/
Текст
справочник
В. Н. Кобелев
Л.М. Коварский
С.И.Тимофеев
РАСЧЕТ
трехслойных
конструкций
Под общей редакцией
д-ра техн, наук проф. В. Н. КОБЕЛЕВА
МОСНВА
МАШИНОСТРОЕНИЕ
1984
ЁБК 34.42
К55
УДК 539.41 : 629.7.023 (03)
Рецензент В. И. Мяченков
Кобелев В. Н. и др.
К 55 Расчет трехслойных конструкций: Справочник/В. Н. Ко-
белев, Л. М. Коварский, С. И. Тимофеев; Под общ. ред.
В. Н. Кобелева.—М.: Машиностроение, 1984.—304 с., ил.
В пер.: 1 р. 30 к.
В справочнике приведены методы расчета трехслойных пластин и обо-
лочек, параметров напряженно-деформированного состояния, критических
нагрузок трехслойных пластин и оболочек несимметричного строения при дей-
ствии различных нагрузок. Впервые рассмотрен расчет трехслойных конструк-
ций, подкрепленных силовым набором. Приведены данные по расчету кон-
струкций с расслоениями.
Справочник предназначен для инженерно-технических работников всех
отраслей машиностроения, а также студентов высших учебных заведений.
, 2702000000-116 ББК 34.42
К 038(0Г)-84~~ 116'84' 6П5.3
@ Издательство «Машиностроение», 1984 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время вопросам расчета напряженно-деформированного состояния
и критических параметров устойчивости трехслойных пластин и оболочек уделя-
ется большое внимание.
Однако в опубликованных по этому вопросу работах не рассмотрены некоторые
важные для практики схемы нагружения трехслойных конструкций, например
нагружение давлением, неравномерно распределенным по поверхности цилиндри-
ческой оболочки, комбинацией нагрузок с осевой силой, нагружение на один слой,
отсутствуют расчетные зависимости для определения напряженно-деформированного
состояния ортотропных оболочек в зонах действия краевых эффектов; не рассмотрены
прочность и устойчивость подкрепленных набором трехслойных пластин и оболочек.
В предлагаемом справочнике обобщены результаты известных работ, а также
приведены новые методики, позволяющие рассчитывать параметры напряженно-
деформированного состояния и критические нагрузки трехслойных пластин и ци-
линдрических оболочек. Уточнены результаты некоторыхДэассмотренных ранее
задач, решение которых не сходится с экспериментом.
Вновь разработаны расчетные зависимости для пластин и оболочек, имеющих
ортотропные несущие слои и заполнитель, что позволяет вести расчет трехслойных
конструкций, изготовленных с применением новых конструкционных материалов.
Большинство предлагаемых методик проверено экспериментально на боль-
шом числе образцов.
Наряду с обобщением имеющихся данных о заполнителях приводятся методики
расчета параметров некоторых типов дискретных заполнителей, данные по расчету-
которых отсутствуют в печати. Графики, приведенные на рис. 3.19... 3.50, по
зволяют выполнять расчеты с достаточной степенью точности.
Гл. 1, 3 написаны д-ром техн, наук профессором В. Н. Кобелевым и канд.
техн, наук Л. М. Коварским, гл. 2, 5 — В. Н. Кобелевым, гл. 4 — В Н. Ко-
белевым и канд. техн, наук С. И. Тимофеевым, гл. 6 — С. И. Тимофеевым,
гл. 7. — В. Н. Кобелевым и Л. М. Коварским. В гл. 7 использованы материалы
инж. В. В Кобелева и инж. В. А. Дерюшева.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х, у, г — прямоугольные декартовы координаты;
а » х//?а'> ₽ =* у!Яа — безразмерные координаты;
г — сосредоточенная внешняя сила;
рх, Ру — нормальные составляющие нагрузки, действующей в пло-
скости срединной поверхности в 6м направлении, рас-
пределенные по линии;
Рху — касательная составляющая нагрузки, действующей в пло-
скости срединной поверхности, распределенная по кром-
кам пластинки;
Мгк — нормальное усилие в сечении слоя;
Ркр — критическое усилие при осевом сжатии в плоскости сре-
динных поверхностей;
?кр — критическое давление;
р*, 9* — параметры критических усилий;
— касательное усилие;
— изгибающий момент;
0/й — нормальные напряжения;
оБ — предел прочности при растяжении;
овс — предел прочности при сжатии;
от — предел текучести;
°пц — предел пропорциональности при растяжении;
тол — касательные напряжения;
9 — распределенная по поверхности внешняя нагрузка;
9о — максимальная распределенная по поверхности внешняя
нагрузка;
Як — радиус срединной поверхности й-го слоя оболочки;
(к — толщина наружных слоев;
с — толщина заполнителя;
Н — толщина трехслойной панели, оболочки;
р — плотность материала;
а — размер стороны ячейки сот, длинная сторона пластины;
/ст — толщина стенки дискретного заполнителя;
I — длина оболочки, панели;
5 — площадь панели;
Ь — ширина панели, короткая сторона пластины;
Ик, Ук, и>к — перемещения слоев трехслойной конструкции вдоль осей
координат;
Е{к-—модуль продольной упругости;
^Ик — коэффициент Пуассона;
С[]к — модуль сдвига.
Индексы компонентов напряженно-деформнрованного состояния, геометриче-
ских и физико-механических параметров трехслойной конструкции имеют следующие
значения; I, / — плоскость анизотропии и плоскость сдвига соответственно. Если
первый индекс одиночный, то он означает направление действия силы, перемещения;
к — номер слоя (1 и 2 — несущие, 3 — заполнитель); м— материал; опц — пре-
дел пропорциональности при сжатии; о/? — предел выносливости при циклическом
нагружении.
Безразмерные параметры трехслойной конструкции
— Оз/Ег, X = Яз/с; — с/1г,
Вц? = ^ък^кЦ^-
Для упрощения использования вычислительной техники при расчетах трех-
слойных конструкций, особенно с несущими слоями и заполнителем анизотропной
структуры, введены численные обозначения физико-механических параметров ма-
териалов несущих слоев и заполнителей. Направлению х соответствует цифра 1,
направлению у — цифра 2, направлению г — цифра 3.
Г лава 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕХСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЯХ
1.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Применение высокопрочных сталей, титана и его сплавов, армиро-
ванных пластиков и других композиционных материалов на основе
сверхпрочных непрерывных волокон или нитевидных кристаллов
в тонкостенных подкрепленных конструкциях, работающих в усло-
виях изгиба и сжатия, часто бывает неэффективным. Это объясняется
тем, что по условию прочности конструкции из этих материалов
должны иметь очень малую толщину. Но при этом резко снижается
момент инерции сечения пластины или оболочки, и конструкция,
особенно при невысоких модулях упругости материала, имеет низкие
критические напряжения потери устойчивости.
Этого недостатка лишены трехслойные пластины и оболочки.
Трехслойная пластина, или оболочка, состоит из двух относительно
тонких внешних слоев (называемых несущими) из высокопрочных
материалов, связанных слоем заполнителя, толщина которого значи-
тельно больше толщины несущих слоев. Прочностные характеристики
и плотность заполнителя, как правило, значительно ниже, чем несу-
щих слоев.
При использовании соответствующих материалов несущих слоев и
заполнителя трехслойные пластины и оболочки могут обладать хоро-
шими вибропоглощающими характеристиками, иметь необходимые
звуке- и теплоизоляционные свойства, требуемую свето- и радио-
прозрачность.
По степени заполнения объема между несущими слоями запол-
нитель бывает сплошным и дискретным. Так как структура дискрет-
ного заполнителя практически всегда регулярна, то можно выделить
некоторую площадь 5П поверхности несущего слоя, на которую про-
ектируется элементарная ячейка заполнителя. Объем элемента за-
полнителя Уп = 5пс, тогда объем материала Ур, расположенного
в объеме Уп, назовем рабочим объемом заполнителя. Отношение Ур/Уп
характеризует степень заполнения объема между несущими слоями.
Если Ур/Уп 1. то заполнитель является сплошным (например,
пенозаполнитель), в противном случае заполнитель считается диск-
ретным. Дискретный заполнитель представляет собой пространствен-
ную конструкцию, может изготовляться из того же материала, что и
несущие слои, либо из другого. Если структура дискретного заполни-
теля постоянна по толщине, то степень заполнения объема характери-
зуют коэффициентом прерывистости Лпр.
По материалу несущих слоев и заполнителя трехслойные кон-
струкции бывают металлическими, пластмассовыми, комбинирован-
ними. По структуре сечения трехслойные конструкции разделяют на
симметричные и несимметричные. Если несущие слои имеют одинако-
вую толщину и изготовлены из одинаковых материалов, то конструк-
цию считают симметричной. У несимметричных конструкций несу-
щие слои имеют неодинаковую толщину, изготовлены из разных
материалов, т. е. асимметрия может быть геометрической и физической.
Применение несимметричных по структуре трехслойных кон-
струкций связано не только с требованиями получения конструкции
минимальной массы, но и с функциональными свойствами, например
обеспечивает минимальную теплопроводность, радиопрозрачность
и др.
1.2. ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ
ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Созданию и применению трехслойных конструкций предшество-
вало большое число теоретических и экспериментальных исследова-
ний. В результате их выявлены следующие основные преимущества
трехслойных конструкций.
Рис. 1.1. Сравнение удельной массы
паяных сотовых панелей с панелями
Других конструкций при изгибе:
1 — трехслойная панель с гофрированным
заполнителем с несущими слоями из стали
Б НС-2, пт > 1250 МПа; 2 — стрингерная
панель с обшивкой из стали В НС-2, от >
> 1250 МПа; 3 — трехслойная панель с со-
товым заполнителем и несущими слоями из
стали СН-4, ов == (1300 ± 100) МПа; 4 —
то же, ав == (1600 ± 100) МПа
Рис. 1.2. Сравнение удельной массы
стальных сотовых панелей и титано-
вых конструкций при изгибе при 20 °С:
1 — трехслойная панель с гофрированным
заполнителем и несущими слоями из тита-
на ОТ-4, Св «= (800 ± 10) МПа: 2 —
стрингерная панель с обшивкой из титана
ОТ-4, ав = (800 ±10) МПа; 3 — трех-
слойная панель с сотовым заполнителем и
несущими слоями из стали СН-4, ав =
= (1300 ± 100) МПа; 4 — то же, ав —
= (1600 ± 100) МПа
1. Малая масса по сравнению с традиционными типами подкреп-
ленных пластин и оболочек при определенных размерах конструкции
и типах материалов. Наибольший выигрыш в массе можно получать
при использовании трехслойных плоских пластин. Массовая эффек-
тивность трехслойных конструкций тем выше, чем бодыце удельная
жесткость несущих слоев (рис. 1.1 и 1.2),
6
2. Экономичность по сравнению с традиционными конструкциями.
Однако при использовании некоторых новых высокопрочных компо-
зиционных материалов стоимость трехслойных панелей может быть
высокой несмотря на малую массу.
3. Хорошие теплоизолирующие свойства.
4. Повышенная звукоизолирующая способность.
5. Высокий коэффициент внутреннего поглощения энергии: декре-
мент колебаний на один-два порядка выше, чем у подкрепленных
конструкций. Долговечность трехслойных панелей при воздействии
переменных нагрузок выше, чем
листового материала и сварных
однослойных подкрепленных па-
нелей (рис. 1.3). Предел выносли-
Рис. 1.3. Зависимость предела выносливо-
сти от числа циклов до разрушения для
различных типов конструкций:
1 — однослойного образца при растяжеини-
сжатии; 2 — трехслойиого сварного образца
РН15-7М (США) при изгибе; 3 — трехслойно-
го паяного образца с несущими слоями из ста-
ли СН-4 (СССР) при изгибе; 4 — трехслойного
паяного образца РН15-7М (США) при изгибе
Рис. 1.4. Зависимость уровня зву-
кового давления, соответствующе-
го разрушению конструкции, от
времени акустического воздействия:
1 — стрингерная ^подкрепленная па-
нель с обшивкой из стзли В НС-2; 2 —
сотовая конструкция с несущими сло-
ями из стали В НС-2
вости повышается при уменьшении жесткости заполнителя на сдвиг.
6. Выносливость слоистых панелей превышает выносливость
панелей стрингерных конструкций (рис. 1.4).
7. Большой срок службы за счет равномерного подкрепления
несущих слоев, отсутствия заклепок, вызывающих концентрацию
напряжений.
8. Применение трехслойных конструкций (в том числе паяных
и сварных) позволяет ликвидировать операцию правки и устранить
концентрацию напряжений.
9. Невысокая трудоемкость изготовления и сборки вследствие
меньшего числа деталей по сравнению с обычными конструкциями.
При использовании современной технологии изготовления трех-
слойные конструкции имеют стабильные значения параметров проч-
ности. Результаты контрольных испытаний сотовых панелей из стали
Н17Н5МЗ показывают, что разброс прочности для панелей трехслой-
ной конструкции совпадает с дисперсией прочностных характеристик,
имеющей место при изготовлении стрингерных панелей; падение
прочности сотовых стальных трехслойных конструкций при повышен-
ных температурах соответствует падению прочностных характе-
ристик стали, что подтверждает надежность работы паяного соеди-
нения в условиях повышенной температуры. Выдержка герметизи-
рованных панелей в климатической камере при тропических условиях
в течение года также не сказывается на прочности панелей.
Трехслойные конструкции имеют и некоторые недостатки:
снижение прочности в процессе эксплуатации клеевых соединений
за счет старения клея;
жесткие требования к технологическому процессу и его стабиль-
ности;
необходимость применения совершенных методов и аппаратуры
для неразрушающего контроля соединений заполнителя с несущими
слоями; отсутствие надежных методов нормирования допускаемых
дефектов трехслойных конструкций, особенно типа расслоения.
По массовой эффективности конструкции различного типа можно
расположить в следующем порядке: трехслойные конструкции с со-
товым заполнителем; конструкции из композиционных материалов
на основе борволокна и алюминиевой матрицы; конструкции из
эпоксидного графитопластика; конструкции из бериллиевых сплавов;
подкрепленные конструкции из алюминиевых сплавов.
По экономической эффективности тонкостенные конструкции
располагаются в такой последовательности: трехслойные конструк-
ции с несущими слоями и заполнителем из алюминиевых сплавов и
стеклопластиков; подкрепленные конструкции; трехслойные кон-
струкции с несущими слоями из эпоксидного боропластика и угле-
пластика; трехслойные конструкции с несущими слоями из компози-
ционных материалов на основе борволокон и алюминиевой матрицы.
В некоторых случаях созданию эффективных трехслойных кон-
струкций препятствуют технологические возможности производства.
Например, теоретически при определенных условиях нагружения
наиболее эффективной является трехслойная цилиндрическая обо-
лочка с сотовым заполнителем из алюминиевой фольги и несущими
слоями из углепластика толщиной 0,17 мм, однако в настоящее
время изготовить несущие слои из углепластика толщиной менее
0,64 мм невозможно [11].
1.3. ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Наиболее эффективны трехслойные силовые элементы в виде
пластинок, панелей и оболочек. Расчетные модели для трехслойных
пластинок и оболочек сложнее, чем для однослойных. Это связано
с тем, что каждый несущий слой рассматривается как тонкостенная
пластинка и оболочка, а заполнитель, имеющий значительно боль-
шую толщину, в общем случае может быть представлен как трехмер-
ное тело. При изгибе пластин или оболочки основным видом дефор-
мации заполнителя, обеспечивающим совместную работу несущих
слоев, является сдвиг. При нагружении сосредоточенными силами
в направлении, перпендикулярном срединной поверхности пластинки
или оболочки, заполнитель сжимается или растягивается в этом
направлении.
При описании работы заполнителя предполагается, что танген-
циальные перемещения по толщине при деформировании трехслойной
конструкции изменяются линейно. Это допущение справедливо при
определенных параметрах заполнителей.
При определенных схемах нагружения и параметрах трехслойной1
конструкции допустимо считать, что сближение слоев по нормали
отсутствует. Это часто позволяет упростить расчеты на прочность и
устойчивость трехслойной панели, пластинки или оболочки. Такое
допущение правомерно при расчете трехслойной конструкции, близ-
кой по структуре к симметричной, на которую действует распреде-
ленная нагрузка, описываемая такой функцией, которая имеет малое
отношение величины первой производной к самой функции или вели-
чины последующей производной к предыдущей.
Кроме того, это допущение справедливо при расчете конструкции
вдали от зон с резким изменением параметров конструкции или
вдали от опор.
Экспериментальные исследования показали, что при существен-
ной несимметрии трехслойной панели даже при равномерном нагру-
жении по всей поверхности в некоторых случаях имеется разница
в прогибах несущих слоев. Если нагрузка приложена со стороны
более толстого слоя, то прогибы несущих слоев практически равны,
сближения слоев нет. Если нагрузка приложена со стороны более
тонкого слоя — прогибы несущих слоев различны, имеет место
сближение слоев.
В литературе проанализировано влияние относительной толщины
заполнителя X-1 на критическую нагрузку, а также возможность
применения различных гипотез при расчете трехслойных цилиндри-
ческих оболочек на устойчивость. Исследование проведено для обо-
лочек с маложестким заполнителем, однако качественно результаты
можно распространить на оболочки с заполнителем средней жест-
кости.
При X-1 <г0,12 зависимость параметра^критической нагрузки
от 7~’ близка к линейной. В этой области при потере устойчивости
отношение прогибов несущих слоев ^"1, а п3 и п3 изменяются
линейно по толщине, т. е. допустимо использование при расчетах
закона ломаной линии. При 0,12 < V1 < 0,2 отношение
уменьшается, а закон изменения перемещений в срединной поверх-
ности отличен от линейного. При V1 0,2 критическая нагрузка не
зависит от толщины заполнителя. Отношение прогибов равно нулю,
т. е. внутренний слой не теряет устойчивость, а внешний работает
как оболочка на упругом основании.
Для трехслойных конструкций со структурой, близкой к симме-
тричной, применимо деление заполнителей на легкие и жесткие.
К легким относят такие заполнители, при использовании которых
в трехслойных конструкциях продольные силы практически целиком
воспринимаются внешними слоями. Жесткие заполнители в конструк-
ции воспринимают заметную часть продольных сил.
Большое влияние на напряженно-деформированное состояние
трехслойных конструкций оказывает характер закрепления кромок.
Классические граничные условия для трехслойных конструкций не
имеют практического применения для реальных условий опирания
края. Для трехслойных конструкций специфическим является слу-
чай закрепления пластины или оболочки по контуру за несущие
слои. Анализ схем соединения панелей друг с другом и другими эле-
ментами конструкции показал, что крепить трехслойную пластину
или оболочку по контуру за боковую поверхность заполнителя
практически невозможно.
Вследствие технологических трудностей несущие слои закрепляют
неодинаково, особенно если они изготовлены из разных материалов.
Это приводит к тому, что в зонах, прилегающих к опорам, усилия со
всех элементов конструкции передаются на один слой. Длину такой
зоны можно определить по формуле
/ = 1 Л гс2 х3н /е0 /1
V 2 /3(1 — V2) V
2/7/3(1 — у2) \
/?3₽ /ё; /
(1.1)
где Н = + /2 + с; Р = 12С3с (1 — V^)/(А©1); V = у^, 4- у2х2 +
+ Т.А3; ©о = ©х + 202 + ©3.
Во введенных постоянных использованы следующие параметры
трехслойной конструкции и их комплексы:
(2 \
— — I
У -р Е3с I —осредненный модуль упругости пакета,
1=1 /
/ 2 - _ \ —1
у,- = Е^ У ^^1 + ^зС| —относительная жестокость несущих слоев,
у3 = Ё3с ( У Е^{ -ф- Д3сА — относительная жесткость заполнителя,
\»=1 /
©! = с3 [ 1 + 2 (Т1 + у2) - 3 (ух - у2)2],
02 = Зу3с (уА 4* у2?2) 4* бухУгС (?! + ?2),
©3 = 4 (у4? -ф У2?!) — з (У1?1 — Т2?2)2,
где ф- = с — с/Д; I = 1,2.
Приближенное выражение для определения длины зоны, спра-
ведливое для легких заполнителей и заполнителей средней
жесткости и проверенное экспериментально, имеет вид
/ - 2,5|/ Д3(с4--Л+^) .
В пределах этой зоны возникают существенные сдвиги в заполни-
теле, которые могут привести к расслоению оболочки. Для устране-
ния этого явления в торцовых сечениях конструкции устанавливают
диафрагмы, соединяющие несущие слои. Установка силовых элемен-
тов для связи несущих слоев на краях оболочек и панели может
существенно увеличить массу трехслойных конструкций; масса
возрастает и при нагружении трехслойной пластины или оболочки
ю
усилиями, приложенными к одному из Несущих слоев, так как для
включения в работу второго слоя требуются дополнительные силовые
элементы или более жесткий заполнитель в краевой зоне. Необхо-
дима тщательная конструктивная проработка этих элементов (рис.
1.5). Как следует из приведенных схем, желательны решения, упро-
щающие схемы, снижающие массу, число деталей и разрезов.
Рис. 1.5. Узел передачи поперечно-
го сосредоточенного усилия в трех-
слойной конструкции с сотовым за-
полнителем:
1 ... 3 — нежелательные решения, 4 ...
...6 — рациональные решения: 1 — тав-
ровый элемент между слоями; 2 — спло-
шной вкладыш между слоями; 3 — для
передачи усилия иа оба слоя через си-
ловой элемент один из несущих слоев
разрезан; 4 — без усилений; 5 — повы-
шение жесткости заполнителя за счет
уменьшения размера ячейки; 6 — по-
вышение жесткости заполнителя за
счет увеличения толщины стенки сот
При расчете трехслойных пластин и оболочек с маложестким
заполнителем и тонкими внешними слоями необходимо иметь в виду,
что сжатые внешние слои при изгибе могут отрываться от заполни-
теля и терять устойчивость изолированно.
1.4. МАТЕРИАЛЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Сочетания материалов несущих слоев и заполнителя могут быть
самыми разнообразными. Выбор сочетания обусловливается назна-
чением конструкции, условиями ее работы и способами изготовления.
Материалы несущих слоев и заполнителя следует подбирать так,
чтобы их свойства дополняли друг друга. Наиболее часто встречаю-
щиеся сочетания материалов, применяемых для изготовления несу-
щих слоев и заполнителей, приведены в табл. 1.1.
В машиностроении наиболее распространены трехслойные кон-
струкции, несущие слои которых изготовлены из алюминиевых или
титановых сплавов, коррозионно-стойких или жаропрочных сталей,
а заполнитель дискретный металлический. Дискретные заполнители
из металла применяют в силовых конструкциях самолетов и ракет,
так как такие заполнители прочны и обладают хорошим сопротивле-
нием сжатию. Наименьшую массу и высокую коррозионную стой-
кость имеют сотовые заполнители из алюминиево-магнневых сплавов.
Грехслойные конструкции с таким заполнителем используют для
корпуса самолета, фюзеляжа, перегородок, силовых шпангоутов,
закрылков, грузовых дверей и т. п. Трехслойные конструкции с ме-
Т а б л п (а 1.1
Материал несущих слоев Материал заполнителя
Металл Неметалл
Стеклопластик Алюминиевый сплав Коррозионно-стойкая сталь Титановый сплав Углепласт Алюминиевый сплав, пено- пласт типа ФК-20, пено- пласт типа ПХВ-1 Алюминиевый сплав, стек- лоткань, пенопласт типа ФК-20 Коррозионно-стойкая сталь, титановый сплав Алюминиевый сплав, корро- зионно-стойкая сталь Алюминиевый сплав Титановые сплавы Стеклоткань, бумага или хлопчатобумажная ткань Бумага или хлопчато- бумажная ткань Пенопласт типа ФУ-20, титановый сплав
таллическим дискретным заполнителем и несущими слоями из стек-
лопластиков или других композиционных материалов применяют
в элементах конструкции сложной формы.
Сотовый заполнитель изготовляют и из неметаллических мате-
риалов: стеклоткани, хлопчатобумажной ткани, специальной бумаги
и т. п. Заполнители и несущие слои из стекловолокнистых материалов
используют там [14 ], где необходимо обеспечить заданные диэлектри-
ческие и радиотехнические свойства, высокую теплоизоляцию и
теплозащиту.
В конструкциях, подверженных действию нагрузок незначи-
тельной интенсивности и работающих при температурах, близких
к нормальным, широко применяют заполнители из хлопчатобумаж-
ной ткани, бумаги крафт. Эти заполнители имеют невысокую стои-
мость и обладают достаточно высокой жесткостью и прочностью.
В сочетании с несущими слоями из алюминиевых сплавов, сталей или
композитов такие заполнители применяют для легких перегородок,
полов и других несиловых или слабо нагруженных конструкций.
Для сплошных заполнителей обычно используют пенопласты.
Получили распространение вспенивающиеся пенопласты на основе
полистирола ПСБ, фенолформальдегидные пенопласты ФК-20, ФК-40
и пенополиуретановые пенопласты типа ПУ. Однако пенопласты
ПСБ имеют низкую допустимую температуру эксплуатации, относи-
тельно низкую механическую прочность. Фенолформальдегидные
пенопласты ФК и ФФ обладают высокими прочностными характе-
ристиками, значительно большей теплостойкостью (до 120 ... 130 °С),
но повышенной хрупкостью. Введение каучука повышает их ударную
вязкость. Полиуретановые пенопласты имеют высокие значения
12
физико-механических параметров, обладают высокой адгезией, хими-
ческой стойкостью, максимальную рабочую температуру 120 .. 170 С.
Формуемые пенопласты — поливинилхлориды (ПХВ) и поли-
стиролы (ПС) имеют более высокие прочностные характеристики и
теплоизоляционные свойства.
При проектировании необходимо учитывать, что трехслойные
конструкции с пенопластовым заполнителем при действии локаль-
ных нагрузок склонны к значительным деформациям, сравнительно
Рис. 1.6. Удельная жесткость трех-
слойных конструкций при различ-
ных типах заполнителя
Рис. 1.7. Удельная прочность
при сжатии трехслойных кон-
струкций прн различных типах
заполнителя
высокие прочностные показатели пенопласта большой плотности
полностью не используются при работе на изгиб, и масса конструк-
ций значительно возрастает.
Удельные характеристики наиболее жестких заполнителей (свар-
ные стеклопласты, соты из алюминиевых сплавов) на порядок меньше,
чем у высокопрочных ориентированных стеклопластов и сталей, и
приближаются к удельным характеристикам таких материалов,
как текстолиты (рис. 1.6 и 1.7).
Физико-механические и другие свойства материалов, применяе-
мых для изготовления несущих слоев трехслойных конструкций,
достаточно хорошо изучены и приведены в справочной литературе.
Рекомендуемые на основании опыта марки сплавов и сталей для
несущих слоев трехслойных конструкций приведены в табл. 1.2.
Марки клеев, применяемые для склеивания трехслойных кон-
струкций, приведены в табл. 1.3.
Для повышения прочности клеевого соединения сотового запол-
нителя с обшивками применяют клеевые пленки, армированные
стеклосетками или сетками из капрона, увеличивают галтели клея
на торцах сот, уменьшают размеры ячеек, заполняют соты пено-
пластом и пр.
Марка материала । Размеры при поставке, мм
Лист Фольга
Коррозионно-стойкие ста- ли: Х15Н7ЮМ2, 08Х17Н5МЗ Толщина 0,4 ... 3,0; ши- рина 1100 (особые тре- бования по коробова- тости) Толщина 0,03 ... 0,1; ширина 120 (отожжен- ная)
Титановые сплавы: ВТ15, ВТ16, ВТ23 Толщина 0,4 ... 3; ши- рина 1100 (особые тре- бования по коробовато- сти) Толщина 0,05 .,.0,1; ширина 120 (отожжен- ная)
Жаропрочные сплавы: ХН60ВТ, ХН56ВМТЮ Толщина 0,3 ... 3,0; ши- рина 1200 Толщина 0,03 ... 0,1; ширина 120
Алюминиевые сплавы: Д16АТ, ЛД1Н, АМгбН, типа САП, АВТ Толщина: 0,33... 1,2; 0,3... 1,5; 0,5... 1,5; 0,8... 1,2 0,03 ... 0,5
Таблица 1.3
Марка клея Температура, °С Ресурс работы клеевых соединений
ВК-32-200 (пленка) (клей гртовят на месте употреб- ления) —60 . . +300 300 ч при 200 °С 20 ч при 300 °С
ВС-ЮТ —60 . . +200 200 ч при 200°С 50 ч при 300 °С
ВК-3 (пленка в рулонах) —60 . . +200 1000 ч при 200 °С
ВС-350 —60 . . 350 200 ч при 200°С 5 ч при 350 °С
К-153 (клей готовят на месте употребления) —196 . . +60 До —150 °С
Для склеивания сотовых конструкций из алюминиевых сплавов
применяют жидкие и пленочные клеи марок ВК.-200, ВС-ЮТ, ВК-3.
Клей ВК-32-200 применяют для склеивания металлических
материалов и стеклопластиков. Соединения морозоустойчивы и
имеют высокий предел прочности при сдвиге. Ценным свойством клея
является эластичность, что подтверждается прочностью клеевых
соединений при неравномерном отрыве.
Соединения из металлов и неметаллических материалов, клеен-
ные клеем ВК-3, обладают высоким пределом прочности при сдвиге
и неравномерном отрыве. После действия переменных температур
—60 ... ~р80 °С прочность соединения снижается на 8 ... 10 %.
Клей ВС-350 содержит фенольно-формальдегидную смолу и
обладает теплостойкостью до 350 °С.
Соединения с клеем ВС-101 обладают значительной прочностью
при равномерном отрыве и высокой длительной прочностью при
повышенной температуре. После 50 циклов воздействия переменной
температуры предел прочности при сдвиге превышает 10 МПа.
Клей К-153 предназначен для склеивания стеклотекстолита
с металлом, а также для соединения алюминиевых сплавов, сталей,
магниевых сплавов и латуни.
Для пайки металлических сотовых трехслойных конструкций
применяются различные припои^(табл. 1.4). Припой изготовляют
в виде лент толщиной 0,5 ... 3 мм, полос, проволоки диаметром
0,5 ... 3 мм и порошка зернистостью 30 ... 50 чмк.
Таблица 1.4
Марка припоя Область применения Температура плавления, °С
ВПр13 Для тонкостенных деталей из коррозионно- стойких сталей 850 ... 910
ПСр40 Для деталей из титановых сплавов, корро- зионно-стойких сталей 595 ... 605
ПСр72 Для соединения деталей из металлов и кера- мики с металлами 779
ПСр70 Для деталей из коррозионно-стойких сталей, титановых сплавов и др. 730 ... 755
Л63 Для конструкционных сталей и сплавов на медной основе 900 ... 905
В настоящее время существует широкая номенклатура мате-
риалов для изготовления трехслойных конструкций, освоено про-
мышленное изготовление различных конструкций заполнителей.
Однако это создает трудности в процессе проектирования из-за
большого объема вычислительных работ.
1.5. ТИПЫ КОНСТРУКЦИЙ
В соответствии с общими требованиями, предъявляемыми к кон-
струкции в целом, трехслойные элементы должны удовлетворять
следующим требованиям: быть прочными, жесткими, технологич-
ными, иметь минимальную массу и стоимость, иметь максимально
возможное число унифицированных элементов и минимальное число
соединений, допускать механизацию технологического процесса,
Рис. 1.8. Конструктивные решения соедине-
ний паяных трехслойных конструкций с сото-
вым заполнителем между собой и с другими
силовыми конструкциями, соединенных с по-
мощью сварки
Рис. 1.9. Схемы стыковки
клееных трехслойных па-
нелей из неметаллических
материалов между собой
и с элементами каркаса
обладать стабильными показателями качества во времени при задан-
ных условиях эксплуатации.
Сотовые панели можно соединять сваркой несущих слоев
(рис. 1.8, д) или с помощью вкладышей различных конструкций:
пустотелых коробчатых (рис. 1.8, б, в); образованных пластинами
(рис. 1.8, ж) или уплотнением сотового заполнителя (рис. 1.8, г),
7-образной формы (рис. 1.8, з); или двутавровой формы (рис. 1.8, а);
сплошных (рис. 1.8, е); специальной формы (рис. 1.8, и). Болтовое
соединение применяют при использовании жестких сборных вклады-
шей (рис. 1.8, и), способных воспринимать усилие сжатия.
Возможно комбинированное соединение: к одной панели вкла-
дыши приваривают, а с другой соединяют с помощью болтов. Эти
соединения хорошо работают при статических и циклических на-
грузках.
На рис. 1.9, 1.10 приведены соединения клееных панелей из
неметаллических материалов между собой и с элементами каркаса.
В местах соединения между несущими слоями вместо сотового запол-
нителя закладывают, как правило, вкладыши, профили, втулки
цилиндрической или конической формы и т. п. Цилиндрические и
конические втулки соединяют с панелью с помощью болтов или клея.
Рис. 1.10. Варианты соединений панелей между
собой и с элементами каркаса:
1 — профиль; 2 — вкладыш;’3 — втулка; 4 — стекло-
ткань, пропитанная связующим средством; 5 — вту-
лка; б — накладка; 7 — болт; 3 — сотовый заполни-
тель; 9 — несущий слой
5
Рис 1.11. Соединительные
элементы стыковочных уз-
лов трехслойных панелей:
1 — коническая втулка из пласт-
массы; 2 — профиль; 3 — ци-
линдрическая втулка; 4 — вкла-
дыш с резьбой; 5 — профиль
прямоугольного сечения
Посадочные места под конические втулки обрабатывают механиче-
ски. Типовые вкладыши, применяемые в клееных панелях с несущими
слоями и заполнителем, изготовленными из алюминиевых сплавов,
показаны на рис. 1.11. Наиболее технологичны цилиндрические
и конические вкладыши.
Большое значение в общей силовой схеме агрегата имеет стык
панелей, работающих на растяжение и сжатие. На рис. 1.12 показаны
Варианты сборки панелей с помощью клеев и болтовых соединений,
а схемы заделки торцов панелей приведены на рис. 1.13.
Пара- метр Схема рис. 1.14
а б в г д е ж 3 и К л м
Ь1 Ю4 н 204 204 204 404 404 254 104 254 304 304
4 Н/2 — 304 — 204 204 204 Н/2 Н/2 Н/2 304+ +Н/2 —
Ьз — — — — — — — — 204 204 — —
— — — — — — — — Ю4 — — —
к 4/2 24 — — 4 4 24 4 4 4 4 24
4 24 — — 24 1.54 24 34 34 24 —
1з — — — — 4 — — — 44 — — —
ц — — — — — — — — 34 — — —
Таблица 1.6
Размер Число слоев ткани в нак- ладке Ширина слоя стеклопластика. ММ
4/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 100 4 — —
3 120 7 —
3 140 8 80 80 100 100 120 120 140 140 — —
4 160 9 160
4 180 10 100 100 120 120 140 140 160 160 180 180
5 200 И 200
Рис. 1.13. Варианты заделки торцов
трехслойных панелей с металлическими
несущими слоями и сотовым заполни-
телем
Рис. 1.12. Варианты сборки
трехслойных конструкций
с металлическими несущими
слоями и сотовым заполни-
телем с помощью клеев и бол-
товых соединений:
1 — вкладыш; 2 — профили;
Таблица 1.7
Размер, мм 1Т Число слоев ткани в Ширина слоя ткани, мм
ЬУ угловом соединении (рис. 1.15) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1! 12 13 14 15
3 30 7 40 40 50 50 60 60 60 — —
4 40 9 50 60 70 70 80 80
5 40 11 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80
3 4 50 50 7 9 40 60 60 80 80 100 90 100 90 100 100 — — — — — —
5 50 11 70 70 80 80 90 90 100 100
5 6 65 65 11 12 50 70 70 90 90 100 НО 120 120 130 120 130 130
5 6 75 75 11 13 60 80 80 100 100 120 120 140 130 140 130 150 140 150 140 150 150
7 75 15 50 70 70 90 90 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150
На рис 1.14 и 1.15 показаны типы соединений трехслоиныХ
панелей между собой и с другими элементами конструкций. Рекомен
дуемые значения параметров, показанных на
в табл. 1.5.
рис. 1.14, приведены
Рис. 1.14. Варианты соединения трехслойных панелей с металлическими несущим
слоями и сотовым заполнителем
Исходным параметром для определения структуры и размера Ь
соединительного элемента является толщина 1Н, которую определяют
из условия безопасной передачи нагрузок через элемент соединения
Рекомендуемые размеры и структура соединительных элементе!
изготовленных из стеклопластика на основе стеклоткани
АСТТ (б)-О2-О, для плоских узлов приведены в табл. 1.6, а дл
угловых —в табл. 1.7.
ис- 1.15. Варианты соединения трехслойных панелей с несущими слоями из компо-
иционных материалов и заполнителем из пенопласта или стеклопластиковых
сот
Глава 2
РАСЧЕТ ЗАПОЛНИТЕЛЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
2.1. ТИПЫ ЗАПОЛНИТЕЛЕЙ
В качестве заполнителей трехслойных конструкций применяют
пенопласты, обладающие высоким пределом прочности и жесткостью.
Они представляют собой двухфазные системы, состоящие из
твердой или упругоэластичной и газообразной фазы. Пенопласто-
вые заполнители имеют ячеистую структуру. Свойства этих
материалов зависят от свойств полимеров, из которых они изгото-
влены.
Кроме пенопластов используют заполнители, представляющие
собой пространственную конструкцию из лент, полос, листов спе-
циальной формы. Такие заполнители присоединяются к несущим
слоям не по всей поверхности, а дискретно.
Конструкции дискретных и комбинированных заполнителей могут
быть самыми разнообразными (рис. 2.1). В литературе приведено их
более трехсот.
Наибольшее применение в технике получили сотовые заполни-
тели из различных материалов. В шестигранных сотах материал рас-
положен наиболее экономично, такой заполнитель обладает более
высоким пределом прочности, чем заполнители с другой формой
ячеек.
Для увеличения модуля упругости сплошные заполнители, на-
пример из пенопласта, армируют (см. рис. 2.1, к). В целях повышения
качества соединения дискретного заполнителя с несущими слоями
элементы заполнителя делают с отбортовкой (рис. 2.2, а) или обма-
тывают стеклонитью (рис. 2.2, б).
Для обеспечения нужной формы конструкции в настоящее
время разработаны гибкие коробчатые заполнители из стали, алю-
миниевых сплавов и армированных материалов, пропитанных
смолами.
Для повышения прочности и жесткости заполнителей в местах
приложения сосредоточенной силы целесообразно увеличить тол-
щину его ленты, или уменьшить размер ячейки, или то и другое одно-
временно. Можно также вводить дополнительные ленты из фольги
(см. рис. 2.1, з), усиливать заполнитель в определенном направлении
соединением двух сотовых структур под углом (рис. 2.3). Жесткость
заполнителя, работающего на сжатие, увеличивают путем примене-
ния гофрированных лент (рис. 2.4).
Несмотря на то, что пенозаполнители имеют ячеистую структуру,
считают, что заполнитель сплошной и однородный. Его характери-
зуют обычными для однородных материалов параметрами, которые
определяют известными методами. Дискретные заполнители в трех-
22
Рис. 2.1. Трехслойные конструкции с различными типами заполнителей:
сотовым; б — квадратным; в — трубчатым; г — коробчатым; д — гофрированным;
треугольным; ою — прямоугольным с зигованными лентами; з — усиленным сотовым;
и — усиленным гофровым; к — комбинированным (армированным)
Рис. 2.3. Усиление сотового шестигран-
ного заполнителя
Рис. 2.2. Способы повышения качества соединения дискретного заполнителя с не-
сущими слоями
Рис. 2.4. Трехслойная конструкция с за-
полнителем из гофрированной фольги
слойных конструкциях обычно рассматривают как некоторые сплош-
ные или ортотропные, обладающие приведенными характеристи-
ками.
2.2. ПЕНОЗАПОЛНИТЕЛИ
В качестве пенозаполнителей применяют различные пеномате-
риалы, способы получения которых и их характеристики приведены
в работе [1 ]. Ниже приведены данные [1 ] о наиболее распространен-)
ных пеноматериалах типа пенопластмасс: ПХВ-1, ПС-1, ПС-4,
ПС-18, ПСБ, ФФ, ФК-20, ФК-40, ФК-20А-20, ПУ-101, ППУ-3,
К-40.
Пенопласты на основе поливинилхлорида. Зависимости механик
ческих характеристик пенопласта ПХВ-1 от плотности при 20 сС|
показаны на рис. 2.5.
Относительный модуль сдвига пенопластмассы типа ПХВ-1
можно определить с помощью эмпирической формулы
О8 = 2800(р)1,3,
(2-1)
где Сз---- Сд/Е^', Р --- Рз/р1,2-
Коэффициент Пуассона для ПХВ-1 равен 0,4. При охлаждении
до температуры —60 °С жесткость и предел прочности пенопласта
Рис. 2.5. Зависимость механических характеристик пенопласта ПХВ-1 от плот-
ности при 20 °С:
а — предел прочности; б — модуль упругости; в — характеристики при сдвиге
ПХВ-1 возрастают на 20 ...’ЗО %, а при"нагреве до температуры
+60 °С снижаются примерно в 2 раза по сравнению с характеристи-
ками при 20 °С.
Пенопласты типа ФФ и ФК- Пенопласты плотностью 50 ... 450
кг/м3 (каучука 10 ... 30 весовых частей) и плотностью 450 кг/м3
(каучука 40—50 весовых частей) получают из новолачной фепольно-
формальдегидной смолы в сочетании с бутадиен-акрилнитрильным
каучуком. Более эластичные пенопласты содержат больше каучука.
Наиболее термостойким из рассмотренных материалов является
пенопласт типа ФФ (без каучука). Он может длительно работать при
температурах до 150 °С, а при работе без контакта с кислородом
выдерживает температуру 200 ... 250 °С. Однако отсутствие каучука
делает пенопласт ФФ очень хрупким.
Прочностные характеристики пенопластов ФФ, ФК-20 приведены
на рис. 2.6—2.10.
Относительный модуль сдвига пенозаполнителя типа ФК-20
О3 = 3835 (р)’-5.
(2-2)
При охлаждении предел прочности и модуль упругости пенопласта
43К-40 повышаются, а ударная вязкость и относительное удлинение
понижаются. Пенопласт ФК-40 можно использовать в качестве амор-
тизацированного слоя в конструкциях, подвергающихся знакопере-
менным нагрузкам, так как при положительных температурах до
200 °С он хорошо гасит вибрации.
Рис. 2.6. Зависимость пре-
дела прочности при сжа-
тии пенопластов типа ФФ
или ФК (р3 = 200 кг/м3)
от содержания каучука:
1 — температура отвержде-
ния 150 °С: 2 — то же» 20 °С
Рис. 2.7. Зависимость пре-
дела прочности при сжа-
тии пенопластов от плот-
ности с различным содер-
жанием каучука при 20° С:
1 — ФК-10; 2 — ФК-20; 3 —
ФК-30
Рис. 2.8. Зависимость ме-
ханических характери-
стик пенопласта ФК-20
от плотности при 20 °С:
а — предел прочности при
сжатии и растяжении; б —
модуль упругости
Рис. 2.9. Зависимость предела прочности при сжатии (/) и растяжении (2) пено-
пласта ФК-20 от температуры (а) и плотности (6)
Для работы при повышенных температурах в качестве заполни-
теля трехслойных конструкций целесообразно применять пено-
пласты ФК, содержащие мелкодисперсный алюминий.
Заполнитель ФК-20А-20 (р3 = 100 ... 500 кг/м3) при работе
в замкнутом объеме без доступа кислорода выдерживает нагрев до
200 °С длительно, а нагрев 300 °С —
в течение нескольких часов. При тем-
пературах до 100 °С предел прочности
пенопласта ФК-20А-20 меньше, чем
у пенопласта ФК-20 без алюминия.
Предел прочности пенопласта ФК-20 А-20
при растяжении (при равных плотно-
стях) значительно выше предела проч-
ности при сжатии, а модуль упругости
при сжатии ниже модуля при растя-
жении. Прочностные характеристики
пенопласта ФК-20А-20 приведены на
рис. 2.11, 2.12.
Пенополиуретаны. Механические
характеристики жестких пенопластов
ПУ-101, ППУ-3 примерно соответствуют
характеристикам пенопласта ФК-20.
Рис. 2.10. Зависимость предела
прочности при растяжении 1 и
сжатии 2 пенопласта ФК-40
(р3 = 200 кг/м3) от температуры
Пенопласты ПУ-101А с большей жесткостью, чем у пенопластов
ПУ-101, можно эксплуатировать при температурах до 170 °С. При
более высокой температуре (до 200 °С) может работать пенопласт
предела прочности, предела пропорциональности и мо-
упругостр пенопласта ФК-20А-20 при растяжении (а ... в) и сжатии (г ... е)
дт плотности и температурь;
ПУ-101Т. В условиях одностороннего нагрева пенопласт ПУ-101Т
может кратковременно <160 ... 200 с) работать при температуре до
450 ... 550 °С.
Зависимости предела прочности при сжатии различных типов
жестких пенополиуретанов от температуры приведены на рис. 2.13.
Пенопласты на основе полистирола. Модуль сдвига пенозаполни-
теля типа ПС-1 можно рассчитать по формуле
О3 = 6600 (р)1-5.
(2-3)
При растяжении модуль упругости пенополистирола примерно
в 1,5 раза выше, чем при сжатии.
Рис. 2.12. Зависимость
предела прочности при
сдвиге пенопласта
ФК-20А-20 от плотности
при 20 °С
Рис. 2.13. Зависимость
предела прочности при
сжатии пенополиурета-
нов от температуры:
1 — ПУ-101: р, = 100 кг/м»;
2 — ПУ-101, р, «= 200 кг/м’;
3 — ПУ-101Т, р, — 200 кг/м«
Рис. 2.14. Зависимость
предела прочности при
сжатии пенопластов на
основе полистирола от
плотности и температуры
Самые высокие прочностные характеристики из всех пенопластов
одинаковой плотности имеет пенополистирол ПС-18 (ра = 300 кг/м3).
Пенопласт ПСБ может быть получен с любой плотностью от 30 до
600 кг/м3. Пенопласт ПС-4 имеет плотность ра = 400 ... 800 кг/м3.
Зависимости механических характеристик пенопластов на основе
полистирола показаны на рис. 2.14, 2.15.
Кремнийорганические пенопласты отличаются высокой термо-
стабильностью, но малой когезионной прочностью, поэтому их
механические характеристики ниже механических характеристик
органических пенопластов (рис. 2.16). До температуры 200 °С крем-1
нийорганические пенопласты уступают по прочности органическим,
однако при температурах 200 ... 300 °С при работе в условиях до-!
ступа кислорода первые имеют некоторые преимущества.
Прочностные характеристики кремнийорганических пенопластов
можно несколько повысить путем введения в состав вспениваемых!
композиций алюминиевой пудры и высокодисперсного асбеста [1], чт<л
28
одновременно повышает их стабильность при работе в условиях высо-
ких температур. Кремнийорганические пенопласты в конструкции
вспенены быть не могут, их выпускают в виде листов или других
полуфабрикатов.
Физические свойства пенопластов. Теплостойкость пенопластов
типа ПХВ и ПС составляет 60 ... 70 °С, причем она снижается с уве-
личением содержания каучука. Жесткие пенополиуретаны имеют
теплостойкость 60... 100 °С, а термостойкий пенополиуретан
ПУ-101Т—до 200 °С. Наибольшей теплостойкостью (до 250 °С)
обладают кремнийорганические пенопласты. Алюминиевые напол-
нители повышают теплостойкость пенопластов.
Рис. 2.15. Зависимость моду-
ля упругости при сжатии пе-
нопластов на основе пенопо-
листирола от плотности при
20 °С
Рис. 2.16. Зависимость пре-
дела прочности при сжатии
органических и кремнийор-
ганических пенопластмасс
(р3 = 200 кг/м3) от темпера-
туры:
/ — ПС. ПХВ; 2 — ПУ, ФК-20;
3 — ФК-40
Теплофизические характеристики пенопластмасс: теплопровод-
ность X, температуропроводность а, удельная теплоемкость с, коэф-
фициент линейного расширения а. По теплоизоляционным свойствам
пенопласты не уступают лучшим рыхловолокнистым и специальным
строительным материалам.
При уменьшении плотности пенопластов температуропроводность
их увеличивается. Теплопроводность в основном определяется
плотностью пенопластов: с уменьшением плотности она снижается.
Наименьшие значения коэффициента теплопроводности имеют пено-
пласты на основе поливинилхлорида, наибольшие — пенополи-
стирол и мипора. При охлаждении теплопроводность уменьшается,
а при нагреве возрастает. Введение алюминиевого наполнителя резко
увеличивает теплопроводность.
После охлаждения в процессе изготовления возможно отслоение
заполнителя от несущих слоев вследствие технологических несовер-
шенств, вызванных разностью коэффициентов линейного расширения
отдельных слоев конструкции. Это необходимо учитывать. Наиболее
высокий коэффициент линейного расширения имеют кремнийоргани-
ческие пенопласты, наиболее низкий — пенопласты типа ФК и ФФ
и ПХВ.
Пенопластмассы обладают свойством поглощать влагу при погру-
ении в жидкость. Наименьшим водопоглощением и высокой пла-
учестью обладают пенопласты с замкнутой ячеистой структурой
типа ПС и ПХВ. С уменьшением плотности водопоглощение увеличи-
вается. Для уменьшения водопоглощения целесообразно изделие из
пенопластов, соприкасающееся с водой, покрывать пленкой или
окрашивать.
Некоторые пенопласты являются стойкими к действию топлив и
масел. Пенопласты типа ПС при непосредственном воздействии
топлив и масел поглощают их.
Пенопласт типа ПХВ-1 очень слабо поглощает бензин: масса
поплавка из ПХВ-1 за год выдержки в бензине увеличилась на
пенопластов типа ФК-20, ПУ-101Т,
Рис. 2.17. Зависимость коэффициента звуко-
поглощения пенопластов от частоты звуковых
колебаний:
1 — ПХВЭ, с = 2,3* 10~2 м, р3 = 129 кг/м1; 2 -I
ПС-1, с — 10*10 2 м, р3 — 150 кг/мя; 3 — слоис-|
тый набор: пробка 2*10 3 м; один слой АТИМХ
1,5*10“2 м; воздушный промежуток 10~2 м; ПВХЭ
10-2 м, р3 = 200 кг/м3, воздушный промежуток'
10-2 м; два слоя АТИМХ 1,5* 10“2 м
ПУ-101: их масса увеличивается на 1 ... 6 % при выдержке в масле
в течение 100 ... 200 ч.
Пенопласты взаимодействуют с растворителями и химическими
реагентами так же, как исходные материалы. Эфиры, хлорированные!
и ароматические углеводороды легко разрушают пенопласты на основе
полистиролов.
Пенопласты ПУ, ФК, ПЭ, в состав которых входят полимеры
пространственного строения, с органическими растворителями прак-
тически не взаимодействуют. Стоек к действию органических раство-
рителей пенопласт типа ПХВ. Из органических растворителей на
пенопласты практически не действует только спирт. Щелочи и раз*
бавленные кислоты практически не взаимодействуют с пенопластами!
Кремнийорганические пенопласты набухают в ацетоне и бензине
и разрушаются в толуоле, бензоле, четыреххлористом углероде. I
Некоторые пенопласты, контактируя с металлами при повышен!
ных влажности и температуре, ускоряют коррозию. Клеевое соеди-
нение пенопластов с металлами или прямое вспенивание в трехслой-
ной конструкции препятствует попаданию влаги на поверхности
контакта, и при качественном изготовлении трехслойной конструк-|
ции коррозия практически не возникает. Защита от коррозии при
контакте с любым пенопластом обеспечивается анодированием и
плакированием алюминиевых несущих слоев.
Пенопласты ПС-1, ПС-2, ПЭ-1, ПУ-101Т практически не вызывают
коррозии как черных, так и цветных металлов. Пенопласт ПС-4
с анодированным и плакированным алюминием и оксидированными
магниевыми сплавами не реагирует, но вызывает коррозию цинка
и цинковых покрытий. Пенопласт ПХВ-1 вызывает коррозию, осо-
бенно при циклических нагревах до 60 °С. Пенопласт ПУ-101 не ей'
зывает коррозии алюминиевых сплавов, однако во влажной атмосфере
способствует коррозии оксидированного магниевого сплава. При
непосредственном вспенивании пенопласта ПУ-101 в трехслойной
конструкции с несущими слоями из магниевых сплавов коррозии не
возникает. При периодическом нагреве до температуры 250 °С во
влажной атмосфере кремнийорганический пенопласт К-40 вызывает
слабую коррозию оксидированного алюминиевого сплава и незащи-
щенной стали.
Пенопласты обладают значительным внутренним трением и
поэтому хорошо поглощают звук на частотах 1000 Гц и более
(рис. 2.17). На низких частотах коэффициент звукопоглощения пено-
пластмасс невысок. Наиболее высокий коэффициент звукопоглоще-
ния имеет эластичный пенопласт на основе поливинилхлорида
ПХВЭ, наиболее низкий —жесткий пенополистирол (см. рис. 2.17).
2.3. ЗАПОЛНИТЕЛИ ДИСКРЕТНОЙ СТРУКТУРЫ
Для расчета трехслойной конструкции с дискретным заполнителем
необходимо знать следующие параметры: модули сдвига С133, О233,
С123 в плоскостях хОг, уОг, хОу соответственно; модули упругости
Е13, Е^э, Е33 в направлении осей координат х, у, г; коэффициенты
Пуассона у123, у238, т133; пределы прочности при сдвиге, сжатии и
растяжении.
Коэффициенты Пуассона заполнителя образуют комплексы
1 — ^233^322 .
Н13------------Д — >
- __ У’133 + V] 23^233 .
6ИЗ — ——д — >
_ ___ 1 — Т313Т133 .
Г223 -----------д------ ,
„ г313 + у323г’213 .
Г133 — ---------д--------->
г _____ г’12з + У133У’323 .
/-2И—-----------д---------.
_ ___ Т213 + г’23зТ313 .
П23-------------д >
г _____ Тгза + Т213Т1зз .
6)23------------д---------,
_ ___ Тз2з 4“ Т1аз\'2з3 .
>232 — ----------7--------,
(2.4)
Г333 —
1 — У213У123
Где Д — 1 . (у213т123 4~ г'з1зг'1зэ 4“ У'згзУгзз 4~ Тз1зг’123г'23з 4" г'з2з'У21зг’13з)-
При допущении об отсутствии сближения слоев = ц>2 = о»
комплексы принимают известный вид
1 . У123 .
Гцз — д > Г213 — —д— .
У213 . 1
П2з=—д2-; >223=-д~;
г333 = 1,
гДе Д __ 1 — т213т123. Остальные гц3 = 0.
Ниже приведены зависимости, связывающие приведенные пара-
метры дискретного заполнителя с геометрией ячеек заполнителя и
свойствами материала заполнителя (Ем, Ск,. 1.^, а, с).
Сотовый шестигранный заполнитель из металла (рис. 2.18).
Приведенный модуль сдвига заполнителя в плоскости уОг (203)
б?233 — 1>2Ом3#от/(я]/' з)-
Учет изгиба элементов сот влияет на О233 незначительно.
Рис. 2.18. Система координат в сотовом
заполнителе
Рис. 2.19. Схема шестигран-
ного заполнителя
Приведенный модуль сдвига в плоскости хОг (ЮЗ)
О133 = Смз^ст 4 [о, 192 (2а + 1) -Ь (а - 1) X
0,318 (а— 1)+ 0,428 (2а + 1)
Х (а — I)2 + 0,269 (2а + 1) (а—1) — 1,3 (2а + I)2 ’
где а =
имст/ст3
Параметры с индексом 2 относятся к стенке 2, а параметры с ин-
дексом 3 — к стенке 3 (рис. 2.19).
Приняв СМСтг = ОМСТ,, /Ст2 = 2/СТз, получим Сш = 0,879гст/(аОМз).
Приведенный модуль сдвига в плоскости хОу (102)
0123 = 0,291^м2/ст/а.
Коэффициенты Пуассона заполнителя в плоскостях хОг и уОг
равны нулю. Коэффициент Пуассона заполнителя в плоскости хОу
при работе без несущих слоев близок к единице.
При работе заполнителя в трехслойной конструкции с симметрич-
ными несущими слоями коэффициент Пуассона можно определить
из выражения [9]
г’123“ В^Г
— (Ви3/2 ф- В1>2) X
чх 2 (у + Р) 1/ГЗа'У81В1,з + 0,75срВ3
_ -
[2 (у + Р) + 1,125сВ3] К3 аВ1|2 + с2В2В3
где В1,2= ^1,2Л,2/(1 — г’?.2); = ГмСТЛ/СТА/( 1 — ^СтА) (Л = 2,3);
Т = ^1,аа/3 + 0,1 25сВ2; р = 0,5 (В1>2а/3 + 0,5сВ2);
о КЗ у₽ о . о _ 1/Г3 «КЗВг.а + Р
°х3 ~~ а у + Р 112’ &~ 4ас у + р
Коэффициент Пуассона в плоскости уОх (213)
ВхВ = х.213/ Вд3. (2-7)
Приведенный модуль упругости заполнителя в направлении х (1)
р ___ ( уз тР______Вг,2 \ .__ .
^'3“ ас т+Р с Чи'шЛ
Приведенный модуль упругости в направлении у (2)
Приведенный модуль упругости в направлении г (3)
В33 = Вмз1,54/ст/о.
Условный предел прочности при сжатии в направлении оси г (3)
°33в = ^шА^З^мЗ (^ст)-2, (2.8)
где /гпр — коэффициент прерывистости, для шестигранного запол-
нителя Лпр = 1,54/Ст/а; кг —коэффициент (рис. 2.20); к3 —коэффи-
циент, для алюминиевых сот к3 = 0,275; для титановых сот к3 =
= 0,215; для стальных сот к3 = 0,25.
Условный предел прочности заполнителя при сдвиге в плоскости
хОг (103)
тУззв = 1.16Мзл7)Ст/(62«), (29)
в плоскости уОг (203)
тзззв = 0,66Л2/г3лОст/(й2о), (2.10)
где ©ст ^ ^м3/ст/12 (1 — г’ь1СТ); к2 — коэффициент, определяется в
зависимости от закрепления кромок заполнителя (рис. 2.21).
Условный предел прочности при сложном напряженном состоянии
(сжатие в направлении оси г и сдвиге в плоскостях хОг или уОг)
определяют следующим образом. По кривой (рис. 2.22) для заданного
соотношения а/с подбирают такие соотношения тзззМззв и 033/0330,
которые удовлетворяли бы выражению
(^Взз/ччззв)2 + (°эз/оз3в) = 1.
По определенным из графика соотношениям и значениям т183в и
°ззв, рассчитанным по формулам (2.8) ... (2.10), находят для данного
напряженного состояния такие значения действующих в материалах
9
Кобелев В. Н. и др 33
стенок сот напряжений т!зз и Оз3, которые соответствуют предельным
значениям при сложном напряженном состоянии.
Сотовый шестигранный заполнитель из неметаллических мате-
риалов. Приведенный модуль сдвига заполнителя в плоскости у$г
(203) [22] 6233 =Ормз/стср/(а/3). Средняя толщина стенок сот
а)
Рис. 2.20. Зависимость коэффициента от соотношения размеров сот:
а — нагружение вдоль длинной стороны стенок сот (а < сУ, б — нагружение вдоль коротко^
стороны стенок сот (а > с); 1 — работа в бездефектной зоне заполнителя; 2 — работа в зон(
полного отслоения заполнителя
Рис. 2.21. Зависимость коэффициента /?2 при сдвиге от соотношений размеров стенок
сот и качества соединения сот с несущими слоями:
1 — заполнитель собран качественно с несущими слоями, а == г, Ь ~ с и а = с, Ь = г;
2 — заполнитель отслоился от несущих слоев, а = с, Ь — г; 3 — то же, а = г, Ь =* с
/ст ср = 4/ос + /кл + 6/прп, где /ос — толщина основы; Гкл — тол
щина клея, соединяющего ленты основы; /прп —толщина пропитки
.......................... лент основы. Для бумажных со-
Рис. 2.22. Зависимость отношений
т1зз/т133в и о.'я/°ззвот отношения длины
стенки соты к высоте стенки:
I — а/с = 0.31; 2 — а!с = 0,63;
а/с = 1,00
топластов /прп = 0,09 мм, для
тканевых /прп = 0,36 мм.
Средний модуль сдвига мате-
риала заполнителя
Г' 4СбЛос + 2/клекл
°СР«3- 4/ос + 2/кл •
Приведенный модуль сдвига
в плоскости хОг (ЮЗ) вычисляют
по формуле (2.5), коэффициент
® =6б пр^б пр^(Сср^ср)» ГДе Ор пр^бпр "
приведенная жесткость единицы
длины двойной бумажной или
з —
тканевой ячейки, Сб пр/б пр = 0б X
X |’2/ос + (/кл + 2/„рП)-^-].
Коэффициент Пуассона опре*
деляют по формулам (2.6), (2.7).
Модуль нормальной упругости в направлении г (3) Е33 = р^,, Дер»
где Р1 — коэффициент, учитывающий содержание твердой основы
в объеме единичной ячейки сотопласта, а = 10 мм (табл. 2.1) [221л
!гр — коэффициент, характеризующий отклонение свойств сотопласта
Таблица 2.1
Сотопласт мм ^КЛ’ мм ^ПрП’ мм 0.
Непропитанные соты на основе бумаги типа А или бумаги крафт 0,08 0,05 0,1 0,2 — 1,43 1,62 2,00
Непропитанные соты на основе кабель- ной или битуминизированной бумаги 0,1 0,05 0,1 0,2 — 1,73 1,93 2,31
Пропитанные соты на основе бумаги ти- па А или бумаги крафт 0,08 0,1 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 2,82 3,93 6,25 8,55 10,88
Пропитанные соты на основе кабельной или битуминизированной бумаги 0,1 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 3,08 4,25 6,25 8,90 11,20
с любой ячейкой от свойств сотопласта с единичной ячейкой
(рис. 2.23) [22];
~ (2-Сб^ос + ^кл4лУ(24с Ь ^кл)-
Условный предел прочности при сжатии в направлении оси г (3)
где /пл = 4/ос + 4л + 6/прп; Еос — модуль упругости основы.
Условный предел прочности при
сдвиге в плоскости хОг (103)
Т133В = 5:34л2Е20С . Ю-2Я (/пл/^.
‘Ц1—'мет)
Плотность (объемная масса)
непропитанного сотопласта р3 =
_ 4^ос 4~ 4л
——239а—Рмз- пропитанного со-
топласта р3 = 4/°с + 4л + 6/пРп ,
ГЛе л'___ 1 + ^кл Ркл/РмЗ .
р~ 1+*;л ’
Ь' _ 6/прп
ккл — -тт---г-; •
44с + 4 л
Рис. 2.23. Зависимость коэф-
фициента кр от размера ячейки
сот
Квадратный заполнитель (рис. 2.24). Приведенный модуль сдвига
заполнителя О133 = О233 = С^/а.
коэффициент Пуассона без несущих слоев близок к единице.
Модуль нормальной упругости в направлении г (3) Е33 = 4Еыз1с^/а.
Условные пределы прочности определяют по выражениям
(2.8) ... (2.10), где Лпр = 4/с.Уо- Плотность р3 = 4/ст/(армз).
Шестигранный усиленный сотовый заполнитель (рис. 2.25). При-
веденный модуль сдвига заполнителя в плоскости хОг (103) 6133 =
— Смз^от/(2с /3).
Приведенный модуль сдвига заполнителя в плоскости удг (203)
О3зз = Смз^ст/(о "(Л3).
Определение коэффициента Пуассона см. выше.
Модуль упругости в направлении г (3) Е33 = 2,14Емз^ст/а.
Рис. 2.24. Схема квадратного заполнителя
Рис. 2.25. Схема усиленного шестигранного заполнителя
Условные пределы прочности определяют по выражениям
(2.8) ... (2.10), где Лпр = 2,14/ст/а. В качестве пластинки наименьшей
жесткости, для которой принимают размер Ь и определяют коэффи-1
циент кг, берут часть подкрепляющей ленты в пределах ячейки, если
толщина подкрепляющей ленты равна /Ст; если толщина подкрепляю-!
щей ленты больше, чем толщина основной ленты, то проверяют устой-
чивость как элемента стенки основной ленты по формулам (2.8) ..Л
(2.10), так и элемента стенки подкрепляющей ленты. В качестве»
условного предела прочности используют меньшее значение вычис-
ленного критического давления.
Квадратный усиленный заполнитель (рис. 2.26). Приведенный
модуль сдвига заполнителя в плоскости хОг (103) 6133 = (1 +
4-1^2) Омз/ст/а. Я
Приведенный модуль сдвига заполнителя в плоскости уОг (203) I
6^233 = С^д1СТ/а.
Определение коэффициента Пуассона см. выше.
Модуль упругости в направлении г (3)
Езз —
Условные пределы прочности определяют по выражениям I
(2.8) ... (2.10), где /гпр = 5,4/ст/«, как для шестигранного усиленного
сотового заполнителя.
Заполнитель типа удлиненных сот (рис. 2.27). Приведенный
модуль сдвига в плоскости хОг (103)
________________________ Зу со5 а р , < <
133 (У + 4 соз а) зш а м3 ст3 ’
ГДе у = ^ст3^ст4*
Приведенный модуль сдвига в плоскости уОг
_ 81П ОС ,
233 Лг/соз а ст3 м3‘
Определение коэффициента Пуассона см. выше.
Рис. 2.26. Схема усиленного квадратного заполнителя
Рис. 2.27. Схема заполнителя с удлиненными сотами
Приведенный модуль упругости в направлении г (3)
р ______________________ ^СТЗ р
33 (2Ь + й соз а) а м3‘
Приведенный модуль упругости в направлении х (1)
__ Ь -|- & соз ос Д1 Аг ^2
с [с (/1 -|- й>)/2] Ь Дх -}" Дг соз ос с (^1 Ч- ^й)/2 ’
где
△1 = (#1 + В2) а + 2В3 [с + (/х + /2)/2 ] соз3 а;
△г = — (В1 -|- В2) а + — Вь [с -|- (/х -|- /г)/2];
= ?/стк 0’ = 3,4) — жесткости стенок 3 и 4.
(1 -V?)
Приведенный модуль упругости в направлении у (2)
р ____ Вз 8Ш3 а Аг (7?г -Ь 7?г) Ьа/(24 соз <х)
23 Ь ф- 4 с<?8 а А2 + Ь Ах/(2й сое а)
Условные пределы прочности определяют по зависимостям
(2.8) ... (2.10), где кпр = а' В качестве пределов прочно-
сти принимают наименьшее значение, вычисленное при подстанов-
ке в формулы /ст 8,4 и размеров с1 и а.
Для определения условных пределов прочности заполнителя при
одновременном действии сжимающих и сдвигающих нагрузок исполь-
зуют следующие выражения:
при действии сдвигающих нагру-
зок в плоскости хОг
(Озз/стззв) 4- (тйзз/ттззв)" = 1, (2-11)
при действии сдвигающих нагру-
зок в плоскости уйг
(озз/оззв) г}- (тгзз/тзззв)" = 1, (2.12)
где п = 1,5 ... 2,0.
Для заданного соотношения сто-
М
Рис. 2.28. Схема цилиндрическо-
го заполнителя
рон пластинок а/с и й по графикам
(см. рис. 2.20,
^33
ношения ——,
и 33 в
2.21)
Т133
Л 1ззв
подбирают от-
Т233
Тзззв
кото-
рые удовлетворяют зависимостям (2.11) и (2.12). Затем опре-
деляют по формулам (2.11), (2.12) значения о33в, т133в, т233в и находят
значения напряжений в стенках сот о33, Т1'33, Т233, соответствующие
предельным значениям при сложном напряженном состоянии.
Цилиндрический заполнитель (рис. 2.28). Приведенный модуль
сдвига 6133 = О2з3 = 6мз/ст/г.
Приведенный модуль упругости в направлении г Е33 = лЕы31СТ/2г.
Условный предел прочности при сжатии в направлении г
°ззв = Еы3п1стк3/2г21^3 (I — т*ст) при /г > 12,
2л р । , 3 (1 тмст)
аЗЗВ~3(1-^ст)*МЗ И + 64/*т ]
при к < 12,
где к — 0,25лаг//ст.
Условный предел прочности при сдвиге
к3
гх ле г: ^ст Г1 I 200 (ст / , . п п 2 Е \ 1
тгззв — 0,05л Емз ^14 ^5 у \ 4~ 0,2л •
При Т1з3в ЛЙ 0,75ЛПрОм3т
_ 0,2Гмз /ст Г, , 450 /ст /, , 0.8 2 г2 \ 1
Т133В — Т233В — Г [ ] г Л2 г \1 ‘ 9 Л са / ] ’
При т133в ^прТмзт т133в = ЛпртМЗт, оде кпр = л/ст/2г. _
Цилиндрический усиленный заполнитель (рис. 2.29). Приведенный
модуль сдвига
С^зд = О233 = |/"3.
Приведенный модуль упругости
Е33 — 2лДм3/Сг/г 3.
Условный предел прочности при сжатии в направлении г (3)
О33в — Дмз2л/ст^3'3/21/^ 1 тмст при к 12,
6лЛз с ^ст 1,3(1 ,'’мст) Г
- КЗ (1 - V* ст) гз [ 1 + 32^т
при к < 12,
где к = л2/79/ст.
Условный предел прочности при сдвиге:
при т133в 0,75Лпромзт
__ 0,2/?мз /ст Г < . 450 /ст / ] I „2 \ 1 Ь .
188В К 3 г [ л2 г \ 1 9 с2/]8’
при Т1;)зв 2> ^прТ'МЗт ^13311 — ^прТМЗт,
где /г11р = 2л/ст/г уЛ3.
Для определения условных пределов прочности цилиндрических
сот при одновременном действии сжимающих и сдвигающих нагрузок
используют выражение
/ Т133 \П | °33 _ |
\ т13з / $ззв
где п = 1,7 ... 2; Т1'33 и о33 —
значения напряжений при слож-
ном напряженном состоянии.
В процессе изгиба трехслой-
ной конструкции или воздействия
внутреннего избыточного давления
заполнитель растягивается и мо-
жет либо разорваться по стен-
кам, либо отслоиться от несущего
слоя. Первый вид разрушения
характерен при соединении запол-
нителя с несущими слоями пайко
Рис. 2.29. Схема “усиленного цилиндри-
ческого заполнителя
или сваркой, либо для объем-
ного заполнителя, второй вид — для соединений с помощью клея.
При разрушении по стенкам условный предел прочности
Г^ЗЗв — ^нрГ/мЗв> (2.13)
Где °мзв—предел прочности при растяжении материала запол-
нителя.
При разрушении клеевой пленки (расслоении трехслойной кон-
струкции) условный предел прочности
Пззв— (2.14)
сбп °кл-отр —предел прочности на отрыв клея, применяемого для
рки трехслойной конструкции; /г4 — коэффициент увеличения
Рис. 2.30. Заполнитель типа конических
оболочек
Рис. 2.31. Зависимость приведенного мо-
дуля сдвига заполнителя типа конических
оболочек от отношения радиуса большего
основания г2 к шагу между оболочками а
площади клеевого шва, для металлических сот /?4 — 3 ... 4, для
стеклотекстолитовых сот = 1,5 ... 2.
Приведенная плотность заполнителя р3 = Рмз^пр^с. где кс —
коэффициент, учитывающий влияние массы соединяющего ленты сот
материала на объемную массу сотового заполнителя:
для клееных сот кс = 1,75; для сварных сот кс — 1,0; для паяных
сот кс =1,1 ... 1,2.
Дискретный заполнитель типа конических оболочек (рис. 2.30).
Для заполнителя, в котором расстояния между осями оболочек зна-
чительно превышают диаметр большего
Рис. 2.32. Зависимость
приведенного коэффици-
ента Пуассона заполни-
теля типа конических обо-
лочек от угла конусности
оболочек а и величины
шага между оболочками а
основания, справедливы зависимости для
расчета приведенных характеристик, при-
веденные |в работе [19]. При расстоянии
между осями, равном или незначительно
большем диаметра большего основания 2г2,
приведенные модуль сдвига 6хгъ и коэффи-
циент Пуассона при различных параметрах
заполнителя определяют по графикам
(рис. 2.31, 2.32). Модуль сдвига заполни-
теля типа конических оболочек при плотной
упаковке 6’хг3 = 6’’23106. Отклонение от экс-
периментальных данных не превышает 19%.
Критические нагрузки (МПа) местной
потери устойчивости несущих слоев Рх^ =
16Л2П! 2
— ______ р 10-6
3^2 *
Параметры некоторых других типов
дискретных заполнителей приведены в рабо-
тах [2, 3, 14, 15].
Оптимальные по жесткости и прочности
трехслойные пластины и оболочки с сото-
Рис. 2.33. Зависимость эффективного коэффициента поглощения т]э и этого коэффи-
циента, отнесенного к массе 1 м2 панели тк, от частот;-’ колебаний
вым заполнителем не обладают оптимальными звукоизолирующими
свойствами. Однако по сравнению с трехслойными конструкциями
такой же плотности с пенозаполнителем или с металлическими
подкрепленными однослойными пластинами они имеют преимуще-
ства (рис. 2.33).
Рис. 2.34. Зависимость предела прочности
при поперечном сжатии от формы ячейки
сотовых заполнителей (несущие слои из
сплава Д16АТ толщиной 0,3 мм, запол-
нитель из фольги АМгН толщиной 0,05 мм,
заполнитель собран и соединен с несущими
слоями с помощью клея В К-32-200):
1 — усиленный шестигранный; 2 — шести-
гранный; 3 — разреженный
Кривая 1 соответствует трехслойной панели с сотовым шестигранным заполни-
телем из алюминиевой фольги А1Т. Толщина заполнителя 10 мм, толщина стенки
сот 0,04 мм, сторона ячейки заполнителя 5 мм. Несущие слои изготовлены из
Д16АТ, толщина несущих слоев = 1г = 0,3 мм. Масса 1 м2 панели 2,5 кг.
Кривая 2 соответствует однослойной подкрепленной панели из алюминия марки
Д16АТ с толщиной обшивки 1,5 мм. Стрингеры 7-образной формы из Д16АТ
Размером 25X18X1,5 мм. Шаг между стрингерами 250 мм. Масса 1 м2 панели
4,8 кг. Кривая 3 соответствует трехслойной панели с сотовым шестигранным за-
полнителем из алюминиевой фольги АД1Н. Толщина заполнителя 10 мм, толщина
стеики сот 0,04 мм, сторона ячейки заполнителя 5 мм. Несущие слои изготовлены
из стеклотекстолита КАСТ-В, толщина несущих слоев = 1% = 0,8 мм. Масса
1 м2 панели 3,8 кг.
Результаты экспериментальных исследований дискретных сото-
Вых заполнителей приведены на рис. 2.34 ... 2.39. Влияние массы
клея на плотность заполнителя сказывается незначительно (см.
Рнс. 2.35. Зависимость предела
прочности при сдвиге от плотности
сотового заполнителя из алюминие-
вого сплава:
1 — в направлении плоскости склеива-
ния ОХ23; 2 — в направлении, перпен-
дикулярном плоскости склеивания. Суг3
Рис. 2.36. Зависимость прочности
сотового заполнителя при попереч-
ном сжатии от плотности заполни-
теля:
1 — хорошее соединение с несущими
слоями; 2 — имеются расслоения
Рис. 2.37. Зависимость предела
прочности сотового заполнителя
прн поперечном сжатии от высоты
сот заполнителей и формы ячейки
(несущие слон нз сплава Д16АТ тол-
щиной 0,3 мм, заполнитель нз фоль-
ги АМгН толщиной 0,05 мм, запол-
нитель собран и соединен с несущи-
ми слоями с помощью клея
ВК-32-200)
1 — усиленный шестигранный;
2 — шестигранный; 3 — разреженный
Рис. 2.38. Зависимость плотно-
сти шестигранного сотового за-
полнителя от размера стороны
шестигранника и толщины фоль-
и (фольга АМгН, клей
ВК-32-200)
Рис. 2.39. Зависимость предела прочности при
отрыве шестигранного сотового заполнителя от
размера стороны шестигранника (фольга АМгН,
/ст = 0,05 мм, клей ВК-32-200) прн различных
температурах:
1 — 20 °С; 2 — 200 °С
рис. 2.38). С уменьшением размеров ячей-
ки (шестигранной, квадратной или круг-
лой формы) увеличивается предел проч-
ности на отрыв несущих слоев от запол-
нителя, при этом предел прочности растет
значительно быстрее, чем плотность за-
полнителя. С уменьшением, например,
размера стороны с 0,6 до 3,0 мм шести-
гранника сот из алюминиевой фольги
Размер стороны шестигран- ника а Толщина фольги Толщина сотово- го запол- нителя Масса (кг) 1 м2 панели при толщине несущего слоя, мм
0,3 1.6 0,3 1.6 0,3 1.6
мм
6,0 0,025 12 25 50 12 25 50 12 25 50 12 25 50 12 25 50 12 25 50 12 25 50 12 25 50 12 25 50 Д 2,75 3,13 3,89 3,13 3,90 5,40 3,50 4,64 6,90 2,62 2,88 3,38 2,88 3,38 4,38 3,13 3,94 5,50 2,56 2,75 3,13 2,74 3,13 3,88 2,93 3,50 4,64 16АТ 10,07 10,44 11,22 10,60 11,22 12,73 10,83 11,97 14,24 9,95 10,20 10,70 10,20 10,70 11,76 9,90 11,24 12,83 9,88 10,08 10,45 10,08 10,45 11,21 10,26 10,39 11,79 ВН( 7,52 8,67 10,99 9,66 10,98 15,62 9,81 13,30 20,35 7,12 7,90 9,45 7,89 9,44 12,52 8,72 11,18 15,96 6,94 7,51 8,67 7,50 8,66 10,98 8,07 9,80 13,26 >17 27,90 29,07 31,38 29,16 31,46 36,11 30,31 33,79 40,75 27,52 28,30 29,83 28,38 29,93 33,02 29,24 31,64 36,46 27,32 27,90 29,06 27,99 29,16 31,47 28,56 30,29 33,75 ОТ 4,44 5,11 6,45 5,15 6,45 9,14 5,78 7,80 11,82 4,21 4,66 5,56 4,66 5,58 7,35 5,16 6,55 9,35 4,10 4,44 5,11 4,44 5,11 6,46 4,77 5,77 7,78 4-1 16,07 16,74 18,08 16,74 18,08 20,77 17,41 19,43 22,96 15,84 16,29 17,18 16,29 17,18 18,98 18,79 18,18 20,97 15,73 16,07 16,74 16,07 16,74 18,08 16,40 17,39 19,40
0,050
0,076
9,0 0,025
0,050
0,076
12,0 0,025
0,050
0,076
(фольга толщиной 0,05 мм) предел прочности соединения несущего
слоя с заполнителем повышается больше, чем возрастает плотность.
Массы 1 м2 панелей с шестигранным сотовым заполнителем из
алюминиевой фольги АМгН, собранным с помощью клея ВК-32-200,
и сварным шестигранным сотовым заполнителем из стали СН-2
приведены в табл. 2.2. Панели с несущими слоями из алюминиевых
сплавов Д16АТ и заполнителем из фольги АМгН собраны с помощью
клея ВК-32-200, а с несущими слоями из стали В НС-17 и титанового
сплава ОТ4-1 собраны со стальным сотовым заполнителем с помощью
пайки. Относительная масса клея, использованного для сборки несу-
щих слоев с заполнителем, изменяется с 9 до 30 %, а относительная
масса припоя с 11 до 40 %, причем меньшие значения соответствуют
панелям с более толстыми несущими слоями.
Г лав а 3
РАСЧЕТ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
В ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ПЛАСТИНАХ
3.1. РАСЧЕТ ПЛАСТИН НЕСИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ,
СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ПО ДВУМ КРОМКАМ
И ИЗГИБАЕМЫХ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Введем следующие обозначения: (1 + ^)/2; = —/2 (1 +
+ ^)/2;
о ___ В1В%
°тр~ в1 + в2 ’
Б 2ВтР (Д2 — ЛО + (1В1 .
р 2Втр (^2 — АО Ц- (2В2 .
индексы 1 и 2 соответственно относятся к нижнему и верхнему несу-
щему слою.
Напряжения в точках г — с +
°12 шах = — ^2 г ЗxС^ 4~ ) +
+ “Л" [ / (й1 + ?с- - В2] (съ8Й — + Сйей —) -
2а| [ /2 (Л2 — А1) ] \ 6 «1 1 «1 /
-(Й2-/Ч) ч + с(31)
Для расчета о11тах в формулах, приведенных в пп. 3.1 ... 3.4,
следует везде заменить индексы при В,, Н{, на противоположные,,,
а знаки при основных слагаемых — на обратные.
Рис. 3.1. Пластина нагружена усили-
ями <7, равномерно распределенными
по пролету (а), по части пролета (б), по
части пролета, примыкающей к опоре
(в)
Противоположными индексами одного несущего слоя будут ин-
дексы другого несущего слоя.
Основными слагаемыми будут многочлены, стоящие в квадратных
либо в круглых скобках, а также не содержащие скобок одночлены.
Касательное напряжение в заполнителе
(с. сь ^- + С. - 6В„ (Л. - ад с. -
(3.2)
о р
где И = Втр (й2 — /гх)2 + О, 4~ Д2;
а2 — • й2= Р1 + Рг
“* 5 ’ а ос133 тр'
1. Пластина, нагруженная усилиями д, равномерно распределен-
ными по пролету (рис. 3.1, а). Прогиб пластины
ш = 4х Г / ( сВтр I Р \ _ сВтр г _ 1x2 4- —1
к охгз 2 / е133 6 1 12 ]•
В сечении х = 1/2 наибольший прогиб
“’гаах 8Втр(Л2 --/11)2 6133 48 )
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
Нах°дятся в сечении х = 1/2:
ст чВг ( сВт$ [ _____Ч____сВтт>
12гаах= 2ВТр (А2-7Й)2~ х °«з + 8 ) <2О133 •
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
«Чгср = Я?/ 18/2 (Л2 — К} 1-
Касательные напряжения в заполнителе
в сечении х = 1/2 т133 = 0;
в сечении х = I
ц1 1 9/
т1зз— ± 2(/г2-М “ ± 2 с+(<1 + <2),2 '
2. Пластина, нагруженная усилиями д, равномерно распределен-
ными по части пролета (рис. 3.1,6). Прогибы пластины при 0 с
< х < хх —
», - Нг(2Р+х‘+'о -ч+
I — Ху / 2сВТр „2
+ ~7 \~о^Г х
при х — 1у < х < Ху 4- 1у
д______9 Гх - /х - / 1*—(^1 —М12 _ сВтр )
“Г гВтр^-Й!)2 1 12 0133 )
при Ху + 1у < х < I
... _ I <?4 (X — Х1) Г (X —Х1)2-Н? _ 2сВтР 1
1,1 1 Втр (Нг - Лг)2 [ 3 Ош ] •
Максимальные напряжения находятся в сечении х = Ху + 11
— 21уХуИ\
_ I с । 4 сВ™
Огатах 2Втр(Л2 —Л1)2 ' ^1зз ® / Л2— ^2О^зя
4. Пластина, нагруженная со-
средоточенной в сечении х = хх
Напряжения в
в этом сечении
срединной поверхности верхнего несущего слоя
2<? /^1 (I — Х1) (1 — 1у)
О12С₽ ~ /2 (Й2 - М) *2
Касательные напряжения в рассматриваемом сечении
Т133 = 0-
Касательные напряжения в сечении х = 0
в заполнителе
1
_ 2(?/1 1 -Х1
Ьзз — Ла _ Л1 I
в сечении х = /
__ 2?/1 ху
133 Л2 — Ну I .
3. Пластина, нагруженная усилиями д, равномерно распределен-
ными по части пролета, примыкающей к опоре (рис. 3.1, в). Прогибй
пластины при 0 < х < I — 21у
- № ( I2-211-х*
' Бур (Нг-Ну)* 1\ 3
2сВтр
Оузз
при I — 21у с х < I
70) - 70) | _____5_______ I у (1 О/ П2 ( Iх (/ 2/1)]2 сВур )
~ 1 2ВтР (Н2 - Ну)2 Iх - V - (-----12------------•
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = [(/ — 1у)2 +
_ С]В% Р (I Л.)2 , сВур "1_____________________гВтр
012 тах Втр (Н2 - Ну)2 I 2О133 ) /2(^2 — Ну) Оу83
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
2<7 /1(/-/1)2
О12ср— /2(/г2_й1) /2
Касательные напряжения в заполнителе в том же сечении равны
нулю.
Касательные напряжения в се-
чении пластины х = О
_ Чд1у 1у
183 ” Н2-Ну I ’
в сечении х = I
2?/! I - 1у
Т133“ Н2- Ну ~1
Рис. 3.2. Пластина нагружена в сече-
нии х = Ху нагрузкой, интенсивность
которой на единицу ширины равна рг
нагрузкой (рис. 3.2), интенсивность которой на единицу ширины
равна рг. Прогибы пластины при 0 < х с Ху
Втр (Нг — Ну)2 ЫЬ
12-(1- Ху)2 - X + -^Е-] ,
При Ху < X с I
= и,, 4- ,_РНх-Х1) Г (х-хх)2 _ _сВт^1 _
Втр (Н2 — Ну)2 Ь [ 6 Сиз
Максимальные напряжения в верхнем несущем слое находятся
в сечении х = хх:
а — Р^2 1~х1 г
^12 тах ЧВур(Нг-Ну)2Ь I %1>
в срединной поверхности верхнего несущего слоя в этом сечении
„ , ___ РгВ-гр (Нг — Ну) .._ ,
О12сЬ— 21г1Ь ” Ху) Ху.
Касательные напряжения в заполнителе в сечении 0 < х с хг
т — Рг 1 ~ Ху
Т133 (Нг - Ну) I
В
Учении Ху < х«/ Т133 =
Рг Ху
(Нг — Ну) I '
Рис. 3.3. Пластина нагружена распределенным моментом М в сечении х = хг (а),
в сечении х = 0 (6)
5. Пластина, нагруженная распределенным в сечении х = х,
моментом М (рис. 3.3, а). Прогибы пластины при 0 < х с хг
Л/Т у
“’1 = б/втр (л2 — м2 13х1 & ~ ~ 2/2 - *2Ь
ПрИ
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = х1:
______________МВ2________ХХ
12 ™х Втр(й2-Л1)2 2/ '
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
^12ср — /ЙХ^/ [//2 (^2 Й]) 1'
Касательные напряжения в заполнителе в сечении 0 < х < I
т1зз = —М1[1 (Н. — М1-
6. Пластина, нагруженная распределенным в сечении х = 0 |
моментом М, приложенном на опоре (рис 3.3, б). Прогиб пластины
Мх
™ = 61В.,(П2 - М2 —
Наибольший прогиб имеет место при х = 0,42265/
Шп,ах = 0,06415 Втр(Й2 _ Л1)2 •
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = 0:
°12тах “ МВг/[2Втр (Л2 — ^1)2]»
напряжение в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
С^12Ср ---- 1^2 (^2 ^1)
Касательные напряжения в за-
полнителе в сечении 0 < I
ПзЗ — М/ И (^2 ^1)
7. Пластина, нагруженная
усилиями, распределенными по
закону треугольника (рис. 3.4).
Прогиб пластины
Рис. 3.4. Пластина, нагруженная не-
равномерно распределенной нагрузкой
Чох
ЗбОВтр (й2 — Й1)2
Г 714. _ 10/2%2 + 60 _ %2)1 .
I ^1зз з
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
I Л-/2 2сВтр ВТ
находятся в сечении х — I/ —4—- ' - —;
г 3 6133 в2
_ <7о* Г Вч. I сВГХ) /2 — х2 \ сВтр 1
012 тах - ЛХ [ 2Втр (^ - ЛЦ ^61зз + 6 ) /261зз 1 '
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
Чох Р — х2
°12ср— Аз —Л1 6/2
Касательные напряжения в заполнителе в сечении х = О
_ Чо^
133 6 (Л2-Л1) ’
в сечении х = I т133 = - . . .
3.2. РАСЧЕТ ПЛАСТИН НЕСИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ,
ЗАЩЕМЛЕННЫХ ПО ДВУМ КРОМКАМ И ИЗГИБАЕМЫХ
ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
1. Пластина, нагруженная усилиями д, равномерно распределен-
ными по пролету (рис. 3.5, а). Прогиб пластины
ш =_____чх(1-^х)
2Втр (/12 — Л1)2
сВтр . х (< — х) ~1
61зз 12 )
Максимальный прогиб пластины
и» ( сВ^ Р \
,,,ак 8ВТР(Л2- Л1)2 \ От + 48 )
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = 1/2:
„ _ 4В2______/ I2 . сВТр \_______ч сВтР
12 тах 2Втр (йя — Л1)2 \ 24 О133 / /2 (Й2 — Й1) 6133 ’
в сечениях х = О, I
012 тах
дв2
2ВТР (Лг - Лг)2
I2 сВ-гф X
12 О1зз /
<7 сВтр
^2 (йг—Л1) О (за
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в сечении х = 1/2
О12ср = <№/124/2 (й2 — Лх) ],
в сечениях х = О, I
о12ср =-?/2/И2/2(й2-й1)1-
Касательные напряжения в заполнителе в сечении х = 1/2 т133 = О,
в сечениях х = О, I т133 = д1/\2 (Н2 —Н^].
Рис. 3.5. Защемленная по двум кромкам пластина нагружена усилиями д, равно-
мерно распределенными по поверхности (а), по части пролета, примыкающего
к опоре (б)
2. Пластина, нагруженная усилиями д, равномерно распределен-
ными по части пролета, примыкающей к опоре (рис. 3.5, б). Прогибы
пластины при 0 < х < I — 21
= I 12к (&Вч> I х2Сыз) + — т - з^-] >
при I — 21г < х < I
, Ч г и 0/112! [х—(* —2/х)] сВТр )
“>11-“'1 + 2Втр(Л2-'М2-1х 2/1)1 \ 12 О133 }’
где т = 11 $ -—— Ч- ; к = —х 19гР— •
ЗВтр О1зз /26133-Г 12сВтр
Максимальные напряжения в верхнем несущем слое находятся
в сечении
х=/_2/1 + -^г1Е^^
их рассчитывают по формуле (3.1).
Постоянные интегрирования в выражениях (3.1) и (3.2) для дан-
ной схемы нагружения для участков / и II равны при 0 < х
« I —21х
р_______6?*! ( р _ 1 9гД В — \
Сз* ~ (Й2 - Л1)212 V тр 9Втр ) ’
р_________________01зз г.
4*“^ (Й2-Л1)2 I ’
при I — 2/т < х < I
Съ Сз‘ 2Втр(Л2-Л1)2 Х
Г сВтр (/-2М21
Х I О1зз 2 ] ’
, _ г___________Я______I - 2/д
42 ~ 41 Втр(й2-/ц)2 6
3. Пластина, нагруженная
распределенной в сечении х = х1
нагрузкой интенсивности рг (рис.
О с х С лу
кам пластина нагружена в сечении х =
= нагрузкой интенсивностью рг на
единицу ширины
3.6). Прогибы пластины при
__ Ргх_______* ~ Х1 Га/ сбтр . 1х х2 \ . сВтр .
1 Втр^-М2 / I Л 013з + 4 ~ 4 ) ]
I XX! х2 ]
4 6 ] ’
при %! < X С I
и,,. = и», Д-—_______
' Втр (Ла — Л1)2 I 6 6]33 3 ’
где =
*1 (/ — 2X1) 6133
/26133 + 12сВТр •
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = хг:
п — — РгВ2 Г 1~Х1 ( ь д_ *» \ V 1 1~
12 ,пах ~ гВтр^-йо2 [ ~2 И1 + ~г ; - Х1 ] ——
в сечении х — О
012 гпах ~ Втр(й2-М)2 V1 + “Г ) ’
в сечении х = I
п =___________Р^Вг / -Х1 { х, , \
12гаах В.гр (Л2 -Й!)2 4 \ I ^)-
Напряжения в срединной поверхности в верхнем несущем слое
в сечении х — хг
п — Рг Г 1 ~~ Х1 / А I Х1 \ 1 / — Х1
12ср /«(Л.-Л1) [~2 + ~Т) ~ х1] —I--•
Касательные напряжения в заполнителе
в сечении 0 < х <
в сечении Х1 < х < I Т133 = т’33 — р2/(й2 — М).
4. Пластина, нагруженная распределенным в сечении х = хх
моментом М (рис. 3.7). Прогибы пластины при 0 < х < хг
_ Мх 12сВтр + хО183(3/ —2х) 1~х1 у. Л
2Втр (Л2 — М) I /201зз 4" 12сВтр I 1
при х. < х с I
М (х- хх)2
-“'1 —2 •
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = хг:
МВ2
Рис. 3.7. Защемленная по двум кром-
кам пластина нагружена распределен-
ным в сечении х — хг моментом М
в сечении х = О
ЗххОрзз (/ — 2X1) — *1
/2О1зз + 12сВТр I
МВ2
012 тах— 2Втр (Л2 - М)2
в сечении х = I
Рис. 3.8. Защемленная пластина, нагру-
женная неравномерно распределенной
нагрузкой
. Зхр (I — Х1) 0133
/201зз + 12сВтр
0133
змв&г (/ — хх)
Ощтах —
2Втр (Лг — Л1)2 Р0133 -р 12сВтр
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в сечении х = хг
М
а*2С₽~ ^2(Й2-Л1)
ЗХ1О1зз У — 2x1) I — Хр ~1
/201зз + 12сВтр I
Касательные напряжения в заполнителе
6/ЙХ10133 I — Х1
Тз=~ (/12- Л1)рС1з3+12сйтр) I
5. Пластина, нагруженная усилиями, распределенными по закону
треугольника (рис. 3.8). Прогиб пластины
щ = С2х + Сз*2 + ^х3 + ?о^5/[ 12сВтр (й2 —
гяе г___________сс,й__Г 3 12 । сбтр ( ]___________12сйтр--\ 1
где .>2— 5013з(Й2_Л1)2 [4 ‘ -Ь О133 V г201зз+ 12сВтр/]
__________<7о____ Г 2с2Втр / 18сйТр________] \ । *2 (1201зз + Зсйтр) 1 .
3 5 (^2--- ^1)2 013з/ !_ 0133 \ /201дз -|- 12сВТр / 12ВТр 3
р __________д»_____Г г с (1__________________2сВтр_____\ 1
4 ' 5 (Л2 — /и)2 I ЗВтр С1зз X /201зз+ 12сВтр л •
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении
________24/________„ йТр (йэ — /гд)| ,
5 (/261зз + 12сйтр) /2В2
012 тах = — [С3 + ЗС4Х + —
Л_р/о,ЗР+^
сВуу
М^-ЙЙ "б
Касательные напряжения в заполнителе
- - 6В„ - /Ч) С, + .
3.3. РАСЧЕТ ПЛАСТИН НЕСИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ,
ИМЕЮЩИХ ОДНУ ЗАЩЕМЛЕННУЮ И ОДНУ СВОБОДНУЮ КРОМКУ
И ИЗГИБАЕМЫХ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
1. Пластина, нагруженная равномерно распределенными уси-
лиями (рис. 3.9, а). Прогиб пластины
т_________4х (/о/ _ Г сВтр , х(21-х) - /2х)
2йтр(/12-/11)2 Ч 6133 + 12 12/-
Максимальный прогиб при х = I
а, =________________/ сйтр /2 \
2йТр(й2-Й!)Ц 6133 4 )
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = 0:
_ ____________?йг___ / /2______сйтр \___?сйтр____
2йТр (Й-2 — /11)2 \ 2 6133 ) 1-2 (Й2 — Й1) 6188
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
д/2
012 тах —— г/г^-йх) •
Касательные напряжения в заполнителе т133 = дИ!}^ —
^Ис- 3.9. Консольно закрепленная пластина нагружена усилиями д, равномерно
распределенными по поверхности (а), по части поверхности (б)
2. Пластина, нагруженная равномерно распределенными уси|
лиями, приложенными на участке поверхности длиной 21х (рис.
3.9, б). Прогибы пластины при /г < х < х — 21г
гц ~ Г 2сВтр
1 Втр (Й2 — Л1) с Сиз
х (I — 1У
при I — 21± < х < I
I Я г 9 /1 О/ \12 ( 1Х— — 2/х)]2 ^”ВТр
+ 2Втр (й2-М2 ~ 2/1)1 I ’2 6133
Максимальный прогиб пластины при х — I
______Ж
™шах—
2сВтр
$133
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = 0:
°12 шах = — ВТрХ — Й1)2 11 ~ /1)-
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
°12Ср
= —2^/х (/ — 4)/[^в (Ла -МК
Касательные напряжения в заполнителе т133 = 2д1г, (й2 (1г).
Рис. 3.10. Консольно закрепленная
пластина нагружена распределенной
в сечении х — I нагрузкой р2
3. Пластина, нагруженная распределенной в сечении х =>•
нагрузкой интенсивностью рг (рис. 3.10). Прогиб пластины
= ид Р(к- й) [ + X (3/ - Х)1 -
ООтр (“2 — «1) I 6133 '!
Максимальный прогиб пластины
™ =_________Ей_____( _|_ /г\
п,ах ЗВтр(йа-Л1) \ 6138 Г
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем ело*
находятся в сечении х = 0:
О12 шах== (Й2 ^1)2]-
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
О12ср = Рг11\.^2 (Й2 Й1)1.
Касательные напряжения в заполнителе т133 = рг/(й2 —М-
4. Пластина, нагруженная распределенным в сечении х = I
моментом М (рис. 3.11). Прогиб пластины
ьу = — Мх2/[2Втр (Л2 — Й1)2].
Максимальный прогиб при х — I
^тах = —Л4/2/[2Втр (^ - /21)2].
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении 0 < х с I:
О12тах — М/[2Втр (Л2 —Й1)3].
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
О12ср — М/[/2 (Й2 -Й]) ].
Касательные напряжения в заполнителе равны нулю.
Рис. 3.12. Консольно закрепленная пластина нагружена распределенной нагрузкой
д = дох (а), д = д0 (I — х) (б)
5. Пластина, нагруженная усилиями, распределенными по по-
верхности по закону треугольника, вершина которого находится на
свободной кромке (рис. 3.12, а). Прогиб пластины
дох Г сВтр (312—х2)
6Втр (Йо—Л1)2 I
Максимальный прогиб пластины при х = I
^тах
др12
35Тр (^2 —
. Г . - -- - $133 1 )
Максимальные нормальные напряжения в верхнем
Находятся в сечении х = 0:
несущем слое
012 шах —
до13В2
6Втр (й2 — Й1)2
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
а12сР = —9с I3/ [3/2 (Л2 — ЙО ]•
й I2
Касательные напряжения в заполнителе т133 = •
6. Пластина, нагруженная усилиями, распределенными по
поверхности по закону треугольника, вершина которого находится
на защемленной кромке (рис. 3.12,6). Прогиб пластины
= си У м*' [х2 + 31(1- х)]1.
6Втр (Л2 — М I. 2 6133 )
Максимальный прогиб при х = I
И4пах = <7«с/3/[6 (Й2 — М2С133]-
Максимальные нормальные напряжения в верхнем несущем слое
находятся в сечении х = 0:
?0/В2 ( I2 ^тР \
012шах— 2Втр (Л2 —/и)2 \ 6 6'133 /
Напряжения в срединной поверхности верхнего несущего слоя
в этом сечении
О12СР = —%^3/1б/2 (й2 — Л1)1-
Касательные напряжения в заполнителе
тхгз — 9о^2/ 12 (/12 — /1Х) ].
7. Пластина, нагруженная парой противоположно направленных
сечении х = I в плоскостях срединных
поверхностей несущих слоев (рис. 3.13).
Выражения для определения пара-
метров напряженно-деформированного
состояния пластины, нагруженной мо-
ментом на свободной кромке, свиде-
тельствуют, что касательные напря-
жения в заполнителе равны нулю.
Однако это справедливо для участков
пластины, удаленных от сечения
В зоне л примыкающей к сечению
X = I, в случае маложесткой диа-
фрагмы, соединяющей несущие слои,
возникают значительные касательные напряжения в заполнителе,
уменьшающиеся при удалении от сечения х = /:
= — — — (3.3)
где А/ 2 = б?133с (В^В^ + 1)/(^1 -ф й2).
Из выражения (3.3) следует, что касательные напряжения снижа^
ются достаточно быстро по мере удаления от места приложений
момента. Экспериментальные исследования свидетельствуют о высо-
кой точности формулы (3.3). Расчетные значения отличаются от экспе-
риментальных не более чем на 10 %.
усилии рх, приложенных в
Рис. 3.13. Консольно закреплен-
ная пластина нагружена парой
противоположно направленных
усилий рх, приложенных в се-
чении х = I
3,4. ПРОГИБЫ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ
И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ ПЛАСТИН С НЕСУЩИМИ
СЛОЯМИ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В случае простейших схем нагружения трехслойных прямоуголь-
ных пластин расчет их напряженно-деформированного состояния
производится с помощью выражений, приведенных в работе [3].
Прогиб в середине пластины
= 4г . (3.4)
Максимальные нормальные напряжения в несущих слоях
Он = {+4 [р^ + (1 - 7^) 2 + 4- - аоТ} <3-5)
(I = 1, 2). Индекс 1=1 соответствует значению
_ _ с + :_ п _ -_ с+ <2
2— 2 — 2 2 — 2
Максимальные касательные напряжения в заполнителе
+33 = 44 (№4 ~ ЫВ)^, (3.6)
где О' = Вхйх#! + В2И2Н2 + Ос-, параметры, зависящие от темпе-
ратуры, имеют индекс I.
Здесь учитывается неравномерный нагрев слоев пластин. Внешний
слой имеет температуру Тг, второй — Т2. Температура заполнителя
меняется линейно. Если на пластину действует равномерно распре-
деленная нагрузка д, то р0 = дЬ.
При действии нагрузки рг в среднем сечении пластины необходимо
принимать р0 = рг. Здесь д — нагрузка на единицу площади, р2 —
нагрузка на единицу ширины пластины, Ь — размер пластины.
Коэффициенты тп и Мп (п = 1 ... 3) определяются условием
закрепления и нагружения пластины (табл. 3.1).
Величины = Я- Лх = 4- - Ло; + Ло; Ях = Лх + А; /у2 =
В симметричной пластине 4 = 4. Ег = Е2, тх = у2, ах = «2. Л2 =
= /г2 = с/2, В, = О [аОс +.2(1 + Ух) «хВхТ/хЛх ], 0 = (Т2 — 7\)/с,
Вт = Тср [аВс + 2 (1 + VI) сцВх);
Тср = (Т2 + Тх)/2.
° несимметричной пластине
В>1 = а Встс* + 0ДС) + п.Нт + п2Н2,
В{ = аВс 6 + Тср) - «х + п2,
«1 = (! + у1) “1В1 (6^1 — 7ср),
и2 = (1 + У2) а2В2 (0Л2 + ТСр),
0 = (Т2 — 7\)/с; Тср = Т2кх + Тхк2.
Параметр к = л2В0с/(46гу3&2).
Если опоры пластины неподвижны, то усилия сжатия р, вызванные
нагревом, определяют из выражения рх = В{.
Значения коэффициентов тп и Мп следует разделить на (1 —
— РзУРхкрЕ где Рхк? —критическая нагрузка, определяемая с по-
мощью выражений, приведенных в п. 4.2. При растяжении продоль-
ными силами во всех формулах перед рх знак следует изменить на
обратный.
Таблица 3,1
Характер опирания Сосредоточенная нагрузка (рнс. 3.14, а) Равномерно распределенная нагрузка (рнс. 3.14, б)
Кромки шар- нирно оперты 8 (11 12й \ • Мх = 1, ш2 = 2, М2 = 8; . .. ь • Шз = 1, Л43 , р0 = рг 11 , 48Й \ . М1=1; /п2=1; М2 — 8; 1 т3 = 1; М3 = ~; р0 = дЬ
Кромки защем- лены 2 /, , 48Й \ т1=_^ + __) Мх — 0; т2 = — 1; А42 = 0; тя = 1; М3 = 0; р0 = Рг 1 1 1 _1 48* \ • т1~ 5 к1-1- 2 Мх = 0; т2 = ; М2 = 0; О тз=1; Мз = 0; р0 = дЬ
3.5. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИН
Прогиб в центре пластины (рис. 3.15), максимальные напряжения
во внешних слоях и касательные напряжения в заполнителе опре-
деляют по формулам
5 ЧЬ*
38Г
°2к ~ к 8П 2 В ) ’
о =В ( дЬ2тз 2
°1К \ 80 2 В ) ’
О' . О' ,
Т2зз -= 27с Т183 = 2^0 ^т5,
(3.7)
Рх
1111111111
ТТшптП
Рх
где О' = ВхкхНх + В?к2Н2 + Ос; к = 1,
С -4— о “I- ^2
ствует 2 =----—, 2— г = —~—.
тх... тъ — коэффициенты, их определяют
закрепления (табл. 3.2, рис. 3.16).
2 — индекс: 1 соответ-
в зависимости от схемы
Рис. 3.14. Продольно-поперечный цилиндрический изгиб пластины, нагруженное
усилиями рх, действующими в плоскостях срединных поверхностей несущих слоев
по длинным’кромкам:
а — сосредоточенными в сечении х — Ь/Ч усилиями рг; б — равномерно распределенное
нагрузкой д
Формулы (3.4) ... (3.6) справедливы при условии с/(1х +• /2) > $
и к « 1 при определении прогибов и к < 10 при определении напря-
жений . 1
При продольно-поперечном изгибе продольные усилия определяют
из условий работы пластины в составе конструкции с учетом нагрева-
гп*С Продольно-поперечный изгиб пластины при действии всесторонней на-
РУзкц, приложенной в плоскости срединной поверхности и равномерно распреде-
ленной поперечной нагрузки
Формулы (3.7) справедливы при с/(1х +‘/2) > 3 и к < 1 при опре-
делении напряжений и при к < 10 при определении прогибов.
р При сжатии только по короткой кромке пластины (при В < а,
0, рх = 0, а при а < Ь рх =/= 0, ру = 0) прогибы и напряжения
нределяют по формулам (3.7).
Таблица 3.:
Характер опирания Коэффициенты Рисунок
Кромки шарнирно оперты т1 = сг 4- съ с2, т2, т3, т4, тъ 3.16, а
Кромки 1, 2 шарнирно опер- ты, а 3, 4 защемлены т2, т3, ть 3.16, 6, е
при /? > 0,5 Сг, Сд, = Сз Н-* кс2 3,16, в (
при к <С 0,5 3.16, в
Примечание. Значению т8, определяемому по рис. 3.16, г, приписывают | знак минус.
В случае действия усилий рд значения коэффициентов /пг (I —
__ 1-=-5) необходимо разделить на (1 —Ру1рвкр), в случае действия
усилий рх значения коэффициентов т делят на (1 — рх1рх кр)- Крити-
ческие усилия рхкр и рркр определяют из выражений (4.8).
3.6. ТРЕХСЛОЙНАЯ ПЛАСТИНА СИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ,
НАГРУЖЕННАЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫМ МОМЕНТОМ,
ПРИЛОЖЕННЫМ к ОДНОМУ ИЗ НЕСУЩИХ СЛОЕВ
Прогиб нагруженного несущего слоя (рис. 3.17)
и/ = а (Ь, йен х + йе1\ х) соя 0,
где х = г 0/О12)°-25; г и 0—полярные координаты (рис. 3.17);
йен х, йец х — функции Кельвина первого порядка (если усилия
растягивающие, то йег1 а, йе1± а —
функции Кельвина первого порядка
в точке х = а); Ь = йег| а йе1] а — йег! X
X а йей а; Ь^ = а~' йен а — йей а; =
= йег! а — а"1 йен а; а = а (Л/Л^г)0,25;
к = Е3/(рс, <р « 0,5.
Угол поворота основания <р0= — ах
X ВХЛ1яа2Ы где Ы = (йео а —
— йена)2 + (йец а—а йен а)2 + а-1 йег! х
X а йе!1 а — а-1 йеп а йей «•
Наибольший прогиб упругого основа-
ния при г — а
аЬМ _ , _
шг=0 =----,— соз 0, где 1=1,2 — но-
лаЛ7 V
мер несущего слоя.
Напряжения сжатия в заполнителе
= V соз 0.
Напряжения в несущем слое
Рнс. 3.17. Трехслойная пла-
стина, нагруженная сосредо-
точенным моментом
/ 6 \
(ап)г=а = I -^-1 р 01 Йег! а 4- Ь2 Йег" а) СОЗ 0, (Ое.-)г=а = Л’1 (<У()г=а,
где р = один и два штриха
означают однократное и двукратное дифференцирование по х.
3-7. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН
с ИЗОТРОПНЫМИ НЕСУЩИМИ СЛОЯМИ И ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
ПРИ СЛОЖНЫХ СХЕМАХ НАГРУЖЕНИЯ
Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойных
панелей при сложных схемах нагружения (рис. 3.18) представляет
значительные трудности и может быть выполнен только с помощью
Рис. 3.18. Схемы нагружения и закрепления кромок пластин
ЭВМ. Для решения используют систему нелинейных дифференциальЗ
ных уравнений, которые решены методом последовательных прибли-
жений. Решения представлены в виде степенных рядов относительно
некоторого малого параметра.
В результате решения получены графики (рис. 3.19 ... 3.34)
зависимости безразмерных параметров прогиба к)() и напряжений
дх и ёу от безразмерного параметра нагрузки у0.
При использовании этого метода определяют некоторый параметр
</°= 1203Д (1 +5Г1 + 6Г1) ’
где
к — с/Ь, X = а/Ь.
По параметру у0 по графикам определяют безразмерный прогиб в цен-
тре пластины гй0, зная который можно найти максимальный прогиб
при данной схеме нагружения:
®тах — ^!0С [ 1 ' ф" ?2 )• (3-8)
Для определения максимальных напряжений в несущих слоях
симметричной пластины из графиков (рис. 3.35 ... 3.50) находят по
параметру ц0 безразмерные параметры напряжений ох и Оу, с по-
мощью которых рассчитывают напряжения в несущих слоях:
= + 0,56^ (1 + + &’)>
Оу1 = -+- 0,5ОуЕ(к (1 -ф- ^1 ^2 )•
Для несущего слоя 1=1 берут знак минус, для несущего слоя
1=2 — знак плюс. Индексы х0 и у0 при безразмерных параметрах
напряжений означают, что максимальные напряжения возникают
в центре пластины, индексы хА, ув — максимальные напряжения
возникают посередине кромок пластины.
Если пластина имеет несимметричную структуру, то необходимо
найти расстояние от нейтральной поверхности при изгибе до средин-
ной поверхности несущего слоя /: гг12 = с/2—й0 и нейтральной
поверхности несущего слоя 2: г2/2 = с/2 —/г0, где /г0 = В1В~1с X
X (1 + Ь/2) - В2В~'с (1 + |2/2); В = Вх + В2 -ф В3.
После этого определяют прогибы и напряжения в несущих слоях
двух симметричных трехслойных пластин, имеющих тот же размер
а хЬ. Толщина заполнителя пластины / обозначена гх, несущие слои
имеют параметры 11г Е1г Толщина заполнителя второй пластины,
обозначенной //, равна г2, параметры несущих слоев /2, Е2, та. Для
определения напряжений вычисляют параметры уои и по графи-
кам находят безразмерные параметры 5х1>п , ой1(П. Для определения
Рис. 3.19. Зависимости безразмерного прогиба й0 от параметра <?0 Для схемы иа
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, а:
/—А=1;2—Л = 1.25; 3 — Л = 1,5; 4—Х=2;5 — Х = 3
3
Кобелрв В II и др.
65
Рис. 3.20. Зависимости безразмерного прогиба в)0 от параметра <?0 для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, б; обозначения кривых
см. на рис. 3.19
•4
3
2
^7
а^о,м; ь^о^ь
0 100 200 зоо
Продолжение рис. 3.20
5 4
3
2
1
с^0,6о) Ь^0,5Ь
о 5» 100 150 Й,
Продолжение рис. 3.20.
нс. 3.21. Зависимости безразмерного прогиба ш0 от параметра для схемы иагру-
Жения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, в; обозначения кривых
см. на рис. 3.19
до
Рис. 3.22. Зависимости безразмерного прогиба от параметра % для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, г; обозначения кривы
см. на рис. 3.19
3
4
3
1
а-1=0,Ьа ; 6г=0,4Ь
о 100 200 300
Продолжение рис. 3.22
Рис. 3.24. Зависимости безразмерного прогиба от параметра % Для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, е; обозначения кривых
см. иа рис. 3.19
5
/4
,3
^1
а, = 0,4а ; 61=0,40
О 200 400 600 д0
Продолжение рис. 3.24
5 г 0
2
1
О/ =0,6а ; Ь,=1},БЬ
о юо гоо зоо дв
Продолжение рис. 3.24,
Рис. 3.25. Зависимости безразмерного прогиба от параметра дй для схемы нагру-
жения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, ж; обозначения кривых
см. на рис. 3.19
Рис. 3.26. Зависимости безразмерного прогиба к>0 от параметра </0 для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, з; обозначения кривых
см. на рис. 3.19
4
5
^3
2
• 1
0^=0,ба ; Ь1=О,6Ь
о 700 ООО 600 О о
Продолжение рнс. 3.26
1кеС’ Зависимости безразмерного прогиба ш0 от параметра % для схемы нагру-
иия и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, и; обозначения кривых
см. на рис. 3.19
I Рис. 3.28. Зависимости безразмерного прогиба от параметра д0 для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, к', обозначения крив
см. на рис. 3.19
Продолжение рис. 3.28
Рис. 3.30. Зависимости безразмерного прогиба и>в от параметра дв для схемы нагрУ'
жения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, м; обозначения кривы
см. на рис. 3.19
Продолжение рис. 3.30
Продолжение рис. 3.30
2,0 —
—
1,5 ?
1
1,0
0,5
<
0 Р,)с. 3.31 *еНИя и 50 ЮО Зависимости безразмерного прогиба от парам закрепления кромок, показанной иа рис. 3.18, см. иа рис. 3.19 етра я; Чй д обо31 150 ля с [0461 Яо' хемы нагру- ия кривых
Рис. 3.32. Зависимости безразмерного прогиба от параметра % для схемы 1й
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, о; обозначения кривые
см. на рис. 3.19
Продолжение рис. 3.32
см. на рис. 3.19
Рис. 3.34. Зависимости безразмерного прогиба й>0 от параметра де для схемы нагр)
жения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, р; обозначения крИЖ
см. на рис. 3.19
гп« З'®' Зависимости безразмерного напряжения от параметра дв для схемы на-
РУЖения н закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, а:
I. 6 — X = 1; 2, 7 — X = 1,25; 3, 8 — X = 1,5; 4, 9 — X = 2; 5, 10 — X = 3
Кобелев В. Н. и др.
97
10
7 / /9 5 -
/ 7 / А в
/ 2 7 /у 7
/ / > 7 / у /7 —7/
/ 7 ,/ 7 / /л 2
/ / / 1,6
/ / / 7 /
) ( / /
/ / / ' /, //
/ / / / / //
/ / г 7 / / /
/ / / / / / 7 // /
/ / / / / 7, /7 //
/ / / 1 '// //> 7/
// 7/ > 7/7
/ / ' / / / / 77, '7(7 7 /
'7Л /// /7/
///7 а,= 0,125(1; Ь^0,П51> о—Ч’/Яо); буо = ({>2 (Чо) Кривые 1-5сосгпветстВуюгп ср,, кривые 6-10—срг
/ / 'ш
й 'У//
1(7/7
1/
о гос мо ооо д0
Рис. 3.36. Зависимости безразмерного напряжения от параметра % для схемы
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, б; обозначения крив
см. на рис. 3.35
Продолжение рис. 3.36
Рис- 3.37. Зависимости безразмерного напряжения от параметра % Для схемы на-
гРУЖения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, в; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
$
1 к ^к=--Ч>з(Чо) ^ув = Ч>^Чо)
ч \\ \\ кривые / о соогпоси/ипоугип кривые 6-10-у^
&
V
\\ 1 у\/
V \ \
\\ \ к 5
\\\ \ X
\
1 1 V , \ \ \
\у к \ \
, \ к \ \
— \\ к \ . К \
ч “ \
V к 1 \
1 \ ' \\ \ \ \ у.
у \ \ \ \
у д \ \ > \
\\ \ \ \
V А V 4- 2. > Р.
гпу $'38' Зависимости безразмерного напряжения от параметра ц0 для схемы на-
РУЖения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, а; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
10 9 / ,в 7
1 г /
/ / / / /
/ / / / у / /
/ / /' / / 2
/ / / 1 / / / /
/ / / / / Г / / /
! 1 / / <
/ / / / 1
1 / / 1 1 / /
/ ' / / / /
I/
I / /
1 '11 Л
// // ! 1
111 / /
Ш/.
/. цпш / /
/ ' ТРУ /н 11Ш а^ = 0,6а; 1>1—0,бЬ 6*0 = <Р1(0о);бу о — <Рг(0о) КриВые 1-5соответствуют фь кривые 6-10—д>2
1
л,
ш/
о 100 200 300 д0
Продолжение рис. 3.38
В _
О 100 200 ______________ООО дп
V; 4
V Л? \ \ Ч^Х
\ \ X 4 Х^
X \ к\
\ \ \ \ 5
\ \ X
X \ \ \ \ ''Х
\ \ \ \ \ X 1,0
\ X \
\ \ \ \
х ^х
X \ X \ X
X к X ^7
X \ \ X
X X
\ \ X
X 4
\ \ \ X
От = о,175а; Ь 0,125Ь \ х \
6х а =<Рз СОо) В=Ч>4 (Чо) Кривые 1~5 соответствуют^ кривые в-1О-у>ь \ \ X,
\ X \ X
X \ 10 К
рнс. 3.39.
г₽Ужения
Зависимости безразмерного напряжения от параметра <?0 для схемы на-
и закрепления кромок, показанной иа рис. 3.18, д; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
10 /9 в 7/ 963 к
/ / 7 / / / / 7/л 2 1
1 / ! / / / / / / 771
/ / / / / / //
/ / { / / / ? / / ^/7
- / / / / /
/ / / , //
/ / ) / / 7 / /, // //
/ / / / , // ’// // ///
/ ' / / 4/1 '//
- / / / / / ''// '/А 7/
/, Г/ Ш/ ^7/. ///
/ 1 7/7 //Л
/ / 1 / / г //// ///
// // /Л г/ /2 ////
- 1 г// щ!/ 7/
/ а, '///
// '//А (и
/// а, = 0,125а ; Ь,=0,125Ь 6*о~ ФМо); ^уо = ^Рг^Чо) Кривые 1-5соответствуют ср1г кривые 6-10—ср?
/
А ч
г—
у
О 500 1000 1500 2000 Чо
Рис. 3.40. Зависимости безразмерного напряжения от параметра д0 для схемы и
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, е; обозначения кри®
см. иа рис. 3.35
- 7 х5
/ 7
/ / У
/ / у'7 6
/ /
- 7 / / / / / / 1
/ / / / 2 • / ’ \ V 1
/ / /
/ 1 / / ,/
/ > ' / / /
- / г / /у
и /, ' / / .
Л ' у
7/ ' г // / / у
!/! 1 Г
- / //' / / /
1.1 ! / 7
/Д' ! /
к 0^0,40; Ь7 = 0,4Ь 6хо~ С/>1(0с) ; 6уо=1Р2 (^о) Кривые 1-5.соответствуют ср 1, кривые 6-10—д>2
А &
7//
ш
7
о 200 400 600
Продолжение рис. 3.40
Продолжение рис. 3.40
10 / 5 9 / 5 3 2
/ / / 8 / 7
/ г уу
1 1 / -'б
1 1 //
/ / 1/ / /
/ / / л у
/ /7 //
1 1 4 1 // Г / / /
1 1 /7 // // / / *
1 1 1 II /
1 1 1 // / / /
1/1 !/, /
7 // ![ / /
1 // / ш /
1 1 г Ш 7 ' 7 / /
/ ч / '/// / !
Л И) /// ь
\^Ц/// 1 п ! / (>хо — ^(Чо) о— ФгОЧо] Кривые 1-5соответствуют ср^ кривые 6-10 —ср?
ж/
и !
/// с
0 50 100 150
нс. 3.41 Зависимости безразмерного напряжения от параметра <?0 для схемы на-
рушения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, ж; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
И!
Рис. 3.42. Зависимости безразмерного напряжения от параметра д0 для схемы И
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, а; обозначения кривы
см. на рис. 3.35
Продолжение рис. 3.42
рис. 3.43.
ГР Ужения
Зависимости безразмерного напряжения от параметра д0 для схемы иа-
и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, и; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
10. 'Л /е
/ / 7
// / } Л
4 / / /
/ / /
// //, / 2
/ // / / /з
/,, г ' /
// / /
// /
/ /Г / ' / ,/
/ / /А /
<7 / 7л
/7
? '/ г /
4/ / /
4 /'
!!' /
II, V — / / / л — <Рз(Чо)7^у в — У/, (Чо)
А кривые 6-10-у
о го ы 60 дв
Продолжение рис. 3.43
Рис. 3.44 Зависимости безразмерного'напряжения от параметра <?0 Для схемы на-
ГР Ужения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, к; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
Продолжение рис. 3.44
Т’ха
В
О
/7,4
/7,5
/7,2
/7,7
7/7/ / 3
а ,= 0,125а ; 1^=0,125Ь 6* к = <Рз(Чо) ;(>ц в =сР1,(01)) / / Р
...) / /
кривые 6-1О~у>1/ / / / /
/ /
/ / / /
/\ 1 /
/ у/ /
/ / /
г / / /
7 / / / / 7
) / / // /
7 / / / /
/. ( / / /
/ / / / /* / 3
/ / / / '^2.
/ / / / '*1,6
/ ! / /
/ 1 / /
/ / / /
/ / /
/ / / /
' /
100
200
300
Продолжение рис. 3.44
см. на рис. 3 35
10 '/9/ 8 / 7 7 /2
в
ь* ь-ФзШ^ув-ФЛЧо)
кривые. 6-10-
О 50 100 150 Й7,
Продолжение рис. 3.45
Рис. 3.46. Зависимости безразмерного напряжения от параметра для схемы на-
П’Ужения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, м; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
10 /5/ V У
/ / /
/ 1,5
к. г,/
//
/ / /
/ ' / / 2
/ / /
/ // /'/ /
/! / / / / / 3
/
7 Л / 4
1 '// /
7 -/— 5
’1Ч
/ // /7
/ /
а1=О,6а', Ь)=0,6Ь (>хо-Ч>1(Чо) буо-сргйо} Кривые 1~5соответствуют ср,, кривые 6-10—срг
А
/// 7//
О 50 100 150 200 д0
Продолжение рис. 3.46
см. на рис. 3.35
Рис. 3.48. Зависимости безразмерного напряжения от параметра дв для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, о; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
Продолжение рис. 3.48
Кобелев В. Н. и др.
129
10
9
7— г'6
/г /
/ "1
// 'у 2
/ / / / , /
/ // '/ /' /
4 / 3
7 7/ /
// /, / / г’/ 4
1 //
у 7 / у
1// ~~~5
//. Г1/ /У 7
!/(, 7 О]-0,6а ; Ь1=0,6Ь Ь*о= Ч>1(Чо) > 6уо=</>г(0о) Кривые 1-5 соответствуют ср1, кривые 6-10—<рг
/
/й ^// <
1®
О 50 100 150 "до
Продолжение рис. 3.48
I
Рис. 3.49. Зависимости безразмерного напряжения от параметра для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, п; обозначения кривых
см. на рис. 3.35
Рис. 3.50. Зависимости безразмерного напряжения от параметра для схемы на-
гружения и закрепления кромок, показанной на рис. 3.18, р\ обозначения кривых
см. на рис. 3.35
Продолжение рис. 3.50
Мининых—напряжении в несущих слоях трехслоинои пластины,
необходимо по фактическому прогибу пластины, найденному по вы-
ражению (3.8), вычислить поправочные коэффициенты р! = д0/д01 и
Ри = Я^Чп- Затем напряжения в несущих слоях дополнительных
пластин I и II следует умножить на рг и рп. Полученные напряжения
в несущих слоях первой пластины будут равны напряжениям в несу-
щем слое /, а напряжения в несущих ^слоях второй^ пластины —
напряжениям в несущем слое *2.
Пластина, у которой % =3, деформируется при действии нагрузки
по цилиндрической поверхности и может быть рассчитана по мето-
дике, изложенной в работе [3].
Напряжения в заполнителе т133 = т233 = т3 можно определить
по выражению (3.7), для этого необходимо рассчитать, какой равно-
мерно распределенной нагрузке д будет соответствовать прогиб пла-
стины, нагруженной той или иной нагрузкой, отличной от равно-
мерно распределенной по всей поверхности. Затем вычисляют напря-
жение в заполнителе по формулам (3.7), подставляя в качестве на-
грузки значение д$.
Результаты расчета для случая нагружения трехслойной пла-
стины, защемленный по контуру, сравнивали с параметрами дефор-
мированного состояния, определенными по методике расчета больших
прогибов прямоугольных трехслойных пластин.
Например, для квадратной пластины А = 1 безразмерная нагрузка
д0 = 11,407 (ю0/с) + 5,2596 (и>0/с)2
Безразмерному прогибу
а>0/с = 1,0 соответствует истинная нагрузка д =6,8 МПа.
По графику (см. рис. 3.19, л) при безразмерной нагрузке дй = 60,5 прогиб
0,72, т. е. ошибка не превышает 28 %.
Для пластин, нагруженных равномерно распределенной нагруз-
кой по всей поверхности, значения прогибов и напряжений, вычис-
ленные по приближенной методике, ниже более точных значений
на 15 ... 20 %. Это подтверждается экспериментально. Ошибка
может быть компенсирована увеличением коэффициентов за-
паса.
3-8. ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ
и НАПРЯЖЕНИЙ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН [12]
в случае, если трехслойная пластина с шарнирно закреплен-
иями кромками подкреплена вдоль оси х балкой, расположенной
в середине панели (рис. 3.51), или двумя балками, расположенными
симметрично относительно оси (рис. 3.52), можно приближенно
определить напряженно-деформированное состояние пластины и
°алок.
Рис. 3.51. Трехслойная свободно опер-
тая пластина, нагруженная равномерно
распределенной нагрузкой и подкреп-
ленная балкой
Рис. 3.52. Трехслойная свободно опертая
пластина, нагруженная равномерно рас-
пределенной нагрузкой и подкрепленная
двумя балками
Прогиб пластины, подкрепленной балкой, во всех точках, кроме
линии оси х:
= У ±-[(1+л„еь^-втс1,^)-
иЛ Г>тлБ т°Ртп \ а™ а /
1,3» 5
а
~Рт
ат
а2-а2
5Й^
ат
ат тпУ
2 л ^т.1 СП
ог — аг
т
8Й^
а
(?—а?
т
тпх
81П----
а
(3-9)
а
Шс^сйв
1 а
Параметры 2)т, В, Рт, ат, ат, ат1, определяются выраже-
ниями, которые приведены ниже. Прогиб такой пластины по линии,
совпадающей с осью х:
Ет . . тлх 1Л.
«'о, р=о — СтП5 /, т5Рт(1‘|-Лт Вт) 8Ш а . (3.10)
1, з. 5
Прогиб участка пластины, лежащего между двумя подкрепляющими
балками (у < ±г/2),
= у ’ г/1 + ^сь-^-^сь-^)-
пл Отл? т6Рт 1 т ат т а /
1. 3, 5
- Рт1 Сй Сй -^1 Б1П (З.П)
'\сЬ₽т ° сЬ₽т а а
Прогиб участка такой пластины от балок до кромок пластинки
(±6/2 у ±г/2)
- -ЙЙ- 2 -НО -
I. 3.5
-г„ (с„ зЬ - С„ СЬ - Н„Л + И„ Л
(3.12)
Прогиб пластины по любой из линий у = ±г!2
(3.13)
ОО
И'пл = Ртлб X тЬРт ' ^т1 ~ Бт) 51п
1. 3. 5
тлх
а
Жесткость при изгибе трехслойного пакета в целом
(3.14)
Параметры трехслойной пластинки, подкрепленной балками,
определяются выражениями
е=(1 + т)/-^; р- = 1+2тда-; «т = «|Лп| 2;
ат = 0, ЬтлЬ/а-, ат1 = 0, ЪтлЬ1ат;
рт = 0,5тлг/а; р,п1 =0,5/плг/ат.
Постоянные коэффициенты в выражениях (3.9) ... (3.12) имеют вид
А -• а'п 1 • В - д2 1 •
т с? — с?т сй ат1 ’ т а2 — с?т ей
а 1Н с<т — ат (Ь # р 1
т ~ ’ т ~ , Ст1бЕбп,~ ’
2ОТР т
где /б и Е5 — моменты инерции сечения балки относительно оси и
модуль нормальной упругости материала балки.
Постоянные коэффициенты в выражениях (3.11) ... (3.13) для
пластины, подкрепленной двумя балками,
А/П1 =: Ат СЙ Рт1, Вт± = ВТп С11
С’р,! 2 2 Рт1 1Й СУп1 СЙ Р//ц) СЙ Рш1,
а ~ат
Ст2 = 2 а 2 (зЬ ₽'« — 411 ат сЬ Рт) СЙ ₽га;
а ~ ат
р ___ Г1 । (б/п1 — Си)) ЕбГ^тп 1-1.
т1 [1+ ОтРт ] ’
= ~Ь ^т1 — Вт1) [(Ст1 — Ст) -|- ОТРт/Еб15тл] г;
б?т 2 2 СЙ Рт1> Ет1 Ет 1Й 0^1,
а ~ат
Нт 5 2 Рт, Нт-у —- Нт 1Й (Х^г*
а -°т
Если подкрепляющие элементы отсутствуют, т. е. Е^1^ = 0, то
5™ Р/т = 1, Рт = Ет1 = 0. Если жесткость подкрепляющих
лок бесконечно велика, т е Е616 = оо, то прогибы по линиям уста-
новки балок равны нулю и пластина разбивается на 2—3 отдельных
поля.
У пластины, подкрепленной одной балкой, напряжение в несу-
щих слоях во всех сечениях, кроме напряжений по оси х, следующее:
ОО
1, 3, 5 \ т /
/1 \ / А Г I тПУ и тПУ \ I . гплх
— (1 -Тг) ^тсЬ-^--5га28Ь-^-) 51П—,
Г = 1,2, I = 1 соответствует несущему слою /, I —2 —несущему
слою 2, где Ьт = Ат + Ат21й ат1; Мт = Вт + Вт21й ат; Ат2 =1
= Вт —9ат п Вт2 — Вт а- . Изгибающий момент в сечении
°~4 ^~ат
балки, нормальном ее продольной оси.
Д491 4д0Д2^б7б VI Ет /1 I Л _ Д ) <^п тПХ
М° Отл3 / 1 т3Рт (1 ’ Лт ^"У5111 а '
1. з. 5
У пластины, подкрепленной двумя балками, напряжения в несу-
щих слоях в сечениях между балками следующие:
'у>
4?оа2
1, з. 5
-Л^т1(1
тпу
а
'' а
тпх
81П----
а
4?вд2 У 1
— п3сЕ т3Рт
1,3. 5
-Н
1
л3с/, Ди т3Рт
1 + 1„ч 1 — V;
-Л^-1)сй^81п2^.
Напряжения в несущих слоях в сечениях пластины, лежащих между
балками и кромками пластины,
о . =
3= язс/|.
ат /
1, 3, 5
-(1
-37Т-Г1+ 0 ~
т3Рт 1
а3
4
гЬ тпУ
™2сн ат
А ИЯ)
81П —
у1 — я3с(1 т3Рт
г.з, 5
V;
, , тЛу
-?„С„5Ь^) - (V, - 1)(^Л - Г„НтЫ,
1^т2 == Ат Рщ^Опцу Мщ2 ==: ^т 4“ ГщНт1‘
Изгибающие моменты в сечениях балок, нормальных к продоль-
ной оси,
лл?« _ 4?0°2^б^б \' ^т1 /1|/| Р \ '!« тпх
Мб------о^Г~ 2и о + Ат1 - Вт1^81П —•
1. 3, 5
Расчеты свидетельствуют, что приведенные ряды сходятся доста-
точно быстро. Для инженерных расчетов достаточно взять 2—3
члена ряда. Прогибы, определенные по приведенным выражениям,
отличаются от экспериментальных значений не более чем на 15 %,
напряжения ох; — на 20 ... 30 %, су{ — на 50 % и более.
Глава 4
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН
4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ
Если стержень сжат силой Г, линия действия которой совпадает
с нейтральной осью, отстоящей от средней линии заполнителя на
й0 = -4- [?! (11 4- с) — у2 (12 4- с) ], зависящую от собственных жест-
костей^ несущих слоев, где у,- (1 = 1, 2) определяются из (6.7), то
в докритическом состоянии такого стержня изгибающий момент ра-
вен нулю.
Критическую силу можно определить по Эйлеру из уравнения
равновесия относительно функции перемещений %:
( 1-— Л । дг / 1________у — 0
V л ах3 ) ах* V1 <1 ах3)'- ^-
Функция % связана с прогибом стержня уравнением
/. Н3 а3 \
И1—
Приняв безразмерную функцию перемещений х — (л//) у, безразмер-
ную координату 5 = (л//) х и безразмерные параметры х2 =
Л^/2/(л2Д), к = л2Н2/(412), уравнение связи приведем к безразмер-
ному виду
<Рх ( кк3 - I (Рх х2 _
"1 к® ар' ~ Г& х =
Соответствующее ему характеристическое уравнение можно свести
к квадратному
с действительными разными корнями. Положим корни гг = —№,
г2 = ё2-
Из теоремы Виета следует
, 1 + ^0л2 2 1+т2
х==Х-ГТ^’ ё Л0(1+'Й2)
где X 1 — коэффициент приведения длины.
Обозначив 10 = /V1, находим критическую силу
р _п‘О 1 + л2$Я2/(р12)
КР~ I2 1+п2Е2/(М2) ’
ЕН9Ь
где О = —0 — жесткость стержня при изгибе относительно
оси сечения; осредненный модуль упругости Е определяется из (6.5);
Ь — ширина стержня; 0 = {с2 (3 — 2у3) + 6с (у^ -И у212) +
+ 4(уЛ 4- 72/2) — 3 [71 (/] + с) — у2 (^2 + с)]2} — параметр изгибной
жесткости сечения, 1 < 0 < 3, он имеет наибольшее значение при
симметричных по толщине стержнях;
а V 41+ 72^2 , Зу3 4Т1Т2 (*1 ~ *?2 + *г) + Уз О’?! + Тг^г)
в№ 12у1у24-у3(4-Зу3)
параметр собственной изгибной жесткости слоев, 0 с О < 0,25,
для стержней с легким заполнителем у3 = 0 и
^41 + ^2 , 12с03(1—О)
12Д> 0; а ~ Еу2
параметр сдвига,
. Узе2 + З?3с [Т1/1 + ?2<2 + С (У1 + Уг)] + 6Т1У2с (И + с)_
т ел/2
отношение поперечной силы, воспринимаемой заполнителем, к пол-
ной поперечной силе, действующей в сечении; М — нормальное уси-
лие в поперечных сечениях стержня при осевом сжатии нагрузкой р.
приложенной в концевом сечении.
При вычислении критического усилия ркр в различных случаях
опирания должно быть известно минимальное значение к. Для не-
которых случаев опирания (рис. 4.1) получены следующие значения
Хт1п: а — 1; б — 0,5; в — 2; г — 1,43 (1 — 0,1Л); д — 1 -Ь 0.64Л X
X У + 1,43 / ЛО (1 + к), где Л < 1, О < 1. Во всех стер*-
Рис. 4.1. Различные способы закрепления концов трехслойных стержней
нях, кроме пятого (рис. 4.1, б), на концах несущие слои связаны
только заполнителем, в пятом имеются абсолютно жесткие диаф-
рагмы.
4.2. РАСЧЕТ НА ОБЩУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН
С ЗАПОЛНИТЕЛЕМ СРЕДНЕЙ ЖЕСТКОСТИ
Рассмотрим пластины несимметричной структуры с учетом изгиб-
ной жесткости несущих слоев. Модуль сдвига заполнителя опреде-
ляют по формулам, приведенным в гл. 2, или экспериментально.
Жесткость на растяжение пластины В = Вг -ф В2 -ф В3. Жест-
кость при изгибе О = 2?1 ++ В\Н1 В2Н%, где Н\ =
= -^-(1-ф #2 = 4г(1+КГ1)- Параметр сдвига
к = 0,25л2В0с/(63й2),
где Ь — ширина пластины; Во = Вх -ф В2 -ф Вз/3 — В1 (Вг — В2)2.
1. Пластины в условиях цилиндрического изгиба (а/Ь > 3).
При упругой работе конструкции
Ркр =р*л2П/й2, (4.1)
где р* — безразмерный параметр, зависящий от опирания нагру-
женных кромок 1 и 2 (рис. 4.2). При шарнирно опертых кромках
р* = (1 -ф ку1, при защемленных кромках р* = 4 (1 -ф ку1, при
одной защемленной и одной свободной кромке р* = (4 -ф ку1, при од-
ной защемленной и одной шарнирно опертой кромке пластины пара-
метр р* определяют по кривой 3 (рис. 4.3, в).
Рис. 4.2. Трехслойная пластина несимметричной структуры, нагруженная сжнма-
кицими усилиями, действующими в плоскости срединной поверхности пластины
(а/Ь > 3)
Критические напряжения в несущих слоях при расчете упругой
устойчивости конструкции
= р; и О] 2е = Р] (/' — Л", у),
если они больше предела пропорциональности пц. Их определяют
следующим образом:
Рис. 4.3. Зависимость коэффициента р* от параметра к при различном закреплении
нагруженных кромок
а) если диаграмма о — е материала несущих слоев не имеет явно
выраженной площадки текучести, то действительное критическое
напряжение находят по формулам
кр == При <3це <2 пц,
кр = Л |РП в в ®Л пц) пц/фНе)'/ 1 При 6]} иц,
или О//кр = 7)0// в (I 4- ф/) (1 + ф| + Ф?)-1
ПрИ
где ф; = 0/гв/0дг (I = 1, 2) (/ = X, у)-,
б) если диаграмма а — е материала несущих слоев имеет явно
выраженную площадку текучести, то
®Л кр == ПрИ О]1е <С Оу/ т,
Фи кр == т ПрИ С)1е~^>0Л1'
Так как приведенные зависимости справедливы только для изо-
тропных материалов, то следует брать ох(р=Су1В = а1в, пиЕс
142
= = О; пц. гДе ц = 0,8 ... 1,0 — коэффициент, зависящий от
качества изготовления пластин.
По значениям критических напряжений определяют действитель-
ные критические усилия на единицу ширины пластины по формулам
Р} КР Р) №р^1/Р] 2кр = Р} 2КР^2/Ва,
меньшее из двух значений принимают за действительную критиче-
скую нагрузку.
Рис. 4.4. Плоская прямоугольная пла-
стина, нагруженная нормальными уси-
лиями рх и Ру и касательными усили-
ями рХу, действующими в плоскости
срединной поверхности пластины
Рис. 4.5. Цилиндрическая прямо-
угольная панель, нагруженная нор-
мальными усилиями рх, ру и каса-
тельными усилиями рХу, действу-
ющими в плоскостях, касательных
к срединной поверхности пластины
2. Прямоугольные плоские и цилиндрические пластины закреп-
лены по четырем кромкам (рис. 4.4 и 4.5).
При упругой работе конструкции в зависимости от параметров
пластины, условий нагружения и опирания критические усилия
Рхе = Р'лЧ)№, руе = р'пЮМ, рхуе = рхулЧ)№.
Значения р* и рху в зависимости от условий нагружения и опирания
кромок пластины приведены табл. 4.1 для пластин с размерами
а/Ь > 3 и табл. 4.2 при а/Ь < 3.
При совместном сжатии в одном направлении и сдвиге задают
°Дну из нагрузок рхе или рхуз Затем по графикам, указанным в
в табл. 4.1 и 4.2, определяют значения р* или рху.
Действительные критические усилия в пластине с учетом работы
материала несущих слоев за пределом пропорциональности находят
путем пересчета усилия, найденных в предположении упругой ра-
боты заполнителя. Порядок пересчета аналогичен изложенному для
пластин, работающих в условиях цилиндрического изгиба.
Таблица 4.1
Условия нагружения Пластина Цилиндрическая панель
Кромки 1 и 2 шарнирно оперты Кромки 1 и 2 защемлены Кромка 1 защемлена, кромка 2 шарнирно оперта | Кромки 1 и 2 шарнирно оперты
Сжатие рх, Ру = = Рху = 0 р* = 4 (1 + й)'2 р* по кривой 1 (рис. 4.3, в) р* по кривой 2 (рис. 4.3, в) р* (рис. 4.3, д)
Сдвиг Рхуч Рх Ру = 0 р^у по кривой 2 (рис. 4.3, а) Рху 110 кРив°й 1 (рис. 4.3, а) — Рху <РИС- 4’3’ ®
Сжатие ру, сдвигу рху, р* и р*у (рис. 4.3, г) р* и р*у по сплошным линиям (рис. 4.3, е) —
Сжатие рх, сдвиг Рху, Ру=О р* и р*у по штрихо- вым линиям (рис. 4.3, е) —
Т а б лица 4.2
Условия нагружения Кромки шарнирно оперты Плас Кромки защемлены :тина Кромки 1 и 2 защем- лены, кромки 3 и 4 шарнир- но оперты Кромки / и 2 шар- нирно оперты, кромки 3 и 4 защем- лены ЦНЛ1 Кромки шарнирно оперты 4идрическая пг Кромки 1 и 2 шар- нирно оперты, । кромки 3, 4 защемлены иель Кромки /, 2 защемлены, 3, 4 шар- нирно оперты
Сжатие рх Ру = Рху = 0 р* (рис. 4.6, г) р* (рис. 4.6, б) р* (рис. 4.6, а) р* по рис. 4.6, д или по формуле р* (рис. 4.8, а) р* (рис. 4.8. б) р* (рис. 4.8, в)
Сдвиг (рис. 4.6, в) Рху (рис. 4.6, е)
Сжатие рх СО СДВИГОМ рху, Ру = 0 Р* и Рху (рис. 4.7, а . - в) —
Рис. 4.6. Зависимость коэффициента р* от удлинения
пластины а/Ь и па-
раметра к
Рис. 4.7. Связь коэффициентов р* и р*ху
По формуле (4.1) можно вычислять критическую силу для ци-
линдрических панелей. Параметр критической силы вычисляют с
учетом кривизны
а2 = й4 (1 — т2) В!(лЧ?Е),
где V =-В 1 + В2\’2 +'В3х3)
Пуассона.
— среднее значение коэффициента
При а2 = (1 — /г)//г2, 4 = 12
линдрической панели
* а{ ।
Р ~ 0,86 (с-М) Н
Рис. 4.8. Зависимость коэффициен-
та р* от удлинения пластины а!Ь при
различных к и аа
I и а "%> 0,585 (1 + 5) 1 для ци-
1,73а (с + 0
I (1 — к)+ 1,736а (с-1- О'
4.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН С МАЛОЖЕСТКИМ
ИЗОТРОПНЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
Рассмотрим пластины симметричного строения с изотропными
слоями. Принимаем, что заполнитель несжимаем, изгибная жест-
кость его равна нулю. Формулы справедливы при 63Е]'(1-^)>
>0,001, Е&1Е& < 0,2; л2Вгс/63&2 < 2,0.
1. Пластина бесконечной длины (а!Ъ > 3), нагруженная силами,
которые приложены к длинным опертым кромкам в плоскостях сре
146
динныХ поверхностей несущих слоев, ненагруженные короткие край
свободны. Критическое усилие
Ру кр = Р*^В1 Ь-2,
где р* = (1 -Р&) 1 при обеих шарнирно опертых кромках, р* ~
= 4 (1 -Р 47г)-1 при обеих защемленных кромках, р* = (4 + к)1
при одной защемленной и другой
свободной кромке, коэффициент
сдвига к = 0,5л2В;с/(63А2). При
одной жестко защемленной и дру-
гой шарнирно опертой кромке р*
находят по графику (рис. 4.9).
2. Пластина бесконечной дли-
ны нагружена сдвигающими уси-
лиями, приложенными к кром-
кам (рис .4.10),
Рис. 4.9. Зависимость критического
напряжения р* от параметра сдвига за-
полнителя к при а/Ь > 3
Значения р*у приведены в’табл. 4.3
и на рис. 4.11
3. Пластина бесконечной длины
действующими на длинные
Рис 4.10. Нагружение пластины
бесконечной длины касательны-
ми усилиями рХу, действующи-
ми вдоль длинных кромок и ле-
жащими в’ плоскостях срединных
поверхностей при различных спо-
собах закрепления кромок
при сжатии и сдвиге усилиями,
кромки и лежащими в плоскости
срединных поверхностей слоев (рис. 4.12). Критические усилия
(4.2)
р,в.р=/’«^(ЧАУ‘г- <4з>
Таблица 4.3
Опирание кромок ПРИ к
0 0.1 0,2 0.3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8
Шарнирное (Рис. 4.10, а) 5,3 4,0 3,1 2,6 2,1 1.8 1,6 1,4 1,2
Защемление (Р“С 4.10,6) 8,8 5,3 3,7 3,0 2,4 2,0 1,7 1.4 1,2
Рис. 4.11. Зависимость коэффициента
Рху от п₽и различном опирании кро-
мок (см. рис. 4.10, а и б)
Зависимость между р* и р*ху
представлена на рис. 4.13.
По заданному значению
одного из критических усилий
находят соответствующие зна-
чения р* или р*Ху. Затем по
графику определяют значение
другого коэффициента, а по
формуле (4.2) или (4.3) вычи-
сляют второе критическое
усилие.
4. Бесконечно длинная пла-
стина сжата по коротким
кромкам усилиями, лежащими
в срединной поверхности не-
сущих слоев (рис. 4.14). Критическое усилие [2]
Ркр = р^в1 (С^1 )2 Ъ 2.
При опирании пластинки, показанном на рис. 4.14, а,
р* = 4 (1 + /г)"2 при /г < 1,
р* = к 1 при к > 1.
В последнем случае критическое усилие определяют приближенно,
так как с увеличением к возрастает роль изгибной жесткости несу-
щих слоев. При других способах опирания значения р* приведены
в табл. 4.4 и на рис. 4.15.
При схеме опирания, показанной на рис. 4.14, д, р* = 0,425.
5. Бесконечно длинная свободно опертая пластина при совмест-
ном действии сдвигающих и сжимающих усилий, лежащих в средин-
Рис. 4.12. Нагружение пластины бесконечной длины нормальными усилиямиРч
и касательными усилиями рху, действующими в плоскостях срединных нов 1
костей при различных способах закрепления кромок
2рд
а)
Рис. 4.13. Связь между коэффициентами р* и р^ при различном опирании кро-
мок (см. рис. 4.12, а и б)
Рис. 4.14. Нагружение бесконечно длинной пластины усилиями рх, действующими
в плоскости срединной поверхности несущих слоев
Таблица 4.4
Опирание кромок р* при к
0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 4.14, б 7,0 4,5 3,3 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0
рис. 4.14, в 5,3 4,0 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0
Рис. 4.14, г 1,29 1,20 1,Н 1,03 0,97 0,92 0,88 0,80 0,78 0,73 0,70
Рис. 4.15. Зависимость коэффициента р* от к при различном опирании кромок
(см. рис. 4.14):
а — для случая б; б — для случая в; в — для случая г
ных плоскостях несущих слоев и приложенных к коротким кромкам
(рис. 4.16). Критические усилия
Ркр = Р*л2В1 Ь2,
Значения р* и р*Ху приведены на рис. 4.17. Расчет критических уси-
лий производят аналогично изложенному в п. 3.
6. Уточненный расчет прямоугольной пластины, сжатой равно-
мерно распределенными по коротким кромкам усилиями, приложен-
ными к несущим слоям и лежащими в срединных плоскостях
(рис. 4.18). Критическое усилие
Рк₽= Р*Вг(-Ц^-)2^2.
Если не оговорено особо, то р* минимизируют по некоторому
целому числу, принимающему значения 1, 2, 3 ...
Рис. 4.16. Нагружение бесконечно длинной
пластины усилиями рх и касательными усили-
ями рХу, лежащими в плоскости срединной
поверхности несущих слоев
Рис. 4.17. Связь между коэфФи'
циентами р* и р*у
Если кромки оперты шарнирно (рис. 4.18, а), то
или определяется по графику (рис. 4.19).
Рис. 4.18. Нагружение прямоугольной
пластины усилиями рх, лежащими в пло-
скости срединной поверхности несущих
слоев
Рис. 4.19. Зависимость р* от удли-
нения пластины при шарнирном за-
креплении торцов (см. рис. 4.18, а).
а — А. 0,5; б — X <0,5
Если короткие кромки шарнирно оперты, а длинные защем-
лены (рис. 4.18, б), то
2Р.(4х,+г + 4)(|+2г"-|1‘)_________
1 +________________________________________₽| + 5к + 4- (Г2 + 1 ~7'-- (4-^2 + 2 + 4-)]
(4-4)
или
„* ( 6 р2 2, п*+_бп2_+11/., 1-у*.*6\и
Р ~Цп2+ I)2 Р2 Н [п2 + 1 + («2+ 1)Х2 ] \ + 2 Н2Д Х
х {1 + р2 + * + "4 У^-+ Ч + (»2 + 1) [т^п7 +
Ь2
Рис, 4.20. Зависимость коэффициента р*
от удлинения пластины при шарнирном
закреплении кромок вдоль оси х и заще-
млении вдоль оси у (см. рис. 4.18, б):
а — Л > 1,0; б — к <2,0
<«>
где = (0,75Х~2 + X2) к- 02 =
— [(п2 +' 1) X 2 + X2 ] к\ п мо-
жет принимать значения 2,
3, 4 ... * *
Для определения ркр берут
меньшее из двух значений,
вычисленных по формулам
(4.4) и (4.5) или определен-
ных по графикам (рис. 4.20).
Если короткие кромки опер-
ты шарнирно, а длинные за-
щемлены (рис. 4.18, в), то
Х(1 -л'112)03 + М4 + л2) +
+^4[4+(1-гь2)х
/ 16 X2 . 8 , п2 ,п-1
Х \ 3 п2 3 + X2 )])
или определяется из графиков
(рис. 4.21).
Если все кромки защемле-
ны, то
Р* = {-V- ₽з + 4 (X2 + 4 + } [ 1 + 4 <1 - 2) Р*] }х
х{1+|(1-^2)₽з+8л ф4^[^+(1-у1>2) (х2+|+4)]}
Рис. 4.21. Зависимость коэффициента р* от удлинения пластины при шарнирном
закреплении кромок вдоль оси у и защемлении вдоль оси х и всестороннем защемле-
нии (рис. 4.18, г):
а — X >0.5 (рис. 4.18, в); б — X < 2,0 (рис. 4.18, виг); в — X >1,0 (рис. 4.18. г)
ИЛИ
„* _ (32 п4 + 2п2+1 р р 16 2 । п« + 6п2 + । ] „
Р \ 9 («+ I)2 ' 4 ' [з (п2+ I) ' 3 Г А2(п2+ 1) Х
+ »2+«+1Л + 21+>^-, («.у,
где р3 = (Г2 + А,2) к- = [0,75 (п2 + 1) Г2 +12] /г;
16 п4 + 8г12+1 । чГ 16 8 , В4+6в«-Ц1.
3 (п2+ I)2 “Г 112> [ 3(и2+ 1) Л •" 3 "т Х2(п2+ 1) ] ’
п может принимать значения 2, 3, 4 ...
Для определения ркр берут меньшее из двух значений р*, вычис-
ленных по формулам (4.6) и (4.7) или определенных по графикам
(Рис. 4.22, б, в).
7. Прямоугольная пластина, свободно опертая по периметру
пРи всестороннем сжатии равномерно распределенными усилиями,
лежащими в срединных плоскостях несущих слоев (рис. 4.22).
Ни Усилия, воспринимаемые несущими слоями, связаны соотноше-
т2 „ । "а „ _ ( т2 । ”2 \ пВ1 2((« + 0)/2]2
а2 /х ' Ьа рУ \ а2 ‘ Ьа ) 1 + /г (1/а2 ф 1/&2) '
По заданному значению одного усилия находят критическое значе-
ние другого. Величину п = 1, 2, 3 ... подбирают из условия мини-
мума этого критического усилия.
8. Удлиненная прямоугольная пластина (а/Ь 4> 1) нагружена
равномерно распределенными сдвигающими усилиями, действую-
Рис. 4.22. Нагружение прямоугольной пласти-
ны усилиями рх и Ру, лежащими в плоскости
срединных поверхностей несущих слоев
Рис. 4.23. Прямоугольная пла-
стина, нагруженная касатель-
ными усилиями, лежащими в
плоскости срединных поверхно-
стей несущих слоев
щими в срединных плоскостях несущих слоев (рис. 4.23). Критиче-
ское усилие
Рхукр = РхуЛ?В{ [(с +1()/2]г Ь'г.
При шарнирном опирании
Р« = |(4 + ЗГ*) [1 4-1(134-9Г^]“'
при к < (1 + V2)"1,
Рху= 1/3 при Л >(1V2)"1.
При защемлении кромок
р*Ку = 1 (27 + 177г2) [ 1 4-1 (23 + 137г2) А>] ' при к < 0,75 (1 4-
рху = к"1 при к > 0,75 (1 + 7г2).
Значение рху можно определить по графикам (рис. 4.24).
9. Свободно опертая длинная пластина с переменным модул6
упругости заполнителя нагружена равномерно распределенный
усилиями, приложенными к длинным кромкам и лежащими в среди
ных плоскостях несущих слоев (рис. 4.25). Критическое усилие
ркр = р*лВг [(с + <)/2]2Ь 2, _
где р* — коэффициент, зависящий от закона изменения модуля
сдвига по толщине заполнителя.
Рис. 4.24. Зависимость коэффициента р*~ от удлинения пластины:
а — при шарнирном опирании кромок; б — при защемлении кромок
Л. Модуль сдвига заполнителя по толщине изменяется по закону
С3 = Сзсрегг. Параметр г задается для каждого типа заполнителя.
Коэффициент устойчивости
Р* = [1+-^-(е^-1)(геТ) '] *.
Б. Модуль сдвига заполнителя по толщине изменяется по закону
68 = 03ср (гз8 * 10 + 1). В этом случае
В. Модуль сдвига заполнителя по толщине его изменяется по
закону С3 = 0зср сЬ гг. В этом случае
[1 +-^-^аагс1б(5Ь0,5гс)]~1.
10. Свободно опертая бесконечно длинная пластина нагружена
Усилиями, равномерно распределенными по длинным сторонам не-
сущих слоев и лежащими в их срединных плоскостях, равными по
м°дулю, но имеющими разные знаки. Этот случай соответствует на-
Фужению пластины моментами, действующими по кромкам. Крити-
ческое усилие в сжатом слое ркр =
г® ЛГ, = + пЛеЬ-’В, ।1 + 0.5т!А-!В|сОГ' +
+ Ж™'Л-4в,Лз-ф';
М2 = + 4О3Ь2/(т2л2с?);
Ь 2, 3 ... определяют из услория минимума рщ,.
11. Свободно опертая бесконечно длинная пластина, сжимаемая
усилиями, равномерно распределенными по длинным сторонам несу-
щих слоев и лежащими в срединных плоскостях.
Усилия, действующие на один несущий слой, отличаются по мо-
дулю от усилий, действующих на другой несущий слой, на некото-
рую величину 2ра. Таким образом, на один слой действует р + ри.
Рис. 4.25. Пластина бесконечной длины,
нагруженная усилиями Р, равными по
модулю, но с разными знаками, действу-
ющими в плоскости срединных поверх-
ностей несущих слоев
Рис. 4.26. Пластина бесконечной
длины, нагруженная усилиями раз-
личной интенсивности и действую-
щими в плоскости срединных по-
верхностей несущих слоев
а на другой р — рк. Этот случай соответствует нагружению пла-
стины моментами и сжимающими усилиями, приложенными по кром-
кам пластины (рис. 4.26). Критическое усилие
Ркр = (Л?! ~Р) (У2 —р),
где Л?1 = а2П( + а2В.(ЦДу
[ 1 + 0,5В^1 + В/ГГ'сс4] 1
Л’2 = аЮ1 + 46яа"2с"1;
а = тпНг, т == 1, 2, 3 ...
Величину т определяют из условия получения минимального
значения рнр. Приведенные выражения справедливы при
0№ < 0,33/ВД, (1 -V?) (1=1, 2).
4.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
С МАЛОЖЕСТКИМ ОРТОТРОПНЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
Рассмотрим пластины симметричной структуры Ег = Е2, Е = Ъ
с изотропными несущими слоями, изгибная жесткость несущих слоев
мала и во внимание не принимается, сближение слоев отсутствует
(Ащ = 0). Оси симметрии заполнителя параллельны кромкам пла-
стины.
Параметры жесткости в плоскостях симметрии
= 0,5л2Вгса_261зз;
= 0,5л2В 1са~ 20йз (1=1, 2).
Эти зависимости справедливы для прямоугольных трехслойных
пластин, у которых 613/Е, > 0,0001; Е^Е^ < 0,2; сЩ 6,0;
к <1,0, где С3 —меньший из модулей О133, 6233; Е3 —больший из
модулей Е13, Ем', к — больший из параметров кхг или куг.
1. Прямоугольная пластина сжата равномерно распределенными
усилиями, приложенными к двум противоположным кромкам и ле-
жащими в плоскостях несущих слоев (см. рис. 4.18). Критическое
усилие
Ркр = р*л2В( [(с + Ь~2,
где р* — коэффициент, зависящий от условий закрепления кромок.
При шарнирном опирании всех кромок
Р* = (Хм'1 + пХ’1)2 [ 1 + 0,5 (1 - 2) (паХ-2^г + Х/гхг)] х
X [ 1 + 171'2 (п2Х 2куг + Мкх1) + куг + п2кхг +
+ ’ V’2 п2 1 + пХ' 2)2 ’
п = 1, 2, 3 ... выбирают так, чтобы р* принимало минимальное
значение.
Если длинные кромки шарнирно оперты, а короткие защемлены,
р*={4 &+(4 Х2«'2+4+“М [1+4(1- ^1>2) рх]} х
х {1 + 4 (I — V,, а) 0! + 4кух + п2кхг + 0,5п2кххкух х
х [4+а - (4Х2л'а+4+^’я)]}'.
где 0г 0,75п2Г2^ + №кхх.
Величину п — 1, 2, 3 ... выбирают из условия получения мини-
мального значения ркр.
Если длинные кромки защемлены, а короткие шарнирно оперты,
Р*= [202 + (0,75Х2 + 2 + 4Х"2) (1 + 1 ~0а)] X
х 11 Ч 2 12 Р2 + + З- X
х [2 + -~У1’8-(°’75?? + 2 + 4Г2)]
1)-2 + [Х2(П2+ 1)-1 4- 2 + (и4 + 6п2 + 1)Х
Х(п2+1ГГ21(1 +-Ц^Рз)}{1 +-Ц^0з + ^ +
-!-(,<• М.лг + !)(»’+ 1Г'*„ + (лг+ 1)МиХ
х [4п*(л* + 1Г (^- + 2 + "‘+У »•-’)] }“'.
где р2 = 4 2 + Мкх2-, рз - (п2 + 1) ^куг + Мкхг-
2, 3, 4 ... выбирают из условия получения минимального зна-
чения ркр.
При защемлении всех кромок
= -!^Я<+4(^+|+^)[1 + |(1-у..)Р.]
1 ~Ь з (1 — VI, 2) Ра + -р 4йхг + &кхгку2 + (1 — Уа,2) ^Х2 + $ +
или
* ( 32 п4 + 8п2 + 1
Р — \ 9 Щ2+ I)2
Г 46 12 I 8 1 »4 + б»2+1
1зщ2+’1)Л 1 х2щ2+1)
- V,.,) ₽„]} [ I + | (1 - »1>2) Ь + 4*,. + + ",Н-
где ₽4 = р5 =
16 п4 + 8п2+ 1 , ,, ч Г 16 12 I Ал.
Г~ 3 ,(л2-|-1)2 1>2^ [з (п2 + 1) ^3 +
п“ + 6п2 + 11
Х2(п2+ 1) ‘
Рис. 4.27. Зависимость коэффициента / от удлинения пластины:
а — кромки шарнирно оперты; б — кромки защемлены
В случае, соответствующем рис. 4.23, б, критические сдвигающие
усилия
„ _______________4В,[(с+М/2]2_______________ 9.
Рх»кр /а ( «> кхг + куг + [(1 - у;)/2] кх2ку1 (к + 1 А)2) *> *)•
I 1+(1-У;)/2(^2/Х2 + йхгХ2) /
Значения коэффициента /2 приведены в табл. 4.5 и на рис. 4.27, б.
При определении ркр берут меньшее из двух значений р*.
2. Прямоугольная пластина нагружена сдвигающими усилиями,
приложенными на кромках несущих слоев и лежащими в плоскостях
их срединных поверхностей (см. рис. 4.23). В случае, показанном на
рис. 4.23, а, критические сдвигающие усилия
Рхикр /1 ( ~
Ь2 (1 + 4
________45/ 1(с+^)/2]2________________
&ХХ + куг Н~ ((1 — У1,з)/2] кхгкуг (X 1/Х)2) ’
1+(1-У/)/2(А1/г/Х2 + Л2йяг) /
где /\ — коэффициент, который зависит от отношения размеров сто-
рон а/Ь (табл. 4.5, рис. 4.27, а).
Таблица 4.5
Коэффи- циент —————
1.0 1,1 1.25 1.43 1.66 2,0 2.5 3,3 5,0 10
/1 22,7 21,0 18,9 17,4 16,3 15,4 14,5 14,0 13,5 13,3 13,0
12 36,1 33,3 30,0 28,6 27,4 26,0 24,6 23,6 22,8 22,3 22,2
4.5. ПЛАСТИНА С ЖЕСТКИМ ИЗОТРОПНЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
Рассмотрим трехслойные прямоугольные пластины симметрич-
ной структуры (Ег = Е2, = <2) с изотропным заполнителем средней
жесткости. Введем обозначения
с 53
г-Нг\2
2 )
12
5'прзС2) .
24 /’
Опл = 2 В(
п2^тшс
к ~
(»=1. 2).
2
Четкость пластин должна удовлетворять условиям
Е3с/(ВД<0,2; п2В1С/(63/) > 2.
Прямоугольная пластина нагружена усилиями, равномерен
Распределенными по двум противоположным кромкам несущих слоев
и ёжащими в плоскости срединных поверхностей. Критическое усп-
2Ие Ркр = 0,5р*лПп;[Ь‘2, где р* — коэффициент, учитывающий ха-
рактер закрепления кромок. Рассматриваются четыре случая опира-
Ия Длинных кромок. А. Кромки шарнирно оперты.
Коэффициент р* определяют по графику (рис. 4.28)’или по
В. Одна кромка защемлена, другая свободна.
формуле
^(4+^Г+(4+т) [+*(+^)Г
п = 1, 2, 3 ... выбирают из условия получения минимального зна-
чения р*.
Б. Кромки защемлены. При к > 1
ГЛ21 I 1 I ^.1
Р “ 61>пл [ 3 п2 г З т >2 ]
16 X2 8 п2
3 п2 + 3 + X2
1+/г[4+5+^2
Д 32 I О /1 . / 16 X2 8 П2 \
где (3 — з ф- 2 (1 т;) з П2 + з + ^2 ) ’
или
"*=<& (°-7»2+2+4)+!»-75^+2+4-+к *
X [2 + (о,75Х2 + 2 + 4)] (! + 0,75Х"2)}х
х{1+/ф Ь^ + -Ц^-(з^+,)]+>х
X [2 + (о,75%2 + 2 + ] }“‘
п =1, 2, 3 ... выбирают из условия получения минимального зна-
чения р*.
При к > 1 р* можно определить по графику (рис. 4.21, б) [2],
при /?<1иХ>05 — по графику (рис. 4.21, а, в).
Г. Одна кромка защемлена, другая оперта шарнирно; короткие
кромки свободны. При к > 1
, №
р =6ЛГл
X2
п2+ 1
п* + 6п2+ Ц
+ (п2+1Р-2/
1 +
X2 п« + 6п2+1
„2+ 1 т'Т (П2+ 1)ХД
П4 + 6п2 -Ь 1 1 — VI / .
(П2+ 1) X2 + 2 \ "*
+ (1 +
п2 + 1 \
' X2 /
.2^+1^
X2 /
п2 4- Г
+ *2Р-^Р-
1+44,+т5+4(1-’‘)(|+т)]+‘11'
* В1(21 Г >6 12 I 8 , «4 + 6М2+ И ,
ИЛИ р — [ 3(П2+ !) + 3 + Ь(П2_|_ 1)^2 ] +
_____16____Х2,1 П4 + 6П2+1^ Г 3(П24-1)~1
3 (п2 + 1)_3 (п2 + 1) X2 ф I 4Х2
1 —VI
л П4 + 6П2+!
(п2+1)Х2
1 к
п* + 6п2 + 1
-(п2+ 1)ХГ
4п2
(п2+1)2 1“ 2 .
п — 2, 3, 4 ... выбирают из условия получения минимального
значения р*. При расчете критических усилий используется меньше-"
из двух значений р*.
При к < 1 значение р*
можно определить по графи-
ку, приведенному в работе
[2 ], или более точно по гра-
фику, показанному на
рис. 4.20.
где
где (3 _ | |4 + (1 - у^ (V + | ;
Рис. 4.28. Зависимость коэффици-
ента р* от параметра X при шарнир-
ном закреплении кромок, парал-
лельных оси у, и защемлении КР0'
мок, параллельных оси х
г___ 32 п4 + 6п2+ 1 , 2 [ 16 ,2 । 8 , п4-[-6п2+1]
9 (п2+1)2 т3(« о|3(п2+1)л-1 з "Г (п2 + 1)Х2]’
Коэффициент р* при к < 1 можно определить по графику (рис. 4.21,
б), при к < 1 и X > 1,0 — по графику, приведенному на рис. 4.21, в.
2. Прямоугольная пластина нагружена сдвигающими усилиями,
нриложенными по кромкам несущих слоев и лежащими в плоскостях
Их срединных поверхностей (см. рис. 4.16). Критическое усилие
Рхикр = РхуП2Опл/(2Ь2), где рху — коэффициент, зависящий от усло-
вий закрепления кромок пластинки,
---------------при к < (1 + 1/х2)-\
1+-п-(13+
10
р'у = ^ при 1. О<^<ттррх2--
6 Кобелев В. Н. н др. 161
Рис. 4.29. Прямоугольная пластина
нагружена усилиями^ и ру, действу-
ющими в плоскостях средииных поверх-
носгей несущих слоев”
Усилия и п„ связанг
Коэффициент рХ1, определяют
из выражения
_ 1 27+17Д2
Рху - о I
1 + 4 (23 + 13/Х2) к
О
, 3
ПрИ к 4(1 — 1Д2) ’
Рху ~~ к ПрИ 1 > 4 (1 4- 1/к2) ’
3. Прямоугольная пластина
нагружена равномерно распре-
деленными сжимающими уси-
лиями, приложенными в пло-
скостях срединных поверхностей
несущих слоев (рис. 4.29).
зависимостью
+ $гРу =
где 1-<2; т=У«2 + ₽2; “=-^
6 = -^-; т, п = 1, 2, 3, . . .
О
Для определения ржкр или ру^ задаются значением рх или ре,
затем по уравнению определяют критическое значение другого уси-
лия; рх и ри выбирают таким образом, чтобы рХКр или руКХ> прини-
мали наименьшие значения при заданном отношении рх1ру-
4. Свободно опертая бесконечно длинная пластина нагружена
усилиями, равномерно распределенными по длинным сторонам несу-
щих слоев и лежащими в плоскостях срединных поверхностей.
Усилия, действующие на один несущий слой, отличаются по вели-
чине от усилий, действующих на другой несущий слой. Схема соот-
ветствует одновременному нагружению пластины моментами и сжи-
мающими силами, равномерно распределенными по длинным сторо-
нам пластины (см. рис. 4.26).
При заданном значении р критическое усилие
РпКР = (Л - Р) (Л - р),
где 7, = аЧ>, + -^-{2 (1 - »а) (-^ Л +
+О - *<) 0* “ -т)] +
Т, = а’С, + [2(1 - V,) (-!*. вЬ 4 + СЬ^-)2 +
+ \авг~аЧ(5ЬтсЬ-2- + -г)] ®Ь2т +
. . ,, , , м , ас / , ас , ас . ас \ 1 — 1.
+ 4(1 -х’3)5И-усЬ^--^Ь-2-сЬ-г + -2-)] ,
I = 1,2 — номер несущего слоя; а = п =1, 2, 3 ... определяют
из условия минимума рп кр. В случае чистого изгиба (р = 0) получаем
Рл кр = Т{Т-2-
4.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН С ЖЕСТКИМ
ОРТОТРОПНЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ И ОРТОТРОПНЫМИ
ВНЕШНИМИ СЛОЯМИ
Принято, что главные оси упругости внешних слоев и заполнителя
параллельны кромкам прямоугольной пластины и сближение слоев
отсутствует. Пластина имеет симметричную структуру, т. е. 1Г =
= ^2 = + = Е}2, 0^21 = ^122-
1. Прямоугольная трехслойная пластина нагружена равномерно
распределенной сжимающей нагрузкой, приложенной к противопо-
ложным кромкам пластины (см. рис. 4.18). Критическое усилие
РкР =- 2 (О Л + 20 X
\ ап / Стпп
х {[я™ (Вп + -%г) - & адтп] а» +
+ [втп ( В3, Ц21 + 0^1 4- + (От„ + Гтп) х
' «п
х (в„, Ц21 + -^) - 4 ОХуЕтп] &,
где В12г = 0124/ — жесткость 1-го несущего слоя при сдвиге в пло-
скости хОу;
0т _ (ф) {1 + [ (в.,+^-) й+(В„+^1)«;]}+
_1_ _ С / „2 ] Г В123/; с+^ { п I .. О I В123 ,
+ 26]33 I 12 ап + [ 12 2~ \Вм ”* У2цВ1( + 4-
+ У213 ) ₽«] } + 486,330233 [Вгз (В2г + -
~ В123 Ц- \’213 —] + апВ13 -]------------- Рт X
* [в123 — в23 (в12г 4- '’21гвн 4—4- '’21з-^-)] | >
6* 163
Ртп - ( V ) {’ + 20133 [(Ви + 4г) «« + + б*23 ) ₽Ц } +
I с ( В^1 р2 | Г^123^1
+ 26233 ( 12 Рт г 12
В —2В /с ~Ь 4~ \2 । р
иху ~ гс12! &12. __
Ц^(В12; + г2ЯВи+^ +
к.
л2сО.
4-5123-^;
+ ^213-^-)а2
1 I О (О I
) + 480133623Г \а"|5т |Л23 \В11 г
^)~В123Х
хг а2 (с-Нг)2 б1зз ’
к — - п*сЕ>У
уг *2(с + М2 6233 ’
X (^2,-бн 4- т213^)] 4- р^в23 (в12,- 4- 4-«® X
X [^12з(^1214 — ^13 (^124 + ^211^11 4------4* ,'7213_(Г')]}’
Ниже приведены значения постоянных Ск для различных схем за-
крепления кромок (см рис. 4.18):
а) Сх = С4 = 1/п2; С2 = 1; С3 = п2, п = 1, 2, 3 ...;
б) С4 = 16/Зи2; С2 = 4/3; С3 = и2; С\ = 4/Зп2, п = 1, 2, 3 ...;
в) значения Ск определяют в зависимости от значения п:
Сх = С4 = 0,75; С2 = 1; С3 = 4 при п = 1;
+ 20233 [(^*+ 63М '-(51« + ^)«п] + 40ЖГХ
х{а^У (Вн +^) (В2г +43-) - (?шви + Х '
х (в12г- 4- ^) ] + «*(51г 4- (в12/ 4-^)4-
+ ₽:,(в2г-4-^)(вш4-^))>
где ап = ; |Зт = ™; т = 1, 2, 3; п = 1, 2, 3 ...; т и п вы-
бирают из условия получения минимального значения ркр.
Для ориентировочных расчетов можно использовать приближен-
ные формулы _____
РкР = V вхву1ь\
х_________Р1+г + ____________________
х 1+(с- + <4 +(с>+% то) +4 ’
где рх + 2С2 . 4- ;
Сх ... С4—постоянные, определяют с учетом граничных условий!
Д. = 2В1г (Ц^-)2 4- Ви 4 4- Ва ;
О, = 2Вг1 (Ц^)2 4- 524 4- В23 ~ ;
С1 = С4 = (п24-1)->; С2=1; С3-^п4+-^21+ 1
при п = 2, 3, 4 ...;
г) Ск = 4; С2 = 4/3; С3 = 4; С4 = 1 при п = 1;
р ___р ___ 16 . р ___Д/Ч- >с __п4 + бп2 + 1
и —ь4 3(1 4-п2) ’ с2 —ч/б, >с3 „2 + 1
при п = 2, 3, 4.
Значения п выбирают из условия Ркр =Ркрт1п-
2. Прямоугольная пластина нагружена сдвигающими усилиями,
приложенными к кромкам (см. рис. 4.23). Критические усилия опре-
деляют по формуле
Рхркр = 4/ (ад’)1/4 &-2 [ 14- 4 (5 -1)]-1,
где 5 = Р [ 1 4- (1 4“ ВХуВу 2) куг 4- (1 4~ ВХуВх 2) кхг 4- кхгкугг] х
х[Р4-г(^2?7’Л-2^4- ад]’1;
Р == Л2 4- 2(Р,г18< 4- 2Вху) 4- ВХО~^~2-
Г = 1 - (Д^ 4- 2Вху)2 в-'в- ’ -ь А^г’р.
Значения / определяют по графикам, показанным на рис. 4.27,
которые построены в координатах
^(Ву^ + 2Вхи)(ВхВи)-^-,
н^к-ЦВх/Ву)^.
4-7. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
НЕСИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ ПРИ СЖАТИИ И СДВИГЕ
Устойчивости прямоугольных пластин при действии усилий,
приложенных к кромкам и направленных параллельно срединной по-
ВеРхности слоев, посвящено большое число работ. Наиболее простые
Уравнения устойчивости пластин при сжатии, сдвиге и цилиндриче-
сКом изгибе основаны на допущениях, которые приведены в начале
главы. Для пластин с конечным отношением сторон уравнения имеют
вид 2
(1 - Ж7?) V4x + РxV2а’+ 0;
ш = (1~М)х. (4.9)
(6/2)(1 — V) Х71<₽= ф, (4-Ю)
где % = пх1сг, 1] =пу/Ъ\ к = №л2/(й2й);
X — функция перемещений;
„* _ Руь „* _ Рх&2 _ р*уь*
рУ ~ я2 О ’ Рх ~~ л2О ’ Рху л2П
параметры критической нагрузки; рх, ру, рху—распределенные по
линии сжимающие и касательная нагрузки; й = ('Щ'Пз —’ПгМ'Ф'Пз) —
параметр жесткости при изгибе несущих слоев; тр = ЗЛз (у1 4- уг —
— ^1);
т]2 — ЗЛз (у2 у2) 4~ (^171 4" ^гТг) Зсгс2;
йз — 4 (у1Л1 4" Т2Й2) 4- Зйз (?1 4" Тг) Н- 6Лд (У1йх 4~ уЛ) Зс2;
С1 = й3 (ух — у3); с2 = уг (йх 4- Лз) — Уг (Л2 4- М'.
(3 1
— осредненный модуль упругости, I
жесткость при изгибе;
Е-1
Е(Н{
1-т?
, л о п ЕН2
— 1,2, 3 «= Пв—
— осредненный коэффициент Пуассона; д. я» ---жесТ‘
кость при сдвиге;
2 Ь2 д2 , д2 2 Ь2 д2 , ру д2
а® 1Р- + ~&й2 ’ ^2~ ~а2"д^"^~ ~р^ Зт)а ~ опеРатоРы-
Если на краях несущие слои соединяются жесткими в своей пло-
скости диафрагмами, то уравнение (4.10) имеет единственное решение
Ф = 0-
На практике наиболее часто встречаются пластины, опертые в
всем кромкам, для них возможны шесть схем, которым соответству
граничные условия: 1) все кромки защемлены; 2) две противополо
ные кромки защемлены, две другие шарнирно оперты; 3) все кРоМза.
шарнирно оперты; 4) одна кромка шарнирно оперта, остальные
щемлены; 5) две смежные кромки, защемлены, остальные шарнир
оперты; 6) одна кромка защемлена, остальные шарнирно оперта-
Для шарнирно опертого края х = У?Х = V? х = = 0;
для жестко защемленного края х — ^У?Х = =4’ =
Решение уравнений ищется в виде тригонометрических рядов.
Например, для схемы 5 и> = 0, х = 0
Е Е Iот Е Е Рп</л (р — 0; 1 > д — 0; 1 )>
т п р д
Х= Е Е/тп Е Е Ч’тпХ81Патр|81П₽П1?Т], (4.11)
т п р д
где атр = (2т + 2р — 1)/2; рп, = (2п + 2д — 1)/2; /т„, <р^, —
постоянные, последнюю из которых находят из (4.9) после подста-
новки в него (4.11). Из сравнения коэффициентов при одинаковых
произведениях синусов следует
4>тп = р + (“^2" атр + ]
Уравнения (4.9) решаются методом Бубнова—Галеркина, при этом
его умножают на
1 1
^;=Е Е 51пагД81прлт].
г = 0 5 = 0
В результате получают систему алгебраических уравнений отно-
сительно /тп.
Для схемы 5 = 0, т) = 0 (защемление) систему можно записать
в виде
Е Е Е Е /1-р+г, 1-О+0 (Вц РиТI/) 4- Рху У
р=0<7 = 0г = 08=0
Х 1х2а 1тп{т^п1 =
т п
™ (4Л2)
„гз Ь2 г . д2 . „ 2/ + 2г — 1 . о 2/ 4- 2я — 1 .
а0 = ^Га1г+Р/з! а1г = —, ₽7з=-2—2---------------------’
Т^ = ^-4 + 4₽?$; (4.13)
рх
1 1 л
У в-тр ео5 (К,.
( р=0г=0 0
^°сле вычислений интеграла
, ( 4т/(т2 — (2)/[т2 — I2ф-1)2 — 4/п2] при четных /л-}-»;
‘ {
I ( 4ггй/(т2 — 42) при нечетных т Г.
ч вычисляют, заменяя т и I на п и /. Для пяти остальных схем
Равнения будут аналогичными.
При шарнирном закреплении всех кромок
_ х . 32Ь V V ? <' = О (I / = 1. 2, 3 . . •)
т п
(4 15)
М2 , Ри - сП_______.
ТИ = -^-^гГ’ 8тП~
** рх
значениях
„ сП _1_ л только при нечетных
В этом уравнении т„^тема уравнений распадается на ад:
одну систему с нечетными т + п, другую с четным
тых пластин решение будет точным
Для схемы 6 = л (защемление)
, р'у -2 „ 2/ + 2Г-1. (4.17)
о2 2
/ т^(т2_^2) при нечетных (т + 0; п 1
= I т1 (гг? - И/1(т2 - г2 + О2 - 4/п2] при четных (т + г);
I Пу/(П2 — /2) При нечетных п + /;
== ( о при четных п + /•
При отсутствии сдвигающих сил система (4.16) распадается на |
независимых систем.
Для схемы 2 I = 0 и 5 = я (защемление)
у у 1)»+!(,_!Р4!г,,(1 + «.«.га) («/ - +ЛтИГ 1
р = 0 г = 0
X 2 X 1тп$тп —’
т п
Тга вычисляют по
0.
1 при 14-р + г== Н
0 при I 4* Р + 1-
(4.18)
В уравнении (4.18)
а,г = I 4* 2г — 1;
бг +
формулам (4.18), в которй*
При нечетных т 4- I и п 4* /
/пт’/ (т2 + I2 — 2)
^тп ~ (т2 — I2} (п2 — /2) {(т2 — 12 + 4)2 — 16т2] ’
если хотя бы одно их значение четное, то 8тП = 0.
Решение упрощается, распадаясь на две независимые системы
(когда суммы т 4* п только четные или только нечетные) или на / не-
зависимых систем (при отсутствии сдвигающей силы), каждая из /
системы состоит из двух независимых систем относительно /тп с чет-
ными или нечетными значениями т.
Для схемы 4^=0 (шарнирное опирание)
Ё ЁЁ.Ё (-1Г+5Л-р+г,>-29+28(Ц-6у+9+8)1)(^-^7|)4-
0 = 0 <7 = 0 Г —0 8 = 0
+р-у 2 X =°’ (4-19)
т п
где /?"•, 7^/ вычисляют по формулам (4.14) и (4.15), заменяя атр
на а1г = (2г 4- 2г — 1)/2, РП17 на Р)8 = / 4- 25 — 1; /т; находят по
формуле (4.17);
, П] (П2 -к/2 — 2) . .
1п] = , 2 ", -2У г/ 2-*2 Л'2 ,С 2, ПРИ НСЧСТНЫХ П 4~ ],
П} (п2 4-/2) [(П2 —/2 4)2 _ 16„2] г 1
1п] = 0 при четных п 4* /•
При отсутствии сдвигающих сил система (4.19) распадается на две
независимые системы уравнений.
При жестком защемлении всех кромок (схема 1)
X БЕЕ (—1)р+9 + г + 8//_2р+2г,у_2д+2.,(1 + ^1+р+г,1)'Х
р=о и = ог = о 5 = о
Х(1 4- 61+9+8,1) № - Р^П) + = 0,
т п
где /?" и У// находят по формулам (4.12) и (4.13), заменяя атр на
= I 4- 2г — 1, рп<7 на Р>8 = / 4- 28 — 1;
ты/' («г2 4- '2 — 2) (п2 4- /2 — 2)
г>тп ~ (т2 — I2) (п2 — /2) Цт2 — I2 4- 4)2 — 16т2][(п2 — /2 -}- 4)2 — 16п2] ’
если т 4 1 и л 4- / нечетные; 5т.г = 0, если хотя бы одна из двух
сумм четная. В последнем случае система распадается на две незави-
симые или на четыре независимые системы при р*ху — 0.
Алгебраические уравнения относительно амплитуд составляющих
прогиба /тп содержат неизвестные критические напряжения. Урав-
нения для их вычисления получают из определителя системы, при-
равненного к нулю, из этих уравнений можно найти одно критиче-
ское напряжение при заданных остальных.
При наличии свободной кромки уравнения (4.9), (4.10) можно
Решить точно или приближенно. Пусть один край (т) = л) свободен.
два свободно оперты (5 =0, В = л), один (т] = 0) жестко защемлен,
тогда уравнения относительно амплитуд /тп имеют вид
Л 1/гп — р1хГ, 1п]) 4" Рху [тпат^т1^п}] — 0
(/, /= 1, 2, 3. . т, п = 1, 2, 3. . .),
где Ц1п) = лаг (1 4- к^а^) а{ -|- РпВ,:па2 {[ 1 -|- кй (а? 4- Ь„)] (а? + г’р„) +
+ (1 - V)2 (1 - &) кс(а^п} 4- [ 1 4" (а? + Ьп)] (а? 4- Й)2 вп/ +
4- Вр% [ага? (1 4- &0а2) 4- ^02 ] — (1 — 6) с1Па? Ксга? (Ааг)1/2 х
х1Ь со{л — В/уР2];
Т1п] = а? (л 4- Вп 4 В} 4- 4 ^п1) 4- 4я 4₽"б«/:
ат = -^. рп = (2п-1)/2, а.= 4’
а, = (1 + кщ) ат = (1 4-кат) 1,
бтп = [14-^(«т4-₽п)Г1;
Ъп = (- 1)" Р71, Ь1п = [ 1 4- к (а2 4- ₽2)]-';
Сг= [1 4~(1 ~ сгп = 1(—1)''(1—^)^п₽ЛсЬХгл —
— 4‘'?аг (а?4~^)5Ь^л] А? 'кГ1 сЬ сщл;
А; = у (а2 4~ (та™ — со2) зЬ А^л сЬ югл 4~ (1 — V) а2Хг(вг сЬ Хгл зИ А^л;
к — а» 4~ к (1 _ >
6П?- — символ Кронекера;
ГП1 ----
41/л(12 — т2) при нечетных т-{-г,
0 при четных т 4- Ч
( (₽/ 4- Рп) (₽; - ₽п) 1 при нечетных п 4- /;
I (₽>-₽п)(₽у 4- РпГ1 при четных «4-/.
При приближенном решении, предполагая в (4.26) <р = 0 на сво-
бодном крае, что равносильно наложению дополнительных связей,
погрешность может достигать 18 %. Она тем выше, чем больше жест-
кость заполнителя на сдвиг и меньше изгибная жесткость несущих
слоев.
Уравнения, полученные из определителей алгебраических урав'
нений относительно амплитуд составляющих прогибов, решаю?
на ЭВМ. Минимальное значение искомого параметра критической
нагрузки находят путем перебора возможных сочетаний т и п ин
дексов /, /, предельное их значение не превышает шести.
4.8. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПЛАСТИН С МАЛОЙ
ЖЕСТКОСТЬЮ ПРИ ИЗГИБЕ НЕСУЩИХ СЛОЕВ
При некоторых сочетаниях жесткостей при изгибе несущих слоев
и жесткости заполнителя при сдвиге возможно упрощенное решение
задачи устойчивости пластин при сжатии усилиями, приложенными
к коротким кромкам, перпендикулярным оси х. Область применения
этого упрощения определяется зависимостью между параметрами
/, л2сВхВ2 „ (51 4* В2) (Ох -|- О2)
-(В1 + В2)ОЬ2 Г-В1В2 (с + л±^)2’
(4.20)
где Вх, В2 —жесткости несущих слоев при растяжении; Пх, О2 —
жесткости несущих слоев при изгибе.
Принято, что несущие слои и заполнитель изготовлены из изо-
тропных материалов.
Для различных случаев опирания нагруженных кромок (нена-
груженные кромки свободны) критическая сила определяется из
уравнения устойчивости, в котором не учитывается жесткость при
изгибе несущих слоев:
. Г/ , 1^_п (421)
Вх4-В2[Д6 ' 2 / 1 Оз Рх.114х4 Рх ах*
Из уравнения (4.21) получены приближенные формулы для мини-
мальных значений критической нагрузки.
1. Если нагруженные кромки свободно оперты,
п ___________В1В2 [с 4- (0 /г)/2]2______
^кр (Вх + В2) (а2 + л^Вг/ЦВ! 4- В2) С3]) ‘
Эта формула справедлива также для случая, когда одна кромка
заделана жестко, а вторая не может поворачиваться.
2. Если нагруженные кромки жестко защемлены,
_ =__________4л2В1В21с+(Г1 + /2)/212____
Рх КР а2 (Вх 4- В2) (1 -р 4сл2В1В2/[а2 (Вх 4- В2) С31} ' ‘
3. Если одна кромка свободно оперта, а другая защемлена,
_________________2,045л2В1В2 [с 4- (О 4- М/2]2
Рх КР а* (В1 4- в2) (1 4- 2,045л2сВхВ2/[о2 (Вх 4- В2) С3]} ’ ' '
4. Если одна кромка заделана жестко, а другая свободно, то
п________________________л2ВхВ2 [с 4- (0 ^г)/2]2_____ уд лг\
Рх кр — 4с2 (Вх 4- В2) {1 4- сл2В1В2/[4О3 (Вх 4- В2) а2]} '
5. При свободном опирании всех кромок пластины с изотроп-
иями несущими слоями, сжатой по коротким кромкам,
параметр критической нагрузки р* = 4к/(\ + к)2, где к определяют
По Формуле (4.20).
Относительная погрешность расчета по формулам (4.22) ... (4.26)
составляет 0,050. Упрощенная формула (4.26) для Рхкр получена
из точной формулы (4.22). Эта формула при одностороннем сжатии
записывается в форме (4.26), параметр критической нагрузки
Р* = [^/(4-*)]Р + 1/(1 4-4)1-
Формула для /0 зависит от соотношения параметров к и г.
4 = VР2 + Я2 + <7 + у^Я — VР2 4- Я2 — (2/3) (1 — к) при р2+?2>0;
4 = 2 /|/?| соз-5-1-(1 — к) при р2 + «у2 < 0,
О о
1 — к /2/Ь+1\2 ,2^+1\3 1+А4-Л3.
гле Р=~зГ~(-Г-) ’ +-ЧЧ-’ С05<Р =
Я
ИрI3'
4.9. МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН
1. Устойчивость несущих слоев пластин с сотовым заполнителем.
Несущие слои можно представить как совокупность донышек сот,
которые могут выпучиваться при сжатии силами, лежащими в сре-
динных поверхностях несущих слоев.
Часть сот работает как свободно опер-
тые по контуру пластины (заштрихо-
ваны на рис. 4.30), а другая часть —
как пластины с защемленными и сво-
бодно опертыми (чередующимися) кром-
ками (не заштрихованы).
Энергетическим методом получены
формулы для критических сжимающих
усилий,
ческая
слоя рх1
оси у
При сжатии по оси х крити-
нагрузка одного несущего
= 34,878О;/г2, при сжатии по
ру( = 3 1,2560с/г^, где Ос =
= Р/4/[12(1 — V?)]—жесткости при из-
гибе несущих слоев; г — радиус опи-
санной окружности шестигранника
соты. При одновременном сжатии в
обоих направлениях и одном известном
усилии второе можно определить из
уравнения РХ( 4-1,116Рр1- = 34,878.0
Полная критическая нагрузка для пластин с различной жест-
костью внешних слоев может быть принята равной критической на-
грузке менее жесткого слоя.
Для пластин с близкими значениями изгибной жесткости несущи
слоев, полагая несущую способность слоя пропорциональной е
172
жесткости на сжатие и не учитывая несущую способность заполни-
теля, полную критическую нагрузку можно определить по формулам:
при сжатии по оси х
Рх вр ”— Рх1 (Де1 к
при сжатии по оси у
Ру кр ~ Ру1 (Дд ~Ь ^у2^^у1’
(4-27)
где индекс I присвоен менее жесткому слою (1 или 2).
2. Устойчивость несущих слоев пластин с заполнителем из пено-
пласта. Критическую нагрузку пластины определяют по формуле
(4.27). В зависимости от относительной толщины заполнителя с/2/;
критическая нагрузка для менее жесткого слоя
Рх1
Рх1 — 0,91/$
С.Ь'збз
1-т?
ъ/
= о,58/г у
УЕ^Е^!
с (1 —V,-)
При сжатии ио оси у индекс х
меняют на у.
4.10. РАСЧЕТ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
с расслоениями
Влияние расслоений на статическое и динамическое поведение
конструкций анализируется в работах [7, 16]. Методы оценки проч-
ности соединения слоев при наличии расслоений и энергетические
критерии отслаивания изложены в работах [18, 20, 21 ]. Обзор работ
по расчету прочности клеевых соединений приведен в работе [14],
где также выведены уравнения для определения межслойных на-
пряжений в многослойных пологих ортотропных оболочках, прямо-
угольных и круглых пластинах.
Для построения модели расчета напряженно-деформированного
состояния трехслойной конструкции с расслоениями необходимо
классифицировать расслоения и установить оценки для их параме-
тров. Расслоения в многослойных конструкциях можно классифици-
ровать по следующим основным параметрам.
1. По площади 1-й зоны расслоения 5г или ее характерному раз-
меру, если он однозначно определяет площадь расслоения. Следует
Различать малые зоны расслоения, когда характерный размер рас-
слоения сравним с толщиной отслаиваемого слоя; средние зоны рас-
слоения, верхняя граница площади которых определяется потерей
Местной устойчивости отслаиваемого слоя; большие зоны расслоения,
Размеры которых сравнимы с характерными размерами конструкции.
“ Дальнейшем рассмотрим средние и большие зоны расслоения, так
ак влияние малых зон расслоения на несущую способность конст-
рукций, очевидно, незначительно.
2. По числу зон расслоений П.
п
3. По суммарной площади всех зон расслоений =2 5, или иХ
1=1
х ар актер ным р азмер ам.
4. По форме зон расслоений. В конструкциях расслоения могут
быть самой разнообразной формы. Зоны расслоения сложного очер-
тания можно аппроксимировать либо обычными прямоугольниками
и квадратами, либо фигурами, составленными из них. Это значи-
тельно упрощает задачи при удовлетворении граничных условий по
контуру зоны расслоения. Вносимые при этом погрешности незна-
чительны.
Рис. 4.31. Расчетная схема трехслойной пластины с дефектом типа расслоения (/—2)
при изгибе нагрузкой д по цилиндрической поверхности
5. По расположению зон расслоения. В реальных конструкциях
расслоения расположены произвольно, технологические расслоения
и непроклеи наиболее вероятны у концевых и подкрепляющих эле-
ментов, в местах резкого изменения формы. Эксплуатационные рас-
слоения могут образовываться в местах приложения сосредоточенных
нагрузок, в ослабленных сечениях и соединительных прослойках,
в местах резкого изменения геометрической формы конструкции
и т. п. Расслоения образуются обычно в межслоевой плоскости и не
пересекают слои. Для характеристики расположения расслоений
в конструкции достаточно знать относительные координаты центра
зоны расслоения. Будем считать, что во всех случаях начальный за-
зор равен нулю. Такое допущение в большинстве случаев соответ-
ствует действительности.
Указанные параметры описывают расслоения в многослойных
конструкциях и достаточны для их расчета.
Расчет трехслойных пластин с расслоениями проводят методом
совместного решения систем уравнений равновесия для участков без-
дефектных и участков с расслоениями, используя граничные усло-
вия для кромок пластины и учитывая напряжения на границах без-
дефектных и расслоенных участков (рис. 4.31).
В качестве исходной использована система уравнения равнове
сия, приведенная в работе [181. Задачу решали на ЭВМ методом к°
нечных разностей. После составления разностной схемы, записи гр
ничных условий в конечных разностях и условий сопряжения для
решения уравнений, имеющих пятидиагональную матрицу, исполь-
зовали метод прогонки. При решении задачи учтена сжимаемость
заполнителя. Материалы заполнителя и несущих слоев изотропны.
Уравнения равновесия трехслойных пластин симметричного
строения (1Г = 12, Ех = Е2, VI = у2) при цилиндрическом изгибе
имеют вид:
для бездефектных участков
Е\(Рх + фх)> хххх Рг(Рг Фг), ..ххх — Я(х}\
Р> (Л — Фх), хххх + 2 (Ез3/с) (Р1 - ф,) = д (х);
(рг+ф2),хх - 4 о + ^) (^ - М=°;
(Г2 - ф2) = П3 [(Г2 - ф2), - А (1 + &) (У7, + фх),ххх] -
- 4 Л.- ,1 .ЕЧ (Р1 + 41), хххх - <7. х],
3 ^зз(14-ё<) ' Т1'>ХХХЛ
где П, = 0.5Е.У? [(1 +1,-)2 - 0,1255?];
г>2 = о,5Ё,/2 (1 +1,); -с>з = о,5с/^-1; о = п^/12;
для участков с расслоениями (63 = 0)
0,5Ор (Е1 + фг), ХХЛХ = д (х);
0,5Г>р (Гх — ф,), хххх 4 - 2Н33с-1 (Т7! — ф0 = д (х);
(Рг + ф2), хх - 0,5/, (1+^) (Р! - ФО, ххх = 0;
(Рг Фг), хх — 0,5/, (1 + 50 (Р 1 4~ Фх), ххх = 0,
где Пр = О [2 + еЛ5? + 3(1+1,-)2 (&х + I)’1] — жесткость при изги-
бе расслоенного пакета; Е[, ф,—произвольные функции интег-
рирования, определяющие перемещения и напряжения в трехслой-
ной пластине; I = 1, 2 —номер несущего слоя.
Поперечные перемещения верхнего несущего слоя = Р1г
нижнего несущего слоя = Фх- Продольные перемещения иг =
= рг —гЕ1гХ, и2 ==ф2 — гф11Х.
Напряжения в несущих слоях
= Рг (Рг, х — гРI, хх)> °21 = Р1Х1 (Рг,х — гРъ хх);
<т12 = Ё2 (Фг, х - гфь хх); о22 = Ё2х2 (ф2> х — гфх, хх).
Индексы, х; ,хх; ,хххх означают дифференцирование по х 1, 2 и 4
$ раза.
Напряжения в заполнителе
т1зз = [(У72 — фг), хх — 0,5/, (1 + 5г) (Рх + Фх),ххх1-
Для решения системы уравнений вводятся функции
Л = (Л +^2)»л; Л = (^г — %).,/.
1^1 = ^-44; №2=Л+Г.
После дифференцирования по х последнего уравнения и подста-
новки его в первое уравнение получим:
для бездефектных участков
^1^2. хххх — ^2^2, хх — Я (-^);
Т2, хх-Т2, хххх — О1О 'О^Т2 =
= 0,56,2(1 + &) О'1 <7(х) - 0,5?? (1 4- &)-^~я. хх-,
ЬгЕ1
для участков с расслоениями
0^2,хххх = Я (%);
1\,хх = 0,5/ (1 + ?;) /Г1? (х);
О^1>хххх +' 2^-4^ = д (х);
Л,.г-0,56(1+Вг)Г11;,хд. = 0.
На рис. 4.32—4.37 приведены зависимости относительных прогибов
пластин № (х) = &у/и)тах, нормальных напряжений в несущих слоях
Рис. 4.32. Влияние смещения центра
участка расслоения на величину и ха-
рактер изменения прогиба й> трехслой-
ной пластины при цилиндрическом из-
гибе нагрузкой <?, распределенной по
части поверхности (относительная дли-
на расслоения 5 = (/расД) Ю0 =
= 13,2 %) при Е13 = 0
Рис. 4.33. Влияние сжимаемости запол-
нителя на нормальные напряжения
в несущих слоях трехслойной пласти-
ны (Езз = 45 МПа)
шах и касательных напряжений в заполнителе т133 =
= Т13з/т?ззтах, где ЬУ^ах; 0/,’тах, Т^ах — МЭКСИМЭЛЬНЫЙ Прогиб И
напряжения в бездефектной конструкции для трехслойной пластин
симметричного строения, на которую действует распределенна.
нагрузка, приложенная по участку поверхности длиной в сере
дине пролета. Кромки панели свободно оперты. Пластина имеет у4
сток расслоения длиной /г, (см. рис. 4.31).
Заполнитель трехслойной пластины сплошной. Длина пластины
910 мм, толщина несущих слоев = /2 = 1,5 мм, с = 17 мм, модуль
упругости несущих слоев Еу = Е., = 70 ГПа, коэффициент Пуас-
Рис. 4.34. Изменение нормальных на-
пряжений на внешних поверхностях
несущих слоев при изгибе трехслойной
пластины (Е1з = 0, Е33 = 45 МПа)
Рнс. 4.35. Изменение нормальных напря-
жений на внешних поверхностях несущих
слоев прн изгибе трехслойной пластины
г/ = т ("Г +11)(Г13 = 45 'МПа)
Рис. 4.36. Изменение нормальных на-
« с
пряжении на внутренних г(- = =р—
и срединных г, = + ) по-
верхностях несущих слоев при изгибе
трехслойной пластины (Е13 = 45 МПа)
Рис. 4.37 Изменение касательных напряжений в заполнителе при изгибе трех-
слойной пластины:
а — Е13 = 0; б — Е13 — 45 МПа
сона несущих слоев равен 0,3, модуль сдвига заполнителя 6133 =
°= 15 МПа. Расчет проведен с учетом жесткости заполнителя в про-
ДЗДьном направлении Е33 = 0,45 МПа и при допущении Е13 = 0.
Г лава 5
РАСЧЕТ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
В ТРЕХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ
5.1. ОБЩИЕ” ПОЛОЖЕНИЯ
Приведенные в главе зависимости получены на основе решения
линейных уравнений равновесия трехслойных цилиндрических обо-
лочек при допущении деформирования пакета слоев по закону ло-
маной линии.
Часть зависимостей выведена на основе решения приближенного
уравнения равновесия трехслойной цилиндрической оболочки, ко-
торое получено в предположении отсутствия сближения слоев и взаим-
ного влияния перемещений по касательной к срединной поверхности
несущих слоев и прогибов оболочки по нормали. Подобное допуще-
ние может позволить получить” простые зависимости для расчета
напряженно-деформированного’”состояния оболочки,'особенно при
осесимметричном нагружении и в зоне подкрепляющих промежуточ-
ных'шпангоутов. Полученные напряжения и прогибы в этом случае
занижены на 10 ... 15 % по сравнению со значениями, найденными
по более точным'методикам.
5.2. СИММЕТРИЧНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ1
ОБОЛОЧКИ СИММЕТРИЧНОЙ СТРУКТУРЫ С ЛЕГКИМ
ЗАПОЛНИТЕЛЕМ УСИЛИЯМИ И МОМЕНТАМИ,
ДЕЙСТВУЮЩИМИ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ
Уравнения равновесия трехслойной цилиндрической оболочки
симметричной структуры с заполнителем (рис. 5.1) при допущении
о равенстве радиусов несущих слоев = Р2 = Я имеют простую
форму, позволяющую получить
Рис. 5.1. Полубесконечная’трехслой- у.
ная цилиндрическая оболочка симмет-
ричной структуры нагружена равно-
мерно распределенными по торцовому
сечению а = 0 поперечными усилия-
ми (?0, моментами Мд и продольными
усилиями ДГ0
выражения для определения на-
пряженно-деформированного со-
стояния оболочки при симметрич-
ном деформировании.
Решение задачи проводится от-
носительно симметричных и асим-
метричных компонент деформа-
ции. Это позволяет с некоторыми
допущениями привести общую
систему уравнений равновесия от-
носительно’компонент" [/’=«! +
4- щ>-,~ и — — и2;
ха) = —а>2 к двум независимым
системам, одна из которых опи-
сывает симметричную деформацию
оболочки (17 и ха), а другая—асим-
метричную деформацию (и и Ю-
Компоненты асимметричной деформации полубесконечмой цилин-
дрической трехслойной оболочки с заполнителем при нагружении
ДГ0, Л40, имеют вид
— =— |------Мо [(О21а33 -- а23а31) Ф2 ~~ (а21С32 - аз1С22) Ф4] Ч~
Ё1&01 I
Ч [(а11а33 ^зАз) Ф2 (а21°32 Й12Й31) ФЧ —
-- Со [(°11°23 °13С21) Фг (°11С22 °21а1г) Ф4]| >
и = ~Ё7К^ (^° {(а22°зз — «23«32) е~* /2 “ + [(а21Озз - а23а31) Ь2 +
(°21а32 — С31а2г) М] Фг — [(й21азЗ ' а23а31) ^-1 Ч" (°21Й32 Оз1С22) ^г! Ф«1 Ч*
ч- 4“ I — («хгОзз — о13аз2) е* 1'2 “ — [(опаз3 - а13аа) Л2 +
+ (а11а32 °12а31) Фг ”Ь [(ОцО3з - й13°31) ^-1 Ч" (а11а32 а12аздФ«1 Ч*
Ч- Со ((а12°г.ч — о13а22) е А’Г 2 а |- [(апа23 — а]3а21) Ь1 —
--- (а11а22 — $12а21) ^-г1 Фг — [(а11°23-----О13°21) ^14“ (°на22 °21а1г)^г! Ф-1)^ >
где ап = -П-'ЕГ*)/2; а12 = - [Н2^-1 + Г2!?1 (1 Ч~ &’) 1,1,
а13=[Н1^ + Г2|Ч (1 Ч- 17*) (/г + V,)];
а21=кЁ~^ 2 (1 ч-^1);
а22 = [0,25Г2 (1 + 2^’ + 4 <1 + :
а» = - [0.25Г2 (1 + 25Г1 + 4 + Н^~' <1 + ^‘)] ;
«31 =-2 (^ + ^-')(1+^);
а32 = - [0,25гД'2 (1 + 2^’ Ч- 4 + Л?‘) Ч- 2^.- (1 Ч~ Ц -
- (1 Ч- 2Е,-1) гх + Г1 (1 +171) (Н2г2 + /71П)];
Озз [о,25г2Г2 (1 + 2171 Ч- 4 ^2) (т2 + + 2^‘ (1 + -
- (1 Ч- 2&-') г2 - Г1 (1 ф ?7‘) (^гП - /71Г2)] ;
и Л2 — постоянные,
_ (<г — 2<г2) п^! —
(г2 —2/г2)2 + /,
Ь2 —
(/2 — 2/^2) п.2г2 ~Ь 1 .
(/г-г^н-/2 ’
= 0,55 (т1 + 2Л2) + VI; п2 = 0,55 (т2 + 2к2) + V/;
/Ут = К2т2 77г = НН Т^1^2>
^0] Я 11^22^33 НН ^12^23^31 “Н $13^21^32 ^13^22^31 ^Ц^2ъ^з2 ^12^21^33»
Г1 и г2 — корни уравнения
Ок 1.1 । ок2к-1™ о
-^г- - + 2Л 6, 1Е = О,
61 = 0.5^& (1 — 2) 4- (1 ф- 2к 2&\с'),
262 = 1 + ё& (1 — т^-2) к2 — V2.2 (1 4- 2Л25г7‘);
г1 = |/~|Л 2 4- Т2 со8 0,5%; г2 — ]/~У Р2 4- Т2 з1п 0,5%;
% = агс(§ у/Р;
ё(, к—относительные характеристики оболочки; = О31Е^
Ъ{ = с/1(, X = /?л/с; 8 = V1 (1 ф- ^‘) и к2 = ё^Ь—постоянные; Ф; —
— функции:
Фх = 51п г1аеГ2“; Ф2 = 81п г1ае~''*“;
Ф3 = сов г1ае''2“; Ф4 = соз г1ае"Л2“.
Производные функции Ф, определяются выражениями
Фх, а = ^Фх 4- нф8; Ф2а = —г2Ф3 4- нФ4;
Фз, а — г 2Ф3 — г1Ф1» Фд,« = ~г 2Ф4 НФг>
Фх, аа — 4Ф1 "Ь /1Ф3; Фа, аа — ЕФг ^хФд>
Фз, аа = ^гФз — ^Фх! Ф«, аа — к2Ф^ 4" ЛФг!
Фх, ааа = г2т2ФА 4* Гх^хФа’, Фг, ааа = —г2т2Ф2 4" г1т1Ф1;
Фз, ааа ~ 2^гФз бхИ24Ф4, Фд, ааа ^"г^^Фд Г^П^^Ф2.
Коэффициенты при функциях ф; и их производных
/1 = 2Г1Г2; ^2 = Г2 —Г1»
ГП1 = Зг2 — У; /П2 = <2 — Зг2.
Значения функций Ф,- приведены в таблицах.
При а = 0
фх = 0, Ф2 = 0, Ф3 = 1, Ф4 = 1,
Ф1, а~г11 Фг.сс — Фз, а~г21 Фд, а = ^2,
Ф1, аа = К, Фг, аа ~ ^Х> Фз, аа — ^2" Фд, аа ~ ^2>
Ф1, ааа = т1Г1> Фг, аа«=тхП> Фз, ааа ~ т2г2> Фд, ааа~ т2г2> 1
где индексы ,а; ,аа; ,ааа означают дифференцирование по а соответ-
ствующее число раз; х = 1,2, но так как оболочка имеет симметрич-
ную структуру, то при вычислении можно брать параметры любого
из слоев.
Если пренебречь сближением несущих слоев, то перемещения
несущих слоев
Шх = ш2 = №, «х = —и2 = 0,5ц.
р __ 0 5
Р Ец 2^Ш
\ 1
/
Меридиональные и кольцевые напряжения в несущих слоях опреде-
ляются соответственно выражениями
= Ё^з1 к, а + - гКз (Г, аа ф- Т,№)], (5.1)
а21. = Ё^з1 Г№ + а - г^з1 (№ + аа)1- (5.3)
Напряжения сдвига в заполнителе
Ьзз = ОзС-1 (Ц + з№,а). (5.3)
Производные перемещений щ, и2, V7 вычисляют с использованием
функций Ф, и их производных. При расчете трехслойной оболочки со
шпангоутами действие шпангоута заменяется некоторой реактивной
нагрузкой Рр. При редко поставленных шпангоутах /ш 2/кр,
где /кр определяется выражением (1.1), и действии на оболочку избы-
точного давления д реактивная нагрузка
_ о,5
До2^?
где Рш, Еш, /?ш — соответственно модуль упругости материала, пло-
щадь поперечного сечения и радиус окружности, на которой разме-
щен центр тяжести сечений, шпангоута;
Д02 — Г1 (а23а31 °33а21) Г2 (а21аз2 а22а31)'
Перемещение несущих слоев при действии реактивной нагрузки
^р
111 = ^2 ~ 0,25 — [(г1^23 + б2а22) ’2 “ 4~ О21 (Рггг 4“ ^1Г1) Фг
с «Дог
-- °21 1 — Е2Г1) Ф)1 ’
«7 = -0,25 -=^Ь_ (г2Ф.. 4- гхФ4).
Напряжения в несущих слоях и заполнителе определяют по фор-
мулам (5.1) ... (5.3).
Приближенно, без учета и, при действии поперечных сил <20 и
моментов Л40, равномерно распределенных по торцовому сечению
а = 0 оболочки с заполнителем средней жесткости, перемещения
можно определить по формуле
= тПТ Лт л ($» ™ -
Е{ (х2 + 40) Доз (
- 4^ [г2 (т2 + V, - Г) Ф2 + гх (тх 4- х, - Г) Ф4]
* I
где Г = 4&«/(в2 4- 4П);
△оз = — (4 4~ (т1 4- V; — Г) гх 4- 4 (т2 4- V, — Г) г2.
При этом допущении реактивная нагрузка со стороны редко по-
ставленных шпангоутов
_________0,5г щОщ____________
Ё1РШ (8^/4 4- О) (2/2 4- V; - Г) /х
т Г
ЕгЕш I
Перемещения несущих слоев при действии реактивной нагрузки
№ = 0,125 =----------------------
Г1-(88 + 4О)(2/24-т/-Г)/]
Напряжения в несущих слоях
Он = [?%> аа - V,- (1 - г/?з‘) №],
О21 = -ЁД? аа - (1 - г#/) №]•
(5-4)
(5-5)
5.3. СИММЕТРИЧНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ
ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБОЛОЧКИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ СТРУКТУРЫ
С ЖЕСТКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ УСИЛИЯМИ ИЛИ МОМЕНТАМИ,
ДЕЙСТВУЮЩИМИ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ
Приведенные выражения справедливы при
параметрами заполнителя и несущих слоев,
ниями корней уравнения
04 _ 2г2р2 + 54 = о,
соотношениях между
определяемых значе-
где г и 5 можно найти по формулам
2г2 = [б133с(1 +1Г,Ч-В2’,)-4у?-^-(В11у21 + В21у11) -
- 4Т1 -^-(В12у22 + В22л>12)] 0,25А- + 612 Ау1:
в4 = 0,25 [в21Т?(1+4А-Т?) +
+ В22Т2 (1 +4^72)] [Вц-^- + В12-^-] ,
А,- = 0,25с2/,- 4- 0,5с/? 4- /?/3.
При легком заполнителе комплексные корни имеют вид
Р = ~1~ ~4~ ^2 4
где кг = । л0,5 (з2 -|- г2) и к2 = /0,5 ($2 — г2).
При заполнителе средней жесткости = р2 = г; 0а = ₽4 =
= —г. При жестком заполнителе
1. Трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена равно-
мерно распределенными по одному из торцовых сечений моментами
Мо (рис. 5.2). Прогиб несущих слоев
Мо р2з
/)т Ф,-р2)
I ₽?
Ке-Р2а
й2 К
Р2
(5.6)
Напряжения в несущих слоях меридиональные в 1-м несущем слое
(« = 1, 2)
0 ± 0.5V') | ±
± 0.5Г* (1 4- 21Г1) (р2е“₽*а - р1е-₽га) , (5.7)
кольцевые в 1-м несущем слое (/ = 1, 2)
п _____р МоКз Г , /1 .л / Рг р-р.а Р1 р-8.а\ ।
±2'РТ(Р1-Р2) ±(,’ЬЛ ^( р2 6 ₽| )
± 0.5Г1 (1 + 21Г1) лъ- (р2е-₽‘“ - 0^“) , (5.8)
где Рт определяют по формуле (3.14); знак плюс соответствует I = 2,
знак минус — I = 1.
Рис. 5.2. Полубесконечная
трехслойная цилиндрическая
оболочка нагружена момен-
тами Мо, равномерно распре-
деленными по торцовому се-
чению
Рис. 5.3. Полубесконечная цилиндри-
ческая оболочка нагружена попереч-
ными усилиями (?0, равномерно распре-
деленными по торцовому сечению
2. Трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена равно-
мерно распределенными по одному из торцовых сечений поперечными
усилиями Со (рис. 5.3). Прогиб несущих слоев
Оо о-2 -В2а\ ,с
^=077^-^ (Р1 е )• (59)
Напряжения в несущих слоях меридиональные
"и = [?№ (1 ± 0,5Г') (₽Г2е~э‘“ - р2-2е-₽2“) ±
±0.5Г'(1 4-25,1)(еэ'а-е-₽2“)1, (5.10)
кольцевые
<1а = е"№,--‘Йот11’<(1 ± - ₽Л~Н ±
±0,5т1Д-'(1 +2Е,-1)(ер‘а-е-(5‘а)], (5.11)
где <=1, 2—номер несущего слоя; при ! = 1 в выражениях (5.10),
(5.11) берут знак минус, при I = 2—знак плюс.
3. Трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена равномерно
распределенными по промежуточному сечению усилиями р (рис. 5.4).
Прогиб несущих слоев
= °’5 •-/в?1 (РГ'е"Р1а “ ₽2'е
От (₽1 ~ Рг)
Максимальный прогиб щтах = 0,5р/?|/(От (01 рг) Р1₽г)-
Максимальный момент в сечении а = 0 Л4шах = О,5/7/?3/(01 + 02).
Рис. 5.4. Цилиндрическая
трехслойная оболочка на-
гружена усилиями р, рав-
номерно распределенными
по промежуточному сече-
нию а = 0
Напряжения в несущих слоях меридиональные
гл (1 ± 0.5Г1) (рГ'е^ - Рг-'е-^) ±
2^т Р2/
±0,5Г‘ (1 4-26Г1) (₽1е~₽,а -р2е’₽!а)],
кольцевые
021 = Е-21 Г-23"' 2\' (1 ± 0.5Х ’) (Р1 е ₽‘а — рг'е Р'2“) ±
2^т ~ Р2/
± О.бпД-1 (1 + 2Е?1) (р1е-₽*и - рге-₽2а)] •
Знак минус соответствует 1—1, знак плюс — г = 2.
5.4. СИММЕТРИЧНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ОБОЛОЧКИ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПОВЕРХНОСТИ НАГРУЗКОЙ
1. Длинная трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена
равномерно распределенной по поверхности нагрузкой. Длинной
считается оболочка, длина которой 1 больше удвоенной длины зоны
перераспределения усилий /кр, определяемой выражением (1-1).
т. е. 1 2/кр или а0 21^1 $3.
А. Торцы оболочки защемлены (рис. 5.5). Прогиб несуших
слоев "
РтРз Г 2ре-П Р, Р1И _ 2Р, + Ра . р,а
ХШ~ ‘ От Й2- Й! ₽2 ₽1
На краях оболочки действуют
моменты и поперечные силы ф0:
Мо =
где ц* — ду\к _4?1. , и _ коэффи-
циент распределения нагрузки
между несущими слоями при
действии равномерного давления,
и = ^21Л-/?2/(^22^2^?1 4- Е21(1^2) •
Напряжения в несущих
слоях меридиональные
Рис. 5.5. Длинная цилиндрическая
трехслойная оболочка нагружена рав-
номерно распределенной по поверхно-
сти нагрузкой; торцы оболочки защем-
лены
«и - -Л, {?№ (1 ± 0.5Х-) е-р.- -
2Р. + 11. е-Р.«\ ±0,5Х-'(1 +21;,)[(2₽! + ₽1)е'В,е'-(2₽1+₽2)е * В'“11,
Рг у
кольцевые
(йг {?- О ± 0-5Ч) «-»" - ±
± О»'1 (1 + 2|,-’) [(2Р2 + Р1) е~Р1“ - (2р, + Рг) е’^]}.
Б. Торцовые сечения оболочки шарнирно оперты (рис. 5.6).
Прогиб несущих слоев
Р2~ Р1
В торцовых сечениях оболочки действуют поперечные силы
л д* Р1Р2
0 Дз Рг + Р1
Напряжения в несущих слоях меридиональные
= -Д„- |7Л (1 ± 0.5Г1) - (Л’»-") ±
Р2~~Р1
± 0.5Г1 (1 + 2171) (е р1“ - е р2“)},
кольцевые
о2, = |Т, (1 ± 0.5Х-') (Кге ’-“ - К’е-в-“) ±
Р2— Р1
± 0.5Г1 (1 + 2^‘) (е-₽‘“ - е7₽*а) т„}.
В случаях А и Б прогиб оболочки вдали от заделки
ч/^х
Е21А
? (1 — х) /?2
ИЛИ VI) =------------тг-7------
С 22*2
напряжения в несущих слоях
О12 = ф<№1 И О2а =д (1 — Х) ^2-
Знак минус соответствует 1=1,
знак плюс — I = 2.
Рис. 5.6. Длинная цилиндрическая
трехслойиая оболочка нагружена рав-
номерно распределенной нагрузкой д;
торцы оболочки шарнирно оперты
Рис. 5.7. Короткая цилиндрическая
трехслойная оболочка нагружена рав-
номерно распределенной нагрузкой
торцы оболочки защемлены
2. Короткая трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена
равномерно распределенной нагрузкой д.
А. Торцовые сечения оболочки защемлены (рис. 5.7). Начало
координат —в среднем сечении оболочки. Введем обозначения:
== р^/2, ₽2 = раа0/2. Прогиб несущих слоев
__ д#|х / । р2 зй рз сй рх« — Р1 зй рх сй Рав. \
Ец11 у р2 8ь р2 сЬ рх — Рх зй р2 зй Р1 /
Напряжения в несущих слоях меридиональные
п ______р . чЕ1Х Г
ст1'—
/1 . О 52Г1) (1 — Р2 511Р2 сН Е1Я ~ Р»5Ь & сЬ Р2а
2‘ р2 зй р2 ей Рх — Рх ей Ра зй рх
1 (1 I 2Е?1) ( Р15Ь Р2 сЬ Р1И ~~ Р2 Р1 сЬ Р2”
\ р2 зй р2 ей Рх — Рх ей р2 зй р, /]’
кольцевые
О2; = -^21
. Л _ р2 зй Ра ей рхк — рх зй Рх ей р2и
\ Р2 ай р2 ей рх — Рх ей р2 зй рх
рх зй р2 ей рха — Ра зй Рх ей р2« \]
Б.
слоев
’ 1 ' ' \ Ра зй р2 сй рг — рх ей р2 зй рх / ]
Торцы оболочки шарнирно оперты (рис. 5.8). Прогиб несущи*
9/?1Х
Е21(г
1 / ₽2сЬР1я Р| сй р2а
Р|-Р1 \ сйр, ей р2 /
1 -
Напряжения в несущих слоях
меридиональные
= -Еи-^- №(1 ±0,Ы~1)Х
С 21*1
Р1 сЬ
ей р.
Р1 сЬ Р2ю
сйр2
Рнс. 5.8. Короткая цилиндрическая
трехслойная оболочка нагружена рав-
номерно распределенной нагрузкой д;
торцы оболочки шарнирно оперты
+ 0.5Г1 (1 +2171)
Р1Р2 / ей РхСС
Р22-Р1 \ Сйр!
ей р2 а
ей р2
кольцевые
~ Е211г
у, (1 ± 0,5г1) х
=Р0>1Д“(1+2^1)
Р2 ей [31С4 Р|Сйр2а\
сй Рх СЙ р2 /
Р1Р2 / сй рга ___ ей рга
Рз — Р? \ ей & сй р2
Знак минус соответствует I « 1, знак плюс — I 2.
6.5, СИММЕТРИЧНОЕ НАГРУЖЕНИЕ КОРОТКОЙ ОБОЛОЧКИ
С ЖЕСТКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПОПЕРЕЧНЫМИ УСИЛИЯМИ
И МОМЕНТАМИ, ДЕЙСТВУЮЩИМИ В ТОРЦАХ
Прогиб несущих слоев оболочки (рис. 5.9)
_ $0^3 Р2сЬ Р2сйр,а —р^сй ^сйР2а
°т Р?Р2(Р1’Ь₽1Сйр2 —р8сйр1айр2)
Мо/?| р| 5Й р2 СЙ Р|ОС — Р® 5Й Р) СЙ Р2а
°т Р1Р2 (Р1 511Р1 сЬ Рг — Р2 сЬ Р1Рг)
Рис. 5.9. Короткая цилиндрическая
тРехслойная оболочка, нагруженная
в торцовых сечениях равномерно рас-
пределенными моментами Мо и попе-
речными силами ()д
Напряжения в несущих слоях меридиональные
о . = ___________________1______________х
₽|₽| (Р1 «ь р] сЬ ₽2 - р2 ей Р1 «И Р2)
X {РоКз Ь*а (1 ± 0,5Л-1) (р| ск ₽2 ск Р1К — р? ск р1 ск р2а) ±
± 0,5?/' (1 + 2|,-*) р?р| (ск ₽2 ск р,а - ск рг ск р2а)] -
—Мо [т/2< (1 ± 0,5X5*) (р? зк р2 ск рю — р| зк Р1 ск рю) ±
± 0,5 ?/' (1 _|_ 21- *) р,р| (р2 зк р9 зк рю - р, зк р, ск р2а)]},
кольцевые
с . = ___________________!_________ х
21 Р!Р|(Р15Ь₽1скр2- Р2сЬр! 8Ьр2)
X {<2о^з [?» (1 ± 0,5X5*) (Рг’ск р2 ск Рю — Р1 ск р1 ск р2а) ±
± 0,5Х“*ук (1 4- 2|Г*) Р1Р2 (скр2 ск рю — ск р1 ск р2а)] —
— Мо [у, (1 ± О.5Е71) (Ргзкргскрю — р? зк Р1 ск р2а) ±
± О.бтцХ"’ (1 + 2^*) Р1Р2.Ф2 зк р2 ск Рю, — р1 зк р] ск р2а)]}.
Знак плюс соответствует 1=1, знак минус —1=2.
5.6. СИММЕТРИЧНОЕ НАГРУЖЕНИЕ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПОВЕРХНОСТИ НАГРУЗКОЙ
ОБОЛОЧКИ С ЖЕСТКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ
ЧАСТО ПОСТАВЛЕННЫМИ УПРУГИМИ ШПАНГОУТАМИ
Радиус нейтральной оси шпангоутов совпадает с радиусом ней-
тральной поверхности внутреннего несущего слоя оболочки
(рис. 5.10), т. е.
Прогиб и напряжение в не-
-а
Н Н 1 111 ми ц
III 1 1 1 1 1 ' ИИ 1 1,
а
а= а о/2
трехслой-
нагружена
а=а012 а=0
Рис. 5.10. Цилиндрическая
ная оболочка со шпангоутами
сущих слоях можно опреде-
лить по формулам (5.6) •••
(5.11), в которых следует при-
нять следующие значения уси-
лий и моментов:
Мо = -О,5р/?3(р1-р?)'1 X
х (р2 с(к р2 — Р! с(к Р1)»
равномерно распределенной нагрузкой д
188
где р — реактивная нагрузка между оболочкой и шпангоутом,
Р = ЕШЕШ (1 - 0,5у1 X
___________(Р1 511 Р1 <± Р! — Р2 «И |32 СЙ Р2)2_1-1.
Р1Р2 (₽2 — ₽1) (Р1 511 ₽1 сЬ ₽2 — ₽2 С,Л ₽1 511 Рй) 511 ₽1 511 ₽2 /
Еш и Еш — соответственно площадь поперечного сечения и модуль
упругости материала шпангоута.
5.7. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ,
НАГРУЖЕННОЙ НА ОДИН СЛОЙ
В трехслойной конструкции представляет интерес передача уси-
лий, действующих с одной стороны оболочки. Эти усилия передаются
на второй несущий слой без помощи специальных соединительных
элементов. В случае действия местных нагрузок по касательной
к несущим слоям имеют значение прочность и жесткость на сдвиг
заполнителя и его соединений с несущими
усилие действует только на один несу-
щий слой, то часть его передается за-
полнителем на другой несущий слой.
Возникает задача расчета передачи на-
грузки.
1. Трехслойная цилиндрическая обо-
лочка с изотропными несущими слоя-
ми нагружена усилиями, равномерно
распределенными по периметру одного
из несущих слоев и действующими вдоль
образующей (рис. 5.11) [40]. Смещение
несущих слоев и и сближение Аш можно
определить по формулам
слоями. Если сдвигающее
Рис. 5.11. Цилиндрическая
трехслойная оболочка на-
гружена осевой силой Г,
приложенной к одному несу-
щему слою
= —2^Ге"л'а-
Напряжения в несущих слоях меридиональные
о»=—ЯЯД-Н.П-е-").
к°льцевые
(1 - е-«)],
^=-^Г^2(1-е-Геа)-
При действии нагрузки рассматриваемого типа наиболее от-
ветственным расчетным случаем является расчет оболочки на рас-
слоение.
Касательное напряжение на границе заполнитель—несущий слой
т1зз —
_ р -г.а
2лВ2 гес
Напряжения сжатия в заполнителе
е~г<>а,
°зз —
Р
2лВ2 с
где Гб == ^1^1/р2 = ^1/р-г; п,- = (В2 +
Рис. 5.12. Трехслойная
цилиндрическая оболочка
нагружена моментом М,
приложенным к жесткой
шайбе, закрепленной на
несущем слое
В случае нагружения слоя 2 оболочки в приведенных выше
выражениях следует заменить индексы 1 на индексы 2.
2. Трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена моментом,
приложенным через круглую недеформированную шайбу, которая
закреплена на одном несущем слое (рис. 5.12). Напряжения в несу-
щих слоях меридиональные
°и в" [ 1 Н» (1 ““ СО9 ср,
м
о1Я ив е',“аЦа соз ср,
кольцевые аЯ1 «• —ря (1 — «-'•««») соз ср,
0ЯЯ =. — М8е-'<*“ соз <р,
м
касательные Т121 = тгп — (2 — е"Л“а — е"''а1“) 81п ср,
Чи = Чп = -77 (2 — е‘'"“ — мп Т
где Г, = 0,25 [(«, + 4)' - (й, - 4У ]
Напряжения сдвига в заполнителе
Л4 , -г.,а. .
Т133=----5Шф,
М <.2, 1 — VI 1 / 2 -г.,а ,
т2зз = -^-5Л-2— у - «шер.
Нормальные напряжения в направлении оси г в заполнителе
М ^2, , е -г.,сс
Озз =С08<р,
где г21=]/га = кг- Ъ =
В случае нагружения несущего
ных выражениях следует поменять
При действии изгибающего мо-
мента расслоение оболочки^ воз-
можно как в результате сдвига,
так и вследствие работы заполни-
теля на отрыв в зоне растягива-
ющих напряжений в заполнителе.
3. Напряженно-деформированное
состояние трехслой но!' цилиндриче-
ской оболочки несимметричного
строения при неодинаковом нагреве
несущих слоев (рис. 5.13). Не-
сущий слой 1 нагрет до темпера-
туры Т1г несущий слой 2 до тем-
пературы Т2. Коэффициент темпе-
слоя 2 оболочки в приведен-
местами индексы 1 и 2.
Рис. 5.13. Расчетная схема трех-
слойной цилиндрической оболочки
при неодинаковом нагреве несущих
слоев
ратурного расширения материала несущего слоя 1 — а1т не-
сущего слоя 2 — а2. Касательные напряжения в заполнителе
___ 0133 (1 + VI)
т13з — -------------
оцЛ - а2Т2 рЬ Г /
сЬ(гва0/2), ЗП । 2
гв
Зависимость распределения напряжений в заполнителе по длине
оболочки т133 = / (а) представлена на рис. 5.14.
Распределение касательных напряжений характеризуется без-
размерным параметром
г ап— 1Л С133 /2 В1 +
гва«- V с Ь В,В2
При г6а0 > 3 касательные напряжения
т133=-^±У;)С133"- -еГе (а°’а))-
л6
Минимальные значения касательных напряжений в заполнителе
будут при а = 0 и а = а0:
Т133 (0) = -Т133 (Оо) = (1 + V;) -^3- (сс17'1 - а2Т2).
Меридиональные напряжения в несущих слоях
’п (»>- - ап + 5,1 - 1).
Я1; («) = -ЕЛ (а,7, - «Л) + - 1).
Распределение нормальных меридиональных напряжений по длине
оболочки показано на рис. 5.15.
При та0 > 3 вне зоны краевого эффекта напряжения мери-
диональные
<1ц = —-^1^2 о12 = ^2^1 (^1^1 ' ^2'^2))
кольцевые
О21 = 2 + № - СЧЛ)] ,
Рис. 5.14. Зависимость распределения Рис. 5.15. Распределение нормальных не-
касательных напряжений в заполните- пряжений в несущих слоях при нсодина-
ле при неодинаковом нагреве несущих ковом нагреве несущих слоев
слоев от длины оболочки
О22 = 2 -----------(а2^2 — а1^1) •
Выражения для напряжений получены в предположении V!!! =
— ^211 — ^112 = г,212 —
Рис. 5.16. Цилиндрическая трехслойная оболочка нагружена силой Г через жесткую
шайбу, установленную в промежуточном сечеиии на одном из несущих слоев:
а — реальная схема нагружения; б — расчетная схема
4. Трехслойная цилиндрическая оболочка нагружена усилиями,
действующими в произвольном сечении оболочки (рис. 5.16). В слУ"
чае нагружения слоя 1 оболочки в нагруженном сечении возникнув
реактивные усилия, действующие как в нагруженном слое 1 (они
разгружают частично этот слой от действия внешней силы), так и
в ненагруженном внешней силой слое 2. Аналогичное перераспреде-
ление нагрузки возникнет при действии Р2 на слой 2.
Реактивные усилия в разных несущих слоях при одном свобод-
ном торце оболочки равны по модулю:
Гев Г Р1 С1 ~ у11н) Т1н Р2 (1 ~ у21н) Т2н
^вн ^11Н^1н ^21н^2н
Т1В О-Ур
^11В^1В
Т2в (1 - Г (е'« 2“‘) - е-г«нК) (1 + е2^) 1
+ ^21в/2в ] [(егвв(а+2^)-е-гвв“)(1+е-2гвна1) '
В сечении а = О
__ гев / Р1У1Н______РгТан \ Г 71в О Уцв) . Т2в О
/ о а—о Гвн Еин<1Н ^21нйн / | Ёцв11в й21в^в
(1 — е~2ГбнК1) (1 4- е2'615”2)
Х (1 _ е^вв^г) (! + ‘
При равных значениях параметров несущих слоев и заполнителя
верхней и нижней частей оболочки реактивная сила
Ро = [р1Е12/2 (1 - 4) Т1 - р2Е^ (1 - 4) У21 (1 -е-2г‘“*) (1 + е2г'“2) х
X [В21/2 (1 - т&) Т1 + Еп1. (1 - ?2] (1 - е2г-й0 (1 + е-2^"').
Таким образом, задавая внешнее усилие Р1 или р2, или оба одно-
временно, можно определить реактивные усилия в несущих слоях
в нагруженном сечении оболочки. й . ,,,Га
После этого расчет сводится к рас- 1дд’'"‘__________________
чету каждой части оболочки, нагру-
женной внешними усилиями р1>2
и реактивными усилиями р0 (см.
выше).
На рис. 5.17 показано распре-
деление напряжений в несущих
слоях трехслойной цилиндриче-
ской оболочки с одинаковыми зна-
чениями параметров несущих слоев
и заполнителя в верхней и ниж-
ней частях оболочки. Характер
Распределения напряжений в несу-
щих слоях этой оболочки суще-
ственно отличается от характера
Распределения напряжений анало-
гично нагруженной однослойной
7
Кобелев В. Н. и др.
Рис. 5.17. Изменение напряжений
в несущих слоях по длине оболочки
при нагружении силой Г, приложен-
ной к жесткой шайбе на одном из
несущих слоев в промежуточном се-
чении оболочки, в зависимости от ве-
личины силы и места ее приложения
193
оболочки. Например, в несущих слоях выше нагруженного сечения
даже в сжатой оболочке могут быть растягивающие напряжения.
В зоне приложения нагрузки возникают значительные сдвигающие
напряжения в заполнителе, которые могут привести к расслоению
оболочки.
Если на каждый из несущих слоев действуют силы, создающие
усилия, имеющие одинаковые знаки и модули, т. е. рх — р2, то реак-
тивные усилия в несущих слоях практически не возникают, следо-
вательно, невозможно расслоение оболочки. Поэтому при необходи-
мости передать на трехслойную оболочку значительные нагрузки
в промежуточном сечении необходимо во избежание расслоения
включать в работу несущие слои одновременно.
5.8. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
НАГРУЗКАХ
(Г Для определения напряженно-деформированного состояния обо-
лочки при произвольных нагрузках необходимо использовать пол-
ные уравнения равновесия.
Для оболочки несимметричного строения с ортотропными несу-
щими слоями и трехмерным ортотропным заполнителям уравнения
равновесия, выраженные относительно усилий в несущих слоях,
имеют вид
Н) т + Т133) = 0;
(Г< Т Т. ~о;
ча м । । ге 5т13з п
30 - 1^21 + +
± + ^3 (г( + азз) Т< = 0; (5.12)
4.) _ Ж». ± с т с^ (См т У1 _ о;
+ С^^/?3Тг-/?з(2н + т13зС)Тг = ° (1=1,2).
В матричной форме система уравнений (5.12) имеет вид (5.13), где
введены операторы
__ д . _ д .
Р101—Р104-
Р124 = ^зТ1 > Р126 = ^зТь
Р224 = ^з?2 • Р226 = ^зТг>
Рз24= ^зТ1 • Р424 = ^зТг >
п д . п д .
Р?22 — С “з -^р- > р?24-С “з ,
Р?26 — /?3Т1«; Рв2б= ^зТгс-
В компактной форме система (5.12) имеет вид Р0№0 = X. Ма-
трицу Ро можно разбить на подматрицы, представив ее как матрицу-
строку Ро =|Л1В3|. Матрицу Л'о можно разбить на подматрицы,
представив ее матрицей-столбцом
Т
1 нс
Ез
Тогда выражение (5.12) можно представить в виде
I А А | X
или ДТНС -}-Вз2з = К*
В матричной форме систему уравнения равновесия при произволь-
ном деформировании в перемещениях можно записать в виде
«11 °12 °13 °14 «15 «18 «1 А
«21 С23 °24 «25 «26 «2 *2
«31 °32 азз °34 «35 «36 «1 Уг
«41 °42 °43 °44 «45 «48 X ^2 г2
«51 °62 аБЗ °54 «55 «56 и>х А
й61 ЙС2 авз «84 «85 «66 №2 А
(5-14)
Р101 0 о р104 о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0000 0 0 0000 р101 О О р1М о
о Рю4 Р101 0 0 0 0000000 00
0000 0 0 00000 р104 р101 о о
0 —1 0 0 0 0 0 0 рш Рш о О О 00
0000 0 0 00000 —1 0 00
0 0 0 0 0 —Рю4 Р1и 0 0 Р12в 0 0 0 0 0
0000 0 0 0000000 00
0 0 0 0 —Р10! 0 0 р104 р12в 0 0 0 0 0 0
0000 0 0 0000000 —Р1М о
д2 д2
где аи — Аш + Аи ’^рг" ~ Ам!
°12 — а21 — Ав! 4“ Ав2 Аяз >
л _ л д2 .
013 — °31 — Лз1 да йр > аи — вы — Л141 да ар ’
(л 52_1_л д2_1д\д-
016 — О51 — ^151 ^а2 + /1152 ар2 Г /|1БЗ ) да »
0 0 0 0 0 0 0 0 Р124 0 Р126 #11 #21 кл
0 0 0 0 0 0 0 Р224 0 Рггв $121 ЪХ2
0 5211
Ми
М21
0 0 0 0 0 0 0 0 р324 Р126 0 ^121 ЯзЛ
Л^211
0 0 0 0 0 0 0 0 Р426 Р226 0 Си С 21 /?3г2
0 0 0 0 0 0 0 Р126 0 Р124 Рз24 #12 #22 ^3^1
0 0 0 Р101 Р104 0 0 0 0 Р224 Р426 X 5122 $212 = . (5.13)
М12
0 0 0 0 0 0 Р?22 0 Р?24 Р?26 0 Л^122 0
^212
—Рим Р101 0 Р226 0 0 Р722 0 Р724 Рв2Б 0 <о <о ю м ьэ м 0
°13
0 0 0 0 0 Р?24 0 0 Р?22 0 Р725 °23 0
°33
Т123
0 0 Р104 0 0 Р?24 0 0 Р?22 0 Рб25 ^2ЯЗ 0
Т133
— — ( Л З2 . . д2 I Д \ д
«16 — «61 — ^161 -Г /1102 зрГ + Л163 ) •
л д2 , А д2 „
«23 /»221 ‘^2' + /1222 /1223 >
_ д 02
«23 —«32— /1231 ^р->
Л 92
ац — а^— А242-^р-.
а2Ъ Аб1 ^а2 4~ Аб2 ^р2 4" АбЗ^ 0а »
/ „ д2 , л I Л \ 5 •
«26 - «62 — (^261'0^2' "Г ^>262 ^р2 Г ^гбЗ ) 0а ’
Л д2 ! л 02 л
а33---^331 "^рТ Г Аз32 0а2 ^333»
Л ° I Л и Л
а31 = а13 ~ ^341 "дрт + ^342 ~о^2 ^343,
! л &2 I Л 02 I Л \ д -
«35 -- «53 — {^351 ~^2 + ^362 0р2 4“ ^ЗБЗ) 0р ’
/л & I Л & Л \ д •
«30 --«63 — ^361 ~д^2 + Авгура" + АэвЗ) ’
«44 = ^441 ^р2 Ь ^442 ^2 ^443>
«45 — «54
I д2 । л д2 I Л \ _^_ •
|4И1Е^ 1 ^4Б2 ар2 4БЗ / <Э₽ ’
(д2 д2 \ д
^461 ~0^2 Ь '^402 ^рг 4* -^463 ) др ’
д^ д1 д* д2 д‘~
а№ -^551 0а4 4- ^552 да2 ^2 Ь ^бЬЗ ^р4 4“ ^554 &а2 4~ ^555 д|32 + БВ®’
л л _ л 54 । л д4 I Л д* I
^5« Лев ^661 йа4 + -^362 да2 дрз 1“ ^зез ^р< +
। л д2 । л д2 । л
4" ^564 ~Г ^565 "дрГ Г А566>
Э4 д4 . д*
авв — Ав! д^Г 4" Авг да2 др2 ^ввз бР4”
02 02
Н ^664 дсд2 Н 2^665 0р2 Н 4рсз-
Значения коэффициентов приведены в табл. 5.1. В таблице
введены постоянные
„ ^11^211 + ^21Т121
§121-----------2 ’
_ ^12Т212 + ^22^122
§122 -- 2 ’
_ ^13г213 + Ё23г123
§123 — 2
_ Е1зГя1з + Еззг13Я
§1зз 2
„ Е23Г323 + Еяягяяя
§233 — § ‘
Выражение (5.14) можно представить в виде А1] = х.
198
Лш
Лц2
Лцз
Л121
Л122
Л123
— (^13^11зЛ1 + 5ц)
->121 4^2 У1 + ^121^1)
б^З!*!
— Е1згиз11
— С 123^2
6133/3^3
Л131
— 1(^123 + 0123) Л1 + (й'121 + 0121) 11----------дй|~ ^*Т1
А141
— (§123 + С12з) /4
Аб1
Л]52
Л153
Л161
Л162
Л163
Л221
Л 222
Л 223
Л 231
Л 241
Л‘251
Л 252
Л253
Лгв1
Л'2е2
Е13ГШ 2^з Л1
/Г 1 । 1
2/?з: 1 2/?з
(Г I «3^ 21 Т рз
— §123/41 — §133 -----2^— К1^31 — 2^81) — Й21Т16
— Е1зГ113’2^7
-^/4+6123(2/2+-^-)]-^-
— /?12зЛ — &13З + ~2^з • (^4 + 2/5)
— (^13г11зЛ2 + 612)
— ^6123/22 + 6122 'Уг + 6122/2)
6133/32/^3
— (Й23 + 6123) /4
— ^(йг12з + 612з)/42+ (§122 + 6122) /2-4^2"
Р /1 ,
— С1У113 '2^., '*
^12з'4^Ч123^/2 -Г
— §123/4— §133"^---2^3
— /=13г113
~1кг'а
123
122 Ж.
1
2Я3
Значение коэффициента
Л 288
Л 331
Л332
Л ззз
Л 341
Л 342
Л 343
Лзм
Я зБ2
Л 333
Дзет
Дзвз
Дзвз
Л41
л 442
Д443
Л451
Л452
Л453
^461
^482
— &123/42 — §1зз ‘ ' 2^ (/2/32 + 2/зг) — йгг/гТг
— (Огз'ггз/г! + В21)
— ^О123/н + О121<1 + 0121 ^2' Т1
С233 Д (2,8! ~ Д + Д 7=1)
— Е2зг 223/2
— О123/1
СгззЯфз-----+ Д]
Д7«+0123 Д (2/и+Д,в1)+ДД
— ^23^22з/21 — §233 “гГ"
АЗ
^з'ггз^- /21
Д- (2+Д),в1+Д ]"Вал
~ [(г123 Д' /4+°123 Д (2/* *
— Еззг223 о',;~ /2
^!\3
— Е2зГ22з/2 — §233 + а?
Д/з+2/«-Д
— {Е2зГ22з122 + В22)
— ^0123/12+0122-^5“ ?2 +
Огзз
В23
/ 2 1 \
/32-----/32 + -^- /гг }
§123 ~2^~ /4 + 0123 -
(2/4 4
ЕззГзза 2~^з~ /2
— О23Г223/2 —§233 ------
~ |Д ДЛг+0123 Д (
2/42
в--^-/в+
АЗ
2 \ О122/2
> / 2/?1
— Е 23Г223 ~2^~ 22
Значение коэффициента
Л 463 ^23Г22з/22 #233 + 2^ ^/2/32+ ($ + ^вЗ ] ^2272
Лих Е1зГ1131</11 + в’1"$Г
Л 562 §123 /41 + 0,23 4/?| (4/21+ Кз/71 + ) +#12, +0121-^-
Л 563 /-23^223 /21 + В*1 -^2“
Л 664 #123 /41 #13з/1/в1 2(2 +2/11 2/1/б1^ +#12171 ^2
Л 565 ЕгзГггз р /21 #233/1/31 9(9 +2/21 З/х/^ 4- 2В^у1 -— КЗ а \
Л ВИ Е2зГ223^21 + /^33л33з/^з/з1 + ^2171 + &21 ~Д2~ #23з/?з/в1
Л 531 ^ЗГНЗ 4К2
ЛВ62 #123 /4 + 0123 2^2 (4/2+ /7+ ^2 )
Лева ^23/223 4^2
Л 564 #!23 /4 + #133/2/3 #133/1/5+ 2^2 ^3+^5 ^/б' 2^1^
Л 666 ^23^223 2/^3 /2 #233/1/3~1~#233/2/5 + 2 (.2 /з+^/в /2/3 2/2^
Л566 Ё23Г223~^~ +#233/?3-^- + ^'33/'333/3/?3
Л вв! Е1зГИ3^-Л2 + В1*2-^-
Л 662 #123 Н2 /42 + От ^2 (4/22+ /,2+ ) +ё122 + С122
Леев Ё23Г223 ~4Д2~ /22 + В22
^664 #123 /42 +#13з/2/Б2 2^2 + 2/12+2/2/Б2^+#122-^2" 7г
^665 Е23Г223 122~[-Е23з(21в2 2^2 +2/22+2/г+/в2^ +2/?2272 ~^2
Леев ^23Г223/22 + ^33ГЗЗз/^з/з2 + ^2272 + &22 д>2 7г + #28з/?з/в2
Закон деформации несущих слоев описывается общеизвестными
зависимостями тонкостенных оболочек.
Закон деформации заполнителя произволен, для закона ломаной
линии интегралы, описывающие деформацию и входящие в уравне-
ния, приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
'к Значение интеграла ш3н ачен ие^интегр ал а^ । Значение интеграла
Л1 С Л С т Лз С "3"
с 1+0,125 VI / с 1 с 1— 0,125/.-!
121 3 1—0,251’2 72 6 1—0,251’2 122 3 1— 0,25/Г2
1 1 1
Л| С /з С ^32 С
Лх (1+0.0612Г1) О Л с V ^42 ~ (1—0,06121-1) О
^51 — 0,5 1'ъ 0,5 Лг 0,5
1"ъ — 0,5
М('+ А) /в °-5(' бк) Лг °-5(' а)
К ад(‘+а)
с2 1 + 3,21’1 I с2 1 + 0.5Г2 с2 1—3,21-1
1 71 48 1—0,25Г2 15 1-0.25Х-2 7 72 48 1—0,251-2
с2 С3 с2
^81 — 48 Х I 8 —18 Х 82 48 Х
X 1 1 (1+0,15Г2) XV1 (1+0,15Г2) Х1"1 (1+0,151-2)
(? 1+0,15Л-1 т с3 1+0,125 I с2 1—0,151-!
191 30 1—0,25Х 2 7 9 120 1—0,25Л’2 7 92 30 1—0,25Г2
Компоненты деформации заполнителя цилиндрической оболочки:
+ го2ф2] ; е33 = о»! + и>2 ;
1 ( 1 Г / ди2
6123 ~ #з[1 + г/Яз 1Д с>Р <Э₽ 4)2
2^(2 4--^-) Фа-^р-] +
+1^+>4
Егзз = »1 [-^" - Ф1 кз(1 +г/7?з)] + Ъ - Фа 7?3 (1 +г//г3)] +
। 1 / <Р1 11 д<рх \ ди>! . 1 / ф2 , 12 <?<р2 \ да)2 .
+ /?з \ 1 + г//?3 2 йг / ар /?3 \ 1 + г/Кз ^2 дг ) ар ’
.. _ „ а<Р1 | Й(Р2 | 1 ((„ дчцхда)! ,
Е13з - щ дг + «2 ~ёг+ Ня кФ1 “Г “аГ? ~а^ +
I 1 ( „ I (2 дЧ>2 \ да>2
+ ^7^+-2-аг)-а^-
Компоненты тензора деформации заполнителя
ан «12 0 0 а1в а1в Е13^3
0 0 б?2з «24 «25 «2в «г е2э7?з(1 +г/7?3)
о о 0 0 аа5 азЪ VI Е33
«41 «42 «43 «44 «45 «4в X «2 В12з^з(1
0 0 о5з йм <255 а5в Е2з3
«61 «62 0 0 «65 «66 г®г Е133
или А31/ = $з> (5.15)
а а
где аи Ф1 "*з » ^12 Ф2 "э > 41 да да ’
«^-О.б^Г’ф!^-;
°1б = 0,5Х '^г'фг-^Ё-',
_ д . д
«гз — а41 — <рх -^р-, а24— а42 = <р2 ,
а25 = - О,5Х-‘Г*Ф1 ; «26 = 0.5Х-1 ^’<р2
«Зв = «61 = -^-; «зв = «ба = -^-;
«43= (1 + Ф11м; Й44 = 0 + да’
«45=—о,5х & (2 дайр;
а4в = _0.5^Г,(2+^)^р-;
_ д<|>1________ф! . _ Эфа___________ф2 .
ю — дг Кз(1 +г//?з)’ м дг ЯзО+г/Яз)’
_ 1 / Ф1____________4 гдф1 X д .
™ ~ Кз \ 1 + г//?3 2 дг ) ар ’
_ 1 / фг । (г 5фг X д .
56 ~ Яз к 1 + г/Яз '2 дг ) ар ’
а - —(к _
68 Нз V1 2 дг ) да’
аы ~ (фг
дф2 X
2 дг )
д
да '
Нормальные напряжения в заполнителе
Е13гц3 I ди, ди2 4 д2^ (2 д2ш2\ ।
СТ13 =Ф1 +-аЕГ <Р2 - 2^ Ф1-^ + адГ’?2 5^-) +
, Е23Г2,3 / дУ, |_&1т______________| <2
+ /?з(1 +г//?3) \ ар ф' + ар Фг 2/?з фг ар2 + 2/?8ф2 ар2 +
+ гад + гад) + Еязг31:1 + и>2 Д^-),
^13^123 / ди, . ди2 I, д2^, . (2 д2и>2\ .
°23 ~ ЁГ~ \ да 4,1 + да ф2 2/?3 Ф1 да2 + 2/?3 ф2 да2 ) +
, Егзг223 ( дУ! , ду2___________________/1 а2а>1
+ Яз(1 +г/Ез) \ ар Ф1 + ар ф2 2/?з Ф1 ар2 +
+ф2 + и’1ф1 + и’2ф2) + Ез3Гз23(а»1 + “’а -%) >
п . Е13Г133 / ди, |_^2.„ {1 ГГ д201! <2 а^гХ
СТэз _ /?3 \ да Ф1 Г да ф2 2/?з Ф1 аа2 + 2/?3 ₽2 аа2 ) +
। Егзг^зз ( ду, ду^ _ _1,_ д2л),
+ /?з (1 +г/Кз) X ар Ф1 + ар ф2 2/?з Ф1 ар2 +
+ ф2 + ^1<Р1 + “>2<р2) + ^33^333 (^1 -^Г + ^2 •
Касательные напряжения в заполнителе
п Г 1 / ди1 , ди2 \ .
тхгз 0123 (1 + г//?з) Ф1 + ар *Р2) +
. 1 / дщ . ди2 X <1 2 + г//?а а2шг .
+ ₽3 ( да Ф1 + да ф2) 2/?| 1 +«/#3 Ф1 да ар +
/г 2 + г/7?3 а2а>г 1
2/?| 1+г//?з ф2 д«ар ’
Т233 С2зз[к1(^ Яз(1+*/Яз)) + ( дг Яз(1+г/Я3)) +
. 1 / Ф1 <1 д<Р1 \ ди>1 . 1 / фг /г 0фг \ 0аУ2 1
+ Яз \ 1+г/Яз 2 дг ) 00 Я8 к 1Ц-г/Я8 2 дг ) 00 ] ’
1138 — 0133 [«1 + «2
11 д<₽1 \ ди»!
У1 2 дг ) да
. 1 /„ /г дфг \ <^г -I
+ Яз V2 2 дг / да ]
В приведенных выражениях коэффициенты гик имеют вид (2.4).
Компоненты тензора напряжений заполнителя
^в1
&21
^31
Й41
О
<>12 ^13 Й14 ^16
^22 ^23 &21 &25
^32 &зз ^34 >'з5
'-'12 ь43 &44 ^46
0 ^53 Ьм ^55
^62 0 0 ^65
1, Я13ГН3
012 ““яГ”
(5.16)
где Ьп =
Е1зГцз
Я3
д
^~д^'
д
Ф1 -V;
11 да
«. __ Яг3г21з <Р1_д . , Яг3гг1з фг___д .
13 Яз 1 + г/Я3 00 ’ — Яз 1 + г/Яз 00 ’
(,„=-0.5^1^,^-
_0.5-^^,Е7,-я^(1 +^.)+Еззг3„^.;
^6 = 0.5^^-^ '|г‘ч>2^г +
+ 0,5^Ц-'&,-я^(1 +^)+Еигзв^;
I _ Я13Г|23 0 . . _ Я13Г123 д .
Ф1йа> »22----Ф2йа.
г __ Ггзг22з <Р1 5 , ЯгзГггз фг д .
й“ Яз 1+г/Яз<Э0’ Яз 1+г/Я3 00 ’
Г, Л г Я13Г123 Л—Ц—1 02
Ь25==~~0’5—яГ~х 'Р^-
- 0,5 X-V (I + » + Ал, ;
6»=0,5^!11-'б2-'фг^ +
I Г> С ^23^223 а— !е—1 Ч>2 ( 1 I д2 \ | р 0ф2 .
+ °’5 ~ЁГ Х 52 1+г//?; V + 4 з/з23 ~дГ'
I.____ Е13г1з3 5 . , _ Е,3 д •
— /?3 4,1 да ’ &32 ~ Е3 Фг да ’
< ЕздГззз___ф1__д .
°33~ /?3 14-г//?3а₽’
г __ Е33Г233 фг д .
См~ Е3 1+г//?3 <$’
_0,5-^-1-'ЕГ'-г^-(1 +т^) + Ел^.;
+ °-5 ТТТТёГ (1 + » + «Л» ;
К 6123 ф! д .
41 - Ез 1 +2/Е3 5р ’
____ 6123 ф2___^_.
а42 Е3 I + г/Е3 др ’
=ч’1 "Зр; =’р® гр"1
"« - - 0.6 > ’.-'г'ф, (2+-А-) (1 + ~^У' ;
<-«= 0,5^.(2 +<) (1 + -^Г тй₽
/) _с; Г дф1_____Ф1 1 .
Обз —^2зз[аг /?я (1 + г//?8)1 ’
ь — С Г-^- — - фа_______1 •
»Б4 — б-гзз рз (1 + г/%^ ,
. бгзз ( Ф1 п г / дф1 \ -
Ьб3==~ЁГ(ГГ^ “ ’М1"&‘ <?₽ ’
\ + Ез /
ьЪ6
С233 / <?2 0 е;/ дф2 \ д .
/?3 к 14-2/Кз и’™2 дг ) др ’
« х> д<Р1 . д<рг .
о61 — и13з , ов2 — о1уз ,
Ь” “ % ~ 0,5,2 Тг) "Ж"
Выражение (5.16) можно записать в виде
В3^=Ез
(5-17)
Компоненты деформации
круговой оболочки
несущих слоев 1 или 2 цилиндрической
1 дщ .
Е1' Ж да ’
1 / дУ[ . \.
8а,—+
1 / дщ дк, \. г даш>г.
Ю‘ "" 7Т \ ар + да ) ’ “ ~^2 ’
2 /д2Ш; , 2\
Хаг — — у'ара' 4" ) *
/?2 V' дР Т' да + 2 да 30 )‘
Напряжения растяжения-сжатия в несущих слоях меридио-
нальные
°11с = 1 - УЦУзг [ #7 "ЛГ +("ат + ^7')] ’
кольцевые а21с = [-±- (-§- + ,
касательные т1(- = (-^- + .
Напряжения изгиба в несущих слоях
о.- — Р1‘г 1,И 1 — уцу«« 1 д2У01 У21- /д2Шг . 2 \ ^2 да2 1 ря \ др2 1 ) <5 О
Г 1 / а»тг. | 2 \ , У,; дЪщ
1-УЦУ2/ т?2 к ара +71^;+ ^2 а«2
^21и :—
Напряжения кручения в несущих слоях
т _____________Сщг [ ди, ду, , о а2и>г- \
1 к₽ 2/?2 ' ' ^0 • ‘ да ' да др / ‘
Для несущего слоя 1 / =1, для несущего слоя 2 1= 2. Компоненты
тензора деформации несущих слоев можно записать в виде
/ги 0 0 0 ^51 0 0 Й22 0 0 0 ^62 0 0 ^33 0 ^53 0 0 /г15 0 0 0 ^35 Ии 0 0 Иъь Йб4 0 <?* О “?* о о 05 05 X VI и>! №2 ►24 еи е12 621 ^22 ю2
или ян, си = ®Н. С>
где йц = й22 1 Яз д да » ^15 — ^26 — г д2 да2 >
«зз — «м — я3 ар ’
, г д2 .1 /. г \.
^35— Я|<Э₽2 + ЯГк 1 Т1/’
, __ г д2 . 1 / . г \ .
~ Я2 <Ф2 ” Кз \ 1 Яз 72 / ’
Нъ1=='^(1 ~ йглО’ж1
Ли~ ЯА Г ад?71/*?’
II 2 д2 .
«55 —«ев— ’
Не2~ /?з(1 2/?3 7а) 5₽ ’
= 7??(1 + 2/^72)ж-
Матрица компонентов тензора
напряжений в несущих слоях
^11 0 ^13 0 <^15 0 «1 Он
0 <^22 0 С?24 0 ^6 ц2 012
^31 0 ^53 0 ^35 0 1 X VI = 7?3 О21
0 ^42 0 ^44 0 ^46 VI о22
^51 0 <^53 0 <^55 0 и>! г121
0 ^62 0 ^64 0 ^66 и»2 Т122
или 011 = /?я2и.с, (5.18)
где 41 = Ец ; 4з = Еиу21-^р-;
^1б = ^21 (1 — -^-71) — (-^2 + Т21 арг)] ;
42 = ^12 » 41 = ^12^22 ^р2 >
Й26 = ^12 [72^22 ( 1 “ 7г) - (^г- + ^2 ^.)] 1
41= Еихи ; 4з = -^р-1
4>5=Е21|71(1 -^71) --^(^11-^- + -^-)] ; ^42= ^12-^-;
^44= ^22^12 зр! 4б=^22 [4(1 ~ 7г) ~ (712 + ^а) ] 5
41 = 0121(1-2^-71)-^-; 4з = 6121(1 +1^71)^-;
__ г г д2 . , С I \ г \ 5 •
«65— °121 дз дадр ’ “62—^122^1
44 = о122(1 +^-72) -^-;
А Г. 2
«66 — ^122 % аа ^р •
Усилия в несущих слоях меридиональные
Л^1,- =
Ез
±^1^(1 4
дю}
д₽
кольцевые
*г ^21^1
"2‘-------«Г
КдЮ( , \ . ди, 1
-^р- + 7«М’|) -г ]
, Ец(1С 11 I, \ Г , .Л,, , ]
±-2^Г +~) Г^ + ^ + т“ лН’
х3
касательные
5.<-тг{т[’+^те(1+т-)] +
У‘ 4/?3
2/?2
С)2Ю;
да др ’
е Оцг^г Г дЧ1 Г । с
52‘ = “ёг('Ш1+т‘4/?г
, до; Г1 .. с / , , II \ 621/^с / II \ д2вд
+ "дИ1 4яД1 + — +— )^д₽ •
Моменты в несущих слоях изгибающие
Ми
М2{ =
^11 С2/; ।
4/?2 \
Е21С2и
4Я2
(1
.2
3 с2
д*Ш{
да2
д2и>, . 2 . д2а);
"др2" + У,‘ "да2
с
1г , 4 %
крутящие
^=--^^(1+24+4-4)х
х V' др да т ),
М2ц —
Сщсли
8/?2
4
3
Перерезывающие усилия в несущих слоях
О.п —
1 / дМ12/ дЛ11|
\ др да
сг1г / 4 /? \ Г р д2®' I (Р V _Сг дЯа>1
4<|] +2-Т-+'Г^’ I- да3 + 1/21 ш,бадр2
ди>, 6га д / ди, ди, \~|
да 2 Тг др \ др да /]
X
. 1 / дМ21г дМц \ _ с^1 о 1г . 4
2' “ ₽3 \ да др ) ~ + 4/?2 \1 + 2 с + 3 С2 )
Г р д»«)« ,р г д3^
[г2г дрЯ -Ь(^2№ °21Ода2др
диц Ощ д / ди( дуг \ 1
др 2 Т‘ да \ др да ) ]
+ Е2^иу]
Знак плюс соответствует несущему слою 2, знак минус — слою 1.
В матричной форме эти соотношения имеют вид
«и т21 «31 тп 0 0 Шц «м «91 «101 0 л 0 л 0 л 0 л 0 0 0 л 0 л 0 л 0 л 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ^112 ^122 ^132 ^142 0 0 г172 г182 ^182 ^202 «13 «23 «33 «43 0 0 «73 «83 «83 «103 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 «114 «124 «134 «144 0 0 «174 «184 «194 «294 «15 «25 «35 «45 «66 «06 «76 «86 «95 «105 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 или 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 «116 «126 «ив «146 «166 «166 «176 «186 «196 «206 М6 = X -Т, и2 П2 10! и>2 ^1^21'^21 ^516121 $11 ^16211$21 '8’1^ц1^1 'Мп '0'1^21^! '^21 2'6’16121^1 1Л4121 г^е^кг’Мгн 61^11% *фн $1^Г'<?21 к^2^12'Л^12 ^26122512 ^2би2$22 '6’2^12 ^2 'Л412 62^22% '-Л^гг 26'26122^2 1И122 262(^2^2 *Л1212 62^12'4 '<212 62^22*^2 '^22 (5- 19)
где 6,= ’ 1 4Л2 (1+2Г1) +—Г1 1 зх2^ ; «и = д . д да > «13 — '’21 >
/П15 = О,5Х 1 (^г+ + г2ф [1 Н-О.бтД-1 (1 +Г’)1;
д д
ти — хи'д^’
= 0,5%-' (V,, + т, [ 1 4- 0,5Т1Х-’ (1 + вг1)];
™31 = [1 + 0,257^-' (1 4-Г')]-^-;
«зз = [ 1 - 0,25ТД“* (1 - Г; «35 = 0,5%-' (1 + вг') ;
«41 = «31» «43 =«33» «45= «35» «56 =— [^2 4" Г21 (ар5 4" ] *
Г д2 д2 . 21 . д .
т* = - +?>]’ ^1=«81 = -Т1-Зр ,
д д2 . п е 0121 д2 .
/и73 — т8з — ух —-, т1Ъ — т8Ъ — дад$ ' т*1 др2 9
г\ к $121
«63 = —0,5 =—71-^р,
Г д2 . /, 0121 \ д* 2 д 1.
«95= — [^з + ~ + Х'21Т1 ^] ’
Л е 02ц д2 „ к О2Ц д2 .
"’101 “ 0,5 71 ^ар ’ Ш103 ~—0,5 "ЖГ 71 да2 ’
I аз , /, с2ц \ а» , 2 а 1.
«юз— [арз+(! )а«2а₽ +Х’,П’1 ар]’
а . а .
«112 — ~д^ ’ тШ — Г22 »
«116 = — 0,5Х-’ (^а- + Л’22-^-) + V22?2 [ 1 - О,5-У2%~‘ (1 + ^Г*)]’»
_ а а .
«122— ^2 ай'» «124— ар»
«126 = — 0.5Х-1 (ч{2 -^2 + 4ог) 4- Т2 [1 — О.бугХ-1 (1 + ??’)];
«132 = 11+ 0,25^2^ (1 + Вг )] ~ар">
«134 = П - 0,2572?-’ (1 + Б-1)]
т136 = -0,5Х-1(1 + ЕГ1)1^р-;
«142 ---- «132» «144 --- «134» «146 --- «13б’>
г д*
т1еъ = — |г12
а . _ д .
«172-- «182 — -?2 ар" ’ «174 — «184 ~~ У'2 да '
д2
тпв — «186 — — а^ар ’
п К ^122 д2 ' ЛК ^122
«192=—0,5^-7а-^ра» «194— 0,5=^-7г-айар’
Г д3 . / < 6122 \ д3 . 26].
т'96 = [д^+(1 ~^) а^ + ^’22^]’
ПК ^212
т2и2-— О.б^-уг^р
/п204= 0,5
6 22
2 д ]
Х'2^ >|-
д3
да2 00
т
Изгибающие моменты, возникающие в оболочках как единой
конструкции, в основном (особенно при легком заполнителе) опре-
деляются усилиями в несущих слоях. Влияние нормальных усилий
в заполнителе бездефектной оболочки, действующих вблизи ней-
тральной поверхности оболочки и обусловленных наличием сравни-
тельно небольших нормальных напряжений, на изгибающие моменты
невелико. Эти моменты определяются следующими выражениями;
в плоскости аОг
Мц— ) [“а^~ + х,21 + 71ьу1)] +
Ц-0,5Е12/2^ (1 + ?2 ) [-^Г‘ 4~ Л22 “Г 7’2^2^] —
г / ч,—1 Г д2а>1 . I д2ш . 2 \ 1 о . Л—1Г .
— Ец/101 ась2 I- %21 \ ара ^|ЬУ1 /] — ^12^2^2 [“аа®—
4~ ^22 4" Т2Ы>2) ] ,
в плоскости §02
М2Х = - 0,5Ё21/Л-1 (1 + Г') + 71^ + тХ1-^-) +
4- 0,5^22^ 1 (1 4- ?2 ') ДА 4- 72^ + ^12 —
Крутящие моменты
м122 = - О.бС^Г-’Л (1 + Г') +
\ ^3(3 С71Л /
4- 0,50,22^“' (1 + 4- - О12.Л^Г‘(714г -
^^г4-2^аг)-0^2 -ар--72-^-4-2-^р-),
м212 = -О,5621ЛХ“' (1 4- Г') + -|г ) +
+ 0,5О212^-' (1 + |Г*) + т) - С<2^<' О’1 Т “
\ 1/р С/1Л / \ С/р
дьг . о д2^! \ „ . а-1 / д«2 д»2 I о д2юг \
- ^1-^- + 2 ^р-) -6212^2 (?2-1р--Т2-^-+2-1^р-).
Поперечные усилия в оболочке равны сумме соответствующих
поперечных усилий в несущих слоях и заполнителе. Поперечные
усилия в заполнителе
<2133 = - 0133 I («1 - «2) - 0,5%-* ( 1 + г1) -
— 0,5Л-*(1 -Н5Г')-^-],
Ок» = — [О’, — ^в) (1 -I- 0,51 ) (1 4-1 /12) —
—[(1 + 0,51-) + (1 -0,51-) .
Деформационные граничные условия определяются как суммы
интегралов внутренних и внешних сил.
При выводе выражений для граничных условий принимают,
что усилия на опоры передаются заполнителем не непосредственно,
а через несущие слои, которые опираются на жесткие элементы
и воспринимают реакции опор. Это приводит к тому, что несущие
слои, прилегающие к контурным элементам, имеют значительно
большие напряжения, чем вдали от края.
Для определения напряженно-деформированного состояния трех-
слойной оболочки необходимо найти закон деформации заполнителя.
Наиболее просто уравнение равновесия трехслойной оболочки
интегрируется в квадратурах при линейном законе перемещений
в заполнителе. Как следует из экспериментальных данных [2, 3],
этот закон отражает физическую картину распределения напряжений
в реальном заполнителе. При этом функции перемещения <р± и <р2
имеют вид
<Р! = 0,5 (1 — 2г/с) и <р2 — 0,5 (1 -р 2г/с),
а значения интегралов 1к, входящие в коэффициенты уравнений рав-
новесия, можно представить выражениями, приведенными в табл. 5.2.
При действии на трехслойную оболочку гармонической внешней
нагрузки вида
Я. («, ₽) = Е [Яш (а) соз (а) 81п п₽]
/1=0
компоненты тензора деформации, напряжений и векторов усилий
и внешней нагрузки также являются функциями угла р [17].
В случае действия симметричной нагрузки (а) соз п0 (/ = х,
У, 2)
Тц = Т !„<• (а) соз п0; = Т'2п1 (а) соз п0;
Ми = Мш (а) соз пр; = М2п[ (а) соз пр;
5г = 8п1 (а) 81П П0; (а) 81п п0;
Щ = ип1 (а) СОЗ ПР; г)1 = (°0 51П
Щ; = ^П1 (а) С05 «Р: е11 = е1ш’ (а) С05 ПР’>
821 = 82,„- (а) соз пр; СО; = (0„; (а) 81П п0;
Хп = Х1л. (а)соз «Р; %21 = Хг„; (а) соз п0;
тг = т„г- (а) 81п п0; дх[ = ухпЛ (а) соз пр;
Уу1 = Ууш (а) 51П п₽; = </г„г- (а) соз пр.
При действии антисимметричной нагрузки (а) 51п п0 в при-
веденных выражениях функция меняется на обратную (зш на сок,
а соз на 81п).
Задача расчета трехслойной оболочки сводится к определению
матрицы-столбца I/ системы (5.14):
17 = ХА-1. (5.20)
Определив 17, находят значения компонентов напряженно-деформи-
рованного состояния, используя матричные зависимости, приведен-
ные в этой главе. Задача легко решается на ЭВМ с использованием
стандартных подпрограмм.
Компоненты матрицы-столбца 17 могут быть заданы в виде не-
которых функций, удовлетворяющих граничным условиям автома-
тически (например, в виде рядов Фурье). При этом матрицы являются
невырожденными. Ниже рассмотрены случаи нагружения трехслой-
ной цилиндрической оболочки.
Элементы матриц легко определяются путем дифференцирования
функций и,, VI, щ и подстановкой значений функций и их производ-
ных. При этом матрица-столбец И с элементами ы(, о;, до, преобра-
зуется в матрицу-столбец амплитудных значений Атп{, Втп1, ОтП1,
определяемых числами тип. Матрица-столбец нагрузки имеет в ка-
честве элементов компоненты нагрузки, определенные как коэффи-
циенты Фурье, также зависящие от т и п. Компоненты амплитуд
определяют последовательным перебором т и п. Расчет прекращают,
I п т
когда относительная величина (т) = О1п (т) / 2 Вт (т) Для
нагруженного слоя оказывается меньше заданной точности расчета.
Практика показывает, что ряды сходятся достаточно быстро. При
точности расчета 0,01 достаточно использовать 5 ... 7 членов ряда.
1. Цилиндрическая трехслойная оболочка нагружена локальными
силами, приложенными к одному несущему слою. При действии
на оболочку нормальной равномерно распределенной нагрузки
(рис. 5.18) и нагружении моментом, действующим вдоль образующей,
перемещения
«1,2 =22 Л'"«1’2СО8 С08 п$'
т п
«1,2 =22 6™Ь251П 81П «₽
т п
Ю1'- = 2 2 О™*1-281П-^- СО8 П₽.
т п
Эти выражения соответствуют перемещениям трехслойной обо-
лочки, которая в торцовых сечениях имеет абсолютно жесткие
Рис. 5.18. Цилиндрическая оболочка нагружена усилиями д, приложенными к участку
поверхности несущего слоя
концевые элементы и свободно опирается этими элементами, уста-
новленными в срединной поверхности, на жесткие опоры. Решение
системы (5.14) для принятых функций перемещений сводится к ре-
шению системы алгебраических уравнений относительно максималь-
ных амплитуд перемещений Дтп1>2, Втп 1>2, Отп1,а.
Компоненты нагрузки 2 от воздействия усилий дг, равномерно
распределенной по части поверхности, имеют вид [8]
2 = (п=0; т= 1,2,3...);
т01,2 л2 т Я3а.о а0 ' ’ ’ ’ ”
п 8 • о* /л л/, 2 . 1Л лсх1 .о 1 \
2,™ „ -----— 81П /16. 81П -у;-- 81П---— (5.21)
"“1,2 л тп 41 /?3«о «о
(п= 1,2,3...; т= 1,2,3...).
Если нагрузка приложена в середине пролета,
т—1
= (» = 0; я-1,3,5...); (5.22)
т—1
т 2 8 аг . „ тлВ2
гтп1>2— (— 1) тп 8Н1Л₽1 ао
(и= 1,2,3...; т=1,3, 5...).
В случае действия сосредоточенной силы Е в точке 04 = О,5ао
и 0 = О, компоненты нагрузки имеют вид
т—1
2 9Р
2т„1г=(-1) -г , ~ (« = 0, 1,2, 3...; /и = 1,3,5...).
я^засТ1.2
При нагружении оболочки моментом, равномерно распределен-
ным по части окружности и действующим в продольном направлении
Рис. 5.19. Цилиндрическая оболочка нагружена моментом, действующим вдоль об-
разующей по участку поверхности
(рис. 5.19), компоненты нормальной нагрузки ^тПц, можно записать
выражениями
7 _ (— 1) п/..п 9 о 2«Л „ 2пл „ \
лЗ(32 «2 \5П2 «1 Р® «1 Р2С0$ «1
(т = 0; п = 1, 2, 3...);
= <5-23)
(п= 1,2,3...; /71=1,2,3...).
Остальные компоненты нагрузки X, = У[ — 0.
2. Оболочка нагружена моментом, распределенным равномерно
вдоль образующей и действующим в окружном направлении
(рис. 5.20). Нормальная составляющая нагрузки
Л,а= ^^^„^зт/гр з1п2 (5.24)
т п
Компоненты нормальной нагрузки 2тп.Л имеют вид
= Н1) 2 (81п «Рг - «Рг СО8 П&) 81П
(п=1,2,3...; /п=1,3,5...).
При этом компоненты перемещения несущих слоев
«1,2 =22 АппьгСОЗ 51П Пр;
т п
«1,2 =22 В™1'281П С08 "в
т п
И>1,2 = У Птп1’2 81П-^Г 5'П
т п
Усилия и моменты в несущих слоях и напряжения в заполнителе
вычисляют по формулам (5.19), (5.17), в которых сомножитель V
определен выражением (5.20).
Рис. 5.20. Цилиндрическая оболочка нагружена моментом, действующим в окруж-
ном направлении и приложенным на участке поверхности
Сравнение результатов расчетов компонентов деформации с экс-
периментальными данными свидетельствует о достаточной для ин-
женерной практики точности предлагаемой методики.
3. Цилиндрическая трехслойная оболочка нагружена постоян-
ным по длине и переменным по периметру ^оболочки давлением,
действующим на часть поверхности оболочки (рис. 5.21).
Решение системы уравнений равновесия (5.14) принимается
в виде двойных тригонометрических рядов
«ь2 = 2 Атп 1>г С°8 С°5
т п
«1,2 = И Ц Вгпп 1,2 5'п 51п
т п
^1,2 = 2 Е>тП 1125111 С05
т п
Нагрузка 71>2 раскладывается в ряд
/1,2 = X 2 1,2 51П С°8 (5’25)
т п
Компоненты ряда нормальной составляющей нагрузки можно пред-
ставить в следующем виде:
в случае нагружения оболочки жидкостью плотностью рж
1>2 =--^ла8^3_ 1) (СО8₽0 81П И0О - П СО8 Пр0 81П Ро)
при п = 2, 3, 4..., т = 1, 3, 5...;
/'по1,2 = —^^-(81пРо —РоСозРо) при и = О, т=1,3,5...;
(5.26)
1,2 =(2Ро - 5111 Ро) прип=1, т=1,3, 5...;
Рис. 5.21. Цилиндрическая оболочка нагружена по части поверхности давлением,
постоянным по длине и переменным по периметру оболочки
в случае нагружения оболочки давлением потока газа, имеющего
сверхзвуковую скорость
[-Г + Т Е"‘ 2₽» - 2 “ ₽. ® ₽. + ₽. ««?₽<.]
при п = 0, т = 1, 3, 5...;
7 4д0 (со8 тл — 1) Г 1 81П (2 — л/р0) р0 2^ сое р0 в!п р0 1
Лт11,2“ тл(1 — сов Ро)2 [_ 4 1(л/2ро)2 л2 — р2 ]
при п — 1, /и=1,3, 5...; (5.27)
_ 4д<,сО8 (тл — 1) ( РГ . , _ ой ) л_
тл(1-со8Ро)2 I (2Ро)2 - (пл)2 5411 Vй1 4М+
2ро СО8 Ро
Г вт (пл 4- Ро)
[ пл + Ро
[ вт (пл — Ро ~|)
"г пл — р0 Л
при п = 2, 3, 4..., т = 1, 3, 5...;
где Ро — угол охвата оболочки эпюрой давления; <?0 — максималь-
ная интенсивность давления в сечении р = 0.
Результаты расчета и данные экспериментальных исследований
трехслойных оболочек свидетельствуют, что в оболочке, нагружен-
ной переменным по периметру давлением, возникают существенные
сдвигающие напряжения в заполнителе, максимальные значения
которых имеют место в зоне, близкой к Р = 45°.
Таким образом, расчет трехслойной цилиндрической оболочки
в описанных трех случаях проводят по следующей схеме:
определяют матрицу-столбец (5.20) как сумму матриц при раз-
личных т и п. В качестве правой части используют выражения
(5.21) ... (5.27);
определяют компоненты тензора напряжений несущих слоев
по выражению (5.18)
017 = /?3 X 1>2 или ОХА"1 = /?3 Е112;
находят компоненты тензора напряжений заполнителя по вы-
ражению (5.17)
В;77 = ИЛИ В$ХА~1 = 2з>
при необходимости определяют компоненты деформаций несу-
щих слоев (5.17) и заполнителя (5.15)
А^сХА'1 = ен.с; АзХА'1 = е3;
вычисляют усилие и моменты в несущих слоях по выражению
(5.19) МХА'1 = Т.
Число членов ряда в каждой матрице равно числу членов ряда
в матрице 17.
Глава 6
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
6.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Уравнения устойчивости в большинстве известных работ полу-
чены при следующих допущениях:
для несущих слоев справедливы гипотезы Кирхгофа—Лява;
для заполнителей — гипотеза прямой линии (нормаль к средин-
ной поверхности заполнителя поворачивается, оставаясь прямой);
несущие слои имеют одинаковые смещения по нормали к средин-
ной поверхности (прогиб);
легкий заполнитель (тонкостенные соты, пенопласты) не воспри-
нимает усилий, параллельных срединной поверхности.
Область параметров оболочки, в которой эти допущения не
приводят к погрешностям выше допустимых, определяется предель-
ными соотношениями геометрических размеров и механических
характеристик материала слоев. Гипотеза прямой линии заполни-
теля ограничивает минимальные значения произведения модуля
упругости в срединной поверхности заполнителя и его толщины
зависимостью Е'>3с//2Е'/2 в, где / =1,2, ав —допустимая погреш-
ность определения напряжений или прогибов. Можно считать, что
при е = 0,05 в случае осевого сжатия перемещения несущих слоев
по нормали к срединной поверхности одинаковы, если относитель-
220
пая толщина заполнителя с/2/2 2,5. Принимают, что заполнитель
не воспринимает усилий в срединной поверхности, когда
^13^12 <0,1-
Оболочки, применяемые в конструкциях летательных аппаратов,
имеют параметры, удовлетворяющие указанным ограничениям. Испы-
тания их крупногабаритных моделей на устойчивость при действии
различных внешних сил свидетельствуют, что теория, построенная
на перечисленных допущениях, обеспечивает достаточную точность
расчетов.
Перемещения заполнителя в срединной поверхности задают
в виде параболы или прямой. Расчеты показывают, что разница
между критическими нагрузками при этих допущениях невелика
(до 5 %), иногда принимают гипотезу прямой нормали для всех
слоев, расчетные значения критических нагрузок при этом больше
экспериментальных.
Здесь приведены известные уравнения, формулы для определения
критических усилий или графики для оценки влияния параметров
оболочек на критические нагрузки, они позволяют выполнить не-
обходимые вычисления, результаты расчета удовлетворительно схо-
дятся с экспериментом. Экспериментальная оценка результатов дана
по работам авторов, так как в публикациях при описании результа-
тов экспериментальных исследований устойчивости либо приво-
дятся условные параметры критической нагрузки без их объясне-
ния, либо указываются результаты единичных испытаний. Отклоне-
ния расчетных значений критических нагрузок от эксперименталь-
ных в нелинейных решениях не превышают 24 %. В приведенных
здесь линейных решениях при осевом сжатии расчетные значения
выше опытных на 40 ... 70 %, а при внешнем давлении они могут
быть меньше опытных.
Трехслойные оболочки теряют устойчивость, так же как одно-
слойные, с резким хлопком и образованием выпучин той же формы.
Связь между слоями сохраняется до хлопка, после которого только
на некоторой части поверхности наблюдается расслоение.
Уравнения устойчивости получены на основе принципа возмож-
ных перемещений; из вариационного уравнения
63 =0, (6.1)
где Э = V — А — полная энергия; V — потенциальная энергия
оболочки; А — работа внешних сил.
При геометрических представлениях [101 получается пять не-
линейных уравнений равновесия и шесть граничных условий. Не-
линейные решения дают критические нагрузки, близкие к экспери-
ментальным, но уравнения устойчивости могут быть решены только
численно. Для получения решения в замкнутом виде обычно при-
бегают к линеаризации уравнений и получают формулы либо при-
годные для ручного счета, либо просто реализуемые на ЭВМ.
6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Для пологих оболочек симметричного строения с легким изо-
тропным заполнителем разрешающее линейное уравнение может быть
приведено к виду
4(с + 0-У«,+ (| ^ + 2ВУ»И-
-^Л+^-71 + 2^-7и) = 0, (6.2)
где V2 — оператор Лапласа; V4, V8 — оператор Лапласа, повто-
ренный 2 и 4 раза соответственно;
В = Вг = В2 = ЕИ(\ —V2); О = Ях = Д2 = Е/3/[12 (1 —V2) ];
Т\, Т2, Т12 — докритические усилия в срединной поверхности обо-
лочки.
При осевом сжатии шарнирно опертой оболочки 7Х = —Р,
Т2 = Т12 = 0, где Р — значение внешней силы. В этом случае реше-
ние задается в виде
. . тпх . пи
Щ = Г 81П -81П —5- .
I К
Формула для критического напряжения осевого сжатия
п - „* я К+ 0/1-у2
Рке~Р 2л/?2
Критическая нагрузка р* зависит от параметров жесткости и числа
волн
р* = (п№ + Л2)2 +
г т2п2 ( л25 [л2 е (/п2л2 + п2/.2)] 1 зХ4 к 1 ' 1
р)?21
( ди) . дф дш ,
— У г~дх~~дх~ ~т~~дх~~ду-’
,___ РН I ъ ____2к 4- к -2а>- -I-
е/1 \кхх ду2 лкХу дхду -г куу дх1 I
. / д2^) \ 2___ д2и> д2и> ,
' \ дхду ) дх2 ду2 ’
'~У Н 172
~2-----?2<р = <р;
/ Н2 \
^=(1-~\72)х, (6.4)
ЕН3
где В = 12 (1 _ ф ~ изгибная жесткость; Ф — функция на-
пряжений; ф — функция внешних сил; % — функция перемещений;
Ф '— функция сдвига.
Модуль упругости Е осреднен:
где йх = 4/Д; к2 = 12/Н\ К3 = с/Н.
Коэффициент Пуассона, одинаковый для материалов,
_з_ . /3 , -1
(6-5)
V ==
(6-6)
Введем параметры жесткости &, 4. При легком заполнителе
ЩПз
( 3/П4Л4 ) /с
+ т2л2 + п2Х2 ) •
Параметры жесткости
27? ..г-.---Ес1
5 “ с + 1 V 1 — г » е— 2О3/?2(1 —V2) ’
/2
6 == ~гы । м2 ’ — 1/Рз — удлинение оболочки.
Для оболочки несимметричного строения по толщине с изотроп-
ными несущими слоями и трансверсально изотропным заполнителем
введением функции напряжений Ф три уравнения равновесия,
полученные как коэффициенты при вариациях независимых пере-
мещений, сведены к одному уравнению [10 '. Это уравнение вместе
с уравнением совместности деформаций и уравнением поперечного
сдвига составляет нелинейную систему уравнений устойчивости
д2Ф
дхду
^ху
д2а> \ . ( с^Ф . , \ / , д2ш \
) + \ дх2 ду2 )
а =. 12°2С 0—, (6.7)
где т]1 = Зйз (?! ф- уг) — Зс,2 + Азу3;
т]3 = Зй3 (у1 4- уг) 4" ЗА3 (У1Й1 4- уг^г) — ЗС12С13 й3у3;
Лз = 4 (у,й? 4- у2М) + 3й1 (у1 + у2) 4- 6й3 (у1й, + у2й2) — ЗС13 + й!у3;
Нг = й3 (ух — у2 4- Уз);
013 - ух (Й! 4- й3) — у2 (й2 + йз).
кт, кху — параметры кривизны; (?л; дх
тенсивности компонентов поверхностных
касательных.
<Хф сНЬ
= %=-^--ин-
сил — нормальных и
Граничные условия для функции напряжений Ф* ф и перемещений
в срединной поверхности записываются, так же как и для однослой-
ных оболочек, в виде произведений соответствующих усилий на пе-
ремещения. Например, при неограниченных на краях перемещениях
ф -}- ф == 0; V2 (Ф + ф) = 0. Граничные условия для функций х
и <р зависят от относительных перемещений несущих слоев.
При шарнирном опирании краев и свободном относительном
перемещении несущих слоев (слои связаны только заполнителем)
следует принять следующие четыре условия:
/ д2 . д2 \ ,, , д2ц> „
\ дх2 + г’ ду2 )% ^дхду ~
__*\ф==0
дхду 2 \дх2 ду2)^ м-
Если относительные смещения слоев невозможны (слои свя-
заны жестким кольцом), то
у _ д~2Х _ д*Х __ д«Р __ л
* дх2 дх* дх
Для жестко заделанных краев, если несущие слои связаны только
заполнителем,
Если несущие слои связаны жестким кольцом, то
^х_^Х—л- ^х, — о
дх ду ’ ду' дх
На свободном от опор крае, где несущие края связаны между
собой только заполнителем, имеем
/ д2 . д2 \ . д2<р „
( Т7 + V -ТГ9 ) X — (1 — V) ~ 0;
\ дх2 1 ду2 / Л ' 'дхду
д2______1 / б2\ —л
дхду 2 дх2)
Из общих уравнений (6.3) получены линеаризованные уравнения
для цилиндрической оболочки
+ 7’»^)('-т',а)х-о
и граничные условия свободного опирания обоих торцов
ф = у2ф = х = V'2/ — V’/ = 0.
Введем некоторую функцию Х1. так, чтобы
Тогда уравнения (7.15) сводятся к одному уравнению
Граничные условия свободного опирания обоих краев примут вид
Х1 = = V4X1 = ^вХ1 = 0.
При осевом сжатии силами, равномерно распределенными по
торцу, если докритическое состояние полагать безмоментным, 7\ = Р;
Т12 = Т-2 = 0 и решение принять в виде
, тпх . пц
Х1 = Хо$1п—$1П^,
для критического напряжения получим формулу
Р ( [л2?.2 + 0А (т2я2 + п2!2)] (т2л2 + п2Х2)2 ,
Ркр — Я2^2Х2 I [П2Х2 _]_ к (т2я2 + П2Х2)] т2 +
' И (т2л2 + п2Л2)2 )’
, Я2л2. , 12/?1(1 —V2). „ , , с . с2
где к — , р , 6—14- н -Г Я2 •
Для цилиндрических оболочек с ортотропными слоями автором
предложены нелинейные уравнения устойчивости, полученные энер-
гетическим методом,
^=0- -^ = о- -^=0
из которых следует
2-4ф)п4--^2-а + ««2 (37 + -^; (1-ПФ)4-
+ + 7Г) + 12 Р1 + Я)« + ^г^124- + ^0)1,4-
4- 2 (62 4-Ё/04 (1 - тх^2) т^2] 4- 2ат] [4 4- (Гж + Г,) а X
х (в ~2Цьг ~ + (Сжа + С^“д); (6-9)
8
Кобелев В. Н. и др.
225
р-='Мял « - ад - 4- ““* (V+х)чЕ>+4- “чч х
* О+Ф)Е'+1-а +Р) -1 и+(Г.+г,) «1 [*§+» +
I С+У^~1 5-2 I ]_ (^с + <1 + ^)2 . (6 10)
212Ь2 \ ч~ 2 8с6 °х2’
/И^2 ф- М2ф ф М3 = 0, (6.11)
р ЕХ1 ______ Еу1 „ ___Еу2
где г 1X2:— — относительные модули упру-
гости несущих слоев оболочки; = О1, = С2 — относитель-
ЕЕх% Ех2
ные модули сдвига несущих слоев; = Сх, = 6и — относи-
тельные модули сдвига заполнителя; ? = 1г/12, 8 = /2//?3 — отно-
сительные толщины слоев; В = Ё1ч0, О = Е1\о — относительные
жесткости несущих слоев при растяжении и изгибе; х0 =
‘ = (1 —УхУуУО —^х№2); = -^-— Чх1— Уд/К^ «2 = -^ Чх—Чу,1Кг —
коэффициенты поперечной деформации;
р __(с "Ь ^з)2 + (с + б)2 р _ (с + <г) + Е1 (с— коэффициенты
1 х ~ 4Схс12 « 4Сыс12
жесткости;
тгп2Е1 . йс .
а==—11 —«о; а== аф-тр
а, = 9а ф 1); а2 = а ф- 9т|;
61= к?+г12+2 (бГ-^* ~ "к;)аг1;
Ь2 = ^ + ^2 + 2(^--^-^)ап;
^+’1а + 2(-^-^-^)ап;
ь< = ^ + г>8+2(^--^-кг)ат1-
параметры волнообразования ф — амплитуды прогибов; М1г М2,
М3 — коэффициенты.
Коэффициенты уравнения (6.11) зависят от параметров оболочки
и формы потери устойчивости:
= [тг - 2а^а" ?2] ;
В (Ч + а.Ь1) । Я + а*2 ] >-2 К-2 + К15
Ь\ ' Ь1 ] 4
- 2а2ат) + -1-) - а2а2 + ^) С2 + И ф- (Гх ф-
М2 — 2а2а2т]
' \^ГВ(С+М Л1+а51„2 | С+ „2г1 + «^1 5-2
Ч> “> 21^! \ Ь1 1 1 / “Г 212Ь2 11 Ьг *
__ О~2г,2 /р I Г \ ( Д (с Ч~ б) _ С -\-(2 \ 1 .
^1](Ь , 1ВЦ—2^ — 2^62 /]'
м3 = КЦДЬГ]- 2а2а [А (а Н±А - 1) + 4~ (Ч^«~
16 1 [ Ь1 \ 61 / 1 ь2 \ ь2
- 1)] ^ + 21] (К2 + ВД + (^ + у^Р) ас2 + 2 (02 + ЁГЩ X
X (1 - тЛ) а? - 2а2 [4 + (Г, + Гх) а] х (Ц^ П - 1) +
, с + б / т) + «62 ,\Ъ2 । « + б + б^'
1 2/26а к Ь2 11 ~ 1} .Г 4 Тб
Уравнение (6.11) является уравнением цилиндрической поверх-
ности с заданной формой волнообразования,
(6.10) заданы кривые, лежащие на этой
поверхности (рис. 6.1). Точка пересече-
ния кривых — решение уравнений устой-
чивости, определяющее значение пара-
метра критического напряжения для не-
которой формы потери устойчивости.
За расчетное значение параметра кри-
тического напряжения из всех его зна-
чений, полученных при задании возмож-
ных форм потери устойчивости, выбирают
уравнениями (6.9) и
Рис. 6.1. К расчету на ус-
тойчивость оболочек при
осевом сжатии
значение, соответствующее наименьшему
уровню энергии равновесного состояния,
определяемому уравнением
5 = Ка 1~2ВК1 (<2 - 4ф)2 + 4^-«2 - С2 + а2«2 (4- + -г) х
X (1—пФ) С2 + а2Т)2О2 (А + _к) ^2 + _к [(1 +о} а2 (С2 + 8^В) +
+ (К2 + ВД П2С2 + (V + ^П) (%1гё2 + 2 (62 + Ё73Ог) (1 - зд2) х
X тгё2 + 2а2т] [4 + а(Гх + Г,)] (В АА^ + с+^ (1 _ Пф)+
+ (2Г*ет")2 [С*а + СХ21 - (С2 + 2ф2). (6.12)
Уравнения (6.8) ... (6.12) для определения р* решают на ЭВМ в сле-
дующем порядке:
1) задаются числом полуволн вдоль образующей т и числом
волн в кольцевом направлении п, выбирают начальное значение
симметричной составляющей амплитуды прогиба и ее" шаг Д^,
определяют несимметричную составляющую амплитуды прогиба ф,
по уравнению (6.11) определяют несимметричную составляющую
амплитуды прогиба ф;
2) из уравнений (6.9) и (6.10) находят р*, вычисляют разность
Р1 — р2 и определяют параметр критического напряжения при
принятых значениях т и п;
3) повторяют операции 1 и 2 при увеличении С до смены знака
разности р\ — р2\ при смене знака уменьшить А^ вдвое и менять
знак А^ на обратный, повторяя это при каждой смене знака раз-
Рис. 6.2. Критическое напряжение при
осевом сжатии
ности р* —р2‘, решение заканчи-
вают при заданной точности, на-
пример при р* —Р2 0,001;
4) вычисляют параметр кри-
тического напряжения как сред-
нее арифметическое
Р ~ (Р1 (п+1) +
4* Р^п+1) + Р*'п + Р2„)/4;
5) по (6.12) вычисляют Э при
полученном р* и соответствующих
ему значениях С и ф;
6) повторяют операции 1...5
при зафиксированном т и различ-
ных значениях п, счет заканчивают с переменной п, когда Эп > Эп_х;
7) повторяют операции 1 ... 6 при других значениях т.
При такой процедуре решения за расчетное принимают значение
критической нагрузки, соответствующее наименьшей полной энер-
гии оболочки.
Критическое напряжение оболочки с изотропными несущими
слоями р,ф = р*Е2 (1 4- Е1)
Критическая сила при изотропных несущих слоях /Зкр =
= 2р*лГ2(1 -|-Й/)/1,
при ортотропных несущих слоях
Ркр — 2лр* Ех2Еу2 (1 -ф VК1Кг) ^2-
На рис. 6.2 показана зависимость критического напряжения
от параметра оболочки 0!:
0 — (2с4~ <14~ <г)2Оз
1 2с6 (1 + 50 52
и жесткости при изгибе несущих слоев
12(1 4-50
/ ! , ЕР \
ф — у1 + 1— у/1) ’
достаточно близко совпадающая с результатами испытаний.
228
6.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
При равномерном распределении давления по боковой поверх-
ности свободно опертой оболочки с изотропными несущими слоями
критическое давление дкр [9] находят из линейного уравнения
решение которого в виде
. лх пу
71 = Хо8Ш— СОЗ
дает безразмерное критическое давление
* [л2>? + М) (л2 + п2).2)] (п2 + л2).2) , 2 л®
' ~~ л2?.4лг2[л2Х2+/г(л2 + п2>.2)] ' п2 (л2 + я2>.2)2 ’
При обозначениях &, О, X, р2, введенных в п. 6.3, критическое давле-
ние находят по формуле
д*ЕН36
9кр~" 127?|(1 —V2)’
Минимальное значение находят при варьировании п.
При внешнем равномерном давлении нелинейное решение, пред-
ложенное автором, для цилиндрических оболочек со шпангоутами
учитывает их дискретное расположение и сводится к трем урав-
нениям:
Ф? = (“2 + П2) ?2 - Ф/2 + а2») (4 4- Ф2 + (1 - 2»]ф) +
Г
+ 2-5-Вг( 1 + Га)(1 - т]ф) + О+ 0, А4- Ф1 т]81п2+
1^0
г г
। «2 ,, , \ о лпх1 , с, а2 , . „ Зтлх; .
+ ~/~4-9п-^-ф81п2—г5-4- <Рзх
1=0 1 1=0
Тб (И?8 - 4ф) СО82 }-Н 81 Цф2 81П--7------ь (1 - ПФ)2 X
Х8Ш2—-----Н 18-гт(1 — цф)ф 81П—7-5-81П-у-^-; (6.13)
1 (1 II
= 4 - Т4’ + 2а2?1 4- "И Ф2 - 2а2н2 4- 4Н2 “
-2-^-(1-2г]Ф)-2^-ф+4-а + 2В1 [^-(1 +Га) (1 ~ 2г]ф -
-2^(1-^))] + т]^-Г(1-^) + е1+2<р12п®^^-4
+ {4 « - соб2-^ + /16211 -§- - 324г]2 \ ф2 х
1^0 ' ' 1 '
Х51п« 2™_ - 4 (1 - Эд)» + ф] ял- -2^- + [ 18^ -
-72°'<%+,|> ч(1-ч»)- 18-^-НЧ.]*^-!=22-Яп^!=2-1 +
+ {Р^-0 -Ч'В-тН *”* х
1^0 1
тлх, . Зтлхг 1 ,г , ..
X —р- вт ——}; (6.14)
М 14>2 + ЛТгф + Л4з = 0, (6.15)
где М1 = 0; М2 = 1 + 26ха + <р3[СО82-^р-+2^-^Х
х 81П2 _ 36 8Ш =- 8Ш -^-1;
М3 = 2аV ^2 - | - 2 + 160ав - 4 X
X (1 + Г«К2 + ф2 С2 81П 81п -^р- - -§- Т]2^ 81П2 -ВД +
I а1 з
г
Г1 о а1 м . тлх1 . Зтлх, 1 2 2тт
+ «Рз^ I 18~2~2-ф? 28Ш—-р-8111----/----Т Т^СОВ2----Т
(^о I а а1
в (с + 4) + Г?_(с + /1)
1 /8(1_+^)
(с + М2+/?(с+<1)8
4с6з^2
жесткость заполнителя
— жесткость при растяжении; Г =
— жесткость при изгибе; 03 = —р2-^- —
при сдвиге; Ф. -
-------------------------------коэффициенты жесткости
Е^(\+Е1)1 Е^2 (1+5?)/
шпангоутов; /ш, 5Ш, Еш — момент инерции, статический момент
и площадь шпангоута; г—число шпангоутов.
Уравнения (6.13) ... (6.15) решают в том же порядке, что и урав-
нения (6.9) ... (6.11). Число полуволн вдоль образующей прини-
мают т = 1. Расчетному критическому давлению соответствует
наименьшее значение энергии
5 = -& V + 4- - Т РГ + (1 - 2пФ) V +
+ О' (аЧ? + 8а^) + 4 -^1 (1 + Г«) (1 - пШ2 + 61 № + аф2) +
+ Фх 2 V + Фз У (1 - гЖ2 «Ш2 = + 9 4 х
1=0 1^0 1 а1
X ПС2 81П 81П -Зтр ] + Фз У [~ (^ - 4ф)2 СО82 +
+ 81 4 8‘"2+ 4- ^)2 V81«2 + 184г X
‘ “ 1 ста.'
х(1 (6.16)
Расчетами установлено, что качественно зависимость критиче-
ского давления от удлинения и отношения толщины несущих слоев
к радиусу такая же, что и для однослойных оболочек средней длины.
Рис. 6.3. Зависимость критиче-
ского давления от параметров
заполнителя при 1=4, б =
= 2,5-10-3, ? = 4:
1 - с, = б-ю-4;_з -е, = з.з х
X 1(Г‘; 3 - С8 = 1,4-10"4
Рис. 6.4/ Влияние отношения толщины
несущих слоев I на критическое давле-
ние при Л/ = 12, 1 = 4,5, 6= 2,5 X
‘ X 10-3:
/ — О, = 6-1(Г4; 2 — ёв = 3.3-10-4; 3 —
—С, = 1,4-10-4
Влияние’параметровузаполнителя показано’на рис. 6.3. На крити-
ческое давление оболочки с разными несущими слоями влияет от-
ношение толщин несущих/слоев тем заметнее, чем больше модуль
сдвига заполнителя (рис. 6.4).
При неравномерном распределении внешнего давления'по боко-
вой поверхности цилиндрической оболочки уравнения устойчивости
5 = 0; 5- = 0; 4=0>
д1, ’ дф дп
[
где полная энергия
Э=4-(ч?-4»)’->Г + «’Ч' +
X [(1 - 2-п^)2 С2 + ^йр2] + $ 1«2С2 + 8 (а2 4- П2) гр21 + 2Вг (1 + Га) х
х^- п (1 - 2грр)2?2 + 0А С2 + Ф2) + <М2 2 (?2 81П2—у— +
/=о
+ 4ф2) + Ф2Т12 а2 (1 - 2трр) С2 з!п2 ~р + 'О зШ X
1^0 1
х 81пз + А СО82 -^р_] + <Рз [4- ~ 4< Х
2 1=0
„ 2тлх; . о. а4 9«.9, . , Зтлх/ .а4 „. 9 . 2 гтХ[ . а4
X СО82 7-^- 4- 81 -г П2С21р 81П2 Т-- + -г Т]21р2 81П2 4 г- X
1 а\ 1 а\ 1 а{
X (1 - 2Т]1р)2 81П2 -^р + Р Т)2ф4 СО82^р- + 18 4-5- (1 - 21рр)2 <2 X
Х81п^81П-^р-] +1^(С2 + 21р2). (6.17)
При часто встречающемся распределении внешней поверхностной
нагрузки
<7 = <?о соз2 <р,
где <70 —максимальное давление; —п/2 < ф с л/2 —угол, отсчи-
тываемый от образующей с максимальным давлением, разрешающие
уравнения
<731 = | (ЧС2 - 41Р) + Р С2 + 4а2П (Р + \ ф2 + 4 (1 - 271^ +
+ 4$ 4 + 8Й' + Г°) Р (’ - 2гМ + 4вР + 4<₽1 У 8Ш2-=- +
Т1 и 1
/=0
+ 4<РгУ [4(1 ~"2^) 81112 2!Т^+ 9-^-1Тф81П-в-51П?4^] +
/=о 1 1
г
, л VI Г 1 / « • л • \ 9 2/ПЛХ1 . 9 / 9а , . Зтлх/ .
+ 4<Рз >, [ 74 (п?2 + 44) СО82-р- + а27 Ь- гр 8Ш —р- +
+ ^(1 - г^з^-ву^п^ + ^^зш2-^]; (6.18)
<70-2 = 2а2п (4 + :2 - | 4 е - - 4 р (1 - трр).! +
+ 4 р + 160 (^ - п) - 4ВХ (1 4- Га) р п -1 + 20,4 +
। Г 9а2 1 . тпх, . Этих; „а2 I
+ 8т]ф1 + ф2^ ?-2 —
1=01- 1
хмп.^+6^^со5^1+(й2{Г4^^_А(п±С1_
1 1 1 = 0
л \ -I ч, — _о 2/71ЛХ/ > о 9 Г 9бС . Г72ЛХ. ОС »« л • \ • ПТ,Т1Х}
-4)]ХСО82—:--|-2а2 -уцзт—-^(1 -2^)8111—^ X
* |_ 1 а г »
хг9а 81п2 “к8щ^-- 2-^яС281П2-^тЦ; (6.19)
I С| “ 1 * (** I у
Мгф1 + лад» + лад» + лад + м5 _ о, (6.20)
где М1 = 2п^. + ф,2 2«п + ^ео5>^р-;
1=0
М.-4ф,^^чсоз’^-;
1=0
мз = а2т) + А \С2 _ 8 + 8 пС2 + 16^ + 6, - 9^ +
\ а\ а2 /
"'Л ; Ч . У №^?Е1пг®2™ _^.ап_г22. х
о С1\ а а <
I = 0 1 1
ху е>1«л Зп2ЭТХ^ . 1()СС „25*9 <-,• 9 » о 4 5*9 • 9
X 81П -—2-Н -^- 81П2 —-И 2а4 —Т1С2 8Ш2 —— ;
Л^=^<-1р-4^?2-2В1[Г-^-<у2(1-Га)-^т)С2-
- 2а2 (1 + Га) т, С2 ] +1 V + <р2 V Г162 4 X
ы- и л. и /ь и ।
1 = 0 ь 1
х 5!„ «. 5щ Шар- _ 2«г 2^1 <г 51п' - 2 X
х УП.2522-1 + Ф, У Г18а- 22-1 ? м„ 2™ 51п х
1 л а а I 1 1 4
1=0*- 1
х со8>^ + 36 --<г.Й%т=1 51п252Ь+ 16^ чР81п’=- +
+ 4х4?231П2^;
М5 = 4<4--^2+ 2аг12 +2В1 [«2(1+Га)^-С2 + 4х
х Гг^1 + 0Х + 2% 2 ц2 8Ш2 + ф2 2 а2 С2 зШ2 -^- 4
*=0 1 = 0
+ ф3 2 (4 т^4 со82 ^Р- -41^2 81п2 ^Р-) •
в уравнениях (6.13) ... (6.15).
Обозначения те же, что
Рис. 6.5. Влияние^удлинения
оболочки на относительную ве-
личину критического давления
при неравномерном нагружении
при ? = I, = 12, 6 = 2,5 X
X КГ»:
1—6,= 1,4-НГ^; 2 — С3 = 3.3 X
ХИГ*; 3 — 6, = 6,0-НГ4
Рис. 6.6. Влияние отношения толщины
заполнителя на относительную вели-
чину критического давления при не-
равномерном нагружении при У = 1,
Л = 4, 6 = 2,5-10-3;
1 — ё8 = 1.4-НГ4; 2 — 6, = 3,3-НГ4;
3 — 63 = 6,0- 1(Г4
Уравнения (6.18) ... (6.20) решают так же, как уравнения
(6.9) .., (6.11), но при числе полуволн вдоль образующей т = 1.
Характер влияния параметров оболочки на критическое давление
такой же, как при равномерном распределении давления по по-
верхности, но критическое давление ниже. Отношение критических
нагрузок до = д11д* уменьшается с ростом жесткости оболочки.
Зависимости д*о от удлинения оболочки X = ///?3, относительно^
толщины заполнителя = сН2 и отношения толщин несущих слоев I
приведены на рис. 6.5 ... 6.7.
Шпангоут в среднем сечении увеличивает критическое давление,
подкрепление других сечений малоэффективно. Изменение критиче-
ской нагрузки при возрастании коэффициента жесткости <р! для
симметричных оболочек 7?3 = 200 мм с несущими слоями из Д16АТ
толщиной I = 0,5 мм, подкрепленных одним шпангоутом в среднем
сечении, показано на рис. 6.8. Изменение жесткости шпангоута со-
провождается сменой форм потери устойчивости, при этом меняются
соотношения составляющих амплитуды прогиба и ф.
Влияние неравномерности распределения внешнего давления
в кольцевом направлении рассмотрено Н. П. Семенюком. Показано,
что при нагружении неравномерным внешним давлением решение
должно учитывать моментность докритического состояния.
Уравнения устойчивости симметричной цилиндрической обо-
лочки с ортотропными слоями относительно функций нормального
Рис.' 6.7. Влияние отношения тол-
щин несущих слоев'на относительную
величину критического давления при
неравномерном *нагружении при
Л, = 12, Х= 4, 6 = 2,5-10" 3:
1 — в, = 1,4-10^; 2 —~С, = 3,3-ЦГ4;
3 — С, = 6.0-10-4
Рис. 6.8. Влияние жесткости шпангоута
на критическое давление
смещения и>,
имеют вид
Г]^₽__ц
1 да2 1
Г21~Йф^
сдвига <р = 0,5уарС, ф = 0,5ур./' и напряжений Ф
д2(р
12 ~д^
а2ф
а5ар
, а2Ф , а2ф
। Г2 "ар2" т г22 — г2
д4и> .
~ “ар4"
аз<р । „ д3ф
ТЕар2' + 71 \ 6 а^ар ’
а2Ф д2и/ [ а2Ф0 д2ш
да2 ар2 1 ар2 да2
а2Ф д2т а2Ф а2ш
4 аа2ар
азф \
’Ж/
а2Ф0 д2ш
“аа2" ар2
азш \
а«ар2 / <₽ — 0»
а3ш \ , п
^"ар3) — Ф —0;
д4и> Ож_ а4ш
^"ай4 2^3 аа2ар2
_ о д2фо д2 т |
а«ар ааар
а4Ф
аа4
г ар2 да2
-^- + 1
аа2ар2 ' 1
да2 др2
а4Ф , я, а4ш .
"арГ 1 ^1ааг '
д2и)0 д2ю
х ааар ааар ’
а2Ф а2ш
а«ар ааар
д2а)0 д2ии
= 0;
д2и>0 д2ю
да2 ар2 ар2 да2
-2Х
0,
(6.21)
д3ш .
!1"до?"Ь 52
азк' ,
2
где аир — безразмерные координаты с началом в среднем сечении;
«нс . _
45Б5Р23 ’ 2
Ли
4Д О2 ’ ' 11
ЧО44К3
(012 + °6в) С .
___ (#12 ~4~ С6б) С .
Оп .
Тх=-кГ’
4^44*! ’
Г>22 .
Т2- К >
/"22
4^55^3
аеъс
г аввс .
12 4В55/?| ’
4^44^3
Р12 ~Ь .
#22 с
к
8 — 611 ‘
1 ~ аиКз ’
₽!=
ЛцК.
Л22К
ЬцЬ22
СцО22^11>422
. о _____ (^вв — 2А12) К .
„ ____ ^12 ~Ь 2й88 . ___ Ь22 .
2 ОцКз ’ 3 Я2г/?з ’
ЬцКз . „ _ Ь12 + 26вв .
Он ’ ©и ’
а., — сЯ* -Г 4- —
и>] -- СЧ Г" С/.] -р зс2
87
2/?|
_ Ь12 -р 2Ь88 .
4 С22Л3 ’
ЬцКз .
%
/. — г(1) Д+Д
— С}) 2
,(2) /2 + С 2 п(3) .
' 2 1 с Ч ’
О„ _ Су> + О8> + о!? + С<Р 2Ц31 + (<., = 1, 2, 6);
4„=—
С1Г22~~С12
1
свв
^> = 5^; ^>=-1.^4; К
^2 — — С.
Внешняя сила задается в виде
давления, постоянного вдоль
образующей и изменяющегося в кольцевом направлении по закону
9 = <7о (1 + е соз н0).
Для решения уравнений (6.21) необходимо знать докритические
значения внутренних сил. Их находят из линейных уравнений рав-
новесия
д2<р° . д2<ро д2ф __
Г1 йа2 “Г 12 ЙР2 ' п йайр Г1
Г дг<Ро I г д2<й , _
Г2 Эр2 -ГГ22 йа2 Н Г22 баЭр Г2
(с ^0 I с
+52
(с д3^0 , „
^5з арз + «4
Т1
/ „ ^8Фо I „ ^3<Го
V6 йа3 Г 6 йайР2
д34о ,
Хс йа2йр г
\ п.
йайР2 / 40 ~
й2ш0 \ . п.
й^йр-) - 'Фо 0,
й4ш0 о
~Ь-^-2ТзХ
й4ги0
Х йа2йр2
о й4Фо
Р1 ~д5У
Граничные условия
?2 ар1
4-2$
с>2Ф0
' йа2
д4Ф0
3 йа2йр2
/пД1 Д- 2е СО8Н0) = 0;
I в а4ф° I ааю° — о
Г Р-2 ар4 + 5а2
(6.22)
д2т „ й2Ф0 л
Ц>о = 0, -ч--9 = 0, - ; „ — О,
” 1 да2 ' да2 ’
д2Ф0 п д<Ро _ Л
ЙР2 ~ ’ да ~ ’
фо = О-
Этим условиям удовлетворяют
о/0 = У (ак + ск СО8 н0) соз айа;
к
«Ро = Е {.Ск + 1’ь соз н0) з!п аАа;
*
Фо= X (4ь 51п 0 соз ала);
к
Фс = 2 (ек + [к соз и0) соз ака9
к
кп 1п тп т
где ак = —; а,- - —; ат =-----------; а. = —.
и а ' а т а ’ г а
Нагрузка также раскладывается в ряд
д = 2} (1Л _|_ ук соя пО) соз ака,
к
4 к~1
где Л,к = --& (— 1) 2 , уй = 2еХй — коэффициенты разложения.
Коэффициенты разложения после подстановки решения находят
из уравнения (6.22). Результаты расчетов свидетельствуют о большой
неравномерности напряженного и деформированного докритического
состояния оболочки. Этот вывод подтверждается экспериментально,
поэтому в решении такой задачи устойчивости следует учитывать
моментность докритического состояния. Докритические значения
функций щ0, <р0, фо, Фо — подставляют в решения (6.21). Их решения
ищут в виде двойных тригонометрических рядов
и> —ЕЕлтп соз ата со8 п0;
т п
Ф = Е Е Втп соз ата соз п0;
т п
<р = 2] 5 стп 81п ата соз п0;
т п
= ЕЕ соз ата СО8П0.
т п
Применяют метод Бубнова—Галеркина, который приводит к системе
линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов
в функции прогибов:
&цАц— Ат}[а0(1, ], т)тд — $0(1, ], т)т2д] — Ат]_пх
т
Х[а;п(1, /, — п, т)тд — $}п(1, ], —п, т)т2д]- Ат}+пх
т
Х[а;+П(», /, +«, гп)тд-^]+п(1, ], + п, т)]т2дА- Е Ат}_2пМ_2п X
X (», /, — 2п. т) т2д = 0, (6.23)
1 Г
где (Т) ф- _|_ Т10С. (55О,2 + 5(1/2) Ф1 4~ х
X (збОС,- 4~ 8г/ ) Фг1
ф1 = [гцаг/2г2 («з/2 + 84а?) — Г1«г + »!/) (г2/2 4- г22а? 4- 1 ]/Д ;
Фг = 1Г21<Х//Л («1К2 5г/ ) — г2] (в3/2 4~ 5<а2) (г ха2 4* Г\2] 4* 1 )/△’,
Рг7(В) = р1аГь2₽,4/2+м4;
₽о(». /,
/?, г
+ 7- X рч пЬ(РГ 2 (1'- к' ^п-} (1, г’ 9)|:
9 г
а0(1, /. т)- р..*(₽) 4 рт7(₽)-1
01 X о,'а^п([> к>
к
«>-п(б
— П,
2 2
с Г( а‘ । _) У &к' т) +
”"1Ч)2 [\р/,(₽) Рт, 7-п<р> / V
4- 1! Ь^}_п (I, к, /п)1;
к .]
/-«’т)=[X ?Х1Лг 2 а^’к'т)*
ч I <7 к, г
Х^_п(1. г, д) 4- ^акаТаг^}_п(1, к, т)^(1, г, д') ;
Я 4 к, г
[и(1, к, т) = (—I) 2 [(&4-/п — »)-14-(/п + 1’ — ^)-14-
4- (14* к — т)-1 — (14- к 4- /п)-1];
а ___________Ч С1 +г1а?2) _____.
к (1 - «1«8) «1 + УРь + ₽71«2 + ₽1 ’
, 2е,Хк .
I, _ <№1 .
°к —---2~’
ак
₽1а* 4- 2₽за*п2 4* Рг”4
4>-п = (/ — «)2«2/о (I, к, т) 4- 2п (] — п)атак^ (I, к, т) 4-
Х(1, к, ту,
^(1, к, т)= (—1) 2 1(т~у1 — к) г — (к ~у т — /) г4-
4- (I + к — ту1 4- (I 4- к 4- т)-1].
В этих уравнениях индекс / — п следует заменить на п — ], а индекс
/ — 2п на 2п — /, если / < п.
Система (6.23) при заданной функции внешнего давления решается
матричным способом. Критическое давление обратно по величине
и знаку наибольшему собственному числу матрицы
ап(1, 2, /п)а3(ц 3, т)
«>_1(Л / — 1, т)а0(1, ], т)
о
О
«у+1 (С /4-1, т)
^1, 2$1 т
О
Рис. 6.9. Влияние степени неравномерно-
сти распределения внешнего давления по
поперечному сечению оболочки на крити-
ческое давление
При построении матрицы за исходную принимают матрицу уравнений
задачи устойчивости при равномерном внешнем давлении. Число
членов ряда, необходимое для удовлетворительной сходимости,
устанавливают в процессе вычислений. Расчет оболочки с изотроп-
ными слоями при п — 1 показал, что достаточно шесть
членов. Дальнейшее увеличение их числа на результат влияет
мало.
При увеличении коэффициента неравномерности распределения
давления е коэффициент критического давления тд в формуле
7кр = тч (1 -р 2е сов пб) умень-
шается (рис. 6.9). Кривая 1
получена при одном члене
ряда I = т ф- 1 в разложении
функций ю, ср, ф, Ф, кривая
2 —при 20 членах (I = т =20).
Разница в критическом давле-
нии до 18 %. С увеличением
удлинения оболочки влияние
степени неравномерности рас-
пределения давления по пери-
метру оболочки на критическую
нагрузку возрастает, увеличивается и необходимое число членов
ряда. Для коротких оболочек можно ограничиться одним членом
ряда.
6.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК,
НАГРУЖЕННЫХ
УСИЛИЯМИ, ДЕЙСТВУЮЩИМИ ВДОЛЬ ОСИ ОБОЛОЧКИ,
И ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ
Установлено, что критические нагрузки при одновременном дей-
ствии внешнего давления и сжимающих осевых усилий не могут
определяться линейными соотношениями вида р*1ро -\-д*/д' = 1.
Погрешность оказывается значительной при небольшом внешнем
давлении, которое характерно для практики. В некоторых случаях
связь действующего вдоль оси напряжения и критического давления
может быть представлена ломаной линией.
Из уравнения (6.1) для критических нагрузок получены [19]
две формулы для вычисления одного из параметров р*, д* при из-
вестном другом. Если усилие, действующее вдоль оси, составляет
значительную долю критического усилия при осевом сжатии, то
расчет следует вести по уравнению
т2я1 п* _±_ П2д0 = __(т2П2 + П2/.2)2____. §2 ,22 I „2^2)2 I
X2 Р 1 А2[14-е(т2л24-п2%2)] г 5Х4 Л Т
.____; 5т'1л4
1 (т2л2 ф- п2л2)2
При малых значениях усилий, действующих вдоль оси, и преобла-
дающей роли давления следует использовать уравнение
т2л2 и2 + 1 * । /„2__п л* — т2л24-п2Хв . ё2 „
Л2 „2 Р г I'1 ЧЧ '5[1+е(т2л2 + /г2Х2)] "г «М
X (т2л2 + п2Л2) + . ?т*П*ь2 -
' 1 71 (т2л2 + /г2л2)2
Параметры р* и д* связаны с усилиями, действующими вдоль оси Лкр,
и критическим давлением <7„р зависимостями
* РКУЯЗ ,<1 _ 0* — .?КР^ д/ 1 у2
Р ЕЦс + 1) I ’ 4 Е1У
Параметры оболочки X, 5, е, р2 приведены в п. 6.2. Лучшую
сходимость с экспериментом, особенно при сравнительно малых
давлениях, обеспечивает решение таких уравнений:
РГ = -[^(«2 + П2) С2 - т]Ф 4- ат]2 (1 - 2т]ф) +
\ а1 /
+ (1 + Га) (1 - п ф) 4- V 4 + ех ± + Фг У 4 X
СА СА СА
1=0
X 81п2-^- 4- ф2^ 11 (1 — ПФ) 8Й12 4- 9п2 -^-ф 81П2 3^л-- 4-
1^0 1
. а8 „ тпх, , 18а3 . тлх( . Зтпхг 1
+ -^-(1 - ПФ)281П2—Г-4--^г(1 -ПФ)81П—— 81П }----] —
-9*4^ <6-24)
^=^^-т^^2 + тт»г(-^ + 7-)^+4то--2ЙгС2“ I
Г
+Го)е + 1о1+.р,2 ^,,^_е51П^2- х
/ 5-9 1 л \ > 2тлх, а3 / 1 \ . 9 ттц 9 а3
х(^^-4)сО82-7--------— ^__1])С281П2_--------
Х(1 - 2нФ)С281п-=-81п^-] ; (6.25)
ад2 + лм + м3 = о, (6.26)
где М1 = 2а2П + -^р2 - 2^ (-1- + _1^2 + Фз X
х 2[(162т) ~ 324т]2Т[) С2 811)2 ~ 81п'^Гк х
Х81П
Зтпх,
~~1
72а4 ._ , ч о . тлх; . Зиглх,
(5а + Ч) П2 кт —— 81П---------~
а2
с8
гу2
х (а-п)аТ + -^-т](:2;
4а2
1 2а2 оп Г 2а2 ... . .
гу 2
^гп2
- <Р2Х
х 2 Г(а - п п 8щ2 (9а _ п) 81п ™ 81п _
1=0 1
г_
VI Г 1 „ „92тпх; о о а4 . „ тлХ( / 18а4 . 72а4
-Фз [7СО8 —-----------(811-2)-^8Ш2 —---------/—+ _х
I = 0 \ 1 1
ч, /е । \ \ • птХ1 . Зтлхг ] а2 . / 1 . , \ а
Х(5а + т))п)8Ш—— 51П—— ] - (а - 1]) т)2С4 + С2) - х
х п2С‘;
^3 = 4^—^ + 2ад + 2В1 [-$(! -2*1)(1 +Г«) + -^ГП] +
+ 61 + 2фх 2 Т) 81П2 + ф2 (а - Т]) 81П2 +
1=0 1—0
+ 1'«Ё ’т- -4 -гг1”1 +
1=0
+ ^(а-п)лС44--^1]С4
Уравнения (6.24) . . . (6.26) решают в порядке, изложенном
в п. 6.3. Энергию деформации вычисляют по уравнению (6.16),
к которому прибавляют уравнение, определяющее работу сжима-
ющей нагрузки Ар = —р*а (С2 + 2ф2). Обозначения соответствуют
приведенным к уравнениям (6.9) . . . (6.11).
Решения уравнений (6.24) . . . (6.26) для оболочек с параметрами,
характерными для реальных конструкций, приведены на рис. 6.10,
6.11. При малых давлениях (д <;0,5дкр) кривые имеют явно выра-
женный нелинейный характер, при больших давлениях зависимость
между р* и д* близка к линейной. Это удовлетворительно согла-
суется с экспериментом.
При равномерном всестороннем внешнем давлении его крити-
ческое значение для оболочки несимметричного строения определяют
из уравнения устойчивости [191
+ Л(-г5>+-5?)(1—Т^’У^ = 0'
После подстановки решения
лх п
Х1 = Хо51П-7-со8-^-^
находят критическое значение внешнего давления
Рис. 6.10. Зависимость критических
нагрузок от равномерно распреде-
ленного внешнего давления при осе-
вом сжатии симметричных оболо-
чек с различной жесткостью при
т = 0,09, 1 = 4
Рис. 6.11. Связь между критическими нагруз-
ками р* и <?* для несимметричных оболочек
при V = 0,73 и А = 4
Параметр критического давления
* Г л2!2 + к® (л3 + л2!2)] 2 (л2 + л2!2)2 , ,|И2 2л2
д ~~ [ л2!2 + к (л2 + л2!2) л2!2 (л2+2л212) ' " ' (л2 + Г)л2!2) (л2 + л2!2)2 ’
л2№0
критическое давление дкр = д*Е ' Обозначения соответ-
ствуют приведенным к уравнению (6.8).
Для практических приложений представляет интерес случай
одновременного нагружения осевой сжимающей силой и внеш-
ним давлением, распределенным на контуре по закону д = д0 соз2 <р.
Решение этой задачи энергетическим методом при конечных сме-
щениях приводит в общем случае к уравнениям для оболочек не-
симметричного строения со шпангоутами, расчет которых пред-
ставляет значительный интерес для практики,
Р1 = П (пС2 - 4ф) + + “П2 + +
+ > (1 - 2^)2 + V + 4Вс (1 + Га) ^(1 - 2^) +
+ 0.-^-+ Ф1У 4~11281п2Г7^'+ Фа У *—2т]ф) 81п2-—^—- ф
1 = 0 1 = 0 ~
. ,, ч а . тгин . Зтяхг 1 , \Л (1 , ,., . ,, 9 Ътлх; ,
+ 9т]2 ф 8Ш —— 8Ш ] + <р2 У П « - 4ф) СО82—-+
+ 1], 81П 3-=- + (1 - 2 Л1» 81П —у~1 81П +
+ -^п2ф28ш2-^-1 -_к<; (6.27)
— (! - ’Ч2'!’2 + 4 ФГ <а2 + “
и и \л
--2/^1 ьфгп.Фмп’.'^Ч
+ т, Р'Г V ЯП’ ^2-"- - п’Р ЯП’ ™а +
X №’ + 2а’ [> „ 510 + (1 - 2ЛЙ ЯП -Яр-] X
х (9 5|п 3=« _ р 51п 2г« + 2 * п!? 5Ш! ™ ;
(6.28)
Л^г'!’4 + Л12ф3 + М31])а + М4ф + М5 = 0. (6.29)
Последнее уравнение и его коэффициенты совпадают с уравне-
нием (6.20). Алгоритм решения уравнений тот же, что и для уравне-
ний устойчивости при осевом сжатии. Энергию деформации вычис-
ляют по уравнению (6.17), к которому присоединяют уравнение для
работы сжимающей силы
ЬЭР~------1Гр^ (^ + -|-ф2).
Результаты решения уравнений (6.27) . . . (6.29) при возможных
сочетаниях параметров оболочек представлены на рис. 6.12. Пове-
дение кривых р*-Н?о такое же, как в случае осевого сжатия и равно-
Рис. 6.12. Связь между критическими нагрузками р" и д* при нагружении осевой
силой и неравномерным внешним давлением оболочек:
а — симметричных (V = 0,09, 7, = 4): б — несимметричных (V = 0,73, X = 4)
мерного внешнего давления. Количественное различие обусловлено
снижением критического давления вследствие неравномерного его
распределения по поверхности.
6.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ИЗГИБЕ И КРУЧЕНИИ
Приближенное решение задачи устойчивости цилиндрической
оболочки при изгибе, а также при изгибе и осевом сжатии приведено
в работе [19], где уравнение (6.8) равновесия цилиндрической обо-
лочки симметричного строения с легким заполнителем предлагается
распространить на оболочки несимметричного строения заменой
коэффициентов жесткости. Тогда уравнение (6.8) примет вид
+ - V (^ Т, + * Г. + 2 Т„) ] = 0, (6.30)
где О* = + О2 + Л <с + - 2а)2 + “Г <с + + 2а)2 +
+ 4- В3с2 + 2В3«2; О0 -= Ь (В. + В2) [ 1 + - Д- (Вг + В2)] +
I // / Х-2.
+ 2В*В0 ~ ’
в* = В1 + В2 + В3; в0 = вг + в2 + 4-в3- 4-(б1 - й2)2;
#1^1 НН ^2^2 + ВзТз .
^0=--------&------- .
В1(с + <1)-В2(с + /2) .
2 (В, + Вг + 2В3)
Несущие слои и заполнитель предполагаются изотропными.
Если оболочка нагружена парой сил, в докритическом состоянии
при изгибе распределенные по сечению усилия определяются выра-
жениями
Л=-Л-С08-|-, Т2 = Т12 = 0,
где М — изгибающий момент.
При сжатии с изгибом
Т2 — Т12 — 0.
Решение уравнения (6.28) ищут в виде
ОО
IV/ С «
№ = 81П— /пСО8-^-1/.
О
После подстановки ряда в уравнение (6.28) получается бесконечная
система линейных уравнений относительно амплитуд гармоник
составляющих прогиба /п. Определитель системы
Го -1 0 ..........................
—2 Г, —1 .........................
О -1 Г2 ..........................
..........................=0.
— 1 0
— 1 Гп_х — 1
0 — 1 Гп
Коэффициен! ы при неизвестных
, 2 Г (л2 + п2Л2)2 2 (л2 + п2Л2)2 , злЧ2
п~ т* [7.2+е (л2 + п27.2)] + ё ' (л2 + п2Х2)2
Параметр критического момента определяют из выражения
„7* — Мкуёз
где Л4вр — критическое значение изгибающего момента:
, в,с . р0
С*_р0 ’ 4ОН/?2 ’ й ~ Р* -Ро'
При решении уравнение (6.29) удобно представить в виде цепной
дроби 11
Го---------Ц-------= 0.
Г1~7-------“
1 2-----
1 3« • •
(6.31)
Из решения уравнения (6.30), в котором удерживалось 20 строк,
получена зависимость т* = т* (сх), представленная на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Зависимость между
осевыми усилиями и изгибаю-
щим моментом при различной
жесткости
При одновременном нагружении
осевой сжимающей нагрузкой и из-
гибающим моментом решение уравне-
ния (6.30) представляет собой линей-
ную зависимость т* от р* (см.
рис. 6.13), т. е. расчет можно вести
по уравнению
'»7то+Р7^ = 1. (6-32)
где то, р* —безразмерные критиче-
ские значения изгибающего момента
и напряжения сжатия, полученные
при раздельном нагружении.
Расчет по уравнению (6.32) допу-
стимо упростить, учитывая устано-
вленную при решении выражения
(6.31) незначительную разницу в вели-
чинах то и ро. Если положить | то | =
= р0,, то из (6.32) следует т* +
4 Р* = Ро- й
Таким образом, критическое состояние при изгибе моментом,
а также при одновременном нагружении осевой нагрузкой и мо-
ментом определяется максимальным напряжением сжатия, что
подтверждается результатами эксперимента.
Сжимающая нормальная сила и изгибающий момент в сечениях
оболочки могут возникать при неравномерном распределении осе-
вой силы по торцам оболочки. В докритическом состоянии меридио-
нальное усилие, распределенное в поперечном сечении оболочки,
(6.33)
где Р —значение осевых сжимающих усилий, действующих в тор-
цовом сечении оболочки; М = Ра — изгибающий момент, распре-
деленный в торцовом сечении, а а —эксцентриситет приложения
силы, т. е. расстояние от линии равнодействующей до оси оболочки.
Уравнение устойчивости имеет вид [10]
гл/, &№ „2\„8 , ЕН д* /. Н*2\ ,
Ч1----+ +
+ Р(1+2^СО8^)^(1
^\«р-7, = 0.
решение которого ищут в виде
тих V, —1 1пу!Н3
Х^зт — ^ап е
в 0
где ап = ап (т, п, к, к).
Подставляя решения, получают уравнения в виде бесконечной цеп-
ной дроби
^0-Р* „*„2
~2р* — - Р 6
Ф1-Р*-------Р*е8 рЧ2
где е = ц//?3 —безразмерный эксцентриситет,
Х2л2 + -&к (т2п2 + п2Х2) т2л2 4- п2?.2 , 2 т2л4?,2
'Р” ’ л2!2 + к (т2л2 + п2Х2) т2л2 * В (т2.ч2 -|- п2},2)2
Хорошее приближение снизу дает формула р* = ф0/(1 + 2е). Обо-
значения остальных величин см. в п. 6.3 к уравнению (6.8).
Устойчивость при чистом кручении рассмотрена в работах [14,
15]. Для оболочки несимметричного строения критическое каса-
тельное напряжение находится при решении уравнения равновесия
оболочки, нагруженной по концам моментами относительно осн [10].
В докритическом состоянии в сечениях оболочки внутренние силы
Г,=7,.О.
Тогда уравнение равновесия получит вид
о(1- | "Д=)71-
-!г»иИ|-т’> = 0'
Условию шарнирного опирания удовлетворяет решение
, пх г . п(у — Ах) . „ и (у — Ах) ]
X, = Хо 8Ш — |СХ 81П + с2 соз ,
(6.34)
где А — параметр, характеризующий наклон выпучин по отноше-
нию к оси оболочки; съ с2 — постоянные.
После подстановки решения, преобразований и упрощений дЛя
оболочек с I > 0,5Д3 получены два уравнения для определения Т .
Г]9_ 2^1 е1/4 Г ?|2° 1+^/е1/2|2 Ц / д* б)21
'12~ 27?з е 12 (1 — V2) (Л*=Ре) 1+й/е1/2?2 + я2 И + 6) > Р-35)
где е = ИзН/Р', А* = А/е1/4;
В = л^/4/[л(/?^)1/4];
й, к, 6 —см. обозначения к формуле (6.8). Уравнения (6.35) пред-
ставлены относительно безразмерного критического касательного
Рис. 6.14. Влияние удлинения
и относительной толщины обо-
лочки на критическое напря-
жение при кручении
напряжения т* и параметра волнооб-
разования А*:
т* = А*?2 (А*2 + ^),
Л*4|^2
п40 1 + йл/Е2с1/2 „
“ 36?4 (I -V2) + 1 + ~~
Задаваясь числом волн п, нахо-
дят г* и определяют критическое зна-
чение крутящего момента ткр =
= 4т*Д№/?3е1/4/л. Критическое каса-
тельное напряжение т* зависит от
параметров жесткости й, к, 0, Н/Р.з
и ///?3. Результаты решений для не-
которых значений параметров приве-
дены на рис. 6.14.
Для симметричных оболочек сред-
ней длины задача отыскания пара-
метра критического касательного напряжения сводится к реше-
нию трех алгебраических уравнений относительно т, Аъ Аг:
Т1 =
п Г
2Л! (П2— 1) [ (Д2_|_п2)2
(л2 + и2)2 + 1 — 2п2
5 [1+/(Д2+п2)]
+-4-(ли»2)2 ;
т2
п Г
2А8(л2-1) (Л2 + п2)2
(Л2 + п2)2+ 1 - 2п2
я [ 1 + / (А2 4- п2)]
^а21+пГ
. л 2л/?
Ау — А% — I т.
(6.36)
где Аг, Л2 — параметры волнообразования; т, п — числа волн,
т = 1, 2, 3 . . ., п = 2, 3, 4 . . .
По наименьшему значению т* определяют критическое значение
крутящего момента
шКр — лтГП{ПГ/
с I
К 1 — V2 ’
Значение Тты находят из (6.36) подстановкой в него различных
сочетаний числа волн.
6.6. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНИЧЕСКИХ
и СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Обозначим расстояние от вершины полного конуса г (рис. 6.15).
Уравнения равновесия [10] при безмоментном докритическом со-
стоянии в этой системе координат имеют вид
р(‘—
- [7. + 7, (4-4 + ^ ^) ] (1 - 4 V’) X = 0;
4 д2 ( ?2\
у г дг2 \ а у )*'
, _! а 1 а2 .
ГД * дг2 ' г дг ' г2 81п2 а д<р2 ’
<р — полярный угол.
Граничные условия для Ф и х при шарнирном опирании обоих
торцов (г = 0 и г = г,) следующие:
\ ) "А (. г дг + г2 8Ш2 а ) % ’
V
Г
д .
а7 +
_____У________—VI
г2 8ш2 а д<р2 / \
д2Ф
дг2
= 0.
При нагружении осевыми сжима-
ющими усилиями р, равномерно рас-
пределенными по торцам, вместо г вво-
дится координата х, связь между ними
имеет вид г = где ? =
= 1п Тогда х = 0 при г = гъ
х — 1 при г — г0. В докритическом со-
стоянии 7\ = —Рг0/г, Т2 = 0. Решение
преобразованных уравнений принимают
в виде
ш зш тлх соз шр;
X = 81 и тлх СО8 п<р;
Ф = Фде351^ 81 п тлх Соз /кр,
Рис. 6.15. Расчетная схема ко-
нической оболочки
оно удовлетворяет условиям х — 1, и = О при х
= 0.
Используя метод Бубнова—Галеркина, получаем формулу дЛя
параметра критической силы
5 1 — е4лЕ 6,25Е2 + щ? ___________________1_________________
46 1_ебЧ 6,50&2 + т2 4Д, 1_еб"5 (т2+16^2) (М + ЭД
+ 36 1 _ е8"Е т2 + 9Е2
(М - Е2) (М - 9Е3) + 16С2 (М- ЗЕ2) - 12/п2^2
т2 + 4Е2
. 2-&Л 1 — е2^ (М2 — ЗЕ2) [(М — ЗЕ2)2 + 4т2Е2]
+ 6 1_ е4Ч т2 + Е2
I 2Л2 /члс2 1 *"* ** •••’ • **'® /С о*7\
+ д-ро СОЗ а ——16Ё2) (М—4Е2) + ЗбЕ2 (Л4 — 2Е2) — 32т2Е2 ’ ^-67>
?2л2 п2
где 6 = ° ; М = т2-\—5-6; р2 и к —см. обозначения в фор-
муле (6.8).
Погонное значение критической силы Ркр = р’зт2О//&
При всестороннем внешнем давлении докритические силы 1\ =
= —0,5^г а, 1\ = —дг а. Тогда решения уравнения (6.34)
после замены переменной г на х можно представить в виде
ни = /е3"^ 51П тпх соз п<р;
X ~ Хое3"^ 81 п тпх соз шр;
Ф = Фое3я^ 51 п тпх соз шр.
После интегрирования по методу Бубнова—Галеркина параметр
критического давления
о 7ПД 1 — е4^ 12,25Еа+1________________сова______________
4 1 _._е'^2Л1-12,Г,0Е2-1 4к 1-е6^ (1 + 16Е2)(Л4-9Е2)
+ 36 1_е811С 1 + 9&2
—9Е2)+16Е2Л'2—12Е2 , 2Ы 1 — е2лБ2/ДМ2 — 12Е2 1
1 1 /11-9. ГЛ, ДяГ2 1 _1_ Г2 "Г
+ 3 р262СО83ау—(Л4 — 16Е2) (Л4 — 4Е2)"+36Е2 (Л4 — 8Е2 — 32Е2) ’ (6‘38)
гдет = 1; М = 1 + п26/п2; Ыг = М — З^2; Л\ = М — 3&2. Осталь-
ные обозначения те же, что в случае осевого сжатия.
Критическое давление находят по формуле ^кр = 9/7?з-
Для исследования устойчивости конической жестко защемлен-
ной по краям оболочки с изотропными слоями, нагруженной равно-
мерно распределенным по поверхности внешним давлением, из
вариационного уравнения 63 = 0 получено пять уравнений равно-
весия в усилиях. Два из них удовлетворены тождественно введе-
нием функции напряжений Ф так, чтобы
Ж Т — 1 г)2ф । 1 д2ф
1 г дг2 "г г2 6<р2 ’
г _ 02ф т _ д / 1 дФ \
1 2 — дг2 ’ 112 — дг \ г дг )'
Остальные уравнения относительно функций уи
Ыр = («1 —«а)/2, Пр = (&1 —п2)/2
преобразуют введением функций %, ф, которые связаны с и Пр
5% _1_ _ 1 <3% д-ф
13 ~ дг “г г <Э<р ’ ₽ г <3<р дг '
где г, <р — координаты, имеющие начало в вершине полного конуса;
ф = 6 з1п а; 0 — угол между плоскостью отсчета и аксиальной
плоскостью; 2а —угол при вершине конуса; и Пр —средние
смещения точек срединных поверхностей несущих слоев в направ-
лении г и <р.
Одно из уравнений относительно ф отбрасывают (считают ф =
= 0), к двум другим присоединяют уравнение совместности деформа-
ций. Уравнения устойчивости оболочки имеют вид
1 д2Ф . . , 1 . \ ,
тъ-------------------Ь,Ь2\12 (у + -о- соли ) +
Вг1^а-----------------------дг2 12 \л 1 2 1 /
+ ^(б^+ад--Л[т,^- + т2(^ + 2.л_) +
+2’’и(ГА-^^)]-0;
V [ЬАш + X - V (Ь.и + м] = 0;
В(1-у2) 1
а г дг2 ’
где (.,-!+ = В=У-^;
I — 1 1
Н - 211.Д. Д_„ Г(<1 + <2)2 , (<1 + <2)21 ..2 (<1-<2)2.
"з— 12 ф 12 гт3[ 16 *' 48 ] тз 16
б4=^-Цк-?з(?1-Т2)А^;
ь„ = Т1 + т» + 4* V» — (?1 - Та)2;
= Е111 . = Е212 .
?1 й(1-у2)’?2 В(1-у2)’
ЕзС . . .
ь = -----2Г ’ у == Т1г’1 + 72^2 + Тз^з-
После введения новой переменной х, такой, что г = г е*
уравнение совместности деформаций интегрируется отдельно методов
Папковича, остальные уравнения из (6.37) —совместно методов
Бубнова. Вид решения выбирают в форме
V» = /е"** — 81п2—?— соз = 1п —;
' 81П а ь гв
X = Хое"*ж 81п2 -у- соз . (6.39)
Выражения (6.37) удовлетворяют всем граничным условиям; «
выбирают из условия минимума критического давления, для кото-
рого из характеристического уравнения получена формула
4Д Г 1 _____.,2 В?
= [“18$^" ^2 + + тг] ’ (6-4°)
где Ох = щ (1Ц — 1) (пг3 + т4) + 2 -у (2пх — 1)(г3 + г4) +
+ ( 4 ------«1 + пЛ ($з 4-84) — 2 (щ — | т3 — 8 -у-гз;
= В1 (П1 1) тяЩ 82 ^В2 (щ -[- п — 4 -у^ + 2 у В3 (2п[ 1)^ +
-|- ^2 ^В3 + П1 — 4 -у 4~ О] ’
О3 = Р1(11,о + В2с?ц + В3с?12 + В4с?13;
= 2 (с2 — с?) Л] — С3С5Л2;
— (с4 с2св) Л4 2^о 2с3СзЛ2 ,
«о
О6 = 80А-з- _ (с7 — с|) Лр
е₽’^— 1
Здесь тг = — (1=1, 2,.... 8);
рДрН^2/^)
Рг = 2 (п4 — 1); р2 = 2П1, р3 = 2пг + 1; р4 = 2пг — 1;
Рь = + П1, р6 = пх — к1, р7 = к2 + П1, ре = пх — к2;
бяр.т*
Ц^+16л2/И
(1=1, 2, 3, 4);
р1-8я7^2
р. + 16л®/р
(1= 1, 2, 3, 4);
2
П1 — пх
2 (и2 — п2/8Ш2а) ’
(4л2/^2 — п2 + (X2 — 16п2л2/?2) — 16М| (2ит — 1) лХ,/^
2 (^1 + ^”1'^2’)
л/С (2«1 — 1) (^1 — 16п^л2/С2) + 4П1Л/С (4л2/С2 - и2 + п,) к,
3 = (X2 + 16и2л2/С2)2 5
1 2 п2 . л2 . . _ ,о , , И2 .
—• П1 8Ш2 а 4 С2 ’ (2 + ) 8Ш2 а ’
<1 /1 \ П2 . 1 1 1 п2
Х,о = (1 — V) —Г-.-, Лд = 1 — V; Л5 = V -Г-5-,
3 ' ' 81п2а 4 > » 8Ш2а
Ац = -Д- 4- 1; й2=-^----------1;
1 81па 1 2 81па ’
р . ^7 . р , ^8 .
р'--^' р*~^'
Рз = -77- [«и» — Ла16е- <"*+*•> & — Г2а17е- ("*+*’> С];
°18
^4 = [«1б — Л«13е_ (П1+**) Е — Р2аие- Ц;
“16
— о9а1а, й2 = Одос|д, с?3 = Я1бй2о>
<А = аза^аё1 — О22; (15 = а7аХ2а^1;
Об = т2а2Га^ — а^хъе~ (к1~П1} Е;
^7 ~ ^3^5 —
Й8 = б/дб/(; -^3^4> ^9 = ^1^5 ^2^4*
д ____________№ + О ______________.
10 ~ (Й1 + Ш) [(*1 + «1)2 + 4л2 С2] ’
. _____________(к? + 1) к2_________.
11 ~ (& + «1) [(Й2 + Пд)2 + 4Л2/С2] ’
с?д2 = /т?в&д (йд — 1); йдд = т&к2 (к^ 1)>
«1 = — к\к2 Хз; Ог = к}}^ — -}- Х-з;
03 = ^2 — к2К2 Х3; Од = к2"к2—к2 ^з",
а.5 — кх -}- к\^ ^в! Об = 4“
и7 = к2 -|- Й2Х4 ^в; се = к2 — к2к^ -|- Х5;
Од = е~пЛ — е~(*1+*г+л1) ?• о10 = е—— е— (2*г+'г1)
1 _ е- (Й.+Йг) С _ 1 _ е2*2С _
«11 — : 2Ё ’ 012 = —1 „23 ’ «13 — «1 — Й2«ВОб >
1 — е • 1 — е
«14 = «3 — Й2«70б *» «16 — О2э — /И10О2«6 »
1. —1«
016 = О1 — ОдОйОв , 017 — Оз — 040708 ,
018 = а2 — О4ОбО8> 019 = ГПэ — тюОдоГ*
о20 = е">Е — е~кЛ- Озд = [е2"Е — е (*•—«») ?] (1 — е2^)-*;
«22 = «1б«18*е 2А1Ч «23 = «17«181е (А1+А,)^>
„ Г) ( С1Р1 I Ь₽2 15-0 ( Р1 + ₽2 , ₽1 + ₽2 \1 .
С1 - и ["Т2- + "72 Г ^Рз V 16 + 48 Д ’
с2 = 0,25 (|\ — Р2) сз — 2/); С4 = (Рх -|- Р2) 5аРз^!
сб = св — (51Р1 ЫМ В', с7 = (5А + Е2Ра 4—з“?зРз^ В‘,
₽*=4> ₽>—а-; ₽*=*
р Г 3 I-1
г //--24 > 2о<) •.
М1-/) и=1 4
А -= ±т1 (п\---%-\ Г(п2 - 2)2---^-1 +
2 \ 8Ш2а / [' ' 81П2а ] 1
+ 2^71[п1(л1—2)2 + Х1(и1-2)-4^-п1-п11^] +
+ 2_51[16-^-п1(п1-2)-^(п1-2)2 + 4^Х1 + Л1^]
Л = 4" [("*—ж)т2 +4 т П12г] •
Решение этой задачи экспериментально не проверено, но сопо-
ставление с результатами испытаний шарнирно опертых оболочек
позволяет полагать, что критическое давление, вычисленное по
формуле (6.38), не выше опытного.
Система уравнений (6.4) для сферической оболочки [10] посред-
ством преобразований с помощью произвольной гармонической
функции сводится к двум уравнениям, интегрируемым раздельно
[19]:
^+>0-5^2) '/.- + 41у2(1_2?-?2)Х1=0;
^Ф=-^-?2(1--^-?2) Х1.
Решение первого уравнения (6.39) ищут в виде ?2%| = —
где X2 —параметр, который находят из условия минимума крити-
ческого давления полной сферы:
20 42 Й + 2ЕН
%р- р>3 Л а+ ’
где обозначения соответствуют приведенным к уравнению (6.4).
Это решение экспериментально не проверено.
Для пологого свободно опертого по контуру сферического сег-
мента критическое давление можно найти аналогично. Параметр
в этом случае находят из характеристического уравнения /п (кг) = О,
где 7П (кг) —функция Бесселя первого рода п-го порядка; п —
число волн, образующихся по окружности в плоскости, параллель-
ной основанию; г—радиус основания.
Характеристическое уравнение (6.40) может быть использовано
К при-других краевых условиях, если основная вмятина не захваты-
вает весь сегмент, чему соответствует минимальное значение <7,!р
при первом корне уравнения (6.40).
6.7. УСТОЙЧИВОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ
Критические нагрузки круговой панели при различных случаях
нагружения и опирания можно получить из уравнения (6.4), запи-
санного относительно функции перемещений Х1, такой, что прогиб
(//г
1---V2) В конструкциях края панели обычно сво-
бодно оперты или защемлены. Граничные условия при свободно
,опертом крае имеют вид
_ б2Х1 _ д4Х1 _ д«Х1 _ д8Х1 _ л
Х| дх2 дх4 дх6 дх8
|>1ри защемленном —
/ 1 _ #2 ^4,. . 0X1 = д8Х1 двХ1 _ д7Х1
V д') дх дха ’дха , дх7
Юбогначения —см. к уравнениям (6.4) . . . (6.7).
1. Равномерное осевое сжатие и давление по внешней поверхно-
сти свободно опертой панели. Одну из нагрузок при задании другой
можно найти из уравнения
62 / о т2 . п,1 + дк (и2 + т2/Х2) . 2 212x21
Ж \Р -ГТ + ЧРН ) = + (п + т А2)2 +
, р2 /П4
+ Л4 (п2 + т2/Х2)2’
, I , п2л2 . „ 12&4(1 — -V2)
где Л— ь , к— , р — ^40/72/^2 •
Для плоской свободно опертой пластины, сжатой по коротким кром-
кам,
р _ л2Г [ 1 + ад (и2 + т2/Х2)] (и2 + /п2/Х2)2
- ь-> [1 4-й (л2 4-/п2/Х2)] т2/Х2
2. Свободно опертая панель нагружена продольными сжимаю-
щими усилиями, равномерным давлением и касательными силами
по контуру. Различные комбинации критических усилий р,.р, <7,;р,
7\ можно найти из бесконечной системы линейных алгебраических
Уравнений
ь2 с ( 1’2 . „ 0,-2\ I 32г>2 т1 У^ V Мтп________________________
П2О /У^кр X2 -г‘*ВРА/ у | Я4РХ 'крД, Д, (12 — ОТ2)(/2—П2)
т п
|-[1+ад(/2 + /2/Х2)](/2 + 12/Х2)2 и2»4 1
I 1 + к (р + 12/Х2) “г X4 (/2 + 12/Х2)2 ]
(/тг, п, I, / = 1, 2, 3, . . .).
Из этих уравнений можно получить выражение для параметра ка-
сательных усилий
Т* = 32627’/(л4ОХ,).
Для четных сумм I +/
7"* = }/^Л11Л22Л1зЛ31Лза/Л1, (6.41)
д [ 1 + ад (/2 + (*/№)] (Р + ,2Д2)2 |А-3
д ~ [ 1 + к (р + »2А2)] Ч Г № О’2 + »2/>-2)2 ’
Л1 — лцЛ13 ( 625 Л31 |- 75
Для нечетных сумм
Т* = у Л12Л21/^23ЛЯ2/Л2,
где Л2 = -^25 Л12Л21 -|- Л23Лз2 -уу (^12^23 + Л21Лз2).
Из двух значений Т* выбирают меньшее.
3. Панель, свободно опертая по прямолинейным кромкам и
жестко закрепленная по криволинейным кромкам, нагружена внеш-
ним давлением и сжимающей, распределенной в поперечном сече-
нии нагрузкой по криволинейным кромкам. Из решения уравнения
равновесия методом Бубнова—Галеркина получены уравнения для
определения Ркр и 9„р:
[п 2(№2+ 1) п„2/о|й Д - 1 + М[п2 + (т-1)2Д2]
Л2О X2 1+/цп2_р (От— 1)2/р] *
1 4-ад [П2-Р (т-р 1)2/Х2]
+ 1 + к [П2 (т _|_ 1)2Д2]
,2 . (т + 021
' Г 7.2 ]
+
р2(т—1)« , р2(т+!)4
X4 [п2 + (т — 1 )2/Л2]2 + М [п2 + (т + 1)2/Л2]2 ’
где 6т1 = 0 при т #= 1, = 1 при т = 1.
При раздельном нагружении по (6.41) вычисляют либо РКу,
либо </кр. Для плоской пластины при указанном опирании кромок
критическое значение осевых усилий, приложенных к коротким
защемленным кромкам, определяют по формуле
Ркр
п2О
62
1 ад [п2 4- (т — 1 )2/Л2] [и2 4- (т — 1 )2/Л2]2
1 4- к [и2 4- (т — 1)2/А2] 2(т24-1)А2
(1+М +
, 1 4- (п2 + (т 4-1 )2/Л2) (п2 4- (т 4- 1)2А2)21
+ 1 4-/г(п2 + (т+ 1)2/Л2) 2(т24-1)/Х2 ]’
4. Панель, жестко защемленная по прямолинейным кромкам и
свободно опертая по криволинейным, нагружена сжимающими
усилиями и внешним давлением. Критические значения сжимающих
256
усилий Ркр и критического давления </кр при комбинированном и
• аздельном нагружении можно найти из уравнения
Ь* Гр _ 1+Ф&[(«8—02 + >п2/Л.2|а
[ ^К₽ 1? (П + 1Л--------1 +Р[(П2- 1)2 + т2Д2] Х
1цИ-П24-^Гл I Д ) . »+^Г(п+1)2 + ^] } 2
Х[(П 1) + > 2 ] (1 + Мт 1 -|_ р [(„ 4- 1;2 + т2Д2] 1(П+1) +
, _тМ2 и«тЧ (1 + бщ) ,__________________Г 1
1 Л.2] 1 X4 [Д(п— 1)2+ т2//.2|2 ' [(«+ 1)2+ т2Д2]2] ’
где 61п. = 0 при п Ф 1, 61п = 1 при п = 1. Из них же при д = р2 = О
можно определить критическую силу для плоской трехслойной
пластины, опертой аналогично.
5. Панель, жестко защемленная по всем краям, сжата распре-
деленными усилиями вдоль образующей и нагружена внешним дав-
лением. Для этого случая опирания уравнения усложняются.
[Ркр (2 + 6П1) + дХ (2 + бт1) (и2 + 1)] =
1-|-'&Й[(п — 1)2 + (т — 1)2/Л2] г, । , 142/1212/1 | а
- 1+Р[(п2_1)2 + (т_ 1)2^2] К« - Л + ('» - 1) /Л I (1 , бт1) X
уп , Л 4 , 1+^[(п-1)2 + (т+1)2А2] Г. _ П2 . (т~ О2 I2
ХЦ+МФ ! й _ 1)2 + (т + 1)2/Х2] Ч “Г Х2 ]
хН+6 ) 1 1+^К»+1)2+(т+1тг . 12 , (/п+1)2]2 .
ХЩ-Г-О^) 1+Л[(п+1)2 + (т+1)2/х2] X2 ]
, и2 ((т — 1)4(1+6т1)(1 + бт) , (т-1)4(1+&П1) ,
Л4 I Цп - I)2 + (т - 1)2/Х2]2 “* [(«+1)24-(/п — 1)2/Х2] 1
, (т + I)4 (1 + 6т) ,___________(т-М)4 )
-Г-[(п__1)2+{т+1)2Д2]2 Г [(п + 1)2 _|_ (т 4. 1)2Д2] р
где 6,т = 0 при т =/= 1, 6рл = 1 при т = 1, 61о = 0 при п+ \,
Ь1п = 1 при п = 1.
Для плоской пластины р2 = 0, если положить д = 0, то из
последнего уравнения можно найти критическое значение осевой
сжимающей нагрузки, приложенной к коротким кромкам.
6.8. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК С РАССЛОЕНИЯМИ
Принято, что расслоение имеет место по всей поверхности обо-
лочки на границе с одним из несущих слоев.
Расслоенную трехслойную цилиндрическую оболочку г ожно
представить как двухслойную, один из слоев которой имеет пара-
метры отслоившегося несущего слоя, а другой — параметры трех-
слойного пакета, у которого один из несущих слоев отсутствует,
т. е. его параметры равны нулю. Слои такой двухслойной оболочки
эквидистантны, но зазора между слоями нет. Касательные усилия
с одного слоя на другой передаваться не могут.
9 Кобелев В. Н. и др.
257
Значения параметров трехслойного пакета при нулевых значе-
ниях параметров одного из несущих слоев можно определить из
следующих выражений.
Изгибная жесткость при отслоении несущего слоя 2
+с - "" + А'
при отслоении несущего слоя 1
п ЕЛ , Е3с3 , Ё21г . Н { \2 ‘ р СН™ Г2
“23 — —12 1----]2-----4— ”2 Г С “23/2з) Г “з —4—/23.
гДе /13 = Т1 (^1 + ^1)> /гз = Тг (^2 + ^г)»
I __ 1} . - _ с . ___ Е,/,- .
' с + // ’ * с + 0 ’ Е^Ц -|- с)
^13 — с 4" ^23 = с4"^2'.
Е01 = пл-г (Е& Е3с) — приведенный модуль пакета.
И ”Г с
Жесткость на растяжение-сжатие:
при отслоении несущего слоя 2
В 1з = ^ИЯ13,
при отслоении несущего слоя 1
Е2з = Е02Н23-
Параметры отслоившегося несущего слоя соответствуют пара-
метрам обычной однослойной оболочки.
Параметры волнообразования: пг — число полуволн вдоль обра-
зующей, п — число целых волн в кольцевом направлении
Л = ^-, 0 = -^, й=02Д2-
Обобщенный геометрический параметр оболочки для отслоенного
несущего слоя
е. =
для несущего слоя, работающего совместно с заполнителем,
^•з = М,Б^/з-
Внешняя нагрузка характеризуется следующими параметрами:
рх — осевое нормальное усилие, приложенное к торцам оболочки
(сжатию соответствует рЛ >0); д — поперечное давление, нормаль-
ное к поверхности оболочки (внешнее давление д > 0).
В расчете используют следующие безразмерные параметры упру-
гости материала оболочки:
при отслоении несущего слоя 2
Л1з = П1з/Ог> ?1з = ^1з/®2>
йрй отслоёний несущего слоя 1
^23 = ^23^1'г ?23 = ^23^1-
Принимаем, что нагрузка приложена к слою, работающему совместно
с заполнителем. Рассмотрим следующие случаи нагружения обо-
лочки.
А. Осевое сжатие. При осесимметричной форме потери устойчи-
вости критическое значение нагрузки
рх = О,6О5Еог (/1 + 1,6Дгз + 0,15 /Щ.
При несимметричной форме потери устойчивости
п л то Р 1/^1 । 1>49Д|з
рж = О,19Бо/-^- у 1+-пр-,
где е = 0,43 } —у^2- при отслоении несущего слоя 2;
ало!1— щ)°-5 ^14 ,
е = 0,43 - — ТчТ~ ПРИ отслоении несущего слоя 1.
Б. Равномерное давление. Критическое значение внешнего из-
быточного давления при отслоении несущего слоя 2
п _ ________"_______ р Я135 д// ,1 I 1.49А;з V
9кР [12(1 -V!)2]0-75 ' '+* ' ’
при отслоении несущего слоя 1
_ л р И2з д// . । 1,49Д<8\3
9к₽__[12(1-т2)2]0’76 02 1К1-5 У к + 14-8 )
В. Совместное действие осевых сжимающих сил и внешнего
избыточного давления. Критическое значение внешнего избыточного
давления:
при отслоении несущего слоя 2
гг2,5
9кр = ьп т2)]0,75Е°17^1-49Д«з)3’
при отслоении несущего слоя 1
гг2,5
о __________5_____ Р 23 ^//1 1 49Д. ^3 Ч Р
Ч*»- [Я(1-^)]°-75 02 I/?*’5 Р (1+т]р)0,5 •
Параметр чР определяют из соотношения
Рх = Чр
[₽р] (1 4-Чр)0,5 ’
где [рп] = 0,167Б01—4- 1,49Д13 при отслоении несущего
слоя 2, [рр] = 0,167^02^1 11,49Да, при отслоении несущего
слоя 1.
Глава 7
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
7.1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Проектировщик всегда стремится создать оптимальную кон-
струкцию, поэтому проектирование в какой-то степени является
оптимальным. Однако в ряде случаев технологические и вычисли-
тельные возможности ограничивают применение методов оптимиза-
ции. Например, при проектировании конструкций из традиционных
материалов проектировщик варьирует только геометрические пара-
метры конструкции, а характеристики материала, как правило,
принимает заданными.
В большинстве случаев создаются конструкции, удовлетворяю-
щие ограничениям по несущей способности, при этом проверяют
соответствие запасов прочности, устойчивости или иных характери-
стик некоторой выбранной конструкции заданным требованиям.
Если эти требования не выполняются, то переходят к расчету нового
варианта конструкции. Иными словами, основным орудием проек-
тировщика служат интуиция и опыт, а не целенаправленный поиск.
Методы оптимизации позволяют алгоритмизировать процесс проек-
тирования, экономить материал и добиваться создания конструк-
ции минимальной массы, повышая ее эффективность, эксплуата-
ционные и технологические характеристики. Развитие и применение
методов оптимизации в первую очередь обусловлено усложнением
задач и широким внедрением электронно-вычислительной техники
для их решения.
В работе [3] приведен алгоритм операций при проектировании
трехслойных пластинок и оболочек с заполнителем различных ти
пов, который включает:
1) определение приведенных жесткостных, прочностных и мае
совых характеристик заполнителя;
2) определение критических нагрузок и проверку общей устой-
чивости;
3) определение напряженно-деформированного состояния пла-
стины (или оболочки) и проверку ее на прочность;
4) расчет местной устойчивости элементов пластин или оболочки
и проверку выполнения условий сохранения несущей способности
при потере местной устойчивости элементами трехслойной кон-
струкции;
5) удовлетворение критерию прочности заполнителя и связи
с несущими слоями;
6) определение параметров трехслойных пластин и оболочек,
удовлетворяющих условиям 1 ... 5.
Анализ приведенного алгоритма свидетельствует, что задача
выбора оптимальных параметров трехслойных пластин и оболочек
является более сложной по сравнению с задачей определения опти-
мальных параметров, например, вафельных или стрингерных под-
крепленных конструкций. Это связано, во-первых, со значительным
многообразием расчетных схем трехслойных конструкций, во-вто-
рых, с большим числом варьируемых параметров. Последнее обус-
ловило применение при решении задач оптимизации трехслойных
конструкций различных методов составления расчетной модели
оптимизируемой конструкции, что позволяет упростить в некоторых
случаях решение задачи без существенного снижения точности,
повысить надежность расчета и сократить стоимость решения.
Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи
применительно к расчетам трехслойных пластин и оболочек заклю-
чаются в определении формы, физико-механических и геометриче-
ских свойств и условий работы конструкции, обеспечивающих
достижение экстремума (максимума или минимума) выбранной
характеристики качества пластин и оболочек при ряде дополни-
тельных ограничений.
Постановка задач оптимизации трехслойных пластин и оболочек
включает формулировку основных уравнений, оптимизируемого
критерия качества, ограничений на функции состояния и искомые
управляющие переменные.
При решении задач оптимизации трехслойныл пластин и оболочек
используют общие положения оптимизации конструкций, рассмо-
тренные в работах [3, 5, 6, 11, 191.
Роль критерия качества (основного оптимизирующего функцио-
нала) трехслойных пластин и оболочек чаще всего играет масса
трехслойных конструкций тк или их стоимость Ск. Функциями
состояния й (фазовыми переменными) в задачах оптимизации трех-
слойных конструкций являются компоненты напряженно-деформи-
рованного состояния (напряжения, деформации, перемещения не-
сущих слоев и заполнителя).
Управляющими переменными арехслойных пластин и оболочек
Могут быть толщины несущих слоев (/ь /а), физико-механические
Характеристики и углы ориентации осей анизотропии материалов,
используемых для изготовления несущих слоев, параметры струк-
туры заполнителя (с, 0ц8, Ец3, и др. Совокупность управляю-
щих переменных записывают в векторной форме. Управляющие
переменные И могут быть функциями координат точек срединной
поверхности слоев оболочки или пластин. В этом случае говорят
об управляющих функциях. Если управляющие переменные харак-
теризуются одним числом, то эти переменные являются оптимизи-
руемыми параметрами.
Такие параметры оптимизации, как физико-механические харак-
теристики материалов несущих слоев, структура заполнителя и
др., могут принимать ряд дискретных значений. В таком случае
задача оптимизации сводится к перебору вариантов и сравнению
значений функционала качества, соответствующих этим вариан-
там, с целью выбора оптимального значения функционала каче-
ства.
При оптимизации параметров трехслойных пластин и оболочек
на фазовые и управляющие переменные накладывают ограничения
типа равенств и неравенств. Этими ограничениями при статическом
нагружении могут быть следующие условия:
ограничения на усилия как при общей, так и при местной потере
устойчивости, т. е. ограничения вида р с р,ф или < 9кр;
неравенства для максимально возможных напряжений в несу-
щих слоях, т. е. ограничения на предельные значения напряжений
в материалах, из которых изготовлены несущие слои, с учетом тем-
пературы нагрева:
^эквг ^вг ИЛИ Одквг ^тЬ
где Стэквг —эквивалентное напряжение в 1-м несущем слое, опре-
деленное по какой-либо теории прочности:
ограничения на максимально допустимую деформатнвность пла-
стин или оболочки или ее элементов: щ,- с ю, доп, Щ < доп,
И; С Н; доп,
неравенства, связывающие максимально возможные напряже-
ния в заполнителе с действующими или эквивалентными, т. е. огра-
ничения на предельные значения напряжений в материалах, из
которых изготовлен заполнитель: оЭЕВЗ с ов3 либо о,3 < о;вз,
Т,'7 ВЗ,
технологические ограничения, обусловленные возможностью изго-
товления тех или иных элементов трехслойной пластинки или обо-
лочки. Эти условия могут быть наложены как на толщины несущих
слоев и заполнителя, так и на геометрические размеры пластин или
оболочки в целом;
эксплуатационные ограничения трехслойных пластин и обо-
лочек;
ограничения, обусловленные различными специальными требо-
ваниями.
Основные уравнения связывают фазовые переменные с управля-
ющими функциями и внешними воздействиями и определяются
расчетной моделью. В математической формулировке задача опти-
мизации имеет вид
/ = / (й) -* пни Л;
й С [Л; Л(й, «)ЭвО; ^(й, «) = 0; • • •}’
Ь (к) и = д,
где р — р (к, и); Р = Я (к, и); й = й (к, и) — функционалы,
характеризующие несущую способность трехслойной пластины и
оболочки и зависящие от й и и; I — выбранный оптимизируемый
критерий качества проектирования; Д- (й, и) 0; (й, и) — 0 —
ограничения типа равенств и неравенств, накладываемых на управ-
ляющую функцию; д—вектор нагрузок, действующих на конструкцию.
Определяющие уравнения имеют, например, вид (5.14) и могут
быть записаны в операторной форме, где (к) —оператор, коэф-
фициенты которого зависят от вектора управляющих функций й И
262
Рис. 7.1. Схема расчета на ЭВМ параметров
оптимальной трехслойной пластинки или обо-
лочки:
Я — блок начального приближения; В- — блок
формирования градиента управляющей функции;
В^ р щ — блок решения задачи определения па-
раметров напряженно-деформированного состоя-
ния трехслойной пластины или оболочки; Т —
блок сравнения
действующих на вектор фазовых
перемещений «.
В ряде задач, описывающих
оптимизацию частот собственных
колебаний и критических нагрузок,
потери устойчивости, определяющие
уравнения, являются уравнениями,
описывающими задачи на собствен-
ные значения
М (к) (к) и,
где М, № —дифференциальные операторы; к —собственное число,
характеризующее частоту собственных колебаний или критическую
нагрузку потери устойчивости.
А. Если к = к (х,), где х, — ординаты точек срединной поверх-
ности трехслойной пластины и оболочки в целом или отдельных
слоев, а целевая функция имеет вид интеграла
/ == | (й) Ох д.у,
(5)
(7.1)
то решается задача оптимизация с распределенными параметрами.
Б. Если управляющие переменные представляют собой оптими-
зируемые параметры и не зависят от координат точек срединной
поверхности пластины или оболочки, а целевая функция — нели-
нейная функция параметров I = Ф (А), то рассматривается задача
параметрической оптимизации.
В. Если удается записать зависимости, связывающие значения
функционалов несущей способности (р, О, /?) в конечном виде р =*
— р (к), 0= О (Л), Я (к), то задача оптимизации называется
задачей с конечными связями.
Для численного решения задач А, Б, В применяют различные
методы, основанные на вариационном исчислении и математическом
программировании. Для решения задач А и Б используют метод
последовательной оптимизации [5, 61. Алгоритмы решения задачи
заключаются в последовательных приближениях к оптимальному
решению и основаны на малых вариациях управляющей функции к
и многократном решении задачи определения напряженно-деформи-
рованного состояния при фиксированной функции или значениях
параметра к.
Основными частями алгоритма решения (рис. 7.1) являются
блоки Вц1 определения напряженно-деформированного состояния
трехслойной пластины или оболочки и блок Вк формирования нового
приближения управляющих переменных Л/1+1 по значениям и
«А текущего приближения.
Блок Ви решает краевую задачу и вычисляет значения функций н;
при известных значениях кк. При решении могут использоваться
методы вариационно-разностные, вариационные, сеточные, конеч-
ных элементов, последовательных приближений и др.
В блоке ВЛ формируется новое приближение йА+1 = йй + б/гА
управляющих функций по методу проекций градиентов в простран-
стве управлений (проектирования градиентов) и переход к к ф- 1-му
шагу. Метод проектирования градиентов в случае одного ограниче-
ния заключается в поиске такой вариации управляющей функции
6/ф, которая приводит к уменьшению функционала 7, а функцио-
нал 7? (например, жесткость трехслойной пластинки или оболочки)
остается постоянным. В дальнейшем нижний индекс к, относящийся
к номеру шага, опущен.
Предположим, что вариация функционалов 67 и 6/? имеет вид
67 = (ф, 6й), 6/? = (ф2, 6Л), причем (а, Ь) — || У аД<7Й;
(а,Ь) = У, аД.
Если функционал 7 представляется выражением (7.1) (случай А),
то
«'=И-ягй‘М(':
(9)
В случае Б вариация функционала имеет вид
д1 д/ -г
д(1 он
Выражение для жесткости трехслойной пластины или оболочки
при упругом деформировании определяется значением плотности
потенциональной энергии упругой деформации
7? = 4 Л п (л, «) йх (1у,
(»)
В наиболее общем случае значение плотности потенциональной
энергии для задачи упругого деформирования трехслойных пластин
и оболочек, равновесие которых описывается системой дифферен-
циальных уравнений двухмерной задачи теории упругости, имеет вид
с/2
П | (<т13е13 ф- о2зе23 4” П33833 4“ т1ззТ1зз 4~ ТгззТгзз 4~ "БгзТхгз) 4"
-с/2
—с/2 с/2 + 0
4* (°12е12 4" ^22^22 4" Т122Т122) 4” [ (ПцБц 4- О21821 4~
~(с/2+1г) с/2
4“ Т121Т121)
где компоненты напряженно-деформированного состояния опреде-
ляются выражениями, приведенными в гл. 5.
Вариации плотности потенциальной энергии
(5) _
Выражение для определения вариации управляющей функции 6й
имеет вид
где х —постоянная параметра шага, 0 <х 1.
Для нахождения минимума массы трехслойной пластины или
оболочки следует положить 6/ < О, 67? = 0, т. е. значение функ-
ционала массы падает, а жесткость трехслойной пластины или
оболочки остается постоянной.
Этот метод позволяет решать задачи оптимизации при разно-
образных условиях работы трехслойных пластин и оболочек. В за-
дачах типа А можно получить распределение материала в элементах
пластинки или оболочки не только по толщине, но и по поверхности,
что, естественно, обеспечивает получение наиболее эффективной
конструкции. Однако вследствие сложности программирования,
в особенности расчета определения напряженно-деформированного
состояния, и больших затрат машинного времени данный метод
пока не нашел широкого применения.
Значительно чаще решают при оптимизации трехслойных пла-
стин и оболочек задачи типа В. При этом используют метод нели-
нейного программирования, Отыскивают минимум целевой функции
I = I (Н) при нелинейных ограничениях.
Ниже приведены аналитические решения некоторых задач опти-
мизации трехслойных пластин и оболочек.
7.2. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
1. Оптимизация массы симметричной трехслойной пластины
бесконечной ширины и фиксированной длины (0 < х < I, —оо <
< у < оо) при действии в направлении у сжимающей силы (рис. 4.2).
Задача относится к типу В.
Заданы форма и размеры пластин или цилиндрической панели,
материал внешних слоев и сот, интенсивность продольной сжимаю-
щей силы на единицу ширины пластины р и температура Т, равно-
мерная для всей поверхности пластинки, величин начального тех-
нологического искривления несущих слоев и стенок сот /0,-.
В качестве ограничений используют условия прочности и устой-
чивости.
Масса пластины на единицу площади (целевая функция)
/п(л) = 2/,-р;+^--^рмстс. (7.2)
Вектор управления Н = (/г; /С1/а; с).
Критическая нагрузка /д;р на единицу ширины панели в пред,
положении упругой работы конструкции (4.1)
Я2Л; *
Ркр = —
(7.3)
где I = 1, 2 —номер несущего слоя.
Параметр р* определяют при решении уравнений устойчивости
или по графикам, приведенным в п. 4.2.
Действительную критическую нагрузку с учетом работы мате-
риала внешних слоев за пределом пропорциональности и реальных
условий работы панели находят путем пересчета по уравнению
(7.3). Для этого определяют критические напряжения во внешних
слоях пластины, исходя из идеализированных условий работы в упру-
гой зоне:
В1Ре В2Ре
°1е==—вЦ~’
Если несущие слои выполнены из материалов, не имеющих
площадки текучести, действительное критическое напряжение опре-
деляют по формулам
С(к Л^ге При О;е <1 Опцг>
С[к ~~ Л (<ГВ{ ^пцг) К^СТпш'/^'е] При <Т;е СГПц,
Сгк~ Л*^вг ~ ‘ .,2 ГфИ СГ;6, Опцг>
1 + ф/ + ‘К
где ф; == апг/<Ле, Л *=* 0.8 ... 1,0, он зависит от качества пластины.
Если несущие слои изготовлены из материала, имеющего четко
выраженную площадку текучести, то действительное критическое
напряжение определяют из выражений
Ст = Л<Ле при а{е < отг;
&1к ~ Л^т При 01е 0-Г1-
По найденным значениям о1й, азк вычисляют критические уси-
лия на единицу ширины пластины по формулам
5^1 23А1
Ри = » Рк = <%к •
Из двух значений рк выбирают меньшее, которое принимают
за действительную критическую нагрузку.
Таким образом, ограничения по критической нагрузке общей
потери устойчивости имеют вид (7.3) или (7.4), где ав;, апц;, от;
вводятся с учетом заданной температуры.
Ограничения по местной устойчивости несущих слоев
, ЪГ=----
1,82/; V Е;Д336 при с//;>с?;
г--г^— (7.5)
1,16/; |/ 2-у-Е;Е33 при с/ЦСй,
где С = 0,5(Сш + С233); <1 = 0,41/
У °133
!{> — (Д •
1=1, 2 —номер слоя, % —коэффициент, учитывающий способ за-
крепления кромок пластины (2. = 1 при свободно опертых кромках,
% = 2 при защемленных кромках).
Условие прочности и устойчивости сот имеет вид
б’44рЛ Ча
/ст^"1 (с Н- Л‘)
*кр. ст>
®иртш = пйп([ов]ст, ост); (7.6)
( цсгст при СГст СГПц. ст,
I Л [СТпц. ст 4~ (Ив. ст Ппц. ст)( 1 ~~ Ост При Ост > *-^пц.Ст>
(7.7)
где а>0А—заданные значения начальной погиби; опц. ст, ов#ст —
пределы пропорциональности и прочности материала сот; ост =
= 1,73ЕМСТ (^т/а)2^ъ кг —коэффициент (рис. 2.20).
Задача сводится к нахождению вектора управляющих перемен-
ных, минимизирующих целевую функцию (7.2) и удовлетворяющую
выражениям (7.6), (7.7).
Задача нелинейного программирования имеет вид
М (р) = 2|_11|_12 + 1,54р2Цз(1 — 2|.11)рм.сгР71
.. 1 Рк
при условии О,^
| При €Ге<^СГПц^,
СГд =2 7 _
I Т] (2 **“ ОщЦОе ) При
а, = 18,35- Ра (1 - И?) (опц/ - 0,5ов/)
или
5,17-106Чрз при й>48;
5,17- 10°т/ Рз^’1 при й<48,
где к=* 18,9112^1 (1 — 2р1)/р3; й = (1 — 2р1)/(2щ); О,975рГ0'8;
== /г-/(с + 2/;); Ра — (с +' 2/г)//0; р3 =® /ст/а; I ~ 1, 2 — номер
слоя. Так как рассматривается задача оптимизации пластины сим-
метричной структуры, можно решать задачу при любом значении I.
3. Оптимизация трехслойных плоских прямоугольных пластин
с легким заполнителем при изгибе равномерно распределенной на-
грузкой д и сжатии силой р, действующей в плоскости срединной
поверхности (см. рис. 3.15).
Пластина имеет симметричную структуру, т. е. — I.
Принято, что /ь2 «с. В пластине используется сплошной запол-
нитель, прочностные и жесткостные характеристики которого свя-
заны с плотностью зависимостями вида
Тхгдоп = фрз. (7.8)
О«з = ф,оар, (7.9)
где ф, п, <р, р — величины, зависящие от свойств заполнителя (см
гл. 2).
Из условия обеспечения требуемой прочности несущих слоев
трехслойной пластины (аг < доп) оптимальная толщина запол-
нителя и несущих слоев
, 2п — 1 Г---------------------
п _ . ь а/ / п ~ ч Ч
соит-2 V
/
Ч опт — йгг- г у
ОО1Д0ПС0ПТ
Рзопг = 2^7- (71°)
Из условия обеспечения совпадения требуемой предельной сжи-
мающей силы рг со значением критической нагрузки для пластин
следует
сОпт = 2]/^|-^т, (7.11)
где
______^1^0 пт_____
2 (ДзСопт/4 — А3)
(7-12)
РтКз а
Ф Ь2
Ь*~
Лз -- рт^2>
А =
А2 = 2хх
т2, Яц х2, х3 — коэффициенты, которые зависят от схемы нагру-
жения и закрепления кромок пластины и соотношения размеров
сторон:
для пластины, нагруженной равномерно распределенной на-
грузкой и сжимающей нагрузкой р, действующей в плоскости
срединной поверхности вдоль короткой стороны пластинки, в случае
шарнирного опирания кромок /Пх »= /п8 =Х1 = х2 =х8 «ж 1, в слу-
чае защемления кромок /Дх = 1/5, т2 = 2/3, «1 =4,ха = 1,х3 =4.
Для несущих слоев оптимальной будет наименьшая толщина,
допускаемая из условий жесткости и прочности при действии ста-
тических и динамических сосредоточенных усилий, местной устой-
чивости и технологических возможностей изготовления пластин.
Целевая функция имеет вид тк — 2р^ + р8с, где тк — масса
единицы площади пластины.
Вследствие небольшого диапазона возможных значений плотно-
стей заполнителя возможности создания оптимальных пластин
ограничены. Опыт проектирования и эксплуатации показывает,
что часто толщина несущих слоев определяется из технологических
соображений, а не из условий прочности и устойчивости, и принимает
минимальные значения, т. е. выходит на ограничение снизу по тол-
щине.
Из условия обеспечения требуемой прочности трехслойной пла-
стины выбор толщины заполнителя зависит от величины п: св =
= Стах при п > 1; св = Стт при п <? 1; при п = 1 эффективность
265
трехслойной пластины не зависит от толщины заполнителя, здесь
св — наиболее выгодная величина толщины заполнителя, сп,ах и
ст1п — максимальная и минимальная допустимые толщины запол-
нителей, определяемые технологическими возможностями изготовле-
ния.
Исходя из условия обеспечения требуемой жесткости (ау < ЩдОп),
оптимальную толщину заполнителя определяют при р > е из вы-
ражения
2рФ
С0ПТ— ’
где = иУдон/сГ; доп, Ф = ;
В случае свободного опирания длинных кромок пластин р2 = 1.
Если р > 2е — 1, то толщина заполнителя является наивыгод-
нейшей.
Условие совпадения требуемой сжимающей нагрузки рт с кри-
тическим значением рк выполняется при использовании выраже-
ний (7.10) . . . (7.12).
Плотность заполнителя, обеспечивающую выполнение условия
требуемой прочности при 4 2 = 4 г доп. вычисляют по формуле
(7.Ю).
Если расчетное значение оптимальной плотности выходит за
пределы возможных с точки зрения технологии, то плотность при-
нимают раВНОИ Рзт1п» еСЛИ Рзопт <^. Рз т!п» ИЛИ Рз тах> еСЛИ Рз опт
> Рзтах- В этом случае толщина заполнителя определяется следу-
ющими выражениями:
для обеспечения требуемой прочности (о,- < сг;доп)
с > ^тЛвагдоп/г);
для обеспечения требуемой жесткости
с^<7йт2/(2фрз);
для совпадения требуемой сжимающей нагрузки /г, с критиче-
ской (рт < ркр)
с > Л1 1 1 ( А1 V | 4У*3
Л2Рз V \ Л2Рз / Аг
используют приведенные выражения совместно с формулой
= л^.^.рг
^Р^доп ’
с Ш1 ——|- 4гп2 ,
где
т2
5 _ <?Ь4Р1 .
768
₽1 = 1 для случая свободного опирания длинных кромок пластины.
4. Расчет оптимальных по массе трехслойных пластин несим-
метричной структуры, работающих в условиях изгиба под действием
равномерно распределенного давления д. При расчете принято, что
значения модуля сдвига и предела прочности на сдвиг материала
заполнителя можно аппроксимировать выражениями (7.8), (7.9).
Из условия обеспечения требуемой жесткости толщину запол-
нителя можно определить по формуле
32а/2 (М°2ДОП ~Ь ^2°1 доп)
л6 (1 -р /2) к^Е^Е^ Щ'доп/0
где I = Ы1~, — коэффициент, который зависит от закрепления
кромок пластины и параметра I (табл. 7.1).
Таблица 71
ць Свободное опи- рание кромок при х = 0 и х — 1, жесткое защемление при у — +Ь!2 Жесткое за- щемление кро- мок И иь Свободное опи- рание кромок при х = 0 и х — 1, жесткое защемление при у = ±Ь/2 Жесткое за- щемление кро- мок Свободное опи- рание кромок
о а ч о ’ё м О рание кр<
1 >Ь 1 <Ь 1 > Ь 1 <Ь
1,0 0,0214 0,0214 0,0138 0,0433 1,8 0,0282 0,0799 0,0267 0,1017
1,1 0,0228 0,0276 0,0165 0,0530 1,9 0,0283 0,0863 0,0272 0,1064
1,2 0,0243 0,0349 0,0191 0,0616 2,0 0,0284 0,0987 0,0276 0,1204
1,3 0,0255 0,0425 0,0210 0,0697 3,0 0,0284 0,1276 0,0279 0,1336
1,4 0,0262 0,0504 0,0227 0,0770 4,0 0,0284 0,1389 0,0282 0,1400
1,5 0,0270 0,0582 0,0241 0,0843 5,0 0,0284 0,1412 0,0284 0,1416
1,6 1,7 0,0276 0,0280 0,0658 0,0730 0,0251 0,0260 0,0906 0,0964 0,0284 0,1422 0,0284 0,1422
Модуль сдвига заполнителя, соответствующий оптимальной тол-
щине заполнителя,
„ _л2 (1 + /2) кгдЕгЕг
30ПТ ~Г2(Ё1О2доп + Я2Щдоп)‘
Плотность этого заполнителя
" / п2(1-Н2)М№
Рз- I / “ = = '
| (р/2 (^1^2доп+ ЗДдоп)
Толщину несущих слоев при выбранном материале определяют
из выражения
______л6 (1 I2)2 Е^дЕ^Е^ (шдоп/0
32/4 (М°2доп + ^2°1доп) °1(2) доп
где для слоя 1 следует брать а1доп, а для слоя 2 — а2 доп.
Если трехслойная пластина подвержена длительному много-
кратному нагружению, то желательно, чтобы напряжения в несу-
щих слоях не превосходили предел текучести материала слоев,
т е. о1)2 << 011,2- В этом случае оптимальное значение толщины
заполнителя
сопт = №2Я291/5,
/ /2 \ 3/5
где 0,422 -Ц-) ;
Г + /2/
п _ Г I ^2^1+^1412 ) / Р-2 _|_ Р1 \ / “'тах \- Ч ' 5.
II )\ъ Н Ьц ГЦ I ) ] ’
7 = о.г1/от2; т)х, т]2—коэффициенты запаса, обеспечивающие на-
пряжения в несущих слоях, <т112 <ат112, г)Ь2 = ав 1>2/ат 1>2.
Рис. 7.2. Расчетная схема
трехопорной трехслой-
ной пластины, изгибаемой
по цилиндрической повер-
хности моментом М, рав-
номерно распределенным
на правой опоре
Модуль сдвига заполнителя, соответствующий оптимальной тол-
щине, определяют из выражения 0ЗОПТ = ^з^зЦ5, гДе = 0,755 х
X 1/2/(1 + /2)12/5;
~р т2/5
________________^1^2________________
(Ё2?,1]1 + Ер)2) ((>1Т12 + р! 1)1) (Ц>доп/02<₽°’5]
Плотность заполнителя р30Пт = 1Ф’1^з?4/5-
5. Оптимизация массы неразрезной двухпролетной пластины
симметричной структуры, изгибаемой по цилиндрической поверх-
ности (рис. 7.2). Пластина нагружена равномерно распределенным
по правой опоре [71 ] моментом, интенсивность которого на единицу
ширины равна М.
Заданы Л4, ширина пластины Ь, длина пролетов и /1Г, толщина
заполнителя с, постоянная по длине пластинки, материалы несу-
щих слоев и заполнителя, допустимые углы поворота нейтральной
поверхности пластины 02 на правой опоре или максимальный прогиб
правого пролета йУтахг-
Толщину несущих слоев выбирают из условия I с /112 < /,
где нижняя граница определяется технологией изготовления и тре-
бованиями эксплуатации, а верхняя — возможностью использо-
вания теории трехслойных пластин, где принято 1ц^!с С 1-
Цилиндрическая жесткость пролетов пластин должна удовлетво-
рять ограничениям В\ (2) < В\ <2) / < В[ (2), которые соответствуют
I С Л <2) С I-
Податливость (упругая интегральная жесткость) пластины
А - МЧ'и (4Ц + 3/10/112 (/,' + Г„)] = М02 = (7.13)
где Г/ = 2//.Г1 (2)Ьс2Л (2) (/ = 1, I !)•
Податливость удовлетворяет ограничениям Л < Л < Л, где
Л и Л—значения податливости, определяемые из (7.13) при В] (2) прйВ=
= В\ (2) лев = В\ (2) ИЛИ В\ (2) прав = В\ (2) лев = В\ (2).
Податливость должна обеспечивать деформацию, не превышаю-
щую допустимую (йУтах2 или 62).
Масса пластины на единицу ширины
т = 2 (/1 (2) прав^1 + 6 (2) лев/п) Р1 (2) 4~ С (11 -| /ц) Рз-
Оптимальная жесткость пластины, обеспечивающая минималь-
ную массу, следующая.
А. В1 (2) = 0. При 11/1п = 1/2,
(4 А + 2И) + (1) ; (7.14)
В\ (2) лев == (2) прав» (7.15)
где р = Ц [1 (^г/^п)2]/3 — Мп-
При 11/1ц 1/2 пластина оптимальной структуры не имеет
первого пролета, т. е. В1(2)Лев=0; Вх (2) праБ = МЧц/Зс.
Б. В(2) =0. При 11/Ц <1/2 В\ (2) прав И В[ (2) лев определяют
так же, как в случае А. Если В1(2)лев <В1(2), то при М/ц < 1/2
положив В\ (2) Лсв = В[ (2) и решив относительно р уравнение
(Л42/ц/4сБ1 (2)) р2 — (1 — МЧ1/ЗсВ1 (2)) р — 1\/1ц = 0.
найдем В1(2)Прав из выражения (7.14) при полученном значении р.
В. Полагаем В} (2) прав = В\ (2) и определяем В1.2лев из (7.15)
при значении р, определенном из выражения
= 1'11и <2>} / <2> “ ^г}
5. Оптимальные по жесткости трехслойные пластины. Цилин-
дрическая жесткость пластины равна П3/, где Р3 = Е1 ^с2/4.
Пластина оперта по контуру Г, ограничивающему область О
в плоскости х()у. Объем материала несущих слоев V предполагается
заданным:
\\1(1хс1у--У. (7.16)
Толщина заполнителя считается постоянной по площади й, т. е.
с = сопзЕ
Область й симметрична относительно начала координат, а на-
грузка в виде сосредоточенной силы приложена в начале координат,
т. е. д = р& (х, у), где 6 —символ дельта-функции.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции I, удовле-
творяющей изопериметрическому условию (7.16) и доставляющей
минимум величине прогиба пластины а) (0, 0) в начале координат.
Необходимые л достаточные условия оптимальности имеют вид
+ ™?уу + (2/1}ххгШуУ + 2 (1 — V, (2)) и?ху = X2,
где X2 — множитель Лагранжа.
Методика решения оптимальной задачи изложена в работе [6].
Для круглой трехслойной пластинки симметричного строения (4 =
— 12 = () радиуса г0 решение проводится в полярных координатах
(г, <р). Оптимальное распределение толщины несущих слоев описы-
вается зависимостью
/ = — (4У/Го) 1п (г/г0),
где г — текущее значение координаты.
Выигрыш по функционалу прогиба
г| = [и> (0, 0) —до* (0, 0)]/до (0, 0) = 1 —2/(3 + у1>2),
где ДО* (0, 0), V) (0, 0) — прогибы в точке приложения силы для
пластины с оптимальным распределением толщины и пластины с по-
стоянной толщиной несущих слоев соответственно.
Значение г] меняется в пределах 33 ... 56 % в зависимости от
значения у1)2, определяемого коэффициентом Пуассона.
6. В работах [2, 3 ] приведены графики для расчета оптимальных
параметров пластин, работающих на продольное равномерное сжа-
тие в условиях цилиндрического изгиба. Пластины имеют симме-
тричное строение и заполнитель из неармированного и армирован-
ного пенопласта, нормального шестигранного сотового заполнителя.
7. В работе [4] приведены графики для расчета оптимальных
параметров пластин, работающих на продольное сжатие в условиях
цилиндрического изгиба при равномерном нагреве несущих слоев.
Графики можно использовать при различных условиях опирания
плоских и криволинейных панелей путем расчета некоторой экви-
валентной по жесткости этим панелям прямоугольной пластины.
8. В работе [23] приведены графики для определения оптималь-
ных параметров трехслойных прямоугольных пластинок шириной Ь,
защемленных по продольным кромкам и нагруженных сжимающей
силой Р. Графики построены для несущих слоев из алюминиевого
сплава АМг5 и шестигранного сотового заполнителя, у которого
Сх23//гПр = 0,5 МПа.
На рис. 7.3 приведены зависимости оптимальных значений коэф-
фициента увеличения массы трехслойной пластины за счет введения
заполнителя, не несущего продольной нагрузки 60пт, /гпр. опт»
(с/й)опт, (6 (2)/сОпт), ^опТ и получающихся при этих оптимальных
параметрах значений аЭКв и окр. опт от параметров к и к', где 6 —
= 1 + ^прс/(2^1 (2>); = 2й/с; сГэкв = 0кр$-1 — эквивалентное на-
пряжение.
Эквивалентное напряжение характеризует степень снижения
критической нагрузки в трехслойной конструкции по сравнению
с однослойной той же толщины за счет наличия несущего заполни-
теля. При оптимизации следует добиваться, чтобы аЭКЕ -> ов 1>2,
т. е. коэффициент эффективности трехслойной пластины
Ю Кобелев В. Н. и др.
273
С
°дв ____
°1(2)
°КР
°В 1, 2
пр о/
4 4(2),
9. При проектировании летательных аппаратов размеры отсе-
ков (агрегатов) корпусов и фюзеляжей, их форма и материалы могут
О'- О
0,04
-0,03 -
-0,02-
-0,01 -
кпрОт
№опг
(Щт
0,03 Р
а)
Рис. 7.3. Зависимость оптимальных параметров трехслойной пластины с сотовым
заполнителем при продольном сжатии силой Р от параметров:
а — к = Р/Ь2; б — к' = Р/2йпрЬ2:
— ®кр опт’’ \>пт: 3 ~ $экв тах(°)' ^экв/^вх,»^): 4 — (^/^>опт: ® —®опт’
6 ~ 1/Кпр Опт: 7 — (^г/Юопт
$от
3
2
1
определяться назначением аппарата. Тогда снизить массу несимме-
тричной оболочки можно главным образом за счет рационального
выбора относительных толщин слоев, например
6 = 12!Яя, ? = 4^2» Ы = С^2-
Часто несущая способность оболочек определяется их жестко-
стью, для обеспечения которой требуется увеличение массы кон-
струкции, поэтому задача массовой оптимизации может решаться
как обратная задача устойчивости. Ограничениями в ней при раз-
личных внешних силах будут уравнения вида (6.10), (6.11), (6.14),
(6.15), (6.18) . . . (6.20). Функция цели имеет вид
г- 1 1 дЭ , , дЭ . . дЭ
Ф = Р 4- Л.-5Г- + Л.-5Т- + К -з—,
1 1 йё; 1 2 йтр 1 3 дп ’
где Р = 2л/?1/6 (?2 + у 4 + уз^() — вес оболочки; X, — неопределен-
ные множители Лагранжа; обозначения остальных величин
соответствуют приведенным к уравнениям (6.12), (6.16), (6.17).
Уравнения задачи
дф=0. бФ=0. _аф=о.
йб ’ й? и’ дН( ’
-?- = 0; -^- = 0; -^- = 0; (7.17)
Й? ’ ЙАр ’ ЙП ' '
дЭ _____ дЭ ____дЭ ________„
~ йф“ ~ “йУ — 0
решают численно, например, методом скорейшего спуска с дополни-
тельным уточнением шага.
Система (7.17) состоит из нелинейных уравнений вида (х8) = 0.
Известно, что при минимальном некоторая функция <р (х8) =
= !□/? (^5) принимает нулевое значение. Вычисления сводятся к опре-
делению чисел
д д<р (*8а)
х5(А+1) — хь р* дх^ ,
где Рь = <р (х5к)/ ^ ( • Решение может сходиться мед-
ленно. Для улучшения сходимости вводят дополнительный мно-
житель а = 1, 2, 3, . . ., п или а = 1/2г, где г = 1, 2, 3, . . ., п.
Если <р (х8(А+1)) < <р (х1к) при а = 1, то выбирают такое а= п,
чтобы
ф|> - (п + 1) ₽л > ф к* - «рй ,
т. е. шаг увеличивается.
Если <р (х5 <*+!)) > ф (хцк) при а = 1, то выбирают такое а =
= 1/2п, при котором
„ Г„______1 д д<р (х8к) Г„_______1_о д<р (х8к) ~|
фр* 2»+1 Рь дХ8к ]г*фрь 2п₽й дХ8к ]•
При таком выборе шага процесс сходится достаточно быстро. Влия-
ние размеров оболочки несимметричного строения на оптимальные
значения параметров Н{, I, 8 при нагружении по части внешней
поверхности давлением, изменяющимся в кольцевом направлении
по закону 7 = с/0 сок2 <р, где 0 с (р < л, показано на рис. 7.4, а
взаимосвязь их при осевом сжатии на рис. 7.5.
При расчете оптимальных параметров исходят из условия целости
связи между несущими слоями и заполнителем. Экспериментально
установлено, что при большой относительной толщине заполнителя
50) возможен его отрыв от несущих слоев. В этом случае для
повышения надежности расчета
образно вычислять напряжения
при критической нагрузке.
оптимальных параметров целесо-
в заполнителе или клеевых швах
7.3. СРАВНЕНИЕ МАССОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК И ДРУГИХ
ТИПОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Для оценки целесообразности использования трехслойных кон-
струкций вместо других типов пластин и оболочек в ряде работ
получены аналитические зависимости, позволяющие сформулировать
условия, при которых такая замена эффективна. Критерием эффек-
тивности в большинстве случаев является масса конструкции, хотя
в ряде случаев используют стоимостные показатели.
Условием равноценной замены наборных и гофрированных
пластин трехслойными при свободном опирании в случае
276
цилиндрического изгиба является выполнение следующих соотно-
шений:
(с + (2)) 6 (2) ——— №*;
а 1 (2) доп
(С + /1 (2>)== 4
о ДОП
Т133^
Г*;
(с + 6(2))2/1(2)^2(1+й)^-/*;
где (Тдоп —допускаемые напряжения материала, из которого изго-
товлена наборная или гофрированная конструкция; = Ы/(2И) —
Рис. 7.6. Диапазон применения трехслойных оболочек:
а — при действии осевой сжимающей силы; б — при действии внешнего избыточного давле-
ния
меньшая из величин, определяемых расчетом момента сопротивления
подкрепляющей балки (гофра), отнесенная к расстоянию между
гофрами или ребрами жесткости; I — толщина обшивки наборной
или гофрированной конструкции; Е* — модуль упругости мате-
риала, из которого изготовлена наборная или гофрированная кон-
струкция; I* — меньшая из величин, определяемая как момент
инерции элемента подкрепления (гофра) с присоединенным пояском,
отнесенная к единице ширины пластины; /* «=< (0,333 . . . 0,400) х
X (Ь//Лх)2 1г, Их — наибольшая ширина плоского участка гофри-
рованной конструкции или расстояние между ребрами жесткости
наборной конструкции.
В работе [15] приведены зависимости, позволяющие сравнить
эффективность применения трехслойных и вафельных цилиндри-
ческих оболочек при нагружении осевой сжимающей силой р или
внешним равномерным избыточным давлением д (рис. 7.6). Области,
лежащие выше линии А—А, являются областями эффективного
применения вафельных оболочек. Области, лежащие ниже прямых,
эффективны для применения трехслойных оболочек с соответству-
ющими параметрами,
Для случая нагружения осевой силой р коэффициент, показы-
вающий эффективность применения того или иного типа оболочки
Ка = 0,303 (2 + 0,950ДГгр),
— ж г 4зТСГ_
где р = Рз/Р1 (2), Мр = —р----------—,
(2)Ркр
Ркр = 4лД^р*.
Рис. 7.7. Зависимость параметров Ыр и от критической нагрузки:]
а — влияние радиуса оболочки Ц на Л^; б — влияние удлинения оболочки иа ДГ при
^кр •> °>2 МПа; в — влияние удлинения оболочки на К при 2 МПа >^кр<0,2 МПа;
е — влияние удлинения оболочки иа Л'^ при <укр < 0,2 МПа
Для случая нагружения равномерным внешним давлением
Ка = 0,545
2 4-0,71^
(1 -|-О,71Л^)0-6
где = 2
СТТ 1(2)
<?кр
/ атцр I \2/3.
\ ^1(2) /
</кр = 2д В1(2)^1(2)//?з;
р* и 7* — параметры критической нагрузки.
Зависимость параметров ЛД и от соотношений размеров обо-
лочки с несущими слоями из алюминиевых сплавов показана на
рис, 7,7.
На рис. 7.8 приведены зависимости максимальных напряжений
для различного типа подкрепленных и трехслойных пластин от
параметра РН. Они позволяют приближенно определить области
применения различных конструкций [23].
Рис. 7.8. Зависимость среднего раз-
рушающего напряжения при сжа-
тии тонкостенных конструкций раз-
личного типа от параметра Р/Г.
1 — трехслойная панель с шестигран-
ным заполнителем; 2 — стрингерная
панель (стрингер ±-образного сече-
ния); 3 — стрингерная панель (стрин-
гер 2-образиого сечеиия); 4 — стрин-
герная панель (стрингер п-образиого се-
чения); 5 — стрингерная панель (стрин-
гер 2-образного сечения); 6 — стрин-
герная панель (стрингер Л -образного
сечения)
7.4. НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИБЛИЖЕННОМУ
ОПТИМАЛЬНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ
Вследствие сложности задач оптимизации массы трехслойных
пластин и оболочек имеется решение лишь очень небольшого числа
задач при весьма существенных ограничениях и в основном для
идеальных расчетных схем. Для случаев нагружения и закрепления
трехслойных пластинок и оболочек, которые не имеют решения,
можно указать ряд общих правил проектирования, которые могут
позволить определить с большей или меньшей точностью оптималь-
ные параметры пластин или оболочки.
При проектировании трехслойных конструкций с армированным
заполнителем, армирующие элементы следует располагать вдоль
направления действия изгибающих и сжимающих сил, так как
модуль упругости заполнителя растет при этом главным образом
в направлении армирования, а в направлении, нормальном к арми-
рующему элементу, увеличивается мало.
Размеры и форму ячейки дискретного заполнителя необходимо
выбирать так, чтобы в их контуре напряжения местной потери
устойчивости участка несущего слоя находились в пластической
области. Это сохраняет форму поверхности конструкции. Исследо-
ваниями установлено, что такое требование может быть удовлетво-
рено, если отношение размера стороны ячейки к толщине несущего
слоя будет равно или меньше 25, т. е. справедливо соотношение
аД1 (2) < 25, где а — размер стороны или радиус окружности ячейки
дискретного заполнителя [23].
В конструкции с заполнителем желательно, чтобы относитель-
ные жесткости несущих слоев (2)/р1 <2>; Сх (2)/рт (2) и заполнителя
Егз/р3, С,73/р3 были равны. Это обеспечивает приближение к пара-
метрам трехслойной конструкции. Однако практика показывает,
что добиться соблюдения подобного условия при изготовлении несу-
щего слоя и заполнителя из одинаковых материалов невозможно,
поэтому рационально изготовлять конструкции комбинирован-
ного типа, т. е. несущие слои и заполнитель из разных мате-
риалов.
При проектировании трехслойных конструкций в зоне их сты-
ковки с другими узлами или агрегатами или друг с другом, либо
в зоне установки подкрепления (узлов крепления насыщения, лю-
ков) одновременно проектируют различные компенсирующие эле-
менты. Их масса бывает значительна, и относительная доля ее в
массе трехслойной конструкции выше, чем в однослойной, вслед-
ствие плохой работы трехслойной конструкции в зоне приложения
сосредоточенных сил. При этом относительная масса компенсиру-
ющих элементов растет с уменьшением площади поверхности кон-
струкции.
На основании экспериментальных данных и анализа существу-
ющих конструкций по их массовой эффективности можно сделать
вывод, что эффективность трехслойных конструкций зависит при
прочих равных условиях от соотношения габаритных размеров.
Целесообразно соблюдать следующие соотношения:
для плоских панелей ЫН > 50,
для криволинейных панелей > 20,
для оболочек ИН > 50 и Еа/Н > 20.
Для повышения массовой эффективности и надежности трех-
слойных конструкций необходимо тщательно рассчитывать зоны
приложения сосредоточенных сил, передачи нагрузок на опорные
узлы через один слой и т. п. При проектировании трехслойных
конструкций необходимо предусматривать совмещение функцио-
нального назначения этих конструкций или отдельных частей с
несущей способностью конструкции в целом.
Эффективность трехслойных конструкций тем выше, чем больше
удельная жесткость несущих слоев на изгиб. В первом приближении
наивыгоднейшее соотношение между толщинами несущих слоев и
заполнителя, обеспечивающее наибольший момент сопротивления
сечения при минимальной массе, можно найти по максимуму
отношения ^трт/]Х^ттр, где №тр, ттр, т — моменты сопро-
тивления сечения и массы 1 м2 трехслойной и сплошной кон-
струкции.
Расчетами установлено, что трехслойные конструкции в массо-
вом отношении тем эффективнее, чем больше радиус кривизны
пластинки и оболочки. Особенно эффективны плоские трехслойные
пластинки; это объясняется тем, что при малых радиусах кривизны
влияние искривления поверхности на несущую способность обо-
лочки или криволинейной пластины выше, чем эффект увеличения
момента инерции за счет разнесения несущих слоев.
7.5. ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ ТИПА РАССЛОЕНИЯ
НА ПАРАМЕТРЫ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
При проектировании трехслойных пластин и оболочек следует
учитывать возможность возникновения дефектов типа расслоения
в процессе изготовления конструкции или при ее эксплуатации.
Наличие этих дефектов необходимо учитывать при составлении
задачи оптимального проектирования, как ограничение.
Анализ напряженно-деформированного состояния трехслойной
пластины симметричной структуры, находящейся под действием
распределенной по участку поверхности нагрузки и имеющей сво-
бодно опертые кромки, показывает, что параметры напряженно-
деформированного состояния такой пластины при наличии расслое-
ния существенно отличаются от параметров бездефектной пластины.
Причем отмечается и количественное и качественное отличие, осо-
бенно в случае, если место дефекта не совпадает с местом приложе-
ния нагрузки.
Если расслоения сдвинуты относительно нагрузки, действующей
на верхний несущий слой в центре пролета, то кривая прогибов
становится несимметричной и максимальный прогиб возрастает
по сравнению с бездефектными конструкциями (см. рис. 4.32). Кроме
того, происходит смещение максимума прогиба в сторону зоны рас-
слоения. Положение максимального прогиба определяется разме-
рами расслоений. При определенной величине зоны расслоения
максимум прогиба совпадает с ближайшей к нагрузке границей
зоны расслоения.
Напряжения в несущих слоях трехслойной "пластины симме-
тричного строения равны по абсолютной величине, если заполни-
тель легкий и несжимаем в поперечном направлении. Сжимаемость
заполнителя при локальных нагрузках приводит к увеличении:
напряжений в несущем слое, к которому приложена нагрузка, нг
20 ... 25 % по сравнению с напряжениями другого слоя (см.
рис. 4.33). При этом разница в напряжениях при удалении от мест;
приложения локальной нагрузки быстро уменьшается и на расстоя
нии, большем 3/1>2 (1 + ^1(2), практически равна нулю на безде
фектных участках и в области зоны расслоения, где происходи'
значительное изменение напряженного состояния несущих слоев
Напряжения на внешних поверхностях несущих слоев при 0 (2> >
X (1 +11 (2>/2) и —(2)(1 + В) (2>/2) значительно возрастают в обла
сти зоны расслоения, ближайшей к месту’приложения нагрузки, ;
на противоположной границе’уменьшаются; при больших величина:
зон расслоений они могут” поменять знак (см. рис. 4.34—4.35). Эт
объясняется резкшг изгибом несущих слоев на границах зон рас
слоений. Поэтому напряжения на внутренних поверхностях несу
щих слоев 0Х 1 (2)/ изменяются противоположным образом: на бли
жайшей к нагрузке границе зоны расслоения уменьшаются, а н
противоположной — возрастают. Напряжения в срединных поверх
ностях несущих слоев оХ1,2ср в зоне расслоения остаются практи
чески постоянными по длине (см. рис. 4.36).
Рис. 7.9. Зависимость относительного проги-
ба трехслойной балки от площади расслоения
и его локализации:
1 — отслоен верхний несущий слой (Е13 = 0);
2 — отслоен верхний несущий слой (Е13 «=
.. 45 МПа); 3 — отслоены оба несущих слоя
(Е13 = 45 МПа)
Касательные напряжения в за-
полнителе тхгз резко возрастают
на границах зоны расслоения со
стороны бездефектных участков и
равны нулю в зоне расслоения (см.
рис. 4.37, 4.38).
Возрастание характеристик на-
пряженно-деформированного состоя-
ния зависит в первую очередь от размеров зоны расслоения.
На рис. 7.9 ... 7.11 приведены зависимости относительных макси-
мальных прогибов = Щпах рас/Щпах 0. Напряжений В НССуЩИХ
Рис. 7.10. Зависимость относитель-
ных напряжений в несущих слоях
трсхслойной балки при изгибе от
размера расслоения и модуля упру-
гости материала заполнителя
Рис. 7.11. Относительные каса-
тельные напряжения в заполни-
теле при различных размерах
расслоения 5рас и модулях уп-
ругости
СЛОЯХ 0Х —Ох) (2) тах рас/6x1 (2) тах 0 И ЗЭПОЛНИТбЛе Т —- Т133 тах рас/ТгзЗ тах 0
от относительных размеров зоны расслоения. Напряжения возра-
стают при увеличении расслоения по линейному закону. Степень
возрастания напряжений сильно зависит от модуля упругости за-
полнителя, и для абсолютно легких заполнителей она будет гораздо
выше, чем для заполнителей, у которых модуль имеет конечное
значение. Если отслаиваются оба несущих слоя, то 61, и т воз-
растают в большей степени, чем когда отслоен один несущий слой.
Учет сжимаемости заполнителя практически не изменяет зависи-
мостей и т от размеров зоны расслоения и несколько уменьшает а,,
так как в этом случае максимальные напряжения в бездефектной
конструкции будут больше.
Анализ результатов расчетов трехслойных конструкций при
других параметрах нагружения и закрепления не выявил качествен-
ных отличий в характере напряженно-деформированного состояния
по сравнению с рассмотренным. То же самое можно сказать и в от-
ношении конструкций других типов (цилиндрические и сферические
оболочки), хотя количественные зависимости будут иными.
7.6. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЕТОМ РАССЛОЕНИЯ
При оценке влияния расслоения на напряженно-деформирован-
ное состояние трехслойных конструкций важно не только знать
характер изменения параметров этого состояния, но и определить
критические размеры зон расслоений, которые не приводят к раз-
рушению конструкции или к выходу за допустимые пределы пара-
метров напряженно-деформированного состояния, т. е. оценить не-
сущую способность или стойкость конструкции к расслоениям.
В качестве основного параметра, позволяющего оценить влияние
расслоения на несущую способность трехслойной пластины или
оболочки, применяют относительную площадь зоны расслоения 5.
Критические или допустимые относительные размеры зоны расслое-
ния, при которых конструкция удовлетворяет условиям жесткости,
прочности и местной устойчивости или в общем случае условиям
сохранения несущей способности, записывают в следующем виде:
ф < Ф01Д. (7.18)
где <р—фактор, определяющий напряженно-деформированное со-
стояние в окрестности рассматриваемой точки; фОг1 — значение
фактора, соответствующее наступлению предельного состояния;
к — коэффициент запаса.
Предположим, что условия (7.18) для бездефектных конструкций
и для конструкций с расслоениями имеют один и тот же вид, а пре-
дельные значения факторов фоп и фопС разные. Запишем условия
(7.18) для бездефектных конструкций, считая
фоп < Фопс = [ф]: ф° < [ф]/к0\
для конструкций с расслоениями <рРас < [ф!/^рас.
Условие сохранения несущей способности в относительном виде
для конструкций с расслоениями
ф == срРа<7ф° = к0/крас, (7.19;
где к0, к-рас — коэффициенты запаса для бездефектной и частичнс
расслоенной конструкции, причем 1 < &рас < к0. Если /грас — к0,
то при определенных условиях малейшая зона расслоения може1
вызвать нарушение условия (7.19). Будем считать крас = 1. В этол-
случае конструкция удовлетворяет требованиям сохранения не-
сущей способности без лишнего запаса.
Окончательно условие (7.19) примет вид ф < к0. Коэффициент
запаса к0 = [<р]/<р° определяется отношением допускаемого значе-
ния фактора [ср ] к его расчетному значению <р° для бездефектной
конструкции.
Потеря работоспособности конструкции вследствие наличия рас-
слоений может произойти:
при разрушении или пластическом деформировании несущих
слоев при действии нормальных напряжений, возрастающих от
расслоений в конструкциях;
при разрушении заполнителя от напряжений сдвига, также
возрастающих при наличии расслоений в конструкциях, разруше-
ние заполнителя от сжатия в поперечном направлении при расчет-
ном нагружении практически не зависит от наличия расслоений;
при значительном расслоении конструкции, когда за счет раз-
рушения соединительного слоя происходит прогрессирующее уве-
личение начальной зоны расслоения, которая является как бы
инициатором этого процесса, в конечном итоге увеличение зоны
расслоения приводит к значительному снижению жесткости кон-
струкции и разрушению несущих слоев и заполнителя;
в результате местной потери устойчивости несущего слоя в зоне
расслоения, что может привести к выпучиванию несущего слоя,
его разрушению или отрыву от заполнителя;
в результате значительного снижения жесткости конструкции
ее перемещения становятся выше предельно допустимых, обуслов-
ленных функциональным назначением данной конструкции.
Таким образом, условия сохранения работоспособности распадают-
ся на пять отдельных условий, каждому из которых соответствует
определенный критерий работоспособности трехслойных конструкций.
Для трехслойной пластины с несущими слоями из пластичных
материалов, которая находится в условиях цилиндрического из-
гиба, с использованием третьего критерия прочности условие проч-
ности, соответствующее первому из указанных выше случаев потери
работоспособности, имеет вид
< к0, (7.20)
где сх = Ох тах/охтах — относительное максимальное напряжение,
определяемое отношением максимального напряжения в конструк-
ции с расслоением к максимальному напряжению в бездефектной
конструкции при той же нагрузке;
к0 — [оД/о^тах — коэффициент запаса, который определяется отно-
шением допускаемых напряжений к расчетным в бездефектной кон-
струкции.
Задав коэффициент запаса, можно с помощью зависимости =
= / (5) определить допускаемые относительные размеры зоны рас-
слоения.
Для заполнителя при цилиндрическом изгибе трехслойной пла-
стины условие прочности во втором случае потери работоспособно-
сти имеет вид
Т133
где /гот — [Т1зз в]/т?зз — коэффициент запаса, определяемый отно-
шением допускаемых касательных напряжений для заполнителя
к расчетным касательным напряжениям в бездефектной конструк-
ции.
Зная кох, с помощью зависимостей тХ2 = / (5) определяют допу-
скаемые относительные размеры зоны расслоения по касательным
напряжениям.
Для соединительного слоя при наличии в конструкции расслое-
ний условие прочности, соответствующее условию невозрастания
начальных зон расслоения, определяется на основе условия проч-
ности, учитывающего возможность разрушения этого слоя либо от
касательных напряжений Т133, либо от нормальных напряжений о33,
либо от их совместного действия:
1 — ("Гш/тУзз)2 — 0,5 (Озз/ Озз) [ 1 ~ф 8§П (О33)] 0,
где т®зз, Озз — расчетные касательные и нормальные напряже-
ния,
Т1зз — [Т1зз]/^от; °зз = [°зз]^оа-
Значения допускаемых напряжений [т133] и [о33] для конкрет-
ных типов соединительных слоев (различные виды клеевых или
паяных соединений и т. д.) определяют экспериментально или рас-
четом. Так как напряжения о33 практически не зависят от наличия
расслоений, это условие можно переписать в следующем виде:
для бездефектной конструкции
(Т13зД13з)о = 1 — 0,5 (озз/озз)о [ 1 -ф5ёп(°зз)1,
для конструкции с расслоениями
(т!3з/т13з)рас — р 1 — 0,5 ( Озз/ °3з)рас [ 1 + (Озз)].
Разделив эти выражения друг на друга с учетом того, что их
правые части равны, получим
т133 рас/Т1зз о = Т|33 < Т^зз Г)ас7т133 О = &0т- (7.22)
Сравнивая выражение (7.21) с (7.22) можно, сделать вывод, что
условия прочности для заполнителя и соединительного слоя оди-
наковые и определяются касательными напряжениями. Возрастание
касательных напряжений в соединительном слое при наличии рас-
слоений может привести к увеличению исходной площади зон рас-
слоения, если будет нарушено условие (7.22). Задав или определив
с помощью зависимостей т133 = / (5), построенных для соединитель-
ных слоев, определяют допустимые относительные размеры зоны
расслоения из условия прочности соединительного слоя.
Расслоения вызывают не только снижение предела прочности
конструкции, но могут вызвать и местную потерю устойчивости
несущего слоя в зоне расслоения. Условие местной устойчивости
для случая цилиндрического изгиба пластин
Р < (7.23)
гДе рКр — критическая нагрузка местной потери устойчивости; /г0,, —
коэффициент запаса.
С помощью этого условия можно определить критические раз-
меры зоны расслоения по устойчивости.
Последним из указанных случаев потери работоспособности
конструкции является значительное снижение ее жесткости при
наличии расслоений. Используя в качестве основной характери-
стики жесткости конструкции величину /7Ш = 1/ау, условие работо-
способности запишем в виде 117п < к^, где кои1 — [йу ]/оу0 — коэф-
фициент запаса, равный отношению допускаемого максимального
прогиба к расчетному.
Допускаемый максимальный прогиб определяется функциональ-
ным назначением конструкции.
Аналогично записывается условие для конструкции с расслоением:
^рас ^рас ю> ГДе краС ц, = [йУ]/йУрас.
Приняв /грает = 1, получаем
Ф = И’рас/И’о < Лои,- (7.24)
С помощью зависимостей ву = / (5), полученных для рассматривае-
мых случаев, определяют допускаемые относительные размеры рас-
слоений. Используя условия потери работоспособности вследствие
расслоения (7.20) . . . (7.24), можно определить пять значений
допускаемых относительных размеров зон расслоений, которые
соответствуют пяти рассмотренным случаям потери работоспособ-
ности. Опасной или критической зоной расслоения будет наимень-
шая из них.
Совокупность зависимостей характеристик напряженно-дефор-
мированного состояния от параметров расслоений для различных
конструкций можно представить в виде номограмм (см. рис. 7.12).
С их помощью определяют степень увеличения характеристик на-
пряженно-деформированного состояния (максимальных касатель-
ных и нормальных напряжений, прогибов) в зависимости от размеров
расслоений для конкретной конструкции либо допускаемые раз-
меры расслоений при заданной степени возможного увеличения
напряжений и прогибов при наличии дефектов. Так как задача ре-
шается в линейной постановке, можно считать, что увеличение на-
пряжений в конструкции при наличии расслоений пропорционально
снижению разрушающих нагрузок. Зная разрушающие нагрузки
для бездефектной конструкции, можно определить соответствующие
нагрузки для конструкции с расслоениями: с помощью номограмм
находят, во сколько раз увеличились напряжения, и во столько же
раз уменьшают допускаемые нагрузки для бездефектной конструкции.
Для определения снижения работоспособности с помощью номо-
грамм следует выбрать на верхней оси абсцисс относительный размер
расслоения 5рас> влияние которого оценивают. Затем опустить пер-
пендикуляр до пересечения с кривой, соответствующей толщине
заполнителя рассчитываемой панели с. Из точки пересечения про-
вести прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с кривой,
соответствующей толщине несущих слоев пластины 1^. Из точки
0,2 0,4 0,6
и)
6так о
Ьагары
Рис. 7.12.
ределения
Номограммы для оп-
степени снижения
работоспособности трехслойной
конструкции с расслоениями:
а — и'тахо/а'тах рас; ® —
°тахо/ап1ах рас1
е ~ Ттах оЛтах рас
пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс и определить
степень снижения работоспособности пластины вследствие наличия
расслоения.
Номограммы можно построить лишь для конструкций, у которых
допустимо принять Е18 = 0.
В качестве примера на рис. 7.12 приведены номограммы для
определения увеличения деформаций, напряжений в несущих слоях
и касательных напряжений в заполнителе при заданных размерах
расслоений в трехслойных пластинах с одной зоной расслоения
размером 5 при заданных Оу, т133 при цилиндрическом изгибе.
Номограмма для определения касательных напряжений в заполни-
теле (рис. 7.12, в) при наличии расслоений построена для некоторых
Таблица 7.2
5 С, мм —
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0,05 0,980 0,495 0,302 0,961 0,603 0,524 0,959 0,610 0,468 Е13 — 1 0,968 0,713 0,550 0 МПа 0,980 0,844 0,655 0,990 0,982 0,750 0,997 0,817 0,854 0,880
0,10 0,884 0,758 0,711 0,723 0,756 0,791 0,824 0,852 0,876
0,501 0,357 0,365 0,463 0,538 0,656 0,777 0,895
0,207 0,232 0,305 0,409 0,519 0,519 0,690 0,746 0,786
0,15 0,702 0,463 0,391 0,396 0,429 0,473 0,521 0,538 0,613
0,365 0,254 0,259 0,314 0,395 0,491 0,595 0,701 0,806
0,148 0,168 0,226 0,316 0,418 0,516 0,597 0,662 0,710
0,490 0,264 0,212 0,213 0,234 0,263 0,295 0,329 0,363
0,20 0,288 0,196 0,201 0,245 0,311 0,392 0,481 0,575 0,670
0,115 0,131 0,180 0,257 0,350 0,444 0,527 0,595 0,648
0,25 0,329 0,159 0,124 0,125 0,137 0,156 0,177 0,199 0,223
0,237 0,160 0,164 0,200 0,256 0.326 0,403 0,487 0,572
0,094 0,108 0,149 0,217 0,301 0,390 0,471 0,540 0,595
0,979 0,950 0,931 = 5 0,930 МПа 0,938 0,939 0,959 0,969 0,977
0,05 0,784 0,551 0,499 0,530 0,604 0,699 0,804 0,910
0,378 0,349 0,399 0,480 0,572 0,657 0,727 0,781 0,821
0,880 0,726 0,630 0,600 0,610 0,639 0,673 0,706 0,757
0,10 0,510 0,340 0,320 0 316 0,364 0,450 0,522 0,593 0,682
0,220 0,222 0,262 0,314 0,402 0,500 0,570 0,641 0,697
0,696 0,425 0,316 0,286 0,290 0,310 0,338 0,370 0,403
0,15 0,359 0,227 0,201 0,216 0,253 0,306 0,369 0,439 0,513
0,415 0,151 0,189 0,236 0,308 0,390 0,470 0,543 0,605
0,483 0,238 0,165 0,147 0,148 0,160 0,176 0.195 0,216
0,20 0,282 0,175 0,155 0,166 0,196 0,238 0,290 0,348 0,410
0,113 0,118 0,143 0,188 0,250 0,324 0,399 0,471 0,535
0,324 0,142 0,096 0,084 0,085 0,091 0,101 0,114 0,125
0,25 0,233 0,143 0,125 0 135 0,160 0,195 0,238 0 288 0,342
0,093 0.097 0,117 0,156 0,211 0.277 0,347 0,410 0,479
288
Таблица 7.3
/2, мм с, мм
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0,50 0,956 0,544 0,329 0,933 0,521 0,470 0,948 0,688 0,652 0,968 0,895 0,778 0,983 0,850 0,993 0,889 0,999 0,912 0,926 0,938
0,972 0,939 0,931 0,941 0,955 0,968 0,979 0,989 0,996
0,75 0.669 0,500 0,525 0,628 0,761 0,901 0,880 0,910
0,322 0,396 0,474 0,597 0,703 0,779 0,831
0,979 0,950 0,931 0,930 0,938 0,949 0,959 0,969 0,979
1,00 0,784 0,551 0,499 0,530 0,604 0,699 0,804
0,378 0,349 0,399 0,480 0,572 0,657 0,727
0,983 0,950 0,938 0,928 0,929 0,936 0,945
1,25 0,883 0,619 0,523 0,506 0,536 0,593 0,667
0,361 0,354 0,377 0,424 0,489 0,561 0,630
0,985 0,964 0,944 0,931 0,926 0,928 0,935
1,50 0,967 0,689 0,565 0,518 0,516 0,544 0,591
0,386 0,371 0,377 0,403 0,446 0,500 0,558
0,986 0,968 0,949 0,935 0,927 0,926 0,928
1,75 1,000 0,757 0,614 0,546 0,521 0,527 0,553
0,412 0,391 0,388 0,400 0,427 0,465 0,511
0,987 0,970 0,953 0,939 0,930 0,925 0,925
2,00 1,000 0,821 0,667 0,583 0,542 0,530 0,539
0,436 0,413 0,403 0,407 0,423 0,449 0,483
0,987 0,972 0,957 0,943 0,933 0,927 0,925
2,25 1,000 0,883 0,721 0,625 0,571 0,546 0,941
0,459 0,434 0,421 0,419 0,427 0,444 0,469
Таблица 7.4
с, мм
мм 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0,50 0,967 0,954 0,357 0,972 0,701 0,570 0,992 0,966 0,757 0,853 0,898 0,920 0,938 0,950 0,958
0,75 0,975 0,689 0,332 0,960 0,592 0,422 0,970 0,706 0,574 0,985 0,882 0,709 0,997 0,853
1,00 0,980 0,495 0,302 0,961 0,603 0,254 0,959 0,610 0,463 0,968 0,712 0,550 0,980 0,844 0,655 0,990 0,982 0,750 0,997 0,817 0,854 0,880
1,25 0,983 0,889 0,364 0,964 0,651 0,371 0.955 0,598 0,470 0,958 0,636 0,500 0,967 0,721 0,589 0,976 0,826 0,671 0,984 0,960 0,766 0,998 0,856 0,946
289
Продолжение табл. 7.4
1а. мм С, мм
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0,985 0,967 0,955 0,553 0,958 0,966 0,990
1,50 0,970 0,710 0,617 0,612 0,657 0,731 0,850
0,388 0,381 0,406 0,458 0,526 0,599 0,670 0,722 0,810
0,986 0,970 0,957 0,951 0,952 0,957 0,964 0,988
1,75 0,771 0,652 0,616 0,631 0,677 0,734 0,832 0,980
0,413 0,398 0,408 0,440 0,490 0,548 0,614 0,686 0,768
0,987 0,972 0,959 0,951 0,949 0,952 0,960 0,980
2,00 0,932 0,696 0,637 0,628 0,642 0,668 0,704 0,752
0,437 0,418 0,418 0,437 0,471 0,540 0,642 0,768 0,920
0,987 0,973 0,960 0,951 0,947 0,946 0,978 0,950 0,974
2,25 0,891 0,743 0,668 0,641 0,622 0,620 0,634 0,674
0,459 0,438 0,432 0,441 0,465 0,495 0,528 0,562 0,600
Таблица 7.5
/2, мм С, мм
5 10 (5 20 25 30 35 40 45
0,733 0,587 0,609 0,668 0,724 0,771 0,808 0,858 0,910
0,50 0,317 0,302 0,420 0,582 0,755 0,923
0,197 0,307 0,483 0,637 0,739 0,801 0,838 0,880 0,908
0,831 0,654 0,592 0,604 0,643 0,685 0,725 0,766 0,806
0,75 0,405 0,288 0,304 0,575 0,474 0,587 0,704 0,818 0,926
0,192 0,226 0,310 0,426 0,542 0,638 0,711 0,769 0,810
0,880 0,726 0,630 0,600 0,611 0,639 0,673 0,720 0,778
1,00 0,492 0,322 0,287 0,307 0,357 0,426 0,506 0,594 0,688
0,203 0,211 0,250 0,316 0,401 0,490 0,571 0,650 0,734
0,906 0,780 0,679 0,625 0,611 0,621 0,644 0,682 0,730
1,25 0,572 0,368 0,302 0,291 0,310 0,349 0,401 0,478 0,560
0,220 0,215 0,232 0,269 0,324 0,390 0,460 0,526 0,586
0,922 0,817 0,723 0,660 0,629 0,623 0,634 0,666 0,720
1,50 0,642 0,417 0,329 0,297 0,289 0,315 0,347 0,406 0,478
0,239 0,227 0,232 0,232 0,252 0,333 0,387 0,490 0,630
0,932 0,843 0,758 0,693 0,654 0,637 0,636 0,642 0,662
1,75 0,706 0,467 0,363 0,316 0,299 0,303 0,320 0,338 0,374
0,260 0,243 0,240 0,250 0,272 0,303 0,343 0,410 0,490
0,939 0,861 0,785 0,723 0,680 0,655 0,646 0,650 0,665
2,00 0,762 0,516 0,399 0,340 0,312 0,304 0,310 0,338 0,400
0,279 0,260 0,253 0,256 0,268 0,289 0,318 0,360 0,420
0,943 0,875 0,808 0,749 0,705 0,676 0,661 0,652 0,656
2,25 0,813 0,563 0,437 0,368 0,331 0,324 0,311 0,312 0,318
0,298 0,277 0,267 0,265 0,272 0,286 0,306 0,338 0,376
приведенных толщин несущих слоев, определяемых выражениями
{1 + 11-(^о/с)8]} (1-с0//1>2)2/1(2>/с° при /‘(2) Со>1;
/* = (1-)-/о/с)(1—Сь!1\ (2>) Е (2)/со при 6(2)/со<: 1,
где 10 = 0,05 см и с0 = 1 см — единичные значения толщин несущих
слоев и заполнителя.
Для определения влияния расслоения на изменение параметров
напряженно-деформированного состояния трехслойных пластинок
при цилиндрическом изгибе с учетом сопротивления заполнителя
деформациям в направлении, касательном к срединной поверхности
(Е13 0), можно использовать табл. 7.2—7.5.
В табл. 7.2 приведены значения параметров напряженно-дефор-
мированного СОСТОЯНИЯ (йУтах/^тах р В Верхней Строке, Отах/Отах
в средней строке, т?33 тахЛчзз р в нижней строке) в зависимости от
относительной площади расслоения 5 = 8рас/Ь и С при Е (2) =
= 1 мм, Ь --- 2 м.
В табл. 7.3, 7.4 приведены зависимости параметров напряженно-
деформированного состояния расслоенной пластины от толщины
несущих слоев при $рас = 0,05, Е13 = 5 МПа и Е13 = 10 МПа,
а в табл. 7.5 —то же при расслоении 5рас =0,1, Е13 =5 МПа,
Ь = 2 м.
7.7. ОСНОВНЫЕ ПУТИ СНИЖЕНИЯ ВЛИЯНИЯ РАССЛОЕНИЙ
НА ПРОЧНОСТЬ ТРЕХСЛОЙНЫХ конструкций
Для каждой конкретной конструкции влияние расслоений коли-
чественно оценивают параметрами фг, равными отношению соответ-
ствующих характеристик напряженно-деформированного состояния
бездефектной конструкции к аналогичным характеристикам кон-
струкции с расслоениями. Если задана определенная зона расслое-
ния, то увеличение параметров ф, говорит о повышении чувствитель-
ности конструкции к расслоениям. Приближение параметров ф,
к единице свидетельствует о снижении чувствительности к расслое-
ниям. В случае ф; = 1 конструкция не изменяет своего напряженно-
деформированного состояния при наличии расслоений.
Таким образом, понятие чувствительности к расслоениям, харак-
теризуемое параметрами ф,, позволяет сравнивать различные кон-
струкции с точки зрения влияния расслоений на работоспособность,
определять основные пути снижения чувствительности к расслоениям
и находить такие сочетания геометрических и упругих характери-
стик несущих слоев и заполнителя, при которых значительно сни-
жается или повышается чувствительность к расслоениям.
Вопрос снижения влияния расслоений должен решаться в ком-
плексе с проблемами массовой и функциональной эффективности
конструкций. Изменяя упругие и геометрические характеристики
конструкций, чтобы уменьшить их чувствительность к расслоениям,
Рис. 7.13. Зависимость параметров чув-
ствительности фо, и фо от модуля нор-
мальной упругости заполнителя Е1Я ц
отношения этого модуля к модулю уп-
р угости несущих слоев
можно существенно изменить
эффективность конструкции как
в лучшую, так и в худшую
сторону.
Анализ влияния геометриче-
ских и упругих характеристик
контрукций на их чувствитель-
ность к расслоениям проведен
при определенных условиях нагружения. Очевидно, эти условия так-
же влияют на чувствительность конструкций к расслоениям и изме-
няют количественно ее зависимость от геометрических и упругих
характеристик. Однако качественно влияние не изменяется.
Рис. 7.14. Схема нагружения
трехслойной пластины усили-
ями р2, распределенными в се-
чении х = /-/2. Отслоены оба
несущих слоя на участках а—а,
Ь—Ь
А. Влияние модуля упругости заполнителя в направлении оси х
(1). Для расслоенного пакета нельзя пренебрегать модулем упру-
гости Е13 и считать его равным нулю, как для бездефектной кон-
струкции. Значение модуля упругости Е13 заполнителей может
изменяться от нуля для абсолютно легкого заполнителя до величины,
определяемой условием Е\ (2;/1 (2) ~ Е13с. В этом случае заполнитель
считают легким. Возрастание модуля упругости заполнителя в ука-
занном диапазоне приводит к значительному снижению чувстви-
тельности конструкций к расслоениям.
На рис. 7.13 показана зависимость параметров чувствительности
конструкции к расслоениям по жесткости и напряжениям в несу-
щих слоях фи, и фа от Е13 и Е13 = Е131Е\ (2) для различных размеров
зоны расслоения. Зависимость построена для случая нагружения
трехслойной шарнирно опертой пластины усилиями рг, действу-
ющими по линии в сечении 1/2 и изгибающими пластину по цилин-
дрической поверхности. Отслоены оба несущих слоя на участках
а—а и Ъ—Ь (рис. 7.14). Сплошные кривые соответствуют параметру фо,
штриховые — фи;. Как видно из графиков, использование в кон-
струкциях заполнителей с модулем упругости Е13 > 15 МПа резко
снижает их чувствительность к расслоениям.
При значительном увеличении модуля упругости Е13 или при
малых зонах расслоения параметр фа становится меньше единицы.
Это объясняется тем, что максимальные напряжения в этом случае
будут не на границе зоны расслоения, а в районе приложения на-
грузки, как для бездефектной конструкции. Уменьшение макси-
мального напряжения по сравнению с бездефектной конструкцией
не превышает 5 . . . 7 %, поэтому напряженное состояние при
расслоении практически не изменяется в нерасслоенных частях
конструкции по сравнению с соответствующими частями конструк-
ции без расслоения.
Чтобы снизить чувствительность конструкции к расслоениям,
следует по возможности использовать более жесткие заполнители,
обладающие большими модулями упругости Е13. При этом напря-
’"с 7 10 1516 20
а) -10-’°,МПа
Рнс. 7.15. Зависимость параметров чувстви-
тельности <рц, (сплошные линии) и <ро (штри-
ховые) от модуля упругости несущих слоев
при Е13 = 0 (а) и Е13 = 45 МПа (б)
женно-деформированное состояние бездефектной конструкции прак-
тически не изменяется.
Б. Влияние модуля упругости несущих слоев. На рис. 7.15
показаны зависимости параметров фц,, фо от Е1<2 при Е13 = 0 и
Е13 = 45 МПа. В первом случае при абсолютно легком заполнителе
с увеличением модуля упругости несущих слоев чувствительность
к расслоениям Снижается, однако параметры чувствительности
остаются больше, чем во втором случае, когда с увеличением Е1г2
чувствительность к расслоениям сначала возрастает, а затем мед-
ленно снижается. Таким образом, характер изменения чувствитель-
ности зависит от отношения Е131Е1>2 = Е13. Когда это отношение
меньше ~ 10"4, чувствительность к рассеяниям снижается с воз-
растанием модуля упругости несущих слоев. Когда Е13 больше ~ 10“4,
происходит возрастание чувствительности. Наибольшее значение
параметра фш и фо принимают при Ех3 т 10“4.
При использовании современных материалов и увеличении
модуля упругости несущих слоев чувствительность к расслоениям
повышается. Однако увеличение параметров фш и фо незначительно
а использование более жестких несущих слоев приводит к существен-
ному возрастанию жесткости всей конструкции.
В. Влияние модуля сдвига заполнителя 6133. На рис. 7.16 пока-
заны зависимости фш, фо от 6133 при Е13 = 0 и Е13 = 45 МПа для
различных размеров зон расслоений. С увеличением модуля сдвига
заполнителя параметры чувствительности возрастают в обоих слу-
чаях. При этом чувствительность к расслоениям по жесткости уве-
личивается очень незначительно и практически ее можно считать
независящей от модуля сдвига заполнителя. Чувствительность к рас-
слоениям по нормальным напряжениям также возрастает незначи-
тельно. Так, при увеличении модуля сдвига в 2 раза (от 16 до 32 МПа,
см. рис. 7.16, а) параметры фа возрастают не более чем на 13 %.
В то же время нормальные прогибы бездефектных панелей умень-
шаются на 25 %, а напряжений —на 15 %.
Г. Влияние толщины заполнителя с. Увеличение толщины за-
полнителя значительно повышает жесткость конструкции, что при-
водит при тех же нагрузках к уменьшению максимальных проги-
бов и напряжений ох0 (рис. 7.17, а). Однако в этом случае, если
считать заполнитель абсолютно легким (Ех3 = 0), значительно
повышается чувствительность конструкции к расслоениям. Это
объясняется очень малой изгибной жесткостью расслоенного пакета
по сравнению с жесткостью бездефектной конструкции. Изгибная
жесткость расслоенного пакета определяется только собственными
жесткостями несущих слоев. Отношение изгибных жесткостей рас-
слоенных и бездефектных частей трехслойной конструкции при
возрастании толщины заполнителя уменьшается, т. е. увеличивается
чувствительность конструкции к расслоениям.
Если заполнитель не является абсолютно легким, то для расслоен-
ного пакета необходимо учитывать его изгибную жесткость, зави-
симость параметров чувствительности от толщины заполнителя
Рис. 7.17. Зависимость пара-
метров чувствительности
(сплошные линии) и фп
(штриховые) от толщины за-
полнителя с и параметра
при /?,з = 0 (а) и Е13 =
= 45 МПа (6) и фиксирован-
ном 5 = 13,2 % при разных
Е13 (в)
будет иной. Возрастание чувствительности к расслоениям проис-
ходит только до определенной толщины заполнителя (см. рис. 7.17,
б), после чего параметры чувствительности уменьшаются и прибли-
жаются к единице при увеличении толщины заполнителя. Макси-
мумы кривых фц, и фо, при которых конструкция обладает наиболь-
шей чувствительностью к расслоениям, в большой степени зависят
от модуля упругости заполнителя. С возрастанием Е13 максимумы
уменьшаются по величине и сдвигаются в сторону меньших толщин
заполнителя (см. рис. 7.17, в).
Таким образом, при выборе толщины заполнителя, чтобы суще-
ственно уменьшить чувствительность конструкции к расслоениям,
необходимо для каждого конкретного случая рассматривать зави-
симости ф(„ И ф„ ОТ С И ^1 (2).
Д. Влияние толщины несущих слоев 1\ (2;. На рис. 7.18 показана
зависимость параметров от толщины несущих слоев. Увеличение
толщины несущих слоев для трехслойных конструкций с абсолютно
Рис. 7.18. Зависимость параметров чувствительности <ри (штриховые линии) и д>п
(сплошные) от толщины несущих слоев и параметра при Е13 = 0 (а) и Е-,3 _
= 45 МПа (б)
легким заполнителем (Е13 = 0) существенно уменьшает их чувстви-
тельность к расслоениям и при заданной нагрузке также умень-
шает максимальные прогибы й»0 и напряжения бездефектных кон-
струкций Оро. И наоборот, при уменьшении толщины несущих
слоев их чувствительность к расслоениям повышается. Однако,
если заполнитель не является абсолютно легким (Д13 0), то зави-
симость параметров фц. и фо от толщины заполнителя существенно
меняется. Л1аксимум чувствительности зависит от модуля упругости
заполнителя Е13, его возрастание уменьшает максимальные значе-
ния параметров фи, и фо и сдвигает их в сторону больших толщин
несущих слоев.
Одновременное увеличение толщин заполнителя и несущих
слоев, т. е. всего пакета, при сохранении постоянного отношения ^112
приводит к уменьшению чувствительности к расслоениям (рис. 7.19).
Аналогичное влияние оказывает на чувствительность к расслое-
ниям и уменьшение длины конструкции.
Таким образом, во всех случаях увеличение модуля упругости
заполнителя приводит к значительному снижению чувствительности
к расслоениям. Снижение толщины заполнителя или увеличение
толщин несущих слоев, когда В,- становится меньше 5 ... 10, всегда
приводит к снижению чувствительности. Это показывает, что трех-
Рис. 7.19. Зависимость^параметров
чувствительности фт и фо от толщины
пакета слоев Н при 7?13 = 45 МПа.
5Рас = 13,2 = 11,2
слойная _ конструкция с жест-
ким заполнителями, многослой-
ные и двухслойные конструк-
ции обладают меньшей чув-
ствительностью к расслоениям
по сравнению с трехслойными
конструкциями, заполнитель
у которых легкий. Однако
трехслойные конструкции с лег-
кими заполнителями в боль-
шинстве случаев применяют
вследствие их более высокой
массовой эффективности по
сравнению с другими многослойными или однослойными конструк-
циями, и замена их этими конструкциями нецелесообразна, не-
смотря на большую чувствительность к расслоениям.
Трехслойные конструкции должны обладать повышенным пре-
делом прочности соединения несущих слоев с заполнителем,
чтобы уменьшить возможность образования расслоений и даль-
нейшего увеличения зон расслоения, образовавшихся при изгото-
влении.
7.8. РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РАССЛОЕНИЯ
ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Разрушение трехслойных пластин и оболочек при расслоении
может быть когезионного и адгезионного типа. При когезионном
разрушении происходит нарушение целостности однородного мате-
риала, т. е. либо расслоение несущего слоя, либо расслоение сплош-
ного заполнителя. Чаще происходит когезионное разрушение за-
полнителей типа пенопластов.
При адгезионном разрушении происходит расслоение по границе
слоев разнородных материалов. Этот вид разрушения наиболее
характерен для трехслойных конструкций.
Теория расслоения трехслойных конструкций пока не разра-
ботана, поэтому для оценки условий распространения расслоения
используют приближенные зависимости.
Принимается, что разрушение происходит по промежуточному
типу между адгезионным и когезионным. Если несущие слои очень
жесткие, а заполнитель — малопрочный, то расслоение прибли-
жается к адгезионному типу; если параметры жесткости несущих
слоев и заполнителя близки, то расслоение близко к когезион-
ному.
Критические значения напряжений, при которых возникают
расслоения адгезионного типа, следующие:
для случая расслоения отдиром
для случая расслоения сдвигом
Тьр1зз= ]/~А°183дП183 В плоскости хОг; (7.26)
Ткр 233 = ^— °233^”-233 В плоскости уОх, (7.27)
где ае — половина длины имеющегося дефекта типа расслоения;
П13 — плотность поверхностной энергии разрушения при отдире;
Ппоз—плотность поверхностной энергии разрушения при сдвиге.
Теоретическая плотность поверхностной энергии разрушения
П = П13 + П„,73 зО2 3 + Тп .. зТ2. з Д (7 28)
где ?гз, Тпаз—коэффициенты интенсивности напряжений,
3 3 • 14
3 ~ Т\Ег Зсз ’ Ти 3 — Т Сц зс3 (7-29)
Экспериментально полученные значения плотности энергии раз-
рушения для трехслойных конструкций с заполнителем из пено-
пласта достаточно хорошо совпадают с теоретическими значениями,
определенными по формулам (7.28), (7.29).
Если значения критических напряжений расслоения, определен-
ных по выражениям (7.25) или (7.26) и (7.27), больше пределов проч-
ности при растяжении или сдвиге, рассчитанных по формулам
гл. 2 или определенных экспериментально, то расслоение при дей-
ствующих в заполнителе напряжениях а33оо и будет иметь место.
Если соблюдено условие окр33 < о33в, ткр ,,3 •< т;73в, то при расчет-
ных параметрах напряженно-деформированного состояния и раз-
мерах имеющегося расслоения процесс расслоения не будет разви-
ваться.
При наличии начальных прогибов и действующей в плоскости
срединной поверхности сжимающей нагрузки Р, вызывающей на-
пряжения сжатия П] (2)оо, критическое напряжение развития расслое-
ния _________
Скрио=1/1Р~^, (7.30)
ГП спр
где По, о = 0,57^00^ 2 оо — плотность поверхностной энергии; 70,0 =
=4 (гйоХ/Езз) Ь % (2) — коэффициент интенсивности напряжений;
й>0 = Щ)/апр — относительный начальный прогиб; «пр — половина
шага регулярного прогиба.
Значение окрш0 необходимо сравнить с пределом прочности за-
полнителя на отрыв ог3в. Если выполняется условие окр о38в,
то расслоение будет, если окри.0 < сг23в, то расслоения не произойдет.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А. Я., Бородин И. Я-, Павлов В. В. Конструкции с запол-
нителями из пенопластов. М.: Машиностроение, 1972. 211 с.
2. Александров А. Я-, Брюккер Л. Э., Куртин Л. М. Расчет трехслойных
панелей. М.: Оборонгиз, 1960. 270 с.
3. Александров А. Я., Куртин Л. М. Трехслойные пластинки и оболочки. —
В кн.: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968, т. 2,
с. 243—326.
4. Александров А. Я., Наумова М. П. Оптимальные параметры трехслойных
пластин и оболочек с сотовым заполнителем при сжатии и нагреве. — В кн.: Теория
оболочек и пластин. Тр. VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и плас-
стин. М.: Наука, 1971, 1973, с. 200—204.
5. Арман Ж- Л. Приложения теории оптимального управления системами.
М.: Мир, 1977, 144 с.
6. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980, 256 с.
7. Бугаков И. И. Работа разрушения слоистых стеклопластиков по поверх-
ности раздела. — Проблемы прочности, 1978, №4, с. 49—51.
8. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям
пластин. Киев: Будивельник, 1973, с. 487.
9. Вопросы расчета элементов авиационных конструкций. Расчет трехслойных
панелей и оболочек. М: Оборонгиз, 1959. 305 с.
10. Григолюк Э. И., Чулков П. Н. Устойчивость и колебания трехслойных
оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 170 с.
И. Даутов И. В., Свирский И. В. Об оптимальной гофрировке внешних слоев
трехслойной пластинки. — В кн.: Статика и динамика оболочек. Казань: 1979,
вып. 12, с. 172—179.
12. Зильберман А. С., Кобелев В. Н. Поперечный изгиб трехслойных свободно
опертных пластин, подкрепленных балками. Л.: ЦНИИТС, 1975, вып. 144. 128 с.
13. Композиционные материалы в конструкциях летательных аппаратов.
Сборник статей. М.: Машиностроение, 1975, 272 с.
14. Крысин В. Н. Слоистые клееные конструкции в самолетостроении. М.:
Машиностроение, 1980. 128 с.
15. Лизин В. Т., Пяткин В. А. Проектирование тонкостенных конструкций. М,:
Машиностроение, 1976. 408 с.
16. Малышев А. П. Переходные процессы в оболочке с расслоениями. —
Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, № 6, с. 101—105.
17. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций.
М.: Мир, 1977. 112 с.
18. Прохоров Б. Ф., Дерюшев В. В. Влияние технологических дефектов иа
несущую способность трехслойных конструкций. — Технология судостроения,
1981, № 10, с. 25—29.
19. Расчеты элементов авиационных конструкций. Трехслойные панели и обо-
лочки. М.: Машиностроение, 1965, вып. 3, 4. 415 с.
20. Семенюк Н. П. Об учете несовершенного контакта слоев в двухслойных ци-
линдрических оболочках. — Прикладная механика, 1981, № 1, с. 58—63.
21. Установление критериев разрушения клеевых соединений при комбиниро-
ванном нагружении/Д. Молвил, М. Ханстон, П. Маст и др. —Теоретические
основы инженерных расчетов. М.: Мир, 1978, № 1, с. 29—36.
22. Шунгский Б. Е. Строительные конструкции с сотовыми заполнителями. М.:
Стройиздат. 1977. 112 с.
23. Г. Хертель Тонкостенные конструкции. М. Машиностроение. 1965. 526 с.
Указатель отражает весь текст справоч-
ника, за исключением предисловия н
списка литературы. Ссылки к тексту даны
на страницы справочника. Алфавитное
расположение материала в указателе —
слово за словом.
Безразмерное напряжение 64, 97
Безразмерный прогиб 64, 65
Жесткость
оболочки 264
пластины 141, 264
стержня 140
Заполнитель
дискретный 5, 31
дискретный типа конических оболо-
чек 40
жесткий 9
квадратный 35
квадратный усиленный 36
конструкции 22, 23, 24
легкий 9
сотовый шестигранный из металла
32, 33
— — из неметаллических материалов
34, 35
сплошной 5
типа удлиненных сот 37, 38
цилиндрический 38
цилиндрический усиленный 38, 39
шестигранный усиленный 36
Клен 13, 14, 15
Конструкции
клееные 16
комбинированные 16, 19
основные типы 16, 17, 19, 20
паяные 16
сварные 16
Коэффициент прерывистости 5
Коэффициент Пуассона 32, 33, 35, 40
Критерии качества 261
Критические параметры расслоения 297
Масса панелей 43
Материалы
заполнители И, 12, 22, 24
несущих слоев 11, 12, 14
Местная потеря устойчивости несущих
слоев 40
Модуль
сдвига 40
упругости 34—37
Нсущие слон 6
Относительная толщина заполнителя 9
Пенозаполнители 24—27
Плотность заполнителя 35, 42
Предел прочности трехслойной кон-
струкции 41
Приведенный модуль
сдвига заполнителя 32, 34—40
упругости 33, 39
Приведенная плотность заполнителя 40
Припои 15
Рабочий объем заполнителя 5
Силовые элементы 10, И
Средний модуль сдвига заполнителя 34
Степень заполнения объема между не-
сущими слоями 5
Схемы нагружения и закрепления кро-
мок 62, 63
Трехслойная конструкция 5
несимметричного строения 6
преимущества и недостатки 6, 7
с расслоениями 173, 176
симметричного строения 5
характеристики 6, 7, 13
Трехслойная оболочка 5
и апряженно - деформированное состо-
яние 184, 194
оптимизация по массе 275
с жестким заполнителем 182, 187
с жестким заполнителем н упругими
шпангоутами 188
с легким заполнителем 178
устойчивость 220, 222, 229, 239, 244,
249, 252
характеристики 5
Трехслойная пластина 5
несимметричного строения 44, 49, 53
оптимизация по жесткости 272
оптимизация по массе 265, 267, 270, 271
с изотропными несущими слоями 57
с изотропными несущими слоями и за-
полнителем, 61
с подкреплением 135
симметричного строения 61
устойчивость 141, 146, 156, 159, 163,
165, 171, 172
характеристики 5
Удельная жесткость 13
Удельная масса панелей 6
Условный предел прочности заполнителя
при сжатии 33, 35—39
при сдвиге 33, 35
при сложном напряженном состоянии
33. 36, 37, 39
Устойчивость
конических н сферических оболочек 249
криволинейных панелей 255
несущих слоев 40
пластин 141, 146, 156, 159, 163, 165,
171, 172
стержней 139
цилиндрических оболочек 220, 222, 229,
239, 244, 257
Проектирование трехслойных конструк-
ций 260, 279
алгоритм 260
оптимальное 279
расчетная модель 8, 9, 262
с учетом расслоения 283
Расслоения трехслойиых конструкций
влияние на параметры 281
влияние на прочность 291
классификация 173
Чувствительность к расслоениям 292
Эффективность 276
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ............................................................ 3
Основные обозначения.................................................... 3
Глава 1. Основные сведения о трехслойных конструкциях................... 5
1.1. Общие понятия ............................................ 5
1.2. Преимущества и недостатки трехслойных конструкций. . . 6
1.3. Особенности работы трехслойных конструкций................ 8
1.4. Материалы, применяемые для изготовления элементов трех-
слойных конструкций .......................................... 11
1.5. Типы конструкций......................................... 16
Глава 2. Расчет заполнителя трехслойных конструкций.................... 22
2.1. Типы заполнителей ....................................... 22
2.2. Пенозаполнители................................... .... 24
2.3. Заполнители дискретной структуры ........................ 31
Глава 3. Расчет перемещений и напряжений в трехслойных плоских прямо-
угольных пластинах .................................................... 44
3.1. Расчет пластин несимметричного строения, свободно опертых
по двум кромкам и изгибаемых по цилиндрической поверх-
ности ........................................................ 44
3.2. Расчет пластин несимметричного строения, защемленных по
двум кромкам и изгибаемых по цилиндрической поверхности 49
3.3. Расчет пластин несимметричного строения, имеющих одну
защемленную и одну свободную кромку и изгибаемых по
цилиндрической поверхности ................................... 53
3.4. Прогибы н напряжения при поперечном и продольно-попереч-
ном изгибе пластин с несущими слоями из различных изотроп-
ных материалов................................................ 57
3.5. Продольно-поперечный изгиб пластин....................... 59
3.6. Трехслойиая пластина симметричного строения, нагруженная
сосредоточенным моментом, приложенным к одному из
несущих слоев..............................•.................. 61
3.7. Напряженно-деформированное состояние пластин с изотроп-
ными несущими слоями и заполнителем при сложных схемах
иагружеиня.................................................... 61
3.8. Приближенное определение прогибов и напряжений подкреп-
ленных пластин............................................... 135
Глава 4. Устойчивость стержней и пластин............................ 139
4.1. Устойчивость стержней.................................. 139
4.2. Расчет на общую устойчивость пластин с заполнителем средней
жесткости.................................................... 141
4.3. Устойчивость пластин с маложестким изотропным заполни-
телем ....................................................... 146
4.4. Устойчивость трехслойных пластин с маложестким ортотроп-
ным заполнителем............................................. 155
4.5. Пластина с жестким изотропным заполнителем.............. 159
4.6. Устойчивость пластин с жестким ортотропным заполнителем
и ортотропными внешними слоями............................... 163
4.7. Устойчивость прямоугольных пластин несимметричного стро-
ения при сжатии и сдвиге..................................... 165
4.8. Устойчивость сжатых пластин с малой жесткостью при из-
гибе несущих слоев........................................... 171
4.9. Местная устойчивость пластин............................. 172
4.10. Расчет трехслойных конструкций с расслоениями .... 173
Глава 5. Расчет перемещений и напряжений в трехслойных цилиндриче-
ских оболочках .... . .................... 178
5.1. Общие положения......................................... 178
5.2. Симметричное нагружение полубесконечной оболочки сим-
метричной структуры с легким заполнителем усилиями и
моментами, действующими в поперечном сечении................. 178
5.3. Симметричное нагружение полубесконечной или бесконечной
оболочки несимметричной структуры с жестким заполнителем
усилиями или моментами, действующими в поперечном сече-
нии .......................................................... 182
5.4. Симметричное нагружение оболочки равномерно распределен-
ной по поверхности нагрузкой ................................ 184
5.5. Симметричное нагружение короткой оболочки с жестким за-
полнителем поперечными усилиями и моментами, действую-
щими в торцах ................................................ 187
5.6. Симметричное нагружение равномерно распределенной по
поверхности нагрузкой оболочки с жестким заполнителем,
подкрепленной часто поставленными упругими шпангоутами 188
5.7. Напряженно-деформированное состояние оболочки, нагру-
женной на один слой ......................................... 189
5.8. Расчет напряженно-деформированного состояния оболочки
при произвольных нагрузках . ................... 194
Глава 6. Устойчивость трехслойных оболочек .................. 220
6-1- Общие положения......................................... 220
6.2. Устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии 222
6.3. Устойчивость цилиндрических оболочек при внешнем давле-
нии ......................................................... 229
6.4. Устойчивость цилиндрических оболочек, нагруженных уси-
лиями, действующими вдоль оси оболочки, и внешним давле-
нием ........................................................ 239
6.5. Устойчивость цилиндрических оболочек при изгибе и кру-
чении ....................................................... 244
6.6. Устойчивость конических и сферических оболочек........... 249
6.7. Устойчивость криволинейных панелей .................. 255
6.8. Устойчивость цилиндрических оболочек с расслоениями. . 257
Глава 7. Проектирование трехслойиых пластин и оболочек................ 260
7.1. Общие принципы проектирования .......................... 260
7.2. Решения некоторых задач оптимального проектирования. . 265
7.3. Сравнение массовой эффективности трехслойных пластин и
оболочек и других типов тонкостенных конструкций. . . 276
7.4. Некоторые рекомендации по приближенному оптимальному
проектированию............................................... 279
7.5. Влияние дефектов типа расслоения на параметры трехслой-
ных пластин............................................. 281
7.6. Проектирование трехслойиых конструкций с учетом расслое-
ния ........................................................ 283
7.7. Основные пути снижения влияния расслоений на прочность
трехслойных конструкций .................................... 291
7.8. Расчет критических параметров расслоения трехслойных
пластин и оболочек ....... . ............ 297
Список литературы. ... 299
Предметный указатель ............................................ 300
Владимир Николаевич Кобелев, Лев Михайлович Коварский,
Серафим Иванович Тимофеев
РАСЧЕТ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Редактор Н. А. Лебедева
Художественный редактор И. К- Капралова
Переплет художника А. Н. Ковалева
Технический редактор Н. В. Тимофеенко
Корректоры Л. Я. Шабашова и О. Е. Мишина
ИБ № 3456
Сдано в набор 29.07.83. Подписано в печать 23.12.83. Т-22926.
Формат бОхЭО1/^. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 19,0. Усл. кр.-отт. 19,0. Уч.-изд. л. 19,80.
Тираж 11800 экз. Заказ 177. Цена 1 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение»
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома прн Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.