Г. КОРН и Т. КОРН
СПРАВОЧНИК
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ НАУЧНЫХ РАБОТНИКОВ
И ИНЖЕНЕРОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕОРЕМЫ, ФОРМУЛЫ
Перевод со второго американского переработанного издания
И. Г. АРАМАНОВИЧА, А. М. БЕРЕЗМАНА,
И. А. ВАЙНШТЕЙНА, Л. 3. РУМШИСКОГО, Л. Я. ЦЛАФА
Под общей редакцией И. Г. АРАМАНОВИЧД
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973
51
К67
УДК 510
Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Г. Корн,
Т. Корн.
«Справочник» содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, ана-
литическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая инте-
гралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные коорди-
наты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциаль-
ные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление,
абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория
представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и мате-
матическая статистика, численные методы анализа, специальные функции.
В настоящем издании заново написаны главы 11, 20 и значительная часть глав
13 и 18. Книга пополнилась значительным количеством новых разделов.
MATHEMATICAL
HANDBOOK
FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS
DEFINITIONS, THEOREMS AND FORMULAS
FOR REFERENCE AND REVIEW
SECOND, ENLARGEND
AND REVISED EDITION
GRANINO A. KORN, PH. D.,
THERESA M. KORN, M. S.
McGraw-Hill Book Company
New York San Francisco Toronto London Sydney, 1968
0223-1741
042@2)-73

ОГЛАВЛЕНИЕ
Перечень таблиц
Предисловие переводчиков
Из предисловия авторов ко второму американскому изданию
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. Введение. Система действительных чисел
1.1-1. Вводные замечания B7). 1.1-2. Действительные числа B7). 1.1-3.
Отношение равенства B8). 1.1-4. Отношение тождества B8). 1.1-5. Нера-
венства B8). 1.1-6. Абсолютные величины B8).
1.2. Степени, корни, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произве-
дений
1.2-1. Степени и корни B8). 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональ-
ности в знаменателе дроби B9). 1.2-3. Логарифмы B9). 1.2-4. Факториалы
C0). 1.2-5. Обозначения сумм и произведений C0). 1.2-6. Арифметическая
прогрессия C0). 1.2-7. Геометрическая прогрессия C0). 1.2-8. Некоторые
числовые суммы C1).
1.3. Комплексные числа
1.3-1. Вводные замечания C1). 1.3-2. Изображение комплексных чисел
точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплекс-
ного числа C2). 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Сте-
пени и корни C2).
1.4. Различные формулы
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы C3). 1.4-2. Пропорции C4).
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции C4).
1.5. Определители
1.5-1. Определение C5). 1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Раз-
ложение определителя по строке или по столбцу C5). 1.5-3. Примеры. C5).
1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа C6). 1.5-5. Различ-
ные теоремы C6). 1.5-6. Умножение определителей C7). 1.5-7. Изменение
порядка определителей C7).
1.6. Алгебраические уравнения: общие теоремы
1.6-1. Вводные замечания C7). 1.6-2. Решение уравнения. Корни C7).
1.6-3. Алгебраические уравнения C7). 1.6-4. Соотношения между корнями
и коэффициентами C8). 1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения
C8). 1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни C9).
1.7. Разложение многочленов на множители и деление многочленов. Элемен-
тарные дроби
1.7-1. Разложение многочленов на множители D1). 1.7-2. Деление много-
членов. Остаток D1). 1.7-3. Общие делители и общие корни двух много-
членов D1). 1.7-4. Разложение на элементарные дроби D2).
1.8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения и уравнения четвертой степени
1.8-1. Решение линейных уравнений D3). 1.8-2. Решение квадратных
уравнений D3). 1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано D3).
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение D4). 1.8-5. Урав-
нения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера D4). 1.8-6. Урав-
нения четвертой степени: решение Феррари D4).
1.9. Системы уравнений
1.9-1. Системы уравнений D5). 1.9-2. Системы линейных уравнений: пра-
вило Крамера D5). 1.9-3. Линейная независимость D5). 1.9-4. Системы

ОГЛАВЛЕНИЕ
линейных уравнений: общая теория D6). 1.9-5. Системы линейных урав-
нений: п однородных уравнений с п неизвестными D6).
1-10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела
1.10-1. Трапеция D7). 1.10-2. Правильные многоугольники D8). 1.10-3.
Круг D8). 1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы D8). 1.10-5.
Тела вращения D8). 1.10-6. Правильные многогранники D9).
1.11. Тригонометрия на плоскости
1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники D9). 1.11-2.
Свойства плоских треугольников E0). 1.11-3. Формулы для решения
треугольников E0).
1-12. Сферическая тригонометрия
1.12-1. Введение. Сферические треугольники E1). 1.12-2. Свойства сфери-
ческих треугольников E2). 1.12-3. Прямоугольный сферический треуголь-
ник E3). 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников E3).
ГЛАВА 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Введение и основные понятия
2.1-1. Вводные замечания E6). 2.1-2. Декартова система координат E6).
2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат E7). 2.1-4. Основ-
ные формулы в декартовых прямоугольных координатах E7). 2-1-5. Пре-
образование декартовых координат при параллельном переносе осей E8).
2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте
осей E8). 2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей E8).
2.1-8. Полярные координаты E9). 2.1-9. Способы задания кривых F0).
2.2. Прямая линия
2.2-1. Уравнение прямой линии F0). 2.2-2. Другие способы задания пря-
мой F1).
2.3. Взаимное расположение точек и прямых
2.3-1. Точки и прямые F2). 2.3-2. Две или несколько прямых F2). 2.3-3.
Тангенциальные координаты F3).
2.4. Кривые второго порядка (конические сечения)
2.4-1. Общее уравнение второй степени F4). 2.4-2. Инварианты F4).
2.4-3. Классификация кривых второго порядка F4). 2.4-4. Условие подо-
бия невырожденных кривых второго порядка F4). 2.4-5. Характеристиче-
ская квадратичная форма и характеристическое уравнение F4). 2.4-6.
Центры и диаметры кривых второго порядка F4). 2.4-7. Главные оси F6).
2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному (ка-
ноническому) виду F6). 2.4-9. Геометрическое определение невырожден-
ной кривой второго порядка F7). 2.4-10. Касательные и нормали к кривым
второго порядка. Полюсы и поляры F7). 2.4-11. Другие способы задания
кривых второго порядка F9).
2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол
2.5-1. Окружность: формулы и теоремы G0). 2.5-2. Эллипс и гипербола:
формулы и теоремы G0). 2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их каса-
тельных и нормалей G1). 2.5-4. Построение параболы, ее касательных
и нормалей G3).
2.6. Уравнения некоторых плоских кривых
2.6-1. Примеры алгебраических кривых G3). 2.6-2. Примеры трансцендент-
ных кривых G4).
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Введение и основные понятия •
3.1-1. Вводные замечания G6). 3.1-2. Декартова система координат G6).
3.1-3. Правая система осей G6). 3.1-4. Правая декартова прямоугольная
система координат G6). 3.1-5. Радиус-вектор G7). 3.1-6. Цилиндрическая
и сферическая системы координат G7). 3.1-7. Основные формулы в декар-
товых прямоугольных координатах и в векторной форме G7). 3.1-8. На-
правляющие косинусы G8). 3.1-9. Проекции G9). 3.1-10. Вектор площади
G9). 3.1-11. Вычисление объемов G9). 3.1-12. Преобразование декартовых
прямоугольных координат при параллельном переносе и повороте осей

ОГЛАВЛЕНИЕ О
G9). 3.1-13. Аналитическое задание кривых (81). 3.1-14. Способы задания
поверхностей (81). 3.1-15. Специальные типы поверхностей (82). 3.1-16.
Поверхности и кривые (82).
3.2. Плоскость 83
3.2-1. Уравнение плоскости (83). 3.2-2. Параметрическое задание пло-
скости (84).
3.3. Прямая линия 84
3.3-1. Уравнения прямой (84). 3.3-2. Параметрические уравнения прямой
(85).
3.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых 85
3.4-1. Углы (85). 3.4-2. Расстояния (86). 3.4-3. Специальные случаи взаим-
ного расположения точек, прямых и плоскостей (87). 3.4-4. Тангенциаль-
ные координаты плоскости и принцип двойственности (88). 3.4-5. Некото-
рые дополнительные соотношения (88).
3.5. Поверхности второго порядка 89
3.5-1. Общее уравнение второй степени (89). 3.5-2.' Инварианты (89).
3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка (89). 3.5-4. Характе-
ристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (89).
3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго
порядка (91). 3.5-6. Главные плоскости и главные оси (91). 3.5-7. Приве-
дение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (канониче-
скому) виду (92). 3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности
второго порядка. Полюсы и поляры (93). 3.5-9. Некоторые дополнительные
формулы и теоремы (96). 3.5-10. Параметрическое задание поверхностей
второго порядка (97).
Г Л А В А 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. Введение 98
4.2. Функции 93
4.2-1. Функции и переменные (98). 4.2-2. Функции со специальными свой-
ствами (99).
4.3. Точечные множества, интервалы и области 99
4.3-1. Вводные замечания (99). 4.3-2. Свойства множеств A00). 4.3-3. Гра-
ницы A00). 4.3-4. Интервалы A01). 4.3-5. Определение окрестностей A01).
4.3-6. Открытые и замкнутые множества и области A01).
4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы 102
4.4-1. Пределы функций и последовательностей A02). 4.4-2. Операции над
пределами A03). 4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функ-
циями A03). 4.4-4. Равномерная сходимость A04). 4.4-5. Пределы по совокуп-
ности переменных и повторные пределы A04). 4.4-6. Непрерывные функции
A04). 4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность A05).
4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации A06).
4.5. Дифференциальное исчисление 107
4.5-1. Производные и дифференцирование A07). 4.5-2. Частные производные
A07). 4.5-3. Дифференциалы A09). 4.5-4. Правила дифференцирования
(ПО). 4.5-5. Однородные функции A12). 4.5-6. Якобианы и функциональ-
ная зависимость A12). 4.5-7. Неявные функции A12).
4.6. Интегралы и интегрирование 113
4.6-1. Определенные интегралы (интеграл Римана) A13). 4.6-2. Несобственные
интегралы A15). 4.6-3. Среднее значение A17). 4.6-4. Неопределенные инте-
гралы A17). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления A17).
4.6-6. Методы интегрирования A17). 4.6-7. Эллиптические интегралы A19).
4.6-8. Кратные интегралы A19). 4.6-9. Длина дуги спрямляемой кривой
A20). 4.6-10. Криволинейные интегралы A20). 4.6-11. Площади и объемы
A21). 4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему A22). 4.6-13. Замена
переменных в интегралах по объему и по поверхности A23). 4.6-14. Мера
Лебега. Измеримые функции A23). 4.6-15. Интеграл Лебега A24). 4.6-16.
Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) A26). 4.6-17. Интеграл
Стилтьеса A26). 4.6-18. Свертки A28). 4.6-19. Неравенства Минковского
и Гельдера A28).

Ь ОГЛАВЛЕНИЕ
4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейер-
штрасса о приближении 129
4.7-1. Теоремы о среднем значении A29). 4.7-2. Раскрытие неопределенно-
стей A30). 4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении A31).
4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и непрерывные дроби .... 131
4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость A31). 4.8-2. Ряды функций. Равномер-
ная сходимость A32). 4.8-3. Операции над сходящимися рядами A32).
4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций A33). 4.8-5. Улучшение
сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов A34). 4.8-6.
Расходящиеся бесконечные ряды A36). 4.8-7. Бесконечные произведения
A37). 4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби A38).
4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных рядов и
несобственных интегралов 139
4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов A39). 4.9-2. Признаки
равномерной сходимости бесконечных рядов A40). 4.9-3. Признаки сходи-
мости несобственных интегралов A40). 4.9-4. Признаки равномерной схо-
димости несобственных интегралов A42).
4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом.
Степенные ряды и ряд Тейлора 142
4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегра-
лом A42). 4.10-2. Степенные ряды A43). 4.10-3. Теоремы Абеля и Таубера
A45). 4.10-4. Ряд Тейлора A45), 4Л0-5. Кратный ряд Тейлора A46).
4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье 146
4.11-1. Вводные замечания A46). 4.11-2. Ряды Фурье A46). 4.11-3. Интеграл
Фурье и преобразование Фурье A48). 4.11-4. Функции, разложимые в ряд
Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ A49).
4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье
A56). 4.11-6. Интегралы Дирихле и Фейера A57). 4.11-7. Суммирование
средними арифметическими A60). 4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье
A60).
ГЛАВА 5
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.1. Векторы в евклидовом пространстве 162
5.2. Векторная алгебра 162
5.2-1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) скаляр
A62). 5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам A63). 5.2-3. Декар-
товы прямоугольные координаты вектора A63). 5.2-4. Векторы и физиче-
ские размерности A63). 5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина)
вектора A64). 5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов
A64). 5.2-7. Векторное произведение двух векторов A64). 5.2-8. Смешанное
(векторно-скалярное) произведение A65). 5.2-9. Другие произведения,
содержащие более двух векторов A66). 5.2-10. Разложение вектора а по на-
правлению единичного вектора и и ему перпендикулярному A66). 5.2-11.
Решение уравнений A66).
5.3. Векторные функции скалярного аргумента 16G
5.3-1. Векторные функции и их пределы A66). 5.3-2. Дифференцирование
A66). 5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения
A67).
5.4. Скалярные и векторные поля 168
5.4-1. Вводные замечания A68). 5.4-2. Скалярные поля A68). 5.4-3. Вектор-
ные поля A68). 5.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги A68). 5.4-5.
Криволинейные (линейные) интегралы A69). 5.4-6. Поверхностные инте-
гралы A69). 5.4-7. Объемные интегралы A70).
5.5. Дифференциальные операторы 170
5.5-1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения A70).
5.5-2. Оператор V A71). 5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и
производная по направлению A72). 5.5-4. Производные высших порядков
по направлению. Ряд Тейлора A73). 5.5-5. Оператор Лапласа A73). 5.5-6.
Операции второго порядка A73). 5.5-7. Операции над простейшими функ-
циями от г A74). 5.5-8. Функции от двух и более радиусов-векторов A74).
5.6. Интегральные теоремы 175
5.6-1. Теорема о дивергенции и связанные с ней теоремы A75). 5.6-2. Теорема
о роторе и связанные с ней теоремы A76). 5.6*3. Поля с разрывами на по-
верхностях A76).

ОГЛАВЛЕНИЕ I
5.7. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции 176
5.7-1. Безвихревое векторное поле A76). 5.7-2. Соленоидальные (трубча-
тые) векторные поля A77). 5.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору
и дивергенции A77).
Г Л А В А б
СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.1. Вводные замечания 179
6.2. Системы криволинейных координат 179
6.2-1. Криволинейные координаты A79). 6.2-2. Координатные поверхности
и координатные линии A79). 6.2-3. Элементы длины дуги и объема A79).
6.3. Криволинейные координаты вектора 180
6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) базис A80). 6.3-2. Фи-
зические координаты вектора A82). 6 3-3. Контравариантные и ковариант-
ные координаты вектора A82). 6.3-4. Запись векторных соотношений в кри-
волинейных координатах A83).
6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогональ-
ных координатах 183
6.4-1. Ортогональные координаты A83). 6.4-2. Векторные соотношения
A84). 6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объем-
ный интеграл A85),
6.5. Формулы для специальных систем ортогональных координат ........ 185
Г Л А В А 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.1. Вводные замечания 197
7.2. Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 197
7.2-1. Функции комплексного переменного A97). 7.2-2. г-плоскость и ш-пло-
скость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки A97). 7.2-3. Кривые и
контуры B00). 7.2-4. Границы и области B00). 7.2-5. Комплексные контур-
ные интегралы B00).
7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции 201
7.3-1. Производная функция B01). 7.3-2. Уравнения Коши — Римана B01).
7.3-3. Аналитические функции B02). 7.3-4. Свойства аналитических функ-
ций B02). 7.3-5. Теорема о максимуме модуля B03).
7.4. Многозначные функции 203
7.4-1. Ветви B03). 7.4-2. Точки разветвления и разрезы B03), 7.4-3. Рима-
новы поверхности B04).
7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды 205
7.5-1. Интегральные теоремы B05). 7.5-2. Разложение в ряд Тейлора B06).
7.5-3. Разложение в ряд Лорана B06).
7.6. Нули и изолированные особые точки 207
7.6-1. Нули B07). 7.6-2. Особые точки B07). 7.6-3. Нули и особенности в
бесконечности B09). 7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара B09). 7.6-5.
Целые функции B09). 7.6-6. Разложение целой функции в произведение
B10) 7.6-7. Мероморфные функции B10). 7.6-8. Разложение мероморфных
функций на простейшие дроби B11). 7.6-9. Нули и полюсы мероморфных
функций B11).
7.7. Вычеты и контурные интегралы " 211
7.7-1. Вычеты B11). 7.7-2. Теорема о вычетах B12). 7.7-3. Вычисление опре-
деленных интегралов B12). 7.7-4. Применение вычетов к суммированию
рядов B13).
7.8. Аналитическое продолжение 214
7.8-1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функции
B14). 7.8-2. Методы аналитического продолжения B14).
7.9. Конформное отображение 215
7.9-1. Конформное отображение B15), 7.9-2. Дробно-линейное отобра-
жение (преобразование) B16). 7.9-3. Отображение w = -%- ( г -f— J B17).

ОГЛАВЛЕНИЕ
7.9-4. Интеграл Шварца — Кристоффеля B17). 7.9-5. Таблица отображений
B18). 7.9-6. Функции, отображающие специальные области на единичный
круг B27).
Г Л А В А 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.1. Вводные замечания 228
8.2. Преобразование Лапласа 223
8.2-1. Определение B28). 8.2-2. Абсолютная сходимость B28). 8.2-3. Область
определения B29). 8.2-4. Достаточные условия существования преобразо-
вания Лапласа B29). 8.2-5. Обратное преобразование Лапласа B29). 8.2-6.
Теорема обращения B29). 8.2-7. Существование обратного преобразования
Лапласа B30). 8.2-8. Единственность преобразования Лапласа и его обра-
щения B30).
8.3. Соответствие между операциями над оригиналами и изображениями . . . 230
8.3-1. Таблица соответствия операций B30). 8.3-2. Преобразования Лапласа
периодических функций и произведений оригиналов на синус или косинус
B30). 8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) B33). 8.3-4.
Предельные теоремы B33).
8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований
Лапласа 234
8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа B34). 8.4-2. Вычисление обратных
преобразований Лапласа B34). 8.4-3. Применение контурного интегрирова-
ния B34). 8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных
алгебраических функций: разложение Хевисайда B34). 8.4-5. Обратное
преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций:
разложение на простейшие дроби B52). 8.4-6. Разложения в ряды B52).
8.4-7. Разложения по степеням t B53). 8.4-8. Разложения по многочленам
Лагерра B53). 8.4-9. Разложения в асимптотические ряды B54).
8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций 255
8.6. Некоторые другие функциональные преобразования 256
8.6-1. Вводные замечания B56). 8.6-2. Двустороннее преобразование Ла-
пласа B56). 8.6-3. Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса
B56). 8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье — Бесселя B58).
8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции и г-пре-
образование 260
8.7-1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразо-
вания Фурье и Ганкеля B60). 8.7-2. Производящие функции B60). 8.7-3.
z-преобразование. Определение и формула обращения B63).
Г Л А В А 9
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
9.1. Введение 265
9.1-1. Вводные замечания B65). 9.1-2. Обыкновенные дифференциальные
уравнения B65). 9.1-3. Системы дифференциальных уравнений B66). 9.1-4.
Существование решений B66). 9.1-5. Общие указания B66).
9.2. Уравнения первого порядка 265
9.2-1. Существование и единственность решений B66). 9.2-2. Геометри-
ческое толкование. Особые интегралы B67). 9.2-3. Преобразование пере-
менных B68). 9.2-4. Решение специальных типов уравнений первого по-
рядка B68). 9.2-5. Общие методы интегрирования B70).
9.3. Линейные дифференциальные уравнения 271
9.3-1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения B71).
9.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений B71).
9.3-3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина B72). 9.3-4.
Приведение двухточечных краевых задач к задачам Коши B75). 9.3-5.
Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тейлоров-
ские разложения решения и влияние особенностей B75). 9.3-6. Решение
однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной
особой точки B76). 9.3-7. Методы интегральных преобразований B77).
9.3-8. Линейные уравнения второго порядка B78). 9.3-9. Гипергеометри-
ческое дифференциальное уравнение Гаусса и Р-уравнение Римана B79).

ОГЛАВЛЕНИЕ У
9.3-10. Вырожденные гипергеометрические функции B82). 9.3-11. Обобщен-
ные гипергеометрические ряды B83).
9.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 283
9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
B83). 9.4-2. Неоднородные уравнения B85). 9.4-3. Свертки и функции Грина
B86). 9.4-4. Устойчивость B87). 9.4-5. Операторный метод решения B88).
9.4-6. Периодические внешние нагрузки и решения B89). 9.4-7. Передаточ-
ные функции и частотные характеристики B90). 9.4-8. Нормальные коор-
динаты и собственные колебания B91).
9.5. Нелинейные уравнения второго порядка 292
9.5-1. Вводные замечания B92). 9.5-2. Представление на фазовой плоскости.
Графический метод решения B92). 9.5-3. Особые точки и предельные циклы
B93). 9.5-4. Устойчивость решений по Ляпунову B94). 9.5-5. Приближенный
метод Крылова и Боголюбова B96). 9.5-6. Интеграл живых сил B97).
9.6. Дифференциальные уравнения Пфаффа 298
9.6-1. Дифференциальные уравнения Пфаффа B98). 9.6-2. Вполне интегри-
руемый случай B98).
ГЛАВА 10
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
10.1. Введение и обзор 299
10.1-1. Вводные замечания B99). 10.1-2. Дифференциальные уравнения
с частными производными B99). 10.1-3. Решение дифференциальных урав-
нений с частными производными; разделение переменных C00).
10.2. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 301
10.2-1. Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая
интерпретация C01). 10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши)
C02). 10.2-3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; реше-
ния характеристических уравнений C03). 10.2-4. Уравнения с п независи-
мыми переменными C04). 10.2-5. Преобразования соприкосновения C06).
10.2-6. Канонические уравнения и канонические преобразования C07).
10.2-7. Уравнение Гамильтона — Якоби. Решение канонических уравнений
C10).
10.3. Гиперболические, параболические и эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными. Характеристики 312
10.3-1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными. Характеристики C12). 10.3-2. Решение
гиперболических уравнений методом характеристик C13). 10.3-3. Преобра-
зование гиперболических, параболических и эллиптических уравнений к
каноническому виду C14). 10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнений
второго порядка C15). 10.3-5. Одномерное волновое уравнение C16). 10.3-6.
Метод Римана — Вольтерра для линейных гиперболических уравнений
C17). 10.3-7. Уравнения с тремя и более независимыми переменными C18).
10.4. Линейные уравнения математической физики. Частные решения 319
10.4-1. Физические основы и обзор C19). 10.4-2. Линейные краевые задачи
C21). 10.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай
C22). 10.4-4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца
C24). 10.4-5. Частные решения двумерных задач C25). 10.4-6. Уравнение
Шредингера C26). 10.4-7. Частные решения для уравнения теплопровод-
ности и диффузии C26). 10.4-8. Частные решения для волнового уравнения.
Синусоидальные волны C26). 10.4-9. Решение краевой задачи разложением
в ортогональные ряды. Примеры C28).
10.5. Метод интегральных преобразований 329
10.5-1. Общая теория C29). 10.5-2. Преобразование Лапласа по временной
переменной C30). 10.5-3. Решение краевых задач методом интегральных
преобразований. Примеры C31). 10.5-4. Формулы Дюамеля C32).
ГЛАВА 11
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
11.1. Вводные замечания 333
11.2. Экстремумы функций одного действительного переменного 333
11.2-1. Локальные максимумы и минимумы C33). 11.2-2. Условия сущест-
вования внутренних максимумов и минимумов C33).

Ю ОГЛАВЛЕНИЕ
11.3. Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных 334
11.3-1. Локальные максимумы и минимумы C34). 11.3-2. Формула Тейлора
для приращения функции C34). 11.3-3. Условия существования внутренних
максимумов и минимумов C34). 11.3-4. Условные экстремумы. Метод
множителей Лагранжа C35). 11.3-5. Численные методы C36).
11.4. Линейное программирование, игры и смежные вопросы 33G
11.4-1. Задача линейного программирования C36). 11.4-2. Симплекс-метод
C39). 11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куна — Такера C42).
11.4-4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой C42).
11.5. Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных инте-
гралов 344
11.5-1. Вариации C44). 11.5-2. Максимумы и минимумы определенных
интегралов C45). 11.5-3. Решение вариационных задач C46).
11.6. Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая
теория 345
11.6-1. Необходимые условия максимумов и минимумов C46). 11.6-2. Услов-
ные экстремумы. Метод множителей Лагранжа C48). 11.6-3. Изопериметрн-
ческие задачи C49). 11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда
подынтегральная функция содержит производные высших порядков C50).
11.6-5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и
неизвестными пределами интегрирования C50). 11.6-6. Задачи Больца
и Майера C51). 11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и
односторонние экстремумы C52). 11.6-8. Канонические уравнения и урав-
нение Гамильтона — Якоби C53). 11.6-9. Вариационные задачи в случае
нескольких независимых пер змеиных: максимумы и минимумы кратных
интегралов C54). 11.6-10. Достаточные условия для максимума и мини-
мума в простейшей задаче C55).
11.7. Решение вариационных задач прямыми методами 353
11.7-1. Прямые методы C56). 11.7-2. Метод Релея — Ритца C57). 11.7-3.
Приближение у (х) полигональными функциями C57).
11.8. Задачи управления и принцип максимума 357
11.8-1. Постановка задачи C57). 11.8-2. Принцип максимума Понтрягина
C60). 11.8-3. Примеры C62). 11.8-4. Матричные обозначения в задачах упра-
вления C64). 11.8-5. Ограничения-неравенства для переменных состояния.
Угловые условия C65). 11.8-6. Метод динамического программирования C66).
11.9. Шаговые задачи управления и динамическое программирование 3G5
11.9-1. Постановка задачи C66). 11.9-2. Принцип оптимальности Беллмана
C67).
ГЛАВА 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ
(АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
12.1. Введение 333
12.1-1. Математические модели C68). 12.1-2. Обзор C69). 12.1-3. «Равенство»
и отношения эквивалентности C69). 12.1-4. Преобразования, функции, опе-
рации C69). 12.1-5. Инвариантность C70). 12.1-6. Представление одной мо-
дели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы C70).
12.2. Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы 371
12.2-1. Определение и основные свойства группы C71). 12.2-2. Подгруппы
C71). 12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы C72). 12.2-4.
Произведения подмножеств. Смежные классы C72). 12.2-5. Сопряженные
элементы и подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы C72). 12.2-6.
Нормальный ряд. Композиционный ряд C72). 12.2-7. Центр. Нормализа-
торы C73). 12.2-8. Группы преобразований или операторов C73). 12.2-9.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп C73). 12.2-10.
Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость C74).
12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями: кольца, поля и
области целостности 374
12.3-1. Определения и основные теоремы C74). 12.3-2. Подкольца и под-
поля. Идеалы C75). 12.3-3. Расширения C75).
12.4. Модели, включающие в себя более одного класса математических объек-
тов: линейные векторные пространства и линейные алгебры 37о
12 4-1 Линейные векторные пространства C75). 12.4-2. Линейные алгебры
C76).

ОГЛАВЛЕНИЕ И
12.5. Модели, допускающие определение предельных процессов? топологические
пространства 377
12.5-1. Топологические пространства C77). 12.5-2. Метрические пространства
C78). 12.5-3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом простран-
стве C78). 12.5-4. Метрические пространства со специальными свойствами.
Теория точечных множеств C79). 12.5-5. Примеры: пространства числовых
последовательностей и функций C80). 12.5-6. Теорема Банаха о сжатых ото-
бражениях и последовательные приближения C82).
12.6. Порядок 382
12.6-1. Частично упорядоченные множества C82). 12.6-2. Линейно упоря-
доченные множества C82). 12.6-3. Упорядоченные поля C83).
12.7. Комбинации моделей: прямое произведение, топологическое произведение
и прямая сумма 383
12.7-1, Декартово произведение C83). 12.7-2. Прямое произведение групп
C83). 12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств
C83). 12.7-4. Топологическое произведение C84). 12.7-5. Прямая сумма C84).
12.8. Булевы алгебры 384
12.8-1. Булевы алгебры C84). 12.8-2. Булевы функции. Приведение к кано-
ническому виду C85). 12.8-3. Отношение включения C86). 12.8-4. Алгебра
классов C86). 12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Вечна C86).
12.8-6. Алгебры событий и символическая логика C87). 12.8-7. Представле-
ние булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно C89).
12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры C89).
ГЛАВА 13
МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
13.1. Вводные замечания 390
13.2. Алгебра матриц и матричное исчисление 390
13.2-1. Прямоугольные матрицы C90). 13.2-2. Основные операции C92).
13.2-3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы C93). 13.2-4.
Целочисленные степени квадратных матриц C93). 13.2-5. Матрицы как строи-
тельные блоки математических моделей C93). 13.2-6. Умножение на мат-
рицы специального вида. Матрицы перестановки C94). 13.2-7. Ранг, след
и определитель матрицы C94). 13.2-8. Разбиение матриц C94). 13.2-9. Кле-
точные матрицы. Прямые суммы C95). 13.2-10. Прямое (внешнее) произве-
дение матриц C95). 13.2-11. Сходимость и дифференцирование C95). 13.2-12.
Функции матриц C95).
13.3. Матрицы со специальными свойствами симметрии 396
13.3-1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица C96). 13.3-2.
Матрицы со специальными свойствами симметрии C96). 13.3-3. Правила
комбинирования C96). 13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы
C97).
13.4. Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение к диагональ-
ному виду и смежные вопросы 398
13.4-1. Эквивалентные и подобные матрицы C98). 13.4-2. Собственные зна-
чения и спектры квадратных матриц C98). 13.4-3. Приведение квадратной
матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного
значения C99). 13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду C99).
13.4-5. Собственные значения и характеристическое уравнение матрицы
D00). 13.4-6. Собственные значения клеточных матриц (прямых) сумм
D01). 13.4-7. Теорема Кэли — Гамильтона и смежные вопросы D01).
13.5. Квадратичные и эрмитовы формы 401
13.5-1. Билинейные формы D01). 13.5-2. Квадратичные формы D01). 13.5-3.
Эрмитовы формы D02). 13.5-4. Преобразование квадратичных и эрмитовых
форм. Приведение к сумме квадратов D02). 13.5-5. Одновременное приве-
дение двух квадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов D04).
13.5-6. Признаки положительной определенности, неотрицательности
и т. д. D04).
13.6. Матричные обозначения для систем дифференциальных уравнений (дина-
мических систем). Возмущения и теория устойчивости Ляпунова 405
13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричные
обозначения D05). 13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с'посто-
янными коэффициентами D06). 13.6-3. Линейные системы с переменными
коэффициентами D07). 13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях
D08). 13.6-5. Устойчивость решений: определения D09). 13.6-6. Функции
Ляпунова и устойчивость D10). 13.6-7. Приложения и примеры D11).

и ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 14
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ
14.1. Введение. Системы отсчета и преобразования координат 414
14.1-1. Вводные замечания D14). 14.1-2. Числовое описание математических
моделей: системы отсчета D14). 14.1-3. Преобразования координат D14).
14.1-4. Инвариантность D15). 14.1-5. Системы мер D15).
14.2. Линейные векторные пространства 415
14.2-1. Определяющие свойства D15). 14.2-2. Линейные многообразия и
подпространства в Ц D16). 14.2-3. Линейно независимые и линейно зависи-
мые векторы D16). 14.2-4. Размерность линейного многообразия или вектор-
ного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета) D16).
14.2-5. Нормированные векторные пространства D17). 14.2-6. Унитарные
векторные пространства D17). 14.2-7. Норма, метрика и сходимость в уни-
тарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства D18). 14.2-8.
Теорема о проекции D19).
14.3. Линейные преобразования (линейные операторы) 419
14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные опе-
раторы D19). 14.3-2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобра-
зования (оператора) D19). 14.3-3. Сложение и умножение на скаляры.
Нулевое преобразование D20). 14.3-4. Произведение двух линейных пре-
образований (операторов). Тождественное преобразование D20). 14.3-5.
Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные пре-
образования (операторы) D20). 14.3-6. Целые степени операторов D20).
14.4. Линейные операторы в нормированном или гильбертовом пространстве.
Эрмитовы и унитарные операторы 421
14.4-1. Ограниченные линейные преобразования D21). 14.4-2. Ограничен-
ные линейные операторы в нормированном векторном пространстве D21).
14.4-3. Сопряженный оператор D21). 14.4-4. Эрмитовы операторы D22).
14.4-5. Унитарные операторы D22). 14.4-6. Симметрические, кососиммет-
рические и ортогональные операторы в действительных унитарных век-
торных пространствах D22). 14.4-7. Правила комбинирования D23). 14.4-8.
Теоремы о разложении. Нормальные операторы D23). 14.4-9. Сопряженные
векторные пространства. Более общее определение сопряженных операто-
ров D24). 14.4-10. Бесконечно малые линейные преобразования D24).
14.5. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операто-
ров) 425
14.5-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «актив-
ная» точка зрения D25). 14.5-2. Матричное представление векторов и линей-
ных преобразований (операторов) D26). 14.5-3. Матричные обозначения для
систем линейных уравнений D26). 14.5-4. Диадическое представление линей-
ных операторов D27).
14.6. Замена системы координат 427
14.6-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «пассив-
ная» точка зрения D27). 14.6-2. Представление линейного оператора в раз-
личных базисах D28). 14.6-3. Последовательное применение операторов
D28).
14.7. Представление скалярного произведения. Ортонормированные базисы . . . 429
14.7-1. Представление скалярного произведения D29). 14.7-2. Замена си-
стемы координат D30). 14.7-3. Ортогональные векторы и ортонормирован-
ные системы векторов D30). 14.7-4. Ортонормированные базисы (полные
ортонормированные системы) D30). 14.7-5. Матрицы соответствующие
сопряженным операторам D31). 14.7-6. Взаимные базисы D32). 14.7-7. Срав-
нение обозначений D33).
14.8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов . . . 433
14.8-1. Вводные замечания D33). 14.8-2. Инвариантные многообразия.
Разложимые линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы
D33). 14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр D34).
14.8-4. Собственные векторы и собственные значения нормальных и эрми-
товых операторов D35). 14.8-5. Определение собственных значений и соб-
ственных векторов: конечномерный случай D36). 14.8-6. Приведение н
диагонализация матриц. Преобразование к главным осям D37). 14.8-7.
«Обобщенная» задача о собственных значениях D39). 14.8-8. Задачи о соб-
ственных значениях как задачи о стационарных значениях D39). 14.8-9.
Границы для собственных значений линейных операторов D41). 14.8-10.
Неоднородные линейные векторные уравнения D42).

ОГЛАВЛЕНИЕ
14.9. Представления групп и смежные вопросы
14.9-1. Представления групп D43). 14.9-2. Приведение представлений D43).
14.9-3. Неприводимые представления группы D44). 14.9-4. Характер пред-
ставления D45). 14.9-5. Соотношения ортогональности D45). 14.9-6. Прямые
произведения представлений D46). 14.9-7. Представления колец, полей и
линейных алгебр D46).
14.10. Математическое описание вращений
14.10-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве D46).
14.10-2. Угол поворота. Ось вращения D47). 14.10-3. Параметры Эйлера и
вектор Гиббса D48). 14.10-4. Представление векторов и вращений спиновыми
матрицами и кватернионами. Параметры Кэли — Клейна D48). 14.10-5.
Вращения вокруг осей координат D49). 14.10-6. Углы Эйлера D50). 14.10-7.
Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость
D52). 14.10-8. Группа трехмерных вращений и ее представления D54).
ГЛАВА 15
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
15.1. Введение. Функциональный анализ
15.1-1. Вводные замечания D56). 15.1-2. Обозначения D56).
15.2. Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям
15.2-1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное про-
изведение и нормирование D57). 15.2-2. Метрика и сходимость в L2. Сходи-
мость в среднем D58). 15.2-3. Ортогональные функции и ортонормированные
последовательности функций D59). 15.2-4. Полные ортонормированные
последовательности функций. Ортонормированные базисы D59). 15.2-5.
Ортогонализация и нормирование последовательности функций D60).
15.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям
D60). 15.2-7. Линейные операции над функциями D60).
15.3. Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные урав-
нения
15.3-1. Линейные интегральные преобразования D61). 15.3-2. Линейные
интегральные уравнения. Обзор D62). 15.3-3. Однородное интегральное
уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные
значения D63). 15.3-4. Теоремы разложения D63). 15.3-5. Итерированные
ядра D64). 15.3-6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных
значениях как вариационная задача D65). 15.3-7. Неоднородное уравнение
Фредгольма второго рода D65). 15.3-8. Решение линейного интегрального
уравнения A6) D67). 15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения
Фредгольма первого рода D68). 15.3-10. Интегральные уравнения Воль-
терра D69).
15.4. Линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для дифферен-
циальных уравнений
15.4-1. Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения D70).
15.4-2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия
для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции D70). 15.4-3. Эрми-
тово сопряженные и сопряженные краевые задачи. Эрмитовы операторы
D71). 15.4-4. Теорема Фредгольма об альтернативе D73). 15.4-5. Задачи о
собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений D73).
15.4-6. Собственные значения и собственные функции эрмитовой задачи
о собственных значениях. Полные ортонормированные множества собст-
венных функций D74). 15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях
как вариационная задача D75). 15.4-8. Одномерная задача Штурма —
Лиувилля о собственных значениях D76). 15.4-9. Задача Штурма — Лиу-
вилля для уравнений с частными производными второго порядка D77).
15.4-10. Теоремы сравнения D77). 15.4-11. Решение дискретных задач
о собственных значениях методами возмущений D78). 15.4-12. Решение
краевых задач посредством разложений в ряды по собственным функциям
D79).
15.5. Функции Грина. Связь краевых задач и задач о собственных значениях
с интегральными уравнениями
15.5-1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми усло-
виями D80). 15.5-2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях
с интегральными уравнениями. Резольвента Грина D81). 15.5-3. Прило-
жение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обоб-
щенное уравнение диффузии D82). 15.5-4. Метод функций Грина для не-
однородных краевых условий D83).

^ ОГЛАВЛЕНИЕ
15.6. Теория потенциала 484
15.6-1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона
D84). 15.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия
задачи D84). 15.6-3. Теорема Кельвина об инверсии D85). 15.6-4. Свойства
гармонических функций D85). 15.6-5. Решения уравнений Лапласа и Пуас-
сона как потенциалы D86). 15.6-6. Решение трехмерных краевых задач
посредством функций Грина D88). 15.6-7. Двумерная теория потенциала.
Логарифмический потенциал D90). 15.6-8. Двумерная теория потенциала;
сопряженные гармонические функции D90). 15.6-9. Решение двумерных
краевых задач. Функции Грина и конформные отображения D92). 15.6-10.
Распространение теории на более общие дифференциальные уравнения.
Запаздывающие и опережающие потенциалы D93).
ГЛАВА 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ
АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
16.1. Введение 494
16.1-1. Вводные замечания D94). 16.1-2. Системы координат и допустимые
преобразования D94). 16.1-3. Компоненты объектов. Индексные обозначе-
ния D94). 16.1-4. Системы отсчета и индуцированные преобразования. Гео-
метрические объекты D95).
16.2. Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры) 496
16.2-1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное на
законе преобразования их компонент D96). 16.2-2. Йнфинитезимальноз
перемещение. Градиент скалярного поля D98).
16.3. Тензорная алгебра: определение основных операций 499
16.3-1. Равенство тензоров D99). 16.3-2. Нуль-тензор D99). 16.3-3. Сложе-
ние тензоров D99). 16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр D99).
16.3-5. Свертывание смешанного тензора D99). 16.3-6. Произведение (внеш-
нее) двух тензоров E00). 16.3-7. Внутреннее произведение E00). 16.3-8. При-
знак тензора E00).
16.4. Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений .«••••••• 501
16.4-1. Инвариантность тензорных уравнений E01).
16.5. Симметричные и антисимметричные тензоры . 502
16.5-1. Симметричные и антисимметричные объекты E02). 16.5-2. Символы
Кронекера E02). 16.5-3. е-объекты (символы Леви-Чивита) E03). 16.5-4. Аль-
тернированное произведение двух векторов E03).
16.6. Локальная система базисных векторов (локальный базис) 504
16.6-1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса
E04). 16.6-2. Преобразование локального базиса при преобразовании ко-
ординат E04).
16.7. Тензоры в римановых пространствах. Ассоциированные тензоры 505
16.7-1. Риманово пространство и фундаментальные тензоры E05). 16.7-2. Ас-
социированные тензоры. Поднятие и опускание индексов E06). 16.7-3. Экви-
валентность ассоциированных тензоров E06). 16.7-4. Операции над тензо-
рами в римановых пространствах E07).
16.8. Скалярное произведение векторов и связанные с ним понятия 507
16.8-1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом
пространстве E07). 16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных
векторов. Ортогональная система координат E07). 16.8-3. Физические
компоненты тензора E08). 16.8-4. Векторное произведение и смешанное про-
изведение E08).
16.9. Тензоры ранга 2 в римановом пространстве 509
16.9-1. Диадные произведения E09). 16.9-2. Умножение тензоров ранга 2
и векторов и связанная с ним система обозначений E10). 16.9-3. Собственные
векторы и собственные значения E10).
16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Ковариантное дифференциро-
вание 510
16.10-1. Абсолютные дифференциалы E10). 16.10-2. Абсолютный дифферен-
циал относительного тензора E12). 16.10-3. Символы Кристоффеля E12).
16.10-4. Ковариантное дифференцирование E13). 16.10-5. Правила ковари-
антного дифференцирования E14). 16.10-6, Ковариантные производные выс-
ших порядков E14). 16.10-7. Дифференциальные операторы и дифферен-
циальные инварианты E15). 16.10-8. Абсолютные (внутренние) производ-

ОГЛАВЛЕНИЕ iu
ные и производные по направлению E15). 16.10-9. Тензоры, постоянные
вдоль кривой. Уравнения параллелизма E17). 16.10-10. Интегрирование
тензорных величин. Элемент объема E17). 16.10-11. Дифференциальные
инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы E17).
ГЛАВА 17
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
17.1. Кривые на евклидовой плоскости 518
17.1.1. Касательная к плоской кривой E18). 17.1-2. Нормаль к плоской
кривой E18). 17.1-3. Особые точки E19). 17.1-4. Кривизна плоской кривой
E19). 17.1-5. Порядок касания плоских кривых E20). 17.1-6. Асимптоты
E20). 17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых E20). 17.1-8. Изого-
нальные траектории E20).
17.2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве 521
17.2-1. Вводные замечания E21). 17.2-2. Подвижной трехгранник E21).
17.2-3. Формулы Фроне — Серре. Кривизна и кручение пространственной
кривой E22). 17.2-4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; урав-
нения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей E23).
17.2-5. Дополнительные замечания E23). 17.2-6. Порядок касания E24).
17.3. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 524
17.3-1. Вводные замечания E24). 17.3-2. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности E24). 17.3-3. Первая основная квадратичная форма поверх-
ности. Дифференциал длины дуги и элемент площади E25). 17.3-4. Геодези-
ческая и нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье E26).
17.3-5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гауссова
кривизна и средняя кривизна E27). 17.3-6. Некоторые направления и кривые
на поверхности. Минимальные поверхности E28). 17.3-7. Поверхности
как римановы пространства. Трехиндексные символы Кристоффеля и пара-
метры Бельтрами E29). 17.3-8. Уравнения с частными производными, связы-
вающие коэффициенты основных квадратичных форм. Theorema Egregium
Гаусса E30). 17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее основных
квадратичных форм E30). 17.3-10. Отобрах^ения E30). 17.3-11. Огибаю-
щие E31). 17.3-12. Геодезические линии поверхности E31). 17.3-13. Гео-
дезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности E32).
17.3-14. Теорема Гаусса — Бонне E33L
17.4. Пространства с кривизной 533
17.4-1. Вводные замечания E33). 17.4-2. Кривые, длины и направления
в римановом пространстве E33). 17.4-3. Геодезические линии в римано-
вом пространстве E34). 17.4-4. Римановы пространства с неопределенной
метрикой. Изотропиыз направления и геодезические нулевой длины E35).
17.4-5. Тензор кривизны риманова пространства E35). 17.4-6. Геометриче-
ское истолкование тензора кривизны. Плоские пространства и евклидовы
пространства E36). 17.4-7.Специальные координатные системы E37).
ГЛАВА 18
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
18.1. Введение 530
18.1-1. Вводные замечания E39).
18.2. Определение и представление вероятностных моделей 539
18.2-1. Алгебра событий, связанных сданным испытанием E39). 18.2-2. Опре-
деление вероятности. Условные вероятности E40). 18.2-3. Независимость
случайных событий E40). 18.2-4. Сложные испытания. Независимые испы-
тания и повторные независимые испытания E40). 18.2-5. Правила сочетаний
E41). 18.2-6. Теоремы Байеса E42). 18.2-7. Представление событий как
множеств в пространстве выборок E42). 18.2-8. Случайные величины E42).
18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и их
функций распределения E42).
18.3. Одномерные распределения вероятностей 543
18.3-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей E43). 18.3-2.
Непрерывные одномерные распределения вероятностей E43). 18.3-3. Мате-
матическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного
распределения вероятностей E44). 18.3-4. Нормирование E46). 18.3-5. Не-
равенство Чебышева и связанные с ним формулы E46). 18.3-6. Единое опи-
сание распределений вероятностей с помощью интеграла Стилтьеса E46).
18.3-7. Моменты одномерного распределения вероятностей E47). 18.3-8. Ха-

1° ОГЛАВЛЕНИЕ
рактеристические и производящие функции E48). 18.3-9. Семиинварианты
E49). 18.3-10. Вычисление моментов и семиинвариантов через % (q), M (s)
и ух (s). Соотношения между моментами и семиинвариантами E49).
18.4. Многомерные распределения вероятностей 550
18.4-1. Многомерные случайные величины E50). 18.4-2. Двумерные распре-
деления вероятностей. Распределения координат случайной величины
E50). 18.4-3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения веро-
ятностей E50). 18.4-4. Математическое ожидание, моменты, ковариация
и коэффициент корреляции E51). 18.4-5. Условные распределения вероят-
ностей, связанные с двумя случайными величинами E52). 18.4-6. Регрес-
сии E53). 18.4-7. «-мерные распределения вероятностей E53). 18.4-8. Ма-
тематические ожидания и моменты E55). 18.4-9. Регрессия. Коэффициенты
корреляции E56). 18.4-10. Характеристические функции E57). 18.4-11. Не-
зависимость случайных величин E57). 18.4-12. Энтропия распределения
вероятностей E58).
18.5. Функции от случайных величин. Замена переменных 559
18.5-1. Вводные замечания E59). 18.5-2. Функции (или преобразования)
одномерной случайной величины E59). 18.5-3. Линейные преобразования
одномерной случайной величины E60). 18.5-4. Функции (или преобразова-
ния) многомерных случайных величин E61). 18.5-5. Линейные преобразова-
ния E62). 18.5-6. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных
величин E62). 18.5-7. Суммы независимых случайных величин E63). 18.5-8.
Распределение суммы случайного количества случайных величин E64).
18.6. Сходимость по вероятности и предельные теоремы 564
18.6-1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по
вероятности E64). 18.6-2. Пределы функций распределения, характеристи-
ческих и производящих функций. Теоремы непрерывности E64). 18.6-3. Схо-
димость в среднем E65). 18.6-4. Асимптотически нормальные распределения
вероятностей E65). 18.6-5. Предельные теоремы E65).
18.7. Специальные методы решения вероятностных задач 566
18.7-1. Вводные замечания E66). 18.7-2. Задачи с дискретным распределе-
нием вероятностей: подсчет событий и комбинаторный анализ E67). 18.7-3.
Применение производящих функций. Теорема Пойа E69). 18.7-4. Задачи
с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудачи в составля-
ющих испытаниях E71).
18.8. Специальные распределения вероятностей 571
18.8-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей E71). 18.8-2.
Дискретные многомерные распределения вероятностей E73). 18.8-3. Не-
прерывные распределения вероятностей: нормальное распределение (Гаусса)
E75). 18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений
от центра E76). 18.8-5. Различные непрерывные одномерные распределения
вероятностей E82). 18.8-6. Двумерные нормальные распределения E82).
18.8-7. Круговое нормальное распределение E83). 18.8-8. n-мерные нор-
мальные распределения E83). 18.8-9. Теоремы сложения для специаль-
ных распределений E83).
18.9. Теори-я случайных процессов 584
18.9-1. Случайные процессы E84). 18.9-2. Описание случайных процессов
(•584). 18.9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функ-
ции E85). 18.9-4. Интегрирование и дифференцирование случайных функ-
ций E86). 18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами E88).
18.9-6. Разложение по ортонормированной системе E88).
18.10. Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и спект-
ральные плотности 589
18.10-1. Стационарные случайные процессы E89). 18.10-2. Корреляционные
функции по множеству наблюдений E89). 18.10-3. Спектральная плотность
по множеству наблюдений E90). 18.10-4. Корреляционные функции и спектры
действительных процессов E90). 18.10-5. Спектральное разложение средней
«мощности» действительных процессов E90). 18.10-6. Другие виды спект-
ральной плотности по множеству наблюдений E91). 18.10-7. Средние по
времени и эргодические процессы E91). 18.10-8. Корреляционные функ-
ции и спектральные плотности по времени E92). 18.10-9. Функции с перио-
дическими компонентами E93)_. 18.10-10. Обобщенные преобразования Фурье
и спектральные функции E95).
18.11. Типы случайных процессов. Примеры 596
18.11-1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями E96).
18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова E98).
18.11-3. Гауссовские случайные процессы E99). 18.11-4. Марковские про-
цессы и процесс Пуассона E99). 18.11-5. Некоторые случайные процессы,

ОГЛАВЛЕНИЕ 17
порождаемые процессом Пуассона F01). 18.11-6. Случайные процессы,
порождаемые периодической выборкой F02).
18.12. Действия над случайными процессами 603
18.12-1. Корреляционные функции и спектры сумм F03). 18.12-2. Соотно-
шения между входным и выходным сигналами для линейных систем F04).
18.12-3. Стационарный случай F04). 18.12-4. Соотношения для корреляцион-
ных функций и спектров по времени F05). 18.12-5. Нелинейные операции
F05). 18.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами F06).
ГЛАВА 19
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
19.1. Введение в статистические методы 607
19.1-1. Статистики F07). 19.1-2. Классическая вероятностная модель:
статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности F07).
19.1-3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка F08).
19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной
выборки 609
19.2-1. Относительные частоты F09). 19.2-2. Распределение выборки. Груп-
пированные данные F09). 19.2-3. Выборочные средние F10). 19.2-4. Выбо-
рочные дисперсии и моменты F11). 19.2-5. Упрощенное вычисление выбо-
рочных средних и дисперсий. Поправка на группировку F12). 19.2-6. Раз-
мах выборки F13).
19.3. Типовые распределения вероятностей 613
19.3-1. Вводные замечания F13). 19.3-2. Класс распределений Кэптейна
F13). 19.3-3. Ряды Грама — Шарлье и Эджворта F14). 19.3-4. Усеченные
нормальные распределения и распределение Парето F14). 19.3-5. Типы рас-
пределений Пирсона F15).
19.4. Оценки параметров 615
19.4-1. Свойства оценок F15). 19.4-2. Некоторые свойства статистик, при-
меняемых в качестве оценок F16). 19.4-3. Нахождение оценок. Метод мо-
ментов F17). 19.4-4. Метод наибольшего правдоподобия F17). 19.4-5. Дру-
гие методы нахождения оценок F18).
19.5. Выборочные распределения 618
19.5-1. Вводные замечания F18). 19.5-2. Асимптотически нормальные выбо-
рочные распределения F18). 19.5-3. Выборки из нормальной совокупности.
Распределения %2, t и и2 F19). 19.5-4. Распределение размаха выборки F19).
19.5-5. Выборочный метод для конечной совокупности F20).
19.6. Проверка статистических гипотез 630
19.6-1. Статистические гипотезы F30). 19.6-2. Критерии с фиксированной
выборкой; определения F30). 19.6-3. Уровень значимости. Правило Ней-
мана — Пирсона отбора критериев для простых гипотез F30). 19.6-4. Кри-
терии значимости F32). 19.6-5. Доверительная область F32). 19.6-6. Кри-
терии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ F34).
19.6-7. Критерий согласия %2 F37). 19.6-8. Непараметрическое сравнение
двух совокупностей: критерий знаков F38). 19.6-9. Обобщения F38).
19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для много-
мерных распределений 638
19.7-1. Вводные замечания F38). 19.7-2. Статистики, получаемые на основе
многомерных выборок F38). 19.7-3. Оценки параметров F39). 19.7-4. Вы-
борочные распределения в случае нормальной совокупности F40). 19.7-5.
Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Критерий
независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряжен-
ности признаков F42). 19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмену. Не-
параметрический критерий независимости F42).
19.8. Статистики и измерения случайного процесса 643
19.8-1. Средние по конечному промежутку времени F43). 19.8-2. Усред-
няющие фильтры F44). 19.8-3. Примеры F45). 19.8-4. Выборочные средние
F46).
19.9. Проверка и оценка в задачах со случайными параметрами 647
19.9-1. Постановка задачи F47). 19.9-2. Оценка и проверка с помощью фор-
мул Байеса F48). 19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез F48).
19.9-4. Оценки по методу наименьших квадратов F50).

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Г Л А В А 20
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
20.1. Введение 652
20.1-1. Вводные замечания F52). 20.1-2. Ошибки (G52).
20.2. Численное решение уравнений 652
20.2-1. Вводные замечания F52). 20.2-2. Итерационные методы F53). 20.2-3.
Вычисление значений многочлена F55). 20.2-4. Численное решение алгебраи-
ческих уравнений. Итерационные методы F55). 20.2-5. Специальные методы
решения алгебраических уравнений F56). 20.2-6. Системы уравнений и
экстремальные задачи F59). 20.2-7. Градиентные методы F60). 20.2-8. Ме-
тод Ньютона и теорема Канторовича F61).
20.3. Системы линейных уравнений и обращение матриц. Собственные значе-
ния и собственные векторы матриц 662
20.3-1. Методы исключения F62). 20.3-2. Итерационные методы F63). 20.3-3.
Обращение матриц F65). 20.3-4. Решение системы линейных уравнений и
обращение матриц при помощи разбиения на клетки F66). 20.3-5. Собствен-
ные значения и собственные векторы матриц F67).
20.4. Конечные разности и разностные уравнения 668
20.4-1. Конечные разности и центральные средние F68). 20.4-2. Оператор-
ные обозначения F69). 20.4-3. Разностные уравнения F70). 20.4-4. Линей-
ные обыкновенные разностные уравнения F71). 20.4-5. Линейные обыкно-
венные разностные уравнения с постоянными коэффициентами F72). 20.4-6.
Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоян-
ными коэффициентами F72). 20.4-7. Системы обыкновенных разностных
уравнений. Матричная запись F74). 20.4-8. Устойчивость F75).
20.5. Интерполяция функций 675
20.5-1. Вводные замечания F75). 20.5-2. Общие формулы параболической
интерполяции (значения аргумента могут быть' и неравноотстоящими)
F75). 20.5-3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значений
аргумента. Ромбовидные диаграммы F77). 20.5'»4. Обратная интерполяция
F77). 20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов F82). 20.5-6.
Интерполяция функций нескольких переменных F82). 20.5-7. Обратные
разности и интерполяция рациональными дробями F83).
20.6. Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда
Фурье и другими методами 683
20.6-1. Вводные замечания F83). 20.6-2. Приближения функций много-
членами по методу наименьших квадратов на интервале F83). 20.6-3. При-
ближения фуькций многочленами по методу наименьших квадратов на
дискретном множестве точек F84). 20.6-4. Равномерные приближения F86).
20.6-5. Зкономизация степенных рядов F86). 20.6-6. Численный гармониче-
ский анализ и тригонометрическая интерполяция F87). 20.6-7. Разные при-
ближения F93).
2С.7. Численное дифференцирование и интегрирование 695
?0.7-1. Численное дифференцирование F95). 20.7-2. Численное интегриро-
вание для равноотстоящих узлов F96). 20.7-3. Квадратурные формулы
Гаусса и Чебышева FS8). 20.7-4. Построение и сравнение квадратурных
формул G00). 20.7-5. Вычисление кратных интегралов G00).
20.8. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 701
20.8-1. Вводные замечания G01). 20.8-2. Одношаговые методы решения
задачи Коши. Методы Эйлера и Рунге — Кутта G01). 20.8-3. Многошаго-
вые методы решения задачи Коши G03). 20.8-4. Улучшенные многошаговые
методы G04). 20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль ве-
личины шага и устойчивость G04). 20.8-6. Обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений
G06). 20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка G07).
20.8-8. Анализ частотных характеристик G08).
20.9. Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые
задачи; интегральные уравнения 709
20.9-1. Вводные замечания G09). 20.9-2. Двухточечная краевая задача для
обыкновенных дифференциальных уравнений G09). 20.9-3. Обобщенный
метод Ньютона (квазилинеаризация) G10). 20.9-4. Разностные методы чис-
ленного решения уравнений с частными производными для случая двух
независимых переменных G10). 20.9-5. Двумерные разностные операторы
G11). 20.9-6. Представление краевых условий G11). 20.9-7. Задачи, содер-
жащие более двух независимых переменных G14). 20.9-8. Пригодность раз-
ностных схем. Условия устойчивости G14). 20.9-9. Методы аппроксими-

ОГЛАВЛЕНИЕ
рующих функций для численного решения краевых задач G15). 20.9-10. Чис-
ленное решение интегральных уравнений G16).
20.10. Методы Монте-Карло
20.10-1. Методы Монте-Карло G17). 20.10-2. Два метода уменьшения дис-
персии оценки G18). 20.10-3. Использование предварительной информации.
Метод значимой выборки G19). 20.10-4. Некоторые методы генерирования
случайных чисел. Проверка случайности G19).
Г Л А В А 21
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
21.1. Введение
21.1-1. Взодные замечания G20).
21.2. Элементарные трансцендентные функции
21.2-1. Тригонометрические функции G20). 21.2-2. Соотношения между три-
гонометрическими функциями G22). 21.2-3. Теоремы сложения и формулы
для кратных углов G23). 21.2-4. Обратные тригонометрические функции
G24). 21.2-5. Гиперболические функции G25). 21.2-6. Соотношения между
гиперболическими функциями G26). 21.2-7. Формулы сложения для гипер-
болических функций G26). 21.2-8. Обратные гиперболические функции
G27). 21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и
гиперболическими функциями G28). 21.2-10. Определение логарифма G28).
21.2-11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными
гиперболическими и логарифмической функциями G29). 21.2-12. Разло-
жения в степенные ряды G29). 21.2-13. Разложения в бесконечные произ-
ведения G30). 21.2-14. Некоторые полезные неравенства G30).
21.3. Некоторые интегральные функции
21.3-1. Интегральные синус, косинус, логарифм и показательная функ-
ция G30). 21.3-2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей G38).
21.4. Гамма-функция и связанные с ней функции
21.4-1. Гамма-функция G39). 21.4-2. Асимптотическое разложение Стирлинга
для Г (г) и п\ G43). 21.4-3. Логарифмическая производная гамма-функции
G43). 21.4-4. Бета-функция G43). 21.4-5. Неполные гамма- и бета-функции
G44).
21.5. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены. Многочлены
и числа Бернулли
21.5-1. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены G44).
21.5-2 Многочлены и числа Бернулли G46). 21.5-3. Формулы, связываю-
щие многочлены Бернулли и факториальные многочлены G47). 21.5-4.
Приближенные формулы для ( \ G47).
21.6. Эллиптические функции, эллиптические интегралы и связанные с ними
функции
21.6-1. Эллиптические функции; общие свойства G48). 21.6-2. ^-функция
Вейерштрасса G48). 21.6-3. ?- и а-функции Вейерштрасса G50). 21.6-4. Эл-
липтические интегралы G51). 21.6-5. Приведение эллиптических интегралов
G51). 21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра G53). 21.6-7.
Эллиптические функции Якоби G61). 21.6-8. Тэта-функции Якоби G65).
21.6-9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерш-
трасса и тэта-функциями G67).
21.7. Ортогональные многочлены
21.7-1. Введение G67). 21.7-2. Действительные нули ортогональных много-
членов G68). 21.7-3. Функции Лежандра G68). 21.7-4. Многочлены Чебы-
шева первого и второго рода G68). 21.7-5. Обобщенные многочлены и при-
соединенные функции Лагерра G74). 21.7-6. Функции Эрмита G75). 21.7-7.
Некоторые интегральные формулы G76). 21.7-8. Многочлены Якоби н
Гегенбауэра G76).
21.8. Цилиндрические функции, присоединенные функции Лежандра и сфери-
ческие гармоники
21.8-1. Функции Бесселя и другие цилиндрические функции G77). 21.8-2.
Интегральные формулы G79). 21.8-3. Нули цилиндрических функций
G80). 21.8-4. Функции Бесселя целого порядка G81). 21.8-5. Решение диф-
ференциальных уравнений при по фй Б
фрц ур р омощи функций Бесселя и связанных
с ними функций G82). 21.8-6. Модифицированные функции Бесселя и Ган-
келя G82). 21.8-7. Функции Ьегшг, be\mz, hermz, heimz, kerwz, keimz G83).
21.8-8, Сферические функции Бесселя G84). 21.8-9. Асимптотические раз-

20 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
ложения цилиндрических функций и сферических функций Бесселя для
больших значений \г\ G85). 21.8-10. Присоединенные функции и много-
члены Лежандра G85). 21.8-11. Интегральные свойства присоединенных
функций Лежандра G87). 21.8-12. Сферические гармоники. Ортогональ-
ность G87). 21.8-13. Теоремы сложения G89).
21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции 790
21.9-1. Ступенчатые функции G90). 21.9-2. Символическая дельта-функция
Дирака G92). 21.9-3. Производные ступенчатых и импульсных функций
G93). 21.9-4. Аппроксимация импульсных функций G94). 21.9-5. Пред-
ставления интегралом Фурье G95). 21.9-6. Асимметричные импульсные
функции G95). 21.9-7. Многомерные дельта-функции G95).
Литература 796
Указатель важнейших обозначении 801
Предметный указатель 804
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
Глава 1
1.10-1. Правильные многоугольники ....
1.10-2. Тела вращения
1.10-3. Пять правильных многогранников .
1.11-1. Решение плоских треугольников . .
1.12-1. Решение сферических треугольников
Глава 2
2.4-1. Классификация кривых второго порядка
2.4-2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка ...
2.5-1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные
формулы
Глава 3
3.5-1. Классификация поверхностей второго порядка
3.5-2. Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырож-
денных поверхностей второго порядка
Свойства интегралов
Некоторые часто встречающиеся пределы
Суммы некоторых числовых рядов . . . .
Глава 4
4.5-1. Производные часто встречающихся функций,
4.5-2. Правила дифференцирования
4.6-' " ¦
4.7-
4.8-
4.10-
4.11-
функций
4.11-2. Свойства преобразования Фурье
4.11-3. Преобразования Фурье
4.11-4. Косинус-преобразования Фурье .
4.11-5. Синус-преобразования Фурье . .
Действия со степенными рядами
Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения периодических
Глава 5
5.2-1. Свойства скалярного произведения 164
5.2-2. Свойства векторного произведения 165
5.3-1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента 167
5.5-1. Правила действий с оператором V 172
5.5-2. Операции над скалярными функциями 1'4
5.5-3. Операции над векторными функциями J74
6.6-1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы 175
Глава 6
6.3-1. Соотношения между базисными векторами и координатами векторов в раз-
личных локальных системах отсчета 181

ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
G.4-1. Векторные соотношения в ортогональных координатах
6.5-1. Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах . . .
6.5-2. Общие эллипсоидальные координаты А,, ц, v
6.5-3. Координаты а, т, ф вытянутого эллипсоида вращения
6.5-4. Координаты а, т, <р сплюснутого эллипсоида вращения
6.5-5. Координаты о\ т, z эллиптического цилиндра
6.5-6. Конические координаты и, v, w
6.5-7. Параболоидальные координаты К, |и, V
6.5-8. Параболические координаты 0, т, ф
6.5-9. Координаты а, т, z параболического цилиндра
6.5-10. Бицилиндрические координаты а, т, z
6.5-11. Тороидальные координаты а, т, ф
6.5-12. Биполярные координаты о, т, Ф
Глава 7
7.2-1. Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто
встречающихся функций f (z) = и (х, у) -f- iv (х, у) комплексного перемен-
ного z = х -f- iу
7.9-1. Свойства отображения w ==-—•( z -\
7.9-2. Примеры конформных отображений
7.9-3. Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг . . . 226
Глава 8
8.3-1. Теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями . . . 231
8.4-1. Таблица преобразований Лапласа 235
8.4-2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) =
= Dt (s)/D (s) 242
8.6-1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преоб-
разованием Лапласа 257
8.6-2. Преобразования Ганкеля 259
8.7-1. Некоторые конечные интегральные преобразования 261
8.7-2. Соответствие операций при г-преобразовании . 264
Глава 9
9.3-1. Функции Грина для линейных краевых задач 274
9.3-2. Дополнительные формулы для гипергеометрических функций 281
9.3-3. Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрических функ-
ций 283
Глава 10
10.2-1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с част-
ными производными первого порядка 304
10.4-1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической
физики 320
Глава 12
12.5-1. Некоторые пространства числовых последовательностей 380
12.5-2. Некоторые пространства функций х (/), у (t) 381
12.8-1. Истинностная таблица для булевой функции 389
Глава 13
13.2-1. Некоторые нормы матриц 391
Глава 14
14.7-1. Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных опе-
раторов 432
Глава 16
16.2-1. Определения тензорных величин наиболее распространенного типа, основан-
ные на законе преобразования их компонент 497
16.10-1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых простран-
ствах 516
Глава 18
18.2-1. Вероятности логически связанных событий 541
18.3-1. Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей .... 545

22
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
18.7-1. Перестановки и разбиения 667
18.7-2. Сочетания и выборки 568
18.7-3. Размещения в ячейках или расположения !!!..!.... 668
18.8-1. Вырожденное (причинное) распределение 571
18.8-2. Гипергеометрическое распределение 571
18.8-3. Биномиальное распределение 572
18.8-4. Распределение Пуассона 574
18.8-5. Геометрическое распределение 574
18.8-6. Распределение Паскаля 574
18.8-7. Распределение Пойа 575
18.8-8. Плотность нормального распределения (стандартизованного) 577
18.8-9. Интеграл вероятностей 578
18.8.10. Функция ошибок 579
18.8-11. Непрерывные одномерные распределения вероятностен 580
Глава 19
19.5-1. %2-распределение с т степенями свободы 621
19.5-2. ^-распределение Стьюдента с т степенями свободы 622
19.5-3. Распределение отношения дисперсий (^-распределение) и связанные с ним
распределения 623
19.5-4. ^-распределение 625
19.5-5. ^-распределение Стьюдента 626
19.5-6. /^-распределение (распределение v2) 627
19.6-1. Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам |, а2 нормаль-
ной совокупности 633
19.6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности 634
19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей , 636
19.8-1. Усредняющие фильтры 644
Глава 20
20.2-1. Таблица алгоритма разделенных разностей 657
20.4-1. Краткая таблица 2-преобразований и преобразований Лапласа от сту-
пенчатых функций 673
20.5-1. Интерполяционные формулы с центральными разностями 678
20.5-2. Коэффициенты интерполяционных формул 680
20.6-1. Многочлены Чебышева и степени х 687
20.6-2. Приближения некоторых функций многочленами 688
20.6-3. Некоторые приближения цилиндрических функций 690
20.6-4. Приближения многочленами Чебышева 691
20.6-5. Схема гармонического анализа на 12 ординат 692
20.6-6. Разные приближения 694
20.7-1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, замкнутый тип 697
20.7-2. Абсциссы и веса для квадратурных формул 699
20.8-1. Некоторые методы Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений и систем таких уравнений 702
20.8-2. Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание —- коррек-
ция» 705
Глава 21
21.2-1. Специальные значения тригонометрических функций 720
21.2-2, Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргу-
ментов 722
21.3-1. Интегральный синус Si (л:) 732
21.3-2. St (л;) и интегральный косинус Ci (х) 733
21.3-3. Интегральная показательная функция 734
21.4-1. Гамма-функция Г (*) 741
21.5-1. Определение и свойства биномиальных коэффициентов 745
21.6-1. Преобразование к нормальной форме Лежандра 754
21.6-2. Преобразования эллиптических интегралов 758
21.6-3. Преобразования полных эллиптических интегралов 759
21.6-4. Полные эллиптические интегралы К и Е ^ 760
21.6-5. Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоои 762
21.6-6. Специальные значения эллиптических функций Якоби 763
21.6-7. Изменение переменной на четверть и половину периода . . . .___ 764
21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоои 766
21.7-1. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрм.па . . . 769
21.7-2. Первые ортогональные многочлены • «74

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Книгу Г. Корна и Т. Корн «Справочник по математике (для научных работ-
ников и инженеров)» отличает весьма широкий охват материала. В ней освещаются
почти все вопросы как общего курса математики, так и большинства специальных
разделов, изучаемых во втузах с повышенной программой по математике (век-
торный и тензорный анализ, криволинейные координаты, уравнения математи-
ческой физики, функции комплексного переменного и операционное исчисление,
вариационное исчисление, линейная алгебра, теория вероятностей и математи-
ческая статистика и т. д.). Кроме того, в книгу включены главы, посвященные
современной алгебре, теории интегралов Лебега и Стилтьеса, римановой геомет-
рии, интегральным уравнениям, специальным функциям, а также целому ряду
других вопросов, далеко выходящих за рамки математической подготовки инже-
неров, но постепенно становящихся необходимым орудием для научных работни-
ков и инженеров-исследователей, работающих в самых разных областях. Много
внимания уделено связи рассматриваемых математических проблем с приклад-
ными дисциплинами (методы расчета и синтеза электрических цепей, линейные
и нелинейные колебания и др.).
В новом издании книга подверглась весьма существенной переработке. За-
ново написаны главы 11 и 20 и значительная часть глав 13 и 18; и без того обшир-
ный материал книги пополнился новыми разделами: дискретное преобразование
Лапласа (г-преобразование), конечные интегральные преобразования, матричные
методы решения систем дифференциальных уравнений, теория устойчивости
Ляпунова, математическое программирование, принцип максимума Понтрягина,
шаговые задачи управления и динамическое программирование — вот далеко не
полный перечень того, что добавлено авторами. Кроме того, из дополнений в книгу
включены справочные сведения по геометрии и сферической тригонометрии.
Конечно, можно иметь различные точки зрения на то, какой материал следует
включать в такого рода справочник; кроме того, в одной книге невозможно изло-
жить все разделы с одинаковой степенью полноты. Однако, как нам кажется,
ответы на вопросы, не нашедшие отражения в книге, следует искать уже либо
в монографиях, либо в специализированных справочных руководствах (типа
отдельных выпусков серии «Справочная математическая библиотека», выпуска-
емой Главной редакцией физико-математической литературы издательства
«Наука»).
В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт; названия
всех пунктов указаны в оглавлении. Сплошная нумерация формул (и таблиц)
ведется в пределах одного параграфа; соответственно этому, если в тексте нужно
сослаться на формулу этого же параграфа, то указывается только ее номер. При
перекрестных ссылках указывается полностью номер главы, параграфа и пункта.
В конце книги приводится подробный предметный указатель, а также указатель
важнейших обозначений; во всех случаях читатель отсылается к соответствующему
пункту.
В процессе перевода был обнаружен ряд дефектов и неточностей; кроме того,
в некоторых случаях изложение не соответствовало принятому в нашей отече-
ственной литературе. Переводчики учитывали справочный характер книги, и для
удобства читателя большинство исправлений, замен и дополнений вносилось прямо
в текст. Принадлежащие переводчикам дополнения и подстрочные примечания

24 предисловие переводчиков
отмечены звездочками. Пункты, подвергшиеся значительной переработке, также
отмечены звездочками.
Нам пришлось в значительной мере заменить цитируемую литературу;
во многих случаях ссылки делались на неизвестные нашему читателю учебные
руководства. Приведенный в конце книги список литературы (ссылки на него
помещены в квадратные скобки) меньше всего претендует хотя бы на относитель-
ную полноту; в него лишь включены наиболее известные издания (при этом мы
сочли возможным не указывать обычные втузовские курсы математики).
Значительной переработке подверглись дополнения в книге, включающие
разного рода таблицы. Ради уменьшения объема книги некоторые широко рас-
пространенные таблицы были изъяты, а остальные помещены в соответствующие
разделы «Справочника». Перечень всех имеющихся в книге таблиц приведен после
оглавления на стр. 20—22.
Мы признательны всем читателям, обратившим наше внимание на те или иные
недочеты книги, и будем рады дальнейшим откликам на новое издание.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Новое издание «Справочника по математике» существенно расширено и допол-
нено оригинальным материалом. Включены новые разделы, посвященные г-П?еоб-
разованию, матричным методам решения систем дифференциальных уравнений,
теории устойчивости, представлению вращений, математи ческому программиро-
ванию, теории оптимального управления, случайным процессам и т. д. Глава
о численных методах почти целиком написана заново. Добавлены многие примеры
и таблицы.
Эту книгу можно рассматривать, во-первых, как достаточно полное собрание
математических определений, теорем и формул для научных работников, инже-
неров и студентов. Ею могут пользоваться читатели, стоящие на разных уровнях
математического развития. Отсутствие доказательств и сжатость табличного пред-
ставления родственных формул сделали возможным объединение весьма большого
по объему справочного материала в одном томе.
Книга, однако, предназначена не только для наведения справок; в ней мы
пытались дать связное обозрение математических методов, применяемых в различ-
ных приложениях. Каждая глава озаглавлена так, чтобы читатель мог быстро
ориентироваться в данном разделе математики. Такое изложение делает текст
удобным для пользования благодаря отсутствию доказательств; многочисленные
ссылки открывают доступ к более детальному изучению материала книги.
Особое внимание уделяется выявлению взаимосвязи различных разделов
и их роли в научных и инженерных приложениях; это достигается при помощи
соответствующих вводных замечаний и перекрестных ссылок.
Авторы пытались удовлетворить запросы разных кругов читателей, разделив
материал книги на три группы:
1. Наиболее важные определения и формулы, специально выделенные для
наиболее быстрого их обозрения.
2. Основной текст, состоящий из сжатого и связного обзора основных резуль-
татов.
3. Более детальное обсуждение дополнительных вопросов, выделенное мел-
ким шрифтом. При таком построении включение этого материала не нарушает
структуры основного изложения.
Главы с 1 по 5 дают обзор основного курса колледжа *) по алгебре, аналити-
ческой геометрии и анализу; глава 4 содержит также изложение интегралов Лебега
и Стилтьеса и рядов и интегралов Фурье, а глава 5 — векторный анализ.
Главы б, 7 и 8 посвящены криволинейным координатам, функциям комплекс-
ного переменного и преобразованиям Лапласа. Добавлен новый материал по конеч-
ным интегральным преобразованиям и г-преобразованию.
В главах 9 и 10 излагаются обыкновенные дифференциальные уравнения и урав-
нения с частными производными, включая методы интегральных преобразований,
метод характеристик и теорию потенциала; проблемы собственных значений
трактуются в главе 15.
Глава 11 существенно изменилась; в дополнении к обычной теории экстремума
и классического вариационного исчисления здесь добавлены разделы по линейному
*) Это примерно соответствует общему курсу математики, изучаемому в наших вту-
зах. {Прим. ред.)

26 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
и нелинейному программированию, теории игр, теории оптимального управления,
принципу максимума и динамическому программированию.
В главе 12 вводятся элементы современного абстрактного языка и описывается
конструкция математических моделей, таких, как группы, кольца, поля, векторные
пространства, булевы алгебры и метрические пространства. Изучение функцио-
нальных пространств, продолженное в 14-й главе, позволяет расширить приме-
нение методов функционального анализа к краевым задачам и проблемам собствен-
ных значений в главе 15.
Разделы, имеющие дело с более специальными темами, не претендуют на пол-
ноту; их цель заключается в том, чтобы познакомить читателя с сущностью
определений и побудить его к чтению современной специальной литературы.
В главе 13 рассмотрены матрицы; здесь добавлены новые пункты по матрич-
ным методам решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравне-
ний и по теории устойчивости Ляпунова. В главе 14 рассмотрены линейные
векторные пространства, линейные преобразования (линейные операторы), задачи
о собственных значениях и описывается применение матриц для представления
математических моделей. Дополнен материал по представлению вращений,
в связи с его важностью для физики.
Глава 15 содержит изложение разделов, связанных с проблемой собственных
значений, включая задачу Штурма — Лиувилля, краевые задачи для двумерных
и трехмерных областей и линейные интегральные уравнения.
Главы 16 и 17 соответственно касаются тензорного анализа и дифференциаль-
ной геометрии и включают описание плоских и пространственных линий, поверх-
ностей и кривизны пространства.
В связи с возрастающей ролью статистических методов глава 18 представляет
довольно детальное изложение теории вероятностей и включает заново написан-
ное введение в теорию случайных процессов, корреляционных функций и спектров.
Глава 19 касается важнейших методов математической статистики и включает
подробные таблицы формул, описывающих специальные выборочные распреде-
ления.
В новой главе 20 рассмотрены конечно-разностные методы и разностные урав-
нения и изложены основные методы численного анализа. Глава 21 представляет
по существу собрание формул, описывающих свойства высших трансцендент-
ных "функций.
Авторы надеются и верят, что эта книга даст читателю удобный повод детально
познакомиться с математическими методами и таким образом расширить свой
кругозор и взглянуть на свои специальные знания с более общей точки зрения. •

ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. ВВЕДЕНИЕ. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1.1-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Эта глава посвящена алгебре1) действи-
тельных и комплексных чисел, т. е. изучению тех соотношений между дейст-
вительными и комплексными числами, в которые входит конечное число сло-
жений и умножений. Уравнения, основанные на таких соотношениях, рассмат-
риваются здесь даже и в том случае, если при фактическом их точном число-
вом решении нельзя обойтись конечным числом сложений и/или умножений*).
Определения и соотношения, изложенные в этой главе, служат основным ору-
дием во многих более общих математических моделях (см. также п. 12.1-1).
1.1-2. Действительные числа. Сложение и умножение действительных чи-
сел обладают следующими свойствами.
Если а и Ь — действительные числа (алгебраические, рацио-
нальные, целые, положительные целые), то таковыми же являются
а~\-Ъ и аЬ (замкнутость),
ib = ba (коммутативность),
a (be) = (ab) с = abc
а- 1 =а (единица),
а (Ь + с) = аЬ + ас (дистрибутивность),
из а-\-с — Ь-\-с следует а = Ь,
из ca — ch, с-ф®, следует а = Ь (сокращение).
Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами
' > (ассоциативность), \п ]_
a+olo' J A.1-2)
для каждого действительного числа а.
(Единственное) противоположное число —а и (единственное) обратное
число а=1/а для действительного числа а определяются соответственно так:
а + (—а) = а — а = 0, асГ1=\ (а^О). A.1-3)
Делить на нуль нельзя.
Помимо «алгебраических» свойстз A), класс положительных целых, или натураль-
ных, чисел 1, 2, ... обладает свойством упорядоченности (п. 12.6-2; п «больше, чем» т,
или /i>m, если п = т-\-х, где х — некоторое натуральное число) и полной упорядо-
ченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент).
Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов п
следующий за ним элемент п -{-1, содержит все натуральные числа (принцип пол-
ной индукции).
Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано: 1) 1 есть
натуральное число; 2) для каждого натурального числа TV существует единственное сле-
дующее за ним натуральное число S(n); 3) S(n)^?l; 4) из S(n) = S(m) следует п~т
п 5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий
*) См. также Подстрочное примечание к п. 12.1-2.
*) Термин «Л и/или Б» (по английски «and/or») означает, что имеет место или Л,
или В, или Л и В вместе. Этот термин применяется в дальнейшем очень часто.

28 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ Ы-3.
за п, обозначается через S(n).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам A.1-1),
определяются «рекуррентными» соотношениями
п -f- 1 = S{n),
я + S(m) = S(n + m),
пЛ = п,
п • 5 (т) = п • т-\- п.
Целыми числами называются числа вида п,— п и 0, где п — натуральное число,
а рациональными — числа вида p/q, где р и q — целые числа и q фО.
Действительные числа можно ввести, исходя из множества рациональных чисел,
с помощью предельного процесса (см., например, [4.2]). Действительные числа, не являю-
щиеся рациональными, называются иррациональными.
Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгеб-
раических уравнений с целочисленными коэффициентами (п. 1.6-3), а действительными
трансцендентными числами — остальные действительные числа.
Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений (п. 1.8-1)
с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые числа. Класс всех дейст-
вительных алгебраических чисел содержит действительные корни всех алгебраических
уравнений (п. 1.6-3) с алгебраическими коэффициентами и включает в себя все рацио-
нальные числа.
1.1-3. Отношение равенства (см. также п. 12.1-3). Из а = 6 следует b — a
(симметрия отношения равенства), а-\-с~Ь-\-с и ас = Ьс (вообще f(ct)—f(b)y
если / (а) обозначает некоторую операцию, приводящую к единственному
результату). Из а~Ь и Ь = с следует а = с (транзитивность отношения равен-
ства). Из аЬфО следует афО и ЬфО.
1.1-4. Отношение тождества. Вообще говоря, уравнение относительно какой-либо
величины л: или нескольких величин х1у х2, . . . будет удовлетворяться только при неко-
торых специальных значениях х или специальных множествах значений xlfx2, . . (см.
также п. 1.6-2). Если хотят подчеркнуть тот факт, что какое-нибудь уравнение удовлет-
воряется при всех значениях х или xlfx2, ... в известных представляющих интерес
пределах, то вместо символа = иногда пользуются символом тождества ЕЕ (пример:
(х — 1) {х + 1) ЕЕ х2 — 1), а пределы изменения рассматриваемых переменных иногда ука-
зывают справа от уравнения. Символ а~Ь употребляется также в смысле: «а по опре-
делению равно Ь».
1.1-5. Неравенства (см. также пп. 12.6-2 и 12.6-3). Действительное
число а может быть положительно (а > 0), отрицательно (а < 0) или равно
нулю (а = 0). Сумма и произведение положительных чисел положительны.
Действительное число а больше действительного числа b (a^>by b <Ca),
если a = b-\-x, где х — некоторое действительное положительное число.
Из а^>Ь следует а-\-о b~\-c, aobc, если с>0, и ас<.Ьс, если с<0
(в частности, —а<; — Ь), 1/а<;1/6, если ab > 0 и \\a^>\jb, если ab<zO.
Из а^Ь и Ь^с следует а^с. Из а^А и b^ В следует а-\-b^ А + В.
1.1-6. Абсолютные величины (см. также пп. 1.3-2 и 14.2-5). Абсолютная
величина \а\ действительного числа а по определению есть число, равное а,
если я^гО, и равное —а, если а<0. Отметим:
а 1^0; из |а| = 0 следует а~0Л
|а!МЫ|^|а+&|^|а| + |Н AЛ-4)
A.1-5)
ММ
1*1
Из \а\^А и \Ь\^В следует \а+Ь\^А + В и | ab \ ^ АВ. A.1-6)
1.2. СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ.
ОБОЗНАЧЕНИЯ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ
1.2-1. Степени и корни. В случае, когда показатель степени п есть нату-
ральное число, n-я степень произвольного действительного числа а (основания
степени) есть произведение п множителей, равных а. При афО по oпpeдeлeJ
нию а° = 1. Если а>0 и п — любое натуральное число, то арифметический
корень я-й степени из а есть единственное положительное решение уравнения

1.2-3. 1.2. СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ 29
хп = а; он обозначается символом a}/nE=Y^- При а = 0, 01//г = >/0" = 0.
Если же а<0, то корень я-й степени из а определяется лишь при нечетном п.
Именно, a ^п^у а есть в этом случае единственное действительное (на самом
деле отрицательное) решение уравнения хп = а. Пусть теперь а^>0. Если
р = п/т, где п и т — натуральные числа, то по определению
При любых натуральных пят
" ' тп >
A.2-1)
Степени с иррациональными показателями могут быть введены с помощью
некоторого предельного процесса (см. также п. 21.2-12). Соотношения
aP-aV = aP+v, (аР)Я = аР^ (а>0), A.2-2)
верные для рациональных показателей, остаются справедливыми и для любых
действительных р и q. Далее, для любых действительных р ид(а>0и&>0)
A.2-3)
№$¦]
Замечание, j/а (квадратный корень из числа а^О) обычно обозна-
чается символом У а . О степенях комплексных чисел и корнях из них см. п. 1.3-3.
1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби.
1.2-3. Логарифмы. Логарифм A: = logca числа а>0 при основании с>0
(с zfi 1) можно определить как решение уравнения
с* = а. A.2-7)
В табл. 7.2-1 и в п. 21.2-10 приведены некоторые более общие сведения
о логарифмах. logca может быть трансцендентным числом (п. 1.1-2). Отметим:
,1=0,
logc(ab) — logccL-\-\ogcb {основное свойство логарифмов),
A.2-8)
logc aP = p \ogc a, logc (Ya j = ~ logc a;
logc/a = logca-log^c^=-~-7, logg, с = ]Qg c, (замена основания). A.2-9)

30 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-2-4.
Особый интерес представляют десятичные логарифмы с основанием 10 и
натуральные (неперовы) логарифмы с основанием
е= lim (l + ~)n =2,718281828... A.2-10)
е—трансцендентное число. Логарифм log^a обозначается символом In а,
a log10 а — символом lg а. Отметим:
In я = Й-1 = in Ю. lg a = B,30259...) lg а,
Гп A.2-И)
\аа = -—- =lg е • In а = @,43429...) In а.
1.2-4. Факториалы. Факториал п\ произвольного целого числа п^О опре-
деляется формулами:
п
0! = 1, п!=Ды.2.3.,.(л-1)/1 (п>0). A.2-12)
& = 1
В п, 21.4-2 приведены приближенные формулы для вычисления факториа-
лов п\ при больших п.
1.2-5. Обозначения сумм и произведений. Для любых двух целых чисел (по-
ложительных, отрицательных или равных нулю) п и m ^> n
т
2 а? —а/г + ал -j- i^~*"^~am — i ~bam (m—n +1 слагаемых), A.2-13)
m
TJ afe ™ ^rt^rt + vam — \am (m—я+1 множителей). A.2-14)
Отметим:
m mf m' m m m' m' m
21 S ««¦,= S S «i*. П П ««- П П «»• A-2-15)
i = n k = n' k = nf i = n i =. n k— n' k =¦ n' i = n
Бесконечные ряды см. в гл. 4.
1.2-6. Арифметическая прогрессия. Если а0 — первый член, а с?— постоян-
на я разность между следующим и предыдущим членами, называемая разностью
прогрессии, то
(/ = 0, 1, 2,...),
1.2-7. Геометрическая прогрессия. Если aft — первый член, а г =#= 1 — постоян-
ное отношение следующего члена к предыдущему, называемое знаменателем
прогрессии, то
tf/ = aor/(/ = 0, 1, 2,...),
/-я + 1

1« 1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
О бесконечной геометрической прогрессии см. п. 4.10-2.
1.2-8. Некоторые числовые суммы (см. также [4.6]).
п
™ Bk — 1J = -
& = 1
k=i
(общую формулу для сумм 2 /г^ см. в п. 4.8-5, d).
1 п
2
__ 2 (я+1)(л +
Бесконечные ряды см. в 4.8.
1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.3-1. Вводные замечания (см. также п. 7.1-1). Комплексные числа (ино-
гда называемые мнимыми числами) не являются числами в элементарном
смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они составляют
новый класс математических объектов, определяемый описанными ниже свой-
ствами (см. также п. 12.1-1).
Каждому комплексному числу с можно поставить в соответствие единст-
венную пару (а, Ь) действительных чисел а и b и обратно. Сумма и произведе-
ние двух комплексных чисел c1^-^(ali Ьх) и с2+-*(а2, Ь2) определяются соот-
ветственно следующим образом: сг +с2 *-+(ах-\-аъ Ьг-\-Ь2) и сгс2 — (ага2 —
— b1b2ia1b2-\-a2b1). Действительные числа а содержатся в классе комплексных
чисел в качестве пар (а,0). Мнимая единица /, определяемая условием
i^@,1), удовлетворяет соотношению
;2=— 1. A.3-1)
Каждое комплексное число с —> (ab,) может быть записано в виде суммы
с = а + ib действительного числа a^-(afi) и чисто мнимого числа 'ib —> @,6).
Действительные числа a = Re с и 6= Im с соответственно называются действи-
тельной частью и мнимой частью комплексного числа с. Два комплексных
числа с = а + ib и с = а — ib, имеющие одинаковые действительные и противо-
положные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами.
Два комплексных числа С\ — а\ + ib\ и с2 = а2 + *'&2 равны в том и только
в том случае, если соответственно равны их действительные и мнимые части,
т. е. d = с2, лишь если а± = а2 и 6Х = Ь2* Из с = а + гб = 0 следует а = b = 0.

32 ГЛ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.3-2.
Сложение и умножение комплексных чисел удовлетворяют правилам пп.
1.1-2 и 1.2-1, причем
(/2 = 0, 1, 2,...); ) К
-f
= Im c = -
A.3-3)
Класс всех комплексных чисел содержит корни всех алгебраических уравнений
с комплексными коэффициентами и включает в себя действительные числа.
1.3-2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами.
Тригонометрическая форма комплексного числа (см. также п. 7.2-2). Комплекс-
ное число z = x + iy удобно изображать точкой (z)~(x, у) или соответствующим
радиусом-вектором (пп. 2.1-2 и 3.1-5) на комплексной плоскости (рис. 1.3-1).
Оси Ох и Оу (в прямоугольной декартовой системе координат) называются
соответственно действительной и мнимой осью. Абсцисса и ордината каждой
точки (г) изображают соответственно действитель-
ную часть х и мнимую часть у числа г. Соответст-
вующие полярные координаты (п. 2.1-8)
r^lz^y Х2 + у2
= Arge, tg ф
A.3-4)
Рис. 1.3-1. Изображение
комплексных чисел точками
или радиусами-векторами.
Оси Ох и Оу называются
соответственно действитель-
ной и мнимой осью.
называются модулем и аргументом комплексного
числа г. Отметим:
х = г cos ф, г/ = г sin ф,
г = х + /f/ = г (cos ф + г" sin ф).
A.3-5)
Модули комплексных чисел удовлетворяют соотно-
шениям A.1-4) — A.1-6). Если г — действительное число, то его модуль \г\ ра-
вен его абсолютной величине (п. 1.1-6).
* Аргумент комплексного числа г определяется с точностью до слагаемого
2&л, где k — любое целое число.
В качестве главного значения Arg z обычно выбирают значение, опреде-
ленное неравенствами — л < Arg г ^ я. Главное значение аргумента г обозна-
чают через argz. При принятом условии arg г=— arg г. *
Для любых двух множеств (действительных или) комплексных чисел alt
а2, ..., ап и plf ра, .... f>n
P* I2 (неравенство Коши —Букяковского) A.3-6)
(см. также пп. 14.2-6 и 14.2-6, а).
1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни.
Сумме комплексных чисел соответствует сумма соответствующих радиусов*
векторов (см. также п. п. 3.1-5 и 5.2-2). Если даны zt = rx (cos фх + i sin cp2)

1.4-1.
1.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
33
и г2 = г $ (cos ф2 + i sin ф2), то
~ = ~ [cos (ф, — ф2) + i sin (фх — ф2)] (г2 Ф 0)
гп __ rn (cos ф _j_ / sjn ф)« _- r
(л —целое число) (формула Муавра).
A.3-7)
Случай, когда показатели степени комплексны, см. в п. 21.2-9.
Если п—натуральное число и с—комплексное число, то у/~с (корень
n-й степени из с) есть решение уравнения zn = c. При сфО существует ровно п
различных корней п-й степени из с. Они определяются формулами
где /*|с| —арифметический корень из положительного числа |с| (п. 1.2-1),
ф = аг?с и & = 0, 1, 2, ..., п—1.
Отметим, что
i/^l = cos — + *'sin —,
A.3-8)
В частности
=1, 2, ...;
cos^ + tsin^ =
1
* »
«i
- г '"
2
A.3-9)
A.3-Ю)
1.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы. Если a, b и с—действитель*
ные или комплексные числа, то
± б3,
(а ±
/=о
где
С!пап~1ь! (л = 1, 2,...),
С/-0, 1Ж 2, ...
A4 1>

34 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.4-2.
(Бином Ньютона для целочисленных показателей п\ см. также п. 21.2-12 )
Биномиальные коэффициенты CJn подробно рассматриваются в п. 21.5-1
A.4-2)
-ib). J A<4)
Если п —любое натуральное число, то
ап—Ьп = (а — Ь) (ал~1 + ап~2Ь +... + abn~2 + bn~l). A.4-4)
Если п —четное положительное число, то
an — bn^(a + b) (а"-1 — ап-Ч + „. + аЬп-*—b*1'1). A.4-5)
Если п —нечетное положительное число, то
ап + Ьп = (а + Ь) (а*-* — aw~2& +... — abn~* + б^1)-
Отметим также:
a* + a*b2 + b* = (a* + ab + b*) (аа—а^ + ^2). A.4-6)
1.4-2. Пропорции. Из a:b = c:d или a/b — c/d следует:
7Й^ Ш A.4-7)
В частности,
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции.
(a) Многочлен (целая рациональная функция) относительно х^ х2, ..., хп
есть сумма конечного числа членов вида ах^1х22.^хппу где каждое k- есть
неотрицательное целое число. Наибольшее значение суммы &1 + &2+ ••• + ##»
встречающееся в каком-либо из членов, называется степенью многочлена.
Многочлен называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же
степень (см. также п. 4.5-5).
(b) Многочлен относительно х^ х^ хп называется симметрическим, если для любо-
го множества значений х^, х„, ..., х значение этого многочлена не изменяется при какой
угодно перестановке * #2, ..., хп (это определение распространяется и на любые функ-
ции от х *2, .., хпу Элементарными симметрическими функциями от xv х2, ..., х
называются многочлены S., S2, ... f 5Д, определяемые следующим образом:
*.=*„.+,,*,+.... . (М9)
где S^ — есть сумма всех Сп = -—-^—— произведений, каждое из которых содержит к
сомножителей лг. с несовпадающими индексами. Каждый симметрический многочлен
относительно хи х2, ... , хп может быть единственным образом записан как многочлен
относительно S^ S2 Sn; коэффициенты этого нового многочлена являются алге-
браическими суммами целочисленных кратных заданных коэффициентов.
Каждый симметрический многочлен относительно xif x2, ... , хп может также
быть выражен как многочлен относительно конечного числа симметрических функций
so~nt Sl= |] x., s2- 2 xj sk== 2 ХЬ - A'4"i0>
1=1 /=l /==1

1.5-3.
1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Симметрические функции (9) и A0) связаны формулами Ньютона
^ ' \ A.4-И)
(см. также п. 1.6-4). Заметим, что в соотношения A1) в явном виде не входит п.
1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.5-1. Определение. Определитель (детерминант)
ап а12 ... а1п
= det [aik] =
а21 а22
A.5-1)
квадратной таблицы (матрицы, п. 13.2-1) с п2 (действительными или комплекс-
ными) числами (элементами) #/# есть сумма п\ членов (—Waik1a2k2'%'ankni
каждый из которых соответствует одному из п\ различных упорядоченных
k k (
у у р ур
kn> полученных г попарными перестановками (транс-
1, 2, ..., п. Число п есть порядок опре-
множеств kx
позициями) элементов из множества
делителя A).
Фактическое вычисление определителя по его элементам упрощается с помощью
пп, 1.5-2 и 1.5-5,а. Отметим, что
п п
1"°'*^ ТТ X aik\* (неравенство Лдамара). A.5-2)
1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя
по строке или по столбцу. (Дополнительный) минор D^ элемента а^ в опре-
делителе п-го порядка A) есть определитель (я—1)-го порядка, получа-
ющийся из определителя A), если из него вычеркнуть i-ю строку и k-й стол-
бец. Алгебраическое дополнение А^ элемента а^ есть коэффициент при а^
в разложении определителя D, или
Aik = (— iy+kDik=4^- A.5-3)
Определитель D можно следующим образом выразить через элементы произ-
вольной его строки или столбца и их алгебраические дополнения:
(/ = 1, 2,..., п)
Отметим также, что
(разложение по столбцу или по строке).
A.5-4)
A.5-5)
1,5-3. Примеры. Определители второго и третьего порядка:
I «11 «12
«21 «2!
A.5-6)
«11 «18 «15
«21 «22 «2»
«31 «82 «33
— «13«22#31 =«11 («22#33 — #23«32) —«21 («12^33—«13«32) + «31 («12«23 — «18«2г) ==
= «и(«22«38— «ЗЗ^Зг) — «12 («21^33— «23^»l) + «43 («2l«32 ^ «22«8l) H Т. Д. A.5-7)

36
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.5-4.
1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа. Определитель т-го порядка М,
получающийся из определителя п-го порядка D(m^n), если из него вычеркнуть какие-
либо п — т строк и какие-либо п — т столбцов, называется минором т-го порядка опре-
делителя D. Минор т-го порядка М и минор (п — т)-го порядка М' определителя D,
получающийся, если из D вычеркнуть строки и столбцы, сохранившиеся в Mt называются
дополнительными минорами: в частном случае т = п, М' = 1. Алгебраическое дополнение
М" минора М в D по определению равно (—1) 1 2
mM',где
П
юбы
/?х./е2 km — номера столбцов, входящих в М. Пусть
заданы любые т строк (или столбцов) определителя D. Тогда D равен сумме произве-
дений AIM" всевозможных миноров т-го порядка М, расположенных в этих строках (или
столбцах), на их алгебраические дополнения М" (разложение Лапласа по нескольким
строкам или столбцам).
Определитель п-ro порядка D имеет Cjf главных миноров т-го порядка,
диагональные элементы которых являются и диагональными элементами D.
1.5-5. Различные теоремы.
(а) Величина D определителя A) не меняется при любой из следующих
операций:
1) замене строк столбцами и столбцов строками (перемене мес-
тами индексов i и k в равенстве A));
2) четном числе перемен местами любых двух строк или любых
двух столбцов-,
3) прибавлении к элементам любой строки (или столбца) соответ-
ствующих элементов какой-либо другой строки (или соответственно
столбца), умноженных на одно и то же число а.
Пример:
2ц a12 ... аы
*21 «22 ••• а2п
Ч\ «/12 ••• пПП
аи a2i
ап а22
ап1
ain
апп
ап1-\-аап2 ап2
. A.5-8)
(b) Нечетное число перемен местами любых двух строк или любых двух
столбцов равносильно умножению определителя на — 1.
(c) Умножение всех элементов какой-либо строки или столбца на множи-
тель а равносильно умножению определителя на а.
(d) Если элементы \-й строки (или столбца) определителя п-го порядка D
mm m
представлены в виде сумм
Сг2'
Сгп' то 0пРе^елитель & Ра'
г=1 г—\
[
вен сумме 2 Dr определителей п-го порядка. Все элементы каждого из опре-
г = Х
делителей Dr, кроме элементов \-й строки (столбца), совпадают с соответ-
ствующими элементами определителя D, а в \-й строке определителя Dr стоят
элементы сп, сг2,"*, сгп.
Пример.
а2П
«
пп
ап а12
«21 «22
ап1 ап2
hi &i2
«2J «22
«rtl «rt2
. A.5-9)

1.6-3.
1.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
37
(е) Определитель равен нулю, если
1) все элементы какой-либо его строки или столбца равны нулю,
2) соответствующие элементы каких-либо двух его строк или
столбцов равны или же пропорциональны.
1.5-6. Умножение определителей (см. также п. 13.2-2). Произведение двух
определителей «-го порядка det [a/#] и det [b^] равно
п
det [aik] det
bik] = det 2fl'A* =
det
= det
= det Г|>/;Ы-
0.5-10)
1.5-7. Изменение порядка определителей. Данный определитель можно следующим
образом записать в виде определителя более высокого порядка:
A.5-11)
где числа а- произвольны. Этот процесс можно повторять сколько угодно раз.
Порядок данного определителя иногда можно понизить с помощью соотношения
11
21
nl
«12
«22
••• am
••• am
••• ann
«11
«21
«П1
0
«12 '••
«22 •••
«Л2 '••
0 ...
«1/г
«2*
flnn
0
«1
«2
%
1
A.5-12)
§ 1.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
1.6-1. Вводные замечания. Решение алгебраических уравнений имеет особо важное
значение в связи с тем, что к этому виду относятся характеристические уравнения сис-
тем линейных дифференциальных уравнений (см. также пп. 9.4-1, 9.4-4 и 14.8-5). Общая
задача отделения корней (возникающая, например, при исследовании устойчивости) может
быть изучена методами п. 1.6-6 и/или п. 7.6-9. Приближенное решение уравнений рас-
сматривается в пп. 20.2-1—20.2-5.
1.6-2. Решение уравнения. Корни. Решить уравнение (см. также п. 1.1-4)
/(*) = 0 A.6-1)
с неизвестным х — значит найти значения х (корни уравнения A), нули функ-
ции / (*)), удовлетворяющие этому уравнению. Решение можно проверить
подстановкой.
1.6-3. Алгебраические уравнения. Уравнение A) вида
f(x) = aoxn + a1xn~i + ... + an_1x + an = O (аоф0), A.6-2)
где коэффициенты at — действительные или комплексные числа, называет-
ся алгебраическим уравнением степени п с неизвестным х\ f (x) — многочлен

38
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.6.4.
степени п относительно х (целая рациональная функция; см. также пп. 4.2-2, d
и 7.6-5). Коэффициент ап — свободный член многочлена B).
Значение х = хг есть корень кратности (порядка) т (кратный корень, если
т> 1) уравнения B) (нуль порядка т функции f (х); см. также п. 7.6-1) если
/ М =?(*) (*—*i)m> гДе § (*) — многочлен" и g (хг) Ф 0. Алгебраическое уравне-
ние степени п имеет равно п корней, если корень кратности т считать т
раз (основная теорема алгебры многочленов). Полное решение уравнения B)
указывает все корни вместе с их кратностями.
Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффи-
циентами, называются алгебраическими числами (вообще говоря, комплексными); если
коэффициенты — алгебраические числа, то корни все еще остаются алгебраическими (см.
также п. 1.1-2). Общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений через
их коэффициенты и содержащие только конечное число сложений, вычитаний, умноже-
ний, делений и извлечений корня, существуют только для уравнений следующих степе-
ней: первой (линейные уравнения, п. 1.8-1), второй (квадратные уравнения, п. 1.8-2),
третьей (кубичные уравнения, пп. 1.8-3 и 1.8-4) и четвертой (уравнения четвертой сте-
пени, пп. 1.8-5 и 1.8-6).
1.6-4. Соотношения между корнями и коэффициентами. Симметрические функции Sk
и Sfc (п. 1.4-3) корней xlt x2, .... хп алгебраического уравнения B) связаны с его коэффи-
циентами а0, at an следующим образом:
Ji = (— l)kSk (k= 1, 2, ..., п), A.6-3)
о
kaft-^ak __ jSj -f afc _ %$* + ••• -)- Qo$k — 0 № — 1, 2, .... n). A.6-4)
Равенства A.6-4) представляют собой другой вариант формул Ньютона (I.4-II). Отметим
также
Sl 1 0 0
(-0*
k\
2 0 .
s, 3 0
sk sk — 1
а0 0 . ,
ах а0 0 ,
а2
а0 0 ..
с,
1, 2 л).
A.6-5)
1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения. Дискриминант Л алгебраического
уравнения B) есть произведение а^п ~~ 2 и квадратов всех разностей (xi — xj^ (/ > k)
корней xt уравнения (квадратные корни порядка /и рассматриваются как т равных кор-
ней с разными индексами):
kefl2*-2
2п — 2
= a2on-2 [W (xx, x2
I— 1
sn — 1 sn sn 4-\ ... s2/2-2
п (п — 1
~-R(f,h, A.6-6)
где
W (хг, x2, ,.., xn)-
i— 1
1 хг х\ -
i x. x: ... *j-i
1 *п*я... ,Г1
I - xk)

1.6-6.
1.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
39
,{эют определитель называется определителем Вандермонда). s^ — суммы k-x степеней
корней многочлена / (х) (s0 = п) и R (f, f) — результант (п. 1.7-3) многочлена / (х) и его
производной (п. 4.5-1) f (х). Дискриминант Д есть симметрическая функция корней xL,
хг, ..., хп, обращающаяся в нуль в том и только в том случае, если f (x) имеет по край-
ней мере один кратный корень (необходимо являющийся общим корнем f {х) и f (x); см.
также п. 1.6-6, g).
1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни. Алгебраи-
ческое уравнение B) называется действительным, если все его коэффициенты
ai — действительные числа. Соответствующий действительный многочлен / (х)
при всех действительных значениях х принимает действительные значения.
Для отделения корней (действие, которое предшествует приближенному ре-
шению уравнений, п. 20.2-1) полезны нижеследующие теоремы. В теоремах
(Ь) — (f) корень кратности т рассматривается как т корней.
(a) Комплексные корни. Комплексные корни действительного алге-
браического уравнения появляются парами комплексных сопряженных чисел
(п. 1.3-1). Действительное алгебраическое уравнение нечетной степени всегда
имеет хотя бы один действительный корень.
*Все корни уравнения B) по модулю не превосходят числа N=1+^1
где А — наибольшее из чисел | я3 | , | а21,..., | ап |; это правило справедливо
и для уравнений с комплексными коэффициентами.*
(b) Теорема Рауса — Гурвица. Число корней с положительной дей-
ствительной частью действительного алгебраического уравнения B) равно числу
перемен знака в любой из последовательностей (в предположении, что 1\
отличны от нуля)
или
где
То,
т0, :
7\ '
ТгТ2
«о
а2
тп-\
» ^ П—2 ¦*¦ П—1*
ч ч
а3 а2
-•
4
*
пх а0
а3 а2
О-Ь #4
а, ав
ап
0
ах
ав
а-
0
а0
а2
пл
A.6-7)
A.6-8)
(элементы а/, отсутствующие в уравнении B), полагаем равными нулю).
Если среди T-t есть равные нулю, то подсчет усложняется (см. [1.2]).
Критерий Рауса — Гурвица. Для того чтобы все корни действи-
тельного уравнения B) имели отрицательные действительные части, необхо-
димо и достатачно, чтобы выполнялись неравенства
Г2
Г0>0,
>0,...
Из положительности всех Tt следует положительность всех коэффициен-
тов a-t уравнения B).
Альтернативная формулировка. Все корни действительного
уравнения B) п-й степени имеют отрицательную действительную часть
в том и только в том случае, если это верно для уравнения (п—\)-й степени
Эта теорема может применяться повторно и дает простую рекуррентную
схему, полезную, например, при исследовании устойчивости. Если один из
коэффициентов а^\ равен нулю, то метод усложняется.

40 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-6-0.
^Критерий Льенара-Шипара. Для действительного уравнения B)
с положительными коэффициентами все корни имеют отрицательную дейст-
вительную часть, если положительны или все Tt с четными индексами, или
все Ti с нечетными индексами.
(Более общая формулировка этого критерия приведена в [1.2].)*
(c) Отделение действительных корней: правило знаков
Декарта. Число положительных корней действительного алгебраического урав-
нения B) либо равно числу N перемен знака в последовательности а0, аг..., ап
коэффициентов, причем коэффициенты, равные нулю, не учитываются, либо
меньше числа N на четное число.
Если перемен знака нет, то уравнение B) положительных корней не имеет:
если есть одна перемена знака, то имеется в точности один положительный
корень. Применяя эту теорему к /(—*), получаем аналогичную теорему для
отрицательных корней.
(d) Отделение действительных корней: верхняя гра-
ница действительных корней (пи. 4.3-3). 1) Если первые k коэф-
фициентов а0, alf...,ak_i действительного алгебраического уравнения B) не-
отрицательны (а^ — первый отрицательный коэффициент), то все положитель-
ные корни уравнения B) (если они есть) меньше, чем 1 + j/ q/a0, где q — наи-
большая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов.
Применяя эту теорему к /(—*), можно таким же образом получить ниж-
нюю границу отрицательных корней.
* 2) Если при х = с многочлен f (х) и его производные f (x), f" (х), ...
..., /(л) (х) (п. 4.5-1) принимают положительные значения, то с является верхней
границей действительных корней уравнения B). *
(e) Отделение действительных корней: теорема Ролля
(см. также п. 4.7-10). Производная (п. 4.5-1) /' (х) действительного многочлена
f (х) имеет нечетное число действительных корней между двумя соседними дей-
ствительными корнями многочлена f(x).
Пусть а и b — два соседних действительных корня уравнения f (х) = 0 и пусть f(a) j-0
и f (b) ^tO. Уравнение f {x) =0 между а и Ь либо вовсе не имеет действительных корней,
либо имеет один действительный корень в зависимости от того, будут ли числа f (a)
и f ф) иметь одинаковые или противоположные знаки. Лишь один действительный
корень уравнения f (х) = 0 может оказаться больше наибольшего корня или меньше
наименьшего корня уравнения /' (х) = 0.
(f) Отделение действительны хкорней: теорема Бюдана —
Фурье. Пусть N (х) — число перемен знака в последовательности значений
f (*)» /; (*)» /"(*)>•••» fin) (x) для любого действительного алгебраического урав-
нения B). Тогда число действительных корней уравнения B), заключенных между
двумя действительными числами а и Ь>> а, не являющимися корнями уравнения
B), либо равно N (а) — N (/?), либо меньше N (а) — N (Ь) на четное число. При
подсчете N(a) члены последовательности, равные нулю, вычеркиваются. Если
при подсчете N (Ь) окажется, что f{i) (b) = 0 для k+1 ^ /^ / — 1, a f ]к\Ь)ф0
и fd) (Ъ)ф0, то}'1){Ь)заменяются на (— \I4 sgn /(/) (b).
Число действительных корней уравнения B), заключенных между а и Ь, нечетно
или четно в зависимости от того, будут ли / (а) и f ф) иметь противоположные или
одинаковые знаки.
(g) Отделение действительных корней: метод Штурма.
Пусть для данного действительного алгебраического уравнения B) без кратных
корней (п. 1.6-2) N (х) есть число перемен знака в последовательности значе-
ний многочленов (члены, обращающиеся в нуль, не учитываются):
M/iM-M*). /i(*)=/'(*)=&(*)/«М-Ш
*)-М*).-.
где при i > 1 каждый многочлен ft (х) есть взятый с коэффициентом —1 оста-
ток (п. 1.7-2), получаемый при делении /,_2 (¦*) на fi_x(x); многочлен fn(x)jt0

1.7-3. 1.7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ 41
есть постоянная. Тогда число действительных корней уравнения B), заключен-
ных между двумя действительными числами аи Ъ>а$ не являющимися кор-
нями уравнения B), равно N (a) — N(b).
Метод Штурма применим и в том случае, если для удобства вычислений какой-либо
из многочленов f^(x) в описанном выше процессе заменить многочленом F; (х) = f^(x)/k (x),
где k (х) — положительная постоянная или многочлен относительно х, положительный
при а ^ х ^ Ь, а оставшиеся многочлены получить, исходя из Fi(x), а не из fj (x).
Подобную же операцию можно вновь проделать над любым из многочленов F; (х) и т.д.
Если уравнение f (х) =0 имеет кратные корни, то / (л:) и f'(x) имект общий делитель
(п. 1.7-3). В stom случае многочлен fn{x) не является постоянной, и N{a) -— N ф) есть
число корней между а и Ь, причем каждый кратный корень считается только один раз.
1.7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
И ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДРОБИ
1.7-1. Разложение многочленов на множители (см. также п. 7.G-6). Если
многочлен F (х) может быть представлен в виде произведения многочленов Д (#),
/г (*)»•••» /s W> т0 эти многочлены называются множителями (делителями) мно-
на F () Е Д ()
/г () /s W (
гочлена F (х). Если х = хг— корень кратности т произвольного множителя Д (),
то он является и корнем кратности М^т многочлена F (х). Каждый (дейст-
вительный или комплексный) многочлен f (х) степени п относительно х может
быть единственным способом представлен в виде произведения постоянной
и п линейных множителей (х — ak), именно
п
f(x) = aoxn + a1xn-i + ... + an_1x+an = aoIl(x-xk), A.7-1)
где Xk— корни многочлена f (х); корню х^ кратности т^ (п. 1.6-2) соответст-
вует mk множителей (x — xk) (теорема о разложении многочлена
на множители). Каждая пара множителей [х — (ty?+ *<*>&)] и Iх — (ak — f0)/?)l»
соответствующая паре комплексных сопряженных корней дг^ = а^-j-tco^ и
xk — ak — mk (см. также п. 1.6-6а), может быть объединена в действительный
квадратный множитель [(х — a&J-j-OL>?2].
1.7-2. Деление многочленов. Остаток. Частное F (x)/f (x) отделения много-
члена F (х) степени N на многочлен / (л:) степени п < N может быть представ-
лено в виде
F(X) NN1
f(x) ~~ aoxn-\-a1xn~1
jL
где остаток rx (x) есть многочлен степени, меньшей, чем п. Коэффициенты bk
и остаток /*i (*) определяются однозначно, например с помощью процесса
деления углом (алгоритма деления).
Остаток г\ (х) отсутствует в том и только в том случае, когда много-
член f(x) является делителем (п. 1.7-1) многочлена F (х).
Остаток, получаемый при делении любого многочлена f (х) на (* —с),
равен f (с) (теорема Везу).
1.7-3. Общие делители и общие корни двух многочленов. Если многочлен g (x)
является общим делителем (множителем) многочленов F (х) и f (x), то его корни являются
общими корнями этих многочленов. Отношение B), как и числовую дробь, можно сокра-
тить на любой общий множитель числителя и знаменателя.
Многочлены
F (х) = AQxN + AxN~x + ... + AN
а
f (x) = aQxn + axxn~x + ... + an

42 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.7-4.
имеют по крайней мере один общий корень (и, таким образом, общий делитель нену-
левой степени) в том и только в том случае, если определитель порядка N -j- n
Я (F, f) -
At А2 . .., , , » * . Л//—1 Aft 0 .... О
О Ао At A2 AN _ i AN 0 . О
О О Ао At Аг . . . Лдг__! Лдг
а0 «t а2 . ... ап_1 ап О . . . . О
0 "о at а2 ... . ап. а_ 0 . . . О
A.7-3)
(результант многочленов F (л:) и f (х)) равен нулю. В противном случае F (х) и f (x)
взаимно просты.
* Имеет место формула
N п
где «t- и Э/~" соответственно корни F (•*) и f (х). *
Наибольший общий делитель (общий множитель наибольшей степени) многочленов
F(x) и f (х) определен однозначно с точностью до постоянного множителя и может быть
найден следующим образом. Делим f (x) на гх (х), где гх (х) определен формулой A.7-2)j
получаем остаток г2 (х). Затем делим г, (л:) на получившийся остаток гг (лг) и продолжаем
этот процесс до тех пор, пока некоторый остаток, скажем, г^ (х), не окажется равным
нулю. Тогда остаток rkl {x), умноженный на произвольный постоянный множитель, и
будет искомым наибольшим общим делителем. Если гх (х) = 0, то наибольшим общим
делителем будет сам многочлен f (x).
1.7-4. Разложение на элементарные дроби. Любое отношение g(x)/f(x)
многочлена g (х) степени т и многочлена f (х) степени п >> т без общих кор-
ней (п. 1.7-3) может быть следующим образом представлено в виде суммы п
элементарных дробей, соответствующих корням хк (кратности тк) много-
члена / (л:):
Коэффициенты Ьщ можно найти одним из следующих методов или же комби-
нацией этих методов:
1. Если mk — \ (xk — простой корень), то b^i—g (x/?)//' (xk).
2. Умножая обе части равенства D) на / (х) и приравнивая ко-
эффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного
равенства.
3. Умножая обе части равенства D) на f (х) и последовательно
дифференцируя полученное равенство. Пусть ф^ (*)=/(*)/(*— xk) k.
Тогда bkmk, bkmk_ly ... последовательно находятся из соотношений
ё" М = bkmk4k (xk) + 2^тА-1ф^ (xk) + 2bkmk_^k (xk),

1.8-3. 1.8. ЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТНЫЕ, КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 43
Элементарные дроби, соответствующие произвольной паре комплексных
сопряженных корней ak-\-mk и а^—'гщ кратности mk, обычно соединяются в
* '
Коэффициенты ckj и d^j могут быть определены непосредственно описанным
выше методом 2. Если g (х) и /(#)—действительные многочлены (п. 1.6-6), то
все коэффициенты Ь^, с#у, <^/ в окончательном разложении на элементарные
дроби действительны.
Каждая рациональная функция от х (п. 4.2-2, с) может быть представ-
лена в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей (см.
также п. 7.6-8). Разложение на элементарные дроби играет важную роль
в связи с интегрированием (п. 4.6-6, с) и интегральными преобразованиями
(п. 8.4-5).
1.8. ЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТНЫЕ, КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
1.8-1. Решение линейных уравнений. Общее уравнение первой степени
(линейное уравнение)
ах = Ь или ах — 6 = 0 (афО) A.8-1)
имеет решение
*=4- A-8-2)
1.8-2. Решение квадратных уравнений. Квадратное уравнение
ax2 + bx + c=0 (афО) A.8-3)
имеет корни
где в случае, когда а, Ь и с—любые комплексные числа, Yb2 — 4ac есть одно
из значений квадратного корня.
Если уравнение C) действительно, то его корни Х\ и х2 либо действи-
тельные различные, либо действительные равные, либо комплексные сопря-
женные в зависимости от того, будет ли (п. 1.6-5) D = b2 — 4ac соответственно
положителен, равен нулю или отрицателен. Отметим, что
*i+х% == — b/а и xLx2 = с/а.
1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано. Кубичное уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0 A.8-5)
подстановкой # = # — ~ приводится к «неполному» виду
У* + РУ + Я = О, P = -ai + b, <7 = 2(fK-f + ,. A.8-6)
Корни yv y2, Уз «неполного» кубичного уравнения F) равны
где
A.8-7)

44 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.8-4.
причем в качестве А и В берутся любые значения кубичных корней из соот-
ветствующих комплексных чисел, удовлетворяющие соотношению АВ ——р/3.
Если уравнение F) действительно, то (в тех случаях, когда это возможно)
следует брать действительные значения этих корней. Если кубичное уравнение
F) действительно, то оно имеет или один действительный корень и два
сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней
мере два из которых равны, или три различных действительных корня в зави-
симости от того, будет ли Q соответственно положительно, равно нулю или
отрицательно. В последнем случае («неприводимый» случай) можно восполь-
зоваться методом п. 1.8-4,а. Отметим, что дискриминанты (п. 1.6-5) уравнений
E) и F) равны —108 Q.
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение. Пусть «неполное»
кубичное уравнение F) действительно.
(а) Если Q<0 («неприводимый» случай), то р<0 и
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
1.8-5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера. Уравне-
ние четвертой степени
х* + ах* + Ьх2 + сх-\-с1 = 0 A.8-10)
подстановкой х — у—|- приводится к «неполному» виду
У* + РУ* + ЯУ + г = 0. A.8-11)
Корни уъ у2, у3, у4 «неполного» уравнения четвертой степени A1) равны
одному из выражений
±Уъ±Ун±Уъ A-8-12)
в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие
причем гх, г2 и г3 —корни кубичного уравнения
г8+Т 22+Т*-бТ = °- <L8'14>
1.8-6. Уоавнения четвертой степени: оешение Феооари. Если ул — произ-
A.8-8)
A.8-9а)
A.8-96)

1.9-3.
1.9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
45
(резольвенты уравнения A0)), то четыре корня уравнения A0) находятся как
корни двух квадратных уравнений
+ y±--di A.8-16)
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. От-
метим, что дискриминанты (п. 1.6-5) уравнений A0) и A5) совпадают.
1.9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1.9-1. Системы уравнений. Решением некоторого множества (системы) урав-
нений
П(хъ *2,...) = 0 (/=1, 2,...) A.9-1)
с неизвестными xltx2t... называется множество значений неизвестных xlt
x2i..., удовлетворяющих одновременно каждому из уравнений системы A).
Система A) решена полностью, если найдены все такие решения. Ч^сто можно
последовательно исключать неизвестные Xj из системы A), например разрешая
одно из уравнений относительно xj и подставляя полученное выражение в ос-
тавшиеся уравнения. Число уравнений и неизвестных таким путем уменьша-
ется до тех пор, пока не остается решить одно уравнение с одним неизвест-
ным После этого процесс повторяется в обратном порядке, для нахождения
второго неизвестного и т. д. Решения можно проверить подстановкой.
Чтобы исключить Xi, скажем, из двух уравнений ft (xt, х2) — 0 и f2 (xt, х2) = 0, где
/i (#ь х2) и fz (xlt хг) — многочлены относительно xt и х2 (п. 1.4-3), рассматривают обе
эти функции как многочлены относительно xt и составляют их результант R (п. 1.7-3).
Тогда х2 должно удовлетворять уравнению R = 0.
1.9-2. Системы линейных уравнений: правило Крамера. Рассмотрим систему
п линейных уравнений с п неизвестными хъ х2, ..., хп:
/= 1, 2, ...,/г). [A.9-2)
«я А + яЛ2*2 + • • • + dnn "п = Ьп
Если определитель системы B)
J]
а-\ч ^12 •
«21 «22 •
-а2П
ani an2...ann
не равен нулю, то система B) имеет единственное решение
-~
(k=\9 2,..., п) (правило Крамера),
A.9-3)
A.9-4)
где D& — определитель, получающийся из D при замене элементов alkt a2k, ...
• ••»«/гл ^"Г0 столбца соответствующими свободными членами Ьъ Ь2,...,Ьп> или
= 1, 2, .... п),
A.9-5)
где Aik — алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента а^ в определителе
D (см. также пп. 13.2-3 и 14.5-3).
1.9-3. Линейная независимость (см. также пп. 9.3-2, 14.2-3 и 15.2-1, а).
(а) т уравнений fi(xlt х2, ..., хп) = 0 (/=1, 2, ..., т) или т функций
*2> •••> *д)» определенных при всех значениях хъ хъ ..., а:л, линейно

46 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.9-4.
независимы, если
т |
из того, что У) %ifi (хъ х2, ..., хп)=в0 при всех значениях I
/ = l f A.9-6)
х1у х2у ..., хп следует, что %1 = <к2 = .-. = ^m = 0. J
В противном случае эти /я уравнений или функций линейно зависимы, т. е.
по крайней мере одно из них может быть представлено в виде линейной ком-
бинации остальных. Это всегда имеет место в тривиальном частном случае,
когда одно или более из уравнений fi(xv x2, ...хп) — § есть тождество.
п
п однородных линейных функций ^ aikxk (' = Ь 2, ..., п) линейно незави-
симы в том и только в том случае, если det [aik] ф О (см. также п. 1.9-5).
п
Более общее утверждение: т однородных линейных функций ? а{ъхъ (' = 1» 2 т)
k = \
линейно независимы, в том и только том случае если (тхп)-матрица [а-и] имеет
ранг т (п. 13.2-7).
(Ь) т множеств, каждое из которых состоит из п чисел х\1\ х^К ..., х^;
jrf\ xf\ ..., д^2); ...; х\т\ _4m), ..., х^ (например, решения системы уравне-
ний или наборы компонент т штук я-мерных векторов), линейно независимы,
если
из 2 МГ=° (/==1,2, .... л) следует ^ = ^ = ... = ^==0.A.9-7)
/ 1
Это выполняется в том и только том случае, если (тхп)-матрица
[д:^] имеет ранг т (п. 13.2-7).
1.9-4. Системы линейных уравнений: общая теория (см. также п. 14.8-10).
Система т линейных уравнений с п неизвестными хъ лг2, ..., хп
YAaikxk^bi (? = 1, 2,..., m) A.9-8)
имеет решение в том и только в том случае, если матрицы
л «12 ••• aln\ /an а12 ... а1п Ьг\
а21 а22 ... а2п I а21 а22 ... а2п b2 \ A.9-9)
\Qml атг ••• ^тп) \^т\ ат% ••• атп bmj
(матрица системы и расширенная матрица системы) имеют один и тот же
ранг (п. 13.2-7). В противном случае уравнения несовместны.
Единственное решение, о котором говорилось в п. 1.9-2, существует,
если г = т — п. Если обе матрицы (9) имеют ранг г^т, то уравнения (8)
линейно независимы при г = т и линейно зависимы при г<т (п. 1.9-3, а).
В случае г<т некоторые т — г уравнений можно выразить в виде линейных
комбинаций остальных г уравнений (независимых), и им удовлетворяют реше-
ния этих г уравнений. Линейно независимые уравнения определяют неко-
торые г^т неизвестных как линейные функции остальных д — г неизвестных,
остающихся произвольными.
1.9-5. Системы линейных уравнений: п однородных уравнений с п неиз-
вестными. В частности, система п однородных линейных уравнений с п неиз-
вестными

1.10-1. 1.10. ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
47
имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения х1 = х2 — ...=
= дгл = О, в том и только в том случае, если D = det [а;ь] = О (см. также
п. 1.9-3, а).
В этом случае существует точно п — г линейно независимых решений х^\
Ад ¦• • *» п. ' 1 * 9 »• • *» хп t* * *t х м у х q j..., л ^. , гое т —~~ ранг мат-
рицы системы (п. 1.9-4). Наиболее общим решением тогда является
п—г
Х1 = ?с/х{р (/=1, 2,..., л), A.9-11)
где cj — произвольные постоянные (см. также п. 14.8-10).
В важном частном случае, когда г = п—-1,
x2 = cAk2i ..., xn = cAkn, A.9-12)
^ А у —алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента ау в определителе D
(причем k выбрано так, что хотя бы одно из Ау (/ = 1, 2, ..., п) отлично
от нуля) есть решение при любой произвольной постоянной с. Это значит,
что все отношения xtfXk определены однозначно; решения A2), получающиеся
при различных таких значениях /г, тождественны (см. также п. 14.8-6).
1.10. ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
1.10-1. Трапеция (стороны а, Ь, с, d\ а и Ь параллельны; высота h есть
расстояние между а и Ь\ площадь S):
(a + b)h, h=?Ysis-a + b)(8-c)(s-d) где 5 = ~ ь + g + d
8-c)(s-d), где 5 = а
Трапеция является параллелограммом при а = Ь (тогда c = d) и ромбом
при a = b = c = d.
' Таблица 1.10-1
Правильные многоугольники (длина стороны равна а)
Ч исло
сторон
п
3
4
5
6
8
10
Правильный
многоугольник
Треугольник
Квадрат
Пятиугольник
Шестиугольник
Восьмиугольник
Десятиугольник
Радиус
описанной
окружности
/? а
2 sin (п/п)
а
f A + /5)
Радиус
вписанной
окружности
а
Г ~~ tg {п/п)
а

~2 Vb + 2/5
Площадь
j]/ 23+ 10 /5
2^(l + /2)
\& У 5 -f 2/5

ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.10-2.
1.10-2. Правильные многоугольники. В табл. 1.10-1 приведены выражения
для радиусов описанной и вписанной окружностей и для площади некото-
рых правильных многоугольников.
1.10-3. Круг (радиус г).
(a) Длина окружности 2лг, площадь яг2.
(b) Центральный угол, равный ф радианам, определяет дугу длиной лр,
сектор с площадью г2ф/2, хорду длиной 2r sin (ф/2), сегмент с площадью
Г2(ф —Sin(J))/2.
(c) Площадь между окружностью радиуса гг и заключенной внутри нее
(не обязательно концентрической) окружностью радиуса г2 равна п (гх-\-г2) X
1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы.
(a) Объем призмы или цилиндра с основанием Sx и высотой h равен hS\.
(b) Объем пирамиды или конуса с основанием Sx и высотой h равен hSx/3.
(c) Объем усеченной пирамиды или конуса с основаниями 5j, 52 и высо-
той h равен h (S3 + ]/SpS^+S2)/3.
(d) Боковая поверхность прямого кругового конуса с радиусом основа-
ния г и высотой h равна лг]/"г2 + /г2.
1.10-5. Тела вращения (см. табл. 1.10-2).
Таблица 1.10-2
Тела вращения
1
2
3
4
5
Тело
Сфера радиуса г
Сплюснутый эллипсоид
вращения (сфероид) (Ось
2a>2b, e = ]/"l-j?:
вращение вокруг малой
оси.)
Вытянутый эллипсоид
вращения (Ось 2<з>26,
8=1/ 1 -2; вращение
вокруг большой оси.)
Тор, образованный вра-
щением круга радиуса г
вокруг оси, отстоящей
на расстоянии R от
центра
Сферический сегмент
радиуса г, заключенный
между параллельными
плоскостями; h — рас-
стояние между плоско-
стями; гх, гг — радиусы
оснований
Площадь поверхности
4лг2
2яв. + я*!1п1±5
^ е 1-е
2л62 + 2я — arcsin г
8
4я2#л
Объем
4
3-я/-
\па*Ь
\nab*
2я2Яг2

1.11-1.
1.11. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
49
1.10-6. Правильные многогранники. В таблице 1.10-3 приведены основные
элементы всех правильных многогранников.
Таблица 1.10-3
Пять правильных многогранников
(Длина
Правиль-
ный мно-
гогран-
ник
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
И косаэдр
ребра равна а; соответствующие числа F граней, Е вершин и
связаны формулой Эйлера Е -f- F — К = 2 *))
Ч'исло и тип
граней
4 равносто-
ронних тре-
угольника
6 квадратов
8 равносто-
ронних тре-
угольников
12 правиль-
ных пяти-
угольников
20 равносто-
ронних тре-
угольников
Радиус
описанной
сферы
?A+У5)/з
^УНь + YS)
•) Формула Эйлера справедлива для
Радиус
вписанной
сферы
и"
а
~2
Vio+2A
4 у Уь
Площадь
поверхности
a*YS
Ся2
•
XV 5E + 2/5)
5а2/3
К ребер
Объем
12У2
j \1Э -f- I V 0 )
~a'(i+YS)
любого выпуклого многогранника.
1.11. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники. Тригонометрия
на плоскости описывает соотношения между сторонами и углами плоских
треугольников в терминах тригонометрических функций (п. 21.2-1 — 21.2-4);
заметим, что все плоские фигуры, ограниченные пря-
мыми линиями, можно рассматривать как комбина-
ции треугольников. Так как каждый плоский треуголь-
ник можно разложить на прямоугольные треугольники,
то наиболее важными тригонометрическими соотношения-
ми являются соотношения между сторонами и углами
прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники. В каждом прямо-
угольном треугольнике (рис. 1.11-1) с катетами а, Ь и
гипотенузой с:
^льный
ник.
А + В = 90°, а2 + б2 = с2 (теорема Пифагора),
sin A = cos В = ~, sin В = cos Л = —,
(l.H-1)

50
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.11-2.
1.11-2. Свойства плоских треугольников. В каждом плоском треугольнике
(рис. 1.11-2) сумма углов равна 180°. Сумма любых двух сторон больше тре-
тьей стороны, против большей из двух сторон лежит
больший угол.
Треугольник на плоскости единственным образом
определяется (с точностью до преобразования симметрии):
1) тремя сторонами,
2) двумя сторонами и углом, заключенным между
ними,
3) стороной и двумя прилежащими к ней углами.
Рис. 1.11-2. Косо
угольный треуголь
ник.
В каждом плоском треугольнике три биссектрисы его углов
пересекаются в центре М вписанной окружности. Три перпен-
дикуляра к его сторонам, проходящих через середины этих сто-
рон, пересекаются в центре F описанной окружности, Три ме-
дианы пересекаются в центре тяжести G треугольника. Три
высоты треугольника пересекаются в точке Й, лежащей на
одной прямой с точками Fn G, причем HG : 6F— 2. Середины сторон, основания высот
и середины отрезков, соединяющих Я с каждой из вершин треугольника, лежат на
одной окружности (окружность девяти точек, окружность Фейербаха). Центр этой
окружности есть середина отрезка HF.
1.11-3. Формулы для решения треугольников. В нижеследующих соотно-
шениях А, В, С являются углами, лежащими соответственно против сторон
я, 6, с треугольника. Площадь треугольника обозначена через S; R и г явля-
ются соответственно радиусами описанной и вписанной окружностей, ар =
1 '- ' *¦ '-с).
Таблица
Решение плоских треугольников
(Все остальные случаи получаются циклической перестановкой.)
11-1
Случай
1
2
3
4
Даны
Три стороны а, Ь, с
Две стороны и угол
между ними Ь, с, А
Одна сторона и два
угла а, В, С
Две стороны и угол
против одной из них
Ь, с, В
Использованные формулы
(A -f В + С = 18U0)
А, В, С из B) или E)
2 U 2 '
?J Q
—-— из F) или G), затем
В и С; или В, С из C) и D):
tff в - bsinA
lgij с- b cos Л'
а из C) или D)
Ь, с из C);
А = 180° — В — С
из C):
b sin A
п sin В '
. _ г sin В
sin С = г—
b
А = 180° — В — С
Условия существования
решения
Сумма двух сторон должна
быть больше третьей
Задача имеет одно реше-
ние, если b ^ с; два реше-
ния, если b < с, с sin В < Ь;
одно решение, если b < с,
с sin В ~ Ь\ при Ь<с,
с sin В > b решения нет

1.12-1. 1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ &1
^ Для того, чтобы получить все формулы, необходимые для решения тре-
угольников, нужно произвести одновременную циклическую перестановку Л,
В, С и af b% с. Табл. 1.11-1 позволяет вычислить все стороны и углы тре-
угольника по определяющим его сторонам и углам.
& = Ь2 + с2 — 2bc cos Л = (Ь + сJ — Abe cos2 —(теорема косинусов), A.11-2)
с = a cos Б + Ь cos Л (теорема о проекциях)
sin Л = + ~ J^p (р-а) (р-Ь) (р-с) ,
A Fi С А /? — С
(Ь -\-с) sin -j = a cos ~ , F — с) cos 2== a sin—^—» A-^-7)
sin ? sin| sin | = p tg ? tg I tg ?-,
= i-fl6 sin C = ~^ sin Л ==4"^ sin
Z Z ?i
= 2/?2 sin Л sin 5 sin C=^- =
Длина высоты ha=~ (S =
Длина биссектрисы wa = ^-^ybc(a + b + c) (b + c — a).
Длина медианы та = -^ ]^262 + 2c2 —a2.
1. 12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.12-1. Введение. Сферические треугольники. На поверхности шара
кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности
большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр
шара (геодезической, п. 17.3-12). Вершины сферического треугольника
являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара,
и сферической поверхности. Сторонами a, bt с сферического треугольника

52
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.12-2.
Рис. 1.12-1. Сферический треу-
гольник.
называют те углы между лучами, которые меньше 180° *). Каждой стороне
треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара
(рис. 1.12-1). Углы Л, В, С сферического
треугольника, противолежащие сторонам а,
Ь, с соответственно, представляют собой, по
определению, меньшие, чем 180°, углы между
дугами больших кругов, соответствующими
сторонам треугольника, или углы между
плоскостями, определяемыми данными лу-
чами.
Сферическая тригонометрия занимается изу-
чением соотношений между сторонами и углами
Сферических треугольников (например, на поверх-
ности Земли и на небесной сфере). Однако фи-
зики и инженеры во многих задачах предпочи-
тают использовать преобразования вращения
(п. 14. 10-1), а не сферическую тригонометрию.
1.12-2. Свойства сферических треу-
гольников. Каждая сторона и угол сфери-
ческого треугольника по определению мень-
ше 180°.
Геометрия на поверхности шара являет-
ся неевклидовой (см. также п. 17.3-13);
в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°,
сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь-
нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон
больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс
третий угол.
Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью
до преобразования симметрии):
1) тремя сторонами,
2) тремя углами,
3) двумя сторонами и заключенным между ними углом,
4) стороной и двумя прилежащими к ней углами.
Замечание. Для каждого сферического треугольника можно определить большие
круги, играющие роль перпендикуляров, проведенных через середины сторон, биссектрис,
медиан и высот. Плоскости трех больших кругов каждого типа пересекаются по прямой.
В полной аналогии с описанной окружностью плоского треугольника существует
описанный прямой круговой конус, содержащий три прямые линии, определяющие тре-
угольник; ось этого конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости перпенди-
куляров, проведенных через середины сторон. Существует также вписанный прямой кру-
говой конус, касающийся трех плоскостей, соответствующих сферическому треугольнику;
ось этого конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости биссектрис. «Радиус»
описанной окружности и «радиус» вписанной окружности представляют собой углы, рав-
ные соответственно половинам углов при вершинах первого и второго конусов.
Если R — радиус шара, то площадь Sj^ сферического треугольника выражается фор-
мулой
5^ = Я2е, A.12-1)
где 8— сферический эксцесс (избыток):
е=Л+В + С-я, A.12-2)
измеряемый в радианах. Величина d = 2я — (а -f- b -f- с) называется сферическим дефектом.
Полярный треугольник, соответствующий данному сферическому треугольнику, оп-
ределяется тремя лучами, перпендикулярными к плоскостям, связанным со сторонами
данного треугольника. Если один сферический треугольник полярен относительно дру-
гого, то и второй будет полярен относительно первого Стороны одного из полярных от-
носительно друг друга треугольников дополняют углы другого до 180°. Таким образом,
каждая теорема или формула, относящаяся к сторонам и углам треугольника, может
быть преобразована в теорему или формулу об углах и сторонах полярного треугольника.
*) Если один из этих углов равен 180°, то сферический треугольник вырождайся
в полуокружность большого круга.

1.12-4.
1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник. В прямоугольном сфе-
рическом треугольнике по меньшей мере один угол, например С, равен 90°;
противоположная сторона с называется гипотенузой. Соотношения между сто-
ронами и углами прямоугольного сферического треугольника могут быть из-
влечены из следующих двух мнемонических пра-
вил Непера:
В диаграмме на рис. 1.12-2 синус любого из
указанных в ней углов равен
1) произведению тангенсов двух углов, прилежа-
щих к нему на диаграмме,
2) произведению косинусов двух углов, противо-
лежащих ему на диаграмме.
Пример. Найти стороны и углы прямоугольного
сферического треугольника, зная гипотенузу с и сторону а.
Эта задача имеет решение только при условии
sin a :< sin с; тогда
cos Ь •
cos с
" cos a '
tgc'
sin A -
Замечание. Если а меньше, равно или больше Рис. 1.12-2. Правила Непера.
90°, то и Л соответственно меньше, равно или больше
90°, и наоборот.
Если даны аи Л, то задача имеет решение только
ь том случае, когда предыдущее условие выполнено и, кроме того, sin a :< sin А; если
аф А, то решений два.
Если даны А а В, задача имеет решение только при выполнении условий 90° < А -\-
Н-Б<270° и — 90° < А — В < 90° (см. п. 1.12-2).
Сферический треугольник со стороной, равной 90°, называется квадрантным тре-
угольником и может рассматриваться как полярный треугольник прямоугольного сфери-
ческого треугольника.
Ко всем задачам, включающим решение сферических треугольников (пря-
моугольных или косоугольных), настоятельно рекомендуется делать эскиз,
ясно показывающий, будут ли различные углы и стороны меньше, равны
или больше 90°.
1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (см. также
рис. 1.12-1). В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами,
противолежащими соответственно сторонам а, Ь, с сферического треугольника.
«Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через
г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной
циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица 1.12-1 позволяет вы-
числять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим
образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале
п. 1.12-2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить
посторонние результаты при решении треугольников.
sin a sin b sin с
sin a sin о sin с / v
iirTT^sIn^^srirc (теоРема синусов),
A.12-3)
cos a = cos b cos с + sin b sin с cos А (теорема косинусов для сторон), A.12-4)
cos А = — cos В cos C+ sin В sin С cos а (теорема косинусов для углов), A.12-5)
. B-\~C b + c
tg , cos —^- =
cos
2 *
-c \
—-—!
Henepa) A.12-6)

54 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.12-4.
Таблица 1. 12-1
Решение сферических треугольников
(см. формулы п. 1.12-4 и рис. 1.12-1)
Случай
1
2
3
4
5
6
Даны
Три стороны
<2, Ь, С
Три угла
А, В, С
Две стороны и за-
ключенный между
ними угол
Ь, с, А
Два угла и заклю-
ченная между ними
сторона
В, С, а
Две стороны и про-
ти во л еж ащ и и одн о й
из них угол
Ь, с, В
Два угла и проти-
волежащая одному из
них сторона
В, С, Ь
Формулы для вычисления
Л, В, С из (8) и цикличе-
ской перестановки
а, Ь, с из (8) и циклической
перестановки
в + с в—с
1 и 2 из F),
затем Б и С; а из G), (8)
или D)
Ц1 и ?^? из F),
затем b и с; А из G), (8)
или E)
С из C); Л и а из F)
с из C); Л и а из F)
Условия существования
решения
0<а + Ь+с< 360°
Сумма двух сторон должна
быть больше третьей
180° < Л + В -f С < 540°;
Сумма двух углов должна
быть меньше 180° плюс тре-
тий угол
Задача имеет одно или два
решения, если
sin с sin В =< sin Ь.
Сохраняются те из вели-
чин С, для которых А — В
и a— b имеют одинаковый
знак;
A -J-B — 180°
и а + b — 180°
также должны быть одного
знака
Задача имеет одно или два
решения, если
sin b sin С ^ sin В.
Сохраняются те из вели-
чин с, для которых Л—В
и а — b имеют одинаковый
знак;
Л + ?- 180°
и а + b - 180°
также должны быть одного
знака

1.12-4.
1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
sin 4 sin
sin^- cos —2-
sin f cos
= COS j COS —g
cos у sin b—~- = sin -| sin
COS g- COS —2— — cos ~?
(аналогии Деламбра
и Гаусса)
81П 2"
COS
-V
\/
*
1 /
- J,
-1/
sin(s — 6)sin(s — c)
sin&sinc *
sin s sin (s— a)
sin 6 sin с '
— cos Scos(S — A)
sinBsinC '
cos (S — B) cos E — C).
sin J5 sin С
(формулы половинных
углов)
_ 1 A
- Л) cos E-B) cos (S -C)
. Л
Ctg у
"I /sin (s~q) sin (s — b) sin (s —c)
Г sin s '
ja cos {S — A) .
2 — ctg f »
__ a (уравнение Люилье).
Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для
вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометри-
ческие функции
vers Л = 1 — cos Л, covers Л = I — sin Л, hav Л = ™ A — cos Л). A.12-12)
Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе-
рических треугольников можно использовать следующие формулы:
hav Л = Sin (s "" b)u S?" (S ~~ C) , hav a » hav ф - с) + sin b sin с hav Л. A.12-13)
sin b sin с
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой.

ГЛА ВА 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1-1. Вводные замечания (см. также п. 12.1-1). Геометрия занимается изуче-
нием объектов, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены
с точками, и представляет собой математическую модель, воспроизводящую
отношения между этими объектами. В основе каждой геометрической системы
лежат определенные аксиомы. Они могут быть выбраны таким образом, чтобы
соответствующая модель отражала свойства реального физического простран-
ства. Однако задачей геометрии является также логическое построение самых
разнообразных аксиоматических систем, в том числе и таких, которые
не всегда отвечают наглядным представлениям. В аналитической геометрии
точка определяется системой чисел (ее координат), и, следовательно, геомет-
рические факты записываются в виде соотношений между координатами.
Главы 2 (аналитическая геометрия на плоскости) и 3 (аналитическая гео-
метрия в пространстве) следуют тому способу изложения, который принят
в большинстве элементарных курсов: основные понятия геометрии предпола-
гаются известными и просто переводятся на язык алгебры, становящейся
вследствие этого средством исследования геометрических форм.
В гл. 17 кратко изложен и использован более глубокий метод, состоя-
щий в построении различных геометрических систем на основании заданных
аксиом. В пп. 17.1-1 — 17.1-6 содержатся краткие
сведения из дифференциальной геометрии плоских
кривых, включая определения касательной, нор-
мали и кривизны.
2.1-2. Декартова система координат. Декартова
система координат связывает с каждой точкой Р
плоскости, на которой выбраны две направлен-
ные прямые (оси координат) Ох и Оу, пересекаю-
щиеся в начале координат О (рис. 2.1-1), пару
действительных чисел, абсциссу х и ординату
вРаИСкосоугол"РааяВсис?емаРко: V. "Ри этом пишут Р(х, у). Прямая проходящая
ординат. Отрезки OEt и через точку Р параллельно оси Оу, пересекает
ое2 — единицы масштаба на ось Ох в точке Р'. Аналогично прямая, проходя-
осях> щая через точку Р параллельно Ох, пересекает
Оу в точке Р". Величина направленного отрезка
ОР' = х (положительная, если направление ОР' совпадает с направлением
оси Ох, и отрицательная в противном случае) и определенная аналогичным
способом величина ОР" = у называются декартовыми координатами точки Р.
В общей (косоугольной) декартовой ' системе координат угол со между
осями Ох и Оу может принимать значения О <С со <С я(правая система) или
— л<со<0 (левая система). Если для измерения отрезков ОР' и ОР" исполь-
зуются различные единицы длины, то система координат называется общей
декартовой или аффинной.
Оси координат делят плоскость на четыре квадранта (рис. 2.1-1). Абсцисса х поло-
жительна для точек (х, у), расположенных в квадрантах / и IV, отрицательна в квадран-
тах // и III равна'нулю для точек оси Оу; ордината у положительна для точек

2.1-4.
2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
57
в квадрантах lull, отрицательна для точек в квадрантах /// и IV, равна нулю для
точек оси Ох. Началом координат служит точка @, 0).
Замечание. Аналитическая геометрия на евклидовой плоскости постулирует
взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами
(«координатная» аксиома, аксиома непрерывности, см. также
п. 4.3-1). У
2.1-3. Правая декартова прямоугольная система
координат. В правой декартовой прямоугольной систе-
ме координат направления осей выбираются так, что
поворот оси Ох на я/2 в положительном направле-
нии, т. е. в направлении, противоположном враще-
нию часовой стрелки, совмещает полуось положитель-
ных х с полуосью положительных у. При этом условии
координаты х, у равны соответственно расстояниям
от координатных осей Ох и Оу до данной точки Р,
определенным по величине и знаку (рис. 2.1-2).
В этой главе, если не оговорено противное,
всегда применяется правая декартова прямоугольная система координат.
2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах.
1. Расстояние d между точками Р1 (хъ уг) и Р2(х2, у2)
Рис- 2.1-2. Системы
полярная.
^ _^
2. Угол у между двумя направленными отрезками Р\Р2 и Р3Р4
CQg у _.« (*а — *i) (*4 — *3) + (У9. — j/i) (у* — у3)
B.1-1)
2 i 2)
V (х2-х1)^-\-(у2-у1)^ У(хь-х3J +
Направляющими косинусами направленного отрезка Р\Р2 называются косинусы
углов а и а = а образованных отрезком с положительными направлениями
х у 2 х*
координатных осей:
х2 — xt
—
cos a =
х V(x2 - дгО
cos а = sin а =
у х
(у2 - УхJ
Уч. —Их
3. Координаты х, у точки Р, делящей направленный отрезок РгР2 между
точками Рх (хъ ух) и Р2(х2, у2) в отношении РХР : РР2 = т: п = Х: 1, опреде-
ляются формулами
тх2
-f nyx
У— m+п — 1
Координаты середины отрезка РгР2:
B.1-4)
B.1-5)
X При 0<А,<оо точка Р лежит внутри отрезка РгР2, а при—1
и —оо<^< —1—вне его. При Х = 0 точка Р совпадает с точкой Plt а при
Я —* ± оо точка Р стремится к точке Р2.
Формулы D) сохраняют смысл при % — — 1, если прямая дополнена несоб-
ственной или «бесконечно удаленной» точкой, которая делит любой отрезок
этой прямой в отношении, равном— 1.-х-
4. Площадь S треугольника с вершинами Рх (xlt yj, Р2(хъ у2), Р3(Хз> Уз)
определяется формулой
х2
У1
уг
Уз
lo lxi (У* ~ Уз) + *2 (Уз - Уд + *з 0/1 - У2)Ь B.1 -6)

58
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
В частности, если х3 = у3 =
то
хг х2
Уг Уг
B.1-7)
Значение 5 положительно, если направление обхода Р\Р2Р3 созпадает с поло-
жительным (против часовой стрелки) направлением вращения.
2.1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе
осей. Пусть х, # —координаты произвольной точки Р относительно декартовой
системы координат; пусть ху ^ — координаты
этой же точки Р относительно другой декарто-
вой системы координат, оси которой соответ-
ственно параллельны осям первой системы и
направлены так же, как они, и начало кото-
рой имеет относительно системы Оху коорди-
наты х0, у0. Если на осях этих систем выбра-
ны одинаковые единицы масштаба, то коорди-
5г наты х, у связаны с х> у следующими форму-
^ лами преобразования (рис. 2.1-3):
ffff
или
Рис. 2.1-3. Параллельный пере-
нос осей координат.
B.1-8)
Уравнения (8) допускают еще одно истолкование.
Если рассматривать хну как координаты относитель-
но первоначальной системы координат (т. е. системы Оху), то точка (х, у) может быть
получена из точки (х, у) при помощи переноса на — х0 в направлении оси Ох и на — у9
в направлении оси Оу. Применение этого
преобразования к каждой точке некоторой пло-
ской кривой можно рассматривать как преоб-
разование переноса кривой.
2.1-6. Преобразование декартовых пря-
моугольных координат при повороте осей.
Пусть xt */ —координаты некоторой точ-
ки Р относительно декартовой ч прямо-
угольной системы координат. Пусть х,
У — координаты этой же точки относитель-
но новой прямоугольной системы коор-
динат с тем же началом, расположенной
относительно системы Оху таким обра-
зом, что угол хОх между осью Ох и
осью Ох равен б; угол отсчитывается в
положительном направлении (рис. 2.1-4).
При одинаковых единицах масштаба на осях координаты х, у связаны с ко-
ординатами х, у следующими формулами преобразования:
\
Рис. 2.1-4. Поворот осей координат.
= х cos
ИЛИ
sin 0,
— х cos Q~y sin 0,
у = — x sin 0 + У cos 0
y = x sin 0+#cos0
s0, \
B.1-9)
Если рассматривать х, у и х, у как координаты двух различных точек относительно
одной и той же системы координат, то формулы (9) определят преобразование поворота
на угол — 8 вокруг начала координат, переводящее точку (л:, у) в точку (х, у)-
2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей. Если начало
координат системы Оху из п. 2.1-6 не совпадает с началом системы Оху и

?.t-8. 2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 59
имеет относительно последней координаты xOt у0, то уравнения преобразова-
ния принимают вид
х = (х — х0) cos 8 + (у—уо) sin 0,
*/ = — (* — *0) sin б + ({/~г/о) cos0,
или
— x0-\-xcosQ—y sin 0,
sin 0 — */cos6.
B.1-10)
Формулы A0) позволяют найти зависимость между координатами точки
в любых двух правых декартовых прямоугольных системах координат с оди-
наковыми единицами масштаба на осях.
Формулы A0) определяют также преобразования переноса и вращения, переводящие
точку (х, у) в точку (х ,у), где обе точки рассматриваются в одной и той же системе
координат.
Замечание. Преобразования (8), (9) и A0) не изменяют расстояния A) между
двумя точками или величину угла, определяемую формулой B). Соотношения, состав-
ляющие содержание евклидовой геометрии, не изменяются при преобразовании переноса
и поворота, т. е. инвариантны относительно этих преобразований (см. также пп. 12.1-5,
14.1-4, 14.4-5).
2.1-8. Полярные координаты. Полярная система координат на плоскости
задается точкой О (полюс) и направленной прямой Ох (полярная ось). С каж-
дой точкой Р плоскости, на которой задана полярная система координат,
можно связать определенную пару чисел р, q> (полярные координаты). Поляр-
ный радиус р есть длина отрезка ОР, а полярный угол ф — радианная мера
угла хОР, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой
стрелки (см. рис. 2.1-2). Угол ср определен с точностью до слагаемого 2/гя,
где k — любое целое число. Точка (р, ф) по определению совпадает с точкой
( —р, Ф ± я); это условие связывает определенную точку плоскости с каж-
дой парой чисел (р, ф) не только при положительных, но и при отрицатель-
ных значениях р. Для полюса О величина ф не определена.
Замечание. В отличие от декартовой системы, полярная система координат
ле устанавливает взаимно однозначного соответствия между парами чисел (р, ф) и точ-
ками плоскости. Однако в большинстве приложений возникающая в результате этого
неопределенность может быть устранена.
Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом О и
осью Ох прямоугольной системы координат (см. рис. 2.1-2), то при условии,
что для измерения г, х и у использованы равные единицы масштаба, декар-
товы и полярные координаты связаны следующими формулами преобразования:
Имеют место следующие формулы (р, <р — полярные координаты):
1. Расстояние d между точками (рь <pj) и (р2, ф2):
d = Yq\ + Р| — 2р4р2 cos (ф2 — ф,). B.1-12)
2. Площадь треугольника с вершинами Рх (рь (pt)t Р2 (р2, ф2), р3 (р3, ф3):
S = l- [PiP2 sin (ф2 — ф!) + р2р3 sin (ф8 — ф2) + p3pi sin (q>x — ф3)]. B.1-13)
В частности, если р3=0, то
5 = \ [9i92 sin (ф2 - ф1)]. B.1-14)
О знаке 5 см. п. 2.1-4.4.
О других криволинейных системах координат см, в гл. 6.

№ ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.1-9.
2.1-9. Способы задания кривых (см. также пп. 3.1-13 и 17.1-1).
(a) Уравнение кривой. Уравнение вида
<р(*, г/) = 0 или y = f(x) B.1-15)
удовлетворяется координатами точек, принадлежащих определенному точеч-
ному множеству. В большинстве случаев, представляющих интерес, это точеч-
ное множество образует кривую (см. также п. 3.1-13). Обратно, заданную
кривую можно определить уравнением A5), которое должно удовлетворяться
координатами всех точек кривой и только этих точек. Возможен случай,
когда кривая имеет более одной ветви.
Кривые, определяемые уравнениями
<р(лг, у)=0 и Яф(*, у)=0,
где К — отличная от нуля постоянная, совпадают.
(b) Параметрическое задание кривых. Плоская кривая
может быть задана также двумя уравнениями
* = *(/). у=уЮ, B.1-16)
где t — переменный параметр.
(c) Пересечение двух кривых. Значения координат х и у, кото-
рые одновременно удовлетворяют уравнениям двух кривых
<Pi(*. У)=О, q>2(*, y)=0, B.1-17)
определяют точку пересечения этих кривых. В частности, если уравнение
ц (х, 0) = 0 имеет действительные корни, то они служат абсциссами точек
пересечения кривой ф (л:, у) —0 с осью Ох.
Если ф (х, у) — полином степени п (п. 1.4-3), то кривая ф (х, у) — О пересекает ось
Ох (как и любую прямую линию, п. 2.2-1) в п точках (кривая п-го порядка); однако
некоторые из этих точек пересечения могут совпадать или быть мнимыми.
Для любого действительного %, уравнение
Ф1 (х, у) + К ф2 (х, у)=0 B.1-18)
определяет кривую, проходящую через точки пересечения (действительные или мнимые)
двух кривых A7).
(d) Уравнение
Ф1 (х, У) • Ф2 (х, у) = 0 B.1-19)
удовлетворяется координатами точек, принадлежащих любой из KpHBoix A7), и не удов-
летворяется координатами других точек.
2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
2.2-1. Уравнение прямой линии. Каждое уравнение, линейное относительно
декартовых координат х и у, т. е. уравнение вида
Ах + Ву + С-=0, B.2-1)
где Л и Б не равны нулю одновременно, определяет прямую линию (рис. 2.2-1).
Обратно, каждая прямая линия может быть определена линейным уравне-
нием A). При С = 0 прямая проходит через начало координат.
Особенно важное значение имеют следующие виды уравнения прямой.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пря-
мая, образующая угол ф с положительным направлением оси Ох (рис. 2.2-1)
и пересекающая ось Оу в точке (О, Ь):
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.

2.2-2.
2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
61
2. Уравнение прямой в отрезках. Прямая линия, пересекающая
ось Ох в точке (а, 0) и ось Оу в точке @, Ь) (см. рис. 2.2-1):
3. Нормальное уравнение прямой. Пусть р— длина перпен-
дикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а б —угол (изме-
ренный в положительном направлении) между положительным направлением
сси Ох и направлением перпендикуляра,
спущенного из начала координат на прямую
(см. рис. 2.2-1).
Тогда уравнение прямой имеет вид
sin6— 0 = 0.
Рис. 2.2-1. Уравнение прямой.
через две дан-
4. Уравнение пучка прямых
с центром в точке (xlt уг):
у—У\^^(х—хг).
5. Уравнение прямой, проходящей
ные (несовпадающие) точки Р1(х11 уг) и Р2 (х2, у^У-
1
у — У\ ,
У2—У1
или
х
хх
х2
У2
= 0.
Если прямая задана общим уравнением A), то отрезки а и Ъ, отсекаемые ею
на осях, угловой коэффициент /г, расстояние прямой от начала координат р,
cos б и sin б выражаются через коэффициенты Л, В и С следующим образом:
A В * В 2
cos6=, .^L=, sin б = —7==. B.2-3)
Л2 + Я2'
знак перед радикалом выбирается так,
Во избежание неопределенности
чтобы соблюдалось условие р > 0.
В этом случае cos 6 и sin 0 являются направляющими косинусами положительной
нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую
(см. п. 17.1-2). Если С —0, то выбор положительного направления на нормали произ-
волен.
2.2-2. Другие способы задания прямой. Параметрические уравнения прямой
могут быть записаны в виде
c = axt-\-xOi y = avt+y0 (? —переменный параметр);
а у ПуХо — ахУо ах-Уо — апхо
при этом
B.2-4)
B.2-5)
COS б = -
B.2-6)
Если знак корня выбран так, что р > 0, то начало координат будет лежать
справа от направления1 в котором точка (х, у) перемещается по прямой при
возрастании t.

62 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.3-1 •
Уравнение прямой в полярных координатах:
р (A cos ф + В sin ф) + С = 0 B.2-7)
или
pcos(cp — G) = /?, B.2-8)
где Л, Б, С, р и б имеют тот же смысл, что и в п. 2.2-1; р, ф — полярные
координаты.
2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ
2.3-1. Точки и прямые. Расстояние д от точки Яо(*о> Уо) д° прямой
Ах-{-Ву + С — 0, определенное по величине и знаку, может быть найдено по
формуле
Ь^АХо + Ву9 + С B.3-1)
где знак перед радикалом противоположен знаку С. Иногда fi называют
отклонением точки от прямой; отклонение положительно, если начало коор-
динат и точка Ро (х0, у0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно,
если по одну сторону.
Три точки {xlt ух), (х2, у2) и (лг3, у3) лежат на одной прямой в том и
только в том случае, если (см. также п. 2.2-1)
*i Ух
*2 У2
Ч Уз
= 0. B.3-2)
2.3-2. Две или несколько прямых.
(а) Две прямые
A + B + CO или y^k^ + bi B.3-За)
0 или у = &2* + &2 B.3-36)
пересекаются в точке
BtC2-B2Ct _bt-b2 CtAz-CzAt =k2bt - kxb% ,<> о л\
AiB2 — A2Bt k2 — kt' У АхВ2~АгВх ki — kt ' \*-*mV
(b) Угол v12 между двумя пересекающимися прямыми (За) и C6) определя-
ется формулой
ЧTi2- АхАг + BlBz~ \ + blfct- B-^5)
^ Под углом 7i2 ПРИ этом понимается угол, на который нужно повернуть
прямую (За) вокруг точки пересечения прямых против часовой стрелки до
первого совмещения с прямой C6). Поменяв местами ki и k2i получим тан-
генс смежного угла Y21 — к — у12. X
(c) Прямые (За) и C6) параллельны, если
А1В2 — А2В1 = 0 или k2 = kv B.3-6)
и перпендикулярны, если
AxA2 + BxB2^0 или /г2 = —i B.3-7)
(d) Уравнения прямых, проходящих через точку (х±, у%) под углом у
к прямой (За):

2.3-3. 2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ 63
В частности, нормаль к прямой (За), проходящая через точку (xv ух),
определяется уравнением
У—Уг^Тг (*~*i) или y-yi = — lTt(x-xi)- B-3"9)
(е) Уравнение любой прямой, параллельной (За):
Л1* + ?1г/ + С=О. B.3-10)
Расстояние б между параллельными прямыми (За) и A0):
Сс B.3-11)
Если в A1) знак перед радикалом противоположен знаку Сг, то б будет
положительным, когда начало координат и прямая A0) лежат по разные сто-
роны от прямой (За).
(f) Уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых
(За) и C6), имеет вид
(Л1х + В1у + С1) + Х(А2х + В2у + С2) = 0, B.3-12)
где X —постоянная (см. также п. 2.1-9, с). Обратно, каждое уравнение вида
A2) определяет прямую, проходящую через точку пересечения данных пря-
мых. Если (За) и C6) параллельны, то A2) определяет прямую, которая
в свою очередь им параллельна. Совокупность прямых, определяемых урав-
нением A2) при различных значениях параметра X, называется пучком пря-
мых, а точка их пересечения — центром пучка. Если базисные прямые (За)
и C6) пучка заданы нормальными уравнениями (п. 2.2-1), то (—Я) равно
отношению расстояний от любой точки прямой A2) до базисных прямых; при
Я=1 и Я =—1 полученная прямая служит биссектрисой угла между базис-
ными прямыми пучка.
(g) Для того чтобы три прямые
АгХ + Btf + C^O, A2x + B2y + C2 = 0, A3x + Bay + Cs^Q B.3-13)
пересекались в одной точке или были параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы
г Вг Сг
Л 2 В с, С
= 0, B.3-14)
А3 В3 С3
т. е. чтобы левые части уравнений A3) были линейно зависимы (п. 1,9-3, а).
2.3-3. Тангенциальные координаты. Уравнение
6* + Т1У+1 = 0 B.3-15)
определяет прямую линию (?, к\). Числа g и г\ называются ее тангенциальными (линей-
ными, плюккеровыми) координатами. Если точечные координаты х, у фиксированы, а ?,
у\ рассматриваются как переменные то A5) становится уравнением точки (х, у), т. е.
точки пересечения всех прямых A5). Симметрия уравнения A5) относительно точечных и
тангенциальных координат влечет за собой соответствие (двойственность) между теоре-
мами, относящимися к взаимному расположению точек и прямых (пп. 2.3-1 и 2.3-2).
Уравнение F (I, rj) = 0 определяет семейство прямых, которое, вообще говоря, имеет
огибающую, зависящую от вида функции F (|, ц) (П, 17,1-7).

64
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.4-1,
2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
2.4-1. Общее уравнение второй степени. Кривые второго порядка (конические
сечения) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых
прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно х,
у имеет вид
или
где
(i, k=*l, 2, 3).
2.4-2. Инварианты. Для любого уравнения A) три величины
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
«11 «12
«21 «22
B.4-1)
B.4-2)
являются инвариантами относительно переноса и поворота осей B.1-8),
B.1-9) и B.1-10). Эти инварианты определяют свойства кривой второго по-
рядка, не зависящие от ее положения на плоскости.
Инвариант А, а также иногда Д =8А, называют дискриминантом уравнения A).
2.4-3. Классификация кривых второго порядка. Табл. 2.4-1 содержит клас-
сификацию кривых второго порядка, основанную на их инвариантах B.4-2);
в этой таблице
«22 «23
«11
«31
«13
B.4-3)
Л' является инвариантом относительно поворота осей (семиинвариантом).
2.4-4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка. Две невырожден-
ные кривые второго порядка (Л ф 0), заданные уравнениями вида A), подобны, если
О = 0 для каждого из уравнений (т. е. если обе кривые — параболы) или если D ф О
для каждого из уравнений и отношения ац'.а^: а22 Для этих уравнений совпадают.
2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи
характеристической квадратичной формы
у) = ахххг + 2аХ2ху + a22yz,
B.4-4)
соответствующей уравнению A). В частности, невырожденная кривая второго порядка
(Л ф 0) оказывается действительным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или пара-
болой в зависимости от того, будет ли Fo (x, у) положительно определенной, отрица-
тельно определенной, неопределенной или полуопределенной квадратичной формой, что
устанавливается по корням Яь Я,, ее характеристического уравнения
а21
а12
а22 —Я
= 0 или А,2 —
B.4-5)
Корни Ki, Я2 являются собственными значениями действительной симметрической мат-
рицы [#?ь] (пп. 13.4-5, 13.5-2) и, как следствие этого, всегда действительны.
Х< Заметим, что инварианты / и D кривой второго порядка следующим образом вы-
ражаются через корни характеристического уравнения E):
Отсюда следует, что если один из корней Ки
т. е. 1=0, то D<0 (см. табл. 2.4-1). *
равен нулю, то D = 0, а если
г — \и
2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка.
(а) Диаметром кривой второго порядка называется прямая, являющаяся
геометрическим местом середин параллельных хорд. Говорят, что диаметр
сопряжен хордам (а также направлению хорд),, которые он делит пополам.

2.4-6. 2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
65
Таблиц 2.4-1
Классификация кривых второго порядка
Центральные кри-
вые второго порядка
Нецентральные кри-
вые второго порядка
(без центра или с не-
определенным цент-
ром)
D-0
D>0
D <0
D = 0
Невырожденные кривые
А фО
*<•
Действительный
эллипс (окруж-
ность, если
/2 = W или
«11 = «22, «12 = 0)
Мнимый эллипс
(ни одной дейст-
вительной точки)
Гипербола
Парабола
Вырожденные (распадаю-
щиеся) кривые
А = 0
Действительная точка пе-
ресечения двух мнимых пря-
мых (эллипс, выродившийся
в точку)
Пара действительных пе-
ресекающихся прямых (вы-
родившаяся гипербола)
Л'>0
Л'<0
....
Пара мнимых па-
раллельных прямых
(ни одной действи-
тельной точки)
Пара действитель-
ных параллельных
прямых
Одна действитель-
ная прямая (пара
совпавших прямых)
Диаметр, сопряженный хордам, образующим угол б с положительным направ-
лением оси Оху определяется уравнением
sin 6=0.
cos 6 + (а21х + а22у + а23) sin 6=0. B.4-6)
(b) При D Ф 0 все диаметры кривой второго порядка пересекаются
в одной точке —центре кривой (другое определение см. в п. 2.4-10). При
О 0 В йО
р р (ру р
= 0 все диаметры параллельны или совпадают. В случае
рого порядка называется центральной.
Координаты центра (лг0, Уо) определяются уравнениями
ац*о + аХ2у0 -f- aiZ = 0, #21#о + «22#o 4-я23 — °
откуда следует, что
«23 «22
D\a2l a23
кривая вто-
B.4-7)
B.4-8)
Если кривая центральная, то перенос B.1-8) начала координат в ее центр (8) приводит
уравнение кривой к виду
2 + A.z==,ot B.4-9)
где х, # —координаты относительно новой системы.
(с) Каждый из двух сопряженных диаметров центральной кривой второго
порядка делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (см. также
п. 2.5-2, е).

66
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.4-7.
2.4-7. Главные оси. Диаметр, перпендикулярный к сопряженным ему хор-
дам, называется главной осью кривой второго порядка и является осью сим-
метрии кривой. Каждая центральная кривая второго порядка (ЭфО) либо
имеет две взаимно перпендикулярные главные оси, либо каждый диаметр
является главной осью; в последнем случае кривая является окружностью.
При D — 0 кривая имеет одну главную ось (см. табл. 2.4-1). Точки пересече-
ния кривой второго порядка с ее главными осями называются вершинами
этой кривой.
Главные оси имеют направление собственных векторов матрицы Г#Ь1 (/, k = \, 2)
(см. п. 14.8-6). Иначе говоря, направляющие косинусы cos 6, sin 0 нормалей к главным
осям (п. 2.2-1) удовлетворяют уравнениям
(alt — a) cos 6 + а12 sin 8 = 0, a2t cos В -f- (a22 — A) sin S = 0, B.4-10)
где a — отличный от нуля корень уравнения E). Направления главных осей и сопря-
женных им хорд называются главными направлениями кривой второго порядка. Угол
между положительным направлением оси Ох и каждым из двух главных направлений
кривой определяется формулой
tg 2ф = tg 29 = 2С*12—; B.4-11)
аП — #22
только окружность имеет неопределенные главные направления.
2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному
(каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, совершив пово-
рот осей на угол, удовлетворяющий уравнению (И), и подходящий перенос
начала (п. 2.1-7), то уравнение A) любой невырожденной кривой второго
порядка может быть приведено к следующему стандартному (или канониче-
скому) виду (параметры а2, Ь2 и р, встречающиеся в канонических уравне-
ниях, весьма просто выражаются через корни Кх ^ Я2 характеристического
уравнения E) и инварианты Л, D, /):
1 А А \ А А
а2 L _ — _ _lL /?2 — L ?i = lL
*2 D KKf At D я|Я;
B.4-12a)
= ~a7d=-^' J
^r—fr — 1 (г ипербола),
B.4-126)
B.4-12c)
Уравнения вырожденных (распадающихся) кривых второго порядка аналогичным
способом приводятся к виду
п х I/ Л -L. I/ --^>0
? + ? = 0 (точка),
х2 у2
(пересекающиеся прямые),
B4-13)
х2
— = 1 (параллельные прямые),
х2 = 0 (одна действительная прямая). .
Замечание. Поворот координатных осей B.1-9) на угол, удовлетворяющий
уравнению A1), приводит к диагональному виду матрицу [aik] характеристической
квадратичной формы D) (см. также п. 14.8-6). Изменение В на угол, кратный л/2, соот-
ветствует некоторой перестановке переменных х, у, —х и —у. Канонические уравнения
A2, а), A2, Ь), A2, с) соответствуют такому выбору б, при котором фокусы (п. 2.4-9) кри-
вых второго порядка лежат на оси Ох,

2.4-10. 2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ) 67
2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго по-
рядка. Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго по-
рядка A2) может быть при помощи подходящего преобразования начала
(п. 2.1-5) приведено к виду
у* = 2рх— A— е2)*2 (р>0). B.4-14)
В этом случае кривая проходит через начало координат новой системы; ось
Ох является осью симметрии кривой. Уравнение A4) выражает тот
факт, что незырожденная кривая второго порядка является геометрическим ме-
стом точек, отношение расстояний которых 8^0 (эксцентриситет) от
данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кри-
вая есть эллипс приг<\ и, в частности, окружность при 8 = 0, гипер-
бола при 8 >> 1 и парабола при 8 = 1.
Уравнение директрисы кривой A4):
координаты фокуса:
* = ТТЪ' ?=<>• B-4-16)
Директриса перпендикулярна к оси симметрии, проходящей через фокус и
вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой
равно р/8. Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипер-
бола), то прямая
x=j^ = a B.4-17)
является осью симметрии кривой и, следовательно, кривая имеет два фокуса
и две директрисы.
Фокальным параметром невырожденной кривой второго порядка назы-
вается половина длины ее хорды, проходящей через фокус и перпендикуляр-
ной к фокальной оси (фокальная хорда); фокальный параметр равен р.
Замечание. Все типы кривых второго порядка, вырожденных и невырожден'
ных, могут быть получены как плоские сечения прямого кругового конуса при различных
положениях секущей плоскости относительно конуса. Если кривая распадается на пару
параллельных прямых, то следует считать, что конус вырождается в цилиндр.
2.4-10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и по-
ляры. Уравнение касательной (п. 17.1-1) к кривой второго порядка A) в ее
точке (хъ ух) имеет вид
2з (Уг+У) + «зз = 0
или ) B.4-18)
0 1
) = 0. )
Уравнение нормали (п. 17.1-2) к кривой второго порядка A) в точке
(*ь У\) имеет вид
X~Xl г Л~,?а.„ • B.4-19)
al3
Уравнение A8) определяет прямую, называемую полярой точки (хъ ух)
относительно кривой второго порядка A), независимо от того, лежит ли
точка (х1у уг) на кривой или нет; точка (хъ ух) называется полюсом пря-
мой A8). Поляра точки кривой есть касательная к кривой в этой точке.

Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка
Таблица 2.4-2
Кривая
Окружность радиуса R
с центром в начале
координат
Парабола с фокусом
%-, 0) и директри-
СОЙ X = ?-
Эллипс с центром в начале
координат; большая ось
2а на оси Ох, малая
ось 2Ь
Гипербола с центром
в начале координат; дейст-
вительная ось на оси 2а,
мнимая ось 2Ь
Уравнение кривой
+ Уг
у* = 2рх
х*
а
а2 Ь2
Уравнения каса-
тельных к кривой,
проходящих через
точку (хи ух)
У — Ух
У— Ух
X— Xt
У— Ух
X— Xt
a2b2
а2 — xj
Уравнения каса-
тельных к кривой,
имеющих данный
угловой коэффи-
циент k
y = kx±R]
Р_
2k
Уравнение поля-
ры точки (хи уг)
или уравнение ка-
сательной к кривой
в точке (хх, уА)
УхУ = R*
уху = р (х + xt)
а?
'Ъ*
ХхХ УхУ .
а2 Ъ*
Координаты хи уг
полюса прямой
Ах + By + С = 0 с
относительно кри-
вой
AR*
BR*
С
Вр
Ух =— ¦
"С"'
Ь2В
С '
Уравнение норма-
ли к кривой в точке
(хи Ух)
У— Ух _. //1
у— Уг ^ а2ух
х — Xt b2xt
Уравнение, кото-
рому удовлетво-
ряют «линейные ко-
ординаты» ?, 1] лю-
бой касательной
\х + <nj/ + 1 = О
к кривой
2 4- п2

2.4-11.
2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
69
Уравнения касательных, поляр и нормалей для кривых второго по-
рядка, заданных каноническими уравнениями (п. 2.4-8), приведены в таб-
лице 2.4-2.
Замечание (теоремы о полюсах и полярах).
1. Если прямая, проведенная через полюс Р, пересекает поляру в точке Q, а кри-
вую второго порядка — в точках Rx и R2, то точки Р и Q гармонически разделяют
Dp F? f)
Ri и R2, т. е. * ¦== —^~Ь? (новое определение поляры).
2. Если точка лежит на некоторой прямой, то ее поляра проходит через полюс
этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то ее полюс лежит на
поляре этой точки.
3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удаленной точки,
через которую проходят сопряженные ему хорды; центр кривой второго порядка
есть полюс бесконечно удаленной прямой (новое определение диаметра и
центра).
4. Фокус кривой второго порядка есть центр пучка, обладающего тем свойством,
что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка.
Директриса есть поляра фокуса (новое определение фокуса и дирек-
трисы).
Из 1—-4 следует, в частности, что:
(a) Если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой
точки проходит через точки касания.
(b) Касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряженным ему
хордам.
(c) Точка пересечения касательных к кривой в концах любой ее хорды, проходящей
через фокус, лежит на директрисе.
(d) Каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведен-
ной через фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.
2.4-11. Другие способы задания кривых второго порядка.
(а) Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками,,
если никакие четыре из них не лежат на одной прямой (п. 2.3-1). Уравнение
кривой второго порядка, проходящей через пять точек (хъ уг), (jc2, y2),
(*з, Уз), (Ч, Уа)> (*б. УьУ-
х\
А
А
А
А
ху
ЧУ\
ХзУз
х*У*
ЧУь
У2
У\
y'i
У\
У\
у%
X
*\
х2
хз
ч
У
У\
Уг
Уз
У\
Уь
1
1
1
1
1
1
= 0.
B.4-20)
Кривая второго порядка вырождается в том и только в том случае, когда
три из заданных точек лежат на одной прямой.
Замечание. Построение кривой второго порядка, проходящей через пять дан-
ных точек, осуществляется при помощи теоремы Паскаля: точки пересечения противо-
положных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на
одной прямой (или являются бесконечно удаленными).
Кривая второго порядка также вполне определяется пятью касательными, если
никакие четыре из них не пересекаются в одной точке. Построение касательных
к этой кривой производится при помощи теоремы Брианшона: диагонали, проходящие
через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго по*
рядка, пересекаются в одной точке (или параллельны).
(Ь) Если фокус невырожденной кривой второго порядка принят за полюс,
а ось симметрии — за полярную ось, то уравнение этой кривой в поляр-
ных координатах р, ф будет иметь вид
р
1 + е cos <р •
B.4-21)

70 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.5-1.
2.5. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ, ЭЛЛИПСОВ, ГИПЕРБОЛ И ПАРАБОЛ
2.5-1. Окружность: формулы и теоремы (см. также табл. 2.4-2).
(а) Общее уравнение окружности в декартовых прямоугольных коорди-
натах:
х2-\-у2-\-Ах-{-Ву-\-С = 0, \
или I
(х—ХоJ~\~(У — УоJ—®2* \ B.5-1)
где
Точка (х0, у0) — центр окружности, R — ее радиус. Окружность A) касается
оси Ох, если 4С=Л2, и оси Оу% если 4С — В2.
Уравнение окружности с центром в начале координат:
= R2. B.5-2)
(b) Уравнение окружности, проходящей через три тонки (xt, yt), (х2, у2), (xz,
х2 + у2 х у 1
х\Л-У\ *i Ух 1
х2 у2 1 ==0* B-5)
Х3 Уг 1
(c) Длина L каждой из касательных, проведенных из точки (xi, Ух) к окружности A);
L = V(xt - х0J + (Ух - УоJ -R2- B-5-4)
(d) Две окружности
л2 + У2 + A lX + Вху + d = 0, л-2 + у* + А2х + В2у + С2 = 0 B.5-5)
являются концентрическими в том и только в том случае, когда At —А2 и J3i = В2.
Необходимое и достаточное условие ортогональности окружностей имеет вид
(e) Все окружности, проходящие через действительные или мнимые точки пересе-
чения двух окружностей E), определяются уравнением
х2 + у* + Ахх + Bty + d + Я (х« + ^2 + ^2а: + В2^ + С2) = 0, B.5-6)
где % — параметр. Кривая F) существует и в том случае, когда окружности E) не имеют
действительных точек пересечения.
(f) При % = — 1 уравнение F) превращается в уравнение прямой
(Л t - А2) х + (В, -В2)у+ (Ct - С2) = 0, B.5-7)
которая называется радикальной осью двух окружностей E). Радикальная ось является
геометрическим местом точек, из которых могут быть проведены касательные равной
длины к двум данным окружностям. Если две окружности пересекаются (касаются), то
радикальная ось является их общей хордой (касательной к окружностям в общей точке).
Радикальной осью двух концентрических окружностей служит бесконечно удаленная
прямая. Три радикальные оси, связанные с тремя попарно взятыми окружностями, пересе-
каются в одной точке (радикальный центр). Этот факт используется при построении ради-
кальной оси двух непересекающихся окружностей. Если центры трех окружностей лежат
на одной прямой, то их радикальным центром служит бесконечно удаленная точка.
(g) Уравнение окружности радиуса JR с центром (р0. Фо) в полярных координатах:
Р2 — 2рр0 cos (ф — ф0) + р20 = Я2. B.5-8)
2.5-2.. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (см. рис. 2.5-1,
а также п. 2.5-3, табл. 2.4-2 и 2.5-1).
(а) Длины большой и малой осей эллипса B.4-12, а) т. е. отрезков,
отсекаемых эллипсом на его осях симметрии (рис. 2.5-1, а), равны соот-
ветственно 2а и 2Ь. Сумма фокальных радиусов гг и г2 (табл. 2.5-1,6) пос-
тоянная (и равна 2а) для каждой точки эллипса.

2.5 3.
2.5. СВОЙСТВА ЭЛЛИПСОВ, ГИПЕРБОЛ И ПАРАБОЛ
71
(b) Гипербола имеет две асимптоты (п. 17.1-6), пересекающиеся в ее
центре. Для гиперболы B.4-12 ?) уравнения асимптот:
и ° у „ f. Ь у (С) С Q \
у = — л и у — — л. ^.о-У/
Угол ф между асимптотами гиперболы определяется из уравнения tg (ф/2) =
==bja; если а = Ь, то ф = я/2 (равносторонняя гипербола).
(c) Длина действительной оси гиперболы, т. е. расстояние между ее вер-
шинами (рис. 2.5-1, 6), равна 2а. Мнимой осью называется главная ось,,
Рис. 2.5-1. а) эллипс, Ь) гипербола, с) парабола; каждая из кривых задана кано-
ническим уравнением относительно изображенной на рисунке системы координат. Пока-
заны фокусы, оси и фокальный параметр.
перпендикулярная к действительной оси. Касательная к гиперболе в ее вер-
шине пересекает асимптоты в точках, расстояние между которыми равно 2Ь
(рис. 2.5-1, Ь). Разность между фокальными радиусами rt и г2 гиперболи
(табл. 2.5-1,6) постоянна: она равна 2а для правой ветви и — 2а для левой.
— длины любых двух сопряженных диаметров (п. 2.4-6, с) эллипса
(d) Если dt и
или гиперболы, то
sin (arctg k2 — arctg kt) =
B.5-10)
где ku kz — угловые коэффициенты диаметров.
(e) Для пересечения гиперболы B.4-12 6) со своим диаметром у — kx необходимо
и достаточно выполнение условия k2 < Ь2/а2. Асимптоту можно рассматривать как
хорду, встречающую гиперболу в бесконечно удаленной точке и совпадающую с сопря-
женным ей диаметром (а также как поляру бесконечно удаленной точки кривой).
(f) Отрезки секущей заключенные между гиперболой и ее асимптотами, равны между
собой. Точка касания делит отрезок касательной, заключенный между асимптотами,
пополам. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно.
(d) Площадь треугольника с вершинами в центре эллипса и в концах любой пары,
его сопряженных диаметров постоянна. Площадь треугольника, заключенного между
асимптотами гиперболы и любой ее касательной, постоянна.
2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормалей.
(а) Построение эллипса по его осям 2а и 26.
1. Пусть О —точка пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых. На одной
из них строим отрезок Р'ОР = 2а, а на другой — отрезок Q'OQ = 2b. Тем самым уже пос-
троены 4 вершины эллипса: Р, Р\ Q, Q'. Проводим через точку О произвольную наклон-
ную, откладываем на ней отрезки OR = b и OS — а, затем проводим через точку R пря-
мую, параллельную Р'Р, а через точку 5 -— прямую, параллельную Q'Q. В пересечении
получим точку искомого эллипса.
2. Из точки Q как из центра раствором циркуля, равным ОР = а, делаем на отре-
зке Р'ОР засечки F' и F (фокусы эллипса). На отрезке Р'Р выбираем произвольную
точку Т. Окружности радиусов Р'Т и РГ с центрами соответственно F* и F пересекутся
в д,вух точках искомого эллипса.

ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.5-3.
Таблица 2,5-1
Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения
и основные формулы
(см. также пп. 2.4-9, 2.5-2 и рис. 2.5-1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Стандартное (кано-
ническое) уравнение
Эксцентриситет
Фокусы
Уравнения дирек-
трис
Фокальный пара-
метр (см. п. 2.4-9)
Фокальные радиусы
(расстояния от фоку-
сов до произвольной
точки (л:, у) кривой)
Уравнение диамет-
ра, сопряженного
хордам с угловым
коэффициентом k
Площадь сегмента
между дугой, выпук-
лой влево, и хордой,
проходящей через
точки (хи у г) и (*ь
-Ух)
Уравнение в поляр-
ных координатах (ср.
с уравнением B.4-21))
Эллипс
х2 и2
а2 ' Ь2
(рис. 2.5-1, а)
(ае, 0),
(•— ае, 0)
а а
х~ —, х =
8' 8
б2
rt = eT ex,
г2 ~ а — ех
Ь2
„ = __,
-^nab -f-
+ ~ (xt У а* - *; +
+ a2 arcsin ~-\
9 ~ 1 — 82 COS2 ф
Гипербола
v2 ,,2
х . _ у- — \
а2 Ь2
(рис. 2.5-1, Ь)
8 =
(ае, 0),
(— ае, 0)
а а
х = —, л: ==
8 8
b2
г t ~ a -\- ex,
г2 — -- а -\- ex
b2
У==аЧгХ
XiVi —
_* in (*- + ?)
Л9
р 1-е2 cos2 ф
Парабола
г/2 = 2рх
(рис. 2.5-1, <:)
8=1
(f«)
Х^- 2
Р
4
2/7 COS ф
P 1 — cos2 ф
Построение гиперболы. Пусть Р'ОР — действительная ось гиперболы, F и
F' — ее фокусы. На действительной оси выбираем произвольную точку Т так,
чтобы соблюдалось условие ОТ^>ОР. Окружности радиусов Р'Т и РТ с центрами
F и F' пересекутся в точках гиперболы (см. табл. 2.5-1, соотношения между
OF=OF', а и Ь).
(Ь) Для построения касательных и нормалей к эллипсам и гиперболам оказываются
полезными следующие свойства этих кривых:
1. Касательные к эллипсу B.4-12 а) в произвольной его точке {хи уг) пересекают
ось Ох в той же точке, что и касательные к окружности хг + у~ = а2 в точках
(*i ± Va2 — xj).

2.6-1. 2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 73
2. Касательная и нормаль к эллипсу в любой его точке делят пополам углы между
прямыми, соединяющими эту точку с фокусами («фокальное свойство» эллипса); анало-
гичным свойством обладает гипербола.
3. Произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу или гипер-
боле постоянно и равно Ь2. Основания перпендикуляров, опущенных из фокуса на каса-
тельные, лежат на окружности, построенной на большой оси (на действительной оси)
как на диаметре; эта теорема может быть использована для построения эллипса или
гиперболы, как огибающей касательных к этим кривым.
(с) Эллипс или гипербола могут быть приближенно построены при помощи сопри-
касающихся окружностей в их вершинах (п. 17.1-4). Центры кривизны эллипса или
гиперболы, соответствующие вершинам, лежащим на фокальной оси, также лежат на
этой оси; радиусы кривизны в этих точках равны Ь2/а. Центры кривизны для вершин,
лежащих на малой оси эллипса, также лежат на малой оси, радиус кривизны в каждой
из этих точек равен а2/Ь.
2.5-4. Построение параболы, ее касательных и нормалей.
(a) Если заданы ось параболы, ее фокус и расстояние между фокусом и директри-
сой, то для построения параболы могут быть использованы следующие ее свойства:
1. Расстояние между фокусом и любой точкой Р параболы равно рас-
стоянию между директрисой и той же точкой Р (см. также п. 2.4-9).
2. Прямая, перпендикулярная к оси параболы и делящая пополам отре-
зок перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, касается параболы
в ее вершине. Перпендикуляр, восставленный в любой точке Q этой прямой
к отрезку, соединяющему Q с фокусом, касается параболы. Обратно, любая
касательная и перпендикуляр к ней, проведенный через фокус, пересекаются
в точке, лежащей на касательной к параболе в ее вершине.
(b) Для построения касательных и нормалей к параболе оказываются полезными
следующие ее свойства:
1. Расстояние между любой точкой Р параболы и фокусом равно рас-
стоянию между фокусом и точкой пересечения оси параболы с касательной в Р.
2. Касательная и нормаль к параболе в любой ее точке Р делят пополам
углы между проходящими через Р диаметром параболы и прямой, соединя-
ющей Р с фокусом; заметим, что все диаметры параболы параллельны ее оси.
Эта теорема заключает в себе фокальное свойство параболы.
3. Нормаль к параболе в любой ее точке Р и перпендикуляр, опущенный
из Р на ось, пересекают последнюю в точках, расстояние между которыми
постоянно и равно р.
4. Директриса параболы есть геометрическое место точек пересечения
взаимно перпендикулярных касательных.
(c) Для уточнения формы параболы можно использовать соприкасающуюся окруж-
ность кривой (п. 17.1-4) в ее вершине. Центр этой соприкасающейся окружности лежит
на оси, радиус равен р.
2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ*)
2.6-1. Примеры алгебраических кривых (см. рис.2.6-1):
(a) Парабола Нейля (полукубическая парабола): # = шс3//2.
(b) Локон Аньези: х2у = 4а2Bа — у).
(c) Конхоида Никомеда: (х2 + У2) (х — аJ = x2b2.
(d) Циссоида Диоклеса:
tf (а -х)=х* или р = а {j^- - cos <p).
(e) Лемниската Бернулли:
(д2 _)_ у2) __ а2 (д;2 — t/2) __ о или р2 — a2 cos 2ф — 0.
(!) Овалы Кассини: (х2-{-у2-{-а2J — 4а2х2 = с* (геометрическое место то-
чек, для которых произведение расстояний до точек ( — а, 0) и (а,0) равно с2).
(g) Строфоида: х* + х (а2 + у2) = 2а (у2 + х2).
(h) «Крест» (Cruciform):
х2у2 = а2 (х2 + у2) или р = J^.
(i) Кардиоида:
(х2 + у2~ ахJ = а2 (х2 + у2) или р = а A + cos <p).
*) Наиболее подробным справочником по плоским кривым служит книга [2 3].

74 ГЛ. 2, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
(j) Трисектриса:
а <Ь
Улитка Паскаля
Рис. 2.6-1. Некоторые алгебраические кривые.
(к) Астроида:
*2/3
= а2/3 или х — а cos3 t, y = a sin3 Л
(I) Декартов лист:
^ + ^ = 30*0 или x =
(m) Улитка Паскаля:
или р = г> + « cos Ф»
(на рисунке обозначены декартовы координаты точек пересечения кривой с осями).
2.6-2. Примеры трансцендентных кривых (см. рис. 2.6-2),
(a) Цепная линия: */=-f- (ex/a + e~x/a) =ach~.
(b) Спираль Архимеда: р = шр.
(c) Параболическая спираль: р2 = 2ргр.
(d) Логарифмическая спираль; р = aeljv.

2.6-2.
2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
75
(е) Циклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии аг от
центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по оси абсцисс):
х = at — ах sin t, у = а — axcost. B.6-1)
Замечание. При ах < а циклоида называется укороченной, при аг > а —
удлиненной. Если ах = а, то получается обычная циклоида (именно она изо-
бражена на рис. 2.6-2).
2ла
Спираль Архимеда Логарифмическая спираль
Рис. 2.6-2. Некоторые трансцендентные кривые.
(!) Эпициклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии а±
от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения1 по окружности
х2-\-у2 = Ь2 и находящегося вне этой окружнозти):
(см. замечание к (е)).
(g) Гипоциклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии ах
от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по окружности
х2-{-у2 = Ь2 и остающегося внутри нее):
= (Ь — а) sin -?-/ —
(см. замечание к (е)).
(h) Трактриса:
b—а ,
. sin — U
b — а ,
COS—г— t
yj y = a sint.
B.6-3)
B.6-4)

ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
3.1-1. Вводные замечания (см. также п. 2.1-1). Глава 3 посвящена анали-
тической геометрии трехмерного евклидова пространства. Точки задаются
радиусами-векторами или системами дей-
ствительных чисел (своими координа-
тами).
3.1-2. Декартова система координат
(см. также п. 2.1-2). Декартова си-
стема координат позволяет связать с
каждой точкой Р пространства, в кото-
ром выбраны три не лежащие в одной
плоскости направленные прямые Ох,
Оу, Oz (оси координат), пересекающиеся
в начале О, три вполне определенных
действительных числа (декартовы коор-
динаты) х, у, z\ при этом пишут Р (x,y,z).
Пусть задана (в общем случае косо-
угольная) система осей Ox, Oyf Oz (рис. 3.1-1);
тогда плоскость, проходящая через точку Р
и параллельная плоскости Oyz, пересекает
ось Ох в точке Р'. Аналогично плоскости,
проходящие через Р и параллельные соответ-
ственно Oxz и Оху, пересекают ось Оу в точке Р" и ось Oz в Р'". Длине каждого из
направленных отрезков ОР', ОР" и ОР"' приписывается знак плюс, если направление
отрезка совпадает с направлением соответствую-
щей оси, и знак минус в противном случае. Числа
х=ОР', у~ОР", z=OP"f называются декартовыми
координатами точки Р (х, у, z) относительно дан-
ной системы координат, образованной осями Ох,
Оу, Oz и выбранными на осях единицами масш-
таба.
Рис. 3.1-1. Правая декартова косо-
угольная система координат. Отрезки
UEit ОЕ2 и ОЕ3 — единицы масштаба
на осях.
3.1-3. Правая система осей. Оси Ох,
Оу, Oz могут образовывать правую или ле-
вую систему. Для правой системы (см.
рис. 3.1-1) поворот от оси Ох к оси Оу на
угол, меньший я, совершается в направле-
нии против часовой стрелки, если смотреть
на плоскость Оху из какой-либо точки по-
ложительной полуоси Oz (положительная
сторона плоскости Оху).
3.1-4. Правая декартова прямоугольная
система координат. В прямоугольной системе
координат оси взаимно перпендикулярны
(рис. 3.1-2). Координаты х, у, z точки Р
равны направленным расстояниям от нача-
ла координат О до плоскостей, проведенных
координатным плоскостям Oyz, Ozx, Оху.
(x,y9z)*(r)
Рис. 3.1-2. Системы координат? пра-
вая декартова прямоугольная, ци-
линдрическая и сферическая.
через точку Р параллельно

3.1-7.
3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
77
В настоящем справочнике, если не оговорено противное, всегда приме-
няется правая декартова прямоугольная система координат, причем для изме-
рения х, у, г применяется одна и та же единица масштаба.
3.1-5. Радиус-вектор. Каждая точка Р (х, у> 2)е=Р(г) может быть задана
своим радиусом-вектором
^ r = x\ + yj + zk=={x, у, г}- C.1-1)
этот вектор г = ОР определяет преобразование переноса, переводящее точку
из начала координат О в точку Р. Базисные векторы i, j, k суть единичные
векторы, направление которых совпадает соответственно с направлением осей
Ох, Оу и Ог данной декартовой прямоугольной системы координат (см. также
5,1 и п. 5.5-I).
3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат. На рис, 3.1-2 показаны
также цилиндрические координаты р, <р, г и сферические координаты г, б, ф (полярный
радиус, широта и долгота), связанные с декартовыми прямоугольными координатами
следующими формулами преобразования:
tg<p
= Yx* + y*t л: —pcoscp, \
_?. #=psin<p, >
х* z = z; )
: Ух2 -{- у2 -\- z2, x= r sin б cos ф,
z
2= Г COS б.
C.1-2)
C.1-3)
Дальнейшие сведения об этих, а также о других криволинейных координатах см.
в гл 6.
3.1-7. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах и
в векторной форме. Имеют место следующие формулы (операции над векто-
рами см. в гл. 5).
1. Расстояние d между точками
^i (*i> Уъ z\) = ^i (ri)
и
?*2 (Х2> Уъ %2) ^ ^2 (Гг):
d^Vi^WT^ C.1-4)
2. Угол 7 между прямыми РгР2 и Р$Рь, направление которых опреде-
ляется векторами РгР2 и Р%Р\:
(х2 —хх) (х4 — х3) 4- (У2 — У\) (У* — I
cos 7 = -
Я — 2iJ V (ЛГ4 — д;3)
* —УзJ 4- B4—
(Г2 — ri)-(r4 — Г3)
I гя —rt | | г4 —г, Г
C.1-5)
3. Координаты х, у, г и радиус-вектор г точки Р, делящей направлен-
ный отрезок Р[Р2 в отношении РгР : РР2 — т : п = Х : 1, определяются фор-
мулами:
тх2 4~ nxi
C.1-6)
т-\-п 14-Л,
или

78
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1-8.
См. замечание к аналогичным формулам для геометрии на плоскости
в п. 2.1-4, 3.
Координаты и радиус-вектор середины отрезка РгР2:
xt4-x2
C.1-7)
3.1-8. Направляющие косинусы.
(а) Направляющими косинусами cos ах, cos ay, cosjx^ направленного от-
резка Р±Р2 называются косинусы углов между РгР2 и положительными
направлениями осей Ох> Оу, Ог соответственно:
cosax = -
cos a,, = -
-yiJ + (z2-i
у 2—Ух
cos a, = -
2 - xt)* 4- (г/2 - i
г2—
(г, -
У (Jfi - *i)
2 - yt)* + (г. - 2
cos2 a^ + cos2 a^ + cos2 az — 1.
C.1-8)
C.1-9)
cos ax,
Направляющие косинусы направленного отрезка Р2Р± суть
— cos ayy — cos az.
(b) Направление прямой может быть также определено любыми тремя
числами ах, ау, az, пропорциональными направляющим косинусам cos ax,
cos a^, cos az\ в этом случае
cos ax — -
cos au = -
cos a^ = -
C.1-10)
Знак перед корнем должен быть одинаковым во всех трех равенствах; его
выбор определяет положительное направление на прямой. Роль этих чисел
могут играть координаты любого вектора а (п. 5.2-2), совпадающего по направ-
лению с РгР2 или P2PV (Пример. ax = x2 — xv ау — у2 — уъ az = z2 — zv)
Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора, совпа-
дающего по направлению с Р^Р2 (п. 5.2-5).
(с) Угол у между двумя направленными отрезками, направляющие коси-
нусы которых равны соответственно cos ax, cos ay, cos az и cos ax> cos ayj
cos a'z или направления которых определяются тройками чисел ах, ау} а2 и
а'х, a', a'zy находится по формуле
cos y = cos ax cos a'x + cos ay cos ay + cos az cos az =
C.1-11)

3.1-12.
3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
79
3.1-9. Проекции. Проекции направленного отрезка Р1Р2 на оси Ох, Оу и Oz равны
соответственно
X === Х2 ~~ Xl == d C0S пХ
= y2-y1 = d cosay
C.1-12)
где cos a^, cos a , cos a^— направляющие косинусы (8), of —длина отрезка D).
Проекция PtP2 на прямую с направляющими косинусами cosa^, cos йу, cos a2
(п. 3.2-1, Ь) равна ^cos.y, гДе cosy определяется формулой A1). Проекции Р^Р2 на пло-
скости Oyz, Oxz и Оху равны соответственно
d2 = d sin ay,
=d sin a
C.1-13)
Проекция PtP2 на плоскость, нормаль которой имеет направляющие косинусы
cos пу, cos a'z (п. 3.2-1, b), равна dsiny, где cosy определен формулой A1).
3.1-10. Вектор площади. Площадь плоской фигуры в трехмерном пространстве
может быть задана вектором А, модуль которого равен площади А фигуры, а направле-
ние совпадает с направлением положительной нормали (п. 17.3-2) к плоскости фигуры
А = AN,
C.1-14)
где N — единичный вектор положительной нормали. Каждая из декартовых прямоуголь-
ных координат вектора А равна площади проекции фигуры на координатную плоскость,
перпендикулярную к соответствующей оси. Площадь параллелограмма, построенного на
векторах а и Ь, может быть задана вектором А=ахЬ (см. также п. 5.2-7).
Площадь А треугольника с вершинами Рх, Р2, Р3 определяется формулой
Ух Zt
Уг Z2
Уз Z3
*i Ух
x2 У2
X3 Уз
Хх Ух
х2 Уг
х3 Уз
C.1-15)
C.1-1G)
хх
х2
х3
х4
Ух Zx
Уг z2
Уз Z3
У* Z4
1
1
1
1
где р — расстояние от начала координат до плоскости треугольника (п. 3.2-16). Площадь
А положительна, если вращение правого винта в направлении P\P2Pz сообщает винту
поступательное движение в направлении положительной нормали к плоскости треуголь-
ника (п. 3.2-1, Ь).
3.1-11. Вычисление объемов (см. также п. 5.2-8).
(а) Объем V тетраэдра с вершинами Ри Р2, Pit P4
-- -q [(г, - г,) (г3 - гх) (г4 - г*)]. C.1-17)
Знак V зависит от того, в каком порядке рассматриваются вершины тетраэдра.
(Ь) Объем V параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с,
V = [abc]. C.1-18)
Иногда объем считают только положительным; тогда V = J[abc]|.
3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при парал-
лельном переносе и повороте осей.
(а) Перенос осей. Пусть х, у, z — координаты произвольной точки Р
относительно декартовой прямоугольной системы координат; пусть х, у, z —
координаты той же точки Р относительно другой декартовой системы коор-
динат, оси которой направлены так же, как оси первой системы, и начало
которой имеет относительно системы Oxyz координаты х0, yQ, z0. Если

80 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1-12.
единицы масштаба на осях этих систем совпадают, то координаты X, g, z свя-
заны с х, у, z следующими формулами преобразования:
х = х— х0, х~Х-\-х0, \
У = У-Уо, У = У + Уо> | C.1-19)
(b) Поворот осей. Пусть х, у, г и X, у, 2 — координаты одной и той
же точки Р относительно двух различных правых декартовых прямоугольных
систем координат с общим началом О; пусть вторая .из них расположена
относительно системы Охуг таким образом, что
ось Ох имеет направляющие косинусы tlv t2X, hv
ось Оу имеет направляющие косинусы t12, t22, t32y
ось Oz имеет направляющие косинусы /13, t23> ^зз-
Тогда относительно системы Oxyz
ось Ох имеет направляющие косинусы tn, tt2, tl3,
ось Оу имеет направляющие косинусы t21, t22y t23,
ось Oz имеет направляющие косинусы t31, t32, t33-
Если для измерения х, у, z, x, у, z применяются одинаковые единицы
масштаба, то формулы преобразования, связывающие координаты jc, yf z с ко-
ординатами х, д, zy имеют вид
х = tnx + t21y + tslz, х = tnx + t12y + t19z, 1
или y = t2lx + t22g + t23zf > C.1-20)
J
Замечание. Преобразования B0) называют ортогональными (пп. 13.3-2 и 14.4-5);
каждое t.^ равно своему алгебраическому дополнению в определителе
detj^J^l (/,/2 = 1,2,3) C.1-21)
(п. 1.5-2); при этом
|/Л/Ду/Но «;« C-'-22)
/==1
(с) Одновременный перенос и поворот осей. Если начало
системы координат Oxyz не совпадает с началом системы Oxyz и имеет отно-
сительно последней координаты х0, у0, г0, то формулы преобразования при-
нимают вид:
(г — г0),
z = t13 (х — х0) + /2з (У — Уо) + hz (г — г0),
или
C.1-23)
У =
z = t31x + t32y + /
где направляющие косинусы tik удовлетворяют соотношениям B1) и B2).
Уравнения B3) связывают координаты относительно любых двух правых де-
картовых прямоугольных систем с одинаковыми единицами масштаба на осях.
Более общие преобразования координат рассмотрены в гл. 6.
(d) Другое истолкование формул преобразования.
Уравнения преобразования B3) (частными случаями которых служат A9) и
B0)) могут быть истолкованы еще как соотношения, определяющие новую
точку Р с координатами х, у, 2 относительно той же самой системы коорди-
нат Oxyz. Преобразование, в котором точка Р соответствует точке Р с коор-
динатами х, у, 2, состоит в последовательном выполнении параллельного
переноса и поворота пространства (см. также пп. 14.1-3 и 15.5-1).

3.1-14. 3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 81
Замечание. Расстояния между точками, углы между направленными отрезками
и, следовательно, все соотношения между векторами, составляющие содержание евкли-
довой геометрии, сохраняются при повороте и параллельном переносе B3), т. е. они
инвариантны относительно этих преобразований (пп. 12.1-5 и 12.1-4).
3.1-13. Аналитическое задание кривых (см. также пп. с 17.2-1 по 17.2-6).
Непрерывной кривой трехмерного пространства называется множество точек
Р (х, у, г) = Р(г), координаты которых удовлетворяют системе параметриче-
ских уравнений
*«*№. )
C.1-24)
где x{f)y у (t), z (t) — непрерывные функции действительного параметра t
в замкнутом интервале [tlt t2] (параметрическое задание кривой). С другой
стороны, кривая может быть определена равносильной системой уравнений
ф1(*, у, г) = 0, ф2(*, у, г)=0. C.1-25)
Кривая может иметь более чем одну ветвь.
Кривая B4) называется простой кривой (простой Дугой, простым отрезком кривой)
или, точнее, простой кривой в смысле Жордана, если функции х (/), у (t), z (t) одно-
значны, непрерывны и в замкнутом интервале [tlf t2] нет таких двух различных значе-
ний тА и т2, для которых справедливы все три равенства:
*(Ti)=*<T2)f У(Хх)=У(Т2), 2(Т1) = 2(Т8). C.1-26)
Заметим, что термин простая дуга часто употребляется для обозначения геометрического
места точек, координаты которых х, у, z в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат удовлетворяют уравнениям у = f (x), z — g (х), а ^ х ^ Ь, где функции / (х),
g (х) однозначны и имеют непрерывные производные в интервале [а, Ь]. Простая жорда-
нова кривая состоит из одной ветви и не имеет кратных точек, т. е. точек самопересечения.
Простой замкнутой кривой называется непрерывная кривая, единственными кратными
точками которой являются ее начальная и конечная точки; это значит, что единственным
решением уравнений B6) в интервале [tu t2] служит tj = tlf т2 = t2. Кривая B4) назы-
вается регулярной дугой, если при некотором параметрическом задании этой кривой
функции х (t), у (/), z (t) имеют в каждой точке кривой непрерывные производные пер-
вого порядка (п. 4.5-1) по параметру /, по меньшей мере одна из которых отлична от
нуля; точка кривой B4) с координатами х (tQ), у (/0), z (t0) называется ее регулярной
(обыкновенной) точкой, если для значений t, достаточно близких к t0, кривая представ-
ляет собой регулярную дугу. Регулярная кривая есть простая кривая или простая замк-
нутая кривая, составленная из конечного числа регулярных дуг.
Все эти определения переносятся на кривые в двумерных пространствах (пп. 2.1-9 и
7.2-1), а также на кривые в пространствах, размерность которых больше трех (п. 17.4-2).
3.1-14. Способы задания поверхностей (см. также пп. 17.3-1—17.3-13).
Множество точек Р (х, у, г) = Р(г), координаты которых удовлетворяют
системе уравнений
х = х(и, v), y = y(uf v), z = z(u, v) C.1-27)
при подходящих значениях действительных параметров и, v, называется
непрерывной поверхностью, если правые части уравнений B7) являются непре-
рывными функциями параметров. Поверхность может быть определена также
уравнением
<р(я, у, г) = 0 или z = f(x, у). C.1-28)
Поверхность может иметь более чем одну полость.
Поверхности, определяемые уравнениями
<р(дс, у, г)=0 и %у(х, у, г)=0, C.1-29)
совпадают, если только постоянная X отлична от нуля.
Простой поверхностью называется непрерывная поверхность, состоящая из одной
полости и не имеющая самопересечений (кратных точек). При этом подразумевается, что
простые поверхности являются двусторонними (односторонние поверхности, такие, как
лист Мёбиуса, исключаются).

82
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1-15.
дх
ди
дх
dv
ду
ди
ду
dv
¦
ду
du
ду
dv
dz
ди
dz
dv
*
dz
du
dz
du
дх
ди
дх
dv
Точка поверхности B7) называется регулярной точкой, если при некотором пара-
метрическом задании поверхности функции B7) имеют в достаточной близости к рассмат-
риваемой точке непрерывные частные производные первого порядка и по меньшей мере
один из определителей.
C.1 -30)
отличен от нуля. Простой кусок поверхности, ограниченный регулярной замкнутой кри-
вой, называется регулярным, если все его внутренние точки регулярные. Регулярной
поверхностью называется двусторонняя простая (замкнутая или незамкнутая) поверхность,
составленная из конечного числа регулярных кусков с общими регулярными дугами
и точками.
3.1-15. Специальные типы поверхностей. Линейчатой поверхностью называется
поверхность, образованная движением прямой линии (ее образующей). Цилиндр есть
поверхность, образованная движением прямой, остающейся параллельной некоторой
данной прямой и пересекающей данную линию (направляюилую). В частности, уравнения
вида / (ж, у) = 0, f (x, z) = 0, f (у, z) = 0 определяют цилиндры, образующие которых
параллельны соответственно осям Oz, Oy, Ох. Конус есть поверхность, образованная
движением прямой, проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей
данную линию (его направляющую). Поверхностью вращения называется поверхность,
образованная вращением плоской кривой вокруг неподвижной оси, лежащей в плоскости
кривой. Так, уравнение z = f {Yx- + у2) определяет поверхность, описанную вращением
кривой
У = 0
вокруг оси Oz.
3.1-16. Поверхности и кривые.
(а) Линия пересечения двух поверхностей
<Pi(*> У, 2) = 0, cp2(*, г/, 2) = 0
C.1-31)
представляет собой кривую, точки которой (а:, у, г) удовлетворяют каждому
из уравнений C1) (см. также п. 3.1-13). Линия пересечения может иметь
более одной ветви. Уравнения C1) могут также определять лишь одну или
несколько изолированных точек, принадлежащих обеим поверхностям, или
не определять ни одной точки.
Кривые
Г Ф @, у, z) = 0, Г ф (лг, 0, z) = 0, / ф (х, у, 0)
I * = 0;\ У = 0; \ z
= 0,
2=0
представляют собой линии пересечения (если они существуют) поверхности ф (лг, у, г)=0
с плоскостями Oyz, Oxz и Оху соответственно.
(Ь) Для любого действительного значения % уравнение
<Pi(*> У> г)+Яф2(*> У, z) = 0
= 0 C.1-32)
соответствует поверхности, проходящей через линию пересечения поверхно-
стей C1), если последняя существует.
(c) Уравнение
соответствует поверхности, образованной точками обеих поверхностей C1) и не
содержащей никаких других точек.
(d) Уравнение проекции кривой C1) на плоскость Oyz (или Oxz, Оху) может быть
получено исключением из уравнений C1) переменной х (соответственно у, z).
(e) Координаты х, yt z точек пересечения кривой C1) с поверхностью B8) должны
удовлетворять всем трем уравнениям C1), B8). Для любых действительных Яь К2 уравнения
Ф (*, у, z) + ht ф! (х, у, z) = 0, ф (х, у, z) + Л2 ф2 (х, у, z) = 0 C.1-33)
определяют кривую, проходящую через все эти точки пересечения.
(f) Кривая однопараметрического семейства
Ф4 (х, у, z, К) = 0, ф2 (х, у, z, К) = 0 C.1-34)
описывает поверхность, уравнение которой может быть получено путем исключения пара-
метра Я из C4).

Ь.2-1.
3.2. ПЛОСКОСТЬ
83
3,2. ПЛОСКОСТЬ
3.2-1. Уравнение плоскости.
(а) Уравнение, линейное относительно декартовых прямоугольных коор-
динат, т. е. уравнение вида
Ax + By+Cz + D^
или
C.2-1)
где Л, В и С не равны нулю одновременно, определяет плоскость; обратно,
каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно
декартовых прямоугольных координат.
Коэффициенты А, В, С равны проекциям вектора А = {А, В, С}, перпендикуляр-
ного к плоскости, на оси Ox, Oy, Oz соответственно (п. 3.1-8, Ь); вектор А имеет напра-
вление положительной или отрицательной нормали к плоскости (см. ниже) и называется
нормальным вектором плоскости. При D = О плоскость проходит через начало координат.
(Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений пло-
скости:
1. Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость, пересекаю-
щая ось Ох в точке (а, 0, 0), ось Оу в точке @, Ь, 0) и ось Oz в точке
@, 0, с), имеет уравнение
+Т-1'
2. Нормальное уравнение плоскости. Пусть р > 0 — длина
перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость; пусть cos ax,
cos ay, cos аг — направляющие косинусы (п. 3.1-8) этого направленного пер-
пендикуляра, началом которого служит начало координат, а концом точка
плоскости (положительная нормаль к плоскости). Тогда уравнение плоскости
имеет вид
х cos ах + у cos ау + z cos az — р = 0.
3. Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку. Если плоскость проходит через точку Рг (хъ уъ zl)^P1 (гг), а напра-
вление нормали к плоскости задано проекциями Л, В, С вектора нормали А
на оси декартовой прямоугольной системы координат, то уравнение плоскости
имеет вид
Л(дг-д:1) + 5^-г/1) + СB-г1) = 0 или Д.(г-г1)=0.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три дан-
ные ТОЧКИ РХ(ХЪ ylt ZjEEPirJ, Р2(Х2, #2, Z2) == Р (Г2), Р3 (х3, ув, Z9) ==
^Р(Гд), не лежащие на одной прямой (п. 3.4-3, а) имеет вид
х у
Xi Ух
х2 Уг
х3 Уз
= 0, или [(г-г1)(г~г2)(г-г3)] =
ИЛИ
У\.
У*
Уз
ч
Z3
1
1
1
х +
Z\ Х^
z2 х2
z3 х3
У +
хх Ух
Х% У2
*з Уз
1
1
1
Z —
Xi Ух Ч
х2 Уъ Ч
х3 у3 zb
= 0.

84 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.2-2.
(с) Если плоскость задана уравнением общего вида A), то введенные
выше величины а, Ь, с, р, cos ax, cos ayt cos а2 выражаются через Л, В, С, D
следующим образом:
» * »
cos а* =
Л
А
— ,
± \!А* -\- В2 + С2
cos а„ = — В — ,
С
COS 0U = ,
±/Л*J
С*
C.2-3)
где знак перед корнем выбирается так, чтобы соблюдалось условие р > 0.
Если D = 0, то выбор положительного направления на нормали к плоскости
произволен.
3.2-2. Параметоическое задание плоскости. Любая плоскость может быть задана
следующими параметрическими уравнениями (п. 3.1-14):
х = х -f ахи + bxv, у — у + avu -f- buv» г = z\ + a2M + ^2У> "I
или > C.2-4)
г = rt + ua. 4- ab. )
3.3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
3.3-1. Уравнения прямой.
(а) Два независимых линейных уравнения
ф2(х, у
ИЛИ
(х, у, г) = Л^ + Вуу + Слг + Dt = 0, \
= 0 J
(Аг х А2т^0; см. также пп. 1.9-3, а, 5.2-2 и 5.2-7) определяют прямую" кяк
пересечение двух плоскостей (п. 3.1-16, а). Обратно, каждая прямая может
быть определена уравнениями вида A). При D1 — D2 = 0 (и только в этом
случае) прямая проходит через начало координат.
(Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений прямой:
1. Уравнения прямой, проходящей через две точки
У—Уг
Z2 —
2. Уравнения прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении (канонические уравнения прямой).
Если прямая проходит через точку Рг (xlt у1у г±) = Р (тг) и параллельна
вектору a. = {ctx, ayi а2) (направляющий вектор прямой; см. также п. 3.3-2),
то ее уравнения могут быть приведены к виду
или г-г15=
(с) Вектор а = Aj х А2 является направляющим вектором прямой (п. 3.1-8, Ь),
заданной как линия пересечения двух плоскостей (уравнения A)); его проек-
ции на оси декартовой прямоугольной системы координат равны соответ-
ственно
ау^СхА2-С2Аъ а2 = А1В2-Л2В1. C.3-2)

3.4-1. 3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ 85
Направляющие косинусы прямой и, следовательно, углы aXt ayi az между
прямой и осями Ох, Оу и Oz определяются по формулам
cos а* = -1 (ВХСЯ-ДА), cos ау = ± (С^-С^,
cosaz^~(A1B2-A2B1)t
М = ЦВгС% - В2СХ)* + (С, А2 - С2АХ)* + (ЛгВ2 -А&д*]1': C.3-3)
Тот или иной выбор знака перед корнем определяет положительное напра-
вление на прямой.
Уравнения B) и C) являются условиями того, что прямая с направляю-
щими косинусами cos ах, cos ayt cos az или с направляющим вектором А пер-
пендикулярна к двум векторам Ах и А2, заданным своими проекциями Alt
Bv Сг и Л2, B2t ^2 на оси декартовой прямоугольной системы координат.
(d) Уравнения плоскостей, проектирующих прямую A) на плоскости Оху, Охг и Оуг
соответственно (т. е. плоскостей, проходящих через прямую и перпендикулярных к соот-
ветствующим координатным плоскостям), таковы:
(CtA2 - С2А1) х + {СгВ2 - C2Bt) у + (CtD2 - C2Dt) = 0, \
(BtA2 — B2At) x + (B,C2 — 52d) у + (SiD2 - B2Dt) = 0, \ C.3-4)
(AtBt - A2Bt) x + {AtCa - A2CX) у + (AXD% - A2DX) = 0. J
Любые два из уравнений D) определяют прямую A).
3.3-2. Параметрические уравнения прямой. Декартовы прямоугольные коор-
динаты (х, у, г) произвольной точки прямой удовлетворяют параметрическим
уравнениям (п. 3.1-13):
t, или r = r1 + ^a, C.3-5)
где а —направляющий вектор, Рх (xlt yx, zx) = РХ (г^— некоторая фиксиро-
ванная точка прямой.
3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК,
ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ
3.4-1. Углы.
(а) Угол Yi между двумя прямыми с направляющими косинусами cos аХУ
cos a», cos az и cos а*, cos а#, cos az определяется по формулам (см. также
п. 3.1-8, с):
cos Yi = cos ax cos ax + cos ay cos ay+cos az cos az ? C.4-1)
sin2 Yi = (cos ay cos az — cos az cos ayJ + (cos az cos ax — cos ax cos azJ +
+ (cos ax cos a'y — cos ay cos aiJ. C.4-2)
Если прямые заданы параметрическими уравнениями (п. 3.3-2) г =ri-f-^a и г = т[ -f-
•f- /а', то
ттптп- sinv' = TWT- C-4-3>
Прямые параллельны, если cos Yi = 1, и взаимно перпендикулярны, если cos Yi = 0.
(b) Угол у2 между двумя плоскостями Ax-\~By-\-Cz-\-D — 0 и А'х-\-В'у-{-
~* = 0, или A-r + D = 0 и A'-r + D' = O (угол между их нормалями),
определяется по формуле
АА'Л-ВВ' + СС А-А' C4.4)
Если плоскости заданы параметрическими уравнениями (п. 3.2-2) г = rt -f ма -f cb и
г = 1*1 -f- «а' 4~ ^Ь', то
cosV2 = (aXl"-'a'xb''. C 4-5,
V2 | а х Ь | | а' х Ь' j"

86 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.4-2.
(с) Угол уз между прямой
х — хх __ у — ух __ z — zt
ах ау az
и плоскостью Ax + By-\-Cz + D = 0 (угол между прямой и ее проекцией на
плоскость) определяется по формуле
Аау -f- Ваи -f- Caz
ятуд^—_ * а , 2 8 2- C.4-6)
В частности, прямая параллельна плоскости, если sin Уз = 0 (лежит на плоскости,
если, кроме того, Axt -f Byx + Czx + D == 0); прямая перпендикулярна к плоскости, если
sin Y3 = 1- Угол между прямой и нормалью к плоскости равен я/2 — у3.
X (d) 1. Условия параллельности двух прямых
w__ — _ _ или г —
^ill^yjzp^lszll^ или г =
«л: ai/ az
имеют вид
°х а'и az
— = —==—, или а'=Яа, или аХа' = 0.
ах ау az
Если, кроме того, прямые имеют общую точку, то они совпадают.
2. Прямая * ~ х± = у ~ Ух = г ~ 2l , или r^n+Za, и плоскость Ллг + ify-f-
ал: аг/ az
-\-Cz + D = 0 или A-r+D = 0 взаимно перпендикулярны, если прямая парал-
лельна нормали к плоскости (и сама служит нормалью), т. е. если
-? = -^ = -!-, или а = ХА, или а х А==0.
/г LJ О
3. Две плоскости
Ax + By + Cz + D = 0, или
и
A'x+B'y + C'z + D'*=0, или
параллельны, если параллельны их нормали, т. е. если
а7 = 57=-?. или А = АА', или АхА' = 0.
Если плоскости, кроме того, имеют общую точку, то они совпадают.^
3.4-2. Расстояния.
(а) Расстояние 6 от точки Ро (х0, у0, zQ) = Ро (г0) до плоскости Ах
-\-By-j-Cz-{-Z) = 0 или A-r + Z) = 0 (определенное по величине и знаку):
Axo + Byo + Czo+D Ato + D
0= = * (оЛ-/)
YA* + ?2 4- С2 ± | А |
знак перед корнем противоположен знаку D. Иногда б называют отклоне-
нием точки от плоскости. Отклонение положительно, если начало координат
и точка Ро (х0у yOt z0) лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно,
если по одну сторону.
Если плоскость задана параметрическим уравнением (п.3.2-2) г =ri -J- ыа -f- vb, то

3.4-3.
3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ
87
(Ь) Расстояние d от точки Ро {х0, у0, z0) = Ро (г0) до прямой
У — Ух __ г — zt
аУ az
\ ах (Го — Г() |
или г =
v
а а
l — x°
х—Х0 Ух—Уо
(с) Кратчайшее расстояние dx между прямыми
C.4-9)
, или г =
V4
si« Yi
C.4-10)
или dl — ili-l lL—!L , где sin Yi определяется равенством B). Если
I axa I
прямые параллельны (sinY1 = 0), то dx определяется равенством (9).
Замечание. Если в определителе, стоящем в правой части равенства A0), заме-
нить xt, t/i, zt переменными х, у, z и приравнять его к нулю, то полученное уравнение
определит плоскость, проходящую через вторую прямую параллельно первой. Если пря-
мые пересекаются, то плоскость проходит через обе эти прямые.
(d) Расстояние d2 между параллельными плоскостями Ax + By-j-Cz + D =
= 0, A' + B' + C' + D'Q
I D — D'
\D-D'\
C2
C.4-11)
(e) Расстояние d3 от плоскости до параллельной ей прямой определяется
по формуле G).
3.4-3. Специальные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.
(а) Точки. 1. Три точки Pt (xlt yu Zi), Рг (х2, у2, z2) и Р3 (*3, Уз, z3) лежат на
о1)ной прямой, если (необходимое и достаточное условие)
Х3 — Xt _Уз — Ух ^Zs—Zt
х2 — xt y2 — Ух z2 — zx
ила (см. также равенство C.1-15))
Ух
Уг
Уз
Zx
z2
Z3
1
1
Zx
z2
z3
Xx
x2
x3
1
1
1
==
Xt
x2
X3
Ух I
Уг 1
Уь 1
, или r3 — 14 = % (г2 —
= 0»
C.4-12)
C.4-13)
вне)
(Гз —г1)Х(г, — г1) = 0. C.4-14)
2. Четыре точки лежат в одной плоскости, если (необходимое и достаточное усло-
= 0, или [(г2 — гх) (Гз — 14) (г4 —Гх)] = 0. C.4-15)
Ух Z
Уг Z
Уз Z
У* Z
t 1
2 1
з 1
4 1
(b) Плоскости. 1. ЕсЛи три плоскости Ах + By -f- Cz + D = 0,
4- D' = 0, A"x -f- B"y 4- C"z -\- D" = 0 проходят через одну и ту же прямую, то
А В С
А1 В' С
А" В" С"
= 0.
C.4-1G)

ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.4-4.
2. Если четыре плоскости Ах + By -f- Cz + D — °, A'x •$- B'u + C'2 + D' = 0
-f B"*/ -j- C"z -f ?>" = 0, A'"x -f- Б'"г/ + C"'z -|- D"; = 0 проходят через одну и ту
ку, то
А
А'
А"
А'"
В
В'
В"
В'"
с
с
С"
С"
D
D
D
D
= 0,
А"х +
ту же точ-
C.4-17)
т. е. левые части их уравнений линейно зависимы (п. 1.9-3, а).
(с) Прям ы е. Две прямые лежат в одной плоскости (т. е. пересекаются или па-
раллельны), если (необходимое и достаточное условие) четыре определяющие их плос-
кости удовлетворяют условию A7). Если прямые заданы параметрическими уравнениями
г = rx -j- /а, г = г' 4- ta', то условие A7) принимает вид
[(Г1~г;)аа'1 ==0 C.4-17а)
3.4-4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности. Уравнение
6*+Л0+&*+1=О C.4-18)
определяет плоскость (?, -п, ?). Числа |, т|, ? называются ее тангенциальными (линей-
ными, плюккеровыми) координатами. Если точечные координаты х, у, z фиксированы,
а |, т)Д рассматриваются как переменные, то A8) становится уравнением точки (х, у, У),
т. е. точки пересечения всех плоскостей A8).
Симметрия уравнения A8) относительно точечных и тангенциальных координат при-
водит к следующему принципу двойственности (см. также п. 2.3-3): наряду с каждой
теоремой о взаимном положении точек, прямых и плоскостей справедлива другая теорема,
которая получится, если в формулировке первой теоремы поменять местами термины
«точка» и «плоскость».
3.4-5. Некоторые дополнительные соотношения.
(а) Если фг (х, у, z) — 0 и ф2 (х, у, 2) = 0 — уравнения двух плоскостей,
то уравнение
<Pi(*. У, 2) + Я<р2(*, У, «) = 0 C.4-19)
определяет плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскос-
тей (или параллельную им обеим, если они параллельны). Уравнение A9)
называется уравнением пучка плоскостей. Если обе плоскости заданы нормаль-
ными уравнениями (п. 3.2-1,2), то (—X) равно отношению расстояний от лю-
бой точки плоскости A9) до заданных (базисных) плоскостей; при Х=\ и
К = — 1 полученные плоскости являются биссекторными плоскостями дву-
гранных углов между данными плоскостями.
Если плоскости ф!==0 и ф2 = 0 параллельны, то все плоскости A9) также
им параллельны.
(Ь) Уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости Ax-\-By-\-Cz +
+ ?) = 0 и проходящей через точку Р0(х0, у07 z0):
У —У о
' в
C.4-20)
(c) Направляющий вектор и направляющие косинусы линии пересечения
двух плоскостей определяются по формулам C.3-2) и C.3-3).
(d) Точка пересечения трех плоскостей Ax + By-\-Cz-{-D=0y A'x + B'y +
-j- Сг + ?)' = 0 и A"x-\-B"y-\-C"z + D" = 0 имеет следующие координаты:
C.4-21)
1
д
А
1
А
D
D'
D"
А
А'
А"
В
В'
В"
В
В'
В"
С
С
С"
D
D'
D"
, д=
А
А'
А"
А
А1
А"
В
В'
В"
D
D'
D"
С
С
С"
С
С
С"

3.5-4.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.5-1. Общее уравнение второй степени. Поверхности второго порядка
(квадрики) определяются уравнениями второй степени относительно декарто-
вых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно
переменных х> у, г имеет вид
«п*2 + «22#2 + «зз^2 + 2а12ху + 2a13xz + 2a.23yz + 2аых + 2а2Ху + 2aMz + а44 = О
или
(апх -f- а12у -f- a13z -|- аи) х + (а21х + а22у + а23г + а^) У +
где aik = aki; i, /г = 1, 2, 3, 4.
Уравнение A) можно записать в векторной форме
(Аг) • г + 2а • г + а44 = 0, C.5-2)
где А — аффинор с координатами А1^ = а^, а — вектор с координатами а^ = а.^ (см.
также п. 16.9-2).
3.5-2. Инварианты. Для любого уравнения A) четыре величины
/=
«12
«22
«32
«13
«23
А =
«21
«11
«21
«31
«12
«22
«12
«22
«22
«32 <
«J3 «14
«23 «24
«34
«44
«23
«33
«13
«31
3
C.5-3)
являются инвариантами относительно параллельного переноса и поворота
осей C.1-19), C.1-20), C.1-23). Эти инварианты определяют свойства поверх-
ности, не зависящие от ее положения в пространстве. Детерминант А назы-
вается дискриминантом уравнения A).
3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка. Табл. 3.5-1 содержит
классификацию поверхностей второго порядка, основанную на их инвариан-
тах, определенных в п. 3.5-2. В этой таблице
А = -^п г-^22 "Г" ^33'
Atk обозначает алгебраическое дополнение элемента
Л = det |Я|-? |, см. п. 1.5-2,
в определителе
«и «1
а22 я24
а42 аи
«33 «34
«43 «44
C.5-4)
А1 и А" являются инвариантами относительно поворота осей (семиинва-
риантами).
3.5-4. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.
При помощи характеристической квадратичной формы
У, 2) = аХ1х2
+ 2al2xy + 2alzxz + 2a23yzt
C.5-5)
соответствующей уравнению A), могут быть изучены важные свойства поверхностей вто-
рого порядка. В частности, невырожденная центральная поверхность второго порядка
(А ф 0, D фО) оказывается действительным эллипсоидом, мнимым эллипсоидом или гипер-
болоидом в зависимости от того, будет ли Fo (x, у, г) соответственно положительно опре-
деленной, отрицательно определенной или неопределенной квадратичной формой, что
устанавливается по корням Яь Я2, К3 ее характеристического уравнения (п. 13.4-5, а)
ахх — Я
а22 — К
032
,-А,
= 0 или Л8 — /X2 + JK — D
,
а)
C.5-6)

90
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.5-4.
Корни kt, k2, А,з являются собственными значениями действительной симметрической
матрицы [aik] (п. 13.4-2) и, как следствие этого, всегда действительны. Имеем:
/ == A,i -f- k2 + X9, J = Я,а,я + UU + Ui, D = UKU-
Таблица 3.5-1 (а)
Классификация поверхностей второго порядка
Центральные
поверхности
D фО
Нецентраль-
ные поверх-
ности
D =0
DI, J
обо. больше
нуля
DI, J
не оба боль-
ше нуля
Невырожденные поверхности
А >0
Мнимый
эллипсоид
Однополостный
гиперболоид
Гиперболический
параболоид
А <0
Эллипсоид
Двуполостный
гиперболоид
Эллиптический
параболоид
Вырожденные
поверхности
Л = 0
Точка (действитель-
ная вершина мни-
мого конуса)
Действительный
конус
Цилиндры (см. табл.
3.5-1 (б), А' ф 0)
Пары плоскостей
(см. табл. 3.5-1 (б),
Л' = 0)
Таблица 3.5-1 0)
Л=0, ?> = 0, />0
Л = 0, D=0, У<0
Л = 0, D=0, У = 0
Ранг квадратной мат-
рицы [Я^] 4"Г(> п0'
рядка (п. 13.2-7)
Цилиндры
А'фО
Эллиптический ци-
линдр (мнимый
эллиптический ци-
линдр, если Л'/>0;
действительный, если
А'1 <0)
Гиперболический ци-
линдр
Параболический ци-
линдр
3
Пары плоскостей
Л' = 0
Пара мнимых плоско-
стей, пересекающих-
ся по действительной
прямой
Пара действительных
пересекающихся пло-
скостей
Пара параллельных
плоскостей (мнимых,
если А" > 0; дейст-
вительных, если
Л"<0)
2
Пара действи-
тельных совпа-
дающих плоско-
стей *)
1
*) Пара совпавших плоскостей характеризуется любым из следующих двух
признаков: (а) ранг [а^] равен 1, (б) Л — D = J = А' — А" = 0, / фО.

3.5-6.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
91
3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго
порядка.
(a) Для любой поверхности второго порядка (вырожденной или невы-
рожденной) геометрическим местом середин параллельных хорд служит плос-
кость, которая называется диаметральной плоскостью поверхности, сопряжен-
ной этим хордам (или направлению этих хорд). Диаметральная плоскость
поверхности A), сопряженная хордам с направляющими косинусами cosav,
cos ay, cos аг, определяется уравнением
(апх + а12у + a13z + a14) cos ax+(a21x + a22y + a23z + au) cos ay +
+ (anx + a32y+a33z + a34) cos az = 0. C.5-7)
(b) Прямая, по которой пересекаются две диаметральные плоскости, на-
зывается диаметром, сопряженным семейству плоскостей, параллельных сопря-
женным хордам этих диаметральных плоскостей. С другой стороны, диаметр
является геометрическим местом центров кривых второго порядка, по кото-
рым пересекают поверхность параллельные между собой плоскости семейства.
Уравнения диаметра, сопряженного семейству плоскостей с заданными направ-
ляющими косинусами нормалей cos aXi cos ay, cos a/.
«11*+ «12//+ «13Z + «14 «21* + «22*/ + «23Z + а24 «31* + «32 У + «33* + «Э4 /OCQ4
I500
(с) При ВфО все диаметры поверхности второго порядка пересекаются
в одной точке, центре поверхности (другое определение см. в п. 3.5-8). При
D = 0 все диаметры параллельны или лежат в одной плоскости. В первом
случае, т. е. при D^O, поверхность называется центральной.
Координаты х0, у0, z0 центра определяются системой уравнений
«11*0 + «121/0 + «13*0 + «14 = 0,
«21*0 + «22#0 + «23*0 + «24 = 0. } C.5-9)
«31*0 + «321/0 + «33*0 + «34 = 0,
откуда
*о =— yz
«14
«24
«34
«12
«22
«32
«13
«23
«33
, Уо
1
~~ D
alt
«21
«31
«14
«24
«34
«13
«23
«33
«И
«21
a3i
«12
«22
«32
C.5-10)
Если поверхность центральная, то перенос C.1-19) начала координат в се центр A0)
приводит уравнение поверхности к виду
«и*2 + а22у2 + а3з22 + 2at2xy + 2aizxz + 2a23yz ¦'
— = 0,
C.5-11)
где х, у, z — координаты относительно новой системы.
(d) Три диаметра центральной поверхности второго порядка называются
сопряженными диаметрами, если каждый из них сопряжен плоскости двух
других диаметров.
3.5-6. Главные плоскости и главные оси.
(a) Диаметральная плоскость, перпендикулярная к сопряженным ей хор-
дам, называется главной плоскостью поверхности второго порядка и является
ее плоскостью симметрии. Каждая поверхность второго порядка имеет по
меньшей мере одну главную плоскость и по меньшей мере две плоскости сим-
метрии. (Пример: параболический цилиндр имеет одну главную плоскость.)
Только цилиндры имеют плоскости симметрии (перпендикулярные к образую-
щим), которые не являются главными плоскостями. Каждая невырожденная
поверхность второго порядка имеет по меньшей мере две взаимно перпенди-
кулярные главные плоскости. Каждая центральная поверхность (п. 3.5-5) имеет
по меньшей мере три главные плоскости (ровно три, если она не является
поверхностью вращения), среди которых всегда существуют три взаимно пер-
пендикулярные.
(b) Диаметр, являющийся линией пересечения двух главных плоскостей,
называется главной осью поверхности и является ее осью симметрии. Если

92
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.5-7.
поверхность имеет две главные оси, то она имеет и третью, перпендикулярную
к ним обеим. Каждая невырожденная поверхность имеет по меньшей мере
одну главную ось. Центральная поверхность имеет по меньшей мере три
(ровно три, если она не является поверхностью вращения) взаимно перпенди-
кулярные главные оси, представляющие собой нормальные к ее главным пло-
скостям диаметры (сопряженные как этим плоскостям, так и между собой,
см. п. 3.5-4, а); среди главных осей центральной поверхности всегда имеются
три взаимно перпендикулярные.
Нормали к главным плоскостям имеют направления собственных векторов мат-
рицы [aik], i, k — 1, 2, 3 (см. п. 14.8-G). Направляющие косинусы этих нормалей
cos ax, cos ау, cos az определяются системой уравнений
(alt — X) cos ax-\- a12 cos ау -f au cos а2 = О,
a2i cos ax + (д22 — I) cos ау + а23 cos а2 = О,
аи cos ах+ аг2 cos ау + (азя — К) cos az — О,
C.5-12)
где К — отличный от нуля (заведомо действительный) корень характеристического урав-
нения F). -ХЕсли все корни Хь к2, к3 уравнения F) отличны от нуля, то система A2)
определяет для каждого из этих корней направляющие косинусы главной оси. В том
случае, когда К = 0 является простым корнем характеристического уравнения (б), ему
соответствуют направляющие косинусы единственной главной оси. Если же л = 0 —
кратный корень, то поверхность является параболическим цилиндром или парой парал-
лельных плоскостей. В этом случае система C.5-12) содержит только одно независимое
уравнение. Если дополнить ее уравнением
а41 cos a^ -f а42 cos ау ¦+- а43 cos az = 0,
то новая система определит направление образующих цилиндра.-Х-
3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному
(каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, осуществив
1) поворот координатных осей (п. 3.1-12, Ь), в результате кото-
рого нормаль к каждой из взаимно перпендикулярных плоскостей
Рис. 3.5-1. Невырожденные поверхности второго порядка: а) эллипсоид, Ь) однополост-
ный гиперболоид, с) двуиолостный гиперболоид, d) эллиптический параболоид, е) гипер-
болический параболоид.
симметрии поверхности станет параллельной одной из новых осей
(преобразование к главным осям, см. п. 14.8-6);

3.5-tf.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
93
2) подходящий перенос начала (п. 3.1-12, а),
то уравнение (I) любой невырожденной поверхности второго порядка может
быть преобразовано к одному из видов, перечисленных в табл. 3.5-2. Эти
поверхности изображены на рис. 3.5-1. Каждое из полученных уравнений
называется стандартным (или каноническим) уравнением соответствующей
поверхности. В табл. 3.5-2 приведены также основные свойст&а поверхно-
стей и соотношения, позволяющие определить параметры а2, Ъ2, с2, р и q по
инвариантам Л, D, J и / уравнения A).
Уравнения вырожденных поверхностей (см. табл. 3.5-1) аналогичным образом при-
водятся к следующему стандартному виду:
•- О (точка),
C.5-13)
хл и2 zz
-2 f ¦, 2 г =г= ° (действительный конус; круговой, если а2 = Ь2),
х2 и2
-о -I- "- = 1 (эллиптический цилиндр; круговой, если а2 = Ь2),
х2 и2
-- — >о = 1 (гиперболический цилиндр),
а2 о2
f2 I" fi =° (лря*ая),
— -— <- = 0 (пара пересекающихся плоскостей),
а2 о2
у*—2рх (параболический цилиндр),
-2 = 1 (пара параллельных плоскостей),
х2 = 0 (о5яа действительная плоскость).
Направления новых осей Ох, 0^/, Ог определяются уравнениями A2) с точностью до
поворота на угол, кратный я/2, вокруг любой из новых осей; этому преобразованию
соответствует перестановка переменных х, — х, у, —yt z, —z в канонических уравне-
нияхтабл. 3.5-2.
3.5-$. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка.
Полюсы и поляры.
(а) Определение касательных плоскостей и нормалей поверхности, а также
условия их существования приведены в п. 17.3-2. Уравнение касательной
плоскости к поверхности A) в точке Рх (хъ уи гг) имеет вид
C.5-14)
+ «23 (#1* + 21У) + «14 (*1 + *) + «24 (У\ +У) + «34 (*1 + 2) + «44 = О
ИЛИ
(апхг + а12уг + а19гг + а14) а: + (a2lxt + «22«/i + «гз^ + «24) У +
+ («31*1 + «32#1 + «33^1 + «34) ^ + («41*1 + «42^/1 + «43*1 + «44) = 0.
(Ь) Уравнения нормали к поверхности A) в точке (xlt ylt гг) (см. также
п. 3.3-16, Ь):
C.5-15)
(с) Уравнение A4) определяет плоскость, которая называется полярной
плоскостью точки (#1, Ух, zt) относительно поверхности второго порядка A) не-
зависимо от того, лежит ли точка (xlt yl9 гг) на поверхности или нет; точка
(*i> #it %х) называется полюсом плоскости A4). Полярная плоскость точки,

Таблица 3.5-2
Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырожденных поверхностей второго порядка
(см. также табл. 3.5-1; уравнения касательных и полярных плоскостей см. в п. 3.5-8)
Поверхность (см. также
рис. 3.5-1)
Действительный эллип-
соид (эллипсоид вращения
(сфероид), если два главных
диаметра равны и либо (а)
меньше, чем третий (вытя-
нутый сфероид), либо (Ь)
больше, чем третий (сплюс-
нутый сфероид); сфера, если
Однополостный гипербо-
лоид (гиперболоид вращения,
если а2~Ь2)
Стандартное
(каноническое)
уравнение
^!_4-^- + ^-= 1
(рис. 3.5-1, а)
х* у2 z* .
-—— — = 1
а2 Ь б2
(рис. 3.5-1, Ь)
Сечение
плоскостью
Действительный
или мнимый эллипс;
точка (касательная
плоскость)
Гипербола, парабо-
ла или эллипс в за-
висимости от того,
параллельна секущая
плоскость двум,
одной или ни одной
прямолинейной обра-
зующей асимптотиче-
ского конуса; пара
пересекающихся пря-
мых (касательная
плоскость)
Замечания
Вершины в точках (-+- а,
0, 0), @, ± 6, 0), @, 0, ± с);
длины главных диаметров
равны соответственно 2а
2Ь, 2с
Линейчатая поверхность
с двумя семействами пря-
молинейных образующих
х z / и \
1 = %[ 1 -р" J,
ас \ b }
г х 2\ у
^ 1 —. J __ j
\ а с J b
и
¦^ _ц 2 / j у \
а ' с \ by
Геометрическое место пря-
мых, пересекающих три
данные прямые. Асимптоти-
ческий конус (внутри по-
верхности) :
Параметры а, Ь, с,
выраженные через
инварианты A, D
7i3 D '
h* * Л
"XI D '
с2 * А
2
\ А
2 ^ А
Xs D *
^1 ^ %$, ^> 0 ^> Лд,
D == Ai Я2 As

Таблица 3.5-2 (продолжение)
Поверхность (см. также
рис. 3.5-1)
Двуполостный гипербо-
лоид (гиперболоид вра-
щения, если Ъ2 = с2)
Эллиптический парабо-
лоид (параболоид враще-
ния, если р = q)
Гиперболический пара-
болоид
Стандартное
(каноническое)
уравнение
а2 Ъ2 с2 ~
(рис. 3.5-1, с)
~Р ~Я ~
(рис. 3-5-1, d)
(р > 0, q > 0)
(Р > 0, q > 0)
(рис. 3.5-1, е)
Сечение
плоскостью
Гипербола, парабо-
ла или эллипс в зави-
симости от того, па-
раллельна секущая
плоскость двум, одной
или ни одной прямо-
линейной образующей
асимптотического ко-
нуса; пара пересекаю-
щихся прямых (каса-
тельная плоскость)
Парабола (диамет-
ральная плоскость);
действительный или
мнимый эллипс; точ-
ка (касательная пло-
скость)
Парабола (диамет-
ральная плоскость);
гипербола; пара пе-
ресекающихся пря-
мых (касательная
плоскость)
Замечания
Вершины в точках (+ а,
0, 0); расстояние между вер-
шинами равно 2а. Асимпто-
тический конус (вне поверх-
ности):
аг Ь2 С2 — °
Вершина в начале коорди-
нат
Седловая точка в начале
координат. Линейчатая по-
верхность с двумя семейст-
вами прямолинейных обра-
зующих
Yp Yq k J
и
X JJ \
Vp Yq~~ & )
Параметры a, b, c, p, q,
выраженные через
инварианты A, D
и lif k2, l3
1 A t. \ A
a — "ГЬ"' b — Гп*
Ax LJ Л3 LJ
c* — 1 -Л
I "I/" A
___ 1 i / 7Г
fv%, ***> /v2 V -*^> » v •*1**3

yb ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.5-9.
принадлежащей поверхности второго порядка, если касательная плоскость по-
верхности в этой точке.
(d) Полярная плоскость Р любой точки В данной плоскости а проходит
через полюс А этой плоскости а.
(е) Центр поверхности второго порядка есть полюс бесконечно удаленной плоскости.
Диаметральная плоскость есть полярная плоскость бесконечно удаленной точки, через
которую проходят хорды, сопряженные этой диаметральной плоскости.
(!) Полярные плоскости всех точек данной прямой пересекаются по одной прямой: эта
последняя прямая содержит полюсы всех плоскостей, проходящих через данную прямую.
Две полученные прямые называют парой полярно сопряженных прямых.
(g) Диаметр поверхности второго порядка есть прямая, полярно сопряженная беско-
нечно удаленной прямой пространства.
(h) Полярная плоскость допускает геометрическое определение, аналогичное опреде-
лению поляры (см. п. 2.4-10).
3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы.
(a) Уравнение сферы радиуса г с центром в точке Pt (xlt yx, zx) = Pt (rx):
(х — ххJ + (у — ухJ -f- B — zxJ —г2 или | г — 14 | = г. C.5-16)
(b) Общий вид уравнения сферы:
А (х2 -\-у2-\~ z2) + 2Вх +2Су + 2Dz -f Е = 0, А ф 0. C.5-17)
(c) Пусть Рх и Р2 — точки пересечения сферы с прямой (секущей), проходящей через
данную точку Ро (х0, Уо, z0). Тогда произведение величин направленных отрезков P0Pi
и Р0Рг постоянно для всех секущих, проходящих через Ро, причем
PoPi • Р0Р2 = 4 + Уо + 4 — г2. C.5-18)
Теорема остается справедливой и в том случае, когда Pt и Р2 совпадают (если рассмат-
ривать вместо секущей ее предельное положение — касательную к сфере в точке Рх ^ Pi,
проходящую через точку Ро).
(d) Для половик трех сопряженных диаметров эллипсоида (п. 3.5-5):
1. Сумма квадратов равна а2 -\- Ь2 + °2-
2. Объем построенного на них параллелепипеда равен abc.
(e) Диаметральная плоскость поверхности второго порядка
~±|7±^i = l C.5-19)
(эллипсоид, однополостный гиперболоид или двуполостный гиперболоид, см. также табл.
3.5-2), сопряженная диаметру с направляющими косинусами cos a f cos а , cos а^, оп-
ределяются уравнением!
х cos av у cos a z cos a^
¦ —!L± =0. C.5-20)
а2 — ?2 — <
Направляющие косинусы трех сопряженных диаметров cos a^, cos а
cos p cos p^; cos у , cos у cos у удовлетворяют соотношениям
cos ax cos fix cos а cos p cos az cos p^
* ¦ - = 0,
«2 — ^2 — C2
cos av cos у cos a., cos у cos a_ cos у
a2 — b2 — c2
cos p cos у cos p cos у cos p^ cos yz
= 0,
0.
C.5-21)
Знаки в уравнениях B0) и B1) должны совпадать со знаком соответствующих членов
в уравнениях A9).
¦)(-(f) Уравнение диаметра поверхности C.5-19), сопряженного плоскости с направля-
ющими косинусами нормали cos a , cos a , cos a , имеет вид
x = у _ z
i: a2 cos a ~L *~* — ~ * "° '

3.5-10. 3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 97
3.5-10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (см. также пп.3.1-14):
х = a sin и cos v, у = b sin и sin v, z =c cos и (эллипсоид), C.5-22)
x — a ch и cos v, у = b ch и sin v, г = с sh и (однополостный гиперболоид),C.5-23)
л: =+ а ch «, # = b sh « sin f, z = <? sh « cos t/ {двуполостний гиперболоид), C.5-24)
(знаки -}- и — соответствуют двум полостям),
х = |^р w соз о, /у =3 У<7 м sin v, z = ^ и% (эллиптический параболоид), C.5-25)
х — Yp и ch v, у — Yq и sh v, z == — и2 (гиперболический параболоид), C.5-26)
х = аи cos vt у = bu sin t», z ~cu (действительный конус). C.5-27)
Возможны также многие другие параметрические задания этих поверхностей.

ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена главным образом числовым функциям действительных
переменных. Введение пределов функций (пп. 4.4-1—4.4-7) позволяет определить
новые математические операции (предельные процессы), такие, как сложение
и умножение бесконечного числа членов, дифференцирование и интегрирование.
Определения и теоремы, изложенные в этой главе, применимы как к дейст-
вительным, так и к комплексным функциям и переменным, если специально не
оговорено, что речь идет лишь о действительных величинах. Аналитические
функции комплексного переменного рассматриваются в гл. 7.
4.2. ФУНКЦИИ
4.2-1. Функции и переменные (см. также п. 12.1-4).
(а) Если дано правило соответствия, относящее каждому данному дей-
ствительному или комплексному числу х из множества Sx действительное или
комплексное число
y = fW, D.2-1)
то у называется (числовой) функцией
аргумента х. Равенство A) указывает значение (или значения) y = Y = f (X) пе-
ременной у, соответствующее каждому допустимому значению х = Х перемен-
ной х\ при этом х называется независимым переменным, а */ — зависимым пере-
менным.
Термин «переменное х», в сущности, отсылает к множеству значений X, а равенство A)
символизирует множество соответствий, связывающих значения X переменного х и зна-
чения Y — f (X) переменного у. В согласии с обозначениями, применяемыми в большин-
стве учебников, символом х мы будем обозначать и переменное х и значение этого перемен-
ного, если только это не сможет привести к путанице.
Если х и у рассматривать как декартовы координаты на плоскости (п. 2.1-2),
то действительная функция y = f(x) действительного переменного х часто
изображается кривой (графиком функции у от х, см. также п. 2.1-9).
(Ь) Подобным же образом функция
п переменных хъ х2, ..., хп относит упорядоченному множеству значений (не-
зависимых) переменных хъ х2, ..., хп значения (зависимого) переменного у.
Функция может быть определена таблицей своих значений или правилом вычисления
такой таблицы с помощью известных операций (конструктивные определения). Функция
может также быть определена неявно (п. 4.5-7) или с помощью определяющих свойств,
описываемых функциональными, дифференциальными или интегральными уравнениями,
экстремальными свойствами (п. 11.4-2), поведением при некоторых значениях аргумента
и т. д. Каждое неконструктивное определение нуждается в доказательстве существования,
устанавливающем, что функция, обладающая указанными свойствами, существует,

4.3-1. 4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ 99
(c) В большинстве приложений переменные х, у или xv х2, . . . , хп, у обозна-
чают физические объекты или величины, так что соответствующие соотношения A)
или B) описывают физические закономерности. (Пример, у = хххг, если xit х2 и у
соответственно обозначают напряжение, силу тока и мощность в простом электрическом
контуре.)
(d) Множество Sx значений х (или множество значений хъ х2, ..., хп),
для которых определены соотношения A) или B), есть область определения
функции f(x) или /(*!, а-2, ..., хп). Соответствующее множество Sy значений у
есть множество значений функции.
(e) Последовательность действительных или комплексных чисел s0, sv
s2, ... представляет функцию sn = s(ri), определенную на множестве неотри-
цательных целых чисел п.
4.2-2. Функции со специальными свойствами (см. также пп. 1.4-3, 7.3-3,
7.6-5 и 7.6-7).
(a) Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответ-
ствует единственное значение функции *). Функция многозначна, если хотя бы
одному значению аргумента соответствует два или более значений функции.
В дальнейшем всюду в этой главе рассматриваются только однозначные фун-
кции, и это всякий раз специально не оговаривается. Функция у (х) имеет
обратную функцию х (у), если из у = у (х) следует х = х (у).
(b) Функция f (х) действительного или комплексного переменного х четна,
если /(—*)=/(*), нечетна, если /(—#)=¦— f(x)\ является периодической
с периодом 7\ если /(/+ Т) е=/(/).
Каждая функция f (x), область определения Sx которой вместе с каждым входящим
в него числом х содержит и число — х, может быть представлена в виде суммы четной
функции A/2) [f (х) + f (— х)] и нечетной функции A/2) [f (х) — / (— *)]. Периодическая
функция f с периодом Т называется антипериодической, если f (t -f- Т/2) =— f (/). Каждая
периодическая функция / (/) с периодом Т может быть представлена в виде суммы
антипериодической функции A/2) [/ (/) — f (t + Г/2)] и функции A/2) [/ (t) + f (t + Т/2)],
периодической с периодом Т/2.
(c) у == / (х) есть алгебраическая функция от х, если х и у удовлетворяют
соотношению вида F (х,у) = 0, где F (х,у) — многочлен относительно х и у
(п. 1.4-3). В частности, у = f (x) есть рациональная (рациональная алгебраическая)
функция от х, если f (х) есть многочлен (целая рациональная функция) или
частное двух многочленов (дробная рациональная функция), у есть линейная
функция от х> если у — ах-\-Ь.
4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ
4.3-1. Вводные замечания. При рассмотрении свойств функции f (х) дей-
ствительного переменного х часто требуется указать множество значений х, для
которых значение / (л:) определено и удовлетворяет данным условиям. Заметим,
что подобным образом могут быть описаны и функции, и множества. Обычно
о значениях 2) действительного переменного х (или объектов, которым соот-
ветствуют значения х) говорят как о точках (х) прямой, а о множествах таких
действительных чисел —как о линейных точечных множествах.
Свойства функции / (xlt x2, ..., хп) действительных переменных xlt x2, ...,хп
подобным же образом связывают с множеством «точек» (xlt хъ ..., хп) в /г-мер-
ном «пространстве», включающем все рассматриваемые точки (xlf x2t ..., хп)
(п. 14.1-2).
Использование геометрического языка подсказывается аксиомой непрерывности Кан-
тора — Дедекинда, постулирующей существование взаимно однозначного соответствия
*) Многие авторы категорически настаивают на том, что по определению каждая
функция должна быть однозначна, так что, например, две ветви -\-Y x и —->^для -±}f x
всегда следует рассматривать как две функции.
2) См. также п. 4.2-1.

100 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.3-2.
между действительными числами и точками прямой. Эта «координатная аксиома» (п. 2.1-2)
совместима как со свойствами действительных чисел, так и с постулатами определяющи-
ми евклидову и другие геометрии.
В пп. 4.3-2 — 4.3-6 рассматриваются главным образом те свойства точечных множеств,
которые непосредственно применяются в теории функций действительных перемен-
ных. В пп. 7.2-2—7.2-4 рассматриваются области на комплексной числовой плоскости.
Вообще говоря, о любом множестве (классе) объектов (в частности, объектов,
соответствующих значениям действительного переменного или переменных) можно гово-
рить как о точечном множестве. Свойства таких множеств рассматриваются ниже в
пп. 12.5-1 — 12.5-4.
4.3-2. Свойства множеств.
(a) Алгебра множеств (классов). Объект (точка) Р, содержащийся
в множестве (классе) 5, есть элемент множества S (P eS). Множество S± явля-
ется подмножеством другого множества 52 (St содержится в 52, St с: S2), если
каждый элемент множества St является элементом и множества 52. Множества
5Х и S2 равны (S1 = S2)> если они содержат одни и те же элементы, т. е. если
5Х cz S2 и S2 с: Sv Пустое множество ф по определению есть подмножество
каждого множества S. Собственное подмножество (собственная часть) множества
5 есть непустое подмножество 5, не равное 5. Объединение (логическая сумма)
Si U S2 (или Si + $2) есть множество всех элементов, содержащихся либо в
Sx, либо в S2, либо и в Si, ив S2. Пересечение (общая часть, логическое произведе-
ние) Si П S2 (или Si S2) множеств Sx и S2 есть множество всех элементов, содер-
жащихся ив S^ и в S2. Дополнение множества 5 до множества /, содержа-
щего S, есть множество всех элементов из /, не содержащихся в 5. Подмно-
жества любого множества (класса) I с операциями логического сложения и умно-
жения составляют булеву алгебру (п. 12.8-1).
(b) Кардинальные числа и счетность. Два множества Sx и S2
имеют одну и ту же мощность (кардинальное число), если существует взаимно
однозначное соответствие между этими множествами. 5 есть бесконечное мно-
жество, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собствен-
ных подмножеств; в противном случае «S — конечное множество.
Бесконечное множество S счетно, если можно установить взаимно одно-
значное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. Каждое
кардинальное число конечного множества тождественно с числом его элементов.
Каждое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Объединение
счетного множества счетных множеств есть счетное множество.
Кардинальные числа, соответствующие бесконечным множествам, называются
бесконечными кардинальными числами. Кардинальное число каждого счетного множества
совпадает с кардинальным числом множества натуральных чисел и обозначается симво-
лом ?Q. Множество всех действительных чисел (или множество точек прямой, п. 4.3-1)
несчетно; соответствующее кардинальное число обозначается символом ^.
4.3-3. Границы.
(a) Действительное число М есть верхняя граница или нижняя граница
множества Sy действительных чисел у, если для всех у ^ Sy соответственно
у^М или у^М. Множество действительных или комплексных чисел ограни-
чено (имеет абсолютную границу), если множество абсолютных величин (модулей)
этих чисел имеет верхнюю границу; в противном случае множество не ограничено.
Каждое (непустое) множество Sy действительных чисел у, имеющее верхнюю
границу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) sup Sy,
а каждое (непустое) множество Sy действительных чисел, имеющее нижнюю
границу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу) inf Sy.
Если множество 5^ конечно, то его точная верхняя граница sup Sy необходимо
равна наибольшему числу, принадлежащему Sy: max Sv (максимуму Sv),
а точная нижняя граница inf Sy равна минимуму min Sy.
Пример. Множество всех действительных чисел, меньших 1, имеет точную верхнюю
границу 1, но не имеет максимума.
(b) Действительная или же комплексная функция y=f(x) или же у =
= / (*i>*2» ••* 1 хп) ограничена на множестве S «точек» (х) или (xv xz%..., хп), если

4.3-6. 4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ 101
ограничено соответствующее множество Sy значений функции у. Точно так же
действительная функция */ = /(*) или у = f (хъ х2,..., хп) имеет верхнюю
границу, нижнюю границу, точную верхнюю границу, точную нижнюю границу,
(абсолютный) максимум и/или (абсолютный) минимум на множестве 5 «точек»
(х) или (xlt лг2,..., хп)у если это верно для соответствующего множества Sy
значений функции у.
(с) Действительная или комплексная функция / (х, у) или f (л^, х2, ... ,хп\ у) равно-
равномерно ограничена на множестве S «точек» (х) или (л^, х2, ... , хп), если абсолютная вели-
величина (модуль) функции f как функция от у имеет верхнюю границу, не зависящую от х
или от л'г л'2, ... , х на 6. Равномерные верхние границы и равномерные нижние границы
определяются аналогично.
4.3-4. Интервалы (см. также пп. 4.3-3 и 4.3-5). Пусть # —действительное
переменное. Множество всех значений х (точек), удовлетворяющих условиям:
1) a<x<Z b, есть ограниченный открытый интервал (а,6),
2) a<*, есть неограниченный открытый интервал (а, + со),
3) х<Са, есть неограниченный открытый интервал (—со, а),
4) а^х^Ь, есть ограниченный замкнутый интервал [а, Ь].
Замкнутый интервал называют также отрезком, или сегментом, или
замкнутым промежутком. Множества точек (х), удовлетворяющих условиям
й<а: «< b, a <Cxz^b, a^Xy х^а, можно называть полуоткрытыми интерва-
интервалами. Каждый интервал 1Ъ содержащийся в другом интервале /2, есть частич-
частичный интервал интервала /2.
4.3-5. Определение окрестностей.
(a) Пусть а — любое действительное число. (Открытая) б-окрестность
точки (а) в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал
вида (а — б, a-j-б), содержащий точку х = а, иными словами, множество
всех точек (#), удовлетворяющих условию | х — а | < б, где б —некоторое поло-
положительное число. Окрестность точки х = а есть любое множество, содержащее
некоторую б-окрестность этой точки.
(b) Множество (М, +оо) всех точек (х), для некоторого действительного
числа М удовлетворяющих условию х> М, есть (открытая) окрестность «точки»
плюс бесконечность (+ оо) в пространстве действительных чисел; множество
(—оо, /V) всех точек (х), для некоторого действительного числа N удовлет-
удовлетворяющих условию х <С N, есть (открытая) окрестность «точки» минус бесконеч-
бесконечность (—оо) в пространстве действительных чисел.
(c) В пространстве, «точки» которого суть (описываются как) упорядочен-
упорядоченные множества (хъ х2, ..., хп) действительных чисел, (открытую) б-окрест-
б-окрестность точки (аъ о2, ..., ая), где alt a2, ..., ап конечны, можно определить как
множество всех точек (х1у х2,..., хп)у удовлетворяющих условиям | х1 — аг | <; б,
х2 — а21 <С б, ..., \хп — ап | <С б, где б — некоторое положительное число. Окрест-
Окрестность точки (а1} а2, ..., ап) есть любое множество, содержащее некоторую
б-окрестность этой точки.
Замечание. Определения окрестностей, подобные тем, которые были даны
выше, нельзя считать самоочевидными; они подчиняются постулатам, определяющим
«топологические» свойства рассматриваемого пространства (см. также п. 12.5-1). В част-
частности, для неограниченных значений переменных (как выше в (Ь) ) окрестности можно
определить различными способами (так, + °° и ~~ °° можно рассматривать как одну и
ту же точку или же как две разные точки; см. также п. 7.2-2). В прикладной матема-
математике выбор таких определений будет зависеть от характера тех объектов, которые
«представлены» точками (х) или (xv #2, ..., хп). Определение окрестностей тесно свя-
связано с определением открытых множеств (п. 4.3-6), областей (п. 4.3-6) и пределов функ-
функций на рассматриваемом пространстве (п. 4.4-1; см. также п. 12.5-3).
4.3-6. ^Открытые и замкнутые множества и области. Все нижеследующие
определения зависят от того, каким образом определены окрестности в про-
пространстве С, содержащем рассматриваемые множества и области (от топологии
этого пространства, см. также пп. 12.5-1 —12.5-4).
(а) Точка Р есть предельная точка (точка конденсации, точка накопле-
накопления) множества S czC, если каждая окрестность точки Р содержит точки

102 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-1.
множества S, отличные от Р. Точка Р есть внутренняя точка множества 5,
если Р имеет окрестность, целиком содержащуюся в S. Точка Р?С, не яв-
являющаяся внутренней точкой ни множества 5, ни его дополнения до' С, есть
граничная точка множества S. Точка Р множества 5 есть его изолированная
точка, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества 5.
Точечное множество 5 есть:
открытое множество, если оно состоит только из внутренних точек;
замкнутое множество, если оно содержит все свои предельные точки;
конечное множество замкнуто;
дискретное (изолированное) множество, если оно содержит только изоли-
изолированные точки; дискретное множество на евклидовой плоскости или в евкли-
евклидовом пространстве конечно или счетно; конечное множество дискретно;
связное множество, если его нельзя представить в виде объединения
двух непересекающихся множеств, каждое из которых не содержит предель-
предельных точек другого. (См. также п. 12.5-4.)
(Ь) Множество на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве ограничено,
если ограничено множество декартовых* координат всех его точек. Область (открытая)
есть открытое связное множество. Объединение открытой области и ее граничных точек
(границы области) есть замкнутая область.
Область D на евклидовой плоскости называется односвязной, если любая простая
замкнутая кривая (п. 3.1-13), целиком принадлежащая D, может быть стянута в точку
с помощью непрерывной деформации, не выходя из области D. Область не односвязная
называется многосвязной.
Область V в евклидовом трехмерном пространстве называется:
поверхностно-односвязной, если любую простую замкнутую кривую, лежащую в V,
можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из V;
пространственно-односвязной, если любую простую замкнутую поверхность типа
сферы, лежащую в V, можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не
выходя из V.
Например, шар односвязен с точки зрения обоих определений, шаровое кольцо —
только с точки зрения первого определения, а тор («баранка») — только с точки зрения
второго.
4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
4.4-1. Пределы функций и последовательностей (см. также пп. 4.8-1 и
12.5-3; см. примеры в табл. 4.7-1).
(a) Функция f (х) имеет (необходимо единственный) предел \imf(x) = L при
х~*а
х, стремящемся к конечному значению х — а (предел в точке а\ f(x)—»L при
х—>а), если для каждого положительного числа 8 существует такое положи-
положительное число 6, что при 0 <С [ х — а | <С б функция f (х) определена и
|/(*)-! |< в.
Функция f (x) действительного переменного х имеет (необходимо единст-
единственный) предел lim f(x) — L при х, стремящемся к плюс бесконечности
х-+ + со
(когда х неограниченно возрастает; f(x)—*L при х—*+оо), если для каждого
положительного числа е существует такое действительное число N, что при
х > N функция / (*) определена и | / (л;) — L | < е.
Если функция f(x) имеет предел L, то говорят, что она стремится к L.
(b) Последовательность чисел (п. 4.2-1) s0, slf s2, ...(^s(ri)) имеет (необ-
(необходимо единственный) предел lim sn — S (сходится к S), если для каждого
Я->00
положительного числа е существует такой номер N, что при я > N выпол-
выполняется неравенство \sn — 5 | < е. Критерий сходимости последовательности
см. в п. 4.9-1, где рассматриваются признаки сходимости бесконечных рядов.
(c) Действительная функция f (x) неограниченно возрастает (стремится к плюс бес-
бесконечности):
1. При х, стремящемся к конечному значению х = a (f (х) -+ + °° при х -* а\ некото-
некоторые авторы пишут lim f (х) =-\- оо), если для каждого действительного числа М суще*

4.4-Зс 4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ЮЗ
ствует такое положительное число 6, что при 0 < | х— а | < б функция f (х) определена
и f (х)>М.
2. При х, стремящемся к плюс бесконечности (f (х) -> -f- °° при х -* -{¦ <х>\ некоторые
авторы пишут lim f (х) — -\- оо), если для каждого действительного числа М сущест-
вует такое действительное число N% что при #> N функция f (x) определена и f{x)'>M.
Аналогичное определение дается в случае последовательности. Действительное пере-
переменное х или f (х) стремится к минус бесконечности (х -*•— оо или f (х) -*¦ —оо), если
соответственно —х -*¦ + оо или —/ (х) -*>-f-оо. В (Ь) и (с) устанавливается математический
смысл символов -j-oo и — оо в системе действительных чисел (см. также пп. 4.3-5 и
7.2-2).
Если f (х) -v + °° или f (х) -+¦ — оо при х -+ а (при х -* -f оо; при х -+ — оо), то гово-
говорят, что функция f (x) является бесконечно большой при х -*> а (соответственно при
х -#- -f оо; при х -* — оо). Если f (х) -* 0 при х -»¦ а (при х -+ -f- °°1 ПРИ ^"-* — о0), то функ-
функция / (х) называется бесконечно малой при х -*¦ а (соответственно при х -*¦ -j- оо; при
х -*¦ — оо).
4.4-2. Операции над пределами (см. также пп. 4.4-6,с и 4.8-4). Если пре-
пределы в правой части нижеследующих равенств существуют, то существуют
пределы и в левой части равенств и
lim [f(x) + g(x)]= lim f(x)+ lim g(x),
lim [af (*)] = a lim f(x)y
x-+a x -* a
Hm [f(x)g(x))= lim f (x) lim g(x),
x-*- a x -+a x -*¦ a
lim f (x)
D.4-1)
где а может быть как конечным, так и бесконечным; эти правила применимы
и к пределам последовательностей (п. 4.4-1), а также к пределам функций
нескольких переменных (п. 4.4-5).
4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (см. также
п. 4.8-6). Если даны две действительные или комплексные функции / (#), g (x)
действительного или комплексного переменного х, то пишут
1. / (х)~0 [g (х)] (/ (х) есть O[g(x)]); f (x) есть функция не низшего по-
порядка малости чем g (х) при х —¦ а, если существует окрестность точки а,
в которой при хфа отношение f(x)/g(x) ограничено.
2. f(x) = O*[g(x)]\ f (x) и g(x) имеют один и тот же порядок (функция
f{x) асимптотически пропорциональна g(x)) при *—>а, если предел
lim [f(x)/g (x)] существует и отличен от нуля.
х -+а
3. f(x)~g(x)\ f (х) и g(x) эквивалентны (функция / (дг) асимптотически
равна g(x)) при х-*а, если lim lf(x)/g(x)] = l; отсюда следует, что отноше-
х-+а
наг разности f (х) — g(x) к g(x) (или к f (х)) стремится к нулю при х—*-а.
4. f(x) = o[g(x)] (/ (х) есть o[g(x)]); f (x) есть функция более высокого
порядка малости чем g (х) при х-* а, если lim [f (x)/g (x)] = 0. Это иногда
х-+а
читают и так: «функция / (х) пренебрежимо мала по сравнению с g (я)» при
х—*а.
В каждом из этих определений а может быть как конечным, так и бес-
бесконечным. Бесконечно малыми порядка 1, 2, ... при де—*0 называются функ-
функции того же порядка, что и соответственно функции *, а:2, ... при х—*0. Бес-
Бесконечно большими порядка 1, 2, ... при х—>+оо называются функции того
же порядка, что и соответственно функции х> х2, ... при х—¦+со.
Асимптотические соотношения часто позволяют оценивать или приближать функцию
t {х) с помощью g (х) в некоторой окрестности точки х = а.
Пишут
f (х) = ф (х) +0{g (x)l если / (х) — Ф (х) = О [g (x)]%
I {х) = ф {х) +o[g (x)]t если ? (х) — ф (х) = о [g {х)Ъ

W4 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-4.
4.4-4. Равномерная сходимость.
(a) Функция f(xi, х2) сходится равномерно на множестве 5 значений х2:
1. К функции lim f (хъ x2) = L(x9), если для каждого положительного
хх-+а
числа 8 существует такое положительное число б, что при O^j^ a\<6
и при всех x2g5 функция f (х1у х2) определена и выполняется неравенство
I / (xv x2) — L (х2) | < е (б не зависит от х2).
2. К функции lim / (хъ x2) = L(x2), если для каждого положитель-
хх-+ + со
ного числа 8 существует такое действительное число Л/, что при хг> N и
при всех х2 е S функция / (хъ х2) определена и выполняется неравенство
I / A Х2) — L (Х2) | < 8.
(b) Последовательность функций s0 (x), sx (х), s2 (x)t ... равномерно схо-
сходится на множестве 5 значений х к функции
lim sn(x) = s(x),
п -* оо
если для каждого положительного числа 8 существует такой номер ./V, что
при п> N и при всех х е 5 выполняется неравенство j sn (x) —s (x) | <С 8 (см.
также пп. 4.6-2 и 4.8-2).
4.4-5. Пределы по совокупности переменных и повторные пределы.
(a) Если термин «окрестность» понимать в смысле, указанном в п. 4.3-5,с, то функ-
функция f {хх, х2) имеет (необходимо единственный) предел lim / (xt, x2) = L, если для
xt -> at
х2 ->о2
каждого положительного числа г существует такая окрестность D точки (а,, а2), что
для всех точек (xif x2) e D, исключая, быть может, точку (alt a2), функция f (xlt x2)
определена и | / (хи х2) — L | < е. При этом at и/или а2 могут быть как конечными, так
и бесконечными.
Двойная последовательность sOo, s10, ... имеет предел lim s —s (сходится Ks)t
т -> оо тп
п -* со
если для каждого положительного числа 8 существуют такие два номера М и Л/, что
при т >• М и п ;> N выполняется неравенство is — s I <i e. Пределы функций более
чем двух переменных определяются аналогично.
(b) Если существует такое положительное число 6, что
lim f (хи х2) — f (at, х2) при 0 < | х2 — а2 \ < б, "|
xx-+at I
lim / (xlt x2) = f (хи а2) при 0 < | хх — ах \ < б | D.4-2)
х2 -+ а2 )
и по крайней мере в одном из этих предельных процессов сходимость на указанном мно-
множестве равномерна, то все три предела
Hm f (хи х2), Нт Г lim f {xt,
, -> at xt-+ at [x2 -> а2
г -* а2
lim [ lim / (xx, x2)]
x2 — a2 [xx -* ax \
существуют и равны друг другу. Аналогичные теоремы справедливы и в случае, когда
ах и/или а2 бесконечны.
4.4-6. Непрерывные функции.
(а) Функция /(*), определенная в некоторой окрестности точки х~ау
непрерывна при х — а (в точке а), если предел lim / (л:) существует и ра-
х -+ а
вен f (а), т. е. если для каждого положительного числа е существует такое
положительное число 6, что при \х — а|<6 выполняется неравенство

4.4-7. 4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Ю5
Точно так же функция f (xlt х2, •••, хп), определенная в некоторой окрест-
окрестности точки (аъ а2, ..., ап), непрерывна в точке (аг, a2, ..., ап)> если
lim f(xlf x2, ..., xn)=f(alt а2, ..., ап).
х
Функция f (xlf x2, ... , *п) непрерывна в точке (ах, а2, ... , ап} по xit если функ-
функция f (х1г а2, ..., ап} непрерывна в точке хх = ах. Функция, непрерывная в точке
(#ь #2, ... , ап) по к^ждой из переменных xit x2, ... , хп в отдельности, может не быть
непрерывной в точке (аи а2, ... , ап\
(b) Функция непрерывна на множестве точек (например, в интервале или
в области), если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Действительная функция f (х), непрерывная на ограниченном замкнутом
интервале [а, Ь]у ограничена на [а, Ь] и хотя бы по одному разу принимает
каждое значение, заключенное между ее точной верхней и точной нижней гра-
границами на [а, Ь] (п. 4.3-3), включая и эти границы. Аналогичная теорема
верна и для действительной функции двух и большего числа переменных, не-
непрерывной в ограниченной замкнутой области.
Функция f (x) равномерно непрерывна на множестве S, если для каждого положи-
положительного числа е существует такое положительное число б, что для всех x<eS и X ее S
при j х —¦ X | < б выполняется неравенство | f (х) — f (X) | < 8. Функция, непрерывная на
ограниченном замкнутом интервале [а, 6], равномерно непрерывна на [а, Ь].
(c) Если две функции fug непрерывны в данной точке х или (xt, x2, ... , хп}, то
непрерывны в этой точке и функции f -f- ё, f — 8 и fg; если функция g не обращается
в этой точке в нуль, то в этой точке непрерывна и функция f/g. Если дано, что
lim у. (х) = А; (/=1, 2, ...) и что функция F (ух, у2 уп) непрерывна в точке
(Аи А2, ... , Ап), то
lim F [у, (х), у2 (х), ... , уп (х)] = F (Аи Аг Ап) D.4-3)
(см. также п. 4.4-2). В частности, если каждая из функций у- (х) непрерывна при х — а,
то это верно и для F [г/х (х), у2 (х) уп (*)],
Предел s (х) равномерно сходящейся на множестве S значений х последовательности
функций s0 (x), Si (x), ... , непрерывных на S, есть функция, непрерывная на S.
4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность.
(а) Функция / (х) действительного переменного х имеет (необходимо един-
единственный) предел
lim /(*)= lim /(*)=/(a + 0) = I+
x-+a-\-0 x-+a-\-
в точке а справа, если для каждого положительного числа е существует такое
положительное число 6, что при 0<х — а<6 функция / (х) определена и
выполняется неравенство \f{x) — L+ | < е. Функция f (х) имеет в точке а пре-
предел слева
lim f(x)= lim /(*) = /(a — 0) = L_,
x -+ a — 0 x-+ a —
если для каждого положительного числа 8 существует такое положительное
число б, что при 0 <с а — х <С 6 функция f (х) определена и выполняется не-
неравенство |/ (#) — L_ | <е. Если существует предел lim / (#), то пределы
х-* а
lim / (#) и lim / (x) существуют и
х-+а-\-0 х-*а — 0
lim / (х) — lim / (#) = lim / (х).
x-*a-\-Q x-*a — Q x -*¦ а

ЮЗ ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-8.
Обратно, если lim f(x) — lim / (х), то предел lim f (х) суще-1
х->а — 0 х->а-\-0 х-*а
ствует.
(b) Функция / (л:) непрерывна в точке а справа или слева, если соответст-
соответственно /(а + 0) = f (а) или /(а — 0) = /(а). Точка разрыва первого рода действи-
действительной функции / (л:) есть точка а, в которой функция / (х) разрывна (т. е.
не непрерывна) и существуют пределы /(а + 0) и f(a — 0); наибольшая раз-
разность между двумя из чисел / (а), /(а + 0) и f {а — О) есть скачок функции f (х)
в такой точке разрыва *). Точки разрыва первого рода функции f (х) образуют
конечное или счетное множество (п. 4.3-6,а).
(c) Функция / (х) кусочно-непрерывна на интервале /, если она непре-
непрерывна в / всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого
рода.
Функция / fxif х2 хп) кусочно-непрерывна в области V л-мерного простран-
пространства, если она непрерывна в V всюду, за исключением, быть может, некоторого множе-
множества регулярных гиперповерхностей (регулярных кривых при /2 = 2, регулярных поверх-
поверхностей при п = 3, пп. 3.1-13 и 3.1-14), разбивающих V на конечное число подобластей,
в каждой из которых функция f (xit x2, ... , хп) имеет единственный односторонний пре-
предел при приближении к любой граничной точке подобласти изнутри этой подобласти.
4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации.
(а) Действительная функция / (х) действительного переменного х строго
монотонна на интервале /, если она на нем определена и если для любых
двух точек хг и х2 интервала / либо из хх < х2 всегда следует f (хг) < / (х2)
(возрастающая функция), либо же из хг<.х2 всегда следует f(x1)>f(x2)
(убывающая функция). Функция f (х) нестрого монотонна на /, если она опре-
определена на / и если для любых двух точек хх и х2 интервала / либо из
xt<x2 всегда следует / (#i) ^ / (*2) (неубывающая функция), либо же из
хг<.х2 всегда следует / (хх) ^ / (х2) (невозрастающая функция). Аналогичные
определения даются для монотонных последовательностей (п. 4.2-1).
(ЗЬ) Действительная функция / (*) действительного переменного х есть
функция ограниченной вариации на интервале [а, 6], если существует такое
положительное число М, что для всех разбиений а — х0 <хг <лг2 < ...<хп — Ь
интервала [а, Ь] выполняется неравенство
S I /fa)-/(**-!) К М-
/=1
Функция / (#) есть функция ограниченной вариации на [а, Ь] в том и только
в том случае, если она может быть представлена в виде f(x)=ft(x)—/2 (х),
где fx (х) и /2 (х) ограничены и не убывают на [а, Ь].
Если f (х) и g(x) —функции ограниченной вариации на [а, Ь], то и
f(x)-\-g(x) и f (x) g(x) —функции ограниченной вариации на [а, Ь]. Функция
/ (л:) есть функция ограниченной вариации на каждом конечном интервале
[а, b]t на котором она ограничена и имеет конечное число относительных
максимумов и минимумов (п. 11.2-1) и точек разрыва первого рода (условия
Дирихле).
Функция ограниченной вариации на [а, Ь] ограничена на [а, Ь] и имеет
только точки разрыва первого рода (п. 4.4-7).
В физических приложениях условие, чтобы f (x) была функцией ограниченной вари-
вариации на каждом ограниченном промежутке, выражает тот факт, что функция f (x) огра-
ограничена и что компоненты очень высокой частоты не могут существенно влиять на ее ин-
интенсивность (п. 18.10-9).
*) Часто скачок функции f (х) в точке а определяют как разность / (a-f-O)—f (a — 0).
Для монотонной функции это определение и данное в тексте совпадают.

4.5-2. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 107
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.5-1. Производные и дифференцирование.
(а) Пусть y = f(x) — действительная функция действительного перемен-
переменного х, определенная в некоторой окрестности точки х. Первая производная
(производная первого порядка) функции / (*) по л: в точке х есть предел
J^^f^^^^f'M^y'. D.5-0
В каждой точке х, в которой предел A) существует, производная -—^ ff (х)
есть мера скорости изменения у относительно х. Производная /' (х) есть
угловой коэффициент касательной (п. 17.1-1) к графику функции у=/ (х) (см.
п. 4.2-1, а) в точке х.
Соответствующие односторонние пределы (п. 4-4-7,а) называются левой производной
Г_ (х) и правой производной /' (х) функции f (x) в точке х.
(Ь) Вторая, третья, ..., n-я производные (производные второго, третьего, ...
..., n-го порядка) функции у—fix) no x в точке х определяются соответст-
соответственно формулами
если соответствующие пределы существуют.
(с) Операция отыскания производной /' (х) данной функции f (x) назы-
называется дифференцированием функции / (х) по х. Функция / (#) дифференцируема
при тех значениях х или на том множестве значений х, при которых суще-
существует производная /' (х). Функция / (х) непрерывно дифференцируема, если
производная /' (х) существует и непрерывна. Функция / (х) называется ку-
кусочно-гладкой на промежутке /, если функция / (л:) непрерывна на /, а ее
производная /' (х) кусочно-непрерывна (п.4.4-7, с) на /. Дифференцируемая
функция непрерывна.
Производные большого числа часто встречающихся функций приведены
в табл. 4.5-1. Производные от комбинаций этих функций могут быть найдены
с помощью правил дифференцирования из п. 4.5-4.
4.5-2. Частные производные.
(а) Пусть */ = /(#!, хъ ..., хп) — действительная функция переменных хъ
х2, •••> хп, определенная в некоторой окрестности точки (хъ х2, ..., хп).
Частная производная (первого порядка) функции / (*1? х2> ..., хп) по хх в точке
(*i, х2у ..., хп) есть предел
f fxt + A*i, xz, х3 xn) — f (хи x2t ... , хп) __
lim -г- =
АХ
Производная Ё-^(§~)х х х ^!хЛхъ *2> •••» хп) в каждой точке
(Хц х2, ...» Хп), в которой существует предел C), есть мера скорости изме-
изменения у относительно Xi при фиксированных значениях остальных независим
мых переменных. Частные производные -?-у ^-, ..., ^- определяются ана-
аналогично. Каждая частная производная ~~ может быть найдена посредством
k
дифференцирования функции f (xx> х2, ..., хп) по х^, если остальные п—-\
независимых переменных рассматривать как постоянные параметры.

ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ М ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5-2.
Таблица 4.5-1
Производные часто встречающихся функций
(см. также в гл. 21 производные некоторых специальных функций)
(а)
fix)
xa
ex
ax
In x
ogax
sin x
cos x
f'(X)
axa~l
ex
ax In a
I
X
1
x In a
COS X
— sin x
f (n ix)
a {a— 1) (a —2) ... (a — r -\- 1) xa~r
ex
ax (In af
(- l/" (r - 1)! ~
Zlna
sm(^-fr^)
cos ^-f r ~J
(b)
f <*)
f ix)
f (x)
f (x)
tg*
ctg x
sec x
cosec x
sh jc
ch x
th*
cos2
sin
sin
cos2
X
i
2 X
X
X
COS X
sin
ch
2 X
X
sh x
1
ch2
X
sh2*
arccos л:
arctg x
arcctg x
arsh *
arch x
arth л:
arcth x
xx
V 1-х*
1
x*
I — *2
1
1 —**
f(l + In л)
(b) Частные производные более высокого порядка функции y~f(xv ...,
определяются формулами
t* д дУ
~" xixk ~~~ dxk dxi
dxk dxidxk ~" xixk ~~~ dxk dxi

4.5-3. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 109
если соответствующие пределы существуют. В каждом случае число произве-
произведенных дифференцирований есть порядок соответствующей частной производ-
производной. Отметим, что
щ§ггФ^ Aфк)' D-5)
если: 1) производная ^—|— существует в некоторой окрестности точки
i k
(хЛ, х2, ..., хп) и непрерывна в точке (xlf х2, ..., хп) и 2) производная *lL -
oxk охь
существует в точке (хг, х2, ..., хп).
4.5-3. Дифференциалы.
(а) -Шусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х
и пусть d* —приращение независимого переменного х (дифференциал незави-
независимого переменного х). Функция y—f(x) имеет в точке х (первый) дифферен-
дифференциал, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
Ау ==/ (x + dx) — f (x) = A dx + o (dx),
где А не зависит от dx. В этом случае (первым) дифференциалом функции
y = f(x) называется главная линейная часть приращения функции dy = Adx.
Функция y — f(x) имеет в точке х дифференциал в том и только в том слу-
случае, если она имеет в этой точке (первую) производную', ее дифференциал
равен dy = df=^dx = ff (x) dx. Так что
Подобным же образом пусть функция y—f(xl, х2, ..., хп) переменных jtif
лг2, ..., хп определена в некоторой окрестности точки (хъ х2, ..., хп) и пусть
dxv dx2, ... , dxn — приращения независимых переменных" (дифференциалы
независимых переменных) хъ хъ ..., хп. Функция y — f(xly x2, ..., хп) имеет
в точке (*!, х2, ..., хп) (первый) дифференциал (полный дифференциал), если
ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
где р = "Уdx\ + dx\ +.,.-\-dx2n и Alt A2, ..., Ап не зависят от dxl9 dx2, ...
..., dxn. В этом случае (первым) дифференциалом (полным дифференциалом)
функции y — f(xlt x2i ..., хп) называется главная линейная часть приращения
функции dt, = A1d
Отметим: 1) Если функция y = f (хъ х2, ..., хп) имеет в точке (хг, х21 ..., хп)
дифференциал, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней все частные
производные первого порядка. 2) Если функция y = f(x1, x2, ,.., хп) имеет
в точке (х1у х2, ..., хп) все непрерывные частные производные первого порядка,
то она имеет в этой точке (первый) дифференциал. (Из одного факта суще-
существования всех частных производных еще не следует существования полного
дифференциала.) Дифференциал функции y=f(xlt x2, ..., хп), если он суще-
существует, имеет вид
^# = ?d*i + 5F, *, + ... +Д-d*,, <4-5-5>
где производные берутся в рассматриваемой точке.
Функция у = /(#1, х2, ..., хп) дифференцируема в точке (хг, х2, ..., хп),
если она имеет в этой точке (первый) дифференциал. В этом случае
Ау ее f
лп

ПО ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5-4.
Функция y = f(xly #2,..., хп) дифференцируема на множестве точек
(хъ х2, ... , хп), если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Функция ?/ = / (а?!, х2, ..., хп) непрерывно дифференцируема на некотором мно-
множестве, если на этом множестве все частные производные -~, —,..., -Л-
v дхх дх2 ' ' дхп
существуют и непрерывны. Функция y==f(x1, x2, ..., хп) называется кусочно-
гладкой в области 7, если она непрерывна в 7, а ее частные производные
-д_У_ 4^-,..., pL кусочно-непрерывны в 7 (п. 4.4-7, с).
OXt ОХ2 С1ХП
(Ь) Дифференциал каждого независимого переменного рассматривается
как постоянная, так что d2x^ d (dx) = d3x = d (d2x) = ...^0. Дифференциал
зависимого переменного есть функция от независимого переменного или пере-
переменных. Второй, третий, ...дифференциалы нужное число раз дифференцируе-
дифференцируемой функции находятся последовательным дифференцированием первого
дифференциала, например, если а?, хх и х2 — независимые переменные, то
#/ (х) = d (df) == d [*L dx) = -g dx\ D.5-6)
d*f (xlf x2) = d (df) = Ц dx* + 2 ^ dx1dxt + fx% dxl D.5-7)
d'f (xv x2)
Отметим также
.. ,un (x)] = rf(rf/> = ^.t^s
D5-9)
(с) Все функции от dxlf dx2,..., dxn того же порядка, что и dxn dxu ... dxrn
при dxx —> 0, <2a?2 — 0,..., dxn —¦ 0, суть бесконечно малые порядка гг + Г2 +
+ • • • + гл (п- 4.4-3). В частности, r-й дифференциал drf функции / (хъ х2,... хп),
если он существует и не равен нулю в данной точке, есть бесконечно малая
порядка г. х
4.5-4. Правила дифференцирования. В табл. 4.5-2 перечислены наиболее
важные правила дифференцирования. Формулы из табл. 4.5-2, а и b приме-
применимы и при вычислении частных производных, если в каждом случае вместо
~ писать ^-. Так, если
hj = M*i» *2. •••» хп) 0 = 1, 2, ...,т),
то
т
-w-?{к==1'2 п)- D-540)
Умножая каждую формулу из табл. 4.5-2, а и b на dx или на dx9, получаем ана-
аналогичные правила для вычисления полных дифференциалов (см. также п.4.5-3); так,
d(u + v) ~ da + dv, d (uv) = v du+ud v. D.5-11)
Правила дифференцирования интегралов указаны в табл. 4.6-1, а дифференцирова-
дифференцирования бесконечных рядов — в п. 4.8-4, с.

4.6-4. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ш
Таблица 4.5-2
Правила дифференцирования
(п. 4.5-4: в каждом случае существование соответствующих производных
предполагается)
(а) Основные правила *):
df dut df du2 df
" ' ' ' ~dx~*
d df dut df du2 df dum
m
(b) Сумма, произведение и частное. Логарифмическое дифференцирование:
dx{
Замечание. Чтобы продифференцировать функцию вида у = * —2 '" ,
может оказаться полезным найти сначала ее логарифмическую производную.
dxr dx? dxr dxr
(с) Обратная функция. Если функция у = у {х) имеет обратную функцию
х = х (у)**) и ¦—¦ ~у'хф0, то
rfjt__ - 1 ., Ух
(d) Неявная функция (см. также п. 4.5-7). Если функция задана неявно долж-
должным образом дифференцируемым соотношением F (х,у) =0, где Fy ф 0, то
у
р
У
^ F2F FF +F F)
хх у ху х у у у х)
(е) Функция, заданная с помощью параметра t. Если даны х = х (t), y = y (/) и
*) В первой формуле (а) при m > 1 следует предполагать дифференцируемость
функции f (мь м2, ... , «m) в соответствующей точке, для чего достаточно непрерыв-
непрерывности в этой точке всех ее первых частных производных: см. п. 4.5-3.
**) Если функция у (х) на интервале а ^ х ^ b строго монотонна и непрерывна,
то на замкнутом интервале с концами у (а) и у (Ь) она имеет обратную функцию х (у),
также непрерывную. Если, кроме того, функция у (х) в точке х0, где а < х0 < Ь, име-
имеет производную у'(хо)ф0, то функция х (у) в соответствующей точке у0 = у (хо)
также имеет производную и справедлива первая из нижеследующих формул. Если
функция у (х) имеет вторую производную, то имеет место и вторая из этих формул.

П2 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5-5.
4.5-5. Однородные функции. Функция fl(xit xit...t xn) есть однородная функция степени
г относительно аргументов xt, х2, ... , хп, если / (ахи ах2< ..., ахп) = arf (xt,x2 хп) (см.
также п. 1.4-3, а). Если/ (xltxa,..., xn) —непрерывно дифференцируемая однородная функ-
функция степени г, то
* W, +*2 Ik + - +Хп fX~=rf <"•*. *„) D.5-12,
(теорема Эйлера об однородных функциях).
4.5-6. Якобианы и функциональная зависимость (см. также пп. 4.6-12,
6.2-3, b и 16.1-2). Если функции
yi=Vi(xu #2»---» хп) (г = 1, 2,..., п) D.5-13)
непрерывно дифференцируемы в некоторой области ^-мерного пространства
и если якобиан или функциональный определитель
D.5-14)
отличен в ней от нуля, то уравнения преобразования A3) (см. также п. 14.1-3)
в достаточно малой окрестности каждой точки области определяют взаимно
однозначное соответствие этой окрестности и множества точек (уъ у2, ..., уп),
образованных значениями функций A3), принимаемыми в этой окрестности.
Если дифференциалы
п
И*** (* = 1.2, ...,*) D.5-15)
линейно зависимы в данной области (п. 1.9-3), то якобиан A4) в этой обла-
области тождественно равен нулю. Если в V нет точки, в которой все элементы
якобиана A4) одновременно обращаются в нуль, то якобиан A4) тождественно
равен нулю в области V в том и только в том случае, когда у каждой точки
этой области существует такая окрестность, в которой функции yi связаны
некоторым непрерывно дифференцируемым соотношением Ф (у\, 2/2, •-., Уп) — ®*
где производные ^-~ не все одновременно равны нулю. В этом случае говорят,
что функции A3) функционально зависимы в этой окрестности (см. также
п. 4.5-7, е).
4.5-7. Неявные функции.
(a) Если функция у — у(х) задана неявно должным образом дифферен-
дифференцируемым соотношением F (х, у) = 0, то
77 = —fJ • Sr = - pf <r« F'y ~ 2F'*yF'*F'y + W (F'yф 0)- D-56)
(b) Если т функций yx = y1 (хъ хъ ..., xn), y2 = y2 (xb a?2, ..., xn), ..., ym =
= ym (a?lt a?2,... ,xn) от п независимых переменных хъ х2,..., xn заданы неявно
m соотношениями
Fi(yvy* — >ym* *1,зта, ...,*„) = 0 (i = l,2,...,m), D.5-17)
где Fi — непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области, то
1. Дифференциалы dyj и dxi связаны т линейными уравнениями dFi = 0.
ду;
2. Для каждого значения /г = 1, 2,..., п все т производных dJ -
могут быть получены по правилу Крамера (п. 1.9-2) из т линейных уравнений
l*t = 0 ('- = 1.2....,m). D.5-18)

4.6-1.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ИЗ
если только
1 (Ух, Уг <
D.5-19)
для рассматриваемых значений хг, х2, ..., хп. Дифференцируя уравнения A8),
получаем соотношения, дающие производные более высокого порядка функ-
функций yj.
В частности, два непрерывно дифференцируемых соотношения F (х, у, г) = О
и G (х, у, z) = 0 дают
dx : dy : dz -
D.5-20)
У '
Gy Gz Gz Gx Gx Qu
¦Х- Если, например, первый из определителей справа отличен от нуля, то данные
соотношения определяют у и z как функции от х (см. (с)) и уравнения B0) позволяют
dy dz
найти производные-—- и -~т—. -Х-
(с) Теорема существования неявныхфУнкций (см. также п. 4.2-1, Ь). Пусть дана
точка Р ~ (Хх, х2, ... , хп; ух, у2 Ут)> в которой выполняются соотношения A7) и A9).
Если все Fi и dFi/dyj непрерывны в некоторой окрестности D точки Р, то т соотно-
соотношений A7) в некоторой окрестности точки (хх, х2 хп) определяют yj как непрерывные
функции от Хх, х2, ... , хп. Если, кроме того, в D непрерывны и все производные dF^/dx^^
то в указанной окрестности точки (xlf x2, ... , хп) существуют и непрерывны производ-
производные dy;/dxh. Если якобиан A9) в D тождественно равен нулю, то левые части соотно-
соотношений A7) в некоторой окрестности точки Р функционально зависимы (п. 4.5-6), так
что уj не определены однозначно.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.6-1. X Определенные интегралы (интеграл Римана).
(а) Пусть действительная функция / (а:) определена и ограничена на огра-
ограниченном замкнутом интервале [а, Ь]. Разобьем этот интервал на п частичных
интервалов точками
а — х0 <хг<х2<... <хп = Ь.
Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке ?,• (Х(_х ^
п
^Ъ^хг) и составим сумму (интегральная сумма) Е/ (Ь) (xi ~ **-i)-
Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю
длины наибольшего частичного интервала разбиения: max (x-t — Х(_г) —+ 0, то
функция 1 (х) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [а, Ь\.
Предел этой суммы
/ = Нт Е / (Ь) (*i - *i-i) = i / (*) dx, D.6-1)
max (X? — */_i)-*0 /=1 a
называется определенным интегралом от / (#) по интервалу [а, Ъ] в смысле
Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого поло-
положительного числа 8 существует такое число б > 0, что при любом разбиении
интервала [а, Ь] на частичные интервалы, длины которых меньше 6:
max (xt — Xi_x) < б,
и при любом выборе промежуточных точек ?,• выполняется неравенство
п
утл i /? \ / у. ^^ у. \ _^
2j / \bi) \Л1 л1—1/
Функция / (х) называется подынтегральной функцией, а а и Ъ — пределами
интегрирования. В табл. 4.6-1 перечислены важнейшие свойства определен-
определенных интегралов.

114 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-1.
Таблица 4.6-1
Свойства интегралов
(a) Элементарные свойства. Если интегралы существуют, то
b а Ь с Ь
\ f (х) dx = - J / (х) dx *), J f (x) dx = J / (x) dx + J / (*) dx,
a b а а с
b b b b b
J [u (x) -f v (x)) dx = J и (x) dx + J v (x) dx, J а и (x) dx = a J и (х) dx.
a a a a a
(b) Интегрирование по частям. Если функции и (х) и v (х) непрерывно дифферен-
дифференцируемы на интервале а ^ х ^Ь, то
Ъ ь Ъ
J и (х) V (х) dx = и (х) v (х) | — J v (х) и' (х) dx
а а а
или
Ь ь b
Ju dv — uv 1 — f v du.
]a
a u a
(c) X Замена переменного (интегрирование подстановкой). Если функция х = х (и)
непрерывно дифференцируема на интервале а ^ и ^ 3, а функция f (x) непрерывна
на интервале т < х < М, где т — точная нижняя, а М — точная верхняя граница
функции х (и) на интервале а ^ и ^ ?, то
хф) 3
$ f(x)dx^f[x(u)]^du.
х(а) а
(d) ^ Дифференцирование по параметру. Если функция f {x, К) и ее частная производ-
производная -^г f (х, X) непрерывны на множестве а ^ х ^ Ь, Я0^Я^Я,1, а функции и (Я) и
ОА
v (К) дифференцируемы на интервале Яо ^ л ^ ^ и удовлетворяют на нем условиям
а < и (Я) < Ь, а < и (Я) ^ 6, то пр« Яо < Я < Я
а а
v (Я) v (Я)
dX 3 ' j дХ ' ' dX ' dX
и (Я) и (Я)
(правило Лейбница).
Первая формула остается в силе и для несобственных интегралов, если предполо- \
жить, что интеграл J f (х, Я) dx сходится, а интеграл J -^ f (x. Я) */* равномерно схо-
а а
дится на интервале Яо^Я^Я^ (При этом функция f (х. Я) и ее производная
—- / (х, Я) предполагаются непрерывными лишь на множестве а < х < Ь, Хо < Я < Я1 ;
или «а множестве а<х ^ Ь, Я0^Я^ Ль)
6
¦) Это равенство следует рассматривать как определение интеграла J f (x) dx
а
а
при b < а. Из него также вытекает, что J f (x) dx = 0.
а

4.6-2. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ И5
Таблица 4.6-1 (продолжение)
Второй случай часто можно свести к первому подходящей заменой переменных.
Отметим также, что
К К
а а
(е) Неравенства (см. также п. 4.6-19). Если интегралы существуют, то (при
а<Ь)
из f (х) :< g (*) на [а, Ь] следует
b b
$f(x)dx^jg (x) dx.
a a
Если | f (x) J ^ M на ограниченном интервале [a, b], то из существования инте-
b b
грала J f (x) dx вытекает и существование интеграла j \ f (x) \ dx и
а а
J f (х) dx
\\f(x)\dx^M{b- a).
b
Если функция у = f (х) на интервале [а, Ь] неотрицательна, то интеграл J f (x) dx
а
выражает площадь, ограниченную кривой у = f (х), осью абсцисс и двумя прямыми х = а
и х == Ь. Если f (x) ^ О, то интеграл выражает эту площадь, взятую со знаком минус.
(Ь) Функция f (х), ограниченная на ограниченном замкнутом интервале [а, Ь], интег-
интегрируема на нем в смысле Римана в том и только в том случае, если она непрерывна
почти всюду на [а, Ь] (п. 4.6-14, Ь). Это, в частности, верно: 1) если функция f (x) непре-
непрерывна на [a, bj; 2) если функция f (х) ограничена на [а, 6] и имеет на [а, &] конечное
или счетное множество точек разрыва; 3) если функция f (x) монотонна на [а, Ь];
4) если f (х) есть функция ограниченной вариации на [а, Ь] (см. также п. 4.4-8). Если
функция f (х) интегрируема на [а, Ь], то она интегрируема и на каждом интервале,
содержащемся в [а, Ь].
4.6-2. Несобственные интегралы
(а) Если функция / (л:) ограничена и интегрируема на каждом ограни-
ограниченном интервале, содержащемся в (а, Ъ)% то понятие определенного интег-
b
рала lf(x)dx (п. 4.6-1) можно расширить так, что оно станет применимым
а
и когда
1. Функция f (х) не ограничена в любой окрестности одного из пределов
интегрирования а или b (см. также п. 4.6-2, Ь).
2. Интервал (а, Ь) не ограничен.
Так, если функция / (х) ограничена и интегрируема на каждом конечном
интервале [а, X], где а<Х<6, то по определению полагают
b х
§f(x)dx= lim ]f(x)dx D.6-2a)
a X-+b—Q a
и, в частности, при Ь = -\-оэ
-boo X
f f(x)dx= lim \f(x)dx. D.6-26)
а Х-Ч-00 a
Точно так же
ь ь ь ь
\ f (x) dx = lim \f (x) dx, \ f {x) dx = lim \ f {x) dx. D.6-2e)

П6 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-2.
Каждый несобственный интеграл, определенный таким образом, сущест-
существует или сходится, если существует предел в правой части равенства. Несоб-
Несобственный интеграл от функции / (х) сходится абсолютно, если сходится соот-
соответствующий несобственный интеграл от |7(*)|. Из абсолютной сходимости
следует сходимость (см. также пп. 4.6-15, е и 4.9-3). Несобственный интеграл,
который сходится, но не абсолютно, называется условно сходящимся.
(Ь) -X Правила интегрирования из табл. 4.6-1 применимы к должным обра-
образом сходящимся несобственным интегралам. Если функция / (*) определена
в ограниченном или неограниченном интервале (а, Ь) или [а, 6], за исклю-
исключением, быть может, конечного числа точек а ^ сг < с2 < ... < сп ^ Ь, не огра-
ограничена в любой окрестности щ каждой точки * = с,-(i = 1, 2, ...,гс), а вне
объединения окрестностей ult u2,...tun ограничена, то несобственный интег-
b
рал ^ / (х) dx можно определить как сумму несобственных интегралов вида B).
а
Например, если с1 = а и с2 = & и пределы в правой части равенства
существуют, то
ь d xz
U(x)dx= lim [f(x)dx + lim [ f (x) dx, D.6-3)
J *i-*a+o x\ x2-*b-o i
где d — произвольная точка интервала (a, b).
Если a = —-co и Ь = -|-со, то
oo d x2
f(x)dx= lim \f(x)dx+ lim \f(x)dx. D.6-4)
X? *+ /
Если / (х) не ограничена в окрестности точки с, лежащей внутри интер-
интервала (а, 6), то
ь хг ь
U(x)dx= lim ^f(x)dx+ lim (/(jt)dc (a<c<6). D.6-5)
XO Xf0X
В случае, если интегралы D) и E) не существуют, могут все же существовать соот-
соответствующие главные значения интеграла по Кош и
X р—6 b I
lim I f (x) dx и lim J f (x) dx + J / (x) dx ; D.6-6)
X-*+oo —x 6-* + 0L a c + 6 J
если какой-либо из интегралов D) и E) существует, он необходимо равен своему глав-
главному значению.
b
(c) Несобственный интеграл ^ / (х, у) dx равномерно сходится на множе-
а
стве 5 значений у, если соответствующий определенный интеграл сходится
b
к своему пределу (пп. 4.6-2, а и Ь) равномерно на S (п. 4.4-4). Если ^ f (x, у) dx
а
при каждом у из интервала у0 < у < уг есть интеграл вида Bа) и если функ-
функция f (x, у) непрерывна на множестве а^х <.Ь, Уо<у <Ух, а интеграл
f / (х, у) dx равномерно сходится в интервале у0 <С у <С У\, то f / (х, у) dx есть
а а
непрерывная функция от у в этом интервале (теорема о непрерыв-
непрерывности). Аналогичные теоремы верны и для интегралов вида BЬ) и Bс).
(d) Признаки сходимости и равномерной сходимости перечислены
в пп.4.9-3 и 4.9-4.

4.6-6. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 117
4.6-3. Среднее значение. Среднее значение функции / (*) на интервалах
[а, Ь], [0,-j-oo) и (— оо,+ оо) по определению соответственно равно
ь х х
1 Г г 1 i m 1 С 1 i m 1 С t / \ j
а а ~* °° О °° _ х
если эти величины существуют.
4.6-4. Неопределенные интегралы. Функция / (а:) имеет в интервале [а, Ь]
неопределенный интеграл ^f(x)dx, если существует такая функция F (х), что
F'(x)—f(x) на [а, Ь\. В этом случае функция F (х) однозначно определена
в [а, 6] с точностью до произвольной аддитивной постоянной С (постоянной
интегрирования); любая такая функция F (х) называется первообразной (при-
(примитивной) функции / (х) на [а, Ь]. Полагают
^ / (*) dx = F (х) + С (а^х^Ь). D.6-8)
Заметим, что разность F (х) — F(a)~F(x) * при а ^ х ^Ь определена одноз-
однозначно.
Отметим также, что
J [(X и (х) + 3 v {х)] dx = a J и (х) dx + 0 J v (x) dx, D.6-9)
J и (x) v' (x) dx ~ и (x) v (x) — J w' (x) v (x) dx, D.6-10)
если эти неопределенные интегралы существуют (см. также табл. 4.5-2 и 4.6-1).
4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления. Если f (х)—функция,
ограниченная и интегрируемая на интервале \а, Ь], и если существует перво-
первообразная F (х) функции f (х) на [at b], то
D.6-11)
В частности, это верно, если функция f (х) непрерывна на [а, Ь]. При этом
X
¦fc\f(Qd%=f(x) (a^x^b). D.6-12)
а
Более общее утверждение: если функция f {х) ограничена и интегрируема на [а, Ь\,
х
то интеграл J f (|) d\ является функцией ограниченной вариации на [а, Ь], и для почти
а
всех х из [а, Ь] (п.4.6-14, Ь) имеет место равенство A2).
Замечание. Основная теорема интегрального исчисления дает возможность вычис-
вычислять определенные интегралы, обращая процесс дифференцирования.
4.6-6. Методы интегрирования.
(а) Интегрирование есть операция отыскания (определенного или неопре-
неопределенного) интеграла от данной подынтегральной функции / (#). Определенные
интегралы можно вычислять непосредственно как пределы интегральных сумм
(численное интегрирование, пп.20.6-2 и 20.6-3) или путем вычисления выче-
вычетов (п.7.7-3). Чаще пытаются найти неопределенный интеграл и затем поль-
пользуются формулой A1). Чтобы найти неопределенный интеграл, данную подын-
подынтегральную функцию / (*) нужно с помощью «правил интегрирования», пере-
перечисленных в табл. 4.6-1, а, Ь, с, представить в виде суммы известных произ-
производных.
В дальнейшем перечисляются методы интегрирования, применимые к неко-
некоторым специальным типам подынтегральных функций. Существуют разной

118
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-6.
степени полноты таблицы определенных и неопределенных интегралов (см., на-
например, [4.6]).
(Ь) Интегрирование многочленов:
^ D.6-13)
(с) Интегрирование рациональных функций. Методы, опи-
описанные в пп. 1.7-2 и 1.7-4, сводят интегрирование каждой рациональной функ-
функции к интегрированию суммы многочлена (п.4.6-6, Ь) и некоторого числа эле-
элементарных дробей A.7-5) и/или A.7-6). Элементарные дроби последовательно
интегрируются с помощью следующих формул:
dx
dx
[(<_a).
+C;
* i(x - a)
2m©2 [(x — <
xdx
a (x — a) — со2
~2moJ [(* — aJ -f w2]w
| *m - * С rfJC
D2]m 2m(o2 J [(* — aJ ¦+• w2]
, Bm — 1) a
D.6-14)
2m©2
¦S;
dx
(d) Функции, интегрирование которых с помощью
замены переменных сводится к интегрированию рацио-
рациональных функций.
1. Если подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от sin x
и cos#, то полагают u = tg~t так что
sin х = -.
2u
cos х =:
1 — m2
dx =
2 du
D.6-15)
2.
подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от sh x
, то полагают u = th-^-t так что
2du
D.6-16)
Замечание. Если f (х) — рациональная функция от sin2 x, cos2 x, sin л: cosjt и tg x
(или от соответствующих гиперболических функций), то вычисления упростятся, если
сделать замену и = tg х (или и = th x).
3. ?слц подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от х
и либо от У\—х*, либо от ]^х2 — 1, либо от ]/"*а+1, то задача сведется к
случаю 1 или 2, если соответственно сделать подстановку * = cosi>, или x = chu,
или * = sha.
4. ?сли подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от х
и либо от |Лх;2+1, либо от Y*2—l> то можно положить соответственно
u~x-\-Yx2 ± 1» тогда

4.6-8. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 119
5. Если подынтегральная функция f(x) есть рациональная функция от х
и от V^ax2 + bx-{-c, то задача сведется к случаю 3 (или 4), если сделать под-
подстановку
п~ 2аХ+" х = °У\*ас-ЬЧ-Ь
Y\ sac— Ь2 | 2а
6. Если подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от х
и от и= у ^х + d* пРичем ad — ЬсфО, то в качестве новой переменной берут и.
7. Если подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от х,
У ах-\-Ъ и Усх + d, где афО, то в качестве новой переменной берут и =
+
В различных специальных случаях применяют многочисленные другие
подстановки.
(е) Интегралы от функций вида
хпеах, хп In xy xn sin x, xn cos x (пф—\);
sin" х cosm x (n + т ф 0), еах sinn x, eax cos" x
вычисляют с помощью интегрирования по частям (табл. 4.6-1, Ь), применяя
его, если нужно, несколько раз.
(!) Многие интегралы нельзя выразить в виде конечных сумм, содержащих только
алгебраические, показательные и тригонометрические функции и функции, им обратные.
В этом случае подынтегральную функцию можно разложить в бесконечный ряд (пп. 4.10-4,
4.11-4, 15.2-6) или же прибегнуть к численному интегрированию. В гл. 21 можно найти
х Ь
примеры «новых» функций от х, определяемых как интегралы вида \ f (!•) с/| или \ f (x, v\)dr\.
а а
4.6-7. Эллиптические интегралы. Если / (л:) —рациональная функция от х
ь
и от ула0^4 + а1л;3 + а2^2 + аз^ + ^4» то \f(x)dx называется эллиптическим ин-
а
тегралом; можно исключить тривиальный случай, когда уравнение
имеет кратные корни. Каждый эллиптический интеграл можно выразить через
элементарные функции и нормальные эллиптические интегралы (п. 21.6-5);
значения последних приведены в таблицах.
4.6-8. Кратные интегралы (см. также пп. 4.6-11, 4.6-12 и 4.6-13).
(а) Пусть функция / (х, у) кусочно-непрерывна (п. 4.4-7) в ограниченной
замкнутой области D, определяемой как условиями b ()()
у , р у , gi()y^g2()t
так и условиями а^^/^р, yi(y)^x^y2(y), где g^x), g2(x), уг(у), у2(у) —
кусочно-непрерывные функции в указанных интервалах. Тогда
\dy ] f(x9y)dx= J f(y\
() L() J a ?i<*)
D.6-19)
Аналогичные теоремы справедливы для тройных, четырехкратных и т. д.
интегралов.
Пример. Если D — область, ограниченная окружностью хг -\- у% = \, и функция
t (x, у) — с постоянна, то
Y\ —х* 1
f с dy = 4c f /l —л;2 dx = nc.

120 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-9.
(Ь) Если функция f (х, у) непрерывна на множестве а :< х < 4- оо, а^г/^6, и интег-
-j-^oo
рал V / (х, у) dx равномерно сходится на интервале а ^ у < 3» ™о
а
р ¦+- оо -f- оо |3
^ dy } f (х, у) dx = \ dx j f (x, y) dy. D.6-20)
а а а а
Аналогичные теоремы верны для несобственных интегралов других типов.
4.6-9. # Длина дуги спрямляемой кривой (см. также пп. 6.2-3, 6.4-3 и 17.2-1).
Пусть С — дуга непрерывной кривой, лежащая в конечной части плоскости
или пространства. Длиной s (С) этой дуги называется предел длины ломаной,
вписанной в эту дугу, при условии, что длина наибольшего звена этой ломаной
стремится к нулю. Если указанный предел существует, то дуга называется
спрямляемой.
Для регулярной кривой на евклидовой плоскости или в евклидовом про-
пространстве, описываемой в прямоугольных декартовых координатах уравнениями
x = x(t), y = y(t) на плоскости \ /4fi9n
или x = x(t)9 y = y(t)y z = z(t) в пространстве J К*-*-*Ч
(п. 3.1-13), длина бесконечно малой дуги, соответствующей промежутку [t,t-\-dt\>
есть элемент дуги
Тл=ЛГ\ _i_^^2//v = l/^^,2_i_i _
\dt,
на плоскости,
D.6-22)
в пространстве.
Знак корня выбирается обычно так, чтобы производная s' (t) была :>-0. Длина
дуги s (С) кривой, соответствующей конечному интервалу [/0, /], равна
t
s = s(C) = {j ds==\ ^dt = s(t). D.6-23)
с t0
Длина дуги s (С) есть геометрический объект, не зависящий от системы коор-
координат и от выбранного для описания кривой параметра /. В пп. 6.2-3 и 6.4-3
приведены формулы, выражающие ds (а значит, и sf (t)) в криволинейных
координатах.
Длина дуги s (С) существует, если функции B1) являются на {70> t] функциями огра-
ограниченной вариации; в этом случае элемент ds определен почти всюду (п. 4.6-14, Ь) на С.
Каждая регулярная кривая спрямляема.
4.6-10. Криволинейные интегралы (см. также пп. 5.4-5, 6.2-3 и 6.4-3, где
введены векторные обозначения и используются криволинейные координаты).
Для данной спрямляемой дуги С, описываемой при a^t^b уравнениями B1),
криволинейный интеграл §f(x, у, z)ds от ограниченной функции / (х, у, z) по
с
определению равен
т
\ f {х, у, z) ds= lim 2 / Iх (т*')> У (т*')» z (Tf)l &si>
где
i = l, 2, .... m), D.6-24a)

4.6-11 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 121
если предел существует (см. также п. 4.6-1). Криволинейный интеграл B4а)
можно вычислить (или непосредственно определить) как интеграл по t
b
\ f (х, у, z)ds = \f [x @, y(th * @1 ж dt> Г4.6-246)
С а
где элемент дуги ds находится из B2). Опуская в B4) члены, относящиеся
к г, получаем криволинейный интеграл для кривой, расположенной на
плоскости Оху. Несобственные криволинейные интегралы определяются по спо-
способу п. 4.6-2.
4.6-11. Площади и объемы (см. также пп. 5.4-6, 5.4-7, 6.2-3, 6.4-3 и
17.3-3, где введены векторные обозначения и используются криволинейные
координаты).
(a) Пусть 5 — ограниченная замкнутая область на евклидовой плоскости.
Если точная верхняя граница множества площадей всех многоугольников,
содержащихся в 5, и точная нижняя граница множества площадей всех
многоугольников, содержащих S, равны, то область S называется квадрируемой
(измеримой по Жордану), а общее значение этих границ называется площадью
А области S. В частности, область S ограниченная простой замкнутой регуляр-
регулярной кривой, квадрируема. Объем U ограниченной замкнутой области V в трех-
трехмерном евклидовом пространстве определяется аналогично.
Площадь А ограниченной регулярной поверхности S (п. 3.1-14) опреде-
определяется следующим образом. Разобьем 5 на конечное число частей; в каждой
части выберем по произвольной точке и ортогонально спроектируем эту часть
на касательную плоскость к поверхности в выбранной точке (п. 17.3-2).
Площадь поверхности А есть предел (если он существует) суммы площадей
полученных таким образом проекций, когда диаметр наибольшей из рассмат-
рассматриваемых частей стремится к нулю.
•& Диаметром множества Е в метрическом пространстве С (п. 12.5-2),
в частности, в евклидовом пространстве, называется точная верхняя граница
расстояний между любыми двумя точками множества Е. X
(b) Площади и объемы можно вычислять (или даже непосредственно
определять) как двойные или тройные интегралы в соответствующих коорди-
координатах:
А = С dA = \ \ dx dy в евклидовой плоскости, D.6-25)
i s
dx dy dz в евклидовом пространстве, D.6-26)
Площади и объемы не зависят от выбора системы координат. В криволинейных коор-
координатах хх, х2, х9 (п. 6.2-1) *)
U = \dV = \\\ '*' у* Z\ dx1 dx2 dx3 D.6-27)
V V
(см. также пп. 4.6-13, 6.2-3 и 6.4-3).
В криволинейных координатах и, v на плоскости или поверхности (п. 3.1-14)
А = J dA = JJVa (и v) du dv, D.6-28)
где а {и, v) — функция, определяемая в п. 17.3-3, с.
(c) Простые частные случаи. Площадь плоской области, ограниченной
прямыми х = а и х — Ь, где а < Ь, и двумя кривыми у = gt (х) и у — gz (x), причем
Ь
ii (х) < g2 (х) при а <: х < Ь, равна | [g2 (x) — gt (x)] dx {A > 0). Площадь плоской
1) Здесь 1, 2, 3 — не показатели степени, а индексы.

122 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-12.
области, ограниченной простой замкнутой кривой С, описываемой уравнениями х =
= х (t), у — у (/) или уравнением г = г (ф) (п. 2.1-8), где функции удовлетворяют долж-
должным условиям, равна
л = т Ф {* ж *"у ж)dt или А =т
С
D.6-29)
где символ <р указывает, что интегрирование производится по замкнутой кривой; А > О,
если обход кривой С совершается против часовой стрелки.
Площадь поверхности А, образованной вращением кривой у = f (л:) ^ 0 (а ^ х ^ Ь)
вокруг оси Ох, и объем С/, ограниченный этой поверхностью, равны
Ь г Ь
А = 2л J f (х) У 1 + U|Y dx, U = я J [f (*)]* flfjf. D.6-30)
a ' a
4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (см. также пп. 5.4-6,
5.4-7, 6.2-3 и 6.4-3, где введены векторные обозначения и рассматриваются
криволинейные координаты). Интегралы по поверхности и интегралы по объему
можно определить как пределы сумм по способу пп. 4.6-1 и 4.6-10. Их можно
также ввести непосредственно как двойные и тройные интегралы с помощью
элементов площади и объема, определенных в п. 4.6-1 L
Интеграл по поверхности от кусочно-непрерывной функции / (и, v) по
удовлетворяющей должным условиям поверхности 5 с криволинейными коор-
координатами и, v равен
\f(u, v)dA = \\f(u, v) Va (и, v) du dv. D.6-31)
Сюда в качестве частных случаев входят и интегралы по плоским областям
(где, в частности, возможен и случай и~х, v = y, }Лг(«, v) = 1).
Интеграл по объему от кусочно-непрерывной функции
/(*, у, z)=f[x(x\ х*, jc«)f у(х\ х\ л?), г{х\ х*, х*)\
по ограниченной области V равен
J/(x, у, г) dV =s]l\f (х, у, z)dxdydz==
y(x\ x\ x% г(х\ х\
д (x1, x2, x3)
D.6-32)
; Несобственные интегралы по поверхности или по объему (неограниченные
функции или области) определяются по способу п. 4.6-2.
Формулы, связывающие интегралы по поверхности и интегралы по объему,
рассматриваются в пп. 5.6-1 и 5.6-2. Отметим частные случаи этих формул,
связывающие криволинейные интегралы и интегралы по плоской области
(С — граница области 5; обход С совершается против часовой стрелки):
dA =4 р
(формула Грина),
(двумерная 2-я формула Грина),
где

4.6-14. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 123
4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему и по поверхности.
Если с помощью непрерывно дифференцируемого преобразования координат
Х1=Х1(Х1, X2, *3), Х2 = Х2(Х1, Х2, X3), *3=*3(Х1, X2, X3),
ввести новые координаты х1, X2, X3 (см. также п. 6.2-1), то интеграл по
объему C2) можно переписать в новых координатах:
\f(x,y,z)dV= Щ ф (jc1, л:2, х3) dx4x2dx3 =
V V
(л* (Jci, Jc2, jt3), л;2 (jci, x2, Jt3), л:3 (#, Xй, .v3)) a[l;f;f33) dx4x4x3.
О \Х , X , X )
D.6-34)
Интегралы по поверхности преобразуются аналогично (см. также
п. 17.3-3).
4.6-14. Мера Лебега. Измеримые функции.
(а) Мера точечного множества. Внешняя мера Лебега те (S)
произвольного ограниченного точечного множества 5 на прямой есть точная
нижняя граница (п. 4.3-3) суммы длин конечного или счетного множества
интервалов, покрывающих S. Внутренняя мера Лебега m; [S] множества S
есть разность между длиной Ь — а любого ограниченного интервала [а, Ь],
содержащего 5, и внешней мерой дополнения множества S до [а, Ь] (п. 4.3-2, а).
5 есть измеримое множество с мерой Лебега m[S], если me[5] = mr[5] = m[5]
(конструктивное определение меры Лебега). Неограниченное множество 5
на прямой измеримо, если для всех X > 0 измеримо пересечение (— X, X) (] S.
При этих предположениях по определению полагают
т [S] = lim т [(— X, X)[\S];
мера т [S] может быть как конечной, так и бесконечной.
Рассматривают и более общее определение: мера М [5], определенная на подходящем
классе (вполне аддитивной булевой алгебре, п. 12.8-4) точечных множеств S, есть функ-
функция множества со свойствами
Af[S]>Of М[ф]=0, D.6-35)
и для каждого конечного или счетного множества попарно непересекающихся точечных
множеств Sx, S2, ...
М [S1US,U...] = Af [Sil + Af [S,]-f... D.6-36)
Мера Лебега т [S] точечного множества на прямой обладает дополнительным свойством
т[(а, b)] = b — a D.6-37)
для каждого ограниченного интервала (а, Ь); таким образом, мера Лебега является
обобщением длины интервала (аксиоматическое определение меры Лебега; см. также
пп. 12.1-1, 12.8-4 и 18.2-2).
Мера Лебега точечных множеств в пространствах двух, трех, ... измерений опреде-
определяется (либо конструктивно, либо «аксиоматически) с помощью аналогичных обобщений
площади и объема.
(Ъ) Каждое ограниченное открытое множество (п. 4.3-6, а) измеримо.
Можно высказать более общие утверждения. Борелевское множество на прямой
есть множество, полученное посредством конечной или счетной последователь-
последовательности объединений, пересечений и/или взятия дополнений интервалов и полу-
получающихся в результате комбинаций. Класс борелевских множеств есть вполне
аддитивная булева алгебра измеримых множеств. Каждое измеримое множество
есть объединение некоторого борелевского множества и множества лебеговой

124
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-15.
меры нуль. Каждое конечное или счетное множество измеримо и имеет лебегову
меру нуль. Аналогичные теоремы справедливы и в многомерном случае.
Если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного интер-
интервала, области или множества, исключая, быть может, лишь множество лебе-
лебеговой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном
интервале, области или множестве почти всюду (или почти во всех точках
этого интервала и т. д.).
(с) Измеримые функции. Функция / (#), определенная на интервале
[а, Ь]х), измерима на [а, Ь], если для каждого действительного числа с мно-
множество точек х интервала [а, Ь], в которых f(x)^c, измеримо.
В этом определении условие f {x) ^с можно заменить любым из условий f (х)<.с
fix) >с, f(x)>c.
Функция, непрерывная на [а, 6], измерима на [а, Ь]. Если на [а, Ь] измеримы функ-
функции fi(x), f2(x), ..., то на [а, Ь] измеримы и функции fi (x)+ f2(x), aft(x), ft(x)f2(x),
а также и lim f (л;), если этот предел на [а, 6] существует (и даже если этот пре-
предел существует на [а, 6] лишь почти всюду).
Аналогичные определения и теоремы справедливы и для измеримых функций
f (je x2 хп), определенных на пространстве точек (х х2, ... ,х ), допускающем опре-
определение меры Лебега.
4.6-15. Интеграл Лебега (см. также пп. 4.6-1 и 4.6-2).
(а) Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть
действительная функция y=.f(x) измерима и ограничена на ограниченном
интервале [а, Ь] и Л и Б —соответственно ее нижняя и верхняя точные гра-
границы. Разобьем интервал [Л, В], содержащий множество значений функции
/ (а:) на [а, Ь], на п частей:
¦ В, D.6-38)
и обозначим через 5; множество точек х интервала [а, 6], в которых
</ (х) ^У'1- Составим две суммы (интегральные суммы Лебега):
/=1 / = 1
Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же пределу, не зави-
зависящему от выбора значений у-и если только наибольшая из разностей y-t—yi_t
стремится к нулю. Число
п ь
1= lim 2 yimlsi] = $f(x)dx D.6-39)
есть определенный интеграл от функции / (х) по интервалу [а, Ь] в смысле
Лебега (интеграл Лебега).
Это определение означает, что, каково бы ни было положительное число е,
можно указать такое число б > 0, что при любом разбиении интервала [Л, В]
на части такие, что max (#,- — #/_i) < б, будут справедливы неравенства
23 yi-i
<8 И
/==1
а значит, и неравенство
/-21
Функция / (л:) может быть определена на [а, Ь] не всюду, а лишь почти всюду.

4.6-15.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
125
где yi_\
(интеграл Лебега можно определить и как предел суммы
(
(b) Интеграл Лебега от неограниченной функции. Если
функция / (я) измерима и не ограничена на ограниченном интервале [а, Ь],
то интеграл Лебега определяется как
ь ь ъ
\f(x)dx= lim \fA(x)dx+ lim \fB{x)dx,
а л
где
О, если
f(x)y если
Л, если
О, если
/ (х), если 0 >/ (.
В, если / (х) <
D.6-40)
Если интеграл ^f(x)dx существует, то функция f (х) интегрируема по Лебегу
а
(суммируема) на интервале [а, Ь].
(с) Интеграл Лебега по неограниченным интервалам.
х
Если для всех X > а существует интеграл ^ / (х) dx, то интеграл Лебега
а
+ оо
/ (х) dx определяется условием
+ оо Xt
) f (х) dx= lim j ft № +
X2
lim
h (x) dx,
где
D.6,41)
О, если / (х) ^0,
/ (*), если / (х) > 0,
0, если /
/(#), если /
Ь * ' 4-оэ
Интеграл j f(x)dx определяется аналогично, а интеграл \ f(x)dx — равен-
— ОО — 00
ством D) на стр. 116.
(d) Интеграл Лебега по точечному множеству. Кратные
интегралы Лебега. Интеграл Лебега f f (x) dx по произвольному измеримому
множеству точек S определяется без изменения так же, как и в пп. 4.6-15, а и Ь. Крат-
Кратный интеграл Лебега по области или измеримому множеству точек (xv х~ х \ опре-
определяется аналогично.
(e) Существование и свойства интеграла Лебега. Срав-
Сравнение интеграла Лебега и интеграла Римана. Каждая

126 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4,6-16.
ограниченная измеримая функция на любом ограниченном измеримом множестве
суммируема. Функция, суммируемая на измеримом множестве 5, суммируема
и на каждом измеримом его подмножестве.
Из определений пп. 4.6-15 а, Ь, с и d следует, что интеграл Лебега
\ f (х) dx существует в том и только в том случае, если существует интеграл
о
Лебега \\ f (x) | dx. Если любой собственный или несобственный, простой или
s
кратный интеграл Римана существует в смысле абсолютной сходимости
(п. 4.6-2, а)*), то соответствующий интеграл Лебега существует и равен
интегралу Римана.
Теоремы из табл. 4.6-1 и пп. 4.6-5 и 4.7-1, с, d справедливы и для инте-
интеграла Лебега.
Для каждого конечного или счетного множества попарно непересекающихся изме-
измеримых множеств S±, S2t ...
J f (x) dx = J / (x) dx -f J / (x) dx + ..., D.6-42)
S1US2U ... Si S2
если интегралы существуют. Интеграл Лебега по любому множеству {лебеговой) меры
нуль равен нулю.
Замечание. Лебеговское интегрирование применимо к более общему классу
функций, чем римановское интегрирование, и упрощает формулировки многих теорем.
Многие теоремы, высказанные в терминах интеграла Лебега, непосредственно применимы
к абсолютно сходящимся несобственным интегралам Римана (см. также пп. 4.6-16 и 4.8-4, Ь).
4.6-16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности; см. также п. 12.5-1).
(a) Если последовательность функций s0 {х), st (х), s2 (x) каждая из которых
ограничена и интегрируема в смысле Римана на ограниченном интервале [а, Ь~\, равно-
Ь
мерно сходится на [а, Ь] к функции s (х), то предел lim jsn (x) dx существует и равен
п-*со а
b
интегралу J s (x) dx.
а
(b) Следующая более общая теорема формулируется специально для интеграла Лебе-
Лебега: пусть s0 (x), st (x), s2 (#), ... и неотрицательная функция сравнения А (х) суммируемы
на измеримом множестве S, и пусть j sn (x) j ^Л (х) при всех п и при почти всех х ? S
(п. 4.6-14, Ь). Тогда из того, что lim sn (x) = s (л:) для почти всех х ? S, следует, что
п -+ оо
предел lim J sn (x) dx существует и равен J s (x) dx {теорема сходимости Лебега; см.
п-+со s s
также п. 4.8-4, Ь).
4.6-17. Интеграл Стилтьеса.
(а) Интеграл Римана — Стилтьеса. Интеграл Римана—Стилтьеса
от функции / (дс) с интегрирующей функцией g (x) по ограниченному интервалу
[а, 6] по определению есть
Ъ т
\ f (х) dg (x) = lim 2 / (W I* (*i> S (*<-i)]> D'63)
I max (*,-*/_!)-*()/_!
где
a = xQ <x1<x2<...<xm = b
*) Отметим, что функция
не суммируема на интервале (О, 1), несмотря на то, что несобственный интеграл Римана
1 1
J f {x) dx = lim J f {x) dx = sin 1
существует.

4.6-17. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 127
и Xi_-i^\i^Xi (об определении предела см. п. 4.6-1). Если g (х) —функция
ограниченной вариации (п. 4.4-8, b), a f (х)—непрерывная функция на [а, Ь],
то предел D3) существует.
Несобственные интегралы Римана —Стилтьеса определяются, как и в п.
4.6-2.
(Ь) Интеграл Лебег а —С тилтьеса. Каждая функция g (x), неубывающая и
непрерывная справа (п. 4.4-7, Ь) на ограниченном интервале [а, Ь], с помощью соотно-
соотношений C5), C6) и
М [а < х < 3] = g (р) — g (а) (а < а < р < Ь), D.6.44)
где в квадратных скобках указано множество значений х, определяет меру (меру Лебега—
стилтьеса) М [5] каждого борелевского множества (п. 4.6-14, Ь) на интервале [а, Ь].
Отметим, что
М [а < х < р] = g (Р) — g (а — 0), М [а < х < Р] = g (Р — 0) — g (а),
М [а < х < р] = g (Р — 0) — g (а — 0), М [х = а] = g (а) — g (а — 0) (а < а < 3 < b
D.6-45)
Отправляясь от меры Лебега—Стилтьеса ограниченных интервалов по способу п. 4.6-14, а,
вводят меру М [S] Лебега—Стилтьеса произвольного измеримого множества как общее
значение внутренней и внешней меры.
Если задана функция у — f {х), ограниченная и измеримая на интервале [а, Ь~\, то
интеграл Лебега—Стилтьеса по [а, Ь] от функции f (x) с интегрирующей функцией g (x)
по определению есть
b m
I f (х) dg (x) = lim ? ^iM Isi] D.6-46)
для произвольного разбиения C8) интервала, содержащего множество значений функции
f (x); Si и здесь есть множество значений х, в которых y-t j < f (x) ^ y^ (об определе-
определении предела см. п. 4.6-15, а).
Интеграл Лебега—Стилтьеса от ограниченной или неограниченной функции / (х) по
любому измеримому множеству можно теперь определить по способу пп. 4.6-15, Ь, с и d,
предполагая, что функция g (x) ограничена на каждом рассматриваемом ограниченном
множестве. В многомерном случае функция g (x) заменяется функцией, неубывающей по
каждому аргументу. Можно, далее, применяя равенство D8) к сумме двух монотонных
Ъ
функций (п. 4.4-8, Ь), определить интеграл Лебега—Стилтьеса J f (x) dg (x) с любой интег-
а
рирующей функцией g (x) ограниченной вариации. Если интеграл Римана — Стилтьеса
существует в смысле абсолютной сходимости, то соответствующий интеграл Лебега-"
Стилтьеса ему равен.
(с) Свойства интеграла Стилтьеса (см. также табл. 4.6-1).
Если (а, 6) — ограниченный или неограниченный интервал, для которого
существуют рассматриваемые интегралы, то
b a b с b
^fdg^ — Udg1), \fdg = \fdg+\fdg, D.6-47)
а о а а с
b b b b b b
z\fidg+}fzdg, j / d (gi + g2) = j / dgi + ^ / dg2, D.6-48)
a a a a a
b b b
I (a/) dg = \ f d (ag) = a j / dgx D.6-49)
a
b b
\b
D.6-50)
*) См. сноску на стр. 114.

128 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-18.
Если g (х)— неубывающая функция на (а, 6), то
Ь ь
\\fdg\^]\f\dg (а ^6). D.6-51)
а а
Если g (х) — неубывающая функция и f(x)^F(x) на (а, Ь)у то
6 b
\fdg^\Fdg (a^b). D.6-52)
а а
Интегралы Стилтьеса часто имеют «наглядный» смысл (криволинейные
интегралы, интегралы по поверхности, по объему; интегралы по распределе-
распределению массы, заряда и вероятности, п. 18.3-6). Заметим, что интеграл Стилть-
Стилтьеса в качестве частных случаев включает в себя обычные интегралы и суммы:
ь ь
I f (x) dg (x) = j / (x) g' (x) dx, D.6-53)
a a
если функция g (x) непрерывно дифференцируема на (a, b) и
k -oo k
4.6-18. Свертки. Свертка Стилтьеса двух функций f (х) и g (х) по интервалу {а, Ь)
есть по определению функция
b b
Ч? (t) ~ J / (/ — х) dg (x) =: J g (t — x) df (x) D.6-55)
a a
для всех значений t, для которых эти два интеграла существуют и равны. Классическая
свертка f (х) и g (x) по (а, Ь) подобным же образом определяется как
b Ъ
Ф" (t) = J M* - х) g (x) dxEEJ g(t —x)f (x) dx. D.6-56)
a a
В литературе и E5) и E6) часто просто называют сверткой функций f (х) и g (х) по (а, Ь)
b
и любую из этих функций E5) и E6) обозначают символом f -X g или f ^ g; точный смысл
а
обычно очевиден из контекста (см. также пп. 4.11-5, 8.3-1, 8.3-3 и 18.5-7).
Если имеют место равенства E5) и E6), то
= f *ё, f X (g* h)~(f * g) X h = fXgX h, fX(g + h)~fXg + fXh. D.6-57)
При a = — oo и/или b = -\- oo, если интегралы существуют, то равенства E7) спра-
справедливы.
Свертка двух конечных или бесконечных последовательностей а @), а A), а B), ... и
b @), b A), b B), ... есть последовательность
aXb = %a(t~~k)b(k) (t = 0, 1, 2, ...). D.6-53)
асти сущстую,
Ь ~\\/р р 11/Р \~Ь 1
]\fi + h\pdg\ ^U\hipclg\ +lf If, l^rfel
4.6-19. Неравенства Минковского и Гельдера.
(а) Если (а, Ь) — ограниченный или неограниченный интервал, для которого интег-
интегралы в правой части существуют, то
11/р
f l C4.6-59)
A ^ P < + °°) (неравенство Минковского),
b [b ~\\/p[b
I J /if, dg | ^ J I h P dg\ J ! h l
a La J La
(I <; p <; -j- oo) {неравенство Гельдера). D.6-60)

4 7-t. 4.7. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 129
Эти неравенства справедливы, в частности, для обычных интегралов Римана и Лебега и,
более общо, для многомерных интегралов. При р — - = 2 неравенство F0) превра-
щается в неравенство Коши — Шварца A5.2-3) *).
(Ь) Из неравенств E9) и F0) вытекают соответствующие неравенства для сумм и для
сходящихся бесконечных рядов. Если суммы справа существуют, то
[2I «*+»* i"]1№ «[SI •*
(I ^ Р < -f- °°) (неравенство Минковского),
г >: i ч \ру/р rs i ** iMp -1} г -1)/p D.6.62)
A< p < -f со) {неравенство Г е льде pa).
При /?=——- = 2 не
(см. также п. 1. 3-2).
При /? = = 2 неравенство F2) превращается в неравенство Коши — Буняковского
4.7. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. РАСКРЫТИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА О ПРИБЛИЖЕНИИ
4.7-1. Теоремы о среднем значении (см. также п. 4.10-4). Нижеследую-
Нижеследующие теоремы полезны для оценки значений и пределов действительных функ-
функций, производных и интегралов.
(а) Если функция / (х) непрерывна на [а, Ь\ и дифференцируема на (а, Ь),
то в интервале (а, Ь) существует такое число X, что
f(b)-fia)=f'(X)(b-a) D.7-1)
{теорема Лагранжа\ теорема о конечном приращении). Число X часто запи-
записывают в виде X— а + 8 (Ь — а) @ <б < 1). При f (а) =/ (Ь) эта теорема на-
называется теоремой Ролля (см. также (п. 1.6-6, е).
Если функция t (х^, * . , \п) непрерывна при ai^x(^^i и дифференцируема при
ib^(t = lt 2, . . ., п), то существует набор таких чисел Х^, Х^, . . ., Х^ что
Хг<:Ь( (/ = 1, 2 п) и
/I "^ Х *
Если 1) функции и (х) и v (х) непрерывна на [а, Ь], 2) v (b) -ф. v {а) и 3) производи
х) и и' (х) существуют в интервале (а, Ь) и с '
то в интервале (а, Ь) существует такое число X, что
и (Ь) - и (а) и' (X) 3
v(b) - v (a) v' (X) К " '
(теорема Коши).
(c) Если функция f (х) непрерывна на (а, Ь\, то в интервале {at b) сущест-
существует такое число X, что
ь
§Hx)dx = f(X)(b—a). D.7-4)
а
(d) Если функции f (х) и g {х) непрерывны на [а, Ь] и g(x)^0 на [а, Ь\
{или ^(а:)^0 на [а, Ь\), то в интервале (а, Ь) существует такое число X,
что ^ ь
*) В отечественной литературе это неравенство называют неравенством Коши — Бу-
Буняковского

130
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.7-2.
\f (x) g (x) dx =
Если функции f (х) и g (х) непрерывны на [a b] u фунЩия g (x) в этом интервале
не возрастает (или не убывает), то в интервале (а, Ь) существует такое число X что
b X ъ
\f (x)g (x) dx = g(a)\ f (x) dx + g (b) \f (X) dx. D.7-6)
a a X
Если, кроме того, g (x) > 0 на (a, b), то в интервале (a, b) существует такое число X, что
X
g (a) \ f (x) dx, если g (x) не возрастает,
а
b D.7-7)
g (b) \ f (x) dx, если g (x) не убывает.
X
4.7-2. Раскрытие неопределенностей (примеры см. в табл. 4.7-1).
(а) Пусть функция / (*) вида ^, и (х) v (*), [и (x)]v (X) u(x) — v (x)
в точке х = а не определена и принимает вид -^-, —, 0 • со, 0°, со0, Iе0 или со—со.
Это значит, что f(x)^~~y где lim и(х) = 0 и lim v(x)~0 в первом
v (х) х-+а х-+ а
случае; / (х) = —-;, где lim и (х) = со и lim v (x) = со — во втором;
f(x) = u(x) v (л:), где lim u(x) = Q и lim г>(л:) = со — в третьем, и т.д. Термин
«раскрытие неопределенностей» означает, что отыскивается предел lim / (x). Если
х-+ а
этот предел существует, то часто по определению полагают /(а)= lim f (x).
х-* а
Таблица 4.7-1
Некоторые часто встречающиеся пределы (п. 4.7-2)
lim (\ +-^ = 6=^ 2,71828, lim (I -f x)l/x = е, lim * = In с, с>0,
\ ni 0 0 *
.. sin x .. tg x .. sh x .. th x .
lim = lim ——= lim = lim = 1,
0+ x-+Q x x-*0 x лг-*О x x-+Q x
lim iilLH^oj (~co<co< + oo),
X-*Q x
lim л:а1п^== lim x~a\n x = lim xae~x = 0 (a>Q).
0± + +
(b) Случаи О/О и со/со. Пусть lim u(x) = \im v(x)~0. Если сущест-
x-+ а х-* а
вует окрестность точки # = а, в которой при x^ta: 1) ю(х)ф0 и 2) произ-
производные и' (х) и v' (x) существуют и v' (x)^tQ, то
если предел в правой части равенства существует (правило Лопиталя).
Пусть lim и (л:)= lim v (*)= со. Если существует окрестность точки
х~*а х -* а
х~а, в которой при хфа производные и' (х) и v' (x) существуют и v' {x) ф0,

4.8-1. 4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 131
то равенство (8) справедливо, если предел в правой части этого равенства су-
существует (эта теорема также называется правилом Лопиталя).
Если само отношение и, ; представляет собой неопределенность, то ука-
указанный метод может быть в свою очередь применен и к р-т-г-» так что
D-7'9)
этот процесс, если необходимо, может быть продолжен и дальше.
(с) С л у ч а и 0 • со, 0°, оо°, 1°° и оо—оо. Выражения и (х) v (x), [и (x)]V{X)
и u(x)—v(x) с помощью какого-либо из соотношений
U (X) V (X) == щ-^ =5 щщ ,
\и МР<*> -~е8<х> \а (х) = 1п и {х) = ° (*> 1
L« (*)] = ** [g {x) _ 1/о (jc) _ 1/ln w (jf)J ,
w (jc) ' о (x)
часто можно привести к виду ~~, и тогда к ним становятся применимыми
методы п. 4.7-2, Ь.
(d) При вычислении пределов иногда бывает полезно воспользоваться
формулой Тейлора (п. 4.10-1).
(e) Методы пп. 4.7-2, а, Ь, с и d применимы и для отыскания одно-
односторонних пределов lim f (х) и lim / (х) (п. 4.4-7). Пользуясь тем, что
х-+а—0 х-+а-{-0
lim f(x)= lim f (I/у), находят lim f (x).
4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (см. также пп. 4.10-4, 4.11-7
и 12.5-4).
1) Пусть f {x) — действительная функция, непрерывная на ограниченном зам-
замкнутом интервале [at b]. Тогда для каждого заданного положительного числа s
(максимум погрешности приближения) существует такой действительный
п
многочлен Р(х)ш 2 ak*k> что \ f (х) — Р (х) I < 8 пРи
2) -Х- Пусть функция f (х) удовлетворяет дополнительному условию f (b) =
= f (а) и (x) — 2n/(b — а). Тогда найдется такой действительный тригонометри-
т
ческий многочлен Т(х)~ 2 (ak cos k(ox-j-$k sin Ых), что \f(x) — T(x)\<.e
при всех х е [а, Ь].
Аналогичные теоремы справедливы и для функций двух и большего числа перемен-
переменных. Теоремы Вейерштрасса о приближении позволяют различные свойства непрерыв-
непрерывных функций выводить из соответствующих свойств многочленов или тригонометричес-
тригонометрических многочленов.
4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ, БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость (см. также п. 4.4-1). Бесконечный
ряд а0 + #! + «2+ ••• действительных или комплексных чисел (членов) а0, alt
a2i ... сходится, если последовательность s0, slf s2, ... его частичных сумм

132 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-2.
п
sn= 2 ak имеет предел s, т. е. в том и только в том случае, если после-
довательность остатков f?n+1 = s — sn сходится к нулю. В этом случае s =
= lim sn называется суммой ряда, и разрешается писать
П-+СО ^ п
а2-\-... = У) ak = Hm У] fl* = lim s/* = s. D.8-1)
60 n*cok0 n+co
Ряд tfo + ai + #2 + --- (необходимо сходящийся) называется абсолютно схо-
сходящимся, если сходится ряд | а0 | + | ах | + | «2 ! + ••• Если ряд не сходится, то
он называется расходящимся (он расходится; см. также п. 4.8-6). В пп. 4.9-1
и 4.9-2 приводятся некоторые признаки, позволяющие исследовать сходимость
заданного бесконечного ряда
4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (см. также п. 4.4-4). Ряд
функций а0 (х) + аг (х) + а2 (х) +... сходится к функции (сумме) s (x) при каж-
каждом значении х, при котором
п
lim У ak(x) = s(x).
*-ОО?=0
Ряд равномерно сходится к s (х) на множестве 5 значений х, если на мно-
множестве «S к функции s (х) равномерно сходится последовательность его частич-
п
ных сумм sn(x)~ ^ ak (х)- В п. 4.9-2 приведены некоторые признаки рав-
номерной сходимости.
4.8-3. Операции над сходящимися рядами.
00 ОО
(a) Сложение и умножение на число. Если 2 ak и ^S ^k —
сходящиеся ряды с действительными или комплексными членами и а — действи-
действительное или комплексное число, то
S «*+ S 6ft = S («* + »*). « S «*= S «afe. D.8-2)
В каждом из этих случаев из сходимости или абсолютной сходимости рядов
в левой части вытекает сходимость или соответственно абсолютная сходимость
ряда в правой части.
(b) Перестановка членов. Коммутативно сходящийся ряд есть
ряд, который сходится и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке
его членов; это имеет место в том и только в том случае, если ряд абсо-
абсолютно сходится. Каждый ряд, получающийся из такого ряда, если из нега
выбросить какие угодно члены, также абсолютно сходится.
Сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся.
Члены каждого условно сходящегося ряда с действительными членами можно переставить
так, что: 1) последовательность его частичных сумм станет сходиться к данному пре-
пределу, 2) последовательность его частичных сумм станет неограниченно возрастать, 3) пос-
последовательность его частичных сумм станет неограниченно убывать и 4) последователь-
последовательность его частичных сумм станет колебаться между двумя любыми данными числами
{теорема Римана).
ОО ОО
(с)Двойныеряды. Двойной ряд 2 2 aik сходится к s (имеет сум