/
Автор: Субботин А.Л.
Теги: философия логика естественные науки история логики силлогистика
Год: 1969
Текст
ТРАДИЦИОННАЯ
И СОВРЕМЕННАЯ
ФОРМАЛЬНАЯ
ЛОГИКА
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ
А. Л. СУББОТИН
ТРАДИЦИОННАЯ
И СОВРЕМЕННАЯ
ФОРМАЛЬНАЯ
ЛОГИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1969
В книге излагаются различные реконструкции традици-
онной формальной логики. Автор показывает, как эта
логика может быть представлена с помощью алгебраи-
ческой полуструктуры, а также излагает силлогистику
в виде формальной аксиоматической системы и системы
натурального вывода.
Ответственный редактор
В. А. СМИРНОВ
Александр Леонидович Субботин
Традиционная и современная формальная логика
Утверждено к печати Институтом философии АН СССР
Редактор издательства Н. И. Кондаков
Художник О. В. Камаев. Технический редактор А. П. Гусева
Сдано в набор 5/VI 1968. Подп. к печ. 17/XII 1968. Формат 84х1081/32.
Бумага № 2. Усл. печ. л. 8,4.Уч.-изд. л. 8,1. Тираж 9000. Т-16296. Тип. зак. 777.
Цена 49 к.
Издательство «Наука». Москва, К-62, Подсосенский пер»,21
2-я типография издательства «Наука». Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
112-68(1)
1-5-7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Известно, что силлогистика была той исторически
первой логической "системой дедукции, описание и иссле-
дованйе^ которой положило начало формальному рас-
смотрению логики и тем самым формальной логике как
науке. Открытие ее связано с именем Аристотеля — вели-
чайшего античного философа и ученого-энциклопедиста,
жившего в IV в. до н. э. —----------——------“ гк
Восходящая к Аристотелю ^концепция логических формД
|в_основу которой легла абстракция родо-видовой струк-
{ туры, образовала так называемую традиционнуюд)ормаль-,
, ную логикуТГн’а выступав-
Т шейнайКолее распространенным и канонцяирлрлтттоц^
I элементом логического образованиями хотя в истории ло-
гики мы, строго говоря, уже с антитаости, а^в особенности
со времен Лейбница встречаемся с примерами в^других^
-^-яРУи*^^ решитФлыпшдо^^ ло-
гйческой пробле’мКтикй'датируется гораздо более поздним
временем. Основные результаты этого развития, коренным
образом изменившие лицо логики, приходятся на послед-
нее столетие, па период, начавшийся со второй половины-
XIX в. и продолжающийся по сей день. Этот период озна-
" мейовался становлением и интенсивной разработкой так
называемой [математической, или^ символической, уто-
. гики, сложившейся^ (В результате применения к области
у логики формальных методов и языка математики?)
Нематематической логике содержательное логическое
мышление (процессы умозаключения, рассуждения и до-
казательства) изучается посредством его отображения
в формальных Логических системах, или исчислениях, что
да^тисключительноэффективныйметод для постановки и
5
решения многих существенных задач логического иссле-
дования. Математическая логика значительно расширила
и углубила область исследования формальной логики, при-
близила ее проблематику к интересам конкретных (прежде
всего математических) наук. Благодаря использованию
далеко идущей ^формализации изучаемого логического со-
держания в современной логике достигается не только
более общее, но и более точное, содержательное и конкрет-
ное, чем в традиционной логике, представление о законах
логики, структуре логических выводов и доказательств.
Если искать образное сравнение, то отношение между,
традиционной формальной логикой и теориями современ-
ной математической логики можно уподобить отношению
между зародышем и,юным развивающимся организмом.
Аналогичное отношение, если обратиться к истории дру-
гих наук, существует между со-
временными—Геометрическими представлениями, между
физикой ЛрхцмсщдиШк^ои^ теорёти-
чеСкой^иаикой.
Поэтому представлялось вполне естественным, что
новые задачи и интересы математической логики, нашед-
шей, кстати сказать, тдкое широкое применение в кои-
кретном научном исследовании, какого никогда не знала
старга-фгортя^ на задний
Цланггртб’лём'атику последней, соразмерив внимание к ней
с тем <гкримныж^1Жёст6м,4которое она занимает в системе
'Сотр^мённого логического знания. Так оно и было на про-
тяжении ряда десятилетий бурного развития нового логи-
ко-математического направления. Однако за последнее
время наблюдается вновь оживший интерес к теории, соз-
дание которой положило начало логике как науке.
Интерес этот, по-видимому, объясняется двумя основ-
ными причинами: во-первых, естественным желаниевд^прд
новым углом зрения еще раз просмотреть историю науки
’пёсле того, как была осознана вся значимость вновь при-
^ббретенных идей и методов исследования^ во-вторых, стре-
млением обн^ружит^прёе новой и старой ло-
гики, уже у истоков науки найти ту тенденцию, которая
смыкается в своем развитии с современным этапом. Эти-
^ми^же причинами вызвано и написание данной работы,
в которой автор, руководствуясь общепринятыми на се-
годня критериями и нормами логического исследования,
освещает различные аспекты отношения традиционной де-
6Г
дуктивной логики к системе современной формальной ло-
гики и то мест.от к-от<>рое она занимает в-этойь системе.
Есть и еще одна причина, побудившая автора взяться
за этот труд. В существующем преподавании логики еще
бытует один странный пережиток, который не имеет, на
наш взгляд, никаких оправданий ни с теоретической, ни
с дидактической точек зрения. Мы имеем в виду совершен-
но непонятный дуализм в преподавании логики в некото-
рых учебных заведениях, который выражается в разитель*-
ном несоответствии способов освещения проблематик тра-
диционной формальной логики и современной математиче-
(Я?ои~логики. Найример, теорию классической силлогмсти-
ки, которая занимает значительное место в курсе общей
формальной логики, считают возможным излагать на таком
же методологическом уровне, как и 150—200 лет тому назад.
совершенно игнщ
ШЛИ
я при этом те треоования и крите-
рии, которые выработаны в современной логике. Это
является недопустимым {анахронизмом,} так как в дей-
ствительности силлогистика не только не противостоит
теории современной математической логики, но только и
может быть правильно понята и рационально изложена на
базе понятий и методов этой теории.
Таким образом, мы можем выделить три основных ас-
пекта и значения исследуемой нами темы об отношении
традиционной формальной логики к символической.
Это, во-первых, философско-методологический аспект,
связанный, как мы уже сказали, со стремлением^обнару-
жить преемственность новой и старой логики. Здесь мы
ставим перед собой задачу — найти у истоков этой науки
ту тенденцию, которая смыкается в своем развитии^ со-
зременным этапом, и в противовес мнению некоторых ав-
торов отметить не только различие, но и общность в пред-
мете и методе логического исследования как на раннем,
так и на современном его этапах. _____________
Это, во-вторых, Ьпециальдо. или (собственно логиче-
^ связанный,"так сказать, ^технической задачей
ГйпаЦГЭД
описания всех основных результатов традиционно-логи-
ческод теории дедукции, в систему современной матема-
тической логикид Здесь встает ряд задач, среди которых
самая основная — это ^формализация силлогистики и дру;
гих результатов тралицйтттттг флрмялкплй логики с по-
мощью и на базе основных представлений и идей лргиче- >
Ъких исчислений или алгебры логики?)
7
Это, в-третьих, дидактичёско-педагогичёское значение,
вытекающее из предпринимаемого анализа проблемы.
На основе нового, современного взгляда на проблемати-
ку традиционной логики должно быть существенно пере-
строено преподавание последней. Традиционная логиче-
ская теория дедукции выступает, с одной стороны, как один
из фрагментов современной формальной логики, а с дру-
гой — как наиболее общее и абстрактное выражение логи-
ческой проблематики, конкретизация и развитие которой
осуществляются в позднейших и более сложных исчисле-
ниях математической логики/ Но тем самым определяют-
ся те разумные формы и пропорции, в которых следует из-
лагать эту проблематику в качестве логической про-
педевтики.
В работе над книгой автор, естественно, опирался на це-
лый ряд трудов в этой области, из которых прежде всего
следует назвать фундаментальную и во многих отношениях
замечательную монографию Яна Лукасевича «Арщсхоте-
^левская силлогистика с точки зрения современной фор-
Р мальной логики». В этой книге дано,; на н^ш взгляд наи-
: более адекватное оригинальному арйстсггёТГевскому за-
. мыслу формально-аксиоматическое изложение силло-
1 гистики с точки зрения и на бяяеСсодррмАнцпй символиче-
* ской логики? И хотя впоследствии различными авторами
1)ыли предложены и другие приемы формализации силло-
гистики, именно Лукасевичу впервые удалось показать,
каким образом традиционное здание этой теории дедук-
ции может быть вписано в общий ансамбль современной
математической логики. Эта книга Лукасевича, вышедшая
первым изданием ^Оксфорде в 19517г. (второе, посмертное
и расширенное, относится к Т957~г.), оживила интерес
к традиционной формальной логике в среде представите-
лей нового логико-математииескогп направления и вме-
сте с тем заставила еще более оценить общелогическое
-вначенпё идей и мето дов~~сов ременной” символической
логИтат~-(~~— ------- 7. - -
<—заключение я считаюТсвоим долгом отдать должное
\ памяти С. А. Яновской, многие замечания и советы кото-
рой очень помогли автору в работе над этой темой, а также
поблагодарить моих товарищей из сектора люгики-Иноти-
тута^философии АН СССР.г^лбсупищд.дх рукопись книги;
А' з
с
8
Глава I
НЕКОТОРЫЕ ФИЛОСОФСКО -МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ
§ 1в Аристотелевская силлогистика
Одна из великих заслуг Аристотеля состоит в том, что
он впервые систематизировал и подверг анализу с неко-
торой формальной точки зрения
уже практически широко применявшиеся его современни-
ками, однако до него остававшиеся еще теоретически нео-
сознанными, несформулированными. Ему удалось показать,
что правильное рассуждение можно свести к системати-
ческому применению небольшого числа неизменных пра-
вил, независимых от частной природы объектов, о которых
идет речь, и таким образом сформулировать такие способы
и подходы исследования, которые сделали логику наукой. >
При этом сам Аристотель сосредоточил свое внимание почти
исключительно на том особом виде логических рассужде-
ний, которое получило название силло^пптпчрского и соста- ,
вило основное, если не исключительное, содержание уче-
ния ozдедукции в традиционной формальной логике.
Здесь вряд ли стоило бы подробно излагать силлоги-
стику в той обычной описательной форме, которая до сих
пор еще принята во многих руководствах по формальной
логике и зачастую в практике ее преподавания. Стоит лишь
напомнить основные, принципиальные моменты! силлогвь
теории Аристотеля. )
В своем учении о силлогизме Аристотель выясняет об-
щие условия того, когда из двух высказываний (посылок),
имеющих вполне определенную логическую структуру, а
именно субъектно-предикативную структуру, и содержа-
щих утверждение о присущности или же неприсущности
предиката субъекту, с необходимостью следует определен-
ное заключение, а когда не следует. Силлогизм у него
9
формулируется, например, таким образом: «Если с не
присуще ни одному Ъ и Ъ присуще некоторым а, то с не
присуще некоторым а». Или в другой, эквивалентной пре-
дыдущей форме, форме, принятой во всей последующей
за Аристотелем формальной логике: «Если ни одно Ь не
есть с и некоторые а есть Ь, то некоторые а не есть с».
Полагая, что термины а, Ь и с могут быть связаны в по-
сылках посредством четырех логических отношений или
констант: «быть присуще всем», «не быть присуще ни од-
ному», «быть присуще некоторым», «не быть присуще не-
которым» (или соответственно: «Всякое ... есть...», «Ни одно
... не есть...», «Некоторое... есть...», «Некоторое... не
есть...»), Аристотель ставит перед собой задачу выяснить,
в случае каких связей терминов будет иметь место силло-
гизм, т. е. необходимое следование заключения из данных
посылок, а в каких случаях силлогизма вообще не будет.
При этом для обозначения терминов Аристотель исполь-
зует буквенные символы (мы для этой цели в соответствии
с дальнейшим изложением употребляем строчные латин-
ские буквы, сам же Аристотель изображает термины
силлогистики прописными греческими буквами). Таким об-
разом, он сразу же формулирует и исследует силлогистиче-
кие задачи в их общем виде, осуществляя тем самым первые
шаги в направлении формального построения логики.
Полагая же различие как в том, какой из четырех логи-
ческих констант попарно связываются каждые два из трех
составляющих силлогизм терминов, так и в том, каково
положение общего для обеих посылок среднего термина Ь
по отношению к крайним терминам а и с, Аристотель под-
разделяет все силлогизмы по этим двум признакам на раз-
личные фигуры и модусы. Основная логическая задача
в исследовании силлогизма для него выступает, таким
образом, как задача выяснения, какие модусы в каждой
из выделенных им трех фигур составляют правильный
силлогизм, а какие модусы являются незаконными сил-
логистическими формами.
В дальнейшем Аристотель показывает, что силлогизмы
второй и третьей фигур могут быть обоснованы посредством
силлогизмов первой фигуры. Он применяет три способа
обоснования.
1. Прямое доказательство через обращение или пере-
становку посылок. Например, силлогизм второй фигуры:
«Если Ь не присуще ни одному с и b присуще некоторым
«О
й, то с не присуще некоторым а» через обращение посыл-
ки «Ь не присуще ни одному с» сводится к силлогизму пер-
вой фигуры: «Если с не присуще ни одному b и b присуще
некоторым а, то с не присуще некоторым а».
2. Косвенное доказательство через приведение к не-
возможному Ufeductio ad impossible). ЛТак доказывается,
например, силлогизм грё'Гьей фигуры: «Если с не присуще
некоторым b и а присуще всем 6, то с не присуще некоторым
а». Если бы с было присуще всем а (предположение, про-
тиворечащее заключению нашего силлогизма), то в соче-
тании с посылкой «а присуще всем Ь» оно дало бы по пер-
вой фигуре вывод: «с присуще всем 6». Но такой вывод про-
тиворечил бы уже принятой посылке «с не присуще неко-
торым Ь». А поэтому предположение о ложности заключе-
ния нашего исходногосиллогизма не может быть принято.
31 До^затёльсткб^через выделение?\Например, в сил-
логизме второй фигуры: «Если b присуще всем с и b не
присуще некоторым а, то с не присуще некоторым а» в тер-
мине а выделяется такая часть d (некоторые а = всем
d), чтобы получился силлогизм: «Если Ь присуще всем с
к Ь не присуще ни одному d, то с не присуще ни одному d».
Этот силлогизм второй фигуры через перестановку посы-
лок и обращение посылки «Ь не присуще ни одному d»
сводится к силлогизму первой фигуры. Обращение полу-
ченного по первой фигуре заключения и замена «все d»
на равнозначное ему «некоторые а» дает искомый вывод
«с не присуще некоторым а».
В этом приеме Аристотеля, в обосновании всех силло-
гизмов посредством силлогизмов первой фигуры (точнее,
достаточно лишь двух ее модусов с общими заключения-
ми — ААА и ЕАА) нетрудно усмотреть тенденцию к аксио-
матическому построению силлогистики, построению, на-
шедшему свою развитую и законченную форму в совре-
менной формальной логике.
§ 2. Критика аристотелевской силлогистики
Силлогистика Аристотеля даже с точки зрения крите-
риев недавнего прошлого представляется довольно стро-
гой и систематически построенной теорией. И вместе с тем
уже Аристотель, по-видимому, сознавал, что открытые
им схемы силлогизма недостаточны для описания всех
видов рассуждений — ни всех логических операций мате-
матики, ни тем более других применений логики. Дей-
ствительно, логические трупы Аристотеля и его посйедо-
вателеи не оказали заметного влияния на математику.
Т^речёСКиО математики мало интересовались аристоте-
левской логикой при изложении своих результатов, ахиб=-
кость и изобретательность^ их рассуждений разительно
контрастируют с жесткостью^>м^уз остью аристотелевских
(Ьхем_Сйллщда^ачо с кого^ум о заключения. ХТосл^ДНйе’,' по-
видимому, выражают структуру рассуждений, связанных
преимущественно с классифицирующей деятельностью
мышления, вычленяющего в рассматриваемых объектах
лишь родо-видовые связи. Поэтому в аристотелевских
«Аналитиках» найдется мало примеров силлогизмов, по-
строенных из математических понятий; гораздо большее
количество их предполагает понятия из биологии и обы-
денной жизни.
Быть может, именно неудовлетворенность узостью пери-
патетической логики привела луегариков и ранни£>стец-
ков к исследованиям в области ^логики высказываний.
Правда, до нас дошли лишь отрывочные свидетельства
о достигнутых стоиками результатах, часто в изложении
их противников или посредственных комментаторов, но да-
же и эти фрагменты позволяют судить о том, что система
логики стоиков была построена, вероятно, даже более
строго, чем аристотелевская. Не ограничиваясь, подобно
Аристотелю, высказываниями субъектно-предикатив-
ной структуры, они формулировали правила вывода, от-
носящиеся вообще к высказываниям неопределенной
структуры. Стоики не только предвосхитили ряд исходных
понятий современной пропозициональной логики, дав
определения таким пропозициональным связям, как.
импликация, конъюн1Щия нГ дизъюнкция. фактически
употреблял при этим ф^кцигоиштинности, но и придали
своеги системе формальных правил вывода вид своеобраз-
ного, аксимоматически построенного исчисления — извест-
ного к прообраза современного псдтигяшяия—ееквецций.^
О том, насколько основательно подходили стоики к иссле-
дованию основных понятий своей системы, свидетельст-
вует, например, обсуждение ими вопроса об условиях
истинности импликации. Они различали, по крайней мере,
четыре разных вида импликации, включая сюда матери-
альную и формальную импликации в смысле современной
логики.
12
Собственно, стоики ввели й сам термин «логика».
Аристотель для обозначения этого рода исследований упот-
реблял термин «аналитика». Высказывания в их системе
характеризуются тем, что являются либо истинными, либо
ложными (принцип двузначности высказываний). Все
высказывания стоики делят на простые и сложные, со-
ставленные из простых посредством различного рода ло-
гических союзов — «и», «или», «если... то». Истинность
сложного высказывания определяется в зависимости
от истинности (ложности) составляющих его простых вы-
сказываний и характера их логической связи. При этом
стоики, выявили рятг рАннпс,илкттлг,тРЙ1 сутпрствуютцих МР-
УКДУ рлятттлмтт ДПГИТТРГ.КММИ СВЯЯЯВДГ-рАВНЛСИЛ1ЧПЛГ,ТЬ любого
высказывания его двойному отрицанию, равносильное вы-
ражение импликации через конъюнкцию и отрицание, а
разделительной дизъюнкции — через конъюнкцию, им-
пликацию и отрицание и др.
Центральная часть логической системы стоиков — уче-
ние об аргументе или выводе (умозаключении) и закон-
ных схемах вывода. А^таент^- это совокупность по-
сылок и заключения «Если день, то светло.
День. Следовательно, светло»). Аргумент является правиль-
ным, если ложность его заключения несовместима с ис-
тинностью его посылок, иными словами, если выражаю-
щее его условное высказывание, антецедентом которого
служат посылки, а консеквентом — заключение, истин-
но. Аргумент истинен, если только он правильный и его
посылки истинны!. УИстинньшаргумент выступает в^ка-
чесдое^шка^ательтз^
тиГсебе^ зяк.ттюченйе^^Ьяевдшь^п^ылбк/Заслугастои-
IcoBcqcTOHT j разработке строгой (в пределах их системы
логики^высказываний) теории вывода. Они выделяли сле-
дующие пять схем так называемых простых недоказы-
ваемых аргументов, принимая их правильность за не-
посредственно очевидную, и сводили к ним (доказывали
на их основе) все прочие правильные, не простые аргу-
менты:
1. Если первое, то второе
Первое
Следовательно, второе.
2. Если первое, то второе
Не второе
Следовательно, не первое.
3. Не верно, что и первое, и второе
Первое
Следовательно, не второе.
4. Или первое, или второе
Первое
Следовательно, не второе.
13
5. Или первое, или второе
Не второе
Следовательно, первое.
В аргументах союз «если... то» выражает материальную
импликацию, «или... или» — разделительную дизъюнк-
цию, обе посылки связаны конъюнктивно. Сведение осу-
ществлялось с помощью четырех общих правил, из кото-
рых до нас дошли лишь два: «Если из двух посылок выво-
дится заключение, то любая из двух вместе с отрицанием
заключения дает отрицание другой посылки» и «Если из
двух посылок выводится некоторое заключение и имеются
высказывания, из которых может быть выведена одна из
посылок, то другая посылка совместно с этими высказы-
ваниями дает это заключение».
Разработка стоиками понятий препозиционной логи-
ки объективно способствовала выяснению логических ос-
нований силлогистики.. Дотика ^высказываний является
более фундаментальной системой, нежели силлогистика,
во-первых, потому, что при своем строго формализован-
ном и систематическом изложении (чего, вообще говоря,
еще не было у Аристотеля) сама силлогистика должна
опираться на понятия и законы, устанавливаемые в про-
позициональной логике, в то время как последняя не пред-
полагает законов силлогистики; во-вторых, потому, что
логика высказываний вообще лежит в основе совре-
менной математической логики в качестве ее исходной.
*1Гростейшей, но неоТ’ЬСМлёмби'составной части, iTто время
как силлогистика”3згнимаёт в" ней сравнительно незначи-
тельное место. К сожалению, в последующем идеи пропо-
зициональной логики получили гораздо меньшее, распро-
странение, чем силлогистика. Многими они были вообще
не поняты, а в традиционной логике нашли свое непол-
ное и эклектидасш^еиэтражение в виде теории условных и
разделительных силлогизмов. Своим вторым рождением
уже на гораздо более солидной основе логика высказы-
ваний обязана XIX в.
Надо сказать, что в логической и философской лите-
ратуре неоднократно развивалась критика силлогистики,
критика, связанная с новыми асцектамии! подходами-к
исследованию структу^Ги Форм мт^яителтшл^ .
Но как бы при этом философски ни интерпретировалась
14
силлогистика, как бы ни критиковалась за ограничен-
ность своих ресурсов й сферы своего приложения, прием-
лемость ее, так сказать, технического аппарата была вне
сомнения и было ясно, что здесь Аристотелю удалось на-
щупать такие законы и методы исследования, которые сде-
лали логику наукой.
Вплоть до XVII в. Аристотель считался непревзой-
денным авторитетом в логике, а силлогистика — совер-
шенной в своей законченности и чуть ли не единственно
возможной логической теорией. Первый существенный
перелом в такой оценке связан с эпохой Возрождения, ког-
да интенсивное развитие нового, опытного и вместе с тем
математизированного естествознания со всей остротой вы-
двинуло задачу обоснования своей методологии. Критика
силлогистики здесь развивается и £ рационалистиче^тггюг
и с эмпирических позиций.
ТГодной стороны, Р. Декарт, как бы подытоживая всю
незначительность для математики правил силлогистиче-
ской дедукции, отказывается от них, как от эффективных
канонов научного исследования, и выдвигает в противо-
вес им свои правила для руководства ума. Вот как оцени-
вает позицию Декарта в логике профессор С. А. Янов-
ская: «Логика Декарта не была строго сформулирована
им. Ни «Правила для руководства ума», ни «Ра&сужденш»
о методе» не содержат еще точных формулировок правил
этойJ логики лОднако она уже бытпГ достаточно осознана
(и достаточной понятно изложенак^чтобьт прйгтвы-трлкпл
«оэволить наукевыйти за пределы "тех срелств^шриче-
ского'вывода, которыеЪыли доступны даже весьма тонким
(в логике!) схоластам. ’ ц режде всего позвА^ит^^тп^с^е-
лать самому Декарту.
' Декарт был горячим противником схоластики, об узах
которой он неоднократно говорил. Это отнюдь не означает,
однако, будто его «Рассуждение о методе» имеет только
методологический, а не логический (то есть относящийся
непосредственно и к способам логического вывода) ха-
рактер. ^Творческая продуктивность Декарта в области
математики была обусловлена именно темД что его~«Пра-
хПкйГдля руководства~ума» СбДержаЛи^новыё_правила ло-
гического вывода, "в^частности близкие к методу полной
математическоид1ндукпии)й ~
"С другой стороны, Ф. Бэкон решительно возражает
против силлогизма как средства доказательства, которое,
15
по его словам, «действует неупорядоченно и упускает из
рук природу». Правда, Бэкон не сомневается, что в сил-
логизме «заключена некая математическая достоверность»,
однако дело в том, что силлогистические термины — это
знаки понятий, и если понятия плохо и опрометчинл от-
влечены от вещей, смутными недостаточно определены и
/ оЧврчицы, киричи, ишгтГ~они порочньТвсТмноГИХ О’гнрше-
* ни&х, то все дсгказательство рушится. Разрабатывая*свой
- ' индуктивный "мет ид, Букин ХОТШГ видеть в нем тот надеж-
ный способ, который бы, считаясь с данными опыта, да-
вал возможность абстрагировать понятия достаточно яс-
ные, определенные и соответствующие природе изучае-
мых объектов.
Здесь не хотелось бы подробно говорить о гегелевской
критике формальной логики и силлогистики, в частности.
Этот вопрос, будучи долгое время излюбленной темой
работ по диалектической логике, нашел свое достаточно
полное, хотя и далеко не всегда всестороннее освещение.
Однако представляется нелишним еще раз напомнить, что
в противовес гегелевской недооценке формально-логиче-
ской традиции в изучении мыслительной деятельности клас-
сики марксизма-ленинизма никогда не подвергали сомне-
нию достигнутые здесь результаты. Конечно, они прежде
всего подчеркивали необходимость изучения диалектиче-
ских форм мышления, усматривая именно в диалектике
тот единственный в высшей инстанции метод, который со-
ответствовал уровню развития естествознания, сложив-
шемуся ко второй половине XIX в. Но в их понимании
новые задачи диалектической логики отнюдь не искдюча-
лЁПйтгдоетюК^таи, ни новых возможных открытийв обла-
стиформальной логики. ФГЭПгилво пи двусмысленно писал
об-этотгТТ «Введении» к своему фундаментальному фило-
софскому труду «Анти-Дюринг»: «Из всей прежней фило-
софии самдехоятельное значение сохраняет еще учение о
мытйлении и его законах — формальная логика и диа-
лектика».
’**тВП5вете интересующей нас в дальнейшем проблематики
важно отметить, что недостатки аристотелевской силло-
гистики обнаруживались и в ходе развития самой фор-
мальной логики. Когда начиная со второй половины
XIX в. в математике на одно из первых мест выдвинулась
задача исследования ее оснований, принципиальная недо-
статочность и несовершенство силлогистической теории де-
дукции обнаружились с полной отчетливостью. Задачи
разработки теории математических понятий й доказа-
тельств, способов Аксиоматического построения матема-
тических дисциплин явились существенным стимулом для
новых логических изысканий?В этот период интенсивно
разрабатывается математическая, или символическая, ло-
гика, сложившаяся в результате применения к области
логики формальных методов и языка математики. Созда-
ются гораздо более общие и фундаментальные, чем силло-
гистика, формально-логические системы, или исчисле-
ния — исчисление высказываний и исчисление предика-
тов, которые находят свое эффективное использование в
исследовании логических основ математики, а позднее и
других научных и технических проблем. И вместе с тем
вырабатываются более строгие и точные методы самого ло-
гического исследования, та определенная совокупность
требований, которым отныне должно удовлетворять постро-
ение всевозможных логических формализмов.
С точки зрения этих методов и требований обнаружи-
лись существенные несовершенства аристотелевской сил-
логистики. Дело в том, что в своих выкладках Арттсто-
тель интуитийшг пользбва'лся рЯДбй Логических зяконав;
которые, однако, явно в качестве предпосылок своих дока-
зательотв-непформул^онал и которые по своему существу
принадлежали к иной логической системе, открытий и
разработянпой уже поСЛГГ визнШшовёния силлогистики
(например, законами коммутативности, дшнъюнкиии, ги-
потетического силлогизма и сложной транспозиции логи-
ки высказываний). Он не развил и тех предпосылок, кото-^ «
рые сам же положил в основу своеиг теории, иг был далек г*
не только от решения, но и от самой постановки целого4
ряда вопросов, весьма существенных для осознания дей-
ствительного значения и характера открытых им логиче
ских ФормдАтак как шГпротяжении многих столетий сну- ,
стя силлогистику продолжали излагать упрощенно и дог-
матически, эта пр^£рбраэпал теория дедукции, строго го-
ворКг- отличная ог всех теорий, выработанных позднее
в матемас^ичес^ггй^оТ!^^ как бы вне русла но-
вого логико-математического направления и, естествен-
но, не могла вызывать к себе достаточно серьезного
отношения.
17
§ 3. Формальная логика и математика
В современной логической литературе стало общим мес-
том, что математическая, или символическая, логика
сформировалась в результате применения к области ло-
гики формальных методов и языка математики. Вместе
тем этот вопрос о соотнртрепитт логики и математики,
о^зуелрвно являясь одним из основны^фшнософст^^
просов^овроьте11Пойфщ)^ЛБ1Га^^огики^ заслуживает
особого внимания, и поэтому мы на нем специально оста-
новимся в этом и в следующих двух параграфах.
•^Собственно, для математика прежде всего может пред-
ставлять интерес значение логики для математики, и
одним из источников современной математической логики
как раз явилось изыскание обоснованных логических
средств и норм математических построений и доказательств.
Радзцьчные -еложчцрттдрся в нашем столетии философские
направления в мятрудтп^р — логицизм, формализм и
интуиционизм — различались >ежду^шбой^именно цо то-
^^Жак>^и^ассм^рмал^^^т^дс^йЕхЕнош^^З^-|
Гду^до^ цчк какой мере они принимали
нас же в данном случае интересует другая сторона
этого вопроса — какое значение имеет математика для
теории логики. С развитием математической логики ог-
ромное значение математики для логики стало, по-види-
мому, непосредственно очевидно. В чем же оно^состоит?
Сформулируемунаше понимание^ этого значения. Матема-
тика является не просто удобным вспомогательным с]тсд-
бтвом оДцщмления теории логики и даже не только исчис-
лением для решения задач, перед которыми бессилык
чисто содержательности^ является
ИСТПЧрптСТи ДГРГВ^торыХ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ И ПРИНЦИПОВ,
с'пошлцьдц^которых создаются логическиетеории и без
которых зачастую невозмбянпГ^ормули^^ ло-
гическихзадач. ~ '"" ~~
'“’Однако не содержится ли в такой постановке вопроса
порочный круг? Математические теории строятся с по-
мощью средств логики, в то время как сама теория логики
использует для своего построения идеи и методы матема-
тики. В своей крайней форме такое возражение было бы
понятно с позиций логицизма, т. е. приверженности к той
18
философской концепции в математике, которая считает,
что математические понятия можно свести к собственно 4’
логическим с помощью явных определений, а математи-
ческие теоремы получить из логических аксиом с помощьюоС^.
чисто логических выводов. Между тем в настоящее время
^неосуществимость такой экстремистской программы!* обо-
4 математики стала дрстатпяно очевидна. {Разра!
и ботанные в различных школах идеи и способа Пбосновй»
ния" математики реально сосуществуют"H—используют^
Л в^труктуре существующей математики уг.ппвтттт ттж:
X ЛОГО ойредеЛёНИя сфер их действия^не^ абсолютизации, а
/ рационального выявления областей их-эффективной при-
J менимости.
noL Само соотношение логики и математики в настоящее
* ^время вряд ли вырисовывается в виде некоей всеобъемлю-
щей статической иерархической системы, в основании ко-
торой лежат понятия и принципы чистой логики, и с соб-
ственно математическими понятиями и утверждениями
в качестве надстройки. Это соотношение скорее представ-
ляет род «динамического» взаимодействия, взаимопроник-
новения элементов того и другого. Как справедливо
отмечает С. А. Яновская, дело обстоит таким образом, что
при помощи средств логики, быть может еще не достаточ-
но глубоко проанализированных, создаются плодотвор-
ные научные методы математики. Однако дальнейшее раз-
витие математики требует уточнения и усиления средств
логики, и тогда приходится, пользуясь уже разработанны-
ми средствами математики, уточнять понятия и методы ло-
гики, чтобы при их помощи решать более сложные мате-
матические задачи. Именно в таком процессе происходит
взаимное обогащение этих двух областей — совершенст-
। вование математики средствами логики и логики средства-
ми математики. Об этом с достаточной отчетливостью сви-
\ детельствуют как история математики и ее обоснования,
так и история логики.
Если поэтому отвлечься от специальных задач логи-
ческого обоснования математики и сосредоточиться лишь
на значении математических средств для создания теории
логики, то соотношение логики и математики представит-
ся в известной мере аналогичным соотношению теорети-
ческой физики и математики. И это справедливо не только
в отношении современной математической (символиче-
ской) логики, это справедливо и в отношении традиционной
19
формальной логики. Проиллюстрируем в общих чертах
это значение математики для логики на простейшем приме-
ре — на аристотелевской силлогистике, которая не толь-
ко лежит у истоков всей современной формальной логики
ькак науки, но и длительное время составляла ее основ-
ное содержание.
Как известно, в основе аристотелевской силлогистики
ежит субъектно-предикативная модель высказывания «S
е) есть Р», содержание которого составляет утвержде-
ние или отрицание чего-нибудь о чем-нибудь. Такая мо-
дель была подсказана Аристотелю самой структурой язы-
кя^някотлрпм гпппрытгтт тт ТТЫГ ялы ДрОВНИб ГрСКИ, И Н6
удивительно поэтому, что теория силлогизма возникла на
бязз^менно индоевропейского яякткя3 Л ттр няпримрр—ки-
тайского. Однако, будучи фундаментом силлогистики,
субъектно-предикативная структура сама по себе еще не
м определяет ее проблематики. Лишь используя простей-
шие математические представления — количественное оп-
ределение субъекта высказывания («Всякое S» или «Не-
которое 5»), элементарную комбинаторику (различные рас-
положения сЭеднегбг^гермина в фигурах силлогизма) и
буквенную символику ^для абстрактного выражения тер-
мцнод, Аристотель смог ставить и решать здесь логиче-
ские за дачи |рн обогатиллогикуййтне" одной замечатель-
ной идеей — идеей аксиоматического построения, более
Гполвека спустя усшшшо примененной Евклидом в гео-
\ метрии.
Современная символическая логика тесно сплелась
с решением специальных научных задач и прежде всего за-
дач обоснования математических понятий, структур дока-
зательства и математических теорий. Ничего подобного,
по-видимому, не было в античности. Ццдтому наличие
математических компонентов в силлогистике не может
быть объяснено тем, что эта теория являлась логикой сов-
ременной Аристотелю математики. Одр объясняется самим
существом отношения логики и математнки^^ажным-з-на-
^чением й нбстроении логическойтеоригг-математических
принципов ЕГ Математического воображения.
—Это^длапепип ппл?»ьи)-н-иетв-рии науки оспяттял Лойб-
ниц, выдвинувший грандиозную программу создания ис-
кусственного «универсального» языка, в котором могли бы
бытьгпбстроены самые разнообразные логические схемы
рассуждений. Он понимал этот язык как символический.
20
4
Позволяющий строить рассуждения по способу, каким вЫ-
полняются точньте- и^предОёО^^вычислительньте опе-
^рапии. и это было предвосхищением фундаментального
поняти^ТПвременной символической логики — понятия
(формализованного искусственного логического языка. Леио-
ницу принадлежит также глубокая идея алгебраизации
ё логики, впервые систематически реализованная лишь пол-
тора столетия спустя и до сих пор являющаяся одним из
> основных источников новых логических изысканий.
С именем Лейбница связано пропикнлвение-д^югтпгу того
\ Йиля мышления; тех способов построения логических
\ I теорий — исчислений, того вйдения задач логического
\ исследования, которые составили характернейшую черту
у современной математической логики.
I Все последующие успехи в разработке формальной ло-
гики связаны именно с систематическим применением в
этой области идей и методов математики. ^Буль^ Де Мор-
гащ, ^ПирСц Порецкий и Шредер^ развивают алгебраиче-
скую теорию логики(алх^ебр^ищгики)^ в какой-то мере ко-
пируя ее методы и проблемы с классической алгебры.
чФлеге. принадлежит заслуга применения к логике общего
понятия функции и введения понятия логической функции.
В целях логического обоснования арифметики он впервые
построил формализованный логический язык — исчисле-
ние понятий, включающий дедуктивно-аксиоматическую
систему классического исчисления высказываний и рас-
ширенное — с кванторами по предикатам, цо без каких-
либо средств предупреждения противоречиидтапаЗдара-
доксТТасселйу— исчисление предйкатбвТ^
* СобствЖйо, во всех этих работах, подытоженных в
«Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела, и была раз-
работана та логическая система, которая получила наз-
вание математической, или символической, логики. Эту
систему отличает от предшествующих результатов логи-
ческого исследования не только выработка более общих и
широких по своему значению логических понятий и тео-
рий, в которых, кстати сказать, выводятся все результаты
традиционной дедуктивной логики, но и разнообразие,
глубина применяемых здесь математических представле-
ний и методов. Ее отличает иной —-Jin л ее абстььакмый
и современный — стиль математического мышления—в
^ёслёДовйййи логической проблематики, существенное
использование в построении логических теорий понятий
21
различных разделов современной математика — комби-
наторики и^Тебрии множеств? алгебраической теории струк-
^^ДДг-теоргтт функций" арифметики и геометрии,.
Мы уже говорили об аналогии между теоретической
логикой и математикой, с одной стороны, и теоретической
физикой и математикой — с другой. Поясним эту мысль.
фттэтттся дяат Ttaagдостаточно примеровл_..сви-
детельствуюших^ ЧТО ПОПЫТКИ ЧИСТА тгпуиЧОСКОГЛ рктилдя
еК основных ТГбнятий и принципов из отдельных опытов
^иОПЙеиьшей'мере' иг как правило обрече-
нны на неудачу. Эти понятия и принципы заимствуются из
математических пострпрний, которые, таким образом, да-
ют ключ к пониманию физических'явлопии-прйроды. Так,
теор^тичеекая-лцеханика в целях тазучения механических
об^октов строит^прел^Л^ПКЫа^ях математические модели
на я^кеи^давным рбразок^а^ференциальныХрУраннений,
^теория электричества обращается к аппаратур векторного
^amjjH3a^|FgapHH элемешгартгх^астйц заимствует из ма-
\тематики пожатие х\ру1ГВы^Гт7п.
Говоря это, мы, конечно, никоим образом не подверга-
ем сомнению всю значимость опытных оснований науки.
Опыт — наблюдение и эксперимент — дает науке исход-
ные факты, но факты еще требуют систематизации и объяс-
нения. Пригодные для этой цели математические понятия
могут быть подсказаны опытом, но они не могут быть
!ЩЦ|ЯЕ
сведены к опытным данным или же логически выведены
только из них: «Опыт нсягдя летается единственным:,кри-
терием пригодности некоторого математического построе-
фиятцпт^ лдпякл собстаепно творческое^начало
относится к математике»,— писал Эйнштейн. Теорети-
ческая физика поэтому есть применение того или иного
К^атематического аппарата для описания и объяснения
^эмпирических закономерностей, обнаруживаемых в яв-
ленияг m
случае логики мы также имеем некоторую совокуп-
ность исходных «опытных» данных. Правда, по сравнению
с физикой вопрос об эмпирических основаниях логики
связан с рядом специфических трудностей. Основная из
них состоит в том, что сам объект исследования здесь яв-
ляется идеальным феноменом, и первое же, с чем прихо-
дится сталкиваться при его изучении,— это с проблемой,
из какого материала и какими средствами его можно вы-
делить? Естественно, что экспериментальные установки,
22
применяемые в естествознании, здесь ничем не могут по-
мочь. Выход из затруднения между тем подсказывается
тем обстоятельством, что «язык есть непосредственная дей-
ствительность мысли» (К. Маркс). Иными словами, в
структуре языковых форм, представляющих собой уже
вполне конкретные материальные образования, можно
как-то усмотреть структуру форм мысли.
Надо сказать, что на это обстоятельство неоднократно
Г обращалось внимание в научной лингвистической и фило-
i софско-логической литературе еще задолго до того, как
• оно нашло свое довольно парадоксальное выражение в
; гипотезе Сепира-Уорфа: разные языковые формы приво-
; дят к становлению разных форм, норм и типов логическо-
го мышления. Достаточно упомянуть, например, Гегеля,
[который проницательно заметил: «Во все, что для челове-
ка становится чем-то внутренним, вообще представлением,’
во все, что он делает своим, проник язык, а все то, что чело-
век превращает в язык и выражает в языке, содержит в
себе — в скрытом ли, спутанном или более разработан-
ном виде — некоторую категорию».
Языковое мышление, таким образом, составляет естест-
венный и непосредственный объект логического исследо-
вания. При ЭТОМ языковое МЬТПТЛАттттр рячпиипиу---ЩШ-
кретных^тгук (И Прежде всего матемятичргкттх) представ-
ляет собой наиболее чистый с точки зрения интересов ло-
гики объект изучения, ибо~именно наука^ а не обыденное
мышление, отличается наиболее" развитой, тпчной и кри-
тически проверенной логической формой постижения объ-
ект^ивноиПистины. Фактыдля логики, таким “образом,
^представляют сами науки —- их понятия и теории, спосо-
бы рассуждения и доказательства.! Это содержание логики
как «итога опыта наук» специально подчеркпвятт р ^(Т>та.пп2
софекит тетрадях» В. И. П^ттии
Однако конкретные науки сами по себе представляют
лишь, так сказать, прикладную логику. Они содержат по-
нятия, умозаключения и доказательства, осуществляю-
щиеся применительно к изучению той или иной частной
конкретной области объектов и отношений. Для собствен-
ного анализа логических законов, выводов и доказательств
в их общем виде, для построения логики как теории этих
логических приемов и средств необходимы какие-то спе-
циальные способы исследования. В теоретической логике
для этой цели используются особый знаковые математи-
23
ческие системы — алгебры или искусственные символа
ческие языки? более высокого уровня абстракцииГ чем
языпш исслплуемь£2:конкретных наvgj
jjTaSaae. таких образований лкяд^пяртгст-лл^мпжппм
/О^рименение формального метода математики к области ло-
^отображение логического мышления в логическом
исчислении». При этом достигаются не только связное,
исходящее из единой идеи систематическое описание
установленных на содержательном уровне фактов, каса-
ющихся исследуемых логических форм, а также новые
нетривиальные следствия, так или иначе характеризую-
щие эти формы, но и формулировка, и решение логиче-
ских проблем, П£]Эед которыми. принпипияльне бессильно
чисто содержательное логическое мышление. Ниже мы
остановимся на этих математических принципах построе-
ния формально-логических систем и на различных возни-
кающих в этой связи задачах их исследования.
Есл!^
ятся тео]?
выделить
§ 4. Принцип построения
формально-логических систем
вобщить те способы, посредством которых стро-
га современной формальной логики, то можно
следующие три — алгебраический, формально-
аксиоматический и способ естественного вывода. Каждый
из этих способов имеет свои достоинства и недостатки и на
характеристике этих способов мы здесь кратко остано-
вимся.
1. При алгебраическом построении логической теории
изучаемые логические объекты и связи между ними
(операции над этими объектами) рассматривают как опре-
деленную алгебраическую систему. Как известно, алгеброй
называется система, состоящая из некоторого непустого
множества абстрактных объектов и последовательности
определенных на этом множестве операций. Таким обра-
зом, в логике используется уже разработанный или же
специально разработываемый в математике тот или иной
алгебраический аппарат. На последнее обстоятельство хо-
чется особо обратить внимание, так как задача примене-
ния математических методов в логике должна решаться
не только на пути использования уже готового, разработан-
ного в каких-то иных целях математического аппарата, но
34
И йа Пути Создания Нового аппарата, отвечающего Сущест-
ву тех проблем, которые выдвигает перед нами специфика
логического исследования.
Логические выражения при этом представляются опре-
деленными аналитическими функциями, но не числовыми,
а в конечном счете истинностными. Эти выражения по за-
конам данной алгебраической системы можно преобразо-
вывать, приводя их в целях решения той или иной задачи
к определенной канонической форме. Такими задачами
могут быть, например, выяснение, является ли данное
выражение логическим законом, какие логические след-
ствия вытекают из данных посылок, или же, наоборот,
из каких посылок вытекает данное следствие, и др.
На пути алгебраического построения достигаются боль-
шие удобства в отношении такого рода преобразований, ко-
торые по форме носят чисто математический характер, ана-
логичный преобразованиям в числовой алгебре. В совре-
менной логике используется в этих целях не только аппа-
рат булевой алгебры, одной из интерпретаций которой яв-
ляется классическая логика высказываний и классов, но
и другие виды алгебраических структур и полуструктуры.
Вместе с тем при таком построении в значительной мере
затушевывается специфически логический характер полу-
чающейся теории, поскольку логическая интерпретация
алгебраических структур является одной из возможных
их интерпретаций и отнюдь не преимущественной. Оно
также может быть связано с рядом трудностей при попыт-
ке выражения некоторых важных содержательных или
интенсиональных особенностей рассматриваемых логи-
ческих объектов (например, различных модальностей).
К тому же таким образом построенная логическая теория
оказывается малопригодной для выражения впслигиче*
ского содержания, т. е. для целой логичестшй^-^омализа--"-
фПТдьш.......11бТГ~коякрАтн(ьяаучттого содержит
Яйяцель, как известно, предопределяет в конечном счете
все наши логические изыскания.
2. Всех этих недостатков лишен формально-аксиома-
тический метод построения логики, или, как его еще назы-
вают, метод формализованного логического языка, поэто-
му, пожалуй, и играющий центральную роль в современ-
ной символической логике.
При этом методе задается определенный идеографиче-
ский язык—конечный список символов или букв, имену-
25
емый алфавитом системы, и правил организации из конеч-
ных последовательностей этих символов правильно пост-
роенных слов или формул системы. Что является форму-
лой, обычно определяется индуктивно, через указание,
во-первых, исходных (простых) формул, во-вторых, пра-
вил образования из имеющихся формул новых формул.
Таким образом, полностью определяется понятие форму-
лы и дается точный эффективный критерий, позволяющий
отличать последовательность символов, которая является
формулой, от последовательности символов, которая фор-
мулой не является.
Затем задается конечный список исходных выводимых
формул и указываются правила преобразования, позволя-
ющие из исходных или из уже выведенных формул полу-
чать новые формулы. При этом исходные формулы имену-
ются аксиомами, правила преобразования правилами
вывода, а сам процесс образования новых формул из ак-
сиом посредством применения правил вывода — выводом.
Итак, формула выводима в данном исчислении, если
она есть аксиома этого исчисления, либо по правилам
вывода получается из аксиом или из уже выведенных
формул.
Вообще говоря, выбор того или иного состава аксиом
в формальных системах не однозначен. В основу опреде-
ления всех выводимых в данной формальной системе пред-
ложений могут быть положены различные системы аксиом
(называемые эквипомеюнньши). При выборе той или иной
из эквиполлентнйхсистем аксиом руководствуются различ-
ными соображениями: или в качестве аксиом выбирают в
определенном смысле наиболее простые и непосредственно
очевидные положения, или же руководствуются стремле-
нием обойтись наименьшим числом аксиом или же такими,
из которых интересующие нас формулы системы получа-
ются простым и изящным способом.
Таким образом, рассматриваемая в чисто синтаксиче-
ском аспекте формально-логическая система представляется
множеством формул, которые порождаются точными, эф-
фективными правилами или законами конструкции и
дедукции. Алфавит, простые формулы системы и правила
образования^ формул — все это представляет^ибой^ так
набиваемую морфологию формальной системы. Аксиомы
же и правила вывода составляют ее аксиоматику.
Осуществляя в той или иной формальной логической
26
системе конструкцию формул и дедукцию их из аксиом,
это делают чисто формально, не обращаясь к содержатель-
ному значению конструируемых и преобразуемых вы-
ражений, а руководствуясь лишь имеющимися формаль-
ными предписаниями. Тем самым достигаются как свобод-
ная от неясности и двусмысленностей точная трактовка
предмета, так и общность, массовый характер методов.
При таком методе формализации в логическом исследова-
нии исключается возможность допущения кДких-либо
подразумеваемых, но невыявленных предположений. Ме-
тод формализации как раз требуех^полногл выявления
всех предпосылок логического анализа и тем^амым гаран-
тируех- возмпнщость доведения этого-анализа до конца.
Мыобращаем внимание на эту сторону дела потому, что
история логики дает немало примеров логических просче-
тов именно вследствие принятия таких неявных предпо-
ложений.
Вместе с тем безусловно, что при построении той или
иной формальной логической системы, выборе ее морфоло-
гии и аксиоматики в конечном счете руководствуются
содержательными логическими соображениями, преследую-
щими цель охватить в данной формальной системе опре-
деленный класс логических законов. Поэтому только
синтаксическая характеристика логических формализмов
оказывается недостаточной и синтаксическое рассмотрение
должно быть дополнено семантическим. Изучение фор-
мального строения логической системы, рассматриваемой
самой по себе, должно быть дополнено рассмотрением от-
ношений, имеющих медлю между этой системой и теми -
содержательными предметными областями, которые могут
служить ее представлением, моделью или интерпретацией.
Существенно, иными словами, выяснение того содержа-
ния, которое может быть выражено и выражается
в Эта задача, собственно,
Ектбрисовынкет круг' npo6jiejjc< встающих в логической
семантике.
Применижд^и^пттГ^к формальным логическим системам
они означают исследование отношения формализмов к той
содержательной логической концепции, которая может
быть положена в основу их интерпретаций, а также фор-
мулирование правил выражения в формализмах таких
систем содержательных логических объектов. Понятие
интерпретации поэтому является одним из основных в со-
27
временной формальной логике. Под интерпретацией фор-
мальной логической системы понимают установление взаи-
мно-однозначного соответствия между морфологическими
элементами этой системы и элементами некоторой содер-
жательной логической области, те или иные логические
характеристики которой определяются независимо от
данной формальной системы и вне ее.
Заметим, кстати, что, говоря об интерпретации фор-
мальной логической системы, мы имеем в виду ее адекват-
ную, или точную, интерпретацию, т. е. такую, при кото-
рой всякой выводимой в данной формальной системе фор-
муле соответствует истинное выражение в поле ее интер-
претации и, наоборот, истинному выражению в поле
интерпретации соответствует выводимая формула систе-
мы. Вместе с тем возможны и неадекватные, неточные ин-
терпретации, при которых истинным выражениям в поле
интерпретации соответствуют либо только некоторые из
выводимых формул системы, либо формулы, составляю-
щие класс более широкий, чем выводимые.
3. Формально-аксиоматическое построение и по су-
ществу возникающих при этом задач, и по форме своей ор-
ганизации, и по той цели — научному приложению, кото-
рую в конечном счете преследует любое логическое по-
строение, более отвечает духу и требованиям именно логи-
ческой теории, чем алгебраический подход. И все же эта
система логики мало сходна с обычным, естественным
строем логического рассуждения, встречающегося в раз-
личных науках. Она достаточно громоздка, негибка и
требует педантично и скрупулезно разработанного аппа-
рата для своего построения.
Поэтому за последнее время находит распространение
значительно более естественный способ формулировки
логической теории, в форме которого излагаются самые
различные логические исчисления и который так и назы-
вается — способ естественного (или натурального) вывода.
Системы такого рода близки к обычным содержательно
очевидным представлениям в том отношении, что доказа-
тельства в них почти не отличаются от способов рассуж-
дений и доказательств, имеющих место в математике и
других точных науках. В таком построении вообще нет
аксиом, а есть лишь ряд правил вывода — основных и
производных (при некоторых вариантах такого построения
необходимо введение правил, порождающих из одних пра-
28
вил вывода другие правила вывода, т. е. позволяющих
переходить от одних выводов к другим).
Обычно доказательства, проведенные этим способом, бо-
лее компактны, чем в случае формально-аксиоматического
построения, и в отличие от аксиоматической теории могут
начинаться с гипотез, т. е. с недоказанных, а просто
допускаемых положений, так как правила вывода приме-
нимы здесь к любому осмысленному предложению ло-
гической теории, а не только к выведению доказанных
предложений из уже доказанных.
Конечно, и здесь предложение, которое следует по
каким-либо правилам вывода из доказанных предложе-
ний, тем самым доказано, а выведенное из недоказанных
предложений само еще не доказано. Однако использование
дедукционной теоремы или, иначе, правила введения им-
пликации (если формула 93 выводится из формулы 91
по правилам вывода данной логической системы, то
формула 91 —> 93 доказана в этой системе) позволяет
в доказательствах естественного вывода начинать с гипо-
тез, исследовать следствия, извлекаемые из них по пра-
вилам вывода, а затем, используя информацию, что
91 Н 93 (т. е. что 38 выводимо из 91), заключать о дока-
зуемости предложения 91 —>93.
§ 5. Металогические исследования
Логический синтаксис и логическая семантика вклю-
чаются в так называемую металогику — теорию символи-
ческих средств описания, дедуктивных критериев и вооб-
ще предпосылок и свойств формальных логических систем.
Областью изучения металогики, таким образом, высту-
пают сама структура логических теорий, методы их по-
строений, различные общие свойства логических формализ-
мов и отношения между ними.
Собственно, о металогике в точном смысле этого сло-
ва нельзя говорить применительно к аристотелевской или
традиционной формальной логике. В текстах Аристотеля,
правда, нетрудно обнаружить рассуждения, касающиеся
тех логических фигур, которые он исследовал, понятия
логического следования, основных принципов (начал) и
различных способов доказательства. В известном смыс-
ле такие рассуждения (в особенности содержащиеся во
29
«Второй Аналитике») можно отнести к разряду металоги-
ческих.
Однако следует все же считать, что в полной мере раз-
личение логического и металогического осознается и по-
стулируется тогда, когда формальное рассмотрение со-
вершенствуется настолько, что возникает специальная
задача исследования самого логического формализма —
его непротиворечивости, полноты, возможных интерпрета-
ций, сравнения с другими формализмами и т. д. Именно
тогда металогика приобретает вид системы доказываемых
утверждений такой общности, что может и сама рассмат-
риваться в качестве особой дисциплины.
Ничего подобного не было ни в традиционной, ни в
аристотелевской логике. И не только потому, что послед-
няя знала, в сущности, лишь один из его видов — сил-
логистику, но, прежде всего, потому, что теория сил-
логизма как у Аристотеля, так и в традиционной логике,
не была формальной системой в собственном смысле сло-
ва. Неразвитости и невыявленности чисто формальных
средств логики здесь соответствовали неразвитость и не-
выявленность ее металогических средств.
Из рассматриваемых металогических свойств прежде
всего следует указать на требование непротиворечивости.
Формальная логическая система с определенной в ней
операцией отрицания синтаксически непротиворечива, ес-
ли в ней невыводимы никакие две формулы, из которых
одна является отрицанием другой. В противном случае
в большинстве обычных систем буде!1 выводима любая
Д^рмуЗт^ц^^а^я система потеряет какую-либо познава-
тельную ценность.____
С этим обстоятельством связан следующий важный
критерий непротиворечивости: если в данной системе име-
ется хотя бы одна невыводимая формула, то такая фор-
мальная система заведомо непротиворечива. В семанти-
ческом разрезе противоречивая система нереализуема,
беспредметна, она не имеет интерпретаций. Напротив, под
семантической непротиворечивостью формальной логи-
ческой системы понимают ее реализуемость, наличие у
нее, по крайней мере, одной интерпретации. Это понятие
непротиворечивости в определенном отношении связано
с синтаксической непротиворечивостью.
Вообще говоря, при наличии у формальной системы
интерпретации вопрос о синтаксической непротиворе-
30
чивости этой системы можно свести к вопросу о непротиво-
речивости системы понятий, используемых для ее интер-
претации. Если мы уверены, что такая система понятий
непротиворечива (в том смысле, что в ней не имеют места
одновременная истинность и ложность одного и того же
утверждения), то уже сам этот факт устанавливает син-
таксическую непротиворечивость исследуемой формаль-
ной системы. Однако априори, по-видимому, было бы
неверно утверждать обратное: что синтаксически непроти-
воречивая система всегда интерпретируема.
Другим свойством формальных систем является их
полнота. Понятие полноты употребляется в различных
смыслах. В широком синтаксическом смысле оно означает,
что всякое осмысленное положение, которое можно сфор-
мулировать на языке данной системы, либо в этой.системе
выводимо, либо опровергаемо, т. е. из аксиом системы
выводимо его отрицание. Надо сказать, что это очень
сильное тре^пвяттр^и ему удовлетворяют лишь прими
’‘Тйвныё формализмы. В узком синтаксическом смысле фор-
мальная система считается полной, если присоединение
к ее аксиомам какой-либо не выводимой в ней формулы
ведет к противоречию.
Очевидно, что если система/Полна в широком синтак-
сическом смысле, то она полна‘^ПГузком смысле. Однако
инверсия последнего утверждения справедлива отнюдь
не во всех случаях. Поэтому полнота в широком и узком
синтаксических смыслах — это различные понятия.
Формальная логическая система считается семанти-
чески полной относительно той или иной интерпретации,
' если любая формула этой системы, соответствующая в ин-
терпретации тождественно истинному высказыванию, есть
выводимая формула. Смысл такой постановки вопроса
состоит в том, что при построении логического исчисления,
предназначенного выражать некоторую содержательную
логику, следует выбирать такие аксиомы и правила выво-
да, из которых можно было бы вывести любую формулу,
в семантической интерпретации представляющую собой
закон логики. Таким образом, семантически полная фор-
мальная система осуществляет полную формализацию
некоторой содержательной логической области.
Вообще говоря, задача построения полных формальных
систем связана с принципиальными трудностями. Требо-
ванию полноты удовлетворяют сравнительно простые фор-
I
малыше системы. К^к доказал К. Гёдель во всякой непро-
тиворечиво формальной системе, достаточно Сложной,
^чтобысод гь нечто подобное арифметическим Соотно-
шениям,ТГ СФОПМУЛИрЛВЗФЬ- пКугТУЯСвЯМ *<шурт^-в
Э^ОЙ системе нельзя тттт пт.Тг>лрТН7 Из спра-
ведливости Геделевской теоремы о неполноте широкого
класса таких непротиворечивых систем, ому,
можно заключи огич
лении фор-
м дуется некоторая достаточно спд^уждтельня я теория,
То она не может быть пгьпнпстт^ лтпбряж^пГв1 :т^ш тггчис-
лении.
Понятие содержательной полноты имеет еще и другое
значение, mropyw^ комичностью. Аксиоматически
построенная формальная система называется катего-
ричной, если она в интерпретации однозначно определяет
только одну систему предметов с точностью до некоторой
абстракции отождествления. Иначе говоря, если все удо-
влетворяющие ее аксиомам системы предметов (интерпре-
тации или модели) изоморфны друг другу. Поскольку,
принимаемое отождествление, вообще говоря, может про-
изводиться различным образом (понятие изоморфизма
интерпретаций допускает разные, не эквивалентные друг
другу определения), возможны и разные виды категорич-
ности. Вместе с тем в определении категоричности мы го-
ворим о «всех» интерпретациях формальной системы.
И поскольку в большинстве случаев нельзя обозреть
«все» произвольные интерпретации (модели) системы, оп-
ределение категоричности оказывается неконструктив-
ным.
Так как в принципе при построении формализмов ста-
раются выделить такую систему аксиом, которая не со-
держала бы лишних формул, т. е. формул, выводимых из
остальных аксиом, то к системе аксиом предъявляют еще
требование независимости. Система аксиом, в которой ни
одна аксиома не может быть выведена из остальных ак-
сиом, называется синтаксичрскп псзависимой. Система
из п аксиом семантически независима, если существуют
такие интерпретации, которые, удовлетворяя всем возмож-
ным системам, составленным из п — 1 аксиом, не удовлет-
воряют рассматриваемой системе аксиом в целом. Оче-
видно, что если система аксиом независима в семантичес-
ком смысле, то она независима и в синтаксическом. Это
непосредственно вытекает из самого семантического смыс-
32
ла понятия формальной выводимости: формула логически
следует из аксиом тогда, и только тогда, когда она вы-
полняется для каждой интерпретации, в которой выполня-
ются эти аксиомы.
-Лрсле того, как г.фпрмулттовапт1т---ятесиомш тг правила
вывода, janaua дальнейшего развития и исследования
формальной логической системы состоит в изысканйтгнф^
""ЗГоицелью выводятсяраЭ ЛИчногорода
производные равила, • исследуются канонические (нор-
мальные) формы, в которые для решения тех или иных за-
дач следует преобразовывать формулы, доказываются раз-
ные металогические теоремы (например, теоремы о дедук-
ции, замене равносильным и др.), позволяющие значитель-
но упрощать в рамках данной системы способы получения
выводимых формул и процессы доказательства. ^Имряг и
виду концепцию металогикиД необходимо строгордзли-
ать^бДержолольтагет"^ выводы и рассуж-
_о формализме урт собственных технических выводов
самого формализма^ 4 "
.Разработка аппарата—логических Формализмов/ так
же как и металогических дедуктивных критериев, сущест-
венно определяется ^адачей выработки методов, позволя-
ющих решать в пределах^данной формальной системы ос-
/ 7
'ических формализмов^
новную логическую проблему — проблему
(^зрещдмаежи). В синтаксическом аспекте эта проблема
вйЬтупает как проблема существования или же несущест-
вования некоторого общего способа или алгоритма, поз-
воляющего конечным числом действий выяснить, являет-
ся ли произвольная данная формула рассматриваемой
формальной системы выводимой в этой системе или же она
таковой не является. В семантическом аспекте проблема
разрешимости выступает соответственно как проблема
существования или же несуществования эффективного
метода, позволяющего для любой формулы системы рас-
познать, является ли она тождественно-истинной в поле
интерпретации или нет.
Современная логика включает в себе целый ряд фор-
мально-логических систем и является учением о таких
системах, их предпосылках, свойствах и применениях*
Надо сказать, что сам по себе факт существования в рам-
ках современной логической концепции ряда формальных
логических систем не может вызвать каких-либо недоуме-
2 А. Л. Субботин
33
ний и при правильном диалектико-МатерйалйстичвейоМ
пл ПУП дм MMiurr^P111 норпппть релятивистской пттятаки НИ
Метода "'формализации, ни современных логических тео-
"^ТИи^в^целом.~~
^няТтЛдтттрр время представляется достаточно очевид-
ной невозможность отобразить в едином формализме всю
совокупность известных нам содержательных сведений о
ЛППЦТР^КИУ прппессах. которйе^ ТОМуТЯГР плс-тадпнТГпп-
пблняются. Поэтому при построении тех или иных фор-
мально-логических систм1уг^^п?гй)1Ь1в[о~ абстрагируют^ от
многих, может быть даже и существенных в какой-либо
другой связи фактов, строят идеализированную логичес-
кую модель, развивают и исследуют ее, вполне отдавая
себе^отчет в том, что упущен**; а затем или дополняют та-
кую-мо де л ь новыми содержательно^
CTpogj^ffpyrjaea- —— -----------------------------——.<
^::::::СГточки^ теории познания такой способ исследо-
вании К пл гике принципиально \НИЧРМ НЯЛТТТИЧЯРТСя'~ОТ
Гспособя теоретидссклгл исследования я пругтлр^^^пягтях
[научного^ичаниЮС точки же зрения логики таким путем
^достигается не только более общее, но и несравнимо более
точное и конкретное, чем в традиционной формальной ло-
гике, представление о законах логики, структуре логи-
ческих выводов и доказательств. Различные формально-
логические системы следует поэтому рассматривать не
как исключающие, а как в конечном счете дополняющие
друг друга, поскольку разработка всякого нового форма-
лизма, охватывающего новую предметную логическую
область, существенно расширяет наше знание и о законах
логики, и о сферах ее применимости.
Однако стоящие перед логикой задачи отнюдь не исчер-
пываются построением новых формально-логических си-
стем, как бы это ни было важно для целей формализации
в науке тех или иных дедуктивных построений или их
отдельных фрагментов. Возникает более общая и прин-
ципиально важная задача — создание общей теории та-
ких формальных систем, т. е. теоретической формальной
логики в подлинном и современном смысле этого слова,
Ъ этой связи В "Мёталогике создаются общие концепции
формального доказательства, определения понятий, моле-
лей, истинности в формализованных языках и др.
За последнее время на одно из первых-мест в металоги-
ческом исследовании выдвигается задача разностороннего
34
и конкретного рассмотрения взаимоотношений между раз-
личными формально-логическими системами, взаимоотно-
шений, касающихся как формальной синтаксической ар-
хитектоники и семантических интерпретаций, так и спо-
собов погружения одних формальных систем в другие и
математических (в частности, алгебраических) структур,
специфичных для тех или иных логических формализмов.
Именно^атих направлениях уже получопы и, по-видимо-
му, ещеоуну-т.. получены наиболее интересные и широкие
ПО своему значению пбтелпгичргнлт-^Аартктлтт.т
§ 6» Место в науке
и —
лог
это
скии подх
ВО
сти
о
лемат
ских
агает п
тн
нкрет
и
на^длД^профёсТщрнала-логика им-
азработка, соб-
строение раз-
йследование их
к анализу ло-
смотр^ние более ши-
занных с отно-
его естественным
начения в системе
Как бы ни б
манентная пр
ственно, фор/фль|ного
личного ро
свойств и отн
гики прёдп
роких пробл
шением логики
наукам, с опреде
наук.
Эта связь подчеркивалась и исследовалась логиками и
философами самых различных традиций и направлений,
и даже в панлогической концепции гегельянства, в об-
щем мистифицирующей действительное соотношение ло-
гики и науки, возвышающей логику до роли суверенного
судьи в науках, который предписывает им свои высшие
законы на том основании, что вся действительность, изу-
чаемая этими науками, в конце концов сводится к основ-
ным законам разума или мышления, мы можем обнаружить
следующие примечательные соображения: «Подобно тому
как одно и то же нравственное изречение в устах юноши,
хотя бы он понимал его совершенно правильно, лишено
того значения и объема, которое оно имеет для ума умуд-
ренного жизнью зрелого мужа, выражающего в нем всю
силу присущего ему содержания,— пишет Гегель.— Та-
ким образом, и логическое лишь тогда получает свою истин-
ную оценку, когда оно является в результате научного
опыта; оно представляется тогда духу общей истиной,
стоящей не наряду с прочими предметами и реальностя-
35
2*
ми, как отдельное знание, но составляющей сущность
всего этого прочего содержания».
Действительно, история логики свидетельствует, что
прогресс и совершенствование логики стоят в самой тес-
ной связи с развитием и совершенствованием конкретных
наук. Именно они своими исследованиями ставят логичес-
кие проблемы, они же дают логике и мотивы для их ре-
шения. Факты, которыми занимается логика, представ-
ляют сами науки — это их приемы рассуждения и дока-
зательства, гипотезы, теории, иными словами — структур-
ная форма наук. Естественно, что без таких~фгк!гов
было бы'ТГогики^ как науки и что с развитием наук раз-
нообразятся тт нрпбттА-
так и способыд^разрсшсния, т. е";ёория~логики.
^^И%леду?^науки и.. извлекая-тГз них материал для по-
становки логических проблем и образования первоначаль-
ных обобщений, теоретическая логика совершенствует об-
наруживаемые логические формы, развивает их, изобре-
тает новые, использование которых модифицирует сами
науки, придает им более точную организацию и методо-
логически четкую структуру. Основываясь на языке как
единственном средстве передачи информации, наука в от-
личие, например, от поэзии крайне заинтересована в точ-
ности и однозначности своих утверждений, а поэтому за-
конные схемы определений, выводов и построения рас-
суждений играют в ней первостепенную роль. И чем более
усложняются теоретические построения в науке, тем на-
стоятельнее становится задача их логического анализа.
В связи с этим позволим себе провести такую анало-
гию. Известно, что материальное производство прежде
всего или в конечном итоге должно производить продук-
цию, удовлетворяющую непосредственные потребности лю-
дей. Вместе с тем, по мере расширения и развития произ-
водства все больший удельный вес приобретает производ-
ство орудий и средств производства, производство станков
и агрегатов, которые, в свою очередь, служат для произ-
водства непосредственных материальных благ.
Нечто подобное мы наблюдаем и в развитии науки.
По мере усложнения характера научного знания и расши-
рения областей, подвергающихся научному анализу, по
мере того, как наука вторгается в такие области, где ис-
чезает наглядный эквивалент некоторым основным ее
понятиям и возрастает роль математических и логических
36
критериев, разнообразится и усложняется сам аппарат
средств научного исследования. Это достаточно очевидно
в отношении экспериментальной области научного иссле-
дования. Вспомним, например, какими простыми экспери-
ментальными установками пользовались Галилей и Нью-
тон при создании классической физики и сравним их со
сложностью и разнообразием экспериментальных уста-
новок современного физического или химического иссле-
дования.
Однако помимо материальных средств научного иссле-
дования существуют и интеллектуальные — логические
средства. Это — приемы формирования понятий и постро-
ения гипотез и теорий науки, способы необходимой и про-
блематичной доказательности тех или иных ее утвержде-
ний, средства той или иной систематизации, аксиомати-
зации и формализации научных знаний. Осознание,
изучение и разработка таких средств как раз представляет
собой задачу логики в широком смысле слова.
Обратим внимание на два обстоятельства в современ-
ной науке, которые особенно выдвигают на первый план
разработку проблем логического характера. Это прежде
всего математизация знаний и отрыв от наглядности,
связанные, в частности, с возрастанием степени абстракт-
ности ряда теоретических построений. В качестве методов
исследования и пострхш»нт^паучных 1ряссуж,д^^и
рий выступают тадда-приемы, как, например, математи-
ч&Жа^Ёшотёза в физике, когда в исследовании ртправля-
\ютсяотсайого математического аппарата, или же формаль-
но-аксиоматические построения в различных разделах ма-
тематики.
] В этих условиях изучение логических критериев
) .обоснованности форм и способов построения теорий
^приобретает особенно существенное значение.
СТ Другой момент, также характеризующий наше вре-
\Умя,— это новая техническая революция, связанная с пе-
* редачей некоторых интеллектуальных форм человеческой
деятельности машинам. С прогрессом кибернетики, с раз-
работкой и внедрением кибернетических устройств также
тесно связана необходимость изучения различных логи-
ческих форм. И этими новыми обстоятельствами не только
ставится сама задача, но и очерчивается, определяется та
степень точности и строгости, с которой необходимо осу-
ществлять такое исследование.
37
Еще Блез Паскаль писал: «Истинный метод, который
дал бы доказательства самого высокого достоинства, если
бы возможно было вполне применить его, состоит в испол-
нении двух главных правил. Первое правило — не упо-
треблять никакого термина, значение которого не может
быть вполне разъяснено; второе правило — не выставлять
ни одного положения, которое не может быть доказано ис-
тинами, уже известными».
Конечно, с современной точки зрения мы могли бы
упрекнуть Паскаля в некоторой некорректности формули-
ровки, таящей в себе дЛ inf initn m
Тем не менее точное определение используемых понятий,
строгая и окончательная доказательность, логическое
выведение всего множества научных положений из некото-
рого ограниченного числа фундаментальных принципов —
аксиом или постулатов — всегда были тем идеалом, той
труднодостижимой целью, к которой стремились при
построении научных теорий многие выдающиеся умы,
начиная с античности.
Такое аксиоматическое или дедуктивное построение
для своей полной реализации требует разработки опре-
деленного логического аппарата — той или иной системы
дедуктивной логики. И хотя сфера применимости дедук-
тивной логики, вообще говоря, шире, чем область формаль-
но-аксиоматических построений, безусловно, что главная
ее функция в современной науке связана с построением
формализованных дедуктивных систем. Представление
той йЛй'иний теории в Ьид“ формализованной дедук-
тивной системы предполагает не только строгое аксиома-
тическое построение собственных положений этой теории,
но и заданную логическую теорию, на языке которой
осуществлялись бы все доказательства этих положений.
Если такое представление реализуется по отношению,
например, к геометрии или арифметике, то соответст-
венно говорят о формализованных системах геометрии
или арифметики или, иными словами, о логико-геометри-
ческих и логико-арифметических исчислениях.
Замечательно, что в виде формализованной дедуктив-
ной системы можно представлять не только чисто матема-
тические теории или же саму логику. (Заметим, мы не раз-
деляем того взгляда Тарского, что дедуктивный метод — это
единственная существенная черта, отличающая математи-
ческие дисциплины от другие наук, что не только всякая ма-
38
тематическая дисциплина является дедуктивной теорией,
но и что всякая дедуктивная теория есть математическая
дисциплина.) Таким образом, можно, например, строить
формализованные системы фрагментов классической и
квантовой механики. При этом оказывается, что логиче-
ский язык, с помощью которого осуществляется формализа-
ция классической механики, тот же, что и для евклидовой
геометрии. Это так называемая классическая двузначная
логика. Следовательно, так сказать, на «логическом уров-
не» исследования подтверждается известное в физике
положение о тесной связигцмьееиневкай-^ьютоновск^
^ех^ткд^дей^лидовои
Вместе сТгетРф^задаче формализации квантовой меха-
ники ситуация оказывается более сложной. Это связано
с тем, что в квантовой механике мы встречаемся с физи-
ческой неопреде леностью, выражаемой известным соотно-
шением неопределенностей, и невозможностью одновре-
менной наблюдаемости некоторых пар механических ве-
личин (например, координаты и импульсы, кинетической
и потенциальной энергии микрочастиц). В логическом ас-
пекте квантовомеханической теории это сказывается в су-
ществовании зависимых квантовомеханических высказы-
ваний. Между тем классическая логика предполагает
независимость высказываний — посылок, которыми она
оперирует (см. об этом в § 9).
Рассуждая об объектах квантовой механики, мы, ко-
нечно, можем применять здесь и обычную классическую
двузначную логику. При этом, однако, приходится до-
полнять ее содержательным анализом используемых пред-
посылок — некоторой информацией о совместимости всех
посылок рассуждения, образующих класс независимых
высказываний, например фиксирующих совокупность од-
новременно наблюдаемых объектов.
Вместе с тем возможна и попытка ослабить, умень-
шить степень этой содержательной информации. Это мож-
но сделать, например, путем трансформации семантиче-
ской физической неопределенности в синтаксическую ло-
гическую неопределенность. Дополненная такой логиче-
ской неопределенностью классическая двузначная логи-
ка — теперь уже некоторая неопределенностная двузнач-
ная логика, как показал для одной аналогичной задачи
Решер, может быть превращена в систему уже определен-
ностной, но многозначной логики. Можно предполо-
39
жить, что на таком пути удастся выработать логический
язык, более адекватный области квантовомеханических
высказываний, чем классическая двузначная логика.
Эти примеры приведены здесь для иллюстрации того,
как в конечном счете связана формальная логика с зада-
чами конкретно-научного исследования, как приложением
логики становятся сами естественные науки, а объектом
ее отвлечений — системы употребляемых в них рассуж-
дений, или, выражаясь философским языком,— некото-
рая абстрактная форма этих наук.
чес^ая логика, строя: и исследуя весьма общие кихтвле-
ченны^формализмы, в конечном счете преследует,, этим
конкретные пели точншю—и-^дАкватного анядвад-язкткя
наукТ^ормиповавия в них логически правомерных и__эф-
^ектйвныхспособов рассуждения и доказательств а.
При этом возникает вопрос: в чем”мысл и ценность
формализации в науке, построения различных теорий в
виде формализованных дедуктивных систем? Оговоримся,
что такая задача может возникнуть перед той или иной
наукой лишь на определенном, достаточно высоком уровне
ее развития, когда задача логической систематизации и
организации имеющегося материала приобретает перво-
степенное значение. Формализация теории делает прозрач-
ной ее внутреннюю логическую структуру, выясняет
характер взаимосвязи ее различных положений и тем са-
мым способствует выявлению и уточнению еще не решен-
ных ее проблем. А такие проблемы всегда есть в теории,
ибо даже формализация никогда не пяттятгярт яКгА.ултапй
заверпШтпТости, закойчённости теории, прекращения ее
развития. ~ "
—бледует также иметь в виду, что формализация, вооб-
ще говоря, связана с некоторыми принципиальными труд-
ностями и ограничениями. Когда мы имеем дело с доста-
точно содержательной теорией, ойа принципиально не мо-
формализованной си-
стеме. Таков вывод из известной теоремы австрийского
математика и логика К. Гёделя, доказавшего невозмож-
ность полной формализации теоретических систем, анало-
гичных арифметике натурального числа.
Формализация осуществляется в определенных грани-
цах, и на каждом ее этапе остается некоторый невыявлен-
ный, неформализованный остаток. При этом, правда оста-
ется и возможность построения более широкой системы,
40
формализующей часть того, что не было выявлено ранее*
Однако и в этой новой системе, в свою очередь, обнаружи-
вается некоторый новый неформализованный остаток —
новые неразрешимые предложения, что заставляет вновь
перестраивать логический аппарат, и т. д. И, как часто
отмечала С. А. Яновская, в таком постоянно снимаемом й
вместе с тем вновь возникающем несоответствии между
формализацией и формализуемым содержанием можно
усмотреть диалектическое противоречие — внутренний ис-
точник развития как самой науки, так и ее логических
средств*
Современная математическая логика нашла такое ши-
рокое применение в конкретном научном исследовании,
какого никогда не знала старая формальная логика. Еще
Аристотель в своих изысканиях, хотя и описал в общих
чертах концепцию дедуктивного построения науки, по-ви-
димому, недостаточно интересовался анализом конкрет-
ных систем рассуждений, применяемых в точных нау-
ках — математике и физике. И хотя Стагирит (особенно
во «Второй Аналитике») порой обращается к математиче-
ским примерам, а иногда, как например в теории определе-
ний, и приближает интересующую его логическую проб-
лематику к реальной проблематике, существовавшей в его
время математической теории, вся система сконструиро-
ванной им логической теории дедукции не оказала замет-
ного влияния на точные науки. Древние математики поч-
ти не пользовались его логикой в изложении своих ре-
зультатов, несмотря на то, что идея аксиоматического
построения науки (например, у Евклида и Архимеда) уже
приобрела основополагающее значение и, казалось, дол-
жна была бы настойчиво обращать их внимание на логи-
ческие проблемы дедукции.
На протяжении столетий восходящая к трудам Ари-
стотеля так называемая традиционная формальная логика
имела скорее образовательное, чем научное, значение и
именно в таком качестве преподавалась в школах и уни-
верситетах, вызывая интерес лишь со стороны философ-
ски настроенных умов и снисходительное отношение со
стороны тех, кто искал в логике прежде всего ее прагма-
тического научного применения.
И вместе с тем логические открытия Аристотеля нико-
им образом не стоят в стороне от современной ему науки,
а тесно с ней связаны. Надо лишь при этом учитывать
41
особенность, специфику древнегреческой науки, представ-
лявшей собой единую, нерасчлененную систему знаний,
в которой философско-онтологические взгляды были тесно
переплетены с естественно-научными и социально-полити-
ческими представлениями и которую пронизывал рацио-
налистический, умозрительно-диалектический метод иссле-
дования. Как это ни может показаться парадоксальным,
логика Аристотеля была связана с его диалектикой и,
в частности, с той формой субъективной диалектики, кото-
рая была заложена и развивалась в школах Сократа и Пла-
тона и представляла собой искусство диалектического
спора, умения рассуждать о предмете pro и contra.
«Было бы опасно отделить теорию силлогизма от всего
целого, из которого она не может и не должна быть выде-
ляема,— пишет III. Серрюс.— Аналитики занимают место
между метафизикой и диалектикой, которые — каждая в
ином смысле — их подготавливают, дополняют и расчле-
няют. История не дает нам права ограничить логическую
доктрину Аристотеля этими Аналитиками. Во всяком слу-
чае существует другой трактат того же автора, развиваю-
щий его мысль и представляющий аспект его мысли, кото-
рым не следует пренебречь. Это — Топика, наставляющая
в искусстве спора. Она- учит ставить,вопросы и отвечать
на них, защищать разумный тезис, двигаться среди проти-
вйпележнБГХ мнений, защищать авторитет или сообщать
чтСГАристотель ряссмятрикяет^как искусство диалектики,
именно, од-отвел диалеКТикеобласть возможного —тог-
да как анализ должен вести к познанию реального. Пер-
вая есть искусство опровержения и доказательства, вто-
рой — искусство добывания истины. Именно в этом —
и только в этом — анализ прямо соприкасается с филосо-
фией».
Как известно, Аристотель включает в диалектику рас-
смотрение оснований рассуждения о вероятных мнениях,
о проблемах, встающих в исследовании, но еще не решен-
ных так или иначе категорически. Он исследует метод,
с помощью которого можно было бы получать заключе-
ния из такого рода вероятных положений, относящихся
к произвольным предметам, и защищать свои взгляды,
не впадая в противоречие. Это своего рода теория оценки
тех или иных выдвигаемых и кажущихся справедливыми
положений, и в этом своем исследовании Аристотель про-
42
должает и развйвает ту концепцию субъективной диалекти-
ки, которая создавалась элеатами, Сократом и замеча-
тельные образцы которой мы находим в диалогах Платона.
Аристотелю принадлежит заслуга систематизации этой
концепции, а также того, что он обратил особое внимание
на внешнее, словесное выражение, передающее то или
иное положение, на точность употребляемых здесь терми-
нов и словесных оборотов. С его точки зрения, нельзя оце-
нить положение лишь с внутренней, понятийной стороны,
если внешняя форма его соответствующим образом не фик-
сируется в нашей мысли.
Предмет же аналитики, или логики, отличается от диа-
лектики тем, что здесь выделяется и исследуется класс по-
ложений, безусловно истинных, тогда как диалектические
положения — это положения лишь вероятные или кажу-
щиеся истинными. Поэтому-то Аристотель в своих «Ана-
литиках» так много занимается вопросом о принципах или
истинных началах доказательства и развертывает свое
учение о силлогизме как систему логических правил, поз-
воляющих с необходимостью выводить из одних истинных
положений другие истинные положения. При этом (также
следуя традиции Сократа и Платона) все его логические
результаты (впрочем так же как и его диалектика) касают-
ся исследования родо-видовой структуры, пронизываю-
щей всю его логику и трактуемой им онтологически, в ду-
хе его первой философии. Аристотелевская логика, по вы-
ражению Серрюса, «погружена в онтологию как в при-
сущую ей среду; она питается от нее, но сама не создает
ее», а открытые им логические операции «определяют,
таким образом, методы, которые дают уму возможность
ориентировки в онтологическом порядке».
Пожалуй, нет необходимости подробнее останавли-
ваться на этом вопросе, достаточно известном и исследо-
ванном во многих работах. Подчеркнем лишь основной
вывод: исторически аристотелевская силлогистика была
тесно связана с определенным конкретным содержанием,
а именно с его философской онтологией. Она выступала,
так сказать, абстрактной логической формой его первой
философии или, как выразились бы современные логики,
находила в понятиях его первой философии свою главную
интерпретацию. Но, как всякий формализм, силлогистика
в действительности может иметь не одну интерпретацию,
и в этом мы можем усмотреть одну из причин того, почему
43
она входит как законный элемент в систему современных
логических представлений.
Вместе с тем эта связь сугубо логических воззрений с
философией вряд ли может рассматриваться как истори-
ческая случайность или же как свойственная только ран-
нему этапу научных и логических представлений. Правда,
развитие современной символической логики выявило
новые мощные источники логических идей, а математика
снабдила ее новыми средствами исследования логических
форм и построения теорий логики. Все это для человека,
лишь формально освоившего ее результаты или же зани-
мающегося исключительно ее техническими вопросами,
могло завуалировать связь с собственно философскими
предпосылками. Однако эта связь продолжает иметь место
и так или иначе обнаруживается в различных ситуациях.
Достаточно вспомнить, например, размышления Я. Лука-
севича о проблеме детерминизма и связанной с ней пробле-
матике модальности, как источнике формирования пер-
вой системы многозначной логики (в отличие от чисто
формального подхода к ее разработке Постом). Или же
изыскания в области философии математики Брауэра и
Рейтинга, обсуждавших проблему — что представляет со-
бой объект математики как результат умственного построе-
ния, мотивировавшие их разработку интуиционистской
системы логики.
В свете изложенного понимания задач формальной ло-
гики и ее связи с конкретными науками и философией
мне представляются не вполне понятными те жесткие раз-
граничительные линии, те исключающие и вместе с тем
метафорические противопоставления на «низшие» и «выс-
шие» разделы, области «домашнего» и «недомашнего» оби-
хода, философскую и нефилософскую, которые до сих пор
применяются в оценке различных теорий логики. Логика
едина, как, вообще говоря, едина и всякая наука. И логи-
ка всегда была логикой науки, орудием научного пости-
жения реальности. Различие между логическими теория-
ми, если они являются таковыми, т. е. проверены практи-
кой науки и входят в ее фонд, обусловливается тем
различием задач, которые этими теориями решаются. Дедук-
тивно-аксиоматическое построение научного знания явля-
ется фактом науки, подтвержденным ее более чем двухты-
сячелетним развитием, и разработка систем дедуктивной
логики решает задачу такой организации научного
44
знания, вырабатывая для этой цели формализованные ло-
гические языки. И поскольку наука продвигается вперед
при помощи формализации своего языка, она использует
этот метод, потому что он эффективен.
Развитие дедуктивного метода показало целесообраз-
ность, по словам А. Рейтинга, «создания готового для упо-
требления запаса формальных систем, из которого для лю-
бой теории можно было бы выбрать систему, правильно
представляющую результаты опыта». И именно этим об-
стоятельством в первую очередь определяются как зада-
чи, встающие перед формально-логическими исследова-
ниями, так и значение этих исследований для математики
и естествознания. Применение подчас довольно сложной
математической техники при разработке логических си-
стем не должно закрывать от нас этой конечной цели фор-
мально-логических построений, формальных по самому
существу поставленных здесь перед логикой задач, а от-
нюдь не потому, что здесь мы имеем дело не с философской,
а с какой-то «низшей», бессодержательной логикой или
же с чистой математикой.
Конечно, следует указать и ряд других задач логи-
ческого исследования, например эвристики, т. е. поиско-
вых, предварительных, правдоподобных рассуждений,
цель которых — нащупать решение для той или иной
проблемы; структуры индукции, первоначальное аморф-
ное понимание которой в настоящее время уточняется
путем дифференциации на ряд проблем — от обобщенных
качественных схем экспериментирования (методика Мил-
ля) до способов статистического обобщения эмпирического
материала и проблем введения в науку теоретических кон-
структов; строения выводов по аналогии, гипотетико-де-
дуктивных построений в различных их вариантах и раз-
нообразных теоретических конструкций, создаваемых
средствами моделирования. Все эти задачи требуют своего
специального анализа и исследования особыми методами,
которые в значительной или, по крайней мере, в некоторой
существенной своей части, не подлежат компетенции соб-
ственно-дедуктивной символической логики.
Различные задачи исследования научного мышления
требуют различного подхода и различных методов. Со
второй половины прошлого столетия и в область логики
настойчиво проникла идея развития. Факты смены, изме-
нения и развития научных понятий, теорий и идей стали
45
к тому времени достаточно очевидными, вызывая крайнюю
свою интерпретацию со стороны философского релятивиз-
ма и догматизма. Поэтому задача исследования законо-
мерностей такого развития выступила чрезвычайно ак-
туальной и стала одной из основных задач диалектиче-
ской логики. Последняя, таким образом, противостоит
формальной в том отношении, что она призвана решать
другие задачи в логическом исследовании, вообще говоря,
значительно более трудные и в смысле своей постановки
и в отношении методов эффективного и плодотворного
разрешения (если, конечно, под разрешением понимать
не только словесное описание ситуации, быть может и
весьма тонкое, а такой результат, который позволил бы
с той или иной точностью прогнозировать, например, раз-
витие).
Таковы широкие перспективы, открывающиеся в наши
дни перед логикой, и мне в связи с этим вспоминаются
проницательные слова Дога льда Стюарта—известного в
свое время философа шотландской школы, высказанные
около полутора столетия тому назад: «Что касается ло-
гики вообще, то согласно моей идее о ней эта наука
находится еще в детстве и относительно будущего
усовершенствования ее нельзя положить пределов, как
нельзя положить пределов будущему прогрессу челове-
ческого знания».
Глава II
! СИЛЛОГИСТИКА
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
/ ‘
'Д
\\'у § 7. Выражение силлогистики
в исчислении предикатов
С точки зрения современной формальной логики, ари-
стотелевскую систему силлогистики можно было бы кратко
охарактеризовать как теорию четырех логических отноше-
ний или констант — А (Всякое... есть...), Е (Ни одно...
не есть...), I (Некоторое... есть...), О (Некоторое... не
есть...), в поле непустых и неотрицательных общих тер-
минов.
При этом представляется достаточно очевидным, что
предложения этой теории никак не могут быть выражены
только средствами чистого исчисления высказываний,
так как последнее базируется на абстракции цельных,
нерасчленяемых высказываний, в то время как даже
в самых простых силлогистических выводах определяю-
щую роль играет внутренняя логическая структура вы-
сказываний — то или иное отношение между субъектом и
предикатом.
Обращение с той же целью к исчислению предикатов,
на первый взгляд, кажется более обещающим. Однако и
здесь мы сразу же сталкиваемся с тем обстоятельством, что
специфически силлогистические логические понятия при-
ходится выражать в понятиях иной логической системы,
а именно: силлогистические термины истолковывать как
предикаты, приставки «все» и «некоторые» выражать
посредством кванторов общности и существования, а от-
ношение «присущности» — посредством препозиционных
связей импликации и конъюнкции. На пути такой интер-
претации четыре фундаментальных для силлогистики типа
высказываний обычно представляют следующим образом;
47
г \
(Л) «Всякое S есть Р» — Уя (S (х) -> Р (х)) \
(Е) «Ни одно S не есть Р» — Nx (S (х) -> Р (х)) \
| (/) «Некоторое S есть Р» — Эя (S (я) & Р (я)) \
I ^(0)j<HeKOTopoe по -остт. ,£&^Эя (5 (я) & Р (я))
с Видимыми основаниями для такого истолкования могут
служить: во-первых, попарная тождественность этих раз-
личных выражений в случавших интуитивной объемной
интерпретации, например на круговых схемах Эйлера;
во-вторых, сохранение в обоих случаях выражения неко-
торой аналогии в логической структуре отношений между
различными типами высказываний.
После того как принят способ истолкования исходных
силлогистических высказываний в терминах и понятиях
логики предикатов, уже нетрудно представить в этих тер-
минах и всевозможные формы силлогистических предло-
жений. Так, например, модусы первой фигуры примут сле-
дующий вид:
(AAA)Nx (М (я) -> Р (я)) & Уя (S (х) -> М (я))
->У я (S (я) Р (я)2
(ЕЛЕ)Уя (М (я)Р (я)) & Уя (5 (я) -> М (я))
Nx (S (я) -> Р (я))
(Л//)Уя (М (я) Р (я)) & Эя (5 (я) & М (я))
Эя (S (я) & Р (я))}
(ЕЮ) Уя (М(х)~+Р (я)) & Зя (S(x) & М(я))—» Ля (5(я)& Рх))
Надо сказать, что при такой интерпретации 15 правиль-
ных силлогистических модусов оказываются тождественно
истинными формулами в смысле логики предикатов,
а следовательно (согласно теореме Гёделя о полноте
узкого исчисления предикатов), выводимыми формулами
исчисления предикатов. Докажем это для двух из выше-
приведенных модусов первой фигуры. Доказательство бу-
дем осуществлять методом от противного.
В логике предикатов формула считается тождественно-
истинной, если она истинна для всякого поля и для всяких
предикатов, которые могут быть на нем определены.
1. Предположим, формула уя (S (я) -> М (я)) &
& Уя (М (я) Р (я)) -> Уя (5 (я) Р (я)) не является
Тождественно-истинной. Это означало бы — существует
48
такое поле ©I' и такие определенные на нем предикаты
S', М', Р', которые обращают эту формулу в ложную.
Но данная формула могла бы быть ложной лишь в том
случае, если ее консеквент был бы ложен при условии
истинности антецедента.
Пусть выражение Nx (S' (х) Р' (х)) ложно. Покажем,
что это допущение несовместимо с истинностью выражения
Nx (S' (х) М' (х)) & Nx (М' (х) -> Р' (х)) или, что то
же самое, с истинностью как V# (S' (х) -> М' (х)), так и
Nx (АГ (х) Р' (х)).
Действительно, ложность Nx (S' (х) -> Р' (х)) означает
истинность Яж (S' (х) & Р' (х)) или, иными словами, что
на поле SR' существует объект а, для которого истинвю
S' (а), но ложно Р' (а). Вместе с тем истинность
Nx (S' (х) -> М' (х)) & Nx (М' (х) -> Р' (х)) предполагает
истинность этого выражения и применительно к а, т. е.
истинность как S' (а) -> М' (а), так и М' (а) -> Р' (а),
что, очевидно, невозможно, коль скоро S' (а) истинно,
a Р' (а) ложно. Таким образом, допущение ложности на
некотором поле для каких-то определенных на нем преди-
катов S', М', Р' выражения Nx (S (х) -> Р (х)) несовме-
стимо с истинностью на этом же поле для тех же предика-
тов выражения: Nx (S (х) -> М (х)) & Nx (М (х) -> Р (х)).
А это значит, что не существует такого поля 50Г и таких
предикатов S', М', Р', которые обращали бы рассматри-
ваемую формулу в ложную. Следовательно, эта формула
является тождественно-истинной.
2. Предположим, формула: Яя (S (х) & М (х)) &
& Nx (М (х) Р (х)) Яя (S (х) & Р (х)) не является
тождественно-истинной. Это означало бы: существует такое
поле SR' и такие определенные на нем предикаты S', М',
Р', которые обращают эту формулу в ложную. Иными
словами, ложность Яя (S' (х) & Р' (х)) должна соче-
таться с истинностью как Ях (S' (х) & М' (х)), так и
Nx(M' (х)-+ Р' (х)).
Покажем, что это невозможно. Истинность
Яя(5" (х)&М' (х)) означает, что на поле 5DT существует объект
а, для которого истинны как S' (а), такиЛГ (а). Вместе
с тем применительно к а должна быть истинна и импли-
кация М' (а) -> Р' (а) в силу истинности для поля SR'
импликации Nx (М' (х) -> Р' (х)), а значит, и истинно
Р' (а). Но истинность (а)иР'(а) делает истинным вы»
ражение Ях (S' (х) & Р' (х)).
Таким образом, допущение ложности на некотором поле
SR' для каких-то определенных на нем предикатов S', М',
Р' выражения Яя (S (х) & Р (х)) несовместимо с истин-
ностью на этом же поле для тех же предикатов выражения
gx (S (х) & М (х)) & Чх (М (х) -> Р (х)). А это значит,
что такого поля SR' и таких предикатов S', 71/', Р', кото-
рые обращали бы рассматриваемую формулу в ложную,
не существует. Следовательно, эта формула тождественно-
истинная.
Используя этот несложный метод доказательства, мож-
но показать тождественную истинность еще 13 модусов
силлогистики.
Для нас же сейчас существенно выявить, что не все
законные выражения силлогистики (в принятой нами пере-
формулировке их на язык исчисления предикатов) явля-
ются тождественно-истинными формулами в логике преди-
катов, а следовательно, они не будут и выводимыми форму-
лами исчисления предикатов. Из традиционных силло-
гистических модусов таковы AAI и ЕАО третьей и чет-
вертой фигур силлогизма. Покажем это опять же на
двух примерах.
3. Формула Чх (М (х) S (х)) & Чх (М (х) -> Р (х)) —>
Яя (S (х) & Р (х)) не является тождественно-истинной.
Иными словами, существует такое поле SR' и такие опре-
деленные на нем предикаты S', 71/', Р', которые обращают
эту формулу в ложную — при истинности Чх (М' (х) ->
S' (х)) & Чх (М' (х) -> Р' (х)) имеет место ложность
Яя (5' (х) & Р' (х)).
Такое поле построить нетрудно. Достаточно, чтобы
определенный на этом поле предикат 71/' был всегда ложен
и чтобы относительно любого объекта а поля хотя бы
один из предикатов S' или Р' обращался в ложь, что, на-
пример, имеет место, если один из этих предикатов явля-
ется отрицанием другого.
4. Формула Чх (М (х) -> 5 (ж)) & Чх (Р (х) -> М (я))->
-> Яя (5 (х) & Р (х)) не является тождественно-истинной.
Иными словами, существует такое поле SR' и такие опре-
деленные на нем предикаты S', 71/', Р', которые обращают
эту формулу в ложную — при истинности Чх (М' (х) ->
—> S' (х)) & Чх (Р' (х) -> 71/' (х)) имеет место ложность
g# (S' (х) & Р' (х)).
50
Такое поле также построить нетрудно. Достаточно,
чтобы определенный на нем предикат М' был всегда ложен
и чтобы относительно любого объекта а этого поля SR'
из истинности S' (а) следовала истинность Р' (а),
что, например, имеет место, если S' и Р' — один и тот же
предикат.
Аналогично можно показать, что целый ряд предло-
жений, являющихся логическими законами в силлоги-
стике, оказываются невыводимыми формулами в исчисле-
нии предикатов.
Мы имеем в виду ряд законов логического квадрата,
например:
Nx f(S (х) -> Р (х)) Ягг (S (х) & Р (х)) и Nx (S (х)
Р (х)) -> Ягг (S (я) & Р(х)),
а также закон нечистого обращения: Nx (S (х) -> Р (х))-^>
-> Ях (Р (х) & S (х)).
Из предыдущего анализа можно сделать вывод, что
принятый нами способ выражения силлогистических пред-
ложений на языке исчисления предикатов приводит к об-
наружению существенного отличия аристотелевской сил-
логистики от классического исчисления предикатов. Суть
дела в допустимости в последнем всегда ложных предика-
тов. Предикатов, объем которых не содержит ни одного
предмета (является пустым классом), которые всем объек-
там из той или иной предметной области соотносят истинно-
стное значение «ложь».
Если сущность предикатов состоит в соотнесении ис-
тинностных значений различным объектам из предметной
области, то, вообще говоря, предикаты, которые каждому
из объектов относят значение «ложь», логически ничуть
не менее допустимы, чем всякие иные. Исчисление пре-
дикатов, как и другие исчисления математической логики,
разрабатывалось прежде .всего в связи с задачами форма-
лизации математических рассуждений и доказательств.
Поскольку же в математике случается, что нет средств
для того, чтобы заранее безошибочно определить пустоту
или же непустоту того или иного предиката, то оказывает-
ся вполне оправданной разработка такого логического
аппарата умозаключений, которым можно было бы поль-
зоваться во всех случаях — независимо от характера
в этом отношении предикатов, которыми оперируют.
51
Выражение традиционной силлогистики на языке ngs.
числения предикатов volens nolens вносит в нее чуждую
ей предЦ0СЙл1^Ут~иама по себе силлогистика не предпола-
гает пустых терминов. Ее исходные высказывания носят
экзистенциальный характер — не только частные, но и
общие из них предполагают существование объектов, охва-
тываемых терминами этих высказываний. Вышеприведен-
ная переформулировка исходных положений силлогистики
типа А, Е, I, О в терминах и понятиях исчисления преди-
катов поэтому сообщает им некоторый новый смысл.
И это сказывается уже на изменении характера логической
структуры отношений между указанными типами выска-
зываний. Так, если истинностные отношения между вы-
сказываниями типа А и О, Е и I при такой переформули-
ровке остаются неизменными, то истинностные отношения
между ЛиЕ, Ли/, ЕиО, / иО изменяются.
Это, конечно, не означает принципиальной невозмож-
ности представления всей силлогистики на языке исчис-
ления предикатов. Для этого надо лишь учесть эту экзи-
стенциальность силлогистических высказываний. Так,
В. А. Смирнов предложил полное at л а lUHiinrr; формул
силлогистики на языке как раз
учитывающее их существсппггзкзистенциальный характер.
Четыре фундаментальных для силлогистики типа вы-
сказываний^приобретают при этом следующий—виж—
(А) «Всякое S есть Р» — *8x8 (х) & 8хР (х) & \
& Nx (S (х) -> Р (я)) \
(Е) «Ни одно S не есть Р» — Яя5 (х) & 8хР (х) 6а
& Nx (S (х) -> Р (х))
(/) «Некоторое S есть Р» — Яя5 (х) & 8хР (х)
-> 8х (5 (х) & Р (я))
(О) «Некоторое 5 не есть Р» — Яя5 (я) & ЯяР (х) ->
Зя (8 (я) & Р (я)) _
При таком выражении все силлогистические утвержде-
ния логического квадрата, модусы силлогистики и правила
обращения оказываются выводимыми формулами
исчисления предикатов.
Однакп оригинальность силлогистики как дедуктивной
системы здесь так же смазывается, как и в случае пред-
шествующей интерпретации
а частные суждения Приоб-
52
ретают довольно искусственную форму выражения. Между
тем силлогистика является своеобразной логической систе-
мой, имеющей свои собственные предпосылки и свою
собственную проблематику, и задача состоит в том, чтобы
построить ее как формальную систему и вместе с тем наи-
более адекватно ее оригинальному содержанию.
§ 8. Силлогистика
как формальная логическая система
Наиболее удачный способ формализации силлогистики
был предложен известным польским логиком Я. Лукасе-
вичем. Он показал, каким образом можно вписать здание
традиционной силлогистики в общий ансамбль современной
математической логики с помощью и на базе классического
исчисления высказываний.
Пусть строчные латинские буквы а, 6, с... обозначают
переменные термины силлогистики, две прописные А и
I — силлогистические отношения или функторы: «Всякое...
есть...» и «Некоторое... есть...». Понятие формулы или
имеющего смысл силлогистического предложения дается
посредством следующего индуктивного определения:
1. Аар и /ар есть простые формулы силлогистики (где
аир метазнаки для переменных терминов силло-
гистики).
2. Если 91 и 93 — формулы силлогистики, то формулами
силлогистики будут также 91, 91 & 93, 91V 35, 31—*-33 и
только они.
В качестве специальных аксиом системы принимаются
следующие четыре силлогистических предложения:
I Лаа,
II /аа,
III Abe & Aab Aac,
IV Abe & Iba lac.
По определению принимают, что
2?аР /ар,
ОаР Лар,
и, таким образом, в нашей формальной системе оказыва-
ются выраженными все четыре основных логических от-
53
йойзения силлогистики. Для удобства вывода йа основе
этих определений можно сформулировать правила о воз-
можности замены всюду в формулах I на Е — и наоборот и
А на О — и наоборот.
Исчисление высказываний предполагается в качестве
вспомогательной базисной системы для дедукции силло-
гисгических законов из аксиом. При этом, строго говоря,
для вывода из аксиом I—IV всех законов традиционной
аристотелевской силлогистики достаточен лишь некоторый
фрагмент этой системы. Однако, если принять всю систему
исчисления высказываний и рассматривать, таким обра-
зом, формальную систему силлогистики как некоторого
рода расширение исчисления высказываний, то формали-
зованная силлогистика обнимет значительно более широ-
кий, по сравнению с аристотелевской теорией, класс сил-
логистических законов. Она охватывает не только теорию
категорического силлогизма, но и все те виды условно-
категорических , условных, у сл овно-р аз де лител ьных или
лемматических силлогизмов, которые в совокупности со-
ставляют учение о дедуктивном выводе в традиционной
формальной логике. В дальнейшем систему формализо-
ванной силлогистики (систему GS) мы будем понимать
именно в таком расширенном смысле.
В качестве правил вывода в системе CS принимаются
два правила подстановки и правило заключения.
Правила подстановки:
а) Подстановка в выводимую формулу исчисления
высказываний на место пропозициональной переменной
(всюду, где она входит в формулу) одной и той же произ-
вольной силлогистической формулы дает выводимую фор-
мулу CS.
б) Подстановка в выводимую формулу системы CS на ме-
сто переменного термина (всюду, где он входит в формулу)
другого переменного термина дает выводимую формулу
системы GS.
Правило заключения:
в) Если 51 -> 33 и 31 выводимые формулы в CS, то в
CS выводима и формула 53, т. е. если |— 51 -> S3 и |— 51, то |— 53.
Из аксиом I—IV и системы выводимых формул исчис-
ления высказываний посредством указанных правил вы-
вода дедуцируются все законные положения силлогисти-
ки. Приведем ряд тому примеров.
54
1. Вывод силлогистических законов противоречия:
Aab & ОаЬ и lab & Eab.
В закон противоречия исчисления высказываний
X & X делаем подстановку XjAab и, заменяя по опреде-
лению Aab на ОаЬ, получаем Aab & ОаЬ.
Подстановкой в тот же закон Х/Iab и заменой по опре-
делению lab на ЕаЪ получаем lab & Eab.
2. Вывод силлогистических законов исключенного
третьего:
Aab V ОаЬ и lab \/ Eab.
В закон исключенного третьего исчисления высказы-
ваний X \/ X делаем подстановку. Х/Aab и, заменяя по
определению Aab на ОаЬ, получаем Aab \/ ОаЬ.
Подстановкой в тот же закон' Х/Iab и заменой по опре-
делению iab на Eab получаем lab \/ Eab
3. Вывод закона обращения: lab -> Iba.
В закон экспортации исчисления высказываний
(X & У Z) (X -> (У Z)) делаем подстановку X/Abc,
Yjrba, Z/Iac и из полученного выражения и аксиомы IV
по правилу заключения выводим A be -> (Iba -> lac).
Осуществляем в выведенной * формуле подстановку
Ь/а, с/а, а/Ь и из полученного выражения и аксиомы I по
правилу заключения выводим lab -> Iba.
4. Вывод закона подчинения: Aab —> lab.
В закон коммутации (т. е. перестановки посылок) ис-
числения высказываний (X (У -+ Z)) -> (У -> (X->Z))
делаем подстановку Х/АЪс, Y/Iba^ Z/Iac и из полученного
выражения и выводимой формулы Abe -> (Iba -> lac)
по правилу заключения выводим Iba -> (Abe -> lac).
Осуществляем в последнем выражении подстановку
Ь/а, с/b и, используя акриому II, по правилу заключения
имеем Aab lab.
5. Вывод закона подчинения: ЕаЪ -> ОаЬ.
В закон, контрапозиции исчисления высказываний
(X -> У) -> (У -> X) делаем подстановку Х/Aab, Y/Iab
и из полученного выражения и выведенной формулы
ДаЬ -> lab по правилу заключения выводим lab -> ДаЬ,
55
Применяя правила о замене I на Е и А на О, имеем
ЕаЪ ОаЬ.
6. Вывод модуса АОО второй фигуры силлогизма:
АсЪ & ОаЬ -> Оас.
В сложный закон транспозиции исчисления высказы-
ваний (X & Y —> Z) -> (X & Z -> У) делаем подстановку
Х/АЪс, YjAab, Z/Aac и из полученного выражениями ак-
сиомы III по правилу заключения выводим АЪс & Аас ->
АаЬ.
Используя правило о замене А на О и осуществляя под-
становку Ь/с, с/b, имеем АсЬ & ОаЬ -> Оас,
7. Вывод модуса АН первой фигуры силлогизма:
Abe & lab lac.
В выводимую формулу исчисления высказываний
(X & У -> Z) ((£7 У) -> (X & U -> Z)) делаем под-
становку X/АЪс, Y/Iba^ Z/Iac ы из полученного выражения
и аксиомы IV по правилу заключения выводим (£7 —>• Zba)->
-> (Abe &U-+ lac).
Делаем в это выражение подстановку Ujlab и из по-
лученного выражения и выведенной формулы lab Iba
по правилу заключения имеем Abe & lab —lac.
8. Вывод модуса AAI третьей фигуры силлогизма:
АЪс & Aba -> lac.
В выведенную формулу (U -> Iba) -> (Abe & U -> lac)
делаем подстановку U/Aba (Aba -> Iba) -> (Abe & Aba ->
-> lac).
Aba -> Iba выводится из ранее выведенной формулы
(закона подчинения) A ab -> lab с помощью подстановки
а/&, b/а. Поэтому по J правилу заключения получаем
Abe & Aba -> lac.
9. Вывод модуса IAI третьей фигуры силлогизма:
Ibc & Abalac.
В аксиому IV делаем подстановку а/с, с/а Aba &
Л Ibc -> lea.
50
Подстановкой а/с, Ь/а в закон обращения lab -> Iba
получаем lea -> lac.
Используя закон гипотетического силлогизма исчисле-
ния высказываний (X -> Y) > ((У -> Z) -> (X -> Z)) с под-
становками Х/Aba & Ibc, Y/Ica, Z/Iac и дважды приме-
няя правило заключения, имеем Aba & Ibc -> lac.
В формулу коммутативности конъюнкции исчисления
высказываний X & У -> У & X делаем подстановку
Х/Ibc, Y/Aba и получаем формулу Ibc & Aba Aba &
&Ibc.
Еще раз используем закон гипотетического силлогизма
с подстановками X/Ibc & Aba, Y/Aba &Ibc, Z/Iac и,
дважды применяя правило заключения, имеем Ibc &
& A ba —> lac.
10. Вывод модуса IAI четвертой фигуры силлогизма:
Icb & Aba -> lac.
В ранее выведенное положение силлогистики АЬс &
& lab -> lac делаем подстановку с/а, а/с и получаем
Aba & Icb lea.
Используя закон гипотетического силлогизма
(X -> У) ((У -> Z) -> (X -> Z)) с подстановками
Х/Aba & Icb, Y/Ica, Z/Iac и выведенную формулу
lea lac, дважды применяем правило заключения
Aba & Icb lac.
Еще раз используем закон гипотетического силлогизма
с подстановками X/Icb&Aba, Y/Aba & Icb, Z/Iac и,
принимая во внимание законность коммутативности
Icb & AbaAba & Icb, по правилу заключения имеем
Icb & Aba -> lac.
11. Вывод модуса AAI четвертой сигуры силлогизма:
Acb & АЪаlac.
В закон подчинения Aab -> lab делаем подстановку
а/с и выводим формулу Acb Icb.
В выводимую формулу исчисления высказываний
(X & У -> Z) -> ((С/ -> X) -> (U & У Z)) делаем йод-
57
с^ановку X/Icb, Y/ЛЬа, Z/tac, tJ/Acb, и, дважды приме-
няя правило заключения, получаем АсЪ & АЪа-+- lac.
При помощи аналогичных процедур, используя уже
выведенные предложения силлогистики, можно доказать
и все остальные правильные модусы силлогизма, законы
обращения и логического квадрата.
Построенная таким образом формально-логическая си-
стема силлогистики CS непротиворечива. Это можно пока-
зать посредством ее интерпретации в области логики вы-
сказываний, если переменные термины силлогистики рас-
сматривать как пропозициональные переменные, а функ-
торы А и I как тождественно истинные выражения, пола-
гая, например, что
АаЪ = (а -> а) & (b -> &), lab = (а -> а) -> \Ь -> Ь).
При этом аксиомы I—IV и все выражения системы, полу-
чаемые из них согласно допущенным правилам вывода,
обращаются в тождественно-истинные предложения в смы-
сле логики высказываний. А это означает, что в системе
невыводимы одновременно никакие два положения вида
21 и 21.
Подбирая соответствующие интерпретации в области
логики высказываний (или же в области натуральных
чисел), можно показать, что принятые аксиомы системы
CS независимы друг от друга, т. е. любая из аксиом не-
выводима из остальных аксиом. Так, например, для дока-
зательства независимости аксиомы I (с помощью интер-
претации в логике высказываний) достаточно истолковать
силлогистическое отношение А как конъюнкцию, а отно-
шение I как импликацию. При этом все аксиомы, кроме
аксиомы I, обращаются в тождественно-истинные предло-
жения, а значит, аксиома I является независимой.
Для доказательства же независимости аксиомы II
достаточно дать обратное истолкование — силлогистиче-
ское отношение А рассматривать как импликацию, а отно-
шение I как конъюнкцию. Независимость аксиомы IV
доказывается посредством истолкования в качестве импли-
кации как А, так и I. Сложнее обстоит дело с доказатель-
ством независимости аксиомы III. Здесь можно прибегнуть
к интерпретации силлогистики в области трехзначной ло-
гики высказываний.
Система CS вместе с тем не является полной. Она не
полна синтаксически даже в узком смысле, так как про
58
нее нельзя сказать, что она становится противоречивой,
если к аксиомам I—IV присоединить в качестве дополни-
тельной аксиомы невыводимое в этой системе предло-
жение. Действительно, к примеру, ЕсЬ & ЕаЪ -> А ас
является неправильным предложением силлогистики, ко-
торое нельзя вывести из аксиом I—IV. Это можно по-
казать, интерпретируя нашу систему на кругах Эйлера,
т. е. понимая отношение АаЬ как включение круга а
в круг Ь, отношение ЕаЪ как исключение кругов а и Ь
друг из друга, отношения же lab и ОаЬ соответственно
как по крайней мере частичное включение и исключение
этих кругов. ,
В такой интерпретации выполняются все аксиомы
I—IV, но не выполняется предложение ЕсЬ & ЕаЪ -> А ас
(так как возможно начертить три круга, каждый из кото-
рых исключает два других). Между тем, если бы оно было
выводимо из этих аксиом, то оно выполнялось бы в любой
интерпретации, в которой выполняются аксиомы I—IV.
С другой же стороны, используя ту же интерпретацию
нашей системы в области логики высказываний, как и при
доказательстве непротиворечивости, мы убеждаемся, что
предложение ЕсЬ & ЕаЪ -> Аас обращается в тождест-
венно-истинное выражение. А поэтому расширенная за его
счет аксиоматика I—IV не может являть собой противоре-
чивую систему. Иначе мы столкнулись бы с фактом проти-
воречивости некоторого фрагмента классической логики
высказываний. Но это невозможно, так как логика выска-
зываний непротиворечива.
§ 9о Основные металогические понятия
и теоремы системы
Подытоживая сказанное в предыдущем параграфе, мож-
но дать следующее индуктивное определение формально
выводимой формулы (формального вывода) в системе CS:
1. Формально выводимыми в CS являются аксиомы
силлогистики I—IV и всё выводимые предложения исчи-
сления высказываний с произвольными силлогистическими
формулами на месте пропозициональных переменных.
2. Если 21 -> 53 и 31 выводимые в CS формулы, то
в CS выводима и формула 28.
Здесь опущено упоминание о правиле подстановки.
Дело в том, что без этого правила можно обойтись, если
50
все аксиомы заменить схемами аксиом, т. е. рассматривать
переменные, входящие в аксиомы, как обозначения для
произвольной формулы системы GS. Каждой аксиоме
тогда будет соответствовать бесконечный класс формул,
имеющих тот же вид, что и данная аксиома. Аналогичный
прием исключения правила подстановки, соответствую-
щий по существу перенесению всех подстановок в аксиомы,
применяется часто (в том числе и при построении исчисле-
ния высказываний) в математической логике. В дальней-
ших доказательствах этого параграфа мы будем иметь
в виду это обстоятельствог как итог что к праву пользо-
ваться правилом подстановки можно вернуться именно
на том основании, что это правило можно исключить.
Понятие формального вывода можно обобщить на слу-
чай вывода из некоторого множества предположений (до-
пущений, посылок, формул). Если дан перечень некото-
рого множества допускаемых посылок — формул
512, • ••, 51п (где о), то непустая конечная последова-
тельность или цепочка формул называется формальным
выводом из исходных посылок 312, ..., 51п, а произ-
вольная формула S3 этой цепочки считается выводимой
из посылок 311? Э12, •••, К (в записи: Э11? Э12,...» 5ln Н 53),
если, и только если:
1. 53 есть одна из формул Э11? Э12, ..., Э1П;
2. S3 есть аксиома силлогистики или выводимое пред-
ложение исчисления высказываний с произвольными
силлогистическими формулами на месте пропозициональ-
ных переменных;
3. S3 предшествует в цепочке вывода выводимые из
312, •••> 9ln формулы вида (£ и (£-> 53.
Это определение можно дополнить указанием некото-
рых общих свойств формальной выводимости, которые,
вообще говоря, справедливы для формальных систем
различной природы, так как истинность их усматривается
безотносительно к конкретности аксиом, лежащих в основе
этих систем. Используя прописные греческие буквы для
обозначения конечных последовательностей (множеств)
формул, эти свойства можно выразить следующим обра-
зом:
1. Г |— 93, если 53 входит в последовательность фор-
мул Г; в частном случае это 93 |— 53-
2. Если Г |— $8, то А, Г |— 53 для любого перечня по-
сылок А.
3. Если 21, 21, Г |— S3, то 21, Г —| S3; в последова-
тельности формул можно опустить любые формулы, кото-
рые тождественны с другими остающимися.
4. Если А, 21, Г |— S3, то А, (£, 21, Г |— S3; в после-
довательности посылок допустима перестановка формул.
5. Если А 21 и 21, Г S3, то А, Г I— S3; в после-
довательности формулы можно заменить множеством по-
сылок, из которых они выводимы.
Очевидно, что первое из указанных свойств непосред-
ственно следует из определения формальной выводимости
из предположений. Третье свойство предполагает абстрак-
цию отождествления посылок, одинаковых с точностью
до их написания. Четвертое свойство — абстракцию ото-
ждествления множеств посылок, содержащих одинаковые
с точностью до написания посылки, и различающихся
между собой порядком их перечисления. Свойства же вто-
рое и пятое предполагают абстракцию, которую можно
назвать постулатом независимости посылок в формальном
выводе.
Эта независимость понимается в том смысле, что ни
одна из допускаемых посылок не изменяет содержания
других посылок. Среди посылок нет высказываний, игра-
ющих по отношению к другим роль надписей «исправлен-
ному верить». В противном случае второе и пятое свойства
окажутся несправедливыми, так как добавление, напри-
мер, к последовательности посылок Г посылки 21 может
так изменить содержание Г, что вывод Г |— S3 уже не
будет иметь место. Этот постулат, по-видимому, опреде-
ляет и специфический характер формально-логических
отрицания и противоречия. Так, вывод S3 |— S3 сохра-
няет свою силу и в случае дополнительного присоедине-
ния посылки S3, т. е. S3, S3 [— S3. Допущение посылки Й
не меняет смысла и значимости S3, но лишь делает равно-
законным и вывод S3, S3 |— S3, т. е. лишь обнаруживает
в рассуждении формальное противоречие.
Существующие формально-логические системы пред-
полагают такую независимость посылок. В то же время
в реальных содержательных мыслительных процессах,
носящих эвристический характер,— обдумывания и об-
суждении возможных объяснений, поисках различных
теоретических конструкций и т. п.— часто имеют место
как раз рассуждения, в которых допускаются высказы-
61
вания, уточняющие и изменяющие первоначально сделан-
ные выводы. Формальные логические системы поэтому
лишь в известном приближении могут рассматриваться
как отображающие или моделирующие содержательные
процессы рассуждений и именно в том приближении, ко-
торое оказывается достаточно удовлетворительным для
задачи формального дедуктивно-аксиоматического по-
строения.
После этих замечаний, касающихся понятия формаль-
ного вывода, мы можем приступить к формулировке и
доказательству некоторых основных метатеорем систе-
мы CS.
Теорема о дедукции*. В системе силлогистики CS, если
211, «2, Н®, гпо Э115 212, ..., 21п_х Н
Иными словами, для каждой формулы 53, если дан ее вывод
из посылок 31х, 212, •••, ®п, из посылок Э1Х, 312, •••, 21п_х
существует вывод формулы 21п 33.
Доказательство теоремы существенно опирается на
определение формулы, формально выводимой из предполо-
жений. Действительно, если 21х, 312, ..., 21п |— 33, то
согласно определению 33 может быть либо одной из фор-
мул 31х, 212, ..., 31п, либо аксиомой силлогистики или не-
которой подстановкой силлогистических выражений в за-
кон исчисления высказываний, либо же оно выводимо
потому, что из 21х, 312, 21п выводимы формулы видов
(£ и (S -> 33, из которых оно непосредственно следует
по правилу заключения.
Способом возвратной математической индукции по
длине к цепочки вывода покажем, что во всех указанных
случаях из посылок 21х, 312, ..., 21п_х выводима формула
2fn -> ®.
а) Базис индукции. Если 33 единственная формула
в цепочке вывода из посылок 21х, 312, ..., 51п (длина це-
почки вывода/!: = 7), то могут иметь место лишь следую-
щие случаи:
1) 33 есть формула 21п. Тогда 21п 31Л выводима из
посылок 21х, 312, ..., 31п_х, так как представляет собой
выводимое предложение в смысле исчисления высказыва-
ний.
2) 33 есть одна из формул 21х, 312, ..., 21п_х, т. е-
(7 I < п). В аксиому исчисления высказываний
X -> (У -> X) делаем подстановку X/2lf, У/21п и получаем
выражение 21* -> (21п 21г), которое по определению
62
ВЫВОДИМО ИЗ ПОСЫЛОК aii, 212, 5ln_l- Йо из этих же
посылок выводима и формула 31 н а следовательно, и фор-
мула 91 п -> 9lf.
3) 93 есть аксиома силлогистики AcS . В аксиому ис-
числения высказываний X (У X) делаем подстанов-
ку X/Acs, У/91п и получаем выражение Acs(31п->АСЗ).
Это выражение, очевидно, выводимо из посылок 91х,
912, •••» 21п-1* Но из последних выводимо и Acs, а следова-
тельно, и выражение 9(n -> AcS.
4) 93 есть выводимое предложение исчисления высказы-
ваний с произвольными силлогистическими формулами
на месте пропозициональных переменных. Доказательство
проводится аналогично предыдущему случаю с подстанов-
ками этого предложения на место X и 91п на место У
в формулу X (У -> X).
В силу того что длина цепочки вывода равна единице,
5В не может быть выводимо из посылок 9llt 912, ..., 91п по-
средством вывода из последних каких-то предшествующих
двух формул видов Е и S —> 93. Поэтому на этом доказа-
тельство базиса завершается.
б) Индуктивное предположение. Допустим, что для
каждой цепочки вывода длиной I к и каждой формулы
93 этой цепочки, если дан вывод 93 из посылок 91х, 912,
..., 91п, то может быть найден и вывод 91п -> 93 из посы-
лок 31х, 9l2,..., 91п_х.
в) Индукционный шаг. Исходя из индуктивного пред
положения, покажем, что если есть вывод формулы 93
из посылок 911? Э12, ..., 91п длины к + 1, то существует
и вывод 91п ->58 из 911? 912, ..., 91п-х. Случаи 1—4 рас-
сматриваются так же, как и для базиса, и мы не будем здесь
на них поэтому останавливаться. Переходим сразу к случаю
5) 93 по правилу заключения следует из формул © и
®-> 93, выводимых из посылок 9(1? 912,..., 91п. Форму-
лы и (£-> 93, как предшествующие в цепочке вывода
формуле 93, характеризуются длиной вывода I к. Со-
гласно индуктивному предположению, в таком случае
имеет место и вывод из посылок 911? 912,..., 91п_х двух
формул 91п © и 91п ((£ 93). Вместе с тем, если
в аксиому исчисления высказываний:
(X(У Z))((XУ)-> (X-> Z))
сделать подстановку Х/31п, У/®, Z/33, то получим выра-
жение (21п -> (6 83)) -> ((3ln -> ®) (3tn S3)), кото-
63
рое, очевидно, также выводимо из посылок 21х, Э12, ..., 21п^х.
Дважды применяя к этому выражению правило заключе-
ния, мы убеждаемся в выводимости из посылок 211? 312,
31п—т формулы 21п —>- 83. Теорема тем самым доказана.
Применяя к полученной формуле теорему еще п — 1
раз, будем иметь f—(ai(^2->(•••“> (3tn53)...))).
Теорема охватывает и случай, когда 83 предпослана лишь
единственная посылка 2(, т. е. если 21 |— 33, то |— 21 -> 83.
Теорема об эквивалентности (о замене равносильным).
Если в силлогистической формуле любую ее часть заменить
равносильной формулой, то формула, полученная в резуль-
тате такой замены, эквивалентна, т. е. равносильна ис-
ходной.
Напомним, что частью формулы называется любая
формула, которую можно рассматривать как элемент
конструкции этой формулы, включая и ее саму. Более
строгое индуктивное определение понятия части формулы
будет следующим:
1. Частью простых формул силлогистики являются
лишь сами эти формулы.
2. Если известны части силлогистических формул 21
и 83, то частями формул 21 & 83, 21 V 33, 51 83, 51
будут все части формул 51 и 33 и соответственно сами фор-
мулы 51 & 33, 51 V 53, Я 53, Ш.
Для последующего доказательства нам понадобится
понятие о глубине d вхождения части формулы в формулу.
Эта глубина измеряется числом функторов, внутри обла-
стей действия которых лежит эта часть. Доказательство
проводится способом математической индукции по глу-
бине вхождения части формулы в формулу. Теорема дока-
зывается при фиксированных формуле 51 и равносильной
ей формуле 33 для каждой формулы 91, в которую 51 входит
как часть на глубину d. Теорема гласит: если формула
21 есть часть формулы 91 и 21 = 83, то 91^ = 91^.
а) Базис индукции. 21 находится в 91 на глубине d = о,
иными словами, 21 есть 91^. Из 21 = 83 поэтому непосред-
ственно следует, что 91^ = 9ls.
б) Индуктивное предположение. Если 21 = S3, то
2^ = £«8 при вхождении 21 в формулу £ на глубину d = к.
в) Индукционный шаг. Исходя из индуктивного пред-
положения, покажем, что если 21 входит в формулу 91
на глубину й = й + 7и21 = 83, то91^= 91^.
64
Формула Slst отличается от формулы тем, 4то
91 находится в ней в области действия еще одного функтора
по сравнению с 2^. Иными словами, формула 2^ вхо-
дит как часть в формулу 91^ на глубину d = 7. Формула
91^ поэтому имеет один из следующих семи видов:
£), £>->2®, 2и&£), О & 2^1, 2^ V О, £)
где £) произвольная силлогистическая формула.
Используя выводимые й исчислении высказываний
формулы
(X = y)->((X->Z)HE (У + Z))
(X = y)->((Z->X) = (Z->y))
(X = У) -> ((X & Z) = (У & Z))
(X ~ У) -> ((Z & X) = (Z & У))
(X = y)->((XVZ)EH(y VZ))
(X = y)->((zvx)^(zvn)
(X = У) -> (У = У)
и делая соответствующие подстановки Х/2и/У/2», Z/£),
получаем: если 2>д = 2®, то 91^ — 91^. Или, согласно ин-
дуктивному предположению, если 91 = 93, то 91^ = 91®.
Теорема тем самым доказана. Она дает возможность
однократной замены одной определенной части формулы
равносильным ей выражением. Однако, применяя теорему
к формул ё повторно, можно производить неоднократную
замену и притом различных ее частей, осуществляя тем
самым равносильное преобразование формулы.
В заключение данного параграфа докажем еще две
общие металогические теоремы, вообще говоря, справедли-
вые не только для системы CS, но нужные нам для дальней-
шего исследования этой системы.
Теорема об исключении более слабых посылок.
Из системы посылок произвольной формулы вида
9(1 -> (9(2 (9(n -> 2?)...)) могут быть опущены все
те посылки 91 которые выводимы (следуют) из других по-
сылок 91$, без того чтобы изменился характер выводимости
формулы.
Действительно, из пятого общего свойства формальной
выводимости непосредственно следует, что если Г |— 23,
то А [— 23, где А получается из Г исключением из послед-
3 А. Л. Субботин 65
него любых формул, являющихся выводимыми из остаю-
щихся формул Г. Применяя соответствующим образом это
положение и теорему о дедукции, можно заключить
о справедливости доказываемой теоремы для случая, когда
формула 91х -> (912 -> (... -> (91п -> 93)...)) является вы-
водимой.
Но теорема справедлива и для случая невыводимое™
данной формулы. Пусть формула Slj ’-+• (912 —>(... ->
-> (91п -> 93)...)) невыводима и посредством исключения
всех более слабых ее посылок из нее получена некоторая
другая формула аналогичной формы. Если бы эта получен-
ная формула была выводимой, то, последовательно добав-
ляя к ней в качестве антецедентов все исключенные посыл-
ки и на основе закона коммутации (перестановки посылок)
восстанавливая ее до первоначального вида 91х -> (912
(91п 83)...)), мы получили бы также выводи-
мую формулу. Но по условию она невыводима. Значит,
исключение из невыводимой формулы всех более слабых
посылок дает невыводимую формулу.
Из теоремы вытекает следующее следствие.
Из системы посылок произвольной формулы вида
(9Ц —> (912 (91п -> 83)...)) можно исключить все
те посылки 91которые являются выводимыми формулами
данного исчисления. Это следствие очевидно, так как вы-
водимая формула следует из любой формулы исчисления
и поэтому каждая из таких формул 91; выводима из любой
посылки 91$.
Теорема о невыводимости более слабой импликации:
Если 91 -> 93 невыводимая формула системы, а 91 -> £
выводимая в этой системе формула, то формула £ -> 93
также невыводима.
Действительно, делая в выводимую формулу исчисле-
ния высказываний (закон гипотетического силлогизма)
(X + У)((У+ Z)->(*->£))
подстановку Х/91, У/£, Z/93, мы получим:
(21 -> £) -> ((£ _> $8) _> (21 S3)).
Антецедент этого выражения есть по условию выводимая
формула 91—>£; следовательно, согласно правилу за-
ключения, в качестве выводимой имеем и формулу
(£ -> 93) -> (91 -> 93).
66
Если бы £ -> 33 было выводимо, то согласно правилу
заключения было бы выводимо и 91 -> 33. Но по условию
91 -> 33 невыводимая формула. Следовательно, невыводи-
ма и формула £ 33.
§ 10. Невыводимые предложения
и правила отбрасывания
Формализованная силлогистика выступает как система
со значительно расширенным по сравнению с традицион-
ной теорией классом логических законов. Как мы уже упо-
минали, она охватывает собой не только теорию так назы-
ваемого категорического силлогизма, но и все виды услов-
но-категорических, условных и условно-разделительных
или лемматических силлогизмов, которые в своей совокуп-
ности исчерпывают учение о дедуктивном выводе в тра-
диционной формальной логике. На это обстоятельство
хотелось бы еще раз обратить внимание тех, кто до сих
пор продолжает читать курсы общей формальной логики
или писать пособия по логике, полагая, что содержание
излагаемой в такого рода курсах теории дедукции имеет
мало общего с математической логикой.
Зачастую подразумеваемое в качестве молчаливой
предпосылки, это мнение порой выражается в весьма от-
четливой форме. «Фактом является то, что аристотелевская
и символическая логики, не созвучные одна другой логики,
ни одна из них не является расширением другой и не от-
носится к другой как целое к своей части»,— пишет,
например, в своей книге «The Scientific Art of Logic» Эд.
Симмонс. Я не знаю, какой факт имеет в виду Эд. Симмонс,
но я уверен в правильности высказывания известного
русского физиолога И. П. Павлова: «...не имея в голове
идеи, не увидишь и факта». Теоретический же анализ со
всей убедительностью свидетельствует в пользу факта,
противоположного тому, который утверждает Симмонс.
Непредубежденному человеку должно стать совершенно
очевидным, что в действительности традиционная, восхо-
дящая к Аристотелю, формально-логическая теория дедук-
ции есть фрагмент математической логики, однако изла-
гаемый на примитивно-описательном уровне, недопусти-
мом с точки зрения тех требований строгости и систематич-
ности, которые выработаны на сегодня.
В целях дальнейшего исследования системы CS* а
67
3*
именно нахождения эффективной разрешающей проце-
дуры, мы осуществим некоторую достройку этой системы.
Вообще говоря, существуют разные пути решения пробле-
мы разрешения. Один из них, предложенный Я. Лукасе-
вичем, состоит в том, что помимо аксиоматики выводимых
формул системы задается также и аксиоматика ее невы-
водимых формул. Это также осуществляется посредством
указания некоторого минимума исходных невыводимых
формул и правил, позволяющих из имеющихся невыводи-
мых формул получать все прочие невыводимые формулы.
Поскольку формализованная силлогистика строится на
базе классического исчисления высказываний, понятие
невыводимой формулы должно быть аксиоматически опре-
делено и в этой последней системе.
Для случая чистого исчисления высказываний доста-
точно аксиоматически задать в качестве исходного невы-
водимого выражения только некоторую пропозициональ-
ную переменную: —| X (знак —], стоящий перед логиче-
ской формулой, означает, что эта формула является не-
выводимой и отбрасывается в данной системе), а также
принять два следующих правила отбрасывания.
Правило отбрасывания через подста-
новку:
а) Если формула $8 есть результат подстановки в фор-
мулу 91 и 33 есть невыводимая формула системы, то 91
также есть невыводимая формула. '
Правило отбрасыва ния через за к л ю ч е н и е:
б) Если импликация 91 -> 23 есть выводимая формула
системы, а 23 — невыводимая формула, то 91 также не-
выводимая формула.
Проиллюстрируем достаточность этой аксиомы и пра-
вил отбрасывания. Известно, что всякая формула исчисле-
ния высказываний путем равносильного преобразования
может быть приведена к конъюнктивной нормальной
форме и что невыводимая формула отличается от выводи-
мой тем, что в соответствующей ей конъюнктивной нор-
мальной форме среди конъюнктивных членов должна
найтись, по крайней мере, одна дизъюнкция, в которой
ни один из членов це является отрицанием никакого дру-
гого члена дизъюнкции.
Далее, делая в соответствующую некоторой невыводи-
мой формуле конъюнктивную нормальную форму подста-
новку X на место каждого неотрицательного переменного
68
высказывания и X на место каждого отрицательного вы-
сказывания, мы (после равносильной замены всюду X на
X) обнаружим, что, по крайней мере, один из членов
конъюнктивной -нормальной формы приобретает вид
X V V ••• V % или, согласно закону идемпотент-
ности дизъюнкции, просто X. Если в конъюнктивной нор-
мальной форме такой член не один, то, используя закон
идемпотентности конъюнкции, мы сводим такую конъюнк-
тивную нормальную форму к эквивалентной ей нормальной
форме лишь с одним конъюнктивным членом вида X. Если
конъюнкцию всех остальных конъюнктивных членов нор-
мальной формы обозначить через 31, то полученная нами
конъюнктивная нормальная форма будет иметь вид X & 51.
Из аксиомы исчислениям высказываний X & Y -> X
с помощью подстановки Y/51 мы получаем в качестве вы*
водимой формулу X & 31 -> X. Но X есть аксиоматиче-
ски заданное невыводимое предложение, есть —| X. Отсюда
на основании применения правила отбрасывания через
заключение мы заключаем о невыводимости и формулы
—|Х & 31. А т. к. X & 51 есть результат подстановки в конъюнк-
тивную нормальную форму, соответствующую некоторой
формуле исчисления высказываний, то на основании пра-
вила отбрасывания через подстановку мы заключаем о
невыводимости этой конъюнктивной нормальной формы,
а следовательно, и о невыводимости соответствующей ей
формулы исчисления высказываний.
Для случая системы CS, являющейся некоторым рас-
ширением классического исчисления высказываний, до-
полнительно следует аксиоматически задать в качестве
исходного невыводимого выражения неправильное силло-
гистическое * предложение —-| Acb & Aab -> lac. Невыво-
димость этого предложения из аксиом I—IV системы CS
нетрудно показать, используя ту же интерпретацию на
кругах Эйлера, как и в случае доказательства невыводи-
мости силлогистического предложения Ecb & Eab -> А ас.
В качестве еще одного правила отбрасывания принимается
«правило отбрасывания Слупецкого», названное так по
имени сформулировавшего его польского логика.
Правило отбрасывания Слупецкого:
в) Если аир есть отрицания прдстых формул силлоги-
стики Aab или lab (т. е. формулы вида ОаЬ или ЕаЪ)^ а
у — простая формула силлогистики или ее отрицание
69
или же выражение вида 6Х-> (б2 -> (63-> ... (Sn_x-> Sn)...)),
где <5f — простые формулы силлогистики или их отрица-
ния, то в таком случае, если а -> у и р -> у невыводимые
формулы, то и а -> (Р -> у) также невыводимая формула.
Смысл этого правила состоит в следующем: поскольку
из двух отрицательных посылок нельзя вывести ничего,
помимо того, что следует из каждой из них в отдельности,
постольку, если у не следует ни из а, ни из р, оно не может
следовать и из их конъюнкции. Достаточность указан-
ной аксиомы и правил отбрасывания для распознавания
всех невыводимых формул системы CS будет показана в
дальнейшем при изложении проблемы разрешения.
Некоторые размышления, однако, вызывает утвержде-
ние Я. Лукасевича, что для того, чтобы отбросить все не-
правильные выражения системы CS, необходимо и доста-
точно аксиоматически отбросить только одно это логиче-
ское выражение Acb & Aab -> lac, т. е. силлогистическую
форму второй фигуры с общеутвердительйыми посылками
и частноутвердительным заключением, и что другого выра-
жения, пригодного для этой цели, нет. Лу^^асевич нигде не
доказывает этого своего утверждения, и поэтому оно мо-
жет быть принято лишь в качестве гипотезы, нуждаю-
щейся в проверке.
§ IL Анализ гипотезы Лукасевича
Советский логик Ю. А. Петров справедливо обратил
внимание на то, что Лукасевич, высказывая свое утвер-
ждение, даже не уточнил, что следует понимать под выра-
жением «отличным от выражения АсЪ & АаЬ -> 1ас»,
т. е. не указал какого-либо определенного критерия тож-
дества и различия двух силлогистических выражений.
Ю. А. Петров поставил перед собой задачу проверить ги-
потезу Лукасевича с точки зрения ряда сформулированных
им критериев отождествления и различения формул. Он
обнаружил, что гипотеза несправедлива, если в качестве
таких критериев принять критерий графического равен-
ства, критерий эквивалентности, критерий дедуктивной
эквивалентности и критерий квазидедуктивной эквива-
лентности. Вместе с тем, как это следует из исследования
Петрова, вопрос о справедливости гипотезы Лукасевича
для случая критерия слабой квазидедуктивной эквивалент-
ности остается открытым.
70
Под графически равными формулами будем понимать
формулы, совпадающие (или неразличимые) по написа-
нию. С точки зрения этого критерия, гипотеза Лукасе-
Кича опровергается, так как существуют формулы, гра-
фически не равные АсЪ & АаЬ —> lac, но пригодные для
той же цели отбрасывания. Действительно, таковой яв-
ляется, например, формула АЪс & ЕаЪ -+ Оас.
Покажем, что при аксиоматическом отбрасывании этой
формулы отбрасывается и АсЪ & Aab -> lac. Пусть
—(АЪс & ЕаЪ -> Оас. В сложный закон транспозиции
исчисления высказываний (X & Y Z) (X & Z Y)
делаем подстановку X/АсЪ, Y/Aab, Z/Iac и получаем вы-
водимую формулу (АсЪ & АаЪ -> lac) (АсЪ & lac ->
—> Aab). Заменяем на основе определений lac на Еас
и АаЬ на ОаЬ: (АсЪ & Aab -> lac) -> (АсЪ & Еас -> ОаЬ).
Но консеквент этого выражения есть отбрасываемая фор-
мула. Следовательно, по правилу отбрасывания через
заключение имеем —| АсЪ & Aab lac. 7
Вместе с тем нетрудно показать, что формула АЪс &
& ЕаЪ -> Оас эквивалентна формуле АсЪ & АаЪ lac.
Это следует из следующей эквивалентности исчисления
высказываний (при тех же подстановках и замене по
определению, что и выше): (X & Y Z) = (X & Z Y).
Но тогда можно поставить вопрос так: не существует
ли формулы, не эквивалентной формуле АсЪ & АаЪ lac,
но также обладающей свойством определять весь класс
отбрасываемых формул в системе CS? Если такая формула
существует, то гипотеза Лукасевича опровергается и
с точки зрения критерия эквивалентности. _
Рассмотрим следующую формулу: (АсЪ&. АаЪ-+1ас)\/ Adc.
Эта формула не эквивалентна формуле АсЪ &_АаЪ -> lac,
так как формула (АсЪ & Aab —> lac) \/ Adc —> (АсЪ &
& АаЪ —lac) не является выводимой формулой в си-
стеме CS. Это можно показать путем интерпретации на
кругах Эйлера. В случае четырех кругов, когда круги
а, с, d несовместимы, но все лежат внутри круга Ъ, аксиомы
1—IV системы CS выполняются, а формула (АсЪ & АаЪ ->
lac) V Adc -> (АсЪ & Aab lac) не выполняется, из
чего следует невыводимость этой формулы из аксиом
системы CS, а следовательно, и неэквивалентность фор-
мул (АсЪ & АаЪ -> lac) V Adc и АсЪ & Aab lac.
4 П
Однако аксиоматическое отбрасывание формулы
—| (Acb & Aab -> lac) V Adc ведет к отбрасыванию и
формулы Acb & Aab -> lac. Действительно, в аксиому
исчисления высказываний X V Y, делая подстанов-
ку Х/Acb & Aab -> lac, Y/Adc, мы получаем выводимую
формулу (Acb & Aab -> lac) (Acb & Aab lac) V
V Adc. Но консеквент этого выражения есть отбрасывае-
мая формула. Следовательно, по правилу отбрасывания
через заключение мы можем заключить, что —] Acb &
& Aab -> lac. Но это означает, что существует формула,
не эквивалентная формуле Acb & Aab -> lac, но пригод-
ная для той же‘цели отбрасывания всех неправильных
выражений системы CS. Таким образом, гипотеза Лука-
севича опровергается и с точки зрения критерия эквива-
лентности. _
Хотя формула (Acb & Aab -> lac) V Adc и не экви-
валентна формуле Acb & Aab lac, но она ей дедуктивно
эквивалентна.
Иными словами, в системе аксиом I—IV и правил вы-
вода CS при условии допущения любой одной из этих
двух формул можно вывести другую формулу.
Что из допущения Acb & Aab -> lac выводится
(Acb & Aab -> lac) V Adc, было показано выше. Покажем
теперь, что из допущения (Acb & Aab -> lac) V Adc
выводится Acb & Aab lac.
Действительно, иная форма записи (Acb & Aab
lac) V Adc дает Adc (Acb & Aab lac). Делая
подстановку d[c, имеем Лес -+ (Acb & Aab lac), откуда
согласно аксиоме I по правилу заключения получаем
Acb & Aab -> lac.
Тогда возникает вопрос: существует ли формула, де-
дуктивно не эквивалентная Acb & Aab -> lac, но пригод-
ная для той же цели отбрасывания, что и она? Для ответа
на этот вопрос Петров исследует формулу (Acb & Aab -+
lac) у р, где р zsz (Ecb& Eab & Edb -> lac); здесь
знак ziz означает графическое равенство.
Нетрудно показать, во-первых, что эта формула невы-
водима в системе аксиом I—IV и правил вывода CS. Для
этого можно использовать интерпретацию на кругах
Эйлера. Аксиомы I—IV выполнимы на любом количестве
кругов и на любом варианте их пространственного распо-
ложения. Формулу же (Acb & Aab -> lac) \/ р' при более
чем четырех кругах можно сделать невыполнимой.
72
Можно показать, во-вторых, что в системе аксиом
I—IV и правил вывода CS формула Acb & Aab -> lac
певыводима из формулы (Acb & Aab -> lac) \/ р. Для
этого используем интерпретацию из трех кругов Эйлера,
например, на случае, когда круги а и с несовместимы, но
оба лежат внутри круга Ь. При этом аксиомы I—IV вы-
полняются, выполняется и р, а значит, и (Acb & Aab —>
lac) \/ р, но Acb & Aab -> lac не выполняется. Следо-
вательно, эти формулы не являются дедуктивно эквива-
лентными.
Однаксг аксиоматическое отбрасывание формулы
—| (Acb & Aab -> lac) \/ р ведет к отбрасыванию и форму-
лы Acb & Aab -> Zac, а значит, и всего класса отбрасывае-
мых в CS формул.-
Действительно, подстановкой Х]АсЪ & Aab -> lac и
Y/p в аксиому исчисления высказываний X -> X \/ Y
выводим формулу (Acb & Aab -> lac) -> (Acb & Aab ->
-> lac) \/ p. Но консеквент этого выражения есть отбра-
сываемая формула. Следовательно, по правилу отбрасы-
вания через заключение мы можем вывести, что —\АсЪ &
<& Aab -> lac.
Таким образом, гипотеза Лукасевича опровергается и
в том случае, если аксиоматически отбрасываемую форму-
лу рассматривать с точностью до дедуктивной эквивалент-
ности.
Заметим также, что класс формул, дедуктивно не
эквивалентных формуле Acb & Aab —> lac, но могущих
заменить ее в отношении определения всего класса отбра-
сываемых формул системы CS, очевидно, бесконечен. Это
следует из возможности постоянного увеличения количе-
ства общеотрицательных простых формул — конъюнк-
тивных членов в антецеденте формулы р.
Можно ввести и еще один критерий отождествления и
различения формул — критерий квазидедуктивной экви-
валентности. Исходя из того, что критерий дедуктивной
эквивалентности справедлив как для невыводимых, так
и для выводимых формул, можно дать критерий тождест-
ва и различия формул не относительно аксиом I—IV и
правил вывода, а относительно аксиом и правил отбрасы-
вания. Последний критерий, естественно, действителен
только для множества невыводимых формул.
Критерий квазидедуктивной эквивалентности опреде-
ляется следующим образом. Две формулы 91 и 33 квазиде-
73
дуктивно эквивалентны, если формула 31 отбрасывает
формулу 53 и формула 83 отбрасывает формулу 31, т. е«
если при отбрасывании формулы 31 с помощью правил*,
отбрасывания через подстановку и заключением системе^
аксиом и правил вывода CS можно отбросить и формулу 8#
и, наоборот, то такие формулы 31 и 83 являются квазиде-
дуктивно эквивалентными.
В своей работе Петров показывает, что класс квазиде-
дуктивно эквивалентных формул совпадает с классом де-
дуктивно эквивалентных невыводимых формул. Иными
словами, что этот новый критерий совпадает с критерием
дедуктивной эквивалентности для отбрасываемых (невы-
водимых) формул системы в том смысле, что с его помощью
можно отождествлять и различать те же самые невыводи-
мые формулы, что и с помощью критерия дедуктивной экви-
валентности.
Таким образом, если невыводимые формулы 51 и S3 де-
дуктивно эквивалентны, то они квазидедуктивно экви-
валентны, и, наоборот, если они квазидедуктивно экви-
валентны, то они дедуктивно эквивалентны. Поэтому класс
невыводимых формул, дедуктивно эквивалентных формуле
АсЪ & Aab lac, совпадает с классом формул, ей квазиде-
дуктивно эквивалентных. Но, значит, совпадают и их до-
полнения, т. е. классы дедуктивно неэквивалентных и ква-
зидедуктивно неэквивалентных формул. А так как сущест-
вует формула (даже бесконечное множество формул), деду-
ктивно неэквивалентная формуле АсЪ & Aab -> lac, но при-
годная для тех же целей отбрасывания, то существует’
и формула (даже бесконечное их множество), квазидедук-
тивно неэквивалентная Acb & Aab -> lac и пригодная для
тех же целей отбрасывания всех невыводимых формул GS,
что и она. Гипотеза Лукасевича не проходит и с точки зре-
ния отождествления формул с точностью до их квазиде-
дуктивной эквивалентности.
Наконец, вводится еще один, более слабый критерий
отождествления и различения невыводимых формул, чем
критерий квазидедуктивной эквивалентности,— критерий
слабой квазидедуктивной эквивалентности. Он определя-
ется следующим образом. Две формулы 51 и §8 находятся
в отношении слабой квазидедуктивной эквивалентности,
если при отбрасывании формулы 31 с помощью йравил
отбрасывания через подстановку, заключение и Слупец-
кого в системе аксиом и правил вывода CS отбрасывается
74
и формула ^В,^и наоборот — при отбрасывании $ отбра-
сывается Я.
С точки зрения критерия слабой квазидедуктивной
эквивалентности гипотеза Лукасевича формулируется так: *
существует ли невыводимая формула, не являющаяся
слабоквазидедуктивно эквивалентной формуле АсЪ &
& Aab —> lac, но, также как и она, пригодная определять
весь класс отбрасываемых формул с помощью аксиом и
правил вывода системы CS и определенных в этой системе
правил отбрасывания через подстановку, заключение и
Слупецкого.
Ю. А. Петрову не удалось решить эту проблему. В за-
ключительном параграфе своей работы «Об одной гипотезе
Я. Лукасевича» он останавливается на выяснении тех
трудностей, которые стоят на пути ее решения и, в конце
концов, приходит к тому же мнению, которое в свое время
было высказано Лукасевичем. Для окончательного реше-
ния вопроса о справедливости этой гипотезы требуется
обоснование новых логических методов, так как требуется
новый подход к доказательству невыводимости одних
формул из других.
§ 12. Проблема разрешения
Проблема разрешения (разрешимости) является вообще
одной из основных логических проблем, подлежащих
исследованию при построении той или иной формальной
логической системы. Эта проблема сводится к отысканию
общего метода, посредством которого можно было бы отно-
сительно любой формулы системы распознать — является
ли она выводимой в этой системе или нет. Эта проблема
теряет смысл, если система противоречива, так как в про-
тиворечивой системе нет различия между выводимыми и
невыводимыми формулами — в ней вообще все формулы
выводимы. »
Вместе с тем ее решение для непротиворечивых систем
(как полных, так и неполных) отнюдь не всегда может быть
положительное. Для одних формально-логических систем
(например, для исчисления высказываний) такой общий
метод существует и может быть сформулирован, для дру-
гих (например, для узкого исчисления предикатов) дока-
зывается его несуществование.
75
Йас здесь будет интересовать возможность отыскаййя
разрешающего метода применительно к системе CS.
Покажем, следуя в этом тем приемам, которые изложены
Я. Лукасевичем, что этот метод существует. В доказа-
тельстве позволим себе опустить некоторые формальные
детали.
Предварительно докажем следующую, важную для
нашей цели, теорему о нормальной форме.
Теорема о нормальной форме-, каждое правильно сфор-
мулированное в терминах силлогистики выражение (любая
формула силлогистики)'в результате некоторого равно-
сильного преобразования может быть приведено к нормаль-
ной форме, представляющей собой конечную конъюнкцию
(возможно вырожденную) силлогистических формул вида у,
т. е. формул, каждая из которых есть либо простая фор-
мула силлогистики или ее отрицание, либо формула вида
Si -+ (62 -> (...-> (бп-х -> 6П)...)), где —это простые
формулы силлогистики или же их отрицания.
Справедливость этой теоремы усматривается в следую-
щем обстоятельстве. Вообще любую формулу системы CS
можно рассматривать как некоторое замещение пропо-
зициональных переменных силлогистическими выражения-
ми в соответствующих формулах исчисления высказыва-
ний. Поскольку же для всякой формулы исчисления вы-
сказываний существует равносильная ей конъюнктивная
нормальная форма и поскольку вышеопределенная нор-
мальная форма для системы CS есть та же конъюнктивная
нормальная форма в смысле логики высказываний с той
лишь разницей, что в ней дизъюнктивные связи заме-
нены эквивалентными им импликациями, очевидно, ч^го
любая силлогистическая формула приводима к такой
нормальной форме.
Формулировка разрешающего метода в системе CS,
т. е. критериев распознавания того — является ли формула
выводимой в системе GS или нет, существенно основыва-
ется на этой возможности привести любую силлогистиче-
скую формулу к соответствующей нормальной форме.
При этом очевидно, что формула будет законом силлоги-
стики или выводимой силлогистической формулой, если,
и только если, каждый конъюнктивный член соответствую-
щей ей нормальной формы есть выводимая формула си-
стемы CS. Поскольку же конъюнктивные члены нормаль-
ных форм представляют собой либо простые формулы
76
Сйл логистики или их отрицания, либо формулы ВИДА
(Si (62 -> Sn-i -> 6П)...)), где —простые формулы
силлогистики или же их отрицания, мы сталкиваемся при
формулировке критериев распознавания выводимости с
двумя основными случаями.
Случай 1. Конъюнктивный член'нормальной формы
есть простая формула силлогистики или ее отрицание, т. е,
имеет один из следующих восьми видов: Ааа, 1аа, АаЬ^
lab, Ааа, т. е. Оаа, 1аа, т. е. Еаа, Aab, т. е. ОаЬ, lab, т. е.
ЕаЪ.
Если он имеет вид Ааа или 1аа, он, конечно, является
выводимой формулой (в силу аксиомы I или II системы
CS). Покажем, что все остальные шесть выражений невы-
водимы и должны быть отброшены.
В формулу закона упрощения исчисления высказыва-
ний X -> (Y -> X) делаем подстановку X/Iac, Y/Acb &
& Aab и получаем lac -> (Acb & Aab lac).
Консеквент этого выражения есть аксиоматически от-
брасываемая формула' CS —| Acb & Aab lac, поэтому
на основании правила отбрасывания через заключение
имеем —\1ас и, заменяя с на b, —\Iab.
К выводимой в CS формуле (закону подчинения)
Aab -> lab применяем правило отбрасывания через за-
ключение и получаем: —| АаЬ.-
В выводимую формулу исчисления высказываний ♦
именуемую законом Дунса Скота, X -> (X —> Y) делаем
подстановку XjAaa, Y/Iab и получаем Ааа-+(Ааа-+
lab). По^ правилу заключения из этой формулы и Ааа
получаем Aaa^Jab и по правилу отбрасывания через
заключение —| Ааа, т. е. -Ч Оаа.
Пусть имеем формулу Aab.
Делая подстановку Ь/а, получаем формулу Ааа, кото-
рая, как уже доказано, невыводима. Отсюда по правилу
отбрасывания через -Подстановку заключаем о невыводи-
мости формулы —| Aab, т. е. —| ОаЬ.
Делая же в формулу X (X -> Y) подстановку
X/Iaa, Y/Iab, мы посредством аналогичных рассуждений
приходим к выводу о невыводимости как —| 1аа, т. е.
—| Еаа, так и —| lab, т. е. —| ЕаЪ.
Но тем самым весь первый случай исчерпан.
Случай 2. Конъюнктивный член нормальной фор-
мы есть силлогистическая формула вида 6Х -> (б2 ->
77
(6n«i-> 6n)...)j, где —'это простые формуль!
силлогистики или же их отрицания. х
Рассмотрим шесть разновидностей такой формулы,
в своей совокупности исчерпывающих все возможные ее
случаи, и покажем, что для каждой такой разновидности
имеется разрешающий способ.
1. Консеквент 6п есть отрицание простой формулы,
а все антецеденты 6Х, 62, б3,..., — простые формулы
силлогистики. В этом случае формула невыводима и от-
брасывается.
Действительно, если на место всех переменных терми-
нов в такой формуле подставить термин а, то все анте-
цеденты б19 82, б3, ..., 6П_Х обратятся в Ааа или 1аа, т. е.
в заведомо выводимые формулы, в то время как консек-
вент 6П, имея вид Оаа или Еаа, будет невыводимой форму-
лой. Вся формула в целом, таким образом, окажется не-
выводимой. А следовательно (по правилу отбрасывания
через подстановку), невыводимой является и исходная
формула.
2. Консеквент бп и лишь один из антецедентов
(1 i п — 1) представляют собой отрицания простых
формул силлогистики.
Этот случай, с помощью перестановки посылок, закона
контрапозиции исчисления высказываний и применения
теоремы о замене равносильным для системы CS, может
быть сведен к случаям, где и консеквент и все антецеденты
есть простые формулы силлогистики. Как мы увидим,
эти случаи всегда разрешимы.
3. Консеквент 6П и более чем один из антецедентов
8; (7 < i п — 1) представляют собой отрицания про-
стых формул силлогистики. Такие выражения с целью
осуществления разрешающей процедуры сводят к более
простым выражениям и в конечном итоге к предыдущему
подслучаю (2).
Для этого первоначальную формулу с помощью пере-
становки посылок и замены равносильным преобразовы-
вают в эквивалентную формулу, в которой все антеце-
денты, являющиеся отрицаниями простых формул силло-
гистики, предшествуют в написании формулы антецеден-
там, представляющим собой простые формулы силлоги-
стики.
Далее поступают так: вместо полученного выражения,
пишут два более простых, опуская в одном случае второй,
78
/
а в другом первый из отрицательных антецедентов. Если
в результате осуществления такой процедуры полученные
формулы продолжают иметь более одного отрицательного
антецедента, процедуру повторяют до тех пор, пока не
будут получены формулы лишь с одним антецедентом, пред-
ставляющим собой отрицание простой формулы силлоги-
стики.
Но такого рода формулы, согласно предыдущему под-
случаю (2), сводимы к формам, в которых все антецеденты
есть простые формулы силлогистики и которые, как мы
в дальнейшем увидим, всегда разрешимы, т. е. каждая
из них может быть определена либо как выводимая,
либо как невыводимая.
Правомерность этого приема может быть обоснована
так. Если хотя бы одна из полученных таким образом фор-
мул выводима, то выводимо также и первоначальное выра-
жение, так как с помощью закона упрощения исчисления
высказываний к этой выводимой формуле можно последо-
вательно присоединить все другие отрицательные анте-
цеденты, которые ранее были опущены.
Если же все полученные формулы с одним отрицатель-
ным антецедентом невыводимы, то посредством применения
правила отбрасывания Слупецкого мы заключаем, что и пер-
воначальное выражение невыводимо и должно быть отбро-
шено.
4. Консеквент 6П есть простая формула силлогистики,
а некоторые или все антецеденты (7 i п — 7) есть
отрицания простых формул.
Этот случай сводится к предыдущему подслучаю (3).
Для сведения достаточно на основе теоремы о замене рав-
носильным консеквент бп заменить равносильным ему вы-
ражением 6П -> Ааа.
5. Консеквент 6П — общеутвердительное предложение,
а все антецеденты (1 i п — 1) есть простые фор-
мулы силлогистики. Здерь возможны различные варианты.
Если бп имеет вид Ааа, то вся формула выводима, так
как выводим ее консеквент.
Если 6П имеет вид Aab и такой же вид Aab имеет хотя
бы один из антецедентов (1 i п — 7), то вся
формула также выводима, так как сводится к формуле
р выводимым консеквентом Aab -> Aab.
79
Если Sn имеет вид Aab, но ни один из антецедентов
(1 i п — 1) не имеет вида ни Aab, ни Aaf с /,
отличным от а, то вся формула невыводима.
Действительно, подставив в такую формулу на место
всех переменных терминов, отличных от а и Ь, термин Ь,
мы не сможем получить антецедента вида Aab, но лишь
следующие антецеденты: Ааа, Aba, Abb, laa, lab, Iba,
Ibb.
Если не имеется никаких других антецедентов, кроме
Ааа, Abb, laa и Ibb, вся формула невыводима и отбра-
сывается на тех же основаниях, что и в первом подслучае (1).
В иных же вариантах посылки Ааа, Abb, laa, Ibb могут
быть опущены как заведомо выводимые в CS (в силу след-
ствия из теоремы об исключении более слабых посылок)
и среди антецедентов останутся лишь формулы вида Aba,
lab и Iba. Если имеется Aba, то в силу теоремы об исклю-
чении более слабых посылок опускаются как lab, так и
Iba. На том же основании можно опустить любую из посы-
лок lab или Iba, если имеются они обе. После таких
упрощений в качестве антецедентов могут остаться лишь
Aba либо lab.
Покажем, что обе импликации АЪа -> АаЪтл. lab Aab
невыводимы и отбрасываются.
В выводимую формулу исчисления высказываний
(X & У-> Z)((С7У)-> (X & U-+Z)) делаем под-
становку Х/Acb, Y/Aba, Z/Iac, U/Aab и получаем (Acb &
& Aba -> lac) -> ((Aab -> Aba) -> (Acb & Aab -> lac)).
Антецедент этой формулы — выводимый в CS правиль-
ный модус IV фигуры. Поэтому, используя правило зак-
лючения, имеем (Aab Aba)~-> (Acb & Aab —> lac).
Консеквент этой формулы есть аксиоматически задан-
ное невыводимое выражение силлогистики. Поэтому по
правилу отбрасывания через заключение имеем —\АаЬ
Aba или при подстановке а/b, b/а -\АЪа-^АаЪ, и
поскольку lab следует из АЪа, мы заключаем, в силу тео-
ремы о невыводимости более слабой импликации, что
—\1аЪ -> Aab.
хЕсли Sn имеет вид Aab и существуют антецеденты
(1 i п — 1) вида Aaf с /, отличным от я и Ъ, то
формула выводима в случае существования цепи, «веду-
щей от а к Ь»; в случае же отсутствия такой цепи вся фор-
мула невыводима и отбрасывается.
Под цепью, «ведущей от а к Ь», здесь понимают упоря-
доченный ряд общеутвердительных посылок Аас19 Ас^,
Асп^Сп, АспЬ, в котором первая посылка имеет а
в качестве своего первого термина, последняя посылка
имеет в качестве своего второго термина Ъ и второй тер-
мин каждой посылки совпадает с первым термином: посыл-
ки, за ней следующей. Заключение Aab получается из
ряда таких посылок в результате повторного применения
аксиомы III GS.
Если же такой цепи нет, то подстановкой //а (для каж-
дого /) мы приходим к только что рассмотренному вариан-
ту, когда ни один из антецедентов 61 (7 i п — 7) не при-
надлежит ни к виду Aab, ни к виду Aaf с/, отличным от а.
Как мы уже видели, такого рода выражения невыводимы, а
значит (в силу правила отбрасывания через подстановку),
невыродимы и рассматриваемые формулы, антецеденты
которых не образуют цепей, ведущих от а к Ъ.
6. Консеквент 6П — частоутвердительное предложе-
ние, а все антецеденты (1 i п — 7) есть простые
формулы силлогистики. Здесь также возможны различные
варианты.
Если 6П имеет вид 1аа, то вся формула выводима, так
как выводим ее консеквент.
Если 6П имеет вид fab, а в качестве одного из антеце-~
центов 8г (7 -С i п — 7) выступает или Aab, или Aba,
или lab, или Iba, то вся формула также выводим#, так как
с помощью перестановки посылок она может быть сведена
к формуле с выводимым в системе CS консеквентом.
Рассмотрим теперь все те варианты, в которых ни одна
из четырех посылок Aab, Aba, lab, Iba не фигурирует
в качестве антецедента (7 i п — 7).
Если при этом консеквент 6П имеет вид lab и ни один
из антецедентов 6^ (7 i п — 7) не принадлежит к
виду Afa (где / отлична от а и Ь), то такое выражение невы-
водимо и должно быть отброшено.
Действительно, подставив в такую формулу на место
всех переменных терминов, отличных от а и Ъ, термин с,
мы можем получить, помимо истинных посылок вида
Асе или Ice, лишь следующие антецеденты: Аас, АЪс
lac, Ibc, lea, Icb (но никоим образом ни Аса, ни Acb).
Если не имеется никаких других антецедентов, кроме
Асе и Ice, вся формулу невыводима на тех ще основаниях,
что и в первом подслучае (1),
81
В иных же вариантах посылки Асе и 1сс могут быть
опущены как заведомо выводимые (в силу следствия из
теоремы об исключении более слабых посылок) и среди
антецедентов останутся лишь формулы вида Аас, Abe,
lac, Ibc, lea, Icb. Если имеются Аас или АЪс, то соответ-
ственно lac (led) или же Ibc (Icb) опускаются по теореме
об исключении более слабых посылок как их следствия.
На основе той же теоремы опускается любая из посылок
lac или lea, либо Ibc или Icb, коль скоро имеются они обе.
Поэтому наиболее сильной комбинацией посылок явится
Аас til АЪс. Однако формула АЪс & Аас -> lab невыводима,
поскольку из нее с помощью подстановки Ъ/с, с/b получа-
ется аксиоматически отбрасываемое выражение силлоги-
стики —| АсЬ & АаЪ lac. Тем более невыводимы и все
те импликации вида £ lab, в которых антецеденты
являются следствиями из АЪс & А ас (в силу теоремы
о невыводимости более слабой импликации).
Если 6П имеет вид lab, а среди антецедентов 61 (1 i
п — 1) имеются выражения вида A fa (где / отлична от а
и Ь), но нет выражений вида Agb (где g отлично от Ъ и а),
то формула выводима при наличии антецедентов Abe или
1Ъе и цепи, ведущей от е к а: Аеег, Ае1е2, ..., Ае^е^
Аепа.
При этих условиях lab выводится с помощью выводимых
в CS силлогистических модусов Acb & Abalac или
Icb & Aba lac. Если, однако, вышеуказанные условия
не имеют места (нет посылок ни вида Abe, ни вида Ibe
или же не существует цепи, ведущей от е к а), то от анте-
цедентов вида Afa мы можем вовсе освободиться, всюду
подставляя на место / (для каждого /) а. Но тогда наше
выражение сводится к тому, которое было рассмотрено
нами только что в предшествующем варианте и относительно
которого существует доказательство его невыводимости.
Если имеет вид lab, а среди антецедентов (1 -С
п — 1) имеются выражения Agb (где g отлично от
а и Ь), но нет вида A fa (где / отлично от а и Ь), то та-
кой вариант может быть сведен к предшествующему, так
как lab эквивалентно Ibav а в отношении решения вопро-
са о выводимости Iba данный вариант ничем не отлича-
ется от предыдущего.
Если 8п имеет вид lab и среди антецедентов oz
(1 < i п — 1) имеются выражения как вида Afa (где f
ОТЛйчйо от а й Ь), так й вйда Agb (где g отлично от b и а)
и нет тех дополнительных условий, которые формулиро-
вались как условия выводимости в двух предыдущих
вариантах (в противном случае рассматриваемое выраже-
ние было бы заведомо выводимо), то формула выводима,
когда имеются антецедент Аса я. цепь, ведущая от с к Ь:
Асс^ Аехс2,..., Acn_! сп, АспЬ, или же антецедент Adb
и цепь, ведущая от d к a: Addt, Adn_xdn, Adna,
или же антецедент led (или Ide) и две цепи, ведущие от с
к а и от d к 6:
Ас^с^,..., Acn_^cnJ Аспа,
' Add^ Adyd^..., Adn_rdn, Adnb.
Дело в том, что при этих условиях lab выводится с по-
мощью следующих выводимых в CS модусов силлогизма
Abc&Aba^-Iac или Ibc & Abalac и Abe & lab —>
-+ lac.
Если, однако, ни одно из указанных условий не имеет
места, то мы можем освободиться от выражений вида Afa
и Agb, всюду подставляя на место / (для каждого /) а
и на место g (для каждого g) Ъ. Но тогда выражение све-
дется к тому, которое нами уже было рассмотрено в одном
из предыдущих вариантов и относительно которого суще-
ствует доказательство его невыводимости.
Все возможные случаи тем самым исчерпаны, и пока-
зано, что всякое силлогистическое предложение (всякая
формула силлогистики) является либо выводимым, либо
невыводимым в системе CS.
£ лава III
СИЛЛОГИСТИКА
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(продолжение)
§ 13. Эквиполлентные системы аксиом и частичные
системы силлогистики
Предложенная Я. Лукасевичем система аксиом форма-
лизованной силлогистики
I Ааа,
II laa,
III Abe & Aab -> Aac,
IV Abe & Iba -> lac
весьма удобна для вывода всех прочих законов теории
силлогизма. Однако это не единственно возможная систе-
ма аксиом для CS. В системе CS, как и в других формально-
логических системах, можно указать ряд эквиполлентных
аксиоматик. В рассматриваемом случае мы их можем
получить, например, заменяя в принятой нами системе
аксиом I — IV аксиому IV выражениями Ebe & lab -> Оас
либо Ecb & Aab -> Еас. Или же вместо аксиомы III при-
нять выражения Лей & ОаЬ -> Оас либо Obe & АЪа-> Оас.
Могут быть сформулированы и такие системы аксиом
силлогистики, в которых не будут фигурировать аксиомы
Ааа или laa. Например, в аксиоматике I—IV вместо
аксиомы I может быть использован закон обращения
lab -> Iba или же вместо аксиомы II закон подчинения
Aab -> lab. Такие системы, по-видимому, уже более близ-
ки к классической силлогистике, ибо выражения Ааа и
laa упоминаются в качестве силлогистических законов
лишь со времен Лейбница.
Наиболее естественной в этом отношении и близкой
к первоначальному аристотелевскому подходу была бы
84
Следующая . аксиоматика:
I- lab -> Iba,
1Г Aab —> lab,
III' Abe & Aab -> Aac,
IV' Ebe & Aab -> Eac.
Указанные системы также определяют собой всю сово-
купность силлогистических законов, за исключением
(как отметил Иво Томас) того, что в первом из этих слу-
чаев (в случае замены аксиомы I выражением lab -> Iba)
остается невыводимым в системе CS выражение Ааа,
в последнем (в случае аксиоматики Г — IV') как Ааа,
так и 1аа.
Некоторые дополнительные сведения о структуре фор-
мальной силлогистической системы CS может дать рассмо-
трение так называемых частичных систем силлогистики.
Вообще исследование частичных формальных систем
неоднократно встречается в современной логике. В слу-
чае, например, исчисления высказываний частичными
системами по отношению к классическому исчислению
будут минимальное и позитивное пропозициональные
исчисления. Рассмотрение частичных систем силлогистики
позволяет выявить роль и значение отдельных аксиом
для вывода тех или иных законных силлогистических
предложений.
Можно исследовать четыре таких частичных системы,
каждая из которых образована посредством опускания
в силлогистической аксиоматике I—IV одной из аксиом.
Я привожу без доказательств результаты этого исследова-
ния, изложенные Лукасевичем и Бохенским. Методом до-
казательства может служить тот же прием, который ис-
пользовался в § 8 при доказательстве независимости си-
стемы аксиом I—IV. Выбирая соответствующие интер-
претации, показывают,, что в случае невыполнения той
или иной аксиомы оказываются невыполнимыми и неко-
торые положения силлогистики, именно те, выводимость
которых необходимым образом зависит от принятия дан-
ной аксиомы.
В системе CS/, в которой опущена аксиома I (Ааа),
оказываются невыводимыми все законы обращения и по-
ловина (из числа 24) правильных силлогистических моду-
85
сов. Здесь остаются выводимыми законы логического квад-
рата и 12 модусов силлогизма.
В системе CSu, в которой опущена аксиома II (1а а),
невыводимы законы* нечистого обращения и все законы ло-
гического квадрата, за исключением относящихся к конт-
радикторной противоположности (отношениям между А
и О, Е и I). Из правильных силлогистических модусов
здесь выводимы лишь 15. Замечательно, что именно эта
частичная система представляет собой ту часть силлоги-
стики, которая может быть адекватно выражена (как это
изложено в § 7 нашей книги) в исчислении предикатов
современной математической логики. “
В системе CSm, в которой опущена аксиома III
(АЪс & АаЬ Аас\ оказываются невыводимыми лишь 3
(из расчета 24) правильных силлогистических модуса.
Здесь выводимы также все законы обращения и логиче-
ского квадрата. Показательно, что отказ от аксиомы III
приводит к гораздо меньшим изменениям в первоначальной
системе силлогистики, чем это имеет место в случаях опу-
скания других аксиом.
Наконец, в системе CSjy, в которой опущена аксиома
IV (АЬс & Iba lac), невыводимы все законы обращения
и логического квадрата, за исключением законов контра-
дикторной противоположности. Из правильных модусов
силлогизма здесь выводимы только 3 модуса.
Указанные частичные системы являются подлинными
частями общей системы силлогистики CS. Пополнение
какой-либо частичной системы недостающей в ней аксио-
мой (равно как и объединение произвольных двух таких
систем в одну) дает в итоге цельную силлогистическую
систему CS. При этом зависящая от этой аксиомы часть
(охватывающая собой некоторый класс силлогистических
предложений) точно определена. Отсюда, очевидно, сле-
дует, что непротиворечивость системы силлогистики CS
обусловливает отсутствие противоречий как между ее
частичными системами, так и между этими частичными
системами и силлогистической системой GS в целом.
§ 14. Идея «расширенной» силлогистики
Гамильтона и Томсона
В английской логике прошлого столетия в работах
Бентама, Гамильтона и Томсона развивалась критика
классической аристотелевской теории силлогистики. Не-
посредственным логическим результатом этой критики
было создание Гамильтоном и Томсоном так называемой
86
теории расширенной силлогистики. Более широким и да-
леко идущим ее результатом была подготовка почвы тра-
диционной формальной логики для применения здесь ал-
гебраических методов, что и было осуществлено де Мор-
ганом и Булем, положившими начало систематической
разработке алгебры логики — этой первой теории матема-
тической логики.
Критика Бентама, Гамильтона и Томсона касалась-
основных для аристотелевской силлогистики структуры;
и формы исходных типов высказываний, характеризую-
щихся логическими связями типа А, /, 7?, О, Афористично
она была выражена в известном требовании Гамильтона:
«Излагать ясно все то, что содержится в мысли, как подра-
зумеваемое». Применительно к исходным для силлогистики
типам высказываний это требование означало уточнение
помимо объема субъекта также и объема предиката вы-
сказываний. Если в аристотелевской силлогистике все
высказывания делились в зависимости от объема субъекта
на два типа — общие и частные, то теперь было предло-
жено учитывать также и тот объем, в котором мыслится!
предикат высказывания. Согласно этому требованию,,
в основу силлогистики надо положить не четыре, а восемь
типов высказываний, а именно:
1. «Всякое S есть всякое Р» (17).
2. «Всякое S есть некоторое Р» (А*).
3. «Некоторое S есть всякое Р» (У).
4. «Некоторое S есть некоторое Р» (/*).
5. «Ни одно S не есть ни одно Р» (7?*).
6. «Ни одно S не есть некоторое Р» (ц).
7. «Некоторое S не есть ни одно Р» (О*).
8. «Некоторое S не есть некоторое Р» (со).
Исходя из такой классификаций основных типов сил-
логистических высказываний, Гамильтон предложил но-
вую систему силлогистики, предусматривающую иные,
чем в традиционной силлогистике, законы обращения,
подчинения и правильные модусы силлогизма. Достаточ-
но сказать, что если в классической аристотелевской силло-
гистике первые три фигуры силлогизма насчитывают 14
законных модусов, то в системе Гамильтона число пра-
вильных модусов в трех первых фигурах достигает 108.
Система расширенной силлогистики Томсона отлича-
ется от гамильтоновской тем, что он принимает, по суще-
ству, необходимость дополнительной квантификации
87
предиката лишь в утвердительных высказываниях, считая,
что в отрицательных высказываниях предикат всегда бе-
v рется во всем объеме. В его системе, таким образом,
имеет место лишь 6 типов исходных силлогистических
высказываний (1—5 и 7 из вышеприведенных). Соответ-
ственно этому три первые фигуры силлогизма насчиты-
вают по Томсону 62 правильных модуса.
В нашу задачу не входит ни систематическое изложе-
ние теорий Гамильтона и Томсона, ни их критическое
сравнение между собой по правомерности и целесообраз-
ности принятых той и другой оснований. Нам важно
'подчеркнуть общность принципа, исходя из которого стро-
ятся системы так называемой «расширенной» силлогистики
подобного рода. То, что мы собираемся доказать в даль-
нейшем, а именно — возможность выразить все новые ре-
зультаты так называемой расширенной силлогистики сред-
ствами и в рамках системы CS, будет равно относиться
ко всем подобного рода теориям. Однако в качестве при-
мера для дальнейшего рассмотрения нами будет принята
гамильтоновская система.
Для того чтобы ясно и полно выразить все результаты
- так называемой расширенной теории силлогистики сред-
ствами и в рамках формализованной классической систе-
мы CS, достаточно лишь дать иную, чем это сделал сам
Гамильтон, реализацию его принципу: «Излагать ясно,
все то, что содержится в мысли как подразумеваемое».
В реализации этого принципа Гамильтон пошёл по линии
квантификации предиката в высказываниях и расширения
таким образом числа их исходных типов. Однако вполне
возможно ограничиться четырьмя традиционными типами
исходных силлогистических высказываний, а предлагае-
мое уточнение содержания высказываний осуществить
за счет образования из этих исходных типов различных
видов сложных высказываний с помощью пропозицио-
нальной конъюнктивной связи. Гамильтоновские типы
основных силлогистических высказываний определяются:
(U) «Всякое а есть всякое Ь» — Aab & Aba
(Л*) «Всякое а есть некоторое Ь» — Aab & Iba
(У) «Некоторое а есть всякое Ь» — lab & Aba
(Z*) «Некоторое а есть некоторое Ъ» — lab & Iba
(Е*) «Ни одно а не есть ни одно Ъ» — Eab & ЕЪа
(ц) «Ни одно а не есть некоторое Ь» — Eab & Oba
88
(О*) «Некоторое а йе есть ни одно Ь» — ОаЬ & ЕЬа
(со) «Некоторое а не есть некоторое Ь» — ОаЬ & ОЬа.
Посредством подстановки в закон коммутативности
конъюнкции исчисления высказываний X & Y -> Y & X
силлогистических формул вида Aab, Aba, lab, Iba, Eab,
ЕЪа, Oab, ОЬа на место переменных X и Y могут быть вы-
ведены все законы обращения гамильтоновской силлоги-
стики.
Например, при Х/Aab nY/Iba имеем Aab &.1Ьа->1Ъа&
& АаЪ, т. е. закон обращения Yba. Или же при
подстановке X/Oab и Y/ЕЪа имеем ОаЬ & ЕЪа -> ЕЪа &
& ОаЬ, т. е. закон обращения O*ab -> riba и т. п.
Посредством же подстановки в выводимую в исчис-
лении высказываний формулу ((X -> У) & (Z -> U)) ->
-> (X & Z У & U) можно, исходя из доказанных
в системе CS модусов классической силлогистики, полу-
чить правильные силлогистические модусы системы Га-
мильтона. Для этого подстановка должна быть органи-
зована таким образом, чтобы каждая из импликаций
X У и Z -> U обратилась в правильный модус класси-
ческой силлогистики. Тогда формула X & Z -> У & U
даст нам соответствующий силлогистический модус га-
мильтоновской системы.
1. Вывод модусов UUU для всех четырех фигур силло-
гизмов системы Гамильтона.
В формулу ((Х->1) & (Z->tf))->(X &Z-^
-> У & U) делаем подстановку X/Abc & Aab", Y/Aac,
Z/Aba & Acb, U/Aca и получаем ((Abe & Aab -> Аас) &
& (Aba & Acb -> Аса)) -> (Abe & Aab & Aba & Acb
-> Аас & Аса). Антецедент этого выражения — выводимая
формула силлогистики, так как представляет собой конъ-
юнкцию двух выводимых силлогистических формул —
модусов ААА первой фигуры классической силлогистики.
Поэтому, применяя правило заключения, получим в ка-
честве выводимой формулу АЪс & Aab & Aba & Acb —>
-> Аас & Аса. В силу коммутативности и ассоциативности
конъюнкции имеем (Abe & Acb) & (Aab & Aba) -> Аас &
&. Аса или по определению Ubc&Uab-+Uac (первой
фигуры).
Иная коммутативность посылок в антецеденте даст фор-
мулу (АсЪ &. АЪс) & (АаЪ & Aba) -> Аас &Аса или по
определению Ucb & Uab -> Uac (второй фигуры).
89
Аналогично в случаях:
(Abe & Acb) & (Aba & Aab) -> Aac & Аса,
(Acb & Abe) & (Aba & Aab) —> Aac & Аса.
Мы будем иметь соответственно модусы:
Ubc & Uba -> Uас (третьей фигуры),
Ucb & Uba~+ Uас (четвертой фигуры)»
2. Вывод модусов UYY второй и первой фигур силло-
гизмов системы Гамильтона.
В формулу ((X-+Y)&(Z-+U))-+(X&Z-+Y&U)
делаем подстановку XfAbc & lab, Y/lac, Z/Aba&Acb,
U/Aca и получаем (Abe & lab -> lac) & (Aba & Acb ->
-> Аса) (Abe & lab & Aba & Acb lac & Аса).
Антецедент этого выражения выводимая формула сил-
логистики, так как представляет собой конъюнкцию двух
выводимых силлогистических формул — модусов АП и
ААА первой фигуры классической силлогистики. Приме-
няя правило заключения, получим в качестве выводимой
формулу Abe & lab & Aba & Acb -> lac & Аса. В силу
коммутативности и ассоциативности конъюнкции имеем
(Acb & Abe) & (lab & Aba) -> lac & Аса, или по опре-
делению Ucb &Yab -+Yac (второй фигуры).
Иная коммутативность посылок в антецеденте даст
формулу (Abe & Acb) & (lab & Aba) -> lac & Аса, или
по определению Ubc & Yab -> Yac (первой фигуры).
3. Вывод модусов UA*Y третьей и четвертой фигур
силлогизмов системы Гамильтона.
Заменяя в двух выведенных в предыдущем примере
формулах lab &. А Ьа на равносильное ему в силу ком-
мутативности конъюнкции A ba & lab, мы получим фор-
мулы:
(Abe & Acb) & (Aba & lab) -> lac & Аса,
(Acb & Abe) & (Aba & lab) lac & Аса,
которым по определению соответствуют:
Ubc & A*ba-+ Yac (третьей фигуры),
Ucb &A*ba-+ Yac (четвертой фигуры).
4. Вывод модусов С/цц первой, второй и третьей фигур
силлогизмов системы Гамильтона.
90
В формулу ((X -> У) & (Z -> U)) -> (X & Z-+
-+Y &U) делаем подстановку Х/Acb & Eab, Y/Eac,
Z/Oba&Abc, U/Оса, и получаем ((Acb & ЕаЪ -> Еас) &
& (ОЪа & АЪс —> Оса)) -> (Acb & ЕаЪ & ОЪа & АЪс-+ Еас&
& Оса).
Антецедент этого выражения выводимая формула сил-
логистики, так как представляет собой конъюнкцию двух
выводимых силлогистических формул — модусов АЕЕ вто-
рой и ОАО — третьей фигур классической силлогистики.
Поэтому, применяя правило заключения, получим в ка-
честве выводимой формулу Acb & ЕаЪ & ОЪа & АЪс ->
Еас & Оса. В силу коммутативности и ассоциатив-
ности конъюнкции имеем (АЪс & АсЪ) & (ЕаЪ & ОЪа) -+
Еас & Оса или по определению Ubc & ^ab -> т]ас
(первой фигуры). Иная коммутативность посылок в анте-
цеденте даст формулу (Acb & Abe) & (Eab & О ba) ->
-> Еас & Оса, т. е. Ucb & x\ab -> т\ас (второй фигуры).
Несколько отличным способом выведем модус С/цц
третьей фигуры Ubc & цЪа цас. .
В аксиому исчисления высказываний X & У -> У,
делая подстановку Х/АЪс&. Oab, Y/Acb & Eba, полу-
чаем (Abc&Oab) & (Acb & Eba) -> Acb & Eba.
Вместе с тем в системе CS выводим следующий модус А ЕЕ
четвертой фигуры классической силлогистики Acb& ЕЪа-+
Еас. В закон гипотетического силлогизма исчисления вы-
сказываний (X -> У) -> ((У -> Z) -> (X -> Z)) делаем под-
становку X/(Abc & Oab) & (Acb & Eba), Y/Acb & Eba,
Z/Eac, и дважды применяя правило заключения, выводим
формулу (Abe & Oab) & (Acb & Eba) -> Еас.
В системе CS выводима формула (закон обращения) Еас ->
->Еса. Поэтому, снова используя закон гипотетического
силлогизма с подстановками Х/(АЪс & Oab) & (Acb & Eba),
Y/Eac, Z/Eca, получим в итоге формулу (Abe &Oab)&
& (Acb & Eba) —> Еса.
Используя выводимую »в CS формулу (закон подчине-
ния) Еса -> Оса и еще раз применяя закон гипотети-
ческого силлогизма с подстановками Х/(АЪс & ОаЪ)&
& (Acb & Eba), Y/Eca, Z/Oca, выводим формулу /Аbe &
& Oab) & (Acb & Eba) -» Oca.
В аксиому исчисления высказываний (X -> У) -> ((X —>
Z) -> (X -> У & Z)) делаем подстановку X / (Abe & Oab) &
& (Acb & Eba), Y/Eac, Z/Oca, и, дважды применяя пра-
91
вило заключения, выводим формулу (Abc&Oab) &
& {Acb & ЕЪа) -> Еас & Оса, В силу коммутативности и
ассоциативности конъюнкции имеем {Abe & Acb) &
& {ЕЪа & ОаЬ) —> Еас & Оса или по определению модус
Ubc &х\Ъа^ у\ас (третьей фигуры).
Таким путем осуществляется вывод и остальных
(свыше ста) модусов гамильтоновской силлогистики.
Таким образом, так называемая теория «расширен-
ной» силлогистики в действительности нисколько не рас-
ширяет классической системы. Все ее новые результаты
могут быть получены в рамках понятий старой теории,
правда, строго формализованной на базе классического
исчисления высказываний. Я обращаю внимание на это
обстоятельство потому, что известны до сих пор продол-
жающиеся попытки реформировать традиционную силло-
гистику и идущие в тех же направлениях, которые были
предприняты сто лет назад английскими логиками. Такие
попытки представляют в настоящее время неблагодарный
труд. То, что было сделано в этом отношении Гамильто-
ном и его современниками, уже сыграло свою роль в ло-
гике. При этом не следует забывать, что наиболее значимой
для всего последующего развития логики оказалась вовсе
не тщательно разработанная новая силлогистика, а та
общая идея, которая позволила рассматривать логиче-
скую структуру высказываний как определенного типа
равенства и, таким образом, послужила основанием для
внедрения в логику математических методов исследования.
§ 15. Системы обогащенной
и обобщенной силлогистики Де Моргана
В отличие от расширенной силлогистики Гамильтона
в обогащенной силлогистике Де' Моргана предлагается
не только квантификация предикатов во всех силлогисти-
ческих высказываниях, но и введение во всей возможной
полноте, наряду с положительными, и отрицательных
терминов. Реализация этой идеи привела к существенному
обогащению классической силлогистики Аристотеля по-
следняя рассматривала логические отношения А, Е , I
и О в поле неотрицательных общих терминов) и явил ась
непосредственным связующим звеном между традицион-
ной силлогистикой категорических высказываний и алгеб-
рой логики. '
92
Таким образом, если в расширенной силлогистике
Гамильтона мы имеем в силлогистических высказываниях
два рода терминов — термины, взятые во всем их объеме
(обозначим их прописными буквами латинского алфа-
вита а, Ь, е, ...), и термины, взятые, по крайней мере,
в части своего объема (обозначим их прописными буквами
греческого алфавита а, 0, у, ...), то в обогащенной силло-
гистике Де Моргана к этому различию добавляется еще
качественное различие терминов — положительных и
отрицательных; а, а, Ь, 5, с, с, ... и соответственно а, а,
0> 0, Т, Т, •••
Если логические отношения Ли/ обозначить единым
функтором Is, а Е и О соответственно отрицанием этого
функтора Is, то фундаментальные высказывания силлоги-
стики Гамильтона примут следующий вид:
(U)—Is (а, Ъ)
(Л*) - Is (а, 0)
(У) - Is (а, Ь)
(Z*)-/5(a, 0)
(2?*) - Ij (а, Ь)
(ц) - Is (а, 0)
(О*)- /$(а, b)
(со) —Is (а, 0).
Число же фундаментальных высказываний в обога-
щенной силлогистике Де Моргана увеличится в четыре
раза в соответствии со всевозможными комбинациями поло-
жительных и отрицательных терминов под знаком функ-
тора Is или Is. Так, например, гамильтоновское высказы-
вание Л* — Is (а, 0) пополнится здесь следующими фор-
мами: Is (а, 0), Is (а, 0), Is (а, 0).
Вместе с тем уже сам Де Морган формулирует прин-
цип, позволяющий таким образом преобразовывать вы-
сказывания, что для каждого высказывания, содержа-
щего хотя бы один отрицательный термин, находится
эквивалент с одними лишь положительными терминами.
Этот принцип можно было бы назвать принципом псевдо-
двойственности, поскольку он предписывает замену функ-
тора Is на ему двойственный Is (или наоборот) и одного из
терминов, стоящих под знаком этого функтора, на ему
93
двойственный, считая двойственными термины, различаю-
щиеся как по своему объему, так и по своему качеству,,
например а и а.
Это преобразование не является двойственным, по-
скольку оно не удовлетворяет одному из основных свойств
двойственного преобразования: «Если S двойственно S*
и S* двойственно S**, то S** тождественно с S», но оно
является эквивалентным преобразованием высказывания
и позволяет элиминировать из него отрицательные термины.
Так, например, моргановские высказывания Is (а, Р),
Is (а, Р) и Is (а, р) могут быть таким образом сведены к сле-
дующим эквивалентным им гамильтоновским формам:
Is (а, Р) = Is (а, Р) — (со),
Is (а. Р) = Ь (а, b) - (Е*),
Is (а, Р) = Is (а, Р) = Is (а, Ь) - (У).
Поскольку же, как мы показали, при некоторых опре-
делениях гамильтоновская расширенная силлогистика
может быть выражена средствами и в рамках классической
системы CS Лукасевича, то при условии принятия прин-
ципа псевдодвойственности к системе CS может быть све-
дена и обогащенная силлогистика Де Моргана.
Совершенно иной характер носит обобщенная силоги-
стика Де Моргана. Используя общее понятие отношения
(как известно^ Де Морган положил начало общей логиче-
ской теории отношений), он формулирует схемы обобщенной
силлогистики, в которых члены, представленные терми-
нами, связаны произвольными отношениями, а не специ-
альными отношениями вхождения или невхождения ка-
кого-либо класса или его части в другой класс. По суще-
ству, Де Морганом здесь закладывается теория бинарных
отношений, и традиционные аристотелевские силлогизмы
получаются как специальный случай таких бинарных
отношений. В этом аспекте рассмотрения классическая
силлогистика выступает как фрагмент логики или исчис-
ления отношений и излагается в терминах этой теории,
использующей понятия отношения, отрицания отношения,
конверсии отношения, относительного произведения от-
ношений др.
Одна из последних, обращающих на себя внимание ра-
бот в этом направлении выполнена П. Лоренценом. Весьма
схематично, но охарактеризуем его подход. Рассматривая
94
силлогизмы как произведения бинарных отношений между
силлогистическими терминами (Р, М, Q), Лоренцен предста-
вил теорию традиционной аристотелевской силлогистики
в виде учения о таблице умножения в полугруппе таких
отношений и на этой же основе предложил некоторое ее
расширение.
В качестве единственного исходного отношения он
принимает функтор общеутвердительного высказыва-
ния (отношение включения) а — с аксиомами:
I РаР,
II PaMaQ -> PaQ.
Умножение отношений вводится через эквивалент-
ность:
(ра = т) = (Рт0 (ЭМ) (РрМо0), где р, а, т —
метазнаки для обозначения отношений.
Остальные силлогистические отношения определяются
через отношение a: i = аа (где р есть отношение, обратное
отношению р), е = V (где р' есть отрицание отношения р),
о = ае. После этого все традиционные модусы силлогисти-
ки (за исключением IV А А Г) выводятся как равенства:
аа = a, ia = г, ае = е, оа = о, ао = о, ei = о и- т. д.
Затем вводится в рассмотрение отношение О, имеющее
место между всякими двумя терминами, после чего мно-
жество 27 = {а, а, Z, е, о, о, 0} оказывается полугруппой,
а традиционная силлогистика — учением о таблице умно-
жения этой полугруппы.
Лоренцен рассматривает также некоторое расширение
этой полугруппы, получающееся, если к традиционным
отношениям а, е, г, о ( и а, о) еще добавляются и и у, вво-
димые на основе следующих эквивалентностей: PuQ <->
P'aQ и PyQ P’oQ (т. е. за счет введения в рассмо-
трение отрицательных терминов). В такой системе
S9 = {а, а, i, е, о, о, и, у, 0} наряду с аристотелевскими
силлогизмами получаются еще и другие, в частности, строя-
щиеся из выделяющихся высказываний (т. е. содержащих
наряду с функторами «некоторые... (не) есть...» и функто-
ры «только некоторые ... (не) есть...»).
§ 16. Силлогистика и Жергоновы отношения
Вообще в современной логике существует ряд подходов
к формализации силлогистики. Так, Фэрис строит аксио-
матическую систему «жергоновых отношений», в которой
получаются, в частности, результаты традиционной силло-
гистики. Фэрис исходит из пяти основных отношений
между классами а и Ь:
1. Если и только если всякое а есть b и всякое Ъ есть а.
2. Если и только
есть а.
если всякое а есть Ь и не всякое Ъ
3. Если и только если не имеет места, что либо всякое
а есть Ь, либо всякое b есть а, либо ни одно а не есть д.
4. Если и только если всякое Ъ есть а и не всякое а
есть Ь.
5. Если и
только если ни одно а не есть Ь.
Эти типы отношений между классами впервые были
исследованы французским математиком Жергоном и им
же было понято их значение для силлогистической тео-
рии. Поэтому они и названы его именем.
В системе Фэриса принимаются четыре исходных бинар-
ных функтора-предикатора: =, с:, определенных
96
йа Поле термов а, &, с, d, ..., g, h, ..., обозначающих раз-
личные классы и могущих интерпретироваться как тер-
мины силлогистики. Функтор а о Ъ определяется как
а э b b с: а, и на этом основании формулируется пра-
вило замены:
а р может всюду быть заменено на f с а и обратно.
(Заметим, по терминологии Кэрри, функторы, порож-
дающие из термов высказывания, называются предика-
торами; порождающие из термов термы называются
операторами; а порождающие из высказываний высказы-
вания называются коннекторами.)
Исчисление высказываний принимается в качестве
вспомогательной системы для осуществления конструк-
ции формул и их дедукции из принятых аксиом. Понятие
формулы или осмысленного высказывания в системе Фэ-
риса определяется следующим индуктивным способом:
1) а == р, ас Р, а m Р, а о р, а|Р — есть простые или
элементарные формулы системы. (Здесь а и р ме-
тазнаки для обозначения термов.)
2) Если 21 и 33 — формулы системы, то формулами систе-
мы будут 31, 21 & 33, St V 53, 21 -> 33 и других осмыс-
ленных высказываний нет. (Здесь —, &, \/, это функ-
торы — коннекторы вспомогательного исчисления — ис-
числения высказываний, 21 и 38 — метазнаки для обозна-
чения формул системы.)
Свойства фундаментальных функторов-предикаторов
у Фэриса описываются следующей системой из десяти ак-
сиом, из которых первые пять определяют равенство:
1. а = а
2. a = &->(cczb->c ста)
3. а = Ь->(сооЬ->аоос)
4. a = fe->(feczc->aczc)
5. а = Ъ (с | Ь а | с)>
6. а с: Ь (Ъ czc a czc)
7. a cz Ь -> (Ъ\с-+ а|е)__ _____
8. а = Ъ -> (а cz Ъ (а сп Ъ (Ъ с: с -+ а|&)))
9. а = Ъ -> a czfe & а оо Ъ & а\Ъ
10. а со Ъ -> a & a\b
Помимо правила замены а о Р на Р с: а и обратно
в системе принимаются следующие правила вывода:
4 А. Л. Субботин 97
Правила подстановки: Во всякую дока-
занную (выводимую) формулу системы на место любого
переменного терма (всюду, где он встречается) можно под-
ставить любой другой терм, а вместо пропозициональной пе-
ременной (всюду, где она встречается) — любое осмысленное
выражение системы. Полученная в результате такой под-
становки формула будет также доказанной (выводимой).
Правило заключения: Если 91 -> 93 и 21
доказанные (выводимые) формулы системы, то 33 также
доказанное (выводимое) выражение. Иными словами, если
Н 31 -> 33 и ЬЭ1, то Н 33.
Докажем некоторые формулы в системе Фэриса.
Из аксиомы 9 а = b -> a a b & a Ь & а\Ь, исполь-
зуя аксиому исчисления высказываний X & Y -> X с под-
становками X/a cz & и Y/a лп Ъ & а\Ъ и закон гипотети-
ческого силлогизма (X У) -> ((У Z) -» (X -> Z))
с подстановками Х/а = b, Y/a ab&a^b& a\b,
Z/a cz fe, путем двукратного применения правила заключе-
ния выводим: а = b a cz b. Делая подстановку в эту
формулу b/а и используя аксиому а = а, по правилу
заключения получаем ааа. Используя же правило за-
мены 0 cza на а zd 0, имеем ааа.
Из аксиомы 9 а = с Ъ & а^\Ъ & а\Ъ, используя акси-
ому исчисления высказываний X & У —> У с подстановками
Х/а ab & a rvx Ъ и Y/a\b и закон гипотетического сил-
логизма (X -> У) -> ((У -> Z) -> (X -> Z)) с подстанов-
ками Х/а = b, Y/a ab & а b & a\b и Z/a\b, путем
двукратного применения правила заключения выводим
а — Ъ -> а\Ъ. Делая же подстановку b/а и используя ак-
сиому а = а, по правилу заключения получаем а\а. Ана-
логичным образом выводится формула а = Ъ -> а Ь,
а затем и а лп а.
Из аксиомы 4 а = Ъ -> (Ъ с а ас), используя
правило замены b cz с на cab, получаем а = Ь ->
(с а Ъ -+• a cz с), осуществляя подстановку с/а
а = b -> (а а Ъ -> а а а). Из этой формулы с по-
мощью закона контрапозиции исчисления высказываний
(X -> У) -> (У -> X) с подстановками Х/а а b и Y/a а а,
а также закона гипотетического силлогизма (X —> У) —>
-> ((У -> Z) -> (X Z)) с подстановками Х/а = Ъ,
Y/aab-+aaan Z/a аа-> а а b путем двукратного
98
применения правила отделения выводим а = Ь —>
(a <z:a а о 6). Используя закон коммутации (пере-
становки посылок) (X -> (У -> Z)) (У (X -> Z))
с подстановками Х/а = Ь, Y/аааи Z/a zd b, из преды-
дущей формулы с помощью правила заключения полу-
чаем a cz а -> (а = Ъ -> а zz> Ь),
Отсюда и из уже доказанной формулы а с а по прави-
лу заключения выводим а = Ь -> а zz> Ь.
В системе Фэриса также доказываются формулы:
а = Ъ = Ъ = а,
а т b = b сп а,
а\Ь — Ь\а,
на основании которых можно ввести три следующих пра-
вила замены:
а = Р может быть всюду заменено на Р = а и обратно,
a m р может быть всюду заменено на f со а и обратно,
а| Р может быть всюду заменено на Р|а и обратно.
Из аксиомы 8 а = b (a cz b -> (a m Ъ (Ъ cz а ->
а|Ь))) заменой b cza на a zz> Ъ получаем а = Ъ ->
-> (a cz Ь -> (а ль Ъ -> (a z? Ъ -> а|Ь))).
Используя контрапозицию (X -> У) -> (У -> X) с под-
становками Х/а = b, Y/a czb->-(а лг\Ь—> (а zd 6 ->
-> а | &)) и правило заключения, имеем
а czb->(a^nfe->(a=D&-> а\Ъ)) -> а — Ъ.
Отсюда на основании тождественных преобразований
исчисления высказываний (замены -> на \/, правил
Де Моргана и снятия двойного отрицания) получаем:
a cz 6 & агъ-\Ъ&а=)Ь & а\Ъ ->• а = Ъ.
Из аксиомы 9 а ~ b a cz Ь &агъЬ&а\Ь я выве-
денной формулы а = Ъ -> a zz b на основании аксиомы
исчисления высказываний (X У) -> ((X —> Z)
-> (X -> У & Z)) с подстановками Х/а — Ь, У /а cz Ь &
& а b & а\Ь и Z/a zd b и двукратного использования
правила заключения получаем а = Ь~>а czfe&a^n
лп Ъ & a z? Ь & а\Ь. Итак, доказано, что а = Ъ е=
= a czb&a^b&a^)b & a\b.
Теперь докажем транзитивность равенства а = Ъ &
99
4*
&Ь = с~>а = с. Допустим посылки а=Ьи& = си
выведем из этого допущения в конце концов а — с. Затем,
используя теорему о дедукции, сделаем заключение о
справедливости утверждения о транзитивности равенства.
Из аксиомы 2 а = b (с czb с с^а) подстановкой
а/Ь, Ь/с, с/а, получаем & = с -> (a cz с а cz Ь). Посылка
Ъ = с допущена в качестве истинной, поэтому по правилу
заключения имеем a czc a czb. Используя принцип
контрапозиции (X У) -> (У -> X) с подстановками
Х/а сас, Y/a cab и правило заключения, получаем
a db-^a cz с. Ранее была выведена формула а = Ъ ->
a cz' Ь. Из закона гипотетического силлогизма
(X -> У) -> ((У ->’Z) -> (X -> Z)) с подстановками Х/а =
= b, Y/a cz Ь, Z/a czc, двукратно применяя правило
заключения, выводим а = b-> а czc. Допуская посылку
а = Ъ как истинную, имеем a cz с.
Из аксиомы 3 а = подстановкой
а/Ь, ft/с, с/а получаем Ъ = с (а с b а). Допу-
ская посылку b = с как истинную, по правилу заклю-
чения получаем а лгч с -> Ъ а. Используя контрапо-
зицию’исчисления высказываний с соответствующей под-
становкой выводим Ъпъ а-^ а г^\ с или на основе правила
замены а Ъ -> а с. Ранее была выведена формула
а = b а Ь. Отсюда по закону гипотетического сил-
логизма в результате двукратного применения правила
заключения имеем а = Ъ -> а ъс.Допущение же по-
сылки а = Ъ как истинной дает а cd с.
Из аксиомы 4 а = Ъ (b сас а со. с) заменой b cz с
на с zd b и а ас на с zd а получаем a = b->(czzb—>
с zd а). В результате же подстановки а/Ь, b/с, с/а имеем
Ъ = с —> (a zd с a zd Ь). Допущение истинности посыл-
ки Ъ = с приводит к a id с —> а о Ъ. Использование контра-
позиции дает a zd b —> a zd с. Из этой формулы и ранее вы-
веденной формулы а = b —» a d 6 по схеме гипотетическо-
го силлогизма получаем а = b —>а zdc. Или, допуская истин-
ность а = 6, имеем a zd с. Из аксиомы 5 а = Ь-+- (с | Ъ-^а | с)
подстановкой а/ Ъ, Ъ/ с, с / а получаем Ъ = с -> (а\с -> Ь\а).
Допуская истинность b — с, имеем а | с-> b | а. Согласно
контрапозиции получаем Ъ\а -> а\с или а\Ъ —> а\с. Из этой
формулы и ранее выведенной а = Ъ -> а\Ъ по закону ги-
100
потетического силлогизма получаем а = Ь -> а | е. Допу-
ская же истинность а = Ъ, имеем а | с.
Итак, допустив посылки а = b л Ъ = с и используя
различные доказуемые формулы, мы вывели в качестве
следствий a az с, а с, a zd с, а | с. Но это означает, что
при данных условиях выводима и их конъюнкция
a cz с & а лм & a zd с & а\с, тогда согласно ранее дока-
занной формуле, а ас & a с & a zd с & а\с = а = с.
Иными словами, по теореме о дедукции мы можем заклю-
чить о справедливости утверждения а = Ъ& Ъ = с->
а = с.
Система аксиом, предложенная Фэрисом для формали-
зации жергоновых отношений, является независимой и
полной, и относительно этой системы решается проблема
разрешения. Вместе с тем система Фэриса представляется
более широкой, чем собственно аристотелевская или тра-
диционная силлогистика, так как она охватывает и логи-
ческие законы отношения равенства. К тому же в ней рас-
сматриваются как различные такие исходные функторы,
которые в традиционной силлогистике не различаются
в силу отсутствия в ее высказываниях квантификации
предиката. Поэтому, чтобы перейти к собственно силлоги-
стическим выражениям, в систему Фэриса следует ввести
по определению следующие равносильности:
АаЪ а = Ъ \/ a cz Ь,
ЕаЪ а | Ь,
lab а = Ъ \/ a azb \/ а Ъ \/ а zd Ъ,
ОаЬ а Ъ \/ а zd Ъ \/ а\Ъ.
После этого можно доказать, что в системе Фэриса форма-
лизуются логические законы силлогистики. Осуществим
ато доказательство, показав, что в системе Фэриса выво-
дятся аксиомы системы CS Лукасевича. (Так как обе си-
стемы базируются на. одном и том же исчислении высказы-
ваний и содержат аналогичные правила вывода, этого
вполне достаточно.)
I Ааа,
II 1аа,
III АЪс & АаЪ -> Аас,
IV ЕсЪ & АаЪ Еас.
101
1. Вывод аксиомы Ааа:
Тривиален, ибо через жергоновы отношения Ааа вы-
ражается как а = а \/ a cz а, а эта формула выводима
в силу выводимости первого члена этой дизъюнкции, яв-
ляющегося аксиомой а = а.
2. Вывод аксиомы 1аа:
Также тривиален, ибо в жергоновых отношениях 1аа
выражается как а = а\/ а аа\/а^$\уааа,
а эта формула выводима на том же основании, что и пре-
дыдущая.
3. Вывод аксиомы АЪс & АаЬ Аас.
По определению в жергоновых отношениях эта аксио-
ма запишется следующим образом:
(a = b\/aab)&(b = c\/bac) ->(а = с \/а cz с).
В результате тождественного преобразования антеце-
дента этого выражения получаем
(а = Ъ & b' = с) \/ (а = b & b cz с) \/ (a cz & &
& Ъ = с) V (a cz Ъ & Ъ с.с)^(а = с\/ a cz с).
Эта формула выводима, если консеквент а = с \/ а ас
следует из каждого дизъюнктивного члена антецедента.
Покажем, что такое следование имеет место.
Действительно, на основании транзитивности равенст-
ва имеем: а = Ь& Ь==с->а = с, а значит, согласно
аксиоме исчисления высказываний X -> X \/ Y и закону
гипотетического силлогизма (X -> У) ->((У —> Z) (X
Z)), выводимо иа = Ь& Ь~с-+а — с\/а cz с. Из ак-
сиомы 4 а = b (b ас a ас) на основе закона им-
портации исчисления высказываний (X -> (У -> Z)) -+
-> (X & У -> Z) получаем: а = b &Ь ас -> а ас.
Но тогда выводимо и а — b&bac->a = c\/aac.
Из аксиомы 2 а = Ъ^(саЪ-+с а а) подстановкой
а! си с/а получаем с = b (aab а а с), или на основе
закона импортации и замены с — Ьн&.Ь==сЪ = с&
& a ab -> а ас. Но тогда выводимо и Ъ ~ с &а ab -+
а = с V а ас. Из аксиомы 6 aab-^(bac-+
а ас), на основе закона импортации получаем
a ab& bac->a ас, а следовательно, и a cz Ъ &
&Ъ а с а — с\/ а ас*, тем самым доказана выводи-
мость Abe & АаЬ -> Аас.
4. Вывод аксиомы ЕсЬ & АаЬ -> Еас.
102
По определению в жергоновых отношениях эта аксиома
запишется следующим образом:
с | Ъ & (а == Ъ V о cz Ь) -> а\с.
Тождественно преобразуя антецедент этого выражения,
получаем
(с | Ъ & а = Ъ) V (c\b & a cz b) -> а | с или
(а = Ъ & с | b) \/ (a cz & & b\c) -> а\с.
Эта формула выводима, если консеквент а | с следует из
каждого дизъюнктивного члена антецедента. Покажем, что
такое следование имеется.
На основании аксиомы 5 а = & (с | Ь -> а | с) изакона
импортации имеем а = Ъ & с\Ь —> а | с. На основании хже
аксиомы 7а czb->(b|c—>а]с)и закона импортации имеем
a cz Ь &Ь\с а\с. Но тем самым доказана выводимость
Ecb & Aab Еас и вообще возможность погрузить фор-
мализованную силлогистику — систему CS Лукасевич
в формальную систему жергоновых отношений Фэриса»
§ 17. Еще один способ формального представления
силлогистики
Способ аксиоматического построения силлогистики
с помощью и на базе классического исчисления высказы-
ваний не является единственно возможным способом фор-
мального представления силлогистики. Иной способ пред-
ложен советским логиком В. А. Смирновым. В построен-
ной им формальной системе силлогистики нет аксиом,
но лишь одни правила вывода. Все законные силлогистиче-
ские формы представлены здесь в виде тех или иных пра-
вил силлогистического вывода.
Пусть строчные латинские буквы а, Ь, с, ... обозначают
переменные термины силлогистики, а прописные А, I, Е
и О — логические константы силлогистики. Тогда форму-
лами силлогистики будут следующие выражения: Aab,
lab, Eab, Oab, ... По определению также принимается, что
АаЪ ОаЬ,
lab ЕаЪ,
Eab lab,
Oab Aab.
103
Правила силлогистического вывода определяются по
индукции.
а) Базисные правила:
Rx: Abe, АаЪ [— Аас (соответствующее модусу ААА
I фигуры)
R2: Ebe, Aab |— Еас (соответствующее модусу ЕАЕ
I фигуры)
R3: lab (— Iba (соответствующее закону обращения)
R4: Aab |— lab (соответствующее закону подчинения)
б) Операции, порождающие из одних правил вывода
другие правила вывода (позволяющие переходить от од-
них силлогистических выводов к другим).
Пусть Г есть список или множество (может быть, пу-
стое) формул силлогистики, а 91 и 93 формулы, тогда
R5: (Г, 91 Н 83) Н (Г, 2* |— 20,
r6: (г н «) н (г н m
где (Г |— 93)+ есть результат подстановки в Г |— 93. Под-
становкой одной переменной вместо другой в формулу 91
называется одновременное замещение этой переменной
в 91 другой переменной; подстановкой одной переменной
вместо другой в множество формул Г называется подста-
новка в каждую формулу этого множества.
Дальнейшее исследование силлогистической системы
очевидно сводится к задаче нахождения различных правил
силлогистического вывода на основе данного индуктивного
определения этих правил. Иными словами, к задаче вывода
одних правил из других. При этом мы также существенно
опираемся на те общие свойства формальной выводимости,
которые были сформулированы в предыдущей главе и
которые выражают общие закономерности формальных
выводов различной природы. Напомним эти свойства:
1. Если 93 входит в множество формул Г, то Г|—93.
2. Если Г j— 23, то Д, Г |— 93.
3. Если 91, 91, ГН$, то 91, Г 93.
' 4. Если Д, 91, £, Гр 93, то Д, £, 91, Г Ь- 23.
5. Если Д 91 и 91, Г |— 93, то Д, Г |— 53-
1) Вывод закона обращения ЕаЪ |— ЕЪа
R3: lab (— Iba.
104
Применяя к Ro правило R6 с подстановкой а/Ь, Ь/а,
имеем
Iba (— lab.
Применяя R5, получаем lab Iba. т. е. по определению
ЕаЪ |— ЕЪа,
2) Вывод закона обращения АаЪ\— Iba
R3: lab Iba
R4* Aab J— lab.
Согласно пятому свойству формальной выводимости имеем
Aab Iba.
3) Вывод закона подчинения Eab f— Oab
R4: Aab |— lab
Применяя правило R6, получаем lab (— Aab. т. e. по опре-
делению Eab |— Oab.
4) Вывод модуса АП первой фигуры Abe. lab [— lac
R2: Ebe. Aab f— Eac.
Применяя Rq с подстановкой a/b. b/c. c/a. получаем Еса.
Abe |— Eba. К уже выведенному правилу Eab Н Eba при-
меняем R6 с подстановкой Ъ/с и получаем Еас |— Еса.
Тогда согласно пятому свойству выводимости имеем
Еас. АЪс \— Eba.
Имея в виду уже выведенное правило Eba |— ЕаЪ. тмжучьг
ем согласно пятому свойству выводимости Еас. АЪс\— ЕаЪ.
Согласно четвертому свойству выводимости имеем АЪс.
Еас |— Eab. Применяя R6, получаем
АЪс. ЕаЪ |— Еас или по определению
АЪс. lab lac (ъмухус АП I фигуры)
5) Вывод модусов ЕЮ третьей и первой фигур
Ebe. Iba |— Оас и Ebe. lab |— Оас.
АЪс. lab |— lac — выведенное правило.
Согласно R6 с подстановкой а/Ъ. Ъ/а. имеем
Aac. Iba Н Ibc.
105
Согласно Rs имеем
Ibc, Iba |— Аас или по определению
Ebe, Iba Оас (модус ЕЮ III фигуры)
R3: lab |— Iba
Согласно пятому свойству формальной выводимости полу-
чаем
Ebe, lab |— Оас (модус ЕЮ I фигуры).
Подобным же образом нетрудно получить в виде пра-
вил вывода и все другие законные модусы силлогистики.
Надо сказать, что подобный способ построения системы
силлогистики отнюдь не является необычным для совре-
менной формальной логики. Он аналогичен построениям
систем естественного вывода (типа систем Генцена),
в форме которых в настоящее время излагаются самые раз-
личные логические исчисления. Вместе с тем от него всегда
можно перейти к выражению силлогистики на языке
исчисления высказываний. Для этого достаточно приме-
нить к правилам силлогистического вывода теорему о де-
дукции и ввести таким образом импликацию.
Пусть, например, 91, ® (— 53 есть некоторое правило
силлогистического вывода. Дважды применяя к нему тео-
рему о дедукции, мы получим как законное положение
силлогистики предложение 91 -> (S S3) или равно-
сильное ему 91 & © -> S3. При этом все получаемые
в системе Смирнова правила силлогистического вывода
обращаются в выводимые предложения силлогистики
в системе Лукасевича. Действительно, базисные правила
обращаются в выводимые предложения силлогистики.
Если к какому-либо правилу силлогистического вывода,
которому соответствует в аксиоматическом построении
выводимое предложение силлогистики, применено пра-
вило R6, то полученному в результате этого применения
правилу также б^дет соответствовать выводимое предло-
жение, так как правило R6 совершенно аналогично пра-
вилу подстановки у Лукасевича. То же самое имеет место
и в случае применения правила Rs. Последнее выражает
то же соотношение, что и сложный закон транспозиции
исчисления высказываний. И коль скоро некоторому пра-
вилу Г, 91 |— S3 соответствует выводимая формула силло-
гистики, выводимая же формула будет соответствовать
106
й йравйлу Вида Г, 53 |— 31. Что же касается используе-
мых нами в выводе общих свойств формальной выводимо-
сти, то они ио самому своему существу не меняют харак-
тера выводимости тех выражений, которые с их помощью
преобразуются, так как остаются справедливыми для фор-
мальных построений различной природы.
§ 18. Цепи силлогизмов и сложные силлогизмы
Цепями силлогизмов, или полисиллогизмами в логике
называют такие последовательности простых силлогизмов,
в которых заключения предшествующих силлогизмов
(называемых просиллогизмами) становятся посылками по-
следующих силлогизмов (называемых эписиллогизмами).
Надо сказать, что в традиционной формальной логике
структуры и свойства такого рода цепей остались малоизу-
ченными. Вместе с тем задача исследования силлогисти-
ческих цепей, интересная сама по себе, приобретает зна-
чение и в связи с нахождением эффективных разрешающих
процедур в системе CS. Поэтому ниже мы на основе опре-
деленной классификации силлогистических цепей попы-
таемся выявить свойства, характеризующие различные
по своей структуре виды цепей силлогизмов (имея в виду
цепи, составленные из сколь угодно большого числа про-
стых силлогизмов).
Если в силлогистической цепи каждому эписиллогизму
предшествует только один просиллогизм, заключение ко-
торого становится его большей или меньшей посылкой,
то такую цепь будем называть линейной. Именно такого
рода цепи рассматривались в традиционной формальной
логике. Об этом свидетельствует хотя бы принятое в ней
деление полисиллогизмов на прогрессивные и регрессивные)
вообще говоря, имеющее смысл лишь по отношению к ли-
нейным цепям. Итак, в зависимости от того, становится ли
заключение просиллогизма большей или же меньшей
посылкой эписиллогизма, соответственно различают про-
грессивную и регрессивную связь силлогизмов в цепи.
Если в силлогистических цепях все просиллогизмы и
эписиллогизмы связаны между собой однородным образом
либо прогрессивно, либо регрессивно, то такие цепи на-
зовем чистыми. Если же в цепях имеют место как прогрес-
сивная, так и регрессивная связи просиллогизмов и эпи-
107
Силлогизмов, то такие цепи будем называть смешанными.
Задача дальнейшей классификации силлогистических
цепей определяется тем обстоятельством, что цепи могут
строиться из силлогизмов различных фигур и модусов.
В связи с этим нами вводится еще одно понятие — об одно-
родности цепей силлогизмов. При этом совершенно одно-
родной называется цепь, состоящая из силлогизмов одной
и той же фигуры и одного и того же модуса. Частично
однородной, или однородной по фигуре своих звеньев,
называется цепь, состоящая из силлогизмов одной и той же
фигуры. Наконец, неоднородной называется такая цепь,
в которой встречаются силлогизмы разных фигур.
Вместе с тем линейные цепи не исчерпывают собой всех
видов силлогистических цепей. Более того, они сами могут
рассматриваться как части более сложных каскадных
цепей. В каскадных цепях эцисиллогизмам предшествуют
два просиллогизма. Если в каскадной цепи с каждым но-
вым шагом (шагом цепи мы называем переход от эписил-
логизма к просиллогизмам) число силлогизмов растет
по формуле 2т,. где т — номер шага, то такую каскадную
цепь будем называть полной. По этой же формуле подсчи-
тывается и общее число линейных цепей, в совокупности
образующих полную каскадную цепь.
Линейные цепи силлогизмов
А. Совершенно однородные чистые
цепи. Из определений прогрессивности и совершенной
однородности цепи можно заключить, что правильные
совершенно однородные чистопрогрессивные цепи силло-
гизмов могут строиться лишь из тех модусов каждой из
четырех фигур, у которых большая посылка и заключение
суть высказывания, тождественные по своему количеству
и качеству. Таковыми являются модусы ААА и ЕАЕ
первой фигуры, модус ЕАЕ второй фигуры, модусы IAI
и ОАО третьей фигуры и модус IAI четвертой фигуры.
Из определений же регрессивности и совершенной од-
нородности цепи следует, что правильные совершенно од-
нородные чисторегрессивные цепи силлогизмов могут
строиться лишь из тех модусов каждой из четырех фигур,
у которых меньшая посылка и заключение суть высказы-
вания, тождественные по своему количеству и качеству.
Таковыми являются модусы ААА и АН первой фигуры,
108
кодусЬ! АЕЕ и АОО второй фигуры, модус АII третьей
фигуры и модус АЕЕ четвертой фигуры.
Итак, насчитывается всего 12 возможных видов совер-
шенно однородных чистых цепей силлогизмов — 6 чисто-
прогрессивных и 6 чисторегрессивных.
Б. Частично однородные чистые це-
п и. Для всех частично однородных чистых цепей силло-
гизмов с числом звеньев п можно доказать следующую
теорему:
Все правильные частично однородные чистые цепи силло-
гизмов с числом звеньев п в структурном отношении пред-
ставляют собой цепи, которые во всяком случае от второго
до п — 1 звена включительно суть совершенно однородные
чистые цепи.
Не давая целиком доказательства этого утверждения,
изложим лишь его идею. Все частично однородные чистые
цепи разбиваются на три группы. В первую группу отно-
сят те цепи, в которых все составляющие их модусы той
или иной фигуры встречаются только по одному разу.
Во вторую группу относят те цепи, в которых хотя бы
один из составляющих их модусов встречается не один
раз, однако таким образом, что одинаковые модусы непо-
средственно друг за другом не следуют. Наконец, в третью
входят те цепи, в которых все повторяющиеся модусы
непосредственно следуют друг за другом. Этими тремя
группами, очевидно, и исчерпываются все силлогистиче-
ские цепи этого вида.
Все возможные правильные как чистопрогрессивные,
так и чисторегрессивные цепи первой группы можно без
труда перебрать, так как каждая фигура имеет ограничен-
ное число модусов (не более шести). Правильных частич-
но однородных цепей, которые могли бы составить вто-
рую группу, не существует. Это нетрудно доказать от
противного, показав, что ни один из 19 модусов силлоги-
стики повториться в такой цепи не может. Наконец, от-
носительно правильных цепей третьей группы следует
прежде всего сказать, что в них могут повторяться лишь
те модусы, которые способны образовывать совершенно
однородные чистые цепи.
Если же во всех правильных цепях этой группы одина-
крвые модусы «склеить» в один модус (иными словами, рас-
сматривать отрезки цепи, представляющие собой совер-
шенно однородные полисиллогизмы, как один модус), то,
109
очевидно, мы получим некоторые из цепей первой группы.
И, наоборот, все правильные цепи третьей группы можно
получить из цепей первой группы, если «вытягивать» со-
вершенно однородные цепочки из тех модусов в составе
правильных полисиллогизмов первой группы, которые
такие цепочки способны образовывать.
Обозревая дальше все возможные правильные цепи
первой группы, мы и приходим к тому общему утвержде-
нию, которое сформулировано в теореме. Заметим вместе
с тем, что это утверждение теряет свой общий характер,
как только мы исходим из учета не 19, а 24 законных моду-
сов силлогистики и связанных с этим обстоятельством
дополнительных частично однородных цепей.
В. Неоднородные чистые цепи. Прежде
всего в множестве неоднородных чистых цепей выделим
группу цепей, все звенья которых есть силлогизмы, тож-
дественные по количеству и качеству своих посылок и
заключений. Назовем такие цепи аналогичными. Пра-
вильные аналогичные цепи могут строиться, во-пер-
вых, из модусов, способных образовывать совершенно
однородные цепи, и, во-вторых, из модусов, принадле-
жащих к различным фигурам силлогизма, но тождествен-
ных по количеству и качеству своих посылок и заклю-
чений.
Этим двум требованиям удовлетворяют следующие мо-
дусы: ЕАЕ первой и второй фигур, АП первой и третьей
фигур, АЕЕ второй и четвертой фигур, IAI третьей и чет-
вертой фигур. При этом чистопрогрессивные аналогичные
цепи могут строиться из модусов ЕАЕ первой и второй
фигур иди IAI третьей и четвертой фигур, а чисторегрес-
сивные аналогичные цепи — из модусов АП первой и
третьей фигур или АЕЕ второй и четвертой фигур.
Относительно неоднородных чистых цепей очевидны
следующие утверждения:
1. Если в правильной неоднородной чистой цепи име-
ется звено, представляющее из себя силлогизм с общеут-
вердительным заключением, то вся предшествующая этому
звену часть цепи (включая и это звено) есть совершенно
однородная чистая цепь, построенная из модусов ААА
первой фигуры.
2. Если в правильной неоднородной чистой цепи имеет-
ся звено, представляющее из себя силлогизм с частноотри-
цательным заключением, то вся последующая за этим зве-
но
ном часть цепи может быть лишь совершенно однородной
чистой цепью, построенной из модусов ОАО третьей фигу-
ры, при условии, что цепь чистопрогрессивная, или из
модусов АОО второй фигуры, при условии, что цепь
чисторегрессивная.
3. Если в правильной неоднородной чистой цепи имеет-
ся звено, представляющее из себя силлогизме общеотри-
цательным заключением, и цепь чисторегрессивная, то
вся последующая за этим звеном часть цепи является или
совершенно однородной или аналогичной и построенной
из модусов АЕЕ второй или четвертой фигур.
4. Если в правильной неоднородной чистой цепи имеет-
ся звено, представляющее из себя силлогизм с частно-
утвердительным заключением, и цепь чистопрогрессивна,
то вся последующая за этим звеном часть цепи является
или совершенно однородной или аналогичной и построен-
ной из модусов IAI третьей или четвертой фигур.
Относительно правила (3), однако, надо заметить, что
оно теряет свой общий характер, если учитывать все воз-
можные неоднородные чистые цепи силлогизмов, состав-
ляемые исходя не из 19, а из 24 законных модусов.
Г. Совершенно однородные смешан-
ные цепи. Из определений прогрессивности, регрес-
сивности и совершенной однородности цепей можно за-
ключить, что правильные совершенно однородные смешан-
ные цепи силлогизмов могут строиться лишь из модусов,
у которых обе посылки и заключение суть высказывания,
тождественные по своему количеству и качеству. Но тако-
вым является единственно модус ААА первой фигуры.
Таким образом, совершенно однородная смешанная цепь
силлогизмов может строиться только из модусов ААА
первой фигуры.
Д. Неоднородные смешанные цепи.
Относительно неоднородных смешанных цепей очевидны
следующие утверждения:
1. Если в правильной неоднородной смешанной цепи
имеется звено, представляющее из себя силлогизм с обще-
утвердительным заключением, то вся предшествующая
этому звену часть цепи (включая и это звено) есть чистая
или смешанная совершенно однородная цепь, построенная
из модусов ААА первой фигуры.
2. Если в правильной неоднородной смешанной цепи
имеется звено, представляющее из себя силлогизм с отри-
111
цательным заключением, то и все последующие звенья
цепи будут иметь отрицательные заключения.
3. Если в правильной неоднородной смешанной цепи
имеется звено, представляющее из себя силлогизм с част-
ным заключением, то и все последующие звенья цепи будут
иметь частные заключения.
Из последних двух утверждений следует еще одно:
4. Если в правильной неоднородной смешанной цепи
имеется звено, представляющее из себя силлогизм с частно-
отрицательным заключением, то и все последующие звенья
цепи будут иметь частноотрицательные заключения.
Так как чистопрогрессивные и чисторегрессивные
цепи силлогизмов являются предельными случаями в мно-
жестве всех существующих линейных цепей, иными сло-
вами, являются в некотором смысле частными случаями
смешанных линейных цепей, то свойства, присущие неод-
нородным смешанным цепям, присущи и неоднородным
чистым цепям, хотя последние в то же время обладают и
своими специфическими особенностями. В этом нетрудно
убедиться, если сравнить между собой только что отме-
ченные свойства неоднородных смешанных цепей с изло-
женными выше свойствами неоднородных чистых цепей
силлогизмов.
Каскадные цепи силлогизмов
Относительно полных каскадных цепей нетрудно дока-
зать следующую теорему:
Во всякой полной каскадной цепи имеется чистопро-
грессивная линейная цепь, притом только одна.
Действительно, так как в полной каскадной цепи все
эписиллогизмы имеют по два просиллогизма, заключения
которых становятся соответственно их большими и мень-
шими посылками, то в полной каскадной цепи всегда
можно вычленить такую последовательность силлогизмов,
в которой заключение каждого предшествующего силло-
гизма служит большой посылкой последующего силло-
гизма. Иными словами, в такой каскадной цепи можно
вычленить чистопрогрессивную линейную цепь. И притом
только одну, ибо в каскадной цепи все составляющие ее
линейные цепи в конце концов сходятся в одном звене.
Поэтому, если мы предположим существование в кас-
кадной цепи хотя бы двух чистопрогрессивных линейных
ИЗ
цепей, то должны будем прийти к выводу о наличии в такой
каскадной цепи силлогизма с двумя большими посылками,
что, очевидно, невозможно. По той же причине невозмож-
но существование в каскадной цепи и более двух чисто-
прогрессивных линейных цепей силлогизмов.
Аналогичным же образом доказывается теорема о том,
что во всякой полной каскадной цепи имеется чисторегрес-
сивная линейная цепь, притом только одна.
Ниже мы перейдем к рассмотрению видов каскадных
цепей силлогизмов, образованных по признаку количества
и качества тех высказываний, которые составляют послед-
нее заключение в таких цепях.
А. Каскадные цепи с общеутверди-
тельным заключением. Если правильная
полная каскадная цепь имеет общеутвердительное заклю-
чение, то все линейные цепи, составляющие эту каскад-
ную цепь, суть совершенно однородные цепи, построенные
из модусов ААА первой фигуры. Действительно, так как
общеутвердительное заключение может следовать лишь
из двух общеутвердительных посылок, а последние в ка-
честве заключений, в свою очередь, предполагают две
общеутвердительные посылки и т. д., то все силлогизмы
в такой полной каскадной цепи являются модусами ААА
первой фигуры.
Б. Каскадные цепи с общеотрица^
тельным заключением. Так как общеотрица-
тельное заключение всегда имеет место в силлогизмах
с одной общеотрицательной и одной общеутвердительной
посылками (модусы ЕАЕ и АЕЕ первой, второй и четвер-
той фигур), то в такой правильной каскадной цепи на
каждом шагу обязательно имеет место силлогизм с обще-
отрицательным заключением, притом только один. Все
прочие силлогизмы на заданном шаге (в количестве
2т — 1, где т — номер шага) представляют из себя моду-
сы ААА первой фигуры.
Отсюда нетрудно определить, что в такой правильной
каскадной цепи общее количество совершенно однород-
ных линейных цепей, построенных из модусов ААА пер-
вой фигуры, в отсчете от последнего шага цепи соответ-
ственно до 1, 2, 3, 4, ..., т шага прогрессивно растет и
составляет в отношении ко всему числу линейных цепей
13 7 15 2т — 1
соответвенно у, у, у, 2т часть.
113
2 т_7
Таким образом, по формуле 2т можно подсчи-
тать ту долю, которую занимают в общем количестве ли-
нейных цепей совершенно однородные линейные цепи,
построенные из модусов ААА первой фигуры, если иметь
в виду все те линейные цепи, которые составляют данную
каскадную цепь, начиная от последнего шага цепи до т
шага включительно.
В. Каскадные цепи с частноутверди-
тельным заключением. Частноутвердитель-
ное заключение может следовать в силлогизмах как из
двух общеутвердительных посылок (модусы AAI тре-
тьей и четвертой фигур), так и из одной общеутвердитель-
ной и одной частноутвердительной посылок (модусы АП
и IAI первой, третьей и четвертой фигур). Поэтому в раз-
личных правильных полных каскадных цепях, вообще
говоря, может быть различное число силлогизмов с частно-
утвердительными заключениями, однако не менее одного
и не более чем по одному такому силлогизму на каждом
шагу каскадной цепи.
Соответственно этому может быть различно в таких
каскадных цепях и общее число совершенно однородных
линейных цепей, построенных из модусов ААА первой
фигуры. В отсчете от последнего шага каскадной цепи
соответственно до 7, 2, 3, 4, ..., т шага их доля по отно-
шению ко всему количеству линейных цепей максимально
2*п_____________________________7
будет равна I, а минимально ——, если иметь в виду
все те линейные цепи, которые составляют данную кас-
кадную цепь, начиная от последнего шага до т шага вклю-
чительно.
Г. Каскадные цепи с частноотри-
цательным заключением. Частноотрица-
тельное заключение имеет место в силлогизмах со следую-
щими сочетаниями посылок: EAO, АОО, ОАО, ЕЮ.
Поэтому в различных правильных полных каскадных
цепях, вообще говоря, может быть различное число силло-
гизмов с частноотрицательными, общеотрицательными и
общеутвердительными заключениями. В соответствии
с этим может быть различно в таких каскадных цепях и
общее число совершенно однородных линейных цепей,
построенных из модусов ААА первой фигуры. В отсчете
от последнего шага каскадной цепи соответственно до
114
7, 2, 5, 4, ..., т шага йх доля Но отношений) ко всему колв^
честву линейных цепей максимально будет равна —,
2гп_______________2
а минимально —, если иметь в виду все те линей-
ные цепи, которые составляют данную каскадную цепь,
начиная от ее последнего шага до т шага включительно.
Сложные силлогизмы
В случае, когда в силлогистической цепи опускаются
все заключения составляющих эту цепь простых силлогиз-
мов, кроме последнего, цепь в целом может рассматривать-
ся как некоторый сложный силлогизм (или сорит, как его
называли в традиционной логике). В этом случае мы
имеем силлогизм с n-терминами, состоящий из п-высказы-
ваний, причем каждая пара последовательных высказы-
ваний имеет общий термин. Одно из высказываний явля-
ется заключением, остальные (п — 1) — посылками.
Если в качестве первой посылки.выбрать высказывание
с предикатом заключения, то схему гг-силлогизма можно
представить в следующей форме:
- Р,
^^п—2
S - мг
S — Р ‘
Используя тот же принцип, что и принятый в тради-
ционной аристотелевской силлогистике, все множество
сложных силлогизмов можно разбить по различным фигу-
рам. Так как каждая посылка содержит по два термина,
то разнообразных способов расположения п-терминов
в п — 1 посылках будет 2п~\ Этим и определяется общее
число фигур сложного силлогизма, состоящего из п тер-
минов.
Однако в общем случае далеко не все фигуры будут
иметь правильные модусы. Исследования показали, что
для большого числа п число фигур с правильными моду-
сами сравнительно невелико против числа всех фигур.
Ирландским логиком К. А. Мередитом найдены общие
формулы, касающиеся числа фигур с правильными моду-
115
ёамй й чисйа йравйльных модусов для силлогизмов из й
терминов. Они приводятся в нижеследующей таблице:
Число терхминов....................
Число посылок......................
Число фигур........................
Число фигур с правильными модусами .
п
п— 1
......2й'1
hn2_n + 2)
Число правильных модусов..........................п (Зп — 1)
При этом для каждого п 1 всякая непустая фигура
(т. е. фигура, имеющая правильные модусы) имеет 6 пра-
вильных модусов, за исключением одной, которая имеет
2п правильных модусов. Например, для п = 1 имеется
только одна фигура с двумя правильными модусами —
законами тождества Ааа и laa. Число посылок здесь рав-
но нулю, так как единственное силлогистическое предло-
жение выступает в качестве заключения. Для п = 2 име-
ется всего одна посылка, из которой следует заключение,
две фигуры (обе непустые) и десять правильных модусов.
Они охватывают силлогистические законы обращения,
подчинения и различные подстановки в закон тождества
исчисления высказываний X -> X. Для п = 3 имеем
традиционный аристотелевский силлогизм с заключением,
вытекающим из двух посылок, четыре фигуры (все четыре
непустые) и 24 правильных модуса. Для п — 4 имеем про-
стейший сложный силлогизм с заключением, следующим
из трех посылок, восемь фигур (одна из них пустая) и
сорок четыре правильных модуса.
Используя приведенные формулы Мередита, можно
легко обнаружить, как, начиная с некоторого п, резко
возрастает число пустых фигур по сравнению с числом
фигур, имеющих правильные модусы.
Вообще говоря, предполагая знание условий правиль-
ности простого классического силлогизма с 3 терминами,
всегда можно решить, правилен ли данный сложный сил-
логизм с п терминами. Для этого выводится заключение
из первых двух посылок, из этого заключения, рассмат-
риваемого уже как посылка, и из третьей посылки снова
делается заключение и т. д.; если из последнего получен-
ного таким образом заключения следует заключение
n-силлогизма, то модус сложного силлогизма правилен.
Используя этот тривиальный способ проверки, польский
логик К. Глазовская сформулировала следующие общие
свойства правильных модусов сложного силлогизма:
116
1. Первые две Посылки являются любой парой выска-
зываний, образующей правильный модус простого трех-
терминного силлогизма.
2. Все посылки, начиная с третьей, являются утвер-
дительными.
3. Качество всех заключений — такое же, как и каче-
ство заключения, сделанного на основании двух первых
посылок.
4. Если Л-ая посылка (для к > 2) является частным
высказыванием, то все дальнейшие посылки являются об-
щими высказываниями, а заключение — частным.
5. Если заключение общее, то все посылки являются
общими высказываниями.
Нетрудно усмотреть тесную связь некоторых указанных
К. Гл азовской свойств правильных модусов сложного
силлогизма с рассмотренными нами в этом же параграфе
общими свойствами цепей силлогизмов.
§ 19. Замечания о семантическом аспекте
силлогистики
Естественной интерпретацией формальной силлогисти-
ческой системы CS является ее логическая интерпретация,
при которой переменные термины силлогистики прини-
мают значение объемов понятий — множеств объектов,
охватываемых данным понятием в том смысле, что рассма-
триваемое как предикат понятие только этим объектам
соотносит значение «истинно», а функторы Л, Е, /, О
истолковываются как определенные бинарные отношения
между этими объектами.
В такой интерпретации выражение Aab истинно тогда
и только тогда, когда весь объем понятия а целиком содер-
жится в объеме понятия Ь. Если это условие не выполня-
ется, выражение Aab ложно и истинно его отрицание,
т. е. ОаЬ. Выражение lab истинно тогда и только тогда,
когда хотя бы часть объема понятия а содержится в объеме
понятия Ь. Если это условие не выполняется, выражение
lab ложно и истинно его отрицание, т. е. Eab.
Наглядно эти соотношения изображаются широко
принятыми в традиционной формальной логике графиче-
скими схемами — кругами Эйлера. Объемы понятий изоб-
ражаются здесь кругами, а их отношения — как включе-
ние круга в круг (Л), исключение кругов друг из друга
117
(£), как их частичное совпадение (/) или же несовпадений
(О) (рис. 1).
Рис. 1
На круговых схемах легко обнаруживается различие
между законными и незаконными формами силлогистиче-
ских предложений (выводов). В первом случае соотноше-
ние объемов понятий, зафиксированное в посылках, одно-
значно определяет отношение объемов понятий в заключе-
нии (рис. 2). В незаконных же формах последнее отношение
определяется неоднозначно, так что остается открытой
возможность замены данного заключения высказыва-
нием, ему противоречащим, без того чтобы при этом воз-
никло противоречие с исходными посылками (рис. 3).
АаЪ&, Abc+Aac Aab&Acb-*~(AacvOac)v (Еас vlac)
Рис. 2 Рис. 3
Возможность построения такой круговой схемы, в ко-
торой выполнялись бы все посылки данной силлогистиче-
ской конструкции, но не выполнялось бы ее заключение,
выступает, таким образом, одним из способов семантиче-
ского доказательства незаконности этой конструкции.
Впрочем, к этому способу мы уже прибегали при доказа-
тельстве неполноты системы CS.
С другой стороны, будучи изоморфны объемным отно-
шениям понятий, круги Эйлера сами выступают как само-
стоятельные топологические модели силлогистики. При
этом, однако, следует помнить, что в устойчивом графиче-
118
ском начертании достаточно точно передаются лишь от-
ношения А и Е; при изображении же отношений / и О’
остается неуловимым тот смысл этих функторов, который
содержит модальность: «Некоторое, а может быть, и
всякое S есть (не есть) Р». Впрочем, этот смысл может
быть выражен, если пересекающиеся круговые схемы
считать подвижными; в случае I — как такое пересече-
ние двух кругов, которое предполагает возможность пол-
ного вхождения одного круга в другой; в случае же О —
как такое их пересечение, которое предполагает возмож-
ность их полного исключения друг из друга.
Вместе с тем еще Лейбницем была предложена ориги-
нальная арифметическая интерпретация силлогистики.,
В этой интерпретации переменным терминам силлогистики,
ставят в соответствие упорядоченные пары взаимно про-
стых натуральных чисел (т. е. таких чисел, которые не*
имеют других общих делителей, кроме 1). Например,,
переменному термину а пусть соответствуют два взаимно»
простых числа аг и а2, переменному термину Ь соответ-
ствуют два других взаимно простых числа Ьг и Ь2. В такому
случае посылка Aab истинна тогда и только тогда, когда*
ах делимо на Ьг и а2 делимо на Ь2. Если хотя бы одно из*
этих условий не удовлетворяется, Aab ложно и истинно
его отрицание, т. е. ОаЬ. Посылка lab истинна тогда и<
только тогда, когда и &2 взаимно просты и а2 и Ьг также-
взаимно просты. Если хотя бы одно из этих условий не-
удовлетворяется, lab ложно и истинно его отрицание,
т. е. Eab.
Можно показать, что в такой арифметической интер-
претации выполняются как все аксиомы системы силлоги-
стики I—IV, так и все выводимые из них положения и не
выполняются выражения, являющиеся невыводимыми
формулами силлогистики. Покажем это для аксиом I—IV.
Выполнимость Ааа и 1аа непосредственно очевидна. Ак-
сиома АЬс &. АаЪАас выполняется в такой арифмети-
ческой интерпретации, ё силу транзитивности отношения
делимости. Аксиома Abe & Iba -> lac также выполнима,
ибо если Ъг делимо на и Ъ2 делимо на с2, а и а2, так же
как &2 и взаимно просты, то а2 и с19 так же как аг и,с2,
должны быть взаимно просты. В противном случае bt
и а2 или Ь2 и аг будут иметь общий делитель, больший, чем I,
что противоречит условию взаимной простоты этих пар
чисел.
119
Арифметическая модель, составленная из пар взаимно
простых натуральных чисел, является вполне адекват-
ной, точной интерпретацией силлогистики и вместе с тем
она есть явно нелогическая ее модель.
Мы сталкиваемся, таким образом, с фактом существо-
вания адекватной нелогической интерпретации для сис-
темы CS. Сам по себе этот факт у знакомых с современ-
ной математической логикой вряд ли может вызвать удив-
ление.
Ведь, например, и классическое исчисление высказыва-
ний может быть с успехом проинтерпретировано на системе
элементов нелогической природы — на электронных или
же релейно-контактных схемах и быть использовано как
научный аппарат для исследования (анализа, синтеза,
упрощения) таких схем. Правда, некоторые на этом осно-
вании даже защищают взгляд о якобы нелогическом ха-
рактере современной символической логики. Так как ее
формальный аппарат может быть применен к описанию
содержательных объектов самой различной природы,
рассуждают они, то мы имеем дело вовсе не с логикой,
а с математикой. Исходя из некоторых верных положе-
ний, они приходят к неправильному выводу.
Математическая или символическая логика является
по своему предмету логикой, а по методу — математикой.
Естественно, что этот метод (который в математической
логике составляют, в частности, различные виды алгебр)
может найти свое приложение в самых различных сферах
действительности. В современном логическом исследова-
нии фактически приходится иметь дело с таким уровнем
математической абстракции, которая охватывает струк-
туры по природе самых различных отношений, в том числе
и нелогических.
При этом, конечно, нельзя избежать настойчиво воз-
никающего вопроса — что же такое логическое, собствен-
но, какого рода отношения следует называть логическими,
а какого рода — внелогическими? Является ли логической
системой формализм, рассматриваемый в единстве с его
определенной содержательной интерпретацией, но тогда
чем по характеру является синтаксическая структура
формализма? Или же логической системой можно назвать
формализм сам по себе в его синтаксическом содержании,
но тогда не слишком ли широко мы истолковываем поня-
тие «логическое»?
120
На наш взгляд, было бы правильно склониться к пер-
вой из этих альтернатив, и я склонен усматривать в чистом
синтаксисе лишь математический скелет системы. К неко-
торым логическим объектам математические методы, по-
видимому, применимы так же успешно, как и к объектам
иной, физической Природы. Сейчас, когда на повестку
дня технического развития во всей ее широте и сложности
выдвигается задача машинного моделирования человече-
ской интеллектуальной деятельности, утверждение, что
метод логики не может быть математическим и что, коль
скоро теория имеет характер исчисления, она не мо-
жет являться логической теорией, как это мы читаем,
например, в книге Л. П. Гокиели «О природе логическо-
го», звучит слишком уж одиозно. Ведь могут же одни
и те же дифференциальные уравнения выражать различ-
ные по характеру процессы. И на этом основании, по край-
ней мере в наше время, никто серьезно не отрицает за ними
значимости уравнений теоретической физики и тем более
не сомневается в возможности и целесообразности самого
математического подхода к физическим явлениям. Почему
же подобные выводы можно делать относительно логики?
Из факта множественности интерпретаций формально
логических систем, включающей существование и нелоги-
ческих интерпретаций, следует делать вывод не о том,
что математическая логика якобы вовсе не есть логика,
а вывод о том, что где-то в своей формальной структуре
логические законы изоморфны вещественным отношениям
материального мира. Кстати, этот вывод не нов. Он давно
сделан в философии и является одним из основных прин-
ципов диалектико-материалистического понимания мыш-
ления.
В «Философских тетрадях» В. И. Ленин неоднократно
отмечал, что логические фигуры отображают самые обыч-
ные отношения вещей. А Ф. Энгельс подчеркивал, что над
всем нашим теоретическим мышлением господствует с аб-
солютной силой тот факт, что наше субъективное мышле-
ние и объективный мир подчинены одним и тем же законам
и что поэтому они не могут противоречить друг другу
в своих результатах, а должны согласовываться между
собой. «Факт этот является бессознательной и безусловной
предпосылкой нашего теоретического мышления»,— пи-
сал Ф. Энгельс в «Диалектике природы».
121
§ 20. Диаграммы Венна
В предыдущем параграфе отмечались недостатки топо-
логической интерпретации силлогистики на круговых
схемах Эйлера. Значительно лучшими оказываются гео-
метрические модели силлогистики, строящиеся с помощью
диаграмм Венна. Их идею составляет разделение всего
объема рассматриваемых объектов на площади, охваты-
вающие все возможности включения или не включения
данного объекта в тот или иной из силлогистических тер-
минов. (Для п терминов составляется чертеж, разделяю-
щий всю область рассматриваемых объектов на 2п полей.)
С помощью метода диаграмм Венна можно эффективно
решать различные задачи силлогистики — определять,
законны ли те или иные модусы силлогизма или иные ло-
гические схемы традиционной формальной логики.
а) Доказательство законности модуса АаЪ&АЪс-*-
-> А ас. Чертим три пересекающиеся окружности — а,
с, представляющие соответственно объемы терминов
а, &, с.
Этот чертеж образует 23 = 8 площадей. Поле 1 пред-
ставляет класс предметов, являющихся одновременно а,
b и с, поле 2 — являющихся а и Ь, но не являющихся с,
поле 3 — являющихся а и с, но не являющихся й, поле
4 — являющихся только а, и т. д. Посылки этого модуса
мы выражаем следующим образом: АаЪ означает, что нет
предметов, являющихся а, но не являющихся Ь, или что
поля 4 и 3 пусты; АЪс означает что нет предметов, являю-
щихся Ь, но не являющихся с, или что поля 2 и 6 пусты.
Пустые поля заштриховываются. Заштриховка какого-
нибудь^ поля обозначает, что класс, соответствующий
этому полю, пуст.
122
Но тогда оказываются заштрихованными и поля 4 и 2,
как раз означающие, что нет предметов, являющихся а,
но не являющихся с, т. е. заключение Аас естественно сле-
дует из принятых посылок АаЪ и АЪс.\
б) Доказательство законности модуса Aba & Ibc lac.
Посылки этого модуса выражаются следующим обра-
зом: АЪа — соответствующей штриховкой полей 6 и 5;
Ibc мы выражаем посредством черты, проходящей через
поля 1 и 5. Такая черта означает, что, по крайней мере,
один из классов, соответствующих этим двум полям', не-
пустой. Вообще черта, проведенная в пределах диаграммы,
означает, что, по крайней мере, один из классов, соответ-
ствующих тем полям диаграммы, по которым она прохо-
дит, непустой.
Но тогда обнаруживается непустота поля 7, как раз озна-
чающая, что пересечение а и с непусто, т. е. заключение
lac естественно следует из посылок АЪа и Ibc.
123
в) Доказательство незаконности модуса АаЬ & ОсЬ ->
Оас
Эта диаграмма указывает, что принятие, посыл ок дан-
ного модуса не исключает возможности того, что соответ-
ствующий полю 2 класс будет пуст, а это (при известной
нам на основании посылок) пустоте класса 4 делает заклю-
чение Оас незаконным, т. е. заключение Оас не следует
из посылок АаЬ и ОсЬ.
Очевидно, что техника диаграмм Венна исходит из эк-
зистенциального понимания высказываний типа АаЬ,
Eab, lab, ОаЬ. Действительно, утверждая АаЬ, мы тем
самым признаем, что нет объектов, являющихся а, но не
являющихся Ь; утверждая ЕаЪ, мы признаем, что нет объ-
ектов, являющихся одновременно как а, так и Ь; утвер-
ждая lab, мы признаем существование объектов, являю-
щихся как а, так и Ь; наконец, утверждая ОаЬ, мы при-
знаем, что существуют объекты а, не являющиеся Ь. И, та-
ким образом, эта техника оказывается соответствующей
фундаментальной предпосылке аристотелевской логики.
Диаграммы Венна — удобное средство исследования
(определения законности или же незаконности) логических
форм силлогистики, состоящих не более чем из трех тер-
минов. Однако, уже имея схемы вывода с четырьмя раз-
личными терминами, мы сталкиваемся с невозможностью
построить четвертый круг, который бы пересекался со все-
ми полями, образующимися при пересечении друг с дру-
гом трех кругов. В этом случае круги, правда, можно за-
менить эллипсами, однако при пяти терминах нас ожидает
новая трудность и необходимость нового решения.
Между тем различные логические конструкции силло-
гистики (как законные, так и незаконные) могут строиться
из произвольного конечного числа терминов, и важно,
хотя бы в принципе, иметь осуществимую геометрическую
модель, пригодную для решения задачи разрешимости
124
для таких конструкций. Для этого прибегают к прямо-
угольным диаграммам. Так, для случая обыкновенного
силлогизма (состоящего из трех терминов) диаграмма
будет выглядеть следующим образом:
Вертикальные прямоугольники 1,2,3,..., <9прямоуголь-
ной диаграммы соответствуют полям 1,2, 5, ..., 8 круговой
диаграммы. Проведенные на диаграмме горизонтальные
линии соответственно на уровнях а, b и с показывают, из
суммы каких классов (полей) состоят классы — объемы
терминов а, Ь и с: а — из суммы 1—4, b — из суммы
1—2 и 5—6, с — из суммы 1, 3, 5, 7. Эти же горизонтальные
линии показывают, из объектов каких классов-тер-
минов состоят классы-поля, обозначаемые вертикальны-
ми прямоугольниками 1, 2, 3, ..., S. Так, прямоуголь-
ник 1 представляет класс тех предметов, которые будут
одновременно а, Ъ и с (и соответствует тому же классу,
что и поле 1 круговой диаграммы). Прямоугольник 2
(как и поле 2' круговой диаграммы) представляет класс
тех предметов, которые будут одновременно а и Ъ, но не
есть с, и т. д.
Пустота какого-либо класса выражается на этой диа-
грамме штриховкой соответствующего вертикального
прямоугольника. Чтобы выразить, что, по крайней мере,
один из нескольких данных классов не пуст, мы пользу-
емся пучком стрелок, направленных к соответствующим
этим классам вертикальным прямоугольникам.
По тем же принципам строятся прямоугольные диа-
граммы для любого конечного числа терминов. Число
вертикальных прямоугольников в такой диаграмме (как
и число полей в круговых диаграммах) исчисляется чис-
лом 2п, где п — число терминов в исследуемой силлоги-
стической конструкции. Например, следующее силлоги-
стическое выражение, состоящее из четырех терминов:
«Если всякое с есть а или Ъ и всякое а есть с или Ъ и неко-
125
торые de не есть а и некоторые da не есть 6, то некоторые £
есть а и. некоторые d есть Ь», выразится такой диаграммой:
Вообще говоря, диаграммы Венна имеют более широ-
кую область применения, чем силлогистика. Они могут
использоваться в классическом исчислении высказываний
и исчислении одноместных предикатов, например, для ре-
шения на них проблем разрешения и вывода логических
следствий из данных посылок (обзора всех простых логи-
ческих следствий). Вместе с тем диаграммы Венна являют-
ся только одним из примеров применения геометрических
представлений и средств в логике.
В качестве других примеров можно указать на исполь-
зование понятия единичного n-мерного куба для решения
ряда задач (в том числе задач сокращения и минимизации
дизъюнктивной нормальной формы) в логике высказыва-
ний (алгебре логики). А также геометрико-топологическую
интерпретацию классического исчисления предикатов
Куратовского и Тарского или же предложенную Расевой и
Мостовским интерпретацию интуиционистского исчисления
предикатов путем моделирования его выражений, вклю-
чающих п свободных переменных как функций, областью
определения которых являются абстрактные множества,
а значениями — открытые множества соответствующего
топологического пространства.
Вместе с тем, если дана какая-либо геометрическая
интерпретация логических выражений, то может быть
побтавлена задача найти ее аналитический эквивалент.
Такой аналитический эквивалент метода диаграмм Венна
в его применении к исследованию силлогизмов и некото-
рым другим логическим задачам был предложен польским
логиком С. Лущевска-Романовой в работе «Анализ и
обобщение метода проверки логических формул диаграм-
мами Венна».
Глава IV
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ТРАДИЦИОННОЙ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
§ 21. Частично упорядоченные множества
и полуструктуры
Определение 1. Частично упорядоченным на-
зывается такое множество Мп, в котором определено би-
нарное отношение > между его элементами, удовлетворя-
ющее следующим условиям для любых а, сЕ Мп:
Ох: а > а (рефлексивность),
О2: = b (антисимметричность),
О3: (транзитивность).
Замечания. Символ > может означать «содер-
жит», «включает», «больше или равно». Отношение а > Ь
записывают также в виде Ь а, что означает «содержит-
ся в», «включается в», «меньше или равно». Таким образом,
О4: а > 6 Ь а (по определению).
Индекс п означает порядок частично упорядоченного
множества Мп, т. е. число его элементов.
Если для какой-либо пары элементов a, i Е Мп имеет
место либо а > Ь, либо Ь > а, то такие элементы назы-
ваются сравнимыми в Мп. В противном случае они не-
сравнимы. Далеко не всякие два элемента в Мп должны
быть сравнимыми — собственно, поэтому и говорится
о «частичной» упорядоченности в Мп. Тривиальная частич-
ная упорядоченность множества Мп получается, если
а > 6 лишь при а = Ь. Отношение = для любых а, Ь, с
удовлетворяет следующим условиям:
Об: а = а (рефлексивность),
О6: а = b Ъ = а (симметричность),
О7: a = b& b = c-+a = c (транзитивность).
127
Посредством и = можно определить отношение
О8: а > Ь а Ъ & (а = Ь).
Отношение для любых а, Ь, с удовлетворяет следую-
щим условиям:
О9: ~"| (а > а) (иррефлексивность),
О10: cl > Ъ -> ~"| (Ъ > а) (асимметричность),
Оц: (транзитивность).
Символ > может означать «строго содержит», «строго вклю-
чает», «больше». Отношение а > Ь записывают также
в виде Ъ < а, что означает «строго содержится», «строго
включается», «меньше». Таким образом,
012 : а > Ь Ъ < а (по определению).
Из вышеуказанных соотношений нетрудно вывести
013: а^Ъ = а> Ь\/ а = Ь, а затем и
014:
Определение 2. Два частично упорядоченных
множества Мп и Мп называются изоморфными, если между
ними существует взаимно однозначное соответствие ф,
такое, что для любых элементов а, Ъ GE Мп и их образов
фа и фь в Мп имеет место
а > Ь ->q>o > фь
и
фа фь —>• d Ь.
Определение 3. Два частично упорядоченных
множества Мп и Мп называются антиизоморфными или
двойственными друг другу, если между ними существует
взаимно однозначное соответствие ф, такое, что для лю-
бых элементов а, Ъ е Мп и их образов фа и фь в Мп имеет
место
а > Ь фа < фь
и
Фа < фь > Ь.
Определение 4. Частично упорядоченное мно-
жество Мп называется полуструктурой, если оно удов-
128
летворяет следующему условию: для всякой пары элемен-
тов а, Ъ ЕЕ Мп существует такой элемент с = а • b или про-
изведение элементов а и Ь, что а > с и J > с; причем, если
некоторый элемент d также обладает свойствами а > d
и Ь > d, то с > d. Тем самым произведение произвольных
элементов а и Ъ определено однозначно.
Теорема 1. Если а > 6, то = Ь и обратно,
т. е. а Ъ эквивалентно а-Ъ = Ь.
Действительно, иза>Ьи&>йпо определению 4
следует а .6 6, что в совокупности с b а -Ь дает по
определению 1 а-b = Ь. Обратно, из a -b = b и а а *Ь
следует, что а > Ь. Эквивалентность тем самым доказана.
Определение 5. Множество Мп с одной опре-
деленной в нем бинарной операцией а-b тогда и только
тогда является полуструктурной, если эта операция
удовлетворяет следующим равенствам:
: а а = а (идемпотентность),
12 : а-Ъ = Ь*а (коммутативность),
13 : а • (Ъ-с) = {а -Ь) -с (ассоциативность).
Теорема 2. Определение 4 эквивалентно опреде-
лению 5.
Пусть Мп удовлетворяет определению 4 и пусть
а ЕЕ Мп. Тогда согласно От а > а и согласно теореме 1
а-а=а<, т. е. мы получили идемпотентность 1Р Нетрудно
также показать, что при этом условии выполняется и ком-
мутативность 12. Покажем теперь, что в Мп выполняется
ассоциативность 13.
Действительно, согласно определению 4 и 03 имеем:
а а -Ъ (а -Ь)-с
а (а -Ь) -с
Ъ > а *Ъ (а -Ь) -с
(а -Ь) -с
(а -Ь) -с
Ь > Ь -с
с > & -с
Ъ -с (а -Ь) -с
а^а-(Ь>с)
Ь -с > а* (Ъ *с)
а • (Ь -с) (а *Ь) -с
Аналогично доказывается, что (а -Ь) -с > а • (Ъ • с). Тог-
да, согласно О2 справедливо а-(Ъ - с) = (а •&) -с. Таким об-
разом, из определения 4 следует определение 5.
5 А. Л. Субботин
129
Для установления эквивалентности этих определений
надо еще показать, что из определения 5 следует опреде-
ление 4.
Пусть дано множество Мп с бинарной операцией, удо-
влетворяющей равенствам 1Х — 13 и теореме 7.
Во-первых, покажем, что в этом случае элементы Мп
частично у по ря дочены.
Действительно, из 1Х и теоремы 1 следует а > а (Ох).
Пусть имеет место а > Ь и Ь е, т. е. а -Ь = Ъ и
Ъ • с = с. В силу замены равным, 13 и О7 имеем а -с =
= а • (Ь • с) = (а • 6) • с = Ъ • с = с, т. е. а • с = с или
а с.
Таким образом, доказано, что
(О3). Пусть, наконец, имеется а>&и6>а, т. е. а-6 =
= Ь и Ъ-а =а. Тогда в силу О6, 12 и О7 имеем а=6 • а=
= а • Ъ = Ь, т. е. а =Ь. Таким образом, доказано,
что = Ь (О2).
Во-вторых, покажем, что множество Мп удовлетворяет
определению 4.
Согласно 13, 1х и замены равным имеем а • (а • Ъ) =
= (а • а) • • Ь, т. е. а • Ъ. С другой стороны,
согласно 12, 13, 1х и замены равным имеем Ъ • (а • &)=
= (а • Ъ) • b = а • (Ь • Ь) = а • Ь, т. е. Ь • Ь.
Если теперь вМп взят произвольный элемент d, такой,
что а > rf и 6 > rf, т. е. а • d = d п b • d =d, то соглас-
но 13 и замены равным (а • Ь) • d = а • (Ь • d) = а • d =
— d, т. е. а • Ъ d.
Таким образом, а -Ь есть произведение элементов а и Ъ
множества Мп в смысле определения 4.
Эквивалентность определений 4 и 5 полуструктуры
тем самым доказана.
Определение 6. Если в полуструктуре Мп со-
держится элемент о, такой, что для любого a GE Мп имеет
место а > о, т. е. а -о = о, то мы имеем полуструктуру
с нулем.
Теорема 3. Нуль в полуструктуре Мп единствен.
Действительно, пусть их было бы два: о' и о". Тогда
по определению 6 мы имели бы как о' о", так и о" о',
т. е. о' = о".
Определение 7. Дополнением к произвольному
элементу а полуструктуры Мп назовем элемент полуструк*
130
туры а, такой, что а -а = о и для всякого Ъ ЕЕ Afn, если
а- Ь = о, то а Ъ. Мп есть полуструктура с дополнения-
ми, если ее элементы обладают дополнениями.
Т е о р е м а 4. Дополнение а к соответствующему
элементу а полуструктуры Мп единственно.
Действительно, пусть имелось бы два таких дополне-
ния а' и а". Тогда согласно определению 7 имело бы место
а • а' = о и а • а" = о и как а' а", так и а" > а', т. е.
a' ==а".
Т е о р е м a 5. Если в полуструктуре с о и а, Ь, а ЕЕ:
ЕЕ Мп имеет место, что а т. е. а • Ъ = Ъ, то а • Ъ = о.
Действительно, согласно определениям 5, 6 и 7
имеем
а . b =а • (а • Ь) = (а • а) • Ъ = о • Ь =Ъ • о = о
или в более общем виде:
Теорема 6. Если в полуструктуре с о и а, b, с ЕЕ
ЕЕ Мп имеет место, что Ь > с, т. е. & • с = с и а • Ь =о,
то а • с = о.
Действительно, согласно определениям 5 и 6 имеем
а • с =а • (Ъ * с) = (а • Ь) • с = о • с = с • о = о.
§ 22. Строение понятия, виды понятий
и отношения меящу понятиями
Если мы примем определение понятия как мысли о том
или ином классе предметов в совокупности их общих и
существенных свойств, то сможем в нем выделить два ос-
новных аспекта — «содержание» и «объем». Содержание
понятия — это та совокупность свойств предметов, которая
мыслится в понятии. Объем понятия — это то множество
или класс предметов, которые охватываются понятием.
Таким образом, при определении понятия, так же как
и при различении его двух основных аспектов, мы вынуж-
дены опираться на представления о «свойствах» и «классах»
предметов. Эти представления являются настолько фунда-
ментальными для всей логики, что их строгое формальное
определение, по-видимому, просто невозможно. Тем не
менее следует отметить, что под «свойствами» и «классами»
предметов мы понимаем нечто объективно их характери-
зующее.
131
5*
В нашем дальнейшем употреблении термин «свойство»
охватывает не только качества предметов в собственном
смысле, но также количественные, пространственно-
временные и другие их характеристики, включая как свой-
ства, производные от отношений, так и сами отношения,
если они надлежащим образом сформулированы с точно-
стью до определенной объемной интерпретации. При та-
ком ограничительном уточнении под свойствами может,
пониматься то, что выражается предикатами в объемной
символической логике.
Соответственно под «классами» предметов разумеются
совокупности или множества того или иного рода предме-
тов, составленные на основании факта принадлежности
или же непринадлежности всем этим предметам некоторого
определенного свойства. В смысле современной матема-
тической логики класс предстает как совокупность пред-
метов некоторого поля, относительно которых осмысленно
высказанные предикаты образуют серию либо истинных,
либо же ложных высказываний.
В некотором логическом смысле свойства и классы мож-
но рассматривать как эквиваленты. Действительно, с од-
ной стороны, свойство может быть сведено к классу путем
отождествления его с множеством всех тех и только тех
предметов, которые обладают этим свойством. С другой
стороны, понятие о том или ином свойстве можно вывести
из класса в каком-то определенном отношении равных
между собой предметов. Правда, здесь может иметь место
неоднозначность, поскольку один и тот же класс может
выступать общим объемом для нескольких содержательно
различных свойств.
Однако в принципе невозможно иметь дело с классом,
не обращаясь, по крайней мере, к одному из соответствую-
щих ему свойств. Последний прием и лежит в основе так
называемой абстракции отождествления, на базе которой
создается возможность мысленного вычленения предмет-
ных свойств в их «чистом» виде. При этом из всевозможных
свойств, присущих предметам рассматриваемого класса
(и, вообще говоря, не только им), мысленно выделяется
лишь некоторое (вообще говоря, присущее только пред-
метам данного класса), а от остальных полностью абстра-
гируются, т. е. остаются мысленно индифферентными
к самому факту их существования или несуществования.
Развиваемая далее точка зрения на строение понятия
132
исторически восходит к Лейбницу, считавшему, что всякое
понятие может быть сведено к фиксированному набору
простых, т. е. далее неразложимых понятий, из которых
оно образуется посредством операции логического умно-
жения (конъюнкции в случае свойств и пересечения
в случае классов). При этом Лейбниц в соответствии со
своей идеей «всеобщей характеристики» полагал, что набо-
ры таких простых понятий должны браться из числа первич-
ных элементов, образующих некий «алфавит мыслей».
Разумеется, с точки зрения наших современных теоре-
тико-познавательных воззрений, ни о каких абсолютно
простых понятиях не может быть и речи и соотносительные
характеристики «простого» и «сложного» могут употреб-
ляться лишь в относительном смысле и в ограничительном
контексте того или иного теоретического построения
(аналогично тому, как различаются, например, «элемен-
тарные» и «сложные» высказывания в алгебре логики).
С учетом такой существенной поправки точка зрения Лейб-
ница может служить одной из основ при построении фор-
мальной модели для понятия. И действительно, например,
А. И. Уёмов в своей работе «Выводы из понятий» по суще-
ству исходит из этой лейбницевской идеи.
Этот автор обращает внимание на то, что когда идет
речь о понятии, то имеется в виду прежде всего его содер-
жание (еще со времен логики Пор-Рояля под «понимани-
ем» подразумевается именно «содержание» понятия) и
что поэтому выяснение строения понятия будет означать
выяснение строения его содержания. Он предлагает сле-
дующее формальное представление для строения понятия.
Пусть Р обозначает некоторое понятие, {Рп Р2, Р3,
..., Рп} множество тех свойств, которые мыслятся в этом
понятии. Тогда строение понятия Р представит конъюнк-
ция Рг Р2 -Р3.... -Рп1 где Р с индексом является знаком
мыслимого в понятии того или иного свойства. Так будет
выглядеть содержательный аспект строения понятия Р.
Его объемный аспект будет выглядеть как взаимное пере-
сечение всех классов, которые образованы из предметов,
обладающих тем или иным из свойств.
При этом, по-видимому, может возникнуть возра-
жение, что далеко не всякое понятие обладает таким строе-
нием и что некоторые свойства в понятии Р могут мыс-
литься и дизъюнктивно, например, в виде Рг Ра .(Р3 \/
V Рз V Р3).... -Рп. Это возражение, конечно, имеет
133
под собой основания. Однако с помощью известного логи-
ческого закона такое выражение, естественно, преобразо-
вывается в форму Рг -Р2 Р3 ... Рп V • • • Рп\/
\/ Рх-Р2-Р3 .... -Рп и дело оборачивается таким обра-
зом, что мы опять сталкиваемся с понятиями чисто
конъюнктивными по строению, только теперь не с одним,
а с тремя Р', Р", РЛ". Поэтому представление формаль-
ного строения понятия как конъюнкции мыслимых в нем
свойств может быть принято в качестве достаточно универ-
сальной простой модели.
Предложив такую формальную модель для понятия,
А. И. Уёмов сосредоточил свое внимание почти исключи-
тельно на проблеме различных форм дедукции из поня-
тий. Он не дает математического уточнения характера
предложенной им модели. Между тем такое уточнение
могло бы связать единой логико-математической идеей
известные в формальной логике характеристики как видов
понятий, так и отношений между понятиями. Далее мы
покажем, что таким уточнением может явиться рассмотре-
ние произведения вида Pt Р2 Р3 ... Рп, или сокра-
ти
щенно П Рь как подчиняющегося законам полуструктуры
с нулем и дополнениями.
В целях более удобного применения алгебраического
аппарата в дальнейшем анализе строение понятия будет
рассматриваться в объемном аспекте. Под Р с различными
индексами будут пониматься различные классы предме-
тов, обладающих определенным свойством, произведение
п
же вида П Рг — трактоваться как пересечения таких
г=1
классов. Такое понимание возможно в силу вышеогово-
ренной принципиальной эквивалентности между свойст-
вом и классом всех предметов, обладающих этим свойством.
Случаи истолкования Р с индексами и их произведений
в содержательном аспекте, т. е. как некоторых свойств
и конъюнкций свойств, в дальнейшем будут специально
оговариваться.
Общее число различных отношений, в которых могут
находиться между собой п классов, определяется по фор-
муле Б. М. Кедрова £п=3(—1)г-Сгп-?Р “х). При
1=0
134
эТом далеко йе во всех Случаях эТих отношений все К
классов так или иначе пересекаются между собой. С точки
же зрения интересующего нас подразделения всех поня-
тий на два основных типа — истинных и ложных (соответ-
ственно непустых и пустых по своему объему), все случаи
отношений между п классами мы подразделяем на два
случая.
Первый случай, п классов имеют общую для них всех
непустую часть: пересечение Рх Р2 -Р3.... -Рп не пусто:
П Pj =^= о.
1=1
Второй случай, п классов не имеют общей для них
всех непустой части: пересечение Рг -Р2 Р3.... -Рп пусто:
п
П А = С.
1~1
Перед нами встает задача — опираясь на определения
и теоремы, касающиеся полуструктуры с нулем и допол-
нениями, сформулировать общие формальные критерии
различения пустых и непустых понятий. По существу,
основной такой критерий был указан еще Лейбницем —
набор простых понятий, из которых составляется сложное
понятие, должен удовлетворять критерию непротиворе-
чивости. Поэтому будем называть его «критерием Лейб-
ница».
Для принятой нами формальной записи строения поня-
п
тия как произведения п критерий Лейбница формули-
i=I
руется как требование несуществования среди сомножи-
телей таких Pj и Рк, что Pj = Р^ Действительно, в про-
5 ’ п
тивном случае, согласно определениям 7 и 6 § 21, П Pt — о.
п
Правда, П Pi может быть равно о, по-видимому, и в дру-
i=i
гих случаях. Во-первых, если какой-либо из сомножите-
лей Pi = о (определение 6 § 21); во-вторых, если среди
сомножителей есть такие Pj и Pfc, что > Pj (теорема 5
§ 21). Однако оба эти случая на основании тех же опреде-
135
лений и теоремы могут быть сведены к случаю, непосред-
ственно предусматриваемому критерием Лейбница.
Используя язык символической логики и опираясь на .
данные определения и теоремы полуструктуры с нулем и
дополнениями, можно сформулировать следующие обоб-
щенные критерии для распознавания непустоты и пустоты
понятий.
Критерий непустоты понятия: NxNy > у).
Критерий пустоты понятия: 'З.х'Я.у (х у).
Здесь х и у переменные по полю, составленному не только
из классов Рх, Р2, Р3, ..., Рп, но и из всевозможных про-
изведений пар, троек, четверок и т. д., вплоть до произве-
дений из п — 1 класса, различающихся между собой хотя
бы одним из сомножителей, т. е. переменные по полю
из 2п — 1 элемента. Поскольку число элементов поля
при любом фиксированном п конечно, сформулированные
критерии можно считать в этом отношении эффективными.
Посредством определений полуструктуры и только что
сформулированных критериев можно вывести и извест-
ные в традиционной формальной логике основные отно-
шения между понятиями. Действительно, пусть имеются
два непустых понятия: Рх. ПР ИР2:П Р . На основа-
г=1 г=1
нии определения 5 § 21 найдем их произведение
(Л -Р2 -Р3 .... А) .(Рг-Рг Р3 .... А.... -Рп) =
= Рг *Р2 *Р3 .... -Рк .... -Рп,
т. е.
Pi • Р2 = ₽2
Тогда согласно теореме 1 § 21 имеем
Р1 *Р2 *Р3 .... *Pfc pj. .р2 ‘Рз *••• *Pfc...
т. е. Pi > Р2 (понятие Рх включает в себя понятие Ра
или же понятие Р2 содержится в понятии Рх).
Если же, например, имеются следующие два непустых
понятия
₽1 : П Pt и Р2 : П Pt,
1=1 г=3
то на основании определения 5 § 21 их произведение
будет следующим:
136
(Pl p2 .p3.... .pk) .(P3 .Pt .p3.... .pk.... .pn) =
= P^-P^-P 3 •... -Pfc «... -P n,
t. e.
Pl • ₽2 ~ Рз,
представляющее собой в общем случае некоторое новое
п
понятие Р3: П отличное как от Рх, так и от Р2.
г=1
Тогда на основании определения 4 § 21 имеем
Л -Л -Рз •• рк > pi Р2 -рз •••• -Р& • ••• • рп или
Рх> Рз
и
Рз *Р< РЬ •••• -Pfc •••• -Рп > Р1Р2Р3 ••• -Pfc •••• -Рп ИЛИ
Р2 > Рз,
т. е. заключаем, что каждое из понятий Рх и Р2 включает
в себя это третье понятие Р3. Определяя далее с помощью
критериев V#Vy *“| (^ > у) и ЯхЯу (% у) непустоту или
пустоту Р3, мы находим соответственно, что понятия Рх
и Р2 либо имеют общую для них обоих непустую часть
(вообще говоря, непустым образом пересекаются), либо
вообще несовместимы.
п
Вернемся к случаю включения понятия Р2 : П Рг в
i=2
к
понятие Рх: П Pt. Мы имеем Рх • Р2 • Р3 •... • РН'^Р1 • Р2 • Р8 •...
....Pfe.....Pn.
При этом все Р с индексами обозначают те или иные клас-
сы предметов, а их произведения — пересечения классов.
Однако, если Р с индексами рассматривать как символы
определенных свойств, а их произведения как конъюнк-
ции различных свойств, то представится достаточно оче-
видной справедливость иного соотношения, а именно:
Р1 °Р2 -Рз - . -Р. < Р1 *Р2 *Рз ••• Рк •••• *рП‘
Таким образом, если рассматривать понятия Рх и Р2 не
в объемном, а в содержательном аспекте, т. е. с точки
зрения совокупности мыслимых в каждом из них свойств,
то теперь понятие Рх будет включаться в понятие Р2.
Пусть Sn есть некоторое множество понятий Рх, Р2,
Р3, ..., Рп. Обозначим через Vn множество объемов этих
понятий г?х, г2, v3, ..., г?п, а через Сп — множество их со-
держаний сх, с2, с3, ..., сп. Между Vn и Сп существует
137
взаимно однозначное соответствие ср, ибо каждому эле-
менту Vi е= Vn можно поставить в соответствие его же со-
держание ct Сп, и наоборот. При этом множества Vn
и Сп окажутся антиизоморфными или двойственными друг
ДРУГУ — Для любых элементов vt, Vj ЕЕ Vn и их образов
Ci и Cj в Сп будет иметь место
Щ -> Ci < Cj
и
Ci < Cj ->Vi^ Vj.
Это соотношение аналогично тому, которое на содержа-
тельном языке традиционной формальной логики формули-
руется как закон обратного отношения объема и содер-
жания понятий. Мы видим, таким образом, что получен-
ный нами аналог формально-логического закона обратного
отношения является частным случаем общего логико-
математического принципа двойственности.
§ 23о Силлогистика и полуструктуры
Если предположить четыре возможных результата для
произведения любых двух понятий Рх и Р2:
Pi Р2 = Pi (или Pi-Pa = р2),
Pi • Р2 — о,
Pi * Р2 >
Pi -Р2 < Р1 (или Р1 -Р2 < Р2),
то мы получим выражения, соответствующие четырем ос-
новным видам высказываний в аристотелевской логике —
Л, Е, I, О.
В таком аспекте рассмотрения основная проблема сил-
логистики будет представляться как задача о трех непу-
стых понятиях Рх, Р2 и Р3, а именно как задача нахож-
дения произведения некоторых двух понятий, например
Pi • Р3, если известны произведения двух других, а именно
Pi Р2 и Р2Р3. Разрешимые случаи этой задачи соответ-
ствуют правильным модусам аристотелевской силлогисти-
ки, неразрешимые случаи — ее неправильным модусам.
В связи с такой идеей представляется возможным ис-
пользовать характеристичные для полуструктур соотно-
шения для доказательства законов силлогистики. Ниже
мы это осуществим, а именно — выведем все 19 правиль-
138
йых Модусов сйллогизма, а также некоторые другие ос-
новные законы силлогистики. При этом в ходе дока-
зательств, помимо определений полуструктуры 4—6, ис-
пользуются свойства отношений, сформулированные в
Ох—О14, правило замены равным; в качестве метаязыка
доказательства — классическая логика. Доказательства
даются неразвернутыми во всех формальных деталях.
Вывод правильных модусов I—IV фигур
IAAA. Из посылок ЛР2Р3 (Р2 - Р3 = Р2) и
ЛР1Р2 (Рх-Р2 = Рх) следует -4РХР3 (Рх-Р3 = Рх).
Используя замену Рх на Рх • Р2, ассоциативность /3,
замену Р2 • Р3 на Р2 и транзитивность отношения равенства
О7, имеем
Р1Р3= (Р1Р2)Р3= ₽!•(₽,.₽,)= РХ Р2= Рп т. е.
Рх Р3= Р2.
IEAE. Из посылок Z?P2P3 (Р2-Р3 = о) и АРХ Р2
(Рх Р2 = Рх) следует ЕРХР3 (РХ Р3 = о).
Доказывается аналогично IAAA с дополнительным
использованием определения 6:
РХ.Р3 = (РХ*Р2)*Р3 = РХ*(Р2«Р3) = Рх «о = о, т. е.
Pi • Рз = °*
IAII. Из посылок ЛР2Р3(Р2-Р3= Р2) и /РХР2-
.(Рх.р2>о) следует /РХР3 (Рх . Р3 > о).
Используя определения 4 и 5, замену Р2-Р3 на Р2,
О7 и Ох4, имеем
Рх Рз > (Рх Рз) Р2 = Р1 (Рз Р2) = Р1 (Р2 Рз) =
= Рх . Р2 > о, т. е. Рх • Р3 > о.
ТЕЮ. Из посылок Z? Р2 Р3 (Р2.Р3=о) и /РХР2(РХ • Р2>о)
следует ОРХР3 (РХР3 < Рх).
Используя Охз, имеем
Рх > Рх Р3 = Рх > Рх Р3 V Р1 = Р1 Рз.
Левая часть эквивалентности истинна в силу опреде-
ления 4. Значит, должна быть истинна и правая дизъюнк-
139
ция. Рассматриваем по случаям. Допущение Рх = Рх • Р3
ведет к противоречию с О9. Действительно, используя
замену Рх на РХ*Р3, /3, 12, замену Р2Р3 на о, определе-
ние 6 и О7, имеем
о<Рх Р2 = (РХ Р3) Р2 = РИРз-Рг) = Р1-(Р2‘Рз) =*
= Рх -о = о, т. е. о < о.
Таким образом, Рх = Рх • Р3 ложно, значит, истинно
Pi> Pi*P3, т. е. Pi*P3< Рх.
IIEAE. Из посылок ЕР3Р2 (Р3 -Р2 = о) и ЛРХР2
(РХ.Р2 = Рх) следует ЕРХР3 (РХР3 = о).
Доказывается аналогично IEAE с дополнительным
использованием 12:
РХР3 = (РХ Р2) Р3= РХ(Р2.Р3)= РХ.(Р3 Р2) =
= Рх -о = о, т. е. Pi-P3 = о.
НАЕЕ. Из посылок ЛР3Р2(Р3Р2 = Р3) и
EPiP2 (РхР2 = о) следует EPiP3 (РХР3 = о).
Доказывается аналогично ПЕЛЕ:
Рг.Р3= Pi.(P8.P2)= РХ.(Р2Р3) = (РХ.Р2).Р3 =
== о . рз = рз .0 = о, т. е. Рх. Р3 = о.
IIAOO. Из посылок ЛР3Р2 (Р3- Р2 = Р3) и
ОРХР2(Р1 • Р2 < Рх) следует ОРХР3 (РХ*Р3< Рх)*
Доказывается аналогично lEIOx
Рх Pi • Р3 = Pi > Pi • Р3 V Pi = Pi * Рз.
Допущение Рх = Рх-Р3 ведет к противоречию с О9:
Pi = Pi . Р3 = Рх . (Р3 Р2) = (Рх Р3) . Р2 =
= РХ»Р2<^ Рх, т. е. Рх Рх.
Таким образом, Рх = РХ.Р3 ложно, истинно
Р1 > Р1 Рз> Te Р1 Рз< Р1’
НЕЮ. Из посылок ЕР3Р2(Р3. Р2 = о)
/РХР2 (Рх Р2 > о) следует ОРХР3 (Рх Р3 < Рх).
Доказывается аналогично ТЕЮ, но без использования
12:
140
i\> P, P3 = Pr> pa P3V 1*1= >!•>»•
Допущение Px = Px-P3 ведет к противоречию с О9:
о < Рх • Р2 = (Рх • Р3) • Р2 = Рх .(Р3 • Р2) = Рх -о = о,
т. е. о < о.
Таким образом, Рх = Рх . Р3 ложно, истинно Рх > Рх • Р3,
т. е. РХР3 < Рх.
IIIAAI. Из посылок ЛР2Р3(Р2-Р3 = Р2) и
ЛР2РХ (Р2РХ = Р2) следует ZPXP3 (РХР3 > о).
Используя Охз, имеем
Pi * Рз > 0 Р1 Рз > ° V Р1 Рз ~ °*
Левая часть эквивалентности истинна в силу определения
6. Значит, истинна и правая дизъюнкция. Рассматриваем
по случаям. Допущение Рх • Р3 = о ведет к противоречию
с О9 лишь при условии Р2 >> о.
Действительно, используя это условие, О6, замену Р2
на Р2РХ, 13, замену Рх-Р3 на о, определение 6 и О7,
имеем
о < Р2 — Рз • Рз = (₽2 • Pi) • Рз = Р2 *(Р1 • Рз) — Р2 =
= о, т. е. о < о.
Таким образом, при условии Р2 > о Рх • Р3 = о лож-
но и истинно Рх. Р3 > о.
Этот вывод следует при условии непустоты Р2.
ШЛИ. Из посылок ЛР2Р8(Р2*Р3 = Р2) и
/Р2Р1 (Р2 . Рх > о) следует ZPXP3 (Рх • Р3 > о).
Доказывается аналогично IAII:
РХ.Р3> Р2.(РХ Р3) Р2.(Р3.РХ) = (Р2 Р3).РХ =
= Р2Рх>о, т. е. Рх.Р3>0.
1ШЛ/. Из посылок ZP2P3 (Р2-Р3>о) и ЛР2РХ
(Р2.РХ= Р2) следует /РХР3 (Рх-Р3 > о).
Доказывается аналогично IAII, но без использова-
ния 12:
Р1-Рз> Р2 (Р1-Рз) = (Р2 Р1) Рз= Р2 Рз>0, т. е.
Р1 • Рз > °’
ШЕЛО. Из посылок i?P2P3 (Р2-Р3 = о) и ЛР2РХ
(Р2 РХ = Р2) следует ОРХР3 (РХ Р3 < Рх).
141
Доказывается аналогично XEIO и ШАЛ/:
₽х > Рх Р3 = Рг > Рх Р3 V Р1 = Р1 Рз-
Допущение Рх = Рх • Р3 ведет к противоречию с О9 лишь
при условии Р2 > о.
О< Р2 = Р2 Рт = Р2 (Рт Рз) = Р2(Рз ₽1) =
= (Р2 -Р3) - Pi = о • Рх = Pi-о = о, т. е. о <. о.
Таким образом, при условии Р2 >• о Рх = Рх .Р3 лож-
но и истинно Рх > Рх -Р3, т. е. Рх -Р3 < Рх. Этот вывод
следует при условии непустоты Р2.
ШОАО. Из посылок ОР2Р3 (Р2 . Р3 < Р2) и
Л Р2Рх (Р2РХ = Р2) следует (?РХР3 (РХ.Р3 < Рх).
Доказывается аналогично IE/O:
Рх> Рх Р3= Рх> рх P3V Р1= Р1 Рз-
Допущение Рх = Рх • Р3 ведет к противоречию с О9:
Р2= Р2 РХ=Р2 (РХ.Р3) = (Р2.РХ) Р3= Р2 Р3<Р2,
т. е. Р2 < Р2.
Таким образом, Рх = Рх-Р3 ложно, истинно Рх >
> Рх-Р3, т. е. Рх-Р3< Рх.
ШЕ/О. Из посылок £Р2Р3 (Р2 Р3 = о) и ZP2PX
(Р2-Рх>о) следует ОРХР3 (Рх-Р3< Рх).
Доказывается аналогично IEIO:
Рх> РХ Р3ЕЕ Рх> PX P3V Pl= Pi Рз
Допущение Рх = Рх • Р3 ведет к противоречию с О9:
о< Р2.РХ = Р2-(РХ.Р3) = Р2-(Р3.РХ) = (Р2.Р3).
. Рх = о • Рх = Рх -о 7 о, т. е. о < о.
Таким образом, Рх = Рх • Р3 ложно, истинно Pi> Pi-
• Р3, т. е. Pi*P3< Рх.
1УЛЛ/. Из посылок ЛР3Р2(Рз-Р2= Р3) и ЛР2РХ
(Р2 РХ = Р2) следует /РХР3 (РХ Р3 > о).
Доказывается аналогично ПЫЛ/ с дополнительным
использованием 12:
Р1Р3>0 - Рх Р3>о V Р1 Рз= о.
142
Допущение Рх -Р3 = о ведет к противоречию с О9
лишь при условии Р3 >> о:
Рз — Рз’Рг “ Рз *(Рг * Pi) = (Р2 ’ Pi) * Р3 ~ Р2’
• (Рх • Р3) = Р2 -о — о, т. е. о < о.
Таким образом, при условии Р3 > о Рх Р3 = о ложно
и истинно РгР3>о. Этот вывод следует при условии
непустоты Р3.
IVА ЕЕ. Из посылок ЛР3Р2(Р3Р2 = Р3) и £*P2Pi
(P2₽i = о) следует ЯРхРз (РХР3 = о).
Доказывается аналогично ИА ЕЕ:
Р1 Рз = Р* (Рз Рз) = (Рз Рз) Р1 = Рз (Р2 Р1) =
= Р3 -о = о, т. е. Рх-Р3 = о.
INIAI. Из посылок /Р3Р2•(Р3«Р2^-°) и ЛР2РХ(Р2
• Pi = Р2) следует /РХР3 (Рх -Р3 > о).
Доказывается аналогично IAII:
РХ Рз > Р2 (Pi Рз) = (Р2 Р1) Рз = Р2 Рз =
= Р3 .Р2>0, т. е. РхР3>о.
1УЕЛО. Из посылок ЕР3Р2 (Р3Р2 = о) и ЛР2РХ(Р2.
• р1 = Р2) следует ОРХР3 (РХ Р3< Рх).
Доказывается аналогично III ЕАО:
Pi > Pi . Рз = Pl > Pl Рз V Pl = Pl Рз
Допущение Рх — Рх • Р3 ведет к противоречию с О9 лишь
при условии Р2>о.
0<Р2 = Р2 Р1 = Р2 (Р1 .Рз)= (Р1 Рз) Р2 = Р1 (Р3 Р2)
= Рх -о = о, т. е. о < о.
Таким образом, при условии Р2 > о Рх = Рг • Р3 лож-
но и истинно Pi > Pi • Р3, т. е. Рх • Р3 < Рх. Этот вывод
следует при условии непустоты Р2.
IN ЕЮ. Из посылок 1?Р3Р2 (Р3 . Р2 = о) и /Р2РХ
(Р2.рх>о) следует ОРхРз (Р1-Р3<Р1).
Доказывается аналогично IE 10:
Р1> Р1 Рз - Pi> Pi P3V Pi= Pl Рз
143
Допущение Рх = 1\ • Р3 ведет к противоречию с О»:
о< Р2.РХ =Р2.(РХ.Р3) = (РХ.Р3).Р2 = РХ.(Р3.Р2) =
= Рх -о = о, т. е. о < о.
Таким образом, Рх = Рх -Р3 ложно, истинно ₽!>₽! Рз,
т. е. Рх Р3< Рх.
Вывод некоторых других законов силлогистики
Обращение.
Из высказывания А Рх Р2 (Рх • Р2 = Рх) следует
/Р2РХ (Р2.рх> о).
Используя 12), О7, при условии Рх > о получаем
Рз '^Х “ • 1*2 = 1*1 > Т* 1*2 • 1*1 °*
Этот вывод следует при условии непустоты Рх.
Из высказывания Z?PXP2 (Рх • Р2 = о) следует
SPjjPjl (Р2-Рх = о). Используя 12 и О7, имеем
Р2-Рх = РХ Р2 = о, т. е. Р2РХ = 0.
Из высказывания I Рх Р2 (Рх. Р2 > о) следует IР2 Рх
(Р2.Рх>о). Доказывается аналогично предыдущему
Р2 • рх = Рх • Р2 > о, т. е. Р2. Рх > о.
Подчинение.
Из высказывания А Рх Р2 (Рх • Р2 = Рх) следует
1РХР2 (Рх *Р2>о). При условии Рх>о имеем" Рх-Р2 =
= Рх>»о, т. е. Рх Р2>о.
Этот вывод следует при условии непустоты Рх.
Из высказывания £’РХР2 (Рх-Р2 = о) следует
ОРХР2(РХ.Р2< Рх). При условии Рх > о имеем
Рх • Р2 = о <Z Рц т. е. Рх • Р2 Рх.
Этот вывод следует при условии непустоты Рх.
Противоречие.
Не могут быть одновременно истинными высказывания
А РХР2 (Рх Р2 = Рх) и ОРХР2 (Рх-Р2 < Рх), а также
ЕРхР2 (Рх Р2 = о) и /РХР2 (Рх Р2 > о).
Допущение этого ведет к противоречию с О9:
Рх > Рх Р2 = Рх, т. е. Рх > Рх.
о < Рх • Р2 = о, т. е. о < о.
144
Противность.
Не могут быть одновременно истинными высказывания
ЛРХР2 (РХР2 = Рх) и ЯРХР2 (РХ Р2 = о).
Допущение этого ведет к противоречию с О9 лишь при
условии Рх > о:
о — Рх • Р2 = Рх > о, т. е. о > о.
Этот закон справедлив при условии непустоты Рх.
Исключенное третье.
Не могут быть одновременно ложными высказывания
ZPXP2 (Рх .Р2 > о) и Т?РХР2 (Pi -Р2 = о), а также выска-
зывания ЛРХР2 (Рх-Р2 = Рх) и ОРХР2 (Рх-Р2 < Рх).
Используя Ох?, имеем
Р1 • Р2 > о III Рх . Р2 > о V Рх. Р2 = о.
Левая часть эквивалентности истинна в силу опреде-
ления 6. Допущение ложности как Рх • Р2 >> о, так и
Рх • Р2 = о в&р&х к противоречию — истина эквивалентна
лжи.
Используя же Охз, имеем
₽!> PvPa= Рх> Р, P2V ₽1= Pi Р2.
Левая часть эквивалентности истинна в силу опреде-
ления 4. Допущение ложности как Рх-Р2= Рх, так и
Рх • Р2 < Рх ведет к противоречию — истина эквивалентна
лжи.
Таким образом, посредством алгебраического понятия
полуструктуры мы вывели основные законы аристотелев-
ской силлогистики. При этом не следует ожидать успеха
в попытках таким способом вывести какие-либо неправиль-
ные модусы силлогизма или другие незаконные силлоги-
стические конструкции. Это убеждение, конечно, требует
специального и систематического обоснования. Однако
оно обладает некоторой степенью интуитивной очевидно-
сти. Последняя связана с тем обстоятельством, что в не-
законных конструкциях силлогистики посылки неодно-
значно определяют связь терминов в заключении в смысле
возможности без противоречия заменить данное заключе-
ние высказыванием, ему противоречащим. В полуструк-
турах же пересечения произвольных элементов определе-
ны однозначно.
Интересно также обратить вниманиё на встречавшийся
нам существенно разный характер доказательств, цосред-
145
ством которых обосновывались те или иные силлогистиче-
ские законы. В одних случаях эти законы доказывались
безусловно, в других при условии непустоты тех или
иных терминов. Сам Аристотель не знал подобных разли-
чий, так как строил свою теорию применительно к области
непустых общих терминов.
При допущении пустоты терминов некоторые законы
его силлогистики оказываются несправедливыми. Назовем
(по аналогии с геометрией) получающуюся при таком до-
пущении силлогистическую систему абсолютной силлоги-
стикой. Как мы уже знаем, абсолютная силлогистика пол-
ностью выразима в классическом исчислении предикатов.
Будучи построена как формальная система, она совпа-
дает с частичной системой силлогистики CSH, которая
получается за счет опускания в системе CS аксиомы
laa, и строится лишь на аксиомах
I Ааа,
III Abe & Aab -> Аас,
IV Abe & Iba -> lac.
Одним из достоинств вывода законов силлогистики с
помощью понятия полуструктуры является возможность
почти непосредственного отличения законов абсолютной
силлогистики от тех силлогистических законов, которые
справедливы лишь в оригинальной аристотелевской силло-
гистике.
Отметим также, что в свете всего изложенного сама
проблема силлогистики выступает как одна из возможных
задач в исследовании произведений понятий. Здесь можно
указать и другие задачи, существенно отличные от силло-
гистической, хотя и решаемые, так же как и она, с помощью1
понятия полуструктуры.
Так, если принять те же четыре возможных резуль-
тата для произведений понятий, что и в аристотелевской
логике, то для трех непустых понятий Рх, Р2, Р3 можно
сформулировать, например, следующие задачи:
1. Зная результат произведения трех понятий Рг • Р2 • Р3,
найти результаты произведений для каждой из пар сомно-
жителей — Рх. Р2, Рх -Р3, Р2-Р3. В этой задаче мы также
сталкиваемся как с разрешимыми, так и с неразрешимыми
случаями.
Кб
Так, например, если ^Х.Р2.^8 = Р3, то на оснований
определения 4 и теоремы 1 находим, что
Рх РХР2 Рх • Р2 • Рз = Р3, т. е. Рх Р3 или
Pi Р3= Рз,
Р2 > Рх Р2 > Рх Р2 Р3 = Р3, т. е. Р2 > Р3 или
Р2 • Р3 = Р3,
и поскольку Р3 не пусто и Рх • Р2 > Р3,
то Рх Р2 >> о.
Если же Рх • Р2 • Р3 > о, то на основании того же опре-
деления 4 имеем:
Рх • Р2 Pi • Р2 * Р3 ^> т* е. Рх • Р2 о,
Рх . Р3 Рх • Р2 • Р3 > о, т. е. Рх «Р3 > о,
Р2 Р3 > Рх Р2 Р3 > о, т. е. Р2. Р3 > о.
В случае же Рх • Р2. Р3 = о однозначное определение
произведений для пар сомножителей невозможно. Здесь
получаются исключающие друг друга альтернативные
решения:
Рх • Р2 ;> Рх . Р2 • Р3 = о, т. е. Рх • Р2 >о или Рх • Р2=о
Рх • Р3 > Рх • Р2 • Р3 = о, т. е. Рх • Р3 > о, или Рх • Р3 = о
Р2 Р3 >РГ Р2 Р3 = о, т. е. Р2.Р3 > о или Р2Р3 = о.
Аналогично невозможно однозначно определить про-
изведения для пар сомножителей и когда, например,
Рх • Р2 • Р3 < Р3.
2. Задача, обратная изложенной. Зная результаты
произведений каждой из трех пар сомножителей Рх • Р2,
Рх-Рз, Р2Рз, найти произведение всех трех понятий
Рх. Р2 • Р3. Здесь также имеют место как разрешимые,
так и неразрешимые случаи. Если же по отношению к та-
кой постановке вопроса предварительно разрешима сил-
логистическая проблема, то задача может быть сформу-
лирована и как нахождение произведения трех понятий
на основании знания результатов произведений только
двух пар сомножителей/например Рх-Р2 и Р2-Р3.
3. Естественно и обобщение указанных задач для слу-
чаев более чем трех понятий.
Здесь мы не преследуем цель сколь-либо полно сформу-
лировать те разнообразные задачи, которые вообще воз-
никают из рассмотрения проблем произведения понятий.
Нам важно обратить внимание на то, что использование
147
полуструктуры не выстуйае! простым описанием в иных
выражениях только того, что уже известно и исследовано
в традиционной формальной логике, но предполагает
формулировки новых задач и изыскание возможностей их
решения.
§ 24. Косвенный силлогизм
или вывод через ограничение третьим понятием
На одной из таких задач мы все же остановимся.
В логической литературе издавна упоминались схемы
следующих рассуждений: «Все яблоки есть фрукты», сле-
довательно, «Все спелые яблоки есть спелые фрукты»
или же «Ни один кит не есть рыба», следовательно, «Ни
один большой кит не есть большая рыба». Правомерность’
таких умозаключений в целом ряде случаев не вызывает
никаких сомнений и они представляются вполне естест-
венными. В логике они называются косвенными силлогиз-
мами или выводами через ограничение третьим понятием.
И вместе с тем, несмотря на явную силлогистическую
структуру посылок и заключения этих выводов, они не
укладывались ни в одну из систем традиционной силлоги-
стики. Более того, существует широкий класс следующих
аналогичных, но, очевидно, неправомерных умозаключе-
ний: «Все воры есть люди», следовательно, «Все хорошие
воры есть хорошие люди» или же «Все черепахи есть прес-
мыкающиеся», следовательно, «Все быстрые черепахи
есть быстрые пресмыкающиеся», в структуре которых
«ограничивающее третье понятие» оказывается определен-
ным в разных отношениях в субъекте и предикате заклю-
чения.
Все это дало повод Минто в свое время написать:
«В действительности, случаи, в которых может применять-
ся эта форма непосредственного умозаключения, не стоит
выделять в особую группу: это будет только лишним по-
водом для софистических ухищрений. Эти случаи нельзя
обобщать, так как далеко не всегда можно доказать, что
признак, характеризующий данный вид какого-нибудь
класса, будет характеризовать этот вид и среди всякого
другого класса, включающего в себя первый».
Рассмотрим, однако, эти умозаключения в предложен-
ной нами алгебраической модели формальной логики.
Здесь могут иметь место четыре случая.
148
1. Вывод через ограничение третьим пойятйем из
общеутвердительного высказывания: из Рх • Р2 = Рх еле-
дует (Рз-РЛ .(Р3-Р2) = Рз-Рр
Действительно, на основании данной посылки, ассо-
циативности, коммутативности и идемпотентности ком-
позиции в полуструктуре имеем
(Рз РПСРз р2) = Рз Рх Р2 = Рз Р1-
2. Вывод через ограничение третьим понятием из об-
щеотрицательного высказывания: из Р1-Р2 = о следует
(Р3.Р1).(Р3.Р2) = о.
Действительно, на основании данной посылки, ассо-
циативности, коммутативности и идемпотентности компо-
зиции в полуструктуре имеем
(Рз • Pi) ’(^з • Рг) = Ps’Pi^Ps ~ Рз *° °*
3. Вывод через ограничение третьим понятием из ча-
стно-утвердительного высказывания: из РХ • Р2 > о не
следует (Р3 .Рх) .(Р3 . Р2) > о.
Действительно, проделывая преобразования, анало-
гичные предыдущим случаям, имеем
(Ра.Р1).(Р3Р2)= Рз-Рх-Ра.
Однако при Рх-Р2>о может и не случиться, что
P3PiP2>o. __
Действительно, если Р3 > РХ.Р2, тогда согласно тео-
реме 5 § 21 Р3 • Рх • Р2 = о.
4. Вывод через ограничение третьим понятием из ча-
стно-отрицательного высказывания: из Рх • Р2 < Рх не
следует (Р3. РХ).(Р3. Р2) < Р3 • Pv
Действительно, осуществляя преобразования, анало-
гичные предыдущим случаям, имеем
(Р3Р1)(Р3.Р2)= Р3.РХ.Р2.
Однако при Рх. Р2 Pi может и не случиться, что
Р3.РХ.Р2< Р3.РХ.
Действительно, если Р3.Р2= Р3, тогда имеет место
Рз * * ^2 = Рз ‘ Р2 ₽1 = Рз Ф Р1*
Таким образом, выводы через ограничение третьим
понятием проходят лишь для общих высказываний и не-
состоятельны для частных.
149
Йо как же быть с сомнениями Минто? Ведь им указаны
примеры неправомерных косвенных силлогизмов из обще-
утвердительных высказываний. Этот вопрос исследовал
И. А. Уёмов, и даже сейчас нельзя не отдать должное тон-
кости его подхода. Рассматривая пример ограничения
понятием «с» высказывания «Все А есть В», он писал:
«Для того чтобы разобраться в этом, необходимо уточнить
используемые нами понятия. Согласно сказанному выше,
умозаключение через ограничение будет правильным,
если какой-либо класс «с» определяет признак, ограни-
чивающий А и В. Но всегда ли этот ограничивающий
признак связан с классом? На первый взгляд кажется,
что всегда. В самом деле, разве любому признаку не соот-
ветствует множество объектов, обладающих этим призна-
ком, т. е. класс? Однако более точный анализ понятия
класса показывает, что это не так».
По Уёмову, определенные классы соответствуют лишь
так называемым точечным признакам или свойствам,
которые не имеют интенсивности, не могут быть присущи
одному предмету в большей мере, чем другому, а либо
целиком принадлежат предмету, либо же целиком у него
отсутствуют. Только таким признакам соответствуют
классы с определенными границами, в которые входят
объекты, обладающие данным признаком, и не входит
ни один объект, этим признаком не обладающий.
Однако существует целый ряд свойств («большой»,
«быстрый», «северный» и т. п.), которые всегда присущи
предмету в той или иной степени и могут менять эту сте-
пень в одном направлении. Их можно назвать линейными.
Свойства, могущие изменяться в двух или нескольких
направлениях (как, например, «скорость»), называются
многомерными. Линейные и многомерные свойства не
определяют класса.
В этом нетрудно убедиться, решая, например, какие
объекты можно отнести к классу «больших», «быстрых»
и т. п. Если эти свойства не уточнены при помощи опреде-
ления тех объектов, в отношении к которым они рассма-
триваются, то здесь вообще нельзя говорить о каких-
либо определенных классах, так как, например, в класс
«больших» можно было бы отнести все те тела вселенной,
которые по аналогичным же соображениям можно было бы
отнести и в класс «малых». Определенная же в известном
150
отношении интенсивность любого свойства всегда является
точечным свойством.
Это уточнение линейного (или многомерного) свойства
происходит при помощи определения тех объектов, в от-
ношении к которым оно рассматривается. Например,
если определить понятие «быстрый» в отношении к дви-
жению улитки как «то, что движется быстрее улитки», то
свойство «быстрый» будет, таким образом, рассматриваться
как точечное и все движения распадутся на два класса —
быстрых и небыстрых движений. Точно так же можно
уточнить и другие линейные свойства.
Умозаключая при помощи ограничения третьим
понятием, мы фактически всегда определяем в выводе
ограничивающее свойство «с». Однако, если не сделать
этого определения заранее, т. е. если свойство «с» не дано
нам как точечное или же не превращено в точечное уже
в посылке, то в заключении оно окажется определенным
в разных отношениях в субъекте (А) и предикате (В).
В высказывании «Все сА есть сВ» мы будем иметь дело
с различным образом определенными с, В субъекте оно
будет определено относительно А и, таким образом, пред-
ставлять собой одно точечное свойство, в предикате оно
будет определено относительно В и, таким образом, пред-
ставлять другое точечное свойство. Именно это и имеет
место, например, в заключении «Все быстрые черепахи
есть быстрые пресмыкающиеся» и других ему подобных.
Последнее обстоятельство не дает возможности делать
вывод из общеутвердительного высказывания, если Р3
заранее не уточнено как точечное свойство. В противном
случае мы имеем в выводе вместо Р3 два разных свойства
Р8' и Pg", т. е.:
(Р3' • PJ •( Р3" Р2) = Р3' • Р3" • Рх • Рг = Рз' • Р3" • Pi =h
^Рз' Pi-
Вместе с тем такое двусмысленное понимание свойства
Р3 не может помешать выводу из общеотрицательного вы-
сказывания, так как при наличии Р3' и Р3" вместо Р3
имеет место:
(Рзг • Pi)‘(Рз^ • Р2) — Рэ' ’ Рз" • Pi • Р2 — Р3'• Рз" о—о,
W1
§ 25. Еще об одном отношении двойственности
в силлогистике
Возможность применить в силлогистике понятие полу-
структуры наталкивает на поиск в этой области и других
общих алгебраических соотношений. И действительно,
анализ показывает, что в силлогистике специфически обна-
руживается действие такого общего математического прин-
ципа, как принцип двойственности.
Областью нашего рассмотрения будет абсолютная сил-
логистика и именно в той ее части, которая охватывает
силлогистические конструкции, построенные из модусов
силлогизма, не имеющих в качестве заключений частно-
отрицательные высказывания.
Любая такого рода конструкция есть частично упоря-
доченное множество силлогистических терминов с отноше-
нием несравнимости, проявляющимся в форме бинарных
отношений Е либо Z. Эти две разновидности отношения
несравнимости назовем двойственными друг другу. С дру-
гой стороны, известно, что если имеется частично упоря-
доченное множество М, определенное на какой-то системе
элементов посредством отношения типа то ему двой-
ственным называется частично упорядоченное же множе-
ство М*, определенное на тех же элементах, но посредством
обратного отношения т. е. с обратной частичной упо-
рядоченностью. Очевидно, что в рассматриваемой области
силлогистики применимо и это понятие двойственности,
так как имеющееся здесь бинарное отношение А является
отношением типа >.
Назовем двойственным преобразованием в силлогистике
такую операцию, которая включает как замену множе-
ства М на ему двойственное 7И*, так и замену всюду,
где оно встречается, имеющегося отношения несравни-
мости (Е либо I) на ему двойственное. Порядок осущест-
вления таких замен безразличен. Две силлогистические
конструкции назовем двойственными друг другу, если одна
получается из другой в результате осуществления такого
двойственного преобразования. Очевидно, что отношение
силлогистической двойственности взаимно и обладает
следующими свойствами:
Dr: Если S двойственно S*, то S* двойственно S.
D2: Если S двойственно S* и S* двойственно S**, то
S** тождественно с S.
152
Можно сформулировать следующую теорему:
Законность силлогистической конструкции, построен-
ной из модусов абсолютной силлогистики с заключениями
вида: Аас, Еас или lac, сохраняется при ее двойственном
преобразовании.
Для доказательства достаточно показать, что теорема
справедлива для любого из указанных видов модусов
абсолютной силлогистики, составляющих элементарные
звенья рассматриваемых силлогистических конструкций.
Всего таких модусов девять. Доказательство осуществля-
ется тривиально, например с помощью круговых схем
Эйлера. Действительно, модус IAAA преобразуется в
себя же, в модус IAAA; модус 1ЕАЕ преобразуется в модус
Ш/Л/, и наоборот; модус IAII преобразуется в модус
А1АЕЕ, и наоборот; модус Т1ЕАЕ преобразуется в модус
INIAI, и наоборот; модус IIL4/Z преобразуется в модус
1УЛЕ2?, и наоборот.
В качестве следствия из этой теоремы имеем, что если
существует незаконная силлогистическая конструкция,
по отношению к которой имеет смысл операция двойствен-
ного преобразования, то осуществление этой операции
образует незаконную же конструкцию. Действительно,
если двойственное преобразование незаконную силлоги-
стическую конструкцию преобразовывало бы в законную,
то в силу Di и D2, с одной стороны, и вышедоказанной
теоремы о сохранении законности — с другой, возникло
бы противоречие: существовала бы незаконная силлоги-
стическая конструкция, которая была бы в то же самое
время и законной.
Теорему о сохранении законности силлогистических
конструкций при их двойственном преобразовании и выте-
кающее из этой теоремы следствие о сохранении незакон-
ности можно объединить в один принцип силлогистической
двойственности. Этот принцип гласит: Все двойственные
по отношению друг к другу силлогистические конструкции
абсолютной силлогистики или равно законны, или равно
незаконны.
Подведем некоторые итоги. Используя алгебраическое
понятие полуструктуры с определенной интерпретацией
на логических объектах, можно вывести те виды понятий,
отношения между понятиями и правильные модусы силло-
гистики, которые в своей совокупности составляют основ-
ную часть учения о дедукции в традиционной формальной
153
Логике. Таким образом, Нижняя Полуструктура с нулем й
дополнениями является строгим и достаточно адекватным
абстрактно-математическим выражением основных соот-
ношений этой логики. При этом важно отметить — не
тривиальным выражением, поскольку, например, в ней
может быть указан ряд задач композиции, имеющих логи-
ческий смысл, но отличных от тех, которые были рассмо-
трены в традиционной формальной логике^
В современной логике одна из интереснейших задач
логического исследования связана с конкретным рассмо-
трением многоаспектного взаимоотношения между раз-
личными формально-логическими системами, взаимоот-
ношения, касающегося как формальной синтаксической
архитектоники и семантических интерпретаций, так и спо-
собов погружения одних формальных систем в другие и
математических структур, специфичных для тех или иных
логических систем.
Вышеизложенный алгебраический подход открывает
еще одну плоскость для сопоставления традиционной
формальной логики с современными логическими форма-
лизмами, позволяя выявить дополнительные основания
для связи в единое целое теорий старой и новой формаль-
ной логики. Действительно, понятие полуструктуры, ко-
нечно, более обще, чем различные виды структур, алгеб-
раически выражающие разные исчисления современной
математической логики. И в этом аспекте рассмотрения
традиционная формальная логика выступает как наиболее
общее и асбтрактное выражение логической проблематики,
конкретизация и развитие которой осуществляются в позд-
нейших и более сложных исчислениях математической
логики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложением алгебраической точки зрения на тради-
ционную формальную логику завершается эта книга.
И если вторая ее глава открывается изложением разрабо-
танного Я. Лукасевичем построения силлогистики как
особой формальной логической системы, то четвертая гла-
ва завершается рассмотрением алгебраической интерпре-
тации этой системы. Таким образом, широко распростра-
ненный в современной формальной (математической) логи-
ке дуальный подход к построению различных формально-
логических систем (с одной стороны, как логических ис-
числений, а с другой — как алгебр) оказывается осу-
ществимым и в случае традиционной формальной логики.
В предложенной вниманию читателя книге мы ставили
перед собой задачу возможно более полно и всесторонне
осветить этот вопрос об отношении традиционной формаль-
ной логики к математической. Однако разумеется, что
содержанием книги не исчерпываются ни вся конкретная
проблематика этого вопроса, ни возможные иные общие
точки зрения на него, ни дальнейшие исследования в этом
направлении.
Укажем с нашей точки зрения основные из них.
Весьма интересно изучение отношения силлогистики
еще и к другим исчислениям символической логики, не
рассматривавшимся в этой работе. Одним из последних
здесь полученных результатов является исследование
Чеслава Лейевского о связи формализованной аристоте-
левской силлогистики с онтологией Лесневского. При этом
в качестве промежуточных систем им рассмотрены некото-
рые системы обобщенной и расширенной силлогистики.
Можно и дальше продолжить анализ отношения силлоги-
стики к различным системам современной формальной
155
логики. В частности, исследовать способы ее построения
на базе неклассических исчислений высказываний —
конструктивного и минимального.
Представляет также интерес отношение силлогистики
к системе модальной логики. Уже Аристотель сделал пер-
вые шаги в исследовании модальной силлогистики. Одна-
ко связь силлогистики с модальной логикой, по-видимому,
более интимна, чем просто задачи исследования силлогиз-
мов, посылками которых являются высказывания о дей-
ствительно, необходимо, возможно и случайно присущем
или неприсущем. Дело в том, что элемент модальности
органически включается в функторы силлогистики. В этом
отношении, кажется, некоторые результаты получены бол-
гарским логиком Б. Чендовым.
До сих пор остается еще открытым вопрос о справед-
ливости гипотезы Лукасевича о том, что для отбрасывания
всех неправильных положений силлогистики необходимо
и достаточно аксиоматически отбросить только форму вто-
рой фигуры с общеутвердительными посылками и частно-
утвердительным заключением. Как показал Ю. А. Пет-
ров, вопрос о справедливости этой гипотезы для случая
критерия слабой квазидедуктивной эквивалентности оста-
ется нерешенным и его разрешение, вероятно, потребует
обоснования новых логических методов.
Основным результатом самого автора в этой работе
является разработка алгебраической теории традицион-
ной формальной логики на основе алгебраического поня-
тия полуструктуры. Решение надлежащим образом сфор-
мулированной здесь проблемы разрешения завершило бы
эту тему исследования.
ЛИТЕРАТУРА
Аристотель. Аналитика первая и вторая, М., 1952.
Ахманов. А. С. Логическое учение Аристотеля, М., 1960.
Б и р к г о ф Г. Теория структур. М., 1952.
Бурбаки Н. Теория множеств, М., 1965.
Бэкон Ф. Новый органон. М., 1935.
Гайзенберг В. Физика и философия. М., 1964.
Гегель Г. Ф. В. Наука логики.—Срч., т. V.
ЦТ ей т д иг А. Интуиционизм. \M.,O96j?
Г"и л ь берт Д., А к керма н В. Основы теоретической логики.
М., 1947.
ГокиелиЛ. П. О природе логического. Тбилиси, 1958.
Г о н и н Е. Г. Теоретическая арифметика, М., 1959.
^Горский Д. П. Логика. М., 1958.
\Г_у д с т е ин Р. Л. Математическая логика^ М., 1961.
Де карт Р. Избранные произведения. М., 1950.
Джевонс С. Элементарный учебник логики. СПб., 1881.
Дишкант Г. П. Формальная система элементарной механики.
Логическая структура научного знания. М., 1965.
Зеленогорский Ф. А. О математическом,метафизическом,
индуктивном и критическом методах исследования и доказатель-
ства. Харьков, 1877.
Зиновьев А. А. Обобщение силлогистики.— Проблемы логи-
ки. М., 1963.
Зиновьев А. А. Логический анализ эмпирических структур.—
Проблемы логики научного познания. М., 1965.
Кедров Б. М. О числе отношения множеств (понятий).— Ло-
гические исследования. М., 1959.
4К л и н и С. К. Введение в метаматематшцьЭМ., (957>
Кот арбинский Г. ИзбраййЬте произведения. М., 1963.
К у р о ш А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1962.
Ленин В. И. Философские тетради.—Соч., т. 38.
Л у к а с е в и ч Я. Аристотелевская силл огистикаид-дочки-зрения
^современной формальной логики. М., 1959.
Л у!ц-е в стги-Р О М а н~б'в~а СТ Анализ и обобщение метода
проверки логических формул диаграммами Венна. — Studia
Logica, т. 1, 1953.
Л ь а р Л. Английские реформаторы логики. СПб., 1897.
Маркс К. иЭнгельс Ф. Сочинения, т. 3.
157
Минто. Дедуктивная и индуктивная логика. М., 1898.
Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1959.
Петров Ю. А. Об одной гипотезе Я. Лукасевича. — Формаль-
ная логика и методология науки. М., 1964.
Попов П. С. Логика Аристотеля и логика формальная. — Изв.
АН СССР, 1945, т. II, № 5.
Рассел Б. История западной философии. М., 1959.
Серрюс Ш. Опыт исследования значения логики. М., 1948.
Слупецкий К., Борковский Л. Элементы математиче-
ской логики и теории множеств. М., 1964.
Смирнов В. А. Замечания по поводу системы силлогистики и
г____обтцей..террии дедукции. — Проблемы логики. М., 1963.
С м и р н о в В. А. Погружение силлогистики в исчисление преди-
\ катов.— Логическая семантика и модальная логика. М., 1967.
т ягягк и нН. И. Становление идей математической логики. М.,
1964.
Субботин А. Л. О цепях классических силлогизмов.— Фило-
софские науки, 1959, № 3.
Субботин А. Л. Математическая логика — ступень в развитии
формальной логики. — Вопросы философии, 1960, № 9.
Субботин А. Л. Смысл и ценность формализации в логике.
Философские вопросы современной формальной логики. М.,
1962.
Субботин А. Л. Древнегреческая логика. — Философская
энциклопедия, 1962, т. 2.
Субботин А. Л. Аристотелевская силлогистика с точки зре-
ния алгебры.— Формальная логика и методология науки.
М., 1964.
Субботин А. Л. Идеализация как средство научного позна-
— - — Проблемы логики научного познания. М., 1964.
\ Субботин А. Л. Логика и математика. — Проблемы логики на-
-Д^учного познания. М., 1965.
С уооТУ'Т И И "АУЛ. Теория силлогистики в современной формаль-
ной логике. М., 1965.
Субботин А. Л. Алгебраическая полуструктура и традицион-
ная формальная логика. — Логическая семантика и модаль-
ная логика. М., 1967.
Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных
наук. М., 1948.
Уёмов А. И. О выводах через ограничение и условиях их правиль-
ности.— Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та, т. 8, 1955.
Уёмов А. И. Выводы из понятий.— Логико-грамматические
, очерки. М., 1961. ___________
У ор ф Б. Л. Надаа-л^^явъпгоЖание. — Новое в лингвистике. М.»
а У о р ф Б. Л. Лингвистика и логика.—Новое в лингвисти-
' JKe-M., I960.
Л ел панов Г. Н. Учебник логики. М., 1946.
V4 ёр ч А. Введение в математическую логику, jfl., 1960.
мтЕГТ7елГь^5 Ф. Анти-Дюринг?М., 194i:--------
Энг ельс Ф. Диалектика природы. М., 1941.
Э йн ш те й н А. Физика и реальность. М., 1941.
' Яновская С. А. О философских вопросах математической ло-
гики. — Проблемы логики. М.. 1963.——-----------------
158
Яновская С. А. О математической строгости.— Вопросы фи-
t лософии, 1966, № 3.
1МГс h е n s k i J. М. Uber den Kategorischen Syllogismus. Logic-
philosophische studien. Freiburg/Munchen, 1959.
Bowen F. A treatise on logic, or the lows of pure thought. Bos-
ton and Cambridge, 1870.
Faris J. A. The Gergonne relations.— J. Symbolic Logic, v. 2Э,
N 3, 1955.
Glazowska K. Struktura poprawnych trybow sylogizmu
n-terminowego.— Studia ogica, t. VIII, 1958.
Landriere J. Les limitations internes des formalismes Louvain.
. Paris, 1957.
Lejewski Cz. Aristotle’s syllogistic and its extension.— Synthe-
se, v. XV, N 2, 1963.
Lorenzen P. Uber die Syllogismen als Relationen-multiplica-
tionen. — Arch. math. Logik und Grundlagenforsch., Bd. 3,
N 3—4, 1957.
Mates B. Stoic logic. Berkeley—Los Angeles, 1953.
Rasiowa H., Mostowski A. О geometrycznej interpretacji
wy raren logicznych.— Studia Logica, t. I, 1953.
Rescher H. Quasi-truth-functional systems of propositional lo-
gic.— Symbolic Logic, v. 27, N 1, 1962.
Riechenbach H. Philosophical foundations of quan-
tum mechanics. Berkeley—Los Angeles, 1946.
Simmons Ed. The scientific art of logic. An introduction to the
Principles of formal and material logic. Millwaukell, 1961.
Venn J. Symbolic logic. London, 1894.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................................ 5
Глава I. Некоторые философско-методологические воп-
росы .............................................. 9
§ 1. Аристотелевская силлогистика............... 9
§ 2. Критика аристотелевской силлогистики . . 11
§ 3. Формальная логика и математика........ 18
§ 4. Принцип построения формально-логиче-
ских систем.................................. 24
§ 5. Металогические исследования.............. z28
§ 6. Место в науке............................. 35
Глава II. Силлогистика и математическая логика..... 47
§ 7. Выражение силлогистики в исчислении пре-
дикатов ........................................ 47
§ 8. Силлогистика как формальная логическая
система...................................... 53
§ 9. Основные металогические понятия и теоремы
системы...................................... 59
§ 10. Невыводимые предложения и правила
отбрасывания.................................. 67
§ 11. Анализ гипотезы Лукасевича................ 70
§12. Проблема разрешения........................ 75
Глава III. Силлогистика и математическая логика (про-
должение) ........................................ 84
§ 13. Эквиполлентные системы аксиом и частич-
ные системы силлогистики...................... 84
§ 14. Идея «расширенной» силлогистики Гамиль-
тона и Томсона................................ 86
§ 15. Системы обогащенной и обобщенной силло-
гистики Де Моргана............................ 92
§ 16. Силлогистика и жергоновы отношения ... 96
§ 17. Еще один способ формального представления
силлогистики................................. 103
§ 18. Цепи силлогизмов и сложные силлогизмы . . 117
§ 19. Замечания о семантическом аспекте силло-
гистики ..................................... 117
§20. Диаграммы Венна.......................... 122
Глава IV. Алгебраическая теория традиционной фор-
мальной логики......................................... 127
§ 21. Частично упорядоченные множества и по-
луструктуры ................................. 127
§ 22. Строение понятия, виды понятий и отно-
шения между понятиями........................ 131
§ 23. Силлогистика и полуструктуры............. 138
§ 24. Косвенный силлогизм или вывод через ог-
раничение третьим ' пъъятеи. 148
§ 25. Еще об одном отношении двойственности
в силлогистике ............................. 152
Заключение............................................. 155
Литература.............................................. 157
ОПЕЧАТКИ И ИСПРАВЛЕНИЯ
Страница Строка Напечатано Должно быть
69 2 св. X X
98 23 св. а = Ь а = b
145 13 св. III =
А. Л. Субботин
И 3 Д А т Е Л ЬСТВ-0 «Н А^У К. А»