Направленность гидроакустических антенн - Смарышев М.Д.

Автор: Смарышев М.Д.
Теги: электротехника антенны акустика гидроакустика
Год: 1973
Похожие
Цифровое формирование диаграммы направленности в фазированных антенных решетках
КВ антенны направленного действия
Антенны излучают
Антенны
Текст
                    М. Д. СМАРЫШЕВ
НАПРАВЛЕННОСТЬ
гидроакустических
АНТЕНН
ИЗДАТЕЛЬСТВО „СУДОСТРОЕНИЕ"
Ленинград
1973

УДК 621.396.677 : 681.883.3
С50
Освоение человечеств&м богатств Мирового океана, обе-
обеспечение безопасности судоходства, дальнейшее развитие
рыболовства и многие другие задачи, возникающие в процессе
народно-хозяйственного развития, требуют непрерывного
совершенствования гидроакустической техники и, в част-
частности, гидроакустических излучающих и приемных антенн.
Предлагаемая читателю монография посвящена изложе-
изложению элементов теории направленности гидроакустических
антенн. В ней определены основные параметры, характери-
характеризующие направленные свойства гидроакустических антенн,
и описаны методы их вычисления. Рассмотрены антенны наи-
наиболее распространенных типов- линейные, поверхностные и
объемные (дискретные и непрерывные), а также рефлектор-
рефлекторные и рупорные.
Приведены формулы, определяющие основные параметры
перечисленных антенн. Наряду с точными методами рас-
расчета, требующими использования электронно вычислитель-
вычислительных машин, рассмотрены и приближенные.
Изложен приближенный метод определения влияния
случайных ошибок возбуждения элементов на характеристи-
характеристику направленности и на коэффициент концентрации много-
многоэлементных гидроакустических антенн.
Книга содержит большое количество графиков, иллю-
иллюстрирующих зависимости основных параметров антенн от
различных факторов. Эти графики могут быть использованы
в качестве справочного материала при инженерных расчетах
антенн.
Книга рассчитана на читателей, имеющих математи-
математическую подготовку в объеме программ высших технических
учебных заведений и знающих общую теорию звука.
Илл. 115. Указатель литерат. 72 назв.
Рецензенты: доктор техн. наук, профессор
Ю. М. Сухаревский, доктор техн. наук, профессор А. М. Тю-
Тюрин.
С 3185~041 71-73
048@1)—73

ПРЕДИСЛОВИЕ
Стремительное развитие гидроакустики привело к выделению и
формированию самостоятельной области науки и техники, непосредст-
непосредственно связанной с изучением направленных свойств приемных и из-
излучающих гидроакустических антенн, т. е. акустических антенн, ра-
работающих в водной среде.
Физические основы излучения звука и теории направленности
рассмотрены в ряде работ по общей акустике, электроакустике и
гидроакустике, таких, как «Колебания и звук» Ф. Морза, «Основы
акустики» Е. Скучика, «Курс лекций по теории звука» С. Н. Ржев-
кина, «Электроакустика» В. В. Фурдуева, «Основы гидролокации»
Дж. Уоррен Хортона, «Волновые задачи гидроакустики» Е. Л. Шен-
дерова и др. В этих книгах наряду с изложением теории излучения
звука приводятся самые общие сведения и только немногие частные
примеры, иллюстрирующие направленные свойства некоторых акусти-
акустических антенн.
Более углубленные исследования направленных свойств акусти-
акустических и гидроакустических антенн, представляющие собой фундамент
теории направленности в ее настоящем виде, содержатся в работах
Л. Я- Гутина, А. А. Харкевича, М. И. Карновского, В. Н. Тюлина,
Ю. М. Сухаревского, И. Н. Мельтрегера, Г. Штенцеля, К- Менгеса
и др. В основном эти работы были выполнены в 1930—1950 гг. В по-
последнее время и в СССР и за рубежом публикуется большое количе-
количество статей, посвященных различным вопросам приема и излучения
звука как отдельными преобразователями, так и антеннами различ-
различных типов. За рубежом опубликованы две монографии (Г. Штенцель
«Руководство к расчету звуковых процессов» и К- Фейк «Направлен-
«Направленный звук»), посвященные теории направленности в основном простей-
простейших акустических антенн.
Таким образом, теория направленности гидроакустических антенн
располагает достаточно большим объемом как разработанных методов
исследования, так и конкретных результатов, однако практическое их
использование затруднено тем, что различные материалы разбросаны
в многочисленных периодических изданиях и зачастую изложены
с разных методических позиций. Кроме того, круг рассмотренных
задач по направленности гидроакустических антенн все-таки очень
ограничен и не полностью соответствует потребностям их практиче-
практического использования в современной гидроакустике. В некоторой мере
существующие пробелы восполняются наличием ряда книг по теории

электромагнитных антенн. Как известно, и электромагнитные и аку-
акустические поля описываются одним и тем же волновым уравнением,
что в ряде случаев (особенно при приближенных оценках и расчетах
параметров антенн) позволяет пользоваться одним и тем же математи-
математическим аппаратом и находить полезные аналогии. Однако существуют
и принципиальные различия, связанные как с постановкой граничных
условий на активных и пассивных частях антенн, так и с векторным
характером электромагнитного поля и скалярным — акустического
поля в воде или в воздухе.
Указанные выше обстоятельства побудили автора попытаться с еди-
единых методических позиций изложить основы теории направленности
гидроакустических антенн в предлагаемой книге.
В настоящее время гидроакустические антенны используются для
решения многих важных задач как в народном хозяйстве, так и в во-
военном деле. Мы не будем рассматривать различные случаи применения
гидроакустических антенн и описание их конструкций, поскольку
познакомиться с этими вопросами читатель сможет по другим книгам
и в первую очередь по книгам И. И. Клюкина «Подводный звук» и
А. Л. Простакова «Гидроакустика и корабль».
Гидроакустические антенны можно классифицировать по ряду
признаков, например, по виду используемых преобразователей, по
режиму работы антенны (излучающие и приемные), по режиму работы
всего гидроакустического устройства, обслуживаемого данной антен-
антенной, и т. д. При изложении теории направленности антенн наиболее
целесообразной является их классификация по способу формирования
полевых характеристик. По этому признаку антенны можно разде-
разделить на три группы: непрерывные и дискретные; оптического типа
(фокусирующие) и, наконец, рупорные.
Непрерывными называются такие антенны, колебательная ско-
скорость на активной поверхности которых по амплитуде и по фазе не-
непрерывна от точки к точке. Дискретными называются антенны, ко-
которые состоят из отдельных элементов, колебательная скорость ак-
активных поверхностей которых по амплитуде и фазе при переходе от
одного элемента к другому может претерпевать разрывы.
Если эффект направленности дискретных и непрерывных антенн
в основном обусловлен интерференцией колебаний, пришедших от
различных участков антенны в точку наблюдения, то направленность
фокусирующих антенн создается интерференцией колебаний, которые
на пути между излучателем и этой точкой либо претерпевают отра-
отражение от поверхности (рефлекторные или зеркальные антенны), либо
преломление на границе сред с различными параметрами (линзовые
антенны).
В формировании направленности рупорных антенн также прини-
принимают участие отражающие поверхности (как и в случае рефлекторных
антенн), однако в рупорных антеннах они располагаются в непосред-
непосредственной близости от активных элементов и как бы канализируют
энергию.
Дальнейшую классификацию непрерывных и дискретных антенн
целесообразно производить по конфигурации геометрического обра-

зования, объединяющего колеблющиеся (активные) элементы, т. е.
различать линейные, поверхностные или (если антенна состоит из
многих элементов, линий или поверхностей, размещенных в некото-
некотором объеме) объемные антенны. Антенны оптического типа помимо
подразделения на рефлекторные и линзовые, различают по геометри-
геометрической форме рефлектора или линзы. Рупорные антенны можно клас-
классифицировать по виду рупора.
Книга состоит из восьми глав. В гл. 1 приводятся определения
основных параметров, характеризующих направленные свойства гид-
гидроакустических антенн в режимах излучения и приема. На примере
антенны, состоящей из дискретных элементов, показана связь между
различными параметрами антенн. Гл. 2 и 3 посвящены изложению об-
общих методов расчета звукового давления, развиваемого излучаю-
излучающей антенной, характеристики направленности антенны, коэффи-
коэффициента концентрации излучающей и помехоустойчивости приемной
антенн. В гл. 4, 5, 6 рассмотрены параметры основных типов антенн—
линейных, поверхностных непрерывных и дискретных. Гл. 7 содержит
некоторые сведения о фокусирующих, рупорных и объемных антен-
антеннах. Последняя глава посвящена влиянию случайных ошибок воз-
возбуждения на направленность антенн и учету его при решении неко-
некоторых задач синтеза.
Учитывая отсутствие руководств по теории направленности гидро-
гидроакустических антенн, автор стремился к наиболее подробному изло-
изложению общих физических основ теории и описанию свойств простей-
простейших и практически наиболее часто встречающихся антенн в ущерб
некоторым более сложным теоретически или реже встречающимся
практически вопросам, а в некоторых случаях — и математической
строгости приводимых выводов.
В книгу не вошли многие вопросы, тесно примыкающие к теории
направленности, а именно: методы обработки информации и особен-
особенности работы гидроакустических антенн в реальных условиях, в част-
частности, влияние неоднородности среды и наличия ее границ на пара-
параметры антенн. Представляется, что эти и некоторые другие смежные
проблемы заслуживают самостоятельного серьезного рассмотрения.
Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность
своим коллегам и товарищам, оказавшим помощь при работе над кни-
книгой, а также проф., д-ру техн. наук: Ю. М. Сухаревскому и проф.,
д-ру техн. наук А. М. Тюрину, взявшим на себя труд по рецензиро-
рецензированию книги. Их критические замечания и пожелания учтены автором
при окончательной доработке рукописи.
Автор далек от мысли, что поставленную перед собой задачу он
решил наилучшим образом, и поэтому заранее благодарит всех чита-
читателей, пожелавших сообщить ему свои критические замечания о книге.
Отзывы направлять по адресу: 191065, Ленинград, ул. Гоголя, д. 8,
издательство «Судостроение».

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ
НАПРАВЛЕННОСТЬ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ АНТЕНН
| 1. Режим излучения
Акустические антенны выполняют две функции: производят пре-
преобразование энергии из одного вида в другой и создают некоторую
пространственную избирательность. В соответствии с этим параметры
акустических и гидроакустических антенн подразделяются на две
группы: определяющие направленные свойства и эффективность
преобразования энергии.
В этом параграфе мы приведем определения основных величин, ха-
характеризующих направленные свойства антенн в режиме излучения,
а также для случая дискретной антенны получим выражения, связы-
связывающие эти величины между собой.
Звуковое давление и характеристика направленности. Поле, созда-
создаваемое излучающей антенной в окружающем пространстве, имеет
весьма сложный характер. Принято различать три зоны: волновую,
зону дифракции Френеля и зону дифракции Фраунгофера (дальнюю
зону). Резкой границы между зонами нет. Зона дифракции Френеля
начинается на расстоянии от поверхности излучателя, равном длине
п2
волны Я, и простирается до расстояния L— , где?> — наибольший
л
размер активной поверхности антенны. Наибольший интерес в гидро-
гидроакустике представляет собой зона дифракции Фраунгофера, поскольку
в большинстве случаев нас интересует поле вдали от антенны.
Наиболее сложной структурой отличается поле в волновой зоне,
а наиболее простой —¦ в дальней. Выражение, определяющее звуко-
звуковое давление,1 развиваемое любой антенной в дальнем поле, можно
представить в виде сомножителей, один из которых зависит только
от расстояния от антенны и не зависит от направления на точку на-
наблюдения, а другой — только от этого направления. Таким образом,
давление в дальнем поле в направлении единичного вектора и на рас-
расстоянии г от антенны имеет вид
P(r, u) = Ee r f{n), (l.t)
где Е — некоторая постоянная; k — волновое число, k = 2лД.
1 Везде ниже вместо термина «звуковое давление» мы будем пользоваться
термином «давление».

Множитель е ш, характеризующий зависимость от времени,
в дальнейшем мы будем опускать.
Указанная особенность позволяет вводить в рассмотрение функ-
функцию, определяющую пространственное распределение давления в
дальней зоне, называемую характеристикой направ-
направленности антенны:
p{r, U) _ f (И)
I arg D (u)
f(«o)
направление
A.2)
в про-
P (Л «o)
где под й0 понимается некоторое выбранное
странстве..
В соответствии с этой формулой характеристика направленности —
функция комплексная. Кроме D (и) мы часто будем рассматривать
ее модуль R (и) = |?>(й)|, называя его ампли-
амплитудной характеристикой, и аргумент
argD (и), называя его фазовой характе-
характеристикой направленности. Следует от-
отметить, что такое определение характеристики
направленности не является общепринятым и
некоторые авторы понимают под ней модуль от-
отношения давлений.
Разнобой возникает также в выборе направле-
направления в0, т. е. направления, в котором характери-
характеристика направленности принимается равной единице
(нормируется к единице). Многие авторы норми-
нормируют характеристику направленности в направле-
направлении ее наибольшего значения, другие — в направ-
направлении оси или плоскости симметрии антенны,
однако встречаются случаи, когда неудобны оба
указанных способа нормировки. В литературе
поэтому иногда можно встретить термин н е-
нормированная характеристика направ-
направленности, соответствующий в наших обозначениях [см. выраже-
выражение A.1)] функции / (й) или Ef(u). Применение этого термина в ка-
качестве синонима некоторой величины, пропорциональной давлению
в дальнем поле, не может вызывать возражений, однако количествен-
количественная оценка такого параметра не имеет смысла в связи с возможной
неоднозначностью его определения. Мы будем в основном нормиро-
нормировать характеристику направленности в направлении ее максимального
значения, если же это окажется в каком-то частном случае неудобным,
будут сделаны соответствующие оговорки.
Рассмотрим основные типы характеристик направленности и терми-
терминологию, используемую обычно при описании их элементов. Прежде
всего отметим, что характеристика направленности есть функция двух
переменных, ибо именно две переменные определяют направление
в пространстве, и поэтому она может рассматриваться как некоторая
поверхность. Сечения этой поверхности плоскостями, проходящими
через начало координат, называются характеристиками направленно-
направленности в соответствующих плоскостях. Практически чаще всего прихо-
Рис. 1. Типичный вид
характеристики на-
направленности.

дится иметь дело с характеристиками направленности в горизонталь-
горизонтальной и какой-либо из вертикальных плоскостей.
На рис. 1 показан типичный вид сечения характеристики направ-
направленности некоторой плоскостью. Если пространственная характери-
характеристика направленности является поверхностью, образуемой при вра-
вращении кривой, изображенной на рис. 1, вокруг оси у, то излучение
происходит в основном внутри конуса и такая диаграмма направлен-
направленности обычно называется конусообразной. Если же пово-
поворачивать кривую рис. 1 вокруг оси х, то во всех направлениях, пер-
перпендикулярных оси х и лежащих в плоскости yOz, будет создаваться
одинаковое давление; соответствующая характеристика направлен-
направленности называется дискообразной. Наконец, при вращении
чертежа вокруг оси х' получится воронкообразная диа-
диаграмма направленности.
Часть характеристики направленности, соответствующая направ-
направлениям наибольшего излучения и ограниченная либо соседними ну-
нулями, либо достаточно глубокими минимумами, называется глав-
главным (основным) максимумом или лепестком.
Кроме главного могут быть еще дополнительные (доба-
(добавочные) максимумы, меньшие, чем основной, а иногда и
максимумы, равные основному — единичные (т. е. равные еди-
единице). Обычно вводят в рассмотрение ширину характеристи-
характеристики направленности на уровне 0,707, что соответствует величине
угла, в пределах которого квадрат давления изменяется в два раза.
Найдем выражения, определяющие давление, развиваемое дис-
дискретной антенной в дальнем поле, и ее характеристику направленно-
направленности через давление, создаваемое отдельным элементом. Пусть антенна
состоит из п элементов и нам известно давление pq (и), развиваемое
в дальнем поле элементом с номером q в присутствии остальных за-
заторможенных (не колеблющихся) элементов антенны и записанное
относительно общего для всех преобразователей начала координат.
Тогда в соответствии с принципом суперпозиции давление, создавае-
создаваемое всей антенной, можно найти как сумму pq (в), т. е.
Введем в рассмотрение величину р'^ (в), определяемую следующим
образом:
где wq — нормальная составляющая колебательной скорости поверх-
поверхности преобразователя или так называемой точки приведения на по-
поверхности преобразователя, если колебательная скорость различных
точек поверхности неодинакова. Теперь выражение A.3) можно за-
записать в виде

Колебательные скорости поверхностей преобразователей wq мо-
могут отличаться друг от друга по амплитуде и фазе. Удобно ввести в рас-
рассмотрение отношение колебательной скорости на произвольном пре-
преобразователе к колебательной скорости какого-то выбранного преоб-
преобразователя, например, преобразователя с номером q = 1:
^- = Ач = а/«ч. A.6)
Отношение Aq является в общем случае величиной комплексной
и называется коэффициентом амплитудно-фазо-
амплитудно-фазового распределения колебательной скоро-
скорости элемента с номером q, причем его модуль aq опреде-
определяет амплитудное распределение, а аргумент aq — фазовое.
Учитывая формулу A.6), выражение A.5) можно записать в сле-
следующем виде:
п
p(u) = w. У\А р (и), A.7)
<7=1
откуда в соответствии с формулой A.2) имеем
Z) (») = -
A.8)
<7=1
Иногда вводят в рассмотрение величину, характеризующую эф-
эффективность антенны по сравнению с эффективностью отдельного ее
преобразователя при создании звукового давления в направлении ее
главного максимума и0. Эта величина называется коэффициен-
коэффициентом усиления по давлению и определяется модулем
отношения давлений, развиваемых в дальнем поле в направлении и0
антенной и отдельным ее преобразователем, ориентированным так,
что направление его максимального излучения совпадает с вектором
и0- Выражение, определяющее коэффициент усиления, имеет следую-
следующий вид: г
Ps («о)
q=\
AsPs («о)
A.9)
Мощность и сопротивление излучения. Мощность, излучаемую ан-
антенной, можно определить путем интегрирования по поверхности ан-
антенны произведения давления на величину, комплексно сопряжен-
сопряженную колебательной скорости, в соответствии с формулой
= — jpw*ds,
A.10)
где р и w — давление и колебательная скорость на активной Поверх-
Поверхности антенны s.
9

Обычно вводится в рассмотрение сопротивление излу «
чения антенны г; эта величина определяется следующим o6f
разом:
* '**' AЛ1)
Где rs я х, — активное и реактивное сопротивления из-
излучения. Если колебательная скорость на всей поверхности антенны
постоянна, то w в формуле A.11) и есть эта скорость; при наличии же
неравномерного распределения колебательной скорости возникает
вопрос об определении величины w. Иногда под w в этом случае по-
понимают усредненную по поверхности антенны колебательную скорость
но чаще считают, что w — колебательная скорость в некоторой точке
на поверхности антенны (колебательная скорость «точки приведения»).
Мы будем полагать, что w равно до1( т. е. колебательной скорости
точки приведения элемента антенны, имеющего первый номер.
Определим мощность, излучаемую одним из элементов антенны,
имеющим порядковый номер q. В соответствии с формулой A.10) эта
мощность равна
*я = \№ {аяЖ <1Л2>
sq
В этом выражении wq — колебательная скорость точки приведения;
/ (sq) — мода колебаний поверхности элемента.
Давление р на поверхности элемента с номером q можно выразить
как сумму давлений, создаваемых всеми элементами антенны:
Отсутствие аргумента и подчеркивает, что выражение pg справедливо
не только в дальнем, но и в ближнем поле.
Подставляя последнее соотношение в формулу A.12), получим
^ (U4)
где Wq& — мощность, расходуемая преобразователем с номером q
на преодоление давления, создаваемого на его поверхности преобра-
преобразователем с номером g; р' — давление, развиваемое преобразователем
с номером g на поверхности преобразователя с номером q, отнесенное
к wg.
10

Мощность, излучаемая всей антенной, равна сумме мощностей,
излучаемых каждым преобразователем при работе остальных, т. е.
В соответствии с приведенным выше определением сопротивления из-
излучения антенны имеем
?=1 g=l sq q=\ g=l
где >,
)*,- <1Л7>
— так называемое взаимное сопротивление излу-
излучения преобразователей с номерами q и g, т. е. часть сопротивле-
сопротивления излучения преобразователя q, вызванная воздействующим на а
него полем преобразователя g. Иногда кроме взаимных сопротивлений
излучения вводят в рассмотрение вносимые, т. е. сопротивления
излучения при реальных колебательных скоростях элементов. Опре-
Определяются вносимые сопротивления излучения соотношением
^Ч& == Ч ™g^qg> '1*1°)
и полное сопротивление излучения связано с вносимыми формулой
^Illlv - A.19)
9=1 g=l
Вносимое сопротивление излучения, как это видно из формулы
A.18), равно взаимному при выполнении равенства Aq — Ag — 1.
Весьма существенно, что при определении взаимных и вносимых
сопротивлений излучения мы вынуждены были относить удвоенную
мощность к квадрату модуля колебательной скорости w и условились
считать, что w равно wlt т. е. колебательной скорости элемента с пер-
первым номером. При рассмотрении параметров всей антенны это обстоя-
обстоятельство не вызывает особых затруднений, но при переходе к парамет-
параметрам одного элемента может возникнуть путаница. Действительно,
исходя из формулы A.16) можно записать, что полное сопро-
сопротивление излучения элемента с номером q, т. е. его со-
сопротивление излучения при работе всех остальных элементов антенны,
определяется выражением
Далее, кажется естественным для определения мощности, разви-
развиваемой элементом q, умножить zq на 0,5 | wa |2. Однако на самом деле,
для определения Wq, как легко убедиться, проделывая элементарные
преобразования формулы A.14), надо zq умножить на 0,5 |ayi|a. Эта
11

ошибка вызвана тем, что полное сопротивление излучения элемента
с номером q мы определили выше по отношению к колебательной ско-
скорости не этого же элемента, а первого. Поэтому в случаях, когда воз-
возможны недоразумения, подобные приведенному выше, следует под-
подчеркивать, что рассматривается сопротивление излучения элемента q
относительно колебательной скорости элемента с номером g.
На основании теоремы взаимности [49] можно записать, что
Щ 1 f (Sg) Pqdh = Wq\f (S?) Pe.dSr
Sg S4
Разделив левую и правую части этого равенства на wgwq и принимая
во внимание определение взаимного сопротивления излучения A.17),
получим «
zgq=zqg. A.21)
Рассмотрим два слагаемых выражения A.16): одно со значками gq,
а другое со значками qg. Сумма этих слагаемых равна
Zgq \AgAq "Г AqAg) = 2, Ке \AgAq) Zgq,
поэтому можно записать
г = 2 2 Re [AgA\] {rgq-ixgq), A.22)
откуда получим
r,= 2 2 Re [AgAq) rgq = 2 2 ^И*'"»'. С1-23)
g=l q=\ g=l ?=1
^s= 2 2Re (Л gA;) ^g?= 2 2^ИЛ?- A-24)
g=l ?-=l g=l ?=1
В справедливости последних равенств выражений A.23) и A.24) легко
убедиться, рассматривая сумму симметричных их слагаемых gq и G?-
Исходя из выражения A.20), запишем формулы для определения
rq и xq в виде
%{AsK)rg<, + lm{AgAl)xgq\; A.25)
xq= 2 [ReiA^x^-lmiA.ADrJ. A.26)
g=i
Заметим, что здесь rq n xq — полные активное и реак-
реактивное сопротивления излучения элемента q от-
относительно колебательной скорости первого элемента.
Из сравнения четырех последних выражений следует важный вы-
вывод о том, что полные (и активное и реактивное) сопротивления излу-
излучения отдельного элемента антенны зависят и от активного и от
реактивного взаимных сопротивлений излучения. Однако активное
сопротивление излучения всей антенны зависит только от активных
взаимных сопротивлений, аналогично и реактивное сопротивление
12

излучения всей антенны завшда только от реактивных взаимодей-
взаимодействий между элементами.
Метод, которым мы определяли сопротивления излучения (полные,
взаимные и вносимые), основывался на интегрировании давления не-
непосредственно на поверхности преобразователя, поэтому часто он на-
называется методом определения сопротивлений излучения по ближнему
полю.
Вообще говоря, для нахождения активной мощности, излучаемой
антенной, можно окружить антенну произвольной замкнутой поверх-
поверхностью и произвести интегрирование по ней в соответствии с формулой
A.10). Однако практически проще это делать, совмещая поверхность
интегрирования либо с поверхностью самой антенны, либо с поверх-
поверхностью сферы большого радиуса. В первом случае процедура вычис-
вычисления интеграла облегчается тем, что обычно мы считаем известной
колебательную скорость поверхности преобразователя, во втором слу-
случае на помощь приходит известная связь между р и од в плоской или
в сферической волне на большом расстоянии от центра сферы р =
= pew (где рс — волновое сопротивление среды). Выражая отсюда w
и подставляя од* в формулу A.10), а также учитывая, что s — сфера
большого радиуса г, получим
^ A.27)
где Q — полный телесный угол (ds = r2dQ).
Поскольку в качестве поверхности s мы выбрали сферу большого
радиуса, выражение A.27) определяет только активную мощность,
т. е. мощность, переносимую в дальнее поле. Выражая давление, раз-
развиваемое антенной через сумму давлений от отдельных элементов в со-
соответствии с равенством A.5), возводя модуль суммы в квадрат, меняя
порядок суммирования и интегрирования, формулу A.27) можно за-
записать так
g=l 9=1
Отсюда следует, что
2W " "
Из сравнения полученного выражения с выражением A.21) видно, что
В соответствии с этой формулой можно определить активное взаимное
сопротивление излучения элементов антенны через дальнее поле.
13

Иногда формулу A.29) записывают несколько иначе, а именно:
A.30)
Эта запись более правильна, поскольку в общем случае правая
часть выражения A.29) может оказаться величиной комплексной.
Коэффициент концентрации. Рассмотрим две антенны, одна из
которых направленная, а другая ненаправленная. Пусть WaH и Wa0 —
акустические мощности, излучаемые направленной и ненаправленной
антеннами соответственно. Интенсивности звука, создаваемые этими
антеннами на большом расстоянии г (рис. 2) в направлении макси-
максимального давления, развиваемого первой из них, обозначим как /н
и /0. Осевым коэффициен-
I ' | томконцентрации направ-
IL ленной антенны К называется отно-
Уав
il,
I
шение интенсивностей /н и /0 при
а 0
равенстве излучаемых мощностей W.
и Was или отношение мощностей L_
и WaH при равенстве интенсивностей
"""{ в дальнем поле /„ и /0, т. е.
Рис. 2. К определению коэффици-
коэффициента концентрации.
или
A.31)
A.32)
Найдем связь между мощностью, излучаемой антенной, и интен-
интенсивностью звука, создаваемой ею на расстоянии г. В случае направ-
направленной антенны интенсивность звука в направлении ее оси (т. е. в на-
направлении ее главного максимума) определится выражением
7 __ 1рн(доI2
н 2рс
и, учитывая формулу A-27), можно записать:
A.34)
A.33)
Для ненаправленной антенны интенсивность звука во всех направле-
направлениях одна и та же, R (и) = 1 и
№а0 = /0-4яг2. A.35)
Подставляя выражения A.34) и A.35) в формулу A.31), и учитывая,
что /0 = /н, получим
J" A.36)
(и) da
14

Вычислим коэффициент концентрации, пользуясь выражением
A.32) и формулами A.35) и A.34):
К — !и' ^пг% — ^н-4яла _ 4я
Таким образом, мы доказали тождественность двух определений ко-
коэффициента концентрации A.31) и A.32).
Коэффициент осевой концентрации действительно является мерой
концентрации энергии в выбранном направлении. Если антенна нена-
ненаправленная, R (и) = 1 и из выражения A.36) имеем К = 1. Если
же характеристика направленности равна единице внутри некоторого
конуса и равна нулю вне его, то с уменьшением угла при вершине ко-
конуса увеличивается концентрация энергии вдоль оси конуса и, дейст-
действительно, при этом знаменатель формулы A.36) уменьшается, а коэф-
коэффициент концентрации увеличивается.
Получим еще одно выражение для определения коэффициента кон-
концентрации антенны. Как следует из формулы A.11), активную мощ-
мощность, излучаемую направленной антенной, можно определить соот-
соотношением
"- Wn = \\v>x?rv A.37)
Подставляя это выражение и выражение A.35) в формулу A.31), а
также учитывая, что
Г _/ _ [Рн(До)[2
'О— *н " Z i
2рс
получим
4л
к=¦
Рн(Яо)/- '2
PC As
или, принимая во внимание формулы^ A.7) и A.23),
1Л_АПА __?=L-
A.38)
DC n n
V V А А %
q=\ g=l
A.39)
Заметим, чт$> не всегда бывает удобным использование осевого ко-
коэффициента концентрации, хотя бы потому, что для сложной антенны
может не оказаться оси, в направлении которой естественно опреде-
определять коэффициент концентрации, а направление основного максимума
характеристики направленности может быть неизвестно заранее. В та-
таких случаях вводят в рассмотрение коэффициент концентрации в за-
заданном направлении К (иа). Определение его совпадает с определением
осевого коэффициента концентрации (формулы A.31) и A.32)), но под
/н надо понимать интенсивность не в осевом направлении, а в иеко-
15

тором направлении их. Легче всего найти связь между К(и0) и К{и{)
с помощью выражения A.38). Ясно, что справедлива формула
Рн (ад г
Рн (йо)
' =/С (во) «2(»i), A-40)
следовательно, можно записать
4я
4я
Рн (Ко)
Рн (Hi)
*¦(.).»
Рн(и)
Рн (Hi)
A.41)
а а
т. е. для коэффициента концентрации в направлении их справедлива
формула A.36), если только под R (и) понимать характеристику на-
направленности, нормированную в направлении иг.
Из определения осевого коэффициента концентрации следует, что
он не может быть меньше единицы; коэффициент же концентрации
в направлении их может быть меньше единицы и даже равен нулю,
если только давление, развиваемое антенной в направлении их, равно
нулю. Обычно принято под термином «коэффициент концентрации»
понимать осевой коэффициент концентрации; если же имеется в виду
коэффициент концентрации в направлении, отличном от направления
главного максимума, это обстоятельство специально оговаривается.
Влияние взаимодействия. Приведенные выше формулы позволяют
находить R (и), К, Кр по известным колебательным скоростям эле-
элементов wq или коэффициентам их возбуждения Aq. Однако практи-
практически значительно легче контролировать не колебательную скорость
wq, а напряжение ид, подводимое к элементу антенны. Для установ-
установления связи между ними воспользуемся равенством сил, действующих
на механическую систему элемента [35 ]
)dsq. A.42)
В этом выражении zuq — механическое сопротивление преобразо-
преобразователя; Fq — электромеханическая сила, возбуждающая колебания
элемента, равная произведению подводимого напряжения uQ на ко-
коэффициент электромеханической трансформации т. Интеграл в пра-
правой части равенства определяет силу реакции среды на колебания
преобразователя. Учитывая, что давление на поверхности элемента
с номером q создается всеми преобразователями антенны, подставим
в формулу A.42) выражение A.13) и, воспользовавшись обозначением
A.17), получим
A.43)
g, 9=1, П.
8=1
Введем в рассмотрение величину ZqV определяемую следующим
образом:
при q — g
при "-J-» ^1<44^
Zqg
16

Тогда соотношение A.43) можно записать так:
qg = muq, G=1, п.
A.45)
Мы получили систему уравнений, позволяющую найти wg по из-
известным uq. С помощью этого выражения можно решить и обратную
задачу: определить напряжения и(/ по известным коэффициентам воз-
возбуждения Aq.
Решение системы уравнений A.45) записывается, в соответствии
с формулой Крамера, следующим образом [7]:
где определитель системы D и определитель Dg, получающийся из D
при замене столбца с номером g столбцом из свободных членов, имеют
вид
D =
i, Z%
гл,
Z?,\,
¦ ^ig, • • • ^in
z z
' 98' ' * ' qn
7 7
' **ng> • • • t'nn
• tnuu . . . Zln
,. mu2, . . . Z2rt
) : ¦' '
, . muq,\ . . Zqn
A.46)
A.47)
Раскладывая определитель Dg пШхЭлементам столбца с номером g,
получим
Z>g = i>«9^g, A.48)
где Bqg— адъюнкт элемента qg определителя A.47), который равен
определителю, получающемуся из A.47) при вычеркивании строки
с номером q и столбца с номером g, домноженному на коэффициент
+
Таким образом, колебательная скорость элемента с номером g равна
п
D q=\
* М. Д. Смарышев 17

и давление, развиваемое антенной, в соответствии с формулой A.5)
можно найти по формуле
'w-f jsJv.w--fL^Jv;** с-50'
где hq = —2 коэффициент передачи канала с номером q.
Для выяснения физического смысла полученного результата пред-
предположим, что напряжение подано только на один элемент антенны
с номером q'. Тогда uq — О при всех g, не равных q', и из выражения
A.48) получаем Dg = ти ,В , и
Подставим это равенство в формулу A.5). Тогда давление, создавае-
создаваемое всей антенной при подведении напряжения к одному из ее элемен-
элементов, можно записать в виде
VW^Ifl^W- A-52)
Сумма по g в этом выражении появилась в связи с тем, что волна,
излучаемая элементом q', заставляет колебаться остальные элементы
антенны, которые также принимают участие в создании давления.
Теперь понятно, почему выражение A.50), определяющее поле
антенны при подаче напряжений на все ее преобразователи, содержит
двойную сумму по элементам. Формулу A.43) можно записать, выде-
выделяя из полного сопротивления излучения элемента с номером q его
собственное сопротивление излучения, следующим образом:
8=1
g+9
Практически довольно часто встречаются случаи, когда выпол-
выполняется неравенство
о-54)
8=1
Это неравенство называют условием независимости
преобразователей по полю и справедливо оно либо
при работе антенны вдали от резонанса механической системы преоб-
разователей | когда гщ > "V -^-zqg I, либо при малой величине вно-
\ 8=1 W<> J
симых сопротивлений излучения и даже суммы их произведений на
wglwq по сравнению с собственным сопротивлением излучения эле-
элементов zqq. Последнее соотношение может иметь место и при работе
18

на резонансе, если только элементы велики и далеко расположены
друг от друга.
Физически условие независимости означает, что колебательная
скорость элемента антенны практически не зависит от колебаний ос-
остальных элементов и, как следует из формулы A.53), определяется
выражением
Отсюда видно, что при выполнении условия A.54), колебательные
скорости, а следовательно, и коэффициенты возбуждения элементов
антенны пропорциональны подводимым напряжениям (поскольку при
одинаковых элементах антенны zqq и гщ не зависят от q). Таким об-
образом, при независимости преобразователей по полю характеристику
направленности можно определять по формуле, получающейся из вы-
выражения A.2) при подстановке в нее соотношений A.5) и A.55):
2«лЫ 2 У, К)
где hq — коэффициент передачи канала, равный отношению uq к их.
При записи формулы A.3) мы отмечали, что pQ (и) — давление,
развиваемое элементом с номером q в присутствии остальных затор-
заторможенных элементов антенны.
Приведенный анализ показывает, что это замечание было не лиш-
лишним: действительно, поле, создаваемое элементом антенны, зависит
от того, заторможены остальные элементы антенны или нет.
Сказанное следует учитывать при проведении экспериментальных
исследований параметров элементов антенн. Так, при измерении поля,
создаваемого отдельным элементом, для последующего расчета его
собственного активного сопротивления излучения [по формуле A.29),
где g = q] следует затормозить остальные преобразователи антенны.
Если же измерения производятся для последующего расчета давле-
давления, создаваемого всей антенной, то можно поступать двояко: или
замерить р (и) при заторможенных остальных преобразователях, а
затем пользоваться формулой A.7), рассчитывая Aq с помощью си-
системы уравнений A.45), или непосредственно определить paq (и) при
расторможенных преобразователях, а р (и) вычислить по формуле,
получающейся при подстановке выражения A.52) в равенство A.50)
Запишем выражения, определяющие основные параметры антенн
с учетом взаимодействия их элементов. Подставляя в формулу A.9)
2* 19

соотношения A.50) и A.52), получим выражение для коэффициента
усиления по давлению
A-57)
v
С помощью формул A.2) и A.50) в аналогичном виде можно записать
и характеристику направленности
2%2
г1 g:'
2— a 2-1 ai^i \ o)
4=1 g=\
Наконец, подставляя выражение A.58) в формулу A.36) и прини-
принимая во внимание равенство A.29), имеем
К =
4яг2
?=1
ас п п п п
2 2 «,*„ 2 2
i gi 'i g'i
A-59)
Учет влияния взаимодействия существенно усложняет расчет па-
параметров антенны, поэтому в тех случаях, когда оно невелико,
считают, что колебательные скорости элементов пропорциональны
подводимым к ним напряжениям.
§ 2. Режим приема
Чувствительность и характеристика направленности. Чувстви-
Чувствительность антенны определяется модулем отношения напря-
напряжения на выходных клеммах антенны (точнее — электродвижущей
силы) к давлению в плоской падающей волне, фронт которой перпен-
перпендикулярен направлению главного максимума характеристики направ-
направленности антенны, т. е.
A.60)
7 =
Р(«о)
Предположим, что акустический преобразователь не имеет собст-
собственных шумов и отсутствуют шумы ламп усилителей. Тогда, очевидно,
при любой, сколь угодно малой, чувствительности с помощью усили-
усилителя можно получить сигнал необходимой величины. Однако на са-
самом деле существуют шумы усилителя и самого преобразователя и
поэтому антенна должна обладать чувствительностью, достаточной
для того, чтобы на входе усилителя полезный сигнал был бы больше
приведенного уровня шумов. Таким образом, чувствительность ан-
антенны как бы является мерой помехоустойчивости по отношению к соб-
собственным шумам.
20

Все сказанное выше относилось к случаю, когда от акустического
входа антенны до ее выходных клемм нет никаких активных радио-
радиотехнических элементов и в том числе усилителей. В противном же слу-
случае бессмысленно определять чувствительность антенны по напряже-
напряжению на выходных клеммах: во-первых, оно может быть сколь угодно
большим, а во-вторых, оно уже не свидетельствует о превышении по-
полезного сигнала над уровнем собственных шумов. Поэтому, если сиг-
сигналы всех элементов суммируются после усиления их усилителями,
понятием чувствительности антенны не пользуются. В этом случае
рассматривают чувствительность группы преобразователей (состоя-
(состоящей иногда всего из одного преобразователя), сигналы от которой по-
поступают на один усилитель.
Часто вводят в рассмотрение две величины, характеризующие чув-
чувствительность: чувствительность по полю и чувст-
чувствительность по давлению. Обе они определяются по
формуле A.60), но в первом случае под р (и0) понимается давление
в плоской волне, падающей на антенну, а во втором — давление на
самой поверхности антенны. Так же как и коэффициент концентрации,
чувствительность чаще всего определяют в направлении главного мак-
максимума характеристики направленности антенны, однако иногда го-
говорят и о чувствительности в некотором заданном направлении, от-
отличном от направления основного лепестка.
Пусть по сфере большого радиуса (т. е. радиуса, большего, чем
2D2/X, где D — максимальный размер антенны) перемещается нена-
ненаправленный излучатель. Характеристикой направ-
направленности в приеме называется отношение напряжений на
выходе антенны при приходе сигнала от излучателя, расположенного
в направлении и и в некотором выбранном направлении и0. Таким
образом, характеристика направленности может быть записана так:
^ A.61)
V ; «(«о) .
Это же определение распространяется и на случай немонохроматиче-
немонохроматического сигнала, поступающего на антенну от излучателя.
Найдем выражение, описывающее характеристику направленности
дискретной антенны в режиме приема. Пусть на антенну из удаленной
точки, расположенной в направлении и, падает плоская волна. Вна-
Вначале предположим, что все преобразователи заторможены, т. е. по-
поверхности их не могут совершать колебания. Тогда силу, действую-
действующую на преобразователь с номером q, можно определить по формуле
)pa(u)dsq, A.62)
где ра (и) — давление на поверхности антенны.
На самом деле преобразователи не заторможены, т. е. и преобра-
преобразователь с номером q и остальные совершают колебательные движе-
движения. В результате этих колебаний возникает вторичное акустическое
поле, которое будет стремиться уменьшить поле падающей волны.
21

Сила, вызванная вторичным полем, может быть записана следующим
образом:
- ? м р1/ w d\ - ? «
8=1 S? 8=1
где a)g — колебательная скорость преобразователя с номером g. От-
Отнеся результирующую силу, действующую на преобразователь, к его
механическому сопротивлению, найдем колебательную скорость
§f(sq)pa(u)dsq—
!=!
f, q^TTH. A-64)
zMq zMq
Интеграл в числителе этого выражения может быть вычислен
с помощью теоремы взаимности, которая в наших символах запи-
записывается следующим образом:
J wqf (sq) Pa (и) dsq = J wpq (и) ds,
A.65)
J4
Sq
где s и w — поверхность и ко-
колебательная скорость удален-
ного ненаправленного источ-
источника плоской волны, падающей
Рис.3. К определению силы, на антенну, а ра (и) — давление,
?7X^?P^ Развиваемое им на поверхности
роиы поля. антенны (рис. 3). В формуле A.65)
pq (и) — давление, развивае-
развиваемое преобразователем на поверхности ненаправленного источника,
который можно считать малым по сравнению с длиной волны.
Поскольку на поверхности s, в силу ее малой протяженности, дав-
давление pq (и) не меняется, его можно вынести из-под интеграла в пра-
правой части выражения A.65). Обозначая производительность источ-
источника, равную { wds, символом Q, получим
s
Faq=H К) Ра (и)dsq = ^-pq (и) = Qp'q (и). A.66)
sq "
Подставляя последнее выражение в формулу A.64), имеем
QPqW \ /1 с-74
и»,= я— , ?=1, п. A.67)
w
8-1
Записав это выражение для каждого из преобразователей антенны,
можно получить систему алгебраических уравнений с неизвест-
неизвестными wq. Эта система внешне похожа на систему для определения ко-
колебательных скоростей преобразователей в режиме излучения [что
22

видно из сравнения формул A.67) и A.53)], однако в режиме приема
колебательные скорости поверхностей преобразователей зависят от
направления прихода сигнала, падающего на антенну (поскольку
р' (и) зависит от и) и поэтому решать систему алгебраических уравне-
уравнений для определения wq надо заново для каждого и.
Рассмотрим вначале случай независимости преобразователей по
полю, т. е. случай, когда выполняется неравенство A.54). Как и в ре-
режиме излучения, элементы антенны можно считать независимыми по
полю или при работе вдали от резонанса, или при сравнительно про-
протяженных элементах. При выполнении неравенства A.54) формула
A.67) принимает вид
Напряжение на выходе преобразователя пропорционально колеба-
колебательной скорости его поверхности, поэтому можно записать
и?(я) = рР;(я). A.69)
Прежде чем складывать напряжения от отдельных преобразовате-
преобразователей, введем в канал каждого элемента некоторое электротехническое
звено, которое может изменять амплитуду и фазу напряжения. Коэф-
Коэффициенты передачи отдельных каналов обозначим символом hq и ус-
условимся считать, что hx — 1.
При этом выражение, определяющее напряжение на выходе сум-
сумматора, имеет вид
<7=1
и характеристика направленности может быть записана следующим
образом:
Я(я) = *=! . A.71)
Как видно из сравнения этой формулы с выражением A.56), характе-
характеристики направленности антенны в режиме приема и излучения при
отсутствии взаимодействия между элементами антенны по полю и
при равенстве коэффициентов передачи h^ совпадают.
Пользуясь полученными соотношениями, легко найти связь между
чувствительностью всей антенны и ее элемента. Пусть и0 определяет
положение главного максимума характеристики направленности всей
антенны; предположим, кроме того, что направление главного макси-
максимума элемента с номером s совпадает с и0. Тогда, в соответствии с
A.69), напряжение на выходе этого элемента можно записать следую-
следующим образом:
«sW^P^K)- A-72)
23

Так как напряжения на выходе всей антенны и одного элемента при
падении плоской волны из точки, расположенной в направлении и0,
пропорциональны чувствительности всей артенны и одного элемента,
то из выражений A.70) и A.72) получим
2
<7=1
I V. К)
A.73)
где уа и 7э — чувствительности по полю антенны и одного ее элемента
соответственно; Кр — коэффициент усиления антенны по давлению,
a Dq (и0) — величина характеристики направленности элемента с но-
номером q в направлении и0.
В режиме приема коэффициент усиления, как видно из формулы
A.73), показывает во сколько раз чувствительность антенны больше
чувствительности ее элемента, в режиме излучения — во сколько раз
давление в направлении максимума характеристики направленности
всей антенны больше давления в направлении максимума характери-
характеристики направленности одного элемента.
Заметим, что в формуле A.73) уэ — чувствительность элемента
по полю в присутствии всех остальных элементов антенны и, кроме
того, поскольку при выводе мы пользовались условием A.54), выра-
выражение A.73) справедливо в отсутствии взаимодействия преобразова-
преобразователей.
Колебательные скорости элементов антенны при наличии взаимо-
взаимодействия по полю могут быть найдены из решения системы уравнений
A.67), которая с учетом обозначения A.44) принимает вид
Решение этой системы запишем следующим образом:
D
A.74)
A.75)
Здесь D — определитель системы, равный определителю A.46), а
Dg— определитель, отличающийся от выражения A.46) тем, что
столбец с номером g представляет собой набор величин Qp' (и). Счи-
Считая, как и раньше, что напряжение на выходе преобразователя про-
пропорционально его колебательной скорости, и учитывая коэффициент
передачи отдельного канала hg, напряжение, создаваемое элементом
с номером g, запишем так:
К (и) =
D
D Z=
S К, К
<7g
где Bqg обозначает домноженный на (— l)"+g определитель, получаю-
получающийся из определителя Dg при вычеркивании из него столбца с но-
номером g и строки с номером д. Поскольку определители Dg и Dg от-
24

личаются между собой одним столбцом с номером g, а при переходе
к адъюнктам Bqg и Bqg этот столбец вычеркивается, то Bqg = Bqg.
Поэтому напряжение на выходе сумматора описывается выражением
f S,2Vi
g=l «7=1
Поменяем местами значки суммирования g vl q:
^ 9=1 g=l
и сравним это выражение с выражением A.50), определяющим давле-
давление в режиме излучения. В первое из них входит адъюнкт Bgq, а во
второе — Bqg. Как Bgf/, так и Bqg, являются частью определителя
A.46), но для получения Bgq следует зачеркнуть столбец с номером
q и строку с номером g, а для получения B4g — наоборот — столбец
с номером g и строку с номером q. Принимая во внимание, что мат-
матрица A.46) симметрична относительно главной диагонали (поскольку
Zgq — Zqg), а определитель не меняет свой величины при замене
столбцов строками, можно записать Bgq = Bqg.
Таким образом, из сопоставления формул A.50) и A.77) следует,
что при равенстве коэффициентов передачи в режимах приема и из-
излучения характеристики направленности антенны совпадают и при
наличии взаимодействия элементов по полю.
Совершенно аналогично можно показать, что при взаимодействии
элементов коэффициент усиления по давлению [формула A.57)] в ре-
режиме приема (если только в обоих режимах hq одинаковы) равен от-
отношению чувствительности антенны и отдельного элемента [так же,
как это имеет место и в отсутствии взаимодействия — сравни формулы
A.9) и A.73)].
Сформулированные выводы относятся к параметрам антенн в даль-
дальнем поле, однако аналогичные зависимости можно было бы получить
и для случая расположения точки наблюдения в режиме излучения
и, соответственно, точки расположения ненаправленного излучателя
в режиме приема на произвольном расстоянии от антенны.
При сравнении характеристик направленности в режимах приема
и излучения мы полагали механическое сопротивление преобразо-
преобразователя одним и тем же. Однако на механическое сопротивление пре-
преобразователя, особенно при сильной электромеханической связи,
оказывает влияние и электрическая сторона эквивалентной схемы пре-
преобразователя, что может привести к отличию параметров антенн в рас-
рассматриваемых режимах. Разумеется, это отличие может быть практи-
практически существенным только при работе на резонансе и вблизи от него.
Процедура расчета параметров антенн в режимах приема и излу-
излучения существенно различна. В режиме излучения достаточно один
раз решить систему уравнений A.45), определяющую колебательные
скорости преобразователей и, зная их, можно определить все параметры
антенны, характеризующие ее направленные свойства. В режиме же
приема систему A.74) нужно решить заново для каждого направления
25

прихода сигнала, поскольку колебательная скорость элементов ан-
антенны зависит от положения излучателя.
Это обстоятельство приводит к тому, что. на практике чаще произ-
производят расчеты параметров антенн в режиме излучения; даже приемные
антенны в большинстве случаев рассчитываются как излучающие (при
расчете антенн, работающих на резонансе, вместо механического со-
сопротивления преобразователей в режиме излучения следует в формулы
подставлять zM в режиме приема).
Однако и в режиме излучения необходимость решения системы урав-
уравнений (особенно для многоэлементных антенн) делает расчет антенны
с учетом взаимодействия преобразователей по полю весьма сложным.
Поскольку влияние взаимодействия даже при работе на резонансе
часто не приводит к существенным искажениям поля антенны, прак-
практически во многих случаях им пренебрегают. Этим, возможно, объяс-
объясняется наличие сравнительно малого количества работ, посвященных
оценке влияния взаимодействия, несмотря на то, что в принципе этот
вопрос был рассмотрен сравнительно давно (см., например, [19]).
Помехоустойчивость. Помехоустойчивость — это свой-
свойство приемной антенны в силу ее пространственной избирательности
выделять полезный сигнал на фоне акустических помех. Степень вы-
выделения сигнала в присутствии помех зависит от свойств поля помех
вокруг антенны; одна и та же антенна при воздействии на нее различ-
различных полей помех может обладать различной помехоустойчивостью.
Поэтому, строго говоря, помехоустойчивость не является параметром
антенны. В связи с этим часто под помехоустойчивостью антенны по-
понимают отношение мощностей сигнала и помех на выходе антенны при
заданном конкретном поле помех. Обычно помехи являются случай-
случайными, поэтому для их описания пользуются аппаратом теории слу-
случайных процессов.
Если антенна находится в случайном стационарном поле, то и на-
напряжения uq от отдельных ее элементов на входе сумматора (т. е. по-
после введения амплитудно-фазового распределения) представляют со-
собой случайные стационарные процессы. Суммарное напряжение на
п
выходе антенны и=^н, тоже является стационарным случайным
процессом. Определим мощность этого процесса, т. е. его дисперсию
2«,
9=1
Здесь D \x] и М [х] обозначают дисперсию и математическое ожида-
ожидание процесса х; при записи последнего равенства принято во внимание,
что дисперсия стационарного процесса, записанного в экспоненциаль-
экспоненциальной форме, равна математическому ожиданию квадрата его модуля.
Следовательно,
?=i g=i " g J ?=i g=i
26

Математическое ожидание произведения одного процесса на ком-
комплексно сопряженный второй называется функцией корре-
корреляции этих процессов. В рассматриваемом случае процессы раз-
разнесены в пространстве (поскольку элементы q и g расположены в раз-
разных точках поля) и во времени (так как между каналами вводится
некоторая задержка во времени, обеспечивающая получение требуемого
фазового распределения), поэтому
называется функцией пространственно-времен-
пространственно-временной корреляции процессов uq и ие. Таким образом, мощ-
мощность на выходе антенны можно записать в виде
Это выражение справедливо для определения мощности и помех и
сигнала. Поэтому помехоустойчивость антенны %,
т. е. отношение мощности сигнала к мощности помех на ее выходе в об-
общем случае записывается так:
. Здесь Kcqg и /C"g — функции пространственно-временной корреляции
сигнала и помех на выходе элементов антенны, имеющих номера q и
g. Из формулы A.79) следует очевидный вывод о том, что если поле
сигнала и помех (а, следовательно, и корреляционные функции Kcqg
и /(?g) одинаковы, то помехоустойчивость антенны равна единице.
Во многих случаях считают, что поле сигнала в окрестности ан-
антенны не случайно, а детерминировано, тогда оказывается удобным
выражать мощность сигнала не через функции корреляции, а непо-
непосредственно через напряжения, при этом формула A.79) записывается
в следующем виде:
2j "<
<7=1
A.80)
2 2;
?=1 g=l
Выше отмечалось, что помехоустойчивость антенны зависит от ха-
характера помех, поэтому целесообразно рассматривать помехоустой-
помехоустойчивость в некоторых наиболее типичных для работы акустической
антенны полях помех. Наиболее распространенной моделью помех
является так называемое дальнее поле помех. В этой мо-
модели предполагается, что статистически независимые источники помех
равной производительности равномерно распределены на поверхности
сферы в дальнем поле антенны. Если поле помех задано, то появляется
27

возможность введения в рассмотрение некоторого параметра, опреде-
определяющего помехоустойчивость антенны и зависящего только от свойств
антенны.
Пусть в центре сферы большого радиуса г расположена приемная
антенна, максимум характеристики направленности которой ориенти-
ориентирован на источник сигнала Qc (рис. 4). Поля сигнала и помехи будем
задавать их интенсивностями /с и /п, замеренными ненаправленным
приемником, малым по сравнению с длиной волны, в центре сферы
в отсутствии антенны. Поскольку источники помехи, расположенные
на поверхности сферы, независимы, воздействия от них складываются
энергетически и мощность помех на выходе антенны может быть оп-
определена выражением Wn = 6П/П J Я3 (и) &п, где бп — некоторая
а
постоянная. Мощность же сигнала на
выходе антенны запишем в виде Wc =
= bcIcR (и0) = 6С/С, где 6С — тоже
постоянный коэффициент.
Обозначив 6 = 6с/6П, получим вы-
выражение, определяющее помехо-
помехоустойчивость антенный
в дальнем поле помех
A.81)
Это выражение справедливо для
любой антенны, в том числе и
для ненаправленного приемника,
поскольку 6 не зависит ни от вида
антенны, ни от ее характеристики направленности. Но для ненаправ-
ненаправленного приемника Wc/Wn = /с//п> a R (и) = 1, поэтому
, б б
Рис. 4. К определению помехо-
помехоустойчивости антенны в поле
дальних помех.
1>
(а)
откуда 8 = 4я
и
Is.
/п
/п
A.82)
Таким образом, отношение WJWn к /с//п равно коэффициенту кон-
концентрации антенны, введенному выше, применительно к режиму из-
излучения. Как следует из формулы A.82), коэффициент концентрации
равен отношению мощностей сигнала и помехи на выходе антенны,
если только их интенсивности в поле равны между собой.
Так же, как и в случае излучения, иногда наряду с осевым коэффи-
коэффициентом концентрации рассматривают коэффициент концентрации
в заданном направлении их и в режиме приема, что соответствует при-
28

ходу волны сигнала из удаленной точки, расположенной в направле-
направлении «1- Естественно, что формула A.40), определяющая связь между
осевым коэффициентом концентрации К. (и0) и коэффициентом кон-
концентрации в направлении Их. остается справедливой и в режиме при-
приема.
Принимая во внимание, что К = и при /с = /п, сравним между
собой выражения A.39) и A.80). Их числители пропорциональны од-
одной и той же величине, а именно — мощности сигнала на выходе ан-
антенны, а знаменатели имеют одинаковую структуру. Таким образом,
можно утверждать, что функция пространственно-временной корре-
корреляции на рходе сумматора от элементов антенны с номерами q и g
пропорциональна вносимому активному сопротивлению излучения
этих элементов, и функция пространственной корреляции с точностью
до постоянного сомножителя совпадает с активным взаимным сопро-
сопротивлением излучения.
Этот вывод в гл. 3 будет получен более строгим способом.
ГЛАВА 2
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЕЙ, СОЗДАВАЕМЫХ
АНТЕННАМИ, И ХАРАКТЕРИСТИК НАПРАВЛЕННОСТИ
§ 3. Методы, основанные на применении формулы Грина
Современная гидроакустическая антенна представляет собой весьма
сложное устройство. Обычно она состоит из большого числа преобра-
преобразователей, расположенных на какой-то поверхности с некоторыми
зазорами. Эти зазоры могут быть свободными или заполненными ка-
каким-либо материалом. Сами преобразователи могут быть плоскими,
цилиндрическими или иной, более сложной конфигурации.
Таким образом активная поверхность антенны в общем случае не
является гладкой и однородной. В связи с этим в большинстве случаев
точный расчет параметров антенн невозможен. Однако практически
абсолютно точный расчет и не требуется, поэтому при расчетах и тео-
теоретических исследованиях реальная антенна заменяется некоторой
расчетной моделью. Эта модель выбирается так, чтобы с одной стороны
она безусловно отражала основные, определяющие свойства реальной
антенны, а с другой стороны максимально упрощала бы анализ и рас-
расчеты. Естественно, что для одной и той же антенны могут рассматри-
рассматриваться несколько различных моделей, отличающихся как по сложно-
сложности расчета, так, соответственно, и по степени приближения к реаль-
реальности.
В принципе задача об излучении или приеме звука антенной сво-
сводится к необходимости совместного решения двух задач — волновой
и задачи о механических колебаниях преобразователей. Поэтому наи-
наиболее строгий метод должен состоять в совместном решении волно-
волнового уравнения, определяющего распространение звука в среде, и
уравнения колебаний преобразователя. Однако в такой постановке
29

задачу удается довести до конца только в простейших случаях. В связи
с этим обычно для описания колебаний преобразователя пользуются
упрощениями, позволяющими рассматривать преобразователь как
механическую систему с сосредоточенными параметрами. При этом, как
показывает сопоставление подобных расчетов с результатами экспери-
экспериментов, получается вполне достаточная точность. Что же касается
решения полевой задачи, то здесь также обычно делается ряд при-
приближений.
Рассмотрим вначале метод, основанный на формуле Грина, кото-
которую запишем в следующем виде [28, 35]:
дп
дп
Рис. 5. Пояснение обозначений в
формуле Грина.
B.1)
Здесь ф (г) — потенциал звукового
давления в точке наблюдения М, по-
положение которой определяется ради-
радиусом-вектором г; а (г') — плотность
источников звука в некотором объеме
V; G (г/г') — функция Грина, т. е.
функция, являющаяся решением вол-
волнового уравнения и удовлетворяющая
еще некоторым специальным требованиям; г'—радиус-вектор, оп-
определяющий положение элементарного излучателя в объеме V или
на поверхности s; п — внешняя нормаль к поверхности s (рис. 5).
Будем предполагать, что замкнутая поверхность s представляет
собой поверхность антенны, а объемные источники отсутствуют. Тогда,
учитывая связь между потенциалом, давлением и колебательной ско-
скоростью
B.2)
B.3)
_ дп ,•
из выражения B.1) получим
р {г) = _ «?? f f \?(П
4 J J
f f \
4я J J — ikpc дп
s L
G (r/r')} ds.
')}
J
B.4)
Таким образом, в соответствии с формулой B.4), для того, чтобы найти
давление, развиваемое антенной в некоторой точке пространства,
необходимо знать на поверхности антенны и распределение колеба-
колебательной скорости и распределение давления. Обычно мы не распола-
располагаем информацией сразу об обеих этих величинах. Однако в некото-
некоторых случаях путем специального выбора функции Грина задача мо-
может быть существенно упрощена.
30

Рассмотрим различные частные случаи задания граничных усло-
условий на поверхности s.
Расчетные формулы для различных граничных условий.
Пусть на поверхности антенны известно распределение колеба-
колебательной скорости w (г'). Антенна непрерывна. В этом случае следует
воспользоваться такой функцией Грина (функцией Грина задачи Ней-
Неймана), чтобы ее производная по нормали к антенне на поверхности
антенны обращалась бы в нуль, т. е. чтобы выполнялось условие
= 0. B.5)
дп
Подставляя это выражение в формулу Грина, записанную в виде урав-
уравнения B.4), получим
^ B.6)
Теперь под знаком интеграла находится только заданная функция
распределения колебательной скорости и, если известна функция
Грина (Зж (г/г'), поле в точке наблюдения определяется с помощью
интегрирования по поверхности антенны.
Аналогичным же образом может быть решена задача об излучении
дискретной антенны, если в зазорах между ее элементами находится
акустически жесткий экран или же зазоры вообще отсутствуют. Бу-
Будем считать, что все преобразователи одинаковы и одинаковы их моды
колебаний / (rq) (или распределения колебательных скоростей их по-
поверхностей). Тогда колебательная скорость точек поверхности преоб-
преобразователя с номером q есть wqf (rq), где wq — колебательная ско-
скорость точки приведения преобразователя; по формуле B.5), учиты-
, вая, что в зазорах между преобразователями колебательная скорость
равна нулю (или зазоры вообще отсутствуют), получим
{^P? B.7)
Здесь sq — активная поверхность преобразователя с номером 17; rq —
радиус-вектор точки, принадлежащей sq.
Предположим, что все преобразователи, кроме имеющего номер g,
заторможены, т. е. что колебательная скорость их поверхностей равна
нулю. При этом wq равно нулю, если только q Ф g и давление, созда-
создаваемое колебаниями одного преобразователя, в соответствии с форму-
формулой B.7) имеет вид
B.8)
откуда, возвращаясь к выражению B.7), имеем
Р(г) = 2 РчИ =aI"i2 АяРяИ- B-9)
fl=l q=i
31

Таким образом, ничего принципиально нового, по сравнению с из-
изложенным выше (см. § 1), в рассматриваемом случае мы не получили;
формулы B.8) и B.9) свидетельствуют о том, что давление в среде
равно сумме давлений, развиваемых каждым из элементом антенны
в предположении, что остальные заторможены. Единственное отличие
заключается в установлении связи между pg(r), или в обозначениях
§ 1, pg(tt) с функцией Грина бж(г/гй). Рассмотрим теперь случай,
когда на поверхности антенны известно распределение давления.
Вначале будем считать, что антенна непрерывна. Воспользуемся функ-
функцией Грина задачи Дирихле, т. е. функцией Грина, обращающейся
в нуль на поверхности антенны:
GM (Wr') 1 = 0. B.10)
Подставляя GM(r/r') в формулу B.4), получим
Совершенно аналогично может быть найдено решение в случае дискрет-
дискретной антенны, на поверхности элементов которой задано распределение
давления p^fi (r?), а в зазорах между элементами помещен акустиче-
акустически мягкий экран или зазоры отсутствуют
Из этого выражения, полагая все pq, кроме pq = pg, равными нулю,
можно получить давление, развиваемое в среде одним преобразовате-
преобразователем, в случае, когда давление на поверхности остальных преобразо-
преобразователей равно нулю
g
и связь между pg (г) и р (г) в виде
2P?(r). B.14)
Отсюда следует, что если на поверхности антенны задано давле-
давление, то давление в окружающей среде равно сумме давлений, разви-
развиваемых отдельными преобразователями, каждое из которых опреде-
определено в предположении, что давление на поверхностях остальных эле-
элементов равно нулю.
Таким образом, если на поверхности антенны известно распреде-
распределение давления или колебательной скорости, а в зазорах помещен
соответственно акустически абсолютно мягкий или абсолютно жест-
жесткий экран или зазоры вообще отсутствуют, то задача определения
поля, создаваемого антенной, сводится к нахождению функций Грина
и последующему интегрированию на поверхности антенны. Однако
32

практически более естественно считать, что ни давление, ни колеба-
колебательная скорость на поверхности антенны нам не известны, а известны
параметры механической системы преобразователей антенны и напря-
напряжения, подводимые к ним.
Рассмотрим случай, когда заданы напряжения. Будем предпола-
предполагать, что антенна непрерывна и ее поверхность обладает локальным
импедансом, т. е. что соседние малые по сравнению с длиной волны
участки поверхности (представляющие собой активные поверхности
элементарных преобразователей) механически не связаны между со-
собой.
В соответствии с формулой A.42) можно записать связь между ко-
колебательной скоростью отдельного малого преобразователя и давле-
давлением на его поверхности следующим образом:
где F (г') — электромеханическая сила, равная произведению напря-
напряжения и (г') на коэффициент трансформации m; As — площадь актив-
активной поверхности преобразователя.
Поскольку преобразователь очень мал, давление на его поверх-
поверхности можно считать постоянным, и силу, действующую на преобра-
преобразователь со стороны среды, можно определить, как это и сделано при
записи формулы B.15), умножая площадь на давление. Отнеся элек-
электромеханическую силу и механическое сопротивление преобразова-
преобразователя к площади его поверхности, получим
w{n=F'(r')-P(r')f B16)
где
и z'=
м
F(r) и z.
V ' As ¦ м As
Подставляя формулу B.16) в выражение B.4) и воспользовавшись
функцией Грина 6Ж (г/г'), имеем
Р (г) = —^ JJ [/=" (г')^-р (г')] 0ж (г/г') ds. B.17)
4ягм s
Мы нашли связь между давлением на поверхности антенны и дав-
давлением в поле. Для определения же давления, развиваемого антенной
в окружающей среде, можно поступить следующим образом. Совме-
Совместим точку наблюдения М с поверхностью антенны. Тогда выражение
B.17) превратится в интегральное уравнение, поскольку и слева и под
знаком интеграла будет стоять одна и та же функция р (г1). Решим это
интегральное уравнение каким-нибудь способом, найдем распределе-
распределение давления по поверхности антенны р (г'). А зная его, по формуле
B.17) можно определить и давление в окружающей антенну среде.
Таким образом, в рассматриваемом случае процедура определения
давления с помощью функции Грина Gm (r/r') весьма сложна.
33

Выбором функции Грина другого вида, а именно такого, при ко-
котором выполняется условие
= 0, B.18)
дп
можно исключить операцию решения интегрального уравнения (функ-
(функция Gm (rlr') называется функцией Грина решения смешанной гранич-
граничной задачи). Действительно, выражая отсюда производную от функ-
функции GH (rlr') по нормали к поверхности антенны и подставляя ее в фор-
формулу B.4), получим
Принимая во внимание выражение B.16), а также учитывая, что
F' (r')/z'M равно колебательной скорости элементарного преобразова-
преобразователя при отсутствии реакции среды, т. е. в вакууме (wB), запишем по-
последнее выражение в следующем виде:
^^wB(r')GArlr)ds. B.19)
Находя из формулы B.18) не производную, а саму функцию Грина и
подставляя ее в формулу B.4), после некоторых простых преобразо-
преобразований получим другое выражение для определения поля антенны
м*^1*- B-20)
Поскольку колебательную скорость поверхности элемента в ва-
вакууме легко выразить через подводимое к элементарному преобразова-
преобразователю напряжение как wB (г') = ; т , то с помощью любой из фор-
мул B.19) или B.20) можно определить поле излучения антенны, ми-
минуя необходимость решения интегрального уравнения, получающе-
получающегося из выражения B.17).
Рассмотрим теперь случай дискретной антенны с акустически жест-
жесткими зазорами между преобразователями, считая известными напря-
напряжения, подводимые к преобразователям. Воспользуемся функцией
Грина решения задачи Неймана, определяемой соотношением B.5),
и снова получим выражение B.7), в котором теперь колебательные
скорости преобразователей (точнее их точек приведения wq) нам не-
неизвестны. Выразим колебательную скорость wq через силы, действую-
действующие на преобразователь и его механическое сопротивление
щ = _ , B 21)
34

и найдем силу реакции среды на преобразователь с помощью формулы
B.7)
tff(
= —?? u>gtff(rq)tff(rg)Gx(relrg)dSgdsq. B.22)
При записи формулы B.21) мы учли, что в случае, когда преобразо-
преобразователь совершает колебания, соответствующие какой-то моде, эквива-
эквивалентная сила, действующая на него со стороны среды, равна интегралу
от произведения функции / (rq) на давление, а при записи формулы
B.22) в выражении B.7) сменили индексы суммирования q на g.
Найдем выражение, определяющее взаимное сопротивление излу-
излучения преобразователей через функцию Грина, для чего подставим
в формулу A.17) равенство B.8):
B.23)
Тогда выражение B.21) запишется аналогично выражению A.43):
п
Fя - 2 а>егея
w0 = == . B.24)
4 гм
Переписывая это уравнение п раз и изменяя при этом q от 1 до п. по-
получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных
wq. Подставляя решение системы в формулу B.7), найдем давление,
развиваемое антенной.
Так решается задача об излучении дискретной антенны с жесткими
зазорами между элементами или с элементами, расположенными на
поверхности антенны вплотную без зазоров, если заданы напряжения,
подводимые к элементам антенны, или электромеханические силы,
действующие на них, в предположении, что распределения колебатель-
колебательной скорости на их поверхностях постоянны. Это решение, по-су-
ществу, эквивалентно приведенному выше в § 1 и отличается от него
только тем, что давления, развиваемые преобразователями, выражены
через функцию Грина Gx(rglrq).
Совершенно аналогично можно рассмотреть случай, когда преоб-
преобразователи совершают колебания, состоящие из произвольного (в об-
общем случае бесконечного) набора нормальных мод. Если предполо-
предположить, что колебательные скорости поверхностей преобразователей
оо
wq = 2 wrqfr (rq) нам известны, то для определения давления с по-
мощью формулы Грина можно получить выражение, аналогичное
формуле B.7):
g=lsg
Р <г>—1? ? Я ? "rJr (rg) Gx {r/re) dsg. B.25)
4Я l l
35

Для определения эквивалентной силы, соответствующей моде с но-
номером г', это выражение надо умножить на f'r (rq) и проинтегрировать
по поверхности преобразователя с номером q. Выражая колебатель-
колебательную скорость преобразователя с номером ^для моды г' как отношение
разности сил, возбуждающих колебания моды /•', к механическому
сопротивлению, соответствующему этой же моде колебаний (zMr<),
получим
w = fc* , B.26}
4 *ыг'
где
Vv - —?- JJ/> W JJ/r W °ж (V«) ЛА <2-27>
S 8„
— взаимное сопротивление излучения преобразователя с номером g,
совершающего колебания, соответствующие моде г, и преобразова-
преобразователя с номером q, колебания которого соответствуют моде г'. Прида-
Придавая различные значения индексам г' и q в выражении B.26), получим
систему алгебраических уравнений. Решив эту систему и подставив
решение в формулу B.25), найдем поле, создаваемое антенной.
Вообще говоря, в большинстве случаев механическая система пре-
преобразователей допускает появление колебаний с различными модами,
поэтому рассмотренный случай является наиболее общим. Однако
обычно, механические сопротивления преобразователей, соответст-
соответствующие различным модам при работе на какой-то фиксированной ча-
частоте, резко отличаются друг от друга по величине и наименьшую ве-
величину имеет сопротивление, соответствующее ближайшей моде. При
этом колебательные скорости для мод, имеющих резонанс на частотах,
далеких от рабочей частоты, малы и эффект практически определяется
колебаниями с одной единственной модой. Поэтому при расчетах очень
часто ограничиваются анализом излучения, соответствующего коле-
колебаниям с одной модой.
Рассматривая излучение непрерывной антенны, мы убедились, что
решение задачи с помощью функции Грина Gx (rlr') приводит к необ-
необходимости нахождения решения интегрального уравнения B.17), в то
время как использование функции Грина GK (rlr') позволяет избежать
этой трудности и выразить поле непосредственно через интеграл по по-
поверхности антенны [выражения B.19) и B.20)]. Можно предполагать,
что и в случае дискретной антенны использование вместо GK(rlr)
функции GK (rlr') облегчит решение задачи. Однако строить расчетную
схему с помощью функции GH (rlr') можно только введя два ограни-
ограничения.
Первое из них не является новым по сравнению с только что рас-
рассмотренным случаем и заключается в том, что зазоры между элемен-
элементами антенны должны либо отсутствовать, либо иметь механическое
сопротивление, такое же, как и сами акустические элементы. Второе
ограничение более существенно. Оно сводится к тому, что каждая
точка поверхности преобразователя может самостоятельно, незави-
36

симо от соседних, или, как говорят, локально реагировать на воз-
воздействие со стороны поля, т. е. колебательная скорость поверхности
антенны может непрерывно меняться от точки к точке. Естественно,
что, поскольку для дискретных антенн, состоящих из отдельных эле-
элементов, обладающих механической колебательной системой, колеба-
колебания отдельных точек поверхности элементов не являются независи-
независимыми, это ограничение позволяет рассматривать только антенны, со-
состоящие из малых по сравнению с длиной волны преобразователей.
Несмотря на указанные ограничения, этот метод находит применение
при расчете антенн в связи с большим его преимуществом, заключаю-
заключающимся в отсутствии необходимости решения системы алгебраических
уравнений.
Рассуждая совершенно аналогично тому, как это делалось при оп-
определении поля, создаваемого непрерывной антенной, для нашего
случая получим
ИЛИ
где wBQ — колебательная скорость <7-го элемента в вакууме; wBq =
= и т/г'ы (uq — напряжение, подводимое к этому элементу); z'M —
механическое сопротивление элемента, отнесенное к площади его ак-
активной поверхности.
Мы рассмотрели три случая решения задачи об излучении антенны
с помощью формулы Грина. В первом из них мы предполагали, что
известна колебательная скорость на поверхности антенны, во вто-
втором — давление, в третьем случае считалось заданным распреде-
распределение напряжений, подводимых к преобразователям антенны.
Не вызывает сомнений, что третий случай является самым распро-
распространенным в антенной технике. Однако в то же время он является
и самым сложным для анализа. В связи с этим возникает вопрос о вы-
выяснении условий, при выполнении которых можно считать, что нам
известно распределение колебательных скоростей или давлений.
Соображения об использовании полученных соотношений. Вер-
Вернемся к выражению B.24). В соответствии с формулами A.14), A.15)
и A.17) мощность, излучаемая элементом с номером q, определяется
соотношением
.поэтому полное сопротивление излучения элемента zq равно
KI2
37

и выражение B.24) можно записать в виде
... * q WnZq in qo\
Wq — — (Z.6Z)
м
Это соотношение, выражая из него wq, можно представить следующим
образом:
и>е = ~~-- B-33)
В случае работы преобразователя вдали от резонанса его механическое
сопротивление значительно больше сопротивления излучения, и поэ-
поэтому
ю, = -^. B.34)
м
Таким образом, при работе вдали от резонанса колебательная ско-
скорость не зависит от реакции поля и можно считать wq известной ве-
величиной. Наоборот, при работе на резонансе, если только активные
потери в преобразователе малы, а механико-акустический к. п. д. со-
соответственно близок к единице, справедливо неравенство zM <^ zq и
w = f 2 35^
гд
Произведение wqzq определяет силу, действующую на преобразова-
преобразователь со стороны поля [это видно, например, из выражения B.32)],
и если преобразователь мал по сравнению с длиной волны, то можно
полагать, что wqzq = p (rq) Asq. Таким образом, давление на поверх-
поверхности антенны
р (г )=-!«-, B.36)
As?
и, следовательно, при работена резонансе можно считать, что на по-
поверхности антенны известно распределение давлений.
Здесь следует, однако, сделать одно существенное замечание. Если
для случая работы вдали от резонанса всегда можно считать колеба-
колебательную скорость известной, то в случае работы на резонансе можно
считать известным давление только при выполнении двух условий.
Эти условия заключаются в предположении малости активных потерь
в преобразователе и малости размеров активной поверхности преоб-
преобразователя по сравнению с длиной волны.
Кроме того, задавая распределение давления на излучающей по-
поверхности, следует корректно формулировать граничное условие и не
допускать разрыва функции р (г), который возможен только при бес-
бесконечной величине колебательной скорости.
Выше мы рассмотрели применение формулы Грина для решения
задачи об излучении антенны. Аналогичные расчетные выражения
можно получить с помощью формулы Грина и для режима приема.
Для этого следует положить плотность источников [см. формулу
B.1)] а(г) — — б (г — г0), где Q — производительность источника
38

сигнала, б (г — г0) — дельта-функция Дирака, отличная от нуля
только в точке расположения источника г = г0, и далее рассматри'
вать отдельные частные случаи, помещая точку наблюдения на поверх-
поверхность антенны s. В режиме приема можно предполагать, что поверх-
поверхность антенны акустически жесткая, абсолютно податливая, обладает
локальным механическим сопротивлением или состоит из дискретных
преобразователей, zM которых известно. В первых трех случаях по-
получаются выражения, аналогичные приведенным выше для режима
излучения, если на поверхности антенны задана колебательная ско-
скорость, давление или распределение электромеханической силы. В по-
последнем случае получается система уравнений, определяющая коле-
колебательные скорости преобразователей и совпадающая с системой
A.74). Как уже отмечалось выше, в режиме приема колебательные
скорости зависят от направления прихода волны и поэтому .систему
уравнений нужно решать заново для каждого положения точки, в ко-
которой расположен излучатель. Практически можно этого не делать,
поскольку характеристики направленности антенны в приеме и из-
излучении совпадают (при равенстве механических сопротивлений пре-
преобразователей).
Следует заметить, что рассмотренные выше частные случаи далеко
не охватывают всех возможных разновидностей задания граничных
условий на поверхности антенны. Приведенные формулы справедливы
только при однородных граничных условиях, так как если на поверх-
поверхности преобразователей мы задавали колебательную скорость, то по-
полагали зазоры акустически жесткими, если на поверхности преобра-
преобразователей считали известным давление, то в зазорах давление прирав-
приравнивали к нулю (что эквивалентно заполнению зазоров мягким
материалом). Практически не менее интересны случаи неоднородных
граничных условий (например, заданы колебательные скорости преобра-
преобразователей, а в зазорах расположен акустически мягкий материал).
Однако задачи с неоднородными условиями на границе решаются
значительно сложнее и на них мы останавливаться не будем. Укажем
только, что с некоторыми методами решения таких задач можно озна-
ознакомиться в работах [22] и [71].
Сама по себе формула Грина не позволяет решить задачу об излу-
излучении или приеме звука полностью и до конца. Но с ее помощью
удается произвести анализ основных явлений, связанных с излуче-
излучением и приемом звука антенной, и свести одну крупную задачу к не-
нескольким более мелким. Часть этих мелких задач мы рассмотрели или
хотя бы упомянули (решение интегральных уравнений, систем алге-
алгебраических уравнений и т. д.), но одна из них осталась пока за преде-
пределами нашего внимания. Это задача об отыскании функции Грина.
Действительно, из анализа приведенных формул видно, что для нахож-
нахождения параметров антенны в режиме приема или излучения необхо-
необходимо знание функций Грина, причем различных функций, в зависимо-
зависимости от того, какие допущения могут быть сделаны в том или ином слу-
случае. Иными словами, необходимо знать поле, создаваемое точечным
источником, находящимся на жесткой, импедансной или податливой
поверхности антенны.
39

В практике наиболее широкое применение находят функции Грина
задачи Неймана. Это обстоятельство объясняется особенностями пре-
преобразователей, обычно применяемых в гидроакустике. Преобразова-
Преобразователи, обладающие механической системой, колеблются так, что коле-
колебательная скорость на активной поверхности представляет собой
сумму некоторого (обычно небольшого) числа мод с различными ко-
коэффициентами, причем реакция среды способна изменять соотношение
между модами, но не вид мод. Таким образом, если мы, приступая
к решению задачи, не знаем реального распределения колебательной
скорости по поверхности преобразователя или соотношения между
амплитудами колебаний для различных мод, то вид самих мод можем
предсказать заранее, а это и определяет целесообразность использо-
использования для анализа функций Сж(г1г').
Можно представить себе излучатель и совершенно иного типа.
Если, например, излучение происходит из отверстий в мягком экране,
то заранее известны моды давления в отверстиях и поэтому в этом слу-
случае может оказаться, что задачу об излучении удобнее решать с по-
помощью функций Грина граничной задачи Дирихле.
Заметим, что для определения поля, создаваемого антенной, как
видно из приведенных выше формул, достаточно знать не саму функ-
функцию Грина, а интеграл от произведения ее на форму колебания
преобразователя, т. е., по-существу, поле, создаваемое отдельным
преобразователем антенны. В связи с этим в дальнейшем мы будем
пользоваться не функциями Грина, а непосредственно выражениями,
определяющими давление, развиваемое преобразователями антенны
во внешней среде.
§ 4. Модельные представления антенн и некоторые общие
соотношения
Рассмотрим различные расчетные модели антенн и методы опреде-
определения полей, ими создаваемых.
Плоская антенна в бесконечном экране. Наиболее распространен-
распространенный метод расчета плоских антенн основан на принципе Гюйгенса.
Если имеется бесконечная плоскость, на части которой задано рас-
распределение колебательной скорости w (s), а остальные участки плос-
плоскости являются абсолютно жесткими, то давление во внешнем полу-
полупространстве определяется формулой
шE)^' B-37)
где г' — расстояние от точки излучения до точки наблюдения.
В соответствии с этой формулой элементарный источник в жестком
экране излучает в полупространство ненаправленно, или, что то же
самое, имеет характеристику направленности в виде полусферы. Ре-
Реальные антенны не заключаются в бесконечные экраны, поэтому важно
представлять себе, в каких случаях для расчета конечных антенн можно
пользоваться формулой B.37). Если антенна велика по сравнению
40

с длиной волны, то основная масса элементарных излучателей распо-
располагается на большом относительном расстоянии от ее краев и их ха-
характеристики направленности приближаются к полусфере. Характе-
Характеристики направленности элементов на краю антенны очевидно не бу-
будут иметь вид полусферы, поскольку часть излучаемой энергии будет
распространяться в тыльное относительно активной поверхности ан-
антенны полупространство. Чем больше относительные размеры антенны,
тем большее число элементарных излучателей имеют характеристики
направленности в виде полусферы и тем точнее результат расчета по
формуле B.37).
Обычно считают, что если размеры плоской антенны составляют
2—3 и более длин волн, то отличия в ее параметрах при работе в сво-
свободном поле и в бесконечном экране практически несущественны.
Исследование же излучения поршня без экрана представляет со-
собой весьма сложную задачу, решенную впервые Л. Я- Гутиным [13].
В этой работе или книге С. Н. Ржевкина [30], где приведены некото-
некоторые результаты, полученные Л. Я- Гутиным, можно найти более под-
подробные сведения и некоторые количественные соотношения.
Задача об излучении антенны в мягком плоском бесконечном эк-
экране решается сравнительно легко,только если на поверхности антенны
задано распределение давления. В этом случае в соответствии со вто-
второй формулировкой принципа Гюйгенса
B.38)
В этой формуле 9 — угол между нормалью к плоскости и направле-
направлением на точку наблюдения. Наличие сомножителя cos0 свидетельст-
свидетельствует о том, что даже малый по сравнению с длиной волны излучатель,
помещенный в мягкий плоский бесконечный экран, обладает направ-
направленностью и излучаемая им энергия не распространяется вдоль мяг-
мягкой поверхности экрана.
Прозрачная непрерывная антенна. Акустически прозрачные ли-
линейные, а тем более поверхностные акустические антенны весьма редко
встречаются на практике. Однако анализ их свойств в ряде случаев
позволяет получить интересные результаты, которые с некоторыми
ограничениями могут быть распространены на реальные антенны.
Линейную непрерывную прозрачную антенну мы будем представ-
представлять в виде тонкой пульсирующей проволоки радиуса г0, каждый эле-
элемент длины которой dl излучает как ненаправленный источник. По-
Поверхность излучения элемента длины равна 2nr0dl и производитель-
производительность источника связана с его линейной скоростью соотношением
Q == 2nruw (I) dl. Давление, развиваемое элементом длины dl, можно
найти по формуле, справедливой для ненаправленного источника; оно
равно
dp = ik9c® eikr' = — ikPc2nr°w № eikr> dl,
4nr' Anr'
41

и давление, создаваемое всей антенной, определяется выражением
(l)^dL B.39)
В качестве модели прозрачной поверхностной антенны мы будем
рассматривать некоторую пульсирующую звукопрозрачную пластину,
толщина которой значительно меньше длины волны. Если линейная
колебательная скорость на одной стороне этой пластины w (s), то
Q = 2ш (s) ds и давление, создаваемое антенной,
(s)^ds. B.40)
Поверхностная непрозрачная антенна. Вначале рассмотрим выра-
выражение для определения давления, создаваемого непрерывной антен-
антенной в приближении Кирхгофа.
Если в формулу Грина B.4) в качестве функции Грина подставить
ее выражение для свободного поля и предположить, что на поверхно-
поверхности излучающей антенны давление и колебательная скорость связаны
между собой также, как и в плоской волне, то после несложных пре-
преобразований можно получить выражение
ikpc Г Г 1 + cos 9 , . elkr' ,
~~17jJ -^r-w{s) — ds
где 9 — угол между нормалью к поверхности антенны в точке внутри
ds и направлением на точку наблюдения.
Из сравнения этой формулы с формулой B.40) видно, что физический
смысл приближения Кирхгофа заключается в том, что каждый элемент
площади непрозрачной поверхностной антенны обладает направленно-
направленностью в соответствии с выражением— A + cos0). Этот сомножитель в
формуле B.41) очевидно приближенно учитывает дифракцию волны, из-
излучаемой малым элементарным источником, вызванную наличием аку-
акустически непрозрачной поверхности антенны. Ясно, что учет этот
весьма приближенный, поскольку направленность элемента оказы-
оказывается не зависящей ни от формы, ни от волновых размеров антенны.
На самом деле характеристика направленности малого элемента, на-
находящегося, например, на поверхности акустически жесткого ци-
цилиндра, действительно несколько напоминает по виду кардиоиду
[функцию —A + cos0)]. Однако она изменяется при изменении вол-
волновых размеров цилиндра. Для очень малых цилиндров она менее
направленна, чем функция — A + cos0), для больших — прибли-
жается к полусфере, т. е. имеет примерно одинаковые значения в пе-
переднем полупространстве и очень маленькие в тыльном.
42

Если волновые размеры антенны очень велики, то для анализа
направленности элемента ее площади можно воспользоваться пред-
представлениями лучевой акустики, в соответствии с которыми источник
излучает лучи, распространяющиеся прямолинейно. При этом источ-
источник на гладкой без изломов поверхности антенны «освещает» полупро-
полупространство, следовательно, характеристика направленности его имеет
вид полусферы, опирающейся на плоскость, касательную к поверх-
поверхности антенны в точке расположения источника. Записывая давление,
развиваемое всей антенной, можно учесть такую характеристику на-
направленности отдельного элемента изменением пределов интегриро-
интегрирования в соответствии с изменением направления на точку наблюдения
ф)~-Ж, B.42)
где s' — та часть поверхности антенны, которая видна из точки на-
наблюдения.
Несмотря на то, что формула B.42) учитывает дифракцию весьма
примитивно, при больших относительных размерах антенн, она обес-
обеспечивает точность расчета не худшую, чем формула B.41). Поскольку
к тому же формула B.42) несколько проще, она часто используется
при практических расчетах.
Наиболее точными методами расчета поверхностных антенн яв-
являются методы, учитывающие дифракцию на поверхности антенны,
и, в частности, метод собственных функций, широко применяющийся
при решении различных задач математической физики. Сущность этого
метода состоит в том, что решение волнового уравнения ищется в виде
суммы произведения некоторых функций, каждая из которых зависит
от одной координаты. При этом в ряде случаев волновое уравнение
разделяется на несколько дифференциальных уравнений, в каждое
из которых входит только одна координата, что существенно облегчает
их решение. Метод собственных функций имеет два существенных не-
недостатка. Первый из них заключается в том, что он может быть при-
применен только для определенных конфигураций активной поверхно-
поверхности антенн, совпадающих с координатной поверхностью одной из
одиннадцати систем координат, позволяющих производить разделе-
разделение переменных волнового уравнения. Практически этим методом ре-
решаются задачи об излучении цилиндра, сферы и некоторых плоских
излучателей, не заключенных в бесконечный экран. Вторым недо-
недостатком метода собственных функций является то, что решение задачи
представляется бесконечным одинарным или двойным рядом по собст-
собственным функциям данной задачи, что, с одной стороны, вызывает
иногда чисто вычислительные трудности даже при использовании сов-
современной вычислительной техники, а с другой стороны, не позволяет
производить качественный анализ и оценку результата.
В связи с этим в последние годы развиваются различные прибли-
приближенные методы расчета антенн и, в частности, с привлечением высоко-
высокочастотной асимптотики функций Грина [15].
43

Вычисление разности хода лучей. Для определения давления, соз-
создаваемого дискретной антенной в некоторой находящейся в дальней
зоне точке, в соответствии с формулой (КЗ^необходимо сложить дав-
давления рд (в), развиваемые в этой точке отдельными элементами. Про-
Процедура сложения может быть несколько различной в зависимости
от того, от какой точки отсчитывается расстояние в выражении для
pq (и). В большинстве случаев эта точка связана с отдельным эле-
элементом антенны, например, с его центром. Однако если pq (и) полу-
получено, например, в результате решения точной задачи об излучении
полос на жестком цилиндре или поршней на жесткой сфере, то начало
отсчета расстояний до точки наблюдения для всех элементов антенны
может быть общим и находится
в центре сферы или цилиндра.
В тех случаях, когда точка,
от которой отсчитывается рас-
расстояние, связана с элементом
антенны, перед сложением дав-
давлений pq (и) следует перейти
к отсчету расстояний от общего
для всей антенны начала коорди-
координат. Покажем как это делается
на примере простейшей дискрет-
дискретной антенны, состоящей из нена-
ненаправленных элементов. Будем
считать элементы антенны про-
прозрачными, т. е. настолько ма-
малыми, что они не искажают зву-
Рис. 6. К определению разности хода
лучей от отдельных элементов антенны
до точки наблюдения.
ковое поле. Пусть центры
ненаправленных элементов рас-
расположены в точках, определяе-
определяемых радиусами-векторами рд (рис. 6). Давление, создаваемое ненаправ-
ненаправленным элементом с номером q определяется известным выражением
^_г*
B.43)
где s0 — площадь элемента, a rq — расстояние от центра элемента
до точки наблюдения. Проведем от начала координат О и от центра
элемента антенны с номером q в произвольном направлении, опреде-
определяемом единичным радиусом-вектором и, параллельные (поскольку
точка наблюдения расположена очень далеко) лучи и найдем связь
между г0 и rq Из рис. 6 видно, что rq = г0 — Агд, где &rq равно про-
произведению модуля pq на косинус угла fiq между и и pq. Так как вели-
величина радиуса-вектора и равна единице, Arq можно выразить через
скалярное произведение векторов; действительно, &rq = pqu =
= |p?|-|«|cosp? = |p?|cosp?.
Складывая теперь в соответствии с формулой A.7) давления в
точке наблюдения от отдельных элементов антенны, пренебрегая при
44

этом разностью хода лучей Ьтч в амплитудном сомножителе и заменяя
г0 на г, получаем
Совершенно аналогичные рассуждения могут быть применены и
для определения разности хода лучей от отдельных участков непре-
непрерывных линейных или поверхностных антенн до точки наблюдения.
Если положение текущей точки на поверхности антенны определяется
радиусом-вектором р, то расстояние от нее (г') и от начала координат
(г) до точки наблюдения, находящейся в дальнем поле в направлении
в, связаны соотношением г' = г — рв.
Поэтому давления, развиваемые линейной и поверхностной про-
прозрачными антеннами в дальнем поле, в соответствии с формулами
B.39) и B.40) можно записать следующим образом:
(l)e-lkpudl, B.45)
p(U) = - ^^ elkr J f A (s)e-lkpu ds, B.46)
где w0A (I) = w (l) и w0A (s) = w (s).
Во всех предыдущих формулах, в которые входят величины pq (в),
предполагалось, что они записаны относительно общей для всей ан-
антенны точки, т. е. что расстояние г отсчитывается от общего начала
координат. Рассмотрим теперь случай, когда расстояние г в выраже-
выражении pq (в) отсчитывается от точки, положение которой в системе ко-
координат, общей для всех элементов, определяется радиусом-вектором
pq. Воспользовавшись снова рис. 6, заметим, что разность хода лучей
от элемента с номером q и от начала координат, в которое мысленно
можно поместить излучатель, равна р^в. Поэтому между pq (в) и pq (в)
существует связь
pq(u) = pq(u)e-ikpou. B.47)
Воспользовавшись этим соотношением, формулу A.7) можно за-
записать следующим образом:
a»I2 V;(B)<r'*<V. B.48)
Р=2
Компенсация антенны в заданном направлении. Амплитудно-фа-
Амплитудно-фазовые распределения на поверхности непрерывной антенны А (I) или
A (s), а также коэффициенты возбуждения дискретной антенны Ад
могут иметь любой вид. Одним из часто используемых практически
является распределение, обеспечивающее синфазное сложение давлений
от отдельных элементов (или участков) антенны в некотором направ-
направлении в пространстве. Обычно это направление совпадает с направ-
направлением главного максимума характеристики направленности.
45

Из формулы A.7) видно, что для обеспечения компенсации дискрет-
дискретной антенны в направлении в0 аргумент коэффициента возбуждения
aq следует выбрать равным по абсолютной^величине и противополож-
противоположным по знаку аргументу p'q (и0), т. е. положить ад — — arg[p' l
При этом р (и) записывается следующим образом:
и в направлении и = и0
9=1
Слагаемые этой суммы вещественны, что свидетельствует о синфаз»
ности колебаний, приходящих от отдельных элементов в точку наблю-
наблюдения (разумеется, если только все aq > 0).
В случае, когда при Aq, A (/) или A (s), равных единице, разности
фаз колебаний от отдельных элементов в удаленной точке опреде-
определяются только разностью хода лучей [как это имеет место в формулах
B.44), B.45), B.46)], для компенсации антенны в направлении «0 сле-
следует положить aq = kpqu0, а (/) = kpu0 и a (s) = kpu0.
При этом формулы, определяющие давления и характеристики
направленности прозрачных антенн дискретной (состоящей из нена-
ненаправленных элементов), линейной и поверхностной, примут вид
, . ikpCSpWj ikr ^ -СкРд ("""о) ,9 4Qv
р («) = е 2] aqe '• B.4У)
2
D (и) = ?=! , B.50)
р (и) = _ '^^ е*' J а (I) е~1Ша-^ dl, B.51)
dl
D (и) =-i , B.52)
J(/)tf
е Uais)e dst B.53)
2nr s
B.54)

Применяя эти формулы для расчета параметров антенн различных
конфигураций, в каждом конкретном случае необходимо находить ска-
скалярные произведения ри и ри0. Удобнее всего это делать с помощью
формулы
+ + B.55)
определяющей ри как сумму произведений одноименных проекций
векторов р и и на оси координат.
Фазовый центр антенны. Характеристики направленности неко-
некоторых антенн (например, антенны в виде отрезка прямой, см. § 11),
отличаются одним интересным свойством. Это свойство заключается
в том, что при некотором положении начала отсчета расстояния г (т. е.
начала координат) аргумент характеристики направленности либо
вообще не зависит от направления в пространстве и, либо (что встре-
встречается значительно чаще) при плавном изменении положения точки
наблюдения в пространстве представляет собой разрывную функцию
ее координат, принимающую только два значения, отличающиеся друг
от друга на п. В таких случаях говорят, что антенна имеет фазовый
центр, совпадающий с началом координат.
Окружим мысленно антенну сферой большого радиуса с центром,
совпадающим с фазовым центром. Поскольку характеристика направ-
направленности пропорциональна давлению, развиваемому антенной в даль-
дальнем поле, фазы давлений во всех точках этой сферы будут либо оди-
одинаковы, либо отличаться на л.
Если антенну, имеющую фазовый центр, окружить сферой боль-
большого радиуса, центр которой не совпадает с фазовым центром, то фазы
давлений на отдельных участках поверхности сферы будут изменяться
плавно, а между этими участками будет наблюдаться перепад фазы
на п.
Поясним сказанное примером. Пусть в начале координат помещен
ненаправленный излучатель. Фазовый фронт волны, излучаемой им,
совпадает с поверхностью сферы большого радиуса только в том слу-
случае, если центр сферы размещен в начале координат. Если же центр
сферы не совпадает с началом координат, т. е. с фазовым центром излу-
излучателя, то фаза давления на поверхности сферы не будет постоянной.
Таким образом, если антенна и имеет фазовый центр, но отсчет
расстояний в формулах, описывающих давление, развиваемое антен-
антенной в дальнем поле, или ее характеристику направленности, произво-
производится не от фазового центра, а от какой-то другой точки, принятой за
начало координат, то фазовый множитель этих формул может меняться
плавно при плавном изменении положения точки наблюдения. Однако
есть способ, позволяющий по виду формулы для вычисления р (и)
или D (и) судить о наличии фазового центра.
Пусть антенна имеет фазовый центр, расположенный в точке О
(рис. 7). Это означает, что при помещении начала координат в точку
О (или, что то же самое,— при отсчете расстояний в формуле, опреде-
определяющей р (и) от точки О) отношение р (и) к i (i = У— l) представ-
представляется некоторой вещественной функцией Во (и), изменение знака
которой соответствует изменению фазы на п. Если же мы поместим
47

начало координат в точку О' и будем от нее отсчитывать расстояния
то из формулы B.47) или непосредственно из рис. 7 видно, что
^~^ = BQ{u)e-lkpiC, B.56)
где р — радиус-вектор, определяющий положение фазового центра
антенны относительно начала координат О'.
Полученное выражение позволяет утверждать, что если характе-
характеристику направленности антенны можно представить в виде произве-
произведения некоторой вещественной функции на ё~1кр ("~"с), то антенна имеет
фазовый центр, расположенный в точке, положение которой относи-
относительно начала координат О' характеризуется
радиусом-вектором р.
Встречаются случаи, когда аргумент ха-
1 рактеристики направленности имеет вид, от-
\ личный от вида функции kp (и— в0). В таких
случаях говорят о том, что антенна не имеет
фазового центра. Физически это означает, что
нет такой точки, выбрав которую в качестве
центра сферы большого радиуса, можно было
бы констатировать ее совпадение с фазовым
Рис. 7. К выводу фор- ч фронтом излучаемой волны (понимая при этом
мулы B.56). ч под фазовым фронтом поверхность, колебания
на которой синфазны или противофазны). Дру-
Другими словами, отсутствие фазового центра свидетельствует о том,
что фазовый фронт волны не является сферическим.
В случае отсутствия фазового центра естественно ввести в рассмот-
рассмотрение некоторый его эквивалент, т. е. такую точку, из которой как бы
исходит излучение. В литературе встречаются различные способы оп-
определения такой эквивалентной точки. Можно определить частичный
фазовый центр как точку, являющуюся центром кривизны поверхно-
поверхности равных фаз в произвольном направлении и. Введенный таким об-
образом частичный фазовый центр зависит не только от направления
в пространстве в, но и от ориентации плоскости, в сечении которой
фазовым фронтом определяется центр кривизны. Многие авторы поль-
пользуются эквивалентным фазовым центром, называя им центр сферы,
наименее отличающейся от фазового фронта. В качестве критерия
отклонения поверхности сферы от поверхности равных фаз обычно
рассматривается минимум среднеквадратичного отклонения во всем
телесном угле. Вместе с тем излучение происходит в основном в пре-
пределах главного лепестка характеристики направленности, и поэтому
представляется естественным при минимизации среднеквадратичного
отклонения учитывать амплитудную диаграмму направленности, по-
поставив ее в качестве весовой функции под интеграл по полному про-
пространству от квадрата разности между поверхностью сферы и фазовым
фронтом. Веденный таким образом эквивалентный фазовый центр
в [6] назван центром излучения.
В зависимости от особенностей решаемых задач бывает удобнее
пользоваться тем или иным понятием эквивалентного фазового центра.
48

Во многих случаях, однако, удается построить решение, не прибегая
к определению его положения и ограничившись анализом аргумента
характеристики направленности.
Теорема умножения. Пусть антенна состоит из одинаковых и оди-
одинаково ориентированных в пространстве элементов. Элементы либо
акустически прозрачны, либо расположены так, что не затеняют друг
друга, кроме того, будем считать заданными колебательные скорости
всех элементов. При этих условиях характеристика направленности
антенны равна характеристике направленности отдельного элемента,
умноженной на характеристику направленности гипотетической ан-
антенны, состоящей из ненаправленных элементов, расположенных
в центрах реальных и имеющих такое же амплитудно-фазовое распре-
распределение, что и элементы реальной антенны.
Давление, развиваемое антенной в дальнем поле в направлении и
можно определить с помощью формулы B.48):
где p'q (в) — давление, развиваемое элементом с номером q, отнесен-
отнесенное к wq и записанное относительно точки, положение которой харак-
характеризуется радиусом-вектором рг
Учитывая, что поля р'э (и), создаваемые отдельными элементами
одинаковы и одинаково ориентированы в пространстве, характери-
характеристику направленности антенны можно записать следующим образом:
D (и) - ^гт=^тт -^ =D* (в>D" <">• B-57)
0=1
где, как легко убедиться, подставляя формулу B.44) в выражение
A.2), Dp (и) — характеристика направленности антенны, состоящей
из ненаправленных элементов, расположенных в центрах реальных
элементов и имеющих такое же амплитудно-фазовое распределение,
как и элементы реальной антенны.
Заметим, что в выводе, а следовательно, и в формулировке теоремы
умножения ничего не изменится, если под элементом антенны пони-
понимать не отдельный преобразователь, а некоторую группу преобразо-
преобразователей. Более того, элемент может состоять из группы, каждый эле-
элемент которой в свою очередь состоит из группы преобразователей.
В подобных случаях теорему умножения можно применять последо-
последовательно несколько раз, и характеристика направленности всей ан-
ненны определится произведением не двух, а большего числа сомно-
сомножителей.
Мы доказали теорему умножения применительно к дискретным
антеннам. Совершенно аналогично можно доказать ее и для антенн
3 М. Д Смарышев , 49

непрерывных» В этом случае она может быть сформулирована сле-
следующим образом: характеристика направленности непрерывной ан-
антенны, полученной путем параллельного переноса некоторой кривой
вдоль направляющей равна произведению"характеристик направлен-
направленности этой кривой и направляющей. В соответствии с теоремой умно-
умножения для непрерывных антенн характеристика направленности па-
параллелограмма, например, равна произведению характеристик на-
направленности его непараллельных сторон, а прозрачного цилиндра—
произведению характеристик направленности направляющей и об-
образующей.
Теорема умножения существенно упрощает во многих случаях ра-
расчеты характеристик направленности и поэтому широко используется
при определении направленных свойств антенн. Однако применяя
теорему умножения, следует всегда убеждаться, что выполняются все
условия, при которых она справедлива. Так, например, нельзя при-
применять теорему умножения в случае, если элементы одинаковы, но
ориентированы по-разному. Кроме того, следует иметь в виду, что
теорема умножения получена в предположении, что заданы колеба-
колебательные скорости элементов антенны, но не напряжения, подводимые
к ним. Это обстоятельство весьма существенно.
Обычно мы контролируем напряжения, подводимые к элементам
антенны, а колебательные скорости элементов нам неизвестны. Как
было показано выше, при работе вдали от резонанса распределение
колебательных скоростей повторяет распределение подводимых к пре-
преобразователям напряжений, и применяя теорему умножения, в этом
случае можно приписывать решетке ненаправленных элементов рас-
распределение, соответствующее распределению напряжений. Но в об-
общем случае этого делать нельзя. Нельзя и подменять формулировку
теоремы умножения следующей: характеристика направленности ан-
антенны равна произведению характеристики направленности одного
элемента на характеристику направленности решетки ненаправлен-
ненаправленных элементов с учетом их взаимодействия по полю. Это утверждение
не справедливо, поскольку взаимодействия направленных и нена-
ненаправленных элементов различны.
Поэтому в случае работы на резонансе или вблизи него следует
вначале решить систему уравнений для определения колебательных
скоростей направленных элементов, рассчитать характеристику на-
направленности решетки ненаправленных элементов при полученном
распределении колебательных скоростей и помножить ее на характе-
характеристику направленности отдельного элемента.
Имеется только один довольно специфический частный случай,
когда теорема умножения справедлива и при работе антенны вблизи
резонанса, причем характеристику направленности решетки можно
определить, считая, что распределение Aq повторяет распределение
подводимых напряжений. Правда, в этом случае и сама теорема ум-
умножения видоизменяется и записывается несколько иначе. Речь идет
о ситуации, когда полные сопротивления излучения всех элементов
антенны с учетом взаимодействий одинаковы [16].
Запишем выражение A.67), определяющее колебательную скорость
50

элемента приемной антенны, следующим образом:
w ?M^L—. B.58)
g=i ч
Сумма по g, стоящая в знаменателе, равна сопротивлению излуче-
излучения элемента с номером д. Действительно, подставляя формулы A.15)
и A.17) в выражение A.14), получим
w' п
W
2 g=i
откуда
ч g=i
Сопротивление излучения элемента в режиме приема зависит от
направления прихода плоской волны и, поскольку колебательные
скорости элементов зависят от ц. Учитывая это обстоятельство, фор-
формулу B.58) можно записать так:
w4= zZTL • B>59)
В соответствии с условием теоремы умножения элементы одина-
одинаковы, следовательно, давления, развиваемые ими, отличаются только
множителем, определяющим разность хода между началом координат
и точкой, относительно которой записаны давления [см. формулу
B.47)]. Полагая zq (и) не зависящим от q, учитывая коэффициенты
передачи hq, а также множитель ё~1крчи , получим выражение для на-
напряжения на выходе сумматора
откуда, переходя к характеристике направленности, имеем
и (и) = Рэ (U) Zu + г (Ио)
«(«о)
х
х _Е! . = D9 (и) DB {и) Dp (и), B.60)
где DB (и) — некоторый множитель (характеристика взаимодействия),
учитывающий влияние взаимодействия элементов на характеристику
направленности антенны; Dp (a) — характеристика направленности
решетки, состоящей из точечных элементов с распределением, равным
распределению коэффициентов передачи.
3* 51

Напомним, что в этой формуле D3 (и) — характеристика направ-
направленности элемента антенны, определяемая при условии, что остальные
элементы заторможены. Произведение D3 (tt) DD (и) может рассмат-
рассматриваться как характеристика направленности элемента антенны
в случае, когда остальные элементы расторможены.
Формула B.60) получена нами применительно к режиму приема,
однако выше было доказано, что при равенстве коэффициентов пере-
передачи hq характеристики направленности в режиме приема и излуче-
излучения одинаковы, поэтому пользоваться ею можно и для режима излу-
излучения.
Сопротивления излучения элементов в антенне могут быть одина-
одинаковы в двух случаях. Первый случай — тривиальный, встречается
он тогда, когда волновые размеры активных поверхностей элементов
достаточно велики и сопротивление излучения элемента в антенне
определяется его собственным сопротивлением излучения и не зависит
от взаимных. Но в этом случае zq (и) не зависит от в и DB (в) = 1.
Второй случай — это работа одномерной или двумерной периодиче-
периодической бесконечной антенны при равномерном амплитудном распределе-
распределении и линейно меняющемся фазовом. Формулы, позволяющие опреде-
определить полное сопротивление излучения элемента бесконечной антенны,
приводятся ниже (см. § 18).
Теорема смещения. Эту теорему мы сформулируем применительно
к произвольной цилиндрической антенне. В частности, если направ-
направляющая цилиндра — окружность, то антенна представляет собой кру-
круговой цилиндр, а если направляющая — прямая, то антенна плоская.
Покажем, что характеристика направленности произвольной цилин-
цилиндрической поверхностной антенны, образующая которой параллельна
оси z, в плоскости хОу при произвольном амплитудно-фазовом распре^
делении А (х, у, г), совпадает с характеристикой направленности
в этой же плоскости направляющей, имеющей амплитудно-фазовое
распределение f (x, y)~ J А {х, у, z) dz.
г
Запишем характеристику направленности рассматриваемой антенны
с помощью выражений A.2) и B.46) в следующем виде:
fJ Л (я, у, z)e-lkpuds .,
D (и) = -^ '\ B.61)
\\А(х, у, z)e-lkt>u°ds
S
Поскольку мы будем определять характеристику направленности
в плоскости хОу, а вектор и лежит в этой плоскости, его проекция на
ось z равна нулю. Проекции же его на оси х и у равны соответственно
соэф и sin q>. Будем описывать положение точки излучения на антенне
координатами х, у, z, тогда произведение ря определится выражением
ря = рхих + PyUy + ргиг = *cosq> -f- У sin tp. Интеграл по поверх-
поверхности s можно представить как двукратный интеграл, один вдоль оси
г и другой вдоль образующей /. Так как фазовый множитель выраже-
выражения B.61) не зависит от координаты г, введя обозначение / (х, у) =
52

•= \A (x, у, z) dz, можем записать
D (ф) = -i-^ , B.62)
f f (x, y) e~lk^x cos ф°+"si" фо) dl
l
где ф0 — угол, соответствующий направлению и0. Легко видеть, что
выражение B.62) представляет собой характеристику направленности
направляющей, а следовательно, теорема доказана. В частном случае,
когда амплитудно-фазовое распределение не зависит от координаты г,
а высота антенны одинакова для всех х и у и равна Н, функция / (х, у)
равна НА (х, у) и формула B.62) приобретает еще более простой вид
Г А (х, у) e~ik^x cos ч>+!/ sin ^ dl
D (ф) = -! . B.63)
f А (х у) e~lh{-x cos 9°+у sin фо) dl
I
Физический смысл теоремы смещения очевиден. Для характери-
характеристики направленности в плоскости хОу разности хода лучей от отдель-
отдельных участков антенны не зависят от г, а зависят только от хну.
Поэтому характеристика направленности не может измениться от
смещения отдельных участков антенны вдоль оси г и, в частности, от
совмещения всей антенны с плоскостью хОу.
Для упрощения преобразований мы доказали теорему смещения
применительно к прозрачной антенне, однако она справедлива и в бо-
более общем случае. Эта теорема, так же как и теорема умножения, ча-
часто применяется при расчетах. С ее помощью определение характери-
характеристики направленности цилиндрической антенны в плоскости хОу сво-
сводится к определению характеристики направленности дуги в той же
плоскости, а определение характеристики направленности окружно-
окружности или круглого поршня — к нахождению характеристики направ-
направленности отрезка прямой с некоторым амплитудным распределением.
Теорема сложения. Эта теорема является прямым следствием прин-
принципа суперпозиции. Сформулировать ее можно следующим образом.
Если антенна имеет амплитудно-фазовое распределение F (s), рав-
равное сумме двух функций A(s) и B(s), то характеристика направлен-
ности'ее равна сумме характеристик направленности антенны при рас-
распределении A{s) и B(s), домноженных на некоторые .коэффициенты,
не зависящие от направления в пространстве. Действительно,
J F (s) е-шри ds | A (s)e~ikf>u ds
D{u)+
J F (s) e-"pu" ds \F(s) e~ikpa° ds
s s
В (s) e-ikpa ds \A(s) e-ikpu^ ds . • J В (s) e-ikpu" ds
{U)'i2M)
53

где
Теорему сложения можно применять и тогда, когда на части по-
поверхности антенны s распределение A(s) или B(s) обращается в нуль.
Ее бывает удобно использовать, например, когда требуется опреде-
определить направленность антенны при выходе из строя какой-то группы
элементов. Характеристика направленности антенны в этом случае
равна разности характеристик направленности исправной антенны
и вышедшей из строя группы с некоторыми постоянными коэффици-
коэффициентами.
Поскольку в случае, когда фазовые центры антенны с рассматри-
рассматриваемыми распределениями не совпадают, применение теоремы сложе-
сложения приводит к необходимости проведения сложных вычислений,
практически ею чаще пользуются не для расчетов, а для получения
инженерных оценок.
§ 5. Характеристики направленности в полосе частот
Во многих случаях антенна принимает или излучает не монохро-
монохроматический, а шумовой сигнал, обладающий спектральной плотностью
/ (со) в некоторой полосе частот от сох до со2. При этом также вводится
в рассмотрение характеристика направленности антенны, однако оп-
определяется она несколько сложнее.
Общие расчетные соотношения. Формулу для расчета характери-
характеристики направленности антенны в полосе частот Ra (и) можно полу-
получить двумя способами: используя характеристику направленности
при работе на монохроматическом сигнале и с помощью функций кор-
корреляции шумового сигнала.
Определим характеристику направленности антенны в режиме
приема в соответствии с формулой A.61) как отношение напряжений
и (и) и и(и0), развиваемых на выходе сумматора антенны при распо-
расположении источника излучения в направлениях а и и0.
Запишем напряжение uq (и, со), развиваемое отдельным элементом
антенны на выходе сумматора с учетом коэффициента передачи канала
hq. Очевидно оно равно произведению
uq {и, со) = у (со) | р01 hq Dq (и, со), B.65)
где у (со) — чувствительность элемента по полю; \ро\ — модуль дав-
давления, развиваемого источником сигнала в окрестности антенны;
Dq (и, со) — характеристика направленности элемента, записанная от-
относительно общего для всей антенны центра. Поскольку
tkpcQ jkr
можно записать
uq (и, со) = ig- у (со) \ Dq (и, со). B.66)
54

или, выражая \р0 | через интенсивность сигнала в окрестности антенны,
и,(и, ta) = y2l{(o)pcy(<o)hqDa(u, со).
Мы будем предполагать отсутствие влияния взаимодействия преоб-
преобразователей по полю на распределение колебательных скоростей. Имея
в виду в дальнейшем удобство сравнения полученных результатов
с параметрами антенны в режиме излучения, запишем вместо hq ко-
коэффициент возбуждения Aq. При этом последнее выражение прини-
принимает вид
uq(a, u)=y2I{<u)pcy(a)AqDtj(u, со),
а модуль напряжения на выходе сумматора и (и, ей) равен
\и{и, со)| =
B.67)
B.68)
Отдельные частотные составляющие шумового сигнала неко-
некогерентны между собой, поэтому воздействия от них складываются
квадратично и можно записать, что
ю„
^AqDq(a, со)
9=1
B.69)
Здесь их и ша соответственно нижняя и верхняя частоты полосы про-
пропускания приемного тракта.
Воспользовавшись выражением A.61), получим формулу, опреде-
определяющую модуль характеристики направленности в полосе частот
(со) v2 («)
9=1
, CO)
11/2
dco
/(co)V2(co)
^AqDq(u0, со)
9=1
11/2
B.70)
dco
В частном случае, когда сумма в знаменателе этой формулы не за-
зависит от частоты (что имеет место, например, для компенсированных
антенн, состоящих из ненаправленных элементов), поделив числитель
и знаменатель на эту сумму, получим
J / (со) Y2 (со) Я2 (и, со) dco
1—. B.71)
А
J / (со) v2 («)
11/2
В двух последних формулах у (<о) обозначает чувствительность по
полю элемента антенны. Воспользовавшись формулой A.73) можно
перейти от у (ш) к чувствительности всей антенны уа (со) в направле-
направлении и0 и тогда выражения B.68) и B.70) примут вид
и (и, со) | = У21 (со) рс Ya (со) R (и, со),
B.72)
55

j / (ш) y2a (ш) R2 (и, ш) dco
1/2
со,
где
(а, ш) =
«о- ш)
11/2
9=1
B.73)
2
9=1
Л ,?>„(»„,
Непосредственные вычисления характеристики направленности
антенны в полосе частот по формуле B.73) с помощью численного ин-
интегрирования требуют большой затраты времени, особенно при боль-
больших волновых размерах антенны и широких полосах частот. Иногда
удается существенно упростить вычисления, если вместо R (и, со)
подставить соответствующее выражение, содержащее сумму в случае
дискретной антенны, или интеграл в случае поверхностной антенны,
возвести его в квадрат и поменять местами суммирование (интегриро-
(интегрирование) по поверхности антенны и интегрирование по частоте. Так, для
дискретной антенны, проделав указанные преобразования, имеем:
2Z
DAu, co)D (и, со)
R%
o, со)
¦ dco
j / (со) у2а (со) dco
B.74)
Следуя работам [10] и [20], формулу для расчета характеристики
направленности антенны в полосе частот можно получить другим спо-
способом, позволяющим глубже уяснить ее физический смысл.
Определение характеристики направленности через функции кор-
корреляции. Как уже отмечалось выше [см. формулу A.78)], мощность
стационарного процесса на выходе антенны можно определить как
двойную сумму от функций пространственно-временной корреляции
процессов в отдельных каналах антенны. В соответствии с этим можно
записать
B.75)
9=1 g = l
где Kqg (и) и Kqg (и„) — функции пространственно-временной кор-
корреляции процессов в каналах с номерами q и g при расположении ис-
источника сигнала соответственно в направлениях и и и0.
56

Найдем функции Kqg {и) и KqR (tt0) как математическое ожидание
произведения процессов на выходе каналов q и g. Как известно (см.,
например, работу [32 ]) стационарный случайный процесс может быть
записан в виде интеграла Стилтьеса:
x(t)= jV'a'd0(co), B.76)
—00
который отличается от обычного интеграла Римана тем, что под зна-
знаком интеграла стоит не приращение аргумента йоз, а приращение не-
некоторой функции йФ (со), зависящей от со. Функция Ф (со) — случай-
случайная функция и ее приращения при различных со независимы друг от
друга. Поэтому она не имеет производной и перейти от йФ (со) к d(o,
т. е. от интеграла Стилтьеса к обычному интегралу, не представляется
возможным. Независимость приращений при различных со приводит
к тому, что корреляция между йФ (со) и йФ (со') при со =/= со' равна
нулю, т. е. выполняется условие М [йФ (со) йФ* (со')] = 0. При
со = со' эта величина, очевидно, пропорциональна ./V (со) — спек-
спектральной плотности на частоте со. Принимая во внимание эти сообра-
соображения, можно записать
М [йФ (со) йФ* (со')] = N (со) б (со — со') dco da>\ B.77)
где б (со — со') — дельта-функция Дирака, обладающая известным
свойством
„ П{х
$ f(x)t>(x-x')dx~\ i , B.78)
й —-f{x) при х' — а или х —Ь.
\ 2
Вычисляя мощность процесса х (t), легко убедиться в правильности
выражения B.77). Действительно,
со оо
D[x{t)] = M[x(t)x*(t)]~ j f е^"^'М [йФ (со) йФ* (со')] =
оо
== j N{(o)d(o,
—оо
т. е. мощность процесса равна интегралу от его спектральной плот-
плотности .
Случайный процесс на входе сумматора в канале с номером q в со-
соответствии с формулами B.67) и B.76) можно записать так:
, 00
xq = У 2рс ] Aqy (со) Dq {и, со) йФ (со), B.79)
—00
причем
М [йФ (со) йФ* (со')] = / (со) б (со —со') dco dco', B.80)
а формирование рабочей полосы учитывается тем, что Ая считается
вне интервала (colt co2) равным нулю (впрочем, отсюда видно, что
можно просто заменить пределы интегрирования — оо и + со на сох
и со2).
57

Теперь уже легко найти и функцию пространственно-временной
корреляции
?s4 ' L ч si
= 2рсМ [ J J AqA\y (со) y (©') D, («, «) l? (и, «') <Й> (со) <*Ф* («') =
= 2pc Т^И^И7И^(». »)Dg(», co)d(o , B.81)
Ь>1 J
которую, переходя с помощью формулы A.73) к чувствительности
всей антенны, можно записать и так:
da. B.82)
«0, со)
Подставляя это выражение для направлений и и я0 в формулу B.75),
мы получим формулу B.74).
В результате проделанного вывода становится ясно, что интегралы
по (о в числителе формулы B.74) пропорциональны функции про-
пространственно-временной корреляции напряжений в отдельных кана-
каналах антенны при падении на нее плоской волны.
Характеристики направленности некоторых антенн в полосе частот.
В качестве примера использования формулы B.74) для вычисления
характеристик направленности в полосе частот, рассмотрим антенну,
состоящую из ненаправленных элементов, при произведении / (ш)у2 (со),
не зависящем от частоты и равном Ь.
С помощью рассуждений, аналогичных приведенным при выводе
формулы B.44), легко показать, что для ненаправленных элементов
Dq(u) = e~tkp9u, и так как Aq для осуществления компенсации ан-
антенны в направлении и0 следует выбрать равным a9e'fcfV4 по формуле
B.82) имеем
9К '
9=1
9=1
[^w-e-*"],
B.83)
В
где В = (pfl — pg) (и — и0); А2 = щ1с, kt = щ/с. Подставляя это
выражение в формулу B.75), и произведя преобразования, получим
9=1 g=l
sin [В
i
. B.84)
В
58

При некоторых простых расположениях ненаправленных элемен-
элементов в антенне двойную сумму по элементам можно заменить одинарной.
Так, например, в случае эквидистантной решетки с расстоянием ме-
между элементами, равном d и при aq = 1, формула B.84) преобразуется
к следующему виду:
п-1 sin (в
kA
X8s ("~s) cos (B Чг) k2-kl ' B'85)
5=0 в \
где В — sd (sinа —sina0); a — угол, отсчитываемый от перпендику-
перпендикуляра к антенне; es = 1 при s=0, es = 2 при s>0.
Как уже указывалось, таким же способом удается получить срав-
сравнительно простые формулы и для некоторых непрерывных антенн; так,
например, в случае антенны, представляющей собой отрезок прямой,
можно получить для / (со) у2л (со) = Ъ
Rl (Z) =
со2
VJn
и для / (со) yl (со) = о — (со0 — некоторая фиксированная частота)
2 sin2 г 2sin2pz sin2z sin2pz
В этих формулах обозначено: г = ——(sina—sina0); / — длина от-
отрезка: р = -^-; Si (.г) — интегральный синус от х, определяемый со-
соотношением
На рис. 8 представлены рассчитанные по этим формулам участки
характеристик направленности вблизи главного максимума и меньшие
уровня Ra (z) = 0,2. Характеристики направленности в полосе ча-
частот не имеют нулей, при больших относительных полосах отсутст-
отсутствуют четко выраженные добавочные максимумы, и уровень характе-
характеристики направленности вне главного максимума монотонно умень-
уменьшается с ростом г. Эти особенности характеристик направленности
в полосе частот являются общими для многих типов антенн.
Приближенное определение некоторых параметров характеристики
направленности. Во многих случаях расчет характеристики направ-
направленности Ra (и) сложен, но в то же время практически бывает доста-
достаточно ограничиться определением некоторых ее параметров. Рассмот-
Рассмотрим в связи с этим приближенный расчет ширины характеристики на-
59

0,9
0,8
0,2
0,1
X
\
\
\\
\\\
i
7
r
¦v
4
¦~
— —*
'—->
-
*?
*
0,6
V
0,1
0,1
3-п
\
\
\
\
d
V
Ч
-1,
,2,0
AS
••^
--
7t
Jit
Рис. 8. Зависимость /?c»(z) от 2 в случаях
а —Ца) и, (<в) = Ь; б—l (<в) v. <<в) = 6 •
60

правленности на уровне 0,707 и величины характеристики направлен-
направленности вне основного максимума.
Сущность приближенного расчета ширины характеристики на-
направленности состоит в следующем. В предположении больших вол-
волновых размеров антенны, разлагая в ряды по степеням малого пара-
параметра в формуле, определяющей характеристику направленности
антенны, выражение в показателе экспоненты и саму экспоненциаль-
экспоненциальную функцию, стоящую под интегралом (или под знаком суммы),
удается получить приближенное выражение для Ra (а), справедливое4
вблизи направления главного максимума. Подставляя это выра-
выражение в формулу B.73), можно произвести интегрирование по частоте
и далее приближенно определить ширину характеристики направлен-
направленности.
В результате таких преобразований для случая, например, линей-
линейной непрерывной антенны при отсутствии компенсации можно полу-
получить
| х*а (х) dx | k2y2a (со) / (ю) d&
¦Rl (a) = 1 - а2 -5 «l_ . B.88)
| а (х) dx | Ya (<°I (<°)d®
и.
При угле характеристики направленности, равном на уровне 0,707
ее полуширине, R2a (aM) = 0,5, поэтому второе слагаемое выражения
B.86) равно 0,5 и справедливо соотношение
| а (х) dx | Ya (ш) ^ (ш) ^ш
ir . B-89)
/ (со) da>
Следует иметь в виду, что использование этой и аналогичным об-
образом полученных формул для приближенного определения а0|, при
полосе, большей октавы, может привести к существенной ошибке.
Связано это с тем, что исходное приближенное выражение для R (а)
справедливо только при а, не превышающих полуширину характе-
характеристики направленности а' по ее первым нулям, и при широких по-
полосах значение ао,7 характеристики Яи (а) может быть больше вели-
величины а' на верхних частотах полосы.
Практически часто бывает удобно ввести в рассмотрение эквива-
эквивалентную частоту, т. е. такую частоту, на которой ширина характери-
характеристики направленности рассматриваемой антенны совпадает с ее ши-
шириной в полосе частот при заданном спектре. Обозначим зту частоту
символом соэ и определим ширину характеристики направленности
на частоте соэ по формуле B.89), считая, что у2а (ф) / (со) = б (со ),
61

где б (соэ) — дельта-функция Дирака
0,5 _? J-
\x*a(x)dx k\
i
Сравнивая это выражение с формулой B.89), имеем
B.90)
ИЛИ
Г
(I),
В частных случаях при у\ (со) / (со) = Ь (где Ь не зависит от со)
уГ соз-срз
и при Vq(
Рассмотрим приближенный способ оценки уровня характеристики
направленности в полосе частот вне основного лепестка. Во многих
случаях характеристика направленности антенны на фиксированной
частоте может рассматриваться как произведение двух функций, одна
из которых осциллирует, а другая —огибающая —меняется медленно.
Так например, в случае антенны, имеющей конфигурацию отрезка
прямой, при равномерном амплитудном распределении характери-
характеристику направленности можно представить как произведение функций
sin|"_5L(sincc—sincto)l и Г— (sina—sinao)l '. Максимальное значе-
значение осциллирующей функции равно единице, и ее влияние на харак-
характеристику направленности сводится к уменьшению уровня в соответст-
соответствующих направлениях, поэтому заменив осциллирующую функцию
единицей, мы получим завышенное значение величины характеристики
направленности как при работе на фиксированной частоте, так и в по-
полосе частот. Подставляя в формулу B.73) вместо характеристики на-
62

правленности R (и, со) ее огибающую —(sin а—sina0) , получим
4с2
/2(sina — sinaj) У* 2
B.92)
и,
В частном случае при у2я (со) / (со)=6
/?шB)<-р=, B.93)
2
и при v!, W / (ч>) - Ь -^
где z = -i-(sina—sina0); P = co2/coi.
Полученную оценку величины уровня характеристики направлен-
направленности отрезка можно уточнить следующим образом. С помощью тео-
теоремы о среднем интеграл от произведения двух функций можно пред-
представить произведением интеграла от одной функции на значение вто-
второй функции в некоторой точке внутри промежутка интегрирования.
Поэтому можно записать
in21 — (sin a—sinao)l [— (sin a—sinao)l~2<ico ==
? (sina-sina0)] j sin2 [^-(sina-sin
В качестве среднего значения соо выберем такое, чтобы выполня-
выполнялось условие
Подставляя эти соотношения в формулу B.73) и вычисляя один
из интегралов по со, получим выражение
I/ С 9
у J 7а (ш) I (ш)'
B-95)
(со) d©
63

В частных случаях у\ (со) /(«>) = b и у* (со) / (со) = b —^-, имеем
соответственно
B.96)
B.97)
Из выражения для L (z) видно, что его величина осциллирует около
ф L ()
значения
поэтому, полагая в
0,1
\
V
/I
\
ч
~<
у
J
J
\
ч
¦—
ч
¦—.
¦—
=
2п
последних формулах L (z) =
= У 0,5, можно получить не-
некоторую среднюю величину
Ra(z), к которой /?(o(z) при-
приближается с ростом г и р
[поскольку при этом стре-
стремится к нулю последний со-
сомножитель выражения для
Рис. 9. Характеристика направ-
направленности, рассчитанная прибли-
приближенным способом A), а также ее
верхняя B) и нижняя C) оценки
и средняя величина D).
L(z)\. Полагая же произведение cos [z ф -f 1)] sin [z (|3 — 1)] рав-
равным единице, можно получить нижнюю оценку для Ra (z).
На рис. 9 представлена характеристика направленности непре-
непрерывной линейной антенны, рассчитанная по приближенной формуле
B.96) при у2а (со) / (со) = Ь, Р = 1,5, а также ее нижняя и верхняя
оценки и среднее значение, вокруг которого осциллирует Ra (z).
Сравнение графиков рис. 9 и 8а показывает, что результаты рас-
расчетов по приближенной формуле B.96) и точной формуле B.86),прак-
B.86),практически совпадают. При относительных полосах, больших октавы,
когда Ra (z) не имеет четко выраженных максимумов, во многих слу-
случаях вообще можно ограничиться верхней оценкой, что весьма су-
существенно уменьшает трудоемкость расчетов.
Совершенно аналогично можно получить приближенную формулу
для определения R^ (и) произвольной антенны, если только ее харак-
характеристика направленности на фиксированной частоте может быть
представлена в виде произведения некоторой осциллирующей функ-
функции Rx (со, и) на плавно меняющуюся функцию R2 (со, и). При этом
оказывается, что справедливо приближенное равенство
W3
и) dm
a) da
(Dj
(Dj
B.98)'
(<•>) / (<•>) d
64

В случае, если максимальное значение Rx (со, и) равно единице,
второй сомножитель формулы B.98) представляет собой заведомо за-
завышенное значение R? (и).
ГЛАВА 3
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗЛУЧАЕМОЙ
МОЩНОСТИ, КОЭФФИЦИЕНТА КОНЦЕНТРАЦИИ
И ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ АНТЕНН
§ 6. Определение излучаемой мощности и коэффициента
концентрации через сопротивление излучения антенны
Выше уже отмечалось, что существуют два основных метода рас-
расчета мощности, излучаемой антенной: через дальнее и ближнее поля.
В первом из них активная мощность определяется интегрированием
по поверхности сферы большого радиуса [формула A.27)], во втором
полная мощность находится с помощью интегрирования по поверх-
поверхности антенны [формула A.10)]. Найдя мощность, излучаемую ан-
антенной, легко перейти и к другим параметрам: сопротивлению излу-
излучения и коэффициенту концентрации.
Некоторые замечания о сопротивлении излучения. Обычно принято
характеризовать излучающую способность колеблющегося тела с по-
помощью сопротивления излучения, определяемого как отношение
удвоенной излучаемой мощности к квадрату амплитуды колебатель-
колебательной скорости.
Однако полезно иметь в виду, что выражать излучаемую мощность
через сопротивление излучения удобно только в тех случаях, когда
колебательная скорость поверхности антенны либо известна, либо
может быть сравнительно легко определена. Если рассматривается
задача об излучении, причем колебательная скорость считается за-
заданной (как, например, в классических задачах об излучении сфери-
сферического, цилиндрического и других источников), то вполне оправдано
исследование зависимости сопротивления излучения от различных
параметров излучателя и частоты.
Если же рассматривается задача об излучении некоторой коле-
колебательной многорезонансной системы и заданной является механиче-
механическая сила, возбуждающая колебания, соответствующие какой-то
моде, а условия излучения таковы, что при изменении каких-либо
параметров происходит перераспределение подводимой к излуча-
излучателю энергии между модами, то в этом случае вряд ли удобно вво-
вводить в рассмотрение сопротивление излучения. Действительно,
можно найти зависимость сопротивления излучения, например, от
расстояния между излучателем и каким-то экраном, но с измене-
изменением этого расстояния может меняться и колебательная скорость.
Таким образом, расчленив изучаемую величину — излучаемую
мощность — на две: на сопротивление излучения и колебательную
скорость,— мы не упростили, а усложнили решение задачи. В этом
65

случае, очевидно, более удобно было бы рассматривать не сопротив-
сопротивление излучения, а отношение излучаемой мощности к квадрату дейст-
действующей силы, помноженное на некоторый постоянный коэффициент.
Если же рассматривается излучатель, на поверхности которого за-
задано давление, то пользоваться понятием о сопротивлении излучения
вообще не удобно, и следует ввести в рассмотрение проводимость из-
излучения, равную удвоенной мощности, отнесенной к квадрату модуля
давления.
При расчете сложных многоэлементных антенн, когда приходится
учитывать влияние на излучаемую мощность коэффициентов возбуж-
возбуждения отдельных элементов, удобно пользоваться понятием о вноси-
вносимых и взаимных сопротивлениях излучения элементов антенны. Со-
Соответствующие формулы для определения взаимных сопротивлений
излучения, а также их связь с сопротивлением излучения всей антенны,
излучаемой мощностью и коэффициентом концентрации были приве-
приведены выше, и повторять мы их не будем. Отметим только, что сущест-
существует связь между активной и реактивной составляющими комплекс-
комплексного сопротивления (см. [28 ] и [6 ])
i
Т(Ю)о dCd> (ЗЛ)
о
a* —
пользуясь которой можно найти активное (реактивное) сопротивление
излучения на некоторой частоте со0, если известна зависимость реак-
реактивного (активного) сопротивления излучения от частоты.
К сожалению, во многих практически интересных случаях вычис-
вычисление интегралов в выражениях C.1) и C.2) представляет большие
трудности.
Пренебрежение взаимодействием элементов антенны. В гл. 1 мы
уже отмечали, что во многих случаях расчет параметров антенны про-
производится без учета влияния взаимодействия элементов по полю. При
этом имелось в виду, что колебательные скорости преобразователей
при малом взаимодействии пропорциональны подводимым к ним на-
напряжениям (применительно к режиму излучения) или что колеба-
колебательные скорости определяются только падающей на преобразователь
волной и не зависят от того, колеблются или заторможены остальные
(применительно к режиму приема).
Однако взаимодействием преобразователей по полю часто прене-
пренебрегают не только при расчете колебательных скоростей, но и при оп-
определении активного сопротивления излучения антенны, а соответст-
соответственно и излучаемой мощности и коэффициента концентрации. В связи
с этим при кратком описании расчета, выполненного без учета взаимо-
взаимодействия элементов по полю, следует указывать, при расчете какого
именно параметра допущено это приближение,
66

В случае, когда выполняется неравенство
<jr=l g=l
C.3)
т. е. когда сумма собственных активных сопротивлений излучения
элементов антенны существенно превосходит сумму взаимных, фор-
формулы A.23) и A.39) принимают вид
fl=l
C.4)
к=-
4л/-2
рС
2 А/ч К)
C.5)
Расчет rs и /С по этим формулам существенно упрощается, однако
следует иметь в виду, что неравенство C.3) справедливо не всегда и
пользоваться формулами C.4) и C.5) следует только в тех случаях,
когда имеются достаточные основания для пренебрежения взаимо-
взаимодействием элементов.
С помощью выражений C.4) и C.5) можно получить некоторые вы-
выводы, которые приближенно справедливы и при наличии слабого взаи-
взаимодействия. Так, из формулы C.4) видно, что активное сопротивление
излучения, а следовательно, и мощность, излучаемая антенной, со-
состоящей из независимых элементов, не зависит от фазового распреде-
распределения, а зависит только от амплитудного.
Активное сопротивление излучения элемента может быть выра-
выражено через его коэффициент концентрации с помощью формулы A.38):
P3r
Кэ
C.6)
где Кэ — коэффициент концентрации элемента в направлении макси-
максимума его характеристики направленности; р'э — давление, развивае-
развиваемое элементом в этом же направлении, отнесенное к его колебательной
скорости.
Давление, развиваемое элементом с номером q в направлении мак-
максимума характеристики направленности всей антенны, связано с р'э
очевидным соотношением
P'Auo)=P'sD4[uo)- C-7)
В формуле C.5) давления, развиваемые отдельными элементами
антенны p'q (й^, записаны относительно общего фазового центра. Пе-
67

реходя к записи относительно центра элемента и подставляя в фор-
формулу C.5) выражения C.6) и C.7), получим
к=ка
C.8)
q=l
Рассмотрим, при каких возбуждениях элементов коэффициент кон-
центрации антенны при отсутствии взаимодействия элементов макси-
максимален. Из последней формулы видно, что независимо от амплитудного
распределения коэффициент концентрации имеет наибольшую вели-
величину при компенсации антенны в направлении и0, т. е. тогда, когда
фаза возбуждения (в предположении, что Dq (и0) — вещественная
функция) aq — kpqu0 и слагаемые числителя складываются арифме-
арифметически, а не геометрически. Если характеристика направленности
элемента величина комплексная, то наибольшая величина К также
достигается при компенсации в направлении и0, но при этом aq будет
записываться несколько иначе (см. формулу A.2):
aq = kpqu0— arg Dq(u0). C.9)
При полной компенсации антенны в направлении и0 формула C.8)
принимает вид
C.10)
4=1
Найдем теперь амплитудное распределение, обеспечивающее мак-
максимум К- Для этого вычислим производную от К по какому-то из ко-
коэффициентов aq и приравняем ее нулю
г л -| п г л
2 2 a4Rq ("о) ^s(Bo) 2 пЧ — 2°И 2 а«ЯG ("
дК __ к I q=\ J j^l lq-l
П \ 2
4 9=1
Выполняя элементарные преобразования, получим
n
as=Rs{u0) / '— , s=\, n.
Дробь в правой части этого выражения не зависит от s, и так как нам
достаточно найти оптимальное распределение с точностью до постоян-
постоянного сомножителя, то можно записать
a0). s = l, n, C.11)
где ct — некоторая постоянная.
68

Для доказательства того, что мы получили распределение, при
котором К принимает максимальное, а не минимальное значение,
поступим следующим образом. Рассмотрим разность между коэффи-
коэффициентами концентрации при распределении C.11) и каком-то другом
распределении
2VM«o)
2
^к SzL
(«о)]'
ft
В соответствии с неравенством Коши—Буняковского 2 Я2 (й0)
о—1
X
X 2я2
2
а ^
(и0) и записанное выше выражение всегда по-
положительно, следовательно, КОПт > К и найденное амплитудное
распределение C.11) действительно обеспечивает максимум коэффици-
коэффициента концентрации антенны, состоящей из независимых элементов.
Вообще говоря, убедиться в том, что найденное распределение со-
соответствует именно максимальному, а не минимальному значению ко-
коэффициента концентрации, можно и на основании физических пред-
представлений. Независимые по полю элементы антенны при равномерном
амплитудном распределении излучают одинаковую мощность. Если
какой-то элемент антенны развернут так, что направление максимума
характеристики направленности всей антенны и0 соответствует ма-
малому уровню его характеристики направленности Rq (u0), то присутст-
присутствие этого элемента увеличивает излучаемую мощность, так же как
и присутствие любого другого элемента, но незначительно увеличивает
интенсивность сигнала в направлении и0.
Поскольку максимум коэффициента концентрации, очевидно, со-
соответствует максимальной интенсивности в направлении и0 при мини-
минимальной мощности, излучаемой всей антенной, то ясно, что амплитуду
возбуждения рассматриваемого элемента для увеличения К следует
уменьшать, а не увеличивать. В частности, если для какого-то эле-
элемента Rq (и0) = 0, то этот элемент не вносит вклада в увеличение
интенсивности в направлении и0, но увеличивает общую мощность,
излучаемую антенной, и поэтому его следует отключить или, что то же
самое, возбудить с нулевой амплитудой.
Итак, максимум коэффициента концентрации антенны при отсутст-
отсутствии взаимодействия ее элементов по полю достигается при полной фа-
фазовой компенсации антенны в направлении максимума характеристики
направленности антенны и0 и амплитудном распределении, пропор-
69

циональном величине характеристики направленности элемента в на-
направлении и0, т. е.
Ач = &ч(и9)е*»ча*.' C.12)
При оптимальном распределении, подставляя формулу C.12) в вы-
выражение C.8), имеем
к=кЛ $(*<>)> ' C-13)
9=1
откуда следует, что при заданном количестве элементов в антенне наи-
наибольшую концентрацию обеспечивает плоская антенна, когда
Rq (ио) — 1 Для всех q.
В выражении C.13) Кэ обозначает коэффициент концентрации
элемента в направлении максимума его характеристики направлен-
направленности. Введем в рассмотрение Kq (и0) — коэффициент концентрации
элемента в направлении максимума характеристики направленности
всей антенны и0. В соответствии с формулой A.40) он равен произве-
произведению коэффициента концентрации элемента в направлении его макси-
максимального излучения (в наших обозначениях /Q на квадрат характе-
характеристики направленности в направлении и0, т. е. Kq (и0) = K3R2q (и0).
Поэтому максимальное значение К определяется через коэффициенты
концентрации отдельных излучателей в направлении щ следующим
образом.
q=\
Пусть антенна состоит из элементов двух видов. Элементы первого
вида развивают в направлении максимума своей характеристики на-
направленности давление рэ/, обладают коэффициентом концентрации
КЭ[ и сопротивлением излучения г7; всего в антенне их л. Элементов
второго вида в антенне т и их параметры мы обозначим аналогично
параметрам элементов первого вида, но заменим индекс / на //.
Коэффициент концентрации рассматриваемой антенны может быть
записан следующим образом:
К =
n
P3i2^A(ao)e~'*v
_^ s=; , . C.15)
рс п
9=1
Очевидно, что фазовое распределение, максимизирующее коэффи-
коэффициент концентрации антенны, как и в предыдущем случае, должно
обеспечивать ее компенсацию в направлении и0. При таком фазовом
распределении коэффициент концентрации антенны равен
70

n m
C.16)
где a=-^; p = -^.
Как и ранее, вычисляя производные и приравнивая их нулю,
имеем для преобразователей первого вида
as=Rs(u0), s=\,n,
и для преобразователей второго вида
as Rs(u0), s=l,m.
Р
Таким обр азбм, оптимальные коэффициенты возбуждения для преобра-
преобразователей первого и второго вида равны соответственно
Aq = D;{uo)etkp<!ao C.17)
^ C.18)
Подставляя эти выражения в формулу C.15) и переходя к коэффици-
коэффициенту концентрации элемента в направлении и0) получим
Копт = 2 Kq (и„) + 2 Kg («о). C.19)
откуда следует, что и в случае антенны, состоящей из различных пре-
преобразователей, коэффициент ее концентрации при оптимальном рас-
распределении равен сумме коэффициентов концентрации элементов в на-
направлении главного максимума характеристики направленности всей
антенны и0-
§ 7. Определение сопротивления излучения и коэффициента
концентрации антенны через характеристику направленности
Если поле, создаваемое антенной, и ее характеристика направлен-
направленности известны, то с помощью формул A.27) и A.36) можно найти
мощность, излучаемую антенной, и ее коэффициент концентрации.
Однако во многих случаях вычисление интеграла от квадрата мо-
модуля характеристики направленности представляет собой весьма
сложную задачу даже при использовании современной вычислительной
техники. Поэтому в настоящее время разработано большое количе-
количество различных приближенных методов. В этом параграфе мы рас-
рассмотрим те из них, которые наиболее широко применяются на прак-
практике и являются наиболее общими. Изложение будет вестись в
основном применительно к определению коэффициента концентрации.
71

Графическое интегрирование. Одним из наиболее практически рас-
распространенных является метод определения коэффициента концентра-
концентрации с помощью графического интегрирования ([44], [59], [55]).
Рассмотрим вначале случай осесимметричной характеристики на-
направленности. Направим вдоль оси симметрии характеристики на-
направленности ось z сферической системы координат. Тогда характе-
характеристика направленности будет зависеть только от одной пространст-
пространственной координаты бив соответствии с формулой A.36), учитывая,
что в сферической системе координат dQ — sin BdBdcp, получим
1^_ .= ? . C.20)
я v
л 2я я
J J R2 (9) sin Ы 9d<p Г R2 (9) sin 0 dQ
оо о
Введем замену переменных / = 1 — cos6, при этом At =? sinBdB и
интеграл в знаменателе выражения C.20) запишется следующим об-
образом:
/=== JKa(*)d/. C.21)
о
Этот интеграл легко вычислить графически, если по оси абсцисс де-
декартовой системы координат отложить t, а по оси ординат R2 (t).
Однако можно поступить иначе: по оси абсцисс отложить не t, a 6,
имея в виду, что cosB =1 — /, а по оси ординат не R2 (t), a R F).
При этом масштаб по обеим осям будет неравномерный, но зато отпа-
отпадает необходимость пересчета от 6 к t и от R F) к R2 (t). Соответствую-
Соответствующая координатная сетка предложена в работе [59]. На рис. 10пока-
10показана половина этой сетки в пределах изменения 6 от 0 до я/2. Часть
сетки от я/2 до я симметрична построенной относительно оси 6 = я/2.
Для определения коэффициента концентрации характеристику на-
направленности наносят на такую сетку и затем определяют площадь
под кривой. Величина коэффициента концентрации находится как от-
отношение полной площади бланка к площади под кривой.
Так можно поступить тогда, когда характеристика направленно-
направленности симметрична относительно оси. Однако иногда графическое ин-
интегрирование используется для определения коэффициента концен-
концентрации по экспериментальной характеристике направленности, а эта
характеристика определяется не от 0 до я, а от — я до -j- я и даже при
симметричной антенне может быть несколько несимметричной. В этом
случае обычно используется несколько измененная координатная
сетка.
Пределы интегрирования » выражений C.20) можно записать
иначе, а именно: 1
д-^ 15 = __ 1 = 1 . C.22)
ЛЯ Я 2 Ч '
J J Я2 (9) sin 9 dQ dy "Jfla(9) sin 9 dQ f Я2 (/) dt
—Я0 — Я —2
Теперь для вычисления интеграла в знаменателе можно воспользо-
воспользоваться сеткой, отличающейся от прежней тем, что она дополнена в об-
72

ласти углов — я, 0 зеркальным изображением относительно оси 6 =
= 0. Коэффициент концентрации по-прежнему равен отношению пло-
щадн всего бланка к площади под кривой, изображающей R2 F).
При использовании описанного метода следует иметь в виду, что
направление 6 = 0 совпадает с осью симметрии характеристики на-
направленности, но в общем случае не совпадает с направлением макси-
максимума. Так, если характеристика направленности имеет воронкообраз-
воронкообразную форму, причем полный раствор по значениям характеристики
направленности, равным единице, составляет 260, то на сетке должно
быть изображено два максимума, равных единице, причем один из
них соответствует значению 6= — 60, а другой 6 — 60.
Мы рассмотрели случай, когда коэффициент концентрации опре-
определялся в направлении максимума характеристики направленности.
Если же требуется определить К в каком-то ином направлении, то
следует или надстроить сетку для значений R F) > 1 (и тогда вычис-
вычислять коэффициент концентрации как отношение площади бланка, ог-
ограниченной значением R F) =¦ 1, к площади под кривой),или найти К
в направлении максимума характеристики направленности, а затем
произвести пересчет по формуле A.40).
Интеграл в знаменателе выражения C.20) можно вычислить гра-
графически и иначе [55]. Известно, что выражение
1 Ч>2
2 I -
определяет площадь сектора, ограниченного кривой г и углами q>t
и фа (формула Лейбница). Поэтому, если обозначить г = R F)]/sin 6
и начертить г в полярной системе координат в функции от 6 в преде-
пределах от 0 до я, то площадь сектора определит величину искомого ин-
интеграла. Нанесение кривой R F) ]/sin 6 существенно упрощается
с помощью специальной сетки (на рис. 11 показана ее часть в преде-
пределах изменения 6 от 0 до я/2), координатные линии которой соответст-
соответствуют значениям 6]/sin6, где 6 = 0; 0,1; 0,2; . . . ; 1. Коэффициент
концентрации определяется отношением площадей, ограниченных
кривыми l-]/sin6 и i? F)]/sin 6. При использовании обеих сеток
для расчета коэффициента концентрации антенны, имеющей сравни-
сравнительно острую характеристику направленности, можно производить
растяжения масштаба вдоль координатных линий для повышения точ-
точности интегрирования.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что на обеих сетках
для расчета коэффициента концентрации участки характеристики на-
направленности, соответствующие углам, близким к 0 и я, сжаты по срав-
сравнению с участками при я/2 (это видно из рис. 10 и 11, на которых на-
нанесена кривая, соответствующая R F) = cos6). Это объясняется тем,
что в пространстве одним и тем же интервалам Л 6 соответствуют раз-
различные элементарные объемы в зависимости от того, где находится
интервал Л6, и если он расположен ближе к направлению 6 = я/2,
то элементарный объем больше.
73

Мы рассмотрели графические методы определения коэффициента
концентрации антенн, характеристики направленности которых обла-
обладают осевой симметрией. В принципе эти же методы могут быть рас-
распространены и на случай произвольной характеристики направлен-
направленности. В соответствии с формулой численного интегрирования, из-
w
\
\
\
\
\
\
s
4
4
0,9
0,6
0,7
0,6
0,5
0,4
Я
'0 20 30 40 SO SO 10 SO 8°
Рис. 10. Прямоугольная сетка для
графического определения коэффи-
коэффициента концентрации.
Рис. 11. Полярная сетка для графи-
графического определения коэффициента
концентрации.
вестной под названием формулы прямоугольников, выражение C.20)
можно записать следующим образом:
, . C.23)
4Я
4я
я л
и
—я О
ля я "—I л
f f Я2 (9, Ф) sin QdQdcp — У Я2 (9, <pt-) sin 9 dQ
Здесь интеграл по координате ф заменен суммой по i, причал ф,- —
угол, соответствующий i-му сечению характеристики направленности
плоскостью, проходящей через направление 6 = 0. Всего таких пло-
плоскостей п, и угол между плоскостью с номером i и плоскостью ф = 0
равен (ft = i —. Рассмотрим интеграл от сечения квадрата характе-
характеристики направленности плоскостью i. По формуле C.22) можно за-
записать
sin e de =-^-,
—я
где ft. _ коэффициент концентрации некоторой гипотетической ан-
антенны, обладающей осесимметричной характеристикой направлен-
направленности, которая совпадает с сечением реальной характеристики направ-
74

ленности плоскостью с номером L Подставляя это выражение в фор-
формулу C.23), имеем
К = -—. C.24)
Итак, определить коэффициент концентрации антенны можно сле-
следующим образом. Измерить или рассчитать характеристики направ-
направленности в п сечениях, проходящих через направление 6 = 0. Для
каждого сечения методом графического интегрирования определить
Ki — коэффициент концентрации гипотетической антенны, характе-
характеристика которой осесимметрична и совпадает с сечением данной ха-
характеристики направленности плоскостью с номером i. Затем по фор ¦
муле C.24) рассчитать К-
При достаточно большом числе сечений п указанным способом
можно получить близкое к точному значение коэффициента концентра-
концентрации. Однако при экспериментальном определении коэффициента кон-
концентрации обычно бывает сложно измерить характеристику направлен-
направленности в большом числе сечений. Чаще всего ее измеряют всего в двух
плоскостях. При этом п=2 и формула C.24) переходит в следующую:
К= 2KlK2 ¦ C.25)
Кг + К2
Практически же часто пользуются другим выражением, связываю-
связывающим между собой К, К\ и К%
хКъ- C.26)
В случае осесимметричной характеристики направленности
/С1=К2 и обе формулы дают один и тот же результат К = К\ — К%.
При характеристике неосесимметричной формула C.26) во многих
случаях обладает меньшей погрешностью. Объяснить это можно на
следующем примере.
В качестве антенны, характеристика направленности которой не
обладает осевой симметрией, выберем плоский поршень, ограничен-
ограниченный эллипсом и лежащий в жестком экране. Пусть большая полу-
полуось эллипса равна а, а малая b (рис. 12). Амплитудное распреде-
распределение по поверхности поршня равномерное. Уравнение эллипса
имеет вид
— + ^-=1. C.27)
Запишем в соответствии с формулой B.55) характеристику направ-
направленности эллиптического поршня в плоскостях xOz и yOz. Если 6 —
угол, отсчитываемый от оси г, то скалярное произведение р и (и— и0)
определится следующим образом:
?(U — UQ) = px(U-x— Ихо) + Ру К — иУ°) + Р* ("^ - "*) =
— х (sin 6 cos ф — sin 60 cos ср0) + У (sin 8 sin cp —sin 80 sin ф0) +
+г (cos9—cos 90). C.28)
75

Учитывая, что для некомпенсированного плоского поршня направ-
направление главного максимума излучения совпадает с осью z, т. е. 60 = О,
запишем характеристику направленности^, в плоскости xOz так:
Ь У 1-=;
—ikx sin 6
ds
а О
-If f
s J J
_—ikx sin8
-tftjtsine
Ux.
C.29)
Совершенно аналогично характеристика направленности в плоскости
yOz (т. е. в плоскости ф = я/2) запи-
У шется следующим образом:
1а
— -=—e
¦—ikx sin6
dx.
J
—ь
C.30)
Рис. 12. Эллиптический поршень. ПРИ а= b = R эллипс обращается в
круг и характеристика^ направленности
круга, как это следует из формулы C.29) или C.30) "
r
J
-R
Из сравнения этой формулы с формулами C.29) и C.30) видно, что
характеристика направленности эллипса в плоскости xOz совпадает
с характеристикой направленности круга, радиус которого R равен
а, а в плоскости yOz — совпадает с характеристикой направленности
круга с радиусом R = Ь. Таким образом, если мы нанесем на спе-
специальную сетку характеристику направленности Rx F) = \Dt F)| и
определим соответствующий коэффициент концентрации К1г то мы
должны получить коэффициент концентрации гипотетической антенны
с осесимметричной характеристикой Rt F), т. е. круглого поршня ра-
радиуса R. Поэтому величина К\, если только а ^> К, в соответствии
с формулой E.18), равна
j, ins 4я2а3
Рассуждая аналогично, можем записать
4л2йа
76

Если для определения коэффициента концентрации эллиптиче-
эллиптического поршня по двум сечениям его характеристики направленности
воспользоваться формулой C.26), то
но так как площадь эллипса равна nab, то и точное значение коэф-
коэффициента концентрации равно этой же величине; действительно
4ns
Мы убедились, что в случае эллиптического поршня формула C.26)
позволяет найти точное значение К- Это
дает основание полагать, что в слу- д
чае других антенн, характеристики
которых не являются осесимметричными, 0,6
формула C.26) также не приведет к боль-
большой ошибке. 0,4
Интересно сравнить результаты расчета
коэффициента концентрации эллиптиче- 0,2
ского поршня по формулам C.25) и C.26).
В соответствии с формулой C.25) д 1 2 j—4—Wb
/
/
А
iX ^ , Рис.13. Ошибка в опреде-
- Ki + K2 № (°2 + Ь2) лении коэффициента кон-
концентрации эллиптического
поршня по формуле C.25).
Обозначим точное значение коэффициента
концентрации символом Кт и рассчитаем ошибку определения К по
формуле C.25)
д==
Кт
На графике рис. 13 представлена зависимость ошибки определения
коэффициента концентрации эллиптического поршня по формуле C.25)
от отношения alb. Как и следовало ожидать, при о = ft и Д = 0, но с
ростом alb ошибка растет и при alb = 3 достигает сорока процентов.
Поскольку во многих практических случаях можно считать, что
неосесимметричная характеристика направленности по своему виду
близка к характеристике направленности эллиптического поршня,
обычно при определении коэффициента концентрации антенны по двум
сечениям ее характеристики направленности пользуются формулой
C.26), а не C.25).
Аппроксимация характеристики направленности. Процедура вычис-
вычисления коэффициента концентрации антенны может быть существенно
упрощена, если аппроксимировать характеристику направленности
77

антенны или ее квадрат некоторой специальным образом подобранной
функцией.
Иногда удается представить квадрат характеристики направлен-
направленности в виде суммы двух функций, интегралы от которых известны
или легко могут быть вычислены. Приведем два примера.
Первый из них представляет собой случай, когда квадрат модуля
характеристики направленности связан с квадратом модуля известной
(теоретической) характеристики направленности RT следующим об-
образом:
Характеристика направленности антенны может быть представлена
таким образом, когда, например, в силу разбросов параметров
элементов антенны или каких-то
ошибок измерения (в частности,
ограниченного динамического диа-
диапазона приемного тракта) нулевые
уровни характеристики направлен-
направленности «заплыли», а дополнительные
максимумы несколько увеличились.
Если к электрическому сигналу,
соответствующему характеристике
направленности RT, прибавляется
некоторый статически независимый
от него шум а, то суммарное зна-
значение Щ + а2, нормированное
к своей максимальной величине*
определяется записанной выше фор-
К/К,
0,6
0,2
К"
\ \
\ \
\ у
\
\
\
\
\
\
\
\
V
Л
\
\
\
\
ч
ч
\
,^
г=/ 10'
J000
jpoop_
т~~
О 0,01 0,04 0,06 0,08 б
Рис. 14. Зависимость К/Кт от а.
мулой. Величину а можно опреде-
определить следующим образом. Пусть
а2 С 1, тогда а2 = JR2—R\, откуда
видно, что значение квадрата экспериментальной характеристики на-
направленности в том направлении, в котором теоретическая харак-
характеристика направленности должна быть равна нулю, равно о2.
Найдем коэффициент концентрации антенны в рассматриваемом
случае
4л A -f а2)
4я A
1
кт
где Кг — 4я[ J JR?dQJ —теоретическое значение коэффициента кон-
концентрации.
На рис. 14 представлена зависимость относительного падения ко-
коэффициента концентрации К/Кт от уровня заплывания нулей характе-
характеристики направленности а (по напряжению), рассчитанная по полу-
полученной формуле.
78

Относительное падение коэффициента концентрации существен-
существенно зависит от его исходной теоретической величины. Так, при уровне
заплывания нулей, равном всего 0,03, при Кт = 100 значение К/Кт
равно 0,9, а при Кт = 1000 коэффициент концентрации падает в два
раза. Таким образом, если по экспериментальным измерениям харак-
характеристики направленности предполагается проводить расчет коэф-
коэффициента концентрации, то динамический диапазон тракта должен
быть тем больше, чем больше предполагаемая величина коэффициента
концентрации. Это и понятно: при широком основном максимуме
характеристики направленности влияние «ореола», составляющего,
например,0,05, мало, а при узкой — объем, ограниченный в простран-
пространстве ореолом, может быть даже больше объема, ограниченного основ-
основным лепестком, и экспериментально определенный
коэффициент концентрации существенно уменьшится.
Рассмотрим второй пример разбиения квад-
рата характеристики направленности на два сла-
слагаемых. Пусть плоская прозрачная антенна рабо-
Рис. 15. Аппроксимация характеристики направленности
в переднем и тыльном полупространствах двумя функциями,
отличающимися на постоянный сомножитель.
тает вблизи неидеального экрана, такого, что в переднем полу-
полупространстве характеристика направленности формируется без иска-
искажений (RT), а в тыльном полупространстве создается такое же по ха-
характеру изменения с углом поле, как в переднем, но отличающееся по
величине в а раз (рис. 15). Обозначим fit переднее полупростран-
полупространство и Q2 — тыльное полупространство. Тогда
w 4я К
где Кт — коэффициент концентрации антенны, лежащей в абсолютно
жестком экране и не излучающей в тыльное полупространство.
Этот метод оценки величины коэффициента концентрации может
весьма эффективно применяться и в тех случаях, когда характеристика
направленности антенны имеет несколько больших максимумов, в ча-
частности, равных основному.
Практически довольно часто характеристику направленности ан-
антенны можно представить произведением двух функций, каждая из
которых зависит только от одной пространственной координаты. При-
Примером может служить цилиндрическая антенна, работающая без ком-
компенсации.
Если экспериментально определены характеристики ее направ-
направленности в плоскости, проходящей через ось цилиндра, R F) и в пло-
плоскости, перпендикулярной ей R (ф), то можно предполагать, что
R F, ф) = R F) R (ф). В соответствии с этим предположением ко-
79

эффициент концентрации определяется соотношением
. C.31)
4 я 2я я " 2я
f Г R2 F) Я2 (ф) sin 0 d0 dqp f Яа (9) sin 9 d0 J Я2 (ф) dq>
0 0 0 0
Интеграл в знаменателе второго сомножителя может быть определен
графически, но для этого следует воспользоваться сеткой с равномер-
равномерным шагом по ф.
В некоторых случаях даже грубые, на первый взгляд, аппрокси-
аппроксимации квадрата характеристики направленности приводят к хорошему
результату. Рассмотрим коэффициент концентрации отрезка прямой
линии. Из формулы D.23) следует, что если а — угол, отсчитываемый
от оси перпендикулярной к отрезку, то его характеристика направ-
направленности имеет вид
sin
'(a)-
Ы . \
— sin О
2 ]
Ы .
— sina
2
Угол а равен — 6, где 6 — угол, отсчитываемый от оси z, поэтому
вместо пределов интегрирования по 6 от 0 до я в формуле C.20) сле-
следует записать пределы интегрирования по а от — я/2 до + я/2 и вме-
вместо sin6 поставить cos a. Тогда
Я 2я Я/2 2Я у
[ [ R2 F, ф) sin 0 dQ d<p j" j №(а, y)cosadady
0 0 —Я/2 0
и так как в нашем случае R2 (а, ф) не зависит от угла ф, а R* (а) —
функция четная, то
1
К
. Ikl . \
sin —sina
2 ,
cos a da
kl .
— sina
2
Рассмотрим подынтегральное выражение. Функция R2 (а) ведет1
себя следующим образом. При a = 0 она равна единице, затем при
kl
— зтао = я она обращается в нуль и далее совершает затухающие
периодические осцилляции, величина наибольшей из которых состав-
составляет 0,222 ^ 0,05. Если Ыу 1, то функция R2 (а) быстро спадает
до малых значений и сомножитель cos a мало сказывается на величине
интеграла. Саму же функцию R2 (а) мы приближенно аппроксимируем
треугольником, вершина которого расположена при a = 0 и равна
80

единице, а основание равно расстоянию до первого нуля функции
R2 (а), т. е. углу а0, определяемому выражением sina0 = —?zza0.
Интеграл по а равен площади этого треугольника, т. е. полупроизве-
полупроизведению основания на высоту 0,5-1 XII. Поэтому
2/
Ниже будет показано, что эта формула при Ы > 1 является точной.
Рассмотрим еще один способ аппроксимации квадрата характери-
характеристики направленности, которым мы часто будем пользоваться в даль-
дальнейшем и который в ряде случаев при больших волновых размерах
антенны дает точный результат. Продемонстрируем его на примере
отрезка прямой линии. Как известно, функция
. /nl , \
sin —since
\ Л. /
•since
при ИХ ->- оо с точностью до постоянного сомножителя XII превра-
превращается в функцию, обладающую свойствами дельта-функции Дирака.
Это обстоятельство записывается следующим образом:
lim
sin
— sin a I
A. j
nl .
— sin a
A,
C.32)
Воспользовавшись выражением B.78), получим
Я/2
г я,
I — б @) cos a da
-Я/2
Заметим, что по существу способы вычисления интегралов в по-
последних примерах одинаковы, поскольку треугольник, которым мы
аппроксимировали квадрат характеристики направленности при
ИХ -> то, также обладает свойствами б-функции.
Пользуясь методом аппроксимаций, в ряде случаев удается полу-
получить весьма простыми вычислениями достаточно точный результат.
Однако применяя новые аппроксимации, следует проявлять извест-
известную осторожность и стремиться проверить их на простейших примерах.
§ 8. Метод бесконечной решетки
Весьма эффективным для вычисления сопротивления излучения
или коэффициента концентрации элемента антенны или антенны в це-
целом является метод, который можно назвать методом бесконечной ре-
* М. Д Смарышев
81

шетки (антенной решеткой обычно называют периодическую одномер-
одномерную или двумерную антенну, состоящую из одинаковых и одинаково
ориентированных элементов). Насколько нам известно, впервые он
был применен М. И. Карновским [21 ] при вычислении сопротивления
излучения ненаправленного излучателя, находящегося в бесконечной
линейной решетке таких же работающих излучателей. В дальнейшем
этот метод нашел существенное развитие и в настоящее время успешно
применяется для решения целого ряда задач антенной техники. Фи-
Физически сущность его состоит в том, что расчет сопротивления излуче-
излучения элемента, находящегося в реальной периодической решетке та-
таких же элементов, заменяется расчетом сопротивления излучения
этого элемента в аналогичной, но бесконечной решетке. Поскольку
в силу затухающего характера функций, описывающих взаимное со-
сопротивление излучения элементов
антенны, на сопротивление излуче-
излучения элемента оказывают влияние
только близко расположенные к нему
другие элементы, то основная масса
элементов большой конечной антенны
имеет такое же сопротивление излу-
излучения, как и в бесконечной антенне.
Одномерная решетка. Пусть цен-
центры одинаковых и одинаково
ориентированных в пространстве
элементов образуют бесконечную
эквидистантную периодическую ли-
линейную решетку; лежащую вдоль
оси х. Расстояние между центрами соседних элементов равно dx
(рис. 16). Условно примем какой-то элемент антенны за нулевой и сов-
совместим с его центром начало сферической системы координат. Сопро-
Сопротивление излучения нулевого элемента антенны при работе всех осталь-
остальных можно определить в соответствии с формулой A.20) следующим
образом
q=-2
Рис. 16. Произвольный элемент
в бесконечной одномерной пе-
периодической антенне.
C.33)
Будем полагать, что амплитуды колебаний всех элементов антенны
одинаковы и имеется фазовое распределение, обеспечивающее компен-
компенсацию антенны в направлении 0О, ср0. Так как разность хода лучей
от элемента с номером q и нулевым составляет — qdxs'm Bcoscp, то
коэффициент возбуждения элемента q равен elft<?d*sinecos<f). Прини-
Принимая во внимание, что AQ = 1, Aq = А* , zOg = zQ _q и рассматри-
рассматривая сумму двух симметричных слагаемых выражения C.33), можно
записать
z=
82

откуда активное сопротивление излучения элемента \
00 ОО
rs= 2 rOqkeAq = Re ? Aqroq. C.34)
Обозначим давление, развиваемое центральным элементом ан-
антенны в дальнем поле в направлении 0, ср на расстоянии г, отнесенное
к колебательной скорости элемента, символом р' @, ф). Тогда давле-
давление, развиваемое элементом с номером q и записанное относительно
общего начала координат, имеет вид
I2 е~'Шх sin 9 cos *s
Активное взаимное сопротивление излучения элементов q и 0 опреде-
определим по формуле A.30)
Н 0 0
Подставив это выражение в формулу C.34), знаки вещественных ча-
частей можно опустить, поскольку сумма по q всегда вещественна, так
как частичные суммы симметричных ее слагаемых вещественны. Поэ-
Поэтому можно записать
Г2 ™ Г Г* 1 / /л n 12 ~"lk1dx (sin 9 cos Ф-sin S cos ф ) .
rs=pF 2j J J IP (в-ФI"« o^sin0d0^.
q=—oo О О
C.35)
Введем замену переменных
M = sin9cos<p, C.36)
v = sin 9 sin <p, C.37)
и обозначения
«o= sin 0O cos ф0, C.38)
v0 = sin 90 sin ф0. C.39)
Как известно, замена переменных в двукратных интегралах произво-
производится в соответствии с формулой
$F(a, P)|D|dadp, C.40)
о'
где а и а' — область интегрирования, записанная в старых и новых
координатах соответственно; D — якобиан преобразования, опреде-
определяемый выражением
D==jty_ ?*1 _?il ^i C41)
да ар ар да
Функции ф' и i|/ определяют связь между новыми и старыми коор-
координатами х -= ф' (а, Р), у = г|)' (а, Р).
В нашем случае ф' = 6 == arcsin "|/и2 — v2 и г|з' — tf = arcctg -^-.
Вычисляя производные от <р' и г|)' по d и р и подставляя их в выраже-
выражение C.41), получим
D = ' . C.42)
У и» + о2 У 1—м2 —f2
4* 83

Замена переменных бисрнаииав выражении C.35) по существу
эквивалентна переходу от интегрирования по поверхности сферы еди-
единичного радиуса к интегрированию по ее проекции на плоскость хОу.
Одной и той же точке плоскости хОу могут соответствовать две симмет-
симметричные относительно плоскости хОу точки сферы, поэтому интегриро-
интегрировать по плоскости хОу надо дважды Введем переменные и' и и', со-
соответствующие интегрированию по нижней полусфере. Определяются
они также соотношениями C.36) и C.37) при 6 _
Можно не записывать отдельно интегралы по uv и u'v', а объеди-
объединить их в один, имея в виду, что подынтегральные выражения отли-
отличаются только функциями, описывающими давления, все же осталь-
остальные сомножители одинаковы при 0 и я — 0. Учитывая сказанное,
получим
2 ОО ОО
r^^Re I J [\P'(U* °)Г + |Рн(«» V)\2] Х
__ОО —ОО
X у g--'*?M"-»°) dudv {ЪЛЪ)
В этой формуле р'я (и, v) — давление, развиваемое элементом антенны
в нижнем полупространстве. Вообще говоря, пределы интегрирования
должны быть выбраны так, чтобы и и v были внутри круга единичного
радиуса, т. е. чтобы выполнялось неравенство и2 + v2 «С 1. Однако
учитывая, что под интегралом имеется сомножитель A — ы2 — t>2)~,
не изменяя результата, можно записать бесконечные интегралы по и
и v,a перед интегралами поставить знак вещественной части.
Сумма по q представляет собой характеристику направленности
решетки, состоящей из центров элементов антенны. Эта функция имеет
в общем случае в действительной части пространства несколько еди-
единичных максимумов. При стремлении числа элементов к бесконечности
максимумы становятся бесконечно узкими и имеют вид б-функций.
Так можно физически интерпретировать известное соотношение [5]
C-44)
С помощью свойства дельта-функции B.78) можно вычислить ин-
интеграл по и. В нашем случае аргумент дельта-функции содержит ко-
коэффициент перед переменной интегрирования, поэтому следует рас-
00
смотреть интеграл вида j f(x)8(ax—b)dx.
—00
Введем замену переменной ах = у, тогда!
84

C.45)
Принимая во внимание вышеизложенное, запишем
где и„ определяется из соотношения — (и„ — и0) — п — О, т. е.
л ,
«„ = 4 + «о, C-47)
1/2 при «2=1;
1 При «2 < 1.
Напомним, что сомножитель цп равен 1/2 в том случае, когда положе-
положение б-функции совпадает с началом или концом интервала интегриро-
интегрирования. В нашем случае можно считать, что интеграл по « вычисляется
в пределах от — 1 до -\- 1, а интеграл по у от — У\ — «2 до У\ — «2,
а поэтому граница интегрирования по «соответствует величине и2п=\.
Итак, мы нашли полное активное сопротивление излучения эле-
элемента бесконечной одномерной эквидистантной антенны. Рассмотрим
некоторые частные случаи.
Пусть характеристика направленности элемента антенны является
произведением двух функций, одна из которых зависит только от и,
а другая — только от у. Тогда
р (и, v) = p0D («, у) =- p0D («) D (и), C.48)
где р0 — давление, развиваемое элементом в направлении, в котором
D (и, у) = D («) D (у) = 1.
Рассмотрим случай, когда Я — размер элемента вдоль оси у велик
по сравнению с длиной волны, а на элементе вдоль оси у (см. рис. 16)
отсутствует амплитудное распределение и имеется линейное фазовое
распределение. Будем считать (что, вообще говоря, не обязательно),
что линейное фазовое распределение вдоль оси у обеспечивает компен-
компенсацию элемента в направлении компенсации всей антенны; тогда в на-
наших обозначениях
sin I— (о — vo)\
0{о)в=_У: J. C.49)
85

Подставляя последовательно формулы C.49) и C.48) в выражение
C.46), производя интегрирование по о с помощью известного соотно-
соотношения
lim
sin
[A
v — в0)
J
C.50)
и считая для упрощения записи, что элемент излучает только в перед-
переднее полупространство, получим
,2 I ' 12 .„ "
Re
ы
C.51)
, рс dxH
откуда при отсутствии компенсации элемента в плоскости yOz, когда
А,2
Re
C.52)
По этим формулам можно определить активное сопротивление излу-
излучения элемента антенны, представляющего собой отрезок, прямо-
прямоугольник, цилиндр и т. п. при работе его в одномерной решетке таких
же элементов. Напомним, что эти формулы справедливы для излуче-
излучения в полупространство. В случае излучения в полный телесный угол
следует вместо R2 (ип) записать сумму R2 («„) + Ян («„), где Ra (un) —
амплитудная характеристика направленности в тыльном полупрост-
полупространстве, нормированная к значению R @).
Из формулы C.47) следует, что ип есть синус угла наклона еди-
единичного максимума характеристики направленности решетки нена-
ненаправленных элементов, находящихся в центрах реальных, поэтому
выражение C.52) в исходной системе координат имеет вид
ы
Рс dxH
Re
(е„)
cos6n
C.53)
где
cos 0„ = cos arc siп (п \- sin0o ] .
L \ dx j\
Рассмотрим случай, когда характеристика направленности эле-
элемента в плоскости yOz имеет вид D (и) = 1. Подставляя формулу
C.48) в выражение C.46), получим
86

Пределы интегрирования по v выбраны, исходя из условия и2п
-f v2 ¦< 1. После вычисления интеграла имеем
.2 I ' 12 .
рс
C.54)
где
A/2 при и* = 1;
**" \ 1 при и* < 1,
а пределы-суммирования по п, как это следует из предыдущего выра-
выражения, должны выбираться из условия и2п < 1.
По этой формуле можно рассчитать сопротивление излучения не-
ненаправленного элемента, элемента в виде отрезка прямой, лежащего
вдоль оси х, и некоторых других при
работе их в одномерной бесконечной
решетке. При выводе ее, так же как и
в предыдущем случае, мы предполагали,
что излучение происходит в полупро-
полупространство. При излучении в полное
пространство следует рассчитывать rs
как сумму двух слагаемых, первое из
которых совпадает с приведенными фор-
формулами, а второе отличается от них тем,
что R (ип) представляет собой характе-
характеристику направленности не в переднем,
а в тыльном полупространстве.
Для того чтобы рассмотреть еще
один практически весьма интересный
частный случай, введем новую систему координат х', у', г'
@', ф') путем поворота старой вокруг оси у до совмещения осей
г' и х (рис. 17). Непосредственно из рисунка видно, что х = г' и
у = у', откуда следуют равенства:
x = sin 0соэф = u = z' = cos9'; u = cos0';
у= sin 0 sin ф = v = у' = sin 0' sin cp'; v = sin 0' sin ф'.
В формуле C.46) величина и не меняется непрерывно, а имеет дискрет-
дискретные значения ип. Следовательно, и 0' имеет дискретные значения 9„,
откуда «„ == cos0^,, v = sin0^sin9'. Подставляя новые переменные
в формулу C.46), 'и учитывая, что
Рис. 17. Поворот системы коор-
координат.
dv
sin 9П cosq) Лр
— cos2 e; — sin2 e; sin2 Ф'
получим
p'|W.
87

Пределы интегрирования по ср' и суммирования по п определим
из следующих соображений. Исходное выражение C.35) содержало
интеграл по поверхности сферы единичного^радиуса. Затем мы пере-
перешли к интегрированию по поверхности диаметрального сечения сферы
(переменные и и v) и потом снова к сферической системе координат 6',
ср'. Если полагать, что функция р (б«, ср) = p0D (8„, ср ) описывает
давление в полном телесном угле, а не в его половине, то, очевидно,
интеграл по ср' следует вычислять в пределах 0 — 2я. Что же касается
пределов суммирования по п, то следует принять во внимание соотно-
соотношение C.47), которое в новой системе координат запишется следующим
образом:
cos е;=л-^- + cose;, C.55)
где 80 — направление компенсации.
Очевидно, п следует выбрать таким образом, чтобы угол 0„ не вы-
выходил за пределы 0, я, т. е. чтобы выполнялось неравенство
1 > cose; > — 1. ¦ _
Принимая во внимание выражение C.55), пределы суммирования
по п можно записать в следующем виде:
Поскольку п не может быть дробным, воспользуемся символом Е (v),
означающим целую часть числа v, тогда
>¦« = •
R2{Qn, cp)dcp, C.56)
n»=—fif—(l + cose0)| °
где
1/2 при cos20n = l;
i при cos2 0„ < Г ,,
И '
cos 0„ = n 1- cos 0O.
d
Штрихи у символов 0 и ср мы опустили (напомним, что в этой формуле 6
отсчитывается от линии, проходящей через центры элементов, а р —
давление в том направлении, в котором D (9, ср) =¦ 1).
По формуле C.56) можно определить активное сопротивление из-
излучения элемента бесконечной решетки, а затем, предполагая, чтр
оно равно сопротивлению излучения каждого элемента конечной, но
многоэлементной антенны, найти и коэффициент концентрации всей
антенны. Под элементом можно понимать и группу элементов, и антенну
в целом.
88

Рассмотрим пример. Пусть элемент антенны представляет собой
цилиндрическую антенну с образующей, параллельной оси z (рис. 18)
и с произвольной направляющей. Высота антенны Н велика по срав-
сравнению с длиной волны, и поэтому можно считать, что полное (т. е. с уче-
учетом взаимодействий) активное сопротивление излучения антенны,
находящейся в бесконечной цепочке таких же работающих антенн,
равно ее сопротивлению излучения в свободном поле. Будем полагать,
что высота антенны равна расстоянию между соседними антеннами
(т. е. они расположены вплотную без
зазоров), а также, что вдоль образую-
образующей имеется равномерное амплитудное
распределение и линейное, обеспечивающее
ее компенсацию в направлении 0О, фазовое
распределение. Тогда в соответствии с тео-
теоремой умножения характеристика направ-
направленности антенны равна произведению ха-
характеристик направленности образующей Do
и направляющей DH, причем Do совпадает
с характеристикой направленности прямой
sin — (cos G — cos 0O)'
¦ (cos 9 — cos 90)
Рис. 18. К определению
коэффициента концен-
концентрации произвольной ци-
цилиндрической антенны.
Подставляя в формулу C.56) вместо
R @„, ф) произведение \D0 @) Ьн (б, ф) | и учитывая C.55), получим
г2
(пН X
П п
\ X d
пН X
— п —
X d
Rl(Qn, tp)dq>.
Поскольку Н — d, в направлениях 0 = 9„ дробь, стоящая в квад-
квадрате перед интегралом, обращается в нуль при всех значениях п,
кроме п = 0, при котором в нуль обращается и знаменатель, и вся
дробь равна единице. Поэтому все слагаемые суммы по п, кроме ну-
нулевого, исчезают и
,2 1 р' 12 . 2Я
где гH = 1/2 при 0О = 0 и 90 = я, а при всех остальных б0 множитель
По = 1.
Определим коэффициент концентрации антенны по формуле A.38):
C.58)
2я
¦По
бо. ф) d(p
89

Последнее выражение формулы C.58) состоит из двух множителей.
Первый из них — коэффициент концентрации линии при равномерном
амплитудном распределении. Так как образующая имеет длину Я и
по предположению, сделанному при выводе, амплитудное распределе-
распределение по ней равномерно, первый сомножитель — коэффициент концен-
концентрации образующей. Это обстоятельство заставляет предположить,
что формулу можно использовать и в случае, когда амплитудное рас-
распределение вдоль образующей неравномерно, если только вместо 2Н/%
подставить величину коэффициента концентрации линии при заданном
амплитудном распределении. Однако анализ формулы C.56) показы-
показывает, что в общем случае это неверно.
Действительно, из формулы C.56) мы имеем
к 4я \ptff 2Я2л
Активное сопротивление излучения линии при наличии некоторого
амплитудного распределения и фазового, обеспечивающего компенса-
компенсацию в направлении б0, можно определить с помощью формулы C.54).
В нашей системе координат оно примет вид
'.=-^f|vtf<e»>. C.60)
Удваивая это выражение в связи с тем, что в рассматриваемом случае
излучение происходит в полное пространство, и находя коэффициент
концентрации через квадрат давления и сопротивление излучения, по-
получим выражение, определяющее коэффициент концентрации отрезка
Из сравнения формул C.61) и C.59) видно, что только в частном слу-
чае, когда Г /?2 (9„<р) dip равен некоторой константе М, не завися-
о v
щей от б„ и п, сформулированное выше предположение справедливо
и формула C.59) может быть записана в следующем виде:
М
Двумерная решетка. Формулу, определяющую активное сопротив-
сопротивление излучения элемента двумерной решетки с учетом взаимодейст-
взаимодействия всех элементов антенны можно было бы получить аналогично тому,
как была выведена для одномерной решетки формула C.46). Однако
можно поступить и проще: предположить, что каждый элемент одно-
одномерной решетки представляет собой бесконечный набор элементов,
90

эквидистантно расположенных вдоль некоторой прямой. Если эта
линия параллельна оси у (см. рис. 16), то элементарная ячейка дву-
двумерной решетки представляет собой прямоугольник, а если состав-
составляет некоторый угол с осью у, то ячейка имеет вид параллелограмма.
В этом параграфе для упрощения записи мы рассмотрим только слу-
случай прямоугольной ячейки. Обозначим расстояние между соседними
элементами вдоль оси у символом dy и вдоль оси х — символом dx.
Давление, развиваемое элементом одномерной решетки, представляю-
представляющим собой бесконечный набор малых элементов, каждый из которых от-
относительно своего центра развивает давление р'о (и, v), равно произ-
произведению •
g=—оо
p'0(u,v) ^
Подставляя это выргажение в формулу C.46) и производя интегриро-
интегрирование по v, получим
оо оо | ' , v 12 I I ' / Ч2
п=— оо т^—о
где
Определив активное сопротивление излучения элемента одномерной
или двумерной решетки с учетом взаимодействия по полю через дав-
давление, создаваемое элементом в дальней зоне, по формуле C.2) можно
найти и реактивное сопротивление излучения.
В последующих главах, рассматривая параметры конкретных ти-
типов антенн, мы приведем ряд примеров расчетов по полученным фор-
формулам, а также постараемся глубже проанализировать их физический
смысл.
§ 9. Определение помехоустойчивости антенны
Рассмотрим метод, позволяющий определить помехоустойчивость
приемной антенны по известному распределению источников помехи
вокруг нее.
Функции пространственно-временной корреляции помех на эле-
элементах антенны. Напряжение, развиваемое на выходе приемного эле-
элемента, имеющего номер q, определим как произведение его чувстви-
чувствительности по давлению у' на усредненную по поверхности элемента s3
91

действующую со стороны поля силу [формула A.66)]. Тогда
где 7= y'/s3; Q — производительность источника помехи, располо-
расположенного в точке (г , и ); р (г , и) — давление, развиваемое в этой
точке элементом антенны в режиме излучения при единичной колеба"
тельной скорости. При выводе формулы A.66) мы считали, что источ-
источник сигнала удален от антенны, поскольку рассматривали характери-
характеристику направленности в режиме приема, однако эта формула справед-
справедлива и в произвольном случае, если только полагать, что p'q (rq, uq)
определяет давление на конечном расстоянии rq. Напряжение же на
выходе q-то канала антенны перед сумматором, но после устройства,
обеспечивающего введение некоторого амплитудно-фазового распре-
распределения hq = Aq, равно
По этой формуле можно определить напряжение, развиваемое на входе
сумматора при воздействии на антенну детерминированного сигнала.
Если же сигнал случаен, то по аналогии с выражением B.79) можно
записать
«,@= 1 Aqyp'q[rq, ия)е-шС1<1Ф{<*), C.63)
—00
причем
М [йФ (со) йФ* (со')] = б (со — со') dcodco'. C.64)
Для проверки правильности этих выражений определим мощность на
выходе канала, т. е. дисперсию процесса uq (t). При этом следует при-
принять во внимание, что в общем случае и Л , у и р (г , и ) зависят от
частоты
д[и?(О]=л*[и,(о«;(о] =
оо оо
= I \ Aq{(o)Aq{&')pq{a, rq, ид)р'я'{&, rq,uq)x
—00—рО
X Q (со) Q* (со') М \6Ф (со) йФ* (со')] =
00
= J W\Prq[rg, »9)|2Q2Hdco. C.65)
Предположим, что приемник представляет собой ненаправленный, ма-
малый по сравнению с длиной волны элемент, лежащий в плоском жест-
жестком экране. Тогда >
а произведение p'q (rq, uq) Q определяет давление на поверхности эле-
элемента. Произведение его квадрата на квадрат чувствительности равно
.92

квадрату напряжения, и ли, с точностью до постоянного сомножителя,—
мощности на выходе элемента. Все же подынтегральное выражение
в формуле C.65) — спектральная плотность на частоте со, а интеграл
от нее по частоте — полная мощность в полосе частот.
Определим теперь функцию пространственно-временной корреля-
корреляции процессов, поступающих на вход сумматора с каналов q и g:
*„ = Л* [«, @ «;(')]=» J fQ»^/X(V «f)p/(re, «g) dec. C.66)
—00
Эта функция называется пространственной потому, что рассматри-
рассматриваемые процессы разнесены в пространстве (элементы q и#),и времен-
временной, поскольку в каналах введены различные временные сдвиги (фазы
коэффициентов возбуждения aq и ag).
Рассмотрим случай, когда источники помехи расположены непре-
непрерывно на некоторой поверхности о. Имея в виду, что производитель-
производительность источника Q равна произведению его площади s0 на линейную
колебательную скорость w (о), напряжение, создаваемое на выходе ка-
канала q при воздействии на него элемента источника помехи do, по
аналогии с формулой C.63) запишем следующим образом:
оо
duq(t) = J Aqyp'Arq, uq)e-tti>tw(o)dod<P(<*). C.67)
—оо
Напряжение на выходе канала с номером q при воздействии всех ис-
источников помехи:
и„ @ = J I AqW'q (V nq) е~шт (a) dod<P (со). C.68)
к —го
Определим функцию корреляции Kqg- Для этого полученное выраже-
выражение помножим на сопряженное, в котором индекс q заменим на g,
а символ а на а', и выполним операцию усреднения. В результате по-
получим
лучим
оо
оо
аа' —со
Здесь К (о, о') = М [w (о) w* (о')] — функция корреляции колеба-
колебательных скоростей источника помехи в точках, расположенных вну-
внутри элементов da и do'.
С помощью этой формулы можно определить функцию пространст-
пространственно-временной корреляции процессов двух любых каналов антенны
и далее найти полную мощность помех на выходе антенны.
Некоррелированные источники помех. Рассмотрим случай, когда
на поверхности а расположены некоррелированные источники, при-
причем площадь каждого из них равна s0 и общее число их на поверхности
а равно М. При этом в последнем выражении вместо двойного инте-
интеграла следует записать двойную сумму по источникам, а вместо do
и do' записать s0. Поскольку источники некоррелированы, функция
корреляции колебательных скоростей равна нулю, когда рассматри-
рассматриваются различные источники (т. е. слагаемые двойной суммы с раз-
93

ными индексами), и равна квадрату колебательной скорости, когда
в обеих суммах рассматривается один и тот же источник. Вследствие
независимости источников двойная сумма переходит в одинарную,
и мы имеем '""
*«=so i Т а„аж (v «л р; (v »*) i»«i2 *<»¦ (з-7°)
т=0—оо
Если расстояния между центрами источников помех в рассматривае-
рассматриваемом диапазоне частот малы по сравнению с длиной волны, то, вос-
воспользовавшись формулой численного интегрирования
м
" можно перейти снова от суммы к интегралу:
C.71)
Заметим, что это выржение можно было непосредственно получить
'из формулы C.69), положив К (о, о') = so\ w (о) |2б (о — о').
Рассмотрим поведение функций корреляции помехи в некоторых
простейших частных случаях расположения источников помех. Для
упрощения преобразований будем считать, что либо источники помехи
излучают узкополосный шум [w (о) = w (о, <о0) б (со — ©0)], либо
в приеме происходит узкополосная фильтрация [что может быть запи-
записано следующим образом: у (<о) = у (<о0) б (<о — (ооI.
В случае, когда источник помехи всего один, из формулы C.66)
имеем
и если при этом функция корреляции определяется на ненаправлен-
ненаправленных элементах антенны, то
Кщ^С(?Щ2-е*Ъ-**, C.73)
где
16я2
rq и rg — расстояния от приемников с номерами q и g до источ-
источника помехи. Если источник помехи находится в дальнем поле (рис. 19),
то rq = r0-\ — sin 0 и rg = r0— —^- sin 9, и если при этом в каждый
канал введена задержка, обеспечивающая компенсацию антенны в на-
направлении 0О, то aq — ag = kdqgs\nQQ, и поэтому
94
*ln4 C.74)
'о

Таким образом, если плоская волна от источника помехи одновременно
поступает на два приемника, а компенсация при этом отсутствует, или
если волна от источника помехи достигает приемника с некоторой за-
задержкой во времени, которая, однако, компенсируется в тракте, то
функция корреляции максимальна. При этом коэффициент корреля-
корреляции, т. е. отношение функции корреляции при некоторых произволь-
произвольных величинах dqS и 90 к функции корреляции при dqg = 0, равен
единице. В рассмотренном примере мы предполагали, что на приемную
антенну воздействует один источник помехи, однако очевидно, что
полученные выражения справедливы и для воздействия одного источ-
источника случайного сигнала.
Пусть'теперь источники помех расположены по окружности боль-
большого радиуса г0, а ненаправленные приемные элементы находятся
вблизи центра окружности. Поскольку вы-
ражения, приведенные выше, получены
в предположении, что источники помехи
Рис. 19. Взаимное располо-
расположение источника помехи н
элементов q и g.
Рис. 20. К определению функции кор-
корреляции при расположении источников
помех на окружности.
расположены на некоторой поверхности, то следует предположить,
что они расположены не на окружности, а на поверхности тора,
радиус окружности поперечного сечения которого Ь весьма мал
(рис. 20).
Найдем расстояния от приемников до элемента площади тора, опре-
определяемого радиусом-вектором и или координатами фиг:
Интеграл по поверхности тора в силу малости радиуса Ъ будем вычис-
вычислять приближенно, а именно: вычислим интеграл по ф от 0 до 2зх и
домножим его на длину окружности 2пЪ. Учитывая сказанное, из фор-
формулы C.71) имеем
f С/
C.75)
Вычислим интеграл по ф. Для этого обозначим координаты центров
95

приемников xq, yq, zq и xv yg, zg и составим произведение одноимен-
одноименных проекций в показателе экспоненты:
(?я — Ре)и = К—**)cos Ч + teq — У&) ^п Ф + (гч—zg) °-
Проекция вектора и на ось z равна нулю, поэтому окончательный ре-
результат не будет зависеть от координат гц и zg. С помощью подста-
подстановки, которую мы подробно рассмотрим ниже при выводе формулы
для определения характеристики направленности излучающей окруж-
окружности, интеграл легко сводится к нулевой функции Бесселя. Оконча-
Окончательно получаем
Kqg = so\w\'-An2±Ce^~ae) J0(kdqg), C.76)
где символом С обозначена та же константа, что и в предыдущем при-
примере, a dqg — проекция расстояния между элементами q и g на пло-
плоскость хОу.
Поскольку функция /0 (х) равна единице только при аргументе,
равном нулю, коэффициент пространственной корреляции при dqg> О
всегда меньше единицы, однако, если оба приемных элемента распо-
расположены на одной прямой, параллельной оси г, независимо от расстоя-
расстояния между ними он постоянен и равен единице. Коэффициент прост-
пространственно-временной корреляции ни при каких соотношениях ме-
между временами задержек сигналов в различных каналах при dqg ^ О
не равен единице. В этом состоит принципиальное отличие случая воз-
воздействия на элементы антенны одиночного источника помех от воз-
воздействия многих источников.
Рассмотрим еще один случай, когда приемники окружены сферой
большого радиуса, на которой расположены источники помех (так
называемая модель помех дальнего поля). Так же, как и в предыдущем
примере, будем предполагать, что колебательная скорость всех источ-
источников одинакова. Из формулы C.71) имеем
Kqg = s01 w Ia Се (art) f ? e-lk (Р«~Р*> " sin ftJMp.
о о
В этом случае v
(pq — pg) и = (*,—xg) sin 0 cos <p + (yq—yg) sin 9 sin ф + {zq—zg) cos 6
w I2 Ce (a"-a^ ^^M_, C.77)
kdqg
где
Из сравнения этого выражения с формулой D.88) видно, что в слу-
случае ненаправленных элементов антенны функция пространственной
корреляции в изотропном дальнем поле совпадает с точностью до по-
постоянного сомножителя с функцией, описывающей активное взаимное
сопротивление излучения элементов.
96

Пусть источники помехи расположены на сфере произвольного
радиуса г и дисперсии их колебательных скоростей не одинаковы, т. е.
\w (сх)|2 = /п (o)\w0\2 = /п (u)\wo\2. Тогда из формулы C.71) имеем
К g = s[t&A А*У\хюЛ2Пп{и)р [г , и)р'*(га, u)dQ. C.78)
Сравнение этого выражения с формулой A.29) показывает, что и для
произвольных элементов функция пространственной корреляции в слу-
случае изотропных помех дальнего поля (т. е. при /п (») = /п и р (г ,и) —
= р (и)] с точностью до постоянных сомножителей совпадает с ак-
активным взаимным сопротивлением излучения элементов антенны.
В соответствии с формулой A.79) запишем отношение мощностей
сигнала и помехи на выходе антенны, воспользовавшись выражениями
C.78) и C.66), полагая Q2 (со) = Q26 (со — соо)
п п
V V wc
w/ ^Л 2л Д9б О2
Wc _ 9=1 6=1 _ Цс х
п п
q=l 6=1
п п
^i у л А*о' I a \ '* (г и\
х я ^ g=i _ ^3.79)
2 2 AqAll 'n (")Р? (Гп' Un) P& (Гп- Ug) dQ
9—1 g=l Й
Мощности сигнала и помехи, воспринимаемые ненаправленным
элементом, расположенным в центре сферы, или пропорциональные
им интенсивности в поле /с и /и можно определить по формулам C.78)
и C.66), полагая в них q = g, Выражая числитель и знаменатель пер-
первого сомножителя правой части формулы C.79) через эти величины,
получим
/п
2 2VX(rc ия)ре(гс ug)
X „ r'g=1 • C-80)
„==1 g=l
Записывая двойные суммы как квадрат модуля соответствующих
одинарных и поделив числитель и знаменатель дроби на одно и то же
выражение, помехоустойчивость антенны к можно записать так:
а
/„ (и) dQ
C.81)
97

где D6(u} = —^ отношение давлений, развиваемых
антенной в произвольной точке сферы радиуса гпив точке располо-
расположения источника сигнала, определяемой величинами гс и »0.
В частном случае расположения источников помел на поверхности
сферы большого радиуса гп = гс функция D6 (и) совпадает с харак-
характеристикой направленности антенны в дальней зоне. Если к тому же
пространственный спектр помех равномерный, то /п (и) не зависит от'
и и формула C.81) переходит в выражение A.82), определяющее ко-
коэффициент концентрации в дальнем изотропном поле помех.
Заметим, что из соотношения C 81) следует возможность графиче-
графического определения помехоустойчивости антенны в поле ближних изо-
изотропных помех. Для этого можно пользоваться координатной сеткой
рис. 10, нанося на нее не характеристику направленности в дальнем
поле, а некоторую другую функцию, не равную в направлении »0 еди-
единице.
Полученные нами выражения, определяющие в узкой полосе ча-
частот функцию корреляции сигналов от отдельных каналов на входе
сумматора антенны, имеют одинаковую структуру. Если не прини-
принимать во внимание постоянные сомножители, K.qg состоит из двух
частей. Первая зависит от разности времен задержек в различных
каналах и не зависит от вида модели помех. Вторая же зависит от
расстояния между элементами (а в общем случае и от их взаимного
расположения) и от рассматриваемой модели помех. Эта вторая часть
является функцией пространственной корреляции Rqg. Было бы чрез-
чрезвычайно удобно иметь возможность исследовать функцию пространст-
пространственной корреляции для рассматриваемой модели помех и потом для
расчета помехоустойчивости антенны умножать на экспоненту от
разности фаз возбуждения аналогично тому, что мы делаем, когда поль-
пользуемся для расчета сопротивления излучения антенны не вносимыми,
а взаимными сопротивлениями излучения элементов. Однако, к сожа-
сожалению, как это видно, например, из формул C.69) и C.71), функцию
Kqg в полосе частот в общем случае не удается представить в виде сом-
сомножителей, один из которых ¦— функция пространственной корреля-
корреляции помех в полосе частот.
Это обстоятельство является весьма существенным и приводит
к ряду трудностей вычислительного и экспериментального характера.
Так, например, если мы хотим экспериментально определить помехо-
помехоустойчивость антенны в реальном поле помех, то в узкой полосе частот
можно ограничиться измерением функции пространственной корре-
корреляции. В случае же работы в сравнительно широкой полосе частот
так поступать нельзя и необходимо для каждого сочетания фазовых
возбуждений экспериментально определять функцию пространственно-
временной корреляции.
98

ГЛАВА 4
ЛИНЕЙНЫЕ АНТЕННЫ
§ 10. Приближенный способ определения коэффициента
концентрации произвольных непрерывных линейных антенн
Вывод расчетных формул. В соответствии с выражением B.39),
давление, развиваемое произвольной линейной антенной, поперечное
сечение которой представляет собой окружность радиуса г0 (г0 «С Ц,
в произвольной точке пространства определяется формулой
Совместим точку наблюдения с поверхностью некоторого элемента
площади антенны da' = 2nrodl'. Поскольку элемент этот мал по срав-
сравнению с длиной волны и давление и колебательная скорость на его
поверхности постоянны, то мощность, излучаемую элементом площади
do', можно определить следующим образом:
dW (/') = — f pw* (I1) da' = nropw* (/') dV =
da'
Полная мощность, излучаемая всей антенной, может быть найдена
в результате интегрирования этого выражения по Г
¦j \
Здесь г — расстояние между точками, лежащими на элементах dl и
dV, и если их положение определяется радиусами-векторами р и р',
то г = | р — р' |.
Принимая во внимание соотношение w (I) — w0A (I) = woa (p)e'a(p>,
получим
W— lk^\< f j a(p)a(p')в'И«^'I i^l!ldldV.
В двойном интеграле по / для каждой пары элементов интегриро-
интегрирования dl, dl' имеется симметричная пара dl', dl, причем подынтеграль-
подынтегральные выражения отличаются только знаком показателя экспоненты,
зависящего от фазового возбуждения а (р) и a (p'). Поэтому в сумму
подынтегральных выражений, соответствующих сочетанию элементов
интегрирования dl, dl' и dl', dl, вместо первого экспоненциального
сомножителя войдет удвоенная его действительная часть. В связи
99

с этим обстоятельством последнее выражение можно записать следую-,
щим образом: j
^j Ja(p)a(pOcos[a(p)^-o(pO] f*^"",' dldl'. D.1)
Определим активное сопротивление излучения произвольной линей-
линейной антенны
cji/.2| ja(p)a(p')cos[a(p)_a(p/)]
X
i и
X-pldldl'. D.2)
Полученное выражение, так же как и выражение D.1), является точ-
точным, однако использование его для практических расчетов весьма
осложнено необходимостью вы-
числения двойного интеграла по
/. Вместе с тем структура выраже-
выражения D.2) подсказывает способ его
приближенного вычисления. Дей-
Действительно, функция
sinz
находя-
Рис. 21. К приближенному опреде-
определению сопротивления излучения
линейной антенны.
щаяся под интегралом, довольно
быстро затухает, поэтому основной
вклад в величину интеграла по /'
при фиксированном положении
элемента интегрирования dl вносят только элементы dl', близкие к dl.
Мы воспользуемся этим обстоятельством для приближенного вы-
вычисления внутреннего интеграла
7(р) = i^'1
Будем предполагать, что длина волны значительно меньше теку-
текущих радиусов кривизны линии / и ее длины. Тогда основной вклад
в величину интеграла / (р) вносят близко расположенные к элементу
dl (положение которого определяется радиусом-вектором р) элементы
dl'. Если радиус кривизны линии значительно больше длины волны]
то эти близко расположенные элементы dl' можно считать лежащими
не на линии /, а на касательной к ней в некоторой точке, принадлежа'
щей dl. Поэтому интегрирование по кривой / заменим интегрирова-
интегрированием по касательной АВ (рис. 21). Поскольку под интегралом нахо-
находится быстро затухающая функция, то без существенной погрешности
интегрирование можно вести в бесконечных пределах. И еще одно пред-
предположение: пусть амплитудное распределение на участке, вносящем
основной вклад в величину интеграла / (р), меняется медленно. Поэтому
вынесем а (р') за знак интеграла в точке р' = р. Совмещая ось х с ка-
касательной АВ, а начало отсчета с точкой касания, имеем |р — р' | =х
7(p) = a(p)
^
D.3)
100

Рассмотрим различные частные случаи. В первом из них будем
предполагать, что фазовое рапределение отсутствует. Поскольку
J ' "¦¦ '
—оо О
получим
" 4?)dl. D-4)
Во втором частном случае будем предполагать, что антенна компен-
компенсирована в направлении »0. При этом а (р) = kuop и cos [a (p) —
— a (p')] = cos [ka0 (p — р')]. При переходе от интегрирования по
кривой / к интегрированию по прямой АВ разность р — р' равна
разности проекции векторов р и р' на ось х, т. е. просто координате х.
Проекция же единичного вектора и0 на ось х равна косинусу угла между
направлением компенсации и касательной к линии / в точке на dl.
Обозначив этот косинус символом |5 (р), получим
/(р) = а(р) Г cos tfexp (р)]-^J-i dx.
—00
Принимая во внимание известное равенство
ОО
cos[**P(p)]
sin kx
я/2 при k>k${p), т. е. р(р)<1;
я/4 при k=--k$(p), т. е. Р(р)=1,
и возвращаясь к формуле D.2), имеем
я2(рК+4-jV^l' D.5)
i[ 2 к J
где 1Х — общая длина всех участков линии, не параллельных направ-
направлению компенсации (т. е. таких, где р (р) < 1); /2 — общая длина всех
участков линии, параллельных направлению компенсации (т. е. та-
таких, где р (р) ¦= 1).
И, наконец, последний частный случай. Пусть фазовое распределе-
распределение присутствует, но меняется оно настолько медленно, что его можно
считать постоянным на участке, вносящем наиболее существенный
вклад в величину интеграла по х [формула D.3) ]. В этом случае можно
положить а (р) = а (р'), и мы получаем снова формулу D.4), которая,
таким образом, справедлива не только в отсутствии фазового распре-
распределения, но и при наличии медленно меняющегося (во всяком случае
медленнее, чем при компенсации отрезка вдоль его оси) фазового рас-
распределения.
101

Учитывая, что давление, развиваемое произвольной линией в даль-
дальнем поле в некотором направлении и0, определяется выражением
B-45),
„(„ \ Ы^/ра/р l«r , ч 'Иф) -1йра„ <r /4 ел
2г /
по формуле A.38) легко определить и коэффициент концентрации ли-
линии в направлении и0.
В случае отсутствия фазового распределения
D.7)
В случае медленно меняющегося по антенне фазового распределения
. D.8)
dl
Наконец, при фазовом распределении, обеспечивающем компенса-
компенсацию антенны в направлении и0,
4
Я 2
где, как и в формуле D.5), /2 — общая длина всех участков антенны,
параллельных направлению компенсации а0, & 1% — общая длина всех
остальных ее участков (/х + /2 = /). Из формулы D.9) следует, что
коэффициент концентрации компенсированной произвольной непре-
непрерывной линии при равномерном амплитудном распределении равен
отношению удвоенной длины линии к длине волны (если только от-
отсутствуют участки линии, параллельные направлению компенсации).
Определение оптимальных возбуждений. С помощью полученных
приближенных выражений легко найти (разумеется, тоже прибли-
приближенно) распределения, обеспечивающие максимум коэффициента кон-
концентрации произвольной линии. Прежде всего из сравнения формул
D.7), D.8) и D.9) видно, что для достижения максимальной величины
коэффициента концентрации в направлении и0 антенну следует ком-
компенсировать в этом направлении. Таким образом, оптимальное фазовое
распределение уже определено и остается найти только амплитудное.
Сделать это можно с помощью прямого метода вариационного исчис-
исчисления.
Разобьем в формуле D.9) участок /х на п, а участок /2 на т малых
одинаковых элементов величиной А/ и заменим интегрирование по /
102

соответствующим суммированием:
п
[
== ;тг
п т KG
22
g
Теперь коэффициент концентрации представлен как функция п -\-т
переменных а (р?) и a (pg). Для определения a (р9) и a (pg), обеспечи-
обеспечивающих максимум К, вычислим первые производные этого выражения
по a (ps), где s = 1, 2, . . . , п и по а (рЛ), где г = 1, 2, . . . , т
дК 4A12FG — 4a(Ps)F2
I (Ps) К G2
К _4Д/ 2FG — 2a(pr),
5= 1, П
r= 1, т.
Приравнивая к нулю полученные выражения, имеем
i
s~< ,
Записанные равенства представляют собой систему алгебраических
уравнений относительно неизвестных a (ps) и а (рг). В рассматривае-
рассматриваемом случае нам достаточно найти решение с точностью до постоянного
сомножителя. Такое решение легко получить, обозначая отношение
GkF некоторой константой С. (Это возможно, поскольку ни G, ни F
не зависят по отдельности от s или г, а зависят от сумм, в которые
входят все s от 1 до п и все г от 1 до т.)
Поэтому
а(рЛ) = С, r=l,m.
Возвращаясь от суммирования к интегрированию вдоль линии,
получим вывод о том, что коэффициент концентрации произвольной
компенсированной линии максимален при равномерном амплитудном
распределении вдоль всех участков линии, не параллельных направ-
направлению компенсации, и равномерном же, но вдвое большем распреде-
распределении вдоль всех участков, параллельных направлению компенсации.
Убедиться в том, что найденное нами распределение обеспечивает
именно максимальное, а не минимальное значение коэффициента кон-
концентрации, можно с помощью неравенства Коши—Буняковского так
же, как это делалось в предыдущей главе при определении оптималь-
оптимального возбуждения антенны при независимости ее элементов.
Подставляя оптимальное распределение а (р) = 1 при р, опреде-
определяющих точки, лежащие на 1г и а (р) = 2 при р, определяющих точки
на /2 в формулу D.9), получим выражение для максимальной величины
103

коэффициента концентрации произвольной компенсированной линей-
линейной антенны 0
:
Заметим, что это выражение можно было получить непосредственно
из формулы C.19), считая, что участки линии 1г и /2 взаимно незави-
независимы.
Из последней формулы видно, что максимальная величина коэффи-
коэффициента концентрации линии длиной Н равна 4Я/Я и достигается в том
случае, когда линия представляет собой продольно компенсирован-
компенсированный отрезок прямой.
При выводе приближенных формул для определения активного
сопротивления излучения и коэффициента концентрации произвольных
непрерывных линейных антенн мы предполагали, что радиусы кри-
кривизны линии значительно больше длины волны. Строго говоря, сле-
следовало бы еще считать, что отдельные ветви кривой отстоят друг от
друга на расстояние значительно большее длины волны. Так напри-
например, если линия представляет собой плоскую спираль, состоящую из
нескольких витков, то даже при больших относительных радиусах
кривизны спирали приближенная формула может дать большую
ошибку, если только расстояние между соседними витками спирали
невелико по сравнению с длиной волны. Действительно, полученные
формулы приближенно учитывают взаимодействие элементов линии,
лежащих на одном витке спирали, и не учитывают взаимодействия
отдельных витков спирали между собой, которое при малом расстоянии
между витками может быть весьма существенным.
Во многих случаях ошибку, возникающую из-за взаимодействия
отдельных ветвей линии, можно существенно уменьшить, производя
приближенное вычисление (например, с помощью метода стационар-
стационарной фазы) соответствующих интегралов.
§ 11. Антенна в виде отрезка прямой
Пусть отрезок длиной / расположен вдоль оси х. Положение ра-
радиуса-вектора и в силу симметрии поля, создаваемого отрезком от-
относительно оси х, можно определить одной пространственной коорди-
координатой, например, углом а, отсчитываемым от плоскости yOz.
Тогда характеристика направленности отрезка определится фор-
формулой
J
( )Z= $
х
Скалярное произведение рюравно ^sina, поскольку ру = рг = 0;
рх = х, а проекция единичного вектора и на ось х равна |и| sina =
= since. Поэтому Г
104

Для компенсации антенны в направлении а = а0 следует положить
а (х) = ^sina0; при этом
i a(x\
5 ? ¦ . D.11)
$a(x)dx V '
Приближенное определение ширины характеристики направлен-
направленности. Получим приближенные выражения, определяющие ширину
характеристики направленности прямой линии большого по сравне-
сравнению с длиной волны размера при произвольном амплитудном распре-
распределении а (х). Для этого совместим начало координат с центром тяжести
антенны, представляя ее некоторой материальной линией, имеющей
распределение плотности, соответствующее амплитудному распреде-
распределению а (х). При этом должно выполняться условие J xa (x) dx = 0.
х
Разложим в выражении D.11) sin а вряд Тейлора вблизи" точки а0
« ограничимся тремя первыми членами разложения sina = sina0 +
+ Aacosa0— ±-Q- sina0, где Да = a — a0. Воспользуемся также и
разложением экспоненциальной функции в степенной ряд ё~1^ = 1 —
В2
— ф -—-—}-.... В результате получим выражение для R (a),
состоящее из трех слагаемых, причем одно из них обращается в нуль
в связи с выбором начала координат в центре тяжести антенны. Окон-
Окончательно будем иметь
k2 [Да cosа0 — 0,5 (ДаJ sin a0]2 J хЧ (х) dx
#(а)=1 = . D.12)
У ' 2 J a (x) dx У '
X
Будем приближенно считать, что полная ширина характеристики
направленности a0i7 равна удвоенной величине угла между направле-
направлениями а0 и а, соответствующему значению характеристики направ-
направленности, равному 0,707 и лежащему слева от а0. Тогда а0?7 = 2 (а0 —
— а) = — 2Да. При этом R (а) = 0,707 и второе слагаемое выраже-
выражения D.12) равно 0,293, откуда
2 / 0,586 \ia{x)dx
^Lsino1/ 1DЛЗ)
Lsino„ = —1/ —г1 •
8 ° к f j x2a (x) dx
X
Рассмотрим частные случаи. Пусть первое слагаемое левой части
значительно больше второго, что имеет место при а0 = 0 и вплоть до
некоторого значения а0, тем большего, чем меньше ширина характе-
характеристики направленности а0>7. Второе слагаемое не меньше чем на
порядок отличается от первого при выполнении условия
0,4 cos a0
«0,7
sina0
105

или, если угол а0>7 выражен в градусах,
o07<23°ctgo0. D.14)
При выполнении этого условия из формулы D.13) имеем
0,586 J a (x) dx
I/ —И5 ;. D.15)
k cos a0 ? xsa (x) dx
x
Если же антенна компенсирована вдоль своей оси, т. е. а0 = —, то
из формулы D.13) получим
Г 4 • 0,586 J а (х) dx
D.16)
Для случая равномерного амплитудного распределения из последних
двух формул можно получить следующие выражения:
cos a0
«0,7= 1,84 l/i. D.18)
Анализ приведенных выше соотношений позволяет сделать сле-
следующие выводы, справедливые при больших относительных размерах
отрезка.
1. Зависимость ширины характеристики направленности от вол-
волнового размера антенны различна для разных углов компенсации.
2. При выполнении условия D.14) с увеличением наклона глав-
главного максимума характеристики направленности ее ширина возрастает
пропорционально cos~' a0.
3. При увеличении амплитуды возбуждения на краях отрезка ха-
характеристика направленности обостряется, а в середине — расши-
расширяется. Это утверждение становится очевидным из рассмотрения вы-
выражений D.15) и D.16), если предположить, что при перераспределе-
перераспределении чувствительности вдоль антенны интеграл по ее длине от а (х)
остается постоянным.
4. При большом волновом размере продольно компенсированной
антенны ее характеристика направленности значительно шире, чем
в отсутствии компенсации.
Теоремы о направленности отрезка прямой. Рассмотрим некоторые
георемы, связывающие между собой направленные свойства отрезка
с амплитудно-фазовым распределением.
1. При четном относительно центра антенны амплитудном [а(х)]
и нечетном фазовом [а (х) ] распределениях антенна имеет фазовый
центр, совпадающий с ее геометрическим центром.
106

В соответствии с формулой D.10) при совмещении начала коорди-
координат с центром излучающего отрезка его характеристика направлен-
направленности может быть записана следующим образом:
/
J
г/2
J a(x)eta{x)e-ikxsiaa'dx
j
-1/2
Рассмотрим сумму значений подынтегральной функции при не-
некоторой координате х и симметричной ей —х:
a (x) el[a{xWkx sin al + a (—x) em~x)+kx sin **.
Учитывая, что a (x) ~ a (— x) и a (x) = — a (— x), эту сумму с по-
помощью формулы Эйлера можно выразить так: 2а (х) cos [a (x) —-
— fcxsina]. Поэтому интегрирование в формуле D.19) можно прово-
проводить только по половине антенны и записать
112
J a (x) cos [a (x) — Аде sin a] dx
г» /„\ _ п /_.\ -С(<х) О
4 ' v ' 1/2
J a (x) cos [a (x) — kx sin aft] d*
о
Правая часть этого выражения чисто вещественная, поэтому г (а) равно
нулю или я, а следовательно, антенна имеет фазовый центр. Так как
при записи характеристики направленности начало координат было
выбрано в центре антенны, то фазовый центр совпадает с геометри-
геометрическим центром антенны.
Теорема о фазовом центре впервые была доказана в работе [9];
справедлива и обратная теорема (см. монографию [18]), но доказа-
доказательство ее значительно сложнее.
2. Умножение амплитудного распределения на некоторую посто-
постоянную величину или прибавление такой величины к фазовому рас-
распределению не изменяет характеристики направленности антенны.
Доказательство этого утверждения состоит в выносе из-под знака ин-
интеграла в числителе и знаменателе формулы D.19) одинаковых сомно-
сомножителей и последующего их сокращения.
3. Введение линейного фазового распределения смещает характе-
характеристику направленности относительно оси отсчета углов а и дефор-
деформирует ее вдоль этой оси, но не меняет самого вида функции,
описывающей характеристику направленности. Характеристику
направленности линейной антенны при некотором амплитудно-фазо-
амплитудно-фазовом распределении А (х) можно рассматривать как функцию аргу-
аргумента sin a. Действительно,
*A(x)e-lkxsinadx
=* R (sin a). D.20)
(x)e-ikxsma°dx
107

Если же дополнительно ввести некоторое линейное фазовое распреде-
распределение k$x, то характеристика направленности антенны может быть за-
писана в виде
(sin a— P).
D.21);
Убедиться в справедливости последнего равенства можно, введя в вы-
выражении D.20) подстановку sina = S, а в выражении D.21) подста-
подстановку sin a— р = S. Видно, что результат интегрирования по х в
обоих выражениях даст одну и ту же функцию с разными аргументами.
В частном случае отсутствия фазового распределения по антенне,
т. е. при А (х) = а (х), характеристика направленности имеет основ-
основной максимум при a = 0, поскольку при этом sin a = 0 и происходит
синфазное сложение колебаний от отдельных участков антенны. Если
теперь ввести линейное фазовое распределение, то синфазное сложе-
сложение будет наблюдаться при sin а — р* = 0, т. е. в другом направлении.
Таким образом, линейное фазовое распределение смещает положение
основного максимума излучения в пространстве, не изменяя при этом
вида функции, описывающей характеристику направленности, и ос-
оставляя, в частности, постоянной величину добавочных максимумов.
4. Изменение амплитудного распределения при отсутствии фазо-
фазового не меняет положения главного максимума характеристики на-
направленности. Характеристика направленности линейной антенны
в отсутствии фазового распределения записывается следующим обра-
образом: • ' з
a (x) e~lkx sin a» dx
Из этого выражения видно, что, независимо от вида амплитудного
распределения, синфазное сложение сигналов от отдельных элементов
антенны происходит в направлении a = 0, поэтому в этом направле-,
нии и формируется главный максимум. характеристики направлен-.
ности при любом виде функции а (х). >
5. При любом амплитудном распределении (в отсутствии фазового)
модуль характеристики направленности есть функция четная относи-
относительно а. С помощью формулы Эйлера последнее выражение можно
записать так:
f> (a) =
1/ Г J a (х) cos [kx sin a] dx\2 + | i а (*) sin [kx sin a] dx '2
1
a (x) e
~ikx bin "°
dx
Отсюда непосредственно следует вывод о том, что R (a) = R (— а).
Характеристика направленности и коэффициент концентрации
при равномерном амплитудном распределении. Определим характери-
характеристику направленности антенны в виде отрезка прямой при равномер-
108

ном амплитудном и линейном фазовом распределении а (х) = k$x.
Поскольку для компенсации антенны в направлении а0 требуется
ввести распределение а (х) = &xsina0, то рассматриваемое нами рас-
распределение включает в себя и компенсацию антенны в произвольном
направлении. Подставляя в формулу D.10) а(х)=\, а (х) = k$x
и производя интегрирование по х от — 1/2 до + 1/2, получим
sin
D(o) = .
pL(sina-P)] y-(sinao-P)
— (sina—P) sin — (sina0 —P)
*, L * J
D.22)
0,9
0,8
0,1
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
»,'
0
-0,1
-о,г
-0,3
\
\
\
\
\
\
/
\
/
—.
1 2 3\4 5 6 1 S 9*10 11 П 13 П 15 i
\
/
\
Рис. 22. График функции
sinz
В случае компенсации антенны в направлении а0 следует положить
р = sin a0 и
. [ nl , .1
sin —(sin а — sin a0)
D (а)
— (sina — sina0)
D.23)
График функции sin г/г изображен на рис. 22. Пользуясь им, легко
определить характеристику направленности отрезка при любой его
длине и при любом направлении компенсации. Функция sinz/z равна
0,707 при z = + 1,39. Зная эту величину, можно найти ширину ха-
характеристики направленности на уровне 0,707 для любого угла ком-
компенсации а0. В частности, для а0 = 0 и ао = — полная ширина ха-
характеристики направленности определяется выражениями
1,39*,
«0,7 s
: 2 arcsin -
nl
109

о l~i 1,39X1
а0>7 = 2 arccos 1 :— .
Получим выражения, определяющие ширину характеристики напра
ленности при / > X. В случае а0 = 0, ограничиваясь первым членом]
разложения арксинуса в степенной ряд, имеем I
2-1.39Я
nl
А. = 50° —.
D
I
.24I
В случае а0 =—, принимая во внимание, что косинус малого угла
равен 1 — |Sa/2. получим
nl
—=108° 1/—,
I у I ч
D.25I
Заметим, что эти формулы являются более точными, чем приближен-.'
ные выражения D.17) и D.18). \
1=0,101
Рис. 23. Изменение
характеристики направленности отрезка при изме-
изменении коэффициента f>.
Добавочные максимумы характеристики направленности отрезка
прямой располагаются примерно посредине между соседними нулями,
которые имеют место при z — пп (п = 1, 2, 3 . . .). Величина несколь-
нескольких первых добавочных максимумов составляет — 0,22; 0,13; — 0,09;,
0,07; —0,06; 0,05. j
При изменении угла компенсации а0 от 0 до я/2 основной максимум^
характеристики направленности также поворачивается от 0 до 90°,]
причем ширина его (в случае / ^> Я) увеличивается вначале по закону!
cos~'a0 [см. формулу D.17)], а потом по более сложному закону. На\
рис. 23 показано изменение характеристики направленности при из-{
менении р. При развороте характеристики направленности ее правые]
добавочные максимумы как бы «прячутся» в разрез, проходящий вдоль!
оси симметрии, а левые — наоборот, «появляются» из него. В случае]
же р > 1 часть основного максимума «прячется» в разрез, отчего его:
ширина существенно уменьшается, но зато величина добавочных (п>
110

отношению к основному) возрастает. При р = О фаза возбуждения
всех элементов линии одинакова и фазовая скорость распространения
излучаемой волны вдоль оси х равна бесконечности. С увеличением
угла компенсации она падает и при а0 = я/2 (при Р = 1) равняется
скорости распространения звука в среде. Если же еще увеличивать р,
то фазовая скорость распространения волны вдоль антенны становится
меньше скорости звука в среде, поэтому антенны, обеспечивающие
такой режим работы, часто называют антеннами замедленных волн.
Определим коэффициент концентрации компенсированного отрезка.
Введем вместо угла а дополнительный угол 0 (9 =——а) и будем
\ 2 /
вычислять интеграл от квадрата характеристики направленности по
полному телесному углу в сферической системе координат.
Выражение D.22), определяющее характеристику направленности
отрезка при произвольном Р, можно записать следующим образом:
sin
Sin Г— (COS в — РI
D @) = Ц- i- E (р),
где
1 при р<1
¦г-0-Ю
-B -
при Р> 1.
Эта запись предполагает, что при р <^ 1 характеристика направлен-
направленности нормируется в направлении компенсации Эо, а при Р > 1 в на-
направлении 60 = 0 (т. е. а0 = я/2). Напомним, что при р ¦< 1
справедливо соотношение Р = sina0 = cos60.
Введем замену переменной х= — (соьб — Р) и обозначение
л
¦— = 0,5 kl =у. Тогда, учитывая симметрию характеристики на-
А
правленности относительно оси, на которой расположен отрезок, в со-
соответствии с формулой C.20) имеем
У A-Р)
Г
)
Н1-Р)
у A-Р)
J *•• J
2у J *2 4(/
-</A+Р) -1/U+P) -(/A+Р)
Второй интеграл с помощью подстановки z = 2х легко сводится к ин-
интегральному синусу. В результате получим
„-1_?2(Р) /cos [fef A — Р)] — 1 , cos[kl(\ +Р)]— 1 _,
*\ ~~ _, . I ™~ "" "~" I I
f
+ 2Si [W A-Р)]+ 2 Si [И A + Р)] •
D.26)
Ш

В отсутствии компенсации, т. е. при р = О,
D.27)
При kl -* со интегральный синус стремится к я/2 [см., например,
[53], где представлены таблицы и графики функции Si (x)], поэтому
при I> К
D.28)
На рис. 24 представлена зависимость коэффициента концентрации
некомпенсированного отрезка от 1/Х, определенная по точной формуле
г Щ
Рис. 24. Зависимость коэф-
коэффициента концентрации от-
отрезка прямой от его отно-
относительной длины.
/
/
f
у
//
у
1,5
¦ 1,0
0,1
т А -
1[к-
/
/
'-
¦ О 15 30 45 SO 75 а'
Рис. 25. Зависимость К (а)/К @)
от угла компенсации а.
D.27) (сплошная кривая) и по формуле D.28) (штриховая кривая).
Как видно из сравнения приведенных кривых, наибольшее расхожде-
расхождение между ними наблюдается, как это и следовало ожидать, при ма-
малых отношениях 1/к\ начиная же с 1/к = 2 ошибка в определении ко-
коэффициента концентрации по формуле D.28) не превосходит 5%.
При компенсации отрезка в направлении а0 = 90°, т. е. при Р = 1,
из выражения D.26) имеем
К . D.29)
Если при этом / > X, то kl > 1 и
D.30)
Формулы D.27) и D.29) имеют одинаковую структуру; более того,
если в формуле D.27) вместо kl записать 2kl, то она превратится
в формулу D.29). Отсюда следует вывод о том, что коэффициент кон-
концентрации продольно компенсированного отрезка совпадает с коэффи-
коэффициентом концентрации отрезка в отсутствии компенсации при вдвое
большем kl, т. е. либо при той же частоте, но вдвое большей длине,
либо при той же длине, но на частоте, вдвое более высокой.
112

На рис. 25 представлена рассчитанная по формуле D.26), относи-
относительная зависимость коэффициента концентрации линейной антенны
от угла компенсации а0 при 1/к = 2 и 1/к = 10. Видно, что с ростом
а0 коэффициент концентрации монотонно увеличивается, причем вна-
вначале медленно, а затем, начиная с некоторого угла а0, тем большего,
чем больше 1/к, более быстро.
Рассмотрим, какие выводы можно сделать на основании прибли-
приближенной формулы D.9). В отсутствии компенсации (а0 = 0) / = 1Х;
/2 = 0, а при продольной компенсации, наоборот, / = 12; 1Х = 0. При-
Принимая во внимание эти соотношения и полагая а (р) = 1, из формулы
D.9) получаем
Ш при ао< —,
4/А, при а0 = —
D.31)
Рис. 26. К объяснению зависи-
зависимости коэффициента концен-
концентрации от угла компенсации.
На рис. 25 штриховой линией пока-
показана зависимость, соответствующая этой
формуле. Как и следовало ожидать,
приближенные выражения тем точнее,
чем больше 1/К.
Ранее мы отмечали, что с увеличением
угла компенсации а0 ширина характери-
характеристики направленности увеличивается по
закону cos~'a0. Однако коэффициент
концентрации (см. рис. 25) при этом не
падает. Объяснить это обстоятельство
можно следующим образом. Предста-
Представим пространственную характеристику направленности двумя кони-
коническими поверхностями (проходящими через значения 0,707) и кольце-
кольцевой частью поверхности сферы радиуса R = 1, заключенной между
ними (рис. 26). Коэффициент концентрации отрезка обратно пропор-
пропорционален интегралу от квадрата характеристики направленности,
т. е. площади шарового пояса. С увеличением угла компенсации ши-
ширина пояса А увеличивается по закону cos~' a0, а длина средней его
окружности 2пЬ уменьшается по закону cosa0, поэтому площадь пояса,
а значит, и коэффициент концентрации остается постоянным. Однако,
начиная с некоторого угла а0 (тем большего, чем меньше А, т. е. чем
больше 1/К), внутренний конус сомкнётся в линию, и площадь пояса
(теперь уже сегмента) начинает уменьшаться, а коэффициент кон-
концентрации — увеличиваться. Пользуясь формулами D.24) и D.25),
легко вычислить отношение площадей сферического пояса при а0 = 0
и сферического сегмента при а0 = я/2. Это отношение оказывается
равным двум, что и соответствует вдвое большему коэффициенту кон-
концентрации продольно компенсированного отрезка по сравнению со
случаем отсутствия компенсации.
Мы рассмотрели поведение коэффициента концентрации отрезка
прямой при р <1 1. Анализ формулы D.26) показывает, что при не-
5 М Д Смарышев
113

котором значении р, соответствующем равенству Ы$ — Ы = п, на-
наблюдается максимальное значение коэффициента концентрации, при-
приблизительно равное (при / > к) 71/к.
Физически это объясняется тем, что с ростом р от единицы и выше
наиболее медленно меняющаяся часть главного максимума, а именно
его часть вблизи значения D (а) = 1, исчезает в разрезе, совпадаю-
совпадающем с осью антенны; при этом основной максимум характеристики
направленности обостряется, а добавочный растет. Приведенное ус-
условие экстремума коэффициента концентрации соответствует умень-
уменьшению давления, развиваемого антенной вдоль оси на 36%, что вызы-
вызывает увеличение первых добавочных максимумов характеристики на-
направленности с 0,22 до 0,35.
Влияние амплитудных и фазовых распределений. Известен целый
ряд амплитудных распределений, при которых характеристика на-
направленности отрезка прямой выражается аналитически сравнительно
простой функцией. Мы не будем приводить здесь эти распределения,
при необходимости их можно найти в работах [65], [1], [34], [48]
и др. Заметим только, что при падении амплитуд к краям отрезка ха-
характеристика направленности несколько расширяется, а добавочные
максимумы уменьшаются; при росте амплитуд к краям отрезка —
наоборот, добавочные максимумы возрастают, а основной максимум
становится уже. Коэффициент концентрации отрезка при произволь-
произвольном амплитудном распределении и наличии фазового распределения,
обеспечивающего компенсацию в направлении, отличном от про-
продольного к антенне, можно определить по формуле D.9), которая
в рассматриваемом случае может быть записана следующим образом:
К = ¦?-
X
X
J a (x) dx
D-32)
J a2 (x) dx
Если же амплитудное распределение определяется функцией, интеграл
от которой вычисляется довольно сложно, или же амплитудное рас-
распределение вообще неизвестно, но зато известна характеристика на-
направленности отрезка, то коэффициент концентрации отрезка можно
найти численным интегрированием квадрата характеристики направ-
направленности по формуле C.20).
При / > к расчет по этой формуле становится сложным и может
привести к заметным ошибкам. В этом случае для вычисления коэффи-
коэффициента концентрации отрезка прямой целесообразно воспользоваться
выражением C.61), полученным в предположении, что активное со-
сопротивление излучения отрезка прямой в свободном поле равно ак-
активному сопротивлению этого отрезка (имеется в виду полное актив-
активное сопротивление излучения, т. е. с учетом всех взаимодействий в ан-
антенне), помещенного в бесконечную антенну из таких же отрезков,
причем направление компенсации отрезков и всей антенны совпадают.
114

Напомним, что формула C.61) имеет следующий вид:
К = — __1—
к- ---->„/ D.33)
где
fl/2 при cosa9n=--l;
при cos29n < 1;
= Е [d/k A —cos 0O)];
Расстояние между центрами соседних отрезков в бесконечной од-
одномерной антенне d можно выбирать из следующих соображений.
Чем больше d, тем взаимодействие отрезков в антенне меньше и тем
более точный результат можно получить по формуле D.33). Однако
с увеличением d увеличивается число слагаемых в сумме по п и тем
более трудоемкими становятся вычисления. Исходя из этих соображе-
соображений, не следует выбирать d < /, и, с другой стороны, при / > B -*- 3) К
не следует выбирать d существенно большим /. Как показывают рас-
расчеты, при 1/% > 1 и d = I формула D.33) обеспечивает практически
достаточную точность.
Влияние на направленность отрезка фазовых распределений (за
исключением линейного фазового распределения) исследовано сравни-
сравнительно мало. Некоторые сведения можно найти в [1], где рассматри-
рассматриваются квадратичные и кубичные фазовые распределения.
В случае, когда длина отрезка значительно больше длины волны,
анализ направленных свойств отрезка и даже синтез его существенно
упрощаются при применении метода стационарной фазы.
Этот метод позволяет приближенно вычислять интегралы от не-
некоторой комплексной функции в случае, если модуль этой функции
меняется на интервале интегрирования сравнительно медленно, а ар-
аргумент быстро. Математическая формулировка принципа стационарной
фазы имеет следующий вид [48]:
ь
J / A0 е~iD <^rr= e~iv <*» 1/ f?M- {С (хд + С (х2) + IS (*0 +
y D-34)
где
115

т]0 — точка стационарной фазы, определяемая из соотношения
v' (г\0) = 0; С (х) и S (х) — интегралы Френеля;
§e Т At.
о
Верхние знаки в формуле D.34) соответствуют случаю v' (tj0) > 0,
нижние — и" (т]0) < 0.
Физическая сущность метода стационарной фазы состоит в том,
что, если фаза подынтегрального выражения при изменении т] от а
до Ъ несколько раз переходит через 2я, то основной вклад в величину
интеграла вносится областью, где наблюдается экстремум v (r\), т. е.
первой зоной Френеля. Другие же участки интервала интегрирования
создают колебания с противоположными знаками и примерно одина-
одинаковыми амплитудами и поэтому взаимно компенсируются. Так, вторая
зона Френеля, следующая за участком, соответствующим максималь-
максимальному вкладу в величину интеграла, компенсирует третью зону, чет-
четвертая — пятую и т. д. Исключение могут составлять концы интервала
интегрирования а и Ь. Их вклады в величину интеграла и учитывают
функции С (х) и S (х).
Более подробно с физической интерпретацией метода стационарной
фазы можно познакомиться в работе [50].
Часто пользуются упрощенной формулой метода стационарной
фазы, получающейся из приведенной выше, при устремлении пределов
интегрирования в бесконечность. Так как С (со) = S (со) = 0,5 и
1 + а = У2е^1Я'\ имеем
D.35,
В тех случаях, когда точка стационарной фазы не находится внутри
интервала интегрирования, можно считать, что / (т]0) = 0 и поэтому
весь интеграл также равен нулю.
Рассмотрим особенности применения метода стационарной фазы
для расчета антенн на примере излучающего отрезка с квадратичным
фазовым распределением. В соответствии с формулой D.10) в этом слу-
случае
т
J a{x)eigx*e-lkxsmadx
-42
D.36)
—//2
Вычислим числитель этого выражения. Первая производная от аргу-
аргумента по х равна v' (ц) = k sina — 2gx. Приравнивая ее нулю, най-
найдем точку стационарной фазы т]0 = х0 = —sma . Вторая производная
равна — 2g. Подставляя полученные выражения в формулу D.35),
имеем
т
416

откуда характеристика направленности отрезка
/Asina\ A sin a
а\-^г) ПРИ
«(<*) =
v 2g ;
О при
A sin a
D.37)
Первое из этих неравенств соответствует случаю, когда точка ста-
стационарной фазы находится внутри отрезка, вторая — вне.
Рассмотрим, как с помощью метода стационарной фазы можно
решать обратные задачи теории направленности, т. е. задачи синтеза
антенн. Пусть требуется найти возбуждение отрезка, обеспечивающее
характеристику направленности, равную единице внутри сектора
+ а0 и нулю вне этого сектора. Для того чтобы, начиная с угла a = a0
и далее, характеристика направленности равнялась нулю, следует
совместить точку стационарной фазы при a = а' с краем излучающего
отрезка, т. е. обеспечить удовлетворение равенства
1 A sin а'
2 2g '
откуда
A sin a'
1
Далее определим амплитудное распределение. Положим а @) = 1 и
найдем а (х) из условия
Таким образом, для формирования секторной характеристики на-
направленности при квадратичном фазовом распределении, а (х) = 1,
т. е. амплитудное распределение равномерно.
Рассмотрим случай, когда вид синтезируемой характеристики на-
направленности задан следующим образом:
cos да при |а|^ — = <
О при |а|> — = а'.
v ' ' 2п
Эта запись соответствует заданию характеристики направленности
в виде функции, меняющейся по закону косинуса от единицы при a = О
до первого нуля при a = а' и при больших а равной нулю. Как и
прежде, выберем коэффициент g таким образом, чтобы точка стацио-
стационарной фазы оказалась на краю отрезка при a = а', т. е. положим
g = slna . Амплитудное же распределение найдем из соотношения
R (а) = cos Па — а
Таким образом,
*«=¦
sin a
2 sin a'
k sin a
a= arcsin-
2*sin a'
1
117

a (x) = cos na — cos n arcsin
2x sin a'
u
На рис. 27 показаны синтезируемые (штрихом) и полученные в ре-
результате расчета по формуле D.36) (сплошные линии) характеристики
направленности непрерывного отрезка при / = 15 А, и а' = 45°. Из
графика видно, что секторная характеристика направленности полу-
получается с большими отклонениями от заданной, чем характеристика
вида cos па. Кроме того, расчеты показывают, что приближение син-
синтезированной характеристики направленности к заданной тем лучше,
чем больше 1/К и чем больше а\
Квадратичное фазовое распределение вводят тогда, когда при за-
заданной ширине характеристики направленности стремятся получить
наибольшее давление в направлении ее
главного максимума. Увеличивать для
этого амплитуды колебательных скоро-
скоростей не всегда возможно в связи с появ-
появлением кавитации, и поэтому приходится
увеличивать размеры антенны, каким-
либо способом расширяя ее характери-
характеристику направленности. Приближенно
оценить получающийся при этом выиг-
выигрыш в давлении можно следующим об-
образом. Сравним между собой две антенны
разной длины, формирующие одинаковые
по ширине характеристики направлен-
направленности. Ширина характеристики направ-
направленности обеих антенн одинакова, по-
поэтому в первом приближении одина-
одинаковы и их коэффициенты концентрации.
Поскольку коэффициент концентрации
прямо пропорционален квадрату давле-
давления и обратно пропорционален активному сопротивлению излучения,
отношение давлений pjp2, развиваемых антеннами пропорционально
корню квадратному из обратного отношения их сопротивлений излу-
излучения/-s2/rsl. Введение плавно меняющегося квадратичного фазового рас-
распределения не изменяет активного сопротивления излучения антенны;
но введение неравномерного амплитудного распределения уменьшает
его.
Таким образом, выигрыш в давлении, получаемый при использо-
использовании антенны с искусственно расширенной характеристикой направ-
направленности равен корню из отношения сопротивлений излучения, т. е.
в лучшем случае (в отсутствии амплитудного распределения или при
наличии практически несущественного амплитудного распределения)
корню квадратному из отношения их длин. Увеличивая, например,
длину антенны вдвое и сохраняя при этом ширину характеристики
направленности постоянной, можно увеличить давление не более чем
в ]/2 раз, т. е. не более чем на 40%.
0,75
8,5
В 15 30 15 60 IS a*
Рис. 27. Характеристики
направленности отрезка,
синтезированные с помощью
метода стационарной фазы.
118

В случае же двумерной антенны, когда есть возможность увеличи-
увеличивать сопротивление излучения и излучаемую мощность за счет увели-
увеличения двух размеров, выигрыш в давлении в лучшем случае может
составить корень квадратный из отношения площадей.
§ 12. Антенна в виде окружности или дуги
Окружность. Разместим прямоугольную систему координат так,
чтобы начало ее совпадало с центром окружности радиуса R, а ось z
была бы перпендикулярна плоскости окружности. Положение эле-
элемента длины окружности dl будем определять в полярной системе ко-
координат: х = R cost]) и у = R sim|). Направление единичного радиуса-
вектора и в пространстве будем описывать в сферической системе
координат; при этом их= sin9coscp, иу = sin9sincp и uz — cos0. Ска-
Скалярное произведение векторов ри, определяющее разность хода лучей
от отдельных элементов окружности до удаленной точки в направле-
направлении и, равно сумме произведений одноименных проекций этих векторов
на координатные оси, т. е. ри = .RcostysinBcoscp + #sim|)sin9sincp.
Для компенсации окружности в направлении 90, ср0 введем фазо-
фазовое распределение а. (ср) = kR (cosil)sin90coscp0 + sim|)sin0osincpo). Ам-
Амплитудное распределение a (г|э) будем считать равномерным [а (г])) =
= 1 ]. Ось х всегда можно расположить так, что направление компен-
компенсации и0 будет совпадать с плоскостью xOz, поэтому, не уменьшая об-
общности рассмотрения, можно положить ср0 = 0. Тогда в соответствии
с формулой B.39) давление, развиваемое антенной в произвольном
направлении 0, ср, определяется выражением
р(в, ф)= _?^№<,'•*'J а(Ц)е1*те-1краЯйц~
lKpCroWot< Jkr С ikR [cos $ <sln в0—sin 6 cos ф)—sin ф sin 6 sib 4$j.k /л %Q\
2r о
Введем обозначения: sin0o — sin0cos<p — и cos/; sin0sinq> = «sin t.
Возводя в квадрат обе части этих равенств и складывая их, легко уста-
установить, что
и = ]/sin2 90 + sin2 9—2 sin 0O sin 0costp.
Интеграл выражения, определяющего давление в дальнем поле,
можно вычислить следующим образом:
2я +
f eikRu cos №+^ = j etkRu cos T d% _ J jkRu cos ,
о 4 :, i ^ °
Поэтому
и
р(в, ф
/„[kRy sin20o+sina0—2sin0sin0occ^ .D.40)
, Фо
119

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть компенсация отсутст-
отсутствует, т. е. 0О = 0; тогда
Я (8, q>) = |/0(fc#sirfB)|. D.41)
Если же антенна компенсирована вдоль оси х, т. е. 90 = я/2, то
R(&, ф) = J0\kR у 1 -f sin29 — 2зт9со5ф)
При этом характеристика направленности в плоскости zOx
R(Q) = \ Jo (kR cos 9) |
и в плоскости хОу
D.42)
D.43)
Представить себе поведение характеристики направленности ок-
окружности при различных направлениях компенсации можно с по-
помощью рис. 28, на котором изо-
изображена зависимость Jo (z) от z.
Функция Jo (z) = 0,707 при
z = + 1,13, добавочные макси-
максимумы характеристики направ-
направленности окружности в порядке
возрастания их номера имеют
следующие величины — 0,4; 0,3;
— 0,25; 0,22.
Рассмотрим давление, разви-
развиваемое антенной в направлении
9 = я/2 в отсутствии компен-
компенсации, т. е. при 90 = 0. Из фор-
формулы D.39) имеем
0,8
0,8
?
0,1
о
ГЦ
дг
±
\
1
\
г
l\ 4 16 8\10 11 14 1
V
J
1
Рис. 28. График функции Jo (г).
я \ ikpcworonR jkr
pi—,ui— e
Таким образом, с ростом kR давление изменяется по закону kRJ0 (kR),
т. е. представляет собой знакопеременную функцию. При kR > 1
справедливо асимптотическое представление
cos АЯ-—
D.44)
"if
cos [kR—-
D.45)
Такую зависимость давления от kR можно объяснить следующим об-
образом. В точку наблюдения приходят колебания от всех элементов
окружности, однако основной вклад в давление, создаваемое в точке
120

наблюдения, вносят участки окружности, ближайшие к ней и наибо-
наиболее удаленные от нее, а остальные взаимно компенсируются. Таким
образом, давление в точке наблюдения зависит в основном от взаимо-
взаимодействия двух крайних зон Френеля на окружности. Когда расстоя-
расстояние между их центрами (т. е. 2R — К/2) равно целому числу длин
волн, колебания от них приходят в фазе, и давление удваивается, когда
же нечетному числу полуволн,— давление равно нулю. Это обстоя-
обстоятельство и объясняет наличие в формуле D.45) сомножителя cos (kR—
— я/2) = cosfe (R — 0,25 К).
Справедливость приведенного рассуждения можно подтвердить
и иначе, а именно тем, что формулу D.45) можно получить с помощью
метода стационарной фазы, причем вычисления подтверждают нали-
наличие двух точек стационарной фазы, соответствующих двум крайним
зонам Френеля.
По аналогии с тем, как выше был определен коэффициент усиления
дискретной антенны по давлению, целесообразно ввести в рассмотре-
рассмотрение и для непрерывной антенны некоторую величину, определяющую
отношение чувствительностей или давлений (в зависимости от режима
работы) всей антенны и ее элемента. В качестве элемента непрерывной
антенны можно принять элемент ее длины и определить величину Кр
как отношение чувствительности всей антенны и чувствительности ее
единичного элемента длины. Ясно, что при таком определении К„ бу-
будет величиной размерной (например, в случае отрезка прямой Кр
равен его длине), что не всегда удобно.
Мы поступим иначе, а именно, под коэффициентом усиления не-
непрерывной антенны по давлению в направлении и будем понимать
отношение давлений, развиваемых антенной в направлении и и в том
направлении, в котором сигналы от всех элементов складываются
в фазе. И аналогично, в случае приема Кр определим как отношение
чувствительности антенны при падении плоской волны из удаленной
точки, находящейся в направлении и, и при синфазном сложении сиг-
сигналов от всех элементарных приемников. Заметим, что величина оп-
определенного таким образом коэффициента усиления всегда не больше
единицы.
Коэффициент усиления окружности по давлению в направлении
6 = 0 равен единице. В направлении же 9 = я/2 в отсутствии компен-
компенсации, как следует из формулы D.39),
D.46)
Таким образом, коэффициент усиления некомпенсированной ок-
окружности (а следовательно, и ее чувствительность) вдоль радиуса ок-
окружности всегда меньше, чем в направлении перпендикуляра к пло-
плоскости расположения окружности.
Коэффициент концентрации компенсированной окружности опре-
определим через интеграл от квадрата ее характеристики направленности:
/С"' = ^ j j </o[&#l/Asin2eo+sin29— 2 sin 80sin 8 cos ф] x
о о
о о
121

В соответствии с теоремой сложения
оо
J0{ma)~ 2
л=0
где
1 при л = 0,
2 при л >0, \
' а, Ь и с — стороны треугольника; ф — угол между сторонами бис.
Нетрудно видеть, что если &/?sin0 и &/?sin0o — стороны треуголь-
треугольника и ф — угол между ними, то аргумент функции Бесселя представ-
представляет собой, по теореме косинусов, третью сторону этого треугольника,
поэтому
Jo \kR у sin2 0O + sin2 0 — 2 sin 0O sin 0 cos <pj =
оо
~ 2 ъпК (kR sin 6o) Jn (kR sin 0) cos щ.
Подставляя это выражение в формулу для определения коэффициента
концентрации, заменяя квадрат суммы двойной суммой, меняя местами
знаки интегрирования и суммирования, а также учитывая, что
2л при л = л' = 0,
it при л = л'=^0,
0 при л Ф л',
получи»
. оо Я
К~1=— 2 enJ2n[kRsin%)$ Pn(kRsmQ)smQdQ.
Воспользуемся известным соотношением
Я 2kR оо
J Рп Щ sin 0) sin 0d0 = _ f J2n (t) dt~ ±. 2У2„+2т+1 BkR) D.47)
и запишем окончательное выражение
оо оо
А:-' = ^ 2 вяУ» (fe*sin0o) 2/2n+2m+1 (»R). D-48)
При отсутствии компенсации 90 — 0, и так как функция Jn @) при
л = 0 равна единице, а при л > 0 равна нулю, получим
К = -^7— • D-49)
2
При работе на высоких частотах, т. е. при kR > 1 из соотношения
D.47) следует, что
1 f Т Г/.Ч Ji 1
2
122

поэтому при kR > 1
D.50)
что и следовало из приближенной формулы D.9).
Дуга окружности. Пусть дуга расположена в плоскости хОу и центр
ее совмещен с началом координат. Радиус дуги R, а полный централь-
центральный угол равен 2гр0 (рис. 29). Формула, определяющая давление, раз-
развиваемое дугой окружности в произвольном направлении 9, <р при
компенсации в направлении 80, ср0 = 0, т. е. в произвольном направ-
направлении, лежащем в плоскости симметрии дуги xOz, очевидно, совпадает
с формулой D.38), за исключением пределов интегрирования по тр,
которые в рассматриваемом случае
должны быть — -ф0 и + г|H. Кроме
того, при наличии амплитудного рас-
распределения под знаком интеграла
должен находиться сомножитель а (ф).
Таким образом, f
Рис. 29. Расположение дуги
окружности и системы координат.
s, JkR [cos г|> (sin 60—sin 9 cos <p)—
-sin г|) sin 6 sin ф]^т D.51)
При отсутствии компенсации 90 = 0 выражение D.51) принимает
следующий вид:
ф) = _
1г
D 52)
Для того чтобы уяснить механизм формирования характеристики
направленности некомпенсированной дуги, вначале вычислим интег-
интеграл этого выражения с помощью метода стационарной фазы [формула
D.34)]. Производная от аргумента подынтегрального выражения по т|з
определится выражением v' (ц) = &#sin9sin (cp — гр), откуда точка
стационарной фазы, т. е. значение гр, при котором v (r\) = 0, опреде-
определится выражением i|i = ср. Вычислим вторую производную v" (r)) =
= fei^sin9cos (ф — яр) и подставим соответствующие выражения
в формулу D.34). В результате получим
р(9, фН_=^Л-
kr —ikR sin 6
fe^sin-0
X
X [С (хг) + С (*2) + iS (Хг) + iS (x2)},
D.53)
где
= y -^-
123

Если Хх и х2 значительно больше единицы, то величина каждого
из интегралов Френеля близка к 0,5 и мы имеем [этот результат можно
было получить и непосредственно по формуле D.35)]
sine——
р(в, „)- -^Л (Ф) у -^_ е [ «J. D.54)
Рассмотрим полученное выражение. Его аргумент, который можно
написать как k [г — ^sin9 -f X/8], свидетельствует о том, что центр
излучения находится (для 9 = те/2) в точке, удаленной от начала ко-
координат на величину R — V8, т. е., что эффективно излучает только
часть дуги со стрелой прогиба, примерно равной Я/4. Модуль же полу-
полученного выражения и определяет величину излучения этой части дуги.
Характеристика направленности всей дуги, нормированная в направ-
направлении 9 = л/2, ф = 0, т. е. в направлении оси симметрии дуги х, есть
^. D.55)
Из этого выражения следует, что характеристика направленности
дуги в горизонтальной плоскости повторяет вид амплитудного рас-
распределения вдоль дуги. Таким образом, если а (ф) = 1 на поверхно-
поверхности дуги в пределах — \р0, \р0, то характеристика направленности равна
единице внутри этого же сектора углов и равна нулю за его пределами.
Что же касается характеристики направленности в вертикальной пло-
плоскости, то при удалении от плоскости хОу она увеличивается пропор-
пропорционально (sin 9)~. Вдоль оси z, т. е. при в = 0 в соответствии
с формулой D.55) R (9, ср) обращается в бесконечность, что,
естественно, не может быть на самом деле. Объясняется это обстоя-
обстоятельство тем, что при 9 -+0 аргументы интегралов Френеля также
стремятся к нулю, и переход от формулы D.53) к формуле D.54) ста-
становится неправомерным. Заметим, что сам по себе рост характеристики
направленности при изменении 9 от л/2 в сторону уменьшения 9 не
вызывает удивления, поскольку вдоль оси z колебания от всех эле-
элементов дуги складываются в фазе.
Мы уже отмечали, что в первом приближении метода стационарной
фазы характеристика направленности дуги повторяет функцию ам-
амплитудного распределения по дуге. Кроме того, из формулы D.55) сле-
следует, что характеристика направленности дуги не зависит от частоты.
Однако из сопоставления формулы D 54) с более точной формулой
D.53) видно, что это не совсем так. Формула D.54) учитывает только
поле, создаваемое окрестностью точки стационарной фазы, т. е. пер-
первой зоной Френеля. Как уже отмечалось выше, остальные зоны ком-
компенсируют друг друга, кроме самых крайних зон, положение которых
совпадает с концами дуги. Действие этих зон и учитывается интегра-
интегралами Френеля в выражении D.53).
Таким образом, на характеристику направленности, определяе-
определяемую формулой R (ф) = а (ф), накладывается искажающая ее неко-
некоторая осциллирующая функция. Можно предполагать, что чем меньше
амплитуда концов дуги, тем меньше должно быть влияние этой иска-
124

жающей функции и, например, для амплитудного распределения вида
а (г|>) = cos -?—характеристика направленности должна весьма близко
2г|H
приближаться к функции R (<р) = cos -^- при | ф | < г|з0 и R (ю) = О
при ] ф | > ip0. Заметим, что это обстоятельство не следует из форму-
формулы D. 53), поскольку она справедлива для случая сравнительно ма-
лого изменения амплитудного распределения. В рассматриваемом
случае, как это ни странно, формула D.54) может дать более точный
результат.
Прежде чем перейти к анализу коэффициента усиления и характе-
характеристик направленности некомпенсированной дуги, заметим, что дав-
0,8
0,6
0,4
0,1
О 0,1 0,4 0,6 0,8 1,0 1,1 1,4 1,6 1,8 АД
\
л
L
\
Рис. 30 Зависимость коэффициента
усиления дуги от h/A.
Рис 31 Зависимость Кр от h/K
при 2г|H = 60°.
ление, развиваемое ею в направлении оси х (т. е. при 0 = я/2, ф = 0),
зависит от величины kR (I — cosi|H), входящей в аргумент интегралов
Френеля. Так как R A — cosi|H) равно стреле прогиба дуги h, то
kR A — cosi|H) = kh = 2nh/K. Таким образом, изменение давления
в направлении оси х определяется отношением h/K. Это обстоятельство
позволяет полагать, что характер изменения характеристик направ-
направленности также определяется отношением hj%.
Коэффициент усиления некомпенсированной дуги по давлению
в направлении 9 = я/2, ф = 0 равен отношению выражения D.52)
или D.53) к давлению, развиваемому дугой в направлении 0 = 0, т. е.
к выражению
В результате получим две формулы, причем первая из них является
точной, а вторая — приближенной:
f
f
o-ikR cos *
-*о
D.56)
D-57)
125

где
На рис. 30 представлены зависимости коэффициента усиления не-
некомпенсированной дуги по давлению в направлении 6 = я/2, Ф = 0,
Сплошной линией показаны ре-
отнесенные к величине
"*•/¦?¦•
зультаты расчета по формуле D.57) и штриховой — по формуле D.56)
для случая kR = 10. При kR = 25 кривая проходит между этими ли-
линиями, а при kR = 50 практически сливается с результатом расчета
по формуле D.57). С помощью
крсшогвИ
рис. 30 легко приближенно опре-
определить зависимость коэффици-
коэффициента усиления от h/K при по-
постоянном угле 2г]H или при
постоянном kR (т. е. при фик-
фиксированной частоте). На рис. 31
сплошной линией показана рас-
рассчитанная по формуле D.56)
/
/
//¦'
//
1
г
\
\
V-
\
J
\
0 0,1 Ofi 0J 0,8 1,0 1,2 1,4 h/K
Рис. 32. Изменение давления, разви-
развиваемого некомпенсированной дугой при
изменении h/% (kR = 25).
зависимость Кр от h/К при фик-
фиксированном угле рабочего сек-
сектора 2i|H, равном 60°.
Интересно рассмотреть зави-
зависимость давления, развиваемого
некомпенсированной дугой в на-
направлении 90 = я/2, ф = 0 при
а (г|)) = 1 (сплошная кривая
рис. 32) от Я/Я. С точностью
по строгой формуле D.52) и при-
построения кривые, рассчитанные
ближенной D.53), совпадают.
При изменении h/K от 0 до h/K да 0,36 давление растет, поскольку
кривизна дуги сравнительно невелика, но при дальнейшем увеличе-
увеличении h/K наблюдаются осцилляции давления, вызванные тем, что вклады
давления от крайних участков дуги существенно различаются по фазе.
При больших величинах h/K далекие от средней точки дуги зоны Фре-
Френеля компенсируют друг друга и давление практически не зависит
от h/K. Для случая kR = 25 в соответствии с формулой D.54) относи-
относительная величина давления равна 0,5.
Выражения для характеристики направленности некомпенсирован-
некомпенсированной дуги при равномерном амплитудном распределении, нормирован-
нормированной в направлении оси симметрии дуги, можно получить из точной
формулы D.52) и приближенных формул D.53) и D.54). Они имеют
следующий вид:
R Ф, <Р) =
е—Zfci? sin 6 cos(ф—
_ —'Фо
г-
—Фо
1кН со:
D.58)
126

R (9, Ф) = ^M + CW1' + ^W + ^W1' , D.59)
где
хг = 1/ — VkR sin 9 [1—cos (ф—фоI;
у я
и, наконец,
«(в*^!!4"'''^*1 D.60)
На рис. 33 сплошной линией представлены характеристики на-
' правленности дуги в плоскости 9 = я/2 при kR = 25 и при различных
АД. Видно, что характеристики направленности существенно зависят
от Я/Я и в направлении ф = 0 наблюдается провал при тех Я/Я, для
которых давление в этом направлении меньше средней величины (т. е.
величины 0,5 на рис. 32). С увеличением Я/Я число провалов увеличи-
, вается. Характеристики направленности, представленные на рис. 33
i и 34, рассчитаны по формуле D.58), но нормированы для удобства по-
построения в направлении их максимальной величины.
На рис. 34 сплошной линией показаны характеристики направлен-
направленности при фиксированной величине угла 2ф0. В соответствии с при-
приближенной формулой D.60) при больших волновых размерах дуги
характеристика направленности должна приближаться к секторной
с полным углом раскрыва, равным 2ф0. Как видно из графиков рис. 34,
при Я/Я =1,5 функция R (ф) еще существенно отличается от сектор-
секторной, хотя с ростом Я/Я и приближается к ней.
Рассмотрим аргументы интегралов Френеля в формуле D.59) при
9 = я/2. Ограничиваясь двумя первыми членами разложения коси-
косинуса в степенной ряд и введя обозначение <p/ijjo = Ь, получим kR [1—
— cos (ф + i|H) ] = ¦ • Но, с другой стороны, выражение
h = R A — cosipo) аналогично можно приближенно представить в виде
R\b2
h = —- , откуда следует, что kR [1 — cos (ф + г|з0) ] ш kh (b + IJ.
Таким образом, в первом приближении аргументы интегралов Фре-
Френеля, а следовательно, и сама характеристика направленности не за-
зависят порознь от kR и г|H, а зависят от Я/Я и отношения ф и ip0.
Несмотря на явную нестрогость, этот вывод качественно подтверж-
подтверждается результатами точных расчетов. Так на рис. 35 показаны рас-
рассчитанные по точной формуле D.58) характеристики направленности
дуги при а (ф) = 1 (сплошные линии) при одинаковых Я/Я, но раз-
различных kR. Видно, что с ростом kR характеристики направленности
127

1,6
0,4
ол
\
1
hfc - 0,1
О 20 iff 60
"to
V
V,
V
А/К = 0.3
о го 40 60 eo(f°
'to
0,8
0,8
?
V.
•.-
•,
Л/Д
\
= 0,5
—
Ч
о,
0,6
/:\
h/K=OJ
о го 40 so eotf° о го 40 so
0,5
0,6
J_J
\V
\
¦J
\
0,0
0,6
0,4
о,г
~/}\ h/k-1,1
•к
О 20 40 SO дОц' О Ю 40 ВО 50<р°
'(V)
0,9
0,6
0,4
0,2
'•
, \
*-•
7,3
«(V)
0,8
0,6
0,4
1,1
/\
\
h/X--
\
\
\
\
О 20 40 60 OOq' 0 20 40 60
Рис. 33. Характеристики направленности
некомпенсированной дуги в плоскости 9 =
= — при kR = 25 и различных значениях h/X.
0,8
0,6
1,4
0,1
4<t)
fs;-...
h/l-0,1
4
...
0,4
0,2
20 40 60 60 и' О
V
V
л Д=0,3
к
s
f^ 40 00 0
—
Ou
у
•
\
n/x=o,s
4.
¦—
20 40 80
4<p)
?
1,4
0,2
0 20 40 SO 80 <f'
Hv)
0,8
06
V
ОЛ
h/x--o,g
0,8
1,4
0,1
¦J
\
\
\ \
1 = /./
0,6
0,4
В 20 40 60 dO<f° 0 20 40 SO 80 q>'
A/1--
0 10 TO 60 80 if' 0 20 40 60
Рис. 34. Характеристики направленности
некомпенсированной дуги 2if>0 = 60° при раз-
различных значениях h/X (плоскость 9 = —
V 2

обостряются, а их вид (при сравнительно больших уровнях) остается
практически неизменным.
Сплошной линией на рис. 36 показано изменение отношения пол-
полной ширины характеристики направленности на уровне 0,707 к углу
kg = 10
0,8
И;
V
I
...s
I
\
v
0.8
О 20 U ВО 80<j>° 0 20 40 SO 80tf° 0 20 40 SO SO if'
\
>
\
—
\
20
20 40 SO SO <f° S 20 40 SO dO(p'
Рис. 35. Характеристики направленности некомпенсированной дуги при
h/K = 0,25 и 0,5 для различных значений kR (плоскость в = —
\ 2
раствора рабочего сектора 2i|H в функции от ЯА. Расчет производился
для двух случаев, в одном из которых оставалось неизменным kR = 25
(т. е. изменялось i|H), а в другом фиксировалось г|H = 30° (т. е. изме-
изменялось kR, или, что тоже самое,
частота), причем результаты
расчетов практически совпали.
Это обстоятельство свидетель-
свидетельствует о том, что рис. 35 можно
пользоваться при практических
оценках в широком диапазоне
изменения kR и if>0. График по-
построен только до величины
fi/Х = 0,7 в связи с тем, что при
дальнейшем увеличении ЯА те-
теряется смысл определения ши-
ширины характеристики направ-
1,0
в,в
0,1
0,1
\
\
\
V-
/
•
О 0,1 0,4 0,8 0,8 1,0 1,2 П/к
Рис. 36. Зависимость фо>,/2-ф0 от h/X.
ленности на уровне .0,707, по-
поскольку в направлении ср = 0
появляется провал, больший,
чем эта величина.
Пространственная характеристика направленности некомпенсиро-
некомпенсированной дуги имеет максимум в направлении 9 = 0, т. е. в этом на-
направлении давления от вгех элементов дуги складываются в фазе.
Отношение же давлений, развиваемых дугой в направлениях 9 = 0
и 9 = я/2, Ф = 0, естественно, тем больше, чем больше ЯА. Сказан-
Сказанное подтверждается рис. 37, на котором показаны нормированные в на-
129

правлении 6 = я/2, ср — 0 характеристики направленности дуги в вер-
вертикальной плоскости при различных h/%. Расчет производился для
kR = 10; 25 и 50, причем результаты для всех kR практически сов-
совпадают. "
Точное выражение для коэффициента концентрации дуги легко
записать через интеграл от квадрата модуля ее характеристики на-
направленности. Приближенные же
а) выражения можно получить с по-
помощью формулы A.38), воспользо-
воспользовавшись соотношением D.5)» В на-
j g l\ I ¦ I ' | I правлении синфазного сложения
I ----- I давлений от всех элементов дуги,
20\ \^' I ... I I I т- е- в направлении 6=0, К =
В)
щ
2,0
1,0
о
л11--
,0,5
•—~».
0,25
1,5
20 W SO 80 8'
••
¦¦' ¦ -
П/1 =
J,5
^0,25
v
» Для направления вдоль оси сим-
симметрии дуги, пользуясь формулами
для давления D.52) (точной), D.53)
и D.54) (приближенными), можно
записать
R
Iе"
-to
С2 B 1/ 4-
20 40 ВО 80 В'
+ SM2 1/ -=-
Рис. 37. Характеристики направ-
направленности некомпенсированной
дуги в плоскости ф = 0
я-ф
; D.61)
f
D.62)
D.63)
= 1, б — c(i]))=cos-
Самая приближенная из приведен-
приведенных — последняя формула. Ее вид
свидетельствует о том, что в пер-
первом приближении коэффициент кон-
концентрации дуги не зависит от частоты. С помощью же формулы D 62),
принимая во внимание, что максимальная величина суммы квадратов
интегралов Френеля равна примерно 0,9 и достигается при величине
аргумента, равной 1,2, можно найти максимальную величину коэффи-
коэффициента концентрации. Наблюдается она при АД = 0,36 и равна
1,8 г|H. Иногда удобно пользоваться ее выражением не через ijj0, а че-
через kR. Получить это выражение можно следующим образом. По-
Поскольку при сравнительно небольших значениях г|H справедливо ра-
венство cos i|H = 1
-, то из очевидного соотношения 1,2 =
, получим*,
='V^'
откуда
максимальная величина
1,8
130

На рис. 38 показана зависимость произведения Kty0 от h/X. Сплош-
Сплошная линия соответствует расчету по приближенной формуле D.62),
не зависящей от kR. Штриховой линией показана зависимость Kty0
от h/X для kR = 10, рассчитанная по точной формуле D.61). Расчет
по этой же формуле для kR = 25 дает величины Ка|>0. лежащие между
этими кривыми, а для kR = 50 — совпадающие с расчетом по формуле
D 62), т е со сплошной линией. Из графика видно, что с ростом от-
отношения h/X произведение /Ci|>0 приближается к единице, как это и
должно быть в соответствии с формулой D.63)
Рис 38 удобно пользоваться при фиксированной величине полного
угла рабочего сектора 2г|;0 и при изменении частоты. Если же требуется
рассмотреть зависимость коэффициента концентрации от h/X при фик-
фиксированной частоте и изменяю-
изменяющемся угле i|>0, то, пользуясь при-
приведенным графиком и соотноше-
соотношением h = R A — cosa|H), легко
построить новый график, иллю-
иллюстрирующий искомую зависимость.
Мы рассматривали направлен-
направленные свойства некомпенсирован-
некомпенсированной дуги при равномерном ампли-
амплитудном распределении. Совершенно
1,5
1,0
I/
А
,-
s
\
IV.
у
/
-
0 0,2 ty 0,6 0,8 1,0 1,1 Ц h/K
Рис. 38. Зависимость произведения
/0ф0 от h/X для некомпенсированной
дуги.
аналогично можно получить выра-
выражения для параметров, характери-
характеризующих излучение некомпенсиро-
некомпенсированной дуги при неравномерном
амплитудном распределении. Пусть, например, a (ob)=cos —, т. е.имеет
вид косинусоиды, спадающей до нуля на краях дуги. Как отмечалось
выше, в этом случае излучение краев дуги не искажает поля, созда-
создаваемого областью вокруг точки стационарной фазы, и можно ожидать,
что формула D 54) является более точной, чем формула D.53). Поэ-
Поэтому приведем ряд формул, полученных для рассматриваемого случая
из точной формулы D.52) и приближенной D.54):
tkpcworoR
2л
¦Фо
jces-
— ikR sin в cos {ф—-ф)
рф, ф)=-
2г
¦фо
J 2^o
-Фо
kRsmQ
,—lkR sin 6 cos (ф—•$
D.64)
; D.65)
D.60)
131

COS-
при
О при |q>|>4j>0;
К — —
-Фо
к ——
AP~" .h
*=¦
4>о
Г
J
D.67)
D.68)
D.69)
D.70)
D.71)
В этих выражениях характеристика направленности нормирована
в направлении оси симметрии дуги; коэффициент усиления по давле-
давлению и коэффициент концентрации определяются в этом же направлении.
Некоторые результаты расчетов по этим формулам приведены на рис.
30 — 36 пунктирными линиями. Из анализа этих графиков следует,
что как характеристики направленности, так и зависимости Кр и дав-
давления от частоты при введении амплитудного распределения сглажи-
сглаживаются. Причина такого сглаживания довольно проста: как мы уже
отмечали, неравномерность характеристик направленности при
а (я))) = 1 объясняется интерференцией колебаний, поступающих
в точку наблюдения из областей, примыкающих к точке стационарной
фазы и концам дуги. В случае же a (ty) = cos -^1- колебания от участ-
участков, близких к концам дуги, имеют малую амплитуду, из-за чего ин-
интерференция, а следовательно, и неравномерность поля проявляются
значительно слабее.
Это же обстоятельство приводит к сглаживанию характеристик
направленности дуги в плоскости ф = 0. На рис. 37, б показаны гра-
графики функции R @) для случаев АА = 0,25; 0,5 и 1,5. Кривые для
kR = 10; 25 и 50 при одном и том же отношении АА совпадают.
Интересно отметить, что характеристики направленности в плоско-
плоскости 0 = я/2 при a (ty) = cos-^i- приближаются (особенно с ростом
ЛА) к виду R (ф) = cos -SB-, что подтверждает решающее влияние
области стационарной фазы на величину давления в точке наблюдения.
Таким образом, формула D.67) достаточно точно (начиная с АА > 0,3)
описывает характеристику направленности в плоскости 0 — л/2.
В плоскости же ф = 0, как видно из рис. 37, б, формула D.67) дает
большую ошибку (в соответствии с ней при Э = 0 R @) -* со). Правда,
характер зависимости R (Э) от АА таков, что с ростом А/Я R @) уве.
132

личивается, и можно предполагать, что при больших h/K величина
R @) будет приближаться к виду sin'2 6, однако произойдет это, ве-
вероятно, при h/K -> со. Отмеченное обстоятельство объясняется тем,
что при выводе формулы D 67) пределы интегрирования по излучаю-
излучающей дуге были раздвинуты в бесконечность, что мало сказывается на
давлении в плоскости 6 = я/2, поскольку давления от участков, рас-
расположенных вдали от точки стационарной фазы, взаимно компенси-
компенсируются, но неправомерно для направления 0 = 0, в котором все ко-
колебания складываются в фазе.
Практически легко приближенно оценить вид характеристики на-
направленности, вычисляя давления в направлениях 0 близких к я/2
по методу стационарной фазы, а в направлении 0 = 0 — по точной
формуле D.52) (сделать это несложно, так как показатель экспоненты
под интегралом при 9 = 0 обращается в нуль).
На рис. 38 показана зависимость произведения /0фо от АА для слу-
случая а (Ф) = cos-^i- пунктирной линией при kR = 50 и штрихпунк-
тирной при kR = 10. Коэффициент концентрации дуги в случае рас-
рассматриваемого амплитудного распределения, начиная примерно с
h/K = 0,4, больше, чем в случае a (ty) = 1, и особенно это заметно для
тех hIK при которых наблюдается провал характеристики направлен-
направленности в направлении оси симметрии дуги.
Рассмотрим с помощью метода стационарной фазы влияние квад-
квадратичного фазового распределения на характеристики направленно-
направленности дуги окружности. Легко показать, что при наличии фазового рас-
распределения а (я))) = g\j>2 характеристика направленности в плоскости
дуги имеет вид
«ь
J а 0]>) e'g
Д(ф) =
-4>о
D.72)
-*>
Вычислим числитель этого выражения с помощью метода стацио-
стационарной фазы [формула D.35)]. Первая производная по ip от аргумента
подынтегрального выражения v'(r\) = kRsin (ф — -ф) — 2gty. При-
Приравнивая правую часть этого равенства нулю, получим трансцендент-
трансцендентное уравнение, решение которого tj)c определяет положение точки ста-
стационарной фазы. Вычисляя вторую производную v" (-ц) и подставляя
ее в формулу D 35), а затем полученное выражение — в формулу
D.72), имеем
V
• D-73)
Покажем, каким образом с помощью метода стационарной фазы
можно найти возбуждение дуги, обеспечивающее формирование сек-
секторной характеристики направленности с полным углом раскрыва
2tJH. Для того чтобы при | <р | > <р0 уровень излучения был мал, сле-
следует для направления ф = <р0 совместить положение точки стацио-
133

нарной фазы с концом дуги, т. е. положить ij)c = ф0. При этом
kRsin (ф0 — if0) = 2g\p0, откуда легко определяется коэффициент g
8 2%
В приближении метода стационарной фазы числитель выражения D.72)
имеет следующий вид:
a (tip) =
Для того чтобы это выражение было постоянно в секторе углов — ф0,
Фо, следует положить
a (if) = У kR cos (Ф'—ifc) + 2g,
причем в эту формулу для каждого ifc следует подставлять ф', най-
найденное из выражения kRsin (ф' — ifc) — 2gifc = 0.
При таком выборе возбуждения вдоль дуги в приближении метода
стационарной фазы формируется секторная характеристика направ-
направленности; точно же характеристику направленности можно опреде-
определить по формуле
Фо ( kR sin (фо—фо)
Г V\kR cos (ф' — ф) + 2g | е 2*°
R (в, Ф) = -^
Фо
f
, Ш sin (фр-фа)
2*° e-ikR cos«
-Фо
D.74)
где ф' находится из соотношения kRsin (ф + if) — 2gif = 0.
Для формирования характеристики направленности, имеющей вид
R (ф) = cos -^*- при | ф | < ф0 и R (ф) = 0 при | ф | > Фо, коэффициент
2ф0
g можно определить так же, как и в предыдущем случае, а амплитуд-
амплитудное распределение найти из выражения
яф a (ibc)
cos —?- = m; .
2% У kR cos (ф — i|)c) + 2g
Откуда
a (if) = cos-22— j/ | kRcos((p'—if,
где, как и раньше,
Подставляя выражения для a (if) и g в формулу D.72), можно найти
точную формулу, определяющую характеристику направленности
дуги при распределениях, обеспечивающих в приближении метода
стационарной фазы требуемую характеристику направленности.
Расчеты показывают, что заданная характеристика направленно-
направленности дуги, синтезированной с помощью метода стационарной фазы, вое-
134

производится тем более точно, чем больше волновой размер дуги и
чем шире заданная характеристика направленности. Кроме того, как
и следовало ожидать, лучшие результаты получаются при плавном
уменьшении заданной характеристики до нуля. Сказанное подтверж-
подтверждается рис. 39, где представлены сплошными кривыми результаты
синтеза секторной и косинусной характеристик направленности при
2R = 5%, ф0 = 30° и 2R = 15%, ф0 = 80° (штриховые линии соответст-
вуют желаемым характеристикам направленности).
Заметим, что приведенный способ синтеза характеристик направ-
направленности не является оптимальным, и в каждом конкретном случае
путем подбора можно получить более удовлетворительные результаты.
1,0
0,75
0,5
0,25
1,0
0,75
0,5
0,25
1
1
1
^
' \
20 40 60 SO
\
\l
10
40 60 80 cf
Рис. 39. Характеристики направленности дуги, синтезированные с по-
помощью метода стационарной фазы:
а — 2R = 25?и, б — 2R = 15Л.
Рассмотрим направленные свойства дуги окружности, компенси"
рованной в направлении оси симметрии дуги, т. е. в направлении
0О = я/2, ф0 = 0. Характеристика направленности в этом случае мо-
может быть получена из формулы D.51)
e~ikR [sin е cos (¦-»>- cos ¦]
D.75)
Коэффициент концентрации компенсированной дуги в направлении
компенсации, в соответствии с формулой D.9), может быть выражен
следующим образом:
К =
2R
Г-
D.76)
135

0,7
0,S
0,1
0,1
0,3
0,2
0,1
О 20 40 60 80 Ш 120 140 ISO
0 10 40 SO 00 100 120 140 WO q>°
)
О 20 40 SO 80 WO 120 140 Iff 0 (p*
Рнс. 40. Характеристики направленности
136

кЯ-30
8,4
0,3
к
В 10 40 60 80 100 ПО ПО 160 <р
10 40 SO ЙО tOO ПО 110 1S0
?
0,3
J I
Urn
И*""
tf fff «^ ^ 80 130 ПО ПО 160
е = —.
компенсироваииой дуги в плоскости ° —
137

В частном случае a (ty) = 1 коэффициент концентрации равен
где / — длина дуги.
Коэффициент усиления по давлению в случае равномерного ам-
амплитудного распределения Кр = 1, а в случае произвольного ампли-
Щ
0,4
хкчо
0,1
о
Щ
0,8
0,6
0,4
0,1
"
11
——
-
¦ 30 45 60 75 в'
1A)
о,в
0,6
?
0,2
kX-JO
"ч",
г
1
f
О 15 30 15 SO 75 в'
-
/
/
¦¦"'/
I
щ
0,8
¦ в,в
?
о,г
15 30 45 60 75 В'
1
0
•7
ц
15 30 45 SO 75 В'
Рис. 41. Характеристики направленности компенсированной дуги
в плоскости ф = 0.
тудного распределения определяется выражением
D.77)
На рис. 40 представлены характеристики направленности компенси-
компенсированной дуги, рассчитанные в плоскости 0 = я/2 по формуле D.75)
для случаев kR = 10; 30 и ч|з0 = 30; 60 и 90°. Сплошные линии соот-
соответствуют равномерному амплитудному распределению а (я))) = 1,
а пунктирные — падающему к краям дуги а (\р) = cos ф. Из графиков
видно, что с ростом угла раскрыва дуги и с ростом kR характеристика
направленности обостряется. Расчеты показывают, что ширина ха-
характеристики направленности компенсированной дуги на уровне 0,707
138

примерно совпадает с шириной характеристики направленности пря-
прямой, длина которой равна хорде дуги. Первые добавочные максимумы
при а (я))) = 1 увеличиваются с ростом я|H и в первом приближении
не зависят от kR. В случае введения ам-
амплитудного распределения a (ty) = costy
они не зависят ни от kR, ни от \р0 и при-
примерно равны 22%, как и добавочные мак-
максимумы отрезка прямой. Однако в целом
характеристика направленности компенси-
компенсированной дуги существенно отличается
по виду от характеристики направленности
отрезка. Только несколько первых добавоч-
добавочных максимумов монотонно спадают с уда-
удалением их от основного; минимумы между
ними не доходят до нуля, при углах ф > 60е добавочные максимумы
вообще выражены неотчетливо; они заменяются широким ореолом,
величина которого претерпевает сравнительно небольшие осцилляции.
Рис. 42. Расположение двух
дуг на окружности.
0,3
0,1
0,1
о
20 40 6В ВО JOB ПО ПО 160 &'
О 20 40 60 дО 100 12В 14В Г6В <р'
Рнс. 43. Характеристики направленности двух дуг на
окружности в плоскости G = — при я|H = 60°.
На графиках рис. 41 представлены характеристики направленно-
направленности компенсированной дуги в плоскости ф = 0. Видно, что с ростом
kR и ф0 характеристики направленности обостряются, причем больше
139

при равномерном распределении (сплошные кривые), чем при косинус-
косинусном (пунктирные кривые). Кроме того, осцилляции характеристик
направленности при распределении а (ij)) ==, cos ф либо отсутствуют
вообще, либо меньше, чем при а (ф) = 1
Интересно рассмотреть случай, когда линейная компенсированная
антенна состоит из двух дуг, лежащих на одной окружности симмет-
симметрично относительно диаметра, перпендикулярного направлению ком-
компенсации (рис. 42), т. е. случай, когда из окружности удалены две
дуги, координаты точек которых соответствуют условию
| я — г|;01 > |i|j | > г|;0 (имеется в виду, что i|j меняется не от 0 до 2я,
а от — я до я, а *ф0 всегда положительно).
Характеристики направленности такой антенны в плоскости
0 = я/2 представлены на рис. 43. Сравнение их со случаем одной дуги
(см. рис. 40) показывает, что включение тыльного участка окруж-
окружности несущественно изменяет основной максимум, но приводит
к исчезновению ореола (хотя уровень добавочных максимумов, рас-
расположенных в области ореола, примерно равен его величине). Так
же, как и в случае одной дуги, амплитудное распределение а (я|)) =
— cosip | (пунктирная кривая) уменьшает, по сравнению с равномер-
равномерным амплитудным распределением (сплошная кривая), уровень до-
добавочных максимумов характеристики направленности вплоть до
углов ф = 120°.
Интересно отметить, что несмотря на несущественное на первый
взгляд отличие характеристик направленности одной и двух дуг, их
коэффициенты концентрации (во всяком случае при больших величи-
величинах kR) в соответствии с формулой D.9) отличаются в два раза.
§ 13. Дискретные линейные антенны
Направленность эквидистантных решеток. Эквидистантными ре-
решетками принято называть антенны, состоящие из ненаправленных
элементов, расположенных на одинаковых расстояниях вдоль прямой.
Пусть п таких элементов раз-
размещены вдоль оси х так, что
расстояния между соседними
элементами одинаковы и рав-
равны d (рис. 44). Расположим
начало координат в центре эле-
элемента с номером q = \. Тогда
проекции радиуса-вектора pq,
определяющего положение эле-
элемента с номером q, на оси у и z
Рис. 44. Линейная эквидистантная ре- равны нулю, a pqx = (q — 1) d.
шетка В силу симметрии поля, созда-
создаваемого рассматриваемой антен-
антенной относительно оси х, положение единичного радиуса-вектора и
можно определить одной угловой координатой а, отсчитываемой,
например, от плоскости yOz, перпендикулярной оси х. При этом
проекция вектора и на ось z равна |a|sina = sina и
140

— Pqxux + Pqyuy + PqzUz = & (Q — 1) sina. Подставляя это выражение
в формулу B.44), найдем давление, развиваемое эквидистантной решет-
решеткой, и переходя далее к характеристике направленности, получим
д e—ikd(q-\) since
~lkd ^—^)Sln a°
Л(а) = *=!
Рассмотрим случай равномерного амплитудного распределения
при компенсации антенны в направлении a0 [aq = 1, а = ikd (q —
— 1) sina0]. При этом последнее выражение запишется следующим
образом:
Второй сомножитель этой формулы представляет собой сумму
членов геометрической прогрессии, поэтому, введя обозначение
Ы (sina — sina0) = p, можно записать
D(a) =
1 е-'"Р _ 1
я е-Ф _ !
_1_
п
-in\ I..*
е — е
~'Т
— е
/-8-
2
-ф
л—1 sin-
= е
nsin-
R(a) =
. \kdn . . . Л
sin (sin a — sin a0)
n sin (sin a — sin a0)
¦]
D.78)
Как видно из этого выражения, характеристика направленности пред-
представляет собой отношение двух синусоид с разными периодами. По-
Поскольку п — число целое, то на одном периоде синусоиды знамена-
знаменателя укладывается целое число периодов синусоиды числителя и поэ-
поэтому, если аргумент г — —(sina — sina0) равен целому числу я,
т. е. 2 = тп, где /и = 0, ± 1, + 2 . . . , то
sinnz
nSln2
sin nmn
п sin mn
Таким образом, при z — тп характеристика направленности эк-
эквидистантной решетки имеет максимумы, равные основному. Числи-
Числитель обращается в нуль через интервалы, равные п/п, т. е. при z —
— — s, где s = 0, ±1, ±2 ... Основной максимум соответствует
141

s = О, а равные ему добавочные соответствуют s, кратному п,
поскольку при этом z •= я — = ш. Поэтому между двумя соседними
максимумами, равными основному, располагается п минус единица
нулей и /г — 2 добавочных максимума, меньших единицы. На рис. 45
представлены характеристики направленности эквидистантной ре-
решетки в функции от z при некоторых значениях п.
Функция
sin nz
п sin 2
при неограниченном увеличении (или уменьшении)
г имеет бесконечное число максимумов равных единице, однако в дей-
0,8
?
ч
N
s
V
\
\
\
л 2
\
\
1
i
1
1
/
/
N
?
0,6
0,2
\
\
V
\
f
л 6
\
(
л
/
\i
1
J\
i
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ! II 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 г
0,6
0,2
п-4
V
0,8
0,6
?
\
I
I
Ir
f
\
л 8
/
\
r
\l
n
M
0 0,5 1,0 1,5 1,0 1,5 3,0 l 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 i
л
Рис. 45 Характеристики направленности линейных решеток.
ствительной области углов величина z всегда ограничена и соответст-
соответственно ограничено число единичных максимумов. Так при а0 = 0 в од-
одном квадранте, т. е. при изменении а от 0 до я/2 и z от 0 до kd/2 кроме
основного максимума размещается столько единичных максимумов,
равных основному, сколько раз я укладывается в наибольшем значе-
значении z, т. е. другими словами, — число этих максимумов равно целой
части отношения Zmax = = —. Всего же в области углов от
— 90° до + 90° число единичных максимумов равно 2Е \—I + 1.
A L ^ J
Аналогичными рассуждениями можно показать, что при а0 Ф 0
В первом и четвертом квадрантах находится Е [d/X A + sin <x0) ] -f
+ Е [d/к A —sina0)] + 1 единичных максимумов.
142

В большинстве практических случаев наличие больших по вели-
величине добавочных максимумов нежелательно. Рассмотрим, при каких
условиях в пределах углов а = — л/2, я/2 будет находиться только
один максимум, равный единице
На очень низких частотах d/K мало и добавочные максимумы, рав-
равные основному, отсутствуют С ростом же частоты при а0 > 0 доба-
добавочный максимум может появиться при а = — я/2 Начало его по-
появления можно зафиксировать условием совпадения последнего перед
ним нуля характеристики направленности с направлением а = — я/2.
Выше отмечалось, что нули имеют место при г = я—, а первые до-
добавочные максимумы, равные основному, располагаются при г = + я.
Таким образом, последний нуль со стороны отрицательных а соответст-
п — 1
вует г = — я —-— ,
откуда
т. е.
*!L±!D.79)
Это и есть условие отсутствия в характеристике направленности ли-
линейной эквидистантной решетки добавочных максимумов, равных ос-
основному. В случае отсутствия компенсации это условие имеет вид
Так как длина антенны I = d (п — 1), то домножив это неравен-
неравенство слева и справа на п—1 и пренебрегая слагаемым гГх по сравне-
сравнению с п (что возможно при большом п), получим
^</г-2. D.81)
Таким образом, при большом числе элементов антенны (практи-
(практически при п > 6), число элементов должно быть, по крайней мере,
на два больше отношения l/к. При этом характеристика направлен-
направленности антенны имеет только один максимум, равный единице Анало-
Аналогичное условие для случая а0 > 0 может быть получено из неравен-
неравенства D.79) в следующем виде
4 2 D82)
Многие из изложенных выше свойств характеристики направлен-
направленности эквидистантной решетки имеют очень простой физический
смысл.
Так, например, непосредственно из рис 44 видно, что естественная
разность хода лучей от двух соседних элементов до точки наблюдения
равна d sin а, что соответствует kdsin а радианам Ясно, что приа0—О
независимо от числа элементов п (и даже независимо от амплитудного
143

распределения aq), если только udsina — пт, то давления от отдель-
отдельных элементов складываются в фазе и в этом направлении существует
максимум, равный основному. ^
Условия существования нуля характеристики направленности
легко получить, рассматривая сложение давлений от отдельных эле-
элементов. На рис. 46 изображена сумма давлений, каждое слагаемое
которой соответствует давлению, создаваемому отдельным элементом,
для различных направлений а. В направлении a = 0 давления скла-
складываются синфазно и их сумма максимальна. При a = а' давление
от каждого последующего элемента
отличается на фазовый угол |30 —
= kdsina' от давления, развиваемого
предыдущим элементом. В результате
образуется ломаная линия. При не-
некотором угле а1 ломаная эта зам-
замкнется и суммарное давление будет
равно нулю. Сумма внешних углов
правильного многоугольника равна
2я, поэтому положение первого нуля
характеристики направленности
определяется из условия пр^ =
= nkdsina1 = 2n, т. е. z = л/п.
Второй нуль характеристики направ-
направленности соответствует двойному
наложению ломаной на один мно-
многоугольник (состоящий из вдвое
меньшего числа сторон). При этом
— kd sin a2 = 2л; и z — ——. Нуль с
Рис 46. Сложение давлений от
отдельных элементов для различ-
различных углов а
порядковым номером s определяется
sn
аналогичным условием г = — и со-
соответствует наложению ломаной s раз на один многоугольник, име-
имеющий n/s сторон.
Рассмотрим процесс сложения давлений от отдельных элементов
в случае большого числа плотно расположенных элементов. Для уп-
упрощения будем полагать <х0 = 0. Тогда в направлении а = О все дав-
давления складываются в фазе и мы имеем некоторую постоянную вели- ;
чину /. При увеличении а ломаная, представляющая собой резуль-"
тат сложения давлений от отдельных элементов при большом числе
элементов и малых расстояниях между ними, по существу представ-,
ляет собой дугу окружности. Длина этой дуги I, а длина хорды соот-
соответствует результирующему давлению. С увеличением угла а радиус
дуги непрерывно уменьшается. Фазовый угол между давлениями от
крайних элементов решетки (п—1) kd sin a = klsina равен углу ме-
между касательными к дуге в ее начале и конце, или, что то же самое,—
центральному углу дуги. Если центральный угол дуги равен 2я/п,
где т Ф О, то дуга превращается в т окружностей, наложенных друг
144

на друга. При этом характеристика направленности равна нулю, а
?/sina = 2ят. Этот вывод подтверждается анализом формулы D.23),
определяющей характеристику направленности непрерывного отрезка.
Приближенно можно считать, что добавочный максимум наблюдается
в случаях, когда дуга состоит из нечетного числа полуокружностей
2г + 1, где г ^- 1. Тогда положение добавочного максимума с номером
г определяется соотношением kl sin a = Br + 1) я, а его величина
равна отношению диаметра окружности к ее длине, т. е. —
21 1 2
о та • — = .
л Bл + 1) I 2яг + л
Таким образом, ох я^ 2/3 я = 0,21, о2 та 2,5 я = 0,13, 03^2,7я =
= 0,09 и т. д. Полученные приближенные величины весьма близки
к точным, приведенным выше при анализе направленных свойств не-
непрерывного отрезка прямой.
Интересно отметить, что при сравнительно небольшом числе эле-
элементов п величина первого добавочного максимума с ростом п падает.
Так, аг = 0,33 при п = 3; аг = 0,25 при п = 4; аг = 0,22 при п = 6.
В некоторых работах (и, в частности, в [57]) рассматривается на-
направленность дискретных эквидистантных решеток при неравномер-
неравномерном амплитудном распределении. Существует целый ряд семейств
амплитудных распределений, полученных по какому-нибудь правилу,
для которых характеристики направленности соответствующих антенн
определяются сравнительно простыми соотношениями. Чаще всего
построение таких антенн производится с помощью теоремы умноже-
умножения.
Так же, как и в случае непрерывного отрезка прямой, падающие
к краям антенны распределения уменьшают величины добавочных
максимумов, а растущие к краям — увеличивают их. Однако при до-
достаточно большом расстоянии между соседними элементами решетки,
независимо от вида амплитудного распределения наблюдаются доба-
добавочные максимумы, равные единице.
Добиться их отсутствия при том же размере антенны и том же числе
элементов можно сравнительно простым способом: несколько сместить
элементы вдоль оси решетки. При этом периодичность расположения
элементов нарушается и синфазное сложение сигналов от всех элемен-
элементов происходит только при падении волны под углом a = 0. Несмотря
на большое количество работ по неэквидистантным решеткам (обзор
которых можно найти в книгах [2] и [34]), общая теория расчета та-
таких решеток еще не разработана.
Коэффициент концентрации эквидистантных решеток. Рассмотрим
вначале зависимость коэффициента концентрации эквидистантной ре-
решетки при aq = 1 в отсутствии компенсации от числа элементов и
расстояния между ними. Пусть решетка состоит из очень большого
числа элементов. Найдем активное сопротивление излучения одного
элемента. Сделать это можно путем непосредственного суммирования
взаимных сопротивлений излучения, но мы поступим иначе. В преды-
предыдущей главе была выведена формула C.54), определяющая активное
сопротивление излучения произвольного элемента бесконечной пе-
6 М Д Смарыше» 145

риодической линейной антенны в экране. Принимая во внимание, что
в нашем случае элемент антенны ненаправлен, т. е. излучение проис-
происходит в полное пространство, и поэтому сопротивление излучения
должно быть удвоено, а также учитывая, что' пределы суммирования
определяются из условия и2т < 1, где в соответствии с формулой C.47)
ит = nik/d + sina0, получим
D.83)
где
т1 = — Е \~- A + sin ao)l
m2 = ?[-y(l — sinao)j,
1/2 при мт = sin2 am = 1, т. е. при |ат| = я/2;
1 при um = sin2am< 1, т. е. при |а
Предполагая, что активное сопротивление излучения многоэле-
многоэлементной антенны равно произведению числа ее элементов на полное
активное сопротивление излучения элемента аналогичной бесконеч-
бесконечной антенны, имеем
Выше отмечалось, что Е\—A—sina0) +? —(l + sina0) +1
равно общему числу единичных максимумов решетки. Таким образом,
сумма по т в формуле D.84) представляет собой сумму по всем еди-
единичным максимумам характеристики направленности решетки.
Это обстоятельство позволяет понять физический смысл последней
формулы. Действительно, в соответствии с выражениями A.37) и A.34),
активное сопротивление излучения определяется интегралом по пол-
полному телесному углу от квадрата характеристики направленности
антенны. Характеристика направленности решетки ненаправленных
элементов при увеличении числа ее элементов стремится к сумме
б-функций, положение которых в пространстве совпадает с положе-
положением единичных максимумов. Поэтому и интеграл по телесному углу
вырождается в сумму некоторых слагаемых, соответствующих еди-
единичным добавочным максимумам.
Давление, развиваемое линейной решеткой в направлении компен-
компенсации при aq = 1, определится в соответствии с формулой B.49) вы-
выражением
Подставляя два последних соотношения в формулу A.38), получим
Ел-) • D-86)
146

В соответствии с этим выражением зависимость коэффициента кон-
концентрации от d/k представляется разрывной функцией, состоящей из
отрезков прямых.
С помощью формул A.23) и A.39) можно получить точные выра-
выражения, определяющие активное сопротивление излучения и коэффи-
коэффициент концентрации эквидистантной решетки, если только известны
взаимные активные сопротивления излучения ее элементов rqg. Найти
выражения для расчета rqg можно по ближнему или дальнему полю.
Подставляя формулу B.43) в соотношение A.17) и предполагая,
что из-за малости элементов давление, создаваемое одним из них на
всех точках поверхности s0 , ,
другого, одинаково, имеем r4hx
ikd
_ k%f>cs\ г sin fed?g . coskdgg 1
4л [ kdqg kdqg J '
D.87)
где dqg — расстояние между
центрами элементов с номерами
q и g. На графике рис. 47
представлены безразмерные ве-
величины активной и реактивной
составляющих взаимного со-
сопротивления излучения не-
ненаправленных элементов
\
\
\
1
\
\
\
у
Г'
0,2\0,4\^/0,д/!,0 1,Г1^
ч
А
s
о,в
0,4
о
-0,2
¦0,4
Рис. 47. Безразмерные активная (сплош-
(сплошная линия) и реактивная (штриховая
линия) составляющие взаимного сопро-
сопротивления излучения двух ненаправлен-
ненаправленных элементов, удаленных на расстоя-
расстояние dqg/%.
т. е.
, =_sin_fe^g_
qi kdqg
И X .=
cos fedgg
kdqg
djL
в зависимости от волнового расстояния между элементами
Вычислим теперь взаимное активное сопротивление излучения
ненаправленных элементов через дальнее поле по формуле A.30). Сов-
Совместим начало координат с центром одного из элементов. Тогда его
фазовая характеристика определится выражением kr, а другого kr —
— kdqgcosft, где Э— угол между направлением на точку наблюдения
и прямой, соединяющей оба элемента. Поэтому в соответствии с фор-
формулой A.30) можно записать:
rqg = JL
Re
feVs20
4л
kd
D.88)
qg
Полученное выражение совпадает с действительной частью формулы
D.87). Подставляя формулу D.88) в соотношения A.23) и A.39) и учи-
147

тывая выражение B.44), получим
А
?=1
i
4=1
D.89)
D.90)
sin
kda
?-l g=l
Эта формула определяет коэффициент концентрации произвольной
антенны, состоящей из ненаправленных элементов.
В случае линейной эквидистантной решетки расстояние между
элементами с номерами q и g равно \d(q — g)\, а при компенсации
в направлении а0 фазовое возбуждение aq = kpqti0 = k (q — l)dsina0.
Подставляя эти выражения в формулу D.90), а также записывая вме-
вместо комплексной величины под знаком двойной суммы ее действитель-
действительную часть (в справедливости чего можно убедиться, рассматривая
сумму двух слагаемых с индексами q, g и g, q), получим
К
sin kd(q — t
D.91)
?=lg=l kd(q-g)
В случае равномерного амплитудного распределения двойную сумму
можно превратить в одинарную, если суммирование проводить не по
номерам элементов, а по числам, равным отношению расстояний ме-
между произвольными и соседними элементами. При этом формула D.91)
принимает следующий вид: *
К =
Л-1
(я — s) cos [feds si
D.92)
где е.=
1 при s = 0;
2 при s > 0.
В справедливости записанного выражения легко убедиться сле-
следующим образом. Слагаемое знаменателя, соответствующее s = 0
равно п и пропорционально сумме собственных сопротивлений излу-
излучения элементов решетки. Слагаемое знаменателя при s = 1 равно
2 (п—1) cos (kd sin a) и пропорционально сумме взаимодейст-
kd
вий соседних элементов решетки. Действительно, таких взаимодейст-
взаимодействий слева направо п—1 и справа налево тоже п— 1. Слагаемое же при
s = п — 1 определяет взаимодействие крайних элементов решетки, а
множитель es (n — s) = 2 учитывает, что взаимодействий таких два:
148

первого элемента с последним и последнего с первым. Справедливость
формулы D.92) можно проверить также непосредственным выводом
ее из формулы D.91), для чего следует записать матрицу всех взаимо-
взаимодействий элементов в антенне и затем объединить одинаковые взаимо-
взаимодействия.
Линейная решетка является единственной многоэлементной ан-
антенной, для которой условие независимости элементов может выпол-
выполняться не приближенно, а абсолютно строго.
Если расстояния между соседними элементами линейной решетки
равны половине длины волны, то взаимные сопротивления излучения
всех элементов равны нулю, и полное сопротивление излучения равно
сумме собственных. В этом случае в сумме знаменателя выражения
D.92) остается всего одно слагаемое с индексом s = 0, весь знамена-
знаменатель равен п и коэффициент концентрации равен числу элементов ре-
решетки. Эту же величину коэффициент концентрации имеет и при d =
= 0,5mA,, где т > 0.
Рассмотрим случай d < 0,5А,, а0 = 0. При этом взаимное актив-
активное сопротивление излучения наибольшего числа одинаково взаимо-
взаимодействующих (а именно соседних) элементов положительно (см. рис. 47),
поэтому полное сопротивление излучения больше, чем при d = 0,5 X.
Так как давление, развиваемое в направлении главного максимума
характеристики направленности, при неизменных величинах колеба-
колебательных скоростей элементов не зависит от d/X, то коэффициент кон-
концентрации обратно пропорционален активному сопротивлению излу-
излучения и при d < 0,5 i он меньше, чем при d = 0,5 К. При увеличении
расстояния между элементами от 0,5 % до % взаимодействие ближайших
элементов отрицательно и коэффициент концентрации растет. Однако
при dfk > 1 взаимодействие большинства элементов положительно
и коэффициент концентрации падает.
Приведенные рассуждения подтверждают результаты расчетов,
выполненных по формуле D.92) и представленных на рис. 48. Сплош-
Сплошная линия соответствует случаю п = 2, пунктирная — п = 10. На
этих же графиках приведены результаты расчета по приближенной
формуле D.86) (штриховая линия).
Анализ графиков рис. 48 позволяет сделать следующие выводы.
При малых d/X и большом числе элементов решетки п с ростом d/X
коэффициент концентрации растет почти линейно и близок к величине
К = 21/X — 2 (п—1) к/К, соответствующей коэффициенту концентра-
концентрации непрерывной линии. Однако при некотором dfk, тем большем,
чем больше п, и соответствующем появлению единичного максимума
характеристики направленности, коэффициент концентрации резко
падает, а затем до появления новых единичных максимумов растет
из-за уменьшения ширины основного и добавочного максимумов. Для
ао = 0 добавочные единичные максимумы появляются при d/h = 1,
для а0 = 90° при d/k = 0,5, поэтому и максимальные величины К
с ростом а0 сдвигаются в сторону меньших d/X. Как и следовало ожи-
ожидать, результаты расчета по приближенной формуле D.86) тем точнее,
чем больше п. Для п >- 10 разница результатов, полученных по точ-
точной и приближенной формулам практически заметна только в узкой
149

К/П
1,75
1,5
1,15
1,0
0,75
в,5
0,25
л
U
I/ ¦:
О В,15 В,5 0,15 /,В 1,25 U 1,75 i/K
1,75
1,5
1,15
?
0,75
В,5
В, 25
1
А
//
//
ч
(
л
* f
¦1
'/
1
d
ь
V
В'
Г
¦А
\
О В,25 0,5 0,15 1,9 Ц5 1,5 1,15 й/\
Рис 48. Зависимость отношения коэффициента концентра
150

K/n
1,75
1,5
ffl5
1,0
0,75
0,5
0,15
у
/
/
/f
f
A
t
/1
s
/
/1
i
<<<
О 0,15 0,5 0,75 1,0 1,15 1,5 1,75 d/Ь
R/n
1,75
i
1,5
1,25
U»
0,75
0,5
0,25
О 0,25 0,5 0,75 1,0 j,2lTlj 1,75 d/K
ции линейной решетки к числу ее элементов от
J
1
1
1
1
1
// !
/I
Л
1—
90°
А
Y
>
151

области изменения d/k, лежащей вблизи от величины d/k, соответст-
соответствующей появлению добавочного единичного максимума. Физически
это обстоятельство легко понять, если принять во внимание, что ши-
ширина единичных максимумов тем меньше, чем-больше п, и при п ->¦ оо
стремится к нулю, поэтому появление единичных максимумов от ма-
малых их уровней до самых больших происходит при больших п за мень-
меньший интервал изменения d/k, чем при малых и, и в пределе при п -> оо
скачком.
Коэффициент концентрации линейной эквидистантной решетки при
неравномерном амплитудном распределении может быть определен
по формуле D.91). В случае, когда расстояния между соседними эле-
элементами кратны 0,5 к, сумма вносимых активных сопротивлений из-
излучения равна нулю и
п
IX
D.93)
Так как это выражение максимально при aq = 1 для всех q, вве-
введение амплитудного распределения всегда уменьшает коэффициент
концентрации при d = 0,5 trik, где т — произвольное положительное
целое число. Интересно отметить, что при этом имеют значение только
величины амплитуд коэффициентов возбуждения, а распределение их
по элементам антенны безразлично. Однако при d/k, приближающемся
к единице, т. е. тогда, когда коэффициент концентрации уменьшается
из-за появления добавочных максимумов, равных единице, при рас-
распределении, падающем к краям антенны (т. е. при более широких еди-
единичных максимумах) коэффициент концентрации начнет падать при
меньших d/k, чем при распределении, растущем к краям. Для антенны,
состоящей из большого числа элементов, эта разница невелика, по-
поскольку единичные максимумы имеют очень малую ширину.
Если предположить, что амплитудное распределение вдоль антенны
меняется настолько плавно, что на участке, вносящем существенный
вклад в активное сопротивление излучения отдельного элемента, оно
практически неизменно, то можно получить следующее выражение,
приближенно определяющее коэффициент концентрации антенны:
к—¦
2
<7=1
— 1
D.94)
9=1
где тъ т2 и х\т те же, что и в формуле D.83).
Антенна, состоящая из отрезков, лежащих на одной прямой. Ха-
Характеристику направленности антенны, состоящей из п отрезков дли-
длиной /0, расположенных вдоль прямой так, что расстояния между их
центрами одинаковы и равны / (рис. 49), можно определить по теореме
умножения как произведение двух характеристик направленности:
152

отрезка и эквидистантной решетки ненаправленных элементов. В ре-
результате получим
. / л1в . \ .Г я/я
sin —— sin a sin
z=^Ji 1 LA
(sin a — sina0)
—— sin a л sin —(sin a — sinao)i
К [ X J
D.95)
Анализ зависимости характеристик направленности от угла ком-
компенсации а0, длины отрезков /0 и расстояния между их центрами /
благодаря тому, что эта формула состоит из двух сомножителей, рас-
смотренных ранее, не представляет большого труда. Несколько слож-
сложнее обстоит дело с расчетом сопротивления излучения и коэффициента
концентрации.
V
. l° - , q
" i
и
1 V m<\
" 1 1
h 7 ч
i
Рис. 49. Антенна, состоя-
состоящая из отрезков прямой.
Рис. 50. К определению rq& двух
отрезков.
Найдем активное взаимное сопротивление излучения двух отрез-
отрезков, расстояние между центрами которых равно l\q — g-| = 6
(рис. 50). В соответствии с формулами A.17) и B.39), сопротивление
излучения и давление, развиваемое линией, определяются соотно-
соотношениями
Sq
где r0 — радиус пульсирующего цилиндра, представляющего собой
излучающий отрезок Bг0 ^ X).
Совместим с центрами отрезков, имеющих номера g и q, начала
координатных осей xg и хд. При этом расстояние между двумя точками,
принадлежащими различным отрезкам г = б — xg + xq, а активное
взаимное сопротивление отрезков определяется выражением
»о/2
х I !
-/„/2 -/„/2
- Xg +
- dxqdxg.
153

Введем новые переменные мин. Символом v обозначим расстояние
между двумя произвольными точками на рассматриваемых отрезках.
Как видно из рис. 50, v меняется от б — /0 До б + /0. Перебирать все
возможные расстояния между двумя произвольными точками на от-
отрезках будем следующим образом. Зафиксируем расстояние v и рас-
рассмотрим положение всех взаимодействующих пар точек при неизмен-
неизменном v. Как видно из рис. 50, а при v <1 б взаимодействуют точки
отрезка q, координата х которых, отсчитываемая от левого конца от-
отрезка g, меняется от б—v до 10. Полагая х = и, заметим, что при из-
изменении и от б — 10 до б, переменная и меняется от б — о до /0. В слу-
случае же, когда расстояние между рассматриваемыми точками v > б
(см. рис. 50, б), во взаимодействии участвуют точки отрезка g, коор-
координата которых х меняется от 0 до б -+¦ /0 — и.
На основании изложенного выражение, определяющее взаимное
активное сопротивление излучения отрезков g и q, можно записать
следующим образом:
С {* sin ко , , . С С sin/го . ,
\ ——dvdu+ \ —^-dvdu
а=б—In U = 6—V V= 6 И=0
Интегралы по и вычисляются элементарно, а интегралы по v сводятся
к интегральным синусам. В результате имеем
4 . ft/ 1
/г 2 J '
где б = l\q — g\.
Из этого выражения, устремляя расстояние б между взаимодейст-
взаимодействующими отрезками к нулю, можно получить формулу, определяю-
определяющую собственное сопротивление излучения отрезка длиной /0
Принимая во внимание, что максимальное давление, развиваемое из-
излучающим отрезком в дальнем поле, определяется выражением
„ ikpcwrolo ,kr
Р~ 2т '
с помощью формулы A.38) легко получить выражение для коэффици-
коэффициента концентрации отрезка, совпадающее с приведенной выше форму-
формулой D.27), что подтверждает правильность проведенных вычислений.
На рис. 51 представлены кривые, рассчитанные по формуле D.96)
и показывающие изменение нормированного активного взаимного
сопротивления излучения двух отрезков при изменении относитель-
относительного расстояния между их центрами. При IJX = 0,1 кривая практи-
практически совпадает с функцией —— (сравни с рис. 47), определяющей
взаимодействие двух ненаправленных элементов. С ростом же отно-

сительной величины элемента IJX первый максимум кривых расши-
расширяется, а величина последующих уменьшается. Эта закономерность,
как мы убедимся в дальнейшем, является общей для взаимодействия
элементов конечных размеров.
Активное сопротивление излучения всей антенны при возбуждении
элементов, обеспечивающем компенсацию в направлении аф можно
записать так:
i (?-0 1 sin о, -<* <г-1) Г sin о„ _
e 'g
Рис. 51. Зависимость r4g
@) от 6А.
где
= kpcnr20
2 2
9=1 g=l
ачае cos
—gI sin a<>
D.97)
,= F + /о) Si [k (б + /о)] + (в~/о) Si [fe (б-/0)] -
— 26 Si ikS) —— cos kb sin2 -^2-;
K ' k 2
Давление, развиваемое одним отрезком в дальнем поле в направ-
направлении компенсации всей антенныа0 можно найти следующим образом:
ikpcrow ikr Г
2 e {
ikpcrowlo
1r
sin
я10 . \
—- sma0
X )
Л
155

Поскольку в направлении компенсации давления от всех элемен-
элементов антенны складываются синфазно, давление, развиваемое всей ан-
антенной, запишется так: "
tek D.99)
где D(ao) = — — величина характеристики направлен- 1
nl0 . 1
—— sin «о j
X 1
ности одного элемента в направлении компенсации антенны. i
Подставляя выражения D.99) и D.96) в формулу A.38), найдем 1
коэффициент концентрации антенны, состоящей из отрезков прямой, |
при компенсации в направлении а0 1
n
?a я
q=\
2
D.100)
2 2 ачае cos [* (<? — ?)'sin aol hqg
9=1 g=l
При равномерном амплитудном распределении двойная сумма знаме-
знаменателя может быть преобразована в одинарную (так же, как и в слу-
случае эквидистантной решетки) и
K = kllR\a0) ¦ п- , D.101)
п—1
2 ss (л — s) cos [ksl sin a0] hs
s=0
1 при s — 0;
\р
hs = {si + /0) Si [k (si + l0)] + {si—10) Si [k (si — /0)] — 2s/ Si {ksl) —
— — cos Ы sin2-^-.
fe 2
Полное активное сопротивление излучения (т. е. сопротивление
излучения с учетом всех взаимодействий между элементами) отрезка
прямой, заключенного в бесконечную одномерную антенну, состоя-
состоящую из таких же отрезков, можно определить по формуле C.56). Си-
Система координат, в которой записана эта формула, выбрана так, что
угол Э отсчитывается от линии, на которой расположены центры эле-
элементов решетки (т. е. 9 = я/2 — а), а угол ср лежит в плоскости,
перпендикулярной этой линии (т. е. R (ср) = 1). Учитывая ска-
скачанное, а также удваивая сопротивление излучения в связи с тем,
зто рассматриваемая антенна не находится в экране, получим
-ЦЧя^'Ы, D.Ю2)
& I mi
где
156

{\
_| 1/2 при | sin am |=1,
I 1 при |smam|<l;
X . .
sin am = m h sin a0.
d
Предположим, что полное активное сопротивление излучения от-
отрезка в бесконечной и конечной антеннах одинаковы; тогда активное
сопротивление излучения всей антенны приближенно равно nrs, а
давление, развиваемое всей антенной, пр (а0), [где rs определяется
формулой D.102), а р (а0) — формулой D.98)]. Зная давление, разви-
развиваемое антенной в направлении а0 и ее активное сопротивление излу-
излучения, легко найти и приближенное выражение, определяющее ко-
коэффициент концентрации
f/W . D.103)
Это выражение получено в предположении, что амплитудное распре-
распределение вдоль антенны постоянно. Если антенна состоит из большого
числа отрезков, а амплитудное распределение меняется достаточно
плавно, то активное сопротивление излучения элемента с амплитудой
возбуждения aq приближенно может быть определено как произведе-
произведение a2qrs. Давление же, развиваемое элементом антенны в направлении
а0, легко получить, умножая aq на выражение D.98). Коэффициент
концентрации при этом определяется выражением
*'Ы ¦ D.104)
n
V „2
q=\ my
Приведенные приближенные формулы D.103) и D.104) получены
для случая, когда вдоль отдельного отрезка, являющегося элементом
антенны, амплитуда колебательной скорости неизменна.
Легко показать, что они остаются справедливыми и при неравно-
неравномерном амплитудном распределении вдоль отрезка, если только под
R (а) понимать характеристику направленности отрезка при а (х) ф 1.
Рассмотрим величину коэффициента концентрации антенны, со-
состоящей из отрезков прямой при равномерном амплитудном распре-
распределении как вдоль отрезков, так и между ними.
На рис. 52 представлены результаты расчетов для случаев а0 = 0,
п _ до, ijl = 0,4; 0,6; 0,8. Прежде всего отметим, что расчет по фор-
формуле D.103), полученной методом бесконечной решетки (штриховые
линии), дает величины, совпадающие при многих 1/Х с величинами,
полученными по точной формуле D.101); исключением является об-
157

К/п
3,0
2,0
1,0
ласть изменения 1/Х, близкая к 1*« 2, причем, чем больше п, тем она
уже и практически, начиная с п = 10, результаты расчетов обоими
методами совпадают. При изменении 1/Х от 0,1 до 0,9 К/п растет почти
линейно, причем величина К ~ 2nl/X, т. е. коэффициент концентра-
концентрации рассматриваемой антенны равен коэффициенту концентрации
сплошной линии, имеющей длину nl. Таким образом, при расстояниях
между центрами отрезков, меньших 0,9 X, коэффициент концентрации
не зависит от величины зазора между отрезками, т. е. от отношения
IJI. При изменении 1/Х от 0,9 до 1,1 существует некоторая переходная
.область, после которой с ростом 1/Х отношение К/п увеличивается
также линейно, но величина К/п уже зависит от 10/1 и чем больше за-
зазоры, тем она меньше. Приближен-
Приближенно можно считать, что коэффициент
концентрации антенны, состоящей
из отрезков, при 1/Х > 1,1 равен
коэффициенту концентрации сплош-
сплошной линии, равной общей длине
антенны nl за вычетом общей дли-
длины всех зазоров. Другими словами,
при 1/Х < 1 коэффициент концен-
концентрации зависит от общей длины
антенны, а при 1/Х > 1 только от
суммы длин активных участков (пе-
(переходная же область в окрестности
1/Х = 1 тем уже, чем больше п).
Заметим, что этот вывод справед-
справедлив только в отсутствии фазового
распределения вдоль антенны. На
_ графике рис. 53 показано рассчи-
а° ~~ и" тайное по формуле D.101) отноше*-
ние К/п в зависимости от 1/Х при
а0 = 30°. Линейный рост К/п с увеличением 1/Х происходит при а0 =
= 30° уже не до 1/Х = 0,9, а только до 1/Х = 0,6, далее появляется
единичный добавочный максимум решетки ненаправленных элементов,
расположенных в центрах реальных, и К/п перестает линейно увели-
увеличиваться с ростом 1/Х.
Графики рис. 52 и рис. 53 рассчитаны при заданной величине yl
и изменении 1/Х, а следовательно, и IJX. Таким образом, они соответст-
соответствуют случаю изменения частоты при сохранении геометрии антенны.
На рис. 54 для а0 = 0 и п = 10 приведены результаты расчета коэф-
коэффициента концентрации антенны, состоящей из отрезков прямой, в слу-
случае, когда волновой размер элементов не меняется, но меняется рас-
расстояние между ними (т. е. элементы раздвигаются при неизменной
частоте). Как и раньше, сплошными линиями показаны результаты рас-
расчетов по точной формуле D.101), а штриховыми — по приближенной
D.103). Видно, что и в этом случае приближенно справедлив сделан-
сделанный выше вывод о влиянии зазоров на коэффициент концентрации,
причем, чем больше относительный размер элемента IJX, тем этот вы-
вывод точнее соответствует результату точного расчета. При IJX — 0,5
/
А
s mi
\S Щу
/
/
0.5
1,0 1,5 1/к
Рис. 52. Зависимость К/п от 11% при
158

K/n
1,0
0,5
/
У
0,5
1,5
г/А.
Рис. 53. Зависимость Kin от ИХ при ов = 30°
и п = 10.
/(/71
/
У
A
/
S
n
I
I
/q--0 x
Рис, 54. Завнснмость Kin от l/k (a0 == 0; я = 10).
Рис. 55. Антенна, состоящая из
ненаправленных элементов, лежа-
лежащих на дуге окружности.

l/K'0,25
\У
\J
SO 100 ПО ПО WO if'
о го 40 во 60 юо по т но у
0,3
0,2
0,1
1/1 = 0,5
A
W
i /*\
J/'
^^
1
\ П
M \
1
л
0,6
0,5
0,1
0,3
0,1
0,1
О 20 40 00 00 100 110 ПО 160
U
В 20-40 60 60 100 120 140 160 (р
Рис. 56. Характеристики направленности компенсированной дуги, состоящей из ненаправленных элементов

взаимодействие между элементами достаточно велико и в диапазоне
lj% от 1 до 2 величина /С/л в среднем равна 1,25, а если бы элементы
9 / п
были независимы, то К равнялось бы ——, т. е. Щп равнялось бы еди-
л
нице.
Антенна, состоящая из ненаправленных элементов на дуге. Рас-
Рассмотрим характеристики направленности антенны, состоящей из не-
ненаправленных элементов, расположенных на дуге окружности. Для
определенности будем считать, что в середине дуги, т. е. при г|з = О,
расположен элемент, имеющий порядковый номер q = 0 (рис. 55).
Начало координат совместим с центром окружности, частью которой
является дуга. Тогда xq = i?cosi|)?, yq = ^simj),, где ip? = qA\p,
(Aif> — угловой шаг между соседними элементами). Скалярное произ-
произведение р9и, определяющее разность
хода лучей от элемента q и начала ко-
ординат в направлении и равно
ii0 iQ i i
р р
i?sin0cos<pcosi|)? + RsinQ sincp sim^ и o,i
в соответствии с формулой B.50)
Рис. 57. Характеристики направленности
компенсированной дуги, состоящей из нена-
ненаправленных элементов (<р == 0°, kR = 20,
/А= 0,25; 1,0).
же, ф) =
— ikR [cos iffl (sin 9 cos ф — sin 90 cos <po)+ sin iffl(sin 9 sin ф — sin в0 sin ф0)]
/
. ti
1
!
q=-n
ч^-п * D.105)
где 2п + 1 = N — общее число элементов на дуге, а углы 0О, <р0
определяют направление компенсации.
На рис. 56 представлены характеристики направленности компен-
компенсированной вдоль оси х антенны, состоящей из ненаправленных эле-
элементов, лежащих на дуге. Полный рабочий сектор равен 120°, расстоя-
расстояние между соседними элементами / = 0,25 %; 0,5 %; 0,75 % и %, 0 = я/2,
kR = 20. При lj% = 0,25 характеристика направленности рассматри-
рассматриваемой антенны не отличается от характеристики направленности не-
непрерывной компенсированной дуги; с ростом же 1/%, оставаясь прак-
практически неизменной в области основного и первых добавочных макси-
максимумов, характеристика искажается в области углов, больших 60°.
На месте сравнительно плавно меняющегося ореола, характерного
для непрерывной дуги, появляются четко выраженные интерферен-
интерференционные максимумы, размах амплитуды которых увеличивается с рос-
ростом lj%. Влияние амплитудного распределения при больших значе-
значениях lj% практически не сказывается на виде характеристики направ-
161

ленности при ср > 60° (сплошные кривые р.ис. 56 и рис. 57 соответст-
соответствуют aq = 1, штриховые — aq = cosif^).
Как видно из рис. 57, при увеличении //2гВозрастают осцилляции
характеристики направленности и в плоскости <р = 0 (хотя и в зна-
значительно меньшей степени). v
Поскольку направленность непрерывной дуги мало отличается от
направленности аналогичной дискретной антенны в случае / <С 0,5 X,
в практических расчетах часто при выполнении этого неравенства
дискретную антенну заменяют непрерывной или наоборот.
ГЛАВА 5
ПОВЕРХНОСТНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АНТЕННЫ
§ 14. Поверхностные произвольные непрерывные антенны
Вывод расчетных формул. Во второй главе, рассматривая различ-
различные математические модели антенн, мы говорили о прозрачной непре-
непрерывной поверхностной антенне, представляющей собой звукопрозрач-
ную пульсирующую пластинку, толщина которой значительно меньше
длины волны. Давление, развиваемое такой антенной, в соответствии
с формулой B.40), определяется следующим образом:
(9)^ds, E.1)
где А (р) до0 = до (s) — колебательная скорость на одной стороне пла-
пластины (Q = 2 до (s) ds).
В дальнем поле давление определяется выражением
р (й) = —te- elkr J A (p) e~tkpads. E.2)
Найдем активное сопротивление излучения прозрачной непрерыв-
непрерывной антенны через давление, развиваемое ею в ближнем поле
Меняя местами интегралы по s, s' и Q и принимая во внимание соот-
соотношение
'е-1ки(p~p)dQ-4я sinfe|p~p?l ,
получим
f s'
f f A (p) Л* (p') sinfe'p-py| dsds'. E.3)
JJ w lP; *|p-p'| V ;
s s'
Физический смысл этой формулы очевиден. Функция ————~-
пропорциональна взаимному активному сопротивлению между двумя
162

малыми элементами площади ds и ds' и полное активное сопротивле-
сопротивление излучения непрерывной антенны, естественно, определяется двой-
двойным интегралом от вносимого активного сопротивления излучения.
Зная давление, развиваемое антенной в направлении и0 и ее ак-
активное сопротивление излучения, с помощью формулы A.38) можно
записать и выражение, определяющее коэффициент концентрации:
А (р)
А(р)А*(р)
sin k | р — р' |
*|p-P'l
E.4)
Рассмотрим приближенный метод оценки коэффициента концентра"
ции поверхностных антенн [36], основанный на приближенном вычис-
вычислении их активного сопротивления
излучения.
Вычислим приближенно внутрен-
внутренний интеграл по ds' выражения E.3),
т. е. интеграл
E.5)
Вначале будем предполагать, что ан-
антенна компенсирована в направлении и0)
= a(p)a{p')eika°{p-p') и
Рис. 58. К выводу приближенного
выражения, определяющего коэф-
коэффициент концентрации произ-
произвольной поверхностной антенны.
тогда Л(р)Л*(р')
r = a(p)Ja(p')
SIn k Ip - р' I
¦ds'.
На величину
sin k I р — р' I
1
интеграла
при увеличении
по s' (в
р-р'
силу уменьшения величины
в основном влияют только
близкие к ds элементы ds'. Если радиусы кривизны поверхности s и ее
линейные размеры больше длины волны, то эти близко расположенные
элементы ds' можно считать лежащими на плоскости s", касательной
к поверхности s в некоторой точке внутри ds (рис. 58). По этой же при-
причине величина интеграла не должна существенно измениться при раз-
движении пределов интегрирования по плоскости s" в бесконечность.
Кроме того, будем предполагать, что амплитудное распределение
меняется настолько медленно, что в пределах области, вносящей суще-
существенный вклад в величину интеграла, оно остается практически по-
постоянным. Таким образом, можно записать
/ = а2 (р) Г eiku° (p-p'> sinfe'p~p'l ds".
J k\ p — p' I
163

Для вычисления интеграла по плоскости s" разместим прямоуголь-
прямоугольную систему координат так, чтобы центр ее находился в точке касания
с поверхностью s, а оси х и у лежали бы на плоскости s", причем про-
проекция и0 на плоскость s" совпадала бы с осью х. Поскольку точка, оп-
определяемая радиусом-вектором р, расположена в начале координат,
модуль расстояния от нее до текущей точки на поверхности s", т. е.
I Р — р' I = Vх* + У2> где д; и у координаты точки, определяемой
радиусом-вектором р'. Скалярное произведение ио(р — р') = иОх (р —
— р')^ + иОу (р — р')у + uOz (р — р'J = х sin (ds, u0), так как uOy =
= 0 и (р — p')z = 0. Символом (ds, u0) обозначен угол между на-
направлением компенсации и0 и нормалью к поверхности элемента ds
в некоторой его точке. Подставляя найденные величины в выражение
для определения / и переходя к полярной системе координат, запишем:
2я оо
/ = а2 (р) Г Г elkr с°* ч>si" <"*• 5HL*L
о о
где г = Vx2 + у2; rcos9 = х.
Интеграл по ср приводится к функции Бесселя. Действительно,
2Л Я
J eih cos ф (Uf = 2 leib °°s ф dq> = 2яУ0 (b).
о о
Таким образом,
I = J?L а* (р) j j0 [kr sin (ds, Oo)] sin
fe 0
Принимая во внимание известное соотношение
00
J Jo (ax) s'm
о
получим
/ = — aa (p) .
fe2 vr/ jcos(ds, ио)|
Возвращаясь к формулам E.5) и E.3), запишем приближенное
выражение, определяющее активное сопротивление излучения компен-
компенсированной непрерывной прозрачной поверхности антенны
a2(p) ds
cos (ds, »0)
E.6)
Из формулы E.6) следует один вывод, противоречащий физиче-
физическому смыслу, а именно: если хоть один участок антенны касателен
к направлению компенсации, то (ds, uo) = — и активное сопротив-
сопротивление излучения антенны стремится к бесконечности. На этой особен-
особенности полученной формулы мы остановимся подробнее далее, при рас-
рассмотрении коэффициента концентрации плоской антенны.
164

В случае отсутствия фазового распределения для каждого элемента
ds угол (ds, и0) равен нулю и
E.7)
При очень медленном изменении фазового распределения по по-
поверхности антенны можно считать, что внутри области, вносящей су-
существенный вклад в величину интеграла / [формула E.5) ] не только
амплитудное, но и фазовое распределение постоянно. Поэтому модуль
квадрата коэффициента возбуждения | А (р) |2 = а2 (р) можно выне-
вынести из-под знака интеграла. Переходя к интегрированию по касатель-
оо
ной плоскости s" мы получим несобственный интеграл J sin krdr,
о
который при стремлении верхнего предела интегрирования к беско-
бесконечности не имеет предела. Для его приближенного вычисления можно
поступить следующим образом. Будем предполагать, что в среде
имеется некоторое затухание, приводящее к тому, что колебания, при-
приходящие из бесконечности, имеют нулевую амплитуду. Тогда вели-
величину интеграла можно найти, подставляя в первообразную функцию
только нижний предел, и не подставляя верхний. В результате вычис-
вычислений и в этом случае мы получим формулу E.7).
Выражения E.6) и E.7) получены в предположении, что поверх-
поверхностная антенна прозрачна. Приближенно можно считать, что мощ-
мощность, излучаемая непрозрачной антенной, излучающей в одну сто-
сторону, в два раза меньше мощности аналогичной прозрачной антенны.
Тогда активное сопротивление излучения также в два раза меньше
для непрозрачной антенны, чем для прозрачной, и при компенсации
в направлении и0
E.8)
|cos(ds, в,) |
При наличии же медленно меняющегося фазового распределения или
при отсутствии его
rs = pcja2(p)ds. E.9)
S
Зная активное сопротивление излучения антенны, а также давле-
давление, развиваемое ею в направлении компенсации [выражение E.2)],
легко определить и коэффициент концентрации [формула A.38) ].
Так, при компенсации непрерывной поверхностной антенны в на-
направлении Ио
a(P)ds
U
С
J
E.10)
a2 (p) ds '
cos (ds, if) |
165

В отсутствии фазового распределения
И, наконец, при наличии медленно меняющегося фазового распре-
распределения
J A (p) e-ik*»°ds %
В формулах E.10), E.11), E.12) f — 2 для непрозрачной антенны
и / = 1 для прозрачной.
Определение оптимальных возбуждений. Определим амплитудное
распределение, обеспечивающее максимум коэффициента концентра-
концентрации компенсированной поверхностной антенны. Аналогичную задачу
для линейной непрерывной антенны в предыдущей главе мы решили
с помощью прямого метода вариационного исчисления. Этот же ме-
метод может быть применен и в рассматриваемом случае, однако мы по-
поступим несколько иначе. Предположим, что оптимальное амплитуд-
амплитудное распределение нам известно и имеет вид а0 (р). Рассмотрим коэффи-
коэффициент концентрации поверхностной антенны при распределении
а0 (р) + АЬ (р), где Ъ (р) — произвольная функция. Так как коэффи-
коэффициент концентрации максимален при а (р) = а0 (р), то независимо
от вида функции Ь (р) должно выполняться условие
дК
дА
= 0.
д=о
Подставляя амплитудное распределение а (р) = а0 (р) + АЬ (р) в
формулу E.10), вычисляя производную по А и приравнивая ее к нулю,
получим
С а0 IP) as С
) | cos (ds, в0) | J
a0 (p) b (p) ds
| cos(ds, н0) |
Левая часть этого равенства не зависит от величины Ь (р), следова-
следовательно, и правая также не должна зависеть от нее, что имеет место при
любом виде функции Ь (р), если только положить
а0 (р) = | cos {ds, »o)l- E.13)
Определим теперь величину коэффициента концентрации поверх-
поверхностной компенсированной антенны при оптимальном амплитудном
распределении. Подставляя выражение E.13) в формулу E.10), по-
получим
К = ¦— f J | cos {ds, u0) | ds.
166

Перейдем от интегрирования по поверхности s к ее проекции s'
на плоскость, перпендикулярную направлению компенсации и0. В со-
соответствии с известным выражением
J
F(x, y,z)ds=U(x,y)-^-t E.14)
J COS О
где б — угол между осью г и нормалью к поверхности элемента ds;
можно записать:
Заметим, что, как следует из формулы E.11), коэффициент концен-
концентрации плоского поршня в отсутствии компенсации и при равномер-
равномерном амплитудном распределении равен
K^-^-f, E.16)
где s — площадь поршня.
Таким образом, формула E.15) свидетельствует о том, что при оп-
оптимальном амплитудном распределении коэффициент концентрации
компенсированной непрерывной поверхностной антенны совпадает
с коэффициентом концентрации плоского поршня, равновеликого про-
проекции поверхности антенны на плоскость, перпендикулярную направ-
направлению компенсации. Если рассматриваемая антенна прозрачна, то
и эквивалентный ей поршень прозрачен и
K = ^f, E.17)
а если антенна непрозрачна, тс
* = i^-.- E.18)
Здесь следует сделать одну оговорку. Формула перехода от интег-
интегрирования по поверхности s к ее проекции s' в виде, записанном нами
выше [выражение E.14)], справедлива только в случае, когда функ-
функция f (х, у) в пределах области s' однозначна. Поэтому полученные
выше выводы справедливы для случая, когда для всей поверхности s
угол между направлением компенсации и внешней нормалью к поверх-
поверхности элемента ds меньше или больше я/2.
Для непрозрачной антенны применение приближенных формул
E.10), E.11) и E.12) не имеет смысла при cos (ds, и0) < 0, поскольку
в этом случае отдельные элементы антенны попадают в зону акусти-
акустической тени (если источник находится в направлении а0) и уже исход-
исходная формула E.2) может иметь существенную погрешность. Для про-
прозрачной антенны формула E.2) справедлива и можно рассматривать
случаи, когда cos (ds, u0) > 0.
Пусть компенсированная прозрачная антенна имеет замкнутую
поверхность (сфера, эллипсоид вращения, произвольный цилиндр
167

и т. п.), такую, что при проектировании ее на плоскость, перпендику-
перпендикулярную направлению компенсации, каждой точке проекции соответ-
соответствуют две точки поверхности антенны. Тогда
| cos б '|
где f (х, у) и cos б' — функции, соответствующие части поверхности
при cos б > 0, а I" {х, у) и cos б " — те же функции для части поверх-
поверхности, на которой cos б < 0.
Вычисляя с помощью этого выражения коэффициент концентрации
произвольной замкнутой поверхностной антенны при оптимальном
амплитудном распределении и без учета взаимодействия передней и
тыльной сторон поверхности, получим К = 4ns'A2. Таким образом,
коэффициент концентрации произвольной поверхностной замкнутой
прозрачной антенны примерно равен коэффициенту концентрации
экранированного плоского поршня, равновеликого ее проекции на
плоскость, перпендикулярную и0. Заметим, что учет взаимодействия
передней и тыльной относительно и0 частей поверхностной антенны
несколько уменьшает К- Так, в случае прозрачной компенсирован-
компенсированной цилиндрической антенны при kR = 10 -н 40 К ~ 3ns'A2.
Рассмотрим связь между распределениями колебательной скорости
и давления на поверхности антенны. Мощность, излучаемая элемен-
элементом поверхности антенны, в соответствии с формулой A.10), равна
dW = 0,5 р (р) w* (р) ds. Поскольку большая по сравнению с длиной
волны компенсированная антенна излучает плоскую волну, прибли-
приближенно можно считать, что реактивное сопротивление излучения мало
и величина dW — вещественная. С другой стороны, с помощью при-
приближенной формулы E.8) также можно найти активную мощность,
излучаемую антенной. Переходя к мощности, излучаемой элементом
площади ds, приравняем ее к записанному выше выражению и полу-
получим
p(9)w;(9)(9)s ^f^,
2 1 21 cos (ds, н0) |
откуда следует, что давление на поверхности непрерывной антенны
связано с колебательной скоростью соотношением
| cos (ds, н0) |
Одним из основных параметров, характеризующих работу антенны
в режиме излучения, является давление, развиваемое ею в направ-
направлении компенсации и0. Ясно, что для увеличения этого давления сле-
следует увеличивать колебательную скорость поверхности антенны.
Однако,это не всегда возможно в силу целого ряда ограничений и в пер-
первую очередь ограничения, связанного с возможностью появления ка-
кавитации. Из условия получения максимальной величины р (и0) при
кавитационном ограничении излучаемой мощности следует выбрать
168

амплитудное распределение так, чтобы амплитуда давления на всей
поверхности антенны была бы одинаковой и равной максимально до-
допустимой величине \рт\. Из последнего выражения видно, что иско-
искомое амплитудное распределение определяется следующим соотноше-
соотношением:
а I \ = \Pm\\ COS (dS, Я0) |
^' pcw0
Давление, развиваемое антенной в направлении и0 при таком распре-
распределении а (р), можно найти по формуле E.2)
p(ao)^fa(p)ds^x
2яг J 2кг
X J |cos(ds, и»)\ds=-ik]Pml s' elkr, E.19)
где s' — площадь проекции антенны на плоскость, перпендикулярную
направлению компенсации.
Заметим, что плоская антенна, имеющая равномерное амплитудное
распределение, развивает в направлении максимума характеристики
направленности давление
и, если давление и колебательная скорость на ее поверхности связаны
между собой так же, как и в плоской волне (т. е. р = рсдо0), то
Таким образом, амплитудное распределение, максимизирующее
коэффициент концентрации поверхностной непрерывной антенны,
а (р) = | cos (ds, tt0) |, обеспечивает и максимальную величину давле-
давления в направлении компенсации в условиях кавитационного ограни-
ограничения, причем введение этого амплитудного распределения приводит
к тому, что и коэффициент концентрации и давление в направлении
компенсации совпадают с аналогичными параметрами равновеликого
проекции антенны на плоскость, перпендикулярную ид, ~ плоского
поршня с равномерным амплитудным распределением.
Строго говоря, давление и колебательная скорость на поверхности
поршня не всегда связаны соотношением р = pew, однако им можно
пользоваться для приближенных оценок.
Все выводы, приведенные выше для непрозрачной поверхностной
непрерывной антенны, мы получили, исходя из формул E.1) и E.2).
Если ограничиться случаем, когда (ds, и0) < — для всей поверхно-
поверхности антенны, то из формулы E.1) следует вывод о том, что малый эле-
элемент поверхности излучает в полупространство. Такой вид характе-
характеристики направленности элемента поверхности антенны больше всего
соответствует случаю задания на поверхности антенны колебательной
скорости, т. е. работе вне резонанса.
169

Найдем приближенные соотношения между основными парамет-
параметрами непрозрачной антенны при работе ее на резонансе, т. е. при за-
задании на поверхности антенны распределения давлений. Для этого
рассмотрим плоскую антенну, размеры которой значительно больше
длины волны. С помощью формулы B.38) давление, развиваемое ан-
антенной, можно записать так
Здесь 0 — угол между произвольным направлением и нормалью к по*
верхности антенны.
Введем в рассмотрение распределение давления по поверхности
антенны В (о) =-^-^-— b (о) е'Р(р), где р0 — давление в точке приве-
привело
' дения, и положим Ъ (р) = 1, Р (р) = kpu0. Давление, развиваемое
антенной, компенсированной в направлении и0,
С
sD (
гдеО(и) = —\е lkp (u "o)ds—комплексная характеристика направ-
S %)
S
S
ленности такой же плоской антенны при равномерном распределении
амплитуды колебательной скорости и при компенсации ее в направ-
направлении и0.
По формуле A.27) определим мощность, излучаемую антенной
.222
W = -^- \cos2QR2(a)dQ.
8я2рс ? ;
Размеры антенны значительно больше длины волны, поэтому ее
характеристика направленности R (и) имеет малую ширину. Функция
же cos20 меняется медленно [во всяком случае значительно медленнее,
чем функция R2 (»)], поэтому ее умножение на R2 (и) существенно не
искажает вида функции R2 (а), но изменяет ее величину пропорцио-
пропорционально значению cos20 в направлении максимума характеристики
направленности антенны. Вынося на этом основании функцию cos20
из-под знака интеграла при 0, соответствующем направлению компен-
компенсации и0, т. е. при 0 = 0О, получим
8я2рс
Интеграл по телесному углу легко определить, если принять во
внимание, что он равен знаменателю коэффициента концентрации
[формула A.36)], откуда, учитывая соотношение E.18), имеем
К s cos 60
Таким образом, мощность, излучаемая плоским поршнем, на по-
поверхности которого задано давление р, определяется выражением
170

2pc
В предположении, что каждый элемент поверхности поршня излучает
одинаковую мощность, получим
d W = -?— cos Qods.
2рс
Допущения, принятые при выводе формул E.10), E.11) и E.12), по
существу эквивалентны предположению о том, что элемент площади
поверхностной антенны ds излучает ту же мощность, что и элемент
площади очень большой плоской антенны, касательной к произволь-
произвольной по форме поверхностной антенне в точке, лежащей внутри ds.
Это же предположение может быть сделано и в рассматриваемом
случае. Учитывая наличие амплитудного распределения давления
Ь (р), получим
W = — f Ь2 (р) cos (ds, и0) ds. E.20)
2рс ?
Поскольку давление, развиваемое компенсированной произволь-
произвольной антенной, на поверхности которой задано распределение давления,
в направлении и0 может быть приближенно записано как
р (и0) = — -^- elkr \ b (p) cos (ds, и о) ds, E.21)
коэффициент концентрации непрозрачной антенны определится сле-
следующим образом:
р{а°)г % I Гй (p)cos (ds, uo)ds
К = ^- ш° _ _2?1 IР ("о)r I2 _ i"_ b # E 22)
рс г$ рс w № j йа (р) cos (ds, ao)ds
s
Найдем распределение давления на поверхности антенны, при ко-
котором коэффициент концентрации максимален. Прежде всего заме-
заметим, что при Ь (р) = 1
К = j cos (ds, и0) ds.
В силу неравенства Буняковского—Коши
откуда, представляя числитель формулы E.22) в виде произведения
двух интегралов, один из которых стоит в знаменателе, получим
J й2 (р) cos (ds, и0) ds J cos (ds, u0) ds
cos (ds,
fos(ds, uo)ds.
Таким образом, коэффициент концентрации не может быть больше
величины, которую он имеет при Ь(р) = 1, откуда следует, что опти-
171

мальным распределением амплитуд давления является равномерное.
Естественно, что это распределение является оптимальным и в смысле
получения наибольшего давления в направлении д0 в условиях кави-
тационного ограничения1. "
Переходя в формулах E.21) и E.22) к интегрированию по проек-
проекции антенны на плоскость, перпендикулярную и0, при b (р) = 1 легко
убедиться, что и в случае работы на резонансе, так же как и при
работе вне резонанса, давление, развиваемое произвольной поверх-
поверхностной антенной в направлении компенсации и ее коэффициент
концентрации при оптимальном амплитудном распределении равны со-
соответствующим величинам для плоского равновеликого (по площади
проекции) поршня.
Аналогичным образом можно рассмотреть и несколько более об-
общий случай, когда малый элемент поверхности антенны обладает из-
известной направленностью, вызванной дифракцией на поверхности
антенны, но одинаковой для всех элементов поверхности (что,
очевидно, имеет место для поверхностей постоянной кривизны).
Можно показать, что в этом случае
I Г а (?) Я9 (в0) ds
2я \р(щ)г\* 4л |s
pc w
ll
E.23)
cos (ds, н0)
Анализ формулы E.23) показывает, что коэффициент концентрации
достигает максимальной величины при а (о) = s —— и эта мак-
v ^' Я э («о)
симальная величина равна коэффициенту концентрации плоского
поршня при а (р) =- 1, если площадь поршня равна площади проек-
проекции антенны на плоскость, перпендикулярную направлению компен-
компенсации.
Таким образом, эффективность непрерывной произвольной по кон-
конфигурации поверхностной антенны (оцениваемая по величине коэффи-
коэффициента концентрации и давления в направлении и0 при наличии ка-
витационного ограничения) при равномерном амплитудном распреде-
распределении меньше эффективности равновеликого по поперечному сечению
сплошного поршня, однако существует некоторое оптимальное рас-
распределение (зависящее от направленности элемента площади антенны),
при котором эффективность поверхностной антенны и плоской одина-
одинаковы. При изменении направленности элемента антенны от R (и) = 1
до R (и) = cos (ds, и) оптимальное амплитудное распределение ме-
меняется от а (р) = cos (ds, и0) до равномерного.
В этом параграфе мы показали, что амплитудным распределением,
максимизирующим коэффициент концентрации непрерывной поверх-
поверхностной антенны при заданной колебательной скорости, является рас-
распределение о0 (р) = | cos (ds, и0) |. В случае непрерывных антенн с вы-
выпуклой поверхностью, это распределение является падающим к краям
1 Этот вывод другим способом был получен ранее Ю. Ю. Добровольским.
172

освещенной из направления и0 части антенны. В § 6 в предположении
независимости элементов дискретной антенны по полю было показано,
что оптимальное распределение имеет вид as = Rs (u0), т. е. также
падает к краям рабочего участка антенны.
Интересно отметить, что в обоих этих случаях характер оптималь-
оптимального амплитудного распределения одинаков, несмотря на то, что при-
причины, вызвавшие его, различны. Для непрерывной антенны или диск-
дискретной, состоящей из малых элементов, расположенных на малых рас-
расстояниях, вид оптимального распределения определяется отличием
величин сопротивлений излучения различных участков антенн. Для
антенны же, состоящей из независимых элементов, сопротивления
излучения всех элементов одинаковы, но зато различно давление,
создаваемое разными преобразователями в направлении и0.
Поскольку, несмотря на различие причин, определяющих вид оп-
оптимального амплитудного распределения, в рассматриваемых случаях
результат получился качественно одним и тем же, можно предпола-
предполагать, что и в промежуточном случае, когда элементы антенны не на-
настолько малы, чтобы антенну можно
было бы считать непрерывной, но
и не настолько велики, чтобы быть
независимыми, оптимальное рас-
распределение также является падаю-
падающим к краям рабочего участка и
близко к функции | cos {ds, щ) |.
§ 15. Непрерывные плоские
антенны
Прямоугольная антенна. Пусть
в плоскости хОу расположена пло-
плоская непрерывная антенна, заклю-
заключенная в бесконечный жесткий эк-
Рис
77
59 Прямоугольная антенна.
ран. Положение в пространстве точки наблюдения будем описывать
сферическими координатами 0 и <р. Давление, развиваемое такой ан-
антенной, определится формулой B.46)
p(u)=-tkpcw° elkr
2пг
»
Скалярное произведение векторов рв найдем как сумму их одноимен-
одноименных проекций на оси координат: ри = jtsin0cosq> + #sin0sincp + Ocos0,
откуда
р(в, ф)= —
J
¦* У
X
e—lk {x sin 8 cos ф +y bin 8 sin ф] . ,
E.24)
Для компенсации антенны в некотором направлении 60, ф0 следует
выбрать а (х, у) = /гр»0 = k (*sin0ocosq>o + «/sin0o sirupo], тогда в этом на-
173

правлении давления от отдельных элементов антенны будут склады-
складываться синфазно.
В случае плоской антенны, имеющей форму прямоугольника, сто-
стороны которого 1Х и 1у (рис. 59) ориентированы вдоль соответствующих
осей, при равномерном амплитудном распределении интегралы фор-
формулы E.24) вычисляются элементарно и, если начало координат совпа-
совпадает с центром прямоугольника, давление определяется следующим
выражением:
р (в, ф) = _i*??^?. J*D (e, ф), E.25)
где
sin —— (sin в cos ф — sin 60 cos q>0)j
D(G, Ф) = —L^ . J-x
—— (sin в cos ш — sin 0O cos q>0)
2
sin —2- (sin в sin Ф — sin 6„ sin %)
x LJ 1. E.26)
¦—— (sin 6 sin ф — sin 8e sin ф0)
С помощью формулы E.26) легко определить характеристику на-
направленности при любом направлении компенсации. Так, например,
если компенсация производится в плоскости хОг, то ф0 == 0 и
sin —— (sin О cos ф— sin 60) sin (—— sin в sin (pi
D(G, Ф) = L2 1 ^ L. E.27)
(вшвсовф— sinG0) —^
Характеристика направленности в плоскости хОг может быть найдена
из этого выражения, если положить ц> = О
sin ["-*k(sine — sin ео)|
Г)(в) = —1J i. E.28)
—— (sin в — sin 60)
В соответствии с теоремой умножения характеристика направлен-
направленности прямоугольника равна произведению характеристик направлен-
направленности его сторон, что и подтверждается формулой E.26). В случае же
Фо = 0 и ф = 0 характеристика направленности отрезка 1и равна еди-
единице и поэтому характеристика направленности прямоугольника сов-
совпадает с характеристикой направленности отрезка 1Х.
Поскольку характеристика направленности прямоугольника пред-
представляет собой произведение двух функций, каждая из которых имеет
sin г . _ _
вид —— > расчет ее легко произвести, пользуясь графиком рис. 22
или соответствующими таблицами.
174

Некоторые трудности могут возникнуть при расчете характеристик
направленности компенсированного прямоугольника в плоскостях,
проходящих через направление главного максимума при 60 ф 0. Ха-
Характеристика направленности в одной из таких плоскостей, а именно
в плоскости ф = ф0, рассчитывается легко, поскольку при расчете до-
достаточно изменять только одну переменную 6. При расчете же характе-
характеристик направленности в других плоскостях следует либо одновре-
одновременно менять 6 и ф, выразив одну координату через другую, либо про-
произвести поворот системы координат так, чтобы новая ось г', относи-
относительно которой отсчитывается угол 6', совпадала бы с направлением
компенсации 60, ф0.
Так, например, при ф0 = 0 новая система координат х', у', z' мо-
может быть получена путем поворота осей z и х вокруг оси у на угол 60.
При этом у = у' и, следовательно, sinBsiiwp = sinB'sinq/, а х =
== х'соь 60 -f- z'sin 60, откуда sin бсоэф = х = sin 6' соэф'соэб,, +
+ cos6'sin60. Подставляя найденные соотношения в формулу E.27),
получим
[Ы 1
—— (sin в' cos ф' cos 0О -f cos 0' sin 0O — sin 0O)
,,,,, ..,.= __ ? i
klx
X
(sin 0' cos ф' cos 0О -j- cos 0' sin в0 — sin 0O)
¦ I klV ¦ ar ¦
sin —— sino sin '
X' Krr -• E-29)
Полагая в этом выражении ф' = 0 получим формулу, определяю-
определяющую характеристику направленности в плоскости x'Oz', и отличаю-
отличающуюся от формулы E.28) только сдвинутым на угол 60 началом от-
отсчета углов
sin Г-^- (sin @' + 0О) — sin 0OI
D(9')= L? L.
В плоскости, проходящей через направление главного максимума,
и перпендикулярной плоскости ф == ф' = 0, т. е. в плоскости q/ =
= л/2 характеристика направленности имеет вид
sin Г-^*- sin 0О A — cos 0'I sin (-Ql sin 0']
D(q/) = _i_2 1 U. L. E.30)
—i- sin 0O A — cos 0') 3Lsin0'
При повороте главного максимума излучения в плоскости xOz, как
это видно из формулы E.28), характеристика направленности в пло-
плоскости xOz ведет себя так же, как и характеристика направленности
отрезка 1Х (см. рис. 23). В плоскости же, перпендикулярной к плоско-
плоскости, в которой происходит поворот главного максимума, как это видно
175

из анализа формулы E.30), ширина характеристики направленности,
во всяком случае при ly ~ 1Х%> %, практически не зависит от угла
компенсации 0О. Действительно, при 1у > % характеристика направ-
направленности отрезка 1у [второй сомножитель-выражения E.30)] имеет
малую ширину, а характеристика направленности отрезка 1Х в обла-
области углов, соответствующих главному максимуму характеристики
направленности (т. е. сравнительно малым величинам 0') отрезка 1у
меняется незначительно.
Выражение для расчета коэффициента концентрации плоского
компенсированного поршня легко записать через интеграл от квадрата
характеристики направленности, однако интеграл этот не выражается
через элементарные функции. В [72] приводятся результаты расчета
коэффициента концентрации прямоугольного поршня в отсутствии
компенсации, полученные с помощью разложения подынтегральной
функции в ряды, и показывается, что в случае, когда стороны поршня
больше одной — двух длин волн, коэффициент концентрации при-
4ns
мерно равен ——, где s— площадь поршня.
Напомним, что такой же вывод был получен в предыдущем пара-
параграфе с помощью приближенного вычисления активного сопротивле-
сопротивления излучения антенны. Учитывая, что угол (ds, u0) для всех элемен-
элементов поверхности плоской антенны одинаков, из формулы E.10) полу-
получим выражение для коэффициента концентрации плоской антенны
произвольной конфигурации при произвольном амплитудном распре-
распределении:
|JJa(jt, y)dxdxi
К = -Щ-со%в0Ц* . E.31)
х у
При а (х, у) = 1 двойной интеграл по поверхности антенны равен s и
tf = ^-cos0o. E.32)
На графике рис. 60 представлено относительное изменение коэф-
коэффициента концентрации квадратного поршня со стороной /, рассчитан-
рассчитанное по приближенной формуле E.32) (штриховая кривая) и точно
(сплошные кривые), с помощью численного интегрирования на элек-
электронно-вычислительной машине. Как видно из этого графика, при-
приближенная формула дает тем более точный результат, чем больше от-
относительные размеры поршня, и чем меньше угол поворота характе-
характеристики направленности 0О.
Интересно отметить, что в отличие от коэффициента концентрации
отрезка прямой (см. рис. 25), коэффициент концентрации плоского
поршня при больших 11% с увеличением угла компенсации не растет,
а падает. Связано это, очевидно, с тем, что несмотря на совпадение
характеристик направленности отрезка и плоского прямоугольного
поршня в плоскости поворота максимального излучения, пространст-
пространственные характеристики направленности ведут себя по-разному. Выше
176 '.

отмечалось, что расширение характеристики направленности отрезка
в плоскости ее поворота компенсируется уменьшением угла раскрыва
конической поверхности, образованной направлениями максималь-
максимального излучения. В случае же большого по сравнению с длиной волны
плоского поршня изменение коэффициента концентрации вызывается
изменением ширины характеристики направленности в плоскости ее
поворота, поскольку в перпендикулярной плоскости ширина характе-
характеристики направленности практически не меняется. В плоскости же
поворота характеристика направленности совпадает с характеристи-
характеристикой направленности отрезка, яв-
являющегося одной стороной поршня
и, как это следует из формулы
D.17), ширина ее изменяется поза-
кону cos^1 0O. Очевидно, этим об-
обстоятельством и объясняется па-
падение коэффициента концентрации
по закону cos0o. Вычисляя отно-
отношение ширины максимума харак-
характеристики направленности при
60 = 90° к ее ширине при 0О = 0
с помощью формул D.17) и D.18),
легко убедиться что оно пропор-
пропорционально величине У ПК и при
11% -> со стремится к бесконечности.
Таким образом, приближенная
формула E.32) дает правильный
1,0
?
8,2
результат и при 0О -> 90°, но
только для бесконечно большой
s
N
/l
1 ^
\
\
\
20
ВО в'
Рис. 60. Относительное изменение
коэффициента концентрации квад-
квадратной антенны при изменении угла
компенсации.
ТОЛЬКО ДЛЯ
антенны.
В связи с изложенным, приме-
применяя формулу E.32), а также другие
приближенные формулы, получен-
полученные в предыдущем параграфе, сле-
следует всегда иметь в виду, что для антенн малых относительных разме-
размеров и при больших углах между нормалью к поверхности антенны и
направлением компенсации они могут привести к существенной
ошибке.
Круглая антенна. Давление, развиваемое круглой плоской антен-
антенной радиусом R, лежащей в жестком бесконечном экране, может быть
определено по формуле E.24). Переходя к полярной системе коорди-
координат х= «cos\Jj, у = «sin\J; и полагая а (х, у) — 1, а (х, у) = kptt0, ср0 = 0
(что не уменьшает из-за симметрии антенны общности решения) эту
формулу можно записать так
р(в, ф) = _
2пг
о о
где t = cos t|3 (sin 0 cos cp—sin eo) + sini|> sinG sin cp.
При фиксированной величине и интеграл по tf представляет собой поле,
М Д Смарышев
177

создаваемое окружностью радиусам,и поэтому совпадает с интегралом
выражения D.38). Вычисляя его так же, как это делалось при опреде-
определении давления, создаваемого окружностью, получим
p (9, ф) = ——— etkr J Jo (kuv) udu,
r о
где v = у sin2 60 + sin2 6 — 2 sin 60 sin 6 cos ф.
Интеграл по и табличный, после его вычисления имеем
.р(9, ф) = —
1Ш
г
0,6
0,4
0,1
п
-и
\
\
1
\
\
\
-^,
/
1
На рис. 61 представлен гра-
2 У (г)
фик функции —1Л-!-. Харак-
Характерные и важные для нас осо-
особенности этой функции: она
равна 0,707 примерно при z =
= ± 1,62, экстремальные ее
значения после первого нуля
— 0,13; 0,06; —0,04; 0,03.
Как видно из полученного
выражения, характеристика на-
направленности круглой плоской
антенны имеет простое аналити-
аналитическое выражение и легко может быть рассчитана при любом угле
компенсации.
Приведем выражения для D (в, ф) при 60 = 0 и 60 == л/2
Т\ /Л «Л ^»1 l^A Sill u) /Г ОС\
D I8' Ч>) == \г, ¦ П ' E>35)
Рис. 61. График функции
2Jl
=2Jl
si"a
—2 sin e cos
kR V\ + sin2 6 — 2 sin 6 cos <p
E.36)
При компенсации на угол 60 = — сечения характеристики направ-
направленности в двух взаимно перпендикулярных плоскостях имеют вид:
при Э = я/2 (в плоскости расположения поршня)
Л [2ftl? sin JL
E.37)
при ф = л/2 (в плоскости поворота характеристики направлен-
направленности)
п 2Jt(kRV
kRVl+sin'B
178

Сопротивление излучения круглого синфазно колеблющегося
поршня, расположенного в бесконечном жестком экране, определяется
во многих общих руководствах по акустике и в том числе в [30]. Вы-
Выражение, описывающее его, имеет вид
Г, 2J1BkR)l .
zs = rs—txs = pcs 1 ——- — iocs
$ * s v [ 2kR J v
ics ,
2kR J v kR
где s — площадь поршня; Sx (x) — функция Струве первого порядка
от аргумента х.
Зная активное сопротивление излучения круглого поршня и дав-
давление, развиваемое им в направлении 0 = 0 [формула E.33)], легко
найти и коэффициент концентрации в отсутствии компенсации
*w = ьш_ i__ E39)
} 2/t BkR) I2 { 2/t BkR)
2kR 2kR
Поскольку, как видно из рис. 61, начиная с г = 2kR ^a 2я функ-
функция —1Ю- не превосходит величины, равной 0,06, то, при R > 0,5 А,,
коэффициент концентрации поршня меньше, чем на 6% отличается
от величины, равной .
Ха
Во многих учебниках и монографиях, посвященных электромагнит-
электромагнитным антеннам, приводятся различные амплитудные распределения по
поверхностям круглого и прямоугольного поршней, при которых ха-
характеристика направленности имеет сравнительно простое аналити-
аналитическое выражение или обладает полезными для практических при-
приложений особенностями. Мы не будем рассматривать эти распределе-
распределения и отошлем читателя к соответствующим книгам: [1], [48] и др.
§ 16. Непрерывные цилиндрические антенны
Излучение замкнутой цилиндрической поверхностью. Пусть непре-
непрерывная цилиндрическая антенна имеет диаметр 2R и высоту Я. Раз-
Разместим оси координат так, как показано на рис. 62, и определим по
формуле E.2) давление, развиваемое антенной, в предположении, что
она прозрачна
я
p(»)=_J*P?»!Le«'- f K^^e^^e-'^Rdzdv. E.40)
2кг iA
Скалярное произведение ри запишем, исходя из того, что положе-
положение точки на поверхности антенны определяется в цилиндрической
системе координат R, \р, г, а точки наблюдения — в сферической г,
6, ф; в результате получим pu=Rcosipsin 6cosф+JRsirnjJsin 0sinq>+
+ zcos6. В формуле E.40) рабочий сектор ограничен пределами
~^о. ¦фо и равен 2ijH.
7* 179

При равномерном амплитудном распределении и в отсутствии ком-
компенсации давление, развиваемое в дальнем поле, определяется выра-
выражением
eikr
н
2
Н
2
—Ikz cos 8 ,
е dz X
х
"cos ф +sIn ФsIn e sin
E.41)
Первый интеграл этого выражения встречался ранее при выводе ха-
характеристики направленности отрезка, а второй — при определении
поля, создаваемого дугой окружности. Если рабочий сектор цилин-
цилиндрической прозрачной антенны 2г|H = 2я, то второй интеграл характе-
характеризует излучение замкнутой окружности,
и выражение E.41) может быть записано
следующим образом:
p @. ф)=
. I kH
sin cos I
ikpcw0RH \ 2
kH
cosG
fo(kR sinQ).
E.42)
Рис. 62. Цилиндрическая
непрерывная антенна.
Из этой формулы видно, что, как и следовало
ожидать на основании теоремы умножения,
характеристика направленности прозрач-
прозрачного цилиндра равна произведению двух характеристик направлен-
направленности: направляющей (окружности) и образующей. Главные максимумы
этих характеристик направленности развернуты в пространстве на угол
— , что создает некоторые затруднения при определении направления,
в котором следует производить нормирование характеристики направ-
направленности прозрачного цилиндра, поскольку при произвольных отно-
относительных размерах направление главного максимума всей антенны
заранее неизвестно.
Определим коэффициент концентрации прозрачной цилиндриче-
цилиндрической антенны в направлении 8 = — (величина ф при этом безразлична
в силу симметрии задачи).
Из приближенной формулы E.7) следует, что активное сопротив-
сопротивление излучения прозрачной некомпенсированной антенны при рав-
равномерном амплитудном распределении равно 2pcs; давление, созда-
создаваемое в направлении 6 = —, можно найти по формуле E.42); зная
180

эти две величины, легко найти и коэффициент концентрации:
К = ~-\МШ)\\ E.43)
где s — 2nRH — площадь активной поверхности антенны.
Таким образом, коэффициент концентрации в направлении 9 = —
при некоторых значениях kR может быть равен нулю. При больших
kR, воспользовавшись асимптотическим выражением для функции
Jo (л:), получим
откуда видно, что при больших kR коэффициент концентрации ме-
меняется от 0 до 4Я/Я.
Для определения давления, развиваемого непрозрачной цилин-
цилиндрической антенной, в соответствии с геометрическими представле-
представлениями предположим, что каждый элемент ее поверхности излучает
только в переднее полупространство, т. е. имеет характеристику на-
направленности в виде полусферы. При этом формулу, определяющую
давление в направлении 0 = —, ф = 0, можно записать так же, как
записана формула E.41), за исключением того, что интегрирование
по т|) должно производиться по освещенной из точки наблюдения ча-
части цилиндра, т. е. в пределах от — я/2 до я/2. Вычисляя интеграл
по г|з с помощью метода стационарной фазы, так же, как это делалось
при выводе формулы D.54), для kR ^> 1 получим
P \ 2 j яг |/ 2 V
Учитывая, что rs = pcs = pc2nRH, найдем выражение для коэффи-
коэффициента концентрации
К = ~, E.45)
из которого следует, что коэффициент концентрации непрозрачной
некомпенсированной цилиндрической антенны равен коэффициенту
концентрации отрезка, длина которого совпадает с высотой цилиндра.
Излучение частью цилиндрической поверхности. Выражение, оп-
определяющее давление, развиваемое некомпенсированным сектором
цилиндрической антенны, легко записать, исходя из формулы E.41).
Оно имеет вид
р (9, ф) = _ '«Р""о«" ^ п (е ф) а{ч>) е-"* stn e cos (ф-ад dx[ E 46)
где
sin |—r- cos 8
Д>(9,ф) = -
181

Вычисляя интеграл по i|> так же, как это делалось в предыдущей главе,
получим
X {С to) + С (xt) + iS (jcj) + IS to)), E.47)
где
Xl L j/ А
Полагая q> = 0 и 9 = —, найдем давление, развиваемое антенной
в направлении оси х
р^ 0|=__^Я ^К-«в@) j/3I{C(«) + «(x)J. E.48),
где
Определим коэффициент усиления некомпенсированного сектора
кругового цилиндра в направлении оси х как отношение звуковых дав-
давлений, развиваемых в дальнем поле в направлении оси х рассматри-
рассматриваемой антенной [формула E.48) ] и плоским поршнем, имеющим раз-
размеры Я и 2Rty0. В результате при a (ty) = 1, получим
f l/? Vc4x) + S\x) E.49)
Из сравнения этой формулы с формулой D.57) следует, что коэффи-
коэффициент усиления некомпенсированного цилиндрического сектора с уг-
углом раскрыва 2i|H равен коэффициенту усиления дуги, имеющей цен-
центральный угол 2i|H.
Получим выражение, определяющее коэффициент концентрации
рассматриваемой непрозрачной антенны в направлении ф = 0, 0 =
= —. Будем считать, что ее активное сопротивление излучения равно
pcs = pc2HR\p0. Давление, развиваемое антенной, можно найти из
точной формулы E.46) или из приближенной E.47), или, наконец,
из приближенной, но полагая х = 2 1 / -»1 и считая что S (*) =
= С (х) = 0,5. В результате получим три выражения:
E>50)
182

<6-6"
E.52)
Полученные формулы отличаются от аналогичных выражений
D.61), D.62), D.63) сомножителем ——, поэтому для определения ко-
л
эффициента концентрации некомпенсированного сектора цилиндра
можно воспользоваться графиками рис. 38, домножая найденное по
ним значение К на коэффициент -^— . Так же, как это делалось в слу-
чае дуги, анализируя формулу E.51), можно показать, что максималь-
максимальное значение коэффициента концентрации наблюдается при /г/Я =
= 0,36 и оно примерно равно
ЗяЯ
¦V"-
Заметим, что выражение E.52) имеет простой физический смысл.
Если бы антенна работала замкнутой цилиндрической поверхностью,
то ее коэффициент концентрации в соответствии с формулой E.45)
был бы равен 2Я/Я, но при большом /г/Я в горизонтальной плоскости
формируется секторная характеристика направленности с углом рас-
крыва 2ф0, что увеличивает коэффициент концентрации еще в 2я/2т|>0
раз.
Излучение цилиндра с учетом дифракции. В работе [62] приведено
решение задачи об излучении конечного участка бесконечного по вы-
высоте жесткого цилиндра и показано, что если колебательная скорость
на поверхности цилиндра задана в виде функции woa (ty, z) =
= woa (ф) a (z), то давление в окружающей среде определяется фор-
формулой
= <te y^w^'fr^-^^ dv< E-53)
—oo m=0
где
Я
_| 2 при /л = 0,
1 1 при /п>0,
183

При расположении точки наблюдения в дальнем поле излучения
интеграл по у может быть вычислен методом перевала [50 ] и формула
принимает следующий вид:
ф\ _ v^o 1 / _f_ elkT l у ' dmV (k cos 9)cos w(p e 2 E 54\
r |/ я slne j^ HmY (kR&mQ) '
m=0
Рассмотрим направленные свойства сектора антенны, ограничен-
ограниченного углами г|э = — г|эоиг|э = г|эои имеющего высоту Н.
Коэффициенты разложения распределения колебательной скорости
вдоль направляющей в ряд Фурье и преобразование Фурье от распре-
распределения колебательной скорости вдоль образующей, в рассматривае-
рассматриваемом случае при а (<р) = а (г) = 1 внутри рабочего участка антенны,
имеют следующий вид:
/2я J
Щт _Д|0
Л. . I н
2 Sin V
f *dz " [ 2
V2n H_
-— Y 2
2 ^
И формула E.53) может быть записана так:
D(r ф\= ikpcw0H ^1 sinm^0cosm9
^V ' ' W) я2 ^ Л^
т=0
В дальнем же поле, в соответствии с формулой E.54) давление, разви-
развиваемое сектором, равно
sin cos 8
р(в, frj?2?-f*-l \Л Lx
2
пт
cosmf_'g-1 —_ E5
^^51пв)
Определим сопротивление излучения антенны в соответствии с фор-
формулами A.10) и A.11).
н

Подставляя в эту формулу выражение E.55) и поменяв местами сум-
суммирование и интегрирование, мы получим два элементарных интеграла
J
—Фо
J
sin[v —
Окончательно выражение для сопротивления излучения некомпенси-
некомпенсированного сектора запишется следующим образом [68]:
sin
sin2
т=0
m2r\m
X
X
¦dy.
E.57)
Поскольку y = k cos Э, первый сомножитель под знаком интеграла
представляет собой квадрат характеристики направленности отрезка,
имеющего длину, равную высоте рабочего сегмента цилиндра. Вос-
Воспользуемся тем, что при Н/к > 1 квадрат характеристики направлен-
направленности отрезка обладает свойствами б-функции [формула C.32) ] и
получим приближенное выражение для z
AipcRH
m=0
sin2 m%
т2х\т
(kR)
E.58)
Мнимая часть отношения функции Ганкеля произвольного порядка
к производной от функции Ганкеля того же порядка равна
—11 (nkRyl\H(m (kR)\ , поэтому из формул E.57) и E.58) можно
получить выражения
4рсЯ2
я3
т=0
sin2mt|H
sin2(v
Я\а
ApdkH
sin2 /m|H
E.59)
E.60)
Зная давление, развиваемое цилиндрическим сектором [формула
E.56)], и его активное сопротивление излучения, можно рассчитать
185

и коэффициент концентрации. Таким образом были определены за-
зависимости К от Л/Я при 2^0 = 60° и при kR = 25, представленные
на рис. 63 и рис. 64. Первый график относится к случаю, когда фикси-
фиксирован угол раскрыва, а меняется частота, второй относится к случаю,
когда частота постоянна, а меняется угол раскрыва. При расчете пред-
предполагалось, что Н > Я, и поэтому rs определялось в соответствии с фор-
формулой E.60).
Интересно отметить, что кривые, рассчитанные по формуле E.51),
не учитывающей дифракцию, совпадают с кривыми, представленными
на рис. 63 и 64, вычисленными по точной формуле.
Рассмотрим случай, когда 2^0 = 2зт, т. е. когда излучение произ- .
водится замкнутым цилиндрическим кольцом, находящимся в беско-
бесконечном цилиндрическом жестком экране. Если т|з0 = л, то s nmv°
равно п для т = 0 и равно нулю для всех остальных т. При этом
в суммах приведенных выше формул остается только одно слагаемое,
соответствующее т — 0. Таким образом, мы получим из формулы
E.56)
e,; E.61)
из формулы E-59)
sin* IV—)
2;
r.=
и из приближенной формулы E.60)
Поскольку каждая из окружностей на антенне заключена в беско-
бесконечный цилиндрический экран и характеристики направленности всех
окружностей одинаковы, давление, создаваемое антенной, должно
быть пропорционально произведению характеристики направленно-
направленности окружности в жестком цилиндрическом экране и отрезка прямой,
длина которого равна высоте активной части антенны. Полагая в фор-
формуле E.61) Н < X, т. е., по существу, переходя от цилиндра к окруж-
окружности, легко убедиться в том, что последний сомножитель пропорцио-
пропорционален характеристике направленности окружности на цилиндре.
Принимая во внимание, что #о} (z) = — Я'1' (z), и нормируя ха-
характеристику направленности окружности в направлении 6 = л/2,
формулу E.61) запишем так:
РF) =
186

¦
sin
где
cos 61
^ 2 /
{kR)
kH
cosG
sin BtfW (kR sin 6) "
1Н/К
в
6
г
/
t
Г
1
\
\
*
\
•
V
г
\
0,1 0,4 0,6 0,6 1,0 1,2 1,4 АД
Рис 63. Зависимость коэффициента
концентрации цилиндрического сектора
л т ^ъ » *•> *-* /~\
р р
от АД при 2фо = 60°.
На рис. 65 представлены характеристики направленности окруж-
окружности, рассчитанные по этой формуле; видно, что с ростом kR величина
излучения вдоль оси цилиндра
увеличивается, однако в отли- _К
чие от излучения окружности
в свободном пространстве ха-
характеристика направленности
окружности на жестком цилин-
цилиндре изменяется в пределах од-
одного квадранта монотонно. Это
обстоятельство позволяет оце-
оценить поведение характеристики
направленности окружности на
цилиндре, зная всего одно зна-
значение ее, а именно, ее величину
в направлении 6 = 0. Зависи-
Зависимость этой величины от kR при-
приведена на рис. 66.
Рассмотрим случаи, когда
kR » 1 и kR « 1. При kR » 1,
воспользовавшись асимптотиче-
асимптотическим представлением функции
Ганкеля, из формулы E.61)
можно получить выражение,
определяющее давление, разви-
развиваемое антенной в направлении
6 = я/2. Это выражение пол-
полностью совпадает с формулой
E.44), выведенной для случая
непрозрачной антенны при ап-
аппроксимации направленности
отдельного элемента поверх-
поверхности полусферой. Полагая
в соотношении E.56) kR < 1
и воспользовавшись известной
формулой, определяющей ве-
Щх
12
1В
д
В
1
1
1
1
1
N
\
\
\
\
\
у
/
0,1 0,4 0,6 0,6 1,0 1,2 1,4 h/l
Рис. 64. Зависимость от А/Я, при
2Я
kR = 25.
личину функции Ганкеля при малом аргументе, можно получить ве-
величину в два раза меньшую, чем дает при kR <^ 1 формула E.42).
Отличие объясняется тем, что рассматриваемая выше поверхностная
прозрачная антенна была двухслойной, т. е. представлялась нами как
пульсирующая прозрачная пластинка, производительность элемента
поверхности которой равна Q = 2w(s)ds, т. е. в два раза больше,
чем при той же колебательной скорости производительность элемента
на жестком цилиндре. *
187

Рассмотренные предельные случаи свидетельствуют о том, что при
kR > 1 малый элемент площади цилиндра излучает, как и следует
из геометрических представлений, в полупространство, и наоборот,
при kR С 1 малый элемент площади цилиндра является ненаправ-
ненаправленным.
На рис. 67 представлены рассчитанные по формуле E.57) при т — и
зависимости безразмерных величин активного r\ = rj pcs (сплошные
кривые) и реактивного x's = xjpcs
(штриховые кривые) сопротивле-
сопротивлений излучения кольца на жестком
цилиндрическом экране от Я/Я
при некоторых фиксированных
значениях kR [3], где s = 2л#Я.
Как видно из графика, при малых
величинах kR и Я/Я их изменение
существенно влияет на r's и х[, но
при больших kR и Я/Я безразмер-
безразмерные активное и реактивное сопро-
сопротивления излучения мало зависят
1
1
Л
Ml = 10
/
У
л
,1,5
за
i
1
г
Рис. 65. Характеристики на-
направленности окружности на
жестком цилиндре.
щ
п
/
Г""
/
/
у
1
1
V
г
'г
V
ЛИ* 15
"*
—¦—
. 4
JJ-
7_.
' 2
Рис. 66. Зависимость й @)
от kR.
1,0
0,8
0,6
О,1*
1Л
0,4 0,6 1,1 1,6 ИЦ
Рис. 67. Зависимость rs и х% от
ЯД при различных fe#.
от волновых размеров. Активное сопротивление излучения прибли-
приближается к pcs, а реактивное — к нулю.
Выражение для вычисления коэффициента концентрации замкну-
замкнутого цилиндрического пояса на жестком цилиндре можно получить
по формуле A.38) или A.36). Оно имеет вид
к--
¦ (kH а\
sin | cos6
kH
cos 6
sin 9 | Н^ (kR sin 8) |2 •
¦ ,E.65)
188

Воспользовавшись формулами C.32) и B.78), можно найти прибли-
приближенное выражение для коэффициента концентрации, справедливое
при Я > Я. Это выражение имеет вид К = 2Я/Я и совпадает с фор-
формулой E.45), полученной для непрозрачного цилиндра в предполо-
предположении, что каждый элемент его излучает в полупространство, а также
с формулой D.28), определяющей коэффициент концентрации отрезка.
На рис. 68 представлена зависимость отношения К к 2Я/Я от Я/Я,
рассчитанная для различных kR по точной формуле E.65). Видно,
что начиная с Я/Я > @,5 -*- 1) независимо от kR коэффициент кон-
концентрации мало отличается от величины 2Я/Я, показанной штрихо-
штриховой линией.
Этот вывод не является очевидным. Напротив, представляя харак-
характеристику направленности кольца при сравнительно малом Я/Я и
0,2 0,4 0,6 0,3 1,0 1,2 1,4 1,0 1,6 Hf
Рис. 68. Относительная зависимость коэффициента кон-
концентрации от ЯД.
большом kR как произведение характеристики отрезка длиной Я и
окружности на жестком цилиндре (см. рис.65) и учитывая, что послед-
последняя имеет существенный всплеск в направлении 0 = 0, можно ожи-
ожидать заметную потерю в величине коэффициента концентрации по срав-
сравнению с 2Я/Я. То обстоятельство, что точный расчет опровергает это
рассуждение, объясняется, очевидно, малостью ширины всплеска
характеристики направленности окружности.
Компенсированная непрерывная цилиндрическая антенна. Рас-
Рассмотрим коэффициент концентрации компенсированной перпендику-
перпендикулярно образующей (т. е. в направлении 0 = я/2, <р = 0) непрерывной
прозрачной цилиндрической антенны. Воспользуемся для этого фор-
формулой C.58), выведенной в предположении, что Я > Я. Поскольку
в рассматриваемом случае 60 = я/2, величина тH равна единице и
формула C.58) имеет вид
Характеристика направленности прозрачной цилиндрической ан-
антенны равна произведению характеристик направленности направляю-
189

щей и образующей. В плоскости 6 = я/2 характеристика направлен-
направленности образующей равна единице, и поэтому в приведенном выраже-
выражении под R (я/2, ф) можно понимать характеристику направленности
направляющей.
Пусть антенна работает полным сектором 2я и а (<р) = 1. Тогда
R (я/2, ф) — характеристика направленности окружности, компен-
компенсированной по нормали к оси симметрии. Подставляя формулу D.43)
в выражение E.66), получим
2я
l=~J ¦
4зт# о
E.67)
Принимая во внимание известное соотношение
0,В
\
ч
и
4—
10%
и
¦к
к II
m=0
Рис. 69. Зависимость отношения
К/Кп. п от kR в случае прозрачно-
прозрачного компенсированного цилиндра.
где
f2 при m = 0;
при /п > О,
а также воспользовавшись ортого-
ортогональностью тригонометрических
функций, получим
-I2
U
|оо -.—1
m=0 J
E-68)
На рис. 69 представлена зависимость отношения коэффициента
концентрации прозрачного компенсированного цилиндра [рассчитан-
[рассчитанного по формуле E.68)] к коэффициенту концентрации плоского
поршня,1 совпадающего с диаметральным сечением цилиндра, от kR.
С ростом kR эффективность прозрачного цилиндра по сравнению с эк-
экранированным плоским поршнем падает. Объясняется это, очевидно,
тем, что при больших kR велики участки поверхности цилиндра, при-
примерно параллельные направлению компенсации, т. е. имеющие боль-
большое активное сопротивление излучения или, другими словами, об-
обладающие очень широкой направленностью по сравнению с другими
участками цилиндрической поверхности. Заметим, что в соответствии
с приближенной формулой E.10) в рассматриваемом случае отношение
К1К„.п равно нулю. Выше уже отмечалось, что формула E.10) дает
неправильный результат при наличии участков поверхности антенны,
параллельных направлению компенсации, и ошибка уменьшается
с ростом относительных размеров антенны. В пределе же при kR -> со,
как это и видно из анализа фюрмулы E.68) или из рис. 69, отношение
ЮКП. п действительно стремится к нулю.
1 При построении графика, приведенного на рис. 69, как и аналогичных
последующих графиков, под Кп.п понимается величина коэффициента концентра-
концентрации плоского поршня, рассчитанная по приближенной формуле E.18).
190

§ 17. Сферические непрерывные антенны
Приближенная теория. Запишем выражение, определяющее дав-
давление, развиваемое прозрачной поверхностной сферической антенной-
Для этого поместим начало сферической системы координат в центре
сферы и положение текущей точки на сферической поверхности зада-
зададим координатами R, Эс, фс. Давление, развиваемое антенной в даль-
дальней зоне при произвольном возбуждении, можно записать следующим
образом:
Я 2Я
рМ = _Ме* f J Л(ве, Фе)в-Лр-Ля81пвеавеЛре, (Б.69)
2пг ес=о фс=о
где рв = R (sin Э cos <p sin Эс cos <рс + sin Э sin ф sin 0C sin фс + cos 0 cos 9C).
Пусть фазовое распределение отсутствует и амплитуда колебатель-
колебательной скорости отлична от нуля только на поверхности сегмента сферы,
соответствующего центральному углу i|v Определим величину звуко-
звукового давления в направлении оси симметрии рабочего сектора 6 = 0.
Подставляя в формулу E.69) Э = 0 и изменяя верхний предел интег-
интеграла по Эс (так, чтобы интегрирование происходило от 0 до т|H), по-
получим
р @) = _ife?l ешг f a (Эс) в-ад «. eCs.n 0Л
г о
При равномерном амплитудном распределении этот интеграл вычис-
вычисляется элементарно и мы имеем
pcwo2R
Sin Я-
E.71)
где h = R A—cos -ф0) — высота рабочего участка сферической ан-
антенны. Из полученного выражения видно, что с ростом /г/Я или, что
то же самое, с ростом i|H модуль давления осциллирует, изменяясь от
нуля до максимального значения, потом снова до нуля и т. д. Такое
поведение модуля давления с ростом угла раскрыва рабочего сектора
объясняется тем, что в случае сферической антенны все зоны Френеля
вносят одинаковый по модулю вклад в величину давления в рассмат-
рассматриваемом направлении. Поскольку вклады соседних зон противо-
фазны, то величина давления зависит от того, четное или нечетное
число зон укладывается на рабочем участке сферы. При четном числе
зон давление равно нулю, а при нечетном максимально и не зависит
от количества взаимно компенсирующихся зон Френеля.
Вспомним, что в случае цилиндрической антенны или дуги (см.
рис. 32) воздействие последующих зон уменьшается и основное влия-
влияние на величину давления оказывает первая зона Френеля. При из-
излучении же сферической антенной давление определяется последней
зоной Френеля. Это обстоятельство приводит к тому, что использова-
использование первого приближения метода стационарной фазы [формула D.34) ]
в случае сферической антенны может привести к существенной погреш-
погрешности. Однако если на поверхности сферического сегмента имеется
амплитудное распределение, падающее от середины к краям так, что
191

на краях амплитуда равна нулю, то основную роль в создании поля
будет играть первая зона и можно для определения поля в дальней
зоне воспользоваться формулой D.35).
Применяя формулу D.35) дважды, для вычисления интегралов
по 9С и фе получим
|р(в, Ф)| =
E.72)
Таким образом, если только на поверхности некомпенсированного
сферического сегмента имеется амплитудное распределение а (9С, фс),
спадающее на краях сегмента до нуля, то его характеристика направ-
направленности R (9, ф) = а (9, ф), т е. повторяет вид амплитудного рас-
распределения.
Принимая во внимание, что в соответствии с формулой E.9) ак-
активное сопротивление излучения непрозрачного сферического сегмента
при а (9С, фс) = 1 равно pcs = pc2nR2 (I — cosi|H), определим его
коэффициент концентрации
sin2 я —
X
8R . « h
-- — sin2 я —
h X
1-^0 ~т° Т" E3)
Приближенно полагая, что в окрестности максимума функции
sinanAM функция /f1 меняется несущественно, можно сделать вывод
о том, что максимальное значение коэффициента концентрации на-
наблюдается при AM = 1/2 и оно примерно равно 16 R/K.
Рассмотрим характеристику направленности сферической прозрач-
прозрачной непрерывной антенны при а (9С, фс) = 1 на всей поверхности
сферы при компенсации ее вдоль оси 9 = 0. В этом случае из формулы
E.69) можно получить следующее выражение:
л 2л
i?(9) = — J J e-'wsin9cd9cd?c
4л ес=о фс=о
где t = sin 9 cos ф sin 9ccos фс + sin 9 sin ф sin 9C sin фс + cos 9 cos 9C—cos 9C
Интеграл по фс вычисляется так же, как и аналогичный интеграл,
"определяющий характеристику направленности окружности. В ре-
результате имеем
J J0(kR sin 9C sin 9) е
—ikR cos в. (cos 9—1)
sin 9cd9c
Полученный интеграл табличный, после его вычисления выраже-
выражение для характеристики направленности имеет вид
Я(Э) =
sin \2kR sin
• в \
in —
2;
2АЯ sin —
2
E.74)
Зная характеристику направленности, легко определить и коэффи-
коэффициент концентрации прозрачной компенсированной сферической ан-
192

тенны ,[57]. Пусть x = 2kR sin-|-. Тогда dx = fcflcos — dQ
и
Г я -1 \2kR . 2 П-1
К = 2 Jfl2(9)sin9d0 =-2(kRf\ J ^BJLdxl .
Lo J L о x J
Принимая во внимание известное соотношение 2sin2jc= 1 — cos 2jc»
последний интеграл легко свести к выражению, содержащему интег-
интегральный косинус. В результате имеем
К = 4 {kRf [In Y + In (ikR)—Ci D?tf )Г\ E.75)
где lny — постоянная Эйлера, равная 0,577.
На рис. 70 представлена зависимость отношения коэффициентов
концентрации прозрачной компенсированной сферы и экранирован-
экранированного плоского поршня, равновеликого диаметральному сечению сферы.
С ростом kR рассматриваемое отношение уменьшается. В пределе при
kR -*¦ оо из формулы E.75)
имеем
К
"ЛП
lim
kR-^oo Kn
¦= lim 4 [0,577 +
поскольку
lim
fcR-oo
lim
4
\
N
20n
ЗОп
Рис 70 Зависимость отношения К/Кп п
от kR в случае прозрачной компенсиро-
компенсированной сферы.
Таким образом, с ростом kR эффективность прозрачной непрерыв-
непрерывной сферической компенсированной антенны по сравнению с равно-
равновеликим по диаметральному сечению плоским поршнем падает, что,
очевидно, объясняется теми же причинами, как и аналогичная за-
зависимость в случае прозрачного цилиндра. Существенно увеличить
коэффициент концентрации можно отключением участков поверхно-
поверхности, лежащих вблизи диаметра, перпендикулярного направлению ком-
компенсации, или уменьшением амплитуды их колебаний.
Дифракционная теория. Из решения классической задачи об излу-
излучении участком акустически жесткой сферической поверхности ([27],
[30]) известно, что давление, развиваемое сегментом сферической по-
поверхности, симметричным относительно оси г и имеющим полный цен-
центральный угол 2ф0 в отсутствии компенсации и при равномерном ам-
амплитудном распределении, определяется выражением
т—0
где h(m (x) и h(m (x) — сферическая функция Ганкеля первого рода,
193

порядка т и ее производная по аргументу; Рт (х) — полином Ле-
жандра.
При kr > 1, воспользовавшись асимптотическим представлением
сферической функции Ганкеля, можно записать
т=0
E.77)
Выражение для расчета сопротивления излучения сегмента сферы
и графики зависимости его активной й реактивной составляющих
0,2
!
i
i
/;
/
\
\\
S
ы
\
X
\
1
1'IS
10
/
у/
J
1
i/
*~\
—-
О %1 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,1* Й/Л
Рис. 71. Зависимость давления, развиваемого
сферическим сегментом, от h/K.
от радиуса сферы и величины центрального угла приведены в [27]
и [30 ]. Мы рассмотрим характеристики направленности некомпенсиро-
некомпенсированного сегмента, давление, развиваемое им в направлении оси сим-
симметрии, и коэффициент концентрации.
Выражение, определяющее характеристику направленности, мо-
может быть получено из формулы E.77), и оно имеет вид
R(Q) =
00
m=0
l
m=0
-1 — ' — l"V
e
где Dm (!>„) - Pm_,
- P
m+1
(cos ^0).
, E.78)
+
Коэффициент концентрации некомпенсированного сферического
сегмента в направлении его оси симметрии легко найти через инте-
интеграл от квадрата характеристики направленности. Воспользовавшись
194

ортогональностью полиномов Лежандра, получим
К =
00
2*.
m=0
т=0
E.79)
Bт + 1)
(kR)
На рис. 71 представлена рассчитанная по формуле E.77) зависи-
зависимость модуля давления в направлении 0 = 0, отнесенная к некото-
некоторой постоянной, от АД для kR = 25 (штриховая линия), kR = 10
8R/h
0,в
0,6
?
0,1
1
J
/
/
\
\
\
\
V
7flv
t
\
p
Рис. 72 Зависимость коэффициента концентра-
концентрации сферического сегмента от h/X.
(штрихпунктирная линия) и kR = 5 (сплошная линия). Расчет по
приближенной формуле E.71) дает результат, практически полностью
совпадающий со штриховой линией. Приближенная формула E.71)
приводит к существенной ошибке только при малых kR и больших
АД. Объясняется это тем, что в этих случаях рабочий сектор прибли-
приближается к 180° или может быть даже больше 180° и начинает сказы-
сказываться направленность элемента поверхности сферы, не учитываемая
формулой E.71).
На рис. 72 представлена рассчитанная по формуле E.79) зависи-
зависимость отношения —— от АД. На этом же графике для сравнения тол-
SR/h
стой сплошной линией приведена зависимость, полученная по при-
приближенной формуле E.73). Как и следовало ожидать, при больших
kR приближенная формула дает практически удовлетворительное
совпадение с результатами точных расчетов.
На графиках рис. 73 приведены результаты расчета характеристик
направленности некомпенсированного сферического сегмента по фор-
формуле E.78). Для удобства построения все они нормированы к своим
максимальным значениям. Видно, что, как и в случае цилиндриче-
195

s
\
4
0 20 40 SB
V
\
)
Lq
B.S
0,4
0,2
0 20 <Ю JO 80 9° В 20 40 SB BOS'
20 40 SO SO Г
s
ч
40 SO 808*
у4
4*
0 20 40
t 20 40 BO
К—
0 10 IB 60
0,4
>
/
>
s
V
в 20 40
A
V
0 10 40 ffff 60S' 0 20 40 SO SOV
4'
\
\
"I
0,8
n ft
ILO
ni\
">*
\
\
В 20 НО 80 SB 8° 0 20 HO 60
\
\
f
\
0 20
\
\
v
¦ \
\
fl 10 40 SO 80 8'
Рис. 73. Характеристика направленности некомпенсированных сфе-
сферических сегментов.
196

ской антенны, вид характеристики направленности зависит в первую
очередь от отношения АД, и с ростом kR характеристики направлен-
направленности обостряются. В отличие от случая цилиндрической некомпен-
некомпенсированной антенны, характеристики направленности сферического
сегмента имеют глубокие провалы при АД, близких к единице, двум
и т. д. Существенно улучшить направленность участка сферической
поверхности можно введением амплитудного распределения (об этом
уже говорилось выше) или изменением его конфигурации.
ГЛАВА 6
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ АНТЕННЫ
§ 18. Бесконечные плоские периодические антенны
Расчет характеристики направленности, а также давления, разви-
развиваемого плоской дискретной антенной в дальнем поле, обычно не пред-
представляет большого труда, особенно тогда, когда известно поле,
создаваемое отдельным элементом, а центры элементов образуют пра-
правильную эквидистантную решетку. Поэтому в настоящем параграфе
основное внимание будет уделяться определению сопротивления излу-
излучения и коэффициента концентрации.
При малом числе элементов антенны эти параметры могут быть
найдены сравнительно легко либо по известным взаимным сопротив-
сопротивлениям излучения элементов, либо, в крайнем случае, с помощью чис-
численного интегрирования.
Значительно сложнее дело обстоит с расчетом параметров много-
многоэлементных антенн Даже в тех, сравнительно редких, случаях, когда
известны аналитические выражения для взаимных сопротивлений из-
излучения элементов в жестком экране, определение сопротивления из-
излучения отдельного элемента или антенны в целом является весьма
трудоемкой задачей.
В то же время представляется очевидным, что полное (т. е. с уче-
учетом всех взаимодействий) сопротивление излучения большинства эле-
элементов многоэлементной антенны совпадает с сопротивлением излуче-
излучения таких же элементов, находящихся в бесконечной антенне. По-
Поскольку сопротивления излучения всех элементов бесконечной антенны
одинаковы, появляется возможность определения их сравнительно
простым способом.
В третьей главе, при рассмотрении общих методов определения
сопротивления излучения и коэффициента концентрации, мы приво-
приводили формулы, позволяющие вычислить активное сопротивление из-
излучения и коэффициент концентрации участка бесконечной периоди-
периодической антенны. В настоящем параграфе мы изложим метод, позво-
позволяющий определить так же реактивное сопротивление излучения и
ближнее поле бесконечной антенны при условии, что ее элементы пло-
плоские и помещены в плоский акустический жесткий экран (работы
[63], [64], [41], [39]).
197

Одномерные периодические антенны. Пусть центры произвольных
по форме, одинаковых и одинаково ориентированных в пространстве
плоских элементов образуют одномерную периодическую бесконеч-
ную решетку (рис. 74). Совместим начало прямоугольной системы ко-
ординат х, у, г с центром преобразователя, имеющего порядковый
номер а ¦= О, ось х направим вдоль прямой, соединяющей центры эле-
ментов, ось у расположим в плоскости преобразователей, а г перпен-
перпендикулярно к ней. Кроме того, введем вспомогательные системы коор-
координат ха, уа, za, связанные с элементом а и расположенные аналогично
системе координат х, у, г.
В соответствии с формулой Гюйгенса B.37), давление, развивае-
развиваемое плоским элементом, помещенным в бесконечный плоский жесткий
экран, определяется соотношением
А(х, Л.?Л. F.1)
Уа
ч
Рис. 74. Бесконечная антенна, состоящая из плоских элементов.
Будем предполагать, что рассматриваемая антенна компенсирована
в направлении Эо, ср0, т. е. преобразователь с номером а имеет фазовое
возбуждение hudx sin60 coscp0 (где dx— расстояние между центрами
соседних элементов); кроме того, будем считать, что амплитудное рас-
распределение между преобразователями отсутствует, но на каждом пре-
преобразователе имеется распределение колебательной скорости А (ха, уа)
Поле, создаваемое всей антенной, можно записать следующим
образом:
^ 2 <"w""M(viu!?4. ад
где г — расстояние от произвольной точки на поверхности преобра-
преобразователя с номером а до точки наблюдения.
Воспользуемся известным [5] интегральным представлением сфе-
сферической волны
т 2п о о
о о
198
( в в со» чИ-* »1п в sin ^^ со. 0)
2п

где х, у и 2 — проекции вектора, соединяющего точку излучения с точ-
точкой наблюдения на оси координат, а контур интегрирования по 0
проходит вдоль вещественной оси от 0 до я/2 и далее параллельно мни-
мнимой оси от я/2 — Ю до я/2 — /со.
По существу эта формула представляет собой разложение сфери-
сферической волны по плоским. Подынтегральное выражение при 9 <; я/2
определяет плоскую волну, распространяющуюся вдоль направления,
соответствующего углам Э и ф. В этом легко убедиться, производя,
например, поворот осей координат так, чтобы ось г' была ориентиро-
ориентирована в направлении Э, ср. При этом показатель экспоненты примет
вид ikz', откуда ясно, что плоская волна распространяется вдоль оси
г'. Сложнее обстоит дело с волнами, соответствующими комплексным
значениям Э. Пусть Э = я/2 — 10', где 0' — какая-то величина, ле-
лежащая между 0 и оо. Поскольку справедливы соотношения sin (я/2 —
— 10') = cos 10' = ch0' и cos (я/2 — /0') = sin i0' = i sh0', подын-
подынтегральное выражение можно записать так:
—kz sh в' Ik ch 8' (х cos ф+i/ sin ф)
о ' с •
Мы получили плоскую волну, амплитуда которой убывает вдоль оси г,
а распространяется волна вдоль направления ср с волновым числом
k' = k ch 0, т. е. со скоростью с = — =
Таким образом, поле ненаправленного источника можно предста-
представить состоящим из двух групп плоских волн. Одна группа волн имеет
равномерную амплитуду вдоль фронтов волн и распространяется в
дальнее поле. Это так называемые однородные волны. Волны второй
группы имеют распределение амплитуды вдоль фронта по закону
g-/ezshe и назЬ1ваются поэтому неоднородными. Эти волны распро-
распространяются вдоль плоскости хОу и отличаются друг от друга как на-
направлением распространения ср, так и скоростью распространения,
меняющейся с изменением 0' от 0 до со от величины с = a>/k до нуля.
Подставим выражение F.3) в формулу F.2), имея в виду, что в рас-
рассматриваемом случае проекции г на оси координат можно записать
так: х — adx — ха; у — уа; г (где х, у, г — координаты точки наблю-
наблюдения). Производя некоторые преобразования, получим
со
у, г)— ) ) Ак е х
*" 0 0 06=—оо
С «ft Г(х-дга) sin 8 cos ф+(у-|/а) sin 9 sin ф+z cos 9] , .
X ] A (xa, ya) e u °" v at 'dsa sin Qdddy.
*a
Введем замену переменных «=sin0coscp и u=sin0sincp и обозначим
«о = sin0ocos сро и о0 = sin0o sin cpo. Такая замена производилась нами
в третьей главе при выводе выражения для расчета активного сопро-
сопротивления излучения элемента бесконечной периодической антенны,
199

причем было показано, что якобиан преобразования определяется
выражением C.42). Учитывая это обстоятельство, имеем:
где
Р'о («, «) = -
J Л (X,
— давление, развиваемое при единичной колебательной скорости от-
отдельным элементом антенны в даль-
дальнем поле, на расстоянии г. По-
Поскольку это выражение одинаково
для всех элементов антенны, индекс
а можно опустить. Сумма, заключен-
заключенная в квадратные скобки, представ-
представляет собой характеристику направ-
направленности бесконечной эквидистантной
решетки и равна периодической
дельта-функции [формула C.44)].
Вычисляя интеграл от произве-
Рис. 75. Прямоугольные элементы дения функций, одна из которых
в жестком экране. является периодической дельта-функ-
дельта-функцией, аналогично тому, как это
делалось при выводе выражения C.46), получим
У >
0
f—
А
X
X
—00 « =—00
X
Р'(и , v)re
~ikr
do,
F.4)
где ип = п — + и0.
dx
С помощью этого выражения рассчитать поле вблизи бесконечной
антенны несколько проще, чем по формуле F.2). Однако в ряде слу-
случаев, когда интеграл по v может быть вычислен, получаются еще бо-
более удобные для расчета выражения.
Рассмотрим частный случай, когда элемент антенны представляет
собой прямоугольник, причем возбуждение его таково, что А (х, у) =
= А (х). Пусть стороны прямоугольника равны d и h (рис. 75).
Выражение, определяющее р'о (ип, v), в этом случае может быть
200

записано следующим образом:
d
\ l
d h
т т
Интеграл по у равен произведению h на характеристику направлен-
направленности отрезка длиною h, и при h > X в соответствии с формулой
\im
. nh
sin — v
5*. v
стремится к дельта-функции. Воспользовавшись этим, получим
*
00 - ( 1 / 2^ 5
. *) = ¦*=*¦ У **l""+' п) [А(х)е-1кхи* * . F.5)
** _^ К 1-й'
Если и вдоль оси х прямоугольный элемент имеет равномерное ампли-
амплитудное распределение, то А (х) = 1 и
, . , . kdun
? ^+г У '-") !^И *F.6)
dx ** kdun
n =—oo —
В последних двух выражениях отсутствует зависимость от коорди-
координаты у в связи с тем, что они определяют поле, излучаемое набором
полос, строго говоря, бесконечных вдоль оси у.
Заметим, что выражения F.4), F.5) и F.6), как и те, которые бу-
будут получены ниже для двухмерной бесконечной антенны, являются
строгими, и с их помощью можно рассчитывать поле на любом расстоя-
расстоянии от бесконечной антенны. Однако при использовании их для при-
приближенного определения давления, создаваемого многоэлементной
протяженной, но конечной антенной, следует иметь в виду, что они
дают хорошее приближение только вдали от краев антенны и сравни-
сравнительно недалеко от ее поверхности.
На рис. 76 и рис. 77 представлены результаты расчетов модуля
давления на поверхности дискретной антенны, состоящей из беско-
бесконечных полос, выполненных по формуле F.6) при z = 0. Графики
рис. 76 соответствуют случаю dx = 0,5 Я и d = 0,4 X. С увеличением
угла компенсации 0О увеличивается неравномерность поля на поверх-
поверхности антенны, а кроме того, увеличивается и средний уровень ам-
амплитуды давления. На рис. 77 показано изменение модуля давления
на поверхности элемента антенны при dx = 0,5 Я, 0О = 60° и различ-
различных значениях ширины элемента d. Характер изменения давления
по поверхности элемента мало зависит от dldx, но при d/dx = 1, т. е.
при отсутствии зазоров между элементами, и среднее значение модуля
давления и неравномерность распределения его по поверхности эле-
элемента увеличиваются.
201

Положив z = 0b формуле F 4), можно найти распределение дав-
давления непосредственно на поверхности антенны и с помощью выра-
выражений A.11) и A 10) определить сопротивление излучения отдельного
элемента антенны Поскольку сопротивления излучения всех элемен-
элементов бесконечной антенны одинаковы, найдем zs элемента с номером
а = 0
р(х,
oo oo
/
to
60'
30'
0*
i
pea0
\
\
4
J
I
\
\
„
/
I
-Ц -0,1 В
0,2
X
Г
J
¦dv. F.7)
¦^ОО Л= OQ
/
7
z
(s
9,6
¦ —,
\
{
/
r
A
у
-0,2 -0,1 0 0,1 Of
Рис. 76 Модуль давления на
поверхности антеииы, состоя-
состоящей из бесконечных полос
{йх - 0,5 X; d = 0,4 }.).
Рис. 77. Модуль давления на
поверхности антенны, состоя-
состоящей из бесконечных полос
(во=:6О\ d* = 0,5 X).
В этой формуле символом s, обозначена эффективная площадь эле-
элемента антенны, определяемая соотношением
s3 = $A(x,y)ds. F.8)
s
Поскольку исходное выражение F 4) описывает давление, созда-
создаваемое всеми элементами антенны, величина zs, найденная по формуле
F 7), является полным сопротивлением излучения элемента, т. е со-
сопротивлением излучения с учетом взаимодействия со всеми осталь-
остальными элементами антенны.
Для вычисления по формуле F 7) активного сопротивления излу-
излучения, очевидно, можно ограничиться суммированием по таким ип
и интегрированием по таким v, чтобы и\ + у2 было меньше единицы.
202

Поэтому для вычисления rs интегрирование следует производить от
при и\ < 1, для вычисления же xs — от
— со до — у 1 — и% и от у 1 — и2п до со при и\ < 1 и от — оо до
оо при всех остальных ип. Так как сумма по п появилась в результате
интегрирования произведения непрерывной функции на сумму дельта-
функций, в тех случаях, когда одна или две дельта-функции совпа-
совпадают с границей раздела вещественной и мнимой частей подынтеграль-
подынтегрального выражения (т е. когда ип = и0 + rik/dx = + 1), следует поло-
половину соответствующего слагаемого отнести к вещественной части,
а половину — к мнимой. Учитывая это обстоятельство при записи фор-
формул для расчета rs и xs, после знака суммы можно поставить множитель
1/т]„, где
*!„ =
2 при |и„| = 1,
1 при \ип\ф 1.
Таким образом, активное сопротивление излучения произвольного
плоского элемента бесконечной периодической одномерной антенны,
заключенной в жесткий экран, можно записать так:
dx%
- Г
= dv.
F.9)
Пределы суммирования по п можно найти, принимая во внимание, что
в крайних случаях, т. е при v = 0 должно выполняться неравенство
— 1 -< ип < 1. Таким образом, — 1 -< nX/dx + uo< 1, откуда
Вернемся к частному случаю прямоугольных элементов с равно-
равномерным распределением вдоль оси у (см рис. 75). Характеристика
направленности прямоугольника в координатах и, v имеет следую-
следующий вид-
(kh
R(u, i)) =
sin -
I 2
kh
При h ^> X квадрат характеристики направленности обладает свойст-
свойствами дельта-функции, поэтому из формулы F.7) имеем
Z = -
dxh
ип)
F.10)
203

dxh
F.11)
В случае h С К когда прямоугольники вырождаются в отрезки
прямых, характеристика направленности для | v | < 1 имеет вид
R (и, v) = R («), и вычисляя в формуле F.91 интеграл по v, получим
F.12)
Если вдоль координаты х возбуждение каждого элемента антенны рав-
равномерно, т. е. А (х) = 1, то в формулы F.10), F.11) F.12) следует
подставить s3 = hd и
. Ikd
*(«») =
После того, как найдено активное сопротивление излучения от-
отдельного элемента антенны с учетом всех взаимодействий, предпола-
предполагая, что rs элемента бесконечной и большой, но конечной антенны
одинаковы, можно определить активное сопротивление излучения
конечной антенны, состоящей из ./V элементов как Nrs. Давление же,
развиваемое конечной антенной в направлении компенсации, равно
p0N. Зная эти величины, легко найти коэффициент концентрации
одномерной периодической антенны, состоящей из N элементов.
В общем случае он имеет вид
к=
F.13)
Если элемент антенны прямоугольник и А (у) = 1, то при h
4ndxhN
к=-
F.14)
1 я2 («„)
и при h «С
4dxN
F.15)
Расчеты коэффициента концентрации по формуле F.13) затруд-
затруднены необходимостью вычисления интеграла по v. Мы привели два
204

частных случая, когда этот интеграл вычисляется легко. Отметим,
что вычисляется он и еще в одном практически интересном случае, а
именно, при R (и, v) = cosr 0, где г — некоторое целое число. Мы не
будем приводить соответствующие формулы, при необходимости их
можно найти в [40].
На рис. 78 и 79 представлены рассчитанные по формулам F.14)
и F.15) относительные изменения коэффициента концентрации ан-
антенны в функции от угла компенсации при h ^> % и h <^ "к. Элементы
располагаются без зазоров, т. е. d = dx (см. рис. 75).
Зависимость К @О)/^С @) ведет себя по-разному в случаях h > X
и h < %. В первом случае при d/% < 0,5 она совпадает с функцией
cos0o, во втором (как и для отдельной
линии) при 0О < 90° величина К F0) кШп\
постоянна и удваивается при 0О = 90°.
',0
1,0
0,8
0,6
?
0,1
0,4
0,1
n;
\^
\
ч
0,5
\
\
О 10 20 30 fO 50 SO 70 80 В
Рис. 78. Зависимость К (9)/К @)
для антенны, состоящей из парал-
параллельных полос при h > X, d = dx.
I
N.
V
\
Ч
\
I
\
ч
й
'К
Ч.
г 0,5
-0,6
JJ]—
О 10 20 50 40 50 60 10 80 в°
Рис. 79. Зависимость К (в)/К @) для
антеииы, состоящей из отрезков
(h < X, d= dx).
Двухмерные периодические антенны. Пусть центры одинаковых,
ио произвольных плоских элементов образуют правильную двухмер-
двухмерную периодическую решетку (рис. 80). Будем предполагать, что эле-
элементарная ячейка решетки (рис. 81) представляет собой параллело-
параллелограмм, стороны которого dx и ]/ d2y-\-12, причем одна сторона парал-
параллельна оси х, а другая составляет с осью у угол if. Поступая совер-
совершенно аналогично тому, как это делалось в случае одномерной
решетки, т. е. записывая давление, развиваемое элементом антенны
с помощью формулы Гюйгенса, раскладывая сферические волны по
плоским и принимая во внимание, что проекции расстояния от точки
излучения до точки наблюдения х, у, г на оси координат равны
х — adx — f>l — ха, р; У — Pdy — уа, р; г (где ха< р, уа, р — вспомога-
вспомогательные координаты с началом в центре элемента с номером а, р), по-
получим
у-
Л —оо —оо о=—
—ikad.
("""о)
X
—оо —оо о=—оо
X
205

X
e L
"¦рВ(и, t>)cos\|>
В этом выражении введены обозначения:
u = sin0cosq>; t> = sin 6 sin (ф + 4*);
щ = si n 0O cos <рв; Оо = sin 0O sin (q>0 ¦
а при его выводе использованы элементарные соотношения: dy
= cos цУ<Ру+ i\ i = dy
I I I I I
f>=-l
В {и, v) — cos в и sin 0 cos cp =
* Д/-Р
Г
Рис. 81. Элементарная ячейка
двухмерной, периодической аи-
тенны.
IT I / / / /
Рис. 80. Расположение центров элемен-
элементов двухмерной периодической антеииы
с ячейкой, имеющей вид параллело-
параллелограмма.
Принимая во внимание, что суммы поа и р представляют собой
периодические б-функции, а интеграл по so>p не зависит от номера
элемента, интегралы по и и v можно вычислить и в результате полу-
получить
оо оо Г «_—«_ sin 1
n=-oom=-oo
("л.
F.16)
где
un = n 1- sin 0O cos cp0;
dx
ty + sin 0O sin (Фо
206

В случае прямоугольной элементарной решетки -ф = 0, / = 0 и мы
имеем
ОО 00
е
п=—оо т=—оо
fk[xun+yvm+zY~l-ul-vl\X
Z, F.17)
Я.
ип — п-—Ь sin0o cos tpo;
"¦х
X
vm = m — + sin 0O sin ф0.
С помощью формул F.16) и F.17) можно определить распределе-
распределение давлений вблизи поверхности или на самой поверхности много-
многоэлементной двухмерной антенны.
Интегрируя произведение давления на сопряженную колебатель-
колебательную скорость по поверхности элемента, можно получить формулу,
определяющую его полное сопротивление излучения.
Если элементарная ячейка решетки имеет вид параллелограмма, то
*Ч"п, Ут) F18)
и если элементарная ячейка — прямоугольник, то
п=—оо m=
где s3= lA[x, y)ds.
s
Рассмотрим физический смысл полученных выражений. Начнем
с формул, определяющих давление, развиваемое бесконечной перио-
периодической антенной. Заметим, что эти формулы представляют собой
разложение поля по плоским волнам с различными волновыми чис-
числами. Так же как и при разложении простой сферической волны по
плоским [см. формулу F.3)], в выражении, например, F.17) присутст-
присутствуют две группы волн: однородные и неоднородные. Однородные волны
соответствуют случаю, когда коэффициент перед координатой z в по-
показателе экспоненты представляет собой вещественное число, т. е.
"л + Vlt^ *• Поскольку и\ + v2m при ij) = 0 равно sin2 0, то одно-
однородные волны распространяются в переднем полупространстве 0<я/2.
Неоднородные же волны, т. е. волны, соответствующие и2п + v2m > 1.
затухают вдоль оси z и распространяются вдоль поверхности антенны
с различными скоростями.
Это утверждение становится очевидным, если вспомнить приве-
приведенный выше анализ выражения F.3). Пространственное распределе-
207

ние (или пространственный спектр) однородных и неоднородных волн
не является непрерывным, как в случае элементарной сферической
волны или одиночного излучателя. Связано это с тем, что в случае
бесконечной антенны излучение и тех и других волн происходит только
в направлениях, соответствующих направлениям единичных макси-
максимумов характеристики направленности бесконечной решетки нена-
ненаправленных элементов. Действительно, как нетрудно заметить, ип
и vm определяются теми же соотношениями, что и положение единич-
единичных максимумов периодической решетки.
Таким образом, формулы F.16) и F.17) определяют давление как
сумму дискретного набора волн, направления которых (для действи- *
тельного пространства 0 < —) или скорости (для мнимого прост- ,|
ранства, соответствующего 0 = t'0' при 0 < в' < со) совпа-
совпадают с направлениями или скоростями распространения волн вдоль
единичных максимумов характеристики направленности периодиче-
периодической решетки, ненаправленные элементы которой расположены в цен-
центрах реальных. Величина же этих волн пропорциональна давлению,
развиваемому отдельным элементом бесконечной антенны, если только
это давление рассматривать не только в действительном, но и в мнимом
пространстве (т. е. при ип = sin 0coscp > 1).
Структура выражений, определяющих сопротивление излучения
элемента бесконечной антенны [см., например, формулу F.19)], сви-
свидетельствует о том, что однородные, уходящие от антенны в бесконеч-
бесконечность, волны образуют активное сопротивление излучения, а неодно-
неоднородные, распространяющиеся с различными скоростями вдоль поверх-
поверхности антенны — реактивное. Физический смысл формулы F.19), во
всяком случае в части активного сопротивления излучения, очень
прост. Вс-помним, что активное сопротивление излучения с точностью
до постоянных сомножителей определяет мощность, излучаемую
антенной, и попытаемся найти ее для случая бесконечной ан-
тенны. ч
Такая антенна излучает только вдоль единичных максимумов ре-
шетки ненаправленных элементов, и мощность, излученная вдоль мак-
симума, имеющего номер п, т, пропорциональна квадрату давления,
развиваемого отдельным элементом в этом направлении, т. е. пропор-
пропорциональна R2 («„, vm). Но единичные максимумы характеристики на-
направленности плоской антенны не одинаковы по ширине. Как уже от-
отмечалось выше, их ширина обратно пропорциональна косинусу угла
наклона, т. е. выражению cos 0nm = В (ип, vm), или в случае прямо-
прямоугольной ячейки cos0rtm=|/ 1—и\—v2m . Таким образом, мощ-
мощность, излучаемая в дальнее поле единичным максимумом с номером
пт, пропорциональна R2 (un, vm) B~l (un, vm). Для определения
полной излучаемой мощности следует просуммировать это выражение
по всем единичным максимумам решетки, т. е. по всем пит, соответст-
соответствующим действительному пространству. Эти операции и осуще-
осуществляются формулами F.18) и F.19).
208

Аналогичный физический смысл Имеют и выведенный ранее фор-
формулы для одномерной периодической бесконечной антенны, с той лишь
разницей, что в случае одномерной антенны единичные максимумы
решетки соответствуют в пространстве коническим поверхностям и
для определения мощности, излучаемой в каждой такой поверхности,
следует производить интегрирование по v.
Заметим, что если в приведенных выше формулах для определения
сопротивления излучения под величиной R (и, v) понимать характе-
характеристику направленности элемента антенны, соответствующую какой-то
моде колебаний его поверхности, то можно получить выражения для
расчета полного сопротивления излучения элемента для этой моды
(см., например, [33]).
Запишем выражение, определяющее коэффициент концентрации
большой периодической антенны в предположении, что активное со-
сопротивление излучения ее элемента совпадает с активным сопротив-
сопротивлением излучения элемента аналогичной бесконечной антенны.
В случае ячейки в виде параллелограмма имеем
к= ***xdy N *2К- "о) , F.20)
%* Re V У *'(""I
2а в (ц„, vm)
п=— оо т=—оо v
Для прямоугольной ячейки можно получить такое же выражение, но
в этом случае В(ип, vm)=-Y~l — u2n—v2m.
Рассмотрим практически часто встречающуюся ситуацию, когда
расстояние между элементами выбрано так, чтобы в рассматриваемом
диапазоне изменения направления компенсации в характеристике на-
направленности решетки ненаправленных элементов, располагаемых
в центрах реальных, отсутствовали добавочные максимумы, равные
основному. При этом в суммах, определяющих активное сопротивле-
сопротивление излучения, остается всего одно слагаемое и выражения для опре-
определения rs и К приобретают простой вид.
Так, в случае антенны, состоящей из параллельных полос, при
А (у) = 1 имеем из формул F.11) и F.14):
dxh V\~ul dxh cos90 '
F-22)
В случае антенны, состоящей из отрезков прямых, из формул F.12)
и F.15) получим
^*?'(%у, F.23)
- F.24)
К .
\ "к
М Д Смарышев 209

Для двухмерной антенны независимо от* вида элементарной ячейки
из выражений F.18) и F.20) имеем
г = (u0, v0) = jwg jfi(e., Ф0) . F 2бЙ
s dxdy B(uo,vo) dxdy cos60
K = 4-^^B(u0,v0)Aos%. F.26)
Напомним, что в этих формулах rs определяет активное сопротив-
сопротивление излучения одного элемента, а К — коэффициент концентрации
антенны, состоящей из N элементов. При записи выражений для К
мы приняли во внимание, что площадь, занимаемая большой плоской
антенной, примерно равна dxhN в случае набора полос и dxdyN в слу-
случае двухмерной решетки, а длина антенны Н, образованной отрезками
прямой, равна dxN. Как было выяснено выше (см. § 11), коэффици-
коэффициент концентрации линии длиной Н при Н > Я равен 2ЯА. Формула
F.24) дает значение, вдвое большее в связи с тем, что в рассматривае-
рассматриваемом случае антенна находится в жестком экране и излучение проис-
происходит в полупространство.
Из формул F.22), F.24) и F.26) следует, что, во-первых, характе-
характеристика направленности элемента многоэлементной протяженной ан-
антенны в отсутствии равных единице добавочных максимумов характе-
характеристики направленности решетки не влияет на величину коэффици-
коэффициента концентрации антенны и, во-вторых, возможные зазоры между
элементами также не оказывают влияния на его величину. Эти выводы
объясняются тем, что в случае антенны, состоящей из большого числа
элементов и имеющей большие относительные размеры, характери-
характеристика направленности антенны, а следовательно, и ее коэффициент
концентрации не зависят от характеристики направленности элемента
и определяются характеристикой направленности решетки ненаправ-
ненаправленных элементов, совпадающих с центрами реальных. Интересно
также отметить, что из приведенных формул видно, что в рассматри-
рассматриваемом случае зависимость коэффициента концентрации дискретных
антенн от угла компенсации такая же, как и для антенн непрерывных.
В случаях, когда расстояния между элементами и величина 0О
таковы, что появляются единичные максимумы характеристики на-
направленности аналогичной антенны из ненаправленных элементов,
зависимости коэффициента концентрации от 0О имеют уже другой ха-
характер. Для двухмерной антенны (так же, как и для набора бесконеч-
бесконечных полос — см. рис. 78) наблюдаются Провалы до нуля, а для одно-
одномерной (см. рис. 79) резкие спады на углах, соответствующих появле-
появлению единичных максимумов.
Все приведенные выше формулы справедливы для равномерного
амплитудного распределения между элементами антенны. Однако если
предположить, что амплитудное распределение имеется, но меняется
настолько медленно, что на протяжении области, существенно влияю-
влияющей на сопротивление излучения элемента, его можно считать постоян-
постоянным, то можно получить выражения, определяющие rs антенны при
неравномерном распределении, отличающиеся от приведенных в этом
210

параграфе наличием множителя V аЬ Формулы для определения коэф-
фициента концентрации будут отличаться от приведенных тем, что вме-
вместо сомножителя N в них будут стоять сомножитель
«7=1
N \ —1
ч2
— в двух-
~lg"=l
в одномерном случае или V V а
<7=1 g=l
мерном.
При выводе всех выражений в этом параграфе мы считали колеба-
колебательную скорость преобразователей заданной и не зависящей от zs.
Другими словами, мы рассматривали случай работы вне резонанса, и
R (и, v) определяло характеристику направленности элемента при
заторможенных остальных преобразователях.
При работе вблизи и на резонансе преобразователей полученные
формулы остаются справедливыми, но характеристику направленно-
направленности всей антенны нельзя определять как произведение характеристик
направленности элемента в присутствии других заторможенных эле-
элементов на характеристику направленности соответствующей решетки
ненаправленных элементов. Как следует из соображений, приведен-
приведенных при анализе теоремы умножения, в этом случае необходимо учи-
учитывать еще один сомножитель — характеристику взаимодействия
[формула B.60)],— имеющий вид
где z @) и z (9) — полные сопротивления излучения элемента при
компенсации антенны в направлении 9 = 0 и 9. Если антенна рабо-
работает на резонансе механических колебаний преобразователей, то
zm < z @) и zM С z (9), поэтому
B3V ; г@)
При малых расстояниях между элементами (т. е. при dx <<( Я,
dy < X), как следует из формулы F.18), величина z (9) пропорцио-
пропорциональна cos 9 и RB3 = cos9. Этот вывод становится очевидным, если
принять во внимание, что малый элемент в рассматриваемом случае
заключен в мягкий экран, что, естественно, приводит к появлению
в характеристике направленности сомножителя cos 9.
§ 19. Конечные плоские антенны
Решетка ненаправленных элементов. При анализе параметров ан-
антенн, состоящих из ненаправленных элементов, образующих правиль-
правильную периодическую решетку, обычно наибольшие трудности вызывает
расчет их коэффициента концентрации. В соответствии с формулой
D.90) коэффициент концентрации решетки, лежащей в плоскости
8* 211

хОу и компенсированной в направлении 60, <р0, определяется выраже-
выражением
2-
•V4 хч sln kdqs
> > aqatcos [(д;9 — xg)sin 60 cosф0 + (уд—у&) sin90 sinф0] —^—
~ F.27)
где dqg = V(xq — xgJ + (yq — t/gJ.
При некоторых конкретных амплитудных распределениях и в осо-
особенности при равномерном распределении расчет знаменателя выра-
выражения F.27) может быть упрощен путем объединения одинаковых сла-
слагаемых. Так, в отсутствии компенсации и при aq = 1, коэффициент
концентрации прямоугольной периодической решетки, ячейка кото-
которой имеет размеры dx и dyi равен
к-
а-\ 6—1
sin
/(а, р)F-р)(о-а)
, F.28)
а=0 6=0
где
при а —О, р = 0;
(а = 0, р>0;
4 при а > 0; Р > 0;
аи b — число элементов вдоль осей х и у соответственно (общее число
элементов решетки N = ab).
На рис. 82 представлено отношение коэффициента концентрации
периодической решетки к числу ее элементов в зависимости от относи-
относительного расстояния между элементами при dx = dy = d. На этом
же графике штриховой линией показан результат расчета для много-
многоэлементной антенны, полученной с помощью формулы F.20), имею-
имеющей в рассматриваемом случае (т. е. при отсутствии жесткого экрана
и при R («„, vm) = 1) следующий вид:
L , F.29)
К2
где
Re
¦¦п
1
Как видно из графика, при dll, меньшем некоторой величины, со-
соответствующей появлению единичных добавочных максимумов харак-
характеристики направленности, коэффициент концентрации растет про-
212

K/N
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
>,,
0
Рис
J
/
//
//
V
1
III
till
Ilii
№
i
i
Iji
/Ay
ill
' /
J
1
i
i
i
I
I
I
i
1
1
о /i
p
Щ
til
1"!
. 1/
• i
!
i
\ !
i
i
11
•и
,N=25
\/
у
r/-
r
100
-400
/
/'
//
\f
I
/A
/
/
/ .
V,
\
9,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,6 dfl
;. 82. Зависимость KIN от d/X в случае двухмерной перио-
периодической решетки.
213

г
/
\ ц '
/
/
°д
—v?
Д ч
Рис. 83 Расположение элементов на плос-
плоскости.
порционально отношению площади антенны к "к2 (как и в случае
сплошного поршня). Появление единичных добавочных максимумов
вызывает резкое падение К, после чего его^величина снова с ростом
dA увеличивается. Чем меньше число элементов, тем при меньших
dA начинается появление единичных максимумов [в соответствии с не-
неравенством D.80) ] и тем раньше начинается падение коэффициента
концентрации.
Из анализа кривых рис. 82 следует, что на поведение зависимости
KIN влияет не только появление единичных максимумов, но и пред-
предшествующих им дополнительных максимумов, имеющих величину
22% (влияние этих максимумов выражается в наличии небольшой
осцилляции рассматриваемой
у' у зависимости вблизи макси-
максимального значения KIN).
Результаты расчета по
приближенным формулам наи-
наиболее отклоняются от резуль-
результатов точных расчетов при dA
(если 60, ф0 — фиксированы)
или при 60, ф0 (если задано
dA), соответствующих появ-
появлению единичных добавочных
максимумов. Как видно из
рис. 82, в случае dA = 1; 1,41
и 2 величина коэффициента
концентрации, определенная
по формуле F.29), равна нулю. Объясняется это обстоятельство
тем, что выражение F.29), строго говоря, справедливо для бесконеч-
бесконечной антенны, а для нее единичный максимум, лежащий в плоскости
хОу, в бесконечное число раз шире единичного максимума, перпенди-
перпендикулярного плоскости антенны. Поэтому появление максимума, ле-
' жащего в плоскости антенны, в бесконечное число раз увеличивает
активное сопротивление излучения и приводит к тому, что К — 0.
Разумеется, в случае антенны конечных размеров этого не происходит
и коэффициент концентрации существенно отличается от нуля. Ошибку
расчета можно значительно уменьшить, если вместо выражения
V 1—ип—vli = cos®nm B знаменателе формулы F.29) подставить
отношение ширины характеристики направленности единичного мак-
максимума с номером п, m к ширине характеристики направленности еди-
единичного максимума, перпендикулярного поверхности антенны. Таким
способом можно уточнить приближенные формулы не только для ре-
решетки ненаправленных элементов, но и в общем случае.
Направленные элементы в жестком экране. Взаимное сопротивле-
сопротивление излучения элементов можно определить по формуле A.17), однако
для плоских элементов, находящихся в жестком экране, можно полу-
получить выражение, позволяющее глубже понять механизм образования
ближнего поля излучения и являющееся при некоторых конфигура-
конфигурациях взаимодействующих элементов более удобным для расчетов.
214

Рассмотрим поле, Создаваемое произвольным плоским элементом
антенны, имеющим порядковый номер q. Подставим в формулу B.37)
разложение сферической волны на плоские F.3) и получим выражение
для давления в произвольной точке х, у, z (рис. 83), которое может
быть названо пространственным спектром излучения
pcwq 2» «Я ik[(x—o?) sin 9 cos ф+(«—6 ) sin 9sinq>+zcos 9
О О
. v — ik fx/)sin9cos9+ff/,sin9sin q>l . ....
\{x, y)e ч q Jds,,sin9d9d<j>. F.30)
Физический смысл этого выражения станет ясен, если принять во
внимание приведенные выше соображения относительно однородных
и неоднородных волн, суперпозиция которых может описать поле сфе-
сферического источника. Сравнение формул F.30) и F.3) показывает, что
наличие направленности элемента приводит к деформации пространст-
пространственного спектра точечного источника функцией, пропорциональной
характеристике направленности элемента, определенной, однако,-
не только в действительном, но и в комплексном пространстве I пос-
скольку 9 принимает значения— г'9', где 9' — меняется от 0 до оо ).
2 /
Для того чтобы найти взаимное сопротивление излучения элемен-
элементов q и g в соответствии с соотношением A-17), следует вычислить ин-
интеграл по sq от выражения F.30) по поверхности элемента с номером g.
В частном случае одинаковых и одинаково ориентированных в про-
пространстве элементов, учитывая, что х — ag + xg и у = bg + yg (см.
рис. 83), мы получим
(а„—ал sin 0 costp+f&rt—ЬЛ stn 9 sin ш1
~1T J J e
0 0
F.31)
где
s9 R (9, V) - j A (x, у) е~1к {x sin 9 cos ф+!/ sin 95'пчф) 4s.
s
Полное Сопротивление излучения антенны, состоящей из одинако-
одинаковых плоских элементов, определится двойной суммой по всем элемен-
элементам от zgq. В частности, если считать что решетка антенны двухмер-
двухмерная бесконечная и периодическая, записывая двойную сумму в беско-
бесконечных пределах и воспользовавшись свойством б-функции для
вычисления интегралов по 9 и ф, можно получить приведенное выше
выражение F.18).
Пусть элементы антенны имеют форму круга и распределение
А (х, у) симметрично относительно его центра. Тогда, обозначив рас-
215

стояние между центрами взаимодействующих элементов символом
lqg, имеем
!-*>
f Jo (^/^g sin 9) JR2 (в) sin в d6.
F.32)
Рис. 84. Зависимость rqglrqq от отношения /9g/A. для
круглых поршней в жестком экране.
В частном случае круглых поршней с равномерным амплитудным рас-
распределением, в соответствии с формулой E.35), получим
2я3рса4
I '••
где а — радиус поршня.
Интеграл этого выражения вычислен Причардом [67]. Оконча
тельное выражение для zqg имеет вид
0.5)
X
т=0 п=0
X
4s
я1/2я!л1
(ka) hm+n (klqg),
F.33)
где Г (х) — гамма-функция; hm+n (у) — сферическая функция Ган-
келя.
216

На рис. 84 представлена зависимость отнесенного к собственному
взаимного активного сопротивления излучения двух плоских круглых
поршней от относительного расстояния между ними lqgl% при различ-
различных а/%. При -^-<0,1 отношение rqg/r ведет себя так же, как и
в случае ненаправленных элементов (сравни с рис. 47), начиная же
с — = 0,5 и при больших а/% характер зависимости rqglrqq от lqgl%
меняется. При lqg ^ 2а активное взаимное сопротивление излучения
примерно равно нулю и при дальнейшем увеличении lqg несущест-
несущественно отличается от нуля. Таким об-
разом.^если только диаметр поршня
равен или больше длины волны, то
приближенно можно считать, что
полное активное сопротивление
излучения антенны, состоящей из
таких поршней (если только поршни
не накладываются друг на друга),
равно сумме собственных. Другими
словами, при выполнении этих усло-
условий можно считать, что элементы
антенны независимы, т. е., что
к/к.
1,0
0,6
0,6
в,*
0,1
!
ч.
Л
V
\
•—
»—
а
d ~
0,5
1
0,33
ОД-
VV^ Л Л* VI I A 19
. х А А Г х Д I F
F.34)
или при равномерном распределении
0,д 1,1 1,6 1,0 d/K
Рис. 85. Отношение К/Ка п Для
антенны из круглых поршней.
г, = nrqq
Р
qq
Рассмотрим рис. 85. На нем представлена зависимость отношения
коэффициента концентрации антенны, состоящей из 100 элементов
A0 X 10) при Aq = 1, к коэффициенту концентрации плоского поршня
в зависимости от относительного расстояния между центрами элемен-
элементов d/% (dx = dy = d). Радиус поршня а равен d/2 (поршни располо-
расположены вплотную друг к другу), d/З и d/A. Размеры плоского поршня,
с коэффициентом концентрации которого производится сравнение,
равны максимальным размерам рассматриваемой антенны, т. е. sn п =
= (9d 4 2аJ. Расчет производился по точной формуле, определяю-
определяющей коэффициент концентрации через взаимные сопротивления из-
излучения элементов антенны. При d < 0,8 К отношение К/Кп п при-
примерно равно единице, т. е. при d < 0,8 К зазоры между элементами
антенны не снижают ее коэффициента концентрации, который таким
образом в рассматриваемом случае определяется не активной, а пол-
полной площадью антенны. Напомним, что этот же вывод следует и из
формулы F.26), справедливой для антенны больших относительных
размеров при d < Я. Начиная с d?t; 1,5 А,, изменения К уже несу-
несущественны и с ростом d/% коэффициент концентрации стремится к не-
некоторой постоянной величине. Эту величину легко определить по
формуле C.8), полученной в предположении о независимости элемен-
элементов антенны. Отношение ЮКа. п ПРИ этом равно отношению площади
217

элемента к площади элементарной ячейки d2. В случае d — 2а это
отношение равно я/4 т 0,79, при d = За отношение КЖП. п ~ л^ ~
:= 0,35 и при d—\a ЮКа п — "/16 = 0,2. Как видно из рис. 85,
к этим же величинам и приближается отношение К/Кп п> рассчитан-
рассчитанное по точной формуле.
Таким образом, если при d/k <; @,8 -ч- 0,9) коэффициент концен-
концентрации определяется общей площадью антенны, то при d/k > 1,5 —
площадью антенны за вычетом площади зазоров между элементами,
т. е. активной площадью.
На рис. 86 представлена зависимость KIKn n OT d/k для антенны,
состоящей из 100 элементов A0 х 10) при 2а — d. В первом случае
(кривая 1) элементарная ячейка антенны квадратная и dx— dy = d.
Во втором (кривая 2) каждый
нечетный ряд элементов сдвинут
по отношению к четным на поло-
половину шага в одну сторону, так
что элементарная ячейка пред-
представляет собой параллелограмм
со стороной dx и высотой dy
(при этом по-прежнему dx — dy).
И
1,0
0,6
0,6
i
«s
V
Л
J
-^——
—,
7
0,6 1,0 1,1
Рис. 86. Зависимость К/Кп п от dl"k при
различном расположении поршней на
плоскости.
Й, наконец, в третьем случае
(кривая 3) ряды вплотную сдви-
сдвинуты друг к другу для получе-
получения наибольшего заполнения
круглыми поршнями плоской
поверхности \dx = d; dy —
— y~Zd/2). В первом и во
втором случаях при d/k ->-
-> со отношение К/Кп п стремится к одной и той же величине,
равной отношению суммарной площади всех элементов к площади
равновеликого плоского поршня, т. е. к 0,79. Однако при dlk za I
кривая 2 идет несколько выше, что связано с тем, что в этом случае
появляются два, а не четыре, единичных добавочных максимума.
В третьем же случае в пределе при d/k -+¦ оо отношение ЮКа п стре-
мится к величине
г 0,91.
Мы не будем приводить расчетные зависимости коэффициента кон-
концентрации от угла компенсации 90, но заметим, что начиная с а/к —
= 0,6 выполняется условие независимости элементов и в соответст-
соответствии с формулой C.8)
т. е.
7С(е°) = Rl{Q0), F.35)
пКэ @) 0/ '
где /Сэ (9о) и Кэ @) — коэффициенты концентрации элемента антенны
в направлении 90 и 6 = 0, a R3 (90) — значение характеристики на-
направленности элемента в направлении компенсации антенны,
'218

На первый взгляд этот вывод противоречит формуле F.20), однако
если принять во внимание, что при больших относительных размерах
поршней их активное сопротивление излучения не зависит от dx, d
и 60, то становится понятным, что коэффициент концентрации антенны
пропорционален квадрату характеристики направленности в направ-
направлении 60. Что же касается формулы F.20), то в пределе при d/K ->- оо
двойную сумму в ее знаменателе можно заменить интегралом по про-
пространству и после несложных преобразований привести к виду фор-
формулы F.35).
С помощью полученной выше формулы F.31) легко определить
взаимное сопротивление излучения бесконечных (или весьма протя-
V
i
\\
\ \
'••¦•
'f*
1,0
,0,6
K0,2
t *
ш
//—"
0,8
V
?
I °
Рис. 87. Зависимость rqglrqq от d?gA для параллель-
параллельных полос.
женных) параллельных полос. Пусть А (х, у) = А (х) А (у) и А (у) =
= 1, размеры же полос равны hud, расстояние между их центрами
вдоль оси х — dqg. Переходя от переменных 9 и ф к, и = sin 9 cos ф
и v = sin9sin(p и учитывая, что h > A-, получим
d/2
4(x)e~'**"dx
—d/2
du
F.36)
В частном случае А (х) — 1 интеграл по х легко вычисляется и
оо
2рсЫ2
: Я,
. kd
sin — и
kd
COS kdaeU ,
—7=Mrdu.
У 1 — и*
F.37)
219

Это выражение можно было получить и иначе, Воспользовавшись фор-
формулой Гюйгенса для двухмерного случая и разлагая затем цилиндри-
цилиндрические волны по плоским. ^
Если ширина полосы d значительно меньше X, то выражение в
квадратных скобках, представляющее собой характеристику направ-
направленности линии в перпендикулярной к ней плоскости, равно единице и
00
2 pcftd* Г* cos kdqgu ,
о
Интеграл этого выражения равен —Щ'{kdq^ и окончательно имеем
п.п
0,3
0,6
0,1
0 0,
-
V
Y /¦/
Г
р
¦ .
8 0,8 1,0 11 1,4 1,6 1,д 1/К
Рис. 88. Зависимость KIKn. n Для ан-
антенны, состоящей из двадцати полос,
от относительного расстояния между их
центрами.
Эта формула определяет вза-
взаимное сопротивление излучения
двух узких полосок длиною h,
находящихся в жестком экране.
Пусть экран отсутствует. Тогда
взаимное сопротивление излуче-
излучения полосок уменьшается в два
раза. Свернем поверхности поло-
полосок в цилиндры с радиусами
r0 (d = 2лг0). При этом взаимо-
взаимодействующие элементы представ-
представляют собой параллельные ци-
цилиндры, диаметры которых
значительно меньше длины волны и их zqg определяется выражением
). F.39)
Воспользовавшись этим соотношением, легко найти сопротивление
излучения и коэффициент концентрации антенн, состоящих из парал-
параллельных отрезков прямых, расположенных не только на плоскости,
но и на поверхности прозрачного цилиндра произвольного сечения.
Формулу F.39) можно получить и другим способом, а именно, не-
непосредственным интегрированием поля, создаваемого одним пульси-
пульсирующим отрезком на поверхности другого. Для этого следует только
знать, что давление, развиваемое таким отрезком, пропорционально
^\(kdqg).
Интересно заметить, что выражение для активного взаимного со-
сопротивления излучения двух отрезков (rs = kpchn2r^JQ (kd )) можно
найти и с помощью метода стационарной фазы.
На рис. 87 представлено отношение активного взаимного сопротив-
сопротивления излучения двух параллельных полос шириной d к собственному
активному сопротивлению излучения одной полосы при изменении
относительного расстояния между центрами полос dqg/X. Расчет про-
производился по формуле F.37). Видно, что характер изменения rqg при
220

увеличении dqgl\ и dA качественно такой же, как и для круглых
поршней (см. рис. 84), однако в случае полос осцилляции имеют ббль-
шую величину.
Зная активные взаимные сопротивления излучения, можно вычис-
вычислить и коэффициент концентрации антенны, состоящей из прямоуголь-
прямоугольных полос.
Отношение коэффициента концентрации такой антенны к коэффи-
коэффициенту концентрации равновеликого плоского поршня в функции от
относительного расстояния между центрами элементов / для антенны,
состоящей из двадцати элементов, представлено на рис. 88 сплошными
линиями. Штриховыми линиями показан результат расчета по при-
приближенной формуле F.14). Из этих графиков видно, что приближен-
приближенная формула дает хорошее приближение к точной величине, если
только /А не близко к 1, 2 и т. д.
Мы рассмотрели взаимодействие простейших излучающих элемен-
элементов в плоском жестком экране. В случае других, более сложных кон-
конфигураций элементов расчетные выражения имеют очень громоздкий
вид. Так, взаимодействие прямоугольных поршней при произвольном
соотношении сторон [54] не удается выразить в замкнутом виде через
табулированные функции.
§ 20. Цилиндрические антенны
Расчетные соотношения. Давление, развиваемое в дальнем поле
круговой цилиндрической дискрет$ой антенной, состоящей из нена-
ненаправленных элементов, расположенных на п дугах, no2s-f-l элементу
в каждой, может быть записано следующим образом:
Р() ^2 2„
., о—ik \Л sin 8 cos <pco<sg6 + .R sin 6 sin <p sin g в + qd, cos 61 ,„ .„.
X с г f @.40)
где R — радиус цилиндрической поверхности; б — центральный угол
между двумя соседними элементами на каждой дуге; dz — расстояние
между соседними дугами.
Как и раньше, при анализе направленных непрерывных цилин-
цилиндрических антенн положение точки наблюдения определяется в сфе-
сферической системе координат 0, q>, причем угол 0 отсчитывается от оси
цилиндра. В этом выражении суммы по q и g разделяются и, кроме
того, одна из них представляет собой сумму членов геометрической
прогрессии и легко вычисляется. В результате р @, ф) можно выра-
выразить через произведение характеристик направленности эквидистант-
эквидистантной решетки и набора ненаправленных элементов, расположенных
на дуге окружности. Поскольку соответствующие характеристики
рассматривались нами ранее, на этом случае мы останавливаться не
будем.
Если элемент плоский или поверхность его обладает несущест-
несущественной кривизной, то можно считать, что он является частью поверх-
поверхности цилиндрической антенны и воспользоваться известным реше-
221

нием об излучении части цилиндрической бесконечной поверхности
[62]. Пусть угловой размер элемента 2ty0, высота h и распределение
колебательной скорости по его поверхности„равномерно. Тогда дав-
давление, развиваемое элементом в любой точке пространства и в даль-
дальнем поле, определится выражениями E.55) и E.56) соответственно
(в этих формулах следует только заменить Н на К). При выводе ука-
указанных формул принималось, что центр элемента имеет координаты
х = R, у — z = 0. Если же для элемента с номером qg координаты
центра определяются равенствами х = Rcosgd; у = R sin g8; z = qdz,
то, как легко показать,
М ч ikpchwu уч sin m% cos т (ф — g6) чу
г, z, Ф) _ 2^ — х
m=0 *
1 лГ1л ITS иШ' /п 1Г1». ..й\ «. •' V**"*/
а в дальнем поле
sin I cos 01 ^?_ _ 5»i_
\ 2 / \l sin m\]50 cos m (ф — go) ' 2 /c ,m
X —*¦" Ў ; — В - yOAZ)
2 m=0
Поскольку эти выражения записаны относительно общего для всех
элементов антенны начала координат, то для нахождения давления,
развиваемого всей антенной, следует взять сумму по q и g, а разность
хода лучей от центров элементов до точки наблюдения учитывать не
надо. Таким образом, определить давление, а далее и характеристику
направленности можно исходя из соотношения
m s
Р (9. <Р) = 2 2 АдеРае F« Ф)* (б-43)
0=1 g=—5
При компенсации антенны в направлении %, <р0, как и в вы-
выражении F.40), следует положить o^g = kR sin 60 cos ф0 cos g§-\-
+ kRsin 60«^0sing6 -f- ^rf2cos60. Если направление компенсации
совпадает с центром симметрии рабочего сектора, то ф0 = 0 и приве-
приведенная формула несколько упрощается.
Определим взаимное сопротивление излучения двух элементов ан-
антенны. Для упрощения выкладок будем предполагать, что центр од-
одного из них (имеющего номер 00) лежит на оси х. В соответствии с фор-
формулой A.17), для определения гоо,че следует вычислить интеграл от
222

давления рж, развиваемого одним из элементов при единичной коле-
колебательной скорости, по поверхности другого элемента, т. е.
чю.
Г, Z, ф)&Ыф.
Учитывая соотношения
J °со5/Пф^ф=2$'пот^со5отг6
sinv|
k
получим
zoo- is —
cosyqdzdy.
F.44)
При записи этого выражения принято во внимание, что во все сомно-
tyqd,
жители, кроме е , переменная у входит четным образом и поэ-
поэтому интеграл от — оо до <х> заменен удвоенным интегралом от 0 до со.
Учитывая известную связь между функцией Ганкеля и ее произ'
водной Н$ (z) = 0,5 [Я^_1 (г) — Н^+1 (г)] и соотношение Н% («)=»
= — Г Km (z) (где Кт (г) — модифицированная функция Бес-
Бесселя второго рода), можно показать (так, как это сделано в работе [68]),
что величина интеграла от k до оо (с учетом сомножителя i) является
величиной мнимой. Поэтому для определения активной составляющей
сопротивления излучения можно ограничиться интегрированием от
нуля до k. Умножая числитель и знаменатель подынтегрального
выражения на величину, сопряженную знаменателю, и восполь-
воспользовавшись известными выражениями #m' (z) = Jm (z) -f iNm (z) и
223

F.45)
Рассмотрим частные случаи. Пусть взаимодействующие элементы
представляют собой кольца, расположенные на бесконечном жестком
цилиндре. Расстояние между цен-
центрами колец равно dqg, ширина ко-
колец h, а длина их окружности Н =
= 2nR. При этом г|50 = я, и в сум-
суммах по т выражений F.44) и F.45)
остается только один член и эти
выражения приводятся к виду, по-
полученному ранее в работе [68].
Если же диаметр цилиндра значи-
значительно больше длины волны, то,
воспользовавшись асимптотиче-
асимптотическим представлением функции Ган-
келя, можно показать (как это и
следовало ожидать), что формула
F.44) после подстановки у = ku
переходит в формулу F.37), опре-
определяющую взаимное сопротивле-
сопротивление излучения протяженных полос
в жестком экране. Рассматривая
другой предельный случай kR-+0,
можно получить взаимное сопро-
сопротивление излучения отрезков, лежащих на одной линии, активную
составляющую которого мы определили выше другим способом [фор-
[формула D.96)].
Выражения F.44) и F.45) позволяют найти и взаимное сопротив-
сопротивление излучения полос, имеющих угловую ширину 2г|H и вытянутых
вдоль оси z так, что h > X. Воспользовавшись, как это уже неодно-
неоднократно делалось выше, тем, что при Ш -> оо квадрат первого сомно-
сомножителя подынтегрального выражения пропорционален б-функции,
получим
Рис. 89. Зависимость rqilrqq от б
__ 4ipchR
sin2
cos
(kR)
s
m=0
F.46)
ipchK
sina
cos
F.47)
224

Заметим, что эти выражения можно получить и проще, интегрируя
давление, развиваемое одной полосой, лежащей на цилиндре (найден-
(найденное в работе [27]), по поверхности другой полосы.
Некоторые результаты расчетов. На рис. 89 представлены актив-
активные взаимные, отнесенные к собственным, сопротивления излучения
полос шириною d0 = 0,3 к; 0,5 Я и 0,7 Я, расположенных на цилиндре
при kR = 25 в функции углового расстояния между центрами полос б.
Уровень осцилляции возрастает с уменьшением do/K, что легко объяс-
объяснить тем, что при большой ширине полос взаимодействие должно
уменьшаться, а при малых dQlk рассматриваемое отношение должно
приближаться к функции Jo (kR8), определяющей в соответствии
с выражением F.39) активное вза-
взаимодействие параллельных линий.
Интересно заметить, что для рас-
рассматриваемого kR элементы распо-
располагаются вплотную в случае do/K =
0,3 при б = 4,5°, в случае d0 = 0,5 Я
при б = 7,2° и в случае d0 — 0,7 к
при б= 12°. Таким образом, ак-
активное взаимодействие соседних эле-
элементов при расположении элементов
антенны без зазоров положительно
при d0 < 0,5 К и отрицательно при
dQ > 0,5 Я. Очевидно поэтому отно-
отношение суммы вносимых сопротивлений
излучения всех элементов компенсиро-
компенсированной антенны к сумме собственных,
как показывает расчет, положи-
положительно при d0 « 0,3 К, равно нулю примерно при d = 0,5 К и далее
отрицательно вплоть до d0 = 0,7 к. Если d0 > 0,5 Я, то это отношение
составляет по абсолютной величине менее 7%, а при d0 < 0,5 К мо-
может быть существенным и равняться 40% при d0 = 0,3 К. Это озна-
означает, что с практически достаточной во многих случаях точностью при
определении полного активного сопротивления излучения можно не
учитывать вносимые, если только d0 = d > @,4 s- 0,5) К (где d —
расстояние между центрами соседних элементов).
Рассмотрим некоторые результаты расчетов зависимости коэффи-
коэффициента концентрации компенсированной круговой цилиндрической
антенны от величины рабочего сектора, величины элементов и др. Ко-
Коэффициент концентрации может быть вычислен по формуле
^Ann
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
?
О дО ПО 160 200 240 2S0 П02И'
Рис. 90. Зависимость К/КП и °т
величины рабочего сектора ци-
цилиндрической антенны.
V
и
i
/
fa
к
г- —
•^
\
\
—-
ч,
\
\
ч
ч
2 2 АЯ8РяЛ@о. Фо)
Рс I Щ, (
т т
Zl Zi Z Z
F.48)
Zl Zi Zl Zi ПqgA[q'B'1qg.q''«'
?=1 q'=\ g=-sg'=-s
где p (9, ф) и г , , — выражения, определяемые формулами F.42)
и F.45). Если распределение вдоль образующей отсутствует, можно
225

полагать в формуле F.48) т = 1 и г g, определять из соотношения
F.47). При этом в числителе останется квадрат модуля одинарной
суммы, а в знаменателе четверная сумма^аменится двойной, что
существенно упростит вычисления.
На рис. 90 представлена зависимость отношения К/К„. „ (Кп. п —
коэффициент концентрации плоского поршня, совпадающего с диа-
диаметральным сечением антенны)'от величины рабочего сектора 2$ =
= Bs + 1N. Компенсация антенны производилась с учетом дифрак-
дифракции (т. е. аргумент коэффициента возбуждения выбирался равным аб-
абсолютной величине аргумента поля, создаваемого элементом антенны
в направлении компенсации, с обратным знаком). Заметим, что при
<У
i .
ч
kg
t
4
-во
14
0,9
?
o,s
О 0,4 0,5 0,5 0,7 0,д d/K
/^ л. л
0,9
0,0
0,7
?
0,5
N
i
i
V
V
Л
\
Л
ч
60
0,5 Й,6 0,7 0,д dfX
Рис. 91. Зависимость К/Кп.п от
а — 29=120°; б —2» = 180°.
2ф < 180° отличие между компенсацией с учетом дифракции и ком-
компенсации геометрической разности хода лучей практически отсутст-
отсутствует, но при 2ф > 180° оно весьма заметно. В качестве амплитуд-
амплитудного распределения рассматривалось два: одно из них равномерное
(сплошные линии), а другое (штриховые линии) соответствовало опти-
оптимальному возбуждению при условии отсутствия взаимодействия эле-
элементов [см. выражение C.11)]. Из этого графика (рассчитанного для
случая d — d0 = 0,5 к) видно, что коэффициент концентрации ци-
цилиндрической антенны имеет максимальную величину при угле рас-
крыва рабочего сектора 2ф = 130 -=- 170°, причем чем больше kR,
тем меньше эта величина; амплитудное распределение, оптимальное
в предположении независимости элементов антенны, увеличивает
коэффициент концентрации тем больше, чем больше 2ф и kR. Кроме
указанного распределения рассматривалось также распределение
вида cosSg, причем при 2$ < 180° результаты расчета К. для обеих
распределений практически одинаковы.
Относительная зависимость коэффициента концентрации от d/K
при d = d0 представлена на рис. 91. С ростом d/K, начиная с d/K ^ 0,5
в случае 2* = 120° и d/K ж 0,4 в случае 2ft = 180°, величина К/Кп. п
начинает падать и при d/K = 0,9 приближается к значению, равному
226

6,5. Сплошные линии соответствуют равномернбму амплитудному
распределению, штриховые — распределению вида ag = cos 8g. На
рис. 92 показано относительное изменение коэффициента концентра-
концентрации цилиндрической компенсированной антенны в функции от flf0,
где /0 — частота, для которой отношение d/K0 равно 0,3; 0,5 и 0,7.
На этом графике k0R = 60; d = d0; 2ft = 120°. Сплошные и штрихо-
штриховые линии соответствуют тем же распределениям, что и на предыдущем
рисунке.
Рассмотрим, как сказывается падение коэффициента концентрации
с ростом d/к на характеристике направленности антенны в плоскости
направляющей.
На рис. 93 показаны характеристики направленности при kR = 25
и 2ft = 120° (d0 = d). С ростом d/X основной максимум остается прак-
практически^ без изменений, первые доба-
добавочные даже снижаются, но вырастает
широкий лепесток (ореол) в районе
80— 140°, который и является причи-
причиной уменьшения отношения К1Кп.п-
При распределении ag = cos 8g (штри-
(штриховые линии) и добавочные макси-
максимумы и ореол имеют несколько мень-
меньшую величину, чем при равномерном
распределении (сплошные линии).
Объяснить наличие ореола можно
следующим образом. Мысленно за-
заменим участки на краях рабочего
сектора антенны (примерно от 30°
до 60 с каждой стороны сектора)
эквидистантными решетками, каса-
касательными к середине рассматривае-
рассматриваемых участков. Эти решетки компен-
компенсированы в направлении оси симметрии сектора if> = 0 и поэтому
при d/к » 0,5 и более их характеристики направленности имеют
частично или целиком добавочный максимум равный основному. При
небольшом числе элементов на антенне часть этого максимума появ-
появляется еще и при d/K < 0,5, нос ростом d/K он увеличивается, прибли-
приближаясь к единице и передвигаясь от направления, совпадающего с
с осью решетки (т. е. в нашем случае от направления ср ^ 135°) в сто-
сторону меньших ср. Поскольку на самом деле в этом секторе элементы
расположены не на прямой, а на дуге, присутствует направленность
элемента, да и число элементов на рассматриваемом участке меньше
общего числа элементов на антенне, ореол не достигает величины, рав-
равной единице. Однако он достаточно широк и поэтому существенно
снижает отношение К1Кп. п-
Заметим, что аналогичный ореол наблюдается и в случае прозрач-
прозрачной компенсированной дуги, на которой расположены ненаправлен-
ненаправленные элементы (см. рис. 56). Больше того, и вид характеристик направ-
направленности рассматриваемых антенн в области углов примерно до 120°
почти одинаков. Это обстоятельство свидетельствует о том, что вид
227
У
\]
\
\\
ч*
AS
N
Д7
ч.
\.
Ц
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
L
Л 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,8 1,9
Рис. 92. Зависимость К/Кп.п
flf0 при k0R = 60, d = d0.

*(s)
0,2
0,1
n
г
i
Ж
f
——
о to w
716 ПО № у'
\
ш
Ш
\л
мл
f-'
Щ
ВО ЙВ IBB ПО Ш ПВ
1
h
1 | vfv
1
Ji
г/
/л
¦ tn
¦ у
\
1M tp'
Рис. 93. Характеристики направленности компенсирован-
компенсированного цилиндра.
228

1,0
i
7
характеристики направленности элемента меньше влияет на характе-
характеристику направленности антенны в переднем полупространстве, чем,
например, расстояние между элементами или величина kR.
Из приведенного объяснения и результатов некоторых расчетов
следует, что замедленный рост коэффициента концентрации при уве-
увеличении dlh (d = d0) вызывается в первую очередь ростом относитель-
относительного расстояния между центрами элементов (d/X) и в значительно мень-
меньшей степени — обострением характеристики направленности элемента,
обусловленным увеличением do/k. В некоторых случаях при изменении
do/K от 0,25 до 0,75 наблюдается даже небольшое возрастание К/Кп. „.
Мы не будем подробно рассматривать слу-
случай компенсации цилиндрической антенны
в направлении, отличном от Э = я/2, и только
коротко остановимся на некоторых качест-
качественных результатах. При расстояниях между
элементами антенны вдоль образующей (dz),
меньших 0,5 К, ее дискретность не имеет су-
существенного значения и с отклонением на-
направления компенсации ог плоскости Э = я/2
на угол р коэффициент концентрации при
сравнительно больших kR уменьшается по
закону cos р вплоть до углов р = 60 -ь 70°.
Сложнее обстоит дело при dji > 0,5 и, на-
например, равном 1; 1,5. В этом случае появ-
появляются единичные добавочные максимумы
характеристики направленности образующей,
существенно ухудшающие характеристику
направленности всей антенны и уменьшающие ее коэффициент кон-
концентрации. При большом расстоянии между центрами элементов dz
и сравнительно острой характеристике направленности R (р) эле-
элемента в плоскости образующей можно приближенно считать, что от-
отдельные параллельные пояса антенны независимы между собой и -с
увеличением угла компенсации р коэффициент концентрации падает
пропорционально R* (|3).
Точный расчет коэффициента концентрации цилиндрической ан-
антенны при компенсации ее в плоскости образующей весьма сложен,
поэтому для инженерных оценок целесообрзно пользоваться прибли-
приближенной формулой C.59), выведенной для антенны, являющейся
частью бесконечной периодической излучающей структуры.
Если на поверхности цилиндра элементы в виде прямоугольников
располагаются вплотную без зазоров, а амплитудно-фазовое распре-
распределение отсутствует, то в плоскости направляющей характеристика
направленности имеет вид R (ср) = 1. Если же между элементами есть
зазоры, то характеристика направленности искажается, на ней по-
появляются провалы и подъемы. Рассмотрим некоторые результаты рас-
расчетов таких характеристик направленности, произведенные в соот-
соответствии с формулами F.42) и F.43) при kR = 10; 25 и 50. Пусть /
обозначает расстояние между центрами соседних полос вдоль окруж-
окружности основания цилиндра, ad — ширину полосы.
О 10 20 ф°
Рис. 94. Участок ха-
характеристики направлен-
направленности при kR = 10;
III = 0,8.
229

При /Л = 0,6 даже при сравнительно больших зазорах (d/l = 0,6)
при kR — 25 и kR = 50 неравномерность характеристики направ-
направленности не проявляется; при kR = 10 она-составляет —2%. При
ЦК = 0,8 неравномерность существенно возрастает и для kR — 10 и
d/l = 0,6 провалы достигают 40% (рис. 94); при kR = 25 она меньше
з,в
2,0
в,
/
d
К
у
/
А
--о,
S
i
\
\
го jo<f о
8 11 <р° О
Рис. 95. Участки характеристики направленности некомпенсированного
цилиндра при 1/\ = 1:
a — kH = 10, б —kR=25, e — kR= 50
и составляет 3, 6 и 11% соответственно для d/l = 0,9, 0,8; 0,6. Таким
образом, неравномерность характеристики направленности увеличи-
увеличивается с ростом /А и уменьшается с ростом kR и d/l. На рис. 95
представлены участки характеристики направленности, соответствую-
соответствующие одному периоду расположения полос на цилиндре (и соответственно
одному периоду неравномерности R (ф)) в случае 1/к= 1. Видно, что при
таком расстоянии между центрами соседних полос даже небольшой за-
зазор, составляющий 10% от /, приводит к существенной неравномерно-
неравномерности. Интересно отметить, что напротив центра элемента (ср = 0) может
быть как провал, так и подъем величины R (ф). На графиках рис. 94
и 95 функции R (ф) нормированы в направлении ф = 0.
ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ТИПЫ АНТЕНН
§ 21. Фокусирующие и рупорные антенны
Электромагнитные и акустические поля описываются дифферен-
дифференциальным уравнением одного и того же вида, так называемым волно-
волновым уравнением. Это обстоятельство приводит к некоторым аналогиям
между электромагнитными и акустическими явлениями и позволяет,
в частности, распространять принципы построения электромагнитных
приборов на акустические, и наоборот.
230

В акустике известен ряд антенн, принцип формирования характе-
характеристик направленности которых аналогичен соответствующим прин-
принципам оптических приборов. К таким антеннам в первую очередь от-
относятся фокусирующие — линзовые и рефлекторные антенны. Исто-
История создания таких антенн, а также некоторые основные физические
явления, связанные с их использованием, описаны в монографии
[31 ]. Одна из первых работ, посвященных теории рефлекторных ан-
антенн, принадлежит Л. Я. Гутину [12].
Мы рассмотрим только наиболее характерный случай использова-
использования фокусирующих антенн, а именно — рефлекторную антенну с от-
отражателем в виде параболоида вращения.
Рефлекторная антенна с параболическим
отражателем. Пусть в фокусе параболоида
вращения с углом раскрыва а0 помещен
облучатель (рис. 96), характеристика на-
направленности которого R (а) развернута
в направлении на вершину параболоида.
По аналогии с электромагнитными антен-
антеннами акустические и гидроакустические
фокусирующие антенны могут быть рассчи-
рассчитаны с помощью поверхностного или апер-
турного методов.
Сущность этих методов сводится к тому,
что вначале определяется поле либо на
поверхности фокусирующей антенны, либо
в ее апертуре (раскрыве), а потом уже
вычисляется поле, создаваемое антенной.
И первая и вторая из указанных предвари-
предварительных операций являются приближен-
приближенными, и погрешность их тем меньше, чем
больше относительные размеры антенн.
Найдем поле, создаваемое облучателем в раскрыве параболиче-
параболического зеркала. Если р0 — давление, развиваемое облучателем вдоль
оси на расстоянии F в свободном пространстве, то давление на неко-
некотором другом расстоянии г равно
Рис. 96. Геометрия парабо-
параболического отражателя
ik (r-F)
Я (а).
G.1)
Различные лучи, исходящие из облучателя под разными углами,
до попадания их на рефлектор проходят различные расстояния, поэ-
поэтому давление в разных точках рефлектора будет различным. Отра-
Отражаясь от рефлектора в соответствии с законами геометрической аку-
акустики, лучи идут параллельно оси симметрии параболоида вращения
и образуют в раскрыве плоский фронт; при этом амплитуда давления
вдоль луча остается постоянной. Поэтому модуль распределения
давления в раскрыве рефлектора имеет следующий вид
231

где в соответствии с уравнением параболы в полярной системе коор-
динат / = (F — фокусное расстояние).
1 + cos a ^
Подставив в эту формулу величину а, выраженную через у, можно
получить распределение давления в раскрыве как функцию у. Однако
для практических расчетов удобнее пользоваться переменной ос, чем у.
Зная распределение давления в раскрыве рефлектора и предпола-
предполагая, что в плоскости раскрыва во внешней по отношению к параболоиду
области давление равно нулю, можно найти поле вдали от антенны
с помощью формулы Гюйгенса B.38)
2л а
=-^ j Jp(p, l>)-^-pdpdl>, G.2)
о
о о
где р (р, i(>) — распределение давления в раскрыве параболоида, а
г' — расстояние от произвольной точки на поверхности раскрыва до
точки наблюдения.
Направим вдоль оси параболоида ось z, а положение точки наблю-
наблюдения в пространстве определим углом 0, отсчитываемым от оси z.
Тогда, производя преобразования, аналогичные проделанным при
определении характеристики направленности круглого поршня, и
пренебрегая затенением, вносимым облучателем, получим
р (9)=— tfeP<>cos9 eikr]{\ +cosa) R (a) Jo (fePsin6) pdp.
2r о
9 P
Как видно из рис. 96, р = /sina, но / = , поэтому
1 + cos a
Таким образом, справедливо равенство
Дальнейший расчет зависит от вида функции R (а). Однако и при
задании R (а) простейшим образом характеристику направленности
рефлекторной антенны R (Э) не удается выразить через табулирован-
табулированные функции. Для инженерных прикидок можно вычислить распреде-
распределение в раскрыве рефлектора, а затем аппроксимировать его одной из
известных в литературе функций, для которых в замкнутом виде вы-
вычисляется характеристика направленности круглого поршня.
232

Амплитудное распределение по радиусу раскрыва рефлектора
обычно монотонно падает к его краю, поэтому характеристики направ-
направленности рефлекторных антенн несколько шире, чем равновеликого
плоского поршня, а добавочные максимумы меньше. Ясно, что чем
больше угол раскрыва рефлектора и чем острее характеристика на-
направленности облучателя (если только она облучает рефлектор основ-
основным максимумом), тем резче распределение в раскрыве и тем меньше
добавочные максимумы антенны.
Определим коэффициент усиления рефлекторной антенны как мо-
модуль отношения давлений, развиваемых на расстоянии г в направле-
направлении 0 = 0 ею и ее облучателем (в предположении, что он развернут
на 180°). Из формул G.3) и G.1) имеем [31]
da. G.4)
Мощность, излучаемую рефлекторной антенной, в предположении,
что она равна мощности, излучаемой облучателем, определим, под-
подставляя выражение G.1) в формулу A-27)
V. = ^ ?*•(«) sin «fa.
Зная же излучаемую мощность и давление, легко найти коэффи-
коэффициент концентрации
Г «-о
G.5)
[ R2 (a) sin ada
о
Принимая во внимание, что интеграл в знаменателе этого выраже-
выражения равен двум, поделенным на коэффициент концентрации облуча-
облучателя /Со. получим
K = K0Kl G-6)
откуда следует вывод, что коэффициент усиления антенны по давле-
давлению равен корню квадратному из отношения ее коэффициента кон-
концентрации к коэффициенту концентрации облучателя.
На графике рис. 97 показана зависимость коэффициента концен-
концентрации рефлекторной антенны, отнесенного к коэффициенту концен-
концентрации равновеликого плоского поршня (Кп. п = fe2a2), от угла рас-
раскрыва параболического отражателя для случаев, когда характери-
характеристика направленности облучателя аппроксимируется единицей или
при а<— функцией cossa и при а > — нулем (s = 0,5; 1; 2).
Обращает на себя внимание наличие экстремума коэффициента
концентрации, положение которого зависит от характеристики на-
233

правленности облучателя. Объясняется этб тем, что при малых углах
раскрыва параболоида значительная доля излучаемой облучателем
мощности уходит за пределы раскрыва, а той больших в раскрыве
появляется резкая неравномерность поля. Естественно, что чем ме-
менее направлен облучатель, тем при больших значениях а0 еще не бу-
будет происходить падения коэффициента концентрации, вызванного
этой неравномерностью, и тем при больших а0 будет наблюдаться мак-
максимум отношения К/Кп. it-
Интересно отметить, что максимальная величина коэффициента
концентрации рефлекторной антенны с параболическим отражателем
наблюдается при уровне поля
„iM на краю раскрыва, составляю-
„ щим примерно 0,3 от его уровня
в центре раскрыва.
Если облучатель вынести из
фокуса параболического рефлек-
рефлектора, то фазовый фронт в рас-
раскрыве деформируется; он, во-
первых, наклонится на некото-
некоторый угол, а во-вторых, пере-
перестанет быть плоским. Вследствие
этого характеристика направ-
направленности рефлекторной антенны
повернется на некоторый угол
в пространстве и несколько ис-
исказится. Заплывут ее нули и
увеличится уровень добавочных
максимумов. Таким образом
можно осуществить обзор про-
0,8
0,6
0,1
А
h
1/
7л
У
4
V
ч
&
\
-0,5
,1,0
^,0
О 2В 40 SO 60 100 ПО а°0
Рис. 97. Зависимость отношения К/Кп п
ота0 при R(a)= 1 (штриховая линия) и
coss а при | а | < —
«(<*) =
9 при | а
ные линии).
>т
(сплош-
странства с помощью рефлек-
рефлекторной антенны с параболиче-
параболическим отражателем.
могут использоваться отражатели и не-
Кроме параболического
которых других конфигураций ([8], [14] и др.).
Рупорные антенны. Излучающие и приемные устройства, снаб-
снабженные рупором, широко применяются в различных областях тех-
техники и, в частности, в электроакустике.
Основным достоинством рупорных антенн является обеспечение
ими формирования практически частотно-независимой характеристики
направленности в широком диапазоне частот.
Строгого и общего решения задачи об излучении рупорных антенн
в настоящее время не существует, однако накоплен значительный
объем приближенных методов расчета и экспериментальных данных,
позволяющий проводить разработку и проектирование таких антенн.
Основные теоретические и экспериментальные исследования в об-
области рупорных антенн для электроакустических устройств выполнены
в сороковых годах и изложены в работах [11 ], [44], [45] и др. Одна
из первых работ по рупорным гидроакустическим антеннам опублико-
опубликована в 1954 г. [60].
234

Следует заметить, что в отличие от рефлекторных антенн, для ко-
которых в предположении, что в точку наблюдения поступает только
отраженная рефлектором волна, несущественно, является ли отража-
отражатель акустически мягким или акустически жестким, для рупорных
антенн акустические параметры стенок рупора играют существенную
роль. Если стенки рупора можно считать жесткими, то расчет гидро-
гидроакустической рупорной антенны не отличается от расчета аналогичной
антенны в электроакустике [17]. В этом случае постоянство направ-
направленности рупорной антенны в полосе частот объясняется тем, что с по-,
вышением частоты усиливается ослабление поля в сечении рупора
к его краям, вследствие чего эффективный источник как бы умень-
уменьшается в размерах и уходит в глубь рупора [45].
При наличии мягких стенок рупора на поверхности волнового
фронта в его выходном отверстии наблюдается спадающее на краях
до нуля амплитудное распределение, что
также, как и в случае некомпенсированных
криволинейных поверхностей, приводит
к формированию мало изменяющейся
с частотой характеристики направленности.
В качестве примера рассмотрим излу-
излучение линейного источника радиуса с,
помещенного в вершине рупора, образован-
образованного двумя абсолютно мягкими полуплос-
полуплоскостями (рис. 98).
Реальные конструкции рупорных антенн
имеют стенки рупора конечной длины, од-
однако в случае мягких стенок, имеющих
длину, большую A,5 — 2) X, дополнение их до бесконечности несу-
несущественно изменяет поле излучения.
Поле внутри рупора может быть представлено в виде суперпозиции
нормальных волн для задачи об излучении в цилиндрической системе
координат, выбранных так, чтобы обеспечивалось выполнение усло-
условия р = 0 на стенках рупора [47]
Рис. 98. Рупорная антенна.
р (г, ф) -
2
m=0
НТт+
2 j a ¦
C0S
m + Т") ¦?"
GJ)
Неизвестные коэффициенты Ат должны быть определены из условия
равенства нормальных составляющих колебательной скорости при
г = а со стороны излучателя и поля. •
Колебательная скорость в поле определится выражением
kpc
dp (г, Ф)
дг
ipc
A
л
m=0
I 1 \ я
235

Колебательную скорость на поверхности цилиндрического излу-
излучателя можно представить в виде разложения либо по функциям
cos тц>, либо по функциям cos (т -) ) — jpl . Разложение по функ-
функциям cos mcp удобнее в том случае, когда предполагается, что задан-
заданными являются электромеханические силы, действующие на цилин-
цилиндрический излучатель на различных модах колебаний цилиндра,
имеющих вид cos mcp. Если же считать, что задана колебательная ско-
скорость на участке цилиндра внутри сектора 2а, то удобнее пользоваться
разложением по второй из указанных систем функций.
В последнем случае, представляя колебательную скорость на по-
поверхности цилиндра рядом
G.8)
где
a
Bm == — i w,, (ф) cos
—a
имеем
G.10)
^Ц ?m+±\JL
р{г, 1>-&\)Вт I 2)a cos[(m+-i-Ucpl. G.11)
Как известно (см., например, приложение X в [28]), при малых
аргументах производные от функций Ханкеля чрезвычайно резко воз-
растают с ростом их порядка. Поэтому при малом ka при практически
произвольном виде функции wu (ф), в сумме последнего выражения
определяющую роль будет играть только одно слагаемое при т = 0.
Характеристика направленности будет иметь вид i?(cp) = cos-^- ,
а коэффициент концентрации в соответствии с формулой C.58) равен
ьг 2Я 2я
1
где Я — высота рупорной антенны, предполагаемая равной высоте
излучателя. Поскольку формула C.58) справедлива при Я > X, фор-
формула G.12) может применяться при выполнении этого неравенства.
При размере а излучателя рупорной антенны, сравнимом с дли-
длиной волны, в выражении G.11) следует удержать несколько членов и
236

характеристика направленности R (ф) не будет иметь вид cos — . Прак-
Практически можно считать, что вид характеристики направленности ру-
рупорной антенны с ростом частоты не меняется до тех пор, пока направ-
направленность излучателя (плоского или участка цилиндрической поверх-
поверхности) меньше направленности, определяемой раскрывом рупора
(т. е. имеющей место на низких частотах).
§ 22. Объемные антенны
Объемными обычно называют антенны, элементы которых распре-
распределены в некотором объеме и имеют малые волновые размеры, так что
не происходит затенения одних элементов другими. К объемным ан-
антеннам примыкают и звукопрозрачные поверхностные антенны, рас-
расположенные вблизи экранов, поскольку при этом за экраном появ-
появляется совокупность мнимых источников, образующая вместе с реаль-
реальными распределение источников в некотором объеме.
Антенна, состоящая из параллельных излучающих плоскостей.
Вычислим взаимное активное сопротивление излучения двух плоских
прозрачных антенн. Пусть две прозрачные непрерывные плоские ан-
антенны лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми
равно h.
Тогда давление, развиваемое одной из антенн в дальнем поле,
можно записать следующим образом:
р (и) =_ite?e* ?>(«), G.13)
где s — площадь антенны, a D (и) ее комплексная характеристика
направленности.
Давление, развиваемое второй антенной в предположении, что ее
размеры такие же, как и первой, записанное относительно общего
для двух антенн начала координат, отличается только сомножителем
el*hcos9, где 8 — угол, отсчитываемый от перпендикуляра к пло-
плоскости антенны. В соответствии с формулой A.30) активное взаимное
сопротивление излучения антенн имеет вид
r11 = ^^-f/?«(«)cos(ftAcose)dQ, G.14)
где R (и) — амплитудная характеристика направленности одной из
антенн.
Для упрощения дальнейшего анализа предположим, что размеры
антенн значительно превосходят длину волны и функция R* (и) ме-
меняется вблизи своего максимального значения более резко, чем функ-
функция cos (khcosQ). Тогда более плавно меняющуюся функцию можно
вынести из-под знака интеграла в точке экстремума функции R* (и),
т. е. в точке, соответствующей направлению компенсации каждой ич
антенн 0О. При этом выражение G.14) приобретает вид
гг. % *= -^~ cos{khcos 60) j R* (и) du.
237

Нетрудно убедиться, что правая часть полученной формулы без со-
сомножителя cos (khcosQ0) представляет собой собственное активное со-
сопротивление излучения одной из антенны rs, поэтому справедливо
соотношение ^
гь 2 = rscos (kh cos 0O), G.15)
которое с помощью приближенной формулы E.6) в случае равномер-
равномерного амплитудного распределения вдоль плоской антенны может быть
записано так
cos^cos9) ^ GЛб)
cos 90
Заметим, что это же выражение более сложным путем можно было
бы получить и с помощью метода стационарной фазы, не прибегая
к выносу из-под знака интеграла функции cos (khcosQ0).
Рассмотрим случай, когда плоская прозрачная некомпенсирован-
некомпенсированная антенна расположена параллельно плоскому абсолютно жесткому
или абсолютно мягкому экрану на расстоянии Н. Если экран жесткий,
то его воздействие на поле в переднем полупространстве эквивалентно
помещению второй плоской антенны, отнесенной от первой на расстоя-
расстояние h = 2Я, и колеблющейся синфазно с ней. При этом давление в пе-
переднем полупространстве запишется следующим образом:
р (И) = _ itei ешо (tt)cos (*? cos ej , G.17)
где последний сомножитель представляет собой характеристику на-
направленности двух точечных излучателей.
Активное сопротивление излучения такой антенны равно сумме
собственного сопротивления излучения плоскости и вносимого сопро-
сопротивления излучения, создаваемого отражением плоскости в экране,
т. е.
rs=2pcs(l+cosM), G,18)
поэтому в соответствии с выражением A.38) имеем
kh
cos2
K=*!L . - 2 =i». G.19)
Я,2 1+cosfeft Я.2
Таким образом, и давление, создаваемое антенной в направлении
0 = 0, и ее активное сопротивление излучения зависят от расстоя-
расстояния до экрана Н = h/2, а коэффициент концентрации от Н не зависит.
Совершенно аналогично для случая мягкого экрана в выражении
G.17) вместо cos/ — cos 0) будет стоять сомножитель, определяющий
характеристику направленности двух противофазно возбужденных
ненаправленных элементов, т. е. sin(—cos 0), а в выражении G.18)
вместо знака плюс будет стоять знак минус, в результате и в этом слу- •
чае коэффициент концентрации не будет зависеть от Я.
238

Полученные выводы легко понять, если анализировать йелйчину
коэффициента концентрации с помощью его выражения через интеграл
от квадрата характеристики направленности антенны. Действительно,
наличие жесткого или мягкого экранов приводит (кроме исключения
излучения в тыльное полупространство, что удваивает коэффициент
концентрации) к появлению в характеристике направленности сомно-
сомножителя cos( — cos 9) или sin[—cos 6). Эти сомножители при боль-
больших размерах антенны, а следовательно, при узких ее характеристи-
характеристиках направленности несущественно изменяют R2 (и) и соответственно
мало влияют на величину коэффициента концентрации. Поэтому-то
коэффициент концентрации антенны и не зависит от Я. При малых же
волновых размерах антенны величина Я должна существенно влиять
на коэффициент концентрации и в предельном случае точечного излу-
излучателя, находящегося вблизи жесткого и мягкого экранов, легко по-
получить соответствующие выражения
cos»-^.
и /С =
, sin kh , sin kh
¦ + ¦
kh kh
Рассмотрим теперь объемную антенну, состоящую из п одинаковых
плоских параллельных непрерывных антенн. Будем предполагать,
что амплитудное распределение равномерно, а фазовое обеспечивает
компенсацию как каждой из плоскостей, так и всей антенны в направ-
направлении 0О. Давление, развиваемое такой антенной в направлении и0,
может быть записано в соответствии с формулой G.13) следующим об-
образом:
где п — число плоскостей.
Активное сопротивление излучения антенны определится суммой
вносимых
п. п. п п
ikh cos % COS (khgg COS 90) _
9=1 g—l q=\
n n
' [kilng COS Wq) /rr ОП\
> v •?y})
cos90
где hqg — расстояние между плоскостями, имеющими номера q н g.
Формула, определяющая коэффициент концентрации антенны,
принимает вид
у__ 2ns
239

В случае 60 = 0, т. е. компенсаций антенны в направлении перпен-
дикуляра к плоскостям, ^имеем
9=1 g=l
Если расстояния между соседними плоскостями одинаковы и равны h,
то, воспользовавшись тождествами
-^ 2 2cos2M(^-g) = ^- + -V 2 ic
л 9=1 g=l 2 2n2 9=i g=i
1 , 1
+
2 2n2
--* Ikhq
2
9=1
2 2 \ nsinfeft
G.22)
получим '
ff = — • - . G.23)
/sinnkh \2 '
nsinkh
Отношение в знаменателе полученного выражения, как и следо-
следовало ожидать, представляет собой величину R характеристики направ-
направленности антенны, состоящей из ненаправленных элементов, распо-
расположенных в центрах плоскостей, причем антенна компенсирована
в направлении 0 = 0, а величина R взята в направлении 0 = я. По-
Поскольку величина R2 (я) при любых kh заключена в пределах от О
до 1, коэффициент концентрации объемной антенны заключен в пре-
пределах от 2nsAz до 4ns/№.
¦ Это обстоятельство иллюстрируется рис. 99, на котором изобра-
ту-
жена зависимость отношения —— от h/K при п = 2; 3 и 4.
2jxsA2 y
Таким образом, коэффициент концентрации объемной антенны,
состоящей из параллельных протяженных плоских элементов, не мо-
может быть выше коэффициента концентрации равновеликого плоского
поршня в экране или, другими словами, развитие объемной антенны
большого поперечного сечения в глубину не приводит к увеличению
коэффициента концентрации по сравнению с равновеликим экрани-
экранированным плоским поршнем.
Мы рассматривали дискретный набор параллельных плоских про-
протяженных элементов, образующих антенну; нетрудно перейти к не-
непрерывному (точнее — весьма частому) расположению плоскостей.
В этом случае совершенно аналогично можно получить формулу
„ _ 2jxs fP4Я1
Из этого выражения видно, что и в случае непрерывной объемной
антенны при большом относительном размере ее сечения, перпендику-
перпендикулярного направлению компенсации, увеличение глубины антенны Я
не приводит к существенному увеличению коэффициента концен-
концентрации.
240

Этот вывод на первый взгляд не является очевидным. Действи-
Действительно, переходя от ненаправленной антенны к продольно компенси-
компенсированной линии, мы получаем выигрыш в коэффициенте концентра-
концентрации, пропорциональный длине линии, т. е. пропорциональный глу-
глубине антенны. При переходе же от плоскости к объему выигрыш не
превосходит двух раз.
Объяснение этого явления заключается в следующем. Взаимное
сопротивление излучения (или пространственно-временная корреля-
корреляция помех) для двух точек, лежащих на продольно компенсированной
линии на расстоянии z, описывается функцией coskz- ^^L ) имеющей
кг
затухающий характер. Поэтому линия может приближенно представ-
представляться набором независимых (по
взаимному сопротивлению излу-
чения или по помехам) участков,
а чем больше таких участков,
тем больше величина коэффици-
коэффициента концентрации. В случае же
продольно компенсированной
плоскости, состоящей из парал-
параллельных отрезков, функция кор-
корреляции имеет видсоэ&г-Уо (kz);
эта функция затухает медленнее,
чем предыдущая, и рост коэффи-
коэффициента концентрации продольно
компенсированной плоскости
при увеличении ее размера вдоль
направления компенсации дол-
должен происходить более мед-
медленно, чем в предыдущем случае.
И, наконец, для объемной ан-
антенны функция корреляции по-
помех на отдельных составляющих
1,0
0,5 А/А
Рис. 99. Зависимость отношения
- — от Л/Я ~ для различного числа
плоскостей объемной решетки п (Л —
расстояние между плоскостями).
ее плоскостях имеет вид cosa?z, т. е. вообще не затухает с ростом z По-
Поэтому-то существенно и не растет коэффициент концентрации объемной
антенны при увеличении ее продольного размера.
Все приведенные выше рассуждения относительно коэффициента
концентрации объемной антенны основывались на формуле G.15)
при выводе которой предполагалось, что поперечные размеры антенны
значительно больше длины волны.
Для определения влияния относительной величины поперечного
сечения антенны на величину ее коэффициента концентрации рассмот-
рассмотрим гипотетическую непрерывную объемную антенну, заключенную
внутри отрезка кругового цилиндра высотой Я и диаметра D компен-
компенсированную вдоль оси цилиндра.
Непрерывная объемная антенна, заключенная внутри отрезка кру-
кругового цилиндра. Характеристика направленности такой антенны,
в соответствии с теоремой умножения, определится произведением
характеристик направленности круглого прозрачного поршня и про-
М. Д. Смарышев
241

дольно компенсированного отрезка длиной И, т. е.
Я F) =
2J1(kasin&)
feasinG
sin \~{\ — cos9)
L z
fctf
G.24)
A —cos 9)
На рис. 100 приведены результаты расчетов коэффициента концен-
концентрации антенны [38], вычисленного путем интегрирования квадрата
характеристики направленности. На оси ординат отложено отношение
величины коэффициента концентрации объемной антенны и коэффи-
коэффициента концентрации равновеликого по поперечному сечению пло-
v/u ского поршня, заключенного
в жесткий экран. Из графика
видно, что при больших отно-
относительных размерах поперечного
сечения антенны даже десяти-
десятикратное превышение длины ан-
антенны относительно ее диаметра
не приводит к существенному
увеличению коэффициента кон-
концентрации по сравнению с коэф-
X
0
¦.
ш "
_z
HjV
Рис. 100. Зависимость отношения
WCn.i Для объемной непрерывной ан-
антенны от HID при различных D/K.
фициентом концентрации плос-
плоского поршня в экране. При
малом же D/K с ростом HID
наблюдается заметный рост эф-
эффективности объемной антенны
10 величина К/К„.„ примерно
и, например, для D/K = 0,5 и HID
равна 9.
Такая зависимость величины К1Кп. п от HID свидетельствует о
том, что только в случае протяженных параллельных плоскостей
функция пространственно-временной корреляции осциллирует не
затухая. Для параллельных плоскостей, имеющих размеры, сравни-
сравнимые с длиной волны, эта функция, очевидно, затухает, и тем быстрее,
чем меньше D/K.
Поведение кривых на рис. 100 можно объяснить и иначе, а именно—¦
рассматривая изменение ширины характеристики направленности
антенны при изменении D/K и Н/К. Дело в том, что ширина характе-
характеристики направленности продольно компенсированного отрезка мед-
ленно I пропорционально 1 / — уменьшается с ростом Н/К, в то
время как ширина характеристики направленности поршня обратно
пропорциональна отношению D/K. Поэтому, если поперечное сечение
объемной антенны велико, то для обострения характеристики направ-
направленности, создаваемой им, относительные размеры продольно компен-
компенсированного отрезка должны быть весьма велики.
Из сказанного ясно, что объемные антенны следует использовать
в случаях, когда либо поперечный относительный размер антенны s/A,2
мал, а требуется увеличить коэффициент концентрации по сравнению
242

с —, либо поперечный размер велик, нб нет возможности постановки
экрана. В последнем случае, располагая две, три или более прозрач-
прозрачных плоских антенн, можно получить величину коэффициента кон-
концентрации, близкую к -^. Число плоскостей, образующих объемную
антенну, должно быть тем больше, чем шире диапазон рабочих частот
(см. рис. 99).
ГЛАВА 8
ПАРАМЕТРЫ АНТЕНН ПРИ НАЛИЧИИ
СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ВОЗБУЖДЕНИЯ
§ 23. Влияние случайных ошибок на характеристику
направленности антенны
Экспериментальные характеристики направленности антенн всегда
отличаются от определенных теоретически, и не только из-за неполного
соответствия расчетной модели реальной антенне и ошибок измерений,
но и в связи с неизбежным наличием различных случайных разбросов
и ошибок. Наиболее существенными из них являются разбросы чувст-
чувствительности (по амплитуде и фазе) отдельных элементов антенны,
ошибки воспроизведения требуемого амплитудно-фазового возбужде-
возбуждения (вызванные разбросом параметров элементов устройств, прини-
принимающих участие в формировании направленности антенны) и ошибки
установки преобразователей на поверхности антенны. Случайные
ошибки могут быть независимыми и зависимыми, коррелированными.
Часто зависимости ошибок между собой могут быть весьма сложными,
особенно если принять во внимание наличие элементов согласования
преобразователя с электрическими устройствами и возможные раз-
разбросы параметров этих элементов. Кроме того, одни ошибки (напри-
(например, ошибки установки и ориентации преобразователей) зависят от
положения точки наблюдения, а другие (например, ошибки воспроиз-
воспроизведения требуемого распределения) не зависят от него.
Ясно, что попытка строгого решения задачи о влиянии ошибок на
направленные свойства антенны может привести к чрезвычайно слож-
сложным расчетам и практически мало полезным результатам, поскольку
величины отдельных ошибок редко известны точно.
Особого внимания заслуживают ошибки систематические; они мо-
могут накапливаться от элемента к элементу и в результате привести
к заметному искажению характеристики направленности. Обычно,
однако, сравнительно легко, с одной стороны, оценить влияние этих
ошибок и определить допустимую их величину, а с другой стороны,
при разработке антенны и цепей формирования принять меры к их
ограничению.
Мы будем рассматривать только случайные ошибки и, кроме того,
будем считать, что все они не зависят от направления на точку наблю-
наблюдения, т. е. сводятся к ошибкам возбуждения элементов антенны.
243

За последние 10—15 лет предложено немало методов оценки иска-
искажений тех или иных параметров антенн при наличии различных оши-
ошибок. Одними из первых серьезных работ в"§том направлении являются
работы [70], [56], [61], [69], в более позднее время интересные ре-
результаты получены Л. Г. Содиным [43] и Я- С. Шифриным [51].
Недостатком большинства предложенных методов является то,
что разработаны они применительно к частным видам антенн при не-
некоторых предположениях относительно законов распределения оши-
'бок и расположения элементов или их возбуждения. Кроме того, во
многих работах за исходные приняты такие параметры ошибок, ко-
которые трудно поддаются непосредственному измерению и сложно свя-
связаны с величинами технологических допусков.
Практически (особенно при анализе многоэлементных антенн при
сравнительно небольших ошибках) представляется целесообразным
использование простых приближенных методов, позволяющих доста-
достаточно быстро производить инженерные оценки и имеющих наглядный
физический смысл.
Рассмотрим один из таких методов, являющийся, по существу, не-
некоторым упрощением метода Рузе [70].
Для облегчения анализа под характеристикой направленности ан-
антенны в присутствии случайных ошибок возбуждения ROU1 (и) мы бу-
будем понимать модуль отношения давления, развиваемого антенной
в направлении и при наличии случайных ошибок, к модулю давления
в направлении и0 в отсутствии ошибок. Таким образом, для дискретной
антенны можно записать
Яош(«)=-
7=1
(8.1)
где Адош — коэффициент возбуждения элемента при наличии случай-
случайных ошибок; p'q (и) — давление, развиваемое элементом при единич-
единичной колебательной скорости, записанное относительно точки, опреде-
определяемой вектором рд.
Значение комплексной характеристики направленности в- некото-
некотором направлении и при наличии ошибок возбуждения можно предста-
представить как сумму двух векторов: вектора, представляющего собой ха-
характеристику направленности в отсутствии ошибок R (и) и некоторого
вектора AR (и). Этот вектор можно разложить на две составляющих,
одна из которых X параллельна вектору R (и), а другая, Y, перпен-
перпендикулярна ему. Тогда характеристику направленности Rom (и) можно
определить выражением
(8.2]
Составляющие вектора AjR («), X н Y, зависят от ошибок возбужде-
возбуждения каждого из элементов антенны; поэтому их можно вычислить как*
244

сумму величин xq и у. по всем элементам. При этом
R(u)
п
v
<7=1
Г "
U=i
Поскольку X и Y определяются суммой случайных величин, будем
считать, что они распределены по кормальньму закону со стандартом
о и независимы друг от друга. Строго говоря, это утверждение нуж-
нуждается в доказательстве и в ряде случаев доказывается строго; мы уже
будем предполагать, что приближенно оно справедливо и в общем
случае.
Как известно (см., например, [52]), величина Roul(u), определяе-
определяемая выражением (8.2) при указанных сюйствах X и Y, распределена
по обобщенному закону Релея, имеющему вид
W (R ) —
а2
2о3
где /0 (а) = JQ (ia) — модифицированная функция Бесселя, или функ-
функция Бесселя от мнимого аргумента.
Это распределение при ——
а2
О пе-
переходит в распределение Релея, а при
—— -> аэ приближается к нормаль-
нормальному. Между величинами а и R (и) су-
существует следующая связь [24]:
Воспользуемся этим соотношением для определения стандарта
распределения величин X и Y. Вычислим вначале математическое
ожидание квадрата модуля характеристики направленности [т. е.
квадрата выражения (8.1)]
Рис. 101. Разложение вектора
Адош на две составляющие.
м
M[R20U1(u)}=-
2S
q=l g=l
аРа(и)Ре (я)в
2
7=1
л*М*о)е"
(8.4)
Представим коэффициент возбуждения АдОШ суммой двух векто-
векторов Aq + Bq, где Bq — случайный вектор, определяющий ошибку
возбуждения и имеющий нулевое математическое ожидание (рис. 101).
Тогда произведение Aq
g ош
равно AqAg + A Bg
BqAg
+ BqBg и, поскольку математическое ожидание суммы равно сумме
математических ожиданий слагаемых, числитель выражения (8.4)
можно записать в виде четырех слагаемых, каждое из которых пред-
представляет собой двойную сумму от математического ожидания неко-
некоторых выражений. В первом слагаемом нет случайных величин и поэ-
поэтому его математическое ожидание равно его величине, во втором и
245

6 третьем слагаемых есть только один случайный сомножитель С мате-
математическим ожиданием равным нулю, поэтому эти слагаемые равны
нулю. Остается рассмотреть последнее слагаемое, в которое входит
произведение BqBg. Математическое ожидание произведения случай-
случайных независимых величин равно нулю, поэтому
0 при qФ g
\[\Вд\*] = M[b*] при q=*g,
где bq — модуль вектора Bq.
Вместо двойной суммы четвертого слагаемого остается одинарная,
и окончательно имеем
(8.5)
Найдем связь между амплитудными и фазовыми ошибками возбуж-
возбуждения, с одной стороны, и математическим ожиданием модуля вектора
Bq — с другой. Из векторной диаграммы, изображенной на рис. 101
видно, что
+ а ош2аЛошсо5 Ф? ош,
гДе Ф<?ош — фазовая ошибка возбуждения.
Будем рассматривать bq как функцию двух случайных величин
а?ош и Ф?ош и воспользуемся методом линеаризации [42], который
при независимости адош и <рдош приводит к выражению
Вычисляя первые производные от bq по aqam иф,ош в точке, со-
соответствующей их математическим ожиданиям (М [адош] = 0 и
М [ф,ош1 = 0), и раскрывая неопределенности, получим
Будем считать, что стандарт распределения амплитудных ошибок не
одинаков для всех элементов антенны, а пропорционален амплитуде
возбуждения в отсутствии ошибок; тогда a2 (aq0D) — еа?, где е —
некоторое постоянное число, равное стандарту распределения эле-
элемента, имеющего а , равное единице. При этом М [b2q] = a2q [e2 +
-[- а2 (ф?ош)]. Стандарт распределения фазовых ошибок для всех эле-
элементов антенны одинаков, поэтому можно опустить индекс q в аргу-
аргументе а2 (фош) и ввести обозначение Д2 = е2 + а2 (фош). В даль-
дальнейшем будем называть величину Д2 суммарной дисперсией слу-
случайных ошибок возбуждения.
246

Подставляя последние соотношения в формулу (8.5), получим
(8.6)
В этом выражении G (и) — чувствительность антенны к случайным
ошибкам возбуждения, определяемая равенством
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 t,0
Рис. 102. Зависимость •—" ^ от ^и' при некоторых уровнях веро-
о " а
ятностн а.
. (8.7)
Сравнивая между собой выражения (8.3) и (8.6), легко установить,
что
и). (8.8)
247

Таким образом мы определили среднеквадратичное отклонение,
или стандарт о, являющийся одним из параметров обобщенного за-
закона распределения Релея. Зная а, для каждого значения R (и) легко
определить любые его статистические характеристики: математиче-
математическое ожидание, величину Ra (и), т. е. такую величину, относительно
которой можно утверждать с заданной вероятностью а, что она больше
отдельных реализаций Rom (и) и т. д. К сожалению, аналитические
зависимости между этими величинами весьма сложны, и поэтому связь
между параметрами обобщенного распределения Релея обычно уста-
устанавливают с помощью графиков или таблиц. На рис. 102 представлена
зависимость между R (и)/а и Ra (и)/а для некоторых уровней вероят-
вероятности а, построенная на основании таблиц, приведенных в работе
152]. Пунктиром изображена кривая,
соответствующая а = 0,5, т. е. мате-
математическому ожиданию Roai (и). Поль-
Пользуясь этим графиком, по заданному
отношению R (и)/а можно определить
вероятность того, что Rom (и) меньше
наперед заданной величины Ra (и),
или величину Ra (и), которая с ве-
вероятностью а больше Rom (и). График
построен только до значения
R (и)/а = 4. При больших значениях
этого отношения обобщенный закон
Релея практически переходит в нор-
нормальный с математическим ожиданием,
равным расчетной величине харак-
характеристики направленности R (и) и со стандартом о. Поэтому при
R (и)/а > 4 необходимые параметры распределения легко определить
с помощью таблиц нормального распределения.
Процедуру нахождения Ra (и) можно упростить, построив для
некоторых а графики, параметром семейства кривых на которых яв-
является О. |
На рис. 103 и 104 показаны такие графики для а = 0,95 и 0,99,
а на рис. 105 представлены графики для а = 0,5, т. е. для математи-
математического ожидания Rom (и). По этим графикам можно определить ма-
математическое ожидание характеристики направленности при наличии
ошибок и уровень, который с вероятностью 0,95 или 0,99 она не пре-
превосходит. В случае необходимости более точного определения пара-
параметров распределения характеристик направленности можно восполь-
воспользоваться специальными таблицами параметров обобщенного распреде-
распределения Релея.
Во многих практических случаях, особенно в начале разработки
антенны, дисперсии амплитудных и фазовых ошибок бывают неиз-
неизвестны, но представляется возможным задание допусков на разброс
амплитуд и фаз отдельных элементов. В таких ситуациях следует оп-
определить дисперсию, исходя из возможного допуска и задавшись ви-
видом закона распределения ошибок внутри допуска. Естественнее всего
предполагать, что ошибки распределены по нормальному закону, но
248
0,010,01 0,060,118 0,1 0,12 0,П 0,16 0,18И(и)
Рис. 103. Зависимость величины
(и) от R (и) при различных а.

неясно, какова вероятность того, что все ошибки укладываются в за-
заданный допуск. Если эта вероятность равна 0,9; 0,99 и 0,999, то стан-
стандарт связан с допуском 2Е (+ Е) соответственно соотношениями
E
1,6
E
2.6
E
3j
Таким образом, суммарную дисперсию случайных ошибок в случае
нормального распределения ошибок можно определить по формуле
т
(8.9)
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,10
0,15
0,! 0
0,05
1
-—
б
——
j
оо
>
' 0
6 .
1 .
1.
---
-""
1 ^
0,06
0,04
0,01
6
Oj^^
0,015^
•У/
f
A
у
0 0,01 W0,060,010,10,12 0,П0,W0,WH(и)
0 0,01 0,040,060,060,10,12 0L 0,16О,1вИ(ш)
Рис. 104 Зависимость величины
#о,8» (я) от R (и) при различных а.
Рис 105. Зависимость величины
/?0?6 (и) от R (д) при различных с.
где Аф и Да — половина допусков на фазовые и амплитудные ошибки,
а т равно 1,6; 2,6; 3,3 или какому-то другому числу, в зависимости
от того, с какой вероятностью можно утверждать, что все ошибки ле-
лежат внутри допусков.
В эту формулу следует подставлять Аф в радианах, а Да в долях
от номинальной амплитуды колебаний элементов.
Иногда при расчетах предполагается, что ошибки внутри допусков
распределены равномерно, при этом
(Да)*
(8.10)
Формула (8.7) определяет величину, которую называют чувстви-
чувствительностью антенны к случайным ошибкам возбуждения. Рассмотрим
поведение ее в различных случаях. Пусть антенна состоит из ненаправ-
249

ленных элементов и компенсирована в направлении и0. Тогда G(u)
не зависит от и и имеет вид
(8.11)
9=1
Если амплитудное распределение равномерно, то G = \1п, где п —
число элементов в антенне. При этом а = 0,5 A2G = 0,5 А2п~1, откуда
видно, что чувствительность антенны к случайным ошибкам возбуж-
возбуждения определяет степень осреднения ошибок по элементам с учетом
соответствующих весовых коэффициентов. Для компенсированной
антенной решетки при равномерном амплитудном распределении
G = п~1 и ошибки осредняются по всем элементам антенны в равной
мере. Если компенсация отсутствует и aq ф 1, то G (и) становится
больше, чем п, т. е. число элементов, эффективно осредняющих
ошибки возбуждения, как бы уменьшается.
Заметим, что физически величина G (и) пропорциональна отноше-
отношению мощности, которую излучала бы антенна в отсутствии взаимодей-
взаимодействия ее элементов к интенсивности, создаваемой ею в дальнем поле
в направлении максимума характеристики направленности. Отсюда
и без математического анализа ясно, что компенсированные антенны
имеют меньшую чувствительность к случайным ошибкам возбуждения,
чем некомпенсированные криволинейные. Так большой чувствитель-
чувствительностью к случайным ошибкам должна обладать, например, некомпен-
некомпенсированная цилиндрическая антенна, работающая сектором 2я. Это
и понятно, ведь в этом случае давление в дальнем поле определяется
только элементами, расположенными в первой зоне Френеля, и, с од-
одной стороны, осреднение происходит по малому числу преобразовате-
преобразователей, а с другой стороны, при наличии ошибок остальные зоны Френеля
могут не полностью компенсировать друг друга. И то и другое при-
приводит к увеличению искажений характеристики направленности, что
и отражается на увеличении G (и).
В случае выполнения условий теоремы умножения, выражение
(8.7) можно записать так:
п
2
«7=1
lG0, (8.12)
где R3 (и) — характеристика направленности отдельного элемента;
Go — чувствительность к случайным ошибкам антенны, состоящей из
ненаправленных элементов.
250

Из формулы (8.6) следует, что математическое ожидание квадрата
характеристики направленности равно сумме квадрата характеристики
направленности антенны без ошибок и квадрата некоторого рассеян-
рассеянного поля. При выполнении условий теоремы умножения это рассеян-
рассеянное поле имеет направленность, совпадающую с направленностью
отдельного элемента, а в случае ненаправленного элемента оно также
ненаправлено.
Рассмотрим пример расчета искажений характеристики направлен-
направленности антенны при наличии случайных ошибок. Пусть линейная ан-
антенна состоит из десяти ненаправленных элементов и Aq = 1 для всех
q. Будем считать, что амплитудные и фазовые ошибки возбуждения
равновероятно распределены внутри интервалов + Аф и + Да, при-
причем Аф = 10° и Да = 0,15. Переводя градусы в радианы и вычисляя
А2 по формуле (8.10), получим А2 = 0,018, откуда а2 =
= 0,5 -0,1 -0,018 = 0,0009 и а = 0,03. Рассмотрим параметры Rom (и)
в направлении их, таком, что R (их) определяется известной величи-
величиной, например, 0,1. С помощью графиков, приведенных на рис. 100,
рис. 99 и рис. 98, зная а и R (ва) находим, что математическое ожида-
ожидание характеристики направленности при наличии ошибок равно при-
примерно 0,106 и что с вероятностью 0,99 @,95) величина ROU1 (вх) не пре-
превосходит 0,175 @,15).
Аналогично можно решить и обратную задачу, т. е. по заданному
с какой-то вероятностью допустимому искажению характеристики на-
направленности найти возможную суммарную дисперсию и далее — до-
допуск на амплитудно-фазовые ошибки.
§ 24. Влияние случайных ошибок
на коэффициент концентрации
и помехоустойчивость антенны
Для приближенного нахождения математического ожидания ко-
коэффициента концентрации будем исходить из определения коэффи-
коэффициента концентрации через интеграл от квадрата модуля характери-
характеристики направленности. Воспользуемся методом линеаризации для
вычисления математического ожидания функции через математические
ожидания ее аргументов и примем во внимание, что математическое
ожидание интеграла равно интегралу от математического ожидания
подынтегральной функции. Кроме того, учтем, что в соответствии
с формулой (8.1) характеристика направленности RO1U (и) при и = и0
может быть неравна единице и поэтому подставлять в формулу, оп-
определяющую К, следует отношение Rom (a)/Rom (u0). В результате
получим следующее выражение:
251

Учитывая формулу (8.6) и полагая R (в0) = 1, имеем
М1К]~ 4я[1+А'0(«в)]
j Я2 (и) dQ — Д2 С (Г\и) dQ,
Q Q
Рассмотрим случай, когда выполняются условия теоремы умно-
умножения. При этом G (в) определяется формулой (8.12) и
М [К] = ! + А^э (Ио)
1 а2кок
где К и Кэ — коэффициенты концентрации антенны (без учета оши-
ошибок возбуждения) и элемента; 00 — чувствительность к случайным
ошибкам гипотетической решетки, элементы которой расположены
в центрах реальных и имеют такое же возбуждение.
В большинстве практических случаев можно считать, что
Д2Я (в0) Go и поэтому
М[К] = Л г- (8ЛЗ)
L J l + A2KGK~l
Если элементы антенны расположим на криволинейной поверхности
и условия теоремы умножения не выполняются, то не удается в общем
случае вычислить интеграл по полному телесному углу от G (в) и по-
получить простую формулу для определения М [/С]. Однако иногда
приближенно можно полагать, что элементы ненаправленные и тогда
несколько заниженное значение М [/(] найдется из выражения
М[К] = • (8.14)
И, наконец, для грубой оценки математического ожидания коэффи-
коэффициента концентрации компенсированной антенны, состоящей из боль-
большого числа элементов, расположенных на расстояниях, близких к
0,5 К, полагая приближенно К — п. и G = п~1, где п — число эле-
элементов антенны, можно пользоваться простой формулой
Полученные соотношения справедливы и для помехоустойчивости
антенны в поле дальних изотропных помех, поскольку эта величина
совпадает с коэффициентом концентрации. Однако подобные же вы-
выражения можно получить и для помехоустойчивости антейны в произ-
произвольном поле помех.
Действительно, в соответствии с формулой A.79) отношение мощ-
мощностей сигнала и помехи в узкой полосе частот на выходе антенны оп-
252

ределяется отношением двойных сумм от функций корреляции
л
2
n
2
л
g=l
л
7 *\ qe
g=l
л
2
9=1
л
2
<7~ 1
n
2
g=i
л
g=i
где tCqg, Rcqgl /C"g, /?flg — функции пространственно-временной и
пространственной корреляции сигналов и помех соответственно.
Переходя к математическому ожиданию отношения % и восполь-
воспользовавшись методом линеаризации, получим
4 |
М [%} u=lg=1 i-. (8.15)
fiil
9=1 g=l
Заметим, что это же выражение иногда получают без привлечения ме-
метода линеаризации, несколько изменяя постановку задачи, а именно,
вычисляя не математическое ожидание отношения Wc и Wn, а сразу
отношение их математических ожиданий. При этом не математическое
ожидание помехоустойчивости антенны при наличии случайных оши-
ошибок возбуждения, а сама помехоустойчивость определяется как от-
отношение математических ожиданий Wc и Wn.
Математические ожидания модулей двойных сумм выражения
(8.15) могут быть вычислены так же, как математическое ожидание
выражения Rlm (и). Действительно, как видно из формулы (8.4),
функция Rlm (и) определяется аналогичной двойной суммой такого
же вида. В результате вычислений получим
я л л Т1_
2 2 VXg+д2 2 И J2 *« —+дг°п
М[Х]=-?рЦ=! & =Wn ' , (8.16)
q=\ 5=5=1 " " v" q=\ ' т
где
п
2
А
п п п
22 А
9=1 g=l
"" л л
22
9=1 g=l
2^п?
We
>
2IM2^99
q=\ Wc pn
л л ^ W L
2 2 AgAeRgg
9=1 g=l •
253

В частных случаях формула (8.16) может быть существенно упро-
упрощена. Особенно простые выражения получаются, если источники по-
помех расположены на поверхности сферы произвольного радиуса. При
этом появляется возможность ввести в рассмотрение помехоустойчи-
помехоустойчивость антенны и, относя WJWn к отношению интенсивностей сигнала
и помехи в центре сферы, и рассматривать математическое ожидание и.
Воспользовавшись формулой C.80), можно записать математическое
ожидание и следующим образом:
(8.17)
2х0п
1+Д2х0пс
где
2 л
а
Q
Q
Гс17,
Q
я
jo V^ 1
9=1
ra
2^9
n
7(«)
2 V
9=1
12
r
2
2
dQ
Для многоэлементных компенсированных антенн можно полагать
и > A2Gn и формула (8.17) несколько упрощается.
§ 25. Учет влияния случайных ошибок возбуждения
при синтезе антенн
Все задачи, решаемые теорией антенн, можно подразделить на
прямые и обратные. К прямым относятся задачи определения направ-
направленных свойств антенн при заданной их конфигурации и заданном
возбуждении. К обратным — нахождение антенн по заданным на-
направленным свойствам. В большинстве случаев конфигурация антенны
считается заданной и в обратных задачах теории антенн, а опреде-
определяется распределение возбуждения. Иногда вместо прямых и обрат-
обратных задач говорят об анализе и синтезе антенн.
За небольшим исключением, касающимся приближенного определе-
определения возбуждений, обеспечивающих максимум коэффициента концен-
концентрации и синтеза антенн с помощью метода стационарной фазы, все
рассмотренные выше вопросы относятся к анализу антенн. Задачи
и методы синтеза антенн подробно изложены в работах [26] и [18]
и останавливаться здесь на их изложении мы не будем.
Представляется, однако, целесообразным рассмотреть некоторые
методы, связанные с учетом случайных ошибок возбуждения. Анализ
выражения (8.7), определяющего чувствительность антенны к случай-
254'

ным ошибкам, показывает, что введение амплитудных распределений,
отличных от равномерных, и фазовых, отличных от обеспечивающих
компенсацию антенны в некотором направлении, приводит к увеличе-
увеличению искажений параметров антенн при наличии ошибок. Из этого
;ясно, что при конечной величине суммарной дисперсии случайных
ошибок бессмысленно вводить распределения, обеспечивающие, на-
, пример, очень малый уровень добавочных максимумов — из-за уве-
увеличения G (и) при небольших расчетных максимумах реальные мо-
?гут существенно возрасти.
В связи с этим представляется целесообразным развитие таких
методов си-нтеза антенн, которые позволяли бы определять распреде-
распределения, обеспечивающие удовлетворение некоторых требований не,
к расчетным параметрам антенн, а к их математическому ожиданию
или к их величине, определяемой с заданной вероятностью при нали-
наличии известных случайных ошибок возбуждения.
К сожалению, в части синтеза антенн по заданным характеристикам
направленности такие методы отсутствуют, однако есть ряд работ,
рассматривающих максимизацию коэффициента концентрации или
помехоустойчивости антенны при наличии случайных ошибок возбуж-
возбуждения.
Первой работой, в которой связывалась максимизация коэффици-
коэффициента концентрации антенны с ее чувствительностью к случайным ошиб-
ошибкам, была работа [58]. В ней предлагался метод определения семей-
семейства возбуждений антенны, причем каждому из возбуждений соот-
. ветствуют свои величины К и G. Исходя из разумного соотношения
, между величиной коэффициента концентрации и чувствительности
к случайным ошибкам (чем выше К, тем больше G и тем больше паде-
падение М 1К\ из-за ошибок) можно выбрать наиболее подходящий ва-
вариант возбуждений. Следующим шагом явилась работа [37], в кото-
которой предлагалось определять возбуждения, обеспечивающие макси-
максимум математического ожидания коэффициента концентрации или по-
помехоустойчивости антенны при заданной величине случайных ошибок
возбуждения.
Воспользуемся средним выражением равенства (8.16), определяю-
определяющим математическое ожидание отношения сигнал/помеха на выходе
антенны непосредственно через возбуждения элементов. Коэффици-
Коэффициенты возбуждения и функции пространственной корреляции в общем
случае являются величинами комплексными, поэтому представим их
как сумму действительных и мнимых частей. Затем вычислим произ-
производные от М [%] по действительной и мнимой части коэффициента
возбуждения элемента с произвольным номером s и приравняем их
нулю.
Полученные два уравнения объединяются в одно, имеющее вид
__
s=l, п (8.18)
2 *&%„
Ч=1
255

Решение этой системы и является распределением, обеспечивающим
при заданной дисперсии случайных ошибок А2 максимум математиче-
математического ожидания %. ^
Система (8.18) является нелинейной, поскольку и М [%] зависит
от неизвестных А„, поэтому пользоваться ею для расчетов достаточно
сложно.
Запишем ее несколько иначе:
2
9=1
AqRnqs + A2AsRnss =—l— [? AqR% + A2ASR%] , s-~n (8.19)
и рассмотрим некоторые частные случаи.
Прежде всего заметим, что для многоэлементной антенны второе
слагаемое в правой части значительно меньше первого и поэтому им
можно пренебречь. Кроме того, в некоторых случаях, в частности,
при падении на антенну сигнала от одного источника, функция R^s
представляется произведением двух сомножителей, каждый из кото-
которых зависит только от одного индекса q или s, т. е. Rcqs = RqRs- При
таких допущениях выражение (8.19) принимает следующий вид:
?vs _
S AqRl + A2AsRl = Rcs 4=l ; s = 1, я. (8.20)
9=1 M Щ
Отношение в правой части не зависит от s и может быть обозначено
символом С. Поскольку нам достаточно определить неизвестные ко-
коэффициенты Aq с точностью до произвольного (но одинакового для
всех Aq) сомножителя, обозначим Aq = AJC и получим систему ал-
алгебраических уравнений
2 ЛХ+А2Л^ = ^, s=l, п. (8.21)
9=0
Решение такой системы уже не представляет больших, трудностей.
Если случайные ошибки возбуждения элементов антенны отсутст-
отсутствуют, то А2 = 0 и мы имеем систему
? A'Xs^RU s^YTn, (8.22)
9=1
соответствующую случаю абсолютной максимизации помехоустойчи-
помехоустойчивости или коэффициента концентрации антенны, рассмотренному
впервые несколько иными способами для электромагнитных антенн
в работе [46] и для акустических антенн в работе [66].
Аналогично можно рассмотреть максимизацию коэффициента кон-
256'

центрации при некоторых условиях, налагаемых на возбуждения эле-
элементов антенн. Так можно решить задачу о максимизации коэффици-
коэффициента концентрации при условии, что элементы излучают синфазно,
или происходит синфазное сложение колебаний от отдельных элемен-
элементов в заданном направлении, или имеется некоторая известная зависи-
зависимость между коэффициентами возбуждения по амплитуде или фазе
(что может представлять интерес при практическом осуществлении
устройств, обеспечивающих введение распределений).
В случае изотропных помех дальнего поля функция K^s пропор-
пропорциональна взаимному активному сопротивлению излучения между
элементами q и s, a KqS в соответствии с формулой C.72) пропорцио-
пропорционально р'д (и^ р'* (и0), поэтому выражение (8.21) принимает вид
<7—1
и если элементы антенны ненаправленны, то
. sinfelPq-Ps|+A2A t ^
k | p, — ps |
При записи этих выражений принято во внимание, что коэффициенты
возбуждения интересуют нас с точностью до постоянного сомножителя
и поэтому все постоянные коэффициенты опущены.
Мы не будем подробно останавливаться на результатах расчетов
коэффициентов концентрации при оптимальных возбуждениях и ука-
укажем только на некоторые основные зависимости'. При увеличении числа
элементов антенны, если расстояния между их центрами постоянны,
так же, как и при увеличении расстояния между элементами, эффект
увеличения коэффициента концентрации существенно снижается.
То же самое происходит и при увеличении числа измерений антенны,
т. е. при переходе от линейных к поверхностным и объемным антен-
антеннам. Практически существенного эффекта можно добиться только для
очень близкого расположения многих элементов антенны и при до-
достаточно малых ошибках А2. Сказанное относится к случаю изотроп-
изотропных помех дальнего поля; для других же моделей распределения ис-
источников помех выигрыш при максимизации математического ожида-
ожидания помехоустойчивости может быть заметным и для сравнительно
больших антенн, причем чем более неравномерно поле помех, тем эф-
эффективнее применение оптимальных возбуждений.
Весьма плодотворная идея предложена в работе [25]. Суть ее сво-
сводится к следующему. Безотносительно от характера поля помех в ряде
случаев целесообразно получить характеристику направленности,
имеющую в некоторых областях пространства произвольный уровень,
а в других — малый, или же меняющийся примерно по известному
закону. Для решения таких задач можно задаться некоторым распре-
распределением помех в дальнем или ближнем полях (или пространствен-
пространственным спектром помех), а затем, определив функции корреляции, найти
оптимальные коэффициенты возбуждения, решая системы (8.21) или
257

(8.22). Таким образом, можно решать целый ряд задач синтеза антенн
не по заданным характеристикам направленности, а по некоторым
соотношениям их интегральных параметров!- В частности, можно син-
синтезировать антенну при заданной величине дисперсии случайных оши-
ошибок с минимальным излучением мощности в некоторые области про-
пространства, например, вне угла, занимаемого главным максимумом
характеристики направленности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современное состояние теории направленности гидроакустических
антенн можно охарактеризовать следующим образом.
Имеющиеся в арсенале исследователей теоретические методы ана-
анализа направленных свойств антенн позволяют с практической точки
зрения достаточно точно определять параметры антенн, если только
известно поле, создаваемое отдельным элементом антенны. Для не-
некоторых антенн, которые условно можно отнести к простейшим, поле
отдельного элемента определяется сравнительно легко. В первую оче-
очередь к классу простейших следует отнести антенны, состоящие из не-
ненаправленных элементов, меньших длины волны, а также плоские
антенны при больших относительных размерах и плотном располо-
расположении элементов. Несколько сложнее обстоит дело в случае поверх-
поверхностных цилиндрических, сферических или других антенн, когда на-
направленность элемента в существенной степени определяется дифрак-
дифракцией на поверхности самой антенны. Если при этом активные поверх-
поверхности элементов плоские и элементы расположены на поверхностной
антенне больших волновых размеров с малыми зазорами, то для сфе-
сферических, круговых и эллиптических цилиндрических антенн и не-
некоторых других можно воспользоваться строгим решением об излу-
излучении элемента, полученным, например, с помощью разложений в ряды
по собственным функциям.
Однако практически могут встретиться случаи, когда вследствие
различной кривизны поверхностей элементов и всей антенны, присут-
присутствия акустических экранов или других конструктивных особенностей
невозможно использовать классические решения об излучении источ-
источника на поверхности сферы или цилиндра.
В настоящее время ведутся интенсивные поиски методов определе-
определения полей источников при сложных граничных условиях как по им-
педансным свойствам, так и по конфигурации. Достигнутые в этом
направлении успехи пока скромны: решены только простейшие за-
задачи, да и то решение часто требует очень большого объема вычисли-
вычислительных работ. Представляется, что такое состояние рассматриваемого
вопроса может измениться радикальным образом только после раз-
разработки принципиально новых эффективных методов теории дифрак-
дифракции. Практически же, в случаях, когда поле отдельного элемента
антенны не поддается расчету, при анализе направленных свойств
антенны приходится задаваться им исходя или из априорных сведе-
259

ний, или из экспериментальных данных, полученных в близких
условиях.
Естественно, что для грубой оценки параметров антенн достаточ-
достаточным бывает довольно грубое приближение к реальному полю элемента,
но для точного расчета, особенно для точного расчета коэффициента
концентрации при сравнительно больших расстояниях между элемен-
элементами или малых уровней характеристики направленности необходимо
точное знание поля излучения элемента.
В связи с этим одним из основных направлений развития теории
направленности гидроакустических антенн была и остается разработка
методов определения полей отдельных элементов антенн с учетом их
конструктивных особенностей.
Требуют дальнейшего развития и методы определения сопротив-
сопротивлений излучения отдельных элементов и всей антенны в целом. Общие
расчетные выражения, определяющие эти величины, записываются
сравнительно просто, однако их практический расчет в настоящее
время весьма сложен и далеко не во всех случаях может быть доведен
до конца.
В книге приведен приближенный метод расчета параметров антенн
при наличии разбросов амплитудно-фазовых возбуждений элементов.
Этот метод с успехом может использоваться для инженерных оценок,
однако в случаях, когда требуется большая точность, а тем более,
когда требуется учитывать отказы элементов, необходимо применение
более точных методов. Проблемам расчета надежности антенн при на-
наличии отказов и разбросов параметров элементов в настоящее время
уделяется определенное внимание, однако пока еще не разработаны
достаточно простые методы, обеспечивающие нужную точность. В не-
некоторой степени положение спасает возможность применения в каж-
каждом конкретном случае методов статистического моделирования на
ЦВМ, однако такой путь не является вполне удовлетворительным.
Много нерешенных (или решаемых недостаточно эффективно) во-
вопросов относится к исследованию направленности гидроакустических
антенн в реальных условиях, как в части полей помех и сигналов,
воздействующих на антенну, так и в части влияния на направленность
антенн окружающей среды, включая и элементы конструкции носи-
носителей.
Эти и многие другие вопросы теории направленности гидроаку-
гидроакустических антенн еще ждут своих исследователей.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ АНТЕННЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ
НА НЕЕ НЕИЗОТРОПНЫХ ПОМЕХ ДАЛЬНЕГО ПОЛЯ
В реальных условиях работы гидроакустические антенны могут находиться
под воздействием весьма сложного поля помех (см. например, [29]). Изучение
помехоустойчивости антенн в таких условиях может производиться путем соз-
создания модели поля помех, приближающийся к реальному полю, и последующего
расчета антенн применительно к этой модели.
AS 8
Рис. I. Расположение источников помех.
Рассмотрим помехоустойчивость линейной антенны в предположении, что
источники помех распределены на отдельных участках сферы большого радиуса.
В случае А, показанном на рис. I, независимые источники помех равномерно
распределены по сегменту сферы с центральным углом 2а0, в случае Б — по ша-
шаровому поясу с центральным углом 2{5О, в случае В источники расположены на
поверхности верхней полусферы и имеют распределение колебательных скоро-
скоростей, соответствующее закону cos'^O. Как показано в [23], последний случай
эквивалентен воздействию на антенну дальних источников, распределенных рав-
равномерно на плоскости и имеющих характеристики направленности, описывае-
описываемые функцией cos Э. Для упрощения будем считать, что излучение источников
узкополосно, т. е. что w (a) = w (а, ш) б (<о0). Тогда из формулы C.71) имеем
я 2Я
\ I v«?4 (v ия) р'1 ('«• us) Iw (e- %) Г
6 о
Пусть элементы антенны ненаправлены и лежат вдоль вертикальной оси г; ну-
нулевой элемент лежит в точке z = 0; расстояние между соседними элементами d\
амплитудно-фазовое распределение равномерно. Тогда
я 2Я
«=v2 \ I
6 о
sin
(о
и \ - — ikpcS3
r-qd sin в)
откуда
где
Knqg = 2лС f | w (в) |2 е
si n
Si п
B)
261

Полагай в случае А
в случае Б
в случае В
О при
1 при
О при
Q-JL
<Р
о-
0
sftV
при
г по
пр
|в|
и|
>
я
т
я
и вычисляя интеграл в формуле B), получим выражения, определяющие функ-
ции пространственной корреляции помех на ненаправленных элементах соот-
соответственно в трех рассматриваемых случаях
2ns0C
k dBa
[sin k dgg — sin (k dqg cos o0) + i cos k dqg -^ i cos (k dqg cos cc0)];
, « kdpg
Q<rrO /^*
A"°o = , ° . [cos kd9g + k dqg sin kdqg—l — i sin ftd^g + tft rf,g cos ft d,g];
где d?g = d (q—g).
Пусть источник сигнала производительностью Q находится в дальнем поле
в направлении в = я/2. Тогда в соответствии с формулой C.74) имеем
и помехоустойчивость антенны, т. е. частное от деления отношения сигнала и
помехи на выходе антенны на это же отношение для ненаправленного элемента
(для определенности имеющего порядковый номер q) выражается следующим
образом:
л л
,^ЙД« «"я
X==_!LJJLJ -5 = _^ , {3)
Кчч
2 2 <g
1 l
g=l
Где /(^g — действительная часть коэффициента пространственной корреляций '„
помех на элементах антенны (мннмые части Kqg в двойной сумме по q и g ком-
компенсируют друг друга, что ясно из анализа суммы двух слагаемых с индексами
Я> g H i. ?). имеющая в рассматриваемых случаях следующий вид:
в случае А
sin k dqg — sin (k dqg cos a0)
98
kdqg(l — cosa0)
262

В случае Б
в случае В
sin (Ad^g sin
D)
, cos k dqg + k dqg sin A: dqg_l
0,5 (kdaaJ
В целях получения основных закономерностей, иллюстрирующих зависи-
зависимость х от поля помех, и волновых размеров антенны, будем считать, что антенна
не дискретна, а непрерывна; при этом
fP
Х"~ нн
l^K'(z-z')dzdz'
V
-?
У,
\\
,в
-А
-5
\
\
п,25\ \0\ 0,7
\\
\
\
/
J
1
I
/'
iSfi,0J,l
(
\
\
Ч
\
0,8
0,6
ол
0,2
о
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Рис. II. Коэффициент корреляции
помех в рассматриваемых случаях
при а0 = р0 = я/4.
Хд
160
по
80
tf,xt
¦8
¦6
¦4
¦2
яЛ
>
У
/
/1
г_
\
\
¦-'
/
7
гп
U е
'А
-'
"Г
Рис. III. Зависимость % от
для рассматриваемых моделей
помех при а0 = р0 = я/4.
где К' (z — z') определяется формулами D), в которых вместо dqg подставлена
величина z — z'; Я — длина линии.
Двойной интеграл знаменателя преобразуется в одинарный, н в результате
вычислений имеем.
для случая А
05k?H2(l—'cosa0)
kH [Si (kH) — Si (kH cos а0)] + cos kH — 1 — cos-'ajcos^tf cos ae) — 1]
для случая Б
0,5fe3//2sin Po
kH Si (ЙЯ sin p») + sin p0 [cos (kH sin p0] — 1]
для случая В
X =='
О,25Й2Я2
Здесь
in (йЯу) — Ci kH
x
Si (x) = \ -^5— dt — интегральный синус;
263

X
Ci (x) = — I c dt — интегральный косинус;
J t
о
у = ec = 1,78 (с— постоянная Эйлера).
На рис. II представлен вид функций К' (z/Я), где г — расстояние между
элементами. Для сравнения приведена штриховая кривая функции К' (г/Я) для
изотропного дальнего поля. ч
На рис. III показана зависимость % от отношения tf/Я. Помехоустойчивость
антенны существенно зависит от характера поля помех. Как и следовало ожи-
ожидать, она максимальна при расположении источников помех над антенной и
минимальна при совпадении направлений прихода сигналам помех. Штриховой
линией на рис. III показано изменение помехоустойчивости антены в изотроп-
изотропном поле помех.
Интересно отметить, что величины %А, %Б и %в по-разному зависят от ча-
частоты.
Полагая kH > 1, для случаев А к Б можно получить следующие выраже-
выражения:
%=> cosa0; x = -r-slnPo-
Л А
Сравнивая рис. II и III, можно заметить, что уход первого нуля коэффи-
коэффициента корреляции в область больших zA при неизменном характере спада его
огибающей (по сравнению со случаем изотропного дальнего поля) приводит
к уменьшению х и наоборот, уход первого нуля в область меньших z/Я при уве-
увеличении осцилляции К' (г/Я) приводит к увеличению помехоустойчивости ан-
тениы.
, ПРИЛОЖЕНИЕ II
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ
АНТЕНН
Приведем некоторые примеры использования формул и графиков, содержа-
содержащихся в книге, для расчета параметров гидроакустических антенн.
Пример 1. Определим параметры некомпенсированного сектора кругового
цилиндра с центральным углом 2г|э0 = 50е и высотой Н = 5Я, расстояние между
элементами d — 0,3 Я, kR = 34 (R — радиус цилиндра).
Вычислим отношение стрелки прогиба рабочего участка сектора к длине
волны:
' Я4
А/Я = Д/Я A — cos4|H) = — A — 0,906) « 0,51.
2jt
Так как d < 0,5 Я, можно считать", что антенна непрерывна. Вид характе-
характеристики направленности в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, можно
определить с помощью рис. 35. Отличительной особенностью ее является то,
что на основном максимуме имеются две «ступеньки»: одна примерно на уровне
0,8, другая на уровне 0,3. Ширину основного максимума фо,7 найдем, пользуясь
рис. 36. При /г/Я = 0,5 отношение <po,7/2tyo ~ 0,6; откуда 'фо,7 » 30 . Прибли-
Приближенную оценку коэффициента концентрации можно сделать по формуле E.52)
„ 2пН 2я>5-180° _о
Л = = s= /Z.
1% 25°я
264

Более точно величину К можно определить, пользуясь замечанием, сделанным
после вывода формулы E.52), и графиком, приведенным на рис. 38. Умножая
2пН/Х на величину l,5/i|H (определенную по рис. 38 для /г/А, = 0,5) имеем:
M «72-1,5=108.
Найдем чувствительность антенны у в предположении, что чувствительность
ее элемента Yo известна и элементы соединяются параллельно. Пользуясь фор-
формулой E.49) и рис. 30, имеем:
tf =_Li/~2L.0,9 и 0,7,
откуда Y « 0,7 у0.
Для определения характеристики направленности в плоскости оси цилиндра
в соответствии с теоремой умножения следует умножить характеристику направ-
направленности линии длиной 5л на характеристику направленности дуги. Так как
последняя в области основного максимума линии меняется незначительно (см.
рис. 37, а), то в этой области характеристика направленности сектора совпадает
с характеристикой направленности отрезка (т. е. имеет ширину, на уровне 0,7
1 39А. \
равную 2 arcsin — х 10° ), а в направлении углов, близких коси цилиндра,
кН ]
характеристика направленности дуги цримерно в 1,5 раза увеличивает уровень
добавочных максимумов линии.
Пример 2. Определим коэффициент концентрации компенсированной кру-
круговой цилиндрической антенны при аппроксимации характеристики направ-
направленности ее элементов в переднем полупространстве следующими функциями:
D (в') = cosI/2 в';
D (в') = cos* в';
Z) (в') = | sin2G'
E)
где в' — угол между нормалью к поверхности элемента и направлением на
точку наблюдения.
Излучение элементов антенны в тыльное полупространство отсутствует.
Будем предполагать, что сопротивления излучения отдельных горизон-
горизонтальных рядов антенны одинаковы и равны сопротивлению излучения таких
же рядов в бесконечной по вертикали антенне. При этом в соответствии с фор-
формулой C.59)
где
„1=:_ЛА
яа = ? Г —- A — cos G0)l;
( 0,5 при cos26n = 1;
<Пп~\ 1 при cos2 е„ < 1;
cos 6Я = п f- cos 60;
h
10 М. Д. Смарышев 265

i? (Эл<р) — характеристика направленности горизонтального (расположен-
(расположенного вдоль направляющей) ряда элементов, h — расстояние между элементами
антенны вдоль образующей; Н — произведение числа горизонтальных рядов
элементов на А; в — угол, отсчитываемый от оси цилиндра; 60 — угол компен-
компенсации антенны. **
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
\
0,2
0,4
0,6 i/x
1,0
0,8
0,7
0,6
¦ —
ч
\\
\\
\\
0,2 0,4
dfc
0,9
0,3
0,7
0,5
————~
\
\
0,2
8,4 0,6 dfl
Ал л
0,9
0,8
д
\
\
\
0,2
0,6 d/K
Рис. IV. Зависимость К/Кп.п от d/X. Варианты D (в)
a — cos1/2e', б —cose',
в —cos2fl', г— 1 sin 28' |,
———— распределение os = 1,
— распределение а% = D (ф8).
Прежде всего найдем связь между углом в' в формулах E) и углами в и
ф сферической системы координат, в которой записана формула F). Совершая
двойной поворот координатной системы, получий
cos 9' = sin Э cos (<p —i|js),
где ifs — угол, определяющий положение элемента цилиндрической антенны,
имеющего номер s.
Мы не приводили формулу для расчета характеристики направленности
дискретной дуги, элементы которой обладают известной направленностью, од-
266

нако ее легко записать по аналогии с формулой D.105), справедливой для не-
ненаправленных элементов:
1—1
X
Здесь
Д(в,ф)= 2 asRs(%)G
(В. f> «Mft ?>.-**'""^
G)
1 при cos в' > 0;
0 при cos 9' < 0;
Rv (&t Ф) — характеристика направленности элемента с номером s, записанная
в координатах Э, ф.
а) В)
0,8
0,6
?
0,2
и
II
i
\
\
\
\
\
\
\
V
\
\
ч ч
ч
V
П 15 30 45 НО 15 се,*
I
II \
II v
||
!
\
\
\
15 30 45
75 а?
Рис. V. Зависимость К/Кп п °т осо-
о — D (в') = cos 8', б — ?> (9') = | sin 26' | ,
hIK = 0,5, ft/X = 0,7.
На рис. IV представлены результаты расчетов, произведенных по формуле
F), отнесенные к коэффициенту коицентрации плоского поршня, совпадающего
с проекцией рабочего участка антенны на диаметральную плоскость (рабочий
сектор принят равным 120° nsnn= 2HR sin 60°; Эо = я/2 и 2R = 5Я,. Как и
в случае элементов в виде полос (см рис 91), с увеличением d/A. отношение
К/Кп п падает, причем характер падения (так же, как и величина исходного
значения) существенно зависит от вида характеристики направленности эле-
элемента.
При d/X > 0,5 — 0>6 оптимальное распределение увеличивает коэффициент
концентрации за исключением случая, приведенного на рис. IV, г, в котором,
в связи со специфическим видом характеристики направленности, взаимодейст-
взаимодействие элементов проявляется более заметно. На рис. 109 видно, что максимальная
величина К имеет место при D (б') = cos1/2 б'. Однако следует иметь в виду,
что при других величинах рабочего сектора и kR, оптимальной может оказаться
другая функция D (Э').
На рис. V представлена зависимость величины К/Кп. п от Угла поворота
характеристики направленности в вертикальной плоскости ао|ао = 6о
10*
267

При расчете этой зависимости dIX полагалось равным 0,5, а А/Л. принималось
равным 0,5 и 0,7.
Как видно из графика, при D (в') = |sin 2в'| коэффициент концентрации
с ростом а„ вначале растет, а затем падает. В случае hlX = 0,7 при сс0 ж 15е
имеют место резкие провалы величины К, вызванные появлением единичного
добавочного максимума решетки в направлении 6=0. Для антенны конечной
величины эти провалы также будут иметь место, но коэффициент концентрации
ие будет падать до нуля и соответственно характер изменения К будет более
плавным.
Пример 3. Определим коэффициент концентрации
прямоугольной компенсированной непрерывной антен-
антенны, одна сторона которой (Я) значительно больше X, а
другая (/) сравнима с длиной волны в воде (рис. VI).
Для вычисления коэффициента концентрации пр и
компенсации в плоскости хОг, принимая во внимание,
что Н > X, можно воспользоваться формулой C.58)
(поскольку плоскость можно рассматривать как частный
случай цилиндра с прямолинейной направляющей).
. В этой формуле RH F0, ф) — характеристика направ-
направленности направляющей, т. е. отрезка длиной I, лежа-
лежащего вдоль оси у. Легко показать, что в выбранной
системе координат RH F, q>) имеет- вид
Же, Ф)=.-~
Рнс. VI. Расположе-
Расположение системы коорди-
координат относительно ан-
антенны.
откуда
2НР
Iky sin в sin ф
2я
«у.
e-ik{y-V) sin e0 sin ф dq) dy dy,
где
По J J
-т-т-
Г 1 I-1
Ы j (I - У) h{ky sin Q0)dy\ ,
( 1 при 0 < 90 < л;
~ 1 0,5 при 60 = 0 и 60 = п.
Мы предполагаем, что антенна излучает одной стороной и находится в бес-
ко нечном жестком экране; поэтому интеграл по ф записан в пределах — я/2,
я/2, а не от 0 до 2я, как в формуле C.58). Вычислив интеграл по ф и введя в рас-
рассмотрение угол компенсации а0, отсчитываемый от оси х [ ао = %\, по"
,, 2Я л
лучим
Ф)
где
t = •
kl cos ota
/2s+1 {kl cos o0) - Jt {kl cos ct0)]
s=o
¦По
\ о,1
при | а01 Ф я/2;
5 при | а0 | = я/2.
На рис. VII представлена зависимость величины t от параметра kl cosa0.
Видно, что, начиная от kl cosao«3,величина t примерно равна kl cosa0 (штри-
268

ховой линией на графике показана зависимость t= kl cosa0). Поэтому при
2/ ... „ 2Я ,, inHl
— cosa0 > 1 коэффициент концентрации д = — «/cosa0 = cosa0.
Я Я Я
С помощью кривых рис. VII можно определить зависимость К от а0 для любого
значения /А.
В качестве примера на рис. VIII представлена эта зависимость, нормиро-
нормированная к величине для некоторых фиксированных /Д. Во избежание за-
К
громождения графика удвоение величины К при а0 = 90° показано только для
случаев //Я. = 1 и 11% = 3. Как и следовало ожидать, при малых отношениях
11% рассматриваемая зависимость близка к аналогичной зависимости для антенны
к/Ш
иг
о,в
0,6
0,4
0,2
0 10 ?0 30 40 50 60 10 SO а„
— ' -
~—
—.
—
¦—
~1
,
¦—-~.
s
/КЧ
\М
3,0'
1
]
Рис. VII. Зависимость величины
t от параметра
Рис. VIII. Зависимость коэффици-
коэффициента концентрации от угла компен-
компенсации а0.
в виде отрезка прямой (см. рис. 25); т. е. величина коэффициента концентрации
почти не меняется с изменением осо. Начиная же с Z/Я = 1, коэффициент концен-
концентрации, вплоть до углов сс0 = 70 н- 80°, меняется по закону косинуса.
Следует отметить, что при конечном
отношении ЩК коэффвциент концентра-
концентрации не будет удваиваться скачком при
осо = 90°, а начиная с некоторого значе-
значения aQ (определяемого из условия совпа-
совпадения нуля характеристики направлен-
направленности с направлением а = ± 90°, т. е.
± sm га, = 1 — Я///), будет плавно уве-
увеличиваться. Из формулы (8) и рис. VII
видно, что при а0 = л/2 независимо от
к1 величина t — 2 и К = 8Я/Я. Этот ре-
результат является следствием предполо-
предположения о том, что Н > Я, сделанного при
выводе формулы (8). Ясно, что при Н,
Щ 10 30 4? 50 М 70 SO ^ сравнимом с длиной волны, начиная с
gcq = «0, коэффициент концентрации бу-
будет больше, чем это следует из графика
рис. VIII.
Коэффициент концентрации прямо-
прямоугольного поршня при компенсации и
плоскости хОу в соответствии с формулой C.58) может быть записан следующим
образом:
'Рис. IX. Зависимость коэффициента
концентрации от угла компенсации
Фо-
269

2Я
X
2я
kl
sin— (sin ф — sfn ф0)
kl . . .
— (sin ф — sin ф0)
(9)
На рис. IX представлена рассчитанная пб этой формуле зависимость
KI —— от угла компенсации ф0. Из сравнения с рлс. VIII видно, что при ком-
компенсации рассматриваемой антенны в плоскости хОу, зависимость коэффициента
концентрации от угла компенсации при больших 1/Х приближается к закону
косинуса при существенно больших Ilk, чем- в случае компенсации в пло-
плоскости xOz.
Пример 4. Определим коэффициент кон-
концентрации плоской антенны, состоящей из
п параллельных отрезков прямой, длина
которых Н > X.
Выше приводилась формула F.39)
для расчета взаимного сопротивления из-
излучения двух параллельных цилиндров,
радиус которых г0 < Я.. В соответствии с
этой формулой активное сопротивление
излучения двух цилиндров rqg равно
kpcHn2r02J0 (kdqg), где dqg — расстояние
между ними. Если отрезки расположены
на плоскости эквидистантно, амплитудное
распределение равномерно, а фазовое обе-
обеспечивает компенсацию в некотором направ-
направлении, лежащем в плоскости, перпендику-
перпендикулярной отрезкам, и составляющем с
перпендикуляром к антенне угол а0, то ак-
активное сопротивление излучения в соответ-
соответствии с формулой A.23) может быть запи-
записано следующим образом:
л—1
N 7 (ЪЛ \ —— Ъс\с hiTT*f 2 ^ р (yj д. р\ \у
lj U 0\*vCtyj о 1 — /tUt/II Jli f Q / | <jj \lb ^™ Ъ\ /\
S=0
'гнп
к
2,4
2,0
1,6
1,1
?
0,1
О
—
/
1
V
//
\
!
7\
w
l
/'
\'
ft
•>
\-\
4
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 d/l
2Нп
Рис. X. Зависимость К/ -
от
d/к для плоской антенны, состоя-
состоящей из параллельных отрезков.
cos
<7=1 g=l
где
X cos (k ds sin a0) /0 (k ds),
{1 при s = 0;
2 при s > 0.
A0)
Давление, развиваемое рассматриваемой антенной в направленин компенса-
компенсации, с помощью выраження B.45) можно записать так:
Р К) = — '
2г
откуда, в соответствии с формулой A.38),
X i-i
A1)
es (и — s) cos (k ds sin a0) /0 {k ds )
s=o
270

На рис. X представлена зависимость отношения K.I от d/X(d— расстоя-
ние между соседними отрезками) при а0 = 0, п = 2 и п = 10. Пунктирной ли-
линией на этом же рисунке показан результат расчета по приближеиной формуле,
которую можно получить из формулы F.14), принимая во внимание, что харак-
характеристика направленности отрезка в перпендикулярной плоскости равна единице
и что отсутствие экрана в два раза снижает коэффициент концентрации. При
а0 = 0 эта формула имеет следующий вид:
где
s, = — i
В отличие от аналогичной зависимости для двухмерной периодической ре-
решетки из ненаправленных элементов (см. рис. 82), для антенны из параллельных
отрезков отсутствуют провалы в величине коэффициента концентрации в районе
d/i х 1,4.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айзенберг Г. 3. Антенны ультракоротких воли. М., Связьнз-
дат, 1957.
2. Антенные решетки. Методы расчета и проектирования. Обзор зарубеж-
зарубежных работ. М., «Советское радио», 1966. Составители: Бененсон Л. С, Журав-
Журавлев В. А., Попов С. В., Попков Г. А. Под общей редакцией Бененсона Л. С.
3. Беляков И. И., Смарышев М. Д. Импеданс излучения
и коэффициент концентрации одномерной системы колец на бесконечном жест-
жестком цилиндре «Акустический журнал», вып. 2, т. XVIII, 1972 г.
4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М., АН СССР,
1957, 502 стр.
5. Ван дер Поль Б.Бреммер X. Операционное исчисление
на основе двустороннего преобразования Лапласа. М., ИЛ, 1952.
6. В е н д и к О. Г. Антенны с немеханическим движением луча (Вве-
(Введение в теорию). М., «Советское радио», 1965.
7. В о в к И. В., Гайдай В. А., Маяцкий В. И. К вопросу
О влиянии акустического взаимодействия электроакустических преобразовате-
преобразователей на направленные свойства приемных многолучевых антенн. «Акустический
журнал», 1969, т. XV, вып. 7, стр. 124—126.
8. Воллернер Н. Ф., Карновский М. И. К расчету коэф-
коэффициента концентрации некоторых направленных акустических систем. «Аку-
«Акустический журнал», 1959, т. V, вып. 1, стр. 25—30.
9. Вольперт А. Р. О фазовом центре антенн. «Радиотехника», 1961,
т. 16, № 3, стр. 3—12.
10. Г е р ш м а н С. Г. Интерференционный способ измерения коэффи.
циентов корреляции стационарных шумов. В кн.: Труды комиссии по акустике.
Сб. № 8, М., АН СССР, 1955, стр. 151—159.
11. Гутин Л. Я- К теории приемного рупора. ЖТФ, 1935, т. V, вып. 8.
12. Г у т и н Л. Я- К теории параболического концентратора звука.
«Известия электропромышленности слабых токов». 1935, № 9.
13. Г у т и н Л. Я- О звуковом поле поршневых излучателей. ЖТФ.
1937, т. VII, вып. 10, стр. 1096—1106.
14. Д и а н о в Д. Б., Прохоров В. Г. Рефлекторные концентра-
концентраторы ультразвука. «Акустический журнал», 1965, т. XI, вып. 4, стр. 442—452-
15. Добровольский Ю. Ю. Взаимное сопротивление излучения
малых поршней в выпуклом экране. «Акустический журнал», 1970, т. XVI,
вып. 4, стр. 516—520.
16. Добровольский Ю. Ю. О направленных свойствах акустнче-
272

ских многоэлементных антенн. Тезисы докладов VII Всесоюзной акустической
конференции, Л., 1971.
17. Д р е й з е н И. Г. Электроакустика и звуковое вещание. М., Связь-
издат, 1961.
18. 3 е л к и н Е. Г. Построение излучающей системы по заданной диа-
диаграмме направленности. М.—Л., Госэнергоиздат, 1963.
19. К а р н о в с к и й М. И. Линейная теория акустических резонато-
резонаторов. ЖТФ, 1943, т. 12, вып. 11—12, стр. 119—125.
20. К а р н о в с к и й М. И. К вопросу об интерференции сложных сиг-
сигналов. В кн.: Труды комиссии по акустике. Сб. № 8, М., АН СССР, 1955,
стр. 139—150.
t 21. Карновский М. И. К расчету сопротивления излучения не.
'которых распределенных систем излучателей. «Акустический журнал», 1956,
'т. II, вып. 3, стр. 267—278.
22. К а р н о в с к и й М. И. и др. Направленность излучения сфериче.
ских преобразователей со смешанными граничными условиями. «Акустический
журнал», 1970, т. XVI, вып. 3, стр. 398—402.
23. К у р ь я н о в Б. Ф. Пространственная корреляция полей, излучен-
яых случайными источниками на плоскости. «Акустический журнал», 1963,
г. IX, вып. 4, стр. 441—448.
24. Л е в и н Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радио-
радиотехнике. М., «Советское радио», 1957.
25. М а я ц к и й В. И. Синтез дискретных антенн с оптимальными сред,
ними диаграммами направленности. «Радиотехника н электроника», 1967,
т. XII, № 12, стр. 2118—2122.
26. М и н к о в и ч Б. М., Яковлев В. П. Теория синтеза антени.
М., «Советское радио», 1969.
27. М о р з Ф. Колебания и звук. М.—Л , Гостехиздат, 1949.
28. М о р с Ф. и Ф е ш б а х Г. Методы теоретической физики, тт. I—II,
пер. с англ. М., ИЛ, 1958.
29. Подводная акустика. Тт. I—II, М., перевод с англ. Ю. Ю. Жит-
ковского и Ю. П. Лысанова под редакцией Л. М. Бреховских.
30. Р ж е в к и н С. Н. Курс лекций по теории звука. М., МГУ, 1960.
31. Розен бе р г Л. Д. Звуковые фокусирующие системы. М.—Л.,
АН СССР, 1949.
32. С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных функ-
функций, Л., «Судпромгиз», 1961.
33. Севрюгова Н. В., СмарышевМ. Д. Излучение звука пло-
плоской бесконечной периодической структурой с прямоугольными канавками.
«Акустический журнал», 1971, т. XVII, вып. 2, стр. 419—428.
34. Сканирующие антенные системы СВЧ. Пер. с англ. под редакцией
Г. Т. Маркова и А. Ф. Чаплина, т. I—II—III. M., «Советское радио», 1966.
35. С к у ч и к Е. Основы акустики, т. I—II, пер. с нем. М., Ил., 1958.
36. С м а р ы ш е в М. Д. О приближенном вычислении коэффициента
концентрации непрерывных компенсированных систем. «Акустический журнал»,
1963, вып. 2, т. IX, стр. 246—247.
37. С м а р ы ш е в М. Д Максимизация коэффициента направленного
действия антенной решетки. «Радиотехника и электроника», 1964, т. IX, вып. 9-
273

38. Смарышев М.-Д. Коэффициент концентрации объемной непрерыв-
непрерывной прозрачной акустической аитениы. «Акустический журнал», т, XI, вып. Ь
1965, стр. 124—125.
39. С м а р ы ш е в М. Д. Определение коэффициента концентрации
большой периодической плоской аитеииы и сопротивления излучения ее эле-
элемента. «Акустический журнал», 1968, т. XIV, вып. 2, стр. 268—274.
40. Смарышев М. Д. Сопротивление излучения и коэффициент кон-
концентрации протяженных периодических лииейиых антенн. «Акустический
журнал», 1968, т. XIV, вып. 4, стр. 597—603.
41. Смарышев М. Д. Ближнее поле бесконечной плоской периоди-
периодической антенны. «Акустический журнал», т. XIV, вып. 4, стр. 629—630.
42. Смирнов Н. В., Дуиии-Барковский И. В. Краткий
курс математической статистики для технических приложений. Физматгиз,
М., 1959.
43. С о д и и Л. Г. Статистика фазированной аитеииы-решетки. «Радио1
техника и электроника», 1964, № 7.
44. Сухаревский Ю. М О иаправлеииом действии экспоненци-
экспоненциального рупора. «Электросвязь», 1939, № 4, стр. 63—87.
45. С у х а р е в с к и й Ю. М. Усиление, резоиаисы и затухание прием--
иого экспоненциального рупора. ЖТФ, 1943, т. 23, вып. 11 —12.
46. У з к о в А. И. К вопросу об оптимальной конструкции направлен-
направленных аитеии. ДАН СССР, 1946, т. 53, № 1, стр. 35.
47. У э й т Д. Р. Электромагнитное излучение из цилиндрических си-
систем. М., «Советское радио», 1963.
48. Ф р а д и н А. 3. Аитеииы сверхвысоких- частот. М., «Советское ра-
радио», 1957.
49. Ф у р д у е в В. В. Электроакустика. М.—Л., ОГИЗ, 1948.
50. Ш е н д е р о в Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л., «Судо-
«Судостроение», 1972.
51. Ш и ф р и и Я. С. Вопросы статистической теории антенн. М., «Со-
«Советское радио», 1970.
52. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и
надежности. М , «Советское радио», 1962.
53. Я и к е Е., Эм де Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми.
Изд. второе, М.—Л., Гостехиздат, 1949.
54. А г a s e E. Matual radiation impedance of square and rectangular
pistons in a rigid infinite baffle. JASA, 1964, vol. 36 № 8, p. 1521 — 1525.
55. В a u m s w e i g e г В. В. Graphial determination of the random effi-
efficiency of microphones, JASA, 1940, vol. 11, N 3, p. 477—483.
56. E 1 1 i о t R. S. Mechanical and electrical tolerances for two — dimen-
dimensional scanning antenna arrays. I. R. E. Trans. 1958, AP—6, p. 114—120.
57. F e i k K- Gerichteter Schall, Hochfrequenztechnik und Elektroakus-
tik, 1955, B. 64, N 2, S. 35—62.
58. G i 1 b e r t E. H., Morgan S. P. Optimum design of directive
antenna arrays subject to random variations. Bell System Techn. J. 1955, vol. 3,
N 34, p. 637.
59. К e n d i g P. M., Mueser R. E. A simplified method for deter-
minity transducer directivity index. JASA, 1947, vol. 19, N 4, p. 691—694.
60. К i n п е у С. M. and Anderson С. D. Experimental investiga-
274

tion of wedge horns used with line hydrophones. JASA, 1954, vol. 26, N 6, p. 1040—
1047.
61. L e i с h t e r M. Beam pointing errors of long line sourses. IRE Trans.
1960, AP—8, p. 268—275.
62. L e i r d D Т., Cohen H. Directionality patterns for acoustic ra-
radiation from a sourse on a rigid cylinder. JASA, 1952, vol. 24, N 1, p. 46—49.
63. Mangul is V. Infinite array of cirular pistons in a rigid plane baffle.
JASA, 1962, vol. 34, N 10, p. 1558—1563.
64. M a n g u 1 i s V. Near—field pressuse for an infinite array of strips.
Trans. IREE son. ultrason. 1966, su-13, N 2, p. 49—53.
65. M e n g e s K- Uber richtcharakteristiken von ebenen strahlerflachen,
strahlerflachen mit angleichmassiger amplitudenverteilung und der halokreislinie,
Akust. Zs. 1941, B.6, S.90.
66. P r i t с h a r d R. L. Maximum directivity index of a linear point
array. JASA, 1954, vol. 26, N 6, p. 1034—1037.
67. P r i t с h a r d R. L. Mutual acoustic impedance between radiations
In an infinite rigid plane. JASA, 1960, vol. 32, N 6, p. 730—737.
68. R о b e у D. H. On the radiation impedance of an array of finite cylin-
cylinders. JASA, 1955, vol. 27, N 4, p. 706—710.
69. R о n d i n e 1 1 у L A. Effects of random errors on the performance
of antenna arrays of many elements. IRE. Nat. Conv. Record, 1959, N 1, p. 174—
189.
70. R u s e I. The effect of aperture errors on the antenna radiation pattern.
Nuovo Cimiento Suppl., 1952, vol. 9, N 11, p. 364—380.
71. Schenek H. A. Improved integral formulation for acoustic radia.
tion problems. JASA, 1968, vol. 44, N 1, p. 41—58.
72. S t e n z e 1 H. Leitfoden zur berechnung von schallvorgangen. Ber-
Berlin, 1939.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава 1. Основные параметры, характеризующие направленность гид--/
роакустических аитеии 6
§ 1. Режим излучения 6
Звуковое давление и характеристика направленности F).
Мощность и сопротивление излучения (9). Коэффициент кон-
концентрации A4). Влияние взаимодействия A6).
§ 2. Режим приема 20
Чувствительность и характеристика направленности B0). По-
Помехоустойчивость B6).
Глава 2. Общие методы определения полей, создаваемых антеннами,
я характеристик направленности 29
§ 3. Методы, основанные на применении формулы Грина 29
Расчетные формулы для различных граничных условий C1).
Соображения об использовании полученных соотношений C7) .
¦ -§ 4. Модельные представления антенн и некоторые общие соотноше-
соотношения 40
• Плоская^антенна в бесконечном экране D0). Прозрачная непре-
непрерывная антенна D1). Поверхностная непрозрачная антенна
*D2). Вычисление разности хода лучей D4). Компенсация ан-
антенны в заданном направлении D5). Фазовый центр антенны
D7). Теорема умножения D9). Теорема смещения E2). Теорема
сложения E3).
§ 5. Характеристики направленности в полосе частот 54
Общие расчетные соотношения E4). Определение характерис-
характеристики направленности через функции корреляции E6). Харак-
Характеристики направленности некоторых антенн в полосе
частот E8). Приближенное определение некоторых параметров
характеристики направленности E9).
Глава 3. Общие методы определения излучаемой мощности, коэффици-
коэффициента концентрации и помехоустойчивости аитени 65
§ 6. Определение излучаемой мощности и коэффициента концентра-
концентрации через сопротивление излучения антенны 65
Некоторые замечания о сопротивлении излучения F5). Прене-
Пренебрежение взаимодействием элементов антенны F6).
§ 7. Определение сопротивления излучения и коэффициента концен-
концентрации антенны через характеристику направленности .... 71
Графическое интегрирование G2). Аппроксимация характери-
характеристики направленности G7).
§ 8. Метод бесконечной решетки 81
Одномерная решетка (82). Двухмерная решетка (90).
276

§ 9. Определение помехоустойчивости антенны 91
Функции пространственно-временной корреляции помех на эле-
элементах антенны (91). Некоррелированные источники по-
помех (93).
Глава 4. Линейные антенны 99
§ iO. Приближенный способ определении коэффициента концентра-
концентрации произвольных непрерывных линейных антенн ...*... 99
Вывод расчетных формул (99). Определение оптимальных воз-
возбуждений A02).
§ 11. Антенна в виде отрезка прямой 104
Приближенное определение ширины характеристики направлен-
направленности A05). Теоремы о направленности отрезка прямой A06).
Характеристика направленности и коэффициент концентрации
при равномерном амплитудном распределении A08). Влияние
амплитудных и фазовых распределений A14).
§ 12. Антенна в виде окружности или дуги 119
Окружность A19). Дуга окружности A23).
§ 13. Дискретные линейные антенны 140
Направленность эквидистантных решеток A40). Коэффициент
концентрации эквидистантных решеток A45). Антенна, состоя-
состоящая из отрезков, лежащих на одной прямой A52). Антенна, со-
состоящая из ненаправленных элементов на дуге A61).
Глава 5. Поверхностные непрерывные антенны 162
§ 14. Поверхностные произвольные непрерывные антенны 162
Вывод расчетных формул A62). Определение оптимальных воз-
возбуждений A66).
§ 15. Непрерывные плоские антенны 173
Прямоугольная антенна A73). Круглая антенна A77).
§ 16. Непрерывные цилиндрические антенны 179
Излучение замкнутой цилиндрической поверхностью A79). Из-
Излучение частью цилиндрической поверхности A81). Излучение
цилиндра с учетом дифракции A83). Компенсированная непре-
непрерывная цилиндрическая антенна A89).
§ 17. Сферические непрерывные антенны 191
Приближенная теория A91). Дифракционная теория A93).
Глава 6. Поверхностные дискретные антенны 197
§ 18. Бесконечные плоские периодические антенны 197
Одномерные периодические антенны A98). Двухмерные перио-
периодические антенны B05).
§ 19. Конечные плоские антенны 211
Решетка ненаправленных элементов B11). Направленные эле-
элементы в жестком экране B14).
§ 20. Цилиндрические антенны 221
Расчетные соотношения B21). Некоторые результаты расчетов
B25).
Глава 7. Некоторые другие типы антенн 230
§ 21. Фокусирующие и рупорные антенны 230
Рефлекторная антенна с параболическим отражателем B31). Ру-
Рупорные антенны B34).
§ 22. Объемные антенны 237
Антенна, состоящая из параллельных излучающих плоскостей
B37). Непрерывная объемная антенна, заключенная внутри от-
отрезка кругового цилиндра B41).
277

f-л а в а 8. • Параметры антенн при наличии случайных ошибок возбужде-
возбуждения 243
§ 23. Влияние случайных ошибок на характеристику направленности
антенны Г 243
§ 24. Влияние случайных ошибок на коэффициент концентрации и
помехоустойчивость антенны 251
§ 25. Учет влияния случайных ошибок возбуждении при синтезе
антенн 254
Заключение 259
Приложение I. Помехоустойчивость линейной антенны при воз-
воздействии на нее иеизотропиых помех дальнего поля 261
Приложение II. Некоторые примеры расчета параметров гидроаку-
гидроакустических антенн 264
Указатель литературы 272

МИХАИЛ ДМИТРИЕВИЧ СМАРЫШЕВ
НАПРАВЛЕННОСТЬ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ
АНТЕНН
Редактор М. А. Чфас
Технические редакторы П. С. Фрумкин и
Р. К. Чистякова
Корректор В. М. Хорошкевич
Оформление переплета художника И. М. Сеиского
Сдано в набор 23/IX 1972 г. Подписано к печати 21/Ш
1973 г. М-18720. Формат издания 60Х90'/,б. Бумага типо-
типографская № 2. Печ. л. 17,5. Уч.-изд. л. 18,6. Тираж 2600 экз.
Зак. № 2016. Изд. № 2647-71. Цеиа 2 руб.
Издательство «Судостроение». 191065, Ленинград,
ул. Гоголя, 8
Ленинградская типография № 4 Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по де-
делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 196126,
гор. Ленинград, Социалистическая ул., 14.