/
Автор: Чеботаревский Б.Д. Дужин С.В.
Теги: математика геометрия топология алгебра дифференциальные уравнения теория групп
ISBN: 5-339-00101-6
Год: 1988
Текст
С.В.Дужинг БДЯеб
ОТ ОРНАМЕНТОВ
ДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МИР
ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ
НАУКИ
С.В.Дужин, Б.ДЧёботаревский
ОТ ОРНАМЕНТОВ
ЛО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПОПУЛЯРНОЕ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Минск "Вышэйшая школа" 1988
Iililv 22.151.5
ДН1
УДК 51 1.74
Серия основана в 1982 году.
Рецензенты: кандидат физико-математических наук,
профессор МГПИ им. А. М. Горького А. А. Дадаян\ кандидат
физико-математических наук, зав. отделом математики жур¬
нала «Квант» А. Б. Сосинский.
_ 1702040000-049
ДМ304(03)-88 109-88
ISBN 5-339-00101-6
© Издательство «Вышэйшая школа», 1988
К ЧИТАТЕЛЮ
Эта книга предлагает отправиться в необычное путе¬
шествие. Вступив на тропу у дворцового комплекса Аль¬
гамбра, читатель совершит переход через несколько сто¬
летий и приблизится к одному из современных разделов
математики.
Одна из привлекательных особенностей математики
состоит в том, что в процессе решения различных задач
из областей, на первый взгляд не связанных между со¬
бой, часто возникают совершенно аналогичные понятия,
идеи и методы. Это удивительное единство авторы попы¬
тались продемонстрировать на примере элементарной
теории групп преобразований.
Группы преобразований, естественно, появляются вез¬
де, где есть какая-либо симметрия (а она часто присут¬
ствует в скрытом виде даже там, где, казалось бы, ее нет
совсем). В предлагаемой книге понятие группы иллю¬
стрируется разнообразными примерами из области эле¬
ментарной теории чисел, геометрии и алгебры.
Перед началом путешествия заметим, что от читателя
не требуется специальной подготовки: достаточно вла¬
деть основами школьного курса математики. По мере
продвижения произойдет знакомство с комплексными
числами, началами геометрической теории движений и
других преобразований плоскости, алгебраическими по¬
нятиями и методами, связанными с этой теорией. Основ-
3
нов понятие — группа преобразований — служит инстру¬
ментом для исследования самых разных вопросов: от опи¬
сания орнаментов до решения дифференциальных урав¬
нений.
Изложение ведется последовательно, с привлечением
большого числа примеров, при разборе которых и проис¬
ходит первое знакомство с новыми понятиями. Разнооб¬
разные задачи показывают путнику, где ему следует
остановиться и оглядеться. При затруднениях можно
воспользоваться ответами и указаниями, помещенными
в конце книги.
Надеемся, что некоторые трудности и неудобства, свя¬
занные с чтением этой книги, неизбежные при любом
путешествии, не испугают юного читателя, а открываю¬
щиеся пейзажи и встречи со знакомыми и незнакомыми
«персонажами» взбодрят притомившегося путника и
оставят приятные воспоминания.
Авторы благодарны профессору А. А. Дадаяну и до¬
центу А. Б. Сосинскому, взявшим на себя труд по рецен¬
зированию рукописи, за их советы и замечания, которые
способствовали ее улучшению, а также профессору
Т. Цудзисита (Япония), приславшему образцы японских
орнаментов.
Все отзывы и замечания просим направлять по адре¬
су: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство
«Вышэйшая школа».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
«В жизнь мою не забуду того впечатления, какое
испытал я, когда на другой день после моего приезда
сюда пошел я по Гранаде. Представьте себе, в продол¬
жение пяти месяцев привыкнув видеть около себя при¬
роду суровую, почти всюду сожженную солнцем, небо
постоянно яркое и знойное, не находя места, где бы про¬
хладиться от жару,— вдруг неожиданно найти город,
утонувший в густой свежей зелени садов, где на каждом
шагу бегут ручьи и разносится прохлада... Нет! Это мож¬
но оценить только здесь, под этим африканским солн¬
цем...»,— так писал о своих впечатлениях при первом
посещении Альгамбры Василий Петрович Боткин, путе¬
шествовавший по Испании в 1845 году. Альгамбра — это
старинный дворец (точнее, дворцовый комплекс) маври¬
танских королей на окраине испанского города Гранада,
построенный при калифе Мохамеде Абу-Абдалла-бен-
Хусиф-бен-Насере, который правил с 1231 по 1273 год.
Чтобы понять, какое отношение имеет этот дворец к
предмету нашей книги, обратимся дальше к свидетель¬
ству В. П. Боткина: «Невозможно представить себе той
резкой противоположности, какая существует обыкновен¬
но между наружностью и внутренностью в мавританских
постройках. В этом отношении никакая архитектура не
может дать понятия о мавританской: снаружи все их зда¬
ния смотрят уныло, сурово и воинственно; они громоз¬
5
дили их без всякого порядка, без симметрии, без малей¬
шего внимания к наружному виду, а всю роскошь архи¬
тектуры и украшений сберегали только для внутренних
комнат: там расточали они весь свой вкус, стараясь
Рис. 1
соединить в них удобства роскоши с красотою природы,
мрамор, лепные украшения и дорогие ткани с цветника¬
ми и апельсиновыми деревьями... Рисунок и узоры дере¬
вянных мавританских потолков чрезвычайно похожи на
те, которые в прошлом веке делали под названием роко¬
ко; но мавританская работа несравненно отчетливее и
изящнее. Стены залы покрыты раскрашенными арабес¬
ками. Одна из главных особенностей мавританского сти¬
ля — нигде не поражать глаза резкостью: только всмот¬
6
ревшись хорошенько в эти украшения, вы увидите всю
отчетливую тонкость этой работы. С первого взгляда ка¬
жется, будто потолок и стены обтянуты персидскими
коврами или вышитыми по канве обоями с мельчайшим
рисунком».
Именно в орнаментах Альгамбры, их разнообразии,
красоте и изощренности заключается главная ценность
этого дворца — ценность не только художественная, но
и, если можно так выразиться, математическая. Одного
взгляда на образцы орнаментов Альгамбры (рис. 1) до¬
статочно, чтобы понять их тесную связь с геометрией:
изображенные фигуры очень симметричны. Более точный
смысл этого слова в данной ситуации таков: существует
много движений плоскости (в частности, поворотов, пере¬
носов, осевых симметрий), переводящих каждый из рас¬
сматриваемых узоров в себя. Если найти для приведен¬
ных орнаментов все центры симметрии (или, что то же
самое, центры поворотов на 180°) и центры поворотов
на 90°, то обнаружится много таких точек, чередующихся
в шахматном порядке. Иначе обстоит дело с осями сим¬
метрии: у первого узора их нет, а у второго есть. В этом
состоит различие между этими орнаментами с точки зре¬
ния геометрии.
Коль скоро замечено, что орнаменты бывают с точки
зрения симметрии одинаковые и разные, у математика,
естественно, возникает вопрос: сколько и какие разно¬
видности орнаментов принципиально возможны? Конеч¬
но, чтобы этот вопрос был математически осмысленным,
нужно дать четкие определения геометрическому поня¬
тию орнамента и тому, что означает выражение «два
орнамента одинаково симметричны». Оказалось, что эти
определения можно дать лишь в рамках теории групп,
зародившейся в 30-х годах XIX века в работах замеча¬
тельного французского математика Э. Галуа. А полный
ответ на поставленный вопрос был дан впервые в 1891 го-
7
ДУ русским ученым Е. С. Федоровым. Оказалось, что
всего существует 17 двумерных кристаллографических
групп и, следовательно, ровно 17 типов орнаментов на
плоскости.
По подсчетам известного современного геометра
Г. С. М. Кокстера, всего в мозаиках Альгамбры исполь¬
зовано 11 из 17 возможных групп. Высокоразвитым
искусством орнамента владели многие народы древности.
Вот что пишет по этому поводу один из крупнейших ма¬
тематиков XX века Герман Вейль: «Образцы всех
17 групп симметрии обнаружены среди декоративных
узоров древности, в особенности среди египетских орна¬
ментов. Вряд ли возможно переоценить глубину геомет¬
рического воображения и изобретательность, запечатлен¬
ные в этих узорах. Их построение далеко не тривиально
в математическом отношении. Нет сомнения в том, что
вплоть до XIX века не существовало необходимых поня¬
тий, с помощью которых можно было бы дать полную
абстрактную формулировку основной проблемы, а имен¬
но, не было математического понятия группы преобразо¬
ваний. Только на основе этого понятия можно было дока¬
зать, что 17 видов симметрии, в неявном виде известных
еще египетским ремесленникам, исчерпывают все воз¬
можные случаи».
Для того чтобы построить математический аппарат,
о котором говорит Г. Вейль, необходимо вначале изучить
геометрию и алгебру плоскости.
плоскость
Представьте себе огромный лист бумаги,
на котором Отрезки прямых, Треугольники,
Квадраты, Пятиугольники, Шестиугольники
и другие фигуры, вместо того чтобы непод¬
вижно оставаться на своих местах, свобод¬
но перемещаются по всем направлениям
вдоль поверхности, не будучи, однако, в си¬
лах ни приподняться над ней, ни опуститься
под нее, подобно теням (только твердым
и со светящимися краями), и вы получите
весьма точное представление о моей стране
и моих соотечественниках.
Э. Э. Эбботт
Эти слова принадлежат юристу Квадрату, обитателю
Флатландии *. Представители низших слоев населения
имеют форму остроугольных равнобедренных треуголь¬
ников; остальные жители (мужчины)—правильные мно¬
гоугольники, число сторон которых тем больше, чем выше
их положение на общественной лестнице.
* Эта страна описана в книге Э. Э. Эбботта «Флатландия».
9
Продолжая фантазию автора, пред-
Клетчатая положим, что Флатландия представ-
Флатландия ляет собой лист бумаги в клетку,
как бы вырванный из огромной тет¬
ради «по математике», а ее обитатели считают наиболее
удобным и приятным такое положение своего тела, при
котором все вершины попадают в узлы сетки. Можно
легко вообразить простого солдата и квадратного
джентльмена, расположившихся на отдых, как показано
на рис. 2. Спрашивается, могут ли подобным образом
расположиться на плоскости прочие граждане Флат-
ландии.
Пример 1. Доказать, что не существует правильного
многоугольника, отличного от квадрата и имеющего вер¬
шины в узлах клетчатой бумаги.
Пусть ΑιΑ2... Ап — правильный многоугольник, удов¬
летворяющий условию задачи, О — его центр. С каждой
тройкой последовательных вершин Ah-1, Ah, Ak+i свяжем
точку Bh так, чтобы фигура Ah-iAhAh+iBh была паралле¬
лограммом. Фигура, изображенная на рис. 3, при отра¬
жении от прямой ОАь и при повороте на угол 360°/л
10
отображается на себя, поэтому каждая точка Вк лежит
на прямой OAky а многоугольник В1В2 ... Вп — правиль¬
ный. При п > 6 этот многоугольник по размерам меньше
исходного. Действительно, в этом случае угол а= (я—2) X
X 180°1п больше угла β = 2 · 360°!п и поэтому точка Вк
принадлежит отрезку ОАк. Заметим (это очень важно!),
что точки В1, В2, ..., Вп тоже находятся в узлах сетки.
Проделаем описанную
процедуру с многоугольни¬
ком ΒιΒ2 ... Вп. Получим
правильный многоугольник
С1С0... Сп, вершины которо¬
го находятся: а) в узлах;
б) на отрезках ОАк\ в) бли¬
же к точке О, чем Вк. По¬
скольку на отрезках ОАк ле¬
жит конечное число узлов,
повторение этой процедуры
рано или поздно приведет
к противоречию.
В случае правильного пятиугольника рассуждение
остается в силе с той лишь разницей, что теперь точки Вк
будут располагаться не на отрезках ОАку а на их про¬
должениях.
Для п = 3 или 6 приведенное доказательство неосу¬
ществимо (почему?). Заметим, что три вершины пра¬
вильного шестиугольника образуют правильный тре¬
угольник, поэтому достаточно рассмотреть этот треуголь¬
ник. Допустим, нам удалось «удобно» его расположить
на клетчатой бумаге (рис. 4). По теореме Пифагора
квадрат длины стороны треугольника ΑιΑ2Α3— целое
число (размеры клетки считаем 1X1), значит, его пло¬
щадь S = а2У 3/4 — число иррациональное. С другой
стороны, треугольник ΑιΑ2Α3 получается из некоторого
ϊ2
щ
щ
т
ψ
ш
т
Ψ
щ
1
У
А
Ψ
iffl.
*3
~г
Рис. 4
11
прямоугольника с целочисленными сторонами выбрасы¬
ванием прямоугольных треугольников с целыми катета¬
ми, площадь которых — целое или полуцелое число. Но
тогда S = т или т + 0,5, где т — целое число.
Задача 1. Может ли удобно расположиться на клетчатой плос¬
кости Неправильная фигура в виде прямоугольного треугольника,
длины сторон которого — целые числа? (Расположение, при котором
хотя бы одна сторона идет по линиям сетки, Неправильные фигуры
не считают удобным.)
При рассмотрении примера 1 мы ви-
Сложение дели, что для любых трех узлов вся-
ючек кая четвертая точка, дополняющая
этот треугольник до параллелограм¬
ма, тоже попадает в узел. Говорят, что множество всех
узлов замкнуто относительно описанной операции. Опре¬
делим эту операцию.
Существует три способа дополнения данного тре¬
угольника MNP до параллелограмма. Рассмотрим один
из них: соединяем точку Р с серединой К отрезка MN
и на полученной прямой откладываем отрезок /(L = РК-
Точка L — искомая. Эту точку назовем суммой точек М
и N (при выбранном полюсе Р). Запишем L = М + N
р
(читается: «М плюс N над Р») или, если полюс подразу¬
мевается, L = М + N.
Данное определение годится и в том случае, если точ¬
ки Μ, N и Р лежат на одной прямой (тогда параллело¬
грамм MPNL как бы сплющивается в отрезок) или даже
если некоторые из них (или все три) совпадают.
Таким образом, сумма любых двух узлов сетки над
любым третьим узлом есть узел.
Задача 2. В плоскости даны два треугольника АВС и DEF
и точка Р. Пусть Ф — множество всех точек М + ДО, где М лежит
р
внутри треугольника ABCt а N — внутри треугольника DEF.
12
Докажите:
а) что фигура Ф — многоугольник; сколько сторон он может
иметь?
б) что его периметр равен сумме периметров исходных тре¬
угольников.
Сложение точек тесно связано со сложением векто-
—► -> —►
ров: L = Μ + N равносильно PL = PM + ΡΝ и обладает
р
теми же свойствами. Перечислим их.
Г. Справедлив сочетательный (ассоциативный) закон
А -{- (В С) = (А В) С
р р р р
для произвольных точек Л, В и С.
2°. Точка Р служит нейтральным элементом, т. е. для
любой точки А
Р + А=А.
р
3°. По известной сумме и одному из слагаемых (при
заданном полюсе Р) можно восстановить другое слагае¬
мое, т. е. уравнение
А + Х = В
р
разрешимо, каковы бы ни были точки А и В.
4°. Имеет место переместительный (коммутативный)
закон
A -f- В = В А
р Р
для всех А и В,
Все эти свойства, кроме первого, очевидны. Для про¬
верки свойства 1° построим сначала точки М = А + В
р
и N = В + С (рис. 5). Тогда отрезки AM, РВ и CN рав-
р
ны и параллельны, следовательно, середины отрезков
13
МС и AN совпадают, а значит, М -f С = А + N, что и
Р Р
требовалось.
Как и для чисел, точка Ху удовлетворяющая уравне¬
нию А + X = В, называется разностью точек В и А и
р
обозначается В — А. Свойство 3° означает, что вычита-
р
ние определено для любых точек А и Ву причем X опре¬
деляется по Л и В однозначно (как и четвертая вершина
параллелограмма РАВХ).
При выкладках, в которых встречается сложение и
вычитание, можно пользоваться обычными правила¬
ми раскрытия скобок, например А—(В — С + ^) =
= Л — В + С — D при одном и том же полюсе (докажи¬
те это!).
Пример 2. Найти А + В + С, где М — точка пересече:
м м
ния медиан треугольника АВС.
Точка D = А + В лежит на продолжении медианы
м
С К, причем DK = KM = MC/2. Следовательно, DM = МС
и D + C = М.
Интересно, что точка пересечения медиан М — это
единственная точка, для которой А + В + С = М, Чтобы
мм
14
и этом убедиться, нам нужно вначале научиться заменять
один полюс другим в суммах и разностях. Докажем сле¬
дующие равенства:
A + B = A + B-Q\ A-B=A-B + Q.
Q Р Р Q Р Р
Первое соотношение, переписанное в виде (А+β) +Q =
Q Р
= А + β, легко доказывается построением (рис. 6).
р
Чтобы убедиться в справедливости второго равенства,
проверим, является ли точка А — В + Q решением урав-
р Р
нения В + X = А. В самом деле, пользуясь первой из
Q
доказываемых формул, получаем
В+(Л-Я + <2)= Р+(Л-Р + <2)-<Э = Л.
Q Р Р Р Р Р Р
Любопытно, что левые части рассматриваемых ра¬
венств не зависят от точки Р. Следовательно, ее выбор
произволен.
Задача 3. Выясните, в каком случае точка
At -f- Аг -{-... “f· Ah — Bi — Bz — ... — Bit
где все операции выполняются над одним и тем же полюсом, не за¬
висит от выбора последнего.
Продолжим обсуждение примера 2. Предположим,
что некоторая точка N обладает тем же свойством, что
и точка пересечения медиан, т. е. А + В + С = N. Тогда
N N
АА-В + С — N — N = N (полюс нейтрален относитель-
N N N N
но сложения), но выражение в левой части этого равен¬
ства, согласно результату задачи 3, не зависит от выбора
полюса. В частности, если в качестве полюса взять точ¬
ку М (пересечение медиан нашего треугольника), полу¬
чим М — N — N = N, т. е. JV + Ν’ + ^ = М и N = jW.
мм мм
15
Задача 4. Докажите, что А + В + С = //, где О — центр окруж-
о о
ности, описанной вокруг треугольника АВС, а Н — его ортоцентр
(точка пересечения высот).
Операцию умножения точек плоско-
Умножение точки сти на число а при выбранном по-
на число люсе Р обозначим ар и определим
следующим образом. Точка арА=В
лежит на прямой РА на расстоянии |а||РЛ| от полю¬
са Р. Если а > 0, то точки А и арА лежат по одну сто¬
рону от Р, а если а < 0,— то по разные. Кроме того,
будем считать, что при умножении любой точки на нуль
получается полюс, так же как и при умножении полюса
на любое число.
Используя векторы, операцию умножения точки на
число можно определить равенством РВ = аРА, откуда
следует:
5° 1РА = А
6< αΡ(βρΛ) = (αβ)ρΛ.
7°. (а -Г- β)ρ^ = ο,ρΑ -f- βρΛ.
8°. ар (A -j- В) = ар A -J- а рВ
р Р
для любых чисел а и β и любых точек Л, В и Р.
Умножение точек на числа связано со сложением сле¬
дующим образом: прА = А + А + ... + А (п раз) для
р р р
натурального п. Отсюда и из свойства 6° следует, что
точку (1/2)РА можно определить как решение уравнения
X + X = А (проверьте это!).
р
Рассмотрим выражение
ар A -f- βρβ ωρΖ = S.
p P P
Вообще говоря, точка S зависит от выбора полюса,
однако, как видно из задачи 3, в некоторых случаях S
16
не зависит от выбора Р. Это может случиться и тогда,
когда коэффициенты α, β о в выражении точки 5
дробные. Например, точка М = 0,5Л + 0,5в = 0,5(Л + В)
независимо от положения полюса попадает в середину
отрезка АВ.
Задача 5 (обобщение задачи 3). Найдите необходимое и доста¬
точное условие, налагаемое на коэффициенты α, β, ..., ω, при кото¬
ром точка арА + βρΒ + ... + ωρΖ не зависит от выбора полюса Р.
р р р
Кстати, через А и В легко
выразить любую точку прямой
А В. Пусть С делит отрезок АВ
в отношении k : / (это означа¬
ет, по определению, что / »ЛС=
=k-CB). Возьмем на плоско¬
сти произвольную точку Р, не
лежащую на прямой АВ, и бу¬
дем считать ее полюсом. Проведем через С прямые, па¬
раллельные РВ и РА, до пересечения с РА и РВ соответ¬
ственно в точках А' и В' (рис. 7). По теореме Фалеса:
\РА'\' \]ВС\ I |РР'| IЛСI /
| РА | 1=1 \ВА\ ^ к + l ; |РЯ| — \АВ\ “ к+1 *
I к
Обозначив ~kj£j через a, a k_^_l β, получим С = Л' +
+ В' = аЛ + ββ, причем а + β — 1. Верно и обратное:
каковы бы ни были неотрицательные числа а и β, при¬
чем а + β = 1, точка С = аА -f- ββ принадлежит отрез¬
ку АВ.
Если в выражении С — аЛ + ββ, где а + β = 1, один
из коэффициентов α, β отрицателен, точка С по-прежнему
будет лежать на прямой АВ, но теперь уже вне отрезка
АВ. Изменив должным образом рис. 7, проверьте, что и
17
/ k
в этом случае а = j , β = , если &:/ — отноше¬
ние (теперь уже отрицательное), в котором С делит АВ.
Итак, прямая АВ — это множество всех точек вида
аА + (1 — а)5, где а — любое число, а отрезок АВ — это
множество точек такого же вида, где 0 ^ α 1. Под¬
черкнем, что по построению (а также по результату за¬
дачи 5) такое описание прямой и отрезка не зависит от
выбора полюса.
Задача 6. Определите подобным образом множество всех внут¬
ренних точек выпуклого многоугольника с вершинами Αι, А2, ..., Ап,
в частности треугольника.
Теперь вы можете вернуться к задаче 2, так как рас¬
полагаете всеми возможностями для успешного ее ре¬
шения.
Задача 7. Докажите, что средние линии четырехугольника и от¬
резок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой пополам.
Вернемся к примеру 2. Точка М
центр пересечения медиан треугольника
тяжести АВС была описана неявно, как
(единственное!) решение уравнения
А + В + С = М. Сейчас можно явно выразить М через
м м
Л, β и С. В самом деле, умножая обе части данного урав¬
нения на 1/3, получаем (1/3) м(А + В + С) = Αί. Соглас-
м м
но результату задачи 5, выражение в левой части этого
равенства не зависит от выбора полюса, поэтому ответ
можно записать так: М = (1/3) (А + В + С).
Точка М пересечения средних линий четырехугольни¬
ка ABCD (см. задачу 7) аналогично выражается через
его вершины: М = (1/4) (А + В + С + D).
18
Среднее арифметическое нескольких точек называют
центром тяжести системы, состоящей из этих точек: М =
= (\/п) (А{ + Л2 + ... + Ап) (независимо от полюса!).
Так, центр тяжести треугольника* — это точка пересе¬
чения его медиан. Таким образом, задачи, связанные с
отысканием центра тяжести геометрических фигур, удоб¬
но решать с помощью введенных нами операций над точ¬
ками.
Пример 3. Пусть точки Л, В и С лежат на одной пря¬
мой, а точки Е и F — произвольные. Доказать, что цент¬
ры тяжести треугольников AEFy BEF, CEF лежат на
одной прямой.
Выразим центры тяжести треугольников через их вер¬
шины:
-±-(A + E + F) = K; -±-(B + E + F) = L; 4~(С + £ +
+ F) = M.
Но, по условию, точка С лежит на прямой АВ. Поэтому
С — о.А + (1 — а) В и, следовательно, α/С + (1 — а) L —
= -^-(A + E + F) + (В + Е + F) = 4- (С + Е +
+ F) = М. А это означает, что точка М лежит на пря¬
мой /(L.
Задача 8. Пусть Л, В, С, D, £, F — середины последовательных
сторон некоторого шестиугольника. Докажите, что точки пересечения
медиан треугольников АСЕ и BFD совпадают.
Задача 9. В четырехугольнике ABCD точка Е — середина АВ,
К — середина CD. Докажите, что середины отрезков А /С, СЕ, В К
и ED являются вершинами параллелограмма.
Задача 10. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, К, L,
Μ, N — центры тяжести треугольников BCD, ACD, ABD, АВС. Дока¬
жите, что отрезки АКУ BL, CM, DN пересекаются в одной точке и
каждый из них делится этой точкой в отношении 3:1.
* Точнее, системы его вершин. Следует различать центр тяжести
системы вершин треугольника, контура треугольника и сплошного
треугольника.
19
Пример 4. Доказать, что средняя линия четырехуголь¬
ника проходит через точку пересечения его диагоналей
тогда и только тогда, когда этот четырехугольник явля¬
ется трапецией.
Возьмем в качестве полюса точку О пересечения диа¬
гоналей (рис. 8). Тогда С = аЛ, D = ββ для некоторых
а и β. Следовательно, К = -γ (A -f β), L =-γ (αA +
А К В
+ ββ). Если AB\\CD, то из подобия треугольников ОБА
и ODC а = β, поэтому L = аК и точки КУ L, О лежат на
одной прямой.
Если же, наоборот, точки К и L лежат на одной пря¬
мой с точкой О, то одна из них может быть получена из
другой умножением на некоторое число при полюсе О:
L = уК. Отсюда аА + βΑ = уА + уВ и (а —- у)А =
= (γ — β)Но точки (а —у)Л и (γ — β)β лежат на
прямых ОА и ОВ соответственно. Совпасть они могут
только в том случае, когда представляют собой точку
пересечения прямых, т. е. О. Следовательно, а — γ = О
и γ — β = о, откуда α = β и, значит, прямые АВ и CD
параллельны.
20
Задача 11. Используя введенные операции над точками, дока¬
жите, что центр тяжести треугольника делит каждую медиану в от¬
ношении 1 : 2.
Задача 12. Прямая отсекает от параллелограмма треугольник,
стороны которого составляют 1/3 и 1/4 соответствующих сторон па¬
раллелограмма. Какую часть диагонали отсекает эта прямая?
За1метим, что для точек пространства сложение и
умножение на число можно определить точно так же, как
и для плоскости.
При разборе примера 4 мы исполь-
Координаты зовали следующий важный факт:
если точки М и /V не лежат на одной
прямой с полюсом, то равенство αΜ + βΝ = γΛί + 6N
возможно лишь при а = γ и β = δ. Действительно, это
равенство можно переписать
в виде (α—γ)Αί= (δ—β)Ν,
а отсюда, как и в примере 4,
можно заключить, что α=γ
и β = δ.
Выберем на плоскости
полюс Р и некоторые две
точки М и /V, не лежащие
с ним на одной прямой. Тог¬
да любую точку Ζ можно
представить в виде Ζ=χΜ-\-
+yN (рис. 9). Назовем точ¬
ки М и /V базисными, выра¬
жение данной точки Z через
М и N — ее разложением по
базисным, а числа х и у — координатами точки Z в бази¬
се Λί, N (при полюсе Р)*. Приведенное выше рассужде¬
ние означает, что координаты х и у определяются по точ¬
ке Ζ однозначно, поэтому мы получаем взаимно одно¬
* Если угол ΜΡΝ прямой и отрезки РМ и ΡΝ имеют единичную
длину, то получаются обычные декартовы координаты.
21
значное соответствие между точками плоскости и пара¬
ми действительных чисел.
Ясно, что при сложении точек их координаты склады¬
ваются, а при умножении на число — умножаются на это
число:
(аМ + bN) + (сМ + dN) = (а + с) М + (Ь + d) N;
а (аМ + bN) = (аа)М +(а b)N.
Использование координат позволяет отождествлять
точки плоскости с парами действительных чисел и пере¬
водить геометрические понятия на язык алгебры. Тогда
под геометрической фигурой можно понимать множество
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
некоторому уравнению. Поскольку, например, любая точ¬
ка прямой MN имеет вид хМ + yN, где х + У = 1, мож¬
но рассматривать последнее соотношение как уравнение
этой прямой.
Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку К с координатами а, Ъ параллельно пря¬
мой MN.
Пусть М' и W — точки пересечения этой прямой с
прямыми РМ и PN соответственно. Так как M'N'\\MNy
то Λί' = Ш, Ν' = Ш при некотором t (рис. 9). Любая
точка Z прямой M'N' равна аМ' + βΛΓ, где α + β= 1,
т. е. Ζ = atM + β/Af, причем at + β/ = t. Таким образом,
координаты х = at, у = $t точки Z удовлетворяют урав¬
нению х + у = t, где /, однако, пока неизвестно. Чтобы
его найти, воспользуемся тем, что точка К лежит на М'ИГ
и, значит, при подстановке в уравнение прямой ее коор¬
динат (а, Ь) получается верное равенство: а + b = /.
Итак, искомое уравнение х + У = а + Ь.
Задача 13. Найдите уравнение прямой, проходящей через дан¬
ную точку К (а, Ь) и параллельной РМ; параллельной PN; проходя¬
щей через полюс Р.
22
Пример 6. Предположим, что внутри некоторого тре¬
угольного участка Флатландии законы оптики таковы,
что луч света, параллельный одной стороне этого тре¬
угольника, падая на вторую его сторону, после отраже¬
ния принимает направление третьей стороны. Доказать,
что флатландец, находящийся внутри этого треугольника
м пускающий луч света параллельно одной из его сторон,
освещает свою спину.
в
Введем во Флатландии систему координат, приняв
одну из вершин данного треугольника за полюс, а две
другие — за базисные точки (рис. 10). Пусть флатландец
находится в точке /С(а, Ь) и направляет луч света парал¬
лельно ΡΝ в сторону РМ. Точка А, в которой этот луч
отразится от прямой РМ, имеет координаты (а, 0), по¬
скольку, с одной стороны, ΚΑ\\ΡΝ и, значит, первая коор¬
дината точки А такая же, как и К (см. задачу 13), а
с другой стороны, А лежит на прямой РМ и, значит, ее
вторая координата — нуль.
Отрезок АВ отраженного луча параллелен ΜΝ. Со¬
гласно примеру 5, уравнение прямой АВ х-\-у = а, ибо а
есть сумма координат точки А. Для точки В х = 0, по¬
23
скольку она лежит на ΡΝ. Следовательно, вторая коор¬
дината точки В будет равна а.
Рассуждая подобным образом, получаем, что коорди¬
наты точек, в которых луч встречает стороны треуголь¬
ника MNP, таковы: С(1 — а, а), D(1 — а, 0), £(0,1 — а),
£(а, 1 — а). Прямая FK параллельна PN, поэтому луч
возвращается в точку /С, причем с другой стороны.
Луч света, однако, может вернуться в точку К рань¬
ше, чем пройдет всю шестизвенную ломаную ABCDEF
и попадет флантландцу не в спину, а в бок.
Задача 14. Найдите множество всех точек внутри треугольника
MNP, для которых утверждение примера 6 не выполняется.
Задача 15. Внутри треугольника АВС взята точка /С. Прямые
АКу ВК и С К пересекают стороны ВС> С А и АВ в точках D, £,
KD КЕ KF
F. Докажите, что ~АЁГ ~~CF~ ~ 1 (рис*
Задача 16. Докажите, что прямые AD, BEt СF (рис. 11) пере-
AF BD СЕ
секаются в одной точке тогда и только тогда, если —рте—пг—гГл~ —
= 1 (теорема Чевы). ис LA
Задача 17. На сторонах АВ и СВ треугольника АВС отклады¬
ваются отрезки АЕ и CF одинаковой длины. Найдите множество се¬
редин отрезков EF.
Мы научились умножать точки плос-
Умножение кости на числа. Но действительные
точек числа можно изображать точками
некоторой прямой. Разместим эту
(числовую) прямую на плоскости так, чтобы ее нулевая
точка совпала с полюсом Р, относительно которого будем
рассматривать сложение точек и умножение их на чис¬
ла. Единичную точку числовой прямой обозначим Е
(рис. 12, а).
Если точки А и В изображают числа а и 6, то а + b
изображается суммой точек А и В (рис. 12,6), т. е. опе¬
рации сложения чисел и сложения точек согласованы
между собой. Определим умножение точек прямой РЕ
24
так, чтобы оно было тоже согласовано с умножением
чисел (рис. 12, в), т. е. АВ = аРВ = ЬРА.
Возникает естественный вопрос: можно ли распро¬
странить операцию умножения на все точки плоскости
гак, чтобы при этом оставались в силе обычные правила,
приведенные ниже.
Рис. 12
Рис. 13
9°. Ассоциативность умножения:
(АВ)С = А{ВС).
10°. Коммутативность умножения:
АВ = ВА.
11°. Дистрибутивность умножения относительно сло¬
жения:
А (В + С) = АВ + ЛС.
Кроме того, потребуем, чтобы новая операция была сле¬
дующим образом согласована с умножением точек на
числа: произведение точек плоскости па точки числовой
прямой (расположенной в плоскости!) должно совпадать
с произведением этих точек на соответствующие действи¬
тельные числа, т. е. ΑΖ = αΡΖ, если точка А изображает
число а. В частности, должно выполняться равенство
ΙΙΖ = 1ΡΖ = Ζ.
25
Пока неясно, сколькими способами можно ввести
умножение точек плоскости, удовлетворяющее всем пере¬
численным требованиям, и возможно ли это вообще. Ока¬
зывается, таких способов очень много, причем среди них
только три существенно различны. Вскоре мы в этом убе¬
димся. j
Пример 7. Пусть EABCDK — правильный шестиуголь-1
ник с центром в полюсе Р (напомним, что Е — единична^
точка) и А2 = В при некотором выборе операции умной
жения. Найти все попарные произведения вершин шести-]
угольника. ]
Разложим все вершины по базису Е, А при полюсе Р
(рис. 13): В = А — Е, С = — Е, D = - Л, К = Е - Ai
Попарные произведения базисных точек известный
Е2 = £, ЕА = Л, А2 = В. Пользуясь дистрибутивностью и
другими свойствами умножения, находим: ВК= (А—Е) >d
X (Е—А) = —А2+2АЕ—Е2 = —В+2А—Е = (Л-В)-Н
+ (Л — £)=£ + В = А. Подобным образом определяй
ются и все остальные произведения. Ответ можно офорл
мить в виде следующей таблицы умножения: |
Е
А
В
С
D
К
Е
Е
А
В
С
D
к
А
А
В
С
D
к
Е
В
В
С
D
к
Е
А
С
С
D
к
Е
А
В
D
D
к
Е
А
В
С
К
к
Е
А
В
С
D
26
Отметим, что множество вершин шестиугольника при
пыбранном нами способе умножения замкнуто, т. е. про¬
изведение любых двух вершин снова является вершиной.
Задача 18. Является ли множество вершин шестиугольника
ткнутым относительно умножения, при котором: а) А2 = Л;
и) А2 = Р? Составьте соответствующие таблицы умножения.
Задача 19. Составьте таблицу умножения правильного пяти¬
угольника EABCD (его центром является полюс Р), если известно,
что А2 = В.
Возьмем на плоскости, кроме полюса Р и единичной
точки Е, еще одну (произвольную) точку Fy не лежащую
на прямой РЕ, т. е. образующую вместе с точкой Е ба¬
зис. Как видно из примера 7, умножение точек плоскости
будет полностью определено, если мы будем знать точ¬
ку F2, которую в свою очередь можно разложить по ба¬
зису: F2 = αЕ + β/\ Постараемся выбрать вторую базис¬
ную точку (вместо F) так, чтобы разложение ее квадрата
но базису выглядело наиболее просто.
Пусть G = F Е. Так как FG || РЕ, точки Е и G
могут служить новым базисом и G2 = (F |-£)2 =Е2—
-β£Γ+ -^£2 = α£ + βΓ-βΓ Ё_£ = ^а+
При этом возможны три случая:
02
а) а+4" = 0 (сравните с задачей 1861). Тогда про¬
изведение точек аЕ + bG и сЕ + dG равно асЕ +
-f (ad bc)G. Попробуем найти частное от деления Е
на G, т. е. такую точку Z = хЕ -f- ί/G, что GZ = Е. Но
GZ= G(xE + yG) = xG. Очевидно, что ни при каком зна¬
чении х (и у) эта точка не совпадает с Е. Значит, разде¬
лить Е на G невозможно;
β2 ]
б) а + > 0. Обозначая —, G буквой Н,
1 4 У а + β2/4 J
27
имеем Я2 = Е (сравните с задачей 18а, в которой тоже
есть точка, отличная от Е и —Е, а именно, Е — 2Л, квад¬
рат которой равен Е). Тогда произведение двух точек за¬
писывается так:
(аЕ + ЬН) (сЕ + dH) = (ас + bd)E + (ad + be)Η.
При таком умножении деление тоже выполнимо не всег¬
да. Проверьте самостоятельно, что не существует точки Ζ,
удовлетворяющей равенству (Е -}- Η)Ζ = Я;
β2 |
в) α + -ξ— <0. Положим / =—.. — — G. Тогда
; 4 1/1 а + р*/41
/2 = — Е. Очевидно, что точки Е и I не лежат на одной
прямой с полюсом Р, поэтому по ним можно разложить
любую точку плоскости. Пусть М — аЕ-\-Ы, N = cE-\-dE.
Тогда
MN = (аЕ + Ы) (сЕ + dl) = (ас — bd)E + (ad + be) I.
Проверим, что в этом случае деление на любую точку,
кроме полюса, всегда выполнимо. Разделим точку М =
= аЕ + Ь1 на точку N = сЕ + dly отличную от Р (это
значит, что числа с и d не равны нулю одновременно).
Частное М : N — это такая точка Ζ = хЕ + ί/Λ что
ΝΖ = Му или
(сЕ + dl) (хЕ + yl) = аЕ + Ы.
Это уравнение равносильно следующей системе:
сх — dy = α, 1
dx + cy = bt J
ас + bd be — ad
решая которую, получаем: g2 У= с* + (р--·
Итак, из трех рассмотренных случаев только в одном
умножение точек обладает всеми свойствами умножения
чисел. Заметим, однако, что и в этом (третьем) случае
умножение определено далеко не однозначно: все зави¬
28
сит от того, где находится тонка /. Пусть, например,
РЕАВ (где Р — нулевая, а Е — единичная точка)— квад¬
рат. Чему равно Л2? Если / совпадает с точкой Л, то
Л2 = — Е. Если же I попадает в точку В, то
Л2 = (В + Е)2 = В2 + 2ВЕ + £2 = _ £ + 2В + Е = 25.
Из всех возможных способов задания умножения то¬
чек выберем один — будем считать, что расстояние PI
равно единице и угол EPI прямой,— и изучим его по¬
дробнее.
Поскольку точки прямой РЕ отож-
Комплексные дествляются с действительными чис-
числа лами, естественно считать, что точки
всей плоскости, относительно кото¬
рых введены алгебраические операции, это тоже некото¬
рые числа, составляющие более широкое множество, чем
действительные. Назовем их комплексными. Будем отож¬
дествлять точки действительной оси (прямой РЕ) с соот¬
ветствующими действительными числами (так, точку Р
обозначают 0, а Е— 1), а вместо / писать i. В соответ¬
ствии с этими обозначениями определим операции над
комплексными числами:
(а + Ы)-\-{с + di) = (а + c)+’(b + d)i\
(а + Ы) — (с di) = (а — с)-\-(b — d) I;
(а + bi) (с + di) = (ас — bd) + (ad + be) i\
a-\-bi _ ac + bd . be — ad .
c + di c2 -f- d2 + c2 + d2 L
Заметим, что все действия выполняются так же, как
и над обычными числами (точнее, над многочленами от
«переменной» /), но при этом учитывается равенство
/2 = — 1 *. Учитывая последнее равенство, число /, не
* Чтобы получить с помощью этого общего правила приведен¬
ное выражение для частного, надо умножить числитель и знамена¬
тель дроби на с — di.
29
являющееся действительным, называют мнимой еди
ницей.
Задача 20. Выполните действия:
Пусть г — а-\ Ы. Расстояние от точки г до 0 называ¬
ется модулем комплексного числа г и обозначается |г|.
Поскольку а и b — декартовы координаты точки г, имеем
| г | = у"а2 + Ь2. Например, при любом t модуль чисел
cos t +1 sin t и t _^(2 + — -_^(2 i равен 1.
Расстояние между двумя комплексными числами z
и w равно | z — w |, так как точки 0, z, w, z — w распо¬
лагаются в вершинах параллелограмма.
Задача 21. Найдите множество точек г, для которых:
а) |г + 3|=5; б) |г + 4| = |г - 2/|;
в) сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна
данному числу.
Принимая во внимание, что ]^а2 + Ь2 есть расстояние
между двумя точками плоскости, при решении алгебраи¬
ческих задач можно использовать геометрические мето¬
ды и иллюстрации.
Пример 8. Доказать неравенство
Обозначим Ζι = αι + b\iy ... , ζη = αη + bni и рас¬
смотрим ломаную с вершинами в точках 0, ζι, Ζι + ζ2, ...,
Ζι + ζ2 + . ·. + ζη. Левая часть доказываемого нера¬
венства выражает длину этой ломаной, а правая — рас¬
стояние между ее начальной и конечной точками.
,3 — 5/
a) j _|_ t· —i(3-f4/)-[-
V^ + bi+V^ + bl + ... + Val + ban>
У (а, -(- о, + ·.. + ап)2 + (6Х -[- Ьг ... + Ь„)2.
30
Задача 22. Докажите неравенство
Vή + ν-χύ' + Υxl + (i-x3)*+.. .+Vχ\0 + {\-Χιγ>7.
Угол, на который нужно повернуть луч 01 против ча¬
совой стрелки так, чтобы он прошел через точку 2, назы¬
вается аргументом комплексного числа ζ и обозначает¬
ся arg2.
Задача 23. Найдите аргументы следующих комплексных чисел:
Комплексное число полностью определено, если извес¬
тен его модуль г и аргумент φ. В самом деле, как видно
из рис. 14, г = х + yij где х = г cos φ, у = г sin φ и, зна¬
чит, 2 = r(cos<p+ i sirup). Эта запись называется триго¬
нометрической формой комплексного числа.
Соответствие между комплексными числами и па¬
рами (г, φ) не вполне взаимно однозначно: аргумент чис¬
ла 0 не определен (его можно считать равным любому
углу), а для всех остальных чисел он определен лишь
Л
Рис. 14
Рис. 15
2, /, — 3, —2/, 1 +/, КЗ — /.
31
с точностью до целого числа оборотов. Так, аргументом
числа 1 можно считать 0°, 360°, —360°, 720° и т. д.
Пару (г, ф) можно все же считать координатами точ¬
ки г. Эти координаты называются полярными. Они ши¬
роко используются в радиолокации: чтобы определить
местонахождение самолета, сначала находят пеленг или
азимут (угол), а затем измеряют дальность (рас¬
стояние).
Уравнения некоторых фигур удобно записывать в по¬
лярных, а не в декартовых координатах.
Задача 24. Используйте полярные координаты для решения сле¬
дующих задач:
а) изобразить линию, заданную в полярных координатах урав¬
нением г= |cos Зф |;
б) найти уравнение цветка с шестью лепестками (рис. 15). По¬
пробуйте переписать это уравнение в декартовых координатах.
Понятия модуля и аргумента позволяют описать
умножение комплексных чисел весьма просто. Отметим,
что справедливы следующие соотношения:
\zw\ = \z\|ш|; arg(zw) = arg 2 + arg w.
Первое из них следует из тождества (ас — bd)2-\-
+ (ad + be)2 = (α2 + b2) (с2 + d2).
Докажем второе соотношение. Пусть г = г(соьфН-
+ i 8ίηφ), w = s(cos ψ + i sin ψ). Тогда zw = ns (cos φ +
+/ sin φ) (cos ф+ί sin ψ) = rs ((cos φ cos ψ — sin φ sin ψ) +
+ ί (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ)) и на основании тригоно¬
метрических формул
zw = rs (cos (φ + ψ) + i sin (φ + ψ)).
Это доказательство, несомненно, очень понравится
любителям тригонометрии. Чтобы не обидеть остальных
читателей, приведем другое доказательство, из которого,
кстати, можно получить формулы синуса и косинуса
суммы двух углов.
32
Рассмотрим два треугольника с вершинами в точках
О, 1, ζ и 0, w, zw (рис. 16). Так как |α>|: 1 = |ζα>|:|ζ| =
-= \ zw — w\: |z — 1 [, то стороны треугольников пропор¬
циональны, сами они подобны, а их соответственные углы
равны. Из равенства углов, отмеченных на рис. 16, сле¬
дует, что arg(ztw) — arg z -|- arg w.
zw
Итак, при умножении комплексных чисел их аргумен¬
ты складываются, а модули перемножаются. Поэтому
(г (cos φ -f- i sin<p))" = rn (cos щ + i sin ζζφ).
Задача 25. Зная, что z -f- ■— = 2cos а, докажите, что
г" -f- -pr = 2 cos па.
Вернемся к задаче 20в. Использовав тригонометричес¬
кую форму комплексного числа, можно решить ее без
1 1/3
всяких ухищрений. Обозначим —1 буквой ζ. Тог¬
да |ζ| = 1, arg ζ = — 60° и, следовательно, |ζ1983| =
2 Зак. 541
33
= |ζ|ΐ983 = 1, a arg ζ1983 = 1983(—60°) = —661 . 180°. Зна¬
чит, ζ1983 = —1.
Заметим, что различные степени числа ζ располага¬
ются только в шести точках — вершинах правильного
шестиугольника (рис. 17). Любопытно, что любое из этих
чисел может быть корнем шестой степени из 1, ибо
(ζ^)β= — \k \ Вообще, при любом натуральном п
существует ровно п корней п-й степени из 1, которые
образуют правильный /г-угольник. В этом можно убе¬
диться, решив уравнение zn = 1 в тригонометрической
форме.
Пример 9. Найти произведение всех диагоналей и
двух сторон, выходящих из одной вершины правильного
/г-угольника, вписанного в окружность радиусом 1.
Выберем полюс в центре данного многоугольника,
а данную вершину примем за единичную точку. Все
вершины многоугольника удовлетворяют уравнению
2П — 1 = 0, и, следовательно, все вершины, кроме Λι,
являются корнями уравнения 2η_1-}-2:η-2+.. .+z+l =0,
полученного делением многочлена гп—\ на z—l. У мно¬
гочленов г71”1 +'... + г + 1 и (ζ—А2) (ζ—Аз) · · · (ζ—Αη)
старшие коэффициенты равны 1, а корни одни и те же.
Следовательно, эти многочлены тождественно равны и их
значения при z = At совпадают: .
(А, - А2) (А, — А3)... (Лх - Ап) = АГ' Н-. ·. I- А -|- 1
(напомним, что А = 1). Поэтому | А — А| | А — А| · · ·
Hi — Ап\ = п.
Задача 26. Правильный многоугольник А\Аг...Ап вписан в
окружность единичного радиуса, А — точка на этой окружности.
Найдите сумму квадратов расстояний от А до вершин много¬
угольника.
Деление — действие, обратное умножению, поэтому
справедливы следующие тождества:
34
г
w
= -j^P arg^r = argz-argw.
Последнее соотношение позволяет выразить угол на
плоскости через его вершину и две точки, лежащие на
сторонах: φ = arg Zl ~*3 ■ (рис. 18). Приведем два при-
Ζ2 Ζ3
мера использования этой формулы: в первом геометри¬
ческая задача решается с помощью алгебры комплекс-
в С G н
пых чисел, а во втором, наоборот, алгебраическая задача
решается геометрическими методами.
Пример 10. Доказать, что сумма углов DAH, FDH и
KFH (рис. 19) равна прямому углу.
Будем считать, что А = 0, D = 1 и В = i. Тогда F =
=2, /С=3, Я=3+/. Следовательно, /_ DAH=arg =
= arg(3 + i), ZFDH = arg y~y = arg(2 + t), откуда
Z DAH + Z FDH = arg (3 + i) (2 + i) = arg (5 + 51) -45°,
что и требовалось.
Пример 11. Доказать, что если гъ z2, z3, z4 — различ¬
ные комплексные числа, модули которых равны, то число
Σι ~~ 7,3 : действительное.
г2 — ζ3 ζ2 — ζΛ
2*
35
Данные четыре точки лежат на окружности с центром
О. Точки ζχ и ζ2 разбивают эту окружность на две дуги.
Если точки г3 и г4 находятся на одной дуге, то углы
ζχζ3ζ2 и ζχζ4ζ2 равны как вписанные углы, опирающиеся
на одну дугу. Значит, arg--1-"'----- = arg и
Z2 — Z3 г2 —
arg ί-у^у- : γ Ξт. е. рассматриваемое отноше¬
ние — действительное положительное число. Если же точ¬
ки ζ3 и г4 принадлежат разным дугам, то углы ζχζ3ζ2 и
ζ2ζ4ζχ отсчитываются в одном направлении и в сумме
составляют 180°, значит, arg: --1 —М =
\гш — га 2i )
= argi—: Ζ2~Ζλ-\ =а 180°, т. е. в скобках стоит
ч — ч гг — гй)
действительное отрицательное число.
Утверждение примера 11 очевидным образом обоб¬
щается: оно имеет место для любых четырех комплекс¬
ных чисел, лежащих на окружности либо на прямой.
Верно и обратное: если указанное выражение представ¬
ляет собой действительное число, то четыре точки лежат
на одной окружности либо на одной прямой.
Задача 27. Докажите, что из любых пяти точек плоскости, ни¬
какие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать
три таким образом, что треугольник, ими образованный, будет иметь
хотя бы один угол, не больший 36°.
Задача 28. Пусть комплексные числа Ai, А2, ...» Ап располо¬
жены в вершинах выпуклого многоугольника. Докажите, что всякое
комплексное число z, удовлетворяющее соотношению
z-A1 + T=^7 + · · · + г-Ап = °’
находится внутри этого многоугольника.
ДВИЖЕНИЯ
Так как природа есть начало движения и
изменения, а предмет нашего исследова¬
ния — природа, то нельзя оставлять невыяс¬
ненным, что такое движение; ведь незнание
движения необходимо влечет за собой не¬
знание природы.
Аристотель
Движения плоскости — это такие ее преобразования,
которые не меняют длины отрезков и как следствие со¬
храняют многие характеристики геометрических фигур
(углы, площади), изменяя лишь их первоначальное по¬
ложение. Сравнивая полученное положение фигуры с пер¬
воначальным, часто можно легко прийти к выводам, по¬
лучить которые из других соображений затруднительно.
Даже Евклид, считавший, что «математические предме¬
ты чужды движению», несколько раз применял наложе¬
ние фигур в своих рассуждениях. Заметим, что если бы
великий геометр мог отказаться от своих философских
взглядов, он значительно упростил бы некоторые доказа¬
тельства. Так, например, рассуждения о равенстве углов
37
при основании равнобедренного треугольника АВС * ста¬
новятся очевидными, если учесть возможность такого на¬
ложения данного треугольника на себя, что вершины В
и С меняются местами.
Мы начнем эту главу с разбора примеров, решение
которых основано на применении движений плоскости,
хорошо известных читателю из школьного курса геомет¬
рии. При этом почти во всех задачах обыгрывается одна
и та же идея: части чертежа, по условию расположенные
неудачно, нужно переместить друг относительно друга
так, чтобы прояснились скрытые до этого связи между
различными элементами.
* При доказательстве этого предложения Евклид использует
чертеж с дополнительными построениями, напоминающими мост.
Это служит объяснением названия pons asinorum (мост для ослов),
данного этой теореме в средние века. Ослами считались студенты, не
усвоившие это доказательство.
38
Пример 12. Населенные пункты А
Параллельный и В расположены по разные стороны
перенос прямолинейной реки с параллельны¬
ми берегами. Требуется построить
мост ΜΝ, перпендикулярный к берегам, чтобы расстояние
ΑΜΝΒ было кратчайшим.
Если бы реки не было, то кратчайший путь из А в В
был бы прямолинейным. Попробуем «избавиться» от
реки. «Придвинем» берег, на котором находится В, к бе¬
регу, на котором находится А, перемещая его в направ¬
лении, перпендикулярном к линии берегов (рис. 20).
Пусть В' — новое положение точки В. Тогда расстояние
ΑΜΝΒ равно расстоянию АМВ'В. Положение точки В'
(а значит, и длина отрезка ВВ') не зависит от выбора
места для строительства моста. Остается выбрать точ¬
ку М на берегу так, чтобы ломаная АМВ' была как мож¬
но короче. Для этого, очевидно, в качестве М нужно взять
точку пересечения прямой АВ' с линией берега.
Задача 29. Постройте кратчайший путь, соединяющий пункты А
п /3, которые разделены двумя реками (рис. 21).
Пример 13. Вписать данный вектор в данную окруж¬
ность (т. е. построить хорду дайной окружности, равную
н параллельную данному отрезку).
39
Требуется перенести данный отрезок АВ параллельно
самому себе так, чтобы он вписался в данную окруж¬
ность С с центром в точке О (рис. 22). Оказывается, что
проще, наоборот, перенести окружность к данному от¬
резку так, чтобы он стал ее хордой. В нашем примере
вопреки известной пословице гора идет к Магомету.
Строим на отрезке АВ как на основании равнобедренный
в
Рис. 22
треугольник с боковой стороной, равной радиусу г окруж¬
ности С. Вершина D этого треугольника служит центром
окружности, описанной около отрезка АВ. При перено¬
се на вектор DO эта окружность перейдет в исходную
окружность, а образ отрезка АВ будет искомой хордой.
Предлагаем решить еще две задачи на параллельный
перенос. В первой можно воспользоваться способом, ко¬
торый мы применили в примере 13.
Задача 30. Впишите данный вектор в данный треугольник (т. е.
постройте отрезок с концами на сторонах данного треугольника, рав¬
ный и параллельный данному отрезку).
Задача 31. Постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям.
Пример 14. На плоскости даны пря-
Отражения мая I и две точки Л и В по одну сто¬
рону от нее. Требуется на этой пря¬
мой указать точку М, такую, чтобы длина ломаной АМВ
была минимальной. (Те из читателей, кто предпочитает
40
реальные задачи абстрактным, могут представить, что в
точке А находится человек с пустым ведром, в точке В —
горящий стог, а прямая I — это река.)
Если бы точки А и В располагались по разные сторо¬
ны от прямой /, решение было бы очевидным: нужно про¬
сто соединить эти точки отрезком прямой. Попробуем
исправить ситуацию, имеющую место в данной задаче:
отразим точку В симметрично относительно прямой /
(рис. 23). Тогда при любом расположении точки М на
прямой I ломаные АМВ и АМВ' имеют одинаковую дли¬
ну. Точки же Л и В', как нам того и хотелось, располо¬
жены по разные стороны от прямой /, и выбрать из всех
ломаных вида АМВ' кратчайшую не составляет труда.
Именно, точку М следует взять на пересечении прямой I
41
с отрезком А В'. Заметим, что отрезки AM и МВ образуют
рапные углы с прямой /; следовательно, по закону отра¬
жении свет всегда распространяется по кратчайшему
пути.
Задача 32. Внутри угла даны две точки: А и В. Среди всех ло¬
маных вида AMNB, где М и N лежат на разных сторонах угла, най¬
дите кратчайшую *.
Рассмотрим еще один пример, связанный с отыска¬
нием кратчайших линий.
Пример 15. В данный остроугольный треугольник впи¬
сать треугольник с наименьшим периметром.
Пусть UVW — произвольный треугольник, вписанный
в данный треугольник АВС. Отразим точку U симметрич¬
но относительно сторон АВ и ВС (рис. 24). Тогда длины
ломаных UVWU и KVWL совпадают. Поэтому из всех
вписанных треугольников с вершиной U наименьший пе¬
риметр имеет тот треугольник, для которого ломаная
KVWL является частью прямой, а именно AUMN. Если
теперь из всех «минимальных» треугольников UMN, соот-
* Можно представить, что в точке А находится ворон, в точ¬
ке В — Иван-царевич, а стороны угла — это ручьи с мертвой и жи¬
вой водой.
42
пстствующих различным положениям точки U, выбрать
тот, периметр которого будет наименьшим, то этот тре¬
угольник и будет, очевидно, искомым. Поэтому теперь
требуется найти такое положение вершины U, чтобы от¬
резок KL имел наименьшую длину.
Замечаем, что ABKL— равнобедренный (BK=BU =
= BL). А так как угол при вершине В не зависит от по¬
ложения точки U (/.KBL = 2ZA5C), то основание бу¬
дет наименьшим в том треугольнике BKL, в котором бо¬
ковая сторона ВК (равная BU\) является наименьшей.
Отрезок же BU является кратчайшим среди всех отрез¬
ков, соединяющих точку В с точками прямой АС, в том
случае, когда BU _1_ АС.
Рис. 25
Так как результат «симметричен» по отношению ко
всем вершинам искомого треугольника, то точки С, К,
W — основания высот, проведенных из точек А, 5, С.
Задача 33. Постройте треугольник, если известна одна его вер¬
шина, а также прямые, на которых расположены три его биссек¬
трисы.
Задача 34. Внутрь угла с зеркальными сторонами, величина ко¬
торого 45°, пущен луч. Докажите, что после нескольких отражений
он примет направление, параллельное исходному. Для каких других
углов наблюдается то же явление?
Задача 35. Найдите закономерность и продолжите ряд фигур,
изображенных на рис. 25.
Посмотрите на рис. 13. Очевидно,
Поворот что сумма всех вершин правильного
многоугольника с четным числом
сторон над его центром Р совпадает с Р (другими слова¬
43
ми, сумма радиусов-векторов вершин равна нулю). По¬
пробуйте, однако, доказать аналогичное утверждение в
случае многоугольника с нечетным числом сторон, напри¬
мер пятиугольника. Попытка решения этой задачи с
использованием координат сопряжена с громоздкими
тригонометрическими преобразованиями. Но трудной эта
задача кажется лишь до тех
ά пор, пока плоскость непод¬
вижна.
Пример 16. Доказать, что
сумма вершин правильного
многоугольника над его цент¬
ром Р совпадает с Р.
При повороте плоскости
вокруг точки Р на угол 360°/я,
где п — число сторон, данный
многоугольник перейдет в себя.
Значит, сумма его вершин при
повороте не изменится. Но на
плоскости есть только одна точ¬
ка, которая переходит в себя
Рис. 26
при повороте: это центр поворота.
Задача 36. Из произвольной точки М, находящейся внутри пра¬
вильного многоугольника, проводятся перпендикуляры к его сторо¬
нам и на каждом из них откладывается отрезок, равный соответ¬
ствующей стороне. Найдите сумму всех полученных точек над М.
Пример 17. Построить равносторонний треугольник,
если известны расстояния а, ft, с его вершин от данной
точки D.
Мы умеем строить треугольник по трем сторонам, но
на рис. 26 отрезки a, ft, с треугольника не образуют.
Повернем плоскость вокруг точки С на 60°. При этом
точка В перейдет в Л, а точка D займет новое положе¬
ние D'. Так как при поворотах сохраняются расстояния,
44
то в треугольнике ADD' известны длины всех сторон. Его
мы и построим сначала. Затем найдем точку С (ACDD'—
равносторонний) и достроим отрезок АС до равносторон¬
него треугольника АВС.
Задача 37. Постройте равносторонний треугольник, вершины ко¬
торого расположены по одной на трех данных параллельных прямых.
Пример 18. В остроугольном треугольнике АВС найти
такую точку К, сумма расстояний от которой до трех вер¬
шин треугольника явля¬
ется наименьшей.
Пусть К — произволь¬
ная точка внутри тре¬
угольника АВС. Повер¬
нем ААСК вокруг точки А
па 60° (рис. 27). Так как
ААК'К равносторонний,
то АК = КК', и длина ло¬
маной С'К'КВ представ¬
ляет собой сумму расстоя¬
ний от точки К до трех
вершин треугольника. Положение точки С' от выбора
точки К не зависит. Поэтому сумма будет наименьшей,
когда К и К' находятся на отрезке ВС', причем угол
Л КС' должен быть равен 60° и точка К определяется
однозначно.
Заметим, что из точки К сторона АВ видна под
углом 120°. Вершины и стороны треугольника в нашей
задаче равноправны. Поэтому и углы ВКС и АКС также
равны 120°.
Задача 38. Внутри квадрата ABCD взята произвольная точка М.
Из вершины А проведен перпендикуляр к прямой ВМ, из верши¬
ны В — на СМ, из С — на DM, а из D — на AM. Докажите, что все
четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной
точке.
С9 с
Рис. 27
45
Частный случай поворота — поворот на 180° — имеет
особое название: разворот, или центральная симметрия.
Приведем две задачи на использование разворота.
Задача 39. Через точку пересечения двух окружностей проведите
прямую, на которой эти окружности отсекают равные хорды.
Задача 40. Имеется круглый стол и неограниченное количество
одинаковых круглых монет. Двое играющих по очереди выклады¬
вают монеты на стол так, чтобы они не касались друг друга. Выигры¬
вает тот, кто положит последнюю монету. Как должен поступить
игрок, делающий первый ход, чтобы выиграть?
Пример 16 можно решить и алгеб-
Функции раически. Введем на нашей плоско-
комплеисной сти комплексную структуру (т. е.
переменной описанное выше умножение точек
плоскости). Сделаем это так, чтобы
центр данного /г-угольника соответствовал числу 0, а одна
из вершин— 1. Пусть ζ— вершина, соседняя с 1, тогда
остальные вершины суть ζ2, ..., ζη_1. Поскольку ζη = 1, то
ζ (1 + £ + ··· + ζη_1) — ζ + £2 + · · · +ζη_1 + 1.
Из уравнения ζχ = χ получаем χ=1 + ζ + ... + ζη_1 = 0,
ибо ζ φ 1.
Это доказательство принципиально не отличается от
предыдущего, точнее, представляет дословный перевод
геометрических рассуждений на алгебраический язык.
Действительно, алгебраическое доказательство основано
на том, что единственное число, переходящее в себя при
умножении на ζ, т. е. удовлетворяющее уравнению ζχ = χ,
есть нуль. Но что происходит с комплексным числом при
умножении на ζ? Согласно общему правилу, его модуль
не изменяется, так как |ζ|= 1, а к аргументу прибав¬
ляется 360°/п. Геометрически это означает поворот дан¬
ной точки на угол 360°/п вокруг центра многоугольника.
Итак, если точки плоскости понимать как комплекс¬
ные числа, то геометрические преобразования и, в част-
46
мости, движения плоскости следует интерпретировать как
функции комплексной переменной w = /(2), где ζ— про¬
извольная точка плоскости, а до— ее образ. Например,
поворот с центром в нуле представляется функцией вида
w = аг, где |а|=1 (при этом а = cos φ + i sin φ, где
<Ι> — угол поворота). Очевидно также, что параллельный
перенос описывается формулой
W = z + а, (1)
I дс а — некоторое комплексное число.
Выведем теперь формулу поворота комплексной пло¬
тности вокруг произвольной точки р. Из рис. 28 видно,
что поворот точки z вокруг р на угол φ можно осущест¬
вить в три этапа:
1) точку ζ перенести в точку ζ — р;
2) точку ζ — р повернуть на угол φ вокруг О, в ре¬
зультате чего она попадет в точку α(ζ — р), где а =
-= cosqp + i sin(p;
3) точку α(ζ — р) перенести в точку а (ζ — р) + р.
Таким образом, поворот плоскости вокруг точки р на
угол φ задается функцией
W = 02-Г (1 — а)р, (2)
где а = cos φ + 1 sin Φ·
Параллельные переносы и повороты называются соб-
ственными движениями. Такое название объясняется тем,
что для физического осуществления этих преобразований
не надо выходить за пределы плоскости, тогда как отра¬
жение требует ее переворота в окружающем трехмерном
пространстве. Из формул (1) и (2) видно, что собствен¬
ные движения плоскости описываются линейными функ¬
циями
w = αζ + m, (3)
где а и m — комплексные числа, причем |а| = 1.
47
Дщчпм’м и оОр.тнкн': всякая линейная функция
I * 11 I; I (.1) .1лд,:ιι· г некоторое собственное движение. Если
и I, ίο формула (3) принимает вид (1), что соответ¬
чике г переносу. Если же аф 1, то из выражения
I I т \ . т
ш = аг + т = а(г-гт) + 1-т
α(ζ-ρμρ
видно, что данное преобразование есть поворот вокруг
точки m/( 1 — а) на угол φ, такой, что cos φ + i sin φ = α.
Для описания несобственных движений (например,
отражения относительно прямой), помимо сложения,
умножения и перехода к пределу, требуется еще одно
действие: комплексное сопряжение. Сопряженным к чис¬
лу ζ — х + iy называется число z = х — iy. Геометри¬
чески переход к сопряженному числу означает отражение
относительно действительной оси (рис. 29). Напомним,
что в главе «Плоскость» мы уже пользовались сопряже¬
нием при выводе формулы для частного двух комплекс¬
ных чисел.
48
Задача 41. Выведите следующие формулы, описывающие отра¬
жение относительно прямой, заданной уравнением у = kx + b:
w = 2 + 2Ы, если k = 0, (4)
1 - k* + 2ki l- . b \ b
w=—r+^—если k=h0 (5)
I £a + 2 ki
(заметим, что = а3, где a = cos φ -f- i sin <p, аф —
угол наклона данной прямой к оси х).
А теперь рассмотрим
пример, иллюстрирующий
использование алгебраи¬
ческой записи движений
как функций комплексной
переменной при решении
геометрических задач.
Пример 19. Искателю
сокровищ стало известно,
что местонахождение кла¬
да можно определить по
положению трех извест¬
ных примет А, В, С сле¬
дующим образом (рис. 30). В точке А нужно построить
прямой угол и отложить отрезок DA = АС, в точке В —
прямой угол и отложить отрезок BE = ВС и начинать
раскопки в точке /С, являющейся серединой отрезка DE.
Искатель клада прибывает на место и видит, что приметы
А и В имеются, а примета С бесследно исчезла. Может
ли он тем не менее определить точку К?
Пусть точке А соответствует нуль комплексной плос¬
кости, а точкам В и С — числа Ъ и с. Согласно формуле
(2), точки D и Е суть числа — ic и i(c — Ь) +6, следова¬
тельно, середина отрезка Е есть -1 Т* - Поскольку это
49
выражение от с не зависит, местонахождение клада не
зависит от положения точки С. Из той же формулы вид¬
но, что точку К можно найти как вершину прямоуголь¬
ного равнобедренного треугольника с гипотенузой АВ.
Это построение и должен выполнить искатель клада.
Задача 42. Две стороны треугольника повернуты вокруг их
общей вершины на 90° в противоположных направлениях. Докажите,
что прямая, соединяющая концы полученных отрезков, перпендику¬
лярна к медиане.
9 ? О
Поскольку движение плоскости есть,
Композиция по определению, преобразование,
движений сохраняющее расстояния между точ¬
ками, а при последовательном вы¬
полнении двух движений (при их композиции) расстоя¬
ния также не меняются, то композиция движений явля¬
ется движением. Рассмотрим композиции изученных дви¬
жений: переносов, отражений и поворотов.
Пример 20. Найти композицию двух отражений.
Отражение относительно прямой / условимся обозна¬
чать Si. Пусть даны две прямые / и т и требуется найти
50
композицию Smo Si. Обозначим А' образ данной точки А
при 5/, а А" — образ точки А' при Sm.
Рассмотрим сначала случай, когда данные прямые
параллельны (рис. 31, а). Точки Л, Л', Л" располагаются
па одной прямой, перпендикулярной к / и /п, причем не¬
зависимо от положения точки Л расстояние А А" равно
удвоенному расстоянию между прямыми / и т. Следова¬
тельно, композиция отражений Si и Sm действует на каж¬
дую точку плоскости так же, как и параллельный перенос
—> —►
на вектор 2и, где вектор и, как показано на рис. 31, а,
перпендикулярен к данным прямым, равен по длине рас¬
стоянию между ними и направлен от I к т, т. е.
Sm ° Si — Г-. (6)
Пусть теперь прямые I и т пересекаются в некоторой
точке С (рис. 31,6). Если φ — угол между данными пря¬
мыми, то из чертежа видно, что /.АСА"<= 2<р. Кроме
того, точка С равноудалена от точек А, А', А". Значит,
51
точку А" можно получить из А поворотом на угол 2ср
вокруг точки С. Иными словами,
SmoSr^R2c\ (7)
где через /?сф обозначен поворот на угол 2φ вокруг точ¬
ки С против часовой стрелки, если φ > 0, и по часовой
стрелке, если φ < 0.
Рекомендуем читателю наряду с рис. 31,6 рассмот¬
реть другие случаи расположения точки А на плоскости
и убедиться, что доказанное утверждение справедливо
для всех точек плоскости. Во избежание недоразумений
отметим, что угол 2φ, фигурирующий в формуле (7), от¬
считывается в ту же сторону, что и угол φ.
Задача 43. Пусть /, т и п — прямые, пересекающиеся в одной
точке. Определите, что представляет собой движение (5noSmo s,)2
(возведение в квадрат понимается как композиция движения с собой,
т. е. в данном случае как Sn ° Sm oSioSn oSm oSi). Советуем вначале
решить задачу «экспериментально», т. е. применить указанную ком¬
позицию к точке плоскости, взятой наугад. Полученный результат
докажите с помощью формулы композиции отражений.
Формулы (6) и (7) можно прочитать и справа налево:
тогда они позволяют выразить перенос и поворот через
отражения. При этом следует иметь в виду, что пара пря¬
мых, отражения относительно которых дают искомое дви¬
жение, определяется неоднозначно, и этим обстоятель¬
ством можно воспользоваться.
Пример 21. Найти композицию двух поворотов.
Если центры поворотов совпадают, ответ очевиден:
(8)
Рассмотрим композицию поворотов Ra и R'b с разными
центрами. Каждый из них можно представить в виде ком¬
52
позиции двух отражений: Ra = Sm о St (прямые / и т пе¬
ресекаются в точке А и образуют угол <р/2), a R% =
Sp°Sn (прямые пир пересекаются в точке В и об¬
разуют угол ψ/2) (рис. 32, а). Тогда Ra ° #B=SH1oSj°SpoSn.
с)то выражение упрощается, если прямые I и р совпа¬
дают: в этом случае S;« Sp = id является тождественным
Рис. 32
преобразованием * и из четырех «сомножителей» оста¬
ется только два. Чтобы так получилось, нужно в качест¬
ве I и р взять прямую с, соединяющую точки А и В. Обо¬
значим через b прямую, полученную из с поворотом на
угол ф/2 вокруг точки А, а а — прямую, полученную из с
поворотом на угол —ψ/2 вокруг В. Если прямые а и b
пересекаются в точке С (рис. 32, б), то, согласно сказан¬
ному выше,
R*A°R% = SboScoSco Sa - Sb°Sa = Rp"p
или, обозначив α = φ/2, β — ψ/2, γ = 180° — α — β,
* Тождественное преобразование переводит каждую точку в
себя. Его принято обозначать символом id, что в переводе с латин¬
ского означает «это».
53
(9)
где С — третья вершина треугольника, имеющего верши¬
ны А, В и углы а и β при этих вершинах; у — угол этого
треугольника при вершине С.
Если же прямые а и b параллельны (φ + Ψ кратно
360°), то
где вектор и определяется из рис. 32, в.
Равенство (9) можно переписать в более симметрич¬
ном виде, если домножить обе его части справа* на Rcy
(т. е. взять композицию обеих частей равенства с пово¬
ротом R2cy в указанном порядке):
Это равенство равносильно равенству (9), так как полу¬
чается из него домножением обеих частей на Rcy .
Справедливо и обратное утверждение: если точки Л,
В, С и углы α, β, у, заключенные в пределах от 0° до 180°,
таковы, что имеет место равенство (И), то α, β, у — ве¬
личины углов треугольника АВС.
В справедливости равенства (И) можно убедиться и
непосредственно. Так как a -f β + γ = 180°, то компози¬
ция R2a о о Rp является параллельным переносом. Из
рис. 33 видно, что при последовательном выполнении по¬
воротов Rly, R2a точка А переходит в себя.
* Порядок здесь важен, поскольку композиция движений зави¬
сит от последовательности их выполнения.
(10)
R2a 0 R2b о Rcy = id.
(Π)
54
Можно вывести и алгебраическую формулу для ком¬
позиции двух поворотов. Согласно формуле (2), для лю¬
бых значений
Rb (2) = q{z — b) -I- b; (ay) = p (w — a) + a,
где q = cos ψ + i sin ψ; p = cos φ -f- t sin φ. Чтобы найти
композицию поворотов R\ и нужно во второе равен¬
ство подставить значение w = из первого равенства:
(ЯЗ о /$) (2) = R\ (2)) = р (/$ (2) - а) + а = р (д (г -
— Ь) +Ь — а) + а = pqz — pqb + pb — pa + a — pqz+( 1 —
-w) —7+g-w» p; + g~”t) +
a —pa+ pb — pqb
1 — РЯ
Замечая, что pq = cos(<p + Ψ)+ * sin(<p + Ψ), и сравни¬
вая полученное выражение с формулой (2), видим, что
55
(12)
где точка С описывается комплексным числом
а — pa + pb — РФ
с '
Итак, геометрические и алгебраические рассуждения
привели нас к разным по виду формулам композиции
двух поворотов. Из сравнения этих формул получаем
следствие.
Точка С, являющаяся третьей вершиной треугольни¬
ка АВС, вершины А и В которого суть известные комп¬
лексные числа а и Ъ и углы которого при этих вершинах
φ/2 и ф/2 даны, описывается комплексным числом с, опре¬
деляемым из соотношения (12).
Рассмотрим, как используются понятие композиции
движений и выведенные формулы при решении геомет¬
рических задач.
Пример 22. На сторонах треугольника вне его по¬
строены правильные треугольники (рис. 34). Доказать,
что их центры Μ, Ν, Р также образуют правильный тре¬
угольник.
По условию, треугольники АМВ, BNC и СРА равно¬
бедренные с углами по 120° при вершинах. Рассмотрим
композицию трех поворотов RlP20° о Rlj29" о RlJ9' = F (на¬
помним, что положительные углы отсчитываются против
часовой стрелки). Из формул (9) и (10) видно, что дви¬
жение F должно быть поворотом или параллельным пе¬
реносом. Поскольку суммарный угол поворота компози¬
ции F есть 120° + 120° + 120°— 360°, F представляет
собой перенос. Посмотрим далее на образ точки А при
этом переносе. Ясно, что #л?0°(Л) = В, Rn°"(B) = С,
Rp20'(C) =* А, т. е. F(A) => А. Отсюда следует, что F —
56
перенос на нулевой вектор, т. е. тождественное преобра¬
зование
(Сравнивая это равенство с формулой (11), делаем за¬
ключение, что М — третья вершина треугольника с вер¬
шинами в точках N и Р, имеющего углы по 60° при этих
вершинах, т. е. равностороннего треугольника.
Задача 44. Попробуйте доказать утверждение предыдущего при¬
мера с помощью комплексных чисел. Предполагая числа, соответ¬
ствующие точкам Л, В, С, данными, найдите по формуле (12) числа,
соответствующие точкам Μ, N и Р. Полученное решение будет более
громоздким, чем приведенное выше, но не менее интересным и поучи¬
тельным.
Задача 45. На сторонах четырехугольника вне его построены
квадраты. Докажите, что их центры образуют четырехугольник, диа¬
гонали которого взаимно перпендикулярны и равны.
Задача 46. Найдите композицию:
а) двух разворотов;
б) разворота и отражения.
Задача 47. Постройте пятиугольник но серединам его сторон.
Решая задачу 46, читатель уже имел
Скользящее возможность убедиться в том, что
отражение при композиции переносов и отра¬
жений, а также поворотов и отра¬
жений иногда получаются движения, не принадлежащие
ми к одному из перечисленных видов, а именно, скользя¬
щие отражения (или скользящие симметрии). Скользя-
щей симметрией с осью / и вектором υ (обозначим ее Ui)
называется движение, состоящее в отражении относи-
->
тслыю прямой I и параллельном переносе на вектор v,
параллельный прямой I (рис. 35). Иначе говоря, U1 =
- - 7V о S, — St о Т7. Движения Т\Г и S, перестановочны
57
относительно композиции, так как AAiA'Ai — прямо¬
угольник.
Скользящие отражения, так же как и другие виды
движений, могут с успехом использоваться при решении
геометрических задач.
2) при скользящем отражении точки, лежащие па
оси, на ней же и остаются.
Рассмотрим скользящее отражение (/, переводящее
луч АВ в луч ВС. Его осью служит прямая NKy где N —
середина стороны АВУ а К — такая точка па стороне ВС,
что ВК = NB. По условию, AD = ВЕУ так что U (D) = Е.
Середина отрезка DE должна лежать на прямой NK.
Но поскольку DE\\ACf середина DE лежит на медиа¬
не ВМ. Поэтому отрезки DEy ВМ и NK должны пересе¬
каться в одной точке, и требуемое построение можно
выполнить в следующем порядке. Построим точки N и К
так, как было сказано выше, проведем медиану ВМ, а че¬
рез точку пересечения ВМ и NK — прямую, параллель¬
ную АС. Это и есть искомая прямая.
Задача 48. Даны три прямые и некоторая точка. Через эту точку
проведите прямую / так, чтобы ее образ при композиции трех отра¬
58
Пример 23. Построить пря¬
мую, параллельную стороне
АС данного треугольника АВС
и пересекающую его стороны
АВ и ВС в таких точках D и Е
соответственно, что AD = BE.
Воспользуемся свойствами
скользящего отражения, кото¬
рые следуют из рис. 35:
Рис. 35
1) при скользящем отраже¬
нии середина любого отрезка,
соединяющего точку с ее обра¬
зом, лежит на оси;
жений относительно данных прямых (в заданном порядке) был па¬
раллелен прямой /.
Задача 49. Выведите алгебраическую формулу скользящего от¬
ражения, заменяя точки плоскости соответствующими им комплекс¬
ными числами, а движения — действиями над этими числами.
Итак, мы познакомились с новым
Классификация видом движений плоскости. Возни-
движений кает естественный вопрос: исчерпы¬
ваются ли все движения четырьмя
описанными видами? Нельзя ли получить еще какое-либо
повое движение как композицию уже известных? Ответ
на этот вопрос дает теорема: все движения плоскости
исчерпываются поворотами, переносами, скользящими
(и обычными) отражениями *.
Докажем ее. Начнем наше рассуждение со следующе¬
го замечания: движение плоскости полностью определя¬
ется образами трех точек Л, β, С, не лежащих на одной
прямой. Действительно, если Л', ВС' — образы точек
/1, β, С, то для любой точки D существует ровно одна
точка £)', такая, что расстояния от нее до точек Л', В\ С'
соответственно равны расстояниям от D до Л, β, С. Вто¬
рое свойство, которым мы будем пользоваться, состоит
в том, что для любой пары точек Λί, AT существует отра¬
жение, переводящее М в Αί'; осью этого отражения слу¬
жит серединный перпендикуляр к отрезку ММ'.
С учетом сделанных замечаний представим произ¬
вольное движение плоскости как композицию нескольких
отражений — этим приемом мы уже пользовались при
выводе формулы композиции поворотов (см. пример 21).
Итак, пусть f — произвольное движение плоскости.
Выберем любые три точки Л, β, С, не лежащие на одной
* Обычно в популярной литературе это утверждение называют
теоремой Шаля (М. Шаль — французский математик XIX века), хотя
оно было известно уже Эйлеру в XVIII веке. Шаль доказал анало¬
гичную теорему для движений пространства.
59
прямой, и обозначим их образы f(A)=Af(B)=B\
f (C)=C\ Пусть Si — отражение, переводящее А в А'.
Положим Si (В) = Ви Si(C) = С4 (рис. 36). Если точка В{
не совпадает с В\ то существует отражение Sm, которое
их совмещает. При этом ось т проходит через точку А\
так что эта точка остается на месте, a Ci переходит в
новое положение С2. Теперь ясно, что точки С2 и С' или
совпадают, или симметричны относительно прямой
А'В' = п. Таким образом, данное движение / либо само
является отражением, либо равно композиции двух или
(самое большее!) трех отражений. Если f — композиция
двух отражений, то, согласно примеру 20, это поворот или
перенос. Разберем, наконец, случай композиции трех от¬
ражений Sn 0 Sm о Si. Существует несколько способов рас¬
положения трех различных * прямых на плоскости
(рис. 37). В случае «а» композиция SmoSi представляет
собой поворот. Его можно представить также как Sm' о Sr,
где прямые т! и V пересекаются в той же точке и под
* Молено рассмотреть также случаи, когда две из трех прямых
совпадают. Читатель сможет сделать это самостоятельно.
60
тем же углом, что и прямые /пи / (при этом учитывается
порядок, в котором берутся прямые). Пару т', I' можно
выбрать так, чтобы т' — п. Тогда
Sn 0 Sm ° Si = Sn ° Sn ° Si' = St',
J δ
Аналогично проверяется, что и в случае «б» компози
мня трех отражений также является отражением.
Рассмотрим теперь слу¬
чай «в». Заменим компози¬
цию Sm о Si композицией
S,a' о Si', где прямая т! вы¬
бирается перпендикулярной
к п (рис. 38); тогда Sn ° Sm о
1 Si=Sn о Sm' о Si'. Фигури¬
рующую здесь композицию
S ,ι о Sm' заменим Sn' о Sm"t
где прямая п' перпендику¬
лярна к /'. Получим
f = Sn ° Sm ° Si = Sn 0 Sm' 0 Si' == Sn' °.Sm" 0 Si'.
Заметим, что прямые l' и т" параллельны, поэтому ком¬
позиция Sm" ° Si' является переносом вдоль перпендику¬
лярной к ним прямой п', а все движение /, будучи компо¬
зицией этого переноса с отражением относительно п',
есть скользящее отражение.
61
Случай «г» сводится к случаю «в». Чтобы в этом убе¬
диться, достаточно одно из выражений Sm ° St или Sn о Sm
заменить композицией отражений относительно чуть по¬
вернутой пары прямых. Параллельность при этом нару¬
шится, и мы получим рис. 37, в.
Итак, существует четыре вида дви-
Ориентация жеиий плоскости: перенос, поворот,
отражение и скользящее отражение.
В ходе доказательства этой теоремы мы видели, что дви¬
жения первых двух видов, ранее названных собственны¬
ми, представляются композицией четного числа (двух)
отражений. Остальные два вида движений, которые на¬
зываются несобственными, так как для своего физиче¬
ского осуществления требуют выхода в пространство,
соответствуют композиции нечетного числа отражений
(одного или трех). Чтобы лучше разобраться в причинах
этого явления, введем понятие ориентации.
Две упорядоченные тройки точек Αι, Вi, Ci и А2у В2у
С2у не лежащих на одной прямой, называются одинаково
ориентированными, если обход контуров треугольников
AiBiCi и А2В2С2у вершины которых берутся в указанном
порядке, в обоих случаях происходит в одну и ту же сто¬
рону (оба раза по часовой или оба раза против часовой
стрелки). Если же этот обход производится в различных
(противоположных) направлениях, то говорят, что эти
тройки ориентированы по-разному (имеют разную ориен¬
тацию).
Понятие ориентации хорошо иллюстрируется следую¬
щей задачей.
Задача 50. На плоскости в вершинах треугольника лежат три
шайбы. Хоккеист выбирает одну из них и бьет по ней так, что она
проходит между двумя другими и останавливается в какой-либо точ¬
ке. Могут ли все шайбы вернуться на свои прежние места после
25 ударов?
62
Замечательно, что всякое движение / либо сохраняет
ориентацию сразу всех троек точек (т. е. ориентация лю-
«>оп тройки Л, В, С совпадает с ориентацией тройки /(Л),
1(B), f(C)), либо меняет ориентацию сразу всех троек.
Движения, которые можно представить как композиции
четного числа отражений (собственные движения) сохра¬
няют ориентацию, а движения, представимые как компо¬
зиции нечетного числа отражений (несобственные),
ориентацию меняют. Отсюда следует любопытный факт:
композиция нечетного числа отражений никогда не мо¬
жет привести к тождественному преобразованию плос¬
кости.
Заметим, наконец, что понятие ориентации легко
интерпретируется на языке операций над комплексными
числами.
Задача 51. Докажите, что тройки точек (ζι, гг, гз) и (0, 1, /) на
комплексной плоскости ориентированы одинаково тогда и только
тогда, когда аргумент φ числа (г3 — ζι)/(ζ2 — Ζι) заключен в преде¬
лах от 0° до 180°.
63
Преобразование f некоторого мно-
Исчисление жества называется инволютивным
инволюций (или инволюцией), если само оно
нетождественно, но в квадрате дает
тождественное преобразование: / ф id, /2 = / о / = id. Это
условие равносильно тому, что данное преобразование
совпадает со своим обратным (f=f-1), т. е. если f(A) = 5,
то f(B)=A. Есть два вида инволютивных движений
плоскости: 1) отражения Si; 2) развороты RA (условим¬
ся, что если угол поворота не указан, то он считается
равным 180°). Инволюции на плоскости взаимно одно¬
значно соответствуют элементам двух сортов: точкам и
прямым. Разным точкам и разным прямым отвечают при
этом разные движения плоскости, поэтому переход от
геометрических элементов к соответствующим инволю¬
циям не приводит к потере информации: любое геометри¬
ческое утверждение, относящееся к точкам и прямым
плоскости, может быть сформулировано как некоторое
свойство отвечающих этим элементам инволюций.
Пример 24. Найти свойство отражений Si и Sw, равно¬
сильное тому, что прямые / и m взаимно перпендику¬
лярны.
Рассмотрим композицию Sm ° Sf, представляющую со¬
бой перенос, если т||/, и поворот на угол 2<р, если / и m
пересекаются под углом ср. Квадрат этой композиции
(Sm°Si)2 в первом случае есть снова перенос (на двой¬
ной вектор), а во втором — это поворот на угол 4ср.
Отсюда видно, что движение (Sm°Si)2 совпадает с тож¬
дественным преобразованием тогда и только тогда, когда
φ = 90°. Итак, искомое свойство
(SmoSz)2 = jd, (13)
т. е. движение Sm о St инволютивно (заметим, кстати, что
это разворот с центром в точке пересечения данных
прямых).
64
Домножим равенство (13) на S*, а затем на Sm. Тог¬
да, учитывая, что 5/ и Sm — инволюции, получаем другую
форму записи того же свойства:
Sm о Si = Si О Sm> (14)
т. е. отражения Sm и St перестановочны (коммутируют).
Заметим, что композиция движений, как и любых преоб¬
разований, всегда ассоциативна, как и умножение чисел
а точек, но в отличие от последнего она, вообще говоря,
нс обладает свойством коммутативности. Например, как
мы только что увидели, отражения относительно двух
различных прямых коммутируют между собой тогда и
только тогда, когда эти прямые взаимно перпендику¬
лярны.
Здесь уместно сказать несколько слов по поводу ассо¬
циативности. Свойством ассоциативности обладают не
только движения и другие преобразования, но и произ¬
вольные отображения (преобразованием называется
взаимно однозначное отображение множества в себя).
Точнее, пусть V, W, X, Y — некоторые множества и f, g,
Ιι — их отображения согласно схеме
f п h
V + W -> X -> Y.
Тогда можно составить композиции (или, употребляя это
слово в переносном смысле, произведения) отображений:
gof:V-+X, hog: В7->У, ho (go/) : V-+Y, (ho g) о /: V-+Y.
Утверждается, что отображения ho(gof) и (h о g) о /
совпадают. Приведем сначала формальное доказатель¬
ство этого утверждения, а затем поясним его наглядно.
Для формального доказательства достаточно несколь¬
ко раз воспользоваться определением композиции ото¬
бражений, которое, например, для fug выражается ра¬
венством (g ° f) (v) = g(f(v)) для любою элемента v
множества V (т. е. к υ применяется отображение /, а
3 Зак. 541
65
к / (у) отображение g). Проследите, как используется это
определение в следующей цепочке равенств:
(h°(gof))(v)=h«go f) (v))= h(g(f(v))) =
= (hog)(f(v)) = ((hog)of)(v). (15)
Поскольку значения отображений h ° (g of) и (h ° g) ° f
на любом элементе v e V совпадают, эти отображения
равны между собой.
Для понимания существа свойства ассоциативности
проведем следующую аналогию. Представьте себе, что f,
g и h — действия, состоящие в надевании носков, вале¬
нок η галош соответственно. Чтобы составить компози¬
цию ho (g о f)t нужно вдеть носки в валенки и надеть то,
что получится, на ноги, а сверху надеть галоши. Компо¬
зиция же (h о g) о f осуществляется так: сначала наде¬
вают носки, а затем валенки, на которые уже надеты га¬
лоши. Результат в обоих случаях одинаков!
Этот же пример хорошо иллюстрирует некоммутатив-
ность рассматриваемых операций: надеть носки, а потом
валенки — это совсем не то же самое, что надеть сначала
валенки, а потом носки! Однако и здесь можно указать
66
коммутирующие действия, например надевание носка на
левую ногу и надевание носка на правую ногу.
С помощью этой аналогии легко найти формулу дей¬
ствия, обратного композиции. Если, например, надеты
носки, валенки и галоши, то для того, чтобы все это
спять, надо снять сначала галоши, затем валенки, а по¬
том носки. Таким образом,
(ho go f)-1 = f-1 о g-1 о Л-ι.
Вернемся теперь к исчислению инволютивных движе¬
ний плоскости.
Пример 25. Выразить посредством инволюций гот
факт, что четыре данные точки А, В, С, D образуют па¬
раллелограмм.
Согласно результату задачи 46, композиция Ra ° Rb
есть параллельный перенос на вектор 2 ВА, а компози¬
ция Rd о Rc — перенос на вектор 2 CD. Четырехугольник
ABCD (с этим порядком вершин!) является параллело¬
граммом тогда и только тогда, когда BA = CD, что рав¬
носильно соотношению
Ra ° Rb = Rd ° Rc·
Это соотношение можно переписать в виде Ra° Rb°
о Rc ° Rd = id или
Ra 0 Rb 0 Rc = Rd. (16)
Последнее равенство можно рассматривать как формулу,
выражающую четвертую вершину параллелограмма че¬
рез три другие вершины.
Задача 52. Запишите следующие геометрические факты на языке
инволюций:
а) точка А лежит на прямой /; б) точка А — середина отрез¬
ка ВС.
з*
67
Задача 53. Укажите геометрический смысл следующих соотно¬
шений:
a) RaoSi = SioRb; б) (Sn о Sm о Si)2 = id.
Исчисление инволюций часто обеспечивает краткую и
удобную форму записи геометрических фактов и соотно¬
шений, полезную при ре¬
шении задач и доказа¬
тельстве теорем.
Пример 26. Пусть Λί,
Ν, Р, Q — центры квадра¬
тов, построенных на сто¬
ронах четырехугольника
ABCD (рис. 39). Опреде¬
лить, при каких условиях,
налагаемых на четырех¬
угольник ABCD, четырех¬
угольник MNPQ будет
квадратом.
Читателю уже извест¬
но, что диагонали четы¬
рехугольника MNPQ вза¬
имно перпендикулярны и равны (см. задачу 45). Следо¬
вательно, для того чтобы быть квадратом, четырехуголь¬
нику MNPQ достаточно быть параллелограммом. Поль¬
зуясь результатом примера 25, запишем это условие
в виде
Rm ° Rn ° Rp0 Rq = id. (17)
Но, согласно формуле (9),
Rm = Ra°Rb; Rn = Rb°Rc; RP = Rc°Ri; RQ = RdD<>RdA,
где d = 90° (напоминаем, что если величина угла пово¬
рота не указана, то имеется в виду разворот, т. е. пово¬
рот на 180°). Подставляя эти выражения в формулу (17),
получаем
68
Ra° Rb° Rc° Rd ° Ra — id. (18)
Согласно формуле (16), произведение трех разворотов,
входящих в левую часть этого равенства, есть REf где
/’ — четвертая вершина параллелограмма, тремя верши¬
нами которого являются Л, В и С. Если теперь умножить
обе части равенства (18) дважды на R~Ad (один раз сле¬
па, другой раз справа), получим Re = Ra, а это возмож¬
но лишь в том случае, когда точки А и Е совпадают.
11так, если MNPQ — квадрат, то ABCD — параллело¬
грамм. Достаточность этого условия можно усмотреть,
проследив в обратном порядке проведенные выше рас¬
суждения, а еще проще проверить ее непосредственно,
наметив, что треугольники QAMy MBN, NCP и PDQ
н этом случае равны.
ГРУППЫ
Элементарная геометрия изучает свойства
фигур, которые не зависят от их частного
положения в пространстве. Прошло немало
столетий, прежде чем эта несколько неопре¬
деленная формулировка была переведена на
точный язык: свойства, изучаемые элемен¬
тарной геометрией, являются теми, которые
остаются инвариантными относительно не¬
которой совокупности преобразований, об¬
разующей группу движений.
3. Картам,
В понятие группы входят общие свойства операций,
наиболее часто встречающихся в математике. Примеры
таких операций — умножение и сложение чисел и точек,
сложение векторов, композиция движений — были рас¬
смотрены в предыдущих главах. Идея группы является
математическим выражением общенаучного принципа
симметрии: чем больше преобразований не изменяет рас¬
сматриваемый объект, тем более симметричным он явля¬
ется. Так, например, круг более симметричен по сравне¬
нию с квадратом.
70
Учет степени симметричности позво-
Перекатывание ляет решать довольно сложные за-
треугольника дачи.
Пример 27. На плоскости лежит
правильный треугольник. Разрешается перекатывать его
по плоскости, переворачивая на 180° вокруг любой сто¬
роны. Доказать, что если в результате нескольких таких
операции треугольник вернется в исходное положение,
то все его вершины займут первоначальные места.
Переформулируем условие задачи, используя понятие
движения плоскости. Очевидно, что при любых перека¬
тываниях стороны треугольника могут лежать только на
прямых, параллельных тем, на которых они располага¬
лись вначале, и удаленных от них на расстояния, крат¬
ные высоте треугольника. Все такие прямые образуют
сетку, изображенную на рис. 40, а. Преобразования, ко¬
торые, по условию, разрешается выполнять с данным
треугольником, представляют собой композиции отраже¬
ний относительно прямых этой сетки. Пусть G — мно¬
жество всех движений плоскости, которые можно полу¬
71
чить композициями таких отражений. Это множество со¬
держит, например, повороты на 120° вокруг вершин
данного треугольника и скользящие отражения, оси кото¬
рых— средние линии треугольника (проверьте это!).
Задача будет решена, если мы докажем, что един¬
ственное движение, принадлежащее G и оставляющее на
месте треугольник АВС, есть тождественное преобразо¬
вание. Легко понять, что существует пять нетождествен¬
ных преобразований, оставляющих треугольник АВС на
месте: это три отражения относительно его высот и два
поворота вокруг его центра. Задача сводится, таким
образом, к доказательству того факта, что ни одно из
этих пяти движений не содержится в множестве G.
Нашим читателям, вероятно, приходилось встречаться
с задачами, для решения которых достаточно привести
какой-либо пример или контрпример. Оказывается, что
таким же образом можно решить и данную задачу. Одна¬
ко пример, который мы сейчас построим, будет не совсем
обычный. Это — узор, обладающий следующими двумя
свойствами. Во-первых, он симметричен относительно
любой прямой, изображенной на рис. 40, а\ во-вторых,
несимметричен относительно высот треугольника АВС, а
центр этого треугольника не является для него центром
поворотной симметрии третьего порядка (т. е. при пово¬
роте на 120° узор не совмещается с собой). Из первого
свойства следует, что такой узор переходит в себя при
любом движении из множества G. Тогда из второго свой¬
ства получаем, что ни одно из пяти нетождественных дви¬
жений, сохраняющих ААВСУ не может принадлежать G.
Примером такого узора служит древнекитайский орна¬
мент (решетка), нанесенный на сетку, повторяющую
рис. 40, а (рис. 40, б).
Приведенный пример, разумеется, не единствен. Опи¬
шем общий способ построения подобных примеров. Внут¬
ри треугольника АВС нужно выбрать, как говорят в тео¬
72
рии орнаментов, некоторый несимметричный мотив, т. е.
подмножество (рисунок), не обладающий осевой или
центральной симметрией, присущей всему треугольнику.
И качестве такого мотива можно взять, например, одну
точку, не лежащую на высотах треугольника. Требуемый
узор получается из выбранного мотива путем примене¬
ния к нему многократных отражений от сторон треуголь¬
ника. Для наглядности можно представить, что мотив
нанесен краской с двух сторон на картонный треугольник
и при перекатывании оставляет след на бумаге.
Задача 54. Выберем на плоскости такую систему координат (см.
главу «Плоскость»), в которой точка А имеет координаты (0, 0),
точка В— координаты (6, 0), а точка С — координаты (0, 6) (тре¬
угольник АВС по-прежнему равносторонний!) В качестве мотива
возьмем точку К (3, 1). Изобразите узор, получаемый из этого мо¬
тива, и опишите координаты всех точек, принадлежащих этому
узору.
Задача 55. Остается ли верным утверждение примера 27, если
равносторонний треугольник заменить на треугольник с углами:
а) 45°, 45°, 90°? б) 30°, 60°, 90°? в) 120°, 30°, 30°?
Определенное при рассмотрении
Понятие примера 27 множество преобразова-
группы преобразований ний G плоскости обладает следую¬
щими двумя свойствами: 1) если два
преобразования принадлежат G, то и их композиция при¬
надлежит G; 2) вместе с любым своим преобразованием
множество G содержит и преобразование, ему обратное.
Заметим, что первое из этих свойств было весьма су¬
щественным при решении примера 27. Этим свойством
множество G обладало по построению. Второе свойство
выполняется потому, что преобразование, возвращающее
все точки на свои места, есть последовательность тех же
отражений, выполняемых в обратном порядке.
Смысл этих свойств в том, что элементы множества G
связаны друг с другом и образуют нечто целое. Это целое
73
замкнуто (т. е. к нему ничего нового не добавляется) при
композиции и при переходе к обратному преобразова¬
нию. С понятием замкнутости читатель уже встречался
в примере 8.
Множество преобразований, обладающее указанными
свойствами, называется группой преобразований.
Задача 56. Докажите, что всякая группа преобразований содер¬
жит тождественное преобразование
При разборе примера 27 мы имели дело еще с двумя
группами преобразований. Это группа D3 самосовмеще-
ний правильного треугольника (движений, переводящих
правильный треугольник в себя) и группа Д всех движе¬
ний плоскости.
Группы D3u G содержатся в Д; говорят, что они явля¬
ются подгруппами группы Д. Вообще, если на плоскости
задана фигура Ф, то можно рассмотреть множество
Sym(O) всех движений плоскости, при которых Ф пере¬
ходит в себя. Следовательно, 8уш(Ф) есть подгруппа
группы Д, которая называется группой самосовмещений
или группой симметрии фигуры Ф. Так, описанная выше
группа D3 является группой симметрии правильного тре¬
угольника: Sym(A) = D3. Группа G, описанная в приме¬
ре 27, также является группой симметрии некоторой фи¬
гуры, а именно узора, изображенного на рис. 40, б. Чтобы
убедиться в этом, достаточно доказать, что любое движе¬
ние, сохраняющее данный узор, является композицией
отражений относительно нескольких прямых сетки.
Задача 57. Проверьте это утверждение, пользуясь рис. 40,6.
Понятие группы симметрии позволяет указать много¬
численные интересные примеры групп преобразований.
Рассмотрим некоторые из них.
74
Пример 28. На рис. 41 изображены древнеяпонские
||>лмильные гербы. Найти группы симметрии этих фигур.
Какие фигуры имеют одинаковую, а какие — разную сим¬
метрию?
Фигура Φι выдерживает отражение относительно че¬
тырех осей, расположенных через 45°, а также повороты
на углы 90°, 180°, 270°. Добавляя к этим движениям тож¬
дественное преобразование, которое является симметрией
Рис. 41
любой фигуры, получаем, что группа Sym Φι (т. е. груп¬
па симметрии фигуры Φι) состоит из 8 элементов. Груп¬
па Зугп(Ф2) также состоит из 8 элементов, из вращений
на углы, кратные 45°. Однако группа 5уш(Фг) не содер¬
жит отражений и тем отличается от группы (БушФ).
С другой стороны, на рис. 4.1 можно отыскать фигуру,
имеющую ту же группу симметрии, что и фигура Φι.
Это — Ф3. Таким образом, фигуры Φι и Ф3 имеют одина¬
ковую симметрию.
Наконец, Ф4 совмещается с собой только при тождест¬
венном движении. В этом случае говорят, что ее группа
симметрии тривиальна, а фигура не имеет симметрии.
Задача 58. Найдите группы симметрии фигур, изображенных на
рис. 42. Сравните эти группы между собой и с группами, описанными
в примере 28.
75
Группы симметрии всех фигур, изоб-
Классификация раженных на рис. 41 и 42, состоят из
конечных групп нескольких вращений, либо из не-
движений скольких вращений и такого же чис¬
ла отражений. Это наблюдение мож¬
но сформулировать в виде общей теоремы. Для этого
введем некоторые понятия и обозначения.
Группа преобразований называется конечной, если
она состоит из конечного числа элементов. Так, напри¬
мер, группы симметрии фигур, изображенных на рис. 41
и 42, все конечны, а группы Д и G, описанные в приме¬
ре 27, бесконечны.
Группу, состоящую из п поворотов на углы, кратные
360°Jny с общим центром, будем называть циклической
группой порядка п и обозначать Сп. Группу, содержа¬
щую те же повороты, а также п отражений относительно
прямых, проходящих через центр поворотов и располо¬
женных через каждые 180°/л, назовем группой диэдра
порядка 2п и обозначим Dn.
Порядком группы называется число элементов в ней.
Таким образом, конечная группа — это группа, имеющая
конечный порядок.
Теорема. Всякая конечная группа движений плоскости
совпадает либо с СП} либо с Dn.
76
Например, группы симметрии восьми фигур, изобра¬
женных на рис. 41 и 42, суть соответственно D4, С8, Du
Сг, Du D3, С3.
Приступая к доказательству теоремы, отметим, что
конечная группа движений плоскости не может содер¬
жать параллельного переноса. В самом деле, в против¬
ном случае, обозначив этот перенос Г-*·, из первого свой¬
ства группы (см. определение, приведенное в начале
главы) мы получили бы, что данная группа содержит
бесконечно много различных параллельных переносов
-►
(па векторы, кратные а).
Поскольку квадрат скользящего отражения, т. е. его
повторное применение, есть параллельный перенос, то и
конечная группа движений не содержит и скользящих
отражений. Таким образом, она должна целиком состоять
пз поворотов и отражений. Все вращения, содержащиеся
в конечной группе, имеют общий центр. Это вытекает из
следующей задачи.
Задача 59. Докажите, что если А и В — различные точки плос¬
кости, то движение о о представляет собой парал¬
лельный перенос.
Если данная конечная группа движений содержит по¬
вороты и /?| с разными центрами, то она содержит
и параллельный перенос о RAA о с (заметим, что
здесь используются уже оба свойства, входящие в опре¬
деление группы) и, следовательно, не может быть ко¬
нечной.
Итак, все повороты, входящие в данную группу,
имеют общий центр. Обозначим их R°Aj ... , /?л, где
все углы φ, ..., ω принадлежат промежутку от 0 до 360°.
Выберем из углов φ, ..,, ω наименьший; пусть это бу-
77
дет ψ. Докажем, что остальные углы являются кратны¬
ми ψ. Действительно, если, например, φ не делится на¬
цело на ψ, то, выполняя деление с остатком, получим
φ = + ξ, где 0 < ξ < ψ, a k — некоторое целое число.
Поворот на угол ξ также принадлежит рассматриваемой
группе, но, вопреки предположению, ξ < ψ.
Заметим, что угол ψ должен быть равен 360°/дг, так
как в противном случае некоторая степень Ra (т. е. ре¬
зультат последовательного выполнения нескольких таких
поворотов) была бы поворотом на угол, меньший ψ. Итак,
все повороты, принадлежащие конечной группе, суть
R*a, где k = 0, 1,...,я—1,ψ = 360°/я. Если группа не
содержит отражений, то, следовательно, она представ¬
ляет собой циклическую группу Сп.
Предположим теперь, что конечная группа движений
плоскости G содержит некоторое отражение Si. Дока¬
жем, что в этом случае группа G состоит из некоторого
числа поворотов с общим центром А и такого же числа
отражений, оси которых проходят через точку А.
Действительно, пусть в группе G имеется п поворо¬
тов, включая тождественный; тогда композиции этих по¬
воротов с отражением Si дадут п отражений (в том
числе Si). В самом деле, эти композиции являются
несобственными движениями, т. е. отражениями или
скользящими отражениями. Последний случай, согласно
сказанному выше, невозможен. Нетрудно видеть, что все
полученные отражения различны. Следовательно, число
отражений, содержащихся в группе G, не меньше числа
поворотов.
Подобным же образом можно убедиться и в том, что
число поворотов не меньше числа отражений. Действи¬
тельно, композиции одного отражения Si с различными
отражениями группы G представляют собой различные
собственные движения, принадлежащие G. Поскольку
78
переносов группа G не содержит, эти собственные движе¬
ния все являются поворотами.
Итак, группа G состоит из п поворотов с общим цент¬
ром Ann отражений. Если п = 1, то группа содержит
одно отражение и один поворот на нулевой угол. Соглас¬
но принятым выше обозначениям, это есть группа Dia
Если же п > 1, то оси всех отражений группы должны
проходить через центр поворотов. В самом деле, если оси
некоторых двух отражений параллельны, то в группе со¬
держится некоторый перенос, являющийся их компози¬
цией. Далее, композиция двух отражений с непараллель¬
ными осями есть поворот с центром в точке пересечения
осей. Поскольку конечная группа не может содержать
поворотов с разными центрами, то оси всех отражений
данной группы должны проходить через центр поворотов.
Заметим, что поскольку композиция отражений, оси ко¬
торых образуют угол φ, есть поворот на угол 2<р, то оси
11 отражений, принадлежащих G, располагаются через
углы 180°/я. Получаем, что группа G есть Dn.
Задача 60. Может ли фигура на плоскости иметь:
а) ровно две оси симметрии? б) ровно два центра симметрии?
Задача 61. Назовите самую симметричную (т. е. имеющую наи¬
большую группу симметрии) ограниченную фигуру на плоскости.
Найденный нами перечень всех конечных групп дви¬
жений плоскости в неявном виде был известен еще Лео¬
нардо да Винчи (XV век), который «систематически за¬
нимался вопросом об определении возможных видов
симметрии для центрального здания, а также о том, ка¬
ким образом следует производить пристройку к ним ча¬
совен и ниш, не разрушая симметрии ядра архитектур¬
ного ансамбля» (Г. Вейль. Симметрия, с. 92).
79
Давайте задумаемся, в каком смыс-
Сопряженные ле употреблен знак равенства в со-
лреобраэования отношении Sym (Φι) — Sym (Фз) (см.
пример 28). Это равенство имеет
буквальный смысл, т. е. соответствующие множества дви¬
жений совпадают в том случае, когда фигуры располо¬
жены на плоскости так, что их центры и оси симметрии
совпадают. Если же фигуры расположены по-другому, то
множества G = Sym(Oi) и Я = Sym(®3) различны.
Однако между ними имеется тесная связь, которую мы
сейчас выясним.
Рис. 43
Обозначим центр вращений и оси отражений, принад¬
лежащих группе G, через А и αι, ..., α4 соответственно.
Те же объекты для группы Я обозначим В и bi, .... bk
(рис. 43). Пусть f — некоторое движение плоскости, пе¬
реводящее В в А, а прямые Ь\, ..., bk — в прямые
αι, ..., й4. Тогда преобразования группы G можно полу¬
чить из преобразований группы Я следующим образом.
Возьмем, например, отражение относительно прямой Ьз.
Перенесем фигуру Φι посредством движения f-1, затем
отразим ее относительно прямой Ь3 и, наконец, возвратим
ее на прежнее место с помощью f. После выполнения
80
этих действий обнаруживается, что фигура просто отра¬
зилась от прямой а3.
Точно так же, взяв любое движение h из группы Я,
мы увидим, что композиция fohof-i принадлежит G.
11ри этом, если h — отражение от прямой йг·, то / о h о /-1—
юже отражение, но от прямой а* (с тем же номером).
Исли h — поворот воокруг Л, то /0/10/-1 — поворот на
тот же угол, но вокруг В.
Говорят, что движение g = f о h° ^ G, соответ¬
ствующее движению h е Я, получено из h сопряжением
с помощью /. Движения g и h называются сопряжен¬
ными.
Сопряженные преобразования нам уже встречались:
мы их использовали при выводе формулы для поворота
с произвольным центром и при решении задачи 41 (см.
главу «Движения»),
Две группы движений называются сопряженными,
если все элементы одной из них получаются из элементов
другой с помощью сопряжения одним и тем же движе¬
нием. Если бы мы в предыдущих рассуждениях взяли не
две различные фигуры ФА и Фз, а одну и ту же, напри¬
мер Φι, и разместили ее на плоскости двумя различными
способами, то их группы симметрии были бы также со¬
пряженными подгруппами в группе движений плоскости.
Вообще, сопряжение можно понимать как рассмотрение
предмета (или преобразования) с новой точки зрения.
При этом преобразование /, осуществляющее сопряже¬
ние, как бы переводит старую точку зрения (систему от¬
счета) в новую.
Отметим весьма важное свойство сопряженных под¬
групп. Сопряженные подгруппы имеют одинаковую внут¬
реннюю структуру: операции композиции преобразова¬
ний в обеих группах устроены одинаково. Точный мате¬
матический смысл этой фразы заключается в следующем.
Пусть подгруппа G сопряжена с подгруппой Я при по¬
81
г
мощи преобразования f. Если g — f oho то будем счи¬
тать g и h соответствующими друг другу и писать: g h.
Легко понять, что это соответствие взаимно однозначно:
если g, то h определяется по g однозначно как
f-i о g о f. Тогда оказывается, что
композиции двух элементов груп¬
пы Н соответствует композиция
соответствующих элементов груп¬
пы G, а обратному элементу в
Н — обратный элемент в G: если
h gi и h2 g2, то
л;° к <-► g2 о Sl и hTl*-+gil.
Первое равенство проверяется так:
U°fh0f-l)0if0hiof-1) =·
= fo/l!o(/-lo|)o/l1o/-l =
«/о (А, О Λ,) о Д-1.
Рис. 44
Для проверки второго достаточно заметить, что
(/° К of-η о (/.О АГ1 о /-1) = f о (Αι о АГ1) ° f~l = f ° /-1
есть тождественное преобразование.
Выведем формулы для сопряжения одних движений
плоскости с помощью других.
Пример. 29. Найти движение, сопряженное повороту
Ra посредством отражения 5,.
Пусть движение Sf1» совпадающее с S,, переводит
точку М в точку Мг (рис. 44). Под действием поворота
Ra Μχ переходит в М2, а М2 под действием S, —в М3.
Обозначим через А' точку, симметричную точке А отно¬
сительно прямой /. Тогда АМА'М3 = АМгАМ2. Значит,
М3 = Ra? (М). Итак, S, о R% ° S, = R]?, где А' = S, (Л).
82
Задача 62. Составьте полную таблицу сопряжений в группе D,
г. с. найдите для каждого движения 7*+, S/, Uf движение,
ему сопряженное, с помощью Г·^, RSm, Ubm.
При разборе примера 29 и решении задачи 62 полез¬
но не забывать указанный выше смысл сопряжения как
перехода к новой системе отсчета. Вот еще одно упраж¬
нение, которое поможет читателю понять эту важную
мысль. Вырежьте из картона правильный многоугольник
и обозначьте его вершины с двух сторон числами 1, 2
и т. д. Группа симметрии правильного многоугольника
состоит из п поворотов и п отражений. Последние можно
осуществлять как повороты в пространстве на 180°
нокруг осей симметрии. Эта группа ранее была названа
группой диэдра * и обозначена Dn. Манипулируя с кар¬
тонным многоугольником, легко проверить, что движе¬
ние, сопряженное в группе Dn некоторому повороту по¬
средством отражения, есть поворот на такой же угол, но
и противоположном направлении. Сопряжение же с по¬
мощью другого поворота не меняет данного поворота.
Если дополнить картонный многоугольник таким же
многоугольником, нарисованным на бумаге, получится
удобный «прибор» для изучения группы Dn. Нарисован¬
ный многоугольник должен быть чуть больше, чем выре¬
занный; его вершины также должны быть пронумерова¬
ны. Композицию двух элементов fug группы можно
отыскать с помощью этого «прибора» следующим обра¬
зом. Положите диэдр на бумагу так, чтобы соответствую¬
щие цифры совпали. Проделав с ним движение f, поло¬
жите многоугольник вновь на бумагу (в новом положе¬
* Многоугольник, рассматриваемый как пространственная фигу¬
ра, представляет собой диэдр, т. е. двухгранник.
83-
нии) и примените движение g. Сравнивая нумерацию
вершин диэдра и нарисованного многоугольника, легко
понять, какое движение привело бы к такой же переста¬
новке вершин. Это и есть композиция g о f.
Задача 63. Найдите все попарные композиции движений из групп
симметрии правильного треугольника и квадрата. Иначе говоря, со¬
ставьте таблицу композиций (или, как ее чаще называют, таблицу
умножения) для групп D3 и D4.
Глядя на таблицу сопряженных движений~(ответ к за¬
даче 62), можно заметить, что сопряжение посредством
переноса Τ-ζ не меняет переноса T^:T^oT-^oTZl =Т~^,
Это равенство можно переписать так: Т-^ ° = Т~^ ° T-j
(мы домножили обе части предыдущего равенства справа
на напоминаем, что порядок, в котором выполняется
композиция, важен!). Последнее равенство означает, что
параллельные переносы Т^а и Т^ь перестановочны, или
коммутируют*.
Группа преобразований, в которой любые два элемен¬
та перестановочны, называется коммутативной.
Пример 30. Найти все конечные коммутативные груп¬
пы движений плоскости.
Список всех конечных групп движений плоскости нам
известен: это группы Сп и Ъп для всех п= 1, 2, 3, ...
Коммутативность любой циклической группы Сп сле¬
дует из коммутативности более широкой группы всех
вращений с общим центром: композиция поворотов на
углы а и β в любом порядке есть поворот на угол α + β.
Группа Di коммутативна, так как содержит всего два
различных элемента, один из которых — тождественное
преобразование — коммутирует с любым движением.
* Напомним, что перестановочность отражений обсуждалась при
разборе примера 24.
84
Лекажем, что группа D2 также коммутативна. Она со¬
стоит из двух отражений Sj и S2 с взаимно перпендику¬
лярными осями, разворота R и тождественного преобра-
ювапия. Композиция S2oSi есть поворот на 180° в одну
»-трону, а композиция Si о S2— поворот на 180° в дру-
I ую сторону. Следовательно, S2 о St Si о S2, причем обе
ни композиции совпадают с R. Поэтому Si о R =
Si о S2 о Si = R о Si. Точно так же S2 о R = R о S2.
Рассмотрим теперь группу Dn при п > 2. Она содер¬
жит поворот на угол 360°/п, который мы обозначим Rf и
некоторое отражение S. Тогда, согласно примеру 29,
S о R о S = R_1 (в этом вы, конечно, убедились также с
помощью описанного выше картонного «прибора»), а при
п > 2 поворот R~l отличен от R. Значит, группа Dn не¬
коммутативна.
Итак, в полный список конечных коммутативных
групп движений плоскости входят группы Du D2 и все
группы Сп.
Для тех, кто решил задачу 63, заметим, что таблица
умножения позволяет легко определить, коммутативна ли
данная группа: у коммутативных групп таблица умноже¬
ния симметрична относительно диагонали, идущей из
левого верхнего угла в правый нижний. Если же таблица
в целом несимметрична, то в пей встречаются равные
элементы, стоящие на симметричных местах. Такие эле¬
менты соответствуют парам перестановочных преобразо¬
ваний данной группы.
Задача 64. Укажите осе пары коммутирующих (перестановоч¬
ных) преобразований в группах симметрии правильного треугольника
и квадрата.
Читатели, не решившие задачу 63, могут вернуться
к задаче 64 после того, как таблицы умножения для групп
будут рассмотрены ниже.
85
Коммутативность циклической груп-
Порождающие пы Сп можно объяснить и по-друго-
ммменты му. Обозначим R поворот на угол
360°/п. Тогда остальные движения
этой группы можно представить как степени R, т. е.
R о R = /?2, R о R о R = R3f ... t Rn = id .Но очевидно, что
любые степени одного и того же элемента перестановоч¬
ны: Rh о Ri — RioRh = Rh+ι.
Преобразование f, степенями которого являются все
преобразования группы G, называется порождающим или
образующим элементом группы G. Говорят также, что
преобразование f порождает группу G. Для лучшего по¬
нимания смысла введенного термина представим, что
никакой группы пока нет, а есть одно преобразование f
некоторого множества М. Спрашивается, существует ли
группа преобразований множества М, содержащая дан¬
ное преобразование f? Ответ на этот вопрос положителен
всегда. Наименьшую группу преобразований, содержа¬
щую f, можно построить следующим образом.
Если некоторая группа содержит преобразование f,
то, согласно своему первому свойству (замкнутость отно¬
сительно композиции), она должна содержать все поло¬
жительные степени f2, f3, ... этого преобразования. По
второму свойству 2 (замкнутость относительно перехода
к обратному), эта группа должна содержать также
обратное преобразование f~l и, следовательно, его степе¬
ни (f-ψ, (Г1)3,...
Задача 65. Докажите, что (fk)~l = (/“')*·
Преобразование (f~l)h, где k — натуральное число,
обозначают также f~h и называют отрицательной сте¬
пенью преобразования f. Нулевой степенью любого пре¬
образования считается тождественное преобразование.
Заметим, что множество всех целых степеней,.., f~2, f-1,
86
/", ίι, }z,... данного преобразования f уже образует груп¬
пу. Это следует из равенств = и (fh)~i = f~k,
мпорые справедливы не только для натуральных, но и
для всех целых значений k и /. Это и есть группа, порож¬
денная преобразованием f.
Среди степеней fh могут оказаться равные. Так, на¬
пример, если преобразование f инволютивное, то fh совпа¬
дает с / при нечетных k и представляет собой тождест¬
венное преобразование при четных k. Следовательно,
группа, порожденная /, состоит всего из двух элементов,
li общем случае есть две возможности.
1. Степени fh все различны. Тогда группа, порожден¬
ная f, бесконечна и называется бесконечной циклической
.руппой.
2. Среди степеней преобразования f есть совпадаю¬
щие, скажем, fh — fl, где k > I. Тогда найдется степень /,
совпадающая с тождественным преобразованием (напри¬
мер, fh~l = id). Обозначим п наименьший положительный
показатель, такой, что /п = id. Число п называется по¬
рядком преобразования /. В этом случае группа, порож¬
денная f, состоит из п различных преобразований f,
f\ ..., /". (Эти преобразования действительно различны,
так как если бы оказалось, что fh = fl, где 0 < /< k ^ п,
то мы имели бы fh~l = id вопреки выбору п.) Последова¬
тельность степеней fh, где k изменяется от — оо до + оо,
содержит только эти п элементов, которые циклически
повторяются: /* совпадает с fh, где k — остаток от деле¬
ния i на п. По этой причине данная группа называется
циклической группой порядка п.
В случае, когда все степени данного преобразования f
различны, говорят, что его порядок бесконечен. Порядок
тождественного преобразования, по определению, ра¬
вен 1, а группа, им порожденная, состоит из одного пре¬
образования и называется единичной или тривиальной
группой.
87
Пример 31. Какие элементы группы Ci2 порождают!
эту группу? Какие подгруппы порождаются другими эле-!
ментами?
Группа С ίο состоит из 12 поворотов на углы, крат¬
ные 30°. Все эти повороты — степени поворота на 30°, ко¬
торый является порождающим элементом группы С12.
Легко понять, что поворот на
—30° также является порож¬
дающим. Чтобы разобраться
с остальными элементами груп¬
пы, воспользуемся рис. 45, на
котором каждое движение изо¬
бражается вершиной правиль¬
ного 12-угольника, причем точ¬
ка Л0 соответствует тождест¬
венному преобразованию, вер¬
шина А\ — повороту на 30°
и т. д. Рассмотрим поочередно
все движения данной группы и
для каждого из них отметим на
рисунке вершины 12-угольни¬
ка, соответствующие всем его степеням. При этом обна¬
ружится, что еще два поворота — на углы 150° и 210° —
являются образующими элементами группы СА2. Пово¬
роты на 60° и 300° порождают группу Се, причем верши¬
ны Ло, Л2, Л4, Ле, Л8, Лю, соответствующие элементам этой
группы, на рис. 45 образуют шестиугольник, повороты
на 90° и 270° — группу С4 (квадрат Л0ЛзЛбЛ9), пово¬
роты на 120° и 240° — группу С3 (треугольник Л0Л4Л8),
наконец поворот на 180°, будучи инволюцией, порождает
группу Сг, соответствующую отрезку Л0Л6.
Полученные результаты исследования можно офор¬
мить в виде таблицы, в которой под каждым числом k
(номер вершины 12-угольника) указан порядок элемен¬
та Rh, где R — поворот на 30°:
88
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
12
6
4
3
12
2
12
3
4
6
12
Задача 66. Используя понятие наибольшего общего делителя
(ИОД) двух чисел, выведите общую формулу для порядка элемен-
|.| jh в циклической группе Сп, порожденной элементом /.
6 6 6 6
6
9 9
6
9
Рис. 46
Преобразование, принадлежащее конечной группе,
является порождающим для этой группы тогда и только
тогда, когда его порядок совпадает с порядком группы.
Количество порождающих элементов циклической груп¬
пы Сп обозначают φ(/г), а функцию φ называют функцией
Дилера.
Задача 67. Отыскав значения функции Эйлера для чисел от 1
до 20, попытайтесь вывести какую-либо общую формулу для функ¬
ции Эйлера.
Посмотрим теперь, каковы порядки различных дви¬
жений плоскости. Ясно, что любой перенос и любое
89
скользящее отражение имеют бесконечный порядок: при
повторении этих движений всякая точка будет занимать
все новые положения (рис. 46, а, б).
Задача 68. Верно ли, что и любая фигура будет занимать при
этом все новые и новые положения?
Всякое отражение имеет порядок 2 (рис. 46, в).
Повороты могут быть различных порядков. Если угол
поворота выражается рациональным числом градусов
360° /п//г, где m/n — несократимая дробь, то этот поворот
имеет порядок п\ в противном случае порядок поворота
будет бесконечным.
Задача 69. Проверьте предыдущее утверждение для поворотов,
рассмотренных в примере 31. Докажите это утверждение в общем
случае.
Мы назвали циклической всякую
Образующие и группу, порожденную одним преоб-
соотношения разованием. С точки зрения этого
общего определения циклическими
являются не только группы вращений Сп, но и группа пе¬
реносов на векторы, кратные данному. Циклической же
будет и группа, порожденная одним отражением. Она со¬
стоит из двух элементов и обозначается D{. Заметим
(подробнее об этом будем говорить позже), что внутрен¬
нее устройство групп С2 и Di одинаково: каждая из них
состоит из двух элементов, причем квадрат нетождест¬
венного преобразования равен тождественному.
Докажем, что группы Dn при 2 не являются цик¬
лическими. При п ^ 3 это очевидно, ибо тогда группа Dn
некоммутативна, а все циклические группы коммутатив¬
ны. Что же касается группы /)2, то каждый ее нетождест¬
венный элемент имеет порядок 2 и, значит, ни один эле¬
мент не порождает всей группы.
90
В связи с этим возникает естественный вопрос: каким
наименьшим числом элементов порождается группа />«?
Другими словами, через какое наименьшее число элемен¬
тов группы Dn с помощью двух действий — композиции
и перехода к обратному,— которые разрешается выпол-
пить неограниченное число раз, выражаются все осталь¬
ные элементы? Оказывается, для
лого достаточно двух элементов,
например поворота R на угол
:«>0 °/п и некоторого отражения
.S’. В самом деле, всякий поворот
из группы Dn можно записать
в виде Rk, где 1, а про¬
извольное отражение — в виде
Rk о 5.
Первое из этих утверждений
очевидно. Докажем второе. Для
зтого обозначим вершины пра¬
вильного многоугольника буквами
Л0, Ai Αη-ι, предполагая, что
ось отражения S проходит через вершину Л0 (рис. 47).
Тогда (Rk о S) (Ло)=#А(Ло)=Лл. Кроме того, движение
Rh о S меняет ориентацию; следовательно, оно представ¬
ляет собой отражение, меняющее местами вершины А0 и
Л л. Его ось образует угол 180°/л с осью отражения S; сле¬
довательно, при k=0, 1, ..., п—1 получим все отраже¬
ния из группы £)„.
Утверждение о том, что любое отражение из груп¬
пы Dn можно представить в виде Rh о S, можно доказать
следующим образом. Заметим, что все такие движения
при k = О, 1, ..., η — 1 различны. Действительно, если
бы имело место равенство Rk ° S = Rl ° S, то, домножая
его справа на S, мы получили бы, что Rk = R1. Далее,
все эти движения несобственные (как композиции соб¬
ственного и несобственного движения), а так как в груп-
91
ne Dn всего п несобственных движений (отражений), то,
значит, все они попадают в список S, R о S, ..., У?71-1 о S *.
Рекомендуем читателю сопровождать все рассужде¬
ния, связанные с группой Dn, действиями с описанным
ранее картонным «прибором».
Итак, группа Dn состоит из 2п элементов вида Rh и
Rh о S, где k принимает значения от 0 до η — 1:
Dn = {id, /?, У?2, ..., У?"-*, S,RoS,R*oS,..., R*-' ° S}.
Постараемся найти все попарные композиции движений
из этого списка.
Композиция поворотов Rh и R1 есть Rk+ly причем если
k + / Ξ^5 п> то этот поворот совпадает с Rk+l~n и, таким
образом, является элементом нашего списка. Точно так
же имеем Rh о (R1 о S) =Rh+l о 5, а если k -f- / ^ м, то
Rh о (R1 о S) = /?Λ+Ζ~η о S. Найдем теперь, какому элементу
из приведенного списка соответствует композиция
(Rk о S) о Ri, Вспомним, что S о R о S = У?-1. Возведем
обе части этого равенства в степень I:
(S о R о S) о (S о Ro S) о ... о (SoRoS) = R~l.
Учитывая ассоциативность композиции и равенство
S2 = id, приводим левую часть к виду S о R1 о S. Значит,
S о Ri о S = R~l и, домножая обе части равенства на S,
получаем S о Rl = R~l о S. Следовательно,
(.Rk о S) о Ri = R* о (S о Ri) = У?* о (У?-/ о S) = Rk~l о S.
Если I, то элемент Rh~l о 5 содержится в нашем
списке. Если же k С /, то Rh~l = Rh~l+n, а элемент У?^+п
также входит в наш список. Подобным образом можно
найти, что композиция (Rh о S) о (У?* о S) совпадает с пре¬
образованием Rh~l.
* По поводу этого рассуждения уместно привести такую цитату:
«И теперь мы можем решить задачу вообще без всякой математи¬
ки — с помощью одной лишь теории групп». (Ян Стюарт. Концеп¬
ции современной математики, гл. 7).
92
Итак, таблица умножения элементов группы диэд¬
ра £)„, выраженных через образующие R и S, имеет вид
R1
Ri о S
я*
Rk+l
Rk+t о S
RkoS
Rk~l о S
Rk-t
(При необходимости показатель степени R можно увели¬
чивать или уменьшать на пу пользуясь тем, что Rn = id.)
Из этой краткой таблицы умножения можно получить
полную, выписывая все элементы группы в явном виде.
11апример, для группы D3 имеем
id
p120°
H0
Ъэ
О м
о
о
Sa
Sb
sc
id
id
n\20°
H0
0143
о
о
Sa
Sb
sc
*3
о
о
pi 20°
H0
p240°
id
Sb
Sc
Sa
*S40°
О ю
о
о
id
pi 20°
*О
sc
Sa
Sb
Sc
sb
id
*3
О ю
О
О
pi 20°
H0
Sb
St
Sa
Sc
p1 20°
K0
id
p240°
*0
Sc
Sc
Sb
Sa
Ом
о
о
pi 20°
id
93
Обратим внимание читателя на тот факт, что при вы·^
воде таблицы умножения для группы ϋη мы опирались
только на следующие три соотношения между образую·]
щими элементами R и S:
S2 = id; (S о /?)2 = id; R» = id. (19}
(Второе соотношение, очевидно, равносильно соотноше¬
нию S о Ro S = R~l.) Элементы R и S связаны и другими
соотношениями, например:
S4 — id; S ° /?2 о S oi^2 _ ;
Оказывается, что любое такое соотношение между R и S
является следствием формул (19). Для соотношения
S4 = id это очевидно: оно получается из равенства'
S2 = id возведением его в квадрат. Вывод второго соот¬
ношения несколько сложнее: id —S oRoSoR = S ° R°
°S° id oR—S о R о S o[(S о R о S °kR) ° R=S ° R2 о S о Ra. Здесь
мы также воспользовались соотношением S2 = id.
Соотношения (19) обладают замечательным свойст¬
вом: исходя только из них можно доказать, что число
элементов группы, порожденной преобразованиями R, S,
равно 2п, и составить полную таблицу умножения для
этой группы. Построение такой таблицы и было проде¬
лано выше. Заметим лишь, что число элементов группы
и закон их композиции нам были известны заранее, по¬
этому в данном случае указанное свойство особого инте¬
реса не представляет. Приведем пример, в котором роль
образующих и соотношений (19) видна яснее.
Пример 32. Пусть А а В — некоторые преобразова¬
ния, удовлетворяющие соотношениям:
Аз = id; В5 = id, АВ = В4Л. (20)
Доказать, что группа, порожденная преобразованиями А
и В,— циклическая порядка 3.
94
В условии (20) данного примера, а также в последую¬
щих рассуждениях мы опускаем знак композиции (кру¬
жок) и называем композицию произведением.
Любой элемент группы G, порожденной преобразова¬
ниями А и 5, можно записать в виде BkiAltBk *А1я... ВкпА1п>
причем в силу соотношений (20) можно считать, что
О ^ ki ^ 4, 0 U ^ 2. Далее всякий раз, когда В встре¬
чается рядом с Л и справа от него, заменять произведе¬
ние АВ на ВкА. Рано или поздно мы сможем «перегнать»
псе буквы В «сквозь» буквы А налево и, таким образом,
переписать данный элемент группы G как BhAl. Здесь
опять-таки можно считать, что 0 4, 0 ^ ^ 2.
Поскольку индекс k принимает пять значений, а
индекс I — три, не зависящих от k значения, то может
показаться, что группа G содержит 15 различных эле¬
ментов вида BhAl. Однако это не так, в чем легко убе¬
диться, получив некоторые следствия из соотноше¬
ний (20).
В самом деле, из этих соотношений вытекает такая
пеночка равенств: В = А3В — Л2Б4Л = Л516Л2 = В64Л3 =
Л4. Следовательно, В3 = id, откуда, используя соотно¬
шение Br° = id, заключаем, что В2 = id и В = id. Значит,
группа G, порожденная преобразованиями Л и 5, имеет
одну образующую Л, для которой Л3 = id, и представляет
собой циклическую группу порядка 3. Заметим, что ра-
иепство Л = id нельзя вывести из соотношений (20), так
клк все они выполняются для Л = /?о2°\ В = id, а в дан¬
ном случае Л Ф id.
Соображения, подобные использованным в этом при¬
мере, можно применить при решении следующей задачи,
и которой речь идет о предметах, на первый взгляд весь¬
ма отдаленных от групп преобразований.
Задача 70. Пусть в одном из языков имеется четыре звука:
А, У, Ы и Е. Звук Е — особый. Употребленный сам по себе, он озна-
95
чает некоторое слово, но если этот звук присоединить к любому
слову (в начале, середине или в конце), то значение этого слова не
изменится. Кроме того, если произнести семь раз подряд звуки А, У
или Ы, то получим синоним слова Е. Синонимами (словами тождест¬
венными или близкими по смыслу) являются и пары: УУУЫ — ЫУ,
ААЫ — ЫА, УУУУА — АУ. В племени 400 туземцев. Могут ли у
всех них быть разные имена?
Задача 71. Найдите всевозможные пары образующих элементов
в группе Dn. Для каждой из них постарайтесь указать определяю¬
щие соотношения.
Понятие определяющих соотношений относится, ко¬
нечно, не только к группам с двумя образующими. Цик¬
лическая группа порядка п имеет один образующий эле¬
мент и одно определяющее соотношение Rn = id. Беско¬
нечная циклическая группа имеет один образующий эле¬
мент Г, который не связан никакими соотношениями.
Поясним смысл последней фразы. Здесь имеется в ви¬
ду, что образующий элемент циклической группы не свя¬
зан никаким нетривиальным соотношением, т. е. соотно¬
шением, содержащим Г и id и не являющимся следствием
общих свойств групп преобразований. Приведем пример
тривиального соотношения: T~lT^T~3 = id.
Рассмотрим группу движений плоскости, которая в
примере 27 была обозначена G и которую сейчас мы обо¬
значим более сложным символом рЗ/nl, принятым в кри¬
сталлографии (кристаллографические группы будут рас¬
смотрены ниже). Группа p3ml, по определению, порож¬
дена бесконечным множеством отражений относительно
прямых, проведенных на рис. 40, а.
Оказывается, что наименьшее число образующих
группы p3ml равно трем: в качестве образующих можно
взять отражения Sa, Sb и Sc относительно трех сторон
исходного равностороннего треугольника. Для того чтобы
это доказать, достаточно проверить, что через Sa, S&, Sc
можно выразить отражение относительно любой прямой,
изображенной на рис. 40, а. Действительно, в этом слу-
96
•me и произвольное движение группы рЗт\, если его
представить в виде композиции отражений относительно
>тих прямых, можно будет выразить через Sa, Sb, Sc.
Рассмотрим, например, отражение Si. Поскольку пря¬
мая I симметрична а относительно с, то Si получается
из Sa сопряжением посредством Sc, т. е. Si = Sc°SaoSc
(напомним, что S7l = Sc). А это как раз то, что нужно.
Заметив, далее, что Si(b) = m, представим Sm как компо¬
зицию Si о Sb ° 5/, которая есть не что иное, как Sc° Sa°
«· Sc о Sb ° Sc о Sa о Sc.
С помощью подобных рассуждений можно выразить
через Sa, Sb, Sc отражения относительно всех прямых,
параллельных ft, а также, разумеется, и относительно
исех остальных прямых.
Заметим теперь, что образующие Sa, Sb, Sc подчинены
соотношениям
(5a)2 = (Sb)2=(Se)2=(SaoS6)3 =
= (Sa о Sc)3 = (Sb о Sc)3 = id. (21)
Задача 72. Пусть Ft, Fi, F3— три движения плоскости, которые
порождают некоторую бесконечную группу, и справедливы соотно¬
шения:
F\= (Fi о Fi)* = (Ft °Fa)3 = (Ft»F3)3 = id.
Покажите, что Ft, F2, F3 — отражения от сторон правильного тре¬
угольника.
Решив эту задачу, видим, что соотношения (21) с не¬
которым небольшим уточнением полностью определяют
группу рЗт\ и в этом смысле могут быть названы ее
определяющими соотношениями. Последнему высказыва¬
нию мы пока не придаем строгого математического смыс¬
ла: точное описание определяющих соотношений требует
знакомства с понятиями абстрактной группы, группы
слов и фактор-группы.
4 Зак. 641
97
Во многих приведенных выше рас-
Общее понятие суждениях и вычислениях для нас
группы было совершенно не важно, что мы
имеем дело именно с движениями.
Существенными являлись лишь следующие свойства
группы движений:
1) композиция двух движений из данной группы есть
движение из этой же группы;
2) композиция движений обладает свойством ассо¬
циативности;
3) группа содержит тождественное преобразование,
характеризующееся тем, что его композиция с любым
другим преобразованием f дает снова /;
4) вместе с каждым движением группа содержит и
обратное ему движение.
Подобными свойствами обладают не только группы
движений (или других преобразований). Если вместо
движений взять действительные числа, а вместо компо¬
зиции движений — сложение чисел, то все эти свойства
также выполняются. Обращаем внимание читателя на
то, что уже в главе «Плоскость» (примеры 1, 7 и др.) мы
неоднократно использовали эти свойства для элементов
различной природы (чисел, точек, векторов) и различных
операций над ними (сложения, умножения). Характер¬
ной в этом отношении является аналогия между приме¬
ром 32 и задачей 70. Все это говорит о целесообразности
формулирования общего понятия группы.
Группой называется множество G элементов произ¬
вольной природы, в котором:
1) задано правило (групповая операция), согласно
которому любой паре (а, Ь) элементов G сопоставляется
некоторый элемент а * b того же множества;
2) групповая операция ассоциативна, т. е. для любых
элементов а, b и с из G (а * b) * с = а * (b * с);
98
3) в G имеется нейтральный элемент, т. е. такой эле¬
мент е, что для любого a^Ga*e = e*a = a·,
4) у каждого элемента а в G есть симметричный, т. е.
такой элемент а\ что а* а' = а' * а = е.
Свойства 1—4 называют также аксиомами группы.
Полезно подумать, почему же всякая группа преобразо¬
ваний является группой в смысле данного определения:
ведь понятие группы преобразований включает только
два свойства, являющихся аналогами аксиом 1 и 4. Дело
в том, что аксиома 2 для композиции преобразований вы¬
полняется автоматически, а аксиома 3 следует в этом
случае из аксиом 1 и 4 (нейтральный элемент для ком¬
позиции — тождественное преобразование — существует
всегда, вопрос лишь в том, принадлежит ли он группе).
Вместо знаков * (звездочка) и ' (штрих), а также
терминов «нейтральный» и «симметричный», смысл кото¬
рых раскрыт в определении группы, в разных конкретных
ситуациях могут употребляться другие знаки и слова.
Гак, в случае группы преобразований групповая опера¬
ция (композиция) обозначается кружком (о), нейтраль¬
ным элементом является тождественное преобразова¬
ние id, а элемент, симметричный данному преобразо¬
ванию /, называется обратным преобразованием и
обозначается /-1. Если рассматривать группу чисел (це¬
лых, действительных или комплексных, т. с. точек плос¬
кости) с операцией сложения, то нейтральным элементом
будет нуль (в случае точек плоскости — полюс Р), а вы¬
ражение «симметричный элемент» заменяется словосоче¬
танием «противоположное число». Для группы чисел
с операцией умножения знак операции не пишут, ней¬
тральным элементом служит единица, а симметричными
являются взаимно обратные числа а и 1 /а = а~1.
Система обозначений, применяемая в случае опера¬
ции умножения, наиболее удобна, поэтому ее часто
используют и для произвольных групповых операций.
4*
99
В дальнейшем будем писать ab вместо а * ft, называть
этот элемент произведением а и ft, нейтральный элемент
называть единичным, а симметричный — обратным и
обозначать а-1. Пользуясь этой системой обозначений,
необходимо помнить, что групповая операция в отличие
от обычного умножения не всегда коммутативна.
Пример 33. Являются ли следующие множества с опе¬
рациями группами:
1) все четные числа с операцией сложения?
2) все нечетные числа с операцией сложения?
3) все действительные числа с операцией вычитания?
4) все натуральные числа с операцией сложения?
5) все неотрицательные целые числа с операцией сло¬
жения?
6) все действительные числа с операцией х * у =
= Х + у— 1?
Первые пять случаев рассматриваются с помощью
простой проверки выполнения групповых аксиом. Ясно,
что в первом случае все свойства групповой операции
выполняются. Во втором примере нарушается уже пер¬
вое свойство: сумма двух нечетных чисел есть четное
число. В третьем случае первое свойство выполнено, но
операция неассоциативна: 6 — (5 — 3) Ф (6 — 5) — 3.
В четвертом примере имеем ассоциативную операцию,
которая, однако, не обладает нейтральным элементом:
единственное число, которое может служить нейтраль¬
ным элементом относительно сложения, есть, очевидно,
нуль, а он не входит в данное множество. Пятый случай
отличается от четвертого лишь тем, что к рассматривае¬
мому множеству добавлен нуль, поэтому операция обла¬
дает нейтральным элементом. Однако ни для одного чис¬
ла, кроме нуля, противоположное ему число не содер¬
жится в данном множестве, следовательно, свойство 4 не
выполнено.
Большего внимания требует последний пример, в ко-
100
юром предлагается рассмотреть необычную операцию
|мд числами. Ясно, что применив эту операцию к паре
н'йствительных чисел (х, у), мы получим снова действи-
и льное число х + у — 1, значит, первое свойство выпол¬
няю. Для проверки ассоциативности достаточно вычис¬
лить, согласно определению операции *, выражения
(х * у) * ζ и х * (у * г). Имеем:
(х * у) * ζ = (х + у — \ )*z = x + y— 1 + г — 1;
х* (y*z) = х* (у + г — 1) = л: + у + 2 — 1 — 1.
Далее, нейтральный элемент е должен удовлетворять
тождеству х + е — 1 = х при любом х. Отсюда е = 1.
Поскольку данная операция коммутативна, для нахож¬
дения элемента, симметричного х, мы имеем лишь одно
равенство вместо двух: х * х' 1, т. е. х -}- х' — 1 = 1,
откуда х' = 2 — х. Итак, операция обладает всеми че¬
тырьмя свойствами групповой операции, и множество
действительных чисел с такой операцией образует
группу.
Задача 73. Проверьте, образуют ли группы следующие множест-
иа с указанными операциями. Если ответ отрицателен, назовите то
из четырех свойств группы, которое в данном случае нарушается:
1) множество всех иррациональных чисел с операцией сложения;
2) множество всех действительных чисел из промежутка
| 1, + оо [ с операцией ху = ху — х — у + 2;
3) множество всех двоично-рациональных чисел (т. е. дробей,
знаменатель которых — степень двойки, а числитель — любое целое
число) с операцией сложения;
4) множество ненулевых двоично-рациональных чисел с опера¬
цией умножения;
5) какое множество действительных чисел является группой от¬
носительно операции х * у = (х y)l(I — ху)?
Приведем некоторые простые следствия четырех груп¬
повых аксиом.
1. Нейтральный элемент в группе единствен, т. е. в
группе не может быть двух различных элементов, каж¬
101
дый из которых обладает характеристическим свойством
нейтрального элемента (аксиома 3). Действительно
пусть βι и е2 — такие элементы, что для любого aeG
ае 1 = βί а = ае2 = е2а = а.
Полагая в этом равенстве сначала а = еА, а затем а = ец
получаем ei = е^е2 = e2l что и требовалось доказать.
2. В группе всегда однозначно разрешимо всякое
уравнение вида ах = Ьу т. с. для любых fl.teG сущест¬
вует единственный элемент х е G, такой, что ах = bt
Действительно, домножим слева данное уравнение на
элемент а-1: а~1(ах) = а_1Ь, откуда, по аксиоме ассоциа¬
тивности и по определению обратного элемента, получим
х = а~1Ь.
Задача 74. Докажите, что в группе всегда однозначно разрешимо
уравнение вида ха = Ь. Найдите его решение.
Из доказанных следствий и утверждения задачи 74
можно сделать два полезных вывода. Во-первых, обрат¬
ный элемент, определенный аксиомой 4, для каждого
aeG единствен. Во-вторых, если рассматриваемая груп¬
па конечна и мы составим ее таблицу умножения, распо¬
ложив первый сомножитель в левом столбце, а второй —
в верхней строке, то в каждой строке таблицы должны
встретиться по одному разу все элементы группы. Это
следует из однозначной разрешимости уравнений вида
ах = Ь. А из однозначной разрешимости уравнения вида
ха = b следует, что и каждый столбец таблицы умноже¬
ния содержит по одному разу все элементы группы.
3. Из аксиом группы следует, что элемент (a_1)n
является обратным ап. Поэтому, как и для преобразова¬
ний, можно ввести понятие любой целой степени данного
элемента группы, полагая а0 = е, а~п = (a_1)n при п > 0.
Тогда для любых целых k и I будет выполнено соотно-
ШеНИе a"a' = а'н*. (22)
102
II ι соотношения (22) видно, что множество всех целых
< ι теней данного элемента а образует группу. Элемент а
называется образующим элементом этой группы, а сама
ι руппа — циклической. Определим порядок элемента а
l a к наименьшее натуральное число п, для которого
и" = е (если а = е, то порядок, по определению, считают
равным единице; если ап при любом п отлично от е, то
творят, что а — элемент бесконечного порядка). Заме¬
ним, что порядок (т. е. число элементов) циклической
7 / 3 в / =\ /■
2 2 =Ατ^“·
J —«3 >>ч-|
П2
//.
п.
J "*
Рис. 48
П5
пе
группы, порожденной элементом а, равен порядку этого
элемента.
До сих пор мы рассматривали группы, элементы ко¬
торых были или числами, или преобразованиями. Группы
преобразований и числовые группы играют важную роль
в математике. Приведем еще несколько примеров групп,
элементы которых имеют совсем другую природу.
Пример 34. Назовем переключателем электрическую
схему, имеющую три входа и три выхода, соединенные
между собой попарно в некотором порядке. Таких пере¬
ключателей всего шесть, они изображены на рис. 48. Тре¬
буется определить на множестве переключателей некото¬
рую операцию, превращающую это множество в группу.
Естественная операция, которую можно производить
с переключателями — соединение. Например, при соеди¬
нении переключателей П2 и П4 * вход 1 будет соеди-
* Рассмотрение начинаем с ГЦ.
103
пяться с выходом 3, вход 2 — с выходом 2, а вход 3 —J
с выходом 1. Точно такое же соответствие между вхо¬
дами и выходами осуществляет переключатель Ш. По¬
этому можно записать П2П4 — П5. Заметим при этом, что
результат соединения переключателей зависит от их по¬
рядка: так, П4П2 = Пе.
Убедитесь, что все соединения переключателей пред¬
ставлены в таблице
Πχ
п2
Пз
п4
П5
п,
Πχ
Пх
п2
Пз
П4
П5
П,
п2
п2
Пз
Пх
По
Пв
п4
я
00
П,
Пх
п2
п,
п4
По
п4
п4
п,
По
Πχ
П3
п2
П5
П5
П4
По
П2
Πχ
П3
П«
П.
По
П4
П3
п2
Πχ
Оказывается, что множество из шести переключате¬
лей с операцией соединения образует группу. Но как это
проверить? Если убеждаться в выполнении групповых
свойств непосредственно, то для доказательства ассоциа¬
тивности нашей операции потребуется проверить спра¬
ведливость 63 = 216 равенств вида Пг(П;Пь) = (ПгГГОПь,
где /, /, k — номера от 1 до 6. К счастью, эту проверку де¬
лать вовсе не обязательно. Заметим, что если в данной
104
глГ)лице заменить Πι, П2, Пз, П4, П5, П« на id, Ro2°°t
Λ’oi>0, Sa, Sb, Sc соответственно, то она преобразуется
и таблицу умножения группы D3 (см. с.93). Это означает,
что операции соединения переключателей и композиции
преобразований из группы D3 устанавливают одинаковые
связи между соответствующими элементами этих мно¬
жеств. Например, при соединении переключателей П2
и П4 получается переключатель П5, а при композиции
< оответствующих движений — поворота Ro и отраже¬
нии Sa — отражение 5/,, которое соответствует переклю¬
чателю Пг,. Поэтому операция соединения ообладает все¬
ми свойствами, присущими операции композиции в груп¬
пе D3, а именно: она подчиняется ассоциативному закону,
переключатель Πι, как и тождественное преобразование,
является нейтральным элементом, и для каждого пере¬
ключателя можно указать такой переключатель, что
после их соединения получается переключатель Πι. А это
и означает, что множество переключателей — группа.
Математическое содержание рассмотренного примера
заключается в описании всевозможных взаимно одно¬
значных соответствий на себя множества из трех элемен¬
тов, которые можно (как и входы и выходы переключа¬
телей) занумеровать числами 1, 2, 3.
Взаимно однозначное отображение множества чисел 1,
2, ... , п на себя называется в математике подстановкой
из п элементов. Подстановка, переводящая 1 в 119 2 — в
/1 2 ... /I \
/\>, ... , п — в inJ обозначается . . .1. Подстановки
Vi h · · · ln I
из п элементов образуют группу порядка п\ Композиция
подстановок — это композиция преобразований. Так, на¬
пример,
/1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3\
VI 3 2у ° \3 2 1/ U 3 lj·
105
Точно так же множество всех преобразований (взаим
но однозначных соответствий между элементами) мно
жества М относительно композиции преобразован^
образует группу, которую обозначают Tr(Ai).
Отметим важное следствие аксиомы ассоциативности
произведение не только трех, но и любого числа элемеп
тов группы не зависит от порядка, в котором произво
дятся действия, т. е. от способа расстановки скобок в вы·
ражении а^2*—аПш Например, ((а{а2)аз)а^ = (а^а2) X
X (Я3Я4) = С1{(а2(аза^). В общем случае это утверждение
легко доказать индукцией по п. Из него следует, чте
произведение нескольких элементов группы можно запи¬
сывать без скобок. Это соображение наряду с рассужде¬
ниями, приведенными в примере 8, полезно иметь в виду
при решении следующей задачи.
Задача 75. На школьной доске нарисовано несколько окруж*
ностей, квадратов и треугольников. Разрешается стереть любые две
фигуры, нарисовав вместо них третью по такому правилу: вместо
пары окружностей — одну окружность, вместо пары квадратов —
треугольник, вместо пары треугольников — квадрат, вместо окруж¬
ности и квадрата — квадрат, вместо окружности и треугольника —
треугольник, вместо квадрата и треугольника — окружность. Дока¬
зать, что форма фигуры, которая останется последней, не зависит от
того, в каком порядке стирают фигуры.
106
Задача 76. Рассмотрим множество всех рациональных алгебраи*
■неких выражений с действительными коэффициентами, содержащих
" |'|У букву х (эти выражения имеют вид отношения двух много-
е и * 11 о в от х). Если А и В — два таких выражения, то можно образо-
πι и» новое выражение А * Ву подставив в А всюду вместо х выра¬
жение В. Докажите, что совокупность всех выражений, которые мож¬
но получить с помощью подстановок из двух выражений = 1 — х
и Λ 2 = 1/я, образует группу, найдите ее порядок, составьте список
пеех ее элементов и таблицу умножения для них.
Задача 77. Попытайтесь найти рациональное выражение В, та¬
кое, что В * А{ = В * Az = В, где Aι и Ач определены в задаче 76.
При разборе примера 8 мы вывели
Изоморфизм все необходимые свойства операции
соединения переключателей из ана¬
логичных свойств композиции преобразований, так как
обе операции в известном смысле устроены одинаково.
И математике существует точное понятие для того, чтобы
характеризовать подобные ситуации.
Группы G и Я называются изоморфными, если между
их элементами можно установить такое взаимно одно-
тачное соответствие, что всякий раз, когда элементы gy
и h[y а также g2 и h2 соответствуют друг другу, элементы
lhg2 и также будут соответствовать друг другу. Гово¬
рят, что это соответствие не нарушается групповыми опе¬
рациями. Более точно это определение можно сформули¬
ровать так: группы G и Я изоморфны, если существует
взаимно однозначное отображение φ: G-^Я, такое, что
Viffiga) = фЫфЫ (23)
для любых двух элементов gi и g2 из G. В этом случае
творят, что φ есть изоморфизм группы G на группу Я.
На первый взгляд кажется, что второй вариант опре¬
деления отличается от первого несимметричным подхо¬
дом к группам G и Я. На самом деле это не так, ибо
если ср — изоморфизм G на Я, то обратное отображение
<Р 1 будет изоморфизмом Я на G. Действительно, обозна¬
107
чая Λι = φ(ίίι), Ы = φ(£2) и применяя отображение φ_1
к обеим частям равенства (23), получим φ-1(Λι)φ"1 Oh) =
= qr^Ai/fc).
Для конечных групп самым непосредственным спосо¬
бом установления изоморфизма служит явное перечисле¬
ние пар соответствующих друг другу элементов и про¬
верка того свойства, что при замене в таблице умножения
одной группы каждого элемента на его «пару» из другой
группы получается таблица умножения другой группы.
Именно так мы поступили в примере 34 (когда не знали
даже, что переключатели образуют группу).
Задача 78. Проверьте, является ли изоморфизмом следующее со¬
ответствие между элементами группы симметрий правильного треу¬
гольника и группой переключателей: id**nlt Rq20 П2, RqA0* ++
** I"Ijf 5^<->П5, Sc «-> Πβ.
Решим эту задачу, можно сделать два поучительных
вывода. Во-первых, при замене движений треугольника
на элементы группы переключателей, соответствующие
им по схеме, приведенной в условии задачи, из таблицы
умножения группы D3 получается следующая таблица:
Πι
П3
П2
П5
П«
П.
п,
п,
П3
П2
П6
П|
П„
П,
П3
п2
П2
П|
Пв
Пв
п2
п2
п2
П3
П6
п5
П,
П5
П5
пв
П4
Πχ
П2
Пз
П,
п4
Пд
Пв
П,
Пх
п.
П„
П„
П«
П5
П2
Пз
П,
108
Она не совпадает с таблицей, приведенной в примере 34,
но эквивалентна ей, так как отличается только переста¬
новкой строк и столбцов (проверьте это!). Во-вторых,
оказывается, что если группы изоморфны, то может су¬
ществовать несколько различных изоморфизмов первой
группы на вторую. В частности, могут существовать изо¬
морфизмы группы на себя, отличные от тождественного
отображения. К этому понятию мы еще вернемся, но уже
сейчас читатель может «поломать голову» над следую¬
щей задачей.
Задача 79. Перечислите все изоморфизмы группы D3 на себя.
Понятие изоморфизма раскрывает смысл некоторых
аналогий, на которые вдумчивый читатель мог обратить
внимание при чтении предыдущих глав. Теперь можно
сформулировать соответствующие утверждения в виде
четких задач.
Задача 80. Докажите, что множество точек плоскости с опера¬
цией сложения над некоторым полюсом (см. главу «Плоскость»)
образуют группу, изоморфную группе всех векторов плоскости. Дока¬
жите также, что сопоставление каждой точке (или вектору) ее коор¬
динат в некотором базисе осуществляет изоморфизм каждой из этих
групп с группой пар действительных чисел, в которой сложение
определено правилом
(Я1, bi)-\-((i2y b2) = (fli + fl2, bi-\-bz).
Задача 81. Докажите, что множество вершин правильного шести¬
угольника на комплексной плоскости (его таблица умножения при¬
ведена в примере 7) образует группу, изоморфную циклической груп¬
пе Сн, состоящей из поворотов с общим центром на углы, крат¬
ные 60°.
Задача 82. Докажите, что множество, состоящее из окружности,
треугольника и квадрата, с операцией, описанной в задаче 75, обра¬
зует группу, изоморфную циклической группе С3. Сколькими спосо¬
бами можно осуществить этот изоморфизм?
Задача 83. Докажите, что группа рациональных алгебраических
выражений с операцией подстановки, определенная в задаче 76, изо¬
морфна группе диэдра £)3.
109
Результаты задач 81 и 82 можно обобщить. Заметим,
что в той и другой задаче речь идет об изоморфизме
между двумя циклическими группами одного порядка.
Любые такие группы изоморфны. В самом деле, пусть
g — образующий элемент группы G, a h — образующий
элемент второй группы Я. Зададим отображение ср:
G Я формулой q>{gh) = hh. Тогда правило перемноже¬
ния степеней (22) справедливо в каждой из данных групп
и означает, что φ — изоморфизм:
φ (ghgl) = 4>(gh+l) = hk+l = hhhl = q>(gk)<f(gl).
С другой стороны, ясно, что две циклические группы раз¬
ных порядков неизоморфны, так как между конечными
множествами, состоящими из разного числа элементов,
нельзя установить взаимно однозначного соответствия.
Ясно также, что если некоторая группа изоморфна цик¬
лической, то и сама она циклическая: элемент, порож¬
дающий одну группу, при изоморфизме переходит в обра¬
зующий элемент другой группы.
Предположим теперь, что даны две группы G и Я и
требуется определить, изоморфны они или нет. Найти
наугад или путем простого перебора взаимно однознач¬
ное соответствие между элементами этих групп, которое
не нарушалось бы групповыми операциями, практически
невозможно (рассмотренные ранее примеры были, ко¬
нечно, специально подобраны так, чтобы это было легко
сделать). При исследовании этого вопроса полезно учи¬
тывать следующее.
Доказать, что группы G и Я изоморфны, как правило,
труднее, чем доказать их неизоморфность. Дело в том,
что в первом случае требуется обычно явно построить
изоморфизм между данными группами, тогда как во вто¬
ром достаточно указать некоторое свойство, которое раз¬
личает эти группы. Перечислим несколько свойств, совпа-
110
дсние которых является необходимым признаком изо¬
морфных групп.
1. Порядок. Конечные группы, имеющие разное число
элементов, не могут быть изоморфными.
Задача 84. Изоморфны ли группы всех целых чисел и четных
чисел (обе—-с операцией сложения)?
2. Коммутативность. Коммутативная группа не может
быть изоморфна некоммутативной.
3. Цикличность. Циклическая группа не может быть
изоморфна нециклической.
Задача 85. Укажите все пары изоморфных между собой групп
среди конечных групп движений плоскости, т. е. среди групп из сле¬
дующего списка: Ci, Dι, Cz, Dz, Сз, D3, ...
4. Порядки элементов. Если в группе G имеется не¬
сколько элементов порядка /г, то в изоморфной ей груп¬
пе Я должно быть столько же элементов порядка л, так
как соответствующие друг другу при изоморфизме эле¬
менты двух групп имеют одинаковые порядки.
Докажем последнее утверждение, так как оно не¬
сколько сложнее предыдущих. Заметим, во-первых, что
при изоморфизме единичные элементы групп соответ¬
ствуют друг другу. Действительно, если е — единичный
элемент группы G и φ: G Я— изоморфизм, то из ра¬
венства ее = е следует, что φ(β)φ(β) = ф(е). Домножая
обе части этого соотношения на элемент группы Я,
обратный ф(е), получаем, чтоф(е) = е' — единичный эле¬
мент группы Я. Пусть теперь g — элемент группы G,
имеющий порядок л и q>(g)=h. Тогда из равенства
gn = е следует, что hn = е\ т. е. порядок s элемента h
не превосходит п. Если имеет место строгое неравенство
s < л, то из равенства hs = е' вытекает, что gs = е. А это
противоречит выбору п (порядок элемента — это наи¬
111
меньшая его степень, равная единичному элементу), сле¬
довательно, s = п.
Например, в группе D3 имеются один элемент поряд¬
ка 1 (тождественное преобразование), три элемента по¬
рядка 2 (отражения) и два элемента порядка 3 (поворо¬
ты). В группе Сб — один элемент порядка 7, один эле¬
мент порядка 2 и по два элемента, имеющих порядки 3
и 6. Это лишний раз объясняет, почему эти группы неизо¬
морфны.
Список свойств, необходимых для изоморфизма двух
групп, можно продолжать неограниченно: в него входит
любое свойство группы, которое формулируется в терми¬
нах групповой операции без обращения к конкретной
природе элементов группы. Мы, однако, перейдем к
обсуждению другой части вопроса об изоморфизме двух
групп. Предположим, что группы G и Н состоят из одного
и того же числа элементов, что они обе коммутативны
или некоммутативны, что входящие в них элементы
имеют одинаковые порядки и т. д. Тогда возникает на¬
дежда, что данные группы могут оказаться изоморф¬
ными. Но чтобы доказать, что они действительно изо¬
морфны, нужно построить изоморфизм. Дадим несколько
полезных советов, помогающих это сделать в простейших
ситуациях.
Начнем с того, что, как было доказано выше, единич¬
ные элементы групп при изоморфизме соответствуют
друг другу, поэтому, если мы хотим построить изомор¬
физм φ: G-*H, следует положить ф(е) = е\ где е и е' —
единичные элементы в группах G и Н. Далее, если извес¬
тен образ при отображении φ некоторого элемента g
из G, т. е. cp(g) = h, то из соотношения (23) последова¬
тельно выводится, что <p(g2)=h2, ф(g3)=hsy ... и по
индукции φ(£η) = hn при любом натуральном п.
Задача 86. Докажите, что равенство φ(£η)=Λη верно и для
отрицательных значений п.
112
Итак, если отображение φ определено на некотором
моменте д группы G, то оно определено и на всей под-
| руине, порожденной этим элементом. Подобным обра¬
зом, если известно, куда переводит φ несколько элемен-
тов ди д2у..., gн группы G, то можно однозначно указать
образы всех элементов, порожденных gi, g2, ... 9 gh (τ· с.
имеющих вид g[l ··· gfc). Если при этом элементы gx
P.s ..., gk являются образующими группы G, то значе¬
ния ф(Ы = At, Φ (δ\>) = A о,..., <p(£fA) = hk полностью опре¬
деляют отображение φ. В случае двух образующих полу-
чнем формулу
«Р (gi‘ 82 б* gl2··· g2v) = Λι· As ΑΪ* /i2 · · · h\· h[s. (24)
Итак, если группа G порождена двумя элементами gi
и "2, то для построения изоморфизма φ: G-*-tf достаточ¬
но задать его значения на образующих: φ(#ι)=Αι,
ф(й2)= Л2, а затем, согласно формуле (24), распростра¬
нить отображение φ на все множество G. Как при этом
следует выбирать элементы hi и /12? Ясно, что они долж¬
ны быть образующими группы Я, их порядки должны
совпадать с порядками элементов gi и g2 соответственно
и что они должны удовлетворять любому соотношению,
которому удовлетворяют элементы g 1 и g2. Например,
если gi g\ — е> то должно выполняться соотношение h\h\ =
^ е'. Заметим, что приведенные соображения позволяют
построить отображение φ, являющееся «кандидатом в
изоморфизмы». После того как отображение построено,
необходимо проверить, действительно ли оно изомор¬
физм.
Пример 35. Пусть ζ φ 1 — комплексное число, являю¬
щееся корнем третьей степени из единицы (ζ3 = 1). Рас¬
смотрим две функции комплексной переменной: Fi(z) =
ζζ, F2(z)= ζ. Доказать, что множество всех функций,
113
которые можно получить из Л и F2 с помощью операции
суперпозиции функций (образования сложной функции),
является группой относительно этой операции, причем
эта группа изоморфна группе диэдра D3.
Находим:
^3 (г) = Fi (F2 (z) ) = Fi (z) = ζζ;
F,(z) = F2(F2(z)) = F2(z) = г;
^5(ζ)=^(Λ(2))=Γ,(ζζ)=ζ2(2);
Fc, (г) = F2 (Fx (г)) = F2 (ζζ) = ζ7 ^ ζ7.
Все другие сложные функции совпадают с шестью,
вычисленными выше. Таким образом, множество функ¬
ций Fi, i = 1, ..., 6, замкнуто относительно суперпози¬
ции. Кроме того, для каждой из этих функций обратная
ей функция также принадлежит данному множеству.
Следовательно, мы получили группу. Роль нейтрального
элемента играет тождественная функция /ч, элементы
F2, F3, F6 имеют порядок 2, а элементы Fi и F3 — поря¬
док 3. Данная группа некоммутативна: например,
Fi(F2(z) ) = F3(z), a F2(Fi(z) ) = F6(z). Все это наводит
на мысль, что рассматриваемая группа может быть изо¬
морфна группе D3.
Чтобы построить изоморфизм <р: G->Z)3, заметим, что
группа G, по определению, порождена двумя функциями
Fi и F2, порядки которых равны 3 и 2. В группе D3 также
есть система из двух образующих, имеющих те же по¬
рядки: это некоторый поворот и некоторое отражение.
Положим, например, Fi <-> /?о20°, F2 <-> Sa. Тогда F3 <-> Sc,
F4 id, Fb Ro*°\ F6 <-> Sb. Заменяя каждый элемент
группы D3 соответствующим ему элементом группы G, из
таблицы умножения для D3 (см. с. 76) получим таблицу,
которая представляет собой таблицу умножения для
группы G (проверьте это!).
114
Ft
Ft
Fs
F2
Fs
CO
Ft
Ft
Ft
Fs
Fs
Fs
Fs
Ft
Ft
Fb
Ft
Fs
Fs
Fs
Fs
Fs
Ft
Ft
Fs
Fs
Fs
Fs
f2
Fs
Fs
Ft
Fs
Ft
Fe
Fe
Fs
Fs
Ft
Ft
Fs
F3
F3
Fs
f2
Fs
Ft
Ft
Итак, изоморфизм найден. Оказывается, однако, что
по можно построить некоторым естественным способом,
не подбирая его значения на образующих. Действитель¬
но, вспомним о том, что функции комплексной перемен¬
ной имеют простой геометрический смысл, т. е. представ¬
ляют собой аналитическую запись некоторых преобразо¬
ваний плоскости (см. главу «Движения»). Рассмотрим на
комплексной плоскости треугольник с вершинами 1, ζ, ζ2,
где ζ — комплексное число, такое, что ζ3 = 1. Тогда функ¬
ция Fi(z)—Xz соответствует повороту на 120° с центром
и нулевой точке, а функция F2(z) = ζ — отражению отно¬
сительно оси а (рис. 49). Сопоставим всякой функции,
полученной из Fι и F2 с помощью суперпозиций, соответ¬
ствующее пробразование плоскости. Ясно, что суперпози¬
ция функций переходит при этом в композицию преобра¬
115
зований *. Отсюда без всяких вычислений следует, что
функции Fi и F2 порождают группу, изоморфную группе
симметрии правильного треугольника.
Изоморфизм, построенный вторым способом, можно
в отличие от первого назвать естественным. Естественный
изоморфизм вскрывает причину, в силу которой две груп¬
пы изоморфны.
Задача 87. Укажите естественный изоморфизм между группой
переключателей (см. пример 34) и группой D3.
Можно построить естественный изоморфизм с груп¬
пой D3 и для группы рациональных алгебраических выра¬
жений, описанной в задаче 78.
Следует отметить, что естест¬
венность, о которой идет речь, ни
в коей мере не является строгим
математическим понятием, а но-
/ сит чисто эвристический харак-
тер. В некотором смысле изомор¬
физм является естественным, но
для того чтобы понять естествен¬
ность некоторого обнаруженного
изоморфизма, требуется подчас
развить новую математическую
Рис. 49 теорию. Стремление понять при¬
чины, по которым в различных
областях математики появляются изоморфные объек¬
ты, является мощным стимулом развития науки. Мы
не случайно употребили обобщающее слово «наука».
Дело в том, что понятие изоморфизма существует и пло¬
* Более того, слова «композиция» и «суперпозиция» на самом
деле означают одно и то же, только первое принято в геометрии,
когда говорят о преобразованиях, а второе — в анализе, когда речь
идет о функциях.
116
дотворно используется не только в математике, но и
в других областях науки и даже в практической деятель¬
ности, правда, там оно не имеет такого точного смысла.
Поясним это на примере.
Вступительная работа Всесоюзной заочной математи¬
ческой школы при МГУ в 1970 г. была опубликована в
двух журналах: «Квант» и «Математика в школе».
В «Кванте» была приведена следующая задача:
«Один из трех гангстеров, известных в городе М под
кличками Арчи, Босс и Весли, украл портфель (с деньга¬
ми). На допросе каждый из них сделал три заявления.
Арчи:
Я не брал портфель.
В день кражи я уезжал из города М.
Портфель украл Весли.
Босс:
Портфель украл Весли.
Если бы я и взял его, я бы не сознался.
У меня и так много денег.
Весли:
Я не брал портфель.
Я давно ищу хороший портфель.
Арчи прав, говоря, что он уезжал из М.
В ходе следствия выяснилось, что из трех заявлений
каждого гангстера два верных, а одно — неверное. Кто
украл портфель?»
В журнале «Математика в школе» была дана такая
задача:
«До царя Гороха дошла молва, что, наконец, кто-то
убил Змея Горыныча. Царь Горох знал, что это мог сде¬
лать либо Илья Муромец, либо Добрыня Никитич, либо
Алеша Попович. А вот и они, запыленные, явились ко
двору. Царь стал их спрашивать. Трижды каждый бога¬
тырь речь держал. И сказали они так.
117
Илья Муромец:
Не я убил Змея Горыныча.
Я уезжал в заморские страны.
Змея Горыныча убил Алеша Попович.
Добрыня Никитич:
Змея Горыныча убил Алеша Попович.
Если бы я его и убил, то не сказал бы.
Много еще нечистой силы осталось.
Алеша Попович:
Не я убил Змея Горыныча.
Я давно ищу, какой бы подвиг совершить.
И взаправду Илья Муромец в заморские страны
уезжал.
Потом царь Горох узнал, что дважды каждый бога¬
тырь правду говорил, а один раз лукавил. Кто убил Змея
Горыныча?»
Нетрудно заметить, что хотя в этих задачах речь идет
о совершенно различных вещах, логическая структура их
одна и та же. Точнее, можно составить следующий сло¬
варик, в котором сопоставляются лица, предметы и дей¬
ствия, фигурирующие в условии задач:
Арчи Илья Муромец
Босс Добрыня Никитич
При замене в условии первой задачи всех слов из левого
столбца на соответствующие слова из правого столбца
мы получаем условие второй задачи. Исключение состав¬
ляют два высказывания (шестое и восьмое), которые в
каждой задаче не зависят от остальных высказываний
и которые, как выясняется в ходе решения, можно счи¬
тать истинными или ложными, смотря по обстоятельствам
Весли
портфель
украсть
уехать из города М.
Алеша Попович
Змей Горыныч
убить
уехать в заморские страны.
118
(предполагается, что задача решается путем перебора
нсех логически допустимых возможностей). В этом смыс¬
ле данные задачи изоморфны.
Подмеченный изоморфизм можно использовать сле¬
дующим образом. Решив первую задачу, мы получаем
ответ: Босс. После этого вторую задачу можно уже не
решать: ответом на нее будет слово, соответствующее
слову «Босс», а именно Добрыня Никитич.
Подобным образом используется и изоморфизм
групп (и других математических объектов, о которых мы
не имеем возможности рассказать): если две группы G
и Я изоморфны, то всякое утверждение, формулируемое
в терминах групповой операции, которое выполняется
для G, будет выполняться и для Я.
Изоморфизм групп можно использовать и для другой
цели. Пусть установлен изоморфизм φ: GН между
группами G и Я. Операции в группах G и Я обозначим
соответственно звездочкой (*) и кружком (о). Предпо¬
ложим, что выполнение операции о проще, чем опера¬
ции *. Тогда, чтобы вычислить элемент gi * g2, можно по¬
ступить так: возьмем элементы φ(£ι), φ(δ2) группы Я,
соответствующие элементам gi и g2, «перемножим» их в
группе Я, т. е. найдем φ(£ι) ° ф(&2), а затем отыщем соот¬
119
ветствующий элемент в группе G — это и будет gi * £2.
В самом деле, согласно определению изоморфизма,
gi*gz = φ-1(φ(£ι) »фЫ)· (25)
Изобретение логарифмов Дж. Непером * в начале
XVII века явилось, по-видимому, первым в истории при¬
менением изоморфизма в этом смысле. Логарифмы были
введены для того, чтобы заменить умножение чисел бо¬
лее простой операцией — сложением. Если обозначить
десятичный логарифм числа х через lgx, то имеет место
тождество
*1*2 = lOteffi+tea·*, (26)
являющееся частным случаем соотношения (25). Изо¬
морфизм, который делает возможным все вычисления с
помощью логарифмов,— это изоморфизм lg : * -> lg *
группы положительных действительных чисел R+ по умно¬
жению и группы всех действительных чисел R по сложе¬
нию. Два основных свойства логарифмической функции:
1) она определена на множестве R+, принимает значения
в R и взаимно однозначна; 2) она удовлетворяет тож¬
деству
lg(*i*2) = lg *1 + lg *2
и означает, что отображение lg:R+->R представляет
собой изоморфизм указанных групп.
Задача 88. Укажите, как изменится формула (26), если вместо
десятичного логарифма у = lg х использовать функцию Непера у =*
= A lg х + В (иначе говоря, как сам Непер находил произведение
чисел с помощью таблиц значений функции у = A\gx-\- В и обрат¬
ной ей), и придумайте такую групповую операцию * на множестве
* Точнее, его последователем Г. Бригсом, который впервые со¬
ставил таблицу десятичных логарифмов: логарифмы самого Дж. Не¬
пера отличались от ныне употребляемых (вместо логарифма он рас¬
сматривал функцию у = A lg х + β, где А и В — некоторые кон¬
станты).
120
псех действительных чисел, чтобы функция Непера была изоморфиз¬
мом группы R+ с умножением и группы R с операцией *.
В заключение укажем приложение изоморфизма к так
называемому переносу структуры.
Пусть G — некоторая группа с операцией □ и Я —
некоторое множество, в котором операция не определена,
но такое, что его элементы можно поставить во взаимно
однозначное соответствие с элементами группы G, т. е.
с уществует взаимно однозначное отображение <р: Я-*· G.
Тогда групповую операцию можно перенести из G в Я
с ледующим образом. Возьмем два произвольных элемен¬
та из Я, перенесем их в G с помощью отображения φ,
зти образы перемножим, а результат перенесем назад
и Я. Таким образом, в множестве Я появляется некото¬
рая операция. Обозначая ее значком Δ, описанные дей¬
ствия можно записать в виде формулы Λι Δ h2 =
= φ-*(φ(Λι) □ (Л2))·
Именно так были определены сложение точек плос¬
кости в главе «Движения» и необычная групповая опера¬
ция над действительными числами х*у = х-\-у— 1,
описанная в примере 33. Она получается из обычного
сложения, если перенести его с помощью отображе¬
ния φ: R-»-R, заданного формулой ср(лг) = лг — 1. В са¬
мом деле, х*у = <г‘(ф(*)+<р(«/)) = ((*—1) + (у—l))-f
Т 1 = х ~Ь у — 1.
Операция х * у = которая рассматривалась в
1 ху
задаче 73, имеет такое же происхождение. Мы попыта¬
лись перенести обычное сложение с помощью отображе¬
ния (p(x)=tgj*; (бросается в глаза, что формула, за¬
дающая операцию *, похожа на формулу тангенса сум¬
мы!), но это нам плохо удалось по той причине, что тан¬
генс не является взаимно однозначной функцией. Выби¬
рая на числовой прямой множество М> образующее груп¬
пу по сложению, и такое, что на нем тангенс не прини¬
121
мает одного и того же значения в разных точках, видим,
что значения тангенса образуют группу относительно
операции *.
Задача 89. Докажите, что:
а) в качестве такого множества М можно взять совокупность
всех чисел, кратных данному ненулевому числу а, несоизмеримо¬
му с π;
б) множество М с требуемыми свойствами не может содержать
никакого открытого интервала ]α, β[.
Задача 90. Выясните:
а) какая операция получится на множестве действительных чи¬
сел, если сложение перенести при помощи отображения у = х3?
б) как получена операция х*у = ху — х — у + 2, рассмотрен¬
ная в задаче 73?
В терминах переноса структуры изоморфизм можно
описать следующим образом: две группы G и Н изоморф¬
ны, если в результате переноса групповой операции из G
в Н получается операция, которая уже была в Н.
Сформулируем и докажем самую
Теорема первую теорему теории групп,
Лагранжа утверждение которой было подмече¬
но Лагранжем в конце XVIII века,
когда точного понятия группы еще не существовало.
Занимаясь исследованиями проблем теории чисел, Лаг¬
ранж обнаружил закономерность, которая на языке тео¬
рии групп может быть выражена так.
Теорема Лагранжа. Порядок конечной группы де¬
лится на порядок любой ее подгруппы.
В частности, любой элемент группы порождает цикли¬
ческую подгруппу, порядок которой равен порядку са¬
мого элемента. Поэтому частным случаем теоремы Лаг¬
ранжа является следующее утверждение: порядок лю¬
бого элемента конечной группы является делителем
порядка группы.
Внимательный читатель мог подметить эту законо¬
мерность для группы С12 и для группы диэдра D3l рас¬
122
смотренных выше. В первом случае, согласно примеру 5,
порядки элементов принимают значения 1, 2, 3, 4, 6, 12,
а во втором — 1, 2 и 3.
Чтобы доказать теорему Лагранжа в наиболее общем
случае, нам понадобится важная в теории групп кон¬
струкция разложения группы на смежные классы по под¬
группе.
Пусть G — группа порядка п\ Я = {/ζι, Λ2, ..., hm) —
ec подгруппа. Поскольку подгруппа должна содержать
единичный элемент группы, можно без ограничения общ¬
ности предположить, что hi = е. Кроме того, будем счи¬
тать, что подгруппа Я — собственная, т. е. она не совпа¬
дает со всей группой G и единичной подгруппой е, в
противном случае утверждение теоремы Лагранжа три¬
виально.
Выберем некоторый элемент gi группы G, не принад¬
лежащий Я, и рассмотрим множество
giH = {g1hl, gih2,..., gihm},
полученное умножением всех элементов подгруппы Я на
один и тот же элемент gi слева. Множество giH назы¬
вается левым смежным классом группы G по подгруп¬
пе Я. Оно состоит из того же числа элементов, что и Я,
т. е. в списке g^/zi, gife, ... , gihm все элементы различны.
Действительно, если предположить, что gihi = gihk для
некоторых i и k, то после умножения этого равенства
слева на gy1 получим hi = hu. Кроме того, множества Я
и giH не имеют общих элементов. В самом деле, если
предположить, что ht = gihs для каких-либо / и 5, то по¬
лучим gi = hth~{. Элемент, стоящий в правой части этого
равенства, принадлежит Я, ибо ht^Hy hs^H и Я —
подгруппа. Но, согласно выбору gu gi *£ Я.
Для группы D3 и се подгруппы Я, состоящей из пово¬
ротов на углы 0°, 120°, 240°, смежные классы (Я и SaH)
123
изображены на рис. 50. Воспользовавшись таблицей
умножения группы D3, читатель легко убедится, что клас¬
сов ровно 2.
Если оказалось, что множества Я и giH исчерпали
все G (именно так обстоит дело в только что рассмотрен¬
ном случае), то мы имеем G = Н \J giH и утверждение
теоремы доказано: |G| = 2|Я|. Если же существует хо¬
тя бы один элемент g2, который не попал ни в Я, ни
в giH, рассмотрим смежный класс
gzH = {ftftf, gifo, ■■·, gzhm).
Как и раньше, проверяется, что множество g2H состоит
из т элементов и не пересекается с Я. Оно не пересе¬
кается также и с giH (докажите это самостоятельно: рас¬
суждение аналогично предыдущему).
Если окажется, что G = Я (J giH (J g2H, то | G| = 3|Я|
и теорема доказана. В противном случае продолжаем
процесс выбора элементов и построения смежных клас¬
сов Я. Так как группа G конечная, то на некотором шаге
все элементы из G будут распределены по смежным клас¬
сам (подгруппу Я тоже можно считать смежным клас¬
сом, ибо еН — Я). Каждый такой класс содержит т эле¬
ментов, а разные классы не имеют общих элементов.
124
Следовательно, п (число элементов в группе) делится
на т (число элементов в подгруппе).
На рис. 51 изображено разложение группы D3 на
смежные классы по подгруппе порядка 2.
Рис. 51
Задача 91. Найдите все подгруппы в группе диэдра Ds.
Из теоремы Лагранжа легко получить следующее
важное утверждение.
Пример 36. Доказать, что всякая конечная группа,
порядок которой — простое число, является циклической.
Пусть g — произвольный элемент данной группы G
простого порядка р. Обозначим через Я подгруппу, по¬
рожденную элементом g. Поскольку Я содержит элемен¬
ты е и gy ее порядок не меньше 2. А единственным дели¬
телем простого числа /?, большим 1, является само
число р. Поэтому, по теореме Лагранжа, порядок Я сов¬
падает с порядком G и, значит, G = Я. Таким образом,
группа G порождена одним элементом g и, по опреде¬
лению, является циклической.
Следствием рассмотренного примера является утверж¬
дение, что всякая группа простого порядка коммутативна.
Укажем теперь простейшие применения групповых
понятий, и в частности теоремы Лагранжа в арифме¬
тике.
Простейшая группа, с которой мы сталкиваемся в
125
арифметике,— это группа всех целых чисел Ζ по сложе¬
нию. Поскольку групповая операция здесь сложение,
вместо степеней некоторого элемента (которые полу¬
чаются последовательным «умножением» этого элемента
на себя) говорят о кратных этого числа (которые полу¬
чаются последовательным сложением). Группа Ζ — цик¬
лическая с образующим элементом 1, так как любое це¬
лое число можно записать в виде η · 1.
Задача 92. Есть ли в группе Ζ другой образующий элемент?
Как и во всякой группе, любой элемент п группы Ζ
порождает некоторую подгруппу. Эта подгруппа состоит
из всех чисел, кратных п. Обозначим ее пЪ.
Задача 93. Докажите, что любая собственная подгруппа в груп¬
пе Ζ имеет вид пЪ для некоторого натурального числа п.
Результат этой задачи позволяет применить теорети¬
ко-групповые соображения в арифметике. Докажем, что
если числа а и т взаимно просты, то найдутся такие це¬
лые числа хну, что ах + ту = 1.
Рассмотрим в группе Ζ подгруппу Я, порожденную
данными числами а и т. По определению, Я состоит из
всех чисел вида ах + ту, где х, у е Ζ (если бы группо¬
вая операция записывалась как умножение и была ком¬
мутативной, то вместо ах + ту следовало бы написать
ахтУ). Согласно задаче 93, найдется такое натураль¬
ное п, что Я = til. Поскольку подгруппа Я содержит
числа ант, следовательно, они оба делятся на п. А так
как ант взаимно просты, то η = 1. Таким образом, под¬
группа Я содержит 1, т. е. единицу можно записать в
виде ах + ту, что и требовалось доказать.
Итак, общий вид подгруппы в Ζ есть nl. К паре, со¬
стоящей из группы Ζ и подгруппы ηΖ, теорема Лагран¬
жа, разумеется, неприменима, так как группа бесконеч¬
но
ил. Однако конструкция разложения группы на смежные
классы, которую мы использовали, по-прежнему имеет
смысл. Более того, она приводит к важным понятиям
классов вычетов и к теории сравнений.
Пусть, например, п = 3. Прибавляя ко всем числам,
кратным 3 (т. е. ко всем элементам подгруппы 3Ζ), еди¬
ницу, получим все числа, дающие при делении на 3 оста¬
ток 1. Складывая со всеми элементами той же подгруппы
32+ / JZ+2
Рис. 52
число 2, имеем множество всех чисел, остаток которых
при делении на 3 равен 2. Поскольку других остатков при
делении на 3 быть не может, все целые числа можно раз-
Г)ить на три класса. Это и есть разбиение группы Ζ на
смежные классы по подгруппе 3Ζ. Наглядное представ¬
ление об этом разбиении дает рис. 52. Поскольку мно¬
жества 3Ζ, 3Ζ + 1 и 3Ζ + 2 бесконечны, на рисунке изоб¬
ражено лишь несколько представителей каждого смеж¬
ного класса.
Смежные классы по подгруппе mZ называются класса¬
ми вычетов по модулю т. Класс, состоящий из всех чи¬
сел, дающих при делении на т остаток k, принято обоз¬
начать k. Всего по модулю т имеется т классов вычетов:
о, Г, т—1. Например, по модулю 3 существует три
класса 0, 1, 2 (рис. 52).
Глядя на этот рисунок, можно заметить: если взять
щ некоторых двух классов по одному числу (или, как
творят, по одному представителю), то их сумма будет
находиться в одном и том же классе независимо от вы-
127
бора этих представителей. Например, если в классе 1
взять представителей 1, —2, 7, а в классе 2 — представи¬
телей —4, 5, 8, то все суммы 1 +(—4) = —3, (—2) + 5 =
= 3, 7 + 8 = 15 будут принадлежать одному и тому же
классу 0. В общем случае соответствующее утвержде¬
ние следует из равенства
(тх + k)-\-(my + /).= т(х + y)+k + /.
Это наблюдение позволяет определить операцию сло¬
жения непосредственно^ множестве классов вычетов:
суммой двух классов к и 7 по модулю т называется
класс, которому принадлежат все суммы вида k + I, где
число k выбрано из класса к, а число / — из класса 7.
Например, для вычетов по модулю 3 имеет место следую¬
щая таблица сложения:
б
1
2
б
б
Г
2
Ϊ
I
2
б
2
2
б
I
Из этой таблицы видно, что множество классов вычетов
по модулю 3 образует циклическую группу порядка 3.
Задача 94. Докажите, используя определение группы *, что клас¬
сы вычетов по любому модулю т образуют циклическую группу по¬
рядка т.
Можно ли подобным образом определить и умноже¬
ние классов вычетов? Можно. Рассмотрим классы к я Ί
* В следующей главе рассказывается, как это можно доказать
без непосредственной проверки определений.
128
no модулю m. Произвольный представитель класса к
имеет вид тх + &, класса 7 — вид ту + / (все буквы
обозначают целые числа), а их произведение равно
т (тху + xl + ky) -f- kl. Остаток при делении получен¬
ного числа на т равен Ы и не зависит от выбора пред¬
ставителей.
Составим таблицу умножения классов вычетов по мо¬
дулю 3:
б
I
2
δ
0
б
б
1
б
т
2
2
б
2
I
Из таблицы очевидно, что умножение здесь не обладает
групповыми свойствами. Мешает нуль: в строке, содер¬
жащей 0, все элементы одинаковы. А в таблице умноже¬
ния любой группы, как мы уже знаем, каждая строка
состоит из различных элементов. Однако, если выбро¬
сить 0, то оставшаяся таблица
I
2
Ϊ
Т
2
2
2
I
уже определяет группы (это циклическая группа поряд¬
ка 2).
Задача 95. Образуют ли группу все ненулевые классы вычетов
по модулю 6 относительно умножения?
Г) Зак. 541
129
Из предыдущих рассуждений и результата задачи 95
можно сделать вывод: если мы хотим получить группу
классов вычетов по умножению, следует брать только
вычеты, взаимно простые с модулем. Например, для вы¬
четов по модулю 6 элемент 4, который имеет с числом 6
общий множитель 2, дает О приумножении на некоторый
ненулевой вычет, а именно, на 3. Но включать 0 в нашу
группу нельзя, так как умножение на 0 несовместимо
с групповыми аксиомами.
Докажем теперь следующее важное утверждение:
множество всех классов вычетов к по модулю т, таких,
что число к взаимно просто с т, образует группу по
умножению.
В самом деле, если два числа взаимно просты с т, то
и их произведение взаимно просто с т\ это означает
замкнутость операции умножения на данном множестве.
Далее, ассоциативность умножения классов вычетов сле¬
дует из ассоциативности обычного умножения чисел.
Класс 1 взаимно прост с числом т и служит единичным
элементом. Самое трудное — это доказать существование
для любого класса вычетов, ему обратного, т. е. доказать,
что для любого числа а, взаимно простого с т, найдется
число ху взаимно простое с т и такое, что ах при деле¬
нии на т даст в остатке 1 (т. е. принадлежит классу вы¬
четов 1). Последнее утверждение можно записать в виде
ах + ту ^ 1, где у — некоторое целое число. Но мы уже
доказывали это утверждение (в качестве следствия из
задачи 93). Там только не было сказано, что число х
взаимно просто с т, но это очевидно.
Задача 96. Является ли группой по умножению множество из
двух классов вычетов 2 и 4 по модулю 6?
Построенную группу классов вычетов, взаимно про¬
стых с модулем, по умножению обозначим Z*m. Порядок
130
>той группы, т. е. число всех таких вычетов, ранее (когда
речь шла об образующих) обозначали φ(m) и называли
функцией Эйлера от числа т. Для того чтобы указать
одно интересное применение теоремы Лагранжа, необхо¬
димо извлечь из нее некоторое следствие. Пусть g — эле¬
мент порядка т в группе G порядка п. Тогда, по теореме
Лагранжа, п = mk, где k — целое число. Следовательно,
р-п = gmk = (gmjk = ек = е Таким образом, при возведе-
иии любого элемента конечной группы в степень, равную
порядку группы, получается единичный элемент.
В случае группы Z*m это означает следующее: если
а — число, взаимно простое с m, то а^т) = 1. Иными
словами, число аф<т) при делении на т дает остаток 1.
Это утверждение известно как теорема Эйлера. Обычно
се записывают так:
ач>(т) = 1 (mod т).
Это соотношение читается «а^т) сравнимо с 1 по моду¬
лю т» и означает, что оба числа при делении на т дают
одинаковые остатки, т. е. принадлежат одному классу
вычетов по модулю т.
Поскольку всякое число, не делящееся на простое
число р, взаимно просто с ним, то в случае т = р тео¬
рема Эйлера превращается в следующее утверждение:
av-i = 1 (mod р)
и называется малой теоремой Ферма.
Конечно, ни Ферма, ни Эйлер не использовали в явном
виде понятия теории групп при доказательстве утвержде¬
ний, носящих их имена. Следует сказать, однако, что в их
рассуждениях некоторые соображения теоретико-группо¬
вого характера (например, разложение системы классов
вычетов по подгруппе) присутствовали в неявном виде.
Эти рассуждения были одним из источников, из которых
впоследствии выросла теория групп. Явное применение
Б*
131
понятий и конструкций теории групп позволяет вмести
ясность в этот круг вопросов, лучше понять смысл дока¬
зательств и дать далеко идущие обобщения.
Приведем в заключение несколько задач, при реше¬
нии которых используют понятие класса вычетов и тео¬
ремы Эйлера и Ферма.
Задача 97. Докажите, что уравнение х2 = 3у2 + 8 не имеет ре¬
шений в целых числах.
Задача 98. Докажите, что οΡξ a (mod р) при любом а, если р —
простое число.
Задача 99. Найдите две последние цифры числа 19871988.
ОРНАМЕНТЫ
Искусство орнамента содержит в неявном
виде наиболее древнюю часть известной нам
высшей математики.
Г, Вейль
В этой главе появится определение орнамента. Пред¬
варительно обсудим такие важные понятия, как действие
группы на множестве, орбита и инвариант.
Группы преобразований по самому своему определе¬
нию действуют на некоторых множествах. Так, группа
движений плоскости действует на плоскости (на мно¬
жестве всех точек плоскости), а группа 53 подстановок
элементов 1, 2, 3 — на множестве {1, 2, 3}. Эта способ¬
ность преобразовывать некоторое множество настолько
присуща группе, что сохраняется в полной мере и для
произвольных групп. Для определения действия аб¬
страктной группы в множестве нам понадобится понятие
гомоморфизма.
133
Мы убедились, что группа S3 под-
Гомоморфизмы становок элементов 1,2,3 изоморф¬
на группе D3 = Sym (Δ) симметрии
правильного треугольника. Занумеруем вершины треу¬
гольника цифрами 1, 2, 3. Тогда всякой подстановке
(I 2 3\
I . . соответствует движение плоскости, переводя¬
щее вершины 1, 2, 3 в вершины /, /, k соответственно.
Например, подстановке (j 32) отвечает отРажение отно¬
сительно высоты данного треугольника, проведенной из
вершины 1.
Таким образом, каждой подстановке σ ^ S3 мы сопо¬
ставили некоторое движение плоскости, т. е. элемент
группы Тг(Я) всех преобразований плоскости. Иначе го¬
воря, оказывается, что подстановки трех элементов мо¬
гут действовать на плоскости. Точку Т0А будем считать
образом точки А после применения преобразования а,
где Т0 — элемент группы Я3, соответствующий а при изо¬
морфизме S3 на Я3. Ясно, что поскольку мы «стартовали»
с изоморфизма S3->-D3, описанное действие обладает
следующим свойством: результат последовательного при¬
менения к точке А подстановок τ и σ (в этом порядке)
совпадает с точкой, в которую переходит А при действии
на нее элементом στ. Символически это можно записать
так:
Τατ(Α)= Το(Ττ(Α))
ИЛИ
Tax — То ° Τχ.
Это равенство, собственно, и означает, что мы имеем дело
с изоморфизмом 53->D3. Если же в качестве области
значений рассматривать группу всех преобразований
плоскости Я, то в этом случае отображение, хотя и обла¬
134
дает свойством Тах = Τσ ° Т*9 изоморфизмом, конечно, не
будет, ибо не является взаимно однозначным (S3 — ко¬
нечная группа, а Тг(Я)—бесконечная). Встречаются и
такие отображения φ: G-*Hy которые различным эле¬
ментам группы G сопоставляют не обязательно различ¬
ные в Я, однако при этом равенство (23) остается спра¬
ведливым. Их и называют гомоморфизмами.
Гомоморфизм группы G в группу Я — это отображе¬
ние φ: G -*■ Я, такое, что
ф(аб)= φ(α)φ(6) (27)
для любых а и b из G (групповая операция обозначена
здесь как умножение, но может, разумеется, иметь произ¬
вольную природу). Частным случаем гомоморфизма
является изоморфизм (взаимно однозначный гомомор¬
физм). Доказательство того, что при изоморфизме ней¬
тральный элемент переходит в нейтральный (см. с. 111),
справедливо для произвольных гомоморфизмов, т. е.
если е — нейтральный элемент группы G, то φ(β)—ней¬
тральный элемент группы Я. Точно так же при любом
гомоморфизме
Ф(^-1) = Ф(^)-1. (28)
Рассмотрим несколько примеров гомоморфизмов.
Пример 37. Пусть Ζ — группа целых чисел с опера¬
цией сложения; Zm — группа классов вычетов по мо¬
дулю пг (с операцией сложения классов). Отображениер,
которое сопоставляет каждому числу а его класс а,
является гомоморфизмом. Действительно, согласно опре¬
делению сложения классов, а + b = а + Б. Это равен¬
ство означает, что р сохраняет операцию сложения.
Отметим, что р сохраняет и операцию умножения: ab =
* Здесь удобнее обозначать значение отображения Та вмес¬
то Γ(σ).
135
= a · Б. Эти два свойства и делают возможным прием
перехода к вычетам по данному модулю (см. задачу 97).
Отметим, что каковы бы ни были группы G и Н, всег¬
да существует так называемый тривиальный гомомор¬
физм, определенный равенством φ (^Г) = в' для любого
элемента geG. Иначе говоря, тривиальный гомомор¬
физм — это такой гомоморфизм, образ (множество зна¬
чений) которого состоит из одного единичного элемента.
Образ произвольного гомоморфизма φ группы G в
группу Н является в любом случае подгруппой в груп¬
пе Н (чтобы в этом убедиться, нужно прочитать справа
налево равенства (27) и (28)). Наиболее интересен слу¬
чай, когда этот образ совпадает со всей группой Н.
(Тогда говорят, что φ — гомоморфизм G на Н). Рассмот¬
ренный выше гомоморфизм группы Ζ является гомомор¬
физмом на Zm.
Задача 100. При каких тип существует гомоморфизм Zm
на Zn?
Пример 38. Рассмотрим группу перестановок четырех
букв: ау by су dy которую будем обозначать S4. Пусть
^ а — с β а — d
Х ~ Ъ — с : b — d *
Любопытно, что при любой перестановке букв а, b, с, d
в этом выражении его новое значение может быть выра-
/а b с d\
жено через х. Например, при замене L ^ 1(т.е.а-^Ь,
b-*-c, c-*-d, d-*-a) имеем
Ь — d d — а _ *
с — d * с — а х — 1
Задача 101. Выразите через х все отношения, которые возни¬
кают в примере 38 при выполнении различных перестановок букв
а, by с} d.
136
Внимательный читатель, конечно же, вспомнил, что
множество получившихся функций образует группу отно¬
сительно замен переменной. Покажем, что отображение /,
ставящее каждой подстановке σ в соответствие функцию
)'а(х), является гомоморфизмом. Действительно, по¬
скольку
f 0(a) —О (С) . σ (а) — σ (d) _
/σ 0(b) — σ (с) · σ (b) — σ (d) y
и
f (u\ ^ τσ (a) — τσ (c) . τα (a) — τσ (d)
/τα Vv// T(J ^ ___ T(J · T(J τσ ^ >
то с учетом определения композиции подстановок /τσ(*)
МОЖНО получить как Ζτ(ί/)= /τ(/σ(ί/))- ЗнаЧИТ, fxo(x) =
МЫ*))» т. е. fxa = fx°fo. Следовательно, f — гомо¬
морфизм.
Тот факт, что f — гомоморфизм, облегчает решение
предыдущей задачи. В самом деле, любую подстановку
можно выполнить, переставляя достаточное число раз
только соседние элементы (буквы). Это означает, в част¬
ности, что группа S4 порождена тремя транспозициями:
а b, b с и с d. Этим транспозициям соответ¬
ствуют функции 1 /лг, 1—х, 1/х. А поскольку f — гомо¬
морфизм, то любой подстановке будет соответствовать
некоторая композиция указанных функций (см. зада¬
чу 76). Заметим при этом, что поскольку функции 1 Jx и
1 — х являются образующими, то образ рассмотренного
гомоморфизма совпадает со всей группой замен.
Задача 102. Сопоставим движению, сохраняющему ориентацию,
число +1, а движению, меняющему ориентацию,— число —1. Дока¬
жите, что полученное соответствие задает гомоморфизм группы дви¬
жений плоскости в группу чисел (+1, —1} с операцией умножения.
Пример 39. Напомним, что всякое собственное движе¬
ние комплексной плоскости задается функцией v = f(z) =
= рг + а, где \р\= I. Сопоставим этому движению
137
комплексное число р. Тем самым мы задаем отображение
множества собственных движений плоскости в множест¬
во 5 комплексных чисел, по модулю равных 1. Это ото¬
бражение является гомоморфизмом. Действительно, для
всякого другого движения w = g(z) = qz + Ь будем
иметь g(f(z)) = q(pz + α)+ b = pqz -\-(aq + b). Геомет¬
рический смысл рассмотренного гомоморфизма состоит
в том, что при композиции поворотов даже с различными
центрами углы поворота складываются (об этом уже
шла речь в главе «Движения»). В частности, компози¬
ция Ra° дает параллельный перенос.
При решении задачи, приведенной ниже, полезно
иметь в виду, что угол между прямыми I и т равен уг¬
лу между прямыми (0 и R% (m). В самом деле, пово¬
роты сохраняют углы, поэтому угол между прямыми / и
и т равен углу между прямыми Ra(1) и /?5(т). Прямая
же (т) может быть получена из прямой Ra (m) дви¬
жением о R^ф, которое представляет собой параллель¬
ный перенос.
Задача 103. Пусть CF и BE — высоты треугольника АВС, О —
центр описанной окружности. Докажите, что AUA.FE.
fa b\
Задача 104. Определителем матрицы (таблицы чисел) I I на¬
зывается число ad — be. Произведение матриц ^j и |Ш есть
/am4-bp an4-bq\
матрица . Докажите, что все матрицы с йенуле-
\cm + dp cn-\-dqj
вым определителем образуют группу, а определитель является гомо¬
морфизмом этой группы на группу ненулевых чисел по умножению.
Рассмотрим с более общей точки
Фактор-группа зрения группу классов вычетов Zw
и гомоморфизм Z-)-Zm, который
числу а сопоставляет его класс а по модулю т. Груп¬
138
па Zm состоит из смежных классов группы Z по подгруп¬
пе mZ чисел, кратных т. Ее называют фактор-группой Z
по подгруппе mZ и записывают это так: Zm = Z/mZ.
Пусть теперь G— произвольная группа, Я— ее под¬
группа. Попытаемся по образцу Zm построить фактор¬
группу GJH. Элементами фактор-группы будем считать
смежные классы по подгруппе Я. Однако сразу же возни¬
кает вопрос: рассматривать смежные классы левые еНу
giH, ... или правые Не, Hgiy ...? Для группы Z этот воп¬
рос нс возникал, поскольку она коммутативна.
Напомним, что левый смежный класс gll образуют
всевозможные произведения вида gh, где АеЯ,
а правый смежный класс Hg — произведения вида gh,
где /г е Н. Ясно, что если группа некоммутативна, то,
вообще говоря, gH Ф Hg. Например, для группы пере¬
ключателей (см. пример 34) и подгруппы Η ={#ι, Я4} с
помощью таблицы соединений находим, что Я2Я =
= {П2П\У Я2Я4) = {Я2, Яз}, а НП2={П\П2, Я4Я2} =
= {Н2у /76}. Если же взять подгруппу К ={П1у Я2, Яз},
то левый и правые смежные классы по этой подгруппе,
порожденные одним и тем же элементом, совпадают,
несмотря на то что операция соединения переключателей
некоммутативна.
Подгруппа Я в группе G, которая обладает ана¬
логичным свойством (для любого элемента g е G
gH = Hg)y называется нормальной. Именно для нор¬
мальных подгрупп оказывается возможным повторить
конструкцию фактор-группы Z/mZ, ибо
{giH) (g2H) = gi(Hg2)H = gi(g2H)H = gig2H
(H · Я = Я, поскольку Я — подгруппа). Ясно, что класс
еН является нейтральным элементом, а классы gH и
g~xH симметричны. Таким образом, если Я — нормаль¬
ная подгруппа в G, то множество смежных классов по Я
с операцией умножения классов, определенной правилом
139
(giH) (g^H) = gigzH, образует группу, которую и назы¬
вают фактор-группой группы G по нормальной подгруп¬
пе Я. В случае группы переключателей и подгруппы К
таблица соединений (см. пример 34) разбивается на че¬
тыре квадрата размером 3 X 3, в каждом из которых со¬
держатся элементы только одного смежного класса. Схе¬
матически это можно изобразить так:
0
1
0
0
1
1
1
0
Нетрудно заметить, что эта таблица определяет сложе¬
ние в группе Z2. Следовательно, фактор-группа группы
переключателей по подгруппе К изоморфна группе Z2.
Пример 40. В группе G собственных движений плос¬
кости рассмотрим две подгруппы: N— поворотов вокруг
заданной точки А и К — переносов. Выяснить, являются
ли эти подгруппы нормальными и, если это возможно,
построить фактор-группы.
Условие нормальности gH = Hg можно переписать в
виде gHg-i = Я, откуда следует, что подгруппа Я нор¬
мальна в G, если она вместе с любым своим элементом
содержит и все элементы, сопряженные с ним. Поскольку
сопряжение — это взгляд на элементы с некоторой дру¬
гой точки зрения, то подгруппа нормальна, если она вы¬
глядит одинаково независимо от точки зрения: ясно, что
жителю Флатландии переносы плоскости представляются
одинаково независимо от его местонахождения, в то
время как подгруппа поворотов N воспринимается им
по-разному в зависимости от того, ближе или дальше от
точки А он находится. Поэтому К — нормальная под¬
группа в группе движений плоскости Д, а N — нет. Эти
140
рассуждения можно провести более строго, если восполь¬
зоваться результатами задачи 62. Подгруппа К нормаль¬
на, ибо каждое движение, сопряженное с переносом, есть
перенос. Подгруппа N не является нормальной, посколь¬
ку, сопрягая поворот движением /, мы получаем поворот
с центром f(A).
Построим фактор-группу Д/К и рассмотрим гомомор¬
физм φ: Д —5, описанный выше (см. пример 39). Заме¬
тим, что два собственных движения fug находятся в
одном смежном классе по подгруппе К тогда и только
тогда, когда им соответствует одно и то же комплексное
число, т. е. когда <p(f) = <p(g). Пусть φ(0 = <p(g) = р.
Если р = 1, то / и g — переносы и оба находятся в клас¬
се К. Если же р = cos а + i sin а Ф 1, то / и g — пово¬
роты на угол а, скажем, f = Ra и g = R%. В этом случае
f = Ra = Rb° (/?вао /?2)е= gH, поскольку Rb*<> R*a- па¬
раллельный перенос. Если же Λ — параллельный пере¬
нос и f = g о h, то φ(/) = φ(£).
Таким образом, гомоморфизм φ определяет взаимно
однозначное соответствие φ между смежными классами
Д/К и элементами S, причем класс К, называемый ядром
гомоморфизма, состоит из тех элементов группы Д, кото¬
рые при гомоморфизме переходят в 1. А поскольку φ со¬
гласовано с групповыми операциями, то и φ согласовано.
Поэтому ср — изоморфизм группы Д/К на группу S. Сле¬
довательно, смежные классы группы Д по подгруппе пе¬
реносов К можно представить как комплексные числа с
единичным модулем, а действия со смежными классами
интерпретировать как умножение комплексных чисел.
Отметим в заключение, что разбиение на смежные клас¬
сы по подгруппе К имеет простой геометрический смысл:
смежный класс состоит из всех поворотов на один и тот
же угол с различными центрами.
Обобщая эти рассуждения, можно получить следую¬
141
щую теорему о гомоморфизме: если φ — гомоморфизм
группы G на группу Я и К — ядро этого гомоморфизма
(т. е. множество всех элементов, которые переходят в
нейтральный), то фактор-группа G/К изоморфна Я. Под¬
группа К всегда является нормальной, поэтому фактор¬
группа G/К всегда определена. Действительно, если
k е К, то <р(&) = е и φ(gkg-1) = φ(^)φ(Α)φ(^-1) = <p(g) X
X e ■ Ч>(£)-1 = e, t. e. gkg~l e K.
Из теоремы о гомоморфизмах следует, что если φ —
гомоморфизм конечных групп G на Я, то в G имеется
нормальная подгруппа, число смежных классов по кото¬
рой равно числу элементов в Я. Вследствие этого поря¬
док группы G делится на порядок группы Я.
Задача 105. Существует ли гомоморфизм группы D3 на груп¬
пу Z2? на группу Z3?
Пример 41. Найти ядро гомоморфизма φ группы S4
на группу Ф, описанного в примере 38.
Поскольку φ — гомоморфизм на (его образ совпадает со
всей группой Ф), то группы SJK и Ф изоморфны (здесь
К — ядро гомоморфизма φ) и | К | — | SJ : | Ф| -- 24 : б = 4.
Легко указать четыре подстановки, оставляющие инвари¬
антным (т. е. не изменяющие) выражение х:е^-
ляя таблицу умножений элементов ε, ρ, σ, τ, мы убеж¬
даемся, что она совпадает с таблицей умножения груп¬
пы D2. Таким образом, ядро гомоморфизма изоморфно
группе диэдра Я2; получаем формулу SJD2 ^ D3 (знак ^
используется для обозначения изоморфизма).
Задача 100. Найдите ядро и образ гомоморфизма {(*)-> f(.v) +
+ /(—*) группы функций в себя.
(а Ь с d\
( 1 , I. Состав-
\а с о аI
142
Задача 107. Пусть S— группа вращений плоскости с общим
центром, Сп — ее циклическая подгруппа порядка п. Докажите, что
S/Cn
Задача 108. Используя теорему о гомоморфизмах, представьте
группу S как фактор-группу группы (R, +).
С помощью понятия гомоморфизма
можно дать точное определение дей¬
ствию группы на множестве.
Действие группы G на множест¬
ве М — это некоторый гомоморфизм
Т группы G в группу преобразований Тг(М) множества
Μ — Т: G -^Ίτ(Μ). Под действием элемента g е G точ¬
ка m множества М переходит в точку Tg(m), которая
обозначается gm, если действие, о котором идет речь,
подразумевается.
Отметим сразу, что данная группа G может действо¬
вать в данном множестве М разными способами, ибо го¬
моморфизмов G-^Tr(Al) мо¬
жет быть много. Например,
действие группы S3 на пло¬
скости, о котором шла речь
выше, определяется выбо¬
ром правильного треуголь¬
ника, а точнее, его центра и
упорядоченной тройки пря¬
мых, на которых лежат вы¬
соты.
Обозначим центр пра¬
вильного треугольника О,
высоты — а, Ь, с. Действие
группы D3 на плоскости изо¬
бражено на рис. 53: точка О
под действием любого элемента группы Д3 переходит
в себя; применяя элементы группы к точке, расположен¬
ной на одной из прямых а, £>, с, можно получить три раз¬
Действия
групп и
орбиты
143
личные точки; а из точки В, не лежащей ни на одной из
указанных прямых, шесть различных точек: Ви ..., BG.
Множество точек, которые получаются из данной точ¬
ки М под действием всевозможных элементов группы G,
называется орбитой этой точки (при рассматриваемом
действии):
0(M) = {M' = Tg(M)\freEG}.
Так, в рассматриваемом случае встречаются орбиты
только трех типов: состоящие из одной, трех или шести
точек (орбиты длины 1, 3 и 6).
Ясно, что орбита любой точки М всегда содержит эту
точку, ибо нейтральный элемент группы действует как
тождественное преобразование.
Точка, орбита которой состоит из нее самой, назы¬
вается неподвижной точкой действия. В нашем примере
имеется одна неподвижная точка — точка О.
На рис. 53 видно, что, применив к точке А2 элементы
группы D3y получим точки Аи А2, Аз. Аналогично О(Вг) =
= О(В). Справедливо следующее утверждение (по опре¬
делению): орбита любой точки, взятой на орбите точ¬
ки М, совпадает с орбитой точки М. Из этого следует,
что любые две орбиты либо совпадают, либо не пересе¬
каются. В самом деле, если множества О(М) и O(N)
имеют общий элемент Р, то О(М) =0(Р) и О(Р)=0(N)
и, следовательно, в этом случае О(М) = O(Af). Множест¬
во, в котором действует группа, распадается, таким обра¬
зом, на непересекающиеся орбиты.
Еще нагляднее смысл введенных понятий и терминов
поясняется примером действия группы S комплексных
чисел с единичным модулем на комплексной плоскости
с помощью умножений. В этом случае имеется одна не¬
подвижная точка — нуль, другие орбиты — концентри¬
ческие окружности, заполняющие всю плоскость.
144
Задача 109. Постройте точки, соответствующие комплексным
числам: 0, ± 2, ±1, ±iY3, ±4, ±2 ±2/ ^3. Найдите действие
группы D3 на этом множестве. Укажите его разбиение на орбиты.
Пример 42. Рассмотрим группу замен Ф, о которой
шла речь в задаче 76. Каждую замену переменной мож¬
но понимать как функцию на числовой прямой, однако
некоторые из этих функций определены не на всей пря¬
мой. Чтобы определить действие этой группы на пря¬
мой, можно либо исключить точки 0 и 1, либо добавить
новый элемент, обозначаемый оо (его полезно предста¬
вить себе как бесконечно удаленную точку на прямой).
Действие группы Ф, т. е. значения функций /*, на элемен¬
ты 0, 1, оо зададим таблицей
h
ft
/з
h
/б
/в
0
оо
1
0
1
оо
0
1
1
0
1
со
0
оо
ос
0
оо
оо
0
1
1
Из таблицы, в частности, следует, что тройка точек 0,
1, оо составляет одну орбиту. Кроме того, группа Ф изо¬
морфна группе подстановок из трех элементов: 0, 1, оо.
Задача 110. Найдите еще одну трехэлементную орбиту и дока¬
жите, что все остальные орбиты шестиэлементные.
Задача 111. Считая аргумент функций fi еф комплексным, рас¬
смотрите действие группы Ф на пополненной (элементом оо) комп¬
лексной плоскости. Найдите двухэлементную орбиту этого действия
к докажите, что все орбиты, кроме нее и двух указанных ранее трех-
млементных, состоят из шести точек.
145
Перечисление
орбит
Рассмотрим еще один пример дей¬
ствия группы.
Пример 43. Пусть О — некото¬
рый куб в пространстве, и G — груп¬
па всех движений пространства, переводящих куб в себя
(группа симметрии куба). Помимо тождественного пре¬
образования, эта группа содержит 6 поворотов на 180°
вокруг прямых, соединяющих середины ребер (типа
АА' на рис. 54), 3 поворота на 180° вокруг прямых,
соединяющих центры граней
(типа ВВ'), 6 поворотов на 90°
вокруг тех же прямых и 8 по¬
воротов на 120° вокруг прямых,
проходящих через пару проти¬
воположных вершин куба (ти¬
па СС'). Порядок группы G,
таким образом, равен 24.
Группа G естественным об¬
разом действует на множест¬
ве Г всех граней куба Q. Это
множество насчитывает 6 эле¬
ментов и состоит из одной ор¬
биты, поскольку любую грань
можно перевести в любую дру¬
гую некоторым движением куба. Заметим, что для каж¬
дой грани существует ровно 4 движения куба, которые
оставляют эту грань на месте: тождественное и три по¬
ворота вокруг прямой, проходящей через центр этой
грани. Любопытно, что 6*4=24, т. е. получаем порядок
группы G.
Задача 112. Рассмотрите действие группы G движений куба на
множестве Р его ребер и на множестве В его вершин.
Мы рассмотрели для группы G множества из 6, 8 и
12 элементов, на которых она действует транзитивно
146
(т. е. все множество представляет собой одну орбиту).
Все эти числа суть делители числа 24 — порядка группы.
Число 24 имеет и другие делители. На рис. 55 изображе¬
ны множества из четырех, трех и двух элементов, на ко¬
торых группа G также действует транзитивно: это мно¬
жество Д диагоналей куба, множество С средних линий
и множество Т правильных тетраэдров, вписанных в куб.
В каждом из этих случаев определен гомоморфизм груп-
а
пы G в группу перестановок соответствующего множест¬
ва, т. е. действие группы G в соответствующем мно¬
жестве.
Задача ИЗ. Для каких из множеств Г, В, Р, Д, С, Т этот гомо¬
морфизм является:
а) гомоморфизмом на? б) изоморфизмом?
Можно рассмотреть действие группы G и на более
сложных объектах, состоящих из элементов рассмотрен¬
ных множеств.
Пример 44. Описать орбиты действия группы G на
множестве пар, состоящих из какой-либо грани и какого-
либо ребра куба Q.
Обозначим это множество Р X П («декартово произ¬
147
ведение» множеств Р и Г) и опишем его элементы. Ребро
куба может либо лежать в данной грани (рис. 56, а), ли¬
бо иметь с ней одну общую вершину (рис. 56, б), либо не
иметь общих точек (рис. 56, в). Ясно, что пару ребро —
грань одного из этих трех видов нельзя перевести в пару
другого вида никаким движением, т. е. такие пары при¬
надлежат разным орбитам. Покажем, что пары одного
вида можно перевести друг в друга движением куба.
Пусть, например, даны две пары ребро — грань, причем
каждое ребро лежит в соответствующей грани. Сделаем
Рис. 56
сначала такое движение куба, которое переводит первую
грань во вторую. Тогда оба ребра окажутся в плоскости
одной и той же грани и можно будет найти дополнитель¬
ное движение (поворот вокруг средней линии, возможно,
тождественный), переводящее одно из них в другое и не
изменяющее положения грани. Аналогично рассматри¬
ваются остальные два случая.
Итак, множество Р X Г, состоящее из всех пар реб¬
ро _ грань распадается на три орбиты, типичные пред¬
ставители которых изображены па рис. 56.
Задача 114. Найдите число орбит и укажите вид их элементов
для действия группы С на множествах:
а) В X Г (пары вершина — грань); б) Д X Г (пары диагональ —
грань); в) Р X Р (упорядоченные пары ребер).
148
Обобщим выводы, сделанные при рассмотрении пре¬
дыдущих примеров. Для этого нам потребуется понятие
г та билиз атор а (или стабильной подгруппы) точки. Ста¬
билизатор точки х — это совокупность всех элементов
группы, под действием которых элемент х никуда не сме¬
щается: st(x) = {g е G\Tg(x) = х). Стабилизатор явля¬
ется подгруппой: если g и h находятся в st(x), то
ТМ*) = Tg(Th(x))= Т8(х) =хи Г_! (х) = Г-1 (х) = х.
Стабилизатор неподвижной точки действия группы G
есть вся эта группа. Например, стабилизатор точки О
(см. рис. 53)—вся группа, а стабилизатор точки А со¬
стоит из двух преобразований: тождественного и отраже¬
ния относительно прямой а. Стабильная подгруппа точ¬
ки В тривиальна, т. с. состоит из одного тождественного
преобразования. Здесь можно заметить еще одну законо¬
мерность, которую сформулируем в общем виде так:
произведение длины орбиты и порядка стабилизатора ее
точки всегда дает порядок действующей группы:
|0(*)| |st(*)| = |G|. (29)
Рассмотрим разложение группы G на левые смежные
классы по подгруппе Н = st(A:):
G = giHUgzHV ... [)ghH.
Элементы из одного смежного класса одинаково дейст-
иуют на элемент х: Tgh(x) = Tg(Th(x)) = Tg(x) = х', так
как Ае// = st(x). Обратно, если некоторые элементы g
и к одинаково действуют на х, то они находятся в одном
смежном классе: так как k — gh, то Th(x)= Т _ι (х) =
Tg-i(Tk(x)) = Tjl(Th(x)) = x и h = /г-Л£&Цх).
Таким образом, точек в орбите элемента х столько же,
«■колько смежных классов в разложении группы по ста¬
билизатору этого элемента.
149
Из формулы (29) можно заключить, что стабильные
подгруппы у всех точек одной орбиты имеют одно и то
же число элементов. Оказывается, что эти подгруппы
между собой изоморфны и, более того, сопряжены.
Действительно, пусть х и у — точки одной орбиты.
Тогда y = Tg(x). Если теперь ftest(x), то Т _ι («/) =
= Tg(Th(T-l(y))) = Tg(Th(x)) = Tg(x)=y, т. Tghg-'s
е st (у) и gst (x) g~l cz si (у). Рассуждая в обратном по¬
рядке (от у к х), получим: g-1 st (у) g a st (х) или st(y)cz
crgst(x)g_l. А это и означает, что подгруппы st(g) и
st (х) сопряжены с помощью элемента g.
Пример 45. Сколькими способами можно раскрасить
п красками круг, разделенный на р равных секторов
(р — число простое)? Раскраски, совпадающие при по¬
воротах круга, считаются одинаковыми.
Здесь идет речь о действии группы поворотов Ср на
множестве всевозможных раскрасок круга. Одинаковые
способы раскраски — это точки из одной орбиты. Тре¬
буется найти число орбит. Какой длины могут быть эти
орбиты? Длина орбиты — делитель порядка группы.
В нашем примере это 1 и р. Орбита длины 1 — это такая
раскраска, которая не изменяется при поворотах, т. е.
одноцветная. Таких раскрасок ровно п. Число всех
остальных раскрасок ор — п. Они разбиваются на р-эле¬
ментные орбиты. Значит, число таких орбит (пр — п)/р,
а всего орбит, т. е. различных раскрасок (ш> — п)/р -f- п.
Отметим, что по ходу решения этой задачи у нас по¬
лучилось, что число пр — п всегда делится на р. Это дру¬
гое доказательство малой теоремы Ферма (см. зада¬
чу 98).
Задача 115. Попробуйте решить эту же задачу, отказавшись от
предположения, что число р — простое.
150
Пользуясь «кустарными» соображениями, подобными
использованным при разборе примера 45, эту задачу ре¬
шить довольно трудно. Существует, однако, общая фор¬
мула, позволяющая находить число орбит — так назы¬
ваемая формула Бернсайда.
Для данного элемента группы g обозначим N (g) чис¬
ло неподвижных точек преобразования Т8, т. е. число
таких хеМ, что Tg(x) = х.
Задача 116. При центральной симметрии цифры 0, 1, 8 перехо·
дит в себя, цифры 6 и 9 меняются местами, а прочие теряют смысл.
Сколько существует пятизначных центрально-симметричных чисел?
Формула Бернсайда представляет число орбит г как
«среднее арифметическое числа неподвижных точек для
всех преобразований группы»:
'=|5г2»(Й
1 geo
(иначе говоря, сумма чисел N(g) по всем элементам
группы G в | G| раз больше числа орбит).
Для доказательства этой формулы подумаем, сколь¬
ко раз учитывается в сумме 2 N (g) некоторая фиксиро-
е ео
ванная точка х множества М. Она учитывается всякий
раз, когда g не сдвигает х, т. е. когда gest(x). Таким
образом, точка х учитывается | st (х) | раз. Другие точки
орбиты О (х) входят в сумму 2 N(g) по столько же раз.
geo
Общий вклад данной орбиты равен, следовательно,
|st(x) 110 (л:) | = | G |. Мы видим, что каждая орбита дает
один и тот же вклад, равный |G|, и вся сумма равна
r| G|, что и требовалось доказать.
Применим формулу Бернсайда для решения приме-
151
pa 45. Здесь тождественный поворот имеет п'р неподвиж¬
ных точек (он оставляет на месте все возможные рас¬
краски), а каждый нетождественный — п неподвижных
точек. Поэтому г = (п? — (р — 1 )п)/р. Легко видеть, что
этот результат не отличается от полученного выше.
Пример 46. Завод выпускает погремушки в виде коль¬
ца с надетыми на него семью белыми и тремя черными
шариками. Сколько различных
погремушек может быть выпу¬
щено?
Погремушки естественно счи¬
тать одинаковыми, если одну из
них можно получить из другой,
сдвигая шарики по кольцу и пе¬
реворачивая игрушку. Таким об¬
разом, речь идет о действии груп¬
пы диэдра Dio на множестве по¬
гремушек; требуется найти число
орбит этого действия. Определим
для этого число неподвижных то¬
чек различных преобразований
группы. Для тождественного пре¬
образования все Сιο= 120 «точек» являются неподвиж¬
ными. Для отражения относительно диаметра а, прохо¬
дящего между двумя шариками (рис. 57), неподвижных
(т. е. имеющих а осью симметрии) погремушек нет, ибо
число белых шариков (7) нечетно. Для отражений от
диаметров вида b (проходящих через два шарика) сим¬
метричные расстановки шариков возможны. Именно из
двух шариков А, В один должен быть черным, и, кроме
того, из четырех симметричных пар одна должна
быть черной. Для каждого из пяти подобных отражений
таких погремушек 8. По формуле Бернсайда, г =
= (120 + 5 · 8)/20 = 8.
152
Задача 117. Решите пример 46 для четырех белых и шести чер¬
ных шариков.
Задача 118. Сколько существует различных игральных костей?
(Две игральные кости считаются различными, если одну из них
нельзя поставить на место другой так, чтобы числа на соответствую¬
щих гранях были равны.)
Задача 119. Сколькими различными способами можно раскра¬
сить в два цвета (с использованием не более чем двух красок):
а) вершины;
б) ребра проволочной модели куба?
Задача 120. Сколько различных 6-угольников можно вписать
и правильный 15-угольник?
Задача о погремушках — одна из
Инварианты популярных задач школьных мате¬
матических олимпиад. Школьник, не
знакомый с теорией групп, вероятно, стал бы решать ее
следующим образом.
Три черных шарика разбивают все кольцо на три
участка, в каждом из которых имеется некоторое коли¬
чество белых шариков, скажем, яг, я, k. Числа т, я, k
заключены в пределах от 0 до 7, причем яг + я + k = 7.
Пажен ли порядок, в котором берутся эти числа? Нет,
та к как поворачивая и переворачивая игрушку, этот по¬
рядок можно как угодно менять. Условимся считать, что
in ^ я ^ k. Задача, таким образом, свелась к перечне-,
лению всех троек /п, я, k неотрицательных целых чисел,
которые удовлетворяют условиям т п k = 7 и
т п ^ к. Вот они: 0, 0, 7; 0, 1, 6; 0, 2, 5; 0, 3, 4; 1, 1, 5;
1,2,4; 1,3, 3; 2, 2,3.
Почему для решения задачи оказалось возможным
использовать тройку чисел яг, я, А? Потому что, во-пер-
иых, у игрушек, которые считаются одинаковыми, эти
тройки совпадают, а, во-вторых, если тройки чисел у двух
игрушек одинаковы, то сами игрушки можно располо¬
жить так, что они будут неразличимы. Первое свойство
можно переформулировать следующим образом: для
153
двух погремушек, принадлежащих одной орбите груп¬
пы Dio, тройки чисел совпадают, т. е. значения m, я, k по¬
стоянны на орбитах.
Рассмотрим общую ситуацию. Пусть группа G дей¬
ствует на множестве М. Отображение множества М в не¬
которое множество N называется инвариантом действия,
если его значения на элементах одной орбиты всегда сов¬
падают. Множество N при этом может состоять из объек¬
тов любой природы. В рассмотренном выше примере это
множество состояло из троек чисел: /л, n, k. Одно чис¬
ло m (наименьшее) также будет инвариантом рассмат¬
риваемого действия. Этот инвариант, однако, не обла¬
дает вторым свойством: например для игрушек, изобра¬
женных на рис. 58, m = 0. Таким образом, видим, что
с помощью одного числа нельзя различить, одинаковы ли
погремушки. В связи с этим инвариант действия группы,
который на различных орбитах принимает различные
значения, называют различающим.
Задача 121. Постройте различающий инвариант для погрему¬
шек с четырьмя белыми и шестью черными шариками.
Рассмотрим группу движений плоскости. Эта группа
естественным образом действует на плоскости. Что пред¬
ставляет собой орбита некоторой точки плоскости? Оче-
154
пидно, это вся плоскость: достаточно уже одних перено¬
си, чтобы перевести данную точку в любую другую.
I 1ахождение инвариантов не представляет никакого инте¬
реса: инвариантом может быть только постоянное ото¬
бражение.
Действуя на точки плоскости, группа движений дейст*
муст и на множестве отрезков. В этом случае уже нельзя
совместить друг с другом два произвольных отрезка.
Псе зависит от их длин. Если длины отрезков равны, то
< и резки можно совместить движением, т. е. отрезки ле¬
жат в одной орбите. Если же длины отрезков различны,
и» совместить отрезки движением нельзя. Таким обра-
м)м, длина отрезка представляет собой различающий
инвариант действия группы движений на множестве всех
отрезков плоскости.
Задача 122. Рассмотрите действие группы движений плоскости
пл множестве:
а) всех треугольников; б) всех четырехугольников. Укажите
тгколько различающих инвариантов этих действий.
Если Н — подгруппа в группе движений, то она так¬
же действует на плоскости. Если она «достаточно мала»,
ίο и ее орбиты будут «небольшими». В этом случае мо-
I ут появиться интересные инварианты. Так, при действии
на плоскости группы поворотов с центром А орбитами
являются окружности с центрами в точке А. В этом слу¬
чае появляется инвариант одной точки — расстояние от
нее до центра поворота, причем инвариант различающий.
Нели выбрать на плоскости полярные координаты, совме¬
стив полюс с точкой Л, то расстояние от точки до полю¬
са А превращается в полярную координату г этой точки,
а всякий инвариант является функцией различающего
инварианта, т. е. имеет вид /(г), где г — произвольное
отображение.
Рассмотрим действие на плоскости группы D3 симмет¬
155
рий правильного треугольника (см. рис. 53). Центр тре¬
угольника примем за полюс, луч ОМ — за полярную ось.
Ясно, что г является инвариантом действия группы Д. <
Однако этот инвариант не является различающим. Функ- <
ция cos Зф также является инвариантом. Чтобы в этом
убедиться, достаточно проверить, что выражение cos3q)i
не изменяется при действии образующих элементов груп-1
пы. Группа Ds порождена одним отражением от оси а
и одним поворотом на 120°. При отражении φ изменяется
на —φ, а при повороте — на φ-f- 120°. Поэтому и в том
и в другом случаях выражение cos 3φ не изменяется.
Пара чисел (г, cos 3φ) может служить различающим
инвариантом. Действительно, система уравнений
cos 3φ = Ьу
г = с
при с > 0 и |Ь| ^ 1 может иметь 3 или 6 решений, соот¬
ветствующих точкам одной орбиты.
Вероятно, каждый из наших читателей держал в ру¬
ках замечательную игрушку — кубик Рубика. Этот кубик
является хорошим наглядным пособием по изучению
групп и их действий. Как известно, игрушка состоит из
шести неподвижных центральных кубиков и двадцати
подвижных (восьми угловых с тремя раскрашенными
гранями и двенадцати средних с двумя раскрашенными
гранями). Всего существует 12! · 212 * 8! · З8 способов
расстановки разноцветных кубиков по местам. Это число
получено следующим образом: 12! — за счет произволь¬
ных перестановок средних кубиков, 212 — за счет их раз¬
воротов на месте, 8! и З8 — за счет тех же преобра¬
зований восьми угловых кубиков. На множестве всех
состояний кубика действует группа Г всевозможных пе¬
рестановок, которые можно осуществить согласно прави¬
лам игры (путем последовательного выполнения любого
156
числа поворотов граней). Эта группа порождена шестью
цементами: поворотами на 90° вокруг центров каждой
из шести граней.
Уже из того наблюдения, что игра имеет групповую
природу, можно сделать интересные выводы. Отправ¬
ляясь от некоторого состояния и повторяя действия в
одной и той же последовательности, мы всегда рано или
поздно вернемся к исходному состоянию. Действительно,
так как группа Г конечна, то, выписывая одну за другой
степени элемента аеГ, мы в конце концов обнаружим
совпадающие, например ат = ап. Поэтому ат~п = е.
Второе наблюдение состоит в том, что при сборке ку-.
бнка часто используются сопряжения, т. е. операции вида
(ώαг1. Выше уже говорилось, что такая операция — это
та же операция Ь, но «в другой системе отсчета».
Состояние кубика, при котором все грани одноцвет¬
ные, считается начальным. Цель игры состоит в том, что¬
бы перейти от заданного состояния к начальному. Заме¬
тим, что не из всякого состояния можно перейти к началь¬
ному (например, если после механической разборки
игрушки один из угловых кубиков повернуть на 120°).
Ясно, что все состояния куба, которые можно получить
из данного, образуют орбиту рассматриваемого действия.
Перейти от данного состояния к начальному можно лишь
в том случае, когда оба состояния находятся в одной
орбите.
Задача 123. Выберем на каждом ребре куба некоторое направ¬
ление (его можно представить стрелкой в пространстве), выберем
также на ребре каждого среднего кубика некоторое направление (его
можно представить стрелкой, нарисованной на этом ребре). Пусть
куб находится в некотором состоянии 5. Сравним направления стре¬
лок на каждом среднем кубике с направлением на том ребре, на ко¬
тором он находится. Число пар стрелок, направленных одинаково,
может быть четным или нечетным. Положим n(S)= 1, если это чис¬
ло четное, и п(5)= —1, если это число нечетное. Докажите, что
п (S)— инвариант.
157
Задача 124. Выделим два цвета (которыми окрашены централь¬
ные горизонтальные кубики). Одна грань каждого углового кубика
окрашена в один из выделенных цветов. Мысленно поворачивая (про¬
тив часовой стрелки) вокруг диагонали куба каждый угловой кубик
на 0°, 120° или 240°, можно добиться того, чтобы грань с выделен¬
ной окраской заняла горизонтальное положение. Обозначим через
N(S) суммарный угол (0, 120 или 240°) восьми поворотов. Докажите,
что N (S)—инвариант.
Имеется еще один инвариант («четность» расстановки
всех кубиков), который вместе с двумя описанными со¬
ставляет различающий инвариант действия группы Г.
Все состояния куба (в том числе и полученные при меха¬
нической его разборке и сборке) распадаются на
12 орбит.
Теперь мы владеем всеми необходи-
Кристаллографиче- мыми понятиями для того, чтобы
ские группы вернуться к вопросу о симметрии
орнаментов, который был поставлен
во введении. Симметрия орнаментов описывается так
называемыми кристаллографическими группами. Приме¬
ром такой группы может служить группа перекатывания
правильного треугольника, подробно рассмотренная в
главе «Группы»,— она описывает симметрию узора, изоб¬
раженного на рис. 40, б.
Кристаллографическая группа — это дискретная груп¬
па движений плоскости, имеющая ограниченную фунда¬
ментальную область.
В этом определении имеются два термина, еще не зна¬
комые читателю: дискретная группа и фундаментальная
область. Поясним их.
Группа движений G называется дискретной, если для
любой точки плоскости А найдется круг с центром в Л,
не содержащий других точек из орбиты точки А. Смысл
этого условия заключается в том, что точки любой орби¬
ты располагаются отдельно, не скапливаясь ни в каком
месте. Например, группа, порожденная одним парал¬
158
лельным переносом, дискретна. Группа же переносов,
содержащая два коллинеарных вектора с несоизмери¬
мыми длинами, не является дискретной. Действительно,
в этом случае орбита любой точки А всюду плотно за¬
полняет прямую, проходящую через А в направлении
векторов переноса, так что в любой сколь угодно малой
окрестности точки А найдутся другие точки ее орбиты.
Задача 125. Докажите, что группа, порожденная поворотом на
угол а градусов, дискретна тогда и только тогда, когда число а ра¬
ционально.
Задача 126. Докажите, что стабилизатор любой точки относи¬
тельно дискретной группы движений конечен.
Второй термин, требующий объяснения,— фундамен¬
тальная область. Говорят, что область* F на плоскости
является фундаментальной для группы движений G, если
она обладает приведенными ниже свойствами.
1°. Любая точка плоскости принадлежит орбите неко¬
торой точки (возможно, граничной) области F.
2°. Никакие две внутренние точки области F не могут
быть переведены друг в друга преобразованием груп¬
пы G.
Эти два свойства означают, что образы фигуры F под
действием преобразований группы G различны и запол¬
няют всю плоскость без пропусков и наложений. Мы по¬
лучаем, таким образом, «замощение» плоскости фигу¬
рами, равными F. Для группы G перекатывания тре¬
угольника фундаментальной областью может служить
исходный треугольник. Действительно, его образы под
действием группы G, очевидно, покрывают всю плос¬
кость, а тот факт, что никакие две внутренние точки это-
* Точное определение понятия «область» требует некоторых уси¬
лий. Читатель может без ущерба для понимания заменить всюду
слово «область» словом «многоугольник».
159
го треугольника не лежат в одной орбите, был уже дока¬
зан (см. пример 27). Мы убедились также, что если после
перекатывания треугольник занимает исходное место, то
он находится в первоначальном положении.
Задача 127. Найдите фундаментальные области для групп
Сп и Dn·
Название «кристаллографические группы» обязано
своим происхождением тому, что аналогичные (т. е. дис¬
кретные и с ограниченной фундаментальной областью)
группы движений пространства описывают симметрию
кристаллов. Плоские кристаллографические группы на¬
зывают также орнаментальными группами, поскольку
именно они описывают симметрию орнаментов. Сущест¬
вует специально разработанная международная система
обозначений кристаллографических групп. Например,
неоднократно упоминавшаяся группа, порожденная тре¬
мя отражениями относительно сторон правильного тре¬
угольника, обозначается символом p3ml. Приведем дру¬
гие примеры кристаллографических групп и соответ¬
ствующих им орнаментов.
Простейшая кристаллографическая группа, обозна¬
чаемая р 1, порождается двумя переносами на неколли-
-► —►
неарные векторы а, Ь. Орбита точки под действием этой
группы, а также ее фундаментальная область (паралле¬
лограмм) изображены на рис. 59, а. Фундаментальная
область группы pi, равно как и любой другой кристалло¬
графической группы, может выбираться по-разному.
На рис. 59, б показаны еще три фундаментальные облас¬
ти для той же группы р 1. Две из них имеют форму па¬
раллелограмма, а третья — шестиугольника. Стороны
параллелограмма 1 суть векторы Ь — ау Ъ, а стороны
-> -> -V
параллелограмма 2 — векторы а + 26 и 2а + 3Ь.
160
Задача 128. Докажите, что параллелограмм со стороны ka-\-lb
—► —►
и tna-^nby где k, /, т, я — целые числа, является фундаменталь¬
ной областью тогда и только тогда, когда | kn — lm | = 1.
Группа р\ описывает так называемую трансляцион¬
ную симметрию орнаментов. Если данный орнамент сов-
Рис. 59
мещается сам с собой только при переносах (трансля¬
циях), то группа его симметрии есть р 1. Это простейший
вид симметрии плоского орнамента; примером его мо¬
жет служить персидский орнамент, изображенный на
рис. 59, в. Узор, обладающий симметрией типа р 1, легко
придумать самому. Достаточно взять некоторый парал¬
лелограмм, внутри него нарисовать фигуру, не обладаю¬
Г) Зак. 641
161
щую осями и центрами симметрии, и с помощью парал¬
лельных переносов разнести эту фигуру по всей плос¬
кости (рис. 59,г). Правда, при этом может получиться
узор, обладающий дополнительной симметрией (напри¬
мер, осевой), хотя первоначальная фигура внутри парал¬
лелограмма такой симметрией не обладала. Такое явле¬
ние может наблюдаться лишь в том случае, если взятая
фигура лежит не строго внутри фундаментального па¬
раллелограмма и выходит на его край (рис. 59, д).
Группа р 1 важна не только потому, что она является
простейшим примером кристаллографической группы, но
также и потому, что всякая плоская кристаллографиче¬
ская группа содержит подгруппу вида р\, т. е. порожден¬
ную двумя неколлинеарными переносами. Докажем это.
Предположим, что некоторая дискретная группа G дви¬
жений плоскости содержит переносы, параллельные
только одному направлению, например прямой I. Тогда
оси всех скользящих отражений, входящих в G, также
параллельны прямой /, ибо квадрат скользящего отраже¬
ния есть перенос. Группа G может содержать повороты
только на 180°, потому что если а# 180°, то о TU ° R~a
есть перенос на вектор, не коллинеарный а (см. ответ
к задаче 62). Центры всех поворотов, принадлежащих
группе G, должны располагаться на одной прямой, па¬
раллельной I; можно без ограничения общности считать,
что / проходит через центры разворотов.
Задача 129. Докажите, что группа G может содержать только
такие отражения, оси которых перпендикулярны к прямой / или
совпадают с ней.
Из всех этих наблюдений вытекает, что никакие две
точки луча, перпендикулярного к прямой I и начинаю¬
щегося на ней, не могут лежать в одной орбите. Значит,
фундаментальная область группы G должна содержать
162
весь этот луч и поэтому она не ограничена. Следователь¬
но, рассматриваемая группа G не является кристаллогра¬
фической.
Итак, мы доказали, что всякая орнаментальная груп¬
па G содержит два неколлинеарных переноса и тем са¬
мым подгруппу типа р 1, ими порожденную. На самом
деле справедливо более сильное утверждение: совокуп¬
ность всех параллельных переносов, принадлежащих G,
есть группа типа р\ (т. е. с двумя образующими). Чтобы
доказать это утверждение, надо решить следующую
задачу.
Задача 130. Докажите, что всякая орнаментальная группа, со¬
стоящая из переносов плоскости, порождается некоторыми двумя
пеколлинеарными переносами.
Пусть G — некоторая орнаментальная группа. Обоз¬
начим через Н подгруппу переносов, содержащихся в G.
Пусть Ф — фундаментальная область для группы G,
а Я — фундаментальная область для группы Н (ее мож¬
но выбрать в виде параллелограмма, поскольку Н имеет
тип р 1). Область Ф называется мотивом орнамента,
имеющего группу симметрии G, а область Я — элемен¬
тарной ячейкой этого орнамента. Весь орнамент полу¬
чается из ячейки с помощью параллельных переносов.
Внутри ячейки мотив повторяется несколько раз (если
G Ф Н). Отношение площади ячейки к площади мотива
выражается всегда целым числом и равно числу смеж¬
ных классов группы G по подгруппе Н. Допуская неко¬
торую вольность, можно сказать, что размер фундамен¬
тальной области группы «обратно пропорционален вели¬
чине этой группы».
Пример 47. Найти мотив и элементарную ячейку узо¬
ра с группой симметрии G типа p3ml. Описать смежные
классы группы G по подгруппе переносов Н.
6·
163
На рис. 60, а изображен узор, группа симметрии кото¬
рого имеет тип рЗт\, т. е. порождена отражениями отно¬
сительно трех сторон правильного треугольника (вместо
рис. 60 можно было бы рассмотреть рис. 40, б). Узор по¬
лучен из мотива ΜΝΒ путем этого треугольника по пло¬
скости. Из рисунка видно, что узор выдерживает парал¬
лельные переносы на векторы, соединяющие, например,
вершины А, В, D. В качестве элементарной ячейки
можно выбрать, например, параллелограмм ABCD, сто¬
роны которого АВ и AD служат образующими подгруппы
переносов Я. Легко видеть, что Sabcd ■ Smnb = 6: 1. Ячей¬
ку ABCD нельзя разбить на шесть треугольников, каж¬
дый из которых является мотивом орнамента. Можно,
однако, выбрать фундаментальную область для груп¬
пы Я в виде шестиугольника, например BQCLDM, со¬
стоящего из шести фундаментальных треугольников. Для
нахождения числа смежных классов группы G по Я за¬
метим, что элементы подгруппы Я не изменяют распо-
а
Рис. 60
—>
164
ложения мотива на плоскости (угол наклона и направ¬
ление «ноги»). Скажем, перенос ВС переводит треуголь¬
ник ΜΝΒ в треугольник LCPy внутри которого мотив
ориентирован точно так же. Далее, разные движения из
одного смежного класса G по Я, например g ® hi и g о к2у
где h\y кг е Я, меняют характер расположения мотива
одинаково, потому что в указанных композициях сначала
выполняется перенос hi или кг, не меняющий ориентации
мотива. Следовательно, смежных классов ровно столько,
сколько мы видим на рисунке различных расположений
мотива, а их ровно шесть. Эти расположения можно за¬
нумеровать цифрами от 1 до 6 (рис. 60, б). Тогда все дви¬
жения из смежного класса gHt где g — отражение отно¬
сительно некоторой вертикальной оси, вызывают такую
перестановку этих цифр: 1 «-► 6, 2 5, 3 «-► 4. Заметим
еще, что подгруппа переносов Я нормальна в G, поэтому
множество смежных классов G/Η составляет фактор¬
группу. Таким образом, получаем, что фактор-группа
G/Η действует на множестве мотивов, содержащихся в
элементарной ячейке, точно так же, как группа симмет¬
рий правильного треугольника D3 (три поворота, вклю¬
чая тождественный, и три отражения). Итог наших рас-
суждений можно записать следующим образом: G/Η ^
^ D3. Запись p3ml/pl ^ D3 была бы ошибочной, так как
группа типа рЪт\ содержит много подгрупп типа pi, со¬
держащихся в Я.
Задача 131. Каков порядок фактор-группы G//C, где G—рассмот¬
ренная группа, а К — группа переносов, порожденная А С и AR
(рис. 60)? Опишите структуру этой группы.
Для произвольной кристаллографической группы G
ее подгруппа переносов Я является нормальной. Интере¬
сен вопрос о структуре фактор-группы G/Η. Оказыва¬
ется, что, во-первых, она конечна и ее порядок равен от-
165
Таблица плоских Кристал
166
лографических групп
Образующие
Соотношения
3
4
Два неколлинеарных парал¬
лельных переноса Tl9 Т2
ΤχΤ2 = T2Tt
Три разворота Rlt R2, R3
R* = /?!=/?§ = (/?ж /?а /?3)а = ^
Две осевые симметрии S2
и параллельный перенос Т
Sf = Si = Е; SjT = TSi!
S2T = TS2
Два параллельных скользя¬
щих отражения t/lf U2
U\ = U\
167
168
Продолжение табл.
3
4
Отражение S и скользящее
отражение V
S3 = Е; SU* = U2S
Четыре отражения Slt S2,
S3, Sj(от сторон квадрата)
S?=Sf = S| = s2 = (S1S2)* =
= (S*S3)a = (S3S4)2 = (S4S,)2 = E
Отражение S и два разворота
Ri 1 R2
S3 = R\=Rl = E; R^Rj. =
= r2sr2
Два взаимно перпендикуляр¬
ных скользящих отражения Ult
V2
(ί/χί/ϊ)2=(ί/Γ1 uз)а = E
169
стт
Ж
X2
ч1
Ж
X
ч
X
pi
pim
P*g
Π ϋ 4 J
Γ L. Γ Γ_ι
η LIΠ J
Γ L. Γ L,
170
Продолжение табл.
3
4
Два отражения Slt S2 и раз¬
ворот R
Sf = S2 = K* = (SlSa)* =
= (SxtfSjtf)8 = Е
Разворот R и поворот R, на
90°
R\ = R* = (RtR)* = Е
Три отражения S2, S3
(от сторон равнобедренного
прямоугольного треугольника)
S? = S2 =Sl=(5iS2)1=(S2S3)^=
= (S3Sl)* = E
Отражение S и поворот R на
909
S2 — R* = (R-'SRS)2 = E
171
рЗ
ρ31/η
p3ml
рб
т/ л л /
о^сГо
л л г
л л л
ллллл
£Л\А
172
Продолжение табл.
3
4
Три поворота на 120°
R3l=Rl=Rl= = Е
Отражение S и поворот R
па 120°
R3 = S3 = (R-'SRS)3 = Е
Три отражения Slt S2, (от
S]=Sl=Sl = (S1S2)3 =
сторон правильного треуголь¬
ника)
= (S2S3)3 = (SjSj)3 = E
Разворот R и поворот R1 на
120°
R3 = R3 = (RtR)* = £
173
1
2
рбпг
> _х. сР
Лщ>
ношению площади элементарной ячейки к площади фун¬
даментальной области, и, во-вторых, эта фактор-группа
всегда изоморфна одной из групп Сп или DUi где п =
= 1, 2, 3, 4 или 6. Группа Сп или Dn, соответствующая
данной кристаллографической группе, называется ее
орнаментальным классом. Например, орнаментальный
класс группы рЗпг\ есть D3.
В заключение приведем (без доказательства) список
всех возможных типов кристаллографических групп на
плоскости, полученный впервые русским ученым Е. С. Фе¬
доровым в 1890 году. Для каждой группы на рисунках
слева изображена ее фундаментальная ячейка с заштри¬
хованной фундаментальной областью и схематически
указаны содержащиеся в этой группе движения (сплош¬
ная линия обозначает ось симметрии, пунктирная —
ось скользящего отражения, значки 0, Δ, □, О —
центры поворотов 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков), а
справа приведены примеры орнаментов с данной группой
симметрии (орнаменты получены путем применения дви¬
жений группы к исходному мотиву, имеющему форму
буквы Г). Пользуясь этой таблицей, читатель сможет
определить группу симметрии любого орнамента, начи-
174
Окончание табл.
3
4
Три отражения Slf S2, Ss
(от сторон половины правиль¬
ного треугольника)
Sf =Si = S2 = (SxS8)3 =
= (S2S3)» = (S3Sx)a = Е
пая с узора обоев, которыми оклеены стены его ком¬
наты.
Задача 132. Найдите группы симметрии узоров, изображенных
па рис. 1, и их орнаментальные классы. Рассмотрите также орнамент
на обложке книги.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразования умножают наши знания
и экономят усилия.
У. У. Сойер
Главный «персонаж» этой книги — группа преобразо-1
ваний — до сих пор являлся перед читателями лишь в
весьма частном виде групп движений плоскости. В на¬
стоящей главе мы рассмотрим преобразования плоскости
более общие, чем движения: гомотетии, подобия, инвер¬
сии и дробно-линейные преобразования. При изучении
последних полезно ознакомиться с аналогичными преоб¬
разованиями прямой. С них мы и начнем рассказ.
Отметим, что хотя преобразованием обычно называют
взаимно однозначное отображение некоторого множества
на себя, иногда этот термин понимают в более широком
смысле, как взаимно однозначное отображение одного
множества на другое (например, одной прямой на дру¬
гую).
176
Фотографирование (или рисование)
Рисование с математической точки зрения
является центральным проектирова¬
нием. Это такое отображение, которое точку А перево¬
дит в точку А', где луч света, идущий от А через оптиче¬
ский центр объектива, пересекает плоскость фотопленки
(рис. 61). Рисуя, художник поступает аналогично с той
лишь разницей, что плоскость холста он мысленно поме¬
щает между объектом и глазом. Ясно, что при цент¬
ральных проектированиях прямые изображаются пря¬
мыми, поэтому имеет смысл изучить такие (проективные)
преобразования прямой в прямую. Постараемся найти
математическое описание этих преобразований. Рассмот¬
рим следующий пример. Вдоль дороги на одинаковых
расстояниях посажены деревья. Как определить, пра¬
вильно ли соблюдены промежутки между ними на ри¬
сунке? Для начала уточним (и несколько обобщим) во¬
прос. Пусть на прямой I имеется нсколько точек А, В,
С, ..., и прямая / проектируется из центра 5 на пря¬
мую Точке А при этом сопоставляется точка А' пере¬
сечения прямой 5Л с точке В — точка В' пересечения
прямой SB с V и т. д. Требуется указать такую количест¬
венную характеристику, связанную с расстояниями меж¬
ду точками А, В, С которая при проектировании не
177
изменится. Ясно, что эта характеристика относится более
чем к трем точкам, так как при проектировании изме¬
няется расстояние (функция пары точек) и отношение
трех точек (на рис. 62 точка В находилась между точ¬
ками Л и С, а после проектирования точка А' оказалась
между В' и С'). Решающее открытие состояло как раз
в том, что если на прямой даны четыре точки Л, В, С, D,
которые при проектировании переходят в точки Л', В',
S
С', D' другой прямой, то некоторая величина, называе¬
мая их сложным отношением, сохраняет свое значение.
Сложное отношение точек Л, В, С, D — это отношение
двух простых отношений:
(ABCD)=£:-&
(здесь отрезки считаются направленными, их отношения
могут быть положительными и отрицательными).
Проверим, изменяется ли сложное отношение при
проектировании. Для этого вычислим площади треуголь¬
ников (рис. 63) двумя способами:
Sasac — АС = -γ SA'SC sin ^ ЛЯС!
178
Sasbc — -g-h'BC — -^-SB ’ SC sin ^ BSC',
S/isad = -γΗ·Αϋ = -j- S^*SDsin Z.ASD',
S^sbd = -γΗ-BD = -^-SB’SD sin ./BSD.
Теперь
ЛС . _ ^ДЯЛС . ^S/ID _
BC BD S^sbc S^sbd
SA SC sin £ ASC CB SDsin/_BCD _ sin ^/ISC , sin /_ASD
~ SB-SC sin /_BSC-SA-SD sin /_ASD sin /_BSC ' sin /_ BSD'
Получили, что сложное отношение зависит только от
углов, под которыми из точки 5 видны отрезки АС, ВС,
AD и BD. При проектировании же эти углы не изме¬
няются.
Пример 48. На изображении аллеи, о которой говори¬
лось выше, расстояние между первым и вторым деревом
3 см, между вторым и третьим — 1 см. Какое расстояние
между изображением третьего и четвертого деревьев?
Так как расстояния между деревьями А, В, С, D оди¬
наковые, то их сложное отношение
АС . AD 2-2 4
ВС ' BD ~ 1-3 3 *
Пусть х — искомое расстояние. Тогда сложное отноше¬
ние изображений ■ *|* ^ и должно равняться отку¬
да х = 0,5 см.
Предположим, что на прямых / и V заданы системы
координат х и х'. Какими формулами выражается зави¬
симость координаты х' точки М' от координаты х точ¬
ки М, если М' получается из М при некотором проекти¬
ровании прямой I на Г? Для ответа на этот вопрос про¬
179
ведем такое же рассуждение, как и в приведенном выше
примере. Пусть точки Л (a), B(b), С (с) проектируются
в точки A'(a'), B'(b'), С'(с'). Тогда
(.АВСМ) = (А'В'С'М')
с — а ш х — а с' — а' я х' — а'
с — b х — b с'—bf * х' — Ь'
Находя из полученного соотношения х', получаем функ¬
цию вида
, тх 4- п
X = г—>
ρχ + я
(30)
которая называется дробно-линейной.
Задача 133. Проверьте задает ли некоторое преобразование чис¬
ловой прямой формула х'
тх-\- п
ρχ + я
если mq — пр Ф 0.
Например, точка 0 переводится в точку η/q. Однако
при х = — q/p (если р Ф 0) выражение теряет
смысл, т. е. эта формула, вообще говоря, не задает преоб¬
разование прямой в буквальном смысле.
Задача 134. Укажите точку, которая не имеет прообраза
преобразовании, задаваемом формулой хг = - Х-
при
Для того чтобы устранить возникающие затруднения,
дополним числовую прямую еще одной точкой, обозна¬
чаемой оо (бесконечно удаленной точкой), принимая по
определению следующие правила:
т · оо + п
Р-ю + я
и а : 0 = оо.
если р 0;
оо, если р = 0
180
Прямую, к которой добавлена точка оо, будем называть
расширенной прямой. На этой прямой всякие дробно-ли¬
нейные преобразования определены и являются ее взаим¬
но однозначными преобразованиями.
Задача 135. Проверьте, образуют ли группу всевозможные дроб¬
но-линейные преобразования расширенной прямой.
Эта группа называется группой проективных преобра¬
зований расширенной прямой.
Задача 136. Проверьте, является ли сложное отношение инва¬
риантом действия группы проективных преобразований на множестве
четверок точек.
Заметим, что по трем точкам нельзя определить ника¬
кого выражения, которое было бы инвариантно при таких
преобразованиях. Действительно, повторив рассуждения,
проведенные при выводе формулы (30), мы можем убе¬
диться, что проективное преобразование расширенной
прямой задается двумя тройками соответствующих точек,
и, значит, любую тройку точек можно перевести в любую
другую с помощью подходящего проективного преобра¬
зования.
В задаче 76 вы рассматривали одну конечную под¬
группу этой группы, порожденную преобразованиями
х' = \/х и х' = 1 — х. Существуют и другие конечные
группы дробно-линейных преобразований.
Задача 137. Докажите, что преобразования х = \/х и х =»
= (х — \)/(х + 1) порождают подгруппу из восьми элементов, изо¬
морфную группе Di.
Задача 138. Опишите все элементы группы проективных преоб¬
разований прямой, имеющие конечный порядок.
А теперь перейдем к рассмотрению различных преоб¬
разований плоскости. Подобием называется преобразо¬
вание плоскости, при котором все расстояния изменяются
181
в одно и то же число раз. Подобия изменяют форму фи¬
гуры так, что расстояние между любыми точками увели¬
чивается или уменьшается в одно и то же число раз.
Наиболее простое из преобразований подобия — гомо¬
тетия.
Гомотетия На с центром А и коэф-
Гомотетия фициентом k=£0 — это такое преоб¬
разование плоскости, которое каж¬
дую точку М переводит в такую точку М', что AM' =
= ЬАМ. Проиллюстрируем применение гомотетии следу¬
ющими примерами.
Пример 49. В треугольник АВС вписать квадрат так,
чтобы две его вершины лежали на основании АС, а две
другие — на боковых сторонах.
Очевидно, нетрудно вписать квадрат, у которого две
вершины лежат на основании треугольника, а третья —
на боковой стороне (рис. 64). Только вот четвертая его
вершина N не попала на сторону ВС. Квадрат оказался
мал. Однако если «раздувать» его с помощью гомотетии
с центром в А так, чтобы вершины /С, L, М скользили по
сторонам треугольника, то в какой-то момент вершина N
займет необходимое положение в точке Е.
Задача 139. В данный треугольник АВС вписать треугольник,
стороны которого параллельны прямым U, /2 и /з.
При гомотетии каждая прямая переходит в парал¬
лельную ей прямую и, следовательно, углы сохраняются.
Кроме того, все расстояния увеличиваются или умень¬
шаются в одно и то же число раз. Эти свойства гомотетии
часто используют при решении задач.
Пример 50. В сегмент вписано несколько окружнос¬
тей. Доказать, что прямые AiB\, А2В2, ... пересекаются
в одной точке (А{, В* — точки касания i-й окружности С
дугой и хордой соответственно),
182
Пусть О — окружность, a ΜΑ{Ν — ее дуга (рис. 65).
Рассмотрим гомотетию Н с центром в точке А\у которая
переводит окружность Οι в О (ее коэффициент к ==
ΟΛι: ОИл). При этом хорда ΜΝ перейдет в касатель¬
ную / к окружности О, точка В4 — в точку касания С,
через которую проходит прямая ΑιΒχ. Точно так же мы
убеждаемся, что через точку касания С проходит и лю¬
бая другая прямая AiBi.
В
Рис. 64 Рис. 65
Задача 140. Даны две концентрические окружности. Проведите
прямую /, пересекающую эти окружности последовательно в точках
Л, В, С и D, таких, что АВ — 2ВС = CD.
Задача 141. Докажите, что три прямые, проведенные через се¬
редины сторон треугольника параллельно биссектрисам противоле¬
жащих углов, пересекаются в одной точке.
Задача 142. Докажите, что для произвольного треугольника су¬
ществует окружность, проходящая через середины сторон, основания
высот и середины отрезков /04, КВ> КС, где К — точка пересечения
высот (окружность Эйлера или окружность девяти точек).
Очевидным частным случаем подо-
Спиральные бия является спиральное подобие —
подобия композиция гомотетии с центром в
некоторой точке и поворота вокруг
этой точки. С такими преобразованиями читатель ветре-
183
тился уже в главе «Плоскость»: там мы видели, что умно¬
жение на комплексное число а сводится к растяжению
в | а | раз и повороту на угол arga вокруг нулевой точки.
Рассмотрим геометрические приложения спиральных по¬
добий.
Пример 51. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
как на гипотенузах построены вне его прямоугольные
в
треугольники АРВ и BQC с одинаковыми углами β при
их общей вершине В (рис. 66). Найти углы треугольника
PQK, где К — середина стороны АС.
Рассмотрим два спиральных подобия: Fp = Нр° Rp*° и
Hq = Hcjk о Rq°\ где k = РВ : РА. Так как Δ АРВ со
со Δ CQB, то РВ : РА = QB : QC и, следовательно, 1 /К=
= QC:QB. Ясно, что FP(A) = В, а Fq(B) = C. Значит,
(Fq° Fp) (А) = С. Но при последовательном выполнении
спиральных подобий их коэффициенты перемножаются,
а углы поворотов складываются (об этом будет сказано
чуть позже). Спиральное подобие F = FqoFp является
поворотом на 180°. А так как /7(Л)= С, то центр пово¬
рота находится в точке К и F(K) = К. Пусть Fp(K) = Κι,
184
тогда Fq(Ki)= К. Тогда прямоугольные треугольники
(рис. 67) KPKi и QKKi подобны, так как имеют одинако-
мое отношение катетов ΚιΡ : РК = KiQ : QK = ky а зна¬
чит, и равны. Из подобия следует, что ZPK\K =
- ZQKiK = ZQPK = ZPQK = β. Теперь ZPKQ =
- 180° - 2β.
В ходе решения мы пользовались тем, что при спи¬
ральных подобиях величины углов не изменяются и при
композиции спиральных подобий углы их складываются,
а коэффициенты перемножаются. Для доказательства
•>тих фактов воспользуемся комплексными числами.
Прежде всего заметим, что любое преобразование
подобия, сохраняющее ориентацию плоскости, описы¬
вается формулой вида w = pz + я, где р и а — некоторые
комплексные числа. В самом деле, пусть F — собствен¬
ное подобие, т. е. преобразование плоскости, при котором
псе расстояния умножаются на одно и то же число k,
а ориентация сохраняется. Пусть Н — гомотетия с коэф¬
фициентом k и центром в нуле. Преобразование Я-1 ° F
сохраняет расстояния и ориентацию, т. е. является соб¬
ственным движением и, следовательно, описывается фор¬
мулой ξ·=·αζ + 6, где |α|= 1 (см. (3) в главе «Движе¬
ния»). Тогда преобразование F = Н о (tf-i о F) описы¬
вается формулой w = #(ξ) = k(az + b). Из равенства
pz-\- а = p[z - следует, что формула
w = pz -{- а задает на комплексной плоскости при р ф 1
спиральное подобие с центром в точке а/( 1 — р), коэф¬
фициентом k \р\ и углом поворота φ = argp (см. с. 48).
Если выполнить еще одно спиральное подобие: u = qw-\-b,
то композиция будет определяться формулой
u = q (pz -f а) -f- b = pqz -f- aq + b,
из которой видно, что она снова задает спиральное подо¬
бие с коэффициентом \Р · q\ = \p\\q\ и углом поворота
185
arg (pq)= argp + arg^. Попутно мы доказали, что вся¬
кое подобие, сохраняющее ориентацию и отличное от па¬
раллельного переноса, имеет неподвижную точку — центр:
спирального подобия.
Рассмотрим, как действует спиральное подобие f
(рис. 68). Равнобедренный прямоугольный треугольник
ОН подобие f переводит в некоторый равнобедренный и
прямоугольный треугольник АВС, исходную координат¬
ную сетку — в новую (тоже квадратную), в узлах кото¬
рой расположены точки А, В, С. Действие подобия /
можно представить как выполнение растяжения (гомо¬
тетии), которое координатную сетку и вместе с ней лю¬
бую фигуру увеличивает (или уменьшает) в определен^
ное число раз, и последующего поворота. Примечательно,
что если точка Мг получена из точки М с помощью пре¬
образования f, то точка М' имеет в системе координат
Л, В, С те же координаты, что и точка М в исходной си-
186
стеме. Поэтому часто для задания преобразования плос¬
кости указывают новую систему координат и требуют,
чтобы исходная точка и полученная из нее преобразова¬
нием имели одинаковые координаты в соответствующих
системах координат.
Задача 143. Две карты одной и той же страны, выполненные на
кальке в разных масштабах, наложены друг на друга так, что одна
из них целиком покрывает другую. Докажите, что существует в точ¬
ности один пункт страны, который на обеих картах изображается
одной и той же точкой.
О ·
Задача 144. Даны точки А, В, С, D, такие что АВ ф CD. До¬
кажите, что существует такая точка Е, что ΔΑΒΕ <» ACDE.
Задача 145. На сторонах АВУ ВС и СА треугольника АВС вне
его построены квадраты с центрами в точках Μ, N и Р соответствен¬
но. Докажите, что отрезки NP и СМ равны и взаимно перпендику¬
лярны.
Пример 52. Пусть окружность 5 касается одновре¬
менно двух окружностей Si и S2. Доказать, что прямая,
соединяющая точки касания, проходит через центр подо¬
бия этих окружностей.
Пусть К — точка пересечения прямых АВ и 0ι02
(рис. 69). Рассмотрим преобразование /, которое точке М
187
сопоставляет точку Λί', находящуюся на луче КМ и та¬
кую, что КМ . КМ' = КА · КВ = const. Очевидно, что
при этом точка А переходит в точку В, а В — в Л. Вспом¬
нив, что произведение КВ · KL' отрезков секущей, прохо¬
дящей через точку /С, равно квадрату длины касательной,
проведенной через эту же точку, и не зависит от положе¬
ния секущей, убеждаемся, что окружность остается на
прежнем месте: f (S) = S.
А куда перейдет окружность 5г? Точка Λί, взятая на
ней, перейдат в точку ΛΓ на луче КМ такую, что
КМ' . КМ = КА . КВ. Значит,
КМ' =
К А КВ
КМ *
Пусть Μ1 — вторая точка пересечения прямой КМ с
окружностью 52. Тогда КМ · ΚΜι = С = const. С ледова*
тельно, I
КМ' = -К-СКВ ΚΜχ. \
Точка Μ' = / (Λί) находится на окружности S2, гомоте·
тичной S2, с центром К и коэффициентом (КА-КА)/С,
А поскольку окружность касается S в точке А и центр
окружности S'2 лежит на К0г, то он совпадает с 0Ь и,
значит, S'2 = 5Х.
Присмотримся внимательнее к прй
Инверсия образованию f из предыдущего при·
мера. Часто его определяют несколь·
ко игаче. Пусть на плоскости дана окружность S с цент»
ром О и радиусом R. Симметрией (или инверсией)
относительно окружности S называют преобразование
которое точку М переводит в точку Λί' на луче ОМ, та·
кую, что ОМ · ОМ' = R2·. В определении инверсии ест!
один недостаток: преобразование для центра инверсии
точки О, не определено. При движении точки М к центр)
188
окружности инверсии ее образ М/ уходит неограниченно
далеко. Поэтому часто говорят, что при инверсии обра¬
зом центра является бесконечно удаленная точка (кото¬
рая при инверсии переходит в центр). При таком согла¬
шении инверсия становится взаимно однозначным соот¬
ветствием на пополненной бесконечно удаленной точкой
плоскости.
Пополненную плоскость можно представить и так.
Поставим на «обычную» плоскость П сферу 5. Пусть О—
точка касания («южный полюс» сферы). Каждой точке М
плоскости П соответствует отличная от «северного по¬
люса» N точка пересечения сферы с прямой М. Если точ¬
ка М неограниченно удаляется от точки О, то соответ¬
ствующая ей точка на сфере неограниченно прибли¬
жается к точке Ν. Поэтому «северный полюс» N
189
естественно считать соответствующим бесконечно уда¬
ленной точке и представлять пополненную плоскость как
сферу S. Прямые из плоскости П будут изображаться
окружностями, проходящими через точку Ν. Как и обыч¬
ное отражение, инверсия — инволютивное преобразова¬
ние. Рассматривая пример 52, мы убедились, что при
инверсии окружность преобразуется в окружность (прав¬
да, если исходная окружность не проходила через центр
инверсии).
Свойства инверсии позволили одному из персонажей
рассказа Г. Петарда «К математической теории охоты»
предложить такой способ поимки льва: наблюдатель в
пустыне находится в круглой клетке. Лев находится вне
клетки. Производится инверсия. Тогда лев попадет в
клетку, а наблюдатель окажется вне ее.
Задача 146. В какую фигуру при инверсии / преобразуется
окружность, проходящая через центр инверсии?
Задача 147. В какую фигуру при инверсии преобразуется
прямая?
Таким образом, из примера 52 и задач 146 и 147 сле¬
дует, что при инверсии окружности и прямые переходят
в окружности или прямые. Это свойство преобразования
называют круговым: если прямые линии считать «окруж¬
ностями с бесконечным радиусом» (бесконечно удален¬
ная точка как бы склеивает «концы» прямой, превращая
ее в окружность), то инверсия преобразует окружности
в окружности.
Пример 53. Доказать, что если каждая из четырех
окружностей касается двух соседних, то четыре точки
касания лежат на одной окружности (рис. 70, а).
При инверсии f с центром А окружности 53 и S<
преобразуются в окружности S3 и Si, a Sx и S2 — в пря¬
мые S[ и S2. Линии S3 и S4, Si и Si, S2 и S3 будут
иметь по одной общей точке и касаться в точках С' =
190
=/(C), D'=f(D) и В' — f(B) соответственно (рис. 70,6).
Прямые S,' и S2 параллельны, так как окружности Si
и S2 общих точек, кроме точки А, не имеют. (Точка А ни
в какую точку плоскости не переходит!) Таким образом,
осталось доказать, что точки В', С' и D' лежат на одной
прямой. Пусть MN — отрезок общей касательной к
окружностям S3 и S4, заключенный между параллель¬
ными прямыми S,' и S'2. Треугольники MD'C' и NC'B' —
равнобедренные (MD' = МС', NB' = NC' как касатель¬
ные, проведенные из одной точки), и, кроме того,
ZD'MC' = Z C'NB'. Поэтому ZD'C'M = —(180° —
— ZD'MC') = -i- (180° — ZC'NB')^ ZB'C'N. А так как
точки В' и D' лежат по разные стороны от MN, то углы
D'C'M и B'C'N — вертикальные. Точки В', С', D' лежат
на одной прямой. При инверсии f~l = f прямая В'С пре-
191
образуется в окружность, проходящую через центр инвер¬
сии А и точки В, С и D.
В рассмотренном примере использовался тот факт, что
касающиеся окружности (и прямые) при инверсии пре¬
образуются снова в касающиеся.
Задача 148. Назовем углом между двумя окружностями угол,
образованный их касательными, проведенными через общую точку.
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между двумя окруж¬
ностями.
Пример 54. На плоскости даны
Дробно-линейные окружность С и точка А, лежащая
преобразования на середине некоторого ее радиу¬
са ОВ. Разрешается делать два пре¬
образования: инверсию относительно окружности С и сим¬
метрию (разворот) относительно точки А. Сколько точек
может получиться из данной точки М плоскости с по¬
мощью этих двух преобразований, если разрешается вы¬
полнять их в любом порядке неограниченное число раз?
(Точка Λί, конечно, должна быть отличной от О и В.)
Опишем каждое из преобразований с помощью комп¬
лексных чисел, взяв центр О окружности за нуль, а точ¬
ку В — за единицу. Тогда точке А отвечает число 1/2.
Разворот вокруг точки А описывается формулой Μζ) =
= 1 — ζ. Из определения инверсии следует, что если г
и w — соответствующие точки при инверсии, то \ζ\ |ои| = 1
и arg w = arg ζ. Число ш, удовлетворяющее уравнению
ζ · w — 1, обладает этими свойствами. А так как инвер¬
сия относительно окружности единичного радиуса с цент¬
ром в нуле этими двумя свойствами определяется одно¬
значно, то она задается формулой
Μ*) = 1Λ·
И разворот, и инверсия — преобразования инволю-
тивные. Поэтому при рассмотрении всевозможных ком¬
192
позиций fi и fz их нужно чередовать. Получаем последо¬
вательно 2, 1/2, 1 — 1/2, 2/(2— 1), 1/(1— 2), 1—2, 2,
1/2, 1 — 1/2, 2/(2— 1), 1/(1 —2), 1—2. Далее преобра¬
зования будут повторяться. Следовательно, инверсия и
разворот порождают конечную группу G из 12 элементов.
Поэтому из одной точки плоскости не может получиться
более 11 новых точек. Конечно, орбита одной точки под
действием группы G может содержать и меньшее коли¬
чество точек.
Задача 149. Исследуйте, какое количество точек может содер¬
жаться в одной орбите. Как располагаются эти точки?
А теперь решим более интересную задачу. Найдем фун¬
даментальную область этой группы, т. е. наименьшую
часть плоскости, из которой при всевозможных компози¬
циях преобразований ин¬
версии относительно ок¬
ружности С и разворота
вокруг точки А можно по¬
лучить всю плоскость. При
развороте Ra окружность
С перейдет в окружность
С', которая при инверсии
преобразуется в прямую,
проходящую через точки
М и М' пересечения ок¬
ружностей С и С' (в пер¬
пендикуляр к OZJ, прохо¬
дящий через точку А).
Кроме того, отражение от
прямой ОВ (оно описывается функцией w=z) меняет ме¬
стами верхнюю и нижнюю полуплоскости (рис. 71). Та¬
ким образом, вся плоскость разбивается на 12 областей.
Проследите, какими преобразованиями можно, например,
из области 1 получить все остальные. Особенно интерес¬
Рис. 71
7 Зак. 541
193
но наблюдать за точками, расположенными на границе
области. Так, из отрезка О А получаются еще 5 отрезков,
которые заполняют прямую ОВ. Поэтому орбита каждой
внутренней точки отрезка ОА состоит из шести точек.
Орбитой же точки А будет набор: 1/2, 2, —1. (Орбита
точки О также состоит из трех элементов: 0, 1, оо.)
Отрезок AM (как и дуга ОМ) «порождает» еще пять
линий. Они отмечены пунктиром. Здесь, как и раньше,
орбита каждой внутренней точки отрезка состоит из
6 элементов. Орбита же точки М содержит только 2 эле¬
мента: м и м' (1/2 ± ;уз/2).
Выясним геометрический смысл дробно-линейных пре¬
образований плоскости, задаваемых формулами вида w =
= + и w = а*-~^ Ь. (Δ = ad — be =т^0). Мы знаем,
что функция w = -L· задает инверсию относительно еди¬
ничной окружности с центром в точке О. При с = 0 и
d Ф 0 получаются функции вида w = αζ + Ь и w =
= az + b. которые задают спиральное и зеркальное по¬
добия. Для получения формулы инверсии с произволь¬
ным центром можно воспользоваться сопряжением сдви¬
гом, как и при выводе формулы для поворота с центром
в точке а (см. с. 48): w = -- - _ + а.
Z — а
Постараемся представить произвольное дробно-линей¬
ное преобразование в виде композиции уже известных
нам преобразований. Так как
QZ Ь
cz-f- d
— {сг + d) — + Ь
С с
cz-j- d
_Δ_ ( 1 d_\ ,_a A d
& \ г + d/c ;)+ c C* c 9
194
то соответствующее преобразование является компози¬
цией инверсии относительно единичной окружности с
центром в точке —d/c и спирального подобия. А так как
W —
аг + Ь
cz + d~
+—
1 с
— (cz + d)-
с
ad
с
+ Ь
Ьс — ad
cz -J- d
1
z + djc
I 1 - ^ JL
\z+dfc c )+ с с2 I ’
то в этом случае преобразование является композицией
инверсии относительно единичной окружности с центром
в точке —djc и зеркального подобия.
Таким образом, каждое дробно-линейное преобразо¬
вание является круговым, т. е. окружности и прямые пе¬
реводит в окружности и прямые. Верно и обратное: каж¬
дое круговое преобразование комплексной плоскости
является дробно-линейным. Поэтому всевозможные дроб¬
но-линейные преобразования образуют группу (группу
круговых преобразований). Так как каждое круговое
преобразование является композицией инверсии и подо¬
бия, то при круговых преобразованиях не изменяются
углы между линиями (т. е. углы между касательными
к линиям в их общих точках).
Задача 150. Проверьте, образуют ли группу все дробно-линейные
преобразования вида w = (az + b)[(cz + ϊ), τ. е. «собственные»
дробно-линейные преобразования.
Задача 151. Докажите, что всевозможные преобразования, за¬
данные функциями
/(2)=^ + ^ при ad —bc>Q (31)
cz + α
и
φ (г) = ^ при ad — bec 0, (32)
cz d
где a, bt c, d — действительные числа, образуют группу.
7·
195
Убедимся, что все преобразова-
Плоскость ния вида (31) и (32) переводят точ-
Лобачевского ки верхней полуплоскости в точки
этой же полуплоскости. Пусть ζ =
= х + iy, w = и + to. Тогда
. _ а (х + jy) + Ь (,ux + b + iya) (сх + d — icy)
с(х+ iy) + d (сх + d)2 + tj2
_ (ox + b) (cx + d) + асу2 . . ya (cx -\-d) — cy (ax + b)
(cx + d)2 + y2 (Сх + й)2 + у2
Получим, что формула (31) равносильна системе
(ах + Ь) (сх -f d) + асу2 . '
(сх + d)2 -f у2 ’
__ (orf — be) у
V - (сх + d)2+y2’ i
откуда видно, что у и v имеют одинаковые знаки. Анало¬
гичный результат получается и для преобразований ви¬
да (32). Рассмотрим группу
L всех преобразований, дей¬
ствующую на точки верхней
полуплоскости W, вида (31)
и (32). Преобразования из
группы L окружности (пря¬
мые линии) переводят в
окружности (или прямые),
причем углы между ними
сохраняются. На полупло¬
скости W рассмотрим полу¬
прямые и полуокружности,
перпендикулярные к оси Ох.
Через две различные точки,
принадлежащие этой полуплоскости, проходит единст¬
венная такая линия (рис. 72), аналогично тому, как на
обычной плоскости через две различные точки проходит
196
единственная прямая. По этой причине полупрямые и по¬
луокружности в W, перпендикулярные к оси Ох, называ¬
ют L-прямыми.
Аналогию с обычной плоскостью можно продол¬
жить, если движениями W (L-движениями) считать пре¬
образования вида (30) и (31). Отличие появится только
тогда, когда мы перейдем к рассмотрению параллельных
(не пересекающихся) прямых (рис. 73). На W через точ-
/77
ку А, не лежащую на L-прямой а, можно провести бес¬
конечное множество L-прямых, не пересекающих а. К их
числу относится, например, прямая k. На рис. 73 L-пря-
мые тип касаются L-прямой а в точках, лежа¬
щих на оси Ох (точки оси Ох не входят в W\). L-прямые,
проходящие через точку А в одной паре вертикальных
углов, не пересекают L-прямой а, а те прямые, которые
проходят через точку А в другой паре вертикальных
углов, пересекают а (например, /).
Крайние непересекающие прямые называются парал¬
лельными L-прямой а.
Вычислим сумму углов какого-либо треугольника на
плоскости Лобачевского. Пусть А (0,7), β(4,3), /С(0,5)
(рис. 74). Угол К в этом треугольнике прямой: радиус
перпендикулярен к окружности, т. е. к соответствующей
касательной. Легко догадаться, что если М — «центр»
197
L-прямой АВ, то угол В в треугольнике АВК равен углу
ОВМ, а угол А — углу ОМА (/.ОМА = /ВОВ\—
- /BMBi).
Задача 152. Найдите координаты точки М.
Вычислим tg /ОМА и tg /ОВМ: tg /ОМА = 7/3,
tg / ОВМ = tg (/ΒΟΒι — /BMBi)= 9/37.
Теперь tg^A + ^B) = = ЧТ'
Рис 75
Поэтому ΔΑ + Z5 < 90° и сумма углов в ААВК мень¬
ше 2d. Интересно, что сумма углов равнобедренного тре¬
угольника АВСУ у которого ось Оу — высота и медиана,
будет еще меньше. Эти результаты не случайны: в плос¬
кости Лобачевского сумма углов треугольника непо¬
стоянна, она всегда меньше 2d на величину, пропорцио¬
нальную площади треугольника. Поэтому чем больше
площадь треугольника, тем меньше сумма его углов.
В группе L всех движений плоскости Лобачевского
можно выделить подгруппу Я, состоящую из преобразо¬
ваний
198
/(*) =
αζ + b
cz-j- d
с целыми a, b, c, d. Сюда входят, в частности, преобра¬
зования
S :ζ ι-> — 1/2 и Г : 2 <->- 1 + 2,
которыми эта подгруппа порождается.
Задача 153. Проверьте соотношения S2 = (ST)3 = Е.
Из рис 75 видно, как преобразуется область
ф = {г = а + Ы\ \z\ ^ 1, |а| < 1/2}
под действием преобразований £, Г, S, 71-1, 7\S, S7\ T-lS9
ST-1, ... Можно доказать, что фигурами, полученными
из области Ф под действием преобразований группы Я,
можно «замостить» всю плоскость Лобачевского без про¬
пусков и перекрытий. Группа Я является дискретной
группой движений плоскости Лобачевского с конечной
(в смысле этой геометрии) фундаментальной областью.
Таким образом, эта группа представляет собой аналог
кристаллографических групп в случае геометрии Лоба¬
чевского. Выбрав в области Ф некоторый мотив, можно
нарисовать на плоскости Лобачевского соответствующий
орнамент. Попробуйте!
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
... Надеюсь, что моя теория групп окажется
плодотворной во многих областях матема¬
тики и в большей или меньшей степени
изменит ее лицо. Я имею в виду геометрию,
теорию дифференциальных уравнений, ме¬
ханику.
С. Ли
В этой главе мы рассмотрим применение разработан¬
ного ранее аппарата групп преобразований к решению
дифференциальных уравнений. Мы предполагаем, что чи¬
татель знаком с понятием производной и интеграла, знает
производные и интегралы элементарных функций и встре¬
чался с простейшими дифференциальными уравнениями.
Обыкновенное дифференциальное
Обыкновенные уравнение первого порядка — это
дифференциальные уравнение вида
уравнения
y' = f(x,y), (33)
правая часть которого — некоторая данная функция двух
200
переменных, т. е. некоторое выражение, содержащее х
и у *. Решением этого уравнения называется такая функ¬
ция у = φ(χ), которая при подстановке в уравнение обра¬
щает его в тождество, т. е. такая, что при любом х
q>'(x)=f(x, φ(*)).
Поскольку мы интересуемся зависимостью у от х, то
переменная у называется зависимой, а х — независимой.
Уравнение (33) записывают также в виде dy/dx = f(x, у),
где dy и dx — «бесконечно малые» приращения перемен¬
ных у их, отношение которых по определению равно
производной у'.
Везде, где в этой главе встречаются дифференциалы
(бесконечно малые величины), мы рекомендуем пони¬
мать их интуитивно, как малые переменные величины,
стремящиеся к нулю. Всякое равенство, содержащее диф¬
ференциалы, является приблизительным, если вместо dx
и dy подставлять некоторые конечные значения. При этом
точность такого равенства возрастает по мере стремления
бесконечно малых к нулю и в пределе равенство стано¬
вится точным. Однако заменять дифференциалы нулями
нельзя, так как в этом случае получается либо бессодер¬
жательное равенство вида 0 = 0 (см., например, формулу
(54)), либо выражение вида 0/0 (как в определении
производной dy/dx). В этом противоречии и состоит
основная трудность понимания анализа бесконечно ма¬
лых. В XVII — XVIII веках новорожденный математиче¬
ский анализ часто подвергался нападкам со стороны мно¬
гих ученых и философов, которые видели сплошные ло¬
гические противоречия в манипулировании бесконечно
малыми величинами. Так, Дж. Беркли писал: «Я при¬
знаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо
* Есть и более общее понятие обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка, однако мы ограничимся приведенным
определением.
201
или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи
х + dx dx может означать либо приращение, либо нуль.
Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни
придали, вы должны рассуждать последовательно в соот¬
ветствии с этим значением, а не исходить из двойного
значения; делать так было бы явным софизмом». Впо¬
следствии, в трудах математиков XIX столетия (главным
образом, О. Коши (1789—1857) и К. Вейрштрасса
(1815—1897)) математический анализ получил строгое
обоснование в рамках теории пределов, опирающейся на
теорию действительных чисел. А в XX веке Э. Картаном
была создана теория дифференциальных форм, являю¬
щаяся современным математическим языком анализа
бесконечно малых.
В этой книге мы не можем, однако, касаться вопросов
обоснования дифференциального исчисления и призываем
читателя вместе с нами стать на точку зрения классиков
XVII века, которые понимали дифференциал буквально
как бесконечно малую величину, одновременно равную и
неравную нулю, и при этом достигли огромных успехов
в решении задач естествознания, несмотря на то что не¬
достаточное обоснование и определение понятий матема¬
тического анализа приводило их к парадоксам и
ошибкам.
Примером дифференциального уравнения может слу¬
жить уравнение
у' = у — X, (34)
решением которого являются, например, функции у =
= л: + 1 иу = ех + *+1>в чем легко убедиться подста¬
новкой.
Отметим сразу, что всякое дифференциальное уравне¬
ние имеет, как правило, бесконечное множество решений,
которое обычно можно описать одной формулой у =
= ψ(χ, с), содержащей, кроме переменной х, еще неко¬
202
торую постоянную с, причем с может выбираться произ¬
вольно. Такая функция ф(л:, с) называется общим реше¬
нием данного дифференциального уравнениия. Напри¬
мер, уравнение (34) имеет общее решение у=сех-\-х-}-1,
из которого при с = 0 и с = 1 получаем указанные выше
частные решения.
Задача 154. Выясните, существуют ли дифференциальные урав-
нения, частными решениями которых были бы функции:
а) у = 0 и у = 1 (постоянные);
б) у = х и у = 1.
Функция /(*, у) в правой части уравнения (33) может
не зависеть от переменной х или от переменной у (или
ни от одной из них). Например, можно рассмотреть диф¬
ференциальные уравнения
Задача 155. Попробуйте найти общее решение уравнений (35)
и (36) и угадать какое-либо частное решение уравнения (37).
Мы предполагаем, что читателю известен способ на¬
хождения общего решения уравнения вида
(примерами уравнений этого вида являются уравнения
(35) и (36)). Как известно, для решения таких уравне¬
ний используется операция интегрирования * (нахожде¬
ния первообразной функции)
* Терминология этого простейшего случая используется и для
произвольных дифференциальных уравнений: вместо «решить» диф¬
ференциальное уравнение говорят «проинтегрировать» его, а в ка¬
честве синонима общего решения используют выражение «общий
интеграл».
(35)
(36)
(37)
У' = f(x)
(38)
у = Jf(x)dx,
(39)
203
причем в соотношении (39) правая часть определена
«с точностью до аддитивной константы». Точный смысл
этого выражения состоит в следующем: если F(х)—не¬
которая первообразная функция f(x)> т. е. F'(x)=f(x),
то общее решение уравнения (38) задается формулой
y = F{x)+C. (40)
При различных значениях С мы получим все возможные
решения уравнения (38). Графики всех функций вида
(40) друг с другом не пересекаются и заполняют всю
плоскость с координатами х, у. Например, для уравне¬
ния (36) мы получим картину, изображенную на
рис. 76, а.
Представить графически полезно не только семейство
решений дифференциального уравнения, но и само урав¬
нение. Как это сделать? Равенство у' = f(xt у) означает,
что наклон (тангенс угла наклона) касательной к гра¬
фику искомого решения в точке (ху у) равен известному
числу f(xy у). Таким образом, в каждой точке плоскости
известно направление, в котором должен проходить гра¬
фик решения (интегральная кривая). Поэтому геометри-
204
ческий объект, связанный с дифференциальным уравне¬
нием вида (33), есть поле направлений на плоскости.
На рис. 76, б изображено поле направлений для уравне¬
ния (36). Геометрически задача интегрирования диффе¬
ренциального уравнения формулируется следующим
образом: дано поле направлений, требуется провести се¬
мейство линий (интегральных кривых) так, чтобы они
всюду касались этого поля, т. е. в каждой своей точке
имели то же направление, что и заданное поле. Нетруд¬
но видеть, что семейство кривых, изображенных на
рис. 76, а, соответствует в этом смысле полю направле¬
ний, указанному на рис. 76, б. На рис. 77 представлены
подобные иллюстрации для уравнения (34).
Задача 156. Нарисуйте поле направлений и семейства интеграль¬
ных кривых для уравнений (35) и (37).
Задача 157. Какие интегральные кривые у поля направлений,
изображенного на рис. 78? Соответствует ли это поле направлений
какому-либо дифференциальному уравнению?
С помощью обычного интегрирования можно найти
и общее решение произвольного уравнения вида
y' = f(x)g(y)· (41)
205
Для этого применяется следующий классический прием.
Вместо производной у' пишут отношение дифференциа¬
лов dy/dx, а затем переписывают уравнение (41) в виде
dy/g(y)= f{x)dx. (42)
Как видим, здесь переменные разделились: в левой части
стоит выражение, содержащее только у, а в правой —
только х. По этой причине
уравнение (41) называют
уравнением с разделяю¬
щимися переменными.
Если проинтегрировать
обе части соотношения
(42), получим
ijw = U^dx (43)
8.Ш
(подразумевается, что в
одну из частей этого ра¬
венства входит произ¬
вольная аддитивная по¬
стоянная С). Это и есть
общее решение уравнения
(41), записанное в неяв¬
ном виде. Если выразить у через х, получим решение
в явном виде.
Пример 55. Проиллюстрируем эту процедуру на урав¬
нении
У'=(х+1)/(Зу2). (44)
Имеем 3уЫу = {х + 1 )dx. Интегрируя, получаем у3 —
= х2/2 + х + С, откуда у = ■/х2/2 + х + С. Придавая
постоянной С всевозможные значения, можно получить
все решения уравнения (44).
206
Частным случаем уравнений с разделяющимися пере¬
менными являются уравнения, правая часть которых за¬
висит только от одной из переменных.
Задача 158. Найдите общее решение уравнения (37).
Перейдем теперь к выяснению связи
Замена между дифференциальными уравне-
переменных ниями и основной темой нашей кни¬
ги — преобразованиями плоскости.
Оказывается, что для решения дифференциальных урав¬
нений большое значение имеют замены переменных, т. е.
переход к новым переменным и, ν по формулам вида
U = <?(x, «/);)
» = У),\
(45)
где φ и ф — некоторые функции. При замене (45) урав¬
нение у' = f(x, у) "преобразуется в некоторое другое
уравнение
v'=g(u,v) (46)
(здесь штрих обозначает производную по аргументу и!).
Если при этом окажется, что в уравнении (46) перемен¬
ные разделяются, то мы его решим, а затем, возвратив¬
шись по формулам (45) к переменным х, у, получим ре¬
шение исходного уравнения (33). В этом и состоит прос¬
тейший, но очень действенный прием интегрирования
дифференциальных уравнений: сделать такую замену
переменных, после которой переменные разделяются.
Пример 56. Проиллюстрируем сказанное на примере
уравнения (34). Мы видим, что в этом уравнении пере¬
менные не разделяются. Сделаем такую замену:
и = х; ) х — и;
1 или
v = y — x— 1J у = и + υ + I.
207
Поскольку здесь и = ху производная по х и производная
по и — это одно и то же и, значит, у' = ν' -f- 1. Подстав¬
ляя выражения для ху уу у' в уравнение (34), получаем
υ' + 1 = v + и + 1 — иу т. е. υ' = υ. Здесь переменные
разделяются; общее решение этого уравнения — υ = Сеиу
где С — произвольная постоянная. Выражая иу υ через
ху уу получаем формулу общего решения исходного урав¬
нения (34): у = Сех + * + 1, которую мы уже приводили
читателю без выхода.
Задача 159. Найдите замену, разделяющую переменные в урав¬
нении у' = у2 + 2 ху + х2 — 1.
Геометрически на формулы замены переменных (45)
можно смотреть двояко.
Во-первых, считая ху у декартовыми координатами на
плоскости, можно рассматривать иу υ как другую криво¬
линейную систему координат на этой плоскости. Напри¬
мер, формулы
и = У X2 + уг;
ν - arctg
или равносильные им формулы
х = ucosu;)
у = ί/sin v J
вводят на плоскости полярную систему координат, т. е.
замена равносильна преобразованию координат.
Во-вторых, можно считать, что мы имеем дело с пре¬
образованием самой плоскости (точечным преобразова¬
нием), при котором точка с координатами (и, и) пере¬
ходит в точку с координатами (ху у)у где х = (р(и, и)у
у = ψ(^ ν). Чтобы представить такие преобразования
наглядно, полезно нарисовать на плоскости образы пря¬
208
мых координатной сетки и = const, и = const под дейст¬
вием этого преобразования (см., например, рис. 68).
Исторически первым примером ис-
Уравнение пользования преобразования при
Бернулли интегрировании дифференциальных
уравнений было решение Иоганном
Бернулли (1667—1748) следующего уравнения:
у' = Ау + Вуп, (47)
где А и В — данные функции переменной х. С помощью
замены переменных ему удалось свести это уравнение к
линейному уравнению
У' = РУ + Q, (48)
где Р и Q — определенные функции от х.
Рассмотрим вначале, как решается линейное уравне¬
ние (48). Представим неизвестную функцию у в виде
у = uv, где и и v — неизвестные функции от х. Подста¬
вив ии вместо у в уравнение (48), получаем u'v + ιιυ' =
= Puv + Q. Для того чтобы это равенство было спра¬
ведливо, достаточно выполнения двух соотношений:
и' = Риу υ' = Q/u. Первое соотношение представляет со¬
бой уравнение с разделяющимися переменными, из кото¬
рого мы найдем функцию и(х). Подставив найденное вы¬
ражение для и во второе соотношение, мы простым инте¬
грированием найдем функцию v(x). Следовательно,
можно найти и решение исходного линейного уравнения.
Задача 160. Найдите общее решение уравнения
у' = 2 у/х — х3 + х.
Пример 57. Покажем теперь, каким образом уравне¬
ние (47) можно преобразовать к уравнению (48). Не ме¬
няя независимую переменную х, произведем такую за¬
мену зависимой переменной: у = υν^~η\ В этом случае
209
у' = 1 рп/(1-п)р^ и после подстановки в формулу (47)
получим
—ί— un/(i—n) и’ — ^4^ι/(ΐ—-[- βνη/(ΐ—η)
или
и' = Л(1 — л)о + β(1 - η).
Задача 161. Найдите общее решение уравнения
^ + 1
У 2у
Читателя не должно смущать, что в ответе этой за¬
дачи встречается интеграл, который не выражается через
элементарные функции. Одна из первообразных для
функции е~х2/2 отличается постоянным множителем от
функции, называемой интегралом вероятности. Для нее
составлены подробные таблицы, эта функция изучена так
же хорошо, как и широко известные функции типа синуса
или логарифма. В настоящее время, однако, таблицами
для вычислений почти не пользуются. С помощью ЭВМ
можно найти значение первообразной для любой функ¬
ции с любой степенью точности. В связи с этим считают,
что дифференциальное уравнение решено, если для полу¬
чения его общего решения достаточно найти конечное
число значений элементарных функций и интегралов.
В этом случае говорят, что уравнение решено в квадра¬
турах.
Однако далеко не каждое дифференциальное уравне¬
ние решается в квадратурах. Например, уже такое урав¬
нение, как
У' = У2 +
не интегрируется в квадратурах. Это уравнение является
частным случаем так называемого специального уравне¬
ния Риккати:
у' = а(у2 + хп). (49)
210
Задача 162. Найдите общее решение уравнения (49) при п = 0.
В 1724 году Д. Бернулли и Я. Риккати открыли серию
значений /г, при которых уравнение (49) интегрируется
и квадратурах. Они нашли такую замену переменной у,
которая сводит это уравнение с данным п к уравнению
того же вида с другим показателем. При замене
и х2у ах
имеем
, 2_ _ ν' , 1
У х3у х2у2 ах2
и после подстановки в уравнение (49) получаем
2_ _ у' 1_ __ /1 . 1 2 п\
χ2υ χ2ν2 ' ах2 а у х4у2 а2х2 ах3и · * J
ИЛИ
ν' = а ^ ^ хп+2 v2>j. (50)
Произведем теперь замену независимой переменной,
полагая и = хп+3 (или х = и^п+3)). Для того чтобы отли¬
чать производные по х от производных по и, последние
будем записывать в виде отношения дифференциалов.
По правилу дифференцирования сложной функции
dv dv du dv , . оч , , 0\ dv
ΤΓ-ΛΓΪΓ = -37<" + 3>*>+! = <" + 3>“+“-λΓ·
В результате замены из уравнения (50) получим
(б1)
Уравнение (51) является уравнением Риккати вида
(49), однако вместо показателя п возник показатель
— (п + 4)/(дг + 3).
211
Если в уравнении (49) п = — 4, то после преобразо¬
вания получим уравнение Риккати с показателем 0, кото¬
рое, как мы знаем, интегрируется (см. задачу 161).
Задача 163. Проинтегрируйте уравнение у' = у2 + *-4.
Задача 164. Найдите еще одно значение для п, при котором
уравнение (49) интегрируется в квадратурах.
Если известно, что уравнение (49) интегрируется при
показателе п, то, используя описанные преобразования,
его можно проинтегрировать и при показателе т, таком, что
т + 4 3/г-[-4
= п, т. е. при —
т =
т + 3 “ 4· ч'* “г" п+ 1 ·
Рассмотрим дробно-линейную функцию
<7 («) = —
3 п -f- 4
■7Г+Т'
(52)
Тогда, согласно нашим рассуждениям, из интегрируе¬
мости уравнения Риккати (49) для некоторого показа¬
теля п следует его интегрируемость и для показателя
q (п). Повторяя приведенные выше преобразования, най¬
дем, что уравнение Риккати (49) интегрируется и для
показателей q(q(n)) и q(q(q(n)))J и вообще для показа¬
телей qh(ti), где qk обозначает k-ю степень преобразова¬
ния q (его β-кратное применение).
Задача 165. Выведите явную формулу для qk(n).
Заметим, что преобразование q~{ обладает тем же
свойством, что и q: переводит всякий интегрируемый слу¬
чай уравнения Риккати (49) снова в интегрируемый.
Формула для qk(n) остается справедливой и при отрица¬
тельных значениях k. Возникает бесконечная цикличе¬
ская группа, порожденная дробно-линейным преобразо¬
ванием q. Эта группа действует во множестве дей¬
ствительных чисел (показателей уравнения (49)) и.
215
замечательна тем, что под действием ее показатель, для
которого уравнение (49) интегрируемо, преобразуется в
показатель, обладающий этим же свойством. Таким обра¬
зом, для действия этой группы в множестве показателей
свойство уравнения (49) быть интегрируемым в квадра¬
турах является инвариантным. А раз так, то орбита лю¬
бого числа состоит либо из чисел, для каждого из кото¬
рых уравнение (49) не интегрируемо в квадратурах, либо
из чисел, для каждого из которых уравнение (49) инте¬
грируется.
В частности, орбита числа 0 доставляет нам бесконечт
ную серию уравнений Риккати (49), интегрируемых в
квадратурах. Их показатели имеют вид
<7*(0)= 4&/0 — 26).
Заметим, что если 6 стремится к бесконечности, то qh(0)
стремится к —2.
Задача 166. Докажите, что уравнение (49) интегрируемо и при
п = — 2.
Если читатель попытается, отправляясь от показате¬
ля п = — 2, найти новые случаи интегрируемости, то его
ждет разочарование. Дело в том, что число —2 остается
неподвижным под действием преобразования q, и его
орбита состоит из одной точки.
Таким образом, мы нашли две орбиты показателей,
для которых уравнение (49) интегрируемо. Французский
математик Ж. Лиувилль (1809—1882) в 1841 году пока¬
зал, что при всех остальных показателях п уравнение
(49) не может быть решено в квадратурах.
До сих пор нам встречались только такие замены, при
которых новая функция выражается только через новую
независимую переменную. Однако чрезвычайно распро¬
странены и общие замены координат:
213
-С=--<р(ы, ϋ),1 ы = λ (x, </),)
У = у(и, ν),\ ν = μ(χ, у).\
Чтобы найти выражение для dy/dx через функции от и,
v и производную dv/du, нам потребуется понятие част¬
ных производных. Пусть z = h(x, у)—функция двух пе¬
ременных. При неизменном значении у = Уо величина z
зависит только от х, и мы получаем функцию от одной
переменной х: z = h(x, у0). Производная этой функции
при х = лг0 и называется частной производной функции
h(x,y) по л: в точке (хо,Уо). Она обозначается -^-(хо,Уч).
όζ
Пишут также или ζχ, подразумевая, что г есть функ¬
ция х и у. Таким образом,
dh
дх
(•^о»
Уо) =
dh (х, у0)
dx
= litT/(*o + «. yo) — h(x0, У»)
хо ε->0 6
Пример 58. Найдем частную производную функции
г = 1/9 — х2 — у2 в точке (2, 1).
При у = 1 получается функция одной переменной:
г = ]/8 — х2. Ее производная по х будет —х//8 — х2 и
при х = 2
D =
/8 — 4
= —1.
Выражение (х0, у0) определено при любых х0 и у0
и представляет собой новую функцию двух переменных
*о, У о- Эта функция обычно обозначается dz/дх, а ее ар¬
гументами считают х и у (фиксированную точку (х0, у0)
заменяем произвольной точкой (х, у)). Так, для функции
г = У9 — х2 — у2 имеем
дг х
д* _ _/9~х» — у» ’
214
Таким образом, для нахождения частной производной
НУЖН0> считая у обозначением некоторого посто¬
янного числа, продифференцировать h(x, у) как функ¬
цию одной переменной.
Частная производная по у определяется аналогично
и находится по правилам дифференцирования функции
одной переменной, при этом х — некоторое постоянное
число.
Для функции z = ]/9 — х2 — у2 получаем дг/ду =
=-= — y/V§ — я2 — у2·
По аналогии с графиком функции одной переменной,
можно рассмотреть и график функции h = (х, у) двух пе¬
ременных х и у. Он располага¬
ется в трехмерном пространст¬
ве и состоит из точек (х, у,
h(x, у)). На рис. 79 изображен
график функции z= У 9—я2—у2.
Он представляет собой верх¬
нюю половину сферы.
Геометрический смысл ча¬
стной производной функции
h(x, у) по х в точке (х0у у0) за¬
ключается в следующем. Рас¬
смотрим плоскость у=уо. Она
пересекает график функции по
некоторой кривой. Тангенс угла
между положительным направлением оси ох и касатель¬
ной к этой кривой в точке (лг0, уо) и есть (хо,Уо).
Аналогичный смысл имеет и частная производная по у
от h(xt у) в точке (*о, Уо). На рис. 79 изображены эти
два сечения для функции 2 = У 9 — х2 — у2 в точке (2,1).
Если через две касательные к построенным сечениям про¬
215
вести плоскость, то эта плоскость будет касаться графика
функции. Ее уравнение имеет вид
2 —г0 = р(х — Xo)+q(y — Уо), (53)
где Zq = h (#0, Уо), р — (-^о> Уо)> Q = (*о> Уо)·
В самом деле, если х = Хо, то получим уравнение каса¬
тельной к графику функции h(xо, у), а если у = уо, то по¬
лучим уравнение касательной к графику функции
h(xy уо).
Точка графика и точка касательной плоскости к этому
графику, лежащие над точкой (л:, у), почти не отлича¬
ются друг от друга, если точка (л;, у) очень близка к точ¬
ке (*о, Уо). Поэтому разность z —- z0> вычисленную из
уравнения (53), можно понимать как приращение функ¬
ции h(x, у) при сдвиге от точки (хо, уо) к точке (х, у),
если этот сдвиг «бесконечно мал». Обозначая бесконечно
малые приращения переменных через dx, dy и dz, полу¬
чаем следующее выражение:
dz = zxdx + Zydy (54)
(формула дифференциала функции двух переменных).
С помощью формулы (54) можно получить закон преоб¬
разования производной при замене переменных общего
вида.
Пусть (ху у)—исходная система координат на плос¬
кости, (и, v)—другая система координат, связанная с
исходной равенствами:
Х = <р(и, v);\ и = Х(х,у);J
ι/ = Ψ(μ, v),\ v = μ(χ, у)}
Будем считать, что в «старых» координатах х является
независимой переменной, а у — зависимой, а в «но¬
216
вых» и — независимой, a ν — зависимой. Соответствую¬
щие производные будем обозначать у' = dy/dx, ν' =
= dv/du (обратите внимание, что штрихи при у и υ имеют
разный смысл!).
Тогда, по формуле (54),
у у dv
/ _ dy_ __ уа du + у у dv _ Уи IJv ~du _ у„ + yv υ’ .^gv
J dx xudu-\-xvdO , dv xu + xv v" ‘ D·'
ли r Λυ —η—
du
Таким образом, производная у' в «новых» координа¬
тах записывается как дробно-линейная функция от ν',
коэффициенты которой суть функции от и, ν.
Если формулы (55) описывают не замену координат,
а преобразование плоскости, при котором точка (и, υ)
переходит в точку (л:, у), то формула (56) показывает,
как при этом преобразовании изменяется наклон кривых
(ν' — это тангенс угла наклона касательной к некото¬
рой кривой, у' — тангенс угла наклона касательной к ее
образу (см. рис. 80)).
217
Назовем касательным элементом точку плоскости
вместе с некоторым направлением, «прикрепленным»
к ней. Такой элемент описывается тремя числами
(х, у, р), где (х, у)—координаты данной точки, ар —
тангенс угла наклона. Множество всех касательных эле¬
ментов образует, таким образом, трехмерное простран¬
ство (пространство касательных
элементов). Несколько его элемен¬
тов («точек») изображены на
рис. 81. Формулы (55), (56) задают
некоторое преобразование простран¬
ства касательных элементов.
Пример 59. Найти преобразова¬
ние пространства касательных эле¬
ментов при инверсии в плоскости
х, у относительно окружности х2-\-
+У2= 1.
Координаты точек плоскости при инверсии относи¬
тельно данной окружности изменяются по формулам:
_ х
и х2 + у2 ’
0 = У
х2-\-у2 J
Воспользуемся формулой (56). Имеем:
_ у2 — х2. — 2 ху . —2 ху
Ux ~~ (*а + уΎ ’ Uy (х2 + у2)2 vх ~ (х2 + у2)2 ’
X2 — у2
V« - (х2 + у2)2
и, следовательно,
, = Ух + Уу у' = (х2 — у2) у’ - 1ху
“х + ЧдУ' — 2дсуу'-\-у2 — х2'
У*
*-
Рис. 81
218
Преобразования вида (55)—(56) могут с успехом
использоваться при интегрировании дифференциальных
уравнений.
Пример 60. Решить уравнение
, *2 (у2 - х2) + 2ху (у* - (*» + /У2)2) + (у2 + *2) (*а + У2)2
У У2 (*2 — У2) + 2ху (X* + (*2 + </2)2) + (*/2 + х2) (*2 +1/2)2 ·
Сделаем замену:
_м_. р . ,/ _ (u2 — v2)v' — 2uv
Л + V2 ’ У - и2 + „2 ’ £/ - _ 2mw' + у2 - w2 *
Подставляя эти выражения в исходное уравнение,
после упрощений получаем
Здесь переменные разделяются — (υ2— 1 )dv = (и2-\-1) du,
и общий интеграл (записанный неявно) имеет вид
r|3 »|3
JL v — -у- + ы + Сх,
где Ci — произвольная постоянная. Выполняя обратную
замену, получаем общее решение исходного уравнения:
у* — х* = 3(х + у) (х2 + у2)2 + С(х2 + у2)з,
где С — произвольная постоянная.
Задача 167. Найдите выражение для dr[dy через dy/dxt если г,
φ — полярные координаты.
Предположим, что задано некоторое
Однопараметриче- действие группы действительных чи-
ские группы сел R с операцией сложения на пло¬
скости. Это значит, что для любого
действительного числа t определено преобразование
плоскости gty причем для любых двух чисел ins имеет
место равенство gt° gs = gt+s. Другими словами, мы
219
имеем дело с гомоморфизмом группы чисел в группу пре¬
образований плоскости, который числу t ставит в соот¬
ветствие преобразование gt. В этом случае говорят, что
задана однопараметрическая группа преобразований
плоскости. Простейшим примером однопараметрической
группы преобразований плоскости может служить груп¬
па переносов вдоль оси х: для всякого t преобразование
gt есть параллельный перенос на вектор teu где ei — еди¬
ничный вектор оси х.
Задача 168. Докажите, что любые два преобразования gt и ga
однопараметрической группы коммутируют.
Чтобы перейти к более сложным примерам, полезно
ввести координатную запись однопараметрических групп
преобразований плоскости. Такая запись дается парой
функций трех переменных:
*ι = <р (х, у. О0
ί/ιΧΉ*. у. О·/ ( j
Здесь (*, у)—координаты произвольной точки плос¬
кости, a (Xi, ί/ι)—координаты ее образа при преобразо¬
вании gt. При любом фиксированном значении группо¬
вого параметра t получается пара функций двух пере¬
менных, т. е. формулы вида (55), задающие одно опре¬
деленное преобразование. На языке функций (57) груп¬
повой закон, т. е. равенство gt°gs = gt+s, записывается
в виде соотношений
<ρ(φ(*, У, S), ψ(χ, у, s), t)=iе(х, у, i + s);j
Ψ(φ(*. у, s), ψ(*. у> s). 0 = ,Ψ(*. y> * + «)>!
которым должны удовлетворять функции φ и ψ при
произвольных значениях аргументов для того, чтобы они
определяли некоторую однопараметрическую группу пре¬
образований.
220
Например, группа переносов по оси х задается парой
функций
Х\ — X -f-1\
Уг = У, J
для которых тождества (58) проверяются тривиально.
Задача 169. Образуют ли однопараметрическую группу преобра¬
зований все гомотетии с положительным коэффициентом и общим
центром?
Внимательный читатель обнаружит, что приведенных
условий недостаточно для решения этой задачи. Дело
в том, что задание однопараметрической группы преоб¬
разований включает в себя не только указание некото¬
рого множества преобразований, но и приписывание
каждому преобразованию некоторого действительного
числа t. Если, например, сопоставить числу t гомотетию
с коэффициентом /, то мы не получим однопараметри¬
ческую группу в смысле данного выше определения, ибо
композиции гомотетий с коэффициентами t и 5 будет
отвечать гомотетия с коэффициентом ts, а не t -f- s.
Однако мы знаем способ, как превратить умножение в
сложение: нужно воспользоваться показательной функ¬
цией. Если числу t сопоставить гомотетию с коэффициен¬
том е*, то мы получим настоящую однопараметрическую
группу преобразований. Если общий центр рассматривае¬
мых гомотетий поместить в начало координат, то эта
группа может быть описана формулами
хг = е* х\)
У1 = е‘у,\
для которых равенства (58) легко проверяются.
Наглядное представление об однопараметрической
группе преобразований плоскости дает семейство орбит
221
этой группы. На рис. 82, а, б изображены орбиты двух
рассмотренных групп: переносов и растяжений. Следует,
однако, отметить, что две различные однопараметри¬
ческие группы могут иметь одно и то же семейство орбит,
поэтому различить их по рисункам орбит невозможно.
Рис. 82
Простейшим примером такой ситуации может служить
группа переносов вдоль оси х с удвоенной скоростью:
= х + 21;
Уг = У-
Ее орбиты такие же, как на рис. 82, а.
Задача 170. Определите однопараметрическую группу поворотов
с фиксированным центром, опишите ее координатными формулами и
изобразите ее орбиты.
Задача 171. Проверьте, задают ли равенства
χλ = eat (х cos bt — ί/sin bt)\ 1
y2 = e^t (x sin bt + ycos bt) }
однопараметрическую группу. Выясните ее геометрический смысл и
нарисуйте ее орбиты.
Задача 172. Пусть χι и уι — корни квадратного уравнения (отно¬
сительно неизвестной w) (w — х) (w — у)+ t = 0. Тогда Xi и yi явля¬
222
ются функциями трех переменных: х, у. t. Докажите, что эти функ¬
ции определяют однопараметрическую группу преобразований плос¬
кости. Изобразите ее орбиты.
Дифференциальное уравнение на
Симметрии плоскости, понимаемое как поле на-
дифференциальных правлений, может обладать опреде-
уравнений ленной симметрией. При первом
взгляде на рлс. 76, б видно, что он
не меняется при сдвигах на любое расстояние вдоль
оси у, а также при сдвигах на числа, кратные 2π, вдоль
оси х. Преобразования первого типа образуют однопара¬
метрическую группу (ее можно описать формулами
Х\ = xf yi = у + /), преобразования второго типа одно¬
параметрической группы не порождают (а образуют
дискретную группу, см. с. 158). Оказывается, зная одно¬
параметрическую группу симметрий дифференциального
уравнения, можно найти его общий интеграл, тогда как
наличие дискретной группы симметрии никак не облег¬
чает эту задачу.
Уточним сказанное. Пусть даны дифференциальное
уравнение вида (33) и преобразование плоскости (55).
Это преобразование называется симметрией уравнения
(33), если при подстановке выражений (55) вместе с
соответствующим выражением для производной (56)
в равенство (33) вместо х, у, у' мы получим такое же
уравнение для переменных и, и и ν': ν' = f(uf и). Геомет¬
рически это означает, что преобразование пространства
касательных элементов (55) — (56) при действии на эле¬
менты поля направлений, соответствующего данному
дифференциальному уравнению, переводит их в элементы
того же поля направлений (но «прикрепленные», вообще
говоря, в других точках плоскости). Если изображать
касательные элементы в настоящем трехмерном про¬
странстве (откладывая координату р = у' по вертикали),
то дифференциальное уравнение можно представить
223
в виде поверхности в этом пространстве, а его симмет¬
рию — Как преобразование этого пространства, задан¬
ное формулами вида (55) —(56), которое эту поверхность
оставляет на месте (точнее, сдвигает ее по себе).
На рис. 83 в виде поверхности изображено упомянутое
выше уравнение у' = cos х, причем видно, что преобра¬
зования
Χι = х\ | Х\ — х ■ Ь
Уг = У + t\ и tJi = У>
Ρι = Ρ ) Ρι = Ρ
переводят эту поверхность в себя.
Ставится два вопроса о связи дифференциальных
уравнений и однопараметрических групп их симметрий:
1) дано дифференциальное уравнение. Найти все (или
хотя бы одну) группы его симметрий; 2) дана однопара¬
метрическая группа преобразований плоскости. Найти
все дифференциальные уравнения, для которых эта
группа является группой симметрий (или, говоря иначе,
уравнения, допускающие эту группу).
Практически более важным является первый вопрос,
но он и более труден. Поэтому вначале обсудим второй
вопрос. Приведем два примера однопараметрических
групп, для которых построение соответствующих им
уравнений очевидно.
Общий вид уравнения, допускающего группу перено¬
сов вдоль оси х:
У' = f(y). (59)
Его частным случаем является уравнение (37).
Уравнения, допускающие группу переносов вдоль
оси у, имеют вид у' = f(x), частным случаем которого
является уравнение (36).
Обратимся теперь к более содержательным задачам.
224
Пример 61. Найти общий вид дифференциального
уравнения, допускающего группу вращений с центром
в начале координат.
При повороте на угол а всякий касательный элемент
преобразуется так, что его новое направление оказы¬
вается повернутым по отношению к исходному также на
угол а (рис. 84), т. е. его угол с радиусом-вектором
остается неизменным. Следовательно, поле направлений
(дифференциальное уравнение) допускает группу враще¬
ний, если угол между направлением поля в любой точке
и ее радиусом-вектором является функцией только рас¬
стояния от этой точки до начала координат. Значит, тан¬
генс этого угла есть некоторая функция расстояния (или
его квадрата х2-\-у2). Тангенс угла наклона поля на¬
правлений равен утангенс угла наклона радиуса-век¬
тора — yjx\ искомый угол есть разность двух этих углов.
Пользуясь формулой тангенса разности, получаем урав¬
нения, допускающие группу вращений:
-X=JL =/(** + *■),
уу + X ' v 1 υ '
8 Зак. 541
225
где f—некоторая произвольная функция, или, разрешив
относительно производной:
7 = хПх2 + У2)+У
X —Уf (х2 + У2)
(60)
Задача 173. Найдите все дифференциальные уравнения, допу¬
скающие однопараметрическую группу гомотетий.
Задача 174. Найдите все дифференциальные уравнения, допу¬
скающие однопараметрическую группу спиральных подобий, описан¬
ную в задаче 171.
Интегрирование
дифференциальных
уравнений
с известной группой
симметрий
Оказывается, что если для некото¬
рого дифференциального уравнения
известна однопараметрическая груп¬
па симметрий, то можно сделать
такую замену координат, после ко¬
торой переменные разделяются. При
нахождении новых координат ис¬
пользуется понятие инварианта группы преобразований
(см. главу «Орнаменты»). Рассмотрим его для случая
однопараметрических групп преобразований плоскости.
Напомним, что инвариантом группы преобразований
называется всякая функция, постоянная на орбитах этой
группы, т. е. такая функция, значения которой в точках А
и В совпадают, если точка А может быть получена из
точки В некоторым преобразованием рассматриваемой
группы. Ясно, например, что функция у, сопоставляющая
каждой точке плоскости ее ординату, является инвариан¬
том группы переносов вдоль оси х. Действительно, у то¬
чек, полученных друг из друга переносом вдоль оси х,
ординаты совпадают. Инвариантом этой группы является
также произвольная функция /(у), так как всякая функ¬
ция инварианта снова является инвариантом. Нетрудно
заметить, что функция у в этом примере представляет
собой универсальный инвариант: ее значения на всех
орбитах различны и, следовательно, любой инвариант
226
группы переносов по х для некоторой функции / имеет
вид f(y). Аналогично функция х является универсальным
инвариантом группы переносов вдоль оси у.
Универсальным инвариантом для группы гомотетий,
рассматриваемой на плоскости с выброшенным началом
координат, хотелось бы назвать полярный угол φ. Дейст¬
вительно, на каждом луче, выходящем из начала коорди¬
нат, угол φ принимает одно и то же значение (см.
рис. 82,6), причем разным лучам соответствуют разные
значения φ. Следует, однако, отметить, что угол φ не
является однозначно определенной функцией на плоскос¬
ти: точке (—1, 0) можно с равным успехом соыоставить
углы 180° и —180°. Можно, конечно, условиться брать
значения полярного угла φ так, что 0° ^ φ < 360°, но
тогда полученная функция φ будет разрывной, что не
очень приятно. На самом деле непрерывного универсаль¬
ного инварианта группа гомотетий не имеет. Функция
у/ху определенная при х ф 0, является инвариантом груп¬
пы гомотетий на своей области определения.
Задача 175. Найдите какой-либо инвариант группы вращений с
центром в начале координат. Обладает ли эта группа универсальным
инвариантом?
К проблеме нахождения инвариантов данной однопа¬
раметрической группы преобразований существует два
подхода. Первый (формульный) состоит в следующем.
Предположим, что группа преобразований задана в коор¬
динатах парой соотношений вида (57). Тогда задача за¬
ключается в том, чтобы из выражений <р(л*, уу /) и
ф(дг, У у t) составить такую комбинацию, в которой пере¬
менная t уничтожается, т. е. подобрать функцию Λ(φ, ψ),
не зависящую от /.
Второй подход — геометрический. На плоскости про¬
водят некоторую кривую, пересекающую каждую орбиту
8*
227
ровно в одной точке (рис. 85). На этой кривой опреде¬
ляют произвольную функцию, принимающую различные
значения в разных точках кривой, а затем доопределяют
эту функцию на всей плоскости, полагая ее значение
в точке А равным, по определению, значению этой функ¬
ции в точке В, в которой орбита пересекает выбранную
кривую.
Пример 62. Найти инвариант однопараметрической
группы преобразований, заданной формулами
Χχ= X
Ух = е‘у. 1
Искомый инвариант нетрудно найти «формульным»
способом. Действительно, выражение егу · не за¬
висит от /, поэтому функция уе~х является инвариантом.
Построим этот инвариант также из геометрических сооб¬
ражений. Орбиты данной группы показаны на рис. 86.
В качестве кривой, пересекающей каждую орбиту в
одной точке, можно взять прямую — ось у. Функция
и = у принимает различные значения в точках этой кри¬
228
вой. Для того чтобы определить значение этой функции
в произвольной точке А (ху у) плоскости, проведем че¬
рез А орбиту данной группы до пересечения с осью у
в точке В(0, и). Из уравнений группы получаем: Xi = t,
У\ = elv при некотором t. Отсюда находим и = у^е~хк
Значение искомой функции в точке А равно ее значе¬
нию в точке 5, т. е. и = уе~х. Таким образом, искомый
инвариант есть функция уе~х.
Задача 176. Найдите инвариант группы спиральных подобий,
описанной в задаче 171 двумя способами.
Рассмотрим, наконец, вопрос об использовании одно¬
параметрических групп симметрий дифференциальных
уравнений при их интегрировании. Оказывается, что если
известна однопараметрическая группа симметрий диф¬
ференциального уравнения, то следует перейти к новым
переменным, одна из которых является инвариантом
данной группы. После такой замены часто (но не всег¬
да!) переменные разделяются и, значит, уравнение мож¬
но решить. Так обстоит дело с уравнениями вида у' =
= f(x) и у' = f(y), при решении которых переходить
к новым переменным не нужно, ибо х и у обладают ука¬
занным свойством (в первом случае х, а во втором у есть
инвариант соответствующей группы переносов). Рассмот¬
рим задачу, которая часто встречается в приложениях.
Пример 63. Найти общее решение дифференциального
уравнения вида
у' = f(yfx). (61)
Уравнение (61) называют однородным. Как известно
из результата задачи 173, однородные уравнения инва¬
риантны относительно однопараметрической группы рас¬
тяжений с центром в начале координат. Поскольку выра¬
жение у/х является инвариантом этой группы, примем
его за одну из новых переменных (зависимую); незави¬
229
симой переменной по-прежнему будем считать х. Таким
образом, полагаем, что ν = у/х или у = χν. Отсюда
у' = ν + χν', и, подставляя в уравнение (61) значения у'
и у, получаем v -f χν' = f(v) или ν' = ^ ^ ~ ν .
Переменные действительно можно разделить!
Задача 177. Доведите до явного ответа рассуждения предыду¬
щего примера в случае уравнения у' = 1 + 2у/х.
Задача 178. Разделяются ли переменные в уравнении (61) при
переходе к полярным координатам?
Задача 179. Модифицируйте рассуждения, использованные в при¬
мере 63 применительно к уравнению вида
/ г ( ах + Ьу + с \
У 1 [ ахх + Ьху + сг у
Следует отметить, что указанный выше способ инте¬
грирования дифференциальных уравнений с известной
группой симметрий не всегда приводит к успеху (т. е.
к разделению переменных). Например, если в уравне¬
нии (60), допускающем группу вращений, перейти к по¬
лярным координатам, получится уравнение с разделяю¬
щимися переменными: udv/du = f(v). Если же сделать
замену по формулам и — х, v = х2 -f у2 (вторая функ¬
ция— инвариант!), то разделить переменные не удастся
(проверьте это). Таким образом, недостаточно, вообще
говоря, правильно выбрать одну из новых координат;
разделение переменных зависит также от выбора второй
координаты.
Чтобы получить универсальное правило интегрирова¬
ния дифференциального уравнения с известной однопа¬
раметрической группой симметрий, постараемся найти
новую криволинейную систему координат (и, υ) так,
чтобы в ней преобразования данной группы выглядели
как можно проще, а именно, являлись переносами вдоль
одной из осей координат, например и. Общий вид урав¬
230
нений, выдерживающих группу переносов по независи¬
мой переменной, нам известен: это уравнения dvjdu =
= φ(ϋ). Переменные здесь, очевидно, разделяются. Оста¬
ется понять, как же построить требуемую систему коор¬
динат.
Пусть функция ν — инвариант данной однопарамет¬
рической группы G = {g*}, так что орбиты последней опи¬
сываются уравнениями υ = щ с различными значениями
величины ϋο. Выберем кривую /С, пересекающую каждую
орбиту группы в одной точке и не касающуюся их (при
этом, возможно, нам придется рассматривать не все орби¬
ты, но лишь орбиты, заполняющие некоторую область
плоскости). Примем кривую К за ось υ новой системы
координат, т. е. будем считать, что на ней и = 0. Тогда,
чтобы получить точку А с координатами (щ, ϋο), необхо¬
димо взять на кривой К точку В с координатами (0, ν0)
и подействовать на нее преобразованием gUo. Таким
образом, одно семейство линии новой координатной сетки
(жирные линии на рис. 85)—суть орбиты группы G,
а другое (тонкие)—сдвиг кривой К под действием пре¬
образований группы.
Если вместо определенной выше функции и взять дру¬
гую координатную функцию ад, линии постоянства кото¬
рой ад = Wo такие же (т. е. сдвиги кривой /С), то мы так¬
же получим разделение переменных, ибо в этом случае
ад = ад (и) и уравнение dv/du = φ(ϋ) примет вид dv/dw =
= q>(t>). ψ(α>).
Сформулируем полученный результат.
Теорема о разделении переменных. Пусть известна
одиопараметрическая группа симметрий G = {g*} некото¬
рого дифференциального уравнения. Тогда данное урав¬
нение допускает разделение переменных в любой системе
координат (и, υ) такой, что координатные линии υ =
= const — суть орбиты группы G, а линии и = const пе¬
реходят друг в друга под действием преобразований gt.
231
Пример 64. Проинтегрировать дифференциальное урав¬
нение у' = ^г-(у2 + хг2).
Заметно, что если у умножить на некоторую постоян¬
ную k, а х — на &-1, то вид уравнения не изменится.
Поэтому данное уравнение допускает следующую одно¬
параметрическую группу преобразований:
Xl = ег*х{Л
У1 = е‘У> I
Ее называют группой гиперболических поворотов.
Орбитой любой точки будет ветвь гиперболы ху = а
(рис. 87). Произведение ху является инвариантом этой
группы. Поэтому в качестве одной из новых координат¬
ных функций возьмем υ = ху. Заметим теперь, что верти¬
кальные прямые х = const переводятся друг в друга пре¬
образованиями группы G. Действительно, образ прямой
232
х = Хо есть прямая х = е~гХо. Поэтому в качестве коор¬
динаты и можно взять просто х. Итак, искомая замена
и == х \ \
V = ху]
Применим ее к данному уравнению. Имеем
ν' =ху' +у= -j-(xy* + 4") +у = Ί~(ίΓ + Ίγ) +
, υ_ _ 2v2 + 5v + 2
и ~~ 5и
Разделим переменные: ^ _^ζυ _μ-2' = “gjp Осталось взять
интегралы от левой и правой частей (левую часть при
этом полезно представить в виде
( 0+1/2 0 + 2))
\_
2
v + 2
= Си3/5.
Подставляя сюда и, о, получаем ответ: у =
3
2(х—Сх3/5)
2
. Это общее решение данного уравнения в области
л:>0.
Задача 180. Найдите общий интеграл уравнения у'= (х+«/2)/(*</).
Наконец, рассмотрим еще одно уравнение, в котором
разделить переменные заменой только х или только у
невозможно.
Пример 65. Решить дифференциальное уравнение
, (II* — χψ — 5(у — х) + 4
У (уа — ха)г + Ь(у — х) + ¥
233
используя однопараметрическую группу симметрий
t _i „—t
n-t
Хл =
е* + е
Ч = о~
еt — , е' + е~1
Ух = 9 х Ч
У\
Эти преобразования представляют собой не что иное,
как уже рассмотренные гиперболические повороты, но
в системе координат, повернутой на 45°. Инвариантом
группы является функция υ = у2 — хг (проверьте!). Заме¬
тим, что семейства вертикальных и горизонтальных пря¬
мых не выдерживают преобразований группы, так что
выбор и = х или и = у не приводит к успеху. Оказывает¬
ся, однако, что линии у —- х = const переходят друг в
друга. Положим и = у — х. Тогда, согласно формуле,
dv 2 (ydy — xdx) 2 (yif — x) 9 y — x
du dy — dx y' — 1 ^ ' y' — 1
bv — v2 — 4
~~ a *
Переменные разделяются! Интегрируя обе части равенст-
/1 1 \ . Ыи
ва ν — 4~ “Ζ> = ——, получим решение исходно¬
го уравнения (в неявном виде):
у2 — х2 — 1
у2 — х2 — 4
с (У — х)3·
Задача 181. Проинтегрируйте уравнение у' = у2е~х — у + е* с
помощью группы симметрий Xi = х + ί/ι = е1у.
Итак, если известна однопараметрическая группа пре¬
образований обыкновенного дифференциального уравне¬
ния первого порядка, то его можно решить. «Это, однако,
никоим образом не означает, что можно проинтегриро¬
вать любое дифференциальное уравнение Xdy — Ydx = 0.
234
Трудность состоит в том, что для интегрирования такого
дифференциального уравнения нужно найти однопара¬
метрическую группу, которая оставляет его инвариант¬
ным». Эти слова, которыми мы заканчиваем главу, при¬
надлежат выдающемуся норвежскому математику Со-
фусу Ли (1842—1899), создателю теории симметрий
дифференциальных уравнений. Следует отметить, что со
времен С. Ли положение несколько изменилось: усилия¬
ми математиков последнего поколения созданы новые
мощные методы исследования дифференциальных урав¬
нений на основе понятия симметрии, и в частности ме¬
тоды нахождения симметрий заданных уравнений. Одна¬
ко рассказ об этом выходит за рамки этой книжки.
ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ
Предлагаем читателю самостоятельно найти решения следующих
задач, связанных с обсуждаемыми в книге вопросами.
1. Существует ли прямоугольный треугольник с целыми сторо¬
нами, ни одна из сторон которого не идет по линиям квадратной
сетки, а вершины лежат в ее узлах?
2. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбираются точ¬
ки М и Ν. Найдите множество середин отрезков ΜΝ.
3. Пусть ABCD— произвольный четырехугольник, К, L, Μ, N —
центры тяжести треугольников BCD, ACD, ABDy ВСА. Докажите, что
четыре прямые, соединяющие середины противоположных сторон в
четырехугольнике ABCD и в четырехугольнике KLMN, пересекаются
в одной точке.
4. На сторонах выпуклого четырехугольника как на основаниях
построены во внешнюю сторону квадраты, центры которых обозна¬
чены Му N, Р, Q. Докажите, что середины диагоналей четырех¬
угольников MNPQ и ABCD образуют квадрат.
5. Докажите, что если Ζι -f- ζ2 + ... + = 0, то среди комп¬
лексных чисел Zu z2, , zn найдется два таких, у которых аргумен¬
ты отличаются не менее, чем на 120°.
6. Найдите сумму k-x степеней корней уравнения хп — 1 = 0.
7. Комплексное число λ является корнем многочлена f(x) =
= хп + αιχη_1 + ... + ап с действительными коэффициентами, при¬
чем 1 ^ ^ а2 ^ ^ ап ^ 0, |λ|^ 1. Докажите, что λ — ко¬
рень степени п из единицы.
8. Функция d(x, у) определена равенством d(x, у) =
= γ\ _J_^2 γ\ + уъ ■ Докажите. что d(x> У)+<Ну, г)> d(x, г).
9. Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник.
На его сторонах как на основаниях построены во внешнюю сторону
правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соеди¬
няющих вершины соседних треугольников, являются вершинами пра¬
вильного шестиугольника.
10. Сколько осей симметрии может иметь шестиугольник? семи¬
угольник?
11. Дан угол и точка М внутри его. Постройте отрезок с кон¬
цами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы
в точке М.
236
12. На биссектрисе внешнего угла С треугольника АВС взята
точка М, отличная от С. Докажите, что МА + МВ > СА + СВ.
13. Даны прямая ΜΝ и две точки А и В. Постройте на прямой
такую точку /С, что Ζ-ΑΚΜ = 2Δ.ΒΚΝ.
14. У борта прямоугольного бильярда стоит шар. В каком на¬
правлении надо его толкнуть, чтобы он, отразившись от трех бортов,
попал в начальную точку? А если шар не стоит у борта?
15. Докажите, что площадь четырехугольника не превосходит
полусумму произведений противоположных сторон.
16. Докажите, что выпуклый центрально-симметричный много¬
угольник можно разрезать на параллелограммы.
17. В трапеции ABCD AD\\BCy М — точка пересечения биссек¬
трис углов А и В, N — точка пересечения биссектрис углов С и D.
Докажите, что 2MN =\АВ + CD — ВС — AD\.
18. Точка М лежит на диаметре АВ окружности. Хорда CD про¬
ходит через М и пересекает АВ под углом 45°. Докажите, что сумма
СМ2 + DM2 не зависит от выбора точки М.
19. Можно ли 31 прямоугольником 1 X 2 закрыть шахматную
доску 8 X 8, от которой отрезали поля αΐ и hS?
20. Т-образная фигура составлена из четырех квадратов 1X1.
Можно ли девятью Т-образными фигурами закрыть квадрат 6x6?
21. Можно ли девятью полосками 1 X 4 закрыть квадрат 6X6?
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ
Закончен наш рассказ о преобразованиях плоскости
и их приложениях. На хорошо знакомом материале мы
постарались раскрыть и проиллюстрировать ряд важных
понятий современной математики, сконцентрированных
вокруг идеи группы преобразований. Надеемся, что зна¬
комство с этой книгой побудит читателя к дальнейшей
работе. Самым юным мы рекомендуем вышедшую в се¬
рии «Библиотечка «Квант» увлекательно написанную
книгу О. Оре из приведенного ниже списка. В книгах
Г. Вейля и Л. В. Тарасова обсуждаются сущность и про¬
явления идеи симметрии, ее роль в науке и искусстве.
«Классическое» сочинение Г. Радемахера и О. Теплица —
своеобразная «математическая хрестоматия» — содержит
несколько этюдов на тему симметрии. Идеи симметрии,
группы преобразований связывают воедино популярное
изложение Г. С. М. Кокстером основ почти всех разделов
геометрии. Богатую подборку задач на геометрические
преобразования содержит книга И. М. Яглома.
О великом русском математике Н. И. Лобачевском и
о созданной им геометрии рассказывается в вышедшей
к 150-летию ученого книге Б. Л. Лаптева. Связи геомет¬
рии с группами преобразований можно изучать по книге
В. В. Никулина и И. Р. Шафаревича. Основные понятия
теории групп излагаются П. С. Александровым, И. Грос¬
сманом и В. Магнусом, В. Б. Алексеевым. Книга
В. Б. Алексеева знакомит также с комплексными числа¬
ми, функциями комплексной переменной и связанными
с ними группами Галуа. Элементарные функции комп¬
лексной переменной рассматриваются в книге А. И. Мар-
кушевича. Μ. М. Постниковым изложена теория Галуа.
Этой же темы, а также анализа различных комбинатор¬
238
ных игр, в том числе и кубика Рубика, касаются в своей
книге Л. А. Калужнин и В. И. Сущанский. Различного
рода комбинаторные задачи приведены в книге Н. Я. Ви¬
ленкина. Для знакомства с геометрическим подходом
к теории дифференциальных уравнений советуем исполь¬
зовать первые главы книги В. И. Арнольда. Наконец,
невозможно не порекомендовать уникальный по богат¬
ству идей сборник задач московских математических
олимпиад.
Мы указали лишь несколько тропинок, ведущих в бо¬
гатый и разнообразный сад математики. Авторы желают
каждому из вошедших в этот сад подобрать букет по
своему вкусу.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
1. Может. Рассмотрите треугольник, вершины которого имеют
координаты: (0, 0), (12, 9), (24, —7).
2. Для начала попробуйте решить задачу с помощью прямого
построения. Если не получится, воспользуйтесь результатом зада¬
чи 6 и выразите произвольную
точку фигуры Ф через верши¬
ны данных треугольников.
Многоугольник Ф имеет 3, 4, 5
или 6 сторон.
3. Тогда и только тогда,
когда k — / = 1. Представьте
данное выражение в виде А\+
-ЕЛг—β 1 —|—/1 з—Bz-\- ... и вос¬
пользуйтесь замечанием нас. 13.
4. Из примера 2 следует,
что эта задача равносильна
следующей теореме (Эйлера):
при гомотетии с центром в
точке пересечения медиан М и
коэффициентом —2 центр О
описанной окружности пере¬
ходит в ортоцентр Я. Для
доказательства этой теоремы
нужно заметить, что середин¬
ные перпендикуляры AAiBiCi совпадают с высотами ААВС
(рис. 88).
5. α + β+ ...+ω = 1. Рассмотрите векторное равенство
ссРЛ + β РВ+ ... +ωΡΖ = α(Μ + β<2£+ ... +ω(?Ζ + (α + β +
-f- ... -J- ω) PQ.
6. Это множество всех точек вида aiAt + а2Л2 + ... + апАП1 где
cli “Ь Яг -f-... Ч· Яп = 1.
7. 9. Выразите через точки Л, В, С, D середины указанных в усло¬
вии отрезков.
8. Выразите эти точки через точки Л, В, С, Д В, F.
10. Для каждого из перечисленных отрезков выразите точку,
делящую его в отношении 3:1, через Л, В, С, D.
11. Возьмите за полюс точку пересечения двух медиан и восполь¬
зуйтесь примером 2.
240
12. 1/7. Возьмите одну из вершин параллелограмма за полюс,
две другие — за базисные и выразите точку пересечения этой прямой
с диагональю двумя способами.
13. у — Ь\ х = а\ ау = Ъх.
14. Объединение трех медиан.
15. 16. Возьмите точку К за полюс, а точки А и В — за базисные.
Через координаты (а, Ь) точки С выразите координаты точек D, £, F.
17. Примите середину стороны АС за полюс, а точки А и В — за
базисные. Покажите, что точки описанного в задаче множества удов¬
летворяют уравнению вида ay — bxt и используйте результат зада¬
чи 13в.
18. Ни в том ни в другом случае множество вершин не является
замкнутым.
19. Разложите точку К (0, 1) по базису Е, А и докажите, что
К2 = — Е. Следовательно, это умножение совпадает с умножением
комплексных чисел (чтобы сделать этот вывод, вам нужно прочи¬
тать еще несколько страниц). Представляя вершины пятиугольника
в тригонометрической форме, получаем такую таблицу умножения:
Е
А
В
С
D
£
Е
А
В
С
D
А
А
В
С
D
Е
В
В
С
D
Е
А
С
С
D
Е
А
В
D
D
Е
А
В
С
20. а) 0; б) ±(1 — 2/); в) —1 (заметьте, что куб этого числа
равен —1).
21. а) окружность радиусом 5 с центром в точке —3;
б) серединный перпендикуляр к отрезку [—4; 2/];
в) окружность (воспользуйтесь тождеством | т |2 -f- | п |2 = -I- X
X (\т + п\г +\т — п|2), где т и п — комплексные числа).
22. Сумма, стоящая в левой части неравенства, есть длина неко¬
торой ломаной, соединяющей точки 0 и 5 + 5/ на плоскости. Восполь-
241
зуйтесь тем, что сумма чисел χι +(\ — Х2)/, (1 — *з) + xzi, ..., Х9 +
+ (1 — лею)/, (1 — Xi)+ xioi равна 5 + 5t.
23. 0°, 90°, 180°, 270°, 45°, 330°.
24. а) см. рис. 89; б) (г
/ г | 3х2у -
-2) Κ·*2+</3- 2- J *-
2)(г-
(*2 + (/2)
,2,3/2
-2 — | sin 3φ I) =0, (Κ^+ίί* —
= 0.
26. Покажите вначале, что г = cos φ ± i sin φ.
26. 2η\ следуйте примеру 9.
27. Рассмотрите аргумент числа ^ а с а
е — b
с — a d — а е — а b — е
X
= —1.
а — Ъ
28. Если точка z лежит вне многоугольника, то аргументы всех
разностей z — Л*, а следовательно, и всех чисел 1/(2 — Ак) попадают
в один промежуток величиной 180°.
29. Используйте два переноса.
30. Сначала параллельным переносом сдвиньте треугольник так,
чтобы концы данного отрезка оказались на его сторонах.
31. Сделайте перенос на вектор ВС (ВС — основание трапеции)
и рассмотрите треугольник ACD', где DD' = ВС.
242
32. Используйте два отражения от сторон угла и пример 3.
33. Воспользуйтесь тем, что точки, симметричные вершине отно¬
сительно двух других биссектрис, лежат на противоположной стороне
(или ее продолжении).
34. 180°Дг, п ^ 2. «Перекатите» угол по плоскости четыре раза
и сравните действительный ход луча с прямой, на которой располо¬
жен входящий луч.
35. Разрежьте каждую фигуру вдоль вертикальной оси сим¬
метрии.
36. Покажите, что получившиеся точки лежат в вершинах пра¬
вильного многоугольника.
37. Используйте поворот на 60° с центром на средней прямой.
38. Пусть К— такая точка, которая переходит в М при пово¬
роте квадрата на 90° вокруг центра (при котором А переходит в В).
Покажите, что АК _L ВМ, ВК±СМ, С К JL DM, DK±AM.
39. Используйте разворот вокруг точки пересечения окружностей.
40. Первый игрок выкладывает монету в центр и затем исполь¬
зует симметричность.
41. По аналогии с выводом формулы (2) используйте поворот
вокруг точки пересечения прямой с осью х.
42. Введите на плоскости подходящую комплексную структуру.
43. Тождественное преобразование. Используйте формулу (7).
45. Легко проверить, что RdM ° RdN о Rp ° R^ = id (см. рис. 39).
Запишите это условие с помощью комплексных чисел и убедитесь,
что это возможно лишь тогда, когда отрезки МР и NQ взаимно пер¬
пендикулярны и равны.
46. Используйте пример 21. Ответ: a) RBoRA = T
б) Si<>Ra—скользящее отражение с осью АК и вектором 2АК,
где К — основание перпендикуляра, проведенного из точки А к пря¬
мой /.
47. Используйте композицию пяти разворотов относительно по¬
следовательных середин сторон. Убедитесь, что получается разворот
и его центр — одна из вершин пятиугольника.
48. Найдите ось скользящего отражения, получающегося при
композиции трех отражений, и через данную точку проведите пря¬
мую, параллельную оси.
49. Используйте результат задачи 41.
50. Нет. При каждом ударе меняется ориентация тройки шайб.
51. 23. Используйте определение аргумента.
52. a) RA о 5/ ~- Si о RA\ б) RA ° R^, = Rq о Rb·
53. а) см. задачу 52а; б) прямые /, т, п пересекаются в одной
точке.
243
54. Точки, принадлежащие этому узору, можно получить из
точек Лх(5. 3), Аг(7, 2), Аа(3, 1), Ай(4, —1), Лв(2, 9), Л(3, 10)
—> ·-> ·—►
переносами на всевозможные векторы ka + lb, где а = (—6, 12), b —
= (12, —6), &, /gZ. Так, например, из точки Л{ получаются точки
с координатами (5 — 6k + 12/, 3 + 12/е — б/), где k, I — целые числа.
55. а) да; б) да, ибо Sym(A)= id; в) нет.
56. Пусть g е G. Тогда, согласно свойству ij.f'eC.a соглас¬
но свойству 1), g-1 о^ = ide С.
57. Движение полностью определяется образами трех точек, не
лежащих на одной прямой.
58. Все эти группы различны.
59. Воспользуйтесь результатом примера 21.
60. а) да. Например, ромб; б) нет. Убедитесь, что если при раз¬
воротах Ra и Rb фигура переходит в себя, то она переводится в
себя и при развороте Rc, где С = RB(A) (сравните композиции
Rb°Ra и Rc°Rb).
61. Окружность—«королева геометрии», в частности точка С
(«окружность нулевого радиуса»), или объединение концентрических
окружностей.
62. Ответ представлен в таблице
Ть
R%
Sm
ub
^ m
а
а
T Ч-
T
Ra
г>а
КТ-£{А)
яаР Л
Г>—а
'Чп(Л)
R~«
Vbm(A)
st
ST£(l)
5 β
*В(0
SsmU)
S t
Until)
—►
ββ( 0
->
иа
итр1)
Sm<'>
UUm<a>
U»(l)
m
63. Таблица умножения для группы D3 приведена на с. 93.
64. В каждой группе тождественное преобразование коммути¬
рует с любым, все пары одинаковых преобразований, разумеется,
244
перестановочны, кроме того, в группах Dn коммутируют все пово¬
роты. В группе D3 других коммутирующих преобразований нет, а
в группе 04 к ним добавляются отражения от взаимно перпендику¬
лярных осей.
65. Проверьте равенство = id.
66. Порядок элемента fk равен частному от деления п на НОД
(«. к).
67.6) φ (//()= т(\ — \/pt).. .(1 — l/Pk), где pi, .pk—все
различные простые делители т.
68. Нет. Например, подходящим образом расположенная прямая.
69. Композиция из п поворотов Я® даст тождественное преоб¬
разование, если результирующий угол поворота кратен 360°, т. е.
па = 360°т, откуда а = 360°.
п
70. Всякое слово можно заменить равнозначным ему словом вида
ЕУУ ... УАА ... АЫЫ ... Ы, где k, /, т могут изменяться от 0
k Ϊ ' т
ДО 6.
71. Например, отражения Sx и 52, удовлетворяющие соотноше¬
ниям = Sg = (Si о S2)n = id.
72. Убедитесь, что ни одно из движений не может быть разво¬
ротом.
73. 1) нет: —Y3-\~Y3— число не иррациональное; 2) да;
3) да; 4) нет: (3/4)~1 =4/3.
74. Решением является элемент х = Ъа~*.
75. Убедитесь, что эта операция ассоциативна.
76. Воспользуйтесь аналогией с примером 34.
77. Например, сумма квадратов всех функций, полученных в
задаче 76.
78. Да.
79. Элементы Sa, S&, Sc можно переставить в любом порядке.
Таким образом, получается шесть изоморфизмов.
80. Убедитесь, что при выбранном базисе соответствие, сопостав¬
ляющее каждому вектору его координаты, является взаимно одно¬
значным, и при этом координаты суммы векторов равны суммам
соответствующих координат слагаемых.
82. Двумя способами.
84. Да. Изоморфизмом является соответствие k <-*- 2k.
85. Изоморфны только группы Di и С2.
86. Так как е' = cp(e)= <p(g · g-1)= ф(^)ф(Я-1)= h · ф(&-1), то
ф(£-1) = h~l, Поэтому φ(£“η) = ф(£-1) п = (Л-1)71 = h~n.
245
87. Занумеруйте вершины правильного треугольника.
88. Если у 1, уг — логарифмы Непера чисел χι, х2, то логарифм
Непера числа χιχ2 есть yi + Уг — В\ yt * у2 = ί/ι + уг — В.
89. б) если М — группа по сложению, содержащая открытый
интервал ]α, β[, то М содержит все действительные числа.
з ———
90. а) х * у = yix3 + 03; б) умножение перенесено с помощью
отображения у = х — 1.
91. В группе D3 три подгруппы порядка 2 и по одной — поряд¬
ков 1, 3 и 6.
92. Есть. Это число —1.
93. Убедитесь, что подгруппа в Z порождается своим наимень¬
шим положительным элементом.
95. Нет: 2 · 3 = 6 = 0.
96. Да. Составьте таблицу умножения.
97. Каждое целочисленное решение уравнения х2 = 3у2 + 8 явля¬
ется решением уравнения х2 ξ= Зу2 + 8 (mod 3) или *2 = 2(mod3).
Однако последнее сравнение решений не имеет.
98. Воспользуйтесь теоремой Ферма.
99. 21. Требуется найти такое число х, что 0г^х< 100 и х sa
= l9871988(mod 100). Воспользуйтесь свойством почленного умноже¬
ния сравнений и теоремой Эйлера.
100. Тогда и только тогда, когда т делится на п. Один из воз¬
можных гомоморфизмов задается соответствием а -> а, где слева
стоит класс по модулю т, а справа — класс по модулю п.
101. 1/х, I — xt Ху 1/(1 — х)у 1 — \/х, х/(х— 1). Ср. с результа¬
том задачи 76.
103. Докажите, что Z.OAC = Z_££F, и рассмотрите поворот от¬
резка BE вокруг точки £, а отрезка АС вокруг А на этот угол.
104. Оба утверждения задачи следуют из того, что определитель
произведения двух матриц равен произведению их определителей.
105. Да. Нет.
106. Ядро составляют все нечетные функции, а образ — четные.
107. Рассмотрите гомоморфизм φ (ζ)=3η.
108. Рассмотрите отображение φ(χ) = cos 360°х + * sin 360°*.
109. Всего 5 орбит.
110. -1, 2, 1/2._
Ш. 1/2 + i /3/2.
113. а) Д, С, Т; б) Д.
114. 15. а) 2; б) 1; в) 7. Если совместить первое ребро первой
пары с первым ребром второй пары, то для совмещения вторых ре¬
бер в нашем распоряжении останется только одно движение: пово¬
рот на 180° вокруг оси, проходящей через середину первого ребра,
246
Этот поворот не изменяет положения первого ребра и ему противо¬
положного, а остальные 10 ребер позволяет совмещать попарно.
Па множестве неупорядоченных пар ребер орбит было бы 5.
т
115. -L V где (k, т) — наибольший общий делитель
т А
чисел k и т.
116. 60.
117. 16.
118. 30.
119. а) 23; б) 218.
С?. + 15 · С? + 2· cl
120. ϋΖ ..LZ 5_ = 185.
30
121. Тройка чисел (ш, пу к)у таких, что т — наибольшее число
идущих подряд белых шариков, п и k — число белых шариков слева
и справа (до очередного синего). При этом т + я + £^6^ 2т +
+ П + &, т ^ п ^ к, набор (2, 2, 0) не рассматривается.
122. а) признаки равенства треугольников дают примеры разли¬
чающих инвариантов; б) инвариантом является набор из длин сто¬
рон и угла (для выпуклых четырехугольников это различающий
инвариант).
123. 124. Проверьте инвариантность n(S) и N(S) при действии
шести образующих элементов группы.
125. См. с. 77—78.
126. Воспользуйтесь тем, что бесконечное множество точек на
окружности не является дискретным.
127. Угол величиной 360°//ι или 180°1п с вершиной в центре
диэдра.
128. Геометрический смысл этого условия состоит в том, что та¬
кой параллелограмм, отложенный от точки Л, не содержит внутри
себя и на сторонах точек, принадлежащих орбите Л, кроме вершин.
129. Используйте таблицу сопряжений.
130. Используя свойство дискретности, выберите среди всех век-
—►
торов переноса, параллельных некоторому направлению, вектор а
наименьшей длины. Отложите все векторы данной группы от одной
точки Л и возьмите второй вектор b так, чтобы его конец был как
можно ближе к прямой, проходящей через Л в направлении вектора
—> ► —►
а. Докажите, что пара а, b — искомая.
131. Группа порядка 18 с образующими а, Ь, с и соотношениями
а2 = Ь2 = с2 = (ab)3 = (Ьс)3 = (с а)3 = (аЬс)г= е.
132. р4, p4g, pmg\ С4, Dit D2.
247
134. m/p (при p ф 0).
135. Напишите явные формулы для композиции и обратного
преобразования.
136. Проверьте равенство
0 0 0 0
х3~~х\ . х4 х\ _ Χ3 — χι . Xj — Xi
х3 — Х2 х4 — Х2 Хз *2 Х4 *2
, тхс + п
если х. = ———j ~ .
1 Pxi + Я
137. Воспользуйтесь соотношениями (19) на с. 94.
138. Преобразование (30) имеет конечный порядок тогда и толь¬
ко тогда, когда т .~^Ч + %пР =cosa, где a — угол, измеряемый
2 (mq — пр)
рациональным числом градусов.
139. Легче построить треугольник, описанный около данного, со
сторонами, параллельными данным прямым.
140. Используйте гомотетию с центром на внешней окружности
и коэффициентом 3/4.
141. Используйте гомотетию с центром в точке пересечения ме¬
диан и коэффициентом —2.
143. Искомая точка — центр подобия. Убедитесь, что она нахо¬
дится внутри меньшей карты.
144. Точка Е — центр подобия, переводящего точку А в точку В,
а С — в D.
145. Найдите образы отрезков МС и PN под действием спираль
ных подобий FA(Y’2t 459) и FC(Y2, 45°) соответственно.
146. 147. Прямая, не проходящая через центр инверсии, преоб¬
разуется в окружность, проходящую через центр инверсии, и обратно.
148. Сведите задачу к случаю, когда одна из линий — прямая,
проходящая через центр инверсии.
149. См. рис. 71.
150. 151. Напишите явные формулы для композиции и обрат¬
ного преобразования.
152. (-3, 0).
154. а) у' = 0; б) нет.
155. у — 2х + С, у = sin х + С, у — — \/х.
156. Для уравнения (35) получаем семейство прямых, для урав¬
нения (37)—семейство гипербол.
157. Окружности с центром в начале координат. Это поле соот¬
ветствует дифференциальному уравнению yf = — xjy> которое опре¬
делено всюду, кроме оси х. На всей плоскости такого дифференциаль¬
ного уравнения не существует.
248
158. у = 1 l(C-x).
159. v = х + у, и = х.
160. у = — х‘/3 + х2 + Сх.
161. У = (^/2 Je-^/2rfxy/2
162. г/ = tg(a* + С).
,63' У= *2tg(l/* + C)
164. Выберите п из условия — (м + 3)/(м + 4) = — 4.
165. Заметьте, что
1
1
1
q (п) -f 2 я + 2
1. Отсюда
Як(п)+2
■k.
ti -{- 2
166. Замена у = 1/(хг>) переводит это уравнение в однородное
(см. пример 63). Другой способ решения указан в формулировке за¬
дачи 181.
dr _ Ух2 + уг (х + уу')
dy —у + ху’
167. Согласно формуле (56),
168. gt о ga — gt+8 = g8+1 — gs о gt.
170. xi = x cos t — у sin t, уi = x sin t -f- у cos t.
171. Это группа спиральных подобий. Ее орбиты — логарифми¬
ческие спирали с центром в начале координат.
172. Воспользуйтесь теоремой Виета.
173. у'= Ну/х).
174. у' = xf &) + У t где ξ = arctg -L· — — In ]Лса + у3.
x — ί/f (£) x a
175. Функция x2 + у2 — универсальный инвариант.
176. Функция ξ (см. ответ к задаче 174).
177. у = Сх2 - х.
178. Да.
179. Воспользуйтесь группой гомотетий с центром в точке пере¬
сечения прямых ах + by + с = 0 и aix + b^y + = 0.
180. Используйте группу хг= e2t х, ух = е*у. Ответ: у =
= V Сх2 — 2х.
181.
JC + C-1
у~ Т+7Г~
ё*.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С. Введение в теорию групп.— М.: Наука,
1980.—144 с.
Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях.— М.: Нау¬
ка, 1976.—207 с.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—
М.: Наука, 1971.—239 с.
Вейль Г. Симметрия.— М.: Наука, 1968.—191 с.
Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика.— М.: Наука, 1975.—
208 с.
Гальперин Г. А., Толпыго А. /С. Московские математические олим¬
пиады.— М.: Просвещение, 1986.—303 с.
Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы.— М.: Мир, 1971.—
247 с.
Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и подста¬
новки.—М.: Наука, 1985—160 с.
Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966.—
648 с.
Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия.— М.: Просве¬
щение, 1976.—112 с.
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображе¬
ния.— М.: Наука, 1979.—56 с.
Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы.— М.:
Наука, 1983.—239 с.
Оре О. Приглашение в теорию чисел.— М.: Наука, 1980.—128 с.
Постников Μ. М. Теория Галуа —М.: Физматгиз, 1963.—218 с.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры.— М.: Физматгиз,
1962.—263 с.
250
Стюарт Ян. Концепции современной математики.—Мн.: Выш.
шк., 1980.— 382 с.
Тарасов Л. В. Этот удивительно симметричный мир.— М.: Про¬
свещение, 1982.—174 с.
Эбботт Э. Э. Флатландия. Сферландия.— М.: Мир, 1976.—360 с.
Иглом //. М. Геометрические преобразования: В 2 т.— М.: Гос-
техиздат, 1955—1956.— Т. 1.—283 с.; Т. 2,—611 с.
СОДЕРЖАНИЕ
К читателю ... 3
ВВЕДЕНИЕ δ
ПЛОСКОСТЬ 9
Клетчатая Флатландия . 10
Сложение точек .... 12
Умножение точки на число . . 10
Центр тяжести 18
Координаты 21
Умножение точек .... 24
Комплексные числа ... 29
ДВИЖЕНИЯ .... 37
Параллельный перенос .... 39
Отражения 40
Поворот 43
Функции комплексной переменной . 46
Композиция движений 50
Скользящее отражение .... 57
Классификация движений .... 59
Ориентация 62
Исчисление инволюций 64
ГРУППЫ 70
Перекатывание треугольника 71
Понятие группы преобразований 73
Классификация конечных групп движений . . 76
Сопряженные преобразования 80
Порождающие элементы 86
Образующие и соотношения 90
Общее понятие группы 98
Изоморфизм 107
Теорема Лагранжа 122
ОРНАМЕНТЫ . 133
Гомоморфизмы . . 134
Фактор-группа . 138
252
Действия групп и орбиты . . < 143
Перечисление орбит ... . 146
Инварианты . 153
Кристаллографические группы . 158
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ . 176
Рисование 177
Гомотетия 182
Спиральные подобия 183
Инверсия 188
Дробно-линейные преобразования . 192
Плоскость Лобачевского .... 196
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . . .200
Обыкновенные дифференциальные уравнения .... 200
Замена переменных 207
Уравнение Бернулли 209
Однопараметрические группы 219
Симметрии дифференциальных уравнений 223
Интегрирование дифференциальных уравнений с известной
группой симметрий 226
ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ . 236
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ . 238
Ответы и указания к задачам . 240
Рекомендуемая литература . . 250
Научно-популярное издание
Дужин Сергей Васильевич
Чеботаревский Борис Дмитриевич
ОТ ОРНАМЕНТОВ
ДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Зав. редакцией
Л. Д. Духвалов
Редактор
Л. Н. Базу ль ко
Мл. редактор
И. В. Моховикова
Художник
С. В. Войченко
Худож. редактор
Ю. С. Сергаче в
Техн. редактор
Μ. Н. Кислякова
Корректор
И. И. Ганелес
ИБ № 2530
Сдано в набор 30.09.87. Подписано в печать 13.04.88.
70Х1087з2. Бумага типогр. № 1. Гарнитура литературная,
печать. Уел. печ. л. 11,2. Уел. кр.-отт. 11,46. Уч.-изд.
Тираж 18 300 экз. Зак. 541. Цена 50 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного
БССР по делам издательств, полиграфии и книжной
220048, Минск, проспект Машерова, 11.
Формат
Высокая
л. 10,58.
комитета
торговли.
Ордена Трудового Красного Знамени типография издательства ЦК
КП Белоруссии. 220041, Минск, Ленинский проспект, 79.
Дужин С. В., Чеботаревский Б. Д.
Д81 От орнаментов до дифференциальных уравне¬
ний: Попул. введ. в теорию групп преобразова¬
ний.— Мн.: Выш. шк., 1988.—253 с.: ил.— (Мир за¬
нимав науки).
ISBN 5-339-00101-6.
Книга знакомит с такими важными понятиями современной мате¬
матики, как группа, инвариант, симметрия дифференциального урав¬
нения, которые объясняются на доступных примерах в связи с общей
темой геометрических преобразований плоскости. Показано единство
трех основных математических дисциплин: алгебры, геометрии и ана¬
лиза. Изложение сопровождается большим количеством упражнений,
среди которых немало задач олимпиадного характера.
Для студентов, учащихся старших классов, всех, кто любит мате¬
матику.
1702040000—049
д
М304(03)—88
109—88
ББК 22.151.5