20, б).
Преобразованная структурная схема. На
рис. IX.20, в приведена преобразованная структурная схема, в
которой сумматоры вынесены из перекрещивающихся контуров, а
необходимые звенья задублированы, согласно правилам переноса,
изложенным в* § 6.
Далее в схеме передаточные функции смежных звеньев,
расположенных между узловыми точками, перемножены и объединены
в одно звено; входное воздействие по магнитному потоку задано
в относительной форме - , более удобной для числовых расчетов.
По преобразованной структурной схеме легко определяется ряд
передаточных функций.
Передаточная функция от напряжения к
скорости. Между входной величиной AU (s) и реакцией AQ (s)
имеется прямой тракт из двух звеньев и отрицательная обратная
£о
СВЯЗЬ —рр ,
Свертывание схемы дает передаточную функцию по первому
управляющему воздействию:
w/ лл^ AQ(s)_ RI0(Ta+l)Js Е*
llj A£/(s)~ . М0Е0 ~Q0RI0J '
1+ Q0RI0(Ts + \)Js ЩДГ(18+1)В + 1
Обозначим
и проведем дополнительные упрощения в формуле, тогда получим
w^=(ts+Tt:s+v (ix-85)
это — звено второго порядка. Для случая Тм <^ 4Т оно является
колебательным звеном со следующими параметрами:
* = g> tk = Vtj, Ik = yVt> (IX-86)
при этом ступенчатое увеличение напряжения вызывает
колебательный процесс нарастания скорости.
Если индуктивность цепи якоря относительно мала, т. е.
рабочая область частот со0 такова, что со0Т <^ 1, то из выражения
(IX.85) получается передаточная функция апериодического звена
Г«<8> = ЙТ1' {1Х,87)
т. е. скорость нарастает монотонно.
340

Параметр Тм в полученной передаточной функции определяет
постоянную времени звена и называется электромеханической
постоянной времени. Согласно формуле (IX.84) электромеханическая
постоянная времени растет с увеличением момента инерции системы,
а также оказывается пропорциональной R и обратно
пропорциональной Сж, Се.
На структурной схеме рис. IX. 20,2 путем отделения
интегрирующего звена от коэффициентов -~ при Т = 0 показано, что
величина, обратная электромеханической постоянной времени 7У>
формируется как произведение коэффициентов усиления всех звеньев,
охватывающих отрицательной обратной связью koc интегрирующее
звено, т. е.
тм = ъ- (1Х-88)
кос
Приведем пример расчета числового значения Тм.
Так, для электродвигателя типа МП-32 имеем номиналы [7]:
Рм = 9 квт\ U0 = 220 в\ /0 = 48 a, J = 0,35 кГ-м-сек2;
& =2,16 сек; ^-° - 2,16 кГ-м/а.
При R= 1,05 ом получаем
^ = 0,35^^-0,079 ««с
Передаточная функция от напряжения
к углу. Если скорость уже определена, то для дальнейшего
перехода к углу поворота вала электродвигателя требуется
введение дополнительного интегрирующего звена. На рис. IX.20, д
показана структурная схема, состоящая из апериодического звена
с передаточной функцией W2 (s) [формула (IX.87)] и
дополнительного кинематического интегрирующего звена, осуществляющего
кинематический переход от Q к А.
Общая передаточная функция схемы
ИМ*) = тггт = /rQo/f°n • (IX.89)
3V ; U(s) (TMs+\)s v '
Таким образом, по входу U и выходу Л электродвигатель является
реальным интегрирующим звеном. Если электромеханическая
постоянная времени относительно невелика, т. е. в области рабочих
частот выполняется соотношение ы0Тм <^ 1, то передаточная
функция [формула (IX.89)] может быть упрощена:
w^ = T = (b- (1Х-9°)
Следовательно, электродвигатель во многих случаях может
считаться интегрирующим звеном при оценке реакции в форме
угла поворота вала.
341

Передаточная функция от момента к
скорости. Влияние момента нагрузки на скорость оценивается через
передаточную функцию влияния, получаемую при свертывании
правой части схемы рис. IX. 16, в для входа AMK(s) и выхода AQ (s):
W fev AQ(s) 7s _ *E0 Af0<' + ' IX ,
^^-ДМЙ(Д)- £0M0 (7Ъ + 1)Глз + 1 -11Л-У1)
1-t~ JRQ0I0(Ts+ \)s
Коэффициент в числителе этой передаточной функции влияния
назовем коэффициентом влияния
*.-*§•&-*& (ix-92)
он обратно пропорционален коэффициентам момента и э. д. с.
[формулы (IX.76), (IX.79)J и прямо пропорционален
сопротивлению R.
Если коэффициенты Се и См обусловлены типом и мощностью
электродвигателя, то величина R связана также с условиями
формирования схемы. Для снижения коэффициента влияния, т. е.
крутизны наклона механической характеристики электродвигателя
следует всемерно уменьшать сопротивление цепи якоря, что
достигается в схемах генератор—двигатель.
Учет зависимости момента нагрузки от угла поворота вала и его
производных по времени. Шарнирный (упругий)
момент нагрузки. На рис. IX.21 показаны схемы
эквивалентных механических систем, для которых момент нагрузки зависит
от угла поворота вала:
М = /^а. (IX.93)
В схеме (рис. IX.21, а) электродвигатель работает на некоторый
упругий элемент, условно показанный в виде пружины. Для этого
случая k% является коэффициентом жесткости пружины.
На схеме (рис. IX.21, б) в упрощенной форме показаны условия
работы руля летательного аппарата в воздушном или газовом
потоке. Если центр давления ЦД, создаваемый аэродинамическими
силами, не совпадает с осью поворота руля и находится за ней, то
воздушный или газовый поток, взаимодействуя с рулем, будет
создавать восстанавливающий момент, действующий аналогично
пружинному моменту и называемый шарнирным моментом. В формуле
(IX.93) вместо k% для этого случая надо подставить коэффициент
шарнирного момента кш, получаемый из линеаризованного
экспериментального, снятого в аэродинамической трубе, графика
балансировочной зависимости М (а) ^ кш а, показанного на рис. IX.21, г.
На схеме рис. IX.21, в электродвигатель вращает барабан, на
который с усилием F наматывается, лента. В связи с непрерывным
увеличением радиуса намотки ленты изменяется и момент.
342

В этой схеме, однако, наряду с зависящей от угла поворота
барабана компонентой момента будем иметь и постоянную
составляющую Mmln, которая определяется радиусом самого барабана.
Переход через значение Мт[п будет сопровождаться изломом
графика М = / (а), остающегося симметричным относительно точки
излома.
В пределах линейных участков графиков зависимость (IX.93)
может быть отображена на структурной схеме. Для этого наиболее
удобно вернуться к рис. IX.20, г и от линии выходного угла A (s)
наметить обратную связь через звено Л* к сумматору для ввода
м
МТ
У-
*Х ....
V WW
о я
9)
Рис. IX.21. Виды на-
грузки и графики
% моментов нагрузки
момента, занимающему свое первоначальное положение,
показанное на схеме (рис. IX.20, б).
Свертывание новой схемы с двумя обратными связями
(рис. IX.20, г) удобно произвести по формуле (IX.38) для
многоконтурных схем:
_Мо_ М0ТМ
W, (s)= ^^г = „ ,. ,^°, „ ь,„ (IX.94)
1 +
1 х К JTMs* + j8 + TMk-z'
TMs^Js*
или
W6(s)
J
J 2 I
— S2 +
bM T kM
"a l MKa
S+l
(IX.95)
343

Последняя форма записи легко сопоставляется с передаточной
функцией колебательного звена и показывает, что упругий элемент
определяет свойства колебаний в схеме. Так, недемпфированная
частота колебаний^ составляет
*-T-.= fi <IX-96>
а k
и т. д.
Демпфирующий момент нагрузки. В условиях,
иллюстрируемых рис. IX.21, б, помимо шарнирного момента,
возникает момент сопротивления перемещению, пропорциональный
скорости вращения:
MT = SZQ; (IX.97)
его график показан на рис. IX.21, д.
В структурной схеме на рис. IX.20, г вводится новая обратная
связь по моменту через звено S^.
Свернем трехконтурную схему (рис. IX.20, г) по общей формуле
(IX.38) и получим передаточную функцию
М0
W7 (s) = £$ = ^Ц- . (IX.98)
^ TMs^ /s2 ^ Js
Объединяя в знаменателе члены с s_1, получим передаточную
функцию по форме аналогичную (IX.94), но с новой
электромеханической постоянной времени 7^, определяемой из формулы
-L = J- + -f (IX.99)
1 м 1 м J
или непосредственно из структурной схемы рис. IX.20, г путем
сложения параллельных контуров с элементами — S* и — k*,
охватывающих интегрирующее звено. Таким образом, противо-
э. д. с. и демпфирующий момент действуют однотипно, причем
добавление демпфирования снижает электромеханическую
постоянную времени, так как согласно формуле (IX.99) возрастает обратная
ей величина. Следовательно, за счет повышения суммарного
коэффициента усиления -^7- по контуру, охватывающему интегратор,
*■ м
увеличивается быстродействие схемы.
Динамический момент нагрузки. Пусть нагрузка,
как показано на рис. IX.21, е, вносит дополнительный
динамический момент
Мд = йд7д) (IX.100)
обусловленный ускорением и моментом инерции вращающихся
масс, связанных с валом электродвигателя через передаточное
344

число f, понимаемое как отношение скоростей вала нагрузки (выход)
и вала электродвигателя (вход):
i = ^. (IX.101)
На валу нагрузки динамический момент можно также выразить
через скорость вала электродвигателя:
MA = iQJA. (IX. 102)
Чтобы преодолеть этот момент на валу электродвигателя, надо
иметь момент Мд, получаемый путем умножения Мд еще раз на
передаточное число i, т. е. обозначим
Мд = *20/Д. (IX. 103)
На рис. IX.20, г в структурную схему может быть добавлена
новая отрицательная обратная связь по второй производной, так как
MA(s)= i2JAsQ(s). (IX.104)
Сигнал s Q (s) обнаруживается на входе внутреннего
интегрирующего звена, а в состав обратной связи вводятся коэффициенты
*Уд. Разделение на схеме коэффициента i2 на два сомножителя
позволяет получить линии промежуточных величин, входящих
в формулы (IX. 100) — (IX. 102).
Дальше для получения общей передаточной функции схемы
(рис. IX.20, г) можно в формуле (IX.98) добавить в знаменателе
еще один контур:
М0 М0
Ws(s)=~ SM RI;JS\M (2J RI°J's2kM SM, (IX.105)
^ Js^ TMs^ Js* ^ J ^ J'TMs ^ J's* ^ Js*
1 r
или же свернуть контур, содержащий звенья -у- и—с/д, и получить
сначала инверсный момент инерции
1 /
^ " , , ^А J+^a'
(IX.106)
а затем и прямое его выражение
Jr = J + i2JA, (IX. 107)
которое называется полным моментом инерции, приведенным к
валу электродвигателя. Приведение момента инерции нагрузки
345

осуществляется пропорционально квадрату передаточного числа
и обобщается на любое число слагаемых:
к
Используя обозначения
м —
1
J'R
СмРе
1
Г
1 м
т
' J
+ ■
тм
J '
формулу (IX. 105) можно упростить, т. е.
уь(*)=-щ Ц . (IX.108)
им 1 т' иМ •
ка 1 м2ка
В формулы пересчета может быть введен к. п. д. передачи,
но для заранее установленного направления потока передачи
энергии.
Так, для периода разгона
/2 7
/;==/ +-А, (IX.109)
чд
а для периода торможения
JT=J + 4Ai2JA. (IX.ПО)
Нелинейные связи через нагрузку. Момент
сухого трения имеет график М = fT (Q), показанный на
рис. IX.21, д, т. е. величина момента трения в упрощенной форме
принимается постоянной, а знак момента связан со знаком скорости.
Поэтому независимо от направления вращения электродвигателя
момент сухого трения всегда будет его подтормаживать с
одинаковой интенсивностью. По величине Мт можно определить ток тро-
гания /0 и напряжение трогания электродвигателя UQ, т. е.
/0 = & (IX.111)
MTR
U0~-p==I0R. (IX.112)
^м
Если магнитный поток электродвигателя постоянен, то для
вращения без реверса во всех предыдущих формулах можно
подставить приращение неограниченной величины относительно точки
трогания:
AU = и — U0; Д/ = / — /0; ДМ = М — Мт\ }
АО ПА (IX.113)
ДЙ = Q; Да ='а. J ч '
346

При каждом реверсе электродвигателя линейное описание
движения возможно только после перехода точки трогания с учетом
ненулевых начальных условий. При малых UT и постоянстве
магнитного потока все приведенные выше формулы будут иметь вид
AU = U; Д/ = /; АМ = М;
AQ = Q; Да = а.
Передаточная функция от магнитного
потока к скорости. Рассмотрим снова рис. IX.20, б.
Принимая за входную величину управляющий магнитный поток,
получим новую передаточную функцию:
W* ^ = ШЩ = W»Ts + RJo ~ £o) KWb (s). (IX. 115)
Помимо общего вида полученной формулы, интересны также ее
частные значения.
Так, при
Я/0 = Я, (IX. 11(5)
имеем
W9(s) = sRI0TM0Wb(s), (IX. 117)
т. е. схема работает как реальное дифференцирующее звено и
ступенчатые изменения магнитного потока на установившейся скорости
не сказываются. Этот режим для управления по магнитному потоку
непригоден, но может быть использован для исключения влияния
нежелательных изменений магнитного потока на скорость
электродвигателя.
Поскольку
£0 = и0 — а/о>
то условие независимости (инвариантности) скорости от изменения
магнитного потока при учете соотношения (IX. 116) может быть
записано в следующей форме:
U0 = 2£0;
при этом Щ (0) = 0.
Если U0 }> 2£0, то Wt (0) > 0, т. е. росту магнитного потока
соответствует прирост скорости. Это соотношение типично для
пусковых режимов электродвигателя, когда противо-э. д. с. еще
мала.
Если U0 < 2£0, то Wio (0) < 0. Предпоследнее неравенство
характерно для номинальных условий работы электродвигателя,
когда противо-э. д. с. близка к напряжению цепи якоря и
прирост магнитного потока вызывает падение скорости.
Оценки всех рассмотренных режимов справедливы при
независимости магнитного потока от других регулируемых величин.
Учет такой зависимости, например, от размагничивающего
действия реакции якоря и т. п. на структурной схеме осуществляется
(IX.114)
347

путем введения обратных связей от линии тока якоря / через
коэффициент, равный числу потокосцеплений, к линии магнитного
потока.
Далее структурная схема свертывается с учетом этих новых
линий связи.
8. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
С РЕДУКТОРАМИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ И УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
В СИЛОВЫХ ПЕРЕДАЧАХ
Применение структурных методов эффективно для решения
многих задач теории регулирования. Одной из таких задач является
составление структурных схем, а следовательно, и получение
передаточных функций сложных механических объектов
регулирования, состоящих из вращающихся масс, упругих валов, редукторов
и дифференциалов. Ниже изложена
A8(s) единая методика составления
структурных схем, указанного класса
объектов регулирования, не требующая
предварительного составления диф-
Рис. IX.22. Структурная интер- ференциальных уравнений,
претация формулы (IX. 119). Уравнение (IX.74) справедливо
для любых исполнительных
элементов с вращающимся рабочим органом. Перейдем к изображениям
и запишем его в виде
Jds*Ad (s) = Мд (s) — Мн (s) (IX. 118)
или
lMd(s)-MH(s)]-^2=Ad(s), (IX.119)
Ад (s) — преобразование по Лапласу от угла поворота вала
двигателя ад.
Структурная интерпретация формулы (IX. 119) дана на
рис. IX.22. Наличие в ней координаты А^ (s) показывает, что
любой исполнительный элемент с вращающимся рабочим органом
может быть представлен в виде структурной схемы, оконечным
оператором которой будет выражение типа -j—f • На рис. IX.23
приведены структурные схемы для электродвигателя постоянного
* Для исполнительных элементов с поступательным движением рабочего
органа уравнение (IX. 119) примет вид
а окончательным оператором их структурных схем будет выражение типа
Mi(s)
•ф-
I
Jo-s*

тока с независимым возбуждением и управлением по якорной цепи
для двухфазного асинхронного электродвигателя и для
гидродвигателя.
Для построения структурной схемы электродвигателя
постоянного тока (рис. IX.23, а) были использованы соответствующие
уравнения и обозначения предыдущего параграфа.
4P(s)
V5
P(s)
-CtmS
1
Jasz
-Mh(s)
')
A*(s)
Рис. IX.23. Структурные схемы для различных
исполнительных элементов
Для построения структурной схемы электродвигателя
переменного тока (рис. IX.23, б) в качестве исходных были приняты
следующие уравнения:
где
Md(s) = Jds*Ad(s)i
Мд (s) = bnU (s) — besAd (s),
и __ Мпн-Мн , __ Мпн
0р ^ И On — ~ТГ~*
(IX.120)
Q»
Uu
349

Для построения структурной схемы гидродвигателя (рис. 1Х.23,в)
использовались уравнения:
Qp(s) = Qm(s)+QL(s)+Qc(sY>
Qm(s)=*dmsAd(s)\
QL(s) = LP(s); Qc(s)=gsP(s);
Md(s) = dmP(s) = Jds*Ad(s),
где Qp (s) — производительность гидронасоса;
Qm (s) — расход гидродвигателя;
Ql (s) — расход, связанный с утечкой;
Qc (s) — расход, связанный со сжимаемостью;
Р (s) — давление на входе гидродвигателя;
dm — удельный расход гидродвигателя;
L — коэффициент утечки;
В — модуль сжимаемости;
V — общий объем масла высокого давления.
Аналогичные структурные схемы могут быть построены для
любых исполнительных элементов, имеющих рабочий орган с
конечной массой, для которых справедливо равенство (IX. 118).
В необходимых случаях определение структурной схемы
исполнительного элемента следует производить с учетом предыдущего
звена. Так, если для электродвигателя постоянного тока в качестве
усилителя мощности используется электромашинный усилитель, то,
например, Rd (рис. IX.23, а) будет характеризовать омическое
сопротивление всей якорной цепи и степень скомпенсированности
ЭМУ.
Если в структурную схему исполнительного элемента ввести
передаточную функцию Wq (s) объекта регулирования,
связывающую координаты А^ (s) и Мн (s) (рис. IX.24, а), то мы получим
структурную схему исполнительного элемента совместно с
объектом регулирования. В основу определения структурных схем
рассматриваемого класса САР положим преобразованную структурную
схему (рис. IX.24, б). Для ее построения необходимо найти
структурную интерпретацию передаточной функции объекта
регулирования совместно с ротором исполнительного элемента Wo(s). Эту
задачу существенно облегчает тот факт, что Wo (s) не зависит от типа
исполнительного элемента и вида функциональных связей САР.
Эквивалентные механические системы и
их классификация. Ограничимся рассмотрением
механических объектов регулирования с инерционной нагрузкой и
упругими элементами, которые с той или иной степенью приближения
могут быть заменены эквивалентными механическими системами,
состоящими из комбинации упругих валов с крутильной
жесткостью kt и маховиков с моментом инерции JK.
350

Для рассматриваемых объектов примем следующую
классификацию:
а) группа механических объектов с неразветвленной нагрузкой
(рис. IX.25, а);
б) группа механических объектов с разветвленной нагрузкой
(рис. IX.25, б);
Vis)
-Lds
*Ф-
1
Us)
Ma(s)\
-Ч/Щ
е-
а)
-ces
Уд*2
Ad(s) Ufs).
пгФ-~\
Яд
lis)
См
Mdfs)\
Wi(s)
б)
-ces
АдШ
Рис. IX.24. Структурные схемы электродвигателя постоянного тока совместно
с объектом регулирования
в) группа объектов с параллельным соединением двигателей
(рис. IX.25, в)\
Уд
м9\
пы
шл
\ «г
hH1
bj
Т<*Н2
Уд1
*Hi
Уд1
Мд1
Мм
*1
Уд
Md'Urcc*
(Xdl
Jd2
' Mdif\\l<xd1
H
Л_
ю +
-77
Уд I
«H
%
*l
мд2т
Ун1 Уд1
Щ2 \
Ун
Unit
LT*
Уд!
Mdit
<*di
U^di
Уд!
<&
Мд2
*з
«м
0<д2
д)
MdL
*»
1 «
Ki
«dl
'<Xu2 U Т(
*6
&нг U *&нз
0(Нь
Рис. IX.25. Классификация эквивалентных механических систем
г) группа объектов с дифференциалами (рис. IX.25, г);
д) группа комбинированных объектов (рис. IX.25, д).
361

На рис. IX.25 и далее маховики изображаются в виде
прямоугольников, жесткие валы — одинарными линиями, упругие —
двойными.
Первые три группы хорошо иллюстрируются рисунками и в
дополнительных разъяснениях не нуждаются.
К объектам с дифференциалом относятся объекты
регулирования с одним или несколькими силовыми дифференциалами, а также
объекты регулирования с динамическими дифференциалами, т. е.
такие объекты регулирования, в которых силовой дифференциал
отсутствует, но, тем не менее, перемещение выходной координаты
равно сумме перемещений валов нескольких исполнительных
элементов или равно сумме некоторых функций от этих
перемещений.
Пример системы с динамическим дифференциалом приведен
на рис. IX.26, а.
А
'///M//>//W//S///\
Зд2
Мд2ГиГ0(д2
а) 6)
Рис. IX.26. Система с динамическим дифференциалом
Привод Дг вращает платформу Л0, относительно которой
приводом Д2 вращается платформа £.
Для данного случая имеем
А£ (s) = АЛо (s) + [А,а (s) + АЛо (s)]t2.
При достаточно малом передаточном отношении i2 силового
редуктора привода Д2 выходную координату аБ (абсолютное
перемещение платформы Б) определяем по формуле
АБ(8)=АЛ0(5)+Аа2(5)^-
Возможный вариант эквивалентной механической системы этого
объекта регулирования для случая, когда можно пренебречь
реакцией привода Д2 на платформу Л0, приведен на рис. IX.26, б.
В группу комбинированных объектов входят такие, которые
объединяют в себе характерные признаки нескольких групп по
введенной выше классификации. Так, на рис. IX.25, д приведен
двухдвигательный объект с дифференциалом и разветвленной
нагрузкой.
Структурные схемы эквивалентных
механических систем. Во всех дальнейших рассуждениях махо-
352

вики будем рассматривать как твердые тела, а упругие валы — как
тела с бесконечно малой массой. Это позволит исключить из
рассмотрения уравнения в частных производных, т. е. ограничиться
обыкновенными дифференциальными уравнениями движения.
Для эквивалентной механической системы, изображенной на
рис. IX.25, а, можно составить следующую систему уравнений \
связывающую изображения соответствующих величин:
[Мд(8)-Мг(8)]
1
W
= Ad(s);
[A,(s)-A1(s)]fe1 = M1(s);
1
[M1(s)-M2(s)}
As2
Ax(s);
[Ai(s)-A2(s)]k2 = M2(s)-t
(IX.121)
[Mi_^s)-Mi(s)]T±--2 = Ai„1(syi
[Ai_l(s)-Ai(s)]ki^Mi(sy9
Mi(s)^ = Ai(s).
Этой системе уравнений можно привести в соответствие весьма
большое количество структурных схем. Имея в виду конечную
цель — определение структурной схемы САР с самыми различными
функциональными связями, — представляется целесообразным
найти такую структурную интерпретацию передаточной функции
W0 (s), для которой введение различных функциональных связей не
представляет особых затруднений. Отсюда следует, что искомая
структурная схема должна быть достаточно развернутой, а ее линии связи
должны являться линиями передачи реальных физических
координат, описывающих объект. Этим требованиям удовлетворяет
структурная схегла, изображенная на рис. IX.27. Кроме того, она позволяет
определять структурные схемы любых аналогичных объектов без
предварительного составления исходных уравнений, поскольку ее
прямая цепь в явном виде отображает анализируемый объект
(маховикам соответствуют операторы типа -ту, а упругим валам —
операторы типа k). Отрицательные обратные связи попарно охватывают
все звенья прямой цепи. Это правило применимо только к объектам,
1 Весь последующий материал данной главы может быть распространен
на электромеханические системы с поступательно движущимися
элементами Маховикам в этом случае будут соответствовать4 несжимаемые твер*
дые тела с массой тк, а упругим валам — невесомые пружины с жесткостью c-v
12 Техническая кибернетику кн. 1
353

которым соответствует чередующаяся эквивалентная механическая
система, у которой каждая пара маховиков разделена одним
упругим валом. Если эквивалентная система не удовлетворяет этому
/M
-1r
AM(s)
Рис. IX.27. Структурная схема чередующейся системы с неразветвленной
нагрузкой
признаку, то ее необходимо предварительно привести к
чередующемуся виду. Примеры такого приведения даны на рис, IX.28.
Уравнения, описывающие объекты с разветвленной нагрузкой
и объекты с параллельным соединением двигателей, легко составить,
Ь
Мд
кгк2
K^Kz
и<хН1Мд и схд
Рис. IX.28.
Приведение системы с
неразветвленной нагрузкой
к чередующемуся виду
А
JH1+JH2
IF
U'OC„7
*2
иши2 u
о(нМд
<*д.
п2
U'Of,,, 00,2 U^H3
используя второй закон Ньютона. На рис. IX.29 изображена
структурная схема чередующейся эквивалентной механической системы
с разветвленной нагрузкой, построенная по рис. IX.25, б, а на
рис. IX.30 — структурная схема чередующейся эквивалентной
механической системы с параллельным соединением двигателей,
построенная по рис. IX.25, е.
Рассмотрим систему с дифференциалом (рис. IX.25, г). При
соответствующем выборе положительных направлений приращения
координат Мд1 (s), Мд2 (s), ..., Mdi (s), Adl (s), Ад2 (s), ..., Ad/ (s),
AH (s) имеем
Mai (s) - /dis*Adi (s) + JH s*AH (s);
Md2 (s) = Jd2s2Ad2 (s) + JHs*AH (s);
Mdi (s) = Jdis*Adi (s) + JHs*AH (s);
Aai (s) + Ad2 (s) + ... + A* (s) - AH (s) + AH (s), J
(IX.122)
354

где Ая — сумма деформаций Ах (s), A2 (s), ..., A,- (s), Aw (s)
упругих валов kl9 k2, ..., ki9 kH.
Покажем, что рассматриваемая эквивалентная механическая
система может быть сведена
к чередующемуся виду,
изображенному на рис.
IX.31 и формально
описываемому той же
системой уравнений (IX. 122).
Так, для чередующейся мд(в)
эквивалентной механиче- ~"<
ской системы
кэкв
' Рис. IX.29. Структурная схема
чередующейся системы с разветвленной на-
а для нечередующеися грузкой
1 \zL
L пила®
Щ-
F'-
m пл 1 ГПМ
I—ЕЬ—'
I—ED—|
л пп,.ГПИвЧ
,@ *Ы|'|а>Г
А ГЛ..ГПг«^
®LiJj И
A„(s) = A1(s) + A2(s) + ... + Ai(s) + A«(s) =
■/HsMH (s)
*х
/KsMK (s)
+ ..■
■/„8»Л„(8) , /HSMH(S)
Ki кн
AH(s) = Jfls*AH(s)(~ + ^ + ... + -ir + i-)- (IX.124)
*i
*i
AjiIS)
ф-ГкЛ
Jets'
few,
<±H Л<■
-f
Mejsi
Jus*
Amis)
Tu.
Lr?
l„s'
■1 H
4»w
Я
-/
^7
^7
"<tf
огд1
Jdl
Щ2
Jdl
MdtrU^dl
Кэив
rcxHi
Рис. IX.30. Структурная схема
чередующейся системы с параллельным
соединением двигателей
Рис. IX.31.
Чередующаяся эквивалентная
механическая система с диф
ференциалом
12*
355

Приравнивая правые части выражений (IX. 123) и (IX. 124),
находим условие эквивалентности чередующейся и нечередующейся
эквивалентных механических систем с дифференциалом
1
&экв —
1
к = \
1
(IX.125)
Для двухдвигательной эквивалентной механической системы с
дифференциалом, изображенной на рис. IX.32, а, структурная схема
с учетом отмеченных выше
положений показана на рис. IX.32,б.
На рис. IX.33, а изображена
система с дифференциалом, не
приводящаяся к чередующемуся
виду. Ее структурная схема дана
на рис. IX.33, б.
Для построения структурных
схем комбинированных эквива-
Зи
Мд1
%
Щ1
Ун
Зд2
<ь
*н
н2
<Хн
игсхд2
а)
Mdi(5)J
*"L
i
^ »,
J *
M,./r)
Ч
"^ »
;
Jdlsz
1
Jdis2
AdJ(s
Ад2к
-7
)
0—*<
Кэнв
)
-1
-1 Ь-
1 I
JhSz\
i
AH(s)
6)
Рис. IX.32. Структурная схема двухдвигательной
чередующейся эквивалентной механической системы с дифференциалом
лентных механических систем последние также необходимо
приводить к чередующемуся виду.
Для редукторных вариантов эквивалентных механических
систем различных групп также могут быть составлены уравнения
движения и соответствующие структурные схемы. На рис. IX.34, а
приведены редукторная эквивалентная механическая система с не-
разветвленной нагрузкой и соответствующая ей структурная схема.
На схеме прямая цепь отображает чередующуюся эквивалентную
механическую систему, причем редукторам соответствуют
операторы i или —-, в зависимости от расположения редуктора
относительно элементов системы. При расположении редуктора после маховика
его оператором является выражение i\ при расположении редуктора
после упругого вала — выражение —. Отрицательные обратные связи
856

по-прежнему охватывают каждую пару операторов типа -~а k.
Если при этом охватываются какие-либо редукторные операторы,
hi
Мд
Ню
«д!
л ^>JL
Эд2
Ф-
3dis:
Agj(s)
'&н Md2(s)
<*dZ
fas2
-Л52
Ф-
Ац2Ш
А„ 1s)
I~JhS2
a)
6)
Рис. IX.33. Структурная схема двухдвигательной
эквивалентной механической системы с дифференциалом, не приводящейся
к чередующемуся виду
/VU
Рис. IX.34.
Эквивалентные
механические системы с
редукторами и их
структурные схемы
то соответствующая обратная связь приобретает такие же операторы
(рис. IX.34, а). Эти принципы распространяются на чередующиеся
системы всех групп.
357

На рис. IX.34, б показана редукторная эквивалентная
механическая система с параллельным соединением двигателей,
приводящаяся к чередующемуся виду, и соответствующая ей структурная
схема.
На рис. IX.34, в, г приведены соответственно редукторные
системы с параллельным соединением и с дифференциалом, неприво-
дящиеся к чередующемуся виду. Эти примеры с достаточной
полнотой поясняют принципы построения структурных схем редукторных
систем.
7 \Щ
1 мМсхН2 П
AH1(s)
О)
'62 V "М
АнгМ
Рис. IX.35. Учет жидкостного трения и моментных возмущающих воздействий
в структурных схемах эквивалентных механических систем
На рис. IX.35, а показана схема чередующейся системы с
разделенной нагрузкой, где учитывается демпфирующий момент
сопротивления. В этом случае
где S — коэффициент жидкостного трения.
На рис. IX.35, б показаны принципы учета этих факторов для
чередующихся систем всех групп, а также для систем с
разветвленной нагрузкой и систем с параллельным соединением, не
приводящихся к чередующемуся виду. Этот учет весьма несложен, не
требует дополнительных преобразований, т. е. не нарушает
сложившейся методики построения структурных схем.
Структурные схемы систем
автоматического регулирования. В соответствии с изложенным
выше для построения общей структурной схемы объекта с
исполнительным двигателем достаточно, очевидно, совместить структурную
схему исполнительного двигателя со структурной схемой
эквивалентной механической системы объекта. Пример такой
структурной схемы, построенной при помощи, рис. IX.23, а и IX.34, а,
приведен на рис. IX.36.
358

На рис. IX.37 приведена полная структурная схема двухдвига-
тельной САР с силовым дифференциалом, построенная на базе
рис. IX.23, а и IX.34, г. При этом приняты следующие обозначения:
WK (s) — передаточная функция преобразующего и
последовательного корректирующего устройств;
Wa (s) — передаточная функция усилителя постоянного
тока и ЭМУ;
Wt (s), WT (s) — передаточные функции параллельных
корректирующих устройств (токовой и скоростной
отрицательных обратных связей).
U(s)
±шСтщл±
Яд
•н-^5
\-CeS h*j j \-1
-Ц Ц-ч /, кеч А;
\]dSz\A»(s)\ I Г I
MH(s)
\JniSk
K(s)
-t
Зц2$*
AH2(s)
Рис. IX.36. Совместная структурная схема электродвигателя постоянного
тока с эквивалентной механической системой и не разветвлен ной нагрузкой
Очевидно, учет каких-либо других функциональных связей, не
указанных на этом рисунке, не вызовет дополнительных трудностей.
G(s),
%1(S)
над
-Wn(s)\
-ВД
Lk+H
I—\Ld,s'l\
\W3i(s)\—Ч+Н Т~ пЫ СЩ
l%®,
&
№
Цад]-чэЧад
Us/nuts),
-fas
<H
h(s)
Wi2(s)
H-^H
Cm?
M9&
<+H
%!S>
-Wr?(s)
WoM
-]Hs4,i2
*(s)
04 l
*(s)
l2 H
-№щ
A„(S)
Рис. IX.37. Структурная схема системы с двумя электродвигателями
и силовым дифференциалом
359

Наглядность этой структурной схемы облегчает изучение
процессов, происходящих в системе. Так, например, действие
внутренних отрицательных обратных связей с операторами */„АУ3 и
JHs*i*hi определяющих взаимное влияние моментов систем через
силовой дифференциал, может быть полностью скомпенсировано
эквивалентными внешними положительными обратными связями с
операторами W01 (s) и W02 (s).
Из структурной схемы следует, что для этого достаточно
выполнения равенств
w М = №di + Ldis + W91 (s) ■ Wn (s)] JhsH^ (1X126)
cmi W9l (s)
и
w /5ч == [Rd* + Ц* (s) + Wa2 (s) • Wi2 (s)] JHs42i3 ,jX 127v
CM2 ' W32 (s)
Аналогичным образом могут быть решены задачи идеальной
компенсации взаимного влияния и упругих деформаций
многодвигательных систем с дифференциалом при наличии упругих валов
(рис. IX.25, г), а также идеальной компенсации упругих
деформаций в системах с неразветвленной упругой нагрузкой и др.
9. ПРАВИЛА СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Устранение дифференцирующих звеньев
в детализированных структурных
изображениях. При получении детализированной структуры
уравнения с развитой правой частью на основе условно-разрешенной
формы (см. § 4) не удается избежать в структуре
дифференцирующих звеньев, которые неудобны при моделировании. Рассмотрим
преобразованную детализированную структуру, приведенную на
рис. IX.38, а. Интегрирующие элементы схемы -~- и обратные связи
— а0 (/), — ах (/) соответствуют структуре приведенного уравнения
связи 2-го порядка.
Элементы схемы F0 (t), Fx (t), F2 (t) отражают преобразованные
условия подачи входного сигнала в новые точки схемы через блоки
переменных коэффициентов. Определим, какому виду правой части
уравнения связи отвечает такая преобразованная детализированная
структура. Для этого перенесем сумматоры 2, 3 на вход схемы,
как показано на рис. IX.38, б. Поскольку перенос сумматора
производится против хода сигнала в основном тракте, то при переходе
через каждый узел и звено осуществляется принцип нейтрализации
или инверсного дублирования, рассмотренный в § 6. Так, инверсия
интегратора ддет дифференциатор -рз-= д, а инверсия сумматора
меняет знак в ответвляющихся линиях обратных связей. При после-
360

дующем переносе задублированного сумматора вдоль линии
обратной связи перемещение идет по ходу сигнала, и блоки переменных
коэффициентов просто дублируются. Как видно из рис. IX.38, б,
наибольшее число прямых и инвертированных дублированных
элементов содержит цепь с функцией F0 (t), так как для нее
потребовалось много переносов. Без преобразований осталась ветвь,
содержащая функцию F2 (0, так как она уже в схеме (рис. IX.38, а) по-
гт
X
\Ш\ [Щ\ [Ш\
Рис. IX.38. Преобразования детализированной
структуры с целью исключения дифференцирующих звеньев
давалась непосредственно на ее вход (сумматор /). Цепь с Fx (t)
отделена от входа двумя звеньями, поэтому соответствующая цепь
в схеме (рис. IX.38, б) содержит два дублирующих элемента (один
из них инвертированный). Установим, какой сигнал будет
действовать по этой схеме между сумматорами / и 4. Очевидно, функция
П (t) и будет общей функцией правой части уравнения связи.
Соблюдая порядок операций, запишем
П It) = F2 (t) g (t) + [a, (t) + d] Fx (t) g (t) +
+ [a0(t)+a1(t)d + d*]F0(t)g(t).
(IX.128)
При дифференцировании произведения F{ (t) g (t) удобно
применить символы дифференцирования по /: dF и dg, адресованные только
к функциям, отмеченным в индексах, и являющиеся аналогами
361

частных производных. На основе этих обозначений перепишем
формулу Лейбница для производной от двух сомножителей:
d = dF + dg; (IX.129а)
а» = (dF + dgf = d2F + 2dFdg + <5J; (IX. 1296)
3* = dKF + KdKF~]dg + ... +dKg. (IX. 129b)
Применяя обозначения (IX.129a) и (IX.1296) в формуле (IX.128),
получим
n(t)=F2(t)g(t) + [a1(t) + dF + dg]F1(t)g(t) +
+ [flo W + Oi W (^ + ^) + » + 2^Л + 5|1 fo (0 £ W-
Далее реализуем операцию дифференцирования, адресованную
к F в форме
d"FF(t)g(t)=FM(t)g(f)9 (IX.129r)
а символ д^ оставим непреобразованным, сгруппировав члены с
одинаковыми Ъоказателями степени дк:
П (0 = {F0 (t) д\ + [а± (t) F0 (t) + 2F0 (t) + F, (t)] dg +
+ a0 (t) F0 (t) + a, (t) F0 (t) + FQ (t) + a, (t) F± (t) +
+ F1(t) + F2(t)}.g(t). (IX.130)
Поскольку правая часть уравнения связи для т = 2 обычно
записывается так:
n(0 = [M0d» + M0d + M<)]£(0. (IX.131)
где индекс g у символа дифференцирования опущен, то, решая
уравнения балансов коэффициентов при одинаковых степенях д = dg
в уравнениях (IX.130)—(IX.131), получим
Fo(t) = b2(t);
F1(t) = b1(t)-a1(t)F0(t)-2F0(t);
F2 (t) = bQ (t) - a, (t) F0 (t) - F0 (t) - ax (t) Fx (t) +
+ Fi(t)-F*(t). (IX. 132)
Эти уравнения последовательно решаются для функций F0, Fu
F2 и позволяют по правой части уравнения (IX. 131) строить
преобразованную детализированную структуру (рис. IX.38, а) без
дифференциаторов, но с дополнительными связями, содержащими
найденные функции Ft (t).
Преобразование сложных переменных
структур к сопряженной форме. Приведенные в § 4
правила перехода от детализированной структуры переменной
системы к сопряженной ей структуре могут быть развиты и
многократно применены для укрупненных структур, например, типа,
показанного на рис. IX.39, а, где блоками 1—4 схемы служат зве-
362

нья, описываемые уравнениями с переменными параметрами.
Первый шаг преобразования укрупненной структуры к сопряженной
форме сводится к перемене местами входа и выхода, замене узлов
на сумматоры и обратно. Второй шаг состоит в повторении этих
же преобразований внутри каждого блока. На рис. IX.39, б
показана укрупненная сопряженная структура всей схемы после первого
шага. На рис. IX.39, в для одного из блоков (блока 2) показана
детализированная внутренняя сопряженная структура,
соответствующая звену второго порядка п ~ 2 (при т = 1). Если от сопря-
а
Т
1
£
*ф-
t
Блок 1
БлокЗ
Г г nntt <у L
*\ Блок 4 \-
а)
РС-3
рс-г
-f
М)
РС-Ь
Ю
рс-г\
-*Ф-\ h 1
H^DrrfS
bo(t-B)
РС-2
8)
\-ai(t-0)\l
\a0(t-6)
aolt-8)\*
0(9)
ТКИ*
W-W
4W-0)
/
% №
<>i(t-6)\
\-a,(t-8)\-l
иД*
Рис.
г)
IX.39. Преобразование укрупненных структур системы
с переменными параметрами в сопряженной форме
женной структуры надо переходить к схеме модели, то
дифференцирующие звенья следует устранить, перейдя к преобразованной
сопряженной схеме каждого блока, имеющего т ^> 0. Для
примера преобразование схемы блока 2 к сопряженной форме показано
на рис. IX.39, г.
Рассчитаем входящие в схему дополнительные функции
времени F0 (/ — 0), F± (t — 9). После переноса узла 2 в точку 1
ответвляющаяся цепь будет содержать два инвертированных блока:
дифференциатор (вместо интегратора) и блок а2 (t — 8) (вместо его
инверсии). Если в точке 1 сигнал обозначить х2 (t, 0), то, пропуская
его через блок F0 (t — 0) и преобразованную вторую цепь, получим
выходной сигнал в следующей форме:
k2(t, e) = f0(/-e)*a(', Q)+F1(t-9)d*[a2(t-B)x
X х2 (/, 8)] = [F0 (t-B)- F, (t - B)a2 (t - 8)] x2 (t, 8) +
+ F± (t - 8) a2 {t - 8) ia (/, 8). (IX.133a)
363

Так как в схеме (рис. tX.39) имеется следующее соотношение:
k2 (t, 6) = b0 (t - 8) x2 (/, 6) + д* [Ьг (t - 6) x2 (t, 6)] =
= [60(f —6) —M* —6)l*B(f, b) + b1(t — B)x2(t, 6), (IX. 1336)
решая уравнения балансов для двух последних уравнений (IX. 133а)
и (IX. 1336), получим сначала одну неизвестную функцию
^-е)=^(Н^ (1ХЛ34)
а затем вторую
F0(t-6) = b0(t-9)-b1(t-9) + F1(t-*)'a2(t-B) =
= М*-в)-М*-в) + М'~(^?)~6)- (IX.135)
Таким путем определяются все коэффициенты в дополнительных
цепях преобразованных структур типа рис. IX.39, г. Если в
исходной схеме встречаются звенья с постоянными параметрами, то
они могут быть подключены в сопряженную модель в виде
реальной аппаратуры, так как для случая постоянства параметров
преобразование к сопряженной форме схему звена не изменяет.
Преобразования параметрических
структурных схем. Этот раздел связан прежде всего с понятием
параметрической передаточной функции W (s, t) (см. рис. IX.1, и).
При этом отметим, что введение в состав постоянной системы хотя бы
одного переменного безынерционного коэффициента т (t) лишает
преобразование Лапласа L, переводящего описание реакции
системы из временной области t в область комплексного переменного s,
его основных преимуществ. В переменных системах нельзя
получить алгебраическую связь между изображением реакции и
воздействия и характеризовать передаточные свойства системы
передаточной функцией, независящей от вида сигналов.
Приведенные на рис. IX. 1, и, к структуры несколько
расширяют возможности структурного анализа переменных систем на
основе применения метода ^-преобразования в области
комплексного переменного s, но не приближают исследователя к
получению передаточной функции. Действительно, рассмотрим для
упрощения анализа схему из двух элементов, содержащую входной
стационарный элемент с передаточной функцией W (s) и переменный
коэффициент т (/) = e~at на выходе системы. Подавая на вход такой
системы воздействие L{g (t)} = G (s), получим реакцию
L {x (t)} = К {W (s) G (s)\ = W (s + a) G (s + a) = X (s)
в форме изображения по Лапласу (L-изображения). Однако
полученное решение не позволяет из отношения изображений
X(s) __ W(s + e)G(s + а)
G(s) Q~(s)
364

выделить сомножитель, независящий от входного сигнала и
играющий роль передаточной функции. Эта задача решается при
переходе ко второму временному аргументу Э — рабочему интервалу.
Функции этого аргумента обозначают звездочкой G^ (t, 0), также
как и изображения по Лапласу L, переводящие функции,
являющиеся решением сопряженных уравнений, из области временного
аргумента 6 в область комплексного аргумента s. Структурные
схемы в ряде случаев облегчают получение параметрической
передаточной функции системы при известных параметрических
передаточных функциях элементов и повышают наглядность этой
операции. Перейдем к рассмотрению некоторых типовых схем.
В табл. IX.2 приведены примеры структурных
преобразований каскадных и согласно-параллельных схем соединений
динамических элементов (см. стр. 379).
В 1-м столбце приведены физические или прямые схемы
соединения элементов и заданы их уравнения в алгебраизованной форме.
Во 2-м столбце иллюстрируется структура весовой функции той же
схемы, но в сопряженной форме, причем уравнения динамических
элементов заданы для области второго — временного аргумента.
В 3-м столбце показаны условия перехода к операторной
структурной схеме, возбуждаемой импульсом, который имеет единичное
изображение L {б (9)} = 1.
В табл. IX.2 включены в основном случаи, когда в уравнениях
динамических элементов имеются некоторые упрощения,
позволяющие наглядно иллюстрировать структурные преобразования.
Рассмотрим каждый из этих случаев. Схемы будем различать
по индексу (а—д) и номеру столбца (1—3).
Каскадные схемы (а — в). Входной элемент задан
уравнением с приведенной левой частью, и
выходной элемент описывается уравнением
с приведенной правой частью. Уравнения
динамических элементов запишем сначала во временной области в
общей форме:
т
z(t>®) = J]t>j(t)ga)(t-®y, (IX. 136)
2 ai(t)x{i)(t,$) = z(t, О), (IX. 137)
i = 0
где входное воздействие g задано процессом установленной формы,
но с произвольным смещением Ф относительно момента t = 0,
являющегося началом изменения переменных коэффициентов системы.
Решение уравнения (IX. 136) обозначено z = (t, •&). Решение
уравнения (IX.137) на входной единичный импульс 8 (t — О)
называется приведенной весовой функцией g (t, О), так как вся правая
часть уравнения (IX. 137) сведена в одну функцию z. На схеме а — 1
структурные свойства элементов записаны по аналогии с рис. IXЛ,ж
365

в виде функций Fn (/, д) и F0 (ty д), характеризующих прямые и
обратные связи в исходных детализированных структурах,
соответствующих этим звеньям.
Перейдем теперь от прямой структуры а — 1 (табл. IX.2) к
сопряженной структуре а — 2. Согласно правилам преобразования
к сопряженной форме начинать надо со второго элемента и его
уравнения в сопряженной форме:
2дПМ'-0Ж*, 8)} = 6(8), (IX. 138)
* = 0
где
его решением служит параметрическая приведенная весовая
функция qm (/, 6).
На структурной схеме а — 2 получение функции g* (t, 0)
связано с преобразованием F0 (д%, t — 0), отображающим
детализированную сопряженную структуру с обратными связями.
Далее следует обратиться к элементу (IX. 136); его реакция на
смещенный импульс б (/ — 0) определится из формулы
т
Fn(t,d)6(t-®)= SiMoe^e-*)}-
; = 0
т
e 2(-tf^{M<W'-*)}- (IX.139)
/-о
Правая часть этой формулы получена на основе
дифференцирующих свойств импульсов высокого порядка.
Переход к рабочему интервалу 0 = t — # дает сопряженное
уравнение
т
F*V> 5)6(8)= £ ^{М'-°) вШЬ (IX. 140)
; = 0
Детализированная структура, соответствующая этой формуле,
не имеет обратных связей, что отмечено индексом (п) в символе
преобразования Fn(d#, /—-0). Последовательность
преобразований сигнала в сопряженной схеме а — 2 обратна последовательности
преобразований в прямой схеме а — 1.
Для получения полной параметрической весовой функции на
выходе сопряженной схемы k * (t9 0) в уравнении (IX. 140) вместо
одного импульса надо подставить реакцию на него второго элемента,
т. е. q% (t, 0), что дает
т
*('. *)= %%{Ь,У-9)д*у, 6)}, (IX.141)
366

Итак, два уравнения (IX. 138) и (IX. 141) отображают
преобразования импульса сопряженной схемой в области второго
временного аргумента 6.
Допустим далее, что из уравнения (IX. 138) после
/.-преобразования в явной форме найдена приведенная параметрическая
передаточная функция Y (s, t)y тогда преобразования импульса в
области изображения можно отобразить на параметрической
структуре а — 3. Теперь остается перейти к L-изображениям в формуле
(IX. 141). Для этого надо задать коэффициенты b;- (t—Э) в форме
конкретных функций. Так, при задании коэффициентов степенными
рядами
bj{t-b) = bj(t)-bj(t)9 + bj(.f)^ + ...=
L
= 2>Г(0ЦР (IX.142)
можно в формуле (IX. 141) сначала преобразовать по Лапласу
приведенную весовую функцию, получив Y (s, /), а затем учесть
добавочные операции:
дифференцирование этой параметрической передаточной
функции по аргументу s в связи с умножением оригиналов на степень
аргумента 0;
умножение на постоянные для второго временного аргумента
функции bj (t)\
умножение на s* соответственно кратности дифференцирования
д£ в области оригинала;
двукратное суммирование согласно формулам (IX. 139) и (IX. 140).
Итак, т L
Все эти преобразования в области комплексного аргумента s
могут быть обозначены общим символом K^t переводящим
приведенную параметрическую передаточную функцию в полную
W(s, t) = b¥[Y(s, t)]. (IX.144)
Это преобразование записано на схеме а — 3 в верхней
цепочке. Весовая функция такой системы получается на выходе
цепочки при задании на входе схемы импульса 6 (0) ч- 1.
Изображение реакции в заданной точке наблюдения на любой входной
процесс установленной формы с произвольным рабочим
интервалом составит
X(s, t) = G(s)%V[Y(s9 t)]. (IX.145)
Это домножение на изображение входного процесса показано
на структурной схеме а — 3, слева внизу, т. е. в конце цикла
367

преобразования L-изображений. Таким образом, в параметрической
структурной схеме последовательность участия элементов в
преобразованиях изображений обратна последовательности, имеющейся
в блочной схеме в области временного аргумента а — 1, и
соответствует последовательности, имеющейся в сопряженной структуре
а — 2. Если речь идет только об общей параметрической
передаточной функций схемы, то расположение входа и выхода не
принципиально, что видно из сравнения рис. IX.1, ж и а — 1. Если
входной элемент в схеме а содержит только один безынерционный
коэффициент b0 (t) при bt = 0 (*>0), то из суммы выражения
(IX. 143) следует использовать только одно слагаемое при j = 0:
W(s, t)= 2 Т'^П*' t). (IX.146)
При задании коэффициента b0 (t) трансцендентной функцией,
например b0 (t) = eotf после реверса аргумента
&o(^_8) = <fu-0) =Лга0
коэффициент распадается на произведение двух функций с
независимыми аргументами. В этом случае Я^-преобразование следует
определить по сомножителю е~°е в области оригинала, что дает
в области изображений Y (s + a, t). Для экспоненциального
масштаба получаем
X(s, t) = ea*Y(s + of t). (IX.147)
Двухкаскадная схема со стационарным
входным элементом. Во временной области сигнал g
согласно схеме б — 1 преобразуется постоянным звеном в
сигнал Хх по формуле свертки
*i(0=g(0®M0
и имеет L-изображение
X1(s)=^G(s)W1(s)y (IX. 148)
поскольку его величина в момент наблюдения зависит только от
рабочего интервала. Поэтому первый этап преобразования
достаточно просто изображается на входе прямой структуры б — 1, на
выходах сопряженной структуры б — 2 и параметрической
структурной схемы б — 3. Далее, в области первого и второго временных
аргументов снова свойства переменных звеньев отображены через
сокращенные символы детализированных структур одновременно
с прямыми (п) и обратными (о) связями — Fno (t, д) для схемы б —1
и —Fno (д^> t — 6) для сопряженной схемы 6 — 2.
Операция Fno объединяет две отдельные операции Fn и F0,
имеющиеся на схемах а — 1 и а — 2.
368

Для области изображений (рис. IX. 1, з) имеем параметрическое
изображение реакции
X(s, t) = G(s)W1(s)W2(s9 t) (IX.149)
или с учетом выражения (IX. 148)
X(s, t) = X1(s)W2(si t). (IX.149a)
На структурной схеме б — 3 показана последовательность
преобразования изображений звеньями также в обратном по
сравнению со схемой б — 1 порядке соответственно правилам
преобразований к сопряженной форме.
Входной переменный элемент с
приведенной левой частью. Условия задания аналогичны схеме
а — 1, но с другими исходными уравнениями:
xi(t, 0)= i]Pe(0g(£)('.fl); (ix. 150)
п т
2 a, (t)*«'> (t, О) = £ bj (t) x'/' (/, О). (IX. 151)
Второй элемент можно представить в виде двух элементов с
приведенными уравнениями, включенными согласно схеме а — 1:
т
z(t, щ= 2 МО*!*С в); (ix. 152)
/ = 0
п
2M0*(i)e> #) = *(/, #). (ix. 153)
г=0
Уравнения (IX. 150) и (IX. 153) могут быть объединены в одно
прямой подстановкой, которая для импульсного входа будет иметь
ВИД т ,и,
Fn* (/, d)b(t- b) = 2 {6У (о а; 2 РЕ (0б(Е) С ~ *) }•
7=0 £=0
Проводя дифференцирование произведений под знаком
внутренней суммы по формуле Лейбница, получим
т м, j
Fn* v, з> в <* - в) = 2 bj (t) 2 S ci РГ (0 e*+y-* (' - *)•
7=0 l=0k=\
Внесем теперь коэффициенты bj (t) под общий символ трех сумм
и используем правила умножения производной от импульса на
непрерывную функцию bj (t) рм (t) при одновременном реверсе
аргумента 9 = t — О, что изменяет и вид функции
т м, / , ,
Fax.(t, а*)в(в)= 2 2 2 с« L+j-Лbj{t-9)№\t-9)b(i)}.
/ = 0^ = 0 А=1
369

Если снова переход от одного импульса к сложной функции
^л2* {U д*)8[0] понимать как ^-преобразование, то это же
преобразование остается для перехода от функции q {ty 0) к
функции k (t, 0), т. е.
Х{*у(/-в)РГ(/-в)*(<, 6)}. (IX.154)
При переходе к L-изображениям в произведении функций
bj (t — 0) Р(^ (t — 0) должны быть выделены сомножители,
являющиеся известными функциями от 0. Это можно осуществить,
например, при разложении указанных произведений в ряды по
степеням 0 аналогично выражению (IX. 142), тогда получим связь
между изображениями:
т ц J
у=0£=0А=1
и = 0
показанную на схеме в — 3 для импульсного и для произвольного
входов.
В простейшем случае, если звено 1 характеризуется только
переменным коэффициентом усиления
z(t, #) = Р0 (*)('. Ч
предыдущая формула несколько упрощается, т. е.
т j к
W(S, о= 2 2q.s— lltjJutm--wY^ 0. (ix.156)
/ = 0/г=1 н=0
Если произведение коэффициентов р. (^ — 0) &М (t — 0)
содержит не только степени 0, но и другие функции второго аргумента,
то для перехода от F(s, t) к W (s, t) используются дополнительные
формы Я-преобразования.
Согласно-параллельная схема (г). Согласно-параллельная схема
г — 1 преобразуется в сопряженную схему г — 2 и затем в
структурную схему г — 3 путем перехода от весовых функций звеньев
к их параметрическим передаточным функциям и изменениям связей
согласно правилам преобразований к сопряженной форме. При
подаче на вход схемы г — 3 единичного импульса, имеющего
единичное изображение, изображение реакции на выходе будет
параметрической передаточной функцией согласно-параллельной схемы,
которая легко свертывается к виду
W (s, t) = Wx (s, t) + W% (s, 0. (IX.157)
370

Двухкаскадная схема из входного переменного элемента и группы
выходных дифференцирующих параллельно включенных элементов
(д). Зададимся уравнениями элементов
п т
1 = 0 /=0
и=0
(IX.158)
(IX.159)
В уравнении (IX. 158) поделим все коэффициенты на младший
коэффициент левой части а0 (t):
2«Н02а)=2^(/).
(IX. 160)
i=0 /=0
где нормированные коэффициенты обозначены
Далее произведем однократное дифференцирование
2[а»(0г(,-)+а?(0г(,Ч1,] + г =
/ = 1
у = 0
(IX.161)
тогда, рассматривая £ (t) = хг (t) как самостоятельную функцию,
из выражения (IX.161) можно найти параметрическую
передаточную функцию
Xt(89t)
пл*. * = *£$-.
(IX.162)
Заметим теперь, что в уравнении (IX. 161) при £ имеется
коэффициент а0 (t) = 1 +• aHv (t), снова освобождаемся от этого
коэффициента путем нормирования уравнения (IX. 161), что дает
(IX.163)
i = 2
где
а«(0 =
РМ0 =
/=о
< + 1 (0+ <('),
< (0 + 1 (
в? (0 + 1
(IX.164)
371

Следующее дифференцирование выражения (IX. 163) приводит
к результату п+\
S К(0г(О + а«(0ги+1)] + 2 =
1 = 2
т + \
= 2 [Р;(О*(;) + Р?(Оg(;+1)]. (ix-ies)
Обозначая л:2 (t) = г, из последнего выражения можно найти
новую параметрическую передаточную функцию в виде
wt(s, Ъ = ЩР- (ix.166)
Далее, нормируя выражение (IX. 165) и проводя
дифференцирование, можно аналогичным путем найти следующую
параметрическую передаточную функцию:
Ws(s, 0 = ^f, (IX. 166а)
где Х3 (t) = z и т. д.
Общая параметрическая передаточная функция схемы на
основании выражения (IX. 159) будет иметь вид
W(s, 0= SY,Wx(s. 0- (IX.167)
По выведенным формулам построены временная структура д — 1,
сопряженная д — 2 и параметрическая структурная схема д — 3.
Нетрудно заметить, что присоединение даже одного
дифференцирующего звена к переменной системе требует сложных аналитических
преобразований уравнений системы для получения общей
структуры. При более сложных схемах, чем д — 1, д — 2, д — 3, общее
представление о системе возможно получить только на основе
аналитических преобразований, которые могут сочетаться со
структурными представлениями.
Следует отметить, что все структурные преобразования схем
систем с постоянными коэффициентами, основанные на принципе
прямого дублирования, сохраняются и для переменных систем.
Структурные преобразования, требовавшие в случае
постоянных систем инверсного дублирования, проводятся и для переменных
систем. В этом случае также появляются инверсные операции.
10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ АНАЛИЗА СОВМЕСТНЫХ
СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
Каскадное включение звеньев. Схема
каскадного включения нелинейных звеньев изображена на рис. IX.40, а.
Каждое звено имеет свою статическую характеристику, отражае-
мую функциями Xl = FAy)\ x2 = F2(^);
372

от входных аргументов. Поскольку сигнал на схеме не умножается
на коэффициенты усиления блоков, а претерпевает
функциональное преобразование, то вводить сигнал в блок следует под знак
функции, записанной внутри блока. Можно также использовать
обозначение в виде точки, а не стрелки по аналогии с рис. IX. 1.
Ш\
ш
{Ш\
{ш\
и-
п
<p(li) \
\ V
I 1 a) I 1
ш
<p(tl)
уШуШчЯ
J / ///)L
liillir
\ Щ
4
~[ z%
f
W \
^•Л—\7Ги)
| Г/,,) | 1 £
'(У/ • *
3)
e)
ж)
J)
F(y)
W
fjvjy-r
m
-\ч>(Ш У^\н*(х,п)\
4
*• —«i
1
>
i
u)
?(?,%)[-? = 1-4 <xf,?
J
;?)
K) If-
2
x
n;(x,v)
IT
rJj
л)
ПШ
Рис. IX.40. Структурные преобразования каскадных и согласно-
параллельных схем с нелинейными звеньями
Общая статическая характеристика будет иметь следующий
вид:
^^{М/ЧОШ- (IX.168)
Узловые нелинейные элементы. Прежде чем
переходить к последующим схемам согласно-параллельного и
встречно-параллельного типов, необходимо отметить, что эти схемы
373

в отличие от каскадной схемы имеют в своем составе узловые
элементы.
Узел разветвления одинаков как для линейных, так и для
нелинейных систем. Сумматор же в нелинейных схемах является
только частным случаем нелинейного узла с двумя входами.
Общий случай нелинейного узла с двумя входами
иллюстрируется схемой (рис. IX.40, б), где для разных входов применены
обозначения | и т|. Если узловое звено обеспечивает
функциональное преобразование над двумя аргументами вида
* = Ф(6, Л) (IX.169)
и если в качестве аргументов на вход будут поступать функции
5 == А (у) и т] = /2 (у), то на выходе будет получаться функция ф
от функции вида
*=VlfM> /2 (У.)]- (IX.170)
Примеры применения этой формулы даны на схемах
рис. IX.40, в, г.
Распространенным узловым нелинейным звеном является
множительное звено
ф(£. Л) = 54.
Действительно, момент электродвигателя в § 6 рассматривался
как произведения тока на поток или э. д. с, как произведение
скорости на поток и т. д. В этом случае уравнение узлового
элемента получает вид
x = fM-fM. (IX.171)
Простейший вид функции от двух переменных — это их сумма:
Ф = (£. Л) = 5 +Л»
тогда вместо нелинейного узлового элемента получаем линейный
сумматор
* = Мй)+ /.(№). (1Х-172)
Согласно-параллельное включение
нелинейных звеньев. Общий случай
согласно-параллельного включения нелинейных звеньев с нелинейным узловым
элементом иллюстрируется схемой рис. IX.40, д. Если статические
характеристики параллельных ветвей равны Д (//) и /2 (у), а
узловой элемент осуществляет преобразование по функции ф (|, rj),
то полная статическая характеристика схемы
* = ф[Ш. Ш1. (IX.173)
Если узловой элемент — сумматор, то при тех же
характеристиках параллельных ветвей суммарная статическая
характеристика схемы
* = Ш + Ш- (1Х.173а)
374

Прямое и инверсное дублирование
нелинейных звеньев. Два нелинейных звена, соединенных в
каскадную схему (рис. IX.40, е), взаимно нейтрализуются, если
нейтрализующая функция HF (у) является обратной функцией по
отношению к преобразующей функции первого звена.
Пример 1.
x = Fx (у) = sin у\ Ир (х) = Нр [Fx (у)) = arcsin [sin у] = у.
Пример 2.
Х = Г2(У) = У2', HF{x) = Vx = V¥ = y-
Нейтральная схема имеет единичный передаточный коэффи-
ЦИент HF[F(y)] = y. (IX. 174)
Благодаря введению понятия нейтрализующего звена легко
формулируется правило о переносе простого узла через нелинейное
звено по ходу сигнала, которое можно проиллюстрировать схемой,
показанной на рис. IX.40, ж. Такой перенос должен
сопровождаться введением нейтрализующего звена в перемещаемую ветвь.
Перенос простого узла через нелинейное звено против хода сигнала
приводит к появлению дублирующего нелинейного звена, как
показано на рис. IX.40, з.
Нейтрализоваться могут также узловые нелинейные звенья,
реализующие функциональные преобразования двух входных
аргументов. Пусть ф (£, ц) — функция двух входных аргументов: £ и т].
Если теперь по известной функции £ определять один из
аргументов, например £, то необходимо ввести обозначение обратной
функции по данному аргументу
£ = #ф(Ф, л).
Обратная функция нейтрализует действие заданной функции,
формируя по аргументу g коэффициент передачи, равный единице:
#|[Ф(|, Л)> Ц] = 1> (IX.175)
а по аргументу rj — коэффициент передачи, равный нулю (см.
рис. IX.40, и). Если функцию двух аргументов £, ц представить
рельефом в декартовом пространстве £, т), ф, то нахождение
обратной функции получает простой геометрический смысл: в сечении
рельефа плоскостью ц = const по ординате ф находится абсцисса £.
Пример 1.
* = Ф (1, г,) = |г,; Я|(Ф, Г!) = ^;
Пример 2.
ф (|, т]) = sin (| + г)2); Hf = arcsin ф — т)2;
Щ [ф (6, Ц), Ц] - arcsin [sin (I + n2)] - П2 = 6-
375

На рис. IX.40, к приведена структурная схема с
нейтрализующим звеном, где показан перенос простого узла через
функциональный узел по ходу сигнала. Эквивалентность преобразованной и
исходной цепей достигается при введении в перемещаемую ветвь
нейтрализующего звена Щ (ф, ц).
На схеме (рис. IX.40, л) показан перенос простого узла через
функциональный узел против хода сигнала; в переносимую ветвь
при этом вводится дублирующее звено ф, (|, т]).
Встречно-параллельное включение
нелинейных звеньев. На рис. IX.41, а показана схема об-
Г2М
^9Ш]^{^Щ-^
Н?[НПМ,Г2Щ
НФ(У)
а)
F№m Ш Ь^=-
-KzHF3fx)+
Рис. IX.41. Структурные преобразования встречно-параллельных
схем с нелинейными звеньями
ратной связи, или встречно-параллельная схема на нелинейных
элементах. При статических характеристиках прямой ветви и цепи
обратной связи, заданных функциями Fx и F2, в узловом элементе —
Ф (г/, z) общая статическая характеристика схемы может быть
получена в неявном виде:
x = Fi{<Ply>F*Wl (IX.176)
С привлечением обозначений обратных (нейтрализующих)
функций Щ (фх^2)» Нп (у) явное решение относительно входной
величины будет
y = HUHF,(x),Ft{x)}. (IX.177)
Наконец, если правую часть формулы (IX.177) понимать как
единую функцию одного аргумента Ф (х), то решение относительно х
можно выразить через общую обратную функцию:
х = Нф(у). (IX Л 78)
376

Если связь наложена через простой линейный сумматор, то
обратная функция вместо формулы сложения станет формулой
вычитания: у в н^{х) _ ^ (jc)> (IX. 179)
Часто бывает, что обратная связь выполняется линейной, т. е.
F2 (х) = kH х, тогда предыдущая формула для статической
характеристики схемы упрощается:
y^HFi(x) — kHx. (IX. 180)
Полученные формулы применительно к схемам включения
нелинейных звеньев, приведенным на рис. IX.40 и IX.41, с одной
стороны, позволяют анализировать связанные нелинейные
элементы, а с другой стороны, могут быть использованы для синтеза
заданной функциональной зависимости из имеющихся
нелинейных элементов. Такая задача часто возникает при разработке счетно-
решающих автоматических устройств. Если имеется набор типовых
функциональных (нелинейных) элементов, то класс
воспроизводимых функций (статических характеристик) можно значительно
расширить путем формирования с помощью этих элементов схем из
числа приведенных на рис. IX.40, или более сложных. Например,
усложненной схемой можно считать схему (рис. IX.41, б) с
перекрестными связями, для которой сразу напишем общую функцию:
у = -k2HF3 (х) + HFx {-k,x + HFz [HFs (x)]}. (IX. 181)
В заключение рассмотрим структурно-функциональную схему
линейного вращающегося трансформатора (ЛВТ), применяемого
в системах управления в качестве линейного датчика напряжения
при ограниченном угле поворота вала. На рис. IX.42, а приведена
одна из модификаций включения обмоток ЛВТ. Первичная обмотка
подключена к сети переменного тока частотой / гц и возбуждает
во вторичной цепи ток той же частоты, определяемый по формуле
*'„ = -§§. (IX. 182)
Для приближенного анализа учтем только две э. д. с:
наведенную во вторичной обмотке продольным потоком статора
£1 = £10sine (IX. 183)
и э. д. с. £2> наведенную во вторичной обмотке поперечным
потоком статора и пропорциональную току нагрузки, протекающему
по этой обмотке: ^ = _ ^ cos 0> (IX. 184)
Влияние остальных э. д. с. самоиндукции и взаимоиндукции
обмоток ЛВТ в известной степени компенсируется размагничивающим
действием второй обмотки ротора ЛВТ, замыкаемой на постоянное
сопротивление, величина которого подбирается в процессе
настройки схемы. К приведенным выше формулам остается добавить
условия перехода от тока к напряжению на нагрузке:
UH = ZHiH. (IX. 185)
377

После этого легко построить структурную функциональную
схему (рис. IX.42, б). Левая часть схемы содержит
функциональные элементы с одним входом sin 0 и с двумя входами iH, cos 6.
В качестве частных значений обобщенных аргументов нелинейных
звеньев | и г] в фактические блоки схемы входят соответственно
реальные сигналы 0 и iH.
Из структурной схемы можно усмотреть качественную сторону
условий передачи входной величины — угла поворота. При малых
углах поворота основной (нижний) тракт схемы обеспечивает прак-
тически линейную передачу угла, так какИт—а-= 1.
Г
LHCOS(
1
1
sinW
п\\ i»
и/\ "—"" *
Л—**
-*/
EwJ
1
'
IF:
"*
1
1
H
Zh
Uh
S)
Рис. IX.42. Схемы линейного вращающегося
трансформатора ЛВТ:
а — электрическая; б — структурно-функциональная
Обратная связь при этом значительно снижает коэффициент
передачи, так как lim cos 0 = 1. С ростом угла поворота коэффи-
е-+о
циент передачи прямого тракта падает, так как синусная
характеристика в первом квадранте подобна характеристике с
насыщением, но зато и отрицательная обратная связь уменьшается (cos 0 <^
< 1), что выравнивает суммарную характеристику, приближая ее
к линейной.
Свертывание структурной схемы или преобразование формул
(IX.192) — (IX.195) дает результат
(/„ = ZHE10sjnt ^ (IX.186)
'^1+Йг
-cos 8
Наилучшее спрямление характеристики получают при
Е^
= 0,54,
что обеспечивает отклонение от линейности не больше
углов ± 60°.
(IX.187)
1 % в зоне
378

CD
<\j
Таблица Ш 2
5 АлгеЬраизобанные структуры
£ •- т Операторные структуры
5 Прямая Сопряженная I
^ Номера столбцов I

ЛИТЕРАТУРА
1. Гальперин Н. И. Синтез систем автоматики. Госэнергоиздат,
1960.
2. Г р е й б и л Г. П. Преобразования блок-схемы. El. Engineering, v. X,
II, 1951.
3. МарьяновскийД. И. Устойчивость линейных систем
автоматического регулирования. «Электричество», 1946, № 9.
4. Михайлов А. В. Метод гармонического анализа в теории
регулирования. «Автоматика и телемеханика», 1938, № 3.
5. Петров Б. Н. О построении и преобразовании структурных схем.
«Известия ОТН АН СССР». 1943, № 12.
6. Соколов М. М., Терехов В. М. Приближенные расчеты
переходных процессов в автоматизированном электроприводе (Библиотека по
автоматике). Госэнергоиздат, 1963.
7. Ш а т а л о в А. С. Структурные методы в теории управления и
электроавтоматике. Госэнергоиздат, 1962.

ГЛАВА X
ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
СТРУКТУРНЫХ СХЕМ И ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Покажем, пользуясь конкретными примерами, рассмотренными
в главе III, каким образом составляются дифференциальные
уравнения, структурные схемы и определяются передаточные функции
систем автоматического регулирования. Структурная схема системы
является основным рабочим материалом проектировщика,
определяющим не только взаимную связь агрегатов или устройств, места
наиболее выгодного включения последовательных и параллельных
корректирующих устройств, но позволяющим качественно
оценивать характеристики динамической точности и определять влияние
различных возмущений на поведение системы. С помощью
структурных схем наиболее простым способом находят передаточные
функции разомкнутых или замкнутых систем относительно ошибки
и выходного сигнала. По этим передаточным функциям определяются
показатели устойчивости, качества и точности регулирования или
управления на этапе расчетно-теоретической проработки системы.
В качестве первого примера рассмотрим систему
автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины.
1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ГИДРОТУРБИНЫ
Система автоматического регулирования скорости вращения
гидротурбины (рис. Х.1) состоит из объекта регулирования и двух
взаимосвязанных автоматических регуляторов. Первый регулирует
положение поворотных лопаток направляющего устройства, а
второй — угол поворота лопастей рабочего колеса. Поворот лопасти
осуществляется от механического программника, связанного со штоком
серводвигателя направляющего аппарата. Оба регулятора изменяют
расход воды, протекающей через гидротурбину и ее к. п. д.
Для упрощения математических выкладок будем считать, что
угол поворота лопастей рабочего колеса установлен на некоторую
331

постоянную величину и при работе автоматического регулятора,
управляющего положением лопаток направляющего аппарата, его
величина остается неизменной. Система автоматического
регулирования скорости состоит из следующих основных агрегатов: турбины
с главным генератором (в виде нагрузки), трубопровода, главного
серводвигателя, направляющего аппарата, вспомогательного
серводвигателя, вспомогательного генератора и синхронного
электродвигателя, вращающего центробежный маятник, и изодрома.
Регулирование скорости турбины производится путем изменения
расхода воды, поступающего к направляющему аппарату
гидротурбины через трубопровод.
При этом происходит
изменение ее
вращающего момента.
Составим
дифференциальные уравнения,
описывающие
динамические процессы в
агрегатах этой системы. Для
простоты мы вначале
пренебрежем
переходными процессами в
трубопроводе, представляющем собой систему с распределенными
параметрами, описываемую уравнениями в частных производных.
Влияние трубопровода на процесс регулирования рассматривается
в разделе, посвященном системам автоматического регулирования
с распределенными параметрами.
Уравнение движения ротора гидротурбины запишем в обычном
виде:
J^^Md-Me§ (X.1)
Регулятор
направляющего
устройства
Ойъект
регулиробания
■■" —'ш '
Регулятор
поворота 1
лопастей
Рис. Х.1. Упрощенная схема системы
автоматического регулирования скорости вращения
гидротурбины
где J — момент инерции ротора гидротурбины и главного
генератора;
со — угловая скорость вращения ротора гидротурбины;
Мд — вращающий момент, развиваемый гидротурбиной;
Мс — момент сил сопротивления.
Момент движущих сил зависит от скорости течения воды v,
величины открытия направляющего аппарата z и угловой скорости
вращения гидротурбины со.
Запишем эту зависимость в виде [8]
Мд = -к-хг-9
(О
(Х.2)
где к — коэффициент, зависящий от конструкции
гидротурбины.
382

Произведем линеаризацию уравнения (Х.2) с помощью
разложения в ряд Тейлора по степеням со, z, v (см. гл. IV). Для этого
примем, что
СО = СО0 + А(0;
z = z0 + Az,
где со0, z0, v0 — соответственно установившиеся значения числа
оборотов гидротурбины, величины открытия направляющего
аппарата и скорости воды. Уравнение (Х.2) при отбрасывании членов
разложения второго и более высоких порядков малости примет
следующий вид:
Мд= Uz0^+ 1х!*1о.Л£_1 .ж^о.Д» (ХЗ)
и 2 ° а)0 ' 2 со0 г0 2 (о0 (о0 v '
Из выражения (Х.З) находим значение установившегося
вращающего момента гидротурбины, т. е.
М,0 = !*;„![. (Х.4)
Подставив выражения (Х.4) в формулу (Х.З), получим
*.-«»(l + £-£). (Х.5)
Момент сил сопротивления Мс представим в виде суммы двух
величин:
МС = МС0±ДМС.[1]*, (Х.6)
где Мс0 — установившееся значение момента сопротивления;
АМС [1] — мгновенное изменение нагрузки на гидротурбине
(от подключения или отключения потребителей
электроэнергии).
При подключении нагрузки к генератору в выражении (Х.6)
берут знак плюс, а при отключении — знак минус.
Предположим, что в системе регулирования внезапно
отключена часть нагрузки, тогда выражение (Х.1) с учетом зависимостей
(Х.5) и (Х.6) примет следующий вид:
'з? = Мъ(1 + %-%)-Мл + АМе.[1]. (Х.7)
В установившемся состоянии имеет место равенство момента
движущихся сил Мд0 с моментом сил сопротивления Mc0i т. е.
Мд0 = Мс0. (Х.8)
Тогда формулу (Х.7) можно переписать в следующем виде:
7(о0 da __ АМС [1] Асо , Az (Y Q\
Мд0 * Щ(И ~~ ~Щ0 ~щ ~^~ z^* \ • )
* Здесь и далее в тексте единичная функция обозначается символом [1].
383

Далее, введя обозначения
получим уравнение движения гидротурбины в безразмерной форме
To^ + Y-/o[l] + R. (X.10)
Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа для
случая нулевых начальных условий, будем иметь
или
(Г0*+1)Г(*) = £° + М(а) (Х.11)
T^=vwhr)^ + T^iM^ <х-12>
Чувствительный элемент системы регулирования состоит из
вспомогательного генератора, связанного с валом турбины,
синхронного электродвигателя и центробежного маятника.
Вспомогательный генератор используется для питания синхронного
электродвигателя, вращающего центробежный маятник. Таким образом,
скорость вращения последнего зависит от скорости вращения
турбины.
Будем считать, что на входе центробежного маятника происходит
сравнение скоростей вращения генератора и электродвигателя
центробежного маятника. С учетом синхронности их скоростей
вращения это условие можно записать через относительные
переменные в виде
е(0 = — Уф, (Х.13)
ного маятника
где е (/) — относительная угловая скорость вращения центробеж-
Выведем дифференциальное уравнение центробежного
маятника [3]. При вращении диска маятника вращающиеся грузы,
охваченные лентой, будут расходиться под действием
центробежной силы, значение которой определяется следующей формулой:
fy = bp(o*r, (X.14)
где kp — постоянная, зависящая от конструкции маятника;
г — расстояние от оси вращения маятника до центра тяжести
грузов.
С изменением скорости вращения синхронного электродвигателя
грузы маятника будут перемещаться, воздействуя при этом на
рычаг. Перемещение рычага можно связать g изменением радиуса г
зависимостью г = г (л:), где х — величина перемещения рычага.
384

Разложим в ряд Тейлора правую часть уравнения (Х.14) и,
пренебрегая членами разложения выше первого, получим
ty = kpa>lr0 + 2&pG)0r0 Aco + kpal (^-£j Д*. (X. 15)
Уравнение перемещения рычага представим в виде
mn-M=ty — tc> (Х.16)
где тп — приведенная масса к рычагу всех подвижных частей
маятника;
fc — сила сопротивления, препятствующая перемещению
рычага.
Сила сопротивления зависит от упругости пружины, трения
ленты и приведенного веса груза, и может быть найдена из
следующего соотношения:
fc = kcAx + R0+D§ + G, (X.17)
где R0 — сила предварительного натяжения пружины;
kc — коэффициент жесткости пружины;
D — коэффициент скоростного трения при перемещении ленты
и грузов;
G — вес грузов.
Подставив в уравнение (Х.16) выражения (Х.15) и (Х.17),
ПОЛуЧИМ rf2x
тп№^ кР^Го + 2kp®or<>Дсо +
+ kp^{^)^x-R0-klAx-D§-Q0. (X.18)
Так как для установившегося состояния
G0 + /?о = Могс»
то из уравнения (Х.18) получим
т"% + D Tt + [k* ~ kp< (£)] Д* = 2kp**roAco- (x-19>
Вводя относительную переменную т| =—, приведем уравне-
ние (Х.19) к безразмерной форме:
^Э+г*Э+бт1=8> <х-20>
где
гр2 Мпхт .
р 2kpa>f,r0 '
2kp(s)lr0 '
[kc-kp^)\xm
13 Техническая кибернетика, кн. 1 385

Параметр б обычно называется коэффициентом неравномерности.
Из дифференциального уравнения (Х.20) нетрудно найти
передаточную функцию центробежного маятника в виде
где
2Гр|Лб '
Перемещение золотника вспомогательного гидравлического
серводвигателя представляет собой разность между перемещением
рычага центробежного маятника и штока изодрома.
Запишем это уравнение через относительные переменные в виде
р(0 = л(0 —С(0. (Х.22)
где р (t) — перемещение золотника вспомогательного
серводвигателя;
£ (t) — перемещение штока изодрома.
Уравнение движения поршня вспомогательного серводвигателя,
а вместе с ним и главного распределительного золотника запишем
в виде
Decf = FecAPeCt (X.23)
где Ь — перемещение поршня;
Dec — постоянная скоростного трения;
Fec — площадь поршня вспомогательного серводвигателя;
АРвс — рабочий перепад давлений.
Перепад давлений связан с относительным перемещением
формулой
*Z»L = k,p — к'гО. (Х.24)
Подставляя выражение (Х.24) в уравнение (Х.23), получим
%^ • % + FsXa = Feck,p, (X.25)
где
Ab
JT = G-
Из уравнения (Х.25) нетрудно получить передаточную функцию
вспомогательного серводвигателя
386

где
к<1
Tt =
Decern
вст г *вс
Главный гидравлический серводвигатель управляет
направляющим аппаратом гидротурбины. Так как приведенная масса поршня
движения штока поршня можно записать в виде
d2n \r\ dn
Мспж+оЛ = ЬРсРс, (Х.27)
где -^ — линейная скорость перемещения штока;
Dc — коэффициент скоростного трения гидравлического
серводвигателя;
АРС — рабочий перепад давлений в серводвигателе;
Fc — площадь поршня.
Преобразуем это выражение к виду, удобному для перехода
к безразмерной форме:
FcPm ' пт dt* ^ FcPm * пт dt Рт • VA'Z°/
Отношение давлений пропорционально отношению
соответствующих ходов золотника гидравлического усилителя, т. е.
где kcn — постоянная гидравлического клапана, зависящая от
конструкции золотника и типа применяемого масла.
Угловая скорость вращения вала гидротурбины зависит от
величины перемещения штока серводвигателя.
В относительных величинах эту зависимость представим в виде
£ = *о. (Х.30)
где
An
Учитывая выражение (Х.29), после простых преобразований из
равенства (Х.28) получим
(Tins' + TKns) M (s) = к'Ъ (s), (X.31)
где
Г2 гпсппт .
en— F и >
71 Рспт
* КП Ei г>
13*
387

и k' — k
Передаточная функция гидравлического серводвигателя согласно
уравнению (Х.31) имеет вид
U73(s) = M(S)- *'
2(s) s(T?ns+TKn)'
или
где
^з(*) =
s(T3s+\)'
(Х.32)
k --*
къ — г
1 1
тя =
кп
1 гп
К штифту иентро5ежного
маятнике
Штифт центробежного маятника через рычаг воздействует на
поршень изодрома; стакан последнего перемещается через
систему рычагов от штока
вспомогательного серводвигателя.
На рис. Х.2 приведена схема
изодрома с
кинематическими связями. Как видно из
рис. Х.2, перемещение точки В
определяется по правилу
рычага:
Да = ± Ak,
1\
где /2. и 1Х — плечи
соответствующих
рычагов.
Пружина изодрома
сжимается за счет разности
перемещения штифта
центробежного маятника и штока
вспомогательного
серводвигателя:
Д/ = Аа — Аи =
Рис. Х.2. Кинематическая схема изодром-
ного устройства
= -^Ak — Au=iAk-
где i — передаточное число изодрома.
Запишем уравнение движения изодрома в виде
(Pk_f n dh
тпи dt2 — JnP + ии dt>
где h — относительное перемещение поршня изодрома;
тпа — масса поршня изодрома;
Du — коэффициент демпфирования;
fnp — сила поджатия пружины.
388
-Аи,
(Х.ЗЗ)

Полагая, что тпи = 0, получим
kaAl + Du§ = 0, (X.34)
где ku — коэффициент жесткости пружины.
Учитывая формулу (Х.ЗЗ), перепишем уравнение (Х.34) в
следующем виде:
D* ш ~ D» ж ~ *«А" + *«*** = °' (х-35)
Вводя в уравнение (Х.35) принятые относительные
переменные, получим
r/| + £ = rBpf+ ^, (X.36)
где постоянная изодрома Ти= -^.
Относительное перемещение
Д/г
где km — максимальная величина перемещения точки Д;
f Ац . ft ^m .
um um
и постоянная относительной неравномерности
Из выражения (Х.36) следует, что передаточная функция
изодрома имеет вид
7 (*\ - £М - Р7"3 + х
^lW-M(s)"" r„s + l '
или
X
z*(*>- V,.+i • <x-37>
#4 — ^> Г4 — -г-; 15 — Tu,
Вводя обозначения
= >• т. =
получим передаточную функцию изодрома в окончательном виде:
2*(а>-"*'гУ++11)- (Х-38)
389

Итак, передаточные функции элементов регулятора
направляющего аппарата гидротурбины имеют вид
Wl (S) — rasa + 2lxTts + 1 '
W3(s) =
T2s + 1 '
s(T3s+\y
(X.39)
7 M — jMZii±iI
zi W - r5s + 1 •
Составим теперь структурную схему всей системы и определим
ее передаточные функции. Эта структурная схема, составленная в со-
е
Т^М^г
ВД=--£>-
Wp(s)
W0(s)
w f foil]
T2s+1
W3(s)-
k3
s(T3s+1)
ЗД =
T5s+1
a)
T0s+1
TTw
Рис. Х.З. Структурная схема системы
автоматического регулирования скорости вращения
гидротурбины:
а — с регулятором положения поворотных лопаток
направляющего аппарата; б —преобразованная структурная
схема
ответствии с рис. Х.1 и формулами (Х.12), (X.39), (X.13) и (Х.22),
приведена на рис. Х.З. На структурной схеме в пунктирный
прямоугольник заключены элементы, входящие в состав регулятора.
Согласно структурной схеме передаточная функция регулятора
имеет вид
w м - М(£) - ^i (s) w* ^ w* (s)
pl,"E(8)- \ + W2(s)W3(s)Z1(s) >
или в развернутой форме, учитывая выражение (Х.39),
k±k2ks
М (s)
(Х.40)
Wp(s) =
E(s)
s (7?s» + 26^x8 + 1) (T2s + I) (TMs + 1)
M3MF4S+ 1)
1 +
(X.41)
*(П*+\)(Тл8 + \)(Ть$ + 1)
390

Заменяя в выражении (Х.41) Е (s) через — Г (s) и подставляя
полученное выражение в уравнение (Х.12), получим
^0
Г(8) = •
s(T0s+\)
k0k1k2k3
s(T0s + \)(T^ + 2lTis + \)(T2s + \) CTas+l)
1 + -
откуда
s(r2s + l) (7\3s+l) (res + l)
W(s) =
s (r0s + 1)<rfsa + 2gtrlS + 1) (ras + 1) (Tss + 1)
I
MsM^s+l)
(X.42)
(X.43)
s(r2s+l)(r3s + l)(r6s + l)
В рассматриваемом нами случае k0= 1 [см. выражение (Х.12)].
ff
T/sWSrfs+l
№А
*2
T2s+1
*.'
7i'*+/
(У
/гл
^5J+^
Ki(T+s+1)
T5s + 1
/ъ
Mi
к?
s(T7s+1)
\^Ш^ш^рщлирования |
Программны^
кулачок
Ф
Кб
T6s+1
Рис. Х.4. Структурная схема системы автоматического
регулирования с двумя регуляторами
В заключение рассмотрим передаточную функцию радиально-
осевой гидротурбины с учетом влияния двух регулирующих
устройств: поворотных лопаток направляющего аппарата и
поворотных лопастей рабочего колеса [5]. В этом случае уравнение (Х.12)
должно быть заменено следующим выражением:
Г(5>=(7^М^ + (Т^1)М^
(Х.44)
391

В уравнении (Х.44) принято, что / (t) — 0. Передаточные
функции элементов регулятора поворота лопастей рабочего колеса
запишем в виде
V <х-45>
На рис. Х.4 показана структурная схема системы
автоматического регулирования радиально-осевой гидротурбины. Объект
регулирования, имеющий два регулирующих устройства, на
структурной схеме выделен в пунктирный прямоугольник.
2. ЭЛЕКТРОННЫЙ РЕГУЛЯТОР НАПРЯЖЕНИЯ ВЭИ
В электронном регуляторе напряжения ВЭИ для получения
желаемой характеристики компаундирования применены
трансформаторы тока и напряжения (рис. II 1.5). Результирующее напряжение
на входе трансформатора Трг измерительного элемента
формируется трансформатором тока и напряжения. Отклонение
напряжения от требуемого значения на входе трансформатора Трг при
изменении напряжения синхронного генератора СГ (иа) вызывает
изменение напряжения от установившегося значения на выходе
трансформатора:
иг = kTlua, (X.46)
где kT1 — коэффициент трансформации.
Передаточную функцию трансформатора запишем в виде
Напряжение на выходе нелинейного моста щ определяется за-
висимостью uf = kMul, (X.48)
где kM — передаточный коэффициент моста.
Напряжение uf с выхода нелинейного моста поступает на
четырехполюсник, состоящий из сопротивления R1 и емкости С4.
Дифференциальное уравнение четырехполюсника можно
представить в виде du
Tn^r + un = uf, (X.49)
где ип — напряжение, поступающее на сетку лампы Л2 (рис. II 1.5);
Тп = Rfii — постоянная времени четырехполюсника.
Подставляя зависимость (Х.48) в уравнение (Х.49), найдем
передаточную функцию моста совместно с четырехполюсником в
следующем виде: // /„ч и
392

Числовое значение произведения коэффициентов kT1kM можно
определить, пользуясь статической характеристикой
измерительного элемента (рис. Х.5). Для рабочего диапазона напряжений ka
от 50 до 80 в имеем kT1kM = 2,5.
Из принципиальной схемы
электронного регулятора напряжения
(рис. II 1.5) видно, что на сетку
лампы Л2 поступает разность двух
напряжений
us = un — uc1 (X.51)
60
40
20
О
-20
tga=kTikrt
1
7
/
г
о
40
80
иьб
где us — результирующее
напряжение на сетке лампы;
ис — напряжение обратной связи.
Напряжение на выходе первого Рис х 5. Статическая характе-
каскада электронного усилителя равно ристика измерительного эле-
i. /v cro\ мента
ит = k,us, (X.52)
где ky — коэффициент усиления первого каскада электронного
усилителя.
Следовательно, передаточная функция электронного усилителя
W^ = W)-kr
(Х.53)
Обозначив напряжение на выходе тиратронного усилителя ив,
передаточную функцию оконечного
каскада можно записать в
следующем виде:
ив,6
tgp = kyl<Ty
_-^
/
/
\
А
IS*
чОО
50-
ад=ё§=*
Ту у
(Х.54)
где £
Ту
40 -5 0 и3,в
Рис. Х.6. Статическая
характеристика усилителя
коэффициент усиления
оконечного каскада.
Числовое значение
коэффициентов усиления первого и
оконечного каскадов усилителя может
быть определено по статической
характеристике (рис. Х.6). Для
линейного участка статической
характеристики имеем
Кк — f^Y ту
20.
С выхода оконечного каскада усилителя напряжение поступает
на обмотку возбуждения возбудителя, затем якоря генератора
постоянного тока и обмотку возбуждения синхронного генератора.
Дифференциальное уравнение для обмотки возбуждения возбуди-
393

теля, якоря генератора, питающего обмотку возбуждения
синхронного генератора, запишем в виде
ТеТр^- + (Тв + Тр) d£ + Up = keUe, (X.55)
где ив — изменение напряжения на зажимах обмотки возбуждения
генератора переменного тока;
Тв — постоянная времени обмотки возбуждения генератора
постоянного тока;
Тр — постоянная времени обмотки возбуждения генератора
переменного тока.
Передаточный коэффициент ke в дифференциальном уравнении
(Х.55) можно найти по статической характеристике возбудителя
U/tJ
100
А
J>
V
tg/-*e
UgA
200
100
tgd^Kq
/У
"" ^\
30
Ue,6
100
200
U/j J
Рис. Х.7. Статическая
характеристика возбудителя
Рис. Х.8. Статическая
характеристика генератора
(рис. Х.7). Применив к уравнению (Х.55) преобразование Лапласа,
получим выражение для передаточной функции возбудителя
w/ (с\ — Up (s) kft
где Г» = ТвТр;
I-
T*s2 + 2lTs+ Г
Тв+Тр
(Х.56)
2УТвТ>
влр
Дифференциальное уравнение синхронного генератора запишем
в виде [6]
(Х.57)
Tg -j* + ug — kgup.
Его передаточная функция, согласно уравнению (Х.57), имеет
вид
We(s) = rrg^ =
kn
(Х.58)
Up (s) Tes+\*
где kg — передаточный коэффициент синхронного генератора;
Tg — постоянная времени синхронного генератора.
Передаточный коэффициент синхронного генератора может быть
также определен по его статической характеристике (рис. Х.8).
394

В качестве корректирующего устройства в электронном
регуляторе применена схема, состоящая из потенциометра /?6,
конденсатора С3 и сопротивления R5 (см. рис. III.5). Дифференциальное
уравнение этого корректирующего устройства имеет вид
рир = 1'с#5 + ^ § icdt,
(Х.59)
где р — коэффициент обратной связи;
ic — ток, протекающий по сопротивлению R5.
04 кь
Рис. Х.9. Структурная схема электронного регулятора напряжения
Продифференцировав уравнение (Х.59), получим
(Х.60)
Тс£ dup
dt
с dt ^ с'
где
Согласно уравнению (Х.60) передаточная функция
корректирующего устройства имеет вид
Z (s) - Uc(s)
Zl W ~ Un (s)
prcs
(X.61)
■'p Iй; ^cs + I'
Итак, передаточные функции элементов системы определяются
следующими формулами:
W1(s) = kTt;Wt(s) = 7^ri;
Ws(s) = ky;Wt(s) = kTy;
ka \ (X.62)
™ь\ь) — Ps2+26rs+l'
К этим формулам добавим уравнение сравнивающего элемента
электронного регулятора [формулу (Х.51)], которое в операторной
форме будет иметь вид
Us(s) = UH(s)-Uc(s). (X.63)
На рис. Х.9 изображена структурная схема электронного
регулятора напряжения. По структурной схеме нетрудно найти переда-
395

точную функцию всей системы с разомкнутой главной обратной
связью:
w /,ч __ Wi (8) W2 (s) W3 (s) W4 (s) W5 (s) W6 (s) (X fi.
w W ~ i + Ws (s) Wa (s) Wh (S) Zl (s) ' • 1Л "°*'
Подставляя в формулу (Х.64) выражения (Х.62) для
передаточных функций элементов системы, получим
kTlkMkykTykekg
w (TW+2tTs + l)(Ts+l)(TKs+l) X65
1 , kykTyk$TcS '
"I" (pS2 + 2%Ts + 1) (7> + 1)
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
ф (s)" ,, kw» ■ <х-66>
I + ^~ (T*s* + 2lTs + \)(Tcs+ 1)
kTlkMkykTykekg
(Ps2 + 2%Ts + 1) (Tns + \){TgS + I)
3. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МОЩНОСТИ ЯДЕРНОГО
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РЕАКТОРА НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
В систему автоматического регулирования ядерного
энергетического реактора по мощности (рис. III. 8) входят: задатчик
мощности, электронный усилитель, управляемый соленоид,
гидравлический клапан, гидравлический силовой цилиндр, реактор,
ионизационная камера, тахогенератор и четырехполюсник. Рассмотрим
дифференциальные уравнения и передаточные функции элементов
этой системы.
Задатчик мощности (рис. III.8) образует сигнал ошибки,
характеризующий отклонение заданного уровня мощности от текущей
мощности реактора, и, кроме того, служит компенсатором
нелинейности, вызываемой зависимостью коэффициента усиления реактора
от величины нейтронного потока. В соответствии с этим сигнал от
ионизационной камеры ик пропорционален выходной мощности
реактора (иначе говоря, пропорционален числу нейтронов в активной
зоне). Напряжение, пропорциональное заданной мощности реактора,
обозначим через и0, а напряжение питания — через еб.
Считая, что уровень мощности пропорционален перемещению
движка задающего потенциометра D, можно написать
и* - /?, + DRn Uk ~~ еб>
где 0 ^ D ^ 1.
При ик = и0 имеем иг = 0 и
вб ^ Pi+DRn u°-
396

Итак,
ll° = Rx + DRn (UfC ~tl^'
Из схемы сравнения легко видеть, что
Ri + DRn "о'
поэтому
и^еб[^\ (Х.67)
В выражении (Х.67) будем считать, что ик — kn(n— плотность
нейтронного потока), аа0 = knQi после чего выражение (Х.67)
примет вид
ие = еб^^, (Х.68)
НО
п — п0 = п6
и, следовательно,
и& = еЛ. (Х.69)
nt
Из выражения (Х.69) найдем передаточную функцию задающего
устройства в виде // /«\ -
На входе электронного усилителя суммируются два напряжения
иг и ис (напряжение обратной связи).
Уравнение суммирующего устройства запишем в виде
Uy(s) = U.(s)-Uc(s). (X.71)
Передаточную функцию электронного усилителя запишем в
обычной форме //,/<л
W2(s) = UJ^ = ky, (X.72)
где ky — коэффициент усиления электронного усилителя.
С выхода электронного усилителя сигнальное напряжение
поступает на дифференциальные обмотки соленоида. В зависимости
от полярности этого напряжения якорь соленоида будет
перемещаться влево или вправо. Якорь соленоида удерживается в
нейтральном положении пружиной.
Дифференциальное уравнение соленоида имеет вид
П ^f + Тк ^ + х3 = k3uf, (X.73)
Т _ ™з. „ №% h - *?с
77Г' с*
397

т3 — масса золотника;
с — жесткость пружины;
г|> — постоянная потокосцепления соленоида;
ic — номинальный ток в катушке соленоида;
R — омическое сопротивление катушки.
Из уравнения (Х.73) получим
W (я\ — X3(s) __ кз
w з УМ ~ uf(s) *~ 7>2 + 2%3T3s + 1'
где
Т= Т
(Х.74)
ж»
Составим дифференциальные уравнения для гидравлического
силового цилиндра.
Количество масла, протекающего через левое и правое
дросселирующие отверстия, определяется по формулам
<7i
02
= \*>Ьхз у j (Ро — Pi)
= \ibx3 у -
Р2:
(Х.75)
где qt и q2 — расходы масла, протекающего через левое и правое
отверстия золотника;
\i — коэффициент расхода масла;
b — ширина щели золотника;
р — плотность масла;
Ро — давление масла на выходе насоса;
Р\ и Р2 — давления масла в левой и правой полостях
цилиндра.
Уравнения расходов масла с учетом объемного сжатия имеют
вид
fi-^ + fiP^
dt
Q2 = F
dx
Уф
dp2
dt w 2r dt ' j
Уравнение движения штока поршня цилиндра
m
dbc
dt*
= F{Pi — P2)-
(X.76)
(X.77)
В уравнениях (Х.76) и (Х.77) применены следующие
обозначения:
m — масса поршня со стержнями;
F — площадь поршня;
398

Vx и V2 — начальные объемы в полостях цилиндра;
Р — объемный коэффициент сжатия;
jr — скорость перемещения поршня.
Линеаризуем эти уравнения, положив
Р\ = Рю + APi". Р2 = Р20 + ДР2; *з = *зо + &х3\ х = х0 + Ах.
В результате получим
Aqx = \хЬАх3 ]/ ~ (Ро — Рю) — Vbx30 ]/ j • 2^L_;
д<?2 = |гбДх31/ 4 рзд + lifatf I/ 4 • 01/А/72 ;
л л ^ tf Ал; . т/ 0 с?А/?1
Л(?2 - г dt -f- 1/2р л ,
m^ = /?(APi —
Довыполняя ряд преобразований, найдем дифференциальное
уравнение гидравлического привода в виде
mVVVifo d3Ax . тцЬхз0 TY d*Ax , орл/о- dAx
F dW H F~ V 7 ' "3F + Zt V *?* "rfT =
= 2ц&р0|/Г|-Аха; (Х.78)
1/1 = У2=У.
Согласно уравнению (Х.78) передаточная функция
гидропривода имеет вид
W* ® = A^if = s (Г»в» + 2|rs + 1)' (Х*79)
где
г = 1/^-
t = И^*зо -./" 2ОТ .
6 4F У Vp0fa '
, __ \Lbxao -| />Q
^ ~ ~F^ V р '
Поршень связан механической передачей с управляющими
стержнями реактора.
Передаточная функция механической передачи
^•(*) = jj$=*p. (X.80)
399

где kp — коэффициент, обратный передаточному отношению
механической передачи.
Предположим, что между перемещением стержня / (t) и
реактивностью 8К (t) установлена линейная связь, тогда получим
uK(i) = kcl(t),
тогда передаточная функция регулирующего стержня
С изменением реактивности в ядерном энергетическом реакторе
происходит процесс нарушения нейтронного равновесия.
Определить передаточную функцию реактора можно при
помощи уравнений кинетики. Как известно из работ [9] и [10],
уравнения кинетики реактора без учета влияния температуры и
отравления продуктами распада могут быть представлены в виде двух
зависимостей:
g = ^«+2>A; (X.82)
*% = &-%&, (Х.83)
где п — плотность нейтронного потока;
8К — реактивность при линейном перемещении стержней;
$i — доля запаздывающих нейтронов i-й группы;
р — суммарная доля запаздывающих нейтронов;
1 .
т время жизни запаздывающих нейтронов i-и группы;
Ct — концентрация носителей запаздывающих нейтронов i-и
группы;
/* — среднее эффективное время жизни нейтронов.
Суммарная доля запаздывающих нейтронов может быть
представлена в виде суммы долей запаздывающих нейтронов i-и группы:
Р = £ Pi- (X.84)
Использование уравнений (Х.82) и (Х.83) для анализа и
синтеза систем автоматического регулирования ядерными реакторами
представляет значительные трудности из-за нелинейности
дифференциального уравнения (Х.82).
400

Для упрощения задачи линеаризуем систему уравнений
(Х.82)—(Х.84), предварительно приведя их к более удобному
виду, т. е.
dn Ьк
It ~l*n
dCiu
dt
(X.85)
Для линеаризации уравнений (Х.85) переменные nh Ct и б^
представим, как обычно, в виде суммы двух величин:
установившихся значений, обозначенных индексами нуль, и малых
отклонений от установившихся значений с индексом е:
п = п0 + я£; |
С^С^ + С^ (Х.86)
6* = 0 + б,е. j
Подставив уравнения (Х.86) в выражение (Х.85), найдем
dt ~ /* °кв Id dt '
i=\ \ (X.87)
dt
/* s
^ As-
Уравнения (Х.87) являются линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами. Применив к этой
системе уравнений преобразование Лапласа при нулевых
начальных условиях, получим
sJV,(s) = X(s)-s2C'e(s);
I* ^ке
sCh(s) = ^NAs)-hCiAs),
(X.88)
откуда нетрудно найти передаточную функцию реактора W„ (s):
«М*) = ^ —
А*£ (s)
Введя обозначения
1
б
1l-
kjl*
1
(Х.89)
функцию реактора в следующем виде:
Wp(s)-^ 1-
Т{ и y~j^ = kh получим передаточную
А*е (8)
£ = 1
По
(Х.90)
401

Преобразовав выражение (Х.90) и вычислив корни
характеристического уравнения, получим окончательное выражение для
передаточной функции ядерного реактора:
_ (TlS + 1) (T2s + 1) (T3s + 1) (T,s +1) (T5s + 1) (Tbs + 1) p4 ,y qn
s (T[s + 1) (7> + 1) (T',s + 1) (7> + 1) (r;s + 1) (^s + I)-/»' *Л'*1;
где
P =
TiT2T9TATbT9
Для обеспечения устойчивости системы автоматического
регулирования ядерного энергетического реактора применено
параллельное корректирующее устройство (рис. II 1.8), состоящее из
редуктора, тахогенератора и четырехполюсника.
ТС5*1
(-Тгкт£
^fts+WiS+WhsWbsWsS+lXTBS+l)
siT^m^^s^^a^^ssm^)
Рис. Х.10. Структурная схема автоматического регулирования мощности
ядерного электрического реактора
Запишем передаточные функции этих элементов системы в виде:
для редуктора
7 лл _ Л* («)_,-
где М (s) — угол поворота тахогенератора,
(Х.92)
1Тг — передаточное отношение редуктора тахогенератора;
для тахогенератора
иТг (s)
^2 Vs) = Д| /s\ == КТгй)
где £/Тг — напряжение на выходе тахогенератора;
kTz — крутизна характеристики тахогенератора;
(Х.93)
для четырехполюсника
6 w UTo (s)
Tcs
где Тс — постоянная времени четырехполюсника.
402
(Х.94)

Структурная схема системы автоматического, регулирования
ядерным энергетическим реактором на тепловых нейтронах
изображена на рис. Х.10.
Система состоит из двух контуров: внутреннего, образованного
приводом, тахогенератором и корректирующим устройством, и
внешнего, состоящего из замкнутого внутреннего контура,
ядерного реактора, ионизационной камеры и сравнивающего устройства.
Передаточная функция всей системы с разомкнутой главной
обратной связью имеет вид
w^= 1-н£(») ■ (Х-95)
где
*'e6kyk3kdkPkC {T1S+ ]) {T2S+ *> (735 + *> < V + Ч ( V+ !) < V+ 1)
l*s*(T'lS + \) (T'2s + \) (T'ss + \) (T'4s + \) (T'bs+ 1)(Г>+1) X
X(T23s2 +2Z3T3s+\) (T2s2 + 2lTs+\)
/ a
(7|sa + 2E Ts+\) (Г252Н-2£Г5 + 1) (Г.в + 1)
а передаточная функция замкнутой системы
фм=ттт*)- (Х-96)
4. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ
Упрощенная блок-схема системы автоматического
сопровождения одного канала углового сопровождения радиолокационной
станции SCR-584 показана на рис. Х.11. Устройства системы,
обведенные штриховой линией, представляют блок выделения
сигнала ошибки БВСО.
К числу этих устройств следует отнести: антенну со
сканирующим устройством Л, приемник ПРУ детектор сигнала ошибки ДСО,
усилитель У, коммутатор К и сглаживающий фильтр СФ.
Напряжение с выхода фильтра через усилитель постоянного тока УПТ
поступает в электромашинный усилитель ЭМУ. Последний питает
электродвигатель ЭДв, который через редуктор Р связан с
параболоидом антенны механической связью (на рис. Х.11 эта связь
показана штрих-пунктирной линией). В корректирующее
устройство системы входят мостовая тахометрическая схема МТС,
четырехполюсник ЧК и электронный усилитель обратной связи ЭОС.
Угловая ошибка следящей системы радиолокационной станции
определяется в виде разности двух углов:
в(0=«(9-*('). (Х.97)
403

где
g (t) — угловое положение линии визирования;
х (t) — угловое положение оптической оси антенны.
При отклонении оптической оси антенны от направления на
цель на выходе приемника возникает напряжение
где kx — коэффициент усиления высокочастотного тракта
радиолокационной станции.
Г
!L
i__
3
т
j
i
ЭОС
ill
v/ci
Рис. Х.11. Блок-схема канала углового сопровождения радиолокационной
станции:
/ — предварительный усилитель; 2 — оконечный каскад усилителя постоянного тока по
прямой цепи; 3 — оконечный каскад усилителя постоянного тока в цепи обратной связи
Передаточную функцию высокочастотного тракта станции
запишем в виде
(Х.98)
*i<s> = ТЩ- в*"
Напряжение их поступает на вход детектора сигнала ошибки,
принципиальная схема которого показана на рис. Х.12.
Обозначим через Rt — внутреннее суммарное сопротивление
диода и генератора сигнала ошибки [4], тогда напряжение
генератора сигнала ошибки будет
U1(s) = (Ri + Z)I(s),
гХ.99)
где / (s) — изображение тока генератора сигнала ошибки;
Z — импеданц схемы, состоящей из омического
сопротивления и емкости Сг на входе детектора.
Очевидно,
Z Rx ^ ±_'
Сх5
404

или
Подставляя выражение (Х.100) в уравнение (Х.99), получим
<Ms)=^(^Cl8+l)/(s). (X.101)
Напряжение на входе детектора сигнала ошибки
иг (s) = Zl (s) = RJi1s + { I (s). (X. 102)
Передаточную функцию детектора сигнала ошибки можем найти,
взяв отношение напряжения на выходе U2 (s) к напряжению на
входе Uiis).
Итак,
/?i
W^ = ir§= I 1iCr£[ V <ХЛ03>
Введем следующие обозначения:
^1 1L . AlRj p гр
тогда вместо выражения (Х.103) можем написать
W^S)=ZT^+~V (Х.ЮЗа)
Напряжение с выхода детектора проходит через усилитель,
коммутатор и сглаживающий фильтр. Упрощенные
принципиальные схемы этих устройств следящей системы радиолокационной
станции также показаны на рис. Х.12.
Напряжение на выходе фильтра
Us(s) = k3U2(s), (X.104)
где &з — передаточный коэффициент усилителя и коммутатора.
Передаточную функцию фильтра запишем в виде
_1_
Wi{s) = Й$ = T^ffrr-^ whWi- (ХЛ05>
где
Тг = С2&2; Th = ■—.
/<2
405

Согласно выражениям (Х.104) и (Х.105) общая передаточная
функция усилителя, коммутатора и сглаживающего фильтра может
быть записана в виде
W (q\ — UfW —
wзW ~ u2(s) - TrTks* + Trs + \-
С помощью обозначений
получим выражение (Х.106) в виде
W^ = Г^ + гЕфГфв + Г
(Х.106)
(Х.107)
Управляющее напряжение ur(t) поступает на вход усилителя
постоянного тока (см. рис. Х.11), на выходе которого включены
И
f^lO
£! Опорное
fl напряжение
Детектор сигнала
ошибки
Коммутатор
\Сглажи6ающий
фильтр
Рис. Х.12. Упрощенная принципиальная схема детектора и усилителя сигнала
ошибки, коммутатора, сглаживающего фильтра радиолокационной станции
навстречу друг другу управляющие обмотки ЭМУ. Напряжение
на выходе предварительных каскадов УПТ определяется через
коэффициент усиления k±\
Ufl(t) = ktUr(t),
откуда находится передаточная функция предварительных
каскадов УПТ
^4 iS)- £/r(s) — *4-
(Х.108)
Анодные токи ламп выходного каскада протекают по
управляющим обмоткам ЭМУ, и результирующий поток управляющей
обмотки создается разностью этих токов (т. е. ifl — if2 = t/)- Ниже
ток управления ЭМУ будем обозначать через if.
406

Для вывода дифференциальных уравнений ЭМУ и
электродвигателя воспользуемся обозначениями, показанными на рис. Х.13, а.
Уравнение переходных процессов в управляющей обмотке ЭМУ
можно записать в виде
uf = Rfif + Lf%9 (X.109)
где Rf, Lf — омическое сопротивление и индуктивность
управляющей обмотки.
/ К антенне
5)
05мотка
~Z у продления
7 ЭМУ
Рис. Х.13, Принципиальные схемы устройств радиолокационной станции:
а — электромашинного усилителя и электродвигателя привода антенны; б —
корректирующего фильтра
При вращении якоря ЭМУ вспомогательным электродвигателем
между короткозамкнутыми щетками образуется э. д. с, величина
которой при полной компенсации реакции якоря запишется в виде
(Х.110)
diK
ек = kjf = (Rg + Rj) iK + (Lq + Lj) ~£,
где Rq\ Lq — омическое сопротивление и индуктивность
поперечной цепи якоря;
Rj\ Lj — омическое сопротивление и индуктивность
дополнительной (сериесной) обмотки;
kK — коэффициент усиления первого каскада ЭМУ по току.
Неподвижный поперечный поток, в свою очередь, при вращении
якоря создает э. д. с. еа на продольных щетках:
еа = KU = Ыа +т^[%г + Rd) ia +
+ [Ld
Ro
Ru "Г ^VO
'aRu + Ro+ d)dt + *' dt>
(X.lll)
407

где Rd, Ld — омическое сопротивление и индуктивность якоря по
продольной оси;
Ruy Lu — омическое сопротивление и индуктивность
компенсирующей обмотки (поток компенсирующей обмотки
всегда направлен навстречу потоку реакции якоря);
Rdi Ld — омическое сопротивление и индуктивность якоря
электродвигателя;
R0 — шунтирующее сопротивление, позволяющее получить
требуемую степень компенсации ЭМУ;
ke — постоянная противо-э. д. с. электродвигателя
привода антенны;
ka — коэффициент усиления второго каскада ЭМУ по току.
Уравнение движения электродвигателя запишем в обычном
виде:
Jnd~^ = Md-MCf (X.112)
где Jn — приведенный к валу вращения электродвигателя момент
инерции антенны и других вращающихся частей;
Мд — движущий момент;
Мс — момент сопротивления.
Так как электродвигатель привода антенны имеет независимое
возбуждение, то его движущий момент определяется следующей
зависимостью:
Md = kMia, (Х.113)
где kM — моментная постоянная электродвигателя.
Будем считать, что момент сопротивления на выходе ЭМУ
пропорционален скорости вращения электродвигателя, тогда получим
Mc = Dd-^. (X.114)
Подставляя в уравнение (Х.112) выражения (Х.113) и (Х.114),
найдем
J^+D-df = k^ (ХЛ15>
Применяя к уравнениям (Х.109)—(Х.111) и (Х.115)
преобразование Лапласа, получим следующую систему уравнений:
1Ш = {Т,в 4-1)7/(5);
^If(s)=(TKs+l)IK(s);
kf U (s) = (Tas + 1) /а (s) + £- звд (s);
kMIa(s) = s(Jns + D)Bd(s);
408
(X.U6)

где
'Г ^/_. Т" Lq -f- Z,y #
'/-/?,> 'к- /?, + /?,'
L^ — Lu p 1°п + Ld
7^ ^д "г Ао
* /7.
b + jg&Z+t'
Rft = Rg + #/> Ra — Rd~\- ft A- ft + ^<?.
При практически полной компенсации ЗМУ постоянная
времени Та мала и ею можно пренебречь.
Тогда, исключив из системы уравнений (Х.116) /a(s), получим
Ш /я\ ®д (s) ^?/^?к (RgP "Ь ^е^ж) /у ллп\
в-7 () ~ U,(s) ~ s (Tds + 1) (TKs + 1) (7> +1)' (ЛЛ1 '>
где
Т"_ DRa + kekM
д —
Передаточную функцию привода W61 можно представить себе
состоящей из двух передаточных функций:
передаточной функции ЭМУ
и передаточной функции электродвигателя
^(s>= .(tJ + г)' <ХЛ17б>
k
где kj = j±- — коэффициент усиления первого каскада
ЭМУ по напряжению;
k
Ьц ^ ~~п~ — коэффициент усиления второго каскада
ЭМУ по напряжению;
k
kd= в пл-ь ь передаточный коэффициент электродвига-
теля.
Рассмотрим тахометрическую обратную связь следящей системы.
(рис. Х.13, а). Уравнения моста запишем в следующем виде:
U (s) (Rc + Rd) + kesbd (s) = / (5) (RL + R2yt 1 j
UAs) = Hs)R1-Ia(s)Rc. )
Значение тока Ia(s) определим из уравнения (Х.115):
М*)= S^! + D) едф. (Х.П9)
40&

Исключив из уравнений (Х.118) и (Х.119) Ia(s) и / (s), получим
следующее выражение для выходного напряжения моста:
".<'>=т^М^(*»-*«г) + lh(s)- (ХЛ20)
Положив для простоты в уравнении (Х.120) D = О, получим
Us(s)=^^s[Tdos+l]bd(s)t (X.121)
где
Заметим, что
1 —
АСА2
Ra RiRa i Rd Ra
p p p p p
При балансе моста имеем ^ = 1, тогда выражение ^ — ^—^
обращается в нуль. В этом случае напряжение на входе моста
пропорционально скорости вращения якоря электродвигателя.
Учитывая нагрузку Сх на входе тахометрического моста,
уравнение (Х.121) примет следующий вид:
ад=7^^т£ттМ*). (Х.122)
Ri + Ъ
Сг.
Из выражения (Х.122) определим передаточную функцию
тахометрического моста:
7 /с\ _ *М») _ У(У + 1) (х м\
Zi(s)-"Mi)- 7>+1 ' {ХЛ26)
где
ь - Rlke
Напряжение с выхода тахометрического моста поступает на
корректирующий фильтр, нагрузкой которого является выходной
потенциометр Rn (рис. Х.13, б).
Передаточная функция корректирующего фильтра имеет вид [7]
L^ W ~ Us (s) ~
№nC9RpCx(^s+l)s*
\R? L . (X.124)
RpCx (RnC9s + ^ + lj \**- s + 1) + RnCfs + 1
410

Разделив числитель и знаменатель выражения (Х.124) на-
RpCxRaC„ получим
Z2(s) =
= - 1 с \7ГР ~\ i i • <ХЛ25>
RnCf ' V^f° ^С^ЧЩ°^Ч^ЯРСХ°^ RpCxRnC9
Выражение (Х.125) можно преобразовать к следующему виду:
7 М - Р(У+1>*2 (Х 196Y
Z2(S) - Т18ь + а28*+агз + а0 ' (Х.126>
где
L Тг Тт
т —tm.. п — £ 1 L_4-l*
lL~~Rp> a*~ RnCx^ RnC9^l>
_ 1 1 . 1_# 1
RnPx RpC\ RnCp' RpC\RnP$
Разлагая знаменатель выражения (Х.126) на элементарные
множители
TLX* + а.р + агК + a0 = TL(l- %г) (X — Ьа) (К — Х3) = 0
и вводя обозначения
г/г= — ^; 21п®п = —(К + Ю>
со* = Х2Х3у
получим
22(s) = ^т^ 5 т. (Х.127)
Напряжение с выхода корректирующего устройства поступает
на электронный усилитель обратной связи (см. рис. Х.11).
Передаточная функция последнего
Z8(s) = ^ = *j» (Х-128)
где ky — коэффициент усиления усилителя обратной связи.
Напряжение с выхода усилителя обратной связи поступает на
экранные сетки выходных ламп, где происходит их алгебраическое
суммирование с сигналом, поступающим от сглаживающего фильтра
(т. е. от сигнала прямой цепи схемы).
После усиления конечным каскадом сигнальное напряжение
поступает на управляющие обмотки ЭМУ.
Итак,
uf(t) = ufl(t) — uft(t). (X.129)
411

Передаточная функция оконечного каскада УПТ в прямой
цепи может быть представлена в виде
Wb(s)
К
(Х.130)
где kb — коэффициент усиления оконечного каскада УПТ в цепи
обратной связи (между управляющей сеткой и анодом).
Передаточная функция оконечного каскада УПТ по цепи
обратной связи имеет следующий вид:
^* Is'- Uy(s) -*r>
(Х.131)
где kr — коэффициент усиления оконечного каскада УПТ в цепи
обратной связи между экранной сеткой и анодом.
Коэффициент усиления УПТ в прямой цепи будет
где куПт — полный коэффициент усиления в УПТ в прямой цепи.
Передаточную функцию механической передачи от антенны
к электродвигателю представим в виде
* *(*) = £&
1
Ms)
(Х.132)
где ip — передаточное число редуктора.
Структурная схема системы, из которой видно, что следящая
система радиолокационной станции состоит из контура гибкой
обратной связи с передаточными функциями Z^s), Z2(s) и Z3(s) и
главного контура, приведена на рис. Х.14.
g(t)^x(t)
*1
и.
И2
TdS*1
иг
«3
Гф5г+21ФТФ5*1
иг
ч
uhs-^yt
F0
(Tfs+l)(TKs+D
*д
s(Tds+1)
Щ(Т^
(Тп^Щ*2^
x(t)
Ks(^gSb1)s\
bs + 1
Рис. Х.14. Структурная схема следящей системы радиолокационной станции
Пользуясь структурной схемой для передаточной функции
системы по каналу угла места цепи с разомкнутой главной
обратной связью, получим следующее выражение:
W (5)
_ Wx (s) W2 (s) W3 (s) W* (s) Wb (s) W6 (s) W7 (s) W8 (s)
1 + W6 (s) W, (s) Zx (s) Z2 (s) Z3 (s) Zt (s)
(X.133)
412

или в развернутом виде
W(s) =
klk2k3kikbkIkIlkd ~fp
s (Tds + 1) (Г&5« + 21ФТФ. + 1) (Tfs + 1) (TKs + 1) (7> + 1)
V//WA^U) (V + 1)(V + 1)
1 + (Tfs + 1) (TKs + 1) (7*s + 1) (Tns + 1) (7> + 1) X
Передаточная функция следящей системы радиолокационной
станции по каналу азимута имеет тот же вид, что и по каналу
угла места цели.
5. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ
ЛЕТУЧИХ НОЖНИЦ
Система автоматического управления универсальных летучих
ножниц ВНИИМЕТМАШа состоит из двух одинаковых по своей
структуре силовых синхронно-следящих систем с
комбинированным управлением. Поэтому вывод дифференциальных уравнений
и передаточных функций будем рассматривать на примере следящей
системы привода эксцентриковых валов. Блок-схема этой следящей
системы показана на рис. III. 14, из которой видно, что
измерительными устройствами в следящей системе являются сельсин-датчик
СД и сельсин-приемник СП. Угол согласования между сельсинами
е(/) = в1(/)-ва(0, (X.I35)
где Qiit) — мгновенное значение угла поворота ротора сельсина-
датчика;
Q2(t) — мгновенное значение угла поворота сельсина-приемника.
Напряжение, снимаемое с ротора сельсина-приемника, можно
найти по следующей зависимости:
и, = -^в(0, (X.136)
lpi
где kt — постоянная сельсинов, приведенная к валу эксцентриков;
ipl — передаточное число четырехступенчатого редуктора (i0, =
= 1; 2; 3; 4).
Напряжение на входе магнитного усилителя
uw(t) = ut(t) + un(t), (X.137)
где ит — напряжение тахометрической схемы системы.
Уравнение тахогенераторов системы имеет вид
uT-*T,[dt -ip2 -я Трз)> (Х-138)
413

где кТг — крутизна характеристик тахогенераторов;
аг и а2 — регулировочные параметры потенциометров
тахогенераторов;
ip2 и ip3 — передаточные числа редукторов тахогенераторов.
Дифференциальное уравнение дифференцирующего контура в
цепи тахогенераторов запишем в следующем виде:
кпТ«ЧГ + ип = К (т/-^+ит), (Х.139)
где kn — степень обратной связи, устанавливаемая
потенциометром;
Тк = RKCK — постоянная времени четырехполюсника.
Применяя к выражениям (Х.135)—(Х.139) преобразование
Лапласа и исключая из полученной системы уравнений переменные
f/T(s), 6x(s), получим
Uw($) ipllP, (knTKs + 1) Ь W +
+ ^#^fc-S)M* (ХЛ40,
После ряда преобразований выражение (Х.140) можно
привести к следующему виду:
Uw(s) = Wl(s)E(s) + Z0(s)d2(s), (X.141)
где
1 3S -f- 1
и
Lq(S) """ T3s + 1 '
В выражении (Х.141) использованы следующие обозначения:
k -h. k - *Аг(аЛз-Ур2) .
lpl lp2lp3
T -kT I WrA + l//fc T ■ Wr,M' 4 УрЛгУ^Г
Значения параметров ах и a2 подбираются таким образом, чтобы
± = ^, тогда £2 = 0 и Z0(s) = 0.
*р2 */?3
Тогда на входе магнитного усилителя происходит
суммирование сигналов: .. .. ,, /v um
^ш W = Vwi (s) — f/c (s). (X. 142)
414

Напряжение Uw после выпрямления поступает на
управляющую обмотку магнитного усилителя. Будем рассматривать
магнитный усилитель, как апериодическое звено [1], тогда получим его
передаточную функцию в виде
где kM — коэффициент усиления магнитного усилителя;
Тм — постоянная времени управляющей обмотки магнитного
усилителя.
Постоянная времени магнитного усилителя при наличии в нем
положительной обратной связи может быть определена по
формуле
м 4/'
где kp — коэффициент усиления магнитного усилителя по
мощности;
/ — частота напряжения, питающего магнитный усилитель.
С выхода магнитного усилителя сигнал в зависимости от
полярности поступает в первую или вторую управляющие обмотки ЭМУ.
Передаточная функция ЭМУ была выведена ранее [см.
выражение (Х.117а)]. Применительно к новым обозначениям запишем
ее в виде
^<8)°^§°(Г/.+У(Ь+1)- (ХЛ44)
Напряжение с выхода ЭМУ поступает на обмотку возбуждения
генератора:
ea(t) = ieRe + Le% (X.145)
где RB — омическое сопротивление обмотки возбуждения;
ie — ток обмотки возбуждения;
Le — индуктивность обмотки возбуждения.
Напряжение в цепи якоря генератора пропорционально току
возбуждения:
М0 = *А- (Х.146)
Применив к уравнениям (Х.145) и (Х.146) преобразование
Лапласа и исключив /e(s), получим
__2
*«<8> = 1$--ТЗТГ' (Х.147)
где
*т Le
1 в ~ Rs'
415

К якорю генератора подключены щетки электродвигателя
привода эксцентриковых валов. Э. д. с. на щетках генератора будет
Определяться следующей зависимостью:
Ег (s) =/?,/, (s) + L2sl2 (s) + fe,s62 (s), (X. 148)
где R2 = Щ + Rd;
L8 = L8 -j- L,^\
R'a и Rd — омические сопротивления якоря генератора и
электродвигателя привода;
Ц и Ld — индуктивности якоря генератора и электродвигателя
привода.
При выводе уравнения движения якоря электродвигателя можно
пренебречь моментом сопротивления привода эксцентриковых валов
из-за его малости. В этом случае получим
Jns42(s) = kMI2(s)y (X.149)
где Jn — приведенный момент инерции привода эксцентриковых
валов к якорю электродвигателя.
Исключив из уравнений (Х.148) и (Х.149) ток /8(s), получим
передаточную функцию главного привода эксцентриковых валов
в виде
Wb (s) = -Щ^г = /тт /.* , 1Ч , (X. 150)
5W tg(s) s (T2Tds* + Tds +1) ' v '
где
U _f_. ПП f^2 . rp J?l*\2
д hi l г n i л д ъ b
Передаточную функцию (Х.150) приведем к виду
UMs)=S(7> + l)(7-gS + l)' (X.151)
где Тд и T'g определяется из решения системы уравнений
ГдГе=Т9Тд\ Тд + Ге = Тд.
Если в качестве средств стабилизации в следящей системе
применен дифференцирующий трансформатор, тогда напряжение с
выхода генератора u2(t) поступает через стабилизирующий
трансформатор на вход магнитного усилителя.
Уравнения переходных процессов в стабилизирующем
трансформаторе можно записать в следующем виде:
Rlil + Ll§ + Mft = ue
и
#2/2 + L2§-yW§ = 0, (X.152)
где ix — ток в первичной обмотке стабилизирующего
трансформатора;
416

i2 — ток во вторичной обмотке стабилизирующего
трансформатора;
i?! и Lx — соответственно омическое сопротивление и
индуктивность первичной обмотки стабилизирующего
трансформатора;
R2 и L2 — соответственно омическое сопротивление и
индуктивность вторичной обмотки стабилизирующего
трансформатора;
М
Z'i & = 1Ш = ЬЦ-М* ^\к | L2\ { х » (ХЛ53>
где М — коэффициент взаимоиндуктивности. Его величина
вычисляется с помощью следующей формулы:
М=1/"(1—т)^а> (Х.1Б4)
где т — коэффициент, характеризующий степень рассеивания в
трансформаторе.
Подставляя выражение (Х.154) в формулу (Х.153) и вводя
обозначения
У1~ Rx* Ml- R%*
получим
Постоянная времени т очень мала и ею можно пренебречь. Для
удобства построения структурной схемы умножим правую и левую
части выражений (Х.155) на R2, тогда получим передаточную
функцию стабилизирующего трансформатора в виде
*'Ц"Й$-(г|+'& + - <х-156»
где
г - м
Так как в передаточную функцию (Х.147) входит переменная
£2(s), которая в дальнейшем нигде не встречается, то необходимо
ее исключить путем введения следующей вспомогательной переда-
точной функции: z2(s)=g|. (X.157)
Для этого запишем уравнение напряжения в цепи якоря
генератора в виде Ug (s) = Ег{з)-Я'г1г{*)> (Х.158)
где Ra — сопротивление якоря генератора.
14 Техническая кибернетика, кн, 1 417

Ток в главной цепи определяется из уравнения (Х.149).
Подставляя последнее уравнение в выражение (Х.157), получим
U,(s) = E,(s)-
ЗпНг
Ms).
(Х.159)
Из выражения (Х.150) найдем 6a(s) и подставим его в
уравнение (Х.159), тогда получим
и As)
(s)[
k$kds
ТгТ^+Тдз+\
откуда после ряда преобразований получим
7 м - у* ^ - (T*s + Ц (т*$ + *>
•]■
^<зЧ
k,(TiS+W2s+1)
T3s + 1
-гы «„ м */** Ы ■£
хЛГ»5И П (T,s+w9s+i) Пw
£г*
(T, + Tn)s + 1
(bs+1)(T5s*1)
(Tss+1)(T7s+0
(X.160)
0г
s(T/s+1)(Tg's+1)
Рис. Х.15. Структурная схема следящей системы привода эксцентриковых
валов летучих ножниц со стабилизирующим трансформатором
Структурная схема следящей системы эксцентриковых валов
показана на рис. Х.15. Передаточная функция разомкнутой
следящей системы имеет следующий вид:
kikMklknk2kd(Tis+\) (Г.8+1)
s(7as+l) (7^s+l)(r/S+l) (TKs+l) (7*gs+l)(7as+l) (Tgs+\) Re
1 +
kMkiknk2T,m(TiS+\)(Tbs+\)<
(X.161)
Re (TMs+D (Tjs + l) {TKs + l) (Tzs+\) (Г.8 + 1) (r7s + l) ЦТ{ + Т{{) s + 1]
Если в следящей системе необходимо учитывать действие
момента нагрузки на эксцентриковые валы, то угол поворота вала
можно записать в виде
8,(s)
W(s)
М<0-
V(s)
где
V(s) =
k'd =
\+W(s)
S(7>+1)(7^ + 1)>
1+ W(s)
M(s),
(X.162)
418

и М (s) — момент нагрузки, приведенный к валу электродвигателя
привода эксцентриков.
Структурная схема и передаточная функция разомкнутой
силовой следящей системы главного привода не отличается от
структурной схемы и передаточной функции привода эксцентриковых
валов. Однако величины постоянных времени и коэффициентов
усиления в этих приводах различны.
6. САМОЛЕТ С АВТОПИЛОТОМ
Электрический автопилот типа АП-5-2М для тяжелых самолетов
с жесткой обратной связью предназначен для стабилизации углов
крена рыскания, тангажа; координированного разворота; набора
и снижения высоты; боковой наводки на наземную цель при бом-
Рис. Х.16. Блок-схема автопилота типа АП-5-2М
бометании; бустерного управления рулями. Автопилот имеет три
канала управления: креновый, тангажный и курсовой [2]. В
качестве примера рассмотрим процесс стабилизации самолета по
углу тангажа системой автоматического управления (продольный
канал автопилота).
Упрощенная блок-схема продольного канала автопилота,
составленная по принципиальной схеме (рис. III. 19), показана на
рис. Х.16.
В систему управления входят: самолет С, руль высоты РВ,
рулевая машинка РМ и электронный усилитель ЗУ, охваченные
жесткой обратной связью ЖОС\ гидровертикаль ГВ и
суммирующие устройства СУ, задающий потенциометр ЗП и потенциометр
обратной связи ПОС.
Движение самолета в вертикальной плоскости описывается
двумя уравнениями сил и одним уравнением моментов. Все силы,
действующие на самолет, сведем к системе сил, приложенных к его
центру масс, а моменты — к моментам относительной поперечной —
оси самолета, проходящей через его центр массы (рис. Х.17). При
выводе уравнений не будем учитывать влияния: скоса потока от
крыла; колебаний угловой скорости поперечной оси на величину
14»
419

аэродинамической силы; ошибок стабилизации по крену на
аэродинамическую силу; моментов, создаваемых силой тяги
двигателей.
Уравнение проекций сил на касательную к траектории самолета
имеет вид
mcd~j = Pccosac--^4c*c-mcgsin0c, (X.163)
где тс — масса самолета;
vc — скорость полета самолета;
Рс — сила тяги двигателя, совпадающая с направлением
продольной оси самолета;
Sc — площадь крыльев самолета;
Схс — коэффициент лобового сопротивления самолета,
отнесенный к площади крыла;
9С — мгновенное угловое положение вектора скорости
самолета;
ас — мгновенное значение угла атаки;
р — плотность воздуха;
g — ускорение силы тяжести.
Рис. Х.17. Схема сил, действующих при продольном
движении самолета
Уравнение проекций сил на нормаль к траектории полета
самолета имеет вид
tncvc -£ = Рс sin ac + —c ScCyc — mcgcos BC9 (X. 164)
где Cyc — коэффициент подъемной силы самолета, отнесенный к
площади крыла.
420

Уравнение моментов относительно поперечной оси OZ
'zc dt2
(Х.165)
где Jzc — момент инерции самолета относительно оси;
f>c — мгновенный угол тангажа самолета;
Ьа — средняя аэродинамическая хорда крыла;
тгс = / (vc> ас> ^с» $в) — коэффициент момента всех сил,
действующих на самолете;
8в — угол отклонения рулей высоты.
Схс
0,01
0,05
\fyc
\£хс
Сус
0,5
0,25
Охс
0,008
0,006
0,004
0,002
0,5 1,0
а)
Охс /
Ьус
0,04
0,03
0,02
0,01
5
5)
осс,град
Рис. Х.18. Зависимость аэродинамических коэффициентов самолета
от условий полета:
а) Схс и С от скорости полета; б) С* = с£ (а); с£ « с£ (а)
К этим трем уравнениям аэродинамики необходимо добавить
четвертое уравнение, связывающее угловые параметры самолета:
Ъс = Вс + ас. (Х.166)
Входящие в эти уравнения параметры СХС1 Сус, т2С зависят от
скорости полета и внешних условий. Типовые графики зависимости
аэродинамических коэффициентов самолета от числа М показаны
на рис. Х.18, а.
Уравнения (Х.163) и (Х.165) являются нелинейными
уравнениями с переменными коэффициентами. Поэтому непосредственное
их использование для анализа устойчивости и качества процессов
в системе управления самолет — автопилот встречает
исключительные трудности. Как обычно, задачу можно существенно
упростить при помощи линеаризации уравнений, рассматривая
движение самолета в малых отклонениях от некоторой «опорной»
421

(расчетной) траектории. Опорную траекторию можно найти методом
численного интегрирования следующей системы уравнений:
dvc
It
\.
Рс cos ac — -J- SCCXC — mcg sin Uc |;
dQc ,
Pc + "о" CyCSc
8C = flc — ac; #c3 - dc (/); Pc = const.
Решение системы этих уравнений позволяет получить опорные
параметры a . е . .
Уравнения динамики самолета запишем в вариациях.
Примем, что * = #С0 + Д*С; ]
6 = 8С0 + Д9С;
a = ac0 + Дсхс;
v = ус0 + Аус. J
(Х.167)
Подставляя обозначения (Х.167) в исходные уравнения и
пренебрегая величинами второго и более высокого порядка малости,
получим
pt,cUScCc^gcos8co)A8c-
dt
dAvc Pcg .
2G(
P»2o*
-№sinaco +
5cr Ad,
P«S,
-R^5,C,+^5CC: Avc;
i?Vcogr
Gc Ьс ^xc 1" 2GC
rfA6c _ / Pcg ?vCogScC«\Aft
(Jjce_nrkc„ I ?vcogScra
I Gewe0 w""eo
+
PgSc/~<*
2(5Г^С'
COS aco +
2GC
yc
g sin 6C
A8C +
Q V2 S№aC0
с со
d&®c
dt
Ашс;
Adiv,
dt
-№«Л-^«Ь)Л*е +
2Л
+ §«Л«^».
P°g.
2Л "с"А'»гс
Sc6,/n! A0C +
+ ^р5Л<Дбс + ??ф?кт%Ате,
422

где CjJc — производная Схс по а;
С«с — производная СУс по а и т. д.
Соответствующие зависимости показаны на рис. Х.18, б и
Х.19, а, б.
-0,007
-0,005
-0,001
"**»
\
]
Mzc
-0,007
-0,005
-0003
а)
10 а с, град
6)
д$,гра&
Рис. Х.19. Моментные характеристики самолета:
а) т « = т « («); б) m * = т% <J»
Полученные уравнения являются линейными
дифференциальными уравнениями с переменными коэффициента. Перепишем их
в виде
где
Д#,
d ^ = а12 (/) Дбс - а13 (0 Д#с - а„ (0 Д»е;
«ft
</Л8с
сРКЬс
= а23 (О А*с - «22 (О А9С + «21 (0 А»с;
= а31 (/) Дус + а33 (О Д#с — а32 (/) А8С +
а12 (/)
(Х.168)
«is (0 = т? sm aco + -orr bcLXc;
2GC
PvcoS ,
«u if) - -g— icC^c _j_ -Щ- bccxc,
Peg
pVcogSc
«23 (0 - o^0 C0S a"> + 2GC Lyc'
«22 (0 :
PcS „„?„ _L P^cog'Sc r« gsin Bco
2GC b>'c t>co
■ cos aco +
(hi (0
,,ч P»eoSA , P^co c *. «,» .
«31 (0 = 1 W* + ТГ ScbAm*c ,
2J,
р»;
рг>*
«зз О = -of ScbAm%c; mlc = т^Сус; aS2 (t) = -^f ScbAw
«34(0 =
?vcoScbA Zz
2JZ
•m.
a(t)
pt>;
2JtScbA<'
423

Если предположить, что движение центра масс самолета в па*
правлении полета является практически независимым от
движения центра массы, и положить \vc = 0, то система уравнений
(Х.168) примет вид
-^ = а28(/)А«с-аая(/)Двс;
-^ = а33 (О А*с - a32 (/) Дес + а34 (/) ^ + а (/) Д6С.
(Х.169)
Предположим, что коэффициенты aifc(t), входящие в уравнения
(Х.169), изменяются достаточно медленно так, что на некотором
интересующем нас малом промежутке времени их можно
приближенно считать независящими от времени. Тогда, применяя к
уравнениям (Х.169) преобразование Лапласа, получим
яДёс (s) = а23Д#с (s) — а22Д8 (s)\
зШс (s)^a3SHc(s)-aB2Mc + ausMc(s)+aA&c(s)f (X.170)
где A6c(s), Abc(s) и A6c(s) —изображения соответствующих
функций.
Исключив из уравнений (Х.170) переменную 9 (s), получим
передаточную функцию самолета в виде
\у (s) = А~^с ^ = a[s — g22] ^
° ' Д^. (S) S3 — [«22 — Я34] S2 ~ [fl34«22 — Я33] S +
""^ + 033^22 ~ «32^23 • (Х.171)
При изменении режимов полета самолетов линеаризация его
уравнения производится также на малом интервале времени, но
относительно других стационарных значений. В соответствии
с этим коэффициенты аы будут иметь постоянные значения,
существенно отличающиеся от ранее найденных *.
В передаточной функции (Х.171) имеем
Поэтому
#33^22 Яо2#оо U.
где
V«We7(!&5-' (ХЛ72)
i».po!. „. lpc+ic;cPviosc
m*c?v«>scb,
2J~ \ mrvt
2j2 "CA-r 2Jg \ mcv,
1 См. гл. XIV, § 3.
424

Го =
?о =
у
г
?.\
г
Г<с?о% «., , <fp"cosA ( ^+тгс>^
pc+yc;c?v%sc ^ m%pVc()scbA
mcvc0 2JZ
f mlc9v% m°iPvc(tScbA(Pc+YC><S] '
2/, ^ > 2JZ \ mcvc0 J
Pc+±C«ycPv%Sc '
Далее найдем передаточные функции агрегатов автопилота
канала тангажа.
Гировертикаль представляет собой интегрирующее звено,
охваченное жесткой обратной связью [2]. Передаточную функцию
гировертикали запишем в следующем виде:
z'w=ft=dsv (X-173>
"r Hs
где kx — коэффициент усиления маятникового чувствительного
элемента;
k2 — коэффициент усиления усилителя;
ks — коэффициент корректирующего двигателя;
Н — кинетический момент гироскопа.
Введем в выражение (Х.173) следующее обозначение:
гр Н
2 kxk2k3 '
тогда получим
Передаточную функцию рулевой машинки запишем в виде
«V(*) = |r§ = 7й$+Гу <ХЛ75>
где ks — передаточный коэффициент рулевой машинки;
Ts — постоянная времени рулевой машинки.
Передаточная функция электронного усилителя:
wy(s) = l$)=sky' <ХЛ76)
где ky — коэффициент усиления электронного усилителя.
425

Передаточную функцию обратной связи запишем в виде
Ms)
(Х.177)
где koc — коэффициент обратной связи.
Уравнение сравнивающего устройства (без учета влияния угла
крена) имеет вид
Е (*)=*„ (*)-*«(*). (X.178)
*Щ
где $C3(s) — заданный сигнал по тангажу.
"г
Ucc
1контур
Ki>(Tcs + 1)
s(To2s2+2l0T0sA
1
П контур
111 контур
*J
ZlqJL
«:
щ
Ф
кр
Tp2s*+2lpTps+1
k*(Tcs + 1)
s(T02s2+2lQT0s+1)
T.s+1
б)
Рис. Х.20. Структурная схема системы стабилизации самолета по тангажу:
а — исходная схема; б — преобразованная схема
Передаточная функция потенциометрического устройства
автопилота определяется выражением
(Х.179)
Wn(s) = 1Щ-= kl
E(s)
где k® — передаточный коэффициент потенциометрического
устройства системы.
Так как на входе электронного усилителя суммируются три
напряжения иъ и2, иос, уравнение сравнивающего устройства имеет вид
Uy (s) = Ux (s) - U2 (s) - Uoc (s). (X. 180)
Структурная схема продольного канала автопилота с самолетом
изображена на рис. Х.20, а. Из этой схемы видно, что система авто-
426

матической стабилизации угла тангажа состоит из трех контуров.
Передаточная функция первого внутреннего контура
"у ks
или
где
Wp(s)= S(Tfib] , (X.181)
H7(s) =—Ь. , (X.182)
pw T2Ps2 + 2lpTps + \' K '
kn=±; Т„=У:
p ъ ' p X ъ k k '
Knr. f KyKs^OC
% =
1
Z у 1$КуК$™ос
Заменив первый внутренний контур элементом, имеющим
передаточную функцию (Х.182), получим преобразованную
структурную схему системы автоматической стабилизации угла тангажа
(рис. Х.20, б). Согласно этой схеме передаточная функция системы
автоматической стабилизации угла тангажа самолета при
разомкнутой главной обратной связи имеет вид
^ s (Тг8 + 1) (7>» + 2l0T0s + 1) (7>2 + 2lpTps + 1)
Вывод передаточных функций систем автоматической
стабилизации самолета по каналам крена U?T(s), курса Wis) производится
таким же путем, как и для канала тангажа.
При выводе передаточных функций автоматов стабилизации
могут быть учтены влияния перекрестных связей курса и крена.
В этом случае в структурных схемах появляются дополнительные
контуры [2].
7. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА КОПИРОВАЛЬНО-ФРЕЗЕРНОГО СТАНКА
С помощью принципиальной схемы следящей системы копиро-
вально-фрезерного станка (см. рис. III. 16) составим
дифференциальные уравнения и передаточные функции ее агрегатов. Первое
уравнение составим для сравнивающего устройства системы. В
копировальном приборе производится сравнение перемещений пальца
у (t) и фрезы х (t) (корпуса копировального прибора). Величина
рассогласования, получаемая в результате сравнения
перемещений, может быть определена из следующего выражения:
*(t) = y(f)-x(t). (X.184)
427

Напряжение на выходном трансформаторе 4 пропорционально
рассогласованию. Иначе говоря,
щ = кгъ((), (Х.185)
где kx — передаточный коэффициент копировального прибора,
характеристика которого может быть определена по
графику, показанному на рис. Х.21.
Применив к полученному выражению (Х.185) преобразование
Лапласа, найдем передаточную функцию копировального прибора
в виде
(Х.186)
Wl(s) = ^ = k,
! (s) ~ "1-
Напряжение с выхода трансформатора 4 поступает на сетки
ламп первого каскада
электронного усилителя. Образующееся на
кдсс^к,
¥
\у
-0,2
Ut
2
0
-2
-4
,8
а
ОЛ
0,4
\tgfl-k,
4
-<
7
\/
ие,6
0
7/7
11)
-10
-20
\
?
4
4ut>8
Рис. Х.21. Статическая
характеристика копировального прибора
Рис. Х.22. Статическая
характеристика первого каскада
электронного усилителя
выходе первого каскада напряжение ие определяется с помощью
следующего выражения:
где k2 — коэффициент усиления первого каскада электронного
усилителя (см. рис. Х.22).
Из выражения (Х.187) найдем передаточную функцию первого
каскада электронного усилителя в виде
^W-T^-*«-
(Х.188)
Напряжение ив, поступающее на сетки ламп второго каскада
усиления электронного усилителя, представляет собой разность
двух напряжений ие и ис (где ис — напряжение отрицательной
обратной связи).
428

Итак,
МО = иЛО-"ЛО. (Х.189)
Как видно из рис. II 1.16, напряжение ив поступает на сетки
ламп через трансформаторы 9 и 10.
Дифференциальное уравнение электрического равновесия в
первичной обмотке трансформатора может быть записано в
следующем виде:
lle = Le~~jjJ Л" Rele>
где ie — ток в первичной обмотке;
Re, Ье — омическое сопротивление и индуктивность первичной
обмотки трансформатора.
От протекания тока ie в первичной обмотке во вторичной
наводится э. д. с. ит, величина которой определяется следующим
выражением: н,
11 т — т dt >
где М — коэффициент индуктивности.
Из двух последних уравнений, путем исключения тока Ie(s)9
можно получить следующее выражение:
(T§s+l)Um(s) = TmsU§(s),
где
гр 1-е гр *»*
eZ==R~e'' m~~Wey
откуда найдем передаточную функцию трансформатора в виде
^(s) = to=w- (ХЛ90)
На сетки ламп второго каскада усилителя поступает сумма двух
напряжений ие и ит. Имея это в виду, определим напряжение на
сетках ламп Л2 и Л3:
я„(9 = "„(0 + я,(0- (Х.191)
Напряжение сигнала прямой цепи ив усиливается
трансформатором. Передаточная функция этой цепи может быть записана
в виде и . .
^&~тт-кз- (хл92)
В свою очередь, напряжение uw усиливается вторым каскадом
электронного усилителя. Если обозначить коэффициент усиления
второго каскада усилителя через &4> то его передаточную функцию
найдем из следующего выражения:
^(s)==tSH<- (ХЛ93)
U„(8)
429

Коэффициент £4 может быть определен с помощью
статической характеристики второго каскада электронного усилителя
(рис. Х.23).
Передаточные функции ЭМУ и электродвигателя постоянного
тока с зависимым возбуждением были райдены нами ранее [см.
формулы (ХЛ17а), (Х.1176)]. Из этих формул нетрудно получить
передаточную функцию ЭМУ в виде
и электродвигателя
kiku
W6(s)
q,(»)
Uf(s) - (7)8 + 1) (TKs + 1)
_ Ms) _
UaW s(Tds+\y
(X.194)
(X.195)
Коэффициент усиления ЭМУ по напряжению £i£n можно
найти из статической характеристики ЭМУ иа — f(uf), показанной
!ty/-*v
- t
1
-2
«>
■20
-10
0
-10
-20
J
',
\/
2
/
i
/ |
'*uw
6
UQi
tgd-ktko
-i
Ри
9 -2
с. X.S
0 -1
у,
/
>4. Ст
- WD
en
JU
of
0 /V
///
/v
7
атичес
31
J
f\
f 1
400
-150
:кая :
/
f
0 20 )0uf,
«арак'
герист
ика
Рис. Х.23. Статическая
характеристика второго каскада электронного
усилителя
на рис. Х.24. Вал электродвигателя передает вращение через
механический редуктор и винт столу подачи станка. Зная
передаточные отношения редуктора и шаг подающего винта, можно найти
передаточную функцию
^7(s) = -g^-=*5, (X.196)
где къ — коэффициент, зависящий от передаточного отношения
редуктора шага винта, подающего стол.
В следящую систему входит корректирующее устройство,
состоящее из тахометрического моста и конденсатора С и
сопротивления R.
Передаточная функция тахометрического моста была выведена
ранее [см, формулу (Х.123)].
430

Дифференциальное уравнение для корректирующего
устройства г запишем в обычной форме:
т dttg __ т duc_ ,
dt
dt
(Х.197)
yft) tit)
«1
tit
и
i*e
»cUB
I
с
,
TmS
Tj.s+1
| где i c = /<c.
"/77
■J «3 1 Jfc(+/^
4
7^ 1
rcs+/ 1
V1
«J
KjKq
(TfS+Dfo+1)
*s(hs+1)s
TXS + 1
%
*!* к
s(Tus+1) I
гРП
I
x(t)
Рис. Х.25. Структурная схема следящей системы копировально-фрезер-
ного станка
Из уравнения (Х.197) найдем передаточную функцию
корректирующего устройства в виде
Uc(s) Tcs
ад-
СХ.198)
Ms) Tcs + \'
По полученным уравнениям сравнения (Х.184), (Х.189) (Х.191)
и передаточным функциям (Х.186), (Х.188), (Х.190), (Х.192)-^
—*€г-*
KtK2
КхКдК^К^Тщ
(Tes+1)(Tfs*1)(TKs+ms*1)
о-Ч Кз
KjKjiKi^KQ
s(Tds+1)(Tfs+1)(TKst1)
(Tc$+1)(Txs+1)
*5
Kit)
ji
Рис. Х.26. Преобразованная структурная схема следящей системы копи-
ровально-фрезерного станка
(Х.196), (Х.123) и (Х.198) составим структурную схему следящей
системы копировально-фрезерного станка (рис. Х.25). Из
последнего рисунка видно, что в схеме отсутствуют независимые
1 Часть корректирующего устройства, обеспечивающая подачу сигнала,
пропорционального интегралу от напряжения, нами не рассматривается.
431

контуры. Поэтому необходимо преобразовать схему к удобному для
расчетов виду. В исходной схеме на рис. Х.25 перенесем
сравнивающее устройство за динамические звенья Wb(s) — W7(s), тогда
получим преобразованную структурную схему, изображенную на
рис. Х.26.
С помощью преобразований структурной схемы запишем ее
передаточную функцию в разомкнутом состоянии в виде
W(s) =
k\k\\kikdTm . k\k\\hklkd
]м
« (^+l)(Tys + l)(r^ + l)(rgs + l) + s(^s+l)(r/s+l)(^s+l)l *lMl
k{b{[k3kAkdks(Tdos+\)Tcs
(Tds + 1) (Tfs + 1) (TKs + 1) (Txs + 1) (Tcs + 1)
(X.199)
1 +
ЛИТЕРЛТУРА
1. Афанасьев В. Д. Электропривод автоматических летучих ножниц.
Госэнергоиздат, 1962.
2. Б о д н е р В. А., К о з л о в М. С. Стабилизация летательных
аппаратов и автопилоты. ОбОронгиз, 1961.
3. Воронов А. А. Элементы теории автоматического регулирования,
Воениздат, 1951.
4. Высоцкий Б Ф., X а р ы б и н А. Е. Радиолокационное
устройство Оборонгиз, 1960.
5. Г а р к а в и Ю. Е., С м и р н о в М. И. Регулирование гидротурбин.
Машгиз, 1954.
6. ГольдфарбЛ. С. Анализ устойчивости электронного регулятора
напряжения «Автоматика и телемеханика», 1948, № 6.
7. Джеймс X., Н и к о л ь с Н., Филипс Р. Теория следящих
систем. Из-во ИЛ, 1951.
8. Солодовников В. {3. Применение операторного метода к
исследованию процесса регулирования скорости гидротурбины. «Автоматика и
телемеханика», 1941, № 1.
9. Ш у л ь ц М. А. Регулирование энергетических ядерных реакторов.
Из-во ИЛ, 1957.
10. Н а г г е г J. M., Boyer R. Е., К г и с о f f D. Transfer Function
of Argonne CP-2 Reactor. «Nucleonics», 10, № 8, 1952.

РАЗДЕЛ II
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Цель настоящего раздела состоит в изложении методов анализа
устойчивости систем автоматического регулирования, дифференциальные
уравнения возмущенного движения которых являются линейными уравнениями
с постоянными коэффициентами.
В гл. XI, которая является первой главой настоящего раздела, дается
определение понятия устойчивости по Ляпунову и приводятся известные
теоремы Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия
для устойчивости (неустойчивости) по так называемым уравнениям первого
приближения. Эти теоремы имеют большое принципиальное значение, так
как они строго определяют границы применимости излагаемых в
последующих главах методов анализа устойчивости, основанных на рассмотрении
линейных дифференциальных уравнений. В этой же главе дается краткая
характеристика прямого метода Ляпунова анализа устойчивости.
В гл. XII рассматриваются различные критерии, применяемые в
настоящее время при анализе устойчивости линеаризованных систем
регулирования, причем основное внимание уделено методу анализа устойчивости,
основанному на логарифмических частотных характеристиках. Показано, что
этот метод удобен для анализа устойчивости не только одноконтурных, но
и многоконтурных систем.
Гл. XIII посвящена изложению метода выделения областей
устойчивости.
Наконец, в последней главе раздела (в гл. XIV) даются примеры
анализа устойчивости систем регулирования методом логарифмических
частотных характеристик.

ГЛАВА XI
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ
И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Одной из основных задач теории автоматического
регулирования является изучение протекания процесса регулирования во
времени, которое осуществляют средствами математического
анализа. Каждой системе автоматического регулирования
соответствует вполне определенная система дифференциальных уравнений,
которая (см. гл. IV) может быть приведена к виду
^=^Q/i,...> Уп, /), *=1, 2,..., л, (XI.1)
где ук — переменные, описывающие состояние системы
регулирования;
Yк — известные функции, определенные в некоторой
фиксированной области G пространства переменных ylt ..., уп
и при любом t ^ 0.
В этом пространстве уравнения (XI. 1) определяют компоненты
YK вектора скорости V движения некоторой точки М, называемой
изображающей точкой. С физической точки зрения уравнения
(XI. 1) следует рассматривать как математическую форму записи
тех физических законов, которым подчиняется система
автоматического регулирования.
Свойства и особенности этих законов полностью либо
приближенно, но с достаточной точностью отражаются характером
функций Ук (ylt ..., уп, t). Область G определения функций Yк (уь ..., ук, f)
является той частью пространства уъ ..., уп, на которую
распространяется действие означенных физических законов.
Пусть величины y10t ..., уп0 обозначают начальные значения
переменных ук. Они однозначно определяют исходное состояние
435

системы регулирования при / = /0. Каждой системе начальных
значений у10, ..., уп0 соответствует решение
Ук = у*У, у10, ..., Ум), ^=1, 2, ..., п (XI.2)
уравнений (XI. 1). Предполагается, что это решение определено
для любых значений времени t ^ t0, и оно является единственным.
Решение (XI.2) описывает какое-либо движение системы
автоматического регулирования, определяемое ее исходным состоянием,
и предположение о том, что такое движение единственно, отвечает
существу большинства физических законов.
Допустим, что среди всех движений системы, описываемой
уравнениями (XI. 1), нас особенно интересует то, которое
описывается заданными функциями времени
У\ = У\ (0> • > Уп = Уп (t). (XI.3)
Предполагается, что эти функции удовлетворяют уравнениям
(XI.1), т.е.
Ук = У к (у'и ..., уп, t), к=1, 2, ..., п.
В частном случае, когда параметры системы не изменяются со
временем и функции Ук не зависят явно от t, тогда движения (XI.3)
являются установившимися. Им отвечают так называемые
очевидные решения , , 1 Л /VT ,ч
ук = const, /c=l, 2, ..., л, (XI.4)
служащие корнями уравнений
Mf/i> ••• > Уп) = 0, я = I, 2, ..., п.
В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения
системы, имеющей решение (XI.3), рассматривая ее установившееся
движение (XI.4) как частный случай.
Одним из основных вопросов теории автоматического
регулирования является вопрос о том, соответствует ли решение (XI.3)
какому-либо физически существующему процессу в системе
автоматического регулирования.
Как известно из опыта, физически наблюдаемым и
действительно существующим процессам однозначно соответствуют так
называемые устойчивые решения (XI.3), а физически
ненаблюдаемым процессам — неустойчивые решения (XI.3). Следовательно,
в математической трактовке вопрос о соответствии решения (XI.3)
физически наблюдаемому и установившемуся процессу в системе
автоматического регулирования — это вопрос об устойчивости или
неустойчивости решения (XI.3).
В дальнейшем удобно иметь дело с уравнениями, полученными
из системы уравнений (XI. 1) путем преобразования переменных по
Ф°рМуЛе У.-У. + Х,, /с-1, 2, ...,«. (XI.5)
436

По терминологии Ляпунова эти уравнения называются
уравнениями возмущенного движения и имеют вид
Хк = Хк(хъ ..., хп, /), /с=1, 2, ..., л, (XI.6)
где обозначено
Хк (xv ..., хп, t) = Ук (у[ + х19 ... , у'п + хП9 t). (XI.7)
Формула (XI.5) определяет преобразование переноса начала
координат в точку с координатами у'к, вследствие чего очевидному
решению (XI.4) уравнений (XI. 1) соответствует очевидно
решение
х'!С = 0у к= 1, 2, ..., я (XI.8)
уравнений (XI.6). По терминологии Ляпунова это решение следует
называть невозмущенным движением системы.
Пусть при t = t0 переменные хк принимают какие-либо свои
начальные значения хк0, из которых, по крайней мере, одно не равно
нулю; эти значения называются возмущениями. Каждой заданной
системе таких возмущений отвечает однозначное и непрерывное
решение
хк = хк(х10, ..., хп0, t), я=1, 2, ..., п (XI.9)
уравнений (XI.6), которое называют возмущенным движением
системы автоматического регулирования.
Если известны все решения (XI.9), то мы знали бы все
возмущенные движения системы автоматического регулирования.
Но в большинстве случаев отыскивание решений (XI.9)
представляет задачу непреодолимой трудности, что лишает нас возможности
получить руководящее начало для рационального выбора
параметров регулятора. В таком случае нужен общий подход к чисто
качественному, одновременному обозрению всего семейства
возмущенных движений (XI.9), который позволил бы без интегрирования
судить об их специфических тенденциях при t -> oo сходится к
невозмущенному движению (XI.8) независимо от того, какими
частными значениями возмущений хк0 определяется движение (XI.9).
Учение Ляпунова об устойчивости движения позволяет судить
об интересующих нас свойствах возмущенных движений, не
прибегая к интегрированию уравнений (XI.6), и поэтому указывает
путь к рациональному построению регуляторов. Если окажется, что
при определенной настройке регулятора решение (XI.8) будет
устойчивым, то это будет означать, что регулируемая система сама,
без постороннего вмешательства, изберет тот режим
невозмущенного движения, который соответствует этому решению. Если же
решение (XI.8) будет неустойчивым, то такого режима физически
осуществить нельзя, ибо при сколь угодно малых возмущениях хк0
система автоматического регулирования будет удаляться от него
неограниченно. Таким образом, определение устойчивости невоз-
437

мущенного движения (XI.8), данное Ляпуновым, получает большое
прикладное значение при изучении важных вопросов современной
техники. Смысл этого определения применительно к задачам теории
автоматического регулирования состоит в следующем.
Будем наблюдать в каждый момент времени f^>t0 любое
возмущенное движение (XI.9) и сравнивать с невозмущенным
движением (XI.8) путем изучения разностей
У к У к z=z %ку К = 1, 2, ... , Т1,
начальное значение которых
У ко У к (^о/== Хщ» я = 1, 2, ..., и.
Итак, невозмущенное движение (XI.8) называется устойчивым
по отношению к величинам хк, если при всяком произвольно задан
ном положительном числе 8, как бы мало оно ни было, найдется
другое такое положительное число ц (е), при котором для всех
возмущений хк0, удовлетворяющих условиям
|**о1<Л, *= Ь 2, ..., п, (XI.10)
возмущенное движение (XI.9), как следствие, будет удовлетворять
неравенствам
|**(/)|<в, *=1, 2, ..., п (XI.11)
при любом t^>t0.
Если же при любом сколь угодно малом заданном е ^> 0
невозможно найти такое число г| (е), при котором, для любых
возмущений хк0, удовлетворяющих условиям (XI. 10), ни одно
неравенство (XI. 11) не нарушается, то невозмущенное движение (XI.8)
называется неустойчивым. Этому определению можно придать
наглядный геометрический характер, имея в виду, что все
многообразие возмущенных движений в уравнении (XI.9) возникает
вблизи начала координат, определяемого равенствами (XI.8).
Невозмущенное движение в уравнении (XI.8) называется
устойчивым по отношению к величинам хк, если при всяком произвольно
заданном и положительном числе А, как бы оно ни было мало,
возможно выбрать такое число К (А), что для всех
возмущений хк0, удовлетворяющих условию
S *So<X, (XI.10а)
возмущенное движение (XI.9), как следствие, будет удовлетворять
неравенству
S xl(t)<A (XI.11а)
к = 1
при всяком t > 0; в противном же случае невозмущенное движение
называется неустойчивым.
438

Множество точек, удовлетворяющих условию (XI. 11а), назовем
Л-окрестностью, а множество точек, удовлетворяющих
неравенству (XI. 10а), Я-окрестностыо очевидного решения (XI.8).
Неравенство (XI. 10а) ограничивает совокупность начальных
возмущений системы автоматического регулирования, неравенство
(XI. 11а) ограничивает характер протекания возмущенного
движения системы во времени. Во всех тех случаях, когда эти
неравенства соблюдаются, говорят, что возмущенное движение системы
регулирования сходится к движению невозмущенному, что и
выражает собой физический смысл устойчивости невозмущенного
движения по Ляпунову.
Однако характер определенной таким образом сходимости
возмущенных движений к невозмущенному движению (или, что то же
самое, характер устойчивости невозмущенного движения) может
быть двояким. Так, во-первых, если Л — любое выбранное и
фиксированное число, то, изучая устойчивость интересующих нас
решений, мы можем, вообще говоря, утверждать, что возмущенные
движения способны пребывать в Л-окрестности невозмущенного
движения. Во-вторых, дальнейшее выяснение деталей возмущенного
движения, связанное с возможностью изменять число Л и, в
частности, выбирать его сколь угодно малым, позволяет обнаружить
либо асимптотический характер возмущенного движения, при
котором lim xK(t) =0, t -> оо, либо его стремление оставаться
в Л-окрестности, более узкой, чем та, которая была определена
в самом начале.
п
Выражение R2 = ^ х\ означает квадрат расстояния изобра-
жающей точки М от начала координат.
В случае асимптотического характера возмущенных движений
точка М непрерывно приближается к началу координат и функция
dR2
R2 убывает. Таким образом, мы имеем ~^г^0 при любом t^> t0.
Тогда, каково бы ни было сколь угодно малое число Л, всегда
dR2
найдется (в силу условия -^-^0) такое число А,, что неравенства
(XI. 10а) и (XI. 11а) выполняются. При этом может оказаться,
что каково бы ни было фиксированное число Л, всегда можно
выбрать такое число Я, что неравенства (XI. 10а) и (XI.Па)
удовлетворяются при любых хк0, принадлежащих G; тогда говорят об
устойчивости невозмущенного движения в большом. Если же
выполнение неравенств (XI.10а) и (XI.Па) требует ограничения
возмущений хк0 их достаточно малыми значениями, то говорят об
устойчивости в малом.
В некоторых весьма важных случаях работы систем требуется
так выбирать параметры регулятора, чтобы исследуемый
установившийся режим работы системы обладал безусловной
неустойчивостью, т. е. был бы физически неосуществимым.
439

Учение Ляпунова об устойчивости движения позволяет решить
и этот весьма сложный и важный вопрос теории автоматического
регулирования с помощью известных теорем Ляпунова и Четаева
о неустойчивости.
В качестве примера, иллюстрирующего приведенные выше
положения, рассмотрим задачу о возмущенных движениях простой
системы автоматического регулирования так называемого
нейтрального самолета, управляемого автопилотом *. Уравнения движения
ее таковы:
яр + Мф + Л/т| = К\
г) = ф (а); а = ая|> + £-ф + G2\f> — у г),
где яр — координата объекта регулирования;
т] — координата регулирующего органа;
М, Л/, К — положительные постоянные;
а, Е, G, I — постоянные регулятора;
Ф (а) — заданная функция аргумента а, обладающая
свойством ф (0) = 0, аф (а) ]> 0 при а^О.
Обозначив г|з = уъ if> = у2, ц = ys> получим исходные
уравнения в нормальной форме
Pi = л; з>2 = — м% — л^в + к> Л =- ф И;
а = аЛ + (Е - МО2) у2 - (| + MP) у5 + KG\
Их очевидное решение определяется уравнениями:
у* = 0; Му2 + Nys = /Г;
0^ + (£- AfG2) У2 ~ (| + MJ») уз + *G2 = 0,
откуда находим „
И = ШГ; * = 0; »i==Af
Задача состоит в таком выборе постоянных регулятора, при
которых полученное решение обладало бы устойчивостью по Ляпунову.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ
ПО УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
В большинстве задач теории автоматического регулирования
функции Хк(хг, ..., хп) допускают разложение в степенные ряды,
сходящиеся в некоторой Я-окрестности начала координат [см.
выражение (XI.8)]:
п
к = 1
если постоянная Н ^> 0 достаточно мала.
1 Задача впервые рассматривалась Б. В. Булгаковым. ДАН СССР, № 9,
т. XXXVII, 1942.
440
(XI.12)

В этих случаях уравнениям (XI.6) всегда можно придать вид
хк = aKlx± + ... + акпхп + FK (xl9 ... , хп), к = 1, 2, ... , п, (XI.13)
где ак8(к, s = 1, 2, ..., п) — постоянные линейной части
разложения; функции FK не содержат членов
ниже второго порядка малости.
На практике часто судят об устойчивости решения (XI.8),
рассматривая лишь уравнения так называемого первого
приближения
хк = аК1хг + ... + акпхп, я = 1, 2, ..., п (XI.14)
вместо уравнений (XI. 13).
Так как справедливость замены уравнений (XI. 13) уравнениями
(XI. 14) заранее не ясна, возникла задача указать все случаи
исследования уравнений (XI. 13), в которых устойчивость
(неустойчивость) решения (XI.8) вытекает из рассмотрения уравнений первого
приближения (XI. 14). Эту исключительно важную для теории
регулирования задачу впервые разрешил Ляпунов. Он показал,
что все случаи исследования уравнений (XI. 14) следует разделять
на две категории: некритических и критических
случаев.
К первой из них он относит случаи, в которых вопрос об
устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения однозначно
разрешается на основании исследования уравнений первого
приближения (XI. 14).
Чтобы эти случаи обнаружить, следует составить
характеристическое уравнение
м — k av
DW =
'12» •• • у и1п
= 0 (XI.15)
и исследовать его корни ХК, к = 1, ..., п.
Ляпунов доказал две следующие основные теоремы,
позволяющие исследовать все случаи первой категории.
Теорема 1. Если вещественные части всех корней Кк
характеристического уравнения (XI. 15) первого приближения
отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво
независимо от членов разложения выше первого порядка малости.
Теорема 2. Если среди корней %к характеристического
уравнения (XI. 15) первого приближения найдется по меньшей
мере один с положительной вещественной частью, то невозмущенное
движение неустойчиво независимо от членов разложения выше
первого порядка малости.
Все критические случаи имеют место лишь тогда, когда среди
всех корней Кк уравнения (XI. 15) имеется некоторая группа корней,
вещественная часть которых равна нулю, остальная группа корней
441

имеет вещественную часть отрицательную. Во всех этих
критических случаях вопрос об устойчивости невозмущенного движения
(XI.8) не может быть разрешен на основании исследования
уравнений первого приближения.
Как показал А. М. Ляпунов, в критических случаях
устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения определяется
видом нелинейных функций FK, поэтому во всех этих случаях
требуется рассматривать уравнения (XI. 13) в их исходном виде.
Следует иметь в виду, что исследование критических случаев
представляет особенно большой интерес для решения целого ряда
важных прикладных задач, к которым, в частности, относится задача
об устойчивости продольного движения самолета.
Методы решения задачи об устойчивости невозмущенного
движения были развиты самим Ляпуновым, а также Н. Г. Четаевым,
И. Г. Малкиным, Г. В. Каменковым, К. П. Персидским, Н. П. Еру-
гиным, Е. А. Барбашиным, Н. Н. Красовским и др.
Важное приложение к динамическим системам и к системам
автоматического регулирования учения Ляпунова об устойчивости
в критических случаях дали Н. Н. Баутин и А. И. Лурье. Они
показали, что вопрос об устойчивости регулируемых систем в
критических случаях связан с определением опасных и безопасных
участков границы области устойчивости системы.
Из сказанного выше ясно, что для решения задачи об
устойчивости движения важное значение приобретают теоремы,
позволяющие выяснить необходимые и достаточные условия, при
выполнении которых вещественные части всех корней характеристического
уравнения (XI. 15) отрицательны. Такого рода теоремы рассмотрены
в главе XII, мы же вкратце изложим другой способ решения задачи
об устойчивости, получившей название прямого метода Ляпунова.
3. О ПРЯМОМ МЕТОДЕ ЛЯПУНОВА
Прямой метод Ляпунова об изучении устойчивости сводится
к построению таких функций V векторной переменной хъ ..., хп,
полные производные которых по времени, вычисленные согласно
уравнениям (XI.6), обладают некоторыми специфическими для
устойчивости свойствами.
Каждая F-функция определена в области G, заданной
неравенством
1С—1
где L — некоторая постоянная.
Всякую функцию V назовем знакопостоянной, если она, кроме
нулевых значений, принимает всюду в области G только значения
одного знака.
442

Всякую знакопостоянную функцию, принимающую нулевое
значение только в начале координат, назовем знакоопределенной и,
желая обратить внимание на ее знак, определенно положительной
или определенно отрицательной. Так, например, из двух функций
V! = х\ + х\ + х\ и V2 = (хг + *2)2 + xl
функция Vx — знакоопределенная, тогда как функция V2 — только
знакопостоянна.
Если постоянная С достаточно мала, то уравнение V = С,
где С — постоянная для всякой знакоопределенной функции,
представляет собой однопараметрическое семейство замкнутых
поверхностей. При уменьшении параметра С поверхности
стягиваются к началу координат, а в пределе при С = О превращаются
в точку — начало координат. Эти поверхности пересекают все
пути, идущие из начала
координат в бесконечность.
Если же постоянная С
достаточно велика, то
поверхности V = С могут
быть и незамкнутыми.
Действительно,
например,знакоопределенная
положительная функция
v = xl +
l+xl
Рис. XI.1. Семейство кривых функции
Ляпунова
определяет семейство
замкнутых кривых v = С лишь
при С ^ 1; при каждом С > 1 кривая v = С состоит из двух
ветвей, не имеющих общих точек (рис. XI. 1). Следовательно, данная
^-функция может служить функцией Ляпунова лишь для такого
исследования устойчивости, при котором возмущения х±, x.z
ограничены условием
\+х\
т. е. когда движение начинается с точки Мг.
Как показали Е. А. Барбашин и Н. Н. Красовский, для
получения замкнутых поверхностей во всей области знакоопреде-
ленные У-функции должны обладать дополнительным свойством:
V-
-со
при Ъх% -> оо. Это свойство существенно при исследовании
устойчивости в большом. Если же функция V явно зависит от /, то она
называется знакоопределенной положительной, если в дополнение
к предыдущему найдется другая знакоопределенная положительная
443

функция IF*, независящая от t9 для которой соблюдается условие
ВИДа V(x,t)^W*(x)
при всех х £ G, t^ t0.
Говорят, что функция V (а:, /) допускает бесконечно малый
высший предел, если существует знакоопределенная положительная
функция №*(*),• удовлетворяющая условию
У(*,/)<ИР*(*)
при всех х £ G и / ^ t0.
Данные неравенства означают, что поверхность V (х, t) = С
будет располагаться в слое, образуемом поверхностями W*(x) = С,
W*(x) = С. Следовательно, поверхности V (х, t) = С стягиваются
к началу координат при С -> 0.
Наряду с функциями V будем рассматривать их полные
производные по времени, вычисленные согласно уравнениям
возмущенного движения (XI.6):
Ляпуновым были также доказаны две следующие
фундаментальные теоремы:
Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения таковы, что возможно найти знакоопределенную
функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы
знакопостоянной функцией противоположного знака с V или
тождественно равной нулю, т. е. невозмущенное движение
устойчиво.
Теорема 2. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения таковы, что возможно найти знакоопределенную
функцию V, производная которой Vb силу этих уравнений была бы
функцией знакоопределенной противоположного знака с V, то
возмущенное движение устойчиво асимптотически.
Следовательно, в данном случае возмущенное движение будет
при t -> оо сходиться к движению невозмущенному, причем
limxK = 0, к = 1, 2, ... , я.
t-* 00
Функции V, удовлетворяющие условиям этих теорем,
называются функциями Ляпунова. Для того чтобы пояснить
прямой метод Ляпунова, вернемся к нашему примеру.
Пользуясь формулами (XI.5), найдем
хг = х2; х2 = — Мх2 — Nxd; i3 = Ф [axi + РЧ — у хз
где
444

Исследуем устойчивость очевидного решения
Л j ==: Х% === Х$ — V/.
Наиболее простая, знакоопределенная, всюду положительная
функция данной задачи имеет вид
о
V = A [^х2 + *3)2 + Вх\ + С J Ф (or) da,
О
где А, 5, С — положительные постоянные, а через сг обозначена
ради сокращения записей известная линейная
функция переменных хъ х2у х3 [см. второе уравнение
(XI.12)].
Полная производная функции V имеет вид
V = -
N2
(Mx2 + Nx3)*-^<f*(o) +
+
[^ + аС - pMCJ х2ф (а) + [2 А + 2В- pNC] *8q> (a).
Оценивая знак V, можно получить различные формы
достаточных критериев устойчивости очевидного решения. В данном
случае, требуя соблюдения соотношений
ЦМ + (а--рМ)С== 0; 2(A + B) = pNC; />0, (XI.16)
находим
Заметим, что при соблюдении условия (XI. 16) V — всюду
знакопостоянная функция знака, противоположного V, а следовательно,
по теореме Ляпунова невозмущенное решение устойчиво.
Отметим, что эта устойчивость не связана какими-либо
ограничениями относительно величин возмущений, поэтому условия
(XI. 16) дают достаточный критерий устойчивости в большом.
Обратимся к ним. Их можно рассматривать как уравнения, содержащие
неизвестные А, В, С. Уравнения должны разрешаться при
положительных значениях неизвестных. Пусть С — произвольная
положительная постоянная; при этом находим
А = ^(рМ-а)С;В = ^С.
Для данной задачи получаем следующую форму достаточного
критерия устойчивости в большом:
рУИ>а; а>0; *>0.
Раскрывая истинное значение рщ i, находим окончательно
а>0; EM>a-\-M2G2; 1+Ш?>0; />0.
445

Итак, при любых значениях постоянных регулятора,
удовлетворяющих приведенным неравенствам, рассматриваемое
невозмущенное движение устойчиво в большом. Следовательно,
интересующий нас в системе регулирования установившийся режим
физически осуществим, каковы бы ни были возмущения x1Qf x2Qj хго,
приложенные к системе.
Трудность применения прямого метода Ляпунова к решению
прикладных задач связана с отсутствием широко разработанных
приемов построения функций Ляпунова в тех или иных частных
случаях. Однако, если задача о построении функций Ляпунова
для какого-либо класса систем решена, то прямой метод можно
рассматривать как наиболее эффективный метод исследования
устойчивости. Его особенная ценность проявляется в тех случаях,
когда интересуются исследованием устойчивости в большом, т. е.
при любых конечных возмущениях. Кроме того, этот метод может
применяться к изучению устойчивости тех систем регулирования,
которые содержат существенно нелинейные и неаналитические
(разрывные) характеристики. Во всех этих случаях возможность
применения метода первого приближения исключена.
Если какая-либо задача об устойчивости в теории регулирования
может быть решена прямым методом, то это решение не будет
однозначным. Действительно, функции Ляпунова определены столь
общими свойствами, что их может быть построено бесчисленное
множество. Следовательно, условия устойчивости, к которым
приводит прямой метод, являются условиями достаточными и их
нарушение еще не будет означать неустойчивости системы. Последнее
может иметь для нас двоякий смысл. Дело в том, что свобода выбора
функций Ляпунова позволяет строить критерии устойчивости
систем регулирования, в которых некоторые нелинейные элементы
не могут быть точно охарактеризованы. К этим элементам
принадлежит, например, гидравлический серводвигатель. Любой другой
известный метод исследований устойчивости не дает
возможности строго решить задачу об устойчивости в большом в этом
случае.
Однако всегда при этом следует помнить, что полученное решение
может оказаться неконструктивным, т. е. таким, которое
предъявляет чрезмерно высокие требования к параметрам регулятора,
реализовать которые практически невозможно.
Вопрос о конструктивности решений задачи прямым
методом в каждом частном случае следует подвергать особому
рассмотрению.
В последнее время большое внимание уделяется проблеме
«устойчивости на конечном интервале Г». Это понятие устойчивости
требует специального определения, ибо согласно теоремы о
непрерывной зависимости решений (XI.9) от начальных условий
неравенством (XI. 10а), (XI. 11) всегда можно удовлетворить.
Однако формальное применение прямого метода Ляпунова и
446

в этом случае может принести большую пользу. Действительно,
преобразуем время 1
Тогда -jf^^j-- Пусть V (х, т)—функция Ляпунова для
системы , 1
~ dV 1 dV *
Очевидно, j- — ~2 • -J7 и преобразование времени не меняет
знака V.
Поэтому формальное выполнение условий теоремы Ляпунова
об устойчивости будет свидетельствовать лишь о затухании функ-
ции V (х, t) вдоль траекторий системы на конечном интервале Т.
Ввиду того что функция V (х, t) знакоопределенна, это
затухание будет происходить в каждой координате хк\ однако оно никогда
не будет асимптотическим.
4. О ПРИМЕНЕНИИ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ
ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Постановка задачи. Прямой метод в теории
регулирования стали применять после опубликования работы А. И. Лурье
и В. Н. Постникова о решении одной частной задачи. Позднее
А. И. Лурье развил излагаемый ниже алгоритм построения
функции Ляпунова, разрешающей задачу устойчивости для одного
класса регулируемых систем. Эти исследования были затем
продолжены и развиты рядом советских ученых.
Итак, рассмотрим систему регулирования, возмущенное
движение которой описывается уравнениями
п
Цк = 2 ^«Ча + т^ к = 1, 2,..., п;
/с=1
1 = Ф(*); *= Sp.ti.-E. (XI. 17)
а = 1
где Ька — постоянные;
цк — координаты объекта регулирования;
| — координата регулирующего органа;
тк — постоянные регулирующего органа;
ргх — постоянные регулятора;
а — управляющий сигнал, формируемый измерительными
органами регулятора, которые предполагаются
идеальными.
Функция ф (<т) описывает скорость перестановки
регулирующего органа из одного положения в другое в соответствии со
значением управляющего сигнала о (см. рис. XI.2). Рассматриваемая
447

Я1»-*>0'
4>т
0
/1
/1
/// б
/-***** ■ш-'*""" """""" Tp*
h б
-^^ б
функция однозначная, ограниченная, обладающая следующими
свойствами: ф (а) = 0 при о = О, а «ср (а) > 0 при а ^ 0.
Условимся, что такие функции образуют класс А функций.
В некоторых случаях, оговоренных особо, будет идти речь
о таких функциях ср (а), которые в дополнение к сказанному
обладают следующими свойствами:
Г=о
аФ (а) > °; я Ф 0; у (а) = ф (а) — Лог; ^ б а.
Условимся, что эти функции образуют подкласс А' функций
Ф (о) в классе А.
Выделение подкласса А' преследует цель среди всевозможных
исполнительных устройств, характеризуемых функциями класса А,
выделить те, которые обладают
значительной быстротой реагирования на
поступающие сигналы а. Так, если h —
фиксированное число, то приведенные
условия означают, что модуль скорости
перекладки регулирующего органа
всегда больше величины ho.
YA Для функций подкласса А' будем
рассматривать и другое положение Но
Рис. XI.2. Нелинейная ха- луча ограничивающего кривую ср (<т)
рактеристика исполнитель- ' r \ п
но го устройства с двумя сверху При <т ^> U.
крайними значениями коэф- Все функции подкласса А будут
фициентов линеаризации изображаться кривыми,
расположенными между лучами у — ho, у = Но,
#]>й, где Я, h—фиксированные числа (см. рис. XI.2).
Если окажется, что функция ф (о) имеет какое-либо пересечение
с этими лучами при о = ог то речь будет идти о диапазоне
регулирования системы по а, равном 2 |аф|.
К функциям подкласса А' следует отнести также z-образную
тс
функцию ф (а) = Qsign а, для которой принимается Н = tg у.
В частном и предельном случае может оказаться, что для
некоторых z-образных функций Q = оо , а 2 \о^\ = 0. В этом случае
исполнительный орган, характеризуемый этой функцией, будем
считать идеальным, т. е. таким, который бесконечно быстро
переставляет регулирующий орган из одного положения в другое.
Уравнение такого органа записывается следующим образом:
п
£ = 2 РМа-
Рассмотренный класс функций ф (а) включает в себя
характеристики подавляющего большинства исполнительных органов,
используемых в современной технике регулирования, Целесооб-
448

разность объединения этих характеристик одним классом функций
подтверждается следующим весьма важным соображением.
Обычно определение функций ф (а) производится
экспериментально, путем графической записи скорости хода исполнительного
органа в так называемом статическом режиме, когда величина о
принимает известные фиксированные, дискретные значения. При
такой записи получается как бы семейство функций ф (а),
зависящее от приложенной фиксированной нагрузки.
Однако фактические условия работы исполнительных органов
включают в себя непрерывное изменение действующей нагрузки.
Ее действие на исполнительный орган сводится к заметному
искажению вида функции ф(о), записанной в статическом режиме.
Это искажение не может быть полностью учтено, несмотря на то,
что оно не меняет определенного выше класса функций ф (а).
В то же время особенно сильные искажения функции ф(а) в
процессе регулирования могут происходить в результате колебания
уровня энергии внешнего источника питания регулятора.
Следовательно, в каждой частной задаче невозможно строго фиксировать
функцию ф(а) и тем более корректно проводить и линеаризацию
ее коррекции, строго фиксируя коэффициент линейного
приближения. Приведенные рассуждения показывают, что в подобных задачах
всегда можно определить функцию ф(о) лишь с точностью ее
принадлежности к классу А или подклассу А' функций. Этого определения
будет вполне достаточно, если основные задачи теории
автоматического регулирования решать на основе прямого метода Ляпунова.
Для окончательной формулировки задачи допустим, что
возмущенное движение системы регулирования описывается
уравнениями (XI. 17). Требуется найти условия, которые следует наложить
на параметры регулятора, выполнение которых гарантирует
устойчивость установившегося состояния системы автоматического
регулирования, описываемого очевидным решением уравнений (XI. 17),
каковы бы ни были возмущения и функции класса А или
подкласса А'.
Построение функции Ляпунова. Изложим метод построения
функции Ляпунова для регулируемых систем, обладающих
устойчивостью при выключенном регуляторе.
Функции Ляпунова удобнее строить, если уравнения задачи
приведены к так называемой канонической форме.
С этой целью рассмотрим линейную подстановку
*,= SCJf^ + Б, s«l, 2, .... л. (XI.18)
Дифференцируя zs, после исключения с помощью уравнений
(XI. 17) величин ца находим
^=2 Ci')[Sftep4p + me6] + 9(a).
15 Техническая кибернетика, кн» 1
449

Придавая уравнениям в новых переменных каноническую форму
2* = Ьа + Ф(<*)> s=1, 2, ... , л, (XI.19а)
подберем постоянные С{£ так, чтобы удовлетворялись соотношения
а= 1
^=ЕС[%„ s=l,2,...f n, (XI. 196)
а=1
где Xs — параметры преобразования, определение которых
сводится к следующему.
Первые п соотношений (XI. 196) следует рассматривать как
линейные однородные уравнения относительно неизвестных С£\
Как известно, они тогда лишь имеют ненулевые решения, когда их
определитель равен нулю.
Таким образом, для того чтобы привести уравнения (XI. 17)
к каноническому виду, мы должны выбрать числа как корни урав-
Я(Ь) =
0.
Для завершения преобразования уравнений (XI. 17) остается
выразить а через новые переменные. С этой целью из соотношений
(XI. 196) необходимо определить все значения С£> и разрешить
соотношения (XI. 18) относительно старых переменных. При этом
могут встретиться различные случаи в зависимости от корней
уравнения D(K) = 0. Ниже будут рассмотрены лишь регулируемые
системы, для которых корни Яъ..., Хг — вещественные, ir+1,...,
кп — попарно сопряженные комплексные, и все простые обладают
свойством Reb»<0,K=l, 2 п.
Для краткости такие системы назовем собственно
устойчивыми.
В этом случае преобразование (XI. 18) является неособым,
вследствие чего можем найти
Л.= S D£>zK + G&, a =1,2,..., п.
С помощью этих соотношений, дифференцируя величину а,
получим
п
^=2 Р*г* — Ф(а)>
где постоянные $к можно выбирать.
450

Следовательно, преобразование позволяет поставить вопрос
об устойчивости невозмущенного движения системы регулирования
(XI. 17), описываемого очевидным решением zx = 0,..., zn = О,
о = 0 уравнений (XI. 196). Для разрешения вопроса по прямому
методу Ляпунова рассмотрим функцию
п п о
v==-2 2 xv+kzai+§ф (0) dr' (XL20)
к=1 i = \
где al9..., ar — вещественные, аг+1,..., a„ —- попарно сопряженные
комплексные и в остальном произвольные постоянные.
Поскольку очевидно, что
.00
О
то при любых значениях К на основании тождества
п п оо п
лг= 1 г = 1 О к = \
заключаем, что функция V принимает только вещественные и всюду
положительные значения, обращаясь в нуль лишь в точке г\ =
= ... = г'п = о' = 0. Ее полная производная имеет вид
2 ^ а«я«ад —ф2(в) +
1^— -
Учитывая, что
п п п
к= 1 i = l «=sl
2 2с¥я<*+ч-г2 2#&
а; = 1 г == I лт = 1 г ===== 1
dV n
и, добавляя в правую часть выражения -.j величину ±2ф(а) У] а^г,,
эквивалентную нулю, получим
п п
^=- [ 2 а«2«+ф и]2+Ф (°) 2 [р«+2а«-
«=1 АГ — 1
-2^2та\К
г=1
15* 451

Если постоянные ак определить при помощи следующего
уравнения:
п
P« + 2a«-2aK2j^T^=0' «=1.2,..., л» (XI.21)
то полная производная примет вид
^ = -[|>Л + ф(сг)]2
и, очевидно, будет являться знакопостоянной функцией, принимая
всюду отрицательные или нулевые значения.
Итак, можно сформулировать следующую теорему [6]: если
постоянные регулятора таковы, что система квадратных уравнений
(XI. 21), в которой А,г,..., Хп ($!,..., рг — вещественные, а А,г-ы>--->
кПУ рг+1,..., $п — соответственно попарно сопряженные комплексные
числа, имеет хотя бы одну систему решений, содержащую а1э..., аг
вещественных и аг+1,..., ап попарно сопряженных комплексных
чисел, то установившееся состояние системы автоматического
регулирования обладает устойчивостью в большом, какова бы ни была
функция ф(а) класса А.
Можно доказать, что эта устойчивость асимптотическая. Если
среди вещественных корней окажется один, например Хи равный
нулю, то в функции V следует опустить член а\: 2ЯХ и вместо него
написать Az\, где А ^> 0. В этом случае в уравнениях (XI. 21)
первое из них заменится уравнением А + рх = 0, которое наложит на
рх условие рх < 0.
Для построения критерия устойчивости фактически нет
необходимости решать уравнения (XI. 21), достаточно лишь найти условие
их разрешимости. Как показывают примеры, эти условия сводятся
к выполнению М совокупных неравенств, содержащих параметры
объекта регулирования и регулятора, входящие в постоянные р^.
В работе [6] предлагается следующая формула для определения
этих постоянных:
Р* = — &Р*щ^> к= 1. 2> ••• > «.
где D' (X) — производная по X определителя D (Я), а Ns (Хк) —
значение определителя D (А,) при X = %к, в котором строка элементов
с номером s замещена числами тъ..., тп.
Для краткости мы не останавливаемся на выводе этих важных
формул, позволяющих в каждой частной задаче миновать все
промежуточные выкладки и сразу же приступить к формированию
искомого критерия устойчивости, как только будут написаны
исходные уравнения.
452

В качестве примера приложения метода рассмотрим задачу
о возмущенных движениях системы автоматического регулирования,
описываемую уравнениями
■ф + РФ + <rt> + гт| = s;
Л = ф' (а)\ а = а-ф + ^Ф + G2ty —гЧ,
(XI.22)
где г|) — координата;
р, g, г, s — постоянные объекта регулирования;
г) — координата регулирующего органа;
а, £, G2, / — постоянные регулятора, физический смысл
которых ясен из написания а;
ф' (а) — функция класса А.
Установившееся состояние системы определяется следующими
величинами:
q + air'
q + alr'
Для того чтобы привести уравнения (XI. 22) к форме уравнений
(XI. 17), примем, что
Ч> — V = 4i> ^ = Л2, Л — л' = £. (XI.22а)
После исключения в выражении для а величины ij> получим
4i = Л2; Л2 = *2i^i + М2 + Щ1\
| = Ф (а), а = р1т|1 + p2T]2 — &
где
-р; ^21
I
■ q\ Щ = — п; ф (а) = у ф' (а);
;Pl = a-qG*\ p2 = E-pG\
1 + /rG2
Составим уравнение D (А,) = 0, тогда получим
-^ &21 I
1 622 — A, J
D(X,) =
откуда найдем
№ — Ь9Л — Ь0
D'(h) = 2X — X1 — l2.
(XI.23)
Очевидно, все корни Хк будут иметь отрицательные вещественные
части, если р ^> 0, q }> 0.
Далее образуем определители Nl9 N2:
Nx =
т*
0
1 &22 — К
= — т2; УУ2 =
— X b21
0 т2
— A,m«,
453

Применяя формулы (XI. 22), получим
В соответствии с уравнениями имеем
e.+2<".-g-sr¥s-0;
b + bb-t-gfr-o-
Нетрудно показать, что эти уравнения непременно
удовлетворяют условиям теоремы, если выполняются следующие
неравенства:
П = 1 + к + Р^о; D2 = Я? + Ц + p^ + РЛ±2^2Г^0.
Если воспользоваться обозначениями формул (XI. 23) и (XI. 23а),
то последние неравенства легко привести к следующему
окончательному виду: _ q + alr
~~ q{\ +/rG2) ^ '
D%^^_2q-T^ifSi(a-q&-pE + p*G*)±2qT^0.
Не имея здесь возможности останавливаться более подробно
на применении прямого метода Ляпунова к исследованию
устойчивости систем автоматического регулирования, мы отсылаем
читателя, интересующегося этим вопросом, к специальной литературе
[1,4,5].
В настоящее время учение Ляпунова об устойчивости движения
развилось в самостоятельную обширную дисциплину большого
прикладного значения.
Идеи Ляпунова получили свое дальнейшее развитие главным
образом в трудах советских ученых и изложены в монографиях
[2, 3, 7, 8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а у т и н Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ
области устойчивости. ОГИЗ, 1949.
2. Д у б о ш и н Г. Н. Основы теории устойчивости движения. Изд. МГУ,
1952.
3. К р а с о в с к и й Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости
движения. Физматгиз, 1960.
4. Лето в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.
Физматгиз, 1962.
5. Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического
регулирования. Гостехиздат, 1951.
6. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.
Гостехиздат, 1950.
7. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения, ГИТТЛ, 1952,
8. Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения, Гостехиздат, 1953.

ГЛАВА XII
КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЙ
fr
—Jv А
л$
X
А1
у!
А2
X
3
<5>
«;
<5»
1
О
fln.s
Вещественная
ось
В предыдущей главе было показано, что необходимым и
достаточным условием устойчивости системы является отрицательность
действительных частей всех корней Xl9 Я2,..., Хп
характеристического уравнения. Если изображать эти корни точками на комплексной
плоскости, то необходимое и достаточное условие устойчивости,
очевидно, заключается в том, чтобы все корни были расположены
в левой части комплексной плоскости (рис. XII. 1). Следовательно,
исследование устойчивости системы
сводится к нахождению знаков
действительных частей корней
характеристического уравнения или, что
эквивалентно, к определению
расположения этих корней на комплексной
плоскости.
Фактическое вычисление корней
весьма просто лишь для
характеристических уравнений первой и второй
степени. Общие выражения для
корней уравнений третьей и четвертой
степени известны, но они громоздки
и практически мало удобны. Уравнения более высоких степеней
вообще не имеют общих выражений для корней. Поэтому важное
значение приобретают правила, которые позволяют исследовать
устойчивость системы, минуя вычисление корней. С помощью этих
правил, называемых критериями устойчивости, не
только устанавливают, устойчива система или нет, но и выясняют
влияние тех или иных параметров и структурных изменений в
системе на устойчивость.
Существуют различные формы критериев устойчивости. Но
математически эти формы критериев устойчивости эквивалентны, так
как все они определяют условия, при которых корни
характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости.
Рис. XII.1. Расположение
корней характеристического
уравнения устойчивой системы.
455

Ниже рассмотрены критерии устойчивости и даны их простейшие
обоснования. Последние получены на основе теоремы Коши и
принципа аргумента.
1. УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Наиболее распространенными критериями устойчивости
являются следующие критерии: Рауса, Гурвица, Михайлова и Найк-
виста-Михайлова. Несмотря на различие перечисленных выше
критериев устойчивости, все они вытекают из известной теоремы
теории функций комплексного переменного, а именно теоремы Коши
относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической
в заданной области.
Предположим, что характеристическое уравнение исследуемой
системы имеет вид
D (К) = ап1п + а^К"'1 + ... + а^ + а0 = 0. (XIIЛ)
Очевидно, что корни этого уравнения можно изобразить точками
на комплексной плоскости, причем корням, имеющим
отрицательную вещественную часть, соответствуют точки, расположенные
в левой полуплоскости.
Но корни уравнения (XII. 1) являются нулями функции D(s)
комплексного переменного s.
Таким образом, решение вопроса об устойчивости системы
сводится к определению, в какой полуплоскости (левой или правой)
расположены нули функции
D (s) = ansn + an_1sn~1 + ... + a±s + a0.
Следовательно, прежде всего необходимо найти правило,
позволяющее считать нули рациональной функции комплексного
переменного s. Его можно получить из известной теоремы Коши,
которая утверждает, что если функция jF (s) аналитична внутри
и на заданном контуре С, за исключением тех точек, в которых она
имеет полюса, то интеграл
2nj^F(s) aS>
с
взятый по замкнутому контуру С в положительном направлении,
равен разности между числом нулей и полюсов рассматриваемой
функции в заданной области, причем каждый полюс или нуль
считаются в соответствии с его кратностью, т. е.
456

Этому соотношению можно дать простую геометрическую
интерпретацию, положив, что ._
F(s) = AeJ<DJ (XII.3)
где А и Ф — вещественны.
Подставляя выражение (XII. 3) в равенство (XII. 2), получим
% + l§d<D = 2nj(N-P)
или, приравнивая мнимые части, найдем
±^dO = N-P.
(XII.4)
nn.f
а)
Рис. XI 1.2. Применение принципа аргумента
для определения разности между числом нулей
и полюсов
Так как 2я соответствует одному обороту, а интеграл ф(1Ф
представляет собой полное число оборотов вектора F(s) в плоскости F
(рис. XI 1.2,6), которое он
делает при однократном
обходе переменной s
вокруг заданного
контура С в плоскости s (рис.
XII. 2,а), то мы получим
следствие из теоремы
Коши, называемое
принципом аргумента.
Разность между числом
нулей и полюсов
однозначной аналитической
функции F(s), заключенных внутри замкнутого контура С, в
точках которого функция F(s) не обращается в нуль, равна числу
полных оборотов вектора, изображающего функцию F(s), вокруг
начала координат в положительном направлении в плоскости Z7,
в то время как точка s описывает контур С в том же направлении.
Это и есть искомое правило.
Рассмотрим теперь функцию D(s), представляющую собой левую
часть характеристического уравнения описываемой динамической
системы. В качестве замкнутого контура С, о котором говорится
в принципе аргумента, выберем контур, состоящий из
полуокружности S+ бесконечно большого радиуса, расположенной в правой
полуплоскости, и мнимой оси (см. рис. XII. 3). Тогда, если окажется,
что внутри этого контура функция D(s) не имеет нулей, то все
корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные
вещественные части и, следовательно, система будет устойчивой.
Таким образом, как следствие из принципа аргумента, можно
сформулировать следующий критерий устойчивости линейных
систем.
Динамическая линейная система устойчива, если при обходе
точкой s замкнутого контура С, состоящего из полуокружности
бесконечно большого радиуса, расположенного в правой полу-
457

плоскости, и мнимой оси комплексного переменного s, число
оборотов вектора D(s), соответствующего левой части
характеристического уравнения системы, вокруг начала координат на
плоскости D, равно нулю.
2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
В качестве применения принципа аргумента докажем прежде
всего критерий устойчивости, впервые сформулированный А. В.
Михайловым [3].
Предположим, что система имеет характеристическое уравнение
вида (XII. 1).
Введем функцию D(s) комплексного переменного s:
D (s) = ansn + a^sr* + „e + aiS + aQ (ХЦ.5)
и, изменяя s вдоль контура С (рис. XII. 3), будем считать число
оборотов, которые при этом вектор,
изображающий функцию D(s), делает вокруг начала
координат.
Будем сначала изменять s вдоль
полуокружности S+ бесконечно большого радиуса.
Заменяя s через
s = p^ (XI 1.6)
и подставляя выражение (XII. 6) в уравнение
(XII. 5), получим
D (s) = anpneJn* + a^ip*'1 • e/u"l)* + ... +
Рис. XII.3. Контур + а р*>Ф + а0. (XII.7)
С на плоскости s
В пределе мы можем пренебречь в выражении
(XII. 7) всеми членами, кроме первого, так как р-> оо, т.е.
положить, что на полуокружности S+
lim D (s) - limа„рУЧ (XII.8)
p -»■ oo p-*oo
Из выражения (XII.8) видно, что при обходе вдоль 5+
модуль s остается неизменным, а фаза или аргумент получает
приращение, равное пл. Таким образом, как это ясно из выражения
(XII. 8), вектор, изображающий функцию D(s), повернется в
плоскости D на угол пл против часовой стрелки, т. е. совершит —пол-
шах оборотов против часовой стрелки вокруг начала координат.
Но так как согласно критерию устойчивости, сформулированному
в конце предыдущего параграфа, полное число оборотов вектора D(s)
при обходе точкой s вдоль S+ и вдоль мнимой оси of + j oo до —/oo
в случае, если система устойчива, должно равняться нулю, то мы
приходим к следующему выводу. Для того чтобы система была устой-
458

чива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении s вдоль мнимой
оси от + /оо до —/со число оборотов вектора D по часовой стрелке
п
равнялось
2'
где п — порядок характеристического уравнения.
Далее, учитывая, что D (/со) = D* (—/со) и изменяя со не от +оо
до 0, а в противоположном направлении, т. е.
от 0 до со, мы приходим к следующему
критерию, впервые сформулированному А. В.
Михайловым:
для устойчивости динамической системы
необходимо и достаточно, чтобы при
изменении со от 0 до со кривая, описываемая
концом вектора D (/со), проходила против часовой
стрелки через п квадрантов, где п — порядок
характеристического уравнения.
К такому же выводу можно прийти при помощи
следующих рассуждений, не требующих знания тео- Рис- „Х**А .злемен-
рии функций комплексного переменного. тарный вектор (л Л/)
Рассмотрим, что будет происходить с вектором
D (s) при изменении s вдоль мнимой оси, т. е. при изменении s от —/со
до -f /со. Для этого допустим, что все корни Хг, Х2 ... кп уравнения (XII. 1) нам
известны. Далее представим функцию D (s) в виде
D(s)=an(s-K)(s-K) • • -(s-K).
(XI 1.9)
Очевидно, что каждый множитель (s — X,v,)
можно рассматривать как вектор в плоскости
комплексного переменного (рис. XI 1.4). Начнем
теперь изменять s вдоль мнимой оси, придавая
ему значения от s = — /со до s = + / со, и
посмотрим, что будет происходить с каждым из
векторов (/со — Кк). Из рис. XII.5 легко видеть,
что если какой-либо корень Кк лежит справа от
мнимой оси, то соответствующий ему вектор
(/©—Як) повернется на 180° или на дх почасовой
стрелке, а если какой-либо корень X/ лежит
слева от мнимой оси, то вектор (/со — Я/)
повернется на 180° или на п против часовой стрелки.
Отсюда следует, что если все корни Х1у Я2, ..., Кп
расположены в левой полуплоскости, то вектор
D(s) при изменении s от —-/со до -f/co совершит
п
Рис. XI 1.5. Изменение
аргументов (/со — Я/) и
(/со—Кк) при возрастании
со от —со до -(-со
2
полных оборотов вокруг начала координат
против часовой стрелки, т. е. мы получили требуемый результат.
На рис. XII. 6 приведены типичные кривыеD (/со) для устойчивых
систем, описываемых уравнениями, начиная от первого (п = 1)
и до пятого порядка (п = 5). Для удобства сравнения коэффициент
ап во всех случаях принят равным единице.
На рис. XII. 7 приведена кривая D (/со), соответствующая
неустойчивой системе. По виду кривых D (/со) легко определить число
корней с положительной и отрицательной вещественной частью.
459

Действительно, обозначим через т число корней с положительной,
а через п — т число корней с отрицательной вещественной частью.
Тогда полный угол поворота вектора D (/со) в положительном
направлении при изменении со от 0 до оо равен
In == (п — т) л — тл = (п — 2т) п
п=2
л=/
Рис. XI 1.6. Кривые D (/со) для
устойчивых систем (п = 1, 2,
3, 4, 5)
Рис. XII.7. Кривая
D (/со) неустойчивой
системы (п = 4)
и, следовательно, число корней с положительной вещественной
частью
т =
■/
(ХИЛО)
Иногда может оказаться удобным следующий критерий
устойчивости, называемый критерием перемежаемости
корней.
и
и(0)<
0
V
w\
dj/Ч.
У^з
/u(LJ)
и
•V(CJ)
Рис. XII.8. Вещественная и мнимая
части кривой D (/со) устойчивой
системы (п = 4)
и
и (Oh
0
V
vr<
'^'^^^^y^ufaj)
Рис. XI 1.9. Вещественная и мнимая
части кривой D (/со) неустойчивой
системы (п = 4)
ПУСТЬ D (/со) - и (со) + /0(ю). (XII. 11)
Тогда, очевидно, что кривая D (/со) при изменении со от 0 до сю
обходит п квадрантов в положительном направлении и система
устойчива, если и (0) > 0, v' (0) > 0 и уравнения
и ((о) -0, (XII. 12)
1>(ш)^0 (XII.13)
460

имеют все действительные и перемежающиеся корни, т. е. если
между каждыми двумя соседними корнями уравнения (XII. 12)
[или (XII.13)] лежит корень уравнения (XII.13) [или (XII.12)].
Так, например, при п = 4 случай, графически изображенный на
рис. XII.8, соответствует устойчивой системе, а на рис. XII.9 —
неустойчивой системе.
3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА И ГУРВИЦА
Как было показано выше, из основного соотношения,
определяющего устойчивость системы регулирования, следует, что корни
уравнений и (со) = 0 и v (со) = 0 должны быть вещественными и
должны чередоваться и что значения и (0) и v' (0) должны быть
положительными. Условия, при которых это имеет место, можно
найти не в виде кривой, как это дает критерий Михайлова, а в
аналитической форме, выразив их через коэффициенты
характеристического уравнения. Такие критерии устойчивости были предложены
Э. Раусом и А. Гурвицем.
Наметим путь получения этих критериев. Предполагая, что степень
характеристического уравнения п четная, запишем действительную и мнимую
части D (/со) в виде
и (со) = ± (яЛсоЛ — яя_2соЛ-2 + йя_4со«-4 — ... + а0);
v (со) = + (^„ico""1 — ап_3и>п~3 + ап_ъ(ип~ъ — ... + ЯцЮ).
Так как п — четное, то степень действительной части больше на единицу
степени мнимой части1. Далее обозначим и (со) = и и v (со) = иг.
Разделив и на иг и изменив знак у остатка и2, получим
и = uxQx — и2,
где Qx — некоторый многочлен.
Аналогично можно получить
Щ = и202 — щ.
Продолжая этот процесс до тех пор, пока ип_х разделится на ип нацело,
получим
«2 = ti3Q3 — щ;
Un-2 = Un-lQn-l Un\
Ряд к, иъ и2, ..., ип обычно называют обобщенным рядом Штурма2.
Можно показать [3], что если степени многочленов этого ряда отличаются
1 Если степень характеристического уравнения нечетная, то можно
умножить D (/со) на /, и тогда действительная и мнимая части поменяются местами,
причем действительная часть изменит знак на обратный. Окончательный
результат при этом останется без изменений.
2 ип — наибольший общий делитель и и их. Если и и их взаимно просты,
то ип = const. Далее это положение предполагается выполненным.
461

на единицу и старшие коэффициенты имеют чередующиеся знаки, то и (со) =0
и v (со) == 0 имеют все вещественные и чередующиеся корни, т. е.
приращение аргумента функции Z)(/co) определяется выражением:
A arg D (усо) = пщ
— оо ^ со ^ со,
что эквивалентно устойчивости системы *.
Произведя указанное деление, получаем
где
Щ =* ± fas©*"-* — ^зсо"-4 + сзьсоЛ-б — ...),
t23 — - ,
ап~1 ап~\
п _- аП-\аП-% аГ1аП-1 .
сзз — - >••• ,
ап-\
"з = н= (Ci4cow-3 — с24соя"5 + с34со"-7 — ...);
ss С13Д/1-3 Д/1 -lg23 . . __ C13fl/l-5 аП-\СЪЪ .
С13 С13
С1ВаП-7 аП-1СЫ .
С34 — "
С
13
«4 = ± (ClsCO""4 — С25С0Л-в + Г3бС0"-8 __...);
___ ^14С23— С13С24 . „ _ С14С33 — g13g34 .
~9 С25 ~
С14 Г14
„ C14f43 — С13С44
сы
И Т. Д.
Коэффициент скУ1 определяется общей формулой
ИЛИ
СЫ = СК+1,*-2 — /"/-1^+1, f~l» (XH.15)
где
rM = -^i=L. (XII.16)
Вычисление этих коэффициентов может быть очень просто осуществлено
без фактического выполнения деления, если воспользоваться схемой
вычисления, предложенной Раусом в виде табл. ХИЛ.
В первой и второй строках табл. XII.1 выписываются коэффициенты
уравнения соответственно: ап, ап_2, ... и an_lt an_3... Коэффициенты в остальных
строках вычисляются по следующему правилу, которое следует из
выражений для cKi и rt _ v
Для того чтобы найти /с-й коэффициент /-го ряда таблицы ски нужно из
(к -|~ 1)-го коэффициента (/ — 2)-й строки (ск +1, / __2) вычесть произведение
г*- i на (к + 1)-й коэффициент (/—- 1)-й строки (cK + 1,t-i)' Множитель rt_x
есть отношение первого коэффициента (/— 2)-й строки (ci,*-.2) K первому
коэффициенту (/ — 1)-й строки (с1у1_г), постоянный для каждой 1-й строки.
На основании свойств ряда Штурма, о котором мы упомянули
выше, критерий устойчивости Рауса можно сформулировать
следующим образом.
* Если п нечетно, то старшие коэффициенты должны иметь одинаковый
знак.
462

Таблица KII.l

Коэффициенты
ri
an-i
ап-\
С13
°23
...
п
n-i
с13 = ап_2
с14 = ап_3
Г1С23
с1ъ = с23
Г2С24
...
аП 2
<2
Л-3
г23 = an_i
С24 == аП-Ъ
С25 == С33
...
/1—4
Л—5
сзз == Я/г-в
— ^0«/1-7
^34 = «Я-7 —
**1С43
Г35 == ^43
Г2С44
...
V-6
«Я-7
с43 = ап__в —
— ^0^-7
с44 = ап_9 —
Г1СЬЗ
с45 = с44 —
Г2С54
...
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы
все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были
положительными, т. е. а„>0; ал_!>0; с13>0; с14>0;...; cltn+1>0
(коэффициенты ciK вычисляются при помощи приведенной выше таблицы).
Критерий Рауса особенно удобен в тех случаях, когда
коэффициенты характеристического уравнения заданы численно. В этом
случае вычисление коэффициентов таблицы следует производить,
начиная с третьей строки, в порядке возрастания их номеров.
Любую строку можно умножать и делить на любое положительное
число.
Пусть задано, например, характеристическое уравнение
D(K) = 0,104,V + 0,ЗЗЯ6 + 5,5Х5 + 15,5Я4 +
+ 2Ы3 + 25№ + 19,7,1 + 9,5 = 0.
Составим таблицу коэффициентов Рауса (табл. XI 1.2).
Так как все коэффициенты первой графы положительны, то все
корни характеристического уравнения имеют отрицательные
действительные части, и соответствующая система устойчива.
Другая форма критерия устойчивости, наиболее
распространенная в технической литературе, известна под названием критерия
Гурвица, который легко получить из критерия Рауса. Для этой
цели выразим коэффициенты сы в виде определителей:
си ~ ап> сп == an-i — ^1»
Ах'
463
43
^П-1аП-2— апаП-3
I аП-ЗаП-2, I
4-х

Таблица ХП.2
Коэффициент
ri
r0 = 0,315
^ = 0,55
г, = 0,1
r3 = 0,386
г4 = 1,6
Гь = 0
а =0,104
п
а , = 0,33
п—1
0,6
6,0
15,52
9,7
0,55
9,5
ая-2=5'5
^-з = 15'5
17,1
15,8
15,75
9,5
0
0
Я-4
а„ . = 25
Л—a
16,7
9,5
0
0
0
0
^_е = 19'7
V-7 = 9'5
0
о
о
0
0
0
— а„
и в общем случае1
Cl* -' л
A*-i
tf-2
аП-ЗаП~2аП-1
аП-5аП-4аП-3
ап_*а„_
(XII.17)
где А« (/с — 1,2...) — определители Гурвица, получаемые с помощью
следующей формы записи:
an-i\
в*->
а-п-ь
а«-7
^я-2
а«-«
йя-в
0
ап-3
ап-ь
0
«я
ая-2
а«-4
*тг-9 ия-8
*я-6
0
0
Ы-Ь
о
о
а*-4
(XII.18)
отчеркиванием строк и граф, причем все коэффициенты с
отрицательными индексами заменяются нулями. Определитель (XII. 18)
составляется по простому правилу. По диагонали выписываются
коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а/г_1. Строки
определителя, начиная с диагонали, заполняют коэффициентами
вправо по возрастающим, а влево — по убывающим индексам.
1 Это нетрудно показать, применяя метод полной математической
индукции.
464

Согласно критерию Рауса необходимым и достаточным условием
устойчивости является
cn = a„>0; с1а = ая_1>0; с13>0; ... ; cltM>0.
Этим неравенством, как следует из соотношения (XII. 17),
эквивалентны неравенства вида
ял>0; Ai>0; Д2>0; ... ; А„>0.
Таким образом, критерий Гурвица можно сформулировать
следующим образом: для устойчивости системы необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство ап ^> 0, а определители
Гурвица Дь А2...., Ал были положительными.
Для уравнений высоких степеней порядок определителей
возрастает, и практическое вычисление их обычным путем становится
крайне громоздким.
Иные способы вычисления определителей Гурвица, например,
сведением предпоследнего определителя к диагональной форме,
по существу приводят к схеме вычисления Рауса. Таким образом,
критерий Рауса дает весьма простой способ исследования
устойчивости систем в тех случаях, когда степень характеристического
уравнения высока (например, п ^> 5) и коэффициенты его заданы
численно.
Следует иметь в виду необходимые (но не достаточные) условия
устойчивости, заключающиеся в том, что в случае уравнения я-го
порядка все коэффициенты а0, а,..., ап должны быть положительны
и ни один из них не должен равняться нулю.
Для систем, характеристические уравнения которых имеют
низкую степень (п <^ 4), условия устойчивости можно записать в общей
форме в виде простых буквенных неравенств.
Приведем условия устойчивости для систем с
характеристическими уравнениями второй, третьей и четвертой степеней; эти
условия вытекают из критерия Рауса или Гурвица:
для п = 2
Яо>0; %>0; я2>0; (XII.19)
для п = 3
Яо>0; «i>0; а2>0; а3>0;
а2ах — а3а0>0;
для п — 4
Яо>0; %>0; а2>0; я3>0; а4>°;
Для п = 2 условием устойчивости является лишь
положительность коэффициентов характеристического уравнения.
Для л = 3ип = 4 положительность коэффициентов
характеристического уравнения недостаточна. Кроме этого, коэффициенты
должны удовлетворять дополнительным неравенствам. При п ^ 5
число подобных дополнительных неравенств возрастает.
(XII.20)
(XII.21)
465

Из структуры построения Ап и съ „+1 следует, что
ci,n+i — "л— == ао и ^п — ao^n-v
Если приравнять Дя нулю, то мы получим уравнения границ
устойчивости ао = 0;Vi = 0. (X1L22)
Первая граница соответствует наличию у характеристического
уравнения нулевого корня (%с = 0). Вторая граница соответствует
наличию у характеристического уравнения чисто мнимых корней
(А, = ±/со). Уравнения (XII. 22) разбивают пространство
параметров на ряд областей. Область, в которой выполняются все
остальные неравенства (Aw ^> 0 или с1к ^> 0) соответствует устойчивости,
все остальные области соответствуют неустойчивости.
Если система находится на границе устойчивости, так что Aw_1=0,
то граничная частота может быть найдена по формуле
©« = ^di = _^о_, (XII.23)
&П-2 С1,П-1
где сг, „_! — коэффициент, определяемый из табл. XII. 1 Рауса.
4. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Частотным критерием устойчивости, получившим в настоящее
время наиболее широкое практическое применение, является
критерий, основанный на рассмотрении частотных характеристик
разомкнутых систем автоматического регулирования. Этот
критерий, доказанный Найквистом применительно к ламповым
усилителям с обратной связью, впервые был введен в теорию
регулирования А. В. Михайловым. Применение частотного критерия
устойчивости, вытекающего, так же как и критерий Михайлова, из
принципа аргумента, оказывается практически целесообразным
по следующим причинам:
1. Критерий основан на рассмотрении передаточной функции
разомкнутой системы W(s)y которая в случае систем
автоматического регулирования обычно состоит из ряда сравнительно
простых сомножителей, содержащих в качестве коэффициентов
реальные параметры системы. Это обстоятельство позволяет, даже в
случае весьма сложных систем, выбирать их параметры таким
образом, чтобы они были устойчивыми. Таким образом критерий
учитывает своеобразие систем автоматического регулирования,
заключающееся в том, что исследование их свойств в разомкнутом
состоянии проще, чем в замкнутом.
2. Критерий применим в тех случаях, когда
дифференциальные уравнения системы (или некоторых ее звеньев) не известны,
а известны лишь их частотные характеристики, которые могут
быть определены экспериментально,
46§

3. С помощью критерия возможно исследовать устойчивость
систем, содержащих не только сосредоточенные, но и
распределенные параметры.
4. Критерий, как это будет показано в дальнейшем, позволяет
связать исследование устойчивости с последующим анализом
качества.
Рассмотрим линейную динамическую систему,
характеристическое уравнение которой имеет вид
Dp(X)=0. (XI 1.24)
Назовем последнее уравнение «исходным». Далее рассмотрим
также характеристическое уравнение вида
Dp(X) + Mp(X) = 0 (XII.25)
и назовем его «измененным» уравнением. Так, например, если
функции Dp(X) и Мр (к) представляют собой полиномы от Л,, то
основное уравнение можно представить в виде
сяЬя + ... + с1Ь + с0 = 0, (XII.26)
а измененное
(спХп + ... + ClX + c0) + (bmKm + ... + b±% + b0) = 0. (XII.27)
Задача, для решения которой предназначен частотный критерий,
может быть сформулирована следующим образом.
Предполагая известным число расположенных в правой
полуплоскости нулей функции Dp(s)> представляющей собой левую часть
«исходного» характеристического уравнения, требуется
определить необходимые и достаточные условия для отсутствия нулей
в правой полуплоскости функции Dp (s) + Mp (s), представляющей
собою левую часть «измененного» характеристического уравнения.
В случае систем автоматического регулирования роль исходного
уравнения играет характеристическое уравнение разомкнутой
системы, а роль измененного — характеристическое уравнение
замкнутой системы.
Действительно, рассмотрим, например, передаточную функцию
замкнутой системы Ш/„\
Ф^-ТТЩГ} (хп-28>
и передаточную функцию W (s) разомкнутой системы. Полагая,
что М (s)
W(s) = ^fy (XII.29)
заметим, что характеристическое уравнение разомкнутой системы
имеет вид (XII. 24), в то время как характеристическим уравнением
замкнутой системы является уравнение (XI 1.25).
Таким образом, критерий Найквиста, в отличие от критерия
Михайлова и Гурвица-Рауса, сводит анализ устойчивости
замкнутой системы к анализу ее свойств в разомкнутом состоянии.
467

Перейдем теперь к выводу частотного критерия устойчивости,
предположив, что передаточная функция W (s) разомкнутой системы
удовлетворяет условию
— 1 <lim | W (/со) |<оо. (ХИ.ЗО)
0>-*0О
Для систем с сосредоточенными параметрами это ограничение
означает, что порядок числителя выражения W{s) не превышает
порядка его знаменателя. Кроме того, введем следующие
упрощающие предположения:
функция W(s) не имеет полюсов во всей правой полуплоскости,
включая мнимую ось. Это означает, что разомкнутая система
устойчива; функция W(s) представляет собой дробно-рациональную
функцию от s, т. е. числитель и знаменатель этой функции представляют
собой полиномы от s. Это означает, что мы ограничиваемся пока
рассмотрением систем, содержащих лишь сосредоточенные и не
содержащих распределенные параметры.
Для доказательства критерия рассмотрим вспомогательную
функцию:
С (s) = 1 + W (s) = D'%+wpi8), (XII.31)
числитель которой представляет собой левую часть
характеристического уравнения замкнутой системы, а знаменатель — левую
часть характеристического уравнения разомкнутой системы.
Далее рассмотрим плоскость комплексного переменного s = g +
+ /со. При этом заметим, что функция £(s) не имеет полюсов в правой
полуплоскости, так как согласно сделанному выше допущению
разомкнутая система устойчива и знаменатель функции может
обращаться в нуль лишь при отрицательных значениях а.
Числитель же выражения может обратиться в нуль как в правой, так и
в левой полуплоскости, причем если хотя бы один из нулей
расположен в правой полуплоскости, то это означает, что
характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии имеет корень
с вещественной положительной частью и, следовательно,
рассматриваемая система неустойчива.
Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы найти
условия, при которых функция £ (s) не имеет нулей, расположенных
в правой полуплоскости. Для этого воспользуемся принципом
аргумента. Рассмотрим контур С на плоскости s, состоящий из
мнимой оси и полуокружности бесконечно большого радиуса S+
(рис. XII. 3). Так как функция £ (s) не имеет полюсов в правой
полуплоскости согласно предположению, то число нулей этой функции,
находящихся внутри контура С, равно числу оборотов вектора £ (s)
в плоскости £ вокруг начала координат.
Таким образом, число нулей функции g (s) внутри контура
С равно нулю и замкнутая система устойчива лишь в том случае,
если начало координат на плоскости £ находится вне замкнутой
468

кривой, описываемой концом вектора £ при изменении $ вдоль
контура С в плоскости s.
Для того чтобы найти число оборотов вектора £, представим
выражение (XI 1.31) в следующем виде:
ш - ■ + wм - °;;4t::"+:::+S&-- <X,L32>
Полагая в выражении (XII. 32)
s = pA (XII.33)
получим ^_ Д||р|>^ + ... + Д1р^ + Ао ,YTT _
feW"" c^p^/^ + ... + CiP^ + Со * ^лн.м;
Разделив все члены числителя и знаменателя в выражении
(XII. 34) на р", найдем
Г М - «пеМ + Дя-1Р"^(Я^} * + - + fliP"^1^^ + «ор-Л /vtt о^ч
bV ' сл^лФ + сл_1р-^/(Л-1)Ф + ... + с1р-(л-1,^Ф + с0р-л * ^Л11-°^
и, следовательно, на полуокружности 5+, т. е. при р -* оо
lim C(s)=^. (XII.36)
р-+оо сп
Итак, согласно выражению (XII. 36) функция £ (s) на 5+ равна
постоянной величине. Поэтому при изменении s вдоль S+ угол
поворота вектора £ (s) равняется нулю.
Следовательно, чтобы сосчитать число нулей функции £ (s)
внутри контура С, равное числу оборотов вектора £ (s) вокруг начала
координат, достаточно изменять s вдоль мнимой оси, т. е. придавать s
чисто мнимые значения /со, изменяя со от + оо до — оо. Итак,
можно высказать следующее утверждение. Для того чтобы число
нулей функции £ (s) внутри контура С равнялось нулю, и замкнутая
система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при
изменении со от + оо до — оо число оборотов вектора £ (/со) вокруг
начала координат в плоскости £ равнялось нулю. Если же при
изменении со от + оо до — оо вектор £ (/со) делает п оборотов против
часовой стрелки, то это означает, что характеристическое
уравнение замкнутой системы имеет п корней с положительной
вещественной частью. Но из рис. XII. 10,а, б видно, что число оборотов вектора
£ (/со) вокруг начала координат в плоскости £ равно числу оборотов
вектора W (/со) вокруг точки (—1, / 0) в плоскости W. Поэтому мы
можем сформулировать следующий критерий устойчивости:
для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии,
была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно,
чтобы число оборотов вектора W (/со) вокруг точки (—1, /0) при
изменении со от + оо до — оо, равнялось нулю.
Кривая, описываемая концом вектора W (/со), при изменении со
от + оо до — оо, называется его годографом, или
амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы.
469

Можно написать:
пли
(XII. 36а)
W (/со) - U (со) + JV (со)
W(ja>) = H((u)ei^°).
Функции U (со), Я (со) являются четными, а функции V (со),
9 (со) — нечетными функциями от со. Следовательно,
W (-/со) = £/(©)— /V (со). (XII. 366)
Сравнивая выражение (XII. 36 а) с (XII. 366), легко видеть, что
точки амплитудно-фазовой характеристики, соответствующие
равным, но противоположным по знаку значениям со, располагаются
симметрично относительно оси U, вследствие чего амплитудно-
фазовая характеристика W (/со) представляет собою кривую, сим-
а) ' б)
Рис. ХИЛО. Годограф вектора £ (/со) и соответствующий
ему годограф W (/со)
метричную относительно вещественной оси U в плоскости W. Поэтому
при построении амплитудно-фазовой характеристики можно
ограничиться лишь положительными значениями со.
Интервал положительных частот (0, со0), в котором следует
изменять со, определяется из тех соображений, чтобы модуль
функции W (/со) вне этого интервала частот был значительно меньше
единицы, т. е. чтобы имело место неравенство
|^(/(о)| = Я(<в)<1
при со ^ со0.
Критическим значением передаточного коэффициента К назовем
то его значение, при котором амплитудно-фазовая характеристика
проходит через критическую точку (—1, /0) и система находится
на границе устойчивости.
Амплитудно-фазовые характеристики систем в зависимости от
расположения точек их пересечения с вещественной осью
относительно критической точки к координатам (—1, / 0) можно
подразделить на два основных типа: на амплитудно-фазовые характе-
470

Рис. X 11.11. Амплитуд но-фазовые
характеристики первого и второго рода
ристики первого рода, все точки пересечения которых с
вещественной осью U, если таковые имеются, расположены справа от
критической точки (кривая / на рис. XII. 11), и на
амплитудно-фазовые характеристики второго рода, точки пересечения которых с
вещественной осью U расположены как справа, так и слева от
критической точки (кривая 77
на рис. XII. 11). S~*\ \уПл w
В системах первого типа
увеличение передаточного
коэффициента К выше его
критического значения приводит к
нарушению устойчивости, а его
уменьшение ниже критического
значения — к стабилизации системы.
В системах же второго типа при
увеличении передаточного
коэффициента выше его критического
значения система может
превратиться из неустойчивой в устойчивую, а при уменьшении — из
устойчивой в неустойчивую.
Введем понятие о запасе устойчивости. Будем
считать, что система обладает требуемым запасом устойчивости,
если она удовлетворяет
условию устойчивости и при
значениях модуля
характеристического вектора W (/со),
отличающихся от единицы не
менее чем на заданную
величину ± Нм, называемую
запасом
устойчивости по модулю,
имеет угол поворота или
фазу, отличающуюся от я не
менее чем на величину у,
называемую запасом
устойчивости по углу или по
фазе (см. рис. XII. 12).
Таким образом, амплитудно-фазовые характеристики,
обладающие требуемым запасом устойчивости, не должны входить внутрь
области I—II; I—II.
vfln.W
Рис.
XI 1.12. К определению
запаса устойчивости
понятия
5. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО КРИТЕРИЯ НА АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Выше, при выводе критерия Найквиста, предполагалось, что
разомкнутая система устойчива. Однако на практике в том случае,
когда система является астатической и содержит интегрирующие
звенья, разомкнутая система является нейтрально устойчивой.
471

Это означает, что характеристическое уравнение разомкнутой
системы имеет нулевой корень (X = 0) той или иной степени
кратности, а передаточная функция W (s) имеет вид
W(s) = %№. (XII.37)
В данном случае при применении принципа аргумента
пользоваться контуром С (рис. XII. 3) нельзя, так как он проходит через
начало координат, в котором функция W (s) имеет полюс. Для
обобщения частотного критерия на данный случай изменим контур С
таким образом, чтобы он не проходил через точку s = 0. Это можно
сделать, обойдя справа начало координат вдоль полуокружности
бесконечно малого радиуса. Итак, рассмотрим контур (рис. XII. 13),
состоящий из полуокружности S+, бесконечно большого радиуса R,
полуокружности а+, бесконечно малого радиуса р и мнимой оси
(за исключением начала координат). Далее предположим вначале,
что передаточная функция разомкнутой системы имеет полюс
первого порядка в точке s = 0, т. е.
Нт#(8) = /(иГ(5)=^|,
где
Мр(0)^0 и Dp(0)^0. (XII.38)
Такого рода системы (см. гл. VIII, §2) называют астатическими
системами первого порядка.
Введем, так же как это мы делали выше, вспомогательную
функцию £ (s), которую на основании выражения (XII. 38) можно
представить в виде
l (s) = 1 + W (s) = ^(s)+y) = Ьяз"+-... + М + ». (хп.39)
*w w sDp(s) cnsn + ... + cts ' v ;
Функция £ (s) не имеет внутри контура С (рис. XII. 13) полюсов
и поэтому условием отсутствия нулей функции внутри этого контура
является равенство нулю числа оборотов вектора £ (s) вокруг начала
координат при обходе точкой s вокруг контура С. Определим это
число оборотов.
На полуокружности а+ имеем
s-рЛ (XII.40)
Подставив последнее выражение в формулу (XII. 39), получим
£ W - w*e№+ ... +с1р*Я " (АП.41)
и, следовательно,
lim I (s) = lim -^-<гУф. (XII.42)
р^О р->0 с1?
Из выражения (XII. 42) следует, что при изменении s вдоль
полуокружности а+ по часовой стрелке конец вектора £(s) описывает
полуокружность бесконечного большого радиуса, поворачиваясь
472

на угол я против часовой стрелки. При изменении s вдоль
отрицательного направления мнимой оси, т. е. при изменении s от
/О до — /оо, вектор опишет некоторую кривую (рис. XII. 14, а). На
полуокружности S+ согласно выражению (XII. 39)
lim £(s):
jsj-юо
(XII.43)
Следовательно, при изменении s вдоль полуокружности
бесконечно большого радиуса вектор g (s) остается в точке (bjcn, /0),
/7/7. ^
Рис. XII.13.
Контур С на
плоскости s для
астатических
систем
Рис. XII. 14. Годографы векторов £ (/со)
и №(/со) для астатической системы
первого порядка
а его угол поворота равен нулю. Далее, когда точка s начнет
двигаться из бесконечности вдоль положительного направления
мнимой оси к точке s = /0, вектор £ опишет некоторую кривую,
уходящую в бесконечность вдоль отрицательного направления
мнимой оси на плоскости £ (кривая, показанная сплошной линией, на
рис. XII. 14, а). Таким образом, при обходе вокруг контура С в
плоскости s вектор £ (s) опишет некоторую замкнутую кривую, которая
изображена на рис. XII. 14,а. При этом условие отсутствия нулей
у функции £ (s), расположенных внутри контура С (рис. XII. 13),
очевидно, будет заключаться в том, чтобы начало координат
находилось вне этой замкнутой кривой.
Направление обхода контуров на рис. XII. 14 обратно
направлению обхода на рис. XII. 13, так как оно соответствует
возрастанию со.
Переходя от плоскости £ к плоскости W (рис. XII. 14, б),
заметим, что это условие эквивалентно требованию, чтобы точка (—1,/0)
находилась вне кривой, описываемой вектором W (/со) при
изменении со от + оо до — оо. Поэтому частотный критерий устойчивости
остается справедливым и в данном случае. Следует лишь иметь
в виду, что амплитудно-фазовая характеристика астатической
системы первого порядка уходит в бесконечность вдоль мнимой
473

оси и замыкается полуокружностью бесконечно большого радиуса,
расположенной в правой полуплоскости (см. также рис. XII. 15, б).
Таким же образом частотный критерий устойчивости может
быть обобщен и на астатическую систему любого порядка. Такт.
Рис. XII. 15. Амплитудно-фазовые характеристики:
а — статической системы; астатических систем с астатиз-
мом; б — первого порядка; в — второго порядка;
г — третьего порядка
(XII.44)
например, в случае астатической системы второго порядка
lim sW (s) = К
и |5И°
причем Мр (0) Ф 0 и Dp (0) Ф 0 и вспомогательная функция £ (s)
принимает вид
ТЫ\ S2°P ^ + МР ^ - Ь^П + • ♦ • + *2S* + btS + Ьр /уттдсч
6 ^ Щ^Г) - Сп3»+... +^ • (AU-45)
Все рассуждения, относящиеся к астатической системе первого
порядка, останутся в силе, за исключением того обстоятельства,
что в этом случае амплитудно-фазовая характеристика будет
уходить в бесконечность вдоль отрицательного направления
вещественной оси на плоскости s (рис. XII. 15, в). Это вытекает из того, что
474

на полуокружности а+ в случае функции вида (XII. 45) мы будем
иметь
lim£ (s) = Hm-^тГ** (XII.46)
р_*0 р-*0 С2Р
и, следовательно, при изменении s вдоль полуокружности сг+
вектор £ (s) опишет окружность бесконечно большого радиуса, т. е.
при изменении фазы вектора s на эх фаза вектора £, а также и
вектора W изменится на—2я (рис. XII, 15, в). Точно так же в
случае астатической системы третьего порядка амплитудно-фазовая
характеристика уходит при о = 0 в бесконечность вдоль
положительного направления мнимой оси плоскости W (рис. XII.
15, г) и т. д. Для сравнения на рис. XII. 15, а приведена
амплитудно-фазовая характеристика статической системы.
6. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО КРИТЕРИЯ НА СЛУЧАЙ,
КОГДА РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА
В некоторых случаях при размыкании системы последняя теряет
устойчивость. Особенно часто это может иметь место в
многоконтурных системах. Тогда функция
^- - Dp(s)
имеет в правой полуплоскости не только нули, но и полюса.
Предположим далее, что число полюсов функции £ (s), находящихся
в правой полуплоскости, равно Р. В этом случае равенство нулю
полного числа оборотов 2 вектора £ (/со) вокруг начала координат
или вектора W (/со) вокруг точки (— 1, /0) при изменении со от + со
до — оо указывает на то, что функция £ (s) имеет в правой
полуплоскости столько же нулей N, сколько и полюсов Р, так как
2-Л/ — Р = 0,
и что, следовательно, замкнутая система неустойчива.
Таким образом, частотный критерий устойчивости в его обычной
формулировке оказывается неприменимым, так как то, что в данном
случае является признаком неустойчивости, представляло собой
ранее необходимые и достаточные условия для устойчивости.
Определим, в чем же заключаются теперь эти условия. Очевидно, что
если функция £ имеет Р полюсов и не имеет нулей в правой
полуплоскости, то вектор £ совершит —Р оборотов вокруг начала
координат (против часовой стрелки) при изменении со от + оо до — оо,
а вектор W (/со) обойдет при этом вокруг точки (—1, /0) в
положительном направлении Р раз. Если же число оборотов вектора £ (/со)
вокруг начала координат или вектора W (/со) относительно точки
(—1, /0) при этом равно 2 (последняя величина положительна,
если вектор вращается против часовой стрелки, и наоборот, причем
475

2 ф Я), то замкнутая система неустойчива и ее характеристическое
уравнение содержит корни с вещественной положительной частью.
Итак, условия, необходимые и достаточные для устойчивости
замкнутой системы, если известно, что незамкнутая или
первоначальная система неустойчива и ее характеристическое уравнение
имеет Р корней с положительной вещественной частью, заключаются
в том, чтобы характеристический вектор W (/со) совершал Р оборотов
в отрицательном направлении вокруг точки с координатами
(—1, /0) при изменении со от + со до — со (первая
формулировка критерия устойчивости). Рассмотрим примеры применения
этого критерия. Предположим, что передаточная функция W (s),
которой соответствует амплитудно-
фазовая характеристика (рис. ^
Рис. XI 1.16.
Амплитудно-фазовая
характеристика, соответствующая
передаточной функции
Рис. XI 1.17.
Амплитудно-фазовая характеристика,
соответствующая передаточной функции
WW s(s2 + 2£s+l)(rs-l)
XII, 16), имеет один полюс в правой полуплоскости, т. е. Р = 1.
При изменении со от + со до — со вектор W (/со) (рис. XII. 16)
делает один оборот в положительном направлении вокруг точки (—1, /0).
Поэтому число нулей функции £ (s), находящихся в правой
полуплоскости, равно
iV = S + P=l + l=2.
Следовательно, замкнутая система неустойчива.
Рассмотрим теперь амплитудно-фазовую характеристику,
приведенную на рис. XII. 17. Предположим, что Р= 1. Но 2 =— 1.
Следовательно, N = — 1 + 1 = 0, поэтому замкнутая система
устойчива.
Для практического применения удобнее использовать несколько
иную формулировку критериев устойчивости, которая позволяет
избежать непосредственного подсчета числа оборотов или изменения
аргумента W (/со). Действительно, очевидно, что изменение
аргумента 8 (со) = arg {W} при возрастании со от 0 до оо равно нулю,
476

/7/7. W
если число переходов W (/со) через отрезок действительной оси
(— оо, — 1) из верхней полуплоскости в нижнюю и из нижней
полуплоскости в верхнюю равно между собой. Это изменение аргу-
р
мента равно ± Ря, если разность между ними равна ± -^ .
Называя переход W (/со) (при возрастании со) через отрезок
действительной оси (— оо, — 1) из верхней полуплоскости в
нижнюю положительным, а из нижней полуплоскости в верхнюю —
отрицательным, установленные выше критерии устойчивости можно
сформулировать следующим образом. Система автоматического
регулирования будет устойчивой, если разность между
положительными и отрицательными переходами амплитудно-фазовой
характеристикой отрезка действительной оси (— оо,
Р
—1) равна у, где Р — число корней с
положительной действительной частью
характеристического уравнения
разомкнутой системы1 (вторая формулировка
критерия устойчивости).
В частном случае при Р = О, что
соответствует устойчивой или нейтральной
разомкнутой системе, приходим к
выводу, что замкнутая система устойчива,
если разность между положительными
и отрицательными переходами
амплитудно-фазовой характеристики отрезка
действительной оси (— оо, — 1) равна
нулю.
Применение критерия в такой
формулировке крайне просто. В точках
перехода амплитудно-фазовой характеристикой отрезка
действительной оси ( — оо, —1) нужно проставить стрелки, направленные
в сторону возрастания со, и подсчитать разность между числом
стрелок, направленных вверх и вниз. Так, например, для
амплитудно-фазовой характеристики, изображенной на рис. XII. 18,
имеем 2—1 = 1, и если разомкнутая система неустойчива и Р = 2,
то замкнутая система будет устойчивой.
Рис. XII. 18. Иллюстрация ко
второй формулировке
критерия устойчивости
7. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ОБРАТНОЙ
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В некоторых случаях, особенно при анализе многоконтурных
систем, на практике оказывается удобнее рассматривать не
функцию W (/со), а обратную ей функцию, т. е. [W (/со)]"1.
1 Если W (/(о) при со = 0 уходит в бесконечность вдоль отрицательного
направления действительной оси, то будем считать, что W (/со) при со = 0
совершает половину перехода.
477

Это может быть целесообразно, например, в тех случаях, когда
вследствие наличия местных обратных связей знаменатель
функции W (s) не разлагается на простые сомножители, а числитель
имеет значительно более низкий порядок, чем знаменатель. В такого
рода случаях выражение для [W (s)]_1 оказывается гораздо проще
для анализа, чем выражение для W (s). Кривую, описываемую
концом вектора [W (/со)]"1 при изменении со от + со до — со, назовем
обратной амплитудн о-ф азовой характерна
с т и к о й.
Сформулируем частотный критерий устойчивости для обратной
амплитудно-фазовой характеристики.
Имеем
ф(8)=н^ = тттег- (XIU7)
Предположим вначале, что разомкнутая система устойчива.
Это означает, что все полюса функции W (s) и все нули обратной
ей функции [W (s)]'1 расположены в левой полуплоскости.
Введем вспомогательную функцию
г, (s) = 1 + [W (s)]"i = 1 + -$-& = АЩ^В^, (XII.48)
или
(s) = Ons"+ ... +flis + g0 e (XII.49)
,v * bmsm+ ... +b1s + b0 v ;
и рассмотрим два случая.
1-й случай. Функция [W (s)"1], а следовательно, и г] (s) не имеет
полюсов в правой полуплоскости. Это означает, что функция W (s) не
имеет нулей в правой полуплоскости. Поэтому для того, чтобы
функция т] (s) не имела нулей в правой полуплоскости и система в
замкнутом состоянии была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы полное
число оборотов вектора r\ (s) вокруг начала координат при
изменении s вдоль контура С на рис. XII. 3 равнялось нулю. Сосчитаем
число оборотов вектора ц (s)npn изменении s вдоль полуокружности
5+. Подставляя s == pe№ в выражение (XII. 49) и переходя к
пределу при р -> оо, имеем
lim 4(s) = T*p*-wV(*-m>*. (X 11.50)
р—► оо "т
Из последнего выражения видно, что число оборотов г) (s) при
изменении s вдоль S+, т. е. при изменении г|э на + я равно п ~ т.
Отсюда следует, что число оборотов ц (s) при изменении s вдоль мни-
. . . ^ п — т
мои оси от + /оо до —J оо должно быть равно ~— > так как
только в этом случае полное число оборотов вектора ц (s) будет равно
нулю и функция т| (s) не будет содержать нулей в правой
полуплоскости. Если же изменять в выражении к\ (/со) частоту со от 0 до +оо,
47$

то вектор г| (/со) должен пройти через п — т квадрантов в
положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.
Таким образом, можно сформулировать следующий критерий
устойчивости.
Если обратная передаточная функция разомкнутой системы
[W (s)]"1 не имеет полюсов в правой полуплоскости, то для
устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы
обратная амплитудно-фазовая характеристика W (/со) ]-1 проходила через
(п — т) квадрантов против часовой стрелки относительно точки
(— 1, /0) при изменении со от 0 до + со.
2-й случай. Функция [W (s)]'1 имеет Р полюсов в правой
полуплоскости. В этом случае, согласно пр-инципу аргумента, для того
чтобы функция ц (s) не имела нулей в правой полуплоскости и
система в замкнутом состоянии была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы полное число оборотов 2 вектора ц (s) вокруг начала
координат при изменении s вдоль контура С (рис. XII. 3) было равно
2 = Л/-Р = 0 — р = _ р.
Число оборотов вектора ц (s) при изменении s no S+ по-прежнему
* п — т
будет равно —^—.
Следовательно, число оборотов вектора г) (/со) при изменении оо
от + оо до — оо должно равняться — "Г"т + Р, так как только
в этом случае полное число оборотов 2 = 0- Поэтому можно
сформулировать следующий критерий:
если обратная передаточная функция [W (s) ]-1 имеет Р полюсов
в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы
необходимо и достаточно, чтобы обратная амплитудно-фазовая
характеристика [ KW (/co)]~J проходила через (п — т) — 2Р
квадрантов против часовой стрелки относительно точки (—1, /0) при
изменении со от 0 до со.
Критерий устойчивости для обратной амплитудно-фазовой
характеристики можно сформулировать также в несколько другой форме,
если воспользоваться известным свойством инверсии.
Так как ^ ^_г = f// ^-^-Лн, (XII.51)
то модуль обратной амплитудно-фазовой характеристики равен
ее обратной величине, а фаза обратной амплитудно-фазовой
характеристики — фазе той же характеристики, но с обратным знаком.
Следовательно, если на плоскости W провести окружность
радиусом, равным 1, то точки, соответствующие значениям со,
лежащим внутри (вне) этой окружности на плоскости [W]'1, будут
находиться вне (внутри) окружности, а аргументы этих точек будут
отличаться знаком (рис. XII. 19).
Точкам пересечения кривой W (/со) отрезка действительной
оси (-— оо, —1) соответствуют точки пересечения кривой [W (/со)]"1
479

отрезка действительной оси (0, — 1), а знак перехода в этих точках,
очевидно, будет обратный. Поэтому можно сформулировать
следующий критерий устойчивости.
Система автоматического регулирования устойчива, если
разность между отрицательными и положительными переходами
обратной амплитудно-фазовой характеристики отрезка действительной
Рис. XII. 19. Построение обратной амплитудно-фазовой
характеристики:
а — прямая; б — обратная; 1 — 7 точки, соответствующие одинаковым
частотам
оси (0, — 1) равна Р, где Р — число корней с положительной,
действительной частью характеристического уравнения
разомкнутой системы.
При Р = О, что соответствует устойчи-вой или нейтральной
разомкнутой системе, система устойчива, если разность между
отрицательными и положительными переходами обратной амплитудно-
фазовой характеристики [W (/со)]-1 равна нулю.
8. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Пользуясь критериями устойчивости для обычной амплитудно-
фазовой характеристики, легко сформулировать требования,
которым должны удовлетворять логарифмические частотные
характеристики разомкнутой системы для того, чтобы она была устойчива
в замкнутом состоянии.
Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда амплитудно-
фазовая характеристика системы, устойчивой в разомкнутом
состоянии, не имеет точек пересечения с отрезком действительной оси
(— оо, —1) (амплитудно-фазовая характеристика первого рода;
рис. XII. 11, кривая /). Легко видеть, что в рассматриваемом случае
система является устойчивой в том, и только в том случае, если всем
точкам амплитудно-фазовой характеристики вплоть до точки ее
пересечения с окружностью единичного радиуса соответствуют значения
480

рис,
ЦЫ);
XII. 20, а, б
0(и)
фазы 8, большие чем (-—я). Но точке пересечения
амплитудно-фазовой характеристики с окружностью единичного радиуса
соответствует точка пересечения логарифмической амплитудной
характеристики L (со) с осью частот (так как lg 1=0). Поэтому можно
высказать следующее утверждение.
Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии
и имеющая амплитудно-фазовую характеристику первого рода,
была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно
на тех частотах, при которых логарифмическая
амплитудно-частотная характеристика неотрицательна, т. е. L (со) }> 0, иметь
значения фазы 8 (со) не превосходящие — я. На
приведены
соответственно логарифмические ха- цш*,
р актер истики устойчи- '
вой и неустойчивой
систем.
Рассмотрим более
общий случай, когда
амплитудно-фазовая
характеристика системы,
по-прежнему
предполагаемой устойчивой в
разомкнутом состоянии,
имеет точки
пересечения с отрезком
действительной оси (— оо, —1)
(амплитудно-фазовая
характеристика второго
рода, рис. XII. 11,
кривая //).
В данном случае, как это было показано в § 6 настоящей главы,
система устойчива в замкнутом состоянии в том случае, если
разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных
(снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики от-
резка( — со, — 1) равна нулю.
Но в точках пересечения амплитудно-фазовой
характеристикой отрезка (— оо, — 1) логарифмическая амплитудная
характеристика L (со) положительна, а фазовая характеристика 8 (со)
пересекает прямую (— я) снизу вверх или сверху вниз в
зависимости от того, соответствует ли рассматриваемая точка
пересечения положительному или отрицательному переходу. Поэтому,
если условиться называть точку, в которой фазовая характеристика
пересекает прямую (— я) снизу вверх, положительным
переходом, а точку, в которой она пересекает эту прямую
сверху вниз, отрицательным переходом, то критерий
устойчивости применительно к логарифмическим частотным
характеристикам можно сформулировать следующим образом. Для того
Рис. XI 1.20. Логарифмические характеристики
устойчивой и неустойчивой системы
16 Техническая кибернетика, кн. 1
481

чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была
устойчива и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно иметь
разность между числом положительных и отрицательных переходов,
между фазовой характеристикой 8 (to) и прямой — rt равную нулю,
ко при тех значениях со, для которых логарифмическая амплитудная
характеристика L (со) неотрицательна [7].
Так, например, если логарифмические частотные характеристики
разомкнутой системы имеют вид, графически изображенный на
рис. XII. 21 > а, и разомкнутая система устойчива (или нейтрально
устойчива, т. е. имеет полюс в начале координат), то замкнутая
система будет также устойчивой. Последнее Bbifекает из того, что
при L (со) ^> 0 фазовая характеристика имеет, как видно из
рис. XII. 21, а, один положительный и один отрицательный переход.
Рис. X 11.21. Логарифмические частотные характеристики
разомкнутых систем:
а — устойчивой в замкнутом состоянии (Р = 0); б — неустойчивой в замкнутом
состоянии (Р = 2)
Сформулируегл полученный критерий для более общего случая,
когда система в разомкнутом состоянии неустойчива и
характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет Р корней в правой
полуплоскости. Так как в этом случае условие устойчивости для
обычной амплитудно-фазовой характеристики заключается в том, чтобы
разность между числом положительных и отрицательных переходов
амплитудно-фазовой характеристикой отрезка (— оо, — 1)
равнялась к-, то можно высказать следующее утверждение [7]. Для того
чтобы система, характеристическое уравнение которой в
разомкнутом состоянии имеет Р корней в правой полуплоскости, была
устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно иМеть число
положительных переходов между фазовой характеристикой б (со)
Р
и прямой — л, превышающих на величину =■ число отрицательных
переходов, но для тех значений со, при которых логарифмическая
амплитудная частотная характеристика L (со) неотрицательна.
482

Пример применения этого критерия приведен на рис. XII. 21, б.
Если система должна быть не только устойчивой, но и обладать
требуемым запасем устойчивости по модулю и по фазе, равным у,
то, кроме удовлетворения только что сформулированного критерия,
требуется выполнение следующих дополнительных условий:
1) при тех значениях со, при которых
^<L(a>X^f (XII.52)
где
отрицательные значения фазы 8 (со) должны удовлетворять ^еравен-
СТВУ |я + 8(со)|^у; (XII.53)
2) при тех значениях со, при которых
— я — у < 8 (со) < — я + у, (XII.54)
логарифмическая амплитудная характеристика L (со) должна
удовлетворять одному из неравенств
Итак, для анализа устойчивости по логарифмическим
характеристикам следует построить логарифмические амплитудную и
фазовую характеристики; найти интервалы частот, в которых
логарифмическая амплитудная характеристика L (со) ]> 0; сосчитать в
найденных таким образом интервалах частот число пересечений фазовой
Характеристики 9 (со) с прямой ( — п) снизу вверх (плюс) и сверху
вниз (минус). Если при этом окажется, что разность между числом
точек пересечения, отмеченных знаком плюс, и числом точек,
отмеченных знаком минус, равна Р/2, то система устойчива. Если же
эта разность равна какому-либо другому числу, то система
неустойчива.
Заметим, что в случае астатических систем при подсчете числа
Трчен пересечения необходимо учитывать точку пересечения (или
касания) амплитудно-фазовой характеристикой отрезка (-*- оо , —1),
получающуюся при бесконечно малых значениях со.
9. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ
Анализ устойчивости линеаризованных систем автоматического
регулирования по их логарифмическим частотным характеристикам
представляет собой значительные удобства, прежде всего ввиду
простоты построения этих характеристик непосредственно по виду
16*
483

передаточной функции W (s) без необходимости каких-либо
вычислений.
Выражение для передаточной функции W (s) разомкнутой
одноконтурной системы (устойчивой в разомкнутом состоянии)
определяется формулой (VIII. 152). Поэтому общее выражение для
логарифмической амплитудной характеристики или
характеристики затухания L (со) такой системы можно представить в
следующем виде:
L(co) = LmK — vLmo) —2 Ьт]Лг?со2 + 1 —
-I! LmV(1 -Л*<о2)2 + (2£Л)2 + 2 LmУ tfco2 + 1 +
+ J ЬтК(1-т?,со2)2 + (2^т^(о)Л (XII.56)
/= l
Выражение (XII. 56) показывает, что логарифмическая
амплитудная характеристика или характеристика затухания
одноконтурной системы может быть получена в результате простого сложения
ординат рассмотренных нами выше характеристик затухания
типовых звеньев, входящих в ее состав.
Пример. Построим логарифмические частотные характеристики системы,
имеющей передаточную функцию вида
W(i№) 100(1,25/0)+I)*
W{J№) ~ s(5/a>+l)S(0,02/<D+l) (0,005yco+l) • (XIL57)
Прежде всего определим сопрягающие частоты, которые обратны по
величине коэффициентам при /со (постоянном времени) в уравкении(Х 11.57).Имеем
щ = 0,2; со2 = 0,8; со3 = 50; со4 = 200.
Отметим сопрягающие частоты щ, со2, со3, со4 на оси частот (рис. XI 1.22)
и построим характеристики затухания отдельных звеньев системы. Из
уравнения (XI 1.57) видно, что система состоит из одного интегрирующего, четырех
апериодических, двух дифференцирующих звеньев первого порядка (с
одинаковыми постоянными времени) и одного усилительного звена.
Характеристика затухания интегрирующего звена представляет прямую,
имеющую наклон — 20 дб на декаду и пересекающую ось частот при со = 1.
Характеристикой затухания двух апериодических звеньев с одинаковыми
постоянными времени 7\ = 5 сек является прямая с наклоном — 40 дб на
декаду, сопрягающаяся с осью частот при сох = 0,2. Точно так же
характеристиками затухания двух остальных апериодических звеньев являются прямые
с наклоном — 20 дб на декаду, сопрягающиеся с осью частот при со3 = 50 и
<о4 = 200.
Характеристикой затухания двух дифференцирующих звеньев с
одинаковой постоянной времени т = 1,25 сек является прямая с наклоном +40 дб
на декаду, сопрягающаяся с осью частот при со2 = 0,8. Логарифмическая
амплитудная характеристика усилительного звена представляет собой прямую,
удаленную от оси частот на расстояние 20 lg /( = 40 дб.
Произведя алгебраическое сложение ординат логарифмических
амплитудных характеристик отдельных звеньев, получим результирующую
логарифмическую амплитудную характеристику системы L (со) в виде сопрягающихся
друг с другом прямолинейных отрезков.
484

Вид L (со) можно уточнить, воспользовавшись кривой поправок на
рис. VIII, 27, а для каждой из сопрягающих частот. При этом необходимо
учитывать, что в случае наличия двух одинаковых постоянных времени
ординаты кривой поправок должны удваиваться. Далее заметим, что
логарифмическая амплитудная характеристика системы L (со) может быть получена
непосредственно по виду передаточной функции W (s) без
необходимости построения логарифмической амплитудной характеристики отдельных
звеньев.
Для этого необходимо лишь учесть, что при частотах, меньших первой
сопрягающей частоты со1; логарифмическая амплитудная характеристика
системы L (со) — это прямая с наклоном, равным наклону логарифмической
амплитудной характеристики интегрирующего звена, т. е. — 20 дб на декаду,
так как логарифмическая амплитудная характеристика всех остальных звеньев
при со < сох имеет нулевой наклон. Эта прямая должна быть проведена так,
чтобы при со = 1 ее ордината равнялась 20 lg К — 40 дб.
При со = сог = 0,2 на характеристику затухания интегрирующего звена,
имеющую наклон — 20 дб на декаду, накладывается характеристика затухания
двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени, имеющая
наклон — 40 дб на декаду. По-
1Ш
этому L (со) в интервале сох <
<С со < со2 имеет наклон —бОдб
на декаду.
При со = со2 = 0,8
начинает сказываться эффект двух
дифференцирующих звеньев с
одинаковыми постоянными
времени. Поэтому наклон L (со) в
интервале со2 < со < со3
делается равным —20 дб на декаду.
При со = со3 = 50 наклон
вследствие влияния апериодического
звена с постоянной времени
1
65
40
20
0
•20
-40
^60
щ
-60
щ
Stsf
(ш)1 в'Ш
рзН1
1 ~*
111 1II
||| II ЩИ
11
owl |Ш|
1 -м\
-Hit 1. .i N и II
в(ш), град
-100
-W
-180
-40
-80
W
10
100
1000
Т = 0,02 =
Рис. XI 1.22. Логарифмические амплитудная
эд- возрастает до и фазовая частотные характеристики
—40 дб на декаду и при со =
= со3 = 200 наклон L (со) вследствие влияния апериодического звена с
постоянной времени Т = 0,005 = к^ возрастает еще на 20 дб на декаду и
делается равным — бОдб на декаду.
Фазовая характеристика б (со), изображенная на рис. XI 1.22, получена
при помощи сложения ординат фазовых характеристик отдельных звеньев.
Таким образом, можно сформулировать следующие правила
построения логарифмической амплитудной характеристики L (со)
одноконтурной системы:
1) сначала определяем сопрягающие частоты щ, co2, ... и
отмечаем их вдоль оси частот;
2) затем проводим низкочастотную асимптоту логарифмической
амплитудной характеристики L (со), представляющую собой
при ы<^щ прямую с наклоном —20 v дб на декаду, где v —
порядок астатизма системы. Эта прямая при со = 1 должка иметь
ординату, равную 20 lg К, где К — передаточный коэффициент;
3) после каждой из сопрягающих частот изменяем наклон
характеристики затухания L (со) по сравнению с тем наклоном,
который она имела до рассматриваемой сопрягающей частоты ш^
485

в зависимости от того, какому звену эта сопрягающая частота
соответствует.
Наклон изменяется на —20 дб, —40 дб и +20 дб на декаду
соответственно в случаях апериодического, колебательного и
дифференцирующих звеньев первого порядка, а также на -f-40 дб
на декаду в случае дифференцирующего звена второго порядка;
4) пользуясь кривыми поправок на рис. V}II,27, а и VJII.33,
уточняем рид полученной таким образом характеристики
затухания системы.
Примечание. Высокочастотная асимптота характеристики затухания L (ад),
т. е. ее часть при частотах, больших наивысшей сопрягающей частоты, должна
иметь наклон, равный —20 (п •— т) дб на декаду, где п — порядок
знаменателя, am — порядок числителя передаточной функции W (s).
Выражение для фазовой частотной характеристики 8 (о>),
соответствующей логарифмической амплитудной характеристике
(XII. 56), имеет вид
6({o) = -v|-2arctgr/co-2arctg^||-? +
+ |, arctgT.co + J arctg^g-a- (XII.58)
Последнее выражение показывает, что фазовые характеристики,
так же как и логарифмические амплитудные характеристики
одноконтурных систем, могут быт!? получены в результате простого
сложения ординат фазовых характеристик типовых звеньев,
входящих в их состав.
При построении фазовых характеристик апериодических и
дифференцирующих звеньев первого порядка удобно пользоваться
номограммой, приведенной на рис. VIII. 27, б, или шаблоном,
изготовленным в соответствии с кривой 8 (со) (рис. VIII. 40). Для
приближенного построения фазовых характеристик колебательных
И дифференцирующих звеньев второго порядка удобно располагать
комплектом шаблонов, соответствующих различным значениям Zik-
Часто при вычислении фазовых характеристик полезными
оказываются приближенные формулы, приреденные в § 14 и 15, гл. VIII.
10. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
НА МН0Г0К0НТУРНЫЕ СИСТЕМЫ
Причины, по которым системы регулирования имеют не один,
а несколько контуров обратной связи, могут быть самыми
различными. Так, например, кроме обратной связи через чувствительный
элемент, в системах регулирования часто имеются внутренние обрат-
486

ные связи, вводимые в усилительные элементы для понижения
уровня шумов, уменьшения выходного сопротивления, обеспечения
линейности и т. д. Введение внутренних обратных связей является
одним из важнейших и наиболее распространенных способов
коррекции динамических свойств систем автоматического
регулирования.
Системы с несколькими регулируемыми величинами также
относятся к классу многококтуркых систем регулирования. Наконец,
с многоконтурными системами приходится иметь дело при анализе
сложных систем автоматического управления, состоящих из
нескольких взаимодействующих друг с другом следящих систем и систем
стабилизации.
Анализ устойчивости многококтуркых систем обычно более
сложен, чем одноконтурных. Одной из основных причин этого
является то, что передаточные функции мйогоконтурных систем
с разомкнутой главной обратной связью через чувствительный
элемент уже не являются произведением простых сомножителей.
Поэтому число полюсов этих функций, находящихся в правой
полуплоскости, нельзя рассматривать как заданную Величину, а
следовательно, нельзя непосредственно применять и изложенные выше
частотные критерии устойчивости.
Часто анализ устойчивости многококтурных систем можно
существенно упростить, преобразовав структурную схему системы,
например, при помощи одного из приемов, рассмотренных в главе IX.
Однако более общий метод основан на том, что вначале система
анализируется в полностью разомкнутом состоянии, а затем—при
последовательном включении каждой из обратных связей,
имеющихся в системе. Такого рода подход к анализу устойчивости
многоконтурных систем может быть обоснован следующим образом.
Рассмотрим общий случай n-контурной системы автоматического
регулирования, имеющей произвольную структуру. При этом
обозначим левую часть характеристического уравнения системы
через Dp (s), когда все обратные связи разомкнуты, и предположим
для определенности, что все нули функции Dp (s) расположены
в левой полуплоскости. Перенумеруем теперь то^кй, в коФорых
производится сравнение сигнала от обратной связи с входным
сигналом, в произвольном, ко фиксированном порядке и
обозначим левую часть характеристического уравнения системы при
включенной первой точке сравнения через Dx (s), при включенйьй
первой и второй точках сравнения через D2 (s) и т. д. и, наконец,
через D (s) — левую часть характеристического уравнения всей
системы в целом, в которой замкнуты все п цепей обратной связи.
Составим теперь отношение п , . Очевидно, мы можем написать
D(s) _£>1(s) D2(s) D(s) /YM TO
Dp (s) Dp (s) ' Dx (s) ■ ■ ■ Dn„L (s)' ^л' -^
487

или
D(s) _rDp(s) + M1(s)-] Г Dp (s) + M, (s) + М.г (s)
DP(s)
-[
Dp(s)
tt
Dp(s) + M1(s)
>-]...
Dp(s)+ ^Mt(s)
^=j
Dp(s)+ 2 ^i(s) J
(XII.60)
где через Мг (s) обозначен полином, который добавляется к
характеристическому уравнению полностью разомкнутой системы при
включении первой обратной связи, через М2 (s) — полином,
который добавляется к характеристическому уравнению системы с
замкнутой первой обратной связью при включении второй обратной связи
и т. д.
Поэтому получим
D(s)
Dp(s)
= ^ + Wl(s)][l+W2(s)] ... [1+Wn(s)]9 (XII.61)
где
™-£$i
Wt(s)
ад.
Ъх (s) '
*■«-#$•
(XI 1.62)
Но полное число оборотов
Согласно предположению функция Dp (s) не имеет
полюсов в правой полуплоскости. Поэтому число нулей функции D (s)
в правой полуплоскости равно числу оборотов 2 вектора п у. .
вокруг начала координат при изменении со от + оо до — оо.
v D (/со)
2j вектора п ч:- \> очевидно, рав-
л A Do D
но сумме чисел оборотов векторов: ^, —,..., -^—, а число
ир U\ un~l
оборотов каждого из этих векторов равно разности между числом
нулей и полюсов соответствующей функции п , в правой
полуплоскости, т. е.
2 = (ЛГ1-Р1) + (ЯЯ-Р2)+ ... +(Nn-pn), (XII.63)
причем условие устойчивости заключается в том, чтобы 2 = 0.
Заметим, что в формуле (XII. 63) согласно предположению Рг = 0;
число же нулей N1 можно определить, сосчитав число оборотов
вектора Wx (/со) относительно точки ( — 1, /0). Определим теперь
разность N2 — Р2. При этом заметим, что Р2 = Nl9 так как
знаменатель функции тг4\ представляет собой числитель функции
488

Л ($) - AT
п ) \, число же нулей А/2 можно определить, сосчитав число
up \s)
оборотов вектора W2 (/со) относительно точки ( — 1, /0). Точно так
же, сосчитав число оборотов вектора Ws j(/<d) относительно точки
( — 1, /0), можно определить N3. Далее, имея в виду, что Р3 = ^2,
найдем Ns — Р3 и т. д.
Определив указанным способом каждое из чисел N± — Рх;
N2 — P2;...; Nn — Pn9 входящих.в уравнение (ХП.63), и найдя
их сумму 2, мы установим, является ли система устойчивой или нет,
в зависимости от того, равна эта сумма 2 нулю или отличается
от нуля. При помощи аналогичных рассуждений легко показать,
что если характеристическое уравнение полностью разомкнутой
системы Dp (X) = 0 имеет Р корней в правой полуплоскости, то
полностью замкнутая система будет устойчива лишь в том случае,
если сумма полного числа оборотов S всех амплитудно-фазовых
характеристик будет равна Р.
Таким образом, можно сформулировать следующий критерий
устойчивости многоконтурных систем. Для того чтобы
многоконтурная система автоматического регулирования,
характеристическое уравнение которой в полностью разомкнутом состоянии
содержит Р корней в правой полуплоскости, была устойчива,
необходимо и достаточно иметь полное число оборотов в
отрицательном направлении вокруг критической точки (—1, /0) всех
амплитудно-фазовых характеристик, получаемых при последующем
включении каждой из цепей обратной связи в произвольном порядке,
за исключением какой-либо одной из них, при изменении со от + оо
до — оо, равным Р. Если разомкнутая система устойчива и
Р = 0, то указанное число оборотов также должно равняться нулю.
При этом важно заметить, что обратные связи могут включаться
последовательно одна за другой в самом различном порядке. Если
система содержит п точек сравнения, то последующее включение
обратных связей можно произвести п\ различными способами.
Необходимо также подчеркнуть, что вполне возможны случаи,
когда Nn = 0 и в то же время
(N1-P1) + (N2-P2)+ ... +(NK-PK)^0
при некотором k <[ п. Это означает, что система может быть
устойчивой в своем окончательном рабочем состоянии и неустойчивой,
когда некоторые из ее внутренних обратных связей разомкнуты.
11. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧА0Т0ТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Практическое применение критерия устойчивости
многоконтурных систем, сформулированного выше, значительно упрощается,
если вместо амплитудно-фазовых частотных характеристик
пользоваться логарифмическими частотными характеристиками.
489

Применительно к логарифмическим характеристикам этот
критерий, может быть, очевидно, сформулирован следующим образом.
Для того чтобы многрконтурная система, характеристическое
уравнение которой в полностью разомкнутом состоянии содержит Р
корней в правой полуплоскости, была устойчивой, необходимо и
достаточно иметь разность между числом положительных и
отрицательных пересечений прямой — я всеми фазовыми частотными
характеристиками, получаемыми при последующем включении каждой
из цепей обратной связи, для положительных значений
соответствующих логарифмических частотных характеристик L (со) ^> О,
равную Р/2.
В качестве примера рассмотрим систему, показанную на
рис. XI 1.23, а. При этом предположим, что эта система является
устойчивой в разомкнутом состоянии (рис. XII. 23, б). Для проверки
А
I—П71—I
Н*- -*9»^гФ"Н
ид
W,
а) 5)
Рис. XII.23. Двухконтурная система автоматического регулирования
устойчивости выбранной системы в замкнутом состоянии построим
логарифмические характеристики, соответствующие произведению
W2 (/co)Z; (/со), и сосчитаем разность между числом положительных
и отрицательных пересечений прямой — я фазовой
характеристикой arg [W2 (fco) Zx (/со)] при положительных значениях
соответствующей логарифмической амплитудной частотной характеристики
Lrn|tt72Zx|>0.
Пусть эта разность равна — 2. Построим и определим разность
между числом положительных и отрицательных пересечений
прямой — я фазовой характеристикой
argLi + ^AJ
при положительных значениях соответствующей логарифмической
ампдитудвдй характеристик
т m таил
Пусть эта разность рэвна + 2. Тогда согласно приведенному
выше критерию система (рис. XI 1.23) является устойчивой.
Из рассмотренного примера ясно, что при исследовании
устойчивости многоконтурных систем необходимо уметь быстро опре-
490

делять логарифмические частотные характеристики,
соответствующие выражению w { ^2
1 + Щг( = Т{ [ 1 + WiZi\' (XII.64)
Этой цели, очевидно, могут служить номограммы замыкания,
рассмотренные в главе VIII, позволяющие определять
логарифмические частотные характеристики выражения вида
ф = _^_
1 + W
по логарифмическим характеристикам, соответствующим
выражению W.
Располагая номограммой замыкания на рис. VIII. 12,
логарифмические частотные характеристики выражения (XI 1.64) можно
найти следующим образом:
1) строим обычным методом логарифмические амплитудную и
фазовую частотные характеристики, соответствующие
передаточной функции Zt и произведению передаточных функций W/Z,-;
2) откладывая на номограмме рис. VII 1.12 вдоль оси ординат
значения Lm|l^t^|, а вдоль оси абсцисс — значения arg [fl^ZJ,
находим изложенным выше способом характеристики
3) ЁЫчитая из ординат характеристик (XII. 65) соответствующие
ординаты кривых LmjZfl и arg Zh получим искомые
логарифмические частотные характеристики для выражения (XI 1.64).
ЛИТЕРАТУРА
1. Джеймс X., НикольсН., ФиллипсР. Теория следящих
систем, ИИЛ, 1951, М.
2. Честнат Г., Майер Р. Расчет и проектирование следящих и
регулируемых систем, ИИЛ, М.
3. МихайловА. В. Метод гармонического анализа в теории
регулирования, А и Т, № 3, 1938, с. 27—81.
4. Михайлов А. В. Теория устойчивости линейных цепей обратной
связи с сосредоточенными постоянными, ЖТФ, 1939, № 1, с. 20—31.
5. Солодовников В. В. Устойчивость линейных следящих систем
и систем регулирования, А й Т, Т. 7, 1946, № 1, с. 43—68.
6. Солодовников В. В. Применение операторного метода к
исследованию устойчивости процесса регулирования скорости гидротурбин, А и Т,
Кя 1, 1941, с. 5—20.
7. Солодовников В. Ё. Применение метода логарифмических
частотных характеристик к исследованию устойчивости и к оценке качества следящих
и регулируемых систем, А и Т, Т. 9, № 2, 1948, с. 85—103.
8. Ц ы п к и н Я. 3. Критерий устойчивости линейных систем с обратной
связью, ЖТФ, Т. 6, 1946, с. 723—28.
9. Чеботарев Н. Г., Мейман Н. Н. Проблема Рауса-Гурвица
для полиномов и целых функций, Труды Матем. ин-та им. Ё. А. С Т е к л о в" а,
вып. XXVI, АН СССР, 1949.

ГЛАВА XIII
ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Критерии устойчивости позволяют выяснить, устойчива ли
система, не только в том случае, если все ее параметры (все
постоянные времени и коэффициенты усиления) заданы, но и в том случае,
когда заданы все параметры системы, кроме одного или двух,
которые могут изменяться в некоторых пределах, и требуется
определить, при каких значениях этого одного параметра (или этих
двух параметров) система устойчива.
Если пользоваться критерием Михайлова или амплитудно-
фазовым критерием, то для решения задачи надо, задаваясь разными
значениями параметров, каждый раз заново строить соответствующий
годограф и определять, устойчива ли система при этих значениях
параметров. Для того чтобы установить границы областей
устойчивости, нужно много раз повторять построения годографа Михайлова
или амплитудно-фазовой характеристики. Если же
воспользоваться критерием Гурвица, то решение задачи окажется связанным
с анализом сложных и громоздких выражений, требующим
значительного труда, или с построением кривых, определяющих
зависимость значений определителей Гурвица от рассматриваемых
параметров. Поэтому представляют интерес другие приемы выделения
областей устойчивости, рассматриваемые ниже.
Область устойчивости в плоскости двух действительных
параметров системы регулирования была впервые выделена И. А. Вышне-
гр адским.
В последующие годы построение областей устойчивости
проводилось для различных частных задач в ряде работ. Так, например,
в работе Р. А. Фрезера и В. И. Дункана [7] был предложен общий
метод выделения областей устойчивости и неустойчивости на
плоскости двух параметров. А. А. Соколов [6] разработал прием
построения области устойчивости с помощью отображения на плоскость
параметров мнимой оси плоскости корней. Это направление было
завершено работами Ю. И. Неймарка [4], [5], который предложил
приемы выделения областей устойчивости и показал, что разные
критерии устойчивости могут рассматриваться с единой точки
зрения на основе предложенного им понятия Д-разбиения,
492

1. ПОНЯТИЕ О Д-РАЗБИЕНИИ ПРОСТРАНСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ
Рассмотрим в качестве примера характеристическое уравнение
апЬп + а^ЛЛ-1 + ... + агК + а0 = О, (XIII. 1)
в котором все коэффициенты, кроме двух (например, а0 и ап),
определены.
Положим, что при некоторых фиксированных значениях а0 и
ап данное уравнение имеет в плоскости корней k корней, лежащих
слева, и п — k корней, лежащих справа от мнимой оси. Изменение
в определенных пределах значений коэффициентов ап и а0 в
характеристическом уравнении (XIII. 1) не вызывает изменения числа
корней, расположенных справа и слева от мнимой оси в плоскости
корней. Поэтому можно выделить на плоскости ап, а0 такую область,
каждая точка которой определяет многочлен (XIII. 1), также
имеющий k корней, лежащих слева, и п — k корней, лежащих
справа от мнимой оси. Эту область обозначим D (k).
Выше в качестве примера рассматривалось уравнение (XIII. 1),
в котором заданы значения всех коэффициентов, кроме первого и
последнего. Совершенно аналогично может быть рассмотрено
разбиение на области D (k) плоскости любых двух коэффициентов этого
уравнения, если все остальные коэффициенты — заданные числа.
Число k может иметь любое целое значение 1, 2... /г, и, таким образом,
в плоскости ап, а0 можно указать области, соответствующие разным
значениям k. Так, например, если характеристическое уравнение
имеет третью степень, т. е. если п = 3, то в общем случае могут
быть указаны области D (0), D (1), D (2) и D (3). Последняя область
и будет собственно областью устойчивости в пространстве
коэффициентов.
Если в этом характеристическом уравнении все коэффициенты,
кроме двух, — конкретные числа, то плоскость этих двух
неопределенных коэффициентов может и не содержать какой-либо из
указанных областей. Если, например, не существует области D (3),
то это значит, что при любых значениях этих неопределенных
коэффициентов и при заданных значениях остальных коэффициентов
уравнение не может иметь трех корней с отрицательной
действительной частью слева от мнимой оси, т. е. система не может быть
сделана устойчивой.
Если бы в уравнении (XIII. 1) были неопределенными не два,
а три коэффициента, например ап, ап_г и а0, то пришлось бы
рассмотреть трехмерное пространство, откладывая по осям координат
ап, ап_х и а0, и область D (k) в этом пространстве выделялась бы
некоторой поверхностью. При большем числе коэффициентов
приходится рассматривать соответствующее многомерное
пространство коэффициентов, и область D (k) выделяется гиперповерхностью.
Такое разбиение пространства коэффициентов называется Д - р а з-
биением.
493

Положим, что k корней полинома (XIII 1) лежат слева от
мнимой оси. При плавном изменении значений коэффициентов
а корни могут перейти в правую полуплоскость. Этот переход может
быть осуществлен только через мнимую ось или через бесконечность,
причем корень становится равным бесконечности только при
значениях параметров, обращающих в нуль коэффициент ап.
Переход в пространстве коэффициентов через границу Д-раз-
биения соответствует в плоскости корней переходу корней через
мнимую ось. Отсюда следует метод определения границы Д*разбие-
ния: она определяется параметрически заменой в исследуемом
полиноме к на /со (где со — переменная величина, а / — ]/—I) и может
быть построена изменением значения со от — со До + оо. В этом
смысле граница Д-разбиенйя есть отображение мнимой оси йло-
скости корней на пространство коэффициентов
характеристического уравнения.
До сих пор говорилось только о Дфазбиении пространства
коэффициентов характеристического уравнения. Разумеется,
аналогичным образом можно построить Д-разбиение пространства
любых параметров, от которых зависят коэффициенты
характеристического уравнения (например, параметров исследуемой системы:
постоянных времени й коэффициентов усиления).
В конечном итоге необходимо выделить только область
устойчивости, т. е. область D (я), но построение всего Д-разбиения
оказывается часто самым простым путем для Построения границы области
устойчивости.
2. Д-РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПАРАМЕТРА
Пусть нас интересует влияние какого-либо параметра до, от
которого зависят коэффициенты аг уравнения (XIII. 1). Положим,
что можно разрешить это уравнение относительно до, т. е. привести
его к виду
Q{k) + wR{k)^0 (XI1I.2)
или
Например, для выражения
Я2 + агк + а2 = 0 и т = аг
имеем
Q (X) = X2 + а2 и £ (к) = к]
при
(Тгк + 1) {Т2к + 1) + 1 = О и & = Тг
найдем
Q (к) = (Т2к + 1) + 1 и Я (к) = к (Т2% 4 1).
Представляют интерес только действительные значения до.
Временно предположим, что до — комплексное число, и отобразим
мнимую ось плоскости корней на плоскость до.
494

После выделения области устойчивости в комплексной
плоскости w можно будет рассматривать лишь действительные значения w,
т. е. точки действительной оси, лежащие в области устойчивости.
Для того чтобы осуществить Д-разбиение комплексной
плоскости w в выражение
w = — v '
подставим
К =s /СО,
тогда получим
Затем отделим мнимую и действительную части, т. е.
w (/со) = - |gg = £/(©) + JV (со).
Задавая со значения от — оо до -f oo, построим в плоскости
£/, V (назовем ее плоскостью до) по точкам кривую, отображающую
мнимую ось плоскости корней на плоскость до. Эта кривая
определяет границу Д-разбиения плоскости до. Эта граница Д-разбиения
в данном случае симметрична относительно действительной оси,
и для построения всей кривой достаточно построить половину
ее, соответствующую 0 ^ со < оо, а затем дополнить кривую
зеркальным отображением относительно действительной оси.
Если двигаться в плоскости корней вдоль мнимой оси из — со
в + оо, то область, где должны располагаться корни для
устойчивости процесса, будет все время находиться слева.
Идя по граничной кривой Д-разбиения в направлении от со =
= — оо ксо=+оо? будем штриховать эту кривую слева
(рис. XII 1.1, а). Если в плоскости до пересекаем D-кривую, переходя
с заштрихованной стороны на незаштрихованную, то в плоскости
корней один корень пересекает мнимую ось, переходя с левой
полуплоскости на правую.
Выберем в плоскости до произвольную точку, например, точку
а (рис. XIII. 1,6) и предположим, что при до — а рассматриваемое
уравнение имеет г корней, расположенных слева от мнимой оси,
и п — г корней, расположенных справа от нее (число г пока
неизвестно). Это значит, что точка а принадлежит области D (г). Тогда
всю область D (г) составляет совокупность точек плоскости w,
в которые можно попасть из точки а, не пересекая границы
Д-разбиения. Для того чтобы из точки а перейти в точку б, необходимо
пересечь границу Д-разбиения один раз с незаштрихованной стороны
на заштрихованную мнимую ось справа налево. Следовательно,
точка б находится в области D {г + 1). Этой же области принадлежит
любая другая точка плоскости до, в которую можно перейти из
точки б, не пересекая границы Д-разбиения. Рассуждая аналогично,
установим, что точка в расположена в области D (г + 2) и т. д.
Если подобная «разметка областей» выполнена, тр сразу же
495

определяется «претендент» на область устойчивости. Такая область
имеет наибольшую отметку [так как областью устойчивости служит
область D (я), а отметка не может быть больше п].
В том случае, когда заранее известно, что существует
значение до, при котором система устойчива, работа по определению
области устойчивости на этом заканчивается. Если же нельзя
заранее утверждать, что такое значение существует, надо проверить,
является ли область с самой большой отметкой областью
устойчивости. Для этого достаточно проверить, удовлетворяет ли какому-
либо критерию устойчивости рассматриваемое уравнение при каком-
нибудь одном значении до, принадлежащем этой области.
Предположим, например, что на рис. XIII. 1,6 построен
годограф для характеристического уравнения пятой степени (п = 5) и
при w = 0 уравнение имеет три корня с отрицательной
действиям 5)
Рис. XIII. 1. Отображение мнимой оси плоскости
корней на плоскость w
тельной частью. В этом случае точка в принадлежит области D (3),
т. е. г = 3. Следовательно, г + 2 = 5, и область D (г + 2) является
областью устойчивости системы. Принадлежащий этой области
отрезок действительной оси указывает значения до, при которых
система устойчива. Если в этом случае (рис. XIII. 1, 6) годограф
относился к уравнению не пятой, а шестой степени, то область (г + 2)
уже не была бы областью устойчивости. Плоскость до в данном
случае вообще не содержала бы области устойчивости.
Часто можно вычислить число корней с положительной
действительной частью полинома, соответствующего какой-либо точке
плоскости до, если пользоваться формулой
m^ + M^l-JL, (XIH.3)
где т — число корней полинома, имеющих положительную
действительную часть при каком-либо значении до = до0;
v — число корней с положительной действительной частью
уравнения R (X);
v0 — число нулевых и чисто мнимых корней этого же
уравнения R (I) = 0;
496

щ — разность степеней полиномов Q (к) + wR (к) и R (к)\
Ф — приращение аргумента вектора, начало которого лежит
в точке w = w0, а конец скользит по границе Д-разбиения
от точки, соответствующей со = — со, до точки,
соответствующей со = + со.
Если граница Д-разбиения состоит из нескольких ветвей, то
ф — сумма приращений аргументов указанного вектора,
подсчитанных порознь для каждой из ветвей границы Д-разбиения. Эта
формула может быть выведена тем же способом, который
использовался в предыдущей главе для доказательства критерия
Михайлова.
Построив Д-разбиение плоскости w и определив число корней,
соответствующее каждой области, остается выяснить, к каким из
этих областей принадлежат те или иные точки действительной оси.
Приведем несколько примеров построения Д-разбиения.
Пример 1. Дано характеристическое уравнение
Я,3 + к2 + к + w = 0.
Решая его относительно параметра w, получим
w = — А,» — к2 — к
и, произведя замену к — /со, найдем
w = усо3 + со2 — ./со = U + jV,
где
бУ=со2; К=со3 —со.
Построим границу Д-разбиения в плоскости U, V (рис. XII 1.2), заметив,
что при со = 0 получим U= О и V— 0; при со = 1 найдем V = 1 и V— 0; при
со —» оо имеем U —* со и V —* со.
Заштрихуем кривую слева, идя от со = —-со к со = со. Очевидно, что
областью, соответствующей полиномам, имеющим наибольшее число корней
слева от мнимой оси, будет область,
заштрихованная на рис. XIII.2. Для того
чтобы убедиться, что эта область будет
областью устойчивости, возьмем
граничную точку w — 0. При w = 0
рассматриваемое уравнение сводится к к (к2 -j-
+ к + 1) = 0.
Его корни
Ш=0
кх = 0; Я:
»=-i±V-
Область
устойчивости
т. е. один корень — нулевой, а два лежат рис. XIII.2. Построение области
слева от мнимой оси. устойчивости для примера 1
Внутри рассматриваемой области
число корней, расположенных слева от
мнимой оси, должно быть на один больше, так как при этом сходим с границы
Д-разбиения в сторону штриховки. Следовательно, этой области и соответствуют
полиномы, у которых все три корня лежат слева от мнимой оси.
Существенны только действительные значения о/, принадлежащие области
устойчивости. Они определяются сразу отрезком оси (У, лежащим внутри
области D (3), Следовательно, условию устойчивости рассматриваемой системы
будут отвечать значения 0<ш<1 Убедиться в этом можно также,
воспользовавшись формулой (XIII.3).
497

Действительно, в рассматриваемом случае R (s) = 1 и, следовательно,
V = 1/р = 0, пх = 3. Выберем точку w0 на оси сУ между U = 0 и сУ = 1,
например ад = -у, тогда ф 5ss Зя.
Воспользовавшись формулой (ХШ.З), получим
3 3
-О,
1
т. е. точка w — — принадлежит области устойчивости.
Пример. 2. Рассмотрим следующее характеристическое уравнение:
А,3 + wX* + X + 1 ~ 0.
Решая его относительно w, найдем
— X3 — Л, — I
Подставим
X*
X = уса.
Придавая со значения от — со до -f °°> построим кривые
сУ =
и V = --
со
Построение показано на рис. ХШ.З, а. После этого нетрудно построить
границу Д-разбиения в плоскости w и найти область, соответствующую
Ш
1/&
■ i/8
Isl »
«^ А
и
^^
б)
Построение области
для примера 2
устойчивости
полиномам с наибольшим числом корней, расположенных слева от мнимой
оси. На рис. ХШ.З, б эта область обозначена буквой А. Ни в одной
точке плоскости, не принадлежащей области Л, не может быть такого же или
большего числа корней слева от мнимой оси, так как, выходя из области А
в эту точку, обязательно нужно пересечь границу Д-разбиения с
заштрихованной стороны на незаштрихованную сторону. Далее определим число корней
слева от мнимой оси при w~ 1. В этом случае характеристическое уравнение
сводится к виду
Xs + А,2 + I + 1 = (X2 + 1) (X + 1) = 0,
498

корни которого
А,! =- — 1; А2,3 = ±- А
Таким образом, в точке w = 1 один корень расположен слева от мнимой
оси, а два корня — на ней. Переходя от точки ш= 1 к любой точке области Л,
еходим с кривой в сторону штриховки, причем в точке w — 1 кривая
заштрихована дважды (через эту точку проходят Две ветви границы Д-разбиения).
Следовательно, область Л соответствует случаю, когда все три корня имеют
отрицательную действительную часть, т. е> является областью устойчивости
[областью D (3).].
В этом можно также убедиться, воспользовавшись формулой (XII 1.2).
Тогда R (к) *= Я2» т. е. К — О; У0 = 2; пг = 1. Далее выберем точку w0
Л
в области Л. Для каждой ветви кривой имеем ф — ~- я, а для всей кривой
Ф = Зя.
Следовательно,
2+1 Зя л
т==~2 2я-°
и область Л является областью устойчивости»
3. СВЯЗЬ Д-РАЗБИЕНИЯ С КРИТЕРИЯМИ УСТОЙЧИВОСТИ
Кривые, которые приходится строить при использовании
критерия устойчивости Михайлова и амплитудно-фазового критерия
устойчивости, можно рассматривать как границы Д-разбиейия
по специально подобранным параметрам и, таким образом*
выработать общую точку зрения на разные критерии устойчивости.
Амплитудно-фазовый критерий
устойчивости. Пусть уравнение замкнутой цепи автоматического
регулирования записано в виде
[Dp{k)+Mp(K)]x~Ot
тогда характеристическое уравнение системы
Dp(k) + Mp{b) = 0> (XIII.4)
Рассмотрим семейство полиномов
wDp(X) + Mp(X)=--0> (XIIL5)
где w — комплексное число.
Очевидно, уравнение (XIII. 4) можно получить из уравнения
(XIII. 5), положив w = 1. Найдем область устойчивости
полиномов (XIII. 5). Для этого построим Д-разбиение по параметру w.
Решим уравнение (XIIL 4) относительно w:
М» (Я)
w Dp
(torn

Полагая X = /со,
до =
найдем
Я, О)
= £/(©) + /!/(©).
Область
устойчивости
Придавая со значения от — оо до + оо, построим границу
Д-разбиения (рис. XIII. 4) для случая астатической системы,
когда полином. Dp (X) содержит множитель Я. Поэтому при со -> оо
кривая подходит к началу координат. По условию степень Dp (X)
больше степени Мр (X), поэтому при со -> 0 кривая уходит в оо.
Заштриховав кривую, определяем область, которая соответствует
полиномам, имеющим больше всего корней слева от мнимой оси
(на рис. XIII. 4 она покрыта вертикальной штриховкой).
Для определения условий, при которых данная область
соответствует области устойчивости, возьмем граничную точку w = оо и
соответствующий ей полином Dp (X) = 0. Его корни и являются
корнями полинома (XIII. 5)
,V /RIMIIIII ПРИ W == °°*
^/иМШШ Предположим сначала, что
разомкнутая система
устойчива, т. е. все корни
уравнения D0 (X) = 0 расположены
слева от мнимой оси, или что
оно имеет один нулевой
корень, а все остальные корни
расположены слева от мнимой
оси. В обоих случаях точке
плоскости wf лежащей в
бесконечности справа,
соответствует полином, у которого
в плоскости корней либо все
корни лежат слева от мнимой оси, либо же слева от мнимой оси
лежат все корни, кроме одного, расположенного на самой мнимой
оси. Поэтому в этих двух случаях точке, лежащей в
заштрихованной области, соответствует полином (XIII. 5), у которого все корни
лежат слева от мнимой оси, т. е. заштрихованная область является
областью устойчивости х.
На действительной оси выделяется участок, лежащий в этой
области устойчивости (на рис. XIII. 4 — участок оси (/,
расположенный в заштрихованной области).
Очевидно, что если точка w = 1, соответствующая
характеристическому уравнению (XIII. 4), лежит на этом участке, то система,
имеющая характеристическое уравнение Dp (X) + Мр (X) = 0,
устойчива.
Рис. XIII.4. Амплитудно-фазовая
характеристика системы
1 В случае, когда уравнение Dp (X) — 0 имеет один нулевой корень, ветви
границы Д-разбиения, уходящие в бесконечность, смыкаются в бесконечности
с осью. Поэтому при w = оо находимся нэ границе Д-разбиения и, переходя
в область А (рис. XII 1.4), сходим с этой границы в сторону штриховки.
500

Но для этого необходимо и достаточно, чтобы граница Д-разбие-
ния, как раз и являющаяся амплитудно-фазовой характеристикой
системы, не охватывала точки1 w = 1.
Из рис. XIII. 4 легко получить и обобщение
амплитудно-фазового критерия устойчивости на случай, когда характеристическое
уравнение разомкнутой системы содержит любое число, например г,
корней с положительной действительной частью. В этом случае
на плоскости w точке w = оо соответствует полином, имеющий
в плоскости корней г корней справа от мнимой оси, и для того,
чтобы точка w = 1 принадлежала области устойчивости, надо,
чтобы при передвижении вдоль действительной оси из w = оо
к w = 1 граница Д-разбиения пересекалась г раз в сторону
штриховки. Надо помнить лишь, что амплитудно-фазовая
характеристика должна быть дополнена ее
зеркальным отображением относительно
действительной оси.
Критерий А. В.
Михайлова. Пусть характеристическое
уравнение рассматриваемой системы
имеет вид уравнения (XIII. 4).
Введем параметр w и рассмотрим
более общий класс уравнений
Dp(s) + Mp(s)
W.
(XIII.6)
= 0)
Рис.
XIII.5. Годограф
Михайлова
частным случаем которого (при w-
является уравнение (XIII. 4).
Положим s = /со в уравнении
(XIII. 6) и построим Д-разбиение по
параметру w (рис. XIII. 5). Область А, заштрихованная на
рис. XIII. 5 вертикальной штриховкой, может рассматриваться как
область устойчивости. Если точка w = 0 лежит внутри этой
области и последняя является областью устойчивости, то полином
(XIII. 6) имеет все корни слева от мнимой оси и система устойчива.
Воспользуемся формулой (XIII. 3). В данном случае R (X) = 1
и V = V0 = 0, пг = п. Для того чтобы точка А принадлежала
области устойчивости, т должно равняться нулю. Поэтому,
используя формулу (XIII. 3), найдем ^ = ^ или ф = пп-
Если рассматривать изменение со не от — оо до + оо, а только
от со = 0 до со = + оо, то получим ф = ftj, как этого и требует
критерий Михайлова.
1 Здесь критической точкой на плоскости w является точка w == 1. Однако
если вместо семейства полиномов (XIII.5) рассматривать семейство
полиномов — wDp(k) -f Mp (X) = 0, то в качестве критической точки получалась бы
точка w = — 1.
501

Строя Д-разбиение по иным параметрам
характеристического уравнения, получим любое число иных критериев
устойчивости.
4. Д-РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ДВУХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
(ДИАГРАММА ВЫШНЕГРАДСКОГО)
Диаграммой Вышнеградского принято
называть плоскость каких-либо двух действительных параметров системы
с нанесенной на ней линией, отделяющей область устойчивости.
Она может быть получена, следовательно, построением Д-разбиения
плоскости двух действительных параметров.
Положим, что в характеристическом уравнении системы
OnW + an-i^-1 + ... + агХ + а0 = О (X1II.7)
коэффициенты линейно зависят от двух параметров1 ц и 6.
Ограничимся случаем, когда уравнение (XII 1.7) можно
привести к виду
\iS(k) + 6Q(h) + R(h) =0.
Например, уравнение
(\iX+l)(5X+ 1) + 36 = О
можно записать следующим образом:
X (5Я, + 1) \х + 36 + (5Ь + 1) = 0;
здесь
S (X) = 5к2 + К
Q(b) = 3;
R(X) = 5X+ l.
Для того чтобы отобразить мнимую ось плоскости корней на
плоскость fx, 8, надо подставить в рассматриваемое уравнение
к — /со и для любого — оо <^ со <^ оо най?и (it и б, при которых
левая часть уравнения обращается в нуль. Для этого подставим
значение X = /со и отделим затем в уравнении действительную
и мнимую части:
jxS (/со) + 6Q (/со) + R (/о) = U (со) + ,'V (со).
В общем случае обе функции U (со) и V (со) зaвиcяf не только
от соi но и от параметров fi и 6.
Для построения границы Д-разбиения надо для каждого со
определить \х и б, при которых левая часть уравнения обращается
в нуль, т. е. решить совместно относительно ji и б два уравнения:
U (со) - 0 и V (со) - 0.
1 Этими параметрами могут быть, в частности, просто два коэффициента
уравнения (XIII.7).
502

Отделяя в каждом из них члены, содержащие ц и 8, находим
и (со) = pS,. (со) + в& (со) + R, (со) = 0;
v (со) = liS3 (со) + SQ2 (со) + R2 (со) = 0.
Решая эту систему уравнений с двумя неизвестными, получаем
(XIII.8)
Ll =
^2 V2
Si (?i
S2 Q2
И б =
Si
S2
•Л
■#2
Si (?!
52 (?2
SiQi
$2 Q%
и Ах =
-RiQi
— R2 Q2
или Д2 =
&
Si-Rx
S2 -R2
Для каждого со можцо подсчитать Q, S и R, а зцачит |х и б и
найти в плоскости [г,бточку, соответствующую этому со. Изменяя со,
получим некоторую кривую в плоскости jli, б. Если в системе (XIII. 7)
первым является уравнение £/(со) = 0, а вторым V (со) = 0 и если
в обоих уравнениях \х — первое, а б — второе по начертанию
неизвестное, то система координат |лб должна быть правой: ось [г —
осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось б —
осью ординат с отсчетом положительных значений вверх.
Уравнения U (со) = 0 и V (со) =0 определяет одно значение |я и б
для каждого со только в том случае, если они совместны и
независимы, э для этого необходимо, чтобы одновременно не были
равны нулю определители
Д =
В противном случае решения неопределенны, и это
свидетельствует о том, что одно уравнение является следствием второго
уравнения.
В плоскости fx, б каждое из уравнений U (со) = 0 и V (со) = 0
при фиксированном со = сох определяет прямую. Координаты точки
пересечения этих двух прямых и являются решением уравнений
U (со) = 0 и V (со) = 0 относительно [гиб при со = cox.
Если А = Ах = 0 или А = Д2 = 0, то прямые совпадают.
Следовательно, всем значениям со, при которых указанные
определители обращаются в нуль, соответствует в плоскости ji6 не точка,
а прямая линия.
Любое из уравнений системы (XIII. 8) при подстановке
значения со, обращающего А в нуль, является в данном случае уравнением
этой прямой.
При подстановке со = 0 (или со = оо) в уравнение (XJJI.7)
в его левой части остается только свободный член (или
коэффициент старшего члена). Если при этом получается выражение вида
const — 0, то это свидетельствует о том, что соответствующая особая
прямая вся лежит в бесконечности и вычерчивать ее не нужно.
Эти прямые называются особыми. Без доказательства
сформулируем правило штриховки границы Д-разбцения и особых прямых.
503

При движении по границе Д-разбиения она штрихуется слева
в тех точках, для которых А ^> 0, и справа — при А <Г 0. Точка
по кривой пробегает дважды: первый раз при изменении со от 0
Рис. XIII.6. Примеры штриховки особых прямых
до со, а второй раз — при изменении со от — оо до 0, но штрихуется
оба раза с одной и той же стороны, так как знак А меняется при
со = 0, или со = ±оо. Через эти точки чаще всего проходят особые
прямые. Их штрихуют в этом случае
так, как показано на рис. ХШ.6,аД
Вблизи точки пересечения кривой
8\ - *=0
Рис. XIII.7. Пример штриховки
особой прямой при изменении
знака А
Рис. XIII.8. Пример, когда
особая прямая не штрихуется
и прямой их заштрихованные и незаштрихованные стороны
направлены друг к другу. Далее, вдоль прямой направление
штриховки не меняется.
Если знак А меняется в точке со-~со1(0<^со1<^ оо), то через
эту точку также всегда проходит особая прямая, которую штрихуют
двойной штриховкой (рис. XIII. 7).
Может случиться, что с ростом со в точке со~сог обращается
в нуль определитель А, но далее с ростом со он знака не меняет.
Если через точку со = сох проходит особая прямая, то в этом случае
ее не штрихуют (рис. XIII. 8).
504

После того как граница Д-разбиения и особые прямые построены
и штриховка нанесена, производят разметку областей. Область
устойчивости выделяют так же, как при построении области
устойчивости в плоскости одного комплексного параметра.
Пример 1. Рассмотрим классическую задачу об устойчивости прямого
регулирования, решенную Вышнеградским. Характеристическое уравнение
системы имеет вид ^ + ^ + Ь% + 1 = 0.
Построим Д-разбиение плоскости |Л, б, для этого перепишем уравнение
в виде [х^2 + 6Х + (Я3 + 1) = 0
и, подставив к = /со, получим
— [лсо2 + 6/со + 1 —;со3 = 0
или
откуда
(— [ЛСО2 + 1) +j (6(0 — СО3) = 0,
U (со) = \х (— со2) + 6 . 0 + 1 = 0;
1/(со) = |л-0 + бсо — со2 = 0.
Определитель этой системы
д l-*2 о
0 СО
Последний будет равен нулю только при со = 0
Для любого со ф 0
Р = &\ 6 = ю2> т. е. \i =
Одласть А
а кривая Д-разбиения представляет собой равнобокую гиперболу (рис. XIII.9).
Точка со = 0 лежит в бесконечности на оси |Л,
а точка со = оо и со = — со — в бесконечности на
оси 6. Определитель А меняет знак в точке со = 0
Поэтому гиперболу штрихуем дважды. При со^А
и А ф 0 свободный член характеристического
уравнения и коэффициент при его старшем члене
не зависят ни от fi, ни от б. Следовательно, в
данном случае особых прямых нет.
Переход через дважды заштрихованную
кривую Д-разбиения соответствует изменению знака
действительных частей одновременно двух
(комплексных сопряженных) корней
характеристического уравнения. При [х = б = 0 уравнение
обращается Я3 + 1 — 0, т. е в этом случае оно имеет
один корень слева от мнимой оси и два корня
справа. Следовательно, область Л является областью
устойчивости.
Пример 2. Определить постоянные времени
и коэффициенты усиления одноемкостных
объектов, которые можно устойчиво регулировать
регулятором прямого действия, имеющим постоянную времени 7" = 0,45 сек,
постоянную времени демпфирования Тк — Ъ сек и коэффициент усиления k = 25.
Напишем уравнения движения:
объекта
(Tip -f- 1) хх = — kxx2
0 м
Рис. XIII.9. Граница
Д - разбиения задачи
устойчивости прямого
регулирования
505

и регулятора
где но условию примера
Г2 = 0,452 *& 0,2 *><?*:&;
ГЛ *= 5 сек; k «= 25.
Обозначим jr = 7\, б = kv Требуется построить область устойчивости
в плоскости jli, б.
Характеристическое уравнение
(\il + 1) (0,2Я,а + ЬХ + 1) + 256 = 0
после замены X на /со сводится к виду
— 0,2^соз — 5цсо2 + jv'o) — 0,2©2 + 5/ш + 256 + 1 = 0,
которое можно разделить на два уравнения:
— 5со2ц + 256 + (1 — 0,2со2) = 0;
со (1 — 0,2со2) [х + 0. 6 + 5со = 0.
В данном случае
Sj. (со) = — 5со2; Qx (со) = 25; Дг (со) = 1 — 0,2со2;
52 (со) = со (1 — 0,2со2); Q2 (со) =*= 0; R2 (со) = 5со,
поэтому
д =
А2 =
— 5со2
со (1 — 0,2со2)
Следовательно:
— 5со2 25
сд(1--0,2ш2) 0
— (1 — 0,2со2) 25
— 5со
— (1 — 0,2со2)
— 5со
Ai-
== — 25со (1 — 0,2со2);
* 125ео;
=* 25со3 + со (1 — 0,2со2)2.
*А =
1—0»2ш2'
— 25со2 — (1--0>2со2)2
25(1 — 0,2со2)
Определитель А обращается в нуль, кроме со =* 0, лишь при со = |/"5, но
при этом со как Ай ф0, тйк и А2 ф 0. Следовательно, при со ф 0 и со ф 0 особых
прямых нет.
Приравнивая нулю свободный член и коэффициент при старшем члене
характеристического уравнения, получим уравнение двух особых прямых:
для со = 0 256 -(-1 = 0 или б — — ^, а для со — со 0,2|li =* 0 или \i — 0.
На рис. XIII. 10 показаны эти прямые с нанесенной штриховкой, а также
область устойчивости. Проверять распределение корней для какой-либо одной
точки области нет необходимости, так как наличие области устойчивости
в плоскости [г, б не. вызывает сомнений. Если бы, однако, была необходимость
в такой проверке, то ее можно было бы сделать, например, для точки |li = б = 0.
В этой точке уравнение имеет один бесконечно большой корень и два корня
506

Гй И
е отрицательной действительной частью. Сходя с этой точки в заштрихованную
область, сходим с особой прямой, соответствующей со = оо, в сторону
штриховки. В плоскости корней из бесконечности корень перемещается в конечную
часть плоскости слева qt мнимой оси. Следовательно, каждой точке
заштрихованной области соответствуют полиномы, имеющие все три корня с
отрицательной частью, т. е. заштрихованная область является областью устойчивости.
Пример 3. Выясним в общем виде изменение области устойчивости в
плоскости «постоянная времени чувствительного элемента —постоянная времени
демпфера» для обычного изодромного
регулятора. Напишем уравнения движения:
регулируемого объекта
(Tgp + \)xg = — kgXe\
чувствительного элемента
(т;*р*+ткр + \)хг^11гхр
серводвигателя
рхе = кс (хг хи)
и, наконец, изодрома
(Тир+ 1)*и= Тархе.
Характеристическое урарнение этой
системы
(г^ + 1)<г;«х» + ткх +1) [тих* +
+ 0* + kcTa) X] + kgkrkc (ТаХ + 1) = 0.
Перепишем это уравнение так:
D (Х)(Т'/Х* + ТКХ + 1) + К{ТаК + 1) = 0,
где
D (К) = (TgX + 1) [T„V + (1 + kcTa) X};
А — KgKrfic.
тогда, подставляя в характеристическое уравнение X
Пусть
Рис XIII. 10. Граница Д-разби-
ения для системы с регулятором,
имеющим Тк=5 сек, Т'г = 0,45 сек>
К = 25
(U + jV)[{\
/со, получим
Т*&) + ТКМ + KTJu +1-0
или
v(\ - г;2а)2) + штк + ат> = о,
которые можно переписать так:
- £/ш2Г;2 — VaTK = — U— 1;
.=- Ксо2Г;2 + U® Тк = — КТи(о — V.
Определитель этой системы
— £/со2 — Ксо
— 1/ш2 Uio
Д =
= — £/2С03 ~ 1/2С03 :
■ 0)3 (£/2 _|_ J/2)
507

обращается в нуль только при со = 0 Но в силу рассматриваемых уравнений
особая прямая, соответствующая со — О, вся лежит в бесконечности и интереса
не представляет.
Значению со = со соответствует особая прямая 7"/ == 0, т. е. ось Тк.
Решая полученную систему, находим
r» = ~со[(^+1/2) + (^ + АГГйсоК)1.
г — со3 (<У2 + V*) '
Ти =
Обозначим
тогда
со2 (UKTu<i> — V)
— со* ((У2 + К2) •
£/2 + К2 = R\
1 , U+v>KTuV
со2/?2
Выше было обозначено
г'2 _ _!. i :
- со КТии + К
со#2
следовательно,
D (X) = (Г,*, + 1) [ГД2 + (1 + /гсГа) Н
D (усо) = усо (7усо + 1) [Г„усо + (1 + kju)\
tf = _ ©« [ГЛ + (1 + kju) Te\; V = (1 + *сГв) со - TgTu&.
Подставляя эти значения U и V в вычисленные выражения для Г'г2 и 7^,
найдем
Т'2 ^ J_ I
1 ~ет^со2 + [/СГм + Л:/есГ^Гй~^-^^^]
со2 [^frg (Га + Тр + *СГ„7У) - ГЦГ0] + (1 + kcTu) ^
R*
R2
Рис. ХШ.11.
Кривая Тк
к-fW Рис. XIII.12. Кривая
Кривая Тк= f (со) показана на Т\ = / (со) при
соблюдении соотношения К Ти(\-\-
+ ЪсТи) >TU+ Tg +
рис. ХШ.11
Если
КТи (1 + kcTa) >TU + Tg + kcTuTgi
то Т'г2 с изменением со меняется в соответствии с рис. XIII.12, а при обратном
знаке неравенства—с рис. XIII.13.
В соответствии с рис. XIII.11 и XIII.13 на рис. XIII.14 построено Д-раз-
биение для случая, когда
КТи (1 + КТи) < Ти (1 + kcTg) + Tg.
508

Возможная область устойчивости выделена вертикальной штриховкой.
В этом случае в первом квадранте (Тг~ ;> О, Тк > 0) заведомо нет точек,
принадлежащих области устойчивости.
Рис. XIII.13. Кривая
T/2r=f(co) при
соблюдении соотношения КТи{\+
+ ~KJu) < Ти + Tg +
+ KcTaTg
Если же
КТи (1 + КГи) >TU{\+ kcTg) + Tg,
то в соответствии с рис. XIII. 11 и
XIII. 12 Д-разбиение плоскости Т'г2, Тк
имеет вид, показанный на рис. XIII. 15.
При этом в первом квадранте
плоскости Т'г2, Тк есть точки,
принадлежащие области устойчивости.
Выбором достаточного трения в
чувствительном элементе можно
скомпенсировать вредное действие масс
чувствительного элемента. Надо лишь, чтобы
Тк было больше некоторого порога,
увеличивающегося монотонно с
ростом Г'2.
Рис. XIII.14. Граница Д-раз-
биения Т'гг = f (TK)
Рис. XIII. 15. Граница Д-разбиения
Г\ = f (Тк)
5. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ
В ряде случаев, применяя описанные выше построения границы
Д-разбиения, приходят к выводу, что пространство параметров
рассматриваемой системы вообще области устойчивости не
содержит и что сами построения были проделаны поэтому
напрасно.
В некоторых случаях можно по схеме установки или по виду
уравнений движения определить, содержит ли пространство
параметров системы область устойчивости, и сразу же отбраковать
системы, не содержащие областей устойчивости, избегая в таких
случаях напрасных построений.
Рассмотрим системы, характеристическое уравнение которых
сводится к виду (XIII. 4). В этом уравнении Dp (X) может быть
произведением любого числа множителей вида ТА, + 1, X, ТХ — 1,
509

Гк№ + 2lKTK% + 1; Т%Х2 + 1, а Мр (к) — произведение любого
числа множителей вида &, тА, + 1, т^Х,2 + 2 tdxdA, + 1.
Здесь Т, |к, ТК, k, т, rrf и \d — независимые друг от друга
положительные числа (параметры системы).
Введем теперь следующие обозначения: q — число нулевых,
а / — правых действительных корней у полинома Dp (K)\ f — число
корней полинома Dp (А,), расположенных на мнимой оси и справа
от нее; г — целая часть дроби 1/2/; пит — соответственно степени
полиномов Dp (К) и Мр (X), а V = п + т. Тогда условия
существования области устойчивости можно сформулировать следующим
образом.
Для того чтобы в пространстве параметров системы, имеющей
характеристическое уравнение (XIII. 4), существовала область
устойчивости, необходимо и достаточно обеспечить соблюдение
двух неравенств:
1) m^q + I — 1;
2) одно из неравенств (табл. XIII. 1), выбираемое в
зависимости от т и /.
Таблица XIIIЛ
Число корней
Dp(K)
f четно
/ нечетно
т = 0
^>4г
v>4r
т > 0 четно
V > 4Г — 1
v>4r
т нечетно
v > 4г — 2
v > 4г + 1
Для частного случая одноконтурной системы без воздействий
по производным Мр (К) = & = const, следовательно, m = 0, и
в этом случае условия теоремы сводятся к неравенствам: q + / ^
< 1 и я > 4 г.
Доказательство сформулированной выше теоремы и перечень
литературы по этому вопросу содержатся в работе [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. АйзерманМ. А. и ГантмахерФ. Р. Условия существования
областей устойчивости у одноконтурных систем автоматического регулирования,
содержащих воздействия по производным. «Прикладная математика и
механика», 1954, № 1.
510

2. В о р о б ь е в Ю. В., К а ц А. М., Ремизов В. М.,
Соколова. А., Фатеева И. А. Исследования в области регулирования
паровых турбин. Сборник статей под ред. М. 3. Хейфица. Госэнергоиздат. 1950.
3. К а б а к о в И. А. О процессе регулирования давления пара.
Инженерный сборник, т. 11, Вып. 2. Изд. АН СССР, 1946.
4. Н е й м а р к Ю. И. Об определении значений параметров, при которых
система автоматического регулирования устойчива. «Автоматика и
телемеханика», т. 13, № 3, 1948.
5. Н е й м а р к Ю. И. Устойчивость линеаризованных систем. ЛКВВИА,
1949.
6. С о к о л о в А. А. Критерий устойчивости линейных систем
регулирования с распределенными параметрами и его применение, Инженерный
сборник, т. 11. Вып. 2. Изд. АН СССР, 1946.
7. Fraser R. A., Duncan W. I. On the criteria for the slabilityof
small motions. Pros Royal Soc. v. 124 London. 1929 p. 642.

ГЛАВА XIV
ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Выше (в гл. XII) был изложен метод анализа устойчивости
одноконтурных и многоконтурных систем, основанный на
использовании логарифмических частотных характеристик, а также
рассмотрены конкретные числовые примеры применения указанного метода.
В качестве примеров взяты системы автоматического
регулирования и управления, описание которых было дано в главе III,
а дифференциальные уравнения и передаточные функции были
приведены в главе X.
1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ГИДРОТУРБИНЫ
Передаточная функция разомкнутой системы автоматического
регулирования скорости вращения гидротурбины, как системы
с постоянными параметрами, может быть записана в виде
w (:) s (TqS + 1) (7fs» + 2ЬГха + О (Г,з + 1) (Tas + 1) _ (XIV.1)
1 i k2k3k^ (T4s + 1)
lnhs(r5s+l)(r2s+l)(r3s+l)
Подставив в уравнение (XIV. 1) вместо s = /со, получим
\У[;и) /С° (Го/(° + ° [{ТиЪу2 + 2^iTqa + 1] (Г2/ш + 1) (7У<о + 1) (XIV 2)
"*" /ш(Г5/со4- 1) (Г2/© + 1)(Г3/(0 + 1)
Для удобства построения частотных характеристик
передаточную функцию разомкнутой системы представим в виде
*'М = 7Т$Жу (XIV-3)
512

где
ИЛ (/со) = — hhhh . . ,
b K] } /03 (Го/со + 1) [(ТУ©)» + 2^^703 + 1] (Г2/со + 1) (7V/© + 1)'
Если принять, что передаточные коэффициенты и постоянные
времени, входящие в формулу, имеют следующие числовые
значения [2]:
k0kx = 74,6; Тг = 0,5 сек = -^ ее/с;
/е2 = 1,0; Г2 = 0,25 сек = ^- сея;
&з = 3,75; Г3 = 0,05 сек = ^ се/с;
fe4 - 0,97; 74 = 20 сек = J^ се/с;
£х - 1,025; Г5 - 7 ее/с - ^ сек;
Т0 = 8 ее/с = ^-^ сея,
тогда передаточные функции Wa (/со) и U?ft (/со) можно записать
в виде
ИГ //„л __ 3,64(20/со+1) . у ,v 4x
КК а иш; — усо (ууш + 1) (0,25/со + 1) (0,05/со + 1)' л v .t;
;.(XIV.5)
56 ■
— /со (8/со + 1) [(0,5/со)2 + 2 • 1,025 . 0,5/со + 1](0,25/со + I) (0,05/со + 1) *
Для того чтобы исследовать устойчивость рассматриваемой
системы в замкнутом состоянии, определим, является ли она
устойчивой в разомкнутом состоянии. Последнее будет иметь место,
если функция 1 + Wa (s) не имеет нулей в правой полуплоскости
или, другими словами, если устойчив ее внутренний контур.
Проанализируем устойчивость внутреннего разомкнутого
контура системы по передаточной функции Wa (/со). Для этого построим
логарифмические амплитудную \Wa(j<o)\ и фазовую Qa (со)
частотные характеристики по формуле (XIV. 4). Как видно из последнего
выражения, передаточная функция состоит из пяти типовых звеньев:
интегрирующего, дифференцирующего первого рода и трех
апериодических.
На рис. XIV. 1 построена штрих-пунктирной линией
характеристика 20 \g\Wa (/со)! ПРИ передаточном коэффициенте Ка = 1,0.
Если Ка = 3,64 или 11,2 дб, то логарифмическую амплитудную
характеристику следует поднять вверх на эту величину. Соответ-
ствующая частотная характеристика построена на рис. XIV. 1
сплошной линией.
17 Техническая кибернетика, кн, I
513

Фазовая частотная характеристика разомкнутого внутреннего
контура определяется по формуле
К И = - f + arctg ^ - arctg ^ - arctg f - arctg J. (XIV.6)
Задаваясь числовыми значениями частот со от 0,01 до 100,
вычислим по формуле (XIV. 6) фазовые углы ва (со). Откладывая
полученные значения Qa (о) на полулогарифмической бумаге, получим
логарифмическую фазовую характеристику системы (построена на
рис. XIV. 1 сплошной линией). Как видно из этой фигуры, сдвиг
фазы при частоте среза контура
системы1 сог1 = 6,5 — состав-
с± ' сек
ляет —156°. Значение фазы
Qa = —156° при частоте среза
превышает фазу —180° на -[-240.
Это означает, что внутренний
контур системы в замкнутом
состоянии обладает запасом
устойчивости по фазе, равным у =
= 24°. Значение амплитуды
20 \g\Wa (ja)\ при 9.^-180°
соответствует запасу
устойчивости контура по модулю. Из рис.
XIV. 1 видно, что запас
устойчивости по модулю составляет
\Wa\ = —12,5 дб.
При увеличении
передаточного коэффициента внутреннего
контура &2&А Д° Ю (или 20 дб) возрастает частота среза контура
системы до сос2 = 10,4 — . Соответствующая этому передаточному
коэффициенту логарифмическая амплитудная характеристика
построена на рис. XIV. 1 штриховой линией. Из построения видно,
что запас устойчивости по фазе у = 0 и модулю \Wa\ = 0 дб. Это
указывает на то, что внутренний контур системы в замкнутом
состоянии при Ка = 20 дб находится на границе устойчивости.
Для обеспечения надежной работы системы автоматического
регулирования необходимо иметь некоторый положительный
избыток фазы и отрицательный по модулю. На практике обычно
принято брать для внутренних контуров следующие минимальные
допустимые запасы устойчивости по фазе и модулю у = 20° и Н =
= —8 дб. Как мы видим, для Ка — 11,2 дб и выбранных постоянных
времени требуемые условия устойчивости по у и | Wа | соблюдаются.
1 Под частотой среза понимается частота, соответствующая точке
пересечения \Wa (/со) | с осью частот со.
Рис. XIV.1. Логарифмические
амплитудные и фазовые частотные
характеристики разомкнутого внутреннего
контура системы автоматического
регулирования скоростью вращения
гидротурбины
514

На устойчивость внутреннего контура влияет не только
передаточный коэффициент, но и постоянные времени. Так, при
увеличении постоянной времени изодрома Т4 повышается частота среза
контура и возрастают запасы
устойчивости по фазе и модулю.
С уменьшением постоянных
времени серводвигателя Т2 и
Ts увеличивается частота среза
контура, соответственно с этим
уменьшаются запасы
устойчивости по фазе и модулю контура
системы.
Установив, что внутренний
контур системы устойчив,
перейдем к анализу устойчивости
всей системы автоматического
регулирования скорости
вращения гидротурбины. Для этого
следует построить
логарифмические амплитудные частотные характеристики разомкнутой
системы в соответствии с формулой (XIV.3). При этом можно
написать, что
Ш)
д5
50
25
О
-25
-50
1
в*
&лХ
11/ l
\\\\\\\Wn '
JJ111
Тпш
Ц|
0,1 1,0 Ю 100
в, град
200
100
/iJL-
^сек
-100
-200
Рис. XIV.2. Обратные
логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики разомкнутого
внутреннего контура системы
автоматического регулирования скорости
вращения гидротурбины
\W(M\ = \wb(ja)\ +
1
(XIV.7)
1 + Wa (у со) I
И
argW (/со) = arg Wb (/со) + arg [1 + ^g(/(D)-]. (XIV.8)
Из формул (XIV.7) и (XIV.8) видно, что для получения
результирующих частотных характеристик системы W (/о>) необходимо
построить отдельно логарифмические амплитудные и фазовые
частотные характеристики для передаточных функций Wb(j<o) и-
и затем произвести их алгебраическое сложение.
Для построения логарифмических амплитудной и фазовой
частотных характеристик
1 + wa (yco) 1 И arg L 1 + W (/<о) 1 В0СП0ЛЬЗУемся номограммой,
приведенной на рис. VIII.12, б. Эта номограмма была построена по
передаточной функции вида
+ Wa (yco)
W (yco)
(XIV.9)
поэтому выражение ~l,W(. , необходимо преобразовать к виду
(XIV.9).
17*
515

516
Рис. XIV.3. Иомограмма для построения логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик
замкнутых контуров систем автоматического регулирования и управления
■ для системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины; — — — — для системы продольной
стабилизации тяжелого самолета при высоте его полета И — 8 км и скорости V = 250 м/сек', — • для системы
продольной стабилизации тяжелого самолета при высоте его полета Н = 12 км и скорости V = 265 м/сек; ♦•—для системы
регулирования мощности ядерного энергетического реактора; для следящей системы копировально-фрезерного станка

Нетрудно показать, что
1 + У7в(/ш) ~. . 1 —- (XIV.10)
"*" Wa (/©)
Из последней формулы видно, что для получения
логарифмических частотных характеристик, соответствующих выражениям
(XIV.7) и (XIV.8), необходимо нанести на номограмму (рис. XIV.3)
зависимость логарифма амплитуды и фазы обратной передаточной
функции разомкнутого контура ^ ,.. .
Логарифмические частотные характеристики для обратной
передаточной функции ту, ,• s могут быть получены путем одновре-
менного изменения знаков ординат логарифмических амплитудной
и фазовой частотных характеристик функции Wa (/со). Иначе
говоря, обратные логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики представляют собой зеркальное отображение
относительно оси абсцисс обычных логарифмических частотных
характеристик. Обратные логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики, полученные изложенным способом,
приведены на рис. XIV.2.
Возьмем значения амплитуд и фаз функции ~w . из рис. XIV.2
и перенесем их в виде точек на номограмму рис. XIV.3.
Соединяя эти точки плавной линией, получим обратную
логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику внутреннего
разомкнутого контура. Соответствующая кривая показана
сплошной линией на рис. XIV.3. По точкам пересечения этой кривой
со сплошными линиями номограммы найдем значения амплитудной
характеристики замкнутого контура.
Перенеся эти значения на полулогарифмическую сетку,
получим логарифмическую амплитудную частотную характеристику
функции к , 1У/ /• ч (рис. XIV.4). По точкам пересечения ха-
рактеристики ^ (. , с пунктирными линиями рис. XIV.3 можно
найти значения фазовых углов для замкнутого контура. Эта
характеристика также построена на рис. XIV.4.
Из построенных на рис. XIV.4 логарифмических амплитудной
и фазовой частотных характеристик функции . w ,. , можно
увидеть, что при больших значениях амплитуды [свыше —
(16—18) дб\ эти характеристики совпадают с обратными
амплитудными и фазовыми частотными характеристиками разомкнутого
контура. При малых значениях амплитуды [порядка 0—(—8) дб] эти
517

характеристики значительно отличаются друг от друга.
Положительные значения амплитуды стремятся к нулю децибел.
После построения частотных характеристик по передаточной
функции 1 w . перейдем к построению частотных характе-
ристик Wb (/со)..
№
дб'
50
25
О
-25
-50
-75
1ГШ
1
Itffl
' rift
111
1
III
HI
1II
В,град
200
100
L(u)
дб
50
-50
0,01 0,1
W
10
100
-100
-200
-300
-100
-150
ill Г
Is
Iff
III
1Ш 1
ifis!
Www
ill
Hi
щ\
1их
TVfrr
1
llll
jtm
Ш1
Шш
6,град
200
-200
-400
-600
0,01 0,1
1,0
10
100
Рис, XIV.4. Логарифмические
амплитудная и фазовая частотные
характеристики, построенные по передаточной
функции гидротурбины
Рис. XIV.5. Логарифмические
амплитудная и фазовая частотные
характеристики, соответствующие функции
Wb (/со) гидротурбины
Рассмотрим передаточную функцию колебательного звена
^(S)-0,25s2+llo25S + l- <Х1УЛ1>
Приравняв нулю знаменатель передаточной функции
0,25А,2 + 1.025А.+ 1 -О,
найдем корни Кг я^— 2,5 и Я2 я^—- 1,6. Тогда передаточную
функцию (XIV. 11) можно записать в следующем виде:
WA*)-
ю
(XIV.12)
(0,625s + 1) (0,4s + 1) *
Имея в виду выражение (XIV. 12), передаточную функцию (XIV.5)
перепишем в виде
wb(M
56
;со (8/со + 1) (0,625/со + 1) (0,4/а> + 1) X '
X (0,2э/а> + 1) (0,05/со + 1)
(XIV.13)
Как видно из выражения (XIV. 13), в передаточную функцию
Wb (/о) входят: интегрирующее звено и пять ампериодических
518

звеньев. Построим логарифмическую амплитудную частотную
характеристику Wh (/со) при Кь = 35 дб. Это построение выполнено
на рис. XIV.5. Фазовая частотная характеристика вычисляется по
формуле
»* И = - f - arctg oSs- arctg^-arctgg - arctg -J- arctg|.
(XIV. 14)
Логарифмическая фазовая частотная характеристика Qb (со)
показана на рис. XIV. 5 сплошной линией.
Для получения результирующих амплитудных и фазовых
частотных характеристик произведем алгебраическое суммирование
соответствующих частотных характеристик рис. XIV.4 и XIV.5,
Эти характеристики построены
на рис. XIV.6. Как видно из
рис. XIV.6, при частоте среза
1
сос = 0,73 — запас устойчивости
системы по фазе составляет
ус = 45°, а по модулю Нм =
= —10 дб. Полученные запасы
устойчивости по фазе и модулю
несколько превышают
минимально допустимые нормы, что
показывает на достаточную
степень устойчивости системы
регулирования гидротурбины в
замкнутом состоянии.
Возможные изменения
производственных допусков элементов системы
регулирования при полученных
запасах устойчивости мало
сказываются на ее устойчивости и показателях качества. Последнее
показывает, что система автоматического регулирования скорости
вращения гидротурбины обеспечивает высокую надежность ее
работы при различных допусках на параметры элементов.
При создании аналогичных систем управления,
проектировщика интересует влияние существенных отклонений параметров,
вызываемых конструктивными изменениями ее элементов, на
устойчивость системы автоматического регулирования. Значительнее
увеличение передаточного коэффициента къ например в 2 раза,
приводит к уменьшению запаса устойчивости системы по фазе до ус =
= 30° и модулю до Нм р^— 4 дб. Для того чтобы не изменились
запасы устойчивости системы при значительном повышении
коэффициента &!, необходимо увеличить коэффициент обратной связи Ка.
Уменьшение постоянных времен основного и вспомогательного
гидравлических серводвигателей позволяет увеличить частоту среза
системы без ухудшения условий ее устойчивости по фазе и модулю.
0,01 0,1 1,0 10 100
Рис. XIV.6. Логарифмические
амплитудная и фазовая частотные
характеристики разомкнутой системы
автоматического регулирования скорости
вращения гидротурбины
519

2. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА КОПИРОВАЛЬНО-ФРЕЗЕРНОГО СТАНКА
Передаточную функцию разомкнутой следящей системы копиро-
вально-фрезерного станка можно представить в следующем виде:
w /,ч _ Wb(s)[\ + Wc(s)\
W - 1 + Wa (S)
(XIV. 15)
где
Wb(s)
kAkSk4klk"kdkb
s (Tds •
1 + Wc (s) =
\)(Tfs+\)(TKs+\)
Tm(\ + k3)s+\ .
Wa(s)
Tms+\
k3kiklkllkJ^(Td0s + 1) Tes
(Tds + 1) (7)s + 1) (TKs + \)(Tcs + l)(r,s + I)"
Предположим, что параметры систем, входящие в передаточные
функции Wa (s), Wc (s) и Wb (s), имеют следующие числовые
значения:
kxk% = 770 в/см;
Л3= 1,0;
£4= 12,5;
'У
0,11 сек;
0,008 се/с;
I II >
&а = 9,6 об/мин;
К = 4-10~4
сек-об
Тк = 0,038 шс;
Г =Ы0'4 шс;
m
Тс = 0,166 шс;
7\ = 0,017 шс;
Гд0 = 0,016 сел.
Для исследования устойчивости следящей системы копировально-
фрезерного станка построим ее частотные характеристики в разомк-
вград НУТ0М состоянии. В качестве
первых частотных
характеристик построим амплитудную
Wa (/со) и фазовую 0а (со) (при
Ка = 13,6 66). Эти
характеристики построены на рис. XIV.7
сплошными линиями. Из рис.
XIV.7 видно, что при принятом
передаточном коэффициенте Ка
внутренний контур в замкнутом
состоянии является устойчивым.
Внутренний контур системы (в
отличие от первого примера)
имеет две частоты среза сося =
= 0,21 сек (низкая частота среза) и сосв = 50 — (высокая
частота среза). Низкая и высокая частоты среза приводят к двум
запасам устойчивости по фазе и по модулю:
7с„=Ю0°; Yce =20°;
-100
1000
0,1 1,0
Рис. XIV.7. Логарифмические
амплитудная и фазовая частотные
характеристики разомкнутого контура
следящей системы с программным
управлением фрезерным станком
Нмн= ~-°°;
Нма = — Ю дб.
520

Полученные запасы устойчивости по модулю и фазе
обеспечивают устойчивость внутреннего контура в замкнутом состоянии.
При увеличении передаточного коэффициента Ка до 22 дб
внутренний контур теряет устойчивость.
Теперь перейдем к анализу устойчивости всей системы. Для
этого необходимо построить ее логарифмические характеристики,
определяемые согласно передаточной функции (XIV. 15):
Lm\W(}v)\ = Lm\Wb(l®)\ + Lm\\+W^
(X*IV.16)
arg[W(/co)] =arg[U7, (/©)] + arg[l +WC (/со)] + arg [__^_].
(XIV. 17)
Логарифмические характеристики, определяемые последними
членами в правой части выражений (XIV. 16) и (XIV. 17), найдем при
помощи номограммы (рис. XIV.3).
50
-50
17 II
\\**№
wj§
\[
IL
в, г рад
300
\100
исен
05
25
О
-25
г
7
~ТТШ
/+иШ
I 1
тт
I
\\1+Ва\
U
1
11
I
1
-200
0,1
V
10
100
О, град
100
-200
0,1 1,0 Ю 100 1000
Рис. XIV.8. Обратные
логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики
разомкнутого контура следящей системы с
программным управлением
фрезерным станком
Рис. XIV.9. Логарифмические
амплитудная и фазовая частотные
характеристики, построенные по передаточной
функции -,—■—=■.—-тт-^- (для системы
* 1 + Wa (/со)
программного управления фрезерным
станком)
Для этого, так же как и в предыдущем примере, преобразуем вы-
1
1
ражение [1 + Wa (/со)] х к виду
1 + Wa (/©)
Wa (/CO)
1
' Waija)
Обратные логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики для функции
построены на рис. XIV.8.
Wa (усо)
Перенесем эти характеристики на номограмму, тогда получим
амплитудно-фазовую характеристику функции (построена
wa и00;
на рис. XIV.3 штриховой линией). Сняв соответствующие значения
амплитуд и фаз, получим логарифмические частотные
характеристики для передаточной функции < ._ m /• \ > которые построены на
рис XIV.9. П а УС°
521

Логарифмические частотные характеристики для функции 1 +
+ Wc (/со) построены на рис. XIV. 10, а соответственно амплитуда
сплошной и фаза штриховой
линиями. Логарифмические частот
ные характеристики для функ
ции Wb(j(x>) построены на рис
XIV. 10,6.
L(u)
. 05
50
Ш),дб
10
40
в, град
1+ес
\1+Щ
-50
г
-100
\Щ^Ш№'ь
р
в.ерад
300
100
сек
-200
-400
4 6 в 10
20
40 60
0,1 1,0 10 100 1000
5)
Рис. XIV. 10. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики, соответствующие функциям:
а — для Wc(jd)); б — для Wb (/со)
Логарифмические амплитудная | W (/со) | и фазовая 6 (со)
частотные характеристики всей разомкнутой системы (рис. XIV.11) строим
по формулам (XIV. 16) и
Ш\
05
50
-50
-100
111
II
щ
вШ
^5
I
N
II! 1 1
И
шт^
в, град
400
200
-200
-400
0,1 1,0 10 100 1000
Рис. XIVЛ Г. Логарифмические амплитудная
и фазовая частотные характеристики
разомкнутой следящей системы с
программным управлением фрезерным станком
(XIV. 17) с помощью
графиков рис. XIV.9 и XIV.10.
Из рис. XIV. И видно, что
следящие системы копиро-
вально-фрезерных станков
обладают большими
запасами устойчивости по фазе
ус = 60° и по модулю
Нм =— 10 56. Пологий
участок фазовой
характеристики в районе частоты
среза сос показывает на
высокую стабильность
системы, так как изменение
параметров системы даже
в относительно больших
пределах не изменит полученного запаса устойчивости системы по
фазе и модулю.
3. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ САМОЛЕТА (АВТОПИЛОТ)
Самолет с автопилотом представляет собой систему с
переменными параметрами. Будем ее исследовать как систему с постоянными
(«замороженными») значениями параметров *.
1 О допустимости такого метода см. подробнее книгу 3.
522

В главе X была получена передаточная функция разомкнутой
системы продольной стабилизации тяжелого самолета с автопилотом
типа АП-5-2М [см. формулу (X. 183)1. Приведем эту функцию
к виду, удобному для построения частотных характеристик, введя
следующие обозначения:
Wa (s) — передаточная функция разомкнутого внутреннего
контура;
передаточная функция элементов системы,
находящихся в прямой цепи.
Тогда
где
w (s) - Wb(s)
W^~l + Wa(s)'
W7 ЛЛ kb(TcS+\) .
w b w _ s (Г»8« + 2|0r0s + 1) (r»s« + 2%pTps + 1) '
(XIV. 18)
TV/ /„\ kg (-* cs ~r 1)
w a(b) ~ s (Г.8 + 1) (Г*8« + 2|0Г05 + 1) (rps* + 2%pTps + 1)
И
К = k4 k„; К = k k..
Допустим, что числовые значения параметров, входящие в neper
даточную функцию (XIV. 15), будут следующими [1]: k®kp = 0,175;
Т2 = 10 шс = g-j- ше; Тр = 0,28 с£/с = тщ шс; £р = 1,07.
Остальные параметры системы изменяются в зависимости от условий
полета и для тяжелого самолета сведены в табл. XIV. 1 *.
Таблица XIV.1
Параметры системы
То
То
Значения параметров передаточной функции
Я — 8 км; v = 250 м/сек
0,57
0,33
0,143
0,01
Н' = 12 км; v = 265 м/сек\
1,1
0,42
0,134
0,01
При степени колебательности рулевого привода %р = 1,07
колебательное звено 0 282S2 i 2 . 1 07 . 0 28s + 1 состоит из ДВУХ апеРиОДИ-
* Значения параметров передаточной функции тяжелого самолета взяты
из книги Боднера В. А., Козлова М. С. Стабилизация летательных
аппаратов и автопилоты, Оборонгиз, 1961.
523

*. Подставляя параметры самолета и авто-
ческих (0?4s+ 1) (o,2s + l)
пилота в передаточные функции Wa (/со) и Wb (/со), получим:
для высоты полета Нс = 8 км
w ,, v e 0»33/со + 1
wa\ ww> /0) (1o/(o -f 1) (0,4/со + 1) (0,2/со -f 1) [(0,143/(о)2 + 2 • 0,01 • 0,143/(0 + 1]
и (XIV.19)
Wb\ </©> =
0,33/(0 + 1
/« (0,4/(0 -f 1) (0,2/(0 -f 1) [(0,143/со)2 + 2 ♦ 0,01 • 0,143/со + 1]
для высоты полета Нс = 12 /еж
0,42/(0 + 1
(XIV.20)
WaU (/со) =
WbU (/со)
/(0 (10/со + 1) (0,4/(0 + 1) (0,2/со -Ь 1) [(0,134/(о)2 + 2 • 0,01 • 0,134/со + 1] '
(XIV.21)
0,42/(0 + 1
/со (0,4/со + 1) (0,2/(0 -f 1) [(0,134/со)2 -f 2- 0,01 -0,134/со + 1]
. (XIV.22)
Проанализируем устойчивость внутреннего разомкнутого
контура системы продольной стабилизации самолета по передаточной
№f=z,
-50
-100
Г^^
d4J
к/
ТТ
JJJ Ыкё
Ш
I
\*
i
^
sN
Oai
-
Ч
Tf
Jr
HI ^
I Щ,
ill
|w
p?
i
!
\
III
ST*
f
1
од 1
! i
4.1
-4 1
1 1
1
1 1
1
UP?
p5
i
la"
J_
сек
9,град
-90
-270
001
0,1
1,0
10
=Ы=Ы-450
100
Рис. XIV. 12. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики разомкнутого контура автопилота
функции Wai (/со). Нанесем на ось частот точки, соответствующие
обратным значениям постоянных времени, и построим сплошной
линией (рис. XIV. 12) для высоты полета самолета Нс = 8 км и
его скорости vc = 250 м/сек логарифмическую амплитудную
частотную характеристику \Wai (/co)|. В области частоты со =■- 7 1/сек
колебательное звено (самолет) в амплитудной характеристике обра-
524

зуется пик, равный 34 дб. Фазовая частотная характеристика
разомкнутого внутреннего контура может быть вычислена по формуле
ба1н
Jt i СО
__arctg_.
'3,3
— arctg ~ ■
arctg
arctg ^ + arctg ~ —
2.0,01 .Q,143co
1 — (0,143(0)2 •
Подставляя значения со от 0,01 до 50, получим логарифмическую
фазовую частотную характеристику (построена на рис. XIV. 12
штриховой линией). Из рис. XIV. 12 видно, что частота среза
внутреннего контура сон = 0,1 \/сек. Запасы устойчивости внутреннего
контура системы по фазе ум = 43°, а по модулю Нм\ = —39 дб.
Полученные запасы y*i и Нм\ обеспечивают устойчивость
внутреннего замкнутого контура системы продольной стабилизации
самолета при большом диапазоне изменения параметров элементов
системы. На рис. XIV. 12 нанесены также логарифмические
амплитудная \Wa\\\ и фазовая 6ац частотные характеристики разомкнутого
контура, построенные для высоты полета самолета Нс = 12 км и
скорости vc = 265 м/сек *. В этом случае частота среза системы
увеличивается до oo*n = 0,12—, а запасы устойчивости
незначительно уменьшаются и составят ykU = 37° и Ни =— 37 дб. Для
принятых параметров контура его запасы устойчивости по фазе и
модулю превышают минимально допустимые нормы. Поэтому
постоянные времени рулевого привода, гировертикали и передаточные
коэффициенты могут изменяться в значительных пределах без
нарушения устойчивости.
Пользуясь формулами (XIV. 19) и (XIV.21), вычислим и
построим логарифмические частотные характеристики вида
arg
1
1 + Wa\ (Л»)
1
1 + Wai (;co)
?
1 +
1 а1&
1
Wall(j<»)
Г 1
Ll + ^all
У
(Л»)]
Для этого на рис. XIV. 13 построим обратные логарифмические
частотные характеристики разомкнутых внутренних контуров. Пе-
Фазовую характеристику строим, используя следующие формулы:
я
Т
" arctg 6Л + g 2A ~~
f со 4 со + 2-0,01-0,134сд
■ arctg ^ - arctg - - arctg -^ _ (0)134ш)2 .
525

ренесем их значения для частот от 0,01 до 0,4 — на номограмму
(рис. XIV.3). Соединим нанесенные точки штриховой и штрих-пунк-
L
too
50
-25
—т"Т"1
п
al
-^,"
/^'
/>
Л\\
Дли
\\\kf\
Iter
fflf'i
£~
■л
\щ и ал
Ж
1
If
6,град
360
180
ы>сёк
0,01
0,1
(0
10
40
Рис. XIV. 13. Обратные логарифмические амплитудные и фазовые
частотные характеристики разомкнутого контура автопилота
тирной линиями, тогда получим обратные амплитудно-фазовые
частотные характеристики. Точки пересечения этих линий со
сплошными и пунктирными
линиями номограммы
определяют частотные
характеристики функций
1
(см.
и
1
l + W/aII(yco)
рис. XIV.14).
Рис. XIV. 14. Логарифмические амплитудные
и фазовые частотные характеристики,
построенные по передаточным функциям
1 + Wal№) И 1 + WaI1(j<o)
формулам
Построим
логарифмические амплитудные
частотные характеристики
прямых цепей системы
продольной стабилизации
самолета для двух высот
полета Нс (см. рис. XIV. 15).
Фазовые частотные
характеристики вычисляются по
~2
■ arctg ^ + arctg у — arctg -^ — arctg
2.0,01.0,1430
1 —(0,143со)2
6Mi H = - f + arctg ~ — arctg
со , л 4 2.0,01.0,134©
-_ arctg-g— arctg '1_флт%.
526

Частотные характеристики 0м (со) и 0mi (со) показаны на
рис. XIV. 15 соответственно штриховыми линиями. Сложив
частотные характеристики , —р-т с частотными характеристиками
Цддг
сек
$,град
Рис. XIV. 15. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики элементов системы продольной стабилизации тяжелого самолета,
входящих в прямую цепь системы
Wbl (/со), получим результирующие характеристики разомкнутой
системы продольной стабилизации Wl(j(o) (рис. XIV. 16).Отметим, что
частота среза системы при высоте полета самолета Нс = 8 км будет
U5r
0,01 0,1 1,0 10 30
Рис. XIV. 16. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики разомкнутой системы продольной стабилизации
тяжелого самолета с автопилотом типа АП-5-2М
®с\ — 1»0 —. Запас устойчивости системы по фазе ус\ составляет
60°, а запас устойчивости по модулю Нм\ =— 12 дб.
Результирующая логарифмическая амплитудная характеристика \WU (/со)|для
зысоты полета самолета Нс = 12 км показана на рис. XIV. 16 штрих-
527

пунктирной линией, а штриховой — фазовая частотная
характеристика 0ц (со). С увеличением высоты полета Нс до 12 км частота
среза системы возрастает до 1,4 —, а запасы устойчивости
составляют: по фазе Yen = 55° и модулю Нм\ — —9 дб. Полученные
запасы устойчивости по фазам и модулям гарантируют надежную
работу системы .продольной стабилизации тяжелого самолета с
принятыми параметрами автопилота типа АП-5-2М.
Автопилот с жесткой обратной связью по углу тангажа, каким
является АП-5-2М, делает систему продольной стабилизации
самолета статической. Коэффициент усиления статической системы
обозначим через КсТ (см. рис. XIV. 16), тогда установившаяся ошибка
системы продольной стабилизации по отношению к управляющему
сигналу ftC3 (заданный угол тангажа) может быть найдена по
формуле
о ~ ! А
При необходимости повышения точности системы продольной
стабилизации самолета, т. е. увеличения /Ссг, принятый закон
регулирования бс = k® (ftc — ftC3) в автопилоте АП-5-2М не
обеспечивает устойчивости системы. Запас устойчивости по модулю
становится равным нулю. Это объясняется тем, что при увеличении
скорости и высоты полета самолета степень демпфирования самолета
|0 падает и максимум подъема амплитудной характеристики в об-
1
ласти частоты со0 = ^~ сильно увеличивается, уменьшая запасы
устойчивости системы по модулю и фазе.
Статические автопилоты целесообразно разрабатывать с
использованием следующего закона регулирования:
*c = *J («с-<>«) + *&. (XIV.23)
где ftс — скорость изменения угла тангажа;
k® — коэффициент пропорциональности по скорости изменения
угла тангажа.
К автопилотам, имеющим закон регулирования (XIV.23),
относится автопилот АП-28 [1]. С целью повышения частоты среза
внутреннего контура системы продольной стабилизации можно
рекомендовать вводить в электронный усилитель четырехполюсник
дифференцирующего типа, имеющий передаточную функцию
где
Тг>Т2 и ^<1,
и изменить закон регулирования на следующий:
а* = К (*с - *с,) + Kb с + k*he. (Xiv.24)
528

Автопилот с измененной структурой и законом регулирования
(XIV.24) обладает высокими быстродействием и динамической
точностью1. Построение логарифмических частотных характеристик
систем продольной стабилизации самолетов с законами
регулирования автопилотов (XIV.23) и (XIV.24) и анализ их устойчивости
производится тем же способом, что и для самолета с автопилотом
типа АП-5-2М.
4. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МОЩНОСТИ ЯДЕРНОГО
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РЕАКТОРА
Передаточную функцию разомкнутой системы регулирования
мощности ядерного энергетического реактора на тепловых
нейтронах [см. формулу (Х.95)] представим в виде
где
7*- kyk3kdkpkc (7\/со + 1) (Г2у(о + 1) (7Усо + 1)
Wb (;а)) = (/(0)2 (Г;уо) + 1) (7^0) + 1) (Гзуш + 1) (Г> + 1) Х
(7У(о+ 1)(Г5уо + 1)(7уо>+1)
X
(T'Jio + 1) (Ге/со + 1) [(7Усо)2 + 2£37Усо + 1] [(Г/со)* + 2g7yco + 1]
w a Vю' ~ (Гсуо) + 1) [(7усо)2 + 2l3T3j«> + 1] [(Гусе)* + ЦТМ + 1] *
В передаточной функции системы регулирования ядерного
энергетического реактора примем следующие числовые значения
параметров:
^а === ^у^з^д1Тг^Тг^ с ~ ^i ^b ~ ~/#" ^у^з^д^р^с == * »"»
Гс = 0,8 сек = y^c c^; 71 = ОЛ се/с;
£ = 2,01; Г3 = 0,0112 сек\ ge = 4,5.
Параметры запаздывающих нейтронов, испускаемых при делении
U235, приведены в табл. XIV.2 [3]. При принятых числовых
значениях постоянных времени Th T\ имеем р' = 0,0095.
У обеих передаточных функций колебательных звеньев I ^> 1,0.
Поэтому передаточные функции соленоида и силового
гидравлического цилиндра (см. гл. X, § 3) можно представить в виде двух
апериодических звеньев:
1 Более подробно анализ динамических и точностных характеристик
автопилота с законом регулирования (XIV.24) изложен в книге Б о д н е р В. А.,
Козлов М. С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. Оборон-
гиз, 1951.
529

Таблица XJV2
Для реактора со среднеэффективным временем жизни нейтронов tf235,
равным /* = 10~4 сек
Номер
группы
запаздывающих
нейтронов
i
1
2
3
4
5
6
h
0,00025
0,00084
0,00240
0,00210
0,00170
0,00026
X.,
i'
l
сек
14,0
1,61
0,456
0,151
0,0315
0,0124
Т., сек
0,071
0,620
2,190
6,620
31,750
80,640
Т1, сек
0,013
0,075
0,700
2,975
12,420
68,027
для соленоида
W(s)
0,125
(0,1s + 1) (0,00125s + 1)
для силового цилиндра
W($) =
0,24
(0,4s + 1) (0,0025s + l)
Пользуясь приведенными выражениями, перепишем
передаточные функции Wb (jay) и Wa (/со) в виде
wb(h)
X
(80,64/0) + 1) (31,75/0) -f 1) (6,62/(0 + 1) (2,19;о) + 1)
(/(0)2 (68,03/(0 + 1) (12,42/(0 + 1) (2,975/со + 1) (0,7/© + 1)
(0,62/со + 1) (0,071/(0 + 1)-
X
X
(0,075/(0 + 1) (0,013/(0 + 1) (0,4/(0 + 1) (0,0025/(0 + 1) (0,1/(0 + 1)
X /ftAA10L , ,ч; (XIV.26)
(XIV.27)
ИГ«(/<о) =
,(0,00125/(0 + 1) >
(0,8/(0 + 1) (0,4/(о + 1) (0,1/(0 + 1) х
X (0,0025/(0 + 1) (0,00125/(0 + 1)
Анализ устойчивости системы регулирования начнем с
рассмотрения ее внутреннего контура. Логарифмические амплитудная и
фазовая частотные характеристики разомкнутого внутреннего
контура построены на рис. XIV. 17, из которого видно, что при
передаточном коэффициенте Ка = 25 (или 28 дб) внутренний контур в
замкнутом состоянии устойчив, так как избыток фазы укв при высокой
частоте среза (окв = 30 l/сек составляет 30°. Запас устойчивости по
модулю Нкв = —15 дб. Внутренний контур имеет в области
низких частот вторую частоту среза <йкн = 0,04. Запас устойчивости по
фазе при низкой частоте среза составляет укн = 97°, а по модулю
Нк1 =—оо. Полученные запасы устойчивости по фазам и модулям
обеспечивают надежную устойчивость контура в замкнутом
состоянии.
530

Рассмотрим, каким образом влияют изменения параметров на
устойчивость контура. При увеличении коэффициента Ка До 44 дб
внутренний контур в замкнутом виде теряет устойчивость. Высокая
частота среза увеличивается до сов = 70 —, а избыток фазы при
ней становится равным нулю градусов. Соответствующая этому
случаю логарифмическая амплитудная характеристика построена
штриховой линией на рис. XIV. 17.
Уменьшение постоянной времени корректирующего устройства
Тс, с одной стороны, приводит к возрастанию сопрягающей частоты
амплитудной характеристики и увеличению частоты среза, а с
другой — к уменьшению передаточного коэффициента /Са, что, в свою
Рис. XIV. 17. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики разомкнутого контура системы автоматического регулирования
мощностью ядерного энергетического реактора
очередь, приводит к уменьшению частоты среза. Однако влияние
увеличения сопрягающей частоты на частоту среза будет большим,
а следовательно, при уменьшении Тс запас устойчивости по фазе
внутреннего контура будет падать. При увеличении Тс происходит
повышение устойчивости внутреннего контура системы.
На рис. XIV. 18 построены обратные логарифмические
амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутого внутреннего
контура. Для получения характеристик по передаточной функции
1 л- w (Ъ) нанесем обратную амплитудно-фазовую частотную
характеристику внутреннего контура на номограмму (рис. XIV.3).
Эта характеристика построена на рис. XIV.3 условным штрих-
пунктиром, из которого видно, что амплитудно-фазовая частотная
характеристика внутреннего контура имеет две ветви: левую для
низких частот и правую для высоких. Перенеся значения амплитуд
и фаз с номограммы рис. XIV.3 на полулогарифмическую бумагу
(рис. XIV. 19), получим частотные характеристики замкнутого
531

контура по обратной передаточной функции, т. е. частотные ха-
рактеристики |1 + w!g(/a))| и *к[1 + ^иа)\.
Фазовая характеристика замкнутого контура имеет
положительные значения в области частот от 1,6 до 100 —. Максимальная вели-
дб
100
75
50
15
0
-25
-50
1 1 1
/
ш
ш
ТиГР"™"
UtiiiiiM1-
H| llllli^
—1 Г1
1 1 LHTII
L-rflL
\Вуград.
\збО
\270
то
\зо
Ги>Ж
[so
0,01
0,1
1,0
10
100
1000
Рис. XIV. 18. Обратные логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики разомкнутого контура системы
автоматического регулирования мощностью ядерного энергетического
реактора
чина подъема фазы составляет около 120°. Положительные фазовые
углы arg , полученные за счет замыкания контура,
1 """
мг
1
mJl
1
HI
\arg
~]
F
**
ПТГ
1 l
Wol\\
Л 11
JIL—
N
Kl
9,град
90
и>ТёТ
■90
30
25
0
-25
-50 n
0,1 0J 1,0 10 100
Рис. XIV. 19. Логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики, соответствующие функции
ядерного энергетического реактора
1
1 + Wa (/со)
позволяют обеспечить устойчивость всей системы регулирования,
компенсируя падение фазовой характеристики arg {Wb(ja>)] в
области частоты среза системы. Следует отметить, что подъем фазовой
характеристики замкнутого контура образуется от влияния
апериодических и колебательных звеньев передаточной функции Wa (yco),
т. е. звеньев фазозапаздывающеготцпа. Величину параметров можно
найти суммированием логарифмических амплитудных и фазовых
532

частотных характеристик, соответствующих передаточным функциям
т+vhu*)(рис* XIV,19) и Wb (/0)) (рис- XIV-20)-
-100
0,01 0,1 1,0 Ю 100 1000
Рис. XIV.20. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики элементов системы регулирования мощностью
ядерного энергетического реактора, входящих в прямую цепь
системы
1,д6
100
50
0
-50
100
—гтт
' ' I
JJUJ—
.«LI!
Шм
Иг
АПП ,,
■1 -
ч
1
И
IT
Ж—-
"4J6
""ps
Ik
IN-
IN II N
l
\\
г
44-Ml \
ИШ ^
alilii
\CJ
>сек
\д,град
1-180
ft-360
0,001 0,01 0,1 1,0 10 100 1000
Рис. XIV.21. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики разомкнутой системы автоматического регулирования мощностью
ядерного энергетического реактора на тепловых нейтронах
Результирующие частотные характеристики разомкнутой
системы автоматического регулирования мощности ядерного
энергетического реактора построены на рис. XIV.21. Система имеет ча-
1
стоту среза сос = 5 — и ее запас устойчивости по фазе у.
47°.

Данная система относится к системам астатического типа
второго порядка, так как ее логарифмическая амплитудная частотная
характеристика при низких частотах имеет наклон — 40 дб/дек.
Фазовая характеристика пересекает линию — 180° три раза на
частотах 0,1; 0,24 и 20 —. Это указывает на то, что система является
условно-устойчивой, т. е. такой, у которой потеря устойчивости
может наступить не только при увеличении коэффициента усиления,
но и при его уменьшении.
Определим запасы устойчивости системы по модулю Нмц =
==+ 36 дб и Нм\ =— 19 дб. Большие запасы устойчивости системы
по модулю обеспечивают высокую надежность ее работы в замкнутом
состоянии.
Пологий участок фазовой характеристики в районе частоты среза
указывает на повышенную стабильность системы, так как при
изменении коэффициента усиления Къ запасы устойчивости системы
по фазе ус и по модулю Нмц сохраняются постоянными.
ЛИТЕРАТУРА
1. БоднерВ. А., Козлов М. С. Стабилизация летательных
аппаратов и автопилоты. Оборонгиз, 1961.
2. Солодовников В. В., ТопчеевЮ. И., КрутиковаГ. В.
Частотный метод построения переходных процессов. Гостехтеоретиздат, 1955.
3. Т о п ч е е в 10. И. Методы анализа качества регулирования ядерных
реакторов при ступенчатом и линейном законах изменения реактивности.
Сб. МИФИ, «Автоматика и телемеханика». Атомиздат, 1960.
4. Ш у л ь ц М. А. Регулирование энергетических ядерных реакторов.
Изд-во ИЛ, 1957,

РАЗДЕЛ III
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
И КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

Методы, излагаемые в настоящем разделе, предназначены для анализа
переходных процессов и качества линейных непрерывных систем
автоматического регулирования, находящихся под влиянием типовых
детерминированных воздействий.
Проблема анализа переходных процессов, с
математической точки зрения, сводится к отысканию общего решения
неоднородного дифференциального уравнения, описывающего систему при
заданных начальных условиях и воздействиях, а также к анализу влияния
изменения параметров системы на вид этого решения. Эта проблема для
случая непрерывных линейных стационарных систем не представляет собой
каких-либо принципиальных трудностей, но для систем, описываемых
уравнениями выше третьего, четвертого порядка, эта проблема практически
оказывается не такой уж простой.
Первая трудность заключается в громоздкости числовых расчетов,
требующих: вычисления корней, определения постоянных интегрирования и
построения кривой переходного процесса.
Вторая трудность состоит в невозможности получения явных
зависимостей между конструктивными параметрами, с одной стороны, и видом
решения, с другой, что заставляет заново производить все расчеты и
построения при каждом изменении хотя бы одного из параметров системы.
Поэтому в теории регулирования применяют приближенные методы
анализа переходных процессов, позволяющие уменьшить указанные выше
трудности, при учете структурных особенностей систем автоматического
регулирования и замены анализа переходных процессов анализом качества.
Проблема анализа качества, тесно связанная с анализом
переходных процессов заключается в оценке характеристик
переходного процесса, называемых показателями качества (например, времени
переходного процесса, максимального и статического отклонения), а также
в установлении верхних границ для этих показателей без необходимости
непосредственного решения дифференциальных уравнений системы.
Таким образом, если анализ переходных процессов требует
построения картины переходного процесса и анализа изменений в ней в
зависимости от изменений параметров системы, то анализ качества требует лишь
решения вопроса о том, находится ли переходный процесс внутри области
допустимых значений или хотя бы частично выходит из нее.
Основными методами анализа качества и переходных процессов в
линейных системах автоматического регулирования являются следующие:
частотный;
корневых годографоз;
логарифмических корневых годографов;
интегральных оценок.
Частотный метод (гл. XV и XVI) основан на рассмотрении преобразования
Лапласа X(s) для регулируемой величины при чисто мниалых значениях
аргумента s = jco и на связи, существующей между частотными
характеристиками замкнутой и разомкнутой систем.
Метод корневых годографов (гл, XVII) основан на связи между
расположением нулей и полюсов передаточных функций системы в замкнутом
и разомкнутом состоянии и на изучении их перемещения при изменении
параметров систедлы.
Метод комплексных частот (гл. XVIII) занимает промежуточное место
между двумя предыдущими и основан на анализе свойств замкнутой
системы по логарифмическим комплексным частотным характеристикам
разомкнутой системы, т. е. характеристикам, построенным для комплексных
значений аргумента s = a + jw в выражении для передаточной функции W(s).
Метод интегральных оценок (гл. XIX) основан на характеристике
качества регулирования при помощи интегралов по времени от некоторой функции
регулируемой величины или ошибки. При зтом для вычисления косвенных
интегральных оценок обычно не требуется знания корней
характеристического уравнения,

ГЛАВА XV
ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математической основой частотного метода анализа систем
автоматического регулирования является преобразование Фурье. Оно
позволяет получить на основании дифференциальных уравнений
с учетом начальных условий и приложенных к системе
воздействий или с использованием экспериментальных данных некоторые
вещественные функции, называемые обобщенными
частотными характеристиками.
Обобщенная частотная характеристика переходного процесса,
сводящаяся в простейшем случае к обычным частотным
характеристикам системы, так же как и преобразование Лапласа для искомого
переходного процесса, полностью его определяет.
Одно из основных различий между прямым методом анализа
переходных процессов, основанным на преобразовании Лапласа, и
частотным методом анализа переходных процессов заключается
в том, что первый является аналитическим, требующим вычисления
корней характеристического уравнения системы, а второй (так же
как и частотный метод анализа устойчивости) —
графоаналитическим, не требующим вычисления корней [1—4, 6].
При использовании частотного метода анализа переходных
процессов исходными данными могут быть частотные характеристики,
которые определяются из эксперимента, без использования
дифференциальных уравнений всей системы в целом или отдельных ее
элементов.
Данный метод позволяет:
а) производить полный анализ динамики и решать многие
вопросы синтеза;
б) учитывать своеобразие систем автоматического
регулирования, заключающееся в том, что их анализ в разомкнутом состоянии
обычно прсще, чем в замкнутом;
в) осуществлять анализ устойчивости, качества и переходных
процессов в системах любого порядка как одноконтурных, так и
мкогоконтурных, содержащих не только сосредоточенные, ко и
распределенные параметры;
г) решать вопросы анализа и синтеза систем при непрерывно
изменяющихся воздействиях (см, в книге 2 гл. I, VII и VIII).
537

Применение частотного метода анализа не ограничивается
системами регулирования.
Следует также подчеркнуть, что хотя общие частотные
представления заимствованы теорией регулирования из теории
электрических цепей, однако их развитие в теории регулирования пошло
своим собственным путем. Это объясняется тем, что в теории
электрических цепей вплоть до недавнего времени частотными
представлениями пользовались в основном лишь для анализа
установившихся, а не переходных режимов. Кроме того, постановка задач
анализа и синтеза в теории регулирования существенно отличается
от постановки аналогичных задач в теории электрических цепей.
Одной из характерных особенностей частотного метода анализа
переходных процессов и анализа качества систем автоматического
регулирования является то, что он, в отличие от методов расчета
электрических цепей, основывается на рассмотрении главным
образом вещественной, а не амплитудной и фазовой частотных
характеристик.
Использование обычных методов расчета электрических цепей,
основанных на амплитудной и фазовой частотных характеристиках,
а не вещественной и мнимой, заключается в том, что первые имеют
более простой физический смысл и обычно легко могут быть
определены экспериментально. Вследствие этого анализ установившихся
процессов, несомненно, удобнее производить при помощи
амплитудной и фазовой частотных характеристик, чем при помощи
вещественной и мнимой. Однако при анализе переходных процессов,
основанном на первой паре характеристик, мы сталкиваемся с
известными трудностями. Эти трудности заключаются в том, что
оказывается невозможным в общем случае представить в достаточно
удобной для анализа форме связь между переходным процессом и
одной из частотных характеристик, амплитудной или фазовой, а
необходимо одновременное введение в рассмотрение обеих
характеристик. В то же время, если пользоваться вещественной и мнимой
частотными характеристиками, то переходный процесс можно
представить только через одну из них.
Действительно, рассмотрим, например, выражение для
импульсной переходной функции (см. гл. VIII) в виде интеграла Фурье:
оо
к® = Ш \УЦ<й)е?«с1<й, (XV. 1)
— оо
где
Y(j(o) = Ay((o)efb{(»\
Интеграл (XV. 1) легко преобразовать к следующей
вещественной форме:
00
ft 00 = ^ \ ЛУ И cos 1ш' + Ь И1 da- (XV.2)
~ 00
538

Далее, если положить, что
то формулу (XV. 1) можно записать в следующем виде:
оо
k (t) = 1 i Py (со) cos to da, (XV.3)
— ОО
ИЛИ
оо
fc(f) = _l С Qy((u) sin to da. (XVA)
■v— 00
Мы видим, что в выражение (XV.2) входят одновременно как
амплитудная, так и фазовая частотные характеристики, а каждое из
выражений (XV.3) и (XV.4) содержит только одну частотную
характеристику (вещественную или мнимую) и является более удобным
для анализа, чем выражение (XV.2). При исследовании
устойчивости систем автоматического регулирования обычно исходят из
их частотных характеристик в разомкнутом состоянии.
Вследствие этого оказывается удобным при полном анализе
динамических свойств систем автоматического регулирования в виде
исходных данных использовать амплитудную и фазовую частотные
характеристики разомкнутой системы, а для анализа переходных
процессов, качества регулирования и проверки результатов
расчетов пользоваться вещественной частотной характеристикой
замкнутой системы.
1. ОБОБЩЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИХ СВЯЗЬ
С ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Рассмотрим выражение для переходного процесса х (t)9 т, е,
с+;со
x(t) = ± § X(s)eslds, (XV.5)
с—/оо
где
оо
X(s)= \x{t)e-stdt\
о
с — абсцисса абсолютной сходимости функции x(t).
Представим функцию X (s) в виде суммы из двух слагаемых,
одно из которых Xr (s), содержащее все полюсы X (s),
расположенные в левой полуплоскости, назовем регулярной частью
функции х (0, а второе Хп (s), содержащее все полюсы X (s), рас*
положенные в правой полуплоскости и на мнимой оси, назовем
нерегулярной частью функции X ($) [3], [4]. Итак,
X(s) = X,{s) + XB(&). (XV.6)
539

Подставляя формулу (XV.6) в (XV.5), получим
с -J- ;оо с -j- /со
*(*)=2S/ \ Xr(s)es'ds + ±-. $ Xn{s)estds. (XV.7)
с—/оо с—jco
Заметим, что в первом интеграле в правой части уравнения
(XV.7) можно положить с = О, так как все полюсы функции Xr (s)
расположены в левой полуплоскости.
Введем обозначения
1 +(/0°
*'® = Щ/ \ Xr^)estds (XV.8)
— /со
И
с + /°°
**® = Щ \ X„(s)estds. (XV.9)
с — /со
На основании равенств (XV.8), (XV.9) запишем
x(t) = xr(t) + xn(t). (XV АО)
Регулярная часть xr it) функции х (t) ввиду того,
что все полюсы ее преобразования Лапласа Xr (s) расположены в
левой полуплоскости, является затухающей функцией от t:
lim*r(0 = 0. (XV. 11)
^->со
Нерегулярная же часть хп (t) функции x-(t)t напротив является
при t ->оо расходящейся или периодической функцией, или,
наконец, постоянной величиной.
Предположим, что все полюсы Хп (s) нам известны и,
следовательно, функция хп (t) может быть найдена одним из известных
способов. Полюсы же функции Xr (s) будем считать неизвестными, но,
как уже об этом говорилось, расположенными в левой полупло-
кости.
Преобразуем выражение (XV.8) для xr (t) к виду, имеющему
основное значение для всего дальнейшего изложения.
Полагая в уравнении (XV.8) s = /со, найдем
оо
Xr(t) = -x [ Xr(/<o)e""flfo>. (XV. 12)
CO
Отделим в выражении для Xr (jco) вещественную часть от мни-
М0Й: Хг (/со) - R, (со) + jSr (со) (XV. 13)
и назовем Rr (со) — обобщенной вещественной, a Sr (со) —
обобщенной мнимой частотными характеристиками процесса.
540

Подставляя выражение (XV. 13) в (XV. 12), получим
оо
Хг ® ^ 2я \ ^ ^ C0S °^ — ^r ^ S*n ®^ ^ "^
— оо
оо
+ -%; \ [Rr И sin at + Sr (<») cos и/] Ad. (XV. 14)
— ОО
Так как выражение /?г (со) sin со/ + Sr (со) cos со/ представляет
нечетную функцию от со, то второй интеграл в правой части
уравнения (XV. 14) равен нулю, поэтому
ОО
^(0 = 2S \ [#/■ (<*>) cos (о/— S,. (со) sin со/] dco. (XV. 15)
СО
Если воздействие приложено в момент времени / = О, то
xr{f) = 0, /<0 (XV. 16)
и выражение (XV. 15) упрощается.
Действительно, учитывая равенство (XV. 16), получим
00
2й" ^ [/?r(co)cosco/ — Sr (со) sin со/] dco = О, /<0. (XV. 17)
— оо
Заменяя /в уравнении (XV. 17) через —/, получим
00
2S ^ [^Hcosco/ + 5r(co)sinco/]dco = 0. (XV. 18)
— со
Складывая выражения (XV. 18) и (XV. 15), будем иметь
со
хг W = -J- 5 #г И cos co/dco, (XV. 19)
или
хг (/) = — \ Rr (со) cos со/ dco. (XV.20)
Вычитая уравнение (XV. 18) из (XV. 15), найдем
00
xr(t) = \ Sr (со) sin со/ dсо =
-£■ ^ Sr (со) sin ©/J©. (XV.21)
541

Таким образом, на основании выражений (XV. 10), (XV.20) и
(XV.21) можем написать
х(t) = xn(t) -\— \ Rr (со) cos at dco,
или
х (t) = хп (t) \ Sr (со) sin (ot da.
(XV.22)
(XV.23)
Выражения (XV.22) и (XV.23) определяют изменение
обобщенной координаты или регулируемой переменной х (t) для широкого
класса воздействий как при нулевых, так и при ненулевых
начальных условиях.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Предположим, для простоты, что нерегулярная часть Хп (s)
функции X (s) не имеет кратных полюсов и, следовательно, может
быть представлена в виде
Xn(s)=^ +
Mn(s)
П (s - Kt)
Нерегулярная часть хп (t) имеет вид
г=1
где
А,=
(s-K)
Mn(s)
П (s-h)
j = l
(XV.24)
(XV.25)
(XV.26)
s=X.
Таким образом, нерегулярная часть хп (t) состоит из константы
4 о и расходящейся или незатухающей части
x'n(t)= j^A/i'. (XV.27)
Далее, учитывая зависимость (XV.24) и формулы (XV.22),
(XV.23), обобщенные частотные характеристики Rr (со) и Sr (со)
согласно определению являются вещественной и мнимой частями
выражения
Xr(s) = X(s)-Xn(s) = X(s)-^ /»(S) , (XV.28)
П (s-h)
при s = /со,
542

Итак,
р р ^
| У'со П (/со — Xt) Х(М) — Л0 II (/со — X/) —J(oMn (/со) |
р
у'со П (/со —Я/)
1=1
(XV.29)
Sr (со) = Im
р р
/СО П (/СО — А,/) Х(У'С0) — А0 П (/СО — ki)—j(x)Mn (/СО)
*=1 1=1
р
у'со П (/со —X/)
1 = 1
(XV.30)
Перепишем теперь формулы (XV.22), (XV.23) в следующем
виде:
со
Ах (f) = *(/) — хя (i) = ~[ Rr H cos to da, (XV.31)
или
Ax (0 = x (t) — xn (i) = — |- J Sr (со) sin /со dco. (XV.32)
0
Левые части полученных уравнений представляют собой
отклонения регулируемой величины от нерегулярной части хп (t)
переходного процесса.
Рассмотрим, какой вид принимают уравнения (XV.31) и (XV.32)
в наиболее часто встречающихся случаях. В дальнейшем
отклонение регулируемой величины будем обозначать через х (t), а не
через Ах (/), как это сделано в формулах (XV.31), (XV.32).
3. СЛУЧАЙ, КОГДА ФУНКЦИЯ X (s) HE СОДЕРЖИТ ОСОБЕННОСТЕЙ
ВО ВСЕЙ ПРАВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ И НА МНИМОЙ ОСИ
В этом случае
lim sX (s) = lim x (t) = 0 (XV.33)
и функция х (t) имеет только регулярную часть. Потому выражения
(XV.22) и (XV.23) сводятся к виду
оо
x(t) = ~[ i?r(co)costodco, ^>0, (XV.34)
о
543

или
x(f) = —^\ Sr (со) sin /со Ao, /> 0. (XV.35)
Например, если х (t) представляет отклонение регулируемой
величины и необходимо учесть эффект управляющего воздействия и
начальных условий, то согласно главе VII 1.1
X(s) = 0{s)G(s) + YH(s). (XV.36)
В этом случае функции Rr (со), Sr (со), входящие в формулы
(XV.34) и (XV.35), можно найти следующим образом.
ПуСТЬ G (/со) = PQ (со) + jQQ (со) (XV.37)
И YH(M = PHH + JQHH. (XV.38)
Полагая 5 = /со в выражении (XV.36) и учитывая равенства
(XV.37), (XV.38), получим
Р, (со) = Р (со) Р0 (со) - Q (со) QQ (со) + Рн (со); (XV.39)
Sr (со) = Р (со) Q0 (со) + Q (со) PG (со) + QH (со). (XV.40)
4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ Р (со), Q (со)
И ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ к (t)
Посмотрим, какой вид принимают формулы (XV.34) и (XV.35),
если воздействием является дельта-функция, а начальные условия
нулевые. Полагая в равенстве (XV.36)
НаИДШ Xr (s) = X (s) = Ф (5) (XV.42)
и, следовательно, в рассматриваемом случае
РДсо) = Р(со); (XV.43)
Sr(co) = Q(co), (XV.44)
т. е. обобщенные частотные характеристики процесса Rr (со), Sr (со)
совпадают с собственными частотными характеристиками системы.
На основании равенств (XV.43) и (XV.44) выражения (XV.34)
и (XV.35) можно записать в следующем виде:
оо
k (t) = -М Р (со) cos to rfco, ty 0; (XV.45)
о
оо
•k(t) = —l ^Q(co)sintorfa), *>0. (XV.46)
U
544

Формулы (XV.45) и (XV.46) имеют существенное значение,
так как они устанавливают связь между импульсной переходной
функцией k (t) и собственными частотными характеристиками
системы Р (со), Q (со).
5. СЛУЧАЙ, КОГДА ВСЕ ПОЛЮСА ФУНКЦИИ X (s) РАСПОЛОЖЕНЫ В ЛЕВОЙ
ПОЛУПЛОСКОСТИ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ПОЛЮСА В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ
Найдем, какой вид приобретают общие формулы (XV.31) и
(XV.32) в том случае, когда функция X (s) может иметь простой
полюс в начале координат, а все остальные ее полюса расположены
в левой полуплоскости. Этот же вид формул остается справедливым
и в только что рассмотренном менее общем случае, когда такого
полюса не имеется.
Итак, предположим, что функция X (s) может быть представлена
в виде у /„\
X(s) = ^j^t (XV.47)
где функция Х0 (s) не имеет особенностей во всей правой
полуплоскости и на мнимой оси, включая начало координат.
Функцию Х0 (s) назовем приведенной
передаточной функцией. Из выражения (XV.47) очевидно, что Х0 (s)
можно рассматривать как передаточную функцию такой в общем
случае фиктивной системы, в которой единичное ступенчатое
воздействие вызывает искомый переходный процесс.
В этом случае
{== А
л° (XV.48)
= О
и функция х (0 при достаточно больших значениях t стремится
к нулю или к постоянной величине Л0, отличной от нуля, в
зависимости от того, имеет или нет функция Х0 (s) нуль в начале координат.
В случае наличия полюса при 5 = 0 функция X (s) имеет
нерегулярную часть Хп (s), которая определяется формулой
Хп{*)=^; (XV.49)
если при 5 = 0 полюса нет, то Хп (s) = 0.
Подставляя выражение (XV.49) в формулу (XV.28), для
регулярной части Xr (s), получим
Xr (S) = *o(s)--Xo(0) 9 (XV.50)
Пусть
*о(/ю) = ЯИ + /5(©), (XV.51)
тогда, полагая в выражении (XV.50) s = /со, найдем
R, (со) + /S, (со) = ^ + /*(0)-/(Ш)- (XV-52>
18 Техническая кибернетика, khs 1
545

Итак, в рассматриваемом случае обобщенные вещественная и
мнимая частотные характеристики Rr (со), Sr (со) определяются
соотношениями с /ГЛч
^И = ¥; (XV.53)
S,(co)
R(Q)-R (to)
(XV.54)
Подставляя найденные выражения для Rr (со), Sr (со) в
формулы (XV.22) и (XV.23) и учитывая, что хп (t) = R (0) = Л0 и
оо
2 С sin^co
dco = 1,
получим следующие формулы для вычисления переходного
процесса: оо
X(t)=^-i ^ sin to dco, * > О, (XV.55)
или
со
* (/) = R (0) + - [ ^ cos /со dec, *>0.
я
(О
(XV.56)
Отметим, что если функция X (s) не имеет полюса при 5 = 0,
то формулы (XV.55) и (XV.56) сводятся к формулам (XV.34) и
(XV.35).
Действительно, в этом случае
Х0(0) = /?(0) = 0;
Xr(s) = X(s) = ^ J
И
т. е. если X (s) не имеет полюса при s = 0, то
;Л(о>) . 5(со)
(XV.57)
(XV.58)
S,(<o) = -
5 ((D).
(О '
Л(©)
(О
(XV.59)
Подставляя соотношения (XV.59) в формулы (XV.55) и (XV.56)
и учитывая, что R (0) = 0, получим выражения (XV.34) и (XV.35).
Итак, формулы (XV.55) и (XV.56) можно рассматривать как более
общую форму выражений (XV.34) и (XV.35), справедливую не только
в тех случаях, когда функция X (s) имеет полюс при s = 0 и
lim х (t) = const -ф О, но также, когда такого полюса нет и lim x(t) = 0.
r-*oo 2-*со
546

6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
И ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ h (t)
Простейшим воздействием, приводящим к формулам вида (XV.55)
и (XV.56), является единичное ступенчатое воздействие.
Действительно, предположим, что g (t) = [1] и начальные условия
нулевые. Тогда преобразование Лапласа X (s) для переходной функции
h (t), характеризующей изменение во времени отклонения
регулируемой величины х (t), в рассматриваемом случае сводится к виду
X(s)=^f. (XV.60)
Сравнивая выражения (XV.47) и (XV.60), отметим, что в данном
случае
X0(s) = O(s) (XV.61)
и, следовательно, функциями R (со), S (со), входящими в формулы
(XV.55) и (XV.56), являются собственные частотные
характеристики системы Р (со), Q (со).
Таким образом, для отклонения регулируемой величины при
единичном ступенчатом управляющем воздействии формулы (XV. 55)
и (XV.56) принимают вид
оо
/г(0 = 4 $ ^* sin/© Ad; *>0f (XV.62)
о
или
оо
h(t) = P(0)+^\ ^cosfodu); f>0. (XV.63)
о
Если рассматривается не управляющее g (t), а возмущающее
воздействие / (t) = [1], то выражения (XV.47) и (XV.61) принимают
вид у()
X(s)=^ (XV.64)
X0(s) = Y(s) (XV.65)
и функции Р (со), Q (со) в формулах (XV.62) и (XV.63) необходимо
заменить функциями Ру (со), Qy (со), представляющими
соответственно вещественную и мнимую части передаточной функции
Y(M = Py(®) + jQy(<*).
Итак, для отклонения регулируемой величины при единичном
ступенчатом возмущающем воздействии будем иметь
со
hy (0=15 ~У^Г SiD t(0 d0); ^ 0> (XV'66)
0
18* 547

или
hy (t) = Ру (0) + | \ Ц~ cos ta> Жю; * > 0. (X V.67)
о
Наконец, если нас интересует ошибка г (t), а не отклонение
х (0 при единичном ступенчатом управляющем воздействии, то
в формулах (XV.55) и (XV.56) функции Р (со), Q (со), необходимо
заменить функциями Рг (со), Q8 (со), являющимися соответственно
вещественной и мнимой частями передаточной функции ошибки (см.
гл. VIII.3):
Ф8 (/со) = ЛН + /С, И-
Следовательно, при единичном ступенчатом управляющем
воздействии выражение для ошибки е (/) будет иметь вид
со
e(t) = -| i uMsintod©, />0 (XV.68)
е 0) = Ре (0) + ~ \ Щ^ cos /со dco, * > 0. (XV.69)
о
Напомним, что передаточные функции Y (s) систем, астатических
по отношению к возмущающим воздействиям, имеют нуль в начале
координат и поэтому Ру (0) = 0. Точно так же имеют нуль в начале
координат передаточные функции Ф8 (s) систем, астатических по
отношению к управляющим воздействиям, для которых Р8 (0) = 0.
Однако все приведенные выше формулы остаются, конечно,
справедливыми как для статических, так и для астатических систем.
7. СЛУЧАЙ, КОГДА ФУНКЦИЯ X(s) ИМЕЕТ ДВА СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛЮСА
НА МНИМОЙ ОСИ
Предположим, что преобразование Лапласа X (s) для искомого
переходного процесса имеет пару сопряженных полюсов 14],
расположенных на мнимой оси в точках s =± /соа, а все остальные полюса
расположены в левой полуплоскости. Это может иметь место при
переходном процессе, вызванном воздействием вида
g(/) = sina>e/, />0; |
в(О-о. /<о. ) (XVJ0)
Далее допустим, что
где Ф (s) — передаточная функция, не имеющая особенностей во
всей правой полуплоскости, включая мнимую ось.
548

Таким образом, выражения для обобщенных вещественной Rr (o>)
и мнимой Sr (со) частотных характеристик в рассматриваемом случае
имеют вид
r v 7 со2 -— ой
s,H =
а
<*> Q (в>а) ~%Q (в>)
0)а (©«-©£)
(XV.72)
Подставляя выражения (XV.72) в формулы (XV.34) и (XV.35),
для регулярной части переходного процесса получим
оо
х'(о = I \р(ffirr»(m) cosшd(»> *>°> (xv-73)
00
^w—lj">l%"-'^")"B'-^ '>«■ <xv-74>
Умножив и разделив подынтегральное выражение в формуле
(XV.74) на со, получим
оо
*г (9 « 4 $ Я Н пг1 **>; ' > °- (хv-75)
О
где
* (о)' ~ шв(а)»-ю«) * (Л V.7b)
Очевидно, что в этом случае выражения (XV.22), (XV.23)
сводятся к виду
оо
х (t) = *л (/) -{ \ R (со) cos /а> dco =
о
оо
= агл (0 —§- ^ S((o) sin/со Ло. (XV.77)
о
Нерегулярная часть функции X (s) может быть представлена
в виде
X.M=7^k+T^ «XV.78,
где
^i = [(s — M.)X(s)b-/»e;
Л2 = l(s + /<»a)X(s)b = ;t0a.
Следовательно, для регулярной части Xr (s) будем иметь
ЗД^(5)-(^-+--^). (XV.79)
549

Полагая в последнем выражении s = /со, и, учитывая формулу
(XV.71), найдем
Хг (/со) = #г (со) + jSr (со) = Ф2(У,(0) , + о / ч
r VJ 7 v- \ / i j /■ \ / — со2 + соа2 ' 2соа (со — соа)
_ ф(->а) ^ Р(<йд)-Р(®) 1 ; <oQ (<0g) - <0fl Q И
2ша(С0+.0)а) 0)2-0)2 "Г/ ©а (©«-CD») •
Таким образом,
00
или
оо
* (0 —IJ "ffiU-^ц(М) sin *" *°, />0. (XV.81)
Применяя к выражению (XV.78) обратное преобразование
Лапласа, найдем
или
*я (0 = А К) sin (©в* + Фа), (XV.82)
где
1 Ф (/со) 1
I 2/^а I со = со '
^К)
'.=мт~
(XV.83)
Аналогичным образом можно показать, что если, например,
функция X (s) имеет двукратный полюс в начале координат, т. е.,
в частности, если
X(s) = ^, (XV.84)
то
оо
или
со
х (/) = Р (0) * + -М -^1 sin /со dco. (XV.86)
о
8. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Как было показано выше, формула (XV.55) применима для
вычисления 'переходных процессов при нулевых и ненулевых
начальных условиях, стремящихся при достаточно больших значениях
времени t к постоянной величине, которая в частном случае может
быть нулем [3]— [6],
550^

Назовем функцию jR (со) приведенной вещественной частотной
характеристикой. Сравнивая формулы (XV.55) и (XV.62) отметим,
что функцию R (со) можно рассматривать как вещественную
частотную характеристику такой фиктивной системы, у которой при по
даче на вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции на
выходе получается искомый переходный процесс. Итак, если
R (со) = Re { Ффикт (/со)} = Re { /соХ (/со)}, (XV.87)
то в случае выражения (XV.46) имеем
/? (со) = — coQ(co),
а в случае выражения (XV.62) получим
#(со) = Р(со),
Рассматривая выражение (XV.81), найдем
Д (<о) = © ^Q(co)-coQ(coa) y
Первый шаг при вычислении переходного процесса по любой
из приведенных выше формул, очевидно, должен заключаться в
нахождении функций Р (со), Q (со) *. Эти функции всегда могут быть
определены путем отделения вещественной части от мнимой в
выражении для передаточной функции замкнутой системы. Однако обычно
определение функций Р (со), Q (со) в виде аналитических выражений
излишне, так как вычисление интеграла (XV.55) в общем виде
оказывается нисколько не проще, чем вычисление х (t) при помощи
общей формулы (XV.5).
Преимущество введения формулы (XV.55) по сравнению с
(XV.5), по крайней мере, поскольку дело касается определения
вида функции х (/), заключается, как это мы увидим, в удобстве
ее использования для приближенного нахождения картины
переходного процесса графо-аналитическим методом, требующим
задания лишь графиков функций Р (со), Q (со), которые, как это было
показано в главе VIII, легко могут быть найдены по
логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.
Итак, рассмотрим метод графического вычисления функции х (О,
определяемой формулой (XV.55), в предположении, что функция
R (со) задана в виде кривой.
Идея метода [4, 5] состоит в том, чтобы представить кривую R (со)
в виде суммы некоторых типовых кривых rt (со), т. е.
Я(со)^2Мсо), (XV.89)
*=i
* Заметим, что во всех тех случаях, когда функция G (/со) имеет только
вещественную, или только мнимую часть для определения переходного
процесса, достаточно найти одну из функций Р (со) или Q (со).
551

так, чтобы при вычислении выражений вида
оо
1 /j.\ 2 Г / v sin tw i
(XV.90)
можно было бы пользоваться таблицами и таким образом свести
определение переходного процесса х (t) к суммированию табличных
функций ht (t):
X(t):
(XV.91)
Ниже предполагается, что каждая из функций гх (со)
определяется следующим образом:
Г, (со)
r0/, 0<со<со/,
Ог(00—(0^* d ^ \ О»
( 0, со0<со,
(XV.92)
'/М
т. е. имеет вид прямоугольной трапеции (рис. XV. 1). Функцию
rt (со), определяемую последними соотношениями, условимся
называть трапецеидальной
частотной характеристикой.
Всякая кривая R (со) может быть
представлена в виде совокупности из
некоторого числа трапецеидальных
частотных характеристик вида (XV.92)
следующим образом [4], [5]. Заменим
кривую)? (со) достаточно мало отличающейся
от нее кривой R (со), состоящей из
сопрягающихся друг с другом
прямолинейных отрезков, и проведем через каждую
из точек сопряжения прямую линию,
параллельную оси со. При этом заметим, что в результате указанного
приема кривая R (со) может быть заменена некоторым числом
трапецеидальных характеристик rt (со). Так, например, кривая R (со)
на рис. XV.2, а, может быть заменена четырьмя такими
характеристиками (см. рис. XV.2,б). Итак,
Рис. XV.1. Трапецеидальная
частотная характеристика
Я И~/?(со) = £/-,».
(XV.93)
Подставляя выражение (XV.93) в (XV.55), получим
п со
*Ю^| 2 \ г> И ^-Ла- (XV.94)
*=*ю
552

Из последнего выражения видно, что приближенное вычисление
х (0 сводится к определению переходных функций ht (/),
соответствующих трапецеидальным частотным характеристикам г{ (со).
Функции ht (t) могут быть найдены следующим образом.
Подставляя соотношения (XV.92) в выражение (XV.90), получим
- со sin to
®d
со
d©],(XV.95)
wd
*M
пя
~Е^Г
s)
Рис. XV.2. Разложение вещественной частотной характеристики
R (со) на трапецеидальные частотные характеристики г-г (со)
откуда после несложных преобразований, пользуясь обычным
обозначением интегрального синуса
со
к
sintto
Si
/ ^\ С sin
К 0 = J —
-rfco,
(XV.96)
получим
hi (t) = ^ { Si (©,*) + ^^ [Si (oy) - Si (©,*)] +
_L 1 /COS С00г — COS (DrfA | ,Xy g7v
Функции ht (t)9 определяемые выражением (XV.97), так же как
соответствующие им трапецеидальные характеристики (XV.92),
зависят от трех параметров: r0h co0, corf или roh со0, и> гДех — величина,
называемая коэффициентом наклона:
со0
(XV.98)
Для составления таблиц функции ht (t) введем в рассмотрение
единичные трапецеидальные частотные характеристики, для кото-
РЫХ г„=1;]
со0= 1, \
553
(XV.99)

а коэффициент наклона х может быть любым в пределах от 0 до 1.
Согласно выражению (XV,97) этим характеристикам соответствуют
переходные функции
К (t) - ~ { Si (xO + -~ [Si (t) - Si (nt) +
cos t — cos nt
}■
(XV. 100)
Функции hx (t) зависят только от одного параметра к и могут
быть представлены в виде таблиц.
В приложении приведены таблицы /гх-функций, вычисленных по
формулам (XV. 100), для значений к: 0; 0,05; 0,10; ...; 0,95; 1,00.
Более полные таблицы /гх-функций имеются в работе [6].
Р(и)
Рис. XV.3. Вещественные частотные характеристики (а) и
соответствующие им переходные функции (б)
При помощи этих таблиц можно приближенно определить
переходную функцию ht (/, и), соответствующую трапецеидальной
характеристике с любыми значениями ее параметров: roh ю0|., щ.
Следовательно, этими же таблицами можно пользоваться для
приближенного вычисления переходных процессов по формуле
(XV.94).
Для того чтобы пояснить правило пользования таблицами,
предварительно необходимо доказать одну теорему, которую можно
назвать теоремой подобия, или теоремой изменения масштаба.
Пусть
тогда
о
оо
ft\ 2 С п , ч sin to ,
\п л J v ' со '
(XV.101)
(XV. 102)
т. е. при увеличении (уменьшении) масштаба кривой R (<о) вдоль
оси о в п раз масштаб кривой х (/) вдоль оси / уменьшается
(увеличивается) в то же число раз (рис. XV.3).
554

Доказательство теоремы весьма просто. Заменяя / в выражений
(XV. 101) через t/n, получим
*(т)--Н*^-Т?-Лв- (XVJ03)
О
Произведем в интеграле (XV. 103) замену переменной, положив
со' = -~, найдем
оо
(t \ 2 f n/ ,ч sinШ i ,
откуда, заменяя со' через со, получим формулу (XV. 102).
10 (J
15 t
0,51,0 1,5 cj{0 5 10 15 t
Рис. XV.4. Трапецеидальные частотные характеристики с различными
параметрами г0, соЛ и соответствующие им переходные функции h (t)
На основании теоремы изменения масштаба можно сделать
следующий вывод. Для того чтобы найти переходную функцию ht (/),
соответствующую трапецеидальной характеристике с параметрами
555

Гоь <°о> и, зная переходную функцию ftx (/), соответствующую
единичной трапецеидальной характеристике, с тем же коэффициентом
наклона х, необходимо (рис. XV.4) увеличить ординаты функции
К (t) B roi Раз» а значения аргумента /, приведенные в таблицах,
разделить на со0.
Таким образом, мы приходим к следующему правилу
приближенного построения переходного процесса по заданному графику
функции R (со), т. е. по заданной приведенной вещественной
частотной характеристике R (со):
1) разлагаем R (со) на трапецеидальные частотные характеристики;
2) находим соответствующие им составляющие переходного
процесса, пользуясь таблицами Лх-функций при помощи
изложенного выше правила;
3) производим алгебраическое сложение ординат кривых,
соответствующих составляющим переходного процесса h (/).
Полученная кривая и будет представлять собой искомую приближенную
картину переходного процесса.
9. О НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ МЕТОДА ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
При вычислении переходных процессов иногда достаточно
пользоваться лишь одной Лх-функцией, соответствующей значению к = 1
и являющейся последней по счету (см. таблицу /гх-функций,стр. 722),
а иногда — одной первой /гх-функцией этих таблиц,
соответствующей значению к = 0. В первом случае (при х = 1) метод
трапеций вырождается в метод
прямоугольников, а во втором случае (при х = 0) — в метод
треугольников.
Действительно, предположим, что кривая R (со) приближенно
может быть представлена некоторым числом горизонтальных и
вертикальных отрезков (рис. XV.5). При этом кривая R (со) сводится к
совокупности прямоугольных частотных характеристик (рис. XV.6),
которые можно рассматривать как частный случай трапецеидальных
частотных характеристик, показанных на рис. XV. 1, при и = 1.
Заметим, что прямоугольным частотным характеристикам
соответствуют, как это ясно из формулы (XV. 100), переходные функции
вида о
Л*-1 (/) = -£Si (0, (XV. 104)
т. е. /гх-функция при х=1 с точностью до множителя совпадает
с выражением для интегрального синуса.
Итак, в тех случаях, когда кривая R (со) может быть разложена
на прямоугольники, переходный процесс можно вычислять по
формуле п
*(/)^42г0<Я(©0Д (XV .105)
556

требующей использования лишь одной из функций в приводимых
таблицах /гх-функций. Заметим, что в этих случаях можно
воспользоваться имеющимися
таблицами интегрального синуса х.
г (и)
#(tj)
Рис. XV.5. Разложение
вещественной частотной
характеристики R (со) на прямоугольные
частотные характеристики
Рис. XV.6. Элементарная
прямоугольная частотная
характеристика
Кривые R (со), если они являются пологими, иногда удобно
раскладывать не на трапеции, а на треугольники 2 (рис. XV.7). Оче-
щ^ видно, что треугольная
частотная характеристика (рис.
XV.8) может рассматриваться
Г(СО)
Рис. XV.7. Разложение частотной
характеристики R (со) на
треугольные частотные характеристики
Рис. XV.8. Элементарная
треугольная частотная
характеристика
как вырожденный случай трапецеидальной частотной
характеристики при к = 0. В этом случае общая формула (XV. 100)
принимает вид
AH-o(/)--|[Si(0—Ц^]> (XV.106)
где Ах-0-функция является первой в таблицах Лх-функций.
1 Таблицы интегрального синуса и косинуса, Издание АН СССР, 1954.
2 Воронов А. А. К приближенному построению кривой переходного
процесса по вещественной частотной характеристике. «Автоматика и
телемеханика», 1952, № 6.
557

10. ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Единственное ограничение, налагаемое на изложенный выше
метод построения переходных процессов [точнее, их регулярной
части xr (t)] заключается в том, чтобы из функции X (s)
выделялась составляющая, которая должна быть аналитической во всей
правой полуплоскости, включая мнимую ось. Очевидно, что это
всегда можно сделать, если функция X (s) содержит в указанной
области конечное число полюсов, расположение которых на
комплексной плоскости известно.
Изложенный метод построения переходных процессов применим
к системам как минимально-фазовым \ так и не
минимально-фазовым, содержащим не только сосредоточенные, но и распределенные
параметры, а также к системам с запаздыванием. Таким образом,
функция X (s), представляющая собой преобразование Лапласа
для искомого переходного процесса, может являться не только
дробно-рациональной, но и трансцендентной функцией от s.
Рассмотрим, например, систему, представляющую собой «чистое
запаздывание». Ее передаточная функция является
трансцендентной и имеет вид
Y(s)=ke~™. (XV. 107)
Представим переходный процесс в виде интеграла (XV.62),
предположив, что к системе приложено единичное ступенчатое
воздействие, тогда
hp-XS
X(s) = —.
Следовательно,
p (со) = k cos T0; ]
n) [ i • (XV. 108)
Q(co) = —fesmtco. J
Подставляя выражение (XV. 108) в формулу (XV.62), получим
оо оо
/.л 2 С п , ч sinШ * 2 , f cosтсо sin^(о , игл /л \i
*® = ъ\ рИ—o7~rfco== Hk \ оЗ d®=k[l(t—%)],
о о
(XV. 109)
т. е., при t^> т х (t) = k,
а при t <Ст х (t) = 0.
Изложенный метод справедлив лишь в том случае, если
передаточная функция Ф (s) [или Y (s)] не имеет полюсов во всей правой
полуплоскости, включая мнимую ось, т. е. если замкнутая система
является устойчивой.
1 Определение понятия минимально-фазовой системы приведено в гл. VIII.
558

11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ
Иногда возникает необходимость в определении дискретных
значений переходной функции для отдельных наиболее интересных,
с какой-либо точки зрения, моментов времени. В частности, такими
моментами времени могут быть моменты изменения режима работы
системы, моменты прохождения через максимум или минимум
и т. д.
Рассмотрим, например, формулу (XV.62), определяющую
переходную функцию h (t). Для фиксированного момента времени
t = tx она принимает вид
со
h (^ = ~ § -^- sin ^ю • Ло. (XV. 110)
о
Для вычисления h (/х) часто применяют обычный метод
разложения Р (со) на трапеции, но можно также воспользоваться
способом, иногда упрощающим расчеты [7].
Рассмотрим случай больших tl9 когда t1tp> t0, где tx = —;
t0 = — \(о1 <^ со0 и со0 — значение со, при котором кривая Р (со)
первый раз пересекает ось частот со:
Р(со0) = 0.
Заменим Р (со) для каждого из интервалов
Дсо,^, * = (), 1, 2,..., (XV.Ill)
соответствующих полупериодам синусоиды sin ^co (рис. XV.9),
средним значением Р{ функции Р (со) на этом интервале. Тогда
вместо формулы (XV. ПО) можно написать
А&)~42Р' J ^dm, (XV. 112)
где
co^ |г==0 = 0
или
ВД~2^Д<- (XV. из)
Через А/ обозначено приращение интегрального синуса (с учетом
множителя—) на интервале Дсо,-:
А^4 \ -j^da, f = 0, 1,... (XV.114)
559

Приращения А,- за полупериоды Дсо0, Дсоь ... приведены в строках
табл. XV. 1, отмеченных звездочкой. Используя эти данные, формулу
(XV. 113) можно представить в развернутом виде:
h(t1)^hl8P0~0,277P1 + 01l63P2 — 0,116Р3 + 0,09Р4 —
— 0,074Р5 + 0,062Р6 — 0,054Р7 + ..., (XV. 115)
где
P, = p[(t +0,5)-^], * = 0, 1,2.... (XV.116)
Так как выражение (XV. 115) представляет собой
знакопеременный ряд, то ошибка от отброшенных членов меньше последнего из
учтенных членов.
Рассмотрим случай малых tl9 когда t1<.t0 (рис. XV. 10).
Pfuj В этом случае в формулу
(XV. 115) следует подставлять не
AM s\ s/n t, со
Рис. XV.9. Вещественная частотная
характеристика и характеристика
sin ^(0
при больших tx (g)£ < G)0) стика
Рис. XV. 10. Вещественная
частотная характеристика и характери-
sin ^(0
при малых tx ((DiXOo)
значение Р (со) в середине соответствующего интервала Дсо/, а средне-
эзвешенное значение Р (со), определенное по дискретным значениям
Р (со) на этом интервале.
В табл. XV. 1 первые два интервала Дсо0) Л<*>1 разбиты на 10 и на
5 подынтервалов (в зависимости от требуемой точности). Во втором
и четвертом столбцах даны соответствующие абсолютные значения
величины А/5 определяемой формулой (XV. 114), а в столбцах 3-м
и 5-м — в процентах от полного приращения равного 1,18 за
первый подынтервал и равного 0,277 за второй подынтервал.
Таким образом, формула для определения средневзвешенного
значения Р (со) для первого интервала по пяти измеренным
ординатам кривой Р (со) (табл. XV. 1) имеет вид
Р0 = 0,331 Р (0,1 Асо0) + 0,290Р (0,ЗД©0) + 0.215Р (0,5Асо0) +
+ 0,125Р (0,7Асо0) + 0,038Р (0,9Асо0). (XV. 117)
560

Таблица XV.
Приращения интегрального синуса
Полоса
частот
в долях
л те
Дсо0 = 7-
0,0—0,1
0,1—0,2
0,2—0,3
0,3-0,4
0,4—0,45
0,5—0,6
0,6—0,7
0,7—0,8
0,8—0,9
0,9—1,0
0,0—1,0
1,0—1,1
1,1—1,2
1,2-1,3
1,3—1,4
1,4-1,5
1 1,5—1,6
*=10
д.
i
0,198
0,192
0,180
0,162
0,140
0,115
0,087
0,060
0,034
0,011
1,18*
0,010
0,025
0,036
0,042
0,043
0,041
%
16,8
16,3
15,3
13,7
11,8
9,7
7,4
5,1
2,9
0,9
100
3,4
9,0
12,9
15,2
15,6
14,7
i=5
Д.
i
0,390
0,342
0,255
0,147
0,045
1,18
0,035
0,078
0,084
%
33,1
29,0
21,5
12,5
3,8
100
12,4
28,1
30,3
Знак
функции
+
+
+
+
+
+
—
—
—
Полоса
частот
в долях
А %
Лсо0 = 7-
1,6-1,7
17—1,8
1,8- 1,9
1,9—2,0
1,0—2,0
2,0—3,0
3,0—4,0
4,0—5,0
5,0—6,0
6,0—7,0
7,0—8,0
8,0—9,0
9,0—10,0
10—11
11—12
* = ю
д.
i
0,034
0,025
0,016
0,005
0,277*
0,163*
0,116*
0,090*
0,074*
0,062*
0,054*
0,048
0,043
0,039
0,035
%
12,4
9,2
5,8
1,8
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
г = 5
д.
1
0,059
0,021
0,277
0,163
0,116
0,090
0,074
0,062
0,054
0,048
0,043
0,039
0,035
%
21,6
7,6
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
Знак
функции
—
—
—
+
—
+
—
+
—
+
—
+
100
—
Таким же образом может быть составлена формула для
вычисления Рг:
Р1 = 0,124Р(1,1Асо0) + 0,281Р(1,ЗД(оо) + 0,303Р(1,5Асоо) +
+ 0,216Р(1,7Асо0) + 0,076Р(1,9Асо0). (XV. 118)
Найденные значения Р0 и Рг подставляются вместо Р0 и Рг
в формулу (XV. 115). Для последующих интервалов: Асо2, Дсо3
и т. д. часто можно сохранить приближенные выражения для
приращений согласно последующим членам формулы (XV. 115).
561

ЛИТЕРАТУРА
1. Солодовников В. В. Применение операторного метода к
исследованию процесса регулирования скорости гидротурбины. «Автоматика и
телемеханика», 1941, № 1.
2. Солодовников В. В. Об одном приближенном методе
исследования динамики следящих систем и систем регулирования. «Известия, АН СССР,
ОТН», 1945, № 12.
3. Солодовников В. В. Метод частотных характеристик в теории
регулирования. «Автоматика и телемеханика», 1947, № 2.
4. Солодовников В. В. Частотный метод анализа динамики
следящих и регулируемых систем. Диссерт. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук,
ИАТ АН СССР, М., 1948.
5. Солодовников В. В. О применении трапецеидальных частотных
характеристик к анализу качества систем автоматического регулирования.
«Автоматика и телемеханика», 1949, № 5.
6. Солодовников В. В., ТопчеевЮ. И., Крутикова Г. В.
Частотный метод построения переходных процессов. ГИТТЛ, М., 1955.
7. Ш а т а л о в А. С. Структурные методы в теории управления и
электроавтоматике. Госэнергоиздат, М., 1962.

ГЛАВА XVI
ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА КАЧЕСТВА
В основе частотного метода анализа качества, так же как и
частотного метода анализа переходных процессов, рассмотренного
в главе XV, лежит математический аппарат интеграла и
преобразований Фурье, приводящий в случае произвольных типовых
воздействий и не нулевых начальных условий к понятию обобщенных
частотных характеристик [5].
Частотный метод анализа качества позволяет по свойствам
приведенной обобщенной частотной характеристики R (со), не
вычисляя интеграла
оо оо
,(0-=^Re{/coX(yco)}i^dco = |^(co)i^dco, (XVI.I)
о о
судить о том, удовлетворяет ли функция х (t) условиям качества
регулирования или нет (см. гл. II).
Первой работой, посвященной разработке частотного метода
анализа качества на основе интегрального соотношения (XVI. 1),
которое в случае единичного ступенчатого воздействия и нулевых
начальных условий принимает вид
оо
й(0 = 1$РН-^Ло, (XVI.la)
О
была работа [1].
Некоторые свойства интеграла (XVI.la) рассматриваются при
изложении теории рядов Фурье. В работах [1] — [10] показано,
что по свойствам функции R (со), представляемой в виде
приведенной обобщенной вещественной частотной характеристики
системы автоматического регулирования, можно судить о поведении
функции х (/) исходя из условий качества регулирования. При
этом удается избежать необходимости вычисления интеграла (XVI. 1)
и построения кривой переходного процесса.
563

1. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Предположим, что изменение во времени отклонения х (t)
регулируемой величины от требуемого закона может быть
представлено в виде интеграла
x(t)~±^X(s)estdst (XVI.2)
в котором интегрирование ведется вдоль мнимой оси и полукруга
малого радиуса, обходящего справа начало координат, причем
функция X (s) может быть
представлена в виде
X(s) =
При этом отметим, что
функция Х0 (s) не имеет
полюсов во всей правой
полуплоскости, включая мнимую
ось.
Рассмотрим вещественную
R (со) и мнимую 5 (со)
частотные характеристики, или
спектры процесса
регулирования, которые определяются
соответственно как
вещественная и мнимая части выражения Х0 (/со), т. е.
Х0 (/со) = /соХ (/со) = /?(©) + jS (со), (XVI.3)
причем
# (ю) = Re {/©X (/©)},
S(co) = Im{/coX(yco)}.
Далее определим необходимые и достаточные условия, которым
должны удовлетворять функции R (со) и S (со), для того, чтобы
функция х (t), определяемая интегралом (XVI.2), не выходила из
пределов области допустимых значений, изображенной на
рис. XVI. 1, т. е. чтобы функция х (t) удовлетворяла условиям
допустимого максимального и заданного статического отклонения
и условию допустимой продолжительности регулирования
15], [6].
Рассмотрим верхнюю хм (t) и нижнюю хт (/) границы области
564
x(t)
xM(t)
£
<щ
V////S/////'
0777777777.
\Г*т (*)
Рис. XVI. 1. Область допустимых
значений переходной функции:
М — максимальное допустимое отклонение;
Т — допустимая продолжительность
регулирования; х0 — статическое отклонение

допустимых значений (рис. XVI. 1), используя, например,
следующие функции времени:
хм(*)
М-[М-(х0 + А)](1-е
-C(t-Tt
"')-
■e-e"-V), 7\,</<оо
(XVI.4)
*т V) =
-««-*"„)
"' ),
-Д(1
О, — oo<*<(T;
(x0-A)(l-e~C{i-Tp) + A(l
Гр<^<оо
О, _оо</<Гр.
При достаточно большом значении постоянной С и малом
значении постоянной а кривые, соответствующие функциям времени
хм (t) и хт (/), будут сколь угодно мало отличаться соответственно
от верхней и нижней границ области допустимых значений, причем
(XVI.5)
Пусть
\\тхм (t) = Птл:от (t) = х0.
xM(i)e-»dt = ^
СО
^xm(t)e-sidt =
xm(s)
(XVI.6)
Подставляя функции времени (XVI.4) в (XVI.6), получим
XM(s) = M-
Се sTP[M~(x0 + A)]
а&е Р
s + а
Xm(s) =
Се sTP(x0 — A) L аДе sTP
(XVI.7)
s+C ' s+a
Необходимым и достаточным условием, которому должна
удовлетворять функция х (t), для того чтобы она не выходила из
области допустимых значений, является, неравенство
xm(t)^x(t)^xM(t), />0. (XVI.8)
Введем теперь в рассмотрение функции
ем(0=% (f)—x(t);
£m(t) = x(t) — xm(t).
(XVI.9)
Далее заметим, что неравенство (XVI.8) эквивалентно
неравенствам
Вт (О»
= 0;
= 0
при всех t"^>0.
(XVI. 10)
565

Так как интегралы ^|еЛ1 (/)| dt и jj | гт (t)\ dt существуют, то
о ' о
функции гм (t) и гт (t) могут быть представлены в виде интегралов
Фурье
Тм(М
?т (/©)
°М
— оо
^ XM(fto)-X9U<o)
_ *о (/(0) — Хт (/(0)
— 00
оо
(0 = ^ \ rm(/<D)^'rf©,
оо
оо
(XVI.11)
I (XVI.12)
ja>
Отделим в выражениях Хм (/со) и Хт (/со) вещественные части
от мнимых, т. е. положим, что
Хм (/со) = RM (со) + jSM (со);
Xm(j(o) = Rm(ei) + jSm(a>).
Обозначим через рм (со), рт (со) вещественные, а через ам (со),
°т (ю) мнимые части выражений ГЛ1 (/со), Тт (/со), т. е.
¥т (/<») = рт Н + /От (©),
где согласно выражениям (XVI. 11)—(XVI. 13)
V©)-5H .
(XVI. 13)
(XVI.14)
Рт И =
Ям («) - Я И
S (ffl)-Sm (СО)
°т (СО) = —
Л (со) - Rm (со)
(XVI. 15)
(XVI.16)
Функции рм (со), рт (со) назовем разностными вещественными
частотными характеристиками, а функции ом (со), от (со) —
разностными мнимыми частотными характеристиками. Итак, согласно
выражениям (XVI.10) и (XVI.11) поставленная задача сводится
к решению следующего вопроса. Какими свойствами должна
обладать функция Г (/со) для того, чтобы функция е (/), определяемая
через Г (/со) при помощи преобразования Фурье (XVI. 11), была
неотрицательной?
566

Ответ на этот вопрос дается известной теоремой х. Пусть р (со)
и о (со) — вещественные, интегрируемые и ограниченные функции,
а также
Г (/со) = р (со) + /а (со),
оо
причем интеграл 8 (/) = ^— \ Г (/со) g/®' Л существует. Тогда, если
— оо
функция Г (/со) положительно определенна, то е (t) ^ 0 для всех
вещественных значений /. При этом справедлива и обратная теорема.
Таким образом, можно сформулировать следующий
критерий качества регулирования (точнее, условий
допустимых статического и максимального отклонений и допустимой
продолжительности регулирования): для удовлетворения
устойчивой системой условий качества регулирования необходимо и
достаточно, чтобы функции Тм (/со), Тт (/со), вещественными частями
которых являются разностные вещественные частотные
характеристики рм (со), рт (со), а мнимыми частями — разностные мнимые
частотные характеристики ом (со), ат (со), были положительно
определенны.
Приведенному выше критерию можно придать более простую
форму, если воспользоваться следующим следствием, вытекающим
из основной теоремы: для того чтобы преобразование Фурье
Г (/со) = р (со) + jo (со)
функции
оо
e(0 = 2S- § * (I®) *'»'d®, (XVI. 17)
— оо
удовлетворяющей условию
е(/) = 0 при t<0, (XVI. 18)
было положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы
была положительно определенной его вещественная часть р (со).
Действительно, на основании выражения (XVI. 17), учитывая
условие (XVI. 18), мы можем написать
оо
е (/) = -1 ^ р (со) cos t(o rfco, ^>0, (XVI. 19)
и если функция р (со) положительно определенна, то согласно
приведенной выше теореме г (t) ^ 0. При этом функция Г (/со) также
является положительно определенной.
Следовательно, для того чтобы установить, что переходная
функция х (t) не выходит за пределы области допустимых значений,
1 BochnerS. Vorlesungen tiber Fouriersche Integrale, Leipzig, 1932.
567

достаточно убедиться в положительной определенности разностных
вещественных частотных спектров или характеристик рм (со) и
9т И-
2. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ ОТСУТСТВИЯ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЙ
И ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ
Критерий отсутствия перерегулирования. Рассмотрим
необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять
приведенные частотные спектры или характеристики R (оз) и S (со)
для отсутствия перерегулирований
или, другими словами, для того чтобы
переходная функция х (/) при t —* оо
стремилась к некоторой заданной
постоянной величине хь, все время
оставаясь меньше x0i т. е.
\/////////////////////////л
Рис. XVI.2. Область
допустимых значений в случае
требования отсутствия
перерегулирования
lim*(/) = *(оо) =
t-*QO
x(t)^x0, t>0.
(XVI.20)
В этом случае областью
допустимых значений является область между
положительной осью абсцисс и прямой х = х0 (рис. XVI.2).
Представим функцию х (t) следующим образом:
оо
*(') = *. + ^ЭД^г^ (XVI.21)
и введем в рассмотрение функцию
e(t) = x0—x(t). (XVI.22)
На основании выражения (XVI.21) можно написать
в (О
оо
4$[--^]cosftodcD. (XVI.23)
Для того чтобы процесс совершался без перерегулирований,
необходимо иметь е (t) ^ 0.
Таким образом, на основании приведенной выше теоремы
критерий отсутствия перерегулирований может
быть сформулирован следующим образом. Необходимые и
достаточные условия для отсутствия перерегулирований в переходном
процессе заключаются в том, чтобы функция —— ^ была
положительно определенной.
563

Критерий монотонности. Предположим, что переходный
процесс х (t) может быть представлен в виде интеграла
оо
*(0 = |$Я(со)-^Ло. (XVI.24)
О
Для монотонного протекания переходного процесса, если
известно, что х (/) = 0, /<[ О и lim x (/) = х0, необходимо и доста-
/-►00
точно, чтобы ,
^^0, *>0. (XVI.25)
Дифференцируя обе части выражения (XVI.24) по /, получим
dx
~dt
оо
= i \ flHcosfod© (XVI.26)
и, следовательно, критерий монотонности может быть
сформулирован следующим образом: необходимые и достаточные условия
монотонности переходного процесса х (/), удовлетворяющего
условиям х (/) = 0, /<^ 0 и lim х (/) = лг0, состоят в том, чтобы приве-
t—юо
денная вещественная частотная характеристика R (со) процесса
представляла собой положительно определенную функцию. Поэтому
при воздействии в виде единичной функции и при нулевых
начальных условиях процесс регулирования будет протекать монотонно
лишь в том случае, если вещественная частотная характеристика
Р (со) представляет собой положительно определенную функцию.
3. 0 ПРОВЕРКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ СФОРМУЛИРОВАННЫХ КРИТЕРИЕВ
Для применения полученных критериев необходимо уметь
проверять положительную определенность функции.
Существует несколько способов такой проверки. Рассмотрим
лишь один из них, который основан на критерии неотрицательности
квадратичных форм *.
Согласно, этому критерию необходимые и достаточные условия
положительной определенности функции Г (/со) состоят в том, чтобы
все главные миноры матрицы
1*4/0), Г [/(©!-©,)] Г [/К-со,)]
Г[/((о2 — ©J], Г (/0) Г[/((о2 —со,2)]
(XVI.27)
Г[/(©„-©!)], Г [/01
где соь со2, ..., юл—-любые п чисел, были бы неотрицательны.
1 См. ГантмахерФ. Р. и КрейнМ. Г. Осцилляционные матрицы
и малые колебания. ОГИЗ. 1941.
569

Проверка положительной определенности функции Г (/со) при
помощи условий (XVI.27) практически весьма затруднительна, так
как последние должны быть справедливы при любом п. Однако эти
условия могут быть значительно упрощены, если сплошной спектр
Г (/со) заменить линейным спектром Тл (/со) с конечным числом т
равноотстоящих друг от друга линий, выделенных из спектра
Г (/со). Эта замени может быть произведена на основании следующих
соображений.
Часто достаточно установить неотрицательность функции е (t)
в промежутке 0 <^ t<^Tp, например, вследствие того, что при t^>Tp
функция е (/) мало отличается от нуля, и ее поведение уже не
представляет для нас интереса. Очевидно, что если мы найдем условия,
определяющие неотрицательность периодической функции е (г),
совпадающей с функцией 8 (/) в промежутке 0<^t<^Tpf то тем
самым мы найдем также и условия, определяющие неотрицательность
функции s (t) в указанном промежутке.
Предположим, что период функции е (t) равен Т (Т^>Тр).
Линейный спектр Г^ (/со) функции е (/) состоит из ординат сплошного
спектра Г (/со), расположенных на расстоянии у друг от друга.
Обозначим эти ординаты, которые, вообще говоря, могут быть
комплексны, через ск. Тогда разложение периодической функции
I (t) в ряд Фурье может быть представлено в виде
*(/)'
ске
. 2я ,
(XVI.28)
Но, как известно \ необходимые и достаточные условия
неотрицательности периодической функции е (f) состоят в
неотрицательности всех главных миноров,матрицы, составленной из
коэффициентов ее разложения в ряд Фурье, т. е. в удовлетворении условия
Дт =
*0.
(XVI.29)
Условия (XVI.29) уже значительно проще для практической
проверки, чем условия (XVI.27). Кроме того, во всех критериях,
рассмотренных выше, величины ск, входящие в условие (XVI.29),
являются не комплексными, а вещественными, так как эти критерии
требуют проверки положительной определенности не комплексных,
а вещественных функций. Это обстоятельство также несколько
упрощает проверку выполнения сформулированных критериев.
1 См. сноску на стр. 569.
570

4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЗНАКИ НЕУДОВЛЕТВОРЕНИЯ КРИТЕРИЕВ КАЧЕСТВА
И КРИТЕРИЕВ ОТСУТСТВИЯ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЙ И МОНОТОННОСТИ
Выше были сформулированы необходимые и достаточные
условия, которым должны удовлетворять частотные спектры процесса
при тех или иных требованиях, предъявляемых к системе. Кроме
того, можно установить ряд сравнительно простых признаков,
позволяющих по виду частотных спектров судить о нарушении
критериев качества, отсутствия перерегулирований или
монотонности.
Эти признаки вытекают из некоторых свойств положительно
определенных функций и свойств преобразования Фурье для
неотрицательных функций. Так, например, для положительной
определенности функции Г (/со) необходимо (но недостаточно), чтобы
при всех со 1 г (/0) ^ ! г (/0)) | (XVI.30)
Кроме того, можно показать 2, что если Г (/со) представляет
собой преобразование Фурье для неотрицательной интегрируемой
функции е (t), т. е. ^
Г(/со)= \ e(t)e-J*Utt (XVI.31)
причем Г (/со) = 0 при со ^ со0
то
у (]Щ
г{т
; г (/о) cos
Г(/0),
п+ 1
Г (/со)|< Г (/0) cos
2,3,,
1 +
И'
(XVI.32)
(XVI.33)
(XVI.34)
со
;ю„
шающих величину
при данном со означает наименьшее из целых чисел, превы-
со '
\ |Г(/со)|Лв<со0Г(/0). (XVI.35)
Неравенства (XVI.32)—(XVI.35) можно рассматривать как
необходимые (но недостаточные) условия для того, чтобы функция е (t)
1 Действительно, при п — 2; <йх = 0; <в2 = со матрица (XVI.27) примет
вид
Г (/О),
Г(Усо),
Г (-/со)
Г(/0)
откуда следует неравенство (XVI.30).
2 В о a s R. Р., Кае М., Inequalities for Fourier Transforms of positive
functions, Duke Math. Journal, v. 12, 1945, № 1, pp. 189—207.
571

была неотрицательной. На основании этих неравенств можно
сформулировать следующие требования, которым должен
удовлетворять каждый из разностных вещественных частотных
спектров рм (со), рт (со), играющих в критерии качества роль
функции Г (/©):
1) ординаты разностного вещественного частотного спектра при
всех частотах со ^> О должны быть меньше, чем его ордината при
со = 0, т. е.
р(0)>|р(со)|; (XVI.36)
2) удвоенное абсолютное значение ординаты разностного
вещественного частотного спектра в середине интервала пропускания
частот со0 не должно превышать начальной ординаты, т. е.
Ш
р(0);
(XVI.37)
3) ординаты разностного вещественного спектра при значениях
частоты ш = —, где п — 2, 3, ..., должны удовлетворять
неравенству
я+1
pWcos-^-sHp^II; (XVI.38)
4) ординаты разностного вещественного спектра при значениях
частоты |со| <^ со0 должны удовлетворять неравенству
р (0) cos JLpp ^ p (<о); (XVI .39)
> + [?]
5) удвоенная площадь, ограничиваемая разностным
вещественным спектром, должна быть меньше площади прямоугольника с
основанием, равным интервалу пропускания частот со0, и с высотой,
равной начальной ординате р (0), т. е.
2 $ |p(co)|dco<coop(0). (XVI.40)
о
Неудовлетворение какого-либо из перечисленных требований
указывает на нарушение критерия качества.
5. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Рассмотрим некоторые свойства выражения
оо
h(f) = l\P(®)^-d<», (XVI.41)
о
определяющего переходный процесс в устойчивой системе,
вызванный единичным ступенчатым воздействием. Эти свойства часто поз-
572

воляют судить о характере переходного процесса h (t)
непосредственно по виду вещественной частотной характеристики системы
Р (со) без необходимости вычисления интеграла (XVI.41).
Очевидно, что рассматриваемые ниже свойства относятся и к
более общему случаю формулы (XVI. 1), когда воздействие отличается
от единичного и начальные условия ненулевые. При этом
необходимо лишь вместо функции Р (со) рассматривать функцию R (со).
Свойство линейности. Если вещественная частотная
характеристика Р (со) может быть представлена в виде суммы
вещественных частотных характеристик Р{ (со), т. е.
рм= 2 я, и,
оо
О
А(0= 2 МО- (XVI.42)
Значение этого свойства заключается в том, что если нам удалось
представить рассматриваемую вещественную частотную
характеристику Р (со) в виде суммы каких-либо элементарных вещественных
частотных характеристик Pt (со), для каждой из которых
переходная функция h-t (t) известна или может быть легко определена, то
переходная функция h (t) может быть найдена путем простого
сложения ординат кривых ht (t). Как мы видели, это свойство лежит
в основе приближенного метода построения картины переходного
процесса при помощи типовых трапецеидальных характеристик.
Изменение масштаба вдоль оси ординат.
Если изменить масштаб вещественной частотной характеристики
Р (со) вдоль оси ординат в п раз, то масштаб кривой h (t) изменится
вдоль оси ординат в то же число раз. Это свойство вытекает
непосредственно из формулы (XVI.41), если умножить обе ее части на п.
Изменение масштаба вдоль оси абсцисс.
Если увеличить (или уменьшить) масштаб вещественной частотной
характеристики Р (со) вдоль оси со в п раз, то масштаб кривой h (t)
вдоль оси t уменьшится (или увеличится) в то же число раз.
Другими словами, если вещественной частотной характеристике
Р (со) согласно формуле (XVI.41) соответствует переходная
функция h (t), то вещественной частотной характеристике Р (п(о)
соответствует переходная функция h (-), т. е.
оо
ай=Н/,(лш)^ш- (XVL43)
О
причем
то
573

Из рассмотренного свойства следует, что если мы будем
«растягивать» (или «сжимать») вещественную частотную характеристику
вдоль оси частот, сохраняя ее подобной первоначальной кривой, то
кривая переходного процесса будет «сжиматься» (или
«растягиваться») вдоль оси времени, сохраняя свою форму. Иначе, чем «шире»
вещественная частотная характеристика, тем при прочих равных
условиях «уже» переходный процесс, т. е. тем быстрее он протекает.
Например, на рис. XVI.3, а вещественная частотная
характеристика Р2 (со) в 2 раза «шире» вещественной частотной
характеристики Рх (со), т. е. Рх (со) можно совместить с Р2 (со), увеличив
в 2 раза абсциссы всех ее точек. Это означает, что переходный
процесс х2 (t), соответствующий Р2 (со), заканчивается в 2 раза быстрее,
чем переходный процесс хг (t)9 соответствующий Рг (со) (рис. XVI.3,6).
Рис. XVI.3. Эффект изменения масштаба вдоль оси
частот
Определение конечного значения
переходной функции по вещественной
частотной характеристике. Конечное значение h (oo)
переходной функции равно начальному значению Р (0) вещественной
частотной характеристики-
\\mh{t)
t—юэ
= limP(co)
<D-»0
(XVI.44)
или
А(оо) = Р(0).
Действительно, согласно теореме о конечном значении
х (оо) = lim /coX (/со).
В рассматриваемом нами случае единичного ступенчатого
управляющего воздействия
Ф (уоз)
Х(/Ф
;со
и
но
х(оо)=А(оо) = Ф(/0),
Ф (/0) = lim [Р (со) + JQ (со)J = Р (0),
574

поскольку нечетная функция Q (со) содержит со в виде множителя
и обращается в нуль при со = 0. Итак, переходная функция
стремится с течением времени к нулю или постоянному значению
в зависимости от того, равно нулю или отлично от нуля
начальное значение вещественной частотной характеристики Р (0). Этот
вывод, конечно, остается справедливым и для вещественной
частотной характеристики
функции Y (/со).
Ру (со), соответствующей передаточной
Ру(и)=РеУ(;и)
Pf(CJ)
'2 у (&v д-
*i(oo)=Piy(0) UK
Астатическая
н2(и)
X1(oo)=Pf(0)=f
Статическая
P£(u»=Re0efju)
Рг£(и)
Pie (")
,=Рг(0)=щ
Рис. XV 1.4. Вещественные
частотные характеристики
статических и астатических
систем:
а—по отношению к
возмущающему воздействию; бив — по
отношению к управляющему
воздействию
Так, например, вещественной частотной характеристике Р1у (со)
(рис. XVI.4, а) соответствует переходная функция hx (t) с отличным
от нуля конечным значением, а вещественной частотной
характеристике Р2у (со) соответствует переходная функция А2 (t) с равным
нулю конечным значением. Отсюда следует (см. гл. VIII), что если
вещественная частотная характеристика Ру (со), соответствующая
передаточной функции Y (/со), относительно возмущающего
воздействия имеет отличное от нуля начальное значение [кривая Р1у (со)],
то система является статической по отношению к этому воздействию,
если же вещественная частотная характеристика [кривая Р2у (со)]
имеет равное нулю начальное значение, то система является
астатической.
Заметим, что передаточной функции Ф (s) относительно
управляющего воздействия всегда соответствует вещественная частотная
575

характеристика Р (со) с неравным нулю начальным значением,
причем если система (рис. XV 1.4, б) статическая, то
К
а если система астатическая, то
Р(0)=1.
(XVI.45)
(XVI.46)
Действительно, если предположить, что система имеет порядок
астатизма относительно управляющего воздействия, равный v,
то (см. гл. VIII)
W(j*) (XVI.47)
Ф(/со)
U<*r + W(J<»)
Пусть порядок астатизма v = 0, т. е. система является
статической, тогда согласно выражению (XV 1.47) получим формулу
Рис. XVI.5. Соответствие между начальными и
конечными значениями Р (со) и h (/)
(XVI.45), если же v Ф О и система является астатической, то
согласно выражению (XVI.47) получим формулу (XVI.46). Точно так
же легко показать, что система является статической по отношению
к управляющему воздействию, если Рг (0) Ф 0, и астатической,
если Р£ (0) = 0 (рис. XVI. 4, в).
Определение начального значения
переходной функции по вещественной
частотной характеристике. Начальное значение переходной
функции h (0) равно конечному значению Р (оо) вещественной
частотной характеристики (рис. XV 1.5), т. е.
limA(/) = limP(a>) (XVI.48)
t—> 0 О)—у СО
или сокращенно
й(0) = Р(оо).
Равенство (XVI.48) можно доказать, воспользовавшись теоремой
о начальном значении.
Во всех тех случаях, когда порядок числителя Ф (/со) меньше
порядка знаменателя,
Р (оЪ) = 0
576

й, следовательно, переходный процесс начинается из начала
координат. Если же порядок числителя равен порядку знаменателя, то
Р (оо) ф О
и начальное значение переходной функции отлично от нуля.
Заметим, что порядок числителя передаточной функции ошибки
Фе (s) всегда равен порядку знаменателя и
Ре(оо)=1.
Дифференцирование переходной функции.
Дифференцируя выражение (XVI.41) по t, получим
00
dh 2 C P (со) cos со^со. (XVI.49)
dt л
Дифференцируя (XVI.49) еще раз, найдем
оо
d*h 2 £ [о)2Р(со)] . . , /VWT -Лч
Ъ* = -ц\ со 'tsmtada (XVI.50)
о
и т. д.
Формула (XVI.50) показывает, что умножение функции Р (со)
на квадрат частоты формально соответствует двукратному
дифференцированию переходной функции и перемене знака.
Смещение переходной функции. Как известно,
смещение переходной функции по оси времени t соответствует в
комплексной области умножению на экспоненциальную функцию,
т. е.
,— t0s
НО
h{t-to)ir*sdt = -*m
Ф (усо) е~ frfo __ [Q (со) cos t0a — Р (со) sin ;0со]
у'со " со
[Р (со) cos ^0co + Q (со) sin £0co]
-'■
и, следовательно,
оо
h(t_to) = l^ [P(a»cos^+Q(g))sin^1 ${пШ^ (XVI.51)'
О
Разрывы непрерывности и пики в
вещественной частотной характеристике. Если при
некотором значении со = сог, отличном от нуля, в вещественной
частотной характеристике Р (со) имеется разрыв непрерывности и она
19 Техническая кибернетика, кн. 1 Б77

обращается в бесконечность [кривая Рг (со), рис. XVI.6], то это
означает, что система находится на границе неустойчивости и в ней
происходят незатухающие гармонические колебания с частотой со,-.
Действительно, если [Р (со)]„>_„>,• = оо, то это означает, что
[Ф (/со)]
со—ш/
ОО,
(XV 1.52)
Jms
О Res
равенство же (XVI.52) означает, что величина /со,- является нулем
знаменателя передаточной функции Ф (/со), или, другими словами,
характеристическое уравне-
р(и)\\ ние системы имеет чисто
мнимый корень /со,, что и
доказывает высказанное выше
утверждение.
Если же Р (со) обращается
в бесконечность при со = О
[кривая Р2 (со)], то при
помощи аналогичных
рассуждений легко показать, что
характеристическое
уравнение системы имеет нулевой
корень и, следовательно,
система находится на границе
апериодической
неустойчивости, или, как иногда
говорят, является нейтрально
устойчивой. Из сказанного следует, что наличие больших пиков
в вещественной частотной характеристике свидетельствует о
близости системы к границе устойчивости, о ее склонности к
колебаниям и поэтому является весьма нежелательным.
/cjji/
в)
Рис. XVI.6. Вещественные частотные
характеристики для системы на границе
устойчивости (а) и соответствующее им
расположение корней (б).
6. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЙ
И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ОТСУТСТВИЯ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЙ
Мы только что видели, что наличие значительных по абсолютной
величине пиков, или экстремумов, в вещественной частотной
характеристике указывает на склонность системы к колебаниям с
частотами, близкими к частотам, при которых имеют место экстремумы.
Покажем теперь, что отсутствие экстремумов в функции Р (со),
наоборот, указывает на то, что переходный процесс h (f) происходит
либо с незначительными колебаниями, либо вообще без колебаний.
Для этого докажем следующую теорему.
Для того чтобы при единичном ступенчатом воздействии
величина перерегулирования не превышала 18%, достаточно и*меть
вещественную частотную характеристику Р (со) в виде положительной
невозрастающей функции от со (рис. XVI.7).
Доказательство этого критерия заключается в следующем.
578

Представим интеграл (XVI.41) в виде
(я+1)д
й(/) = 12 S ^sintorfco. (XVI.53)
nit
т
0)
Так как функция Р (со) невозрастающая, то функция
также невозрастающая. Отсюда легко видеть, что правая часть
равенства (XVI.53) представляет
знакопеременный ряд с невозрастающими по
абсолютной величине членами.
Следовательно, его сумма неотрицательна, т. е.
h if) ^ 0 при всех / }> 0. Кроме того,
сумма ряда (XVI.53) не может
превышать величины его первого члена, т. е.
dP
h(t)^ — \ -—-' sin /соrfco,
я)
Рис. XVI.7. Положительная
невозрастающая
вещественная частотная характеристика
ИЛИ
Л(0<|/>(0)$^^.
ИЛИ
1(0
1рт\*
sin_£
С
dl.
Принимая теперь во внимание, что
Р (0) = h (oo)
sine
"Г
#^1,85,
вместо неравенства (XVI.54) можно написать
й(/)<1,18Л(оо)
(XVI.54)
(XVI.55)
при всех t^>0\ и, следовательно, теорема доказана.
Заметим, что примером вещественной частотной характеристики,
удовлетворяющей сформулированному критерию, могут служить
трапецеидальные частотные характеристики, являющиеся
положительными невозрастающими функциями от со. Для вещественной
частотной характеристики, имеющей вид прямоугольника
(рис. XVL7) и обращающейся в нуль при со^ш0, неравенство
(XV 1.55) для значения / = — переходит в равенство, т. е. в этом слу-
U)(j
19*
579

чае перерегулирование как раз равно 18%.
Сформулируем теперь необходимые условия для отсутствия
перерегулирований. Рассмотрим функцию ( тг~)> входящую в
формулу (XVI. 23), где 5 (со) приведенная мнимая частотная
характеристика. При воздействии в форме единичной функции последняя,
как мы видели, сводится к мнимой частотной характеристике
системы Q (со).
Таким образом, согласно выражениям (XVI.36)—(XVI.40),
необходимые условия для отсутствия перерегулирований
заключаются в том, чтобы функция (— bLi^j удовлетворяла неравенствам
Q(co)
0)
<о=0
1 CD ]
Q(co)
CO
<o-0
0<co<coo;
<>(?
2
Q(co)
CO la>=0
Q(co)
COS
n+ Г
Q
i
№
«0
n |
COS
u>»0 x +
tt
<?(©)
01 w |ш_0 \ | to
л = 2, 3, ...
0 < со < co0;
dco.
(XVI.56)
(XVI.57)
(XVI.58)
(XVI.59)
(XVI.60)
Для того чтобы пояснить применение некоторых из полученных
выше выводов, рассмотрим систему, описываемую
дифференциальным уравнением второго порядка:
d2x+2lg + x = [l].
dt
В этом случае
'dt
S(co) Q(to)
(XVI.61)
(XVI.62)
-2|
(1—со2)2 +
Г0И.1 _ _9?
(2Е«)»' 1. со L.0- ^'
Воспользуемся неравенством (XVI.56) для того, чтобы, не решая
уравнения (XVI.61), определить, при каких значениях | возникают
580

перерегулирования в переходном процессе. Согласно неравенству
(XVI.56) они должны иметь место при нарушении неравенства
2£;
ч
(1_С02)2 + (2|С0)2 *
(XVI.63)
На рис. XVI.8 построены кривые
Q(G>)
ОН
кривая
2gco
для различных |. Если
2£со
пересекает прямую (рис. XVI.8), то переходный
процесс будет' совершаться с перерегулированиями. Как видно из
рис. XVI.8, при £ = 0,4; 0,6
и 0,8 переходная функция
х (/) обязательно имеет
перерегулирования; при I = 1,0
необходимое условие (XVI.63)
для отсутствия
перерегулирований удовлетворено.
7. КРИТЕРИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ДЛЯ МОНОТОННОСТИ
Рассмотрим достаточные
(но не необходимые) условия
для того, чтобы переходный
процесс, определяемый
формулой (XVI.41), протекал
монотонно и, следовательно,
вообще без колебаний. Эти условия определяются следующей
теоремой.
Для того чтобы переходный процесс, определяемый выражением
(XVI.41), протекал монотонно, достаточно иметь вещественную
частотную характеристику Р (со) в виде непрерывной положительной
функции от со с отрицательной и монотонно возрастающей (убыва-
dP
ющей по абсолютной величине) производной ^ (рис. XVI.9). Для
доказательства этого представим вещественную частотную
характеристику в виде суммы достаточно большого числа прямолинейных
наклонных или треугольных характеристик Pt (со) (рис. XVI. 10):
Q(fi>)
2gco
нения второго порядка
Рис. XVI.8. Кривые
для урав-
р. (со) = р,. (0)^1-^
0<(0<(%.
(XVI.64)
Это можно сделать, заменив рассматриваемую вещественную
частотную характеристику прямолинейными сопрягающимися
581

отрезками и продолжив каждый из них до оси ординат (рис. XVI. 10).
Заметим далее, что интервал частот со0, занимаемый каждой
предыдущей характеристикой
Pt (со), меньше, чем для
последующей.
Итак, |\ -ч1П
*>(*>)= 2^ и,
Р(и)
0 и
Рис. XVI.9. Вещественная
частотная характеристика,
которой соответствует
монотонная переходная функция
0 u0f йог и0з и0
Рис. XVI. 10. Разложение монотонно
убывающей функции Р (со) на сумму треугольных
характеристик
причем
°<«01<Ю02<---<>0/г.
Введем теперь в рассмотрение переходные функции
00
ft. (Л = - [ ^И sin /со da,
(XVI.65)
соответствующие прямолинейным наклонным характеристикам
Л- (со).
Подставляя формулу (XVI.64) в (XVI.65), получим
К (0 = ~ Ро; [Si (оосО + COSXil] • (ХVI -66)
Дифференцируя левую и правую части равенства (XVI.66),
найдем
dh__ 2PQi
dt
и, следовательно,
dhi.
^о^1-008^)
<л
:0
(XVI.67)
при всех t, причем -~ = 0, когда t — — ;k=\, 2, 3...
и t ^0/
Из неравенства (XVI.67) и выражения lit (сю) = PL (0) согласно
теореме о конечном значении следует, что функция ht (t) монотонно
582

возрастает и асимптотически стремится к своему предельному зна-
п
чению h{ (оо). Итак, функция h (t) = ^ Ai (/), представляющая собой
сумму монотонно возрастающих функций, является также
монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к своему
предельному значению, равному h (оо).
Необходимые условия для монотонности. Согласно
сформулированному в §2 критерию для монотонности переходного процесса,
Рис. XVI.11. Вещественные частотные характеристики
и необходимые условия для монотонности
вызванного единичной ступенчатой функцией при нулевых
начальных условиях, необходимо (но не достаточно) удовлетворение
следующих условий:
1. Абсолютные значения, которые принимает вещественная
частотная характеристика Р (со) при всех со ^> 0, должны быть меньше,
чем ее начальное значение при со = 0, т. е.
Р(0)^|Р(©)|. (XVI.68)
Из неравенства (XVI.68) следует, что кривой 1 (рис. XVI.И)
соответствует заведомо немонотонный процесс.
2. Удвоенная площадь, ограничиваемая кривой \Р (со)| и осью
частот при со ^> 0, должна быть меньше площади прямоугольника
с основанием, равным интервалу частот со0, на котором Р (со) ф О,
и высотой, равной начальной ординате Р (0), т. е.
оо
со0Р(0)^2$ |Р(со)|Ло. (XVI.69)
о
Последнему условию не удовлетворяет, например, кривая 2,
и, следовательно, соответствующий ей переходный процесс является
немонотонным.
683

3. Вещественная частотная характеристика Р (со) должна
удовлетворять неравенству
Р (0) cos ■
1 +
где
И
и
I^HI,
(XVI. 70)
при данном со означает наименьшее из целых чисел,
превышающих величину -5,
График ступенчатой функции
G (со) = Р (0) cos ■
1 +
№
(XVI.71)
изображен на рис. XVI. 11. Кривой 3 (см. рис. XVI.И)
соответствует немонотонный процесс, так как она не удовлетворяет
условию (XVI.70), а кривой 4 соответствует монотонный процесс.
и/и0 ■
Рис. XVI. 12. Кривые \Р (со)| для уравнения второго
порядка
Воспользуемся неравенством (XVI.70) для того, чтобы, не решая
уравнения (XVI.61), определить, при каких значениях переходный
процесс является заведомо немонотонным.
Выражение для частотной характеристики Р (со) в данном случае
имеет вид , а
pH=(i-j.).T(W (XVL72)
Согласно условию (XVI.70), переходный процесс не будет
совершаться монотонно, если нарушается неравенство
* ^ (1-о)2)
cos-
1+Н
(1 — C02)2-j- (2gC0)2 •
(XVI.73)
Кривые \Р (со)|, вычисленные по формуле (XV 1.73) для
различных значений £, изображены на рис. XVI. 12. При I = 0,4 и 0,6
кривые выходят из границы области, определяемой условием (XVI.70),
584

и, следовательно, соответствующие переходные функции не
удовлетворяют критерию монотонности.
Выводы, полученные на основании рассмотрения рис. XVI. 12,
подтверждаются видом переходных функций, соответствующих
уравнению (XVI.61) (см. рис. XVI. 13).
Определим теперь, при каких значениях £ переходная функция
h (t), соответствующая уравнению (XVI.61), будет заведомо
выходить из области допустимых значений (см. рис. XVI. 1) при М =
= 1,3; Тр = 10; Д = 0,05; а = 0,1. Для этого построим разностные
частотные спектры для нескольких
значений £, определяемые- формулой ЛЩ
(XVI. 15), положив в ней R (со) = р0)\ I
Рис. XVI. 13. Переходные функции h (t) Рис. XVI. 14. Разностные частот-
для уравнения второго порядка ные спектры р (со) для уравнения
второго порядка
рис. XVI. 14. Кривая / не удовлетворяет условиям (XVI.68)—
(XVI.71), а кривая 2 не удовлетворяет условию (XVI.71).
Следовательно, этим разностным частотным спектрам соответствуют
переходные функции, выходящие из пределов области допустимых
значений (см. рис. XVI. 1).
Рассмотренные примеры относятся к простому случаю
уравнения второго порядка. Однако при повышении порядка уравнения
применение приведенных выше признаков, позволяющих
«отсортировывать» неудовлетворительные системы, не усложняется, если
только известен частный спектр процесса или частотные
характеристики системы.
8. ОЦЕНКИ ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЯ И ВРЕМЕНИ
ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
Определение верхнего предела для
величины перерегулирования при максимуме в
вещественной частотной характеристике.
585

Предположим, что вещественная частотная характеристика имеет
максимум, отношение которого к начальной ординате равно
Ртах/Р (0) (рис. XVI. 15, а). Разобьем характеристику Р (со) на две,
как это показано на рис. XVI. 15, б. Тогда можно написать
РИ = Р1(©)-Р8(ю)>
где функции Р1 (со) и Р2 (со) являются невозрастающими
положительными непрерывными функциями, причем функция Рг (со) может
быть выбрана так, чтобы
Pl(0) = Pmax.
При этом имеем
оо оо
fc (/) = -М £^ sin /со dco — -| ^ £*М sin /со rfco. (XVI .74)
о б
Так как второй интеграл в формуле (XVI.74) положителен при
всех t > 0, то
оо
А(«<- ^ ^*-sin* ю da>,
Л J СО
о
откуда, пользуясь
критерием, приведенным выше,
получим
Рис. XVI. 15. Вещественная частотная ха- , Coo) ^ ^ ^ P (Q)
рактеристика, имеющая максимум ^ ' ^ '
при всех t^> 0. Имея это
в виду, можно сделать следующий вывод.
Если вещественная частотная характеристика имеет максимум,
равный Рщах, то величина перерегулирований имеет значение
Р — Р (0)
меньшее, чем 1,18 шар/0ч , т. е. имеет место неравенство
атах%<1Л8Рта^0)Р(0)100%. (XVI.75)
Так, например, если Ртах/Р (0) = 1,25, то величина
перерегулирования во всяком случае не превышает 48%.
Из соотношения
Р (со) = А (со) cos ф (со).
следует, что максимумы вещественной частотной характеристики
не превышают максимумов амплитудной частотной характеристики.
Кроме того, если амплитудная частотная характеристика имеет
только один максимум, равный /4тах, а фазовая характеристика
представляет монотонно убывающую функцию, меньшую по
абсолютной величине ~ в интервале существенных частот, то веществен-
586

ная частотная характеристика Р (со) также имеет только один
максимум.
Следовательно, при указанных условиях величина перерегули-
Атах — Л(0) „
ровании во всяком случае меньше, чем —^-^ч Полученный
результат можно рассматривать как некоторое обоснование иногда
применяемого косвенного критерия качества, согласно которому
необходимо, чтобы .
^< 1,2-1,3. (XVI.76)
Действительно, при удовлетворении условия (XVI. 76)
величина перерегулирований будет во всяком случае меньше 40—50%.
Оценка времени
переходного процесса
Тр и величины
перерегулирования в
случае вещественной
частотной
характеристики, мало
отличающейся от
трапецеидальной. В случае невоз-
растающей непрерывной
вещественной частотной
характеристики Р (а)), которая
приближенно может быть представлена
при помощи трапецеидальной
частотной характеристики с
интервалом частот со0 и с
коэффициентом наклона х, время переходного процесса заключено в пре-
12,0'
Рис. XVI. 16. Зависимость времени
переходного процесса 7\> и величины
перерегулирования а % от
коэффициента наклона к для
трапецеидальных характеристик
делах
<тр<
4л
(XVI.77)
и приближенно может быть оценено по кривой 1 (рис. XVI. 16).
Величина перерегулирования crmax может быть оценена по
кривой //.
Кривые I и II (рис. XVI. 16) получены путем определения
величин Тр и (imax по графикам переходных функций, соответствующих
трапецеидальным частотным характеристикам.
Оценка нижнего предела для времени
переходного процесса Гр по величине
интервала положительности (оп. Если вещественная
частотная характеристика положительна на интервале частот равном соп,
то время переходного процесса Тр во всяком случае больше, чем
я/©л, т. е. ГР>^.
Действительно, из всех вещественных частотных характеристик
Р (со) с одинаковым интервалом положительности, обращающихся
687

в нуль вне этого интервала, время переходного процесса
(рис. XVI. 16) не может быть меньше, чем ~ — , наличие же интер-
вала частот со ^> соя вне интервала положительности, в котором
вещественная частотная характеристика Р (со) отличается от нуля,
может привести лишь к увеличению, но не к уменьшению указанной
оценки.
Если вещественная частотная характеристика Р (со) является
положительной монотонно убывающей функцией (например, см.
рис. XVI.9), то время переходного процесса во всяком случае
4зх 4jt
больше, чем —, т. е. Тп >> —.
Действительно, вещественная частотная характеристика
рассматриваемого вида имеет время переходного процесса Тр, большее,
чем время переходного процесса для прямолинейной наклонной
характеристики, равное—.
9. ОЦЕНКА АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕНИЯ РАЗНОСТИ МЕЖДУ ПЕРЕХОДНЫМИ
ФУНКЦИЯМИ ПО СООТВЕТСТВУЮЩИМ ИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Для анализа качества систем автоматического регулирования
методом частотных характеристик и, в частности, для использования
с этой целью рассмотренных выше свойств вещественной частотной
характеристики Р (со) важно уметь оценивать полученную точность
в определении переходного процесса в зависимости от точности
построения частотной характеристики рассматриваемой системы.
Решение указанной задачи имеет значение не только для
анализа качества следящих систем, но и для решения ряда других
вопросов, связанных с изучением переходных процессов в
линейных системах. Так, например, им можно воспользоваться для
сведения решения дифференциального уравнения высокого порядка
или дифференциального уравнения, которому соответствует
трансцендентная передаточная функция, к решению уравнения
сравнительно невысокого порядка, приближенно описывающего искомый
переходный процесс с заданной степенью точности [3].
К решению поставленной выше задачи может быть также сведен
вопрос о допустимости пренебрежения некоторыми параметрами,
входящими в дифференциальные уравнения, или в выражение для
обобщенной частотной характеристики, если в описании
переходного процесса допустима известная погрешность. Иначе говоря,
решение этой задачи позволяет ответить на вопрос о том какие
из параметров системы можно считать «малыми», имея в виду не
только их влияние на устойчивость, но и на качество
регулирования [3].
Поставленный вопрос можно также рассматривать как
установление зависимости между погрешностью в определении частотной
588

характеристики и соответствующей ошибкой в определении
переходной функции. Дифференциальные уравнения реальной
физической системы никогда не могут быть составлены совершенно
точно и поэтому частотные характеристики, вычисленные на
основании дифференциальных уравнений, отличаются от действительных
частотных характеристик системы. При непосредственном
экспериментальном определении частотных характеристик они также
могут быть определены лишь приближенно. Поэтому весьма важно
знать, насколько точно можно судить о переходном процессе по
приближенно определенной частотной характеристике.
Наконец, к той же самой задаче определения максимального
отклонения между двумя переходными функциями в зависимости
от вида соответствующих им частотных характеристик может быть
сведен также вопрос об анализе качества следящих систем, если
Рис. XVI. 17. Вещественные частотные характеристики Рх (со),
Р2 (со) и разностная частотная характеристика р (со)
характеризовать последнее величиной максимальной ошибки в
переходном процессе. Ниже дается способ оценки погрешности между
переходными функциями по соответствующим им вещественным
частотным характеристикам.
Рассмотрим две вещественные частотные характеристики Рг (со)
и Р2 (со) (рис. XVI. 17) и предположим, что разностная частотная
характеристика
р(©) = Р1(ю) — Р2(со) (XVI.78)
удовлетворяет следующим условиям:
р (со) = 0, 0 ^ со ^ со,;
| р (со) | < ц> Щ < со ^ со*,
причем функция р (со) имеет N экстремумов в интервале со, <^ со <^
<^®к и является не возрастающей по абсолютному значению при
со^=со„.
589

В этом случае можно показать [10], что абсолютное значение
разности
е(0 = МО-МО (XVI.79)
между переходными функциями hx (/), h2 (/), соответствующими
вещественным частотным характеристикам Рх (со) и Р2 (со),
ограничено сверху величиной интеграла
(k+N)iz
|е(01
=1- I
sin со
со
dco,
(XVI.80)
где k — наименьшее из целых чисел, удовлетворяющих неравенству
*^¥-
я
Для того чтобы пользоваться формулой (XVI. 80), необходимо
уметь вычислить входящий в нее интеграл. Для этого можно
воспользоваться графиком функции
Si I QI =
sin со
da,
(XVI.81)
изображенным на рис. XVI. 18 и табл. XVI. 1. Величина А
представляет собой разность
между значениями функции Si|Q| Таблица XVI.1
сдл| Значения функции Si | Q |
? п 1
J,U r-
9 П 1—
/
ю\
LUU
п 1—
L/
Л
г
У
т*0.
о SJJ
—J
Чп в/г 127Г Q
Рис. XVI. 18. График функции Si|Q|
, 2
0
тс
2ъ
Зтс
4тс
5тс
бт:
7тс
Si | 2 |
0
1,852
2,282
2,541
2,724
2,866
2,982
3,080
А
1,852
0,430
0,259
0,183
0,142
0,116
0,098
я
8т:
9*
10тс
1Ь
12тс
13л
14тс
15тс
Sl|&|
3,165
3,240
3,306
3,366
3,421
3,471
3,517
3,560
1
д
0,085
0,075
0,066 >
0,060
0,055
0,050
0,046
0,043
для двух последующих значений Q, приведенных в табл. XVI. 1.
Для определения значения интеграла, входящего в правую часть
неравенства (XVI. 80), необходимо лишь найти разность
ординат кривой на рис. XVI. 18, соответствующих абсциссам, равным
верхнему и нижнему пределам интегрирования в уравнении
(XVI. 80).
Если N = 1, то
(1-И)*
|в(01<И [ ^Г- rf(D- (XVI.82)
590

Формулой (XVI. 82) можно пользоваться для оценки влияния
на переходный процесс любой части вещественной частотной
характеристики Р (со) между двумя последующими точками пересечения
оси частот, из которых первая имеет место при со = со,.
Из формулы (XVI. 82) вытекает ряд следствий:
1) правая часть формулы, определяющая верхний предел
абсолютного значения разности |е (/)|, является монотонно убывающей
функцией времени /;
2) при оценке времени переходного процесса Тр и величины
перерегулирования о обычно представляют интерес лишь значения
времени t<^ — , поэтому при анализе качества, определяемого
величинами Тр и с, значение ty входящее в нижний предел
интегрирования, следует брать не меньшим, чем —;
3) величина верхнего предела для 8 (/) тем меньше, чем больше
частоты, при которых имеет место расхождение между
частотными характеристиками, и чем меньше верхний предел \i
абсолютного значения разности между
ними.
Оценка
абсолютного значения разности
между переходными
функциями в случае
частотных
характеристик, существенно
отличающихся при
низких частотах.
Рассмотрим вещественные
частотные характеристики Рг (со) и
Р2 (со) (рис. XVI. 19), мало
отличающиеся друг от друга при
высоких частотах и значительно отличающиеся при низких
частотах, т. е. предположим, что
Р(и)
0
Щи)
OJo\
VS
7*
CJ
Рис. XVI. 19. Вещественные частотные
характеристики
| Рх (со) — Р2(со)|^0 при со^>со0.
(XVI.83)
Оценим, пользуясь выражением (XVI. 80), абсолютное значение
разности
е(/) ^МО-МО.
где hx (t) и /i2 (/) определяются соответственно через Рг (со) и iV(<°)
при помощи выражений типа (XVI. 41).
Имеем
e(t) = ~\{P1H-PA^\SJ^dm. (XVI.84)
591

Далее, так как
sin /со я^ /со при /со <[ 1,
то мы можем написать
со0
ИЛИ
где
|e(0l^^|^{PiH-P2(o))}rfo)
|e(/)|*4«J при *<С±,
(XVI.85)
(XVI.86)
Таким образом, из выражения (XVI. 85) следует, что в
рассматриваемом случае погрешность в определении переходной
функции возрастает пропорционально времени, причем коэффициент
пропорциональности 5 может быть легко найден из формулы
(XVI.86), если известна абсолютная величина площади,
заключенной между обеими частотными характеристиками, т. е.
\> г I
при моментах времени tf удовлетворяющих неравенству
'^. (XVI.87)
10. СВЯЗЬ МЕЖДУ СВОЙСТВАМИ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ И КАЧЕСТВОМ
Выше было показано, каким образом, зная амплитудно-фазовую
характеристику W(/со) или соответствующие частотные
характеристики разомкнутой системы, можно найти частотные характеристики
замкнутой системы Р (со), Q (со). Номы видели также, что при заданных
частотных характеристиках управляющего воздействия переходный
процесс полностью определяется вещественной Р (со) и мнимой Q (со)
частотными характеристиками замкнутой системы. Отсюда следует
что амплитудно-фазовая характеристика или соответствующие ей
частотные характеристики разомкнутой системы определяют
не только устойчивость, но и качество систем автоматического
регулирования. Так, например, заменяя в формуле (XVI. 1а) функ-
592

цию Р (со) выражением (VIII. 62) или (VIII. 100), мы можем
написать
со
,/А 2 С (U(\ + U) + V2\ sin to , /vwt oo\
h{t)=~ J { (1l+V+У» i ~^~ ^ (XVI*88)
oo
/ /j\ 2 f f #2-f#COS0 1 Sin to у /ЛГЛ7Т orw
ЛW = IT) {^ + 2//cos6 + lJ-^-d(0- <XVL89)
Формулы (XVI. 88) и (XVI. 89) определяют переходную
функцию, а следовательно, и качество регулирования при единичном
ступенчатом воздействии через частотные характеристики, или,
что по существу то же самое, через амплитудно-фазовую
характеристику разомкнутой системы. Следовательно, предварительный
анализ качества системы автоматического регулирования можно
производить непосредственно по виду амплитудно-фазовой
характеристики, не только не вычисляя интеграла (XVI.41), но и
входящей в него функции Р (со). Для этого необходимо, пользуясь
вещественной круговой диаграммой, найти свойства амплитудно-
фазовой характеристики, эквивалентные свойствам вещественной
частотной характеристики Р (со), и тем самым установить
непосредственную связь между формой амплитудно-фазовой характеристики
и качеством.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь астатических
систем, имея в виду, что обобщение формулируемых ниже положений
на случай статических систем не представляет каких-либо
затруднений.
Отметим некоторые из этих свойств.
1. Для того чтобы перерегулирования не привышали 18—20%,
достаточно иметь амплитудно-фазовую характеристику, не
выходящую из области, ограниченную окружностями вещественной
круговой диаграммы с индексом, близким к единице (Рс<1,05), и с
индексом, мало отличающимся от нуля (Рс^>—0,2), а также
имеющую со всеми окружностями вещественной круговой диаграммы
по одной точке пересечения. Указанная часть плоскости W,
отмеченная на рис. XVI. 20 цифрами /, //, может быть названа областью
малых перерегулирований.
2. Для того чтобы переходная функция h (t) представляла
монотонную функцию (а следовательно, и для того, чюбы
перерегулирования отсутствовали), достаточно иметь амплитудно-фазовую
характеристику, не выходящую из области плоскости W,
соответствующей значениям индексов PCi заключенным в пределах 0 <^
<^РС<^ 1, и имеющую со всеми окружностями вещественной
круговой диаграммы по одной точке пересечения. Кроме того,
амплитудно-фазовая характеристика должна иметь такое
распределение частот, при котором приращение частоты А между точками
пересечения амплитудно-фазовой характеристики с последующими
593

окружностями вещественной круговой диаграммы, имеющими
индексы 1; 1—АРС; 1—2ДРС; 1—ЗДРС..., О (при условии, что
величина АРС имеет фиксированное значение), непрерывно
возрастало. Так, например, амплитудно-фазовая характеристика,
отмеченная на рис. XVI.20 цифрой 3, удовлетворяет всем этим
Рис. XVI.20. Амплитудно-фазовая диаграмма качества
требованиям. Поэтому соответствующая ей переходная функция
является монотонной.
3. Для того чтобы переходная функция h (t) монотонно
стремилась к значению h (oo), необходимо (но недостаточно) иметь
амплитудно-фазовую характеристику, целиком расположенной
справа от вертикальной прямой, проходящей через критическую
594

точку. Отсюда следует, что амплитудно-фазовым характеристикам
второго рода, т. е. пересекающим вещественную ось U слева от
критической точки, не могут соответствовать переходные процессы,
протекающие монотонно. Кроме того, в следящих системах,
обладающих астатизмом выше первого порядка, переходная функция
h (t) не может быть строго монотонной (однако отступление от
условия монотонности в обоих случаях может быть сколь угодно
малым).
4. В случае амплитудно-фазовой характеристики,
удовлетворяющей условиям, изложенным в п. 2, время переходного
процесса Тр^> —. Так, например, для кривой 3 (время Тр больше, чем
4|^0,63шс).
5. Всякой амплитудно-фазовой характеристике, впервые
пересекающей окружность с нулевым индексом при частоте соЛ,
соответствует переходная функция с временем переходного процесса
6. Если при возрастании частоты амплитудно-фазовая
характеристика пересекает окружности вещественной круговой диаграммы
с непрерывно возрастающими значениями индексов Рс до тех пор,
пока она не коснется окружности с индексом Рстах (или окружности
амплитудной круговой диаграммы с индексом М = Рстах), а затем
при дальнейшем возрастании частоты пересекает окружности
вещественной круговой диаграммы с непрерывно убывающими
значениями индексов, не попадая, однако, в область отрицательных
значений индексов, то перерегулирование заведомо меньше, чем
(1,18Рстах—1). Так, например, если при удовлетворении только
что сформулированных условий индекс Рстах = 1,3, то
перерегулирования во всяком случае меньше 50%. Эта область отмечена на
рис. XVI. 20 цифрой ///.
7. Две амплитудно-фазовые характеристики мало отличаются
друг от друга, если одинаковым значениям частоты со соответствуют
точки обеих кривых, расположенные на окружностях
вещественной круговой диаграммы с близкими значениями индексов. Мало
отличающимся друг от друга амплитудно-фазовым характеристикам
соответствуют практически одинаковые переходные процессы,
вызванные, единичным ступенчатым воздействием.
8. Критерий, уточняющий условия, при которых две
амплитудно-фазовые характеристики можно считать близкими одна к
другой, заключается в следующем. Если две амплитудно-фазовые
характеристики в интервале частот 0 <^ со <^ (ot совпадают друг с другом
или находятся вне окружности радиуса д-, Д <^ 1, а при со ^> соа
пересекаются Л7 раз, причем \i есть наибольшая разность в
значениях индексов вещественной круговой диаграммы для обеих кривых
595

при одинаковых значениях со, то переходные процессы, вызванные
единичным ступенчатым воздействием, будут отличаться друг
от друга не более чем на величину интеграла (XVI. 80).
9. Если при со ^> ып амплитудно-фазовая характеристика
остается в пределах области, ограничиваемой окружностями
вещественной круговой диаграммы со значениями индексов,
изменяющихся в пределах — 0,2 < Рс < 0,2 (область IV на рис. XVI. 20),
то обычно при оценке качества вид амплитудно-фазовой
характеристики при со ]> соп может не приниматься во внимание.
10. Если амплитудно-фазовая характеристика в некотором
интервале частот 0 <^ со <^ corf не выходит из пределов области,
ограничиваемой окружностями вещественной круговой диаграммы
с индексами Рс = 0,95 и Рс = 1,05, а при дальнейшем повышении
частоты стремится к границе области отрицательных значений
индексов, подходя к ней при частоте соЛ, то соответствующая
характеристика Р (со) мало отличается от трапецеидальной с коэффи-
циентом наклона к = ---, и поэтому величину перерегулирования
С°я
а также время переходного процесса можно оценить при помощи
кривых на рис. XVI. 16.
11. Амплитудно-фазовые характеристики высококачественных
следящих систем не должны пересекать область V7, (рис. XVI. 20),
ограниченную окружностью с индексом М = 1,3 и окружностью
с индексом Рс — —0,6.
12. Точки пересечения амплитудно-фазовых характеристик с
отрицательной осью U должны располагаться в 4—5 раз дальше
от начала координат, чем критическая точка.
13. Если требуется обеспечить запас устойчивости по
модулю я« 8 дб и по фазе я^ 20°, то положительные [Р (со) ^> 4,0] и
отрицательные [Р (со) <^ —2,0] пики не допустимы ни при каких частотах
(область VII).
14. Следящая система с прямоугольной вещественной частотной
характеристикой в замкнутом состоянии физически не осуществима,
так как ей соответствует амплитудно-фазовая характеристика
с нулевым запасом устойчивости по модулю и по фазе.
Поясним на примерах, каким образом можно производить
предварительный анализ качества по виду амплитудно-фазовой
характеристики.
Предположим, что передаточная функция разомкну той, системы
имеет вид
где
К =10; Га = 0,1;
7^ = 0,033; Г, = 0,01.
596

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика отмечена
на рис. XVI. 20 цифрой / (в кружке). Она лишь незначительно
выходит из области малых перерегулирований при отрицательных
значениях индексов Рс (Рс ^> — 0,3). Кривая подходит к границе
области отрицательных значений индексов при частоте соЛ я« 11 —
и пересекает окружность с индексом Рс = 0,95 при (ad я« 5 —.
Следовательно, к ^ уу р& 0,45 и для времени переходного про-
цесса, пользуясь рис. XVI. 16, получим Тр **& yj я^ 0,55 сек.
Перерегулирование имеет порядок 20%. Более точные значения этих
величин, найденные для проверки по графику переходной функции,
равны crmax% «^23% и Тр ^ь 0,45. Как мы видим, оценки
показателей качества по виду кривой / получились вполне
удовлетворительными.
Рассмотрим еще один пример. Кривая, отмеченная на
рис. XVI. 20 цифрой 2 (в кружке), соответствует передаточной
функции
VM_ ^(y + ixr^+D + ycr^ + i) rXVIQH
s (T*as* + 2tJas + 1) (Tbs + 1) (Txs + 1) {Tlds + 1) (T2ds + 1) ' ^ ' >
где
tf = 22; t1 = 0,5; T2 = 0,18;
Tld = 0,055; 7^ = 0,02; Га = 0,15;
Ea=l,5; Г1 = 0,01; Tb = 0J.
Считая, что этой кривой соответствует вещественная частотная
характеристика, мало отличающаяся от трапецеидальной, найдем
коэффициент наклона к, т. е. х ^ т^ ^ 0,6. Далее,
воспользовавшись рис. XVI. 16, найдем следующую оценку для времени
g
переходного процесса: Тр ^ yg я^ 0,56 сек и для величины
перерегулирования сгтах% = 16 X 1,6% ^ 26%. В действительности
переходная функция достигает установившегося значения с
точностью до 7% через 0,7 сек, а перерегулирование а%^ 32%.
11. ТРЕБОВАНИЯ К ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ
ВЫСОКУЮ ТОЧНОСТЬ В СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМАХ
Предположим, что преобразование Лапласа для управляющего
воздействия g (/) имеет вид
G(s) = ^i?i| (XVI.92)
597

где функция G0 (s) не имеет полюсов во всей правой полуплоскости,
включая мнимую ось, и пусть
G0 (/со) = Pog (со) + jQ0g (со). (XVI .93)
Переходный процесс х (t), вызываемый воздействием g (t) может
быть представлен в виде формулы (XV. 55), причем приведенная
обобщенная частотная характеристика R (со) в рассматриваемом
случае имеет вид
#(со) = Р (со) Р0ь.(со) -Q(co)Q0^(co). (XVI.94)
Таким образом, для ошибки 8 (t) можно написать
e(0 = fi?(0-*(0 =
00
= | 5 {Pog И - IP И Рог И - Q И Q<* И]} s-^«>.
(XVI.95)
Из выражения (XVI. 95) видно, что ошибка г (t) имеет тем
меньшую величину, чем точнее удовлетворяются равенства
РН = Ч (XVI.96)
Q(<o) = 0, J
по крайней мере, в том интервале частот 0 <^ со <[ со^, в котором
частотные характеристики воздействия еще заметно отличаются
от нуля.
Действительно, если предположить, что при со ^ со^.
Pog(v)**Qog(<»)**0,
то при удовлетворении условий (XVI. 96) согласно формуле
(XVI. 95) будем иметь е (t) ^ 0.
Оценка верхней границы для абсолютного значения ошибки,
получающейся из-за невозможности точного удовлетворения
условий (XVI. 96), может быть дана при помощи метода, изложенного
выше.
Таким образом, интервал частот (0, соД занимаемый
характеристиками Pog (со), Q0g (со) воздействия, должен быть гораздо
меньшим, чем интервал частот (0, со0), занимаемый характеристиками
системы Р (со) и Q (со), так как лишь в этом случае можно говорить
о приближенном удовлетворении условий (XVI. 96).
Далее рассмотрим, при каких требованиях, предъявленных
к частотным характеристикам разомкнутой системы, можно
обеспечить удовлетворение этих условий с заданной степенью
точности.
598

(XVI.97)
-го 45 -
\ы
Ю -5 -Ц
\0 5
10 15 20
Пл W /JI
Рис. XVI.21. Запретная область для
низкочастотной части
амплитудно-фазовой характеристики
Для этого воспользуемся вещественной и мнимой круговыми
диаграммами и найдем на плоскости W область (рис. XVI. 21), внутрь
которой не должна попадать амплитудно-фазовая характеристика
системы в интервале частот 0 <[ со <^ a>g} для того чтобы в том же
интервале частот имели место
неравенства
|1-Р(<о)|<Д;
|Q(a>)|<A,
где А — заданная малая
постоянная величина.
Из выражений (XVI. 97)
легко видеть, что эта область
ограничивается четырьмя
окружностями (рис. XVI. 21),
попарно касающимися и
пересекающимися друг с
другом в точке (—1; /0) и
имеющими один и тот же диаметр, равный -г-. Из сказанного выше следует,
что условие, достаточное для удовлетворения неравенств (XVI. 97),
заключается в том, чтобы амплитудно-фазовая характеристика
в интервале частот 0 <[ со < cog не попадала внутрь окружности
радиуса -г-, имеющей центр в точке (—1; /0). Очевидно, что при
малых Д(Д<^1) можно без сколько-нибудь значительного
изменения результатов передвинуть центр этой окружности в начало
координат, оставив ее радиус по-прежнему равным -г-.
12. СВЯЗЬ МЕЖДУ СВОЙСТВАМИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ И КАЧЕСТВОМ
В главе XII было показано удобство применения
логарифмических частотных характеристик для анализа устойчивости систем
автоматического регулирования. Поэтому установление связи между
свойствами логарифмической амплитудной частотной
характеристики разомкнутой системы
L (со) = Lm | W (/со) |
и качеством представляет большой интерес. Эта связь может быть
установлена на основании свойств вещественной частотной
характеристики замкнутой системы Р (со) при помощи номограммы
(рис. VIII. 16), дающей линии постоянных значений функции
Р (со) в координатах L, 6.
Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики L (б)
при возрастании со идут сверху от вертикальной прямой — v
2
599

U10~3
0)2CC2
f7fl] 6Jg£? ulCg j5Q\CJcCi игсС2 \sq
Рис. XVI.26. Номограмма I для определения показателей
качества, точности и запаса устойчивости
4 6
2 3 ' 4 68 1,5 2 3 cjf
*10~2 ч'О'1 W
Техническая кибернетика, кн. 1, Зак. 532.
Рис. XVI.27. Номограмма II

(Jc C2 7ucCf u2cC2]Uc^i (a)}^2>CJc^1
Рис. XVI.28. Номограмма III
xfO'3
Техническая кибернетика, кн. I, Зак. 532
3 4 5 6189 1,5 2 2,5 3 4 5 6 789 1,5 2 2}53 (^
Рис. XVI.29. Номограмма IV
Ь>1
cjc
-40
3 4
3 4 5 6 7 8910 5 6 78910
*W2
78 910 2 3
*10
^1

вниз к вертикальной прямой — (я — т) у, пересекая некоторое
число раз прямую L = О, или, другими словами, уровень
нулевого затухания. При этом заметим, что точкам пересечения
логарифмической амплитудно-фазовой характеристики L (б) с
уровнем нулевого затухания L = 0 соответствуют значения
вещественной частотной характеристики Р (со) = Q,5; последнее
утверждение непосредственно следует из выражения (VIII. 100).
Действительно, если в нем положить Н = 1, т. е. L = 0, то мы
получим, что Р (to) = 0,5 при любом значении со.
Располагая логарифмическими частотными характеристиками
L (со), б (со), переходный процесс в замкнутой системе можно
найти обычным методом трапецеидальных частотных характеристик.
Для этого необходимо прежде всего, пользуясь номограммой на
рис. VIII. 16, найти Р (со), а затем действовать так, как это было
изложено в § 8, гл. XV.
При помощи номограммы (см. рис. VIII. 16) приведем в
соответствие области низких, средних и высоких частот
вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р (со) и
логарифмической амплитудной характеристики разомкнутой системы
L(o).
Область низких частот, в которой имеют место
неравенства (XVI. 97), определяет в значительной мере точность
воспроизведения медленно изменяющихся воздействий, причем
для удовлетворения этих неравенств достаточно, чтобы
Lm\W\^20\g(~jy (XVI.98)
а сдвиг фазы может быть любым. Отсюда следует, что областью
низких частот для логарифмической частотной характеристики
L (со), определяющей ширину частотного спектра управляющих
воздействий, пропускаемого системой с малыми искажениями,
является область 0 <[ со <[ со„, в которой имеет место неравенство
(XVI. 98).
Так, например, если А == 0,05, то
L(co)^26 дбу 0<co<ov,
если же А = 0,02, то
L(co)S^34 до, 0<со<со^.
Областью высоких частот, или областью малых параметров
вещественной частотной характеристики Р (со), является область
^о <С ^ <С °°> B которой
|Р(со)|^60, (XVI.99)
где величина б0 может быть положена равной 0,1—0,2.
600

Из номограммы (ем. рис. VIII. 16) видно,
(XVI. 99) при б0 я^ 0,2 имеет место, если
L(co)<(-16 дб).
что неравенство
Итак, при рассмотрении логарифмической амплитудной
характеристики разомкнутой системы целесообразно выделять следующие
три интервала частот (рис. XVI. 22).
Lm\W
Область
низких
U)=1 (a)q
Область
средних
частот
*, § Область
у V Высоких
частот
Рис. XVI.22. Области низких, средних и высоких
частот логарифмической амплитудной частотной
характеристики
Интервал низких
определяется неравенством
L(a))
частот (0, соД Этот интервал
Lm{i
Вид логарифмической амплитудной характеристики в этой
области указывает на порядок астатизма и статическую точность
системы. Ширина интервала позволяет найти ширину спектра
частот управляющих воздействий, воспроизводимых системой без
сколько-нибудь значительных искажений, и позволяет судить
о том, какие воздействия для рассматриваемой системы можно
считать медленно изменяющимися.
Интервал средних частот (юг, со0). Вид
логарифмической амплитудной характеристики в этом интервале частот
определяет запас устойчивости и в значительной мере качество
системы при воздействиях типа единичной ступенчатой функции.
В этом интервале находится частота среза сос, позволяющая найти
порядок времени переходного процесса.
Интервал высоких частот (со0, оо). Этот интервал
может быть также назван интервалом малых параметров. Он
содержит сопрягающие частоты, пренебрежение которыми не оказывает
^существенного влияния на качество системы.
601

13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕДАТОЧНОГО КОЭФФИЦИЕНТА
ИЛИ ДОБРОТНОСТИ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Как было показано выше (см. гл. VIII), передаточная функция
системы автоматического регулирования в разомкнутом состоянии,
обладающей астатизмом v-ro порядка по отношению к управляющему
воздействию, может быть представлена в виде
W (s) = ^°v(s)
и, следовательно, выражение для логарифмической амплитудной
частотной характеристики имеет вид
L (ф) = Lm К — v Lm со + Lm | W0 (/со) |.
При значениях со, меньших первой сопрягающей частоты
сох = ,=-, можно приближенно написать
11
L(©)^L(a>) = Lm/C — vLmco, 0<со<сох. (XVI.100)
Прямая, описываемая уравнением (XVI. 100) и называемая
низкочастотной асимптотой логарифмической
амплитудной характеристики L (со), дает простой способ определейия
передаточного коэффициента К при любом порядке астатизма v.
Действительно, при со = 1 выражение (XVI. 100) сводится
к виду
Кч (<*>) L-i = Lm К,
из которого следует, что величина передаточного коэффициента
К, выраженная в децибелах, определяется ординатой
низкочастотной амплитуды LHH (со) при значении угловой частоты со, равном
единице (рис. XVI. 22).
Заметим, что в статических системах выражение для
низкочастотной асимптоты принимает вид
L(©)^Lm/C,
из которого следует, что в этом случае продолжение низкочастотной
асимптоты до значения со = 1 оказывается излишним, так как
асимптота представляет прямую, параллельную оси частот, и
значение К в децибелах равно расстоянию этой прямой от оси частот со.
Другой способ определения К заключается в следующем.
Продолжим низкочастотную асимптоту Ьнч (со) до пересечения с осью
частот (см. рис. XVI. 22).
В точке пересечения со = со^
602

и, следовательно, согласно выражению (XVI. 100)
Lm К = v Lm co^
или
/C = cov. (XVI. 101)
Отсюда следует, что значение коэффициента К равно значению
угловой частоты ык в точке пересечения низкочастотной асимптоты
с осью частот в степени v, равной порядку астатизма системы.
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ
УПРАВЛЯЮЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Предположим, что на вход системы автоматического
регулирования подано гармоническое управляющее воздействие
g(t)=gacos®at (XVI.102)
тогда, как видно из гл. VIII, ошибка еусг (t) системы в
установившемся состоянии также будет представлять собой гармоническую
функцию вида
Ьст (0 = gaA. (О COS [G>J + фе К)], (XVI. 103)
где через Аг (coj и ф£ (соа) обозначены относительные значения
амплитуды и фазы, соответствующие передаточной функции ошибки
Ф6 (/со) при данном со = соа, т. е.
ф6 (to,) = т+жш = А* К) еК (Иа)- (XVI-104)
Представим выражение (XVI. 104) в следующем виде:
^w^'^'tMp (XVU05)
и, следовательно, Л£ (соа) и ф£ (соа) можно определить,
воспользовавшись номограммой на рис. VIII. 12.
Действительно, пусть при со = соа
L К) = La\
в W = ев,
тогда Л£ (соа) и ф£ (o)fl) будут равны индексам кривых номограммы
на рис. VIII. 12, проходящим через точку с координатами (—Laf
-и.
При значениях со, меньших первой сопрягающей частоты сох
величины Ав (coj и фе (соа) могут быть определены непосредственно
по логарифмическим характеристикам L (со), б (со). Действительно,
присо<со1
W(j<D)**£e-J 2 (XVI.106)
603

CO* t*%
ФАН^е \ (XVI.107)
где v — порядок астатизма.
Поэтому при со <^ сох выражение (XVI. 103) сводится к виду
*у
Ьст (0 ~^Г С0§ Ы +VV) (XVI. 108)
и, следовательно, амплитудное значение ошибки га при со <^ сох:
вв~^. (XVI. 109)
Для астатической системы первого порядка при со <^ со2
еа^^, (XVI.110)
причем ошибка в определении га по этой формуле не превышает
3%, если со ^ 0,50)!. Для астатической системы второго порядка
при со ^ сох
га^8-^, (XVI.111)
причем ошибка в определении га по этой формуле не превышает
3%, если е ^ 0,35а)1Ф
Аналогичным образом, пользуясь логарифмическими
характеристиками, можно определить амплитуду и фазу вынужденных
установившихся колебаний отклонения х (t) регулируемой
величины, вызванных гармоническим возмущающим воздействием f {t).
15. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
ПО СОПРЯГАЮЩИМ ЧАСТОТАМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Покажем теперь, каким образом по виду логарифмической
амплитудной частотной характеристики можно найти приближенное
выражение преобразования Лапласа для ошибки Е (s) (см. гл. VIII),
позволяющее установить непосредственную связь между переходным
процессом и постоянными времени системы ИЗ].
Рассмотрим преобразование Лапласа для ошибки в виде
£(s>=ifwr <XVU12)
Заменяя в нем s на /со, можно написать
£{g = 1+ №'{/«>) =Ф;'(/«). (XVI,113)
604

Обозначим через сос частоту среза логарифмической амплитудной
характеристики, т. е. частоту, при которой
Lm | И? 04) 1 = 0. (XVI. 114)
тогда в случае часто встречающихся логарифмических амплитудных
характеристик, имеющих прямолинейный участок с наклоном
(— 20 дб/дк) в окрестности частоты среза сос и обладающих
достаточным запасом устойчивости, приближенно можно положить
ф?№) = Щ$**№и®)\ при со<сос (XVI.115)
WW-lwml**1 ПРИ0)>0)- (XVI.116)
Итак, согласно двум последним выражениям приближенный
вид (рис. XVI. 23) логарифмической амплитудной характеристики
Lm|Os (/со)| определяется выражениями
Ьт|Ф6(/со)1^ — Lm\W(j®)\, co<coc, (XVI.117)
и
Ьт|Ф8(/со)|^0, со>сос. (XVI.118)
Таким образом, мы приходим к следующему правилу: для того
чтобы получить приближенную формулу для функции Ф£ (s),
необходимо ее приравнять выражению для обратной передаточной
функции разомкнутой системы [W(s)]_1, оставив в нем все множители
в числителе и знаменателе, соответствующие сопрягающим
частотам, меньшим частоты среза сос, и заменив все остальные множители,
входящие в W (s), одним единственным множителем (1 + —) в ее
числителе.
Преобразованную подобным образом функцию W (s) обозначим
через W (s). Получив приближенное выражение для Фе (s), которое
мы обозначим через Фе (s), изменение ошибки во времени можно
представить при помощи выражения
Н-/00
* W ~ 2i/ ) $« <s> G <s) e$t d$- <XVI-J 19>
—Уоо
Для некоторого уточнения результатов найдем отношение точного
значения модуля функции Фе (s) к приближенному его значению
Фе (s) при s = /сос, тогда имеем
ФЛМ)-1+1;ач)- (XV1.120)
605

и
Итак,
Р =
Ф.(/®с) =
Фе Ос) I
1
№Ос)
ТУ Ос)
ф8 .Ос) 1
l + WOc)
(XVI.121)
(XVI. 122)
|Ф.0Ч)1=Р|Ф.(/в>с)|. (XVI. 123)
В первом приближении обычно можно предположить, что
соотношение (XVI. 122) между точным значением модуля |Ф, (/ш)|
Lm\w\
Рис. XVI.23. Приближенный способ определения
передаточной функции ошибки по логарифмической
амплитудной характеристике
и приближенным его значением Ф£ (/со) справедливо не только при
со = сос, но и на всем интервале частот между сопрягающими
частотами (со2, со3), ближайшим к частоте среза сос (рис. XVI. 23).
Эффект поправочного коэффициента р, определяемого формулой
(XVI. 122), на изменение ошибки е (t) во времени можно учесть,
умножив на него ординаты кривой е (/), полученной при помощи
формулы (XVI. 119) в интервале значений времени —<^t<^—.
Итак, способ вычисления ошибки е (t) состоит из следующих
шагов:
1) определяем, пользуясь сформулированным выше правилом,
функцию W (s), исходя из заданной логарифмической амплитудной
характеристики Lm| W\ и полагая
W(s)
2) вычисляем ошибку е (/), пользуясь формулой (XVI. 119);
606

3) вычисляем поправочный коэффициент р, пользуясь формулой
(XVI. 122);
4) умножаем ординаты кривой е (t) нар при значениях временив:
■<'<;
и плавно соединяем первоначальную и
получившуюся кривые в окрестности значений /, равных 1/оз2 и 1/оз3.
При этом отметим, что изложенный способ применим также
к вычислению отклонения регулируемой величины х (/), имеющей
Lm\
U0
0
-ЬО
w\
II
>v
JMo
(j)c\
",**f^l
(S4
J3\\\
Mr
£v(t)
0,16
0,08
«)
OJ
OA
oj a
в)
10 и 100
\ /
,9
у
\
1.6
Рис. XVI.24. Логарифмическая
амплитудная характеристика
(а) и соответствующие ей
кривые изменения ошибки:
б — при единичном ступенчатом
воздействии; в — при постоянной
скорости
преобразование Лапласа X (s) вида
Х(з)
I(s)
1 + W(s)
F (s) = (^{s)I (s) F (s), (XVIЛ 24)
а также к вычислению свободных колебаний при ненулевых
начальных условиях.
Передаточная функция ошибки Os (s) в выражении (XVI. 124)
может быть найдена по логарифмической амплитудной
характеристике Lm|l^| так, как это было изложено выше.
Пример. Предположим, что передаточная функция разомкнутой системы
W (s) определяется формулой
К (т,з + 1)
W(s) =
s (7\s+l)(r3s + l)
(XVI.125)
и что логарифмическая амплитудная характеристика, соответствующая формуле
(XVI.125), имеет вид, изображенный на рис. XVI.24, а. Требуется найти
выражение для е (/) при единичном ступенчатом воздействии, а также при
воздействии в виде постоянной скорости. Согласно изложенному выше правилу
607

для образования функции W (s) нужно опустить последний сомножитель в
знаменателе и ввести сомножитель (tcs -f- 1) в числитель, тогда
^(s)==JK(T2s+l)(tcs + l) (XVI.126)
s (TiS + 1)
Следовательно, преобразование Лапласа Е (s) для первого приближения
s(t) функции е (t) при единичном ступенчатом воздействии имеет вид
g<'>°K(J+'iHti, + i) <XVU28>
или
£(s) = 7-—^4т^П ч, (XVI.129)
w (s + со2) (s + сос) ' v ;
так как (см. рис. XVI. 124)
k==Ji_^<u2Vc (XVI.130)
Т2ТС СО!
Итак, первое приближение для е (t) при единичном ступенчатом воздействии
имеет вид , .
-(о = ^"^ *-«.< _ 5?iz^ e-"c\ (xvi.131)
При воздействии в виде единичной постоянной скорости
Ё(s) -= . .S+^ , г, (XVI.132)
w s (s + со2) (s + ©с)' v ;
тогда
7 ©2©с со2 (со2 — ©с)
_^LZ1^ <Г V (XVI.133)
©с (сос — со2) v '
Найдем теперь поправочный коэффициент р, пользуясь формулой
(XVI.122). Подставляя выражения (XVI.125) и (XVI.126) для W (s) и №(s)
в (XVI. 122), получим
(s + ©2) (s + ©с)
s (s + ©х)
(XVI.134)
I s (s + со!) (s + co3) + ©c©3 (s + co2) I
s(s + ©i) (s + ©3)
Для уточнения результатов необходимо умножить значения функций
8 (t), ev (t), определяемых формулами (XVI. 131) и (XVI. 133), на р в интервале
— <*< —.
©3 ©2 ^ х-ч
На рис. XVI.24, б, в изображены соответственно кривые 8 (t) и ev (t) для
случая, когда (рис. XVI.24, а)
^=10; 5??=16; ^ = 4; ©2 = 1.
©1 ©2 ©2
Штриховые кривые соответствуют точному решению, штрих-пунктирные
кривые дают первое приближение согласно формулам (XVI. 131) и (XVI. 133),
а сплошные кривые — приближенное решение с учетом поправочного
коэффициента р.
6С8

Рассмотренный метод дает хорошие результаты при значениях
отношения — порядка 10 и выше. Это отношение пропорционально
(02
длине прямолинейного отрезка логарифмической амплитудной
характеристики в окрестности частоты среза сос. Приведенное
условие обычно удовлетворяется для достаточно
высококачественных систем. При меньших значениях — влияние комплексных
корней характеристического уравнения замкнутой системы
становится настолько значительным, что оно не может быть с достаточной
точностью учтено при помощи чисто вещественного корня сос так,
как это делается согласно изложенному выше методу.
16. НОМОГРАММА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ, ПОКАЗАТЕЛЕЙ
КАЧЕСТВА И КОЭФФИЦИЕНТОВ ОШИБОК ПО ВИДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Логарифмические амплитудные характеристики Lmj W\ часто
можно представить состоящими из следующих основных частей
(см. рис. XVI. 25): среднечастотной асимптоты CD с наклоном
—20 дб/дек, пересекающей ось частот в точке, соответствующей
частоте среза озс; низкочастотной асимптоты АВ, имеющей наклон
Рис. XV 1.25. Типовые логарифмические амплитудные
характеристики
— 20v дб/дек, где v — порядок астатизма; отрезка прямой ВС с
наклоном —40 -ч 60 дб/дек, соединяющего низкочастотную асимптоту
с отрезком прямой, пересекающим ось частот; отрезка прямой DE
с наклоном —40 -. 60 дб/дек, определяющим вид желаемой
логарифмической амплитудной характеристики при повышенных часто-
так, и, наконец, высокочастотной части, которая мало влияет на
качество системы и поэтому в первом приближении может не
приниматься во внимание [11, 12].
Учитывая сказанное, желаемые логарифмические амплитудные
характеристики можно подразделить на ряд основных типов и для
20 Техническая кибернетика, кн. 1
609

логарифмической амплитудной характеристики каждого типа
составить специальные номограммы, аналогичные приводимым ниже
(см. рис. XVI. 26 — XVI. 29) (см. вклейки). Номограммы
составлены для минимально-фазовых систем и позволяют привести в
непосредственную связь основные параметры логарифмической
амплитудной характеристики с интересующими нас показателями
качества. Эти номограммы представляют существенный интерес
не только для анализа, но и для синтеза корректирующих
устройств.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь типовых
логарифмических амплитудных характеристик астатических систем
первого порядка, имея в виду, что приводимые ниже результаты,
как это показывается далее, в ряде случаев с известной степенью
приближения могут быть применены к статическим и к астатическим
системам второго порядка.
Итак, ограничиваясь астатическими системами первого порядка,
рассмотрим четыре основных типа логарифмических амплитудных
характеристик (рис. XVI. 25), имеющих низкочастотные и средне-
частотные асимптоты с одним и тем же наклоном — 20 дб/дек и
отличающихся друг от друга лишь наклоном в интервале частот
(о)ь (о2) (отрезок ВС) и в интервале частот (со3, ос) (отрезок DE).
Если предположить, что типовые логарифмические амплитудные
характеристики на рис. XVI. 25 принадлежат минимально-фазовым
системам, то легко найти соответствующие им передаточные
функции W (s). Классификация типов логарифмических амплитудных
характеристик по их наклонам в указанных интервалах приведена
в табл. XVI. 2.
Результаты, полученные для типовых логарифмических
амплитудных характеристик, приведенных в табл. XVI. 2, могут быть
использованы и для ряда других типовых логарифмических
амплитудных характеристик, имеющих передаточные функции,
отличающиеся от приведенных в таблице.
Каждая из типовых логарифмических амплитудных
характеристик (табл. XVI. 2) полностью определяется четырьмя
параметрами: передаточным коэффициентом или добротностью К и
сопрягающими частотами
1 1 1
а>1 = — • © =—• (о3==-.
11 Т2 Is
Однако удобнее пользоваться совокупностью следующих четырех
параметров: ординатой Lx логарифмических амплитудных
характеристик при оз = ©!, частотой среза сос и относительными сопрягающими
частотами ^и -. Номограммы на рис. XVI.26—29 (см. вклейки)
позволяют определять интересующие показатели качества
системы непосредственно по виду типовых логарифмических ампли-
r U)i СОо
тудных характеристик, заданных своими параметрами ьх,сос, --,--.
610

Таблица XVL2
Передаточные функции W(s) для типовых логарифмических
характеристик
Тип

рифмической
амплитудной

рактеристики
I
II
III
IV
Передаточная функция
AT(t2s+1)
s(rlS+l)(r3s+l)
K(z2S+ I)2
K(**s+\)
5(7> + 1)(;г35+1)2
K(^s+\)2
s(TlS+\r-(T3s+\y
(XVI.135)
(XVI. 136)
(XVI.137)
(XVI.138)
Наклоны в интервалах е
— 00 -j-
-20
—20
—20
—20
(И1 -L.
"7" ш2
—40
—60
—40
—60
0)2 -f
-г шз
—20
—20
—20
—20
{ д£Уд£А:|
<°3 -7-
—40
-40
—60
—60
В соответствии с четырьмя передаточными функциями,
приведенными в табл. XVI. 2, мы рассмотрим номограммы: I—IV [номер
номограммы соответствует типу логарифмической амплитудной
характеристики в табл. XVI. 2 (рис. XVI. 26 — XVI. 29) (см.
вклейки)].
В центральной части каждой номограммы изображена область,
внутри которой обычно располагаются логарифмические
амплитудные характеристики рассматриваемого типа. По оси абсцисс отло-
СО
жены относительные частоты — , а по оси ординат — значения модуля
| W (/со) | в дб. Частоте среза сос на оси абсцисс соответствует точке
^- = 1.
Цифры в прямоугольниках справа от наклонной прямой, идущей
вверх от точки — = 1, представляют значения ординат
изображение
ных на номограмме горизонтальных отрезков. Цифры в кружках
в конце прямых в правой части номограммы обозначают значения
СОо
относительных сопрягающих частот —, соответствующих этим
прямым. Кривые, расположенные в верхней и нижней частях
номограммы, представляют зависимости рассматриваемых пяти динами-
ческих показателей, или величин а, - *гг, ®cCl7 cocC2 и у, от отно-
20* 611

сительной сопрягающей частоты — при различных фиксированных
и —, где о — перерегулирование; Тр — время
переходного процесса; у — запас устойчивости по фазе, а Сг и С2 —
так называемые
коэффициенты ошибки, определяющие
точность системы при
медленно изменяющихся
управляющих воздействиях (см.
гл. VIII)
В верхней части
номограммы помещены кривые с
указанными зависимостями
для значений Ll9 равных 70;
50 и 30 дб. В нижней части
номограммы построены
кривые, определяющие те же
зависимости для значений Llt
равных 80; 60; 40 и 20 дб.
Цифры в кружках, которыми
отмечены кривые, обозначают
соответствующие им значения
относительной сопрягающей
СОо
частоты — .
сос
Способ применения
номограммы для определения
перечисленных динамических
показателей,
соответствующих какой-либо конкретной
логарифмической
амплитудной характеристике,
относящейся к одному из четырех
перечисленных типов,
заключается в следующем:
1) определяем, пользуясь
табл. XVI. 2, тип, к
которому относится
рассматриваемая логарифмическая ампли-
выбираем соответствующую номо-
ом
Рис. XVI.30. Пример определения
показателей качества, точности и запаса
устойчивости при помощи номограмм
И
зудная характеристика
грамму;
2) находим параметры логарифмической амплитудной
характеристики Llt —,
и определяем интересующие нас динамические
показатели при помощи кривых, приведенных на номограмме.
Рассмотрим конкретный пример (рис. XVI. 30). Параметры
логарифмической амплитудной характеристики на рис. XVI. 30,
612

относящейся ко II типу, равны: Lx = 60; °^- = 0,04; — = 2. Так
как Ьг = 60, то выбираем на номограмме II те из кривых, которые
отмечены сверху цифрой I 60 I. Затем отмечаем на оси — точку 0,04
и проводим через нее прямую до пересечения с кривыми,
отмеченными цифрами в кружке, равными заданному значению —, Точки
пересечения определяют интересующие нас величины. В данном
случае — = 2. В результате получаем искомые значения дина-
со
мических показателей. 1ак, например, в рассматриваемом случае
(рис. XVI. 30) имеем
(W% = 45%; ^f-0,74; Y = 38°;
cocd = 2,5- Ю"2; co*C2 = 2,2.
Если значения параметров интересующей нас логарифмической
амплитудной характеристики отличаются от имеющихся на
номограмме, то динамические показатели могут быть определены по
имеющимся на номограмме кривым при помощи интерполяции.
Рассмотрим способ построения номограмм. Как мы видели,
номограммы содержат кривые для определения следующих пяти
динамических показателей: Тр, сгтах, у, Съ С2.
Кривые для нахождения первых двух величин" Гр и атах были
получены [11] при помощи вычисления корней и построения
переходных процессов для различных сочетаний параметров,
определяющих типовые логарифмические амплитудные характеристики,
и, наконец, непосредственного измерения по этим кривым указанных
величин.
Для построения кривых, определяющих остальные динамические
показатели, легко вывести общие формулы. Рассмотрим, например,
выражение для избытка фазы у при со = сос в случае передаточной
функции (XVI. 135), оно, очевидно, имеет вид
Y = я + 6 (о)с) = -J — arctg J +
+ arctgc^ — arctg^. (XVI. 139)
Исключая из этого уравнения относительную частоту —, полу-
сос
чим
^с_ __ JQ20". ^2 -_ Ю 40~-
0)2 ' Щ '
где L2 — ордината характеристики при со = со2.
Следовательно, L
^Ю^. (XVI. 140)
613

Принимая во внимание выражение (XVI. 140), вместо (XVI. !39)
можно написать
Y=|-arctgJ + arctg[(g)210_2-3]_arctgg. (XVI.141)
Формулы для вычисления запасов устойчивости по фазе у для
остальных типов* логарифмической амплитудной характеристики
могут быть получены аналогичным путем [11]. Формулы для
вычисления коэффициентов ошибки приведены в столбцах (ocCv co^C2
табл. XVI. 3.
Подобные номограммы могут быть построены не только для
систем с астатизмом первого порядка, но и для статических систем,
а также для систем с порядком астатизма выше первого. Однако
если интерес представляют лишь величина перерегулирования
и время переходного процесса, то приведенные номограммы часто
оказываются применимыми независимо от порядка астатизма.
Действительно, если две логарифмические амплитудные характеристики,
соответствующие минимально-фазовым системам, отличаются друг
от друга лишь при достаточно малых значениях со, при которых
| W\ ^> 1, то им соответствуют весьма близкие вещественные
частотные характеристики, а следовательно, и переходные процессы.
Так, например, если логарифмические амплитудные
характеристики статической системы и систем с астатизмом первого и
второго порядков совпадают при тех со, при которых | W (/со)| ^ 30 дб
и различаются лишь при тех значениях со, при которых
11П/со) |^> 30 дб,
то вещественные характеристики Р (со) этих систем в замкнутом
состоянии отличаются от вещественной характеристики системы
с астатизмом первого порядка не более чем на 2,5%.
Применение номограммы будет давать для статических систем,
вообще говоря, несколько завышенные, а для систем с астатизмом
второго порядка несколько заниженные оценки величины
перерегулирования огтах и времени переходного процесса Тр по сравнению
с действительными их значениями. Для систем с астатизмом второго
порядка, имеющих низкочастотную асимптоту с наклоном —
40 дб/деку переходящую в асимптоту с наклоном — 20 дб/дек,
следует пользоваться номограммами I или III и применять кривые
tfmax = /( — ); -^тг =/(—)» соответствующие значению Ьг = 80,
принимая за сох то значение со, при котором L (со) = 80.
Часто оказывается возможным применять номограммы не только
в случае передаточных функций вида (XVI. 135) — (XVI. 138),
имеющих кратные полюса и нули, но и в случае передаточных
функций, не имеющих кратных полюсов и нулей. Однако необходимо,
чтобы порядок числителя и порядок знаменателей рассматриваемой
614

615
Таблица XVI.3

и соответствующей типовой передаточной функции были одинаковы.
Так, например, номограммой II можно пользоваться для систем
с передаточными функциями вида
w <s> = лгМШШтту <XVU42>
номограммой III—для систем с передаточными функциями вида
w'(*) = тштШтш^тту (XVU43)
номограммой IV — для систем с передаточными функциями вида
W (s) #(t3s + 1)(t4s + *) (XVI 144)
w ^ s(r1s+l)(r2s + l)(r5s+l)(r6s + l) l V j
Правило перехода от передаточных функций (XVI. 142) —
(XVI. 144) к передаточным функциям (XVI. 136) — (XVI. 138)
заключается в том, что две соседние постоянные времени Tt и Ti + 1
заменяются двумя одинаковыми постоянными времени,
определяемыми по формуле
TiM1 = VW^i- (XVI.145)
Ошибка в логарифмической амплитудной характеристике,
получающаяся при замене двух соседних неодинаковых постоянных
времени Th Ti + 1 одной постоянной Ти + 1 при -=—<^~- не пре-
вышает 2 об.
Номограммами можно также пользоваться в тех случаях, когда
вместо двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными
времени имеется одно колебательное звено. Очевидно, что ошибка
при этом будет уменьшаться с убыванием коэффициента затухания I*
(см. гл. VIII).
ЛИТЕРАТУРА
1. Солодовников В. В. Некоторые методы исследования систем
автоматического регулирования. Дисс. на соискание ученой степени канд.
техн. наук. Москва, ВЭИ. 1939.
2. Солодовников В. В. Применение операторного метода к
исследованию процесса регулирования скорости гидротурбины, «Автоматика и
телемеханика». 1941, № 1.
3. Солодовников В. В. Об одном приближенном методе
исследования динамики следящих систем и систем регулирования. «Известия АН СССР,
ОТН», 1945, № 12.
4. Солодовников В. В. Метод частотных характеристик в теории
регулирования. «Автоматика и телемеханика». 1947, № 2.
5. Солодовников В. В. Частотный метод анализа динамики
следящих и регулируемых систем. Дисс. на соискание ученой степени докт. техн.
наук ИАТ АН СССР, М., 1948.
6. Солодовников В. В. Критерий качества регулирования» ДАН
АН СССР. Т. IX, № 6, 1948.
616

7. Солодовников В. В. Критерий отсутствия перерегулирований
и критерий монотонности. ДАН API СССР. Т. LXII, № 5, 1948.
8. Солодовников В. В. О применении трапецеидальных
частотных характеристик к анализу качества систем автоматического регулирования.
«Автоматика и телемеханика», 1949, № 5.
9. Солодовников В. В. Анализ качества следящих систем по их
амплитудно-фазовым характеристикам. «Известия АН СССР, ОТН», 1949,
№ 4.
10. Солодовников В. В. О частотных условиях монотонности и об
оценке погрешности в определении переходного процесса по частотным
характеристикам. «Автоматика и телемеханика», 1950, № 4.
11. Солодовников В. В., Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления, Физматгиз, 1960, М.
12. ЧеснатГ. и МайерР. В. Проектирование и расчет следящих
систем и систем регулирования. Госэнергоиздат, М. — Л., 1959.
13. Н а г г i s Н., К i г b у М., Von A r x E., Servomechanism Transient
Performance from Decibel — log Freguency Plot, Trans. AIEE, V. 70, 195L

ГЛАВА XVII
СВЯЗЬ МЕЖДУ КАЧЕСТВОМ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА И
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.
МЕТОД КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ
В настоящей главе мы рассмотрим связь между распределением
нулей и полюсов передаточной функции системы и аналитическим
выражением, определяющим переходный процесс. Если в процессе
проектирования системы автоматического регулирования были
получены характеристики переходного процесса, не
соответствующие поставленным техническим условиям, то изменением положения
корней характеристического уравнения можно получить это
соответствие. Однако при таком методе проектирования неясно, каким
образом нужно изменять корни, чтобы получить требуемые
характеристики переходного процесса. Метод корневого годографа
(траектории корней) [20], [31] в значительной степени устраняет это
затруднение, так как он позволяет проследить, как меняются корни
характеристического уравнения при изменении от — со до + со
линейно-входящего параметра системы.
Ниже будет показано, что этот метод дает возможность:
установить области устойчивости системы по данному параметру
(совпадающие с областями Д-разбиения); использовать рекомендации
по расположению корней, дающих оптимальный переходный
процесс; выбрать тип и параметры требуемого корректирующего
устройства системы.
Учитывая, что большое влияние на качество переходного
процесса имеет расположение нулей передаточной функции
относительно полюсов, а также расположение полюсов комплексного
спектра внешнего воздействия, последний параграф главы
посвящен анализу этого вопроса и формулировке рекомендаций по выбору
рационального распределения нулей и полюсов передаточной
функции по отношению к заданному спектру внешнего воздействия.
В заключение следует отметить, что метод корневого годографа
позволяет непосредственно применять к анализу и синтезу линейных
систем классические методы теории линейных дифференциальных
уравнений, получившие в настоящее время довольно широкое
развитие.
6J8

1. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим выражение для преобразования Лапласа X (s)
переменной x{t), характеризующей протекание переходного
процесса в исследуемой системе. Полагая, что преобразование Лапласа
F (s) для воздействия / (t) представляет дробно-рациональную
функцию от s вида F /я\
F® = T$y (XVII.1)
выражение для X (s) можно представить в виде
X (S) ~ D(8)F%(s) + !Щ~' (XVII.2)
Разложив многочлены D (s), MH (s), Ft (s) и F2 (s) на множители,
получим
D (s) = am(s — Ях) (s — %2) ... (s — Kn);
M(s) = bm(s — yl)(s — yi) ... (s — ym);
?i (s) = /1 (s — ffi) (s — <ra) ... (s — o^;
/='2(s) = /2(s—Pl)(s —p2) ... (s —px).
Далее, положив ~ = jF0, будем иметь
/2
v /.ч Ьт (S — Y2) (S —Y2) ... (8 — Ym) f (5 ~ <Ti) (s — CF2) .
*W~ fl«(s-X1)(s-Xa) ... (s-^)/o(s-Pl)(s-p2) ..
, A4„(s)
1 an (s - Xx) (s - K2) ... (s-^)*
.. (S-Pv) "^
(XVII.3)
Последнее выражение показывает, что в общем случае
преобразование Лапласа X (s) для изменения регулируемой величины
в переходном процессе зависит от следующих факторов:
распределения полюсов X передаточной функции (корней
характеристического уравнения);
распределения нулей у передаточной функции;
возмущающего воздействия / (t) (нулей а и полюсов р его
изображения);
начальных условий в виде функции Мн (s);
постоянных коэффициентов аПУ Ьт и /0.
Применим к выражению (XVII. 3) обратное преобразование
Лапласа, предположив для простоты, что все нули D (s) и F2 (s)
простые. Пользуясь формулой (XVII. 3) и группируя отдельно
члены, соответствующие полюсам X передаточной функции, полюсам
р преобразования Лапласа F (s) для воздействия и начальным
условиям, получим
п
WA - \ М(Щ\0Ч) у VI М (9к) F, (р,с) Ki , V Мн(Хд x.t
Х W - Z Т);Щ7Ш е + Z D(?K)F'(?K)e + L D'(Xd ■
t=l k=\ t=l
(XVII.4)
619

Если преобразование Лапласа F (s) возмущающего воздействия
имеет один полюс в начале координат, т. е. если
^(s) = iftfS) и -F2i (s) =/2(s — p2)(s — Рз) ••• (s — Pv).
то выражение для регулирующей величины примет вид
(f. М (0)^(0) , 4i M(9k)Fx(?k) fJ ,
Х W - D (0) F21 (0) -I" ii2pKD (p„) К, (Рк) "t"
yi M (X;) Ft (Xj) x.t , у MH (%t) x.t
+ L D' (Xi) F, (Xi) ^ L D'(Xd e '
Обозначим постоянные
M (0)^(0) ... „, __v M(9k)F1(Pk) ____r ,
D (0) F21 (0) - * l°°>' PkD (pK) F'tl (Рк) ~ Cw'
D'(Xi)FAh)~ ch D'(X() u*''
Выражение (XVII. 4) получит вид
V П П
X(t)=x(оо) + 2 св,А'+2 с«е¥+2Сн;е¥- (xvlL5)
/г = 2 j = l i=l
Первые два члена представляют вынужденную составляющую
решения, определяемую полюсами преобразования Лапласа F (s)
возмущающего воздействия / (f). В данном случае при наличии
полюса этого преобразования в начале координат и при М (0) X
X Fx (0) Ф 0 вынужденная часть решения имеет постоянную
составляющую х (оо). Обозначив вынужденную составляющую решения
через хв (0, можно написать
xe(t) = x(oo)+ j^Ce^.
Два последних члена выражения (XVII. 5) представляют
собственную составляющую, определяемую полюсами передаточной
функции системы. Первый из них определяет собственные движения,
возникающие в системе под влиянием возмущающего воздействия,
и зависит от его вида. Эта составляющая имеет место и при нулевых
начальных условиях. Иногда ее называют собственной
сопровождающей составляющей и обозначают хс (/).
Последний член решения целиком определяется передаточной
функцией системы и начальными условиями и носит название
свободной составляющей решения; обозначим ее хсв (t). Тогда в общем
виде решение дифференциального уравнения процесса
регулирования можем записать
х (t) = хв (0 + хс (/) + Хс, (*). (XVII.6)
620

2. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
СИСТЕМЫ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
О динамических свойствах систем автоматического
регулирования часто судят по характеру переходных процессов, которые
протекают в системе при единичном ступенчатом возмущающем
воздействии и при нулевых начальных условиях.
В этом случае
F(s)=|; MH(s) = 0,
и общее выражение (XVII. 2) для преобразования Лапласа X (s)
сводится к виду
Y(a\— M^ —bm(s — Vi)(s — V2).--(s — ym) /YVTT 7\
л^~ sD(s) - ans(s-X1)(s-l2)...(s-ln)- l^vn./j
Последнее выражение показывает, что существенное и
определяющее значение для переходного процесса, а следовательно, и для
основных показателей его качества имеют как полюсы, так и нули
передаточной функции. Поэтому в общем случае анализ лишь
распределения корней характеристического уравнения (полюсов
передаточной функции) не может дать правильного представления о
характере переходного процесса. Однако в последнее время
большое внимание уделяется исследованию распределения корней
характеристических уравнений и оценке качества переходных
процессов по основным показателям этого распределения при
простейших типах начальных условий [обычно при х (0) = 1, хг (0) =
*"(0) - ... - *<«-i> (0) = 0].
Подобное исследование не всегда может дать правильное
представление о процессах, протекающих в реальной системе. Это видно,
например, из того, что одинаковые характеристические уравнения
могут иметь статическая и астатическая системы регулирования,
хотя переходные процессы в таких системах при ступенчатом
возмущающем воздействии принципиально отличаются друг от друга.
Оценки же качества переходных процессов, полученные лишь на
основании исследования распределения корней характеристического
уравнения при простейших типах начальных условий, будут
одинаковыми.
Правда, для любой системы можно найти определенные
начальные условия, при которых свободные колебания, найденные по
характеристическому уравнению, будут соответствовать переходному
процессу в реальной системе, протекающему при единичном
ступенчатом возмущающем воздействии и нулевых начальных
условиях. При этом начальные условия получаются обычно достаточно
сложными, и оценка качества процесса по распределению корней
характеристического уравнения становится достаточно громоздкой.
Только в том случае, когда передаточная функция системы
лл , ч М (s)
Y (s) = т—r-f не имеет нулей, т. е. когда ее числитель представляет
621

постоянную величину, не зависящую от s, качество переходного
процесса вполне допустимо оценивать по распределению корней
характеристического уравнения при простейших типовых
начальных условиях.
3, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы [5]
г
KiU(s- yd
y(s)e *Щ0 = 1=1 , , п^т (XVII.8)
V ; D (S) + KM (S) п т я > Г
* = 1 ;=1
где Mt (s), D (s) и М (s) — целые полиномы от 5, соответственно со
степенями порядков г, n, m с действительными коэффициентами.
Приравняв нулю числитель передаточной функции, получим
уравнение, определяющее нули:
Л1 j (А,) = О, (XVII.9)
а приравняв нулю знаменатель, получим характеристическое
уравнение D ^ + км ^ _ 0> (XVII. 10)
Условимся называть последнее уравнение уравнением системы
класса [п; т].
В рассматриваемых системах характеристические уравнения
(XVII. 10) зависят от одного действительного свободного параметра,
линейно входящего в некоторые его коэффициенты. Поэтому
выражение (XVII. 10) определяет целое семейство уравнений, зависящее
от одного свободного параметра /<\ При непрерывном изменении /С
непрерывно изменяются корни этого уравнения, а вместе с тем и
устойчивость и передаточные свойства системы.
При /С = 0 корни характеристического уравнения совпадают
с корнями уравнения
D(X) = 0. (XVII. 11)
Обозначим эти корни буквами
A,, (i = 1, 2, ..., п) (XVII.12)
и назовем их начальными точками траекторий корней.
При К -> оо корни характеристического уравнения совпадают
с корнями уравнения
М(%) = 0. (XVII. 13)
Обозначим эти корни буквами
Z, (/= 1, 2, ..., т) (XVII.14)
и назовем их предельными точками траекторий корней.
622

Если обратная связь жесткая и свободным параметром является
коэффициент усиления системы, то все начальные точки совпадают
с полюсами, а предельные — с нулями передаточной функции
разомкнутой системы. В более общем случае гибких обратных связей
или многоконтурных систем эти условия нарушаются.
Совокупность п начальных и т предельных точек системы
класса [п\ т] будем далее называть основными точками траекторий
корней, так как они однозначно определяют все геометрическое
место корней уравнения (XVII. 10) при изменении свободного
параметра в пределах — оо <^ К <С + оо.
Уравнения нулей, полюсов и основных точек всегда являются
алгебраическими уравнениями с действительными коэффициентами,
все корни которых могут быть только действительными или
комплексно-сопряженными. Поэтому на плоскости комплексного
переменного s = б + /со все нули, полюса и основные точки
расположены симметрично относительно действительной оси.
Так как знак свободного параметра определяется структурой
системы, то практически рационально рассматривать порознь
геометрические места корней при положительных и отрицательных
значениях параметра. Условимся первое геометрическое место
корней называть положительным, а второе — отрицательным
годографом семейства корней системы (XVII. 10). Так как при
непрерывном изменении свободного параметра уравнения (XVII. 10) корни его
изменяются также непрерывно, то как положительный, так и
отрицательный годограф системы п-го порядка состоит из п
непрерывных траекторий, каждая из которых описывается одним из корней
уравнения (XVII. 10) при изменении параметра соответственно от
нуля до ± оо.
Общие свойства геометрического места корней семейства
уравнений, линейно зависящего от одного параметра. Если исследуемая
линейная система состоит из детерминированных типовых звеньев
первого и второго порядков (апериодических и колебательных), то
основные точки ее характеристического уравнения нам заданы.
В противном случае они могут быть найдены из уравнений (XVI 1.11)
и (XVII. 13). Зная основные точки, мы можем записать исходное
уравнение (XVI 1.10) в следующем виде:
п т
Yl{s_X.) + KYl(s-Zj) = 0. (XVII.15)
При значении свободного параметра, равном нулю (К = 0),
все корни этого уравнения совпадают с начальными точками kt.
При К = =Ь оо имеем, что т корней выражения (XVII. 15) совпадает
с т предельными точками, а остальные п — т корней равны
бесконечности.
При непрерывном изменении свободного параметра исходного
уравнения (XVII.10) пли (XVII.15) от К - 0 до К = + оо из
623

каждой из п начальных точек kt выходит корень, описывающий на
плоскости комплексного переменного s = б + ко непрерывную
траекторию. Из п этих траекторий т заканчиваются в т
предельных точках 2/, а остальные уходят в бесконечность. Все п этих
траекторий образуют положительный годограф системы.
Аналогично, при непрерывном уменьшении К от нуля до —оо
из тех же начальных точек выходят п новых корней, двигающихся
по п новым траекториям, из которых т оканчиваются в предельных
точках, ад — т — в бесконечности. Эти траектории образуют
отрицательный годограф системы.
Из уравнения (XVI 1.15) следует, что форма кривой
геометрического места корней не зависит от выбора нулевого значения для
отсчета параметра К и от положения мнимой оси относительно
геометрического места корней. Основываясь на этом свойстве покажем
следующее.
1. Любую группу корней характеристического уравнения
(XVI 1.10) при фиксированном значении свободного параметра К =С
можно принять за начальные точки траекторий корней. Предельные
точки при этом не изменяются. Действительно, прибавим и вычтем
из уравнения (XVII.10) два равных полинома ±СМ (к). В этом
случае можем записать
[D (К) —СМ (к)) + (К + С) М (к) = 0
или
D(k) + KM(k) = 0. (XVII. 16)
По определению, начальными точками траекторий корней
последнего уравнения являются корни уравнения (XVI 1.10) при
К = — С. Предельные же точки уравнений (XVII. 10) и (XVII. 16)
совпадают. Это позволяет в случае, когда полиномы D (к) и М (к)
содержат свободные члены, упростить характеристическое уравнение
(XVII.10), приведя его к виду
kD± (к) + КМ (к) - 0, (XVII. 17)
в котором одна из начальных точек равна нулю.
2. Конфигурация геометрического места корней семейства
характеристических уравнений (XVII. 10) не зависит от положения
мнимой оси.
Из уравнения (XVII. 15) видно, что конфигурация траекторий на
плоскости комплексного переменного определяется лишь
расстояниями точек траекторий корней от основных точек. Разности,
очевидно, не зависят от положения начала координат и мнимой оси.
Так как перемещение мнимой оси на произвольную действительную
величину а изменяет лишь абсциссы основных точек, то любое
уравнение семейства
п т
Ц [s- (к, + а)) + К Ц[8- (zj + a)] = 0 (XVII. 18)
624

определяет то же геометрическое место корней, что и уравнение
(XVII. 15). Это свойство независимости кривой геометрического
места корней от смещения мнимой оси позволяет выбрать для
построения траекторий наиболее удобное для исследования
уравнение.
Вывод основного фазового уравнения геометрического места
корней [21, 31]. Возьмем характеристическое уравнение
в виде (XVII. 15), явно содержащем основные точки, и, подставив
в него значение любой точки геометрического места корней s* =
= б + /со, получим тождество
п т
П(8*-Ь*) + *П(8*-*/) = 0- (XVII.19)
Представим входящие сюда разности через их модули и фазы
в виде
(S*-Ki) = \s*-Xi\ei9i И (S* — 2у) = J S* — 2Гу | в/ф/
и подставим их в выражение (XVI 1.19), тогда получим
п
П. * л i П Ш
. Is"-**! 7(2>,-2>у)
К = — 1=± е ''-1 '-1 . (XVII.20)
П |s*-Zy|
7=1
Так как параметр К принимает лишь действительные значения,
то и правая часть тождества (XVI 1.20) должна быть
действительным числом. Это будет иметь место, если фазы ф£ и г|)7- удовлетворяют
условию
п т
2ч>*— 2Фу = ^я» где /V = 0, ±1, ±2 ... (XVII.21)
i=i /=1
Таким образом, только те точки комплексной плоскости
являются корнями уравнения (XVII. 15) и принадлежат
геометрическому месту корней, для которых выполняется соотношение
(XVII.21). Последнее и является искомым основным фазовым
уравнением всего геометрического места корней семейства
уравнений (XVII.15).
Уравнение (XVII.21) имеет простой геометрический смысл:
только те точки комплексной плоскости s * лежат на траекториях
корней уравнения (XVII. 15), для которых сумма углов <р,.,
образованных комплексными векторами (s* — Xt), проведенными из
начальных точек в исследуемую точку s* с положительным
направлением действительной оси, минус сумма углов -фу, образованных
аналогичными векторами (s* — z7), проведенными из предельных
точек, равна нулю или целому кратному л (рис. XVII. 1).
625

Подставив уравнение (XVII.21) в выражение (XVII.20),
получим
П | S* — Xf |
/с = -
г = 1
JN*.
т
П |s*
/=1"
Л/ = 0, ±1, ±2, ... (XVII.22)
Эта формула определяет значение параметра, соответствующее
корню s *, и показывает, что положительные значения свободного
параметра соответствуют нечетным N, а отрицательные — четным.
Таким образом, положительный годограф состоит из п нечетных
траекторий, для которых в основном фазовом уравнении N
принимает нечетные целые значения, а отрицательный — из п четных
траекторий, вдоль которых N четно. Ввиду
ш этого будем далее называть годограф кор-
; ней при /С<^0 четным (отрицательным),
а годограф корней при К^>0 — нечетным
(положительным) годографом системы. На
основании этого равенство (XVI 1.22) может
быть записано в виде
Л,
1 / г
14*
RnI
-6 / -J2' 0\
Av* I
Дг
-7
Рис. XVI 1.1.
Определение точки корневого
годографа по основным
точкам
к =
п
т
п
;=1
|s*-
s* —
-Xi\
-*t\
(-1)
(N+\)
(XVII.23)
Равенство (XVI 1:23), так же как
формула (XVI 1.21), имеет простой
геометрический смысл. Оно показывает, что значение свободного
параметра К в любой точке траектории корней s* равно
произведению длин п векторов, соединяющих все начальные точки с корнем
s*, деленному на произведение длин векторов, соединяющих т
предельных точек с этим корнем. Знак К положителен, если 5*
лежит на нечетной, и отрицателен, если 5* лежит на четной
траектории корней. Это графическое пояснение равенства (XVI 1.23)
весьма удобно для вычисления значения параметра,
соответствующего данной точке траектории. Условимся ниже называть
равенство (XVI 1.23) формулой параметра.
Применение основного фазового уравнения траекторий для
разбиения действительной оси плоскости комплексного переменного
на траектории корней. Из уравнения (XVI 1.21) вытекает ряд
следствий, имеющих большое значение для построения траекторий корней.
1. Любая точка действительной оси
принадлежит геометрическому месту корней.
Действительно, любая основная точка дает в точке s*, лежащей на
действительной оси справа от нее, угол равный нулю, а слева —
угол я. Любая же пара комплексно-сопряженных основных точек дает
626

в любой точке s*, лежащей на действительной оси, сумму углов,
равную нулю. Благодаря этому при применении основного фазового
уравнения (XVI 1.21) к точкам действительной оси достаточно
учитывать только влияние действительных начальных и предельных
точек (рис. XVI 1.2). Вправо от первой основной точки Хг лежит
нулевая траектория; между Хг и Я2 — траектория л и т. д. Таким
образом, вся действительная ось разбита основными точками на
пять траекторий: две четные и три нечетные.
Одинарными стрелками из рис. XVI 1.2 обозначено направление
движения корней при К увеличивающемся, а двойными — при К
уменьшающемся от нуля. Из рис. XVI 1.2 видно, что при К > 0 два
корня, двигающихся навстречу друг другу, встречаются в некоторой
точке D, образуя двукратный
корень, из которого при дальнейшем .Д^4
увеличении К возникает пара \ д Q -ji-c - :
комплексно-сопряженных корней. "*"""*к^~~V* с . ■errw*9
2. Кратными могут
быть лишь точки, уд о- _ VUTrn п .
' Рис. XVI 1.2. Разбиение действ и-
влетворяющие как и с- теЛьной оси основными точками на
ХОДНОму уравнению траектории (две четных и три
(XVII. 10), так и его про- нечетных)
изводной. Исключив из этой
системы свободный параметр, мы получим уравнение возможных
кратных точек траекторий корней:
\d4M; I'll)| = ° {l)M{k) ~U {%) M {Ц = °- <XVII-24>
Конечно, только те корни уравнения (XVI 1.24) будут кратными
точками геометрического места корней, которые лежат на
образующих его траекториях. Поэтому кратными будут лишь точки
комплексной плоскости, удовлетворяющие одновременно как
уравнению (XVI 1.24), так и основному фазовому уравнению траекторий
(XVII.21).
Все точки действительной оси лежат на траекториях корней,
поэтому все действительные корни уравнения (XVI 1.24) всегда
являются кратными точками геометрического места корней.
Поведение траекторий корней вблизи кратных точек. Для
выяснения поведения траекторий вблизи кратных основных точек
рассмотрим характеристическое уравнение вида
Xя + /С = 0. (XVII.25)
При К = 0 это уравнение имеет n-кратную начальную точку
в начале координат и не имеет предельных точек. Согласно
основному фазовому уравнению (XVI 1.21) траекториями будут прямые,
выходящие из этой начальной точки под углами к действительной
оси: п
41 = 1$, 1 = 0, ±1, ±2, ... (XVII.26)
627

Таким образом, из n-кратной действительной начальной точки
выходят п четных и п нечетных чередующихся траекторий,
образующих правильную 2п-лучевую звезду (рис. XVI 1.3). Аналогично
ведут себя траектории, входящие в кратную
предельную точку. Наличие остальных
основных точек приводит к повороту звезды
траекторий на угол а, определяемый вытекающими
из основного фазового уравнения равенствами:
для начальной fx-кратной точки
^а+ Ц Фг
-2%
Nn;
(XVII.27)
Рис. xvii.3. Траекто- для предельной ^-кратной точки
рии корней для 4-х п гп
кратной действитель- _ |хсх + У. Ф* — X Ь =* Мт, (XVI 1.28)
ной начальной точки £^1 *==М-1
где N — целое число.
Если кратные точки не являются основными, то вид звезды
траекторий сохраняется, но чередование четных и нечетных
траекторий не имеет места (см., например, рис. XVI 1.4, а, б).
Асимптотические свойства траекторий. Как мы видели, в
системах класса [п\ т] при изменении свободного параметра в пределах
1 \
^s
—*--;
У
гж
/
//
lid
h '
Ж
/
^/ф.
5
2
д д*4 -2
й)
Рис. XVII.4. Траектории корней:
а — для системы [5; 1]; б — для системы [4; 2]
— со <^К<^ + оо 2 (п — т) корней уходят в бесконечность.
Покажем, что описываемые этими корнями траектории на большом
расстоянии от основных (начальных и предельных) точек почти
прямолинейны и асимптотически приближаются к лучам правильной
2 (п — т) звезды, имеющей траектории корней двухчленного
уравнения
{I + а*)С ~т) + К = 0. (XVII.29)
628

Параметр а* этого уравнения связан с основными точками
системы (XVI 1.10) соотношением
п т
«'"'"(i.-m)"1- (XVIL30)
Приведем доказательство этого положения, пользуясь
гидродинамической аналогией. При этом любая пара, образованная
совпадающими полюсом и нулем, компенсирует друг друга (анигили-
рует) подобно единичному источнику и стоку. При рассмотрении
движения из бесконечности все конечные основные точки
представляются совпадающими и эквивалентными (п — т)-кратному
источнику, расположенному в «центре тяжести» единичных источников и
стоков. Такое рассмотрение непосредственно приводит к
формуле (XVII.30) и уравнению (XVII.29), имеющему 2 (п — т)
прямолинейных траекторий, уходящих в бесконечность.
Из сказанного выше имеем следующие асимптотические свойства
траекторий корней. При неограниченном увеличении по
абсолютной величине свободного параметра уравнения (XVII. 15) 2 (п — т)
его корней уходят в бесконечность по 2 (п — т) траекториям,
асимптотически приближающимся к лучам звезды, состоящей из
2 (п — т) чередующихся четных и нечетных прямолинейных
асимптот, расходящихся из центра асимптот а*, определяемого
соотношением (XVI 1.30), под углами
Ф* = (£=1Й)'' ' = 0, ±1, ±2 ... (XVII.31)
Если исходное характеристическое уравнение (XVII. 10) задано
в развернутом виде
D (Ц + КМ (X) = (Хп + а^ + ... + а^Х + ап) +
+ К(Хт + Ъ^ + ... + Ът_х\ + Ьт) = 0, (XVII.32)
то центр асимптот определяется формулой
а* = -«i + h (XVII.33) •
Геометрический метод построения траектории корней.
Рассмотренные выше свойства траекторий корней позволяют сравнительно
просто строить качественную картину геометрического места
корней. Пусть нам задано семейство характеристических уравнений,
явно содержащих основные точки [уравнение (XVII. 15)].
Последнее условие не налагает существенных ограничений, так
как в большинстве случаев исследуемая система состоит из
детерминированных типовых звеньев, полюсы и нули которых известны.
629

Построение геометр pi чес кого места корней проводим в
следующем порядке:
1) начальные Xt и предельные Zj точки нанесем на плоскости
комплексного переменного s и разобьем действительную ось на
четные и нечетные траектории. При этом качественно определяется
часть действительных двойных точек и направление выхода и входа
в них комплексно-сопряженных траекторий;
2) там же нанесем центр асимптот а* в соответствии с
соотношением (XVI 1.30), через который проведем 2 (п — т) асимптот
под углами к действительной оси, определяемыми по формуле
(XVII.31);
3) воспользовавшись основным фазовым уравнением (XVI 1.21),
определим направления выхода и входа траекторий в простые и
кратные основные точки и нанесем эти направления на график
геометрического места корней.
Эти данные достаточны для качественного построения
геометрического места корней, определяемых характеристическим
уравнением невысокого порядка. Уточнить построенные траектории для
ряда точек можно с помощью транспортира и линейки.
Для графического построения точек траекторий по основному
фазовому уравнению Эвансом [7], [32] разработана специальная
п т
линейка. Она позволяет быстро подсчитывать сумму у глов^] ф£— ^jipy
и значение параметра К для произвольной точки комплексной
плоскости. Применив ее к точкам пересечения траекторий корней
с мнимой осью или для ряда выбранных .прямых, параллельных
мнимой оси, можно быстро уточнить форму траектории. Эти
траектории могут быть также построены аналитическим методом,
описанным ниже. После уточнения вида траекторий корней, на
основании формулы (XVI 1.23), вычисляем значения свободного
параметра К для интересующих нас точек траектории s*.
В качестве примера рассмотрим систему класса [5; 1], характеристическое
уравнение которой имеет вид
% (К + 2) (к + 4) [(А, + 2)2 + 1] + ЛГ(А, + 1) = 0. (XVII.34)
На плоскости (б, /со) нанесены основные начальные и предельные точки
системы (рис. XVI 1.4а). Действительная ось разбивается на три четные
(двойные стрелки) и две нечетные (одинарные стрелки) траектории. При этом,
примерно, положение двойного корня соответствует 6 ^ — 3. Центр асимптот
в соответствии с формулой (XVII.30) помещается на действительной оси в точке
а* = — 2,25. Так как (п — т) — 5—1—4, то асимптоты соответствуют системе
четвертого порядка. Проводим их под углом 45° друг к другу, после чего
произведем разметку стрелками четных и нечетных асимптот (рис. XVII.4а).
Далее с помощью основного фазового уравнения определяем направление
выхода траекторий из пары комплексно-сопряженных точек. Воспользовавшись
построенным таким образом скелетом траекторий, качественно проводим
комплексно-сопряженные четные и нечетные траектории системы. При этом
качественно намечается положение пары комплексно-сопряженных критических
частот.
630

4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА КОРНЕЙ
Вывод основного уравнения для аналитического построения
траекторий корней [2], [5]. Вывод уравнения, позволяющего по
точкам строить траектории корней семейства характеристических
уравнений, заданного в виде выражения (XVII. 10), основывается
на разложении в ряд целых полиномов комплексного аргумента
s = б + /со, имеющего вид
D(s) = \D (6)-|D* (6) +%DW (б)- ...J
+ /со [П (б) -1П" (б) + Ц DM (б) - ...
+
(XVI 1.35)
Применим формулу (XVI 1.35) к обоим полиномам общего
выражения семейства характеристических уравнений
D (к) + КМ (X) = 0.
Приравняв порознь нулю действительные и мнимые части,
получим
D' (б)
■] +
|D(6)-
+ К[М(6)-%М'(Ь)+ ...] = 0;
[d'(6)-^D'"(6)+ ...] +
+ ^[м'(б)-|уИ"'(б) + ...] = 0.
(XVII.36)
Исключив из этих уравнений свободный параметр К, найдем
выражение, связывающее абсциссу б и ординату со любой точки
s* = б + /«> геометрического места корней уравнения (XVII. 10):
[d(6)-^D''(6)+..][m(6)-^M''(6) + ...]
[/У (в)-^/У"(в) + ...][Л4Г (в)-^Afw («)+.-■]
=0. (XVI 1.37)
На это равенство мы можем смотреть как на уравнение,
позволяющее по заданной абсциссе б найти частоты со, при которых
прямая, перпендикулярная к действительной оси, проведенная через
любую точку б, пересекает траектории корней системы (XVII. 10).
Конечно, такой смысл можно придать только действительным
положительным корням со2 (XVII.37).
Из равенств (XVII.36), решая их относительно /С, получим
формулы для вычисления значений свободного параметра,
соответствующих заданному корню геометрического места:
— К =
Щб)-
2!
D" (б) +
D'(6)-^D'"(6)+ ...
М(Ь)-^М"(д) +
М' (б)
у>"'(б)+...
. (XVII.38)
631

0. (XVII.39)
По первой из этих формул можно вычислить значения /С,
соответствующие как действительным (положив со = 0), так и
комплексно-сопряженным точкам траекторий корней, по второй —
только комплексно-сопряженным.
В частном случае, при 6 = 0, выражение (XVI 1.37) дает
уравнение критических частот, т. е. точек пересечения траекторий
комплексно-сопряженных корней с мнимой осью, а при со = 0 —
уравнение кратных точек (XVII.24). Из уравнения (XVII.38) при 6 = 0
получаем соответствующие критические значения свободного
параметра.
Из выражения (XVI 1.32) можно получить уравнение критических
частот в виде
I (ап — (ofcan_2 + ...) (Ьт — со *&т_2 + ...)!
I K-1 — ®&Я- 3 + • • •) (&т-1 — <д«Ьт-з +•••)!
Аналогично, уравнение критических значений свободного
параметра получаем в виде
Кг ~ ®«Ьт-2 + ''' Ьт-1 ~ <Ьт-3 + • • • '
В частном случае систем без предельных точек все уравнения
значительно упрощаются, так как М (s)= 1, и характеристическое
уравнение (XVII. 10) принимает вид
D(l) + K = 0. (XVII.41)
Полагая в формуле (XVI 1.37) -М (б) = I, а все производные
от М (б) нулями, получаем основное аналитическое уравнение
траекторий в виде
Dr(6) — ^Dm(6)+(^D^{6)- ... =0. (XVII.42)
Для значений параметра вместо (XVI 1.38) имеем
-K = D(6)-^D'(6) + ^DW(b)- •••> (XVII.43)
тогда согласно выражению (XVI 1.24) уравнение кратных точек
принимает вид
Щб) = 0. (XVI 1.44)
В этом случае уравнение критических частот и критического
параметра соответственно будет
an-i — »Х-з + ю&л-б — ®*an-i + ... = 0; (XVI1.45)
— Кк = ап — ада„_2 + ю£ая_4 — <о£ал_в + ... (XVI1.46)
Сделаем замечания относительно общих свойств систем с
характеристическим уравнением вида (XVII.41). Сравнив число пар
комплексно-сопряженных асимптот, пересекающих мнимую ось, с чис-
632

лом корней со2 уравнений критических частот (XVII.45), легко
убедиться, что числа эти для систем без предельных точек типа
уравнения (XVII.41) совпадают при любом п. Отсюда следует, что
в системах без предельных точек, устойчивых при /( = О,
траектория каждого корня, идущего по направлению
комплексно-сопряженных асимптот, уходящих вправо, пересекает мнимую ось один
и только один раз (математически это означает, что все корни со2
уравнения критических частот систем этого типа действительны и
положительны).
Системы, область устойчивости которых включает интервал
0<it<oo, (XVII.47)
особо важны практически, поэтому мы будем далее называть их
абсолютно устойчивыми. Следовательно, среди
линейных систем без предельных точек абсолютно устойчивыми
являются лишь системы второго и первого порядков, все начальные
точки которых лежат в левой полуплоскости комплексного
переменного s.
Ранее нами был рассмотрен порядок качественного построения траекторий
корней геометрическим методом. Теперь рассмотрим порядок построения
траекторий аналитическим методом. В качестве примера воспользуемся
уравнением (XVII.34), откуда получим
(ДО + 10Л,* + 37Я3 + 62А,2 + 40Я) + К (к + 1) = D5 (I) + КМХ (К) = 0, (XVII.48)
где а0 = 1; аг = 10; а2 = 37; а3 — 62; аА — 40; аь = 0; Ь0 = 1; Ь1= 1.
Из общего уравнения траекторий (XVI 1.37) получаем для системы класса
[5, 1]
[db(6)-^d;'(6) + 5d»IV)H [Mi{6)]
[z):(6)-^z);"(6)+UDiv)(6)J [i]
-о.
(XVII.49)
Г
(XVII.50)
Заменяя в выражении (XVI 1.48) X на б, находим необходимые производные
от полиномов Db (б) и Мгф);
Оъ (б) - б5 + 1064 + 37б3 + 62б2 + 406;
D: (б) = бб^ + 4063 + 11162 + 1246 + 40;
£>;' (6) = 2! (1063 + 6062 +1116 + 68);
£>;"(6) = 3!(1062 + 406 + 37);
D(5VI) (6) = 4! (56 + 10);
Z>iv>(6) = 5!;
Мг (6) = 6 + 1;
m;(6) = i.
Подставляя эти значения в выражение (XVI 1.49), получим окончательный
вид уравнения траекторий:
(46 + 9) со4 — (1062 + 346 + 25) со2 —
~ (46* + 3564 _j_ Ц4бз _{- 17362 + 1246 + 40) = 0. (XV11.51)
633

Из построенных траекторий (рис. XVI 1.4, а) видно,, что для уточнения
достаточно найти аналитически значения со для следующих 6 (табл XVI 1.1):
5
О)
2
4,1
1
3,02
0
1,95
—1
1,09
—1,5
0,93
—2
1
~2,1
1,17
—2,2
1,52
—3,5
0,62
Таблица
—4
1,39
—5
2,68
XVIII
—3,38
0
Нанесем эти значения на рис. XVI 1.4, а.
Из уравнения (XVI 1.24) кратных точек получим
(к* + \0Х* + 37^3 + 62Я2 + 40Я.) —
— (Х + 1)(5^ + 40Я3 + 11Ш+ 124А, + 40) = 0
или 4Х* + 35Х* + 114Л,3 + 173Л,2 + 124Я + 40 = 0. (XVII.52)
Необходимо найти положение одной двукратной точки, т. е. один
действительный корень (XVII.52), так как из качественного построения известно
приближенное положение этой двукратной точки, то ее точное положение
находится методом Ньютона (б = — 3,38).
Полагая в уравнении (XVII.51) 5 = 0, получаем уравнение критических
ЧаСТ0Т 9< - 25©* - 40 = 0, (XVII.53)
°ТКуДа ©J = 3,91 и ©ж=±1,95. (XVIL54)
В этом случае формула для свободного параметра (XVII.38) принимает еид
~ К=== б~гт I65 + шб4 + 3763 + 6262 + 40б> — (1о63 + 6062 + Шб +
+ 62) ©2 _|_ (56 + 10) ©4] = (564 + 4063 + 11162 + 1246 + 40) —
— (1062 + 406 + 37) ©2 + со4; (XVII.55)
тогда критическое значение свободного параметра равно
- КК = - 62©* + 10©< = 40 - 37©* + ©£. (XVII.56)
При ©£ = 3,9 имеем Кк = 89,48, что соответствует пределам изменения
/( для устойчивых состояний системы:
0<ЛГ< 89,48. (XVII.57)
Рассмотрим корневой годограф системы класса [4;2]
X (X + 4) [(X + I)2 + 4] + К(Х - 1) (X - 2) = 0; (XVII.58)
(№ + 6Х* + 13Х2 + 20Я,) + К(Х2 - ЗХ + 2) = 0. (XVII.59)
На рис. XVI 1.4, б разместим основные точкц. Определим центр асимптот
по формуле q о
4-2
--4,5,
(XVII.60)
Асимптоты расположены под углом -у друг к другу. На рис. XVI 1.4 б
нанесены углы выхода корней из начальной комплексной точки, определенные из
основного фазового уравнения. Уравнение траекторий корней согласно
выражению (XVII.37)
(25 + 9) ©4 + (4б3 + 662— 446 — 71) ©2 +
+ (265 — 364 _ 2863 — 2362 + 526 + 40) = 0. (XVII.61)
634

В табл XVII.2 даны значения со, вычисленные для интервала — 4 < б < 5.
Таблица XVIL2
8
ш
00
4,71
0
-
4
1,93
-
3
2,72
-
2
3,04
-
1,34
-
0
1
3,02
0,63
0,5
2,90
0,81
0
2,7
0,78
-0,5
2,4
0,5
-1,5
1,59
-
-0,71
-
0
-2
1,43
-2,5
1,97
-3,0
2,95
-3,5
4,81
-4,0
8,7
Нанеся эти значения на рис. XVII, 4<5, получим полную картину
траекторий корней рассматриваемой системы.
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ
КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
Характеристическое уравнение замкнутой системы D (к) ~\-
+ КМ (к) — О устойчиво при К = 0, если все начальные точки
[корни D (к) = 0] находятся в левой полуплоскости. Предельные
точки [корни М (к) = 0)] могут лежать на всей плоскости s. При
изменении коэффициента усиления в пределах — со <^ К <^ + оо
система (XVII. 10) может стать неустойчивой: а) апериодически
неустойчивой — при выходе в правую полуплоскость первого
действительного корня; б) колебательно неустойчивой — при выходе
в правую полуплоскость первой пары комплексно-сопряженных
корней, идущих к правым асимптотам или правым предельным
точкам. В обоих случаях выходящие вправо корни пересекают
мнимую ось. Как мы видим, это имеет место при критических
значениях параметра /Q, соответствующих критическим частотам со^.
Эти критические значения могут быть вычислены аналитически по
формулам (XVI 1.39) и (XVI 1.40) или графически, пользуясь
основным фазовым уравнением (XVI 1.21) для точек, находящихся на
мнимой оси, и формулой (XVII.23) для свободного параметра.
Поясним сказанное выше на следующем примере. Для этого рассмотрим
характеристическое уравнение системы
(к + 1)4 + К (к — 2) = 0. (XVII.62)
Построив для данной системы траектории корней (рис, XVI 1.5), найдем
критические значения (оК и КК. Расположив критические значения /( в порядке
возрастания, получим
— оо < Ki < KQ < К2 < + со;
— со < — 1,3 < 0,5 < 49,3 < + со.
С помощью этого ряда можно получить области, совпадающие с Д-разбие-
нием Неймарка. Действительно, в интервалах, которые приведены ниже,
имеем:
от — оо до — 1,3 —два комплексно-сопряженных корня справа, дающих
потом два действительных корня, идущих к предельной точке (—2) и к—со;
,}
(XVII.63)
635

от — 1,3 до 0,5 —область устойчивости;
от — 0,5 до 49,3 — один действительный корень справа;
от 49,3 до -\- со — один действительный корень справа и два комплексно-
сопряженных корня, идущих к пересекающим мнимую ось асимптотам.
Заметим, что возможны системы, обладающие двумя и более раздельными
областями устойчивости.
Так, например, для характеристического уравнения
Ь (Я + 1) (Ь + 2) + К{№ + X + 20) = 0
(XVII.64)
имеем траектории, показанные на рис. XVII.6. При К > 0—две области
устойчивости:
первая для интервала 0 < К < К± (0 < К < 0,41) где со^ = ± 1,55, и
вторая для интервала К2 < К < + со
(14,6 < К < + оо), где (ок = ± 4,07.
Рис. XVII.5. Траектории
корней для
характеристического уравнения (К -j- 1)4 +
+ Я (Я, _ 2) = 0
—х х-»
-2 -1-0,5
ajf-4,07 kf14fi
И
У (f
Рис. XVII.6. Корневой
годограф для
характеристического уравнения
%(%+\){Х + 2) + К(№ +
+ I + 20) = 0
Итак, построенные траектории корней полностью определяют все области
устойчивости системы.
Особый интерес для практики представляют системы, область
устойчивости которых включает интервал 0 <^ К <С °°- К этим
системам относятся все системы классов [1; 0] и [2; 0] и системы
класса [п\ т], для которых (п — т) <: 2, если все основные точки
и центр асимптот лежат в левой полуплоскости и траектории,
идущие из начальных точек в предельные, не выходят в правую
полуплоскость.
Подобный анализ устойчивости может быть произведен по
корневому годографу для любой линейной системы, зависящей от одного
параметра.
Кроме рассмотренного основного случая устойчивой при К = 0
системы, все начальные точки которой лежат слева, наличие
области устойчивости возможно и в ряде особых случаев, когда часть
636

начальных точек лежит на мнимой оси. Особый интерес
представляют астатические системы, одна из начальных точек которых
всегда лежит в начале координат. Очевидно, такая система при
К^> 0 будет иметь конечную величину области устойчивости, если
справа от нулевой начальной точки расположена четная
траектория, так как в этом случае при /С, увеличивающемся от нуля,
нулевой корень смещается влево (см. рис. XVI 1.4).
Наличие конечной области устойчивости возможно и в других
особых случаях, а именно, при двойной начальной точке в начале
координат и при паре комплексно-сопряженных начальных точек
на мнимой оси. Убедиться в наличии области устойчивости в этих
случаях можно, построив годограф для К ^> 0.
6. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕХОДНОЙ И ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО КОРНЕВОМУ ГОДОГРАФУ
Построение корневого годографа линейной системы
автоматического регулирования (САР) является только первым этапом анализа
и синтеза САР. Корневой годограф САР содержит ценную
информацию, которой можно воспользоваться для оценок качества
регулирования, а также судить о средствах, необходимых для
коррекции системы [26].
По конфигурации корневого годографа можно приближенно
представить себе, какова будет реакция системы на то или иное
типовое воздействие при некотором определенном значении
параметра системы (коэффициенте усиления К или другом параметре Tt)
и, что еще важнее, как будет изменяться эта реакция при
варьировании параметра К (или Tt).
После выбора наиболее подходящего значения параметра К или
Tt в соответствии с предъявляемыми к САР техническими
условиями нетрудно точно * вычислить интересующую нас реакцию
системы h (t) или k (t) ** по соответствующей формуле разложения
Хевисайда, а также ее частотную характеристику или оценить
только ширину полосы пропускания частот системы.
Поясним возможности корневых годографов следующим
примером.
На рис. XVI 1.7 изображен корневой годограф, построенный по
передаточной функции разомкнутой системы
\у/ (с\ _ 2 80(W(s + 4,8)
w [ } ~~ s(s + 10) (s + 20)(s + 67)'
Вычислим для значения К = 8,5, при котором замкнутая
система имеет полюсы ЯЬ2 = — 10± / 17,3; Я3 = —3,9; Я4 = — 73,1
* Точность результатов ограничена точностью исходных данных, т. е.
самих корневых годографов.
* * k (t) — импульсная переходная функция или функция веса системы.
637

и один нуль Yi = — 4,8, переходную характеристику системы по
известной формуле разложения:
п
h{t) =
О(0) , VI 0(X«)eV
Ло(0)
+ 2
к=\
^кН'о (К)
Передаточная функция данной замкнутой системы Ф (s) при
К = 8,5 и указанных выше полюсах и нуле
ф М = g(s) 23 800(s + 4,8)
w H0(s) (s + 3,9)(s + 73>l)(s+10-yi7l3)(s+10+yl7,3) *
G(0)
Коэффициент 23 800 в числителе получен из условия тт-
соответствующего установившемуся режиму.
Прежде чем перейти к вычислениям,
представим выражение для h (t) в более удобном
для вычислений виде. Производная по s по-
Рис. XVI 1.7. Корневой годограф для передаточной функции
разомкнутой системы с астатизмом первого порядка
линома n-й степени Я0 (s) = (s — Хг) (s — Х2)... (s — Хп), где
Хъ Хъ ..., Хп имеет вид (для простоты взято п = 4)
X(s-^4) + (s —^)(s-^2)(s —X4)-h (s —^)(s-^a) X
X(S — ^g).
При подстановке s = Хг все слагаемые этого выражения, кроме
первого, обращаются в нуль.
При s = Х2 остается только второе слагаемое и т. д.
Таким образом, значение производной при s = Хк
H'M^iK-bJiK-K) ••• (К-К) II П (b«-h). (XV1I.65)
i=l
19^ к
638

Произведение (XVI1.65) состоит из (п — 1) множителей (Хк — Я;),
где i пробегает все значения от 1 до п, за исключением i = к.
Следовательно, для h (t) можно написать
h{t) = G°Jfi)+ 2_G(^)^ , (XVII.66)
tf=l
**П (**-**)
i-фк
Вычисления упрощаются, если пользоваться корневыми
годографами. В знаменателе каждый из сомножителей (Кк — Кг)
изображается на плоскости s вектором, проведенным из i-ro полюса х
i = 0, 1, 2, ..., a; i — к замкнутой системы в полюс Кк (рис. XVI 1.7).
Таким образом, корневой годограф содержит все данные для
вычисления h (t). Совершенно аналогично вычисляется импульсная
реакция системы k (t).
Вычислим для нашего конкретного примера члены правой части
h (t). Очевидно, что „ \Д = 1. Числитель первого слагаемого суммы
при s = Кх = — 10 + / 17,3 равен
G (Хх) еМ = 23 800 (%г + 4,8) eV = 23 800 (— 10 + /17,3 +
+ 4,8)в(-10+Я7.з)/ = 23 800- l89leJmV-l0+tX7M.
Знаменатель этого слагаемого
КН'о (К) = ^i (К — ^2) (К — ^з) (^i — ^) =
(_ Ю + /17,3) [(- 10 + /17,3) - (- 10 - /17,3)] (- 10 + /17,3 +
+ 3,9) (— 10 + /17,3 + 73,1) - 832 ОООе'3®'.
Следовательно, первое слагаемое h (t) (не считая 1) равно
J?iMi_l = о 52e-./223V-10+'17'3>'
Вычисления, однако, практически удобнее производить,
пользуясь значениями длин и углов векторов, взятыми из чертежа
корневого годографа (рис. XVI 1.7), на котором нанесены полюсы
Я1)2 = — 10 ± / 17,3, Х3 = — 3,9, Я4 = — 73,1 и нуль Yi = — 4,8.
Обозначив гпе^гт— A±e^9 запишем
А _ 23 800Z0 _ 23 800.18,1 _ Q ~ xy]] fi
Al ~ W^T ~ 20-18,3.34,6.65,5 ~ U'52 (AVIl.b7)
и
^1 = * — 8i — фа — фз — ф4 =
= 106°— 120° — 90°— 108°— 14° - —226°. (XVII.68)
1 Полюсы замкнутой системы изображены на годографе треугольниками,
на рис. XVII.7 lK = XL.
639

Второе слагаемое при s = Х2 = — 10 — /17,3 дает выражение,
сопряженное с первым слагаемым:
°Ь)£'[ = o,52e;226v-10-;17'3^.
Оба слагаемых вместе дают колебательную составляющую h (t)
2А1ег6^ cos (©!* + tfc) = 2 • 0,52*-10' cos (17,3/ — 226°).
Вычисляя по данным рис. XVII. 1 третье и четвертое слагаемые
суммы, получаем
h(t)=l+ 2A±e~ V cos (юх/ + ^i) + В3е~ Э.< + В^е- 0*<
или
Л (0 = 1 +2-0,52^-^cos(17,3/ —226°) —0,38^-3^ +0,08^-73'1^.
На рис. XVI 1.8, а изображены все составляющие переходной
характеристики h (t) и сама функция h (f), откуда видно, что
основное значение имеют первые две составляющие, обусловленные
ближайшими полюсами К12 = — 10 ± / 17,3.и К3 = — 3,9.
Время переходного процесса Тр = 0,6 сек, а выброс о
(перерегулирование) близок к нулю. Длительность Тр переходного
процесса определяется экспоненциальной составляющей 0,38 e~3>9tf
которая затухает медленнее других; вторая экспонента практически
никакого влияния на переходную характеристику h (t) не имеет.
Заметим, что обычно амплитуды составляющих h (t) тем больше,
чем ближе к началу координат плоскости s находятся
обусловливающие их полюсы, если только вблизи этих полюсов нет нулей.
В нашем конкретном случае вблизи полюса ^3 = 3,9 имеется
нуль Yi = — 4,8, поэтому амплитуда В3 получилась небольшой.
В случае совпадения полюса и нуля В3 = 0, что означает
вырождение системы и снижение ее порядка на единицу [т. е. система
оказывается не п-го9 а (п— 1)-го порядка]. Вторая экспонента В^1ЪЛ1
затухает столь быстро, что практически влияет на h (t) только
вблизи t = 0.
Таким образом, из четырех полюсов системы полюсами,
определяющими ход переходного процесса, являются только три
ближайших полюса Къ Х2 и ^з (некомпенсированный нулем Yi)- Мы их
назвали выше доминирующими полюсами. Отметим также влияние
нуля Yi системы на амплитуды 2АХ и В3. Оно заключается в том,
что эти амплитуды возрастают тем сильнее, чем ближе нуль Yi (или
нули, если их несколько) к началу плоскости s. При Yi -> 0 эти
амплитуды -> со.
Система второго порядка с полюсами такими же, как ^Ъ2 =
= — 10 ±/ 17,3 без нулей, расположенными на конечном
расстоянии от начала координат плоскости 5 (но и без полюсов ^3 и А,4),
имела бы перерегулирование, которое равно
_ а, _10^
а = е "^я = бГ^я^ 0,175, а% = 17,5%.
640

Рассмотренная выше система четвертого порядка с
доминирующими полюсами ХЪ2 = — 10 ± / 17,3 и Х3 = — 3,65 имеет малый
или равный нулю выброс, который трудно определить при
графическом построении. Это объясняется влиянием дополнительных
действительных полюсов Я3 и Я4, которые, как это будет показано
ниже, уменьшают перерегулирование (и тем эффективнее, чем
они ближе к началу плоскости 5), в то время как нули его
увеличивают. В нашем случае действие полюсов Я3 и Я4 сильнее, чем одного
нуля Yi> так как Х3 = —3,9 находится ближе к началу координат,
чем нуль Yi = — 4,8.
U/ \з8е'3-65*
у а) 6)
Рис. XVI 1.8. Переходные характеристики следящей системы с астатизмом
первого порядка:
а — составляющие переходных характеристик; б — переходные характеристики при
К =2,65 и К = 8,5
При снижении коэффициента усиления, например, до значения
К = 2,65, что соответствует доминирующим полюсам ХЪ2 = —12 ±
± /8, А3 = —- 2,5 и четвертому полюсу А4 = — 74,5, переходная
характеристика будет
h (0 = 1 + 2.0,487е- ш cos (8/ — 237°) — 0,53е~2'5' + 0,032е-74>4
Из графика h (t) (рис. XVI 1.8, б) видно, что выброс отсутствует,
а длительность процесса возросла до 1 сек. Первое объясняется
уменьшением частоты г (ох колебательной составляющей h (t), a
второе — снижением затухания составляющей 0,53 е~2>ы в связи
с приближением полюса Я3 = — 2,5 к оси /со и его большим
отдалением от нуля у.
При К р> 8,5 получим переходную характеристику h (t),
изображенную на рис. XVI 1.8, б. В этом случае полюс Я3 еще в
большей степени, чем при К = 8,5, будет компенсирован нулем Yi и
система ведет себя почти как система второго порядка. Переходная
1 А также приближением действительного полюса Я3 к началу координат
плоскости s.
21 Техническая кибернетика, кн, 1
641

характеристика при этом становится тем более колебательной, чем
больше /С, так как при этом уменьшается затухание бх
доминирующих комплексных полюсов Я1>2 и увеличивается их частота со1#
Длительность процесса Тр также возрастает. Следовательно,
причиной изменения переходной характеристики h (t) при вариации К
является различное взаимное расположение полюсов К и нулей
у у передаточной функции Ф (s). Длительность переходного
процесса в основном зависит от затухания ближайших к мнимой оси
полюсов, не компенсированных слишком близкими нулями. Выброс
зависит от относительного коэффициента демпфирования
доминирующих комплексных полюсов кг и К2 и от степени близости к
началу координат плоскости s других полюсов и нулей Ф (s); причем
близкие полюсы уменьшают выброс, а близкие нули увеличивают
его. Влияние указанных полюсов и нулей на выброс объясняется
в основном тем, что они изменяют амплитуду и начальную фазу
колебательной составляющей h (t). Эти выводы, хотя и получены
при анализе частного примера, имеют, однако, общий характер.
Таким образом, мы убедились, что можно делать определенные
выводы о характере переходного процесса системы при типовых
воздействиях, просматривая корневые годографы и следя за тем,
как изменяются доминирующие полюсы системы при изменении
параметра корневых годографов (К или Tt).
7. ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
НА ПЕРЕХОДНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ h(t)
Для обобщения и обоснования выводов о поведении системы,
приведенных в последнем примере, рассмотрим рис. XVI 1.9, на
котором показано расположение нулей и полюсов устойчивой
замкнутой системы, являющееся типичным и достаточно общим.
Ближайшими к мнимой оси являются комплексно-сопряженные полюсы Кг
и К2. Как показано в ряде работ [19], [24], [26], [34]*, при удалении
от начала плоскости s полюсов Хк амплитуды соответствующих
составляющих 2АК (или Вк) убывают тем быстрее, чем больше модуль
полюса Кк по сравнению с доминирующими полюсами Я1)2.
Например, если модули Хк (к = 3, 4, ..., п) возрастают по геометрической
прогрессии со знаменателем q^2f то их амплитуды 2АК, (или Вк)
меньше, чем амплитуда 2Аг колебательной составляющей h (t),
соответствующей полюсам Я1>2. В этом мы убедились при
рассмотрении примера, который приведен выше. Если вблизи полюсов Хк
расположены нули, то при достаточно малом расстоянии между
полюсами и нулями 2АК (или В1) становятся, соответственно
малыми. Это следует из выражения (XVI 1.66), в котором числитель
обращается в нуль для слагаемого при %к = уу.
1 В работе [19] в основном рассматриваются вынужденные процессы
линейных систем.
642

Таким образом, для системы с расположением нулей и полюсов,
как показано на рис. XVII.9, к моменту времени Тр, когда
колебательная составляющая 2A1e"^t cos (coj/ + -фх) переходной
характеристики, имеющая наибольшую амплитуду 2А± и наименьшее
затухание 6Ь сделается равной заранее обусловленному достаточно
малому числу, например б1 = 0,05 [5% от установившегося
значения h (t)]f все остальные составляющие заведомо затухнут, так
как Ак (или Вк) меньше, чем Аъ и Re Хк < — Ьг (к = 3, 4, ..., п).
Следовательно, время переходного процесса системы может быть
определено по формуле ^ \ п& \
In
или при Ьх = 0,05
1
6i
3 + In 2AX
(XVII.69)
(XVII.69a)
Приведенные выше положения справедливы и в том случае,
когда между доминирующими полюсами и началом координат пло-
Пл 5
h
о
Л1
X
-*-
-о
h
л.
о
ft
X
Л,,2=Ч *М
Рис. XVI 1.9. Расположение нулей и полюсов устойчивой
замкнутой системы
скости s есть другие полюсы, но почти компенсированные близкими
к ним нулями. Полюс и нуль можно считать близкими, если
расстояние между ними на порядок меньше их модуля, т. е. при
выполнении условия \кк — yj\ ^0,ЦХК\ ?& 0,1|у/|.
В выражение (XXII.69) для оценки длительности переходного
процесса введено затухание 6г доминирующих полюсов Я1)2 и
амплитуда 2Аг соответствующая полюсам ^1)2 колебательной
составляющей h (0, зависящая от всех полюсов и нулей замкнутой системы.
Однако изменение 2Аг в пределах от 1 до 10 только на 75%
изменяет Тр. Если ближайшим к оси /со является вещественный полюс,
«i
(XVII.696)
Для оценки выброса системы примем во внимание следующее
обстоятельство. Из выражения (XVI 1.66) имеем
А(0=1+2
KJ
к = 1
G (К) еЫ
%KHr0 (kK)
21*
643

Последнюю формулу можно также записать в виде
h(t) = 1 + 2Аге~^cos fat + ^) + В^ + ... + B„eV (XVII.70)
(в предположении, что только полюсы *1>t комплексные), знаки
4e1SySbWBH^aT^XnTHna ВкбУ (К = 3' 4 "} пРавильно
чередуются. в8> о, В4 < О и т.д., если передаточная функция
Ф ^ = 7?i~(ir He имеет нУлей- В противном же случае
правильное чередование знаков нарушается в том месте, где перед
полюсом Кк находится нуль. При этом перед Вк ставится противополож-
\85e*st/ ^^ ! 2Л<е"*'cosW+Ф,)
Ч-
I *дадл\
L- '^..
/
' ''
Рис. XVII. 10. Переходные характеристики
устойчивой системы и ее составляющие
ный знак. Затем чередование плюса и минуса продолжается Из
сказанного следует, что алгебраическая сумма затухающих
экспонент 2B«eV меньше, чем наибольшая Вте^ из экспонент,
»™A?Yvn В7ДТУ СУММУ' Т°ЧДое вычисление выброса о из
выражения (XVII.70) невозможно. Однако достаточное для практики
приближение можно получить, если вычислить а' в пренебрежении
2fi«eV, а затем к полученному значению а' прибавить Да, равное
П
этой JXe»-1. (или равное Bm«W«), где <„ - момент достижения
ty(lfSc.7liTi'o)+2'4'e"Vc<>s(0>''+,f'> CBOero -»»»«
После этого находим /т, дифференцируя
А (0 ^ 1 + 2Лхе~<Мcos (a>xt + ^). (XVII.71)
644

о dh (t) A
Затем, положив —-г— = 0, находим
'|я== ^ [arctg("~^)— ^i + OT]> к = °> *> •••
Для первого выброса а' следует положить /с = 0. Угол t|)lf
представляющий собой аргумент комплексной амплитуды Лх, равен
т п
ti = ^ 4V - 2 фк ~ arg ^' (XVII.72)
где я|)у — углы векторов, проведенных из нулей у/ в полюс Ях (число
нулей равно т)\
фЛ — углы векторов, проведенных из всех (п — 1) полюсов в
полюс А]! / (Л \
arg^arctg fe = ei-
m
Следовательно,
я m
^=^(?+I>-2»> (XVII.73)
TO
*=2 ;=1
ИЛИ п т
^==F1(jt+ 2 ф*~ 2^)'
к = 3 ;=1
ввиду того, что аргумент вектора (Хг — К2) равен -^-. Учтя, что
а' = A (U — 1 и при ^ = ^m cos (со^т + яра) = cos (у + arg Х^ =
= sin arg X± = ^ (где со0 = Уд* + со?), получим
(UQ
га т
of = 24^* ^3 /-1 . (XVII.74)
Из выражения (XVII.74) следует, в частности, что для системы
п т
второго порядка без нулей Уср^ — Уг|); = 0, и 2ЛХ = —, поэтому
а' равно точному значению
а = е "*' , (XVIL74a)
645

как и должно быть для этой системы х (п = 2 и m = 0). Далее
заметим, что в выражении (XVI 1.74) учитывается влияние всех
нулей" и полюсов системы на величину а', ибо амплитуда 2А±
зависит от модулей векторов, проведенных из всех полюсов и нулей
б
/о
60
20
ЫП2
Г ь)0
г 1уЬ
г 1
\ 0,5
I I
lUo
б
в полюс
а показатель степени
0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 I
Рис. XVI 1.11. Зависимость
максимума
перерегулирования от относительного
коэффициента затухания (для
систем, описываемых
уравнениями второго порядка)
ё"1 J — от фаз этих векторов.
Следовательно, а' зависит от
взаимного расположения всех нулей и
полюсов замкнутой функции системы.
Выброс системы о оказывается
равным а' в том случае, если к моменту tm
все экспоненты суммы ^Вкекк* успе-
/с-=3
вают сделаться достаточно малыми.
В противном случае к величине о'
следует прибавить их алгебраическую
сумму, вычисленную для момента tm.
Окончательное выражение для приближенной оценки выброса
будет
-2А^е
1(00
Мя+2>«- 2*/
к=Ъ
/=1
+ УвЛ1>п,
(XVII.75)
где
п т
/с = 3
Формула (XVI 1.75) для просматриваемых точек корневых
годографов позволяет приближенно оценить величину выброса. Она
представляет также и теоретический интерес, так как с ее помощью
возможно определить, в каком направлении изменяется выброс
при перемещении нулей и полюсов замкнутой системы. Анализируя
формулу (XVI 1.75), заметим, что выброс а возрастает при умень-
шении декремента затухания системы —, при приближении нулей
к началу координат плоскости s и удалении от него
недоминирующих полюсов Хк (к = 3, 4, ..., п).
В самом деле, приближение нулей к началу координат плоско-
т
сти s увеличивает 2^y» которая влияет на а в том же направлении,
/ = 1
1 График а для системы, описываемой уравнениями второго порядка,
приведен на рис. XVII. 11 а = f (I), где I — относительный коэффициент
затухания (демпфирования): £ — —-,
о)0
646

что и уменьшение декремента затухания — .Наоборот, приближе-
ние недоминирующих полюсов к началу координат плоскости s,
п
увеличивая сумму углов ^Ф*» влияет на а в противоположном
направлении, т. е. уменьшает а.
Этот важный вывод о влиянии нулей и полюсов на форму
переходной характеристики h (t) позволяет качественно оценить без
всяких вычислений характер переходных процессов при различных
значениях параметра К (или Tt) корневого годографа.
Как длительность переходного процесса Тру так и выброс о
зависят [см. выражения (XVII.69) и (XVII.75)] от амплитуды
колебательной составляющей 2AV Амплитуду Аг вычисляют по
следующей формуле:
Аг =
G(h)
^1^0 (^l)
К П (К - h)
* = 2
(XVI 1.76)
Из последнего выражения видно, что Аг возрастает, когда
вблизи Кг оказывается один или несколько из полюсов Kh а также
если нули Yy приближаются к началу координат плоскости s.
Действительно, уменьшение любого множителя (Хг — Х() знаменателя
вызывает увеличение Av Для объяснения влияния нулей на AL
вспомним, что
<D(s)
где из условия Ф (0) = 1 имеем
0(8)
ЛоОО
имеем
m
/=1
п
«г==1
тп
с П (s ~ Y/)
П (s - К)
к = \
= 1.
Если та же система не имеет нулей, то справедливо
соотношение
C1 I
in*
/с=1
= 1.
647

Следовательно, сг = \\ %КУ а с = -——
. В этом случае выражение
для Аг можно записать в виде
/=1
т
Uyj
(XVII.77)
h П (K-h)
где первый сомножитель представляет собой значение Аг при
отсутствии нулей, а второй — показывает увеличение Аг вследствие
влияния нулей. При нуле yj9 стремящемся к началу координат
плоскости s, этот множитель соответственно возрастает,
увеличивая Аг. При этом из формул (XVI 1.69) и (XVI 1.75) следует, что
время переходного процесса Т0 и выброс о возрастают.
Ллв
л2
v
№
О б
HaS
Л1
V
JCJ
О 6
П/i.S
*ги
f
\и\»о
я'
л2
V
JCJ
0 6
а)
О
Рис. XVII. 12. Расположение нулей и полюсов для трех простейших
передаточных функций:
с (s + Ь)
a) <D(s)=-
s2 + 2|co0s + co2 ''
б) Ф (S) ■
s2 + 2£co0s + 1
в) случай б,
но для двух различных числовых значений b
Таким образом, приближение любого полюса %к к
доминирующему полюсу А,х и приближение нуля Y; к началу координат
плоскости s увеличивают время переходного процесса Тр и
перерегулирование а.
Пример 1. Проиллюстрируем на следующем примере изложенные выше
положения. Для элементарной системы с передаточной функцией
т.ч2 Л
Ф0 (s) = -
s2 + 2£g)0s + (of s2 + 2s + 4'
не имеющей нулей (рис. XVII. 12, а) сх = со§ = 4 и А[ = ^- = —= #
Для системы с теми же полюсами, но с нулем у (рис. XVII. 12, 6) имеем
Ф /<л_ c(s-f-b) __ c(s+ b)
где
с = ^ = A =4-, так как Ф (0) - 1.
b b b ' w
648

где
то Лг
Для этой системы
д = с [ 8| + Ь | = 6j|s'+61 _ w0 |Sl + »l
1 2(Oi(oft 2(0!(B0 2co, ' 6 '
Si —Yi
Yi
»
А'- Щ
Из последнего выражения и рис. XVII.12, а видно, что если \\i]^>slt
Yi
соответственно
возрастает.
Вычислим длительность переходного процесса Тр и выброс о для данной
системы, когда Yi = — оо и Yi — 0,2:
при Yi = —оо имеем А\ — Согласно формуле (XVII.69a)
и выброс
Г,я1±»в!^вз Л-IReX,!-!)
^1
_*1Я - — Я
а==в Ю1 = * /_зЯ= 0,175, (7=17,5%;
при Yi ^ — О'2 получаем Аг = = -—: (для простоты принято Кг — Yi^
^ A,x = 2) и длительность переходного процесса
10
3 + In 2 ■
Г,- ^ = 5,44,
а выброс в соответствии с выражением (XVII.74)
<*-»> _ю у¥ -Г3(я-т)
<х = 2Л1£-1е "' =2-^.-^е ^ "/=5Д а»/о = 550»/„;
wo }/ 3 z
[ф = arg (Ях — Yi)«« arg Ях = 120°].
Оценивая влияние нуля Yi = —0,2, очень близкого к началу координат
плоскости s (он в 10 раз ближе, чем полюс Ях), мы замечаем, что амплитуда 2ЛХ
увеличилась в 10 раз, но длительность переходного процесса возросла только на
75%. Поэтому можно приближенно оценивать длительность переходного
процесса Тр по формуле (XVI 1.69), полагая в ней 2Лг (или В) равными 1. Выброс
увеличился в 31 раз по сравнению с прежним его значением, когда не было
нуля: в 10 раз из-за роста амплитуды и в 3,15 раза из-за влияния фазы г|).
Физический смысл такого большого влияния нуля состоит в том, что в систему введен
значительный дополнительный сигнал по первой производной, создающий
сильный импульс в самом начале переходного процесса.
Пример 2. Вычислим для случая, рассмотренного в начале настоящего
параграфа, длительность переходного процесса Тр и выброс системы о при
значении общего коэффициента усиления К = 8,5.
649

Как было показано, при К = 8,5 доминирующие полюсы Х1,2 = — 10 =Ь
db j 17,3, к3 = — 3,9, ^4 = — 73,1 и нуль Уз = — 4,8. Значения Лх, ^ и B3t
вычисленные ранее при этих данных, равны Аг = 0,52; ^ = — 226°; В3 = 0,38.
Согласно формуле (XVI 1.696)
3 + 1п£ __ 3 + In 0,38
Cfg ~~ 3,65
_ оТиш_оТш и,оо _
в которой длительность переходного процесса определяется амплитудой В3
и затуханием б3 = | К3 |наиболее близкого к мнимой оси /со полюса к3 = —3, 9,
не вполне компенсированного нулем уз ~ —4,8.
Если бы мы определили длительность Тр по амплитуде 2ЛХ и 6Х = — 10,
то получили бы неверное значение Тр — 0,3 сек.
Выброс а' согласно формуле (XVII.74)
п m
■5[("+2;--S>/)
C-^J. ' - /- =2-0,52.igx
_ _Ш / 107°+17°-IPS'"! _ J£. i i
x g 17,3 Iя +* .80° ) = 0>8?, 17,3 •'" = ол ,3
Момент tm достижения максимума h (t) согласно формуле (XVI1.73)
(я+|>к-|» ,.
t /c=3 ;=i _ 1,1ft _ n о
tm ~ (0, - 17,3 _ U'Z-
При этом значение экспоненциальной составляющей, дающей поправку До*,
В3/з(т = 0,38г-3'9-0-2=0,18.
Выброс а (с учетом знака До <0):
а = о' + Аа = 0,113 — 0,18 = — 0,067,
т. е. выброс в данном случае отсутствует.
При К = 2,65 система передемпфирована, процесс затянут и длительность
его равна
_ 3 + In В3 __ 3 + In 0,53
т. е. на 70% больше, чем при К = 8,5.
В заключение сформулируем выводы о влиянии расположения
нулей и полюсов замкнутой системы на основные показатели
переходной характеристики h (t).
1. Длительность Тр переходной характеристики h (t) (процесса)
в основном зависит от абсолютного значения действительной части
ближайшей к мнимой оси /со плоскости s комплексных полюсов
замкнутой системы или действительного полюса, если он является
ближайшим к оси /со. При этом мы предполагали, что указанные
полюса не компенсированы достаточно близкими к ним нулями.
Длительность процесса Тр определяется формулами (XVII.69а)
или (XVI 1.696), в которых в перврм приближении можно
положить 2АХ или Вх равными 1,
650

2. Выброс переходной характеристики а зависит от декремента
затухания — доминирующих комплексных полюсов и от степени
близости к началу координат плоскости s остальных полюсов и
нулей замкнутой системы.
3. Близкие к началу координат плоскости s нули увеличивают
выброс, а близкие (но не доминирующие) полюсы его уменьшают.
При этом выброс определяют по.формуле (XVII.74).
8. ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
НА ЕЕ ПОЛОСУ ЧАСТОТ
Выше было исследовано, как влияет расположение нулей и
полюсов замкнутой системы на основные временные показатели
переходной характеристики — длительность Тр и выброс cr. Но
часто определенные требования предъявляются также к величине
ее полосы пропускания частот сол.
В тех случаях, когда известен спектр воздействий, которые
система регулирования должна отрабатывать, ширина полосы
частот <оп системы, очевидно, должна быть не меньше величины спектра
воздействий. С другой стороны, co„ не должна быть заметно больше
практической ширины спектра воздействий, так как в противном
случае система окажется излишне чувствительной к помехам.
Помехи обычно имеют более широкий спектр частот, чем полезный
сигнал. Поэтому часто полоса частот со„ системы ограничена сверху,
а не снизу.
Определим, чему равна полоса пропускания частот сол2
элементарной системы второго порядка без нулей, а затем выясним
для системы п-го порядка влияние нулей и недоминирующих
полюсов на величину полосы частот системы солл, которую кратко
будем записывать сол.
Для астатической системы второго порядка передаточная
функция замкнутой системы
ф (S) = ®1 ? = 1
Амплитудно-частотная характеристика этой системы А (со) =
= Ф (4=/а> будет
А (со) = . *** (XVII.78)
V{®1 — со2)2 + 4g2cog со2 ;
Полосой пропускания условимся называть частоту сол, при
которой значение А (сол) в —г-п раз меньше, чем А (0) = 1, или,
У 2
другими словами, частоту, при которой усиление A (coj снижается
на 3 дб по сравнению с усилением А (0) = 1 при нулевой частоте
(рис. XVII.13). Приравнивая —выражение (XVII.78) при со = сол2
]/2
651

и разрешая полученное уравнение относительно со„2,
получим [23] , г ======
©«2 = <о01Л -2£2 + V2- 4g» + 4l\ (XVII.79)
График — = f (I) приведен на рис. XVI 1.11. При
относительно
ном коэффициенте демпфирования I = -j== 0,707 ып2 = со0.
Из выражения (XVI 1.79) видно, что при уменьшении g
возрастает а)Л2, т. е. полоса пропускания расширяется. При I -> 0 имеем
i0 ]Л +]/2 = 1,55со0;
при g = 1; сол2 = 0,64 со0.
На корневых годографах чаще всего наносятся значения
общего коэффициента усиления системы /С. Для рассматриваемой
астатической системы второго
порядка/С представляет собой доброт-
/~\ ность системы Ош (по скорости). Вы-
\ разим полосу частот сол2 непосред-
Тч ственно через Dm.
I \. Передаточная функция разомкну-
\ ^^ той системы, соответствующая Ф0 (5,)
0 ип cj,ce*-f будет
со2
Рис. XVII.13. Амплитудная ха- W (s) = $2 , 2°* g. (XVII.80)
рактеристика замкнутой систе- °
мы Так как добротность D^
определяется как отношение
установившейся скорости изменения выходной величины к входной, когда
система разомкнута, т. е.
Dn=lim{s[W(s)]}t
то из формулы (XVI 1.80) имеем
Ао = |. (XVII.81)
Используя выражение (XVII.79), получим
со,2 = 2W„[l -2£2 + У~2-41* + 41*у/>. (XVII.82)
Формулы (XVII.79) и (XVII.82) содержат два параметра,
которые известны в каждой точке корневых годографов. При корневом
годографе, показанном на рис. XVI 1.7, полоса частот соЛ
расширяется при увеличении D^ быстрее, чем растет Dw, так как при
этом также происходит уменьшение £.
Перейдем к определению влияния нулей и цедоминирующих
полюсов на величину полосы частот (оЛ. Для этого рассмотрим
наиболее типичный случай, когда доминирующими являются два
комплексно-сопряженных полюса замкнутой системы, а остальные
652

полюсы, так же как и нули, будем для простоты считать
действительными (см. рис. XVII.9).
Передаточная функция, соответствующая рис. XVI 1.9,
т
сП (s — у/)
Фо(5)-^=1
или
П (s-XK)
л: = 1
т
cU(s + bj)
ф0 (s) «, 1=1
(s» + 2|o)0s + со?) П (s + ак)
Частотная характеристика системы в этом случае будет
т
ИУЬ)+вА
А(<»)= t с*ю* .1^1 .
п т
При А (0) = 1 имеем с± = J~[aK : JJfy, тогда
ЩМ*
4 (a>) = -,-== Q ■'„ —■ (XVII.83)
} K(C0g— 0)2)2 + 4Б«Ш0«©« Л-|/"1 + /_0)\2 '
Из выражения (XVI 1.83) следует, что далекие от начала
координат плоскости s нули Y/ = — bj и полюсы \. = — а^, т. е. такие,
при которых bj ;> со0 и ак J> co0 не влияют на амплитудно-частотную
характеристику А (со) и полосу соЛ, так как при этом соответствую-
2
оказываются
щие множители П Т/ 1 + иА и П l/ I + hf
мало отличающимися от 1.
Следовательно, на амплитудно-частотную характеристику и
полосу пропускания частот со^ имеют влияние только нули уу и
полюсы %к, близкие к доминирующим, т. е. модули которых имеют
порядок величины со0 или сол2 или меньше их.
Нули и полюсы влияют противоположным образом, так как
нули стоят в числителе, а полюсы — в знаменателе выражения
(XVI 1.83). Поэтому достаточно выяснить влияние одного нуля,
653

близкого к началу координат плоскости s; результат обобщается
для всех т нулей и /г — 2 недоминирующих полюсов.
На рис. XVII. 14 показана характеристика (кривая /),
соответствующая первому множителю выражения (XVI 1.83), которая при
со = сол2 имеет ординату—; кривая 2 соответствует множителю
V *•
лГ\ + (^2,ГДе — bj = Y/ близкий нуль.
Приравнивая
*у
1+ч-/
V>J-co»)« + 4E«<dJ<»« V2
замечаем, что при bj jt со со„ ]> ш„2, так как
«>5 1
.. <J_
n-J/1+ф
а это возможно только при сол > со„2.
Результирующая амплитудно-частотная характеристика
представлена кривой 3. Итак, близкие к началу координат плоскости s
вещественные нули расширяют
полосу пропускания частот соЛ тем больше,
чем они ближе к этому началу.
Близкие к началу вещественные
(недоминирующие) полюсы уменьшают полосу
частот соЛ тем больше, чем они ближе
к началу плоскости s.
Подставив в выражение (XVI 1.83)
ь)П2 ип и,сек" (о = о)т> Где ©^ — частота, при ко-
Рис. XVII.14. Амплитудная ха- Т0Р<>Й амплитудно-частотная харак-
рактеристика замкнутой систе- теристика имеет пик М, убедимся,
мы и ее составляющие что близкие к началу координат
плоскости s вещественные нули
увеличивают пик М. Близкие недоминирующие полюсы уменьшают
пик М, т. е. указанные нули и полюсы влияют на величину
пика М в том же направлении, что и на величину выброса а
(перерегулирования) переходной функции h (t). Этим
обстоятельством и объясняется то, что М — критерий качества САР [30],
теоретически справедливый для системы второго порядка, для
которой М является функцией единственного параметра |,
практически и не без успеха используется для оценки качества САР п-го
порядка. Таким образом, просматривая корневые годографы,
опытный расчетчик может судить (качественно) об изменении полосы
пропускания частот (ол и пика М амплитудно-частотной характеристики
при изменении параметра К.
Выбрав определенное значение /С, совместимое с заданными тех-
654

ническими условиями, нетрудно по формуле (XVI 1.83) построить
амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы А (/со) и
определить точное значение полосы частот соЛ, а если это нужно,
то и пика М.
Пример 3. Определим ширину полосы пропускания системы, поведение
которой при изменении общего коэффициента усиления К было рассмотрено
в начале данного параграфа. При К = 8,5 передаточная функция системы
Ф(5):
23 800 (s + 4,8)
" (s + 3,9) (s + 73,1) (s2 + 20s + 400)
Амплитудно-частотная характеристика этой системы
238001/4,8* + со3
Л(со) =
1/(3,92 + ©»)(73,12 + со2) [(400 — со2)2 + 400со2
400
jMs)'
1/(400~со2)2 + 400(о2
/'+($)' /|+
Полоса частот солй, соответствующая первому
(XVI 1.84), равна [по формуле (XVII.79)]
©яг == со0 У 1
со
73ДУ
множителю
(XVII.84)
выражения
2£2+l/2--4g2 + 4g4 =
= 20]Л—2-0,52 +1/2 — 4 • 0,52 + 4 ♦ 0,5* = 1,27-20 = 25,4,
где I
*i
0,5 для доминирующих полюсов.
10 .
©! 20"
Полоса частот <ап рассматриваемой системы меньше, чем сол2 = 25,4,
поскольку полюс Я3 = — 3,9 ближе к началу координат плоскости s, чем нуль
Yi = — 4,8. Второй вещественный
полюс Я4 = —73,1, как значительно
удаленный от начала, почти не влияет
на величину полосы пропускания соЛ:
Так как полюс Х3 и нуль Yi
Довольно близки друг к другу, сод не
может быть намного меньше, чем сол2.
Действительно, из графика
амплитудно-частотной характеристики,
построенного по выражению (XVI 1.84),
(рис. XVII. 15 сплошная кривая), получаем сод = 22,8. Штриховой линией
показана кривая А (со) для системы второго порядка с | = 0,5 и со0 = 20 без
нулей.
9. КОРНЕВОЙ ГОДОГРАФ И ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ
ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ПРИЛОЖЕННЫХ НЕ К ОСНОВНОМУ ВХОДУ СИСТЕМЫ
В автоматических системах, кроме управляющего сигнала,
приложенного к основному входу, имеют место другого рода
воздействия (возмущения), приложенные к другим точкам системы,,
20ипо)пг30 и,сек~
Рис. XVII. 15. Определение полосы
пропускания систем при различных
расположениях нулей и полюсов
655

Примерами возмущений являются изменения или колебания
нагрузки выхода системы, влияние других регулируемых величин,
связанных с регулируемой величиной через объект, колебания
напряжения, питающего элементы системы и т. п. Технические
условия обычно требуют, чтобы установившиеся отклонения
регулируемой величины, вызванные возмущениями, были достаточно малы,
а длительность переходного процесса и выброс оставались бы
примерно такими, как и от действия управляющего сигнала. Для
исследования поведения системы под влиянием возмущений, имеющих
форму типовых сигналов: единичного скачка или единичного
импульса, приложенных не к основному входу, также применимы
корневые годографы. Метод корневого годографа позволяет
синтезировать систему в соответствии с заданными показателями ка-
рккГУм-*"4^*^р^Н'~^^П Т Т*
Рис. XVII. 16. Структурная схема системы автоматического
регулирования:
а — исходная; б — преобразованная
чества, учитывающими требования в отношении реакции системы
как на управляющее воздействие, так и на возмущения,
действующие в точках системы, не совпадающих с основным входом.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. XVII. 16,а, к
точке А которой приложено возмущение /. Передаточная функция
от точки А к выходу системы х, которую мы будем обозначать
X (s)
Y (s) = ЁГ7-Т, получается аналогично основной передаточной функ-
X (s)
ции Ф (s) = Qji- Заменяя схему на рис. XVII, 16,а эквивалентной
ей схемой (рис. XVII. 16,6), находим
W (s) = w9{s)[l + W, (s) 1pLsr] Wt(s) W2(s).
Переходя от разомкнутой системы к замкнутой по формуле
получаем
Y(s)
Y(s)= ^(s)
Wa(s)
1 -f Щ ($) Wt (s) Wa (s) -f W, (s) W, (s) Wt (s)
. (XVI1.85)
656

X (s) X(s)
Сравнивая Y (5) = ^-^c передаточной функцией Ф0 (s) = ^-j-,
T* e* X(s) W1 (s) W2 (s) W3 (s) ,xvn Rfi
G(s) 1 + W1(s) W2(s) W3 (s) + W2 (s) W3 (s) W* (s)' V^v 11.00;
замечаем, что знаменатели у них одинаковы, следовательно,
полюсы этих передаточных функций, являющиеся корнями
знаменателя, совпадают. Поэтому корневые годографы, построенные
по общему для выражений (XVI 1.85) и (XVI 1.86) знаменателю,
т. е. характеристическому полиному замкнутой системы, совпадают.
Однако переходные процессы в одной и той же системе,
вызванные воздействием g (t) на входе и возмущением / (f), даже
если g и f равны [например, 1 (t)], не одинаковы. Переходная
характеристика hx (t) при g (t) = 1 (t) и / = 0 для системы,
изображенной на рис. XVII.9,
h m-/-iH w* (s) w2 (s) w3 (s) 1 /XVTTo74
lW" U ' \ + W1(s)W2(s)W9(s) + Wt(s)W9(s)Wi(s)}'{< Avn.o/;
а переходная характеристика h2 (t) при g = 0 и / = 1 (t)
h2(t) = L ^- { + ^(s) ^(s) ^(sJ + ^(s) + ^(s) ^(s)].(XVII.88)
Различие реакций системы hx (t) и Л2 (0 обусловлено, как видно
из этих выражений, разными числителями передаточных функций
X(s) X(s) X(s) X(s)
тгт^ и -FTT-т, т. е. тем, что нули -~~ и -^г~ не совпадают, хотя
(j(S) Г (S) U (S) Г (S)
все полюсы у них одинаковы.
Таким образом, при анализе системы с учетом управляющего
воздействия g и возмущения / можно пользоваться одними и теми же
общими корневыми годографами, принимая во внимание, что
переходные характеристики hx (t) и h2 (f) зависят от соответствующих
нулей передаточных функции ^^ и -рт^у
Указанные выше общие корневые годографы системы строятся
по передаточной функции разомкнутой системы W (s), полученной
приравниванием нулю знаменателя выражений (XVI 1.85) и
(XVII.86)
1 + Wx (s) W2 (s) W3 (s) + W2 (s) Ws (s) W, (s) = 0,
т. е. по передаточной функции
W (s) = Wx (s) W2 (s) W3 (s) + W2 (s) W3 (s) WA (s). (XVII.89)
Пусть, например,
тогда
W (S) = V(rls+l)(r^,+"l)(w + i),J •
#57
W/ /л _ Ma [^1 (ts + 1) + Ms (TjS + 1)]
^ ^- s(Txs+\)(T%i+\)(xs + \) •

Общие корневые годографы легко могут быть построены для
данной системы, если изменяемым параметром является один из
коэффициентов усиления k2 или k3 или же их произведение (k2k3) —
общий коэффициент усиления прямой части внутреннего контура
системы, изображенной на рис. XVII. 16,а.
Если необходимо исследовать систему при изменении другого
параметра, например, кг (или &4), то корневые годографы строятся
по эквивалентной передаточной функции [26; § 8]
w /<л h 1Мэ (та + 1)]
W э {Ь) ~ s (TlS + 1) (T2s + 1) (те + 1) + MaMe (TlS + 1) '
или (при изменении &4)
лу; / ч ^ MM3*s(rxS+l)]
w э { ' s (7\s + 1)(T2s + 1)(xs + 1) + кхк2к3 (xs + 1) '
Для рассматриваемого примера переходные характеристики
hx (t) = L"1 [^|fy] и h2 (0 = L"1 [^|y-] в соответствии с
выражениями (XVI 1.87) и (XVI 1.88) будут
h, (t) = Zr1 x
^1^2^3 (^ + 1)
X
X
s (7\s + 1) (T2s + 1) (ts + I) + Me [*i (ts + 1) *4та (7\s + 1)]
/22 (/) = L"1 X
jl k3(T1s+\)(T2s+\)(xs+\)
■]'
s (l\s + 1) (r2s + 1) (ts + 1) + Ma [kt (xs + 1) + k^xs (Txs + 1)] J '
Из этих выражений видно, что установившиеся значения
переходных функций hx(t) и h2(t) различны и h2 (t) может иметь
больший выброс, чем кг (f). Действительно, из выражения
имеем для рассматриваемой системы А1(оо)=1, аналогично
тогда отношение
h2 (со) __ 1
h (со) ~~ kxk2'
Смысл этого отношения состоит в том, что если / = 1 (t) и
g = 1 (/), то установившиеся значения х (со) регулируемой величины
соответственно относятся, как h2 (со) : hx (оо) или как 1 : kxk2.
Отсюда следует вывод о том, что произведение kxk2 должно быть
велико (kxk2 ^> 1) для того, чтобы влияние возмущения / на
регулируемую величину х было в установившемся состоянии (т. е. после
окончания переходного процесса, вызванного возмущением /)
незначительно. В то же время коэффициент передачи jt^t =
= /ix(co) = 1 обеспечивает точное воспроизведение выходом
управляющего воздействия g в установившемся состоянии♦
658

KlkfQfyuKp
Возможность большего выброса h2 (t) по сравнению с hx (t)
объясняется наличием двух лишних нулей передаточной функции
-р^, а именно Yi = —у- и Y2 = —^-, по сравнению с
единственным нулем у = переда- р
t LpQ
точной функции 7J7). Па5
Как было показано
выше, нули передаточной
функции, в особенности, если они kthf0,№5l
близки к началу коорди- L*2009m
нат плоскости 5, увеличивают ..-—*f.
выброс системы. Но если эти Jjjjffi Tfcjfr -*t
нули находятся ближе к
доминирующим полюсам, чем
к началу плоскости 5, то они
могут снизить выброс за
счет уменьшения амплитуды
2Аг — доминирующего
колебания в реакции системы.
На рис. XVII. 17 построен корневой годограф для системы,
изображенной в виде структурной схемы на рис. XVII. 16а,
передаточная функция которой
Ш (с\ = Мз [*i (TS -Н) + faS (7\s + 1)]
w w s(TiS + \)(T,s+\)(ts+\) •
При значениях параметров 7\ = 0,1 сек, Т2 = 0,05 см, т = 0,04 сек,
kx = 100 и &4 = 0,5
Рис. XVII. 17. Корневой годограф для
системы автоматического регулирования,
приведенной на рис. XVII. 16.
W(s)
k2k3 [100 (0,04s + 1) + 0,5 • 0,04 (0,1s + 1)]
s (0,1s + I) (0,05s + 1) (0,04s + 1)
_ \0k2k3 (s + 25) (s + 2000) *
~~ s(s+ 10) (s + 20) (s -f 25) "
Ветви корневого годографа пересекают мнимую ось /со при
<окр = 14,3 и (k2k3)Kp = 0,3. Выбирая на корневом годографе
доминирующие полюсы hlt2 = —3,5 ± /5, вычисляем значение k2k3,
соответствующее этим полюсам согласно уравнению модулей [26]
Ко Ко
/=1
пг
сПГк
/с=1
6 -8,5-17,5
10-2000
= 0,045.
* Заметим, что здесь
нуля в передаточных функциях
полюс —25
X(s)
Q{8) и F(s)
компенсирован нулем —25, поэтому
—-^- не будет, так как он сокращается.
659

Третий полюс Х9 замкнутой системы легко находится из условия
Ф (0) ^т^Ы» ПРИ К0Т0Р°м выполняется равенство
0(0)'
| ^1^2^3
откуда
|*.| =
kxk2k9
ТгТ2
100 . 0,045 • 200
24,2.
3,52 + 52
В этом случае передаточная функция замкнутой системы
а передаточная функция
X(s) 900
900
(s + 3,5 - у'5) (s + 3,5 + ]Ъ) (s + 24,2)>
(7,1s+l)(r,s+l)
F (s) ~ k±k2 (s + 3,5 - у5) (s + 3,5 + J5) (s + 24,2) •
Принимая k2 = 1, k3 = 0,045, имеем Лг£а = 100 и
Х(з) 9(rlS + l)(ras + l)
F (s) (s2 + 7s + 37,2) (s + 24,2) *
Переходные характеристики hx (t) и fta (t) будут
Ах(/) = 1 + l,4^-3^cos(5/ —229°) —0,08^~24^;
h2(t) = i[l +0,9&r-3'5'cos(5/— 174°)— 0,03e-24«2'].
Из этих выражений видно, что в установившемся состоянии
Ла(оо)
1 и / \ 1
fy(t);h2(t)
100"
Кривые переходных функций Лх (/) и А"2 (/) показаны на рис.
XVII. 18. При выбранном значении k2k3выброс практически
отсутствует как в реакции системы на
хвх = 1 (/), так и в реакции на
/ = 1 (0.
В заключение отметим, что для
оценки качества регулирования,
когда возмущение приложено не
к основному входу системы,
полностью применимы приближенные
формулы (XVII.69), (XVII.74)
и (XVI 1.75) для времени
достижения первого максимума, для
времени регулирования и для
выброса переходной характеристики
h2 (t). При вычислении указанных
оценок необходимо только знать расположение нулей и полюсов
передаточной функции т^тт, так как переходная функция h2(t)
Г (S)
является оригиналом по отношению к F(s)~,
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 t.ce*
Рис. XVII. 18. Переходные
функции для системы автоматического
регулирования, приведенной на
рис. XVII. 16 (при К = 900; К ==9)
660

10. ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
НА КАЧЕСТВО ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО
ВОЗДЕЙСТВИЯ
Как известно, для широкого класса динамических систем,
преобразования Лапласа X(s) регулируемой величины имеет вид
X М - ^00^(3) , MH(s)
л W - D(s)F2(s)"t" D(s) '
а решение дифференциального уравнения переходного процесса
состоит из трех составляющих:
вынужденной
Щрк) Fi(?k) ePKt
к= 1
если преобразование Лапласа F (s) возмущающего воздействия
f (t) не имеет полюсов в начале координат и все нули D (s) и F2 (s) —
простые;
сопровождающей
свободной
х (fi-У Мн {%i) М
Рассмотрим влияние распределения нулей и полюсов
передаточной функции системы вида возмущающего или управляющего
воздействия и начальных условий на характер переходного процесса и
сформулируем некоторые рекомендации по выбору распределения
нулей и полюсов передаточной функции (если такая возможность
имеется), при котором качество переходного процесса будет
удовлетворительным. На практике встречаются два случая:
а) внешнее воздействие / (t) является возмущающим и
необходимо создать систему, которая минимальным образом реагировала
бы на это воздействие;
б) внешнее воздействие g (t) является управляющим, полезным,
и требуется так выбрать параметры системы, чтобы это воздействие
воспроизводилось с минимальными погрешностями.
Как в том, так и в другом случае для уменьшения динамических
ошибок и получения высококачественной системы необходимо
соответствующим выбором параметров системы и расположения ее
нулей и полюсов обеспечить возможное сближение собственных
(свободной и сопровождающей) составляющих движения.
Вынужденная составляющая в первом случае должна быть
возможно близкой к нулю, а во втором случае не должна по своему
виду существенно отличаться от внешнего воздействия.
661

Рассмотрим условия, которые следуют из анализа влияния
распределения нулей и полюсов передаточной функции системы
на каждую из составляющих закона изменения интересующей нас
величины х (t).
Задача уменьшения вынужденной
составляющей движения хв (0, возникающей при
наличии возмущающего воздействия / (/).
Анализируя выражение вынужденной составляющей хв (0,
заметим, что ее величина будет тем меньше, чем меньше значения выра-
жении 7Т7"т » т- е- значения передаточной функции системы
Iй Ks) JS==PK
в точках, соответствующих полюсам возмущающего воздействия, или,
как говорят, значения комплексного спектра системы в полюсах
воздействия при 5 = р^..
Так, например, если один из нулей передаточной функции
системы лежит в начале координат, т. е. когда
M(s) = s(s —y2) ... (s —Ym).
а возмущающее воздействие имеет постоянную составляющую
(преобразование Лапласа F (s) имеет полюс, расположенный в
начале координат), /эту __ = ® и вьшУжДенная часть решения
не будет содержать постоянной составляющей. В этом случае мы
имеем астатическую систему.
Вынужденная составляющая решения в системе с астатизмом
второго порядка, в которой М (s) = s2 (s — уз) ••• (5 — Ут)не будет иметь
постоянной слагаемой как при возмущающем воздействии в виде
ступенчатой функции, так и при возмущающем воздействии вида
/ (t) = kt, так как F (s) = -у. В последнем случае нуль второго
порядка передаточной функции системы совпадает с полюсом
второго порядка возмущающего воздействия, расположенным в начале
координат.
В общем случае для уменьшения вынужденной составляющей
целесообразно стремиться нули передаточной функции совмещать
с полюсами возмущающего воздействия или вообще располагать
их в области спектра воздействия, которая может быть известна
заранее.
Задача воспроизведения управляющего
воздействия. Эта задача возникает при расчете следящих
систем, усилителей, систем управления, всережимных регуляторов
с переменной настройкой и т. п.
Относительную погрешность воспроизведения определим [19]
как отношение . ,,ч „ ,,ч,
е~ Ko\g(t)\ ' IAV11.WJ
„ М(0) b0 , ,,,
где д0 = -^щ- = ~- = const — коэффициент усиления.
662

Рассмотрим условия, при которых эта погрешность будет
возможно меньшей и во всяком случае меньше некоторой наперед
заданной допустимой погрешности е0.
Первым и основным условием точного воспроизведения
внешнего воздействия является уменьшение собственных составляющих
движения и обеспечение их быстрейшего затухания, поскольку они
представляют прямую ошибку воспроизведения. При этом ставится
требование устойчивости системы, а также требование высокой
степени устойчивости, малой колебательности и т. д.
Вторым существенным условием является требование
отсутствия резонанса в системе. Если один или несколько полюсов
передаточной функции системы и комплексного спектра (преобразования
Лапласа) внешнего воздействия совпадают, то имеет место так
называемый обобщенный резонанс.
При наличии обобщенного резонанса вынужденная
составляющая движения существенно отличается по своему виду от внешнего
воздействия g (t), и это отличие тем сильнее, чем ближе расположен
резонансный полюс к мнимой оси [19]. Так, например, если в точке
s = Хг резонансный полюс имеет порядок /, то соответствующая
составляющая решения получит вид
(Al_1?-1 + Al_jl-* + ...A0)&<.
Таким образом, для уменьшения ошибки воспроизведения
необходимо удалять полюсы передаточной функции системы от
полюсов воздействия. Попытаемся оценить влияние расположения нулей
и полюсов передаточной функции системы на ошибку
воспроизведения внешнего воздействия. Аппроксимируем внешнее воздействие
суммой составляющих следующего вида:
v
g(t)= %Аке>"*9 (XVIL91)
тогда
eH-o-^S-^-lffi- (XVH.92)
Вынужденная составляющая решения будет иметь вид
*«-2 5№%ш"- <XVII-93>
/с= 1
Ошибку воспроизведения е(£), определяемую формулой (XVII.90),
можно представить в виде
а ошибку воспроизведения внешнего воздействия g (f) вынужденной
составляющей хв (t) следующим выражением:
^-kAfim-u (XVILS4)
663

6в (t) =
г (О I
(XVII.97)
Следуя работе [19], введем ошибку воспроизведения отдельно
от элементарного воздействия е (рк):
*Ы = -ъ~т%$-1 (XVH.95)
ИЛИ , , Р(0) М(рк)
е^~Ж(0) D(p.) K
Отсюда можно написать
Подставляя это выражение в формулу (XVI 1.94) относительной
ошибки воспроизведения внешнего воздействия вынужденной
составляющей и учитывая зависимость (XVII.93), получим
I к=1
Полученная формула показывает, что для улучшения качества
воспроизведения внешнего воздействия нужно стремиться
уменьшать е (рк). Преобразуем выражение е (р^) и воспользуемся
векторной интерпретацией входящих в формулы дробно-рациональных
выражений, которая с успехом была применена при анализе
погрешностей воспроизведения воздействия в работе [19].
Представим D (рк) и М (рк) в следующем виде:
п
D Ы = ап (р* — Хг) (рк — Х2)... (рж — %п) = ап J\ RiKy
где Riie — вектор, проведенный из i-го полюса передаточной
функции в k-к полюс спектра воздействия; нетрудно видеть (рис. XVII. 19),
что RiK = Ri0 + рк, где Ri0 — вектор, проведенный из того же
полюса в начало координат. Произведя замену Rite9 получим
п
М (рк) = Ьт (р« — Yi) (р« — ?2) • • • (Р* — Ут) =
= bmY[RiK = bmY[(Ri0 + pK)9
где RiK — вектор, проведенный из 1-го нуля передаточной функции
в к-й полюс спектра воздействия;
Ri0 — вектор, проведенный из того же нуля в начало координат.
Подставив эти величины в выражение 8 (pj, получим
т
п _
664

Учитывая, что „ п
D(0) = а0 = а.П (-М = aaf[Rio
m m _
м (0) = 60 = *«П (-y*) = *»П *<»
найдем
m
i=0
П
*=1 ч ^07
1 +
/?i,
(XVII.98)
Последняя формула позволяет оценить погрешность
воспроизведения каждого элемента воздействия, определяемого полюсом рк.
Рис. XVII. 19. Расположение
векторов, проведенных из
полюсов передаточных функций
и полюса спектра
воздействия, для определения
погрешности воспроизведения
Рис. XVI 1.20. Области
расположения нулей и полюсов
передаточной функции системы и
полюсов спектра воздействия
?к
9к
Если =*=*-<< 1 и #-^1, то погрешность будет близка к нулю.
_Ri0 а*о
Если Rio^Rio, то ошибка е(рж) также будет весьма малой.
Следовательно, для снижения погрешностей воспроизведения
внешних воздействий или для повышения управляемости системы
необходимо полюсы и нули передаточной функции удалять от
области расположения полюсов спектра воздействия и по
возможности приближать нули передаточной функции к ее полюсам. Так
как число нулей передаточной функции всегда меньше числа ее
полюсов, то. целесообразно стремиться располагать нули вблизи
тех полюсов передаточной функции, которые ближе всего к области
расположения полюсов спектра воздействия.
Если радиус р0 области, внутри которой расположены полюсы
спектра воздействия, достаточно мал по сравнению с расстоянием
от начала координат до ближайшего к этой области полюса или
нуля передаточной функции системы R0 (рис. XVII.20) ~- <М,
665

то точную формулу для оценки погрешности воспроизведения
уравнения (XVI 1.98) можно заменить более простой приближенной
формулой т п
•w^-[|s-|s]- <XV,U9>
В этом случае выражение (XVI 1.97) для общей погрешности
воспроизведения е„ (t) тоже значительно упрощается:
е. (t) ■■
F'ApK)bKp"e
где т
г(*>1
*-1к-1
1 \1 J_
а
«-1 ^° £-1
Преобразуем это выражение, заметив, что
V
p (Л - 1 . I <? А /Л I - M \£(f)\
или, обозначив р05к= ft, получим
е«(/) = *^)Г (XVII100)
Таким образом, для снижения погрешности воспроизведения
необходимо уменьшать безразмерную величину
т
•-*Е к-Ш
/=1 i=l
зависящую только от взаимного расположения нулей и полюсов
передаточной функции системы и радиуса области расположения
полюсов спектра внешнего воздействия.
Задача уменьшения собственной
сопровождающей составляющей. Как мы видели, в общем
случае выражение собственной сопровождающей составляющей
движения имеет вид
i — i
Аппроксимируем внешнее воздействие суммой составляющих
V
g(t) = 2 А^\
/г = 1
666

и рассмотрим сначала сопровождающие движения, вызываемые
одной составляющей воздействия:
gK(t) = AKe^.
Преобразование Лапласа для этой составляющей будет
а составляющая движения хск (t) получит выражение
«)-2
1>ш",.) «'''' <XV1I102>
ЗДеСЬ U(К) = [^],.х< - ап (К -XJ (Xt-%г)...(А,,-
- Vi) (К - Л|+1) • • • (^ - U. (XVI1.103)
Таким образом,
ДАя (^ - Vi) (^ - v-2) • • - (^ - Vm)
*=1
/,ч _ V 4А* №i-Yi)(^-Ya)»->(^~Ym)
Подчеркнем, что здесь суммирование распространяется на все
полюсы передаточной функции системы. Полученному выражению
можно дать векторную интерпретацию. Нетрудно видеть, что
каждая скобка числителя может быть представлена в виде вектора
Rlh проведенного из соответствующего нуля передаточной функции
в ее 1-й полюс Kh а знаменатель — в виде произведения векторов
Rjt> проведенных в i-и полюс передаточной функции системы из
всех остальных ее полюсов, умноженного на вектор RKt, проходящий
из данного к-ro полюса внешнего воздействия в i-и полюс
передаточной функции системы (рис. XVI 1.21).
При указанных обозначениях формула (XVII. 103) получит
ВИД т
п П Ru
xcK(t)= 2 ^T—^l • (XVII.104)
<•=! П RKi П Rji
Собственная сопровождающая составляющая, а следовательно,
и динамические погрешности будут тем меньше, чем меньше будут
коэффициенты, стоящие под знаком суммы в выражении (XVI 1.104).
Анализируя последнее выражение, заметим, что сопровождающая
составляющая будет тем меньше, чем дальше расположены полюсы
передаточной функции от полюсов спектра воздействия и чем
ближе будут находиться нули передаточной функции к ее полюсам.
В том случае, если полюсы внешнего воздействия лежат в малой
окрестности начала координат, а полюсы передаточной функции
667

удалены от него, то с достаточной точностью можно заменить
расстояния между полюсами передаточной функции Kt и полюсами спектра
воздействия рк расстояниями между полюсами X; и началом
координат, т. е. принять RKi я^ RQi.
Проанализируем влияние изменения расположения нулей и
полюсов передаточной функции на сопровождающую составляющую
Рис. XVI 1.21. Расположение
векторов полюсов и нулей
передаточной функции и внешнего
воздействия
Рис. XVII.22. К определению
собственной сопровождающей
составляющей движения (Ко = const)
движения при постоянном коэффициенте усиления системы /С0.
При этом заметим, что т т
Ьт П (- Y/) Ьт П Rl0
к _ К _ м (Q)
А°~~я0 ~'D(0)
откуда
ап II (-Ц ап П Rjo
П Rjo
/=1
(XVII.105)
(XVII. 106)
Подставим последнее выражение в уравнение (XVII. 104) и
рассмотрим случай, когда можно принять R^ я« R0i;
Хс« if) - 2 А«К*
П Rjo П Ли
/=1
/.= 1
f = l
m /7 — 1
/?oi П Ли П Rji
*V.
668

Учитывая, что Roi = Ri0i получим
п — \ т
п П Л/о П Rn
xc«(t) = - 2 Л^о У~'_ я-1 еЧ> (XVII.107)
'-1 П Л/0 П Л;7
у=1 /==1
я—1
где в произведении ]^[Л/0 в результате сокращения дроби отсутствует
/=i
множитель, соответствующий / = /, т. е. /?,0 вектор, проходящий
из r-го полюса в начало координат (рис. XVIL22).
Выражение (XVII. 107) показывает, что в этом случае для
уменьшения собственных сопровождающих колебаний необходимо
стремиться векторы, проведенные из полюсов передаточной функции
%1 в начало координат RJ0 и из нулей передаточной функции yt
в ее полюсы, уменьшать, а векторы, проведенные между полюсами
передаточной функции и из ее нулей в начало координат,
увеличивать.
Нетрудно видеть, что и то, и другое независимо осуществить
нельзя, и эти требования в известной мере противоречивы. Однако
можно найти некоторый оптимум, при котором расположение
нулей и полюсов передаточной функции обеспечивает минимальное
значение собственной сопровождающей составляющей движения.
При этом нужно следить и за изменением вынужденной
составляющей движения.
Задача уменьшения свободной
составляющей движения. Свободная составляющая движения, как
уже отмечалось выше, появляется только при ненулевых начальных
условиях. Величина этой составляющей зависит от вида функции
Мн (s), начальных условий и распределения полюсов передаточной
функции системы (корней характеристического уравнения).
Выражение Мн (s) и ее связь с параметрами системы рассмотрена
в главе V. Анализу влияния расположения корней
характеристического уравнения системы при типовых начальных условиях
на качество переходного процесса посвящена значительная часть
настоящей главы. Поэтому здесь мы не будем детально
останавливаться на рассмотрении свободных колебаний системы. Отметим
лишь, что свободные колебания затухают тем быстрее, чем дальше
от мнимой оси расположены корни характеристического
уравнения.
Пример. В качестве примера рассмотрим систему, передаточная функция
которой имеет следующие нули у и полюсы Я (рис. XVI 1.22):
Yi = -1+A Y2 = — 1—У'З;
А,х = --2+у2; яа = -2—у"2; Я,а = --3; Я,4 = -4+у;
Я, = -4-у.
669

*(») =
Допустим, что £ (t) = е~°-5', тогда р, = —0,5 и
(8+1+ У'З) (S + 1 -УЗ)
(s +3) (s+ 2+/2) (3 + 2-/2) (s + 4 + ;)(S + 4-y)(s +0,5)
ш воспроизведена
1+=£i_W1 + 1l)
Найдем выражение ошибки воспроизведения g(0e(Pi) по формуле
(XVI 1.98):
е (Pl) . : *1°^ ***
Rial V /?20
Определив величины R(0 и Ri0 прямо из чертежа, получим е(р1)?^0,82,
после чего найдем выражение вынужденной составляющей хв (t):
*в (0 = /CoU+e (Pl)] *Pi'; АГо = §|| = 0,0245.
хв (t) = 0,0245 [1 + 0,82} е-0'5' = 0,045*?-°'
ы
Далее найдем выражение собственной сопровождающей составляющей
движения хс (t), используя для этого случая формулу (XVII. 104), т. е.
2 _
5 П Rli
-w-2
<=1 Л*.
4
'-1 /?о« П /?;,
7-1
Пользуясь рис. XVI 1.22 и исходными данными, найдем численные
значения величин, входящих в последнее выражение. В результате получим
хс (t) = 0,07*-*cosht — ^-) — 0,434*-* + 0,38^"^cos (*—%■).
Выясним на данном примере влияние на переходный процесс различного
расположения нулей передаточной функции при неизменном расположении
полюсов. Для этого переместим нули передаточной функции 1 в точки Yi =*
= — 2 + j 1,8; Ys — — 2 — /1,8 и вычислим выражения хв (t) и хс (t),
сохранив при этом величину коэффициента /С0:
0,52 — 2 • 2 • 0,5
1
8 (pl)~~ 0,78 • 0,834 • 0,78
2»+1,8* ,048
Для сохранения значения /<0 напишем выражение М (s) в следующем
виде:
M(s) = Ml-Yi)(l-Yi)
и выберем соответствующее значение Ь2:
Ai(0) __V,24
D(0) "" 408
откуда Ь2 = 1,38.
К, = ^Щ- = Ц£- = 0,0177*. = 0,0245,
1 Изменение расположения нулей передаточной функции без нарушения
расположения ее полюсов обычно представляет большие трудности, так как
параметры системы, определяющие расположение нулей, влияют и на
положение полюсов. Эта задача легко решается, если в системе имеется дополнительное
воздействие по возмущающей функции и ее производным.
670

После соответствующих вычислений получим
хв (t) = 0,0245 [1 + 0,48] е~°>ы = 0,0362<?-°'5'
и
хс (0 = 1,1 . Ю-2 • е-*< cos (2t + 0,06л) — 0,195*-»' + 0,216^"^ cos (t - ~\ .
Полученные выражения для хв (t) и хс (t) показывают, что в результате
изменения расположения нулей передаточной функции внутри области
расположения ее полюсов существенно снизились амплитуды или, точнее говоря,
величины всех составляющих переходного процесса, а компонента собственных
движений системы, определяемая полюсами )ч и к2 передаточной функции,
вблизи которых (на расстоянии 0,2) помещены ее нули Yi и у!2, уменьшилась
почти в 6 раз. Роль этой компоненты по сравнению с другими стала
пренебрежимо малой, несмотря на то, что определяющие ее полюсы имеют
наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, характеризующую степень
устойчивости системы. При этом переходный процесс в основном уже
определяется другими полюсами передаточной функции.
Из анализа влияния распределения нулей и полюсов
передаточной функции на характер переходного процесса и его основные
составляющие можно сделать следующие общие выводы и
сформулировать некоторые рекомендации по выбору расположения
полюсов передаточной функции относительно области полюсов заданного
спектра внешнего воздействия:
1. Полюсы передаточной функции системы следует удалять от
области расположения полюсов спектра внешнего воздействия и во
всяком случае не допускать их совпадения, что приводит к
обобщенному резонансу.
2. Нули и полюсы передаточной функции необходимо
располагать так, чтобы значение передаточной функции -^~ в полюсах
р„ спектра воздействия -тггЧ было минимальным, когда система
г и(?к)
должна минимальным образом реагировать на возмущающее
воздействие / (/), или таким образом, чтобы передаточная функция
М (s)
пк : имела в полюсах спектра воздействие почти постоянное зна-
чение, т. е. чтобы 'Г1' ^ rw ч ^• • • = const, когда система
должна с минимальными погрешностями воспроизводить
управляющее воздействие g (/).
3. Нули передаточной функции целесообразно размещать вблизи
ее полюсов, расположенных ближе всего к мнимой оси. При
удалении нулей от полюсов передаточной функции возрастают
собственные сопровождающие колебания.
4. Полюсы передаточной функции необходимо располагать
возможно дальше от мнимой оси. Удаление от мнимой оси полюса не
оказывает существенного влияния на характер переходного процесса.
Эти общие рекомендации позволяют ориентироваться в выборе
расположения нулей и полюсов передаточной функции системы
относительно заданной области расположения полюсов спектра
671

воздействия и изменять их положение в определенном
направлении, если качество переходного процесса не удовлетворяет
поставленным требованиям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования
двигателей. Уравнение движения и устойчивость. Гостехиздат, 1952.
2. БендриковГ. А., ТеодорчикК- Ф. К аналитической теории
построения траекторий корней. Автоматика и телемеханика, т. XX, № 3, 1959.
3. БендриковГ. А., ТеодорчикК. Ф. Анализ много контурных
линейных систем методом траекторий корней. Известия АН СССР ОТН,
Энергетика и автоматика, № 5, 1962.
4. БендриковГ. А., Теодорчик К. Ф. Упрощенный метод
аналитического построения траекторий корней. Автоматика и телемеханика,
Т. XXIV, № 2, 1963.
5. Бендриков Г. А., Теодорчик К. Ф. Траектории корней
линейных автоматических систем. Изд-во «Наука», 1964.
6. Блох 3. Ш. Динамика линейных систем автоматического
регулирования машин. Гостехиздат, 1952.
7. В о р о н о в А. А. Основы теории автоматического управления.
Изд-во «Энергия», ч. 1, 1965.
8. Гарднер М. Ф. и Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в
линейных системах. Гостехиздат, 1949.
9. Корнилов Ю. Г. и ПивеньВ. Д. Основы теории
регулирования, Машгиз. 1947.
10. К У л е б а к и н В. С. Об определении основных параметров
автоматических регуляторов. «Автоматика и телемеханика» № 6, 1940.
11. К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры. Гостехиздат, 1946.
12. Маккол Л. Основы теории сервомеханизмов. ИЛ, 1947.
13. Максвелл Д. К- ВышнеградскийИ. А., Стодола А.
Теория автоматического регулирования, серия «Классики науки» под ред.
Андронова А. А. и Вознесенского И. Н., Изд-во АН СССР.
14. М е е р о в М. В. Синтез структур систем автоматического
регулирования. Физматгиз, 1959.
15. М я с н и к о в Н. Н, Критерий Михайлова и оценка корней
характеристического уравнения. «Автоматика и телемеханика». Т. X,
№ 4, 1949.
16. Р у б и н ч и к А. М. Определение области расположения корней
характеристического уравнения. Сб. научных работ Московского
механического института «Регулирование машин и синтез механизмов». Т. 1,
Машгиз, 1950.
17. Р у б и н ч и к А. М. Приближенный метод оценки качества
регулирования в линейных системах. Сб. «Устройства и элементы теории
автоматики и телемеханики», Машгиз, 1952.
18. Солодовников В. В. Некоторые методы исследования
систем автоматического регулирования. Диссертация, ВЭИ, 1939.
19. Стрелков С. П. К общей теории линейных усилителей.
«Автоматика и телемеханика. Т. IX, 1948, № 3. Т. X, 1949, № 4,
20. Теодорчик К. Ф. Траектории корней характеристического
уравнения системы третьего порядка при непрерывном изменении свободного члена
и максимальная достижимая при этом устойчивость. ЖТФ. Т. XVIII, вып. 11,
1948.
21. ТеодорчикК- Ф. Основы анализа и коррекции линейных систем
методом траекторий корней (собственных частот). Вестник МГУ, № 4, 1957.
22. Т е о д о р ч и к К- Ф., Бендриков Г. А. Методы построения
траекторий корней линейных систем и качественного определения типа траек-
672

торий. Труды I Международного Конгресса Международной федерации по
автоматическому управлению (IFAC), Москва, 1960. Т. 1. Теория непрерывных
систем и др. Изд. АН СССР.
23. ТракселД. Синтез систем автоматического регулирования. Маш-
гиз, 1959.
24. У д е р м а н Э. Г. Об одном методе определения параметров линейных
систем авторегулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. X, 1949, № 2.
25. У де р м а н Э. Г., Применение годографа затухания к исследованию
линеаризованных систем авторегулирования. «Электричество», 1952, № 2.
26. У де р м а н Э. Г., Метод корневого годографа в теории
автоматического управления, Госэнергоиздат, 1963.
27. Ф е л ь д б а у м А. А., О распределении корней характеристического
уравнения систем автоматического регулирования. «Автоматика и
телемеханика». Т. IX, № 4, 1948.
28. Ц ы п к и н Я. 3. и Б р о м б е р г П. В., О степени устойчивости
линейных систем. «Известия АН СССР, ОТН» № 12, 1945.
29. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования
дифференциальных уравнений. Собр. соч. Т. 1, М., Гостехтеоретиздат, 1948.
30. Brown G. S., Campbell D. P. The principles of servomecha-
nisms, John Wiley, 1948, N.-Y.
31. EvansW. R. Control System Syntheses by the Root — Locus Method,
Trans. AIEE. Vol 69, 1950.
32. E v a n s W. R. Control System Dynamics New-York — London, 1954.
33. Harris L. D. Introduction to Feedback Systems John Wiley and
Sons, New York — London, 1961.
34. M u 1 1 i ga n I. H., The Effect of Pole and Zero Location on the
Transient Response of Linear Dynamic Systems, Proc. I. R. E, 1949, V. 37, N5.
22 Техническая кибернетика, кн. I

ГЛАВА XVIII
МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ
Построение корневых годографов в плоскости s связано с
проведением очень большой вычислительной или графической работы.
Трудоемкость расчета можно значительно уменьшить, если от
корневых годографов в плоскости s перейти к логарифмическим
корневым годографам, т. е. к годографам, изображаемым в плоскости
\g\s\; 201g \W (s)|, дб, где | W\9 дб — модуль передаточной функции
разомкнутой системы.
При изображении корневых годографов замкнутой системы
в плоскости lg |s|; \W (s)[, дб изменяемым параметром может
служить только коэффициент
усиления К по контуру этой
системы, что несколько сужает область
применимости логарифмических
корневых* годографов по
сравнению с обычными. Однако
большим преимуществом
логарифмических корневых годографов
является возможность строить их
при помощи шаблонов и
номограмм и в этом отношении они
мало отличаются от обычных
логарифмических частотных
характеристик разомкнутой
системы (см. гл. XII).
Логарифмические корневые годографы сочетают в себе
преимущества метода распределения корней и частотного метода (шаблоны,
номограммы).
Для того чтобы обосновать методику построения
логарифмических корневых годографов, рассмотрим сначала способ
построения логарифмических амплитудной и фазовой
комплексно-частотных характеристик элементарных передаточных функций, которые
в качестве множителей входят в передаточную функцию W(s)
разомкнутой системы. Амплитудная и фазовая комплексно-частотные
характеристики какой-либо функции W (s) — это соответственно
Рис. XVIII. 1. Радиальная прямая £
в плоскости s
674

графики модуля | W (s)\ дби аргумента arg, W(s)] в зависимости от
lg \s\ при изменении независимой комплексной переменной s вдоль
некоторой радиальной прямой плоскости s (рис. XVIII. 1).
1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЗВЕНЬЕВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Звенья s и -. Построим амплитудную и фазовую
характеристики функции W (s) = ks для случая, когда независимая
переменная s изменяется вдоль некоторой радиальной прямой.
Положение радиальной прямой будем характеризовать
коэффициентом £, вычисляемым по формуле
£ = cos6, (XVIII.1)
где б—угол, составленный радиальной прямой с отрицательным
направлением действительной оси (рис. XVIII.1). В указанном
случае независимая переменная s может быть представлена в форме
s=|s|A (XVIII.2а)
или
s = | s | е1 (*-9) = — | s | e~J\ (XVIII.26)
где я|) = const, б = const, a |s| изменяется от 0 до оо. Подставив
b^(s) = ks вместо s выражение (XVII 1.2а), получим для модуля
и аргумента функции W (s) следующие выражения:
\W(s)\ = k\s\; (XVIIUa)
arg[ir/(s)]-^. (XVIII.36)
Если по оси абсцисс откладывать модуль \s\ независимой
переменной в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — модуль
| W (s)\ в децибелах и аргумент arg W (s) в градусах, то по
выражениям (XVII 1.3а) и (XVII 1.36) можно построить амплитудную
и фазовую логарифмические характеристики функции W (s) = ks,
соответствующие радиальной прямой £ (рис. XVIII.2а).
Логарифмические характеристики функции Wx (s) = — показаны на рис.
XVIII.2,6.
Логарифмические амплитудные комплексно-частотные
характеристики рассматриваемых звеньев не зависят от положения
радиальной прямой £, вдоль которой изменяется независимая
переменная s, и ничем не отличаются от обычных логарифмических
амплитудных характеристик (5 = /со), соответствующих частному
случаю расположения радиальной прямой (случай £ = 0). Что
касается фазовых комплексно-частотных характеристик, то их вид
существенно зависит от расположения радиальной прямой £, вдоль
которой изменяется независимая переменная s. Показанные на
рис. XVIII.2 фазовые комплексно-частотные характеристики
22*
675

соответствуют случаям расположения радиальной прямой в
верхней полуплоскости s.
Звенья первого порядка TKs 4- 1, , ,-,
TKs— 1,-= г.Рассмотрим графики модуля и аргумента множи-
теля TKs + 1 = — (s + ®к) при изменении s вдоль некоторой
радиальной прямой плоскости s. Другими словами, построим
амплитудную и фазовую характеристики функции W (s) = s + (oK для
Рис. XVII 1.2. Логарифмические амплитудная и фазовая
характеристики звеньев первого порядка
случая, когда независимая переменная s изменяется вдоль
радиальной прямой £ (см. рис. XVIII. 1).
Определим сначала асимптотические свойства этой функции:
s + a
{ в>к при
{ s при
s | < ov,
S | > Ю«.
(XVIII.4)
Отсюда находим уравнения асимптотических амплитудной и
фазовой характеристик г:
( ю« при |sKcd*; (XVIII.5a)
|s + co«|a= | \5\при |s|>ov, (XVIII.56)
arga(s + co
*) = {
О при НО*;
args при |s|>g>k.
(XVIII.6a)
(XVIII.66)
1 Здесь и в дальнейшем асимптотические характеристики отмечаются
индексом а.
676

Асимптотические логарифмические амплитудные характеристики
|s + cdJ для всех радиальных прямых £ совпадают между собой;
отличие от обычных логарифмических характеристик,
соответствующих положительной части мнимой оси /со, состоит лишь в том, что
вдоль оси абсцисс откладывается (в логарифмическом масштабе)
не со, a \s\.
При построении фазовой комплексно-частотной характеристики
будем различать два случая: случай расположения радиальной
прямой £ в верхней полуплоскости s, т. е. над точкой —ыКУ
изображающей корень s + (ок> и случай расположения радиальной пря-
\s*eoK\at8S
Рис. XVIII.3.
Асимптотические амплитудная и
фазовая характеристики
звена s -f- (ок,
соответствующие различным
радиальным прямым £ в
верхней полуплоскости s
и
180°
90°
0
ptrg(s+vK)=V
и
)к
9-/
1=0,7
S=-0,7
tg\s\2\s\
мой £ в нижней полуплоскости 5, т. е. под точкой —&к. Для первого
случая расположения прямой £ фазовый угол я|) функции 5 + сок
будем отсчитывать от положительного направления действительной
оси против часовой стрелки и считать положительным (рис. XVIII.3),
а для второго случая — по часовой стрелке и считать
отрицательным (рис. XVIII.4,а и б).
Принятое соглашение в отсчете фазовых углов обеспечивает
симметрию относительно оси абсцисс фазовых характеристик,
соответствующих симметричным относительно оси абсцисс
радиальным прямым £. Как будет видно из дальнейшего, указанная
симметрия позволяет строить фазовые характеристики
передаточных функций для всех радиальных прямых при помощи комплекта
шаблонов, изготовленного лишь для радиальных прямых,
расположенных в верхней полуплоскости s.
Найдем поправки Д \s + ык | к асимптотической амплитудной
характеристике \s + coj, добавление которых дает точные
обобщенные характеристики | s +-соЛ|.Для левой ветви точной характеристики
677

|s + <oJ получим при учете соотношения (XVIII.5a) следующее
выражение:
\s + ык |, дб = | s + «« U 56 + A [s + «*I, 56 =
= со^, дб + Д | s + со* |, дб.
Переходя к измерению модулей в натуральных числах, находим
откуда
А | 5 + ©к I
I 8 + Щ \
-+1
<0*
-&
U+Cc^lfl, ^tf
Л/7, S
ГЧ><0
Q
0
-90°
-180°
U)=1 CJK
arg(s+uH) <p
?—/ эддм
v- /?7
-*—/7 7
— *
<?- *
Рис. XVII 1.4. Асимптотические амплитудная и фазовая
характеристики звена s -\- ык, соответствующие различным
радиальным прямым £ в нижней полуплоскости s
Подставляя вместо 5 выражение (XVI 11.26), получим
А | 5 + ®к | =
■+ 1
\s\l
— 1 s 1 cos 9 -f- j\ s 1 sin 9 «
+ /l±L^i_P
или, окончательно,
А|5 + о),| = уЛ1~2^ + (^)2 , |s|<a)K.(XVIII.7a)
Правая ветвь (\s\ ^> а>к) точной характеристики при учете
(XVI 11.56) может быть описана следующим выражением:
| s + со* |, дб = 15 + о)« U дб + А | s + со* |, дб =
= |s|, дб + Д|5 + со«|, дб
или в случае измерения модулей в натуральных числах
|s-f g)k| = |s|A |s + (Dk|.
078

Учитывая формулу (XVIII.26), находим
Д | s + ю« | =
— s е~
+
ffi-c + yKi
2
-И
-2£
-5Л
ntnf^lj
яУ
1 11111 #^«
III
1 1 1 1 11
1 1 1 1 1 1
0,7
-"' \)Г Г
№
ft
[u~/i
ш ///
Cj
'0,95
~0,97
Mil
^>=<
\-iodt
5
шт/!0*995 1 11
wk1 И
i
и in _
1
llll
Удек 1
Lj I
п
N
0,05 a/
де
0,5
10
Г
Urf
Рис. XVI11.5. Графики поправок к асимптотическим
логарифмическим амплитудным характеристикам типовых звеньев при
изменении s вдоль различных радиальных прямых £
или, окончательно,
A I s + ш«| = |/"l —2С^, + (f^)". |s|> шж. (XVIII.76)
На рис. XVIII.5 для различных радиальных прямых £ построены
по формулам (XVIII.7а) и (XVIII.76) поправки к асимптотической
логарифмической амплитудной характеристике \s + (ок\} причем
679

с целью нормировки вдоль оси абсцисс откладывалась в
логарифмическом масштабе величина
s
(в этом случае излом
асимптотической характеристики \s + coJa будет в точке
со.
= 1).
Отметим, что кривые поправок симметричны относительно
вертикали, проходящей через точку излома — = 1 асимптотической
логарифмической амплитудной характеристики. Действительно,
из рис. XVII 1.5 видно, что для точек оси абсцисс, расположенных
на одинаковом расстоянии г слева и справа от частоты
\s\ 1
отношение ^ соответственно равно - и г. Поскольку формула
(XVIII.76) отличается от формулы (XVIII.7а) лишь тем, что вместо
Рис. XVIII.6. Точная г|) и асимптотическая г|)а
комплексно-частотные фазовые характеристики
звена s + юк
Ш в ней фигурирует ^г, то для указанных -симметричных точек
оси абсцисс формулы (XVII 1.7а) и (XVI 11.76) дают одно и то же
значение ординаты поправки.
Рассмотрим теперь поправки к асимптотическим фазовым
характеристикам s + (х)к. Если в 5 + сок подставить значения
независимой переменной 5, которые она принимает при изменении вдоль
радиальной прямой £, т. е. s = — \s\ £ + j \s\ УI — £2, то
функцию s + (ок можно записать в виде
s + со* = (ок — | s | £ + /1 s | /I
£2.
Аргумент этой функции определяется формулой
г|) = arg (s + а>к) = arctg
/i-£3
Ш
со»
(XVIII.8)
На рис. XVIII.6 для некоторой радиальной прямой £,
расположенной в верхней полуплоскости s, показаны асимптотическая i|)a
и точная i|) комплексно-частотная логарифмические фазовые
характеристики функции s + со^. По оси абсцисс, как и в предыдущем
случае, здесь отложена в логарифмическом масштабе величина
со*
680

Докажем, что точка С пересечения точной фазовой
характеристики я|) с вертикальным отрезком, соединяющим при частоте —
= 1 низкочастотную и высокочастотную асимптоты, делит этот
отрезок пополам. Подставив в формулу (XVII 1.8)
= I, получим
следующее значение ординаты точной фазовой характеристики
в точке
со*
4>i = arctg|/ |±|.
(XVIII.9)
Если точка С находится в середине вертикального отрезка, то
должно соблюдаться равенство я|)а = 2\|)x и
cos\|)a = cos ^2 arctgl/ y^T")
Поскольку, как это видно из рис. XVIII.1, cos \ра = —cos9 =
= — £, условием нахождения точки С в середине вертикального
отрезка является соблюдение равенства
cos(2arctg |/~Щ) = -£.
При помощи несложных преобразований левой части легко
убедиться в справедливости этого равенства. Докажем теперь,
что точная фазовая характеристика симметрична относительно
точки С. Согласно формуле (XVIИ.8) фазовые углы i|)i ,фг,
соответствующие точкам
со*
одинаковом расстоянии г слева и справа от точки
ляются выражениями
г оси абсцисс, находящимся на
S
(Ок
л/~ \ £2
i|)j_=arctg rr_g , %
arctg \-rt
= 1 ,опреде-
(XVIII.10)
Симметрия фазовой характеристики относительно точки С имеет
место, если Aipi = Д% или tg (ty1 — ^i)= tg (i|v — я^). Подставляя
г г
вместо ipb i|)i, я|)г выражения (XVIII.9) и (XVIII.10), убеждаемся
г
в справедливости последнего равенства.
Вследствие симметрии точной фазовой характеристики i|)
относительно точки С ветвь последней слева от точки — = 1 может
быть получена прибавлением к низкочастотной асимптоте (а она
совпадает с осью абсцисс) поправки, вычисленной по формуле
(XVIII.8), а ветвь справа — путем вычитания из
высокочастотной асимптоты \ра точно такой же поправки. Отсюда видно, что
661

для различных радиальных прямых £ поправки к асимптотическим
фазовым комплексно-частотным характеристикам функции s + <йк
имеют вид, показанный на рис. XVIII.7.
&
1'*'
л
ж
Ш
—u=-
1 *—
1 i
fc
w
Ш
ffife
ftfl~№
тькГ^
TT1U=>
/)W U^^
0.8 Y^
-o,3 Ymf
о УМ
0,3 \n
0*\1
0,7 V
=0,9 \
JJ^fl
0,05 0,1
0Л
0,5
1
W
Рис. XVIII.7. Графики поправок к асимптотическим фазовым
характеристикам типовых звеньев при изменении s вдоль различных
радиальных прямых £
Легко доказать, что амплитудная и фазовая логарифмические
комплексно-частотные характеристики функции
Wx(s)
TKs + 1 s + со^
682

при изменений s вдоль некоторой радиальной прямой £
представляют собой зеркальное отражение относительно оси абсцисс
логарифмических характеристик функции TKs + 1 = — (s + со^), со-
(йк
ответствующих той же радиальной прямой.
Рассмотрим теперь звено вида TKs—1 =— s—1.
Асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика этого
множителя при изменении s вдоль какой-либо радиальной
прямой £ совпадает с асимптотической характеристикой звена
TKs + 1 = — s + 1. Асимптотическая фазовая характеристика
звена (—s — 1) состоит из двух полу бесконечных прямых, пара-
лельных оси абсцисс.
При изменении s в диапазоне 0 ^ \s\ ^ со^ асимптотическая
фазовая характеристика представляет собой прямую, отстоящую
от оси абсцисс на расстоянии + 180°, а при изменении s в
диапазоне (дк ^ |s|<i оо —прямую, отстоящую от оси абсцисс на
расстоянии я|э (угол г|э показан на рис. XVIII. 1).
Можно доказать, что если знак индексов £ кривых,
изображенных на рис. XVIII.5, изменить на обратный, то эти кривые будут
представлять собой поправки к асимптотическим
логарифмическим амплитудным характеристикам звена (— s—1]. Семейство
поправок Aargf—s—I (можно получить из семейства кривых
(рис. XVIII.7), если эти кривые изобразить зеркально относительно
оси абсцисс, а знак их индексов £ изменить на обратный.
Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики звена
—: представляют собой зеркальные отражения относительно
— s — 1
оси абсцисс характеристик звена —s— 1.
Целесообразно по форме кривых А — + 1 , Aargf— + 1)
(рис. XVIII.5 и XVIII.7) изготовить комплект шаблонов, например,
в масштабах:
по оси абсцисс — 1 декада ~ 50 мм;
по осям ординат — 1 дб ~ 2 мм; 1° ~ 1 мм.
Располагая шаблонами или графиками поправок, можно построить
амплитудную и фазовую логарифмические характеристики любой
функции 1 W (s), соответствующие изменению s вдоль любой
радиальной прямой пл. s.
1 В § 4 будет показано, что эти шаблоны пригодны и для построения
логарифмических комплексно-частотных характеристик квадратичного трехчлена
7V + 2£7s + 1.
683

W(s)
-/
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ КОМПЛЕКСНО-ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКЕ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим одноконтурную замкнутую систему (рис. XVIII.8).
Характеристическое уравнение этой системы можно записать в виде
W(s) = -l, (XVIII.11)
где W (s) — передаточная функция системы в разомкнутом
состоянии.
Корнями замкнутой системы являются те действительные или
комплексные значения sh при которых соблюдаются следующие
два условия: | w ^ ( = 1; arg [W ^ = ± I80oe (XVIII.12)
Действительно, аргумент числа (—1), стоящего в правой части
выражения (XVIII.11), равен 180°, так что при соблюдении условий
(XVIII. 12) левая часть
уравнения (XVIII. 11) равна правой, т. е.
это уравнение удовлетворяется
значениями s = sit
Условия (XVIII. 12)
показывают, что корням замкнутой
системы соответствуют такие точки
пересечения комплексно-частотной
логарифмической амплитудной
характеристики разомкнутой системы
W (s) с осью абсцисс (в этих
точках пересечения \W (s)\ = 1), для которых фазовый угол arg [W (s)],
определенный из соответствующей фазовой характеристики, кратен
в нечетное число раз значению ± 180°.
Найдем действительные отрицательные корни замкнутой
системы. Для этого вычислим модуль и аргумент функции W (s) при
всех возможных действительных отрицательных s, т. е. построим
логарифмические амплитудную и фазовую характеристики
разомкнутой системы W (s), соответствующие изменению s вдоль
отрицательной части действительной оси. В данном случае точная
фазовая характеристика \р состоит из параллельных оси абсцисс
отрезков, отстоящих от оси абсцисс на расстоянии, кратном ± 180°.
Отметим те точки пересечения точной логарифмической
амплитудной характеристики с осью абсцисс, которым соответствует
фазовый угол ф = ± 180°<7, где q — нечетное целое положительное
или отрицательное число. Корни равны абсциссам этих точек
пересечения, взятым со знаком минус (знак минус — вследствие
изменения s вдоль отрицательной части действительной оси).
Для примера на рис. XVIП.9 (сверху) построены
логарифмические амплитудная |№\„i и фазовая arg [ИЛ^х характеристики
функции K(s + (o*)(s+os)
W (S) ~ s(s + ol)(s + co4)(s + co5)' (XVIII.13)
Рис. XVII 1.8. Одноконтурная
система
684

соответствующие изменению 5 вдоль радиальной прямой £ = 1,
т. е. вдоль отрицательной действительной полуоси. Эти
характеристики получены как сумма логарифмических характеристик,
входящих в функцию (XVIII.13) звеньев s + (ок (к = 2,3) и
—.— (г = 1, 4, 5). В данном случае фазовый угол равен 180° а, где
q — нечетное целое число, лишь в тех интервалах изменения [s\,
для которых наклон асимптотической логарифмической
амплитудной характеристики х равен 20q дб/дек. Нетрудно видеть, что при
Kv — Kvb (ось абсцисс изображается в этом случае горизонталью
Kvo) точные значения действительных отрицательных корней
замкнутой системы есть — \s±\ и — \s2\ (см. рис. XVIII.9).
Определим теперь коэффициент усиления Kv передаточной
функции (XVIII. 13) разомкнутой системы, при котором замкнутая
система имеет комплексные сопряженные корни
*!., = -Еюя±/©я YT=T\ (XVIII.14)
характеризуемые параметром £ = 0,5.
Легко доказать, что корни квадратичного трехчлена s2 +
-f- 2£1cd/1s + (Од изображаются в плоскости 5 точками sl9 s*,
лежащими на радиальных прямых, индекс £ которых равен
относительному коэффициенту демпфирования^ трехчлена; расстояние точек
sl9 sf до начала координат равно недемпфированной частоте ып
трехчлена. Действительно, вычислив по чертежу (рис. XVIII. 10)
абсциссу и ординату точки sl9 находим
sx = — (оп cos бх + /юл sin 8Х =
= -Ъ<*п + М. /Т="Р; (XVIII. 15)
но это выражение, как легко видеть, является корнем
рассматриваемого трехчлена.
Имея в виду, что комплексный корень
Sl = _ o,5cd„ + /юя /1 - 0,52, (XIII. 16)
изображается в пл. 5 точкой, расположенной на радиальной
прямой g = 0,5, будем искать его, изменяя переменную s вдоль
радиальной прямойg = 0,5. На рис. XVIII.9 (снизу), показаны
логарифмические амплитудная | W \^оъ и фазовая arg [Щ^-оь
характеристики функции (XVIII. 13), соответствующие изменению s вдоль
радиальной прямой £ = 0,5.
Если точки пересечения фазовой характеристики arg [НПС_0.5
с прямой— 180° снести на амплитудную характеристику [W]*_0j9
1 Эта асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика, как
уже отмечалось, совпадает с обычной асимптотической характеристикой
W (/со). В случае радиальной прямой £ = 1 поправка к асимптотической
фазовой характеристике звеньев s + со^, —— равна нулю (см. рис. XVIII.7).
685

Рис. XVIII.9. Логарифмические характеристи-
КИ фуНКЦИИ W (S) = —г—. Т7—, ,ч w„ , „ ч ,
соответствующие радиальным прямым £ = 1,
£ = 0, £ = 0,5; afc, • def, ghl — действительные
ветви, be, km — комплексные ветви
логарифмического корневого годографа
то можно найти
значения коэффициента
усиления KVi при которых
возникают комплексные
сопряженные корни
замкнутой системы
вида (XVIII. 16). Такими
значениями Kv будут
значения Kvl, KV2> Kv6t
при которых ось
абсцисс пересекает график
\W\
в точках А\ В\
С, полученных в
результате указанного
сноса. Эти положения оси
абсцисс отмечены
горизонталями Kvl9 К-иъ K2q.
Значения
коэффициента усиления Kvh
соответствующие тому
или иному положению
оси абсцисс
(горизонтали Kvi), определяются
отрезками вертикали
\s\ = I, заключенными
между горизонталью Kvi
l1^cos6)
Пп S
Рис. XVIII.10. Корни slt s?
квадратичного трехчлена
s2 _[_ 2L,i(dns + 0)2 в
комплексной плоскости s
686

и точкой пересечения вертикали с низкочастотной асимптотой
логарифмической амплитудной характеристикой | W (s)|.
Абсциссы точек А', В\ С соответствуют значению параметра
<оя> входящего в выражение (XVIII. 16) комплексных сопряженных
корней, так как вдоль оси абсцисс откладывается величина | s| = соЛ
(рис. XVIII.1 и XVIII.10).
Аналогичным образом можно найти значения коэффициента
усиления Kvy при которых возникают комплексные сопряженные
корни (XVIII. 14) замкнутой системы с другими значениями
параметра £.
3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОРНЕВЫЕ ГОДОГРАФЫ
Корневые годографы дают картину распределения корней
замкнутой системы в плоскости s, а также представление о движении
корней при изменении параметров системы. Недостатком корневых
годографов обычного вида является, как уже отмечалось, большая
трудоемкость их построения.
Рассматриваемые в настоящем параграфе корневые годографы
определяются несколько иначе, а именно, корневым годографом
считается кривая в прямоугольной системе координат |s|, |W(s)|
(по осям координат величины откладываются в логарифмическом
масштабе), любая точка которой при соответствующем коэффициенте
усиления разомкнутой системы характеризует корень или пару
корней замкнутой системы (определяют величину действительного
корня или параметры £, со„ пары комплексных сопряженных
корней). Такого вида корневой годограф будем называть
логарифмическим корневым годографом.
Действительные ветви. Действительными ветвями
логарифмического корневого годографа являются те участки
логарифмической амплитудной характеристики \W (s)|c==1, которым
соответствует фазовый сдвиг arg [W (s)]^ly кратный в нечетное число
раз ± 180°(на рис. XVI11.9 эти участки изображены утолщенными
линиями). Для точек пересечения действительных ветвей с осью абсцисс
соблюдаются оба условия (XVIII. 12) образования корней замкнутой
системы. Поскольку рассматриваются логарифмические
характеристики W (s) для случая, когда s принимает действительные
отрицательные значения, абсциссы указанных точек пересечения,
взятые с обратным знаком, равны действительным корням
замкнутой системы.
При изменении коэффициента усиления Kv разомкнутой
системы ось абсцисс на графике логарифмической амплитудной
характеристики \W (s)^ смещается в вертикальном направлении
(вверх — при уменьшении Kv и вниз — при увеличении/CJ, а
фазовая характеристика arg [W? (s)]<-_i остается неизменной. Поэтому
при изменении Kv действительные отрицательные корни не только
изменяются по модулю, но могут исчезать. Например, при
687

коэффициенте усиления Kv^ действительные корни — \sx\ и — |s2j
сливаются в двухкратный действительный корень — \s\lf2 (см. рис.
XVIП.9). При коэффициенте усиления Kv3> меньшем Къ& эти
действительные корни исчезают (переходят в пару комплексных
сопряженных корней).
Комплексные ветви. Предположим, что коэффициент
усиления Kv, уменьшаясь, сделался меньше, чем Къ± (см. рис.
XVIII.9). Тогда, как уже отмечалось, двукратный действительный
корень 51>2 переходит в пару комплексных сопряженных корней:
*i,2 = - £<оЛ±/Ч, /Т"1^, (XIII. 17)
где о>Л — недемпфированная частота, а £ — относительный
коэффициент демпфирования корней. Если в формуле (XVIII. 17)
положить g = 1, то опять получим двукратный действительный корень
s1>2, вследствие чего точка е на характеристике | W (s)|,
соответствующая этому корню, отмечена индексом £ = 1 (см. рис. XVIII.9).
Эту точку можно рассматривать как начало комплексной ветви eb
логарифмического корневого годографа, т. е. ветви, представляющей
комплексные сопряженные корни (XVIII. 17) замкнутой системы.
Комплексная ветвь строится так, чтобы какой-либо точке ее
пересечения с горизонталью Kv (последняя изображает положение
оси абсцисс при коэффициенте усиления разомкнутой системы
Kv) соответствовала абсцисса, равная значению недемпфированной
частоты оЛ, а сама точка была бы отмечена индексом £, равным
относительному коэффициенту демпфирования £ комплексных
корней (XVIII. 17) (коэффициент £ фигурирует на комплексной ветви
в качестве параметра).
Примерное расположение комплексных ветвей корневого
годографа можно установить, располагая амплитудной и фазовой
логарифмическими характеристиками W (s) лишь для двух
радиальных прямых, а именно, для' прямой £ = 1 (отрицательная часть
действительной оси) и для прямой £ = О, которой соответствуют
обычные логарифмические частотные характеристики. Началом
и концом комплексной ветви могут служить точки экстремума
действительных ветвей логарифмического корневого годографа
(см., например, комплексную ветвь be на рис. XVIII.9). Чаще,
однако, один конец комплексной ветви располагается в точке
экстремума действительной ветви, а другой — асимптотически
приближается к некоторой прямой (см. ветвь hm на рис. XVIII.9).
Примерное расположение комплексной ветви, идущей вниз от
точки минимума действительной ветви, можно определить
следующим образом. Отметим на логарифмической амплитудной
характеристике \W (s)\iLo точку р, которой соответствует arg[lF(s)] =
=— 180°, и соединим эту точку с точкой минимума действительной
ветви. Полученная линия указывает примерное расположение
комплексной ветви, соответствующей корням с отрицательной ве-
* Характеристики \W (s)|;~0 и arg[ W (s)]^0 на рис. XVIII.9 не показаны,
688

щественной частью, а ее продолжение вниз за точку р — корням
с положительной вещественной частью. При отсутствии точки р
комплексная ветвь стремится к высокочастотной части
асимптотической характеристики W (s) (см. ветвь hm на рис. XVIII.9).
Если знаменатель передаточной функции W (s) содержит в
качестве множителя квадратичный трехчлен s2 -f 2£1cd„s + со£, то
логарифмический корневой годограф имеет комплексную ветвь,
верхний конец которой асимптотически приближается к вертикали,
пересекающей ось абсцисс в точке |s| = со„. При этом индекс £,
являющийся параметром, стремится к £1# Действительно, при
К = 0 корни характеристического уравнения 1 + W (s) = 0
замкнутой системы х становятся равными корням характеристического
уравнения разомкнутой системы, среди которых имеются
комплексные корни — t>1(on ± j(x)n |/"l — £?. Помимо рассмотренных, могут
встретиться и другие случаи расположения комплексных ветвей.
Здесь они не рассматриваются, так как на практике встречаются
относительно редко.
Точное положение промежуточных точек комплексных ветвей
корневого годографа можно найти путем построения комплексно-
частотных характеристик разомкнутой системы, соответствующих
различным радиальным прямым £.
Построив эти характеристики, отмечаем на логарифмических
амплитудных характеристиках |H^(s)| для различных радиальных
прямых £ точки, которым соответствует фазовый сдвиг (для той же
радиальной прямой £), равный 180°. Если совместить все
амплитудные комплексно-частотные характеристики | W (s) | на одном
чертеже и соединить найденные указанным способом точки, то
получим кривую, которая и является комплексной ветвью
логарифмического корневого годографа. Действительно, при различных
коэффициентах усиления К разомкнутой системы ось абсцисс
логарифмической амплитудной характеристики W (s) будет
пересекать указанную ветвь корневого годографа в различных точках,
причем для всех этих точек соблюдаются условия (XVIII. 12)
образования корней замкнутой системы. Недемпфированная частота со„
корней равна абсциссе \s\ точки пересечения, а коэффициент £ —
параметру £ комплексной ветви, отмечающему эту точку
пересечения.
Точное положение комплексных ветвей можно установить также
способом, иллюстрируемым на рис. XVII 1.9. Способ заключается
в переносе на чертеж \Щ^г точек комплексных ветвей, выявляемых
в результате построения логарифмических комплексных
характеристик | W(s) | и arg[W (s)] снизу от характеристик \W\^i и ar2 f ^ (s)h=i
(см. точки £ = 0,5 на комплексных ветвях be и hm, рис. XVIII.9).
1 При W (s) = у это уравнение принимает вид Dp (s) -f- M (s)=0,
Dp (s)
где Dp (s) — левая часть характеристического уравнения разомкнутой системы.
689

4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЗВЕНЬЕВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Построим логарифмические амплитудную и фазовую
характеристики квадратичного трехчлена s2 + 2£га>д£ + ®n для случая
изменения независимой переменной s вдоль некоторой радиальной
прямой £2 пл, s.
Рис. XVIII. 11. Графики поправок к фазовой
характеристике для двух случаев относительного положения
радиальной прямой £2 и комплексных сопряженных
корней sK, s* квадратичного трехчлена s2 -j- 2£1G)rts + ®п
Если sKYi s% — корни квадратичного трехчлена, то этот трехчлен
можно записать в виде
s2 + 2^5 + со* = (s-s,c)(s-s*). (XVIIL18)
Как уже отмечалось, комплексные корни квадратичного
трехчлена г (XVIII.18) изображаются в плоскости s точками,
расположенными на радиальных прямых, индекс £ которых равен
коэффициенту демпфирования £х квадратичного трехчлена, причем
1 Рассматриваются сопряженные комплексные корни, так как в случае
действительных корней квадратичный трехчлен представляется произведением
двух множителей первого порядка.
690

расстояние этих точек до начала координат равно недемпфированной
частоте со„ трехчлена (рис. XVIII. 10).
Возможны два случая относительного расположения точек sK,
s*, изображающих корни трехчлена, и радиальной прямой £2, вдоль
которой изменяется независимая переменная 5 (имеются в виду
радиальные прямые в верхней полуплоскости s). Первый случай —
когда радиальная прямая £2 проходит выше точек sK, s% (рис.
XVIIIЛ1,а), второй — когда радиальная прямая проходит между
этими точками (рис. XVIII. 11,в).
Рис. XVIII. 12. Графики, иллюстрирующие возможность нахождения
комплексно-частотных логарифмических характеристик квадратичного
трехчлена s2 -f -f %£>i®ns + ®п для РаДиальной прямой £2 как суммы
логарифмических характеристик двучлена s + ып для радиальных прямых £+ и £~
(первый случай расположения)
Рассмотрим сначала первый случай расположения прямой £2
и точек sK и si. Из рис. XVIII. 12,а видно, что сомножители s — sK
и s — 5* выражения (XVIII. 18) изображаются векторами,
исходящими соответственно из точек sK и s* и оканчивающимися в текущей
точке s радиальной прямой £2. Фазовый угол трехчлена
определяется следующим выражением (см. рис. XVIII. 12,а):
arg (s2 + 2£iG>„s -f o)^) = arg (s — sK) +
+ arg (s — si) = A AK+X + L BK'X.
Поскольку £AK+X - £OK+X — y, a LBK'X = OK'X + y,
имеем
arg (s2 + 2l±(ons + соя) - L OK+X + L OK'X (XVII1.19)
Повернем треугольники ОК+Х и ОК~Х вокруг начала
координат О соответственно против и по часовой стрелке таким образом,
чтобы их вершины /С+и/С попали на отрицательную часть
действительной оси. Тогда получим картину, изображенную на
691

рис. XVIII. 12,6 (вершины треугольников К+ и К" попадают в одну
и ту же точку /(). Фазовый угол трехчлена можно определить по
формуле (XVIII. 19) как сумму углов при вершине К теперь уже
повернутых треугольников, т. е.
arg (s2 + 2d©ns + cdJ) = L OKX+ + L OKX~. (XVHI.20)
Если на рис. XVIII. 12,6 точку К рассматривать как точку,
изображающую корень — соЛ двучлена s + соЛ, то согласно
(XVIII.20) фазовый угол квадратичного трехчлена можно
трактовать как сумму фазовых углов этого двучлена при изменении
независимой переменной вдоль двух радиальных прямых, индексы £
которых определяются формулами
£+ = cos (92 — бх) = cos [arc cos £2 — arc cos £J;
£- = cos (в2 + вх) = cos [arc cos £2 + arc cos JJ.
Фигурирующие в этих формулах параметры £>г и £2
представляют собой, как уже отмечалось, коэффициент демпфирования
рассматриваемого квадратичного трехчлена и индекс радиальной
прямой, для которой строятся логарифмические амплитудная
и фазовая характеристики этого трехчлена.
Модуль квадратичного трехчлена определяется выражением
(см. рис. XVIII.12,6)
\s* + 2Z1<*ns + (o*\ = \s-sK\.\s-s%\ = (KX+)(KX-).
Поскольку отрезки (КХ+) и (КХ~) представляют модуль двучлена
s + соЛ при изменении s вдоль радиальных прямых £+ и £~, легко
видеть, что логарифмическая комплексно-частотная амплитудная
характеристика квадратичного трехчлена s2 + 2£1co/7s + соД,
соответствующая изменению s вдоль радиальной прямой £2, равна сумме
логарифмических амплитудных характеристик двучлена s + соЛ
при изменении s вдоль двух радиальных прямых, индексы £+ и £""
которых определяются формулами (XVI 11.21).
Практически построение логарифмической амплитудной
характеристики трехчлена s2 + 2£1<dws + ©Д сводится к следующему.
Сначала строится асимптотическая логарифмическая амплитудная
характеристика, равная сумме асимптотических характеристик
двух одинаковых двучленов s + соЛ. Она всегда одна и та же,
независимо от радиальной прямой £2, вдоль которой строятся
логарифмические характеристики (излом асимптотической
амплитудной характеристики квадратичного трехчлена от отрезка с
наклоном О дб/дек к отрезку с наклоном 40 дб/дек происходит при
|s| =сол). Поправка к асимптотической амплитудной
характеристике зависит от относительного коэффициента демпфирования £,х
рассматриваемого трехчлена и от углового коэффициента
радиальной прямой £2. Для построения графика поправки вычисляем по
формулам (XVIII.21) приведенные коэффициенты £+ и £~. Затем,
(XVIII.21)
692

выбрав среди семейства графиков на рис. XVIII.5 два графика,
отмеченные соответственно индексами £ = £+ и £ = £~, переносим
их на прямую, около которой производится суммирование
поправок. Ось симметрии этих графиков необходимо совместить с
вертикалью, проходящей через излом асимптотической характеристики,
вызванный рассматриваемым квадратичным трехчленом.
Для рассматриваемого здесь первого случая взаимного
расположения £2 и sK9 sk обе радиальные прямые £+ и £~ проходят выше
точки —сал, изображающей корень двучлена s + (оЛ (рис.
XVIII. 12,6). Поэтому при изменении s вдоль этих радиальных
прямых ординаты фазовых характеристик s + соп положительны.
Логарифмическая фазовая характеристика трехчлена s2 + 2£>1<uns +
+ (Oh равна сумме двух только что указанных фазовых
характеристик двучлена s + ov Она может быть получена как сумма
асимптотической фазовой характеристики и поправок к этой характеристике.
Низкочастотная асимптота фазовой характеристики трехчлена
52 + 2£1cd„s + ©J представляет собой прямую, совпадающую с осью
абсцисс, а высокочастотная — прямую, параллельную оси абсцисс.
Эта прямая отстоит от оси абсцисс на расстоянии, равном сумме
ординат высокочастотных асимптот двух упомянутых выше
фазовых характеристик двучлена s + a>„, т. е. % = if>J + if>*.
Используя рис. XVIII. 12,6, находим
1>+ + г|>- = 180° - (62 - Вх) + 180° - (82 + 6i) =
= (180° -е2) + (180°-е2) = ^+ + г.
Таким образом, высокочастотная асимптота фазовой
характеристики трехчлена проходит на уровне
Фв = Ф+ + ф-. Ф+ = Ф">0, (XVIII.22)
где г|)+ = г|г — угол, составляемый радиальной прямой £2 с
положительным направлением действительной оси.
Поправками к асимптотической фазовой характеристике
трехчлена служат две кривые семейства поправок на рис. XVII 1.7,
отмеченные индексами £ = £+ и £ = £~, где £+ и £~ вычисляются
по формулам (XVIII.21) (см. рис. XVIII.11,6).
Рассмотрим теперь второй возможный случай относительного
расположения корней трехчлена sK и s% и радиальной прямой £2,
т. е. случай, когда прямая £2 проходит между точками sK и s£ (рис.
XVIII. 13,а). На рис. XVIII. 13,а построения аналогичны
выполненным на рис. XVIII.12,а. Используя эти построения, получим
векторную диаграмму (рис. XVIII. 13,6), из которой видно, что
логарифмическая амплитудная комплексно-частотная характеристика
квадратичного трехчлена для рассматриваемого случая расположения
прямой £2 и точек sK, s% ничем не отличается от амплитудной
характеристики, соответствующей изменению s вдоль прямой £2 при
первом варианте ее расположения относительно точек sK и s%.
Что касается фазовой характеристики квадратичного трехчлена,
693

то, будучи суммой фазовых характеристик двучлена s + con при
изменении s вдоль радиальных прямых £+ и £~, она, как и раньше,
может быть представлена в виде суммы асимптотической фазовой
характеристики и соответствующих поправок к ней.
В рассматриваемом втором случае расположения прямой £2
и точек sKn Sk низкочастотная асимптота фазовой характеристики
s2 + 2£1oo/ls + со„ по-прежнему совпадает с осью абсцисс, а высоко-
Рис. XVIП. 13. Графики, иллюстрирующие возможность нахождения
комплексно-частотных логарифмических характеристик
квадратичного трехчлена s2 -j- 2£1соЛ -f- co^ для радиальной прямой £2 как суммы
логарифмических характеристик двучлена s + (on для радиальных
прямых £+ и £~ (второй случай расположения)
частотная представляет собой параллельную оси абсцисс прямую,
проходящую на уровнеа|?а = i|$ + if>*. Как видно из рис. XVIII.13, б,
величина^отрицательна,ai|£ — положительна. Из рис. XVIII.13, б
находим
^ + Цх = - [180° —(ех —62)] + [180°- (8, + 82)] =
= _ (180° + 02) + (180° - б2) = г|)+ + Г-
Таким образом, высокочастотная асимптота фазовой
характеристики квадратичного трехчлена проходит на уровне
^=^+ + Г, ^+<0, Г>0, (XVIII.23)
где я|)+—угол между положительным направлением
действительной оси и радиальной прямой £2, отсчитываемой по часовой
стрелке;
г|г — угол между теми же направлениями, отсчитываемый
против часовой стрелки.
694

В качестве поправок к асимптотической фазовой
характеристике следует использовать кривую, отмеченную на рис. XVIII.7
индексом £ = £~~, и кривую, являющуюся зеркальным отражением
кривой с индексом £ = £+ (см. рис. XVIII.11, г). Величины £+
и £~ в данном случае определяют по формулам (XVI 11.21).
При описанном выше способе построения фазовой
характеристики квадратичного трехчлена (первый и второй случаи
расположения прямой £2 и точек sK и s%) фазовая характеристика
получается в виде непрерывной кривой. При изменении s вдоль
радиальной прямой £ = 1 фазовый угол трехчлена s2 + 2£1cd„s -f co£,
как это и должно быть, получается равным нулю (для
действительных отрицательных значений s этот трехчлен представляет
собой действительную положительную величину).
Логарифмические амплитудная и фазовая комплексно-частот-
ные характеристики звена 2 ^ , 9 получаются путем
зеркального отражения относительно оси абсцисс
соответствующих логарифмических комплексно-частотных характеристик звена
■1 (s2 + 2^ns + со,?).
5. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
Построим логарифмический корневой годограф одноконтурной
системы, имеющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию
W® = . (s + 4) (/ЛХИ .20. + 2РГ- (XVIIL24)
Сначала строятся логарифмические амплитудная и фазовая
характеристики W(s) при изменении s вдоль радиальной прямой
£ = 1 (рис. XVIII. 14). В качестве поправки к асимптотической
логарифмической амплитудной характеристике в окрестности
излома, вызванного квадратичным трехчленом знаменателя,
используется кривая, полученная удвоением ординат кривой £ = 0,95
(рис. XVIП.5) и зеркальным отражением ее относительно оси
абсцисс (см. поправку 2-0,95 у прямой А — Л, рис. XVIII. 14).
Необходимость зеркального отражения вызывается тем, что
квадратичный трехчлен находится в знаменателе функции (XVI 11.24).
Фазовая характеристика arg \W(s)\ _ 1 состоит из прямых,
параллельных оси абсцисс, отстоящих друг от друга и от оси
абсцисс на расстоянии, кратном 180°. Поскольку имеет место второй
случай взаимного расположения прямой £ = 1 и точек,
изображающих сопряженные комплексные корни трехчлена знаменателя
(XVIП.24), расстояние высокочастотной асимптоты фазовой
характеристики трехчлена от оси абсцисс определяется формулой
(XVIII.23) и, как нетрудно видеть из рис. XVIII. 11, в, равно нулю.
Поправки £ь, £~ к фазовой характеристике трехчлена взаимно
695

уничтожаются. Действительно, |£+| = |£~|, причем в качестве
поправки £~ берется кривая £ = £~ на рис. XVII 1.7, а в качестве поправки
£+ — зеркальное отражение этой кривой относительно оси абсцисс.
Таким образом, приходим к выводу, что квадратичный
трехчлен, фигурирующий в выражении функции W(s), не оказывает
какого-либо влцяния на протекание фазовой характеристики этой
функции, если независимая переменная s изменяется вдоль
радиальной прямой £ = 1. Выделив утолщенной линией участки
логарифмической амплитудной характеристики \W(s)\Qali которым
соответствует фазовый сдвиг arg W(s)]qa,1= 180° q, (где q —
целое нечетное число), получим действительные ветви
логарифмического корневого годографа, изображающие действительные
отрицательные корни замкнутой системы. На рис. XVIII. 14 показаны
две действительные ветви: левая аЬ и правая cdef. Правая ветвь
имеет точку минимума d и точку максимума е (£ = 1). Она
является началом комплексной ветви логарифмического корневого
годографа, идущей вверх. Как было показано выше в § 3, эта
комплексная ветвь асимптотически стремится к вертикали,
пересекающей ось абсцисс при частоте излома |s| = 20, вызванного
квадратичным трехчленом, причем указываемый вдоль этой ветви
параметр £ стремится к относительному коэффициенту
демпфирования £х = 0,95.
Точка минимума d действительной ветви является началом
другой комплексной ветви логарифмического корневого годографа,
идущей вниз. Для того чтобы определить примерное
расположение этой комплексной ветви, построим логарифмические
амплитудную IflHc-o и ФазовУю arg [W(s)]q„0 характеристики функции
W(s) для радиальной прямой £ = 0, т. е. обычные логарифмические
частотные характеристики W (/со). Они также показаны на рис.
XVIII.14, где и характеристики \W(s)\q^l9 arg [W(s)]<_„!.
Отметив точку пересечения фазовой характеристики arg [W(s)]^0 с
прямой— 180° и произведя снос этой точки на график амплитудной
характеристики \W\^ 0, получим точку комплексной ветви
логарифмического корневого годографа (с отметкой £ = 0). Соединив
эту точку с точкой d, имеющей отметку £ = 1, получим примерное
расположение участка комплексной ветви, изображающей пару
комплексных сопряженных корней замкнутой системы с
отрицательной вещественной частью.
Для уточнения положения этого участка комплексной ветви
построим логарифмические амплитудную и фазовую
характеристики W(s) при изменении s, например, вдоль радиальной прямой
£ = 0,5 (см. рис. XVIII. 14). При изменении s вдоль этой
радиальной прямой имеет место первый случай расположения корней
квадратичного трехчлена и радиальной прямой (рис. XVIII.11, а).
Построим характеристики 1^|-.0»б и arS [^(s)lc== o>5 и произведем
перенос точки кривой \W\ 0,5, которой соответствует arg [W(s)]c = 0,6
= — 180°, на график логарифмического корневого годографа.
696

AlWfsldS
Рис. XVIII.14. Логарифмический корневой годограф замкнутой системы,
имеющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию
w ls) ^ <s + CQi) K(s + l) .
w кь> ~ sis + co3) (s2 + 2£co3s -I- cd|) 5(s -f 4) (s2 + 2 • 0,95 . 20s -f 202) '
ab, ctfe/ — действительные ветви; dg, eh, — комплексные ветви
697

зультате этого получим точку комплексной ветви, имеющую
отметку £ = 0,5.
Аналогично может быть найдено точное положение других
точек комплексных ветвей логарифмического корневого годографа.
Проследим по логарифмическому корневому годографу на рис.
XVIII. 14 изменение корней замкнутой системы для различных
коэффициентов усиления Kv этой системы в разомкнутом состоянии.
Для очень малых коэффициентов усиления, например при Kvl,
замкнутая система имеет два простых действительных
отрицательных корня1 гъ г2 и пару комплексных сопряженных корней г3, г4
с параметрами сол1, £1# При Kv -> 0, т. е. дальнейшем сдвиге оси
абсцисс на графике логарифмической характеристики кверху, корни
замкнутой системы, как это и должно быть, стремятся к полюсам
0; — 4; — 0,95-20 ± /20]Л — 0,952 передаточной функции W (s)
разомкнутой системы. Если коэффициент усиления Kv возрастает
(ось абсцисс характеристики опускается вниз), то комплексные
корни приобретают больший коэффициент демпфирования £ и при
Kv2 переходят в двукратный действительный корень, равный
абсциссе точки е, взятой с обратным знаком. При дальнейшем
увеличении Kv двукратный действительный корень переходит в простые
действительные корни; например, при Къз замкнутая система имеет
четыре действительных отрицательных корня гх ч- г4.
Последующее увеличение Kv сближает корни г2, гъ и при Kv^ они сливаются
в двукратный действительный, равный абсциссе точки d, взятой
с обратным знаком.
Увеличивая и далее коэффициент усиления Kv, переводим
двукратный действительный корень в пару комплексных
сопряженных корней г2, г3, изображаемых комплексной ветвью dg. Когда
коэффициент усиления становится равным KvQ, замкнутая система
оказывается на границе устойчивости, так как ? = 0 и
комплексные корни г2, г3 делаются чисто мнимыми.
Дальнейшее увеличение Kv переводит замкнутую систему в
область неустойчивости, т. е. обусловливает переход пары
комплексных сопряженных корней г2, г3 в правую полуплоскость.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бирнсон Г. Способ быстрого определения полюсов передаточной
функции для замкнутой системы автоматического регулирования.
«Машиностроение» (сб. переводов и обзоров иност. период, литературы). ИЛ, № 1, 1955.
1 Действительные корни равны абсциссам \$\ точек rlf r2, взятым с
обратным знаком. Параметры сол, £ комплексных сопряженных корней —S^dz
dz /сол]/^1 — £2 определяются соответственно абсциссой точки пересечения
горизонтали Kv с комплексной ветвью eh и параметром £, отмечающим эту точку
пересечения.
698

2. Кастерс Н. и Мур Дж. «Обобщение метода частотных
характеристик, применяемого для исследования систем автоматического
регулирования» в кн. «Автоматическое регулирование» (сб. материалов конференции в
Крэнфилде), под ред. М. 3. Литвина-Седо го, М. ИЛ, 1954.
3. Кузовков Н. Т. Теория автоматического регулирования,
основанная на частотных методах. Изд. второе, Оборонгиз, I960.
4. Солодовников В. В. Применение метода логарифмических
частотных характеристик к исследованию устойчивости и к оценке качества
следящих и регулируемых систем. «Автоматика и телемеханика». Т. 9, № 2, 1948.
5. Lubbock J. K-, Barker H. A. Complex Frequency Response
Diagrams and their Use in the Design of Feedback Control Systems, Process Control
and Automation, № 1—12, 1962.

ГЛАВА XIX
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ И КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Метод интегральных критериев и оценок качества
регулирования можно отнести к аналитическим методам, хотя в сложных
случаях он требует значительных численных расчетов и эффективен
при использовании аналоговых или цифровых вычислительных
машин. Его с равным успехом можно применить как для линейных
непрерывных, так и линейных импульсных систем. Интегральные
критерии оптимальности используются и при решении общих
задач синтеза нелинейных систем. Ниже данный метод
рассматривается в основном применительно к линейным стационарным
непрерывным системам.
Интегральной оценкой называется определенный
интеграл по времени некоторой функции от координат системы.
Если состояние системы характеризуется координатами хъ х2,
..., хп, то интегральной квадратичной оценкой общего вида
называется интеграл от квадратичной формы этих координат:
00 00 /I, П
О 0 V,jLl=l V,JH=l
где Dv[x — заданные коэффициенты квадратичной формы; JVJJL =
оо
= \x^dtt v,fi = 1,2, ..., п — также интегральные квад-
о
ратичные оценки.
Для системы, состояние которой характеризуется одной
величиной х (t) и ее производными, интегральными квадратичными
оценками служат
со
J = \ x4t\
о
оо
Ут = \ (х2 + т2*2) dt
о
700

или в более общем случае
оо
JXl т = И*2 + т^2 + т^2 + • • • + <? WJ dt,
а 0
где х,хъ...,ха—постоянные величины, имеющие размерность
времени.
Линейными интегральными оценками называются
определенные интегралы по времени линейных функций координат или
произведений этих функций на заданные функции времени. Так,
линейными интегральными оценками являются
оо
Х00 = $ xdt\
о
оо
Хш = \ xtmdt;
О
оо
О
Помимо указанных квадратичных и линейных оценок, в теории
оптимальных систем используются также функционалы более
общего вида
т
$ G (xv х2, ..., хп) dt,
to
где G — заданная функция.
Эти функционалы также являются интегральными критериями.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК
Способы, использующие систему
дифференциальных уравнений. Пусть собственное
движение линейной устойчивой стационарной системы описывается п
уравнениями первого порядка:
п
*« = 2ja«***» « = 1, 2, .... /г. (XIX.1)
Умножив каждое из этих уравнений на хр(р = 1,2,...,я) и
проинтегрировав в пределах от 0 до оо, получим
оо п
$ xKxpdt = ^] aKiJiPi /с, р= 1, 2, ..., п, (XIX.2)
о ;=i
где
00
J ip — J Х^ХрОХь
Q
701

Если не принимать во внимание соотношения Jip — Jpi, то /г2
уравнений (XVIП.2) содержат п2 неизвестных Jip и п2 неизвест-
оо
ных вида § xKxpdt.
о
Число уравнений становится равным числу неизвестных, если,
интегрируя по частям, записать
00 00 ОО
\ ХкХр(ХТ = ХкХр — \ Xf{XpCLt.
О 0 0
Обозначая хк (0) = хк0 и учитывая, что в силу условия
устойчивости хк (оо) = 0, последние уравнения представим в виде
00 ОО
\ xKxpdt + \ xKxpdt = —xmxp0 (к, р= 1, 2, ... , п). (XIX.3)
о о
Уравнения (XIX.2), (XIX.3) представляют собой замкнутую
систему уравнений. Можно показать, что из условия устойчивости
вытекает неравенство нулю главного определителя этой системы
уравнений. Таким образом, линейные уравнения (XIX.2), (XIX.3)
для устойчивой системы всегда разрешимы и определяют все ин-
ОО
тегральные оценки Jip вместе с величинами ^ xtxpdt. Этот способ
о
впервые был предложен в работе, посвященной исследованию
переходных процессов в электрических связанных контурах [13].
Переставив индексы в уравнении (XIX.2), а затем сложив
полученное таким образом уравнение с первоначальным и использо-
оо
вав выражение (XVII 1.3), исключаем неизвестные вида ^x^pdt:
о
п п
2 я**Лр + 2 ЯрЛ< = — хкьхр0, к, р= 1, 2, ... , п. (XIX.4)
i = \ f=i
Особенно компактна матричная форма записи этой системы
уравнений:
AJ + (AJ)T=-\\xK,xpo\\, (XIX.5)
где А = || акр || , J = || JKp || — квадратные матрицы; индекс Т
обозначает транспонированную матрицу.
Известно, что (AJ)T = JTAT. Но JT = J, поэтому матричное
уравнение можно представить также в виде
AJ + JAT=-\\xKQxP0\\. (XIX.6)
Несмотря на компактную форму выражения (XIX.5) или (XIX.6)
для уравнений интегральных квадратичных оценок, развернутые
выражения этих оценок через коэффициенты акр и начальные
условия громоздки. Это обусловливает то, что запись окончательных
702

формул для п^>3 в общем развернутом виде нецелесообразна.
Таким образом, данное решение задачи определения
интегральных квадратичных оценок носит характер скорее алгоритма, чем
окончательных формул.
Другим недостатком данного способа является то, что в нем
рассматриваются только однородные дифференциальные уравнения
или дифференциальные уравнения, приводимые к однородным1.
Для применения данного способа к переходным процессам,
вызванным ступенчатыми или импульсными воздействиями,
необходимо учитывать влияние этих воздействий путем преобразования в
эквивалентные начальные условия.
В работе [17] был предложен способ вычисления интегральных
квадратичных оценок, который по объему необходимых
преобразований эквивалентен изложенному, но раскрывает некоторую
связь этих оценок с функцией Ляпунова. Этот способ
заключается в следующем. Допустим, что требуется определить оценку
00
t/v{JL = § xsx^dt для решения системы дифференциальных уравне-
о
ний (XIX. 1) при заданных начальных условиях.
Будем искать квадратичную форму
п
W = ~ 2 BiKxiXx> BiK = BKi, (XIX .7)
i, к = 1
производная по времени которой может быть определена из системы
дифференциальных уравнений (XIX. 1) в виде х^:
п п п п
^=2 щ*'=2 2 вл2ал=-^ (xix-8)
i = l j = l к = 1 р = \
Тогда для устойчивой системы
оо со п
J^ = J x^dt = - \ Wdt = W0 - W», = W0 = \ У BiKxioxKfs.
0 0 i,K=\
Равенство (XIX.8) будет иметь место при любых х} только если
п п
2 вьа^ + 2 B/|A-v = — 1;
п п
2 Bijflig + ^ Biqaip = °>
где p,q не, равны v,[x.
1 Если в правых частях неоднородных уравнений фигурируют функции
х^ К t
вида \е v то, как известно, задача может быть сведена к рассмотрению одно-
v
родной системы уравнений порядка более высокого, чем исходная система.
703

В матричной форме эти уравнения имеют вид
ВА + (ВА)т=-е^ (XIX.9)
где В = || Bh || , а ещ — так называемая матричная единица, т. е.
матрица, у которой единственным отличным от нуля элементом
является единица, стоящая в v-й строке \х-ы столбце.
Строго говоря, для матрицы В и ее элементов Bip следовало бы
ввести дополнительные индексы v,[x. Однако во избежание
громоздких индексов мы не будем этого делать.
Итак, интегральная квадратичная оценка равна квадратичной
форме начальных значений координат:
оо п
^= ^x^dt^Y 2 BiKxiox>co> (XIX. 10)
матрица коэффициентов которой определяется уравнением вида
ВА + АТВ = — ещ. (XIX.11)
Уравнения (XIX.10), (XIX.11) эквивалентны уравнению (XIX.6)
в том отношении, что из выражений (XIX. 10), (XIX. 11) можно
получить уравнение (XIX.6) и наоборот. Что касается объема
вычислений при решении уравнений (XIX.6) и (XIX.10), (XIX.11),
то он примерно одинаков. В первом случае необходимо решить
систему п2 линейных алгебраических уравнений (с учетом Jip =Jpi
систему ni<n~j~ ' уравнений) относительно интересующей нас
оценки Jip. Правые части всех уравнений, при хк0 Ф0 (/с = 1,2,
..., п) здесь отличны от нуля.
Во втором случае необходимо решить аналогичную систему
уравнений, в которой, однако, лишь одна правая часть отлична от
нуля. В этом отношении решение уравнения (XIX.11) проще, чем
решение уравнения (XIX.6). Зато уравнение (XIX. 11)
необходимо решить относительно всех неизвестных, входящих в матрицу
23, так как эти величины фигурируют в окончательном
выражении (XIX.10).
Если требуется вычислить более общую интегральную квад-
оо
ратичную оценку, а именно, интегральную оценку \ Vdt квадра-
о
тичной формы п
где йщ (v,|i = 1,2,..., п) — заданные величины, то при первом
способе решают уравнение (XIX.6) и используют соотношение
00 П
704

При втором способе ищут квадратичную форму выражения
(XIX.7), производная которой в силу исходных
дифференциальных уравнений была бы равна —V. При этом вместо матричного
уравнения (XIX. 11) получают матричное уравнение вида
ВА + АТВ = — D, (XIX.12)
D = \\D^\\.
Сама же интегральная оценка определяется по прежней
формуле оо п
J Vdt = 42 BiKxioxK0 = W0. (XIX.13)
Если V — определенно положительная функция, а именно
такой выбирается функция интегральной оценки, то, как видно из
выражения (XIX. 13), W также определенно положительная
функция. Производная по времени функции W ввиду соотношения
W = —V определенно отрицательна. Известно, что определенно
положительная функция, производная по времени которой в силу
данных дифференциальных уравнений определенно отрицательна,
является функцией Ляпунова. Итак, интегральная оценка
определенно положительной квадратичной формы координат
устойчивой линейной системы равна функции Ляпунова от начальных
значений координат системы. Коэффициенты квадратичной формы,
выражающей указанную функцию Ляпунова, определяют по
уравнению (XIX.12).
Как уже отмечалось, буквенное выражение решения уравнения
(XIX. 12) в общем случае весьма громоздко и в развернутом виде
никогда не используется.
Способы, использующие преобразование
Лапласа. В современной линейной теории регулирования чаще
оперируют с передаточными функциями и преобразованиями
Лапласа или Фурье, чем с дифференциальными уравнениями системы
и начальными условиями. Поэтому наибольшее применение имеют
те способы вычисления интегральных оценок, которые позволяют
находить эти оценки непосредственно по изображениям
оригиналов-координат.
Пусть преобразования Лапласа двух функций хк (t), xp (t)
есть дробно-рациональные функции:
оо
XK(s)= ^xK{t)e~stdt
о
оо
h + М + .
«0 + «lS + .
K + b[s+ ..
. + brsT .
.. +ansn>
• +Ksq
(XIX.14)
имеющие общий знаменатель, полюса с отрицательными
действительными частями и r,q ^ п — 1.
23 Техническая кибернетика, кн, 1
705

В частности, этим условиям удовлетворяют изображения
любой пары координат однородной системы уравнений (XIX.1).
Интегральная оценка
оо
JkP = \ хк (/) хр (t) dt
о
с помощью обратного преобразования Лапласа
/оо
*р®=Щ) S Xp(s)eStds
-/00
может быть представлена в виде
оо /оо /оо оо
J"p = h\ \ Xp(s)xK(t)estdsdt = ±] \ Xp(s)^xK(t)estdtds.
О —уоо —/оо О
Таким образом,
;оо
J"P=^j ) Xp(s)XK(-s)ds. (XIX.15)
-;оо
Согласно формуле (XIX. 14) подынтегральное выражение имеет
вид
У MY ( ^_M(s)+M'(s)
Xp(s)XK(-s)- N{s)N{_sy
где
N (s) = a0 + axs + ... + ansn\
M(s)+W(s) = [b0-b1s + ... +(-\)rbr][b'0 + bls+ ...
... +b^]9
причем M(s) содержит лишь четные степени 5, а М1 (s) —
нечетные степени.
Очевидно, что
£ M'(s)
поэтому
где
J N(s)N(—s)
-/оо
ds = 0,
/со
_ 1 ~
>кр
-so S *(.$(-.)*• (Х1ХЛ6)
—;оо
М (S) = В0 - BlS» +...+(_ l)«BfflS«»;
m sg я — 1;
В0 = &060; Вх = 6Х6; — 60Ь2 — Ьф'ь\
В2 = 6А - Mi - Mi + V>4 + Mo (XIX.17)
706

Интеграл (XIX. 16) сразу может быть представлен в виде суммы
вычетов. Однако задача заключается в том, чтобы эту сумму
выразить через коэффициенты исходных изображений.
В работах [1,2] приведен способ решения этой задачи и даны
развернутые выражения интегральных квадратичных оценок
через коэффициенты, аналогичные аьВ{ (для п от 1 до 7). В ряде
случаев требуются общие выражения (для произвольного п)
интегральных квадратичных оценок через коэффициенты
преобразования Лапласа или коэффициенты передаточной функции. Такие
выражения были получены также в работе [5]. Первоначально
задача решалась применительно к интегральной квадратичной оценке
переходной составляющей реакции системы на ступенчатое
воздействие. Это наложило определенный отпечаток на вид
нижеследующей формулы.
Если функция х (t) имеет дробно-рациональное
преобразование Лапласа
X(s)
'I*
{t)e-s4t = b« + hs+'"+J>
J_
a0 + axs+ ... +~ansn' s
(XIX.18)
и корни уравнения
ansn + a^s4-1 + ... + a0 = 0
обладают отрицательными действительными частями, то
00
О
... +SmAm-2&06tA), (XIX. 19)
где
а0 —а%
О ах
О —а
О
о
О — аг
■ав ... О
аь ... О
-а4 ... О
as ... О
О
80 = Ь\;
81 = Ь\-2Ь0Ьг;
О 0 а„_а
(XIX.20)
ВК = Ы — 2bK_]bK + i + ... + 2(— l)Kb0bw;
В„
Ъ%й
\ (XIX.21)
Av (v = 0,1,..-. tri)—определитель, получающийся из А заменой
v +1 -го стэлбца столбцом аъа0 0. Определитель А равен старшему
определителю Гурвица и обращается в нуль на соответствующем
23*
707

участке границы области устойчивости. Если Ь0 = 0, то
преобразование Лапласа имеет вид
X(s)
«o + 0is+ ... +ап$п '
Предельное значение х (оо) в этом случае равно нулю, т. е.
я(оо) = — = 0. Формула (XIX. 19) принимает вид
а0
x4t
2а\
д(ВА + £2Д2+ ... +ВтАт). (XIX.22)
Эту формулу можно еще упростить, если обратить внимание
на то, что
А = а0б, А± = aJ6llf А2 = — ajal2,
(-ir-ial^
где
б =
«1 — «3
-G0 a2
0 — at
аъ .
— at .
as .
.. 0
.. 0
.. 0
о о
о
Ьъс (к = 1,2,..., т) — минор /с-го элемента верхней строки
определителя б.
Таким образом,
оо
[ x4t = 5Т7Г [Вi»u - 52б12 +...+(- I)"''1 Bm6lm],
2#06
ИЛИ
x4t
2а0д '
(XIX.23)
где б13 — определитель, получающийся из б заменой верхней строки
строкой ВЪВЪ..., Вт,0,...,0. Формула (XIX.22) в работе [5] получена
для случая т^п — 1. Для случая т = п в работах [5 — 7 и 9]
рекомендуется применять несколько более громоздкую формулу.
Покажем, что для случая т = п можно применять формулы,
аналогичные (XIX.22), (XIX.23). Попутно поясним методику
вывода формул на основе общих матричных уравнений (XIX.6).
Первоначально рассмотрим функцию у (t), преобразование Лапласа
которой имеет вид
Y(s)= \ y(t)e-stdt
1
a0+0iS+ ... + ansn
(XIX.24)
708

Очевидно, что y(t) есть решение дифференциального
уравнения
при начальных условиях
y(-i)(0) = i-, и
.(Л-2)
(0) = у^"3) (0)
г/(0) = 0. (XIX.25)
Заменой переменных хг = г/, лг2 = #',..., хл = #(n ~ х) это
уравнение преобразуем в систему дифференциальных уравнений вида
Xi — Х%\
\>2
«*3>
• __ #о
при начальных условиях
Х10 = X2q =
аг
Хл
0- х -1
Таким образом, матрица Л [см. уравнение (XIX.6)] в этом
случае имеет вид
0 1 0 0 ... 0
0 0 1 0 ... 0
0 0 0 1 ... 0
А =
.^1
«2
«3
а матрица || хк0 хр0 || пропорциональна матричной единице, где
единственным отличным от нуля элементом является элемент
последней строки и последнего столбца:
хтхх
К0ЛР0
„9 "п
Теперь можно записать для данного случая матричное
уравнение (XIX.6). Однако предварительно целесообразно упростить
искомую матрицы интегральных оценок J. Действительно, при
начальных условиях (XIX.25)
о о
= (— \)d Jp+atP+d\
Jp+2d+l,p = 0.
(XIX.26)
709

Эти формулы можно получить простым последовательным
интегрированием по частям.
В соответствии с этим матрицу J можно записать в виде
У =
hi О
О У2а
— J 22 О
О —Л:
-Ла о
о -JS3
О Ju
Вычислив произведение матриц ЛУ, а затем произведя
транспонирование и сложение, можно убедиться, что все элементы
матрицы AJ + (AJ)T, кроме элементов нижней строки и последнего
столбца, равны нулю. Приравнивание элементов последней строки
(столбца) этой матрицы элементам последней строки (столбца)
матрицы
1
Хк(\Х,
К0лР0
~9 "п.
дает следующую систему уравнения:
^0^11 ^2** 22 "Г ^4*^33 ^6*^44 г • • • == v)i
О + axJ22 — aBJB3 + abh\ — • • • = 0:
0 — a0J22 + a2J3Z — aju + ... = 0:
an-l^n
2вя"
Решение этой системы уравнений есть
(XIX.27)
где А — главный определитель (XIX.20);
АЛЛ. — алгебраическое дополнение элемента п-й строки /с-го
столбца этого определителя.
Если х (t) имеет преобразование Лапласа
то очевидно
* (*) = Ьху (t) + b2y(t)+ ...+ &«У(Л1) (*) -
= Ьгхг + b2x2 + ... + &„*„.
Поэтому с учетом выражений (XIX.25), (XIX.26)
00 П
Ix4t - 2 b«bPJ"P - B^n + Br/U + ... + B„Jnn.
О к, p=«l
(XIX.28)
710

Подставляя сюда выражение (XIX.27), получаем
со
где Ав получается из определителя Д заменой нижней строки
строкой ВЪВ2,..., Вп.
Эта формула справедлива и при т<^п, если в ней полагать
Ьп = Ьп . х = ... = Ът + ! = 0, а стало быть Вя = 5„ . х = ... =
^m + i = О- При этом путем простых преобразований формула
(XIX.29) превращается в формулу (XIX.22).
Для интегральной оценки произведения двух функций вида
(XIX. 14) также справедлива формула
со
\
xxdt-±.b
хкхрш — 2 д ,
лп
где Bt имеют выражения (XIX. 17).
Если не принимать во внимание различия в обозначениях, то
формула (XIX.29) с точностью до простейших алгебраических
преобразований совпадает с формулой, приведенной в работах [4 и 12].
Итак, формула (XIX.29) является достаточно общей и в то же
время компактной и легкой для запоминания. Что касается
формулы для случая т = п, приводимой в [5—7, 9], то она,
разумеется, в конечном итоге дает тот же результат, что и формула
(XIX.29), но имеет более громоздкий вид.
Подводя итоги, можно дать следующие рекомендации. Если
изображение интересующей нас координаты имеет вид выражения
(XIX. 18), то для интегральной квадратичной оценки переходной
погрешности целесообразно применять формулу (XIX.19). Если
же изображение координаты х имеет вид
X (S) = *! + ***+- +b»s™ f (XIX .30)
где произвольное число коэффициентов Ьп,Ьп_г,... может быть
равно нулю, то целесообразно применять формулу (XIX.29).
Следует отметить, что рассматриваемые в этом параграфе
формулы позволяют вычислять интегралы более общего вида
/ = Ц2 p*W*v*(')]8<«. (xix.31)
О i=l
где х (t) имеет дробно-рациональное преобразование Лапласа типа
(XVIII.30) с полюсами slys2,..., sn; щ —действительные или
комплексные попарно сопряженные числа, такие, что все суммы st +
+ ак (i9K = 1,2,..., п) имеют отрицательные действительные части;
Pt (t) — полиномы любой степени по t.
711

Действительно, если преобразование Лапласа функции
N
2 х W*« О ^ есть дробно-рациональная функция типа
(XIX.30), то можно применять указанные формулы.
Формулы (XIX.19), (XIX.22), (XIX.29) и излагаемая ниже
методика их применения прочно вошли в теорию автоматического
регулирования и используются во многих исследованиях.
В последнее время значительные результаты в области алгебры
интегральных квадратичных оценок получены в работах [21],
[22], в которых исследована связь этих оценок с другими
критериями качества, а также рассмотрены условия существования точки
экстремума интегральной оценки в пространстве коэффициентов
и др.
2. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК
Интегральные квадратичные оценки используются как для
выбора параметров линейных систем с заданной структурой, так и
при решении более общей задачи синтеза, т. е. определении
структуры и параметров управляющей системы на основе некоторых
критериев оптимальности.
Интегральные оценки переходных
процессов и выбор параметров систем с
заданной структурой. Постановка задачи в этом случае
сводится к следующему. Структура линейной системы, а стало быть
и вид ее передаточных функций, заданы. Возмущающие силы
детерминированы и, как правило, приводятся к ступенчатым или
импульсным воздействиям. Некоторое число параметров
(коэффициентов) системы допускают изменение (варьируемые параметры),
а остальные параметры заданы постоянными. Необходимо указать
значения варьируемых параметров, при которых обеспечивается
оптимальный переходный процесс в смысле минимума некоторой
интегральной квадратичной оценки.
Решение задачи начинается с выбора вида интегральной
квадратичной оценки, минимизация которой отвечала бы практическим
представлениям или условиям оптимальности. При этом
рассматривают реакцию системы на ступенчатое задающее воздействие,
т. е. определяют переходную функцию х (t) = h (t).
Тогда минимизация оценки
со со
\ Д;Ай = \ [x{t) — x{oo)fdt
о о
означает, что в классе решений заданного (с точностью до
варьируемых параметров) дифференциального уравнения системы
необходимо найти то, которое наибрлее приближается к ступенчатой
функции в смысле интегрального квадратичного отклонения.
712

Функция х (t) непрерывна [при т<^п; см. (XIX.18)].
Приближение непрерывной функции к разрывной ступенчатой
функции обычно неравномерное и иногда сопровождается
значительными выбросами (перерегулирование, см., например, [17]).
Минимизация при тех же условиях оценки
Jx = $ (Л*2 + т2 Д*2) Л,
о
где т — некоторая заранее выбираемая величина, означает
приближение переходной функции системы к экспоненте с постоянной
времени т.
Действительно,
со со
Jz = $ [(Ах + тДх)2 — 2т Ал: A*] dt = \ (А* + tAi)2 Л + тАх?
о о
[полагаем Да: (оо) = 0].
Таким образом, наименьшее Ут [в классе произвольных
функций Да: (/)] получается тогда, когда
тДл: + Да: = 0;
это уравнение экспоненты с постоянной времени т.
Аналогично, интегральная квадратичная оценка более общего
вида1
К t,= sW + tJAjP+ ... + ... +т^(Д*Ю)«]Л
о
при начальных условиях
АЛ (0) = ... = Д^-*> (0) = 0, Ад: (0) = х (0) —
— х(оо) = —д: (со) (XIX.32)
и
Да: (оо) = Ал; (со) = ... = bxt*-1* (со) = 0
может быть представлена в форме
со
Jx,. .... xd = $ [А* + ахМ + ... +adДа^>]2dt + аг Да:2(0),
о
1 Для устойчивой системы оценка Jx , ..., т имеет конечное значение
во всех случаях, когда Да:2 не содержит 6-функцию или ее производную.
Если передаточная функция для ошибки имеет старшую степень числителя т,
а знаменателя л, то условие применимости оценки Л1Э ..., %d имеет вид т 4-
+ d ^ п.
713

где
а? - 2а0а2 = х\\
а2 — 2аха8 + 2а0а4 = т2; .,. .. _ _.
а0 = 1 введено для симметрии формул.
Итак, минимизация оценки Jx ,..., X(J означает приближение
переходной функции к решению дифференциального уравнения
aaxtd)+ad_1*ld-l)+ ... +х = л:(оо) (XIX.34)
при начальных условиях (XIX.32).
Соображения о необходимом быстродействии системы
позволяют задать значения параметров ах,а2,..., ad1 a значит и хъхъ
Следует, однако, иметь ввиду, что вычисление оценок УТ,УХ1,...1Х
несколько сложнее, чем оценки по формуле (XIX.19). С
другой стороны, у систем, где передаточная функция имеет нули [т. е.
т в формуле (XIX. 18) не равно нулю], опасность получения
значительного перерегулирования при выборе параметров из
условия минимума функции J0 невелика. Поэтому чаще всего все
же используется оценка J0.
Вторым после выбора вида критерия этапом решения задачи
является вычисление оценки. При аналитическом решении задачи
интегральная квадратичная оценка определяется по формулам,
подробно рассмотренным выше. Следующим шагом является
минимизация оценки, т. е. определение значений параметров или
соотношений между параметрами, при которых имеет место минимум
выбранной оценки.
Ввиду того что интегральная квадратичная оценка, как
правило, является нелинейной функцией варьируемых параметров,
а на сами варьируемые параметры в большинстве реальных систем
накладываются ограничения, данная задача относится к так
называемому нелинейному программированию [20]. Однако во
многих случаях интегральная квадратичная оценка имеет
единственный абсолютный минимум по варьируемым параметрам, лежащий
в разрешенной области изменения этих параметров. В этих
случаях, в принципе, решение может быть получено классическим
методом, т. е. приравниванием нулю частных производных по
варьируемым параметрам.
Для простых систем удается в аналитической форме
представить соотношения между параметрами, соответствующие
минимуму интегральной квадратичной оценки. Для сложных систем
используются численные или графические методы.
Заключительным этапом методики, носящим характер проверки, является
построение переходного процесса при выбранных значениях
параметров. Это построение проводится любым из известных способов.
714

В случае, если переходный процесс оказывается
неудовлетворительным по какому-либо параметру, вносятся коррективы в
исходную интегральную оценку и решение задачи повторяется.
Для иллюстрации описанной методики рассмотрим следующий
схема автопотенциометра.
Ои
Рис. XIX. 1. Схема авто
потенциометра
пример. На рис. XIX.1 приведена
В этом автопотенциометре
разность измеряемого напряжения и и
напряжения, снимаемого с
потенциометра 5, подается через
дифференцирующий контур R, С на гальванометр/.
Гальванометр снабжен
фотоэлектрическим датчиком 2, посылающим
сигнал в электронный усилитель 3.
К выходу усилителя подключена
управляющая обмотка двухфазного
асинхронного исполнительного
электродвигателя 4. Последний через
редуктор связан со щеткой
потенциометра 5 и при работе системы
устанавливает щетку в положение, при
котором снимаемое напряжение
равно подведенному напряжению и.
В линейном приближении система при обычных
предположениях описывается следующими уравнениями [8]:
(7\s + 1) Хг (s) = kx (1 + T2s) [U(s)-X (s)];
(Tls* + 2tT3s+\)X2(s) = k2X1(s)]
(T,s* + s)X(s) = k3X2(s),
где U (s), X (s) — изображения входного напряжения и
напряжения, снимаемого с потенциометра,
соответственно;
Хх (s) — изображение тока гальванометра;
Х2 (s) — изображение угла поворота рамки гальванометра;
Г4 — электромеханическая постоянная
электродвигателя;
тр— собственная частота гальванометра;
* 3
\ — степень затухания гальванометра;
гп НгН г*.
Т2 = RC;
R+R2
R и С
сопротивление цепи гальванометра;
сопротивление и емкость дифференцирующего
контура;
ki* &2> &з — коэффициенты передачи (усиления).
715

Если Тг пренебрежимо мало, то изображение выходной
величины U (s) при ступенчатом изменении входной равно
b0 + £js 1
X(s)=*
а0 + a±s -f- tf2s2 + a3s9 + #4s4 s '
где при Г4 = 0,1 сек; Т3 = 0,1 сек; I = 0,75; а0 = К = Kk2kz;
аг = 1 + /СГа; а2 = 0,25; а3 = 0,025; а4 - 0,001;
/C7V
Формула (XIX. 19) дает
К = К; Ьх
h = \ И0
•x{po)fdt
о
о
— а2
— а0
0 — дх
0
0
+ *?
«0 «1
0 а0
0 0
О О
аг О
•Аз °
а% — а$
- й\ Д3
1
2я2о
а0 •— я2 а4 0
0 аг — аъ 0
0 -=- а0 а2 — ^4
0 0 — аг а3
1 1,31 — 0,25АТ2 — 0,025АГ + 5,25ЛТ1 -
- к2т$
5,25 + 4,25ЛГГ2 — КЩ — 0,625ЛГ
2 "
Ha рис. XIX.2 представлена зависимость интегральной
квадратичной оценки J0 от коэффициента усиления разомкнутой системы
k и порции сигнала по производной Т2. Зависимость выражена
кривыми равных значений /0 = const.
Эти кривые показывают, что JQ минимально при К ^ 7,5 сек' х,
Т2 = 0,15 сек.
При этих значениях параметров X (s) равно
Х(с\- 7,5+1,13s 1_
Л W — 7,5 + 2,13s -f 0,25s2 + 0,025$* + 0,00is*' s •
На рис. XIX.3 приведена кривая переходного процесса,
соответствующего выбранным значениям параметров. Видно, что
минимизация /0 дает здесь удовлетворительное качество переходного
процесса.
Следует, однако, отметить, что аналитическое решение задачи
целесообразно только для простых систем, порядок
дифференциальных уравнений которых не превышает 4—5. Для определения
интегральных квадратичных оценок весовых функций сложных систем
в настоящее время чаще всего используются аналоговые
вычислительные машины. Соответствующая методика сводится к
следующему.
На аналоговой машине набирается уравнения рассчитываемой
системы. Кроме этого, используют блок квадратора (блок, возводя-
716

щий входную величину в квадрат) и интегрирующий блок.
Интересующая нас координата подается на вход квадратора, а выходная
величина квадратора поступает на интегрирующий блок. На один
(при определении оценки Jn) или два (при определении оценки
Jij) входа модели подаются короткие импульсы единичной площади
(б-импульсы).
Выходная величина интегрирующего блока, включаемого
одновременно с подачей 6-импульсов, равна интегралу от квадрата
и по истечении времени
переходных процессов практически рав-
оо
на § x2dt.
о
При определении оценки Jn
проводится один опыт, а именно
сек
-J0=°°
w
15К, сек'1
t,cet<
Рис. XIX.3. Кривая
переходного процесса
Рис. XIX.2. Зависимость
интегральной квадратической оценки J0 от
передаточного коэффициента
разомкнутой системы /( и постоянной
времени дифференцирующего
контура Т2
подается один б-импульс на f-й вход. При этом сразу определяется
00
\k]{t) dt, где kt (t) —- импульсная переходная (весовая) функция.
о
При нахождении Ju (j ф i) проводится два опыта. В первом
опыте на i'-й и /-й входы одновременно подаются положительные
б-импульсы. При этом определяется величина \ [k^f) + kj (t)]2 dt,
о
Во втором опыте на те же входы подаются б-импульсы разного
знака. На выходе интегрирующего блока выделяется величина
со
5 [k; (t) — kj (OP dt. Разность величин, полученных в этих двух
о
опытах, дает
со со со
$ [kt (О + kj (OP dt - $ [kt (t) - kj (OF dt = 4 \ k, (t) kj (0 dt = 4JU.
717

Время определения одной оценки JfJ лишь вдвое (при / Ф I)
превышает время переходных процессов в модели (при
моделировании в сокращенном масштабе времени это время может быть
существенно меньше времени регулирования в реальной системе). Это
позволяет определять за сравнительно короткое время Jtj для
многих значений варьируемых параметров и находить оптимальные
величины последних.
На данной основе возможно также автоматическое определение
оптимальных значений. Поиск оптимальных значений варьируемых
параметров возлагается при этом на оптимизатор непрерывного или
дискретного действия [10], [18].
Интегральные квадратичные критерии и
синтез систем с произвольной структурой.
В рассмотренных выше задачах структуры как управляемого
объекта, так и управляющей системы считались заданными.
Интегральные оценки служили лишь для выбора варьируемых
параметров системы.
В современной теории оптимального управления интегральные
критерии часто используются при отыскании оптимальных
алгоритмов управления заранее неизЕестной структуры [11], [19], [15].
В этих задачах минимизируемый функционал (интегральная
оценка) не выражается непосредственно через параметры системы,
так как даже состав этих параметров до решения задачи остается,
по существу, неизвестным. В этих задачах ищется такой закон, или
алгоритм, управления, который непосредственно минимизирует
данный функционал—интегральную оценку. При этом, однако, в общем
случае учитываются различные ограничения, накладываемые на
алгоритм управления и управляемый объект.
При использовании вариационных методов задача
формулируется как нахождение управления экстремали, минимизирующей
данный функционал-интегральную оценку. Заметим, что для одного
частного случая решение подобной задачи приведено выше в виде
уравнения (XIX.34), т. е. при отсутствии ограничений в этом
выражении получим уравнение экстремали, которое минимизирует
функционал Jx, ...,xrf-
Несомненно, что от вида функционала (интегрального критерия)
многое зависит при отыскании оптимального управления. Однако
главное содержание теории оптимального управления выходит
далеко за пределы круга вопросов, именуемых интегральными
критериями и оценками качества. Поэтому оно освещается в других
разделах.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
На рис. XIX.4 изображен график монотонного переходного
процесса в некоторой системе. Отклонение Ах = х (t) — х (со)
для такого процесса монотонно уменьшается со временем. Интег-
718

ральная оценка ДХ00 = $ Axdt представляет заштрихованную
о
на рис. XIX.4 площадь. Эта оценка равна преобразованию Лапласа
величины Ал: при s = 0:
ДХ00 = ДХ(0).
Интегральная оценка
AXm=l bxtmdt=[Ax(t)dU
равна площади, ограниченной кривой, построенной в координатах
У tm+1 A
£ = „. , 1 , Да:.
т+\
Эта оценка равна
ДХП
(-ит[
m[d<nbX(s)-\
dsn
J5 = 0
Пусть Да: (t) — ошибка, вызванная
импульсным воздействием на входе
системы, т. е. импульсная переходная
функция для ошибки. Тогда АХ (s) =
= Ф (s) — передаточная функция для
ошибки.
Из выражения
[с1тФ
t,ceK
Рис. XIX.4. График
монотонного переходного
процесса
д*
(в)
dsm
Js=c
следует, что оценки АХ0т с точностью до множителя *—~- равны
коэффициентам разложения в ряд по степеням s передаточной
функции для ошибки. Но известно, что коэффициенты указанного ряда
с точностью до множителей
там ошибок С„
, равны так называемым коэффициен-
Таким образом,
ст = (-ir ьхм,
т. е. линейные интегральные оценки АХ0т с точностью до знака
равны соответствующим коэффициентам ошибок.
Коэффициенты ошибок, а стало быть и линейные интегральные
оценки АХ0т в определенной мере характеризуют влияние медленно
меняющихся задающих или возмущающих воздействий.
Передаточная функция обычно представляет собой отношение
двух полиномов. Поэтому величины ДХ0/П, как и коэффициенты
ошибок, помимо дифференцирования могут быть определены путем
719

деления полинома числителя на полином знаменателя. Линейные
интегральные оценки вида
оо
О
также просто выражаются через производные преобразования
Лапласа. А имейно
*-.= <-1Г[£* <»)].-•
Оценка Хат приближенно характеризует значение функции
х и) в точке г = —!—:
(т+ 1\ ат+1 у
Отсюда, в частности, вытекает
x[(m+1)T]^(_ir_^[^i)]
X Is + ~) = т [£ (т) — х (2т) ts + х (Зт) t2s2 —...],
где х (т), Jc (2t), ... — приближенные значения функции х (t) в
моменты времени т, 2т, ....
Линейные интегральные оценки не содержат знакоопределенной
функции координат. Поэтому беспредельное уменьшение или
обращение в нуль любой из этих оценок в общем случае не означает
приближение в среднем переходного процесса к некоторому
желаемому. Так, например, оценка АХ00 только для монотонных
процессов сохраняет значение как меры отклонения х (t) от ступенчатой
функции.
Ввиду этого линейные интегральные оценки имеют ограниченное
применение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Булгаков Б. В. Колебания. Гостехиздат, М., 1954, стр. 151—167.
2. Джеймс X., Н и к о л ь с Н., Филлипс Р. Теория следящих
систем. Перевод с англ., второе издание, ИЛ, 1953, стр. 4Ц—418, 454—456.
3. Карачаров К- А., ПилютикА. Г. Введение в техническую
теорию устойчивости движения. Физматгиз, 1962, стр. 59—72.
4. К а ц А. М. К вопросу о вычислении квадратичного критерия качества
регулирования. «Прикладная математика и механика», вып. 3, 1952.
5. Красовский А. А. О степени устойчивости линейных систем.
Научно-техническая конференция 1946 г. Труды BBPIA им. Жуковского, 1948.
6. Красовский А. А. О выборе параметров автоматического
регулятора. Кандидатская диссертация. ВВИА им. Жуковского, 1948.
7. Красовский А. А. Интегральные оценки качества процесса
регулирования. Машгиз, 1949,
720

8. Красовский А. А. Интегральные оценки и выбор параметров
систем автоматического регулирования, в кн. «Основы автоматического
регулирования», Машгиз, 1954, стр. 535—561.
9. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и
технической кибернетики. Госэнергоиздат, М. — Л., 1962, стр. 272—276,
303, 307—309.
10. К р а с о в с к и й А. А. Динамика непрерывных самонастраивающихся
систем. Физматгиз, М., 1963, стр. 419—454.
И. Л е т о в А. М. Аналитическое конструирование регуляторов.
«Автоматика и телемеханика», I960, № 4—6.
12. Л э н и н г Д. X., Б э т т и н Р. Г. Случайные процессы в задачах
автоматического управления. Перевод с англ. ИЛ, 1958, стр. 353—354.
13. Мандельштам Л. И., П а п а л е к с и Н. Д. Об одном методе
измерения логарифмического декремента и частоты электромагнитных
колебательных систем. Ann. d. Phyc. 33, 490—516, 1910. Перев. Л. И. Мандельштам.
Полное собрание трудов, т. I. Изд. АН СССР, стр. 173—198, 1948.
14. Моисеев Н. Д. Квазиинтегральный вывод прямого коэффициентного
критерия асимптотической устойчивости для обыкновенной системы линейных
однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Записки семинара
по теории устойчивости движения. Вып. 3, изд. ВВИА им. Жуковского, 1948.
15. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкре-
лидзеР. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. Физматгиз, 1961.
16. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления. Физматгиз, 1960, М., стр. 646—647.
17. ФельдбаумА. А. Интегральные критерии качества
регулирования. «Автоматика и телемеханика», 1948, № 1.
18. ФельдбаумА. А. Вычислительные устройства в автоматических
системах. Физматгиз, М., 1959, стр. 662—686.
19. Ф е л ь д б а у м А. А. Основы теории оптимальных систем.
Физматгиз, М., 1963.
20. Энциклопедия современной техники. Автоматизация производства и
промышленная электроника, статья «Нелинейное программирование», т. 2.
Изд. «Советская энциклопедия», М., 1963.
21. Я р о м и н е к В. Об одном случае нахождения минимума
квадратичной интегральной оценки. Известия высших учебных заведений, раздел
«Электромеханика», 1959, № 13.
22. Я р о м и н е к В. Инверсия квадратичной интегральной оценки
переходных процессов. Доклад на II конгрессе ИФАК.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦА hy ФУНКЦИЙ
х = 0,00
t
0,4
0,8
Ь2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
V*
0,1268
0,2502
0,3671
0,4748
0,5712
0,6548
0,7248
0,7811
0,8244
0,8561
0,8777
0,8912
0,8986
0,9018
0,9028
0,9028
0,9031
0,9044
0,9070
0,9110
0,9160
0,9218
0,9278
0,9336
0,9386 .
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (t)
0,9428
0,9460
0,9480
0,9493
0,9498
0,9499
0,9499
0,9501
0,9505
0,9514
0,9527
0,9545
0,9564
0,9586
0,9606
0,9624
0,9639
0,9650
0,9658
0,9662
0,9664
0,9664
0,9662
0,9665
0,9668
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h {t)
0,9673
0,9680
0,9689
0,9699
0,9710
0,9720
0,9729
0,9736
0,9741
0,9745
0,9747
0,9747
0,9747
0,9747
0,9748
0,9750
0,9753
0,9757
0,9763
0,9769
0,9776
0,9782
0,9788
0,9792
0,9795
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
V>
0,9796
0,9797
0,9797
0,9797
0,9797
0,9799 1
0,9800
0,9802
0,9806
0,9809
0,9813
0,9817
0,9821
0,9825
0,9828
0,9830
0,9831
0,9831
0,9831
0,9831
0,9832
0,9832
0,9833
0,9835
0,9837
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42;8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
1 48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
\«>
0,9840
0,9843
0,9846
0,9849
0,9851
0,9853
0,9854
0,9855
0,9855
0,9855
0,9855
0,9855
0,9856
0,9857
0,9859
0,9860
0,9863
0,9865
0,9867
0,9869
0,9870
0,9872
0,9872
0,9873
0,9873
722

к = 0,03
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
V>
0,1331
0,2627
0,3854
0,4985
0,5997
0,6872
0,7605
0,8194
0,8647
0,8978
0,9202
0,9341
0,9414
0,9447
0,9452
0,9449
0,9449
0,9460
0,9485
0,9523
0,9573
0,9629
0,9689
0,9746
0,9797
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h U)
x v '
0,9837
0,9867
0,9887
0,9896
0,9898
0,9896
0,9892
0,9891
0,9892
0,9899
0,9911
0,9925
0,9942
0,9961
0,9979
0,9996
1,0009
1,0017
1,0022
1,0023
1,0022
1,0019
1,0013
1,0014
1,0014
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h {t)
x v '
1,0015
1,0020
1,0026
1,0034
1,0042
1,0050
1,0056
1,0060
1,0064
1,0064
1,0063
1,0061
1,0058
1,0056
1,0053
1,0052
1,0052
1,0055
1,0058
1,0062
1,0065
1,0069
1,0071
1,0073
1,0074
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
V>
1,0073
1,0071
1,0069
1,0066
1,0064
1,0061
1,0060
1,0060
1,0061
1,0062
1,0064
1,0066
1,0068
1,0069
1,0069
1,0069
1,0067
1,0065
1,0063
1,0060
1,0057
1,0056
1,0055
1,0054
1,0054
/
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
hx(t)
1,0055
1,0056
1,0058
1,0058
1,0058
1,0057
1,0056
1,0055
1,0052
1,0051
1,0048
1,0046
1,0044
1,0043
1,0043
1,0043
1,0043
1,0043
1,0043
1,0043
1,0044
1,0043
1,0041
1,0040
1,0038
723

fc 53*0,10
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h {t)
X w
0,1394
0,2752
0,4037
0,5220
0,6276
0,7190
0,7953
0,8566
0,9034
0,9371
0,9596
0,9733
0,9801
0,9824
0,9824
0,9802
0,9797
0,9798
0,9814
0,9844
0,9888
0,9938
0,9990
1,0042
1,0085
t
. 10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (t)
x v
1,0119
1,0141
1,0152
1,0153
1,0145
1,0134
1,0122
1,0111
1,0104
1,0102
1,0105
1,0113
1,0123
1,0136
1,0146
1,0154
1,0160
1,0161
1,0159
1,0152
1,0143
1,0134
1,0121
1,0115
1,0107
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
К i'>
1,0102
1,0100
1,0100
1,0103
1,0105
1,0107
1,0108
1,0108
1,0105
1,0100
1,0093
1,0085
1,0078
1,0070
1,0063
1,0057
1,0054
1,0051
1,0050
1,0049
1,0050
1,0050
1,0050
1,0048
1,0044
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
1,0041
1,0035
1,0030
1,0024
1,0018
1,0014
1,0011
1,0008
1,0006
1,0006
1,0005
1,0006
1,0006
1,0005
1,0004
1,0001
0,9998
0,9995
0,9992
0,9986
0,9985
0,9983
0,9981
0,9984
0,9979
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
Ax(0
0,9979
0,9980
0,9981
0,9981
0,9982
0,9981
0,9981
0,9979
0,9977
0,9975
0,9973
0,9971
0,9970
0,9970
0,9970
0,9971
0,9972
0,9974
0,9974
0,9975
0,9977
0,9976
0,9976
0,9976
0,9975
724

и=й,1б
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h (t)
x ч •
0,1458
0,2876
0,4218
0,5452
0,6553
0,7502
0,8291
0,8921
0,9399
0,9738
0,9959
1,0085
1,0141
1,0147
1,0126
1,0096
1,0069
1,0052
1,0053
1,0069
1,0100
1,0138
1,0179
1,0219
1,0251
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (t)
x v '
1,0272
1,0282
1,0280
1,0268
1,0249
1,0224
1,0200
1,0177
1,0159
1,0146
1,0139
1,0138
1,0140
1,0143
1,0146
1,0147
1,0145
1,0139
1,0130
1,0116
1,0101
1,0085
1,0066
1,0054
1,0042
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t)
1,0034
1,0027
1,0024
1,0023
1,0023
1,0023
1,0022
1,0020
Г,0016
1,0009
1,0002
0,9993
0,9984
0,9976
0,9970
0,9964
0,9961
0,9960
0,9959
0,9961
0,9964
0,9967
0,9967
0,9968
0,9967
t
-30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
x w
0,9965
0,9963
0,9959
0,9956
0,9953
0,9952
0,9952
0,9953
0,9955
0,9957
0,9960
0,9964
0,9968
0,9970
0,9972
0,9975
0,9974
0,9975
0,9974
0,9974
0,9973
0,9974
0,9976
0,9978
0,9980
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h (0
x v '
0,9984
0,9987
0,9991
0,9993
0,9996
0,9999
1,0000
1,0001
■ 1,0001
1,0001
1,0001
1,0000
1,0002
1,0003
1,0004
1,0006
1,0008
1,0011
1,0013
1,0016
1,0016
1,0017
1,0017
1,0017
1,0016
725

и = 0,20
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h (/)
0,1521
0,3001
0,4399
0,5682
0,6824
0,7806
0,8618
0,9260
0,9741
1,0076
1,0285
1,0395
1,0430
1,0412
1,0366
1,0312
1,0261
1,0223
1,0203
1,0200
1,0213
1,0236
1,0262
1,0287
1,0304
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (t)
x v '
1,0312
1,0309
1,0293
1,0269
1,0235
1,0199
1,0163
1,0130
1,0101
1,0081
1,0066
1,0059
1,0055
1,0055
1,0055
1,0053
1,0049
1,0041
1,0030
1,0017
1,0000
0,9984
0,9965
0,9955
0,9945
/
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
v>
0,9938
0,9935
0,9935
0,9938
0,9942
0,9946
0,9950
0,9954
0,9954
0,9953
0,9950
0,9946
0,9943
0,9940
0,9939
0,9939
0,9941
0,9945
0,9951
0,9957
0,9964
0,9972
0,9979
0,9983
0,9987
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
j 40,0
hx(t)
0,9989
0,9990
0,9990
0,9990
0,9990
0,9990
0,9992
0,9996
1,0000
1,0003
1,0008
1,0013
1,0018
1,0021
1,0024
1,0025
1,0025
1,0025
1,0023
1,0021
1,0020
1,0019
1,0018
1,0018
1,0020
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h (t)
x '
1,0021
1,0022
1,0023
1,0024
1,0023
1,0023
1,0022
1,0020
1,0017
1,0014
1,0011
1,0009
1,0006
1,0005
1,0004
1,0003
1,0003
1,0003
1,0003
1,0002
1,0002
1,0001
0,9999
0,9997
0,9995
726

н, = 0,25
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h (t)
X
0,1585
0,3123
0,4578
0,5909
0,7090
0,8100
0,8931
0,9580
1,0058
1,0382
1,0573
1,0659
1,0664
1,0616
1,0540
1,0455
1,0375
1,0310
1,0266
1,0242
1,0235
1,0242
1,0253
1,0264
1,0270
/
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
V»
1,0266
1,0252
1,0224
1,0190
1,0148
1,0105
1,0062
1,0023
0,9992
0,9969
0,9955
0,9949
0,9947
0,9950
0,9954
0,9958
0,9959
0,9957
0,9952
0,9943
0,9933
0,9923
0,9912
0,9908
0,9906
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t)
X
0,9907
0,9911
0,9919
0,9930
0,9941
0,9953
0,9964
0,9973
0,9980
0,9984
0,9986
0,9987
0,9987
0,9986
0,9988
0,9990
0,9994
1,0000
1,0006
1,0013
1,0022
1,0028
1,0034
1,0037
1,0039
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
v* 1
1,0039
1,0036
1,0034
1,0031
1,0027 4
1,0025
1,0022
1,0021
1,0021
1,0021
1,0021
1,0022
1,0023
1,0023
1,0021
1,0018
1,0015
1,0011
1,0006
1,0001
0,9997
0,9994
0,9990
0,9988
0,9987
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h {t)
x y '
0,9987
0,9988
0,9989
0,9990
0,9989
0,9988
0,9987
0,9986
0,9984
0,9983
0,9981
0,9980
0,9979
0,9980
0,9981
0,9983
0,9985
0,9988
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9997
0,9998

и = 0,30
/
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h {t)
0,1648
0,3247
0,4755
0,6133
0,7350
0,8385
0,9229
0,9882
1,0351
1,0656
1,0821
1,0876
1,0845
1,0762
1,0648
1,0527
1,0416
1,0322
1,0252
1,0208
1,0184
1,0176
1,0175
1,0178
1,0175
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
К {i)
1,0165
1,0146
1,0116
1,0078
1,0036
0,9990
0,9950
0,9915
0,9888
0,9871
0,9864
0,9867
0,9875
0,9888
0,9903
0,9917
0,9930
0,9938
0,9943
0,9943
0,9942
0,9940
0,9935
0,9938
0,9943
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h U)
X
0,9948
0,9958
0,9971
0,9986
1,0001
1,0014
1,0026
1,0036
1,0043
1,0045
1,0045
1,0042
1,0039
1,0035
1,0031
1,0028
1,0027
1,0027
1,0029
1,0030
1,0032
1,0034
1,0035
1,0033
1,0029
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35t2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
i
h (t)
1,0024
1,0017
1,0011
1,0003
0,9996
0,9990
0,9985
0,9982
0,9981
0,9981
0,9982
0,9983
0,9985
0,9985
0,9985
0,9985
0,9983
0,9982
0,9980
0,9978
0,9977
0,9977
0,9978
0,9980
0,9982
/
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h {t)
X
0,9987
0,9991
0,9995
0,9998
1,0002
1,0005
1,0006
1,0007
1,0007
1,0007
1,0007
1,0007
1,0007
1,0007
1,0008
1,0009
1,0011
1,0013
1,0014
1,0016
1,0016
1,0015
1,0014
1,0012
1,0010

и = 0,35
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h (t)
0,1710
0,3370
0,4931
0,6355
0,7605
0,8663
0,9515
1,0162
1,0616
1,0897
1,1030
1,1044
1,0973
1,0847
1,0693
1,0535
1,0390
1,0267
1,0175
1,0113
1,0076
1,0060
1,0054
1,0055
1,0053
/
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (t)
X
1,0046
1,0030
1,0005
0,9973
0,9938
0,9903
0,9871
0,9846
0,9831
0,9825
0,9832
0,9847
0,9870
0,9896
0,9922
0,9948
0,9969
0,9985
0,9997
1,0003
1,0006
1,0006
1,0002
1,0005
1,0008
/
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t)
X
1,0013
1,0020
1,0029
1,0039
1,0048
1,0057
1,0063
1,0066
1,0064
1,0059
1,0052
1,0042
1,0030
1,0019
1,0009
1,0001
0,9995
0,9991
0,9989
0,9988
0,9989
0,9990
0,9990
0,9989
0,9987
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
V>
0,9984
0,9980
0,9976
0,9972
0,9968
0,9968
0,9967
0,9969
0,9973
0,9977
0,9983
0,9989
0,9995
1,0000
1,0005
1,0008
1,0009
1,0009
1,0009
1,0008
1,0008
1,0008
1,0008
1,0009
1,0011
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h {t) \
x v '
1,0013
1,0016
1,0017
1,0018
1,0019
1,0018
1,0016
1,0014
1,0010
1,0006
1,0002
0,9999
0,9995
0,9993
0,9992
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
0,9991
0,9991
0,9989
729

« = 0,40
1
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h it)
X
0,1774
0,3493
0,5107
0,6571
0,7853
0,8928
0,9783
1,0422
1,0853
1,1102
1,1196
1,1166
1,1048
1,0878
1,0680
1,0483
1,0306
1,0160
1,0049
0,9976
0,9934
0,9918
0,9918
0,9928
0,9937
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
13,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
hxU) 1
0,9941
0,9939
0,9927
0,9911
0,9888
0,9867
0,9849
0,9839
0,9836
0,9845
0,9864
0,9890
0,9923
0,9958
0,9992
1,0022
1,0045
1,0062
1,0072
1,0074
1,0071
1,0064
1,0051
1,0047
1,0039
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t) \
1,0035
1,0033
1,0033
1,0035
1,0037
1,0038
1,0037
1,0033
1,0027
1,0017
1,0007
0,9994
0,9982
0,9971
0,9962
0,9955
0,9953
0,9953
0,9957
0,9962
0,9969
0,9976
0,9983
0,9988
0,9992
1
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
A*(/)
0,9944
0,9996
0,9997
0,9997
0,9996
0,9998
1,0000
1,0003
1,0008
1,0013
1,0017
1,0022
1,0024
1,0027
1,0028
1,0027
1,0024
1,0020
1,0013
1,0009
1,0004
0,9999
0,9995
0,9993
0,9992
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
V>
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
0,9992
0,9992
0,9991
0,9990
0,9988
0,9986
0,9985
0,9985
0,9985
0,9986
0,9989
0,9992
0,9995
0,9998
1,0002
1,0008
1,0008
1,0011
1,0011
1,0011
1,0009
730

и = 0,45
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
К {i)
0,1836
0,3614
0,5280
0,6786
0,8095
0,9181
1,0036
1,0658
1,1063
1,1273
1,1321
1,1242
1,1075
1,0855
1,0616
1,0384
1,0179
1,0013
0,9893
0,9818
0,9782
0,9777
0,9793
0,9823
0,9852
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
1 20,0
V>
0,9878
0,9896
0,9905
0,9906
0,9899
0,9893
0,9888
0,9889
0,9896
0,9913
0,9936
0,9967
1,0000
1,0035
1,0065
1,0091
1,0107
1,0115
1,0114
1,0103
1,0089
1,0069
1,0044
1,0029
1,0011
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t)
X V '
0,9997
0,9989
0,9984
0,9983
0,9983
0,9984
0,9985
0,9984
0,9982
0,9978
0,9972
0,9967
0,9961
0,9956
0,9955
0,9957
0,9962
0,9970
0,9980
0,9990
1,0003
1,0013
1,0022
1,0029
1,0033
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h \fy
x w
1,0033
1,0032
1,0029
1,0023
1,0018
1,0014
1,0009
1,0008
1,0006
1,0006
1,0005
1,0005
1,0005
1,0004
1,0001
0,9999
0,9994
0,9989
0,9985
0,9981
0,9977
0,9976
0,9977
0,9979
0,9981
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
1
h%(t)
0,9985
0,9991
0,9996
1,0000
1,0004
1,0008
1,0012
1,0011
1,0013
1,0009
1,0008
1,0007
1,0006
1,0006
1,0007
1,0007
1,0008
1,0008
1,0008
1,0008
1,0007
j 1,0006
1,0003
1,0001
0,9996
731

« = 0,50
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h {t)
x v '
0,1899
0,3736
0,5452
0,6997
0,8329
0,9425
1,0272
1,0873
1,1242
1,1410
1,1407
1,1275
1,1055
1,0789
1,0508
1,0246
1,0019
0,9844
0,9723
0,9658
0,9641
0,9659
0,9702
0,9760
0,9819
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h {t)
X ч '
0,9871
0,9913
0,9943
0,9961
0,9968
0,9971
0,9971
0,9973
0,9978
0,9992
1,0011
1,0034
1,0059
1,0083
1,0103 ,
1,0113
1,0118
1,0112
1,0098
1,0076
1,0049
1,0021
0,9988
0,9968
0,9950
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t)
*
0,9937
0,9931
0,9932
0,9938
0,9947
0,9958
0,9969
0,9979
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
0,9997
1,0000
1,0004
1,0010
1,0017
1,0025
1,0031
1,0036
1,0039
1,0038
1,0034
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
x v ;
1,0028
1,0020
1,0010
1,0000
0,9990
0,9982
0,9975
0,9973
0,9972
0,9973
0,9977
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9998
1,0000
1,0000
1,0004
1,0005
1,0005
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
x w
1,0011
1,0014
1,0017
1,0019
1,0019
1,0017
1,0014
1,0011
1,0005
1,0000
0,9995
0,9991
0,9988
0,9985
0,9985
0,9985
0,9987
0,9988
0,9990
0,9992
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
732

и = 0,55
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
v>
0,1962
0,3856
0,5622
0,7203
0,8556
0,9657
1,0491
1,1064
1,1395
1,1511
1,1455
1,1268
1,0996
1,0683
1,0368
1,0080
0,9842
0,9667
0,9559
0,9517
0,9529
0,9581
0,9660
0,9753
0,9843
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
i 20,0
v>
0,9924
* 0,9989
1,0034
1,0060
1,0071
1,0071
1,0063
1,0055
1,0049
1,0046
1,0050
1,0057
1,0065
1,0075
1,0081
1,0081
1,0073
1,0058
1,0039
1,0013
0,9986
0,9958
0,9930
0,9917
0,9907
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (t)
0,9906
0,9913
0,9927
0,9946
0,9968
0,9990
1,0008
1,0024
1,0038
1,0042
1,0044
1,0042
1,0036
1,0029
1,0023
1,0016
1,0012
1,0009
1,0007
1,0007
1,0007
1,0008
1,0005
1,0003
0,9998
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
0,9990
0,9984
0,9978
0,9972
0,9968
0,9968
0,9969
0,9973
0,9979
0,9998
0,9996
1,0008
1,0014
1,0028
1,0025
1,0028
1,0026
1,0023
1,0019
1,0014
1,0008
1,0003
0,9999
0,9996
0,9994
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h (/)
x v '
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9993
0,9992
0,9990
0,9988
0,9987
0,9988
0,9989
0,9992
0,9995
0,9999
1,0004
1,0007
1,0011
1,0015
1,0017
1,0016
1,0015
1,0012
1,0009
733

и = 0,60
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
ft «)
0,2037
0,4074
0,5783
0,7405
0,8775
0,9875
1,0694
1,1233
1,1517
1,1581
1,1466
1,1222
1,0899
1,0546
1,0203
0,9900
0,9660
0,9499
0,9416
0,9407
0,9459
0,9553
0,9674
0,9803
0,9925
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
hx(t)
1,0029
1,0107
1,0156
1,0180
1,0178
1,0161
1,0133
1,0100
1,0070
1,0046
1,0028
1,0018
1,0013
1,0012
1,0012
1,0011
1,0004
0,9995
0,9981
0,9966
0,9948
0,9934
0,9918
0,9920
0,9922
/
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
лх(0
0,9933
0,9950
0,9973
0,9998
1,0023
1,0045
1,0061
1,0071
1,0076
1,0071
1,0059
1,0044
1,0026
1,0008
0,9992
0,9978
0,9969
0,9964
0,9962
0,9965
0,9970
0,9977
0,9983
0,9988
0,9992
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
0,9998
0,9997
0,9998
0,9998
1,0002
0,9999
1,0001
1,0004
1,0010
1,0014
1,0018
1,0022
1,0024
1,0023
1,0020
1,0016
1,0010
1,0001
0,9993
0,9986
0,9979
0,9973
0,9972
0,9974
0,9977
/
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
hx(t)
0,9982
0,9988
0,9996
1,0002
1,0007
1,0011
1,0013
1,0014
1,0014
1,0012
1,0009
1,0007
1,0005
1,0004
1,0002
1,0001
1,0000
0,9999
0,9999
0,9998
0,9999
0,9998
0,9997
0,9993
0,9990
734

и = 0,65
/
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
.
h {t)
x v 1
0,2088
0,4096
0,5955
0,7601
0,8986
1,0080
1,0875
1,1378
1,1611
1,1618
1,1444
1,1145
1,0776
1,0386
1,0022
0,9714
0,9880
0,9352
0,9306
0,9340
0,9438
0,9580
0,9742
0,9906
1,0052
/
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (/)
x w
1,0166
1,0244
1,0282
1,0288
1,0258
1,0210
1,0149
1,0086
1,0029
0,9982
0,9948
0,9930
0,9922
0,9926
0,9937
0,9950
0,9959
0,9967
0,9972
0,9973
0,9972
0,9970
0,9963
0,9974
0,9981
/
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
hx{t)
0,9992
1,0007
1,0023
1,0041
1,0054
1,0065
1,0067
1,0064
1,0055
1,0039
1,0021
0,9999
0,9976
0,9959
0,9945
0,9936
0,9936
0,9942
0,9951
0,9967
0,9987
1,0002
1,0020
1,0036
1,0032
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
v>
1,0045
1,0038
1,0032
1,0025
1,0017
1,0009
1,0002
0,9996
0,9992
0,9990
0,9989
0,9990
0,9991
0,9991
0,9993
0,9993
0,9991
0,9989
0,9987
0,9986
0,9987
0,9990
0,9993
0,9997
1,0003
/
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h (t)
x v '
1,0009
1,0015
1,0019
1,0021
1,0023
1,0020
1,0016
1,0010
1,0003
0,9997
0,9989
0,9984
0,9980
0,9980
0,9979
0,9982
0,9986
0,9991
0,9997
1,0003
1,0007
1,0011
1,0012
1,0013
1,0012
735

и = 0,70
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
v«
0,2150
0,4216
0,6119
0,7793
0,9187
1,0276
1,1040
1,1499
1,1678
1,1627
1,1393
1,1041
1,0629
1,0212
0,9838
0,9538
0,9335
0,9237
0,9236
0,9324
0,9473
0,9662
0,9860
1,0048
1,0202
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h {t)
1,0313
1,0376
1,0387
1,0354
1,0286
1,0196
1,0100
1,0005
0,9928
0,9869
0,9835
0,9826
0,9836
0,9862
0,9900
0,9938
0,9974
1,0006
1,0028
1,0043
1,0046
1,0044
1,0031
1,0033
1,0025
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
ЛхЮ
1,0021
1,0019
1,0019
1,0021
1,0024
1,0024
1,0018
1,0012
1,0004
0,9991
0,9977
0,9964
0,9954
0,9947
0,9947
0,9955
0,9962
0,9978
0,9992
1,0013
1,0038
1,0046
1,0054
1,0056
1,0053
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
лх(0
1,0044
1,0030
1,0013
0,9997
0,9980
0,9968
0,9958
0,9955
0,9958
0,9964
0,9972
0,9982
0,9996
1,0008
1,0015
1,0021
1,0024
1,0023
1,0020
1,0016
1,0011
1,0006
1,0002
0,9998
0,9996
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
v>
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9995
0,9994
0,9993
0,9991
0,9990
0,9990
0,9991
0,9993
0,9997
1,0001
1,0005
1,0009
1,0013
1,0017
1,0017
1,0017
1,0014
1,0010
1,0004
0,9998
736

и = 0,75
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h (/)
X
0,2213
0,4334
0,6280
0,7980
0,9383
1,0454
1,1188
1,1600
1,1720
1,1606
1,1314
1,0915
1,0466
1,0033
0,9657
0,9376
0,9211
0,9159
0,9214
0,9357
0,9557
0,9787
1,0010
1,0211
1,0356
/
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (/)
x v '
1,0448
1,0473
1,0441
1,0360
1,0248
1,0119
0,9991
0,9882
0,9794
0,9746
0,9733
0,9751
0,9797
0,9861
0,9930
0,9999
1,0060
1,0102
1,0129
1,0136
1,0124
1,0102
1,0063
1,0040
1,0006
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h {t)
X '
0,9981
0,9962
0,9951
0,9948
0,9953
0,9961
0,9970
0,9979
0,9988
0,9993
0,9999
0,9996
0,9997
1,0004
0,9999
1,0005
1,0008
1,0014
1,0020
1,0027
1,0031
1,0032
1,0029
1,0023
1,0013
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
hxit)
0,9999
0,9988
0,9973
0,9963
0,9957
0,9956
0,9959
0,9970
0,9982
0,9995
1,0011
1,0025
1,0038
1,0042
1,0044
1,0041
1,0032
1,0020
1,0005
0,9991
0,9978
0,9970
0,9964
0,9963
0,9966
1
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h {t)
x v '
0,9973
0,9984
0,9994
1,0004
1,0013
1,0020
1,0023
1,0024
1,0021
1,0018
1,0012 |
1,0005
0,9999
0,9994
0,9991
0,9989
0,9988
0,9990
0,9991
0,9993
0,9996
0,9997
0,9999
0,9999
0,9999
24 Техническая кибернетика, кн. 1 737

и = 0,80
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h (t)
X '
0,2275
0,4451
0,6441
0,8165
0,9568
1,0620
1,1318
1,1679
1,1739
1,1563
1,1214
1,0770
1,0292
0,9851
0,9491
0,9244
0,9120
0,9127
0,9240
0,9438
0,9682
0,9940
1,0177
1,0370
1,0493
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h \t)
1,0544
1,0520
1,0435
1,0305
1,0149
0,9989
0,9847
0,9735
0,9669
0,9650
0,9674
0,9740
0,9828
0,9931
1,0034
1,0120
1,0185
1,0221
1,0223
1,0198
1,0150
1,0092
1,0015
0,9962
0,9914
/
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
v>
0,9879
0,9862
0,9866
0,9884
0,9915
0,9951
0,9994
1,0025
1,0048
1,0077
1,0081
1,0078
1,0060
1,0041
1,0022
1,0004
0,9989
0,9978
0,9972
0,9969
0,9971
0,9977
0,9984
0,9989
0,9994
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (/)
X
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0003
1,0006
1,0011
1,0014
1,0018
1,0020
1,0022
1,0017
1,0010
1,0003
0,9993
0,9984
0,9976
0,9970
0,9968
0,9971
0,9976
0,9985
0,9996
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h V)
X
1,0008
1,0020
1,0028
1,0034
1,0035
1,0032
1,0024
1,0014
1,0003
0,9990
0,9979
0,9970
0,9964
0,9964
0,9973
0,9979
0,9989
0,9998
1,0012
1,0021
1,0026
1,0029
1,0028
1,0023
1,0014
738

и = 0,85
/
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
! 9,6
10,0
ft (/)
0,2337
0,4569
0,6597
0,8342
0,9745
1,0775
1,1430
1,1734
1,1732
1,1496
1,1094
1,0612
1,0118
0,9680
0,9341
0,9138
0,9072
0,9137
0,9306
0,9552
0,9836
1,0106
1,0340
1,0505
1,0586
/
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
V<>
1,0586
1,0507
1,0368
1,0191
1,0003
0,9831
0,9695
0,9610
0,9583
0,9611
0,9692
0,9805
0,9936
1,0066
1,0179
1,0257
1,0295
1,0293
1,0256
1,0185
1,0089
0,9995
0,9892
0,9839
0,9793
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
V>
0,9780
0,9798
0,9839
0,9898
0,9965
1,0035
1,0107
1,0137
1,0155
1,0152
1,0132
1,0095
1,0050
0,9999
0,9956
0,9916
0,9807
0,9890
0,9899
0,9918
0,9947
0,9983
1,0014
1,0042
1,0062
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
V>
1,0070
1,0071
1,0060
1,0044
1,0023
1,0003
0,9982
0,9967
0,9960
0,9958
0,9958
0,9966
0,9977
0,9990
1,0002
1,0012
1,0020
1,0023
1,0021
1,0016
1,0012
1,0007
1,0002
0,9998
0,9997
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
V>
0,9996
0,9996
0,9995
0,9996
0,9996
0,9995
0,9993
0,9993
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9995
1,0000
1,0006
1,0010
1,0014
1,0016
1,0016
1,0015
1,0012
1,0007
0,9998
0,9993
0,9982
24:

и = 0,90
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
V>
0,2399
0,4683
0,6751
0,8512
0,9911
1,0915
1,1524
1,1770
1,1707
1,1413
1,0960
1,0448
0,9946
0,9525
0,9220
0,9068
0,9060
0,9188
0,9415
0,9703
1,0000
1,0270
1,0479
1,0605
1,0631
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
лх(0
1,0571
1,0434
1,0247
1,0040
0,9842
0,9682
0,9576
0,9535
0,9564
0,9652
0,9782
0,9935
1,0085
1,0218
1,0311
1,0353
1,0345
1,0289
1,0201
1,0082
0,9953
0,9849
0,9748
0,9726
0,9718
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
V>
0,9752
0,9827
0,9912
1,0012
1,0107
1,0171
1,0213
1,0229
1,0208
1,0158
1,0090
1,0014
0,9937
0,9875
0,9835
0,9815
0,9823
0,9858
0,9911
0,9970
1,0036
1,0089
1,0129
1,0150
1,0146
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
1,0122
1,0085
1,0035
0,9986
0,9939
0,9902
0,9882
0,9879
0,9893
0,9921
0,9958
1,0000
1,0040
1,0071
1,0090
1,0097
1,0090
1,0068
1,0041
1,0009
0,9977
0,9950
0,9931
0,9923
0,9925
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h (/)
X '
0,9993
0,9960
0,9983
1,0010
1,0034
1,0049
1,0060
1,0061
1,0049
1,0035
1,0015
0,9995
0,9977
0,9963
0,9954
0,9954
0,9960
0,9968
0,9983
0,9997
1,0012
1,0025
1,0031
1,0033
1,0031

и = 0,95
t
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
ft (t)
0,2462
0,4801
0,6904
0,8682
1,0071
1,1043
1,1604
1,1787
1,1662
1,1308
1,0820
1,0284
0,9785
0,9387
0,9130
0,9034
0,9091
0,9276
0,9548
0,9860
1,0164
1,0416
1,0584
1,0654
1,0621
/
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
h (t)
x '
1,0499
1,0313
1,0096
0,9877
0,9692
0,9565
0,9510
0,9531
0,9619
0,9758
0,9925
1,0093
1,0240
1,0342
1,0390
1,0377
1,0307
1,0197
1,0077
0,9927
0,9795
0,9715
0,9647
0,9653
0,9776
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
\(t)
0,9875
0,9930
1,0057
1,0159
1,0233
1,0270
1,0265
1,0222
1,0145
1,0056
0,9954
0,9866
0,9802
0,9768
0,9770
0,9811
0,9869
0,9950
1,0035
1,0113
1,0171
1,0201
1,0201
1,0172
1,0116
/
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
h (t)
x v '
1,0047
0,9972
0,9904
0,9852
0,9823
0,9822
0,9847
0,9894
0,9955
1,0021
1,0082
1,0130
1,0156
1,0159
1,0138
1,0097
1,0043
0,9985
0,9928
0,9886
0,9861
0,9856
0,9875
0,9912
0,9960
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
V<)
1,0012
1,0062
1,0100
1,0124
1,0128
1,0113
1,0082
1,0040
0,9992
0,9947 j
0,9911
0,9884
0,9885
0,9897
0,9924
0,9964
1,0005
1,0046
1,0078
1,0099
1,0104
1,0094
1,0070
1,0036
0,9998
741

Х;=1,00
i
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
1 4,8
1 5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
h%(t) 1
0,2524
0,4915
0,7054
0,8844
1,0220
1,1157
1,1664
1,1786
1,1599
1,1193
1,0669
1,0122
0,9636
0,9274
0,9070
0,9035
0,9154
0,9391
0,9698
1,0022
1,0312
1,0528
1,0645
1,0652
1,0557
t
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0
12,4
12,8
13,2
13,6
14,0
14,4
j 14,8
15,2
15,6
16,0
16,4
16,8
17,2
17,6
18,0
18,4
18,8
19,2
19,6
20,0
v<> [
1,0384
1,0164
0,9934
0,9730
0,9581
0,9507
0,9513
0,9595
0,9734
0,9907
1,0085
1,0240
1,0350
1,0400
1,0385
1,0312
1,0193
1,0050
0,9906
0,9782
0,9698
0,9665
0,9682
0,9753
0,9856
t
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
h (0
0,9979
1,0099
1,0200
1,0266
1,0288
1,0265
1,0201
1,0108
1,0001
0,9898
0,9814
0,9762
0,9748
0,9774
0,9835
0,9919
1,0014
1,0104
1,0175
1,0216
1,0223
1,0195
1,0137
1,0059
0,9974
t
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
32,4
32,8
33,2
33,6
34,0
34,4
34,8
35,2
35,6
36,0
36,4
36,8
37,2
37,6
38,0
38,4
38,8
39,2
39,6
40,0
\M
0,9896
0,9836
0,9803
0,9801
0,9831
0,9886
0,9958
1,0035
1,0104
1,0155
1,0182
1,0179
1,0148
1,0094
1,0028
0,9958
0,9896
0,9852
0,9832
0,9839
0,9871
0,9922
0,9985
1,0048
1,0103
t
40,4
40,8
41,2
41,6
42,0
42,4
, 42,8
43,2
43,6
44,0
44,4
44,8
45,2
45,6
46,0
46,4
46,8
47,2
47,6
48,0
48,4
48,8
49,2
49,6
50,0
h (t)
x v '
1,0141
1,0156
1,0146
1,0113
1,0064
1,0005
0,9946
0,9898
0,9865
0,9856
0,9868
0,9901
0,9949
1,0004
1,0057
1,0101
1,0128
1,0135
1,0120
1,0087
1,0041
0,9989
0,9940
0,9901
0,9878
742

БИБЛИОГРАФИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КНИГИ
Раздел I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И СТРУКТУРНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Литература к главе I
1. Андронов А. А. Предельные циклы Пуаннаре и теория
колебаний. «Доклады VI съезда русских физиков», 1928, стр. 23—24.
2. А н д р о н о в А. А., В и т т А. А. Об устойчивости по Ляпунову.
«Журнал экспериментальной и теоретической физики». Т. 3, вып. 5, 1933,
стр. 373—374.
3. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы. «ДАН
СССР». Т. 14, 247, 1937, или «Собрание трудов А. А. Андронова», изд. АН СССР,
1956, стр. 181.
4. Андронов А. А., Майер А. Г. Задача Вышнеградского в
теории прямого регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. 8, № 5, 1947,
стр. 314—334. Т. 14, № 5, 1953, стр. 505—530.
5. А н д р о н о в А. А. И. А. Вышнеградский и его роль в создании
теории автоматического регулирования. Доклад на сессии ОТН АН СССР
в 1949 г. в Ленинграде. Собрание трудов А. А. Андронова, изд. АН СССР,
1956, стр. 473—489.
6. Андронов А. А., Вознесенский И. Н. Д. К. Максвелл,
И. А. Вышнеградский и А. Стодола. Теория автоматического регулирования
(линеаризованные задачи). М. — Л., изд. АН СССР, 1949, серия
«Классики науки», стр. 430.
7. Андронов А. А. Собрание трудов. М., изд. АН СССР, 1956,
стр. 537.
8. Андронов А. А., ВиттА. А. и ХайкинС. Э. Теория
колебаний, изд. 2-е. М., Физматгиз, 1959, стр. 915.
9. Б о б ы л е в Д. О. О начале Гамильтона или Остро граде ко го и о
начале наименьшего действия Лагранжа, «Приложение к тому 61 записок Акад.
наук», № 5, СПб, 1889.
10. Б о г о л ю б о в Н. Н. О некоторых статистических методах в,
математической физике. Изд. АН УССР, 1945.
11. Боголюбов Н. Н. и МитропольскийЮ. А.
Аналитические методы теории нелинейных колебаний. Доклад на Всесоюзном съезде по
теоретической и прикладной механике. «Труды Всесоюзного съезда». М. — Л.,
изд. АН СССР, 1962.
12. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптоти*
ческие методы в теории нелинейных колебаний, изд. 3-е. М., Физматгиз, 1963,
стр. 410.
13. Б о д н е р В. А. Теория автоматического ВИШ. «Сборник научно-
технической конференции ВВИА им. Жуковского». М., 1944, стр. 242.
743

14. Б о ж е р я н о в Н. Н. Теория паровых машин, с приложением
подробного описания машины двойного действия по системе Ватта и Больтона.
Изд. СПб., 1849, стр. 316.
15. Булгаков Б. В. Автоколебания регулируемых систем. «Доклады
АН СССР», Новая серия. Т. 37, № 9, 1942, стр. 383—387.
16. Булгаков Б. В. Некоторые задачи теории регулирования с
нелинейными характеристиками. «Прикладная математика и механика». Т. 10, №3,
1946, стр. 313—332,
17. Булгаков Б. В. О накоплении возмущений в линейных
колебательных системах с постоянными параметрами, «Доклады АН СССР», Нов.
серия. Т. 51, № 5, 1946, стр. 339—342.
18. Булгаков Б. В. и Кузовков Н. Т. О накоплении
возмущений в линейных системах с переменными параметрами. «Прикладн. математика
и механика». Т. XIV, вып. 1, 1950, стр. 7—12.
19. Булгаков Б. В. Вопросы синтеза корректирующих цепей,
«Известия Академии Наук СССР, ОТН», 1952, № 1, стр. 21—40; № 5, стр. 699—723.
20. Б у л г а к о в Б. В. Колебания. М., Гостехтеоретиздат, 1954, стр. 891.
21. Виктор Сергеевич Кулебакин. «Материалы к библиографии ученых
СССР». М., изд-во АН СССР, 1954, стр. 48.
22. Вознесенский И. Н. Быстродействующие сервомоторы. «Труды
Ленинградского технологического института», 1922.
23. Вознесенский И. Н. О регуляторах непрямого действия,
«Труды Ленинградского технологического института», 1922.
24. Вознесенский И. Н. Сб. статей «К вопросу о выборе схемы
регулирования теплофикационных турбин». «За советское энергооборудование»,
М. — Л., 1934.
25. Вознесенский И. Н. О регулировании машин с большим числом
регулируемых параметров. «Автоматика и телемеханика», №4—5,1938, стр.65—
78.
26. В о з н е с е.н с к и й И. Н. О принципах и схемах автоматического
регулирования «ПММ». Т. 6, вып. 1, 1942, стр. 102—110.
27. Вознесенский И. Н. Автоматическое регулирование паровых
котлов. «Труды научно-технической сессии по котлостроению». Ленинград —
Москва, 1948, стр. 194—199.
28. Выш неградский И. А. Популярные лекции о машинах. СПб,
1859, стр. 386—444.
29. В ы ш н е г р а д с к и й И. А. Лекции о паровых машинах, читанные
в Технологическом институте в 1874—1875 учебном году. СПб, 1874, стр. 224.
30. В ы ш н е г р а д с к и й И. А. Об общей теории регуляторов «Comptes
Rendus», Paris, V. 83, № 5, 1876, p. 318—321.
31. ВышнеградскийИ. А. О регуляторах прямого действия. Отчет
о докладе И. А. Вышнеградского на беседе во 2-м отделе Русского технического
общества. «Записки РТО». Вып. 4, 1877.
32. В ы ш н е г р а д с к и й И. А. О регуляторах непрямого действия.
«Известия СПб Практического технологического института». 1878, стр. 1—48.
33. Г о л ь д ф а р б Л. С. О некоторых нелинейностях в системах
регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. VlH, 1947, № 5, стр. 349—383.
34. Г о л ь д ф а р б Л. С. К вопросу теории вибрационных регуляторов.
«Автоматика и телемеханика». Т. 9, 1948, № 6.
35. Г о л ь д ф а р б Л. С. Метод исследования нелинейных систем
регулирования, основанный на принципе гармонического баланса. «Тр. II
Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования». Т. I. M. — Л.,
изд. АН СССР, 1955, стр. 177—192.
36. Г о л ь д ф а р б Л. С. К теории систем регулирования с
исполнительными механизмами ограниченной скорости. «Автоматика и телемеханика».
Т. 22, 1961, № 10.
37. Г о р е л и к Г. С. Работы академика А. А. Андронова по теории
автоматического регулирования. «Тр. II Всесоюзного совещания по теории
автоматического регулирования». Т. I. M. — Л., изд. АН СССР, 1955, стр. 51—62.
744

38. Г р д и н а Я. И. Движение регуляторов прямого действия и его
устойчивость. «Вестник общества технологов», 1898, № 4, стр. 103—111; № 5,
стр. 151—165; № 6—7, стр. 240—241.
39. Г р д и н а Я- И. Устойчивость движения машины, управляемой
центробежным регулятором. «Вестник общества технологов», 1900, № 5,
стр. 228—234; № б, стр. 267—275; стр. 314—323; № 8, стр. 356-363; № 9,
стр. 386—405; № 10, стр. 442—447.
40. Г р д и н а Я. И. К вопросу о динамической устойчивости
центробежных регуляторов. «Известия Днепропетровского горного института им. Артема
Сергеева», 1927, стр. 41—70.
41. Г р д и н а Я. И. К вопросу о динамической устойчивости
центробежных регуляторов при прерывистом регулировании. «Вестник инженеров и
техников», № 1, 1931, стр. 2—7; № 2, стр. 48—51.
42. Г р е ч а н и н о в А. В. Об устойчивости движения регуляторов.
«Технический Сб». и «Вестник промышленности», 1896, № 1, стр. 4—14; № 3,
стр. 79—93; № 4, стр. 132—137; № 6, стр. 215—226; № 10, стр. 397—403.
43. Г р е ч а н и н о в А. В. Об устойчивости движения регуляторов,
«Технический Сб». и «Вестник промышленности», 1897, № 2, стр. 49—55;
№ 4, стр. 159—161; № 5, стр. 181—184; № 6, стр. 234—240; стр. 7,
стр. 277—282.
44. Гречанинов А. В. Задача об устойчивости движения машины,
управляемой регулятором прямого действия. «Вестник Общества технологов»,
1899, № 5, стр. 177—180; № 6, стр. 234—240; № 7, стр. 286—291; № 8,
стр. 320—323; № 9, стр. 349—352; № 10, стр. 381—383.
45. Е р у г и н Н. П. Об асимптотической устойчивости решения некоторой
системы дифференциальных уравнений. «Прикладн. математика и механика».
Т. XII, вып. 2, 1948, стр. 157—164.
46. Е р у г и н Н. П. Методы А. М. Ляпунова и вопросы устойчивости
в целом. «Прикладн. математика и механика». Т. XVII, вып. 4, 1953, стр. 389—
400.
47. Жуковский Н. Е. О прочности движения. Ученые записки
Московского университета. Отдел физико-математический, вып. 4, 1882, стр. 1 —
104.
48. Ж у к о в с к и й Н. Е. Условия конечности интегралов уравнения
d2u
—-?2 -j_ p£/ = 0. Математический сборник. Т. 16, 1891 (вышел из печати в 1892).
49. Ж у к о в с к и й Н. Е. Теория регулирования хода машин. Ч. 1.
Москва, 1909, стр. 142.
50. Зубов В. И. Некоторые достаточные признаки устойчивости
нелинейной системы дифференциальных уравнений. «Прикладн. математика и
механика». Т. XVII. Вып. 4, 1953.
51. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Изд. ЛГУ. 1957.
52. 3 у б о в В. И. Математические методы исследования систем
автоматического регулирования. Судпромгиз, 1959.
53. 3 у б о в В. И. Колебания в нелинейных управляемых системах.
Л., Судпромгиз, 1962, стр. 631.
54. Иван Николаевич Вознесенский. Жизнь, деятельность и избранные
труды в области гидромашиностроения и автоматического регулирования. М.,
1952, стр. 354.
55. И в а х н е н к о А. Г. О способах устранения установившейся
составляющей ошибки систем автоматического регулирования. «ДАН СССР». Новая
серия. Т. 87} 1952, № 6, стр. 949—952.
56. И в а х н е н к о А. Г. Электроавтоматика. Ч. I, стр. 290; ч. П., стр. 218.
Киев, ГИТЛ УССР, 1954.
57. И в а х н е н к о А. Г. Определение оптимальных значений
варьируемых параметров комбинированных систем регулирования обратным методом
(способом расчета «по частям»). «Тр. II Всесоюзного совещания по теории
автоматического регулирования». Т. II. М. —Л., изд-во АН СССР, 1955, стр. 208—232.
745

58. И в а х н е н к о А. Г. Самонастраивающиеся системы автоматического
регулирования. Киев, изд-во АН УССР, 1957.
59. И в а х н е н к о А. Г. Техническая кибернетика. Системы
автоматического управления с приспособлением характеристик. Киев, Гостехиздат
УССР, 1959, стр. 421.
60. Итоги науки. Проблемы теории нелинейных систем автоматического
регулирования и управления. Под ред. Я. 3. Цыпкина. М., изд-во АН СССР,
1957, стр. 242.
61. И ш л и н ск и й А. Ю- Полная компенсация внешних возмущений,
вызванных маневрированием в гироскопических системах. Сб. «Теория
инвариантности и ее применение в автоматических устройствах». Тр. совещания
в Киеве 16—20 октября. М., 1958, стр. 81.
62. И ш л и н с к и й А. Ю. Механика гироскопических систем. М., изд-во
АН СССР, 1963, стр. 482.
63. И щ л и н с к и й А. Ю. Идеи теории инвариантности и инерциальная
навигация. Сб. «Теория инвариантности в системе автоматического
управления». Тр. Второго всесоюзного совещания в Киеве. 1964, изд. «Наука»,
стр. 56—63.
64. Казакевич В. В. Системы экстремального регулирования и
некоторые способы улучшения их качества и устойчивости. Сб. «Автоматическое
управление и вычислительная техника». М., Машгиз, 1958, стр. 69—96.
65. Казакевич В. В. Исследование нелинейных процессов в
экстремальном регуляторе. Сб. «Теория и применение дискретных автоматических
систем» М., изд-во АН СССР, 1960.
66. Казакевич В. В. Теория идеальной модели экстремального
регулятора. «Автоматика и телемеханика». Т. XXI, 1960, № 3.
67. Казакевич В. В. Об экстремальном регулировании. Сб.
«Автоматическое управление и вычислительная техника». Вып. 6. М., изд-во
«Машиностроение», 1964, стр. 7—53.
6S. К а л и ш Г. Г. Количественная оценка по диаграмме Вышнеградского
сходимости процесса и резонансных явлений при автоматическом
регулировании двигателей внутреннего сгорания. Тр. Второго всесоюзного совещания
по теории автоматического регулирования. М. — Л., изд. АН СССР, 1955,
стр. 567—573.
69. К о н д р а т ь е в А. П. Паровые машины. Лекции, читанные
студентами IV курса Горного института. СПб., 1897—1898, стр. 527.
70. Кондратьев А. П. Центробежные регуляторы. СПб, 1901,
стр. 146.
71. Котурницкий П. В. Глава «Маховики и регуляторы», в курсе
«Устройства паровых машин», которая была прочитана преподавателем
П. В. Котурницким в 1885—1886 г.» СПб, 1886, стр. 224.
72. К р а с о в с к и й А. А. Динамика непрерывных систем
экстремального регулирования, основанная на методе градиента «Изв. АН СССР, ОТН,
сер. Энергетика и автоматика», 1959, № 3.
73. К р а с о в с к и й А. А. Синтез самонастраивающихся систем
автоматического регулирования с дискретными корректирующими устройствами.
«Теория и применение дискретных автоматических систем. Труды конференции
22—26 сентября 1958 г.». М., изд-во АН СССР, 1960, стр. 101—119.
74. К р а с о в с к и й А. А. Динамика непрерывных систем
автоматического регулирования с экстремальной самонастройкой корректирующих
устройств. «Труды I Международного конгресса Международной федерации по
автоматическому управлению». М., изд-во АН СССР, Т. 2. 1961, стр. 962—
977.
75. К р а с о в с к и й А. А. Динамика непрерывных самонастраивающихся
систем. М., Физматгиз, 1963, стр. 468.
76. Крылов Н. М. и Б о г о л ю б о в Н. Н. Recherches sur la stabi-
lite dynamigue des machines synchrones, Харьков — Киев, 1932, стр. 100.
77. Крылов Н. М., Б о г о л ю б о в Н. Н. Основные проблемы
нелинейной механики. «Известия АН УССР», 1933, № 4, стр. 476—493.
746

78. К р ы л о в Н. М. и Б о г о л ю б о в Н. Н. Новые методы
нелинейной механики и их применение к изучению работы электронных генераторов.
М., ОНТИ, 1934, стр. 243.
79. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную
механику. Киев, изд. АН УССР, 1937, стр. 364.
80. Кузнецов П. И., СтратоновичР. Л., Тихонов В. И.
Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы.
«Автоматика и телемеханика». Т. XIV, 1953, № 2, стр. 144—163.
81. К у з н е ц 6 в П. И., СтратоновичР. Л., Тихонов В. И.
Прохождение случайных функций через нелинейные системы. «Автоматика и
телемеханика». Т. XIV, 1953, №4, стр. 375—391. Т. XV, 1954, № 3, стр. 200—205.
82. К у л е б а к и н В. С. К теории автоматических вибрационных
регуляторов для электрических машин. «Теоретическая и экспериментальная
электротехника», 1932, № 4, стр. 3—21.
83. К у л е б а к и н В. С. Об устойчивости возбуждения шунтовых
возбудителей синхронных машин. «Электричество», 1935, № 17, стр. 21—23.
84. К у л е б а к и н В. С. Общие основы автоматического регулирования.
«Автоматика и телемеханика», 1940, № 4, стр. 4—21.
85. К у л е б а к и н В. С. Об определении основных параметров
автоматических регуляторов. «Автоматика и телемеханика», 1940, № 6, стр. 3—24.
86. К У л е б а к и н В. С. К теории самолетных вибрационных
регуляторов напряжения. Юбилейный сборник научных трудов ВВИА. Т. 1. М.,
1942, стр. 92—109.
87. К у л е б а к и н В. С. О кинетике возбуждения амплидин-генераторов.
Тр. Научно-технической конференции ВВИА. Т. 7. М., 1947, стр. 151—165.
88. К У л е б а к и н В. С. О применимости принципа абсолютной
инвариантности в физических реальных системах. Докл. АН СССР. Т. 60, 1948,
№ 2, стр. 231—234.
89. К у л е б а к и н В. С. О выборе оптимальных параметров
автоматических регуляторов и следящих систем. «ДАН». Т. 77, 1951, №2, стр. 265—267.
90. К У л е б а к и н В. С. Об основных задачах и методах повышения
качества автоматических управляемых систем. «Тр. II Всесоюзного совещания
по теории автоматического регулирования». Т. II. М. —Л., изд-во АН СССР,
1955, стр. 184—207.
91. Кулебакин В. С. Операторное К (D), изображение функций
и его практическое применение. «Труды ВВИА им. Жуковского». Вып. 695,
1958.
92. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы
регулирования. «Тр. I совещания по теории инвариантности». Киев, 1958,
Изд. ОТН АН УССР, 1959.
93. К У л е б а к и н В. С. Теория инвариантности автоматически
регулируемых и управляемых систем. «Тр. I Международного конгресса
Международной федерации по автоматическому управлению». Т. 1. М., изд-во АН СССР,
1961, стр. 247—255.
94. Кулебакин В. С, Вершинин В. Д. Об инвариантности
систем стабилизации и воспроизведения относительно нескольких воздействий.
«Изв. ОТН, сер. Энергетика и автоматика», 1961, № 5.
95. К у л е б а к и н В. С, Я н ш и н А. А. Применение принципа
инвариантности в системах частотного управления асинхронным двигателем. В сб.
«Теория инвариантности в системах автоматического управления». М., «Наука»,
1964, стр. 155—168.
96. Кулебакин В. С, Ларичев О. Н. Полиинвариантность
в системах автоматического регулирования. «Теория инвариантности в
системах автоматического управления». М., «Наука», 1964, стр. 49—55.
97. Л е т о в А. М. К теории качества нелинейных регулируемых систем.
«Автоматика и телемеханика». Т. XIV, 1953, № 5.
98. Л е т о в А. М. Проблема качества для нелинейных авторегулируемых
систем с квадратичной метрикой, «Изв. ОТН, сер. «Энергетика и автоматика»,
1959, № 3.
747

99. Л е т о в А. М. Аналитическое конструирование регуляторов, Части Г,
II и III, «Автоматика и телемеханика». Т. XXI. 1960, № 4, 5, 6; т. XXII, 1961,
№ 4.
100. Лето в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.,
Физматгиз, 1962, стр. 483.
101. Лузин Н. Н. К изучению матричной теории дифференциальных
уравнений. «Автоматика и телемеханика», 1940, № 5.
102. Лузин Н. Н., Кузнецов П. И. К абсолютной инвариантности
и инвариантности до е теории дифференциальных уравнений. «Доклады АН
СССР», 1946; Т. 51, № 4, стр. 247—249; ч. П., 1946, Т. 51, №5, стр. 331—333;
ч. III, 1951, Т. 80, № 3, стр. 325—327.
103. Лурье А. И. и ЧекмаревА. И. Вынужденные колебания
в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух параллельных
отрезков. «Прикладн. математика и механика». Т. 1, 1937, № 3, стр. 307—324.
104. Лурье А. И., Постников В. Н. К теории устойчивости
регулируемых систем. «Прикл. математика и механика». Т. 8, 1944, № 3, стр. 246—
248.
105. Л у р ь е А. И. Влияние силы трения в измерительном органе
регулятора на процесс непрямого регулирования. «Сов. котлотурбиностроение»,
1946, № 3, стр. 9—15.
106. Лурье А. И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых
системах. «Автоматика и телемеханика». Т. VIII. 1947, № 5, стр. 335—348.
107. Л у р ь е А. И. О канонической форме уравнений теории
автоматического регулирования. «Прикл. математика и механика». Т. XII. 1948, №5.
108. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории
автоматического регулирования. Гостехиздат, 1951, стр. 216.
109. Лурье А. И., Розенвассер Е. Н. О методах построения
функции Ляпунова в теории нелинейных регулируемых систем. Тр. I
Международного конгресса Международной федерации по автоматическому
управлению». Т. 1. М., изд-во АН СССР, 1961, стр. 709—717.
110. Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения.
Докторская диссертация. Харьков, 1892, стр. 250.
111. Малки н И. Г. Проблема существования функций Ляпунова.
«Изв. Казанского физ.-мат. общества». Т. V, 1931.
112. Малки н И. Г. Об устойчивости по первому приближению. Сб.
научных трудов Казанского авиац. ин-та, 1935, № 3.
113. Малки н И. Г. Об устойчивости движения в смысле Ляпунова.
«Математический сборник», 1938, т. 3, вып. 1.
114. М а л к и н И. Г. Некоторые основные теоремы теории устойчивости
движения в критических случаях. «Прикладн. математика и механика». Т. VI.
Вып. 6. 1942.
115. Малки н И. Г. Об устойчивости при постоянно действующих
возмущениях. «Прикладн. математика и механика». Т. VIII. Вып. 3. 1944.
116. Малки н И. Г. Об одном способе решения задачи устойчивости
в критическом случае пары чисто мнимых корней. «Прикладн. математика и
механика». Т. XV. Вып. 4. 1951.
117. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения. М. — Л., Гостех-
теоретиздат, 1952, стр. 431.
118. Михайлов А. В. Методы параметрической стабилизации
напряжений и токов. «Автоматика и телемеханика», 1938, № 1, стр. 45—66.
119 М и х а й л о в А. В. Метод гармонического анализа в теории
регулирования. «Автоматика и телемеханика», 1938, № 3.
120. М и х а й л о в А. В. О новом методе исследования замкнутых
регулируемых цепей. «Автоматика и телемеханика», 1938, № 4—5, стр. 170—171.
121. М и х а й л о в А. В. Теория устойчивости линейных цепей обратной
связи с сосредоточенными постоянными. «Журнал техн. физ.». Т. 9, 1939,
№ 1, стр. 20—21.
122. Моисее в- Н Д. Очерки развития теории устойчивости. М. — Л.,
Гостехиздат, 1949, стр. 663.
Г48

123. Н е й м а р к Ю. И. Структура Д-разбиения пространства
квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста. «Доклады АН СССР».
Т. 59, 1948, № 5, стр. 853—856.
124. Н е й м а р к Ю. И. О структуре областей устойчивости
одноконтурных систем. «Автоматика и телемеханика». 1950, Т. 11, № 1, стр. 58—72.
125. Николаи Е. Л. К расчету центробежного регулятора прямого
действия. Юбилейный сборник научно-технического кружка. Ленинградский
технологический институт, 1928, стр: 9.
126. Николаи Е. Л. Регулирование машин. Лекции под ред.
Е. Л. Николаи. Ленинград, изд-во «Кобуч», 1930, стр. 164.
127. Орлов Ф. Е. Общая теория машин. Москва, 1887.
128. Памяти Александра Александровича Андронова. М., изд-во АН СССР,
1955.
129. Петров Б. Н. Анализ автоматических копировальных систем.
Докторская диссертация. Институт автоматики и телемеханики АН СССР,
1945.
130. Петров Б. Н. О построении и преобразовании структурных схем.
«Изв. АН СССР, ОТН», 1945, № 12, стр. 1146—1162.
131. Петров Б. Н. Граница применимости теоремы С. А. Чаплыгина
о дифференциальных неравенствах к линейным уравнениям с обыкновенными
производными второго порядка. «ДАН СССР, Новая серия», 1946. Т. 51, № 4,
стр. 251—254.
132. Петров Б. Н. Неприменимость теоремы о дифференциальном
неравенстве С. А. Чаплыгина к некоторым нелинейным дифференциальным
уравнениям с обыкновенными производными второго порядка. «ДАН СССР, Новая
серия», 1946. Т. 51, № 7, стр. 495—498.
133. Петров Б. Н. Общие уравнения, передаточные функции и
частотные характеристики систем автоматического регулирования. М., Машгиз,
1951 (лекции, прочитанные на семинаре в 1951 г.), стр. 61—82.
134. Петров Б. Н., Попов Е. П., Воронов А. А., Хра-
м о й А. В. Развитие теории автоматического регулирования в СССР. «Тр. II
Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования». Т. 1.
М. —Л., изд-во АН СССР, 1955, стр. 11—50.
135. Петров Б. Н., Уланов Г. М. Вопросы теории
комбинированного управления. Сессия АН СССР по научным проблемам производства.
Изд-во АН СССР, 1956.
136. Петров Б. Н. О реализуемости условий инвариантности. «Тр. I
совещания по теории инвариантности». Киев, изд-во АН УССР, 1958.
137. Петров Б. Н. Принцип инвариантности и условия его применения
при расчете линейных и нелинейных систем. «Тр. I Международного
конгресса Международной федерации по автоматическому управлению». Т. 1. М.,
изд. АН СССР, 1961, стр. 259—271.
138. Петров Б. Н., Кухтенко А. И. О структуре абсолютно
инвариантных систем и условиях их физической осуществимости. «Тр. II
совещания по теории инвариантности». Киев, Изд-во АН СССР, 1963.
139. Петров Б. Н., Кухтенко А. И. Структура абсолютно
инвариантных систем и условия их физической осуществимости. В сб. «Теория
инвариантности в системах автоматического управления». М., «Наука», 1964,
стр. 26—48.
140. Петров Б. Н. Состояние и развитие науки и наиболее крупные
научные достижения в стране в 1963 г. «Вестник АН СССР», 1964, № 4,
стр. 39—44.
141. Петров Б. Н., Р у т к о в с к и й В, Ю. Об инвариантности
беспоисковых самонастраивающихся систем с моделью. «Доклад АН СССР».
Т. 161, 1965, № 3, стр. 544—546.
142. Петров В. В., Уланов Г. М. Теория двух простейших
релейных систем авторегулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. XI, 1950,
№ 5, стр. 289—299.
749

143. Петров В. В. Динамика одно- и двухкаскадных нелинейных
сервомеханизмов. «Тр. Второго Всесоюзного совещания по теории автоматического
регулирования». Т. 1. М. — Л., изд. АН СССР, 1955, стр. 387—409.
144. Петров В. В., Уланов Г. М. Общность скользящих,
вибрационных и оптимальных режимов класса сервомеханизмов. Докл. АН СССР.
Т. 112. 1957, № 3.
145. Петров В. В., Рутковский В. Ю. Некоторые вопросы
построения схем и выбора характеристик быстродействующих сервомеханизмов.
Сб. «Автоматическое управление и вычислительная техника». Вып. 2. Машгиз,
1959, стр. 248—270.
146. П и в е н ь В. Д. Работы члена-корреспондента Академии наук СССР
И. Н. Вознесенского в области автоматического регулирования. «Тр. II
Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования». Т. 1. М. — Л.,
изд-во АН СССР, 1955, стр. 63—67.
147. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных
трансцендентных функций. «Изв. АН СССР, сер. мат.», 1942, т. 6, № 3, стр. 115—
134.
148. Понтрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования. Успехи
математич. наук. Т. 14. Вып. 1, 1959, стр. 3—20.
149. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкре-
лидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. М., Физматгиз, 1961, стр. 391.
150. П о п о в Е. П. Работы В. С. Кулебакина по теории автоматического
регулирования. «Тр. ВВИА им. Можайского». Вып. 32, 1952, стр. 17—18.
151. Попов Е. П. Учет влияния нелинейностей при расчете следящих
систем. «Автоматика и телемеханика». Т. XIV. 1953, № 6, стр. 690—711.
152. Попов Е. П. Уточнение первого приближения при исследовании
автоколебаний нелинейных систем. «ДАН СССР». Т. 98. 1954, № 3.
153. Попов Е. П. Динамика систем автоматического регулирования.
М., Гостехиздат, 1954.
154. ПоповЕ. П. Исправление некоторых недостатков метода
гармонического баланса. «Тр. ЛКВиА им. Можайского». Вып. 203,. 1957.
155. Попов Е. П. Расчет нелинейных систем на основе гармонической
линеаризации. Л. Судпромгиз, 1959.
156. П о п о в Е. П., П а л ь т о в И. П. Приближенные методы
исследования нелинейных автоматических систем. М. Физматгиз, 1960, стр. 792.
157. П о п о в Е. П. Некоторые вопросы синтеза нелинейных систем
автоматического управления «Тр. I Международного конгресса Международной
федерации по автоматическому управлению». Т. I, изд. АН СССР, 1961,
стр. 389—403.
158. Попов Е. П. О нелинейных законах управления в автоматике.
«Изв. АН СССР ОТН, сер. Энергетика и автоматика», 1962, № 5, стр. 49—58.
159. П о п о в Е. П. Приближенные методы исследования нелинейных
колебаний в нелинейных системах. «Тр. Международного симпозиума по
нелинейным колебаниям». Т. III. Изд-во АН УССР, 1963.
160. Попов Н. В. Электрические приемы регулирования паровых
машин. «Труды I Всероссийского электротехнического съезда 1899—1900». Т. 3,
СПб, 1901, стр. 414—438.
161. Поспелов Г. С. Побудительная стабилизация релейно-контакт-
ных систем автоматического регулирования. «Тр. Военно-возд. инж. акад.
им. Н. Е. Жуковского». Вып. 335, стр. 1—48.
162. Поспелов Г. С. Основы автоматики. Изд. Военно-возд. инж.
акад. им. Н. Е. Жуковского. 1954, стр. 724.
163. Поспелов Г. С. Вибрационная линеаризация релейных систем
автоматического регулирования. Реакция релейных систем на медленно
меняющиеся возмущения. «Тр. П-го Всесоюзного совещания по теории
автоматического регулирования». Т. 1. М. — Л., изд. АН СССР, 1955, стр. 363—
385.
164. Портнов-СоколовЮ. П. К. Э. Циолковский — изобре-
750

татель первого автопилота. «Автоматика и телемеханика». Т. X. 1949, № 6,
стр. 464—466.
165. П у г а ч е в В. С. Теория канонических разложений случайных
функций. Труды ВВИА. Вып. 345—350, 1950, стр. 1—26.
166. П у г а ч е в В. С. Обобщение теории канонических разложений
случайных функций. «Сб. научных трудов ВВИА». Т. 1. 1954, стр. 33—45.
167. Пугачев В. С. Применение канонических разложений случайных
функций к определению оптимальной линейной системы. «Автоматика и
телемеханика». Т. XVII. 1956, № 6, стр. 489—499.
168. Пугачев В. С. Определение оптимальной системы по
произвольному критерию. «Автоматика и телемеханика». Т. XIX. 1958, №6, стр. 519—539.
169. П у г а ч е в В. С. Метод определения оптимальной системы по общему
Байесову критерию. «Изв. АН СССР, ОТН, сер. Энергетика и автоматика».
1960, № 2, стр. 83—97.
170. П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций и ее применение к
задачам автоматического управления. Изд. 3-е. М., Физматгиз, 1962, стр. 833.
171. Рабинович М. М. Автоматическое питание паровых котлов.
Под ред. М. В. Кирпичева. Ленинград, Севзапгосторг, 1926.
172. Рерих К- Э. Теория регулирования хода машин. Ч. 1. «Маховое
колесо. Периодическая неравномерность вращения машин». СПб., 1861, стр. 193.
173. Рерих К- Э. Паровые машины. Днепропетровск, изд. Исполбюро
профсекции Днепропетровского горного ин-та, 1928.
174. РойтенбергЯ- Н. Работы члена-корреспондента Академии наук
СССР Б. В. Булгакова по теории автоматического регулирования. «Тр. II
Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования». Ч. 1. М. — Л.,
изд-во АН СССР, 1955, стр. 68—75.
175. Рябов Б. А. Автоматическое регулирование постоянства подачи
воздуха подземной газификации углей. «Автоматика и телемеханика», 1939, №4.
176. Рябов Б. А. Возникновение, развитие и состояние теории
инвариантности. В сб. «Теория инвариантности в системе автоматического
управления». М., «Наука», 1964, стр. 10—18.
177. Сегё Д ж. П. Новые методы построения функции Ляпунова для
автоматических систем с постоянными параметрами. «Тр. II Международного
конгресса Международной федерации по автоматическому управлению». Т. 1.
М., изд. «Мир», 1965, стр. 127—135.
178. Серебренников А. С. Основания теории паровых машин и
котлов. СПб., 1560, стр. 109—173.
179. Сидоров А. И. Плоские регуляторы быстроходных машин. СПб.,
1895, стр. 172.
180. Солодовников В. В. Некоторые методы исследования систем
автоматического регулирования. Кандидатская диссертация ВЭИ, 1939.
181. Солодовников В. В. Операторный метод в теории
регулирования. Глава в книге «Тезисы и конспекты докладов на научном совещании
по теории регулирования». М. — Л., изд. АН СССР, 1940, стр. 177—195.
182. Солодовников В. В. Применение операторного метода к
исследованию процесса регулирования скорости гидротурбины. «Автоматика и
телемеханика», 1941, № 1, стр. 5—20.
183. Солодовников В. В. Об одном применении операторного
исчисления к динамическим системам с переменными параметрами. «Изв. АН
СССР, ОТН», 1945, № 12, стр. 1203—1212.
184. Солодовников В. В. Применение метода логарифмических
частотных характеристик к исследованию устойчивости и к оценке качества
следящих и регулируемых систем. «Автоматика и телемеханика». Т. IX. 1948,
№ 2, стр. 85—103.
185. Солодовников В. В. Критерий качества регулирования.
«ДАН СССР. Новая серия». Т. 60. 1948, № 6, стр. 977—980.
186. Солодовников В. В. Критерий отсутствия перерегулирования
и критерий монотонности. «ДАН СССР, Новая серия». Т. 62. 1948, № 5,
стр. 599—602,
751

187. Солодовников В. В. Анализ качества следящих систем по их
амплитудно-фазовым характеристикам. «Изв. АН СССР, ОТН», 1949, № 4,
стр. 473—491.
188. Солодовников В. В. О применении трапецеидальных
частотных характеристик к анализу качества систем автоматического регулирования.
«Автоматика и телемеханика». Т. X. 1949, № 5, стр. 362—376.
189. Солодовников В. В. Анализ и синтез следящих и
регулирующих систем, находящихся под влиянием стационарных случайных воздействий.
«Изв. АН СССР, ОТН», 1950, №11, стр. 1648—1679.
190. Солодовников В. В. Синтез корректирующих устройств
следящих систем при типовых воздействиях. «Автоматика и телемеханика». Т. 12.
1951, № 2, стр. 352—388.
191. Солодовников В. В. Введение в статистическую динамику
систем управления. М. — Л., Гостехтеоретиздат, 1952, стр. 367.
192. Солодовников В. В. Синтез корректирующих устройств
следящих систем при помощи оптимальных и типовых логарифмических частотных
характеристик. «Автоматика и телемеханика». Т. 14. 1953, № 5, стр. 531—555.
193. Солодовников В. В. Синтез корректирующих устройств
систем автоматического регулирования. «Труды II Всесоюзного совещания по
теории автоматического регулирования». Т. II М. — Л., изд-во АН СССР,
1955, стр. 253—263.
194. Солодовников В. В., Матвеев П. С. Синтез
корректирующих устройств следящих систем при наличии помех по заданным требованиям
к динамической точности. «Автоматика и телемеханика», 1955, № 3.
195. Солодовников В. В., Топчеев Ю. И.,
Крутикова Г. В. Частотный метод построения переходных процессов. М.,
Гостехтеоретиздат, 1955, стр. 195.
196. Солодовников В. В. Некоторые принципы построения и
вопросы теории самонастраивающихся систем автоматического управления.
Сб. «Автоматическое регулирование и управление». Тр. сессии АН СССР,
1956.
197. Солодовников В. В., Батков А. М. Метод определения
оптимальных характеристик одного класса самонастраивающихся систем.
«Автоматика и телемеханика», 1957, № 5.
198. Солодовников В. В., Усков А. С. Статистический анализ
объектов регулирования. Машгиз, 1960, стр. 129.
199. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления. М., Физматгиз, 1960, стр. 655.
200. Солодовников В. В., Матвеев П. С. Синтез
корректирующих устройств систем автоматического регулирования при наличии помех.
«Автоматическое управление и вычислительная техника». Вып. 4. Машгиз,
1961, стр. 93—183.
201. Солодовников В. В. Некоторые вопросы теории и принципы
построения аналитических самонастраивающихся систем. Сб. «Аналитические
самонастраивающиеся системы автоматического управления». Изд-во
«Машиностроение», 1965, стр. 9—33.
202. Т а л ь А. А. Задача Вышнеградского в теории прямого
регулирования с учетом воздействии по производной регулируемого параметра и
саморегулирования объекта. «Автоматика и телемеханика». Т. 14. № 5, 1953,
стр. 604—637.
203. Тэлер Дж. и Пестель М. Анализ и расчет нелинейных
систем автоматического управления. Пер. с англ. под ред. Д. В. Васильева.
М. — Л., изд-во «Энергия», 1964, стр. 487.
204. Ф е л ь д б а у м А. А. Простейшие релейные системы автоматического
регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. X. 1949, № 4, стр. 249—266.
205. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах
автоматического регулирования. «Автоматика и телемеханика»; Т. XIV. 1953, № 6,
стр. 712—728.
206. Фельдбаум А. А. О синтезе оптимальных систем с помощью
752

фазового пространства. «Автоматика и телемеханика». Т. XVI. 1955, № 2,
стр. 129—149.
207. Храмой А. В. Очерк истории развития автоматики в СССР.
Довоенный период. М., изд. АН СССР, 1956, стр. 203.
208. Храмой А. В. Предыстория инвариантных систем. В сб. «Теория
инвариантности в системе автоматического управления». М., «Наука», 1964,
стр. 5—9.
209. Храмой А. В. Очерк истории института Автоматики и
телемеханики (1939—1964 гг.). «Автоматика и телемеханика». Т. 25. 1964, № 6,
стр. 753—762.
210. X р у щ о в В. М. Теоретические предпосылки работы греющего
шунта в схеме компаундирования синхронного генератора. В сб. статей
«Памяти акад. В. М. Хрущова». Киев, 1946, стр. 20—33.
211. Циолковский К- Э. Простое учение о воздушном корабле и его
построении. «Общедоступный техник». Москва, 1898, № 9, стр. 1—19; № 10,
стр. 14—16; №11, стр. 14—39; № 12, стр. 14—34.
212. Цыпкин Я. 3. Устойчивость систем с запаздывающей обратной
связью. «Автоматика и телемеханика», 1946, № 2, стр. 107—128.
213. Ц ы п к и н Я. 3. Устойчивость и степень устойчивости систем
прерывистого регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. IX. 1948, № 2,
стр. 123—143.
214. Цыпкин Я. 3. Устойчивость одного класса систем
автоматического регулирования с распределенными параметрами. «Автоматика и
телемеханика». Т. IX. 1948, № 3, стр. 176—189.
215. Цыпкин Я. 3. Теория прерывистого регулирования. «Автоматика
и телемеханика». Т. X, 1949, № 3, стр. 189—225; т. X, 1949, № 5, стр. 343—361;
т. XI, 1950, № 5, стр. 300—319.
216. Ц ы п к и н Я- 3. Переходные и установившиеся процессы в
импульсных цепях. Госэнергоиздат, 1951, стр. 220.
217. Цы п к и н Я- 3. Вынужденные колебания в релейных системах
автоматического регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. XIII. 1952, № 5,
стр. 501—524.
218. Цыпкин Я- 3. Частотный метод анализа систем прерывистого
регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. XIV. 1953, № 1, стр. И—33.
219. Цыпкин Я- 3. Расчет систем прерывистого регулирования при
наличии стационарных случайных воздействий. «Автоматика и телемеханика».
Т. XIV. 1953, № 4, стр. 353—374.
220. Цыпкин Я. 3. Об устойчивости периодических режимов в
релейных системах автоматического регулирования. «Автоматика и телемеханика».
Т. XIV. 1953, № 5, стр. 638—646.
221. Ц ы п к и н Я- 3. Теория релейных систем автоматического
регулирования. М., Гостехтеоретиздат, 1955, стр. 456.
222. Цыпкин Я. 3. Коррекция импульсных систем автоматического
регулирования и управления. «Автоматика и телемеханика». Т. 18. 1957, № 2,
стр. 111—125.
223. Цы п к и н Я. 3. Импульсные автоматические системы с
экстраполирующими устройствами. «Автоматика и телемеханика». Т. 19. 1958, № 5,
стр. 389—400.
224. Цыпкин Я. 3. Теория импульсных систем. М., Физматгиз,
1958.
225. Цыпкин Я. 3. О частотном методе построения переходных процессов
в импульсных системах регулирования. Buletinue Institului Politechnik din
Jasy. Serie nona 1961, 6 (10), № 1—2, стр. 227—230.
226. Цыпкин Я. 3. О некоторых свойствах абсолютно устойчивых
нелинейных импульсных автоматических систем. «Автоматика и телемеханика».
Т. 23. 1962, № 12, стр. 1565—1570.
227. Цыпкин Я. 3. Абсолютная устойчивость положения равновесия
и процессов в нелинейных импульсных автоматических системах. «Автоматика
и телемеханика». Т. 24. 1963, № 12, стр. 1601—1615.
753

228. Ч е б ы ш е в П. Л. О центробежном уравнителе. Речь,
произнесенная на торжественном собрании Московского технического училища 20
сентября 1871 г. Соч. Т. 2. СПб., 1907, стр. 109—126.
229. Ч е т а е в Н. Г. Об устойчивости движения. «Изв. АН СССР, ОТН»,
№ 6, 1946.
230. Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. М. — Л., Гостехиздат,
1946, стр. 204.
231. Ч и ж о в Ф. В. Паровые машины. СПб., 1838, стр. 234.
232. Ш е н ф е р- К. И. Синхронный двигатель с автоматическим
регулированием. «Электричество», 1928, № 5—6, стр. 82—85.
233. Щипанов Г. В. Гироскопические приборы слепого полета.
Оборонгиз, 1938.
234. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических
регуляторов. «Автоматика и телемеханика», № 1, 1939, стр. 49—66.
235. Ястржембский Н. Ф. Курс практической механики, часть II,
гл. III, «Умерители и уравнители», стр. 100—122.
236. Ястржембский Н. Ф. Начальные основания общей и
прикладной механики. «Руководство к преподаванию механики в архитектурном
отделении Института и Строительном училище Главного управления путей
сообщения и публичных зданий». Часть I — «Общая механика», СПб., 1846, стр. 392;
часть II —«Прикладная механика», СПб., 1846, стр. 369.
237. Aoki M. Successive Generation of Chebychev Approximation
Solution, «Trans. ASME», D87, 1965, No. 1, pp. 17—22.
238. Bellman R. Stability Theory of Differential Equations.* McGraw
Hill, 1953.
239. H a h n W. Theorie und Anwendung der Direkten Methode von Lia-
punov. Springer Verlag, Berlin, 1959.
240. H о r t W. Die Entwicklung des Problems der Stetigen Kraftmasschi-
nenreglung nebst einem Versuch der Theorie der Unstetigen Regelungvorgange.
Zsch. F. Angew. Mathematik und Physik. B. 59, 1904, H. 3, S. 233—279.
241. К a 1 m a n R. E,, Bertram I. E. Control System Analysis and
Design Via the Second Method of Lyapunoff, «Trans. ASME», Jornal of Basic
Engineering, part I, II, June, 1960.
242. Kaplan W. Stability Theory Proceedings Symposium on Nonlinear
Circuit Analysis. «Polytechnic Institute of Brooklyn», Brooklyn, N. Y.,1956,
pp. 3—21.
243. La Salle I. P., L e f s с h e t z. Stability by Liapunov's Direct
Method with Applications, Academic Press, 1961.
244. L e a u t e M. H. Memoire sur les Oscillations a Lougues periodes dans
les machines actionnees pur des Moteures Hydrauliques et sur les Mo yens de Pre-
veniz ces Oscillations. Journ. de Recole Poly tech., 1885.
245. Lecornu L. Regulatisation du Mouvements dans les Machines,
Paris, 1897, pp. 136—138.
246. Lecornu L. Les Regulateu des Machines a Vapeur, Paris, Dunod,
1904.
247. Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics, Ann. Azbor.,
Mich., J. W. Edwards, 1947.
248. Mi se s R. Enzynlop der Mathematischen Wissenschaften, 1907.
249. N у q u i s t H. Regeneration Theory. Bell System Technical Journal,
N. Y., Vol. 11, 1932, pp. 126—147.
250. Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste,
Vols I and II, Paris, Gauthier — Villars, 1892—93.
251. Popov V. M. Criterii de Stabilitate Pentru Sistemele Neliniare de
Reglare Automata Bazate pe Utilizarea Transformatei Laplace, Studii si Cerce-
tari de Energetica, Extras No. 1, Anul IX, 1959.
* Есть русский перевод: Беллман Р. Теория устойчивости решений
дифференциальных уравнений. М., И. Л., 1Й54,
754

252. Popov V. M. Criterii Suficiente de Stabilitate Asimp'fotidl in Mare
Pentru Sistemele Automate Neliniare cu Mai Multe Organe de Executie, Studii si
Cercetari de Energetica, Extras No. 4, Anul IX 1959.
253. Popov V. M. Nonveaux Criteriums de Stabilite Pour les Systemes
Automatiques non Lineaires, Revue D'electrotechnigueet D'energetique, Extfait,
Tome V, I960.
254. Popov V. M. Noi Criterii Grafice Pentru Stabilita tea Starii Statio-
nare a Sistemelor Automate Neliniare, Studii si Cercetari de Energetica, Extras 3,
Anul X, 1960.
255. S me t s H. Perspectives Nonvelles dans la Theorie du Reglage Auto-
ma ti que, «Revue A», Vol. 6, 1964, No. 2, pp. 63—71.
256. S to do la A. Turbinenregulierung, Schweiz Beuzeitung, Bd. 22,
1893, No. 17—20; Bd. 23, 1894, No. 17—18.
257. S t о d о 1 a A. Das Siemenssche Regulirprinzip und die Arnerika-
nischen «Intertie»Requlatoren,Zeitschrift d. VDI, Bd. 43, 1899, No. 18, S. 506—516,
573—579.
258. StubberudA., LeondesC. I., MargolisM. On
Application of Lyapunovs Second Method to the Synthesis of Nonlinear Control Systems
Presented at NEREM Conference, 1959.
259. T о 1 1 e M. Beitrage zur Beurteilung der Zentrifugalpendelregulatoren —
Zeitschrift d. VDI. Bd. 39, No. 25, S. 735-741, No. 26, S. 776—779, 1885.
260. T о 1 1 e M. Regelung der Kraftmaschinen, Berlin, I Springer, 1905.*
261. T r i n к s. Covernos and the Govering of Prime Movers, London, 1919.
Литература к главам II—X
1. БоднерВ. А., Козлов М. С. Стабилизация летательных
аппаратов и автопилоты. Под ред. В. А. Боднера. М., Оборонгиз, 1961, стр. 508.
2. Боднер В. А. Теория автоматического управления полетом. М.,
«Наука», 1964, стр. 698.
3. Булгаков А. А. Электронные устройства автоматического
управления. Изд. 2-е. М. — Л., Госэнергоиздат, 1958, стр. 256.
4. В а с и л ь е в Д. В., М и т р о ф а н о в Б. А., Р а б к и н Г. Л.,
Самохвалов Г. Н., СеменковичА. А., Фатеев А. В.,
Чичерин Н. И. Расчет следящего привода. Судпромгиз, 1958.
5. Вопросы программного управления металлорежущими станками.
Сборник статей под ред. А. М. Дорошкевича. М., И Л, 1959, стр. 234.
6. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления.
Часть 1, «Линейные системы регулирования одной величины». М. — Л.,
«Энергия», 1965, стр. 396.
7. Г а м ы н и н Н. С. Основы следящего гидравлического привода. М.,
Оборонгиз, 1962, стр. 293.
8. Герасимов С. Г. Теоретические основы автоматического
регулирования тепловых процессов. М. — Л., Госэнергоиздат, 1949, стр. 328.
9. Герасимов С. Г., ДудинковЕ. Г., Чистяков С. Ф.
Автоматическое регулирование котельных установок. М. — Л.,
Госэнергоиздат, 1950, стр. 424.
10. Г и т и с Э. И. Электрорадиоавтоматика. М. — Л., Госэнергоиздат,
1959, стр. 423.
11. Д о б р о г у р с к и й С. О., К а з а к о в В. А., Т и т о в В. К.
Счетно-решающие устройства. Оборонгиз, 1959, стр. 463.
12. ДоброленскийЮ. П., Иванова В. И., Поспелов Г. С.
Автоматика управляемых снарядов. Под ред. Г. С. Поспелова. М., Оборонгиз,
1963, стр. 548.
13. Д у д н и к о в Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых
процессов. ГЭИ, 1956.
* Есть русское издание: Т о л л е М., Регулирование двигателей,
Госэнергоиздат, 1950.
755

14. Жиль Ж., ПелегренМ., Декольи П. Теория и техника
следящих систем. Пер. с франц. Под ред. В. В. Солодовникова. М.,
Машгиз, 1961, стр. 804.
15. И в а щ е н к о Н. Н. Автоматическое регулирование. Теория и
элементы систем. М., Машгиз, 1963.
16. Иосифьян А. Г., Каган Б. М. Основы следящего привода.
М. — Л., Госэнергоиздат, 1954, стр. 596.
17. Кантор С. А. Регулирование турбомашин. М. —Л., Машгиз,
1946, стр. 200.
18. Кирилов И. И., Кантор С. А. Влияние паровых объемов на
регулирование конденсационных турбин. «За советское энергооборудование».
М. — Л., 1934, стр. 66—90.
19. Корнилов Ю. Г. и П и в е н ь В. Д. Основы теории
автоматического регулирования в приложении к тепловым установкам. М. — Л.,
Машгиз, 1947, стр. 308.
20. К о р о л е в Ю. Г., П и в е н ь В. Д. Основы теории автоматического
регулирования. М., Машгиз, 1947.
21/Ко чет ко в В. Т., П о л о в к о А. М., Пономарев В. М.
Теория систем телеуправления и самонаведения ракет, М., «Наука», 1964,
стр. 536.
22. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и
технической кибернетики. М. — Л., Госэнергоиздат, 1962, стр. 600.
23. К р у т о в В. И. Автоматическое регулирование двигателей
внутреннего сгорания. Изд. 2-е. М., Машгиз, 1963, стр. 623.
24. Л а у э р Г., ЛесникС, М а д с о н Л. Основы теории
сервомеханизмов. Под ред. Я. 3. Цыпкина, М. — «П., Госэнергоиздат, 1948, стр. 285.
25. Л е р н е р А. Я. Введение в теорию автоматического регулирования.
М., Машгиз, 1958, стр. 351.
26. Л о с с и е в с к и й В. Л. Основы автоматического регулирования.
М. —Л., Госэнергоиздат, 1950, стр. 110.
27. Л о с с и е в с к и й В. Л. Основы автоматического регулирования
технологических процессов. М., Оборонгиз, 1949, стр. 227.
28. М е е р о в М. В. Синтез структур систем автоматического
регулирования высокой точности. М., Физматгиз, 1959.
29. Миронов К- А., Щ и п е т и н Л. И. Автоматические регуляторы.
Справочные материалы. М., Машгиз, 1961.
30. ОльденбургР. и СарториусГ. Динамика автоматического
регулирования. Пер. с немец. Под ред. А. В. Михайлова. Госэнергоиздат, 1949.
31. ОппельтВ. Основы техники автоматического регулирования. Пер.
с немец. Под ред. Д. И. Марьяновского, М., Госэнергоиздат, 1960, стр. 606.
32. Основы автоматического управления. Т. III. «Автоматические
регуляторы и следящие системы». Под ред. В. В. Солодовникова. М., Машгиз, 1963,
стр. 569.
33. Петров П. А. Ядерные энергетические установки. М. —Л.,
Госэнергоиздат, 1959, стр. 256.
34. П е ч о р и н а И. Н. Расчет систем автоматического управления.
Справочное пособие. М. —Свердловск, Машгиз, 1962, стр. 111.
35. ПоповЕ. К. Современное воззрение на авторегулирование
одиночных электрических машин. А. Т. 1938, № 6, стр. 37—66.
36. П о с п е л о в Г. С. Основы автоматики. Изд. ВВиА им. Жуковского.
1954, стр. 725.
37. Рабинович Л. В. Электроавтоматика авиационных
электромеханических установок. М., Оборонгиз, 1957, стр. 422.
38. Р у д а к о в В. В. Электромашинные усилители в системах автоматики.
М. — Л., Госэнергоиздат, 1961, стр. 376.
39. Спиридонов А. А. Металлорежущие станки с программным
управлением. М., «Машиностроение», 1964, стр. 280.
40. Станиславский Б. И. Основы теории электрических счетно-
решающих устройств. М. — Л., Оборонгиз, 1948, стр. 174,
756

41. Стефани Е. П. Основы расчета настройки регуляторов
теплоэнергетических процессов. М. — Л., Госэнергоиздат, 1960.
42. Теория следящих систем. Под ред. X. Джеймса, Н. Никольса и Р. Фил-
липса. Изд. 2-е. Изд-во ИЛ, 1953, стр. 464.
43. Ф е л ь д б а у м А. А. Электрические системы автоматического
регулирования. Оборонгиз, 1957.
44. ЧерриЕ. и МилларУ. Некоторые новые понятия и теоремы
в области нелинейных систем. Автоматическое регулирование. Сб. матер, конф.
в Крэнфилде. М., Изд-во ИЛ, 1954, стр. 261—268.
45. Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих
систем и систем регулирования. М. — Л., Госэнергоиздат, 1959, т. I, стр. 487;
т. II, стр. 392.
46. Чистов В. П. Принцип построения управляющей позиционной
цифровой следящей системы с программным управлением. В сб.
«Вычислительная техника для автоматиз. произв.» М., «Машиностроение», 1964, стр. 271 —
286.
47. Ш а т а л о в А. С. Структурные методы в теории управления и
электроавтоматики. М. — Л., Госэнергоиздат, 1962, стр. 406.
48. Ш а т а л о в А. С. Структурный анализ линейных электрических
цепей. «Электричество», 1963, № 5.
49. Ш е в я к о в А. А. Автоматика авиационных и ракетных силовых
установок. Изд. 2-е. М., «Машиностроение», 1965, стр. 547.
50. Щ е г л я е в А. В. Регулирование паровых турбин. М. — Л., ОНТИ,
1938, стр. 392.
51. Шульц М. А. Регулирование энергетических ядерных реакторов.
Пер. с англ. Под ред. Д. И. Воскобой ни ка. М., Изд-во ИЛ, 1957, стр. 460.
52. Я к у б а й т и с Э. А. Основы технической кибернетики. Рига, изд.
АН Латв. ССР, 1962, стр. 287.
53. Bertalanffy Ludwigvon, General System Theory — a
Critical Review, «Gen. Syst.», Vol. 7, 1962, Ann Arbor, Mich., pp. 1—20.
54. Blagoievic Radomir, Nekem Atematicke Metod za Odze-
djivanje Oblika i Toke Automatske Regulacije, «Tehuike», 19, 1964, No. 6, «Ma-
sinstvo», 13, No. 6, pp. 121—131.
55. Carter R. I. Control of Continuous Disbillation Columns. Part 2,
«Control», Vol. 9, 1965, No. 79, pp. 21—25.
56. Dragon Control, «Control», Vol. 9, No. 79, pp. 38—40, 1965.
57. Electrohydraulic Servo Design, «Measuzem and Control», Vol. 3, 1964,
No. 8, pp. 297—301.
58. G a b г у s W i e s i a w, Uwagi о Sporzadraniu Schema tow Blokwych
dla UAR, «Zesz. Nairn. Politechn. Slaskiej», 1964, No. 98, pp. 139—177.
59. I о n e s I. Т., \V i 1 1 i a m s N. I. Computer Control of Steelworks
Production, «Proc. Instn. Electr. Engrs.», Vol. Ill, 1964, No. 6, pp. 1183—
1192.
60. К e 1 1 g G. H. Integrated Computer Control of Steelworks Production
«Engl. Electr. J», 1964, Vol. 19, No. 4, pp. 22—40.
61. К 1 a n s R. Pneumatische und Pneumohydraulische Programmsteuerun-
gen fur Werkzeugmaschinen, «Maschinenbautechnik», B. 13. 1964, No. 11, S. 605—
612.
62. Marchesini Giovanni, Considerazioni Sullo Studio Delia
Dinamica e Sulla Simulazione Analogica dei Reattori a Fusione, «Automaz e
Strum.», 12, 1964, No. 7, 285—291.
63. P e с h t e r L. S. VameiH, TannerLN., KnudsenLJ,
Technique for Determining the Frequency Response of Linear Mechanical Systems,
«J. Acoust. Soc. America», Vol. 37, 1956, No. 1, pp. 66—76.
64. S a v a n t С J., Control System Design. 2nd, Ed. S. I, Mc Graw — Hill
Pull. Co., 1964, p. 457.
65. Shannon G. F. A Method for Establishing a First Order
Differential Equation Set for Electro — Mechanical Systems. «Electr. and Mech. Engng.
Trans. Inst, Engrs, Austral», Vol. 5, No. 2, pp. 53—57, 1963.
757

Раздел II
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Литература к главам XI—XIV
1. АйзерманМ. А. О практическом использовании критерия Гурвица.
«Автоматика и телемеханика». Т. 13. 1952, № 2, стр. 212—216.
2. А й з е р м а н М. А. Теория автоматического регулирования
двигателей. Уравнения движения и устойчивость. М., Гостехтеоретиздат, 1952,
стр. 619.
3. А й з е р м а н М. А. Лекции по теории автоматического
регулирования. Физматгиз, 1958.
4. Барабашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости
движения в целом. «Доклады АН СССР». Т. XXXVI, 1953, № 3.
5. Барабашин Е. А. О построений функций Ляпунова для
нелинейных систем. «Доклад на Первом Международном конгрессе Международной
федерации по автоматическому управлению». Т. I. M., изд. АН СССР, 1961,
стр. 742—750.
6. Б а у т и н Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ
области устойчивости. Гостехиздат, 1949.
7. Беллман Р. Динамическое программирование. Изд. ИЛ, 1960,
стр. 400.
8. Б о д е Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной
связью. Изд. М., ИЛ, 1948, стр. 641.
9. Васильев Д. В., Чуич В. Г. Расчет систем автоматического
управления. Задачи и примеры М. — Л., Машгиз, 1959, стр. 391.
10. Г е р ц е н б е р г Г. Р. Об одном методе стабилизации систем
автоматического регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. VIII. 1947, № 1.
11. Д ц у н г Л. Критерий устойчивости. «Автоматическое регулирование»,
Сб. матер, конф. в Крэнфилде. М., изд-во ИЛ, 1954, стр. 7—19.
12. КанчингхэмВ. Введение в теорию нелинейных систем. Госэнер-
гоиздат, 1962, стр. 456.
13. К е р р К. Н., Мак Л е л л а н Г. Д. С. Регулирование процессов,
зависящих от выходов. «Тр. II Международного конгресса Международной
федерации по автомат, управлению». Т. 1. М., «Мир», 1965, стр. 145—
162.
14. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости
движения. Физматгиз, 1959.
15. Кузовков Н. Г. Некоторые новые применения метода
логарифмических частотных характеристик к исследованию систем автоматического
регулирования. «Автоматическое управление и вычислительная техника». Вып. 1.
М., Машгиз, 1958, стр. 100—133.
16. К У р о в Е. Ф. Модификация критерия Ю. И. Неймарка. «Изв. Сиб.
отд. АН СССР», серия тех. наук. Вып. 3. 1964, № 10. стр. 96—102.
17. Леопард А. Относительное демпфирование как критерий
устойчивости, а также как средство для нахождения корней полинома Гурвица.
«Автоматическое регулирование». Сб. матер, конф. в Крэнфилде. М., изд-во
ИЛ, 1954, стр. 20—32.
18. Л е п с к и А., Р у б е р т И. А. Правило непосредственной проверки
выполнения критерия Найквиста по диаграммам, построенным в неполярных
координатах. «Тр. I Международного конгресса Международной федерации по
автомат, управлению». Т. 1. М., изд. АН СССР, 1961, стр. 49—55.
19. Лето в А. М. Собственно неустойчивые регулируемые системы.
«Прикл. матем. и механика». Т. XIV. Вып. 2. 1950.
20. Л е т о в А. М. Собственно неустойчивые регулируемые системы.
«Прикл. матем. и механ.». Т. XIV. Вып. 2. 1950.
758

21. Летов А. М. и Д у в а к и н А. П. Об устойчивости регулируемых
систем с двумя органами управления. «Прикл. матем. и механика». Т. XVIII.
Вып. 2. 1954.
22. Л е т о в А. М., Л у р ь е А. М. Состояние и задачи развития теории
устойчивости систем автомагического регулирования. Основные проблемы
автоматического управления и регулирования. Изд. АН СССР, 1957.
23. Л е т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.
М., Физматгиз, 1962.
24. Маккол Леруа А. Основы теории сервомеханизмов. Пер.
с англ. Под ред. Я. 3. Цыпкина, М., ИЛ. 1947, стр. 150.
25. Марьяновский Д. И. Устойчивость линейных систем
автоматического регулирования. «Электричество», 1946, № 9, стр. 15—30.
26. М а р ь я н о в с к и й Д. И. Исследование устойчивости системы
регулирования при введении внутренних обратных связей. «Электричество»,
1950, № 3, стр. 51—56.
27. Мясников Н. Н. Критерий Михайлова и оценка корней
характеристического уравнения. «Автоматика и телемеханика». Т. X. 1949, № 4,
стр. 267—273.
28. Н е с б и т Р. А. Применение способа линейных границ к анализу
одного класса нелинейных и нестационарных систем с помощью прямого метода
Ляпунова. «Тр. II Международного конгресса Международной федерации по
автоматическому управлению». Т. 1. М., «Наука», 1965, стр. 95—107.
29. Никольский Г. Н. К вопросу автоматической устойчивости
корабля на заданном курсе. «Труды центральной лаборатории проводной связи».
М. —Л., 1934, № 1, стр. 34—75.
30. Нур-Элдин Г. Анализ устойчивости одного класса нелинейных
систем вторым методом Ляпунова. «Тр. II. Международного конгресса
Международной федерации по автоматич. управлению». Т. 1, 1965, стр. 78—91.
31. П е т р и ч И. И. Некоторые обобщения критерия Михайлова.
«Автоматика и телемеханика», 1965, № 2, стр. 2099—2106.
32. С о к о л о в А. А, Критерий устойчивости линейных систем
регулирования-с распределенными параметрами и его приложения. «Инж. сборник».
Т. 11. 1946, № 2, стр. 3—26.
33. Солодовников В. В. Устойчивость линейных следящих систем
и систем регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. 7, 1946, № 1,
стр. 43—68.
34. Солодовников В. В. Критерий асимптотической устойчивости
Найквиста. Записки семинара по теории устойчивости движения. М., изд. ВВиА
им. Жуковского, 1948, стр. 33—39.
35. СтрелковС. П. К общей теории линейных усилителей.
«Автоматика и телемеханика». Т. IX. 1948, № 3; т. X, 1949, № 4.
36. Т о п ч е е в Ю. И. Об устойчивости синхронно-следящих систем с
перекомпенсированными электромашинными усилителями. Сб. статей под ред.
Е. В. Филипчука. Московск. инженерно-физический институт, 1958, стр.
21—44.
37. Хуан Линь. Оценка времени затухания. «Тр. II Международного
конгресса Международной федерации по автоматич. управлению». Т. 1. М.,
«Мир», 1965, стр. 111—124.
38. Частотные методы в автоматике. Сб. статей под ред. В. А. Карабанова.
1957, М., изд-во ИЛ, стр. 490.
39.* Яшукин Е. А. Номограммы для построения логарифмических
частотных характеристик звеньев второго порядка. «Автоматика и
телемеханика». Т. 25. 1964, № 7, стр. 1140—1142.
40. Das G u p t a S., Use of Standard Tables for Computing Attenuation-
phase Plots of Linear Systems, «J. Instn. Engrs (India), Electron, and Telecommun.
Engng Div.», Vol. 44, 1964, No. 9, Part 3, pp. 92—102.
* См. также литературу [2], [7], [30], [31], [47] [49], [51], [53], [ПО],
[118], [124], [126], [177], [184][к гАаве I, стр. 743—751.
759

41. Do Man Lam. Methode Pour Tracer les Fonctions de Transfer!,
«Automatisme», Vol. 9, 1964, No. 7—8, pp. 284—287.
42. E n g e 1 m a n n R. H. The Direct Method of Liapunov, «J. Instil.
Engrs. (India), Electron, and Telecommun. Engng Div.», Vol. 44, 1964, Part 3,
No. 9, pp. 103—128.
43. H a n d b a d R. A., T r a x a 1 I. G. Sensitivity and Stability in
Multiloop Systems, «IEEE Trans. Automat. Control», Vol. 9, 1964, No. 4, pp. 548—551.
44. Holtzman I. M. Rue A. K. Stability Analysis of Incremental
Servos, «IEEE Trans. Applic. and Ind.», 1964, No. 71, pp. 114—120.
45. H u r w i t z A. Ueber die Bedingungen Unter Welcher Eine Gleichung
nur Wurzeln mit Negativen Reelen Theilen Besitzt, Mathematische Annalen,
B. XLVI, 1895, S. 273—284.
46. Johnson George W., Stability Domains for Linear, Stationary
Control Systems via the Direct Method of Liapunov. «IEEE Internat Convent.
Rec», Vol. 12, 1964, No. 1, pp.. 178—182.
47. К u p f m u 1 1 e r K. Ober die Dinamik der Sebstatigen Verstarkung-
sregler, E. N. T, 1928, No. 11, S. 459.
48. L a r к i n F. M. A Combined Graphical and Literative Approach to the
Problem of Finding Zeros of Functions in the Complex Plane. «Comput. J.»,
1964, Vol. 3, pp. 212—219.
49. M a j e w s к i W 1 a d у s 1 a w, Ir., Algebraiczne Kryteria Stabil-
nosci, «Zesz. Nauk. Politechn. Warsz.», 1964, No. 86, 27—38.
50. McMillan Brockway. Control in Li near Systems, «Hydro dy nam.
Instability», Providence, R. I., Amer. Math. Soc, 1962, p. 259—274.
51. Me rz Antony W. Missile Auttiude Stabilization by Lyapunov's
Second Method. «I. Spacecraft and Rockets», Vol. 1, 1964, No. 6, pp. 598—604.
52. P a r к s P. C. Stabillity Analysis for Linear and Non — linear Systems
Using Liapunov's Second Method. «Progr. Control Engng.», Vol. 2, New York,
Acad. Press., 1964, pp. 29—64.
53. P г о e 1 1 R. Uber den Indirect Wirkenden Regulierapparat Proell
Z. d. VDI, XXVIII. B. 28, No. 24, S. 457—460; No. 25, S. 473—477.
54. R e a m N. Approximate Calculation of Closedloop Poles from the Bode
Diagram., «Proc. IEEE», Vol. 52, 1964, No. 11, p. 1369.
55. R о u t h E. I. A Treatise on the Stability of-a Given State of Motion,
1877.
56. Vi de lo D. A. Using Liapunov's Methods, «Measurem. and Control»,
Vol. 3, 1964, No 7, pp. 252—256.
Раздел III
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Литература к главам XV—XIX
1. Бендриков Г. А., Теодорчик К- Ф. Траектории корней
линейных автоматических систем. М., «Наука», 1964, стр. 159.
2. Б л о х 3. Ш. Динамика линейных систем автоматического
регулирования машин. М., Гостехиздат, 1952, стр. 491.
3. Воронов А. А. Методы построения переходных процессов по
частотным характеристикам и частотных характеристик по переходным
процессам. «Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического
регулирования». Т. II. М. — Л., Изд-во АН СССР, 1955, стр. 41—52.
4. Гарднер М. Ф., Б э р н с Д ж* Л. Переходные процессы в
линейных системах с сосредоточенными постоянными. Пер. с англ., под ред.
760

Г. И. Атабекова и Е. 3. Цыпкина. Изд. 2-е. М. — Л., Гостехтеоретиздат, 1951,
стр. 520.
5. К а г а н В. Г. О динамическом качестве реальных структур
автоматического регулирования высокой точности. «Изв. Сиб. отд. АН СССР», серия
техн. наук. Вып. 2. 1964, № 6, стр. 39—46.
6. К а р д а ш о в А. А. Частотный метод построения переходных
процессов в динамических системах при произвольных возмущающих воздействиях.
«Изв. высших учебн. заведений», разд. «Электромеханика», 1960, № 1.
7. Каттеридж О. П. Применение специальных систем полиномов
для приближенного вычисления переходной характеристики. «Тр. I
Международного конгресса Международной федерации по автоматическому управлению».
Т. 1. М., изд. АН СССР, 1961, стр. 140—148.
8. КрасовскийА. А. Интегральные оценки качества процесса
регулирования. Лекция на семинаре по теории автоматического регулирования.
М,, Машгиз, 1949.
9. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Некоторые методы
вычисления приближенных временных характеристик линейных систем
автоматического управления. «Автоматика и телемеханика», 1953, № 6.
10. К р у т о в В. И. Переходные процессы систем автоматического
регулирования. М., «Машиностроение», 1965, стр. 252.
11. Кузовков Н. Т. Теория автоматического регулирования,
основанная на частотных методах. Изд. 2-е. М., Оборонгиз, 1960, стр. 446.
12. Кузовков Н. Т. Устойчивость силовых гиростабилизаторов при
высоком значении коэффициента усиления. «Изв. АН СССР. Техн.
кибернетика». 1964, № 6, стр. 172—179.
13. М е е р о в М. В. Исследование качества систем автоматического
регулирования по картине Д-разбиения. «Труды II Всесоюзного совещания по
теории автоматического регулирования». Т. II М. — Л., Изд-во АН СССР,
1955, стр. 145—162.
14. Михайлов Ф. А. О предельных значениях квадратичных оценок
качества и их применимости к выбору параметров систем автоматического
регулирования. «Тр. II Всесоюзного совещания по теории автоматического
регулирования», т. II. М. — Л., изд-во АН СССР, 1955, стр. 425—441.
15. Солодовников В. В. Исследование динамики следящих
электроприводов и систем авторегулирования методом частотных характеристик.
«Электричество», 1947, № 4, стр. 22—28.
16. Солодовников В. В. Проблемы качества и динамической
точности в теории автоматического регулирования. «Тр. II Всесоюзного
совещания по теории автоматического регулирования». Т. ИМ. — Л., изд-во АН СССР,
1955, стр. 7—37.
17. Стрейц В. Возможности табулирования оптимальных процессов
регулирования и полученные до сего времени результаты. «Тр. I
Международного конгресса Международной федерации по автоматич. управлению». Т. 1.
М., изд. АН СССР, 1961, стр. 123—139.
18. Те у ми н И. И. Справочник по переходным электрическим
процессам. М., Связьиздат, 1952, стр. 409.
19. У д е р м а н Э. Г. Применение годографа затухания к исследованию
линеаризованных регулируемых систем. «Электричество», 1952, № 2.
20. У л а н о в Г. М. О максимальном отклонении регулируемой величины
в переходном процессе. «Автоматика и телемеханика». Т. 9. 1948, № 3,
стр. 168—175.
21. Фельдбаум А. А. Интегральные критерии качества
регулирования. «Автоматика и телемеханика». Т. 9. 1948, № 1, стр. 3—19.
22. Ф е л ь д б а у м А. А. О выборе оптимальных значений параметров
систем автоматического регулирования с помощью обобщенного интегрального
критерия. Научно-техн. сборник НИИ МПСС. Вып. 6. 1950, стр. 50—77.
23. Фельдбаум А. А. Исследование динамики систем
автоматического регулирования по методу обобщенного интегрального критерия.
«Электричество», 1951, № 7, стр. 18—24.
761

24.* Я р о м и не к В. Исследование линейных систем автоматического
регулирования при помощи показателей запаса устойчивости по определителям.
«Тр. I Международного конгресса Международной федерации по
автоматическому управлению». Т. 1. М., изд. АН СССР, 1961, стр. 183—200.
25. X а с э г а в а Кэнсукэ, Канэти Тору.
Специализированный метод корневого годографа. «Дэнки гаккай дзасси. J. Inst. Electr. Engrs.
Japan», vol. 84, 1964, № 8, pp. 1213—1222.
26. Avramesu Aurel, Leon Mihai. Noi Criterii Pentru Cu-
racterizarla Compostarii la Transfer a Sistemelor Automate, «Probl. Automat.»,
1960, № 3 pp. 5—24.
27. Avramescu Aurel. Caracterizarea Desfasurarli Senomenelor
Tranzitorii cu Ajutorue unor Functii Integrate de Timp, «Comun. Acad. RPR»,
v. 13, 1963, № 3 pp. 259—265.
28. A v r a m e s с u A. Contributii la Aprecierea Sintetica a Fenomenelor
Tranzitozii. «Electrotehnica», vol. 13, 1965, № 4, pp. 121—128.
29. Calusita Mioara. Locul radacinilor ecuatiei caracteristice
a sistemelor cu timp mort. «Automat, si elektron.», vol. 10, 1966, № 2, 61—69.
30. Chen С R, Hsu С The Determination of Root Loci Using Routh's
Algorithm. «J. Franklin Inst.», vol. 281, 1966, № 2, pp. 114—121.
31. Do Mau Lam, Methode Semigraphique de Calcul des Response
Transtoires des Systemes Lineaires, «Automatisme», V. 7, 1962, № 12,
p. 477—484.
32. G a r t h e w J. R., J о h n s о n R. A., Correlation between Closed —
loop Freguensy Response and Time — domain Response in Linear Feedback
Systems, «Control», V. 7., 1963, № 61, p. 24—29.
33. Gupta M. M., Root — Locus Break-in and Breakaway Points, «J.
Instn. Engrs (India), Electron and Telecommun Engng Div.», Vol. 44, № 9 Part 3,
pp. 129—135, 1964.
34. Gutenbaum Jakub Adaptacyjne Uklad Redulacji Automatycz-
nej о Calkowym Wskazniku Jakosci. «Arch. Automat, i Telemech.», vol. II,
1966, № 1, pp. 25—34.
35. H u a n g It В a u. Stability Criterion by the Use of Root Locus and
Gain Curve. «Summaries Papers Internat. Conf. Microwaves, Circuit Theory
and Inform. Theory, Tokyo, Part 2, 1964». Tokyo, Inst. Electr. Commun. Engrs,
Japan, S. A., pp. 71—72.
36. К a t а у a m a A. A. Root — locus Approach to Adaptive Control
System Design. «IRE Trans. Automat. Control», vol. AC-7, 1962, № 3, pp. 85—87.
37. К о 1 n i g I F r a n k I., A Method for Obtaining the Time Response
of Any Linear System, «IEEE Trans. Automat. Control», Vol. 9, No. 4, pp. 556—
565, 1964.
38. К r a 1 1 A 1 1 a n M. The Asymptotes of the Time lay Rott — locus.
«J. Soc. Industr. and Appl. Math.», vol. A2, 1965, № 3, pp. 370—372.
39. L a b о u n t у R. H., H о u p i s С. Н. Root Locus Analysis of a
High — gain Linear System with Variable Coefficients, Application of Horowitz's
Method. «IEE Trans. Automat. Control», vol. 11, 1966, № 2, pp. 255—263.
40. L о r e n s C. S., Titsworth R. С Properties of Root — locus
Asymptotes. «IRE Trans, on Automat. Control», vol. AC-5, 1960, № 1.
41. M а с d о n a 1 d A. T. Using the Root — Locus Method, «Measurem and
Control», Vol. 3, No. 12, pp. 457—461, 1964.
42. M a t k о w s k у B. J., Z e m a n i a n A. H., A Contribution to Root
Lacus Tehniques for the Analysis of Transient Responses, «IRE Trans. Automat.
Control,» Vol. 7, 1962, № 3, p. 69—73.
43. M о n s e r P., V u 1 1 о J., В 1 e у К. A. Possible Saurce of Error
in Root — locus Analisis of Nonminimum Phase Systems. «IRE Trans, on Automat.
Control», vol. AC-7, 1962, N. 3, pp. 87—88.
* См. также литературу [в8], [180], [1851 - [188], [195] к главе I,
стр. 746—752.
762

44. М о г i M. Root — locus Method of Pulse Transfer Function for Samp
led — data Control Systems. «IRE Trans, on Automat. Control», N. PIAC-3,
1957, November.
45. N a r e n d r a K. S. Invere Root — locus, Reversed Root — locus or
Complementary Root — locus. «IRE Trans, on Automat. Control», vol. AC-6,
1961, № 3.
46. P i о E t i e n n e. Indice Quadratique et Qualite du Regime Transi-
toire. «Automatisme», vol. 9, 1964, 348—349.
47. P о 1 1 а к С. D., Thaler G. J. S — plane Design of Compensator
for, Feedback Systems, «IRE Trans. Automat. Control.», v. 6, 1961, № 3, pp.
333—340.
48. R e к a s i u s Z. V. A General Performance inder for Analytical Desig-
nof Control Systems, «IRE Trans Automat. Control.», N 6, 1961, №2, pp. 217—
222.
49. S с h n e i d e r A. Die Naherungsweise Bestimmung derObergangsfunk-
tion von Regelvorgangen aus dem Frequenzgang, «Regelungstechnik», В 9, Teil I,
1961, № 7, S. 277—282; Teil II, 1961, № 8, S. 327—332.
50. Schneider F. Geschlossene Formeln zur Berechnung der Quadra-
tischen und der Zitbeschwerten Quadratischen Regelflache fur Kontinuierliche
und Diskrete Systeme. «Regelungstechnik», Bd. 14, 1966, № 4, s. 159—166.
51. St ap let on C. A. On Root — locus Breakaway Points. «IRE Trans,
on Automat. Control», vol. AC-7, 1962, № 3, pp. 88—89.
52. S t e i g 1 i t z K. An Analitical Approach to Root — loci. «IRE Trans.
on Automat. Control», vol. 6, 1961, № 3.
53. Starkermann R. Eigenwert-Sunktionen Lines Zweifach — Regel-
system mit einer Strecke von Innerer Wechselseitiger Abhangigkeit der Regel-
grofien, «Regelungstechnik», B, 12, No. 6, S. 242—249, 1964.
54. S t e i g 1 i t z Kenneth. An Anacytical Approach too Root Loci,
«IRE Trans. Automat. Control». V. 6, 1961, № 3, pp. 326—332.
55. Tyler J.S.,Jr. Tuteur F. B. The Use of a Quadratic Performance
Index to Design Multivariable Control Systems. «IEEE Trans. Automat. Control»,
vol. 11, 1966, № 1, pp. 84—92.
56. U z H. Root — locus Proporties and Sensitivity Relations in Control
Systems. «IRE Trans, on Automat. Control», vol. 5, 1960, № 1.
57. Y e h V. С M. Synthesis of Feedback Control Systems by Qain — contous
and Root — contour Methods. «Trans. AIEE», vol. 75, part 2, 1956, May.
58. Z a b о r s к у J. Integrated S-plane Systhesis Using 2-Way Root — locus.
«Trans. AIEE», vol. 75, part I, 1957, January.

АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоматика 14
Автоматическая система
детерминированная 14
информационная 14
Автоматическая стабилизация 53
Автоматическое слежение 53
Автономность статическая 157
Автопилот электрический
анализ устойчивости 522
описание 105
структурная схема канала тангажа 426
уравнения и передаточные функции
канала тангажа 421
Алгоритм
регулирования 46
управления 40
Амплитудно-фазовая характеристика 190,
239, 469
второго рода 471
звеньев 275, 282, 290, 291, 293
обратная 478
первого рода 470
Амплитудная частотная характеристика 191,
238
замкнутой системы 238
разомкнутой системы 239
условие однозначной связи с фазовой
характеристикой 260
условие физической осуществимости 264
Анализ качества
метод интегральных оценок 700
метод корневых годографов 637
метод распределения корней 621
метод распределения полюсов и нулей
620, 661
по амплитудно-фазовой характеристике
592
по логарифмической амплитудной
характеристике 599
Частотный метод 563
Анализ устойчивости
астатических систем 472
многоконтурных систем 486, 489
одноконтурных систем 480
по логарифмическим частотным
характеристикам 480, 489
по обратной амплитудно-фазовой
характеристике 477
Астатизм, порядок 235
по отношению к возмущающему
воздействию 232, 237
по отношению к управляющему
воздействию 232, 236
Вектор
возмущения 39
наблюдения 39
состояния 39, 123
регулирования 46, 123
управления 39
Вещественная частотная характеристика 191
замкнутой системы 238
обобщенная 540
определение по амплитудно-фазовой
характеристике 241
определение по логарифмическим
частотным характеристикам 254
основные свойства 572
приведенная 551
применение для построения переходного
процесса 550
разностная 566
разомкнутой системы* 239
связь с импульсной переходной функцией
544
связь с переходной функцией 547
Воздействие
возмущающее 51
гармоническое 197
единичное, ступенчатое 69, 547
регулирующее 46
типовое 69
управляющее 46
Возмущенное движение 437
Время переходного процесса 71
оценка по расположению нулей и
полюсов 650
оценка по частотной характеристике 587
Входной сигнал 52
Датчик регулятора 55
Декада 240
Дельта-функция 69, 189
Демодулятор 56
Децибел 240
Диаграмма
Вышнеградского 502
круговая 241, 245
обратная 246
Динамическая точность 74
Динамический элемент 60, 189, 199, 207
Дифференциальные уравнения
системы автоматического регулирования
122, 125, 129, 132
элемента с распределенными
параметрами 199
Д-разбиение 493, 502
связь с критериями устойчивости 499
Добротность 602
Дублирование звеньев
инверсное 325, 373
прямое 325, 373
Задающее устройство 76
Запаздывание 207
Запас устойчивости
по модулю 471
по фазе 471
Звено
апериодическое 272
астатическое 142
дифференцирующее второго порядка 292
дифференцирующее первого порядка 291
запаздывающее 206
интегрирующее 288
колебательное 279
консервативное 281
неустойчивое апериодическое 279
неустойчивое колебательное 287
статическое 139
Зона
линейности 181
насыщения 183
неоднозначности 181
нечувствительности 176
Изображающая точка 435
Избыток фазы 613
Импульсная переходная функция 189
нелинейной системы, многомерная 224
нестационарной линейной системы 220
связь с частотными характеристиками
системы 544
стационарной дискретной линейной
системы 215
стационарной непрерывной линейной
системы 191
элемента с распределенными
параметрами 209
Импульсный элемент 216
Инвариантность статическая 157
764

Интеграл свертки 221
Интегральные линейные оценки качества 718
Интегральные квадратические оценки
качества 700
методика применения для выбора
параметров систем с заданной структурой 712
методика применения к синтезу систем с
произвольной структурой 718
способы вычисления 701, 707
Интегральные уравнения систем
автоматического регулирования 269
Интервалы частот 600
Информационная автоматическая
система 14
Исполнительное устройство 76
Качество систем автоматического
регулирования 536
анализ по амплитудно-фазовой
характеристике 592
анализ по вещественной частотной
характеристике 572, 578, 581, 585
анализ по корневым годографам 637, 655
анализ по логарифмической амплитудной
характеристике 599
анализ по распределению корней 621
анализ по распределению нулей и
полюсов 642
Классификация
динамических элементов 188
нелинейных характеристик 164 — 168
объектов регулирования, механических
349
систем автоматического регулирования
55, 58, 60, 63
Колебательное звено 279
Комплексно-частотные характеристики,
логарифмические 674
звеньев первого порядка 675
звеньев второго порядка 690
Корневые годографы 622
аналитический метод построения 631
геометрический метод построения 629
определение областей устойчивости 635
основные свойства 623, 628
оценка качества при возмущении,
приложенном не к основному входу, 655
Корневые годографы логарифмические 687
действительные ветви 685
комплексные ветви 688
пример построения 695
Корректирующее устройство 76
параллельное 55
последовательное 55
Коррекция статических характеристик 149
Коэффициент
наклона 553
затухания 281
ошибки 294
передаточный 141
Критерий
качества приспособления 65
качества регулирования 567
монотонности 569, 571
неотрицательности квадратичных форм 569
отсутствия перерегулирований 568, 571
перемежаемости корней 460
Критерий устойчивости 455
Михайлова 458
Найквиста-Михайлова 466, 472, 475
Рауса и Гурвица 461
Круговая диаграмма
амплитудная 245
вещественная 242
вещественная и мнимая для обратной
амплитудно-фазовой характеристики 247
мнимая 244
фазовая 246
/Гамбда-преобразование 305
Линеаризация
дифференциальных уравнений 129
нелинейной характеристики 161
Логарифмическая амплитудная
характеристика 239
интервалы частот 601
определение добротности 602
построение 485
свойства, определяющие качество 600
типовая 609
Логарифмические комплексно-частотные
характеристики
звеньев первого порядка 675
звеньев второго порядка 690
Логарифмические корневые годографы 687
Логарифмические частотные характеристики
анализ устойчивости по ним 480, 489
звеньев 277, 283, 290, 292
приближенный метод построения 483
типовые 609
Математическая модель системы
автоматического регулирования
детерминированная 60
статистическая 60
Метод интегральных оценок 700
Метод корневых годографов 622
Метод логарифмических корневых
годографов 674
Метод структурных преобразований 304
Метод трапецеидальных частотных
характеристик 550, 556
Метод частотный
анализа качества 563, 592, 599
анализа переходных процессов 537
анализа устойчивости 466
Минимально-фазовые системы 220
Мнимая частотная характеристика 191, 238
обобщенная 540
определение по амплитудно-фазовой
характеристике 244
определение по логарифмическим
частотным характеристикам 254
разностная 566
связь с импульсной переходной
функцией 544
Модулятор 56
Невозмущенное движение 437
Нейтрализующее звено 373
Нелинейная система 59, 224
Нелинейная характеристика
гидравлического серводвигателя 163
гидропривода, управляемого струйной
трубкой, 179
гистерезисного типа 182
линеаризация 161
мембранного исполнительного
механизма 170
несущественная 162
пневмоуоилителя 178
реле 173
существенная 163
типичная 163
экспериментальное определение 185
Номограмма
для определения Р (со) 254
для определения Q (со) 254
для определения А (со) 249
для определения ф (со) 249
для определения показателей качества
по типовой логарифмической
амплитудной характеристике 609
для построения фазовой частотной
характеристики апериодического звена 278
765

Область устойчивости 495, 500
определение методом корневого
годографа 633
условия существования 509
Обобщенная частотная характеристика 537,
540, 542
вещественная 540
мнимая 540
связь с переходным процессом 532
Обратная связь 146, 231
гибкая 80
главная 61
местная 61
отрицательная 146
перекрестная 148
положительная 146
Объект регулирования 47, 75
дифференциальные уравнения 124, 132
Октава 240
Определители Гурвица 464
Оптимизация управления
вторичная 40
первичная 40
Особые прямые 503
Отклонение регулируемой величины 51, 72
Относительный коэффициент затухания
колебательного звена 280
Ошибка системы автоматического
регулирования 231, 294
Память системы 192
Параметры
детерминированные 189
распределенные 188, 199
случайные 189
Передаточный коэффициент
критическое значение 470
определение по логарифмической
амплитудной характеристике 602
Передаточная функция 190
нелинейной системы 226
нестационарной системы 220, 362
системы с гармонической модуляцией 210
стационарной дискретной системы 215
стационарной непрерывной системы 193
ошибки 231
элемента с запаздыванием 206
элемента с распределенными
параметрами 203
Передаточная функция системы
автоматического регулирования
астатической 235, 238
определение по заданной аналитически
частотной характеристике 262
основные свойства 195
статической системы 235
Перекрестная обратная связь 148
Перерегулирование 71
оценка по вещественной частотной
характеристике 585
оценка по расположению нулей и
полюсов 645
условия, обеспечивающие малые
перерегулирования, 578
Параметрическая весовая функция 307
Переходный процесс
вынужденная составляющая 620
определение по вещественной частотной
характеристике методом трапеций 552
определение по сопрягающим частотам
логарифмической амплитудной
характеристики 604
свободная составляющая 620
сопровождающая составляющая 661, 666
условия монотонности. 581
Переходная функция 272
дифференцирование 577
единичная 547
импульсная 189
определение дискретных значений 559
определение по расположению нулей и
полюсов замкнутой системы 642
связь с частотными характеристиками 547
смещение 577
типовых звеньев 273, 281, 289, 291, 292
Показатели качества 71
определение по логарифмической
амплитудной характеристике с помощью
номограмм 609
Показатель
точности управления 43
цели управления 40
эффективности управления 41
Поле характеристик 184
Полоса пропускания
влияние расположения нулей и полюсов
651
Полюса замкнутой системы
доминирующие 640
определение по логарифмической
комплексно-частотной характеристике
разомкнутой системы 684
Постоянная времени 272
Преобразование Лапласа 190
применение к решению уравнений
элемента с распределенными параметрами
200
Преобразование структурных схем 316
Преобразующие устройства 77
Принцип
аргумента 457
суперпозиции 192
Проблема
анализа качества 536
анализа переходных процессов 536
регулирования 45
управления 42
устойчивости 435
Прямой метод Ляпунова 442, 447
Распределение корней 621
Распределение нулей и полюсов
передаточной функции 661
Регулирование определение 45
Регулируемая величина 48
область допустимых отклонений 72
Регулирующий орган 75
Регулятор 47
Регулятор напряжения, электронный 84
структурная схема 395
уравнения и передаточные функции 392
Регулятор скорости гидротурбины 79
структурная схема 390
уравнения и передаточные функции 382
Резонанс обобщенный 663
Связь обратная 146, 231
гибкая 80
главная 61
местная 61
отрицательная 146.
положительная 146
Сервомеханизм 55
Сигнал
входной 52
выходной 52
главной обратной связи 52
ошибки 52
Символ свертки 306
Система автоматического регулирования
автономная 62
астатическая 232
дискретная 59
дискретно-непрерывная 59
замкнутого цикла 49
импульсная 58
линейная 59
многоконтурная 61
766

нелинейная 59
непрерывная 57
неприспосабливающаяся 63
нестационарная 60
одноконтурная 61
определение 50
приспосабливающаяся 64
разомкнутого цикла 49, 231
релейная 58
релейно-импульсная 58
самонастраивающаяся 64
самоорганизующаяся 64
с гармонической модуляцией сигнала 57,
210
статическая 232
стационарная 60
Система автоматического регулирования
скорости гидротурбины 77
анализ устойчивости 512
структурная схема 390
уравнения и передаточные функции 382
Система автоматического регулирования
режима ректификационной колонны 108
Система автоматического регулирования
ядерным реактором по мощности 87
анализ устойчивости 529
структурная схема 396
уравнения и передаточные функции 397
Система автоматической стабилизации 53
Система автоматического управления 38
Система автоматического управления
универсальными летучими ножницами 93
структурная схема 413, 418
уравнения и передаточные функции 413
Система минимально-фазовая 220
Система несвязанного регулирования 62
Система приспосабливающаяся 64
активная £5
пассивная 65
с замкнутым циклом 65
с разомкнутым циклом 65
Система программного управления 53
реверсивным прокатным станом 112
фрезерным станком 102, 104
Система самоприспосабливающаяся 65
аналитическая 66
комбинированная 66
поисковая 66
Система связанного регулирования 62
Система следящая 53
Система > правляющая 38
Система эквивалентная механическая 350
Следящая система копировально-фрезерного
полуавтомата 98
анализ устойчивости 520
описание 98
структурная схема 431
уравнения и передаточные функции 427
Следящая система радиолокационной
станции 90
структурная схема 412
описание 90
уравнения и передаточные функции 404
Собственная составляющая переходного
процесса 661, 667
Собственно устойчивая система 450
Сопрягающая частота 276
Спектр внешнего воздействия 665, 71
Сравнивающее устройство 76
Статизм регулирования 154
Статика линейных систем автоматического
регулирования
многомерных 156
одномерных 152
Статическая автономность 157
Статическая инвариантность 157
Статические характеристики звеньев 141
встречно-параллельное включение 146
параллельное включение 143
последовательное включение 144
коррекция 149
Структурные схемы
графическое изображение элементов
структуры 305
детализированные 306, 313, 358
исполнительных элементов 346
многоконтурные 316
перекрестные 323
систем автоматического регулирования
330, 331, 335, 356
эквивалентных механических систем 350
Структурные преобразования
многоконтурных схем 316, 329
параметрических схем 362
перекрестных схем 323
переменных систем к сопряженной
форме 360
примеры 330, 331, 335
типовые 325
схем с нелинейными звеньями 370
Суперпозиции принцип 192
Таблица
значений функции Si \Q\ 590
Рауса 463
передаточных функций для типовых
логарифмических амплитудных
характеристик 611
поправок для построения
логарифмической амплитудной характеристики
апериодического звена 277
поправок для построения фазовой
характеристики апериодического звена 278
приращений интегрального синуса 561
структурных преобразований схем 378
типичных нелинейных характеристик 163
формул для вычисления коэффициентов
ошибок 299
формул для вычисления коэффициентов
ошибок и запаса устойчивости по фазе
615
h% функций 722
Теорема изменения масштаба 554
Теорема Коши 457
Теоремы Ляпунова 441, 444
Типовые звенья 270, 272, 279, 288, 291, 292
Точка разветвления 60
Точность
динамическая 74
статическая 71
Трапецеидальная частотная характеристика
552
единичная 553
применение для построения переходных
процессов 554
Узел разветвления 374
Управляющее воздействие 46
Уравнения
динамики 118
интегральные системы автоматического
регулирования 269
Лагранжа 119
линеаризация 129, 134
объекта регулирования 122, 124, 137
ошибок 124
первого приближения 441
регулятора 122, 124
свертки 306
систем автоматического регулирования,
общие, линеаризованные 131
систем несвязанного независимого
регулирования 126
систем связанного зависимого
регулирования 125
сопряженные 315
статики 118
767

Усилительные устройства 55, 76
Условия
качественного воспроизведения внешнего
воздействия 663, 671
монотонности 581, 583
однозначной связи А (со) и ф (со) 260
однозначной связи Р (со) и Q ((d) 259
отсутствия перерегулирований 578,
применимости частотного метода
построения переходного процесса 558
статической автономности 157
статической инвариантности 157
существования области устойчивости 509
устойчивости 220, 452
физической осуществимости 192, 220
Устойчивость
в большом 439
в малом 439
многоконтурных систем 486
на конечном интервале 446
одноконтурных систем 480
определение по Ляпунову 438
Устройство
главной обратной связи 55
задающее 55, 76
измерительное 55, 76
исполнительное 55, 77
корректирующее параллельное 55, 77
корректирующее последовательное 55, 77
преобразующее 55, 77
сравнивающее 55, 76
усилительное 55, 76
Фазовая частотная характеристика 191, 238
вычисление по известной амплитудной
частотной характеристике 263
Физическая осуществимость 192, 200
Функциональная структурная схема
системы автоматического регулирования 54
Функция веса (см. переходная функция,
импульсная)
Функция веса параметрическая 307
Функция Ляпунова 441, 449
Функция передаточная 190
Цикл регулирования
замкнутый 49
разомкнутый 49
Частота
сопрягающая 276
среза 514
Частотная характеристика
амплитудная 191
амплитудно-фазовая 190
вещественная 191
логарифмическая амплитудная 239
логарифмическая фазовая 240
мнимая 191
нестационарной системы 223
обобщенная 537
высокоточной системы 597
стационарной системы 196
связь с импульсной переходной функцией
544
связь с переходной функцией 547, 554
связь с качеством 592, 599
типовых звеньев 274, 282, 290, 292
трапецеидальная 552
фазовая 191
экспериментальное определение 198
элемента с распределенными параметрами
207
элемента дискретного 216
Элемент
динамический 60, 188
импульсный 216
с распределенными параметрами 199, 203,
207, 209
чувствительный 76
Эквивалентная механическая система 348
ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Книга 1
Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем
автоматического регулирования
Технический редактор Н. Ф. Дёмкина. Корректор И. Т. Петрова
Переплет и суперобложка художника А. #. Михайлова
Художественный редактор В. В. Лебедев
Сдано в производство 22/VI 1966 г. Подписано к печати 20/IV 1967 г. Т-05840.
Тираж 31 000 экз. Печ. л. 49,25 (3 вкл.) Бум. л. 24,63. Уч.-изд. л. 49,5. Формат 60X90Vie.
Темплан 1967 г., № 84, Цена 3 р» Ш к. Зак. 532.
Издательство «МАШИНОСТРОЕНИЕ», Москва, Б-66, 1-й Басманный пер., 3.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор»
им. А. М4 Горького Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР,
г* Ленинград, Гатчинская ул., 26,

ПОПРАВКА
В выходных сведениях неправильно указана
цена 3 р. 36 к. Правильная цена книги 3 р. 21 к.