Министерство образования и науки РФ
Омский государственный технический университет
З А К О Н Ы С О Х Р А Н Е Н И Я
Э Л Е М Е Н Т Ы С Т О
Методические указания по решению задач
Омск 2004

2
Составители: Данилов Сергей Валентинович,
Егорова Виктория Александровна,
Прокудина Наталья Анатольевна.

3
Тема № 1
.
Работа и энергия. Законы сохранения в механике.
Краткие теоретические сведения для решения задач.
1.
Работа
и механическая энергия
.
1.1.
Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях
.
У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими
телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом
сл
у
чае говорят, что
над телом совершается работа. В механике принято говорить,
что работа совершается силой.
Элементарной работой силы
F
r
на малом перемещении
r
d
r
называется
велич
и
на, равная скалярному произведению силы на перемещение точк
и
приложения с
и
лы:
a
ￗ
=
u
=
=
d
cos
FdS
dt
F
r
d
F
A
r
r
r
r
,
где
r
d
dS
r
=
-
элементарный путь точки приложения силы за время dt;

-
угол
ме
ж
ду векторами
F
r
и
r
d
r
.
Если на систему действуют несколько сил, то результирующая рабо
та равна
алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.
Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток
времени может быть вычислена следующим образом:
￲
￲
u
=
=
)
L
(
2
1
t
t
dt
F
r
d
F
A
r
r
r
r
.
Если
F
r
= const, то А=
F
r
r
r
D
.
При вращательном движении работа определяется моментом сил:
￲
￲
=
=
=
dt
￉
M
d
M
A
;
d
M
ﾴ
r
r
r
r
r
r
j
j
,
если М = const, то А=М
x

, где
M
x
–
проекция момента сил на ось вращения
X
.
Быстроту совершения работы характеризует мощность.
М
ощностью
называется скалярная величина, равная работе, совершаемой в
единицу вр
е
мени:
u
=
d
=
r
r
F
dt
A
N
.
При вращательном движении мощность определяется следующим образом:
w
=
r
r
M
N
2
.
1.2.
Консервативные и неконсервативные силы.
Консерватив
ными
силами называются силы, работа которых не зависит от
п
у
ти перехода тела или системы из начального состояния в конечное. Характерное

4
сво
й
ство таких сил
-
работа консервативной силы при перемещении по замкнутой
траект
о
рии равна нулю:
.
0
r
d
F
:>
ﾺ
￲
r
r
К консервативным силам относится сила всемирного тяготения (сила тяжести, как
частный случай) и сила упруг
о
сти.
Неконсервативными
силами называются силы, работа которых зависит от п
у
ти
перехода тела или системы из начального состояния в конечное. Работа
этих сил на
замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным механическим силам
относи
т
ся сила трения и сила тяги.
1.3
. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях
.
Кинетической энергией
тела называется функция механического
состояния,
зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического
движ
е
ния).
Кинетическая энергия поступательного движения
2m
p
2
m
ￅ
E
2
2
.
=
=
.
Кин
е
тическая энергия вращательного движения
2J
L
2
J
￉
E
2
2
.
=
=
.
При слож
ном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть
пре
д
ставлена через энергию поступательного и вращательного движения:

,


,



E
E
+
=
.
Свойства кинетической энергии:
1. Кинетическая энергия является конечной, однозначной, непрерывной
функцией механического состояния системы.
2. Кинетическая энергия не отрицательна: Е
К

0.
3. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел,
составля
ю
щих систему.
4. Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех
сил, действу
ю
щих на систему или на тело:
!
!
K
A
ﾔ
=
.
1.4.
Потенциальная энергия.
Потенциальная энергия
системы
-
это функция механического состояния
си
с
темы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их
положения во внешнем
потенциальном поле сил. Убыль потенциальной энергии
равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и
внешние) при перех
о
де системы из начального состояния в конечное.
Е
П1
-
Е
П2
=


Е
П
= А
12конс
,
:>
?
A
dE
d
=
-
.
Из определения
потенциальной энергии следует, что она может быть
вычисл
е
на по консервативной силе, причём с точностью до произвольной
постоянной, зн
а
чение которой определяется выбором нулевого уровня
потенциальной энергии.

5


?
E
r
d
F
E
+
-
=
￲
r
r
.
Таким образом, потенциальн
ая энергия системы в данном состоянии равна
р
а
боте, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного
состо
я
ния на нулевой уровень.
Свойства потенциальной энергии:
1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной
функцией
механического состояния системы.
2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора нулевого
уровня потенциальной энергии.
Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной
силе, так и консервативная сила может быть оп
ределена по потенциальной энергии:

E
grad
F
-
=
r
,
причем:
x
E
F

x
ﾶ
ﾶ
-
=
;
y
E
F

y
ﾶ
ﾶ
-
=
;
z
E
F

z
ﾶ
ﾶ
-
=
.
Примеры потенциальной энергии:
1)
mgh
E
?
=
-
потенциальная энергия тела массой m, под
нятого на высоту h от
н
у
лев
о
го уровня энергии в поле тяжести Земли;
2)
2
kx
E
2
?
=
-
потенциальная энергия упругого деформированного тела, х
-
модуль
деформации тела.
2. Законы сохранения в механике.
2.1
. Закон сохранения механической энергии
.
Пол
ная механическая энергия
системы тел равна сумме кинетической и
п
о
тенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними
тел
а
ми:
Е = Е
к
+ Е
п
.
Приращение полной механической энергии системы определяется работой
всех неко
н
сервативных сил (вн
ешних и внутренних):
￥
=
-
=
D
.
:>
.
=
,
i
1
2
A
E
E
E
.
Закон сохранения механической энергии
. Полная механическая энергия
сист
е
мы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается
постоя
н
ной.
В замкнутой системе (то есть системе тел, на которые не действ
уют внешние
силы) полная механическая энергия остается постоянной, если между телами,
с
о
ставляющими систему, действуют только консервативные с
и
лы.
2.2.
Закон сохранения импульса. Удар двух тел.

6
Закон сохранения импульса
. Импульс замкнутой системы тел ост
ается посто
-
янным.
Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на
координа
т
ные оси:
￥
￥
￥
=
=
=
=
=
=
=
=
=
n
1
i
zi
i
z
n
1
i
yi
i
y
n
1
i
xi
i
x
const
ￅ
m
p
const;
ￅ
m
p
const;
ￅ
m
p
.
Если система не замкнута и
2=
F
r

0, но
2=
x
F
= 0, то будет сохраняться
пр
о
екция импульса сис
темы на ось Х.
Ударом называется кратковременное взаимодействие тел. Выделяют два
пр
е
дельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.
При абсолютно упругом ударе сохраняется импульс системы тел и полная м
е
хан
и
ческая
энергия.
П
осле абсолютно неупругого удара тела движутся вместе с одинаковой скор
о
стью. Импульс
системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохр
а
няется. Часть механической
энергии переходит во внутреннюю энергию тел.
2.3.
Закон сохранения момента импу
льса.
Закон сохранения момента импульса.
Момент импульса замкнутой системы
тел остается постоянным:
const.
L
0;
dt
L
d
0;
M
=
=
=
r
r
r
Если система не замкнута, но имеется ось вращения, относительно которой
суммарный момент внешних сил равен нулю,
то момент импульса системы тел
о
т
носительно этой оси остается постоянным.
const.
L
;
0
M
x
x
=
=
Примеры решения задач.
Пример 1.
Небольшое тело массой
m
равномерно втащили на горку, действуя
силой, которая в каждой точке направлена по касател
ьной к траектории. Найти
р
а
боту этой силы, если высота горки
h
, длина ее основания
l
, и коэффициент
тр
е
ния

.
Решение.
Работу, совершаемую силой
F
r
, можно найти по общему
опред
е
лению р
а
боты:
(
)
.
r
d
F
A
A
2
1
r
r
￲
￲
=
=
r
r
d
Дано:
m
h
l


7
Для этого необходимо предварительно найти силу
F
. Ра
с
смотрим перемещаемое
тело в произвольной точке траектории его
дв
и
жения. На тело действуют четыре силы:
сила тяжести
g
m
r
, сила реакции оп
о
ры
N
r
, сила
трения ск
ольжения
B
F
r
и внешняя сила
F
r
.
П
о
скольку по условию задачи тело движется
ра
в
номерно, то векторная сумма этих сил равна
н
у
лю:
0
F
N
g
m
F
B
=
+
+
+
r
r
r
r
Выберем координатные оси
X
и
Y
таким
о
б
разом, чтобы о
сь
X
была направлена по
кас
а
тельной к траектории (вдоль перемещения
r
d
r
). Запишем ве
к
торное равенство в проекциях на эти коорд
и
натные оси.
ox
:
0
F
-
sin
mg
-
F
B
=
a
oy
:
0
cos
mg
-
N
=
a
Тогда
a
m
m
Ao
mg
N
F
B
=
=
, а модуль силы
a
m
a
Ao
mg
sin
mg
F
+
=
Теперь можно найти выражение для элементарной работы, совершаемой силой
F
при перемещени
и тела на расстояние
dr
. При этом учтем, что угол между вект
о
рами
F
r
и
r
d
r
равен нулю и косинус этого угла равен единице.
Тогда
(
)
a
m
a
d
Ao
dr
mg
sin
dr
mg
dr
F
r
d
F
A
+
=
=
=
r
r
Из рис. 1 видно, что
dh
sin
dr
=
a
, то есть элементарному приращению выс
о
ты
при перемещении тела на расстояние
dr
, а
l
d
cos
dr
=
a
, то есть элементарному
п
е
р
е
мещению тела в горизонтальном направлении.
Тогда
l
d
mg
dh
mg
A
m
d
+
=
и полная работа, совершаемая силой
F
при втаскивании тела на горку:
(
)
l
l
l
l
h
mg
mg
mgh
d
mg
dh
mg
A
0
h
0
m
m
m
+
=
+
=
+
=
￲
￲
Ответ:
(
)
l
h
mg
A
m
+
=
.
Пример 2
. На горизонтальной поверхности лежит брусок массой
m
= 11 кг.
К бруску прикреплена пружина жесткостью
k
= 200 Н/м. Коэффициент трения
r
d
r
y
x
N
r
"
F
r
F
r
α
α
g
m
r
l
h
Рис. 1

8
Дано:
m
= 11 кг
k
= 200 Н/м

= 0,1

= 45
о
S
= 50 см = 0,5 м
A
-
?
м
е
жду бруском и поверхностью

= 0,1. Вначале пружина не деформирована.
Затем, пр
и
ло
жив к свободному концу пружины силу
F
, направленную под углом

= 45
о
к гор
и
зонту, брусок медленно переместили на расстояние
S
= 50 см. Какая
работа была при этом совершена?
Решение
В данной задаче работа, соверша
е
мая силой
F
r
, идет не
только на перемещение бруска, но и на увеличение
потенц
и
альной энергии пружины при ее предварительном
растяж
е
нии.
(
)
?
r
r
E
r
d
F
A
2
1
D
+
=
￲
r
r
.
Найдем силу
F
. На перемещаемое тело действуют четыре
силы:
сила
F
r
, сила тяжести
g
m
r
, сила реакции опоры
N
r
и
сила трения скольжения
B
F
r
. Так как по
у
с
ловию задачи т
е
ло перемещается ме
д
ленно,
то есть без ускорения, то векто
р
ная
сумма
этих сил равна нулю.
0
F
N
g
m
F
B
=
+
+
+
r
r
r
r
.
Выберем оси координат: горизонтальную
OX
и вертикальную
OY
. Запишем векто
р
ное
равенство для сил в проекциях на эти
коорд
и
натные оси.
Рис. 2
ox
:
0
F
-
cos
F
B
=
a
;
oy
:
0
N
mg
-
sin
F
=
+
a
.
Тогда
a
sin
F
-
mg
N
=
и
a
m
m
m
sin
F
-
mg
N
F
B
=
=
.
Теперь выразим силу
F
.
a
m
a
m
sin
cos
mg
F
+
=

Чтобы в дальнейшем не делать громоздких алгебраических преобразований,
им
е
ет смысл вычислить значение силы
F
.

9
,
13
45
sin
1
,
0
45
cos
9,8
11
0,1
F
o
o
=
ￗ
+
ￗ
ￗ
=
.
Найдем работу силы
F
по перемещению бруска. При этом учтем, что модуль
силы
F
и угол

между направлением силы и направлением перемещения остаю
т
ся
постоянными.
a
N
r
F
r
"
F
r
g
m
r

9
(
)
a
a
cos
S
F
cos
dS
F
r
d
F
A
S
r
r
?5
2
1
=
=
=
￲
￲
r
r
.
Вычислим эту работу: А
пер
= 13,9

0,5

со
s
45
о
= 4,9 Дж.
Теперь найдем приращение потенциальной энергии пружины при ее
предвар
и
тельном растяжении силой
F
. Модуль силы упругости пр
о
порционален
величине деформации
F
=
kx
, а приращение потенциальной энергии
первоначально не д
е
формированной пружины
2
kx
E
2
?
=
D
. Тогда
k
F
x
=
и
2k
F
E
2
?
=
D
.
Сделаем вычисления:
(
)

48
,
0
200
2
9
,
13
E
2
?
=
ￗ
=
D
.
И окончательно полн
ая работа, совершаемая силой
F
:
A
=
A
пер
+

E
п
= 4,9 + 0,48 = 5,38
Дж
.
Ответ:
А = 5,38 Дж.
Пример 3
. На пути бруска, масса которого
m
0
=
2 кг, скользящего по
гладк
о
му горизо
н
тальному столу, находится незакрепленная горка. Она имеет
массу
m
= 10 кг и тоже может скользить без трения. Какую минимальную скорость
нужно придать бруску, чтобы он мог перевалить через горку? Высота горки
H
,
трение м
е
жду бр
у
ском и горкой пренебрежимо мало.
Решение
Рассмотрим систему, состоящую из двух тел
–
бруска и го
р
ки
(рис. 3). Поскольку по условию задачи, трение между бруском и
го
р
кой, а также между горкой и столом отсутствует, то система
является консервативной и для нее будет выполняться закон
с
о
хранения энергии. Данная система не является замкнутой,
п
о
скольку на брусок и горку действуют внешние силы
–
силы
т
я
жести и силы реакции опоры. Однако эти внешние силы
Дано:
m
0
=
2 кг
m
= 10 кг
H
= 1 м
V
-
?
m
H
m
0
V
r
8
r
m
0
m
H

10
направлены вертикально и
значит их проекции на горизонтальную ось
X
равны
н
у
лю. Поэтому сумма проекций импульсов тел системы на горизонтальную ось
X
б
у
дет оставаться п
о
стоянной.
Рассмотрим два состояния системы: 1) горка н
е
подвижна; брусок движется по
столу в горизонтальном
направлении с минимально необходимой скоростью
v
, для
того, чтобы переехать горку; 2) брусок находится на вершине горки, и они
движу
т
ся с одинаковой (в данный момент) скор
о
стью
u
.
Запишем для этих состояний системы закон сохранения энергии:
(
)
H
g
m
2
u
m
m
2
v
m
0
2
0
2
0
+
+
=
(в данном равенстве за нулевой уровень потенциальной энергии бруска принят
ур
о
вень поверхности стола) и закон сохран
е
ния импульса для проекций импульсов
на о
c
ь О
X
:
(
)
x
0
x
0
u
m
m
v
m
+
=
Учтем
, что проекции векторов скоростей на ось
X
равны модулям этих вект
о
ров:
v
x
=
v
,
u
x
=
u
. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
v
и
u
.
(
)
H
g
m
2
u
m
m
2
v
m
0
2
0
2
0
+
+
=
;
(
)
u
m
m
v
m
0
0
+
=
.
Сделав несложные алгебраические преобразования, получим
(
)
m
m
m
H
2g
v
0
+
=
.
Сделаем вычисления:
(
)
</
85
,
4
10
10
2
9,8
2
v
=
+
ￗ
ￗ
=
.
Ответ:
v
= 4,85 м/с.
Пример 4
. Тело соскальзывает по желобу, имеющему разрыв в верхней части.
Радиусы желоба
R
, идущие к краям разрыва, образуют угол 2

(рис.
4). С какой
высоты
H
относительно краев разрыва должно начать скользить тело, чтобы
прол
е
тев ра
з
рыв, снова попасть на желоб? Трением пренебречь.
Решение
Поскольку по условию задачи трение тела о дорожку, по кот
о
рой
оно движется, отсутствует, то ра
с
сматриваемое тело можно считать
консервативной сист
е
мой и применять для описания его движения
закон сохранения энергии. Сра
в
ним два состояния тела: 1) тело
Дано:
R

H
-
?
Рис. 3

11
неподвижно и находится в верхней точке своей трае
к
тории; 2) тело вылетает из
разрыва желоба
со скоростью
v
. Если за нулевой ур
о
вень потенциальной энергии
принять уровень, на котором тело н
а
ходится в состоянии 2, то закон сохранения
энергии можно зап
и
сать следующим образом:
2
mv
mgH
2
=
.
Отсюда скорость вылета
тела из разры
ва желоба
2gH
v
=
.
Далее тело движется по
пар
а
болической траектории
под действием силы тяжести с
у
с
корением
g
r
. Для опис
а
ния
этого движения выберем
н
а
чало координат в точке
выл
е
та из желоба и направим
оси координат
, как показано
на рис. 4. Уравнение движения в векторном виде записывае
т
ся так:
2
t
g
t
v
r
2
r
r
r
+
=
.
В проекциях на выбранные координатные оси (с учетом того, что ускорение
св
о
бодного падения направлено противоположно оси
Y
) данное уравнение примет
вид
2
t
g
-
t
sin
v
y
,
t
Ao
v
x
2
ￗ
=
ￗ
=
a
a
.
Чтобы тело, пролетев разрыв, попало на его левый край, оно должно оказаться в
точке с координатами
x
= 2
R
Sin

;
y
= 0 (см. рис. 4).
Тогда
2
t
g
-
t
sin
v
0
t,
cos
v
sin
2R
2
ￗ
=
ￗ
=
a
a
a
.
Выразив из второго уравнения время по
лета
t
и подставив его в первое
уравн
е
ние, получим
g
sin
cos
v
2
sin
2R
2
a
a
a
ￗ
=
.
И, наконец, учитывая, что
gH
2
v
=
, и проведя необходимые сокращения,
п
о
лучим
a
cos
2
R
H
=
.
Ответ:
a
cos
2
R
H
=
.
Рис.4
Рис.4

12
Пример 5
. На гладкой горизонтальной поверхности находятся две одинаковые
соприк
а
сающиеся шайбы. Третья такая же шайба налетает
на них со скоростью
v
0
= 6 м/с, направленной по общей касательной к неподвижным шайбам. После
стол
к
новения налетевшая шайба движется вдоль первоначального направления
со скоростью
v
1
= 2 м/с. Найти величину энергии, перешедшей во внутреннюю
энерг
ию тел при столкновении? Масса ка
ж
дой шайбы
m
= 100 г.
Решение
Рассмотрим систему, состоящую из трех шайб. Да
н
ная
система не является консервативной, так как в у
с
ловии зад
а
чи
требуется найти энергию, перешедшую во внутреннюю энергию
тел при их
взаимодействии. Зн
а
чит удар не является абсолютно
упругим, и механич
е
ская энергия системы не с
о
храняется.
Строго говоря, эта система не является и замкнутой, так как на
тела действуют внешние силы тяжести и реакции поверхн
о
сти,
на которой находятся шайбы.
Одн
а
ко эти внешние силы
направлены вертикально и их проекции на любую
гор
и
зонтально проведенную ось равны нулю. Поэтому при
описании удара тел можно пользоваться законом сохранения
импульса (для его проекций на любую г
о
ризонтал
ь
ную ось).
Рассмотрим
два
состояния выбранной
системы тел: 1)
налетающая шайба
дв
и
жется со скоростью
v
0
вдоль горизонтальной оси
OX
, остальные две шайбы
пок
о
ятся; 2) после
частично неупругого удара
нал
е
тающая шайба
движется вдоль оси
OX
с
меньшей ск
о
р
о
стью
v
1
, а
две перво
начально
покоившиеся шайбы
разлетаются со ск
о
ростями
v
2
и
v
3
.
Поскольку размеры всех шайб одинаковы, то скор
о
сти
v
2
и
v
3
, направленные
вдоль прямых, соединя
ю
щих центры шайб в момент удара, составляют один
а
ковые
углы

= 30
о
с осью
OX
, а так ка
к массы всех шайб по условию равны, то очевидно,
что скорости
v
2
и
v
3
равны по мод
у
лю, то есть
v
2
=
v
3
=
v
.
Теперь запишем закон сохранения импульса для проекций импульсов
взаим
о
действующих тел на ось
OX
.
mv
0
x
=
mv
1
x
+
mv
2
x
+
mv
3
x
Учтем, что
v
0
x
=
v
0
;
v
1
x
=
v
1
;
v
2
x
=
v
3
x
=
v
с
os

.
Тогда
mv
0
=
mv
1
+ 2
mv
с
os

.
Отсюда
a
Ao
2
v
v
v
1
0
-
=
.
Дано:
v
0
= 6 м/с
v
= 2 м/с
m
= 100 г = 0,1 кг

U
-
?
0
V
r
m
m
m
a
a
1
V
r
V
r
V
r

13
Энергию, перешедшую во внутреннюю энергию тел при частично неупругом
ударе, можно найти как разность кинетической энергии налетающей шайбы до
уд
а
ра и суммарной кинетической энергии всех тел после удара:
(
)
(
)
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
-
-
-
=
-
-
-
=
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
+
-
=
D
a
a
2
2
1
0
2
1
2
0
2
2
1
0
2
1
2
0
2
2
1
2
0
Ao
2
v
v
v
v
2
m
Ao
4
v
v
m
2
mv
2
mv
2
mv
2
2
mv
2
mv
U
.
Сделаем вычисления:
(
)
6
07
,
1
30
Ao
2
2
-
6
2
6
2
0,1
U
o
2
2
2
2
=
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
-
-
=
D
Ответ:

U
= 1,07 Дж.
Пример 6
. Кубик массой
m
= 2 кг соскальзывает без начальной скорости с
ве
р
шины гладкой горки высотой
h
= 1 м. Горка может перемещаться без трения по
г
о
ризонтальной п
оверхности. Масса горки
M
= 7 кг. В конце
спуска кубик удар
я
ется о пружину с коэффициентом жесткости
k
= 100 Н/м, прикрепленную к основ
а
нию горки, и сжимает ее.
Опред
е
лить: а) скорости горки и кубика относительно горки в
момент удара кубика о п
ружину; б) ускорение горки в момент
на
и
большей деформации пруж
и
ны.
Решение
Рассмотрим систему тел, состоящую из к
у
бика,
горки и пруж
и
ны. По условию задачи трение в системе
отсутствует, значит си
с
тема консервативна, и энергия
системы остается п
о
сто
янной в л
ю
бой момент
времени. Кроме т
о
го, внешние по отношению к
в
ы
бранной си
с
теме силы тяжести и реакции
горизонтальной повер
х
ности направлены вертикально,
след
о
вательно, будет сохраняться и сумма прое
к
ций
импульсов тел на любую горизо
н
тальную ось.
Выберем три состояния системы (рис. 6): 1) к
у
бик
находится на вершине горки, горка и кубик
неподвижны, пружина не деформир
о
вана; 2) кубик
находится в нижней точке своей траектории и
движется в горизонтал
ь
ном направлении со
скоростью
v
1
(относ
и
тельно
земли), горка движется
в противоп
о
ложную сторону со скоростью
v
2
,
пр
у
жина не деформирована; 3) кубик остановился
(о
т
н
о
сительно горки), пружина ма
к
симально сжата.
Запишем для первого и второго с
о
стояний з
а
кон
сохранения и
м
пульса:
0
v
M
v
m
2x
1x
=
+
,
Дано:
m
= 2 кг
M
= 7 кг
h
= 1 м
k
= 100 Н/м
v
2
, v
от
,
a
-
?
Рис.6
Рис. 6

14
и если ось
X
направлена вдоль ве
к
тора скорости кубика
1
v
r
, то
v
1
x
=
v
1
, а
v
2
x
=
-
v
2
.
Тогда уравнение пр
и
мет вид:
0
v
M
v
m
2
1
=
-
.
Теперь свяжем эти же состояния законом сохранения энергии, принимая за нул
е
вой уровень
пот
енциальной энергии уровень нижнего полож
е
ния кубика.
2
v
M
2
v
m
h
g
m
2
2
2
1
+
=
.
Совместно решая последние два уравн
е
ния, найдем скорости
v
1
и
v
2
.
M
v
m
v
;
m
M
h
g
M
2
v
1
2
1
=
+
=
.
Сделаем вычисления:
</
1
,
1
7
9
,
3
2
v
;
</
9
,
3
2
7
1
8
,
9
7
2
v
2
1
=
ￗ
=
=
+
ￗ
ￗ
ￗ
=
.
Заметим, что найденны
е скорости тел определены относительно земли, прин
я
той за
неподвижную систему отсчета. Скорость же кубика относительно горки в соо
т
ветствии с законом
сложения скор
о
стей
2
1
>
v
v
v
+
=
или численно
v
от
= 3,9 + 1,1 = 5 м/с.
Теперь приступим
к нахождению ускорения горки в момент наибольшего сж
а
тия пружины.
Очевидно, что сила, создающая это ускорение, это сила упругости пр
у
жины. Для ее нахождения
потребуется определить величину деформации пр
у
жины
x
. Рассмотрим подробнее третье
состояние систе
мы. Поскольку сумма пр
о
екций импульсов кубика и горки на ось
X
остается
постоянной (и равна нулю), то оч
е
видно, что в момент наибольшей деформации пружины, когда
кубик останавлив
а
ется, горка останавливается тоже. Тогда полная энергия системы в данном
сос
то
я
нии
–
это потенциальная энергия сжатой пружины. Теперь свяжем третье с
о
стояние с
первым с помощью закона сохранения эне
р
гии:
2
k x
h
g
m
2
=
.
Выразим из этого равенства величину деформации пружины
x
.
k
h
g
m
2
x
=
.
Модуль с
илы упругости по закону Гука
F
=
k
x
, а ускорение горки в соответс
т
вии со вторым
законом Ньютона
a
=
F
/
M
. Учитывая это, получим
M
k
h
g
m
2
M
k x
M
F
=
=
=
a
.
Вычислим ускорение горки
2
</
9
,
8
7
100
1
8
,
9
2
2
=
ￗ
ￗ
ￗ
ￗ
=
a
.

15
Ответ:
v
2
= 1,1 м/с,
v
от
= 5 м/с,
а =
8,9 м/с
2
.
Пример 7
. Два бруска соединены пружиной, расположенной вертикально. Ни
ж
ний брусок
лежит на столе. На верхний брусок падает грузик. С какой минимал
ь
ной высоты
h
(отсчитывая
от верхнего бруска) должен упасть грузик, чтобы ни
ж
ний брусок подпрыгнул над столом?
Массы каждого бруска и гр
у
зика одинаковы и равны
m
= 500 г,
коэффициент жесткости пружины
k
= 100 Н/м. Соударение гр
у
зика с
верхним бруском абсолютно н
е
упругое.
Решен
ие
Рассмотрим последовательно несколько с
о
стояний
системы, состоящей из двух бр
у
сков, пружины и
грузика (рис.7): 1) грузик нах
о
дится на высоте
h
над
верхним бр
у
ском, и если за нулевой уровень
потенциальной эне
р
гии принять
поверхность
верхнего
бруска при недеформирова
н
ном состоянии
пружины, то грузик обладает потенциальной
энергией
E
гр1
=
m
g (h
–
x
1
). Пружина при этом
дефо
р
мирована на величину
x
1
, так что сила
тяж
е
сти, действующая на верхний брусок,
ура
в
н
о
вешивается силой упругости пружины
mg
=
kx
1
. Тогда
x
1
=
mg
/
k
, а пружина обл
а
дает
потенц
и
альной энергией
E
пр
=
kx
1
2
/2. Верхний
брусок, находясь ниже н
у
левого уровня
потенциальной энергии, имеет п
о
тенциальную
энергию Е
бр
=
-
mgx
1
; 2) в р
е
зультате неупругого
соударения грузика с верхним
бруском оба
пр
и
обрели скорость
u
и соответствующую
кинетическую эне
р
гию. Потенциал
ь
ная энергия
пружины по
-
прежнему равна
E
пр
=
kx
1
2
/2;
потенциал
ь
ная энергия грузика Е
гр2
=
-
mgx
1
,
верхнего бр
у
ска: Е
бр
=
-
mgx
1
; 3) после
максимал
ь
ного сжатия пр
у
жины в
ерхний брусок с
грузиком движутся вверх, пружина раст
я
гивается. В
третьем с
о
стоянии системы верхний брусок с
грузиком остановились, растянув пружину до
величины
x
1
относительно недеформ
и
рованного
состояния. Очевидно, именно т
а
кого растяжения
пружины буде
т достаточно, чтобы сила упругости,
действу
ю
щая на нижний брусок, уравновесила силу
тяжести, действующую на него, и нижний бр
у
сок
подпрыгнул над столом. В данном состоянии
пружина обладает потенц
и
альной энергией
E
пр
=
kx
1
2
/2, а верхний брусок с грузиком
имеют
потенциальную эне
р
гию, равную
E
п
= 2
mgx
1
.
Теперь приступим к реш
е
нию.
Дано:
m
= 500 г = 0,5 кг
k
= 100 Н/м
h
-
?
Рис. 7

16
Считая грузик консервативной системой (до его соударения с бруском), прим
е
ним закон
сохранения энергии для нахождения скорости грузика в момент соудар
е
ния.
(
)
h
g
2
v
>BA
,
mgx
2
v
m
x
-
h
g
m
1
2
1
=
-
=
.
Ввиду кратковременности удара систему, состоящую из грузика и верхнего бр
у
ска, считаем
замкнутой и применяем для нее закон сохран
е
ния импульса.
2
h
g
2
v
u
>BA
,
u
m
2
v
m
=
=
=
.
В дальнейшем система всех четырех тел остает
ся консервативной. Запишем з
а
кон сохранения
энергии, связывая второе и третье состояния системы.
1
2
1
1
2
1
2
x
g
m
2
2
k x
mgx
2
2
k x
2
u
m
2
+
=
-
+
.
Подставляя сюда полученное выражение для скорости
u
и проведя необход
и
мые сокращения,
получаем:
k
g
m
8
x
8
h
1
=
=
.
Проводим вычисления:
<
0,392
100
9,8
0,5
8
h
=
ￗ
ￗ
=
.
Ответ:
h
= 0,392 м.
Пример 8
. Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вок
руг
горизонтальной оси
аа

, совпадающей с одной из ее
ст
о
рон длиной
а
(рис. 8). Вторая сторона
b
=0,6 м. В точку,
н
а
ходящуюся ниже оси вращения на ра
с
стоянии
x
= 0,5
м, ударяет шарик массой
m
1
= 10 г, летевший со
скоростью
v
= 2
0 м/с. Масса пластины
m
2
= 0,8 кг, момент
инерции пл
а
стины относительно з
а
данной оси
J
= 1/3(
m
2
b
2
).
Какую у
г
ловую скорость приобретает пластина, если удар
абсолютно упр
у
гий?
Решение
Рассмотрим систему, состоящую из пластины и шарика.
Да
н
ная система
является консервативной, поэтому для ее опис
а
ния можно
применять закон сохранения энергии. Поскольку внешние силы тяж
е
сти и
реакции опор оси не создают в момент удара вращающих моментов отн
о
сительно
Дано:
b
= 0,6 м
x
= 0,5 м
m
1
= 10 г = 0,01 кг
v
= 20 м/с
m
2
=
0,8 кг

-
?

17
оси
аа

, то можно использовать и закон сохр
анения моме
н
та импульса. Выберем
два состояния системы (рис. 8): 1) непосредственно перед ударом пластина
неподвижна, а шарик, двигаясь горизонтально со скоростью
v
, обладает
кин
е
тической энергией Е
к1
=
m
1
v
2
/2 и моментом импульса
о
т
носительно оси
аа

L
1
=
m
1
v
x
; 2) непосредственно после удара скорость шарика также можно
считать горизо
н
тальной и равной
v
1
, но направленной в противоположную
сторону. Тогда его кинетическая энергия Е
к2
=
m
1
v
1
2
/2, а м
о
мент импульса
относитель
но оси
аа

L
2
=
-
m
1
v
1
x
. Пластина непосредственно после удара имеет
у
г
ловую скорость

и следовательно кинетическую энергию Е
кп
=
J

2
/2 и
момент импульса относител
ь
но оси
аа

L
п
=
J


.
Запишем для первого и второго состояний закон сох
ран
е
ния энергии
2
J
2
v
m
2
v
m
2
2
1
1
2
1
w
+
=
и закон сохранения момента импульса
x
v
m
-
J
x
v
m
1
1
1
w
=
.
Решим полученные уравнения совместно, исключая неи
з
вестную скорость
v
1
и
находя неизвестную угловую скорость

вращен
ия пластины. Проведем
алгебра
и
ческие преобразования. Первое уравнение умножим на 2 и выделим в
левой части равенства член, содержащий скорость
v
1
. Вт
о
рое уравнение поделим
на
x
и также выделим в левой части равенства член, содержащий ск
о
рость
v
1
.
.
v
m
x
J
v
m
;
J
v
m
v
m
1
1
1
2
2
1
2
1
1
-
=
-
=
w
w
Теперь умножим первое уравнение на
m
1
, а второе возведем в квадрат.
m
1
V
r
m
2
a
a
’
b
x
m
1
1
V
r
m
2
a
a
’
b
x
w
r
Рис.8
Рис.8

18
.
v
m
x
J
v
m
;
m
J
v
m
v
m
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
￷
￸
￶
￧
￨
￦
-
=
-
=
w
w
Приравняем правые части уравнений и выразим искомую величину

.
Прежде, чем рассчитать

, вычислим момент инерции пласт
ины
J
= 1/3(
m
2
b
2
2
).
J
= 1/3(0,8

0,6
2
) = 0,096 кг

м
2
.
Теперь вычислим

:
@04
03
,
2
5
,
0
01
,
0
0,5
0,096
20
0,01
2
=
ￗ
+
ￗ
ￗ
=
w
.
Ответ:

= 2,03 рад/с.
Задачи, рекомендуемы
е для решения на аудиторных занятиях
1.
Доска массой
m
и длиной
l
лежит у границы двух
соприкасающихся поверхностей из разных мате
риалов.
К
а
кую работу надо сове
р
шить, чтобы передви
нyтъ доску
на вторую полуплоскость, прикладывая к ней горизонта
льную силу (рис. 9)?
Коэфф
и
циенты трения поверхн
о
стей
μ
1
и
μ
2.
Ответ:
(
)
2
1
2
g
m
A
m
m
+
=
l
.
2. Чтобы вытащить гвоздь длиной
l
= 10 см из доски, нужно п
риложить силу не
менее чем
F
= 500 Н. Считая, что сила взаимодейст
вия гвоздя с матери
а
лом доски
пропорциональна погруженной в доску части гвоздя, найти минимальную работу,
с
о
вершенную при вытаскивании гвоздя. Вес гвоздя не учитывать.
Ответ:
А = 25 Дж.
3. Какую работу надо совершить, чтобы опроки
нуть шкаф через нижний угол?
Ма
с
са шкафа
m
= 50 кг, высота
h
= 2 м, ширина
b
= 1 м.
Ответ:
А = 57,8 Дж.
4. Автомобиль с работающим двигателем въезжает на обледене
лую гору,
п
о
верхность которой образует угол
α
с горизонтом. Какой вы
соты
гору может
.
x
m
x
J
v
m
2
1
1
+
=
w
Рис. 9

19
преод
о
леть авт
омобиль, если его начальная скорость
при въезде равна
v
0
,
а
коэффиц
и
ент трения колес о лед
μ < tg

?
Ответ:
)
ctg
-
(1
2g
v
h
2
0
a
m
=
.
5. На платформе уста
новлена безоткатная пушка, из которой производится
в
ы
стрел вдоль рельсов под углом

= 45
о
к горизонту Определить начальную
ск
о
рость
v
0
снаряда, если известно, что после выстрела платформа откатилась
на рассто
я
ние
S
= 3 м. Масса платформы
с пушкой
M
= 20 т, масса снаряда
m
= 10 кг, коэффиц
и
ент трения

= 0,002.
Ответ:
v
0
= 970 м/с.
6. Снаряд, летевший на вы
соте
H
= 40 м горизонтально со скоростью
v
= 100 м/с, разрывается на две равные части. Одна часть снаряда спустя время
t
= 1 с падает на землю точно под местом взрыва. Определить величину и
напра
в
ление ск
о
рости другой части снаряда сра
зу после взрыва.
Ответ:
v
2
= 203 м/с;
ве
к
тор
v
2
направлен под
углом

= 10
о
к гор
и
зонту.
7. Небольшая шайба массой
m
скользит без трения с высоты
h
по
ж
е
лобу, переходящему в петлю
радиусом
R
(рис. 10). Определите угол

, при котором произо
й
дет отрыв
шайбы от желоба.
Ответ:
￷
￸
￶
￧
￨
￦
-
=
1
R
h
3
2
arcsin
a
.
8. Однородный шар радиусом
r
= 20 см скатывается без скольжения
с вершины
сферы радиусом
R
= 50 см. Определите угловую скорость

вращения шара
п
о
сле о
т
рыва от поверхности сферы.
Ответ:

= 10 рад/с.
9. Спортсмен с высоты
h
= 12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой
се
т
ки, определите, во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку
больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием силы тяжести
спор
т
смена
x
0
= 15 см.
Ответ:
в 13, 7 раза.
Рис.10

20
10. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на
x
1
= 2 мм. На сколько сожмет пружину та же
гиря, упавшая на конец пруж
и
ны
с в
ы
соты
h
= 5 см?
Ответ:
на
x
2
= 16,3 мм.
11. Молотком, масса которого
M
= 1 кг, забивают в стен
у гвоздь массой
m
= 50 г. О
п
ределить КПД удара молотка

.
Ответ:

= 95%.
12. Шар массой
m
, движущийся со скоростью
v
, нал
етает на покоящийся шар
массой
m
/2 и после упругого удара продолжает двигаться под углом

= 30
о
к
н
а
правлению своего первоначального движения. Найти скорости шаров после
стол
к
новения.
Ответ:
3
v
2
v
;
3
v
v
2
1
=
=
.
13. В маленькую металлическую пластинку массой
M
= 0,2 кг, подвешенную на
нити длиной
l
= 1 м, абсолютно упруго ударяет шарик массой
m
= 10 г, летящий
горизонтально. Вычислить импульс шарика д
о удара, если после удара нить
откл
о
н
и
лась на угол
α = 60
о
.
Ответ:
p
= 0,33 кг

м/с.
14. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях и касаютс
я друг друга.
Меньший шар отводят на угол

= 90
о
от вертикали и отпускают. После удара
ш
а
ры поднимаются на одинаковую высоту. Определить массу
m
2
меньшего шара,
е
с
ли масса большего
m
1
= 0,6 кг, а удар
-
абсолютно упругий.
Ответ:
m
2
= 0,2 кг.
15. Пуля массой
m
1
= 12 г, летящая горизонтально со скоростью
v
1
= 600 м/с,
попадает в мешок с песком массой
m
2
= 10 кг, подвешенный на длинно
й веревке, и
застревает в нем. Определите: 1) высоту
h
, на которую поднимется мешок,
откл
о
нившись после удара; 2) долю

кинетической энергии пули,
израсходованной на пр
о
бивание песка.
Ответ:
1)
h
= 2,64 см; 2)

= 99,9%.
16. На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться
вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиуса
r
= 50 см рельсы
и
г
рушечной железной дороги. Масса диска
m
1
= 1
0 кг, его радиус
R
= 60 см. На
рел
ь
сы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой
m
2
= 1 кг и
в
ы
пущен из рук. Он начал двигаться по рельсам со скоростью
v
= 0,8 м/с. С какой
угловой ск
о
ростью будет вращаться диск?
Ответ:

= 0,195 рад/с.

21
Домашнее задание
1. Ящик тянут равномерно по горизонтальной поверхности с помощью веревки,
которая образует с поверхностью угол

= 30
о
. Сила
натяжения веревки
F
= 25 Н.
Определить работу силы натяжения при перемещении ящика на расстояние
s
= 52 м.
2. Вертолет массой
m
= 5 т поднимается вертикально вверх с постоянным
уск
о
рением. Какую работу совершает двигатель вертолета при
подъеме его на
высоту
h
= 50 м за время
t
= 5
c
?
3. Лифт массой
m
= 103 кг начинает подниматься с постоянным ускорением
а
= 0,2 м/с
2
. Чему равна работа силы натяжения каната, с помощью которого
по
д
нимается лифт, за первые
t
= 4 с движения?
4. Груз массой
m
= 7 кг поднимают на веревке с поверхности земли на высоту
h
= 1 м: один раз равномерно, второй
-
равноускоренно с ускорением
а
= 2 м/с
2
. На
сколько работа по подъему груза во втором случае больше, чем в первом?
Сопр
о
тивление возду
ха не учитывать.
5. Сила тяги сверхзвукового самолета
F
= 220 кН при скорости полета
v
= 2340 км/ч. Найти мощность двигателей самолета в этом режиме полета. Какая
работа совершается им в течение
t
= 45 мин?
6. Найти работу силы
тяжести и среднюю мощность этой силы за первую
секу
н
ду свободного падения тела массой
m
= 1 кг; за пятую секунду.
7. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы за время
t
подняться по
движущемуся вниз эскалатору метро? Высота подъема
h
, скорост
ь эскалатора
v
,
угол наклона эскалатора к горизонту равен
α.
8. Какую работу совершит сила
F
= 30 Н при подъеме по наклонной плоскости
груза массой
m
= 2 кг на высоту Н = 2,5 м с ускорением а = 10 м/с
2
? Сила действует
параллельно наклонной плоскост
и, трением, пренебречь.
9. Транспортер поднимает песок в кузов автомобиля. Длина ленты транспортера
l
= 3 м, угол наклона ее к горизонту

= 30
о
. КПД транспортера
η = 85% .
Мо
щ
ность, развиваемая электродвигателем транспортера, N = 3,5 кВт. За
какое
время транспортер загрузит
m
= 6 т песка?
10. Цилиндрическая труба высотой Н, толщина стенок которой
b
, построена из
материала плотностью р. Сечение трубы
-
кольцо с внутренним радиусом r. Найти
работу против силы тяжести при сооружении трубы
.
11. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы из колодца глубиной
h = 10 м поднять на тросе ведро с водой массой
m
= 8 кг? Линейная плотность тр
о
са
ρ = 0,4
кг/м.
12. Оконную штору массой
m
= 2 кг длиной
l
= 2 м, шириной
h == 4 м:
а) свертывают в тонкий валик наверху окна; б) отодвигают по карнизy на одну
ст
о
рону окна. Коэффициент трения шторы о карниз
μ = 0,25.
Найти работу,
соверша
е
мую в каждом случае, и сравнить результаты.
13. Когда к пружине подвешен груз ма
ссой
m
1
= 3 кг, ее длина
l
1
= 112 мм. Если
масса груза
m
2
= 8 кг, то длина пружины
l
2
= 132 мм. Какую работу необходимо

22
с
о
вершить, чтобы растянуть пружину до длины
l
2
из недеформированного
состояния?
14. На горизонтальной плоскости лежит брусок массо
й
m
= 2 кг. К бруску
пр
и
креплена пружина жесткостью k = 100 Н/м. К пружине приложили
горизонтально действующую силу. Какую работу совершит сила к моменту, когда
брусок начнет скользить? Коэффициент трения о плоскость
μ = 0,5.
15. Два бруска массой
m
1
и
m
2
, соединенные недеформированной легкой
пр
у
жиной, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между
брусками и плоскостью
-
μ.
Какую минимальную постоянную силу нужно
приложить в гор
и
зонтальном направлении к бруску массой
m
1
, чтобы брусок
m
2
сдвинулся с места?
16. Санки массой
m
= 2 кг и длиной
l
= 1 м выезжают со льда на асфальт.
Коэ
ф
фициент трения полозьев об асфальт
μ = 0,5.
Какую работу совершит сила
трения к моменту, когда санки полностью окажутся на асфальте?
17. Тело массой
m
и длиной
l
лежит на стыке двух столов. Какую работу надо
совершить, чтобы перетащить волоком тело с первого стола на второй, если
коэ
ф
фициенты трения между телом и столами
μ
1
и
μ
2
соответственно?
18. На шероховатой горизонтальной поверхности лежи
т доска длиной
l
и ма
с
сой
m
. Коэффициент трения между доской и поверхностью
-
μ.
Какую работу
соверш
а
ет горизонтальная сила при повороте доски на угол
α = 360
о
вокруг
верт
и
кальной оси, проходящей через ее середину?
19. Две пружины, жесткости которых
k
1
= 300 Н/м и k
2
= 50 Н/м, скреплены
п
о
следовательно. Пружины растянуты так, что растяжение второй пружины
х
2
= 3 см. Вычислить работу по растяжению пружин.
20. Аэросани массой
m
= 2 т трогаются с места и движутся с постоянным
уск
о
рен
ием а = 0,5 м/с
2
. Коэффициент трения
μ = 0,1.
Определить среднюю
полезную мощность, развиваемую аэросанями на участке пути, которому
соответствует к
о
нечная скорость
v
= 15 м/с.
21. Какую работу совершает двигатель автомобиля «Жигули» массой
m
= 1,3 т
,
на первых
s
= 75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за время
t
= 10
c
? К
o
эффициент сопротивления движению
k
= 0,05. Чему будет равна работа
силы тяжести на этом участке пути?
22. Тело массой
m
= 2 кг движется равномерно п
о горизонтальной поверхности
под действием силы
F
,
направленной под углом

= 60
о
к горизонту. Коэффи
циент
трения тела о плоскость
μ = 0,2.
Определить, ка
кую работу совершает: сила
тяж
е
сти, сила реакции опоры
N
,
сила трения
F
тр
и сила
F
,
когда тело про
ходит путь
s
= 2 м.
23. Автомобиль массой
m
= 1,0 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно,
проходит путь
s
= 50 м за время
t
= 5 с. Найти среднюю и максимальную мощ
ности
двигателя при разгоне. Силами сопротивления пренебречь.
24
.
Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы за
бить гвоздь
длиной
l
=
5 см? Считать, что сила сопротивления пропорцио
нальна глубине
п
о
гружения гвоздя:
F
=
kx
,
где
k
=
104 Н/м. Вес гвоздя не учитывать.
25. Цепочка массой
m
= 0,8 кг и дл
иной
l
= 1,5 м лежит так, что один конец ее

23
свешивается с края стола. Цепочка начинает соскальзы
вать, когда свешивающаяся
часть составляет
l
1
=
1/3
l
. Какую работу совершит сила трения, дейс
т
вующая на
нее, при полном соскальзывании цепочки со стола?
26. Шар скатывается по наклонной плоскости дли
ной
L
= 7 м и углом
накл
о
на
α
= 30
о
. Определить ско
рость шара в конце наклонной плоскости. Трением
пре
небречь.
27. Обод массой
m
= 2 кг и внешним радиусом
R
= 5 см скатывается по
накло
н
ной пл
оскости длиной
L
= 2 м и углом наклона
α
= 30
о
. Определить его
момент инерции относительно оси вращения, если скорость в конце
наклонной плоскости
v
= 3,3 м/с.
28. Шар и сплошной цилиндр с одинаковыми массами и радиусами, двигаясь
с
одинако
вой скоростью, вкатываются вверх по наклонной пло
скости. Какое из тел
поднимается выше? Найти отноше
ние высот подъема.
29. Обруч, имеющий скорость
v
,
закатывается без проскальзывания на
накло
н
ную плоскость. На какую высоту поднимется его
центр?
30. Нить с подвешенным на ней грузиком отклонили на угол
α
и отпустили. На
какой угол от
клонится нить с противополож
ной стороны, если на одной верти
кали
с точкой подвеса на полови
не длины нити в стену вбит гвоздь.
31.
Тело брошено
вертикально вверх с начальной скоростью
v
0
= 3 м/с. На к
а
кой
высоте его кинетическая энергия будет равна потен
циальной? Сопротивление
во
з
духа не учитывать.
32. Тело массой
m
брошено со скоростью
v
0
под углом

к горизонту с высоты
h
.
Найти зав
и
симо
сть потенциальной и кинетической энергии от времени полета. В
какой момент времени кине
тическая энергия тела равна его потенциальной
эне
р
гии? При каких на
чальных условиях это возможно? Сопротивление воздуха не
уч
и
тывать.
33.
Тело, не отрываясь, ск
ользит без трения по
поверхности, меж
ду горизо
н
тальными частями
которой перепад высот
h
(рис. 11). На верхней
части поверхн
о
сти скорость тела
v
и угол между
скоростью и осевой линией

. К
а
ким будет угол
между скоростью и осевой линией
на нижней
части по
верхн
о
сти?
34. Небольшой по размеру груз массой
m
1
прикреплен к веревке длиной
l
и массой
m
2
,
л
е
жащей на гладком горизо
н
тальном столе
(рис.
12). Под тяжестью груза веревка начинает
соскальзывать со сто
ла. Какова будет скорость
веревки, когда
она полностью соскользнет со
ст
о
ла?
35.
Если на верхний конец вертикально расположенной пружины положить груз,
то пр
у
жина сожмется на расстояние
x
0
= 3 мм. На сколько сожмется пружина, если
тот же груз уп
а
дет на пружину с высо
ты
h
= 8 см?
Рис. 11
Рис. 12

24
36.
Тело массой
m
подвешено к потолку с помощью пружины жесткостью
k
.
К
а
кой максимальной скорости достигнет тело, если его
отпустить из положения, в
к
о
тором пружина не растян
у
та?
37.
Акробат прыгнул с трапеции на батут, который при этом прогнулся на
вел
и
чину h = 1 м. Высота тр
а
пе
ции над батутом
H
= 4 м. На сколько прогнется
батут, если акр
о
бат будет стоять на нем?
38. Система состоит из двух одинаковых кубиков
массой
m
каждый, между которыми находится
сж
а
тая пру
жина жесткостью k (см. рис.13). Ку
бики
св
я
заны нитью, ко
торую в некоторый момент
переж
и
гают. При к
а
ких значениях
Δ
l
-
на
чального
сжатия пружины
-
нижний к
у
бик подскочит после
пережи
гания нити?
39. С башни высотой
H
= 25 м горизонтально брошен камень со скоростью
v
0
= 15
м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня спустя одну
с
е
кунду после начала движения. Масса камня
m
= 0,2 кг. Сопротивлением воздуха
пр
е
небречь.
40. Камень брошен под углом

= 60
о
к горизонту со скоростью
v
0
= 15 м/с.
На
й
ти кинетическую,
потенциальную и полную энергии камня в высшей точке
трае
к
тории. Масса камня
m
= 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.
41. Груз положили на чашку пружинных весов. Сколько делений покажет
стре
л
ка весов при первоначальном отклонении, если после у
спокоения качаний она
пок
а
зывает 5 делений.
42. С какой скоростью двигался вагон массой
m
= 20 т, если при ударе о стенку
каждый буфер сжался на
x
= 10 см? Известно, что пружина каждого буфера
сжим
а
ется на
x
1
= 1 см под действием силы
F
1
= 9800 Н
.
43. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина
ст
а
ла больше на
x
= 10 см. С какой скоростью полетел камень массой
m
= 20 г?
Для натяжения резинового шнура на
x
1
= 1 см требуется сила
F
1
=9,8 Н.
44. Имеются два
цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый)
одинакового радиуса
R
= 6 см и массой
m
= 0,5 кг. За сколько времени каждый
ц
и
линдр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной
плоск
о
сти
h
= 0,5 м, угол наклона

= 30
о
, начальная
скорость каждого цилиндра
равна н
у
лю. Плотность алюминия

1
= 2700 кг/м
3
, плотность свинца

2
= 11300
кг/м
3
.
45. На какой угол надо отклонить однородный стержень, ось вращения котор
о
го
проходит через верхний конец стержня, чтобы нижний конец при про
хождении им
положения равновесия имел скорость
v
=5 м/с? Длина стержня
l
= 1 м.
46. Однородный стержень длиной
l
=
85 см подвешен на горизонтальной оси,
проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо
с
о
общить нижнему концу с
тержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
Рис. 13

25
47. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и
л
и
нейную скорость будет иметь в конце падения верхний его конец? Длина
каранд
а
ша
l
= 15 см.
48. Однородный шар массой
m
= 5 кг скатывается без скольжения по накло
н
ной
плоскости, составляющей угол

= 30
о
с горизонтом. Найти кинетическую энергию
шара через
t
= 1,6 с после начала дв
и
жения.
49. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со ск
о
ростью
v
= 7,2 км/ч.
На
какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической
энер
гии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.
50.
Гладкий резиновый шнур длиной
l
с коэффициентом
ж
е
ст
кости
k
закреплен в точке О. На другом его конце имеется
упор
B
.
От точки О начинает свободно па
дать шайба
A
массой
m
(рис. 14). Пренебрегая массой шнура и упо
ра, найти
максимал
ь
ное растяже
ние
x
шнура.
51. Платформа с установленным на ней орудием
дв
и
жется со скоростью
v
0
= 9 км/ч. Общая мас
са М = 200 т. Из
орудия выпущен сн
а
ряд массой m = 50 кг со скоростью
v
1
= 800 м/с относительно платформы. Определить скорость
платформы после выстрела, если: а) выстрел произведен по
н
а
пра
в
лению движения; б) выстрел произведен под углом

= 6
0
о
к направлению движ
е
ния.
52. Граната, летевшая горизонтально со скоростью
v
0
= 10 м/с, разорвалась на
две части массой
m
1
= 1 кг и
m
2
= 1,5 кг. Скорость большего куска осталась
гор
и
зонтальной и возросла до
v
2
= 25 м/с. Определить скорость и направ
ление
полета меньшего осколка.
5
3. Снаряд массой
m
=10 кг, двигаясь в верхней точке траектории со скор
о
стью
v
= 200 м/с, разорвался на две части. Меньшая (массой
m
1
= 3 кг) полетела вперед
под углом

= 60
о
к горизонту со скоростью
v
1
= 400 м/с.
С какой скоростью и в
к
а
ком направлении полетит большая часть снаряда?
54. Снаряд, выпущенный со скоростью
v
0
= 100 м/с под углом

= 45
о
к
горизо
н
ту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка.
Один о
с
колок упал на землю под то
чкой О со скоростью
v
1
= 97 м/с. С какой
скоростью упал на землю второй осколок?
55. Две одинаковые тележки движутся друг за другом (без трения) с
одинак
о
выми скоростями
v
0
= 2 м/с. На задней тележке находится человек
массой
m
= 50 к
г. Человек прыгает в переднюю тележку со скоростью
u
= 2 м/с
относ
и
тельно св
о
ей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна
M
= 100
кг, найти скор
о
сти, с которыми будут двигаться тележки после этого.
56. На краю покоящейся тележки массой
M
= 100 кг стоят два человека, масса
каждого из них
m
= 50 кг. Оба человека спрыгивают с одной и той же
горизонтал
ь
ной скоростью
U
относительно тележки 1) одновременно, 2) друг за
другом. В к
а
ком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?
Рис. 14

26
57. Ствол пушки без противооткатного устройства направлен под углом

= 45
о
к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в

= 50 раз меньше массы пушки,
v
0
= 180 м/с. Найти скорость пушки сразу после
выстрела, если ее
колеса свободны.
58. Конькобежец, стоящий на льду, бросает вдоль льда камень массой
m
= 0,5 кг. За время
t
= 2 с камень прошел по льду до остановки расстояние
s
= 20 м.
C
какой скоростью после броска камня начнет двига
ться конькобежец,
е
с
ли его масса М = 60 кг?.
5
9. Орудие установлено на железнодорожной платформе. Масса платформы с
орудием М = 50 т, масса снаряда
m
= 25 кг. Орудие выстреливает в горизонтальном
направлении вдоль железнодорожного пути. Начальная ско
рость
c
наряда
относ
и
тельно платформы
v
0
= 1000 м/с. Какую скорость
v
1
будет иметь платформа
после второго выстрела? Трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь.
60. На противоположных концах стоящей на рельсах железнодорожной
пла
т
формы закрепл
ены две пушки. Ствол первой из них установлен под
углом
α = 60
о
, а второй под углом
β = 45
о
к горизонту. Из первой пушки
производят в
ы
стрел снар
я
дом массой
m
= 50 кг. Затем таким же снарядом стреляют
из второй пушки. Оба снаряда имеют одинаков
ые начальные скорости
V
= 200 м/с
относ
и
тельно платформы. Определить скорость платформы после двух выстрелов.
Масса пла
т
формы с пушками и снарядами М = 1,5 т. Оба выстрела производятся в
противоп
о
ложные стороны вдоль рельсов. Трение отсутствует.
61.
Человек массой
m
= 70 кг находится на корме лодки, длина которой
l
= 5 м и
масса М = 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка
п
е
редвинется относительно воды? Может ли лодка передвинуться на расстояние
больше длины лодки?
62
. На корме и на носу лодки на расстоянии
l
= 3,4 м друг от друга сидят
рыб
о
ловы, масса которых
m
1
= 90 кг и m
2
= 60 кг. Рыболовы меняются местами.
Каково при этом перемещение лодки, если ее масса М == 50 кг? Может ли
перемещение лодки быть больше ее длины
?
63. Лягушка массой
m
сидит на конце доски массой М и длиной
l
.
Д
oc
к
a
плав
а
ет на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом
α
к горизонту вдоль
доски. Какой должна быть скорость лягушки
v
, чтобы она оказалась на другом
конце до
с
ки?
64. Н
a
н
ocy
лодки длиной
l
= 5 м стоит человек, держа на высоте
h
= 1 м камень
массой
m
= 1 кг. Человек бросает камень горизонтально вдоль лодки. Какую
ск
о
рость относительно берега должен сообщить человек камню, чтобы попасть в
ко
р
му лодки? Масса лодки с челове
ком М = 250 кг, сопротивление воды и во
з
духа
не учитывать.
65. Плот массой
m
1
движется по течению со ско
ростью
v
1
.
По берегу
перпенд
и
кулярно направлению движения плота бежит человек массой m
2
Скорость
человека
v
2
.
Ч
е
ло
век прыгает на плот. Чему р
авна скорость плота с че
ловеком?
66. Два мальчика, стоя на коньках, отталкивают
ся друг от друга и разъезжаю
т
ся
в разные стороны. Найти скорости мальчиков, если через время
t
= 2 с
ра
с
стояние между ними возросло до
s
= 10 м.
Массы мальчиков
m
1
= 40 кг,

27
m
2
= 60 кг. Трением пренебречь.
67. Пуля массой
m
,
летящая со скоростью
v
под углом

к гори
зонту, попадает в
брусок массой
M
,
лежащий на плоскости, и застр
е
вает в нем. Найти расстояние s,
пройденное бруском до ост
ановки, если коэффиц
и
ент трения бруска о плоскость

.
68. Между двумя лодками, находящимися на поверхности озера, натянута
вере
в
ка. Человек на первой лодке начинает тянуть веревку с постоянной
силой
F
= 50 Н. Определить скорости, с кот
орыми будет двигаться первая лодка
относ
и
тельно берега и относительно второй лод
ки через
t
= 5 с после того, как
чел
о
век на пе
р
вой лодке стал тянуть ве
ревку. Масса первой лодки с
человеком
m
1
= 250 кг, масса второй лодки с г
рузом
m
2
= 500 кг. Сопротивление
воды не уч
и
т
ы
вать.
69.
Молекула летит со скоростью
v
1
= 500 м/с и упруго ударяется о поршень,
движущийся навстречу ей. Скорость молекулы составляет угол
α = 60
о
с нормалью
поршня. Определить величину и направление ск
орости молекулы после удара.
Ск
о
рость поршня
v
2
= 20 м/с.
70.
Тележка с песком массой
M
= 10
кг катится со скоростью v
2
= 1 м/с по
гла
д
кой гори
зонтальной поверхности. В песок попадает и за
стревает в нем шар
массой
m
= 2 кг, летевший горизонтал
ьно навстречу тележке со скоростью
v
1
= 2 м/с. B какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после попадания
шара?
71. Граната, летящая горизонтально со скоростью
v
0
= 20 м/с, разорвалась на два
осколка. Меньший осколок, масса которого
составляет 40 % массы всей гранаты,
продолжал двигаться в прежнем направлении, но со скоростью
v
1
= 100 м/с. Найти
скорость большего осколка.
72. Тело массой
m
1
= 2 кг движется навстречу другому телу массой
m
2
= 1,5 кг
и неупруго сталкивается с н
им. Скорости тел непосредственно перед
столкновен
и
ем были
v
1
= 1 м/с и
v
2
= 2 м/с. Сколько времени будут двигаться эти
тела после столкновения, если коэффициент трения

= 0,05?
73. В лодке массой
m
1
= 240 кг стоит человек массой
m
2
= 60 кг. Ло
дка плывет
со скоростью
v
0
= 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со
скоростью
U
= 4 м/с относительно лодки. Найти скорость движения лодки после
прыжка человека 1) вперед по движению лодки, 2) в сторону, противоположную
движению лодк
и.
74. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной колесами. На
о
д
ном конце доски стоит человек. Масса человека
m
1
= 60 кг, масса доски
m
2
= 20 кг. С какой скоростью относительно пола будет двигаться тележка, если
чел
о
век п
ойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски)
U
= 1 м/с?
75. К аэростату, масса которого М, привязана веревочная лестница, на которой
стоит человек массой
m
. Аэростат неподвижен. В каком направлении и с какой
ск
о
ростью v будет перемещаться аэр
остат, если человек начнет подниматься с
пост
о
янной
c
коростью
U
относительно лестницы?
76. Нить математического маятника отклонили до горизонтального положения
и отпустили. Чему равна сила натяжения нити, когда она составляет угол
α =
45
о
с

28
вертика
лью? Чему равна сила натяжения в нижней точке? Масса маятника m.
77. Шарик массой
m
= 100 г, подвешенный на нити длиной
l
= 40 см, описывает
в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия шарика,
е
с
ли во время его движения нит
ь образу
ет с вертикалью постоянный угол

= 60
о
?
78.
На нити висит груз массой m
= 0,2 кг. Нить разрывается при силе натяжения
F
н
= 2,94 Н. Нить с грузом отклоняют на угол
α = 90
о
.
и отпускают. Определить
угол между нитью и вертикалью в тот момент,
когда она разорвется
.
79. Нить маятника налетает на гвоздь, вбитый на расстоянии
а
под точкой
по
д
веса. Найти максимальное натяжение нити.
Длина нити
l,
начальный угол
отклон
е
ния
α
о
.
80.
На невесомом резиновом шнуре длиной
l
=
1 м за
креплено тело
ма
с
сой
m
= 0,5 кг. Тело отвели в горизонтальное положение, не де
формируя шнур.
На сколько растянется шнур, когда тело будет прохо
дить нижнюю точку
траект
о
рии? Жесткость шнура k
= 50 Н/м.
81. С какой наименьшей высоты
H
должен съех
ать велосипедист, чтобы по
инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли»
ради
у
сом
R
= 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса
велосипед
и
ста вм
е
сте с велосипедом
m
= 75 кг, причем на массу колес приходится
m
1
=
3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
82. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы.
Какую дугу (в градусах) пройдет камешек, прежде чем оторвется от поверхности
купола. Трением пренебречь.
83. Небольшое тело начи
нает скользить с высоты
h
= 1 м по наклонному
жел
о
бу, переходящему в полуокружность в виде «мертвой петли» радиусом
h
/2.
Пр
е
небр
е
гая трением, найти скорость тела в точке его отрыва от желоба.
84. Шар, радиус которого
r
= 10 см, скатывается по нак
лонному скату и
опис
ы
вает «мертвую петлю» радиусом
R
= 1 м. Пренебрегая трением качения и
сопр
о
тивлением воздуха, найти наименьшую высоту
h
центра шара над центром
петли, при которой это возможно.
85. С высоты
h
= 5 м бросают вниз тело массой
m
= 0,2 кг с начальной
скор
о
стью
v
= 2 м/с. Тело углубляется в грунт на
l
= 0,05 м. Найти среднюю силу
сопр
о
тивления грунта.
86. В ящик с песком мас
сой
M
= 5 кг, подвешенный на нити длиной
l
=
3 м
, попадает пуля массой
m
=
0,005 кг и откло
няет его на угол
α
= 10°. Опр
е
де
-
лить скорость пули.
87. В тележку массой
m
1
, движущуюся по инерции со скоростью
v
,
с высоты
H
падает кирпич массой
m
2
.
Найти энергию, перешедшую во внутреннюю энергию
тел при этом взаимодействии.
88. На невесомом стержне длиной
l
подвешен шар массой
m
1
. В шар попадает
горизонтально летящая пу
ля и застревает в нем. Масса пули
m
2
,.
С какой мини
-
мальной скоростью должна лететь пуля, чтобы шар мог сделать полный оборот
в
о
круг точки подвеса? Кр
епление в точке подвеса шарни
р
ное.
89. На невесомой нити длиной
l
подвешен шар массой m
1
.
В шар попадает
г
о
ризонтально летящая пу
ля массой m
2
и застревает в нем. С какой минималь
ной

29
скоростью должна лететь пуля, чтобы шар сделал полный оборот в
вертикальной
плоскости в
о
круг точ
ки подвеса?
90. Летящая горизонтально пуля массой m
1
попа
дает в
бо
л
ванку массой m
2
,
подвешенную на двух ни
тях длиной
l,
и
з
а
стревает в ней. В результате отклоне
ния болванки
максимал
ь
ный угол поворота нитей ока
зался равным
α (
рис.
15). Найти начальную ско
рость пули.
91. В неподвижный бильярдный шар ударяется боком (не
по линии центров) другой такой же шар. Под каким углом
ра
з
летаются шары, если они абсо
лютно упр
у
гие?
92. Частица массой
m
1
ис
пытывает упругое столкновение с покоящейся
част
и
цей массой
m
2
, в результате чего частицы разлетелись симме
т
рично
относительно первоначаль
ного направления движения частицы
1. Найти о
т
но
шение
масс частиц, е
с
ли угол разлета

= 60
о
.
9
3
. Груз массой
m
падает на плиту массой 2
m
,
укрепленную на вертикальной
пружине с коэффици
ентом жесткости k
.
В момент удара груз имеет ско
рость v
0
.
Определить величину максималь
ного сжатия пружины после абсолютно неупруг
о
го
уда
ра.
94.
Мимо наблюдателя равном
ерно и прямолинейно со скоростью v
= 2 м/с
дв
и
жется тележка массой M
=
100 кг. В тот момент, когда тележка поравняется с
н
а
блюдателем, он кладет на нее ящик массой m
= 5 кг. Определить энергию,
кот
о
рая в этом процессе переходит
в тепло.
95. Шар массой
m
1
= 4 кг движется со скоростью v
1
= 5 м/с навстречу шару
ма
с
сой m
2
= 1 кг. После центрального неупругого удара
общая скорость шаров
ок
а
залась v
= 3 м/с. Определить начальную скорость второго шара и изменение
вну
т
ренней энергии шаров.
96. Молотк
ом массой M
забивают гвоздь массой m
.
О
п
ределить отношение масс
m/M
,
при котором молоток передает гвоздю макcи
мальную энергию неупр
у
гого
удара.
97. Сваю массой m
= 100 кг забивают в грунт копром массой M
= 400 кг.
К
о
пер свободно падает с высоты
H
= 5
м, и при каждом его ударе свая опускается
на глубину h = 25 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее
постоянной, и КПД неупругоrо удара копра о сваю.
98. Из духового ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую на
ра
с
стоянии
l
=
30 см от края стола. Пуля массой m
= 1 г, летящая го
ризонтально со
скор
о
стью
v
0
= 150 м/с, пробивает коробку и вылетает из нее со скоростью 0,6

v
0
.
Масса коробки M
=50 г. При каком коэффи
циенте трения между коробкой и
ст
о
лом к
о
робка упадет со стола?
99. Два небольших тела, отношение масс которых
m
1
/
m
2
равно 3, одновреме
н
но
начинают соскальзывать внутрь полусферы радиусом
R
. Происходит абсолю
т
но
неупругий удар. Определить макси
мальную высоту подъема тел после yдapа.
100. Пластмассовый ш
ар массой M
лежит на подставке с отверстием. Снизу в
шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массой m
и пробивает его
Рис. 15

30
насквозь. При этом шар подскакивает на высо
ту
h
. Ha какую высоту H
над
по
д
ставкой поднимется пробившая шар пуля, е
сли ее скорость перед
попаданием была
v
0
?
101. Ящик с песком массой M = 10 кг стоит на гладкой горизон
тальной
плоск
о
сти. Он соединен с вертикальной стеной пружиной, жесткость которой k
=
200 Н/м. На сколько сожмется пружина, если пу
ля
,
л
етящая горизонтально со
скор
о
стью
v
= 500 м/с, попадет в ящик и застрянет в нем? Масса пули m
= 0,01 кг.
102. Частица массой m
налетает на неподвижную мишень массой M
и
отраж
а
ется назад с кинетической энергией в n
= 4 раза меньшей первоначальн
ой.
Опред
е
лить о
т
ношение массы частицы к массе мишени, считая удар абсолютно
упругим.
103. Шар, движущийся со скоростью v
== 2 м/с, налетает на неподвижный точно
такой же шар. В результате упругого столкновения
шар изменил направление
дв
и
жения на уг
ол

= 30
о
. Определить: а) скорости шаров после удара; б) угол
между направлением скорости
второго шара и первоначальным направлением
движения первого шара.
104. Частица массой
m
движется со скоростью v
и сталкивается с неподвижной
частицей массой
M
.
В результате упругого удара час
тица массой m
отклонилась на
угол
α = π/2
от направления своего первоначального движения и ее скорость
уменьшилась вдвое. Найти отношение масс частиц. Определить модуль и
направл
е
ние скорости движения частицы массой M.
.
105. Шарик массой m
1
сталкив
а
ется с неподвижным шаром массой m
2
(
m
1
>
m
2
).
Происходит абсолютно упругий удар. Найти мак
симальный угол, на который м
о
жет
отклониться шарик массой m
1
от первоначального направления движения.
106. Деревянный шар
массой m
= 1,99 кг висит на невесомой не
растяжимой
н
и
ти. В него попадает (и застревает в его центре) пуля, летящая горизонтально со
ск
о
ростью v
= 600 м/с. Масса пули m
1
= 10 г. Найти максимальную высоту, на
кот
о
рую поднимается шар и долю ки
нетической
энергии пули, перешедшую во
вну
т
реннюю энергию тел.
107.
Пуля массой m
= 5 г, имеющая скорость v
= 500 м/с, попадает в шар
ма
с
сой М = 0,5 кг, под
вешенный на нити, и застревает в нем. При какой
наибол
ь
шей длине нити шар совершит полный оборот п
о окружности? Как
изменится от
вет, е
с
ли нить заменить на невесомый стержень?
108. Два одинаковых пластилиновых шарика подвешены на нитях так, что
кас
а
ются друг друга. Левый шарик отклоняют влево на угол
α
1
, а правый
-
вправо
на угол
α
2
и одновременн
о отпускают без начальной скорости. На какой угол
β
откл
о
нятся шарики от вертикали после удара? (Углы считать малыми).
109. Два абсолютно упругих шарика массами
m
1
= 0,1 кг и m
2
= 0,3 кг
подвеш
е
ны на невесомых и
нерастяжимых нитях длиной
l
= 0,5 м та
к, что каса
ются
друг друга. Шарик, имеющий мень
шую массу, отклоняют от положения равновесия
на 90
о
и отпускают. На какую высоту поднимается второй шарик после удара?
110. Нa дне гладкой полусферы радиусом R
лежит маленький шарик массой
m
1
.
С края
полусферы соскаль
зывает шарик массой
m
2
такого же рaзмeрa, как и
пе
р
вый. Какой будет высота подъема каждого шарика после абсолютно неупругого

31
удара?
111. На неподвижную частицу массой m
1
налетает частица массой m
2
.
После
с
о
ударения одна из части
ц полетела под прямым углом, а другая под углом

= 30
о
к направлению первоначальной скорости на
летевшей частицы. Найти о
т
ношение
масс частиц m
2
/
m
1
,
если при
столкновении 20 %
первоначальной энергии перешло
во внутреннюю энергию тел.
112. На глад
кой горизонтальной поверхности около стенки нахо
дится брусок
массой
m
1
= 200 г с углублением полусферической фо
р
мы радиусом R
= 50 см.
С
верхнего края углубления начинает соскальзы
вать маленькая шайба массой
m
2
= 100 г. Найти максимальную скор
ость бруска при его последующем движении.
Тр
е
нием пренебречь.
113. Два тела движутся навстречу друг другу и ударяются неупруго. Скорость
первого тела до удара
v
1
= 2 м/с, скорость второго
v
2
= 4 м/с. Общая скорость тел
п
о
сле удара по направлению
совпадает с направлением скорости
v
1
и равна
v
= 1 м/с. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше
кинетич
е
ской энергии второго тела?
114. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень
ле
г
ком жестком ст
ержне, и застревает в нем. Масса пули в
n
= 1000 раз меньше
массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара
l
= 1 м. Найти
ск
о
рость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на
угол

=
10
о
.
115. Движущееся
тело массой
m
1
ударяется о неподвижное тело массой
m
2
= 9
m
1
. Считая удар неупругим и центральным, найти, сколько процентов
перв
о
н
а
чальной кинетической энергии переходит при ударе во внутреннюю
энергию тел.
116. Движущееся тело массой
m
1
ударяется о неподвижное тело массой
m
2
= 9
m
1
. Считая удар неупругим и центральным, найти, сколько процентов своей
первоначальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе.
117. Шар массой
m
= 1 кг, катящийся без скольжен
ия, ударяется о стенку и
о
т
ск
а
кивает от нее. Скорость шара до удара о стенку
v
1
= 10 см/с, после удара
v
2
= 8 см/с. Найти количество энергии, перешедшей во внутреннюю, при ударе.
118. Абсолютно упругий шар массой
m
= 1,8 кг сталкивается с п
окоящимся
у
п
ругим шаром большей массы
M
. В результате прямого удара шар потерял 36
%
св
о
ей кинетической энергии
E
к1
. Определить массу большего шара.
119. Какую максимальную часть своей кинетической энергии (в процентах)
м
о
жет передать частица масс
ой
m
1
= 2

10
-
22
г, сталкиваясь упруго с частицей
ма
с
сой
m
2
= 6

10
-
22
г, которая до столкновения покоилась?
120. Частица массой
m
1
испытала упругое столкновение с покоившейся
част
и
цей массой
m
2
= 4
m
1
. Сколько процентов своей кинетической энер
гии
потеряла н
а
летающая частица, если: 1) она отскочила под прямым углом к своему
первон
а
чальному направлению движения, 2) столкновение лобовое?
121. Частица 1, имевшая скорость
v
= 10 м/с, испытала лобовое столкновение с
покоившейся частицей 2
такой же массы. В результате столкновения кинетич
е
ская

32
энергия системы уменьшилась на

= 1
%. Найти скорость частицы 1 после
стол
к
новения.
122. Пуля массой
m
= 10 г, летевшая с начальной скоростью
v
= 500 м/с,
проб
и
вает один подвешенный груз масс
ой
m
= 10 г и застревает во втором
подвеше
н
ном грузе такой же массы. Пренебрегая временем взаимодействия пули с
грузами, найти количество теплоты, выделившейся в первом грузе, если во втором
выделилось к
о
личество теплоты
Q
2
= 100 Дж.
123. В покоящу
юся на льду шайбу массой
m
1
= 100 г упруго ударяется другая
ша
й
ба массой
m
2
= 50 г. После удара шайба массой
m
2
отлетает перпендикулярно
к первоначальному направлению. Под каким углом к первоначальному
направл
е
нию движения налетающей шайбы будет двига
ться после удара шайба
массой
m
1
? Тр
е
нием о лед пренебречь.
124. Пуля массой
m
1
= 10 г, летевшая горизонтально со скоростью
v
1
= 600 м/с,
ударилась в свободно подвешенный деревянный брусок массой
m
2
= 5 кг и
з
а
стряла в нем, углубившись на
S
= 1
0 см. Найти среднюю силу сопротивления
дер
е
ва движению пули.
125. Два шарика (
m
1
= 100 г и
m
2
= 200 г ) висят на нитях одинаковой длины.
Между шарами зажата пружина. Энергия сжатой пружины
E
= 1 Дж. Нить,
связ
ы
вающую шарики, пережигают. Найдите м
аксимальные высоты, на которые
подн
и
мутся шарики.
126. Два резиновых диска с шероховатой поверх
ностью вращаются вокруг осей,
лежащих на одной вер
тикали, причем плоскости дисков параллельны. Первый диск
имеет момент инерции
J
1
и угловую скорость

1
второй
–
J
2
и

2.
Определить
у
г
ловую скорость и изменение кинетической энергии двух дисков при па
дении
вер
х
него диска и соединении его с ни
ж
ним без проскальзывания.
127. Пуля массой
m
=
5 г, двигаясь со ско
ростью
v
=
800 м/с, попадает в точк
у
A
(а
= 0,5 м)
крутильн
о
го
баллистического маятника (рис. 16),
момент ине
р
ции ко
торого
J
=
0,025 кг/м
2
. Определить
начальную угловую и линейную скорости
пер
е
мещ
е
ния центра диска.
128. Горизонтальная платформа массой
m
1
= 100 кг вращаетс
я вокруг вертикальной оси,
пр
о
ходящей через центр пла
т
формы, делая
n
1
=
10
об/мин. Человек массой
m
2
=
60 кг стоит при
этом на краю платформы. С какой частотой начнет
вращаться платформа, если человек пере
й
дет от края
платформы к ее центру? Счит
ать чел
о
века точечной
массой, а платформу
–
однородным ди
с
ком.
129. Горизонтальная платформа в виде диска массой
m
1
= 100 кг и радиусом
R
= 1,5 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с
част
о
той
n
1
= 10 об/мин. Человек
массой
m
2
= 60 кг стоит при этом на краю
платфо
р
мы. Какую работу совершит человек, перейдя от края платформы к ее
центру? Ч
е
ловека сч
и
тать материальной точкой.
Рис. 16

33
130. Горизонтальная платформа в виде диска массой
m
1
= 80 кг и радиусом
R
= 1 м
вращается, делая
n
1
= 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и
де
р
жит в расставленных руках гири. Сколько оборотов в минуту будет делать
пла
т
форма, если человек, опустив гири, уменьшит свой момент инерции от
J
1
=
29,4 кг

м
2
до
J
2
=
9
,8 кг

м
2
?
131. Горизонтальная платформа в виде диска массой
m
1
= 80 кг и радиусом
R
= 1 м вращается, делая
n
1
= 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и
де
р
жит в расставленных руках гири. Во сколько раз увеличится кинетическая
энергия пл
атформы с человеком, если человек, опустив гири, уменьшит свой
момент ине
р
ции от J
1
=
29,4 кг

м
2
до
J
2
=
9,8 кг

м
2
?
132. Человек массой
m
1
= 60 кг находится на неподвижной платформе
ма
с
сой
m
2
= 100 кг. Платформа имеет форму диска радиусом
R
=
10 м и может
вр
а
щаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Сколько оборотов
в минуту будет делать платформа, если человек будет двигаться по окружности
р
а
диусом
r
= 5 м вокруг оси вращения? Скорость человека относительно
п
латформы
v
= 4 км/ч.
133. В центре горизонтального диска, способного вращаться вокруг вертикал
ь
ной
оси, проходящей через его центр, стоит человек. Человек держит в руках сте
р
жень,
расположенный вертикально по оси вращения диска. Диск с человеком вр
а
щ
ается с
частотой
n
1
= 1 об/с. С какой частотой будет вращаться диск с человеком, если
п
о
вернуть стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Су
м
марный
момент инерции человека и диска
J
=
6 кг

м
2
. Длина стержня
l
= 2,4 м, его масса
m
=
6
кг.
134. Человек стоит на горизонтальном диске и держит в руках стержень,
расп
о
ложенный вертикально вдоль оси вращения диска. Стержень служит осью
вращ
е
ния колеса, расположенного на конце стержня. Диск неподвижен, колесо
вращае
т
ся с частотой
n
= 10 об/с.
С какой частотой будет вращаться диск с
человеком, если ч
е
ловек повернет стержень на 180
о
? Суммарный момент инерции
человека и диска
J
= 6 кг

м
2
, радиус колеса
R
= 20 см. Массу колеса
m
= 3 кг
можно считать равн
о
мерно распределенной по ободу.
135
. Шарик массой
m
= 100 г, привязанный к концу нити длиной
l
= 1 м,
вращ
а
ется, опираясь на горизонтальную поверхность, с частотой
n
1
= 1 об/с. Нить
укор
а
чивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния
l
2
= 0,5 м. С какой
ча
с
тотой будет при этом
вращаться шарик? Какую работу совершит внешняя сила,
укорачивая нить?
136. Деревянный стержень массой
m
1
= 6 кг и длиной
l
= 2 м может вращаться в
вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через его
верхний конец. В нижний ко
нец стержня попадает пуля массой
m
2
= 10 г, летевшая
со скоростью
v
= 1000 м/с, и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень
после удара?
137. Человек стоит на горизонтальном диске, способном вращаться вокруг
ве
р
тикальной оси, проходящей че
рез его центр, и ловит рукой мяч массой
m
= 0,4
кг, л
е
тящий в горизонтальном направлении со скоростью
v
= 20 м/с. Траектория
мяча проходит на расстоянии
r
= 0,8 м от оси вращения. С какой угловой

34
скоростью начнет вращаться диск с человеком? Считать, чт
о суммарный момент
инерции ч
е
ловека и диска
J
= 6 кг

м
2
.
13
8
. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска, стоит чел
о
век.
Масса платформы
m
1
= 200 кг, масса человека
m
2
= 80 кг. Платформа может
вр
а
щаться вокруг вертикальной оси, проходяще
й через ее центр. С какой угловой
ск
о
ростью начнет вращаться платформа, если человек пойдет вдоль ее края со
скор
о
стью
v
= 2 м/с относительно платформы?
139. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через е
е центр. На краю платформы стоит человек. На какой угол
повернется платформа, если человек пойдет вдоль ее края и, обойдя платформу,
ве
р
нется в исходную точку? Масса платформы
m
1
= 240 кг, масса человека
m
2
= 60 кг. Человека считать материальной
точкой.
140. Деревянный стержень массой
m
1
= 1 кг и длиной
l
= 40 см может вращат
ь
ся
вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину перпендикулярно к
стержню. В конец стержня попадает пуля массой
m
2
= 10 г, летящая
перпендик
у
лярно к оси и
к стержню со скоростью
v
= 200 м/с. С какой угловой
скоростью б
у
дет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем?
141. Платформа, имеющая форму диска радиусом
R
= 2 м и массой
m
1
= 200
кг,
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через
ее центр, с частотой
n
= 1 об/с . Человек массой
m
2
= 80 кг стоит при этом на краю платформы. С какой
частотой будет вращаться платформа, если человек приблизится к оси вращения на
r
= 0,5 м?
142. Горизонтальный стержень массой
m
1
= 5 кг и д
линой
l
= 2 м может
свобо
д
но вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Шарик
массой
m
2
= 50 г, летящий со скоростью
v
= 15 м/с в горизонтальном направлении
перпе
н
дикулярно к стержню, ударяется о стержень на расстоянии
r
= 20 см от
его
конца. Считая удар абсолютно упругим, найти угловую скорость стержня после
соудар
е
ния.
143. Вертикально расположенный стержень массой
m
1
= 1 кг и длиной
l
= 0,5
м
может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец.
В
нижний конец стержня попадает пуля массой
m
2
= 10 г, летящая горизонтально,
перпендикулярно оси вращения, и застревает в нем. Какова должна быть
наимен
ь
шая скорость
v
пули, чтобы стержень сделал полный оборот вокруг оси?
144. Вертикально располо
женный стержень массой
m
1
= 1 кг и длиной
l
= 0,5
м
может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец.
В нижний конец стержня ударяется шарик массой
m
2
= 5 г, летящий
горизонтал
ь
но, перпендикулярно оси вращения со скорост
ью
v
= 20 м/с. Считая
удар абсолю
т
но упругим, найти угол, на который отклонится стержень после удара.
145. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, вращается по инерции
вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит чел
о
ве
к, масса которого в три
раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость
вращения платформы, если человек пере
й
дет ближе к центру на расстояние, равное половине
радиуса платформы.
146. Человек стоит в центре гор
изонтальной платформы, вращающейся по
ине
р
ции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой
n
1
= 30 об/мин. В

35
вытян
у
тых в стороны руках он держит по гире массой
m
= 5 кг каждая. Расстояние
от к
а
ждой гири до оси вращения
R
1
= 60 см. Суммарный момент ин
ерции человека
и пла
т
формы равен
J
= 2 кг

м
2
. Определить работу, которую совершит человек,
если он прижмет гири к себе так, что расстояние от каждой гири до оси станет
R
2
=
20
см.
147. Человек массой
m
1
= 60 кг стоит на краю неподвижной гориз
онтальной
пла
т
формы массой
m
2
= 80 кг. Платформа имеет форму диска радиусом
R
= 1 м и
может свободно вр
а
щаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр.
Человек бросает мяч массой
m
3
= 0,5 кг в горизонтальном направлении по
кас
а
тельной к окр
ужности диска со скоростью
v
= 20 м/с относител
ь
но земли. С
какой угловой скоростью начнет вращаться платформа с чел
о
веком?
148. Горизонтальная платформа в виде однородного диска массой
m
1
= 100 кг
может свободно вращаться вокруг вертикальной оси,
проходящей через ее центр.
На краю платформы стоят два человека массами
m
2
= 40 кг и
m
3
= 60 кг. На к
а
кой
угол повернется платформа, если люди пойдут в противоположные стороны вдоль
края диска с одинаковыми (относительно платформы) скоростями и встр
е
тя
тся на
ди
а
метрально противоположном конце диска?
149. На горизонтальный диск массой
m
1
= 20 кг и радиусом
R
= 1 м, свободно
вращающийся с частотой
n
1
= 2 об/с вокруг вертикальной оси, проходящей через
его центр, падает кирпич массой
m
2
= 5 кг.
Место падения находится на
рассто
я
нии
l
= 20 см от края диска. С какой частотой станет вращаться диск с
кирпичом?
Какую работу совершат силы трения между кирпичом и диском?
150. Стальной стержень длиной
l
= 1 м и площадью поперечного се
чения
S
= 2 см
2
подвешен за его середину на тонкой упругой нити. Теннисный ш
а
рик
массой
m
1
= 5 г, летящий горизонтально перпендикулярно к стержню со
ск
о
ростью
v
1
= 20 м/с, упруго ударяется в конец стержня. С какой угловой
скор
о
с
тью начнет вращаться стержень? С какой скоростью отскочит шарик?
Пло
т
ность стали

= 7800 кг/м
3
.

36
y
z
x
y

z
`
x
`
К
К

v
Тема № 2.
Элементы специальной теории относительности
.
Краткие теоретические сведения для решения задач.
2.1. Постулаты Эйнште
йна. Преобразования Лоренца.
Принцип относительности
. Никакими физ
и
ческими опытами, производимыми
внутри инерциальной системы отсчета, невозможно устан
о
вить, покоится ли эта
система или движется прямолинейно и равноме
р
но.
Принцип постоянства скорости св
ета
. Ск
о
рость света в вакууме одинакова во всех
инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и пр
и
емников света.
Для описания движения тел в различных
системах отсчета необходимо знать формулы
преобразования к
оординат при переходе от одной
системы отсчета к дру
гой. В специальной теории
относительности такими формулами являются
пр
е
образования Л
о
ренца
.
Рассмотрим две системы отсчета К и К

(рис.
17). Систему К будем считать условно
н
е
подвижной. Систе
ма К

движется
относител
ь
но К со скоростью
V
r
вдоль оси X
системы К. Пусть в начальный момент времени
начала координат об
е
их систем и направления
соответствующих осей совп
а
дают.
Тогда
Рис. 17

37
￯
￯
￯
￯
￯
￯
￮
￯
￯
￯
￯
￯
￯
￭
￬
-
ￗ
-
=
ﾢ
=
ﾢ
=
ﾢ
-
ￗ
-
=
ﾢ
2
2
2
2
2
c
v
1
x
c
v
t
t
z
z
y
y
c
v
1
t
v
x
x
￯
￯
￯
￯
￯
￯
￮
￯
￯
￯
￯
￯
￯
￭
￬
-
ﾢ
ￗ
+
ﾢ
=
ﾢ
=
ﾢ
=
-
ﾢ
ￗ
+
ﾢ
=
2
2
2
2
2
c
v
1
x
c
v
t
t
z
z
y
y
c
v
1
t
v
x
x
.
Здесь
с
-
скорость света в вакууме: с = 3

10
8
м/с.
2.2. Следствия из преобразований Лоренца
.
Будем рассматривать системы К и К

(см. рис. 17).
Относительность промежутков времени ме
жду событиями
,
c
v
1
t
ﾔ
ﾔ
2
2
-
ﾢ
=
где
t
ﾢ
D
-
промежуток времени между событиями, происшедшими в одной и той же
точке системы о
т
счета К

(
t
ﾢ
D
отсчитывается по часам, находящимся в системе К

,
и называется в этом случае собс
твенным временем);
t
D
-
промежуток времени
м
е
жду этими событиями, отсчитанный по часам, н
а
ходящимся в системе К.
Относительность размеров движущихся тел
2
2
c
v
-
1
L
L
ﾢ
=
,
где
L

-
длина стержня, расположенного вдоль оси
x
ﾢ
и покоящегося в системе К

(собственная длина стержня);
L
-
длина этого же стержня, измеренная в системе
о
т
счета К.
Релятивистский закон сложения скоростей
Пусть некоторое тело движется в произвольном направлении в системе
отсч
е
та К

со ско
рос
тью
u
ﾢ
r
относительно последней. Тогда проекции скорости
u
r
этого тела в систе
ме о
т
счета К на оси x,
y
,
z
этой системы:

38
.
c
u
v
1
c
v
1
u
u
,
c
u
v
1
c
v
1
u
u
,
c
u
v
1
v
u
u
2
x
2
2
z
z
2
x
2
2
y
y
2
x
x
x
ﾢ
ￗ
+
-
ﾢ
=
ﾢ
ￗ
+
-
ﾢ
=
ﾢ
ￗ
+
+
ﾢ
=
Пространственно
–
временной интервал (интервал)
Интервалом между двумя событиями называется величина

S
, определяемая
с
о
отношением:
(
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
)
z
(z
)
y
(y
)
x
(x
)
t
t
c
ﾔ
-
-
-
-
-
-
-
=
,
где
x
,
y
,
z
–
пространственные координаты события, а
t
–
его временная
координ
а
та. Иначе выражение для интервала можно записать:
(
2
2
)
(
t)
c
S
l
D
-
D
=
D
,
где

t
–
промежуток времени между событиями;

l
–
расстояние в пространстве
между точками, в которых произошли события.
Важнейшим свойством интервала являетс
я его инвариантность, то есть
неизм
е
няемость при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Виды интервалов:
а) нулевой; соответствует случаю (с

t
) =

l
. Разделяет посылку и прием светового
сигнала;
б) действительный (или временипод
обный); соответствует случаю (с

t
) >

l
.
Ра
з
деляет события, которые могут быть связаны причинно
–
следственной связью.
Их п
о
следовательность одинакова во всех системах отсчета, и ни в одной системе
они не могут происходить одновременно;
в) мнимый (или прос
транственноподобный); соответствует случаю (с

t
) <

l
.
Ра
з
деляет события, которые настолько удалены, что не могут повлиять друг на
друга. Их последовательность произвольна в разных системах отсчета, но ни в
одной си
с
теме эти события не могут происходить в
одной и той же точке
пространства.
2.3
. Релятивистская масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии
Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:
,
c
v
1
m
m
2
2
0
-
=
где m
0
–
масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя)
;
m
–
масса тела в той системе, относительно которой тело движется;
v
–
скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется ма
с
са m.
Релятивистский импульс:
v
m
p
r
r
=
,

39
где m
–
релятивистская масса, то есть
2
2
0
c
v
-
1
v
m
p
r
r
=
Закон взаимосвязи массы и энергии:
2
mc
E
=
,
где m
-
релятивистская масса;
E
–
полная энергия материального объекта.
Кинетическая энергия о
бъекта:
0
:
E
E
E
-
=
,
где
2
mc
E
=
-
полная энергия;
2
0
0
c
m
E
=
-
энергия покоя.
То есть
2
0
2
2
2
0
:
c
m
c
v
1
c
m
E
-
-
=
Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение ма
ссы
тела на

m
сопровождается изменением его энергии на

E
:

E
=

m

c
2
.
Полная энергия тела связана с его релятивистским импульсом соотношением:
E
2
= E
0
2
+ p
2
c
2
.
Отсюда следует, что величина
E
2
–
p
2
c
2
=
inv
, то есть инвариантна по
отн
о
шению к переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую.
Примеры решения задач
Пример 1
.
В условно неподвижной системе отсчета К в точках с координатами
x
A
и
x
B
=
x
A
+
l
, где
l
= 1 км, одновременно происходят два события
A
и
B
. На
каком расстоянии
l

АВ
друг от друга зафиксирует эти события наблюдатель в
си
с
теме К

, движущейся
со скоростью
v
= 0,4

с вдоль оси
X
? Какой промежуток
вр
е
мени

t

между этими событиями зафиксирует наблюдатель в системе К

?
Решение
Обозначим через
t
0
момент времени, когда в системе
К происходят события А и В. Тогда событие А
в этой
Дано:
x
A
–
x
B
=
l
= 1 км =
= 1000
м
t
A
= t
B
= t
0
v = 0,4 c
l
AB

,

t

-
?

40
системе обладает пространственно
–
временными коорд
и
нат
а
ми
x
A
и
t
0
, а
событие В
–
координатами
x
B
и
t
0
. В си
с
теме К

событие А обладает
пространственно
–
временными координатами
x
1

и
t
1

, а событие В
–
коо
р
динат
а
ми
x
2

и
t
2

. Связь координат каждого из событий можно з
а
писать с
помощью преобразований Лоренца.
.
c
v
-
1
t
v
x
x
,
c
v
-
1
t
v
x
x
2
2
0
B
2
2
2
0
A
1
-
=
ﾢ
-
=
ﾢ
Найдя разность этих выражений, получим расстояние между точками
,
в которых
происходят события А и В в системе К

.
.
c
v
1
c
v
1
x
x
x
x
2
2
2
2
A
B
1
2
AB
-
=
-
-
=
ﾢ
-
ﾢ
=
ﾢ
l
l
Видно, что расстояние
l

АВ
, разделяющее события А и В в любой системе,
движущейся относительно К, больше, чем это же расстояние, измеренное в
сист
е
ме К, в которой оба события одновременны. Рассчитаем расстояние
l

АВ
.
(
)
.
<
1100
c
c
0,4
-
1
1000
2
2
AB
=
=
ﾢ
l
Моменты времени, в которые в системе К

наблюдатель зафиксирует события А и В, также
могут быть найдены из преобразований Лоренца:
.
c
v
-
1
c
v
x
t
t
,
c
v
-
1
c
v
x
t
t
2
2
2
B
0
2
2
2
2
A
0
1
-
=
ﾢ
-
=
ﾢ
Тогда
(
)
.
c
v
-
1
A
x
x
v
t
t
t
2
2
2
A
B
1
2
-
-
=
ﾢ
-
ﾢ
=
ﾢ
D
Видно, что события А и В в
системе отсчета К

не являются
одновременн
ы
ми. Если
x
B

x
A
и система К

движется в положительном
направлении оси
X
, как и задано в условии, то
t
2

-
t
1


0, то есть событие В
происходит раньше, чем с
о
бытие А. Рассчитаем

t

.

41
(
)
(
)
(
)
.
<:
45
,
1
10
3
10
3
4
,
0
1
10
3
1000
10
3
0,4
-
t
2
8
2
8
2
8
8
-
=
ￗ
ￗ
ￗ
-
ￗ
ￗ
ￗ
ￗ
=
ﾢ
D
То есть событие В, зафиксированное наблюдателем в системе К

, опережает событие А на
1,45 мкс.
Ответ:
l

АВ
= 1100 м;

t

=
-
1,45 мкс.
Приме
р 2
. В системе отсчета К

, движущейся со скоростью
v
0
= 0,5 с вдоль оси
X
неподвижной системы К, расположен неподвижный стержень длиной
l

= 1 м,
ориент
и
рованный под углом


= 30
о
к оси
X

. Параллельно стержню летит частица
со ск
о
ростью
v

= 0,4 с
. Под каким углом

к оси
X
ориентирован этот стержень
для наблюдателя в системе К? Под каким углом

к оси
X
летит частица в
си
с
теме К?
Решение
Рассмотрим вначале стержень с точки зрения наблюдателя в
системе К. Он движется поступател
ьно с горизонтальной
скор
о
стью
v
x
=
v
0
= 0,5
c
.
Вследствие этого стержень в
горизонтальном направлении сжат, в вертикальном направлении
его размеры неи
з
менны. Следовательно, длина стержня для
наблюдателя в системе К будет меньше, чем для наблюдателя в
системе К

, а угол

н
а
клона стержня к оси
X
больше чем


. Применим следствия
из преобразований Л
о
ренца для нахождения расстояний между пр
о
екциями
концов стержня на оси
X
и
Y
:
.
sin
y
y
,
c
v
-
1
cos
c
v
-
1
x
x
2
2
0
2
2
0
j
j
ﾢ
ﾢ
=
ﾢ
D
=
D
ﾢ
ﾢ
=
ﾢ
D
=
D
l
l
Стержень образует с осью
X
угол

,
причем
tg

=

y
/

x
.
Тогда выражение для
tg

примет вид:
.
c
v
-
1
tg
c
v
-
1
cos
sin
tg
2
2
0
2
2
0
j
j
j
j
ﾢ
=
ﾢ
ﾢ
ﾢ
ﾢ
=
l
l
Сделаем вычисления:
Дано:
v
0
= 0,5 с


= 30
о
v

=
0,4 с

,

-
?

42
(
)
.
34
,
67
,
0
c
c
0,5
-
1
30
tg
tg
o
2
2
o
=
=
=
j
j
Теперь рассмотрим движение частицы. Частица, в отличие от стержня, движе
т
ся
относительно системы К

и гори
зонтальная составляющая ее скорости
v
x
отлич
а
ется от
v
x

=
v

cos


. Причем если
v
x


0, то очевидно,
v
x
больше чем
v
x

.
Ве
р
тикальная составляющая скорости частицы
v
y
меньше чем
v
y

=
v

sin


.
П
о
этому скорость
v
частицы образует с осью
X
угол, не равный

. Таким
образом, для наблюдателя в системе К частица будет двигаться прямолинейно, но
уже не пара
л
лельно стержню. Проекции скорости частицы на оси
X
и
Y
могут
быть п
о
лучены как следствие из преобразований Лоренца:
.
c
v
v
1
c
v
1
v
v
,
c
v
v
1
v
v
v
2
0
x
2
2
0
y
y
2
0
x
0
x
x
ﾢ
+
-
ﾢ
=
ﾢ
+
+
ﾢ
=
Вектор скорости частицы образует с осью
X
угол

= arctg (v
y
/v
x
).
Учитывая
формулы для
v
x
и
v
y
и выражая проекции скоростей
v
x

и
v
y

через скорость
v

и тригонометрические функции угла


, получаем:
.
v
v
cos
c
v
-
1
sin
v
v
c
v
1
v
tg
0
2
2
0
0
x
2
2
0
y
ﾢ
+
ﾢ
ﾢ
=
+
ﾢ
-
ﾢ
=
j
j
a
Сделаем вычисления:
(
)
(
)
(
)
.
12
,
21
,
0
c
0,4
c
5
,
0
30
cos
c
c
5
,
0
1
30
sin
tg
o
o
2
2
o
=
=
+
-
=
a
a
Ответ:

= 34
о
,

= 12
о
.
Пример 3
. Частица с массой покоя
m
0
, летящая со скоростью
v
1
= 0,
8

с,
исп
ы
тывает неупругое соударение с идентичной покоящейся частицей. Найти массу
п
о
коя
m

0
, скорость
v
и кинетическую энергию
E

к
частицы, образовавшейся в
р
е
зультате уд
а
ра.
Решение
Дано:
m
0
v
1
= 0,8
c
m

0
,
v
, Е

к
-
?

43
Поскольку скорость налетающей частицы близка к скорости свет
а, задачу
следует решать в рамках релятивистской динам
и
ки. Неупругость удара,
оговоренная в условии, означает, что п
о
сле удара частицы движутся вместе,
образовав некоторую н
о
вую частицу с массой покоя
m

0
. Конкретные условия
удара (направление вектора
v
1
, наличие других тел, с которыми во
з
можно
взаимодействие) не оговорены в условии. Поэтому р
е
шение возможно только в
предположении, что соударя
ю
щиеся частицы образуют замкнутую систему тел. В
этом случае и
м
пульс системы и ее полная энергия ост
а
ются пост
оянн
ы
ми.
2
1
2
1
E
E
;
p
p
=
=
r
r
.
Индексы 1 и 2 обозначают состояние системы до и после соударения.
Учитывая, что до удара система состоит из двух одинаковых частиц, одна из
к
о
торых покоится, запишем импульс и полную энергию системы в началь
ном
состо
я
нии:
2
0
2
2
1
2
0
1
2
2
1
1
0
1
c
m
c
v
-
1
c
m
E
,
c
v
-
1
v
m
p
+
=
=
r
r
.
После взаимодействия система состоит из одной частицы, масса покоя которой
m

0
и скорость
v
.
Тогда
.
c
v
-
1
c
m
E
,
c
v
-
1
v
m
p
2
2
2
0
2
2
2
0
2
ﾢ
=
ﾢ
=
r
r
Из последней пары формул, записав предварительно выражение д
ля модуля
и
м
пульса
p
2
, легко получить:
2
2
2
E
c
p
v
=
.
Используя законы сохранения, находим:
￷
￷
￷
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￧
￧
￧
￨
￦
+
-
=
=
-
=
=
1
c
v
1
1
c
m
E
E
,
c
v
1
v
m
p
p
2
2
1
2
0
1
2
2
2
1
1
0
1
2
Подставляя в последние формулы условие
v
1
= 0,8

с, получим:
.
c
m
3
8
E
E
,
c
m
3
4
p
p
2
0
1
2
0
1
2
=
=
=
=

44
Теперь, подставляя получ
енные значения
p
2
и Е
2
в выражение для скорости
v
, получаем:
.
c
5
,
0
c
m
3
8
c
c
m
3
4
v
2
0
2
0
ￗ
=
ￗ
=
Используем связь между энергией и импульсом частицы в релятивистской дин
а
мике:
2
2
2
0
2
c
p
E
E
+
=
.
Запишем это выражение для второго (после удара) сос
тояния системы и выр
а
зим
из него
m

0
.
(
)
.
c
p
E
c
1
m
>BA
c
p
c
m
E
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
-
=
ﾢ
+
ﾢ
=
Подставляя в последнее выражение значения для
p
2
и Е
2
, получим:
(
)
(
)
.
m
31
,
2
c
c
m
3
4
c
m
3
8
c
1
m
0
2
2
0
2
2
0
2
0
=
-
=
ﾢ
Как видно, масса покоя образовавшейся частицы больше, чем сумма масс покоя частиц,
состав
лявших систему до соударения.
Наконец найдем кинетическую энергию образовавшейся частицы, используя
общее выражение для кинетической энергии в релятивистской динамике:
￷
￷
￷
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￧
￧
￧
￨
￦
-
-
ﾢ
=
ﾢ
1
c
v
1
1
c
m
E
2
2
2
0
:
.
Подставляя сюда
m

0
= 2,31
m
0
, и
v
= 0,5
c
, по
лучим Е

к
= 0,36
m
0
c
2
.
Ответ:
m

0
= 2,31
m
0
,
v
= 0,5

c
, Е

к
= 0,36
m
0
c
2
.
Пример 4
. Два события произошли в системе отсчета К в мировых точках с
к
о
ордин
а
тами
x
1
= 10 м;
y
1
= 1 м
;
z
1
= 0;
t
1
= 20 нс и
x
2
= 5 м;
y
2
= 4 м;
z
2
= 2
м;
t
2
= 40 нс. Можно ли найти систему отсчета в которой
оба с
о
бытия происходят: 1) в одной точке пространства; 2) в
один момент времени? Могут ли эти события быть причинно
св
я
з
а
ны друг с друг
ом?
Решение
Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы,
до
с
таточно найти величину, которая называется интервалом
м
е
жду двумя событиями.
(
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
)
z
z
(
)
y
y
(
)
x
x
(
)
t
t
c
S
-
-
-
-
-
-
-
=
D
.
Дано:
x
1
= 10 м
y
1
= 1 м
z
1
= 0
t
1
= 20 нс
x
2
= 5 м
y
2
= 4 м
z
2
= 2
м
t
2
= 40
нс

S
-
?

45
Рассчитаем интервал для событий, о которых говорится в условии:
(
.
<
2
)
0
2
(
)
1
4
(
)
10
5
(
)
10
20
10
40
(
)
10
3
S
2
2
2
2
9
9
2
8
-
=
-
-
-
-
-
-
ￗ
-
ￗ
ￗ
=
D
-
-
Как видим, интервал получился мнимым. Такие интервалы называются
пр
о
странственноподобными. События, разделенные таким интервалом, являются а
б
солютно
удаленными, они всегда разделены в пространстве, то есть нево
з
можно найти систему отсчет
а, в
которой оба с
о
бытия происходят в одной точке. В то же время последовательность таких
соб
ы
тий в разных системах отсчета может быть различной. Имеется одна система отсчета, в
которой эти события происходят одн
о
временно. Абсолютно удаленные события не
могут быть
причинно связаны друг с другом, так как находятся на большем расстоянии друг от друга, чем
рассто
я
ние, которое может пройти свет за промежуток времени между этими событиями. Т
а
ким
образом, их взаимное вли
я
ние совершенно невозможно.
Ответ:
1) нельзя; 2) да, можно; 3) нет, не м
о
гут.
Задачи, рекомендуемые для решения на аудиторных занятиях
1. В системе отсчета К в точках с координатами
x
1
и
x
2
=
x
1
+
l
0
одновреме
н
но происх
одят события 1 и 2, причем
l
0
= 1,4 км. Определите: 1)
расстояние
l

между точками, в которых происходят эти события в системе отсчета
К

, которая движется со скоростью
v
= 0,6 с в отрицательном направлении оси
X
;
2) время между этими событиями, ф
иксируемое наблюдателем в системе К

.
Ответ:
l

= 1,75 км,

t

= 3,5 мкс.
2. Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы при скорости
v
= 0,995 с
пр
о
летают до р
аспада
l
= 6 км. Определите: 1) время жизни мюона для
наблюдателя на Земле; 2) собственное время жизни мюона; 3) расстояние,
пройденное им до ра
с
пада, в системе отсчета, связанной с мюоном.
Ответ:

t
= 20,1 мкс;

t
0
= 2 мкс;
l

= 599 м.
3. Определите собственную длину стержня, если в системе отсчета К его
ск
о
рость
v
= 0,6 с, длина
l
= 1,5 м и угол между стержнем и направлением его
дв
и
жения

= 30
о
.
Ответ:
l
0
= 1,79 м.
4. Прямоугольный треугольник, у которого каждый катет имеет длину
l
0
= 1 м,
движется со скоростью
v
= 0,8 с вдоль оси
X
неподвижной сист
емы отсчета К.
При этом катеты треугольника ориентированы вдоль осей
X
и
Y
. Определить
п
е
риметр и площадь треугольника, измеренные наблюдателем в системе К.
О
твет:
P
= 2,77 м,
S
= 0,3 м
2
.

46
5. Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной величиной по
отношению к преобразованиям координат, определите расстояние, которое
прол
е
тел

-
мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в
этой
сист
е
ме отсчета

t
= 4,4 мкс, а собственное время жизни

t
0
= 2,2 мкс.
Ответ:
l
= 1,14 км.
6. Две ракеты движутся навстречу друг
другу с одинаковыми относительно
н
е
подвижного наблюдателя скоростями
v
= 0,5

с. Определите скорость сближения
ракет.
Ответ:
v

= 0,8

с.
7. Частица движется в системе К со скоростью
v
= 0,9

с под углом

= 45
о
к
оси
X
. Определите: 1) ее скорость
v

в системе отсчета К

, движущейся со
скор
о
стью
v
0
= 0,5

с относительно системы К в положительном направлении оси
X
, е
с
ли оси
X
и
X

совпадают; 2) угол


, под которым летит частица к оси
X

.
Ответ:
v

= 0,83

с,


= 76,1
о
.
8. Определите релятивистский импульс
p
и кинетическу
ю энергию Е
к
прот
о
на, движущегося со скоростью
v
= 0,75

с.
Ответ:
p
= 5,68

10
-
19
кг

м/с, Е
к
= 7,69

10
-
11
Дж.
9. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его
скорость составила 90 % скорости света?
Ответ:


= 1,22 ГВ.
10. Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия
кот
о
рого
Е
к
= 1 ГэВ.
Ответ:
р = 5,34

10
-
19
кг

м/
c
.
Домашнее задание
1. На сколько процентов меньше скорости света должна быть скорость тела, чт
о
бы его
продол
ьный размер уменьшился в 3 раза?
2. Сколько процентов от скорости света должна составлять скорость тела, чт
о
бы продольный
размер тела уменьшился в 2 раза?

47
3. Чему равно относительное приращение длины стержня

l
/
l
0
, если ему
соо
б
щить скорость
v
= 0,9

с в направлении, образующем с осью покоящегося
стержня угол

?
4. В системе К

, относительно которой стержень покоится, он имеет длину
l

=
1 м и образует с осью
x

угол


= 45
0
. Определить в системе К длину
стержня
l
и угол

, который стержень образует с осью
x
. Относительная
ск
о
рость систем равна
v
0
= 0,5

с.
5. Неподвижное тело произвольной формы имеет объем
V
0
. Чему равен объем
этого тела
V
в системе отсчета, относительно которой оно движется со
скоростью
v
0
= 0,866

с?
6. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба, равна
S
0
.
Чему равна поверхность этого же тела, если оно движется в направлении одн
о
го из
своих ребер со скоростью
v
= 0,968

с.
7. Имеются две системы
отсчета К и К

, относительная скорость которых
v
0
н
е
известна. Параллельный оси
x

стержень, движущийся относительно системы
К

со скоростью
v

= 0,1 с, имеет в этой системе длину
l

= 1,1 м. В системе К
длина стержня
l
= 1 м. Найти скорос
ть
v
стержня в системе К и относительную
ск
о
рость систем
v
0
.
8. Стержень движется вдоль линейки с постоянной скоростью
v
. Если
зафикс
и
ровать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчета,
связа
н
ной с линейкой, то разность отсч
етов по линейке

x
1
= 4 м. Если же
положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета,
связанной со стер
ж
нем, то разность отсчетов по той же линейке

x
2
= 9 м. Найти
собственную длину стер
ж
ня и его скорость относительно линейки.
9. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в
К
-
системе отсчета. Время пролета

t
= 20 нс (в К
-
системе). В системе же отсч
е
та
К

, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение

t

= 25 нс. Найти
собстве
нную длину стержня.
10. Покоящийся прямой конус имеет угол полураствора

= 45
о
и площадь
б
о
ковой поверхности
S
0
= 4 м
2
. Найти в системе отсчета, движущейся со
скоростью
v
= 0,8

с вдоль оси конуса: а) угол его полураствора, б) площадь
боковой
повер
х
ности.
11. Определить периметр квадрата со стороной
l
,
движущегося со скоростью
v
= с/2 вдоль одной из своих сторон.
12. Относительно К
-
системы отсчета летит куб со скоростью
v
= 0,98

с. Ребро
к
у
ба равно
l
= 1 м и параллельно на
правлению движения. Чему равен объем куба в
К
-
системе?
13. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью
v
о
т
носительно инерциальной К
-
системы отсчета. При каком значении
v
длина
стержня в этой системе отсчета будет на

= 0,5 % меньше его собственной
дл
и
ны?

48
14. Имеется треугольник, собственная длина каждой стороны которого
l
= 1 м.
Найти периметр этого треугольника в системе отсчета, движущейся отн
о
сительно
него с постоянной скоростью
v
= 0,9

с вдоль одной и
з его сторон.
15. Имеется треугольник, собственная длина каждой стороны которого
l
= 1 м.
Найти периметр этого треугольника в системе отсчета, движущейся относ
и
тельно
него с постоянной скоростью
v
= 0,9

с вдоль одной из его биссектрис.
16
. В К
-
системе отсчета мюон, движущийся со скоростью
v
= 0,99

с, пролетел
от места своего рождения до точки распада расстояние
l
= 3 км. Определить:
а) со
б
ственное время жизни этого мюона, б) расстояние, которое пролетел мюон «с
его точки з
рения».
17. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой
с одинаковой скоростью
v
= 0,75

с, попали в неподвижную мишень с интервалом
времени

t
= 50 нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания
в мишень.
18. На сколько процентов скорость звездолета меньше скорости света, если один год в кабине
звездолета соответствует пяти годам, пройденным на Земле?
19. Сколько процентов от скорости света составляет скорость частицы, если со
б
с
т
венное время
жизни
частицы меньше релятивистского в 1,2 раза?
20. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабил
ь
ной частицы
(по часам неподвижного наблюдателя), если она движется со скор
о
стью, составляющей 99 %
скорости света?
21. Во сколь
ко раз замедляется ход времени при скорости движения часов
v
= 240000 км/с ?
22. С какой скоростью должна лететь частица относительно системы К для
т
о
го, чтобы промежуток собственного времени

t
0
был в 10 раз меньше
пром
е
жутка

t
, отсч
итанного по часам системы К?
23. За промежуток времени

t
= 1 с, отсчитанный по часам некоторой системы
отсчета К, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из
нач
а
ла координат в точку с координатами
x
=
y
=
z
= 1,5

10
8
м. Найт
и промежуток
со
б
ственного времени частицы

t
0
, за который произошло это перемещение.
24. Собственное время жизни нестабильной частицы

t
0
= 10 нс. Найти путь,
к
о
торый пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее
время жи
зни

t
= 20 нс.
25. Собственное время жизни нестабильной частицы равно

t
0
. Считая
движ
е
ние частицы прямолинейным и равномерным, определить путь
l
, который
она пройдет до распада в системе отсчета, в которой время жизни частицы равно

t
.
2
6. Собственное время нестабильного мюона

t
0
= 2,2 мкс. Определить время
жизни

t
мюона в системе отсчета, в которой он проходит до распада путь
l
= 30 км. Считая движение мюона прямолинейным и равномерным, найти скорость
мюона
v
.
2
7. С какой скоростью двигались в К
-
системе отсчета часы, если за время
t
= 5 с (в К
-
системе) они отстали от часов этой системы на

t
= 0,1 с?

49
28. Собственное время жизни некоторой частицы оказалось

t
0
= 10
-
6
с. Чему
равен интервал

S
между рождением и распадом этой частицы?
29. Определить интервал

S
, разделяющий два события с координатами
x
1
= 5 м;
y
1
= 0;
z
1
= 0;
t
1
= 1 н
c
и
x
2
= 4 м;
y
2
= 0;
z
2
= 0,;
t
2
= 4 н
c
. Могут ли эти
соб
ы
тия быть причинно связаны
друг с другом?
30. Найти интервал

S
, разделяющий два события, произошедшие в мир
о
вых
точках с к
о
ординатами
x
1
= 5 м;
x
2
= 3 м;
y
1
= 4 м;
y
2
= 2 м;
z
1
=
z
2
= 0;
t
1
=
10
нс;
t
2
=
20 нс.
31. Два события произошли в К
-
системе отсчета в ми
ровых точках с
координ
а
тами
x
1
= 5 м;
y
1
= 4 м;
z
1
= 0;
t
1
= 10 нс и
x
2
= 3 м;
y
2
= 2м;
z
2
= 0;
t
2
=
20 нс. Можно ли найти систему отсчета, в которой эти события происходят: а) в
один м
о
мент времени, б) в одной точке пространства?
32. Д
ве одинаковые частицы движутся в некоторой системе отсчета К
н
а
встречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями
v
= 0,9

с. Определить
модуль скорости
v

, с которой каждая из частиц движется относительно другой
частицы.
33. Найти относител
ьную скорость двух протонов, вылетевших из ускорителя
н
а
встречу друг другу со скоростями
v
1
=
v
2
=
c
/2.
34. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость
v
1
= 0,4

с. В момент
вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения

-
ч
астицу со
скоростью
v
2
= 0,75

с относительно ускорителя. Найти скорость частицы
относ
и
тельно ядра.
35. Сколько процентов от скорости света составляет относительная скорость двух частиц,
движущихся навстречу друг другу со скоростями 0,5

с и 0,
7

с?
36. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями
v
1
= 0,5

с и
v
2
= 0,75

с по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти их
относител
ь
ную скорость.
37. С какой скоростью движется частица, если ее масса в три раза больш
е массы
п
о
коя?
38. Скорость частицы
v
= 30 Мм/с. На сколько процентов масса движущейся
ча
с
тицы больше ее массы покоя?
39. Чему равна плотность стального кубика с точки зрения наблюдателя,
дв
и
жущег
о
ся вдоль одного из его ребер со скоростью
v
= с/2 ?
40. Плотность покоящегося тела равна

0
. Найти скорость системы отсчета
о
т
носительно данного тела, при которой его плотность

будет на

= 25 %
больше, чем

0
.
41. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное и
з
опыта,
q
/
m
= 0,88

10
11
Кл/кг. Определить массу движущегося электрона и его
ск
о
рость.
42. При какой скорости
v
погрешность при вычислении импульса по
ньют
о
новской формуле
p
=
m
0
v
не превышает 1 %?
43. Найти скорость
v
релятивист
ского электрона, импульс которого
p
= 1,58

10
-
22
кг

м/с.

50
44. При скорости частицы
v
0
= 0,9

с импульс частицы равен
p
0
. Во сколько
раз нужно увеличить скорость частицы, чтобы импульс удвоился?
45. Найти скорость, при которой
релятивистский импульс частицы в

= 2 раза
превышает ее ньютоновский импульс.
46. Энергия покоя частицы равна
E
0
. Чему равна полная энергия частицы
E
в
си
с
теме отсчета, в которой импульс частицы равен
p
?
47. Кинетическая энергия электрон
а
E
к
= 0,8 МэВ. Определить импульс
эле
к
трона.
48. Протон движется с импульсом
p
= 10 ГэВ/с (с
–
скорость света). На сколько
процентов отличается скорость этого протона от скорости света?
49. Найти зависимость импульса частицы от ее кинетичес
кой энергии, если
ма
с
са покоя частицы равна
m
0
. Вычислить импульс протона с кинетической
эне
р
гией
E
к
= 500 МэВ.
50. При какой скорости частицы
v
ее кинетическая энергия равна энергии
п
о
коя?
51. Полная энергия частицы равна
E
= 10
m
0
c
2
. Че
му равна ее скорость
v
?
52. Кинетическая энергия электрона
E
к
= 10 МэВ. Во сколько раз его масса
бол
ь
ше массы покоя. Сделать такой же подсчет для протона.
53. Во сколько раз масса протона больше массы электрона, если обе частицы
им
е
ют одинако
вую кинетическую энергию
E
к
= 1 ГэВ
?
54. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с
ма
с
сой покоя
m
0
от
v
1
= 0,6 с до
v
2
= 0,8 с ? Сравнить полученный результат
со значением, вычисленным по классической формуле.
55. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее эне
р
гии
покоя относительная погрешность нахождения скорости частицы по классич
е
ской
формуле не превышает

= 1 % ?
56. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить покоящемус
я электрону
ск
о
рость, равную: а)
v
= 0,5

с, б)
v
= 0,99

с ?
57. Показать, что для частицы величина
E
2
–
p
2
c
2
есть инвариант, т.е. имеет
о
д
но и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение
эт
о
го и
н
варианта?
58.
Сколько процентов от скорости света составляет скорость частицы, если ее
кин
е
тическая энергия в 2 раза больше энергии покоя?
59. На сколько процентов скорость частицы меньше скорости света, если ее
по
л
ная энергия в 5 раз больше энергии покоя?
60. Во сколько раз кинетическая энергия част
и
цы больше ее энергии покоя при
движении частицы со скоростью 0,9

с?

51
Варианты домашнего задания
Законы сохранения
№
вар.
Занятие №1
Занятие №2
СТО
1
1, 26, 51
76, 101, 126
1, 25, 31
2
2, 27, 52
77, 102, 127
2, 24, 32
3
3, 28, 53
78, 103, 128
3, 23, 33
4
4, 29, 54
79, 104, 129
4, 22, 34
5
5, 30, 55
80, 105, 130
5, 21, 35
6
6, 31, 56
81, 106, 131
6, 20, 36
7
7, 32, 57
82, 107, 132
7,
19, 37
8
8, 33, 58
83, 108, 133
8, 18, 38
9
9, 34, 59
84, 109, 134
9, 17, 39
10
10, 35, 60
85, 110, 135
10, 16, 40
11
11, 36, 61
86, 111, 136
11, 30, 41
12
12, 37, 62
87, 112, 137
12, 29, 42
13
13, 38, 63
88, 113, 138
13,
28, 43
14
14, 39, 64
89, 114, 139
14, 27, 44
15
15, 40, 65
90, 115, 140
15, 26, 45
16
16, 41, 66
91, 116, 141
15, 16, 46
17
17, 42, 67
92, 117, 142
14, 17, 47
18
18, 43, 68
93, 118, 143
13, 18, 48
19
19, 44, 69
94, 119, 144
1
2, 19, 49
20
20, 45, 70
95, 120, 145
11, 20, 50

52
21
21, 46, 71
96, 121, 146
10, 21, 51
22
22, 47, 72
97, 122, 147
9, 22, 52
23
23, 48, 73
98, 123, 148
8, 23, 53
24
24, 49, 74
99, 124, 149
7, 24, 54
25
25, 50, 75
100, 125, 150
6, 25, 55
26
1, 31, 61
81, 116, 126
5, 26, 56
27
2, 32, 62
82, 117, 127
4, 27, 57
28
3, 33, 63
83, 118, 128
3, 28, 58
29
4, 34, 64
84, 119, 129
2, 29, 59
30
5, 35, 65
85, 120, 130
1, 30, 60
Номер варианта соответст
вует порядковому номеру студента в журн
а
ле группы.
Список литературы
1.
Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов. М.: Изд
-
во «Мир
и образование», 2003.
–
384 с.
2.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике: Учеб. пособие.
М.: Н
аука, 1988.
–
288 с.
3.
Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Методика проведения упражнений по
физике во втузе: Учеб пособие для студентов втузов.
–
М.: Высш. школа,
1981.
–
318 с.
4.
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие.
–
М.: Наук
а, 1986.
–
334 с.
5.
Чертов А.Г., Воробьев А.А., Федоров М.Ф. Задачник по физике: Учеб.
пос
о
бие для втузов.
–
М.: Высш. школа, 1973.
–
512 с.
6.
Механика, молекулярная физика и термодинамика: Учеб. пособие /Сост.:
А. И. Блесман, В. П. Шабалин, О. В. Кропоти
н и др. Омск: Изд
-
во ОмГТУ,
2003.
-
74 с.

53
Редактор В. А. Маркалева
ИД № 06039 от 12.10.2001 г.
Подписано в печать 10.07.2004 г. Формат 60

84/16. Отпечатано на дупликаторе.
Бумага офсетная. Усл. печ. л.3,25. Уч.
-
изд. л. 3,25. Тира
ж экз. Заказ .
Изд
-
во ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11
Типография ОмГТУ