Текст
—
МИНИСТЕРСТВО АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ СОЮЗА ССР
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. проф. Н. Е. Жуковского
ТРУДЫ ЦАГИ
№ 606
ПРОДОЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАНЕРА НА БУКСИРЕ
А. П. Проскуряков
ИЗДАТЕЛЬСТВО БЮРО НОВОЙ ТЕХНИКИ
1947
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
1. Постановка задачи I
2. Составление уравнений движения 2
3. Приведение уравнений к безразмерному виду 6
4. Характеристическое уравнение 8
5. О статической устойчивости планера на буксире 11
6. Определение границ колебательной неустойчи-
вости планера при абсолютно жестком тросе 12
7. Буксировка абсолютно жестким тросом при ну-
левом угле превышения 13
8. Анализ устойчивости планера на буксире 14
а) Буксировка абсолютно жестким тросом 16
б) Буксировка упругим тросом 19
Заключение 21
Приложение I. О вычислении вращательных произ-
водных 22
Приложение II. Определение упругости троса от
его провисания 23
Труды Ц А Г И
Об I
П П
№ 606
ПРОДОЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАНЕРА НА БУКСИРЕ
ПРОВЕРЕНО 12бГг.|
—------------а: п. проскуряков
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В работе исследуется динамическая устойчивость планера, буксируемого само
летом при помощи троса. Получено характеристическое уравнение как для букси-
ровки абсолютно жестким тросом, так и для буксировки упругим тросом.
На численном примере рассмотрено влияние положения точки крепления троса
к планеру, угла превышения планера и длины троса на динамическую устойчивость
планера при буксировке его абсолютно жестким тросом. Исследовано также влияние
упругости троса на устойчивость планера. Даны рекомендации для выбора всех ука-
танных величин.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
— площадь крыла планера,
средняя аэродинамическая хорда;
— площадь горизонтального оперения;
- расстояние от центра тяжести планера
до центра давления горизонтального опе-
рения;
G вес планера;
т—масса планера;
1 — момент инерции планера относительно
поперечной оси;
I— радиус инерции планера относительно
центра тяжести;
_ут —координаты центра тяжести в осях, свя-
началом коорди-
точке крепления
занных с планером,
нат, расположенным
троса к планеру;
с
в
и — скорость полета;
а—угол атаки планера;
а угол тангажа планера;
О - угол наклона траектории планера,
е угол скоса потока у горизонтального
оперения;
— угол между тросом и траекторией са-
молета, называемый углом превышения
планера над самолетом;
Т— тяга по тросу;
L — длина троса;
р — плотность воздуха;
t — время;
IZ1 2
К —коэфициент торможения скорости у опе-
У2 рения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Применение планеров, буксируемых самолетом при помощи троса, вызвало необхо-
димость исследования устойчивости такой системы. Настоящая работа представляет собой
первую попытку исследования продольной динамической устойчивости планера на буксире.
Строгое решение задачи об устойчивости системы, состоящей из планера, троса и
самолета, весьма сложно. Поэтому приходится принимать ряд упрощающих допущений.
Примем следующие три основные допущения. Первое — будем считать, что возмущения
движения планера совершенно не передаются на самолет. Это означает, что при откло-
нении планера от режима установившегося полета самолет продолжает лететь прямоли-
нейно с постоянной скоростью. Такое допущение будет, очевидно, вполне законным, когда
масса планера значительно меньше массы самолета и когда точка крепления троса к са-
молету расположена близко к его центру тяжести.
Второе — будем пренебрегать сопротивлением и весом троса. При этом допущении
грос, если он натянут, будет всегда иметь прямолинейную форму. В действительности
трос будет иметь криволинейную форму, и сила натяжения троса будет направлена по
касательной к тросу в точке крепления его к планеру. Угол между этим направлением
и направлением прямой, соединяющей концы троса, возрастает с увеличением угла пре-
вышения. Поэтому пренебрежение сопротивлением и весом троса наиболее допустимо
при малых углах превышения.
1
Третье — предполагаем, что начальные возмущения таковы, что они не приведут
сразу к ослаблению троса. Это существенно, потому что при обращении в нуль натяже-
ния троса задача не может быть приведена к линейной. При абсолютно нерастяжимом
гросе вместо этою допущения может быть принято следующее: трос заменяем на стер-
жень, способный выдерживать сжимающие усилия.
Таким образом, поставленная задача о продольной динамической устойчивости си-
стемы буксирного поезда при помощи указанных допущений приводится к исследованию
устойчивости планера, движения которого ограничены тросом. При этом буксирующий
самолет заменяется точкой, движущейся все время прямолинейно с постоянной скоростью.
Буксировочный трос рассматривается как невесомая и не имеющая сопротивления нить
(стержень), длина которой может изменяться как за счет растяжимости самого троса, так
и за счет включения в трос специального упругого элемента — амортизатора.
При такой постановке задачи движение планера относительно самолета будет опре-
деляться тремя параметрами (фиг. 1): углом между тросом и траекторией самолета
длиной троса /. и углом тангажа планера 0. Легко видеть, что указанные три параметра
полностью определяют положение планера относительно самолета. В самом деле, пара-
метры ? п L определяют положение точки крепления троса к планеру, а параметр В опре-
деляет положение оси, связанной с планером, в пространстве. Итак, получаем задачу об
устойчивости продольных движений планера, обладающего тремя степенями свободы.
2. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим планер, буксируемый самолетом с некоторой постоянной скоростью 1/0
по прямолинейной траектории, образующей с горизонтом угол 0о. Все величины, характе-
ризующие этот установившийся режим полета, будем обозначать буквами с индексом „0й.
Пусть в некоторый момент времени какая-то возмущающая причина, действующая в плос-
кости симметрии планера, вывела его из установившегося режима. Величины, характери-
зующие возмущенное движение планера, будем обозначать буквами без всякого индекса.
Согласно нашим предположениям, самолет будет продолжать полет по прямолинейной
траектории с прежней скоростью По.
Напишем уравнения возмущенного движения планера. Возьмем правую систему ко-
ординат, неизменно связанную с планером; начало координат поместим в точку крепле-
ния троса к планеру, ось х направим вперед, а ось у — вверх. Обозначим радиус-вектор
произвольной точки планера через г (фиг. 2). Тогда вектор ускорения произвольной точ-
ки будет определяться следующей формулой:
dt* 7 \ dt J ' dt* L \ dt J L r dt2 1 dt " dt ’
где L радиус-вектор начала координат относительно точки крепления троса к самолету.
Предполагаем, что крыло планера находится вблизи его центра тяжести. При рас-
смотрении возмущенного движения планера скорость планера V и угол траектории О
берем для его центра тяжести. Координаты центра тяжести планера обозначим через хг,
ут . Кроме того, введем обозначения для плеч инерционных сил:
Ат COS (? ф И — 0о) |~_у( sill (ср ф!) 0о);
/Д — хт sin (? . 0о)Ц-_ут cos(»4 й -Op).
Напишем уравнение проекций всех сил на направление, перпендикулярное к тросу:
. d2?
„ <Г» „ , dll Y .
<LL
dt dt
= Yeos (c, -| 0 - 0o) — Q sin (? 4~ 0 — 0o) — G cos (® — 0o).
(1)
2
Уравнение проекций всех сил на направление тросй
d2L . u d2» . ( dy Y „
d 9
2
— mL
= Г sin (? 0 - М + Q cos (« + 0 - 0о) — G sin (7 — 0й) — Г.
Уравнение моментов всех сил относительно начала координат
, d2b , „ d2^ . „ d2L ( dv у dy dL
~dG~~mL Hl dt3 dt? dt \ 2mHi dt dt
(2)
(3)
к пла-
где Мг — момент всех аэродинамических
= Мг Ц- G (_уг sin 9 — х, cos 9),
сил относительно точки крепления гроса
Исследование устойчивости будем производить при помощи метода малых возмуще-
ний [1]. Поэтому переходим к составлению уравнений в вариациях. По известному опреде-
лению вариаций имеем для основных параметров:
? = ?о+ Л ?;
Все действующие силы разлагаем в ряд Тэйлора по степеням вариаций основных
параметров и их первых производных. Отбрасывая члены порядка выше первого, имеем
для силы Y:
dY , , dY . . , dY ... dY
-ТС лл + -7)-Гд!,+—
dt
d A L , () Y
д Г
д L
dbb
dt do
dt
выражение силы Q. При разложении -аэродинамического
момента Л1£ добавляем’ члены со вторыми производными, которые, как это видно из даль-
нейшего, связаны с производной угла атаки крыла планера по времени и, следовательно,
учитывают запаздывание скоса потока у хвоста. Таким образом,
дМ, d а а д м.
d“A&_
dt'3
Аналогично получим
i)M,
д а
д Мг
~дТ
с)Й
d- A L , dM.
dt2
dt
d2 А
~dt2
Z
3
Для тяги по тросу имеем
7'=7'"+"'ЗТЛ/-
Необходимо заметить, что все производные от сил и моментов относятся к исход-
ному установившемуся режиму.
Выразим производные от аэродинамических сил и моментов по основным параметрам
движения через силы, моменты и их производные по углу атаки. Прежде всего отметим,
что все производные от аэродинамических сил и моментов по параметрам ср и L равны
нулю, так как аэродинамические силы и моменты не зависят от положения планера в
пространстве. При этом изменением плотности воздуха с высотой пренебрегаем. Таким
образом, имеем:
д¥ dQ дМг л dY dQ д М,
д<? ~ д? ~ d'f ’ dL ’ dL dL
Далее, изменение угла 8 при неизменности остальных параметров равносильно изме-
нению угла атаки планера. Следовательно,
dY dY dQ dQ д Мг _ d^M^
d 8 da' d 8 d ot ’ 3 8 da '
Прежде чем вычислять производные по скоростям, дадим связь между скоростью
центра тяжести планера и основными параметрами движения. Обозначим через Ц проек-
цию скорости возмущенного движения центра тяжести планера на направление скорости
невозмущенного движения, а через V2 — проекцию, перпендикулярную первой. Из фиг. 2
легко видеть, что
Ц = К + ^2 L sin ср — cos ? — [Ут cos (8 — б0) -ф хт sin (8 - 6П)];
L Lv I' HL
(4)
V2 - L cos ? + ^ sin cp — [yT sin (8 ft0) - x, cos (8 -b0)].
It L CiC Li t-
С точностью до малых второго порядка имеем:
(5)
С той же точностью получаем изменение угла наклона траектории:
e-e0 = ^- (6)
Далее, имеем:
а = 8—6=8 60 - Z. cos <р + sin ? ~ ^7 lb sin (8 - 6„) - .v, cos (8 - 60)j|. (7)
Вычислим производные от сил и моментов по скоростям ф и L. Имеем для силы ):
d_Y_ dY da dY dV dY=dY ЗГ dV
Зф~ ’ d? dv ' d'f ’ dL da ' dV' dL'
Подставляя значения производных от a и V по ср и L, вычисленных на основании
формул (4), (5) и (7), получаем1
dY L fnv dY \ dY 1 . dY , \
—T = -=-. ( 2Е81ПФ-д- COS cp ; --:= --jy(2r COS ср -ф-т- slncp -.
3cp Vl da 4’ ()L VI 1 da
Аналогичные формулы имеют место для силы Q и момента Мг.
Переходим к производным по 8. Имеем:
dY dY dY da dY
38 ~ d°>0 da df) + dV
dV dY
38 da
da
‘ ЗЙ
1 В этих и последующих формулах индексы нуль опущены.
4
В этом выражении производная — означает вращательную производную силы У от-
С/(0п
носнтельно центра тяжести планера. Подставляя значения производных or V, а и а по
>>, вычисленных по тем же формулам (4), (5) и (7), получаем:
df дУ , 1 дУ . 2У. , . ч . дУ
. =5 Н (VrSina Л, cos а) - , ,(_у, сиза ^SliiaH—г. (о)
di) dw0 V да 1 ’ V ' 1 ' да
Можно показать (см. приложение Ij, что первые три члена правой части формулы
(Ь) представляют собой вращательную производную силы Y относительно точки крепления
дУ
троса к планеру. Обозначим эту вращательную производную через :
дУ дУ 1 дУ . , 2Y . .
. , - (VrSina ат cos а)— (ут cos й-фл'т sin а).
dw dtu0 И da V
Тогда получим:
дУ дУ , дУ
di) ‘ да
(9)
Аналогичные формулы имеют место для Q и /Иг. В целях упрощения в дальнейшем
. , d/ dQ dQ
будем пренеорегать производными—. , а также .
да да doJ0
Вычисление производных момента М. по ускорениям ср, L п 1) производится подоб-
ным же образом:
дЛ1, _ дЛ1г да
dp да d<p
и аналогично для L и й. Производную от угла атаки по времени легко получить из
формулы (7). Затем находим производные от а по ср, L и И. Окончательно получим:
= d/Hz Л cos ср. ^7W?==_C^. sil1? . -™г- = _^(yTsina —ATcosa).
dtp da V ’ 0L ~ da V ’ V da
Подставим все величины, входящие в уравнения (1), (2) и (3), и отбросим все члены
порядка выше первого. Тогда в уравнениях останутся только постоянные члены и члены
первого порядка. Постоянные члены сократятся в силу следующих условий равновесия,
относящихся к установившемуся режиму:
rt)cos»(l Qosiii'p() (7cos('p0 0„) 0;
Го siii'p^ Q(,coscp(, - Gsin(pu- 0„) /’o==Oj
M,o 4- G.(ji Sill »0 - At cos i)„) - 0.
Таким ооразом, получаем уравнения в вариациях, содержащие только члены перво!о
порядка малости. Отбросим у всех величин индекс пуль, помня, что все величины, вхо-
дящие в коэфициепты уравнений, относятся к исходному установившемуся режиму по
лета. Произведя перегруппировку членов, получаем уравнения в вариациях в окончатель-
ном виде,
Уравнение проекций всех сил на направление, перпендикулярное тросу:
(ГДр
mL
... х V dQ . дУ ,
Sin-ф) - У COS Ср Sin ср. 5—COS ср Sin ср V COSJrp
’ ‘ т da ‘ - 1 да.
1
V
Q COS ср Sin p 4 Г(1 4“ cos'- cp) — Sin2 cp4-^- COS -p Sin cp
d\L
dt
d1 Ai)
' dt-
1 ,.z . „ ., 4 । dr
( Г Sin rp - i Qcoscp)(yr Sin a- At COS a) -^-coscp
dQ
дш Sln?
c/AU
dt
Г sin?
dr
-x- COS -p
da
AU 0.
(10)
5
Уравнение проекций всех сил на направление троса:
г» • । , х । dQ „ . dY . rfAc
— Q cos ф sin ср — ) (1 4- sin2 c) 4- cos2 ф 4—— cos ® sin ф----
ы v 1 ’ 1 ox da.
/т/1 I п x I I' I dQ dY . ,
Q(1 -i-cos-?) ] ) COS ф sin v COS ф Sin Ф Д . sin
1 ‘ ‘ од ‘ ‘ 1 da
l/i \ i . dY
Д1 cos Ф - Q sin ф)( v, sin x a, cos a)— r-sin^-
V ” r/uj
L
V
d2\L , 1
mTfc~ + V
,, c/2AI>
А-тН2
dt
dbL .
dt
dQ
cos®
O'u
4=1- д Г
~dT^dL^
t/АЙ
dt
(dQ , дУ .
— -V~ cos Ф 4- -г— Sin rS
\ ox cfe
АН = О
(Н)
Уравнение моментов всех сил относительно точки крепления троса к планеру:
, / ,, , дМ„ cos ф
L тН,-\
\ да у
. / ,, . ДЛД sin ф \ с/3Д£
+ '^2+-^-*^--'---------
\ ох ,
. ' 1 дМ
| 1 -= —4 (Ут sin а хТ cos a)
и да
— . । u(vTcosO-
ОХ
d^L'i . j
~dW + ~
... T 1
V J dt2 + P
£
V да
sin s - 2М cos <р
да 11 г т
<73Д&
dt2
0Mt . \rfA =
—1 cos ф — 2ALsin ф
z ‘ dt
А& = 0.
dt
(12)
дМЛ d№
3. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К БЕЗРАЗМЕРНОМУ ВИДУ
Приведение полученных уравнений к безразмерному виду проводим по методу, ука-
занному Глауэртом [1]. Для этого примем в качестве основных единиц времени, длины и
массы величины; т, \>.Ь и т,
т
где р. = —--относительная плотность планера,
т
т = YSV—новай единица времени.
Введем ряд обозначений для безразмерных величин:
время в безразмерной форме:
1=1
относительная
длина троса;
L
b ’
относительные
координаты центра тяжести планера:
b ’ *Vr b ’
относительные
плечи инерционных сил:
Я
натяжение троса в безразмерной форме:
т= -7|’ _== .
pS V2 2 cos ф ’
коэфициенг жесткости троса в безразмерной форме:
’ dL ’
6
относительный момент инерции планера:
; _ ' = 4 + М4+А = , + * (-;+-?)1
'о 'О Г‘
где /0 — момент инерции планера относительно оси, проходящей через его центр тяжести:
/0 = mrt-
Далее вводим безразмерный коэфициент демпфирующего момента
1 Ь2 дт,
2 Г) ОШ
где
шЬ .
ш = V ’
безразмерный коэфициент момента от запаздывания скоса потока:
где
ab
й==
и, наконец, коэфициент продольной статической устойчивости
Кроме того, обозначим
Дадим еще выражение для веса планера в безразмерной форме
G== r\ р№ 2 г2 ^cosO ’ U ’
где cvo соответствует режиму полета при ср = О и заданном 9.
Чтобы привести уравнения в вариациях к безразмерной форме, нужно все члены
уравнений (10) и (И) разделить на
mb ?SVb pSI/2
т® Т [». ’
а все члены уравнения (12) разделить на
4 pSVfi _ pSV2& rt
"2 -с р. Ь2
Получим первое уравнение в безразмерной форме;
_ с/2Д<р 1 _
Ml + sin4)
су cos ср sin cp
Cx COS cp Sin <p 4- Cay COS2 cp]
(/Дер
dt
I— Cx COS cp sin cp Су (1 4- COS® <p) — Cx sin2 cp 4- C°v COS cp sin f] —
dt
~Hl dt2
1 t/Д»
9 [(rv sin cp 4“ cos cp) (yT sin a — A'T cos a) 4- Cy cos cp — cx sin cp] ~^=-
4~-к- P (c“ sin cp — cay cos ср) ДЙ = 0.
(15)
7
Второе уравнение:
1 i о а z/Ap
-у L [- - cxcos р sin 'f — су (1 sin* р)4~ сх cos2 р 4~ су cos р sin р] —" 4~
X (21
4 — ~ [сд. (1 cos2 р)4~с> cos р sin p 4_ cxCos p sin <f>4- CySin2p] 4~/ДА ]-
dt- ~ ‘ dt
i/2Ai> ,1 __ z/Д»
4 Н-г ^(2 1 2KC/COS?‘ cJtsinp)(j1 sin а - xs cos a) — c“sin p — c"’ cos ©J ~~^=
|i (c.v cos -p 4- cJv sin p) Al) — 0. (16)
1ретье уравнение:
_( b2 — in- \ rf’Ap £ _ _ _ z/Ap
L —j H, -I----cos p ~7f.r------|ma cos © - - 20’ (y, sin » — л, cos U) sin pl
\fi [j> J dt2 [A 1 s dt
— [/na sin © 4~ 2G (_y, sin i) - xr cos I)) cos p] 4~
m- __ _ d2A8 . . i/Aii
£4- “От sin a—a, cos a) — 4“ m«) ,y~ +
[i dt- dt
\ma G{yx cos H 4~ л'т sin 11)] Ai) — 0.
(17)
4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Ищем частное решение полученной системы диференциальных уравнений в форме:
Д р=Ае*; Д L = Be' ‘; А &=Сеи
Решение такой системы приводится, как известно, к отысканию корней характери-
стического уравнения
ai/2 + PiA+ш
(W-
аз/2 4~ РзЛ
Р1’4
а22^“ “Ь ?22^ “Ь 122
“I- Рз2^'
“is^ + Pis^ + 'hs
a23/,S Ч~ Рзз^ 4“ Тгз
ass^“ “h Рзз^' Ч- Твз
= 0
Коэфнциенты а„,„, и im„- не что иное, как коэфициенты уравнений (15), (16)
и (17).
Для сокращения письма введем ряд дополнительных обозначений:
1
Pi ~2 1ел- (1 4“ sinS ?) — су cos ? sin ? — Cr cos p sin p 4- c”y cos2 pj;
= 4" fcA- (1 + cos2 ?) + cy cos P sin P 4- c.i- cos p sin p 4~ c°y sin2 p];
4i ^~(су ccs ? sif1 ?);
7-2 = 4* (c^sin p 4- <4cos p);
<73 = 4~ (cy sin p 4- cx cos p) (j, sin ». — at cos a)
^4=4* (Чу cos p — cx sin p) (j/T sin a - A'T cos ».)
/Zj — ma cos © — 2G(yT sin i) — xT cos У) sin p;
/z2 = ma sin p -'-2G(yT sin 0 — xT cos U) cos p;
zw| — G (yT cos 8 sin ft).
8
Наконец, обозначим
Проделав весьма громоздкие выкладки, получим, после деления всех членов урав-
нения на L, характеристическое уравнение с упругим тросом:
х6+а^ъ + л3х3 4- л4х2 -н л/ 4- д6=о. (19)
Коэфициенты этого уравнения удобнее всего представить в следующем виде:
А = съ
А — С2 + I fa0>
As ~ А A ^20)
А = с4 4- ТЬ. 4 fa,,
АЪ=ТЬ4 4 fas,
A^fa^.
Коэфициенты сп имеют следующие значения:
1
С\ — -q" (A A ^J’) А ^<|>0 A (1 — _V">f))i
Со = (<'л 4~ cv A CJtCV - CyCf) А ~2 г А 6/Ни5" А «о (^~2 ^шГ}
4-тиво(1—J.oo);
। ни
G = О A А Г1СУ с/“) A Y с' П1а 0 ("2 —"У*00 ’
с4 = ~2 Ас>')
Значок „0“ у величин т,о , пг , та и _уи> означает, что эти величины взяты отно-
сительно центра тяжести планера, причем это относится как к моменту Мг, так и к угло-
вой скорости ш.
Коэфициенты Ь„:
Ь- — 1 ( />2 9 ,п„ —- \
Ь. = —Г Н} 4- -= ( 1 4- -9 /А 4------------------------СОЧ tp ] ;
' г; ' L \ r~i Р- /
&г-
тш П1а^р,-^1Ц
Гшо)/4> —yu>tfvIL.
-•4-1* Va- —V sin ъ - 4 рхш —2-/Уо cos %> -
Р rt г}
ь' а
Г;
1 (cosines 4~ Or COS®) VcuoSin2?
-|-(cv4 с;4-сгщ, c/4)н, — (с,.с“4-с>с“)лл
4 — I As 4- p., (mu, 4- ma) — ma q., sin 'p 4“ " У ^гР ch — У<-> h« sip 'f
L । i’j
— X,„ /z2 cos ф - -2 qt
bA = -1- {pji-i — qJh).
2
9
Коэфициенты а^:
ьз т- _
«о = 1 + —5~ Я2---------7/„sin<p;
П Н
___ Д ^2 _
«1 = /»«, +т; +’Л| — Н} -- - |±( уы Ц-J- ) —- Hl cos ф-ф р.лш —5- Нх sins
!х ’ Г; г}
Ь2 - 7L
-----^Н}(!3-\~т, ~ (c^coss - с. sin <р) — _vu,iicos3cp ;
aQz= hs-\-p, (ты -]-т- ) — т- coss-----------т Гш С cos <рЦ-лш hA sin s -
й
ГП- -
5 + - - - (у, Sin а - Л’т cos а) ;
п3 = Pihs — qAh} + -| /п- );
(23)
а4 —
h,.
Выясним физический смысл коэфициентов сп и а„. Пусть как натяжение троса, так
и его жесткость на растяжение равны нулю, т. е.
7 = 0; /=0.
Этот случай соответствует свободному полету планера. При этом характеристическое
уравнение (19), после сокращения на X2, принимает вид
'4 ф- CjXs 4- с2Х3 4- с8Х 4- с4 = 0.
(24)
Таким образом, коэфициенты сп являются коэфициентами характеристического урав-
нения для свободного планирования2.
Нужно отметить, что при переходе от общего уравнения (19) к уравнению для
свободного планирования отбрасываются два нулевых корня. Эти корни, очевидно, соот-
ветствуют устойчивости по отношению к параметрам, характеризующим положение центра
тяжести планера в пространстве.
Рассмотрим теперь случай буксирного полета с абсолютно жестким тросом. Чтобы
получить характеристическое уравнение для этого случая, разделим обе части уравне-
ния (19) на /, а затем положим /=сс. Тогда получим:
а0Х4 + + а7'2 + ав^ + а4 = 0.
(25)
Следовательно, коэфициенты ап являются коэфициентами характеристического урав-
нения при абсолютно жестком тросе.
Нетрудно видеть, что при переходе от общего случая к случаю буксирного полета
с абсолютно жестким тросом отбрасывается пара корней с модулем, стремящимся к бес-
конечности. Величина этих корней в пределе при f=vo равна
+г °°-
(26)
Характеристическое уравнение для буксирного полета с абсолютно жестким тросом
может быть, конечно, получено самостоятельным путем. Для этого нужно взять урав-
. с „ 1 дСу
1 В коэфициент ал добавлен член, зависящим от у. =-----2
“ да
. Этот член необходим при расчетах с уп-
ругим тросом.
2 В книге В. С. Ведрова [1] в коэфициентах характеристического уравнения для планирования
отсутствует величина уи) 0, которой пренебрегается.
10
нения (1) и (3) и считать в ник длину троса L за постоянную величину. В этом случае
уравнение проекций сил на направление, перпендикулярное тросу, в безразмерной форме
имеет вид:
у- <72Д® у dky -
L ~^Г +PiL + 7 д 7
<7/! dt
Н' dt-
<h + 2" с"у cos
1
2 Сх
sin ф
-——-----uw.Afl = 0.
dt
Уравнение моментов относительно точки крепления троса к планеру:
Ь2 — т-
7 ( 2 cos®
\ fi р
d2M
rf?
/г t г/Д®
t’- ' dt
I - । ,11' Г~ ~ \ ^ЗДЙ I / I \ ^Д& I I лч
-н ? + “ (Ут Sina-Л, cos а) —| (/«,„ + т) —-=—|-//3Д9=--О.
и dt- dt
Ha основе этих уравнений может быть легко получено характеристическое урав-
нение (25).
В заключение нужно заметить, что при практических вычислениях формулы для
коэфициента as и произведения Tb4 нужно преобразовать, так как получаются разности
близких чисел. 11осле преобразования произведение ТЬ4 принимает вид:
7’&4 = [cv (1 cos2 ®) -ф- су cos ® sin ®] ma — р2 G (j/r cos <1 ф- xt sin Я)
— 20 (yT sin fl - хт cos 9) q2 cos <p.
Коэфициент a-A:
а.л = ~ [cr (1 ф- sin2 ®) — cy cos ® sin s] ma — ргС{ут cos fl xT sin 0)
_ _ 7
ф- 20 (Ут sin fl - xT COS fl) qA sin <f>+ — (/??<« ).
5. О СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАНЕРА НА БУКСИРЕ
Статическая устойчивость, как известно, связана со свободным членом характери-
стического уравнения [1]. В случае упругого троса свободный член уравнения равен
4 =/ у
Для абсолютно жесткого троса имеем
= — • Хл8.
«о «о L
Величины 7', /, L, а0 всегда положительны, поэтому знак свободного члена уравне-
ния как для упругого, так и для жесткого троса определяется знаком величины Л3:
hs~ma — G (j'T cos S ф- Хт sin fl). (27)
Величину A3 можно принять за обобщенный коэфициент статической устойчивости
планера на буксире. Заметим, что представляет собой частную производную по углу
тангажа от момента всех сил, действующих на планер, относительно точки крепления
троса к планеру.
Выясним, от каких параметров зависит статическая устойчивость в буксирном полете \
Для коэфициента аэродинамического момента, взятого относительно точки крепления
троса к планеру, имеем на основании фиг. 3-
mz=Mz0 {-zT(cJ,cosa4-cTsina)-|-_y1 (cxcosa — c^sina). (28)
1 Некоторые из приведенных в этом параграфе результатов получены впервые А. И. Сильманом.
11
Отсюда находим:
д тг
~д~а
дтл
д а
\ хг (су cos а — су sin а 4- Сх sin а сх со> а) -
— ут (Су sin а 4~ Су cos а — сах cos а ф- сх sin а).
(29)
Так как величина ут может меняться в довольно узких
пределах, а угол атаки планера а невелик (за исключением
ч д т,
весьма оолыиих ч>), то в основном величина зависит
д а
от изменения хТ.
В выражение для обобщенного коэфициента статиче-
ской устойчивости й3 входит, помимо производной от аэро-
динамического момента, еще производная момента от веса.
Однако влияние этого второго члена невелико. Следова-
тельно, коэфициент статической устойчивости также в основ-
ном зависит от хг. С выносом точки крепления троса впе-
ред по отношению к центру тяжести статическая устойчи-
вость планера увеличивается и притом весьма значительно
по сравнению с устойчивостью свободного планера. При рас-
положении точки крепления троса ниже центра тяжести
планера статическая устойчивость несколько уменьшается.
Обращение в нуль обобщенного коэфициента статической устойчивости планера вы-
зывает появление нулевого корня среди корней характеристического уравнения. Если при
/zs>0 планер колебательно устойчив, то в этом случае уравнение А3 = 0 является урав-
нением границы апериодической неустойчивости планера.
Из формул (27) и_(29) видно, что граница апериодической неустойчивости представ-
ляется в параметрах xt и у, в виде прямой линии. Напишем уравнение этой прямой.
Используя формулу (14), находим
+ [(О- + О + > °)cos rj- ~ у c»« с“) sin 4 л-т -
[(О суи—с“) cos а ф- (с“ 4- сх 4- су„ ig 0) sin а] у r = 0.
На основании этого уравнения легко получить геометрическое место точек крепле-
ния троса к планеру, относительно которых статическая устойчивость в буксирном полете
равна статической устойчивости свободного планера. Этим геометрическим местом яв-
ляется прямая, проходящая через центр тяжести планера, наклоненная под углом р к
оси Ох, причем
tgp = ^.
Л-Т
Если обозначить
то после простых преобразований получим
Легко видеть, что этот угол по своей величине близок к 90° для всех «.
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАНЕРА
ПРИ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОМ ТРОСЕ
Как установлено выше, граница апериодической неустойчивости может быть полу-
чена из условия А3 = 0. Чтобы получить границу колебательной неустойчивости, нужно
приравнять нулю дискриминант Рауса, составленный из коэфициентов характеристического
уравнения. Для абсолютно жесткого троса получаем:
ciyi.,as — — ayi] = 0.
12
Рассмотрим границу колебательной неустойчивости в параметрах L и у. Коэфициен-
ты характеристического уравнения можно представить в таком виде:
а„ = а — .
" " L
Тогда уравнение границы колебательной неустойчивости будет
(аха'2— апа'3) аз£2~Н(«1«2 — а0а'з) а'з (а^з — а0аз) аз—а^щ] L ф-
+ («1о''-цХ)^-0. (30)
При этом все а'п и а" рассматриваются как функции ф.
Оказывается, что, основываясь на виде границ колебательной неустойчивости в пара-
метрах ф и £ (фиг. 11), можно дать приближенный метод построения границ неустойчи-
вости в параметрах у и ху. Для каждой пары значений х, и _ут существует такое крити-
ческое значение угла ©, при котором величина L, определяемая из уравнения (30), стре-
мится к бесконечности. При значениях я, близких к критическому, величина L очень резко
возрастает. Поэтому для приближенного определения точки границы колебательной не-
устойчивости в параметрах ср и хт при больших длинах троса нужно приравнять нулю
коэфициенг при L2 в уравнении (30). Так как величина аха2- а0а3 обычно не обращается
в нуль,то граница неустойчивости соответствует равенству
а', — 0. (31)
Это условие дает хорошее приближение при хт, достаточно больших по абсолют-
ной величине. При хг, близких к нулю, приходится непосредственно пользоваться урав-
нением (30), которое является уравнением 6-й степени относительно хт.
Уравнение (31) удобнее всего решать следующим образом. Разрешаем уравнение
относительно су-.
1 Р sin2 <р 2 т/, 2cos<> sin ср-l-sinGcos ср —-
с = с !-------1--—• . - ----!—1------—— (j x t 4-
у х cos ср sin ср hs cos ф sin ср
, 2«. 2 sin Н sin cs —cos!) coses z,—
+ '—-•--------6y,.
/1Я COS'P SIH ср
Строим кривую cy по ф, считая, что величины сх. г“, с" и а являются функциями ф.
С другой стороны, из условий равновесия планера имеем
На основании этого равенства для данной скорости буксировки также можно по-
строить кривую Су по ср. Точки пересечения этих кривых дают значения ср, соответствую-
щие границе неустойчивости. Выбирая некоторое значение V, и задаваясь рядом значе-
ний xf, получаем ряд точек, но которым можно провести границу неустойчивости.
Так как величина а\ не содержит ///„, и т,- , то при тех ограничениях, при которых
действительно уравнение (31), границы устойчивости практически не зависят от враща-
тельных производных. Однако из способа решения этого уравнении видно, что границы
устойчивости зависят от скорости буксировки.
7. БУКСИРОВКА АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМ ТРОСОМ ПРИ НУЛЕВОМ УГЛЕ
ПРЕВЫШЕНИЯ
Буксировка планера происходит обычно при малых углах превышения. Поэтому
рассмотрим более подробно частный случай горизонтальной буксировки планера при ъ — 0.
Если отбросить члены коэфициентов ап, играющие малую роль, то коэфициепты характе-
ристического уравнения с абсолютно жестким тросом при ф 0 можно представи гь в сле-
дующем виде:
«0 = 14 —У. (У. + 2.x, sin 7);
1г
I -ус;
1 1
a., = mM -j- -% с“тия-------2-
1 1 62 «
hl -- - i-^o.U . 9 P-fy
2 4 rf
T / \ №
__ 1 I ___ «
— I //u 2 r2
+ > JA (Jr ~h 2xr sin x) ;
i
6s I - I \ T r
r2 H (GA-J-Crjr) 4~y ?;
[(Cr + cy sin a) xr -f- cv V,| 4- L (тш „г );
В этом виде коэфициенты удобны для анализа влияния таких параметров, как rnlM,
таП и скорости буксировки К Анализ влияния тш0 и т«0 будет дан при числовом рас-
чете устойчивости конкретного планера. Влияние скорости буксировки можно грубо про-
анализировать в общем виде.
Скорость буксйровки существенно влияет на следующие величины: с , с^х, ч. и т.
Влияние скорости на сх в практическом диапазоне изменения скорости пренебрежимо
мало. Если величина ут мала, то изменением коэфициентов а0, ах и а2 в зависимости от
скорости можно пренебречь. Таким образом, из всех коэфициентов только ая оказывается
зависящим от скорости буксировки.
Для характеристического уравнения с абсолютно жестким тросом можно применить
приближенное разложение Берстоу, предложенное им для случая свободного плани-
рования
п0Х34-«1к-као = 0; К2 4-к 4--^= 0.
1 - ' о? 1 а,
Из этого разложения следует, что большие корни уравнения практически не зависят
от скорости. Скорость влияет главным образом на коэфициент затухания малых корней.
Легко показать, что коэфициент гг3 имеет минимум при угле атаки
1
2
где a0—угол атаки при су — 0.
Следовательно, при скорости, соответствующей этому углу, коэфициент затухания
малых корней в безразмерном виде имеет максимум. В размерном виде этот максимум
сместится в сторону меныпих скоростей для устойчивого планера и в сторону больших
скоростей д/1я неустойчивого планера. Учитывая современные скорости буксировки и то,
что обычно ут>0, заключаем, что увеличение скорости, как правило, улучшает устой-
чивость при w 0. Этот вывод, очевидно, остается в силе и для малых углов превы-
шения
8. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАНЕРА НА БУКСИРЕ
Возьмем планер со следующими данными:
У=42,5 мг, ^г. о=5,65 м,
6 = 2,16 м, 0 = 3000 кг,
Sr. о=5,25 лА, /0 = 1 000 кг • м • сек'
Центровка планера 28% САХ.
Угол установки крыла <о = 4°ЗО'.
Расстояние от центра тяжести планера до носа фюзеляжа /,=3,68 м.
Расстояние от центра тяжести планера до нижней поверхности фюзеляжа /2 = 0,525 м.
Если точка крепления троса расположена на носу фюзеляжа, то в принятой системе
координаты центра тяжести будут: -гт = —1,7; _уг ~0. Положение точки крепления на
нижней поверхности соответствует ординате центра тяжести ут =0,25.
14
face расчеты проведены для горизонтального полета на высоте 11 1 uuO.w; при этом
п., „ кг сек2
Скорость буксировки примем У=230 км]час.
Длина буксировочного троса £ = 120 м.
Возьмем поляру планера, а также кривые су и с\ по а из фиг. 4. ВеЛцЧИНу св берем
постоянной, равной 5,04. На этой же фигуре нанесена кривая зависимости cv от угла
Фиг. 4. Характеристики планера
превышения ф, подсчитанная по формуле (32). Следует отметить, что на значительном
диапазоне изменения угла % примерно от —50° до 50°, значения су меняются весьма не-
значительно. Буксировка планера при <р=0 на заданной скорости происходит при су о=О,3.
При этом тяга по тросу равна 7'= 320 кг.
Производную ^z0 считаем одинаковой для всех углов атаки и для всех углов
отклонения руля высоты:
= - 0,26.
до.
Вычисляем вращательные и статические производные относительно центра тяжести
планера и некоторые безразмерные коэфициенты, необходимые для дальнейших расче-
тов. Имеем:
р. = 29,5; ^0 = 0,0178;
/ишо=2,43; £ = 55,6;
т„о = 0,546; О'= 6,41.
т«о = 5,46;
Для сравнения интересно привести значения вращательных и статических произ-
водных, взятых относительно точки крепления троса на носу фюзеляжа:
tna — 187,0; ти, — 14,4;
j4„ = 0,1616; ///„=0,90.
Все расчеты по устойчивости заключались в определении корней характеристичес-
кого уравнения (19) или (25,:
х = с 4~ w
15
и в построении границ устойчивости. Напомним, что действительная часть корня с харак-
теризует степень затухания возмущенного движения, а коэфициент при мнимой части v
— частоту колебаний.
На графиках С и v даны всюду в безразмерной форме. Для приведения к размер-
ному виду нужно разделить их на масштаб времени, который для данного планера равен
т — 0,995 сек. Период колебаний может быть легко подсчитан по формуле
Г= — т.
v
а) Буксировка абсолютно жестким тросом
Как и в случае свободного планирования, корни характеристического уравнения
Фи . г>. Границы неустойчивости
при j»T = 0,25
Фиг. 6. Гранины неустойчивости
при ут О
Фиг. 7. Границы неустойчивости
при _у = — 0,25
чивости представляет, конечно, пара малых
корней. Поэтому большие корни приведены
только в одном случае.
Рассмотрим сначала влияние положения
точки крепления троса к планеру, а также
угла превышения планера на его динамичес-
кую устойчивость. На фиг. 5, 6 и 7 даны
диаграммы границ устойчивости в парамет-
рах о; и хт для трех различных положений
точки крепления троса по высоте: у, =0,25; 0;
- 0,25. Из этих диаграмм видно, что полеты
при отрицательных углах превышения планера
могут привести к колебательной неустойчи-
вости; при этом существенную роль играет
положение точки крепления по высоте.
Расположение точки крепления ниже центра
тяжести планера вызывает колебательную
неустойчивость даже при малых положитель-
ных ф. Особенно сильное влияние оказывает
величина ут при небольших выносах точки
крепления троса до хт= —0,5 и даже до
лт =—1,0. Участки границы апериодической
неустойчивости практически являются отрез-
16
ками прямой линии, параллельной оси -f. Так как точка крепления троса всегда распо-
лагается впереди центра тяжести планера, то для статически устойчивого в свободном
полете
Фиг. 8. Влияние выноса точки крепления троса на малые корни
е
ОТ
I.
. ед
на
Г при ф =
Фиг. 9. Изменение малых корней по ср
фиг. 8 показано изменение корней характеристического уравнения в зависимости
—45°; 0°; 45°. Из этой фигуры видно, что влияние выноса точки крепле-
пия Троса наиболее сильно сказывается до
хт = —0,5.
Изменение корней характеристического
уравнения по ф при положении точки креп-
ления троса на носу фюзеляжа дано на фиг. 9
и 10. Оказывается, что планер является наи-
более устойчивым при полете на углах пре-
вышения, больших па 10°—15° тех углов, при
которых происходит потеря устойчивости. При
дальнейшем увеличенииФустойчивость падает.
г,
-
,0
4J0
1-2'0
— -1,0
^'7'- ______________
Ут~ о
-40°-20° 0 20° 40° 60’ 80° V
Фиг. 10. Изменение больших корней по
Следует оговориться, что величина установочного угла крыла планера, принятого
в расчетах, не является характерной. Обычно этот угол равняется 2‘ - 3°. Можно счи-
тать, что уменьшение угла установки крыла эквивалентно повороту осей координат на
тот же угол. Поэтому для нормального угла установки крыла граница колебательной
3
17
неустойчивости при больших по абсолютной величине хт несколько передвинется в сто-
рону отрицательных <р.
Далее было исследовано влияние длины троса на динамическую устойчивость. На
фи!. 11 дана диаграмма границ устойчивости в параметрах ® и L, а нафиг. 12 показано
изменение корней характеристического уравнения по L при 7—5°. Из фиг. И следует.
что, перейдя некоторое критическое значение <р, планер становится колебательно неустой-
чивым при любой длине троса1. При значениях <р, близких к критическому, длина троса,
соответствующая появлению неустойчивости, меняется очень резко. Если угол ъ значи-
тельно превышает критический, то колебательная неустойчивость появляется только при
очень малых длинах троса. Однако из этих же фигур видно, что уменьшение L ниже,
чем до 25 30, является нежелательным.
Таким образом, выяснено влияние всех параметров, специфических для буксирного
полета. Расчеты, проведенные по влиянию скорости буксировки при <?=0, подтвердили
выводы, полученные при помощи анализа коэфициентов уравнения для этого случая.
В частности, оказалось, что при х, ---1,7; ут =0 устойчивость при скорости 1/
= 230 км! час близка к минимальной. Как уве-
личение, так и уменьшение скорости улуч-
шает устойчивость. Далее согласно фиг. 5 при
хт = — 1,5; ут =0,25 и <р=0 имеет место неу-
стойчивость. Чтобы добиться устойчивости в
этом случае, нужно скорость буксировки увели-
чить примерно до 1/=420 км)час. Отсюда сле-
дует, что скорость влияет на устойчивость до-
вольно слабо.
Наконец, остановимся на влиянии вели-
чин /7/ао и тш0, играющих основную роль при
анализе устойчивости в свободном полете. На
фиг 13 дана диаграмма границ колебательной
неустойчивости в параметрах Wo и при
<5=30 для х, =- 1,7; yt =0.
Из графика видно, что если и таП
являются одновременно малыми, то может воз-
никнуть неустойчивость. Статическая неустой-
чивость планера в свободном полете также
Фиг. 13. Граница колебательной неустойчивости ------------
в параметрах та0 и г Второй корень уравнении (30) очень мал.
18
может привести к колебательной неустойчивости. Далее оказывается, что если Со-
хранить постоянное значение тшо=2,43, то наилучшая устойчивость получается при
/пао=3 -^10. Если, наоборот, оставлять неизменным /нко=5,46, то увеличение тт0 не-
сколько ухудшает устойчивость. При хТ =0; уТ =0 статическая неустойчивость в сво-
бодном полете приводит к апериодической неустойчивости при буксировке.
В заключение заметим, что, как показали расчеты, колебательная неустойчивость
проявляется прежде всею в быстром возрастании амплитуды приращения угла 1аким
образом, колебательная неустойчивость при абсолютно жестком тросе по своему харак-
теру оказывается маятниковой неустойчивостью.
б) Буксировка упругим тросом
Для случая буксировки планера упругим тросом было исследовано влияние коэфи-
циента жесткости троса на величину корней характеристического уравнения. Определе-
Фиг. 14. Влияние коэфициента жесткости троса на корни при у = 0
Установим сначала, какие реальные значения коэфициента жесткости могут встре-
титься на практике. Если рассматривать упругость самого троса, то для троса диаметра
(/=6,5 мм с жестким сердечником коэфициент жесткости по статическим испытаниям
равен /=5,9. Если рассматривать упругость, получаемую за счет провисания троса (см.
приложение II), то для того же троса при ® = 0 имеем /=21,5. При этом угол /Ь=2°. Для
грубой оценки коэфициента’ жесткости при у / 0
предположим, что и в этом случае форма троса
остается близкой к цепной линии. Тогда, учитывая
нагрузку от аэродинамического сопротивления
троса, получим /=13,9 для ® = 10° и /=2,3 для
ш = 30°. Наконец, если имеем специальный амор-
тизатор, состоящий из шести амортизационных
шнуров длиной Z=l,5 м и диаметром d = 13 мм,
то для него получаем /=0,17.
Отсюда видно, что при малых ® жесткость
самого троса меньше жесткости от провисания. С
увеличением ® жесткость от формы троса быстро
падает и при некотором ® делается меньше жест-
кости самого троса. При уменьшении длины троса
жесткость самого троса возрастает обратно про-
порционально длине, в то время как жесткость от
провисания возрастает гораздо быстрее. Следова-
тельно, как видно из дальнейшего, жесткость са-
мого троса играет основную роль.
На фиг. 14, 15 и 16 даны кривые действи-
тельных и мнимых частей корней характеристи-
чен- 15. Влияние ко-Чищ .снга жесгкосгп] ческою уравнения по коэфициенту жесткости /
Li роса пл корпи при з = о 1 при двух значениях угла превышения: ? = 0 и
19
10°. При этом для ср = 0 участок изменения f от 0 до 1 дан на отдельном графике, так
как он представляет самостоятельный интерес. Во всех этих расчетах точка крепления
троса считалась расположенной на носу фюзеляжа.
В случае упругого троса имеем три пары комплексных корней: две пары старых
корней, получающихся при жестком тросе, и пару новых корней. Большие корни не
представляют интереса и на графиках не показаны. Нужно отметить, что обе пары старых
корней уже при /=3-г-5 приближаются к тем значениям, которые они имеют при
жестком тросе. Таким образом, если нет специального амортизатора, то принятие троса
за абсолютно жесткий дает возможность достаточно точно определять две пары корней.
Следует отметить, что при о= 0 малые корни дают колебательную неустойчивость при
очень малых значениях f. Упомянутый выше амортизатор как раз попадает в область не-
Рассмотрим изменение пары новых корней. Частота этих корней приблизительно оди-
накова для всех трех значении может быть грубо определена по следующей формуле-
Фиг. 17. Коэфициент затухания пары
новых корней при / = ос
При увеличении жесткости частота стремится к бесконечности. Па фиг. 17 даны пре-
дельные значения коэфициента затухания этих корней при f=co. Оказывается, что в
этом предельном случае новые корни дают устойчивость при всех <р. При этом наимень-
шая устойчивость получается при % близких к 0.
При э 10° новые корни дают неустойчи-
вость в диапазоне приблизительно от /=0,1 до
/ 55. Аналогичная картина имеет место при <р=30°.
Наибольшая неустойчивость получается при f -
— 10 : 15, причем с увеличением <р неустойчивость
проявляется сильнее. При <f> = 0 этого не наблю-
дается. Таким образом, добиться устойчивости при-
менением амортизатора практически невозможно;
необходимо стремиться увеличить жесткость троса.
Так как частоты, при которых имеет место
неустойчивость от новых корней, достаточно ве-
лики, то для летчика такая неустойчивость должна
быть неприятна. Однако возможно, что предполо-
жения, положенные в основу исследования, яв-
ляются для случая упругого троса не совсем удовлетворительными. Поэтому анализ
устойчивости с упругим тросом требует своего уточнения.
20
ЗАКЛЮЧЕНИЙ
Продольная динамическая устойчивость планера на буксире зависит, в первую оче-
редь, от следующих специфических для буксирного полета факторов: положения точки
крепления троса к планеру, длины и упругости троса, наконец, от выбора угла превыше-
ния планера над самолетом. Помимо этого оказывают влияние скорость буксировки, а
также величины коэфициентов статической устойчивости и демпфирующего момента сво-
бодного планера.
На основании произведенных расчетов можно дать по всем вышеуказанным факто-
рам ряд определенных выводов:
1. Положение точки крепления троса к планеру оказывает существенное влияние на
динамическую устойчивость планера. Для получения удовлетворительной устойчивости
точку крепления троса нужно располагать не ниже центра тяжести планера, вынося впе-
ред не менее чем на половину средней аэродинамической хорды. Удобным расположением
точки крепления троса является расположение ее на носу фюзеляжа.
2. Недостаточная жесткость троса приводит к появлению колебательной неустойчи-
вости. Поэтому следует избегать постановки каких-либо упругих элементов в трос. Уве-
личение жесткости троса может быть достигнуто путем возможного уменьшения его
длины.
3. Уменьшение длины троса ухудшает динамическую устойчивость планера, однако
не слишком сильно, если при этом длина троса все же остается достаточно большой.
Чтобы иметь удовлетворительную устойчивость, длину троса нужно брать не менее 25—30
средних аэродинамических хорд.
4. Необходимо избегать полетов с отрицательными углами превышения, так как при
этом обычно возникает колебательная неустойчивость. По этой же причине следует также
избегать углов превышения более 5°—10°. При правильно выбранной точке крепления
троса к планеру наилучшим летным диапазоном углов превышения являются углы пре-
вышения от 0 до 5”.
5. Повышение скорости буксировки приводит обычно к улучшению динамической
устойчивости планера при малых углах превышения его над самолетом. При больших
углах превышения влияние скорости на устойчивость не обследовалось.
6. Статическая неустойчивость свободного планера может привести, при большом
выносе вперед точки крепления троса, к колебательной неустойчивости при буксирном
полете. Следует также избегать, чтобы коэфициенты статической устойчивости и демп-
фирующего момента были одновременно малыми по своей величине. Для достижения
наилучшей устойчивости можно рекомендовать значения /н„о = 3-:-1О.
Все предыдущие выводы относятся, строго говоря, к танеру, имеющему малую
удельную нагрузку на крыло. Влияние изменения удельной нагрузки на крыло на устой-
чивость планера не рассматривалось.
Все выводы носят предварительный характер, в особенности выводы, касающиеся
упругости троса, и требуют проверки летным экспериментом.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
О вычислении вращательных производных
dm,
Коэфициент демпфирующего момента или вращательная производная опреде-
лю
ляется обычно относительно центра тяжести самолета или планера при помощи специаль-
ного эксперимента [2]. Приближенно эта величина может быть подсчитана по следующей
формуле [1]:
дтг о дсу on Sr. о о
= > ’“5 ’ ’~s^’A-
de
Если считать, что вращательная производная —' происходит только за счет гори-
зонтального оперения, то получаем аналогично
дсу
д‘»0
дсу on Sr. О Lr. о
docon S Ь
Выведем формулы, позволяющие находить вращательные производные сил и про-
дольного момента относительно произвольной точки планера, зная вращательные произ-
водные относительно его центра тяжести (перенос начала координат). Возьмем две системы
прямоугольных координат с параллельными осями (фиг. 18). Пусть координаты начала
системы х'О'у' в
системе хОу будут х|)( у0. Обозначим компоненты скоростей в системе
хОу через Vx, Vy и «>, а в системе х'О'у' — через lz'v, V и
Имеем формулы связи для компонентов скоростей
О)' = 19; 1^. = lzt — >(,«); V’v = Vy л„ю.
Рассмотрим силу Y. Полный диференциал этой силы может
быть представлен в следующих двух видах:
(33)
dY dVx dVx+ dVy^-^i x ' dVy y дш
dY^ dY dY dY rfl/v + 4i7-- rfl/v + ^ A 1 d Vy •’ do)
dm'.
Приравниваем правые
мость диференциалов dVx,
части; тогда, используя
dVy и rfw, получаем
формулы (33) и учитывая незавпси-
dY dY t dY
d«>~ dm' Уо dVx
dY
x° dVy
(34)
Аналогичная формула имеет место для силы Q. Для момента 7Иг необходимо учесть
еще изменение величины самого момента при переходе к другой точке:
М, = М'г 4- Y(xn COS о. —yQ sin а) 4- Q (х0 sin а -j-_y0 cos а). (35)
Таким образом, получаем:
дМг дМ' дМ' dM'2 dY . ч , dQ
d.V = ~дт' - Уо^х + Xu~dVj + cos * -’s,n + dm Sin * Ь'о cos Й),
пли в другом виде:
дМг дМ' dY , dQ . , ч дМ, t dMz
*Г- *-+»<’.«•« ««•*)+*. (*•*>• Л-Э1Г+*. лг.
Выразим теперь производные по компонентам скорости Vx и Vу через производные
по углу атаки. Имеем для силы Y:
dY 1 dY . \ dY 1 Л „ . dY \
=Т7 2у cos а— - sina ; ... =---77 ‘2 } sin а --5— cos а .
t)V, V \ da dV V \ 'да /
1 \ J у \ /
22
Подставляя эти производные в формулу (34), находим:
4^ = + 4? 4г" G'o sin а - х„ cos а)— (Л cos а + х0 sin а).
дш ды 1 V da ' v
Если точка О' является центром тяжести планера, то полученная формула совпадает
с формулой (9).
В безразмерном виде имеем
= с1"' -ф (j’o sin a — хп cos a) — 2 cy (_y0 cos a-ф- xQ sin a).
Аналогично для силы Q.
Для момента Мг подобным образом получаем:
= с“'(ф0 sin a — x0cosa)+c“'(j0cosa-f-x0siiia)4-
do/
d/я. - „ , - . ,
4- (y0 sin a — x0 COS a) — 2 тг(у0 cos a-f-Xo sin a).
Остановимся еще на вычислении производной —. Диференцируя равенство (35) по
da
а, получаем приближенно
(36)
da da ° da
Для центра тяжести, как известно,
дМго 1 дсу on d-
d^p5r oU- da V •
Аналогично имеем:
д К 1 дсуоп „ ,/2 d& Lt, 0
di Рд--°%П da V ’
Подставляя эти величины в формулу (36) и переходя к безразмерным коэфициентам,
получаем окончательно
d/щ = d/?z~ о Л лт \ (37)
da da \ ir-0/
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Определение упругости троса от его провисания
Рассмотрим для простоты только случай 7 = 0. Начало координа! поместим в точку
крепления троса к самолету (фиг. 19). Обозначим угол между касательной к тросу в
Фиг. 19
точке крепления его к планеру и осью х через ь. Имеем:
. , PS _ S
tg‘~2r 2а’
(38)
23
где rt= — , s—длина троса, р — погонный вес троса. Аэродинамическими силами, дей-
ствующими на трос, пренебрегаем.
Интегрирование диференциальных уравнений цепной линии [3] приводит в данной си-
стеме координат к уравнению
(V \
-----1- С - а <11 С.
<z 1 j
Постоянное С определяется при этом из следующих выражений;
chC =——г ; shC= —tg<b.
COS ф
Для точки крепления троса к планеру с координатами х = О, y=L получаем:
ch (L + С = -Ь .
I а ) cos Ф
Диференцируем обе части этого равенства по L, считая s постоянной. Заметим, что
величины а, С и ф зависят от L через Т. Произведя все преобразования, находим
dT Т
Длина дуги цепной линии выражается, как известно, формулой
х 2 a sh
2а
n t L L
Разлагаем sh — и cos Ф по степеням величины — :
2« 2а
. L , 1 ( L V
bh2a 2 а ' 3! ^2 nJ 1 ’ ' ”
_L i ZsV
COS ф = (11§2ф) 2 = 1 - ~ =1
Сохраняя в разложениях первые два члена, получим
dT \2(Т\*
aL ~ р2 \L J '
окончательно
(39)
Из этой формулы следует, что добиться увеличения жесткости троса в смысле ) ве-
.. ат
личения производной
можно уменьшением длины троса или
уменьшением
погонной
нагрузки р.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. С. Ведров. .Динамическая усгойчивость самолета", Оборонгиз, 1938 г.
2. А. Л. Райх. .Теория и методика экспериментального определения вращательных производных".
Труды НАГИ, вып. 419, К39 г
3. Н. Е. Ж у к о в с к и й. . Механика системы. Динамика твердого тела". Оборонгиз, 1939 г.
О is. редактор А. А. Горяйнов 1 1 ^всг 4 Институт ПiC Подписано к печати 28/11 1947 г.
Объем 3 иеч. л., 42 880 зн. в печ. л. Г-81665 i ——ТХл. т___ Тип, изд-ва ЬНТ 1 ИУр — Учетно-авторских листов 3,2 Зак. -Ns 1261