Автор: Китайгородский А.И.  

Теги: физика  

Год: 1973

Текст
                    А. И. КИТАЙГОРОДСКИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ
Допущено Министерством
высшего и среднего образования СССР
в качестве учебного пособия
студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 1 973


530.1 К 45 УДК 530 @75.8) Введение в физику. А. И. Китайгородский. Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математиче- физико-математической литературы, 1973. Книга представляет собой учебное пособие по физике для студентов высших технических учебных заведений и состоит из трех частей: 1) механическое и тепловое движение, 2) электромагнитное поле, 3) строение и свой- свойства вещества. Таким образом, оптика и электродинамика излагаются с единой точки зрения, а все проблемы строения атомов, молекул и твердых тел даются после- последовательно на основе знаний, полученных в первых двух частях книги. Пособие отличается также относительно небольшим объемом, оригинальностью и современностью изложения. Второе издание переработано в связи с необ- необходимостью отразить в книге развитие физики за послед- последние годы. Табл. 14, рис. 330. © Издательство «Наука», 1973 г., с изменениями. Александр Исаакович Китайгородский Введение в физику М., 1973 г., 688 стр. с илл. Редактор Л. Л. Русаков Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор Л. С. Сомова Сдано в набор 16/1 1973 г. Подписано к печати 7/V 1973 г. Бумага 60Х901/1а- Физ. печ. л. 43. Условн. печ. л. 43. Уч.-изд. л. 45,51. Тираж 68 000 экз. Т-05771. Цена книги 1 р. 41 к. Заказ № 58 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, М-54, Валовая, 28 0231-1762 К 8Ь- 042@2)-73
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию . 10 ЧАСТЬ I МЕХАНИЧЕСКОЕ И ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ Глава 1. Основной закон механики 11 § 1. Кинематика 11 § 2. Силы 17 § 3. Основной закон механики 19 § 4. Приложение основного закона механики к ускоренному пря- прямолинейному движению 22 § 5. Приложение основного закона механики к движению по окруж- окружности 25 § 6. Влияние вращения Земли на механические явления 30 § 7. Какие данные необходимы для решения механической задачи? 33 § 8. Коэффициенты пропорциональности в формулах физики и раз- размерности физических величин , 36 Глава 2. Механическая энергия 38 § 9. Работа 38 § 10. Кинетическая энергия 40 § 11. Потенциальная энергия 41 § 12. Закон сохранения механической энергии 46 § 13. Потенциальные кривые. Равновесие 47 Глава 3. Импульс 50 § 14. Сохранение импульса 50 § 15. Центр инерции 51 § 16. Соударения 53 § 17. Явления отдачи . 59 Глава 4. Вращение твердого тела 62 § 18. Кинетическая энергия вращения 62 § 19. Момент инерции 64 § 20. Работа вращения и основное уравнение вращения 66 §21. Момент импульса 68 § 22. Свободные оси вращения 71 § 23. Гироскопы 73 Глава 5. Колебания 74 § 24. Малые отклонения от равновесия 74 § 25. Частные случаи колебаний 76 §26. Превращения энергии. Затухающие колебания 78 1* 3
§27. Вынужденные колебания 81 § 28. Автоколебания 86 § 29. Сложение колебаний одного направления 88 §30. Спектр колебания 91 §31. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 93 Глава 6. Бегущие волны 95 § 32. Распространение деформации 95 § 33. Возникновение волнового движения 98 § 34. Волны давления и скорости колебания 100 § 35. Поток энергии 102 §36. Затухание упругих волн 104 § 37. Интерференция волн 106 § 38. Принцип Гюйгенса — Френеля. Отражение и преломление волн 108 §39. Коэффициент отражения 110 §40. Явление Доплера 112 Глава 7. Стоячие волны 114 §41. Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны 114 §42. Собственные колебания стержней 116 §43. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем ... 118 §44. Вынужденные колебания стержней и пластинок 120 §45. Колебания пьезоэлектриков 122 Глава 8. Вопросы акустики 123 §46. Объективная и субъективная характеристики звука 123 §47. Сила и громкость звука 125 §48. Архитектурная акустика 127 §49. Атмосферная акустика 128 § 50. Действие ультразвука 130 Глава 9. Температура и теплота 131 §51. Тепловое равновесие 131 § 52. Внутренняя энергия * 133 § 53. Первое начало термодинамики 134 § 54. Энергия микроскопических систем 136 § 55. Уравнение состояния 137 § 56. Уравнение газового состояния 139 § 57. Уравнения состояния реальных газов 141 Глава 10. Термодинамические процессы 142 § 58. Графическое изображение процессов 142 §59. Работа. Циклы 144 § 60. Процессы изменения состояния газов 145 §61. Процесс Джоуля — Томсона 153 Глава И. Энтропия 154 § 62. Принцип существования энтропии 154 § 63. Принцип возрастания энтропии 157 § 64. Принцип действия тепловой машины 159 §65. Цикл Карко. Максимальный к. п. д 161 §66. Второе начало термодинамики 163 Глава 12. Кинетическая теория газов 164 § 67. Основные представления 164 § 68. Длина свободного пробега 167 § 69. Давление газа. Средняя квадратичная скорость молекул .... 168 §70. Внутренняя энергия газа 171 §71. Статистическое распределение 173 4
§ 72. Закон Больцмана 174 § 73. Распределение частиц по высоте в поле тяжести 176 §74. Распределение молекул по скоростям 178 § 75. Измерение скоростей молекул газа 180 § 76. Вероятность состояния 181 §77. Необратимые процессы с молекулярной точки зрения 183 § 78. Флуктуации. Границы применения второго начала 185 Глава 13. Процессы перехода к равновесию 187 §79. Диффузия 187 § 80. Теплопроводность и вязкость 1в9 §81. Быстрота выравнивания 190 § 82. Стационарные процессы 193 § 83. Движение в вязкой среде 194 § 84. Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности для газов 196 § 85. Ультраразреженные газы 198 ЧАСТЬ II ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Глава 14. Электрическое поле 200 §86. Векторные характеристики электрического поля: напряжен- напряженность и смещение 200 § 87. Диэлектрическая проницаемость 202 § 88. Законы электрического поля 204 § 89. Вычисление полей простейших систем 206 §90. Электрическая энергия 216 §91. Радиус электрона и границы классической электродинамики 219 § 92. Электрические силы 220 § 93. Дипольный момент системы зарядов 223 § 94. Поляризация изотропного диэлектрика 226 § 95. Поляризация кристаллических веществ 229 § 96. Ограниченные диэлектрические тела в электрическом поле . . 230 Глава 15. Магнитное поле 234 § 97. Магнитный момент 234 § 98. Сила Ампера 237 §99. Сила, действующая на движущийся заряд 239 § 100. Магнитное поле, создаваемое постоянными магнитами . . . 240 § 101. Напряженность магнитного поля 242 § 102. Взаимодействия токов и магнитов 244 § 103. Эквивалентность токов и магнитов 246 § 104. Вихревой характер магнитного поля 248 § 105. Закон электромагнитной индукции и сила Лоренца .... 252 § 106. Измерение магнитного поля методом индукционного толчка . 253 § 107. Ограниченные тела в магнитном поле 256 § 108. Связь между магнитной проницаемостью и восприимчивостью. 259 § 109. Искажение магнитного поля при внесении в него магнетика 260 § ПО. Магнитный гистерезис 263 Глава 16. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла 266 § 111. Обобщение закона электромагнитной индукции 266 § 112. Ток смещения 269 §113. Картина электромагнитного поля 272 Глава 17. Энергетические превращения в электромагнитном поле . . . 274 § 114. Превращения в цепи постоянного тока 274 § 115. Превращения в замкнутой цепи переменного тока 276 § 116. Магнитная энергия поля „ . 278 5
§117. Электрические колебания 280 § 118. Электромагнитная энергия 283 § 119. Импульс и давление электромагнитного поля 286 Глава 18. Электромагнитное излучение 288 § 120. Элементарный диполь 288 § 121. Антенна как электрический диполь 289 § 122. Излучение диполя 291 § 123. Электромагнитный спектр 293 § 124. Квантовая природа излучения . , 295 Глава 19. Распространение электромагнитных волн 296 § 125. Дисперсия и поглощение ........ „ . 296 § 126. Поведение электромагнитной волны на границе двух сред . 299 § 127, Естественный и поляризованный свет. Поляризация при отражении 302 § 128. Распространение световых волн в среде с градиентом показателя преломления 304 § 129. Распространение радиоволн 307 § 130. Радиолокация 309 Глава 20. Интерференционные явления , 312 § 131. Сложение волн от двух источников . 312 § 132. Когерентность 314 § 133. Интерференция в пластинке 318 § 134. Полосы равной толщины и полосы равного- наклона . . . 320 § 135. Практические применения интерференции 323 Глава 21. Рассеяние 328 § 136. Вторичное излучение 328 § 137. Дифракция волн на отверстиях 330 § 138. Система беспорядочно расположенных рассеивателей .... 334 § 139. Поведение сплошной однородной среды 337 § 140. Рассеяние в неоднородной среде 338 § 141. Дифракционная решетка 341 § 142. Направленные излучатели радиоволн 345 § 142а. Голография 347 Глава 22. Дифракция рентгеновских лучей на кристалле ...,••• 349 § 143. Кристалл как дифракционная решетка 349 § 144. Определение параметров элементарной ячейки кристалла . . . 352 § 145. Интенсивность дифракционных лучей 353 § 146. Методы рентгеновского анализа • 355 Глава 23. Двойное лучепреломление 358 § 147. Анизотропия поляризуемости 358 § 148. Распространение света в одноосных кристаллах 362 § 149. Поляризаторы. Исследование поляризационного состояния света 366 § 150. Кристаллическая пластинка между «скрещенными» николями 368 § 151. Двойное лучепреломление, вызванное внешним воздействием 370 § 152. Оптическая активность 372 § 153. Принципы теории оптической активности 374 Глава 24. Теория относительности 377 § 154. Основания теории 377 § 155. Опытные подтверждения принципа постоянства скорости света 378 § 156. Время в теории относительности 381 § 157. Масса . 383 б
§ 158. Энергия 384 § 159. Дефект массы 385 §160. Принцип эквивалентности и понятие об общей теории относи- относительности 386 Глава 25. Квантовая природа поля 388 § 161. Фотон 388 § 162. Фотоэлектрический эффект 390 § 163. Флуктуации светового потока 393 § 164. Закон Кирхгофа , 394 § 165. Абсолютно черное тело 396 § 166. Теория теплового излучения 398 § 166а. Стимулированное излучение 402 § 1666. Люминесценция 403 ЧАСТЬ III СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА Глава 26. Потоки заряженных частиц 405 § 167. Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях 405 § 168. Получение пучков заряженных частиц 408 § 169. Электронные линзы 409 § 170. Электронный микроскоп 412 § 171. Электронные и ионные проекторы 416 § 172. Электронно-лучевая трубка 418 § 173. Масс-спектрограф 420 § 174. Ускорители заряженных частиц 422 § 175. Автофазировка 423 § 176. Синхрофазотрон. Синхротрон 425 § 177. Ионизованный газ 427 § 178. Электрический разряд в газе 428 § 178а. Плазма 432 Глава 27. Волновые свойства микрочастиц 439 § 179. Дифракция электронов 439 § 1в0. Основные идеи квантовой механики 440 § 181. Принцип неопределенности 443 § 182. Потенциальный ящик 447 § 183. Что дает решение уравнения Шредингера 450 § 184. Туннельный переход . 451 Глава 28. Строение атома 452 § 185. Энергетические уровни атома водорода 452 § 186. Квантовые числа 456 § 187. Электронное облако для s- и р-состояний 457 § 188. Принцип Паули 459 § 189. Отклонение атомного пучка в магнитном поле ....... 460 § 190. Спин электрона 462 § 191. Магнитные моменты атомов 464 § 192. Периодический закон Менделеева 465 § 193. Ионизационные потенциалы 467 § 194. Спектры атомов в оптической области 468 § 195. Атомные рентгеновские спектры 470 Глава 29. Молекула 472 § 196. Химическая связь 472 § 197. Геометрия молекул 476 § 198* Электронная оболочка молекулы 479 7
§ 199. Энергетические уровни молекул 480 § 200. Вращательный спектр молекул 482 §201. Инфракрасный колебательно-вращательный спектр 485 § 202. Комбинационное рассеяние света 489 § 203. Электронный спектр поглощения 492 § 204. Магнитный резонанс 494 § 205. Квадрупольный резонанс 496 §206. Газовые лазеры 498 Глава 30. Атомное ядро 504 § 207. Экспериментальные методы ядерной физики 504 §208. Частицы, входящие в состав ядра 512 §209. Масса и энергия атомного ядра 513 § 210. Спин и магнитный момент ядра 515 §211. Силы взаимодействия нуклонов 517 §212. Нуклоны в ядре 518 § 213. Спектры атомных ядер 20 §214. Нейтрино бета-распада 522 §215. Общие закономерности химических и ядерных превращений 523 §216. Радиоактивность 525 § 217. Ядерные реакции 529 § 217а. Реакции деления тяжелых ядер 531 § 2176. Цепная реакция 532 § 217в. Принципы действия ядерного реактора 534 § 217г. Искусственные радиоактивные продукты 536 § 218. Термоядерные реакции 538 Глава 31. Элементарные частицы 539 §219. Термин «элементарная» частица 539 § 220. Взаимодействие быстродвижущихся электронов 540 §221. Мезонпая теория взаимодействия нуклонов 542 §222. Мезоны 543 § 223. Релятивистская теория электрона 544 § 224. Рождение и аннигиляция пар частиц 546 § 225. Частицы и античастицы 547 § 226. Асимметрия элементарных частиц 549 § 226а. Барионный спектр 551 §2266. Кварки 554 Глава 32. Атомное строение тел 555 § 227. Поликристаллическое вещество и монокристаллы 555 § 228. Пространственная решетка 557 §229. Выбор ячейки. Симметрия кристалла 561 § 230. Упаковка частиц в кристалле 565 §231. Молекулярный кристалл 567 § 232. Плотные упаковки шаров 570 § 233. Примеры кристаллических структур 573 § 234. Тепловые колебания в кристалле 576 § 235. Тепловые волны 578 § 236. Тепловое расширение 580 § 237. Дефекты кристалла 582 § 238. Ближний порядок. Жидкости 586 § 239. Аморфные тела 588 § 240. Дальний и ближний порядок расположения атомов в спла- сплавах 589 §241. Жидкие кристаллы 592 § 242. Полимерные вещества 593 § 242а. Биологические макромолекулы 595 8
Глава 33. Фазовые превращения 596 § 243. Диаграмма состояния 596 § 244. Фазовые превращения 598 § 244а. Диаграмма состояния и свойства гелия 600 § 245. Условия устойчивого состояния фазы 603 § 246. Метастабильные состояния 605 § 247. Превращения газ ^ жидкость 607 § 248. Сжижение газов 609 § 249. Превращения газ ^кристалл 610 §250. Превращения жидкость ^ кристалл 611 § 251. Превращения кристалл ^± кристалл 614 § 252. Диффузия в твердых телах 616 Глава 34. Деформация тел . 618 § 253. Упругие свойства 618 §254. Пластические свойства 619 § 255. Предел прочности 621 § 256. Механические свойства поликристаллического материала. . . 622 § 257. Влияние поверхностно-активных веществ на деформацию . . . 623 § 258. Разрушение материалов под действием потока частиц . . . 624 Глава 35. Диэлектрики 627 § 259. Связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемо- поляризуемостью молекулы 627 § 260. Поляризация полярных и неполярных молекул 629 §261. Аддитивность молекулярной рефракции 632 § 262. Пиро- и пьезоэлектрики 634 § 262а. Сегнетоэлектрики 636 Глава 36. Магнетики 637 § 263. Три класса магнетиков 637 § 264. Диамагнетизм 638 § 265. Парамагнетизм 640 § 266. Ферромагнетизм 642 Глава 37. Электронное строение и свойства тел 648 § 267. Свободные электроны 648 § 268. Энергетические уровни в твердом теле 649 § 269. Электронный газ 652 §270. Проводимость 655 §271. Сверхпроводимость 658 § 272. Полупроводники 660 § 273. Эмиссия электронов 665 § 274. Фотоэлектрический эффект 667 § 275. Запирающие слои 670 § 276. Контактная разность потенциалов 672 § 276а. Электролюминесценция полупроводников 673 § 277. Распределение зарядов в неравномерно нагретом теле . . . 675 § 278. Термоэлектродвижущая сила 676 § 279. Выделение тепла в электрических цепях 678 § 280. Применения термоэлектрического эффекта 680 Приложение. Таблица формул электродинамики 681 Предметный указатель 685
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Более десяти лет прошло со времени выхода в свет первого издания этой книги. За ним последовали два издания на английском языке, два на польском. Многие учебные заведения (в основном, к моему сожалению, зарубежные) сочли принципы, положенные в основу этой книги, совпадающими с их собственными. Я лишь перечислю эти основные идеи, которые счел нужным подробно аргументиро- аргументировать в предисловии к первому изданию. Это отсутствие деталей, отсутствие описаний опытов, дедуктивное изложение теории, отсутствие историзма, полный отказ от повторения школьного материала. В то же время я не считаю возможным опускать сложные вещи, полагаю, что беглое упоминание многих проблем, волнующих физиков, необходимо хотя бы просто для того, чтобы читатель знал об их существовании. Это обстоятельство послужило причиной того, что один любимый и уважаемый мною коллега наз- назвал эту книгу «Физикой с птичьего полета». Я воспринимаю эту несколько двусмысленную оценку как комплимент. Конечно, при кратком изложении детали теряются, но если автору удалось дать четкие контуры стройного и изящного издания физики, то он мо- может считать свою задачу выполненной. Из предисловия к первому изданию я хочу перенести свою бла- благодарность Э. И. Федину и В. В. Шмидту. При подготовке к пере- переизданию я еще раз оценил, сколь существенной была их помощь в составлении рисунков и примеров. А. Китайгородский
ЧАСТЬ I МЕХАНИЧЕСКОЕ И ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ГЛАВА 1 ОСНОВНОЙ ЗАКОН МЕХАНИКИ § 1. Кинематика Уравнения движения материальной точки. Если размеры и форма тела не играют роли при рассмотрении явления, то его мысленно за- заменяют точкой. Приближенное представление тела материальной (т. е. обладающей массой) точкой справедливо не только в тех слу- случаях, когда размеры тела малы по сравнению с другими расстояния- расстояниями, встречающимися в задаче,— оно допустимо всегда, когда инте- интерес представляет лишь движение центра тяжести тела. Рис. I. Для описания движения материальной точки нужно указать, в каких местах пространства побывала точка и в какие моменты вре- времени она проходила ту или иную точку траектории. Для этой цели необходимо прежде всего выбрать систему отсчета координат (рис. 1). Расположение точки по отношению к такой системе, которую проще всего выбрать прямоугольной, характеризуется тремя координатами 11
х, у, г или так называемым радиусом-вектором г, проведенным из начала отсчета в данную точку *) (рис. 2). Результат исследования движения в пространстве может быть, таким образом, задан грубо — в виде таблицы значений г (каждое значение — тройка чисел!) для времен tlt t2 и т. д., или точно — в виде непрерывной функции r=f(t) (по сути дела в виде трех функций, например x=f1(tI y=f2\t), г=М0 или r=^1(t)y a= =Ф,(9, Р=Ф8@ и т. д.). Векторное уравнение r=f(t) или, что то же, три ему равноцен- равноценных скалярных уравнения называются уравнениями движения. - Аг Рис. 2. Рис. 3. Средняя скорость. Рассмотрим участок траектории АВ. Пусть в момент времени t движущаяся точка находилась в Л, а в момент времени t+At— в В (рис. 3). Проведем радиусы-векторы гА и гв. Нам известно, что за время А? точка перешла из А в В. Естественно поэтому назвать вектор АВ вектором перемещения точки. Векторы складываются по правилу параллелограмма. тривая рис. 3, видим, что , или = гв — гА = Аг, т. е. вектор перемещения точки есть векторная разность радиусов- векторов. Знание вектора перемещения Аг за время At определяет криволинейное движение с точностью тем большей, чем меньше Аг. Среднюю скорость на участке А В принято характеризовать отно- отношением — dE • ^СР ~ At ' это, следовательно, такая скорость, с какой тело прошло бы уча- участок А В равномерно и прямолинейно за то же время At. *) Радиус-вектор г задается своей величиной, равной г— }/~#2+*/2-f z2, и уг- углами с осями координат: cos a~x/r, cos $=y/r и cos y=z/r. Таким образом, знание радиуса-вектора/* требует задания трех чисел: либо х, у, z, либо г, а, Р, либо г, а, у и т. д. (два угла определяют третий, так как cos2a+cos2 P+cos2 Y^U- 12
Итак, движение на участке АВ можно охарактеризовать направ- •—> лением вектора АВ—Ar и величиной скорости vcr Вместо этого вводится вектор _ ~АВ __ Дг ср ~" At ~~ At ' равный по длине средней скорости и имеющий направление вектора перемещения. Теперь можно сказать, что движение тела на участке АВ определяется средней векторной скоростью. Истинная скорость. Если уменьшать интервал времени Д/, то точка В будет приближаться к Л. В конце концов эти точки сольются, причем направление АВ превратится в касательную линию к траектории в слившихся в одну точках. Можно утверждать, что отношение AB/At при уменьшении At стремится к пределу. Вектор #ист, имеющий направление касатель- касательной к траектории точки в данный момент движения и численно рав- равный пределу отношения АВ/At при At-+O, называется истинной век- векторной скоростью движения точки: г>ист= предел |? при At—>0. Иначе говоря, истинная скорость есть производная вектора г по времени: -%¦ Еще раз подчеркнем, что для описания движения мы не обяза- обязательно нуждаемся в векторах. Вместо того чтобы пользоваться по- понятием векторной скорости, можно говорить о численном значении скорости L- *) и указывать направление движения. Однако в этом случае те же самые правила и те же самые опытные факты должны формулироваться более длинными, более громоздкими фразами. Язык векторов соответствует физическому опыту, кроме того, он сжат и выразителен. Естественно, надо употребить некоторые уси- усилия, чтобы к нему привыкнуть. Так как проекциями вектора г на оси координат являются коор- координаты его конца х, у, г, то проекции векторной скорости будут равны dx dy dz Vx~dt ' b> — dt ' z~~ dt ' Векторное ускорение. Продолжая рассмотрение криволинейного движения, построим в виде стрелок истинные скорости движения тела при прохождении через точки А я В траектории. Если бы мы не ввели в рассмотрение векторную скорость, то должны были бы *) Прямые скобки | | означают, что учитывается лишь численное значение (модуль) векторной величины, стоящей в скобках. 13
сказать так: скорость в В иная, чем в Л, кроме того, изменилось направление движения. Пользуясь векторной скоростью, мы ска- скажем короче: в точке В иная векторная скорость, чем в А. Векторная скорость может меняться по величине и по направ- направлению. Если участок А В прямолинейный, то векторы vA и vB на- направлены одинаково. Величина изменения скорости найдется арифметическим вычитанием длины вектора vA из длины век- вектора vB. Рассмотрим теперь криволинейный участок АВ\ векторы vA и vB отличаются как по величине, так и по направлению. Для того чтобы определить, насколько возросла величина скорости, надо, по-прежнему, вычесть длину вектора vA из vB: Однако это число не характеризует, конечно, полностью тех измене- изменений, которые произошли в движении. X, Рис. 4. Вычтем теперь вектор vA из вектора vB в соответствии с прави- правилами операции над векторами. На рис. 4 показан вектор Av=vB—vA. Вектор vB— сумма Av+vA— есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. Вектор Av назовем векторным приращением скорости. Длина этого вектора в случае криволинейного движения не равна И
A \v \ = \vB |—\vA \. Из рисунка очевидно, что величина векторного приращения | Av | больше разности величин векторных скоростей A \v |. Для того чтобы узнать векторную скорость в точке В, надо по правилу параллелограмма сложить вектор скорости vA с при- приращением Д#. Теперь мы можем следующим образом определить величину ускорения для криволинейного движения. Вектор, равный отно- отношению векторного приращения скорости ко времени, в течение ко- которого это приращение произошло, называется средним векторным ускорением: а°р ~~ лГ• При уменьшении промежутка времени А/ это отношение стремится к пределу. Вектор аист= предел |? при М —> О называется истинным векторным ускорением тела в данный момент движения. Иначе говоря, векторное ускорение равно производной от векторной скорости: а*~ dt ' аУ~ dt ' пг~~ dt • Векторное ускорение определяет однозначно характер измене- изменения скорости тела. Вообще говоря, вектор ускорения может образовывать любой угол с траекторией движения. Этот угол определяет характер уско- ускорения и кривизну траектории следующим образом. Через интере- интересующую нас точку траектории проведем окружность, имеющую с траекторией общую касательную в этой точке и на данном участке кривой с наибольшей точностью приближающуюся к ней. Эта ок- окружность называется касательной *), а ее радиус р называется радиусом кривизны в данной точке. Вектор ускорения всегда направ- направлен внутрь этой окружности. Если движение ускоренное, то вектор а образует острый угол с траекторией (т. е. с касательной к траек- траектории в данной точке). Если движение замедленное, то этот угол будет тупым. Наконец, если скорость по величине не меняется, то векторное ускорение направлено по нормали к траектории. Эти положения можно строго доказать; мы удовлетворимся их геометрической иллюстрацией, приведенной на рис. 5. *) Касательная окружность и вычисление радиуса кривизны подробно изу- изучаются в курсах дифференциальной геометрии. 15
Соответственно со сказанным принято раскладывать вектор ускорения на две составляющие (рис. 6): Так как векторный треугольник прямоугольный, то Вектор at, направленный вдоль траектории, характеризует изменение скорости по величине; он называется тангенциальным ускорением. Нетрудно доказать, что тангенциальное ускорение = предел при -и, т. е. at — —rr—, где А| v | — приращение скорости по величине. Вектор ап направлен по нор- нормали к траектории; он характе- характеризует изменение скорости по направлению и называется нор- X мальным ускорением. Нормаль- Нормальное ускорение ап связано про- простой формулой с величиной Рис. 5. -^ си Рис. б. скорости v и радиусом кривизны р в данной точке, а именно, Из этой формулы, которая выводится в курсах теоретической меха- механики на основании геометрических соображений, следует, что дви- движение с неизменным нормальным ускорением (ап к v — постоянные величины) есть движение по окружности. В этом случае р есть посто- постоянная величина для всех точек траектории, равная радиусу окруж- окружности.
тт V2 Нормальное ускорение ап = — часто называют также центро- центростремительным ускорением. Центростремительное ускорение тела при движении по окруж- окружности с радиусом R можно также выразить через период Т или ча- частоту v или угловую скорость со этого движения. Между этими вели- величинами и линейной скоростью v имеются следующие простые соотно- соотношения: Последние две формулы являются определениями вспомогательных величин v и со. Таким образом, центростремительное ускорение при движении тела по окружности может быть записано также в виде 4л2 ап= со2/?, илиа^^у^-/?. Необходимо подчеркнуть, что житейское понимание слова «уско- «ускорение» значительно уже его физического смысла. Понятие физиче- физического ускорения включает в себя замедление (отрицательное ус- ускорение); самое же главное — то, что ускоренным мы называем и равномерное движение, если только оно происходит по кривой ли- линии. Движением без векторного ускорения является лишь одновре- одновременно прямолинейное и равномерное движение. Порядок у с корен и й. Протон в современном ускорителе движется по окружности с нормальным ускорением порядка 1016 м/с2. Линейное ускорение современных реактивных снарядов ~30 м/с2. Ускорение хоккейного мяча ~10 м/с2. Ускорение автомобиля, трогающегося с места, 1—2 м/с2. Угловая скорость ротора турбогенератора 314 рад/с, на расстоянии 0,5 м от оси вращения частицы дви- движутся с ускорением —5-104 м/с2. Угловая скорость колеса велосипеда 7—10 рад/с, частицы обода с радиусом 0,5 м имеют нормальное ускорение около 20 м/с2. § 2. Силы В настоящее время физике известны четыре типа взаимодействия* Гравитационные силы. Установленные Ньютоном для небесных тел силы притяжения, иначе называемые гравитационными силами, действуют между любыми двумя материальными частицами в соот- соответствии с законом где 7=6,67-10 п(Н-м2)/кг2, mly т2— массы частиц и г — рас- расстояние между ними. Можно строго доказать, на чем мы не будем останавливаться, что закон тяготения Ньютона, записанный для тел малого размера (малого по сравнению с расстоянием между ними), справедлив такжь и для взаимодействия малога тела с большим шаром. В этом 17
случае нужно под расстоянием понимать расстояние между центра- центрами тел. Закон всемирного тяготения для случая притяжения тела Зем- Землей записывается поэтому в виде М где h — высота над уровнем земной поверхности, a R — радиус земного шара. Для точек, близких к земной поверхности, h настоль- М ко меньше R, что R+h можно заменить на R. Тогда F = y-^ т. Сравнивая эту формулу с обычным выражением для веса F=mg, мы видим, что ускорение силы тяжести может быть выражено через гравитационную постоянную, массу Земли и радиус Земли формулой М Пропорциональность сил тяготения массам делает их огромными для небесных тел и пренебрежимо малыми для элементарных ча- частиц. Во взаимодействии друг с другом атомов, молекул или дру- других частичек вещества силы тяготения не играют никакой роли. Сила притяжения между Луной и Землей равна 2,3*1020Н, меяеду Землей и молекулой кислорода ~5-10"6 Н, между двумя молекулами кислорода, находящимися на расстоянии соприкосно- соприкосновения (ЗА=3-10~8 см), ~2«10~42Н. Эти цифры говорят сами за себя. Электромагнитные силы. Если частицы или большие тела обла- обладают электрическими зарядами q± и </2, то между ними действует притяжение в случае разноименных зарядов и отталкивание при одноименных согласно закону Кулона F~—^. Так же как и для всемирного тяготения, эта формула справедлива для точечных ча- частиц. В свое время мы установим (§ 111), что магнитные силы нахо- находятся в непосредственной связи с силами электрическими. Все электромагнитные взаимодействия обладают единой природой. Взаимодействия между атомами, межмолекулярные силы и силы, удерживающие электроны около атомного ядра,— все это силы электрического происхождения. Чтобы лишний раз подчеркнуть, что гравитационные взаимодействия между элементарными части- частицами ничтожны, сопоставим силу гравитационного притяжения с силой электрического притяжения для атомного ядра водорода с его единственным электроном: jFm=9.10-*H, тогда как FrpaB = 4.10-«Hl На первый взгляд может показаться непонятным, почему взаи- взаимодействие нейтральных атомов и молекул имеет электрическое происхождение. Подробно об этом будет рассказано в гл. 29. Однако уже здесь уместно отметить, что силы между атомами и молекулами 18
зависят не от общего заряда молекул (который равен нулю), а от местных сгущений и разрежений электрических зарядов. Поскольку межмолекулярные силы являются силами электри- электрического происхождения, то такое же происхождение имеют поверх- поверхностные силы, а также любые силы сцепления между телами. Суще- Существенным образом сводятся к электрическим взаимодействиям и силы трения. Силы упругости, проявляющиеся при растяжении каучука или сжатии металлической пружины, являются результатом проявления межатомных и межмолекулярных взаимодействий. Поэтому и они в конечном счете имеют электромагнитную природу. Ядерные силы. Между нейтральными частицами, входящими в состав атомного ядра, а также между нейтроном и протоном и между двумя одноименно заряженными протонами действуют силы, которые не могут быть сведены к электромагнитным. Эти силы чрез- чрезвычайно быстро убывают с возрастанием расстояния между взаи- взаимодействующими частицами. Поэтому за пределами ядра эти силы не проявляются, и мы сталкиваемся с ними только в явлениях, связанных с непосредственным взаимодействием ядер. Силы «слабого» взаимодействия. Они обнаруживаются в про- процессах превращения элементарных частиц с участием нейтрино. Поле сил. Пространство, в котором действуют гравитационные силы, называют гравитационным полем, или полем тяготения. Ана- Аналогично говорят об электромагнитном поле. Если какая-либо ча- частица подвержена действию поля сил, то она обладает способностью его создавать. Так, любая материальная частица создает поле тя- тяготения и подвержена действию тяготения. Любая электрически заряженная частица создает электромагнитное поле и подвержена действию электромагнитного поля. Таким образом, любое взаимодействие частиц физика рисует по схеме: частица — поле — частица. Первая частица создает поле, а это поле действует на вторую частицу. Несколько слов о том, как в этой схеме учитывается квантовая природа поля, будет сказано на стр. 541. Свойства поля существенно отличаются от свойств вещества. Поэтому в настоящее время часто говорят, что материя встречается в двух видах: поле и вещество. Проблемы взаимоотношения поля и вещества в настоящее время усиленно изучаются и пека что не могут считаться выясненными (подробнее см. в § 220). § 3. Основной закон механики Законы Ньютона. Основным законом механики является найден- найденное Ньютоном соотношение между силами, действующими на тело, и ускорением, которое приобретает тело под действием этих сил. Этот закон формулируется обычно для материальной точки.Этим нисколько не ограничивается общность закона, так как сложное тело может быть в принципе рассмотрено как совокупность 19
материальных точек. Впрочем, уравнение Ньютона для материальной точки имеет и непосредственное исключительно широкое примене- применение, так как во множестве задач механики мы или имеем дело с небольшими по размеру телами или интересуемся движением од- одного лишь центра тяжести тела. Основной закон механики говорит следующее. Если на тело действуют силы /i, /2, /з и т. д., дающие в сумме силу F= 2/» то векторное ускорение, приобретаемое телом под действием этих сил, будет пропорционально частному от деления результирующей силы на массу материальной точки: «-!¦ Уравнение говорит также, что вектор ускорения должен совпадать с направлением результирующей силы. Коэффициент пропорци- пропорциональности в этой формуле полагается равным единице, что на- накладывает известные из школьного курса условия на единицы изме- измерения входящих в это уравнение величин. Основной закон механики можно также записать в виде или еще F = - J! - * Последняя запись эквивалентна предыдущим лишь в случае массы, не изменяющейся во время движения. Мы бу- будем придерживаться этого условия. Случаи переменной массы будут рассмотрены ниже. В гл. 3 мы остановимся кратко на уравнении движения тел с переменной массой типа ракет, а в гл. 24 рассмо- рассмотрим осложнения, проявляющиеся при движении тел со скоростя- скоростями, близкими к скорости света (механика теории относительности). Основной закон механики следует рассматривать как закон, обобщающий факты. Это уравнение не может быть выведено теоре- теоретически из каких-либо простых общих соображений. Закон инерции является непосредственным следствием основ- основного закона. Если на тело силы не действуют, то векторное ускоре- ускорение равно нулю, тело движется прямолинейно и равномерно. Применяя основной закон Ньютона к какому-либо телу, мы ста- ставим это тело в центр рассмотрения, нас интересуют силы, действую- действующие на это тело. Однако нужно всегда помнить, что силы являются мерой взаимодействия тел и что односторонних взаимодействий не существует. Если одно тело действует на второе, то и второе тело действует на первое. Измерения сил — это измерения взаимодейст- взаимодействий. Поэтому уже в способе измерения сил содержится утверждение о равенстве по величине силы, действующей со стороны первого тела на второе, и силы, действующей со стороны второго тела на первое. Так как нас интересует обычно какое-то одно тело, то действующую на него силу мы выделяем, а вторую силу называем силой противодей- противодействия, или силой реакции. Силы действия и противодействия равны 20
друг другу по величине и противоположно направлены. Это поло- положение вошло в науку под названием третьего закона Ньютона. Относительность движения. Тело, покоящееся в одной системе координат, может нам представиться движущимся с другой точки зрения. Равномерное движение человека, шагающего по перрону, будет неравномерным, если его описывать в системе координат, свя- связанной с тормозящим поездом. Поэтому, говоря о законе движения, нужно указать систему отсчета, для которой этот закон имеет место. Система, в которой выполняются законы Ньютона, должна обяза- обязательно удовлетворять такому требованию: тело, на которое силы не действуют, должно двигаться в этой системе прямолинейно и равномерно или покоиться. Такая система носит название инерци- альной. Вполне очевидно, что все системы отсчета, которые движутся с ускорением по отношению к телу, на которое не действуют силы, не будут инерциальными системами. Другой важный вывод, к которому мы сразу же приходим, это то, что инерциальная система не будет единственной. Напротив, существует бесчисленное множе- множество инерциальных систем. С любым из тел, движущихся равно- равномерно и прямолинейно по отношению к какому-нибудь одному телу, на которое не действуют силы, можно связать инерциальную систему. Действительно, предположим, что инерциальная система вы- выбрана. Для какого-нибудь тела, движущегося в этой системе со ско- скоростью v и ускорением а, справедлив закон Ньютона F=ma. Рас- Рассмотрим теперь другую систему отсчета, которая движется прямо- прямолинейно и равномерно со скоростью и по отношению к инерциальной. В этой системе то же самое тело будет, правда, иметь другую скорость, равную разности скорости v и скорости и движения вто- второй системы по отношению к первой. Но ввиду прямолинейности и равномерности относительного движения этих двух систем уско- ускорение тела в них обеих будет одним и тем же. Ведь ускорение есть производная от скорости, а производная от постоянной величины равна нулю: dv d(v — u) ~Ш~~ di ' так как -тг = 0. В закон Ньютона входит ускорение тела и не входит его скорость. Поэтому основной закон механики будет выглядеть неотличимо одинахюво с точки зрения обеих систем. Это важное утверждение, следующее из закона механики Ньюто- Ньютона, называется принципом относительности движения. Принцип относительности говорит: существует бесчисленное множество инер- инерциальных систем, в которых выполняется закон инерции и закон F=ma. Ни одна из этих систем не имеет каких бы то ни было пре- преимуществ или особенностей по отношению к другим системам. Все инерциальные системы равноправны. Принцип относительности был впервые установлен Галилеем. 21
Законы механики в неинерциальной системе координат. Примем, что утверждение «ускорение вызывается силами» сохраняется всегда в любых системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета тело движется ускоренно и в тех случаях, когда оно не участвует во взаимодействии с другими телами. Но если так, то в неинерци- неинерциальных системах, кроме сил, обусловленных взаимодействием, имеются и силы другого происхождения' — обусловленные неинер циальностью системы. Эти дополнительные силы носят название сил инерции (хога, па существу, было бы правильнее назвать их неинерциальными еидами). Поскольку силы инерции не обусловле ны взаимодействием, оеи не удовлетворяют третьему закону Нью- Ньютона. Так как мы не собираемся в дальнейшем пользоваться для ана- анализа движения неинерциальными системами координат, то огра- ограничимся простейшим примером силы, инерции. Предположим, что по каким-то соображениям нам удобна сис- система отсчета, движущаяся с постоянным по величине и направле- направлению ускорением а. Все тела,, покоящиеся или движущиеся равно- равномерно по отношению к инерциальным системам, будут двигаться с ускорением — а по отношению к выбранной нами неинерциальной системе отсчета. Ускорение — а создается силой—та. Это и есть сила инерции для рассматриваемого случая. Она не является результатом взаимодействия тел и обусловлена ускорен- ускоренным движением системы отсчета. Если тело, за которым ведется наблюдение в неинерциальной системе отсчета, находится во взаимодействии с другими телами, то сила инерции добавится к силам, обусловленным взаимодействием. Основной закон механики в неинерциальных системах коорди- координат записывается в виде ma = F+силы инерции; здесь F — результирующая сила, обусловленная взаимодействиями тел. В зависимости от характера движения неинерциальной системы отсчета (линейное, круговое, круговое с ускорением и т. д.) выра- выражение сил инерции будет иметь разный вид. Формулы сил инерции для всевозможных случаев можно найти в курсах теоретической физики. § 4. Приложение основного закона механики к ускоренному прямолинейному движению Ниже приводится несколько элементарных примеров, иллюстри- иллюстрирующих физическое содержание основного закона механики: гео- геометрическая сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение и направлена вдоль ускорения. Горизонтальное движение под действием постоянной силы. Двигатель толкает вагонетку, находящуюся на рельсах. На ваго- 22
нетку действуют в противоположные стороны две силы: сила трения со стороны рельсов FVB и упругая сила Рдю действующая со стороны двигателя на вагонетку. Если эти две силы равны, то вагонетка движется равномерно. Если же вагонетка ускоряется, то резуль- результирующая сила должна быть направлена вдоль а. Следовательно, для создания ускоренного движения сила, действующая со стороны двигателя должна быть больше силы трения. Разность этих сил и есть результирующая сила, которая, согласно основному закону механики, равна произведению массы на ускорение. Итак, Сила трения есть результат взаимодействия рельсов с вагонет- вагонеткой. Следовательно, парная к FVB сила приложена к рельсам (FBp). Сила, составляющая пару с /^B,— это сила FBA, с которой вагонетка действует на двигатель. Сила Рвл есть сила сопротивления, преодолеваемая двигателем (испытываемая им, действующая на него). Эта сила ощущалась бы мускулами человека, если бы он выполнял роль двигателя. Как видно, сила сопротивления FBA складывается из двух слагаемых: силы трения и величины — та, которую уместно назвать инерци- инерционным сопротивлением. Инерционным сопротивлением называют всегда существующую силу, действующую на ускоряющее тело, равную та и направленную в сторону, противоположную ускоре- ускорению. Инерционное сопротивление может быть и единственной силой, действующей на ускоряющее тело, как, например, в данном слу- случае, если бы трение отсутствовало. Рассмотрим другой пример горизонтального движения под дей- действием постоянной силы. Груз, являющийся предметом рассмотрения, положен на движущуюся вагонетку с бортом (рис. 7). Если Рис. 7. бы борта не было, то при ускоренном движении груз мог бы сосколь- соскользнуть с пола вагонетки. Судьба груза зависит от взаимодействия пола вагонетки с грузом. Это взаимодействие заключается лишь в трении. Вагонетка движется с небольшим ускорением а. Сила, действующая на груз, т. е. сила трения, должна равняться та*). *) Если какое-либо тело увлекается за счет одного лишь трения в уско- ускоренное движение, то сила трения покоя (увлекаемое в движение тело покоится по отношению к увлекающему) будет всегда направлена вдоль ускорения. 23
Но сила трения покоя не может быть как угодно большой, она гмакс т? меньше некоторой величины гтр . Ьсли та > FTMpaKC, то движение с ускорением а становится невозможным и груз со- соскальзывает с вагонетки. Если бы трения между грузом и дном ваго- вагонетки не было, то груз не сдвинулся бы с места: вагонетка уходила бы из-под груза. Допустим теперь, что у вагонетки имеется борт. Тогда соскальзывание груза прекратится, как только он придет в соприкосновение с бортом. Теперь борт тянет груз с силой F=ma. Сила, составляющая пару с движущей,— это инерционное сопро- сопротивление, испытываемое бортом. Оно также равно та, направлено в сторону, обратную ускорению, и приложено к борту. Числовые примеры сил. Сила, ускоряющая легковой автомобиль, ^ 200 кгс=1960 ньютонов (Н). 1 Н — сила, сообщающая массе 1 кг ускорение 1 м/с2; 1 Н=105 дин=0,102 кгс. Сила тяги реактивного двигателя современного самолета 10 000—20 000 кгс= 105—2-105 Н. Сила тяги тепловоза ТЭ-3~ 10 000 кгс. Вертикально движущийся лифт. Рассмотрим силы, которые действуют при неравномерном движении на груз, лежащий на полу лифта Пусть лифт движется ускоренно вверх (рис. 8). На груз действуют две силы: со стороны Земли и со стороны дна лифта, F3V и Fm., Однако теперь результирующая сила должна быть отлична от нуля, и, следовательно, ^зг=?^лг- Хак как результирующая сила дол- должна быть направлена вдоль ускорения, то /7ЛГ>/7ЗГ, а именно: FnT—F3T=ma. Сила F3V есть не что иное как сила притя- притяжения груза Землей, поэтому Величина силы, с которой груз давит на лифт, Frj[i тождественно равна F^T; таким об- образом, сопротивление, испытываемое лифтом при подъеме груза, равно Рис. 8. Мы видим, что это сопротивление складывается из веса груза и инерционного сопротивления. Силу FrjI называют иногда кажущимся весом. Этот результат получен для случая, когда ускорение лифта на- направлено в сторону, противоположную земному ускорению, что будет осуществляться не только тогда, когда лифт движется уско- ускоренно вверх, но и тогда, когда лифт движется замедленно вниз. 24
В том случае, когда направления силы тяжести и ускорения лифта совпадают, сила давления груза на лифт (кажущийся вес) Из этой формулы следует, что давление на дно лифта прекращается, если a=g, т. е. если лифт сво- свободно падает в поле тяжести. При этом условии тела в пада- ^тл ющем лифте перестают давить на подставки, натягивать кана- канаты и т. д., т. е. как бы переста- перестают весить. Тяга свободно подвешенного груза. Рассмотрим движение гру- груза на отвесе, установленном на ускоренно движущейся вагонет- вагонетке. При таком движении нить, на которой висит груз, образует угол с вертикалью. На груз дей- действуют две силы: натяжение ни- нити Fm и притяжение Земли F3r, равное mg (рис. 9). Эти силы направлены под углом. Их гео- геометрическая сумма должна, со- согласно основному закону меха- механики, равняться та и должна быть направлена вдоль ускоре- ускорения. Следовательно, диагональ параллелограмма на силах FHr и F3V смотрит поризонтально, Рис. 9. Сила, составляющая пару с F3r, приложена к Земле и нас не инте- интересует. Напротив, представляет интерес сила Fm т. е. сила, с ко- которой груз натягивает нить. Эта сила, приложенная к нити, равна Таким образом, и в этом примере инерционное сопротивление вхо- входит слагаемым в сопротивление, испытываемое ускоряющим телом. § 5. Приложение основного закона механики к движению по окружности Движение по окружности является ускоренным движением. Если тело движется по окружности с неизменной угловой скоростью, то его ускорение равно по величине со2/? и направлено по радиусу к центру. Равномерно вращающееся по окружности тело может находиться под действием любого числа как угодно направленных сил. Однако 25
из основного закона механики следует, что векторная сумма всех этих сил, или, короче, результирующая сила, должна быть направ- направлена по радиусу к центру (параллельно ускорению), а по величине должна иметь значение Результирующую силу, действующую на вращающееся равномерно по окружности тело, называют центростремительной силой. Еще раз подчеркнем, что результирующая сила направлена всегда вдоль ускорения, но не вдоль скорости, т. е. в нашем случае сила, созда- создающая равномерное движение по окружности, направлена вдоль радиуса к центру окружности, но не вдоль касательной к круговой траектории. Роль центростремительной силы заключается в том, что она непрерывно отклоняет тело от прямолинейного пути, по ко- которому это тело двигалось бы по инерции в отсутствие действующей силы. Пример. Несбалансированная частица массы т, связанная с лопаткой современной паровой турбины C000 об/мин, радиус около 1 м), испытывает цент- центростремительную силу F—m<u2r=m C14J-100= 107 т дин (т — в граммах). Вес частицы равен mg. Таким образом, центростремительная сила превосходит вес частицы в —^=10 000 раз. Если тело приводится в ускоренное движение, то в соответствии с правилом действия и противодействия ускоряемое тело действует на другие тела (играющие роль связей), заставляющие его двигаться ускоренно, а не по инерции. Силу, действующую на связи со стороны ускоряемого тела, мы назвали инерционным сопротивлением. Такая сила существует, разумеется, и при движении по окружности ее называют центробежной силой. Центробежная сила равна по величине центростремительной силе и противоположна ей по направлению. Центробежная сила прило- приложена к связям тела, участвующего в круговом движении, или, иначе говоря, приложена к тем телам, которые заставляют рассматриваемое тело двигаться по окружности и мешают ему двигаться прямолинейно и равномерно. Как и центростремительная сила, центробежная сила является результирующей — суммой всех реакций, которые оказывает вращающееся тело на связывающие его тела. Рассмотрим несколько примеров, причем ограничимся простей- простейшими случаями, когда круговое движение возникает благодаря взаимодействию двух тел. Если тело А мешает телу Б двигаться прямолинейно и равномерно, а заставляет его двигаться равномер- равномерно по окружности, то сила Fab является центростремительной, а сила Fба— центробежной. Такое простейшее взаимодействие осу- осуществляется между телом, положенным на подставку в форме круг- круглой чаши, вращающейся около своей оси в горизонтальной плоско- 26
сти, и самой подставкой (рис. 10). Если трение не очень велико и подставка вращается быстро, то тело соскользнет к борту подстав- подставки. В этом случае взаимодействие тела и подставки состоит в сле- следующем: борт чаши действует на тело в направлении по радиусу к центру (центростремительная сила), а тело с равной по величине силой давит на борт в направлении по радиусу от центра (центро- (центробежная сила). Вернемся теперь к начальному моменту этого опыта. Тело лежит на подставке и подставка только-только при- приведена во вращение. Если бы между телом и подставкой не было взаимодействия, то тело оставалось бы на месте, а подставка враща- вращалась бы под телом. Наличие трения покоя приводит к иному. Вместе с подставкой увле- увлекается во вращение и тело. При этом, как указывалось в предыдущем параграфе, сила трения покоя будет направлена по радиусу к рис центру: сила трения покоя является един- единственной силой, заставляющей тело вращаться, т. е. сила трения является в этом случае центростремительной силой. Поэтому F — F * тр * цс* Центробежная сила действует со стороны тела на подставку, она направлена по радиусу от центра. Если представить себе для на- наглядности (однако надо помнить, что это очень грубая картина) трение как результат зацепления двух шероховатых поверхностей, при котором выпуклости поверхности одного тела входят во впа- впадины поверхности другого тела, то центробежная сила представится нам силой, действующей вдоль радиуса от центра на зацепляющие места поверхности подставки. Взаимодействие трением, удерживающее тело неподвижным по отношению к подставке, может быть только меньше некоторого максимума F™*KC. При увеличении скорости вращения чаши насту- наступит момент, когда произведение тсо2/? станет больше, чем F™aK*t Тогда участие тела в круговом движении с ускорением \a\ = co2R станет невозможным. Действительно, чтобы обеспечить телу участие в круговом движении с угловой скоростью со, на него надо подей- подействовать с силой то2/?. Если взаимодействие трения не может обе- обеспечить этой силы, а следовательно, и движения по кругу радиуса R со скоростью со, то тело сдвинется с места по отношению к подставке и между телом и подставкой взаимодействие трения покоя пере- перестанет осуществляться. Как только взаимодействие тела с подставкой прекратилось и тело стало свободным, начинается прямолинейное и равномерное движение с той векторной скоростью, которой тело обладало в мо- момент отрыва. Так как скорость тела, движущегося по окружности, направлена по касательной, то эта линия и будет линией движения 27
освободившегося тела. Наиболее отчетливым образом тангенциаль- тангенциальные пути отрывающихся от вращающегося тела частиц можно де- демонстрировать на опыте с точильным кругом. Сделаем несколько замечаний о процессе вращения камня на веревке (рис. 11). Чтобы в обычных условиях вращать равномерно на веревке камень, нужно придать телу не только центростремитель- центростремительное ускорение, но и тангенциальное. Последнее необходимо для 4 Рис. 11. преодоления трения о воздух. Результирующее ускорение, а следо- следовательно, и сила не направлены вдоль радиуса, а образуют острый угол с направлением движения. Кисть руки совершает вращатель- вращательное движение, а нить направлена в каждый данный момент вдоль касательной к окружности, описываемой рукой. В качестве еще одного примера кругового движения рассмотрим вращение двух притягивающихся тел с одинаковой угловой ско- скоростью вокруг общего центра. Нетрудно заставить с помощью цен- центробежной машины вращаться около общей оси два груза равной массы, связанных ниткой. Рассмотрим сначала первый груз на нитке, зацепленной за ось вращения. Центробежная сила, действующая на ось, равна m^Rt. Второй груз действует на ось с силой т2со2/?2. Если эти силы равны, то нитки можно связать друг с другом; при этом ничего не изме- изменится (рис. 12). Отсюда ясно, что условием устойчивого вращатель- вращательного движения двух тел, связанных ниткой, является равенство центробежных сил, действующих на нитку со стороны этих тел: Таким образом, E т. е. устойчивое вращение происходит лишь в том случае, если расстояния тел до оси вращения обратно пропорциональны массам тел. Точка, делящая линию длиной Rt+R2 в отношении ^ = ^ (см. рис. 12), называется центром инерции (см. § 15). Можно утвер- 28
ждать, что устойчивое вращение двух связанных тел происходит вокруг точки, являющейся центром инерции системы. Мы говорили о двух телах, взаимодействие которых осуществля- осуществляется при помощи нитки. Однако все сказанное совершенно спра- справедливо и в том случае, если речь идет о двух телах, притягиваю- притягивающихся согласно закону всемирного тяготения или о притягиваю- притягивающихся положительном и отрицательном электрических зарядах. Рис. 12. Взаимодействие любой природы между парой притягивающихся тел может, таким образом, привести к устойчивому вращению вокруг точки, являющейся центром инерции. Это взаимодействие пред- представляется двумя силами, приложенными к обоим притягивающимся телам. Силы направлены друг другу навстречу и численно равны. (Обычно в этом месте у неподготовленного читателя опять возникает -вопрос: почему же тела не притянутся друг к другу? Еще раз под- подчеркиваем: силы параллельны ускорениям, но не скоростям, а в круговом движении ускорения направлены по радиусу к центру вращения.) Так как на каждое тело действует одна-едииственная сила, то обе они являются центростремительными. В то же время обе эти силы являются и центробежными. Действительно, тело А играет роль связи для тела Б, и наоборот. Значит для тела А сила Fба является центростремительной, а сила Fab— центробежной, и наоборот. Впрочем, применение понятия центробежной силы в данном случае носит совершенно формальный характер. Эти строчки были нужны лишь для того, чтобы подчеркнуть аналогию, существу- существующую между системой шаров, связанных ниткой, и системой тел, «связанных» силами притяжения. Планетная система являет нам пример устойчивого вращения притягивающихся тел. Допустим, что у Солнца существовала бы одна лишь планета Земля. Тогда центр вращения делил бы линию, соединяющую Солнце с Землей, в отношении тсолнца '• #*земли= -333 000: 1. 29
Таким образом, говоря в повседневной жизни, что Земля вра- вращается вокруг Солнца, мы не совершаем большой ошибки и не со- совершили бы ее даже и в том случае, если бы Земля была единствен- единственным спутником Солнца. § 6. Влияние вращения Земли на механические явления Земной шар совершает сложное движение: вращается около своей оси, движется по орбите вокруг Солнца. Вполне понятно, что Земля не является инерциальной системой отсчета. Тем не менее мы с успехом пользуемся законом Ньютона в земных условиях. Однако в ряде случаев неинерциальность Земли сказывается до- достаточно резко. Эти случаи мы должны изучить. Влияние вращения Земли на ее форму. Вес тела. Если не учи- учитывать вращения Земли, то тело, лежащее на ее поверхности, следует Рис. 13. рассматривать как поколщееся. Сумма действующих на это тело сил равнялась бы тогда нулю. На самом же деле любая точка поверх- поверхности земного шара, лежащая на географической широте ср, дви- движется около оси земного шара, т. е. по кругу радиуса r=R cos<p (R — радиус Земли, рассматриваемой в первом приближении в виде шара), с угловой скоростью со=0,7292« 10~4 с. Следовательно, сумма сил, действующих на такую точку, отлична от нуля, равна произведению массы на ускорение со2/? cos ср и направлена вдоль л Очевидно, что наличие такой результирующей силы 0G (рис. 13) 30
возможно лишь в том случае, если реакция земной поверхности О А и сила тяготения ОЕ направлены под углом друг к другу. Тогда тело будет давить на поверхность Земли (по третьему закону Нью- Ньютона) с силой 0С=—О А. Если бы земной шар покоился, то эта сила равнялась бы силе тяготения ОЕ и совпадала бы с ней по на- направлению. Разложим силу ОС на две: направленную вдоль радиуса 0D и по касательной ОВ. Наличие вращения Земли приводит, как мы видим из чертежа, к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как ОСжОЭ, то это уменьшение равно DE=mR(a2 cos2 ф. Во-вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к эква- экватору; эта сила OB=mR(n2 cos cp sin <p. Такое расплющивание дей- действительно имело место; Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к эллипсоиду вращения. Экваториальный радиус Земли становится в результате указанного действия примерно на V3oo долю больше полярного радиуса. Расплющивающие силы заставляли перемещаться массы земного шара до тех пор, пока он не принял равновесной формы. Когда про- процесс смещения закончился, расплющивающие силы, очевидно, перестали действовать. Следовательно, силы давления, действую- действующие на поверхность земного «шара», направлены по нормали к по- поверхности. Возвратимся теперь к величине давления тела на землю, то есть к той физической величине, которую принято называть весом. Вы- Вычисление, сделанное для шара (сила тяготения минус т/?со2 cos2 <p), разумеется, несправедливо для истинной фигуры Земли. Однако для приближенных вычислений этим результатом можно поль- пользоваться. На полюсе (ф=90°) вес тела равен силе тяготения. Обозначим через mg силу тяготения тела на полюсе. Тогда давление тела на земную поверхность в любой точке земного шара, иначе говоря, вес тела, будет равно, как сказано выше, разности силы тяготения и силы DE, т. е. mg—mRto2 cos2 ф = mg' и g' =g—^со2соб2ф есть ускорение, с которым падают тела на широте ф. На экваторе g' примерно на V300 меньше g. Использование различных ускорений свободного падения на разных широтах избавляет нас от необходимости учета влияния вращения Земли на вес тела. Влияние вращения Земли на движение тел по земной поверх- поверхности. Представим себе, что наблюдения движения тела произво- производятся во вращающейся системе координат. Мимо наблюдателя дви- движется прямолинейно и равномерно какое-либо тело. В выбранной 31
неинерциальной системе отсчета траектория тела будет криволи- криволинейной. Французский ученый Кориолис вычислением показал, что по отношению к системе, вращающейся с угловой скоростью со, тело, движущееся прямолинейно и равномерно со скоростью V, имеет ускорение, равное 2 асо sin а, где а — угол между осью вращения и направлением прямолинейного движения. При этом вектор уско- ускорения направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и направление скорости. Для выбора из двух возмож- возможных направлений ускорения одного можно пользоваться следую- следующим правилом: если смотреть вдоль оси вращения так, чтобы видеть вращение против часовой стрел- стрелки, и поставить левую руку ла- лада донью вниз, установив пальцы вдоль прямолинейного движе- движения, то направление большого пальца покажет направление ус- ускорения (рис. 14). Кориолисово ускорение ак действует на все тела, движу- движущиеся по земной поверхности. > Если смотреть на ось земного ^ шара со стороны северного по- полюса, то вращение представляет- представляется против часовой стрелки. Сле- z/$ довательно, любое тело, движу- движущееся в северном полушарии прямолинейно по отношению к рис 14. инерциальной системе, откло- отклоняется вправо по ходу движения (влево в южном полушарии) для земного наблюдателя. Это отклонение может быть большим или меньшим в зависимости от направления движения по отношению к оси, а также от линейной скорости движения. Отклонения тел могут происходить как в горизонтальной, так и в вертикальной (по отношению к поверхности Земли) плоскостях. Кориолисово ускорение направлено перпендикулярно к земной оси; поэтому отклонения, происходящие в горизонтальной плоскос- плоскости, всего больше на полюсе и равны нулю на экваторе. Обратное по- положение имеет место для отклонений от вертикальной плоскости. Отклонения в этих двух плоскостях характеризуются соответствую- соответствующими проекциями вектора ускорения. Так, проекция ускорения тела на горизонтальную плоскость равна 2уо) sin ф, где ф — широта. В северном полушарии эта проекция направлена вправо по движению. Отклонение движущихся в горизонтальной плоскости тел от прямолинейного пути сказывается на размытии реками правых бере- 32
гов в северном и левых берегов (по ходу движения) в южном полу- полушарии. По этой же причине в северном полушарии реки обходят препятствия с правой (в южном — с левой) стороны. Воздушные массы, притекающие в область низкого давления, отклоняются от радиального направления вправо в северном (влево в южном) полушарии и образуют циклоны. Таким образом, циклоны в северном полушарии перемещают воздушные массы против часо- часовой стрелки, в южном — наоборот. Наличие вертикального отклонения приводит к тому, что падаю- падающее тело движется не строго по вертикали, а отклоняется с запада на восток (Земля вращается с запада на восток, т. е. против часовой стрелки, если смотреть со стороны северного полюса). Примеры. 1. Подсчитаем максимальное отклонение от прямолинейного пути обычного артиллерийского снаряда. Отклонение будет максимально на по- полюсе (ф==90° и для всех направлений выстрела <х=90°). Беря скорость полета снаряда 1 км/с, получим 2-1000-0,73-10^0,15 м/с2. Это ускорение примерно в 70 раз меньше ускорения силы тяжести. Отклонение снаряда от прямоли- прямолинейного пути может, как мы видим, достигать величины порядка нескольких сантиметров. 2. Пусть река течет с севера на юг (в северном полушарии) со скоростью t>= =3 км/ч. При этом вода переходит из областей с малой линейной скоростью вра- вращения поверхности Земли в области с большей линейной скоростью. Это увели- увеличение скорости движения (направленного с запада на восток вместе с берегами реки) характеризуется ускорением Кориолиса и достигается за счет воздействия правого берега реки на массы воды. Вычислим ускорение Кориолиса для широты Ф=45°: ак = 2шH sin ф, <0о=2я рад/сут=7,25- Ю-6 рад/с, v=3 км/ч=0,83 м/с, ак=2-0,83-7,25- 10~бХ Х0,707=8,50- Ю-5 м/с2. Таким образом, на каждую тонну воды правый берег давит с силой 8,5.10-5.10-3=8,5.10-2Н. Обрывистые правые берега Волги, Дона и других крупных рек северного полу- полушария иллюстрируют приведенный расчет. § 7. Какие данные необходимы для решения механической задачи? Основной задачей механики является нахождение движения по заданным силам. Найти движение — это значит суметь указать, в каком месте пространства и в какой момент времени находится лю- любая из материальных точек. Если же нас интересует сложная меха- механическая система, то такие сведения нужны по отношению к каж- каждой из материальных точек, на которые эта система мысленно разде- разделена. Для того чтобы справиться с такой задачей, мы прежде всего должны располагать исчерпывающими сведениями о действующих силах. Силы должны быть известны для любой точки и любого места нахождения этой точки. Если силы известны, то при помощи 2 А. И. Китайгородский 33
уравнения Ньютона мы можем определить ускорение материальной точки. Однако сведения о траектории, скорости, знание момента вре- времени, которому соответствует прохождение через данную точку про- пространства,— все эти сведения при помощи одних только уравнений движения Ньютона не могут быть получены. Чтобы описать движе- движение, надо для любого момента времени знать место, где находилась материальная точка, а также знать ее скорость как по величине, так и по направлению. Всего требуется задать шесть чисел: три коорди- координаты и три проекции скорости по осям. Эти данные однозначно ха- характеризуют «механическое состояние» точки; их можно назвать параметрами состояния. Итак, задача сводится к нахождению параметров состояния, а уравнения Ньютона дают лишь ускорения. Чтобы решить задачу, нужно знать начальные условия, т. е. значения параметров состояния для какого-либо момента времени (обычно этот момент обозначают /=0, отсюда и название: начальные условия). Если начальные значения параметров состояния известны, то дальнейшее является уже делом математика. Уравнения движе- движения Ньютона плюс начальные данные однозначно решают механи- механическую задачу. Дальнейшая судьба точки, а также ее прошлое могут быть прослежены в принципе на сколь угодно большие сроки вперед и назад. Эта идея в свое время поражала ученых. Великий фран- французский ученый и мыслитель Лаплас говорил: если бы знать началь- начальные координаты и скорости всех частиц, из которых состоит мир, то можно было бы предсказать судьбу мира. Эта несколько наивная точка зрения, сводящая все сущее к чисто механическим явлениям, несправедлива в принципе, и не только потому, что практически невозможно располагать требуемыми сведениями. Дело в том, что механика, основывающаяся на законах Ньютона, имеет огра- ограниченное применение и выводы ее не могут применяться столь широко. Вернемся, однако, к шести начальным условиям. Необходимость задания для материальной точки именно шести цифр отчетливо видна из самих уравнений Ньютона. Векторное уравнение можно разложить по трем осям и написать его в виде трех равенств: max=Fx>may=Fy и maz=Fz. Определить движение — это значит найти, как меняются со временем все три координаты точки: х, г/, г. Нахождение зависимости координаты х от времени производится интегрированием уравнения Первое интегрирование позволяет найти ^-компоненту скорости. При интегрировании появляется первая постоянная интегрирова- интегрирования. Второе интегрирование позволяет найти координату х в функ- функции времени. При втором интегрировании, появляется вторая про- произвольная постоянная. То же самое относится и к уравнениям изме- изменения со временем других двух координат. Всего появятся шесть 34
произвольных постоянных, которые могут быть найдены лишь в том случае, если известны какие-либо шесть независимых данных о координатах и скоростях частицы. Начальные условия — это, как мы говорили, три началь- начальные координаты и три начальные проекции скорости. Однако задача может быть решена, если известны и другие шесть чисел. На- Например, можно задать три координаты начальной точки, числовое значение начальной скорости и две координаты конечной точки. Траектория точки однозначно определится и этими шестью усло- условиями. Параметры точки могут быть заданы различным способом. Поло- Положение точки в пространстве можно задать тремя декартовыми коор- координатами, можно задать расстояние от начала координат и два угла, образованных радиусом-вектором с осями. То же самое относится и к скорости. Характерным примером зависимости движения тела от началь- начальных условий является поведение ракеты, выброшенной с поверх- поверхности Земли. Траектория ракеты и ее судьба определяются направ- направлением выброса, географическим расположением места запуска и величиной начальной скорости. При небольших скоростях брошен- брошенное с Земли тело описывает, как хорошо известно, параболическую кривую. При скорости около 8 км/сек обеспечивается равенство центробежной силы и силы притяжения и брошенное тело может быть положено на круговую орбиту. При скоростях между 8 и 11,2 км/сек брошенное тело описывает около Земли эллиптическую траекторию. При начальной скорости около 11,2 км/сек кинетиче- кинетическая энергия тела становится достаточной для полного преодоления притяжения Земли. Ракета, брошенная с такой скоростью, будет двигаться по гиперболе. Если механическая система состоит из п независимых точек, то число параметров системы будет равно 6я. Однако в ряде случаев на механическую систему могут накла- накладываться связи, уменьшающие это число. Простым примером явля- является центробежный регулятор, который можно представить себе как систему из двух связанных шариков, которые могут раздви- раздвигаться и крутиться около общей оси. Ясно, что заданием расстояния точки от оси вращения и азимутального угла по отношению к про- произвольной линии мы однозначно определяем механическое состоя- состояние системы. Две «координаты» и две скорости изменения этих коор- координат являются параметрами этого состояния. Рассмотрим теперь произвольно вращающееся твердое тело и подумаем, какими данными надо располагать, чтобы фиксировать его расположение по отношению к неподвижной системе координат. Ясно, что тремя данными мы определим расположение центра тяжес- тяжести тела. Для описания же поворота тела достаточно знания трех углов. Можно не останавливаться на этом положении, так как оче- очевидно, что тремя поворотами около взаимно перпендикулярных осей всегда можно придать телу любую ориентировку. 2* 35
Итак, твердое тело надо характеризовать шестью координатами и шестью скоростями изменения этих координат, всего двенадцатью параметрами. В качестве еще одного примера рассмотрим две жестко связанные точки. Если бы они были свободны, то для их характеристики требовалось бы знание шести координат. Так как они жестко связаны, то имеется дополнительное условие, связывающее коор- координаты этих точек: (*i—*2J + (Уг-У*J + (*1-г*У = const. Таким образом, независимых величин, характеризующих указанную систему, имеется пять. Пять координат и пять скоростей измене- изменения этих координат дают для этой системы десять параметров. Так как параметры состояния разбиваются всегда пополам на «координаты» и скорости изменения «координат», то принято гово- говорить о степенях свободы системы, подразумевая под этим число неза- независимых координат, нужных для описания системы. Таким образом, одна точка имеет три степени свободы, две жестко скрепленные точки — пять степеней свободы, твердое тело — шесть степеней свободы, система из п независимых точек — Зл степеней свободы и т. д. Теперь нам будет ясен смысл утверждения: механическое сос- состояние системы определяется заданием ее параметров по числу сте- степеней свободы. § 8. Коэффициенты пропорциональности в формулах физики и размерности физических величин Коэффициент 7, входящий в закон всемирного тяготения, яв- является универсальной постоянной, зависящей от выбора единиц из- измерения силы, массы и расстояния. Можно выбрать единицы изме- измерения и так, чтобы было 7=1. Для этого за единицу массы надо при- принять массу точки, притягивающуюся к другой такой же, находя- находящейся на единичном расстоянии, с единичной силой. В системе СГС такая масса равнялась бы, очевидно, 1,5-107 г, т. е. 15 тоннам. Таким образом, универсальные коэффициенты, фигурирующие в законах физики, появляются вследствие конкретного выбора еди- единиц измерения. При желании можно было бы изгнать все коэффи- коэффициенты этого рода из всех законов, выбирая соответствующим обра- образом единицы измерения. Важно усвоить следующее: применяемая система единиц измере- измерения и коэффициенты пропорциональности в формулах связаны друг с другом. Эту связь можно обнаружить при рассмотрении формул размерностей. Прежде всего, необходимо установить число единиц, которые мы желаем считать основными. Это число целиком зависит от нашего произвола и определяется исключительно соображениями удобства. В физике общепринята система, в которой единицы измерения длины L, массы М и времени Т выбраны независимо друг от друга. 36
Тогда значения всех универсальных констант, а также единицы изме- измерения всех других величин однозначно определяется выбором еди- единиц для L, М и Т. Характер этой связи дается так называемыми формулами размерности. Их смысл ясен из примеров. Размерность скорости LT, ускорения LTy силы MLT~2, гравитационной по- постоянной ML3T~2t электрического заряда в формуле закона Ку- Кулона Ml/* Ls/* Г'1 и т. д. Зная эти формулы, можно сразу же ска- сказать, как изменятся числовые значения универсальных констант и единиц измерения производных физических величин, если изме- изменить величину какой-либо основной единицы. Как мы увидим на примерах (§ 81), анализ размерностей физи- физических величин может подсказать характер тех или иных зависи- зависимостей между физическими величинами. Наряду с системой, в которой основными величинами являются расстояние, время и масса, широкое распространение имеет система, в которой в качестве основных величин выбраны расстояние L, время Т и сила F (системе FLT). Разумеется, формулы размерности в этой системе будут выглядеть иначе. Например, момент силы в си- системе FLT имеет размерность FL, а в системе MLT — размерность ML2T. Масса, являющаяся в системе FLT производной величиной, получит размерность FL~XT2. Основной закон механики связывает между собой силу, массу, расстояние и время. Поэтому выбор коэффициента пропорциональ- пропорциональности в этой формуле зависит для обеих систем от выбора единиц измерения. В обеих системах полагают коэффициент пропорциональ- пропорциональности равным единице. Это значит, что в системе MLT по формуле F=ma выбирают единицу измерения силы так, чтобы F=l, если масса и ускорение равны единице, а в системе FLT по формуле т = —выбирают единицу измерения массы так, чтобы т=1, если сила и ускорение равны единице. В этой книге мы будем пользоваться большей частью системой MLT в двух ее вариантах: Система СГС: L — сантиметр, М — грамм, Т — секунда; Система СИ: L — метр, М — килограмм, Т — секунда. В системе СГС единицей силы является дина= 1 г-см/с2, единицей работы — эрг—дин-см. В системе СИ единицей силы является нью- тон=1 кг-м/с2, работы — джоуль^Нхм. Если читателю встретятся данные, выраженные в системе FLT, то их надлежит перевести в любую из указанных систем. Для этого достаточно запомнить, что единица силы в системе FLT есть кило- килограмм-сила (вес килограммовой гири на уровне моря на широте 45°), которая связана с двумя принятыми нами единицами силы соот- соотношениями: 1 кгс=9,81 Н = 9,8МО5 дин. Мы еще раз вернемся к вопросу о системах единиц, когда нам понадобятся электрические величины. 37
ГЛАВА 2 МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ § 9. Работа Движение без ускорения (т. е. прямолинейное и равномерное) может происходить как без действия, так и при действии на тело сил. В последнем случае сумма сил, действующих на тело, равна нулю. Между этими двумя видами движений без ускорения имеется существенное различие. В первом случае движение не сопровожда- сопровождается работой, для осуществления второго типа движения нужно за- затратить работу. Работает мотор, движущий равномерно и прямоли- прямолинейно автомашину. Работает человек, движущий равномерно и прямолинейно санки с грузом. Говорят, что в этих случаях ра- работа затрачена на преодоле- преодоление сопротивлений— тре- трения, сопротивления воздуха и т. д. у* jr Из двух уравновешива- уравновешивающихся сил, действующих на тело, движущееся без ускорения, одна направле- Ць на вдоль, другая против Направление трений Движения. J ^ Мы говорим про силу, действующую по направле- Рис. 15. нию движения, что она производит работу. Мы го- говорим про силу, направленную против движения, что против этой силы совершается работа. Количественной характеристикой работы является произведение силы, действующей на тело в направлении движения, на пройденный телом путь. Эта физическая величина называется работой. Пусть на тело действует множество сил, геометрическая сумма которых равна нулю. Тело движется равномерно и прямолинейно. Тогда можно все силы разложить на четыре (рис. 15). Силы Ft и F2 согласно принятому определению работы не производят. Сила F производит работу, равную FAS (AS — пройденный путь). Работа силы F' равна — FAS. Знак минус показывает, что работа произ- производится против силы F'. Рассмотрим теперь движение тела с ускорением, т. е. криволи- криволинейное и неравномерное движение. Как нам известно, в этом слу- случае на тело действует результирующая сила, направленная вдоль ускорения (но не вдоль пути в общем случае!). Разложим опять все действующие силы на силы, направленные вдвль движения и на пер- перпендикулярные (рис. 16). Теперь F не равно F' и Fx не равно F%. 38
Сохраняя данное выше определение работы, мы по-прежнему гово- говорим про силы Fi и F2, что они не совершают работы. Работа силы F' по-прежнему отрицательна, т. е. работа происходит против силы F\ она равна F'AS. Сила F производит работу FAS, большую, чем работа против сил сопро- ^ тивления. Излишек работы идет на ускорение тела. Неравенство сил F2 и Ft &' . показывает, что движение кри- криволинейное. Разность сил F2—Fi ответственна за нор- нормальную составляющую век- вектора ускорения. _ Рассмотрим крайний слу- ^ чай — равномерное движение л ^ - - по окружности. Результирую- ЯшираШение дШжениэи щая сила в таком движении Рис. 16. направлена, как нам извест- известно, по радиусу окружности, т. е. перпендикулярно к направ- направлению движения. Поэтому центростремительная сила не производит работы. Итак, излишек работы в общем случае криволинейного уско- ускоренного движения идет на создание не всего ускорения, а лишь тан- тангенциальной составляющей вектора ускорения. Для материальной точки это утверждение запишется так: F—F' = mat и FAS—F'AS=matAS. Напомним, что (F—F') есть тангенциальная составляющая резуль- результирующей силы FPJ3. Работа, затрачиваемая на ускорение тела (равная, по определе- определению, проекции результирующей силы на направление движения, умноженной на величину пройденного пути), равна произведению массы тела на величину пути и на величину тангенциального уско- ускорения. Можно последнее равенство записать в виде FAS~FfAS+ -\-matAS и прочитать иначе: работа действующей силы слагается из работы против сил сопротивления и работы, затраченной на ускорение тела. Примеры. 1. Реактивный пассажирский самолет весом Р=70 тс набирает высоту h = 10 км. Если бы он двигался равномерно, то работа подъема на такую высоту равнялась бы A1 = Ph = 7.\№ кгс-м = 68,6.108 Дж = 68,6.1015 эрг. Если же набор высоты происходит на пути S=85 км с одновременным увеличением скорости (ускорение а=0,3 м/с2), то дополнительная затрата работы на создание ускорения будет A2 = maS= 17,9.108 Дж= 17,9-10" эрг = 1,82-108 кгс-м. 2. Чтобы обстругать доску длиной 2 м и шириной 022 м2 столяр затрачивает работу около 150 кгс-м=1470 Дж. 39
§ 10. Кинетическая энергия Итак, при ускорении тела результирующая сила Fpe3 совершает работу где at— среднее тангенциальное ускорение на рассматриваемом участке пути AS. Подставляя значение atf получим л Av-AS A А = т = mv • Av, l где v — средняя скорость., равная y(^2+^i), если v2 и vt—мгно- vt—мгновенные скорости в конце и в начале пути. Так как Av=v2— vl9 то *) - mv\ mv\ \fmv2 т, е. работа численно равна приращению величины mv2/2. Поэтому величина „ mv2' принимается за меру энергии движения материальной точки; вели- величину К мы и будем называть кинетической энергией. Предыдущее уравнение читается теперь так: работа результирующей силы, дей- действующей на тело (т. е. произведение тангенциальной составляющей результирующей силы на путь), равна приращению кинетической энергии тела. Это уравнение удобно для решения элементарных механических задач, в которых задан путь, на котором действовала сила. Термин «энергия» встретится нам неоднократно. Это одно из важнейших физических понятий. Энергия, т. е. работоспособность, есть функция состояния тела; за счет убыли величины этой функции и произведена работа. Кинетическая энергия есть функция состояния движения. Если кинетическая энергия изменилась от Кг до /С2, то произведенная при этом работа будет равна К2—Кг вне зависимости от характера движения. Быстро или медленно, равномерно или нет менялась скорость — все это не имеет значения. Убыль кинетиче- кинетической энергии на определенную величину дает всегда одну и ту же работу. Только в том случае, если физическая величина является функ- функцией состояния, она может иметь смысл энергии, т. е. запаса работы. *) Тот же результат мы получим, записав выражение для бесконечно малой работы в виде dA=mv dv и проинтегрировав его от момента, когда скорость была 01, Д° У2: mv\ 40 = \ mvdv = —y
Примеры. Единицей энергии в атомной физике является электрон-вольт (эВ); это кинетическая энергия электрона, ускоренного разностью потенциалов в 1 вольт: 1 эВ = 1,6-10-12 эрг=1,б-Ю-19 Дж. Энергия протона, ускоренного в синхрофазотроне, равна 10 ГэВ=101ОэВ— = 0,016эрг=1,6-10-5 Дж. Кинетическая энергия крупного пассажирского реактивного самолета (т = = 100 т, а=800 км/ч) равна §11. Потенциальная энергия Рассмотрим некоторые явления, при которых произведенная ра- работа не сопровождается изменением скорости тела. Два типа приме- примеров будут занимать наше внимание: первые относятся к упругой деформации тел, вторые описывают события, происходящие при движении тел в поле тяжести и в электрическом поле. Сейчас мы по- покажем, что в обоих этих случаях мы сталкиваемся с превращением работы в особую разновидность энергии, называемую потенциаль- потенциальной энергией. Сначала остановимся на явлениях упругой деформации. Опыт по- показывает, что при любой упругой деформации — растяжении, сжа- сжатии, изгибе и т. д.— можно указать такую функцию состояния, которая возрастает как раз на величину произведенной над телом работы. Эта функция состояния или, иначе говоря, функция свойств тела и степени деформации, носит название потенциальной энергии упругости. Покажем наличие такой энергии лишь для одного примера упру- упругой деформации — линейного растяжения или сжатия. Аналогич- Аналогичные доказательства возможны для любых иных видов упругой де- деформации. Пусть некоторая сила (скажем, мускульная) очень медленно ра- растягивает твердое тело (пружину). Работа, затраченная на растяже- растяжение тела от длины l+sx до длины l+s2, где / — длина недеформиро- ванной пружины, равна Мускульная сила уравновешивается в каждый данный момент силой упругости пружины. Последняя же для не очень больших растяже- растяжений пропорциональна деформации s *): F — k<t *) Напомним, что закон упругой деформации (закон Гука) записывают в виде -ёг=гЕ—г , где Е — модуль упругости, a S — сечение растягиваемого тела. Та- ким образом, жесткость (коэффициент пропорциональности в выражении для силы упругости) имеет значение k=ES/t. 41
В выражение для работы мы должны подставить среднее значение силы F, т. е. 1/2(ks2+ks1). Тогда получим *) А = --п 9~ = ^ I "о~ ] > 2 2 т. е. работа против сил упругости затрачивается на возрастание ве- величины ks2/2. Эту величину и следует принять за меру энергии упру- упругости. Величину ^УПР = Т будем называть потенциальной энергией упругости. Совершенно такой же вид имеют формулы потенциальной энер- энергии упругости для других видов деформации, k характеризует жест- жесткость тела по отношению к конкретному виду деформации, a s является мерой деформации (например, угол закручивания, угол сдвига и т. п.). Величина (/упр является энергией именно в том смысле, о кото- котором мы говорили в конце § 10. Каким бы способом и с какой бы бы- быстротой ни было произведено деформирование тела, одной и той же затраченной работе будет соответствовать всегда одно и то же зна- значение приращения величины k$2/2. Это и значит, что ks2/2 является мерой энергии, а именно потенциальной энергии упругости. Примеры. 1. Потенциальная энергия куска стальной проволоки (модуль Юнга ?=20,6«1010 Н/м2), имеющей длину 50 м, поперечное сечение 10 мм2 и рас- растянутой на 1 см, будет 2. Для резины модуль Юнга ?=7,85- 10б Н/м2. Камень с массой 20 г, выпу- выпущенный из рогатки, поднимается на высоту 20 м. Для этого ему должна быть со- ебщена энергия 3,92 Дж. Пусть при этом резиновый жгут растягивается на 40 см при первоначальной длине 40 см. Найдем требуемое сечение резинового жгута 0 25 ш, ^упр- г 2 . a- ?s3 — 7,85-Юад/м2-1600 см2 Силы тяжести обладают той же особенностью, что и силы упру- упругости, а именно: работа, затраченная на подъем тела в поле тяжести, идет на изменение функции состояния тела. В этом случае интере- интересующая нас функция зависит от расположения данного тела по отношению к притягивающим его телам. Она носит название по- потенциальной энергии тяготения. Покажем наличие такой энергии, прежде всего, для тела, на- находящегося вблизи земной поверхности. Из точки 1 тело перемести- переместилось в более высокую точку 2 по какому-то криволинейному пути. Разобьем эту траекторию на малые кусочки и заменим кривую линию ломаной. Это можно сделать сколь угодно точно. Работа, *) К тому же результату придем интегрированием бесконечно малой работы =—ksds в пределах от sx до s2. 42
затраченная на перемещение тела вдоль одного из таких прямоли- прямолинейных отрезков длиной dl, равна dA = mgdl sin а, или dA=mgdh, где dh — прирост высоты. Так как mg неизменно на всем пути движения, то при сложении по всему пути переноса mg выносится за скобку (при интегрировании выносится за знак интеграла), что дает для всей работы A = mg{h2—hj)9 где hu h2— высоты точек 1 и 2. А = (mghJ — (mghI = A (mgh), т. е. работа перемещения равняется приросту произведения mgh, которое является мерой потенциальной энергии тяготения для этого простого случая. Вполне ясно, что является энергией и отвечает полностью смыслу, вкладываемому нами в это слово. Каким бы путем ни производилась работа, по какому пути ни перемещалось бы тело и с какой быстротой оно ни двигалось бы, работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 будет всегда одинаковой, так как прирост энергии зависит лишь от место- местонахождения этих точек, в нашем простейшем случае — от их высот. Так как работа перемещения тела в поле тяготения не зависит от формы пути, то работа перемещения по замкнутому контуру будет равна нулю. Заметим, что начало отсчета h роли не играет. Если условиться отсчитывать h от поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне колодца, будет отрицательной. Написанная выше формула непригодна для тел, далеких от Земли, например для Луны. Действительно, как было выяснено в § 2, для больших расстояний приближенная формула силы тяготе- тяготения mg должна быть заменена точной у Hh^i . Рассчитаем работу, производимую силами тяготения. Условимся работу, совершаемую силами системы, считать положительной, а работу против сил системы — отрицательной. Допустим, что два тяготеющих тела сближаются вдоль линии действия сил на беско- бесконечно малый участок пути — dr (минус, так как г уменьшается). При этом Но ^ = d( — —) . Следовательно, 43
Работа идет за счет уменьшения величины U — —у—^, являю- являющейся мерой энергии тяготения в общем случае: dA = — dU. Величина представляет потенциальную энергию тяготения в общем случае. Потенциальная энергия тяготения равна нулю, если тела нахо- находится на бесконечно большом расстояний друг от друга. При сбли- сближении тел U растет по абсолютной величине, но так как U отри- отрицательно, то, как и по приближенной формуле для тел, находящихся вблизи Земли, потенциальная энергия тем меньше, чем ближе друг к другу притягивающиеся тела. Разумеется, при желании можно изменить начало отсчета U и сделать эту величину положительной в интересующем нас интервале значений. Нетрудно показать соотношение между общей формулой для U и ее частным случаем U~mgh. Действительно, заменяя г на /?+Л где R — радиус Земли, получим: уМт (М — масса Земли). Но hIR — малая величина, поэтому с достаточ- достаточной точностью г- =ss 1 —~, откуда it" a Изменив начало отсчета U, а именно приняв-за нуль потенциаль- потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, приходим к формуле U=mgh. Пример. Чтобы яснее представить себе смысл полученных результатов, рассчитаем потенциальную энергию тела с массой т=\ кг на поверхности Земли и на расстоянии 1000 км над поверхностью Земли. Потенциальная энергия на поверхности Земли Потенциальная энергия на расстоянии 1000 км ^юоо= -6,67.Юц-5'у з1^* = -5,3-107 Дж=-5,З.КI* эрг. Из расчета видно, что: 1) потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли все время отрицательна и увеличивается по мере удаления от Земли (так как мы условились, что она стремится к нулю при Л->оо); 2) изменения потенциальной энергии поднимаемого над Землей тела, вообще говоря, не описываются формулой 44
mg (Л2—Ax). Действительно, ^юоо-^о= ~5,3.Ю7-(-6,Ы07) = 0,8.107 Дж, тогда как расчет по формуле mg(h2—h{j дает 0,98-107 Дж. Однако в тех случаях, когда речь идет о подъемах на высоту h<^.R (R — радиус Земли), можно пользо- пользоваться упрощенной формулой /ng(/i2—/1Х). Весьма схожи между собой выражения потенциальной энергии тяготения и потенциальной энергии электрического взаимодействия зарядов. Рассмотрим два одноименных электрических заряда qt uq2, нахо- находящихся на расстоянии г друг от друга. Заряды взаимодействуют (отталкиваются) по закону Кулона. Поэтому, сближая их на малый отрезок dr, мы произведем работу, равную —dA~ — Щ^-dr (слева знак минус, так как работа совершается против сил системы; справа тоже знак минус, так как происходит сближение и dr отри- отрицательно). Вычисление, ничем не отличающееся от только что про- проведенного для сил гравитационного тяготения, дает для энергии электрического взаимодействия зарядов (для краткости ее назы- называют кулоновской) выражение f/ = ^^-,T. e. и здесь dA=—dU. Энергия взаимодействия разноименных зарядов будет отрица- отрицательной и будет вести себя, как гравитационная. Энергия одноимен- одноименных зарядов равна нулю на бесконечности и растет по мере сбли- сближения зарядов. Этими примерами потенциальной энергии мы можем ограничить- ограничиться, хотя в разных случаях в рассмотрение могут быть введены и иные функции состояния тела. Потенциальная энергия появляется всегда, когда между телами или частицами, входящими в рассматриваемую систему, действуют силы, зависящие от расстояний между телами. Потенциальная энер- энергия есть энергия взаимодействия тел. Если система состоит из мно- множества тел или частиц, то можно говорить о ее суммарной потен- потенциальной энергии, которая складывается из энергий взаимодействия между всеми частицами (каждой с каждой). Уже в случае четырех частиц потенциальная энергия будет состоять из шести слагаемых, так как надо учесть взаимодействие первого тела со вторым, третьим и четвертым, второго с третьим и четвертым и, наконец, третьего с четвертым. В механике учитывают только потенциальную энергию сил, дей- действующую между разными телами. Если тела — сложные и состоят из множества частиц, то потенциальная энергия взаимодействия этих частиц считается неизменной во время механических явлений. Потенциальная энергия взаимодействия частиц, из которых состоит тело, входит составной частью во внутреннюю энергию тела (гл. 9). Если же имеют место изменения внутренней энергии тела, то яв- явление должно быть рассмотрено с точки зрения законов термодина- термодинамики (гл. 9). 45
§ 12. Закон сохранения механической энергии Какие бы силы ни принимали участие в движении, всегда работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела, т. е. Силы, действующие на тело, могут быть силами упругости, ния, это могут быть также электрические силы, силы трения и т. д. Всегда можно выделить из действующих сил такие, работа ко- которых идет на изменение потенциальной энергии. Для краткости такие силы называются иногда потенциальными, или имеющими потенциал. Уравнение работы перепишется в виде Здесь / — непотенциальные силы. Работа этих сил равна изменению внутренней энергии тела или среды, в которой тело движется. Подставляя вместо работы потенциальных сил приращение по- потенциальной энергии с обратным знаком, можем переписать урав- уравнение в виде Сумму потенциальной и кинетической энергии тела называют пол- полной механической энергией. Обозначая эту величину через $, по- получим: fAs—A$, т. е. изменение полной энергии тела равно работе непотенциальных сил, например сил трения. Если работа, идущая на изменение внутренней энергии тела, мала по сравнению с #, то равенство переходит в утверждение: Д^=0 и rf?=const. Это есть закон сохранения механической энергии, который говорит, что полная механическая энергия тела сохра- сохраняется. Закон сразу же обобщается на систему, состоящую из многих тел или частиц. Для каждого тела можно написать уравнение работы и все эти равенства сложить. Полная энергия будет теперь равняться .сумме кинетических энергий тел и потенциальной энергии взаимо- взаимодействия: Если привлечены к рассмотрению все взаимодействующие тела (такая система тел называется замкнутой), то форма закона оста- остается той же, что и для одного тела. Изменение механической энергии равно работе непотенциальных сил, а если этой работой пренебречь, то полная механическая энергия замкнутой системы тел остается не- неизменной — сохраняется. Закон сохранения механической энергии является, с одной сто- стороны, следствием уравнений механики (закона Ньютона); с другой 46
стороны, его можно рассматривать как частный случай наиболее общего закона природы — закона сохранения энергии (гл. 9). Уже в механике мы сталкиваемся с большим разнообразием различных взаимопревращений энергии, Рассматривая движение тела под действием упругих сил или сил тяготения, нетрудно заме- заметить, что увеличение энергии одной из механических форм сопро- сопровождается уменьшением энергии другой формы. Так, например, силы тяжести, действующие на падающее тело, уменьшают потенциальную энергию и увеличивают кинетическую энергию тела. Обратный переход происходит при подъеме тела на высоту. Силы упругости, заставляющие отскочить от стенки бро- брошенный мяч, уменьшают потенциальную энергию сжатого мяча, ко- которая переходит в кинетическую. Обратный переход происходит в момент остановки стенкой брошенного мяча (период от отсутствия деформации до максимального сжатия). Растянутая пружина может поднять груз на высоту. Напротив, падающий груз растянет пружину. Следовательно, энергия упру- упругости может перейти в энергию тяготения, и наоборот. Приведенные примеры относятся как к случаям перехода одной формы энергии в другую для одного и того же тела, так и к случаям передачи энергии одним телом другому. Разумеется, возможны передачи одним телом другому энергии в той же форме: один груз тянет другой при помощи перекинутой через блок нити, один шар, столкнувшись с другим, передал ему часть своей кинетической энергии, и т. д. §13. Потенциальные кривые. Равновесие Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т. е. всегда является функцией коор- координат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве. В простейших случаях потенциальная энергия мо- может зависеть от одной-единственной координаты. Рассмотрим взаимодействие двух частиц, потенциальная энер- энергия взаимодействия которых определяется функцией U (х), где х— расстояние между частицами. Пусть для определенности частицы отталкиваются с силой F. Под действием силы взаимодействия рас- расстояние между ними увеличится на dx, т. е. будет совершена работа F dx. Это возможно за счет потенциальной энергии взаимодействия U, которая изменится на —dU (уменьшение энергии). Таким образом, — dll=F dx, или „ du т. е. в случае потенциальных сил сила есть производная ет потен- потенциальной энергии по параметру х с обратным знаком. Тогда харак- характер механической задачи очень просто и наглядно описывается прц 47
помощи так называемых потенциальных кривых, т. е. графиков, на которых значения потенциальной энергии отложены в функции параметра (рис. 17). При объяснении существа этого графического метода обычно обращаются к движению тела по горе. Рисунок потенциальной кри- кривой особо нагляден в этом случае, так как профиль горы и вид По- Потенциальной энергии, которая пропорциональна высоте А, совпадают с точностью до по- постоянного множителя. На потенциальной кривой имеются ямы, вершины, кру- крутые и отлогие скаты и подъе- подъемы. Вид кривой позволяет сразу же указать, на каких участках пути совершается большая или меньшая работа, каков знак этой работы. Чем круче потенциальная кривая, тем больше сила, действую- действующая на тело. В соответствии с известным геометрическим смыслом производной сила Запрещенная облаете дли полной энергии ол Рис. 17. характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенци- потенциальной кривой. Справедливость формулы, связывающей потенциальную энер- энергию и силу, вполне очевидна для тех частных случаев потенциаль- потенциальной энергии, которые мы привлекли к рассмотрению. Для потен- потенциальной энергии тела у поверхности Земли и F = —— == —mgr; для тела в поле тяготения в общем случае r dr ' г* для тела, подвергающегося упругому действию, // kx* o dU t I I —— —- IT A* —— __ ^_ —^— i, t» V* для электрического взаимодействия Возвращаясь к потенциальной кривой, изображенной на рисун- рисунке, мы сразу же можем отметить на ней, пользуясь сделанным заме- замечанием, те места, где сила наибольшая, и те точки, где сила, дейст- действующая на тело, равна нулю. Последние точки, т. е. положения рав- равновесия,— это дно потенциальной ямы и вершина потенциальной 48
горы. Те положения, при которых потенциальная энергия макси- максимальна, соответствуют неустойчивому равновесию, а дно потенци- потенциальной ямы является положением устойчивого равновесия. Мы сказали выше, что вид потенциальной кривой позволяет опи- описать возможное движение тела. Это не вполне точно: кроме потен- потенциальной кривой нужно еще знать значение полной механической энергии тела. Если это число известно, то действительно можно по виду потенциальной кривой рассказать о возможных движениях тела или частицы. На рис. 17 проведены горизонтальные прямые с ординатами gt и ^?2- Если $ есть полная энергия частицы, то из графика можно найти уже не только потенциальную энергию, но и кинетическую энергию как разность между ? и /У. Движущаяся точка не может быть в тех положениях, при которых потенциальная энергия больше полной энергии. Таким образом, го- горизонтальная прямая (§ ограничивает возможные участки движения тела. В случае, если энергия выражается нижней прямой 4>и У движущейся точки имеются два возможных интервала положений: она может находиться либо в потенциальной яме (и совершать в ней колебательные движения), либо на склоне правее точки Л, где она будет двигаться вниз или вверх с соответствующим приобретением или потерей кинетической энергии. Проведенные рассуждения вполне одинаковы для потенциальной кривой любой природы. На рис. 18 приводится несколько типов Рис. 18. потенциальных кривых. Кривая 18, а — это потенциальная кривая тела, колеблющегося на пружине. Колеблющееся тело находится в потенциальной яме с симметричными краями. Кривая 18, б — это потенциальная кривая, типичная для многих взаимодействующих частиц — атомов, молекул. Кривая представляет собой потенци- потенциальную яму, один край которой очень крутой, а другой — пологий. По оси абсцисс отложено расстояние между частицами. Как видно из кривой, потенциальная энергия весьма велика на малых рассто- расстояниях, затем с увеличением расстояния потенциальная энергия падает, достигает минимума, затем медленно возрастает, стремясь к 49
некоторому конечному пределу. Характер движения и связи двух взаимодействующих частиц вполне детально описывается этой кри- кривой. Следует различать два случая: первый, когда полная механиче- механическая энергия этой пары частиц выражается нижней горизонтальной прямой^!, и второй, когда полная энергия равна <?2. В первом слу- случае система не может выбраться из потенциальной ямы. Это значит, что расстояние между частицами лежит в пределах, указанных^ на рисунке. Взаимное движение частиц может носить лишь колеба- колебательный характер. Так обстоит дело в устойчивой двухатомной моле- молекуле. Второй случай обратен первому. Полная энергия взаимодей- взаимодействующих частиц слишком велика, чтобы они постоянно были свя- связаны. Система может выйти из потенциальной ямы, т. е. связь между частицами не может существовать, частицы могут разойтись на сколь угодно большое расстояние. Третья потенциальная кривая на рисунке — это так называе- емый потенциальный ящик. Вспоминая, что сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой, мы видим, что потенциальная энергия может быть представлена в виде ящика, если тело или частицы перемещаются свободно без действия сил, но не могут выйти за пределы заданного участка, пока полная энергия меньше высоты бортов ямы. ГЛАВА 3 ИМПУЛЬС § 14. Сохранение импульса Импульсом тела или материальной точки называют произведение массы точки на вектор скорости, p=mv (другой термин для этой величины — количество движения). Импульс р является, таким образом, векторной величиной. Если речь идет о системе тел или системе точек, то импульс такой системы равен геометрической сумме импульсов точек, составляющих систему: Основная особенность, делающая эту векторную величину инте- интересной для физика, заключается в том, что в замкнутой систе- системе вектор Р не изменяется, какие бы движения ни происходили вну- внутри системы. Это положение носит название закона сохранения им- импульса. Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел, входящих в замкнутую систему, справедливо уравнение 50
т. е. Подумаем, что будет, если сложить такие уравнения, записанные для всех тел. В правой части равенств стоят силы, действующие на данное тело со стороны остальных. Скажем, сила, действующая на первое тело, равна сумме сил, действующих на него со стороны второго, третьего и т. д. тел. Пользуясь двойными индексами, это можно записать так: /7i2+'ri3+/7i4+« • • Совершенно аналогично можно записать выражение силы, действующей на второе тело: F21+F22+F23+..., на третье: F31+F32+F33+..., и т. д. Не- Нетрудно сообразить, что при сложении правые части равенств дают нуль. Каждому слагаемому одной строки всегда найдется в другой строке ему равное и противоположное по знаку в соответствии с правилом действия и противодействия. Так, сила F12 даст нуль в сложении с F2U сила Fl3— в сложении с F31, и т. д. Поэтому в замкнутой системе имеет место равенство ~dt*~dF ' "ЗГ "" *# * = ' !</ ИЛИ р1+Р*+Рз+.--*= Const. Это и есть закон сохранения импульса. Величины и направления импульсов отдельных тел могут меняться, но их геометрическая сумма для замкнутой системы не меняется. Значения некоторых импульсов: импульс электрона с энергией 5 эВ~12- 1G-20 г«см/с, винтовочной пули ~ 8» 105 г* см/с = 8кг- м/с, товарного поезда^ 107 кг» м/с. § 15. Центр инерции Известны способы нахождения центра тяжести любого тела. Если тело закреплено в центре тяжести, то оно находится в поло- положении безразличного равновесия. Если имеется система материаль- материальных точек или если сплошное тело условно разбить на элементар- элементарные объемы, рассматривая каждый как материальную точку, то можно дать аналитическое выражение для положения центра тя- тяжести. Используя правило сложения параллельных сил (рис. 19), мы можем найти для случая, когда материальные точки расположены вдоль одной линии, скажем, вдоль оси ху следующее выражение для положения центра тяжести:
Здесь хи х2, #з» • • •— координаты материальных точек, а ти т2, m3f . #.— их массы. Массы появляются вместо весов, так как уско- ускорение силы тяжести сокращается. Рис. 19. В теоретическоймбх нике показывается, что при произвольном расположении материальных точек выражение для положения центра тяжести имеет вид где R — радиус-вектор центра, a rlt r2, г3, ...— радиусы-век- радиусы-векторы точек. То, что ускорение силы тяжести сократилось в этих формулах, позволяет нам считать, что найденная точка имеет объективный смысл и в том случае, когда тело будет перенесено в другие грави- гравитационные условия и даже если будет находиться в условиях не- невесомости в межпланетном пространстве. Поэтому целесообразно распространенное название «центр тяжести» заменить на название, имеющее прямое отношение к существу дела, а именно, говорить не о центре тяжести, а о центре инерции тела. Сейчас же мы увидим глубокий смысл этого названия. Рассмо- Рассмотрим скорость движения центра инерции Пользуясь формулой местонахождения центра инерции, получим В числителе стоит суммарный импульс, который сохраняется в замк- замкнутой системе; значит, в правой части равенства находится постоян- постоянная величина. Отсюда вывод: вектор скорости центра инерции не меняется ни по величине, ни по направлению. Или, иначе говоря, центр инерции замкнутой системы материальных точек совершает инерционное движение.- 52
Как мы знаем, все инерциальные системы координат равноправ- равноправны. Можно поэтому всегда перейти к системе координат, связанной с центром инерции изучаемой системы, и считать эту интересную точку покоящейся. В атомной физике часто рассматриваются со- соударения частиц между собой. Для этой цели используются две системы координат: лабораторная (естественная координатная сис- система наблюдателя) и система, связанная с центром инерции соуда- соударяющихся частиц. Удобство последней системы отсчета очевидно: суммарный импульс частиц равен нулю. §16. Соударения Слово «соударение» надо понимать в несколько более широком смысле, чем это принято в житейской практике. Для механических задач, которые нас серчас интересуют, к соударениям относятся любые встречи двух или более тел, при которых взаимодействие длит- длится короткий срок. Таким образом, кроме явлений, которые можно отнести к соударениям во всех смыслах этого слова, — удара биллиардных ша- шаров, столкновений атомов или атомных ядер,— сюда можно отнести и такие со- события, как прыжок человека с трамвая или на трамвай или попадание пули в стенку. При таких коротких взаимодей- взаимодействиях возникают столь большие силы, что роль всех постоянно действующих сил можно считать ничтожной. Это дает нам право рассматривать соударяющие- соударяющиеся тела как замкнутую систему и при- применять к ним закон сохранения им- импульса. Во многих соударениях длительность взаимодействия измеряется тысячными долями секунды. За это время сила доходит до своего макси- максимального значения, затем падает до нуля. Типичная кривая силы при ударе показана на рис. 20. В каждое мгновение удара соот- соотношение между силой, действующей на любое из тел, и импуль- импульсом этого тела дается вторым законом Ньютона: Рис. 20. Переписывая его в виде Fkt=A(mv)t мы можем сказать, что про- произведение среднего значения силы на время ее действия должно равняться изменению импульса. Более точное утверждение мы полу- получим, проинтегрировав написанное уравнение от начального вре- времени удара до окончания взаимодействия. Очевидно, т \j F dt = (tnvJ—(mv)^ о 53
Интеграл в левой части называют иногда импульсом силы. Гео- Геометрический смысл этой величины на графике — площадь под кри- кривой удара (см. рис. 20). В зависимости от упругих свойств тел соударения могут проте- протекать весьма различно. Принято выделять два крайних случая: идеально упругий и абсолютно неупругий удары. Остановимся сначала на втором из них. Под неупругим ударом понимают такую встречу двух тел, в результате которой эти тела объединяются. К неупругим ударам относятся столкновение глиня- глиняных шаров, прыжок человека на движущуюся вагонетку, столкнове- столкновение двух разноименных ионов с образованием молекулы, захват электрона положительным ионом и т. д. Пусть до встречи тела двигались со скоростями vt и v2; суммар- суммарный импульс равнялся m1v1+m2v2. После встречи тела имеют общую массу, равную тг-\-т2у и движутся с какой-то скоростью К. Им- Импульс системы после встречи равен (тх-{-т2) К. Закон сохранения импульса требует равенства (щ + т2) V = т&г + m2v2, откуда скорость тел после неупругого удара представится формулой Вектор щшульса после встречи тел должен равняться сумме векто- векторов импульса тел до удара. Если встречное движение происходит вдоль одной прямой, то после удара тела будут двигаться в том направлении, куда ранее шло тело с большим импульсом. Если импульсы тел равняются по величине, то m1v1=—m2v2 и, значит, V равно нулю — столкнув- столкнувшиеся тела остановятся. Неупругий удар сопровождается энергетическим превращением. Из только что приведенного примера видно, что кинетическая энер- энергия может даже обратиться в нуль. Нетрудно подсчитать величину, на которую возрастает внутренняя энергия встретившихся тел в том или ином случае; для этого лишь надо составить разность Щ + т2 ,/2 /mxv\ , m2v\ Рассмотрим теперь идеально упругие столкновения, т. е. такие, при которых тела полностью восстанавливают свою форму. Это значит, что в состоянии этих тел не происходят какие-либо измене- изменения, их потенциальная и внутренняя энергия до и после удара неизменна и, следовательно, кинетическая энергия должна сохра- сохраняться. Для двух тел, соударяющихся таким образом, можно сос- составить два уравнения: закон сохранения импульса и закон сохра- сохранения кинетической энергии. Обозначим массы тел через т и М. Всегда мождо выбрать начало координат совпадающим с одним из тел. Это упрощает задачу, нисколько не уменьшая общности ]эас- 54
смотрения. Мы положим поэтому тело с массой М покоящимся до удара. Указанные два закона сохранения дадут тогда такие ра- равенства: mu^mv + MV, ~ mu2 = ^-mv'2 + ~ MV2; здесь и и v — скорости шара т до и после удара, V — скорость шара М после удара. Рассмотрим несколько примеров применения этих уравнений. Прежде всего, изучим нецентральное *) соударение двух шаров равной массы (рис. 21). Тогда массы сокращаются в обоих урав- уравнениях и мы получим Из векторного равенства ясно, что вектор и является замыкающей треугольника, построенного на векторах v и V. Из правого уравне- уравнения следует, что треугольник, в ко- котором и — гипотенуза, должен быть прямоугольным; отсюда следует, что скорости после столкновения двух ча- частиц равной массы должны быть на- направлены под прямым углом друг к другу. Этот интересный вывод легко проследить для биллиардной игры: направления движений шара, который подвергся удару, и «своего» шара образуют угол в 90°. В остальном характер изменения вектора скоро- сти не определяется нашими урав- рИ€ нениями, в которых не учитывается отклонение линии удара от линии, проходящей через центры шаров. Полные сведения о движении шаров после удара мы получим, если ограничим себя случаем центрального удара. Движение столк- столкнувшихся шаров будет тогда и после удара происходить вдоль той же прямой. Поэтому можно не пользоваться векторными символами, помня, однако, что изменение знака скорости будет означать изменение направления движения. В этом случае нам нет зато нуж- нужды рассматривать упрощенный случай равных масс. Уравнения центрального соударения имеют вид Преобразовывая эти уравнения к виду т(и — v) = и деля их друг на друга, найдем: u+v=V или u=—(v—V). Мы замечаем, что относительная скорость движения шара т по *) Удар называется центральным, если движение шаров до удара происхо- происходило по ирямвй, походящей через их центры. 55
отношению к шару М до удара (мы ее обозначили через и) равна с обратным знаком той же относительной скорости после удара. Интересная формула возникает при подстановке V=u+v в формулу закона сохранения импульса. Находим выражение ско- скорости шара т после удара че- через скорость этого же шара до удара: т—М Рис. 22. Если массы шаров равны, то скорость v обращается в нуль. Это явление можно очень эф- эффектно демонстрировать на стальных или костяных ша- шариках. Шары как бы обмениваются скоростями при таком уда- ударе (рис. 22). В остальных случаях шар т замедляется. Чем ближе массы соударяющихся шаров, тем эффектнее замедление. Нетрудно прикинуть, что нейтрон (масса 1) отскочит от ядра атома углерода (масса 12), потеряв 2/lz своей скорости, а от ядра атома урана (масса 235) — потеряв всего лишь 2/23в своей скорости. Для макроскопических тел законы упругого удара неплохо выполняются для таких материалов как слоновая кость, сталь, резина и т. д. Эти мате- материалы обладают способностью превос- превосходно восстанавливать свою форму, что видно из интересной фотографии, приво- приводимой на рис. 23, где при помощи так называемой «лупы времени» снят момент удара хоккейного мяча о препятствие. За Vgooo секунды мяч сжимается почти на один сантиметр, такое же время затрачивается на восстановительную фа- фазу удара. В первой фазе кинетическая энергия удара превращается в потенци- потенциальную энергию упругого сжатия. Во рис. 23. второй фазе потенциальная энергия пере- переходит в кинетическую. При идеально упругом ударе этот обратный переход должен был бы полностью восстановить значение ки- кинетической энергии, затраченной в первой фазе удара. Нашими формулами не охватывается важный случай упругого удара шара о стенку (рис. 24). Так как кинетическая энергия долж- должна сохраняться, то скорость шара не может измениться по величине. Что же касается направления движения шара после удара, то оно должно образовывать тот же угол (90°— а) с нормалью, что и век- вектор скорости до удара. Действительно, в случае удара о гладкую 56
стенку тангенциальная (касательная) составляющая скорости ос- остается неизменной, так как отсутствуют тангенциальные силы сцеп- сцепления со стенкой. Как видно из рисунка, приращение импульса численно равно 2mv sin а и направлено вдоль нормали к стенке. Согласно основному закону механики, в момент удара сила, дей- действующая на шар со стороны стенки, дол- должна быть направлена туда же, куда на- направлен вектор изменения импульса. По- Поэтому-то и угол падения шара равен углу отражения. Рассмотрим неупругий удар на примере балли- баллистического маятника (прибор для измерения скоро- скорости пули). Ящик с песком массой М подвешен на тросе. Пуля влетает в ящик и застревает в песке. Импульс пули до удара ти, импульс системы после удара (M-{-m)v. Имеем т X)— и. т -j-Ai Приобретя кинетическую энергию Мх?1% ящик из- израсходует ее, поднявшись на высоту Л, удовлетво- удовлетворяющую условию т е h —— i — /Л ./ Рис. 24. Пусть М —10 Kiym^lOr, и=900 м/с; тогда h = 4 см. Если бы мы не пользовались законом сохранения импульса, а определили бы Л, основываясь на полном переходе кинетической энергии пули в потенциальную энергию маятника, то получили бы h = 40 м (!). Это означает, что в нашем примере 3920 Дж механической энергии (99,9% общего запаса) «исчезло» (пошло на нагре- нагревание-системы). Так как абсолютно упругих тел не существует, то при каждом «упругом» ударе механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в энер- энергию теплового движения молекул и рассеивается. Мы еще вернемся к этому в гл. 11 (стр. 159). Теперь на примере соударений мы проиллюстрируем достоинства системы координат, связанной с центром инерции. Пусть на шарик с массой т, покоящийся в лабораторной сис- системе координат, налетает другой такой же шарик со скоростью v. Если удар неупругий, то какая-то часть кинетической энергии сис- системы mv2/2 перейдет в тепло. В иных системах координат кинетиче- кинетическая энергия этой пары шариков выразится другими числами. Что же касается выделяемого тепла, то оно будет одним и тем же для данной пары шариков и будет определяться скоростью их относи- относительного движения. Поэтому, вместо того чтобы с помощью закона сохранения импульса искать переходящую в тепло долю кинетиче- кинетической энергии, вычисленной для лабораторной системы координат, достаточно рассчитать кинетическую энергию для системы, связан- связанной с центром инерции. Так как в этой системе координат суммар- суммарный импульс тел равен нулю, то после неупругого соударения шары останавливаются: вся кинетическая энергия переходит в тепло. Кинетическая энергия для системы, связанной с центром инерции, будет иметь минимальное значение. 57
В системе координат, связанной с центром инерции, шары дви- движутся навстречу друг другу со скоростями -jv. Кинетическая энер- энергия каждого шарика равна -^mv2, а полная энергия системы -j mv2. Таково будет количество тепла, выделяемое при неупругом соуда- соударении. Какой бы ни был удар, выделение тепла (или другой формы энергии) за счет кинетической энергии тел может произойти в ко- количестве, не превышающем кинетическую энергию, подсчитанную для системы, связанной с центром инерции. И наоборот, для выде- выделения заданного количества тепла нужно эквивалентное количество кинетической энергии, подсчитанное для системы центра инерции. Пример. Ядерная реакция бомбардировки азота N14 а-частицами проте- протекает согласно уравнению N14 +Не*—^о^ + Н1 и идет с поглощением энергии 1,13 МэВ. Какой кинетической энергией в лабора- лабораторной системе координат должна обладать а-частица, чтобы реакция пошла? На первый взгляд кажется, что для этого достаточно энергии 1,13 МэВ. Номы уж« знаем, что это не так. В системе координат, связанной с центром инерции, нужна энергия 1,13 МэВ, однако в лабораторной системе координат нужна боль- большая энергия. Действительно, скорость центра инерции vc = ¦ * 1 ,—2_L1 где Гп1у1— Им- пульс первой частицы, /п2и2— второй. Скорость первой частицы в системе коорди- координат центра инерции ff'1~Vl—v ——Hh—^— я2)э для второй частицы можно написать fill ~|-/W2 Отсюда кинетическая энергия системы (a, N14) в системе координат центра инер- инерции будет •— так называемая приведенная масса обеих частиц. Будем считать ядра N14 непо- неподвижными (v2—0). Это предположение справедливо, так как всегда можно пре- пренебречь медленным тепловым движением ядер-мишеней по сравнению с огромными скеростями налетающих частиц. Тогда кинетическая энергия в лабораторной системе координат Ks = -^-mvi и, следовательно, Реакция идет, если /Сд„=1,13 МэВ. Учитывая, что m1=4, m2= 14, получим /Сд=1,13~= 1,45 МэВ.
§ 17. Явления отдачи Закон сохранения импульса помогает легко разобраться в ос- основных чертах явления отдачи при выстреле, реактивном движении и при рассмотрении других аналогичных проблем. Рассмотрим, прежде всего, явление отдачи, происходящее в си- системе отсчета, где в начальный момент тела покоились. В случае выстрела из орудия такое рассмотрение вполне естественно. Если в начальный момент система, состоящая из двух >или более тел, покоится, то суммарный импульс ее равен нулю. Какие бы события далее ни произошли, равенство нулю суммарного импульса продол- продолжает иметь место. Если поэтому в какое-то мгновение происходит взрыв, в результате которого система делится на части с массами ти т2, т3, ..., которые разлетаются со скоростями vly v2, 1>з, • • • > то сумма импульсов m1v1+m2v2+fn3v3+... разлетающихся тел должна по-прежнему равняться нулю. Если речь идет о выстреле из орудия (система делится на две части), то условие равенства нулю импульса этой системы из двух тел имеет вид mv+MV=0; здесь малые буквы относятся к одному телу, скажем снаряду, а большие — к другому, к орудию. Разделе- Разделение системы на две части может происходить при разлете частей только вдоль общей прямой линии. Поэтому векторные значки можно отбросить и записать условие в виде mv=—MV. Скорости орудия и снаряда должны быть обратно пропорциональны их массам. Итак, явление отдачи будет ощущаться тем резче, чем больше масса сна- снаряда по отношению к массе орудия. Чрезвычайно большой интерес представляют явления «непрерыв- «непрерывной отдачи», имеющие место в реактивном движении. Подобные явления составляют своеобразную главу механики, которую можно назвать механикой переменной массы. Они" осуществляются не только в реактивном самолете. Напротив, можно указать ряд обы- обыденных явлений, в которых мы имеем дело с подобным движ.ен^ем. В качестве примера достаточно указать рулон разматывающейся бумаги или падение непрерывно конденсирующейся в атмосфере капли (см. пример в конце параграфа). Основания механики пере- переменной массы были заложены в конце XIX в. профессором И. В. Ме- Мещерским. Не имея возможности останавливаться на его работе, мы рассмотрим лишь одну-единственную проблему этой области, каса- касающуюся возможной скорости движения ракеты. Ракета движется со скоростью v и в какое-то мгновение выбра- выбрасывает некоторую порцию горючего газа с массой dM. Масса ракеты естественно уменьшится на эту величину. Если скорость истечения газов обозначить через и (это скорость не по отношению к ракете, а по отношению к той же инерциальной системе отсчета, в которой опи- описывается скорость движения ракеты), то импульс отделившегося от ракеты вещества будет равен и dM. Ракета уменьшит свою массу и увеличит свою скорость на величину dv. Импульс ракеты после выброса горючего будет равен (М—dM) (v'+dv). В соответствии с
законом сохранения импульса мы можем приравнять импульс Mv ракеты до выброса порции горючего и импульс системы после исте- истечения порции газа. Последний будет равен разности импульса ра- ракеты и массы горючего. Итак, Mv = (M—dM)(v + dv) — udM, откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка Но u+v есть относительная скорость истечения горючих газов (по отношению к ракете). Обозначая эту скорость через с, мы при- приходим к следующему уравнению для приращения скорости ракеты: dv = —c-jrr . Знак минус поставлен, чтобы учесть возрастание ско- скорости при убывании массы. Мы видим, что прирост скорости равен доле потерянной массы, умноженной на относительную скорость ис- истечения горючего. Считая скорость истечения газов по отношению к ракете величи- величиной постоянной, мы легко проинтегрируем написанное уравнение. Если масса ракеты была MOf когда скорость ракеты была vOy и стала равной М тогда, когда скорость ракеты изменилась до v, то интегрирование дает v М м т. е. V — Vn — Cln Последняя формула была впервые получена первым создателем конструкции ракеты и исследователем теории межпланетного сооб- сообщения К. Э. Циолковским. Переходя к десятичным логарифмам и вводя для разности масс ракеты, т. е. для массы отброшенного горючего, обозначение т— =М0—- М, получим формулу Циолковского в виде (начальную скорость v0 полагаем равной нулю). Для скорости истечения газов 2000 м/с расчет по формуле дает такие характерные цифры: т/М 0,25 1,0 4,0 10,0 32,3 54 999 v, м/сек 446 1386 3218 4817 7013 8000 13815 Как видно из этой таблицы, скорость ракеты возрастает много медленнее с количеством выброшенного горючего, чем хотелось бы. Для придания ракете значительной скорости необходимо выбро- 60
сить огромное количество горючего по отношению к начальной массе ракеты. Так, для придания скорости 7 км/с от массы ракеты долж- должна остаться меньше чем 1/30 часть. Чтобы ракета вышла за пределы земного тяготения, ей нужно придать скорость, равную примерно 11 км/с. Эта цифра получается следующим простым рассуждением. Для отрыва от Земли ракета должна обладать такой кинетической энергией, которой хватило бы для производства работы перемещения тела с земной поверхно- поверхности в бесконечность. Но эта работа против сил тяжести равна раз- разности потенциальных энергий ракеты на поверхности Земли и в бесконечности. Так как в бесконечности потенциальная энергия равна нулю, то условие отрыва от Земли имеет следующий простой вид: mv2 mM где М и R — масса и радиус Земли. Умножив числитель и знаме- знаменатель правой части равенства на R, вспоминая формулу ускоре- м ния силы тяжести на поверхности Земли ё^у-ж и сокращая на массу ракеты, находим условие отрыва от Земли: v = ]/r2gRf что и дает цифру около 11 км/с. Если считать, что скорость истечения газов2000 м/с*), то мож- можно найти по формуле Циолковского отношение mIM. Оно будет рав- равно 244. Желая оторвать ракету от Земли, мы должны придать ей такую конструкцию, чтобы в межпланетное путешествие отправить всего лишь 1/а45 долю той массы, которой обладала покоящаяся ра- ракета. Если бы эту скорость удалось повысить в три раза, т. е. до- довести до 6 км/с, то отношение т/М упало бы до 5,3. Но это, видимо, пока нереально, судя хотя бы по сообщению прессы в декабре 1968 г. о рейде «Аполлона-8» вокруг Луны: «в земную атмосферу вернется отсек весом 5,3 тонны — все что останется от корабля в 3100 тонн». Меньшие трудности приходится преодолеть при выведении на орбиту спутника Земли. Для создания искусственного спутника требуется меньшая начальная скорость. Если полагать, что уско- ускорение силы тяжести на тех высотах, где мы желаем создать орбиту спутника, примерно то же, что и на земной поверхности, то закон механики, записанный для искусственной планеты, будет иметь вид mg—ma, а так как спутник движется по окружности, то центро- центростремительное ускорение a=v2/R. Отсюда находим значение скоро- скорости обращения спутника v = VgR, т.е. 8 км/с. Если такая скорость будет придана ракете, то она превратится в земного спутника. Из приведенной выше таблицы, рассчитанной для скорости истечения газа в 2000 м/с, мы видим, что значение т/М, нужное для придания ракете скорости 8 км/с, равно 54. *) В нашей литературе указывалось, что жидкостный двигатель способен дать скорость течения до 4500 м/с. 61
Пример движения тела с переменной м а с с о и. Пусть водяная капля падает в насыщенной водяными парами атмосфере. В момент времени / капля имеет массу т и радиус г. За время dt объем капли, а следовательно, и масса (при плотности, равной 1) увеличатся на величину АпгЧг. Следовательно, скорость возрастания массы —==4зхг2 -г?. В то же время из физических соображенийиясно, dm что скорость конденсации —тт- водяного пара должна быть пропорциональной кон- конденсирующей поверхности Dяг2). Отсюда -— — consf и r=kt, где к— некоторый коэффициент пропорциональности. Составим уравнение движения этой капли в поле тяготения Земли. Нас ин- интересует изменение импульса d(mv), которое по основному закону механики равно Fdt, где F=mg. Имеем F= -гг(mv), т. е. mg — m ~Tl-\~v^TT* Подставляя сю- dv 3v T_ да выражения для m и г, получим j7=?—т" # Интегрирование этого урав- уравнения показывает, что а=-?-/, т. е. капля падает с постоянным ускорением -j-g=2,45 м/с2. Сопротивление воздуха в расчет не принималось. ГЛАВА 4 ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 18. Кинетическая энергия вращения В этой главе будут изучаться «абсолютно твердые» тела. Это значит, что всякого рода деформациями, которые могут происходить при движении тела, мы можем пренебречь и полагать, что расстоя- расстояния между частицами тела остаются неиз- неизменными. Рассмотрим твердое тело, вращающееся около неподвижной проходящей через него оси (рис. 25). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с массами Aml9 Am2, ..., находящиеся на расстояниях ги г2, ... от оси вращения. Разным значениям расстояний будут соответствовать и различные скорости движения vl9 v2,... Нас интересует кинетиче- кинетическая энергия вращения всего твердого тела. Она сложится из кинетических энергий частиц Ami, Дт2, . •., т. е. Рис. 25. ^в*>~ Скорость кругового движения той или иной точки тела нетрудно выразить через угловую скорость вращения тела со* Если тело по- поворачивается за время dt на угол d(p, то производная dq>/dt носит 62
название угловой скорости: В случае равномерного движения последняя формула переходит в известное читателю соотношение (о=2я/7\ Величина о> измеряется обычно в радианах в секунду. Если тело совершает 1 оборот в се- секунду, то его угловая скорость равна 2л рад/с. Все точки вращающегося твердого тела имеют различные скоро- скорости v (мы будем называть их линейными), но одинаковую угловую скорость со. При повороте на угол dcp точка проходит дугу ds=r dy. Деля обе части этого равенства на время движения dt, находим со- соотношение между линейной и угловой скоростью: Таким образом, формула, известная ранее для равномерного дви- движения, справедлива в общем случае. При помощи этого соотношения выражение для /Свр может быть преобразовано следующим образом: Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения, а характеризует инерционные свойства тела во вращательном движе- движении: чем больше величина, стоящая в скобках, тем большую энер- энергию надо затратить для достижения заданной скорости. Поэтому величина называется моментом инерции тела, а выражение г2Л/п — моментом инерции точки. Значение / можно записать и короче: при этом интегрирование (суммирование) происходит по всем точ- точкам тела. Формула для кинетической энергии вращающегося тела при- приобретает вид Авр— 2 • Эта формула справедлива для тела, вращающегося около недод- вижной оси. Если речь идет о катящемся теле — шаре, колесе и пр., то энергия движения будет складываться из энергии враще- вращения и энергии поступательного движения. Если катящееся тело име- имеет массу М, момент инерции/, скорость поступательного движения v и вращательного о>, то кинетическая энергия 63
Более того, оказывается, что последняя формула справедлива^ для любого производного движения твердого тела. В теоретической ме- механике доказывается, что произвольное движение всегда можно раз- разложить на совокупность поступательного и вращательного. При этом вращение надо рассматривать по отношению к оси, проходя- проходящей через центр инерции. § 19. Момент инерции Всматриваясь внимательно в формулу для момента инерции, мы видим, что значение / зависит от характера распределения мас- массы по отношению к оси вращения. Точки, лежащие вдали от оси вращения, вносят в сумму значительно больший вклад, чем близ- близкие точки. Вычислим момент инерции плоского диска с радиусом г отно- относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр (рис. 26). Масса элемен- элементарного кольца с радиусом х будет dm=p- 2nxdx, где р — плотность материала диска. Момент инерции этого кольца dli^dm-x2, а момент инерции всего ди- диска о о Очевидно, что относительно такой же оси рис 26. момент инерции кольца, вся масса кото- которого сосредоточена на внешней окружности радиуса г, будет 12=тг2, т. е. 1^21^ Момент инерции одного и того же тела будет различным, смотря по расположению оси вращения. Если тонкая спица вращается около своей длинной оси, то момент инерции будет крайне мал — все точки лежат очень близко к оси вращения, и следовательно, все величины г\, г\, ..., входящие в формулу для /, совершенно незначительны. Момент инерции будет гораздо больше, если спицу вращать около линии, перпендикулярной к ее оси. Момент инерции зависит и от направле- направления оси и от места ее прохождения. Если нет специальной оговорки, то предполагается, что ось вращения проходит через центр инер- инерции тела. Если ось вращения сдвинута по отноше- отношению к центру инерции (рис. 27) на расстояние а, то новый момент инерции / будет отличен от момента инерции /0 относительно па- параллельной оси, проходящей через центр инерции.
Используя замечание, сделанное в конце предыдущего пара- параграфа, мы можем кинетическую энергию тела, вращающегося около сдвинутой оси, представить как сумму ^ _ Mv1 , /о(о2 Л-—-г —; здесь v — скорость движения центра инерции, которая будет рав- равна аю. Таким образом, К = + % = (/ Следовательно, момент инерции / относительно параллельной оси, сдвинутой на а от центра инерции, будет равен Отсюда следует, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда самый малый для данного направле- направления. В зависимости от симметрии тела его характеризуют одним, двумя или тремя моментами инерции по отношению к главным осям, проходящим через центр инерции. Так, для диска характерны две оси, проходящее через его центр: лежащая вдоль диска и перпендикулярная к диску; моменты инер- инерции соответственно равны (разумеется, имеем в виду однородное распределение массы по диску) т/*2/4 и тг'2/2. Для кольца моменты инерции около так же проведенных осей будут тг2/2 и тг'2. Для всех тел вращения достаточно знать моменты инерции от- относительно двух осей. В случае тел произвольной формы для исчер- исчерпывающей характеристики инерционных свойств тела при враще- вращении вполне достаточно знать три момента инерции относительно осей, проходящих через центр инерции, а именно: наибольший момент инерции /макс> наименьший /мин Д момент инерции отно- относительно оси, перпендикулярной к первым Двум (/ср). Единственное тело, у которого моменты инерции около всех 2 осей одинаковы,— это шар. Для шара /=-^-тг2. о Приведенные формулы моментов инерции рассчитаны по формуле Использование этой формулы требует в общем случае умения опе- оперировать кратными интегралами. Примеры таких вычислений будут даны в курсе теоретической механики. Как мы узнаем ниже, физика интересуют иногда значения мо- моментов инерции молекул. Так как масса атомов сосредоточена в яд- ядрах, размеры которых крайне малы, то расчет моментов инерции проводится без труда: атомы можно рассматривать как материаль- материальные точки. 3 А, И. Китайгородский 65
У двухатомной молекулы момент инерции относительно оси, проходящей через атомы, равен нулю. Для оси, перпендикулярной к соединительной линии, имеем / = тА г2л + тв г%, где гА и гв— расстояния атомов А и В двухатомной молекулы до центра инерции. Если / — расстояние между атомами, то rA+rB=l и LA^aiE. # Следовательно, Г В тА Моменты инерции более сложных молекул также могут быть подсчитаны как суммы моментов инерции точечных атомов. Примеры. 1. Маховик судового двигателя с массой порядка 1 т и диамет- диаметром 2 м имеет момент инерции /-—^ 1000 кг*м2. Делая 300 об/мин, маховик обладает кинетической энергией вращения К--=!-~ъ 500G00 Дж ^ 50000 кгс- м. 2. Момент инерции земного шара имеет величину порядка Ш45 г-см2— = 1038кг»м2. Кинетическая энергия вращения Земли вокруг своей оси 2,5-102& Дж, 3. В молекуле водорода Н2 расстояние /=0,753- К)-8 см, масса атома водо- водорода тн — 1,6598-10~24 г, поэтому момент инерции молекулы относительно оси, перпендикулярной к /, будет тиР /-=-4- = 0,4610-40 гсм2. § 20. Работа вращения и основное уравнение вращения Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение силой F или, напротив, вращающееся тело тормозится силой, то при этом кинетическая энергия вращения возрастает или убывает на вели- величину затраченной работы. Так же, rdf как и в случае поступательного движения, эта работа зависит от действующей силы и от произве- произведенного ею перемещения. Однако перемещение теперь угловое и зна- знакомое нам выражение работы для смещения материальной точки на Рис. 28. некоторое расстояние теперь уже неприменимо. Для нахождения интересующей нас формулы обратимся к чер- чертежу (рис. 28). Сила F приложена в точке, находящейся на расстоя- расстоянии г от оси вращения. Угол между направлением силы и радиу- радиусом-вектором обозначен через 0. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы (хотя она и приложена к одной точке) равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на 66
угол d$ точка приложения проходит путь г dcp и работа dA, равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения, будет равна dA =Frsi Выражение Fr sin 6 носит название момента силы, Из чертежа видно, что rsin0=d, где d—кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения. Поэтому момент силы равен произведению силы на плечо. Формула работы, которую мы искали, есть dA = МЛр. Работа вращения тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Строго говоря, формула справедлива для бесконечно малого угла dcp. Однако мы можем ею пользоваться в любом случае, если будем понимать под М среднее значение момента силы за время поворо- поворота. Тогда АЛ = Afcp Дер. Работа вращения идет на увеличение кинетической энергии вра- вращения. Поэтому должно выполняться равенство Если момент инерции постоянен во время движения, то М dcp — /codco dtp или, так как & = -*-. Это есть основное уравнение движения вращающегося тела. Момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции do на угловое ускорение -тг- Примеры. 1. Момент силы, приходящийся на одно колесо локомотива, развивающего тяговое усилие порядка 105 Н, будет порядка я^ 3000 Н-м. Человек, едущий на велосипеде, создает вращающий момент на педали по- порядка 100 Н-м. 2. Покажем на примере связь между выражением для кинетической энергии движущегося твердого тела (см. стр. 63) и основным законом механики. 3* 67.
Пусть катушка с массой т и радиусом г, обладающая моментом инерции / относительно своей оси, обмотана невесомой нитью (рис. 29). Конец нити закреп- закреплен на некоторой высоте над уровнем Земли. Катушка падает под действием своего веса mg. Составим уравнения движения катушки: Tr = T dco Iff1 где Т — натяжение нити, со — угловая скорость вра- вращения катушки. Исключая 7\ получим ускорение dv Если начать отсчет времени в момент ^освобождения катушки, то за t секунд она упадет на к=гР/2а. Очевидно, что полная кинетическая энергия катуш- катушки в этот момент должна равняться изменению по- потенциальной энергии катушки: mg~. Подставляя сюда выражение для а, получим j. mv2 , /со2 §21. Момент импульса Бросается в глаза аналогия между формулами движения мате- материальной точки и выведенными законами вращения твердого тела. Это ясно хотя бы из такого сопоставления: Точка dv v mv2 A = -g-» Вращающееся тело M = I — m ' dt ' Очевиден и физический смысл аналогии: подобно тому как в меха- механике точки ускорения могут быть вычислены по заданной силе, во вращательном движении угловое ускорение вычисляется по задан- заданному моменту силы. Роль массы играет момент инерции, им харак- характеризуется во вращении степень инертности тела (одной массы уже для этого недостаточно). Эта аналогия поощряет нас к тому, чтобы сделать еще один шаг и допустить, что в отношении аналогичных физических величин должны существовать аналогичные закономер- закономерности. В предыдущей главе было установлено, что импульс p=mv является физической величиной, удовлетворяющей закону сохране- 68
ния в замкнутой системе. Величиной, аналогичной р, является момент импульса (вращательный импульс) Можно строго доказать, что вращательный импульс удовлетворяет закону сохранения: в замкнутой системе полный вращательный им- импульс входящих в эту систему тел не изменяется. Увеличение вра- вращательного импульса одного из тел должно быть скомпенсировано равным уменьшением остальных. Закон 1г®1 + Л^г + ^зсоз+ • • • = Const имеет много интересных приложений, во многом аналогичных за- задачам, которые мы изучали в предыдущей главе. Закон сохранения импульса, если его применить к одному телу, имеет форму mt>=const и, таким образом, совпадает с законом инер- инерции. Закон сохранения вращательного импульса приводит нас к интересному результату даже в этом простейшем случае. Одно- единственное тело при отсутствии взаимодействия со средой долж- должно удовлетворять условию /со = const. Но момент инерции тела может изменяться во время движения. Мы видим, что возрастание / должно сопровождаться уменьшением о, и наоборот. Этому можно привести множество примеров и эффектно проил- проиллюстрировать на опытах, если располагать вращающимся табуре- табуретом. Сидя на таком табурете, возьмите в руки гантели (рис. 30). Рис. 30. Раздвиньте руки в стороны и попросите дать вам небольшой вра- вращательный толчок. Движение происходит при некотором моменте инерции / с угловой скоростью со. Теперь сомкните руки перед грудью: момент инерции существенно уменьшится до /'. Так как 69
произведение /со должно остаться неизменным, то /со=/'о/. Зна- Значит, сделанное движение руками должно привести к сущест- существенному возрастанию скорости вращения. Можно теперь опять Рис. 31. развести руки — движение замедлится, сомкнуть руки — движе- движение ускорится. Уменьшение момента инерции как прием, увеличивающий ско- скорость вращения, хорошо знакомо гимнастам и танцорам. Этот прием используется во всякого рода прыжках, пере- переворачиваниях, кружениях. Напомним лишь с помощью рис. 31 балетный прием — увеличе- увеличение скорости вращения за счет изменения позы и уменьшения тем самым момента инерции. При помощи той же вращающейся табу- табуретки и надетого на длинную ось колеса де- демонстрируют обычно отдачу при вращении (рис. 32). Стоя на табуретке и держа колесо над головой, резким движением закрутите колесо; табуретка получит при этом вращение в обратную сторону. Это и есть явление отдачи: вращательный им- импульс /iCOi колеса уравновесится обратным по знаку вращательным импульсом 12<о2 табуретки со стоящим на ней человеком, так как в исход- исходном положении как табуретка, так и колесо не вращались и полный вращательный импульс Рис. 32. был равен нулю. Мы назвали в свое время неупругим ударом такую встречу двух тел, после которой тела движутся вместе. Нечто сходное можно осуществить и при вращении, располагая теми же демонстрацион-
ньши предметами. Приведите колесо во вращение и передайте его человеку, сидящему на табурете. Начальное положение: табурет и человек покоятся, велосипедное колесо вращается с импульсом /i«i. Теперь человек берется рукой за колесо. Вращательный импульс /i(Oi исчезнуть не может, но теперь он принадлежит всей системе — человек, на табурете и колесо вращаются вместе, разу- разумеется, в ту же сторону, куда вращалось колесо. Очевидно, /i<Oi= =(/i+/2) <*>. Если до «объединения» человек вращался со скоростью оJ, то должен сохраниться вращательный импульс /iO)i+/2co2, и, следовательно, что весьма похоже и по форме и по смыслу на выражение для не- неупругого удара. Примеры. 1. Маховик судового двигателя, момент инерции которого 1000 кг-м2, при 300 об/мин имеет вращательный импульс ~30 000 кг- м2/с. 2. Биллиардный шар радиусом 2,5 см имеет момент инерции /=250 г-см2 и движется без скольжения по столу со скоростью 5 м/с. Тогда его вращательный импульс —50 000 г-см2/с=5-10-3 кг-м2/с. 3. Вращательный импульс Земли при вращении вокруг своей оси Р*2/ §22. Свободные оси вращения Допустим, что тело получило импульс вращения около какой- либо закрепленной оси. Представим себе, что закрепление оси сня- снято. Хотя вращательный импульс должен сохраниться (разумеется, если пренебречь трением), но расположение тела в пространстве может все же меняться; если при этом изменится момент инерции, то это будет скомпенсировано соответственным изменением угловой скорости. Однако в ряде случаев характер вращения не изменится; вра- вращение будет устойчиво происходить около первоначального на- направления так, как будто бы ось вращения была по-прежнему за- закреплена. Теория и опыт показывают, что такими устойчивыми свободными осями вращения могут быть две оси, проходящие через центр инерции: ось максимального момента инерции и ось мини- минимального момента инерции. Если закрепленная ось вращения проходила через центр инер- инерции (рис. 33), но была наклонена к осям симметрии, а следова- следовательно, и к названным выше направлениям, то после того, как ось высвободится, тело начнет менять свое расположение по отношению к оси вращения. Из рисунка видно, что причиной изменения рас- расположения является то, что центробежные силы образуют пару сил. Тело будет менять расположение до тех пор, пока осью вра- вращения не станет свободная ось. Можно рядом способов показать, что свободно вращающееся тело будет1 менять ось вращения додех пор, пока вращение не станет 71
происходить около свободной оси. Привязывая за нитку тела раз- различного профиля и прикрепив другой конец нитки к оси быстрого мотора, мы можем передать телу вращательное движение, не за- закрепляя оси вращения. На рис. 34 показаны последовательные Рис. 33. а) положения вращающегося кружка, цепи и спичечной коробки. Спичечная коробка начнет вращаться около оси, параллель- параллельной либо самому короткому, либо самому длинному ребру. Теория показывает, что вращение около оси со средним* моментом инер- инерции не будет устойчивым, даже если эта ось является осью сим- симметрии. При строительстве одной из первых турбин не сумели при скорости в 30 000 об/мин достаточно точно фиксировать положение закрепленной оси, чтобы ликвидировать пары центробежных сил, действующие на подшипники. При столь больших скоростях эти силы недопустимо велики. Из затруднения вышли, ис- используя для оси турбинного диска гибкий вал. Вращение происходило около свободной оси, а гибкий вал приспосабливался к этой оси. Рассмотрим это явление несколько детальнее. Обозначим через а сдвиг центра тяжести колеса турбины, происходящий из-за асимметрии колеса, а через А — величину изгиба вала под действием центробежной силы. Вал~прогнется в сторону асимметрии, поэтому выражение центробежной силы может быть записано в виде 422М(^-|-Д). Эта сила уравновешивается упругой силой &А, где k — жесткость 72
вала. Таким образом, г-1 совпа- Из формулы следует, что при большом числе оборотов п прогиб вала Д не растет, а стремится стать равным величине асимметрии колеса с обратным знаком. Это означает, что при возрастании скорости вращения турбины полное смещение колеса с валом от оси вращения становится равным нулю. В этом и состоит при- приспособляемость гибкого вала: он может изогнуться на нужную для уничтожения центробежной силы величину, не сломавшись. Из приведенной формулы следует, что условие kjAn2n2M = l является крити- критическим. При этом соотношении изгиб вала становится равным бесконечно большой 1 /"ТГ величине. Это — момент резонанса (внешняя частота п=г- у "ЮГ » т- е- дает с собственной частотой колеса турбины, имеющего массу М и насаженного на вал с жесткостью k; см. гл. 5), который должен быть быстро пройден при раз- разгоне турбины, § 23. Гироскопы Под гироскопом или волчком обычно понимают устройство, ко- которое может вращаться около как угодно ориентированной оси. Если волчок закручен и предоставлен сам себе, то он сохраняет свою ось вращения неизменной, пока на него не действуют силы A@ в этом случае не должно меняться). Действие силы на ось вращения волчка проявляется весьма не- неожиданным образом. Это демонстрируется с помощью гироскопа (рис. 35), уравновешенного грузом так, чтобы ось прибора была Рис. 35. горизонтальной. Придадим гироскопу вращение в вертикальной плоскости и* к оси подвесим груз G. Казалось бы, вся правая часть, т. е. гироскоп, должна подняться кверху. Действительно, так было бы, если бы гироскоп не вращался. Вращающийся же гироскоп придет во вращение с постоянной скоростью около вертикальной оси в направлении, показанном пунктиром со стрелкой. Движение происходит под прямым углом к направлению действующей силы. 73
Описанное явление, при котором ось вращения начинает вра- вращаться около направления силы, называется прецессией. Прецес- Прецессионное движение волчка хорошо знакомо каждому. Как только ось волчка хоть немного отклонится от вертикали, на волчок начнет действовать опрокидывающий момент силы тяжести. НеподвиждаэШ волчСж упал бы, но вращающийся волчок начнет прецессировать околб верти- вертикали^ ось волчка будет описывать конус с ©ершиной в точке опоры волчка. Обычно вращение волчка носит еще более сложный характер. На прецессионное движение накладывает- накладывается нутация. Оказывается, что неболь- небольшой толчок (который всегда возмо- возможен) может заставить ось волчка дро- Рис- 36- жать (рис. 36). В результате явления нутации ось описывает не окруж- окружность, а циклоидальную линию, показанную на рисунке. Впро- Впрочем часто нутационные явления заметны очень слабо. ГЛАВА 5 КОЛЕБАНИЯ § 24. Малые отклонения от равновесия Движения, совершаемые телом или частицей около положения равновесия, часто встречаются в природе. Покачивается грузик, подвешенный на нитке, дрожит пружинка, колеблется атом, вхо- входящий в кристаллическую ре- решетку. Если материальное тело или тючка, на которую действуют силы, находится в положении равнове- равновесия, то потенциальная энергия ее минимальна — система находится в потенциальной яме (рис. 37). Если отклонения от положения равновесия невелики, то рассмотре- рассмотрению подлежит маленький участок потенциальной ямы. Ход потен- потенциальных кривых вблизи положе- положения равновесия всегда может быть представлен параболической зависимостью, т. е. в виде U=1fjtx*. Здесь 1/2k — коэффициент пропорциональности; половинка введе- введена для удобства, которое сейчас станет очевидным. 74 Рис. 37.
Обоснование написанной зависимости заключается в следую- следующем. Потенциальная энергия есть функция смещения из положения равновесия. Как известно, при достаточно широких предположениях любую функцию при малых х можно разложить в ряд Тейлора по возрастающим степеням х: U = ax + Y kx1 + bx* -f ex* + ... Однако, если х мало, то члены с высокими степенями можно от- откинуть, а первый член пропадает, если потенциальная яма симмет- симметрична, и значения потенциальной энергии на одинаковых расстоя- расстояниях слева и справа от равновесия должны быть одинаковы. Сила, действующая на отклонившуюся от равновесия точку, будет равна производной от потенциальной энергии с обратным зна- знаком. Поэтому, если энергия выражается формулой U=1/Zkx2f то р=—kx. Смысл знака минус очевиден: найденная сила всегда воз- возвращает тело к положению равновесия, всегда направлена в сто- сторону, противоположную смещению. Силу F=—kx так и называют возвращающей силой, а коэффициент k иногда называют коэффици- коэффициентом возвращающей силы. Какой же характер будет носить движение, возникшее под действием возвращающей силы? На этот вопрос ответ должен дать закон Ньютона, который запишется для движений вблизи равно- равновесия в виде та=—kx. Это уравнение будет удовлетворено, если точка совершает около положения равновесия гармонические колебания, т. е. колебания по закону х= A eos-^- tf где Т — период колебания. Проверим это утверждение. Скорость движения точки для написанной зависимости смещения от времени будет равна __dx __ 2л Л . 2л ' Запомним, что максимальное значение скорости колебательного движения, т. е. амплитуды скорости, равно 1/маКс=2яЛ/7\ Теперь найдем ускорение как производную скорости. Получим 4л2 „ 2л , а== — ~тТ A cos ~т~ Подставляя в закон Ньютона ma=—kx выражения для ускорения и для смещения, имеем 4л2 - 2л , , - 2л . —m -jb A cos "г" — cos T~ ^; мы видим, что содержащие время множители сокращаются. Значит, уравнение гармонического колебания удовлетворяет закону Ньюто- Ньютона для малых отклонений от равновесия. 75
Замечательным является то обстоятельство, что закон Ньютона накладывает связь на период возможных колебаний. Как видно из последней формулы, период свободных колебаний около положения равновесияТ = 2n]/rm/k. Период колебания определяется свойства- свойствами колеблющейся системы — коэффициентом возвращающей силы k и массой точки. Поэтому понятно, -что этот период называют собст- собственным или характеристическим периодом колеблющейся системы. На амплитуду колебаний А условий не наложено, разумеется, за исключением того, что колебания должны быть малыми откло- отклонениями от положения равновесия. § 25. Частные случаи колебаний Соответственно с тем, что мы оперируем в механике с двумя видами потенциальной энергии — упругой и тяготения, и механи- механические колебания тел можно разбить йа эти два случая. Тела, колеблющиеся под действием сил упругости, наиболее часто совершают линейные колебания сжатия и растяжения; рас- распространены и крутильные колебания. Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или про- проволоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные коле- колебания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент k есть в этом случае жесткость колеблющегося тела. В какой мере этот коэффициент определяет возникающий период и частоту колебания, видно из следующего примера. Одинаковые грузы с массой 1 кг под- подвешены к трем пружинам различной жесткости. Под действием этих нагрузок пружины растянуты соответственно на 1 мм, 1 см и 1 м. Тогда коэффициенты жест- жесткости будут соответственно иметь значения: ! = 0,98МО7 дин/см; ?2 = 0,98Ы0б дин/см; ?3 = 0,98Ы04 дин/см. Периоды и частоты колебаний этих маятников будут r2V 2 ^ Т3 = 2 с, v3 = 0,5 Гц. В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происхо- происходит под действием крутильного момента, который при малых откло- отклонениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению. Если, скажем, на проволоке висит массивная шайба с моментом инерции / и проволока закручена на какой-то угол, то уравнение крутильных колебаний шайбы будет выглядеть так: /^- = —Dtp. Роль коэффициента возвращающей силы D здесь играет вращатель- вращательный момент, отнесенный к единице углового смещения, роль массы 76
играет момент инерции. Значит, период свободных крутильных ко- колебаний представится формулой Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний. Пример. Пусть диск с массой 100 г и радиусом 5 см подвешен к стальной нити и совершает крутильные колебания с периодом Ч1 с. Момент инерции диска /1=mr2/2=1250 г-см2. Тогда коэффициент возвращающей силы О=Ы211/Т2= =49400 дин- см/рад. Если к той же нити подвесить диск прежней массы, но ра- радиуса 1 см, то период крутильных колебаний будет уже не 1 с, а Т2 — 2л V^I^fD^ ^0,2с. Тела, колеблющиеся под действием сил тяготения,— это маят- маятники. Если маятник можно примерно представить как материаль- материальную точку, подвешенную к невесомой нити,"то говорят о математическом маятнике (рис. 38). Из рисунка мы легко найдем выражение возвращающей силы rag" sin a — это состав- составляющая веса по направлению касательной к, траектории. Если отклонения от равновесия малы, то синус угла можно заменить на зна- значение угла а и, далее, заменить его на част- частное от деления смещения х на длину нити /. В этом приближении смещения по хорде и дуге совпадают по величине. Таким образом, возвращающая сила равна mgx/l, а ее коэф- коэффициент равен mg/t. В выражении для пери- периода колебаний сокращается масса колеблю- колеблющейся точки T^=2nVllg. Независимость периода колебаний маятни- маятника от массы является примером общей осо- особенности движения материальных точек в поле тяготения. Действительно, сила, дейст- действующая на такую материальную точку по за- закону тяготения, будет пропорциональна мас- массе, поэтому в уравнении движения масса со- сократится. Итак, мы пришли к известному выводу, заключающемуся в том, что в данном месте поля тяготения период колебаний мате- математического маятника будет зависеть только от его длины. Измерения периода колебаний маятника могут быть использо- использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, по- поэтому самые4незначительные колебания величины g могут быть об- обнаружены. На этом основаны методы определения фигуры Земли и гравиметрическая разведка (небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта изменения значений g могут произойти бла- благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород). 77 Рис. 38.
Если речь идет о малых колебаниях физического тела, которое никак нельзя приближенно заменить точкой, то говорят о физиче- физическом маятнике. На рис. 39 показано твердое тело; ось вращения (колебания) проходит через него. Период коле- колебаний физического маятника вычисляется по той же формуле, что и период крутильных коле- колебаний: поскольку уравнение справедливо для любых движений тела, повора- поворачивающегося около оси. Однако в случае поля тяготения мы легко можем выразить враща- вращательный момент, отнесенный к единице углового смещения, через более непосредственные ха- характеристики маятника. Из того же рисунка видно, что вращательный момент равен произведению веса те- тела на расстояние г от центра тяжести до точки подвеса и на синус угла отклонения от положения равновесия mgr sina. Считая, как все время в этом разделе, отклонения от положения равнове- равновесия небольшими, получим для вращательного момента выражение mgr а, откуда D = m&ra, ~ mgr. Таким образом, период колебаний физического маятника дается выражением Рис. 39. Величину I' — I/mr называют приведенной длиной физического маятника. Такую длину имел бы математический маятник с тем же периодом колебания. § 26. Превращения энергии. Затухающие колебания При колебаниях около положения равновесия в случае, если нет трения, полная энергия тела 4> остается, разумеется, неизменной. Так как потенциальная энергия задается обычно с точностью до произвольной постоянной, то потенциальную энергию в положении равновесия {смещение х=0) мы положили равной нулю. В любой момент движения mv2 kx2 В положении равновесия максимальна кинетическая энергия. В крайних положениях тело останавливается (и=0, х=А) и мак- 78
симальна потенциальная энергия. Отсюда, кстати, очевидно, что — энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды. Для трех пружинных маятников, рассмотренных в примере на стр. 76, если их амплитуды колебаний одинаковы и равны А =0,1 см, полные энергии колеба- колебаний будут соответственно иметь значения ^=0,49.10* эрг; эрг; ?3 = 49 эрг. Эти рассуждения не учитывают сил трения, испытываемых, как правило, любым колеблющимся телом. Такие идеальные колебания будут продолжаться вечно с неизменной амцлитудой. Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Формально и в этом случае можно записать уравне- уравнение смещения в виде х= A cosat, однако А будет уменьшаться со време- временем (рис. 40). Чтобы узнать, как А долж- должно зависеть от времени, надо знать силы трения, т. е. нужно знать /т- для каж- каждого мгновения колебаний. Простейшее допущение, более или менее удовлетворительно выполняющееся на опыте, состоит в том, что сила трения пропорциональна скорости движения: а — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Для шарика радиусом 0,53 мм коэффициент сопротивления а при температуре около 15 °С будет в глицерине 13,93 г/с, в серной кислоте 0,35 г/с, в воде 0,01 г/с. Уравнение энергии имеет теперь вид d<§ = —av dx; колеблющаяся точка непрерывно теряет энергию в количестве, равном работе сил сопротивления. Уравнение движения записы- записывается так: та— —kx—av. Нетрудно показать подстановкой, что это уравнение удовлетво- удовлетворяется решением х=А cos со/, если амплитуда колебаний Л умень- уменьшается со временем по экспоненциальному закону: -—* А=Аое ™ ' где Ао— амплитуда в момент времени /—0. 79
Обратим внимание на то, что отношение двух последующих амплитуд будет сохраняться. Действительно, запишем выражения амплитуды через (п—1) периодов и через п периодов: Разделим эти выражения друг на друга. Отношение действительно не зависит от п. Иногда быстроту затухания характе- характеризуют логарифмическим декрементом б: Итак, затухание происходит тем быстрее, чем больше коэффи- коэффициент сопротивления, чем меньше масса и чем больше период ко- колебания. Надо заметить, что период затухающих колебаний отличается от периода свободных колебаний. То же вычисление, которое при- приводит к формуле временной зависимости амплитуды, дает для пе- периода выражение Гт — * о Это значит, что при малом сопротивлении Т мало отличается от T0~2nyr/n/k\ при увеличении сопротивления период колебаний растет и, наконец, при *? _1 Amk ~~ колебания прекращаются. Мы говорим в этом случае, что тело, вы- выведенное из положения равновесия, апериодически возвратится к этому положению. Примерные значения логарифмических декрементов затухания некоторых колеблющихся систем: Акустические колебательные системы . *. 0,1 Электрические колебательные контуры 0,02—0,05 Камертон 10~3 Кварцевая пластинка 10~4—10~5 Рассмотрим некоторые примеры затухающих колебаний. а) Колебания камертона. Логарифмический декремент б=-~— Т— 10~3. Пусть период колебаний камертона Г—0,01 с. Тогда <х/2т=0,1 с"*1. Это значит, что за время 2т/а=10 с амплитуда колебания уменьшится в е раз: At=Aoe 2m ; At.10 = A0e-\ Величину 2т/а=т называют постоянной времени данной колебательной системы. 80
б) В акустических колебательных системах, как это видно из приведенной таблицы, логарифмический декремент затухания велик. Это значит, что колебания быстро затухают. Если 6=^—T = 0t\, то уже амплитуда десятого колебания "А10 будет меньше начальной амплитуды Ао в е раз. Действительно, /\ Л JX -1 Л Q Jx Л ~ i * i- U /\ л —2.—L# т #—1 i.=g2m ^ т< е# __И=:^# в) Изменение периода затухающих колебаний удобно проиллюстрировать на примере затухающих колебаний пружинного маятника. Пусть груз с массой т= =50 г подвешен на стальной пружине, которую он растягивает на 2 см. Тогда жесткость пружины /е=24 500 дин/см. Если бы не было затухания, то Пусть затухание таково, что постоянная времени т1=2т/а=5 с, т. е. коэффициент сопротивления а=20 г/с. Тогда период колебания станет 0 A+4,08» 10-5 Amk Погрузим тот же маятник в жидкость. Пусть теперь постоянная времени т/2=1 с (это значит, что уже амплитуда четвертого колебания примерно в е раз меньше начальной, т. е. затухание достаточно сильное): Т2ъТ0 A + 102- Ю-5) =1,001 Т09 т. е. даже в этом случае период возрос лишь на 0,1%. § 27. Вынужденные колебания Если тело выведено из положения равновесия и затем предо- предоставлено самому себе, то колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения, а определяю- определяющейся лишь свойствами системы. Колебания тронутой струны име- имеют одну и ту же частоту вне зависимости от того, щипком или уда- ударом ее заставили звучать. В то же время имеется ряд способов, при помощи которых телу можно «навязать» колебания с внешней частотой. Такие вынужден- вынужденные колебания можно осуществить, если создать связь между двумя телами, способными колебаться. Одно из них будет вынуждать ко- колебаться другое. Неточно уравновешенный мотор совершает коле- колебания, которые передаются фундаменту; фундамент будет совер- совершать вынужденные колебания. Можно проделать такой опыт: кар- карманные часы кладутся в маленькую коробку, которая подвешивает- подвешивается на трех нитях; коробка приходит в состояние вынужденного колебания. На рис. 41 показано устройство, при помощи которого можно вращением эксцентрика привести маятник в состояние вы- вынужденных колебаний. Во всех этих случаях на тело действует периодическая сила, меняющаяся с некоторой частотой со; такую силу уместно назвать внешней. 81
Вынужденные колебания устанавливаются не сразу. Должно пройти некоторое время, пока связанное с колебательной системой тело само придет в колебание. В конце концов установится какая-то амплитуда, а частота колебания будет точно равна со. Наличие у тела собственной частоты колебания оH все же ска- скажется на явлении вынужденных колебаний. Точнее, как мы сейчас Рис. 41. Рис. 42. увидим, существенно отличие собственной частоты от внешней. На рис. 42 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения со/оз^ для трех систем, отличающихся трением. При совпадении внешней частоты с собственной амплитуда вынужден- вынужденного колебания максимальна. Это явление широко известно под названием резонанса. Кривые, изображенные на рис. 42, могут быть найдены теоре- теоретически. Уравнение движения тела, совершающего вынужденные колебания под действием периодической внешней силы F9 cos tot, имеет вид та = —kx—av-f- Fo cos cot. Нетрудно показать подстановкой, что смещение колеблющейся точки будет удовлетворять уравнению х=Л- где амплитуда а сдвиг фазы 82 удовлетворяет уравнению 06@ т о — со)
Учитывая, что а— d2x dt* ' a v — dx ~ , подставим эти величины в уравнение дон- жения. После простых преобразований, группируя члены, содержащие cos tot и sin to/, получим [(—m@2+^) A cos Р — асо A sin Р — F{)] cos o>/ — ) Л sin Р + сс^ ^ cos p>} sin о>/=0. Так как полученное равенство должно выполняться для любого момента времени, мы должны потребовать, чтобы коэффициенты при cosoo/ и sin©/ равнялись нулю. Таким образом, получаем два уравнения для определения Лир [(—tnaP + k) cos p —aco sin p) A =FQ, [(—maP' + k) sin p + aw cos PJ A = 0. Возводя оба уравнения в квадрат и суммируя, получим где @0= Y~k/m—частота собственных колебаний. Из второго уравнения находим сдвиг фазы Р: 20т Из первой формулы следует, 4Tq амплитуда А зависит от о> сле- следующим образом: при о)<о)о амплитуда растет с увеличением а>г при (о=(оо достигает максимума и да- далее падает. Эффект (острота резо- резонанса) будет тем более резким, чем меньше коэффициент сопротивле- сопротивления а. При малом трении резонанс разрушает систему: при а=0 резо- резонансная амплитуда обращается в бес- бесконечность. Такая возможность дол- должна учитываться строителями. Чтобы обеспечить нечувствительность соору- сооружения к колебаниям грунта, нужно знать резонансную кривую, подобную изображенной на рис. 43. Нижняя кривая показывает колебания грунта, верхняя — здания. При резонансе, который наступает при периоде коле- колебания 0,32 с, амплитуды колебания достигают 20—25 микрон. Это, в об- общем, не малая величина. Острота резонанса сказывается и еще на одном важном обстоятельстве: чем острее резонанс, тем мед- медленнее устанавливаются колебания постоянной амплитуды. Другая особенность вынужденных колебаний — это сдвиг фазы. До сих пор мы молчаливо подразумевали такой выбор начала от- отсчета времени, при котором при /=0 смещение максимально в по- положительном направлении. Разумеется, если изучается какое-то 83 Рис. 43.
одно колебание, то нет нужды делать иной выбор начала отсчета. Однако, если мы сравниваем два колебания и выбираем начало отсчета времени так, чтобы у одного из них при t~Qx=A> то у второго колебания в это же мгновение смещение может иметь произ- произвольное значение. Это обстоятельство можно учесть, вводя в аргу- аргумент косинуса сдвиг фазы р: если х=А cos(coM-p), то это значит, что в момент времени ^=0 x=Acos$. При помощи сдвига фаз Р смещение по фазе описывается вполне однозначно. Вернемся теперь к резонансным явлениям. Величина р в формуле вынужденного колебания означает, что фаза вынужденного колебания, вообще говоря, сдвинута по отно- отношению к фазе вынуждающего колебания. Величина сдвига фаз за- зависит от отношения собственной и внешней частот со/соо, а также от затухания. На приведенном графике (рис. 44) видно, что при Рис. 44. резонансной частоте вне зависимости от затухания имеет место сдвиг фазы 90°. Если несколько отойти от условий резонанса; то влияние затухания станет очевидным. При слабом затухании (ма- (малых значениях логарифмического декремента 8) при частотах, не- несколько меньших резонансной, сдвиг фаз близок к нулю, при не- несколько больших частотах сдвиг фаз близок к 180°. Та же тенден- тенденция, но не так четко выраженная, имеет место и при сильном зату- затухании. При незначительном трении можно говорить о скачке в 18Cf, который терпит сдвиг фаз при переходе частоты через резонансное условие. Чтобы усвоить сущность этих интересных закономерностей, можно проделать простейший опыт (рис. 45). Подвесьте на нитке груз и дайте ему покачаться свободно. Когда период свободных ко- колебаний это'го маятника выявится, остановите маятник и периоди- периодическим движением руки приведите его в состояние вынужденных колебаний. Сначала двигайте руку быстро, так'чтобы период собст- 84
венных колебаний был больше периода вынужденных, а затем мед- медленно, так чтобы период собственных колебаний был меньше периода вынужденных. Вы убедитесь в том, что в первом случае маятник и рука движутся в противофазе, а во втором случае — синфазно. J Рис. 45. Вернемся к рассмотренному на стр. 81 пружинному маятнику, имеющему коэффициент ^затухания а=20 г/с, массу 50 г и период 7=*0,28 с (соо=22,4 с**1). Если на такой маятник будет действовать синусоидальная внешняя сила с часто- частотой со, то амплитуда вынужденных колебаний окажется равной А=4 см уже при амплитуде вынуждающей силы FQ= 1790 дин^ 1,8 гс. Отклонение частоты вынуж- вынуждающей силы от со0 вызовет изменение амплитуды вынужденных колебаний и фа- фазового угла Р между колебаниями маятника и внешней силы. В таблице приведены соответствующие данные, полученные по формулам этого параграфа. Частота внешней силы to, Гц 2 10 15 22,4 30 40 Амплитуда вынужденных колебаний А, см 3,58 3,95 4,48 4,04 2,48 1,31 Фазовый угол В 0°05' 0°35' 0°15' 90° 188°50' 189°10' Видно, что при наличии затухания максимальная амплитуда вынужденных колебаний достигается при частоте вынуждающей силы, несколько меньшей соб- собственной частоты колебаний. Чем меньше затухание., тем незаметнее становится этот сдвиг. 85
§ 28. Автоколебания На рис. 46, а изображена ванна треугольного сечения, укреп- укрепленная на оси, около которой эта ванна может покачиваться. У ван- ванны есть какой-то свой период свободных колебаний, и, откачнув ее от положения равновесия, мы можем наблюдать эти свободные колебания до тех пор, пока тре- трение и сопротивление воздуха не остановят их. Поместим эту ван- ванну под водопроводным краном и пустим равномерный поток воды так, чтобы этот поток падал на стенку ванны подальше от ее центровой линии. Нетрудно со- сообразить, что при этом произой- произойдет. По мере наполнения водой центр тяжести ванны повышает- повышается и, наконец, становится выше оси, около которой эта ванна закреплена. Небольшого давле- давления струи воды теперь достаточ- достаточно для переворота ванны, вода выльется и ванна вернется об- обратно. Далее явление повторится4 <0 Рис. 46. баться. Однако характер этих и будет продолжаться до тех пор, пока в ванну будет -поступать струя воды. Ванна будет коле- колебаний и сущность явления весьма отличны от тех колебаний, которые мы изучали выше. Прежде всего, важно отметить, что внешнее воздействие не но- носит характера колебаний. Внешнее воздействие (давление струи воды) дает постоянную силу. Второе обстоятельство: реальная система, подверженная действию трения или иных сопротивлений, совершает незатухающие колебания. И, наконец, еще одно важное обстоятельство: возникшие колебания не являются гармонически- гармоническими, их уже нельзя представить синусоидой. В примере, которым мы воспользовались, общего с синусоидой будет совсем мало. Проде- Проделав подобный опыт, можно убедиться, что количество воды в ванне в зависимости от времени может быть представлено пилообразной кривой вроде той, что показана на рис. 46, б.. Описанные нами колебания принадлежат к так называемым автоколебаниям. Автоколебания — своеобразное явление, прин- принципиально отличное от свободных • незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колеба- колебаний, происходящих под действием периодической силы. Пример, выбранный выше, может показаться искусственным. Однако автоко- автоколебательные системы имеют значительное распространение, и мы 86
сталкиваемся с ними весьма часто всюду, где имеют место механиче- механические или иные колебания. К автоколебательным системам принадлежат простейшие маят- маятниковые часы (рис. 47). Как известно, такие часы заводятся подъ- подъемом гири, которая висит на цепочке, перекинутой через зубчатое колесо. Это колесо с помощью зубчатого механизма передает вра- вращение ходовому колесу, которое может сцепляться с изогнутым равноплечим рычагом — анкером. С анкером жестко скреплен маят- маятник.* В моменты, когда ходовое колесо касается своими зубьями зубьев ан- анкера, маятник испытывает толчок, при этом ходовое колесо перемещается на один зубец. В остальное время маят- маятник с анкером качается свободно, обес- обеспечивая точность хода часов. Анкер и ходовое колесо сконструированы таким образом, что маятник получает два толчка по ходу движения: один, когда он идет слева направо, а дру- другой — когда идет справа налево. В часах мы находим те же приз- Рис. 47. наки автоколебательной системы, которые имеются в ванне треугольного сечения. Колебания проис- происходят под действием постоянной (а не периодической) силы, коле- колебания незатухающие, несмотря на наличие трения, и не имеют гар- гармонического характера. В приведенных примерах видно общее свойство автоколебаний, называемое обратной связью. Маятник совершает незатухающие колебания, заставляя механизм подталкивать себя в подходящие моменты. Механизм толкает маятник, а маятник оказывает обрат- обратное действие на механизм. Если маятник неподвижен, то прекра- прекращаются и толчки. Колебаниями маятника управляет сам маятник. Так же точно качаниями треугольной ванны управляет она сама. Поступающая вода регулирует качание ванны, а само уст- устройство ванны регулирует поступление воды. Струна, тронутая пальцами и отпущенная, находится в состоя- состоянии свободных колебаний. Иначе обстоит дело со струной, по ко- которой музыкант ведет смычком; она совершает автоколебания пи- пилообразного типа. Смычок увлекает струну, ведет ее за собой; когда смещение струны достигает некоторого предела, струна отрывается от смычка и возвращается в исходное положение. Смычок снова увлекает струну и процесс повторяется. За секунду, пока музыкант ведет смычок, явление периодически повторяется сотни раз. Это — типичные автоколебания, так как они вызываются постоянно дейст- действующей силой. Сама струна своей упругостью управляет колеба- колебаниями. Скрипящие звуки плохо смазанных дверных петель — явления такого же происхождения. 87
Мы говорим во всех случаях об обратной связи, если прибор или машина вносит автоматически коррективы в свое поведение при из- изменении условий работы. Принцип обратной связи является одной из основных идей, используемых современной автоматикой. § 29. Сложение колебаний одного направления В ряде случаев может возникнуть задача анализа движения тела, участвующего одновременно в двух колебательных процессах. Колеблющийся маятник может находиться на колеблющейся плат- платформе или качающемся корабле. Если речь идет о колебаниях одного направления, то такое сло- сложение можно осуществить с помощью модели, показанной на рис. 48. Изображены два маятника, колеблющихся в парал- параллельных плоскостях. На них свободно положена лег- легкая палка, к середине ко- которой прикреплено запи- записывающее перо. Можно считать приближенно, что при любых движениях ма- маятников перо будет ходить в плоскости, мало отлич- отличной от плоскостей' колеба- Рис 48. ния обоих маятников, и что смещение пера в данное мгновение будет равно алгебраической сумме смещений маятников. Можно использовать и другое устройство: шарик колеблется на пружине, подвешенной к доске. Сама доска скреплена пружиной со стойкой, так что шарик участвует одновременно в двух ко- колебаниях одного направления. Если хг есть смещение в первом из колебаний при отсутствии второго, а х2— смещение при втором колебании в отсутствии пер- первого, то при одновременно происходящих колебательных процессах в каждое мгновение ^ В самом общем случае складывающиеся колебания могут разли- различаться амплитудами, частотами и иметь сдвиг по фазе. Рассмотрим сначала случай, когда колебания одинаковы по амплитуде и частоте, но сдвинуты по фазе. Тогда (ео=2я/Г) хх = A cos co^, x2= A cos (tot + ф) ^- cos 88
о « 22
Это значит, что суммарное колебание будет также гармоническим с амплитудой Отсюда следует: амплитуды колебаний арифметически складывают- складываются, если колебания совпадают по фазе; амплитуды колебаний вы- вычитаются, если колебания противоположны по фазе (ф=180°). В промежуточных случаях амплитуда примет значение между нулем и 2Л. В частности, при ф = 120° амплитуда суммарного ко- колебания равна Л. Рис. 49 иллюстрирует сказанное. Другой важный случай — это сложение колебаний разных час- частот. Для простоты положим ф~0 и амплитуды равными. Тогда x1 = Acoswlt и х2 = A cos co2/, х = 2 A cos / cos 1. В общем случае при сложении таких колебаний возникает какое-то колебательное движение, при этом не удастся подметить строгой периодичности в изменении смещения х. Однако два частных случая заслуживают особого внимания. Прежде всего, рассмотрим два колебания с близкими частотами (Oj и оJ. Тогда о)!—со^сох+сог и смещение х является произведе- произведением двух косинусов: один меняется со временем быстро, а дру- другой — очень медленно. Поэтому можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду коле- колебаний, происходящих со средней частотой соср=((о1+оJ)/2. Такие Рис. 50. Рис. 51. колебания, называемые биениями, изображены на рис. 50. Здесь отчетливо видны два периода: период основного колебания и период биений. 90
Второй важный случай — это сложение двух колебаний, час- частоты которых находятся в отношении целых чисел. Совершенно ясно, что результирующее колебание будет периодическим. Если, скажем, период одного колебания 3 с, а другого 7 с, то через 21 с суммарное колебание будет повторяться. Это показано на рис. 51. § 30. Спектр колебания Мы уже говорили о колебаниях, в точности повторяющихся через определенные интервалы времени, но не являющихся гармо- гармоническими. Например, шла речь о пилообразных колебаниях. Если быть достаточно придирчивыми, то окажется, что гармониче- гармонических колебаний, т. е. таких, которые изображаются синусоидой, встречается в природе и технике много меньше, чем негармони- негармонических. В конце предыдущего параграфа мы отметили, что сумма двух синусоид хоть и не дает синусоиды, но образует периодическое ко- колебание, если только частоты относятся как целые числа. Разу- Разумеется, это верно и для любого числа гармонических колебаний, а не только для двух. Сумма колебаний с периодами Т и 1/2Т даст колебание с перио- периодом Т\ с таким же периодом будет происходить колебание, склады- складывающееся из трех колебаний с периодами Т, 1/2Т, x/sTt из четырех — с добавлением колебания с периодом 114Т, из пяти — с добавлением колебания с периодом г1ьТ, и т. д. Переходя к частотам, можно это выразить так: сумма любого числа колебаний с частотами, кратными со,, т. е. с частотами со, 2о>, Зсо, ..., есть колебание с частотой со. Теперь перед нами встает такой естественный вопрос. Склады- Складывая произвольно большое число колебаний с частотами, кратными со, беря разные колебания то с теми, то с иными амплитудами, не удастся ли нам всегда подобрать такую сумму, которая передаст своеобразие любого колебания, даже пилообразного? Положитель- Положительный ответ на этот вопрос был дан французским ученым Фурье. Тео- Теорема, которая носит его имя, доказывает, что всегда можно подо- подобрать такие значения аь а2, а3, ... и <р2, ср2, ср3, ..., чтобы предста- представить любое периодическое колебание с частотой о> в виде суммы гармонических колебаний: х = аг cos (at + фх) + а2 cos BЫ + ф2) + а3 cos (Зю* +-Фз) + • • • Частота со называется основной частотой, частоты 2со, Зо), ...— это обертоны, или гармоники (говорят: вторая гармоника, третья гармоника и т. д.). Чем ближе график колебания к синусоиде, тем меньше амплитуды гармоник. Напротив, если график колебания мало похож на синусоиду, то амплитуды нескольких гармоник будут не сильно отличаться от амплитуды основной частоты. Представление колебания в виде суммы гармонических колеба- колебаний называется разложением колебания в спектр, а спектром 9i
называются данные о частотах и амплитудах гармонических колеба- колебаний, из которых составляется колебание с частотой со. Данные о спектре колебания можно записать в виде таблички. Если частот много, то часто прибегают к графическому изображению спектра (рис. 52). Идею спектра оказывается возможным распространить и на не периодические процессы. Можно говорить о спектре упругих коле- колебаний, созданных ударом кулака по столу, имеет смысл понятие- спектра выстрела или выкрика. Т Т -г Т Т т Т ctfj ^«J -fti} 6cty 8cOf 10u)t 1%a)j Рис. 52. Чтобы это стало ясным, рассмотрим сначала процесс, состоя- состоящий из периодических затухающих толчков. Это не выкрик или выстрел, а серия выкриков или выстрелов, повторяющихся через равные промежутки времени. Элементом такого процесса является быстро затухающее колебание, и вся кривая имеет вид, показанный на рис. 53, а. Спектр такого колебания можно установить сущест- существующими средствам»: он будет иметь вид, показанный на соседнем рисунке. Мы видим, что (как этого и следовало ожидать) спектр состоит из множества частот, кратных основной. Обратите внима- внимание, что спектр имеет максимум: наиболее сильно в спектре пред- представлена восьмая гармоника. Это не случайно: если мы вернемся к картине колебания, то увидим, что в каж^.?«этдельном толчке затухающий импульс колеблется с «частотой», в 8 раз большей частоты основного тона (рис. 53, а). На рис. 53, б показана картина таких же толчков, но они про- происходят с частотой в два раза меньшей, чем ранее. Сравните спектр этого колебания с предыдущим. Так как основная частота теперь в два раза меньше, то «частота» затухающего элементарного про- процесса (она осталась той же) будет теперь 16-й гармоникой основного тона. Распределение амплитуд гармоник останется прежним, но только число их в том же интервале частот станет в два раза большим. Нетрудно теперь понять, что спектр непериодического про- процесса — одного толчка — будет сплошным. Отдельных частот в нем 92
не будет, но характер спектра в том же интервале частот будет весь- весьма похож на то, что рассмотрено ранее (рис. 53, в). 300 400 600 800 Математическое доказательство приведенных рассуждений со- содержится в теорп'т ' ик называемых интегралов Фурье. § 31. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Чтобы проследить за закономерностями сложного колебания, являющегося суммой двух взаимно перпендикулярных колебаний, проще всего воспользоваться электронным осциллографом. Об этом приборе будет еще речь впереди (стр. 418). Сейчас достаточно ска- сказать, что осциллограф позволяет осуществить колебания электрон- электронного луча в двух взаимно перпендикулярных направлениях. След электронного луча на светящемся экране описывает траекторию, возникающую как результат участия светящегося пятнышка в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях. 93
Пусть колебание следа луча в вертикальном направлении про- происходит по закону y=bcos(со/+ б), а в горизонтальном направле- направлении — в соответствии с формулой x=acosayt. Чтобы выяснить ха- характер результирующей траектории, надо из этих двух уравнений исключить время и найти уравнение f(x, у)=0. Записывая выраже- выражения смещений в виде i = cos со/, у = cos (со/ + S) = cos со/ • cos б — sin со/ • sin 6 и заменяя во втором уравнении cos со/ на х/а и sin со/ на ]/" 1 —(х/аJ, получим после элементарных преобразований уравнение эллипса, повернутого по отношению к осям координат: ?_ + |L_f^Cos6=sini6. пы и пи Начнем теперь менять параметры колебаний и проследим за по- поведением эллипса. Если изменять разность фаз, то эллипс будет менять свою форму и одновременно поворачиваться (рис. 54). При у -0' \ J \ Рис. 54. разности фаз, равной 90°, оси эллипса будут совпадать с осями ко- координат. При изменении разности фаз в меньшую или большую сто- сторону эллипс начнет поворачиваться налево или направо и одновре- одновременно сужаться. Когда разность фаз обратится в нуль, то эллипс выродится в прямую линию. Сказанное нужно проверить, под- подставляя в написанное выше уравнение эллипса значения 6=0, 90, 180°. Если амплитуды колебаний вдоль вертикали и горизонтали рав- равны, то при разностях фаз в 90 и 270° траектория становится окруж- окружностью. Между этими двумя разностями фаз есть различие, хотя они и дают тождественные траектории. В одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, а в другом — против. Чтобы это увидеть, надо вернуться к исходным уравнениям. Они запишутся так: для 90° л; = я cos о/, у= fe cos (со/+ 90°); для 270° х = a cos со/, y = b cos (со/ + 270°). Первая пара уравнений указывает, что при возрастании времени от ?=0 точка с координатами х=а, у=0 начинает двигаться в сто- сторону отрицательных г/, т. е. по часовой стрелке. Обратное движение указывается второй парой уравнений. 94
При демонстрации с помощью осциллографа можно обратить внимание на то, что эллипсы не стоят на месте, а медленно переме- перемещаются так, как будто бы происходило непрерывное изменение сдвига фаз. Если мы посмотрим внимательно, то будет видно, что эллипс не поворачивается, а кривая, вычерчиваемая световым пят- пятном, как бы непрерывно переходит из одного эллипса в другой. Подобное явление имеет место тогда, когда частоты колебаний слег- слегка различаются. Действительно, ведь различие частот вполне экви- эквивалентно случаю непрерывно меняющейся разности фаз. Скажем, частота вертикального колебания со2 на Асо больше частоты гори- горизонтального колебаний сох, тогда где в скобках стоит переменная разность фаз. Если частоты существенно отличаются друг от друга, то луч не успевает пройти значительную часть одного эллипса, как уже Рис. 55. фаза его становится иной. В результате описываемые кривые все меньше и меньше напоминают эллипсы. Примеры этих причудли вых кривых, называемых фигурами Лиссажу, показаны на рис. 55, Изображены кривые для отношения частот 3 : 4 и 1 : 2. ГЛАВА 6 БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ § 32. Распространение деформации Каждое тело обладает в той или иной степени упругостью» т. е. способностью восстанавливать свою форму, искаженную в ре- результате кратковременного действия силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие переда- передается телом с конечной скоростью. Если бы существовал абсолютно твердый, неспособный деформироваться стержень, то он мог бы двигаться только как целое, действие силы распространялось бы по 95
такому телу мгновенно. Абсолютно пластическое тело, деформиру- деформирующееся без малейшего восстановления формы, было бы неспособно к какой бы то ни было передаче механического действия. В упругом теле деформация передается последовательно от од- одной точки тела к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар молотком, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространится с определенной скоростью с вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. То же самое справедливо для любой деформации. Пробегающие по телу при разных механических действиях деформации обычно демон- демонстрируют при помощи пружин (рис. 56) Рис. 56. Упругостью сжатия и растяжения обладают как твердые тела, так и жидкие и газообразные. Поэтому в любых телах возможна передача этих деформаций. Что же касается деформаций сдвига, кручения, изгиба, то такие деформации могут передаваться только твердыми телами, обладающими соответствующей упругостью. При деформации сжатия и растяжения движения частиц происходят>в том же направлении, в котором передается механическое действие. В подобных случаях мы говорим о продольном распространении де- деформации. При сдвиге, изгибе, кручении направление движения ча- частиц может образовать, вообще говоря, произвольный угол с на- направлением, по которому передается энергия. Всегда возможно выделить направление, в котором передается механическое действие, а затем разложить смещение частицы тела по трем взаимно перпендикулярным осям, одна из которых лежит вдоль линии распространения, а две других — в перпендикулярной плоскости. Поэтому в наиболее сложном случае можно рассматри- рассматривать распространяющуюся деформацию как совокупность трех дви- движений: двух поперечных и одного продольного. Скорость распространения упругой деформации зависит от ме- механических свойств тела; ее, как показывает теоретическая физика, можно связать с другими физическими константами тела. Так, для продольных волн скорость распространения выражается простой формулой: I/ г- • Здесь р — плотность тела, ах — сжимаемость. Большая плотность тела приводит к увеличению инертности частиц тела и, следова- 96
тельно, уменьшает скорость распространения упругих волн. Малые сжимаемости говорят о том, что даже малым деформациям соответ- соответствуют большие упругие силы. Это обстоятельство приводит к уве- увеличению скорости распространения деформации. В таком виде этой формулой пользуются обычно для жидкостей. Так, например, вода при изменении давления на 1 атм сжимается на 5-10 своего объема. Значит, сжимаемость, равная (см. стр. 138) по определениюх = — д~-~ > есть 10~6 см2/дин-5-10. Плотность воды 1 г/см3. Отсюда для скорости распространения деформации в воде получим с2 = 2-1010"см2/с2, с = 1400 м/с. Для газов формулу скорости целесообразно преобразовать. Так как процесс передачи уплотнения в газе весьма быстр, то сжатия и разрежения газа можно считать адиабатическими, т. е. происхо- происходящими без теплообмена. Ниже (стр. 150) будет получено уравнение адиабатического процесса, из которого легко вывести связь коэф- коэффициента сжимаемости с давлением газа: х=1/ур, где -у~1>4 *). Тогда с =]/7Р/Р- Для идеального газа плотность p=(i/u (\i — масса моля газа, a v — его объем) будет пропорциональна дроби p\i/T (так как pv/T=const)9 т. еГ скорость распространения деформации в газе ЗДесь а — коэффициент, значение которого легко вычисляется при помощи уравнений, рассматриваемых позднее (стр. 149). Таким образом, скорость распространения деформации в газе, в том числе и скорость распространения звуковых волн, о которых речь пойдет дальше, пропорциональна корню квадратному из тем- температуры и не зависит от давления газа* Интересна зависимость от молекулярного веса: скорость распространения деформации *) Уравнение адиабатического процесса pt>T=const. Если р и v — равновес- равновесные значения давления и объема для некоюрой массы газа, р+Ар и v—Аи — со- соответствующие значения в момент деформации, то (р + Ар) (v — Av)i = pitf. Отсюда ,,Лр Л Av\-i_. „До , 7G-0 fAv\* Отбрасывая члены высшего порядка в разложении бинома, получим Ар = — у о —, v Отсюда Х~ТР * 4 А. И. Китайгородский
в водороде равна 1263 м/с, в то время как в воздухе мы имеем хорошо знакомое число 331 м/с. Для продольных волн, распространяющихся в твердом.теле, за- заменяют обычно коэффициент сжимаемости на модуль упругости. Так как по определению модуль упругости то очевидно, что при отсутствии поперечных движений %=\1Е, поскольку линейное относительное сжатие будет равно объемному. Формула скорости запишется в виде с = I/ — Насколько хорошо она выполняется, можно судить по следующим примерным числам: Стекло Сталь Дерево Вода A3 °С) Модуль Юнга Е, Н/м2 7,65-101° 2,16.10» 7,05.101° х = 4,75.10-10Х - Хм2/Н Плотность р, г/см3 2,4 8 0,7 1 с вычисл., м/с 5700 5200 4130 1450 с из опы- опыта, м/с 5990 5000 4200 1440 Проверку этой формулы надо проводить, изучая скорость распро- распространения звука в тонких стержнях. Дело в том, что более глубокое рассмотрение вопроса показывает, что формула c^l^E/p должна быть справедлива только для таких тел. Для тел иной формы, а также для распространения звука в сплошной среде теория приводит к другим выражениям, которые мы приводить не будем. Следует также заметить, что таблица приведенных величин мо- может служить лишь для ориентировки. Скорости звука в разных сор- сортах стекол, разных сортах дерева, стали и т. д. могут существенно различаться. § 33. Возникновение волнового движения Многочисленными способами можно подвести к отдельной точке тела или среды непрекращающиеся колебания. Периодически дей- действующая в какой-либо точке тела сила создаст периодически меняющуюся деформацию, которая будет передаваться от точки к точке тела с определенной скоростью. В колебательное движение придут все точки тела. При этом из-за конечности скорости распрост- распространения деформации точки тела будут приходить в колебание одна за другой. Если тело безгранично, то такое колебание будет все вре- время продвигаться вперед, образуя бегущую волну. 98
Хотя безграничных тел и не существует, но длина большого тела не скажется на характере явления* по той причине, что коле- колебания не дойдут до его конца из-за неизбежных потерь энергии. Рассмотрим волну, бегущую в практически неограниченном теле вдоль какого-нибудь направления. Пусть точка, находящаяся в начале отсчета, колеблется согласно уравнению у=A cos Ы. Запишем уравнение колебания точки, распо- расположенной вдоль линии распространения деформации на расстоянии х от начальной. Мы не можем записать его в том же виде, так как эта точка пришла в колебание с запозданием на время %=х/с, нужное для распространения деформации на расстояние х. Поэтому коле- колебание точки х должно быть сдвинуто по фазе по отношению к на- начальной точке. Точка х будет находиться в момент времени t в той же фазе колебания, в какой находилась начальная точка в мо- момент времени, на х/с более ранний. Следовательно, уравнение коле- колебания точки, сдвинутой на расстояние х от начала координат, имеет вид где сох/с — сдвиг фазы. Написанное уравнение называют уравнением волны, оно охва- охватывает колебания всех точек, расположенных на любых расстояниях по отношению к начальной. Положим, что источник волны далек от наблюдателя и фронт волны давно ушел вперед. Мы рассматриваем участок линии вдоль оси х, охваченный волновым движением. На первый взгляд может показаться, что введение нового термина не оправдано. Все точки <Шижение tfonuu- Рис. 57. участка будут колебаться, это ясно. Но увидим ли мы движение волны, сможем ли сказать, двигается она вправо или влево? Вни- Внимательное рассмотрение показывает, что специфичность волнового движения легко обнаружить. Если волна движется слева направо, то правая соседняя точка будет запаздывать по фазе по сравнению с левой. В обратном случае она будет опережать ее. Волны, бегущие влево и вправо, показаны на рис. 57. Каждая синусоида — это мгновенный снимок волны. В каждое следующее мгновение эта синусоида, как жесткое целое, перемещается в том направлении, куда передается энергия. 4* 99
Отсюда понятно, как отражается направление волны на виде уравнения волны. Если волна движется вдоль оси координат, то значение координаты х будет входить со знаком минус. При дви- движении волны против направления отсчета координаты в аргументе косинуса надо изменить знак на обратный: у= Л cos со (^— — \ с вдоль оси против оси Запишем уравнение мгновенного снимка волны для какого-либо времени, равного кратному числу периодов: у = A cos со — = Л cos 2л -ф • v с сТ Знак минус можно отбросить, так как косинус— четная функция. Из вида уравнения сразу же следует, что период этой синусоиды равен К=сТ. Этот пространственный период, т. е. расстояние, через которое по- повторяется волнообразное распределение, носит название длины вол- волны. Мы получили известное соотношение, связывающее скорость движения волны с длиной волны и периодом колебания точки. При волновой передаче деформации через тело по закону синуса меняется ряд физических величин: смещение точки от положения равновесия, скорость колеблющихся частиц, давление и плотность. Поэтому выражение волны, которым мы оперируем, является весьма общим. Под величиной у можно понимать любую из перечисленных физических величин, изменяющихся по закону синуса при движении ролны вдоль направления х. Правда, следует отметить, что волны давления, скорости, смещения не обязаны быть в одной фазе. На- Например, ясно, что волна скоростей колеблющихся частиц будет сдвинута по фазе на,90° по отношению к волне смещений. Ведь ско- скорость точки максимальна, когда она проходит положение равно- равновесия. § 34. Волны давления и скорости колебания Представляет интерес соотношение между амплитудами волн раз- различных физических величин. Остановимся на этом вопросе лишь для случая продольных волн, распространяющихся в газе. Нас могут за- заинтересовать волны смещения, скоростей частиц, избыточного дав- давления. Так как теория возникла для волн, воспринимаемых слухом, то избыточное давление Ар часто называют звуковым давлением и, отбрасывая значок А, обозначают через р. Если амплитуда волны смещения Л, то амплитуда волны скоро- скоростей соЛ. По фазе эти две волны сдвинуты на 90°. Выясним теперь связь между амплитудой скорости колебания и амплитудой давления. Сопоставив общее определение х с его 100
выражением для газов (стр. 97), получим для звукового давления формулу v , где Р — давление газа, или, используя соотношение с2=^уР/р, Вполне естественно, что имеется прямая связь между избыточным давлением р и относительным сжатием в том же месте газа. Но величину относительного сжатия объема Av/v можно связать с амплитудой смещения колеблющихся частиц. Отметим вдоль линии распространения две точки: xt и х%. В продольной волне изменение плотности происходит лишь благодаря смещениям в направлении распространения. Выделим мысленно в тазе объем, ограниченный сечениями хх и х2. Когда идет волна, молекулы, находящиеся внутри этого объема, сместятся.Следить нам нужно только за граничными се- сечениями. Если молекулы слояХ сместятся на ух = A cos со (t —~ а молекулы слоя х2— на у2 = A cos со (t —~ }, то линейный размер объема изменится от значения х2—хх в отсутствие волны на величину у2—ух. Относительное изменение длины, а Значит, и объема будет У2~Ух. Переходя к пределу, чтобы получить величину, характер- Х<2 ~~~ Хх ную для точки пространства, получим Av dy со А . (, х .— = -?= A sin со [t v dx с \ с а для давления X р = — ср Аы sin со (t Этим доказано, что давление изменяется в фазе со скоростью ко- колебания частиц в волне. А<д=и0 есть амплитуда скорости колебания. Таким образом, амплитуда давления р0 выражается через амплитуду скорости следующим образом: В акустике и измеряют обычно в см/с, а давление — в дин/см2. Для воздуха при комнатной температуре для этих единиц /?0=41 щ. Величина рс называется акустическим, или волновым, сопротивле- сопротивлением. Смысл названия, очевидно, такой: чем больше сопротивление, тем меньше скорость колебания частиц при тех же величинах избы- избыточного давления. 101
Подсчитаем акустические сопротивления некоторых материалов: р, г/см3 с, см/с рс, г/(см2с) Сгекло Сталь . Дерево . Вода . 2,6 7,9 0,7 1 5,5-105 5-Ю5 4,2-106 1,44.10* 14-105 40-Ю6 2,9.10й 1,4.10*- § 35. Поток энергии Волновое движение переносит энергию из одного места простран- пространства в другое. Однако следует помнить, что все точки среды, уча- участвующие в передаче энергии, все время колеблются около положе- положения неизменного равновесия. Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому единица объема обладает колебательной энергией, равной где р — плотность, т. е. масса единицы объема, а ?>макс — амплитуд- амплитудное значение скорости колебания. Используя для последней вели- величины знакомое нам выражение где А — амплитуда смещения, а со — частота, можно записать плотность колебательной энергии тела в виде Эта энергия распространяется со скоростью с. Мы вправе поста- поставить перед собой следующий вопрос: чему равна интенсивность волны, т. е. количество энергии, проходящее в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную к направлению распро- распространения волны? Вместо того чтобы говорить об интенсивности волны, довольно часто говорят о потоке колебательной энергии, по- понимая под этим энергию, проходящую в единицу времени (мощность) через данную площадь. Рассуждение ничем не отличается от такового для случая воды, текущей по трубе. Через единицу времени волна проходит путь с и приносит энергию в объем цилиндра с длиной с и площадью, равной единице. Так как на единицу объема приходит- приходится энергия w, то на этот объем придется энергия we. Это и есть зна- значение интенсивности волны: I = wc. 102
Мы видим, что интенсивность волны имеет смысл потока энергии, проходящего через единицу площади. Это было впервые указано Н. А. Умовым, разработавшим теорию движения энергии в телах. До сих пор предполагалось, что волновое движение распростра- распространяется вдоль прямой линии. Подобное рассмотрение имеет цену для изучения деформации, бегущей вдоль стержней, струн, воздушных столбов и пр. Однако нас интересуют и такие случаи, когда волновым движением захвачена область трехмерного пространства. Для описания трехмерной волны нужно знать, как движется ее фронт. Чтобы отыскать фронт волны, надо суметь для данного мгно- мгновения отметить все точки пространства, находящиеся в одинаковых фазах колебания. Отмечая последовательное положение этой поверх- поверхности равных фаз, т. е. фронта волны, мы получим ясное представ- представление о характере волнового движения. Рис. 58. Поверхность волны, вообще говоря, может иметь любую форму. Какой же смысл тогда получит направление распространения волны? За это направление естественно принять нормаль к фронту волны. Если среда вполне однородна и волна излучается в какой-либо точке среды, то фронт ее будет сферическим. Такая волна распро- распространяется по радиусам от центра. На больших расстояниях от центра излучения уже значительные участки фронта волны будут с точностью опыта казаться плоскими. Так возникает представление о плоской волне, распространяющейся в направлении нормали к фронту. Если излучатель волны имеет вид линии, то возникнет цилиндрическая врлна, распространяющаяся по радиусам цилинд- цилиндра. Разные типы волн показаны на рис. 58. Если оставить без внимания всякого рода потери энергии, проис- происходящие при движении плоской волны, то можно утверждать необ- необходимость равенства количества энергии, проходящей через по- последовательные положения поверхностей равной фазы. Поэтому интенсивность плоской волны не будет меняться в процессе ее рас- распространения. Однако иначе обстоит дело для сферических и цилин- цилиндрических волн. Так как поверхности равной фазы увеличиваются по своей площади пропорционально квадрату расстояния и первой 103
степени расстояния соответственно для сферических и цилиндри- цилиндрических волн, то интенсивности этих волн должны меняться обратно пропорционально квадрату расстояния для сферической волны и первой степени расстояния для цилиндрической волны. Только в этом случае будет соблюден закон сохранения энергии. Интенсивность волны пропорциональна плотности колебательной энергии, которая пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Отсюда следует: амплитуда сферической волны обратно пропорцио- пропорциональна первой степени расстояния от излучающего центра, а ампли- амплитуда цилиндрической волны обратно пропорциональна корню квад- ратному из расстояния от излучающей линии: у= — cos со It ] А ( г \ для сферической волны, y = —^=rcos(d It—у )для цилиндрической волны. Здесь расстояние г, так же как и ранее х, откладывается вдоль направления распространения волны. Пусть под водой помещен источник колебаний с частотой 1 кГц, создающий поток энергии /=1 Вт/см2. Оценим амплитуду смещения А молекул воды, их уско- ускорение В и амплитуду колебательной скорости соЛ=мо. Из формул предыдущих параграфов следует, что Л = ~ 1/ ~107см> В = (о 1/ — 107 см/с2, со Г рс У рс ио = 1/—10* см/с, г рс Для воды с=1450 м/с; р=1 г/см3 и А & 1,9-10-3 см, р = 740 м/с2, и0 я^ 12 см/с. Если такой же поток энергии при прежней частоте колебаний создается в воз- воздухе, для которого с=330 м/с, р=1,293-10~3, то Л = 0,04 см, В = 14.105 см/с2 = 14 000 м/с3, щ = 220 см/с. § 36. Затухание упругих волн Реальные волны, распространяющиеся в среде (твердой, жидкой или газообразной), уменьшают свою интенсивность значительно быстрее, чем по закону обратных квадратов. Сказываются потери механической энергии, превращение ее в тепло. Закон падения интенсивности какого-либо излучения при про- прохождении через среду почти всегда (для любой среды и любого излу- излучения) может быть получен из следующего рассуждения. Если волна прошла слой толщины dxf то потерянная интенсивность должна быть во всяком случае пропорциональна падающей интенсивности и толщине слоя, т. е. dl=—\\Idx. Это уравнение можно проинтегрировать; полагая интенсивность равной /0 в точке х=0 и равной / в точке х, получим закон, 104
справедливый для конечных расстояний: № /о Таким образом, интенсивность волны падает по экспоненциальному закону. В акустике принято говорить о затухании амплитуды колебания. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то затухание амплитуды колебания будет выражаться тем же законом, только коэффициент затухания (или поглощения) будет в два раза меньшим: Укажем на смысл коэффициента поглощения ц,(или уМ'). Изме- Измеренный в обратных сантиметрах (в показателе должна стоять без- безразмерная величина), он дает величину, обратную толщине, на протяжении которой интенсивность или амплитуда излучения ос- ослабляются в е раз. , Формулировка закона экспоненциального затухания, разумеет- разумеется, лишь частично решает проблему поглощения упругой волны средой. Более важными являются поиски зависимости коэффициента поглощения от свойств среды и от частоты излучения. Для многих веществ найдено, что затухание упругой'волны (ос- (основные данные относятся к звуковым волнам в воздухе) возрастает с частотой колебания. А именно* коэффициент поглощения Для воздуха а=4-10~13 с2/см. Таким образом, на протяжении 1 км плоская волна частоты 100 Гц ослабляется в ~ 1,015, а очень высокий звук частоты 20 000 Гц — в 10274 раз! Ультразвуковые колебания затухают столь быстро, что их передача на расстояния, , большие нескольких сотен метров, совершенно нереальна. Однако монотонный ход поглощения с частотой может нарушать- нарушаться. Некоторые вещества обладают избирательным поглощением звука в относительно узкой области частот. Так, например, поглощение ультразвука углекислым газом имеет пик при частотах около 277 кГц. Если провести плавную параболу в соответствии с форму- формулой jbi=aco2 для коэффициента поглощения, то она будет хорошо сов- совпадать с экспериментальными данными во всех областях, кроме ука- указанной. При частотах же около 277 кГц, поглощение будет примерно в 20 раз больше, чем это следует из параболического закона. Что касается зависимости коэффициента поглощения от свойств среды, то здесь для продольных волн в газах и жидкостях имеет место следующая закономерность. Коэффициент поглощения обрат- обратно пропорционален кубу скорости упругой волны и прямо пропор- пропорционален кинематической вязкости. Столь резкая зависимость от скорости распространения, а также значительная величина 105
кинематической вязкости воздуха приводят к тому, что поглощение звуковых и ультразвуковых волн в жидкости примерно в 1000 раз меньше, чем в воздухе; это значит, что при той же самой частоте упругие волны будут распространяться в воде на расстояния в ты- тысячу раз большие, чем в воздухе. Поглощение поперечных волн в твердых телах также сильно за- зависит от свойств тела; так, поглощение в резине, пробке и стекле соответственно в 13 000, 8500 и 130 раз больше, чем в алюминии. Мы не останавливаемся на теориях поглощения упругих волн в телах ввиду их сложности. § 37. Интерференция волн Если имеется не один, а несколько источников волн, то каждая точка среды примет одновременно участие в нескольких волновых движениях. Оказывается всегда возможным рассматривать колеба- колебание физической величины, происходящее благодаря действию не- нескольких волн, как сумму колебаний, каждое из которых имело бы место, если бы действовала одна волна. Положим, что из двух точек, расположенных на некотором рас- расстоянии друг от друга, исходят шаровые волны. При помощи урав- уравнения волны можно найти значение амплитуды колебания в любой момент времени для любой соседней точки. Если интересующее нас место находится на расстоянии гг от первого и г2 от второго источ- источника волн, то колебания в нем представятся формулой у= Acos2n(vt — ^f ) + А соэ2я ( vt — —¦ Результатом сложения двух колебаний, отличающихся только фаза- фазами, является, как нам известно, также гармоническое колебание, совершающееся с амплитудой 2A cos F/2), зависящей от разности фаз складывающихся колебаний. Разность фаз б равна в этом случае 2я Итак, вообще говоря, все точки рассматриваемого нами волно- волнового поля будут находиться в колебании. Но амплитуды этих коле- колебаний в разных точках будут разными. Обращают на себя внимание два крайних случая. Во-первых, найдутся такие точки, в которых складывающиеся колебания уничтожат друг друга. Эти точки будут удовлетворять условию где k=0y 1, 2, 3, ...,— разность фаз равняется нечетному числу я. Напротив, если А 106
разность фаз равна четному числу я, то амплитуды колебания будут складываться арифметически, т. е. в максимальной степени усили- усиливать друг друга. Разность гг— г2 называют разностью хода волн; термин не нуж- нуждается в пояснениях. Условия максимумов и минимумов амплитуды можно с помощью этого понятия сформулировать несколько иначе. Условие максимума говорит, что разность хода между волнами, пришедшими в данную точку, должна равняться целому числу длин волн. Условие мини- минимума говорит, что разность хода должна равняться нечетному числу полу- полуволн. Эти условия имеют весьма наглядный смысл: волны усиливают друг друга, если накладывается горб к горбу, и уничтожаются, если накладывается горб на впадину. Наложение волн, при котором происходит сложение их ампли- амплитуд, называется интерференцией. Как известно из аналитической геометрии, кривые линии, удовле- удовлетворяющие условию постоянства разности расстояний от точки Рис. 59. кривой до двух фокусов, суть гиперболы. Если провести плоское сечение через точечные источники и отметить на рисунке места мак- максимального усиления и места уничтожения волн, то они попадут на гиперболы. Соответствующие кривые показаны на рис. 59. Можно без труда наблюдать такую картину на воде, если заставить интер- интерферировать два источника, посылающих водяные'круги из соседних точек. Таким же точно способом может быть рассмотрена интерферен- интерференция любого числа источников волн. 107
§ 38. Принцип Гюйгенса — Френеля. Отражение и преломление волн Бросается в глаза полная равноправность всех колеблющихся точек волнового поля. Они различаются только фазами. С этой точки зрения возникает естественная мысль: мы имеем право рассматривать любую точку волнового поля как самостоятельный источник сфери- сферических волн. Справедливость этой идеи, высказанной впервые в 1690 г. Хри- Христианом Гюйгенсом, можно проверить, делая попытки построения фронта волны по данным о волновом поле на некоторой граничной поверхности. При этом необходимо учитывать, что отдельные (так называемые элементарные) сферические еолны будут друг с другом интерферировать. В указании возможности такой процедуры и сос- состоит принцип Гюйгенса, дополненный Френелем. В чем же значимость этого принципа? Представим себе, что вол- волна падает на непрозрачный экран с несколькими отверстиями. № принципа Гюйгенса — Френеля следует возможность поисков вол- волнового поля за экраном без всякого знания об источниках полей. Достаточно знать интенсивность поля в плоскости экрана, принять, что из каждой точки экрана распространяется сферическая волна. Амплитуда волны в любом месте пространства найдется сложением (интерференцией) всех элементарных волн, выходящих из отверстий в экране. Откладывая рассмотрение вопросов, связанных с прохож- прохождением волн через экраны (эти проблемы представляют наибольший интерес для световых волн), мы остановимся на применении принци- ца Гюйгенса — Френеля для объяснения явлений отражения и преломления волн. Рис. 60. Рассмотрим участок плоской волны, падающей на границу раз- раздела двух сред. Как известно, волна любого происхождения отра- отражается под углом, равным углу падения. Но почему должно так произойти? На это отвечает принцип Гюйгенса. Все точки границы сред можно рассматривать как источники элементарных волн. Пер- Первая элементарная волна отправится от той точки, куда раньше всего 108
придет падающая волна. Далее поочередно будут возбуждаться дру- другие точки границы раздела и, наконец, последней придет в колеба- колебание та- точка, которой падающая волна достигает позже всего. На рис. 60 изображены положения элементарных волн для того момента времени, когда падающая волна достигла последней точки. Рис. 61. Рис. 62. Элементарные волны создали фронт, образующий с границей раз- раздела тот же угол, что и падающая волна. Действительно, скорости распространения падающей волны и отраженных волн одинаковы, значит, радиус наибольшей сферы должен равняться пути, пройден- пройденному падающей волной за время от момента возбуждения первой до момента возбуждения последней точки. Таким же точно образом без труда строится фронт отраженной сферической волны. Это построение произведено на рис. 61. На рис. 62 приведена фотография отражения стенкой звуковой волны. 109
Рассмотрим теперь элементарные волны, идущие от границы раз- раздела во вторую среду и образующие фронт преломленной волны (рис. 63). Различные среды отличаются плотностями (и упругими свойствами), а значит, и скоростями распространения волн. В более плотной среде скорость волны меньше. Проделаем такое же построе- построение, что и для отражения, т. е. изобразим на рисунке фронт элемен- элементарных волн для того момента времени, когда падающая волна Рис. 63. достигла последней точки. Фронт повернулся из-за различия в скоро- скоростях распространения. Если волна попадает в более плотную среду, то радиус наибольшей элементарной волны должен быть меньше пути, пройденного падающей волной от момента возбуждения первой точки до момента возбуждения последней точки границы. При этом отношение этих длин должно как раз равняться отношению скоро- скоростей распространения волн. С другой сторрны, к&квздно из рис. 63, отношение указанных расстояний равно отношению синусов углов падения и преломления. Таким образом мы и приходим к известному правилу преломления волн: sin a sin В сх Направление распространения приближается к нормали к границе раздела, если волна переходит из менее плотной среды в более плот- плотную, и обратно — при переходе в менее плотную среду волна откло- отклоняется от нормали. Отношение cjcz—n носит название коэффици- коэффициента преломления. § 39. Коэффициент отражения Объяснение геометрии отражения и преломления может пока- показаться малоинтересным приложением теории. Однако волновая теория позволяет сделать гораздо большее, а именно, выяснить вопрос о долях отраженных и преломленных волн в зависимости ПО
от свойств сред, границу между которыми мы рассматриваем. Мы ограничимся лишь простейшим случаем нормального падения продольной волны на границу двух сред. Этим будут облегчены вы- вычисления. Характер же доказательства одинаков для всех мы- мыслимых случаев. Следующее положение является исходным для рассуждений этого типа. На границе двух сред ни скорость колебания частиц и, ни избыточное давление р не могут меняться скачком. Интуитивно ясно, что иначе и быть не может. Строгим рассмотрением можно по- показать, что это положение следует из основных законов физики. С одной стороны границы имеются волны с мгновенными значе- значениями ипац, аотр, с другой стороны границы имеется волна с мгно- мгновенным значением скорости ипг Непрерывность скоростей дает усло- условие: ипад+аотр=ипр; непрерывность давлений: ипал 9iC!+u0TV р1с1 = = unvp2c2. Однако, всматриваясь в написанные два уравнения., мы видим, что они несовместны, так как piCr?=p2c<i. В чем же дело? 'Мы забыли, что мгновенные значения скоростей и давлений — векторные величины и даже в простейшем случае, когда векторы смещений лежат в одной плоскости, амплитуды могут различаться знаком. Всматриваясь в написанные уравнения, мы видим, что они становятся совместными лишь в том случае, если принять проти- противоположными знаки амплитуд отраженных волн скорости колеба- колебания и давления и записать уравнения непрерывности в виде + «отр = Unv Кад~«отр) РА = ^п ИЛИ "лад"«отр = "лр> ("лад + "охр) РА = "npP2<V Предоставляем читателю убедиться в том, что все другие расстановки знаков оставят уравнения несовместными. Так как амплитуды — положительные величины, то сумма долж- должна быть больше разности. Поэтому первая пара уравнений справед- справедлива, если Pid>p2?2, а вторая пара имеет место для обратного слу- случая. Первая пара уравнений возникает тогда, когда все амплитудные векторы скорости колебания смотрят в одну сторону, а фаза отра- отраженной волны давления отличается на 180°, т. е. отраженная волна имеет амплитудный вектор, смотрящую в противоположную сторону по отношению к падающей и преломленной волнам. Вторая пара соответствует обратному случаю. Волна скоростей Падающая —у Отраженная —у Преломленная —у Волна давлений Падающая ¦—у Отраженная <— Преломленная —>- Pl^i < Р2С2 Волна скоростей Падающая —у Отраженная ¦<— Преломленная —у Волна давлений Падающая —у Отраженная —у Преломленная—у ш
Интересное явление поворота амплитудного вектора при отраже- отражении носит название потери полволны или скачка фазы на 180°. Дейст- Действительно, изменение знака в уравнении волны у — A cos со (t —~ ) » V с J где у — любая физическая величина, может быть получено внесе- внесением в аргумент косинуса сдвига фаз на 180°. С другой стороны, сдвиг на 180° равносилен перемещению волнового распределения на полволны. Итак, на границе двух сред падающая и отраженная волна либо максимально усиливают друг друга, либо максимально ослабляют. Запомним, что для волны скоростей колебания потере полволны при отражении происходит при падении в среду с большим сопро- сопротивлением (иногда неточно говорят: в среду с большей плотностью). Волна смещения неразрывно связана с волной скорости колебания и терпит вместе с ней потерю полволны. Прошедшая во вторую среду волна не терпит скачка фазы. Из написанных уравнений найдем, совместно решая их, значение коэффициента отражения /у т. е. иоту/и пад: (г всегда >0); также найдем коэффициент преломления g, т. е. Для воздуха и твердых тел волновые сопротивления разнятся очень сильно. Для воздуха, как мы указывали, рс=41, а для стали (р=7,9 г/см3, с—5000 м/с) рс=40-105, откуда г=0,99999. Это зна- значит, что звук, падающий из воздуха на сталь, практически отража- отражается полностью и почти не проникает в среду. Легко подсчитать, что для границы воздух.— вода г=0,9997. § 40. Явление Доплера До сих пор молчаливо предполагалось, что источник волны я приемник ее (т. е. наблюдатель) оба покоятся по отношению к среде, в которой распространяется волна. Своеобразные эффекты, на кото- которые впервые указал Доплер A842 г.), наблюдаются в том случае, когда источник или наблюдатель или, тем более, оба вместе дви- движутся по отношению к среде. Они заключаются, прежде всего, в том, что при движении источника волн наблюдатель измерит ча- частоту колебаний v', при движении наблюдателя он измерит частоту колебаний v". Эти частоты отличны друг от друга и от той частоты v, которая измеряется при неподвижных наблюдателе и источнике. При рассмотрении эффекта Доплера надо, прежде всего, обра- обратить внимание на то обстоятельство, что волна, вышедшая от ис- источника, распространяется совершенно независимо от движения 112
источника и наблюдателя. Поэтому при движении относительно среды источник или наблюдатель могут надвигаться или, напротив, убегать от движущейся волны. Почему же подобные движения могут привести к измерениям частоты, отличным от ее «истинного» значения? Дело в том, что на- наблюдатель определяет частоту колебаний как число волн, которое приходит в его прибор за единицу времени, в то время как по фор- формуле v=c/X это число есть число длин волн, укладывающееся на пути, пройденном в единицу времени. Если наблюдатель движется к источнику со скоростью иу то за 1 с он зарегистрирует подход не v волн, а большего их числа, и притом во столько раз больше, во сколько относительная скорость волны и наблюдателя с+и боль- больше и. Таким образом, v' с-\~и , (л . и Х v ==V И V с V С ' V с Если источник движется к приемнику, то наблюдатель опять-таки зафиксирует большее число волн, чем в случае, когда источник и приемник неподвижны. Однако причина увеличения здесь иная. На первый взгляд это не очевидно. Но дело в том, что движение источника при неизменной частоте колебаний приводит к изменению расстояний между синфазными точками волны. Если первый случай можно грубо интерпретировать как движение наблюдателя на- навстречу колонне спортсменов, бегущих с одинаковой скоростью и постоянными интервалами X между собой, то ясно, что во втором случае схема рассуждения должна быть другой. Теперь можно го- говорить о медленном смещении линии старта (бегуны через равные промежутки времени прыгают с перемещающегося вдоль трассы автомобиля), что приведет к изменению расстояний между ними. Вместо Я' они станут Я". Если линия старта (источник) смещается по направлению к наблюдателю и за 1 с выпускается v спортсменов, то за 1 с они распределятся на участке с — и. Таким образом, ин- интервал между спортсменами (длина волны) Х"=(с—u)lv. Частота, с которой спортсмены, движущиеся со скоростью с, пересекают линию финиша (частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем), Я" 9 1 — и/с Обе полученные формулы одинаково годятся и тогда, когда источник и наблюдатель удаляются друг от друга; в этих случаях надо заме- заменить знак скорости и на обратный. Итак, показано, что при сближении источника и наблюдателя измеряемая частота колебаний, излучаемых источником, возрастает. При удалении частота падает. Хорошо известный пример эффекта Доплера для звуковых волн дает наблюдение звука гудка приближающегося и удаляющегося поезда. При приближении поезда мы слышим звук с частотой выше 113
истинной. Высота тона меняется скачком, когда поезд проносится мимо наблюдателя. Поезд удаляется, теперь слышимый звук имеет частоту ниже истинной. Если поезд идет со скоростью 70 км/ч, то величина скачка составит ~12% от истинной частоты. ГЛАВА 7 СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ § 41. Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны Положим, что две плоские волны, вполне одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Нас интересует воз- возникающее колебательное движение среды, в которой распростра- распространяются волны. Как упоминалось выше, различие в направлении распределения учитывается различием в знаках координаты в уравнении волны. Следовательно, результирующая картина смещения должна переда- передаваться выражением у = A cos со (t — - ) + A cos со (t + —) = = 2A cos — cos (Dt = 2A cos ^ cos ю/. С А Результат вычисления весьма интересен. Сумма двух бегущих волн не дала волнового движения. Полученная формула указывает на наличие колебаний с амплитудой 2A cos -у-, разной в разных местах пространства. Своеобразное колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух оди- одинаковых бегущих водн, носит название стоячей волны. Еще раз подчеркнем, что стоячая волна не есть волна. Бегущая волна пере- переносит энергию, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет; бегущая волна может двигаться вправо или влево, у стоячей волны нет направления распространения. Это название характеризует колебательное состояние среды. В чем же особенности этого колебательного состояния? Прежде всего, мы видим, что колеблются не все точки среды. В местах про- X ЗА, 5А, странства, удовлетворяющих условию х = -^, -j-, -j-, ..., ампли- амплитуда колебания равна нулю. Соответствующие.места носят название узлов стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами вдоль оси х, по которой были пущены бегущие волны, равно по- половине длины волны. Между двумя узлами лежат точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой, равной 2А. Эти точки назы- называются пучностями стоячей волны. 114
t'i На рис. 64 представлено колебательное состояние, соответствую- соответствующее стоячей волне для нескольких последующих моментов времени. Мы видим, что название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Если делать мгновен- мгновенные фотографии одну за другой, то точки пересечения волной оси абсцисс — узлы — будут оставаться на одном и том же месте. Волна стоит. Изменения в мгновенных снимках будут состоять в изме- у t-0 нении величины смещений. На- -< ступит такой момент, когда все точки среды будут неподвижны- неподвижными. По прохождении этого мгно- мгновения точки, отклонявшиеся кверху, будут идти вниз, и на- наоборот. Разумеется, нарисован- нарисованная картина не имеет ничего общего с бегущей волной, где два «мгновенных снимка» выгля- выглядят так, как на ранее приведен- приведенном рис. 57. Там волна движется, максимумы и минимумы волны в каждое следующее мгновение переходят в новые места. Мы сказали, что в стоячей волне передачи энергии нет. Как описать тогда в терминах энер- энергии процессы, происходящие в этом своеобразном колебательном движении? Очевидно, что энер- энергия стоячей волны (какой-либо области, в которой она сущест- существует) есть величина посто- Г\ Л\ v/ и т.д. Рис. 64. янная. В тот момент, когда все точки проходят положение равновесия, вся энергия точек, захваченных колебанием, является кинетической. Напротив, в положении мак- максимального отклонения точек от положения равновесия энергия всех точек тела является потенциальной. Стоячая волна — важнейший колебательный процесс: разного вида стоячие волны 'возникают в телах ограниченных размеров, по которым распространяются упругие волны. Дело заключается в том, что упругие волны отражаются от границы тела со средой и отправ- отправляются в среду обратно. В ограниченном теле возникает сложное ко- колебательное состояние, являющееся результатом наложения на исходную волну всех других волн, которые отразились от сте- стенок и вернулись в среду. Ряд типичных случаев будет сейчас рассмотрен. 1J5
§ 42. Собственные колебания стержней Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отра- отразится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состо- состояние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковре- кратковременному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы полу- получим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны. Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных сво- свободных колебаний в стержне с длиной L. Стержень, закрепленный в обоих концах. В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то воз- возможные длины волн связаны с длиной стержня условием L= /z у, 2L т. е. Хп — —, где п — любое целое число. Используя для скорости упругой волны выражение c = YЕ/р и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество соб- собственных (характеристических) частот колебания. Соответственное этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром *), составленным из частот vn. Частота vx является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием L—X/2. Это зна- значит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условие L=X. Теперь в центре стержня имеется узел. Если возбуждена третья гар- гармоника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д. Пример. Для железного стержня (р=7700 кг/м3, ?=20,6-1010 Н/м2) дли- длиной 7 м основная частота у±~365 Гц. *) Слово «спектр» в физике употребляется весьма часто, когда имеют дело с набором частиц, обладающих разными скоростями, массами и т. д., набором волн, обладающих разными длинами (частотами), и т. п. 116
Стержень, открытый с обоих концов. Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то возникшая стоячая волна должна удовлетворять условию: на обоих концах стержня су- существует пучность. Так же как и в предыдущем случае, между дли- длиной стержня и длинами волн возникает связь: L= n -~ . Следова- Следовательно, формула собственных частот будет той же самой. Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей. В основном колебании центр стержня покоится (узел). Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности. Стержень, закрепленный в одном конце. В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую од- одной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно V4, то<:вязь между длинами волн и длиной стерж- стержня дается условием L = п -j , где п = 1, 3, 5, ... Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся фор- формулой Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот дается отношением нечет- нечетных чисел. Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах — пучности. Задача ничем не отличается от рас- рассмотренной. Граничные условия, которые использовались при рассмотрении колебательного состояния стержней, являются предельным случаем граничных условий отражения волн, изложенных на стр. 111., Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с лотерей полволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопро- сопротивлением. Равенство коэффициента отражения единице - и отсут- отсутствие потери полволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе. Продольные собственные колебания могут быть также возбуж- возбуждены в столбах жидкости и столбах газа. 117
Поперечные собственные колебания легко возбудить в зажатой и натянутой струне. Распределение узлов и пучностей будет, разу- разумеется, таким же, как и для закрепленного с обоих концов стержня. Набор частот выразится формулой, аналогичной приведенной для стержня, с тем лишь различием, что в выражении скорости попереч- поперечной волны в струне надо заменить Е на натяжение струны, т. е. на частное от деления силы, натягивающей струну, на поперечное се- сечение струны. § 43. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем В стержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения пло- плоских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колеба- колебательным движением захвачена двумерная область (пластинка, мем- мембрана) или тело, все три размера которого имеют одинаковый по- порядок величины. С двумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колеба- колебания упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возник- возникнут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в дру- другом — укрепить ее в одной точке или даже не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натя- натянутых нежестких пленок — резиновых, мыльных и пр. Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности за- задачи узлы и пучности должны характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям (к узловой окружности) с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной (самой низкой) частоты. Мембрана может быть возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров, проходящих через центр. Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смыч- смычком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пуч- пучностей и собирается на узловых линиях. На рис. 65 показано не- несколько примеров фигур Хладни. Естественно, наиболее сложным является колебательное состоя- состояние сплошного трехмерного тела. Отказываясь от рассмотрения яв- явления в теле сложной формы, мы ограничим себя изучением собст- 118
венных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы в таком теле существовали только стоячие волны, возникшие благо- благодаря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями пхс п2с п3с 277' 277' 277' а волновые числа (так называют величины, обратные длине вол- волны) будут равны 1=r2V 2~~2V *3~2V где nu n2y nz — любые целые числа, lu U, h— длины ребер парал- параллелепипеда. V.x^rh^K :,• J Z \ ): V-!:V. -%m ь Рис. 65. Однако в теле могут распространяться волны, идущие под про- произвольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет.в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из kl9 k2, kz по правилу сложения векторов. Таким образом, т. е. v = -^t/-| + | + |. Ясно, что частоты колебаний для простейших случаев распростра- распространения волн параллельно ребрам тела также получатся из этой фор- формулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу. Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве (рис. 66), которое можно назвать пространством частот, или обратным пространством. Если величины кг, ¦?-, 4f отклады- вать соответственно по трем осям, то возникнет решетка (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами пи я2, п3. Радиус-вектор обрат- обратного пространства, проведенный в узел решетки, равняется 119
возможной частоте колебния. Если провести сферу радиусо!^,тов нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие v. Объем такой сферы равен 4/3 rcv3, объем каждой ячейки обратной решетки Рис. 66. равен (c/2K/v, где v — объем тела. Следовательно, число собствен- собственных колебаний тела с частотами, меньшими v (число узлов в октанте сферы), выражается формулой Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал ча- частот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискрет- дискретный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу. § 44. Вынужденные колебания стержней и пластинок Если колебания стержня, пластинки или иного тела происходят не в вакууме, а в какой-либо среде *), жидкой или газообразной, то некоторая часть интенсивности, зависящая, как нам известно, от отношения волновых сопротивлений соприкасающихся сред, переходит из колеблющегося тела в среду. Можно выразить эту же мысль короче: колеблющееся тело излучает энергию. Благодаря излучению свободные колебания стержня, струны и пр. быстро за- затухают. Если нужно, чтобы такое тело являлось постоянным источ- источником излучения, то колебания следует возбуждать посторонним источником. Так же как и в случае колебаний точки, подведение энергии может произойти как по схеме автоколебаний, так и созда- созданием вынужденных колебаний. *) Надо примириться с тем, что о колебании тела говорится в двух смыслах— колебании тела как целого и колебании частей тела друг относительно друга. 120
Со(лшпой) В зависимости от способа и места подведения внешней энергии можно возбудить, вообще говоря, любую из частот или любую ком- комбинацию собственных частот способного колебаться тела. Можно, например, следующим образом создать вынужденные колебания натянутой струны. Около стальной струны укрепляется электромаг- электромагнит, питаемый синусоидальным током от звукового генератора. Коле- Колебания струны под действием периодически меняющейся внешней поперечной силы станут заметными лишь в случае резонанса. Подби- Подбирая разные натяжения струны и варьируя внешнюю частоту, мож- можно продемонстрировать колебание струны на основной частоте, а так- также и на более высоких обертонах. Огромное практическое значе- значение имеет создание вынужденных колебаний (стоячих волн) в пье- пьезоэлектрических пластинках и ферромагнитных стержнях. Эти колебдющиеся тела являются источниками ультразвуковы^волн. Ферромагнитные тела обладают свойством удлиняться или укора- укорачиваться под действием магнитного поля. Теория этого явления сложна и мы скажем о ней и в дальнейшем лишь немногое. Пока что для нас достаточно знать, как изменяется длина ферромагнит- ферромагнитного стержня в зависимости от напряженности поля. На этот во^ прос отвечает рис. 67, из которого следует, что никель и отожженный кобальт укорачиваются в полях любой силы, литой кобальт в малых полях укорачивается, а в больших удлиняется и, наконец, железо удлиняется в малых полях и укорачивается в больших. Так или иначе, любой ферромагнитный стержень будет способен совершать вынужденные колебания при внесении в переменное магнитное поле. Для этой цели стержень помещают обычно в отверстие сер- сердечника трансформатора, через который проходит переменный ток. Чтобы стоячая волна в стержне была достаточно сильной, необхо- необходимо работать в условиях резонанса: частота переменного поля должна совпадать с собственной частотой колебания стержня. Так как стержень закрепляют в середине, то собственная частота колебаний spoo енносЖб магнитного ноля вэрсжедах. Рис. 67. причем стержень может совершать колебания только на нечетных гармониках. Основная частота для никеля, если подставить значе- значения физических констант, окажется равной 237 v = -у- кГц (/—в сантиметрах). 121
Например, стержень длиной 40 см будет колебаться с основной ча- частотой 6 кГц. Наиболее распространенным источником ультразвуковых колеба- колебаний является пьезокварц. § 45. Колебания пьезоэлектриков Как будет рассказано ниже (§ 262), все кристаллы, не обладаю- обладающие в числе своих элементов симметрии центром симметрии, могут обладать пьезоэлектрическим эффектом. Это явление заключается в изменении размеров кристалла под действием электрического поля и, обратно, в возникновении электрического поля в кристалле под действием приложенных к кристаллу сил. При использовании пьезэ- электрика в качестве источника колебаний мы, естественно, интере- интересуемся первым явлением, называемым также электрострищией, или обратным пьезоэлектрическим эффектом. В качестве пьезоэлекгри- ков употребляют кварц, сегнетову соль, титанат бария, дигидрофос- фат аммония и другие кристаллы. Вообще говоря, имеются сотни известных веществ, которые могли бы в принципе использоваться для той же цели. Однако наличие дополнительных требований (прочность, устойчивость к влаге и пр.), а также, разумеется, жела- желание выбрать кристаллы, дающие наиболее сильный эффект, резко ограничивают практический список веществ. Кристалл, помещенный в электрическое поле, меняет свои раз- размеры в разных направлениях (по отношению к осям симметрии кристалла) по-разному. Поэтому, вырезая из кристалла стержни или пластинки, различно ориентированные по отношению к осям крис- кристалла, и помещая их между обкладками конденсатора, мы будем получать деформации разного типа. Чаще всего вырезают пластин- пластинку кварца или другого пьезоэлектрика таким образом, чтобы под действием электрического поля в ней происходили продольные сме- смещения. Тогда под действием переменного электрического поля в та- такой пластинке возникнут вынужденные стоячие продольные волны. Если / — толщина пластинки в направлении движения волны, то собственные частоты колебания представятся, как обычно, формулой v = ncl2l. Для кварца в этой простейшей ориентировке скорость уйру- гих волн равна 5400 м/с. Следовательно, основная собственная ча- частота колебания кварцевой пластинки найдется по формуле 2700 v = —у-кГц (/— в сантиметрах) (опыт дает несколько иное значение: 2880// кГц). Амплитуды колебаний зависят от величины прикладываемого поля. Между величиной смещения и напряженностью электрическо- электрического поля существует линейная зависимость. Прибегают к довольно сильным полям. Кварц — превосходный изолятор, поэтому при толщинах до сантиметра применяются электрические поля порядка 30 000 В/см. 122
Основным в получении сильного ультразвукового сигнала явля- является резонансный эффект. Смещения под действием статического поля в тысячи раз меньше резонансных смещений, а ведь энергия колебания пропорциональна квадрату смещения. Если повышать частоту генератора, можно последовательно воз- возбудить пластинку на всех ее обертонах. Частоты наиболее распро- распространенных промышленных ультразвуковых генераторов лежат в пределах от сотен до тысяч килогерц. ГЛАВА 8 ВОПРОСЫ АКУСТИКИ § 46. Объективная и субъективная характеристики звука Слуховые органы человека обладают способностью оценивать громкость звука, его высоту и тембр. Исследуя различные звуки с помощью электронного осциллографа, можно детально сопоставить объективную и субъективную оценки звука. Так как звук есть результат колебательного процесса, происхо* дящего в воздухе, то его можно описать исчерпывающим образом графиком изменения амплитуды (смещения, скорости колебания или давления — это довольно безразлично) во времени. Подобный гра- график дает возможность выяснить, является ли процесс периодиче- периодическим, и если да, то определить основной тон колебания. Изучая входной, сигнал Рис. 68. форму кривой периодического колебания, можно установить, ка- какие обертоны присутствуют и с какими амплитудами. Иначе и более широко говоря, график зависимости колебания от времени позволяет всегда найти спектр колебания, т. е. узнать, какие в нем присут- присутствуют частоты и с какими амплитудами они представлены в спек- спектре. Получение графика происходит с помощью микрофона, присое- присоединенного к осциллографу. В более совершенных установках про- происходит автоматическое преобразование графика колебания в его спектр. Упрощенная схема такого анализатора показана на рис. 68. Входной звуковой сигнал, превращенный микрофоном в электриче- 123
ский, усиливается предварительным усилителем ПУ и попадает в устройство, состоящее из большого числа фильтров Ф1—Ф27, каждый из которых пропускает определенную полосу частот, на- например 73 октавы C6—48, 48—60, 60—72 Гц и т. д.). ¦¦¦¦Ill LL JJL 500 1000 1500 2.000 2500 3000 • 11 о- 1 1 ¦ 1 ! 1 1 1 1 о Хлар* 1000 iSOO ЖО Я500 200Q 3500 Рис. 69. Про фильтры можно сказать, что они раскладывают сигнал в спектр и при этом с тем большей разрешающей способностью, чем меньше частотный интервал фильтра. Выделенная фильтром часть спектра подается на контакты коммутатора К\ и далее через усилитель У и детектор (выпрямитель) направляется на пластины осциллографа, отклоняющие электронный луч по вертикали. Если бы на вторую пару пластин осциллографа напряжение не подавалось, то при вклю- включении каждого из фильтров электронный луч отклонялся бы на 124
высоту, пропорциональную амплитуде соответствующей частотной составляющей спектра. Однако можно сделать много лучше, а именно включить при помощи второй пары пластин горизонталь- горизонтальную развертку электронного луча, так чтобы- автоматическое вра- вращение коммутатора Кг было однозначно связано с вращением ком- коммутатора /С2, управляющего разверткой и приводимого в движение мотором М. Таким способом можно добиться того, чтобы амплитуды составляющих, пропущенных разными фильтрами, отмечались бы при разных, но вполне определенных горизонтальных смещениях электронного луча, задаваемых батареей Б. Тогда на экране осциллографа возникнет спектр. Лийейчатые спектры возникают у периодических колебаний, сплошные — у колебаний, не имеющих периода. К первым отно- относятся музыкальные звуки, ко вторым — различного рода шумы. Один и тот же музыкальный тон, взятый на разных инструмен- инструментах, будет иметь одну и ту же основную частоту, но разный спектр. Тембровая окраска звука определяется распределением интенсив- ностей обертонов (см., например, рис. 69). Чем сложнее спектр, тем богаче тембр звука в музыкальном отношении. Интересно, что фа- фазовые сдвиги обертонов (вернитесь к формуле на стр. 91) не влияют на субъективное восприятие звука. Ухо чувствует только силу обер- обертонов. Анализ шумов имеет практическое значение. Если известны ча- частоты, особенно сильно представленные в шуме, то это облегчает установление причин шума, а значит, и его устранение. § 47. Сила и громкость звука На рис. 70 жирными кривыми ограничена область колебаний, вос- воспринимаемых на слух средним человеком. По оси ординат отложены щ 100 Is ll о -so WO т •-.^ ¦Ша 1 Ж — --. й 1 1 it WOO 10000 от - о,оооо? Рис. 70. две однозначно связанные величины: амплитуда звукового давления и сила (интенсивность) звука. Звуковое давление р и сила звука / 125
связаны в простейшем случае формулой ! = ?- 1 2рс в Действительно, интенсивность волны I=wc9 где w — плотность энергии, т. е. w=pu2/2. Но (см. стр. 101) и—pipe. Делая подстановку, мы получим написанную выше формулу. Сила звука может быть измерена в Вт/см2. Для воздуха рс=41. Сильнейшие звуки, вызывающие болевое ощущение, создаются давлением порядка 2000 бар, очень слабые звуки, но все же воспринимаемые средним человеком, имеют давле- давление 2*10~4 бар A бар = 1 дин/см2). Мы получим для предельных ин- тенсивностей звука цифры от 0,5-108 эрг/(с-см2)=0,5- 10~а Вт/см2 до 0,5-10-" Вт/см2. Столь большой диапазон интенсивностей делает целесообразным введение логарифмической шкалы. Если сила одного звука /ь а другого /2, то говорят, что /2 громче 1г на К децибелов, если Величину К называют уровнем громкости. Таким образом, если силы звука отличаются в миллион раз, то по громкости они различаются на 60 децибелов. Оценивая силу звука в децибелах, надо указать нулевой уровень. Обычно берут величину, близкую к порогу слышимости A0*16 Вт/см2), тогда шепот обладает громкостью порядка 15 дБ, а шум самолета — 120 дБ. Возвращаясь еще раз к диаграмме слуховых восприятий, отме- отметим, что область речи заключена в более узкие рамки как по часто- частотам (от 100 до 10 000 Гц), так и по силам (от 40 до 80 дБ). Звуки разной частоты обладают различной слышимостью. Лучше всего ухо воспринимает частоты в несколько тысяч герц. Ниже 20 Гц лежит область инфразвуков, выше 10 000—20 000 Гц — область ультра- ультразвука. Приведем примерные значения звукового давления р, интенсив- интенсивности / и громкости звука К: Порог слышимости Падение капель Тихий разговор на расстоянии 5 м . Симфонический оркестр (фортиссимо) . Авиамотор на расстоянии 5м.... р, бар 2,9-10-* 2,910-3 2,910-2 2,9 290 /, Вт/см2 Ю~16 10-14 Ю-12 Ю-» ю-* К, ДБ 0 20 40 80 120 126
§ 48. Архитектурная акустика В одних помещениях произносимая речь звучит неразборчиво, хотя и громко, в других залах оратору надо возвышать голос, чтобы быть услышанным. Представляют интерес поиски физических кон- констант помещения, характеризующих его акустические свойства. Опыт показывает, что важнейшим фактором такого рода является так называемое время реверберации — время, в течение которого произнесенный звук ослабляется в миллион раз по отношению к пер- первоначальной силе. В акустическом отношении помещение наилуч- наилучшее, ерш время реверберации т составляет 0,5—1,5 с. Если т меньше 3 с, помещения считают хорошими. Если же время реверберации превосходит 5 с, то акустика такого помещения очень плоха, она характеризуется «гулким звучанием». Произнесенный в каком-либо месте большого зала звук отра- отражается от стенок, пола и потолка комнаты, отражается от мебели, от драпировок, от одежды сидящих в зрительном зале людей. Если при каждом отражений звук теряет большую долю энергии, то зату- затухание звука произойдет очень быстро. Время реверберации в этом случае очень мало, звук будет «глухим». Гулкость возникнет в том случае, если звук будет многократно отражаться с малым затуха- затуханием. Слушатель будет улавливать звуковую волну, непосредственно достигшую уха, двукратно отраженную, трехкратно отраженную и т. д. Если время между приходом этих звуковых волн не превысит Vi5 с, то ухо услышит не два или три звука, как в хорошо извест- известном явлении эха, а воспримет размазанный и, следовательно, не- нечеткий-звук. Очевидно, что вопрос о времени затухания звука определяется поглощением его на окружающих телах. Так как звук отражается многократно, то через короткое время постоянного звучания какого- либо источника все помещение более или менее равномерно запол- заполнится звуковой, т. е. колебательной, энергией. Через короткий срок установится равновесие между энергией, отдаваемой источником, и энергией, поглощаемой средой. Заметим, кстати, что при отсутствии поглощения звуковая энергия в закрытом помещении возрастала бы неограниченно при постоянном звучании источника. Представим себе, что источник звука прекратил свою работу. Тогда будет происходить лишь одно явление, а именно, поглощение звуковой энергии поверхностью тел, находящихся в помещении. Каждый из материалов, принимающий участие в этом процессе, об- обладает характерным для него коэффициентом поглощения а. Если в "помещении имеется открытое окно, то для него можно принять коэффициент поглощения равным 1, так как звук полностью уходит (а это все равно, что поглощается) из помещения. Для гладкой и твердой стены коэффициент а близок к нулю (для бетона 0,015). Теперь поглощение звука, характерное для всего помещения, можно описать величиной A=a1S1+a2S2+oc3S3+... ; в этой сумме учи- учитываются все поверхности, ограничивающие помещение. Теория 127
показывает, что время реверберации зависит от величины Л и от объема помещения У, а именно, т = 0,16 -^-. В этой формуле объем надо выразить в кубических метрах, а величину А — в квадратных метрах @,16—размерный коэффициент). Нетрудно с помощью последней формулы найти типичные зна- значения времен реверберации. Коэффициент поглощения для бетона мы привели только что; не намного больше (до 3%) энергии погло- поглощают стекло, дерево, штукатурка. Резкое увеличение поглощения происходит при внесении в помещение мягких материалов. Доста- Достаточно сказать, что одежда одного человека поглощает столько же звука, сколько 20 м2 стены. Для мягких материалов коэффициенты поглощения колеблются от 0,5 до 0,9. Для решения акустических проблем при строительстве зданий большое значение имеют пори- пористые материалы, коэффициент поглощения которых может прибли- приблизиться к а для Мягких материалов (пеностекло, пенобетон). § 49. Атмосферная акустика Если волна переходит из одной среды в другую, то она меняет направление распространения в соответствии с законом преломле- преломления. Угол, на который меняется направление распространения, определяется показателем преломления, т. е. отношением скоростей распространения. Известно (§ 32), что скорость распространения звука чувствитель- чувствительно зависит от температуры. Изменение температуры на 1 °С увели- увеличивает скорость звука примерно на 0,5 м/с. В различных слоях'зем- слоях'земной атмосферы температура имеет, как правило, разные значения. Значит, в разных слоях воз- воздуха звук будет иметь раз- различную скорость. Как же ска- скажется на распространении , звука то обстоятельство, что он движется в среде, где коэф- i -_ фициент преломления непре- jmr^ i_ w ^ рывно меняется? I _j: Ответ на этот вопрос,да- рис 71. ^т схема, изображенная на рис. 71. Представим себе, что звук проходит через серию слоев, внутри которых показатель преломления постоянен, а при переходе от слоя к слою ме- меняется скачком. Путь звуковой волны представится ломаной линией. Если же толщины слоев будут малы и различия в коэффици- коэффициентах преломления начнут уменьшаться, то ломаная линия будет неотличима от кривой. Значит, в среде переменнЪго показателя преломления звуковые волны распространяются, вообще говоря, по кривым линиям. При этом линия загибается всегда таким образом, что от точки к точке волна движется кратчайшее время (это положе- 128
ние носит название принципа Ферма). В этом случае прямая линия в известном смысле не является кратчайшей. Покажем справедливость этого принципа для случая двух сосед- соседних участков ломаной кривой, которую мы только что рассматрива- рассматривали. Для простоты положим, что оба участка имеют равные толщины d и разные скорости распространения vx и v2. Время, затрачиваемое волной, чтобы пройти указанный на рисунке путь, равно Время выражено через независимую переменную х. Давая х различ- различные значения, мы будем получать разные преломления и разные вре- времена перехода от той же начальной точки к той же конечной точке. Наименьшим время будет при условии, что ~ =0, т. е. при условии ' V(a—xf а—л; Но есть синус угла падения, а г — синус угла преломления. Мы доказали, что преломление волны происходит так, чтобы время ее движения стало минимальным. Следует подчеркнуть, что этот результат справедлив для всех волновых процессов, а не только для упругих волн. Таким образом, волна, идущая в неоднородной среде, меняет свое направление так, чтобы удлинить свой путь в среде с большой ско- скоростью распространения и сократить его в слоях, где скорость рас- распространения меньше. Иначе говоря, слои с большой скоростью рас- распространения будут проходиться по возможности полого, а слои с малой скоростью распространения — по возможности отвесно. Эти замечания делают вполне понятными рисунки, на которых схематически представлен ход звуковой волны для случая, когда температура воздуха убывает с высотой (что обычно имеет место днем) и когда температура возрастает с высотой (ночные условия) (рис. 72). В данном случае большая скорость распространения звука имеет место в слоях, близких к земле. Если проследить за распростране- распространением звуковой волны, вышедшей из надземного пункта под неболь- небольшим углом к вертикали, то обнаружится следующая картина. Каж- Каждый последующий слой отклоняет волну все дальше и дальше от вер- sin i тикали. Когда угол падения достигнет угла ?0, для которого = 1, преломление прекращается, происходит полное отражение. Фор- Формально причины полного отражения понятны: sin i не может стать большим единицы. Физическая сущность этого интересного явления будет рассмотрена ниже (§ 128) на примере электромагнитных волн. Как бы то ни было, волна не только не распространяется вдоль земной поверхности, но, напротив, поворачивается и направляется 5 А. И. Китайгородский 129
вверх. Нарисованная картина делает понятным образование «зон молчания». Ночью путь звуковой волны обращен выпуклостью кверху. Поэтому слышимость ночью много выше, чем днем. Если же звук распространяется над отражающей поверхностью (водная //////////^ гвука. $046 'Источник $&/ ^МЖ Рис. 73. гладь), то несильные звуки могут быть слышны за несколько кило- километров. Путь волны представляет тогда последовательность выпук- выпуклых дуг (рис. 73). § 50. Действие ультразвука Колебательная энергия в единице объема звукового поля пропор- пропорциональна квадрату частоты. Действительно, плотность колебатель- колебательной энергии w=pu2/2, но амплитуда скорости и0~Лсо, а следова- следовательно, w пропорционально со2. Сильные источники ультразвука способны создать колебания с амплитудой давления в десятки атмо- атмосфер. Таким образом, в микрообъемах вещества несколько тысяч раз в секунду напряжение достигает десятков атмосфер давления, падает до нуля, достигает десятков атмосфер растяжения и т. д. Ясно, что такое сильное механическое действие может привести к ряду специфических явлений. К ним относится явление кавитации. В момент колебания, соответствующий предельному растяжению в жидкости, находящейся в ультразвуковом поле, происходит микро- микроскопический разрыв, куда устремляются растворенные газы и пар. В момент колебания, соответствующий сжатию, в области этих раз- разрывов возникают колоссальные давления порядка тысяч атмосфер. 130
Столь существенные действия ультразвука могут быть использо- использованы для преодоления сил, действующих между молекулами. Эмульсии (жир в воде, бензол в воде и пр.) диспергируются под дей- действием ультразвука. В частице, взвешенной в воде, наступает рано или поздно кавитационный разрыв. Дробящее действие ультразвука находит широкое применение в промышленности. Однако и при отсутствии кавитации действие ультразвука может быть немаловажным. Если ультразвуковая волна проходит чере? аэрозоль (газ со взвешенными твердыми частицами, например дым)- то результатом является осаждение частиц. Ультразвуковые коле- колебания собирают твердые частицы в узлах звукового давления, ча- частицы слипаются и становятся достаточно тяжелыми, чтобы опу- опуститься на землю. Нахождение раковин, внутренних трещин и других дефектов ме- металлов с помощью ультразвукового просвечивания является также важной областью применения ультразвука. Метод основан на отра- отражении ультразвука границей среда — воздух или основной металл— включение. Заметный эффект будет получен лишь в том случае, если размеры дефекта больше длины волны. Чтобы увидеть дефект размером в 1 мм, нужна длина волны менее 0,1 мм и, значит, частоты порядка 109 Гц. Обычно работают на много меньших частотах A07 Гц) и применяют метод для обнаружения крупных пороков. Широко известно применение ультразвука в эхолотах и гвдро- локаторах. ГЛАВА 9 ТЕМПЕРАТУРА И ТЕПЛОТА §51. Тепловое равновесие Про тело, у которого все свойства остаются неизменными, мы говорим: состояние тела не меняется. Напротив, при изменении какого-либо свойства тела меняется его состояние. Состояние тела можно изменить, совершая над ним работу. Однако возможно дости- достигнуть таких же результатов и немеханическим путем. Вода нагреется как после интенсивного перемешивания, так и после поднесения к ней газовой горелки. Если внешняя среда или окружающие тела воздействуют на рассматриваемое тело или систему тел и меняют со- состояние этого тела или системы тел немеханическим путем, то гово- говорят о теплообмене. Если теплообмен между телами отсутствует, то тела находятся в тепловом равновесии, имеют одинаковую температуру. Если тела соприкасаются друг с другом, то наличие теплового равновесия обнаруживается непосредственно: состояния тел длительно оста- остаются теми же. Теплообмен возможен и в случае далеких друг о? друга тел. Обнаружить тепловое равновесие в этом случае можнс при помощи третьего тела, которое играет роль термометра. Если 5* 131
термометр находится в равновесии с обоими телами, то температура этих тел одинакова. Это значит, что и при непосредственном сопри- соприкосновении они находились бы в состоянии теплового равновесия. При помощи «третьего тела», термометра, всегда можно сказать, обладают ли тела разными или одинаковыми температурами. При помощи термометра можно не только устанавливать нали- наличие или отсутствие теплового равновесия, но можно и судить о сте- степени отклонения от равновесия. Чтобы термометр мог служить этой цели, нужно условиться о веществе термометра (ртуть, спирт, вода, газ) и о свойстве (признаке), по которому мы будем судить о достижении или отклонении от теплового равновесия предмета с термометром. Как и всегда в фи- физике, важно условиться, какие приборы, в данном случае тер- термометры, должны быть положе- положены за основу. Далее всегда мож- можно проградуировать любой тер- термометр по эталонному. В каче- стве эталонного вещества для термометра берется газообраз- газообразП -а.п,ге ный водород. Признак, по ко- которому судят о температуре, — это давление газа р. Температура тела принимается пропорциональ- пропорциональной давлению водорода в газовом термометре при постоянстве объема, занимаемого водородом. Выбор шкалы температур производится следующим образом. Температура тающего льда называется 0°, температура кипящей воды 100° (при давлении 760 мм ртутного столба). Измеряя давление водорода р0 и р100 в этих двух точках, откладывая эти точки на гра- графике и проводя через них прямую линию, получим шкалу темпера- температур Цельсия. Уравнение этой прямой, проведенной на рис. 74, имеет вид Рюо — Ро Прямая линия пересекает ось t при температуре —273,1 °С. Это — абсолютный нуль. По определению понятия более низкие температуры невозможны. В физике большей частью пользуются температурой, отсчитываемой от абсолютного нуля, Т=/+273,Г. В этом случае говорят об абсолютной температуре, или температуре в градусах Кельвина (К). Градуирование рабочих термометров по эталонному водородному может производиться в ограниченном интервале температур. При высоких температурах может начаться диффузия водорода через стенки сосуда. При низких температурах водород может превра- превратиться в жидкость. Тем не менее принятое определение температуры имеет совершенно общий смысл, как будет видно ниже (стр. 141). 132
?ОСТОЯ№ию~~тела--~«^ _?П?еделенная Изменения взаимного расположения илЙТа- рактера движения частиц связаны с изменением внутренней энер- энергии. Каким бы способом ни менялась внутренняя энергия тела, окружающие тела должны передать энергию молекулам рассматри- рассматриваемого тела. Если тело подвергается механическому воздействию, то передача энергии происходит упорядоченным образом; при теп- тепловом обмене энергия передается со стороны среды путем случайных импульсов, передаваемых то одной, то другой молекуле. Количество энергии, переданной телу механическим путем, из- измеряется величиной произведенной над телом работы. Количество энергии, переданной при теплообмене, измеряется количеством тепла. Так как строгий подсчет внутренней энергии тела затруднителен, а большей частью и невозможен, и так как само представление о внутренней энергии как о чисто механической величине является лишь приближением, то надо ввести строгое определение этой вели- величины. Это удается сделать, изучая процщ^Ыд^происдодяцие^ без теплообмена с окружающей средой. Такие шиГения нядываижя ТШ обо- обо( лочки и ограничивая измерения краткими сроками (пока тепло не успело «уйти» из изучаемого объема), удается вполне точно осуще- осуществить адиабатические условия. Многочисленные опыты,привед- шие в свое время к установлению закона сохранения энергии, по- показывают; ^TOjjKaKHM бы путем ни изменялось в таком процессе сос- состояние тела!т^то^дотдебуется_однаJ? та же работа. Величина этой работы 4-4*явна^ щх^одределеншс"'приросту* внутренней энедгии ^17Г § 52. Внутренняя энергия Основные черты поведения тел при механическом и тепловом взаимодействии превосходно отражает так называемая молекуляр- но-кинетическая модель. Сощшш^-т^оле^л TejiCLj^XMaxpnafc Абсолютное значение внутренней энергии, разумеется, не может быть найдено из опыта. Если бы механическая модель тела была вполне точна, то утвер- утверждение, записанное выше, являлось бы простым следствием закона сохранения механической энергии. Однако молекулярно-кинетиче- ская модель есть только модель, и поэтому тот факт, что каждому состоянию тела можно сопоставить определенную энергию, так что разность энергий двух состояний равна адиабатической работе 133
перехода, является важнейшим законом природы, приводящим к закону сохранения энергии. Теплообмен и механическое воздействие могут приводить в ряде случаев к одинаковому изменению состояния, т. е. к одинаковым изменениям внутренней энергии тела. Это дает нам возможность сравнивать тепло и работу и измерять количество тепла в тех же единицах, что работу и энергию. Для представления о величинах внутренней энергии приведем следующие цифры. При нагревании воды на 1° энергия 1 г воды возрастает на 1 кал = 0,427 кгсм = 4,18-107 эрг = 4,18 Дж = 2,6Ы019 эВ. При этом одна молекула воды увеличивает в среднем свою энергию на 3-10-23 кал= 1,28- Ю-2* кгс-м= 1,25-10~15 эрг= 12,5-103 Дж = 7,8-10~4 эВ. При сгорании 1 г угля вещество отдает внутреннюю энергию в количестве 7000 кал = 2990 кгсм = 2,93-1011 эрг = 2,93-10* Дж= 18,3- 10м эВ. При расчете на один атом углерода эти цифры примут вид 1,4-10-19 кал = 5,98-Ю-20 кгсм = 5,86-10~12 эрг = 5,86-10-19 Дж = 3,66 эВ При ядерном делении 1 г урана-235 выделяется энергия 2,03-1010 кал = 8,65-109 кгсм = 8,49-1017 эрг = 8,491010 Дж = 5,29-1029 эВ. Одно атомное ядро отдает при этом внутреннюю энергию в количестве 7,9-10-12 кал=3,38- Ю-12 кгс-м=3,3- Ю-4 эрг= = 3,3-Ю-11 Дж = 206 106 эВ^200 МэВ, что более чем в 50 миллионов раз превышает энергию химических реакций A МэВ= = 106 эВ). § 53. Первое начало термодинамики В самом общем случае, обмениваясь энергией со средой или ок- окружающими телами, рассматриваемая сисхема^ может получать или ш„ШЫ1<^Я> может производить™„работу „или надГ и работа — этсГдве формы, в которых энергия тела^можетг"передаваться среде или, на- наоборот, энергия среды может передаваться телу. Закон сохранения энергии исключает возможность каких-либо потерь при энергетиче- энергетическом обмене. Разность энергий системы в двух состояниях должна равняться сумме теплоты и работы, полученных системой от окру- окружающих тел. Это утверждение нельзя было бы подвергнуть опытной проверке, если бы мы не добавили, что прирост энергии при переходе системы от одного состояния к другому всегда один и тот же вне зависимости от характера или способа перехода от начального состояния к ко- конечному. Принцип сохранения энергии заключен именно в последнем 134
утверждении. Его-то мы, несомненно, можем подвергнуть .всесто- .всесторонней экспериментальной проверке, измеряя сообщенные системе теплоту и работу в различных переходах от одного и того же началь- начального к одному и тому же конечному состоянию. Прирост энергии во всех случаях должен быть одним и тем же. Закон сохранения энергии, выраженный в приведенной кон- конкретной форме, носит название первого начала термодинамики. Этот важнейший закон природы был установлен работами ряда ученых в середине прошлого столетия. Роль Роберта Майера, Джоуля и прежде всего Гельмгольца следует оценить особенно высоко. Для записи первого начала термодинамики в виде формулы надо условиться о выборе знака для теплоты и работы. Мы примем, что теплота положительна тогда, когда она сообщается системе, а работу будем считать положительной тогда, когда тело совершает ее против действия внешних сил. Тогда первое начало термодинамики запи- запишется в виде т. е. подведенное телу тепло идет на изменение внутренней энергии и на произведенную телом работу. Разумеется, мыслимы любые пре- превращения, при которых каждая из входящих в равенство величин может быть положительной и отрицательной. Не случайно в записи первого начала знак дифференциала ис- использован только для энергии. Работа и тепло не являются полными дифференциалами. При переходе тела из одного состояния в дру- другое величины работы и тепла, полученные или отданные телом, будут зависеть от «пути» перехода, и лишь прирост энергии, как это имеет место для полного дифференциала какой-либо функции, не зависит от способа перехода: Применение закона сохранения энергии и, в частности, первого начала термодинамики охватывает все разделы физики. Ценность его для науки заключается в исключительной предсказательной силе. Не имея каких бы то ни было сведений о характере процесса, зная лишь начальное и конечное состояния системы, можно делать ряд ценных выводов. Пусть, например, проводит химическая ре- реакция присоединения молекулы А к В, образуется молекула АВ. Допустим, нам известны внутренние энергии молекул UA, UB и UAB. Если UAB больше, чем UA-\rUBt то мы можем предсказать, что реакция протекает с поглощением тепла, и притом в количестве, равном Q=UAB— (Ua+Ub)- Или, зная UA и Ьв и измеряя при помощи калориметра теплоту реакции, мы можем найти UAB и использовать эти данные для предсказания хода какой-либо дру- другой реакции, в которой участвует соединение АВ. 135
§ 54. Энергия микроскопических систем Закон сохранения энергии и правила обмена энергией справед- справедливы, разумеется, как для больших тел, так и для частиц, из кото- которых построены тела. Однако при изучении частиц (атомов, ядер, молекул) или систем, состоящих из небольшого числа частиц, необ- необходимо учитывать еще один важнейший закон природы. Энергия микроскопических систем не может принимать любые значения. Каждая система имеет свою, характерную для нее и только для нее, последовательность возможных значений энергии: Elt Е2, ..- На рис. 214 (стр. 454) изображена схема возможных уровней энергии атома водорода. Похожими рисунками можно изобразить энергети- энергетические уровни и других атомных систем. При сообщении системе тепла или работы энергия атомов, молекул или иных микроскопи- микроскопических систем может возрастать лишь скачкообразно, определенны- определенными порциями (квантами) энергии. Так же точно отдельными кван- квантами и отдается энергия окружающим телам. Строго говоря, закон о квантовом характере энергии, о наличии для каждой микроскопической системы «лестницы» возможных энер- энергетических уровней является вполне общим законом природы, спра- справедливым и для больших тел. Однако, как показывает теоретическая физика, у большого тела число энергетических уровней, грубо гово- говоря, возрастает в п раз, если тело состоит из п атомов. По мере возрастания энергии, как это видно из рисунка для во- водорода, уровни располагаются все теснее. Сближение этих уровней происходит у большого тела несравненно быстрее, чем у отдельного атома. Лишь самые низкие, бедные энергией уровни выглядят раз- раздельно. Более высокие уровни сливаются, и практически оказывает- оказывается, что большое тело может изменять свою энергию непрерывным способом. Если от тела отнимать энергию, то оно «спускается» на более низкие уровни. Квантовый характер изменений энергии прояв- проявляется поэтому тем резче, чем ниже температура тела, чем ближе она к абсолютному нулю. При механическом воздействии энергетические уровни тела или системы смещаются. В подавляющем большинстве случаев просле- проследить за этим смещением не удается. Для микроскопических систем — атомов и молекул — влияние давления очень мало. Тепловое взаимодействие состоит в переходах системы с одного уровня энергии на другой. Тепловое равновесие является подвижным равновесием. Каждое тело не имеет все время какую-то одну энергию, а непрерывно обме- обменивается энергией со средой так, что в среднем энергия остается неизменной. Обмен энергией происходит порциями — квантами. Если в какой-то момент энергия равна El9 то в последующий момент она изменится скачком до Е2. Энергия отдается в виде излучения. Если ?1>?2, то Е1— Е2= =hv, где v — частота излучения, a h — постоянная Планка, равная 6,62-107 эрг-с. Приобретение энергии может произойти или в ре- 136
зультате поглощения излучения, или в результате механического толчка какой-либо частицей. Если температура не остается постоянной, а падает, то число переходов на нижние уровни с верхних подавляет обратные пере- переходы. Энергия снижается скачками, тело отдает один квант излу- излучения за другим. Схематически описанные явления энергетического обмена были установлены вначале для атомов. Несколько позже стал очевидным вполне универсальный характер этой картины. Мы ограничимся сейчас этими общими замечаниями, отсылая читателя к ч. III за дальнейшими деталями. §55. Уравнение состояния Среди разнообразных свойств тела можно выделить три основных свойства, или параметра состояния. Это — давление /?, объем v и температура Т. Не всегда знания этих параметров достаточно для исчерпывающей характеристики тела. Если система состоит из мно- многих веществ, то нужно знать их концентрации. Если тело находится в электрическом или магнитном полях, то нужно знать их напря- напряженности. Всегда можно выбрать некоторую совокупность параме- параметров, которая будет однозначно определять состояние тела. Осталь- Остальные характеристики тогда можно вычислить из основных пара- параметров. Если оставить без внимания электромагнитные поля и ограни- ограничиться рассмотрением простейших систем — газов, жидкостей и изо- изотропных твердых тел, то окажется, что всегда лишь два параметра определяют состояние тела. В качестве этих двух параметров одина- одинаково удобно выбрать любую пару из /?, vy Т. Чаще всего выбор останавливают на v и Г. Тогда давление р будет функцией v, Т. Уравнение P = f(v, T) называют уравнением состояния. Знание такого уравнения для како- какого-либо тела, а в особенности для класса тел, имеет очень большое значение для физики. Уравнения состояния могут быть установлены опытным путем. Характер зависимости давления от объема и темпе- температуры для жидких и твердых тел крайне индивидуален. Установив уравнение состояния для данного тела, мы получаем исчерпывающие сведения об его поведении в различных случаях, но не приобретаем каких-либо знаний о поведении других тел. Исследуя поведение вещества, довольно часто характеризуют его не уравнением состояния, а производными одних параметров по другим. Чтобы знать, как расширяется тело при неизменном давлении с увеличением температуры, следует вычислить производную (§|г) (это обозначение имеет смысл: производная по Г'при постоянном р). 137
Величина a~ v [дт)р носит название коэффициента температурного объемного расши- расширения. Как видно из формулы, а показывает долю, на которую ме- меняется объем тела при изменении температуры на один градус. Термический коэффициент давления равен относительному изменению давления при изменении темпера- температуры на один градус (при постоянном объеме). Коэффициенты аир имеют размерность, обратную градусу (К"). Третьей полезной величиной является сжимаемость ___ 1 fdv\ *- — v{dP)T> равная относительному уменьшению объема при увеличении давле- давления на единицу (при постоянной температуре). Эти три коэффициента связаны соотношением, которое мы сейчас легко выведем. Так как то [dTjvai Если давление постоянно, то dp=^0 и откуда dTjv\dv)p\dpjT Этот интересный результат показывает, что, зная, скажем, сжимае- сжимаемость и термический коэффициент давления, можно вычислить значе- значение коэффициента температурного расширения. Выведенное соот- соотношение верно для любых тел. Коэффициенты а, Р и х, вообще говоря, не являются постоянными величинами для данного вещества. При разных давлениях и темпе- температурах эти коэффициенты могут принять разные значения. Поэтому, указывая значение какого-нибудь коэффициента, надо сообщить, для каких значений давления и температуры приводится цифра. В неко- некоторых случаях указываются средние значения коэффициентов в том или ином интервале температур или давлений. 138
Вот несколько примеров. а) Температурный коэффициент расширения а и сжимаемость к некоторых жидкостей: Вода, ние Ртуть, Эфир, 10—30 °С, норм, давле- 10—30 °С 0°С а, К 2,07- 1,81 16.56 — 1 10-4 10-4 Ю-4 К, 48,5 3,05 149 м2/Н •10-и •10-И 10-и Для твердых тел коэффициенты температурного расширения и сжимаемости могут сильно различаться. Так, например, при нормальных температуре и дав- давлении плавленный кварц имеет а=1,29- Ю-6 К, х=2,76- Ю-11 м2/Н, а эбонит имеет а=77-10-6 К, х=18,4-Ю-11 м2/Н. б) Для воды, ртути и эфира рассчитаем термический коэффициент давления Р при атмосферном давлении ( — = 1 р, к-1 Вода 4,4 Ртуть 61,4 Эфир 11,3 Это означает, что при нагревании на Ю-3 градуса некоторого постоян- постоянного объема ртути давление в нем возрастает на 6% (!). § 56. Уравнение газового состояния Самым простым уравнением состояния обладают разреженные газы. Это уравнение записал Менделеев, объединив в одной формуле "уравнение Клапейрона и закон Авогадро. Уравнение Клапейрона pv говорит: выражение ~— постоянная величина для данной массы газа, т. е. pv , —- = const. Но грамм-молекулы разных газов занимают при одинаковых дав- давлениях и температурах одинаковые объемы B2,41 л при О °С и одной атмосфере *)) — закон Авогадро. Следовательно, отнесенная к од- одному грамм-молю постоянная в уравнении Клапейрона должна иметь универсальное значение. Ее обозначают буквой R и называют универсальной газовой постоянной. Для одного моля любого газа *) Здесь подразумевается физическая атмосфера, 1 атм^= 1,033 технической атмосферы^ 1,01 • 105 Н/м2. 139
уравнение приобретает вид pv_=^RT."9 здесь v —- объем одного моля газа. Постоянная R имеет размерность работы, отнесенной к градусу и молю; значения ее в разных единицах таковы: каЛ Так как объем произвольной массы газа равен K=jxg, где \i —- числ"б молей'Гто вГсамом общем случае уравнение состояния разре- разрежённых газов приобретает вид т или pV^ Здесь m —jwacc^a_M^— мо^екхлярныи1Ж? газа. Для" ряда расчетов можётГоказаться" полезной формула плотности р газа, получаемая из J Газы, подчиняющиеся уравнению газового состояния, носят наз- название идеальных. Оправданием этому термину была бы уже крайняя простота уравнения, однако мы увидим позже (стр. 169), что это уравнение можно вывести, представляя газ некоторой идеальной моделью, а именно: идеалbHbmj^^-^^o^cHCTeMa молекул, силами притяжениями размбр1ГшГ1кди^ Идеальные газы имеют коэффициенты расширения и давления и сжимаемость, выражающиеся следующими простыми формулами: а 1 1 При температуре О °С (Т=273,1 К) а и р равны а^р^^-рК-1^0,00366 К. Насколько реальные вещества близки к идеальным, некоторое представление дают следующие числа: Водород Гелий Азот а при V = const 3660-10-6 3660-Ю-6 3674-10-6 Углекислота . . . Воздух ..... а при V=const 3726- Ю-6 3674 Ю-6 Газообразные вещества, находящиеся при давлениях, сущест- существенно превосходящих атмосферное, перестают подчиняться форму- формулам идеального газа. Вычисления могут привести к ошибкам в несколько процентов уже при давлениях в несколько десятков атмосфер. Существенный вывод, к которому можно прийти, изучая поведе- поведение разреженных газов, заключается в том, что любой из них, во- 140
обще говоря, с тем же успехом, что и водород, мог быть положен в основу определения температуры. Водород ничем не выделяется •среди разреженных газов. Можно поэтому сказать, что температур- температурная шкала, принятая в физике,— это не водородная шкала, а шкала давлений идеального газа. Именно это обстоятельство и оправдывает сделанный выбор способа определения температуры: большой класс веществ приводит к температурным шкалам, в точности совпадаю- совпадающим. Молекулярно-кинетическое обоснование выбора температур- температурной шкалы будет дано ниже (стр. 170). § 57. Уравнения состояния реальных газов Для газов при больших давлениях, для паров, близких к насы- насыщению, и в ряде других случаев уравнение газового состояния на- начинает давать очень грубые результаты. В этих случаях прибегают к другим уравнениям состояния. Часть из них найдена опытным путем, некоторые (как наиболее известное из них — уравнение Ван-дер-Ваал ьса) имеют качественное теоретическое обоснование. Так или иначе, ценность того или иного уравнения может быть уста- установлена лишь сравнением чисел, полученных из опыта и вычислен- вычисленных из уравнения. Приведем примеры уравнений состояния. Простейшая поправка, которая может быть введена в уравнение идеальных газов,— это, конечно, учет объема газовых молекул. Оче- Очевидно, даже бесконечно большим давлением нельзя сжать газ до нулевого объема. Это оправдывает уравнение состояния вида где Ь — константа, учитывающая конечный объем молекул. Чем больше число констант, которые будут введены в уравнение состояния, тем легче добиться хорошего совпадения опытных и рас- рассчитанных чисел. Однако тем меньше предсказательные возможности формул. Не так уж удивительно превосходное совпадение с опытом в широком интервале значений параметров состояния, которое дает формула Бриджмена и Битти, содержащая пять констант Л, В, а, &, с, характеризующих вещество: Две константы а и b содержит уравнение Ван-дер-Ваальса: 141
Достоинства последнего уравнения заключаются в том, что оно пра- правильно передает общий характер зависимости между параметрами для всех газообразных веществ. Однако не удается подобрать для данного вещества такие постоянные значения а и Ь, чтобы данные расчета хорошо совпадали с измерениями в широком интервале. Обоснование уравнения Ван-дер-Ваальса заключается в сле- следующем. Давление удовлетворяет уравнению газового состояния, RT /?=—, в том случае, если силами притяжения между молекулами пренебрегают. От взаимного притяжения молекул давление на стенки сосуда должно уменьшиться на некоторое р . Значит, RT /? = /?', или, учитывая конечный объем молекул, р^-^-р', или (p + p')(v-b) = RT. Почему же p'=a/v2? Здесь мы рассуждаем следующим образом. Раз- Разделим мысленно объем газа на две части. Одна из них притягива- притягивается другой. Силы притяжения должны быть пропорциональны числу молекул в левой части и числу молекул в правой части объема. Иначе говоря, силы притяжения должны быть пропорциональны квадрату плотности, т. е. обратно пропорциональны квадрату объема. О силах взаимодействия между молекулами мы еще поговорим подробнее в ч. III. ГЛАВА 10 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ § 58. Графическое изображение процессов Если два параметра состояния тела заданы, то третий вычисля- вычисляется с помощью уравнения состояния. Значит, на графике, где по одной оси откладывается один параметр (скажем, давление), а по другой оси — второй параметр (скажем, объем), состояние тела совершенно однозначно характеризуется изображающей точкой. Необходимо, правда, добавить, что, прибегая к графическому изображению состояния, мы молчаливо подразумеваем, что состоя- состояние тела является равновесным. Только в этом последнем случае значения параметров состояния во всем объеме системы будут оди- одинаковы и можно будет говорить о температуре, давлении, плотности и т. д. всего тела (системы) как целого. Может возникнуть вопрос, о каких же процессах идет речь, если рассмотрению подлежат равновесные состояния? Ответ состоит в следующем: если процесс идет достаточно медленно, то значения па- параметров состояния во всем объеме можно считать одинаковыми. Та- Такой процесс является как бы непрерывной последовательностью рав- равновесных состояний. Такой процесс является обратимым. Это зна- значит, что любой процесс, изображенный графически, можно мыслить 142
проведенным в обе стороны. Процесс, состоящий из последователь- последовательных равновесий, может быть проведен от состояния / к состоянию 2, а затем от состояния 2 к состоянию 1 через те же промежуточные состояния и при этом в окружающей среде никаких изменений не произойдет. Обратимый процесс является процессом идеализированным. Лю- Любой реальный процесс в той или иной степени необратим, в зависи- зависимости от того, сколь далеки промежуточные состояния процесса от равновесных. Необратимость реальных процессов ясна из следующего сообра- соображения. Всякое установление равновесия необратимо. Примеры просты и знакомы каждому: остывание тела в более холодной среде, «рассасывание» механической деформации, например возвращение к покою сжатой и отпущенной пружины, самопроизвольное переме- перемешивание двух газов и т. д. Обратные процессы не могут происходить сами по себе, не могут являться единственными процессами, проис- происходящими в замкнутой системе. Любой реальный процесс не состоит из последовательных равно- равновесий, в нем неизбежно имеют место явления, подобные перечис- перечисленным. Значит, проводя этот процесс в обратную сторону, мы ни- никогда не сумеем провести его в точности через те же состояния. При сжатии газа, если оно происходит с достаточной скоростью, давле- давление газа в слоях, прилегающих к поршню, будет повышенным. При обратном процессе — расширении газа — давление около поршня будет, наоборот, пониженным. Несмотря на то, что обратимые процессы являются идеализиро- идеализированными, их изучение представляет большой интерес, так как в очень многих случаях различия между реальными и обратимыми процессами становятся незначительными. Все зависит от времени релаксации — так называется время, в течение которого устанавли- устанавливается равновесие. Это время меняется в очень широких пределах, начиная от времен выравнивания давления в однородном газе (~10~16 с) до времен порядка минут, часов и даже недель, когда речь идет о процессах перемешивания разнородных веществ. Предположим, что мы сжимаем газ и при этом весь процесс за- занимает у нас одну секунду. Время релаксации — это ничтожные доли секунды. Поэтому мы вправе считать, что реальный процесс есть последовательность равновесных состояний, и поэтому имеем право изобразить его линией на графике /?, v или ином аналогичном чертеже. То же относится и ко всем другим процессам, у которых время релаксации мало по сравнению с временем измерения. Ознакомимся с видом линий, изображающих простейшие про- процессы (рис. 75). Мы будем пользоваться графиком с координатами давление — объем. В технической термодинамике употребительны и другие координаты, однако нам нет нужды на них останавливаться. Вертикальная линия 1 на таком графике изображает процесс при постоянном объеме. Если изображающая точка движется снизу вверх, то давление растет, в обратном случае давление падает. Ясно, 143
Рис. 75. что в этом процессе происходит «не видное» на нашем чертеже изме- изменение температуры. Горизонтальная линия 2 есть процесс при по- постоянном давлении (изобарический процесс). Слева направо — рас- расширение. Обратное движение изображающей точки соответствует сжатию. Кривая, помеченная цифрой 3, соответствует расши- расширению, сопровождающемуся па- падением давления. Кривая 4 — это расширение, несмотря на воз- возрастающее давление. Изменение температуры в любом процессе может быть вычислено с помощью уравнения состояния. В большинстве термодинами- термодинамических процессов одновременно у меняются все параметры состоя- состояния. Тем не менее можно выде- выделить ряд простейших, но в то же время практически важных явлений. К ним относятся уже упомя- упомянутые выше процессы при постоянном объеме (изохорический), при постоянном давлении (изобарический), а также процесс, проис- происходящий без теплообмена (адиабатический), и процесс, идущий при постоянной температуре (изотермический). § 59. Работа. Циклы В механике пользуются чаще всего работой, представленной как произведение силы на путь. В термодинамике нас обычно интересует работа изменения объема тела. На рис. 76 изображены контуры тела в двух состояниях. Объем тела изме- изменился от v 1 до v2. Полную работу изме- изменения объема можно рассматривать как сумму работ, затраченных на сме- смещения элементов площади dS на путь dl. Если действующие силы перпенди- перпендикулярны к поверхности, то работа на смещение участка поверхности равна / dl или, вводя давление, р dS dl, т. е. dA = p dv, Рис. 76. где dv — местное изменение объема. Ясно, что вся работа выразится определенным интегралом  А = ^ р dv. На графике р, v работа сжатия или'расширения имеет простой смысл: это и есть площадь, ограниченная кривой процесса и двумя 144
крайними ординатами, проведенными для начального и конечного значений объема. Если давление во время процесса сжатия или растяжения оста- остается неизменным и, кроме того, если оно одинаково во всех точках поверхности, то р можно вынести за знак интеграла и вычислять работу по формуле A^Pi^ — vJ. Как мы уже говорили, в зависимости от того, как мы условимся, можно считать работу положительной или отрицательной. Мы приняли, что положительной является работа, отдаваемая телом во Рис. 77. внешнюю среду, т. е. работа расширения. Соответственно работа сжатия будет отрицательной. Если в результате какого-либо процесса тело переводится из состояния 1 в состояние 2, а затем по тому же пути переходит в начальное состояние, то полная работа такого процесса будет, ра- разумеется, равняться нулю: работа расширения, отдаваемая внешним телам, равна работе сжатия, отдаваемой внешними телами рассма- рассматриваемой системе. Однако совсем иначе будет обстоять дело тогда, когда пути «туда» и «обратно» будут различаться. Процессы, в кото- которых тело возвращается в исходное состояние иным путем, называ- называются циклическими. На рис. 77 изображены два цикла и стрелками указано направление процессов. Один из них проходит по часовой стрелке, а другой — против. Процесс, идущий слева направо,— расширение, значит в цикле, проходящем по часовой стрелке, ра- работа расширения больше работы сжатия. В этом случае работа от- отдается во внешнюю среду. Очевидно, при цикле, протекающем про- против часовой стрелки, к рассматриваемой системе поступает извест- известное количество работы. Работа, полученная или отданная за время цикла, выражается его площадью (заштрихована на рисунке). § 60. Процессы изменения состояния газов Мы рассмотрим закономерности четырех простейших процессов изменения состояния газов, при этом в большинстве случаев ограни- ограничимся газами, удовлетворяющими уравнению газового состоя- состояния. Мы увидим сейчас, что, зная уравнение состояния вещества, можно с помощью первого начала термодинамики вывести ряд 145
ценных следствий о поведении тела в различных условиях. Первое начало термодинамики для газов будем записывать в виде Изохорический процесс. При постоянном объеме первое начало термодинамики принимает вид AQ=dU. Рассматриваемая система находится с внешней средой в теплообмене, работа не поступает ни во внешнюю среду, ни в рассматриваемую систему. Возможны два явления: 1) тело получает от среды тепло и увеличивает свою внутреннюю энергию; 2) тело отдает среде тепло, уменьшая свою внутреннюю энергию. Количество тепла, необходимое для увеличения температуры теЛа на один градус приГнеизменном объеме тела, называется теп- лдшкдсттгпрхГ116сгпоянном объеме и обозначается буквой с с ин- дексом v: Если зависимость внутренней энергии газа от температуры изве- известна, то теплоемкость с может быть вычислена. При высоких температурах внутренняя энергия газов линейно зависит от температуры, так как теплоемкость cv при этом от темпе- температуры не зависит. Мы лишены возможности доказать одну важную теорему. Из общих законов термодинамики следует: если р зависит от Т линей- линейно, то cv не может зависеть от объема. Так как для газов, удовлетво- удовлетворяющих уравнениям газового состояния и Ван-дер-Ваальса, такая линейная зависимость имеет место, то для газов cv не зависит от v и поэтому значок «при o=const» в предыдущей формуле может быть опущен: dU , ч cv =-jjr (для газов). Если cv мало зависит от температуры, то внутреннюю энергию газов можно представить формулой U = cvT + const. Для идеальных газов константа не зависит от объема и может быть отброшена. Для газа, удовлетворяющего уравнению Ван-дер-Ва- Ван-дер-Ваальса, константа равна — а/и. Таким образом, U = cvT — идеальный газ; U = cvT—~—газ, удовлетворяющий уравнению Ван-дер-Ва- Ван-дер-Ваальса. Действительно, в случае идеальных газов изменение объема газа с сохранением температуры не связано с изменением энергии (см. 146
ниже, стр. 153). Если же молекулы притягиваются с силой, отне- отнесенной к единице площади, p'=a/v2, то при расширении газа энер- энергия возрастет на величину работы, затраченной против этих сил, т. е. на р' dv = — +const. V Изобарический процесс. Все три слагаемые, фигурирующие в пер- первом начале, отличны от нуля в этом процессе. Система обменивается со средой теплом и работой без изменения давления в системе. Наиболее распространенный вариант этого процесса заключается в том, что тело получает из среды тепло, но не обращает его целиком на увеличение своей внутренней энергии, а частично возвращает в среду уже в виде механической работы. На других возможностях не будем задерживать внимания. Совершенно ясно, что теплоемкости при этом процессе и при рас- рассмотренном выше изохорическом должны отличаться. В изобари- изобарическом процессе подводимое тепло расходуется не только на нагрев, поэтому теплоемкость ср (так мы обозначим теплоемкость при по- постоянном давлении) должна быть больше, чем cv. В некоторых слу- случаях эту разность можно оценить Разделим выражение первого начала на приращение температуры: _ AQ dU dv °~~ dT & dT ^Р dT # Это — выражение теплоемкости, верное лля любого процесса, в том числе и для интересующего нас изобарического. Для газов по- последняя формула перепишется так: Для идеального газа результат получается очень простой. Так как pv=\iRT, то ~??г~— и cp=cv+\iR. Таким образом, разность те- плоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме равна произведению числа молей газа на универсальную газовую постоян- постоянную. Тогда для молярных теплоемкостей cp—cv = R. Учитывая, что R&2 кал7(К*моль)=8,31 Дж/(К-моль), ср—cv = 2 кал/(К-моль). Изотермический процесс. Прежде всего, необходимо, во избежа- избежание путаницы, подчеркнуть, что неизменность температуры вовсе не означает отсутствия теплообмена между системой и средой. Система может получать тепло от среды, но обращать его не на повышение температуры. Как хорошо известно, внутренняя энергия тела может возрастать при неизменной температуре (вспомните плавление льда). Кроме того, имеется еще одна возможность (более важная, чем J47
первая) для газовых процессов: получая тепло от внешней среды, система может отдавать его во внешнюю среду обратно, но в виде ме- механической работы. В случае реальных газов оба способа расходования тепла при изотермическом процессе вполне возможны: получая тепло, газ рас- расширяется без нагрева и, во-первых, отдает работу внешней среде, а во-вторых, использует тепло на изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул. В случае идеальных газов, у которых внутренняя энергия зависит только от температуры и, следовательно, в изотермическом процессу меняться не может, первое начало приобретает особенно простой вид Так как dU—О, тоAQ=AA. Следовательно, либо системарасширя- ется, получая^тепло от вт1шШ^срщ^1ПУ1^^^срЩ1^Шоту, либо, наоборот, "система сжимается, отдавая внешней среде тепло, а по- получая от внешних тел энергию в" виде механической работы. Иде альный газ является в изотермическом процессе преобразователем энергии: получая ее от среды в одной форме, oil вдзвращает ее среде полностью, но в другой форме. Нетрудно в случае идеального газа перейти от дифференциаль- дифференциальной формы AQ=pdv к интегральной. Работа (или тепло, это без- безразлично, так как они равны) изотермического расширения от объема Vi до объема v2 равна подставляя значение давления из уравнения газового состояния и вынося температуру как постоянную величину за знак интеграла, получим: Обратим внимание на то, что изотермические расширения в оди- одинаковое число раз, но при разных температурах требуют различной работы, тем большей, чем выше температура. Например, увеличение вдвое объема одного моля какого-либо идеального газа при темпе- температуре 300 К (комнатной) требует работы 8,31-300-In 2=1730 Дж, а при температуре 3000 К — в десять раз больше, т. е. 17 300 Дж. Практическое осуществление изотермического процесса может быть затруднительным. Во всяком случае для того, чтобы процесс был хотя бы приближенно изотермическим, необходимо стенки со- сосуда, через которые вещество общается со средой, сделать идеально теплопроводящими и вести процесс очень медленно, чтобы тепло (или работа) успевало возвращаться среде в виде работы (или тепла), не задерживаясь в системе. Адиабатический процесс^При отсутствии теплообмена со средой, что может быть достигнуто при помощи условий, в некотором роде обратных по сравнению с изотермическим процессом (идеальная 148
теплоизоляция и быстрое проведение процесса, чтобы тепло не успело перейти из системы в среду или обратно), происходят.явле- нця^щиабатического сжатия или расширения. В первом случае в соответствии с первы^началог^тер^^ которое теперь за- запишется в виде pdv = — dU, механическая работа переходит во, щутденнюю^ЩЩЩ- хедщ jbo втором случае, наоборот,(работа производится за счет убыли вну^ ^йЗщёй энергий рассматриваемой системы. у В трех процессах, рассмотренных ранее, ход изменения давления, объема и температуры был довольно очевидным, а для газов сразу же вытекал из уравнения состояния. В адиабатическом процессе характер изменения параметров состояния не очевиден, так как все три параметра состояния изменяются. Совместное решение двух уравнений — уравнения состояния газов и первого начала тер- термодинамики — позволяет установить эти зависимости. Так как нас интересует принципиальная сторона дела, то ограничимся случаем идеального газа, чтобы математические расчеты были простейши- простейшими. Воспользовавшись выражением для теплоемкости газов при по- стоянном объеме -ff = cv и заменяя давление р на ^— , получим: — Ji ^__ Пусть в начальном состоянии параметры газа C V л х, pl9 Ти а в конечном — v29 P2, Т2. Интегрируя последнее урав- уравнение от точки начала до точки конца адиабатического процесса, получим J T cv vx Тг П Вспоминая, что ср— cv=\\R и вводя обозначение — = 7, получим Из этого уравнения видно, что при адиабатическом сжатии темпе- температура возрастает, а_п?|^расширений — падает Этим обстоятель- ствШГ^астоТюльзуются на практике. Быстрое расширение газов применяется тогда, когда хотят их охладить. Известно, что углекис- углекислый газ, выпущенный из баллона, может при расширении обра- обращаться в сухой лед, настолько сильно падает температура. Напро- Напротив, адиабатическим сжатием можно воспользоваться, например, для воспламенения какого-либо вещества. Распространен демон- демонстрационный опыт: ватка, смоченная эфиром, помещается в сосуд с воздухом. Воздух может быть сжат поршнем. При быстром движе- движении поршня ватка воспламеняется. Так как мы условились изображать газовые процессы на графике р, v, то написанное уравнение адиабатического процесса 149
целесообразно преобразовать, заменивтемпературуспомощью урав- уравнения газового состояния. Получим: Сравнивая это уравнение с законом Бойля — Мариотта, имеющим место в изотермическом процессе, мы видим существенные различия в характере изменения давления при сжатии или расширении. В изо- изотермическом расширении или сжатии остается неизменным произве- произведение pv, а в адиабатическом процессе — произведение pvi. Так как 1, то кривая, изображающая адиабатический процесс на графике Ц VL V (коротко — адиабата), идет круче, чем изотерма. При изменении объема вдвое в изотермическом процессе давление возрастает вдвое; в адиабатическом процессе давление меняется более резко. Напри- Например, для большинства двухатомных газов, у которых у^М, при изменении объема вдвое давление изменится в 2,63 раза. Мы уже подчеркнули, что оба процесса носят идеальный харак- характер и что для создания идеальных условий этих процессов требования обратны. Поэтому ясно, что газовые процессы, происходящие в реальных условиях, дадут кривые, промежуточные между адиабатой и изотермой. Нетрудно дать наглядное объяснение различию в ходе адиабаты и изотермы. При адиабатическом сжатии газ нагревается; поэтому при одном и том же сокращении объема давление возрастает в ади- адиабатическом процессе больше — ведь нагревание при постоянном объеме ведет к повышению температуры. Как видно из графика на рис. 78, работа изотермического рас- расширения больше работы адиабатического расширения. Напротив, работа изотермического сжатия меньше работы адиабатического сжатия. Это, разумеется, для тех случаев, когда начальные точки процессов совпадают. Работу адиабатического процесса можно вычислить графически и по формулам. Прежде всего, из первого начала термодинамики для адиабатических процессов следует, что работа должна равняться 1M0
изменению внутренней энергии: 2 В случае идеальных газов разность энергии вычисляется элементар- элементарно: иг— U2=cv(T1—Г2). Значит, для идеальных газов и работу можно рассчитывать по этой формуле. К определению работы при адиабатическом процессе можно пр- дойти и другим путем. Так как в любой промежуточной точке про- процесса имеет место равенство p1vl=pv(, где без индексов обозначены текущие значения давления и объ- ; ема, то интеграл работы можно р %— > записать в виде А = dv что дает после интегрирования от начальной до конечной точек про- цесса л - Pl°? /_J L-Л 7-1 Ur1 "Г1/ Рис. 79. Разумеется, эта формула вполне совпадает -€- A=^cv(T1—Г2), что легко доказать, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа и преобразовывая полученную формулу (вынесением за скобки виду -±BI±U (vi V! В зависимости от данных, та или иная формула может предста- представить практические удобства. Приведем простой пример, иллюстрирующий утверждение, сделанное в гл. 9, о том, что приращения AQ — ДЛ не являются полными дифференциалами, т.е. не характеризуют изменения состояния системы. Пусть состояние 1 моля водорода (рис. 79) характеризуется следующими дан- данными: 01=0,02 м3, 7\=300 К, рх =^—1.= 125 000 Дж/м3 (здесь #=8,31 Дж/К)- ср—cv=R> а так как водород—двухатомный газ, тоcp/cv=ly4. Тогдас^=29,4 Дж/К, cv—2l Дж/К- Рассмотрим три возможных пути перевода газа в состояние 3: у3=0,04 м3, Тз=300 К, рз-63000 Дж/м3. v3 Путь 1—3. Работа по изотерме A1-3=RT1\n—~17O0 Дж. Эти 1700 Дж взяты vi у нагревателя, а внутренняя энергия (/=const, так как Т1~Т3. Путь 1—2—3. Здесь 1—2 — изобара. Следовательно, Т2=600 К. У нагрева- нагревателя берется Q1-2~cp(T2—Тх)=8600 Дж, а работа против внешних сил Л1-2= ==Pi(v2—^j)=2300 Дж. Следовательно; внутренняя энергия газа увеличилась на * 151
Д ?/=8600—2300=6300 Дж. 2—3 — изохорическое охлаждение, холодильнику передается Q2-3~cf(^2—Г3)=6300 Дж. Так как v2~v3, механическая работа не совершается. Итак, на пути 1—2—3 нагреватель потерял 8600 Дж, была совершена работа 2300 Дж и холодильник получил 6300 Дж. На пути 1—3 нагреватель потерял 1700 Дж, была совершена работа 1700 Дж, состояние холодильника не измени- изменилось. Изменение же состояния газа в обоих случаях было одинаковым. 1 Путь 1—4—3. Здесь 1—4 —г адиабата, а 4—3 —изобара;—=( — ] у = — L Т = 2 v , ^4=0,020- 2V м3. Температуру Т*4 найдем из соотношения -~А= ' 7*4 == 300 • 2 v .На пути /—4 работа против внешних сил совершается только за счет убыли внутренней энергии.^ 1 - 2 Y / ДЖ. На пути 4—3 нагреватель отдаст Q4_3 = ^ (^з — Г4) = 8600\1—2Y тепла, а работа против внешних сил будет 1 \ .1—2~ у Дж- Следовательно, на пути 4—3 внутренняя энергия увеличилась как раз на 6300 \\ — 2V у. Дж. Путь 1—4—3 опять-таки не привел к изменению внут- внутренней энергии газа, которая однозначно определяется температурой. Измерение теплоемкостей газов. Казалось бы, проще всего опре- определить теплоемкость газа, заполнив испытуемым газом сосуд и по- погрузив этот сосуд в калориметр. Однако мы не учитываем при таком измерении исключительной малости теплоемкости газа по сравнению с теплоемкостью сосуда, из какого бы твердого материала он ни был сделан. Поэтому измерения теплоемкости газа при постоянном объеме не производятся. Измеряют теплоемкость при постоянном давлении. Для этой цели через калориметр пропускается змеевик, в котором под постоянным давлением движется газ. При помощи термоэлемента измеряется температура газа при входе в калориметр и при выходе. Газ, входящий в калориметр после предварительного нагревания, передает часть своего тепла воде. Зная количество газа, протекшего через сосуд за какое-то определенное время, и количест- количество тепла, полученное водой калориметра за тот же самый срок, мы без труда найдем теплоемкость газа при постоянном давлении сру деля это количество тепла на протекшую массу газа и на разность температур газа при входе и выходе. Для определения теплоемкости при постоянном объеме пользу- пользуются отношением теплоемкостей — коэффициентом Пуасбона у== =cp/cv. Для определения у предлагалось много способов, часть из них основана на измерении объемов и давлений газа в последова- 152
тельных состояниях при адиабатическом процессе. Можно восполь- воспользоваться и другими уравнениями, связывающими теплоемкости, на- например соотношением, определяющим разность теплоемкостей ср и cv. Теплоемкости различных газов приведены в таблице. Газ Дж/(к"моль) 12,5 20,4 20,39 20,9 27,8 27,3 79,4 Дж/(К-моль) 20,9 28,8 28,6 28,9 36,2 35,6 87,7 V 1,67 1,41 1,41 1,40 1,31 1,30 1,11 Гелий Не Водород Н2 Азот N2 Кислород О2 Пары воды Н2О ... Метан СН4 Этиловый спирт С2НбО § 61. Процесс Джоуля — Томсона Так называется процесс б т1Г^ ?i^b область меньшего давле- p Сосуд, в котором происходит процесс","*Теплоизолирован от окружаю'щей среды. По условию процесса давления рх и р2 должны поддерживаться неизменными. Для этого оба поршня (рис. 80) должны передвигаться вправо по мере перехода газа. Масса газа М, перешедшая слева направо, не сохраняет своего объема, а изменяет его с vx до t/2, поскольку переходит в область с другим давлением. Переход совершается действием левого поршня и при противодейст- противодействии правого. Левый поршень совершает работу при посто- постоянном давлении /?,; она равна рхЬх), где Аи — изменение объ- объема газа слева от перегород- перегородки. Но объем слева изменился как раз на vu значит, работа Рис. левого поршня равна Правый поршень совершает отрицательную работу, также равную произведению давле- давления р2 на приращение объема, которое равно здесь v2. Итак, при переходе массы М газа слева направо совершается ра- работа ptVi— p2v2. Закон сохранения энергии требует, чтобы на такую же величину изменилась внутренняя энергия газа. Следова- Следовательно, 153
формула справедлива для любой массы газа. Значит, в процессе перехода газа из одного сосуда в другой величина U + pv = const (ее называют тепловой функцией, или энтальпией) остается неизмен- неизменной. У идеального газа как (/, так и pv зависят только от температуры. Значит, в процессе Джоуля — Томсона температура идеального газа остаётся- неиШенной. " "~ " -—^—- __~~~~~— Иначе обстоит дело Для реальных газов. Если газ нельзя счи- считать идеальным, то он может как нагреваться, так и охлаждаться в процессе Джоуля — Томсона, в зависимости от характера сил вза- взаимодействия между молекулами. Замечательным является то обстоятельство, что при разных температурах один и тот же газ может вести себя различно. При вы- высокой температуре газы в процессе Джоуля — Томсона нагреваются, при низкой — охлаждаются. Для употребительных газов известны точки инёерсии — температуры, при которых эффект меняет свой знак. Температура инверсии кислорода и азота лежит выше ком- комнатной температуры. Поэтому мы наблюдаем охлаждение воздуха в процессе Джоуля — Томсона как при комнатной, так и, тем более, при низких температурах. Температура инверсии водорода лежит при весьма низких температурах. Эффектом Джоуля — Томсона ниже температуры инверсии пользуются в технике сжижения газов. ГЛАВА и ЭНТРОПИЯ § 62. Принцип существования энтропии В середине прошлого века было сделано существенное открытие» касающееся обратимых термодинамических процессов. Оказалось, что наряду с внутренней энергией у тела имеется еще одна замеча- замечательная функция состояния — энтропия. Также, как и внутренняя энергия, эНТрбпия^определяется с точностью до произвольной по- постоянной. Опыт дает значение разности приращения энтропии..Если тело или ci^^^jTjft^^ русЕЗри температуре Т получает тепло AQ, то отношение^^/Г явйяётс^^ ^функции S. Эта функ- функция и есть энтропия, определяющаяся, таким образом, одним из двух эквивалентных равенств: ac>=-jr- , о2 — ог — \ -jr . Утверждение о существовании функции, дифференциал которой есть AQ/Г, носит название принципа существования энтропии и 154
является одним из важнейших законов природы. Оно является су- существенной частью второго начала термодинамики, о чем у нас речь пойдет ниже. Открытие этого принципа, как и всего второго начала термодинамики, связано, прежде всего, с именами Карно и Клаузиу- са. Сущность принципа, несмотря на некоторую его абстрактность, легко понять: переход тела из одного состояния во второе может произойти бесчисленным количеством способов (разные кривые на графике, начинающиеся и заканчивающиеся в тех же точках); при этих переходах тело может получать самые различные количест- 2 ва тепла, однако во всех случаях интеграл \ ¦—¦ будет иметь оди- одинаковые значения. Отношение количества теплоты к той темпера- температуре, при которой это тепло было получено, А^О/Т^^аааывают иногда приведенной теплотой. Так как интеграл всегда можно представить б энтропии при переходе из одного П ^у р р р о состояния в другое равно сумме приведенных теплот. Предположим, что тело, равномерно нагреваясь от 20 до 25 °С, получает при подъе- подъеме температуры по одному джоулю тепла на каждый градус. Тогда прирост энтропии будет примерно равен 9 с _ 1 Дж , 1 Дж 1 Дж , 1 Дж 1 Дж ° ° * ~* 2965 К * °i °2~ 293,5 К ~*~" 294,5 К ~*~ 295,5 К ~* 296,5 К * 297,5 К ' Наиболее просто выражаются изменения энтропии при изотер- изотермических процессах: <? S - Q где Q — полученное при процессе тепло. Так, например, при тая- таянии 1 кг льда энтропия вещества возрастает на 33,6-Ю4 Дж 273 К • = 1230 Дж/К. За нуль энтропии может быть принято значение энтропии любого состояния (кипящей воды, плавящегося льда). Однако в некоторых случаях принимают за нуль значение энтропии вещества при аб- абсолютном нуле температуры. Для этого, впрочем, имеются некоторые теоретические основания (теорема Нернста), на которых мы оста- останавливаться не будем. Приняв 5=0 при Т=0, энтропию вещества при температуре Т можно найти по формуле если нагрев происходит при постоянном давлении. Как видим, чтобы знать энтропию, надо изучить ход теплоемкости с температурой. Если известно уравнение состояния вещества, то энтропия (с точностью до произвольной постоянной) может быть вычислена 155
весьма просто. По определению dS = -у- . Подставляя значение для AQ таким, как его дает первое начало термодинамики, получим При помощи уравнения газового состояния исключим отсюда давле- давление. Получим: dS = cv -~г- + \xR — . Если взять неопределенный ин- интеграл, то получим выражение энтропии с точностью до произволь- произвольной постоянной 5 - cv In T + \iR In v + const. Можно также взять от dS определенный интеграл, пределами которого являются два состояния. Тогда получится выражение для разности энтропии двух состояний Это — выражения для энтропии идеальных газов. Из формул видно, что энтропия возрастает при повышении температуры, а также при увеличении объема газа. Это, разумеется, полностью совпадает с общим утверждением о повышении энтропии при подводе к телу тепла. Пример. Покажем, что энтропия действительно есть функция состояния системы. Обратимся к примеру на стр. 151 (рис. 79). Путь 1—2—3. Изменение энтропии S2-Sx = cv In %±+R In ^- = = 20,74 In 2 + 8,38 In 2 = 29,36 In 2 ДжДК-моль). Изменение энтропии S3~S2 = 20,74 In ~ = —20,74 In 2 ДжДК-моль). Полное изменение энтропии на пути 1—2—3 53—5! = 8,381п2 ДжДК-моль). Путь 1—3. S3—5х=8,38 In 2 ДжДК-моль). Путь /—4—3. Так как 1—4 — адиабата, ?4—^=0, S8—Si = cv in -Ia+8,38 In -^- = = 20,74 In 21~T + 8,38 In 21"==29>36 ln 2 ДжДК-моль). Видно, что действительно, каким бы путем ни совершался переход газа из состоя- состояния 1 в состояние 3, изменение энтропии одно и то же. 156
§ 63. Принцип возрастания энтропии Как уже говорилось, обратимых процессов, строго говоря, не существует, хотя с точностью, доступной опыту, можно осуществить множество процессов, практически неотличимых от обратимых. Имеются, однако, примеры процессов, которые всегда односторонни и уже поэтому никоим образом не могут быть обращены. Так, на- например, газ может расшириться сам по себе, но не может сжиматься без приложения внешних сил. Тепло может самопроизвольно пере- переходить от горячего тела к холодному и только при затрате работы (например, электроэнергии) может переходить от холодного тела к более нагретому. При трении кинетическая энергия .макроскопи- .макроскопического движения всегда превращается во внутреннюю энергию, но никогда не происходит самопроизвольный обратный процесс. Не- Необратимость всех остальных процессов в конечном счете связана с тем, что в каждом из них в той или иной степени присутствует один из перечисленных односторонних процессов. В реальных процессах невозможно избежать ни самопроизвольных расширений, ни тре- трения, ни теплового рассеяния. Нет ли какого-нибудь общего признака у всех перечисленных односторонних процессов? Оказывается, есть: этот признак состоит в том, что во всех односторонних процессах возрастает энтропия. В случае теплообмена между двумя телами общее (всей системы) изменение энтропии равно с с __ Qi , Q2 где Qi— тепло, полученное более холодным телом, Q2— тепло, по- потерянное более горячим телом. Если Т2 больше Т1у то Qt=—Q2>0, так как мы считаем положи- положительным тепло, сообщенное телу. Значит, т. е. при теплообмене общая энтропия системы, в которой произошел теплообмен, возрастает. Другой случай. Внутри сосуда с газом происходит интенсивное механическое движение (скажем, вертится колесо). Объем не ме- меняется, температура растет, поэтому энтропия изменится на т S2— St = cv In -у1, т. е. возрастет. Наконец, при расширении в пустоту при неизменной температуре прирост энтропии S2—Sl = \iRln —— опять-таки положительный. Итак, во всех односторонних процессах энтропия системы возра- возрастает. Нетрудно понять, какое значение имеет этот вывод для всех необратимых процессов. Так как каждый необратимый процесс со- сопровождается односторонними явлениями, идущими с повышением 157
энтропии,,то прирост, энтропии у необратимого процесса будет завы- завышен против того прироста, который имел бы место при обратимом переходе. Пусть AQ — тепло, полученное телом при температуре Т в интересующем нас необратимом процессе. Если бы процесс был обратимым, то прирост энтропии равнялся бы AQ/T; в реальном про- процессе прирост энтропии будет больше этой величины: Если система теплоизолирована, то AQ=0 и предыдущее ут- утверждение приобретает вид в теплоизолированной системе возможны лишь процессы, идущие с возрастанием энтропии. Вполне понятно, что энтропия вместе с внутренней энергией яв- являются важнейшими функциями, определяющими термодинамиче- термодинамический процесс. Можно сказать, что энтропия является директором- распорядителем процесса, а внутренняя энергия является его бух- бухгалтером: энтропия определяет направление протекания процесса, энергия «оплачивает расходы» на его проведение. Если в предыдущие формулы ввести вместо знака > знак ^, го краткой формулой запишется закон энтропии как для обратимых, так и для необратимых процессов: Эта формула передает содержание второго начала термодинамики. Для замкнутых систем второе начало говорит: энтропия теплоизо- теплоизолированной системы возрастает или остается неизменной. Целесообразно объединить оба начала термодинамики одной формулой ИЯ ^ dU-j-pdv ао ^ тр , удобной для рассмотрения всех практических задач термодинамики. Принцип возрастания энтропии относится к закрытым системам. Если же система общается со средой, другими словами, если речь идет об открытой системе, то ее энтропия может, разумеется, и убывать. Ниже будет показано, что процессы молекулярного упорядоче- упорядочения связаны с уменьшением энтропии. Живой организм из неупоря- неупорядоченной системы малых молекул, получаемых в процессах пита- питания и дыхания, конструирует высокоорганизованные постройки — биологические макромолекулы (стр. 595). При этом энтропия орга- организма падает. Если представить себе замкнутую систему организм+среда, энтропия которой обязааа расти, то ясно, что энтропия среды долж- должна возрастать, перекрывая уменьшение энтропии организма. 158
Возрастание энтропии среды происходит за счет выделений ор- организма. Если процесс стационарной, то dS \ ( dS dt /орг V dt /cp Можно сказать, что жизнедеятельность организма состоит в пропускании через себя потока энтропии вещества. При этом эн тропия вещества, входящего в организм, меньше энтропии, отдавае- отдаваемой среде,— организм деградирует продукты питания. Примеры. 1. В примере на стр. 57 мы рассмотрели неупругое столкновение пули с баллистическим маятником и выяснили, что при ударе в системе пуля — маятник исчезает 3920 Дж механической энергии. Это значит, что AQ—392Q Д>к было необратимым образом передано маятнику от пули посредством теплопро- теплопроводности. Если предположить, что процесс был изотермическим (т. е. теплопро- теплопроводность маятника чрезвычайно велика) и температура системы, скажем, 27 °С, то в этом необратимом процессе энтропия системы возросла на Д5 = ^=13,1 Дж/К. 2. Детский резиновый мяч массой 0,3 кг после падения с высоты 2 м подпры- подпрыгивает на 1 м от пола. В этом изотермическом процессе (пусть ^—27 °С) необратьмо передается AQ=2,96 Дж, т. е. энтропия системы мяч — пол возросла на AS= 1-2,87. Ю-3 Дж/К. Если бы мяч и пол были абсолютно упругими, то энтропия не менялась бы (AS=0) и движение мяча продолжалось бы вечно. 3. Рассмотрим необратимый процесс передачи тепла от парового котла к кон денсатору. Пусть паровой котел находится при температуре t1=300 °С, а конден сатор — при /2=30 °С. При тепловой мощности котла 10 000 кВт и к. п. д. 25% ежесекундно от котла к конденсатору будет переноситься 7,5-106 Дж. Для котла, теряющего теплоту, это AQ будет отрицательным, т. е. его энтропия убывает; у конденсатора энтропия растет. Но так как 7\>Т2, то энтропия системы ко- котел — конденсатор за каждую секунду возрастает на ^ ^_^) = 11,8- Юз Дж/К. 1 2 1 1 / § 64. Принцип действия тепловой машины Тепловая машина превращает тепло в работу, иначе говоря, за бирает тепло от одних тел и передает его другим телам в форме ме- механической работы. Для того чтобы осуществить это превращение, надо располагать двумя различно нагретыми телами, между которы- которыми возможен теплообмен. Для краткости будем называть более горячее тело нагревателем, а более холодное — холодильни- холодильником. При наличии таких двух тел процесс превращения тепла в работу рисуется следующим образом: способное расшириться тело (рабочее тело) приводится в контакт с нагревателем. Тепло Q, отбирается от нагревателя и затрачивается на работу расширения Лх, которая отдается окружающим телам. Далее, рабочее тело при- приводится в контакт с холодильником, которому оно отдает тепло Qt 159
за счет работы Л2, совершаемой внешними силами над рабочим телом. Чтобы получить непрерывно действующую тепловую машину, необходимо закончить такт сжатия в той точке, в которой начался такт расширения; короче, процесс должен быть циклическим. Ра- Рабочее тело по проведении каждого цикла возвращается в исходное состояние. Закон сохранения энергии требует поэтому, чтобы энер- энергия, полученная от окружающих тел, равнялась энергии, пере- переданной окружающим телам. От среды получено: тепло Qt при расширении и работа А 2 при сжатии рабочего тела. Среде отдано: ра- работа Аг при расширении тела и тепло Q2 при сжатии. Следовательно, Q1+A2:=Q2^-A1, или А1—A2=Qi—Q2. При проведении цикла по часовой стрелке работа сжатия меньше работы расширения. По- Поэтому последнее равенство выражает тот простой факт, что чистая работа, переданная рабочим телом внешней среде, равна разности теплот, полученной от нагревателя и отданной холодильнику. Соот- Соответственно коэффициент полезного действия цикла, а значит, и всей 1 Q2 машины, будет равен Ц = 1 —тр . Описанный процесс действия тепловой машины является, разу- разумеется, абстрактной схемой. Однако наиболее существенные черты каждого теплового двигателя передаются этой схемой. Рабочим те- телом является расширяющийся и сжимающийся газ или пар, роль холодильника играет окружающая среда. Нагревателем служит паровой котел или, в двигателях внутреннего сгорания, горючая смесь. Те же три системы являются необходимыми и для холодильной машины, в которой цикл протекает в обратную сторону. Принцип работы этой машины заключается в следующем: расширение рабочего тела производится тогда, когда оно находится в контакте с холо- холодильником. Этим холодное тело охлаждается еще больше, что и является задачей холодильной машины. Далее, чтобы цикл стал воз- возможным, нужно произвести сжатие рабочего тела и передать тепло, полученное от холодильника. Это выполняется при контакте ра- рабочего тела с нагревателем. Таким образом, более горячее тело на- нагревается еще больше. «Противоестественный» переход тепла от те- тела менее нагретого к телу более нагретому «оплачивается» работой. Действительно, при совершении цикла против часовой стрелки ра- равенство энергии, переданной среде, и энергии, отнятой от среды (т. е. Q±+A2=Q2+AU mnQ2—Q1=—(А1—А2), где мы по-прежнему индекс 1 относим к части процесса, протекающей при контакте с более горячим телом), имеет следующий смысл: количество тепла, отнятое от системы, должно быть скомпенсировано равным количе- количеством механической работы. Второе начало термодинамики накладывает некоторое условие на действие тепловой машины. Если предполагать процесс обратимым, то изменение энтропии рабоч-его тела после прохождения цикла должно равняться нулю. Можно сказать и иначе: изменение энтро- 160
пии в процессе расширения должно равняться (с обратным знаком) изменению энтропии при сжатии, т. е. С 3Q___ P dQ В случае же необратимого процесса энтропия замкнутой системы, состоящей из нагревателя, холодильника и рабочего тела, возрастет и поэтому dQ , С dQ ^ Л (Напоминаем, что Q есть алгебраическая величина. Тепло, поступив- поступившее в систему, считается положительным.) Подсчитывая значения этих интегралов для конкретных процессов, можно в ряде случаев довольно просто найти значение максимального коэффициента по- полезного действия того или иного цикла тепловой машины. § 65. Цикл Карно. Максимальный к. п. д. Сейчас мы задаемся целью найти выражение предельно большого коэффициента полезного действия тепловой машины, достижимого для идеальной машины, работающей без потерь на обратимом цикле. Прежде всего рассмотрим теоретический четырехтактный цикл Карно, изображенный на рис. 81. Цикл Карно состоит из двух изо- изотерм (для температур 7\ и Т2) и двух адиабат. Первый * такт процесса пусть будет изотермическое расшире- расширение от состояния / к со- состоянию 2 — рабочее тело находится в контакте с на- нагревателем, имеющим тем- температуру 7\, и процесс про- проводится весьма медленно. По достижении состояния 2 контакт с нагревателем на- нарушается, тело теплоизоли- теплоизолируется и ему предоставля- предоставляется возможность дополни- дополнительно расшириться. Работа у* происходит за счет внутрен- Рис. 81. ней энергии и температура тела пусть падает до Г2. Начиная с этой точки (состояние 3) на- начинается двухтактное сжатие. Тело сообщается с холодильником при температуре Т2 и изотермически сжимается до состояния 4. Здесь опять тело теплоизолируется и сжатие продолжается уже адиаба- адиабатическим путем с нагреванием рабочего тела за счет совершаемой работы до начальной температуры 7\. 6 А. И. Китайгородский 161
Адиабатические процессы в цикле Карно носят вспомогательный характер: они помогают перейти с одной изотермы на другую. В энер- энергетическом балансе эти процессы не участвуют, так как работа ади- адиабатического расширения cv(T1—T2) и работа сжатия cv(T2—7\) компенсируют друг друга. В адиабатическом процессе энтропия системы не меняется. При изотермическом расширении энтропия нагревателя уменьшается на величину ~y~ , энтропия холодильника возрастает на -~ . Энтропия рабочего тела, вернувшегося в исходное состояние, остается неизмен- неизменной. Если процесс обратим, то -р- = -р-. В необратимых процессах М * 2 энтропия всей системы, состоящей из холодильника, нагревателя и рабочего тела, возрастает и прирост энтропии -*г- больше убыли * 2 т. е. Qi г, ~\ ^ -—¦ и, следовательно, максимальный коэффициент л -х-Ь. - I' Чмакс — l f • - Z откуда полезного действия цикла Карно равен ' i К. п. д. цикла определяется температурами холодильника и на- нагревателя. Чем больше перепад температуры, тем выше к. п. д. машины. Нетрудно видеть, что коэффи- коэффициент полезного действия цикла Карно дает оптимальное значение к. п. д. Нет лучшего цикла, чем цикл Карно, и в этом смысле он должен являться образцом для конструкторов тепловых машин, они дол- должны стремиться как можно более при- приблизить реальные циклы к циклу этой идеальной машины. Рис. 82 Карно может быть представлено интегралом в V Доказательство не составит труда. На ряс. 82 показан произвольный цикл, вписанный в цикл К У энтропии нагревателя пр Уменьшение I которого несомненно справедливо неравенства в в 162
так как Tl— самое большое число из тех значений, которые пробегает Т при интегрировании. Увеличение энтропии холодильника выразится интегралом Г dO \ -J1, для которого справедливо неравенство в Т А 1 Г dQ в так как Т2— самое маленькое число из тех значений, которые пробегает Т при интегрировании. При обратимом процессе А С dQ в = в \ С dQ JT А следовательно, IQ2 что и дает условие Итак, из всех возможных циклических процессов максимальным к. п. д. обладает цикл Кар но. Формула максимального к. п. д. показывает причину низкого к. п. д. паровых машин. При Гз^ЗОО К и 7\=400 К к. п. д. равен 25%. Однако ведь это — максимальный коэффициент полезного действия, он достижим для идеальной машины, работающей обра- обратимо без каких бы то ни бь!ло потерь энергии. Не приходится удив- удивляться, что в реальных паровых машинах к. п. д. ниже 10%. В курсе теплотехники рассказывается о путях, которыми идет техника для увеличения коэффициента полезного действия. Ясно, что наиболее существенным является повышение температуры нагревателя, т. е. пара или горючей смеси. § 66. Второе начало термодинамики Как было указано выше, второе начало термодинамики состоит в утверждении, что энтропия в теплоизолированной системе возра- возрастает. Это утверждение может показаться несколько абстрактным. Кроме того, приведенная формулировка не соответствует истори- историческому развитию идей. Имея в виду огромную, значимость эхого закона природы, надо кратко остановиться на других существующих формулировках второго начала термодинамики и показать их экви- эквивалентность приведенной выше. Исторически второе начало термодинамики вошло в науку в виде постулата Томсона о невозможности создания вечного* двигателя второго рода. Вечным двигателем первого рода называют машину, создающую работу «из ничего», т.е. машину, работа которой нару- нарушает первое начало термодинамики. Вечным двигателем второго 6* 163
рода называют такой двигатель, который производит работу при помощи периодически действующей машины за счет одного лишь отнятия теплоты от окружающей среды. Такой двигатель, будь он возможен, был бы практически вечным, так как запас энергии ' в ок- окружающей среде почти безграничен и охлаждение, скажем, воды оке- океанов на один градус дало бы непредставимо огромную энергию. Масса воды в мировом океане по порядку величины составляет ~1018 т. При охлаждении всей этой массы воды лишь на Г выдели- выделилось бы 1021 ккал=4,18-1024 Дж тепла, что эквивалентно полному сжиганию 1014 т угля. Железнодорожный состав, нагруженный этим количеством угля, растянулся бы на расстояние ~1010 км, что по порядку величины совпадает с размерами солнечной системы! Вечный двигатель второго рода — это тепловая машина, рабо- работающая с нагревателем, но без холодильника. Такая машина могла бы поработать один такт — газ, находящийся в сосуде с поршнем, мог бы расшириться, но на этом работа двигателя и закончилась бы, так как для продолжения действия машины тепло, полученное газом, необходимо передать холодильнику. Формально невозможность вечного двигателя второго рода видна из формулы максимального к. п. д. При отсутствии теплового перепада {Т2=Тг) максимальное значение к. гг. д. равно нулю. Невозможно осуществить периодически действующий вечный двигатель, комбинируя изотермическое расширение с адиабатиче- адиабатическим процессом сжатия. Такой процесс невозможен, даже если бы удалось его сделать обратимым. При изотермическом расширении рабочего тела энтропия падает. Значит, процесс сжатия должен приводить к возрастанию энтропии. Этого, однако, не может сде- сделать адиабатический процесс, так как он проходит при постоянной энтропии. Вполне соответствует принятой здесь формулировке второго на- начала термодинамики также постулат Клаузиуса, который состоит в утверждении о невозможности перехода тепла от менее нагретого тела к более нагретому без компенсации. Процесс, противоречащий постулату Клаузиуса, протекает с уменьшением энтропии; это свой- свойство энтропии было показано с самого начала. Мы еще раз вернемся ко второму началу термодинамики в § 77, где мы обсудим его с точки зрения молекулярно-кинетической теории. ГЛАВА 12 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ § 67. Основные представления Считая, что в твердых телах молекулы плотно прилегают друг к другу, можно методами рентгеноструктурного анализа (стр. 352) с хорошей точностью определить размеры молекул. Сравнивая их с объемом, приходящимся на одну молекулу в газе, мы сразу 164
же обнаружим основные особенности газообразного состояния вещества. Наибольший линейный размер двухатомных молекул кислорода равен примерно 4А, такой же размер имеют молекулы азота; моле- молекулы водорода значительно меньше. Объем молекулы кислорода будет примерно равен 10~23 см3. При нормальных условиях в 1 см3 кислорода находится 2,7-1019 молекул. Следовательно, на одну молекулу приходится объем около 0,4-10~19 см3. Сопоставляя эти две цифры — собственного объема молекулы и объема, приходяще- приходящегося на одну молекулу,— мы видим, сколь редко расположены мо- молекулы. Вполне понятно, что при такой малой плотности встречи между молекулами будут происходить относительно редко. В сред- среднем молекула проходит путь в 1000 А между двумя последователь- последовательными столкновениями. Однако скорость молекулы велика, около 500 м/с. Поэтому столкновения будут происходить в среднем через каждую десятимиллиардную долю секунды A0~10 с). Откуда взя- взялись эти цифры, станет ясно из дальнейшего. Молекулы начинают притягиваться лишь тогда, когда расстоя- расстояния между ними становятся сравнимыми с их собственными разме- размерами. Поэтому большую часть своего пути молекулы движутся пря- прямолинейно и равномерно. Если на пути одной молекулы попадается другая, то только в этом случае проявятся силы взаимодействия ме- между молекулами. Ввиду того, что взаимодействие проявляется на незначительной доле пробега молекулы, можно говорить о столкно- столкновениях между ними. Время, в течение которого молекулы заметно взаимодействуют, иначе говоря, время соударения, равно примерно 10~13 с. Таким образом, подавляюще большую часть своей «жизни» молекула проводит в свободном движении по инерции. Такая картина имеет место для газов, находящихся в обычных условиях. Повышение давления, ведущее к увеличению плотности, может ее существенно изменить. Внутренняя энергия газов, в которых взаимодействие между молекулами происходит лишь во время почти мгновенных соударе- соударений, не содержит потенциальной энергии взаимодействия между мо- молекулами. Такие газы мы назовем идеальными и оправдаем вторичное использование того же термина тем, что докажем справедливость уравнения газового состояния для таких газов. Итак, газообразное вещество представляет собой огромное число мельчайших частиц, пролетающих большие пространства без соуда- соударений, затем сталкивающихся, как пара биллиардных шаров, и раз- разлетающихся в разные стороны, уже с другими скоростями, до сле- следующего соударения. Если последить за одной молекулой газа (разу- (разумеется, это можно сделать лишь мысленно), то мы увидим ее то движущейся влево, то вправо, то вперед, то назад. Иногда она будет лететь с большой скоростью, в иных случаях будет двигаться мед- медленно. Ввиду полной хаотичности теплового движения в газе можно утверждать, что молекулы свободного газа, находящегося в тепло- тепловом равновесии, будут равномерно распределены в пространстве по 165
плотности. Также несомненно, что во всех направлениях в данное мгновение будут двигаться равные количества молекул. Будут рав- равномерно распределены также и другие случайные события. Скажем, для всех мест будут одинаковы, числа молекул, пролетевших без соударения путь от 100 до 200 А, за секунду наблюдения. Однако необходимо оговориться: все суждения, высказанные выше, носят так называемый статистический характер. Они спра- справедливы в среднем и справедливы в тем большей степени, чем боль- больше число молекул газа. Мы утверждаем, например, что число молекул, летящих «вправо» и «влево», будет одинаковым. Разумеется, это не значит, что эти числа будут равны с точностью до единиц. Числа движущихся моле- молекул столь огромны, что при различии указанных чисел не только на единицы, но и на миллионы процентное различие будет ничтожным. Если многократно «подсчитывать» количество молекул в ка- каком-либо объеме, то при различных подсчетах будут получены не- несколько отличные числа. Измерения плотности устанавливают сред- среднее значение числа молекул, находящихся в интересующем нас объеме. Если бы возможно было измерять хотя бы с точностью до тысяч молекул, то отдельные измерения незначительно колебались бы около этого среднего значения (незначительно в процентном отношении). Когда говорят о числе молекул, имеющих такие-то скорости, или движущихся туда-то, или сталкивающихся по такому-то механизму, всегда имеют в виду среднее значение соответствующего числа. Если число молекул газа велико, то отклонения мгновенных значений от средних (они называются флуктуациями) будут ничтожными. В сильно разреженных газах флуктуации могут стать значитель- значительными. В теории вероятностей доказывается, что среднее по абсолютной величине относительное отклонение плотности газа от среднего числа молекул в единице объема примерно равно 1/Уп\ где п — число молекул. Так как в 1 см3 газа находится 2,7-1019 молекул, то флуктуация плотности газа в пределах одного кубического сан- сантиметра составит 1 т. е. 2-Ю0 от средней величины. Ясно, что подобные отклонения находятся за пределами опытного обнаружения. - Так же обстоит дело и со всеми другими свойствами газов, кото- pbte определяются средними числами молекул. Зарождение кинетической теории газов восходит к Даниилу Бернулли A700—1788). Существенное развитие кинетическая теория получила в трудах М. В. Ломоносова A711—1765). В XIX в. кине- кинетическая теория газов развивалась Клаузиусом A822—1888), Мак- Максвеллом A831—г1879) и Людвигом Больцманом. A844—1906) и при- приняла уже современную форму. 166
§ 68. Длина свободного пробега . Расщщние, которое молекула проходит между двумя посд тельными соударениями (пробен молекулыO является, разумеется, ел^чайной^величиной, которая может для отдельных молекул бьщать иногда и очень маленькой, и очень большой. Однако в силу хаоса в движении частиц среднее^ значение этой величины^ля данного сос- состояния газа будет неоэдшённо константой:'С^даяСЖЙна свобод- нрха .пробега. ил к коротко, длина пробега /может быть связана со средней скоростью v движения молекул и средним временем между двумя соударениямит простым соотношением: 1=их*). На стр. 165 мы привели типичные значения этих величин. Длина пробега молекулы должна зависеть, прежде всего, от числа молекул в единице объема газа. Кроме того, ясно, что чем больше размер молекулы, тем меньше будет свободный пробег. Для того чтобы представить себе характер этой связи, рассмо- рассмотрим цилиндрический объем газа, через который вдоль оси цилиндра движется молекула. Какой путь удастся пройти молекуле? Молекулы не точки, они имеют размеры, определяющиеся рас- расстояниями, на которых молекулярное взаимодействие становится чу вствител ьным. На основании кристаллохимических измерений (см. стр. 565) молекулам с достаточной точностью может быть приписана некоторая форма. На расстояниях, выводящих за пределы «окантовки» моле- молекулы, с точки зрения этой простой геометрической модели силы вза- взаимодействия не действуют. Модель совпадает с истиной, если газ не очень плотный. Спроектируем молекулы на дно цилиндра, изобразив максималь- максимальные сечения. Каждая молекула спроектируется по-разному; так как молекул много, то средняя площадь сечения будет достаточно точной характеристикой молекулы. Эта средняя площадь сечения а называется эффективным поперечником, или эффективным сечением молекулы. На протяжении длины цилиндра столкновение достоверно про- произойдет, если площадь основания цилиндра будет вся заполнена сечениями молекул. Если основание цилиндра 1 см2, длина цилиндра / и число молекул в единице объема /г, то всего в цилиндре будет nl молекул. Проекции сечений этих молекул закроют дно цилиндра в том случае, если nbo=\. При этих условиях значение / должно быть по порядку величины близко к среднему пробегу молекулы, т. е. Ittl/no. Более строгий подсчет, которого мы не приводим, под- подтверждает эту примерную прикидку. В точную формулу в знамена- знаменатель входит У~2: /== ± V 2 па' *) Так как речь идет лишь о нахождении связей между физическими вели- величинами, а не точных формул, то мы не будем делать различия между средней и средней квадратичной скоростями (см. ниже). 1С7
0 _ величина постоянная для данного газа. Значит, длина свобод- свободного пробега определяется только плотностью; уменьшив плот- плотность, скажем, в 100 раз, мы во столько же раз увеличим длину сво- свободного пробега. Для воздуха в нормальных условиях эффективный поперечника равен примерно 5-105 см2. Это прекрасно сходится с известными нам из измерения в кристаллах размерами молекул кислорода и азо- азота. Максимальный размер равен 4,3 А, а минимальный — немного меньше 3 А; радиус кружка размером 5-10 ~15 см2 равен 4 А. Размеры молекул, как было сказано выше определяют из иссле- исследований кристаллов. Однако исследование столкновений частиц можно рассматривать как метод установления их эффективного по- поперечника. Такой метод имеет ценность для исследования атомных ядер (стр. 519). Длина свободного пути при нормальных условиях: в воздухе 600 А, в азоте 600 А, в водороде 1100 А, в гелии 1800 А. § 69. Давление газа. Средняя квадратичная скорость молекул Поставим перед собой задачу: пользуясь упрощенными предста- представлениями о движении и взаимодействии газовых молекул, выразить давление газа через величины, характеризующие молекулу. Рассмотрим газ, заключенный в сферическом объеме с радиусом R и объемом v. Отвлекаясь от соударений газовых молекул, мы вправе принять следующую простую схему движения каждой молекулы. Молекула движется прямолинейно и равномерно с некоторой скоро- скоростью v, ударяется о стенку сосуда и отскакивает от нее под углом, равным углу падения (рис. 83). Проходя все время хорды одинако- одинаковой длины 2R sin 6, молекула наносит стенке сосуда v/BRsin 0) ударов за 1 с. При каждом ударе импульс молекулы меняется на 2mvsin 6 (см. стр. 57). Измене- Изменение импульса за 1 с будет рав- равно mv2/R. Мы видим, что угол падения со- рис# 83. кратился. Если молекула падает на стенку под острым углом, то удары будут частые, но слабые; при падении под углом, близким к 90°, молекула будет наносить стенке удары реже, но зато сильнее. Изменение импульса при каждом ударе молекулы о стенку дает свой вклад в общую силу давления газа. Можно принять в соответ- соответствии с основным законом механики, что сила давления есть не что 168
иное как изменение импульса всех молекул, происходящее за одну 2 2 mvi . mvz . о ^ секунду: —nL- + —n± + • • • или> вынося постоянный член за скобки, Пусть в газе содержится п молекул, тогда можно ввести в рас- рассмотрение средний квадрат скорости молекулы, который определя- определяется формулой Выражение для силы давления запишется теперь кратко: Давление газа мы получим, разделив выражение силы на площадь сферы 4я#2. Получим j птФ Заменяя AkR3 на 3V> получим следующую интересную формулу: pV' = -тгпто%, или pV = -7r n о о Итак, давление газа пропорционально числу молекул газа и среднему значению кинетической энергии поступательного движе- движения молекулы газа. К важнейшему выводу мы приходим, сравнивая полученное уравнение с уравнением газового состояния. Сопоставление правых частей равенств показывает, что или ~~2~z=z~2 7\ т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движения моле- молекул зависит только от абсолютной температуры и притом прямо про- пропорциональна ей. Проделанный вывод показывает, что газы, подчиняющиеся закону газового состояния, являются идеальными в том смысле, что при- приближаются к идеальной модели собрания частиц, взаимодействие которых не существенно. Далее, этот вывод показывает, что введен- введенное эмпирическим путем понятие абсолютной температуры как вели- величины, пропорциональной давлению разреженного газа, имеет простой молекулярно-кинетический смысл. Абсолютная темпера- температура пропорциональна кинетической энергии поступательного дви- движения молекул. n/\i=N есть число Авогадро — число молекул в одной грамм-молекуле, оно является универсальной постоянной: Л/г=6,02-1023. Обратная величина \IN будет равна массе атома во- водорода: Шн = ~дГ== 1,66 • 10 24 Г, 169
Универсальной является также величина Она называется постоянной Больцмана^ Тогда Если представить квадрат скорости v2 через сумму квадратов состав- составляющих, v2=vl-\-v%+v%, то> очевидно, на любую составляющую придется в среднем энергия 2 Эту величину называют энергией, приходящейся на одну степень свободы. Универсальная газовая постоянная хорошо известна из опытов с газами. Определение числа Авогадро или постоянной Больцмана (выражающихся друг через друга) является относительно сложной задачей, требующей проведения тонких измерений. Проделанный вывод дает в наше распоряжение полезные фор- формулы, позволяющие вычислять средние скорости молекул и число молекул в единице объема. Так, для среднего квадрата скорости получим ~2 _ 3RT _ 3RT mN М у где^Л?_-—:.молекудярный^вес. Корень квадратный из среднего ква- квадрата скорости называют средней квадратичной скоростью. Она равна м * т. е. прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса. Легко найдем, что при комнатной температуре молекулы кис- кислорода имеют скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При темпера- температуре жидкого гелия те же молекулы имели бы соответственно ско- скорости 40 м/с и 160 м/с, при температуре поверхности Солнца 6000°— скорости 2160 м/с и 8640 м/с. Правда, мы привели нереальные при- примеры: при температуре жидкого гелия водород и кислород затвер- затвердеют и поступательного движения молекул не будет, а при темпера- температуре поверхности Солнца молекулы распадутся на атомы. Для числа молекул в единице объема получим следующее простое выражение: п Зр р — =¦ —-гтр- • flTV J70
Отсюда следует закон Авогадро: при одинаковых давлениях и температурах все газы содержат одно и то же число молекул в еди- единице объема. Например, при нормальных условиях (давление 1 атм и температура О °С) на 1 см3 приходится 2,683-Ю19 молекул (число Лошмидта). § 70. Внутренняя энергия газа Свойства одноатомных газов определяются кинетической энер- энергией поступательного движения молекул. Внутренняя энергия ато- атома не сказывается на термодинамике газа. Очевидно, учет внутрен- внутренней энергии атома может стать нужным лишь в тех случаях, когда газ находится при очень высокой температуре и когда столкнове- столкновения атомов могут привести к их возбуждению и. ионизации. Об этих процессах в свое время у нас будет подробная речь. Таким образом, весьма широкую применимость будет иметь фор- формула внутренней энергии одноатомного газа где N — число молекул. Воспользовавшись формулами предыду- предыдущего параграфа, получим для 1 моля идеального одноатомного газа выражение Отсюда для теплоемкостей 1 моля одноатомного газа получим но формулам, приведенным в § 60: С ~Ао v 2 И с, = ¦§¦*. Прямая пропорциональность температуре внутренней энергии и соответственно постоянство теплоемкостей одноатомного газа имеют место в довольно широком интервале внешних условий. У многоатомных газов такая простая картина если и имеет место, то в значительно более узком интервале температур. Причина за- заключается в том, что энергия многоатомной молекулы складывается из энергии поступательного движения, энергии вращения и"энер- и"энергии колебания частей молекулы (т. е. атомов, из которых она по- построена) друг по отношению к другу. Подсчет средней энергии, при- приходящейся на молекулут^становйтся довольно сложным. Оказыва- отся,_что энергия молекулы уже не будет.линейно зависеть от тем- температуры и сботвёгствшнб теплоемкость газа уже не будет постоян- постоянной, не "зависящей от Т величиной. Все же обычно удается найти узкий интервал температур, внутри которого теплоемкость газа не зависит от температуры. Это имеет место при таких значениях 171
температуры, при которых средняя энергия молекулы еще недоста- недостаточна для того, чтобы соударения молекулы могли привести к изме- изменению ее колебательного состояния, и в то же время эта энергия достаточно велика, чтобы не чувствовался дискретный (квантовый) характер энергии вращения. Забегая вперед и отсылая читателя к рис. 266 (стр. 577), можно сказать, что линейный ход энергии с тем- температурой и постоянство теплоемкости будут иметь место в том слу- случае, если величина kT, характеризующая по порядку величины энергию поступательного движения молекулы, существенно больше расстояния между вращательными уровнями энергии и меньше рас- расстояния между колебательными уровнями энергии. Если такой интервал существует, то энергия моля газа и его теплоемкости выражаются следующими простыми формулами: U = 3RT, cv = 3R, cp = 4R. Возрастание внутренней энергии и cv вдвое по отношению к од- одноатомному газу можно толковать следующим образом. У мно- многоатомной молекулы шесть степеней свободы, в то время как у од- одноатомной — три. Увеличение вдвое числа степеней свободы влечет за собой увеличение вдвое внутренней энергии. Конечно, в этом утверждении нет ничего само собой разумеющегося. Однако мы находим подтверждение этой точке зрения, рассматривая газ двух- двухатомных молекул. Поскольку двухатомная молекула — это система Ш Рис. 84. из двух материальных точек, то она обладает пятью степенями сво- свободы (см. стр. 36). Если действительно внутренняя энергия пропор- пропорциональна числу степеней свободы, то для газа двухатомных молекул должны иметь место формулы [/ = -1 — - 5 п - 7 2 ср = Т* 172
Опыт показывает, что в участке температур, где теплоемкость оста- остается неизменной, эти формулы хорошо выполняются. Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа при комнатной температуре 300 К будет 1500 кал=6250 Дж. Типичный ход кривой теплоемкости в широком интервале темпе- температур иллюстрируется рис. 84. §71. Статистическое распределение Существует множество событий, которые нельзя предугадать. Мы называем их случайными. Рост юноши, явившегося на воинский призыв; число прохожих, пересекающих определенный перекресток в определенные часы; число выигрышных билетов в тираже займа, пришедшихся на облигации каждой рядовой сотни номеров,— все это примеры случайных событий. Наблюдая множество однотипных событий, например измеряя рост большого числа молодых людей, подсчитывая число прохожих за минуту в течение многих дней или анализируя число выигрышных билетов для многих тиражей займа, мы можем отчет о подобных наблюдениях оформить в виде так назы- называемых кривых распределения. Если речь идет о росте человека, то данные могут быть обработаны в виде чисел, указывающих, какое число призывников имело рост от 1,70 до 1,71 м, от 1,71 до 1,72 м и т. д. Действительно, вероятность обнаружить среди призывников человека точно заданного роста (например, 171,34 см) практически равна нулю. Поэтому имеет смысл говорить лишь о числе призывни- призывников, рост которых лежит в некотором интервале. Если речь идет об анализе выигрышных таблиц, то кривая рас- распределения может быть построена на основании данных о числе рядо- рядовых сотен облигаций, на которые не пришелся ни один выигрыш, на которые пришелся один выигрыш, два выигрыша и т. д. Если построить график, по горизонтальной оси ко- которого отложена случайная величина (рост, число про- прохожих, число выигрышей), а по вертикальной оси от- отложить число случайных событий (число людей, рост которых лежит в заданном интервале, количество слу- случаев данного числа выиг- выигрышей на сотню номеров и т. д.), то полученная кривая и есть кривая распределения. Пример такой кривой показан на рис. 85. Кривая проведена через средние точки верхних оснований прямоугольников. Каждый 173 У \ Случайная Рис. 85.
прямоугольник имеет площадь, численно равную числу случаев, при которых осуществлялось случайное событие для величины, лежа- лежащей в данном интервале. Замечательной особенностью кривых распределения является их воспроизводимость. Если построить кривые распределения, анализирующие рост призывников для ряда лет, то можно убедиться в их полном подобии. Мы не найдем этого подобия, если будем изу- изучать кривые распределения роста, построенные на основании не- небольшого числа измерений. Если же увеличивать материал, поло- положенный в основу построения каждой кривой, то кривые разных лет будут становиться все более и более похожими. Такое положение дел имеет место для кривых распределения любых событий, если только они случайны и условия полученных кривых распределения не изменились, Закон распределения той или иной величины, выполняющийся тем лучше, чем для большего числа событий построена каждая ор- ордината кривой, носит название статистического закона. Знание кривой распределения, разумеется, не поможет нам предугадать номер облигации, которая выиграет в следующем ти- тираже. Однако можно сказать, какова будет доля рядовых сотен но- номеров, на которые выпадает один выигрыш. Это предсказание будет тем точнее, чем большее число номеров облигаций будет привлечено для анализа. Огромное число молекул, приходящееся на самый малый объем вещества, делает особенно точным всякого рода статистические пред- предсказания о поведении молекул. Кривая распределения той или иной случайной величины, построенной для молекул вещества, будет вос- воспроизводиться с огромной точностью по той причине, что каждому «прямоугольничку» кривой распределения соответствуют миллиар,- ды молекул. § 72. Закон Больцмана Некоторые представления о распределении молекул сразу же следуют из хаотичности теплового движения. Это относится к рас- распределению молекул по направлениям скоростей или к распределе- распределению молекул по объему для случая, когда на газ не действуют ка- какие-либо силы. Однако имеется множество случаев, для которых заранее не очевидны следствия допущения о хаотичности теплового движения. Прежде всего, возникает вопрос о распределении молекул по величинам скоростей. Каков процент быстрых, средних по скорости, медленных молекул? Далее, может встать задача: найти, как изме- изменится равномерное распределение молекул по плотностям при вне- внесении газа в поле сил, скажем, в поле тяжести, или в электрическое или магнитное поле, если молекулы обладают электрическими или магнитными свойствами. На эти и подобные вопросы отвечает закон 174
Больцмана, который можно вывести, используя аппарат теории ве- вероятностей. Рассмотрим небольшой объем пространства — кубик со сторо- сторонами Ах, Ay, Az, построенный в точке х, yr z. Пусть в этом кубике находится значительное число молекул. Среди них мы отберем те, которые имеют компоненты скорости, лежащие в пределах от vx до vx+ Avx, от vy до Vy+Avy и от vz до vz+Av2. Величины Ьрх, Avy, Av2 таковы, чтобы в указанном интервале скоростей находилось боль- большое количество молекул. Это нужно для того, чтобы к этим малым объемам можно было применять законы статистической физики (фи- (физически бесконечно малые объемы). В дальнейшем будем говорить о таких молекулах, что они обладают координатами около х, у7 г и скоростями около vx, vy, vz. Еще раз подчеркнем, что говорить о количестве молекул, обладающих точно заданной скоростью, нельзя, так как вероятность встретить такую молекулу бесконечно мала. Так как кинетическая энергия молекулы определяется зна- значением скорости, а потенциальная энергия молекулы во внешнем поле зависит от координат молекулы в пространстве, то все вы- выделенные нами молекулы имеют практически одну и ту же энер- энергию <?. Закон Больцмана, обоснование которого следует искать в кур- курсах теоретической физики, дает общее выражение для числа моле- молекул, обладающих координатами около х, у, z и скоростями около vx, vyy vz; это число равно An = Ae-8ikT Ax Ay Az Avx Avy Avz; здесь А — постоянная, которая может быть найдена для конкретной задачи, Т — абсолютная температура и k — постоянная Больцмана. Энергия, входящая в экспоненту, является суммой кинетической энергии поступательного движения молекулы и ее потенциальной энергии во внешнем поле: ?—Щ-+и. Поэтому А/г = Ае kt Ax Ay Az Avx Avy Avz. Формула распространяется и на случай, когда молекула обладает и другими формами энергии, например вращательной или колеба- колебательной. Тогда эти составляющие энергии надо внести в ^\ Закон Больцмана, или, как еще говорят, распределение Больцма- Больцмана, показывает, что наибольшей энергии соответствует наименьшее число частиц, скорости и координаты которых лежат в заданном интервале. Закон Больцмана мы применим для решения двух важных вопро- вопросов, касающихся распределения частиц с высотой и распределения молекул по скоростям. 175
§ 73, Распределение частиц по высоте в поле тяжести Если в жидкости находятся в большом количестве маленькие частички, более тяжелые, чем жидкость, и не растворяющиеся в ней, то на первый взгляд может показаться, что рано или поздно эти частицы должны опуститься на дно. Это, однако, неверно,— так было бы, если бы отсутствовало тепловое движение. Действительно, сила тяжести тянет частицы вниз, однако хаоти- хаотическое тепловое движение, являющееся неотъемлемым свойством любых частиц, будет непрерывно препятствовать действию силы тя- тяжести. Частица движется вниз, но по дороге может испытать столкно- столкновение, которое отбросит ее кверху; опять начнется движение вниз и опять столкновение может отбросить частицу вверх или в сторону. Если какой-то частице удалось добраться до дна сосуда, то зато слу- случайными ударами другая частица может быть поднята со дна и слу- случайными толчками может быть доведена до высоких слоев жидкости. Вполне понятно, что в результате установится некоторое неравно- неравномерное распределение частиц. В верхних слоях частиц будет меньше, ближе ко дну сосуда — больше всего. Чем тяжелее частицы и чем меньше температура, тем больше будет «прижато ко дну» распре- распределение частиц по высоте. Количественная сторона этого интересного явления, которое имеет место для любых частиц, расположенных в поле тяжести (мо- (молекул газа или частиц эмульсии, взвешенных в газе или жидкости), освещается законом Больцмана. Экспоненциальный множитель в формуле распределения Больцмана перепишем в виде mv2 mgh "ffW вместо потенциальной энергии тяготения U мы подставили ее выра- выражение mgh. Нас интересует^шсло всех молекул (любых скоростей), находящихся на высоте между h и h+Ah ТЭно будет равно mgh Ап = пое kT Ah. Здесь коэффициент пропорциональности п0 по смыслу есть не что иное, как удельное число частиц -rj- при h~0. Закон убывания ча- частиц с высотой показан на рис. 86. Вид формулы показывает справедливость утверждения, сделан- сделанного вышегчем больше масса частиц и чем меньше температура, тем быстрее падает кривая. Из формулы видно также, что быстрота убы- убывания зависит от ускорения силы тяжести. На разных планетах частицы должны быть по-разному распределены с высотой. Согласно приведенной формуле какое-то (пусть очень малое) число молекул имеется на любой высоте над поверхностью Земли. Это значит, что молекулы могут удаляться от Земли, улетать в ми- 176
ровое пространство, так как не исключено, что случайными столкно- столкновениями то та, то другая молекула получит скорость 11,5 км/с, достаточную, как известно, для ухода из сферы земного притяжения. Можно поэтому сказать, что Земля постепенно теряет свою атмосфе- атмосферу. Однако оценки скорости рассеяния атмосферы показывают, что она ничтожно мала. За все время существования Земли было по- потеряно ничтожное количество воздуха. Другое дело на Луне, где Л/г Рис. 86. скорость преодоления притяжения равна ~2 км/с. Такая небольшая . скорость достигается молекулами с большой легкостью, поэтому на Луне нет атмосферы. Формула убывания числа частиц с высотой может быть записана для плотности газа или для давления газа. Т^ как давление газа пропорционально числу частиц в единице объема, то формулу можно переписать в виде ~ mgh Здесь /?о— давление .на Булевом уровне. Последнюю формулу назы- называют барометрической. С ее помощью метеорологи, производящие измерения атмосферного давления на больших высотах, приводят результаты своих измерений «к уровню моря». Необходимо отметить еще одно важное применение формулы распределения частиц по высоте: она была использована французским ученым Перреном для опытного определения числа Авогадро. В соответствии с условиями опыта Пер- рену пришлось несколько модифицировать формулу распределения молекул по высоте. Он изучал эмульсию, получающуюся при растворении гуммигута (раз- (разновидность смолы) в воде. В этой эмульсии при помощи микроскопа можно рас- рассмотреть целый муравейник зернышек сферической формы. При помощи центри- центрифуги Перрен сортировал зернышки гуммигута по размеру. За несколько месяцев работы было получено 20—30 г зерен гуммигута диаметром 0,74 микрона. Плот- Плотность гуммигута D= 1,195 г/см3, т. е. масса одного зерна была равна 7- Ю-14 г. 177
определение размеров зерен было нелегкой задачей. Перрен выполнял это тремя независимыми способами: 1) под микроскопом определялась длина цепочки из нескольких десятков плотно прилегающих зерен; 2) взвешивалось несколько тысяч зерен и размер вычислялся через известную плотность гуммигута; 3) по формуле Стокса (см. стр. 196) из наблюдений за скоростью опускания в эмульсии облачка из зерен. При этом предполагалось, что по закону Архимеда 4 зерно опускается под действием силы -=- xir*(D—d)gy где d — плотность жидкости, о г — радиус зерна. Эта сила при равномерном опускании уравновешена силой вяз- вязкого трения, вычисляемой по формуле Стокса. Из этого условия определяется т. • Все три способа дали хорошо совпадающие результаты. Это означало, что действующий вес микроскопического зернышка, плавающего в жидкости, можно записать в виде mg(\—dID). Вспомним, что k=R/N. Отсюда получается баромет- барометрическая формула для «атмосферы» из зерен гуммигута, плавающих в воде: Nmgh Опыт сводился к определению отношения концентраций п на равностоящих уров- уровнях. Делалось это при помощи фокусирования микроскопа на достаточно тонкий слой эмульсии и подсчета числа частиц в поле зрения за одинаковые промежутки времени. Меняя вязкость эмульсии в сотни раз, Перрен неукоснительно наблюдал, что отношение концентраций соответствовало барометрической формуле. Подстав- Подставляя значения п0, n, h, m, d, D и Т, можно было определить N. Оказалось, что, не- несмотря на широкие вариации вязкости эмульсии и размеров зерен, найденное та- таким образом N блестяще совпадает со значениями, предсказанными молекулярно- кинетической теорией: Перрен получил 6- 1023*^Af<^7* 1023 (по современным данным iV=6,0225-1023). Это с полной достоверностью свидетельствовало, чтс больцмановское распределение по энергиям применимо даже к таким частицам, «грамм-молекула» которых равна 50 000 тонн! § 74. Распределение молекул по скоростям Распределение молекул по скоростям, выведенное впервые теоре- теоретическим путем выдающимся, английским физиком Максвеллом, можно рассматривать как следствие закона Больцмана. Число молекул, скорости которых лежат в интервале от vx до vx+Avx, от vy до Vy+Avy и от vz до vz+Avz, будет согласно закону Больцмана равно Подразумевается, что мы интересуемся распределением скоростей в небольшом объеме газа, а распределение молекул по координатам учитывается постоянным множителем С, который сейчас не пред- представляет для нас интереса. Написанная формула учитывает распределение молекул как по величинам, так и по направлениям скоростей. Однако распределение по направлениям нам известно. Ведь числа молекул, летящих в том или ином направлении, должны быть одинаковы при полном хаосе в движении молекул. Нас интересует число всех молекул, независи- независимо от их направления, имеющих скорость от v до v-\-Av, где 178
Если построить трехмерный график, по осям которого отклады- откладывать проекции скоростей молекул vxy vv, vz, разбить мысленно это пространство на бесконечно малые кубики объема AvxAvyAvZi то можно наглядно представить себе данные о распределении скоростей молекул в виде чисел молекул, приходящихся на один кубик. Фор- Формула Больцмана и дает нам число молекул для каждого из кубиков. Однако, всматриваясь в формулу, мы видим, что число молекул бу- будет одинаковым для всех кубиков, попадающих внутрь шарового пояса с радиусом от v до v+Av,— ведь в экспоненциальный множи- множитель формулы входит лишь абсолютное значение скорости. Число молекул, обладающих скоростями в пределах от и до v+Av, бу- будет пропорционально объему шарового слоя, т. е. 4nv2Av; таким образом, если число молекул, заключенных в одном кубике, равно mv2 Ce^Ypf AvxAvyAvz, то число молекул, заключенных в шаровом поясе, т. е. обладающих скоростями в пределах от v до v+Av, представится формулой Какой же характер имеет эта зависимость? При i>=0 и у= оо число молекул обращается в нуль. Ясно, что кривая должна обла- обладать максимумом. Обычными правилами найдем максимум множи- множителя при Av. Беря производную от этого выражения и приравнивая ее нулю, получим откуда значение скорости, при которой функция распределения име- имеет максимум, равно с~ Что же это за скорость? Так как по оси ординат кривой распределе- распределения отложено число молекул, имеющих скорость v, то с является своеобразным рубежом: молекулы, движущиеся со скоростями как большими, так и меньшими с, встречаются реже молекул, движу- движущихся со скоростями с. Эта_?ко2остьназывается наиболее вероятной., Кривая распре- распределения молекул газа по скоростям (распредедадш--Мшссвелли)^ приведена на рис. 87. Полезно сопоставить формулы наиболее вероятной скорости и средней квадратичной: /~9ЬТ /"ч& •J79
Средняя скорость больше вероятной. Причина ясна из вида кривой распределения: так как кривая распределения уходит далеко впра- вправо, то туда же сдвинуты и средние значения скорости. Приведем некоторые числа, характеризующие распределение скоростей газовых молекул. Число молекул со скоростями, близкими к наиболее вероятной с, больше числа молекул со скоростями, близ- близкими к средней квадратичной, в 1,1 раза; больше числа молекул со скоростями, близкими к 0,5 ?, в 1,9 раза; больше числа молекул со скоростями, близкими к 2 с, в 5 раз (см. рис. 87). § 75. Измерение скоростей молекул газа Хотя закон распределения молекул по скоростям следует из исключительно четких теоретических предпосылок, справедливость которых подтверждается огромной массой физических фактов, не- несмотря на это, представляло бы интерес подвергнуть формулу рас- распределения непосредственной опытной проверке. Произвести измерение скоростей молекул газа в объеме можно лишь косвенным путем: если молекула излучает свет, то скорость ее движения скажется на ширине спектральных линий (доплер- эффект). Прямые возможности дает методика молекулярных пучков. Длинную и широкую трубу перегородим двумя заслонками с весьма малыми отверстиями. В крайний отсек поместим газ. Тогда молекулы начнут проникать сначала в средний отсек, а иногда будут попадать и во второй крайний. Очевидно, что пролететь через всю трубу могут лишь те молекулы, у которых вектор скорости в момент вылета через первое отверстие направлен вдоль оси трубы. Таким способом из газа выделяется молекулярный пучок. Молекулы пуч- пучка имеют одинаково направленные скорости. Что же касается вели- величины скорости, то, очевидно, по принципу молекулярного хаоса распределение этих молекул по скоростям такое же, как у молекул любого другого направления движения. Для измерения скоростей молекул пучка можно прибегнуть к установке, напоминающей прибор для измерения скорости пули. 180
Представим себе два картонных диска, жестко насаженных на ось и вращающихся со скоростью со около нее. Если пуля летит парал- параллельно оси вращения, то диски будут пробиты последовательно в двух точках, сдвинутых по азимуту на угол ф, на который поверну- повернулась система, пока пуля прошла расстояние / между дисками. Вре- Время поворота на угол ф равно ф/со, значит, скорость пули Так как молекулы не пробивают отверстий, то аналогичный опыт для молекулярных пучков ставится с дисками, в которых сделаны прорези по окружности. Угловое расстояние прорезей равно ф. Очевидно, что молекулы со скоростью v смогут пройти через два вер- вертящихся диска с отверстиями лишь при определенной скорости со, удовлетворяющей условию q>/co=l/v. Таким образом, меняя со, можно фильтровать молекулы по скоростям, собирать молекулы одной скорости и мерить их относительные количества. Многочисленными опытами были подтверждены обсужденные выше формулы распределения по скоростям, а значит, и формулы среднего и вероятного значения скорости молекул. § 76. Вероятность состояния Рассмотрим ящик, разделенный перегородкой на две равные части. В перегородке сделано отверстие. Если в ящике находятся молекулы газа, то они способны переходить в результате случайных соударений со стенками сосуда и друг с другом из одной половины ящика в другую. Несмотря на то, что движение молекул в ящике совершенно беспорядочно, имеется метод, при помощи которого можно предсказывать, сколько молекул будет в левой, а сколько в правой половине. Этот метод основан на применении к веществу теории вероятностей. Если бы в ящике была одна молекула, то с равными шансами, или, как говорят, с равной вероятностью, она могла бы быть в пра- правой и левой части ящика. Так как всего возможных случаев два (молекула либо в левой, либо в правой части), а нас интересует осу- осуществление одного из* этих двух случаев, то говорят, что вероят- вероятность нахождения молекул в одной половине ящика равна V2. Те- Теперь допустим, что в ящике две молекулы, которые обозначены циф- цифрами 1 и 2. Всего возможных случаев расположения теперь четыре: слева обе молекулы, справа обе молекулы; слева молекула *№ 1, а справа № 2 и, наконец, слева № 2, а справа № 1. Нас интересует вероятность нахождения двух молекул слева; это — один случай из четырех возможных, его вероятность равна V4, т. е. (V2J. Для трех молекул картина будет такая: слева 1,2,3 0 1,2 1,3 2,3 3 2 1 справа 0 1,2,3 3 2 1 1,2 1,3 2,3 181
Ясно, что вероятность пребывания всех трех молекул слева равна Ve, т. е. (V2K. Нетрудно сообразить, что для случая N молекул ве- вероятность нахождения всех их в одной части ящика будет равна (V2)Ar. Ведь прибавляя новую молекулу, мы всегда имеем возмож- возможность поместить ее либо слева, либо справа. Значит при прибавле- прибавлении каждой новой молекулы вероятность нахождения молекул в одной половине сосуда падает вдвое. Уже для какой-нибудь сотни молекул число A/2)N настолько ма- мало, что мы можем практически не считаться с возможностью того, что все молекулы соберутся в одной половине сосуда. Но молекул в кубическом сантиметре газа не сотни, а около 1020. Если мысленно разделить сосуд на две части, то вероятность того, что молекулы соберутся в одной половинке сосуда, равна (VaI020. Логарифмируя, можно это число записать в виде 10 1о1°. Чтобы проставить еди- единицу у этой десятичной дроби, надо записать предварительно 3-1019 нулей! Если принять достаточно высокую скорость письма — три цифры в секунду, то на написание этого числа потребуется 1019 сек, т. е. более 300 миллиардов лет, что в десятки раз превышает время существования солнечной системы. Еще раз обратимся к табличке размещений трех молекул. Только лишь при одном размещении из восьми все молекулы собираются слева. еПюбое другое размещение встречается тоже однократно. Но надо вспомнить, что молекулы перенумерованы условно. Нет спосо- способов отличить размещения, при котором слева находятся №№ 1, 2, от того, при котором слева имеются №№ 2, 3 или 1, 3. Следовательно, на одно размещение, при котором слева находятся три молекулы, приходятся три размещения, при которых имеются две молекулы, и столько же таких, при которых имеется слева одна молекула. По- Поэтому вероятность некоторого характерного распределения, неза- независимо от того, какими номерами молекул оно создается, может быть измерена числом размещений, которыми может быть осущест- осуществлено распределение. Чем больше это число, тем чаще будет встре- встречаться такое распределение, тем оно будет вероятнее. Этот пример подводит нас к понятию вероятности состояния тела. В каждое мгновение атомы, из которых построено тело, обладают определенными координатами и скоростями. Назовем эту мгновен- мгновенную структуру микросостоянием. Любое тело, находящееся в состоянии равновесия со средой, сохраняющее неизменимыми все свои свойства, тем не менее не находится в одном микросостоянии. Из-за теплового движения ча- частиц тело непрерывно меняет свои микросостояния. Если речь идет о газе, то эти изменения достигаются поступательными движениями, колебаниями, вращениями молекул; в жидкости микросостояния сменяются благодаря колебаниям частиц и переходом из одного окружения в другое, в твердом теле — в основном из-за колебаний. В любом случае равновесие тела являемся динамическим. Переходя из одного микросостояния в другое, тело будет неод- неоднократно возвращаться к одним и тем же состояниям. Одни из 182
них осуществляются более часто, а другие более редко, как это ясно из рассмотренного примера. Если в течение большого времени Т в каком-то микросостоя- микросостоянии тело жило время А/, то Д//Т есть вероятность микросостояния. Вероятность микросостояния выражается простой формулой, найденной Гиббсом, где $— энергия. Постоянная А учитывает число размещений, ко- которыми может быть осуществлено микросостояние. При одинако- одинаковых А вероятность микросостояния определяется его энергией. Формула Гиббса совпадает по виду с законом Больцмана. В ка- каком же взаимоотношении находится содержание этих двух законов? Формула Больцмана рассматривает большое число молекул (тел) в одно мгновение и говорит нам о том, как распределены эти моле- молекулы (тела) по энергиям. Формула Гиббса применяется к одному телу (молекуле), за которым мы «следим» долгое время, и дает нам сведения о распределении энергии этого тела во времени. Ра- Разумеется это совпадение не случайное, но мы не можем на этом ос- останавливаться. К основным законам природы относится, как уже говорилось, дискретность (квантовость) состояния тела. Поэтому можно говорить о числе микросостояний, которыми ре- реализуется данное микросостояние тела. Это число называют стати- статистическим весом макроскопического состояния (другое название термодинамической вероятности). Термодинамическая вероятность W однозначно связана с тер- термодинамическими функциями тела. Нетрудно сообразить, что ста- статистический вес состояния растет с возрастанием температуры, увеличивается при плавлении и при испарении тела и т. д. Можно сказать, что термодинамическая вероятность состояния тем выше, чем больше свобода движения частиц, из которых оно построено. Весьма наглядно можно представить себе связь наблюдаемых (микроскопических) величин с вероятностью микросостояний. По- Понятно, что наблюдаемые величины являются средними из значений, которые эта величина принимает для микросостояний. Если, на- например, в /г-м микросостоянии энергия равна Еп, то средняя (на- (наблюдаемая) энергия Е = w1E1 + w2E2 + wsE3 + ... Разумеется, вероятности wn должны быть нормированы к единице 2>1) § 77. Необратимые процессы с молекулярной точки зрения Из рассмотренного примера сосуда с газом вполне ясно, что на- наибольшей вероятностью обладает группа таких состояний, у ко- которых молекулы размещены «равномерно». Всякое отклонение от «равномерности» — смещение однрй части молекул в левую 183
сторону сосуда, расположение слева более быстрых молекул, направ- направленное движение большей части молекул, короче — любое откло- отклонение от беспорядочности в распределении молекул по местам и ско- скоростям,— влечет за собой уменьшение вероятности состояния. Это замечание позволит нам понять молекулярно-кинетический смысл необратимости реальных процессов. Как было установлено выше, второе начало термодинамики для необратимых процессов, т. е. закон возрастания энтропии в тепло- теплоизолированных системах, представляет собой обобщение опытного факта о невозможности ряда процессов. Так, тепло не может без компенсации переходить от холодного тела к нагретому, тело не может приобрести кинетическую энергию только за счет убыли вну- внутренней энергии окружающей среды, газ может самопроизвольно расшириться, но не сжаться. Существование необратимых процессов является особенностью молекулярных явлений. В чисто механическом явлении, т. е. про- процессе без трения, процесс всегда можно повернуть вспять. Маят- Маятник при движении вправо проходит в обратном порядке все те сос- состояния, которые проходились при движении влево; биллиардный шар, отскочивший от борта в каком-либо направлении, если на пути его поставить упругую стенку, отскочит от нее и повторит в обрат- обратном порядке весь путь, который был пройден «туда». Полная рав- равноценность «туда» и «обратно» очевидна для чисто механических процессов. Почему же свойства обратимости нет у молекулярных процессов, которые мы рассматриваем как совокупность механиче- механических движений молекул? Причина лишь одна. Во всех необратимых процессах вероятность состояния возрастает. Обратимый про- процесс является процессом мыслимым: его осуществление в принципе возможно, однако при наблюдении в те времена, которыми распола- располагает человек, такой процесс практически невероятен. Это нетрудно показать для любого из необратимых процессов. Тепло переходит от тела нагретого к холодному, но не наоборот. В случае^ газообразных тел такой процесс можно наглядно пред- представить как перемешивание быстрых молекул с медленными. Об- Обратный процесс не может происходить по закону случая, так как он представлял бы собой сортировку быстрых и медленных молекул, т. е. переход к более упорядоченному состоянию. По той же причине мы довольно быстро перемешаем лопатой два мешка с разным зерном. Однако можно продолжать перемешивать содержимое этих двух мешков веками, но зерна не разделятся так, чтобы сверху оказались частицы одного сорта, а снизу другого. А ведь число зерен в мешках неизмеримо меньше числа молекул в кубическом миллиметре вещества. Нетрудно понять также полную невероятность явления, обрат- обратного самопроизвольному расширению газа. Если в ящике с перего- перегородкой, который мы только что рассматривали, слева газ, а справа вакуум, то через малое время обе части ящика равномерно запол- заполнятся газом. В принципе может случиться, что молекулы соберутся 184
обратно все вместе в левой части ящика. Однако вероятность та- такого события будет крайне мала. Величина ее подсчитана нами, это С/.)". Какой бы необратимый процесс мы ни захотели подвергнуть рас- рассмотрению, результат будет всюду одинаков: каждый необратимый процесс связан с возрастанием вероятности состояния. Итак, имеются две величины, которые возрастают при необрати- необратимых процессах: это энтропия 5, с которой мы познакомились ранее, и термодинамическая вероятность состояния W', которая обсужда- обсуждалась только что. Представляется естественным, что эти две физиче- физические величины должны быть связаны. Наличие такой связи было показано Больцманом. Формула, которая была им указана, имеет вид S~k In W. Энтропия пропорциональна логарифму термодинамиче- термодинамической вероятности состояния. Таким образом, второе начало термодинамики приобретает еще одну формулировку: в обратимых процессах вероятность состояния не изменяется, в необратимых процессах (речь идет о замкнутых системах) вероятность состояния возрастает. § 78. Флуктуации. Границы применения второго начала Любое физическое свойство будет неизменным, если не меняется распределение молекул по местам и скоростям. В принципе молеку- молекулы вещества могут менять со временем характер распределения. Од- Однако мы только что указали, что среди всех распределений наиболее вероятные выделяются столь резко, что отклонения от них надо рассматривать как весьма редкие события. Физические характе- характеристики, соответствующие этому наиболее вероятному распределе- распределению, можно назвать средними характеристиками. Отклонение измеренной физической характеристики от ее среднего значения для систем с большим числом молекул практически невозможно обнаружить. Так обстоит дело, когда физические свойства изучают- изучаются для объемов, в которые входит большое число молекул. Если же число частиц в системе становится небольшим, то оказывается воз- возможным наблюдение и более редких распределений молекул по ме- местам и скоростям. Эгим более редким распределениям будут соот- соответствовать значения физических характеристик, отличные от средних. Эти отклонения физических характеристик от их средних значений, проявляющиеся в системах с относительно малым числом частиц, носят название флуктуации. Температура и давление, теп- теплоемкость и теплопроводность — любые свойства частей тела, со- содержащих малые числа молекул, подвержены флуктуациям около средних значений. К этому же вопросу мы можем подойти несколько с другой стороны. Если в газовой среде поместить подвешенное на тонкой нити маленькое зеркальце, то с макроскопической точки зрения давление газа, действующее на зеркальце, не может проявиться: силы, дей- действующие со всех сторон, одинаковы. С молекулярной точки зрения 185
в принципе изменения импульса, происходящие от удара молекул о зеркальце, не обязательно должны уравниваться для различных участков его поверхности. Легкое зеркальце может прийти во флук- туационные колебания. Как говорилось выше, на одну степень сво- свободы движения любой частицы (молекулы, броуновской частицы, горошинки) приходится энергия теплового хаотического движения, равная у кТ. Эта энергия и приходится в среднем на зеркальце. С другой стороны, работа вращения нити на угол Аф равна МДф. Поэтому отклонения на угол, равный по порядку величины Д<р«-^, будут осуществляться достаточно часто. Такие флуктуации действительно наблюдаются и их измерение может быть использовано для опытного определения константы Больцмана и, следовательно, числа Авогадро. Флуктуационные явления ограничивают точность измерений. Стрелка, зеркальце или другая часть показывающего прибора под- подвержены флуктуациям. Для комнатной температуры предел по- погрешности в единицах энергии лежит около 100 Дж. Во многих приборах мы не достигли еще этого предела, однако в лучших изме- измерительных устройствах этот предел уже достигнут. Флуктуации ограничивают применимость второго начала термо- термодинамики. Во флуктуационных колебаниях наблюдаются процессы, в которых система переходит от более вероятного состояния к ме- менее вероятному, т. е. энтропия уменьшается. Прекрасной иллюстрацией может служить броуновское движе- движение. В этих опытах мы наблюдаем флуктуации давления в неболь- небольшом объеме, приходящемся на частицу. Благодаря этим случайным колебаниям давления частица может быть, например, подброшена вверх. Однако движение против силы тяжести требует работы. В данном случае эта работа произошла за счет теплового хаотиче- хаотического движения молекул, т. е. за счет одной лишь внутренней энер- энергии вещества, в полном противоречии со вторым началом термоди- термодинамики. Несмотря на то, что в отдельных малых объемах будут иногда происходить явления с уменьшением энтропии, т. е. противореча- противоречащие второму началу, вся система в целом всегда будет подчиняться этому закону. Благодаря случайности событий число процессов, идущих за счет внутренней энергии, будет таково же, как и число процессов, идущих в обратном направлении. Можно строго по- показать, что невозможны какие бы то ни было попытки «отбора» происходящих в отдельных малых объемах процессов, идущих с нарушением второго начала, для создания вечного двигателя вто- второго рода. Второе начало термодинамики имеет ограничение и с «противо- «противоположного конца». Кроме того, что оно неприменимо для систем с очень малым числом частиц, оно теряет справедливость для систем с бесконечно большим числом частиц, а именно для вселенной или 186
для любой ее бесконечно большой части. Как было выяснено выше, сущность второго начала термодинамики заключается в том, что количество равновесных состояний подавляюще эелико по сравне- сравнению с числом неравновесных распределений. Однако для вселенной, состоящей из бесконечно большого числа частиц, это утверждение теряет свой смысл. Действительно, как число равновесных состоя- состояний, так и число неравновесных состояний становятся бесконечно большими. Вследствие этого для вселенной в целом нельзя говорить о различных по вероятности состояниях. ГЛАВА 13 ПРОЦЕССЫ ПЕРЕХОДА К РАВНОВЕСИЮ § 79. Диффузия Тело, взаимодействующее со средой, меняет свое состояние так, чтобы прийти в равновесие с окружающими телами. Состояние тела при этом меняется: его внутренняя энергия стремится к минимуму, а энтропия возрастает и становится максимальной тогда, когда равновесие устанавливается. Эти две тенденции обычно противоре- противоречивы и поэтому трудно предсказать явление тогда, когда способны изменяться и энергия, и энтропия. Сейчас мы хотим рассмотреть яв- явления диффузии, теплопроводности и внутреннего трения, проис- происходящие в замкнутых системах. Иначе говоря, речь идет о вырав- выравнивании концентрации, температур и скоростей одних частей тела по отношению к другим (последнее, разумеется, имеет значение лишь для жидких и газообразных тел). Так как энергия в таких системах меняться не может, то переход в состояние равновесия состоит лишь в возрастании энтропии. Основные законы явлений диффузии, теплопроводности и вну- внутреннего трения весьма похожи. Начнем их рассмотрение с процес- процессов диффузии. С одинаковым успехом можно говорить о выравни- выравнивании концентрации газа или раствора. Наши рассуждения спра- справедливы даже для твердых растворов (см. стр. 590), так как и в этом случае стремление к максимуму энтропии заставляет атомы или мо- молекулы вещества перемешиваться, с тем чтобы одинаковая концен- концентрация установилась во всех частях тела. Рассмотрим два близких физически бесконечно малых объема вещества с концентрациями диффундирующих атомов (молекул) с и c+dc. Если эти два объема находятся на расстоянии dx, то отно- отношение -— будет характеризовать быстроту изменения концентра- концентрации. Это отношение носит название градиента концентрации. Если ось х выбрана так, что ее положительное направление совпадает с dc направлением диффузии, то -т~ будет отрицательной величиной. Вещество будет перемещаться в сторону меньших концентраций. 187
Это не значит, что все молекулы сплошным потоком непрерывно перемещаются в одну сторону. Напротив, диффузионное движение в значительной степени сохраняет черты беспорядка, свойственные молекулярному движению. Молекулы движутся беспорядочно, дви- движутся во все стороны, в том числе и в сторону большей концентра- концентрации, но вероятность перемещения молекул в «правильную» сторону больше. Это значит, что через мысленную площадку, поставленную поперек потока, больше частиц перейдет со стороны большей кон- концентрации к меньшей, чем на- jc оборот. IqcC" / <о Основной закон диффузии утверждает, что поток веще- вещества (л, т. е. масса вещества, проходящая за единицу вре- времени через единицу площади, должен быть прямо пропорци- пропорционален отрицательному гра- градиенту концентрации: oL " М- —— J" • Л Коэффициент пропорциональ- р ' ности D носит название коэф- коэффициента диффузии. Напи- Написанный закон оправдывается тем, что коэффициент диффузии в ши- широких пределах является константой вещества и среды. Концентрация и поток массы должны измеряться в соответ- соответствующих единицах. Если концентрация измеряется в граммах на см3, то поток должен измеряться в граммах через см2 в 1 с. От- Отсюда видно, что коэффициент диффузии должен иметь вполне опре- определенную размерность, в системе СГС он будет измеряться в см2/с. Падение концентрации происходит обычно по провисающей кри- кривой, показанной на рис. 88. Если нас интересует участок, на кото- котором падение концентрации можно представить прямой линией, то М, J где с± и с2— значения концентраций в точках хх и х2. Коэффициенты диффузии колеблются в широких пределах. Вот примеры: 1) Для газов при температурах 0—15°С: водород —> кислород, D~ 0,778 см2/с; воздух —^кислород, D = 0,178 см'2/с; воздух —^сероуглерод, D = 0,099 см2/с. 2) Для растворов медного купороса, диффундирующих в чистую воду (кон- (концентрации с — в грамм-эквивалентах на литр): с D, см2/сут 0,1 0,39 0,5 0,29 0,95 0,23 188
§ 80. Теплопроводность и вязкость Весьма схожие рассуждения мы можем провести для процесса выравнивания температуры. Если температура тела в разных точках разная, то энтропия не максимальна. Чтобы установилось равнове- равновесие, средние скорости молекул, а значит, и температуры, должны выравняться. Если в двух соседних точках температуры Т и T-\-dT, а точки эти находятся на расстоянии dx, то отношение -т— будет характери- характеризовать быстроту падения температуры. Оно носит название градиен- градиента температуры. При выравнивании температур участки тела с большей энергией уменьшают ее, участки тела с меньшей энергией получают тепло от более богатых участков. В каком-то условном смысле тепло «пере- «перетекает» из одного участка в другой. Количество тепла, переходящее из одного участка тепла в другой через площадку раздела размером в единицу площади за единицу времени, носит название теплового потока q. Так же как и в явлениях диффузии, можно положить, что тепловой поток пропорционален отрицательному градиенту температуры. Чем больше перепад температуры, тем быстрее идет тепло. Формула dT q = —х -г- 7 dx оправдывается и здесь тем, что коэффициент пропорциональности х, который носит название коэффициента теплопроводности, является константой вещества и не зависит от величины протекающих тепло- тепловых потоков. При линейном падении температуры формула упро- упрощается и принимает вид V Нетрудно найти размерность коэффициента теплопроводности. В системе СГС этот коэффициент будет измеряться в кал/(см-с-К). Из формулы, определяющей смысл х, ясно, что к есть тепловой по- поток, проходящий через площадку в 1 см2 за 1 с при падении темпера- температуры 1К на длине 1 см. Значения коэффициента теплопроводности, так же как и коэффициента диф- диффузии, колеблются в широких пределах. Вот примеры: 1) Твердые тела @—18°С): пробка 0,00012, дерево 0,0008, кварц плавленый 0,0033, серебро 1,06 кал/(см-с-К). 2) Жидкости: сероуглерод A4°С) 2- 10~4, серная кислота 30%C2°С) 62,4-10~4, ртуть @°С) 0,2 кал/(см-с-К). 3) Газы @°С): углекислота 3,4-Ю-5, воздух 5,7-10~5, водород 40,6-Ю-5 кал/(см-с- К). Третье явление того же класса состоит в выравнивании скоро- скоростей. Если газ или жидкость движутся в каком-то направлении так, что разные их слои перемещаются с разными скоростями, тсГтакое 189
движение является неустойчивым. Рано или поздно скорости движе- движения должны выравняться: медленные слои убыстрятся, а быстрые замедлятся. Это явление называют также внутренним трением, или вязкостью. Оно присуще всем телам, кроме гелия II (см. стр. 600). Рассмотрим жидкость или газ, движущийся в направлении оси х. Пусть слои жидкости движутся с разной скоростью. На оси у, перпендикулярной к направлению потока жидкости или газа, возь- возьмем две близкие точки, находящиеся на расстоянии dy. Скорости потока отличаются в этих двух точках на dv. Отношение j- есть градиент скорости потока и характеризует быстроту изменения скорости потока по мере отдаления от поверхности жидкости. Для наглядности мы можем предположить, что речь идет о быстрой речке, где скорости потоков на поверхности максимальны и постепенно убывают ко дну реки. Если в какой-то момент времени устранить причины, создающие движение жидкости, то скорости движения различных слоев начнут выравниваться в соответствии с законом возрастания энтропии. Что- Чтобы такое выравнивание было возможным, необходимо существование силы внутреннего трения, действующей между слоями жидкости или газа. Величина этой силы, отнесенной к единице площади слоя, полагается пропорциональной градиенту скорости, т. е. Здесь ц есть коэффициент вязкости (или внутреннего трения). Его размерность в системе СГС—г/(см-с). Такая единица носит название пауза (П). В системе СИ — Н-с/м2=10 П. Вязкость различных тел колеблется в еще более широких пределах, чем два аналогичных коэффициента, рассмотренных выше. Вот примеры: 1) Твердые тела: стекло G10°С) 4,5-1010, стекло D20°С) 4-1016, свинец (9°С) 4,7-1014, лед (—14°С) 8,5-1012 П. 2) Жидкости: эфир этиловый B5°С) 0,0022, вода B0°С) 0,01, глицерин @,8% воды, 18°С) 13,93 П. 3) Газы: водород @°С) 8,49- Ю-5, воздух @°С) 17,19- Ю-5 П. Любопытно отметить, что водород имеет вдвое меньшую вязкость и в семь раз большую теплопроводность, чем воздух. Этим объясняется использование водорода для охлаждения мощных турбогенераторов. §81. Быстрота выравнивания Хорошо известно, что установление равновесия может происхо- происходить в самые различные сроки. Температура брошенного в воду раскаленного куска железа и температура .воды уравняются очень быстро. Напротив, температуры воздуха и нагретого кирпича урав- уравниваются медленно. В течение мгновений продиффундирует азот в кислороде, многими днями длится выравнивание концентраций раствора медного купороса. Также и выравнивание скоростей может 190
происходить в резко отличные времена, смотря по тому, идет ли речь о газе или о вязкой жидкости. Универсального ответа (общей формулы) в отношении времен выравнивания дать нельзя, так как геометрия опыта сказывается на этих временах. Остывающее тело может иметь форму цилиндра или пластинки; диффундирующий газ в начальный момент может на- находиться внутри маленького сферического объема или может быть распределен вдоль какой-нибудь поверхности; внутреннее трение может наблюдаться в трубах разного сечения или в открытых водое- водоемах. Подобные обстоятельства должны каждый раз учитываться осо- особо, и расчет точных значений времен выравнивания является труд- трудной математической задачей. Однако можно отвлечься от геометри- геометрических частностей и постараться решить вопрос в общей форме, если отказаться от цели получить точную формулу и удовлетвориться нахождением лишь пропорциональности между физическими ве- величинами. На этом пути физику помогают соображения о размер- размерностях физических величин, которые должны быть связаны межд) собой. Рассмотрим, например, явление диффузии. Ясно, что время вы- выравнивания концентрации t зависит, прежде всего, от размеров об- области, в которой происходит диффузия (характерная длина L), и от свойств диффундирующих веществ (характеризуемых коэффи циентом диффузии/)). Уравнение диффузии имеет вид \i = — D -^-~ Напишем для него уравнение размерностей: JL-mi JL Видим, что 7' = щ> т- е- время выравнивания t = const --^- и не зависит от концентрации. Отсюда мы имеем право сделать такое заключение. Любое стро- строгое решение задачи о времени выравнивания концентрации при диффузионных процессах всегда приведет нас к уравнению L2 t = const • -~-, где const — постоянная безразмерная величина, зависящая от гео- геометрических условий задачи. Величина L, от квадрата которой за- зависит скорость выравнивания концентрации, имеет смысл геометри- геометрического размера области, в которой происходит выравнивание. Зна- Значит, если концентрация в пределах одного сантиметра выравнивает- выравнивается, скажем, за 10 с , то в пределах двух сантиметров она выравнива- выравнивается за 40 с. Таким же точно образом можно решить вопрос о выравнивании температуры. В основной закон этого явления входят количество тепла, коэффициент теплопроводности, температура и расстояние. Но приращение количества тепла в единице объема может быть пред- представлено в виде dq = pcp dT\ 19?
Ср— удельная теплоемкость при постоянном давлении, р — плот- плотность (таким образом, срр есть теплоемкость единицы объема). По- Поэтому между собой должны быть связаны следующие величины: температура, длина, время, плотность, теплоемкость и теплопровод- теплопроводность. Можно без труда проверить, что время t не может зависеть от температуры и выражается через остальные величины единствен- единственным образом: X Значит, время выравнивания температуры выражается формулой L2 t = const , где через % мы обозначили комбинацию констант ~- . Величина % носит название температуропроводности. Введение этого коэффи- коэффициента вполне оправдано желанием сделать аналогичными формулы выравнивания концентрации и температуры. Коэффициенты диф- диффузии и температуропроводности имеют одинаковую размерность и вполне аналогичны в рассмотренных двух явлениях выравнивания. Мы видим, чем определяется остывание тела. Процесс идет тем медленнее, чем больше плотность и теплоемкость и чем меньше ко- коэффициент теплопроводности. Пример. Имеются два стержня одинаковых размеров из плавленого кварца и серебра. Для кварца х=0,0033 кал/(см- с- К), р=2,65 г/см3, ср=0,1844 кал/(г* К), т. е. %=0,676- ю-2 см2/с. Для серебра х=1,06 кал/(см-с-К), р=10,5 г/см3, ср= =0,0558 кал/(г- К), т. е. %=J,71 см2/с. Это значит, что выравнивание температуры в серебряном стержне займет времени в 253 раза меньше, чем в кварцевом. Как и для диффузии, для выравнивания температур характерна зависимость от квадрата расстояния: время выравнивания пропор- пропорционально квадрату линейного размера области. Не повторяя аналогичных рассуждений, можно записать формулу для времени выравнивания скоростей движения частей жидкости или газа. Вполне естественно, что и ей может быть придан тот же вид: L2 t =z const • —. Коэффициент v, определяющий быстроту выравнивания скоростей движения, равен v^— ; он носит название кинетической вязкости. Пример. Для водыг]=0,01 П, р=1 г/см3, т. е. v=0,01 см2/с; для глицерина т] —13,9 П, р=1,25 г/см3, т. е. v= 11,1 см2/с. Это значит, что если успокоение ка- какого-либо возмущения в глицерине происходит за 0,1 с, то такое же возмущение в воде успокоится примерно за 2 мин. 192
§ 82. Стационарные процессы Если тело предоставлено самому себе, то различия в температу- температурах, концентрациях и скоростях движения частей тела обязательно уравняются в соответствии с принципом возрастания энтропии. Однако вполне возможно и такое состояние тела, при котором дли- длительное время в нем существует неизменный поток тепла или ве- вещества или неизменное распределение скоростей движения частей тела друг по отношению к другу. Процессы такого рода носят на- название стационарных. Разумеется, при стационарном процессе тело не находится в состоянии равновесия. При каких же условиях возможны подобные процессы? Пред- Представим себе металлический стержень, к которому с одного конца подводится в каждый момент времени некоторое количество тепла. Другой конец стержня находится в тепловом контакте с более холодным телом. Условия, при которых температуры вдоль стерж- стержня не будут изменяться, т. е. условия постоянства градиента темпе- температуры на всем пути теплового потока, будут выполнены в том слу- случае, когда количество тепла, отнимаемого холодным телом, будет строго равно количеству тепла, подводимому за то же время более горячим телом. При аналогичных условиях возможен и стационар- стационарный диффузионный процесс. Для его создания необходимо в одном месте подводить, а в другом уводить из тела равные количества ве- вещества, поддерживая, таким образом, неизменной определенную разность концентраций между двумя участками тела. Стационарный вязкостный процесс может быть осуществлен, на- например, в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися с разными скоростями. Так как у твердых поверхно- поверхностей жидкость или газ будут иметь скорость, совпадающую с дви- движением твердой стенки, то внутри жидкости создастся постоянный перепад скоростей. Стационарный процесс возникает не сразу. В течение какого-то времени происходит установление этого процесса. Представим себе, что стержень, по которому передается тепло, погружен одним концом в снег. В начальный момент времени тем- температура стержня во всех его точках равна нулю. Если теперь при- привести другой конец стержня в тепловой контакт с кипящей водой, то температура начнет повышаться во всех точках стержня, причем, разумеется, не одинаково быстро. Почти сразу установится высокая температура на конце стержня, приведенном в контакт с кипящей водой. Медленнее всего будет расти температура на конце стержня, погруженном в снег. Через некоторое время рост температуры во всех точках стержня прекратится, установится вполне определен- определенное распределение температуры — процесс станет стационарным. Характер распределения температур зависит от того, сколько теп- тепла подводится (отводится) в единицу времени. В электрическом утюге, нагреваемом спиралью, центральная часть находится при самой высокой температуре, далее температура 7 А. И. Китайгородский 1ФЗ
постепенно падает к наружным краям. В окружающей среде, ко- конечно, наиболее горячим является воздух, примыкающий к утюгу. Далее температура спадает более быстро в силу малой теплопровод- теплопроводности воздуха. Для грубых расчетов и при малом размере тела, находящегося в воздухе или жидкости, можно не рассматривать кривой падения температуры, а говорить о разнице между температурой тела и среды, Т—7V Тепловой поток, передаваемый телом в среду за единицу вре- времени, можно в этом случае полагать пропорциональным этой раз- разности температур: Коэффициент k • называется коэффициентом теплоотдачи. Это важная для техники величина. Ее значения и вычисления, с ней связанные, обсуждаются в курсе теплотехники. Обозначим через Р мощность, подводимую к телу, например элек- электрическую мощность в случае утюга. Условие стационарности процесса требует равенства P = k(T-T0). Здесь Т — температура тела, которая установилась в этом стацио- Р нарном процессе, Т = Т0 + -?. Она может существенно меняться в зависимости от подводимой мощности и от условий теплообмена. Здесь уместно сделать замечание о температуре, которую пока- показывает термометр, выставленный «на солнце». Термометр участвует в стационарном процессе передачи солнечного тепла окружающему воздуху. В зависимости от значения коэффициента теплоотдачи тер- термометр, лежащий под солнечными лучами, может показать в пол- полном смысле слова все, что угодно. Измеренная при таких условиях температура есть температура термометра и ни в какой степени не характеризует погоду. Мы не будем рассматривать аналогичные проблемы в отношении диффузии. § 83. Движение в вязкой среде Соображения, касающиеся размерности физических величин, по- помогают в решении задач огромной практической важности, например задачи о стационарном обтекании жидкостью или газом препятствия, или, что то же самое, о движении тела в среде. Наиболее важной проблемой является вопрос о силе сопротивле- сопротивления, испытываемой телом при движении в среде. Эта сила сопротив- сопротивления может зависеть от размеров тела L, скорости движения тела и и свойств жидкости (или газа), а именно, его плотности р и вязко- вязкости т). Другие величины не должны играть роли в этом процессе. Подберем сначала безразмерную величину, составленную из L, м, р и т). Mbf вспоминаем, что кинематическая, вязкость v=T)/p 194
имеет размерность LlT~l, но такую же размерность имеет произве- произведение La. Следовательно, есть безразмерная величина. Она обозначается как указано и назы- называется числом Рейнольдса. Можно убедиться, что Re есть единствен- единственная безразмерная комбинация указанных величин. Другие безраз- безразмерные величины могут быть лишь функциями числа Рейнольдса, /(Re). Если движения разных тел в разных жидкостях приводят к одному и тому же значению Re, то такие движения называют по- подобными. Существует большая техническая дисциплина — теория подобия, в которой выводы об особенностях явления делаются на основании наблюдения подобного явления, осуществленного на модели. Вернемся теперь к поставленной задаче: отыскать выражение силы сопротивления, испытываемой телом, движущимся в среде. Размерность силы есть MLT. Выразим ее через размерность тех величин, которыми мы оперируем, так как больше она ни от чего не может зависеть. Тогда т. е. Значит, а + 6=1, —За + Р +7—6=1, — Р — 6-— 2. Выражая а, |3, у через S, получим а=1— S, Р = 2 — б, 7 = 2 — 6. Таким образом, в наиболее общем случае сила F может быть пред- представлена в виде суммы слагаемых, каждое из которых имеет найден- найденную размерность, т. е. где Л — числовые коэффициенты. Итак, доказано, что сила должна выражаться формулой F = const- pu2L2f (Re). Этот результат получен только из соображений о размерности! Функция /(Re) нам неизвестна и должна быть найдена на опыте. Из простых соображений мы можем получить окончательные фор- формулы для граничных случаев. Если скорость мала, то F должна быть пропорциональна первой степени скорости и. Для этого f(Re) должна равняться I/Re и, следовательно, F = const • r\uL. 7* »6
Числовое значение константы зависит от формы тела. Для шарика F = 6пг\иг г — радиус шарика). Последняя формула носит имя Стокса. Пример. Ртутный шарик (г=0,53 мм), опускаясь в глицерине со скоростью 0,6 см/с, испытывает силу трения около 8 дин. В случае очень больших скоростей движение жидкости по отно- отношению к телу перестает быть стационарным. Получается вихревое, или турбулентное, движение. Тело может двигаться стационарно, а частицы жидкости движутся более или менее случайным образом. Благодаря интенсивному перевешиванию передача движения от сАоя к слою перестает зависеть от вязкости. Это может быть лишь в том случае, если /(Re) стремится к пределу при возрастании ско- скорости. Поэтому при больших скоростях движения сила сопротивле- сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: F = const -pu2L2. § 84. Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности для газов Процессы становления равновесия в газах тесно связаны с ха- характеристиками, обсужденными в предыдущем параграфе. Вырав- Выравнивание температур, концентраций или скоростей одних частей газа по отношению к другим происходит благодаря перемешиванию мо- молекул. Быстрота этого перемешивания определяется ролью столк- столкновений между молекулами. При большом времени свободного пробега, например, произойдет следующее: быстрые молекулы за малое время проникнут в области, где находились медленные; мо- молекулы примеси быстро распространятся в основном газе/ Весьма естественным является утверждение, что время выравни- выравнивания во всех трех процессах должно быть по порядку близко ко времени свободного пробега молекулы. На частных примерах это можно подтвердить теоретическими расчетами, на чем мы останавли- останавливаться не будем. Из равенства: время выравнивания x=l/v мы опустим безраз- безразмерный коэффициент пропорциональности, обычно равный единице по порядку величины, и получим на основании § 81 совершенно тождественные выражения для коэффициентов диффузии *), ки- кинематической вязкости и температуропроводности (полагаем L&1): *) Следует иметь в виду, что наряду с диффузией одного вещества в другое вещество вполне оправдано понятие самодиффузии, т. е. движение молекул среди подобных же, например диффузия водорода в водороде, кислорода в кислороде и т. п. Исследование этого явления стало возможным после освоения метода ме- меченых автомов, а следовательно, и молекул. В соответствии со сказанным здесь D есть коэффициент самодиффузии. 196
Следующая табличка показывает, насколько хорошо выполня- выполняется это предсказание: для воздуха для водорода v = 0,13 v-0,94 Х = 0,18 х-1,3 vl = 0,27 й=1,9. Результаты надо считать хорошими. Совпадение по порядку вели- величины нельзя рассматривать как случайность, если вспомнить, в сколь широких пределах меняются величины, о которых идет речь. Зная выражение коэффициента теплопроводности через темпера- температуропроводность, мы получим: mcpv где т — масса молекулы. В этой формуле сократилось п — число молекул в единице объе- объема. Отсюда следует, что теплопроводность газа не будет зависеть от его плотности, а значит, и от давления. Надо обратить внимание на этот неожиданный, но тем не менее вполне верный вывод. Увеличе- Увеличение плотности газа не ведет к увеличению теплопроводности. Рассматривая формулу для коэффициента теплопроводности, можно сделать еще одно предсказание. Так как эффективный по- поперечник мало зависит от температуры (вообще говоря, а немного уменьшается с повышением температуры), так же как и теплоем- теплоемкость, а тепловая скорость пропорциональна Vl\ то и коэффициент теплопроводности должен быть пропорциональным корню квадрат- квадратному из температуры. Приводимые ниже числа дают представление о точности выполне- выполнения обоих этих предсказаний. Например, для азота взятого при О °С, 325 °С и 500 °С, х3:х2:х1= 1,93:1,65:1, УГТ3УТ2:УТ1 = 1,68:1,48:1. Теплопроводность растет с температурой несколько быстрее, чем пропорционально V Г, за счет изменений поперечника и теп- теплоемкости. Что касается независимости от давления, то, как мы только что видели, она имеет место в очень широком интервале дав- давлений. Так же точно не зависит от давления и плотности газа его динами- динамическая вязкость ц ~ pvL Температурное поведение вязкости идеаль- идеального газа должно совпадать с поведением теплопроводности — та же пропорциональность. Числовые примеры помогут запомнить сказанное. Для азота G\=273 К, Г2=289 К, Г3=296 К) 4a'-V-4i= 1,06:1,04:1, 1= 1.04:1,03:1. 197
Разительным является постоянство вязкости газа(СО2>: при измене- изменении давления в 380 раз, от 2 до 760 мм ртутного столба, вязкость фактически не меняется, оставаясь все время равной 14,8» 10~5 П с точностью до единицы в третьем знаке. § 85. Ультраразреженные газы Так называются газы, у которых длина свободного пробега боль- больше линейных размеров сосуда. При нормальных условиях длина- свободного пробега есть величина порядка 10~6 см. Свободный про- пробег обратно пропорционален плотности. Следовательно, при давле- давлении порядка 10~4 мм ртутного столба длина свободного пробега будет измеряться десятками сантиметров. Для сосуда размером око- около 10 см при таком давлении мы получим вакуум или ультрараз- ультраразреженный газ. Следует обратить внимание, что и в вакууме плотность молекул измеряется огромными числами. При указанном выше давлении в 1 см3 газа содержатся тысячи миллиардов молекул. Молекулы, переставшие сталкиваться друг с другом и соуда- соударяющиеся только со стенками сосуда, вносят специфические осо- особенности в поведение такого газа. Теряет смысл ряд понятий. Уже нельзя говорить о внутреннем трении молекул газа, так как в газе не могут возникнуть слои молекул, обменивающиеся скоростями. Нельзя говорить о давлении одной части газа на другую (в то же время понятие давления газа о стенки сосуда сохраняет свой смысл). Также теряет смысл понятие теплообмена между частями газа и вообще все понятия, связанные со взаимодействием частей газа. Ультраразреженный газ взаимодействует лишь с помещенными внутрь него телами. Специфику вакуума как особого физического состояния газа будет полезно проиллюстрировать примерами. . Как записать выражение для потока тепла, переносимого с одной пластины на другую, если эти пластины имеют разные температуры 7\ и Т2 и находятся в вакууме? Сущность теплообмена в этом слу- случае состоит в том, что молекулы газа, ударяясь о стенку, отскаки- отскакивают от нее со средней скоростью, соответствующей температуре этой стенки. Что же касается выражения для потока тепла, то, вгля- вглядываясь в знакомую нам формулу мы видим, что изменение заключается в том, что роль длины сво- свободного пробега теперь играет расстояние между стенками L. По- Поэтому выражение для теплового потока должно принять для ультраразреженных газов следующую форму: При дальнейшем разрежении ультраразреженных газов тепловой поток в соответствии с этой формулой должен убывать, после того 198
как длина свободного пробега сравнивается с линейными размерами сосуда. Это и наблюдается на опыте. Также своеобразны для ультраразреженного газа условия равно- равновесия газа в двух сообщающихся сосудах разной температуры. В случае обычного газа давления газов в обоих сосудах одинаковы при разных температурах; напротив, плотности газов различны, а именно, обратно пропорциональны температурам. Равенство дав- давлений необходимо для равновесия, так как иначе посредством соу- соударений молекул один газ выталкивает из сосуда другой. Совсем иначе обстоит дело в случае вакуума. Соударений между молекулами нет, поэтому поток молекул из одной части сосуда в другую не затруднен. Условие равновесия будет заключаться в равенстве потоков молекул. Если в единице объема п частиц и ча- частицы движутся со скоростью v, то за единицу времени через еди- единицу площади пройдет по молекул. Значит, при равновесии n^vx = =n2v2. Так как число молекул в единице объема пропорционально частному от деления давления на температуру (это следует из уравнения состояния идеального газа) и так как скорость молекул пропорциональна корню квадратному из температуры, то условие равновесия примет вид Таким образом, равны друг другу не давления, а отношения дав- давлений к корню квадратному из температур. Если увеличивать плот- плотность газа, то давления начнут постепенно выравниваться, и мы придем к обычному равновесию тогда, когда длина пробега станет достаточно малой.
ЧАСТЬ II ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛАВА 14 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ § 86. Векторные характеристики электрического поля: напряженность и смещение О наличии в пространстве электрического поля узнают по многим признакам. В первую очередь к ним относятся свойство электриче- электрического поля создавать силу, действующую на электрические заряды, и свойство индуцировать электрические заряды на поверхности нейтрального металлического тела. Измерение силы, действующей на а&ряд q, приводит нас к вы- выводу, что сила F может иметь разные величины и направления в разных точках пространства, а в данной точке пропорциональна заряду q. Отсюда вытекает возможность характеризовать электри- электрическое поле его напряженностью Е, определяемой как ? = ?. я При этом надо оговорить, что q мало; тогда, во-первых, можно из- измерять Е в достаточно близких друг к другу точках пространства и, во-вторых, собственное поле заряда q не искажает заметным об- образом измеряемое поле. Поле любого вектора зачастую характеризуют так называемыми векторными линиями. Касательная к каждой точке векторной линии совпадает с направлением вектора в этой точке. Это относится и к электрическому полю, которое можно характеризовать линиями вектора электрической напряженности Е. Числовые примеры. 1. Напряженность электрического поля освети- осветительной проводки — десятки вольт на сантиметр. 2. Напряженность электрического поля Земли вблизи поверхности состав- составляет — 100 В/м=1/300 ед. СГС. 3. Напряженность электрического поля ядра атома водорода на расстоянии, соответствующем радиусу «орбиты» электрона, 19,2-106 ед. СГС=57,6-1010 В/м. 4. Напряженность электрического поля, при которой происходит пробой воздуха, 30 кВ/см=100 ед. СГС. Опыт по определению индуцируемых полем зарядов можно про- произвести при помощи двух маленьких металлических пластинок, ук- 200
репленных на изолирующей ручке (пластинки Ми, по имени не- немецкого физика Г. Ми) (рис. 89). Помещая в поле сомкнутую пару пластинок, а затем осторожно разведя их, можно собрать на одной пластинке положительный, а на другой — отрицательный заряд и далее измерить индуцированное количество электричества элек- электрометром или баллистическим гальванометром. Рис. 89. Опыт показывает, что всегда можно найти такое положение пло- площадки, при котором электричество на ней индуцироваться не будет. В однородных изотропных телах (а мы пока что не будем рассма- рассматривать других) это имеет место при расположении площадки парал- параллельно вектору /Г. Напротив, электрическая индукция максималь- максимальна, если площадка расположена перпендикулярно к вектору Е. Отсюда следует возможность введения еще одного вектора для опи- описания электрического поля, а именно, вектора электрического сме- смещения Ф, который определяется следующим условием. Вектор Ф направлен по нормали к пластинкам Ми, когда они расположены оптимально по отношению к индукции, т. е. на них индуцируется максимальный заряд. Если смотреть против вектора Ф, то мы долж- должны видеть положительную пластинку Ми. Во всех случаях, за ис- исключением анизотропных тел, векторы Ф и Е совпадают по направ- направлению. По абсолютной величине где а — поверхностная плотность заряда, расположенного на пла- пластинке Ми. Так как поверхностную плотность а можно записать как dq Мы сказали выше, что электрическое поле можно характеризо- характеризовать линиями вектора Е. Разумеется, можно описать поле и линия- линиями вектора Ф. Линии вектора Ф названы электрическими силовыми 201
линиями. Принимают, что число силовых линий, проходящих через единицу площади, перпендикулярной к силовым линиям, равно f» |=35, а величину, равную называют электрическим потоком через площадку dS±. Если на- наклонная площадка dS пронизывается тем же электрическим пото- потоком, что и dSj_, то cos a где а — угол между нормалью к площадке и силовыми линиями, т. е. dN = ?) cos a dS. Поток через большую поверхность запишется в виде а поток через замкнутую поверхность принято отмечать кружком на знаке интеграла: N = ? 2) cos a dS. § 87. Диэлектрическая проницаемость Как показывает опыт, между двумя векторами, характеризую- характеризующими электрическое поле, существует связь. Для случая, когда векторы поля параллельны друг другу, они и пропорциональны друг другу в данной точке пространства *). Изменение Виктора Е влечет за собой пропорциональное изменение вектора Ф. Отноше- Отношение &IE зависит только от среды. Принято характеризовать электрические свойства среды без- размердой величиной е, выбранной так, чтобы для вакуума е = 1. Как будет видно несколько ниже, это условие вызвано тем, что не могут существовать тела се<1. Поэтому вакуум является естест- естественным «началом отсчета» для е. Величина е, называемая диэлек- диэлектрической проницаемостью, определяется равенством где е0 зависит от выбора е^ниц. Если состояние среды одинаково во всех точках, то и г является константой. На границе двух сред е меняется скачком. Тела, неоднородные по плотности и другим свой- свойствам, обычно неоднородны и по отношению к диэлектрической про- проницаемости. *) На стр. 229~будет рассмотрен случай анизотропных сред, когда векторы и Е не параллельны друг другу. 262
Диэлектрические проницаемости некоторых веществ при 18 °С: для воздуха е = 1,00059, для стекла 7,00, для бумаги 2—2,5, для воды 80,5. В системе СИ измеряют величину 2) в кулонах на 1 м2 (Кл/м2), а напряженность поля — в ньютонах на кулон (Н/Кл). Тогда е0 будет измеряться в Кл2/(м2-Н). В этих единицах 1Л-9 e°=wK;i2/(M3-H)- В системе СГС е0 не имеет размерности и кладется равным ) Вместо смещения пользуются также в 4я раз большей величи- величиной D, называемой индукцией; в абсолютной системе D— гЕ. Оба выбора значения е0 имеют свои относительные достоинства, что будет видно ниже. Первая система упрощает одну группу фор- формул, но усложняет другую; вторая система приводит к обратному результату. Следует подчеркнуть, что понятия смещения и индукции имеют совершенно одинаковое физическое содержание. Различие в число- числовом множителе сводится лишь к различию связей между единицей индукции (смещения) и единицей плотности заряда. Электрическое смещение равно (см. стр. 201) единице, если плот- плотность заряда на пластинках Ми равна единице. Электрическая ин- индукция равна единице, если плотность заряда на пластинках Ми равна 1/Dя). В электротехнике пользуются, как правило, только величиной 2), т. е. смещением; напротив, в физике используется исключитель- исключительно электрическая индукция D. Необходимо сделать несколько замечаний о формулах и единицах измерения, которыми мы будем пользоваться в этой части книги. В механике и термодинамике хотя и пользуются различным выбором основ- основных физических величин и разными единицами измерения, все же единодушно полагают одни и те же коэффициенты пропорциональности равными безразмерной единице. Все формулы этих глав физики имеют поэтому одинаковый вид вне за- зависимости от выбора системы единиц. К сожалению, иначе обстоит дело в учении об электромагнитном поле. Су- Существуют два общепринятых подхода: один принят в электротехнике, другой — в физике. В этих двух подходах не только является различным выбор основных величин и единиц измерения, но оказываются отличными коэффициенты пропор- пропорциональности в одних и тех же физических формулах. Поневоле приходится зна- знакомиться с обеими системами построения формул. Это будет сделано в ходе изложения. Здесь нам достаточно ограничиться не- несколькими общими замечаниями. В электротехнике принята так называемая система СИ. К метру, килограмму и секунде добавляется еще выбор единицы силы тока. При этом силой тока в 1 А называется такая сила тока, при которой коэффициент пропорциональности \ъ (магнитная проницаемость вакуума), фигурирующий в формулах электродинами- электродинамического взаимодействия (см. стр. 244), имеет значение цо = 4л.1О~7 Дж/(А2-м). т
Такой выбор единицы силы тока, как показывает эксперимент, сводится к тому, что при протекании тока силой 1 А по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метра один от другого в вакууме, между этими проводниками воз- возникает сила, равная 2-10~7 ньютона на каждый метр длины. Причиныэтого вы- выбора, который может показаться странным, мы освещать не будем; при желании познакомиться с этим вопросом подробнее см. Сена Л. А., Единицы физических величин и их размерности, «Наука», 1969. Все остальные единицы измерения в системе СИ могут быть выражены через килограмм, метр, секунду и ампер. Поскольку в электротехнике система единиц измерения строится на четырех основных величинах, то она уже никак не может привести к той же системе фор- формул, что и система СГС, которая строится на трех основных единицах. Однако имеются и другие отличия в этих двух системах, выражающиеся в различном вы- выборе числовых безразмерных коэффициентов. В процессе изложения материала мы будем иногда приводить запись формул в обеих системах, а в конце книги, в приложении, помещаем список формул, рассмотренных в книге, записанных в обеих системах с указанием единиц измерения. § 88. Законы электрического поля Представим себе систему электрически заряженных тел, создаю- создающих произвольное поле. Проведем в этом поле замкнутую поверх- поверхность. Часть зарядов попадает внутрь поверхности, часть остается вне ее. Можно измерить электрический поток, выходящий за пре- пределы этой поверхности. Результат будет крайне прост и естествен. Суммарный электрический заряд, индуцированный на поверхности (а это и есть по определению поток N = (E&cos a dS), будет равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри объема, охватываемого этой поверхностью: 3) cos a dS = ^ qt. Эта теорема, носящая имена Гаусса и Остроградского, показывает, что электрические линии (линии %) начинаются в зарядах одного знака и заканчиваются в зарядах обратного знака.*Не существует оборванных силовых линий. В постоянном электрическом поле не существует замкнутых на себя линий электрической напряженности*). Это следует из другого закона для электрических полей, который говорит: электричес- электрическое поле (точнее, поле вектора напряженности Е) является полем потенциальным. Работа, совершаемая при перенесении заряда вдоль замкнутого контура, будет равняться нулю в таком поле (значит, замкнутых линий вектора Е нет); работа перенесения заряда из одной точки в другую будет зависеть только от расположения этих точек и не меняется при изменении формы пути. В этом отношении свойства электрического поля совпадают со свойствами поля тяго- тяготения. *) В вакууме и однородной среде линии векторов ?иф совпадают. В этом случае можно говорить об электрических силовых линиях, не оговариваясь, о каком из векторов идеть речь. 204
Выберем в электрическом поле какую-либо точку за начальную и будем вести от нее отсчет потенциальной энергии. На перемещение заряда из начальной точки в данную точку пространства при любой форме пути понадобится всегда одна и та же работа Л. Поэтому, находясь в какой-либо точке пространства, заряд обладает потенци- потенциальной энергией U> численно равной затраченной работе А. Аналогично тому, как потенциальная энергия тяготения про- пропорциональна массе тела, потенциальная энергия электрического поля пропорциональна заряду: Величина y = U/q, т. е. потенциальная энергия, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку пространства, носит название электрического потенциала поля, или просто потенциала. Из определения потенциала следует выражение для работы, со- совершаемой при переносе заряда из одной точки поля в другую. Так как работа равна изменению энергии, dA=—dU, то т. е. Edl = — где dcp — изменение потенциала. Для конечного участка пути 2 = Ф!—ф2; разность потенциалов *) равна работе, затрачиваемой на переме- перемещение единичного заряда. Если заряд движется вдоль силовой линии, то знак вектора мож- можно опустить. Тогда 1 Наконец, в однородном поле формула упростится к виду где d — расстояние между точками 1 и 2. Формулы, связывающие Е и ср, пишутся без каких бы то ни было коэффициентов пропорциональности. Они имеют одинаковый вид во всех системах единиц. *) В переменном поле написанное равенство не имеет места. Чтобы не было 2 путаницы, целесообразно ввести для f*? dl особый термин: его называют электри- 1 ческим напряжением между точками 1 и 2. Для постоянных полей напряжение и разность потенциалов совпадают. 205
Примеры. 1. Пусть плоские электроды с площадью 5=10 см2 находятся в воздухе на расстоянии 5 мм и разность потенциалов между ними равна 5000 В. Напряженность созданного электрического поля будет ?=106 В/м=33 ед. СГС. Электрическое смещение в поле этого конденсатора 2)=ео?=9-10-6 Кл/м2. Это значит, что плотность заряда на пластинах конденсатора а=9* 10-6 Кл/м2== =2,7 ед. СГС. Электрический поток через всю плоскость электрода iV=3M= =9- Ю-9 Кл. Заряд одной пластины q~oS~9- 10~9 Кл. Очевидно, N~q, как это и следует из теоремы Гаусса — Остроградского. 2. Электрическое смещение поля Земли вблизи ее поверхности 2)—9х X Ю-10 Кл/м2. Поверхность Земли 5~5- 1014м2, поверхностная плотность заряда 0~9» К)-10 Кл/м2. Отсюда заряд Земли q—4,5* 10б Кл. Электрический поток, про- пронизывающий поверхность Земли, /У~4,5* 106 Кл. § 89. Вычисление полей простейших систем Законы электрического поля, изложенные в предыдущем пара- параграфе, а также общие соображения о симметрии помогут нам вы- вычислить поля некоторых несложных систем. Найти поле — это значит вычислить напряженность, индукцию или потенциал. За- Заметим, что знания потенциала вполне достаточно, чтобы характери- характеризовать поле. Зная ф во всех точках пространства, можно найти зна- значения вектора Е дифференцированием ср. Эта процедура станет особенно ясной, если построить поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), удовлетворяющие уравнению у(х, у, z)=const. Так как работа перемещения заряда вдоль экви- эквипотенциальной поверхности равна нулю, то силовые линии идут вдоль нормалей к эквипотенциальным поверхностям. Значит, для нахождения числового значения \Е\ надо продифференцировать Ф (*» У'» г) в направлении нормали. Математические операции такого типа рассматриваются в векторном анализе. Однако такое диффе- дифференцирование легко произвести графически, если построить гра- график, на котором значение ср будет отложено в функции координаты, отсчитываемой вдоль силовой линии. Тангенс угла наклона этой кривой даст аначение Е с обратным знаком для любого места на си- силовой линии. Имея в виду необходимость усвоения читателем новых понятий, мы на примерах проанализируем особенности как потенциала, так и векторных характеристик поля, хотя, повторяем, в принципе знание потенциала решает задачу. Точечный заряд. Из соображений симметрии ясно, что поле уеди- уединенного точечного заряда должно быть радиальным сферически симметричным полем. Проведем сферу с радиусом л Поток смещения, исходящий из заряда q9 будет равен Угол а — это угол между силовыми линиями и поверхностью по- построенной сферы; он равен 90°. Во всех точках поверхности 2) имеет одно и то же значение и поэтому может быть вынесено за знак 206
интеграла. Тогда и так как ф dS = 4яг2 (площадь сферы), то смещение в точке, распо- расположенной на расстоянии г от заряда, равно 55=^/Dяг2), а индук- индукция D=q/r2. Напряженность электрического поля 4л80ега * Для данного случая более удобна система СГС, в которой ео=1/Dл). Тогда E=q/(er2) или в случае вакуума Так как напряженность поля равна производной от потенциала (с обратным знаком) вдоль силовой линии, т. е. то для потенциала точечного заряда получим выражение Постоянную интегрирования положим равной нулю. Этим мы ввели начало отсчета потенциала: в бесконечности ф=0. Итак, потенциал точечного заряда убывает обратно пропорци- пропорционально первой степени расстояния, а напряженность — квадрату расстояния. Если заряд находится в среде с диэлектрическим коэффици- коэффициентом е, то напряженность и потенциал уменьшаются в е раз. Потенциал Земли 0,07 В. При этом за нуль принимается потенциал на беско- бесконечности. В электротехнике потенциал Земли принимается равным нулю. Система точечных зарядов. Рассмотрим приемы вычисления по- полей, создаваемых системами точечных зарядов. Положим е=1 и будем пользоваться абсолютной системой единиц. Тогда для по- потенциала системы зарядов можно написать: где rh— расстояния от зарядов до точки наблюдения. Для двух одинаковых разноименных зарядов получим а для одноименных ШГ
При помощи написанных формул может оьазаться неудобным решать задачу. Часто приходится вводить декартову систему коор- координат и выражать радиусы rk через х, у, г. Если зарядов два и на- находятся они на расстоянии 2а друг от друга, то начало координат удобно выбрать в средней точке и ось х направить вдоль соединяющей линии. Тогда Также бывает удобно представить потенциал в функции полярных координат точки R и ср. Из рис. 90 видно, что гг = VR* + а2 — 2aR cos ф, r2 = V R* + a2 + 2aR cos ф. Напряженность поля системы точечных зарядов дается вектор- векторным равенством Е:==z —« 1 1 \~ ... - «-3 Гч 'Г2 Г Г2 Г I ^1 i 2 2 3 3 Здесь —— единичный вектор в направлении радиуса г*. Картина силовых линий строится геометрическим сложением. Универсальные формулы потенциала. Если поле создается не точечными, а объемными и поверхностными зарядами, то потенциал поля может быть подсчитан, если только известно распределение за- заряда. Разобьем области объемного заряда на бесконечно малые объемы do, а области поверхностного заряда — на бесконечно малые участки поверхности dS. Если 9=-г — объемная, а о=~ — поверх- поверхностная плотность заряда, то потенциал, создаваемый объемом dv, 208
равен —, а потенциал, создаваемый элементом поверхности dS, pa- g dS ^ вен . Складывая потенциалы, создаваемые всеми элементами, получим: Радиус г проведен из точки наблюдения, а конец г пробегает все точки пространства, где сосредоточены заряды pdv и о dS. Эти формулы редко применяются, так как обычно распределение заряда, характеризуемое функциями плотности р и а, не задается, а, напротив, ищется. Поле сферического конденсатора. Сфера с радиусом гА, заря- заряженная количеством электричества +#, окружена концентрической сферической поверхностью с радиусом гв. Внешнюю сферу удобно представить себе заземленной. На ее внутренней стороне индуци- индуцируется заряд —q. Соображения симметрии определяют радиальный характер поля. Если построить мысленно сферу с радиусом г между сферами конденсатора и применить закон Гаусса — Остроградского, то результат не будет отличаться от полученного для точечного за- заряда: ?--2- Уравнение потенциала имеет вид ф = ^_|_ const, но в отличие от предыдущего константу уже не следует отбрасывать. Как известно, принято потенциал заземленных металлических ча- частей считать равным нулю. Поэтому будет удобнее, если мы поло- положим ф=0 не в бесконечности, а при г=гв. Тогда const = — . Выражение потенциала в точках между сферами имеет вид а На поверхности внутренней сферы а а Вспоминая, что отношение заряда к разности потенциалов на об- обкладках конденсатора называется его емкостью, получим для ем- емкости сферического конденсатора выражение Q^ 1 __ ГАГВ J J_ гв—га' га гв 209
Если наружная сфера отдаляется (rB-+oo)t то емкость становится равной Емкость уединенного шара измеряется величиной его радиуса. Если между обкладками конденсатора находится диэлектрик с коэффициентом е, то напряженность Е и потенциал ф уменьшатся в е раз. Из формулы Y е \гл гв} получим для емкости конденсатора: для шара Емкость конденсатора возрастает в е раз. Формулы потенциала и поля, которыми мы сейчас оперируем, применимы для точек пространства между обкладками конденсатора. Они не могут быть распростра- распространены на точки пространства, на- находящегося внутри первой обо- оболочки или охватывающего обе. оболочки, так как закон Гаусса дает для этих точек другой ре- результат. Если заряд внутренней сферы сосредоточен на ее поверхности, то для точек внутри сферы Рис. 91. Так как подобное утверждение справедливо для любой поверх- поверхности, проходящей внутри сфе- сферы, то это возможно лишь в случае, если D=0, а значит, равна нулю и напряженность поля. Следовательно, закон Га- Гаусса доказывает отсутствие поля внутри объема, или заряды рас- расположены лишь на его поверхно- поверхности. Что же касается потенци- ала ф, то при ?=0 он может равняться постоянной величине, рав- равной значению ф на поверхности сферы. Кривые Е и ф в функции г, показанные на рис. 91, поясняют сказанное. 210
Пример ы. 1. На расстоянии 1000 км от поверхности Земли напряженность ее электрического поля упадет в { щ J =1,33 раза. 2. Емкость Земли С=б,4-108 ед. СГС=700 мкФ. 3. Емкость конденсаторов, применяемых в радиотехнике, колеблется в ши- широких пределах от долей пФ A пФ=10-12 Ф) до тысяч мкФ. Поле равномерно заряженной сферы. Очевидно, что вне такой сферы поле такое же, как у точечного заряда или у сферы, заряжен- заряженной на поверхности, т. е. где г — расстояние от центра сферы, a q = -jna3p (p — плотность заряда, а — радиус сферы). Чтобы найти поле внутри сферы, проведем вспомогательную сферу с радиусом г<Са. Внутри такой сферы содержится количество электричества меньшее, чем q, а именно, равное 4 ч г3 -х- яг6р = -х q. ¦ 3 r a3 ^ Согласно закону Гаусса т, е. Отсюда напряженность электрического поля Е=^—,г (СИ) ИЛИ Е = -^г (СГС). Обратим внимание на то, что поле равно нулю лишь в центре шара. Далее поле линейно возрастает (рис. 92) и на поверхности шара (г=а) становится равнымq/(m2). Здесь совпадают результаты формул для внешнего и внутреннего пространст- пространства. Далее происходит спад поля по закону обратного квадрата. Потен- Потенциал вне такого шара может быть по-прежнему представлен как а/г. Значение <р внутри шара не представ- представляет интереса, и мы его рассматри- рассматривать не будем. Поле с цилиндрической симметри- симметрией. Если поле создается равномерно заряженной нитью или цилиндром, у которых на единицу длины приходится заряд q/l, то поля таких систем будут одинаковы (вне заряженных тел) и будут обладать № Рис. 92.
следующей особенностью: силовые линии идут под прямым углом к оси симметрии и поток одинаков в любом из радиальных направ- направлений. Для применения закона Гаусса около цилиндрического тела строится вспомогательная цилиндрическая поверхность с радиусом г и единичной высотой. Поток проходит только через боковые по- поверхности этого цилиндра. Поэтому ф 3) cos a dS сводится к инте- гралу по боковой поверхности цилиндра и, опять-таки ввиду сим- симметрии (cos <x—\ и ?> одинаково во всех точках цилиндра), т. е. / ' 2кг Отсюда напряженность поля Е=^7Т7 (СИ) ИЛИ E = tm± (сгс). Поле цилиндра убывает обратно пропорционально первой степени расстояния. Эта формула одинаково пригодна для пространства около заряженной нити, внешнего пространства заряженного ци- цилиндра и пространства между обкладками цилиндрического конден- конденсатора. Так как dtp——Е dry то для потенциала получим Ф = — 7-In---+ const. с * / Потенциал убывает много медленнее с изменением расстояния, не- нежели в случае сферических систем. Так, например, при увеличении расстояния г в 10 раз потенциал упадет уже не в 10, а в 2,3 раза. Для конденсатора с радиусами цилиндров а и b получим Емкость такого конденсатора, отнесенная к единице длины, равна г - е ^ 2 In (a/b) ' Пример. Коаксиальный кабель а=18 мм и Ь=6 мм, заполненный изоля- изоляцией с диэлектрической проницаемостью 8=4,2; емкость на единицу длины будет С=1,91 ед. СГС/см=2,12 пФ/см. Следует помнить, что все приведенные формулы не учитывают искажения поля на краях цилиндра и потому, строго говоря, отно- 212
сятся к бесконечным по длине цилиндрам. Практически приведен- приведенные формулы годятся, если объем пространства, занятого «искажен- «искаженным» полем, существенно меньше объема неискаженного радиаль- радиального поля. Однородные поля, Однородные поля, т. е. поля, в которых сило- силовые линии параллельны и расположены с равной плотностью, соз- создаются бесконечно протяженными плоскостями. Разумеется, сило- силовой поток перпендикулярен к такой плоскости. Величину поля доы найдем опять-таки с помощью закона Гаусса — Остроградского. Для этой цели построим вспомогательную поверхность в виде ци- цилиндра, проходящего через заряженную плоскость. Если боковая поверхность цилиндра перпендикулярна к плоскости, то поток через нее сводится к потокам через два основания. Интеграл ф Ф cos a dS будет равен 2Ф5, где 5 — площадь основания. Заряд внутри ци- цилиндра равен 05. Отсюда для смещения имеем формулу Напряженность электрического поля в системе СИ будет равна Е = ~, а в системе СГС Е=—; напряженность не зависит от ^88q 8 расстояния до источников поля. Рассмотрим теперь плоский кон- конденсатор. В сферическом и цилиндрическом конденсаторе поле соз- создается лишь внутренней заряженной поверхностью, а в плоском конденсаторе поле между его обкладками создается обеими поверхно- поверхностями. Вне конденсатора поля не будет; в этом сохраняется анало- аналогия с конденсаторами, рассмотренными выше. Между обкладками конденсатора 2)=сг, а напряженность равна Е=^-в (СГС). Чтобы записать выражение для потенциала однородного поля, будем откладывать расстояние х от одной из заряженных пластин в направлении силовой линии. Если эта пластина единственная, то потенциал запишется в виде ф= — ox+const. Если же речь идет 8 о конденсаторе, то выражение для потенциала между его обклад- обкладками будет иметь вид ф = ~сгх + const. Отсюда разность потенциалов Ф« — <Ь = — ° (*Ь—Ха) = — ™, где d — расстояние между обкладками. Значит, емкость плоского конденсатора на единицу площади С = -~j (СГС), или C = ~?(Q1). 213
Все эти формулы строго верны для бесконечно протяженных пластин. Практически мы можем ими пользоваться, если влияние краев конденсатора, на которых поле явно неоднородно, невелико. Определять поле в какой-либо точке по приведенным формулам можно лишь в том случае, если эта точка расположена достаточно далёко от краев. Точнее, это условие сводится к тому, чтобы поле, создаваемое элементарными зарядами, расположенными на краях пластин, было много меньше полей, создаваемых ближайшими к точ- точке наблюдения местами пластин. Вернемся к конденсатору, разобранному в примере на стр. 206. Удвоим рас- расстояние между пластинами двумя способами. 1. Пластины остаются соединенными с источником напряжения U—Ъ кВ. Тюгда С1=^=1,8 пФ, ^i==C1I/=9-101-» Кл, Ех =-—-=10* В/м, % = =9- Ю-6=Кл)м2, #!=9-10-» Кл. После удвоения расстояния между пластинами получим: С2—0,9 пФ, ?2= =4,5- Ю-9 Кл, ?2=0,5-106 В/м, 2J=4,5- Ю-6 Кл/м2, #2=4,5.10~9 Кл. Полови- Половина заряда ушла в источник. 2. Прежде чем удвоить расстояние, пластины отсоединяются от источника (заряд конденсатора ^=const). С2=0,9 пФ, q—qx—§-10~9 Кл, ?/2=7г- = 10 кВ, Е%—-~-=Е1, 3J = 2)i, N2 = N1. Напряжение на пластинах удвоилось за счет работы внешних сил. Поле на поверхности металла. Внутри металла электрическое поле отсутствует. Это следует из того, что все заряды проводника расположены на его поверхности. Согласно закону Гаусса поле будет направлено во внешнее пространство. Поверхность металла обладает следующим очевидным свойством: она является эквипотенциальной поверхностью. Действительно, в обратном случае электрические заряды перемещались бы по поверх- поверхности проводника. Отсюда следует, что линии силового потока, вы- выходящего с поверхности металла во внешнее пространство, должны образовывать в точках поверхности прямой угол с ней. Так как весь поток выходит из поверхности в одну сторону, то от единицы площади поверхности, согласно закону Гаусса, должно выходить 33=а линий. Иначе говоря, напряженность поля на поверхности проводника равна E=^L (СГС). Электрическое изображение. Рассмотрим электрическое поле, которое возникнет, если около плоской металлической поверхности поместить точечный электрический заряд. Благодаря явлению элек- электрической индукции на поверхности металла вблизи точечного ис- источника соберется электрический заряд противоположного знака. Плотность этого заряда будет наибольшей в местах, наиболее близ- близких к точечному источнику, вдали же от него' плотность индуци- индуцированного заряда будет спадать к нулю. Так же и электрическое поле будет сильнейшим в наиболее близких к заряженной точке 214
местах. Имеется возможность рассмотреть эту задачу и количест- количественно. Так как поверхность проводника является поверхностью эквипо- эквипотенциальной, мржно, ничуть не уменьшая общности задачи, считать проводящую поверхность заземленной и, следовательно, потенциал металла равным нулю. Внутри металла поля нет, и нас интересует электрическое поле в правой части полупространства.Электрические . свойства этого полупространства однозначно определены, если ука- указано, какова величина заряда и на каком расстоянии от эквипотен- эквипотенциальной плоскости он находится. Важно следующее: нас совершен- совершенно не интересует, что находится слева от поверхности нулевого по- потенциала. Это обстоятельство строго доказывается в математической \\ Рис. 93. физике — поле внутри какого-либо пространства определено одно- однозначно, если заданы заряды внутри этого пространства и указаны граничные условия для потенциала. Обращаясь к рис. 93, а, на котором изображено поле двух раз- разноименных зарядов, и мысленно деля пространство, заполненное этим полем, на две симметричные части, мы видим, что полупро- полупространство этого рисунка в точности эквивалентно полупространству заряда около металла (рис. 93, б). Поля таких полупространств должны быть тождественными. Из этого рассуждения вытекает справедливость следующей процедуры. Мы «отражаем» электриче- электрический заряд в поверхности металла. В правой части пространства электрическое поле заряда и его «изображения» должны совпадать с искомым полем. Таким образом, искомое электрическое поле вы- выражается формулой где гг— расстояние точки наблюдения от заряда, а г2— от его изо- изображения. 215
Второй вывод, который мы делаем: электрический заряд притя- притягивается к металлической поверхности с такой же силой, как и к своему электрическому изображению, т. е. с силой q2/Da2), где а — расстояние от заряда до поверхности. Наконец, тот же подход к задаче позволяет найти распределение индуцированного электрического заряда на металлической поверх- поверхности. Для этого следует продифференцировать выражение для по- потенциала по направлению нормали к поверхности — это даст зна- значение напряженности электрического поля; далее, согласно формуле последнего раздела надо умножить Е на е/Dя). Метод электрических изображений имеет ряд применений и дает возможность решать задачи электростатики в случае систем, состоя- состоящих из неплоских металлических тел и расположенных вблизи них точечных зарядов. § 90. Электрическая энергия Энергия конденсатора. В том, что заряженный электрический конденсатор обладает энергией, нетрудно убедиться. Несложно и измерить величину этой энергии. Для этого можно, например, раз- разрядить конденсатор через проводник и измерить джоулево тепло, которое при этом выделяется. Чтобы выяснить, от каких факторов зависит электрическая энергия конденсатора, нам нет нужды обра- обращаться к эксперименту. Формула электрической энергии конден- конденсатора является следствием уже известных нам теоретических поло- положений. Рассмотрим конденсатор, одну из обкладок которого для удоб- удобства рассуждений будем считать заземленной. Процесс разрядки кон- конденсатора (заземление второй обкладки), заряженного до разности потенциалов ф количеством электричества q, можно представить себе как последовательный уход элементарных зарядов dq под дей- действием сил электрического поля в землю. Работа, совершаемая полем при таком элементарном акте, равняется ф dq. По мере разрядки работа на перенесение каждой последующей порции зарядов в землю будет становиться все меньше, так как разность потенциалов <p=q/C все время уменьшается. Полная работа, которая будет совершена полем при разрядке конденсатора, будет равна Эту величину вполне уместно назвать электрической энергией кон- конденсатора. Используя связь потенциала с зарядом, формуле энергии можно придать различный вид: W = 9Л =Ц)д ~ С(р2 эл 2С 2 2 216
Отсюда видно, что при постоянной разности потенциалов электриче- электрическая энергия пропорциональна квадрату заряда. Постоянство раз- разности потенциалов имеет место при подключении конденсатора к по- постоянному элементу. Если обкладки конденсатора изолированы, то заряд постоянен; в этом случае энергия пропорциональна квадрату потенциала и прямо пропорциональна емкости конденсатора. Энергия поля, В случае бесконечного плоского конденсатора формула энергии может быть записана в виде ^эл = пользоваться системой СИ, или в виде ^эл — ^л"» если пользо- пользоваться системой СГС. Нами написаны формулы для энергии, при- приходящейся на единицу площади плоского конденсатора. Эти формулы можно преобразовать, вводя в них напряженность Е вместо разности потенциалов ср. Подставляя ср=?#, получим Wm = ^d (СИ) или WM = gd (СГС). Из вида формул следует, что на единицу объема приходится энер- е?2 &Е2 гия -g—. Назовем ш — у- плотностью электрической энергии. Рассмотрим теперь произвольное электрическое поле. Построим мысленно эквипотенциальные поверхности и силовые линии и разо- разобьем пространство на малые объемы dv, Ограниченные двумя сосед- соседними эквипотенциальными поверхностями и боковой поверхностью, проходящей через силовые линии. Каждый из таких объемов не отличается от участка объема плоского конденсатора, ему принад- лежит электрическая энергия, равная dW = — dv. Если это выра- выражение проинтегрировать по всему пространству, занятому электри- электрическим полем, то мы вправе ожидать, что полученная формула даст электрическую энергию той системы, которая ссздала поле. Итак, формула электрической энергии имеет вид гЕ2 , dv Значение проведенных математических преобразований выходит за рамкц формального удобства пользования той или иной формулой. Новое выражение энергии позволяет говорить не об энергии системы, создающей поле, а об энергии самого электрического поля и приво- приводит нас к мысли о реальности электрического поля. В рамках изу- изучения постоянных полей эта идея не может быть ни подтверждена, ни опровергнута. Однако, переходя к переменным полям, мы на- находим прямые доказательства реальности электромагнитного поля (см. стр. 288), и тогда выведенная формула энергии поля (энергии электромагнитной материи) приобретает фундаментальное значение. 217
Пример. Продолжим пример, рассмотренный на стр. 214. До раздвижения пластин энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, была W1=22,bX ХЮ Дж, плотность энергии Шх=4,5 Дж/м3. После раздвижения пластин пер- W вым способом (напряжение (/=const) энергия станет №2 —-~ = 11,25- К)-6 Дж, а плотность энергии до2=1, 12 Дж/м3 (объем поля возрос вдвое). Энергия источника возрастет за счет работы внешних сил и убыли энергии поля. После раздвижения пластин вторым способом (<7=const) энергия №2=2№1=45-10~6 Дж, а плотность энергии не изменится, w2—4,5 Дж/м3. Энергия взаимодействия. Если два разноименно заряженных тела притягиваются, то при этом силы электрического поля производят работу, разумеется, за счет энергии электрического поля: dA = =—dW3Jl. Таким образом, в согласии со сказанным на стр. 45 ра- работа электрических сил происходит за счет убыли потенциальной энергии i^. Эту энергию уместно назвать энергией взаимодей- взаимодействия зарядов. В каком же соотношении находится эта формула и формула элек- электрической энергии поля, которая была рассмотрена в предыдущем пункте? Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия является ча- частью электрической энергии поля изучаемых зарядов. Всматриваясь внимательно в формулу энергии поля, мы заметим, что электриче- электрическая энергия имеет определенное значение и тогда, когда в про- пространстве имеется один электрический заряд. Уместно назвать энергию поля, создаваемую одним заряженным телом, собственной энергией электрического заряда. Энергия электрического поля всегда может быть разложена на сумму собственных энергий электрических зарядов и сумму энергий взаимодействия этих зарядов. Обозначим через Е1у Е2 ... напряженности поля, создаваемого первым, вторым и т. д. зарядами. Полное поле будет равно в каж- каждой точке пространства векторной сумме напряженностей: E~Ei~\- +E Плотность электрической энергии будет равна Мы отчетливо видим указанный выше смысл происшедшего разбие- разбиения на слагаемые. Квадраты Е дают собственные энергии, а удво- удвоенные произведения — энергии взаимодействия. Понятно, что энер- энергия взаимодействия зарядов может быть и положительной, и отри- отрицательной величиной; что же касается собственных энергий зарядов и полной энергии поля, то они являются положительными вели- величинами. Как правило, мы имеем дело с энергией взаимодействия'электри- взаимодействия'электрических зарядов. Поэтому с одинаковым успехом можно подсчитать работу электрических сил как результат убыли энергии взаимодей- взаимодействия или как результат уменьшения энергии поля. Нужно произ- производить то вычисление, которое легче приделывается. 218
§ 91. Радиус электрона и границы классической электродинамики Подсчитаем собственную электрическую энергию сферического заряда, у которого электричество распределено на поверхности. Электрическое поле имеется в таком случае только вне заряда, и поэтому нам надо просуммировать энергию поля во внешнем по от- отношению к сфере пространстве. Напряженность поля заряда, если он расположен в вакууме, выражается формулой -\ , плотность энер- энергии в любой точке пространства будет иметь вид-^— -~-. Разобьем оЗХ Г мысленно все пространство на сферические слои. Внутри такого слоя, ограниченного радиусами г и r+dr, будет заключена энергия sJTrX(объем слоя). Так как объем слоя равен 4nr2dr, -то энергия в этом шаровом слое представится простым выражением -к^-dr. Чтобы найти полную энергию поля, надо проинтегрировать это вы- выражение в пределах от а (так мы обозначим радиус сферы) до беско- бесконечности. Итак, 00 Такой вид имеет формула энергии шарика, заряженного электри- электричеством. Предоставляем читателю проверить, что для заряда, распреде- распределенного по всему объему шарика, мы получили бы почти такую же формулу энергии, отличающуюся лишь близким к единице числовым коэффициентом. К каким результатам мы придем, если применим полученную фор- формулу к элементарным частицам, например к электрону? Согласно принципу относительности (см. стр. 384) внутренняя энергия тела с массой т выражается формулой тс2у где с — уни- универсальная постоянная, равная скорости распространения электро- электромагнитных волн в вакууме. Приравнивая два выражения энергии, мы получаем возможность вычислить радиус электрона: _ д* п ~7 2тс*' Подстановка чисел *) в эту интересную формулу дает 1,4- 10~13см. Значительное число косвенных физических фактов указывает на то, что по порядку величины размер электрона определен этим вы- вычислением вполне правильно. Тем не менее представление об электроне как об «обычной» электрической частице явно несостоятельно. Ведь сразу же возни- возникает вопрос о силах, удерживающих части электрона столь близко *) ^=1?б02.10-1» Кл; m-9,1091.103i кг; с-2,99792-10* м/с. 219
друг от друга. Силы отталкивания электрических частиц, находя- находящихся на расстоянии порядка 103 см, должны быть огромными. Имеются и другие трудности у теории. Так, из теории относи- относительности следует, что электрон должен быть математической точкой. В то же время электрическая энергия заряда, сосредоточенного в точке, должна быть бесконечно велика. Это затруднение является типичным для так называемой клас- классической физики, в основном созданной в XIX в. Классическая физика превосходно объясняет поведение макроскопических тел. Многим исследователям, работавшим на рубеже XIX и XX столе- столетий, казалось, что здание классической физики настолько совер- совершенно, что физика как наука близка к завершению. После того как были открыты элементарные частицы, возникло естественное стремление перенести законы, установленные для больших тел, на элементарные частицы. Тогда и начались «неудачи» классической физики. Сейчас мы знаем, что такое перенесение понятий, заимство- заимствованных из наблюдений над макромиром, на атомы, ядра и электроны несправедливо. Проблема электрона не может быть решена в рамках классиче- классических представлений. Серьезные успехи в теории электрона достиг- достигнуты в последние годы, однако завершенной теории не существует. Излагаемая в этой части книги классическая теория электричества (электродинамика) имеет поэтому некоторые ограничения, с которы- которыми приходится сталкиваться при изучении взаимодействия элемен- элементарных частиц. Во всех же случаях, когда речь идет о поведении одной элементарной частицы в полях, создаваемых большими тела- телами, и тем более при рассмотрении взаимодействия макроскопиче- макроскопических тел, результаты классической электродинамики безупречно совпадают с опытными данными. § 92. Электрические силы При вычислении сил взаимодействия между заряженными телами мы всегда пользуемся понятием электрического поля сил. Вместо того чтобы говорить о силе, с которой тело А действует на тело В, мы вводим поле сил и говорим так: тело А создает поле, а это поле действует на тело В. Как мы увидим в гл. 16, это представление вы- выходит за рамки формальных соображений: электромагнитное поле — это физическая реальность, и природа осуществляет взаимодейст- взаимодействие, передающееся от одной точки пространства к другой («близко- действие»). Введение понятия поля позволяет отвлечься от рас- рассмотрения источников поля и решать вопрос о силах, действующих на заряженное тело, имея сведения лишь о напряженностях поля в тех местах, где находятся заряды интересующей нас системы. Каждое заряженное тело — это система зарядов. Если речь идет о системе дискретных зарядов, то сила, действующая на такую систему, F=q1E1+q2E2+' •., где Еи Е2, ...— напряженности поля в тех местах, где находятся заряды. Если электрический заряд 220
распределен непрерывно в некотором объеме, то сила, действующая на тело, может быть представлена интегралом: F= f Epdv, а если заряды распределены по поверхности, то интегралом по поверхности: F= ^EodS. Однако необходимо предупредить об одной особенности такого непосредственного подсчета сил: необходимо подставлять в форму- формулы то значение напряженности, которое было бы в отсутствие заря- заряда, на который действует сила. В тех формулах, в которых сила вы- выражается суммой, в напряженность Ei не входит действие заряда qt самого на себя, т. е. при подсчете Ех не рассматривается поле, со- создаваемое дьит. д. То же справедливо и для интегральных формул: под напряженностью поля, входящей под знак интеграла, надо по- понимать напряженность, создаваемую всем распределением электри- электрического заряда, за исключением того количества электричества, которое находится в рассматриваемой точке. Поясним это на примере силы, действующей на заряженную ме- металлическую поверхность. Как нам известно, на поверхности ме- металла, граничащего с диэлектриком, напряженность электрического поля со стороны диэлектрика равна в системе СГС 4яа/е, а со сто- стороны металла равна нулю. Напряженность поля терпит разрыв на этой поверхности. Желая определить силу, действующую на эле- элемент поверхности, мы должны умножить количество электричества odS на ту напряженность, которая была бы в этом месте при уда- удалении рассматриваемого элемента заряженной поверхности. По- Поэтому было бы неверным умножить a dS как на значение поля со стороны диэлектрика 4жт/е, так и на значение поля со стороны ме- металла, т. е. нуль. Как показывает строгое рассмотрение, поле, ко- которое было бы в этом месте после удаления рассматриваемого эле- элемента, равно арифметическому среднему из двух значений, 0 и 4ясг/е, т. е. равно 2па/г. Таким образом, формула силы, действую- действующей на элемент площади заряженной поверхности проводящего тела, имеет вид а для всего тела причем интегрирование должно быть распространено по всей по- поверхности с учетом возможных изменений плотности заряда и ди- диэлектрического коэффициента вдоль поверхности металла. В случае однородного поля (в идеале — бесконечный плоский „конденсатор) силу F, действующую на площадь пластины S, можно с достаточно хорошей точностью подсчитать по формуле F=2^?-S (СГС). 221
Величину этой силы можно измерить при помощи так называемых весов Том- сона, схема действия которых показана на рис. 94. При разности потенциалов на обкладке конденсатора, равной 600 В, пластинка с площадью 50 см2, находящаяся ва расстоянии 5 мм от другой пластинки, притягивается к ней с силой,* которая будет рассчитана в двух используемых нами системах единиц. Таким образом, чтобы уравновесить силы электростатического притяжения, на противоположную чашку весов надо положить груз, равный 32 дин = 32-10~5 Н. Еще труднее оценка силы, действующей на тело с объемным рас- распределением электричества: в выражении pEdv напряженность Е есть напряженность поля, cor зданного всеми зарядами* кроме pdv. Если заряженное тело на- находится в диэлектрической среде, то подсчет силы ослож- ^ няется еще и тем обстоятель- обстоятельством, что при мысленном уда- удалении заряда приходится мы- мысленно удалить и соответству- соответствующую часть диэлектрика, что сказывается на изменении поляризованного состояния (см. ниже). Если мы желаем избежать трудностей, связанных с «вычитанием» действия заряда самого на себя, то мы должны прибегать к вычисле- вычислению силы при помощи выражения для энергии. Убыль энергии равна работе; зная величину перемещения, можно найти значение силы. Как правило, применяется именно такой способ оценки силы. Расчет этим способом силы, действующей на пластину плоского конденсатора, F = S, может послужить яркой иллюстрацией сказанного. Рассматривая притяжение пластин конденсатора (от- (отключенного от источника напряжения), мы можем сразу же запи- писать изменение энергии при сближении пластин на величину А: 222 откуда искомая сила
§ 93. Дипольный момент системы зарядов Вернемся к электрическим системам, которые можно представить как системы точечных зарядов. Положим, что на протяжении инте- интересующей нас системы зарядов электрическое поле однородно. Тогда формула силы, действующей на систему, имеет вид где Q — полный заряд системы. Если тело электрически нейтраль- нейтрально, как, скажем, атом или молекула, то сила, действующая на такое тело, содержащее равные количества положительных и отрицатель- отрицательных частиц, будет равна нулю. Значит ли это, что электрически ней- нейтральное тело не обладает взаимодействием с электрическим полем? Нетрудно видеть, что нет. В однородном - ^ поле силы, действующие на заряды си- системы, параллельны друг другу. Мы мо- можем отдельно сложить силы, действую- действующие на положительные заряды, и *"" отдельно силы, которые приложены к отрицательным зарядам. Как хорошо известно, равнодействующая параллель- ных сил приложена в центре «тяжести» тела. Слово «тяжесть» взято в кавычки, так как сейчас речь идет об электриче- электрическом центре тяжести. В результате все *- силы, действующие на заряды системы, Рис- 95- находящейся в однородном поле, све- сведутся к двум антипараллельным силам, приложенным в центрах тяжести положительных и отрицательных зарядов (рис. 95). Если система электрически нейтральна, то обе силы будут одина- одинаковы; полная сила будет равна нулю, но на тело будет действовать пара сил с моментом M=qEl sin а. Момент сил может подействовать на систему зарядов только в том случае, если центры «тяжести» положительных и отрицатель- отрицательных зарядов сдвинуты друг по отношению к другу. Вектор p=ql, равный по величине произведению положитель- положительного заряда системы на расстояние между центрами тяжести, носит название дипольного момента системы. Дипольный момент считают направленным от отрицательного центра к положительному. Ди- Дипольный момент системы определяет ее поведение в однородном поле. Система, предоставленная сама себе, поворачивается в одно- однородном электрическом,поле так, чтобы ее дипольный момент совпал с направлением электрического поля (sin a—0). В однородном поле все действия на нейтральную систему элек- электрических зарядов сводятся к моменту силы М=рЕ sin а, где р — дипольный момент системы, равный произведению количества элек- электричества одного знака на плечо диполя. Таким образом, нет нужды 223
рассматривать в однородном поле сложное расположение какой- либо системы зарядов; ее надо заменить соответствующим диполем. Если система находится в неоднородном поле, то дипольный мо- момент уже не будет исчерпывающим образом описывать ее свойства. Это видно из рис. 96. Четыре заряда, расположенных по углам квад- квадрата, образуют электрически нейтральную систему с дипольным Рис. 96. моментом, равным нулю (центры тяжести отрицательного и поло- положительного зарядов совпадают). В однородном поле на такую сис- систему не действуют ни силы, ни момент силы. В неоднородных полях, разумеется, этот квадрат может и перемещаться поступательно и поворачиваться, так как силы, действующие на заряды, вообще говоря, различны. По аналогии с диполем такой системе дано наз- название квадруполь. На том же рисунке изображена еще одна нейтраль- нейтральная система с нулевым дипольным моментом — октуполь. Значительный интерес для учения о строении вещества, которым мы будем заниматься много позднее, представляет рассмотрение взаимодействий простейших электрических систем. Рассмотрим некоторые из них. Заряд — заряд. Взаимодействие двух точечных зарядов проис- происходит по закону Кулона F = ^jp. Заряд— диполь. Предоставленный сам себе диполь стремится повернуться так, чтобы установиться вдоль силовых линий. После Рис. 97. того как такой поворот произошел, диполь остается неподвижным в однородном поле, а в неоднородном будет втягиваться, как это видно из рис. 97, в область более сильного поля. В случае, если неодно- 224
родное поле есть поле точечного заряда, диполь будет притягиваться к этому заряду. Сила притяжения равна Если плечо диполя мало, то, приводя к общему знаменателю, мы получим, пренебрегая величиной /2 по сравнению с /7, а ве- величиной rl по сравнению с г2, следующую интересную формулу: Обратим внимание на то, что сила взаимодействия заряда и ди- диполя убывает с расстоянием быстрее, чем кулоновская сила, а имен- именно, она обратно пропорци- ^\ г*\ ональна кубу расстояния. Пример. Расстояние меж- &\ ду атомами Н и С1 в молекуле НС1 равно 1,28 А, дипольный момент молекулы р=6-10 ~18 ед. СГС. Тогда электрон, находя- находящийся на расстоянии /-=10 А от молекулы, притягивается к ней с силой ~6-10~6 дин. fy i I Диполь — диполь. Здесь полезно решить две задачи для взаимных расположе- расположений диполей, показанных действия имеют вид *_?? а (В I Ф г ~ Рис. 98. на рис. 98. Точные формулы взаимо- р= ZE Г2 I Уз для расположения а, для расположения б. Если плечо диполя мало, то формулы можно заменить следующими приближенными выражениями: р==_Ег дЛя расположения а, p=JL- для расположения б. Силы взаимодействия убывают обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Пример. Две молекулы НС1, расстояние между которыми 10 Af притя- притягиваются с силой Т7—'Ю-6 дин в случае a, F~2-10-6 дин в случае б. 8 А. И. Китайгородский 225
Заряд — квадруполь. Расчет ведется для ориентировки, пока- показанной на рис. 99. Сила взаимодействия может быть записана в ввде Приближенная формула для малого квадруполя: F= f . Сила убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Рис. 99. § 94. Поляризация изотропного диэлектрика Как известно, заполнение однородным диэлектриком пространст- пространства, в котором существует электрическое поле, созданное некоторой системой зарядов, приводит к уменьшению в е раз напряженности поля и значения электрического потенциала. Напротив, электриче- электрическое смещение (и индукция) остается неизменным. В е раз меняется емкость конденсатора. Это обстоятельство всегда используется при практических измерениях диэлектрической проницаемости. Отно- Отношение емкости конденсатора, между обкладками которого нахо- находится диэлектрик, к емкости того же конденсатора без диэлектрика можно рассматривать как определение диэлектрической проницае- проницаемости. Мы пойдем сейчас несколько дальше и спросим себя о причинах подобного влияния диэлектрика на электрическое поле. Следующий опыт натолкнет нас на путь объяснения диэлектрических явлений. Рассмотрим плоский конденсатор, подключенный к источнику на- напряжения. Плотность электрических зарядов на обкладках кон- конденсатора, а следовательно, и число линий D на единицу площади однозначно определятся напряженностью электрического поля: в=Е/Dп). Заполним этот конденсатор однородным диэлектриком. Теперь связь между напряженностью электрического поля и плот- 226
нрстью заряда на обкладках конденсатора выразится равенством а=е?УDл) — поток силовых линий (т. е. линий D) возрастет.13 про- проводимом подобным способом опыте напряженность электрического поля, равная частному отделения разности потенциалов на расстоя- расстояние между обкладками, измениться не может. Следовательно, ме- меняется ллотность зарядов на обкладках конденсатора, а именно, она возрастает в е раз. Это возрастание можно обнаружить экспе- экспериментально: в процессе заполнения конденсатора диэлектриком источник напряжения будет пополнять заряд конденсатора. Изме- Измеряя этот электрический ток и время его протекания, можно убедиться в том, что на единицу площади конденсатора будет послано допол- дополнительное количество электричества, равное ~ еЕ е е — 1 р 4л ~ Ал 4л При удалении диэлектрика этот дополнительный заряд возвраща- возвращается обратно, а дополнительное число силовых линий пропадает. Чтобы объяснить дополнительное притяжение зарядов к пластинам конденсатора, мы вынуждены допустить образование на поверхно- поверхностях диэлектрика, примыкающих к обкладкам конденсатора, заря- дов обратного $нака с плотностью а = ~j— Е. Поверхностную зарядку диэлектрика можео объяснить тем, что диэлектрик состоит из связанных попарно положительных и отрица- отрицательных зарядов, не способных перемещаться но телу, но могущих сдвигаться друг по отношению к другу с образованием дипольного Рис. 100. момента в каждой единице объема диэлектрика. Превращение элек- электрически нейтральной системы зарядов в систему, обладающую ди- польным моментом, носит название поляризации, а вектор диполь- дипольного момента единицы объема диэлектрика носит название вектора поляризации Р. Поляризация диэлектрика не приводит к созданию объемных за- зарядов — числа положительных и отрицательных зарядов в единице объема после смещения останутся равными друг другу. Однако по- поляризация приводит к созданию заряда на поверхности диэлектри- диэлектрика, как это очевидно из эдементарной схемы (рис. 100). Плотность 8* 227
этого заряда и равна найденной выше величине, е—1 р Мы вели рассуждение относительно диэлектрика, примыкающего к пластине плоского конденсатора. Однако те же рассуждения ос- остаются в силе, если речь идет о проводнике с произвольной поверх- поверхностью. Более того, оказывается, что написанное выражение для сгпол имеет общее значение для площадок, перпендикулярных к си- силовым линиям, т. е. всегда где Еп^— проекция напряженности на нормаль к площадке. Эту формулу можно применять к любой реальной или мысленной гра- границе внутри диэлектрика. Поляризационный заряд (его часто называют * также связанным зарядом) можно выразить через дипольный момент единицы объема. Если речь идет об изотропных телах, то смещение связанных зарядов при наложении поля происходит вдоль электрических силовых ли- линий. Поэтому вектор поляризации параллелен вектору напряжен- напряженности. Вырежем из диэлектрической пластины цилиндрическое тело с основанием S и длиной /. Благодаря поляризации на основаниях цилиндра соберутся равные по величине и противоположные по знаку связанные заряды. Дипольный момент выделенного цилин- цилиндрического стержня будет равен, по определению, произведению заряда oS на плечо диполя /, т. е. p=Gn0JlSl. Дипольный момент, отнесенный к единице объема, будет равен |Р|=сгП0Л. Мы приняли в этом расчете, что основания цилиндра перпендикулярны к на- направлению поляризации. Если площадки будут наклонены к си- силовым линиям под углом ф, то плотность заряда на них будет мень- меньшей пропорционально косинусу угла наклона. Таким образом, для общего случая имеет место соотношение <*поп=Рп, где PB=Pcosq>. Теперь мы получаем возможность найти связь между вектором поляризации и вектором напряженности электрического поля. Объединяя последнюю формулу с выражением для плотности свя- связанных зарядов, обсуждавшимся в начале параграфа, получим для любого направления п Р -—Е Таким образом, если диэлектрическая проницаемость не зависит от напряженности, то между векторами Р и Е имеется линейная зави- зависимость Р=аЕ. 228
g 1 Выражение a=~7— принято называть поляризуемостью. Для воды а=6,38, для стекла а=0,48. Так как О=гЕ, то связь между векторами D> Е я Р может быть записана в форме Векторы D, Е п Р параллельны в случае однородных сред. § 95. Поляризация кристаллических веществ До сих пор мы рассматривали поведение вещества, типичное для аморфного или мелкокристаллического тела или для монокристалла в некоторых специальных положениях по отношению к полю. Если же из монокристалла вырезать пластинку под произвольным углом к его граням и поместить эту пластинку между обкладками конден- конденсатора, то можно обнаружить следующий эффект: пластинка поля- поляризуется не только вдоль, но и поперек силовых линий, вектор Р не параллелен Е. Следовательно, и вектор D в этом случае не будет параллелен напряженности поля. В монокристаллах направление, в котором отклоняется свобод- свободный электрический заряд (Е), не совпадает с направлением нормали к площадке, расположенной так, чтобы на ней индуцировался мак- максимальный заряд (D). Связь между D и Е становится более сложной, и чтобы уметь находить D по значению ?, или наоборот, оказыва- оказывается недостаточным знать только диэлектрическую проницаемость. В любом монокристалле оказывается возможным найти три направ- направления (главные оси), в которых D\\E. Важно знать 8 для этих трех направлений, тогда можно установить связь между D и Е и для произвольной ориентации кристалла в поле. Какова же будет связь между векторами D, Е и Р в этом случае? Оказывается, что уравнение J5=?+4nP, записанное в предыдущем параграфе и вы- выведенное для случая параллельных векторов, сохраняется и тогда, когда векторы перестают быть параллельными. Имеется и другое отличие кристаллических тел от аморфных в отношении их диэлек- диэлектрических свойств. Среди кристаллических веществ можно выделить относительно узкий класс тел, обладающих гистерезисными свой- свойствами. Так как эти свойства были открыты впервые у сегнетовой соли, то вещества этого типа называют сегнетоэлектриками. Сво- Своеобразие их поведения заключается в следующем (см. также стр. 562). Поместим сегнетоэлектрик (для простоты будем предполагать, что имеем дело с порошком или с кристаллом, расположенным по отношению к полю так, что D\\E) между обкладками конденсатора. Будем изменять напряжение на обкладках конденсатора и, следова- следовательно, напряженность поля E=U/d и измерять плотность зарядов а на обкладках конденсатора, которая при D\\E даст нам величину индукции D. По мере увеличения Е величина индукции D будет 229
расти, однако не прямо пропорционально Е. Рост D будет замедлять- замедляться* и, наконец, наступит насыщение. Ясно, что насыщение D соот- соответствует насыщению поляризации. Начнем теперь уменьшать на- напряжение на обкладках. Смещение и поляризация начнут падать, кривая пойдет вниз, но не по тому пути, по которому происходил рост. В результате при полном снятии напряжения (Е=0) индук- индукция и поляризация в диэлектрике не будут равны нулю. Диэлектрик станет подобным постоянному магни- магниту. У него будут «северный» и «юж- «южный» электрические полюсы, и он будет вести себя как большой посто- постоянный диполь. Дальнейшее поведение сегнето- электриков очевидно из рис. 101, на котором изображена гистерезисная петля. Чтобы «разэлектризовать» ди- диэлектрик, надо изменить знак напря- напряжения на обкладках конденсатора. Увеличивая поле Е обратного направ- направления, мы снимем поляризацию ди- диэлектрика, затем вновь наэлектризуем его, но переменим местами полюсы. Наконец, опять достигнем насыщения, и далее процесс может быть повто- повторен в обратную сторону. Почему эти явления называются гистерезисными? В переводе с греческого гистерезис — запаздывание. Петля, изображенная на рисунке, показывает, что значения D, а также Р и 8, зависят от прошлого стояния образца, т. е. от его истории. Все кристаллы, не обладающие в числе своих элементов симмет- симметрии центром симметрии (см. стр. 562), проявляют интересную спо- способность изменять свои размеры при наложении электрического поля. Это явление носит название электрострикции. Термодинамические соображения показывают: если электри- электрическое поле вызывает деформацию, то деформация в свою очередь должна привести к поляризации. Этот эффект называется пьезо- пьезоэлектрическим. О применениях пьезоэффекта несколько слов было сказано в ч. I. Связь этого явления со структурой вещества будет обсуждаться на стр.- 635. Рис. 101. § 96. Ограниченные диэлектрические тела в электрическом поле В отношении ограниченного непроводящего тела, внесенного в электрическое поле, могут возникнуть следующие вопросы. Какие силы и моменты сил действуют на это тело? Как искажается поле при внесении в него диэлектрика? 230
Рис. 102. Внесенное в поле диэлектрическое тело поляризуется и приобре- приобретает некоторый дипольный момент. Поэтому поведение такого тела в электрическом поле, вообще говоря, не отличается от поведения диполя. Если вектор поляризации направлен под углом к напряжен- напряженности поля, то такое положение диэлектрика будет неустойчивым. На тело,будет действовать момент сил, стремящийся повернуть тело так, чтобы векторы Р и ? стали параллельными. Это приводит к тому, что диэлектрическое тело, внесенное в дан- данное однородное электрическое поле, устанавливается в определен- определенном положении равновесия, за- зависящем от формы тела. Рас- [ смотрим это на примере диэлек- " трического стерженька. Мы убедимся на опыте, что - положением равновесия являет- • ся такое, при котором длинная ¦ ось совпадает с силовой линией. • Почему так происходит? Ведь у • стерженька отсутствуют фикси- фиксированные полюсы. Причину та- такого своеобразного поведения ] разъясняет рис. 102. В изобра- . женном прямоугольном сечении стержня можно свести действу- действующие на связанные заряды силы к четырем силам, приложенным к четырем поверхностям прямоугольного стержня. Мы видим, что силы, действующие на большие грани стержня, почти уравновеши- уравновешиваются, а силы, действующие на малые грани, образуют пару сил, переводящую стержень в положение вдоль силовых линий. Если тело находится в неоднородном поле, то, кроме момента сил, на него будут действовать и силы, втягивающие диэлектрик в область более сильного поля. Это явление можно с успехом демон- демонстрировать на диэлектрических жидкостях, заставляя жидкость в трубочке подниматься при наложении напряжения на конденсатор. Силы этого же типа, т. е. действующие на диполи в неоднородном поле, заставляют бумажки лепиться к стеклянной или эбонитовой палочке, натертой мехом или кожей. Перейдем теперь к- вопросу об искажении электрического поля при внесении в него диэлектрического тела. Прежде всего, покажем, что общие законы электрического поля приводят к важным соотно- соотношениям, связывающим значения электрических полей по одну и другую сторону границы диэлектриков. Векторы напряженности электрического поля в двух соседних точках, находящихся по разные стороны границы диэлектриков с прорицаемостями ei и е2, должны отличаться друг от друга как по величине, так и по направлению. Разложим эти векторы на составляющие вдоль границы и по нормали к ней. Мы можем утверждать, что поле, направленное вдоль границы, должно быть 231
одинаковым с обеих сторон ее. Предположим, что это утверждение было бы неверным и с одной стороны поле больше, чем с другой. Тогда можно бшо бы создать вечный двигатель, перенося вдоль границы заряди против поля там, где поле меньше, а затем предо- предоставив заряду двигаться с другой стороны границы (где поле боль- больше) под действием сил электрического поля. Поэтому тангенциаль- тангенциальные составляющие напряженности с обеих сторон поверхности раздела должны быть равными, Для рассмотрения нормальных составляющих на границе двух сред применим закон Гаусса — Остроградского. Построим вспомо- вспомогательную поверхность в виде бесконечно низкого цилиндра, одно основание которого лежит по одну сторону границы, а дру- другое основание находится во второй среде. Заряда внутри такого цилиндра нет. Поэтому суммарный поток индукции через цилиндр должен рав- равняться нулю, а, значит, пото- потоки через оба основания долж- должны быть одинаковы. Это может быть лишь в том случае, если нормальные составляющие векторов индукции будут равны друг другу: Dn=Dni. Отсюда для напряженностей полей имеем Рис* 103- Таким образом, отношение нормальных составляющих векторов напряженности обратно пропорционально диэлектриче- диэлектрическим проницаемостям. Из рис. 103 видно, что при переходе из среды с меньшей диэлек- диэлектрической проницаемостью в тело с большей е силовые линии откло- отклоняются от нормали к границе. Это значит — число силовых линий, проходящих через единицу площади, растет. Задачу об искажении электрического поля при внесении в него диэлектрика определенной формы мы не сумеем решить. Эта задача сложна даже и в том случае, если поле до внесения в него диэлектри- диэлектрика было однородным. Если тело имеет произвольную форму, то, будучи помещено в однородное поле, оно сделает его неоднородным не только вблизи себя, но и внутри себя. Интересным исключением являются эллипсоиды. Это — широ- широкий класс тел, так как сюда относятся шары, сплюснутые эллипсои- эллипсоиды, которые практически не отличимы от пластинок, и вытянутые 232
эллипсоиды, которые близки к цилиндрическим телам. Методами математической физики показывается, что поле внутри эллипсоида будет однородным, как это показано на рис. 104. Закон преломления силовых линий приводит нас к типичным картинам для более плот- плотных тел в менее плотной среде (е1<е2) и для обратного случая Рис. 104. ), например воздушное включение в стекле или стеклянный эллипсоид в воздухе. Можно показать, что однородное поле Ео в вакууме, в которое мы внесли симметричное диэлектрическое тело, связано с полем Eit установившимся внутри диэлектрика, соотношением E~E0-NP, Где р — вектор поляризации, N — коэффициент, зависящий только от формы тела. При описании магнитных явлений его принято назы- называть коэффициентом размагничения (см. стр. 263). Так как в большинстве случаев Р = *^-Eh то после несложных преобразований приходим к следующему выражению: N * 233
Диэлектрическая проницаемость всегда больше единицы. Поэтому напряженность поля внутри диэлектрика всегда меньше той напря- напряженности поля, которая была в этом месте до его внесения. Коэффициент N для плоской пластинки, перпендикулярной к полю, равен 4л. Это — максимальное значение N\ убывание поля в е раз, возникающее в этом случае, приводит нас к уже обсуждав- обсуждавшемуся ранее результату для однородной среды. Другой крайний случай — это цилиндр, направленный вдоль поля. Для него N=0 — поле не ослабляется таким телом. Во всех же остальных случаях ослабление поля уже будет зависеть от диэлектрической проницае- ОС мости. Для шара N=4n/3 и, следовательно, ?j = --rV Для ци- линдра, расположенного под прямым углом к полю, N=4n/2. Причина ослабления поля Е состоит в создании связанными за- зарядами поля обратного направления. Что же касается поля век- вектора индукции, то на него связанные заряды влияют лишь косвен- косвенно. Действительно, число линий D остается неизменным при вне- внесении диэлектрика в поле. Однако благодаря преломлению линий индукция внутри диэлектрика возрастает. ГЛАВА 15 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ § 97. Магнитный момент Магнитные поля действуют на токи, движущиеся заряженные тела или частицы, на намагниченные тела. Можно осуществить мно- множество различных приборов и. с их помощью судить о свойствах магнитного поля. Наиболее целесообразно характеризовать свой- свойства магнитного поля, изучая его механические действия на контур тока. Вполне возможно осуществление проволочного контура весьма малой площади. Такой прибор позволит промерить магнитное поле достаточно детально. Таким образом, «пробный» контур тока играет в теории магнитного поля ту же роль, что «пробный» заряд в теории электрического поля. Производя опыты с подобным прибором, мы придем к следующим основным фактам. В каждой точке поля свободно вращающийся контур займет определенное положение равновесия. При этом поло- положение устойчивого равновесия определяется не только расположе- расположением в пространстве оси контура, но также и тем, как располага- располагается в пространстве определенная сторона контура, скажем, та, смотря на которую мы видим ток идущим против часовой стрелки. Назовем эту сторону положительной, или северной; условимся про- проводить нормаль к контуру так, чтобы она образовывала правовин- товую систему с направлением тока. Смотря против нормали, мы будем видеть положительную (северную) сторону контура. Сравнивая поведение контура тока с поведением магнитных стре- стрелок, йюжно обнаружить, что нормаль контура, находящегося в ус- 234
тойчивом равновесии, смотрит туда же, куда и магнитная стрелка. Таким образом, называя направлением магнитного поля то направ- направление, куда смотрит нормаль свободного пробного контура, мы не разойдемся с элементарным определением. Отклоняя пробный контур от положения равновесия, мы обна- обнаружим действие на него момента сил (рис. 105). При этом отклоне- отклонение контура от равновесия однозначно описывается от- отклонением нормали конту- контура от направления поля — синус угла а и вращающий момент сил N оказываются пропорциональными: N ~ /-^sin а. При том же угле а вращательный момент про- пропорционален произведению площади контура S на силу протекающего тока /. Уменьшение площади в ка- какое-то число раз приводит к такому же изменению вращающего момента, что и уменьшение силы тока в такое же количество раз. Из сказанного следует, что магнитное поведение контура зависит от расположения нормали контура и от величины произведения /S. Эти данные можно объединить в одну векторную величину, на- называемую магнитным моментом кольцевого тока. В электротех- электротехнике, где используется система СИ, принято называть магнитным моментом вектор M=ISn (n — единичная нормаль). В системе СГС, чаще используемой физиками, в эту формулу вводят коэффи- коэффициент пропорциональности 1/с: М = —ISn (с — скорость распро- распространения электромагнитных волн в вакууме). Ввведение число- числового коэффициента, да еще вдобавок размерного, может показать- показаться ненужным усложнением. Однако другие формулы при этом упрощаются; оценить это упрощение читатель сумеет значительно позднее. Результаты опытов с пробным контуром могут быть записаны в виде: N=BM sin а, где В — коэффициент пропорциональности. Для разных полей или для разных точек пространства одного поля величина В будет иметь разные значения. По смыслу написанной формулы В равно максимальному вращательному моменту, дей- действующему на единичный пробный контур (М = 1). Этот коэффи- коэффициент В, характеризующий магнитное поле, носит название маг- магнитной индукции. Векторная величина, имеющая направление магнитного поля и численно равная В, носит название вектора маг- нитной индукции. 235
Если вращательный момент описывать вектором, направленным вдоль оси вращения (в соответствии с правилами правовинтовой системы), то формула для него может быть записана в виде так на- называемого векторного произведения векторов, а именно: N=lMB). Если N=0, то М параллельно В\ это значит, что любой контур тока стремится установиться в магнитном поле таким образом, чтобы его магнитный момент совпал с направлением поля. На тело дей- действует максимальный магнитный момент в том случае, если магнит- магнитный момент образует угол 90° с направлением поля. Для контура это соответствует положению плоскости витка проволоки вдоль си- силовых линий. Определив магнитное поле с помощью контура тока, у которого магнитный момент подсчитывается из измерений силы тока и пло- площади, мы можем, наоборот, воспользоваться формулой N=lMB] для определения магнитных моментов таких систем, для которых нельзя измерить ток. Более того, мы переносим понятие магнитного момента и на такие системы, где понятие кольцевого электрического тока теряет смысл. Именно таким образом поступает физик, когда он говорит о магнитном моменте электрона, ядерной частицы. Маг- Магнитный момент магнитной стрелки также является нерасчленяемым понятием. Впрочем, к магнитному моменту постоянного магнита мы еще вернемся на стр. 442, обсудив некоторые специфические вли- влияния среды. Как бы то ни было, магнитный момент системы, нахо- находящейся в вакууме, всегда может быть определен по приведенной формуле вращательного момента. Поворот от положения равновесия тела, обладающего магнитным моментом, требует затраты работы. При повороте на малый угол а работа вращения может быть представлена в виде N da = BM sin a da = — d (BM cos a.) Отклонение тела от положения равновесия связано с накоплением потенциальной энергии U=—BM cos а. Написанное произведение есть скалярное произведение двух векторов; следовательно, U— В№ В положении равновесия потенциальная энергия минимальна и равна —ВМ, при повороте магнитного момента на 90° потенциаль- потенциальная энергия возрастает до нуля, и, наконец, когда магнитный момент устанавливается антипараллельно полю (положение неустойчивого равновесия), потенциальная энергия максимальна и равна +ВМ. Примеры. 1. Магнитный момент ядра атома водорода (ядерный магнетон) 0,505* Ю-23 ед. СГС. Магнитный момент электрона (магнетон Бора) 0,927х ХЮ-20 ед. СГС=9,27-Ю-24 А-м2. 2. Электрический ток в 1 А, текущий по витку с площадью 50 см2, создает магнитный момент 5-10~3 А*м2=5 ед. СГС. 3. В абсолютной системе единиц магнитная индукция измеряется в гауссах (Гс), в системе СИ В измеряется в теслах (Т) и имеет размерность В-с/м2; 1 Т= = 104 Гс, Для магнитного поля Земли В =0,49 Гс. 4. В воздушном зазоре мощной электрической машины магнитная индукция достигает нескольких тысяч гауссов. Академик П. Л. Капица получал импульс- импульсные магнитные поля с Б-^106 Гс=10 Т. 236
§ 98. Сила Ампера Наличие вращательного момента, действующего на контур тока, является несомненно результатом действия сил на каждый участок проводника, по которому текут заряды. Закон силы, действующей на элемент тока, можно установить опытным путем. Для этого необ- необходимо выделить участок провода, например, с помощью ртутных контактов. Тогда этот участок может перемещаться под действием Рис. 106. силы. Если это смещение уравновесить натяжением пружины, то магнитная сила может быть измерена (рис. 106). Закон силы, действующей на элемент тока малой длины, был впервые установлен Ампером и имеет вид т. е. Векторная запись напоминает нам известное правило левой руки. Сила, действующая на элемент длины провода, всегда образует прямой угол с плоскостью, проходящей через ток и вектор магнит- магнитной индукции в этом месте. Чтобы выяснить направление силы, надо посмотреть, с какой стороны вращение вектора dl к вектору В представится идущим против часовой стрелки по кратчайшему пути. Эта сторона будет положительной в правовинтовой системе и вектор силы будет «смотреть» на наблюдателя. Сила имеет максимальное значение тогда, когда элемент тока образует прямой угол с вектором 237
поля. Сила обращается в нуль для элемента провода, лежащего в^оль силовой линии. Выше записаны формулы в системе СГС. В системе СИ коэффи- коэффициент XIс отсутствует и формула силы Ампера имеет вид dF= = 1Ш, В). Чтобы определить величину силы, действующей на кусок про- провода конечной длины, написанное выражение силы надо проинте- проинтегрировать: Только в простейшем случае прямолинейного куска провода дли- длиной /, находящегося в однородном магнитном поле В, закон Ампера можно применить непосредственно в форме Представляется совершенно естественной связь между законом Ампера и выражением для вращательного момента, выведенным в Рис. 107. предыдущем параграфе. Мы проведем рассмотрение лишь для про- простейшего случая прямоугольной рамки, расположенной в однород- однородном магнитном поле параллельно силовым линиям (рис. 107). Две стороны рамки перпендикулярны к силовым линиям, две другие лежат вдоль силовых линий. Следовательно, все силы, действующие на элементы провода, можно свести к двум, показанным на рис. 107. Эти силы равны друг другу и по закону Ампера могут быть записаны в виде F=IIB. Тот же рисунок показывает, что силы Ампера при- приводят к мдменту сил N=IlBd. Но ld=S есть площадь рамки, сле- следовательно, N=ISB=MB, что совпадает с формулой для момента сил, выведенной в предыдущем параграфе. Предоставляем читателю сделать это доказательство более общим. Пример. На проводник длиной 3 м с током 50 А в поле 3000 Гс=0,3 Т действует сила /7=Б//=0,3-50-3=45 Н. При диаметре ротора ~ 1 м на виток действует вращающий момент —45 Н-м. Эти величины по порядку соответствуют 238
параметрам крупной электрической машины, В электроизмерительном при боре на проводник длиной 2 см в поле 100 Гс при токе 0,01 А действует сила F=2-10-5H=2 дин. При диаметре рамки —1 см на виток действует вращаю- вращающий момент ~2- Ю-2 Н-м. § 99. Сила, действующая на движущийся заряд Мы можем пойти еще дальше и сделать попытку рассмотрения магнитных сил, действующих на токи, как сил, приложенных к эле- элементарным частицам электричества. Электрический ток есть не что иное, как поток электрических частиц. Если заряд каждой частицы есть е, направленная скорость частицы v ri концентрация частиц (т. е. их число в единице объема) есть п, то выражение для силы тока можно представить в виде I=ne-vS. Действительно,, через сечение провода S за 1 с пройдут все частицы, которые занимали объем vSh т. е. протечет количество Рис. 108. электричества ne-vS (рис. 108). Подставляя это выражение в закон Ампера, получим dF=^- [vB] nSdl. Но nS dl есть число частиц в рассматриваемом объеме проводника; значит, на одну частицу действует сила /=-f [**]• Эту силу называют иногда лоренцевой силой, в честь выдающегося физика Лоренца, много сделавшего для развития теории электронов. Написанное выражение силы (мы его будем писать только в системе СГС, с коэффициентом Не) позволяет сразу же ответить на крайне интересный вопрос о характере движения электрической частицы (электрона, протона и т. д.) в магнитном поле. Сила, дей- действующая на движущийся заряд, направлена перпендикулярно к силовым линиям и к вектору скорости частицы. Если частица дви- движется вдоль силовых линий, то сила на нее не действует. Напротив, сила максимальна, если движение лроисходит в плоскости, перпенди- перпендикулярной к силовым линиям. В этом последнем случае f = — evB.. 239
Если поле однородно, то электрическая частица, движущаяся перпендикулярно к полю, будет описывать окружность, поскольку движение под действием постоянной силы, направленной под пря- прямым углом к движению, не может быть иным, согласно основному закону механики. Мы вернемся к движению частицы в магнитном поле на стр. 407. Пример. Электронь! в катодной лампе, ускоряемые разностью потенциа- потенциалов 70 В, приобретают скорость 5-108 см/с. При вхождении под прямым углом в магнитное поле 500 Гс каждый электрон испытывает отклоняющую силу Ло- Лоренца /= —evB—i-10-11 дин. Под действием этой силы электрон начнет двигаться с по круговой орбите такого радиуса R, что f=mi?/R; отсюда #=5,6 см. § 100. Магнитное поле, создаваемое постоянными магнитами Каждый постоянный магнит имеет два полюса *): из северного линии выходят, в южный входят. Мысленно построим поверхность, охватывающую северный полюс магнита. Мы можем найти полное число линий, пронизывающих эту поверхность. Это число по ана- аналогии с соответствующей электрической величиной мы будем назы- называть магнитным потоком и обозначать буквой Ф. Поток через эле- элементарную площадку, перпендикулярную к силовым линиям, равен йФ=В dSjj через произвольную площадку йФ—В dS cos а, где а — угол, образованный нормалью к площадке с силовыми линиями; через поверхность БФ = \ В cos a dS и, наконец, через замкнутую поверхность Ф = w В cos a dS. Поток Фдг, выходящий из северного полюса магнита и входящий в южный, является основной характеристикой магнита. Чем силь- сильнее магнит, тем больше Ф^. Это несколько оправдывает название «количество магнетизма» (имеющее только историческое значе- значение) для величины, пропорциональной потоку, а именно, равной т = — ф. Иногда называют т (еще более неудачно) магнитной массой. В электротехнике пользуются магнитной массой т~Ф. Если полюсы магнита имеют небольшой размер (магнитная спи- спица), то силовые линии вблизи таких полюсов расходятся радиально. При помощи закона Гаусса — Остроградского ? D cos adS — Anq мы обосновали формулу для электрической индукции уединенного заряда, D=q/r2. Очевидно, что «уединенный» магнитный полюс дол- должен дать магнитную индукцию, удовлетворяющую аналогичному равенству: ?=-?L, так как ф В cos a dS = 4шп (СГС), *) Мыслимо также создание магнитов с любым числом пар полюсов. 240
или В = так как ф В cos a dS = m (СИ). Разумеется, никаких «уединенных» магнитных полюсов не суще- существует. Написанная формула имеет смысл лишь в случае длинного магнита с точечным полюсом и при этом не слишком далеко от по- Рис. 109. люса. Подобный подход к магнитному полю постоянного магнита имеет все же полное право на существование. Это хорошо видно при составлении выражения для поля стержневого магнита, рассма- рассматриваемого как магнитный диполь с двумя полюсами т, находящи- находящимися на расстоянии / друг от друга. На рис. 109 показано поле стерж- стержневого магнита и идеальное поле, рассчитан- .f ное по формуле т rx m г* гдегь г2—расстояния от полюсов до рассмат- рассматриваемой точки. Совпадение картин вполне удовлетворительное. Хорошие результаты получаются при рас- расчетах полей на больших расстояниях от маг- магнита. Действительно, если расстояния гг и г2 велики по сравнению с длиной магнита I (пле- (плечом магнитного диполя), то рассмотрение по- полюсов как точек вполне оправдано. Расчеты ничуть не отличаются от соответствующих подсчетов электрических взаимодействий. Сравним, например, значения магнитной ин- индукции, создаваемой стержневым магнитом на большом расстоянии от него вдоль оси магнита и перпендикулярно к его оси. В первом случае имеем р т т 2т* 2М Рис. ПО. где M=ml носит название магнитного момента постоянного магнита. Во втором случае (рис. ПО) г» ел ТП N1 B 2cosa) 241
Итак, поле вдоль оси в два раза сильнее. В системе СИ две послед- последние формулы будут иметь вид соответственно М п м И В = Пример. Вычислим магнитную индукцию, создаваемую стержневым маг- магнитом длиной /==10 см на расстоянии г=\ и от магнита вдоль оси. Площадь по- поперечного сечения магнита 5=3 см2, индукция в магните 500 Гс. Магнитный поток в магните (он же выходящий из полюса) Ф=500* 3=1500 максвелл (Мкс). Тогда на полюсе магнита сосредоточена «магнитная масса» 1500 т=—л—=120 ед. СГС. Магнитный момент магнита М =/я/=120-10 =1200 ед. СГС (эрг/Гс). 2Л4 2« 1200 Искомая магнитная индукция ?=—-=• -=2,4- ю-3 Гс. Т* (ШО)* § 101. Напряженность магнитного поля Рассмотрим взаимодействие уединенного магнитного полюса и элемента тока (рис. 111). Магнитный полюс создает поле В в месте нахождения электрического тока. Следовательно, по закону Ампера на элемент тока будет действовать сила Мы можем вместо величины магнитной индукции поставить ее выра- выражение для точечного полюса. Учитывая, что поле направлено по радиусу, мы получим для силы взаимодейст- взаимодействия следующие выражения: или ,п ml dF = —5< Вполне естественно принять, что сила, с которой элемент тока действует на магнитный полюс, представится той же формулой с обра- обращением направления силы. Это допущение Рис. 111. нельзя проверить непосредственно на опыте, так как мы не можем осуществить ни уеди- уединенного полюса, ни отдельно взятого элемента постоянного тока. Однако мы можем проверить правильность высказанного положе- положения, интегрируя силы взаимодействия для опытных случаев. Теория действительно совпадает с опытом. Итак, сила действия элемента тока на магнитный полюс может быть представлена в виде 242
иди в системе СИ, без коэффициента 1/с и с заменой т на ш/4я, Мы не ставим знака минус в этой формуле, так как полагаем обра- обращенным радиус-вектор. За направление г всегда принимают на- направление от источника поля до точки наблюдения. Поэтому, когда речь шла о силе, действующей на ток, г предполагалось направлен- направленным от полюса к элементу тока. Теперь же, когда речь идет, о силе, действующей со стороны тока на полюс, радиус-вектор г предпола- предполагается направленным от элемента тока к полюсу. Сила, действующая на единичный магнитный полюс, носит назва- название напряженности магнитного поля: dF Нашим рассуждением доказано, что напряженность магнитного по- поля, создаваемого элементом тока, выражается формулой В системе СИ формула, определяющая напряженность магнитного поля, создаваемого током, будет иметь вид = 55* К "г]- Итак, существуют две характеристики магнитного поля: вектор индукции, измеряемый действием магнитного поля на токи, и век- вектор напряженности, который может быть получен в эксперименте измерением воздействия поля на магниты. Практически измерения на- напряженности удобнее сводить к измерению вращательного мо- момента, действующего на магнит- магнитную стрелку (рис. 112). Такая стрелка, помещенная в однород- однородное поле, будет подвергаться действию пары сил; величина силы равна тН, а плечо равно /sin а. Отсюда для вращательно- вращательного момента получим выражение N = MHsma или в векторной форме N—IMH], где М=пг1 — магнитный момент стрелки, что весьма напоминает формулу момента сил, действующих на контур тока, 243
Вопрос о связи между напряженностью магнитного поля и маг- магнитной индукцией должен быть решен опытом. Оказывается, что во всех случаях,.за исключением анизотропных тел, векторы напря- напряженности и индукции параллельны друг другу. Это значит, что маг- магнитная стрелка и ось пробного контура всегда установятся парал- параллельно. Далее, во всех случаях, за исключением ферромагнитных веществ, между Н и В имеется простая линейная зависимость: B=iio\lH> где fi0— универсальная постоянная, так называемая магнитная проницаемость вакуума, a \i — коэффициент, характери- характеризующий среду,— относительная магнитная проницаемость среды. В системе СГС полагают цо=1. Это приводит к одинаковой раз- размерности магнитной индукции и напряженности. Эта одинаковость достигнута, однако, не даром, а ценой введения размерного коэф- коэффициента \1с в законе Ампера. В системе СИ магнитная проница- проницаемость вакуума равна ио=4я-1О7 Дж/(А2*м). § 102. Взаимодействия токов и магнитов Законы, рассмотренные в предыдущих параграфах, позволяют в принципе рассчитать взаимодействие любых магнитных систем. Мы располагаем формулами сил и моментов сил, действующих на приборы со стороны магнитного поля любого происхождения: На ток СГС F=^[dl, В] N=[MB], гдеЛ1 = ~/5 с си F=I[dl, В] N=[MB], где M = IS На магнит F=mH где M=ml Формулы, связывающие поля с их источниками: Поля токов т СГС си "-?=.[« т] B = \io\iH Поля магнитов СГС СИ 4яг2 b—*L 2яг3 Подставляя любую нижнюю формулу в любую из верхнего ря- ряда и используя связь B=iio^Hy мы получим формулы магнитных, электромагнитных, магнитоэлектрических и электродинамических 244
взаимодействий. Каждый тип взаимодействия проиллюстрируем одним примером. Магнитное взаимодействие, т. е. действие маг- магнита на магнит. Два полюса на расстоянии г взаимодействуют по закону Кулона, т. е. Сила взаимодействия обратно пропорциональна магнитной про- проницаемости. Электромагнитное действие, т. е. действие тока на маг- магнит. Магнитная стрелка испытывает вращательный момент со сто- стороны элемента тока. Для просто- простоты принято ЛЦ_Я, т. е. магнит- магнитная стрелка расположена попе- поперек силовых линий. dN=-zprdlsmdCr (СГС), dN^^dlsindO (СИ). Взаимодействие не зависит от магнитной проницаемости, т. е. от свойств среды. Магнитоэлектрическое действие, т. е. действие маг- магнита на ток. Контур тока распо- Рис 113# ложен на продолжении оси стер- стержневого магнита на расстоянии г от него (рис. 113). Контур испыты- испытывает вращательный момент N = МтокаВ sin а = жт°ка^магн sin а (СГС), или Взаимодействие не зависит от магнитной проницаемости. Пример. Контур площадью 5=20 см2, обтекаемый током /=10 А, взаимо- взаимодействует на расстоянии 100 см со стержневым магнитом, магнитный момент ко- которого Л1магн=1000 ед. СГС=1 А-м. На контур будет действовать вращающий момент ом м __ ™тока'У1магн Л*Т 3-1015 Г3 0=4. 10-* ед. СГС. / = 410-6 динсм-0,04 Нм. 245
Электродинамическое действие, т. е. действие тока ток. Два параллельных тока притягиваются с силой т. е. dF = vhlfr\dh (СГС), или dF^^bb^i (СИ). Взаимодействие прямо пропорционально магнитной проницаемости. Таким же точно образом можно составить формулы для любых взаимодействий магнитных систем. П р и м е р. Электродинамическое взаимодействие надо серьезным образом учитывать при прокладке токопроводящих шин. В случае короткого замыкания шины и поддерживающие их изоляторы должны оказаться достаточно прочными, чтобы выдержать большие электродинамические нагрузки. Пусть по параллель- параллельным шинам, отстоящим на расстоянии d=20 см, текут токи /1=/2=3» 104 А. На единицу длины одной из шин действует сила F=BI—\i0HIt где H=I/Bnd) — напряженность магнитного поля, создаваемого прямолинейным током, текущим по другой шине (см. стр. 250). Имеем 4я-10-7-9-IP* 2™rШ^2 т. е. на каждый метр шины действует сила —90 кгс. Этот же результат можно была получить интегрированием последней формулы для dF. § 103. Эквивалентность токов и магнитов Мы обращали внимание на сходство между выражениями для вра- вращательных моментов, действующих на магнитную стрелку и контур тока. Действительно, поведение этих двух систем во внешнем поле чрезвычайно похоже. Если характеризовать каждую из систем стрел- стрелкой ее магнитного момента, то сходство будет еще более полным. Каждая система стремится расположиться в магнитном поле так, чтобы ее магнитный момент совпал с силовыми линиями поля. Если магнитный момент отклонен от положения устойчивого равновесия, то на систему действует вращательный момент N=lMH] — для маг- магнитной стрелки и N=iMВ] — для контура тока. Соответственно потенциальные энергии этих двух систем представятся формулами U=—MH и U=—MB. Так как B=iio\iH, то становится очевидным различие между формулами: они переходят одна в другую введением в формулы маг- магнитной проницаемости. Отсюда следует, что в отношении механиче- механического воздействия магнитная стрелка с моментом М эквивалентна контуру тока с моментом MT=M/(\i0\i). Однако сходство этих двух систем еще не кончается на сказан- сказанном. Мы покажем сейчас, что магнитная стрелка и контур тока об- обладают собственными полями, совпадающими с точностью до посто- постоянного множителя. Такое сходство имеет место на расстояниях, существенно больших размера системы. Докажем это для точки про- 246
сз^анства, лежащей на линии магнитного момента на расстоянии г от центра системы. Поле магнита для такой точки было уже вычис- вычислено, оно равно В=2М/г3. Остается найти поле кругового тока на его оси. На рис. 114 произведено построение векторов напряженности, создаваемых двумя элементами длины окружности, пересекающими чертеж. Векторы напряженно- напряженности направлены перпендикуляр- перпендикулярно к соответствующему элементу тока и к радиусу-вектору, т. е. лежат в плоскости чертежа. В какую именно сторону смот- смотрит вектор напряженности, сле- следует определить либо при помо- помощи правила векторного произ- произведения, либо при помощи правила буравчика (что в общем одно и то же). Элементарное поле равно в рассматриваемом случае dH = l dl * =—2-, так как элемент тока и радиус-вектор образуют прямой ст угол. Сложим изображенные на рисунке два вектора. Для поля, созданного двумя «противоположными» элементами, получим Рис. ,114. смысл обозначений ясен из чертежа. Такую же величину поля даст любая пара «противоположных» элементов. Поэтому полное поле мы получим, заменив в последнем выражении длину элемента dl на длину половины окружности па. Напряженность поля кругового тока на его оси на расстоянии г от тока *) представится формулой Ho-/S, где S= ст* па2 2М \x\i0 —j есть момент кругового тока. Следовательно, 2М Н = —з~ , а магнитная индукция В ¦¦ Этим доказано, что магнитный диполь и контур тока эквивалент- эквивалентны не только в отношении действующих на них сил, но и в отноше- отношении создаваемых ими полей. Эквивалентность имеет и здесь тот же характер. Чтобы заменить магнитную стрелку с моментом М, нужно взять контур тока с моментом Л1т=Л1/((А|ь1о). В вакууме и для системы СГС Щ1о=1, и принцип эквивалентно- эквивалентности еще проще: магнитная стрелка с моментом М эквивалентна контуру тока с таким же магнитным моментом. *) Нас интересуют большие расстояния, следовательно, различия между и расстоянием до центра системы пренебрежимо малы. 247
Примеры. 1. Вернемся к примеру на стр. 242. Рассчитаем магнитную индукцию того же магнита в системе СИ: В = 0,05Т, S = 310-4m2, Ф = 15.10-6В.с, т=1510-6Вс, / = 0,1м, M = m/=1510-60,l = l,5-10-6 Вс-м, в полном соответствии с результатом на стр. 242. 2. Контур с током /=5 А, имеющий площадь S=2 см2, создает на расстоя- расстоянии г=50 см вдоль оси, перпендикулярной к его плоскости, магнитное поле с на- напряженностью #—2М/г*. м==т/5=да-5-3109'2=1 эрг/Ге> Н= 1,6- Ю-5, эрстед (Э). § 104. Вихревой характер магнитного поля Исследование хода магнитных линий показывает принципиаль- принципиальное различие между электрическим и магнитным полем. Электриче- Электрические линии имеют начало и конец, не существует замкнутых линий у постоянного электрического поля. Напротив, опыт показывает, что силовые линии магнитного поля (т. е. векторные линии магнит- магнитной индукции) всегда замкнуты, не существуют линии, имеющие начало и конец. По причинам, обсуждавшимся выше, силы и поля сил, в которых работа по замкнутому пути равна нулю, получили название потен- потенциальных. Векторные поля, характеризующиеся замкнутыми сило- силовыми линиями, носят название вихревых. Магнитное поле является вихревым. Если провести в магнитном поле замкнутую поверхность, то магнитный поток Ф = ? В cos a dS через такую поверхность будет всегда равен нулю. Иначе говоря, число линий, входящих в эту поверхность, будет равно числу линий, выходящих из нее. Уравнение ф В cos a dS = 0 и является математическим выражением того факта, что у магнитных силовых линий нет начала и конца. Связь магнитных линий с создающими поле токами состоит в том, что магнитные линии всегда охватывают токи. Поэтому интег- интегралы, взятые вдоль силовой линии от индукции или напряженности, ? В dl или (fi H dl, должны быть отличны от нуля. Целесообразнее рассматривать второй интеграл, так как его величина должна быть пропорциональна силе электрического тока, охватываемого силовой линией; ведь согласно основной формуле напряженности между Н и силой тока имеет место прямая пропорциональность. По аналогии с электростатикой \ Hdl называют магнитным напряжением. Если интеграл берется вдоль силовой линии, то 248
Магнитное напряжение вдоль замкнутой линии должно быть про- пропорционально току, около которого эта линия обворачивается: где k — коэффициент пропорциональности. Силовая линия может охватывать не один ток, а несколько. Для создаваемого поля существенна алгебраическая сумма токов, и уравнение имеет вид Более глубокий теоретический анализ, на котором мы здесь не можем останавливаться, показывает, что написанное уравнение под- подвергается еще двум обобщениям. Во-первых, магнитное напряжение можно взять не только вдоль силовой линии, но и вдоль произволь- произвольного контура; во-вторых, коэффициент пропорциональности в урав- уравнении является константой, зависящей лишь от свойств среды и оди- одинаковой для любых геометрических условий. Таким образом, маг- магнитное напряжение, взятое для любой замкнутой кривой линии, одинаково, если только эта кривая охватывает токи определенной силы. Безразлична форма кривой, размеры кривой; кривая может охватывать один ток или десяток токов; эти токи могут быть пря- прямыми, круговыми,— все это безразлично, магнитное напряжение будет одним и тем же, если только алгебраическая сумма токов, пронизывающих кривую, будет иметь одинаковое значение. Так как коэффициент пропорциональности в формуле магнитного напряжения есть величина универсальная, то мы можем найти k, если сумеем вычислить магнитное напряжение для любой системы, поле которой нам известно. Мы познакомились с общим выражением для напряженности магнитного поля элементарного тока. Вычисление магнитного на- напряжения с помощью формулы напряженности представляет математические трудности. Кроме того, нам известна формула напряженности магнитного поля на оси кругового тока, Н=2М/г3. Вычисление магнитного напряжения вдоль оси кругового тока не представит особых затруднений. Нас не должно смущать, что интегрирование происходит вдоль прямой линии, в то время как нас интересует магнитное напряжение вдоль замкнутой кривой. Дело в том, что прямая, идущая от отрицательной бесконечности в положительную, является замкнутой кривой — она замыкается в бесконечности. Выражение для магнитного напряжения [ Н dl, взятого вдоль такой замкнутой кривой, т. е. вдоль оси круго- кругового тока от отрицательной бесконечности до положительной 249
бесконечности, можно записать в виде где а — радиус, / — расстояние, откладываемое по оси контура. Интеграл легко берется, если перейти к новой переменной Р по формуле l/a=ctg р, и оказывается равным 2/а2. Подставляя М = = A/с) hna2 и приравнивая значение магнитного напряжения ве- величине kl, получим * = ^ (СГС), k=l (СИ). Закон магнитного напряжения имеет вид или Закон магнитного напряжения может оказать существенные ус- услуги в подсчете магнитных полей ряда систем. В его применении нам должны помочь соображения симметрии, и в этом отношении рассу- рассуждения, к которым мы сейчас переходим, очень похожи на соответ- соответствующие задачи, которые решались в электростатике с помощью закона Гаусса — Остроградского. Рассмотрим, прежде всего, бесконечный прямолинейный ток. Из соображений симметрии очевидно, что сщювая линия может иметь лишь форму окружности, центр которой совладает с осью про- провода. Также несомненно, что во всех точках окружности числовое значение напряженности одно и то же. Применяя к такой силовой линии закон магнитного напряжения, получим: Н ?dl = — I. При этом ?dl есть не что яное как длина силовой линии. Если рассма- рассматриваются точки, расположенные на расстоянии г от оси провода, то ш dl = 2nr9 и, таким образом, для магнитного поля бесконечного прямолинейного тока в пространстве вне провода мы получим: И = % (СГС), Я = ^ (СИ). Найдем теперь напряженность магнитного поля внутри провода. Обозначим радиус провода через а и допустим, что ток распределен вдоль сечения провода вполне равномерно. Силовые линии внутри провода также должны иметь вид окружностей. Рассмотрим такую г2 линию радиуса г. Через нее протекает доля тока -^ /, и, следователь- следовательно, закон магнитного напряжения даст fg, т.е. Л«4 250
или в системе СИ f __r Мы видим, что напряженность магнитного поля на оси провода равна нулю, далее она возрастает, становится максимальной на по- поверхности провода, а затем убывает обратно пропорционально рас- расстоянию (рис. 115). Если поле определяется в такой точке, для которой расстоя- расстояние г много меньше ее расстояния до конца провода, то формула #= 112кг может быть применена для провода конечных размеров. П р и м е р. Подсчитаем, какова на- напряженность магнитного поля на рассто- расстоянии 5 см от оси прямолинейного тока силой 20 А. В системе СГС /=20.3-109=6-1010 ед. сгс. 2/ 2-6-10" ft В системе СИ /=20 А, г=0,05 м, гг / __ 20 _ал д/ Рис. 115. Другой важнцй пример использования закона магнитного на- напряжения — это вычисление поля соленоида. Положим, что на окружность длиной L равномерно навиты вит- витки соленоида. Поле внутри кругового соленоида должно быть од- однородным, и все силовые линии должны быть окружностями, кон- концентрическими с L. Такая система для вопросов теории магнитного поля играет ту же роль, что бесконечный плоский конденсатор в теории электрического поля. Каждая силовая линия охватывает все п витков, и поэтому магнитное напряжение, взятое вдоль сило- силовой линии длиной L, будет равно $Hdl = Ti Так как ? Н dl = HL, то — ~ 77 * '• « = -J-/ (СИ). Напряженность магнитного поля катушки определяется ее «ампер- витками», т. е. произведением силы тока на число витков на еди- единицу длины соленоида. Последняя формула — одно из оправданий электротехнической системы записи уравнений поля. Соленоад 251
является одним из основных элементов электротехнических устрой- устройств, поэтому упрощение формулы для вычисления напряженности его магнитного поля очень полезно для практики. Формулу #=-у-/ можно применять и для открытого соленоида, однако лишь для тех внутренних точек, которые находятся достаточ- достаточно далеко от краев. Пример. Напряженность магнитного поля в центре узкого и длинного соленоида (L=15 см, п=1500 витков, /=0,1 А) будет #=1000А/м. В системе СГС тот же расчет примет вид jj 4я п 4я ТТ 3-1010 А/м. § 105. Закон электромагнитной индукции и сила Лоренца Как известно, явление электромагнитной индукции, открытое великим английским физиком Фарадеем, состоит в том, что в замкну- замкнутом проводнике возникает электрический ток, если только изменя- изменяется значение магнитного потока, проходящего через замкнутый провод. При этом э. д. с. индукции оказывается пропорциональной скорости изменения магнитного потока, т. е. производной по вре- времени где Ф-J ficosadS. 4 9 Покажем, что закон электромагнитной индукции тесно связан с существованием лоренцовой силы. Если электромагнитная индук- индукция возникает при перемещении про- провода в магнитном поле, то закон ин- индукции является прямым следствием выражения для силы Лоренца. Чтобы не загромождать изложения чисто математическими трудностями, проведем упрощенное доказательство, —>*# а именно, допустим, что э. д. с. ин- индукции возникает в прямоугольном 6 ?7 у1 контуре, расположенном перпендику- Ул лярно к силовым линиям однородного магнитного поля. Изменение потока вызывается поступательным переме- перемещением одной из сторон прямоуголь- прямоугольника длиной / так, как показано на рис. 116. В перемещающемся провод- проводнике находятся свободные заряды, поэтому при движении проводника со скоростью v эти заряды подвергнутся действию силы Лоренца 252 Рис. 116.
f = ~vB. (Ввиду того, что углы между направлением скорости, маг- магнитным полем и направлением проводника равны 90°, мы опусти- опустили векторные символы в формуле силы, а синус угла при этом -равен единице.) Сила Лоренца направлена перпендикулярно к пло- плоскости, проходящей через направление v скорости перемещения зарядов (вместе с проводом) и магнитные линии, т. е. вдоль прово- провода. Таким образом, заряды придут в движение вдоль провода, соз- создастся индукционный ток. Электродвижущей силой называется работа перемещения еди- единицы заряда вдоль замкнутого контура. Сила, действующая на единицу заряда, равна (\lc) vB; работа этой силы вдоль движущегося провода равна (lie) vBl; но на остальных участках контура работа не производится. Поэтому последнее выражение и есть искомое выражение для э. д. с. индукции. Оно имеет вид vBl (СГС), (СИ). Пусть за время dt провод передвинулся на расстояние dx. Пло- Площадь контура возросла при этом на величину ldx=dS, а магнитный поток — на величину dO=B dS. Так как v = •?, э. д. с. индукции может быть представлена и в такой форме: —-п- . Но это выражение _^инД==: _ 1^. в СИСТеме СГС и <§*** = — ^в системе СИ — и есть закон электромагнитной индукции Фарадея. Этим показано, что электромагнитная индукция и отклонение движущихся электрических зарядов во внешнем поле представляют собой проявления одних и тех же законов природы. Мы еще раз вернемся к этому интересному вопросу в следующей главе. Сейчас нам нужно было лишь напомнить смысл и содержание закона электромагнитной индукции. § 106. Измерения магнитного поля методом индукционного толчка Используя явление электромагнитной индукции, можно разра- разработать весьма совершенные методы измерения магнитного поля. До- Допустим, что имеется необходимость определить значение магнитного поля в каком-либо месте пространства. Изготовляется плоская ка: тушка малого размера (или берется один проволочный виток) и по- помещается в магнитное поле в положение, перпендикулярное к си- силовым линиям. К катушке (витку) идут провода от клемм баллистиче- баллистического гальванометра. Если теперь быстрым движением повернуть плоскость катушки на 90° так, чтобы ее плоскость совпала с силовыми линиями, то за время поворота по катушке пробежит 253
электрический ицдукшюнный ток. Этот кратковременный ток, бы- быстро достигающий максимума, а затем спадающий к нулю, носит название индукционного толчка (рис. 117). За время толчка по проводу пройдет опре- определенное количество электричества, кото- которое с большой точностью может быть изме- измерено баллистическим гальванометром—при- гальванометром—прибором, позволяющим из-за инертности своей поворотной рамки интегрировать электри- электрический ток за время толчка. Если сопротивление катушки Ry число витков /г, то сила протекающего по катушке индукционного тока запишется в виде Рис. 117. /_- !L^? /"~" R dt * Количество электричества, протекшее через провод за время индук- индукционного толчка, будет равно Q = J / dt = R-* п J йФ = R-*n (Ф2— где <?i— значение потока, проходящего через катушку в первом по- положении, а Ф2— во втором. Если Фх или Ф2 равно нулю (магнитные линии не проходят через катушку в начальном или конечном положении), то проведенное измерение дает значение магнитной индукции. Остается лишь раз- разделить величину магнитного потока на площадь сечения S ка- катушки: B=QR/(nS). Разумеется, возможны и другие варианты измерения. Скажем, вместо того чтобы поворачивать катушку, можно включать или вы- выключать поле. Можно также, если надо увеличить эффект, повора- поворачивать катушку не на 90, а на 180°, это удвоит эффект. Для этой же цели прибегают не к включению или выключению поля, а изменяют знак поля на обратный. Так как измерительная катушка может быть сделана очень ма- маленькой, вплоть до квадратного миллиметра, то измерения этим спо- способом могут помочь в точном зондировании магнитного поля в не- небольших объемах. Этот же самый метод применяется для измерения магнитного напряжения. Для этой цели изготовляется измерительный пояс (его называют поясом Роговского) — длинная катушка, надетая на гиб- гибкий ремены Поясу может быть придана любая форма, и два конца его могут быть подведены к любым двум точкам пространства. Кон- Концы пояса могут быть также при желании приведены в соприкосно- соприкосновение. Покажем, что такой измерительный пояс, соединенный с бал- баллистическим гальванометром, будет давать при выключении поля ве- 254
личину, пропорциональную магнитному напряжению вдоль того пути, по которому он уложен. Баллистический гальванометр измерит величину магнитного потока, проходящего через все витки катушки» Пусть п — плот- плотность намотки, т. е. число витков, приходящееся на единицу длины измерительного пояса. Тогда на малом отрезке пояса А/* уложится tikti витков, и магнитный поток, проходящий через эти пА1г витков, будет равен Ф^/гД^. • Если среда однородна и все витки имеют одинаковую площадь, то и суммарный магнитный поток, пронизывающий весь измеритель- измерительный пояс, будет Переходя к пределу при Д/^О, получим 2 Так как измерения проводятся в среде, для которой \i мало отли- отличается от (Ло, то \iSn есть константа прибора. Отбросы баллистиче- баллистического гальванометра при измерениях с помощью пояса будут в точ- точности пропорциональны магнитному напряжению между точками, где находятся концы пояса. Этим прибором легко продемонстрировать закономерности, об- обсуждавшиеся в § 104. Обводя катушку вокруг одного и того же тока, мы увидим, что при любой конфигурации напряжение будет одним и тем же; мы также легко проверим, что магнитное напряжение вдоль контура, не охватывающего тока, равно нулю. Обводя катуш- катушку около одного тока несколько раз, мы убедимся в возрастании маг- магнитного напряжения в соответствующее число раз, и т. д. Необходимо подчеркнуть особенное значение измерений маг- магнитного поля методом индукционного толчка для тех случаев, когда нас интересует магнитное поле внутри твердого тела. Кроме обсуж- обсуждаемого метода, можно прибегнуть лишь к вырезыванию в твердом теле щелей. Обычно это невозможный путь. Остановимся на самой распространенной задаче — измерении магнитной проницаемости железных тел. Наиболее точные резуль- результаты могут быть получены, если исследуемое вещество изготовляет- изготовляется в виде тороида. На это кольцо наматываются две обмотки, одна из которых присоединена к источнику тока, а другая — к баллисти- баллистическому гальванометру. Если ток включен, то через кольцо прохо- проходит магнитный поток Ф—BS. Переключая направление первичного тока на обратное, мы вызовем во второй катушке индукционный ток. Протекшее по гальванометру количество электричества Q будет свя- связано с магнитной индукцией внутри кольца уже обсуждавшимся 255
выше соотношением где S — сечение тороида (предполагается, что витки плотно при- прилегают к кольцу), п2 и R — число витков и сопротивление вторич- вторичной обмотки. Что же касается напряженности магнитного поля, то ее мы можем определить по формуле, справедливой для кругового соленоида: Н = Ц-. Частное от деления В на Н даст значение маг- нитной проницаемости материала кольца. § 107. Ограниченные тела в магнитном поле В той или иной степени все тела обладают магнитными свойства- свойствами. Магнитные свойства скажутся, во-первых, в том, что тела будут испытывать силы и моменты сил со стороны магнитного поля; во- вторых, магнитное поле исказится, если поместить в него тело. Как указывалось выше, магнитные свойства вещества характеризуются коэффициентом jx — магнитной проницаемостью вещества. По зна- значениям |Л тела могут быть отчетливо разбиты натри класса веществ: ферромагнетики, к которым относятся железо, никель и кобальт, обладающие положительными значениями относительной магнит- магнитной проницаемости, много большими единицы; парамагнетики — тела с проницаемостью, несколько большей единицы, и диамаг- нетики, у которых магнитная проницаемость чуть меньше едини- единицы. Типичные цифры приведены в таблице. Вещество Медь Вода Платина .... Кремний .... Вольфрам .... 0,999990 0,999991 1,000300 0,999986 1,000079 —ю-5 —9-Ю-6 300-Ю-6 — 14-10-6 79-10-6 Искажение магнитного поля, происходящее при внесении в него диамагнитных и парамагнитных тел, совершенно незначительно. Напротив, магнитное поле искажается весьма существенно, если в пространство будут внесены ферромагнитные тела. Что же касается силовых действий магнитного поля, то они без особого труда обнаруживаются и для пара- и диамагнитных тел. Не приходится и говорить о значительных силах, которые испыты- ваются со стороны магнитного поля железными телами; эти силы превосходно знакомы каждому. Остановимся сначала на изучении магнитных сил. Каждое тело, не обладавшее магнитными свойствами, становится магнитным, 256
будучи внесенным в поле. Этот процесс есть намагничивание тела, проявляющееся в приобретении телом магнитного момента. Как нам известно, система, обладающая магнитным моментом, может обнаружить себя двояко. В однородном поле такое тело поворачи- поворачивается так, чтобы направление момента совпало с внешним полем. В неоднородном поле тело будет, кроме того, испытывать силу, дей- действующую так, что тело придет в движение вдоль силовых линий. Вращательный момент может быть без труда обнаружен у фер- ферромагнитных тел. По формуле N==lMH] можно найти магнитный момент тела. Однако большей частью нас интересует не тело слу- случайной формы, а вещество. Поэтому по возможности пересчитывают измеренную величину на магнитный момент единицы объема. Век- гор, направленный вдоль магнитного момента и численно равный величине магнитного момента, приходящегося на единицу объема, называют вектором намагничения J. Разумеется, перерасчет от маг- магнитного момента тела к вектору намагничения не вызывает труд- трудностей лишь в том случае, если мы уверены в том, что намагничение образца однородно. Это имеет место тогда, когда.образец обладает формой эллипсоида или вырожденного эллипсоида, т. е. цилиндра, пластинки, шара (ср. стр. 233). С такими телами и проводят подоб- подобные эксперименты. Определение вектора намагничения измерением вращательного момента легко проводится для ферромагнитных тел. Для парамаг- парамагнитных и диамагнитных тел вращательные моменты очень малы и измерять их трудно. В этих случаях предпочитают измерение силы, действующей на тело, находящееся в неоднородном поле. Рассмотрим элемент объема магнетика, находящегося в неодно- неоднородном поле. Для простоты положим, что поле меняется вдоль од- одной оси и градиент поля равен —г . Каждый элемент объема магне- магнетика будет вести себя, как магнитный диполь; поэтому потенциаль- потенциальная энергия единицы объема может быть записана в виде U——JH. Если его момент установился вдоль поля, то сила, действующая на единицу объема магнетика, будет равна производной потенциаль- потенциальной энергии по координате, т. е. Таким образом, зная градиент поля и измеряя силу, можно най- найти величину магнитного момента единицы объема исследуемого тела. Практически это осуществляется в различных установках. Простей- Простейшими из них являются так называемые магнитные весы. В одной из чашек аналитических микровесов делается отверстие, через ко- которое пропускается нить. На конец нити подвешивается образец и помещается между полюсами магнита. Образец уравновешивается сначала при невключенном магните, а затем при наложении поля. Разность показаний весов дает значение силы /. Весы должны быть достаточно точными, что видно из следующего примера. Кусок висмута (наиболее сильное диамагнитное вещество), 9 А. И. Китайгородский 257
помещенный в магнитное поле, напряженность которого #~1000 Э, имеет намагничение /=2-10~2 ед. СГС. При неоднородности маг- магнитного поля — ~50 Э/см на каждый кубический сантиметр вис- мута будет действовать сила лишь в 1 дин, т. е. f~l дин/см3. ^диамагнитное 1 тело сТСаралгагкитког тело Рис. 118. Опыт показывает, что для диа- и парамагнитных тел между век- вектором намагничения и напряженностью магнитного поля имеется простая зависимость / где х носит название магнитной восприимчивости. Для диамагнит- диамагнитных тел х отрицательно, для парамагнитных — положительно. Значения к были приведены в таблице на стр. 256. При положитель- положительных значениях х вектор намагничения параллелен вектору напря- напряженности поля, при отрицательных значениях х, т. е. для диамаг- диамагнитных тел, направления векторов намагничения и напряженности магнитного поля противоположны. 258
; ;Эта разница в знаке делает весьма непохожим поведение тел обоих классов в тождественных условиях. Это иллюстрируется рис. 118. Различия действительно разительны. Парамагнитное тело втягивается в область сильного поля, диамагнитное тело выталки- выталкивается. В однородном поле парамагнитная стрелка стремится рас- расположить свою ось вдоль силовых линий, диамагнитная — попе- поперек (ср. аналогичный пример с диэлектриком, стр. 231). Определение магнитной восприимчивости измерением силы в не- неоднородном поле можно производить для твердых тел как в виде монокристаллов, так и в виде порошков. Без всякого труда метод приложим и к жидкостям. В этом случае можно поставить опыт так, чтобы измеряемой величиной явилось повышение или понижение уровня жидкости, втягиваемой или выталкиваемой из пространства между полюсами магнита. tJ § 108. Связь между магнитной проницаемостью и восприимчивостью Обе эти величины могут быть измерены непосредственно: маг- магнитная проницаемость определяется измерением индукции и напря- напряженности с дальнейшим вычислением по формуле \i=B/H, а вос- восприимчивость — по силовым действиям на магнетик, как описано только что. Разумеется, можно установить на опыте связь между этими двумя характеристиками магнитных свойств вещества. В этом, однако, нет нужды, так как между \i и х существует строгая и про- простая связь, следующая из таких соображений. Вернемся к опыту по определению магнитной проницаемости тела, выполненного в виде тороида. Первичная катушка, которой обернут тороид, создает поле с напряженностью H=nl/L, не зави- зависящей от вещества тороида; без тороида напряженность поля пред- представится той же формулой. Иное дело — магнитный поток. Мы убеж- убеждаемся опытным путем, что значение В зависит от магнитной про- проницаемости. Если сердечник катушки сделан из железа, то В воз- возрастает в сотни и тысячи раз. Это увеличение магнитного потока мы связываем с явлением намагничивания. Обратим прежде всего внимание на то обстоятельство, что в отсутствие железа магнитная индукция кругового соленоида \х0Н имеет смысл магнитного момента в единице объема. Магнитный момент витка катушки равняется IS (будем вести рассуждения применительно к системе СИ). Полный магнитный момент системы будет равен nIS, а магнитный момент токов в еди- нице объема у^- есть не что иное как напряженность поля. Маг- Магнитный момент эквивалентных диполей будет в \х0 раз больше (ср. § 103). Следовательно, магнитная индукция однородного маг- магнитного поля, создаваемого витками кругового соленоида при от- отсутствии сердечника, \х0Н, может быть представлена как магнитный момент эквивалентных диполей, приходящихся на единицу объема. 9* 259
С полным основанием мы можем полагать, что магнитная индук- индукция сохранит свой смысл, если, не нарушая однородности поля, рав- равномерно заполнить пространство катушки дополнительным числом магнитных диполей. Если на единицу объема от дополнительных диполей приходится магнитный момент </, то магнитная индукция возрастет на эту величину и станет равной Такое возрастание В и происходит, когда соленоид заполняется ве- веществом. Так как / = jxox#, то В=[10(к+1) Я, и, следовательно, магнитная восприимчивость и проницаемость связаны равенством Аналогичное рассуждение применительно к системе СГС приведет к формулам с другими коэффициентами. Магнитный момент токов (и диполей) в единице объема равен п — IS СJ_ rr ~~ 4л; J_ LS ~~ 4л; Поэтому при наличии среды --B^±H + J, т.е. В = Полагая /=х'#, получим В следовательно, v |л== 1 +4ях', где к' = -~. Пример. Проведем расчет примера на стр. 258 в системе СИ. Для висмута х'=2* 10~5, т.е. %=4я%'=8я> К)-5; кусок висмута находится в магнитном поле 1 106 Н= 1000 Э= -— 103 • 1000 А/м = -— А/м, обладающем неоднородностью 4я 4я ^.= 50Э/см = 50~.108.100 А/ма=^^ А/ма. dx 4я 4я Намагничение висмута будет J=ii0nH=8n-10~6 В-с/м2. Тогда на единицу объема A м3) будет действовать сила Ясно, что 10 Н/м3—1 дин/см3, что совпадает с результатом предыдущего примера. § 109. Искажение магнитного поля при внесении в него магнетика Вопрос об искажении магнитного поля имеет практическое зна- значение только при внесении в поле железных тел. В значительной части нам придется повторить рассуждения, аналогичные приведен- приведенным на стр. 232 для диэлектриков. 260
На границе двух сред, обладающих разными магнитными про* ницаемостями, векторы магнитного поля (как индукция, так и на- напряженность) преломляются. Чтобы найти законы этого преломле- преломления, рассмотрим, прежде всего, магнитное напряжение, взятое вдоль малого контура ABCD, тесно прилегающего к поверхности раздела так, как это показано на рис. 119. Так как через этот контур токи не протекают, то магнитное напряжение равно нулю. Разложим вектор напряженности магнитного поля с обеих сторон границы на Рис. 119. нормальную и тангенциальную составляющие. Из рисунка ясно, что обращение в нуль магнитного напряжения может иметь место лишь в том случае, если тангенциальные составляющие будут рав- равны друг другу: Другое условие на границе двух сред мы найдем рассмотрением магнитного потока, проходящего через прилегающий к поверхности раздела небольшой цилиндр (на рисунке не показан). Так как у маг- магнитных линий источников нет, то число силовых линий, входящих в верхнее основание цилиндра, должно равняться числу линий, вы- выходящих через нижнее основание. Боковая поверхность бесконечно мала и поток через нее равен нулю. Разложим вектор магнитной индукции с обеих сторон границы на две составляющие: нормальную и тангенциальную. Очевидно, равенство потоков через основания может иметь место в том случае, если нормальные составляющие вектора индукции не изменятся при переходе через границу: Bln = B2n- Из этих двух правил мы находим закон преломления силовых линий. Из рисунка ясно, что При переходе из воздуха в железо магнитные линии отклоняют- отклоняются от перпендикуляра чрезвычайно значительно и поэтому сильно 261
сгущаются. Именно поэтому железное тело, обладающее магнитной проницаемостью в сотни и тысячи раз больше (л0, «вбирает» в себя силовые линии. На этом явлении основана магнитная защита. В про- пространство, огражденное железом, магнитный поток не пройдет: по- подавляющая часть магнитных линий будет идти внутрь железа (рис. 120). В совершенной аналогии с диэлектриками решается задача о характере искажений, вносимых в магнитное поле телом определен- определенной формы. Если тело имеет форму эллипсоида, цилиндра или пла- пластинки, то поле внутри такого тела, как показывают теоретические Рис, 120. . расчеты, будет однородным, если поле было однородным и до вне- внесения в него железного тела. Между внешним однородным полем #о (тем, которое было) и полем внутри железного тела Ht (которое стало) существует соотношение, полностью аналогичное обсужден» ному в § 96. Напряженность поля, образовавшегося в железном теле, становится меньше той, которая была ранее, на величину, про- пропорциональную намагничению: H H J Чтобы фактор размагничения был безразмерным, намагничение поделено на магнитную проницаемость вакуума. Продолжая и да- далее пользоваться соотношениями системы СИ и подставляя получим следующую связь между внешним и внутренним полем и В системе СГС 262
в связь между внешним и внутренним полем будет иметь вид Коэффициент размагничения имеет те же значения, что и в слу- случае диэлектриков: Лг=4я/3 (Л^' = 1/3) для шара, #=4я (N' = l) для пластины и т. д. „ к / / / 1 А / / ( / { г- О &0 40 60 80 100 HL01W3i,Jt/M § ПО. Магнитный гистерезис Говоря о магнитной проницаемости железных уел, мы могли со- создать ложное впечатление, что магнитные свойства ферромагнетиков отличаются от магнитных свойств парамагнитных тел только вели- величиной магнитной проницаемости. Это совсем не так. Принципиаль- Принципиальное отличие ферромагнетиков ^ ^ от других тел заключается в отсутствии линейной и, более 16000 того, однозначной зависимо- зависимости магнитного состояния тела от напряженности магнитного юооо поля. Поэтому понятие маг- магнитной проницаемости для ферромагнетиков носит весь- весьма условный характер. Пра- Правильное представление о маг- магнитных свойствах железа можно получить, рассматри- рассматривая кривую зависимости на- намагничения от напряженности или магнитной индукции от напряженности поля. Обе эти кривые довольно близки друг к другу. Будем измерять намагни- намагничение железного тела в функ- функции напряженности. Сначала намагничение будет расти медленно, затем быстро и, на- наконец, наступит магнитное насыщение. Такого типа кри- кривые намагничения, впервые построенные А. Г. Столетовым, типич- типичны для всех ферромагнитных тел (рис. 121). Повторяем, что кривые намагничения и магнитной индукции весьма похожи. Ход кривой намагничения дает магнитную восприимчивость, ход кривой ин- индукции дает магнитную проницаемость. Из приведенной кривой видно, что магнитная проницаемость (восприимчивость) изменяется по кривой с максимумом. При малых полях магнитная проницаемость 263 $Ьс/ $.50 ?00 150 100 60 С s ч — —¦II —I &0 0 60 ВО 100 Рис. 121.
мала, затем она возрастает до максимума, потом падает и по до- достижении насыщения остается неизменной. Большей частью, когда приводят значения магнитной проницаемости, не оговаривая внеш- внешних условий, имеют в виду максимальную магнитную проницае- проницаемость. Однако описанным не исчерпывается своеобразие поведения фер- ферромагнетиков. Положим, что железо доведено до состояния магнит- магнитного насыщения, и начнем уменьшать напряженность магнитного поля. Оказывается, что индукция будет убывать теперь по другой кривой, лежащей выше кривой начального намагничения. Напря- Напряженность поля может быть доведена до нуля, но намагничение не будет снято. Соответствующие значения намагничения и индукции называют остаточными. Чтобы снять остаточное намагничение, необходимо переменить направление поля. Если иметь в виду опыт, о котором говорилось на стр. 255, то это значит, что нужно изменить Рис. 122. направление тока в первичной катушке, обмотанной около железного тела, на обратное. Размагничивание произойдет тогда, когда на- напряженность поля достигнет некоторой величины Нс, называемой коэрцитивной (задерживающей) силой. При дальнейшем увеличе- увеличении тока тело начнет намагничиваться в обратном направлении, т. е. там, где был южный полюс, возникнет северный. Магнитный поток будет расти до той же степени насыщения, что и в начальном про- процессе. Достигнув отрицательного максимума индукции, можно повести процесс в обратную сторону и получить изображенную на рис. 122 петлю гистерезиса. Из этого рисунка следует, что напряженность поля, в которое помещено железо, не определяет еще ни магнитной индукции, ни, следовательно, магнитной проницаемости. Для абсциссы #=400 Э, например, возможны три значения индукции: первое имеет место при начальном намагничивании, второе — в процессе размагничи- размагничивания и третье — по прохождении почти всей петли при повторном намагничивании. Значение магнитной индукции и магнитной про- проницаемости зависит от предыдущей «истории» образца. Отсюда и название «петля гистерезиса». 264
Обычно рисуют петлю, построенную при условии, что ферромаг- ферромагнитное тело доводится до магнитного насыщения. В то же время ясно, что можно осуществить с куском железа любые петли гисте- гистерезиса меньшего размера, как бы вписанные в основную петлю. Для этого надо начать размагничивание, не доходя до насыщения. Тогда каждому значению Н соответствует сколь угодно большое число значений В, Отсюда следует способ приведения ферромагнитного тела в со- состояние, при котором одновременно равны нулю и индукция, и на- напряженность. Такое приведение магнитного тела в «нулевую точку» осуществляют серией последовательных перемагничиваний, на- начиная каждый следующий цикл при меньшем значении напряжен- напряженности, чем предыдущий. Магнитное состояние железа нельзя характеризовать только зна- значением проницаемости или только величиной напряженности ^ли индукции. Нужно знать две величины, скажем, индукцию и напря- напряженность, которые определят магнитное состояние железа точкой внутри основной гистерезисной петли. Характер петли гистерезиса сильно зависит от материала. Маг- Магнитно-мягкими называют тела, у которых коэрцитивная сила мала (а значит, мала и площадь петли). К мягким материалам относятся чистое железо, кремнистая сталь, сплав железа с никелем (среди них выделяется пермаллой — 78% никеля). Углеродистые и иные стали принадлежат к магнитно-твердым материалам; их используют для изготовления постоянных магнитов. Опыт показывает, что при перемагничиваний ферромагнетик на- нагревается. Это очень существенно для электротехники, так как при помещении железа в переменное магнитное поле точка графика B=f(H), изображающая магнитное состояние железа, непрерывно обегает петлю гистерезиса. Пробег по петле сопровождается выде- выделением тепла, которое связывается теорией магнитного поля с пло- площадью петли. Разумеется, чем меньше максимальная индукция, тем меньше площадь петли. Поэтому можно попытаться подыскать эмпи- эмпирические формулы^связывающие выделяющееся тепло с максималь- максимальной индукцией. В электротехнике имеет распространение, например, формула такого вида: где г\ — коэффициент, значения которого приводятся в таб- таблицах. Пример. Для хорошего трансформаторного железа т]=0,0011. При ?макс= 5=10 000 Гс потери будут ic=2,5- Ю3 зрг/см3=2,5. Ю-4 Дж/см3. Это значит, что при перемагничиваний железа переменным током частоты у=50 Гц мощность потерь в железе составит 12,5-10—3 Вт на каждый кубиче- кубический сантиметр объема железа. 265
ГЛАВА 16 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА § 111. Обобщение закона электромагнитной индукции Мы доказали в предыдущей главе, что движение проводника в магнитном поле сопровождается индукционными явлениями. Если этот движущийся проводник составляет часть контура, маг- магнитный поток через который меняется при движении, то в контуре возникает ток, соответствующий э. д. с. индукции <? = -гт-. При- Причина возникновения тока заключается в действии лоренцевой силы: на единичный электрический заряд действует сила, равная — [vB] (в системе СГС). При возникновении индукционного тока существенно лишь от- относительное перемещение провода и магнитного поля. С одинаковым правом можно говорить, что лоренцева сила возникает тогда, когда заряд движется в магнитном поле, или в том случае, если магнитное поле движется, а заряд «покоится». Этот факт следует из принципа относительности. Выберем систему координат, по отношению к которой магнитное поле изменяется; например, свяжем систему координат с лаборатор- лабораторным столом, вдоль которого движется полюс постоянного магнита. Тогда на заряды, находящиеся в покое по отношению к лаборатор- лабораторному столу, будет действовать сила Лоренца. Представим себе, что нам ничего не известно о движущемся постоянном магните. Устано- Установив наличие силы, действующей на покоящиеся электрические заря- заряды, мы сделаем вполне справедливый вывод о существовании в этой системе электрического поля, напряженность которого равняется силе Лоренца, отнесенной к величине заряда. Итак, напряженность электрического поля в «покоящейся» системе координат, по отно- отношению к которой источник постоянного магнитного поля движется со скоростью v, выражается формулой Разумеется, законы электрического поля, создаваемого заряда- зарядами, и электрического поля, создаваемого движением системы по от- отношению к магнитному полю, будут разными. Прежде всего, у но- нового поля, с которым мы знакомимся, нет источников — зарядов. Значит, силовые линии не имеют начала и конца. С другой стороны, нетрудно видеть, что силовые линии этого электрического поля будут замкнутыми, т. е. электрическое поле, создаваемое движущимся магнитным полем, является полем вихревым. Мысленно построим произвольный контур (неподвижный по от- отношению к лабораторному столу). Движущееся магнитное поле бу* дет пересекать этот контур. Если бы на месте мысленного контура 266
был реальный проволочный контур, то согласно закону Фарадея в нем возникла бы э. д. с, равная, как нам известно, ф Edl. Следо- Следовательно, интеграл U = ? Еdl не равен нулю; а это и значит, что электрическое полеЕ=~ [vB]> созданное движущимся магнитным полем, является .полем вихревым. Для реального проволочного контура U = — — > где Ф — маг- магнитный поток, проходящий через контур. Но наличие или отсут- отсутствие провода на месте замкнутой кривой ничего не меняет. Равен- ство U = — -jf Должно иметь место и для мысленного контура, ко- который построен в пространстве, где движутся источники магнитного поля. Остается сделать последнее обобщение. Опыт показывает, что причины изменения магнитного поля не играют роли в индукционном эффекте. Всегда можно подобрать равноценные изменения полей, создаваемые движением постоянного магнита или изменением силы тока в неподвижной катушке, например приближением постоянного магнита или усилением тока в катушке, создающей поле. Поэтому найденный закон должен быть справедлив всегда* во всех случаях, независимо от того, по какой причине меняется магнитное поле. Итак, если в какой-либо области пространства меняется магнитное поле (магнитный поток), то возникает вихревое электрическое поле, связанное с изменением магнитного поля законом: напряжение и = фЕй1вАОль замкнутого контура равняется производной по времени от магнитного потока, проходящего через эту кривую: или в системе СИ ^~dt ' В этом состоит обобщенный закон индукции — один из важнейших законов природы. Раскроем математическое содержание закона. Подставляя выра- выражения электрического напряжения и магнитного потока, запишем его в развернутом виде <СГС), (СИ). Остановимся, прежде всего, на знаке минус, который надо ввести в развернутой форме записи. Дело в том, что в векторной алгебре направление обхода контура и направление нормали к площади кон- контура связаны между собой: положительное направление нормали в 2E7
правовинтовой системе идет так, что с конца вектора мы видим вра- вращение против часовой стрелки (рис. 123). Построим в пространстве замкнутую кривую и присвоим ей произвольное направление обхода. Этим будет уже определено направление нормали к площадке, ох- охваченной рассматриваемой кривой. Через контур проходит магнит- магнитный поток. В данное мгновение он может быть положительным или отрицательным — вектор индукции обра- образует острый или тупой угол с нормалью. Производная по времени от потока будет положительной, если поток возрастает, и будет отрицательной,"если поток убы- убывает. Таким образом, учитывая знак ми- минус в формуле закона индукции, можно сказать следующее: электрическое на* пряжение будет положительно, т. е. на- направление электрической силовой линии совпадет с принятым положительным на- направлением обхода, в том случае, если положительный поток убывает или отри- отрицательный поток возрастает; наоборот, напряжение отрицательно, если положи- положительный поток возрастает, а отрицательный убывает. Эти соотно- соотношения хорошо видны на рис. 124. Покажем, что знак минус в формуле индукции есть математиче- математическое выражение правила Ленца. Предположим, например, что к Рис. 123. (ЗТоложиттг направление обхода. Лоло&ипг. направление ф tfodpacmaerrr Рис. 124. катушке приближается своим северным полюсом стержневой маг- магнит. Примем направление обхода контура, указанное на рис. 125. Тогда положителен магнитный поток и положительна его производ- производная по времени. Электрическое напряжение должно быть отрица- отрицательным и индукционный ток направлен в сторону, обратную той, 268
которая принята за положительное направление обхода. Магнитное поле индукционного тока мы сразу же найдем, вспоминая, что си- силовые линии выходят с той стороны кольцевого тока, где ток пред- представляется идущим против часовой стрелки. Следовательно, при сближении магнита с контуром в последнем возникает ток такого направления, который своим полем препятствует вызвавшему его эффекту. Это и есть правило Ленца. Не составляет труда продемон- продемонстрировать это важное правило и для других частных случаев. УГоложилт. направление Рис. 125. Подведем итоги. Переменное магнитное поле неотделимо от поля электрического. Более того, мы видим, что разделение полей на электрические и магнитные носит относительный характер. С од- одной точки зрения в пространстве имеется одно лишь магнитное поле. С другой точки зрения наряду с магнитным полем присутствует и электр ичес кое поле. Вихревое электрическое поле образуется электрическими линия- линиями, обворачивающимися около векторов магнитной индукции, при условии, что магнитный поток, пронизывающий замкнутую сило- силовую линию, изменяется во времени. При возрастании потока сило- силовая линия имеет направление по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора индукции. § 112. Ток смещения Теория электромагнитного поля, начала которой были заложены Фарадеем, была математически завершена английским ученым Джемсом Клерком Максвеллом. Однрй из важнейших новых идей,, выдвинутых Максвеллом, была мысль о необходимости симметрии во взаимозависимости магнитного и электрического полей. Мы обсудили только что вопрос о создании электрического поля меняющимся магнитным потоком. Возникает естественный вопрос: создает ли переменный поток электрических силовых линий свое собственное магнитное поле? Максвелл отвечает на этот вопрос ут- утвердительно и выдвигает гипотезу о существовании связи между пе- переменным электрическим потоком и магнитным полем, совершенно симметричной обобщенному закону индукции. Гипотеза состоит в 269
следующем: если в некоторой области пространства происходит из- изменение электрического потока, то создается вихревое магнитное по- поле; магнитное напряжение U, взятое вдоль замкнутой кривой, рав- равно изменению электрического потока, пронизывающего эту замкну- замкнутую кривую, т. е. U - dt • где и электрический поток N=\DcosadS. В системе СГС U с dt • Симметрия соотношений между магнитным и электрическим по- полями не распространяется на знак, стоящий перед производной по- потока. Как известно, при наличии токов магнитное напряжение по зам- замкнутой кривой равно [/=/( или — / в СГС ) . Как записать уравне- ние магнитного напряжения для такой замкнутой кривой, которая охватывает электрический ток и переменный поток электрических силовых линий? Максвелл полагает, что магнитные напряжения сложатся, так что общая формула будет иметь вид § = /+!?. (СИ) ИЛИ ЯЛ = ?(/+**) (СГС). _ dN Выражение -гг- имеет размерность силы электрического тока. Максвелл назвал его током смещения, вкладывая в это название очень распространенную в конце XIX в. мысль о том, что поле в вакууме смещает частицы «эфира» со своих положений равновесия. Это название удержалось в науке, хотя мы и не связываем сейчас наличие поля в вакууме с идеей о смещении частиц какой бы то ни было среды. В диэлектрической среде ток смещения -^ может быть разбит на два слагаемых в соответствии с возможностью разбиения вектора индукции D на сумму векторов напряженности и поляри- поляризации (ср. стр. 229). Поэтому часть тока смещения, «идущего» в ди- диэлектрике, определяется изменением вектора поляризации, а зна- 270
чит, относительными смещениями центров тяжести положительного и отрицательного зарядов. Прежде чем перейти к обсуждению роли тока смещения в тех или иных процессах, докажем важное положение, касающееся сум- суммы токов проводимости и смещения. Рассмотрим произвольную систему электрических токов и про- проведем мысленно замкнутую поверхность так, чтобы токи пересекли ее. Если токи — постоянные, то закон сохранения электричества приводит нас сразу же к требованию: сум- сумма токов, втекающих в замкнутую поверх- поверхность, должна равняться сумме токов, уходящих из этой поверхности, или, короче, алгебраическая сумма токов, вытекающих из замкнутой поверхности, равна нулю. Вполне, понятно, что этот закон может не выполняться для переменных токов,— пред- представим себе, например, замкнутую поверх- поверхность, обнимающую одну пластину конден- конденсатора, включенного в цепь переменного тока (рис. 126), или замкнутую поверхность, которую в одном месте пронизывает верхушка антенны. Покажем, что эта теорема останется в силе и для переменных то- токов, если ее сформулировать не для токов проводимости, а для пол- полного «тока», складывающегося из тока проводимости и тока смеще- смещения. Для доказательства достаточно представить себе произволь- произвольную кривую с опирающейся на нее поверхностью, для которой справедлив закон Рис. 126. Начнем стягивать к нулю замкнутую кривую; тогда поверхность S, которая опиралась на этот контур (рис. 127), станет замкнутой Рис. 127. (операция похожа на стягивание краев дорожного мешка). Магнит- Магнитное напряжение обратится в нуль, а значит, станет равной нулю и сумма токов проводимости и смещения, проходящих через замкну- замкнутую поверхность. Теперь мы можем обсудить роль токов смещения в электромаг- электромагнитных явлениях. 271
Вычисления показывают, что токи смещения пренебрежимо малы там, где токи проводимости отличны от нуля. Поэтому всегда пре- пренебрегают значениями токов смещения внутри проводников. Интересуясь величиной тока смещения в диэлектриках, мы дол- должны рассмотреть два случая: токи смещения в диэлектрике, окру- окружающем замкнутый проводник, и токи смещения, продолжающие проводники незамкнутых цепей. Рассмотрим замкнутый проводник, по которому идет электриче- электрический ток, и пересечем его замкнутой поверхностью. Если ток — постоянный, то в каждое мгновение в поверхность входит и выходит одинаковое количество электричества. Иначе дело обстоит в случае переменных токов. Сила переменного тока может иметь разные зна- значения в разных участках цепи (см. ниже, стр. 290). Поэтому в ка- какое-нибудь мгновение силы входящих и выходящих из поверхности токов могут оказаться неравными; тогда от места, где ток меньше, к месту, где ток больше, по диэлектрику «идет» ток смещения, свое- своеобразно дополняя меньший ток до большего. Ясно, что изменения во времени тока смещения будут строго следовать за изменениями тока проводимости. Описанное явление играет заметную роль лишь у токов достаточно высокой частоты. Если токи проводимости не замкнуты (цепь переменного тока с конденсатором), то токи проводимости и смещения просто равны друг другу. В этом случае можно говорить о замыкании током сме- смещения тока проводимости. Несмотря на то, что в этом случае токи смещения весьма зна- значительны, ряд расчетов проводится с успехом без их учета. Дей- Действительно, замыкая ток проводимости между обкладками конденса- конденсатора, ток смещения создает в этом пространстве такое же магнитное поле, которое было бы создано, если ток проводимости проходил бы в неразорванной цепи. Поэтому наличие тока смещения не ска- сказывается на подсчете магнитного поля, коэффициента самоиндукции системы и т. д. § 113. Картина электромагнитного поля Рассмотренные в двух предыдущих параграфах уравнения = ~4T и носят название уравнений Максвелла. Эти уравнения кратко выра- выражают совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Уравнения Максвелла нельзя вывести» Предыдущие два пара- параграфа являются не выводом, а лишь показом догадок, приведших Максвелла к его открытию. Огромный класс явлений, интересующих физиков, электротех- электротехников и радиотехников, подчиняется уравнениям Максвелла. Пра- Правила, которым подчиняются эти явления, представляют собой след- следствия уравнений Максвелла и могут быть выведены из них. Исклю- 272
читальная предсказательная ценность уравнений Максвелла ставит их в ряд с немногими великими законами природы, такими, как уравнения механики Ньютона или начала термодинамики. В нашу задачу не входит описание математических способов решения уравнений Максвелла. Оказывается возможным преобра- преобразовать записанные выше интегральные уравнения в дифференциаль- дифференциальные. Решая дифференциальные уравнения Максвелла, можно в принципе найти электромагнитное поле для заданного распределе- распределения зарядов и токов. Мы остановимся еще раз на физической сущности электромагнит- электромагнитных явлений, передаваемой уравнениями Максвелла. Она сводится к следующему. Разделение электромагнитного поля на электрическое и магнит- магнитное имеет лишь относительный смысл. Если с точки зрения одной инерциальной системы координат существует лишь магнитное поле, то с точки зрения системы, движущейся по отношению к первой, на- наряду с магнитным полем имеется и электрическое. Справедливо и обратное: если наблюдатель одной системы устанавливает наличие одного лишь электрического поля, то наблюдатель другой инер- инерциальной системы установит существование как электрического, так и магнитного поля. Рассмотрим теперь электромагнитное поле, каким оно нам пред- представится с точки зрения какой-либо инерциальной системы отсчета. Остановим сначала свое внимание на области пространства, где от- отсутствуют свободные электрические заряды и, следовательно, токи проводимости. Уравнения Максвелла имеют в этом случае вид §**—%. §и«-%. Оба поля, магнитное и электрическое, имеют чисто вихревой харак- характер: силовые линии замкнуты и притом взаимно переплетены, эЛек- трические линии обворачиваются около магнитных, а магнитные— Рис. 128. около электрических. Некоторое представление о характере элек- электромагнитного поля может быть дано изображением его в виде це- цепочки колец — чередующихся замкнутых магнитных и электриче- электрических силовых линий (рис. 128). Цепочка существует только в том случае, если поле — переменное. Нарастающий кольцевой магнит- магнитный поток создает вокруг себя электрический, кольцевой поток. Изменение электрического поля приводит к созданию кольцевого магнитного потока и т. д. 273
Если же в рассматриваемой области пространства имеются за- заряды и токи, то наряду с вихревыми полями со сцепленными линия- линиями мы обнаружим вихревое магнитное поле, линии которого зам- замкнуты около токов, и потенциальное электрическое поле, линии которого начинаются в положительных и кончаются в отрицатель- отрицательных зарядах. ГЛАВА 17 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ § 114. Превращения в цепи постоянного тока Рассмотрим участок проводника, по которому идет постоянный электрический ток. Если сопротивление выделенного участка есть R и электрическое напряжение на его концах равно U, то сила тока определяется законом Ома I=U/R. На перемещение зарядов вдоль цепи электрическое поле затрачивает работу. Если относить эту работу к единице заряда, то она равна U. Так как сила тока есть по определению количество электричества, протекающее через сече- сечение в единицу времени, то произведение IU дает работу, которую затрачивает поле на перемещение электричества, отнесенную к еди- единице времени. IU есть мощность тока. Если ток постоянен, то вся эта работа переходит в тепло (так называемое джоулево тепло). Фор- Формулы для расчета теплового эффекта тока: Превращение работы электрического поля в тепло происходит в каждой точке проводника. Чтобы выразить это утверждение фор- формулой, преобразуем закон Ома так, чтобы он относился не к участку проводника, а к точке проводника. Вводя плотность тока j=I/S, где S — сечение проводника, заменяя выражение электрического напряжения на El и, наконец, выражая сопротивление через длину провода / и его сечение, т. е. R = у-<т, получим: j—XE. Таким образом, можно утверждать, что плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля. Коэффици- Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость X. Направление тока полагаем в каждой точке совпадающим с направ- направлением напряженности. Формула носит название дифференциального закона Ома. Ее надо рассма- рассматривать как опытный закон, обобщающий законы прохождения тока в проводниках. Обычная (интегральная) форма закона Ома является следствием этого уравнения. 274
Выделим в проводнике бесконечно малый элемент объемом di в форме цилиндра с образующей dl вдоль силовых линий и площад- площадкой основания dS, перпендикулярной к току. За единицу времени через сечение протекает количество электричества jdS, напряжение на концах элемента равно Е dl\ следовательно, работа поля, затра- затрачиваемая на перемещение электричества через этот объем, равна \Edx. Этой же формулой будет выражаться тепло, выделяемое вну- внутри объема d%. Если нас интересует работа тока в небольшом объеме проводника, то последнее выражение надо проинтегрировать. Формула же дает нам выражение работы тока (джоулева тепла), выделенного единицей объема проводника. Итак, если рассматривать какой-либо участок проводящей цепи постоянного электрического тока, то энергетические превращения в нем сводятся к превращению работы поля в тепло. Однако картин^ меняется, если поинтересоваться энергетическим балансом в преде- пределах всей замкнутой цепи постоянного тока. Работа электрических сил вдоль замкнутой кривой в случае постоянного поля равняется нулю, так как работа электрических сил, затрачиваемая на перене- перенесение заряда по внешнему участку цепи, равна и противоположна по знаку работе, необходимой для переноса заряда по внутреннему участку цепи. Следовательно, выделение джоулева тепла в цепи постоянного тока происходит лишь за счет отдачи энергии источни- источником тока — аккумулятором, электрической машиной и т. д., т. е. за счет энергии неэлектрического (как говорят иногда, «стороннего») происхождения. Роль электрического тока сводится лишь к «пере- «переносу» энергии от источника тока до места выделения тепла. Энер- Энергия, которую способен отдать источник, характеризуется электро- электродвижущей силой <?, которая па определению измеряется работой, совершаемой при переносе единицы заряда вдоль замкнутого кон- контура. Фактически сторонние силы производят эту работу лишь в ко- коротких участках цепи, где заряду приходится двигаться против сил электрического поля. Мощность, выделяемая цепью постоянного тока, выразится фор- формулой /<?. Это выражение можно отнести к единице объема в том случае, если полагать сторонние силы объемно распределенными. Тогда работа сторонних сил представится в виде где ?стр— «напряженность» сторонних сил. Обозначая работу сторонних сил через Р, а выделяемое джоулево тепло — через Q, мы можем кратко выразить сущность электриче- электрических превращений в цепи постоянного тока формулой Р — Q=0. 275
Пример. Для изолированного медного провода сечением S—4 мм2 при от- открытой проводке допускается плотность тока /=9« 106 А/м2. Отрезок такого про- провода длиной 1 м имеет сопротивление 4,25-10-3 Ом. При указанном значении / по проводу протекает ток /=36 А. Потери энергии на джоулево тепло за одну се- секунду будут на этом участке цепи равны /2/?= 1296-4,25- Ю^6 Дж, т. е. в еди- единице объема будет ежесекундно выделяться 0,33 кал=1,38 Дж. § 115. Превращения в замкнутой цепи переменного тока Протекание переменного тока неизбежно сопровождается индук- индукционными явлениями. Действительно, переменной силе тока соот- соответствует переменный магнитный поток Ф. Под Ф понимается число силовых линий, создаваемых рассматриваемой цепью тока и прони- пронизывающих проводящий контур. В этом случае индукционные явле- явления будут вызваны своим собственным магнитным потоком, откуда и название явления — самоиндукция. Так как Ф непрерывно ме- меняется, то в цепи тока в каждый момент времени наряду со сто- сторонней э. д. с. имеется, кроме того, э. д. с. индукции, равная гншд_ ^ * ~~ dt ' Магнитный поток всегда пропорционален первой степени тока. Формула Ф = L/ имеет универсальную справедливость. Коэффи- Коэффициент L — это индуктивность цепи (другое название — коэффи- коэффициент самоиндукции). Значение L зависит от геометрических свойств цепи, от характера заполнения системы магнитными телами и не зависит от условий, в которых работает эта система проводов и маг- магнитных тел. Таким образом, для э. д. с. самоиндукции имеет место равенство 6 - L dt' Смысл знака минус в этой формуле сводится к следующему: Э. д. с. индукции противодействует сторонней силе в те мгновения, когда ток возрастает; э. д. с. индукции направлена против сторонней силы. Наоборот, когда ток падает, э. д. с. индукции совпадает по направлению со сторонней э. д. с. Это обстоятельство и обусловли- обусловливает распространенную аналогию между явлением механической инерции и явлением самоиндукции. Самоиндукция • препятствует как возрастанию, так и уменьшению тока. Закон Ома, связывающий э. д. с. и силу тока, остается в силе. Поэтому произведение силы тока на полное сопротивление цепи будет в каждый момент времени иметь значение Помножим обе части равенства на мгновенную силу тока. Получим энергетическое равенство такого вида: dt * 276
Здесь /<?стр =Р — работа сторонних сил, PR—Q — джоулево тепло. Мы видим, что в цепи переменного тока равенство этих двух вели- величин не имеет места. Разность Р — Q равна в каждый момент вре- времени LI-rr, т. е. равна производной ot^IJLP. Иными словами, из- избыток работы сторонних сил над выделением джоулева тепла идет на приращение величины V2 LI2. Наоборот, избыток выделяющегося тепла над работой сторонних сил происходит за счет величины V2 LI2. Уравнение выражает закон сохранения энергии. Величина W=1/2 LP несомненно имеет смысл энергии. Это — магнитная энергия системы, неразрывно связанная с существова- существованием в ней магнитного поля< (в системе СГС формула магнитной энергии —у L/2) .Магнитная энергия имеется и в цепи постоянного тока. Но в этом случае она не проявляет себя, остается неизмен- неизменной. Индукционные явления имеют место только при включении и выключении тока. При замыкании цепи сторонние силы производят работу, которая затрачивается наряду с выделением тепла й на на- накопление магнитной энергии. Наоборот, при размыкании выделение джоулева тепла происходит за счет магнитной энергии тока. Формулу магнитной энергии можно было бы проверить опытным путем, исследуя замыкание или, еще лучше, размыкание тока. Джоулево тепло, выделившееся с мгновения отключения источника, должно численно равняться магнитной энергии тока. Если коэффи- коэффициент самоиндукции велик, то выделение тепла продолжается до- достаточно долго и может быть измерено, скажем, калориметриче- калориметрическими способами. Индуктивность можно измерить различными опытами, а в про- простейших случаях можно и вычислить по формуле L=<2>//. Задача сводится к вычислению магнитного потока, проходящего через си- систему. Нам понадобится в дальнейшем выражение индуктивности кру- кругового соленоида. Магнитный поток через один виток катушки равен Ф=|Ыо|а#5, где S — площадь витка, поток через п витков Ф—n\ioiiHS. Подставим сюда выражение напряженности поля (воспользуемся системой СИ): Поделив на силу тока, получим выражение индуктивности катушки (приближенно эта формула пригодна и для открытого соленоида): 277
Индуктивность катушки прямо пропорциональна магнитной про- проницаемости среды и резко зависит от числа витков. Увеличение ин- индуктивности достигается применением железа и увеличением числа витков. Чтобы стала отчетливой связь величины коэффициента са- самоиндукции с размерами катушки, помножим числитель и знаме- знаменатель на /. Тогда и становится ясным, что индуктивность прямо пропорциональна объему, занятому магнитным полем, и квадрату плотности, с кото- которой ложатся витки катушки. Пример. Дан узкий длинный соленоид (/—15 см, я=1500 витков, S=\ см2, /=0,1 А). В середине соленоида возникает магнитный поток O=n\HS =6я-10 В* С. Индуктивность такого соленоида 0-*=l,9.1Q-3 генри (Г). В системе СИ индуктивность измеряется в генри, 1 Г=1 Ом-с. В радиотех- радиотехнике индуктивность катушек измеряется миллионными и тысячными долями генри. Индуктивность дросселей с железным сердечником может достигать целых генри. § 116. Магнитная энергия поля В главе, посвященной электрическому полю, мы показывали, что электрическую энергию системы можно представить себе как величину, распределенную в пространстве с плотностью V2 &EZ (в системе СИ). Полную электрическую энергию системы можно найти интегрированием этого выражения по пространству, заня- занятому полем. Мы подчеркивали важность этого обстоятельства, так как оно позволяет выразить энергию через напряженность поля и обосновывает представление о локализации поля. Естественно, мы ожидаем, что подобные соображения будут справедливы и для магнитного поля. Это действительно так, и можно строгим вычислением показать переход от формулы магнитной энер- энергии V2 LP к выражению для плотности магнитной энергии 1/2 [хо{хЯ2, совершенно аналогичной соответствующему выражению для элек- электрического поля. Проведем этот переход для простейшего случая однородного поля кругового соленоида. Подставляя значение индуктивности в формулу магнитной энергии, получим w м — 9 Но -у- есть напряженность поля. Следовательно, магнитная энергия катушки может быть представлена в виде " м о ' 278
что плотность магнитной энергии представится выражением w^^f- (СИ), о>„ = 8^Я2 (СГС). Таким образом, для любой системы токов магнитная энергия мо- может быть представлена интегралом по объему, занятому полем: x (СИ), x (СГС). Рассмотрим магнитную энергию двух токов. Ее выражение распа- распадается естественным образом на три интеграла, если напряженность результирующего поля Н представить как сумму напряженностей обоих токов: 7/=//i+//2. Смысл каждого из интегралов, входящих в выражение магнитной энергии довольно очевиден. Первый и последний интегралы дают магнитные энергии первого и второго токов. Что же касается второго интеграла, то его можно назвать энергией взаимодействия двух токов. Действи- Действительно, этот интеграл может иметь разные значения при одинаковых величинах напряженностей полей Н± и #2. Представим себе, что меняется взаимное положение двух токов, тогда векторы полей Hi и #2, вообще говоря, повернутся друг к другу и значение энер- энергии взаимодействия изменится. Первый и третий интегралы можно, конечно, представить через силу тока и индуктивность как V2 ?i/2i и V2 Ь2122- Что же касается среднего интеграла, то ясно, что его величина должна быть пропор- пропорциональной произведению сил токов. Значит, Коэффициент пропорциональности М носит название коэффициента взаимной индукции. Так же как и индуктивность, М зависит от гео- геометрии системы и распределения в ней магнитных тел. Из этого вычисления ясно, что с изменением магнитной энергии системы токов связаны не только работа сторонних сил и выделение джоулева тепла, но и работа поля, затрачиваемая при перемещении проводников под действием амперовой силы. Закон сохранения энер- энергии требует поэтому выполнения такого равенства: dWM= — Л — (Q — P)dt. Здесь А — механическая работа. Таким образом, утверждается, что магнитная энергия затрачивается в общем случае на работу 279
перемещения проводников и на превышение выделения джоулева тепла над работой сторонних сил. Приведенные в этом параграфе соотношения не учитывают лишь одного явления — магнитного гистерезиса. Поскольку этот вопрос носит специальный характер, мы не будем на нем останавливаться. Пример. Энергия, запасенная в магнитном поле катушки (пример на стр. 378), будет / /2 IQ. 1П —3 .0 I2 ХГж = Ц-=* Ш2 U>1 =0,95.10-5 дж. Плотность энергии гу2 1ППП2 ^м=МАтг==4л- Ю-7-1- ~т =0,63 Дж/м3. Разумеется, тот же результат можно получить, поделив полную энергию магнит- магнитного поля на объем катушки: wu=Wvl/SL § 117. Электрические колебания Фундаментальное значение для электродинамики имеют про- процессы превращения электрической энергии в магнитную и обратно. В качестве простейшей системы, в которой имеют место подобные превращения, мы можем рассмотреть заряженный электричеством конденсатор, обкладки которого в некото- некоторый момент присоединяются к концам ка- катушки (рис. 129). При разрядке конденсато- конденсатора через катушку течет электрический ток и около нее создается магнитное поле. В каждое мгновение в этой системе существу- существуют тесно связанные между собой электриче- Рис 129 ское поле конденсатора и магнитное поле катушки. Энергия этого контура склады- складывается в каждый момент времени из электрической энергии поля, сосредоточенного в основном между обкладками конденсатора, и магнитной энергии, сосредоточенной главным образом внутри ка- катушки. Как известно, в такого рода контуре возникают электри- электрические колебания. Необходимость электрических колебаний4 в по- подобной системе сейчас будет нами показана. Оставим сначала без внимания потерю энергии на джоулево тепло. Тогда закон сохранения энергии требует выполнения равен- равенства Сумма электрической и магнитной энергии в каждое мгновение одна и та же, и, значит, производная по времени от написанного 280
выражения должна равняться нулю: dt ~~ Cdt~T~b dt ' Так как сила тока должна равняться убыли заряда с пластины кон- конденсатора, dQ 1 ~w то уравнение упрощается и получает вид Подобная связь между зарядом на пластинах конденсатора и силой тока, являющейся производной от заряда по времени, может быть удовлетворена лишь при колебания^ заряда и тока по гармониче- гармоническому закону. Это станет ясным, если мы сопоставим уравнения механического колебания (стр. 75) с найденным: т dQ dx j dl ^ n ^v h L~dt~'~'c'^i mdt~~~ Аналогия имеет место между зарядом и током, с одной стороны, и смещением от положения равновесия и скоростью движения, — с другой. Что же касается параметров системы, то индуктивность играет роль массы, а обратная емкость — роль жесткости системы. Беря начало отсчета времени в тот момент, когда конденсатор заряжен полностью, положим, что Q = Q0 cos cat. Тогда Подставляя в дифференциальное уравнение, получим —LQq(u2 cos (ot = — -7Т- Qo cos (dt или после сокращения @ = Vic' Таким образом, каков бы ни был начальный заряд на обкладках конденсатора, в нем происходят гармонические колебания с соб- собственной частотой (do=l/\fLC. Частота электрических колебаний тем больше, чем меньше емкость и индуктивность цепи. 281
Что же происходит в реальной цепи тока, где нельзя пренебречь потерями на джоулево тепло? Очевидно, в этом случае полная энер- энергия системы будет убывать в согласии с равенством т. е. Продифференцировав еще раз по времени и используя соотношение между зарядом и током, мы приходим к уравнению вида И здесь необходимо проследить аналогию между соответствующими электрическими и механическими величинами. Сопоставляя послед- последнее уравнение с уравнением механических колебаний с трением (стр. 79), мы отметим аналогию между электрическим сопротивле- сопротивлением R и коэффициентом а, характеризующим механическое со- сопротивление. Решения подобных линейных дифференциальных уравнений рас- рассматриваются в курсах высшей математики. Мы ограничимся тем, что приведем окончательную формулу, справедливость которой, впрочем, нетрудно проверить подстановкой в уравнение 1 = Ioe~W cos со/. Частота колебаний Таким образом, процесс определяется двумя характеристиками: собственной частотой свободных незатухающих колебаний соо= — \jYLC и коэффициентом затухания P=7?/BL). Мы видим, во- первых, что малое затухание достигается уменьшением сопротивле- сопротивления по отношению к индуктивности (разумеется, такой ситуации трудно добиться; скажем, увеличивая число витков катушки, мы увеличим одновременно обе величины; правда, L будет расти бы- быстрее). Во-вторых, мы можем отметить, что при условии со* < р2, т. е. AL < CR\ колебания становятся невозможными. Разрядка конденсатора в та- таких условиях приводит к апериодическому процессу, аналогичному возвращению маятника, отклоненного в вязкой среде, в положение равновесия. Пример. Пусть имеется конденсатор переменной емкости с максимальной емкостью С=500 пФ. Вычислим индуктивности катушек, необходимых для кон- контура радиоприемника, работающего в диапазонах 1500 м и 15 м. 1. Частота электрических колебаний, соответствующая Я1=1500 м, vt=i =2-105 Гц=200 кГц. Так как со = 2лг, =-т= , то Lx =—?—— =1,2- 10-3Г= 282
= 1,2 мГ. Чтобы процесс в контуре был периодическим, сопротивление кон- контура должно быть меньше Ri= 2 }^L1/C = 3000 Ом. 2. L,= 15 м, v2=2-107 Гц=20 МГц, L2=0,12-10-6 Г=0,12 мкГ. Чтобы колебания были возможны, сопротивление контура должно быть меньше #2=2 У Ц/С = 30 Ом. § 118. Электромагнитная энергия В такой системе как колебательный контур, состоящий из кон- конденсатора (в особенности, если он состоит из близких пластин боль- большой площади) и катушки (в особенности, если она имеет много на- наложенных витков), электрическое и магнитное поля сосредоточены каждое в своей области. Поэтому можно говорить об электрической и магнитной энергиях как о двух хотя и связанных, но разных вели- величинах. Такое разбиение в значительной степени теряет свой физи- физический смысл, когда мы переходим к рассмотрению быстроперемен- ных полей, в которых значительные по величине электрические и магнитные поля существуют в одних и тех же пространственных областях. Вспоминая еще сказанное в § ИЗ об относительном характере разбиения электромагнитного поля на электрическое и магнитное, мы поймем необходимость введения в теорию электромагнитной энер- энергии, формально равной сумме электрической и магнитной энергий поля. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с плотностью В объеме V содержится электромагнитная энергия В быстропеременных полях теряет физический смысл вопрос о превращении магнитной энергии в электрическую и обратно. В то же время надо рассматривать любые энергетические превращения, происходящие в электромагнитном-поле, привлекая в энергетиче- энергетический баланс величину электромагнитной энергии как единого целого. Если принять справедливость написанного выражения для элек- электромагнитной энергии, то, используя уравнения электромагнитного поля,' которые мы изучали в предыдущей главе, можно строго дока- доказать следующую теорему для убыли электромагнитной энергии вну- внутри некоторого объема пространства: , Эта теорема была доказана в 1884 г. Пойнтингом, а в более общей , форме (в применении не к электромагнитному лолю) — Н. А. Умо- вым в 1874 г. Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть поток i 283
вектора К *). Этот вектор, как показывает вычисление, которое мы вынуждены были за сложностью опустить, перпендикулярен к пло- плоскости, проходящей через векторы поля Е и Н (рис. 130), и равен К=4 [?//] в СГС и к=== lEf*] в СИ- Так как при удалении от источников поля в бесконечность зна- значения напряженностей убывают достаточно быстро, то поток век- вектора Пойнтинга обращается в нуль, если речь идет о всем простран- пространстве. В этом случае теорема утверждает: изменение электромаг- электромагнитной энергии равно избытку I " работы сторонних сил над выде- выделением тепла. Однако наибольший интерес представляет применение теоре- теоремы к конечному объему, когда поток вектора Пойнтинга нулю не равен. Положим, что рассмат- рассматриваемый объем не охватывает токов, тогда равенство имеет > вид dW n „ -о —— = ф /С cos a dS. Изменение электромагнитной рис !зо. энергии равно потоку вектора Пойнтинга через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем. Вектор Пойнтинга характеризует поток электромагнитной энер- энергии, а последнее уравнение выражает следующее фундаментальное обстоятельство: изменение электромагнитной энергии внутри какого- либо объема сопровождается вытеканием или втеканием в этот объем .эквивалентного количества энергии. По сути дела, теорема Пойнтинга является необходимым след- следствием закона сохранения энергии и предположения о локализации в пространстве электромагнитной энергии. Если вектор Пойнтинга действительно имеет смысл потока энер- энергии, то он должен быть связан с плотностью энергии соотношением K=vw (ср. стр* 102, где рассмотрена аналогичная проблема в отно- отношении распространения упругих волн в среде). Теория Максвелла позволяет вычислить скорость распространения электромагнитной энергии v. Она оказывается равной *) Напомним, что в математике выражение вида j A dS называется потоком- s вектора Л через поверхность S. 284
Таким образом, в пустоте электромагнитная энергия должна рас- распространяться со скоростью с=3-1010 см/с в блестящем согласии с опытом. Совпадение значений с, определенных из чисто электроди- электродинамических экспериментов (например, измерением взаимодействия двух токов), со значением этой константы, найденным непосред- непосредственным измерением скорости распространения электромагнитных волн, является замечательным и чуть ли не ис- исчерпывающим доказательством справедливости теории Максвелла. В среде скорость распространения электро- электромагнитного поля в I/sjj, меньше. Мы увидим ни- ниже, в каких случаях это соотношение выполня- выполняется, и дадим объяснение отклонениям от него. Обратимся теперь к рассмотрению энергети- энергетических превращений в ограниченных областях пространства, включающих в себя токи прово- проводимости. Пусть в изучаемой нами области находится цилиндрический провод с радиусом г, по которо- которому течет ток с плотностью /. Напряженность маг- магнитного поля на поверхности провода (ср.стр.250) будет равна в системе СГС Н = — rj9 при этом с магнитные силовые линии представляют собой окружности, охва- охватывающие ось тока. При помощи рис. 131 мы убеждаемся в том, что вектор Пойнтинга будет направлен внутрь проводника, так как напряженность поля и вектор тока совпадают по направлению. Что же касается числового значения вектора Пойнтинга, то для него мы получим (на поверхности провода) . я X 1 р,л « Рис. 131. я X 2Х Теперь определим поток вектора Пойнтинга, поступающий в уча- участок провода с длиной /. Этот поток равняется где V — объем участка провода. Но pl% есть не что иное, как джо- улево тепло, выделяющееся в единице объема провода. Мы доказали, таким образом, что поток вектора Пойнтинга поступает в провод и приносит энергию в количестве, как раз равном расходу на джоулево тепло. Откуда же поступает этот поток? Таким же способом можно по- показать, что поток энергии выходит из тех участков провода, где локализованы сторонние силы. Эта картина делает понятным распространение электромагнитной энергии вдоль проводов. Если электрический ток включается в Куйбышеве, а электрическая лампочка загорается в Москве, то 285
энергия доставлена электромагнитными волнами, а не принесена первыми электронами, начавшими движение вдоль провода. Примеры. 1. Рассчитаем порядок напряжения, которое появится в ан- антенне радиоприемника, находящегося на расстоянии /?=100 км от радиостанции, излучающей мощность Р=100 кВт=105 Дж/с. Численное значение вектора Пойнтинга в месте расположения приемной ан- антенны будет В системе СГС векторы Е и Я имеют одинаковые размерности (г1/2см~1/2с-1). Доказывается, что для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, численные значения векторов Е и Я, измеренные в системе СГС, равны между собой: ?=#. Напомним связь между единицами Е и Я в системе СИ и СГС: 1 В/м=4~10~4 ед.СГС; 1 А/м=4.10-з Э. о Тогда численные значения векторов Е и Я в системе СИ будут ?'=4-10~4?; я'=4я. 1о-зя. о Отсюда для электромагнитной волны (?'=#') получим: ?=120я Я. В системе СИ К=ЕН, следовательно^ К=Е2/A20 я), Е=1г\20лК= 1,7- Ю-2 В/м. Это значит, что в приемной антенне длиной 1 м. возникает разность потенциа- потенциалов порядка 20 мВ. 2. Сравним полученное значение К с солнечной постоянной — энергией, получаемой Землей от Солнца на 1 см2 за 1 с, за вычетом потерь в атмосфере: 2= 1500 Вт/м*. § 119. Импульс и давление электромагнитного поля Согласно теории относительности (см. стр. 384) материя, обла- обладающая энергией, обладает и массой. Соотношение между массой и энергией дается законом Е—тс2, где с — скорость распростра- распространения света. Как нам уже известно, энергию электромагнитного поля можно рассматривать распределенной в пространстве с опре- определенной плотностью: Таким образом, единица объема, занятая электромагнитным полем, обладает массой m—wlc2. Движущаяся материя, обладающая массой, должна обладать и импульсом, равным произведению массы на скорость движения. Отсюда вывод: единица объема электромагнитного поля обладает импульсом W Это выражение уместно назвать плотностью импульса. 2В6
Как было сказано ранее (стр. 284), вектор Пойнтинга, имеющий смысл потока энергии, должен быть связан с плотностью энергии соотношением K=wc. Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что плотность импульса и вектор Пойнтинга связаны посто- постоянным коэффициентом пропорциональности — квадратом скорости распространения волны с2, а именно, плотность импульса равна K/ g Поток электромагнитной материи, обладающий массой и импуль- импульсом, должен оказывать давление на поставленную на его пути пло- площадку. Величийа этого давления может быть выражена через плот- плотность импульса. Она может быть различной в зависимости от того, поглощается энергия волны площадкой или отражается. Разумеется, возможны и промежуточные случаи. За время At к площадке 5 подходит электромагнитное поле, за- заключавшееся в объеме ScAt. Если происходит полное поглощение, то за это время пропадает импульс gScAt. Но частное от деления из- изменения импульса на время есть сила, а сила, поделенная на пло- площадь,— это давление. Таким образом, давление, испытываемое площадкой, поглощающей электромагнитную энергию, равно про- произведению плотности импульса на скорость света, p=gc, или, так как g=w/ct давление равно плотности энергии w. Теперь рассмотрим идеально упругую встречу поля с площадкой. Если вся энергия электромагнитного поля (волны) отражается, то изменение импульса будет в два раза большим: импульс изменил свое направление на обратное. Совершенно таким же образом и в чисто механических случаях (стр. 57) сила упругого удара в два раза больше силы неупругого удара. Итак, давление, оказываемое волной на идеально отражающую пластинку, будет равно р = 2gc, или р = 2w. Теперь легко получим формулу для общего случая. Если пла- пластинка отражает часть энергии и коэффициент отражения равен р, то давление электромагнитного потока (волны) представится форму- формулой p=w(l—р) + 2рг^ = A +p)w. Опытная проверка этих формул, произведенная для света в 1900 г. П. Н. Лебедевым, сыграла большую роль в установлении наших взглядов на природу электромагнитных волн. Давление света исключительно мало, даже если пользоваться самыми силь- сильными источниками. Например, давление света на зеркало, распо- расположенное на расстоянии 1 м от «лампы» в миллион свечей, будет величиной порядка 10~4 дин/см2. Именно поэтому работы Лебедева по измерению светового давления с точностью порядка 1—2% рас- рассматриваются как вершина экспериментального искусства. Основной частью прибора Лебедева являлся легкий подвес, на котором были прикреплены крылышки. Одно из них было сделано предельно поглощающим свет, а другое — отражающим. Свет 287
направлялся то на одно, то на другое крылышко и сравнивались углы закручивания, по которым можно было вычислить величину силы. Большие экспериментальные трудности, преодоленные в этом опыте, состояли, прежде всего, в учете того, как действует на кры- крылышки нагрев остатков газа в сосуде, в котором помещался подвес. Теория переменного электромагнитного поля* привела, как мы сейчас видели, к представлениям о поле как о физической реально- реальности (электромагнитной материи). Огромное значение опытов Лебе- Лебедева заключается в непосредственном доказательстве справедли- справедливости этих представлений. Электромагнитное поле обладает энергией и импульсом, оно пе- перемещается в пространстве с определенной скоростью, давит на препятствия. Позже мы узнаем (стр. 546), что электромагнитное поле может превращаться в вещество. Вся эта совокупность фактов неоспоримо доказывает физическую реальность электромагнитного поля. ГЛАВА 18 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ § 120. Элементарный «диполь Электромагнитное излучение возникает во всех случаях,, когда в пространстве создается переменное электрохмагнитное поле. В свою очередь электромагнитное поле будет изменяться во времени, если меняется распределение электрического заряда в системе или яв- является переменной плотность электрического тока. Таким обра- образом, источником электромагнитного излучения являются всякого рода переменные токи и пульсирующие электрические заряды. Простейшими системами, создающими электромагнитное поле, являются магнитный и электрический диполи (и прежде всего вто- второй из них) с переменным моментом. Таким электрическим диполем является система, состоящая из неподвижного положительного заряда и совершающего около него колебание отрицательного за- заряда. Если это колебание происходит по гармоническому закону, то дипольный момент будет также меняться по этому закону, т, е. представится формулой р=/?0 cos co^. Значение этой простой моде- модели излучателя весьма велико по той причине, что множество реаль- реальных систем ведут себя с хорошей точностью как идеальные диполи. Мы должны напомнить содержание § 93, где было указано, что электрические свойства любой системы, у которой «центры тяжести» положительного и отрицательного заряда не совпадают, могут быть описаны, если указан дипольный момент такой системы. А электри- электрически нейтральные системы, у которых способны смещаться друг по отношению к другу доложительные и отрицательные заряды, со- составляют основную долю излучателей электромагнитной энергии, прежде всего потому, что под эту рубрику попадают молекуляр- молекулярные и атомные системы. Электрон, вращающийся около ядра атома,
представляет собой систему с переменным дипольным, моментом; нейтральная молекула, атомы которой находятся в состоянии коле- колебания, также является зачастую системой с переменным диполь- дипольным моментом. Однако этим еще не исчерпывается наш интерес к электрическому диполю. В следующем параграфе будет показано, что радиотехническая линейная антенна может быть уподоблена диполю (аналогичные термины — осциллятор, вибратор — нес- несколько шире точного термина «диполь»). Что касается магнитных диполей, то мы сталкиваемся с ними тогда, когда распределение электрического заряда, а следователь- следовательно, и дипольный момент системы остаются неизменными, но в то же время плотность тока, а значит, и магнитный момент системы ме- меняются во времени. Основным примером является рамка, по которой идет переменный электрический ток. Если ток замкнут, то электри- электрические заряды нигде не скапливаются и не рассасываются, диполь- дипольный электрический момент такой рамки равен нулю и неизменен. В то же время магнитное поле рамки, связанное со значением ее магнитного момента, будет меняться и, следовательно, приведет к излучению электромагнитной энергии. Отметим такой результат теории: если система обладает одновременно и электрическим и маг- магнитным моментом, то обычно излучение магнитного диполя на боль- больших расстояниях от источника много меньше, чем излучение элек- электрического диполя. Если диполь излучает, отдавая при этом свою внутреннюю энер- энергию, или, как это имеет место в антенне, превращая в энергию из- излучения энергию сторонних источников, то такой диполь можно назвать первичным излучателем. Однако, кроме подобных случаев, значительный интерес представляет и вторичное излучение, т. е. такое явление, при котором диполь приходит в колебание благодаря действию электромагнитной волны и становится излучателем лишь по этой причине. Вторичные колебания будут особо интенсивными в том случае, если первичная волна имеет ту же частоту, что и соб- собственная частота диполя (резонанс). Приведение диполя в колебательное состояние можно представ- представлять себе как механический процесс — раскачка зарядов внешней силой, равной произведению заряда на напряженность. В то же время для приемной антенны процесс создания в ней вторичных ко- колебаний можно рассматривать как индукционный процесс наведе- наведения переменного электрического тока переменным магнитным полем. С той точностью, с которой антенну можно подменять диполем, оба рассмотрения совпадают. § 121. Антенна как электрический диполь Между состоянием колебания колебательного контура (стр. 280) и колебанием тока в антенне имеется существенное различие. Говоря об электрическом колебании контура, мы говорили об определенной мгновенной силе тока, об определенном мгновенном заряде на 10 А. И. Китайгородский 289
обкладках конденсатора. Молчаливо подразумевалось, чдо сила тока во всех участках цепи одинакова, а электрический заряд сосредоточен на обкладках конденсатора и, следовательно, в данное мгновение может иметь лишь единственное значение. При переходе к антенне мы уже теряем право рассматривать электрическое колебание так, как мы изучали в свое время колеба- колебание маятника. Тем не менее колебание электрического тока в антенне имеет механическую аналогию: оно во многом похоже на колебание стержня или струны, т. е. представляет собой стоячую волну. *i* Рис. 132. Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать, дока- доказав, что в антенне, находящейся под током, имеются узлы и пуч- пучности тока. Индикатором тока может служить маленькая лампочка накаливания (рис. 132). Мы убедимся, что в середине свободного куска провода, в котором возбуждены электромагнитные колеба- колебания, имеет место пучность тока проводимости, а на концах находятся узлы тока проводимости. В таком проводе в каждое мгновение ток идет во всех частях провода в одну сторону. В некоторое мгновение ток во всех точках провода обращается в нуль, а затем начинает течь в обратную сторону. Соответственно меняются электрические за- заряды, которые непрерывно распределены вдоль провода. Очевидно, пока ток идет в одном направлении, происходит скопление положи- положительного заряда на одной половине провода и образование отрица- отрицательного заряда на другой. В момент обращения тока в нуль нд концах скапливаются максимальные заряды противоположных зна- знаков. Далее ток начинает идти в обратную сторону, заряды начинают уменьшаться и обращаются в нуль в тот момент, когда сила тока во всех точках провода максимальна. После этого начинается переза- перезарядка, на половинах провода начинают скапливаться заряды обрат- обратного знака и т. д. Мы обращаем внимание на то, что в каждый момент времени на двух пЬловинах стержня имеются заряды противоположного знака. Два заряда, равйые по величине и противоположные по 290 /
знаку, расположенные на некотором расстоянии друг от друга,— это электрический диполь. Можно поэтому сказать, что электриче- электрические колебания в антенне весьма похожи на колебание электри- электрического диполя, при котором дипольный момент меняется от максимального положительного значения к нулю, затем от нуля воз- возрастает в противоположном направлении, затем опять уменьша- уменьшается и т. д. Отличие антенны от диполя обнаруживается только на близких расстояниях от нее. На расстояниях же в сотни раз больших разме- размеров антенны поле, создаваемое антенной, практически не отличимо от поля, создаваемого идеальным электрическим диполем. Вернемся еще раз к аналогии антенны со стержнем. Собственные частоты электрических колебаний, которые могут существовать в свободной незаземленной антенне, не ограничиваются простейшим случаем, когда на длине антенны укладывается полволны (впрочем, в технике УКВ такой полуволновый диполь в основном и приме- применяется). Между длиной волны и длиной антенны имеется понятная, X с точки зрения изложенного на стр. 116, связь: L = /гу . Такие дли- длины волн X антенна с длиной L способна излучать и принимать. Способы изменения собственных частот антенны хорошо извест- известны радиотехникам. Они сводятся к подключению к антенне катушки самоиндукции или конденсатора. Меняя индуктивность или емкость, можно менять собственные частоты антенны в широких пределах. § 122. Излучение диполя Излучение диполя можно исследовать экспериментально. Резуль- Результат полностью совпадает с теоретическим рассмотрением, которое было впервые проведено Герцем. Мы обсудим лишь результаты опы- опытов и теоретических расчетов, при этом ограничимся изучением поля диполя вдали от него, в так называемой волновой зоне, т. е. на расстояниях, значительно больших размера диполя. По каким бы сложным законам ни колебался диполь, всегда можно разложить это колебание по теореме Фурье в спектр, т. е. представить его в виде суммы гармонических колебаний с частотами со, 2со, 3(о и т. д. Поэтому вполне достаточно рассмотреть электро- электромагнитное поле диполя, момент которого меняется по гармониче- гармоническому закону р=ро cos со^. Расчет и опыт показывают, что поле такой системы представляет собой шаровую волну, распространяющуюся со скоростью v = с/Уер. Электрический и магнитный векторы волны расположены под углом 90° друг к другу и под таким же углом к направлению распростра- распространения. Последнее обстоятельство следует, впрочем, из теоремы Пойнтинга. и Электрический и магнитный векторы меняются в волновой зоне в о^ной фазе, совершая в каждой точке пространства гармоническое ю* 291
колебание. Между числовыми значениями векторов напряженности имеется простая связь, а именно: Отсюда следует такое представление вектора Пойнтинга: Таким образом, интенсивность волны, т. е. энергия, приходящаяся на единицу площади в единицу времени, пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля. Излучение диполя не одинаково в разные стороны. Амплитуда, а вместе с ней и интенсивность зависят от угла наклона линии рас- распространения к оси диполя. Излучение максимально в направлении, перпендикулярном к оси диполя, и равно нулю в направлении ди- польного момента. Теория дает для напряженности электрического поля следующее выражение: где множитель перед косинусом является амплитудой волны векто- вектора Е. Угол G есть угол между направлением распространения и осью диполя. Выражение для магнитного по- поля отличается от написанного лишь несущест- несущественным множителем. Зависимость интенсивности излучения от направления изображают иногда диаграммой, подобной приведенной на рис. 133. Здесь ра- радиус-вектор, проведенный в интересующем нас направлении, пересекает кривую интенсивно- л Рис. 134. сти. Отрезок, который образуется при этом пересечении, дает в из- известном масштабе интенсивность излучения. Весьма важным результатом является пропорциональность ам- амплитуды квадрату частоты излучения. Очевидно, что интенсивность 292
излучения диполя будет исключительно резко зависеть от частоты, а именно, пропорционально четвертой степени частоты: Так, при уменьшении частоты вдвое интенсивность упадет в 16 раз. Теория привела к важному заключению о поперечности электро- электромагнитной волны. Это ясно из рис. 134. Электрический и магнитный векторы перпендикулярны к направ- лению распространения. Благодаря этому при вращении около направ- направления распространения электромаг- электромагнитная волна меняет свои свойства. Подобные свойства носят название поляр изационных. Картина силовых линий излучаю- излучающего диполя не представляет особого интереса. На рис. 135 приведены век- $У~^ r Jfflll 4iffH торы напряженности электрического 1\\ mm ill III поля для некоторых точек простран- пространства. Поле — вихревое, и силовые ли- линии замкнуты. При излучении замкну- замкнутые линии движутся, расширяясь в сторону от излучателя. Что касается магнитных силовых линий, то они рредставляют собой окружности, охва- охватывающие ось диполя. ^ На больших расстояниях от поля р 13 шаровая волна практически не отли- отличима от плоской. Расположение векторов Е> Н и К в плоской волне и числовые соотношения, приведенные выше, остаются, разумеет- разумеется, такими же. § 123. Электромагнитный спектр Теория показывает, что электромагнитное излучение образуется тогда, когда электрические заряды движутся неравномерно, ускорен- ускоренно. Равномерно движущийся (свободный) поток электрических за- зарядов не излучает. Нет излучения электромагнитного поля и у зарядов, движущихся под действием постоянной силы, например у зарядов, описывающих окружность в магнитном поле. В колебательных движениях ускорение непрерывно меняется, поэтому колебания электрических зарядов дают электромагнитное излучение. Кроме того, электромагнитное излучение произойдет при резком неравномерном торможении зарядов, например при попада- попадании пучка электронов на препятствие (образование рентгеновских лу^ей). В хаотическом тепловом движении частиц также рождается эдектррмагнитное излучение (тепловое излучение). Пульсации 293
ядерного заряда приводят к созданию электромагнитного излучения, Известного под названием у-лучей. Ультрафиолетовые лучи и види- видимый свет производятся#движением атомных электронов. Колебания электрического заряда в космических масштабах приводят к радио- радиоизлучению небесных тел. Наряду с естественными процессами, в результате которых со- создается электромагнитное излучение самых различных свойств, име- имеются разнообразные экспериментальные возможности по созданию электромагнитного излучения. Основной характеристикой электромагнитного излучения яв- является его частота (если речь идет о гармоническом колебании) или полоса частот. Д1ожно, разумеется, при помощи соотношения c~vk пересчитать частоту излучения на длину электромагнитной волны в пустоте. Интенсивность излучения пропорциональна четвертой степени частоты. Поэтому излучение очень низких частот с длинами волн порядка сотен километров не прослеживается. Практический радио- радиодиапазон начинается, как известно, с длин волн порядка 1—2 км, что соответствует частотам порядка 150 кГц; длины волн порядка 200 м относят к среднему диапазону, десятки метров — это уже ко- короткие волны. Ультракороткие волны (УКВ) выводят нас из обыч- обычного радиодиапазона; длины волн порядка нескольких метров и до- долей метра вплоть до сантиметра (т. е. частоты порядка 1010— 1011 Мгц) употребляются в телевидении и радиолокации. Еще более короткие электромагнитные волны были получены в 1924 г. Глаголевой-Аркадьевой. Она использовала в качестве гене- генератора электрические искры, проскакивающие между взвешенными в масле железными опилками, и получила волны длиной до 0,1 мм. Здесь уже достигается перекрывание с длинами волн теплового из- излучения. Участок видимого света весьма мал: он занимает всего лишь длины волн от 7,6-10~5 см до 4-10~5 см. Далее следуют ультрафио- ультрафиолетовые лучи, невидимые глазом, но весьма хорошо фиксируемые физическими приборами. Это — длина волн от 4-10~5 см до 10~5 см. За ультрафиолетовыми следуют рентгеновские лучи. Их длины волн — от 10~6 см до 10~10 см. Чем меньше длина волны, тем сла- слабее рентгеновские лучи поглощаются веществами. Наиболее коротко- коротковолновое и проникающее электромагнитное излучение носит назва- название 7-лучей (длины волн от 10"9 см и ниже). Характеристика любого вида из перечисленных электромагнит- электромагнитных излучений будет исчерпывающей, если будут произведены сле- следующие измерения. Прежде всего, тем или иным методом электро- электромагнитное излучение должно быть разложено в спектр. В случае света, ультрафиолетовых лучей и инфракрасного излучения это может быть сделано с помощью преломления призмой или пропу- пропусканием излучения через .дифракционную решетку (см. ниже). В случае рентгеновских и гамма-лучей разложение в спектр дости- достигается отражением от кристалла (см. стр. 351). Волны радиотехни- 294
ческого диапазона раскладываются в спектр с использованием явления резонанса. Полученный спектр излучения может быть сплошным или линей- линейчатым, т. е. может заполнять непрерывно некоторую полосу частот, а может также состоять из отдельных резких линий, соответствую- соответствующих крайне узкому частотному интервалу. В первом случае для ха- характеристики спектра надо задать кривую интенсивности в функции частоты (длины волны), во втором случае спектр будет описан за- заданием всех имеющихся в нем линий с указанием их частот и ин- тенсивностей. Опыт показывает, что электромагнитное излучение заданной ча- частоты и интенсивности может отличаться своим поляризационным состоянием. Наряду с волнами, у которых электрический вектор ко- колеблется вдоль определенной линии (линейно поляризованные вол- волны), приходится сталкиваться с таким излучением, в котором ли- линейно поляризованные волны, повернутые друг по отношению к другу около оси луча, наложены друг на друга. При исчерпываю- исчерпывающей характеристике излучения надо указывать его поляризацию. Следует обратить внимание, что даже для самых медленных элек- электромагнитных колебаний мы лишены возможности измерять элек- электрические и магнитные векторы волны. Нарисованные выше кар- картины поля имеют теоретический характер. Тем не менее в их истин- истинности не приходится сомневаться, имея в виду неразрывность и це- целостность всей электромагнитной теории. Утверждение о принадлежности того или иного вида излучения к электромагнитным волнам всегда носит косвенный характер. Од- Однако число следствий, вытекающих из гипотез, столь огромно и они находятся между собой в таком спаянном согласии, что гипотеза об электромагнитном спектре давно приобрела все черты непосред- непосредственной реальности. § 124. Квантовая природа излучения Мы уже говорили (на стр. 136), что изучение атомных явлений привело к открытию закона, согласно которому внутренняя энергия системы не может иметь произвольного значения, а характеризу- характеризуется системой энергетических уровней. Излучение энергии связано с переходом системы с более высокого на более низкий уровень. По- Поглощение энергии связано с подъемом на более высокий уровень. Это относится в первую очередь к электромагнитному излучению. Квантовая природа субмикроскопических явлений была открыта ис- исследованием ряда противоречивых фактов, найденных в отношении электромагнитного излучения еще в начале нашего века. Таким образом, испускание диполем электромагнитного излуче- излучения частоты v происходит не непрерывно, а квантами (порциями). Величина энергии кванта равна hv, где h — постоянная Планка, равная 6,62-107 эрг-с-6,62-10~34 Дж-с. 295
Квантовая природа электромагнитных волн проявляется либо в излучении, либо в поглощении, так как и поглощение может про- происходить лишь квантами энергии. Если величина кванта энергии равняется разности каких-либо энергетических уровней системы, на которую падает волна, то процесс поглощения будет весьма от- отчетливым. Такое поглощение можно назвать резонансным. С точки зрения классической физики такое положение имеет место тогда, когда частота внешнего поля равна частоте колебаний частиц, из которых состоит система. Если величина кванта электромагнитной волны меньше разности энергетических уровней, то поглощение не может иметь места и такая волна будет свободно проходить через систему. Вторичное излучение системы описывается на квантовом языке следующим образом. Система поглощает квант электромагнитной энергии и поднимается на более высокий энергетический уровень. На этом уровне система некоторое время существует, а затем воз- возвращается на прежний энергетический уровень, отдавая при этом энергию также в виде кванта. Как это непосредственно очевидно из формулы кванта энергии &v, квантовые явления обнаруживаются тем отчетливее, чем больше частота излучения. Тем не менее в настоящее время обнаружена квантовая природа излучения практически всех участков электро- электромагнитного спектра. Оказывается возможным обнаружить кванто- квантовое поглощение радиоволн длиной в несколько сотен метров (радио- (радиоспектроскопия, см. стр. 495). Возникновение того или иного электромагнитного спектра излу- излучения связано, прежде всего, с расположением энергетических уров- уровней у такой системы и, далее,, зависит от вероятностей перехода системы с я-го уровня на m-й. Если бы эти вероятности были из- известны заранее вместе с картиной энергетических уровней, то пред- предсказание спектра, излучаемого системой, было бы простой задачей. Мы еще не раз вернемся к проблемам излучения и поглощения электромагнитной энергии, а сейчас займемся вопросами распро- распространения электромагнитных волн, в которых квантовая природа из- излучения не проявляет себя, если явление не сопровождается погло- поглощением и излучением энергии. ГЛАВА 19 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН § 125. Дисперсия и поглощение В однородной среде электромагнитная волна распространяется с неизменной скоростью и в неизменном направлении. Скорость вол- волны в пустоте максимальна. Скорость волны в среде равна 296
или, так как в большинстве интересных случаев Отношение скорости распространения волн в пустоте к скорости распространения в среде носит название показателя преломления. Таким образом, электромагнитная теория приводит к равенству п = У г, которое неплохо выполняется для очень длинных волн. С изменением длины волны показатель преломления меняется. Это явление, называемое дисперсией, чуждо электромагнитной теории Максвелла, полагающей среду непрерывной и не учитывающей взаимодействия излучения с веществом. Как бы то ни было, равенство я — |/~е Для быстрых электромагнитных колебаний не име- имеет места. Распространяясь по веществу, электромагнитная волна приводит в колебательное состояние электрические заряды молекул. Так как электронное облако легко подвижно по сравнению с тяжелыми яд- ядрами, то электрическое колебание состоит в смещении центра тяже- тяжести электронов по отношению к неподвижному центру тяжести поло- положительных зарядов атомных ядер. Обозначая через т и е заряд и мдссу колеблющихся электронов, можно записать уравнение колеба- колебания в форме тх = — kx— еЕ0 cos со/ или, деля на т и пользуясь формулой собственной частоты колеба- колебания (dl=k/m, х~ —(й!х Еп cos a)t. о т о Мы приравняли произведение массы на ускорение двум силам: воз- возвращающей силе—kx и внешней периодически меняющейся силе еЕ0 cos Ы. Это — уравнение вынужденных гармонических колеба- колебаний. Оно удовлетворяется, если положить = Х0 COS О)/. После подстановки в уравнение найдем Дипольный момент молекулы будет равен —; @0—ОТ 297
Вектор поляризации — дипольный момент в единице объема — будет в N раз больше, если N — число молекул в единице объема: Р = (Do— < Е. Вспоминая формулу, связывающую поляризацию с напряжен- напряженностью, Р= — Е An * мы видим, что выразили диэлектрическую проницаемость среды че- через параметры молекулярного диполя е=1 D—и2 Зпеория. тешват Опыт Показатель преломления среды должен быть равен корню квад- квадратному из этого выражения. Общий характер зависимости хорошо подтверждается опытом, как это показывает рис. 136, на котором сравниваются кривые по- показателя преломления в функции частоты, рассчи- рассчитанные по приведенной фор- формуле и измеренные для конкретного вещества *). В чем же состоит основной результат опытов и расчета? Показатель преломления вообще растет с увеличени- увеличением частоты во всем интерва- интервале частот, за исключением области, непосредственно примыкающей к частоте ре- резонансного поглощения.Эта область носит название об- области аномальной диспер- дисперсии, У вещества может быть не одна, а несколько резо- резонансных частот, соответствующих разностям его энергетических уровней. Тогда и областей аномальной дисперсии будет несколько. Итак, скорость распространения волны, т. е. показатель пре- преломления, существенным образом зависит от соотношения частоты волны и собственных частот молекулярных диполей. Разумеется, от этих же причин зависит степень поглощения элек- электромагнитной волны веществом. Повторяя рассуждения, приведен- *) Более точная теория дает совпадение с'ойь^том'и вЪбласти, близкой к сй0. 298
ные на стр. 104 для упругих волн, мы придем к совершенно анало- аналогичной формуле позволяющей оценить отношение прошедшей интенсивности излу- излучения / к падающей /0, если известны коэффициент поглощения jli и толщина слоя d. Напоминаем, что коэффициент поглощения равен величине, обратной толщине слоя, ослабляющего интенсивность из- излучения в е раз. Благодаря сложной системе энергетических уров- уровней, свойственной веществу, зависимость коэффициента поглощения от частоты падающей волны может быть причудливой и «скачущей». До сих пор речь шла о диэлектрических средах, в состав которых входят лишь связанные электрические заряды. Иные закономерно- закономерности имеют место при распространении электромагнитной волны в такой среде, где в заметном числе присутствуют свободные электро- электроны. К таким средам относятся металлы, а также подобный газу кол- коллектив свободных зарядов — ионосфера. Применяя изложенную теорию, мы должны положить собственную частоту соо свободного заряда в формуле для е равной нулю (частота пропорциональна же- жесткости связи). Тогда диэлектрический коэффициент представится формулой При достаточно больших значениях со показатель преломления п = У& стремится к единице. Наоборот, при со2<4яЛ^е2/т показа- показатель преломления становится мнимым. Последнее означает, что при указанных значениях частоты волны не могут проникать в металл или ионосферу. Напротив, при больших частотах волны «не замечают» среды, в которой имеются электроны. Эти предсказания хорошо оправдываются для радиоволн. Действительно, длинные и средние волны отражаются от ионосферы и не проникают в нее, короткие волны способны проникать в ионосферу, а УКВ проходят через нее беспрепятственно. Приведенные соображения крайне упрощены, и не приходится удивляться, что они не оправдываются для оптического диапазона, где значения показателя преломления могут быть и близки к нулю и много больше единицы. § 126. Поведение электромагнитной волны на границе двух сред Также как и упругая волна, электромагнитная волна отражается и преломляется, если ка ее пути встречается граница раздела двух сред. Основные закономерности этих явлений поддаются теоретиче- теоретическому анализу с помощью пограничных условий для векторов элек- электромагнитного поля. Эти условия, рассмотренные на стр. 231 и 261, являются в свою очередь следствиями уравнений Максвелла. 299
Поскольку соотношения между полями с обеих сторон от границы не произвольны, расщепление волны на отраженную и проходящую становится тоже не произвольным. Два соотношения являются решающими: тангенциальные со- составляющие электрического и магнитного векторов с обеих сторон границы раздела должны быть одинаковыми. Посмотрим, какие ограничения будут наложены этими соотноше- соотношениями для простейшего случая нормального падения. Этот случай пЬющ ЯЬлна Рис. 137. изображен на рис. 137. В плоскости чертежа пусть лежат электри- электрические векторы, тогда магнитные будут расположены перпендику- перпендикулярно к плоскости чертежа. Мы знаем, что с направлением распро- распространения электрический и магнитный векторы должны образовы- образовывать правовинтовую систему: вектор Е поворачивается по кратчай- кратчайшему пути к вектору Н против часовой стрелки, если смотреть против направления распространения. Мы видим, что удовлетворить этому непременному следствию из электромагнитной теории можно двумя способами: изменить на обратное направление вектора Н отражен- отраженной волны или сделать то же самое для вектора Е. Таким образом, либо электрический, либо магнитный векторы терпят скачок фазы на 180° при отражении. Решение вопроса о том, какой из двух случаев имеет место, приходит при рассмотрении косого падения. Оказывается, что оба случая имеют место: один при переходе волны в среду с большим 8, другой — в среду с меньшим е. При нормальном падении дальнейший расчет не зависит от того, какую схему мы изберем. Пограничные условия запишем в виде "пад~ тр i "пр* Но между числовыми значениями векторов Н и Е имеется связь Следовательно, мы получим два уравнения F _ F 4- F •'-'лад — ^отр i ^пр 300
из которых можно найти отношения Еотр/Епа}1 и Env/EnaJl. Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды и по- показателю преломления (ср. стр. 292), то для коэффициентов отра- отражения и прохождения получим, вводя относительный показатель n=n2/tii, следующие простые формулы: коэффициент отражения = ( —212 ) = \п~~ > у Ч^пад/ (П~\~Ч / Е \2 4я коэффициент прохождения = ( -^ J = ¦ ^ а-. Ч^пад/ V ~Г / Аналогия с упругими волнами (ср. стр. 112) весьма велика. Подобным вычислением, проделанным для случая произволь- произвольного наклона луча и любого поляризационного состояния волны, получены все общие результаты, к изложению которых мы и пере- переходим. Все они весьма удовлетвори- удовлетворительно совпадают с экспериментом. Так как сумма коэффициентов от- отражения и прохождения равна едини- единице, то результаты теории полностью описываются рисунком 138, на кото- котором интенсивность отраженной волны представлена как функция угла падения. Расчет и опыт показывают, что ха- характер отражения существенным об- образом зависит от поляризационного состояния падающей волны по отно- отношению к плоскости падения. Вектор напряженности электрического поля Е «важнее» вектора Н хотя бы в том смысле, что фотохимическим дейст- действием обладает вектор Е. Поэтому принято, описывая поляризационное состояние волны, описывать его по отношению к электрическому вектору. Положение вектора Н всегда легко найдется, если только известно направление распро- распространения. Итак, оказывается, что коэффициент отражения раз- различен для двух волн, падающих под одним и тем же углом ср на одну и ту же границу раздела, если в одном случае электрический вектор лежит в плоскости падения, а в другом случае перпендику- перпендикулярен к ней. Кривая / на рисунке соответствует случаю, когда вектор Е перпендикулярен к плоскости падения; кривая /// соот- соответствует вектору ?, лежащему в плоскости падения; кривая // — случаю, когда падающая волна не поляризована. 301 €° 3J0a 40° 60" Рис. 138. 80° f
В первом случае коэффициент отражения меняется монотонно; при нормальном падении отражение мало — коэффициент порядка 5%, при увеличении угла коэффициент отражения растет и при этом тем быстрее, чем ближе к положению скольжения. Совсем иначе ведет себя луч, электрический вектор которого лежит в плоскости падения. Его интенсивность отражения падает и доходит до нуля при угле <рБ, удовлетворяющем следующему интересному равенству: /z=tg<pB. Наш рисунок построен для значения л=1,52 (переход из воздуха в стекло), в соответствии с чем угол обращения коэффициента отражения в нуль равен 56° 40'. Далее коэффициент отражения возрастает к единице. Чем же вызвано отсутствие отражения именно для этого случая, чем он специфичен? Очевидно, мы должны искать ответ в тех же пограничных условиях, из которых следует вся теория явления. Предоставляем читателю'произвести построение векторов поля для этого угла и доказать требуемое. У читателя может возникнуть вопрос. Если пограничные условия позволяют понять все явления на границе двух сред, то как быть с полным внутренним отражением, когда поле имеется в одной среде (ЕиФ0), в то время как в другой среде поля нет. Вопрос вполне законный, и теория дает на него ответ. Оказывается, что в усло- условиях полного внутреннего отражения поле проникает во вторую среду, но не распространяется в глубь среды. Равенство Elt=E2t не нарушается. Существует ряд опытов, доказывающих проникновение во вторую среду световых волн в условиях полного внутреннего отражения. Упомянем лишь простой по идее опыт, описанный Мандельштамом. Стеклянная призма погружается в раствор флуоресцина — веще- вещества, обладающего способностью давать характерное свечение под действием света. Луч света заставляют падать на призму так, чтобы происходило полное отражение с внутренней стороны грани приз- призмы, опущенной в раствор. Флуоресцин в этом опыте интенсивно светится (в исключительно тонком слое, примыкающем к стеклу), доказывая этим проникновение электромагнитной волны в раствор. § 127. Естественный и поляризованный свет. Поляризация при отражении Установим стеклянную пластинку под углом ц>в к световому лучу. Луч отразится. Начнем поворачивать луч около его оси (фактически мы будем поворачивать источник света около оси, вдоль которой идет луч),, рассчитывая на то, что рано или поздно отраженный луч пропадет. Однако, если мы воспользуемся для опы- опыта лучом естественного света, то наши ожидания не оправдываются: отраженный луч одинаковой интенсивности будет возникать при любом азимутальном положении падающего луча. Было бы ошибоч- ошибочным делать из этого вывод об опровержении только что изложенной теории. Этим опытом доказано лишь одно: поляризационное сос- 302
тояние естественного луча более сложно, чем это дается схемой двух векторов Е и //, имеющих фиксированное направление колебания. Продолжая этот же опыт, заставим падать уже отраженный под углом фв луч на вторую такую же пластинку, установленную под тем же углом ф# к лучу, отраженному от первой пластинки. Начнем теперь вращать луч около самого себя. Так как, разумеется, важно лишь относительное положение луча и зеркала, то проще вращать вторую стеклянную пластинку. Следя за двукратно отраженным лу- лучом, мы обнаружим, что отражаться он будет по-разному, и без труда найдем такое положение, при котором отражение отсутствует. Очевидно, это такое взаимное положение луча и зеркала, при кото- котором электрический вектор луча лег в плоскость падения. Мы можем сделать отсюда вывод: отражение от первого зеркала привело ес- естественный луч в поляризованное состояние, при котором электриче- электрический вектор имеет одно-единственное выделенное направление коле- колебания. В отличие от естественных лучей лучи с определенным направ- направлением колебания векторов носят название поляризованных. Как же мы должны представить себе поляризационное состояние естест- естественного луча? Приходится допустить, что в естественной электро- электромагнитной волне равномерно представлены все возможные направ- направления колебания электрического вектора. Мы подчеркиваем слово «возможные», так как электромагнитная теория говорит о попереч- ности электрического вектора. Следовательно, естественная непо- ляризованная волна является, по сути дела, наложением бесчислен- бесчисленного количества линейно поляризованных волн с равномерно пред- представленными направлениями колебания векторов. Все поперечные направления являются направлениями колебания электрических векторов естественного луча света. Отражение от двух последовательных зеркал, установленных под углами фв, является одним из возможных способов поляризации световых лучей. Электрические векторы естественного света можно всегда раз- разложить по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Если исследуется отражение, то удобнее всего разложить векторы на составляющую, лежащую вдоль плоскости падения, и другую, к ней перпендикулярную. Поведение естественного луча эквивалентно поведению двух таких волн, если считать, что разность фаз между ними меняется по закону случая. Поэтому, когда говорят о поля- поляризации света, употребляют выражения: одна из составляющих не прошла, или прошла в такой-то доле. Если при отражении света или при преломлении одна из составляющих проходит в большей степени, чем другая, а именно это и имеет место при отражении и преломлении, как показал рисунок кривых отражения, то проис- происходит частичная поляризация света. Этим явлением можно воспользоваться для того, чтобы поляри- поляризовать какой-либо луч полностью. Пользоваться двумя зеркалами, расположенными под углами фв к лучам, неудобно. Гораздо 303
удобнее пропустить луч света через стопу стеклянных пластинок. Каждое преломление будет на известный процент увеличивать долю одной из компонент в луче. Таким образом может быть осуще- осуществлена практически полная поляризация. Естественное состояние светового луча — неполяризованное. Отсюда не надо делать вывод, что каждый луч, который не подвер- подвергался отражению или преломлению, является неполяризованным. Это прежде всего относится к радиоволнам. Короткие электромаг- электромагнитные волны, на которых ведется телевизионная передача, сильно поляризованы. Именно это обстоятельство позволяет по расположе- расположению телевизионной антенны определить, в каком направлении нахо- находится передающий центр. Электромагнитная волна, несущая теле- телевизионную передачу, сильно поляризована; антенну надо устанав- устанавливать так, чтобы направление колебания электрического вектора совпало с направлением антенны. § 128. Распространение световых волн в среде с градиентом показателя преломления Различие в плотности влечет за собой, как правило, различие в показателях преломления. Возникает естественный вопрос о ха- характере распространения волны в такой среде, где значения коэффи- коэффициента преломления меняются от точки к точке (т. е. градиент по- показателя преломления отличен от нуля). Различие в показателях преломления означает разницу в скоро- скоростях продвижения фронта волны. Отсюда следует, что фронт волны по мере продвижения в такой среде будет непрерывно деформиро- деформироваться. Если мы построим нормали к фронту волны, то получим кривую линию. Можно сказать, что свет распространяется в неодно- неоднородной среде не по прямым, а по кривым линиям. Мы уже обсуждали в свое время аналогичную проблему для зву- звуковых волн (стр. 129). Закономерности здесь те же самые и ход лучей управляется тем же принципом Ферма. При распространении в неограниченной среде с градиентом показателя преломления луч света будет распространяться так, чтобы пройти расстояние между двумя точками за минимальное время. Поэтому луч света будет загибаться так, чтобы сократить свой путь в участках пространства, где показатель преломления велик, и, наоборот, будет «стараться» проделать как можно большую часть пути в областях пространства с малым показателем преломления. Наиболее известным примером распространения света в среде с градиентом п является прохождение светового луча через земную атмосферу. Плотность и показатель преломления воздуха падают с эысотой. Это приводит к явлению астрономической рефракции: луч, идущий от какой-либо звезды к Земле и входящий в атмосферу не по радиусу, а под углом, будет изгибаться и видимое положение звезды будет смещено по отношению к ее истинному положению. 304
Для звезд, расположенных у горизонта, угол смещения достигает огромной для астрономии величины в V2 градуса. Наличие градиента показателя преломления у атмосферы приво- приводит к возникновению миражей. Миражи наблюдаются в африканских пустынях по той причине, что над раскаленным песком могут легко возникнуть тепловые потоки, приводящие к температурным пере- перепадам, следовательно, к градиенту плотности, а значит, и показателя преломления. В результате луч света идет по кривой линии и воз- возникает картина пейзажа в том же месте, куда его мысленно помещает зритель, привыкший к прямолинейному распространению света. Разумеется, нельзя говорить о сферической или плоской волнах, когда речь идет о распространении света в неоднородной сред^. Следует напомнить, что переменная скорость распространения означает, что длина волны также меняется от точки к точке. Ка- Какое же уравнение описывает движение волны в среде, где показатель преломления меняется от точки к точке? Имея в виду изменение па- параметров волны от точки к точке, мы должны поискать дифферен- дифференциальное уравнение, описывающее это явление, поскольку лишь дифференциальное уравнение устанавливает закон, связывающий физические величины для данной точки пространства. Это уравнение можно найти с помощью уравнений Максвелла. Вывод несколько сложен, и мы не сможем его провести. Результат вычислений таков: как для вектора Е (или его проекции), так и для вектора И (или его проекции) справедлив следующий закон: Функцию W называют волновой функцией. Она представляет вектор Е или Н или их составляющие, поскольку для них всех уравнения одинаковы, s — координата в направлении распростра- распространения волны, t — время, v — скорость распространения. Написанное уравнение называется волновым, и справедливо для точек пространства, лежащих вне источников поля (т. е. вне заря- заряженных областей и вне областей, по которым текут электрические токи). Покажем, прежде всего, что написанному дифференциальному уравнению удовлетворяет простейший волновой процесс — пло- плоская волна. Как нам известно (стр. 99), выражение плоской волны с частотой со, распространяющейся вдоль направления s, имеет вид = Л cos (of/ — - Вычислим вторые производные волновой функции ? по времени и по координате. Получим 305
Мы видим, что между вторыми производными имеется нужная связь: значит предложенное дифференциальное уравнение содержит в себе уравнение плоской волны. Однако написанное дифференциальное уравнение много шире. Его решением является любая функция аргумента (t—-) , так как для любой функции W (t—-Мвыраже- ния производных через V будут те же самые. Зависимость функции от аргумента (t——] рассматривается как единственный признак волнового процесса. Смысл этого аргумента заключается в следующем: если состояние в точке s=0 характе- характеризуется в момент времени ?=0 некоторым значением волновой функции, то такое же состояние имеет место в точке sx через момент времени t± = -^-9 в точке s2— через момент времени t2 =—-, и т. д. При этом s есть координата, отсчитываемая вдоль любого прямого или криволинейного пути. Дифференциальное уравнение является общим уравнением волнового процесса, справедливым для любой среды, в том числе и неоднородной, в которой v меняется от точки к точке. Если волновая функция должна быть выражена через три коор- координаты пространства х> у, z, то обобщением волнового уравнения является следующая формула: Для суммы вторых частных производных какой-либо функции су- существует краткое обозначение: AY (читается: лапласиан W). Итак, Дифференциальное уравнение волны справедливо для произволь- произвольного процесса, в котором значения длины волны и амплитуды волны меняются от точки к точке. Обозначим через i|) амплитуду волновой функции W. Именно i|) представляет интерес для большинства задач. Если в пространстве существует колебательный процесс с частотой со, то — = — со2? 306
в самом произвольном случае. Следовательно, волновая функция будет всегда удовлетворять уравнению Часть выражения для Y, зависящая от времени, всегда сокра- сократится в подобном равенстве, поэтому последнее уравнение есть уравнение для амплитуды волны if). При помощи соотношения 2я y = v — его можно также записать в виде Иногда и это уравнение называют волновым. § 129. Распространение радиоволн Законы отражения и преломления определяют закономерности распространения радиоволн. Чтобы обсуждать конкретные резуль- результаты, нужно лишь обобщить теорию на случай среды с непрерывно меняющимся коэффициентом преломления. Но эти рассуждения были проведены (стр. 128) для упругих волн. Они полностью сохраняют свой характер и для электромагнитной волны, как для света, так и для радио. Двигаясь в среде с переменным я, т. е. с переменной скоростью, волна распространяется таким образом, чтобы затратить кратчайшее время на прохождение расстояния между двумя точка- точками. Путь волны будет криволинейным, причем, переходя из слоя с меньшим п в слой с большим п, волна будет отклоняться в сторону нормали, проведенной к границе раздела. Чтобы судить о характере распространения радиоволн, следует знать электрические свойства земли и атмосферы. Значения электропроводности и диэлектрического коэффициента этих двух сред решительным образом сказываются на электромагнитном поле волны. Чем объясняется различие в поведении электромагнитных волн разной длины? Разумеется, существенную роль играет дисперсия. Однако примерное суждение о поведении электромагнитной волны мы получим,^ если оценим соотношение между током смещения и током проводимости. Понятно, что среда обнаруживает диэлектри- диэлектрические свойства, если ток смещения много больше тока проводи- проводимости. Напротив, если током смещения можно пренебречь, то среду можно назвать проводящей. С этой точки зрения нужно оценивать свойства земной поверх- поверхности и свойства атмосферы. Приведем характерный пример. В радиотехнике известно, что равнинная местность, покрытая лесами, характеризуется диэлектри- диэлектрическим коэффициентом 8 порядка 12 и удельной электропровод- электропроводностью у (в системе СГС) 7-107. При распространении волн над морем важны значения е и у для морской воды. Соответствующие цифры: 307
8=80 и y—1010. Отношение плотности тока проводимости к плотно- плотности тока смещения (на стр. 285 мы приводили нужные формулы) выражается формулой /55.^12*1 = 0,7. 10-^3* /ем ° 8 6 (в системе СГС). Для длинных волн (возьмем, например, 2000 м) это отношение равно для лесистой местности 77, а для поверхности моря 1600. Среду можно считать в обоих случаях хорошим провод- проводником, в особенности это касается распространения над морем. Для коротких волн (скажем, для 20 м^ первая цифра падает до 0,77, а вторая — до 16. Это значит, что для коротких волн морская вода продолжает оставаться в основном проводящей средой, но ле- лесистая местность ведет себя в значительной степени как диэлектрик. При распространении волн над проводящей поверхностью по- последняя «не отпускает» волны от себя. Электрические силовые линии подходят к Земле под прямым углом и перемещаются вдоль земной поверхности. Именно поэтому электромагнитная волна легко об- обходит вокруг земного шара (на это требуется время 0,13 с; вполне возможно весьма точное определение этого времени и, таким обра- образом, определение скорости распространения радиоволн). Это от- относится к длинным волнам. Короткие волны будут удерживаться у поверхности только морем. В других же местах они могут вести себя, как совершенно свободные волны. При движении вдоль зем- земной поверхности волна проникает в глубь Земли и поглощается ею и притом тем сильнее, чем выше частота колебаний. Целый ряд замечательных особенностей в поведении радиоволн объясняется наличием в верхних слоях атмосферы слоя, содержа- содержащего значительное число свободных ионов и электронов (ионосфера). Таким образом, грубо можно представить себе пространство, в ко- котором движется электромагнитная волна, в виде диэлектрического слоя, зажатого между двумя проводящими слоями. Ионизация атмосферы не однородна, т. е. число свободных заря- зарядов в единице объема меняется от слоя к слою. Как мы видели в § 125, с увеличением числа зарядов коэффициент преломления па- падает. Так как коэффициент преломления проводящей среды меньше единицы, то волна, поступившая из диэлектрической среды в ионо- ионосферу под некоторым углом, будет отклоняться в сторону от нор- нормали. Ионизация растет, значит, отклонение будет возрастать от слоя к слою. Далее, как показывает рис. 139, волна может либо выйти из ионосферы и уйти от Земли, либо, продолжая искривляться, вер- вернуться на Землю. Грубо говоря (если не учитывать неоднородности ионосферы), волна вернется на Землю, если она попадет на ионо- ионосферу под углом, большим угла полного внутреннего отражения: sineo>«= j/ 1-тюа 308
в противном случае волна уйдет в мировое пространство. Путем многократных отражений то от ионосферы, то от земной поверх- ностикороткая волна способна огибать земной шар со значительно меньшими энергетическими потерями, чем те, которые имеют место для длинных волн. Так как УКВ пропускаются слоем свободных зарядов, то они не отражаются ионосферой. Это делает возможным радиоприем на УКВ лишь в пределах прямой видимости. Рис 139. Мы сильно упростили картину атмосферы. Исследования пока- показали, что распределение плотности свободных электрических за- зарядов в атмосфере характеризуется несколькими максимумами, так что ионосфера распадается на несколько слоев. Эти слои обладают разной устойчивостью в различные времена года. Интересно, что существование слоев связано с деятельностью Солнца, так как на- наблюдаются изменения состояния ионосферы в соответствии с 11-лет- 11-летним циклом солнечных пятен. Ионизация верхних слоев атмосферы несомненно связана с приходом к Земле космической радиации. Из рассмотрения электрических свойств ионосферы и земной поверхности радиотехника делает ряд выводов о наиболее благо- благоприятных условиях радиопередачи и приема на волнах различной длины. На этом мы останавливаться не будем. § 130. Радиолокация Радиолокационная установка состоит из передающей и приемной частей. Передатчик посылает в пространство импульсы продолжи- Рис. тельностью а (порядка микросекунды) через каждую десятитысяч- десятитысячную долю секунды (к) (рис. 140). Если в телесном угле, «освещенном» 309
радиоволнами, имеется предмет, способный отражать волну, то она отразится и вернется обратно к радиолокационной установке, которая примет отраженный сигнал через время x=2R/c после от- отправления в пространство очередного импульса. Это время измеряется при помощи электронного осциллографа. Развертка луча синхронизируется с отправлением в пространство импульсов передатчика. На вторую пару пластин осциллографа по- подается напряжение, возникающее в приемнике в результате демоду- демодуляции сигнала. Тогда на экране осциллографа возникнет «зубец», сдвинутый по отношению к точке начала развертки на расстояние, пропорциональное времени т. Если в поле зрения локатора попал неподвижный предмет, то и «зубец» на экране осциллографа дви- двигаться не будет; действительно, синхронизация заключается в том, что время развертки делается равным одной десятитысячной доле секунды, т. е. интервалу времени, через который следуют один за другим импульсы передатчика. Если предмет, «увиденный» лока- локатором, перемещается, то движется и зубец, видимый на экране ос- осциллографа. От этой схемы техника современной локации ушла уже далеко вперед. Электронному лучу осциллографа дают возможность совер- совершать более сложное движение от центра экрана вдоль радиуса к краю экрана. Одновременно линия, описываемая электронным лу- лучом, медленно вращается вокруг центра экрана наподобие стрелки часов. Это вращение синхронизировано с вращением антенны лока- локатора, так что светящаяся линия направлена в ту же сторону, что и радиолуч передатчика. Далее вносится следующее важное изме- изменение в работу осциллографа: если радиолуч не встречал препят- препятствия и, следовательно, приемник не поймал отраженного луча, то экран осциллографа остается темным. Напротив, если импульс принят, то на экране вспыхивает точка. Таким образом, тело, встретившееся лучу при ощупывании им горизонта, даст о себе знать светящейся точкой на экране осцил- осциллографа. При этом расстояние этой точки до центра экрана будет пропорционально расстоянию от локатора до предмета, а ее азиму- азимутальный угол укажет направление, в котором расположен предмет. Экраны осциллографа обладают послесвечением. Поэтому светя- светящаяся точка, возникшая один раз, не исчезнет и после того, как локатор, проделав обзор местности, вернется опять в то же поло- положение. Если светящаяся точка возникла благодаря отражению луча неподвижным предметом, то она даст неподвижное изображение на экране осциллографа. Если предмет движется, то на экране будет видно его движущееся изображение. Благодаря разным коэффициентам отражения различных пред- предметов на экране локатора с круговым обзором видна своеобраз- своеобразная картина местности. Реки и озера представятся темными по- 310
лосами (малое отражение), земля — более светлая, лес — еще светлее. Разумеется, весьма отчетливо «видны» металлические предметы. Работая на различных длинах волн, можно изменять характер видимости. Так, на радиоволнах сантиметрового диапазона можно хорошо наблюдать за облаками. Более длинные волны не чувствуют облаков и дождя, и локаторы на таких волнах пригодны в любую погоду, если, наоборот, не ставится специальная задача наблюдения за облаками. Применение принципов радиолокации в науке и технике много- многообразно. Локаторы позволяют самолетам легко совершать ночные Яглт/чение - ЯГрием. Жередатитс I ЯСриемнитс Синхронизатор Рис. 141. полеты и производить посадку на неосвещенные аэродромы. Суще- Существенное значение имеет радиолокация для метеорологии; кроме обнаружения на далеких расстояниях или в ночное время облаков и туч, что существенно при составлении прогнозов, радиолокаторы могут следить за шарами-зондами. Радиолокаторы, установленные на морских судах, значительно повышают безопасность движения, сводят на нет возможность случайных столкновений судна с пре- препятствиями или другими судами. При помощи радиолокационных методов в астрономии находят расстояние до метеоров и определяют направление и скорость их полета. Волны отражаются в основном от «хвостов» метеоров, которые представляют собой ионизирован- ионизированные газы. Возможна радиолокация Луны, Солнца и планет. Радио- Радиолокационная астрономия имеет большое практическое значение, так как позволяет создать навигационные приборы, при помощи которых в любую погоду и любое время суток будет возможно определить положение корабля по наблюдениям за небесными телами. Проблемам радиолокации посвящена значительная литература. Поскольку вопросы радиолокации принадлежат радиотехнике, а не физике, то нам кажется достаточным освещение принципа этого замечательного метода. На рис. 141 изображена блок-схема радиолокатора. 311
ГЛАВА 20 ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ § 131. Сложение волн от двух источников Рассмотрим, прежде всего, два идеальных источника, излучаю- излучающих сферические волны. Оба источника колеблются синхронно. Как известно, в этом случае для волн любого типа (проще всего это тгродемонстрировать на примере водяных волн) возникает харак- характерное поле, в котором мы видим светлые и темные «борозды», про- проходящие через те места, где волны усиливают или ослабляют друг друга. Расчет этой картины несложен. Рассмотрим любую точку, на- находящуюся на расстоянии rt от одного и г2 от другого источника волны. Тогда максимальное усиление волн будет иметь место в том случае, если разность хода между волнами гх — г2 равняется целому числу длин волн nX. Напротив, погашение будет иметь место в тех точках, где разность хода равняется нечетному числу полуволн B/1+1)у. * Как известно из аналитической геометрии, кривая поверхность, все точки которой удо- удовлетворяют условию: разность расстояний до двух фокусов есть величина постоянная, есть гиперболоид/ На рис. 59 (стр. 107) прове- проведено сечение через источники волн. В этом се- сечении показаны гиперболы — места, для ко- которых разность хода имеет одно и то же зна- значение вдоль кривой. Рассмотрим теперь (рис. 142) сечение вол- волнового поля цилиндрической поверхностью, ось которой проходит через излучатели (кото- (которые мы все время предполагаем точечными). На таком экране интер- интерференционная картина даст о себе знать системой чередующихся темных и светлых прямых линий, поскольку все точки цилиндра, лежащие на одинаковой высоте, находятся в совершенно одинако- одинаковых условиях, т'. е. в одинаковом положении по отношению к ис- источникам излучения. На средней линии цилиндра мы будем иметь светлую полосу, так как расстояния от обоих источников равны и волны усиливают друг друга. Для точек, лежащих на высоте г над центральной прямой, разность хода лучей гг— г2 представим как 22 S-H—-^ Рис. 142. . Ho r\—t где /— расстояние между источниками. Значит, условие п-й светлой полосы имеет вид 212 * 312
Если экран далек, то для полос, близких к центру, где R — радиус цилиндра. Светлые полосы пройдут через точки г, удовлетворяющие условию /г . Расстояние между соседними полосами будет Az=XR/L Пример. Если два когерентных (см. § 132) источника, расстояние между которыми /=1 мм, испускают свет с длиной волны ^=6000 А, то на поверхности цилиндра с радиусом /?=1 м появятся интерференционные полосы, расстояния между которыми равны Дг=А,/?//=0,6 мм. Если источник света излучает волны разных длин, то интерфе- интерференционная картина будет окрашена, так как условия максимума различны для разных X. Нас может заинтересовать не только положение максимумов и минимумов интерференции, но и вид кривой интенсивности поперек полос. Если lz!R — разность хода меж- между волнами, то с 2я /г есть разность фаз, и суммарная ам- амплитуда в любой точке запишется в виде A cos cat + A cos (Ы + б). \ЛЛ Рис. 143. Если амплитуды равны, то это дает обсуждавшееся на стр. -90 выражение 2i4cos|-cos(cD/ + -|-) . Измеряемая на опыте интенсивность (квадрат амплитуды волны) равна среднему значению этого выражения, взятому за период коле- колебаний. Так как (см. о вычислении среднего в следующем параграфе), то Кривая интенсивности может быть построена на графике в функции вертикальной координаты z (рис. 143). 313
§ 132. Когерентность Описанное в предыдущем параграфе сложение двух волн можно пытаться осуществить различными способами и для разных длин волн. Можно, например, установить близко друг от друга две ан- антенны, излучающие радиоволны; можно установить близко друг от друга две электрические лампочки с точечной нитью накала; можно свести воедино падающий луч и этот же луч, отраженный зеркалом. Опыт показывает, что интерференционные явления осуществляются далеко не во всех случаях. Выяснить, в чем здесь дело, всегда можно, изучая сложение полей двух антенн. Легко показать, что интерфе- интерференционная картина будет наблюдаться лишь в том случае, если между налагающимися волнами имеется разность фаз, постоянная за время наблюдения. В таком случае говорят о когерентных коле- колебаниях. Если разность фаз фиксирована, то электромагнитное колебание в данной точке пространства происходит все время с одной и той же амплитудой. Таким образом, точка максимума всегда будет тако- таковой; место, где волны предельно гасят друг друга, будет все время сохранять нулевую интенсивность. Если же разность фаз беспорядочно меняется, то картина будет совсем иной. В течение некоторого времени колебание в данной точке происходит с максимальной амплитудой, в следующий ин- интервал — с какой-либо средней, а затем волны на какой-то срок га- гасят друг друга. Если бы эти периоды длились время, соизмеримое с практическими возможностями инструментов, то мы установили бы наличие меняющегося интерференционного поля. Если же пере- перемены в разности фаз следуют столь быстро, что инструменты не могут обнаружить этих изменений, то интерференционное поле не проявит себя и инструменты покажут среднее значение интенсив- интенсивности. В этих случаях говорят о некогерентных колебаниях. Чему же будет равна та средняя интенсивность, которая проя- проявится в пространстве, где налагаются поля? Покажем это элемен- элементарным расчетом. Амплитуда суммарной волны в данной точке и в данное мгнове- мгновение может быть записана в виде Аг cos со/ + А2 cos (со/ + 6). Мгновенная интенсивность пропорциональна квадрату этого выра- выражения, т. е. равна AI cos2 со/ + А2 cos2 (со/ + б) + 2 А± А2 cos со/. cos (со/ + S). Нас интересует средняя по времени интенсивность излучения, кото- которая равна / - А\ (cos2 со/)ср + А\ [cos2 (со/ + 6)] ср + + 2АгА2 [cos со/ • cos (со/ + 6)] ср. Средние значения тригонометрических величин «довольно часто встречаются в физических вычислениях. Полезно поэтому напомнить, что средние значения 314
sin x и cos л: равны нулю, а средние значения sin2 х и cos2 x равны 1/2, если только аргумент х тригонометрической функции с равной вероятностью принимает любые значения. Среднее значение Какой-либо функции f(x) по смыслу понятия равно Эта формула пригодна для подсчета среднего, если переменная х принимает дис- дискретные значения. Если же переменная х непрерывна и принимает любые значе- значения в интервале от а до Ь% то формулу для вычисления среднего значения мы по- получим следующим образом. Разделим интервал (Ь — а) на /г отрезков Да:. Помно- Помножим числитель и знаменатель на Ах, получим Переходя к пределу, имеем По этой формуле можно вычислить среднее значение любой функции от не- непрерывно меняющейся случайной величины. При вычислении среднего значения периодической функции надо взять в качестве пределов интегрирования величину одного периода, поскольку среднее значение за один период несомненно равно среднему значению за любое число периодов. Таким образомг напримерз Запишем формулу интенсивности в виде / = А\ (cos2 соОср + А\ [cos2 (ю* + б)] ср + + AxAt [cos B<ot + б)] ср+ АгА2 (cos 6)cp. Пользуясь сведениями о средних значениях cos x hcos2x , получим: если разность фаз двух волн меняется беспорядочно, т. е. если ко- колебания некогерентны, то напротив, если разность фаз фиксирована, колебания когерентны, то или для равных амплитуд / = 2Лсо52~, — мы пришли к интерференционной формуле предыдущего пара- параграфа. Когерентность радиоволн, излучаемых соседними антеннами, может быть нарушена или создана техническими приемами. 315
Что же касается световых колебаний, то здесь прежде всего надо отличать свет обычных источников от света лазеров. В обыч- обычных источниках излучения отдельных атомов не находятся в согла- согласии друг с другом. Фазы волн, посылаемых отдельными атомами, сдвинуты на случайные величины. Вполне естественно, что два ис- источника света, сколь угодно близких по размерам к точке, не дают ЗСогерентшсе иеточнитси (мнимые) перхало И Рис. 144. интерференционного поля. Создать когерентные световые колебания с помощью обычных источников света можно лишь одним способом— «расщеплением» одной и той же световой волны. Способы искусственного осуществления когерентных источни- источников показаны на рис. 144. Два зеркала / и //, слегка наклоненные друг к другу, или сдвоенная призма (бипризма) являются источни- источниками волн от двух мнимых центров. В любом месте интерференци- интерференционного поля может быть установлен экран, на котором будут на- наблюдаться интерференционные полосы. Проведенные выше теоре- теоретические рассуждения вполне подходят к этим случаям; ход полос определяется расстоянием между мнимыми изображениями источ- источника света и расстояниями от этих изображений до точки наблю- наблюдения. Вполне очевидна причина когерентности двух частей «расщеп- «расщепленного» луча. Между любой парой атомов истинного источника нет когерентных соотношений. Расщепляя же луч на две части, мы 316
даем возможность излучению каждого атома интерферировать само- самому с собой. Существующие многочисленные устройства, позволяющие на- наблюдать интерференцию с помощью источников обычного света, отличаются различными способами расщепления луча света путем отражения и преломления с последующим наложением частей рас- расщепленной волны в области интерференционного поля. Размер источника света сказывается существенным образом на когерентности его «расщепленных» лучей. Положим (рис. 145), что источник света имеет размер b и в создании интерференцион- интерференционного поля принимают участие лучи, выходящие в телесном угле 2и. Лучи типа 7, Г исхо- исходят от одного атома и, следова- следовательно, когерентны. То же самое верно и для лучей 2, 2'. Поло< жим, что мы хотим наблюдать интерференцию, наложив друг на друга поля лучей 1> 2 и Г 9 2'. Чтобы интерференция имела место, надо, чтобы поля коге- когерентных лучей 1, Г и 2, 2' под- поддерживали друг друга. Этому мешает разность хода А=6 sin й\ имеющая место между /', 2', а также / и 2. Интерференция станет возможной лишь при условии fosin^V2. Понятно, что интерфериро- интерферировать могут лишь световые волны одинаковой длины. Следовательно, интенсивность интерференцион- интерференционной полосы определяется не интегральной мощностью излучения, а мощностью излучения света данной, волны. Большим ограничением в постановке интерференционных опы- опытов с обычным светом является ограниченная когерентная длина светового луча. Дело в том, что в один прием атом излучает в-тече- ние времени порядка 10""?-с. Принимая во внимание значение ско- скорости света, нетрудно убедиться в том, что испущенный «цуг» волн имеет протяженность порядка метра. Таким образом, при строгой мо- монохроматичности когерентная длина для видимого света будет поряд- порядка метра. Если используется такой источник света как ртутная лампа высокого давления, то когерентная длина будет всего лишь порядка миллиметра. Это значит, что излучение одного и того же атома, подвергшееся расщеплению и сведенное в одну точку с раз- разностью хода, большей миллиметра (большей когерентной длины) уже не даст явления интерференции. Стимулированное излучение лазера, происхождение которого рассмотрено на стр. 402, обладает идеальной монохроматичностью: частотный интервал в миллионы раз меньше частоты света. Самое 317 Рис. 145.
главное состоит в том, что все атомы лазера создают стимулирован- стимулированное излучение в одной фазе. Следовательно, в этом случае излуче- излучения разных атомов способны интерферировать между собой. Не имеет значения конечная длина цуга волн. Следующие друг за другом акты излучения происходят в одной фазе. Поэтому коге- когерентная длина теряет свое значение и расщепленный свет лазера будет интерферировать и в том случае, если одна часть луча прошла путь на десятки и сотни метров больший, чем его другая часть. Расщепление лазерного луча для достижения интерференции не требует и доли тех мер, которые должны быть приняты для наблю- наблюдения интерференции обычного света. Достаточно установить лазер за экраном с двумя щелями и создать общее поле света, выходящего из двух щелей. Исключительная мощность лазерного света позволяет с легко- легкостью осуществлять интерференционные опыты, казавшиеся ранее исключительно трудными или невозможными. § 133. Интерференция в пластинке Рассмотрим отражение и преломление света, падающего на пло- плоскую пластинку толщиной d (рис. 146). Пусть плоская волна падает на пластинку под углом i. Луч света отразится и преломится. Преломленный луч попадет на нижнюю Рис. 146. грань пластинки и также отразится и преломится. В результате возникнет множество лучей, параллельных непосредственному отра- отраженному, а также множество параллельных лучей, прошедших во вторую среду. Все эти лучи когерентны и между ними имеется раз- разность фаз; следовательно, возникают условия для интерференции как в отраженных, так и в прошедших лучах. Как известно (см. стр. 301), коэффициент отражения, во всяком случае при отвесном падении, невелик. В этом случае интенсив- йбсть каждого «следующего» луча будет много меньше интенсив- интенсивности предыдущего. Например, при коэффициенте отражения 5% ггервый отраженный луч будет иметь интенсивность 0,05 /0. Второй 318
отраженный луч претерпел два преломления и одно отражение. Его интенсивность будет 0,95-0,95-0,05 /0=0,045 /0. Таким обра- образом, интенсивности первых двух лучей будут весьма близки друг к другу. Но' уже третий луч будет резко слабее, так как он терпит три отражения и два преломления. Его интенсивность будет равна 0,95-0,95-0,05-0,05-0,05 /0, т. е. он в четыреста раз слабее пре- предыдущего луча. В условиях небольшого коэффициента отражения явление сво- сводится к наблюдению интерференции двух первых лучей. Что же касается прошедших лучей, то в условиях малого коэф- коэффициента отражения интерференция не наблюдаема, так как второй луч уже в четыреста раз (для того же числового примера) слабее первого, третий — в четыреста раз слабее второго и т. д. Однако не представляет особого труда создание таких условий опыта, при которых как в отраженном,* так и в проходящем свете возникало бы множество интерференционных лучей. Если на плоскую пластинку падает монохроматическая волна, то картина интерференционного поля определится разностью фаз пер- первого и второго отраженных лучей. Из формулы волны A COS (д[ t очевидно, что фаза волны, прошедшей путь х со скоростью и, изме- изменится на со ~ или — х, где X — длина волны в среде. Обозначая через %0 длину волны в пустоте и учитывая, что коэффициент преломления равен п = ~ , можем записать изменение в фазе как ^ пх. Произ- ведение пх называют часто оптическим ходом волны. Если волна на своем пути проходит через несколько сред, то ее фаза изменится на r^-S,. где S=(n1x1+n2x2-{-...) — оптический путь. Разность фаз б интерферирующих волн, которая определяет интенсивность' результирующего поля, равна б=:ТД, т. е. определяется оптической разностью путей 5' и S" этих волн A=S'— S". Расчет А для интересующего нас случая проводится с помощью рис. 146. Удобнее всего выразить А через угол преломления г, толщину пластинки d и показатель преломления п. Как видно из чертежа, А = 2dn cos r. Однако нужно учесть еще скачок фазы при отражении (ср. стр. 300). В этом отношении^ первый и ? второй лучи отличаются, так как первый отражается от внешней грани пластинки, а второй — от 319
внутренней. Поэтому электрический вектор одного из них терпит скачок фазы на 180°, а другой — нет. Следовательно, результиру- результирующая разность фаз будет: 2л; 6 = r~ 2dft COS Г ± Я. Л 0 Максимум интерференции наблюдается при условии б=/п-2я, где т — целое число, минимум — при условии Ь=т*л. Следова- Следовательно, условие максимума: 2 dn cos r = тк0 ± -к- \ условие минимума: 2 dn cos г = тХ0. Таким образом, в зависимости от А,, я, d и г интерференция может привести к нулю или к максимуму интенсивности волны, отраженной от пластинки. В идеальном опыте с 'монохроматическим лучом, меняя, например, угол падения, мы должны были бы фиксировать периодическое погасание и появление отраженного луча. В анало- аналогичном опыте с белым лучом пластинка должна последовательно проходить через все цвета радуги. § 134. Полосы равной толщины и полосы равного наклона В условие экстремума 2 dn cos r=mk входит несколько факторов. Одновременное их варьирование может привести к запутанной кар- картине. Ярче всего явление наблюдается тогда, когда можно считать неизменными все параметры, кроме одного. Если пластинка имеет переменную толщину d, коэффициент преломления неизменен, а угол падения (а следовательно, и пре- преломления) практически один и тот же для рассматриваемого участка пластинки, то интерференция будет обнаружена в виде так назы- называемых полос равной толщины. Все места пластинки, обладающие одинаковой толщиной d, будут находиться в одинаковых условиях. Поэтому на неровной пластинке возникнет система темных и свет- светлых (или радужных в случае белого света) полос, обрисовывающих места равной толщины. В этом состоит объяснение цветных разводов, которые мы часто видим на пленках нефти или масла, разлитого на воде. Если пластинка имеет форму клина, то полосы равной тол- толщины будут прямыми. Такие полосы легко наблюдать на мыльных пленках. В вертикальной пленке мыло стекает и пленка становится более тонкой в верхних частях, на пленке появляются горизонталь- горизонтальные полосы. Если свет падает на пластинку отвесно, то cos r«l; полосы воз- возникнут в тех местах пластинки, толщины d которых удовлетворяют соотношению 2 dn~mX0. Две соседние полосы соответствуют толщинам, отличающимся друг от друга na — = y у т- е- на полдлины волны. Таким образом, 320
2. световые полосы равной толщины указывают на неравномерности в толщинах пластинки порядка десятых долей микрона. Если толщина от точки к точке меняется очень медленно, то полосы могут оказаться на весьма большом расстоянии друг от друга. Так, например, в стекающей мыльной пленке может образо- образоваться клин с углом раствора 0,5 дуговой минуты; тогда, как не- нетрудно рассчитать с помощью рис. 147, полосы будут нахо- находиться на расстоянии 2 мм друг от друга. Если клин сходит на нуле- нулевую толщину, то конец клина будет темным в отраженном све- свете: толщины, меньшие Я/4, света не отражают. Первая светлая полоса возникнет при толщине й=Я/2 (разность хода вдвое боль- больше, учтите путь туда и обратно), следующая — при d=Xf и т. д. Таким образом, простым счетом полос можно установить значение толщины. Возникает естественный вопрос: почему в естественном свете мы легко наблюдаем полосы равной толщины на тонких пленках, но не видим их, скажем, на оконном стекле? Причина заключается в невозможности создания идеальных условий, при которых един- единственной переменной величиной является толщина пластинки d. Рассмотрим влияние нестрогой одинаковости угла падения (пре- (преломления). Если эти углы варьируют от rt до г2 так, что на макси- максимум интерференции для гг будет накладываться погасание для угла г2, то интерференционные полосы будут смазаны. Каков же угловой интервал Аг~г2— ги размазывающий картину полос равной тол- толщины? Мы найдем его из условий Рис. 147, 2dn cos гг = mk, 2dn cos r2 = ( т -)- -к ] Я. Следовательно, 2dn (cos r2 — cosгг) = -х-. Для простоты ограничимся случаем отвесного падения; пусть /*i= а г2 равно малой величине Ал Тогда 2dn = 2dn A —(~ = (т + у] Я, откуда а так как 2dn—rnk, то 11 А. И. Китайгородский 321
Если пластинка тонкая, то величины т измеряются единицами и десятками. В этом случае разброс углов в пределах десятых ради- радиана (т. е. 5—10°) не размажет картины. Если же пластинка толстая, то уже для 1 мм т порядка 5000, а значит, разброс углов порядка сотых долей радиана уже не позволит наблюдать полосы равной толщины. Но даже и при идеальной геометрии опыта относительно тол- толстые пластинки не создадут интерференционной картины из-за ог- ограниченной когерентной длины. Для лазерного света трудности наблюдения интерференции от толстых пластинок в основном снимаются. Рис. 148. Перейдем теперь к рассмотрению другого типа полос, называе- называемых полосами равного наклона. Они наблюдаются от плоскопарал- плоскопараллельной пластинки (d одинаково во всех точках пластинки) при па- падении на нее пучка света с непрерывным набором углов падения (рис. 148). Мы всегда можем выделить из пучка отраженных лучей, присут- присутствующих в телесном угле, те из них, которые лежат на образую- образующих одного и того же конуса, ось которого есть нормаль к пла- пластинке. Лучи, ложащиеся на такой конус, имеют одно и то же зна- значение г. Они и дадут линии равного наклона. Следует подчеркнуть различие в способе наблюдения линий рав- равной толщины и линий равного наклона. Линии равного наклона на- наблюдаются в бесконечности, поэтому на пути лучей надо поставить линзу; кривые равного наклона будут наблюдаться, в ее фокальной плоскости. Что же касается линий равной толщины, то при нормаль- нормальном падении на клинообразную поверхность они наблюдаются гла- глазом на поверхности пластинки. Если же свет падает на такую пла- пластинку под углом, то линии равной толщины наблюдаются на по- поверхности клина лишь для очень тонких пленок. В противном слу- 322
чае интерференционная картина наблюдается в двух плоскостях, sin i расположенных над и под клином на расстоянии d -:— (а — угол клина). Для вывода этой формулы, который мы предоставляем чи- читателю, следует построить луч, падающий на поверхность клина под углом i, а также лучи, отраженные от верхней и нижней граней клина. Плоскость наблюдения интерференционной картины будет проходить через точку, в которой пересекаются продолжения двух отраженных лучей. Мы привели формулу для воздушного клина. § 135, Практические применения интерференции Интерференционные методы широко применяются для измере- измерения малых расстояний или малых изменений расстояний. Они по- позволяют заметить изменения толщины, меньшие сотых долей длины световой волны. В интерференционных измерениях неровностей на поверхности кристалла удается достигнуть точности порядка 10 см. Многочисленные применения основаны на использовании метода кривых равной толщины. Широко распространен этот метод в опти- оптической промышленности. Если, скажем, нужно проверить качество поверхности стеклянной пластинки, то это делается рассмотрением полос равной толщины воздушного клина, создаваемого испытуемой пластинкой и эталонной пластинкой с идеально плоской поверхно- поверхностью. Если прижать эти две пластинки с одного края, то образуется воздушный клин. Если обе поверхности плоские, то линии равной толщины будут параллельными прямыми. Представим себе, что на испытуемой пластинке имеется впадина или бугор. Тогда линии равной толщины искривятся и будут об- обходить дефектное место. При изменении угла падения света полосы движутся в ту или другую сторону в зависимости от того, бугром или впадиной является дефект. На рис. 149 показано, как выглядит поле микроскопа в этих случаях. Первые два рисунка соответствуют дефектным образцам. У первого дефект расположен справа у самого края, а у второго — слева. Третий рисунок соответствует образцу без дефектов. И* • 323
Тот же метод может быть применен для весьма точного измере- измерения коэффициента расширения. Для этой цели надо создать воз- воздушный зазор между поверхностью исследуемого объекта и неиз- неизменной плоскостью. Если объект будет расширяться, то толщина слоя начнет меняться. Полосы равной толщины придут в движение. Если одна полоса сдвинулась, а ее место заняла следующая, то толщина воздушной прослойки в этом месте изменилась на к/2. Если, как это и делают обычно, вести измерения в монохрома- монохроматическом свете, то полосы видны очень резко и смещение полосы на сотую долю расстояния между полосами может быть измерено. п Рис. 150. Точные измерения показателя преломления вещества могут быть проделаны с помощью интерференционных рефрактометров. В этих приборах наблюдается интерференция между двумя световыми лу- лучами, которые по возможности отдалены друг от друга (рис. 150). Для этого берется достаточно толстая пластинка и подбирается вы- выгодный угол падения (для обычного стекла наиболее выгоден угол порядка 50°). Лучи, идущие между пластинками, разобщены, и на пути одного из них можно поместить испытуемое вещество. Этим меняется оптический путь одного из лучей, а значит, и разность путей лучей, интерферирующих на выходе. Если пластинки интер- интерферометра в точности одинаковы и установлены идеально параллель- параллельно, то оба интерферирующих луча имеют одинаковый путь и уси- усиливают друг друга. При наклоне пластинок создается разность хода и поле зрения будет менять свою яркость. Такая картина имеет место для идеально параллельного пучка лучей. Если же на пластинку падает слегка расходящийся пучок, то в поле зрительной трубы возникнет система полос равного на- наклона. В этом случае изменения в оптической разности хода удобно определять, считая проходящие мимо креста нитей интерференцион- интерференционные полосы. 324
Положим, что на пути одного из лучей установлено тело длиной / и с коэффициентом преломления п. Если коэффициент преломления среды есть п^ то оптическая разность хода изменится на Д= — 1(п— п0). При этом через окуляр трубы должно пройти Д/А, по- полос. Нетрудно оценить точность этого метода, если указать, что смещение в 0,1 полосы улавливается без труда. При таком смеще- смещении А=0,1 Л=0,5-10~5 см, что на длине / = 10 см позволит зафик- зафиксировать изменение коэффициента преломления на 0,5-10~6. W б !з Рис. 151. Для точных измерений длин, а также для определения скорости света (см. также стр. 379) применяется получивший особую извест- известность интерферометр Майкельсона (рис. 151). В этом приборе па- параллельный пучок монохроматического света падает на плоскопа- плоскопараллельную стеклянную пластинку, покрытую с одной стороны по- полупрозрачным слоем серебра. Эта пластинка поставлена под углом 45° к падающему от источника лучу и делит его на два, один из ко- которых идет параллельно падающему лучу (продолжает его), а дру- другой — перпендикулярно (налево). Разделенные лучи падают на два зеркала под нулевыми углами падения и возвращаютс-я в те самые места полупрозрачной пластинки, из которых они вышли. Каждый луч,- вернувшийся от зеркала, повторно расщепляется на пластинке. Часть света возвращается в источник, а другая часть поступает направо в зрительную трубу. В результате в поле зрения трубы наблюдаются два когерентных интерферирующих луча. На рисунке видно, что после первого разделения на полупрозрачном слое луч, идущий от ?еркала, стоящего напротив трубы, дважды про- проходит через стеклянную пластинку с полупрозрачным слоем. По- Поэтому для обеспечения равенства оптических путей луч, идущий от другого зеркала, пропускается через компенсационную пластин- пластинку, идентичную первой, но^без полупрозрачного слоя. В трубу будут наблюдаться линии равного наклона (круговые кольца), соответствующие интерференции в воздушной пластинке, 325
толщина которой равна разности расстояний зеркал от полупроз- полупрозрачного слоя. Перемещение одного из зеркал на четверть длины волны будет соответствовать переходу от максимума к минимуму, т. е. вызовет смещение картины на полкольца. Это может быть отчет- отчетливо отмечено наблюдателем. Таким образом, в фиолетовых лучах чувствительность интерферометра больше чем 1000 А—0,1 микрона. Интересным применением интерферометра Майкельсона явля- является микроинтерферометр, разработанный советским физикохм В. П. ЛинникОхМ. Принцип его схемы состоит в том, что одно из зеркал интерферометра заменено исследуемым объектом. В плоскости изображения наблюдаются ли- линии равной толщины. Детали размером 0,1 микрона дадут четкий переход от максималь- максимальной освещенности к мини- минимальной. Микроинтерферо- Микроинтерферометр обычно вйполняется в виде приставки к обычному микроскопу и ввинчивается в , тубус микроскопа вместо объ- объектива. Большое значение для науки имеют интерференцион- интерференционные микроскопы, близкие по идее к микроинтерферометру (в микроскопе интерференция осуществляется не в плоскости Рис J52. изображения, а передобычным объективом, т. е. интерферен- интерференционное изображение имеет те же размеры, что и микрообъект). Выигрыша в увеличении двухлучевой интерференционный микро- микроскоп не дает. Значение этого метода в другом. Среди объектов ми- микроскопического исследования чрезвычайно часто встречаются либо почти совершенно прозрачные, либо с мало меняющейся по площади прозрачностью. Сделать видимыми детали таких объектов было воз- возможно лишь путем их искусственного окрашивания: различные структурные элементы, вообще говоря, по-разному воспринимают окраску. Но окрашивание мало применимо при изучении живых микроорганизмов. Возможности интерференционногб микроскопа иллюстрирует рис. 152, на котором изображена с увеличением в 300 раз микрофотография крови лягушки. К недостаткам метода относятся большие потери света в интер- интерференционном устройстве и серьезное усложнение оптической сис- системы микроскопа. Дальнейшее повышение чувствительности интерференционных методов и, следовательно, дальнейшие успехи интерференционной микроскопии возможны при переходе^т двухлучевых интерферо- интерферометров к многолучевым. Дело в том, что в двухлучевых интерферо- интерферометрах освещенность экрана меняется пропорционально множи- 326
телю A+cos kh), где h — смещение вдоль экрана. Вследствие плав- плавности перехода от максимума освещенности к минимуму малое смещение интерференционных полос с уверенностью регистрировать не удается. Многолучевые интерферометры существенно улучшают положение. В качестве примера многолучевого интерферометра рас- рассмотрим интерферометр Фабри — Перо. Интерферометр Фабри — Перо (рис. 153) состоит из двух доволь- довольно толстых стеклянных или кварцевых пластин, каждая из которых ¦ Щ Рис. 153. покрыта полупрозрачным слоем серебра. Пластины обращены ме- металлизированными поверхностями друг к другу; эти поверхности строго параллельны. Зазор между пластинами заполнен воздухом. При падении на интерферометр пучка света этот пучок, попадая на каждое из полупрозрачных покрытий, раздваивается на проходящий и отраженный. В результате как в проходящем, так и в отраженном свете получается набор когерентных световых пучков, интенсивности которых убывают по геометрической прогрессии (см. стр. 319), а фазы сдвигаются по арифметической прогрессии. Чтобы обеспе- обеспечить возможность интерференции большого числа лучей, необхо- необходимо добиться малого убывания амплитуды при последовательных отражениях. Это достигается тем, что металлическое покрытие на пластинках имеет коэффициент отражения 0,9 или больше. Тогда интенсивности лучей в проходящем свете будут весьма невелики, но зато они будут мало меняться от луча к лучу, что позволяет боль- большому числу лучей (до 10—15) участвовать в создании каждого мак- максимума освещенности. Интерференционная картина получается Bt виде обычных колец равного наклона, но с одним очень важным изменением: главные максимумы, определяемые условием 2dn cos a=mX, теперь резко сужаются, причем их интенсивности в десятки раз превышают ин- интенсивность фона между ними. Поэтому интерференционная картина ' приобретает вид весьма узких светлых полос, разделенных широки- широкими темйьтми промежутками. Смещение такого узкого максимума может быть зафиксировано с гораздо большей точностью, чем сме- смещение полосы в двухлучевом интерферометре. Аналогичное суже- сужение максимумов происходит и при увеличении числа щелей дифрак- дифракционной решетки. 327
Таким образом, многолучевые приборы резко повышают чув- чувствительность интерференционных методов. Такие системы оказы- оказываются незаменимыми при исследовании в отраженном свете вер- вертикальной структуры поверхности объекта. Увеличение детали по вертикали может достигнуть 400 000, что позволяет уверенно раз- разрешать подробности с размерами порядка 5—10 А. Это — несколь- несколько- межатомных расстояний! Примером такой фотографии служит снимок спирального роста кристалла, приведенный на стр. 614. В настоящее время интерферометры, работающие на естествен- естественных источниках света, заменяются интерферометрами, использую- использующими лазеры. Достоинства совершенно очевидны — это не идущая ни в какое сравнение мощность света, строгая монохроматичность, идеальная параллельность пучка света и неограниченная когерент- когерентная длина. С помощью лазеров можно проделывать измерения на 200-дюй- 200-дюймовом телескопе с интерферометром, у которого одно плечо имеет длину десятка метров, а другое — единицы сантиметров. Интерферометры, используемые для контроля сферичности линз, могут быть изготовлены с одной-единственной поверхностью срав- сравнения, в то время как, используя обычный свет, с изменением ра- радиуса испытываемой линзы приходилось менять и эталон сравнения (так как нельзя было работать с большими разностями хода). Мы уже не говорим о том, что интерференционные картины стали несрав- несравненно ярче, а поэтому анализируются легко и более точно. Возможность обходиться без компенсации оптического пути одного из лучей позволяет изготовлять интерферометры совершенно нового типа. Становится возможным следить за смещениями пло- плотин, геологическим дрейфом, колебаниями земной коры. Было известно и ранее, что, измеряя быстроту движения интер- интерференционных колец, можно измерять скорость движения одного из интерференционных зеркал благодаря эффекту Доплера (см. стр. 112). С помощью лазерного света, отражая его от объектов, на- находящихся на большом расстоянии, и заставляя отраженный свет интерферировать с исходным, можно производить точные измере- измерения скорости движения далекой мишени. ГЛАВА 21 РАССЕЯНИЕ § 136. Вторичное излучение Под действием электромагнитной волны каждая молекула стано- становится вторичным излучателем электромагнитных волн. Под дей- действием электрической силы электронное облако смещается по от- отношению к атомным ядрам и молекула приобретает дипольный момент, меняющийся во времени с частотой падающей волны. По- 328
ведение такой молекулы нисколько не отличается от поведения эле- элементарного диполя, о котором шла речь в гл. 20. Интенсивность вторичной волны будет выражаться формулой, приводившейся на стр. 293 (интенсивность ~%т sin26 ) , а распределение интен- интенсивности вторичного излучения в пространстве будет передаваться рис. 133. В ряде случаев, о которых пойдет речь ниже, явление вторичного излучения приводит к разнообразным явлениям рассеяния электро- электромагнитных волн. При этом под рассеянием понимают обычно любые явления распространения электромагнитных волн, не укладываю- укладывающиеся в рамки преломления, отражения и прямолинейного рас- распространения. Формула интенсивности, приведенная выше, справедлива для любых электромагнитных волн. Однако резкая зависимость от ча- частоты излучения показывает, что эффекты рассеяния волны одной молекулой станут заметны при не слишком длинных волнах. Ин- Интенсивность рассеяния волн видимого света уже вполне достаточ- достаточна для того, чтобы привести к существенным эффектам. Длина световой волны в сотни и тысячи раз превышает размеры обычных молекул. Поэтому все электроны молекулы приводятся внешним полем в колебание с одной и той же фазой. Для световых волн, для ультрафиолетовых волн и даже для очень мягкого (т. е. длинноволнового) рентгеновского излучения молекула ведет себя, как элементарный электрический диполь. Картина существенно меняется, если речь идет о рентгеновском излучении с длиной волны порядка 1 А. Теперь уже размеры мо- молекулы больше длины волны и различные участки электронного облака молекулы колеблются в разных фазах. Чтобы вычислить ин- интенсивность рассеянной волны, нужно учесть явления интерферен- интерференции, которые возникнут между волнами, рассеянными разными ча- частями молекулы. В принципе такое вычисление не представляет труда. Электрон- Электронное облако молекулы надо, прежде всего, разбить на небольшие объемы Avk. Каждый такой объем должен иметь размеры, много меньшие длины волны. Тогда электроны, приходящиеся на этот объем, будут рассеивать в одной фазе. Если обозначить через р плотность электронного облака, то на объем Avk придется pAvk электронов. Амплитуда вторичной волны, созданной k-м объемом, будет пропорциональна pAvk. Амплитуды рассеяния надо сложить с учетом разницы фаз между элементарными волнами и сумму ам- амплитуд возвести, в квадрат. Распределение интенсивности рассеян- рассеянной волны будет существенно отличаться от картины излучения од- одного диполя. Это и понятно, так как будут направления, в которых элементарные волны, рассеянные отдельными объемами, поддержи- поддерживают друг друга, т. е. действуют в фазе, и, наоборот, будут такие направления, в которых элементарные волны ослабляют друг дру- друга. Важным следствием такого рода подсчетов является следующее: 329
при наличии интерференции между элементарными волнами, ис- исходящими от отдельных объемов частицы, волны, идущие назад, в конечном счете ослабляют друг друга; напротив, волны, идущие вперед, усиливают друг друга. Мы говорили о вторичном излучении молекулы, однако очень часто роль вторичного излучателя играет гораздо более крупная частица, состоящая из большого числа молекул. Это может быть частичка пыли, коллоидная частица, капля тумана, мельчайший кри- кристаллик, частичка дыма, крупная белковая молекула и т. д. Харак- Характер рассеяния волн частицами будет определяться отношением их размера к длине возбуждающей электромагнитной волны. Если ча- частичка мала по сравнению с длиной волны, то она будет рассеивать, как один элементарный диполь. В противном случае возникнут ин- интерференционные эффекты, а также будет превалировать рассея- рассеяние вперед. Частица может обладать неодинаковой -рассеивающей способ- костью в разных своих частях. Именно так обстоит дело в молекуле, рассеивающей рентгеновские лучи. Наиболее простым рассеиваю- рассеивающим телом является частица, все объемы которой обладают одина- одинаковой рассеивающей способностью. Мы остановим свое внимание на подобной системе. Она не только проста для расчета, но и легко вос- воспроизводится на опыте (отверстие в непрозрачном экране). § 137. Дифракция волн на отверстиях Амплитуда рассеяния отдельной частицей определяется харак- характером распределения в ней рассеивающего вещества. Можно встре- встретить частицы («отверстия»), в которых плотность рассеивающего ве- вещества плавно падает с удалением от центра атома. Можно пред- представить себе более резкие неоднородности — включения или поры, на краях которых плотность меняется скачком. При рассеянии любыми такими неоднородностями возникают своеобразные так называемые дифракционные эффекты. Интенсив- Интенсивность рассеяния сначала плавно спадает с возрастанием угла, -затем обращается в нуль; при дальнейшем возрастании угла интенсивность возрастает вновь, доходит до какого-то максимального значения, затем вновь падает до нуля и далее спадает волнообразно. Рассе- Рассеяние такими объектами приводит к образованию дифракцион- дифракционных полос и пятен разной формы в зависимости от рассеивающего объекта. Наиболее резко дифракционные эффекты обнаруживаются при рассеянии на отверстиях, сделанных в непрозрачном экране. Каж- Каждое отверстие можно рассматривать как участок, равномерно запол- заполненный излучающими диполями. Картины рассеяния отверстием или частицей, имеющей форму такого отверстия, должны давать совпадающие кривые хода интенсивности с углом рассеяния. Для световых лучей дифракционные картины проще всего на- наблюдаются в параллельных лучах при помощи следующей схемы. 330
Световой пучок, выходящий из источника, делается параллельным и падает на экран, в котором можно располагать различные включения (если экран прозрачный) или отверстия (если он непро- непрозрачен). Линза, установленная за экраном, сводит параллельные лучи в плоскость фотопластинки (или экран для рассмотрения эффекта). Если на пути лучей не будет никаких неоднородностей, отверстий и пр., то эта линза соберет лучи в точку. В противном случае на экране возникнет картина рассеяния или дифракции. 331
На рис. 154 приводятся полученные таким способом дифракцион- дифракционные картины от иголок и тонкой проволоки (а) и от круглого от- отверстия (б). Чтобы происхождение этих картин было очевидным, мы произве- произведем расчет распределения интенсивности рассеянного *) излучения для простейшего случая отверстия в виде щели. Пусть волна падает на щель, вырезанную в непрозрачном экране, под прямым углом. Разобьем щель на объемы AV так, как показано на рис. 155, и напишем выра- выражение волны, посылаемой про- произвольным объемом AVh в на- направлении под углом ф к пада- падающей волне. Волны от различных элементов AVh придут в точку наблюдения с разными фазами. Если разности хода отсчитывать по отношению к самому крайне- крайнему лучу (в сторону отклонения), то лучи, посланные следующи- следующими объемами, будут проходить пути на величину х sin ф большую и, следовательно, будут сдвинуты по фазе на ~Y-xksmq>. Амплитуда волны, рассеянной k-м объемом, будет пропорцио- пропорциональна «рассеивающему» объему AV, т. е. выражению Рис. 155. AVh cos 2я -у- Хд, Б1Пф Надо сложить эти выражения для всех объемов. Суммирование можно заменить интегрированием по координате х, отсчитываемой поперек щели. Заменяя AFft на пропорциональное ему Axk и пере- переходя к пределу, получим для амплитуды рассеяния под углом <р: I — k \ COS . 2я со/ л-л; sin А dx; k — коэффициент пропорциональности, а — ширина щели. Вводя переменную :== ш r-^:sin( получим *) Физическое содержание терминов «рассеянное излучение» и «дифрагиро- «дифрагированное излучение» совершенно одинаково. Обычно пользуются словами «дифрак- «дифракция», «дифракционный», когда картина рассеяния обладает несколькими четко выраженными максимумами и минимумами. Когда же интерференционный ха- характер картины выражен менее четко, говорят о рассеянии. 332
и, следовательно, [sin®* —sin(©f—^si -у- БШф Обозначая -г- sin ф = и и делая тригонометрическое преобразова- преобразование, получим А = -^ sin и cos (со^ — а). Таким образом, результирующее колебание в точке наблюдения ka происходит с амплитудой — sin и, т. е. наблюдаемая интенсивность Это — формула распределения интенсивности в зависимости от .угла рассеяния. I Рис. 156. В большинстве дифракционных экспериментов нас интересуют малые углы рассеяния ф; причины этого позднее станут ясными. Поэтому, заменяя sin ф на tg <p и учитывая, что где х — расстояние точки наблюдения в плоскости фотопластинки до центра дифракционной картины, а / — расстояние от щели до фотопластинки, получим для и выражение па х На рис. 156 изображена кривая —~ i так как а пропорционально л:, то так выглядит дифракционная картина на фотопластинке. ззз
Места темных полос находятся легко из условия и=±пп, где п — целое число. Таким образом, первый нуль лежит при x = -t; тому же числу равно и расстояние между двумя последовательными обращениями интенсивности в нуль. Эта формула показывает, когда будут наблюдаться дифракцион- дифракционные явления на разных длинах волн и в разных условиях. Дифрак- Дифракция света (Я=0,5-10~4 см) хорошо наблюдается в лабораторных условиях, если брать отверстия порядка 0,1 см и расстояния поряд- порядка 2 м между экраном и пластинкой. При этих цифрах х—\ мм — эффект будет отчетливо виден. Видимые лучи будут давать заметную дифракцию от теннисного мяча (а=5 см), но на большем расстоянии. При расстоянии /=100 м и длине волны Я=5000 А х=\ мм. Таким образом, и в этом случае расстояние между обращениями в нуль интенсивности рассеянного излучения по порядку величины равно 1 мм. В соответствующих уравнению x—Xf/a условиях можно наблю- наблюдать и дифракцию радиоволн. Пусть величины / и Я фиксированы. Ширина щели существенно сказывается на дифракционной картине. Если щель велика, то х-+0, т. е. изображение щели, сфокусированное линзой, беско- бесконечно тонко. По мере уменьшения ширины щели дифракционная картина начинает выявляться и первый дифракционный минимум начинает все дальше отодвигаться от центра картины. Наконец, щель станет столь малой, что наше приближение в формуле для и (замена sin <p на tg cp) будет неверным. Изображение щели на экране расплывается, и в конечном счете, когда длина волны и размер щели сравняются, щель будет давать вторичное излучение как единый источник* Интерференция элементарных волн исчезнет, и от щели будет расходиться во все стороны элементарная волна. Для отверстий и частиц (или включений в среде) другой формы дифракционные картины, как показал рис. 154, имеют совсем дру- другой вид. Тем не менее главные особенности картины и общие зако- закономерности сохраняются. Так, например, при дифракции от кру- круглого отверстия или иной круглой неоднородности наблюдаются концентрические кольца с минимальным диаметром темного кольца 1,22 kf/D, где D — диаметр отверстия. Так как дифракционные картины имеют максимумы в различных местах для разных длин волн, то при дифракции белого света воз- возникает разложение в спектр. Дифракция от круглой частицы или отверстия имеет вид радужного кольца. § 138. Система беспорядочно расположенных рассеивателей Мы рассмотрели поведение различных вторичных излучателей электромагнитных волн в зависимости от их размеров по отношению к длине падающей волны. Свойства рассеивателя определяются его размерами лишь в самых общих чертах; детальная картина опреде- 334
ляется распределением вещества в рассеивающей частице. Распре- Распределение вещества в частице не играет роли лишь тогда, когда ее размеры малы по сравнению с длиной волны. В этом случае частица рассеивает как одно целое, как единый электрический диполь. В об- обратном же случае картина становится сложной, поскольку она опре- определяется интерференцией волн, рассеянных отдельными объемами частицы. Мы рассмотрели лишь один пример рассеивателя, размеры которого больше длины волны, а именно, однородно рассеивающую частицу, образом которой может служить отверстие в непрозрачном экране. Теперь мы обращаемся к вопросам рассеяния системой частиц: системой молекул газа, совокупностью пылинок или частиц дыма, системой кристалликов инея на стекле или системой отверстий в марле. Во всех этих и других подобных случаях картина ослож- осложняется тем, что электромагнитные волны, исходящие от разных рас- сеивателей, вообще говоря, могут интерферировать между собой. Теперь картина рассеяния будет зависеть не только от свойств одной рассеивающей частицы, но и от характера их взаимного расположе- расположения. Становится существенной близость друг к другу рассеивателей, упорядоченность или беспорядочность из взаимного расположения. В зависимости от этих обстоятельств интерференция волн, рассе- рассеянных отдельными частицами, может быть выражена в предельной степени, а может и отсутствовать совершенно. Возможны также лю- любые промежуточные случаи. Остановимся на крайних случаях и рассмотрим сначала рассе- рассеяние системой беспорядочно расположенных частиц на примере рассеяния рентгеновских лучей большим беспорядочным скопле- скоплением атомов или молекул. При наличии большого числа одинаковых рассеивающих цен- центров (скажем, атомов, молекул или более крупных одинаковых уча- участков) результирующее рассеяние определяется, как мы сказали, рассеянием одного центра (области) и характером взаимного распо- расположения рассеивающих центров. Крайне различны картины рас- рассеяния для случаев упорядоченного и беспорядочного расположе- расположения рассеивающих центров. Если рассеивающие центры расположены совершенно беспоря- беспорядочно, как, например, молекулы газа друг по отношению к другу, то волны, рассеянные разными центрами, можно считать некогерент- некогерентными. Дело в том, что при беспорядочном расположении рассеиваю- рассеивающих центров будут с равной вероятностью встречаться любые фазо- фазовые соотношения между волнами, идущими от разных центров. Мож- Можно с уверенностью утверждать, что в точку наблюдения равные коли- количества волн (от разных центров) будут приходить с положительными и отрицательными амплитудами. Нетрудно сообразить, что при этом произойдет. Обозначим через А}, А2, А3 и т. д. амплитуды волн от разных центров. Суммарная амплитуда в точке наблюдения будет: 335
а интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, будет суммой такого вида: 3+ ... +2А2А3+ ... Но среди удвоенных произведений будут одинаково часто встре- встречаться как отрицательные, так и положительные слагаемые. По- Поэтому сумма с большой точностью будет равна сумме квадратов ам- амплитуд слагаемых. Иначе говоря, полная интенсивность будет равна сумме интенсивностей, излучаемых отдельными центрами. Если центры тождественны, то полная интенсивность, рассеянная беспо- беспорядочно расположенными центрами, запишется так: где N — число рассеивающих центров, А — амплитуда рассеяния одного центра. Итак, оказывается, что рассеяние множеством беспорядочных частиц носит такой же характер, как и рассеяние одной частицей. Оно лишь в N раз сильнее. Изучая рассеяние рентгеновских лучей газом, мы получаем сведения о рас- рассеянии одной молекулой. Схема исследования рентгеновского рассеяния газами показана на рис. 157. Рентгеновский луч монохроматизируется отражением от Рис. 157. кристалла и затем поступает в камеру, содержащую газ. Рассеяние фиксируется фотографической пленкой. По степени почернения судят об интенсивности. Ин- Интенсивность в функции угла рассеяния изображается довольно быстро спадаю- спадающими плавными кривыми для одноатомных газов и спадающими кривыми со слабо выраженными максимумами для многоатомных газов. По этим кривым с помощью теоретических формул можно судить о характере распределения электронной плотности в молекуле. Можно привести значительное число примеров систем, рассеи- рассеивающих электромагнитные волны подобно газу, рассеивающему рентгеновские лучи. 336
Хорошо известно рассеяние светового луча в пыльной комнате. Через щель в занавесках окна в комнату проникает резкий прямо- прямолинейный луч света, который виден глазу со всех сторон. Система пылинок ведет себя по отношению к световой волне во многом, как и система молекул по отношению к рентгеновскому лучу. Пылинки расположены на довольно больших расстояниях друг от друга и рас- распределены совершенно беспорядочно. Интерференция волн, рас- рассеянных отдельными пылинками, отсутствует, и картина рассея- рассеяния такая же, как и у одной пылинки. Она только возрастает в ин- интенсивности пропорционально числу пылинок, попавших в поле первичного светового луча. Каждая пылинка ведет себя, как элемен- элементарный электрический диполь (размер пылинки меньше длины све- световой волны). Поэтому законы рассеяния света пылинками, т. е. зависимость от длины волны света и характер углового распределе- распределения, будут такие же, что и для элементарного электрического диполя (т. е. будут справедливы формула интенсивности, приведенная на стр. 292, и распределение интенсивности, показанное на рис. 133). Обсуждаемую закономерность нетрудно также продемонстриро- продемонстрировать, сравнивая дифракционные картины от одного отверстия и от системы беспорядочно расположенных отверстий. Опыт показывает, что по характеру распределения рассеянной интенсивности эти две дифракционные картины будут совершенно тождественными. Есте- Естественно, что интенсивность рассеяния экраном с N отверстиями бу- будет в N раз больше интенсивности рассеяния непрозрачного экрана с одним отверстием. Так как рассеяние многими беспорядочными центрами совпадает по характеру с рассеянием одним центром, то становится понятным происхождение радужных ореолов вокруг фонарей, которые каждый наблюдал через заиндевевшее стекло. Эта картина не что иное, как дифракция на крупинках льда. Так как они расположены полно- полностью беспорядочно, то ведут себя, как «круглые» частицы. § 139. Поведение сплошной однородной среды Этот случай является противоположным (по отношению к только что рассмотренному) крайним случаем явления рассеяния. Говоря о сплошной неоднородной среде, мы имеем в виду систему рассеива- телей, распределенных в пространстве совершенно однородно и не- непрерывно. Сплошной однородной средой по отношению к световым волнам являются, например, прозрачные стекла. Размер световой волны значительно превышает межатомные размеры, поэтому мы можем мысленно разбить кусок прозрачного стекла на элементарные объемы, существенно меньшие по размеру длины волны света, но в то же время содержащие большое число молекул. Среду можно счи- считать однородной, если числа молекул во всех таких объемах прак- практически одинаковы. Рассеяние электромагнитных волн зависит не только от однород- однородности в отношении числа излучателей, приходящихся на единицу 337
объема, но также и от однородности в их распределении по ориен- тациям. В конечном счете рассеивающая способность объема тела определяется его дипольным моментом, складывающимся из ди- польных моментов молекул, входящих в этот объем. Можно поэтому сказать, что рассеивающая способность объема тела определяется значением диэлектрической проницаемости или, имея в виду соот- соотношение е = д2, его коэффициентом преломления. Следовательно, среда, однородная в отношении рассеяния электромагнитных волн, должна быть однородной в отношении показателя преломления для данной длины волны. Наблюдения над поведением электромагнитных волн в сплош- сплошных однородных средах показывают, что рассеяние в них отсут- отсутствует: при прохождении луча света через прозрачное тело нельзя увидеть луч света, наблюдая его сбоку (в противоположность лучу света, идущему в пыльной комнате). Каждый элементарный объем однородного тела является источ- источником элементарной волны. В то же время рассеянная волна не образуется. Это можно объяснить лишь единственным способом: элементарные волны, рассеянные однородной средой в любом на- направлении, идущем под углом к первичному лучу, уничтожаются полностью благодаря интерференции. Эта теорема может быть до- достаточно строго доказана; мы не будем на этом останавливаться, так как единственность этого объяснения довольно очевидна. Однако явление рассеяния в однородной среде сказывается, и притом весьма существенно. Дело в том, что рассеянные волны уни- уничтожают друг друга во всех направлениях, кроме одного, а именно, кроме направления, в котором распространяется первичная волна. Рассеяние вперед не просто накладывается на первичную волну, а изменяет ее скорость. Явление преломления электромагнитных волн, которое мы уже рассматривали, можно, оказывается, трактовать как естественное следствие рассеяния. Электромагнитная волна, распространяющаяся в среде, пред- представляет собой сумму первичной волны и рассеянных волн. Теория показывает, что наложение этих волн сводится к замедлению пер- первичной волны. § 140. Рассеяние в неоднородной среде Вещество, распределенное равномерно в смысле, который мы только что обсудили, не рассеивает электромагнитных волн. Хотя все участки этого вещества создают элементарные волны, вторичное излучение в стороны не может быть обнаружено: какую бы точку пространства мы ни взяли в качестве точки наблюдения, можно строго доказать, что, интерферируя между собой, волны, рассеян- рассеянные однородным веществом, уничтожат друг друга. Всегда можно сопоставить одной элементарной волне другую, противоположную ей по фазе. В результате действие всех элементарных волн уничто^ жается. 338
Представим себе теперь, что в какой-то ограниченной области вещество имеет плотность большую, чем в окружающей среде, иначе говоря, имеет избыточное число диполей в единице объема. Тогда уничтожатся все элементарные волны, за исключением тех, которые созданы этой избыточной плотностью. Подсчет рассеянного излуче- излучения, как всегда, состоит в сложении амплитуд элементарных волн. Разумеется, при суммировании надо учитывать разности фаз, с которыми элементарные волны приходят в точку наблю- наблюдения. Изменится ли дело, если рассеивающий участок обладает пони- пониженной, а не повышенной плотностью? Мы можем рассудить следую- следующим образом: если дополнить такую рассеивающую область веще- веществом так, чтобы среда стала однородной, то рассеяние пропадет. Ясно, что, прибавляя к какой-либо сумме и отнимая от нее одну и ту же величину, мы ничего не изменим. Значит, рассеяние области с пониженной плотностью будет равно рассеянию того вещества, которого недостает до однородного заполнения среды. Итак, важно лишь одно: рассеивающая область должна иметь плотность распределения вещества, отличную от окружающей среды. При этом на рассеянии неотличимо одинаково сказываются наруше- нарушения плотности в сторону увеличения и уменьшения. Так, например, рассеяние пористым стеклом и рассеяние стеклом, в котором беспо- беспорядочно распределены включения таких же размеров, что и поры, совершенно тождественны. Для радиоволн, из-за их большой длины, рассеяние будет про- происходить лишь в тех случаях, если неоднородности плотности наб- наблюдаются в относительно большом масштабе. Скажем, чтобы наблю- наблюдалось рассеяние километровых волн, надо, чтобы на их пути попадались по крайней мере стометровые отклонения от средней плотности. Меньших включений или провалов в плотности волны «замечать» не будут. Рассеяние световых волн наблюдается тогда, когда имеются нарушения в распределении рассеивающего вещества по крайней мере порядка десятых микрона. Таким образом, световые волны не чувствуют неоднородности распределения электронов ни в молекуле, ни при переходе от одной молекулы к соседней, поскольку эти события разыгрываются на расстояниях, много меньших десятых микрона. Иначе обстоит дело с рентгеновскими лучами: так как их длина того же порядка, что и размер атома, то для них отдельный атом играет роль «включения в пустоте». Широко распространено рассеяние на неоднородностях для све- световых волн. Наличие неоднородностей в рассеивающем веществе легко узнается по внешнему виду среды. Среда становится мутной. Нужные для возникновения рассеяния света условия возникают в опалесцирующих стеклах, в запыленном воздухе и т. д. Во всех этих случаях в среде имеются беспорядочные нарушения плотности вещества, при этом области нарушения приближаются по своему размеру к длине световой волны. азэ
Как говорилось выше, если частица или неоднородность рассеи- рассеивает как один диполь (для этого она должна быть по крайней мере в 10—20 раз меньше длины волны), то интенсивность рассеяния, со- согласно формуле диполя (см. стр. 329), должна быть пропорциональ- пропорциональной четвертой степени частоты, т.е. обратно пропорциональной чет- четвертой степени длины волны. Для света это приводит к такому ин- интересному следствию: при рассеянии белого света средой с неоДно- родностями она должна приобретать голубую окраску, так как го- голубые (наиболее короткие) лучи будут рассеиваться значительно сильнее. Наоборот, пройдя через рассеивающую среду, белый свет становится красноватым, так как, синяя часть спектра обедняется из-за более сильного рассеивания. Для световых волн неоднородными являются не только мутные среды. Однородный газ или жидкость оптически неоднородны из-за наличия в них флуктуации плотности. Действительно, проведем такой расчет. Можно считать, что световые волны, рассеянные в области с линейным размером порядка 0,02 мкм (в 20 раз меньше длины волны Я), находятся в одной фазе. В таком объеме газа (8-Ю8 см3) при нормальных условиях имеется в среднем 215 мо- молекул. Относительная флуктуация числа частиц, согласно законам статистической физики, есть \lVN, т. е. равна примерно 4%. Это вполне ощутимая неоднородность, обеспечивающая рассеяние света воздухом. Этим рассеянием объясняется голубой цвет неба. Если бы рассея- рассеяния солнечного света атмосферой не было, то небо выглядело бы черным. Цвет неба обеспечивается рассеянием относительно малой доли энергии: в единице объема рассеивается порядка 10~7 доли энергии первичной волны. Рассеяние на флуктуациях плотности называют молекулярным, поскольку оно зависит от молекулярного строения вещества (а не от загрязненности вещества). Исследование молекулярного рассея- рассеяния жидкостей представляет интерес как способ выяснения неко- некоторых особенностей молекулярного строения. Неоднородная среда, в которой участки отклонения от средней плотности находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга и расположены вполне хаотически, не отличается по характеру рассеяния от сис- системы беспорядочно рассеивающих центров (§ 138). Однако большей частью в непрерывных средах (таких как жидкости и аморфные твердые тела по отношению к рентгеновским лучам, опалесцирую- щие стекла или коллоидные системы по отношению к световым лу- лучам, атмосфера по отношению к радиоволнам) интерференция волн, рассеянных соседними областями пониженной или повышенной плотности, сказывается на виде картины рассеяния. Интерференция этого рода приводит к рассеянию, существенно отличному от иде- идеальной картины рассеяния единичным электрическим диполем. Мы рассмотрели рассеяние электромагнитных волн системой хао- хаотически расположенных частиц, рассеяние в однородной сплошной 340
среде и, наконец, рассеяние в неоднородной среде как промежуточ- промежуточный случай. Остается обсудить еще один важный пример: рассеяние электромагнитных волн на системах упорядоченно расположенных центров. Это будет сделано на примерах дифракционной решетки для световых волн, направленных излучателей для радиоволн и кристаллов для рентгеновских лучей. § 141. Дифракционная решетка - Дифракционную решетку можно изготовить из стеклянной пла- пластинки, покрытой тонким слоем алюминия. При помощи специаль- специальных машин на такую пластинку мягким резцом из слоновой кости наносятся штрихи, расположенные на равных расстояниях друг от друга. В такой «решетке» неоднородности (штрихи) расположены регулярно, и это приводит к ряду особенностей рассеяния света. Рис. 158, Мы будем говорить все время об оптической дифракционной решетке, однако излагаемые ниже соображения и факты относятся к регулярному расположению любых неоднородностей и рассеива- рассеивающих центров и к любым электромагнитным волнам, от кратчай- кратчайших до километровых. Ограничимся рассмотрением дифракции в параллельных лучах, способ осуществления которой был упомянут в § 137. Если все рассеивающие центры тождественны (в оптической ди- дифракционной решетке это несомненно имеет место), то расчет диф- дифракционной картины должен происходить следующим образом. Рассмотрим амплитуду волны, идущей под углом ф к падающей. Суммарная амплитуда сложится из амплитуд волн* рассеянных от- отдельными центрами. Если бы волны от отдельных центров прихо- приходили в точку наблюдения в одной фазе, то суммарная амплитуда равнялась бы произведению числа центров N на амплитуду отдель- отдельного центра /. Однако волна каждого центра сдвинута по фазе от волны соседнего центра (можно считать, что на одну и ту же вели- величину). Волны от разных центров будут интерферировать, и резуль- результирующая интенсивность будет равна не Nf2, a L/2, где L — вели- величина, которая будет больше N в тех направлениях, где волны уси- усиливают друг друга, и меньше N там, где они приходят по преиму- преимуществу в противоположных фазах и ослабляют друг друга. Направления, в которых волны от всех центров будут усиливать друг друга, находятся сразу же из рис. 158. Разность хода волн, 341
выходящих из двух соответственных точек, соседних центров, равна a sin ф. Волны будут усиливать друг друга, если эта разность хода будет равняться целому числу длин волн: a sin ф=яА, (условие мак- максимума). Таких направлений, как мы видим, будет несколько. Если на решетку падает волна не монохроматическая, то1 решетка разложит волну в спектр. При этом возникает не один спектр, а несколько. Число п, фигурирующее в написанном уравнении, назы- называют поэтому порядком спектра. Число п может равняться нулю (неотклоненный луч) и быть отрицательным. Первый и минус первый, второй и минус второй и т. д. спектры будут тождественны при простой геометрии опыта (плоская волна под прямым{углом). Вычисление распределения интенсивности рассеянной волны не- несколько громоздко. Остановимся лишь на важном вопросе о шири- ширине дифракционного максимума. Нас интересует, как быстро спадает интенсивность дифракционного максимума, возникающего при углах Ф, удовлетворяющих уравнению a sin ф=яЯ; переходит ли один максимум сразу же в следующий или между ними имеется достаточ- достаточно широкий провал? Рассмотрим практически важный случай ре- решетки, состоящей из большого числа рассеивающих центров (ще- (щелей). Разделим мысленно решетку на две части и будем сравнивать по фазе пары лучей, идущие от первого центра и (iV/2+l)-ro центра, второго центра и (AV2+2)-ro центра и т. д. При максимальном уси- усилении волн разность хода между парами таких лучей рарна (N12) rik. Если слегка изменить ход лучей и наклонить их так, чтобы разность хода возросла на V2 длины волны, то максимальное усиление скла- складывающихся волн заменится их полным уничтожением. Первая волна погасит (А72-Ы)-ю, вторая (Л72+2)-ю и т. д. Если мы отой- отойдем от положения максимума еще дальше, то, как показывает точ- точное вычисление, интенсивность и дальше останется практически равной нулю до тех пор, пока угол отклонения ф не приблизится к положению следующего максимума. Угол, при котором возникает максимум дифракции дг-го порядка, дается формулой пХ 81Пф Если обозначить через Дф угловую полуширину максимума, то для угла (ф+Аф) можно записать условие N / , * ч N я , X Y a sin (ф + Аф) = у пк + у. Отсюда значит, 342
Расстояние между двумя соседними максимумами определится выра- выражением sincp2 — sin cpx =— . Мы видим, что полуширина линии, грубо говоря, в N раз меньше расстояния между максимумами. При больших значениях N, т. е. в решетках, состоящих из большого числа рассеивающих центров, дифракционные линии исключительно узки и подробности в спектре, полученном от решетки, весьма велики. Представьте, например, что на решетку падает свет, в состав которого входят две близкие волны X и М-бА,. Для простоты положим, что речь идет о рассеянии при углах меньше 20° и sin ф^ф. Тогда можно сказать следующее: в я-м порядке эти две линии будут сдвинуты на угол бф, который, как видно из условия Э1Пф^ф = — , будет равен 6ф= — Ьк. Ширина максимума для каждой волны найдется из уравнения sin(<p + 6<p) — sirup» бф = -^. Ясно, что эти две линии будут видны раздельно (оптики говорят: будут разрешены), если — ОЛ ^ -ту- • а "^ Na Выражение 'klb'k—nN характеризует разрешающую способность ре- решетки. Пример. .В хорошей дифракционной решетке расстояние между штрихами а~10-3 мм, число штрихов N=100 000. Тогда разрешающая сила для спектра второго порядка V6^=ftJV=200 000. Это значит, что, например для Я=6000А могут быть различены две линии, разность длин волн которых равна 0,03 А. Остановимся теперь на интенсивности дифрагированного луча> Волны, направляющиеся в точку максимума, действуют в одной фазе. Если / — амплитуда волны, рассеиваемой одним центром, то суммарная амплитуда, идущая в направлении максимума, будет Л/у, а интенсивность — Л/2/2- Высота дифракционного максимума пропорциональна квадрату числа рассеивающих центров. Так как ширина максимума обратно пропорциональна N, то площадь его (интегральная интенсивность максимума) пропорциональна первой степени N. Если мы будем сравнивать между собой различные мак- максимумы, то увидим, что отношение их высот (или, что все равно, площадей) зависит от значения для этих направлений амплитуды / рассеяния одним центром. Таким образом, период решетки предопределяет места, где рас- расположены максимумы, а форма (в широком смысле слова) щели или рассеивающего центра определяет интенсивность максимумов. Допустим, что периодом решетки определены углы фь ср2, <р3 и т. д. Только под этими углами идут рассеянные лучи. Но какова будет интенсивность этих лучей для первого, второго и т. д. 343
344
порядков дифракции? Это зависит от значений амплитуды одного центра рассеяния для этих углов рассеяния. Может случиться так, что для угла ср2 амплитуда / будет в максимуме. Тогда второй по- порядок дифракции будет представлен сильной линией. Если под уг- углом ф3 амплитуда / близка к нулю, то, значит, линия третьего по- порядка будет отсутствовать в дифракционном спектре, и т. д. Иллю- Иллюстрацией сказанному может послужить рис. 159, на котором изоб- изображены для двух разных структур решетки дифракционные спектры и факторы рассеяния / одного центра (пунктир). На этих принципах основывается любого рода изучение струк- структуры с помощью дифракционных спектров. Расстояние между ди- дифракционными линиями позволяет найти период решетки (если, ко- конечно, известна длина волны), а интенсивности линий разных поряд- порядков позволяют судить о структуре рассеивающего центра. Пример. Дана дифракционная решетка а—3-10~3 мм, iV=1000, на кото- которую падает параллельный монохроматический пучок света ^=5000 А. Дифракци- . пХ п , онные максимумы будут видны под углами sin <prt — — = -х-, ширина дифрак- дифракционного максимума будет 2 уг— = ОЛЛА . Полученные результаты справедливы при любом виде рассеивающего центра. Для расчета относительной интенсивности дифракционных максимумов надо обратиться к конкретному виду рассеивающих центров. Рассмотрим два случая. 1. Рассеивающими центрами являются одинарные полоски шириной Ь = =а/4=0,75- 10~3мм(рис. 159, а). Формула интенсивности при дифракции на щели получена в § 137. Величина интенсивности пропорциональна квадрату амплитуды г> sin2 и nb . 1Я , рассеяния от одной полоски: /2 ~ ^— » и =-у sin ф. Интенсивность /г-го диф- дифракционного максимума определится величиной f\ в направлении срн, которое определится из уравнения s\nq>n—nl§. Если принять /о за 100, то для остальных интенсивностей получим /I = 80; /1 = 40; /1=8,9; /J=0; /1 = 3,2. 2. Рассеивающими центрами являются двойные полоски шириной Ь=а/4= =0,75-10~3 мм каждая. Период решетки а прежний (рис. 159, б). Ясно, что по- положение и ширина дифракционных максимумов не изменилась. Расчет, аналогич- si n^ и I ный проведенному в § 137, показывает, что для двух щелей f'2~ —^— 2 < 1 -f- + cos I -^- (b-{-c)sin ф >. Отсюда легко определить относительные интенсив- интенсивности дифракционных максимумов, по-прежнему полагая /о=100: /! = 12; /1 = 20; /1=7,5; /1 = 0, /2 = 2,7. § 142. Направленные излучатели радиоволн Для некоторых радиотехнических целей и прежде, всего для ра- радиолокации весьма существенно направить в пространство радио- радиолуч, сконцентрировав, таким образом, энергию генератора по воз- возможности в малом телесном угле. Один из способов решения этой 345
задачи состоит в использовании для этой цели правильной решетки антенн. Мы видели (§ 141), что при упорядоченном расположении рассеи- рассеивающих центров излучаемая энергия сосредоточивается в отдельных направлениях. Если расположить излучатели радиоволн в один ряд (рис. 160) с расстоянием а между двумя соседними антеннами и добиться такого положения, при котором все антенны работали бы синхронно, то подобная решетка излучателей не будет ничем отличаться от рассеивающей дифракционной решетки. То обстоя- обстоятельство, что в случае антенны мы имеем дело с первичными волна- волнами, ни в какой степени не меняет рассуждений предыдущего Рис. 160. Рис. 161. параграфа, лишь бы излучения от различных антенн можно было считать когерентными, что возможно, если антенны питаются син- синхронно от генератора колебаний. - Если расположить антенны достаточно густо, так чтобы расстоя- расстояние между соседними диполями было меньше длины волны, то уже первый порядок дифракции, согласно уравнению asin(p~nX, становится невозможным. Остается лишь нулевой порядок. Это зна- значит, что имеются лишь два максимума излучения, один из которых составляет угол 0°, а другой — угол 180° с направлением нормали к решетке. Сказанное в § 141 о ширине максимума остается в силе и здесь, т. е. чем больше общее число излучателей, тем уже будет те- телесный угол, в котором интенсивность луча достигает заметного значения. Однако практически неудобно, что одинаково сильное излучение может иметь место в двух противоположных направлениях. Чтобы выйти из этого положения, изготовляют сдвоенную решетку диполей (рис. 161). Каждую пару антенн располагают на расстоянии, равном V4 длины волны. При этом в паре диполей токи сдвинуты по фазе на 90°. При этих условиях один из двух максимумов уничтожится и вся энергия будет передаваться лишь внутри одного дифракцион- дифракционного максимума. Действительно, при таком устройстве каждая пара диполей будет находиться в следующих фазовых соотношениях. Для волны, идущей «вперед»: если бы волны посылались синхронно, то 346
между ними была бы разность хода V4 волны; однако антенны ра- работают не синхронно и волна, излучаемая «передним» диполем, от- отстает на 90°, чем компенсирует свое опережение по разности хода. Другое положение будет для волны, посылаемой «назад». Сдвиги по разности хода и по фазе в изменении тока антенны наложатся друг на друга; следовательно, результирующая разность фаз будет 180° и излучение, идущее назад, пропадет. Рис. 162. Если антенны расположены в линейный ряд, то можно добиться хороших результатов для ширины луча в плоскости, перпендику- перпендикулярной к антеннам. Если же мы хотим добиться узости радиосиг- радиосигнала и в пространстве, то приходится прибегать к более сложным системам вибраторов. Этим и объясняется причудливый вид радио- радиоизлучателя локатора (рис. 162). § 142а. Голография Волна, рассеянная каким-либо объектом, несет богатую инфор- информацию о свойствах объекта. Исходя из принципа Гюйгенса, «можно строго доказать, что распределение амплитуд и фаз волны на фронте волны в любое мгновение процесса ее распространения исчерпываю- исчерпывающим образом характеризует рассеивающие свойства объекта. Когда объект фотографируется, часть информации, которую несет волна, теряется. Почернение фотопластинки пропорционально квадрату амплитуды волны (т. е. интенсивности), пришедшей в данную точку фотопластинки, и. не зависит от фазы волны. Фотопластинка дает двумерное изображение трехмерной картины. Ясно, что су- существенная часть сведений об объекте теряется при фотогра- фотографировании. U7
Вместо процесса фотографии в 1947 г. Д. Габором был предло- предложен процесс голографии, который стал практически осуществи- осуществимым после открытия лазера. Голография — двухстадийный процесс. Сначала с объекта сни- снимается голограмма, далее голограмма освещается и возникает трех- трехмерное отображение объекта,в принципе неотличимое от него. Голограммой называется интерференционная картина, получаемая на фотопластинке в результате интерференции первичного и рассеянного лучей. Заставить интерферировать рассеянный луч и первичный можно самыми разными спосо- способами. В простейшей схеме мы можем часть плоского фронта лазерной волны закрыть приз- призмой, а другую часть — рассеи- рассеивающим объектом (рис. 162а). Когерентность излучения ла- лазера позволит получить на фотопластинке какую-то ин- интерференционную картину, ко- которая будет иметь вид, подоб- подобный показанному на рис. 1626. Если убрать рассеивающий объект, то интерференционная картина имела бы вид линий, параллельных ребру призмы, с расстоянием между линиями, которое легко выразить (ср. стр. 321) через угол призмы. Можно сказать, что рассеяние от объекта «модулировало» эту простую интерференционную картину. Рис. 162в. Картина из чередующихся черных и светлых полос напо- напоминает нам дифракционную решетку. Поэтому нетрудно согласиться г тем, что при падении света на голограмму возникнут неотклоненный луч, а также спектры плюс и минус первого порядка. Можно пока- показать, но мы не будем на этом останавливаться, что высокие порядки спектра будут отсутствовать и что один из спектров будет представ- представлять собой расходящийся реконструированный волновой фронт световой волны, рассеянной объектом. Другая волна будет сходя- сходящейся и создаст реальное изображение объекта, которое мо- 348
жет наблюдаться с теми же возможностями, что и сам объект (рис. 162в). В настоящее время интенсивно исследуются различные приме- применения голографии. Ясно, например, что голограммы могут легко передаваться на любые расстояния и реконструкция изображения может производиться вдали от объекта. На одну и ту же пластинку разными длинами волн и разными наклонами первичного луча могут быть записаны изображения разных объектов. Голография является очень емким способом хранения информации. Голографическая микроскопия свободна от огромного недо- недостатка обычной микроскопии — необходимости фокусирования. По- Получив объемную голограмму, мы можем, не торопясь, рассматри- рассматривать ее в микроскоп, изучать в деталях все срезы объекта, хотя полученный снимок относится к какому-то зафиксированному мгно- мгновению. Не приходится доказывать значимость такого метода иссле- исследования при наблюдении живых объектов. ГЛАВА 22 ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ НА КРИСТАЛЛЕ*) § 143. Кристалл как дифракционная решетки Дифракционной решеткой называют обычно, как мы говорили, кусочек стекла с нанесенными на равных расстояниях царапинами. Что здесь существенно для получения типичной дифракционной кар- картины, обсуждавшейся выше? Наличие стекла, форма царапин, тол- толщина стекла или ширина «щели»? Вдумываясь в текст § 141, мы видим, что существенным является периодическое повторение неод- неоднородности рассеивающего вещества. Действительно, что бы ни яв- являлось причиной рассеяния, какой бы характер ни имела неодно- неоднородность вещества, но если эти неоднородности будут регулярно повторяться через период а, то максимумы рассеяния будут иметь место под углами ср, удовлетворяющими уравнению a sin ср = /Л. Такую картину дадут царапины любой формы, нанесенные на любом стекле, любые щели, проделанные во всяком экране. Важно лишь одно: распределение вещества должно повторяться с периодом а. Правда, некоторые различия в картинах могут иметь место. Ин- Интенсивности лучей, дифрагированных в разных порядках, могут быть разными в зависимости от формы щели. Распределение веще- вещества внутри повторяющейся неоднородности сказывается на интен- интенсивности рассеяния /2, которая для разных порядков может иметь различные значения. Напомнив результаты § 141, перейдем к кристаллу. Основная особенность кристалла, выделяющая его среди других тел,— это периодическое распределение вещества. Вдоль любого *) Перед чтением гл. 22 и 23 рекомендуется просмотреть гл. 32. 349
направления кристалла средняя во времени плотность электронов периодически повторяется. В простейшем случае распределение электронной плотности будет выглядеть так, как показано на рис. 163. Это — электронная плотность (число электронов на куби- кубический ангстрем) на линии, параллельной ребру кубика каменной соли. Максимум электронной плотности соответствует центру атома. Большой максимум — это атом хлора, маленький — атом натрия. Через атом картина повторяется, период электронной плотности вдоль линии равен 5,6 А. Подобная картина дает представление о распределении электронной плотности вдоль одной линии. Вдоль слегка сдвинутой параллельной линии плотность будет уже другой. 100 on oU 60- -10 ?0 \ \ \ f ^ / \ \ ч 1 { ) а Рис. 163. Однако кристалл — трехмерное образование, и повторяющийся элемент его — трехмерная элементарная ячейка. Мы не можем изо- изобразить графически электронную плотность элементарной ячейки. Достаточно знать, что ячейки повторяются в пространстве. Сход- Сходство и различие между кристаллом и дифракционной решеткой очевидны. Кристалл — это трехмерная дифракционная решетка, в ко- которой неоднородный элемент регулярно повторяется не вдоль линии, а в трех измерениях. Роль «щели», т. е. повторяющейся неоднород- неоднородности, играет элементарная ячейка кристалла. Нас интересуют закономерности дифракционной картины, созда- создаваемой кристаллом. Рентгеновские лучи рассеиваются электронами. Неоднородности в электронной плотности таковы, что длины волн порядка 1—2 А дадут отчетливую дифракцию. Чтобы найти направления, в кото- которых возникают дифракционные лучи, надо сложить элементарные волны, идущие от всех ячеек. Амплитуды этих волн для данного направления, разумеется, одинаковы. Сложность задачи заключа- заключается в том, что необходимо учесть разности фаз между волнами, рас- рассеиваемыми отдельными ячейками. Эти волны надо сложить для каждого направления и выделить те направления, в которых волны максимально усиливают друг друга. 350
-Задачу можно решить разными способами, поскольку можно при- придумать разные последовательности суммирования ячеек. Допустим, можно сначала просуммировать волны от ячеек, идущих вдоль ребра а, потом сложить волны от всех ячеек в плоскости аЪ и т. д. Мы изберем другой путь, наиболее простой, предложенный основа- основателями рентгеновского структурного анализа — английскими уче- учеными отцом и сыном Брэггами; независимо от них ту же идею пред- предложил русский кристаллограф Вульф. В кристалле всегда можно бесчисленным количеством способов провести плоскости, проходя- проходящие через узлы решетки. Между двумя соседними плоскостями за- заключен слой, повторением которого вдоль нормали строится кри- кристалл. Проведем нормаль к слою и мысленно спроектируем электрон- электронную плотность на направление нормали. Ясно, что ддоль нормали возникнет периодическое распределение электронной плотности. Период d уместно назвать межплоскостным расстоянием. т т Рис. 164. Условие максимального усиления волн, рассеянных ячейками, входящими в состав одного слоя: угол падения должен быть равен углу отражения. Такой вывод мы делаем на основании принципа Гюйгенса; только при сформулированном условии рассеянные волны будут распространяться в одной фазе и складываться. Волны после- последующих слоев будут усиливать друг друга при некоторых допол- дополнительных условиях. Из рис. 164 видно, что разность хода лучей, «отразившихся» от двух соответственных элементов соседних слоев, равна 2d sin 0. Таким образом, дифракционные лучи имеют место при условии Дифракционный луч возникнет в том случае, если из бесчислен- бесчисленных систем плоскостей, на которые можно разбить кристалл, най- найдется такая система, которая будет удовлетворять уравнению 2dsin Q=n%. Разумеется, возможны случаи, когда одновременно не- несколько систем плоскостей будут удовлетворять этому требованию. 351
Однако скорее всего при произвольном направлении монохроматиче- монохроматического луча дифракция не возникнет, и при желании наблюдать ди- дифракцию придется поворачивать кристалл в поисках подходящего угла 0. Пример. Межплоскостное расстояние в кристалле кальцита равно 3,029 А. При рентгеноструктурном анализе часто применяется излучение от медного анода с длиной волны 1.54 А. Это значит, что дифракционный максимум первого порядка будет соответствовать углу 6 = arcsin — я& 14°40\ § 144. Определение параметров элементарной ячейки кристалла Определяя на опыте углы 20, образуемые дифрагированными лу- лучами в кристалле, можно найти (если X известно) межплоскостные расстояния, существующие в кристалле, и таким образом определить периоды повторяемости структуры в любом направлении. Если решетка — кубическая, то она характеризуется одним пара- параметром — ребром куба. Ромбическая решетка задается тремя вза- взаимно перпендикулярными периодами а, Ь, с. Устанавливая кристалл надлежащим образом к лучу, можно под- подвести под отражение любую систему плоскостей, в том числе и пло- плоскости, параллельные основным граням (ab, bcy ас) решетки. Ряд подобных измерений позволяет всегда уверенно «прощупать» ре- решетку, измерить длину ребер и (в случае низкой симметрии) углы между ребрами элементарной ячейки. Эти измерения представляют существенный интерес. Если изме- измерен объем ячейки кристалла V и известна плотность вещества б, то мы сразу же находим M = V8 — массу вещества, находящегося в ячейке. Поделив на массу атома водорода тн=1,67-10~24 г, найдем молекулярный вес содержимого ячейки. Но число молекул в ячей- ячейке, разумеется, не может быть дроб- дробным. Кроме того, во многих случа- случаях соображения симметрии ограни- ограничивают возможные числа молекул. Например, в ромбической ячейке число молекул не может быть мень- меньше четырех. Таким образом, изме- измерения ячейки позволяют делать важные суждения о молекулярном весе вещества. В простейших случаях определение элементарной ячейки ре- решает задачу определения структуры. На рис. 165 изображена элементарная ячейка железа, показаны расстояния между атомами. Эти сведения сразу же получаются од- одним лишь измерением межплоскостных расстояний. Исследователь 352 Рис. 165.
рассуждает следующим образом. Кристаллик железа —- кубический; измерим основное межплоскостное расстояние для системы плоско- плоскостей, параллельных грани куба. Опыт дает цифру 1,4 А. Посчитаем, сколько атомов железа приходится на кубик с ребром 1,4 А. Масса атома железа mFe=92,6-104 г, плотность железа 6Ре=7,88г/см3. На кубик объемом A,4K- 10~24см3 приходится масса A,4K-10~24- 7,88= =21,7-10—24 г. Но это число в четыре раза меньше массы атома железа. Значит, элементарная ячейка железа имеет ребро больше 1,4 А. Попробуем предположить, что она больше в два ораза. Тогда ребро куба сбудет 2,8 А и на одну ячейку будут приходиться два атома. Так как кристалл — кубиче- кубический и обладает симметрией оси четвертого порядка (см. стр. 563), то этот второй атом может нахо- находиться лишь в центре элементар- элементарного куба. Проверим справедли- справедливость предположения о двух ато- атомах в ячейке. Если оно верно, то диагональное межплоскостное рас- расстояние, показанное на рис. 166, должно равняться 1,4 V2 А. Опыт дает эту цифру, что и доказывает модель структуры. Для многих металлов, сплавов, простых солей с формулой типа А В довольно часто оказывается достаточно подобных элементарных соображений для определения взаимного расположения атомов. Если же в ячейке много атомов и форма ячейки не кубическая, то задача определения структуры может быть решена лишь при ис- использовании данных не только о геометрии дифракционной кар- картины, но и об интенсивностях лучей. § 145. Интенсивность дифракционных лучей Аналогично тому, как это имело место для линейной решетки, интенсивность луча, дифрагированого кристаллом, равна N2F2, т. е. пропорциональна квадрату амплитуды F2 волны, рассеянной одной элементарной ячейкой кристалла в данном направлении, а также квадрату числа элементарных ячеек в просвечиваемом объеме. Величина F2 однозначно связана со структурой кристалла, т. е. с характером распределения в ячейке электронной плотности. Как уже говорилось выше, величина F2 для данного дифракци- дифракционного луча (для данной системы «отражающих» плоскостей) зави- зависит от проекции электронной плотности на направление нор- нормали. Разобьем слой кристалла параллельными плоскостями на Рис. 166. 12 А. И. Китайгородский 353
бесконечно тонкие слои dz. Если р — электронная плотность ячейки, то pdz — число электронов ячейки, попавших в слой dz. Все электроны одного тонкого слоя рассеиваются в одной фазе и f Г f 'g Рис. 167. дают волну pdz cos (оо/+ф). Амплитуда волны одной ячейки есть d F = j p cos (Ы + ф) dz. о Интеграл берется вдоль одного периода (межплоскостного расстоя- расстояния); значения р и ф для каждого z различны. 354
Мы не будем разъяснять, как решается задача определения электронной плотности кристалла во всех точках элементарной ячейки. Во всяком случае основой решения служит написанное"" равенство. Оно позволяет вычислить амплитуду любого дифрак- дифракционного луча, если известна электронная плотность кристаллов. Нужной, однако, является обратная задача: нахождение элек- электронного распределения в кристалле по найденным на опыте интен- сивностям дифрагированных лучей. Эта задача решается с успехом для весьма сложных кристаллов, содержащих до сотни атомов в эле- элементарной ячейке. У кристалла антрацена была измерена интенсивность примерно 600 дифракционных лучей. При помощи этих данных были найдены значения электронной плотности во всех точках ячейки. На рис. 167 изображено сечение электронной плотности, проведенное через центры атомов одной из молекул антрацена. (Для вычерчивания электронной плотности использован прием, который принях у гео- географов для изображения гористой местности. Линии равных высот на карте электронной плотности соответствуют равным плотностям электронов.) Четырнадцать отчетливых вершин — это четырнад- четырнадцать атомов углерода, находящихся, как показывает исследова- исследование, на расстояниях 1,4 А друг от друга. Высота максимума элек- электронной плотности-пропорциональна числу электронов в атоме. Атомы углерода содержат по шести электронов, атому водорода принадлежит один электрон. Десять пиков, из которых некоторые лишь намечаются, соответствуют центрам десяти атомов водо- водорода, входящих в молекулу антрацена, химическая формула ко- которой С14Ню. § 146. Методы рентгеновского анализа Измерения углов 26, образованных дифрагированными лучами с падающим на кристалл лучом, а также их интенсивностей можно производить как с помощью ионизационной камеры (см. стр. 504), так и фотографическим методом. Фотопленки, фиксирующие одно- одновременно след многих дифракционных лучей, называются рентге- рентгенограммами. Но каким же способом можно получить на одной пленке следы нескольких лучей, если при фиксированном положении кристалла по отношению к лучу условие nX=2d sin Э, как было сказано выше, скорее всего не будет выполнено ни разу? Для этой цели имеются три возможности: 1) вращать кристалл, подставляя разные системы плоскостей в отражающее положение; 2) облучать кристалл сплошным спектром длин волн, лежащих в достаточно широком диапазоне от Х3 до Х2, с тем, чтобы почти каждая система плоскостей нашла «подходящую» длину волны в спектре; 12* з:,5
3) получить рентгенограмму порошка, в котором условие диф- дифракции для любого d всегда будет выполнено для некоторых кри- кристалликов. Первый метод называется методом вращения кристалла, вто- второй носит Ихмя Лауэ — немецкого физика, с именем которого свя- связано открытие дифракции лучей, и третий есть метод порошка, или дебаевский метод (по имени Дебая, открывшего этот метод). Метод Лауэ имеет крайне ограниченное применение. Практически исполь- используются методы вращения для изучения структуры кристаллов, т. е. Рис. 168. определения взаимного расположения атомов, и дебаевский метод для специфических задач, возникающих при исследовании мелкокри- мелкокристаллических веществ. Цель рентгенограммы вращения — собрать на одну пленку дан- данные о существующих межплоскостных расстояниях и интенсивно- стях соответствующих лучей. Однако нужно еще знать, как распо- расположена система плоскостей по отношению к осям кристалла. Для этого не только надо знать, где на пленке находится пятно, но и в какое мгновенное положение кристалла оно возникло. Чтобы рентгенограмма давала и эти сведения, пленку перемещают во время съемки. Такие методы съемки называются рентгенгониомет- рическими. Рентгеноструктурные исследования мелкокристаллических ве- веществ применяются гораздо чаще, чем исследования монокристалла. Происхождение рентгенограммы порошка (дебайграммы) показано на рис. 168. Остановим свое внимание на определенной системе плоскостей с расстоянием между плоскостями d и нормалью п. Пусть в объекте 355
имеются кристаллики со всевозможными направлениями п. Луч, «отраженный» от плоскости, будет создан не всеми кристалликами, а лишь теми из них, у которых плоскости находятся под углом Ф к лучу, удовлетворяющим условию 2dsin ft^ni. Соответственно нормали к этим плоскостям образуют с первичным лучом угол 90°—д. В отражающем для плоскостей d положении будут нахо- находиться все кристаллики, нормали которых лежат на конусе с углом раствора 2 (90°—Ф). Соответственно и «отраженные» лучи создадут конус с углом раствора 4й. Пересекаясь с пленкой или фотопластин- фотопластинкой, эти конусы дают кольца. Если нас интересуют углы й не более 20—25°, то рентгенограмму можно снимать на плоскую пластинку; снимок имеет вид системы концентрических колец. Если же требуются сведения о всевоз- всевозможных межплоскостных расстояниях и мы хотим проанализиро- проанализировать рассеяние во всем возможном интервале углов, то применя- применяются камеры с цилиндрической пленкой. Высота пленки берется небольшой, и мы видим на ней лишь части колец. Если для той или иной проблемы важно определить межпло- межплоскостное расстояние поточнее, то прибегают к так называемой зад- задней съемке, т. е. к такому эксперименту, в котором на пленке фик- фиксировались бы самые широкие дифракционные конусы с углом раст- раствора, близким к 360°. На пленке измеряют углы рассеяния Фс некоторой неизбежной ошибкой измерения Ад. Посмотрим, как отражается величина этой ошибки на определении величины межплоскостнрго расстояния. Дифференцируя условие дифракции 2d sin<ei=nA,, получим: Мы видим, что точность в измерении межплоскостного расстояния быстро растет при приближении угла # к 90°. Измерить угол диф- дифракции с точностью порядка 0,1° не представляет труда. Из послед- последнего уравнения видно, что по линиям, углы Ф которых равны 65°, 75° и 85°, межплоскостное расстояние будет измерено с точностью соответственно 0,13%, 0,08% и 0,05%. В специальных камерах метод задней съемки дает весьма хорошие результаты: позволяет устанавливать межплоскостные расстояния с точностью до 0,00001 А. Для получения наилучших успехов подбирают длину волны излу- излучения так, чтобы угол рассеяния приблизился к 90°. Все три вида дебаевской съемки широко применяются в мате- материаловедении и вопросах изучения строения вещества. Для каждого вещества характерна определенная, только для него типичная сис- система Линий. Фазовое превращение влечет за собой исчезновение одной системы линий и появление другой. Появление новой фазы также будет замечено рентгенограммой. Фазовый анализ — одно из важнейших применений этих съемок. Предположим теперь, что кристаллики в веществе имеют преиму- преимущественную ориентацию. Тогда нормали п той или иной системы 357
плоскостей уже не принимают все возможные направления в про- пространстве и не заполняют равномерно конус нормалей, который был показан на рис. 168. Но если конус нормалей не будет заполнен сплошным образом, то то же самое произойдет и с конусом дифра- дифрагированных лучей. Поэтому на пленке мы увидим не сплошные, а прерывистые кольца. Такие кольца — признак преимущественной ориентации кристалликов, так называемой текстуры. При помощи дебаевского метода можно детально изучать характер предпочти- предпочтительной ориентировки кристалликов, возникающей, как правило, при различного рода пластической деформации. Размер кристалликов также сказывается на виде картины. Если кристаллики очень крупные, то кольцо рентгенограммы не выглядит сплошным: оно распадается на точки,* каждая из которых есть след «отражения» от отдельного кристаллика. Если же кристаллики очень маленькие (порядка 10-б~10~6 см), то, как показывает те- теория, линии дебайграммы начинают разрываться. Разработаны методы оценки среднего размера кристалликов по этим данным. Для аналитических целей возникает в ряде случаев еще одна задача: построить аппаратуру таким образом, чтобы можно было исследовать рентгеновский спектр, излучаемый веществом. Как будет выяснено позднее (см. стр. 471), каждое вещество способно создавать характеристический спектр рентгеновских лучей. Спек- Спектры атомов разного сорта существенно отличаются друг от друга. Это обстоятельство может быть использовано для производства ка- качественного и количественного анализа. Для того чтобы решить эту задачу, пользуются рентгеноспектрографами — установками, в ко- которых большой кристалл ставится в «отражающее» положение своей гранью, межплоскостное расстояние для которой хорошо известно. Поворачивая этот кристалл и измеряя интенсивность дифракции для каждого угла, можно найти (по значению угла #), какие длины волн присутствуют в спектре исследуемого вещества и с какой ин- интенсивностью. ГЛАВА 23 ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ § 147. Анизотропия поляризуемости Если вещество находится в электрическом поле, то связанные заряды (электронные оболочки молекул) смещается со своих поло- положений равновесия, образуя электрические диполи. Когда на стр. 226 мы обсуждали явления поляризации диэлектрика, мы говорили о смещении электрических зарядов вдоль силовых линий. Однако не- нетрудно понять, что в реальных молекулах дело может обстоять сов- совсем не так. Если атом имеет сферически симметричное электронное облако, то оно действительно будет в одинаковой степени смещаться 358
в любом направлении. Про такой атом мы скажем, что поляризуе- поляризуемость его изотропна. Ясно, что даже для двухатомной молекулы по- подобная изотропия не может иметь места: характер связи электронов вдоль и поперек линии, соединяющей эти два атома, различен и, следовательно, разные значения будут иметь и поляризуемости. В зависимости от направления электрического вектора по отноше- отношению к оси молекулы величина поляризуемости, а значит, и смеще- смещения (дипольного момента) будет разной. Существенно также и то обстоятельство, что направление сме- смещения и направление электрической силы, вообще говоря, совпа- совпадать не будут. Это можно иллюстрировать механической моделью шарика, закрепленного на двух перпендикулярных пружинах раз- разной жесткости. Пусть, например, сила действует под углом 45° к связям. Тогда вдоль связей действуют равные силы. Но жесткость горизонтальной пружины, скажем, в три раза больше жесткости второй пружины. Тогда вертикальное смещение будет в три раза больше горизонтального и вектор смещения образует значительный угол с вектором электрической силы. Таким же точно образом ин- индуцированный дипольный момент образует угол с направлением на- напряженности Е. Почти все молекулы обладают анизотропной поляризуемостью, однако она появляется далеко не во всех случаях. Если речь идет о жидкости, аморфном теле или газе, то анизотропия индуцирован- индуцированной поляризуемости не проявится. Действительно, каждой молекуле с дипольным моментом, отклонившимся «влево», можно будет найти парную с моментом, отклонившимся «вправо». Суммарный же ди- дипольный момент такой пары молекул, а значит, и дипольный момент * в единице объема (т. е. вектор поляризации Р), будет смотреть вдоль вектора ?. Однако и при упорядоченном расположении молекул в кристал- кристаллах анизотропия поляризуемости молекул не обязательно даст о себе знать. Кубические кристаллы обладают изотропией поляризуемости. Для них равенство Р=аЕ остается в силе так же, как и для изо- изотропных тел. Чтобы это стало понятным, рассмотрим молекулы, у которых электроны могут смещаться лишь в одном-единственном направлении. Симметрия кубического кристалла такова, что в нем мы всегда найдем молекулы, оси поляризуемости которых составля- составляют 90°. Рассмотрим три такие молекулы, оси поляризуемости кето- рых идут вдоль осей х, у, г декартовой системы координат. При на- наложении произвольно направленного поля Е эти молекулы поля- поляризуются и дадут диполи с моментами |3? cos ф1? $Е cos ф2 и $Е cos ф3, поскольку момент пропорционален проекции Е на направ- направление поляризации. Суммарный дипольный момент этих трех ди- диполей мы получим, складывая их векторно. Но фх, ф2, ф3суть углы вектора Е с осями координат. Значит, суммарный момент этих мо- молекул имеет длину Е у Р2 (cos2 фг -f cos2 ф2 -f cos2 ф3) = р? 359
и направлен вдоль Е. Суммируя по всем молекулам, придем к тем же выводам в отношении вектора поляризации Р и поляризуемости а в единице объема. Рассмотрим теперь кристаллы с особой осью — кристаллы, при- принадлежащие к тетрагональной и гексагональной сингонии. Для оп- определенности будем говорить о первой из них, т. е. положим, что каждая молекула имеет еще три эквивалентные, связанные с ней осью симметрии четвертого порядка. Положим, опять-таки для простоты рассуждения, что молекула способна поляризоваться лишь вдоль одной оси. Остановим свое внимание на чет- четверке молекул, оси поляризуемости которых образуют угол е с? особой осью (рис. 169). Изучим поведение этих молекул в электрических полях разного направления. Если вектор Е направлен вдоль особой оси, то поля- поляризация будет пропорциональна cos e. При этом ввиду симметрии располо- расположения суммарный дипольный момент ис* ' этих молекул будет параллелен Е, а значит, и вектор поляризации будет параллелен Е: где а„— поляризуемость для этого направления поля, создаваемая уже всеми молекулами. В проекции на плоскость, перпендикулярную к главной оси, оси поляризуемости образуют между собой прямые углы. Поэтому здесь будут справедливы выводы, которые мы получили, обсуждая куби- кубический кристалл. А именно, поляризуемость будет одной и той же для всех направлений Е в плоскости, перпендикулярной к главной оси. Если Е перпендикулярно к главной оси, то вектор поляриза- поляризации Р опять-таки параллелен Е: В то время как поляризуемость молекул вдоль оси пропорцио- пропорциональна cos е, поляризуемость молекул в направлении, перпендику- перпендикулярном к оси, пропорциональна sin e. Это и приводит к различию а„ и а±. Что же будет, если поле Е наклонено к главной оси кристалла? Ввиду различия поляризуемостей а„ и ах вектор Р не может уже совпасть по направлению с полем; значение а также будет другим. Зная ап и а±, можно вычислить а для произвольного направле- направления. Мы не станем рассказывать, как это сделать в общем виде, но приведем числовой пример. Для кристалла исландского шпата (кальцита) ах=0,139, ап-= =0,095. Пусть вектор Е образует с плоскостью, перпендикулярной 360
к особой оси, угол 30° и направлен, как показано на рис. 170. Тогда вектор поляризации в указанной плоскости Px = ax?_L==0,139-? cos 30° = 0,120?. Вычислим перпендикулярный к нему вектор поляризации по на- направлению особой оси: Р „ = а „ ? „ = 0,095 • Е sin 30° = 0,0475 ?. Следовательно, суммарный вектор поляризации Р образуете пло- плоскостью угол arctg ' ^21°40'. Это значит, что между Р и Е Рис. 170. Е образовался Р = У Р 8°20'. Величина вектора поляризации Р\ = 0,129?, т. е. в этом случае поляризуемость угол а=0,129. Если же Е будет направлен под углом в 45Э к особой оси, то поляризуемость а еще более уменьшится в сравнении са^и станет равна а=0,120, а угол между Е и Р будет 10°30'. При выбранном на рис. 170 направлении вектора Е углы, обра- образуемые этим вектором с осями поляризуемости молекул, будут раз- различными: для пары молекул, расположенных слева, эти углы будут больше. Поэтому правая пара молекул поляризуется сильнее. То обстоятельство, что поляризуемость кристалла обладает сим- симметрией оси четвертого порядка, не означает симметрии вкладов отдельных молекул в величину поляризуемости при произвольном направлении поля. Итак, величины поляризуемостей будут разными в разных на- направлениях. Это влечет за собой важные следствия: поляризуемость однозначно связана с диэлектрической проницаемостью, а е опре- определяет показатель преломления (см. § 125; е=п2), т. е. скорость распространения волны в кристалле; значит, электромагнитная 361
волна распространяется в кристалле с разной скоростью в разных направлениях. Тетрагональные и гексагональные кристаллы (в оптике их вы- выделяют под названием одноосных) обладают следующей особенно- особенностью: все направления, возникающие друг из друга поворотом около главной оси, оптически эквивалентны. В кристаллах более низкой симметрии эта особенность отсутствует. В одноосных кристаллах имеется одно особое направление и перпендикулярная к нему особая плоскость. Если вектор Е лежит в этом направлении или в этой плоскости, то Р\\Е (и, следователь- следовательно, D\\E). В остальных кристаллах, как показывает анализ, можно выделить лишь три особых взаимно перпендикулярных направле- направления, в которых Р\\Е. § 148. Распространение света в одноосных кристаллах Расщепление светового поля на две волны. Мы ограничимся изучением явлений, происходящих при падении света на грань кри- кристалла, вырезанную двумя способами: перпендикулярно к главной оси и параллельно главной оси. При распространении света вдоль главной оси мы не обнаружим каких-либо особенностей, отличающих его от распространения вол- волны в изотропных телах. Электрический вектор создает поляриза- поляризационные колебания диполей в направлении, перпендикулярном к главной оси. Значит, зрлна будет распространяться со скоростью vo=c/no, где п0 = V^i, а е± есть диэлектрическая проницаемость для направления, перпендикулярного к оси. Показатель преломле- преломления п0 и скорость света vo названы обыкновенными. Учитывая, что ? = 1+4яа,-для исландского шпата найдем: пв= = 1,658. Это значит, что o0=l,8MOw см/с. Прохождение света через кристалл в направлении главной оси не меняет поляризационного состояния света. Естественный свет остается, каким был. Направление колебаний электрического век- вектора у поляризованной волны не меняется. Простота рассматриваемого случая характерна для одноосного кристалла. Здесь любое поляризационное состояние падающей вол- волны способно возбудить колебания в плоскости, перпендикулярной к главной оси. А для одноосного кристалла всем таким колебаниям соответствует одна и та же поляризуемость молекул и, значит, одно значение г и я. Остановимся теперь на случае нормального падения луча на грань, параллельную главной оси. Различно поляризованные волны ведут себя по-разному. Рассмо- Рассмотрим поведение линейно поляризованного луча. Если электрический вектор перпендикулярен к оси, то свет будет распространяться с той же скоростью v0, что и в предыдущем случае. Если же элек- электрический вектор параллелен оси, то поляризация диполей будет SC2
происходить вдоль оси, для которой диэлектрическая проницаемость имеет другое значение еи. Следовательно, этому направлению рас- распространения "соответствует другое значение скорости ve—c/ne и другое значение показателя преломления яг — У г„. Эти скорость и показатель называются необыкновенными. Причины названий будут ясны ниже. Кристаллы, у которых ve<jo0, называют оптически положитель- положительными; наоборот, для случаев ve>v0 используется название «отри- «отрицательные кристаллы». Для исландского шпата пе= J^l +4jxap =1,486, 1^ = 2,02.1010 см/с. Исландский шпат является отрицательным кристаллом, так как ve>v0. Эллиптическая поляризация. Что же произойдет в том случае, если на грань упадет волна, электрический вектор Е которой обра- образует угол ф с направлением главной оси (рис. 171)? Опыт показывает (и это может быть предсказано урав- уравнениями Максвелла), что электромаг- электромагнитная волна расщепляется на две. Вектор Е надо разложить на состав- составляющие Е sin ф и Е cos ф. Первой будет соответствовать волна, идущая со скоростью vo, а второй — волна со скоростью ve. Это обнаружится по разности хода между двумя волнами, возникшими расщеплением падающей. Если толщина кристалла /, то возник- возникнет разность фаз Ь = -^-1(пв—п0). Таким образом, по выходе из кристалла поляризационное состоя- состояние волны существенно изменилось: на кристалл падал линейно поляризованный свет, а прошедший свет является комбинацией двух волн, имеющих взаимно перпендикулярные направления ко- колебаний и сдвинутых друг по отношению к другу на б. Что же это за своеобразное поляризационное состояние? Такой свет назы- называется эллиптически поляризованным, так как конец электрического вектора описывает эллиптическую спираль. Действительно, если электрический вектор одной из волн записать как У i Ei ? Рис. 171. то для второй волны электромагнитное колебание в плоскости, пер- перпендикулярной к лучу, будет иметь вид Еу=^Е cos ф cos (at + 8). Задача сложения таких колебаний решалась нами (см. стр. 94). Точка, участвующая в двух таких колебаниях, описывает эллипс. То же относится и к концу электрического вектора, но так как волна движется вперед, то конец вектора Е описывает эллипс 363
в проекции на плоскость, перпендикулярную к лучу. В простран- пространстве конец вектора Е описывает эллиптическую спираль, наверты- навертывающуюся на направление луча. Для получения этим способом света, поляризованного по кругу, пользуются «пластинкой в четверть волны». Так называется пла- пластинка, которая дает разность хода в К/4 волнам, идущим со ско- скоростями vo n ve. Толщина такой пластинки должна удовлетворять равенству -j-1 (п0—пе) = -^ + тл. Если на такую пластинку падает линейно поляризованный луч и притом такой, у которого вектор Е образует угол 45° с направле- направлением главной оси кристалла, то разложение этого вектора дает: , = T7= sin о)/, т. е. " 2 ^ " А это — уравнение окружности. Значит, описанные эксперименталь- экспериментальные условия преобразовывают линейно поляризованный свет в свет, поляризованный по кругу. Двойное лучепреломле- лучепреломление. Давно известное явле- явление раздваивания объектов при рассмотрении через про- прозрачный кристалл показы- показывает, что расщепление на две волны может происхо- происходить не только по скоростям распространения, но и по уЛмещение направлениям лучей в про- „_»,/„„ странстве. Двойное луче- лучепреломление наблюдается при нормальном падении света на грань кристалла (отшлифованную или есте- естественно образованную) под углом к оптической оси. Явление можно исследовать также при помощи пластин- 'смещеше ки>'вырезанной параллель- е-луча но оси, заставляя свет па- падать под углом к нормали. " Именно на этом втором слу- рис 172. Именно на этом втором слу чае мы и остановим внимание. Введем еще одно ограничение: напра- направим луч так, чтобы плоскость падения света была перпендикулярна к оптической оси. 364
Пусть поляризованный луч падает на пластинку под углом i. Будем вращать луч вокруг его оси, меняя, таким образом, положе- положение электрического вектора по отношению к плоскости падения. При совпадении электрического вектора с плоскостью падения (рис. 172, а) мы незамечаем каких-либо особых явлений. Происходит sin i преломление в соответствии с законом для изотропных тел = по. sin го Коэффициентом преломления оказывается по\ так и должно быть, поскольку электрический вектор перпендикулярен к главной оси кристалла. Повернув луч около его оси на 90° (рис. 172, б), мы также будем наблюдать обычное преломление. Однако теперь = пе — угол преломления другой, нужно взять показатель для sin г0 необыкновенного луча. И это естественно, так как вектор Е совпа- совпадает теперь с направлением главной оси. Самое замечательное заключается в том, что при промежуточ- промежуточных положениях мы не наблюдаем одного луча с промежуточным углом преломления, а видим два луча — обыкновенный и необык- необыкновенный, с их коэффициентами преломления пои пе. Как и раньше, вектор напряженности раскладывается на два вектора, лежащих вдоль главной оси и перпендикулярно к ней. Каждая компонента создает свое поле, свою волну. При вращении луча света около его оси интенсивности этих двух лучей все время меняются; когда ос- ослабляется один "луч, усиливается другой. Так как лучи преломляются дважды, при входе и выходе из пла- пластинки, то обыкновенный и необыкновенный лучи выходят парал- параллельными. Чем толще пластинка, тем сильнее разойдутся лучи. При тонком пучке падающего света можно измерить разность показа- показателей преломления, определяя смещение пучков. Теперь мы можем объяснить происхождение названий «обыкно- «обыкновенный» и «необыкновенный» лучи. Начнем вращать кристалличе- кристаллическую пластинку, оптическая ось которой параллельна грани, около нормали к отражающей грани. Если бы речь шла об изотропном теле, то такое вращение не могло бы внести изменения в явление отраже- отражения и преломления. Вращая, как указано, кристаллическую пла- пластинку, мы увидим, что с одним лучом ничего и не происходит: его положение в пространстве и интенсивность остаются неизмен- неизменными. Так ведет себя обыкновенный луч. Напротив, та компонента Еу которая перпендикулярна к плоскости падения, образует при вращении кристалла меняющийся угол с главной осью кристалла. Необыкновенный луч будет при этом вращении менять не только интенсивность, но и свое положение в пространстве. Обнаружива- Обнаруживается, что необыкновенный луч не подчиняется законам изотропных сред. В общем случае преломленный луч может не находиться в плоскости падения. Мы не будем останавливаться на довольно сложном объясне- объяснении этих явлений, скажем лишь, что они превосходно подчиняются теории электромагнитного поля Максвелла. 365
§ 149. Поляризаторы. Исследование поляризационного состояния света Мы говорили на стр. 301, что в качестве „поляризаторов могут быть использованы плоские поверхности диэлектрика, установлен- установленные под углом <рв к падающему лучу. Луч, отраженный при этих ус- условиях, будет полностью поляризован; преломленный луч макси- максимально поляризуется. Однако использование отражающей пластин- пластинки в качестве поляризатора неудобно из-за того, что поляризован- поляризованный луч идет под углом к падающему. Можно поступить иначе и воспользоваться стопой сте- стеклянных пластинок. За счет многократного преломле- преломления поляризация может быть сделана весьма пол- полной. Однако подобный при- прибор поглотит заметную до- долю света (рис. 173). Наиболее совершенным поляризатором является кристалл, в котором благодаря двойному лучепреломлению может быть отделен линейно поляризованный обыкновенный (или необык- необыкновенный) луч. Такие поляризаторы носят собирательное имя ни- колей. Поляризатор, предложенный французским ученым Николем, со- состоит из двух прямоугольных призм из исландского шпата (рис. 174). Эти призмы склеены канадским бальзамом — веществом, имеющим Рис. 173. Рис. 174. показатель преломления п—1,550, лежащий между п0 vt ne исланд- исландского шпата. Попадая в призму, неполяризованный луч света рас- расщепляется на два. Обыкновенный луч отражается на границе между призмами, где для него выполняются условия полного отражения, и выпускается в сторону. Необыкновенный луч проходит сквозь обе призмы. Таким образом, николь действует как щель, пропускаю- пропускающая только определенным образом направленные колебания элек- электрического вектора. Большое практическое значение имеет использование для поля- поляризаторов явления плеохроизма (многоцветности). Такое название получило явление разного поглощения обыкновенного и необыкно- необыкновенного лучей, а также зависимости коэффициента поглощения не- необыкновенного луча от направления по отношению к оптической 366
оси. Плеохроичный кристалл дает разную окраску, поглощает по- разному свет, если его поворачивать по отношению к лучу. Классическим примером плеохроичного кристалла является турмалин. Коэффициент поглощения для обыкновенного луча почти во всем видимом спектре столь велик, что пластинка турмалина толщиной 1 мм, вырезанная параллельно оптической оси, практи- практически пропускает один лишь необыкновенный луч и, следователь- следовательно, может служить поляризатором. Однако желто-зеленая окраска проходящего света препятствует практическому применению тур- турмалина в качестве поляризатора. Широкое употребление имеют искусственные плеохроичные плен- пленки, известные под названием поляроидов. Для их изготовления при- применяется сильно плеохроичное вещество — герапатит (кислый суль- сульфат трииодид хинина). Йоляроид представляет собой прозрачную пленку из пластмассы, содержащую ориентированные в одном на- направлении субмикроскопические игольчатые кристаллики герапа- тита. Для ориентации кристалликов вязкая масса, содержащая кристаллы, возвратно-поступательным движением растирается меж- между двумя стеклами. Разумеется, герапатит не единственное вещество, пригодное для изготовления поляроидов. Для плеохроичных свойств весьма существенны атомы иода, входящие в состав герапатита. Можно изготовлять и чисто йодные поляроиды, пропитывая иодом растянутые пленки поливинилового спирта. Исследование поляризационного состояния света производится с помощью двух николей или других поляризационных приборов и «пластинки в четверть волны». В качестве последней можно взять листочек слюды толщиной 0,038 мм. Рассмотрим прохождение света через два николя. Чтобы их различать, называют первый по пути луча николь поляризатором, а второй — анализатором (рис. 175). Если на поляризатор падает естественный свет с интенсивностью /0, то из николя выйдет линейно поляризованный свет с интенсив- интенсивностью у/о. Вращение поляризатора около его оси, разумеется, ни- ничего не меняет в интенсивности прошедшего луча. Николь выпустил линейно поляризованный луч. В этом можно убедиться, используя анализатор. Если оба николя установлены параллельно друг дру- другу своими «щелями», то свет, не изменив интенсивности (мы здесь4 не учитываем поглощения в веществе поляризационного прибора), пройдет и через анализатор. При скрещенных николях (так 367
называется положение, при котором «щели» приборов образуют угол 90°) свет не проходит (рис. 175). Интенсивность света при уг- угле а между «щелями» будет равна /=V*/o cos2 а. Действительно, электрический вектор волны, приходящей к анализатору, можно разложить на две составляющие: вдоль и поперек «щели». Прохо- Проходит составляющая амплитуды Е cos a (рис. 176), значит, интенсивность будет пропорциональна cos2 a. Если свет был частично или полностью поляризован, то это будет обнаружено ^ ^ уже первым николем. Ось анализатора ПРИ noMOU*H Двух николей нельзя отличить свет, поляризованный по кру- Рис. 176. гу, от естественного, а эллиптическую поляризацию — от частичной поляриза- поляризации естественного света. Чтобы это сделать, можно воспользоваться пластинкой в V4 волны. Если расположить ее перед поляризатором, то это никак не скажется на естественно поляризованном свете, но превратит свет, поляризованный по кругу, в линейно поляризован- поляризованный. Аналогичным образом пластинка в V4 волны изменит свойст- свойства эллиптически поляризованного света. § 150. Кристаллическая пластинка между «скрещенными» николями Весьма распространено исследование прозрачных анизотропных веществ путем наблюдения за поведением линейно поляризованного света, падающего на вещество. Чтобы не осложнять задачу, поло- положим, что речь идет о кристаллической пластинке, вырезанной па- параллельно оптической оси. Эту пластинку помещают между ни- николями. Из поляризатора на пластинку падает линейно поляризованный луч. Удалим пластинку и установим анализатор в скрещенном по- положении. Свет не проходит. Теперь поставим на место пластинку — поле просветлело, луч света проходит через систему. Причина может быть лишь одна: кристаллическая пластинка изменила поляриза- поляризационное состояние луча, вышедшего из поляризатора. Как именно изменила — это мы выясним с помощью анализатора: если при вра- вращении анализатора мы найдем новое положение темноты, то это значит, что кристаллическая пластинка изменила направление колебания луча, но оставила его линейно поляризованным. Если вращение анализатора не меняет интенсивность света, то это значит, что пластинка превратила линейно поляризованный свет в свет, поляризованный по кругу. Наконец, если погасить свет вращением анализатора или пластинки не удается, но интенсивность света ме- меняется при вращении, то это значит, что пластинка создала эллип- эллиптически поляризованный свет. 368
Изменения, происшедшие с линейно поляризованным светом, зависят от двух причин: от взаимного расположения оптической оси пластинки и направления колебания в луче, вышедшем из по- поляризатора, и от разности фаз б = -^(/г0—пе),которую пластинка создает между обыкновенной и необыкновенной волнами, на кото- которые расщепилась падающая волна. Если вещество, помещенное между скрещенными николями, изо- изотропно, то никакого просветления поля не произойдет. Описанное явление можно с успехом использовать для изучения анизотропии вещества. f-0 J ш. ч ч / ?=т г-3? Рис. 177. Обычно наблюдения ведутся в скрещенных николях и вгращается пластинка. При таком вращении просветление не будет неизменным. Действительно, в каждый момент вращения амплитуда А света, вы- вышедшего из поляризатора, раскладывается по-разному на компо- компоненты A cos ф и A sin ф (ф — угол между «щелью» поляризатора и оптической осью пластинки). Конец электрического вектора волны, вышедшей из пластинки, описывает эллипсы: 2ЕхЕу - cos б = sin2 8; A2 cos2 ф ' Л2 sin2 ф A2 cos ф sin ф где б неизменно, а ф непрерывно меняется. Трансформации эллипса для случая пластинки в V4 волны (в предыдущую формулу надо под- подставить значение 6—90°) при изменении ф показаны на рис. 177. При разных ф будут возникать различные поляризационные состо- состояния. Так как разность хода 6 зависит от длины волны, то при осве- освещении белым светом картина получается окрашенной. Если пла- пластинка имеет равномерную толщину, то она будет окрашена в ров- ровный цвет, различный для каждого взаимного расположения пла- пластинки и николей. Действительно, для некоторых длин волн белого спектра пластинка может иметь толщину V4 К, для других — 1/2 Я, 369
для третьих — толщину, кратную X. Соответственно с этим для разных длин волн возникнут разные поляризационные состояния, в большей или меньшей степени пропускаеАмые анализатором при различных взаимных положениях пластинки и николей. Явление хроматической -поляризации очень красиво. Вряд ли каким иным способом можно создать такое богатство световых тонов и оттенков, которые возникают в поле зрения при изменениях толщины пла- пластинки (например, при росте кри- кристалла) или при изменениях ее расположения по отношению к ни- колям. Если пластинка имеет перемен- переменную толщину, то будут наблюдать- наблюдаться интерференционные полосы, ра- радужные при рассмотрении в белом свете. Наряду с этими картинами по- полос равной толщины можно на- наблюдать и своеобразные полосы равного наклона, если рассматри- рассматривать кристаллическую пластинку в сходящихся лучах (коноскопи- рис- 178- ческое исследование). Эти наблю- наблюдения можно проводить над ма- маленькими кристаллическими зернышками в поле зрения микроскопа. Их практическое значение — установление симметрии кристалли- кристаллика. В частности, не представляет труда решение вопроса о принад- принадлежности объекта к одной из трех групп: 1) вещество аморфное или кристаллическое с кубической симметрией, 2) одноосные кри- кристаллы, 3) кристаллы более низкой симметрии. В первом случае ин- интерференционные полосы отсутствуют. Одноосные кристаллики дают картину, показанную на рис. 178, если только оптическая ось совпа- совпадает с падающим лучом света. Темный размытый крест возникает в тех местах, куда попадают либо только обыкновенный, либо только необыкновенный луч. Раз нет превращения в эллиптически поляри- поляризованное колебание, то скрещенные николи света не пропустят. Теория явления громоздка, и мы не будем на ней останавли- останавливаться. § 151. Двойное лучепреломление, вызванное внешним воздействием Как было сказано в начале главы, почти любая молекула обла- обладает анизотропией поляризуемости. Оптически изотропное тело мо- может быть построено из анизотропных молекул, если последние рас- расположены беспорядочно. Напротив, если любым способом придать молекулам некоторую преимущественную ориентацию, то вектор поляризации — суммарный дипольный момент молекул — уже не 370
будет иметь одинаковые значения для разных направлений, тело приобретет анизотропию в значениях диэлектрической проницае- проницаемости, а значит, и оптическую анизотропию. Такую анизотропию, выражающуюся в появлении двойного лучепреломления, можно вызвать почти всегда неоднородной де- деформацией твердого тела, у некоторых жидкостей — внесением их в электрическое поле (эффект Керра), а также созданием потока жидкостей тех веществ, молекулы которых имеют вытянутую форму. Двойное лучепреломление наблюдается в биологических объектах, высокополимерах, т. е. опять-таки в веществах, состоящих из длин- длинных молекул, которые не могут уложиться в веществе полностью беспорядочным образом. Вообще говоря, в той или иной степени двойное лучепреломление присутствует почти всегда, так как крайне трудно создать в теле идеальную изотропию. Если тело подвергнуть одностороннему сжатию или растяжению, то в нем возникает анизотропия осевого типа. Такое тело по опти- оптическим свойствам подобно одноосному кристаллу. Наблюдение за возникающей оптической анизотропией удобнее всего вести между скрещенными николями. Легкое надавливание пальцами делает прозрачную пластмассу или стекло анизотропными — поле зрения сразу же просветляется. Неоднородная деформация создает раз- различные значения разности п0— пв в разных местах объекта.. Поэтому на теле, подвергнутом деформации, образуются полосы равной раз- разности фаз 6. Форма этих кривых соответствует напряжениям, воз- возникающим в теле. Анализируя ход кривых, удается получить от- отчетливое представление о распределении напряжений. Каким же офазом использовать столь ценный метод на практике, »мея в виду, что он применим лишь к проарачным телам? Путь здесь единственный — создание моделей из прозрачных пластмасс. Соз- Создавая модель моста, здания, элемента машины и нагружая модель в соответствующей пропорции, можно видеть картину возникающих напряжений. Количественная оценка напряжений оптическим спо- способом носит название метода фотоупругости. Ее изложению посвя- посвящены специальные руководства. При наблюдении в белом свете возникают причудливые цветные картины. Если деформации упругие, то после снятия нагрузки кар- картина пропадает. Напротив, если напряжения не снимаются удале- удалением нагрузки, то цветная картина фиксируется. Становимся теперь на оптической анизотропии жидкостей, по- помещенных в электрическое поле. Электрическое поле оказывает ориентирующее действие лишь в том случае, если молекулы жидкости обладают постоянным жест- жестким дипольным моментом. Тогда молекулы стремятся располо- расположиться так, чтобы направление жесткого дипольного момента сов- совпало с направлением поля. При этом жидкость приобретает свойства одноосного кристалла с оптической осью вдоль Е. Наблюдение эф- эффекта удобнее всего производить, помещая жидкость с наложенным полем между скрещенными николями (рис. 179). 371
Опыт показывает, что разность п0— пе, возникающая в жидкости, пропорциональна квадрату напряженности Е электрического поля. Разность фаз равна 8=BtE2, где / — длина, пройденная световым лучом в жидкости, а В — постоянная Керра, характерная для ве- вещества. Рис. 179. Большим значением В выделяется нитробензол, имеющий боль- большой жесткий дипольный момент, 2-Ю ед. СГС. Бензол имеет постоянную Керра 0,5-10~7 ед. СГС, сероуглерод 3,5-10~7 ед. СГС. Пример. Конденсатор длиной 10 см, заполненный нитробензолом, будет работать как пластинка в V4 волны, если напряженность поля в нем будет Е=у ^г- —26 600 В/см. Для этого, при расстоянии между пластинами 1мм, к конденсатору надо приложить разность потенциалов 2660 В. Эффект Керра дает возможность трансформировать колебания электрического поля в изменения интенсивности света. Инерция эффекта мала: время релаксации, связанное с занятием молекулами в электрическом поле надлежащего положения, есть величина по- порядка миллиардной доли секунды. Поэтому электрические колеба- колебания, модулированные звуком, могут быть превращены в изменения световой интенсивности. Это дает возможность записывать звук на фотопленку. § 152. Оптическая активность Оптической активностью называется способность некоторых ве- веществ поворачивать направление колебания линейно поляризован- поляризованного луча. Явление состоит в следующем. Устанавливаются скре- скрещенные николи и на пути луча помещается вещество. Происходит просветление поля, которое может быть уничтожено поворотом анализатора на какой-либо угол а. Значит, линейно поляризован- поляризованный свет, прошедший через оптически активное вещество, так и ос- остается линейно поляризованным, но направление колебания луча изменяется на угол а. Опыт показывает, что поворот направления колебания строго пропорционален толщине слоя вещества: Характеризующая вещество постоянная р называется удельным вра- вращением и выражается обычно в градусах на миллиметр. Явление 372
обладает дисперсией: р зависит от длины волны. Обычно р падает с увеличением длины волны. Поворот направления колебания довольно значителен и у мно- многих веществ для ряда длин волн достигает десятков градусов на 1 мм. Для водных растворов органических веществ вращение пло- плоскости поляризации зависит от концентрации: a=pcd, где с — кон- концентрация. Какие же вещества относятся к оптически активным? Оптически активное вещество должно быть построено из таких структурных единиц, которые не имеют в числе своих элементов симметрии ни плоскости симметрии, ни центра симметрии. В случае молекуляр- молекулярных веществ такими единицами, как правило, будут молекулы. В случае кристаллов, в которых молекулы не могут быть выделены, такой единицей будет элементарная ячейка. Молекулы (или ячейки), удовлетворяющие указанным условиям, могут встретиться в виде двух оптических изомеррв, обозначаемых буквами d и I (правые и левые). Оптические изомеры находятся между собой в отношении предмета и его изображения в зеркале. Вещество, состоящее из d-молекул (ячеек), вращает свет вправо, из /-молекул — влево. При этом под правым вращением понимают тот случай, когда при увеличении толщины слоя вещества для вос- восстановления темноты приходится поворачивать анализатор вправо, смотря против луча света. Меняя направление света на обратное, мы не изменим знака эффекта. Оптическая активность наблюдается у веществ как в жидком, так и в твердом состоянии. Важно лишь наличие в веществе избытка dr или /-молекул. Ориентация же этих молекул может быть как бес- беспорядочной, так и упорядоченной. В первом случае тело изотропно и вращение одинаково, в каком бы направлении ни шел луч света. В оптически активных кристаллах величина вращения а зависит от направления луча по отношению к осям кристалла. При плавлении молекулярных кристаллов, вращающих свет, структурные единицы сохраняют- сохраняются. В этих случаях как твердое, так и жидкое вещество обладает оптической активностью. Приме- Примером может служить сахар, который, кроме того, обладает актив- активностью и в растворах. Эту способность сахара используют в прак- практике (сахариметрия) для определения процентного содержания сахара по величине вращения направления колебания светового луча. Иначе обстоит дело в таких кристаллах как кварц (рис. 180). Расположение атомов в ячейке кварца удовлетворяет необходимым условиям, а именно, не обладает ни центром симметрии, ни 373 Рис. 180.
плоскостью симметрии. В кристалле кварца нельзя выделить моле- молекулу; поэтому при плавлении конфигурация атомов меняется и в плавленом кварце отсутствуют нужные структурные единицы — плавленый кварц оптически неактивен. Одно и то же, с точки зрения химического состава, вещество может встретиться как в оптически активном, так и в неактивном виде. Это относится не только к кварцу. Структура неактивной мо- модификации весьма мало похожа на структуру кристаллов, облада- обладающих оптической активностью. Сказанное вполне понятно в случае ионных и гомеополярных кристаллов. Но каким образом может образоваться неактивный кристалл из активных молекул в случае молекулярного кристалла? Это про- происходит путем образования кристаллов-рацематов. Рацемической смесью называется смесь равного количества d-молекул и /-молекул. Такая смесь не вращает, так как уравниваются два противополож- противоположных эффекта. Кристалл-рацемат построен из пар молекул d и /. Каждая пара дает центросимметричную группу атомов. Что же касается оптически активных кристаллов, то они встре- встречаются в виде d- и /-форм. Эти кристаллы обладают структурами, тождественными в том же смысле, как левая и правая перчатки. Так, отмеченные на рис. 180 одинаковыми буквами грани кристалла тождественны именно в этом смысле. Если речь идет о молекуляр- молекулярных кристаллах, то это значит, что в одном случае структура вы- выполнена d-молекулами, а в другом — /-молекулами. Правый и ле- левый кварц, правый и левый сахар, правая и левая винная кислота — все свойства этих веществ, все подробности их структуры тожде- тождественны во всем, за исключением направления вращения света. Неорганические оптические изомеры (например, левый и пра- правый кварц) встречаются в природе в равных количествах." Иначе обстоит дело с органическими молекулами, играющими биологи- биологическую роль. Французский xjimhk Пастер показал, что ряд микро- микроорганизмов способен питаться только определенным оптическим изомером. § 153. Принципы теории оптической активности Каким же образом объясняется явление оптической активности? Прежде чем ответить на этот вопрос, покажем, что линейно поля- поляризованный свет эквивалентен двум лучам, поляризованным по кругу влево и вправо. Запишем уравнения колебания электрического вектора, считая, что между левой и правой волнами есть сдвиг фаз б. При круговой поляризации вправо Еу = Еь sin W; для света, поляризованного влево, Е% = Ео cos (at + 6), Е* = — ?э sin (Ы + 6). Суммарное поле имеет компоненты EX=E"+Ei и Ev= 374
Чтобы увидеть поляризационное состояние возникшего колеба- колебания, найдём отношение Еи/Ех для суммарного поля. С помощью про- простых тригонометрических преобразований получим El- А Отношение не зависит от времени; это и означает наличие линейно поляризованного колебания, происходящего под углом 6/2 к оси х. Требуемое доказано. С точки зрения подобного представления вполне ясно, в чем состоит явление вращения направления колебания. Поворот пло- плоскости колебания на угол 6/2 означает, что левовращающая волна отстала от правовращающей (или наоборот, в зависимости от направ- направления вращения) на угол 6. Это рассуждение оправдывает рассмо- рассмотрение проблемы оптической активности в главе, посвященной двой- двойному лучепреломлению. И здесь, как и ранее, волна разделяется веществом на две составляющие, из которых одна движется бы- быстрее другой и непрерывно уходит от нее вперед по фазе. Удельное вращение с этой точки зрения пропорционально разности коэффи- коэффициентов преломления левого и правого лучей. Этим рассуждением мы нисколько не продвинулись в объясне- объяснении явления, а дали ему лишь другую (вполне эквивалентную) ин- интерпретацию. Однако новый подход позволит нам легче объяснить Рис. 181. оптическую активность. Волны, поляризованные по кругу влево и вправо,.движутся по веществу с разной скоростью. У них разные коэффициенты преломления, а значит, разные диэлектрические проницаемости и поляризуемости. Сдвиги электронного облака под действием этих двух волн должны быть раздичны; одна волна испытывает большие трудности, чем другая, смещая электроны с 375
положений равновесия. Если мы найдем причину этому различию, то объяснение оптической активности будет дано. Из химии хорошо известно: если в молекуле имеется асимметрич- асимметричный атом углерода, то вещество может показать оптическую актив- активность. Под асимметричным атомом углерода химики понимают атом С, связанный с четырьмя различными атомами или радика- радикалами. Связи четырехвалентного атома углерода идут примерно под тетраэдрическими углами друг к другу. На рис. 181 изображена некоторая молекула, содержащая асимметричный атом углерода. Радикалы или атомы, связанные с С, различны; природа их не су- существенна. Мы видим, прежде всего, что возможны две молекулы такого вещества, похожие друг на друга, как предмет и его из- изображение в зеркале,— это оп- оптические изомеры. Совместить их невозможно, в этом легко убедиться с помощью проволоч- проволочных моделей. Представим себе волну, поля- поляризованную по кругу, идущую вдоль оси симметрии связей. На рис. 182 волна идет перпендику- перпендикулярно к чертежу к нам. Атомы Л, В находятся выше атомов Еу D. Рассмотрим направления электронных смещений для волн, поляризованных влево и вправо. Примем наличие следующей кар- картины в случае, когда волна по- поляризована вправо: если вектор Е направлен вдо^ь ED> то в верх- верхнем «этаже» вектор Е направлен О о У Рис. 182. с?? р р вдоль ВА. Если так, то в волне, поляризованной влево, будет иметь место другая картина: когда вектор Е направлен вдоль ED, то в верхнем «этаже» вектор Е направлен вдоль АВ. Всматриваясь в рисунки, мы видим, что поведение смещающихся электронов различно. В одном случае электроны атомов А и D движутся одновременно от центра. Во втором случае при движении электронов А к центру электроны D движутся от центра. Такие различия мы всегда найдем для системы атомов, не обладающих центром симметрии и плоскостью симметрии. Напротив, если эти элементы симметрии присутствуют, то действия левой и правой волн будут тождественными. Различные условия смещений электронов для асимметричных группировок приведут к различной поляризуемости, а значит, и к 376
разным показателям преломления левой и правой волн. Ясно, что поведение левой и правой молекул будет обратным. В строгой теории доказывается, что эффект сохраняется при любых расположениях молекул по отношению к лучу. ГЛАВА 24 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 154. Основания теории Теория относительности, созданная в начале нашего века вели- великим физиком современности Альбертом Эйнштейном, покоится на двух постулатах: 1) принципе относительности, 2) принципе посто- постоянства скорости света. Мы вкратце рассмотрим содержание этих принципов, расскажем об эспериментальном их подтверждении и о некоторых следствиях из теории. Теория относительности возникла при исследовании вопроса о су- существовании механического носителя электромагнитного поля (эфи- (эфира). Теория относительности решила эту проблему и в этом смысле может рассматриваться как завершение теории электромагнитного поля. При решении задач, поставленных электродинамикой, теория относительности далеко ушла за рамки этой проблемы. Ее развитие привело к установлению закономерностей механических движений, приближающихся по скорости к свету, к закону эквивалентности массы и энергии, к новым взглядам на природу тяготения. Наше рассмотрение будет неизбежно очень кратким и поэтому мы вынуж- вынуждены отказаться от исторической перспективы. Прежде всего, о содержании основных постулатов. Принцип относительности утверждает, что все законы природы (а не только законы механики) одинаковы во всех инерциальных системах координат. Принцип утверждает, что нет ни одного физи- физического опыта, который мог бы установить особенные свойства од- одной из инерциальных систем. Все инерциальные системы равно- равноправны. Второй постулат говорит о постоянстве скорости света в вакууме для всех инерциальных систем. Из него следует, что скорости света «туда» и «обратно» должны быть одинаковы, что скорость света не зависит от движения источника света и измерительных инстру- инструментов. Какое же отношение эти принципы имеют к нашим представле- представлениям об электромагнитном поле и его носителе? Нетрудно видеть, что сформулированные принципы исключают аналогию между элек- электромагнитными волнами и, скажем, звуковыми. Представим себе изолированную от внешнего мира лабораторию, движущуюся прямолинейно и равномерно по отношению к звездам. В этой комнате производятся измерения скорости звука в направле- 377
нии движения. Теоретически возможны два крайних случая:, пер- первый — стенки комнаты непроницаемы для воздуха и воздух увле- увлекается комнатой; второй случай — стенки проницаемы для воздуха, воздух неподвижен относительно звезд, лаборатория движется сквозь воздух, не увлекая его. Положим, что в этих двуххлучаях производятся измерения скорости звука. Ее измеряют два наблю- наблюдателя: движущийся и неподвижный по отношению к звездам. В каждом случае скорость звука по отношению к этим двум наблю- наблюдателям будет разной. Если скорость звука в воздухе есть с, а ско- скорость комнаты по отношению к неподвижному наблюдателю есть у, то в случае увлечения воздуха движущийся наблюдатель найдет скорость равной с, а неподвижный c+v; в случае покоящегося воз- воздуха движущийся наблюдатель найдет скорость равной с — v, а неподвижный — с. Постулаты теории относительности отвергают для электромагнит- электромагнитной волны в эфире оба варианта. В опытах со световой волной ско- скорость света будет равняться с как для неподвижного, так и для дви- движущегося наблюдателя. Значит, и неподвижный и увлекающийся системой эфир противоречит теории относительности. Таким обра- образом, теория относительности отвергает возможность представления о поле как о среде, в которой происходят механические смещения. Мы приходим к заключению, что электрическое и магнитное поля должны обладать непосредственной реальностью. § 155. Опытные подтверждения принципа постоянства скорости света На первый взгляд принцип постоянства скорости света проти- противоречит «здравому смыслу». Поэтому желательно, прежде чем мы начнем выводить следствия из теории относительности, указать не- непосредственные опытные доказательства его справедливости. Они известны из астрономических наблюдений. Астрономами доказано существование так называемых двойных звезд, в которых два небесных тела близкой массы вращаются около их общего центра тяжести. У нас имеются средства измерять рас- расстояния между звездами, их массы и скорости, следить за их отно- относительным движением. Если бы скорость света зависела от скорости самой звезды, то при движении в сторону земного наблюдателя ско- скорость света складывалась бы со скоростью небесного тела, при об- обратном движении скорости вычитались б&. В этом случае земному наблюдателю представлялось бы, что движение по одной половине орбиты происходит быстрее, чем по другой. Этот эффект наблюдался бы даже в том случае, если бы скорость небесного тела v была в сотни тысяч раз меньше скорости света с. Действительно, на огромном расстоянии / различие во временах и ——может быть и при самых малых v настолько значи- с—v c-\-v тельным, что не только нарушится периодичность, но даже световой 378
луч, посланный при движении «туда», мог бы обогнать луч, послан- посланный при движении «обратно». Тогда вращение звезд не было бы видно или приобрело бы причудливый характер. Периодическое вращение двойных звезд может быть понято только на основе прин- принципа постоянства скорости света. Правда, здесь речь шла о движении источника света, и поэтому могли остаться сомнения в справедливости принципа постоянства скорости для движения наблюдателя. Эти сомнения рассеиваются другим астрономическим наблюдением — над периодичностью дви- движения спутников Юпитера. Измерения движения спутников Юпи-" тера можно произвести в двух случаях, когда свет, идущий от Юпи- Юпитера к Земле, совпадает с направлением движения солнечной сис- системы и противоположен ему. Тождественность наблюдений и четкая картина периодичности, связанная с годовым движением Юпитера, показывают справедливость принципа постоянства скорости света и в этом случае. Наиболее существенную роль в развитии теории относительности сыграл опыт, произведенный Майкельсоном впервые в 1881 г. при помощи описанного на стр. 325 интерферометра. Опыт заключался в следующем. Положение двух зеркал, т. е. длины плеч 1Х и /2, подбиралось так, чтобы когерентные лучи, на которые расщепля- расщепляется световой сигнал, затрачивали бы одинаковое время на про- прохождение путей вдоль двух плеч интерферометра. Этот подбор про- производится при такой установке интерферометра, при которой одно из его плеч установлено вдоль движения земного шара по ор- орбите. Далее прибор поворачи- поворачивается на 90° и наблюдается смещение . интерференционных полос. Результат опыта Майкельсо- на, многократно повторявшегося им самим и другими исследова- исследователями, таков: смещения полос нет и времена прохождения све- светом плеч, равные при одной установке, остаются равными и при повороте прибора. Это об- обстоятельство установлено с очень большой точностью. Что же следует из этого опыта? Так как Земля движется со скоростью 1^30 км/с по отношению к неподвижным звездам, то с точки зрения звездного инерциаль- ного наблюдателя пути, пройденные двумя лучами, не могут быть одинаковыми. Рассмотрим прохождение обоих лучей (рис. 183). Разумеется, нам надо обратить внимание лишь на участки пути, где лучи идут раздельно. Продольный луч на пути «туда» должен пройти длину 379 Рис. 183.
плеча /i и догнать зеркало, уходящее со скоростью v вперед. Сле- Следовательно, путь c%i пройденный лучом, должен равняться схх= l+i. Затраченное фронтом волны время будет: h Т, = c(\-v/c) ' На пути «обратно» луч пройдет длину плеча 1Х за вычетом пути, пройденного прибором ему навстречу. Путь луча cx2=li— trt2 и Измеряемое на опыте время Тх+т2 равно С (I— V2/C2) ' Обратимся теперь к поперечному лучу (рис. 184). За полное время т, прошедшее от момента выхода до момента возвращения луча в центр прибора S, зеркало сместится так, как показано на рисунке. Следовательно, путь волны будет /" откуда время т равно 2/2 С 1^1—1 При первом измерении плечи /х и /2 подбира- подбираются так, что лучи затрачивают одинаковое время на раздельные пути. Значит, c(l—v2/c2) с V\~-v или /777: V///7777 Рис. 184. Но при втором опыте, т. е. при повороте ин- интерферометра на 90°, сдвига интерференцион- интерференционной полосы нет и времена прохождения ос- остаются по-прежнему равными, хотя плечи lt и /2 поменялись ме- местами! В этом и заключался неожиданный результат опыта. Итак, если первое плечо установлено продольно, то если второе плечо установлено продольно, то Прии=0 /i=/2, но при юфО мы приходим к замечательному резуль- результату: длина одного и того же отрезка меняется в зависимости от того, установлен этот отрезок вдоль движения или поперек движе- движения. Полученный результат справедлив для любого тела, для лю- 380
бого расстояния между двумя точками. Итак, первое следствие теории относительности: движущееся по отношению к инерциаль- ному наблюдателю тело сокращает свой размер в направлении дви- движения. Поперечные размеры остаются неизменными. Если непод- неподвижный по отношению к предмету наблюдатель установит, что длина интересующего его предмета /0, то наблюдатель, по отношению к которому этот предмет движется со скоростью v, найдет для него длину / = /oj/*l— v2fc2. Пример. Если предмет движется со скоростью 1 000 км/с относительно некоторого «неподвижного» наблюдателя, то последний обнаружит уменьшение длины предмета в направлении движения в 1,000005 рааа. Если же скорость пред- предмета будет 200 000 км/с, то /0//=1,34. В разных системах отсчета длина одного и того же отрезка, ка- каким-то определенным образом движущегося, будет разной. Надо отчетливо представить себе относительный характер этого сокра- сокращения. Возьмем два стержня одинаковой длины /0. Приведем их в движение с относительной скоростью и. Пусть имеются два наблю- наблюдателя: один — движущийся с первым, а другой — со вторым стерж- стержнем. Тогда первый наблюдатель найдет для своего стержня длину /0, а для чужого 1OVI—v2/c2. Для этого наблюдателя второй стержень короче первого.. Напротив, второй наблюдатель найдег для второго стержня длину /0, а для первого /0 Vl — v*/c2; для него первый стержень короче второго. Длина стержня и вообще расстояние между двумя точками — относительное понятие. Из всех длин стержня, измеренных в раз- разных инерциальных системах, выделяется длина покоя /<j. Эта мак- максимальная длина стержня имеет абсолютный смысл. ; § 156. Время в теории относительности В выражении, связывающем длину покоящегося и движущегося стержня, появилась величина Vl— р2 (р = у/с). Этот квадратный корень появится и в других аналогичных формулах, связывающих значения различных физических величин для покоящегося и движу- движущегося наблюдателей. Рассуждения, похожие на те, которыми мы пользовались в предыдущем параграфе, приводят к интересным вы- выводам в отношении времени и ускорения, массы и силы, импульса и энергии, напряженностей поля, плотности заряда и тока и т. д. Формулы теории относительности позволяют переходить от зна- значений величин, устанавливаемых покоящимся наблюдателем, к значениям, которые установит движущийся наблюдатель. Отно- Отношение $=v/c является во всех случаях важным критерием необхо- необходимости релятивистской поправки. Нетрудно видеть, что сравнимые с единицей значения Р2 получит . лишь при огромных скоростях. Даже при v= 100000 км/с Vl— р2 будет отличаться от единицы всего лишь на несколько процентов. Поэтому ясно, что выводы теории относительности не представляют 381
интереса для медленных движений, и в этих Случаях мы не должны учитывать изменение физических свойств с движением. Особенное значение приобретает теория для микромира, где скорости частиц, приближающиеся к скорости света, встречаются весьма часто. Остановимся, прежде всего, на следствиях теории, касающихся времени. Промежуток т, в течение которого происходит то или иное собы- событие, также оказывается различным с точки зрения двух инерциаль- ных систем. Поэтому два события, одновременные с одной точки зрения, будут происходить одно раньше, а другое позже с точки зрения другой системы отсчета. Качественно это утверждение сразу же следует из принципа постоянства скорости света. Действительно, рассмотрим систему, движущуюся равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе. В одной из них установлен излучатель, свет от которого идет во все стороны. В той системе, где находится ис- источник, выберем два пункта, равноудаленных от источника вдоль прямой по ходу относительного движения. Ясно, что в этой системе свет придет в оба приемника одновременно. Так обстоит дело с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с источником. Однако для наблюдателя во второй системе дело обстоит не так. Для этого наблюдателя один приемник движется навстречу сиг- сигналу, а другой — уходит от него. Поскольку скорость с и для этого наблюдателя имеет то же самое значение (притом одинаковое в обе стороны), то для него свет поступит раньше в тот приемник, кото- который находится позади. Может возникнуть сомнение: не приведет ли нас подобный вывод к бессмыслице? Поскольку понятие одновременности относительно, то может случиться так, что с точки зрения одной системы отсче- отсчета сначала стреляет ружье, а затем падает с ветки подстреленная птица, а с точки зрения другой системы отсчета птица упадет рань- раньше, чем выстрелит ружье. Внимательный анализ показывает, что относительность последовательности событий ограничена скоростью распространения взаимодействия (меньше с). Поэтому «раньше» и «позже» могут меняться местами лишь в тех случаях, когда они не находятся в причинной связи (т. е. не являются результатом взаи- взаимодействия). Весьма интересен вывод теории, касающийся собственного вре- времени предмета,— так называют время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным телом. Если по часам наблюдателя некоторой инерциальной системы прошло время т, то стрелка часов, движущихся с предметом, передвинется на время Это означает, что произвольным образом движущиеся часы идут медленнее неподвижных *). *) Эта формула находит экспериментально? подтверждение в опытах с мезонами (см. стр. 542). 382
Надо отчетливо понять относительный смысл этого утверждения. Если два наблюдателя находятся в разных инерциальных системах, то каждый из них будет утверждать, что отстают часы другого на- наблюдателя. Казалось бы, возникает противоречие. Остановим на- наблюдателей и сверим их часы. Однако для того, чтобы произвести такую проверку, надо по крайней мере одного из наблюдателей за- заставить проделать кольцевой путь. По возвращении на исходное место часы могут быть сверены. Но теперь суждения наблюдате- наблюдателей потеряли относительность. Тот наблюдатель, который оста- оставался в инерциальной системе, имеет право применить написан- написанную выше формулу. Наблюдатель, совершивший кольцевой путь, двигался ускоренно, и формула то = т^1 — Р2 не может быть им применена. Значит, после возвращения «кольцевого» наблюда- наблюдателя и сверки часов окажется, что отстали его часы, и он не может «оспаривать» этот результат, мотивируя принципом относительнос- относительности, который верен только для инерциальных наблюдателей. § 157. Масса Если обозначить через т0 массу тела, измеренную в системе координат, с ним связанной, то для наблюдателя, по отношению к которому это тело движется, масса будет равна Величина т0 носит название массы покоя. Увеличение массы со ско- скоростью является естественным следствием основных принципов тео- теории. Скорость света с является предельной скоростью для любых движений или передачи взаимодействия. При v=c масса любого тела обращается в бесконечность. Естественно, что ускорение тела дается с тем большей трудностью, чем ближе мы к пределу возмож- возможной скорости. Возрастание массы со скоростью4 было впервые установлено для электронов (З-лучей еще в начале нашего века. Поскольку возможно раздельное определение скорости электронов v и отношения elm (см. стр. 421), то, считая заряд электрона неизменным, мы имеем возможность проверить формулу для массы. В настоящее время поправки, даваемые множителем ]/~1—ра, играют решающую роль при конструировании ускорителей заря- заряженных частиц. Скорости частиц, достигаемые в современных уско- ускорителях, столь велики, что, например, в одном из них Р достигает 0,9986, и, таким образом, масса становится в 60 раз больше массы покоя. Во всех опытах, проводимых в земных условиях с макро- макроскопическими телами, мы не нуждаемся в учете лоправки \^\—р* к значению массы. В то же время было бы желательным убедиться в ее справедливости не только для элементарных частиц. Такую воз- возможность дают точные астрономические наблюдения. Оказывается, 383
что изменение массы планеты Меркурий при ее движении по орбите объясняет небольшие отклонения орбиты от эллипса. Выражение массы движущегося тела меняет формулу импульса, которая приобретает вид Заметим, что закон Ньютона остается в силе, если его писать dp как F = — . В то же время формула F—ma уже не будет справед- справедливой во всех случаях. § 158. Энергия В § 10 мы нашли выражение энергии движущегося тела, найдя функцию, на возрастание которой затрачивается работа ускорения тела. Повторим эти вычисления с учетом поправок, которые дала теория относительности. Работа перемещения тела на пути dl равна dp dl fdldp где v — вектор скорости. Если эта работа идет на увеличение энер- энергии ? тела, то dS = vdp = vd (mv) = mv dv + v2 dm. Так как ra0 - mvdv m= _!Lg=, то dm^-jrr,—*?> значит, , т. e. dS== Сравнивая последнее выражение с формулой приращения массы, находим: d$=c2dmf т. е. Мы отбрасываем аддитивную постоянную, возникающую при инте- интегрировании: при т=0 и <§ должно равняться нулю. Таким образом, работа, сообщенная телу, идет на увеличение функции <?=тс2, которая получает, следовательно, смысл энергии тела. Фундаментальный результат этого вычисления заключается в следующем: увеличение массы тела сопровождается увеличением его энергии (а значит, затратой энергии со стороны); напротив, уменьшение массы тела или системы сопровождается уменьшением его энергии (а значит, передачей,ее окружению). Между прираще- приращением массы и приращением энергии имеется прямое и универсаль- универсальное соотношение, поскольку с2 есть постоянное число. 384
Но какой же смысл следует придать энергии <?? Является она энергией движения? Очевидно, что нет. Если тело покоится, то $ обращается не в нуль, а в т0с2. Следовательно, U=m0c2 есть энер- энергия покоящегося тела, т. е. внутренняя энергия тела, а разность тс2—тос2 есть энергия движения. Первую часть фразы следует рассматривать как утверждение, которое следует проверить на опыте. Что же касается выражения энергии движения, тс2— т0с2, то мы узнаем в нем знакомое выра- выражение кинетической энергии, если воспользуемся приближенным равенством 1+p2 С этой степенью точности пи?-т^ = т0с2 (у=-1) « "V2 - Р2 = ^. Пример. Внутренняя энергия тела с массой то—\ кг будет U=mQc2— =9-1016 Дж—2,16-1013 ккал. Такое количество энергии выделилось бы в виде тепла при сгорании 3 млн. т угля.-Даже в термоядерных реакциях высвобождается пока лишь несколько процентов этих грандиозных запасов внутренней энергии. § 159. Дефект массы Как мы сказали только что, выражение, связывающее массу покоя с внутренней энергией тела, U~mQc2, следовало бы подверг- подвергнуть опытной проверке. Внутренняя энергия тела складывается из энергии покоя состав- составляющих частиц, их кинетической энергии и их потенциальной энергии взаимодействия. Изменение любой из этих составляющих энергии должно сказываться на величине U, а следовательно, и на массе покоя. Таким образом, масса покоя возрастает, если растет температура тела, убыстряется внутреннее движение систе- системы. Она возрастает также, если сблизятся отталкивающиеся части системы или разойдутся притягивающиеся. Из сказанного ясно, что масса покоя системы взаимодействующих частиц не обладает свойством аддитивности, т. е. не подчиняется закону сохранения. Если тело с массой покоя Мо состоит из N частиц с массами т0, то МофЫто. Разность Мо — Nm{)=AM носит название дефекта массы тела (системы частиц). Величина с2АМ называется энергией связи. Если система распадается на части, то энергия связи выделяется и может быть измерена. Кроме того, непосредственно измерятся и массы покоя. Таким способом закон U=moc* может быть проверен на опыте. 13 А. И. Китайгородский 385
Числовые примеры показывают, что любые изменения внутрен- внутренней энергии, связанные с изменением скорости движения и сил вза- взаимодействия между молекулами и атомами, не могут привести к измеряемому изменению массы. Опытная проверка изложенной теории оказывается возможной в ядерной физике (см. стр. 513). Примеры. 1. Масса 1 кг молибдена при нагревании его на 1000 К возрастет на AM =0,000000003 г. 2. Если стальной стержень длиной 128 см и поперечным сечением 1 см2 (масса стержня 1 кг) растягивать силой в 8 т, то запасенная в нем при этом потенциаль- потенциальная энергия увеличит его массу на 2-10~12 г. § 160. Принцип эквивалентности и понятие об общей теории относительности Рассмотрим неинерциальную систему координат, движущуюся с ускорением а0. Положим, что мы хотим описывать физические явления в этой системе. Законы механики будут в ней выглядеть иначе. Ведь правило F=ma справедливо лишь для инерциальной системы. Покоящиеся тела будут иметь ускорение — а0 по отноше- отношению к этой системе. Если сохранить правильную для инерциальной системы терми- терминологию и считать, что ускорение создается силами, то можно поле «сил» —та0, действующих на все тела в ускоренной системе, назвать полем ускорения и проводить аналогию между этим полем и полем тяготения. Так же точно можно ввести дополнительные поля «сил», рассма- рассматривая явления во вращающейся системе координат и, разумеется, для общего случая. Фиктивные поля сил, которые мы вводим для описания движения с точки зрения неинерциальной системы коорди- координат, можно назвать полями сил инерции. Сила — та0— одна из сил инерции. Движение точки с ускорением а по отношению к такой неинер- неинерциальной системе будет подчиняться уравнению ma^F+силы инерции. Выражение для сил инерции можно найти в курсах теоретической физики. Важно обратить внимание на принципиальную сторону дела. В неинерциальных системах появляются фиктивные поля сил. Каж- Каждому такому полю ускорения можно сопоставить фиктивное рас- распределение притягивающих масс так, что любое поле, созданное ускоренным движением, вообще говоря, может быть истолковано как поле тяготения. Иногда в этом смысле говорят о принципе эквивалентности тяготения и ускорения. Рассмотрим несколько простейших примеров. Мы находимся в лифте, который падает вниз с ускорением а. Выпустим из руки шарик и сообразим, какой характер будет иметь его падение. Как только шарик будет выпущен, он начнет, с точки зрения инерциаль- 386
него наблюдателя, свободное падение с ускорением g. Так как лифт падает с ускорением а, то ускорение по отношению к полу лифта будет (g — а). Наблюдатель, находящийся в лифте, может описать движение падающего тела при помощи ускорения g=g'— а. Иначе говоря, наблюдатель в лифте может не говорить об ускоренном движении лифта, «изменив» ускорение поля тяжести в своей системе. Теперь сравним два лифта. Один из них неподвижно висит над Землей, а другой движется в межпланетной пустоте с ускорением а Рис. 185. по отношению к звездам. Все тела в неподвижном над Землей лифте обладают способностью свободно падать с ускорением g. Но такой же способностью обладают тела внутри межпланетного лифта. Они будут «падать» с ускорением — а на «дно» лифта. При этом роль дна будет играть стенка, противоположная направлению ускорения. Выходит, что действия поля тяжести и проявления ускоренного движения неотличимы. Поведение тела в ускоренно движущейся системе координат рав- равнозначно поведению тела в присутствии эквивалентного поля тяже- тяжести. Однако эта эквивалентность может быть полной, если мы огра- ограничим себя наблюдениями на небольших участках пространства. Действительно, представим себе «лифт» с линейными размерами пола в тысячи километров. Если такой лифт неподвижно висит над зем- земным шаром, то явления в нем будут происходить иначе, чем в том случае, когда лифт будет двигаться с ускорением g по отношению к неподвижным звездам. Это ясно из рис. 185: в одном случае тела падают косо на дно лифта, в другом случае — отвесно. Таким образом, принцип эквивалентности справедлив для таких объемов пространства, в которых поле можно считать однородным. Рассмотренные качественные соображения лежат в основе общей теории относительности. Эта теория, также развитая Эйнштейном, 13* 387
поставила перед собой задачу найти способы формулировки законов природы, не зависящие от выбора системы координат. До сих пор. мы полагали, что такая задача выполнима лишь для инерциальных систем координат. Принцип эквивалентности показывает, что абсо- абсолютность ускорения может быть уничтожена полем тяготения. Уско- Ускоренно движущуюся систему координат можно рассматривать как инерциальную, если только ввести эквивалентное поле тяготения. Правда, такая эквивалентность, как мы только что видели, огра- ограничена во времени и пространстве. Однако Эйнштейн показал, что это ограничение может быть снято, если в соответствии с введенным полем тяготения внести изменения в геометрию системы. Г Л А В А 25 КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ПОЛЯ § 161. Фотон Уже несколько раз указывалось, что излучение и поглощение электрической энергии происходит порциями, квантами. Величина кванта зависит только от частоты излучения и равна hv, где h — универсальная константа, равная 6,62-10~27 эрг-с. В настоящее время квантовый характер поглощения и излучения установлен для всего огромного диапазона длин волн электромагнитного спектра, от жестких ^-лучей до длинных радиоволн. Явления поглощения и излучения характеризуют, прежде всего, саму микросистему, взаимодействующую с электромагнитным полем волны. Квантовый характер этих явлений (которые мы в деталях обсудим в ч. III) доказывает, прежде всего, наличие у микросистемы отдельных энергетических уровней, невозможность для микро- микросистемы обладать произвольной величиной энергии. Сами по себе эти факты не привели бы к мысли о том, что не только веществу, но и электромагнитному полю свойственна квайтовая природа, если бы при взаимодействии с веществом электромагнитная волна не вела себя в ряде случаев, как частица. Корпускулярные свойства элек- электромагнитного излучения, обнаруживающиеся тем более явно, чем меньше длина волны, проявляются в тех случаях, когда происходят потери и превращения электромагнитной энергии. Эти свойства, наоборот, не проявляются при распространении, рассеянии, дифракции электромагнитных волн, если они не сопровождаются потерей энергии. Корпускула электромагнитного поля носит название фотона. Фотон характеризуется, прежде всего, величиной своей энергии: Пользуясь законом эквивалентности массы и энергии, мы имеем право приписать фотону массу 388
С, Так как электромагнитное поле распространяется со скоростью ТО ПРИХОДИТСЯ ДОПУСТИТЬ, ИМеЯ В ВИДУ формулу /72 = —;===: что масса покоя фотона равна нулю. Считая, что понятие импуль- импульса применимо к фотону, мы можем положить Напомним, что опыты Лебедева (стр. 287) непосредственно до- доказали справедливость для света соотношения p=W/c между плот- плотностью импульса и плотностью энергии электромагнитной волны. Формула импульса фотона превосходно согласуется с этим выводом. Значения $, т Радиоволны . Видимый свет Рентгеновские и р фотонов различных типов электромагнитного излучения ... лучи % 2000 м 6000 А 1 А Ю-21 эрг = = 0,62-Ю-9 эВ 3,3- Ю-12 эрг = 2 эВ 19,8-Ю-9 эрг = = 12 400 эВ 1 3 2 т ,ь ,6- ,2- , г Ю-42 Ю-зз Ю-29 Р, I 3,3 1,1- 6,6 л-см/с Ю-32 Ю-22 Ю-19 Как будет видно из следующих параграфов, существование фо- фотонов убедительно доказывается многочисленными экспериментами. В то же время огромный опытный материал не позволяет нам отка- отказаться от представления о непрерывности электромагнитного поля. Наиболее яркие противоречия возникают при рассмотрении интер- интерференционных явлений, столь изящно объясняющихся волновым характером поля и совершенно непонятных с корпускулярной точки зрения. Действительно, представим себе простейший интерференционный опыт: два близких отверстия, через которые пропускается свет. Без труда проделаем следующий эксперимент. Сначала сфотогра- сфотографируем прошедший свет, когда оба отверстия открыты. Получим обсуждавшуюся нами в свое время картину, состоящую из череду- чередующихся светлых и темных полос. Теперь закроем по очереди оба отверстия и снимем фотографию на одну пластинку. Результат, ра- разумеется (с точки зрения волновой теории), будет другим — интер- интерференции нет. Подумаем теперь, что означает этот эксперимент на языке кор- корпускулярных представлений. Можно представить себе (хотя и труд- трудно), что, отскакивая от борта отверстия или ударяясь друг об друга, фотоны падают неодинаково в разные места фотопластинки. Но кар- картины получаются разные в зависимости от того, проходил ли свет ^ оба отверстия одновременно или последовательно. Фотоны, 389
проходящие через одно отверстие, «знают», закрыто или открыто соседнее отверстие. Этим и многими другими рассуждениями и опытами можно дока- доказать полную невозможность сведения электромагнитных явлений к одной лишь картине поля или к системе фотонов. Каждое из рас- рассмотрений оказывается исключительно плодотворным в одной об- области явлений и отказывает в другой. Развитие физики последних десятилетий проходит под флагом энергичных поисков формы объединения этих двух противополож- противоположных представлений об электромагнитной материи. Поле — это ре- реальность, которая характеризуется непрерывными в пространстве и времени значениями напряженностей полей; корпускула — это реальность, занимающая некоторую ограниченную область про- пространства в данное мгновение. Электромагнитная материя объеди- объединяет в себе эти противоречивые качества. В гл. 27 мы увидим, что сочетание таких противоречивых свойств характерно не только для электромагнитной материи, но и для вещества. Однако в познании вещества физика ушла значительно дальше, чем в учении об элек- электромагнитном поле. Дуалистическая природа частиц вещества опи- описывается уравнением Шредингера (стр. 441); взаимоотношения меж- между корпускулами и волнами для этих частиц в достаточной степени выяснены. К сожалению, значительно хуже обстоит дело с созданием тео- теории электромагнитного поля (материи), так называемой квантовой электродинамики (см. подробнее стр. 541). Такой законченной тео- теории не существует. Ввиду принципиальных противоречий, имею- имеющих место в квантовой электродинамике, ее отдельные успехи, вы- выражающиеся в установлении новых закономерностей, связывающих nojfe и частицы, не могут быть обобщены и взаимоотношение между фотонами и электромагнитным полем не может считаться выяснен- выясненным. Правила «перевода» с корпускулярного языка на волновой и обратно состоят в следующем: электромагнитная волна с длиной X и интенсивностью / может проявить себя как поток фотонов с ча- частотой v=c/K и интенсивностью I=N*hv, где N — число фотонов, приходящихся в единицу времени на единицу площади. Направле- Направление движения фронта волны есть направление движения фотона. Мы оставим в стороне весьма сложный вопрос о поляризацион- поляризационном состоянии света. Чтобы толковать его на языке корпускул, не- необходимо принять существование у фотона некоторого избранного направления (спин, ср. стр. 462 о спине электрона). § 162. Фотоэлектрический эффект Вырывание электронов под действием электромагнитных волн является одним из важнейших подтверждений неизбежности кор- корпускулярных представлений. Мы рассмотрим здесь это явление именно с этой стороны и вернемся к нему еще раз в § 274 для обсу- обсуждения действия света на металлы и полупроводники. 390
. Так как работа выхода электрона из металла (см. стр. 665) не меньше 2,2 эВ, то фотоэлектрический эффект становится возможным при /iv>3,5-10~12 эрг, т. е. для частот порядка 0,5-1015 Гц (А,= =6000 А). Эйнштейн предложил рассматривать фотоэффект как явление соударения фотона с электроном. Фотон при этом отдает всю свою энергию и прекращает существование. Есйи А есть работа выхода электрона (т. е. работа преодоления сил связи электрона с веще- веществом), то закон сохранения энергии будет иметь вид mv2 где mv2l2 — кинетическая энергия выбитого из вещества электрона (фотоэлектрона). Первая проверка справедливости фотонной гипотезы заключа- заключается в проверке линейной зависимости кинетической энергии фото- фотоэлектрона от частоты падающего излучения. Энергия фотоэлектронов определяется методом задерживающего потенциала. Если поверхность вещества, из которого вырываются электроны, является обкладкой конденсатора, то через цепь, в ко- которую включен этот конденсатор, пойдет ток. Его можно прекратить, если подать на конденсатор задерживающее напряжение. Ток пре- прекратится, когда Рп -тгJ еиз— 2 * Следует иметь в виду, что электроны имеют тем меньшую скорость, чем е большей глубины они вырваны. Поэтому прекращение тока 1,0 / У" Г Рис. 186. наступит тогда, когда будут задержаны электроны, наиболее близ- близкие к поверхности. Определяя на опыте eU3 для разных частот v электромагнитного излучения, можно построить кривые Uz в функции v. Идеальные прямые, полученные в таких опытах, пока- показаны на рис. 186. Тангенс угла наклона прямой eU^=hv — Л,
равный hiey может быть вычислен из других данных, что дает еще одну независимую проверку теории. Описанный опыт нельзя все же считать прямым доказательством фотонной гипотезы. Возможно возражение, состоящее в том, что фотоэлектрон постепенно накапливает энергию, передаваемую ему электромагнитной волной. Это возражение снимается классическим опытом А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравова. Еще ранее А. Ф. Иоффе прибегнул к исследованию фотоэффекта на пылинке, взвешенной между обкладками конденсатора. Из-за неизбежного трения о воз- воздух пылинка несет заряд, и поэтому ее тяжесть может быть урав- уравновешена электрическим полем. При равновесии qE=mg, где т, q — масса и заряд пылинки. При фотоэффекте пылинка теряет элек- электрон и, следовательно, в зависимости от знака q меняет свой заряд на q+e или q — е. Пылинка выходит при этом из равновесия и на- начинает движение к одной из пластин конденсатора. Чтобы уравно- уравновесить пылинку, надо изменить поле. Условия равновесия будут (q ±e)E1 = mg. Этим способом Иоффе определял заряд электрона. Возвращаемся к опыту Иоффе и Добронравова. Они также на- наблюдали за поведением пылинки, взвешенной между обкладками конденсатора, но цель была теперь другая. Одной из обкладок кон- конденсатора служил анод рентгеновской трубки. На трубку наклады- накладывалось напряжение 12 000 В, а рентгеновские лучи создавались исключительно слабым потоком электронов, составлявшим около 1000 электронов в секунду. Как известно, рентгеновские лучи возникают при соударении электрона с анодом. Однако, что излучается анодом: непрерывное электромагнитное поле или 1000 фотонов в секунду? Это и должна показать пылинка, находящаяся между обкладками конденсатора. Рентгеновские лучи вырывают из пылинки электрон. Но как они это делают? Опыт Иоффе и Добронравова показал, что вырывание электрона из пылинки происходит в среднем один раз в 30 минут. Если бы рентгеновские лучи распространялись в виде непрерывного поля, то в каждое мгновение пылинка получала бы совершенно мизерную энергию, недостаточную, разумеется, для отрыва электрона. Эта энергия распределялась бы поровну между всеми электронами пы- пылинки. Наблюдение Иоффе и Добронравова потребовало бы от вол- волнового представления совершенно невероятного вывода: раз в 30 ми- минут все электроны передают энергию одному и он отрывается от пылинки. В то же время фотонная гипотеза не только объясняет явление с качественной стороны, но приводит к опытной цифре. Пылинка в описываемом опыте представляла собой висмутовый шарик радиу- радиусом 3-Ю см. Она находилась на расстоянии 0,02 см от анода, от которого рентгеновские лучи шли во все стороны. Вероятность по- 392
падания фотона в пылинку равна ^ io 02J ^ i goo qoq • Так как в 1 с вылетает 1000 фотонов, то в среднем в пылинку будет попадать 1 фотон в 1800 с C0 минут), что и совпадает с опытом. § 163. Флуктуации светового потока Серьезным опытным доказательством фотонной теории являются опыты С. И. Вавилова, посвященные изучению флуктуации слабых световых потоков. Оказывается, что порог чувствительности глаза к свету лежит исключительно низко. Глаз способен видеть примерно 100 фотонов, попадающих в одну секунду на роговицу. Если световой поток ко- колеблется около этой величины, то свет не будет восприниматься глазом, когда число фотонов будет падать ниже порогового зна- значения. В опытах Вавилова исследователь наблюдал пучок света, кото- который выпускался через каждую секунду на промежуток времени 0,1 с. Если величина светового потока превышала порог чувстви- чувствительности, то глаз наблюдал каждую вспышку света. При умень- уменьшении интенсивности света некоторые вспышки уже не оказывали действия на наблюдателя. Чем меньше интенсивность света, тем больше оказывалось пропусков. Таким образом были непосредствен- непосредственно обнаружены флуктуации числа фотонов в световом потоке. Труд- Трудно предложить более непосредственное доказательство корпуску- корпускулярной природы света. Другие опыты Вавилова ярко показывают невозможность объяс- объяснения фотонной гипотезой таких типично волновых явлений как интерференция. Вавилов разделял световой пучок на два когерент- когерентных луча (бипризмой Френеля). Эти лучи давали интерференцион- интерференционную картину. В то же время флуктуации обоих световых пучков оказались совершенно независимыми. Это обстоятельство еще раз указывает на полную невозможность объяснения интерференции ка- каким-то статистическим распределением фотонов. Волновые свойства присущи не потоку фотонов, а каждому фо- фотону. Таким образом, никак нельзя считать фотон «обычной» ча- частицей. Здесь необходимо некоторое отступление. Создавая модели не- невидимого мира, мы наделяем элементарные частицы свойствами, заимствованными в мире окружающих нас вещей или, как говорят физики, в макромире. Так, например, мы говорим об атомах как о шариках. Не приходится и говорить, что шарик-атом лишь частично отражает свойства шарика-вещи. Каждому, например, ясно, что присущие шарику-вещи такие свойства как цвет, шероховатость, запах, невозможно перенести на шарик-атом. По мере проникнове- проникновения в микромир перенесение свойств вещей на свойства элементар- элементарных частиц становится все более затруднительным. 393
Части атома, части атомного ядра, частицы света еще в меньшей степени напоминают шарики-вещи, чем атом. На примере фотона мы столкнулись с возможностью сочетания в микрочастице противоре- противоречивых свойств вещей нашего большого мира. Конечно, в макромире частица — это частица, а волна — это волна. Частица занимает ог- ограниченную область пространства и движется по определенной траектории, волна распределена в пространстве непрерывно и энер- энергия передается в той или иной доле всеми точками пространства. Примирить эти два представления для вещей нельзя. Но мы не име- имеем права навязывать поведение вещей частицам микромира. Познание микромира состоит не в создании модели, похожей на знакомые глазу человека картины. Изучение закономерностей явле- явления, нахождение объективно существующих причинных связей между явлениями — в этом состоит бесконечный процесс познания. Таким путем и происходит становление сложной картины микроми- микромира, сущность которой не может быть передана никакими хитроум- хитроумными моделями, заимствованными из мира вещей. § 164. Закон Кирхгофа Опытом установлено: два тела, находящихся при разных тем- температурах, выравнивают свои температуры и в том случае, если тела находятся в вакууме. Обмен энергией происходит при помощи элек- электромагнитных волн, излучаемых атомами этих тел. Как говорилось выше, каждому атому можно приписать опре- определенную систему энергетических уровней. Поглощая энергию, атом переходит на более высокий уровень, излучая — на более низкий. При каждом акте излучения атом отдает в пространство электро- электромагнитную энергию hvmn=<gm—?п, где ?т— энергетический уро- уровень до излучения, а ?п— после. Излученная волна обладает частотой vmn. Эта волна достигает второго тела и поглощается им. При этом атом, поглотивший энергию, поднимается с уровня &п на уровень ?т. То же самое можно выразить и на языке представлений о фотоне, говоря, что при каждом акте излучения отдается фотон hv электро- электромагнитной энергии, а в явлении поглощения фотон захватывается атомом и его энергия идет на переход атома с низкого уровня на более высокий. Все атомы тел участвуют в обмене энергией, то поглощая, то излучая фотоны. При этом в зависимости от случайных обстоятельств могут возникать самые различные энергетические переходы, и в принципе в обмене энергией участвуют электромагнитные волны лю- любой длины. Можно представить себе, что в теплообмене участвуют тела^ об- образующие замкнутую систему (система тел, за которой мы наблю- наблюдаем, окружена оболочкой, не выпускающей излучения наружу). Тогда через некоторое время эти тела придут в состояние равнове- равновесия, все тела примут одинаковую температуру. Это не значит, что 394
электромагнитное излучение прекратится. По-прежнему атомы будут то переходить на более высокую энергетическую ступень, то на бо- более низкую. Но если состояние равновесия достигнуто, то к каждому телу в каждый момент времени будут подходить и уходить равные количества энергии для излучения любой волны. Излучение, кото- которое подходит к телу, в общем случае лишь частично поглощается телом и заставляет его атомы переходить с более низкого на более высокий энергетический уровень. Другая часть падающего излу- излучения рассеивается, отражается телом. Атомы не задерживаются долго на высоких уровнях; возвращаясь в исходное состояние, они отдадут поглощенную энергию в виде излучения. Если падающая на единицу площади в 1 с энергия есть р, то поглощенная будет Л р. Безразмерный коэффициент А, указываю- указывающий долю поглощенной энергии, называется поглощениельной спо- способностью тела. Очевидно, если где<? — энергия, излучаемая 1 см2 поверхности в 1 с, то тело на- находится в равновесии со средой — температура его неизменна. Но в чем же состоит условие теплового равновесия многих тел, которые, разумеется, могут обладать разной поглощательной способ- способностью и разным излучением? Исходя из термодинамических сооб- соображений, Кирхгоф показал, что равновесие возможно лишь в том случае, если интенсивность падающих на тело электромагнитных волн одинакова для всех участков всех тел, находящихся в равнове- равновесии друг с другом. Таким образом, Подобное соотношение должно быть верно для любой длины волны и для любой температуры. Это и есть закон Кирхгофа, который го- говорит, что отношение испускательной способности тела к поглоща- поглощательной есть величина постоянная для каждой длины волны и любой температуры. Это значит, что тело, которое сильно поглощает какие-либо лучи, будет их сильно излучать, и наоборот. Почему мало нагреется под действием солнечных лучей вода, заключенная в бутыль с посереб- посеребренными стенками, и сильно нагреется вода в фляжке из черного стекла? В первом случае поглощение солнечной энергии мало, во втором — велико. Теперь налейте в оба сосуда горячую воду и по- поместите их в холодное помещение. Гораздо быстрее остынет вода в фляжке из темного стекла: то тело, которое больше поглощает, бу- будет больше излучать. Можно показать эффектные опыты с окрашенной керамикой. Если тело имеет, скажем, зеленый цвет, то значит оно не поглощает зеленого света. Раскаляя зеленый черепок, можно увидеть, как Фн начнет светиться цветом, дополнительным к зеленому. Нас не должно смущать, что мы применяем закон, установлен- установленный для равновесия, к явлениям, безусловно неравновесным (тело
находится при температуре более высокой, чем среда). Здесь дело об- обстоит совершенно так же, как и для других проблем термодинамики (ср. стр. 144): законы термодинамики применимы, если только можно рассматривать каждое мгновенное состояние как равновесное. В явлениях теплового излучения это условие всегда выполняется. § 165. Абсолютно черное тело Закон Кирхгофа приводит к интересному следствию. Тела, обме- обменивающиеся теплом посредством излучения, получают (при данных v и Т) одну и ту же интенсивность электромагнитных волн от своих соседей, независимо от материала и свойств тела. Для каждой длины волны (или частоты, это одно и то же) и для каждой температуры опыт приводит к универсальной величине р. Таким образом, су- существует универсальная функция p(v, T) — функция частоты излу- излучения и температуры, характеризующая процесс теплообмена излу- излучением. Функции р (v, T) можно придать наглядное содержание. Рассмот- Рассмотрим тело, поглощающее 100% падающей на него энергии при всех длинах волн. Для такого абсолютно черного тела А = 1 и tf = p(v, T). Функция p(v, T) есть испускательная способность абсолютно чер- черного тела. Но как осуществить тело, поглощающее свет любых длин волн? Разумеется, черные вещества типа сажи позволят нам приб- приблизиться к такому телу. Однако несколько процентов будут нас всегда отделять от условия А = 1. Возможно более остроумное ре- Рис. 187. Рис. 188. шение. Представьте себе ящик с небольшим отверстием. Уменьшая размеры этого отверстия, можно сделать его абсолютно черным. Эта особенность отверстий хорошо известна из повседневных наблюде- наблюдений. Глубокая нора, раскрытое окно не освещенной изнутри ком- комнаты, колодец — вот примеры абсолютно черных «тел». Вполне по- понятно, в чем здесь дело: луч, попавший в полость через отверстие, способен выйти наружу лишь после многократных отражений (рис. 187). Но при каждом отражении теряется доля энергии. По- 396
этому при малом отверстии в большой полости луч не сумеет выйти, т. е. полностью поглотится. Для измерения испускательной способности p(v, T) абсолютно черного тела изготавливается длинная трубка из тугоплавкого мате- материала, которая помещается в печь и нагревается. Через отверстие трубки с помощью спектрографа изучается характер излучения. Результаты подобных экспериментов изображены на рис. 188. Кри- Кривые представляют собой интенсивность излучения в функции длины волны, построенные для нескольких температур. Мы видим, что излу- излучение сосредоточено в относительно узком спектральном интервале, лежащем в пределах 1—5 мкм. Лишь при более высоких темпера- температурах кривая захватывает область видимого спектра и начинает продвигаться в сторону коротких волн. Волны длиной несколько микрон носят название инфракрасных. Поскольку они при обычных температурах берут на себя основную обязанность переноса энер- энергии, мы называем их тепловыми. Кривая теплового излучения обладает максимумом, тем более ярко выраженным, чем выше температура. При возрастании темпе- температуры длина волны ХШУ соответствующая максимуму спектра, сдви- сдвигается в сторону более коротких волн. Этот сдвиг подчиняется так называемому закону Вина, который легко устанавливается на опыте: \ 2886. в этой формуле длина волны должна быть выражена в микронах, а Т — в градусах абсолютной шкалы. Сдвиг излучения в сторону коротких волн мы наблюдаем, когда следим за накаливанием ме- металла — смена красного каления на желтое по мере роста темпера- температуры. Второе обстоятельство, на которое мы обращаем внимание, рас- рассматривая кривые излучения,— это быстрый рост всех ординат кри- кривой с увеличением Т. Если $х есть интенсивность для данной вол- волны, то суммарная интенсивность спектра представится интегралом Этот интеграл есть не что иное как площадь под кривой излуче- излучения. С какой же быстротой растет/? при увеличении 7? Анализ кри- кривых показывает, что весьма быстро — пропорционально четвертой степени температуры: где сг=5,7-10~5 ед. СГС. Это закон Стефана — Больцмана. Оба закона имеют значение при определении температуры да- далеких от нас раскаленных тел. Именно таким способом опреде- определяется температура Солнца, звезд, раскаленного облака атомного взрыва. 397
Законы теплового излучения лежат в основе определения тем- температуры расплавленного металла. Принцип оптических пироме- пирометров заключается в подборе такого накала нити электрической лам- лампы, при котором свечение этой нити становится таким же, что и све- свечение расплавленного металла. Мы пользуемся законом: если тож- тождественно излучение, то одинаковы и температуры. Что же касается температуры раскаленной нити, то она находится в прямой зависи- зависимости от электрического тока, проходящего через нить. Исходя из этого, оптический пирометр нетрудно проградуировать. Реальные тела не являются абсолютно черными, и для каждого из них в формулу Стефана — Больцмана приходится вводить мно- множитель, меньший единицы (поглощательную способность данного тела). Эти множители определяются эмпирически и представляют интерес для практической теплотехники, для которой проблемы теплообмена излучением крайне существенны. Тем не менее рас- рассмотренные законы имеют значение, так как закономерности излу- излучения (ход с температурой, ход с длиной волны) в общих чертах сохраняются и для нечерных тел. Теоретическая же значимость во- вопроса об абсолютно черном теле выяснится в следующем параграфе. § 166. Теория теплового излучения Рассмотрим полость, внутри которой происходят процессы по- поглощения и излучения электромагнитных волн. Эта полость может быть шаром, прямоугольным параллелепипедом — это безразлично. Стенки полости излучают и поглощают равные количества энергии, вся система находится в равновесии. Внутри полости существует электромагнитное поле, которое в свою очередь находится в равно- равновесии со стенками: во всех точках пространства плотность энергии поля w = g— (?2 + И2) не меняется со временем. Это электромагнитное поле мы можем рассмотреть с двух пози- позиций. -С одной стороны, в полости существуют стоячие электромаг- электромагнитные волны, совершенно так же как в закрытой комнате с источ- источниками звука существуют стоячие звуковые волны. С другой сто- стороны, имея в виду квантовую природу поля, мы можем сказать, что рассматриваемое пространство заполнено фотонами, аналогично тому как сосуд с газом заполнен молекулами. Исходя из волновых представлений, мы можем легко определить число частот электромагнитных колебаний, происходящих в поло- полости. Рассуждения, приведенные в свое время для звуковых волн на стр. 120, полностью применимы и сейчас. Число собственных ча- частот электромагнитных колебаний, меньших v, равно 4 v3 т/ где с — теперь скорость электромагнитных волн, а V — объем по- полости. Эта формула дает число колебаний для случая линейно поля- 398
ризованных волн. При тепловом излучении мы имеем дело с не- поляризованными колебаниями, которые всегда можно разложить на две оси. В таком случае число колебаний будет в два раза больше и рав- равняется у я —V. Дифференцируя, получим, что в интервале частот от v до v+dv число колебаний будет равно Vdv. с Теперь мы воспользуемся точкой зрения, рисующей «другуюсто- «другуюсторону медали». Полость заполнена колебаниями с частотой v, иначе говоря, фотонами с энергиями e=hv. Число -^—-Vdv можно рассматривать как число фотонов в объеме полости, а —g— dv— как плотность фотонного газа. Мы приблизились к ответу на важ- важный вопрос: чему равна плотность электромагнитной энергии в полости? Если бы фотоны всех энергий возникали одинаково часто, то оставалось бы умножить е на^-dvn мы получили бы плот- плотность энергии для частот интервала dv. Однако частицы газа не распределены равномерно по энергиям. Поэтому искомая формула имеет вид где W (г) — вероятность создания фотона с энергией 8. Таким образом, плотность электромагнитной энергии для волн (фотонов) с частотой v выражается формулой Поток энергии через единицу площади, т. е. вектор Пойнтинга /С, будет, согласно стр. 292, в с раз больше w^. Что же касается потока энергии р, излучаемого единицей площади тела, находящегося в равновесии с полем, то он должен быть в четыре раза меньше век- вектора Пойнтинга: p=-j-/(. Между w и р имеется связь: p=-j we. Какого же происхождения коэффициент 1/4? Не желая задержи- задерживаться на этом, в общем мало существенном обстоятельстве, про- проведем следующее упрощенное рассуждение. Каждая площадка излучает поток энергии р, идущий во все сто- стороны в пределах полусферы, т. е. телесного угла 2я. Таким образом, среднее излучение внутрь единичного телесного угла равно р/2д. Из геометрических соображений ясно, что излучение равно нулю вдоль площадки и максимально вдоль нормали. Если бы падение интенсивности излучения происходило равномерно, то для получе- получения среднего значения р/2я надо было бы, чтобы вдоль нормали излу- излучение равнялось р/я.
Теперь рассмотрим сферу, заполненную излучением. В центре сферы имеется площадка, через которую проходит поток энергии К- Но, с другой стороны, на эту площадку падает излучение со всех участков сферы, равное (р/я) 4я. Следовательно, р= -% К- Итак, от формулы объемной плотности электромагнитного излу- излучения мы перейдем к выражению испускательной способности чер- черного тела, умножая wv на с/4: Дальнейшая задача исследования этой функции связана с оцен- оценкой вероятности распределения энергии W(г). Исторически первая формула для pv была предложена в 1911 г. независимо друг от друга Рэлеем и Джинсом. Она имеет вид 2nkT 2 nv= s- V2. С Эта формула получена в предположении равномерного распределе- распределения энергии по степеням свободы, т. е. независимости W от е. Она верна для больших длин волн и высоких температур. Другая возможность в отношении W (г) — это использование закона Больцмана, который так хорошо оправдывался для молеку- молекулярных газов; тогда W (г) = е-^кТ. Однако уравнение для испу- испускательной способности, носящее имя Вина, как и формула Рэлея — Джинса, не совпадает с опытом, как это видно из рис. 189. Где же ошибочное звено в проведенных рассуждениях? Его надо искать в незаконном распространении статистических соображений, лежащих в основе закона Больцмана, на совокупность фотонов. Ведь мы же подчеркивали, что фотоны дают нам одностороннюю точку зрения на электромагнитное поле. Реальность поля не может быть исчерпана представлением его в виде собрания частиц. Есте- Естественно поэтому, что у фотонов «своя статистика». Она носит назва- название статистики Бозе — Эйнштейна. Чтобы получить новую функцию распределения частиц по энер- энергиям, заменяющую закон Больцмана, достаточно учесть, что вол- волновой характер поля делает лишенным содержания представление о различии между тождественными частицами. На этой новой основе и строится статистика Бозе — Эйнштейна (см. стр. 655), которая приводит, как сейчас будет показано, к следующему закону распре- распределения фотонов по энергиям: 400
следовательно, формула для испускательной способности абсолют- абсолютно черного тела принимает вид Эта формула была впервые получена Планком и носит его имя. Блес- Блестящее совпадение теоретической формулы с опытом и характер t/элт -Южикь Йл&хк (совпадав с э/Аперимехтом) 0/?&4$'6Гд9 GO ^> 1 1 1 1 j 1 ) / i / 1 i 1 / О / A S 5 в Т S 9 Рис. 189. отклонений от правильных результатов теоретических формул Вина и Рэлея — Джинса иллюстрируются рисунком 189. Из формулы Планка вытекают как следствие рассмотренные выше законы Вина и Стефана — Больцмана. Для доказательства первого 401
из этих законов надо решить задачу на экстремум, т. е. найти ко- корень уравнения Для доказательства второго положения надо найти pvdv. Предоставляем эти вычисления читателю. § 166а. Стимулированное излучение Вернемся еще раз к полости, внутри которой существует элек- электромагнитное поле, находящееся в равновесии со стенками поло- полости. Но теперь рассмотрим эту систему с микроскопической точки зрения. Излучателем фотонов являются возбужденные атомы. Остановим наше внимание на фотонах hv. Газ этих фотонов находится в равновесии с атомами, излучающими и поглощающими свет с ча- частотой v, т. е. с атомами, обладающими энергиями Е2 и Ег, где Е2— Ex=hv. Когда равновесие установилось, числа атомов Nl9 находящихся на уровне Elt и атомов N2, находящихся на уровне ?2, будут не- неизменными. Так как распределение атомов по энергиям удовлетво- удовлетворяет закону Больцмана, то ^1 __ e(E2 -Ex)fkT _ phv/kT IV ' Равновесие в системе носит, разумеется, динамический характер, т. е. атомы переходят с нижнего уровня на верхний и обратно, а фотоны то поглощаются, то излучаются. Поскольку имеет место равновесие, числа переходов вверх и вниз за единицу времени рав- равны друг другу. Два процесса представляются очевидными. Первый из них — это поглощение фотона, которое происходит при попадании фотона на атом, находящийся на нижнем уровне Ег\ атом при этом «воз- «возбуждается», т. е. переходит на уровень Е2. Число таких событий можно записать в виде BNXW (е). Здесь В — коэффициент пропорциональности, и наша запись ут- утверждает, что число переходов атомов снизу вверх (число поглоще- поглощений фотонов) пропорционально числу атомов с энергией Ех и числу фотонов с энергией е. Второй процесс, существование которого очевидно, это само- самопроизвольные (спонтанные) переходы атомов с верхнего уровня на нижний. Положение атома на уровне Е2 неустойчиво, и поэтому по- постепенно они будут переходить на нижний уровень. Число таких переходов в единицу времени должно быть пропорционально числу 402
возбужденных атомов в системе AN2f где А — другой коэффициент пропорциональности. Если приравнять AN2 и BNXW(е), то для W(г) мы получим за- закон распределения Больцмана, т. е. ту же статистику, которой под- подчиняются атомы. Но это предположение, как мы видели в предыду- предыдущем параграфе, приводит к резкому противоречию с опытом. Зна- Значит, кроме двух процессов, которые мы описали, есть какой-то еще, участвующий в создании равновесия. Эйнштейн указал сразу же после опубликования Планком его формулы, что все станет на место, если допустить, что падение фотона с энергией hv на возбужденный атом стимулирует его излу- излучение с этой же частотой. Причем вероятность этого процесса долж- должна быть такой же, как и вероятность поглощения, т. е. число актов стимулированного излучения в единицу времени равно BN2W (е). Приравнивая теперь число переходов вверх и вниз, мы получим или V ' ~~ ehv/kT—\ * Предельные значения W{t), а именно Wfe)=ekT/hv для малых hvlkT (Рэлей — Джине) и W(e)=e-hv/kT для больших hvlkT, нам известны. Это заставляет нас положить А = В. Таким образом демонстрируется путь к формуле статистики фотонов Мы видим, что спектр черного тела удается объяснить лишь введением представления о стимулированном излучении. Можно показать, что стимулированное излучение должно су- существенно отличаться от спонтанного. Спонтанно излученные фо- фотоны имеют разные направления и случайные фазы. Фотоны, воз- возникшие благодаря встрече фотона hv с возбужденным атомом, имеют ту же фазу и то же направление, что у первичного фотона. Благо- Благодаря этим особенностям стимулированного излучения можно до- достигнуть фантастических мощностей световых потоков в устройствах, которые называются лазерами, или генераторами стимулированного излучения (см. §. 206). § 1666, Люминесценция О люминесценции говорят в том случае, если молекулы могут быть приведены в возбужденные состояния без увеличения их сред- средней кинетической энергии, т. е, без нагревания. Люминесценция не подчиняется закону Кирхгофа. Интенсив- Интенсивность люминесценции по определению превосходит интенсивность 403
излучения той же длины волны, испускаемой абсолютно черным телом. Различаются два вида люминесценции. Явление называют флуо- флуоресценцией, если оно состоит в самопроизвольном переходе моле- молекулы из возбужденного состояния F на низкий уровень N (рис. 189а). Длительность флуоресценции обычно меньше 10~7 с и во вся- всяком случае меньше 1 секунды. Если возбужденная молеку- Флуорес- Флуоресценция *\/ Рис. 189а. &>осфорес- ла или атом переходит с возбуж- возбужденного уровня на метастабиль- ный уровень, то может возник- возникнуть фосфоресценция. Метаста- бильным называется такой уро- уровень, переходы с которого на более низкий уровень крайне маловероятны. Излучение теперь может произойти лишь возвраще- возвращением молекулы с уровня М на прежний возбужденный уровень F. При высоких температурах это возвращение происходит быстро, при низких — медленно. Таким образом, фосфоресценция, в отли- отличие от флуоресценции, зависит от температуры. Люминесценция может быть вызвана самыми различными фак- факторами — химической реакцией, трением и т. д. Важнейшими ва- вариантами являются фотолюминесценция и электролюминесценция, возникающие вследствие поглощения света и ударов заряженных частиц. Фотолюминесценция не может иметь большую частоту (т. е. больший квант энергии), чем возбуждающий свет. Красная флуо- флуоресценция возбуждается оранжевым светом, желтая — зеленым, зеленая — голубым и т. д.
ЧАСТЬ III СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ГЛАВА 26 ПОТОКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Простейшим, во всяком случае в классификационном смысле, видом вещества является некоторая совокупность заряженных частиц — электронов и ионов. Мы встречаемся с системами заря- заряженных частиц либо в виде пучков частиц, в которых все частицы имеют общую скорость и движутся в одном направлении, либо в виде газа хаотически движущихся частиц. Разумеется, возможны и промежуточные состояния. В этой главе будут рассмотрены основ- основные физические явления и технические устройства, в которых мы имеем дело с пучками и с плазмой. Вопросы эмиссии электронов, непосредственно связанные с физикой твердого тела, будут изложе- изложены в гл. 37. § 167. Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях Произвольное электромагнитное поле действует на заряженную частицу с силой \ — еЕ-\— [vB] (стр. 239). Если поля Е и В извест- известны в функции координат и времени и даны начальная скорость и ме- место нахождения частицы, то для ча- частиц, движущихся со скоростями v<^c, траектория частицы г (t) может быть найдена с помощью основного закона механики А±_ Решение такой задачи представляет обычно большие математические труд- трудности. Для знакомства с закономер- ~ Рис 19о. ностями общего характера вполне достаточно рассмотреть движение заряда в однородном поле. Частица в электрическом поле. Частица входит в поле под углом 90°+а (рис. 190). При выборе координат, указанном на рисунке, 405
уравнения движения имеют аид ^ =_-?.?, ^ = 0 Отсюда Интегрируя еще раз, получим, полагая х=0 при t=0: Исключая время, найдем уравнение параболической кривой, ко- которую будет описывать электрический заряд (пунктир на рис. 190). Если частица входит в поле под прямым углом (voy=O), то урав- уравнение траектории имеет вид i Если частица входит в поле вдоль силовой линии, то она и будет продолжать движение вдоль силовой линии с ускорением — ?. Обозначая разность потенциалов точек начала и конца движения заряженной частицы через V, получим с помощью уравнения кине- кинетической энергии Если конечная скорость v^>v09 то *_«* „ ,_ Это уравнение делает понятным распространенность единицы энергии электрон-вольт: 1эВ= 1,63-10? эрг. Это — работа, необходимая для ускорения электрона напряжением 1 В. Единица «электрон-вольт» удобна в тех случаях, когда энергии относят к одной элементарной частице. Работа ионизации, вырыва- вырывания электрона, выхода электрона из металла — все эти величины имеют порядок ^единиц и десятков электрон-вольт. Частица в магнитном поле. Особенности силы, действующей на заряженную частицу в магнитном поле, нам известны (стр. 240). Пусть частица вошла в поле с начальной скоростью г>0. Разложим этот вектор на составляющие вдоль и поперек поля, v{\ и v±. Тогда для движения в плоскости, перпендикулярной к полю, имеем Продольное движение будет происходить равномерно с неизменной скоростью о,|. 406
Движение в перпендикулярной плоскости — круговое, есть центростремительное ускорение. Таким образом, mv , с откуда радиус окружности R = —~ прямо пропорционален ско- скорости частицы и обратно пропорционален магнитной индукции. Су- Существенно запомнить, что угловая скорость обращения около сило- еВ вой линии со = — у частиц данного сорта в заданном поле будет Рис. 191. одинаковой. Вне зависимости от величин и направлений скоростей все частицы будут обертываться около силовой линии за одно и то же время. Если частица вошла в поле под углом к направлению поля, то она будет двигаться по спирали с радиусом витка R и с частотой о) (рис. 191). Проекция скорости на направление силовых линий ип позволит найти шаг спирали: гр, 2л 2лтс Существенно, что величина vn—v0 cos а, где а — угол начальной скорости с полем, с большой точностью постоянна даже при угле разброса начальных скоростей 5—10° (при этом значениями будут разниться не более чем на 1%). Отсюда следует, что через каждые z сантиметров расходящийся (в указанных пределах) пучок заряжен- заряженных частиц будет собираться в точку, т. е. фокусироваться на обра- образующей цилиндра (на который навивается спиральная траектория), проходящей через точку входа частиц в поле. Пример. Пусть электрон разгоняется напряжением V=^300 В и входит в магнитное поле с индукцией В=500 Гс под углом а=30°. Скорость электрона ,/~2ёУ" -. /.4,8.10-^.1 = У ИГ^ У 9-ю-" = -Йалезно отметить, что t>0/c=l/30, поэтому в настоящий расчет вводить реляти- |]Щйстские поправки не имеет смысла. ип ^оСОБа^О^.Ю9 см/с, 1/х = 0,5.109см/с. 407
Радиус цилиндра, на который навивается спиральная траектория электрона, mv,c Q. 10-28«0 5-109-3-1010 Я— ^1— = . Jio п =0,056 см, т.е. его диаметр несколько больше одного миллиметра. Угловая скорость Шаг спиральной траектории § 168. Получение пучков заряженных частиц В газоразрядной трубке (см. ниже) навстречу друг другу дви- движутся потоки электронов и положительных ионов. Чтобы получить ионный луч, т. е. пучок ионов, движущихся в одном направлении, можно сделать отверстие (канал) в катоде. Большая часть ионов, попадающих в отверстие, пройдет через него и далее будет двигаться по инерции. Эти пучки под именем каналовых или закатодных лучей были известны физикам еще в прошлом веке. Подобный способ по- получения ионного потока сохраняет свою силу и сейчас. Вещество переводится в газообразное состояние, молекулы его ионизуются и далее положительные ионы выводятся через канал из газораз- газоразрядного объема. Для получения электронного луча газовый разряд не использу- используется. Источником электронного луча служит так называемая элек- электронная пушка—приспособление, использу- использующее явление термоэлектронной эмиссии (подробнее см. стр. 467). Как известно, рас- раскаленные металлы могут служить источ- источником электронов. Так, 1 см2 поверхности вольфрама, нагретого до 2400 °С, дает в 1 с число электронов, соответствующее току си- силой в 1 А. Схема электронной пушки показана на рис. 192. На электроды подается напряже- напряжение, ускоряющее электроны. Катодом слу- служит накаливаемая током вольфрамовая нить /. Анод 2 имеет форму стакана с круглым от- отверстием в дне. Электроны выходят из этого отверстия в виде пучка, расходимость и ширина которого определяются отверстием. Фокусировка электрон- электронного пучка (фокусирующий электрод 3) позволяет получать сильные и тонкие пучки электронов (см. § 169). Проблема получения максимального по интенсивности электрон- электронного пучка при данной затрате энергии имеет большое техническое значение. Рис. 192. 408
Чтобы использовать все электроны, испускаемые нитью, необ- необходимо, прежде всего, ускорять электроны достаточно высоким напряжением. Нить испускает определенное число электронов в еди- единицу времени. Все эти электроны должны оттягиваться от нити. Если напряжение мало, то около нити образуется электронное обла- облако, которое будет препятствовать эмиссии. По мере увеличения на- напряжения облако постепенно рассасывается и термоэлектронный ток растет. Наконец, мы доходим до напряжения, при котором элек- электронное облако не образуется. Дальнейшее увеличение напряжения уже не приведет к нарастанию термоэлектронного тока — мы до- достигли тока насыщения. При этом условии и должна работать элек- электронная пушка. Итак, достаточное напряжение обеспечит отвод от нити всех ее электронов. Далее перед техникой встает задача увеличить выход электронов нити. Вольфрамовые катоды во много раз перекрыты в отношении эмиссионных свойств торированными и оксидными катодами. То- рированный катод — это вольфрамовая проволочка, покрытая тон- тончайшей пленкой металлического тория. Тот ток, который чистый вольфрам дает при 2400 °С, торированный вольфрам дает при 1500 °С. Оксидный катод состоит из металлической подложки, на которую нанесен слой окислов щелочноземельных металлов. Этот катод уже при 900 °С дает ток, получаемый от вольфрама при 2400°С. В современных электронных приборах оксидный катод при- применяется с косвенным подогревом: катод изготовляется в виде тру- трубочки, внутрь которой вставляется вольфрамовая спираль, разо- разогреваемая током. § 169. Электронные линзы Электрические и магнитные поля позволяют управлять электрон- электронным пучком. Однако их действие не ограничивается возможностями отклонения пучка от первоначального направления. При помощи различных полей можно параллельный пучок электронов сделать сходящимся или расходящимся, можно расходящийся из одной точки пучок свести в другую точку. Весьма простые системы полей позволяют изготовить «линзы» для электронного пучка. Становится возможным создание большой области науки — электронной опти- оптики, наиболее существенным достижением которой является электрон- электронный микроскоп. Вспомним свойства обычной световой двояковыпуклой линзы. Если поместить с одной ее стороны предмет, то с другой стороны линзы возникнет увеличенное или уменьшенное изображение пред- предмета. Это происходит по той причине, что все лучи, выходящие из какой-либо точки объекта, собираются в одну точку изображения; при этом все точки изображения попадают в одну и ту же плоскость, перпендикулярную к оси симметрии линзы. Простое геометрическое построение, проделанное на рис. 193, показывает, почему линза 409
работает таким способом: упавший на нее луч отклоняется на угол, пропорциональный расстоянию h между осью симметрии и точкой пересечения луча с линзой. Построение произведено для точки =А (•&+?) Рис. 193. предмета, лежащей на оси симметрии. Но такой же результат будет верен и для других точек. Следует оговориться (как это, впрочем, делается и в оптике), что рассуждения справедливы для тонких линз и пучков, расходящихся в пределах малого телесного угла. Покажем теперь, что роль линз с успехом выполняют электри- электрические и магнитные поля с осевой симметрией. Такие поля можно I Рис. 194. получить от заряженных электричеством пластинок с круглым от- отверстием, от цилиндрических конденсаторов, витков тока и плоских катушек. Существует большое число систем, ведущих себя как линзы по отношению к электронному лучу. Нам достаточно для по- пояснения идеи рассмотреть один пример электрической линзы и один пример магнитной линзы. В качестве примера электрической линзы выбран конденсатор, в одной из пластин которого сделано круглое отверстие (рис. 194). Если электронный пучок будет падать на это отверстие со стороны
однородного поля, то он будет фокусироваться. Действительно, когда электрон попадет в область неоднородного поля, то на него будет действовать сила, перпендикулярная к эквипотенциальным поверхностям и, следовательно, образующая угол с осью симметрии. Раскладывая эту силу на две, мы видим, что имеется радиальная составляющая, прижимающая электроны к оси. Однако это- го было бы недостаточно, что- чтобы рассмотренная система играла роль линзы. Нужно еще, чтобы радиальная состав- составляющая поля была пропор- пропорциональна расстоянию между осью симметрии и точкой по- рис> 195. падания электрона в плос- плоскость отверстия. Несложный вывод показывает, что так оно и есть. Радиальная составляющая напряженности электрического по- поля может быть представлена в виде Е - l dE dE где -: градиент напряженности вдоль оси симметрии. Для дока- доказательства рассмотрим маленький цилиндр, расположенный, как показано на рис. 195 (расстояние /—2 считаем бесконечно малым). Так как внутри цилиндра зарядов нет, то разность потоков через основания 1 ц 2Г пг2-с1Е, должна равняться потоку через боковую поверхность Er-2nrdz с об- обратным знаком. Таким образом, отверстие в заряженной электричеством пластине играет роль линзы для электронного луча. Рассмотрим теперь поведе- поведение электронны^ лучей, про- проходящих через плоскую ка- катушку с током (рис. 196). Та- Такая катушка является магнит- магнитной линзой. Электроны дви- движутся по спирали и возвраща- возвращаются на ось симметрии, сделав виток спирали. Фокусирующие свойст- свойства катушки несомненны. Можно доказать, что угол отклонения луча пропорционален расстоянию этого луча от оси симметрии. Магнит- Магнитная катушка меняет азимут электронной траектории, значит, изоб- изображение предмета в такой линзе будет повернуто. Однако и этот поворот не искажает электронно-оптического изображения. Итак, если предмет рассеивает или излучает электронные лучи, то, поставив по ходу этих рассеянных электронов электрическую или магнитную линзу, мы можем получить «электронное изображение» Рис. 196.
предмета. Если в плоскость изображения поставить фотопластин- фотопластинку или светящийся экран, то возникнет своеобразная «картина» предмета, яркая в тех точках, которые излучают или рассеивают много электронов, темная в тех местах, которые соответствуют отсутствию рассеяния и излучения в предмете. Так как можно по- построить системы электронных линз, дающие увеличенное изображе- изображение предмета, то становится возможным осуществление электронного микроскопа. § 170. Электронный микроскоп Электронный микроскоп, т. е. такой микроскоп, в котором роль лучей света играют электронные лучи, обладает исключительными, еще до конца не исчерпанными возможностями непосредственного «разглядывания» объекта. Дело заключается в том, что возможности увеличения объекта, рассматриваемого в электронном микроскопе, вообще говоря, неограниченны. В то же время оптический микроскоп может дать увеличение не более чем в 2000—3000 рар. Чтобы понять причины этого различия, нам нужно познакомить- познакомиться с понятием разрешающей способности микроскопа. Вопрос ста- ставится следующим образом: каковы условия раздельного видения двух близких точек? Представим себе, что перед щелью или круглым отверстием нахо- находится идеально точечный источник света. После того как свет прой- пройдет через отверстие, возникнет дифракционная картина. Линза, по- поставленная позади отверстия, не соберет лучи в одну точку. На- Напротив, возникнет размытый кружок (или полоса, смотря по тому, идет ли речь о круглом отверстии или щели), окруженный чередую- чередующимися темными и светлыми кольцами. На стр. 333 мы вычислили величину этого размытия для щели. Радиус диска, которым изобра- изобразится точка после дифракции от отверстия, был приведен на стр. 334. Он равен 1,22A//D. Каждый оптический прибор обязательно имеет входное отвер- отверстие — объектив. Дифракция на объективе является неизбежным обстоятельством, и любая светящаяся точка в фокальной плоскости прибора расплывается в светлый кружок. Угловой размер радиаль- радиального размытия равен 1,22Я/?>, таким образом, линейные его размеры в фокальной плоскости будут 1,22 Xf/D. Здесь / и D имеют смысл фокусного расстояния и диаметра объектива. Для микроскопа эта формула дает лишь порядок величины, так как предмет близок к объ- объективу и нельзя считать пучок лучей параллельным. Однако мы не станем вдаваться в детали, так как интересны лишь качественные оценки. Если две светящиеся точки, которые наблюдаются в микроскоп, настолько близки, что светлые диски их изображений находятся своими центрами ближе друг к другу, чем на расстоянии, равном радиусу диска, то раздельное видение этих двух точек становится невозможным. 412
В микроскопических наблюдениях предельное линейное разре- разрешение равно \y22XflD. Так как отношение фокусного расстояния к диаметру объектива не может быть сделано существенно меньше единицы, то микроскоп позволяет разглядеть две точки, которые находятся на расстоянии порядка длины волны. Таким образом, при наблюдении в обычном свете (длина волны около 0,5 мкм) мы лишены возможности разглядеть у объекта детали, выражающиеся сотыми долями микрона. Какое же полезное увеличение дает оптический микроскоп? Представим себе, что некоторое изображение рассматривается при помощи окуляра, фотографируется, затем опять рассматривается с помощью окуляра и т. д. Совершенно ясно, что таким способом можно добиться сколь угодно большого увеличения. Однако уве- увеличение потеряет всякий смысл после того, как на полученной фото- фотографии можно будет увидеть глазом предельно разрешимые точки. Таким образом, если фотография, полученная на оптическом микро- микроскопе, увеличена до такой степени, что одному микрону соответствует 0,5—1 мм, то этим достигнут предел полезного увеличения. Как мы видим, для микроскопа он лежит около 1—2 тысяч. Как будет показано в следующей главе, электронный луч обла- обладает свойствами волны, длина которой выражается формулой Л = — то ' где h — постоянная Планка, т — масса и v — скорость электрона. При напряжении 50 000 В длина волны равняется 0,05 А. Но рас- расстояние между атомами больше 1 А. Таким образом, предельные воз- возможности электронного микроскопа не связаны с разрешающей способностью. Расчет показывает, что конструкция электронного микроскопа в принципе позволяет добиться разрешающей способности 2—3 А. В настоящее воремя удается в отдельных случаях получать разре- разрешение в 5—6 А, т. е. полезное увеличение до миллиона раз. Как же устроен электронный микроскоп? Оказывается, что ме- между световой и электронной оптикой имеется очень много общего. В электронно-оптических приборах мы всегда найдем те же эле- элементы и те же принципы конструкции, с которыми приходится встре- встречаться в обычных оптических приборах. Главное различие (которое, впрочем, не имеет принципиального характера) состоит в том, что электронно-оптические линзы представляют собой устройства с не- непрерывно меняющимся «показателем преломления», так как элек- электрические или магнитные поля меняются в электронных линзах не скачком (как показатель преломления на границе стеклянной лин- линзы), а непрерывно. Схема микроскопа показана на рис. 197; / — электронный прожектор, 2 — конденсорная линза, 3 — объект, 4 — объектив, 5 — промежуточное изображение, 6 — проекционная линза, 7 — конечное изображение, 8 — смотровое окно. Если желательно рассматривать изображение глазом, можно поставить 413
вместо фотопластинки флуоресцирующий экран. Размеры электрон- электронного микроскопа много больше, чем оптического. Он занимает значи- значительно больше места, потребляет электрическое напряжение, стоит значительно дороже. Все это возмещается его огромной разрешаю- разрешающей силой. Изображенный на схеме электронный микроскоп работает на магнитных линзах. Чтобы исключить столкновение электронов с мо- молекулами воздуха, в системе создается доста- достаточно высокий вакуум, порядка 10~5 мм рт. ст. Электронная пушка создает пучок электронов с энергией, соответствующей 50 000 В. Таким образом, в установку должен быть включен высоковольтный трансформатор, повышающий напряжение сети до указанного значения. Существуют различные способы рассмотре- рассмотрения предмета при помощи электронного луча. Электроны очень сильно поглощаются вещест- веществом. Поэтому, если мы желаем рассматривать предмет «на просвет», то для этой цели годят- годятся лишь объекты с толщиной, измеряемой в долях микрона. При прохождении через тон- тонкий слой вещества электроны по-разному рас- рассеиваются различными местами объекта. Это явление и используется для рассмотрения предмета. Существуют две схемы электронного видения, показанные на рис. 198. Можно пропустить только те электронные лучи, ко- которые прошли через вещество без рассеяния, а рассеянные лучи задержать диафрагмой (рис. 198, а). В этом случае наиболее яркими местами изображения будут те участки веще- вещества, которые не рассеивают электронов (в том числе места с малой толщиной слоя). Наобо- Наоборот, темными покажутся участки предмета, которые сильно рассеивают электронные лучи. Второй прием обратен первому (рис. 198, б). Объект помещается под углом к оси микро- микроскопа и в линзы направляются только рассеянные электроны. Ясно, что соотношение темных и светлых полей в изображении будет те- теперь обратным. Рассмотрение предметов в электронном Микроскопе производится обычно на подложке толщиной около 0,01 мкм. Эта подложка изго- изготовляется следующим образом. На поверхность воды помещается капелька раствора коллодия в амилацетате. Капелька расплывается по воде и образует тоненькую пленку, которая после испарения амилацетата приобретает достаточную прочность. Из тоненькой проволочки делают петельку и поддевают пленку — держатель объекта готов. При рассмотрении в прямом пучке подложка будет 414 Рис. 197.
казаться светлой. При косом падении луча она покажется тем- темной. Если рассматриваемые предметы слабо рассеивают электроны, то они будут плохо видны на общем фоне. Для получения большей Рис. 199. контрастности прибегают к напылению различных металлов на рас- рассматриваемые предметы. Подложка с нанесенным объектом подстав- подставляется под поток атомов металла (полученный испарением металла в вакууме). При этом напыление происходит под углом к подложке (рис. 199). При таком приготовлении образец оттеняется. При 415
рассмотрении в электронных лучах возникает исключительно яркая картина, так как электроны рассеиваются только теми частями объ- объекта, на которые попали атомы металла. На рис. 200 показано, как выглядит в электронный микроскоп вирус гриппа. Рассмотрение объектов на подложке особенно важно для биоло- биологии и медицины. Бактерии зачерпываются держателем образца из той среды, где их присутствие подозревается. Легко изучать частицы, которые можно получить во взве- взвешенном состоянии, чтобы их можно было зачерпнуть держа- держателем. Рис. 200. Рис. 201. К совершенно другим способам приходится прибегать для рас- рассмотрения поверхности твердого тела. В некоторых случаях твердое тело может быть сделано эмиттером (испускателем) электронов. Пропуская этот пучок через линзы, мы можем увидеть поверхность. Однако в ряде случаев такая процедура невозможна: эмиссия мала, образец не должен быть нагрет и т. д. Тогда используют метод реп- реплики. На поверхность предмета наносят тонкий слой вещества, ко- который затем отделяется и рассматривается на просвет в электронном микроскопе. Как показал опыт, слои, образованные самыми различными веществами (органическими, металлами, кварцем), обра- образуют точные отпечатки (реплики) изучаемой поверхности. Фотогра- Фотография поверхности матового стекла, полученная таким способом, приводится на рис. 201. Метод реплик требует тщательного экспе- экспериментирования. Нелегкой задачей является отделение нанесенного вещества. Один из возможных способов — растворение объекта при сохранении пленки. § 171. Электронные и ионные проекторы При помощи электронного микроскопа в настоящее время уда- удается в лучшем случае заметить крупные молекулы в виде отдельных пятен или точек. Однако имеется возможность добиться гораздо большего, а именно разглядеть форму молекулы и увидеть картину 416
ее электронного облака. Это удалось сделать с помощью особых микропроекторов. На рис. 202 изображена схема электронно-ионного микропро- микропроектора. Это — баллон, откачанный до вакуума 10~8 мм рт. ст., в который введены электроды, причем катод изготовляется в виде ос- острия с весьма малым радиусом закругления. Форма катода позво- позволяет создать около него поля порядка 107 В/см. При таком поле из холодного катода начинают вырываться электроны, летящие ра- радиальным потоком. Если на пути потока находится препятствие, флиорееи, ирующии, 47 экран -МтсЪ электрод Рис. 202. то на флуоресцирующем экране (или фотопластинке) возникает те- теневое изображение. Если объект лежит на поверхности острия, то увеличение равно отношению расстояния от острия до экрана к ра- радиусу закругления острия. Особыми способами удается добиться ра- радиуса закругления меньше 200 А. Если нанести молекулы какого-либо вещества на острие, то мож- можно увидеть их изображение на экране. Это удалось сделать для моле- молекул фталоцианина, имеющих размер около 15 А. На экране были четко видны форма молекулы, ее характерное четырехлепестковое строение, сгущения и разрежения электронной плотности. Хотя этот способ никак нельзя рассматривать как осуществимый в стандартных лабораторных условиях для любых объектов, трудно переоценить возможность достижения полезного увеличения, пре- превышающего миллион. Однако разрешающая способность может быть повышена еще на порядок величины, а кроме того, может быть много увеличена четкость изображения, если осуществить тат же принцип рассмо- рассмотрения объектов, заменив электронный пучок на ионный. Устройст- Устройство ионного проектора в принципе не отличается от схемы электрон- электронного проектора. На острие подается положительный потенциал и при больших полях A08 В/см) от острия могут отрываться ионы. Для этого надо предварительно или во время работы проектора 14 А. И. Китайгородский 417
осуществить адсорбцию атомов или молекул поверхностью острия. (В приборе, показанном на рис. 202, с помощью палладиевой тру- трубочки в баллон прибора вводится небольшое количество молекул водорода.) Как только нейтральные атомы молекулы) занимают место на поверхности острия, они отдают свой электрон и в виде положительных ионов направляются к экрану. При помощи такого ионного проектора удалось уже получить изображение самого вольфрамового острия. Изображение возникает по той причине, что адсорбция атомов происходит в определенных местах вольфрамового кристалла. На полученном изображении удалось видеть периоды решетки, т. е. разрешение достигло 2—3 А. § 172. Электронно-лучевая трубка Электронно-лучевая трубка — весьма распространенное устрой- устройство,— необходимый элемент телевизора, радиолокатора, осцилло- осциллографа. Принцип электронно-лучевой трубки мы поясним на про- простейшем примере трубки (рис. 203), состоящей из электронной пушки / и двух конденсаторов 2, отклоняющих электронный луч в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Рис. 203. Рассмотрим применение электронно-лучевой трубки для записи быстрых процессов. Если напряжение на конденсаторы не наложено, то электронный луч идет вдоль оси прибора и создает точку на све- светящемся экране. Положим, что на горизонтальную пару конден- конденсаторных пластин подано переменное напряжение (частота больше 20 Гц). Тогда, в такт с изменениями поля, электронный луч начнет колебаться в вертикальном направлении. Ввиду ничтожной массы электронов это колебание будет практически безынерционным *). Мы не увидим движения луча, так как глаз не успевает следить за движениями светящегося пятна, а также потому, что экран обладает послесвечением. Теперь вступает в ход вторая пара пластин, дающая так назы- называемую «временную развертку». На эту пару пластин накладывается *) Безынерционность колебаний луча определяется скоростью осевого дви- движения электронов. Поэтому для записи очень быстрых процессов применяются высоковольтные осциллографы. » 41*
пилообразное напряжение. Так как вторая пара пластин дает го- горизонтальное отклонение луча, то под действием такого напряжения светящаяся точка будет двигаться, скажем, слева направо вполне равномерно. Дойдя до конца экрана, светящаяся точка прыжком бу- будет возвращаться в исходное положение и процесс будет повторяться. Мы имеем возможность накладывать на пластины пилообразное на- напряжение разной частоты и таким образом давать самый различный временной масштаб горизонтальному смещению пучка. Если на пластины, дающие горизонтальное смещение луча, вклю- включена временная развертка, а на пластины, дающие вертикальное смещение,— исследуемое напряжение, то луч будет вычерчивать кривую напряжения в функции времени, поскольку горизонтальная координата светящейся точки пропорциональна времени, отсчиты- отсчитываемому от произвольного мгновения. Особенно эффектно применение осциллографа для наблюдения за периодическими процессами. Всегда удается подобрать времен- временную развертку таким образом, чтобы картина, созданная лучом при одном пробеге слева направо, совпала с картиной, создаваемой при втором и следующих пробегах. Когда период развертки подобран, на осциллографе устанавливается неподвижная кривая, дающая величину напряжения в функции времени для любого временного интервала (меньше одного периода или равного нескольким пери- периодам). Для создания пилообразного напряжения используется автоко- автоколебательный процесс, весьма похожий на явление, описанное нами на стр. 86,— опрокидывание ванны с водой. Ход луча слева направо создается процессом непрерывной и равномерной зарядки конден- конденсатора *). К зажимам конденсатора присоединяется разрядная труб- трубка. Пока разность потенциалов на трубке меньше потенциала зажи- зажигания, ее присутствие не сказывается на зарядке конденсатора. Как только потенциал достигает критического значения, происходит очень быстрый разряд конденсатора и процесс начинается снова. Пилообразные колебания должны быть синхронизированы с иссле- исследуемым периодическим процессом. Электронно-лучевую трубку можно усложнить, помещая между катодом и анодом модулятор. Он представляет собой металлический цилиндр, один из торцов которого закрыт диафрагмой с отверстием, примерно равным размеру катода. Подавая отрицательный потен- потенциал на модулятор, мы получаем возможность изменять интенсив- интенсивность пучка. При некотором напряжении (запирающее напряжение) луч гасится полностью; это нужно делать, например, во время об- обратного хода луча. С помощью модулятора можно, например, за- запирать луч на время его обратного хода при развертке. Чтобы одновременно наблюдать на экране две переменные величины, электронно-лучевую трубку снабжают электронным *) Конденсатор заряжается и разряжается в соответствии с экспоненциальным законом. Однако, используя маленький кусочек экспоненты, эти процессы можно сделать достаточно близкими к линейным. 14* 419
коммутатором, периодически переключающим отклоняющее устрой- устройство попеременно в измерительную схему одной или другой величи- величины. Для этой же цели разработаны двухлучевые осциллографы. Эти приборы снабжены электронно-лучевой трубкой с двумя независимы- независимыми электронными прожекторами и отклоняющими системами. В та- таком осциллографе имеются также два отдельных усилителя исследу- исследуемых напряжений и два генератора пилообразных колебаний. Большое значение имеет подбор светящихся экранов для элек- электронно-лучевых трубок. Существуют экраны с длительным после- послесвечением; для иных целей, напротив, требуются экраны, у которых свечение пропадало бы мгновенно после выключения луча. Для записи импульсных однократных процессов электронный осциллограф обязательно снабжается фотоприставкой, затвор ко- которой синхронизируется с разверткой, обеспечивая фотографирова- фотографирование экрана в нужный момент. § 173. Масс-спектрограф Из основного уравнения движения заряженной частицы очевидно, что ее траектория определяется отношением заряда к массе elm. Поэтому исследование отклонения частицы в электриче- электрическом и магнитном полях может быть использовано для нахождения elm. Так как начальная скорость движения частицы не известна, то elm не может быть найдено измерением отклонения в одном элек- электрическом или одном магнитном поле. Действительно, всматриваясь в общие формулы, которые были выведены в § 167 для отклонения в электрическом и магнитном полях, мы видим, что траектория опре- определяется коэффициентами, в которые входят и elm, и начальная ско- скорость. Задача решается использованием отклонения одной и той же частицы как в магнитном, так и в электрическом поле. В простейшем случае достаточно уравновесить электрическое от- отклонение магнитным. Для этого надо расположить поля так, как показано на рис. 204. Заряженные частицы не будут отклоняться при условии eE = ~evH. Из этого опыта находится скорость час- частицы. Далее можно воспользоваться либо одним электрическим, либо одним магнитным отклонением; по величине отклонения от прямо- прямолинейного пути можно рассчитать elm. Измерения elm имеют большое значение в атомной физике как средство определения массы частиц (если заряд известен). Особенно большое значение имеют измерения масс ионов. Прибор, в котором пучок частиц разделяется по массам и состав частиц по массам может быть исследован, называется масс-спектрографом. Схема этого прибора показана на рис. 205. Идея его, предло- предложенная Астоном, заключается в следующем. В электрическое поле конденсатора поступают частицы с разными значениями скоростей. 420
Выделим мысленно группу частиц с одинаковыми elm. Поток этих частиц попадает в электрическое поле и расщепляется: быстрые частицы отклонятся в электрическом поле меньше, медленные — больше. Веер этих частиц поступает теперь в магнитное поле, пер- перпендикулярное к чертежу. Оно включено так, чтобы отклонять X щ, .... X X XX XX XX X f XX XX XX XX XX XX X X XX XX XX XX XX X XX XX X f Лоток положит". частиц Е Рис. 204. частицы в противоположную сторону. И здесь быстрые частицы будут отклоняться меньше, а медленные — больше. Отсюда следует, что в какой-то точке, лежащей за пределами поля, выделенный нами мысленно пучок одинаковых частиц опять соберется в одну точку — сфокусируется. Частицы с иным значением elm также соберутся в точку, но в другую. Расчет показывает, что фокусы для всех elm расположатся Рис. 205. весьма близко к некоторой прямой. Если вдоль этой прямой распо- расположить фотографическую пластинку, то частицы каждого сорта дадут знать о себе отдельной линией. Если масс-спектрограф выполнен с большой тщательностью, то его разрешающая способность будет весьма велика и он сможет обнаружить присутствие очень близких изотопов. На первый взгляд это может показаться несущественным — массы изотопов разли- различаются по крайней мере на единицу атомного веса. Но ведь на еди- единицу различаются изотопы одного и того же химического элемента, разные же изотопы разных элементов (например, S36 и Аг36) могут 421
отличаться по массе весьма незначительно. Кроме того, важно иметь возможность определять массу сложных ионов. Подобные проблемы возникают, например, при химическом анализе газовых смесей. Тогда близкими по массе могут оказаться разные частицы, на- например С12Н2 и N14 или N14H2 и О16 и т. д. Все эти задачи с успехом решаются с помощью масс-спектрографа. § 174. Ускорители заряженных частиц По сути дела, ускорителями заряженных частиц являются и такие приборы как электронная лампа, рентгеновская трубка, элек- электронная пушка. Однако этот термин закрепился за установками, которые создают потоки заряженных частиц (электронов, протонов, дейтонов и т. д.), движущихся со скоростями, близкими к скорости света; такие потоки предназначены для воздействия на вещества. Цели такого воздействия могут быть самыми различными: изучение ядерных превращений, создание радиоактивных изотопов, меди- медицинские цели, химические воздействия и т. д. Роль ускорителей в современной науке исключительно велика. Разумеется, можно ускорить частицу вплоть до любых энергий, заставляя ее проходить последовательно ускоряющие поля. Однако для создания частиц с энергиями в десятки тысяч электрон-вольт необходимы отрезки пути порядка многих сантиметров. Современная физика стремится к получению потоков частиц с энергией в десятки миллиардов электрон-вольт. Линейный ускоритель, нужный для такой цели, должен был бы иметь длину в десятки километров. Линейный ускоритель огромной длины построен в Станфорде в США. Несмотря на частичные достоинства, такое лобовое решение вопроса нельзя считать оптимальным. Основная идея, положившая начало конструированию ускори- ускорителей, основанных на циркулярном принципе, принадлежит Ло- уренсу. В одной установке объединяется ускорение частицы элек- электрическим полем и ее многократное возвращение к тому же ускоряю- ускоряющему промежутку с помощью магнитного поля. Первые ускорители, основанные на этой идее, получили название циклотронов. Схема циклотрона показана на рис. 206. Чтобы представить себе ускорительную камеру, вообразите плоскую круглую конфетную ко- коробку, разрезанную по диаметру. Две половины А к В большой ме- металлической коробки, называемые дуантами, и составляют основную часть ускорительной камеры. На дуанты накладывается переменное электрическое поле определенного периода Т. Вся эта система поме- помещается между полюсами электромагнита, создающего внутри ко- коробки перпендикулярно к ее основанию сильное постоянное маг- магнитное поле. Напряженность магнитного поля подбирается в соответствии с установленным периодом изменения электрического напряжения. А именно, напряженность поля должна иметь такое значение, чтобы период вращения в таком поле (а он выражается, как мы. знаем, 422
формулой Т = .?—? j равнялся бы периоду изменения электрического поля. При таком условии все заряженные частицы, попадающие в ускорительную камеру, подхватятся полями и начнут спиральное ускоряющее движение с неизменным периодом Т. Действительно, попавшая в промежуток между дуантами частица получит ускоре- ускорение, пройдет половину окружности в магнитном поле и подойдет Лиш.ен.6 ЗЪЪиочаетотиый генератор Рис. 206. к ускорительному промежутку как раз в тот момент, когда фаза на- напряжения изменится на 180°; частица опять ускорится в том же на- направлении и попадет внутрь другого дуанта, где пройдет полуок- полуокружность с возросшим радиусом. Далее процесс повторяется, ско- скорость частицы растет и, наконец, мы выпускаем их из циклотрона. Возможности циклотрона ограничены. Дело в том, что по мере возрастания скорости частицы растет и ее масса, а значит, меняется период обращения в магнитном поле. Период обращения начинает увеличиваться и частица начинает запаздывать: она приходит к ускоряющему промежутку в момент, когда фаза напряжения изме- изменилась не на 180°, а на большую величину. Это запаздывание на- нарастает, и в конце концов получится так, что электрическое поле не только не будет подхватывать частицы, но будет тормозить их. Расчеты показывают, что предельная энергия, которую циклотрон может сообщить заряженной частице, выражается формулой 2 VevQmc2jn, что дает для протонов 22 миллиона электрон-вольт B2 МэВ) и в три раза большую величину для ос-частиц. Для дости- достижения больших энергий надо искать новые пути. § 175. Автофазировка Новые идеи в области ускорителей были высказаны Векслером (СССР) и Мак-Миланом (США) соответственно в 1944 и 1945 гг. Они заключаются в следующем. Вглядываясь в формулу периода обра- обращения частицы в магнитном поле, мы видим, что возрастание массы 423
можно скомпенсировать возрастанием магнитного поля. Если бы такая компенсация удалась, то период обращения заряда мог бы остаться неизменным. Положим, что во время работы циклотрона напряженность маг- магнитного поля нарастает. Среди миллиардов частиц, движущихся в ускорительной камере, несомненно, найдутся такие частицы у ко- которых возрастание массы из-за увеличения скорости идет как раз в такой пропорции с нарастанием магнитного поля, чтобы период обращения оставался неизменным. Расчеты показали, что и другие частицы при этих условиях не будут выходить из синхронизма, с тем лишь совершенно неважным для практики различием, что их энер- энергия будет нарастать не монотонно, как у частиц «удачных», у кото- которых возрастание массы полностью компенсируется возрастанием магнитного поля, а колеблясь около значения энергии «удачных» частиц. У «удачных» частиц радиус орбиты согласован со значением энер- энергии, в этом и состоит их «удачливость». Положим теперь, что имеется частица, у которой энергия больше, чем надо для данного радиуса. Но тогда из-за излишнего прироста массы частица будет замедляться. Наоборот, если частице не хватает энергии, то прирост массы будет недостаточен и частица будет ускоряться по отношению к своим соседям на том же радиусе. Отсюда следует, что явление возрастания массы со скоростью позволяет частицам как бы самостоятельно регулировать скорости своего движения и подбирать фазы напря- напряжения, пригодные для корректировки этого движения. Отсюда и термин «автофазировка». Таким образом, оказывается возможным в принципе безгранично увеличивать скорость движущихся в циклотроне частиц, если только плавно увеличивать напряженность магнитного поля. Ускорение частиц в такой установке надо вести импульсным методом. При возрастании поля установка работает, обратный цикл является холостым. Описанный способ не является единственным приемом осущест- осуществления автофазировки. Другой принцип заключается в медленном изменении периода электрического напряжения. Идея та же самая: возрастание массы заряженной частицы влечет за собой увеличение периода обращения в магнитном поле; мы подгоняем к этому на- нарастанию соответствующее изменение режима переменного электри- электрического поля. Ускоритель, в котором медленно увеличивается пе- период электрического напряжения, носит название фазотрона (син- (синхроциклотрона). Траектория частицы в фазотроне представляет собой плоскую спираль. Чем дальше зайдет эта спираль, тем боль- большая энергия частиц будет достигнута. Таким образом, увеличение энергии связано с увеличением площади ускорительной камеры, находящейся в магнитном поле. Из существующих ускорителей этого типа наиболее мощным является фазотрон АН СССР с ве- весом магнита 7000 т. Этот фазотрон дает пучок протонов с энергией 680 МэВ. 424
Фазотроны ограничены энергиями порядка сотен МэВ; дальней- дальнейшее увеличение их возможностей привело бы к немыслимому увели- увеличению веса магнита. Энергии частиц в миллиарды электрон-вольт (ГэВ) достигаются в синхрофазотроне. § 176. Синхрофазотрон. Синхротрон У синхрофазотрона остается уже совсем мало общего с цикло- циклотроном. Синхрофазотрон осуществляет ускорение частиц на одной круговой орбите. Это сильно ограничивает объем магнитного поля. Мы можем, так сказать, вырезать всю центральную часть магнита. Количество металла, идущее на магнит, резко уменьшается. Электромагнит синхрофазотрона АН СССР на 10 ГэВ весит 36 000 т. Фазотрон на те же энергии потребовал бы около 1 млн. т металла. Чтобы ускорять частицу на орбите постоянного радиуса, надо менять, и притом вполне согласованным образом, период ускоря- ускоряющего электрического поля и напряженность магнитного поля. Работа должна происходить импульсным методом. Каждый импульс состоит в нарастании магнитного поля и уменьшении периода элек- электрического ускоряющего напряжения. При заданном радиусе орбиты однозначная связь напряженности поля и скорости дается формулой и __ mov с а связь периода обращения со скоростью определяется выражением Если эти условия выполнены, то некоторая «удачная» частица бу- будет монотонно набирать скорость. Условия автофазировки имеют место и здесь. Поэтому остальные частицы хотя и не станут описывать круговую орбиту, однако бу- будут идти по траектории, колеблющейся около этой орбиты, и при- примут участие в синхронном возрастании скорости. Колебания около средней круговой орбиты заставляют делать довольно широкую дорожку для заряженных частиц. Ведутся интенсивные поиски ме- методов сужения этой дорожки, что приведет к сокращению веса ме- металла и, следовательно, позволит добиться еще больших энергий частиц. Мы говорили до сих пор об ускорителях, применяемых для тя- тяжелых частиц. Ускорители электронов обладают рядом своеобраз- своеобразных особенностей. Еще в 1941 г. для ускорения электронов был создан ускоритель, получивший название бетатрона. Эта установка работает по прин- принципу трансформатора, у которого первичной обмоткой является обмотка магнита, а вторичной «обмоткой» — пучок электронов, 425
вращающихся по окружности постоянного радиуса. Иначе гово- говоря, электроны движутся по кольцевой силовой линии вихре- вихревого электрического поля, создаваемого переменным магнитным потоком. На первый взгляд кажется, что такое ускорение может продол- продолжаться беспредельно. Возрастание массы со скоростью не наклады- накладывает какого-либо ограничения, так как в этом явлении нет нужды ни в каком синхронизме. Тем не менее бетатрон имеет ограничение. Дело в том, что при энергиях в десятки и сотни МэВ становятся чувствительными потери энергии на излучение — ведь ускоренно движущийся электрон излучает электромагнитные волны. В ре- результате излучения траектория электронов из круговой превраща- превращается в спиральную, закручивающуюся внутрь, и ускорение стано- становится невозможным. Когда нужны электроны с энергиями 20— 50 МэВ, бетатроны применяются с успехом. Если мы желаем полу- получить электроны больших энергий, то надо прибегнуть к синхро- синхротронам — установкам, предложенным в 1946—1947 гг. Синхротрон подобен описанному выше фазотрону, т. е. является резонансным ускорителем. К магнитному полю бетатрона добавля- добавляется ускоряющее электрическое поле. Механизм ускорения обеспе- обеспечивается автофазировкой. Однако то обстоятельство, что мы имеем дело с легчайшими частицами, электронами, облегчает задачу конст- конструктора. Дело в том, что уже при энергии 2—3 МэВ скорость элек- электронов практически становится равной скорости света. Но если так, то при дальнейшем возрастании энергии радиус траектории элек- электронов не меняется. Это дает возможность выполнять магнит в виде кольца, как в синхрофазотроне. Но как быть с излучением, ведь оно имеет место и при движении в синхротроне? Для того чтобы компенсировать потери на излучение, приходится увеличивать ускоряющее напряжение. При больших энергиях потери на излучение достигают внуши- внушительных цифр. В ускорителе на 300 МэВ и при радиусе орбиты 1 м электрон излучает за один оборот энергию 1000 эВ. Если бы мы по- построили синхротрон на 10 Гэв с радиусом орбиты 20 м, то потери энергии за один оборот составляли бы 30 МэВ. Мощность ускорителей возрастает год за годом. Необходимость в этом диктуется желанием получить уровни энергии барионов и мезонов как можно детальней (см. § 226а). В пятидесятых годах началось строительство протонных син- синхрофазотронов. Были пущены в ход машины на 28 ГэВ в Женеве (Европейская организация ядерных исследований) и на 33 ГэВ в Брукхейвене (США). Одним из самых мощных в мире ускорителей элементарных частиц является в настоящее время протонный синхрофазотрон на 76 ГэВ в городе Серпухове. Чтобы дать представление о масштабах этих машин, достаточно привести цифры для серпуховского ускорителя: диаметр орбиты 472 м, вес железа в магните 20 000 тонн, 426
§ 177. Ионизованный газ Превращение атома в положительный ион, т. е. отрыв электрона от атома, может произойти самыми различными способами. Удар электроном, другим атомом или молекулой, поглощение фотона — все эти способы передачи энергии могут привести к ионизации атома, если только подводится количество энергии, достаточное для преодоления сил связи электрона с атомом. Эта энергия для разных атомов и молекул колеблется в пределах 4—25 эВ (см. также § 193). Это значит, что ионизация атома может быть совершена электроном, который разогнан напряжением 4—25 В. Разумеется, частица большей энергии способна превратить в ионы столько ато- атомов или молекул, на сколько у нее хватит запаса энергии. Один электрон, разогнанный в мощном ускорителе, способен создать миллионы пар ионов. Ионизация атома состоит в отрыве от него электрона; ионизация молекулы может привести также к отрыву электрона, однако в иных случаях молекула делится при ионизации на два крупных иона. Таким образом, ионизация создает не только электроны и положи- положительные ионы, но может привести и к образованию отрицательных ионов. Однако отрицательные ионы получаются и иным путем, а именно, присоединением к нейтральному атому свободного электро- электрона. Оказывается (см. § 196), что такой процесс энергетически выгоден. Ионизационные процессы в твердых телах будут подробно изу- изучаться в § 258. Здесь проблема ионизации интересует нас только как способ, при помощи которого можно создать потоки ионов. С этой точки зрения интерес представляет лишь ионизация газов. Если мы хотим получить поток ионов вещества, существующего при нормальных условиях в виде твердого или жидкого тела, то при- приходится прибегать к испарению. Рассмотрим ионизацию газа, производимую потоком каких-либо частиц. Если источник ионизации убран, то начнется воссоединение (рекомбинация) положительно и отрицательно заряженных частиц в нейтральные атомы или молекулы. Так как при рекомбинации встречается пара частиц, то естественно, что скорость рекомбинации будет пропорциональна квадрату числа ионов в единице объема п. Если Дя — число ионов, превращающихся в нейтральные частицы в единицу времени в единице объема, то Ап=уп2, где у — коэффи- коэффициент, имеющий значение порядка 10 см3с для большинства газов при нормальных условиях. При постоянном действии иони- ионизатора между процессами ионизации и рекомбинации должно уста- установиться равновесие. Пусть ионизатор создает в единицу времени N пар ионов в единице объема. Сначала число ионов в газе будет на- нарастать, но так как рекомбинация будет происходить все чаще (про- (пропорционально квадрату наличного числа пар ионов), то нарастание ионов прекратится, когда N=kn, т. е. N=yn2. Если ионизованный газ заполняет некоторый объем и если хаотическое движение частиц 427
газа является преобладающим, то такой электропроводящий газ, состоящий из нейтральных и заряженных частиц, называют плаз- плазмой (см. ниже). Важным примером сильно ионизованного газа является ионо- ионосфера. Число заряженных частиц в единице объема ионосферы под- подвержено сильным колебаниям, суточным и годовым. Как известно, эти колебания сказываются на радиоприеме. В 1 см3 ионосферы находится ~106 электронов и ионов. Всего же частиц в этом объеме ~108. Таким образом, степень ионизации ионосферы ~1%. В ин- интенсивных плазмах, образующихся в различных ионных приборах, степень ионизации имеет такой же порядок величины. § 178. Электрический разряд в газе Первоначальное знакомство с элементарными заряженными ча- частицами физики получили, исследуя прохождение электрического тока через газы (электрический разряд в газе). В цепь тока включа- включается стеклянная трубка с газом. Включение происходит с помощью электродов, впаянных в стекло. Чтобы получить исчерпывающую картину явления, надо исследовать его для различных газов, разных давлений газов и при разных напряженностях поля. Поведение различных газов в общем одинаково. Различие иони- ионизационных потенциалов (см. § 193) приводит лишь к тому, что некоторые критические точки, о которых мы будем говорить ниже, осуществляются при других напряжениях и давлениях. Рассмотрим характерные для всякого газа явления, происходя- происходящие при увеличении напряжения, накладываемого на газоразряд- газоразрядную трубку. Поведение газа, к описанию которого мы переходим, имеет место в широком интервале давлений. Мы оставляем в стороне лишь такие малые давления, при которых свободный пробег моле- молекул становится соизмеримым с размерами газоразрядной трубки. Наше рассмотрение также не относится к столь большим давлениям, при которых плотность газов приближается к плотности жидкостей, где свободный пробег молекулы отсутствует. Почему так важен свободный пробег частиц — читателю станет сейчас ясно. Итак, наложим на газоразрядную трубку небольшое напряже- напряжение. Если ионизатор отсутствует, ток через трубку не пойдет. В присутствии ионизатора в газе находятся заряженные частицы — ионы и электроны. При наложении поля частицы будут направляться полем к электродам. Явление носит название несамостоятельной проводимости газа. Быстрота, с которой заряженные частицы будут передвигаться по направлению к электродам, зависит от многих обстоятельств и прежде всего от напряженности поля и давления газа. На упорядоченное движение иона и электрона, происходящее под действием постоянной электрической силы, накладывается тепловое хаотическое движение. Разгоняемая электрическим полем частица пробегает небольшое расстояние. Короткий пробег неминуе- 428
J мо заканчивается соударением. При небольших скоростях движения эти столкновения происходят по закону упругого удара. Средняя длина свободного пробега определяется прежде всего давлением газа. Чем выше давление, тем короче свободный пробег, тем меньше средняя скорость упорядоченного движения частицы. Напряжение, наложенное на газоразрядную трубку, действует, разумеется, в обратном направлении — увеличивает среднюю ско- скорость упорядоченного движения частиц. Как мы говорили в предыдущем параграфе, в газе, находящемся под действием ионизатора, устанавливается определенная концен- концентрация ионов; в равновесном состояний число вновь образующихся за секунду ионов равняется числу рекомбинирующих за это же время. Наложенное напряжение нарушает равно- Насыщение весие: часть ионов достигает электродов, не успев реком- бинировать. По мере увеличе- увеличения напряжения все большая и большая часть создаваемых в единицу времени ионов до- Рис 207. стигает электродов: электри- электрический ток через газ растет. Так продолжается до тех пор, пока совсем не остается времени для рекомбинации и все ионы, создава- создаваемые ионизаторами, доходят до электродов. Ясно, что дальнейшее увеличение напряжения не может увеличить тока (ток насыщения, плато на рис. 207). Чем меньше плотность газа, тем при меньших напряженностях поля будет достигнут ток насыщения. Сила тока насыщения равна заряду ионов, образуемых иониза- ионизатором за секунду в объеме газоразрядной трубки. При дальнейшем увеличении напряжения возникают новые яв- явления. В некоторый момент скорость электронов становится доста- достаточной для выбивания электронов из нейтральных атомов и моле- молекул. Напряжение на трубке должно при этом достигнуть такого значения, при котором электрон успевает набрать на длине сво- свободного пробега энергию, достаточную для ионизации моле- молекулы. Возникновение ударной ионизации сказывается на кривой за- зависимости тока от напряжения: ток начинает расти, поскольку уве- увеличение напряжения означает увеличение скорости движения элек- электрона. Увеличение же скорости влечет за собой увеличение ионизую- ионизующей способности электрона, а следовательно, создание большего числа пар ионов и увеличение силы тока. Для этой области напряжений прохождение тока через газы начи- начинает сопровождаться оптическими явлениями — газ светится. Дей- Действительно, если удары частиц могут привести к ионизации атома и молекулы, то они тем более могут привести к явлениям возбужде- 429
ния частиц,т. е. к переходу на более высокие энергетические уровни. Возвращаясь в нормальное состояние, молекула или атом излу- излучает квант света. Мы не будем здесь останавливаться на этой сторо- стороне дела, поскольку излучению возбужденных атомов и молекул посвящено много места в дальнейшем (см. гл. 28 и 29). Если энергия электрона будет в несколько раз превышать энер- энергию, необходимую для ионизации одной молекулы, то прохождение электрического тока через газ приобретет ярко выраженный лавин- лавинный характер. Какой-либо электрон разрушает атом, создает ион и электрон. И созданный электрон обладает ионизующей способ- способностью, и первичный электрон сохранил еще достаточно энергии, чтобы ионизовать другой атом. Процесс расширяется, и из мест первичной ионизации в сторону электродов pacпpocfpaняeтcя ла- лавина электрических зарядов: в каждом последующем слое число пар ионов будет больше, чем в предыдущем. При более или менее высоких напряжениях возрастание этой лавины происходит с ис- исключительной быстротой. Вторичными ионизаторами в газе являются электроны, а не ионы. Последние приобретают способность ионизовать молекулы газа только при очень больших скоростях движения, с которыми мы обычно не имеем дела. Если ионы не производят ионизацию, то устранение внешнего ионизатора прекратит разряд даже в том слу- случае, если число пар ионов, создаваемых ударами, в сотни и тысячи раз превосходит первичную ионизацию. Каждая лавина должна начаться с первого электрона, а так как электроны движутся к аноду, то разряд прекратится в отсутствие внешнего ионизатора, как только все электроны доберутся до анода. Такого рода весьма сильные несамостоятельные разряды обла- обладают следующей особенностью: при данном напряжении сила элек- электрического тока, проходящего через газ, пропорциональна числу первичных ионов, создаваемых внешним ионизатором в единицу времени. Отношение силы такого, как говорят, газоусиленного тока к силе тока насыщения, создаваемого первичной ионизацией, может достигать сотен и тысяч. Это свойство разряда используется при создании измерителей ионизации — пропорциональных усилите- усилителей (см. стр. 504). Электрический разряд может стать самостоятельным, т. е. будет продолжаться при устранении внешнего ионизатора, лишь в том случае, если ионы станут дополнительными поставщиками заряжен- заряженных частиц. Это всегда произойдет при очень больших напряжениях, когда, как мы указывали выше, ионы смогут ионизовать ударом мо- молекулы газа. В этом случае ионы будут создавать все новые и новые электроны — первичные источники лавин. Однако самостоятельный разряд возникнет и при значительно меньших напряжениях, если мы изготовим катод газоразряд- газоразрядной трубки в виде пластинки. Дело в том, что ионы способны выбивать электроны из холодного катода. Если скорость иона до- достаточна для такого процесса, то условие самостоятельного разряда 430
можно сформулировать так: появление новых электронов на катоде должно по крайней мере заменить работу первичного иони- ионизатора. Мы не сказали еще ничего о роли давления. При больших дав- давлениях столб разряда сжимается, начинается термическая иониза- ионизация. Различие давлений меняет картину распределения плотности тока и соответственно характер свечения газового разряда. При нормальных и более высоких дав- давлениях мы сталкиваемся с раз- разными видами разрядов: харак- характерны тихий разряд, дуговой разряд, искровой разряд. В раз- разреженных газах имеет место так называемый тлеющий разряд. Каковы же условия возникно- возникновения и внешний вид этих раз- разрядов? Тихим разрядом называются не сопровождающиеся ни зву- звуком, ни свечением утечки заря- зарядов с конденсаторов или иных заряженных тел. На остриях, тонких проводах и вообще всю- всюду, где имеет место резкое паде- падение потенциала, а значит, боль- большая напряженность поля, могут возникнуть самостоятельные ти- тихие разряды — кистевой и ко- корона. При более высоких напряже- напряжениях возникает искровой разряд (газ пробивается). Пробивное напряжение довольно строго зависит лишь от произведения давления газа на расстояние между электро- электродами. Воздух между шаровыми электродами пробивается искрой при напряженности поля 30 кВ/см (при нормальном давлении). Изме- Измерение пробивного расстояния можно использовать для измерения вы- высоких напряжений. Особый вид разряда наблюдается в электрической дуге. В дуго- дуговом разряде плотность тока велика, хотя напряжение между электро- электродами мало. Особенностью дугового разряда, который чаще всего создается между угольными электродами, является чрезвычайно вы- высокая температура электродов. Поэтому в дуге большую роль играет термоэлектронная эмиссия с катода. Тлеющий разряд в разреженных газах имеет характерный вид для каждого давления. При некотором опыте можно по одному лишь виду разряда с большой точностью определять степень разре- разрежения. Вид различных типов газового разряда представлен схемой рис. 208. 431 Р 208
§ 178а. Плазма Вещество в состоянии плазмы. Можно привести газ в ионизо- ионизованное состояние путем повышения температуры. Термическая ионизация газа начинается при температуре порядка 6000 °С. Средняя энергия движения молекул 3/2kT становится уже достаточ- достаточной для того, чтобы обеспечить частые соударения между молеку- молекулами, приносящими энергию, необходимую для отрыва электрона или иной ионизации. Степень ионизации зависит от температуры и давления газа. С возрастанием давления ионизация уменьшается. При температурах порядка десятков тысяч градусов и выше газ нейтральных атомов или молекул, заключенный в некотором объеме, переходит в новое состояние, которое называют плазмой. Нетрудно прикинуть, что при температурах 20000—30000° водородный газ, например, плотность которого соответствует дав- давлению 1 мм рт. ст. при комнатной температуре, окажется полностью ионизованным. Действительно, средняя энергия на одну степень свободы при температуре 30 000 °С равна V2 RT=30 килокалорий на моль. Это существенно больше энергии ионизации атома водорода. Таким образом, тепловые соударения превратят нейтральный газ в смесь двух «газов» — «газа» протонов и «газа» электронов. Это и есть плазменное состояние. Плазма, образовавшаяся из других веществ, может иметь более сложный состав. В ней могут находиться электроны, оголенные ядра и различные ионы. Разумеется, плазма в том или ином количестзе содержит и нейтральные частицы. Однако при высоких температу- температурах этот процент совсем мал. Для примера, приведенного выше, на один нейтральный атом придется на 2-Ю4 заряженных протонов. В состоянии плазмы вещество существует в звездах и Солнце. Верхний слой атмосферы, так называемая ионосфера, также явля- является плазмой. Получить в земных условиях вещество в состоянии плазмы путем нагревания сосуда, разумеется, невозможно из-за отсутствия огне- огнеупорных материалов. Однако при помощи специально подобранных форм магнитных полей даже горячую плазму удается удержать в ограниченном объеме. Если все частицы плазмы свободно обмениваются энергией, то плазма быстро придет в состояние равновесия, т. е. средняя энергия электронов и ионов будет одинаковой, несмотря на боль- большое различие масс частиц. Ионы плазмы движутся медленно по сравнению с электронами. В ряде расчетов их можно даже считать неподвижными. Скорость установления равновесия между частицами разных сортов может колебаться от ничтожных долей секунды до секунд в случае горячей плазмы (порядка 108 К). Примером неравновесной плазмы является плазма газового разряда. Внешние источники передают энергию прежде всего элек- 432
тронам. А выравнивание энергии электронов и ионов произойдет лишь после большого числа столкновений. Поэтому в газовом раз- разряде электронная температура Те много больше ионной Tt. В дуговом разряде Тв— порядка многих десятков тысяч градусов, а Т%— порядка тысяч градусов. Для того чтобы дать представление о поведении частиц в плазме, приведем результат простых расчетов, взятых из книги Л. Арцимо- вича, Элементарная физика плазмы, Атомиздат, 1963. Для водородной плазмы высокой концентрации A014 ионов на один кубический сантиметр) мы получим для холодной плазмы (Г=104 К) А003 и т = 4.1О-1Ос< Для горячей плазмы A08 К) длина и время свободного пробега равны соответственно ^=3-106см и т = 4-1СГ4с. Приведенные данные относятся к столкновениям электронов с ио- ионами. Рассмотрим теперь вопрос об электрическом поле плазмы. Оно сильно меняется и в пространстве, и во времени. Тем не менее можно рассчитать среднее поле системы, содержащей равное число ионов и электронов, расположенных на некотором среднем расстоянии/ друг от друга. Нетрудно понять, что из-за нейтральности плазмы среднее поле плазмы по порядку величины должно равняться полю одного заряда на расстоянии I от него, т. е. Ежеп2!*, где п — кон- концентрация. Таким образом, для водородной плазмы, взятой выше в качестве примера, ?^4-10~0-2-109^1 ед. СГС. Это поле меняется очень быстро. Оно может изменить знак за врехмя порядка времени пробега и на расстоянии порядка расстояния между частицами. Мы сказали выше о нейтральности плазмы. Это ее свойство яв- является необходимым и выполняется, несмотря на хаотичность дви- движения электронов, очень строго. При большой разнице концентра- концентраций nt и пе электрическое поле немедленно начнет выталкивать частицы, присутствующие в избытке, и притягивать частицы дру- другого знака. Такой автоматизм действует с огромной точностью (пре- (препятствует совершенно мизерному отклонению от нейтральности) уже для небольших объемов, радиус которых больше Уте/п, т. е. для плазмы нашего примера — больше 10~5— 10~3 см. Плазма является источником электромагнитных волн с длинами, лежащими в широком диапазоне. Как известно, торможение элек- электрона порождает сплошной спектр электромагнитных волн (так образуются рентгеновские лучи) с частотами от нуля до EMaKC/h, где ?макс — максимальная энергия электрона. Для оценки порядка величины длины волны тормозного излучения плазмы можно поло- положить E=kTe. Тогда окажется, что у холодной плазмы тормозное излучение будет видимым и инфракрасным, а у горячей плазмы — рентгеновским. 433
Важным источником излучения является рекомбинация про- протона (иона) с электроном. При этом, очевидно, излучается фотон с энергией, равной энергии связи частиц противоположных знаков. Наряду с излучением, носящим одинаковый характер для раз- разных веществ, находящихся в состоянии плазмы, плазма излучает характеристически линейчатые спектры (их происхождение описано в §§ 199 и 203), поскольку в состав плазмы входят определенные возбужденные атомы и ионы. Плазма в магнитном поле. При наложении магнитного поля траектории заряженных частиц становятся направленными. Сво- Свободная частица движется по винтовой линии, накрученной на век- вектор напряженности магнитного поля. Смещения поперек силовых Рис. 208а. линий происходят лишь под действием соударений. При высокой температуре и сильном поле заряженная частица не может покинуть область магнитного поля. Наложение магнитного поля на плазму приводит к тому, что плазма оказывается сжатой электродинамическим давлением. На рис. 208а показан поперечный разрез плазменного столба A — стенка камеры, 2 — вакуум, 3 — плазма). Траектории электронов представляются кольцевыми, если смотреть вдоль поля. Можно считать, что эти токи складываются в один круговой поверхностный ток. При таком расположении тока и поля, согласно стр. 242, воз- возникает сила, направленная внутрь столба. Величина бокового дав- давления будет равна, согласно § 119, значению плотности электромаг- электромагнитной энергии, которое в нашем случае равно //2/(8я) (если счи- считать, что напряженность поля внутри плазмы сводится к нулю полями кольцевых токов). Это давление уравновешивает газовое давление плазмы, которое в отсутствие поля привело бы к немедлен- немедленному расширению плазмы. С эффектом давления магнитного поля были связаны надежды длительного удержания горячей плазмы в концентрированном сос- состоянии. Практическое значение этой возможности станет очевид- очевидным, если ознакомиться с термоядерными реакциями. Как указано 434
в §218, температуры порядка 108 К, если бы они оказались осу- осуществленными, привели бы к созданию термоядерного реактора со всеми отсюда вытекающими последствиями для энергетики буду- будущего. При сильном газовом разряде электродинамическая сила — [dl,H]приводит к образованию узкого плазменного шнура, отор- оторванного от стенок разрядной трубки. Уравнение р=Н2/(8п) может быть переписано следующим об- образом. Допустим, что ионная и электронная температуры равны друг другу, тогда p = 2nkT. Здесь п — концентрация частиц. Полагая, что шнур имеет форму цилиндра радиуса г0, и считая, что происходит скин-эффект, можем для напряженности магнитного поля на поверхности цилиндра за- записать формулу н=2±. Обозначая nrln — число электронов на единицу длины — через N, получим формула записана для силы тока, измеряемой в амперах. Если начальное давление водорода 0,1 мм рт. ст., радиус трубки 10 см и сила разрядного тока 5« 105 А, то температура плазмы ока- окажется равной 2 млн. градусов. Проблемы устойчивости. Создание устойчивого плазменного шнура или области плазмы иной формы является сложной техниче- технической задачей, которая до сих пор еще не решена. В результате флук- флуктуации могут происходить случайные деформации плазменного шнура. На первый взгляд казалось, что создание магнитных бутылей без течи — задача не такая уж сложная. Первоначальные теории позволили подсчитать скорости диффузии в различных устройствах. Результаты расчетов были довольно оптимистическими, но опыт дал скорости расплывания плазменного столба в тысячу раз большие. За последние десять лет теория поведения плазмы в магнитном поле получила большое развитие и причины нестабильности плаз- плазмы стали много более ясными. Схемы и модели плазмы, кото- которыми оперировала первоначальная теория, рассматривавшая плазму как совокупность двух жидкостей положительно и от- отрицательно заряженных (магнитная гидродинамика), не давали точного представления о всей сложности процессов в плазме. Чтобы дать представление об усложнениях, которые необходимо ввести в теорию, рассмотрим примеры нестабильностей, не учитываемых маг- магнитной гидродинамикой. 435
В слабо ионизованном разряде типа, который зачастую сущест- существует в обычных флуоресцентных лампах, при наложении магнитного поля, параллельного электрическому, нити плазмы имеют спираль- спиральный вид. До полей в 1000 Гс диффузия плазмы к стенкам подчиня- подчиняется простым правилам. При увеличении поля возникают сильные колебания плазменного шнура и начинается аномальная диффузия. Лтд Электрическое тле. Магшшое тле Рис. 2086. Причины ее состоят в следующем. Представим себе, что один участок спирального шнура стал плотнее (на верхнем рис. 2086 отмечен прямоугольником. Внешнее электрическое поле стремится рассосать сгусток, поэтому ионная составляющая этого участка шнура сдвинется к аноду, а электронная — к катоду (см. левый рис. 2086). Поскольку участок имеет спиральную форму, то про- продольное смещение отрицательной и положительной составляющей приведет к тому, что в поперечном сечении этого участка шнура положительные ионы окажутся смещенными по отношению к элек- электронам (см. правый рис. 2086). Возникнет поперечное электрическое поле и соответствующий ток. Но все события разыгрываются в про- продольном магнитном поле. Поэтому перпендикулярно полям начнет действовать лоренцева сила. Если внимательно рассмотреть геомет- геометрию явления, то окажется, что сила действует во «внешнюю» сто- сторону, т. е. так, что спираль расплывается, и в конце концов придет в соприкосновение со стенками сосуда. А вот другой механизм нестабильности, приводящий к течи магнитных бутылок. Предположим, что в плазменном столбе образо- образовался шнур с плотностью, большей средней (рис. 208в, сверху). Пусть этот участок, образовавшийся благодаря флуктуации, имеет длину / и существует время t. События, которые мы сейчас опишем, произойдут в том случае, если тепловая скорость ионов много меньше lit, а тепловая скорость электронов много больше lit. Ясно, что 436
эти условия выполняются без труда. Покажем, что они приводят к расплыванию плазмы. Если создался участок повышенной плотности, то неизбежен градиент давления, который начнет процесс рассасывания. Элект- Электроны движутся быстро, а ионы практически неподвижны. Поэтому середина участка приобретает положительный заряд. Возникшее электрическое поле в конце концов должно уравновесить градиент давления. Теперь рассмотрим поперечное сечение участка (рис. 208в, слева). Ясно, что собравшийся в его центре положительный заряд ^ Маг ни/Яное 7?#ле Рис. 208в. будет источником радиального электрического поля. Все частицы плазмы в каждое мгновение движутся в скрещенных электрическом и магнитном полях. На спиральное движение вокруг магнитной си- силовой линии накладывается лоренцево смещение поперек линий электрического поля. В проекции возникнет круговое движение^ К нестабильности шнура нас приводит то обстоятельство, что скорости дрейфа в неоднородном электрическом поле меньше для ионов, чем для электронов (рис. 208в, справа). Если электрон и ион (возьмем протон для примера) находятся в тепловом равновесии, то их радиусы обращения около магнитных силовых линий Re и Rv будут относиться, как 1 к 40. Действительно (см, стр. 407), еВ г е р^трор* Но при тепловом равновесии mei>l=mpt>p, т. е. Если электрическое поле, наложенное на магнитное, однородно, то радиус R не сказывается на скорости дрейфа. Скорость дрейфа, 437
Рис. 208г. разумеется, пропорциональна электрическому полю. Если электри- электрическое поле неоднородно, то частица движется неравномерно — быстрее в области сильного поля и медленнее в области слабого поля. Теперь сравним поведение электрона и иона, движущихся по- поперек электрических силовых линий неоднородного поля. Пусть ось спиральной траектории проектируется на область, где элек- электрическое поле наиболее сильное (рис. 208г). У иона радиус в 40 раз больше; поэтому в своем закручивании около магнитной силовой линии ему придется по- побывать в области слабых элек- электрических полей. Следователь- Следовательно, электрическая сила, вызы- вызывающая дрейф, будет в среднем меньше для иона. Вернемся теперь к нестабиль- нестабильности плазмы, возникающей из- за случайного образования не- небольшого плотного шнура. Мы показали, что в поперечном сече- сечении этого участка возникает кру- круговой дрейф частиц. Теперь мы знаем, что ионы будут сдвигать- сдвигаться медленнее. Если бы плот- плотность плазмы была однородной, то это обстоятельство было бы незаметным. Но при неоднородной плотности круговой дрейф, медленный для ионов и быстрый для электронов, приводит к тому, что при дрейфе от мест высокой плотности к местам низкой плот- плотности происходит преимущественное перемещение электронов и, наоборот, при дрейфе от менее плотных мест к более плотным, к этим областям приносится больше ионов. Плазменный столб обязательно неоднороден по плотности просто по той причине, что он имеет границы. Таким образом, от оси столба плотность падает к боковым стен- стенкам. Это значит, что дрейф ионов и электронов в столь подробно нами рассматриваемом флуктуационном участке приведет к разде- разделению зарядов в его поперечном сечении (см. рис. 208в, справа). Создается еще одно электрическое поле, показанное на рис. 208в слева. Это электрическое поле вместе с магнитным полем создает лоренцеву силу, действующую во внешнем направлении. Итак, плотные флуктуационные участки автоматически перемещаются от оси плазменного столба к его стенкам (сверху). Борьба с этой уни- универсальной нестабильностью плазмы, разрушающей ее в малые доли секунды, является крайне сложной проблемой. Задача техники состоит в создании «обратной связи», т. е. осу- осуществлении такой конструкции, при которой случайные флукту- флуктуации вызывали бы силы, стремящиеся их уничтожить. Однако, как это сделать, до сих пор не вполне ясно. 438
ГЛАВА 27 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ § 179. Дифракция электронов На рис. 209 изображены картины рассеяния рентгеновских лу- лучей и электронных пучков одним и тем же веществом. Полное сходство картин показывает, что и в случае электронов имеет место явление дифракции. Из рентгенограммы при помощи уравнения nX=2d sin Э можно, зная длину волны А,, найти значения межпло- межплоскостных расстояний (см. стр. 351). Измерив на электронограмме Рис. 209. углы 8 всех колец и использовав значения d, найденные из рентгено- рентгенограммы, можно вычислить Я. Вычисления для всех колец приведут к одному и тому же значению. Этим доказывается дифракционное происхождение картины, доказывается возможность сопоставить пучку электронов определенную длину волны. Для получения подобной картины следует на пути электронного пучка по- поставить тонкую пленку вещества. Электроны сильно поглощаются веществом и проходят только через пленки толщиной порядка 10~5 см. Электронограммы полу- получают в электронографах — установках, похожих на электронный микроскоп. Для получения дифракционных электронохрамм можно даже использовать элек- электронный микроскоп. Для этого достаточно устранить линзу. Явление дифракции электронов применяется для тех же целей, что и дифрак- дифракция рентгеновских лучей. Электронография обладает рядом достоинств перед рентгенографией. Первым преимуществом являются короткие экспозиции. Ве- Вещество гораздо эффективнее рассеивает электроны, нежели рентгеновские лучи. Электронограмма может быть получена за время, измеряемое секундами и долями секунд, в то время как для получения рентгенограмм нужны минуты и часы. 439
Так как электронные пучки не проникают в вещество сколько-нибудь значи- значительно, то электронография является удобным способом исследования структуры поверхностей. Электронография позволяет изучать и расположение атомов в крис- кристаллах, правда лишь в тех случаях, если структура несложная. Нас интересует не столько применение электронографии, сколь- сколько сам факт дифракции электронов. Возвращаясь к нему, поставим самый важный вопрос: какова длина волны электронного пучка? На этот вопрос отвечает опыт. Меняя ускоряющее напряжение (/, мы изменяем длину волны, при этом X оказывается обратно пропор- пропорциональным VU, а именно если X выражать в A, a U — в вольтах. Еще в 1924 г., до открытия дифракции электронов, Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу: он предположил, что двойствен- двойственное поведение электромагнитного поля, проявляющего себя не толь- только в виде волны с частотой v и длиной Я, но и в виде частиц, фотонов «с/ hv h с энергией h=hv и импульсом р = — = -=-- , следует распростра- С Л/ нить и на частицы вещества. Опыты по дифракции электронов под- подтвердили это предположение. Формулу длины волны электронов 1 _ h ___ h р mv с помощью соотношения mv2/2=eU, откуда v=\f2eU/m, мы сразу же приводим к виду л const* ,А h л= r- , где const* = Подстановка значений е, ткНв системе СГС с одновременным пере- переводом значения U в вольты дает для константы приведенное выше значение. Этим бесспорно доказывается справедливость гипотезы де Бройля. Длины электронных волн для разных значений ускоряющих потенциалов| рассчитанные по приведенной формуле: U(B) 1 100 1000 Х(А) 12,25 1,22 0,39 Поскольку дифракция на кристалле возможна тогда, когда длина волны по по- порядку равна периоду кристаллической решетки (—1 А), видно, что дифрагировать на кристалле могут электроны^ обладающие энергиями порядка сотен электрон- вольт. § 180. Основные идеи квантовой механики Итак, пучок электронов может вести себя как волны с длиной X—h/p. Является ли это поведение типичным для совокупности боль- большого числа электронов или волновые свойства присущи отдельному электрону? Для ответа на этот вопрос можно сравнить электроно- 440
граммы, полученные с сильным и слабым пучком электронов. В од- одном таком опыте пучок был настолько слаб, что средний промежуток времени между двумя последующими прохождениями электрона через дифрагирующую систему был в 30 000 раз больше времени, затрачиваемого электроном на путь от нити накала до фотопластин- фотопластинки. Тем не менее дифракционная картина ничуть не отличалась от другой электронограммы, полученной с пучком в 107 раз более силь- сильным. Подобные опыты показывают, что волновая природа присуща каждому отдельному электрону. Таким образом, то, что было ска- сказано на стр. 388—390 о фотоне, справедливо и для электрона. Элек- Электрон не ведет себя подобно пуле и горошинке. Поведение электрона не может быть описано с помощью уравнений механики Ньютона. Изучение поведения микрочастиц составляет предмет так называе- называемой квантовой механики. Двойственное поведение электрона не является особенностью именно этой частицы. Волновое поведение характерно для любой микрочастицы. Может наблюдаться, например, дифракция нейтро- нейтронов. Наблюдалась дифракция атомов гелия, молекул водорода. Как мы увидим ниже, волновые свойства отходят на задний план по мере того как масса частицы растет. Но об этом позже. Обозначим амплитуду волны, сопоставленной с микрочастицей массы т, че- через^. Эта амплитуда, как, впрочем, амплитуда волны любой приро- природы, есть функция координат. Функция ty(x, у, г) («пси-функция») должна удовлетворять волновому уравнению (см. стр. 307) Подставим в это уравнение длину волны микрочастицы Х= =h/(mv), выразив скорость частицы через ее энергию. Если частица движется в поле с потенциальной энергией U и обладает полной энергией <?, то Подставляя в волновое уравнение, получим: Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основ- основным законом квантовой механики. Проведенная подстановка в вол- волновое уравнение ни в какой мере не является выводом основного закона квантовой механики. Ее надо рассматривать только как ил- иллюстрацию догадки, приведшей к открытию этого уравнения. Так же, как и основной закон движения Ньютона, уравнение Шредингера является законом природы, охватывающим, как мы увидим далее, обширный круг явлений *). *) Мы упростили картину, так как не рассматривали зависимость i|) от вре- времени. Полное уравнение Шредингера учитывает эту зависимость. 441
Это дифференциальное уравнение позволяет в принципе найти амплитуду волны ty(x, у, г), сопоставляемой с микрочастицей во всех точках рассматриваемого пространства. Как же проверить справедливость уравнения Шредингера? Это можно сделать при помощи основного утверждения теории: интен- интенсивность tf-волны в каждой точке пространства, т. е. значение я|?2, есть плотность вероятности *) нахождения электрона в этом месте пространства. Что же касается амплитуды "ф-волны, то она (анало- (аналогично векторам напряженности электромагнитной волны) на опыте не измеряется. Описание частицы ^-функцией не является каким-то неполным, несовершенным способом описания ее движения. Было бы невер- неверным думать, что только в силу особенностей квантовой механики мы находим лишь вероятности i|J(jt, у, г) пребывания частицы в данной точке пространства и что возможна другая, лучшая теория, при помощи которой можно будет находить траекторию частицы и ука- указывать достоверно, где она находится. Достоверное описание дви- движения частицы, определение ее траектории, невозможно по той при- причине, что микрочастица ведет себя совсем не так, как большое тело. Микрочастица не есть частица в классическом смысле этого слова. Мы еще раз повторим описание эксперимента с двумя щелями, который был использован при обсуждении двойственного поведения фотона. Пусть пучок электронов падает на экран с двумя щелями. Про- Произойдет дифракция. Остановим свое внимание на одной точке эк- экрана, скажем, той, где интерференция уничтожила волны. Если от- открыть лишь одну щель, то в эту точку будут приходить электроны. Если открыты обе щели, то в эту точку электроны не придут. Не- Невозможно объяснить этот факт коллективными действиями элект- электронов. Если настаивать на том, что электрон ведет себя как класси- классическая частица, то придется согласиться с тем, что электрон, про- проходящий через одну щель, «знает», открыта или закрыта вторая щель, и в зависимости от этого меняет свое поведение. Разумеется, мы должны сделать вывод, что электрон не является классической ча- частицей. Каждый электрон обладает волновыми свойствами, и поня- понятие траектории к электрону не применимо в полной мере. Поэтому вопрос о том, через какую щель прошел электрон в том опыте, когда обе щели были открыты одновременно, лишен содержания. Такой вопрос законен только для «обычной» частицы, но не для микро- микрочастицы. Значит ли это, что становятся бессмысленными любые суждения о скорости микрочастиц и их координатах? На этот вопрос дает ответ так называемый принцип неопределенности, установленный немец- немецким физиком Гейзенбергом. *) То€сть вероятность нахождения частицы в малом объеме, поделенная на вел«чину: этого объема. • . v < 442
§ 181. Принцип неопределенности Этот принцип указывает, в каких пределах можно пользоваться классическим описанием микрочастицы. Применимость понятия траектории. Положим, что мы хотим определить координату микрочастицы в некоторой точке х и нам это удается сделать с точностью Ах. Чтобы «увидеть» частицу, нуж- нужно применить «микроскоп», работающий при помощи света доста- достаточно короткой длины волны, так как чем меньше Я, тем больше разрешающая способность. В принципе мы можем сделать Ах как угодно малым, для этого придется лишь брать длину волны X по- покороче, чтобы Ах было того же порядка, что и длина волны: АхжХ. Однако короткая длина волны означает большой импульс р = =h/X у фотона. Этот импульс будет передан «рассматриваемой в микроскоп» частице. Частица получит «щелчок» и изменит свой им- импульс на величину Ар порядка hlX. Уменьшая X, мы будем умень- уменьшать неопределенность в координате Ах, но зато будет возрастать неопределенность в наших знаниях Ар. Исключая X из двух соот- соотношений АхжХ и AptthlX, получим уравнение Ах-Ар tth, выражающее принцип неопределенности. Принцип указывает, что описание траектории микрочастицы имеет физический смысл лишь в том случае, если оно произведено с неопределенностями в значениях координат и импульса вдоль одного и того же направления, удов- удовлетворяющими неравенству Ах- Ар > h. Это замечательное соотношение устанавливает границы примени- применимости языка классической физики по отношению к микрочастице. Подставляя вместо импульса р произведение то (что справед- справедливо для скоростей, не очень близких к скорости света), мы получим условие связывающее неопределенности в координате и скорости вдоль оси х. Правая часть соотношения будет иметь совсем разные порядки величин в зависимости от того, пойдет ли у нас речь об электроне, атоме, молекуле или теннисном мяче. Для электрона и, значит, неопределенности в координате и скорости связаны соот- соотношением Дх-Да >7. Электрон находится внутри атома (размер 10~? см). Можно ли описать движение электрона в атоме, как если бы электрон был 443
«обычной» частицей? Используя принцип неопределенности,находим, что Ди»108 см/с. Таким образом, суждения о скорости атомного электрона могут иметь лишь самый общий характер. Лишены со- содержания понятия траектории электрона в атоме, пути перехода электрона из одного энергетического состояния в другое (см. ниже) и т. д. Короче говоря, у атомного электрона признаки «обычной» частицы малозаметны. Допустим теперь, что электрон попал в камеру Вильсона и мы грубыми средствами хотим проследить его траекторию с точностью порядка десятых долей миллиметра. Если толщина следа частицы Да:=10~2 см, то по соотношению неопределенности Ди^7 м/с; это — неопределенность поперечной составляющей скорости. Если электрон летит со скоростью хотя бы 1 км/с (а тем более если это бы- быстрый электрон), то неопределенность указанного порядка роли не играет и траектория электрона приобретает смысл. Так же мы можем обсуждать пути электронного луча в микроскопе, говорить о траек- траектории электронов в электронно-лучевой трубке, и при этом не придем в противоречие с «классической» картиной. Протоны, нейтроны, атомные ядра и атомы обладают в тысячи раз большей массой. Возможности классической трактовки этих частиц несколько шире. Так, например, для а-частицы, масса ко- которой примерно в 7000 раз больше массы электрона, Дх-Ди> 10~3. Можно ли спрашивать, в каком месте атома проходила через него траектория а-частицы, проникшей в вещество? Желая начертить траекторию с точностью 10~9 см, мы располагаем сведениями о по- поперечной слагающей скорости с неопределенностью 106 см/с= = 10 км/с. Для быстрой а-частицы B0 000 км/с) эта неопределенность незначительна, значит, можно говорить о том, далеко ли от центра атома проходит траектория пронизывающей его а-частицы. В то же время бессодержательны разговоры о траектории прото- протонов и нейтронов в ядрах, так как размер ядра ~10~13 см. Уже для крупной молекулы, скажем, белковой с молекулярным весом порядка 106, принцип неопределенности теряет значение. Для такой молекулы произведение Ах-Ди> 10~7, и о траектории моле- молекулы можно смело говорить в достаточных деталях. Даже хаоти- хаотическое тепловое движение такой молекулы, средняя скорость ко- которого порядка 1 м/с, можно проследить и начертить траекторию центра тяжести молекулы с точностью порядка 1 А. Не приходится и говорить о том, что даже для пылинки, види- видимой в микроскоп, принцип неопределенности уже не будет иметь практического значения. Возможности одновременного измерения двух физических ве- величин. Не следует думать, что невозможность определения траекто- траектории частицы связана с каким-либо несовершенством измерения и что в дальнейшем физика справится с этой задачей. Отсутствие смы- смысла в одновременном идеально точном задании некоторой пары фи- 444
зических величин является особенностью микрочастиц. Отличие ми- микрочастицы от «обычной» частицы и сказывается в том, что методы описания поведения «обычной» частицы становятся непригодными для микрочастицы. Только для классической частицы имеет смысл одновременное задание и определение координаты и импульса. Принцип неопределенности имеет более широкое значение, не- нежели способ прикидки возможности или невозможности построения траектории частицы. Органически входя в математический аппарат квантовой механики, принцип неопределенности позволяет выяснить возможность одновременного измерения любых физических величин, а не только координаты и импульса. Прежде всего, уточним принцип неопределенности в отношении координаты и импульса. Следует вспомнить, что у частицы имеются три координаты и что вектор импульса имеет три компоненты. Вме- Вместо одного соотношения, обсуждавшегося выше, надо написать три соотношения, а именно: Ax-Apxyh; Ay- Ару > ft; Az>Apz>h. Квантовая механика рассматривает также вопрос о возможности одновременного определения (задания) всех координат по разным осям, а также всех составляющих импульса. Одновременное задание координат или одновременное задание всех трех компонент импуль- импульса оказывается возможным (имеющим смысл). Зачем мы подчерки- подчеркиваем это обстоятельство? Казалось бы, всегда можно определить одновременно три компоненты любого вектора. Детальное рассмо- рассмотрение показывает, что это не так. Примером вектора, три компо- компоненты которого не могут быть определены одновременно, может служить вращательный импульс частицы (другие термины: момент количества движения, момент импульса). Пусть частица вращается около некоторой оси с вращательным импульсом L. Это движение можно рассматривать как совокупность трех вращений около трех взаимно перпендикулярных осей с вра- вращательными моментами Lx, Ly и Lz. Если мы имеем дело с «обыч- «обычной» частицей, то, разумеется, можно раздельно определить все три компоненты вращательного импульса, поскольку можно про- проследить за траекторией частицы. Для микрочастицы подобное опре- определение невозможно, а одновременное задание всех трех компонент вращательного импульса бессмысленно. Действительно, допустим на минуту обратное: все три компоненты вращательного импульса известны. Но тогда по трем составляющим можно построить и пол- полный вектор вращательного импульса. Если же это сделано, то этим определена плоскость, в которой движется частица. Но если известна эта плоскость, то мы знаем в точности координату частицы вдоль оси вращения и одновременно отмечаем, что скорость поступательно- поступательного движения вдоль оси вращения равняется нулю. Это противоречит принципу неопределенности, связывающему координату и им- импульс. 445
Таким образом, для микрочастицы характерна невозможность одновременного определения трех компонент ее вращательного им- импульса. Какие же сведения в отношении вращения могут быть зада- заданы одновременно? Принцип неопределенности отвечает на это сле- следующим образом: любая из компонент и абсолютное значение (длина вектора) вращательного импульса. Из этого правила имеется одно исключение: для микрочастицы может быть установлено полное от- отсутствие вращения, т. е. равенство нулю вектора вращательного импульса, иначе говоря, равенство нулю всех трех его компонент одновременно. Энергия и промежуток времени. Оперируя принципом неопре- неопределенности, связывающим координату и импульс частицы, можно предположить, что аналогичное соотношение должно касаться в какой-то мере и энергии. Действительно, в механике обычных ча- частиц для вычисления полной энергии как суммы кинетической и потенциальной, необходимо было знать одновременно и положе- положение частицы и ее скорость. Для микрочастицы это невозможно. Однако полная энергия частицы может быть найдена целиком, без разделения на части, и на основании только что сказанного естест- естественно ожидать, что это может быть сделано с некоторой неопределен- неопределенностью А<^. Если думать, что принцип неопределенности сохранит свою форму, то из соображений размерности следует, что соотно- соотношение неопределенности для энергии должно иметь вид где Ат есть промежуток времени. Что это за временной интервал и какой смысл надо вложить в соотношение неопределенности для энергии? Под Ат надо подразу- подразумевать время, в течение которого микрочастица обладает энергией ^±А^. Неопределенность энергии микрочастицы определяется вре- временем пребывания в этом энергетическом состоянии. Существенных значений неопределенность в энергии может достигнуть лишь в тех случаях, когда время пребывания на данном энергетическом уровне начнет определяться ничтожными долями секунды. Атомный электрон находится сколь угодно долго на своем самом низком (основном) энергетическом уровне (подробнее см. ниже). Поэтому энергия основного состояния фиксирована вполне жестко. На более высоком уровне электрон задерживается весьма недолго. Энергия его в этом состоянии будет ^±А^. Соответственно с этим частота, излученная атомом, при переходе с более высокого на более низкий энергетический уровень не может быть строго определен- определенной, а лежит в небольших границах v±&glh. Это и наблюдается на опыте — спектральные линии обладают конечной шириной, чем и пользуются для определения так называемых времен жизни ми- микросистемы в возбужденном состоянии. Опыт показывает, например, что ширина спектральных линий в рентгеновской области имеет порядок 10 эВ. Тогда время жизни в возбужденном состоянии имеет порядок Л/А^^Ю6 с. 446
§ 182. Потенциальный ящик В свое время (§ 13) мы познакомились с потенциальными кри- кривыми, наглядно передающими условия движения частицы. Простей- Простейшей кривой такого типа является прямоугольная кривая, так на- называемый потенциальный ящик. В таком ящике потенциальная энергия имеет неизменное значение на протяжении некоторого от- отрезка а (для простоты ограничимся линейной задачей). На бортах ямы потенциальная энергия меняется скачком. Если стенки ящика очень высоки, то можно считать потенциальную энергию внутри ящика равной нулю (ведь выбор начала отсчета не играет роли), а на бортах ямы равной беско-,. нечности (рис. 210). Положим, что в таком ящике находится один электрон (или любая другая частица), и по- попробуем решить вопрос о ха- характере его движения. Мы ре- решаем простейшую одномерную задачу и полагаем, что электрон движется лишь вдоль оси х. Ес- Если бы к электрону были приме- применимы законы механики Ньютона, то такой электрон двигался бы непрерывно сначала в одну сто- - рону ящика, упруго отражал- отражался бы от стенки, затем двигался бы в обратную сторону и т. д. Иначе быть не может с точки зрения механики Ньютона, поскольку при U=0 кинетическая энергия /тш2/2 будет постоянной. Таким образом, по поводу возможных движений в потенциальном ящике механика «обычной» частицы приводит к следующим заключениям. В ящике возможно движение с любой кинетической энергией mv2/2; частица может также покоиться в ящике. Для каждой данной энер- энергии движение будет равномерным и будет происходить то в одну, то в другую сторону, причем в конце дозволенного интервала скорость меняется скачком по направлению. Посмотрим теперь, какой ответ о движении электрона в таком ящике даст квантовая механика. Поведение электрона мы должны характеризовать функцией -ф, квадрат которой укажет вероятность нахождения электрона в какой- либо точке дозволенного отрезка. Так как внутри ящика U=0, то уравнение Шредингера упрощается и записывается в виде Рис. 210, HF + !?"* = 0' где ^ = Этому уравнению удовлетворяют синус и косинус от аргумента -^-. Если ящик ограничен координатами х=0 и х*=а, то при этих 447
значениях if>~0 (за стенки электрон не проникает). Поэтому cos 2л; y не годится в качестве решения уравнения (cos 2л у = 1 при л;=0). Значит, Но длина волны % не может быть любой, так как i|>=0 при х=а. Значит, должно выполняться равенство -^а=(п+\)л, или Д= П_Д , где я = 0, I, 2, ... Итак, длина волны может принять значения 2а, а, -|, —-, ... Мы видим, что -ф-функция представляет собой амплитуду стоячей волны (ср. стр. И6) и вся рассмотренная задача имеет фор- формально много общего с задачей колебания стержня или струны. Но если длина волны к имеет дискретный ряд значений, то энергия $ микрочастицы уже не может быть любой, а равна 6 - 8та* ' целое число п называется квантовым числом. Таким образом, уравнение Шредингера приводит к квантова- квантованию энергии. Микрочастица в потенциальном ящике имеет ряд ди- дискретных уровней энергии. Самый низкий энергетический уровень имеет место при п—0. Энергия равна х—^ • Это — нулевая энер- энергия частицы, находящейся в потенциальном ящике. Наличие нулевой энергии является интересной особенностью микрочастиц. У «обычных» частиц низшей энергией является нуле- нулевое значение. У микрочастиц ни при каких условиях не достигается прекращение движения. При абсолютном нуле температуры микро- микрочастица обладает определенной нулевой энергией, существенно различной в зависимости от характера поля сил, в котором находится частица. Пример. Пусть #=1 А (характерная для атомной области величина). Тогда нулевая энергия электрона в потенциальном ящике будет Пусть а=1 см (свободный электрон в куске металла). Тогда*^0—0,6- Ю-26 эрг= =37- 10-16эВ. Находясь на данном энергетическом уровне, электрон имеет скорость, которую можно вычислить из длины волны: v=h/mX. Однако движение электрона уже нельзя описывать уравнениями 448
классической механики, и невозможно указать, где находится элек- электрон в тот или иной момент времени. Зато можно найти значение^3, т. е. плотность вероятности нахождения электрона в том или ином месте пространства, по уравнению Характерным обстоятельством является следующее: каждому энергетическому уровню соответствует своя (того же номера п) волновая функция (собственная функция). Рис. 211. На рис. 211 показана ^-функция и ее квадрат для четырех пер- первых энергетических уровней электрона, находящегося в потенциаль- потенциальном ящике. Квантовая механика приводит к выводу, что электрон бывает не одинаково часто в разных точках пространства. Если энергия электрона — наименьшая (он находится на основном уровне, я=0), то чаще всего мы встретим электрон в середине «ящика». Если электрон находится в состоянии с /г=1, то он ни- никогда не бывает в центре дозволенного отрезка, и т. д. Кривые ty% дают ясное представление о тех местах, где бывает электрон. Подведем итоги. Механика микрочастиц приводит к следующим заключениям в отношении движения микрочастицы в потенциальном ящике. В ящике возможно движение лишь с дискретным рядом зна- значений энергии SoySn <§2> • • • Частица не может покоиться, так как и самому низкому энергетическому уровню соответствует движение с некоторой скоростью. Сведения о характере движения частицы при определенной энергии указываются квадратом г|>функции; зная ty2(x), можно узнать, в каких точках пространства микрочастица бывает чаще, а в каких точках — реже. Нам остается выяснить, при каких условиях становится возмож- возможным «обычное», т. е. классическое, описание поведения частицы. Представим себе, что речь идет о молекуле кислорода, запертой в реальном ящике, размеры которого в несколько десятков раз превышают размеры молекул. Пусть молекула имеет среднюю 15 Л. И. Китайгородский 449
энергию молекулы кислородного газа при комнатной температуре, т.е. 10-^ эрг. Беря значения а= 100 А, /и<= 5,4-10-** г, ^=103 эрг, найдем, на каком квантовом уровне будет находиться микроча- микрочастица. Вычисление дает п=1000. Отсюда следуют два вывода. Во- первых, кривая г^ будет иметь столь огромное число чередующихся максимумов и минимумов, что мы не сильно погрешим против ис- истины, если скажем: вероятность пребывания частицы одинакова для всех точек ящика. Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки. Обе особенности, следующие из основного уравнения квантовой механики, стираются: распределение вероятностей для частицы становится практически неотличимым от огибающей кривой, энер- энергетические уровни сближаются настолько, что дискретность энер- энергии становится практически незаметной. Результаты квантовой механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц. Это происходит всегда, когда энергия частицы соответст- соответствует большому квантовому числу. Мы пришли к важному принципу квантовой механики: при больших квантовых числах результаты квантовой механики совпадают с механикой «обычных» частиц. Это значит, что при больших п понятие траектории частицы и дру- другие особенности, свойственные обычной частице, применимы и к микрочастице. § 183. Что дает решение уравнения Шредингера Мы уделили относительно много места движению частицы в по- потенциальном ящике. На этом простейшем примере было легко по- показать основные черты квантовомеханического метода рассмотре- рассмотрения задач. Если электрон (или другая частица) может совершать движения в ограниченном объеме, то характерные особенности решения уравнения Шредингера сохраняются, какую бы форму ни имела в этой области потенциальная кривая. Во всех случаях по- потенциальную яму можно пересечь некоторым количеством гори- горизонтальных прямых — возможных энергетических уровней. В прин- принципе уравнение Шредингера позволяет вычислить эти значения энергии, если только задана форма потенциальной ямы. Самый низкий уровень дает нулевую энергию частицы для данной потен- потенциальной ямы. Для каждого энергетического уровня номера п квантовая меха- механика устанавливает вид волновых функций ^п{ху */, z). Величина Ч>1 (х> У> z) Дает плотности вероятности нахождения частицы в дан- данной точке пространства, если энергия частицы есть (§п. Так как за время измерения частица успеет многократно побывать во всех точках пространства, то ty2(x, у, г) можно рассматривать как плот- плотность «облака частицы». Электронное облако, окружающее атомное ядро, есть нечто вроде фотографии атома, снятой с длительной эк- экспозицией. г|>функция является амплитудой волны, сопоставляе- сопоставляемой частице. В примере электрона, находящегося в потенциальном 450
ящике, это были стоячие волны и каждому уровню соответствовала своя длина волны Я. В общем случае дело будет обстоять не так и стоячие «волны», соответствующие данному состоянию (данному я), будут весьма своеобразны: их длина волны К = =- будет разной в раз- V *т{$— и) ных точках пространства в соответствии с ходом потенциальной «кривой» U (x, yt z). Для более или менее сложных примеров сход- сходство -ф-функции с амплитудой стоячей волны (в привычном смысле этого слова) становится весьма отдаленным. Теория и опыт показали, что в ряде случаев одному значению энергии $п могут соответствовать несколько собственных функций •фд. Это происходит, если при одной энергии возможны состояния частицы, отличающиеся другой физической величиной (например, вращательным импульсом). Виды г^-облаков таких состояний (их называют вырожденными) могут радикально различаться. Если найдены уровни энергии и вычислены собственные ф-функ- ции для всех уровней, то этим исчерпывающим образом решена задача о движении частицы в потенциальной яме данного вида. Зная решение уравнения Шредингера, можно предсказать резуль- результат того или иного измерения, произведенного над этой частицей. § 184. Туннельный переход Мы остановимся сейчас на своеобразном эффекте, который воз- возможен для микрочастицы и невозможен для обычной частицы. Речь вдет о туннельном переходе, «просачивании» частицы через потен- потенциальный барьер. Представим себе (рис. 212), что внутри области, в которой дви- движется частица, имеется потенциальный барьер с высотой U и ши- шириной d. Если энергия частицы $<iU> то обычная частица может находиться либо перед барьером, либо за барьером. Переход через барьер невозможен, так как при этом частица будет иметь отрица- отрицательную кинетическую энергию и мнимую скорость, что бессмыслен- бессмысленно. Иначе обстоит дело для мик- микрочастицы. Принцип неопределен- неопределенности не позволяет приписать мик- микрочастице одновременно точные значения скорости и координаты и, следовательно, кинетической и потенциальной энергии. Поэтому частица с полной энергией ? мо- может пройти сквозь барьер. Условия этого перехода можно оценить следующим образом. Неопределенности координаты и импульса связаны соотношением 15* 451
Ax-Apz&h. Неопределенность в импульсе однозначно связана с неопределенностью в кинетической энергии, так как К=р2/Bт). Если только А/С есть величина порядка U—<§, где^— энергия ча- частицы, at/ — высота барьера, то частица, находящаяся слева от барьера (см. рисунок), имеет неопределенность в координате h h Ах Если ширина барьера d меньше Ах, частица может быть обнару- обнаружена по другую сторону барьера. Частица как бы проходит по тун- туннелю, проложенному сквозь барьер на уровне полной энергии^. Итак, условие туннельного перехода заключается в том, что (U—e)<K т. е. А Как нетрудно видеть из примеров, явление имеет значение только для микрочастиц. При U—^=10 эВ~Ю-11 эрг, т~ 107 г (масса электрона) и d~10~8 см ~г У~2т (U — ^)=0,2 < 1, т. е. туннельный переход возможен. Для шарика с массой т=\ г, лежащего рядом с поставленной спичечной ко- коробкой (U—(?=3000 эрг, d=2 см), — У~2т(и — <?) = 2,5-1028> 1. Ясно, что ша- шарик сквозь спичечную коробку «просочиться» не может. Строгая теория позволяет оценить вероятность просачивания через барьер. Эта вероятность оказывается пропорциональной Z**V2m(U-8) d e Туннельный эффект является строгим следствием уравнения Щредингера. Решение этого уравнения показывает, что ^-функция имеет отличные от нуля значения и в тех точках пространства, где U>$. Значит, с некоторой вероятностью, тем меньшей, чем больше U—<$\ электрон может быть найден и в тех областях пространства, где на языке «обычных» частиц он обладал бы отрицательной кине- кинетической энергией. ГЛАВА 28 СТРОЕНИЕ АТОМА § 185. Энергетические уровни атома водорода Один электрон, «вращающийся» в поле ядра. Казалось бы, простая задача. Однако даже для этого простейшего атома решение уравнения Шредингера очень громоздко, и мы не имеем возможно- возможности его проделать. Что же касается результатов этого расчета, то мы их обсудим довольно детально. 452
Между электроном и ядром действует электрическое кулонов- ское притяжение. Потенциальная энергия электрона в поле ядра равна U=—е2/г, где е — заряд электрона (такой же, как и заряд протона), а г = Ух2 + у2 + z2—-расстояние электрон — ядро. Уравнение Шредингера имеет вид Атом является своеобразным вариантом потенциальной ямы. Она изображена на рис. 213. Это — яма без дна и с расходящимися бор- бортами. Борта ямы — гиперболы, ось г=0 является одной из асимп- асимптот. Электрон внутри атома обладает отрицательной потенциальной Рис. 213. энергией*), поскольку минимальное значение потенциальной энер- энергии стремится к бесконечности при г ->• 0, а максимальное значение равно нулю. На рис. 214 изображены энергетические уровни, полученные решением уравнения Шредингера. Существенной особенностью решения является сближение уровней по мере возрастания кван- квантового числа п. О переходе между уровнями пойдет речь ниже. Шкалы значений, пропорциональных энергии, даны в принятых в спектроскопии единицах: вольтах и обратных сантиметрах. *) Может возникнуть вопрос: зачем начало отсчета потенциальной энергии выбрано так, что энергия электрона отрицательна? Нетрудно сообразить, в чем достоинство такого выбора. Для разных атомов одинаковое значение потенциаль- потенциальная энергия имеет только при г->оо. Естественно это общее значение выбрать за нуль. 453
Формула энергетических уровней может быть представлена в виде По историческим причинам принято эту формулу записывать в виде называется постоянной Ридберга. Таким образом, не только потенциальная, но и полная энергия электрона в атоме оказывается отрицательной. Электрон атома может находиться на уровнях, нумеруемых числом п. Чем больше п, тем выше энергетический уровень, тем большей энергией обладает электрон. Электрон свободного атома водорода, не подвергающе- подвергающегося каким бы то ни было воздействиям, находится на самом низ- низком энергетическом уровне gx^—cRh. 454 Рис. 214.
Если атому любым способом сообщается энергия, большая по величине, чем cRh, то электрон выходит за пределы потенциальной ямы — атом ионизуется. Энергию cRh называют энергией ионизации. Принято характеризовать работу отрыва электрона от атома потенциалом ионизации. Для атома водорода 1/ cRh З-ЩЦ.109740-6,6.10-" л к 1Л-2 rrr loco Уион = —= 4,8-10-ш = 4,5-10 2ед. СГС-13,5В. Причина названия следующая. Положим, что отрыв электрона от атома водорода происходит под действием пучка электронов. Чтобы ионизовать атом водорода, надо разогнать электроны, иг- играющие роль снарядов, по крайней мере до энергии eV=cRh. Следовательно, V есть разность потенциалов, до которой надо ра- разогнать электрон, чтобы при ударе об атом водорода он сумел выз- вызвать ионизацию. Если атом водорода получит энергию, меньшую cRh9 то он может перейти на какой-либо п-й уровень*). Про такой атом говорят, что он находится в возбужденном состоянии. В возбужденном состоянии атом находится ничтожные доли секунды и переходит на более низкий уровень, испуская фотон в соответствии с равенством Ьив = *„-*„ = с/?(l Если атомы водорода возбуждаются различного рода соударе- соударениями, то они поднимаются на различные уровни энергии и возвра- возвращаются на основной уровень «прыжками» через различное число ступеней (см. рис. 214). Поэтому большое скопление атомов водо рода будет излучать различные фотоны со всевозможными часто- частотами vmn. Возникает характерный линейчатый спектр испускания. Вычисляя при данном п частоты vm, соответствующие числам т=л+1, я+2, ..., можно получить различные серии частот линий в спектре водорода. Существование этих серий было известно задолго до создания квантовой механики. Одна из них (серия Бальмера) соответствует п=2. Подставляя т=3, 4, 5, 6, 7, 8, *) В случае атома водорода, обладающего одним электроном, фразы «атом находится на л-м уровне энергии» или «электрон находится на я-м уровне энер- энергии» имеют одинаковое содержание. 455
вычислим длины волн шести линий в этой серии: Я3=6562,80 А; ^4=4861,38 А; Х5=4340,51 А; Лв =4101,78 А; Я,7 =3970,11 А; А,8=3889,09 А. Хорошо заметно сближение линий по мере роста т, что и наблюдается на опыте (рис. 215). Расхождение этих теорети- теоретических цифр с опытом не превышает пяти единиц в последней цифре. § 186. Квантовые числа Решение уравнения Шредингера позволяет найти не только все энергетические уровни^ атома водорода, но и все его волновые функции. В основном состоянии электрон характеризуется одной функцией я|н. Что же касается возбужденных состояний, то все они — по терминологии квантовой механики — вырождены, при этом п2-кратно. Этот термин означает, что энергии $2 соответствуют четыре о|>функции, энергии <^3 — девять и т. д. Каждое из этих состояний может реально осуществиться. Чем же отличаются друг от друга п2 состояний с одним и тем же квантовым числом п? Квантовая механика дает ответ на этот вопрос. Состояния с одним и тем же значением энергии ?п могут отличаться величиной вращательного импульса электрона, а также значением проекции вращательного импульса на какое-либо на- направление (это направление выделяется среди прочих просто тем, что мы его выбрали). Результат решения уравнения Шредингера для атома водорода таков: вращательный импульс электрона имеет дискретный ряд значений, которые даются, формулой где / может принять любое целое значение от 0 до п — 1, если элект- электрон находится на п-м уровне. Далее, уравнение Шредингера показывает, что по отношению к избранному направлению г вращательный импульс L может быть ориентирован лишь таким способом, чтобы где т — целое число, которое может принять значения от — /до +/, включая нуль. Напомним, что в соответствии с принципом неопределенности знание L и Lz исчерпывает возможные сведения о вращательном импульсе, иначе говоря, имеет смысл одновременное задание только лишь этих двух величин. Итак, состояние электрона в атоме характеризуется тремя кван- квантовыми числами: п, /, т. Число п называют главным, I — побочным и т — магнитным квантовыми числами. Состояния со значениями 1=0, 1, 2, 3, ... обозначают соответ- соответственно буквами s, р, d, f, ... Число впереди буквы используется 456
для указания главного квантового числа. Например 3/?-состояние — это состояние с п=3 и 1=1. Приведем перечень всех возможных состояний для м=1, 2 и 3. п 1 2 3 / 0 0 1 0 1 2 Обозна- Обозначение состоя- состояния is 2s 2р 3s 3/7 3d т 0 0 — 1, 0, 1 0 — 1 0, 1 _2, —1, 0, 1, 2 Энергетические переходы у водородного атома определяются ис- исключительно значениями главного квантового числа п. Чтобы числа /, га стали играть роль, нужно «снять вырождение», т. е. добиться такого положения, при котором состояниям с разным вращательным импульсом соответствовала бы разная энергия. Для атомов водо- водорода это можно сделать, помещая их в магнитное поле. У других атомов, как мы увидим ниже, вырождение снимается взаимодей- взаимодействием электронов. § 187. Электронное облако для s- и /^-состояний Состояние, характеризуемое тройкой чисел я, /, га, описыва- описывается волновой функцией tyn,i,m- Этому состоянию соответствует характерная форма электронного облака, определяемая функцией ¦ф2п 1тг Остановимся на виде 1|Я-функций водородного атома, ха- характеризующих различные возбужденные состояния этого атома. Рассмотрим s-состояния. Так как /=0, то и т=0, значит, для каждого п имеется лишь одна ^-функция. Равенство /=0 говорит об отсутствии у электрона вращательного импульса. Естественно, это требует отсутствия предпочтительных направлений движения, т. е. сферической симметрии электронного облака. Уравнение Шре- дингера и дает такой результат: функции я|;15, i]?2iS, tyss и т. д. сфери- сферически симметричны. На рис. 216 построены кривые радиального распределения плотности электронного облака (или, что то же самое, плотности вероятности пребывания электрона в данном месте). По оси ординат отложена величина 4ягЧ];2, называемая радиальной плотностью; очевидно, 4nr2r(p2dr есть число электронов *), заключенных в шаро- шаровом слое между радиусами г и r+dr. Кривые радиальной плотности *) Нас не должно смущать дробное число электронов. Это только манера го- говорить. Строго говоря, 4лr2ty2 dr есть вероятность пребывания электрона внутри шарового слоя с толщиной dr. 457
показывают, что в состоянии Is имеется один максимум электронной плотности, у атома водорода он находится на расстоянии 0,53 А от ядра. В состоянии 2s имеются два максимума плотности; правда, в основном электрон будет внутри второго максимума. Наконец, в состоянии 3s имеются три максимума плотности, из которых наи- наиболее «посещаемым» является дальний. С возрастанием главного числа п электронное облако расплы- расплывается. Совершенно иначе выглядят функции ^-состояний. Значению 1=1 могут соответствовать три значения т=0, —1, +1. Представ- Представление о конфигурациях электронного облака дает рис. 217. При т=0 длинная ось «восьмерки» располагается вдоль выделенного направления, при т=±1 —перпендикулярно к нему. Очевидно, состояния с т=±1 имеет смысл различать лишь тогда, когда они присутствуют оба. Рисунок дает некоторое представление о симмет- 458
рии электронного облака. Она одинакова для всех р-состояний. Различие в главном квантовом числе сводится лишь к изменению характера радиального спада плотности: чем больше л, тем больше растянется картина. Мы не будем обсуждать состояний с большими значениями /, их электронные облака более сложны. § 188. Принцип Паули Известно, что атомы расположены в таблице Менделеева по воз- возрастающему числу электронов в них. У гелия два электрона, у ли- лития — три, у бериллия — четыре. Какие предсказания о структуре атомов можно сделать с помощью уравнения Шредингера? На первый взгляд проблема может показаться безнадежной. Строгая процедура уже для гелия должна была бы заключаться в решении уравнения Шредингера для нахождения волновой функции с шестью переменными ^(^х, уи zu х2г у2, z2)y квадрат которой дол- должен был бы дать значение вероятности нахождения первого элект- электрона в точке х1у у1г гх при одновременном пребывании второго элек- электрона в точке х2, #2, г2. В качестве потенциальной энергии нужно было бы подставить в уравнение /*1 Г2 Г12 где /*! и г2 — расстояния электронов до ядра (заряд ядра гелия 2ё), а г12 — расстояние между электронами. Точное решение подобной задачи совершенно невозможно. Было бы крайне желательным говорить отдельно о каждом элек- электроне атома и описывать каждый атомный электрон своей волновой функцией ty(x, у, z). Но как это сделать? Очевидно, надо рассмат- рассматривать движение одного электрона в поле ядра и остальных электронов. Это эффективное поле можно считать обладающим сферической симметрией. Поэтому описание свойств такого электрона не будет отличаться от описания электрона водородного атома. Разумеется, задача все же будет довольно сложной: для различ- различных электронов эти эффективные поля различны, а главное, их надо определять все одновременно, поскольку каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов (подобное эффективное поле называют самосогласованным). Такой подход к задаче о много- многоэлектронном атоме позволяет в значительной степени сохранить описание свойств электрона атома водорода для описания поведения электрона сложного атома. Состояние каждого электрона будет характеризоваться теми же квантовыми числами, что и у водорода. Однако в случае атома, состоящего из нескольких электронов, взаимодействие электронов снимает вырождение и уровни с разными / и т будут обладать раз- разными энергиями. 459
2 Уравнение Шредингера позволяет найти возможные уровни энергии, но ничего не говорит о том, какой энергией будут обладать атомные электроны. Можно было бы думать, что все электроны атома займут самый низкий энергетический уровень. По крайней мере таким было бы поведение «обычных» частиц. Однако опыт кате- категорически отвергает подобное предположение. «Размещением» элек- электронов по энергетическим уровням управляет так называемый прин- принцип Паули. Первоначальная догадка о существовании такого прин- принципа была получена из рассмотрения таблицы Менделеева. Как говорилось выше, уравнение Шредингера приводит к суще- существованию B/+1) состояний для данных п и /. Это в свою очередь дает цифру я2 разных ^-функций для одного значения я, о чем также говорилось выше. Первые значения п2 — это 1, 4 и 9. Обратимся к таблице Менделеева. Гелий, неон и аргон, завершающие три первых периода таблицы, содержат соответственно 2, 8 и 18, т. е. 2п электронов. Случайность? Нет, напротив,— выражение глубокой закономерности, согласно которой одинаковой г|>функцией могут обладать только два электрона. Иными словами, энергетические уровни могут быть заняты каждый не более чем двумя электронами. Этот общий закон природы, к которому мы еще вернемся в § 190, носит название принципа Паули. С помощью этого принципа можно «разместить» электроны слож- сложного атома по квантовым числам и, следовательно, по уровням энер- энергии и значениям вращательного импульса. У атома гелия два элект- электрона; они могут занять единственный ls-уровень. Третий электрон лития должен занять уже следующий уровень, 2s. У атома бериллия четыре электрона займут уровни Is и 2s. Пятый электрон атома бора займет уровень 2р. На этом уровне имеется шесть мест для электро- электронов, они и будут заполняться, пока мы не дойдем до неона. Однако мы отложим до § 192 рассмотрение связи периодического закона Менделеева с электронной структурой атома. Отличаются ли чем-либо те два электрона, которые занимают уровень, характеризующийся одними и теми же тремя квантовыми числами? Оказывается, что эти два электрона отличаются направ- направлениями собственного вращательного импульса (направлением «спина»). § 189. Отклонение атомного пучка в магнитном поле В предыдущих параграфах мы много говорили о вращательном импульсе электрона, созданном движением электрона вокруг ядра. Можно доказать наличие этого вращательного импульса, так как в результате движения электрона атом приобретает магнитный момент. Прибегнем к классическим представлениям и положим, что элект- электрон вращается по окружности радиуса г. Так как сила тока равна заряду, переносимому в единицу времени, то сила тока, эквивалент- эквивалентного такому вращающемуся электрону, есть 1=пеу где п — число 460
оборотов в секунду. С другой стороны, n=v/Bnr), где v — скорость. Таким образом, т __ ve 2лг а магнитный момент вращающегося электрона (ср. стр. 235) равен л* 1 re \ ve o 1 с с 2лг 2с Вращательный импульс электрона L равен тог. Следовательно, Связь между вращательным импульсом и магнитным моментом электрона, движущегося вокруг ядра, полученная этим элемен- элементарным вычислением, подтверждается опытом для всех атомных электронов. Итак, атомы, у которых ЬфО, обладают магнитными моментами и должны проявлять в подходящем опыте свойства маленьких маг- магнитов. Таким опытом является пропускание параллельного пучка атомов в неоднородном магнитном поле (рис. 218). Рис. 218. Из длинной трубы тщательно откачивается воздух. В левом конце создается атомарный газ. Через маленькие отверстия в экра- экранах атомы могут выбраться из левого отсека. Так как имеются две щели, то окончательно на свободу выйдут лишь атомы, движу- движущиеся вдоль оси прибора. Этот параллельный пучок атомов про- проходит через неоднородное магнитное поле. Как нам известно (стр. 257), на тело, обладающее магнитным моментом М, в таком поле действует сила dH где ^ градиент поля в направлении, перпендикулярном к атом- атомному пучку, a Mz — проекция магнитного момента на направление градиента. Если магнитный момент перпендикулярен к полю, то сила не действует, если /момент направлен вдоль поля, то тело притягивается к одному или другому полюсу в зависимости 461
от того, смотрит вектор М в северную или южную сторону. Если в атомном пучке содержатся атомы с разными или разно ориентиро- ориентированными магнитными моментами, то пучок атомов размоется: в разные стороны полетят атомы, на которые действуют разные силы /. Пучок атомов падает на пластинку; продолжая опыт, мы всегда можем дождаться такого момента, когда число собравшихся на ней атомов будет достаточным для их обнаружения. Описанный опыт сыграл значительную роль при разработке ос- основ теории атома. Он имеет значение и теперь как способ определе- определения магнитных моментов атомных ядер. § 190. Спин электрона Опыты с атомными пучками позволяют измерить М, а значит, и L. Одним из существенных выводов квантовой механики было ут- утверждение о квантовании вращательного импульса L: полный импульс L принимает лишь ряд дискретных значений, а именно где / — побочное квантовое число. Значит, и магнитные моменты атомов могут иметь лишь дискретный ряд значений: Константа называется магнетоном Бора. В опыте с атомными пучками внешним магнитным полем выде- выделено направление, перпендикулярное к атомному пучку. Проекции L на это направление могут также иметь лишь дискретный ряд значений: значит, Mz = m\i, где т — магнитное квантовое число. Мы видим, что значения Мг должны равняться целому числу магнетонов Бора. В опыте с атомными пучками непосредственно определяется Mz. Какой же результат должен иметь опыт с пучками тех или иных атомов? Мы ожидаем следующую картину. У атома водорода, ге- гелия, лития и бериллия имеются только s-электроны. Поскольку для них L=0, пучок в магнитном поле не расщепляется. При наличии р-электронов мы ждем расщепления пучка на три резкие составля- составляющие: центральную неотклоненную для т=0 и две симметрично расположенные справа и слева для т—±\. d-электроны должны 462
дать пять пучков в соответствии с пятью возможными значениями квантового числа т, и т. д. Сделанные предсказания оправдываются в одном: в некоторых случаях пучок атомов не расщепляется, в других случаях он разби- разбивается на резкие составляющие. Таким образом, ясно, что имеются атомы с магнитным моментом, равным нулю, и также несомненно, что если магнитный момент есть, то он квантуется. Что же касается результатов, полученных для конкретных ато- атомов, то они указывают на совершенно новый факт — наличие у элек- электрона собственного магнитного момента. К такому выводу нас сразу же приводит опыт с пучком водо- водородных атомов: пучок водородных атомов расщепляется на две симметричные компоненты, соответствующие отклонениям атомов с магнитными моментами ±М-- Центрального, неотклоненного пучка нет! Этот факт можно объяснить лишь следующей гипотезой, кото- которая подтверждается всем остальным материалом атомной физики: электрон обладает магнитным моментом; при этом существуют лишь два возможных положения этого момента в пространстве, а именно, с проекциями ±\i на направление внешнего поля. Магнитный момент электрона, обязанный движению электрона около ядра, однозначно связан, как мы только что видели, с вра- вращательным импульсом движения электрона около ядра. Оказы- Оказывается, что и собственный магнитный момент электрона связан с собственным вращательным импульсом электрона, получившим название спина. То, что электрон обладает спином, было предположено Гаудсми- том и Юленбеком еще в 1925 г,, до описанных нами опытов, обна- обнаруживших у электрона собственный магнитный момент. Эти иссле- исследователи показали, что предположение о наличии у электрона спина, т. е. собственного вращательного импульса, снимает нераз- неразрешимые затруднения в расшифровке спектров. Первоначально предполагалось, что спин есть следствие вращения электрона около своей оси. Отсюда и термин спин (от англ. «to spin» — вращаться). Однако подобная трактовка неверна. Спин электрона является его первичной характеристикой, не сводимой к чему-либо более про- простому. Какова же связь собственного вращательного импульса (спина) с собственным магнитным моментом электрона? Опыт с пучком ато- атомов водорода привел нас к тому, что проекция собственного маг- магнитного момента электрона Mz может принимать лишь два значе- значения: dzfji. Следует полагать, что и проекция спина Lz может прини- принимать лишь два значения. Если мы пожелаем применить к собственному вращательному импульсу электрона формулу то найдем, что число / имеет одно-единственное значение. 463
Действительно, как следует из квантовой механики, значению 1=0, 1, 2,... соответствует 1,3, 5, ...и вообще B/+1) состояний. Чтобы получить два спиновых состояния, к которым нас привел опыт B/+1=2), приходится положить квантовое число 1= у . Абсолютное значение собственного вращательного импульса элек- электрона (спина) имеет единственное возможное значение L = l/ -j -^ • Что же касается проекции спина, то, полагая по-прежнему, что раз- различия в возможных значениях Lz должны быть кратны /i/2jt, мы ви- видим, что она может принять лишь два значения: + уЛ/Bя) и —- h/Bn). Таким образом, (Lz)cn =sh/Bn), где s — новое кванто- квантовое число (спиновое число), которое может принимать лишь два значения: ±72- Ранее было сказано, что опыт с водородом привел к отклоне- отклонениям, соответствующим магнитному моменту, равному одному маг- магнетону, и Mz=\x. Так как квантовое число s равно 1/2, то соот- соотношение 2тс оказывается неверным для собственного движения электрона. Со- Согласие с опытом получится, если сп тс сп Таким образом, отношение MIL магнитного момента к враща- вращательному импульсу для движения электрона около ядра в два раза меньше этого же отношения для собственного движения электрона. Наличие спина у электрона позволяет вновь вернуться к прин- принципу Паули и сформулировать его более отчетливо. В состоянии с квантовыми числами п, /, m могут находиться не более чем два электрона. Различие этих электронов лишь в проекции спинов. Могут ли эти два электрона иметь одинаковые проекции спинов? Опыт дает отрицательный ответ на этот вопрос, и принцип Паули получает следующую формулировку: в каждом состоянии, характе- характеризующемся четырьмя квантовыми числами п, /, т и s, может на- находиться лишь один электрон. Другими словами, если в состоянии п, I, т находятся два электрона, то они обладают противополож ^о направленными спинами. § 191. Магнитные моменты атомов Гипотеза о спине электрона позволяет расшифровать результаты опытов с атомными пучками для атомов разного сорта. Измерения магнитного момента являются одним из существенных способов суждения об электронном состоянии атомов. Рассмотрим, что долж- должны дать эти опыты для первых элементов таблицы Менделеева. 464
Атом водорода мы изучили. Что даст пучок атомов гелия? От- Отсутствие расщепления. Так и должно быть; у этого атома имеются два электрона в состоянии 2s; принцип Паули требует для них противоположно направленных спинов, а значит, и магнитных мо- моментов; суммарный магнитный момент равняется нулю. У атома лития магнитный момент должен определяться третьим электроном, поскольку первые два, находящиеся в состоянии Is, взаимно компенсируют действие своих спинов. Третий электрон лития находится в состоянии 2s. Поэтому, так же как и в случае водорода, магнитный момент мо- может определяться лишь спином. Расщепление литиевого пучка на две компоненты подтверждает эти рассуждения. Так же как и у во- дорода, одна компонента соответ- т = ° ствует проекции спина +V2» a другая — проекции спина — V2. В атоме бериллия четыре элек- трона, два в состоянии Is и два ^" "Я в состоянии 2s. Каждая пара т - - У электронов имеет противополож- противоположные спины, которые, компенси- рис> 219. руясь, дают суммарный момент, равный нулю. Поэтому пучок атомов бериллия не расщепляется на компоненты. Зато пучок атомов бора расщепляется на четыре компоненты. Откуда же они взялись? Ясно, что магнитный момент создается лишь пятым электроном, который находится в состоянии 2р\ это состояние может быть осуществлено с тремя значениями магнит- магнитного квантового числа: +1,0, —1. Таким образом, орбитальный магнитный момент может иметь три значения, включая нулевое. С этими значениями складывается спиновый магнитный момент. Как они сложатся? Рис. 219 показывает всевозможные взаимные расположения моментов. Мы видим, что возможны четыре комби- комбинации с вращательными импульсами 3/2, х/2, —V2 и —3/2 (в единицах /г/Bя), обычно это указание опускают). Еще богаче будет расщепление для атомов углерода: семь линий, включая неотклоненную, со значениями вращательного импульса 3, 2, 1,0, -1, -2, -3. § 192. Периодический закон Менделеева В свете данных об электронном строении атомов становятся ясными закономерности периодической системы Менделеева. Основные правила распределения электронов в атоме по кван- квантовым числам следуют из принципа Паули. Однако, если бы мы 465
руководствовались только этими данными, то приписали бы пра- правильные квантовые числа электронам лишь первых восемнадцати атомов (до аргона). Дело заключается в следующем. Электроны заполняют атом в порядке следования энергий состояния. В атоме водорода уровни энергии являются вырожденными, энергию опре- определяет лишь одно квантовое число. В многоэлектронных атомах благодаря взаимодействию вырождение снято и энергия электрона в атоме зависит от всех квантовых чисел. В атоме водорода само собой разумеется, что электроны, находящиеся на уровне, для ко- которого п=3, обладают меньшей энергией, чем те электроны, кото- которые находятся на уровне с п=4. В многоэлектронном атоме при больших значениях побочного квантового числа такое положение дел не обязательно. Поэтому в ряде случаев «естественный» поря- порядок хода квантовых чисел не соответствует порядку заполнения атома электронами. Электроны внутри атома принято подразделять на слои, т. е. совокупности уровней с разными главными квантовыми числами. Обычно слои обозначают следующими заглавными латинскими бук- буквами (в порядке следования квантовых чисел п): /С, L, M, N, ... Электронная оболочка атома характеризуется в основном рас- распределением электронов по квантовым числам (по слоям). Это рас- распределение описывают формулами, указывающими (в показателе сверху) количество электронов с тем или иным значением главного (п) и побочного (I) квантовых чисел. Например: кремний— Is2 2s2 2/76 3s2 3/?*; кальций— Is2 2s2 2pQ 3s2 3p6 4s2. Для суждения о степени заполнения уровней надо запомнить максимальные числа s, р, d, f, ... электронов: 2, 6, 10, 14, ... (полу- (получаемые по формуле 2B/+1)). Вернемся к таблице Менделеева и поинтересуемся тем, в каких ее местах происходят нарушения последовательности распределе- распределения электронов по квантовым числам. Первое такое нарушение происходит у калия. Последний электрон поступает не на 3d-ypo- вень, а на уровень 4s. Следующий по порядку элемент, кальций, также получает электрон на уровень 4s, а с 21-го элемента, скандия, застраиваются З^-уровни. Уже у хрома B4-й элемент в таблице) возникает новая аномалия. Число электронов теперь иное и поря- порядок- распределения квантовых уровней по энергиям изменился. Размещение двух электронов на уровне 4s становится энергетически невыгодным и хром получает структуру 3s2 Зр6 3d5 4s. Нет нужды продолжать описание других подобных аномалий. Электронные структуры всех атомов можно найти в любом справоч- справочнике по физике или химии. Важно лишь одно: распределения элект- 466
ронов по квантовым числам, выясненные чисто физическими мето- методами исследования (спектральный анализ, измерение магнитных моментов), помогают понять химические особенности того или иного атома. § 193. Ионизационные потенциалы Одним из способов изучения электронной структуры атома яв- является измерение энергии ионизации, т. е. энергии, которую нужно затратить для того, чтобы удалить электрон из атома. Так как энер- энергия электрона в атоме отрицательна и отсчитывается от нуля, соот- соответствующего удалению электрона из атома, то энергия ионизации является одновременно не чем иным как энергией уровня, занимае- занимаемого электроном в атоме. Принято эту энергию относить к заряду электрона и выражать в вольтах. Например, говорят: ионизацион- ионизационный потенциал атома водорода равен 13,53 В; это значит, что для освобождения электрона нужна работа, равная работе перемещения электрона между точками с разностью потенциалов 13,53 В (смысл этой цифры показывает рис. 214). Если речь идет о многоэлектронном атоме, то можно найти се- серию ионизационных потенциалов, характеризующих уровни пер- первого, второго, третьего и т. д. электронов, считая от положения наименее связанного электрона. В этом смысле говорят о первом, втором и т. д. ионизационных потенциалах атома данного сорта. Существует множество методов измерения ионизационных по- потенциалов. Для измерений помещают газы и пары в электрическое поле. Поток электронов, испускаемых накаливаемой нитью, иони- ионизует газ. Пока энергия первичного электрона недостаточна для вырывания атомного электрона, электрический ток, идущий через газ, не меняется. Как только энергия первичных электронов станет достаточной для вырывания электронов из атомов газа, в прост- пространстве окажется значительное число положительно заряженных ионов и произойдет резкое возрастание электрического тока. По- Постепенно повышая напряжение, приложенное к прибору, можно весьма точно отметить момент, при котором начинается это возра- возрастание электрического тока. Критическое значение напряжения и дает непосредственно величину ионизационного потенциала. Зна- Значения первых ионизационных потенциалов различных элементов представлены наглядным графиком (рис. 220) для большинства химических элементов. Бросается в глаза периодичность этого свойства, вполне совпа- совпадающая с химическим периодом. Труднее всего оторвать электрон у атома гелия, а также у атомов всех других благородных газов. Именно это обстоятельство и объясняет их химическую инертность. Одновалентные щелочные металлы имеют наименьшие значения потенциала. И это полностью соответствует представлениям хи- химика, знакомого с исключительной реакционной способностью этих веществ. 467
Значения первого и последующих ионизационных потенциалов связаны с валентностью атомов. Почему атомы щелочных элементов одновалентны? Дело заключается в том, что один (внешний) элект- электрон атомов этих веществ связан гораздо слабее, чем остальные элект- электроны. Первые потенциалы атома цезия имеют, например, такие -VI 48 5% $6 60 Й сЛлтожный момер Рис. 220. 88 Ж значения: 3, 9; 27; 46 и 62 В. Мы видим, сколь велико различие в энергиях, которые надо затратить на отрыв первого и последующих электронов. § 194. Спектры атомов в оптической области Возможно наблюдение атомных спектров поглощения и спектров испускания. Однако основное значение имеют лишь последние. Атомные спектры испускания в оптической области можно полу- получить, исследуя при помощи спектрографов излучение, которое соз- создается парами тел, твердых при обычной температуре, или газами. Чтобы атомы излучали, их надо возбудить, т. е. заставить перей- перейти с более низкого на более высокий энергетический уровень. При возвращении атома на более низкие уровни энергии и возникает спектр испускания. Каждому переходу будет соответствовать одна линия в спектре. Возбуждение атомов осуществляется различными путями. Один из способов заключается в использовании газового разряда. Напря- Напряжение, приложенное к газоразрядной трубке, ускоряет заряженные частицы, находящиеся в газе. Эти частицы сталкиваются с нейт- нейтральными атомами и ударом передают им энергию. Другой способ, применяющийся в спектральном анализе металлов, состоит в созда- создании дуги или искры между двумя электродами, сделанными из изучаемого материала. В искре и дуге развиваются весьма высокие температуры, вещество испаряется в пространстве разряда. Воз- Возбуждение атомов достигается благодаря соударениям. 468
Атомный спектр испускания состоит из огромного числа резких линий. Частота излучения, соответствующая каждой линии, под- подчиняется уравнению hvmn=Em — Еп. Таким образом, измеряя частоты излученного света, мы можем судить о разности энергети- энергетических уровней данного атома. Можно довольно уверенно расшиф- расшифровать спектры атомов, т. е. находить по значениям частот излу- излучения картину энергетических уровней. Данные о спектральных линиях элементов и их энергетических уровнях приводятся в спра- справочниках. Не следует думать, что в спектре содержатся линии, соответст- соответствующие переходу с любого уровня на любой. Опыт показал (и тео- теория дала этому обоснование), что существуют некоторые правила отбора, или правила запрета. Определенные переходы являются запрещенными и не осуществляются. Разумеется, нельзя сказать, в какое более низкое по энергии состояние перейдет возбужденный атом и спектральная линия какой именно частоты будет излучена. Но не все переходы оказываются равновероятными. Теория может в принципе подсчитать вероятность перехода с одного уровня на другой. Величина этой вероятности определяет в основном интенсивность соответствующей спектраль- спектральной линии. На спектры атомов влияют внешние поля. Если излучающее вещество находится в электрическом или магнитном поле, то ряд спектральных линий расщепляется на несколько компонент. Энер- Энергия системы, обладающей магнитным моментом М и находящейся во внешнем магнитном поле Я, дается выражением U=—MH (см. стр. 246). Состояния с одними и теми же квантовыми числами п и / мо- могут отличаться друг от друга проекцией магнитного момента на направление магнитного поля. Поэтому наложение магнитного поля снимает вырождение энергетических уровней, атомные элек- электроны с разными магнитными квантовыми числами будут обладать уже различной энергией. Исследования атомных спектров испускания в оптической об- области имеют большое практическое значение: на них основан метод спектрального анализа веществ (преимущественно сплавов) — очень чувствительный способ (вплоть до 10Ог) определения химичес- химического состава, вытесняющий в ряде случаев химический анализ. Оптические частоты возникают обычно при относительно не- небольшом возбуждении атома, переводящем на более высокий уровень внешние, валентные электроны. Однако даже самый «верхний» электрон может создать спектр большего диапазона. Казалось бы, что излучение не имеет границы со стороны малых частот. Действи- Действительно, из картины энергетических уровней (на рис. 214 изображены уровни и переходы для водорода, однако в принципе таковы же картины и для других атомов) мы видим, что при больших п уровни сближаются и, следовательно, существуют переходы, приводящие к сколь угодно малым частотам, а значит, к длинным волнам. Однако опыт показывает, что спектры, создаваемые внешними электронами, 469
хотя и существенно заходят в область инфракрасного спектра, но все же не дают линий с очень большой длиной волны. Это значит, что вероятность перехода атома на какой-нибудь, скажем 21-й, уровень энергии невелика, а вероятность перехода с 21-го на 20-й (в этом случае был бы излучен фотон с малым v) совсем ничтожна. Что же касается наибольших частот (наиболее коротких волн), то они ограничены ионизационным потенциалом. Если речь идет о «верхнем» электроне, то наибольшим является потенциал гелия, а наименьшим — цезия, а именно, 24 В и 4В. Это будет соответство- соответствовать частотам излучения 6-1015 Гц (А,=500 А) и 10 15 Гц(Х=3000 А). Таким образом, только один верхний электрон может нас продви- продвинуть в область очень коротких ультрафиолетовых волн, которую в то же время можно назвать областью очень длинных волн по срав- сравнению с рентгеновским характеристическим излучением. Вполне понятно, что при больших возбуждениях подниматься на верхние уровни уже будут способны электроны, лежащие в глу- глубине атома. В состав характеристического спектра начнут входить рентгеновские лучи. § 195. Атомные рентгеновские спектры В многоэлектронных атомах ионизационные потенциалы ниж- нижних уровней достигают больших величин. Возбуждение таких ато- атомов может поэтому привестив к излучению рентгеновских лучей (длины волн порядка 0,1—10 А). Чтобы вызвать рентгеновское из- излучение, надо сообщить атому энергию порядка 104 эВ. Такого эффекта можно достичь в газоразрядных трубках, на которые нало- наложено напряжение в десятки и сотни тысяч вольт. Можно оценить значение температуры, при которой атом начнет излучать рентгеновские частоты благодаря тепловым соударениям с другими атомами. Чтобы средняя кинетическая энергия, приходя- приходящаяся на одну степень свободы, имела порядок 104 эВ, нужны тем- температуры порядка 108 К. Столь высокие температуры осуществля- осуществляются при атомных взрывах (см. стр. 538), на Солнце и в звездах. Рентгеновское излучение Солнца может быть зафиксировано при- приборами, установленными на спутниках. Практическим способом получения рентгеновских лучей явля- является бомбардировка твердых тел (антикатода рентгеновской трубки) потоком электронов. Электрон, попадающий на антикатод, резко тормозится, и это дает сплошной спектр рентгеновских лучей. Энергия электронов, выросшая за счет ускорения в электрическом поле до величины <?ь в результате торможения уменьшается до зна- значения <?2. Разность энергий Si—Sz—hv и выделяется в виде излу- излучения. Величина $% может принимать любые значения, от Si До нуля, так что частоты возникающих лучей лежат в границах от v = =?jh до нуля. Не перешедшая в излучение энергия электронов переходит в тепло (в энергию рентгеновских лучей переходит всего лишь примерно сотая доля энергии электронного пучка). Из сказан- 470
ногоясно, что сплошной спектр рентгеновских лучей имеет коротко- коротковолновую границу Ямин = —— = -=7». Подставляя значения констант, VMaKC е* получим ^мип — у > здесь к выражено в ангстремах, а V — в киловольтах. Начинаясь при строго определенной длине волны, сплошной спектр рентгенов- рентгеновских лучей возрастает по интенсивности с увеличением длины вол- волны, достигает максимума через несколько десятых ангстрема от коротковолновой границы, а затем медленно спадает. Рис. 221. Исследования показывают, что на сплошной спектр наклады- накладываются резкие линии, характерные для каждого сорта атомов. Рентгеновский характеристический спектр возникает благодаря тому, что часть электронов, падающих на антикатод, проникает внутрь атомов и выбивает из них внутренние электроны, т. е. элект- электроны, находящиеся в /(-, L- и т. д. слоях. Рентгеновский квант возникает при переходе одного из верхних электронов на освобо- освободившееся нижнее место. Совокупность спектральных линий, воз- возникших благодаря переходам электронов на /(-уровни, называют /(-серией, на L-уровни — L-серией, и т. д. Если повышать напря- напряжение на рентгеновской трубке, то серии будут возникать после- последовательно, поскольку по мере роста энергии электронов, падаю- падающих на антикатод, будут последовательно освобождаться для пере- переходов все более и более низкие энергетические уровни. Последней возникнет /(-серия. Общая схема рентгеновских электронных переходов показана на рис. 221. Жирными точками отмечены исходные уровни. На схеме помечены наиболее интенсивные линии. Однако некоторые переходы 471
отсутствуют ввиду правил запрета. Это относится, например, к переходам с одинаковым значением побочного квантового числа. Так как строение нижних заполненных уровней одинаково у всех атомов, то картины рентгеновских спектров различных атомов очень похожи друг на друга. В каждом спектре имеются типичные (сдви- (сдвинутые для элементов разного атомного номера по шкале длин волн) н /•4 30 зв ьо 66 № 74 80 ЯЬ Щ Г \ ж. II 1 I 1 1 |Ь га и щ г Ш \ 1 II ,1 1 II **¦ II 1 I ж II I I I I I (- II л > I I! ? | I ¦/ I X 10 \\ I ft II 2.0 I ! I I Рис. 222. последовательности линий, например, все элементы создают силь- сильный а-дублет /Со^ и Кы2 и более слабый Р-дублет. Довольно часто эти дублеты бывают не разрешены и тогда говорят о а-линии и |3- линии /С-серии данного элемента. Эти дублеты имеют «спиновую» природу. Рис. 222 показывает этот систематический сдвиг характеристи- характеристического спектра в коротковолновую область с увеличением атомного номера элемента, дающего этот спектр. Это — закон, открытый Моз- ли. Физическое основание закона — последовательное увеличение силы взаимодействия электрона с ядром при возрастании заряда ядра. Формулу закона мы не будем приводить. Строгая закономер- закономерность в смещении линий прекрасно видна из рисунка. ГЛАВА 29 МОЛЕКУЛА § 196. Химическая связь Молекула — это устойчивая постройка атомов. Каждый атом молекулы занимает в ней устойчивое положение. Смещение атома в любую сторону влечет за собой увеличение потенциальной энер- энергии молекулы. Сближение атома с его соседями вызывает силы от- 472
и тал кивания, отдаление — силы притяжения. Каждый атом моле- молекулы и молекула в целом находятся в потенциальной яме. Характер потенциальной кривой любого атома молекулы до- довольно очевиден (рис. 223). Поскольку невозможно сблизить атомы на нулевое расстояние, то кривая потенциальной энергии в функции расстояния атома от его соседей идет круто вверх при малых расстояниях. В сторону уве- U личения расстояния кривая идет от положе- положения равновесия (дна ямы) много медленнее. Далее возможны варианты: потенциальная энергия на больших расстояниях может быть меньше и больше дна потенциальной ямы, - яма может иметь и не иметь четко выражен- U ный борт. Энергия молекулы может быть боль- больше и меньше суммы энергий отдельных ато- атомов (частей молекулы). В зависимости от это- этого при объединении атомов в молекулу будет выделяться или поглощаться тепло (см. под- подробнее § 215). Атом, находящийся в потенциальной яме, связан со своими соседями. В чем причина этой связи? Существуют ли разные типы свя- связей? Можно предложить две идеальные схемы химической связи: ионную и гомеополярную. В подавляющем числе интересующих химию Рис- 223- случаев осуществляется либо один из этих типов связи, либо промежуточный случай, в котором обе идеальные схемы сосуществуют. Если один атом способен передать другому один или несколько электронов, то между образовавшимися ионами возникнет электри- электрическое притяжение. Это и есть ионная связь. Силы электростати- электростатического притяжения уравновесятся отталкиванием электронных оболочек атомов на некотором характерном для этой пары ионов межатомном расстоянии. Для того чтобы один атом передал другому свои электроны, нуж- нужно, чтобы этот процесс был сам по себе энергетически выгоден. Тогда простое стремление перехода на наиболее низкий энергетический уровень и будет причиной передачи электрона. Отрыв электрона от нейтрального атома всегда требует затраты энергии, равной, как мы знаем (см. стр. 455), произведению заряда электрона на ионизационный потенциал. Следовательно, образо- образование положительного иона всегда связано с затратой работы. На- Напротив, образование отрицательного иона, т. е. присоединение элек- электрона к нейтральному атому, может быть связано с выделением энергии. Правда, это касается лишь первого электрона. Присо- Присоединение второго электрона к однократно отрицательному атомному иону из-за электрического отталкивания потребует затраты работы. 473
Чтобы ионная связь осуществилась, необходимо, чтобы энергия отрыва электрона, т. е. работа создания положительного иона, была меньше суммы энергии, выделяющейся при образовании отрица- отрицательных ионов, и возникшей энергии электрического притяжения ионов. Наименьшим ионизационным потенциалом обладают щелочные металлы, у которых последний электрон начинает строить новую оболочку. У щелочноземельных металлов два электрона связаны с остовом атома слабее других. Вполне очевидно, что образование положительного иона из нейтрального атома требует меньше всего работы в том случае, когда речь идет об отрыве электронов, нахо- находящихся в начавшей застраиваться электронной оболочке. С другой стороны, оказывается, что наибольшая энергия выде- выделяется при присоединении электрона к атомам галоидов, которым не хватает одного электрона до заполненной оболочки. Поэтому в очень значительном числе случаев ионная связь образуется при такой передаче электронов, которая ведет к созданию у образовав- образовавшихся ионов заполненных электронных слоев, характерных для атомов благородных газов. Таким образом, физический смысл по- потенциальных ям в таких молекулах как NaCl или MgCl2 объясня- объясняется превосходно. Однако ясно, что это объяснение не может быть универсальным. Это очевидно хотя бы уже из факта существования двухатомных молекул водорода, кислорода и пр. Невозможно ведь допустить, что при связи один из атомов превращается в отрицательный ион, а другой — в положительный. Впрочем, здесь не нужны теоретиче- теоретические аргументы. Физические свойства молекул, построенных из ионов, сразу же показывают, когда можно, а когда нельзя говорить об ионной связи. В частности, ионные соединения диссоциируют и образуют электролиты. Огромный класс органических молекул не показывает такого поведения. Уже этого достаточно, чтобы стала очевидной невозможность ионной модели для этих веществ. Каким же образом можно объяснить связь между атомами? Мы должны поискать, не возникает ли какой-либо выигрыш в энергии при объединении в молекулу, скажем, двух атомов водорода. Такой выигрыш есть, и условия его возникновения указываются квантовой механикой. Как говорилось на стр. 453, поведение элект- электрона водородного атома в главных чертах совпадает с поведением электрона в потенциальном ящике. Нулевой уровень энергии элект- электрона в потенциальном ящике определяется размерами ящика (см. стр. 448), а именно, чем меньше размер ящика, тем больше нулевая энергия. Таким образом, всякое расширение пространства, в кото- котором электрон мог бы двигаться, приводит к уменьшению энергии. Представим себе теперь, что два атома водорода пришли в сопри- соприкосновение. У каждого из них по одному электрону. Поскольку принцип Паули разрешает двум электронам находиться в одном состоянии, то нет помехи к слиянию областей существования элект- электронов и, таким образом, к увеличению размеров потенциального 474
ящика. Такая картина возможна лишь для двух электронов с про- противоположными спинами. Представим себе, что к образовавшейся молекуле водорода приближается третий атом. Аргументы, использованные выше, уже неприменимы. Третий электрон не может объединить свою об- область с областью движения электронов в молекуле водорода, этого не разрешает принцип Паули,— в молекуле водорода оба свобод- свободных места заняты двумя электронами с противоположными спинами. Итак, второй, как его называют, гомеополярный, тип связи обес- обеспечивается парой электронов с противоположными спинами. Если в ионной связи речь шла о передаче электронов одного атома дру- другому, то здесь связь осуществляется обобщением электронов, как бы созданием ими общего пространства для движения. Расширение пространства, в котором электрон может двигаться, ведет к уменьше- уменьшению энергии и объясняет, таким образом, образование потенциаль- потенциальной ямы. Образование молекул путем объединения электронных облаков электронов с противоположными спинами является основным типом связи, осуществляющимся в органических молекулах. Каждый атом способен образовать ограниченное число гомеопо- лярных связей, при этом в создании каждой связи участвует пара электронов с противоположными спинами, имеющая общее «жиз- «жизненное пространство» в виде перекрывающихся облаков их волно- волновых функций. Как мы знаем, s-электроны имеют сферически-симметричные г|ь функции, но р-, d~, /-электроны имеют ф-функции, вытянутые в определенных направлениях. Отсюда следует, что гомеополярная связь, образованная всеми электронами, кроме 5, будет направлен- направленной связью. Если между двумя атомами возникла связь, то элект- электронные облака этих атомов установятся вполне определенным обра- образом по отношению к первой линии связи. Значит, линии связи, идущие от тех же атомов, могут образовывать лишь какие-то опре- определенные углы между собой. Квантовая механика может вывести значения этих нормальных углов связей для всех атомов. Обе схемы связи до известной степени идеальны. Сплошь и рядом мы сталкиваемся со случаями, в которых физические и химические свойства молекулы приводят нас к необходимости принять промежу- промежуточный механизм связи. Если при ионной связи электрон целиком отдается одним атомом другому, а в гомеополярной связи каждый электрон принадлежит поровну обоим связанным атомам, то в про- промежуточных случаях электроны, осуществляющие связь, могут больше времени проводить около одного атома, чем у другого. Такая модель допускает, например, существование примерно ион- ионной связи, при которой электроны связи основное время принад- принадлежат отрицательному иону, или примерно гомеополярной связи, при которой электроны связи проводят почти одинаковое время у обоих связанных атомов. Возможны любые промежуточные связи, любого процента «ионности». 475
§ 197. Геометрия молекул Накоплен обширный материал по значениям расстояний между центрами атомов в молекулах и кристаллах. Основная часть этого материала получена дифракционными методами. Если не претендо- претендовать на очень большую точность, то оказывается возможным изоб- изображение молекул моделями, дающими представление о форме и размерах молекулы. Особенно простыми являются модели молекул типа NaCl, в ко- которых атомы соединены ионной связью. Каждый ион можно пред- представить сферой определенного радиуса. Представление о размерах ионов дает следующая табличка: Ион Ионный радиус, А Li + 0,60 Na + 0,95 К + 1,33 Cs+ 1,69 F- 1,36 ci- 1,81 Вг- 1,95 i- 2,16 При помощи такой таблички можно найти расстояние между центра- центрами ионов в любой соли; например, расстояние в NaCl равно 0,95+ + 1,81-2,76 А. Однако, какой смысл вкладывается в утверждение: ион можно представить шаром? Чтобы увидеть законность такого представле- представления, нужно выяснить, как близко к молекуле, скажем NaCl, может подойти еще один ион натрия (или хлора). Это можно узнать, так как, согласно опыту, и твердые, и расплавленные соли построены из ионов. Оказывается, что и второй, и третий ионы подходят к дан- данному иону на те же расстояния, что и первый. Более того, одно- одноименно заряженные ионы также могут приблизиться друг к другу на расстояние, равное сумме ионных радиусов. Действительно, ионы ведут себя как шары. Из этих геометрических фактов следует важный вывод, касающийся ионных молекул. Положим, что к од- одной молекуле подошла вплотную еще группа молекул. Создалось располо- расположение ионов, показанное на рис. 224. При полном равенстве межатомных расстояний уже невозможно сказать, с каким из соседних атомов хлора образует молекулу данный ион нат- Рис 224. Рия> и на°борот, какой ион натрия должен считать своей парой данный ион хлора. Понятие молекулы потеряло свой смысл. Таким образом, геометрия расположения центров атомов приво- приводит к заключению: в конденсированном состоянии (т. е. в жидком 476
и твердом), где атомы соединены ионной связью, молекул как выде- выделенных образований не существует. Понятие молекулы оказыва- оказывается неприменимым. А как обстоит дело в газовой фазе? При испарении от жидкости легче всего отрывается пара разноименно заряженных ионов, не несущая в целом электрического заряда. Поэтому мы, прежде всего, находим в парах молекулы типа NaCl. Однако наряду с молеку- молекулами из жидкости испаряются и ионы разных типов. Совсем не так обстоит дело в молекулах с гомеополярной (кова- лентной) связью. Анализируя встречающиеся в молекулах межатом- межатомные расстояния, мы приходим к выводу о возможности вычисления расстояний между центрами атомов при помощи так называемых атомных радиусов. Их значения (в ангстремах) для наиболее часто встречающихся атомов таковы: С— С- С= Н— О— О= О = 0,771 0,665 0,602 0,30 0,66 0,55 0,50 Атомные радиусы уменьшаются с возрастанием кратности валентной связи. Из этой таблицы мы узнаем, что расстояние между двумя связанными атомами углерода С—С составляет 1,54 А, расстояние С—Н равно 1,07 А и т. д. При создании модели молекулы мы обладаем также некоторыми простейшими сведениями о валентных углах. Можно говорить о нор- нормальных валентных углах, происхождение которых понятно из соображений симметрии и находится в согласии с некоторыми каче- качественными соображениями квантовой механики, о чем мы говорили в предыдущем параграфе. Так, нормальными углами атома угле- углерода, связанного с четырьмя атомами, являются тетраэдрические углы 109°28'; для ароматического атома углерода, а также для других атомов углерода, связанных с тремя атомами, нормальным валентным углом является угол 120°. Наконец, для атома углерода, связанного с двумя атомами, характерен валентный угол 180°. Нормальные валентные углы атомов кислорода, серы и азота, связанных с двумя, а для азота с тремя атомами, равны 90°. Атом азота нитрогруппы (NO2) имеет нормальные валентные углы, равные 120°. Валентные углы в ряде случаев значительно отклоняются от «нормы». В ряде циклических соединений типа циклобутана вместо 109°28' осуществляются углы, равные 90°. Весьма значительные отклонения от нормальных получают валентные углы из-за объем- объемных препятствий. Однако, прежде чем разъяснить это последнее обстоятельство, необходимо остановиться на третьей геометриче- геометрической характеристике молекулы — межмолекулярном радиусе. Исследования расположений молекул в кристаллах показали, что каждому атому можно приписать свой межмолекулярный ра- радиус, такой, что в среднем и с достаточной точностью соседние моле- молекулы будут соприкасаться. Так, например, межмолекулярный ра- радиус водорода равен 1,17 А, кислорода 1,36 А, азота 1,57 А и т. д. 477
Это, однако, не значит, что расстояния между валентно не связанны- связанными атомами одной и той же молекулы будут определяться этими циф- цифрами. Дело заключается в том, что размеры и форма молекулы опре- определяются взаимодействием сил, устанавливающих равновесные расстояния между валентно не связанными атомами и нормальные валентные углы. При этом силы связи между атомами на порядок величины выше, поэтому межатомные расстояния не меняются и конфигурация молекулы определяется конкуренцией упругости валентного угла с сжимаемостью межмолекулярной сферы атома. Рис. 225. Приведем простой, но наглядный пример. Валентный угол в мо- молекуле воды равен, как показывает оопыт, 105°. Расстояние между атомами водорода составляет 1,54 А. Следовательно, имеет место существенная спрессовка межмолекулярных сфер атомов водорода, равная 2-1,17—1,54=0,8 А. Эта спрессовка уравновешивается упругостью валентного угла, нормальное значение которого равно 90°. /Таким образом, силы, спрессовывающие атомы водорода на 0,8 А, равны силам, изменяющим угол от 90° до 105°. Подтвержде- Подтверждение этим простым соображениям находим, сравнивая структуру мо- молекулы воды со структурой молекулы сероводорода. Так как длина связи водород — сера значительно больше длины связи водород — кислород, то атомам водорода в молекуле сероводорода значительно менее «тесно»в. Расстояние между атомами водорода оказывается равным 1,99 А, а валентный угол 92°. Спрессовка атомов водорода на 0,35 А уравновешивается изменением валентного угла всего лишь на 2°. Аналогичные картины могут быть продемонстрированы на огромном числе примеров органических молекул. Рис. 225 показывает построение модели молекулы хлорбензола. Слева — атом углерода, в середине — начало построения, группа Н >\ С, справа—модель молекулы. Лс 478
§ 198. Электронная оболочка молекулы Движение электронов в молекуле, так же как и в атоме, харак- характеризуется волновой функцией. Поскольку в молекуле много элект- электронов, то, строго говоря, ^-функция должна быть функцией Зп координат п электронов. Тогда i|J будет давать вероятность любого распределения электронов, т. е. «электронную плотность». Мы уже говорили о сложности решения уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов. Разумеется, трудности лишь возрас- возрастают при переходе к молекуле. Здесь возможны лишь приближен- приближенные полуэмпирические методы расчета. В связи с этим особое зна- значение приобретают физические методы определения электронной плотности. Однако и здесь нельзя претендовать на многое. Методом рентгеновского структурного анализа определяется средняя во времени электронная плотность молекулы (величина электронной плотности дает вероятность пребывания электронов в данном месте). Из-за колебаний атомов внутри молекулы и молекулы как целого картина электронной оболочки получается размазанной. На рис. 167 (стр. 354) изображено сечение картины электронной плотности в молекуле антрацена. Грубость метода видна уже по тому обстоятельству, что атомы водорода молекулы оказались вы- выявленными не во всех случаях. Картина построена тем же способом, как это принято делать при построении географических карт. Линии равной электронной плотности обрисовывают электронные вершины и долины. Каждый атом определяется «горой» электронной плот- плотности. Вдоль линии связи колоколообразные функции плотности двух атомов накладываются и дают «мостик», соединяющий атомы. К сожалению, точность метода слишком мала, чтобы обнаружить особенности химической связи измерением высоты этого мостика. Его высота не отличима от суммы функций плотности двух свобод- свободных атомов. В то же время специфика химической связи, вероятно, должна сказываться в дополнительном (против свободных атомов) возрастании электронной плотности. Картины электронной обо- оболочки такого типа являются лишь красивой иллюстрацией строения молекулы. Если бы нам была известна электронная плотность по отношению к атомным ядрам молекулы, то мы имели бы возможность произвести вычисление дипольного момента молекулы. Действительно, для этого нужно найти центры «тяжести» положительного и отрицатель- отрицательного зарядов. Пока еще таким способом дипольный момент не опре- определялся, хотя сравнение данных нейтронографии (нейтроны рассеи- рассеиваются на ядрах) и рентгенографии могло бы решить подобную задачу. Однако дипольный момент молекулы уверенно измеряется на опыте (см. § 259), и можно, наоборот, найти с его помощью центр «тяжести» отрицательного заряда. Казалось бы, что в чисто ионных молекулах мы встретимся с крайним случаем, когда центр тяжести электронного облака совпа- совпадает с центром аниона. Мы могли бы, например, предсказать 479
дипольный момент КС1 следующим образом. Если от калия взят один электрон и передан хлору, то в результате один «лишний» положи- положительный заряд будет находиться от одного «лишнего» отрицатель- отрицательного на расстоянии центров калия и хлора, т. е. 1,81 + 1,33=3,14 А. Отсюда дипольный момент равен 3,14-4,8-10~18=15 ед. СГС. Опыт дает 6,8 ед. СГС. Это значит, что даже в таком классическом случае ионной связи электрон от калия не перешел целиком к аниону. Зато обратные крайние случаи осуществляются вполне строго. Оче- Очевидно, что симметричные молекулы, например Н2, О2, бензол и т. д., не могут обладать дипольным моментом: центры тяжести электронного облака и ядер совпадают. Еще одно свойство электронного облака необходимо упомянуть— его смещаемость по отношению к ядерному остову. Сместить элект- электронное облако по отношению к ядрам можно электрическим полем. При этом, поскольку ядра много тяжелее электронов, можно счи- считать, что ядра остаются на месте. Смещение электронного облака молекулы можно характеризовать сдвигом его центра тяжести. Если число электронов молекулы N, то при смещении центра тя- тяжести отрицательных зарядов по отношению к центру тяжести поло- положительных зарядов на расстояние х молекула приобретает индуци- индуцированный дипольный момент p = Nex. Индуцированный дипольный момент линейно растет с полем, р~$Е. Принято характеризовать сдвиг центра тяжести электронного облака величиной поляризуе- поляризуемости молекулы р. Величина р имеет размерность объема. Ее значения тем больше, чем больше объем молекулы (подробнее см. гл. 35). § 199. Энергетические уровни молекул Изменение энергии атома происходит единственным способом — изменением характера движения электрона, переходом электрона в другое квантовое состояние. Этот способ изменения энергии сохра- сохраняется и у молекулы. Однако, кроме того, имеются еще возмож- возможности изменения энергии молекулы. Атомы молекулы могут коле- колебаться друг по отношению к другу, слагаемым в энергию моле- молекулы входит энергия колебаний. Эта энергия также может принять только ряд дискретных значений. Далее, молекула вращается как целое; энергия вращения молекулы также квантуется, и изменения состояния молекулы могут заключаться в изменении энергии вра- вращения. Таким образом, энергетическое состояние молекулы должно характеризоваться указанием состояния ее электронной оболочки (электронный уровень), состояния колебательного движения (коле- (колебательный уровень) и состояния вращения (вращательный уровень). Приходится оперировать тремя типами данных,— так сказать, номером дома, этажа и квартиры. Но что играет роль этажа и квартиры? Какие энергетические уровни разделены большими промежутками, а какие малыми? Опыт и теория отвечают на этот вопрос схемой уровней, изображен- 480
ной на рис. 226. Показаны два электронных уровня е' и е" с соподчи- соподчиненными колебательными уровнями, занумерованными числами и. Каждому колебательному уровню в свою очередь соподчинены вращательные уровни, занумерованные квантовыми числами /. Разумеется, промежутки ;$ между вращательными у ров- ,^ нями меньше, чем между ко- . yly . лебательными. Наиболее вели- Js° v*& ка разность энергий между j=3 —— электронными уровнями. ,_g Положим, у молекулы воз- ./=/-¦ — д можны электронные уровни, ^" лежащие при 100, 200, 300, ... J~~3 единицах энергии, колеба- j*& — тельные уровни — при 10, 20, jsQ J = 1 v={ 30, ... единицах, вращатель- вращательные— при I, 2, 3, ... еди- J=3 ницах; тогда молекула, на- Js_* — ~-~ ходящаяся на втором элект- J~ ¦ i z' ронном уровне, первом коле- колебательном и третьем враща- вращательном, будет иметь энергию 213 единиц. j=3 - Итак, энергия молекулы j=& - может быть задана в виде*) -0 J=1 ". Частота излученного или по- Js*> глощенного света будет всегда j~q j=1 соответствовать разности двух уровней, т. е. J=3 j = 0 v*f '• j=3 Хотелось бы выделить та- J=Si кие переходы, при которых Js e" меняется только один «сорт» ^~° и=0 энергии. Практически это воз- Рис- 226- можно только для вращательных переходов, и мы легко поймем, почему. Начнем исследовать поглощение электромагнитных волн груп- группой молекул. Начнем исследование с самых длинных волн, т. е. с малых порций энергии hv. До тех пор, пока величина кванта энер- энергии не станет равной расстоянию между двумя ближайшими уровнями, молекула поглощать не будет. Постепенно увеличивая *> Еще об одном слагаемом энергии молекулы и связанном с ним поглощении энергии см. §211. 16 д. И. Китайгородский 481
частоту, мы дойдем до квантов, способных поднять молекулу с одной «вращательной» ступеньки на другую. Это произойдет, как показы- показывает опыт, в области микроволн (край радиодиапазона) или, иначе говоря, в области далекого инфракрасного спектра. Длины волн порядка 0,1—1 мм будут поглощаться молекулами. Возникнет чисто вращательный спектр. Продолжая увеличивать частоту, мы дадим возможность лучше проявиться вращательному спектру, но новые явления произойдут лишь тогда, когда мы направим на вещество излучение, обладающее квантами энергии, достаточными для перевода молекулы с одного колебательного уровня на другой. Однако ясно, что мы никогда не получим чисто колебательного спектра, т. е. такую серию пере- переходов, при которой номер вращательного уровня сохранялся бы. Напротив, переходы с одного колебательного уровня на другой будут затрагивать различные вращательные уровни. Скажем, пере ход с нулевого (самого низкого) колебательного уровня на первый осуществится молекулами четвертого вращательного уровня на тре- третий, третьего — на второй и т. д. Таким образом, возникнет колеба- колебательно-вращательный спектр. Мы будем наблюдать его в инфракрас- инфракрасном свете C—50 мкм). Несомненно, что все переходы с одного коле- колебательного уровня на другой будут близки друг к другу и дадут в спектре группу очень близких линий. При малом разрешении эти линии сольются в одну полосу. Каждая полоса соответствует определенному колебательному переходу. Продолжая далее увеличивать частоту, мы в конце концов по- попадем в новую спектральную область, характерную для молекулы. Это произойдет в видимой и ультрафиолетовой части спектра, когда энергия кванта станет достаточной для перехода молекулы с одного электронного уровня на другой. И здесь, разумеется, невозможны ни чисто электронные переходы, ни электронно-колебательные. Воз- Возникнут электронно-вращательные переходы, в которых энергетиче- энергетический переход сопровождается переменой и «дома», и «этажа», и «квартиры». Поскольку колебательно-вращательный переход пред- представляет собой полосу, то спектр в видимой области будет «полоса- «полосатым»: он состоит из системы полос. Теперь обсудим детальнее различные виды молекулярных спек- спектров. § 200. Вращательный спектр молекул Свободное вращение молекул происходит лишь в газообразном состоянии. Поэтому основные сведения о вращательных энергети- энергетических уровнях получены изучением спектров газов. Исследование этих спектров оптическими методами крайне затруднено. Методика радиоспектроскопии, развитая в последние годы, является гораздо более подходящей для этой цели. Генератор электромагнитных волн посылает излучение через волновод*), часть которого заполнена *) Волновод — металлическая трубка прямоугольного или круглого сечения', по которой сантиметровые радиоволны могут распространяться почти без потерь. 482
исследуемым газом. После прохождения через газ электромагнит- электромагнитные волны поступают в приемник, где измеряется их интенсивность. Подобное измерение может быть проделано для большого диапазона частот. При этом возможность генерирования радиометодами узкой полосы частот столь велика, что разрешающая способность радио- радиометодов оказывается в сотни тысяч раз выше (!), чем у оптических методов. Если оптические методы позволяют разделять линии, от- отстоящие на 0,1 см, то радиометоды позволяют разделять линии, отличающиеся на 10 см *). Столь большая разрешающая спо- способность позволяет решать интересные задачи, о которых будет сказано ниже. Вращательный спектр возникает благодаря квантованию кинети- кинетической энергии вращения молекулы К - — где / — момент инерции молекулы. Такой вид имеет выражение для энергии двухатомной молекулы — она характеризуется одним- единственным моментом инерции, взятым по отношению к оси, пер- перпендикулярной к линии, соединяющей атомы и проходящей через центр инерции. В общем случае, как мы указывали в свое время (стр. 83), вращение характеризуется тремя моментами инерции, около трех главных осей. Остановимся коротко на вращательных спектрах двухатомных молекул. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что не все молекулы, в том числе и не все двухатомные молекулы, будут давать враща- вращательный спектр поглощения или излучения. Как мы разъясняли (см. стр. 288), каждый излучатель (или поглощатель) электромагнит- электромагнитной волны является своеобразным осциллятором — элементарным диполем. Если движение атомов молекулы или движение молекулы как целого не сопровождается изменением дипольного момента, то такие движения не могут привести ни к излучению, ни к поглоще- поглощению электромагнитных волн. Дипольный момент р молекулы меняется при излучении или по- поглощении периодически с соответствующей частотой, колеблясь около своего среднего значения, которое соответствует равновес- равновесному положению атомов. Можно показать, что интенсивность спект- ральных линии пропорциональна производной ( -р ) , т. е. макси- максимальной быстроте изменения дипольного момента с межатомным расстоянием. Все симметричные молекулы, атомы которых соеди- соединены гомеополярной связью, обладают постоянным нулевым зна- значением р. Поэтому они не дают вращательных спектров. К таким *) В спектроскопии принято наряду с длиной волны пользоваться данными об обратной длине волны (волновое число), т. е. числе длин волн, укладывающихся на длине 1 см. 16* 483
молекулам относятся, например, все двухатомные молекулы из одинаковых атомов (Н2, О2, N2 и т. д.). Рассмотрим вращательный спектр двухатомной полярной (т. е. обладающей дипольным моментом) молекулы. Энергия вращения мо- молекулы равна здесь со — угловая скорость вращения, / — момент инерции моле- молекулы, (гг и г2 — расстояния до центра инерции, r=r1Jrr2). Значение о> определится из того, что вращательный импульс, равный /со, со- согласно правилу квантовой механики (стр. 457) может прини- принимать лишь ряд дискретных значений где /=0, 1, 2,...—квантовое число, нумерующее вращатель- вращательные уровни. Следовательно, угловые скорости вращения молекулы в могут иметь лишь такой ряд значений: отсюда ^^ Начиная от нулевой энергии вращения, Рис 227 """* энергия следующих уровней возрастает по квадратичному закону. Энергетические переходы подчиняются простому правилу за- запрета: возможны лишь переходы между соседними уровнями (рис. 227). Частота излучения или поглощения во вращательном спектре двухатомной молекулы будет равна при переходе между уровнями / и /—1 v==^/ (/ = o, 1, 2, ...). В этом простейшем случае вращательный спектр будет представ- представлять собой систему равноотстоящих линий. При разных температурах газа средняя энергия вращения моле- молекул будет различной. В соответствии с законом Больцмана наиболее вероятная энергия I(u2/2=kT (две вращательные степени свободы, см. стр. 171). Отсюда мы легко рассчитаем номер того уровня энер- энергии, на котором чаще всего находится молекула. Например, для 484
молекулы пара соляной кислоты (/=2,6Ы0~40 г-см2) и температур 300, 600 и 1200 К получим соответственно /= 4, 6 и 8. Так как переходы возможны лишь между соседними уровнями, то ясно, что серия равноотстоящих частот будет группироваться около линии для «среднего» /. Интенсивность линий по мере отда- отдаления от этого значения / будет падать, так как все меньше и меньше молекул будет находиться в соответствующих энергетических со- состояниях. Вращательные спектры позволяют с огромной точностью (много большей, чем в дифракционных методах) определять межатомные расстояния в простых молекулах. Действительно, если число атомов в молекуле невелико, то, зная момент инерции и массы атомов, можно определить расстояния между атомами. Для двухатомной молекулы г=у -, где т = Подсчет для молекулы соляной кислоты: тн = 1,67- Ю-24 г; тС1 =35-1,67- Ю-2* г. Расстояние между атомами Н и С1 в молекуле НС1 будет равно 1,67 ю-^^з.ц-в см. 35-1,67 Ю-48 Это значение хорошо совпадает с данными, полученными другими методами. §201. Инфракрасный колебательно-вращательный спектр Этот вид спектра наблюдается в области длин волн от 2—3 до десятков микрон. Когда говорят кратко: «инфракрасный спектр», имеют в виду колебательно-вращательный спектр поглощения моле- молекул. Если наблюдения ведутся в твердых телах, то вращение моле- молекул отсутствует, возникает чисто колебательный спектр. В жидких телах вращение затруднено и вращательная структура полосы бу- будет смазана. Двухатомная молекула. Оставим пока в стороне вопрос о вра- вращении и рассмотрим уровни энергии колебания. Колебание двухатомной молекулы может быть представлено про- простой моделью двух шариков, связанных пружиной. У такой системы имеется собственная частота колебаний, равная ~~ 2л У т ' где k — коэффициент (жесткость), определяющий силу связи, am — масса атома, если атомы в молекуле одинаковы, и приведенная масса если массы разные (последнее обстоятельство предостав- ляем доказать читателю). Квантовая механика приводит к выводу, 485
что энергия осциллятора должна быть представлена формулой Здесь 1/Jw — нулевая энергия осциллятора (энергия колебаний при абсолютном нуле), a v=0, 1, 2, ...— колебательное квантовое число. В квантовой механике показывается, кроме того, что у ос- осциллятора, колеблющегося по гармоническому закону, возможны энергетические переходы только между соседними уровнями. При наступлении ангармоничности ко- колебания начинают появляться пе- переходы через уровень, через два уровня, но значительно более сла- слабые, чем основной переход. Гар- Гармоническое колебание — это коле- колебание под действием возвращающей силы — kx. Потенциальная энергия такого колебания есть kx2/2, т. е. меняется по параболическому за- закону. На рис. 228 построена потен- потенциальная кривая для двухатомной Рис. 228. молекулы и в нее вписана парабола. Горизонтальные линии — это энергетические уровни, рассчитанные с помощью теоретических фор- формул. Пока энергия мала, реальная кривая незначительно отлича- отличается от параболы. Мы можем ждать хорошего подчинения молекулы закону гармонического осциллятора, пока энергия колебания далека от энергии разрушения (диссоциации) молекулы. В этих условиях можно считать все колебательные уровни равноотстоя- равноотстоящими, и так как разрешены лишь переходы между соседними уров- уровнями, то двухатомная молекула как идеальный осциллятор будет обладать одной-единственной частотой перехода. Если вращение молекулы отсутствует, то весь спектр будет состоять из одной линии. В действительности наряду с основной частотой v в спектре можно будет найти «обертоны» с частотами 2v, 3v и т. д. (дальше будет проявляться сближение уровней, и пропорциональный ход частот обертонов потеряется). Однако обертоны слабы, и в очень многих случаях мы вправе говорить об одной колебательной частоте. Наличие вращения молекул превращает эту спектральную ли- линию в полосу. Если молекула одновременно колеблется и вращается, то ее энергия будет определяться двумя квантовыми числами v и /: Различные переходы приведут теперь к созданию двух групп (как говорят, ветвей, их обозначают буквами R и Р) частот, меньших и больших колебательной частоты гкол. Принимая во вни- внимание правила запрета, о которых мы говорили выше, получим 486
следующую формулу частот: h v = vKOJI±4jp7/ (/=1. 2, ...)• При этом знак плюс соответствует переходам с более низкого на более высокий вращательный уровень, а знак минус — обратному положению. я 1 T--WOX I А \ я ° 1К 0 "Ъч/ 0 Рис. It 9 22Я Эта формула иллюстрируется рис. 229, изображающим спект- спектральную полосу НС1. Точка О соответствует значению vK0J1, чер- черточками справа и слева показаны возникающие частоты. Высота черточек пропорциональна интенсив- интенсивности этих спектральных линий. При большом разрешении каждая линия видна раздельно. При малом разреше- разрешении линии сольются в полосу, ход ин- интенсивности которой передается оги- огибающей кривой. На рис. 230 показана схема энергетических переходов, ко- которая привела к созданию этой полосы. Заметим, что чисто колебательный переход (с /"=0 на /"=0) запрещен, в середине полосы имеется провал. Да- Далее поглощение проходит через макси- максимум слева и справа от колебательной частрты. Максимумы поглощения при- ^ffTfjjjjf 1*f |f f f f & Рис. 230. ходятся на те значения /, которые чаще всего встречаются при данной темпе- температуре (по той же причине, которую мы обсуждали в предыдущем параграфе). Поэтому при возрастании температуры вид спектральной полосы будет меняться так, как показано на схеме. 487
Колебания многоатомной молекулы. Многоатомная молекула может совершать большое число колебательных движений, равное числу колебательных степеней свободы. Это число подсчитывается следующим образом. Молекула из N атомов имеет 3N степеней сво- свободы. Три из них приходятся на координаты центра инерции моле- молекулы. Число вращательных степеней свободы в общем случае также равно трем. Однако у линейных молекул всего лишь две вращатель- вращательные степени свободы, поскольку вращение около линии, проходя- проходящей через центры атомов, лишено физического содержания. Таким образом, число степеней свободы, а вместе с ним и число колеба- колебательных частот, равно 3N — 6 или 3N — 5. Некоторые из этих частот могут не проявиться, если при соответствующем колебании дипольный момент молекулы не меняется (к вопросу о таких, как говорят, неактивных колебаниях мы еще вернемся). Как бы то ни было, число колебательных частот, а значит, и число полос в инфракрасном спектре, строго определено числом атомов и симмет- симметрией молекулы. Если вращение молекул отсутствует (твердое тело), то инфра- инфракрасный спектр поглощения состоит из линий, соответствующих колебательным переходам. Ввиду сильного поглощения (исследо- (исследование поневоле происходит в толстых слоях) в обычных условиях линии сливаются в полосу. В жидкостях вращение молекул за- заторможено и вращательная структура полосы размыта. Отдельные линии, составляющие полосу, уже не видны. Остановимся теперь на вопросе о физическом смысле частот коле- колебания многоатомной молекулы. О каких, собственно говоря, колеба- колебаниях идет здесь речь? В случае двухатомной молекулы вопрос был ясен: речь шла о колебаниях вдоль линии связи. Какие же величины колеблются по гармоническому закону в многоатомных моле- молекулах? При любом колебании молекулы отклонения атомов от положе- положения равновесия можно описать смещениями вдоль связи и искаже- искажением валентных углов. 3N — 6 координат qt (в широком смысле этого слова) исчерпывающим образом опишут мгновенную конфигу- конфигурацию колеблющейся молекулы.-При произвольном выборе коор- координат qi их значения не будут меняться по закону простейшего колебания. Закон изменения во времени каждого qt будет изобра- изображаться сложной и запутанной кривой, хотя и периодической. Ьднако оказывается, что можно прибегнуть к такому описанию колеблющейся молекулы CN — 6) числами Qit при котором эти числа Qt менялись бы по гармоническому закону, колебались бы с частотами v^. Эти «координаты» Qt носят название нормальных, а V; называются частотами нормальных колебаний. Возможность введения нормальных координат означает, что пе- периодические кривые изменения любых других координат qt могут быть разложены в спектр по частотам нормальных колебаний. Как бы мы ни подходили к колебательному спектру, мы всегда 488
придем к заключению, что он составлен частотами нормальных колебаний. Что же это за координаты Qh получаются ли они при каком-то особенном выборе системы отсчета? Нет, нормальные координаты — это, прежде всего, линейные комбинации смещений qt. Поэтому каждая нормальная координата описывает колебание молекулы в целом. Примеры нормальных колебаний молекул СО2 и Н2О приве- приведены на рис. 231 и 232. Реальное колебание представляет собой одновременное выполнение всех этих движений. При помощи спектра можно определить совокупность частот нормальных колебаний молекулы. Эти данные могут быть исполь- использованы для того, чтобы создать от- отчетливую картину колебаний моле- молекулы. Рис. 231. Рис. 232. Для прикладных целей имеет большое значение характеристич- характеристичность многих частот колебаний. Специальное рассмотрение показы- показывает, что в некоторых нормальных колебаниях главным образом меняется какое-либо одно межатомное расстояние или один валент- валентный угол. Естественно, такая частота мало меняется в группе род- родственных соединений, если только молекула содержит эту связь. Это обстоятельство используют в химии. Измерение колебательных частот молекулы производят не только с помощью инфракрасных спектров поглощения, но и методом ком- комбинационного рассеяния (раман-спектры). Как мы увидим ниже, эти два метода полезно дополняют друг друга. § 202. Комбинационное рассеяние света Такое название получил частный случай рассеяния света частоты v веществом, при котором наряду с сильным рассеянием света с не- неизменной частотой v появляется ряд линий меньших и больших частот. 489
Наблюдение ведется обычно под прямым углом к падающему свету. Облучение ведется ртутной лампой, имеющей в своем спектре несколько сильных линий, из которых наиболее существенной яв- является синяя линия с длиной волны 4358 А. Рассеянное излучение поступает в спектрограф и фиксируется фотопластинкой. Схема спектра приведена на рис. 233. Основная особенность спектра заклю- заключается в следующем. Около каждой возбуждающей линии появ- появляются тождественные группы значительно более слабых линий. Сателлиты расположены обычно симметрично справа и слева, хотя и могут различаться интенсивностью. Это явление было обнару- обнаружено независимо Раманом в Индии и Ландсбергом и Мандельшта- Мандельштамом в Москве. Работа Рамана была опубликована немного раньше *), и спектры комбинационного рассея- рассеяния называют также раман-спектрами. Объяснение спектральной картины заключается в следующем. Фотон hv в основном рассеивается молекулой упруго, т. е. без изменения частоты. Однако наряду с таким рассеянием возможно и рассеяние с частичной по- рис 2зз терей энергии, затраченной на переход молекулы с одного уровня на дру- другой. Допустим, что фотон hv потерял энергию, необходимую для подъема молекулы с нулевого колеба- колебательного уровня на первый. Потеря энергии равна 4>v=i—^=0 = =/ivK01. Следовательно, рассеянный фотон будет иметь энергию /i(v—vK0JI). В спектре возникнет сопровождающая линия («сател- («сателлит») со стороны меньших частот. Частоты v—vK01 называют красными сателлитами, с большей частотой — фиолетовыми. Рассеяние с частотой, большей v, про- происходит при падении фотона на возбужденную молекулу. Тогда одновременно с рассеянием происходит переход молекулы на низ- низший уровень. Эту «лишнюю» энергию забирает фотон. Если возбуж- возбужденная молекула находилась на первом колебательном уровне, то фотон увеличит свою энергию на /ivK0JI и в спектре рассеяния воз- возникнет частота v+vK0V Справедливость этого механизма рассеяния превосходно под- подтверждается объяснением соотношения интенсивностей красных и фиолетовых линий. При комнатной температуре большинство моле- молекул находится на нулевом уровне с энергией V2/ivK01. На первом возбужденном уровне с энергией 3/2^колнах°Дится меньше молекул. Уже из этого обстоятельства ясно, что интенсивность фиолетовых линий должна быть меньше и, более того, при низких температурах фиолетовые линии должны практически пропасть. Отношение ин- интенсивностей пропорционально числу атомов, находящихся в *) Раман сообщил телеграммой о своем открытии в английский журнал «Nature». 490
первом и нулевом состояниях. Согласно закону Больцмана _3 2 ~W 2k T е Формула находится в прекрасном согласии с опытом. Итак, смещенные линии спектра комбинационного рассеяния сдвинуты на величины, равные (в единицах энергии) разности энер- энергетических уровней молекулы. Мы вели рассуждение по отношению к двум колебательным уро- уровням, но ясно, что сказанное относится к любым энергетическим переходам: чисто вращательным, колебательно-вращательным и любым другим. Основная линия рассеяния будет иметь ближайшими сателлитами линии, соответствующие наименьшим энергетическим переходам. Вращательный спектр расположится значительно ближе к основной линии, чем колебательно-вращательный. По отношению к спектрам поглощения правила запрета для спектров комбинационного рассеяния те же в отношении колеба- колебательного квантового числа, но иные для вращательного. Разрешены такие переходы, при которых Av=± 1 и А/-0, ±2. Таким образом, колебательно-вращательная полоса будет со- состоять из чисто колебательной линии, сдвинутой от линии возбуж- возбуждения на v, а также из серии линий, сдвинутых на vK01 — 2vBp и vK0JI+2vBp от линии возбуждения. Спектры комбинационного рассеяния снимают обычно с жидко- жидкостей. Линии vK0JI±2vBp оказываются размытыми, и явственно вы- выступает система линий чисто колебательного спектра. Спектры комбинационного рассеяния обладают большим досто- достоинством перед инфракрасным спектром. Мы как бы переносим те же измерения в видимую область. Те частоты, которые непосредст- непосредственно измерялись в инфракрасном спектре, определяются как раз- разности между основной и рамановской линией примерно с той же точностью. Казалось бы, можно отказаться от инфракрасного спектра. Од- Однако это можно сделать не для всех целей. В некотором отношении инфракрасный и рамановский спектр дополняют друг друга. Подумаем, в чем отличие процесса излучения волн молекулой от процесса рассеяния. В обоих случаях молекула посылает в простран- пространство элементарные волны, в обоих случаях молекула ведет себя при излучении, как диполь. Однако в первом случае молекула яв- является диполем в отсутствие внешнего поля, а во втором случае молекула ведет себя, как диполь, под действием поля падающей волны. Итак, излучение или поглощение имеет место тогда, когда изменения состояния молекулы (колебания, вращения и пр.) 491
сопровождаются изменением собственного дипольного момента р. Рассеяние возможно при tqm условии, что изменения состояния молекулы сопровождаются изменениями индуцированного диполь- дипольного момента, т. е. изменением поляризуемости (J. При этом, как показывает теория, важно наличие такого изменения в момент про- прохождения молекулой равновесной конфигурации. Линии инфракрасного спектра имеются для тех частот, которым соответствуют движения, удовлетворяющие условию dr Jr=r</ (r0 — равновесное расстояние). Линии комбинационного рассеяния возникают для таких колебаний, при которых Довольно часто эти условия исключают друг друга. Поэтому одно колебание может быть активно в инфракрасном спектре и неактивно в рамановском, и наоборот. Молекула СО2 может послужить примером. Из трех колебаний этой молекулы линейное симметричное колебание оставляет ди- польный момент молекулы неизменно равным нулю. Это колебание неактивно в инфракрасном спектре. В спектре комбинационного рассеяния, напротив, активным будет только это колебание, а два других будут отсутствовать. Для антисимметричного колебания это видно сразу же из следующего соображения. В обоих крайних положениях деформация электронного облака, а вместе с ней и поляризуемость, будет одинаковой. При колебании поляризуемость будет меняться одинаково в оба полупериода колебания и при рав- равновесном положении будет проходить через минимум или максимум, но это и значит, что f^- Мы не будем останавливаться на дальнейшем обсуждении этих закономерностей. Они хорошо изучены, и существуют таблицы, по- позволяющие по симметрии молекулы делать вывод о числе ее частот колебания в инфракрасном и рамановском спектрах; наоборот, дан- данные о числе линий позволяют судить о симметрии молекулы. § 203. Электронный спектр поглощения Рассмотрим спектры поглощения при переходе в видимую и ультрафиолетовую области. Величина фотона^падающего света будет того же порядка, что и разность между электронными уровнями мо- молекулы. Станут возможными электронные переходы. Однако, как уже говорилось, электронные переходы сопровождаются измене- изменениями в энергии колебания и вращения. Поэтому каждому переходу будет соответствовать весьма широкая полоса, причем в обычных условиях эксперимента эта полоса — сплошная, мы не видим ее «колебательно-вращательной» структуры. В каждой полосе элект- 492
ронного перехода присутствует множество «полосок» колебательно- вращательных переходов, при этом возможны любые изменения квантовых колебательных чисел. Находясь в возбужденном электронном состоянии, молекула имеет иные свойства, чем тогда, когда она находится на нулевом электронном уровне. Меняется система колебательных и враща- вращательных уровней; колебательные частоты, т. е. разности между ко- колебательными уровнями, будут иными. Меняется и форма потен- потенциальной кривой, а вместе с ней и равновесные расстояния между атомами. *•¦ 2S000 Рис. 234. -4666? еж Кривые поглощения в видимой и ультрафиолетовой областях достаточно характерны и могут использоваться для идентификации вещества. Зависимость поглощения света от толщины слоя вещества можно записать в виде (ср. стр. 104) здесь /0 — интенсивность падающего луча, / — интенсивность прошедшего луча, х — толщина слоя, \i — коэффициент погло- поглощения света, имеющий разные значения для разных длин волн. Кривой поглощения иногда называют кривую ///0 в функции длины волны, но большей частью под этим названием подразумевают кри- кривую зависимости \х от к или от v. Закон поглощения света в растворах записывают в виде I = Ioe-kNl или 1 = 10е-*с1\ здесь / — путь луча в веществе, a kN и ее — выражения коэффици- коэффициента поглощения для раствора. Вполне естественно предполагается, 493
что коэффициент поглощения пропорционален концентрации ве- вещества, которую выражают числом молекул N в единице объема или числом молей вещества на литр раствора с. Для раствора тер- термин «кривая поглощения» относится обычно к кривым зависимости коэффициентов k или е от X. Примеры кривых поглощения в видимом и ультрафиолетовом спектре приведены на рис. 234. 1 — кривая для красного красителя (конго), 2 — для анилина, 3 — для фенола, 4 — для бензола. § 204. Магнитный резонанс *) Пусть в постоянное магнитное поле с напряженностью Н поме- помещено вещество, содержащее частицы со спином s и магнитным мо- моментом М. Потенциальная энергия этой частицы в поле есть скаляр- скалярное произведение MH=MZH. Согласно общему закону квантовой механики эта энергия может принять лишь дискретный ряд зна- значений, соответственно 2s+l возможным ориентациям спина и маг- магнитного момента в пространстве. Каким же образом можно обнаружить возникшую систему энер- энергетических уровней? Как всегда, по энергетическим переходам. Правила отбора позволяют лишь переходы между соседними уровнями, отличающимися на единицу в значении s. Пусть, на- например, в одном состоянии а в другом — Afz=gji(s—1). Следовательно, разность энергий равна Энергетические уровни будут равноотстоящими. Вычисленной разности уровней соответствует частота излучен- излученного или поглощенного кванта энергии Для электрона v = 2,8.10etf, для протона v = 3f46-103//. Мы видим, что каждому значению Н соответствует своя характе- характеристическая частота, называемая частотой магнитного резонанса. Для практически возможного интервала напряженностей поля эти частоты лежат в радиодиапазоне: для ядер — в области коротких и ультракоротких волн, для электронов — в сантиметровой области. *) Перед чтением этого и следующего параграфов необходимо прочитать стр. 515—516. 494
Опыт и теоретические соображения показывают, что нет практи- практической возможности фиксировать излучение, соответствующее этим частотам. Зато можно с успехом наблюдать резонансное поглощение электромагнитных волн соответствующей длины. Для этого веще- вещество помещают в катушку, присоединенную к генератору высокой частоты, а катушку помещают в постоянное магнитное поле. Резо- Резонанс можно «ловить», либо изменяя напряженность поля при неизмен- неизменной частоте, либо, напротив, меняя частоты при том же значении Я. Магнитный резонанс обладает исключительной остротой. Ширина пика поглощения — величина порядка 0,1 МГц при частоте 460 МГц. магнгстного поля. Рис. 235. Магнитный резонанс имеет широкое приложение как метод ис- исследования вещества. Большой интерес имеет обнаружение как электронного резонанса, так и ядерного. Наличие электронов с некомпенсированными спинами указывает химику на присутствие в веществе так называемых свободных радикалов, позволяет делать выводы о характере химических связей. С помощью ядерного резо- резонанса можнЪ определить химический состав вещества. Однако большое значение имеет следующее обстоятельство. Магнитный резонанс является настолько чувствительным эффектом, что отзы- отзывается на «добавку» поля, создаваемого электронной оболочкой атома, к внешнему полю. Оказалось, что характер этого добавоч- добавочного поля зависит от свойств химической связи данного атома с остальными. Таким образом, резонансные частоты данного атома слегка варьируют в зависимости от его химической связи. Это явле- явление носит название химического сдвига. На рис. 235 изображена осциллограмма спектра поглощения химического соединения. Это — картина магнитного резонанса ядер фтора. На осциллограмме видны четыре линии, причем одна из них в три раза выше трех других. В молекуле, структурная формула которой дана на рисунке, имеются четыре «разных» атомов фтора. Атомов фтора, входящих в группу CF3, в три раза больше, чем других двух «химически разных» атомов. Химический сдвиг разде- разделил резонанс ядер атомов фтора и создал возможность установления структурной формулы этого соединения. Таким образом, явление ядерного резонанса дает нам новый спо- способ химического анализа, позволяющий определить не химическую 495
брутто-формулу, т. е. для нашего примера общую долю всех атомов фтора по отношению, скажем, к атомам водорода, а детальную химическую формулу, позволяющую находить доли разно-связан- разно-связанных атомов одного сорта. § 205. Квадрупольный резонанс Схема энергетических уровней молекулы, обсуждавшаяся выше, недостаточно детальна. Оказывается, каждый вращательный уро- уровень имеет структуру. Между электронной оболочкой молекулы и атомными ядрами может существовать еще одно до сих пор не учи- учитывавшееся нами взаимодействие: атомное ядро может обладать электрическим квадрупольным моментом и в зависимости от ориен- ориентировки атомного ядра по отношению к электронной оболочке молекула может обладать различной энергией. Значения этой энер- энергии весьма невелики и соответствующие энергетические уровни соподчинены вращательным уровням. Таким образом, для характеристики молекулы, кроме указания ее электронного состояния, колебательного и вращательного уровня, может понадобиться указать и квадрупольный уровень энергии. Квадрупольное взаимодействие не всегда существует. Если оно есть, то вращательные переходы, которые мы обсуждали выше, на самом деле являются вращательно-квадрупольными. Можно наблю- наблюдать чисто квадрупольные переходы, т. е. переходы между отдель- отдельными квадрупольными уровнями, а также можно добиться разре- разрешения вращательно-квадрупольных переходов. Обе задачи реша- решаются методами радиоспектроскопии. Чисто квадрупольные переходы лежат в области 1—800 МГц, т. е. в диапазоне коротких радио- радиоволн. Вращательно-квадрупольные переходы наблюдают, изучая поглощение микроволн, т. е. миллиметровых волк, в газах. Основной интерес представляют чисто квадрупольные переходы. Они наблюдаются в твердых телах и некоторых жидкостях. Приведем формулу энергии взаимодействия атомного ядра с электронной оболочкой молекулы для случая поля с осевой симмет- симметрией (такое поле существует во всех линейных молекулах): 4s Bs— 1) ' здесь Q — квадрупольный момент ядра, q = ^-j— вторая производ- производная электрического потенциала вдоль оси симметрии поля. Эффект отсутствует для ядер со спином 0 и 1/2. Взаимодействие также не имеет места, если электронное облако около ядра обладает сфери- сферической симметрией. Число уровней ограничено. Число возможных переходов при учете правил запрета становится совсем небольшим. Так, например, 496
f 3 5 в случае s= 1 и s= у возникает одна линия, если s=y —- две линии, 7 s^= _.__ Три ЛИНИИ. Картина квадрупольного спектра поглощения наблюдается при помощи генератора, частота которого непрерывно изменяется в ис- исследуемом интервале длин волн. Разрешающая способность радио- радиоспектроскопических методов огромна. При частоте спектральной линии порядка 30 МГц ширина линии равна нескольким сотням герц. Электрический квадрупольный момент Q ядра является кон- константой ядра атома, характеризующей отклонение распределения электрического заряда ядра от сферической симметрии. Величина Q в квадратных сантиметрах определяется на опыте из приведенной выше формулы, если известно q =т^и промерены квадрупольные частоты. Отклонение от сферической симметрии заряда ядра в пер- первом приближении учитывается представлением ядра в виде эллип- эллипсоида вращения. Если ядро вытянуто вдоль спина, то Q>>0, и на- наоборот. Эллипсоидальное ядро стремится ориентироваться вполне опреде- определенным образом в поле электронной оболочки. Основным уровнем энергии является расположение, при котором ось симметрии поля и ось эллипсоида совпадают. В возбужденных состояниях ось ядер- ядерного эллипсоида может ввиду дискретности энергии находиться лишь в нескольких избранных ориентациях по направлению к оси симметрии поля. Энергия этих квантовых состояний и дается при- приведенной выше формулой. Падающая на молекулу электромагнит- электромагнитная волна поглощается, если величина фотона соответствует энергии перехода от одной ориентации ядерного эллипсоида к другой. Квадрупольные спектры начали изучаться совсем недавно. Они представляют большой интерес для науки, если учесть огромную точность в измерении частот и реакцию квадрупольной частоты на любое самое маленькое изменение электрического поля, создавае- создаваемого не только той молекулой, в состав которой входит ядро, но и соседними молекулами. Достаточно сказать, что квадрупольные частоты будут заметно различаться в кристаллических разновидностях одного и того же вещества. Таким образом, ядро реагирует не только на изменение поля, создаваемого близкими к нему электронами, но и на измене- изменение далекого электронного окружения. Пример. Электрический квадрупольный момент ядра Cl36 Q=—0,07X X К)-24 см2. Квадрупольный резонанс наступает для С12 при частоте v=54,47 МГц. Для ядра С135 спин s=3/2. Это значит, что квантовое число т принимает зна- значения: 3/2, 1/2* —3/2> —V2- Так как энергия квадрупольного взаимодействия за- зависит от т2, то при поглощении кванта /iv электромагнитной энергии возможен только один переход: с уровня, соответствующего |т|=3/2, на уровень^ соответст- соответствующий |т(=1/2. 497
Условие резонанса: •<iLD+0 3(!)Ч(!+' <4И-0 ЧК- Измерив резонансную частоту v и зная из других данных величину Q квадру- польного момента ядра С135, находим градиент напряженности электрического поля, создаваемого электронами в центре ядра С135 в молекуле С12: d? _2hv_2-6,6-10-27-54,5-106 дг ^"eQ ~4,8.10-10.0,07 Ю--4 д. СГС. § 206. Газовые лазеры Лазеры, или генераторы стимулированного излучения, пред- представляют собой неравновесные системы с инверсной заселенностью уровней энергии, предназначенные для получения мощных свето- световых потоков. Частицы атомарного или молекулярного газа, находящегося в состоянии теплового равновесия, распределены по энергетическим уровням в соответствии с законом Больцмана, т. е. число частиц, находящихся на более высоком уровне энергии Е2 меньше числа более устойчивых частиц с энергией Ег в e^E»~E^/kT раз. Нормаль- Нормально уровни энергии заселены таким образом, что чем выше уровень, тем он беднее частицами. Но это относится к газу, к которому не подводится энергия. Если речь идет о газовом разряде, положение меняется. Распреде- Распределение частиц по уровням энергии уже может не только не подчи- подчиняться закону Больцмана, но возможен и случай инверсии — верх- верхние уровни окажутся более заселенными, чем нижние. Если мы подводом энергии (накачкой, подкачкой) добиваемся такого поло- положения, то становится возможной конструкция лазера. Понятно, почему инверсная заселенность является необходимым условием создания лазера. Прежде всего нас не интересует спон- спонтанное излучение. Как указывалось выше, спонтанное излучение не направлено и не когерентно. Значит, речь идет о стимулиро- стимулированном излучении. Поскольку вероятности перехода частицы, в которую попадает фотон, вверх и вниз одинаковы, усиление стиму- стимулированного излучения возможно лишь в том случае, если верхний уровень будет более заселен, чем нижний. Ситуация иллюстрируется схемой рис. 236. В невозбужденном состоянии частицы лазерного вещества находятся в основном на ниж- нижнем уровне (рис. 236, а). Когда начинается накачка, происходит инверсия заселенности (рис. 236, б). Какая-либо частица излучает спонтанно фотон, который способен стимулировать излучение дру- других частиц. Эта деятельность фотона продолжается до тех пор, пока 498
фотон не поглотится частицей, находящейся на нижнем уровне (рис. 236, в). Возможно осуществить лазеры, работающие в импульсном ре- режиме: накачкой частицы подымаются на верхний уровень, а затем в очень короткий промежуток времени весь этот запас энергии от- отдается в форме стимулированного излучения. Газовые лазеры работают в непрерывном режиме. Для этого надо располагать системой частиц, обладающих следующими особен- особенностями. Накачка должна переводить частицы из основного состоя- состояния на верхний лазерный уровень. Эмиссия лазера состоит в пере- переходе частиц с верхнего лазерного уровня на нижний. С нижнего •¦—1 >—ф—, k j I ( . J I—< I I I—( ^ I I < Рис. 236. лазерного уровня спонтанным излучением система переходит в основное состояние. Из этого описания ясно, что возбуждение не должно переводить частицы на нижний лазерный уровень. Кроме того, нижний уровень должен быстро освобождаться, т. е. время жизни в этом состоянии должно быть существенно меньше времени жизни на верхнем ла- лазерном уровне. Переход частицы с нижнего лазерного уровня в основное состоя- состояние не участвует в лазерном излучении. Это неизбежная потеря, и сделать ее меньше можно лишь одним способом, подбирая системы, у которых разница между энергиями верхнего и нижнего уровней велика по сравнению с разностью энергий нижнего и основного уровней. Отношение энергии излучаемого фотона к энергии возбужде- возбуждения является абсолютной максимальной эффективностью лазера. Разумеется, она много меньше практической эффективности, так как энергия накачки неизбежно тратится не только на подъем ча- частицы на нужный верхний лазерный уровень. В одном и том же газе могут существовать несколько возможных верхних и нижних лазерных уровней. Установление режима, 499
благоприятного для создания фотонов определенной энергии, т. е. для выделения двух уровней как верхнего и нижнего лазерных уровней, достигается конструированием лазера наподобие резони- резонирующей полости. Если прибор представляет собой газоразрядную трубку с зеркалами у оснований колонны, то при помощи микромет- микрометрической подачи нужные фотоны отбираются варьированием длины Жожеициал i ионизации Обходное Основное состояние состояние молехули Рис. 236а. Основное состояние мол-ехулы колонны. Поскольку волны отражаются по нескольку раз от зер- зеркал, то в благоприятных условиях находится лишь свет, целое число длин волн которого укладывается вдоль длины колонны. Газовые лазеры, в которых подкачка энергии происходит элект- электрическим разрядом, конструировались чуть ли не для всех эле- 500
ментов. Было получено лазерное излучение с длиной волны от 0,2 до 133 мкм. Большое распространение получили лазеры, веществом кото- которых является смесь неона и гелия. Чаще всего создается близкий инфракрасный свет с длиной волны 1,13 мкм. Смеси газов используются в лазерах по следующей причине. В некоторых случаях газовым разрядом проще возбудить частицу Л, которая соударениями передаст возбуждение частице 5, чем непосредственно возбудить частицу В. Мы опишем более или менее детально механизм работы наиболее мощного из известных сейчас лазеров, а именно лазера, работаю- работающего на углекислом газе. Основная идея использования молекулярных газов заключается в возможности существенно повысить максимальную эффективность, используя в качестве верхнего и нижнего лазерных уровней коле- колебательные уровни основного электронного состояния. Сравнение в этом отношении атомного и молекулярного лазеров иллюстрирует схема рис. 236а. Виды колебаний молекулы СО2 были рассмотрены нами выше (рис. 231). Любое колебательное состояние характеризуется тремя квантовыми числами V!V2vs; vt относится к симметричному коле- колебанию (a), v2 — к колебанию (в) и v3 — к линейному асимметрич- асимметричному колебанию (б). Прежде всего исследователь должен выяснить времена жизни молекулы в разных состояниях. Эти времена могут отличаться на несколько порядков. Далее крайне существенны вероятности перехода на тот или иной уровень под действием ударов элект- электронов. Оказалось, что со всех точек зрения в качестве верхнего лазер- лазерного уровня пригоден уровень 001, а в качестве нижнего— 100 или 020. С этих уровней молекула переходит на уровень 010, а затем уже возвращается в основное состояние. Схема этих переходов пока- показана на рис. 2366, вращательные уровни не показаны, чтобы не загромождать чертеж. Как видно из схемы, лазер обладает высокой максимальной эффективностью 40 и 45% для излучений 10,6 и 9,6 мкм. Но велика не только абсолютная, но и практическая эффек- эффективность этой системы, так как электроны газового разряда в основном переводят молекулы на уровни 00с3. Замечательно удоб- удобным обстоятельством является то, что возбуждения на любой уро- уровень 00и3 одинаково пригодны. Напомним, что колебательные уровни являются равноотстоящими. Поэтому столкновение моле- молекул в состояниях 00и3 и 000 дает молекулы в состояниях 00(у3 — 1) и 001. То есть в конечном счете возникают нужные молекулы, нахо- находящиеся на верхнем лазерном уровне. Несмотря на то, что возбуждения на любой из уровней дают положительный вклад в действие лазера, все же электроны тратят большую энергию на ионные возбуждения молекул. Возбуждение 501
становится значительно более селективным при добавлении к СО2 молекул азота. Азот обладает колебательным уровнем при v=\ основного элект- электронного состояния при значении энергии, равном энергии 001 мо- молекулы СО2. Это возбужденное состояние весьма долговечно, и мо- молекула азота опускается на нулевой уровень в основном лишь одним способом, отдавая свою энергию молекуле СО2 в состоянии 000 (см. схему на рис. 2366). Равноотстоящие колебательные уровни азота делают эффективными все его колебательные состояния (основного электронного уровня). , основное соапояпи-е @00) Рис. 2366. NA, основное состояние (v=0) Рассуждения, подобные вышеприведенным, не являются вполне строгими — слишком много факторов определяет практическую эффективность лазера. Однако они демонстрируют методологию поисков лазерных веществ. Все в конечном счете решает опыт. Ска- Скажем, если освобождение нижнего лазерного уровня происходит очень медленно, то целесообразно подмешивать другие газы. Поиск этих примесей в основном эмпирический, а результаты могут ока- оказаться очень существенными. Например, при давлении газа 1 мм рт. ст. молекулы СО2 в чистом виде испытывают примерно 100 соуда- соударений в секунду, освобождающих уровень. Соответствующие цифры при наличии гелия и воды — 4 000 и 100 000 соответственно. До сих пор мы ничего не говорили о том, как влияет на мощность СО2-лазера ротационная структура колебательных уровней. Если бы в излучении лазера участвовали переходы между всеми враща- вращательными подуровнями, то излучение не было бы строго монохро- матичным. Использованием одного тонкого эффекта, к описанию 502
которого мы переходим, удается заставить лазер работать на пере- переходе между определенными подуровнями. Обычно используется 20-й уровень Р-ветви перехода @01) — A00), что дает пучок фотонов с длиной волны 10,5915 мкм. При комнатной температуре средняя кинетическая энергия мо- молекулы СО2 равна 0,025 эВ. Расстояние между колебательными уровнями больше этой величины, а расстояние между вращатель- вращательными уровнями меньше ее. По этой причине переходы молекул из-з а тепловых столкновений с одного вращательного уровня на другой много чаще A0 миллионов в секунду) переходов между колебатель- колебательными уровнями A000 в секунду). Соответственно время жизни ко- колебательного состояния 10 с, а вращательного 10~7 с. Таким об- образом, внутри вращательных этажей каждого колебательного уров- уровня успевает установиться распределение Больцмана, соответствую- соответствующее тепловому равновесию. При этих условиях достаточно настроить колонну на опреде- определенный переход, чтобы сделать его доминирующим. Действительно, допустим выбран переход Р B2), т. е. переход с 21-го вращатель- вращательного подуровня @01) на 22-й подуровень A00). По мере освобож- освобождения 21-го подуровня другие молекулы будут переходить с других вращательных подуровней на 21-й, чтобы сохранить распределение Больцмана. Таким образом поставленный в выгодные условия пере- переход выигрывает соревнование с другими возможными переходами. Эта особенность СО2-лазера определяет его большие достоин- достоинства, способствуя высокой монохроматичности и позволяя также, хотя и в небольших пределах (9—11 мкм), варьировать по желанию длину волны стимулируемого излучения. $7?jck Поды с$ыход \ \ Окошко Зержло J газа. Рис. 236в. Большое время жизни колебательных состояний позволяет пере- перевести СО2-лазер в импульсный режим. Для этой цели одно из двух стационарных зеркал заменяется вращающимся зеркалом. Лазер приходит в действие каждый раз, когда вращающееся зеркало становится в нужное положение по отношению к стационарному зеркалу. Если лазер дает постоянную мощность 50 Вт, то в импульсном режиме он способен давать 50 кВт вспышками продолжительно- продолжительностью 150 не при скорости 400 вспышек в секунду. 503
СО2-лазер изготовляют обычно в виде двухметровых трубок, через которые пропускают ток газа. Схема лазера показана на рис. 236в. Возможности описанного лазера уже граничат с фантастикой. Фокусировка когерентного инфракрасного излучения лазера на площадь 0,001 см2 дает интенсивность 106 Вт/см2 при постоянном режиме и 109 Вт/см2 в импульсном. Тонкий лазерный луч, спо- способный распространяться на большие расстояния, мгновенно про- прожигает дерево, в течение секунд проходит через сталь. Лазерный луч может создать поля порядка 106 В/см, коренным образом меняющие свойства вещества. С открытием лазеров возник ряд новых направлений физических и технических исследований. Большой интерес представляет изучение взаимодействия света с длиной волны 10—11 мкм с полупроводниками, которые прозрачны для этой области спектра. О некоторых применениях лазеров мы говорили на других страницах книги. Совершенно новые возможности для коммуникации с помощью лазеров составляют предмет специальных дисциплин и выходят за рамки учебника физики. ГЛАВА 30 АТОМНОЕ ЯДРО § 207. Экспериментальные методы ядерной физики Изучение строения атомного ядра неразрывно связано с рас- рассмотрением явлений самопроизвольного или вынужденного распада атомного ядра и ядерных частиц. Исследуя осколки разрушивше- разрушившегося атомного ядра, прослеживая судьбу этих осколков, мы полу- получаем возможность делать заключения о структуре ядра и о ядер- ядерных силах. Вполне естественно, что вначале были детально изучены явления самопроизвольного распада ядер, т. е. радиоактивные явления. Параллельно с этим началось изучение космических лучей — радиа- радиации, обладающей исключительной проникающей силой и приходя- приходящей к нам из космического пространства. Взаимодействуя с веще- веществом, частицы космического излучения играют роль частиц-снаря- частиц-снарядов. Долгое время исследование космических лучей было важнейшим способом изучения взаимопревращаемости элементарных ча- частиц и даже в какой-то степени методом изучения атомного ядра. В настоящее время основное значение приобретают исследования разрушений атомного ядра бомбардировкой потоками частиц, соз- создаваемых в ускорителях. Экспериментальные методы, о которых пойдет сейчас речь, оди- одинаково применимы к изучению космических лучей и частиц, воз- возникающих в результате ядерной бомбардировки тех или иных ми- мишеней. 504
Следовые камеры. Первым прибором, позволяющим видеть след (трек) частицы, явилась камера Вильсона. Если через камеру, содержащую пересыщенные водяные пары, пролетит быстрая час- частица, создавшая на своем пути ионы, то за такой частицей остается след, весьма похожий на «хвост», который иногда остается в небе после самолета. Этот след создан сконденсировавшимся паром. Ионы, отмечающие путь частицы, являются центрами конденсации пара — в этом причина возникновения хорошо видимого следа. След частицы можно и наблюдать непосредственно, и фотографи- фотографировать. Чтобы регулировать состояние пара в камере, объем камеры меняют движением поршня. Быстрым адиабатическим расшире- расширением пар приводится в состояние пересыщения. Если следовая камера помещена в магнитное поле, то по кривизне траектории можно определять либо скорость частицы при известном отношении elm, либо, наоборот, elm при известной скорости (ср. формулы на стр. 406). Камера Вильсона уже принадлежит истории. Поскольку ка- камера заполнена газом, столкновения редки. Очень велико время «очищения» камеры: фотографии могут сниматься лишь через 20 се- секунд. Наконец, след живет время порядка секунды, что может привести к смещению картин. В 1950 г. была предложена пузырьковая камера, которая играет большую роль в физике элементарных частиц. Веществом камеры является перегретая жидкость. Заряженная частица образовывает ионы, а около ионов создаются пузырьки, которые и делают след видимым. В такой камере можно получать 10 фотографий в секунду. Самым большим недостатком камеры является невозможность уп- управлять ее включением- Поэтому зачастую нужны тысячи фотогра- фотографий, чтобы отобрать одну, фиксирующую исследуемое явление. Большое значение имеют искровые камеры, основанные на ином принципе. Если на плоский конденсатор наложить высокое напря- напряжение, то между пластинами проскочит искра. Если в зазоре име- имеются ионы, то искра проскочит при меньшем напряжении. Таким образом, ионизующая частица, пролетающая между обкладками, создает искру. В искровой камере сама частица включает высокое напряжение между обкладками конденсатора на миллионную долю секунды. Однако достоинства в отношении возможности включения в нуж- нужный момент ослабляются недостатками: видны лишь частицы, об- образующие угол не более 45° с пластинками, след очень короток и не все вторичные явления успевают проявить себя. Недавно советские исследователи предложили новый тип сле- следовой камеры (так называемой стримерной камеры), уже нашедшей широкое применение. Блок-схема такой камеры показана на рис. 237. Частица, попадающая между пластинами, расположенными, в отличие от искровой камеры, на большом расстоянии друг от друга, обнаруживается счетчиком. Электронно-логическое устройство 505
различает первичные события и выбирает то, которое интересует экспериментатора. В этот момент высокое напряжение на короткое время подается на пластины. Ионы, образовавшиеся на пути прохож- прохождения частицы, образуют черточки (стримеры), которые и фото- фотографируются. Путь частицы обрисован этими черточками. Если '/Л SblCOKO- вй длешрок- пая логика Рис. 237. фотография снята вдоль направления черточек, то путь частицы выглядит, как пунктирная линия. Успех работы стримерной камеры зависит от правильной кор- корреляции образования электронной лавины от первичного иона с па- параметрами импульса высокого,напряжения. В смеси 90% неона и 10% гелия при расстоянии между пластинами 30 см хорошие результаты получаются при напряжении 600 000 В и времени импульса 10~10с. При этом импульс должен накладываться не поз- позже чем через 10"8 с после первичного акта ионизации. Следовая камера этого типа представляет собой сложную дорогую уста- установку, которая ушла так же далеко от ка- камеры Вильсона, как современные ускорите- ускорители частиц от электронной трубки. Ионизационные счетчики и ионизацион- ионизационные камеры. Ионизационное устройство, предназначенное для работы с излучением, большей частью представляет собой ци- цилиндрический конденсатор, наполненный газом; одним электродом является цилинд- цилиндрическая обкладка, а другим — нить или острие, идущие по оси цилиндра (рис. 237а). Напряжение, прикладываемое к конденса- конденсатору, и давление газа, заполняющего счетчик, должны быть подобраны спе- специальным образом в зависимости от постановки задачи. В распро- распространенной разновидности такого устройства, называемой счетчи- счетчиком Гейгера, к цилиндру и нити прикладывают напряжение пробоя. Если через стенку или через торец такого счетчика в него попадет 506 * о Рис. 237а.
ионизующая частица, то через конденсатор пойдет импульс тока, продолжающийся до тех пор, пока первичные электроны и создан- созданные ими электроны и ионы самостоятельного разряда не подойдут к положительной обкладке конденсатора. Этот импульс тока можно усилить обычными радиотехническими методами и фиксировать прохождение частицы через счетчик либо щелчком, либо световой вспышкой, либо, наконец, цифровым счетчиком. Такое устройство может считать количество частиц, поступаю- поступающих в прибор. Для этого необходимо лишь одно: импульс тока дол- должен прекратиться к моменту, когда в счетчик поступает следующая частица. Если режим работы счетчика подобран неправильно, то счетчик начинает «захлебываться» и считает неверно. Разрешающая способность ионизационного счетчика ограничена, но все же доста- достаточно велика: до 10 000 частиц в секунду. Можно понизить напряжение и добиться такого режима, при котором через конденсатор проходил бы импульс тока, пропор- пропорциональный числу образованных ионов (пропорциональный счет- счетчик). Для этого нужно работать в области несамостоятельного газо- газового разряда. Первичные электроны, двигаясь в электрическом поле конденсатора, набирают энергию. Начинается ионизация ударом, создаются новые ионы и электроны. Созданные влетевшей в счетчик частицей начальные п пар ионов превращаются в kn пар ионов. При работе в режиме несамостоятельного разряда коэф- коэффициент усиления k будет постоянной величиной и пропорциональ- пропорциональные счетчики не только установят факт прохождения частицы через счетчик, но и измерят ее ионизующую способность. Разряд в пропорциональных счетчиках, так же как и в описанных выше счетчиках Гейгера, гаснет с прекращением ионизации. Отличие счетчика Гейгера заключается в том, что в нем влетевшая частица действует наподобие спускового механизма и время про- пробоя не находится в связи с первоначальной ионизацией. Так как пропорциональные счетчики реагируют на ионизующую способность частицы, то режим работы счетчика может быть по- подобран так, чтобы он отмечал только частицы определенного сорта. Если прибор работает в режиме тока насыщения (чего можно добиться, снижая напряжение), то ток через него является мерой энергии излучения, поглощаемой в объеме прибора за единицу вре- времени. В этом случае устройство называют ионизационной камерой. Коэффициент усиления k равняется в этом случае единице. Пре- Преимуществом ионизационной камеры является большая устойчи- устойчивость работы. Конструкции ионизационных камер могут значитель- значительно варьировать. Наполнение камеры, материалы стенок, число и форма электродов меняются в зависимости от цели исследования. Наряду с крошечными камерами с объемом порядка кубического миллиметра приходится иметь дело с камерами объемом до сотни метров. Под действием постоянного источника ионизации в каме- камерах возникают токи в пределах от 10~17 до 10 А. 507
Сцинтилляционные счетчики. Метод счета вспышек флуоресци- флуоресцирующего вещества (сцинтилляций) как средство счета элементарных частиц был впервые применен Резерфордом для его классических исследований строения атомного ядра. Современное воплощение этой идеи мало напоминает простенький прибор Резерфорда. Частица вызывает световую вспышку в твердом веществе — фосфоре*). Известно весьма большое число органических и неорга- неорганических веществ, обладающих способностью преобразовывать энергию заряженных частиц и фотонов в световую энергию. Многие фосфоры обладают весьма малой длительностью послесвечения, порядка миллиардных долей секунды. Это позволяет строить сцин- сцинтилляционные счетчики с большой скоростью счета. У ряда фосфо- фосфоров световой выход пропорционален энергии частиц. Это дает возможность конструировать счетчики для оценки энергии частиц. В современных счетчиках фосфоры комбинируют с фотоумножи- фотоумножителями, имеющими обычные фотокатоды, чувствительные к види- видимому свету. Электрический ток, создаваемый в умножителе, усили- усиливается и далее направляется на счетное приспособление. Наиболее часто применяемые органические фосфоры: антрацен, стильбен, терфенил и т. д. Все эти химические соединения принад- принадлежат к классу так называемых ароматических соединений, по- построенных из шестиугольников углеродных атомов. Для примене- применения в качестве сцинтилляторов надо брать эти вещества в виде монокристаллов. Так как выращивание крупных монокристаллов несколько затруднительно и так как кристаллы органических сое- соединений весьма хрупки, то существенный интерес представляет применение пластических сцинтилляторов,-— так называют твердые растворы органических фосфоров в прозрачных пластмассах — полистироле или другом аналогичном высокополимерном веществе. Из неорганических фосфоров применяются галогениды щелочных металлов, сернистый цинк, вольфраматы щелочноземельных ме- металлов. Счетчики Черенкова. Еще в 1934 г. Черенковым было показано, что при движении быстрой заряженной частицы в совершенно чистом жидком или твердом диэлектрике возникает особое свечение, прин- принципиально отличное как от свечения флуоресценции, связанного с энергетическими переходами в атомах вещества, так и от тормоз- тормозного излучения типа рентгеновского сплошного спектра. Излучение Черенкова имеет место в том случае, если заряженная частица дви- движется со скоростью, превышающей фазовую скорость распростране- распространения света в диэлектрике. Основная особенность излучения состоит в том, что оно распространяется вдоль конической поверхности впе- вперед по направлению движения частицы. Угол конуса определяется формулой: cos 6=^, *)Так называется большой класс веществ, не имеющих, вообще говоря, ни- ничего общего с химическим элементом фосфором. 508
где Э есть угол образующей конуса с направлением движения ча- частицы, V — скорость частицы, v — скорость света в среде. Таким образом, для среды с данным показателем преломления п существует критическая скорость V=v=с/п, ниже которой излучения не будет. При этой критической скорости излучение будет параллельно на- направлению движения частицы. Для частицы, движущейся со ско- скоростью, весьма близкой к скорости света {v=c)> будет наблюдаться максимальный угол излучения 6 = arccos(l/Ai). Для циклогексана /г=1,437 и 9=46°. Спектр излучения Черенкова, как показывают опыт и теория, располагается в основном в видимой области. Излучение Черенкова — явление, похожее на образование но- носовой волны от корабля, движущегося по воде; в этом случае ско- скорость корабля больше, чем скорость волн на поверхности воды. Рис. 2376 иллюстрирует проис- происхождение излучения. Заряженная частица движется вдоль осевой ли- линии и по пути электромагнитное Рис. 2376. Рис. 237в. поле, следующее за частицей, временно поляризует среду в точ- точках траектории частицы. Все эти точки становятся источниками сферических волн. Имеется один-единственный угол, при кото- котором эти сферические волны совпадут по фазе и образуют единый фронт. Рассмотрим две точки на пути заряженной частицы (рис. 237в). Они создали сферические волны, одна в момент времени /, другая в момент времени Н-т. Очевидно, т есть время, которое затратила частица на прохождение пути между этими двумя точками. Для того чтобы эти две волны распространялись под каким-то углом 9 в одной фазе, необходимо, чтобы время хода первого луча было больше времени хода второго луча на время т. Путь, пройденный частицей за время т, равен Vr. Волна пройдет за это же время рас- расстояние т. Отсюда мы и получаем приведенную выше формулу: 9/1Л Излучение Черенкова используется в последнее время весьма широко как способ регистрации элементарных частиц. Счетчики, основанные на этом явлении, называются черепковскими счет- счетчиками. Светящееся вещество соединяется, так же как и в сцин- тилляционных счетчиках, с фотоумножителями и усилителями 509
фотоэлектрического тока. Существует множество конструкций счетчиков Черенкова. У счетчиков Черенкова имеется множество преимуществ. К ним относятся быстрая скорость счета и возможность определения заря- зарядов частиц, движущихся со скоростью, весьма близкой к скорости света (мы не сказали, что световой выход резко зависит от заряда частицы). Только при помощи счетчиков Черенкова могут решаться такие важные задачи как прямое определение скорости заря- заряженной частицы, определение направления, в котором движется ультрабыстрая частица, и т. д. Размещение счетчиков. Для того чтобы изучать различные про- процессы превращения и взаимодействия элементарных частиц, необ- необходимо иметь возможность не только отметить появление частицы в данном месте, но и проследить дальнейшую судьбу этой же час- частицы. Подобные задачи решаются с помощью специальных располо- расположений счетчиков с обобщенной счетной схемой. Например, можно электрические схемы двух или нескольких счетчиков соединить таким способом, чтобы счет происходил лишь в том случае, если раз- разряд во всех счетчиках начинается в точности в одно и то же время. Это может служить доказательством прохождения одной и той же частицы через все счетчики. Такое включение счетчиков называется «включениемч на совпадение». Метод толстослойных фотографических эмульсий. Как известно, фоточувствительным слоем фотопластинок служит желатиновая пленка, в которую введены микрокристаллики бромистого серебра. Основой фотографического процесса является ионизация этих кри- кристалликов, в результате которой происходит восстановление броми- бромистого серебра. Этот процесс происходит не только под действием света, но и под действием заряженных частиц. Если через эмуль- эмульсию пролетит заряженная частица, то в эмульсии возникнет скрытый след, который можно увидеть после проявления фотопластинки. Следы в фотоэмульсии рассказывают много подробностей о вызвав- вызвавшей их частице. Сильно ионизующие частицы оставляют более жир- жирные следы. Так как ионизация зависит от заряда и скорости частиц, то уже один только вид следа говорит о многом. Ценные сведения дает величина пробега (трека) частицы в фотоэмульсии; измеряя длину следа, можно определить энергию частицы. Исследования при помощи обычных фотопластинок с тонкими эмульсиями мало пригодны для целей ядерной физики. Такие пла- пластинки фиксировали бы только те частицы, которые движутся строго вдоль пластинки. Мысовским и Ждановым, а также через несколько лет Пауэллом в Англии были введены в обиход фотопла- фотопластинки с толщиной эмульсии, близкой к 1 мм (у обычных пластинок толщина слоя в сто раз меньше). Фотометод ценен своей нагляд- наглядностью, возможностью наблюдать сложную картину превращения, происходящего при разрушении какой-либо частицы. На рис. 238 приведена характерная фотография, полученная этим Методом. В точках Р и 5 произошли ядерные превращения. 510
В последнем варианте этого метода в качестве среды, в которой фиксируются треки частиц, применяют эмульсионные камеры значительного объема. Методы анализа на- наблюдений. При помощи описанных приборов ис- исследователь получает возможность определить все важнейшие констан- константы элементарной части- частицы: скорость и энергию, электрический заряд, массу; все эти параметры могут быть определены с достаточно высокой точностью. При наличии потока частиц можно, кроме того, определить значение спина элемен- элементарной частицы и ее маг- магнитного момента. Это делается тем же опытом расщепления пучка в магнитном поле,который был описан на стр. 171. Следует помнить, что непосредственно наблю- наблюдаются лишь заряжен- заряженные частицы. Все данные о нейтральных частицах и о фотонах получаются косвенно изучением ха- характера действия этих невидимых частиц на за- заряженные. Данные, по- получаемые о невидимых частицах, обладают, тем не менее, большой сте- степенью достоверности. Существенную роль при исследовании вся- всякого рода превращений элементарных частиц иг- играет применение законов сохранения импульса и рис. 238. энергии. Так как мы имеем дело с быстрыми частицами, то, применяя закон сохранения энергии, необходимо учитывать возможное изменение массы. 5U
Предположим, что на фотографии наблюдается след частиц в виде «вилки». Первая частица превратилась в две частицы: вторую и третью. Тогда должны выполняться следующие соотношения. Во- первых, импульс первой частицы должен равняться векторной сумме импульсов возникших частиц: Далее, между кинетическими энергиями частиц должно суще- существовать соотношение где А$=с2Ат, a Am — разность масс (т2-\-т3) — mt. Весь опыт ядерной физики показывает, что законы сохранения выполняются неукоснительно при любых превращениях элемен- элементарных частиц. Это позволяет воспользоваться этихми законами для выяснения свойств нейтральной частицы, не оставляющей следа в фотографической эмульсии и не ионизующей газа. Если на фото- фотопластинке наблюдаются два расходящихся трека, то исследователю ясно: в точке, откуда эти следы расходятся, произошло превращение нейтральной частицы. Определяя импульсы, энергии и массы воз- никщих частиц, можно сделать уверенные выводы о значении пара- параметров нейтральной частицы. Так был открыт нейтрон, такими способами мы судим о нейтрино и нейтральных мезонах, о которых будет рассказано ниже. § 208. Частицы, входящие в состав ядра Атомные ядра элементов построены из протонов и нейтронов. Основными характеристиками протона, как, впрочем, и всякой элементарной частицы, являются его заряд, масса, спин и магнит- магнитный момент. Протон несет на себе положительный элементарный электрический заряд, т. е. заряд его равен заряду электрона по абсолютной величине, но обратен по знаку. Масса протона равня- равняется 1,6725-10~24 г, т. е. в 1836 раз больше массы электрона. Спин протона равен V2, а магнитный момент 1,41-103 ед. СГС. Масса нейтрона несколько больше массы протона, а именно, равна 1,6748-10~24 г. Спин нейтрона также 1/2. Магнитный момент нейтрона антипараллелен спину и равен 0,966-10~23 ед. СГС. Нейтрон не несет на себе электрического заряда и не оставляет следов в камере Вильсона и на фотопластинке. Основным способом исследования свойств нейтрона является изучение его столкновений с другими ядрами. Зная массу и скорость ядра, в которое попал нейтрон, можно определить скорость vH и массу Мн нейтрона. Действительно, по законам упругого удара (см. стр. 56) 2МН v*-MH+MaV" где Мя и vH — неизвестные для нас величины. Исследуя соударения нейтронов с различными ядрами, можно определить Мн, разумеется, 512
не претендуя на особую точность, поскольку приходится предпола- предполагать равными начальные скорости нейтронов vH при различных соударениях. Точное значение Ми найдено с помощью ядерных реакций по значениям дефекта массы (см. ниже). Спин и магнитный момент нейтронов были непосредственно опре- определены весьма интересными измерениями потока нейтронов, прохо- проходящего через намагниченное железо. Мы не будем на этом останав- останавливаться. § 209. Масса и энергия атомного ядра Характеристикой ядра, определяющей химическое наименова- наименование элемента, является число протонов Z. Порядковый номер атома в таблице Менделеева как раз определяется числом протонов Z. У каждой химической разновидности атомов возможно сущест- существование нескольких изотопов, отличающихся друг от друга числом нейтронов в ядре. Изотоп данного элемента характеризуется массо- массовым числом М, равным общему числу протонов и нейтронов атом- атомного ядра*). Таким образом, число нейтронов в ядре равно М — Z. Химически простые природные вещества являются смесью изо- изотопов. Изотопный состав природных веществ обычно неизменен и является, таким образом, характеристикой химического элемента. Нередко один из изотопов резко преобладает в смеси. Например, водород встречается в природе в виде обычного водорода Н1 и дей- дейтерия H2:=D, первый в количестве 99,98%, второй — в количестве 0,02%. Изотоп кислорода О16 содержится в естественном кислороде в количестве 99,76%. Основной изотоп урана U238 содержится в природном уране в количестве 99,28%. Обозначим через Мо массу изотопа углерода С12. Величина ух Мо называется атомной единицей массы. В этих относительных единицах и принято выражать атомные веса А изотопов и эле- элементов. Точными измерениями установлено, что одной атомной единице массы соответствует масса 1,6604-104 г. Абсолютное значение массы любого изотопа А (в граммах) определяют по формуле МА= 1,6604- Ю-24 А. Масса электрона в 1836 раз меньше массы протона. Масса атома и масса его ядра почти совпадают. Однако при современной точ- точности измерений эта разница в ряде случаев, в особенности для легких атомов, может быть уловлена и должна учитываться. *) Ядра различных изотопов обозначаются знаком соответствующего хими- химического элемента. Справа сверху ставится массовое число. Снизу слева зачастую указывается порядковый номер Z элемента, хотя в этом и нет небходимости, так как химический символ определяет Z. Так например, тли изотопа кислорода могут быть обозначены О16, О17, О18 или 8О16, 8О17, 8О18. В атомных ядрах этих изо- изотопов содержится соответственно 8, 9 и 10 нейтронов (М — Z). 17 А. И. Китайгородский 513
Очевидно, между массой ядра Мя и массой атома Мд элемента А будет существовать соотношение Мя= Ма — Zm. В атомных единицах массы m=5,486-10*). Таким образом, раз* личия Мя и МА лежат в сотых, а для тяжелых атомов — в тысяч- тысячных долях процента. Относительные атомные веса изотопов близки к массовым чис- числам, но не равны им. Например, масса Н1 равна 1,00807, масса D2 равна 2,01463, масса Ne20 равна 19,9972 и т. д. Изучая внимательно таблицы масс изотопов, можно прийти к следующему важному выводу: масса ядер меньше суммы масс эле- элементарных частиц, образующих ядро. Например, масса нейтрона 1,00888, масса протона 1,00807; масса двух нейтронов и двух про- протонов равна 4,0339. В то же время масса атома гелия, который со- состоит из двух нейтронов и двух протонов, не равна этой цифре, а равна 4,0038. Таким образом, масса ядра гелия меньше суммы масс» составляющих ядро частиц на величину 0,0301 атомной единицы, в тысячи раз превосходящую точность измерений. Разность масс элементарных частиц, составляющих ядро, и массы ядра является важнейшим примером дефекта массы. Каж- Каждому ядру соответствует определенный дефект массы. Одним из важнейших выводов теории относительности является принцип эквивалентности массы и энергии (стр. 385). Этот принцип гласит: если система приобретает или теряет количество энергии Д<?\ то масса этой системы соответственно возрастает или умень- уменьшается на величину Апг=А<§/с2. Дефект массы ядра (с точки зрения этого принципа) получает естественное истолкование: он является мерой энергии связи ядерных частиц. Поясним, что означает это утверждение. Под энергией связи в химии и физике понимают ту работу, которую надо затратить для того, чтобы эту связь полностью нарушить. Если бы удалось разде- разделить ядро на элементарные частицы, то, как сказано выше, масса системы возросла бы на величину дефекта массы Am; это значит с точки зрения закона Эйнштейна, что ядру была подведена энергия А?=с2Ат, которая и есть не что иное как энергия связи. Отсюда находим, что изменение массы на одну атомную единицу массы эк- эквивалентно изменению энергии на 1,6604-10~4-9-1020 эрг=1,496х X Ю~3 эрг=931,8МэВ A эВ= 1,602- 10~12эрг, 1 МэВ = 106эВ). Поль- Пользуясь этими цифрами и зная величины дефекта массы, можно без труда рассчитать энергии связи атомных ядер. На рис. 239 изображена кривая энергии связи ядра, отнесенной к числу частиц ядра, т. е. величина с2Ат/М. По оси абсцисс отло- отложено массовое число. Кривая показывает, что энергия связи на одну ядерную частицу сначала быстро, но не вполне закономерно воз- возрастает, далее останавливается примерно на 8 МэВ и, наконец, *)Эта цифра получится делением массы электрона в граммах на 1,6604* 10~24г.
слегка опускается для последних элементов Менделеевской таблицы. Факт постоянства числа 8 МэВ истолковывается следующим об- образом. Так как энергия связи, рассчитанная на одну частицу, не зависит от общего числа частиц в ядре, то взаимодействие в ядре имеет место лишь между ближайшими частицами. Отсюда, в част- частности, следует вывод о действии ядерных сил лишь при непосред- непосредственном сближении частиц (см. ниже). 100 Рис. 239. 1S0 &00 Величину 8 МэВ поучительно сравнить с энергиями химической связи молекул. Эти последние равны обычно нескольким электрон- вольтам на атом. Значит, для расщепления молекулы на атомы надо затратить энергию в несколько миллионов раз меньшую, чем для расщепления ядра. О ядерных силах будет речь ниже. Однако уже из приведенных примеров ясно, что эти силы достигают при разрушении ядра огром- огромных значений. Очевидно также, что ядерные силы представляют собой новый класс сил, так как они способны сцеплять частицы, заряженные одноименным электричеством. Ядерные силы не сво- сводимы к электрическим. §210. Спин и магнитный момент ядра Нуклоны, составляющие ядро, обладают спином, а значит, и магнитным моментом. Таким образом, наличие спина у электрона не является особым свойством. Элементарные частицы могут обла- обладать спином; наглядная интерпретация этого факта не только не нужна, но и неверна; мы уже предупреждали читателя, что образ вращающейся около своей оси частицы является совершенно услов- условным, так как спин частицы не имеет классической интерпретации. Вращательный импульс любой частицы, а значит, и атомного ядра может быть представлен формулой и проекция спина на выделенное направление может пробегать 2s+l значение, от s до —s. Обычно спином называют не написанное выше выражение, а определяющее его число s. 17* 515
В соответствии с законами квантовой механики разность 2s меж- между наибольшим и наименьшим значением спина должна равняться целому числу или нулю. Поэтому спин частицы может равняться 0 4 1 3/ Спины нейтрона и протона, как и спин электрона, равны 1/2. Просматривая таблицы значений спинов различных атомных ядер, мы обнаружим ряд интересных закономерностей. Прежде всего, у ядер, содержащих четное число протонов и четное число нейтронов, спин ядра равен нулю (Не, С12, О16). Число нуклонов, кратное четырем, вообще играет, видимо, большую роль. Во многих случаях (но далеко не во всех) спин атомного ядра может быть полу- получен следующим образом: отбрасываем ближайшее к М число, крат- кратное четырем, и умножаем оставшуюся разность на 1/2. Например: у Li6 спин равен 1=2Х72, у Li7 — 3/2, у В10 — 1, у "В11 — 3/2.. Правилом без исключения является довольно очевидное обстоя- обстоятельство: у ядер с четным М спин — целый или равен нулю, у ядер с нечетным М — кратен х/2- Спины атомных ядер определяются по сверхтонкой структуре оптических спектров. Расщепление энергетических уровней, хотя и крайне незначительное, измеряется вполне уверенно. Расщепление происходит по той причине, что разным взаимным ориентациям спина электрона и спина ядра будет соответствовать разная энергия. Рассмотрение материала о спинах ядер приводит к заключению о применимости принципа Паули к протонам и нейтронам в ядре. Две тождественные частицы могут расположиться на одном уровне энергии лишь при условии антипараллельности спинов. Так как протон и нейтрон — разные частицы, то на одном уровне могут быть два протона и два нейтрона. В этой компактной группе со спином, равным нулю, мы узнаем ядро атома гелия (а-частицу). Наличие спина означает наличие магнитного момента. Между вращательным импульсом L и магнитным моментом М должна су- существовать прямая пропорциональность. При этом магнитный момент может быть либо параллелен, либо антипараллелен спину. Если спин частицы (сложной или простой) равен s, то магнитный момент ее может быть записан в виде „eh где \i — элементарный магнетон, равный j , т — масса час- частицы, a g — безразмерный множитель. Это равенство является обобщением обсужденного на стр. 464 соотношения для электрона. Для этой частицы s=1/8 и g надо положить равным 2, чтобы полу- получить совпадение с опытом. Разные частицы (не только сложные, но и элементарные) имеют разные значения g. Так, например, ^-фактор нейтрона равен 3,8206, протона — 5,5791. В элементарный магнетон входит масса частицы. Однако при- принято пользоваться лишь двумя значениями магнетонов: магнето- 516
ном Бора для легких частиц и ядерным магнетоном (магнетоном, подсчитанным для протона) 1ляд=A/1836) |Ыб для тяжелых. При- Приведенные выше значения ^-фактора вычислены для (ыяд. Теории ^-факторов и магнитных моментов, связывающей эти свойства ядра с его структурой, не существует. § 211. Силы взаимодействия нуклонов Основные сведения о ядерных силах можно получить, изучая рассеяние частиц. Уже из первых опытов Резерфорда по рассеянию а-частиц можно было сделать вывод о весьма малом радиусе дей- действия ядерных сил. Опыты Резерфорда объяснились количественно в предположении, что отклонение а-частиц является электрическим отталкиванием одноименно заряженных частиц. При этом теория совпадала с опытом и тогда, когда а-частица проходила почти вплот- вплотную около рассеивающего ядра. Значит, достаточно двум ядерным частицам быть на самом небольшом расстоянии друг от друга, чтобы между ними действовали лишь электрические силы, а ядер- ядерные уже не чувствовались бы. Более непосредственный результат дают опыты по рассеянию нейтронов протонами. Для этого пучок нейтронов пропускают через водород, находящийся в газообразном состоянии. Опыт пока- показывает, что лишь небольшая часть нейтронов встречается с^ядрами атомов водорода. Что же касается рассеянных нейтронов, то они распределены равномерно по углам. Этот результат коренным обра- образом отличается от картины рассеяния а-частиц, т. е. от рассеяния, происходящего благодаря электрическим взаимодействиям, где отклонение есть всегда, но малое, когда а-частица проходит далеко от ядра, и большое, когда путь ее лежит вблизи рассеивающего ядра. Картина, наблюдающаяся при рассеянии нейтронов прото- протонами, приводит нас к признанию весьма малого радиуса действия ядерных сил. Значение порядка 2-Ю3 см уверенно выводится из этого опыта. Изучение рассеяния протонов протонами приводит к такому же значению радиуса действия. Опыты и расчеты здесь несколько затруднительны, так как надо «вычесть» из рассеяния то, что обус- обусловлено чисто электрическим взаимодействием. Однако наблю- наблюдения при высоких энергиях и под большими углами позволяют произвести это вычитание. К сожалению, нельзя поставить прямые опыты по рассеянию нейтронов нейтронами. Однако ряд косвенных обстоятельств не позволяет нам сомневаться, что и в этом случае свойства ядерных сил остаются теми же. Вот пример такого рассуж- рассуждения: можно сравнить энергию связи и поведение при соударениях трития (изотопа водорода с массой 3) и изотопа гелия той же массы. В первом случае ядро состоит из двух нейтронов и одного протона, во втором— наоборот. Энергия связи гелия больше ровно на такую величину, которую дает электрическое взаимодействие между двумя протонами. Все эти опыты и рассуждения приводят к заключению 517
! / / & 3 еРассмояте, ферма Рис. 240. о независимости ядерных сил, действующих между нуклонами, от электрических зарядов взаимодействующих частиц. Опыты по рассеянию нуклонов приводят также к заключению об обменном характере взаимодействия. Этот термин применяется в том случае, когда встретившиеся частицы меняются своими свой- свойствами: частица, бывшая протоном, превращается в нейтрон, и *" $0 ,—, , 1 , —, наоборот. Необходимость такого обстоятельства сле- следует из эксперимента по рассеянию протонами пуч- пучка нейтронов весьма боль- больших энергий (в десятки раз превосходящей потенциаль- потенциальную энергию взаимодейст- взаимодействия протонов с нейтрона- нейтронами). В таком опыте мы ожидали бы, что большин- большинство нейтронов пройдет че- через водород и без рассея- рассеяния. На самом же деле рас- рассеянный вперед пучок составлен из одинакового числа нейтронов и прото- протонов. Проблема ядерных сил весьма осложняется их зависимостью от расположения спинов ядер. Ядерные силы теряют из-за этого свой центральный характер (т. е. сила не действует вдоль линий, соединяющей центры частиц). Тем не менее, усредняя эту зависимость, можно охарактеризо- охарактеризовать ядерные силы потенциалом взаимодействия такого же типа, который обсуждался для молекул. На рис. 240 показана такая кри- кривая для двух нуклонов (общее название протона и нейтрона). Энер- Энергия взаимодействия отложена в МэВ, а расстояние — в ферми A ферми=10 хз см). На расстоянии 4 ферми ядерные силы уже не действуют. Для сравнения с электростатическим взаимодействием на рисунке проведена пунктирная кривая. Это электростатический потенциал двух разноименных зарядов величины 3,3 заряда элект- электрона. На расстоянии 2 ферми энергии взаимодействия одинаковы. Аналогии между кривыми, конечно, нет. Кривые подобного типа построены на основании опыта для раз- разных ядер. Ординаты и абсциссы потенциальных ям колеблются в небольших пределах E—20 эВ, единицы ферми). § 212. Нуклоны в ядре Нет сомнения в том, что нуклоны расположены весьма плотно внутри атомного ядра. В разумном согласии с рядом эксперимен- экспериментальных данных находится следующая формула «радиуса»
ядра: Здесь М — массовое число, а&=1,5- 103см. Формула установлена для тяжелых ядер, но нет сомнения в ее пригодности и для легких ядер. Если радиус ядра пропорционален кубическому корню из числа частиц, то объем ядра будет пропорционален первой степени числа частиц. Это обстоятельство заставляет полагать, что по край- крайней мере в грубом приближении нуклоны упакованы в ядре с одно- однородной плотностью. Разумеется, мы не можем построить геометрическую модель атом- атомного ядра и определить траектории нуклонов в ядре, так как нук- нуклоны имеют волновую природу. В каком-то приближении можно представить себе, что каждый нуклон движется в поле всех остальных. У такого нуклона будет система энергетических уровней, которые можно заполнять после- последовательно, идя от легких ядер к более тяжелым. Наиболее низкий уровень, так же как и в случае электронов, не должен обладать вра- вращательным импульсом. В соответствии с принципом Паули на этом самом низком уровне можно расположить два нейтрона и два про- протона, каждая пара с противоположными спинами, т. е. а-частицу. Рассматривая аналогичным образом более тяжелые ядра, удается выделить и на следующих уровнях устойчивые группы частиц. Оболочечная модель ядра оказалась очень полезной для определе- определения ряда свойств ядер и для объяснения степени распространен- распространенности изотопов. Рассматривая состав атомных ядер, начиная от легких и идя к тяжелым, мы обращаем внимание на то, что число нейтронов в атом- атомном ядре растет быстрее числа протонов и у весьма стабильного элемента свинца на 82 протона приходится 126 нейтронов. Это возрастание числа нейтронов объясняется необходимостью уравно- уравновесить все возрастающее электрическое отталкивание прото- протонов. Разумеется, нарушение равенства протонов и нейтронов в ядре несет за собой не только преимущества, но и недостатки. Дей- Действительно, при соблюдении этого равенства мы могли бы запол- заполнять низкие уровни энергии максимальным числом частиц — ведь в одно состояние можно поместить два нейтрона и два протона согласно принципу Паули. Однако, поступая таким образом, мы слишком увеличили бы электрическое отталкивание и суммарная энергия не была бы минимальной. Очевидно, реальный случай представляет собой компромиссное решение, продиктованное двумя тенденциями. Явления Р-распада, столь широко наблюдаемые у искусственно радиоактивных элементов, представляют собой вы- выбор ч оптимальной ситуации в указанном смысле. Если в ядре много протонов или много нейтронов, то положение дела по- поправляется излучением электрона или позитрона. 519
§ 213. Спектры атомных ядер С точки зрения квантовой механики любая система взаимодей- взаимодействующих частиц может быть охарактеризована совокупностью энергетических уровней. Атомное ядро может занимать наиболее низкий уровень (как это имеет место для ядер всех стабильных элементов, находящихся в обычных земных условиях), но может под воздействием соударений с другими частицами переходить на возбужденный уровень. Существование на возбужденном уровне всегда непродолжительно, и ядро «опускается вниз», отдавая лиш- лишнюю энергию. Ядра атомов радиоактивных веществ обычно либо находятся в возбужденном состоянии, либо , , переходят в возбужденное состо- ' яние после выбрасывания а-ча- стицы (см. ниже). Разности энергии между уров- нями в ядрах порядка сотен ты- сяч электрон-вольт (вместо еди- сТ . ниц электрон-вольт для элект- электронных уровней в атоме). По этой причине в обычных условиях ядра совершенно инертны. Энер- Энергетические переходы в ядрах изучаются в деталях их бомбар- 0 I—- ——j дировкой в ускорителях, рассчи- 5$ GC тайных на миллионы электрон- Рис 240а вольт. На рис. 240а показаны систе- системы энергетических уровней двух ядер5Ви и6Сп. Энергетические уровни резкие и измеряются с боль- большой точностью. Величины энергий даны на рисунке. Пара ядер с одинаковым общим числом нуклонов, и притом такая пара, у ко- которой число нейтронов (протонов) в одном ядре равно числу прото- протонов (нейтронов) в другом, называется «зеркальной» парой. Очевидно, что различие в ядрах сводится к электростатической энергии, кото- которая невелика. Картина уровней оказывается очень близкой, что еще раз иллюстрирует общность нуклонного взаимодействия. В каждом из возбужденных состояний ядро обладает некоторой совокупностью свойств. Разным уровням соответствуют, вообще говоря, разные спины, а также четности и различные изоспины. Изоспины — это числа, которые нумеруют уровни в каждом изо- спиновом мультиплете. Об этом квантовом числе пойдет речь ниже, когда будут обсуждаться спектры нуклонов. Четность — свойство частицы, связанное с ее винтовой симметрией (см. стр. 550). Два варианта (левый винт, правый винт) обозначаются знаками+, —. 520 799 7,30 6,7&' ^Ш 2J4 ^ %12. — 7,33 -XIо 4,77
Переходя на более низкий уровень, атомное ядро может отдать свою энергию двумя способами. Первый из них тот же, который является единственно возможным в случае излучения атома,— это испускание фотона. Поскольку разность энергии Е2 — Ех очень велика, то возникают «жесткие» фотоны, называемые обычно 7-лучами. Однако возможны переходы с излучением так называемой пары лептонов. Этой парой является либо электрон и антинейтрино, либо позитрон плюс нейтрино (ср. § 225). 22. г Рис. 2406. Картина переходов между уровнями ядра, состоящего из 12 нук- нуклонов, показана на рис. 2406 (числа указывают спины состояний, знаки — четность). На нем изображены уровни трех ядер. Но это лишь формально три ядра. На самом же деле мы должны их рассматривать как еди- единую систему, между которыми возможны переходы. Вертикальные (пунктирные) линии показывают ^-переходы. Сплошными линиями показаны переходы с излучением пары лептонов. Линия, идущая слева направо вниз, соответствует выбрасыванию электрона и антинейтрино, линии справа налево вниз — выбрасыванию 521
позитрона и нейтрино. При выбрасывании пары лептонов вслед- вследствие закона сохранения заряда протон превращается в нейтрон или нейтрон в протон. Разность энергетических уровней при излучении пары леитонов должна быть не меньше энергии, соответствующей массе электрона, т. е. 0,51 МэВ (масса покоя нейтрино равна нулю). Избыток, если он есть, пойдет на образование кинетической энергии лептонов. § 214. Нейтрино бета-распада Энергетический переход с выбрасыванием пары лептонов носит название р-распада. Обнаружение нейтрино является сложной экспериментальной задачей, решенной лишь в последнее десятиле- десятилетие. Первоначально переходы, подобные изображенному на рис. 2406, описывали как превращение (распад) одного ядра (радиоак- (радиоактивного) в другое (устойчивое) с выбрасыванием электрона. Однако еще задолго до обнаружения нейтрино необходимость его существо- существования стала очевидной. Было трудно, лучше скажем невозможно, сомневаться в спра- справедливости законов сохранения вращательного импульса и закона сохранения энергии. Действительно, нейтрон, протон, электрон и позитрон — все эти частицы имеют спин 1/2. Как мы сказали, Р- распад меняет в атомном ядре протон на нейтрон или наоборот. Так как число нуклонов в ядре остается неизменным, то Р-распад никак не может изменить четный спин на нечетный. А именно это и было бы необходимым, если бы при р-распаде выделялся один лишь электрон, уносящий с собой спин г/2. При допущении существо- существования нейтрино — частицы, обладающей спином V2,— это проти- противоречие снимается и одновременно устраняются трудности истол- истолкования непрерывного спектра Р-частиц. Если бы Р-распад заключался в выбрасывании лишь электрона, то этот электрон должен был бы обладать вполне определенной энер- энергией. Действительно, начальный и конечный уровни энергии, т. е. энергии первичного ядра и нового ядра, вполне определенные, значит, и энергия вылетающего электрона должна быть вполне определенной. На самом же деле наблюдается непрерывный спектр электронов, от некоторой максимальной скорости до нуля. Такая картина вполне естественна, если считать, что при распаде из ядра выбрасываются две частицы по уравнению n^p+e+v. Энергия распределяется между электроном и*нейтрино по закону случая. Обнаружение нейтральной частицы, обладающей ничтожной массой (сейчас известно, что масса нейтрино меньше 0,002 массы электро- электрона), является исключительно сложной задачей. Она была разрешена лишь в 1956 г. Заметим, что частица, получившая название нейт- нейтрино, в дальнейшем при открытии закона антисимметрии элемен- элементарных частиц оказалась антинейтрино и получила обозначение v (см. §§225, 226). Большое число актов распада нейтронов должно происходить в ядерном реакторе, где непрерывно образуется 522
огромное число ядерных осколков, богатых нейтронами. Поток ча- частиц v, если они существуют, должен выходить из реактора. Если нейтрино v попадет в протон, то должна произойти реакция v + + р-^е++п,т. е. при встрече нейтрино с протоном образуются позит- позитрон и нейтрон. Такие реакции должны наблюдаться в мишени, со- содержащей большое число атомов водорода (т. е. протонов) и распо- расположенной вблизи ядерного реактора. Эта реакция должна проис- происходить крайне редко (несколько раз в час) из-за исключительной проникающей способности нейтрино. В то же время вблизи реак- реактора происходит огромное число других ядерных реакций. Труд- Трудности обнаружения нейтрино очевидны. Их преодоление возможно путем выделения специфических черт этой реакции. Возникают позитрон и нейтрон. Нам известно, что позитрон немедленно аннигилирует с электроном любого из атомов мишени и дает два фотона. Что же касается нейтрона, то он совершит какой-то путь в мишени, а затем поглотится атомами примеси (кад- (кадмий), которые можно специально ввести в мишень. Мы можем рас* считать среднее время его торможения до поглощения — оно равно примерно 5 мкс. При поглощении нейтрона кадмием также возни- возникает у-излучение. Задача экспериментатора заключается в том, что- чтобы из всех событий средствами современной измерительной техники выделить последовательность явлений: одновременное возникно- возникновение двух фотонов и следующий через 5 мкс более сильный им- импульс Y-излучения. Эта задача была успешно выполнена, и таким образом, доказано существование нейтрино. § 215. Общие закономерности химических и ядерных превращений Мы остановимся сейчас на некоторых общих энергетических соображениях, одинаково применимых как для химических реак- реакций, так и для превращений атомных ядер или других частиц. Превращение частиц может произойти только тогда, когда эти частицы сблизятся вплотную. Так как для того, чтобы превра- превращение произошло, частицы должны принести с собой некоторую кинетическую энергию, то термин «столкновение» вполне оправ- оправдан. Не каждая встреча частиц ведет за собой превращение. Ме- Механизм превращений как химических, так и ядерных очень трудно изучать. Непосредственные наблюдения здесь невозможны и при- приходится ограничиваться предположениями, справедливость кото- которых можно проверять по следствиям. В случае химических превращений большую роль должно играть взаимное расположение молекул при столкновении. Чтобы реак- реакция произошла, надо, чтобы молекулы подошли друг к другу в по- положении, удобном для перегруппировки атомов. Для каждого превращения, осуществляемого в массовых масштабах (как это обычно и бывает в химических и ядерных 523
и реакциях, где сталкиваются миллиарды молекул или ядер в ко- короткие промежутки времени), можно в принципе указать число Л, которое будет, грубо говоря, характеризовать долю встреч частиц в «удобной» для превращения ситуации. Однако требование надлежащей ориентировки, разумеется, не исчерпывает условия превращения. Поскольку частица устой- устойчиво существует и, следовательно, обладает минимумом потенциаль- потенциальной энергии, необходимо подвести к ней при столкновении некото- некоторую энергию, достаточную для подъема молекулы на борт потен- потенциальной ямы, в которой она находится. Эта минимально необхо- необходимая энергия носит название энергии активации. На рис. 241 изображена кривая потенциаль- потенциальной энергии. Частица устойчиво существует при г=0, где г — не- некоторый параметр. Для того чтобы произошла реакция, надо сообщить энергию активации <§; в случае, показанном на рисун- рисунке, реакция идет с выделением тепла. К столкновениям между мо- , лекулами или между ядрами (в аналогичных условиях) мы можем применить закон Больц- мана и положить число встреч, приводящих к превращению, пропорциональным e~8lkTy где ? — э нергия активации. Очевидно, скорость превращения можно представить в виде произведения Ae~e/kT, в котором первый множитель учитывает «геометрические» условия встречи, а второй — энергетическую сторону дела. Принято особо рассматривать две столкнувшиеся частицы в тот момент, когда потенциальная энергия находится в максимуме. Такой активированный комплекс (так говорят в химии) или проме- промежуточное ядро (так говорят при изучении ядерных превращений) существует недолгие мгновения. Образовавшаяся система может обратно «свалиться» в потенциальную яму, но может и «перевалить» через борт. В последнем случае превращение произошло и возникла новая система, обладающая новой потенциальной энергией. Как при химических, так и при ядерных превращениях образо- образовавшаяся система может быть одной новой частицей (реакция при- присоединения); может также произойти образование двух новых частиц из двух старых. Если потенциальная энергия образовавшихся частиц будет больше потенциальной энергии исходных частиц (глубина кратера вулкана глубже подножия горы), то превращение идет с поглоще- поглощением энергии. Поглощенное тепло будет равно разности энергии ак- Б24 Рис. 241.
тивации и энергии продуктов реакции (рис. 242). Если энергия обра- образовавшихся частиц будет меньше энергии исходных, то затрата небольшой энергии активации приведет к выделению большой энергии. И в химии, и в ядерной физике мы сталкиваемся с превращениями обоих типов. Реакции, идущие с выделением тепла, называются экзо- экзотермическими, с поглощением тепла — эндотермическими. Зачастую превращения (и химическое, и ядерное) сопровожда- сопровождаются излучением. Однако, как правило, основной энергетический эффект реакции заключается в превра- щении потенциальной энергии располо- расположения атомов в молекуле (нуклонов в ядре) в кинетическую энергию частиц. Поэтому, грубо говоря, превращения, в которых выделяется тепло, представ- представляют собой такие превращения, в кото- которых встречаются две медленные частицы, а расходятся две другие быстрые. Разу- Разумеется, обратное соотношение имеет ме- место в эндотермических реакциях. Формула скорости превращения, со- держащая температуру в экспоненте, де- делает понятной крайне резкую чувствительность химических пре- превращений к изменению температуры. Чем выше температура, тем сильнее удары сталкивающихся частиц. Роль температуры для химических превращений хорошо известна. Из-за огромных вели- величин энергии связи роль изменения температуры для ядерных пре- превращений не бросается в глаза. Действительно, энергии актива- активации атомных ядер суть величины порядка нескольких МэВ. Повышение же температуры на 3000° увеличит энергию атомного ядра всего лишь на 0,4 эВ. Ядерные превращения могут быть убыстрены лишь повышением температуры не на тысячи, а на миллионы градусов (см. ниже). § 216. Радиоактивность Радиоактивный распад является простейшей ядерной реакцией. Он заключается в выбрасывании из атомного ядра os-частицы. Так как а-частица состоит из двух протонов и двух нейтронов, то ее символ изображается 2Не4 и схема а-распада может быть за- записана следующим образом: где Эл — символ какого-либо химического элемента. Эта реакция распада, как и другие ядерные реакции, которые мы рассмотрим на стр. 530, подчиняется закону сохранения заряда (сумма нижних индексов в правой части равенства должна равняться Z) и закону сохранения массового числа (сумма верхних индексов), 525
И начальное, и конечное ядра могут находиться в возбужденном состоянии. Поэтому а-распад может сопровождаться энергетиче- энергетическими переходами как с излучением фотонов, так и с образованием лептонных пар. По историческим причинам Р-распад рассматривается на тех же правах, что и другие ядерные реакции. Если забыть про нейтрино (существование которого для химика роли не играет), то можно сказать, что Р-распад заключается в выбрасывании из ядра обыч- обычного отрицательного электрона р~ или положительного Р+ (позит- (позитрона). Напомним, что массы, а также величины их зарядов, одина- одинаковы. Выбрасывание из ядра легкой электрически заряженной ча- частицы приводит к превращению внутри ядра протона в нейтрон или нейтрона в протон. Это превращение обеспечивает сохранение электрического заряда при распаде. Схемы р-распада записываются в следующем виде: Таким образом, при Р"-распаде нейтрон ядра превращается в протон (число протонов возросло); обратное превращение имеет место при р+-распаде. При р~-распаде могут также испускаться у-лучи. а-радиоактив- ность наблюдается лишь у тяжелых элементов (начиная с висмута), р~-радиоактивность встречается значительно более часто, чем р+- радиоактивность. Если радиоактивное вещество может быть найдено в природе, то оно называется естественно радиоактивным, если оно получено при помощи ядерных реакций, то оно называется искусственно ра- радиоактивным. Если при распаде ядер радиоактивного элемента из него обра- образуется другой элемент, а из второго — третий и т. д., то последо- последовательность таких элементов называется радиоактивным рядом. Известны четыре радиоактивных ряда, начинающихся с U238, Th232, {J235 и U233*). Радиоактивный распад происходит по закону здесь No — количество ядер в начальный момент времени t=0, г N — количество оставшихся (не распавшихся) ядер в момент t; X называется радиоактивной постоянной и является константой для данного элемента. Нетрудно видеть, что время 7\ в течение которого распадается половина наличного количества атомов, равно ^ In 2 _0,693 Время Т называется периодом полураспада, или просто периодом, радиоактивного элемента. *) U233 имеет предшественников среди трансурановых элементов, 526
У родоначальников естественных радиоактивных рядов периоды лежат в пределах 108 — 1010 лет. С другой стороны, промежуточные продукты распада, а также искусственные радиоактивные элементы могут иметь периоды, составляющие ничтожные доли секунды. Количество радиоактивного вещества можно было бы, разуме- разумеется, выразить в граммах. Однако проще и удобнее характеризовать массу радиоактивного вещества его активностью — числом актов распада в одну секунду. Исторически возникшая единица измерения 1 кюри соответствует 3,7-1010 распадам в секунду. Для лаборатор- лабораторной практики эта единица велика и часто пользуются ее тысячной долей, 1 милликюри. Имеет распространение и другая единица, 1 резерфорд, равный 106 распадов в секунду. Следовательно, 1 мкю- ри=37 резерфорд. Если период Т известен, то нетрудно подсчитать начальную радиоактивность вещества. Доля вещества, распадающегося за 1 с, равна 1 No ~ ' е ' или, так как % — малое число, , N . 0,693 Если речь идет об m граммах вещества с атомным весом Л, то его активность найдется по формуле 0,693 m распадов Т~~" Л-1,66- Ю-24 с ' Принято считать, что за сто дней работы ядерного реактора (см. ниже) в нем образуются радиоактивные продукты в количестве 1 кюри на 1 Вт. Количество продуктов распада равно примерно 500 г на 500000 кВт, т. е. Ю-6 г на 1 Вт. Сред- Средний атомный вес продуктов деления примем за 100; тогда по написанной выше формуле найдем средний период распада радиоактивных продуктов равным 105 с, т. е. около суток. Указания периода и активности еще недостаточно для описания свойств радиоактивного вещества. Необходимо указать, является ли вещество а- или Р-излучателем, сопровождается ли распад у- излучением. Для еще более точной характеристики нужны данные об энергии выбрасываемых из ядра частиц и выделяющегося излу- излучения. Свойства а-частиц, излучаемых различными радиоактивными материалами, колеблются в незначительной степени. Их начальные скорости лежат в пределах 15 000—20 000 км/с; число пар ионов, образуемых а-частицей в воздухе, лежит в пределах A -т-2)-105. Энергии р-частиц, выбрасываемых при распаде, непрерывно распре- распределены в пределах от нуля до сотен или тысяч килоэлектрон-вольт. Энергия у-лучей также различна у разных радиоактивных веществ, однако порядок величины этой энергии одинаков для всех эле- элементов. 527
и Альфа-распад представляет собой просачивание а-частицы через потенциальный барьер с последующим электростатическим оттал- отталкиванием. Вид потенциальной кривой ядра изображен на рис. 243. Имеется потенциальная яма, барьер, а за барьером спад электроста- электростатической потенциальной энергии по гиперболическому закону. Для одного из радиоактивных элементов было доказано опытами по рассеянию а-частиц ядрами этого элемента, что высота потен- потенциального барьера во всяком случае выше 9 Л1эВ. В то же время частицы, имеющие энергию всего лишь 4 МэВ, вылетают из ядра путем туннельного перехода. Указанная картина делает по- понятной огромные вариации во вре- времени полураспада различных ра- радиоактивных элементов. Достаточно незначительного изменения разни- разницы между энергией а-частицы в — ядре и высотой потенциального барьера, чтобы вероятность проса- просачивания а-частицы резко возросла (ср. формулу на стр. 452). Картины а- и Р-распада без труда согласуются с формулой рас- распада во времени: N=Noe~}t. Дей- Действительно, распад каждого ядра является самостоятельным собы- событием, никак не отражающимся на поведении других ядер. Все ядра обладают одинаковыми вероят- вероятностями распада. Положим, что через время t половина ядер распа- распалась. Но оставшаяся половина находится в тех же условиях, что и первоначальное собрание атомов, и, следовательно, половина от оставшейся половины распадается за то же самое время. Незави- Независимость распада каждого отдельного' ядра от поведения его соседей приводит к утверждению: в данный промежуток времени At будет всегда распадаться одинаковая доля от наличного количества ато- атомов AN/N. Это утверждение записывается в виде Рис. 243. N =—Ш, что после интегрирования и дает экспоненциальный закон рас- распада. Полезно запомнить, что столь частые встречи в курсе физики с экспоненциальным законом и происходят по той причине, что он представляет собой математическое выражение убывания по рас- распространенному правилу: при одинаковых изменениях аргумента функция убывает на одинаковые доли своей величины. 528
§ 217. Ядерные реакции Опытные данные о ядерных реакциях весьма значительны. Число изученных ядерных реакций достигает нескольких тысяч. В настоящее время известны следующие типы реакций (не говоря о радиоактивном распаде, который можно рассматривать как реак- реакцию ядерного разложения): реакция захвата, заключающаяся в объединении двух встретившихся частиц; реакция обмена, заклю- заключающаяся в захвате одной частицы и выбрасывании другой; реак- реакция деления или расщепления ядра под воздействием энергии, по- полученной ядром в той или иной форме. Ядерные реакции, происхо- происходящие под действием жестких 'у-лучей, называют фотоядерными. При помощи ядерных реакций можно получить как стабильные естественные изотопы элементов, так и неустойчивые радиоактивные изотопы, не встречающиеся в природе. Среди последних удалось синтезировать элементы, вообще не имеющие стабильных изотопов (например, элемент с порядковым номером 43 — технеций), а также трансурановые элементы. Особенно внимательно изучались реакции, происходящие при бомбардировке ядер различных элементов а-частицами, протонами и нейтронами. При соударении а-частицы с ядром происходят наиболее часто реакции двух типов: первая состоит в захвате а-частицы и выбрасы- выбрасывании протона (р), вторая — в захвате а-частицы и выбрасывании нейтрона (п). Эти реакции обозначают символами (а, р) и (а, п). Уравнение (а, р)-реакции имеет вид Уравнение (а, п)-реакции имеет вид Приведем примеры реакций а-частиц: (а, р): 7A^ + 2a*-> 13AF + 2a*-> (а, п):4Ве9 + 2а4 — Первая из указанных реакций (а, п) имеет большое практическое значение: смесь радия (источник а-частиц) с бериллием является употребительным источником нейтронов. При соударении с протонами удается осуществить широкий класс реакций; сюда относятся реакции (р, а), т. е. захват протона с последующим выбрасыванием а-частицы, например а также реакции с выбрасыванием нейтронов (р, п). Известны реакции захвата, не сопровождающиеся выбрасы- выбрасыванием частицы. Избыток энергии выделяется при этом в виде 529
^-лучей; поэтому такие реакции обозначаются (р, у), например —4Ве8. Широко изучались реакции с дейтонами (D). Наблюдаются реак- реакции (D, р) и (D, п). При бомбардировке дейтонами тяжелого водо- водорода (т. е. опять-таки дейтонов) наблюдаются реакции образова- образования радиоактивного изотопа водорода — трития: Однако реакция частично идет и по схеме (d, n): Реакции с нейтронами играют очень большую роль в ядерной тех- технике по той причине, что они интенсивно протекают внутри ядер- ядерного реактора. Имеют место реакции (п, а); (п, р); (п, 2п) и (п, у). Кроме того, под действием нейтронов происходит реакция деления тяжелых ядер (см. ниже). Азот дает с нейтронами реакции двух типов: (n, p):7N" + on1-*eC" + 1p1; (n, 2n):7N14 + 0ni — 7№8 + 20n1. Первая из этих реакций дает долгоживущий изотоп углерода (с периодом больше 5000 лет), играющий большую роль в биохими- биохимических исследованиях. Почти все изотопы способны захватывать нейтрон (реакция (n, y))f образуя, таким образом, изотоп того же элемента с массой на еди- единицу больше. Обычно возникают радиоактивные изотопы и притом обладающие |3-радиоактивностью. Как и в химии молекул, в ядерной химии возможно протекание экзотермических и эндотермических реакций. Определение вели- величины и знака теплового эффекта реакций может быть проведено при помощи закона эквивалентности массы и энергии. Если из ядер с массами Мг и М2 образуются ядра с массами М3 и М±, то М х + М 2 = М з + М 4 + Am. Если Дт>>0, т. е. ядра продуктов реакции имеют меньшую массу, чем исходные ядра, то реакция экзотермична. При Ат< 0 реакция эндотермична. Выделяющуюся или поглощаемую при ре- реакции энергию подсчитывают по формуле <^=с2Am. Результаты рас- расчетов всегда безукоризненно точно совпадают с измерениями. Для большинства ядерных реакций значения тепловых эффектов составляют мегаэлектрон-вольты (в расчете на пару реагирующих ядер). Это в миллионы раз больше соответствующих величин для химических реакций. Пример расчета: 530
Из справочных таблиц берем значения масс: тве=9,01464; тр= 1,00807; ти= ==6,01671; та=4,00372. Отсюда Ат=0,00227, т. е. Am>0, следовательно, реак- реакция экзотермична. Так как единица атомного веса соответствует 931,8 МэВ, то величина теплового эффекта равна 0,00227-931,8=2,12 МэВ или примерно 8Х ХЮ-14 кал A МэВ=3,827-10~14 кал). § 217а. Реакции деления тяжелых ядер Ядра атомов, более тяжелые, чем ядра атомов олова, способны делиться на две части, близкие по массе. Для того чтобы произошло деление, ядру надо сообщить значительную энергию активации, уменьшающуюся с увеличением массового числа изотопа. Для ядер урана, тория, палладия эта энергия близка к 5 МэВ. Реакция деления этих ядер экзотермична; выделяющаяся энергия значи- значительно больше энергии активации. Деление может быть вызвано протонами, дейтонами, а-части- цами и у-излучением. Однако особое практическое значение имеет деление, происходящее при попадании в тяжелое ядро нейтрона. Рассмотрим деление под действием нейтронов изотопа урана-235. При захвате нейтрона образуется изотоп с массой на единицу больше: i-+ 92U236. Деление произойдет в том случае, если энергия активации деления U236 меньше энергии, доставленной нейтроном. Захваченный нейт- нейтрон приносит ядру энергию, равную энергии связи плюс кинетиче- кинетическая энергия его движения. В случае U235 энергия, доставленная даже нейтроном, движущимся с тепловой скоростью, достаточна для производства деления. Для деления ядер U238 нужна большая энергия, и ядра этого изотопа делятся лишь под действием быстрых нейтронов. Деление ядер U235 происходит на два различных осколка. Ядро делится произвольным образом и дает различные первичные про- продукты. Кривая выхода осколков деления урана-235 в зависимости от их массы дана на рис. 244. Как видно из кривой, наименее ве- вероятен случай деления пополам. Чаще всего массы осколков отно- относятся примерно как 2 к 3, скажем Sr95 и Хе139. Эти ядра обладают огромными энергиями: легкое — порядка 100 МэВ, тяжелое — около 65 МэВ. Многообразие продуктов деления объясняется не только различными вариантами расщепления ядра на части, но и тем, что возникшие радиоактивные ядра-осколки, распадаясь, создают еще ряд продуктов. Ядра, образовавшиеся при делении, обладают ненормально большим количеством нейтронов. Путем цепочки превращений ра- радиоактивные ядра переходят в нормальное стабильное состояние. Например, Т1 3 7 ^^^ 1 ^17 f*^ 1 *\ 7 Т^ 1 о. 7 30 сек. 3,4 мин 33 года 531,
Под стрелками указаны времена полураспада. Ясно, что по времени распада практическим продуктом этой цепи превращений является лишь Cs137. Среди наиболее важных продуктов деления урана-235, кроме Cs137, можно назвать стронций-90 (см. ниже). /О I to to* tO to" во so wo то Рис. 244. /40 /вО /80 Деление ядра урана-235 сопровождается выделением огромной энергии: I г урана дает столько же энергии, сколько получается" при сжигании 2,5 т угля, т. е. 22 000 кВт-ч. Основная доля энер- энергии выделяется в виде кинетической энергии осколков деления; примерно 10% энергии приходится на излучение. § 2176. Цепная реакция Реакция, происходящая с ураном-235, известна в деталях. Уран-235 является единственным естественным изотопом, позво- позволяющим осуществить выделение энергии в промышленных количе- количествах. Так как для реакции деления нужны нейтроны, а нейтронного газа в природе не существует, то выделение энергии в больших 532
количествах может быть осуществлено лишь при одном условии — образовании цепной реакции, в процессе которой непрерывно созда- создавались бы новые нейтроны. Именно так и происходит деление ядер урана-235. При каждом делении освобождается несколько нейтро- нейтронов; при этом число выбрасываемых нейтронов может быть различ- различным. В среднем на одно деление приходится 2,5 нейтрона. Если нейт- нейтроны, образующиеся при делении одного ядра, будут способны де- делить ядра других атомов урана, то цепная реакция осуществится. Так как нейтроны имеют значительную длину свободного про- пробега, то образовавшиеся при делении ядра урана-235 нейтроны имеют большие шансы покинуть вещество, не произведя деления других ядер. Кроме того, следует учесть, что не всякая встреча нейтрона с ядром урана-235 приведет к делению. Развитие цепной реакции зависит от коэффициента размноже- размножения нейтронов. Теоретически можно рассчитать значение этого коэффициента Ко для случая системы бесконечно больших разме- размеров. Для расчета надо иметь сведения о размножении числа нейт- нейтронов за счет деления на медленных и быстрых нейтронах, а также о вероятностях захвата нейтронов ядрами неделящихся веществ. Значение коэффициента /Со, большее единицы, указывает, на- насколько следующее поколение нейтронов многочисленнее предыду- предыдущего. Однако реактор имеет конечные размеры. Поэтому коэффициент размножения нейтронов для реактора должен быть записан в виде К=КоA —р)> где р — вероятность вылета нейтрона за пределы реактора. Чтобы реактор начал работать, необходимо, чтобы коэффициент К был больше единицы. Во время работы реактора коэффициент размножения К должен в точности равняться еди- единице. Размеры системы, содержащей ядерное горючее, называются кри- критическими, если коэффициент размножения для нее равен единице. Можно регулировать коэффициент размножения на основе сле- следующих соображений. Вероятность встречи нейтрона с другим яд- ядром до вылета из вещества можно увеличивать, собирая вместе большие количества ядерного горючего. Необходимо также довести до минимума число атомных ядер, обладающих способностью пог- поглощать и, таким образом, выводить из реакции нейтроны. Увели- Увеличение вероятности захвата может быть достигнуто за счет замедле- замедления нейтронов. При делении из ядра вылетают быстрые нейтроны, в то время как ядро урана-235 лучше всего захватывает медленные, так называемые тепловые нейтроны. Особенность урана-235 заключается в том, что его ядра делятся как под действием быстрых (хотя и с меньшей вероятностью), так и под действием медленных нейтронов. Если ядра какого-либо вещества делятся под действием одних лишь быстрых нейтронов, то осуществление с ними цепной реакции становится невозможным: нейтрон, вышедший из разделившегося ядра и испытавший не- незначительное замедление благодаря одному-двум случайным, 533
не приведшим к делению столкновениям, уже выходит из цепной реакции. В настоящее время к ядерным горючим относятся, прежде всего, такие вещества, которые позволяют осуществить цепную реакцию с медленными нейтронами. К таким веществам относится единст- единственный изотоп уран-235 и два искусственных элемента: плуто- ний-239, получающийся из урана-238, и уран-233, получающийся из тория-232. Для того чтобы цепная реакция началась, нужно лишь собрать в ограниченном объеме количество ядерного горючего, превосходя- превосходящее некоторый минимум. О первом нейтроне заботиться не прихо- приходится: благодаря космическому излучению в атмосфере всегда име- имеется незначительное количество нейтронов. Кроме того, надо иметь в виду явление так называемого спонтанного (т. е. происходящего под действием внутренних сил, самопроизвольного) деления, откры- открытое советскими исследователями Флеровым и Петржаком; оказы- оказывается, что изредка деление ядра урана-235 может происходить и без захвата нейтрона. Наконец, радиево-бериллиевая смесь может также служить источником начальных нейтронов. § 217в. Принципы действия ядерного реактора Если внутри некоторого объема ядерного горючего цепная реак- реакция началась и если она неуправляема, то результатом ее будет взрыв, так как число нейтронов, а вместе с ним и количество выде- выделяющейся энергии в каждый последующий момент будет больше, чем в предыдущий. Количество энергии, выделенной за ничтожные доли секунды, будет столь велико, что последует взрыв. Для того чтобы выделять энергию в постоянном или, во всяком случае, в регулируемом количестве, нужно создать такую установ- установку, которая позволяла бы управлять коэффициентом размножения нейтронов. Эти установки называются ядерными реакторами или котлами. В такой установке мы должны иметь возможность начать цепную реакцию с коэффициентом размножения, незначительно превышающим единицу. Тогда концентрация нейтронов внутри кот- котла, а вместе с ней и мощность реактора начнут расти. Доведя мощ- мощность до желательной, надо иметь возможность сделать коэффи- коэффициент размножения точно равным единице. Реакция станет самр- поддерживающейся: число нейтронов и выделяемая в единицу времени энергия будут неизменными. Каждый реактор должен быть сконструирован таким образом, чтобы выделяющиеся при делении нейтроны использовались наибо- наиболее эффективно. Однако эффективное использование нейтронов не означает использования их исключительно для деления ядер и вы- выделения энергии. В котел могут быть введены вещества, ядра кото- которых могут поглощать нейтроны. При помощи реакций с нейтронами можно получить большое количество нужных искусственных ра- радиоактивных изотопов и, что крайне важно, искусственное ядерное 534
горючее. Таким образом, ядерный реактор является установкой не только для производства энергии, но и для получения искусст- искусственных изотопов. Нейтроны, выделяющиеся при делении, обладают скоростью в десятки тысяч километров в секунду. Тепловая скорость нейтронов порядка 1 км/с @,025 эВ). Наиболее эффективными в смысле деления являются тепловые медленные нейтроны. Большие достоинства имеют ядерные реакторы, работающие на естественной или обогащенной смеси урана-235 и урана-238. Уран-238 обладает свойством резонансного поглощения нейтро- нейтронов. Сильное поглощение имеет, например, место при энергии 7 эВ. В случае, если в реактор загружается смесь изотопов, замедление нейтронов до энергии, меньшей этой величины, становится совер- совершенно необходимым. Из сказанного следует, что основными элементами конструкции любого реактора являются: горючее, замедлитель нейтронов, погло- поглотитель нейтронов (необходимый для регулировки коэффициента размножения) и защита, предохраняющая окружающих от потока нейтронов и от ^-излучения, выделяющегося при ядерных превра- превращениях, происходящих в реакторах. Имеется значительное число работающих ядерных реакторов и проектов этих установок. Они могут отличаться друг от друга во многих отношениях: 1) материалом, при помощи которого вво- вводится горючее (чистое ядерное горючее, обогащенное горючее, при- природный уран в виде металла или химических соединений); 2) рас- расположением горючего (объемная решетка, решетка стержней, однородное распределение горючего в растворе или извести); 3) замедлителем (тяжелая или легкая вода, графит, бериллий); 4) типом охлаждения (вода, газ, жидкий натрий или отсутствие охлаждения). Реакторы могут быть спроектированы на любые мощ- мощности, начиная от долей киловатта и кончая сотнями тысяч кило- киловатт. В зависимости от типа и количества замедлителя реакторы могут работать на медленных (тепловых) и на быстрых нейтронах. Управление реакторами полностью автоматизировано. Контроль работы осуществляется с помощью нейтронных детекторов, распо- расположенных в стенах реактора и способных измерять нейтронные потоки в пределах от 1 до 5-Ю10 нейтронов/(см2-с). В детекторах материалом, чувствительным к нейтронам, служит бор-10 или уран- 235, наплавленный на электроды ионизационной камеры, или газ — фтористый бор (BF3), заполняющий камеру. В первом случае ка- камера заполняется аргоном, азотом, гелием или воздухом при дав- давлении в две атмосферы. Очень большая ответственность лежит на различного типа уси- усилителях ионизационного тока в релейных механизмах, передаю-, щих показания нейтронного детектора на приводы, управляющие движением контрольных стержней, а также стержней безопасности. В процессе работы реактора положение контрольных стержней должно, очевидно, изменяться. Дело в том, что по мере накопления 535
продуктов распада количество вещества, поглощающего нейтроны, возрастает. Эти «отравляющие» вещества могут в некоторых слу- случаях удаляться из котла автоматически (например, в том случае, если это газообразные продукты). Однако постепенное выдвижение контрольных стержней является необходимым условием для поддер- поддержания плотности нейтронов на неизменном уровне. Через некото- некоторый срок, порядка 5—20 месяцев, «отравление» реактора станет настолько значительным, что дальнейшая его работа будет невоз- невозможной. Должны последовать очистка котла от продуктов распада, загрузка свежего горючего. К продуктам деления, сильно поглощающим нейтроны, относятся рутений-103, ксенон-131 и 135, неодимий-143, самарий-149 и 151, европий-151, 152 и 155, гадо- линий-155. Разумеется, изменение коэффициента размножения происходит из-за образования искусственного горючего. Если кроме ядерного горючего в реакторе имеется какое-то количество урана-238 или тория, то такой реактор наряду с вы- выделением тепла производит искусственное ядерное горючее — плу- плутоний из урана-238 и уран-233 из тория. Реактор называется воспроизводящим (бридерным) в том случае, если количество делящегося материала в нем возрастает или по крайней мере остается неизменным. Воспроизводящий реактор может быть осуществлен лишь для таких расщепляющихся мате- материалов и при таких условиях, когда среднее число нейтронов, возникающих при делении, больше двух. Для того чтобы создать условия воспроизводства горючего, надо рассчитать реактор таким образом, чтобы сделать по крайней мере равными число делящихся в секунду атомов и число атомов урана-238 (тория), превращаю- превращающихся в секунду в плутоний (уран-233). Для того чтобы превратить выделяющееся тепло в электрическую энергию, поступают совершенно таким же образом, как и на тепло- теплоэлектроцентралях, работающих на угле. Однако забор тепла надо производить в несколько приемов. В проектируемых в США реак- реакторах на 1 млн. киловатт предполагается пропускать через реактор поток жидкого натрия, затем в теплообменнике передать это тепло второму натриевому циклу и отвести тепло в теплообменник водяным паром, который уже пойдет в турбину. § 217г. Искусственные радиоактивные продукты Наиболее значительное количество радиоактивных продуктов получается в ядерных реакторах. Управлять этим процессом в сторону получения желательных продуктов мы не можем, и каж- каждый час работы реактора приносит определенное количество продук- продуктов деления атомных ядер. К числу таких «обязательных» продуктов деления с относительно большим (достаточным для практического использования) периодом полураспада относятся Кг85, Sr89, Sr90, I129, I131, Xe133, Cs137, Ba140 и некоторые другие. 536
В настоящее время радиоактивные продукты деления приме- применяются в научно-исследовательских работах, в технике для конт- контроля производственных процессов и качества продукции, для ле- лечебных целей и в других случаях. Интересной областью применения радиоактивных изотопов яв- является радиография. Рентгеновские аппараты заменяются в области дефектоскопии металлов кобальтом-60 и цезием-137. Чтобы получить определенный радиоизотоп, имеются две воз- возможности: использование ядерного реактора и использование ядер- ядерной бомбардировки при помощи ускорителей частиц. Помещая любое вещество в реактор, мы подвергаем его действию нейтронов. Реакции с нейтронами осуществляются наиболее легко и позволяют получить радиоактивные изотопы почти всех химиче- химических элементов. Поэтому в производстве радиоизотопов применение ядерных реакторов играет основную роль. Радиоизотопы образуются в реакторе либо благодаря захвату нейтронов, либо в результате выбивания нейтронами из бомбарди- бомбардируемых ядер протонов или (реже) а-частиц. Следует отметить, что ядерный реактор не может производить такой разнообразный ассортимент изотопов, как циклотрон. Это вполне понятно, так как в реакторе условия бомбардировки атомных ядер ограничены сортом частицы (нейтрон) и диапазоном энергий. Однако и в получении больших количеств, например, изотопа С14 применение реакторов имеет недостатки. Вводимый для получения С14 исходный материал сильно поглощает нейтроны, и поэтому его нельзя вводить в реактор в больших количествах. Таким образом, ускорители частиц занимают вполне определенное самостоятельное место в производстве радиоизотопов. Производительность ускорителя определяется энергией и коли- количеством ядер, выбрасываемых из него в единицу времени. Число это нетрудно подсчитать по данным о среднем ионном токе, сила которого равна 101 А. Зная заряд иона, легко найдем, что за 1 с циклотрон дает 108 ядер, т. е. для дейтерия 2-Ю6 г. Если эти данные известны, то для расчета скорости, с которой под действием пучка ядер будет образовываться то или иное радиоак- радиоактивное вещество, надо знать еще «эффективное поперечное сечение» реакции. Эта величина измеряется в квадратных сантиметрах, обозначается сг и имеет следующий смысл. Если S — площадь бомбардируемого образца, то g/S есть вероятность попадания ядра-снаряда в ядро-мишень и осуществления соответствую- соответствующей реакции. Обычно значения а близки по порядку величины к 104,см2. Резко увеличенное поглощение имеет место у некоторых ядер при определенных скоростях нейтронов. Например, кадмий сильно поглощает медленные нейтроны с энергией 0,18 эВ: эффективное поперечное сечение этой реакции порядка 7000-104 см2. Поперечное сечение существенно зависит от энергии налета- налетающей частицы. Если кривая зависимости поперечного сечения от 537
энергии падающей частицы имеет резкий пик, то говорят о резонан- резонансном сечении. Радиоактивные элементы, получаемые в реакторах, так же как и в циклотронах, имеют широкое применение в качестве индикаторов (отсюда название «меченые атомы») почти во всех отраслях науки и техники. Из изотопов, имеющих наиболее широкое применение, можно отметить следующие. Кобальт-60, Р"-радиоактивен с периодом по- полураспада 5,2 года; сильное ^-излучение обеспечивает ему широкое применение для целей просвечивания и облучения. Углерод С14, радиоактивен с периодом полураспада 6360 лет; широко использу- используется в биологической химии, геохимии, а также при изучении кине- кинетики химических реакций. Широко применяются Р32 и S35 с перио- периодами 14,3 дня и 87 дней. Оба изотопа р~-радиоактивны. Одно из распространенных применений — в сельском хозяйстве для изу- изучения усвоения удобрений растениями. § 218. Термоядерные реакции Теоретические расчеты показывают, что атомные ядра почти всех элементов могут в принципе быть источниками энергии. Оказы- Оказывается, любое ядро, более тяжелое, чем ядро атома серебра, облада- обладает большей энергией, чем части, на которые его можно разделить. Все тяжелые ядра выделяют энергию при расщеплении. Чем тяже- тяжелее ядро, тем больше величина этой энергии. Поэтому уран является предельно «удачным» ядерным горючим. Однако и легкие ядра могут служить источниками энергии. Тео- Теория показывает, что ядро, полученное слиянием двух легких ядер, будет обладать меньшей энергией, чем исходные частицы. Следова- Следовательно, при слиянии легких ядер происходит выделение энергии. И здесь тем больше выделяется энергии, чем дальше мы отходим от середины Менделеевской таблицы. Наибольшую энергию можно получить при слиянии ядер атома водорода. При каких условиях можно осуществить реакции слияния лег- легких ядер? Ядерная бомбардировка не может привести к успеху вви- ввиду сильного торможения заряженной частицы в веществе. Единст- Единственная возможность — это повышение температуры. Легко подсчи- подсчитать необходимые температуры, которые надо придать атомным яд- ядрам, чтобы они могли приблизиться друг к другу вплотную, прео- преодолев электрическое отталкивание. В центре Солнца, по расчетам астрономов, имеет место темпера- температура в 20 миллионов градусов. Зная, что на одну степень свободы приходится 1ЦгТ энергии, находим среднюю кинетическую энергию, которую будет иметь частица при этой непредставимо высокой тем- температуре. Энергия будет равна всего лишь 3000 эВ. Подсчитаем теперь по формуле потенциальной энергии электрического взаимо- взаимодействия U=q2/r, на какое расстояние удастся подвести друг к другу два протрна. Оказывается, расстояние будет 5«10~и см. К 538
1мы знаем, радиус ядра существенно меньше. И все же термоядер- | ные реакции, т. е. реакции, идущие при высокой температуре, воз- возможны в недрах Солнца. Расчет, учитывающий туннельный эф- эффект, а также то, что во всяком газе, в том числе и в газе ядерных частиц, имеются частицы со скоростями, существенно большими ! средней, показывает, что в течение года одному атому из миллиона удается принять участие в реакции слияния ядер. Этого малого {процента оказывается достаточно для обеспечения деятельности (Солнца. В земных условиях такие высокие температуры создавались уже неоднократно при испытании водородных бомб. Температуры в десятки миллионов градусов создаются при взрыве урановой бом- бомбы. Если в зону этого взрыва будет помещено вещество, ядра кото- которого способны соединяться с выделением энергии, то возникает термоядерная реакция, энергия которой во много раз больше энергии урановой бомбы, играющей в этом случае роль запала. Приведем примеры наиболее легко осуществимых реакций, вы- выделяющих большую энергию: Термоядерные реакции могут возникнуть лишь при таких тем- температурах, которые дадут ядрам тепловую скорость, достаточную для преодоления с заметной вероятностью кулоновского потенци- потенциального барьера. Наибольший интерес представляют реакции в дейтерии и в смеси дейтерия и трития — в этом случае нужна наименьшая энергия. Температура, необходимая для получения одного нейтрона в се- секунду в грамме дейтерия (по реакции 1D2+1D2==2He3+0n1)» равна 200 000 °С. В сильно разреженном газе для той же цели нужна еще более высокая температура, порядка 500 000 °С. При такой темпе- температуре дейтерий (или другое вещество) будет представлять собой плазму из ядер и электронов. Для перевода дейтерия в это состоя- состояние требуется совсем небольшая энергия, порядка нескольких киловатт-часов. Однако трудность состоит не в сообщении дейтерию энергии, а в тепловой изоляции плазмы, т. е. в сохранении ядрами дейтерия соответствующей кинетической энергии в течение длитель- длительного времени (см. § 178а). ГЛАВА 31 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ § 219. Термин «элементарная» частица Вопрос о структуре тел относится к числу решенных. Тела со- состоят из электронов и ядер, ядра состоят из протонов и нейтронов. Таким образом, достаточно достоверным и точным будет утвержде- утверждение: тела построены из трех типов частиц — электронов, протонов 539
и нейтронов. Вероятно, было бы справедливо удержать термин «элементарные» только для этих частиц. Задачи, связанные со свойствами тел неживой и живой природы, сводятся к законам взаимодействия электронов и ядер. Мы знаем эти законы природы, и все физические явления могут быть ими объяс- объяснены, т. е. поведение тел может быть предсказано. Если количест- количественные предсказания не удаются, то это означает лишь то, что из-за большого числа факторов явление не поддается математическому описанию. Область физики, связанная с объяснением свойств тел через вза- взаимодействия электронов, протонов и нейтронов, отчетливо отделя- отделяется от области, которую называют физикой элементарных частиц. Изучение столкновений между частицами в космических лучах и ускорителях привело к открытию примерно 200 частиц, разли- различающихся зарядом, массой и другими свойствами. В отличие, од- однако, от электронов и ядер, элементарные частицы этого типа обла- обладают коротким сроком жизни и способностью к сложной цепи пре- превращений. Представляется, что рассмотрение с одной и той же точки зрения всех частиц является неверным. Элементарные частицы, за исклю- исключением трех «кирпичей» целесообразнее представлять как возбуж- возбужденные состояния нуклона (общее название протона и нейтрона, которым мы уже пользовались). Для таких состояний принят термин — бар ион. Многие частицы и пары частиц аналогичны свето- световым фотонам; они являются материальным выражением энергии, выделяющейся при возвращении системы из возбужденного в основ- основное состояние. Мы видели в § 213, что излучение ядра может происходить не только в виде фотона, но и в виде пары электрон — антинейтрино. Ниже мы установим, что возбужденные нуклоны переходят в основное состояние еще большим числом способов, а именно излучением фотона, пары электрон — нейтрино, пары мю- он — нейтрино, излучением пиона и излучением каона. Надо думать, термин «элементарная частица» в том смысле, в каком он применялся до сих пор, существенно устарел. Мы сохра- сохраняем его, однако, не боясь недоразумений. В прилагательное «эле- «элементарный» уже давно не вкладывается содержание этого слова. Ряд общих идей, касающихся взаимодействия частиц, изложен в первых параграфах этой главы. Познакомившись с ними, мы рас- рассмотрим вид барионного спектра и изложим вкратце интересную схему кварков, помогающую изящно описать спектры барионов и мезонов. § 220. Взаимодействие быстродвижущихся электронов Если электроны движутся медленно, то силы взаимодействия определяются расположением зарядов в тот момент времени, когда мы определяем взаимодействие. Поэтому для медленных электронов не играет роли факт существования электромагнитного поля; 540
не существенно, что передача взаимодействия происходит через поле. Иначе обстоит дело при рассмотрении быстродвижущихся частиц. Здесь необходимо учитывать запаздывание взаимодействия, происходящее из-за конечной скорости распространения электро- электромагнитного поля. Взаимодействие в момент t определяется распо- расположением зарядов в момент t — гIc. Теперь обойтись без рассмотре- рассмотрения поля нельзя. Как же учесть квантовую природу поля при сохра- сохранении схемы взаимодействия: частица — поле — частица? Этим вопросом занимается квантовая электродинамика — область теоре- теоретической физики, еще далекая от завершения. Опыт вынуждает нас при рассмотрении взаимодействия быстрых частиц полагать, что это действие заключается в передаче частицей полю кванта энергии с дальнейшей передачей этого кванта второй частице. Если величина передаваемого кванта энергии равна <$\ а время передачи кванта от частицы к частице есть т, то, согласно принципу неопределенности (ср. стр. 446) <?т~ h. Если частицы находятся близко друг к другу, т мало и частицы могут обмениваться квантами hv малых и больших частот. При воз- возрастании расстояния между частицами т растет и обмен энергией становится возможным лишь малыми квантами. Из подобных сооб- соображений теория позволяет вывести формулу силы взаимодействия между частицами. Многие авторы пользуются следующей образной терминологией, описывая квантовое взаимодействие частицы через посредство поля. Чтобы передать полю квант энергии <?, частица «одалживает» эту энергию на короткое время Т. Принцип неопределенности регу- регулирует зависимость срока займа от количества одолженной энергии. Получается так, как если бы закон сохранения энергии был «на- «нарушенным» на время Т, т. е. на время займа. Принцип неопреде- неопределенности показывает, на какой срок может быть «нарушен» закон сохранения энергии, чтобы это «нарушение» не имело физического смысла. Эта точка зрения может быть развита и дальше, но она приводит к следующей трудности. Не существует ограничения в поглощении и излучении фотонов, поэтому при обмене фотонов возникают бес- бесконечно большие изменения в значении собственной энергии ча- частицы. Интересно, что такое положение дел возникает при любом под- подходе к оценке собственной энергии электрона или другой заряжен- заряженной частицы. Мы видели на стр. 219, что бесконечной энергией об- обладает точечная частица. В то же время нельзя считать, что частица имеет конечный размер. Действительно, абсолютно твердая ча- частица конечного размера невозможна с точки зрения теории относи- относительности, которая не допускает существования абсолютно твердых тел (через такие тела взаимодействие распространяется мгновенно). 541
Если же считать электрон деформируемой частицей, то встает во- вопрос о структуре электрона. Решение вопроса не найдено до сих пор. Своеобразной особенностью новой теории является то, что она способна привести к ряду новых весьма интересных результатов, несмотря на явную противоречивость фундамента и отсутствие в тео- теории логической стройности. § 221. Мезонная теория взаимодействия нуклонов В предыдущем параграфе мы говорили, что взаимодействие элек- электрически заряженных частиц происходит посредством электромаг- электромагнитного поля и при этом квантовым путем. Электрическая частица отдает электромагнитному полю квант энергии, который затем пере- передается полем другой частице. Если полагать наличие поля у ядер- ядерных сил и считать, что это поле также имеет квантовый характер, то можно взаимодействие нуклонов описать следующим образом: каждый нуклон окружен полем, нуклон передает квант энергии этому полю, а поле возвращает этот квант другому нуклону. Теоретическое исследование возможности такого объяснения ядерных сил было предпринято Юкавой. Оказалось, что теория может быть построена, если принять, что поле, через посредство которого нуклоны взаимодействуют, обладает квантами с массой покоя, не равной нулю. Взаимодействие нуклонов было сведено, таким образом, к обмену частицами, обладающими некоторой мас- массой т0Ф0. По причинам, которые будут ясны ниже, эта частица получила название мезона. Мезон является квантом мезонного поля, окружающего нуклоны. Остановимся на некоторых выводах теории. Прежде всего, попы- попытаемся оценить радиус действия ядерных сил. Энергия мезона, передаваемого нуклонами при взаимодействии, не может быть меньше, чем т0с2, где т0 — масса покоя мезона. Время передачи мезона по порядку величины должно быть не более h/m0c2 (на основании соотношения $x~h, где <§— количество пере- передаваемой энергии, ат — время, затрачиваемое на эту передачу). Так как мезон движется со скоростью не выше с, то расстояние, на которое мезоны могут быть переданы, не превышает h/moc. Эта постоянная величина должна характеризовать радиус действия ядерных сил. К такому выводу пришел Юкава. Учитывая известный в то вре- время радиус действия ядерных сил, Юкава увидел, что теория совпа- совпадает с опытом, если масса покоя мезона т0 в 200.—300 раз превы- превышает массу электрона. Изложенная теория допускает с одинаковым успехом нейтраль- нейтральные, электрически отрицательные или положительные мезоны, что позволяет в рамках этой теории легко интерпретировать любые взаимодействия между нуклонами. Обозначая мезон Юкавы через я и условливаясь индексом отмечать знак мезона, мы можем записать 542
взаимодействие между двумя нейтронами или двумя протонами как процессы обмена нейтральным мезоном, Обменное взаимодействие протона и нейтрона требует отрицатель- отрицательного или положительного мезона в соответствии с уравнениями Теория Юкавы была создана до открытия мезонов. В настоящее время написанные формулы — это запись явления, наблюдающе- наблюдающегося на опыте. § 222. Мезоны Названием «мезоны» (от греческого «mesos» — средний, проме- промежуточный) подчеркивается, что речь идет о частице, промежуточ- промежуточной по массе между электроном и протоном. Опыты показывают, что существует не один сорт мезонов, а несколько. Впервые мезоны (электрически заряженные) наблюдались в космических лучах. В настоящее время мезоны производятся в ускорителях: они воз- возникают при столкновении нуклонов. Однако мы не считаем, что все эти разные мезоны играют одну и ту же роль во взаимодействиях между нуклонами. Мезоном Юка- Юкавы является я-мезон, или пион. Как уже указывалось выше, суще- существуют положительные, отрицательные и нейтральные пионы. По последним измерениям масса пиона равна 273 те (те — масса электрона). В космических лучах первоначально были найдены (х-мезоны — мюоны (положительные и отрицательные), масса которых равна 207 те. Лишь через 10 лет после открытия мюонов было показано, что они являются продуктами распада пионов. Причина того, что исследователи легко наблюдали мюоны и не замечали пиона, зак- заключалась в различии их времен жизни. Если средний срок жизни мюона равен примерно 10~6 с, то для пиона время жизни измеряется в сто раз меньшими числами: оно порядка 10~8с. Показать это превращение можно при помощи фотографий. На многих из них можно найти случай замедления пиона (замедление легко узнается по виду трека частицы: он становится более жирным по мере замедления, так как медленная частица создает на своем пути больше ионов), заканчивающийся остановкой частицы. При этом от точки остановки начинается новый след. Расчет показывает, что новая частица обладает весьма большой энергией, что может быть объяснено лишь допущением, что в кинетическую энергию обратилась часть энергии покоя пиона. При этом превращении пиона в мюон закон сохранения импульса требует предположения об одновременном создании нейтральной частицы очень малой мас- массы. Здесь мы опять встречаемся с нейтрино, но это уже другое нейт- нейтрино. Тонкими исследованиями удалось показать, что пионы 543
превращаются в фотоны или в лептонную пару по схемам Таким образом, существуют два сорта нейтрино и два сорта анти- антинейтрино. Масса покоя пиона около 150 МэВ. Значит, произвести пион можно при ядерной бомбардировке снарядами с энергиями, боль- большими этой цифры. На самом деле нужна энергия, большая 300 МэВ. Ядерная бомбардировка частицами с такой энергией сопровожда- сопровождается появлением большого числа мезонов. Доказать появление нейтральных пионов исключительно слож- сложно, так как их время жизни оказалось равным 10~15 с. За время своей жизни эти частицы успевают пройти тысячную долю милли- миллиметра. Мы не останавливаемся на перечне других мезонов, обнаружи- обнаруживаемых во все возрастающем числе по мере роста возможностей ус- ускорителей. Пионы можно рассматривать как основное состояние всего семейства мезонов, которое нам удобно будет рассмотреть после изучения спектра барионов. § 223. Релятивистская теория электрона Выше (§ 180), рассматривая уравнение Шредингера, мы не пользовались соотношениями теории относительности, молчаливо предполагая, что скорость частиц по отношению к скорости света мала. Совершенно невозможно обойтись без этих поправок при рас- рассмотрении электронов больших энергий, а именно порядка миллио- миллионов электрон-вольт. Электроны таких больших скоростей встреча- встречаются в радиоактивном излучении, в рентгеновских трубках, рабо- работающих на напряжении в миллионы вольт, бетатронах и т. п. Если мы хотим описывать электроны таких скоростей правиль- правильной волновой функцией, то нам придется учесть то соотношение между энергией и импульсом, которое дает теория относительности. Если масса покоя задана, то между энергией тела и скоростью, а также между импульсом и скоростью имеется непосредственная зависимость. Значит, можно и энергию связать с импульсом. Воз- Возводя в квадрат выражения и вычитая, получим Связь энергии и импульса выражается уравнением 544
(см. рис. 245). При р —О (g^dbfnoC2—две ветви нарисованной кри- кривой отсекают по оси отрезки, равные энергии покоя частицы. Долгое время на вторую — отрицательную — ветвь кривой не обращали внимания. Казалось невозможным существование частиц, которые вели бы себя по законам отрицательной ветви. Действи- Действительно, частица, обладающая отрицательной энергией покоя и уменьшающая свою энергию при увеличении импульса, должна вести себя весьма странно. Она будет похожа на частицу с отрицательной мас- массой, а это значит, что при действии силы на такой «электрон» частица будет полу- получать ускорение против направления дей- действия силы. Если мы попытаемся при- притянуть такую частицу, она отдалится. Представим себе, что рядом находятся два электрона: обычный и необычный, ведущий себя по закону нижней кри- кривой. Между частицами должно возник- возникнуть отталкивание.Нормальный электрон будет двигаться прочь от необычного. Но необычный «электрон» под действием от- отталкивающей силы будет притягиваться и, следовательно, будет придвигаться к обычному электрону. Возникнет совместное уско- ускоренное движение этой пары, при этом возрастание положительной кинетической энергии обычного электрона будет сбалансировано возрастанием отрицательной энергии необычной частицы. Что же это за частица, существует ли она? Прркде всего, необ- необходимо ответить, что с точки зрения квантовой механики это вовсе не другая частица. Отрицательную ветвь кривой энергия — им- импульс следует трактовать как самый низкий энергетический уровень одной и той же частицы, т. е. электрона. Наряду с обычными уров- уровнями энергии электрон может находиться и на уровнях с отрица- отрицательной энергией. Переход с более высокого на более низкий уровень должен происходить, как и в других случаях, с излучением энергии. Правда, при таком переходе излучение не может ограничиться одним фотоном. Это ясно из следующего соображения. При пере- переходе электрона из состояния^, рг верхней кривой в состояние <?2, р2 нижней кривой выделяется энергия, равная Рис. 245. т. е. во всяком случае большая с(р1~тр^). Если при этом энергия передается одному фотону, то должно быть Si— <§2=hv, а /?х + -{-р2=Ну/с, т. е. изменение импульса фотона (р± антипараллельно/?2) равняется hv/c. Но Si— <§2 не равно с(р1+р2), а больше этой вели- величины. Удовлетворить одновременно законам сохранения энергии и импульса в случае одного фотона невозможно, однако это всегда удастся, если выделяются два фотона. 18 А. И. Китайгородский 545
Нас не смущает то, что нижнее состояние отвечает отрицатель- отрицательной энергии и что частицы с <?< 0 ведут себя очень странно. Затруд- Затруднительным является другое обстоятельство: на нижнем уровне (ввиду того, что он простирается на все возможные значения импуль- импульсов) сколько угодно места. Почему все нормальные электроны не пе- перешли на этот уровень? Затруднение, с которым мы сталкиваемся, заключается в том, что набросанная картина предусматривает суще- существование одних лишь «необычных» электронов. Обычные электроны должны были бы существовать краткие мгновения наподобие воз- возбужденных атомов. § 224. Рождение и аннигиляция пар частиц Релятивистская теория электрона была создана Дираком в 1928 г. Описание электрона в этой теории существенно иное, не- нежели в теории Шредингера. Поведение электрона описывается уже не одной волновой функцией, а четырьмя. Из теории Шредингера не следует существования спина электрона. Напротив, спин элект- электрона является необходимым следствием теории Дирака. Успехи этой теории в описании многих явлений доказывают справедливость ее основных идей. Мы остановимся лишь на трактовке этой теорией противоречия, о котором мы сказали в предыдущем параграфе. Как объяснить существование множества обычных электронов? Как понять «нежелание» электронов переходить на более низкий уровень отрицательной энергии? Принцип Паули не позволяет электрону переходить на более низкий уровень, если этот уровень заполнен двумя электронами с противоположными спинами. Привлечем этот принцип к интере- интересующей нас проблеме. Решение будет получено, если мы предполо- предположим, что все состояния с отрицательной энергией заняты. Значит ли это, что все пространство заполнено сплошь электронами в со- состоянии с отрицательной энергией? Такой вывод как будто неизбе- неизбежен. Теория Дирака привела к новому представлению о вакууме. Пустота получает в этой теории физические свойства. Она запол- заполнена электронами в состоянии с отрицательной энергией и при этом заполнена ими беспредельно, поскольку нет предела уменьшения энергии к отрицательной бесконечности. Посмотрим, какие явления способна объяснить и предсказать эта теория. Если все состояния с отрицательной энергией заняты, то их существование удастся обнаружить лишь после того как благодаря полученной значительной порции энергии, во всяком случае боль- большей 2т0с2у электрон перейдет с нижнего уровня отрицательной энергии на верхний уровень. Такой процесс возможен с затратой двух фотонов. Возможен и другой вариант: один фотон, проходя- проходящий мимо атомного ядра тяжелого атома (которое обладает силь- сильным электрическим полем), может отдать свою энергию на подъем 546
электрона с отрицательного на положительный уровень. Роль атом- атомного ядра заключается в придании необходимого импульса. В обоих этих случаях электрон «рождается». Но наряду с появ- появлением электрона возникает «дырка» в состояниях с отрицательной энергией. Уход электрона, т. е. отрицательного заряда, приводит к тому, что дырка получает равный по величине положительный заряд. С другой стороны, отсутствие частицы с отрицательной энергией означает возрастание энергии. Следовательно, энергия дырки тем выше, чем больше ее импульс. Мы приходим к выводу, что «дырки» должны вести себя так, как положительно заряженные электроны с положительной энерглей. За исключением знака за- заряда, поведение положительного электрона (позитрона) не должно чем-либо отличаться от поведения и законов движения обычного электрона. Позитрон и электрон «рождаются» в виде пары за счет энергии фотонов. Возможен и обратный процесс — аннигиляция, заклю- заключающийся в превращении встретившихся электрона и позитрона в два фотона или в один фотон, если аннигиляция происходит вблизи тяжелого атомного ядра. Понятно, почему позитроны не живут долго; они притягиваются электронами и при встрече пропадают. Но почему же не пропадают электроны? Просто по той причине, что их имеется избыток. Может быть, возможно существование систем, где в избытке имеются позитроны и, следовательно, электроны неустойчивы? В таком предположении не содержится ничего бессмысленного. Рождение пары и аннигиляция являются процессами, которые превосходно и в неограниченном числе наблюдаются в лаборатории. Если у-лучи с энергией больше 1 МэВ проходят через тонкую метал- металлическую фольгу, то легко наблюдать выбрасывание из фольги электронов, отклоняющихся в магнитном поле в противоположные стороны. Наблюдая за позитроном (о средствах наблюдения заря- заряженных частиц см. § 207), мы обнаружим в некоторый момент его пропажу. Здесь позитрон соединился с электроном. При помощи современных счетчиков фотонов можно строго доказать, что однов- одновременно из этого места в противоположные стороны направятся два фотона с энергиями порядка Мс2/2 эВ каждый. § 225. Частицы и античастицы Не было никаких оснований предполагать, что существование позитрона, или, как лучше сейчас его назвать, антиэлектрона, яв- является особенностью малых частиц. Несмотря на ряд специфических особенностей, теория взаимодействия между нуклонами разви- развивается по тем же линиям, что и теория взаимодействия электронов. В большинстве теоретических работ предполагается, что нуклоны должны описываться уравнениями, вполне подобными уравнениям Дирака для электронов. Если так, то для нуклонов надо ожидать существования античастиц, находящихся в таком же взаимоотно- 18* 547
шении к протону и нейтрону, в котором находятся позитрон и электрон. Опыт показал, что именно так и обстоит дело для протона. Незначительно позднее был открыт и антинейтрон, который отли- отличается от нейтрона направлением магнитного момента (у нейтрона Рис. 246. магнитный момент и вектор вращательного импульса антипарал- лельны, а у антинейтрона — параллельны). Открытие антипротона показывает справедливость общей идеи — неразрывной связи поля с частицами. Так же как пара позитрон — 548
электрон, пара протон — антипротон может возникнуть путем пере- перевода нуклона из состояния отрицательной энергии в состояние с по- положительной энергией. Для этой цели требуется энергия не меньше, чем 2Мс2. Это — огромная энергия, в 1840 раз большая той энергии, которая нужна для создания пары электрон — позитрон. Нужны были ускорители на миллиарды электрон-вольт, для того чтобы открытие антипротона стало возможным. При встрече протона с антипротоном они будут аннигилировать. Поскольку нуклоны передают энергию через посредство мезонного поля, то при аннигиляции их масса и энергия будут отдаваться кван- квантам этого поля — мезонам. Не представляет сомнения, что этот процесс будет детально изучен в ближайшие годы. На рис. 246 показана фотография аннигиляции протона и анти- антипротона. Процесс наблюдался в пузырьковой камере, наполненной жидким пропаном. Схема процесса изображена слева вверху. Соображения о необходимости существования античастиц приме- применяются и к нейтрино. «Зеркальное» изображение называется анти- антинейтрино. Различие частиц, составляющих дублет, такое же, как у нейтрона и антинейтрона. В виде дублета встречаются и мюоны, а также и другие эле- элементарные частицы, о которых мы не говорили. Мюоны представляют собой триплет: мюон встречается в виде разновидностей с зарядами плюс и минус, а также с заря- зарядом, равным нулю. В отличие от нейтрона и нейтрино .нейт- .нейтральный мюон, лишенный спина, не может обладать античасти- античастицей (можно также сказать: совпадает со своей античастицей). Еще одной частицей, не имеющей «отражения», является фотон. § 226. Асимметрия элементарных частиц Взаимодействие нуклонов осуществляется испусканием и погло- поглощением мюонов. Это наиболее сильное взаимодействие элемен- элементарных частиц (его длительность 10~33 с) ответственно за силы, свя- связывающие нуклоны в атомном ядре. Электромагнитное взаимодей- взаимодействие, сводящееся к обмену фотонов, длится 10~21 с; электромаг- электромагнитные силы примерно в сто раз слабее ядерных. Эти два типа взаимодействия условились называть сильными в противоположность слабому взаимодействию, имеющему место при таких превращениях частиц, в которых участвуют нейтрино. К последним относится прев- превращение нейтрона в протон с излучением и поглощением нейтрино и электрона ф-распад, о котором шла речь выше), распад л- и р,- мезонов, происходящий по схемам л \i Время слабого взаимодействия порядка 10~9 с, силы взаимодейст- взаимодействия в подобных процессах будут примерно в 10~14 раз слабее 549
ядерных. Разумеется, оценка силы взаимодействия временем про- процесса должна производиться при прочих равных условиях. В последнее время были найдены исключительно интересные факты, касающиеся слабых взаимодействий. Было обнаружено, что слабые процессы происходят асимметрично по отношению к «пра- «правому» и «левому» вращению. Так, например, было показано, что при Р-распаде ядер атомов кобальта, поляризованных при низких тем- температурах с помощью магнитного поля (поляризация частиц зак- заключается в ориентировке их магнитного момента и спина вдоль определенного направления), угловое распределение электронов асимметрично в направлениях «вперед» и «назад». Такие же факты были обнаружены при распаде |ы-мезонов относительно их направ- направления движения. Теория этого явления была предложена Ли и Янгом, а также советским ученым Ландау. Явления, о которых идет речь, могут быть объяснены двояко: либо внутренней асимметрией частиц, либо асимметрией пространства. Сущность первого объяснения, которым мы ограничимся, состоит в предположении, что элементар- элементарные частицы по своим свойствам симметрии подобны винту. Такие асимметричные частицы хорошо известны физике; к ним относятся правые и левые оптические антиподы молекул, о которых подробно рассказывалось на стр. 376. Понятно, что асимметричная элемен- элементарная частица, ориентированная своей осью вдоль какого-то на- направления, полярна, на что и указывает эксперимент. Чтобы объяснить наблюдающуюся асимметрию в опыте с пуч- пучком мюонов, можно воспользоваться гипотезой Ландау, в которой он связывает асимметрию частицы с ее зарядом. Как обсуждалось в предыдущем параграфе, все частицы, кроме фотона, встречаются в природе в виде зарядовых пар. Ландау предположил, что если какая-либо частица обладает симметрией правого винта, то анти- античастица обладает симметрией левого винта. Отражение в зеркале переводит правую руку в левую, правый винт в левый. Согласно высказанной гипотезе «отраженная в зеркале» частица представляет собой античастицу. Какое же отношение имеет это обстоятельство к опыту с пучком мюонов? Можно показать, что частицы, лишенные массы, должны ориентироваться своим спином в направлении движения. Масса нейтрино, очевидно, равняется нулю. Поэтому все нейтрино «про- «продольно поляризованы». Различие между нейтрино и антинейтрино сводится к следующему: у нейтрино спин направлен вдоль движе- движения, а у антинейтрино — против. Мюоны получаются распадом пионов. Но спин пиона равен нулю, поэтому спин мюона должен быть параллелен спину нейтрино, т. е. мюоны в таком пучке будут продольно поляризованы, что делает понятным асимметрию распре- распределения электронов при дальнейшем распаде мюонов. Про частицы, обладающие в своем движении симметрией пра- правого и левого винта, говорят как о частицах разной четности и обоз- обозначают их знаками (+) и (—). Ш
§ 226а. Барионный спектр При столкновении с другими частицами нуклоны возбуждаются и переходят в большое число различных квантовых состояний. Нук- Нуклон в возбужденном состоянии называют барионом. Наши сегодняшние представления о системе барионных уровней и переходах между ними показаны на схеме рис. 246а, предложен- предложенной американским физиком Виктором Вейскопфом. Жирные го- горизонтальные линии указывают обнаруженные на опыте энергети- энергетические уровни бариона. Шкала энергий дана слева. Для уровней энергии атомных ядер, которые мы обсуждали в предыдущей главе, понадобилась шкала в сотни тысяч раз более крупная, чем для атомов. При переходе к спектру барионов нам нужно увеличить масш- масштаб еще в тысячу раз. Мы видим, что разности энергий между уров- уровнями измеряются уже в единицах ГэВ (гигаэлектрон-вольт). Уже одна эта шкала показывает, в чем смысл постоянного наращивания мощностей ускорителей частиц: выполнить этот рисунок стало воз- возможным лишь благодаря позднейшим работам на ускорителях, придающих частицам-снарядам энергии, достаточные для возбужде- возбуждения бариона. Весь рисунок надо понимать как картину спектра одной части- частицы, основное состояние которой (нуклон) является дублетом. Различие между компонентами этого дублета — протоном и нейтроном, равное 1,2 МэВ, не видно на шкале обсуждаемого рисунка. Для наглядности уровни бариона разбиты по столбцам, разли- различающимся значениями двух квантовых чисел — изоспина / и странности S. Как было только что сказано, различие в зарядах смещает уро- уровень на величину, незаметную в масштабе нашего рисунка. Опыт показывает, что некоторые состояния встречаются в одной зарядо- зарядовой разновидности — это синглеты. В третьем столбце слева (а также на последнем) изображены синглетные уровни. Наиболее низкий синглетный уровень бариона носит название лямбда-ча- лямбда-частицы. Л-частица электрически нейтральна. Над основным дублетным протон-нейтронным уровнем (первый столбец слева) собраны другие дублеты. Во втором столбце слева изображены квартеты. Наиболее низкий уровень этого семей- семейства — дельта-частица (А) — встречается в четырех зарядовых разновидностях А~, Л°, Д+ и А+ + . Четвертый столбец — трип- летный, пятый и шестой — дублетный и синглетный соответ- соответственно. Состояниям одной и той же мультиплетности приписывается изо- спиновое число / (крайне неудачный термин, поскольку к вра- вращательному спину это число не имеет никакого отношения). Оно выбирается таким образом, чтобы 2/+1 равнялось муль- мультиплетности* 551
li fc>fc1 « S2 «. & «:•.
Уровни разбиты по столбцам также в зависимости от странно- странности S. Странность S=Y — Л, где Л — барионное число. Для об- обсуждаемой таблицы Л = + 1. У всех антибарионов А =—\. У ме- мезонов Л=0. Барионное число атомных ядер равно числу ядер. Величина Y равна удвоенному среднему заряду мультиплета: первый столбец Y = 2 . у @ + 1), S = 0; второй столбец К = 2 • -j (— 1 + 1 +0 + 2), S = 0; третий столбец К = 2 • -^- • 0, S = — lj четвертый столбец У = 2 • -g; (—1+0+1)» *S = — 1*, пятый столбец F = 2 • ~ (—1+0), S = — 2; шестой столбец К = 2 •(—1), S= — 3. Энергетические уровни одного и того же столбца (с одинаковыми S и /) отличаются значениями спинов и четности. Рассмотрим теперь переходы между уровнями. На рисунке по- показаны я-переходы (сплошные линии), К-переходы (штриховые линии) и переходы с выбрасыванием лептонной пары (сплошные жирные). Эмиссия фотонов на рисунке не показана. Обычно фотоны выделяются при пионных переходах, если только нет изменения за- заряда. Переходы возможны от каждого члена одного мультиплета к каждому члену другого; чтобы не загромождать чертеж, мы огра- ограничились одной линией. Пионные переходы возможны только между уровнями с одина- одинаковым значением 5. Именно эта странность в поведении барионов и послужила основанием для введения числа S. Если приписать всем пионам странность, равную нулю, а в слу- случае каонов положить S—+ 1 для К+ и К0 и S=—1 для К0 и К" (черта сверху обозначает античастицу), то будет иметь место закон сохранения странности. Если изоспин пиона равен 1, а изоспин каона 1/2, то при пере- переходах сохраняется и изоспиновое число. Несмотря на то, что в этой схеме мезоны рассматриваются как своеобразные кванты излучения, оказывается целесообразным рас- рассмотреть все семейство мезонов как возбужденное состояние пиона. Однако надо помнить о существенном отличии пиона от нуклона. Пион неустойчив и превращается в фотоны или лептонные пары: тс° превращается за 10~~16 с в фотоны, заряженные я-мезоны через 10~8 с — в лептонные пары. Схема мезонного спектра изображена на рис. 2466. Ее удается организовать по тому же принципу, что и барионный спектр. Эта 553
схема все же не столь красива, как предыдущая. Мы видим, что хаоны и эта-мезоны способны исчезать, не проходя через пионное состояние. - п-переход и ^ - ZK-или Ж- перехода -9 я-переходи ЗЗухфолгохлые переходы ^ Слаош 'бзаимодеы- 6 ?яе я - э/па а- фи л) Рис. 2466. Мюоны, естественно, не фигурируют на этой схеме, так как они являются членами лептонной пары. §2266. Кварки Спектры атома и атомного ядра объясняются динамикой и вза- взаимодействием их составных частей — электронов и ядра в случае атома, протона и нейтрона в случае атомного ядра. Можно думать, что этим же объясняются барионный и мезонный Спектры. Если бы удалось показать, что нуклоны и мезоны сделаны 554
из каких-то более элементарных частиц, если бы оказалось возмож- возможным через взаимодействие этих субэлементарных частиц объяснить системы уровней бариона и мезона, то физика элементарных частиц приобрела бы законченность квантовой механики. Пока эта задача далека от решения. Однако совсем недавно была предложена простая схема строения барионов и мезонов, которая так удачно описывает наблюдаемые энергетические уровни, что трудно эту удачу считать случайной. Экспериментальных подтверж- подтверждений описанная гипотеза пока не имеет. Либо они будут получены в будущем с помощью новых ускорителей, превосходящих по мощ- мощности существующие, либо гипотеза окажется несостоятельной. Даже в отсутствие экспериментальных подтверждений схема кварков останется полезной как метод классификации энергетиче- энергетических уровней барионов и мезонов. Для объяснения спектров вво- вводится три типа кварков: р (заряд +2/3, странность 0), п (заряд —V3, странность 0) и А, (заряд —V3 и странность —1). Нужны также соответствующие античастицы, получающиеся заменой знаков 5 и заряда на "обратные. Спин каждого из кварков равен 1/а. Приведенные на предыдущих двух рисунках барионный и ме- зонный спектры объясняются непредвзято. Для объяснения надо предположить, что барион состоит из трех кварков, а мезон из двух (кварк+антикварк). Нетрудно проверить, что правильные значения странности, заряда и спина получаются сразу же, если нейтрон = 2n протон = 2р А" -^=3п Д" = р- А+==2р Д+ + = Зр + Р + п Ь2п + п m in ttt ttt ttt ttt j Пионы придется построить из пар р+пН(л+), р + р~или n+ntl (я0) и п+р (я") и т. д. При помощи этой схемы хорошо описыва- описывается не только строение, но и переходы между уровнями. Разумеется, введение кварков, даже если оно и окажется удач- удачным, решает лишь часть проблем физики «элементарных» частиц. В целом эта область знания не получила еще стройности и ясности такой, которой обладают другие разделы физики. Г Л А В А 32 АТОМНОЕ СТРОЕНИЕ ТЕЛ § 227. Поликристаллическое вещество и монокристаллы Рост кристаллов из расплава или раствора начинается, как правило, из весьма большого числа центров. Если не приняты спе- специальные меры, то кристаллизация приведет к образованию не монокристалла, а поликристаллического вещества. Под микроскопом 566
(рис. 247) такое вещество кажется состоящим из отдельных зерен. Каждое зерно — это кристалл, принявший неправильную случайную форму, поскольку его дальнейшему росту воспрепятст- воспрепятствовали соседние кристаллики. Большинство тел, с которыми нам приходится иметь дело, и прежде всего металлы и камни, являются поликристаллическими веществами. Граница между зернами легко выявляется травлением в подхо- подходящем растворителе. Это объясняется тем, что большинство загряз- загрязнений, имеющихся в веществе, скапливается на границах зерен. Межкристаллитная прослойка отлична от «тела» зерна не только потому, что в ней име- имеются чужеродные атомы; она обладает особыми свойствами и по той причине, что ее ОС Рис. 247. Рис. 248. атомы расположены в нарушенном (переходном) порядке. Особая структура стыков зерен хорошо видна в электронном микроскопе в виде своеобразных гладких «дорожек». Обычные размеры зерен в металлах и камнях — это 10~4—10~5 см. Можно найти в природе или искусственно вырастить одиночный кристалл (монокристалл) любого кристаллического вещества. Моно- Монокристалл характеризуется правильностью своей формы: плоскими гранями, прямыми ребрами и симметрией, т. е. соразмерностью своих частей. Эта правильная форма выражает внутренние свойства кристалла, позволяющие рядом бесспорных опытов отличить кри- кристалл от куска вещества, которому такая форма придана искусст- искусственно. Также нетрудно узнать кристалл и в том случае, если его специфические признаки подавлены. Можно выточить шар из боль- большого кристалла каменной соли. Если его растворять в воде, то уда- удаление вещества происходит неодинаково быстро во всех точках по- поверхности шара и случайная форма стремится перейти по мере раст- 556
ворения в форму многогранника, естественного для этого вещества. Совершенно однозначно можно отличить монокристалл от поли- поликристалла методом рентгеновского анализа. Итак, естественно образовавшийся кристалл имеет форму мно- многогранника. Как и всякий многогранник, кристалл имеет некоторое число граней /?, ребер г и вершин е. Эти числа связаны соотно- соотношением р+е=г+2. Например, у куба 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Грани на кристаллах располагаются поясами или зонами. Зоной называется система граней, пересекающихся по параллельным реб- ребрам. Направление этих ребер называется осью зоны. Кристаллы одного и того же вещества могут довольно сильно отличаться по форме, но уже очень давно известно, что для данного вещества характерными являются углы между гранями и ребрами (в зависимости от случайных обстоятельств одна часть кристалла могла развиться больше другой; видимая соразмерность частей может от этого нарушиться). Это важное правило, которое иногда называют законом постоянства углов, иллюстрируется рис. 248, на котором изображены четыре различных кристалла горного хрусталя (SiO2). Мы видим, что число гра- граней и их относительные размеры различны у разных образцов, но углы между соответственными (т.е. связанными одним и тем же эле- элементом симметрии и обозначенными на рисунке буквой а) гранями и ребрами остаются неизменными. § 228. Пространственная решетка В основу исследований кристал- кристалла кладется следующее фундамен- фундаментальное утверждение: распределе- распределение вещества в кристалле может быть представлено трехмерной пе- периодической функцией. На рис. 249 изображен рисунок обоев. Имеется некоторый элемент этого рисунка, повторяющийся в двух направлениях. Выберем любую точку А рисунка, назовем ее узлом. Можно провести на рисунке систему линий, проходящих через выбран- выбранные узлы. Элемент рисунка, повто- повторением которого строится он весь, заключается в ячейке возник- возникшей сетки. Очевидно, зная ячейку, можно построить весь рисунок при помощи параллельных переносов на величину векторов ячейки а и Ь. Рис. 249. 557
Кристалл представляет собой не плоскую, а пространственную решетку. Элементом, строящим кристалл, является параллелепипед, построенный на трех векторах переноса (трансляциях) а, Ъ, с, кото- которые, вообще говоря, могут быть выбраны бесчисленным количест- количеством способов. Этот параллелепипед мы будем называть элементар- элементарной ячейкой, векторы а, Ь, с — основными векторами, или основ- основными трансляциями, а их длины а, Ь, с — основными периодами повторяемости или идентичности решетки. Решетка описывается в системе координат, за оси которой приняты направления основ- основных векторов. Различные способы выбора основных векторов, т. е. элементарной ячейки, иллюстрируются для двумерного случая рис. 250. Элементарная ячейка в общем случае представляет собой косоугольный параллелепипед с ребрами а, Ь, с и углами а=Ь^с\ $—с, а; у=а, Ь. Шесть величин а, Ь, с, а, р, у, однозначно харак- характеризующие элементарную ячейку, называются ее параметрами. Поскольку задание элементарной ячейки определяет всю решетку, эти величины иногда называют параметрами решетки. Ячейку в виде косоугольного параллелепипеда называют три- клинной; если a=Y=90°, то ячейку называют моноклинной. Ячейка в виде прямоугольного параллелепипеда называется ромбической, а если вдобавок а=Ь, то тетрагональной. Если а^Ьфс и а=р=90°, а 7=120°, то ячейку называют гексагональной. Простейшие ячейки имеют форму куба. Если один из узлов выбран за начало отсчета, то радиус-вектор любого другого узла можно представить: где т, п, р — целые числа, нумерующие узлы по соответствующим осям и называемые индексами узлов. Совокупность трех индексов, характеризующих узел, называется символом узла и записывается в виде llmnp]]. Существует бесчисленное количество узловых плоскостей и узло- узловых прямых. Как узловые прямые, так и узловые плоскости пред- представлены в решетке бесконечными параллельными семействами. 558
Переход от одной прямой к другой прямой того же семейства ияи от одной плоскости к другой происходит параллельным переносом (трансляцией) вдоль любого вектора, соединяющего два узла этих прямых или плоскостей. Каждое семейство узловых прямых харак- характеризуется периодом идентичности вдоль узловой прямой и направ- направлением, т. е. наклоном к выбранным осям координат. Для описания семейства выбирается прямая, проходящая через начало координат. Узловая прямая однозначно характеризуется индексами и, v, w первого узла, лежащего на этой прямой. Индексы этого узла назы- называют индексами прямой и обозначают [uvw]. Если индекс отрицате- отрицателен, то минус пишется над цифрой. Символ [100] соответствует оси а решетки, [010] — оси Ь и [001] — оси с. Прямые [011] и [01 Г] пред- представляют собой две плоские диагонали, лежащие в грани be. Разу- Разумеется, [011] и [ОТТ] — это одна и та же прямая. Различение этих обозначений имеет смысл лишь в том случае, если мы хотим под- подчеркнуть полярность направления. Пространственные диагонали ячейки получают символы [111], [111], [1T1J и [111]. Их четыре в соответствии с наличием восьми квадрантов; другие четыре символа укажут на те же прямые обратной полярности. Скажем, [111] анти- параллельно [111] и т.д. Пространственная решетка может быть построена следующим образом. Двумя трансляциями строится бесконечная сетка — узло- узловая плоскость; третьей трансляцией, не лежащей в этой плоскости, строится решетка. Пространственная решетка кристалла может быть представлена семействами узловых плоскостей бесчисленным количеством способов. Всякое семейство узловых плоскостей со- состоит из параллельных плоскостей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Для данной решетки исчерпывающей характеристикой семейства узловых плоскостей будет указание межплоскостного расстояния и ориентации одной из этих плоско- плоскостей относительно выбранных осей координат. Достаточно также задать ориентацию плоскости, наиболее близкой к началу коорди- координат, по отношению к выбранным осям. Расстояние этой плоскости от начала координат будет равно межплоскостному расстоянию рассматриваемого семейства. Пусть эта ближайшая к началу плоскость отсекает на осях решетки доли основных периодов идентичности a/h, blk и ell. Числа /г, k, l, характеризующие ориентацию плоскости, назовем индек- индексами плоскости. Нетрудно видеть, что A, k, I — целые числа. Это следует хотя бы из такого рассуждения. Рассмотрим плоскость семейства, проходящую через начальный узел, и другую, сдвинутую на период а. Это показано на рис. 251. Между этими узловыми пло- плоскостями будут проходить и другие, но они должны быть располо- расположены на равных расстояниях друг от друга. Следовательно, периоды идентичности вдоль выбранных осей будут делиться узловыми пло- плоскостями на целое число частей. Ближайшая к началу координат плоскость, отсекающая по осям координат значения I/A, Ilk, III периодов идентичности, характери- 559
зуется совокупностью трех индексов (чисел) A, k и /, называемых символом плоскости.Символ плоскости заключают в круглые скобки: ihkl). Например, плоскость B36) отсекает по осям отрезки а/2, п. 1 \ \ \ \ v \ \ \ \ \A \ \ \ \ \ \ \ \ \ Рис. 251. Ь/3 и ^/6. К этому семейству принадлежит любая плоскость, которая отсекает по осям отрезки, в целое число раз большие приведенных. (но) ZZ^~ Рис. 252. Так, в нашем случае плоскости, следующие за ближайшей к началу координат, будут отсекать такие отрезки по осям: а, 2/3Ь, Х1ъс\ 3/2а, b, V2 с и т. д. Если плоскость отсекает по осям отрицательные отрезки, то это отмечается знаком минус над соответствующим индексом. Очевидно, 560
что плоскости (hkl) и (h k I) принадлежат к одному и тому же се- семейству. Поэтому можно у индексов плоскости менять все знаки на обратные. Если плоскость параллельна оси координат, то соответствующий индекс равен нулю. Таким образом, A10) есть плоскость, параллель- параллельная оси с, @01) есть плоскость аЪ решетки (рис. 252), @10) есть плоскость ас, A00) есть плоскость be. Плоскости, проходящие через одну из осей и одну из диагоналей, имеют индексы с двумя едини- единицами и одним нулем. Например, плоскость A01) представляет собой плоскость, параллельную оси о и проходящую через ту из диагоналей ас, которая не проходит через начало координат и проходит через концы векторов +а и -\-с. К тому же семейству принадлежит плос- плоскость (ЮТ), проходящая через концы векторов — аи — с. Плос- Плоскость A01), или ее «обратная сторона» A01), также параллельна оси Ь, но идет через ту диагональ ас, которая не начинается в нуле- нулевом узле решетки и проходит через концы векторов +а и —с и соответственно —а и +с. Символ с тремя единицами относится к плоскостям, проходящим через три диагонали. Эти же плоскости проходят через концы всех трех векторов решетки. Скажем, плоскость A11) проходит через концы векторов —а, —Ь и +с. Индексы семейства узловых плоскостей решетки являются одно- одновременно индексами граней кристалла. Две параллельные грани получают индексы (hkl) и (h k /). § 229. Выбор ячейки. Симметрия кристалла Для описания решетки могут быть приняты различные тройки векторов a, b n с. Если внутри элементарной ячейки нет узла, то такая ячейка называется примитивной. Различные способы выбора примитивной элементарной ячейки показаны на рис. 253. На каждый узел решетки приходится а) Рис. 253. одинаковый объем. Это объясняется периодичностью пространствен- пространственной решетки. Объем, приходящийся на один узел, равен объему примитивной элементарной ячейки, независимо от способа выбора 561
ее. Действительно, каждый из восьми узлов, находящихся в верши- вершинах такой ячейки, «поделен» между восемью ячейками, т. е. при- принадлежит каждой из них на 1/8. Таким образом, на каждую ячейку приходится один узел. В ряде случаев целесообразен выбор элемен- элементарной ячейки большего объема, чем примитивная. Желая отразить в выборе ячейки максимальную симметрию кри- кристалла, зачастую вместо примитивной элементарной ячейки выби- выбирают элементарную ячейку, у которой дополнительные узлы нахо- находятся в центрах граней или в центре объема. Три случая являются распространенными. 1. Объемно-центрированная ячейка. Дополнительный узел нахо- находится в точке пересечения пространственных диагоналей ячейки. На каждую ячейку приходятся узлы: [[000]] и U- уу |. Один узел (в центре) целиком принадлежит ячейке; восемь узлов вершин па- параллелепипеда принадлежат каждый восьми ячейкам, т. е. данной ячейке каждый из таких узлов принадлежит на V8. 2. Транецентрированная ячейка. Дополнительные узлы нахо- находятся в центрах одной из пар граней, например ab. На каждую ячейку приходится два узла: [[000]] и — у 0 . 3. Всесторонне центрированная ячейка. Дополнительные узлы находятся в центрах всех граней. Каждой ячейке принадлежат четыре узла: П00011, [ [о | ±]], [\± 0 1]], [[1 i o]J. Обычно пользуются следующими обозначениями: Р — прими- примитивная ячейка; А, В, С — ячейки, центрированные в гранях be, ас и ab\ F — всесторонне центрированные ячейки и / — объемно- центрированные. Как это было подчеркнуто ранее, узел решетки — это определен- определенным образом выбранная, но произвольная ее точка. Следующий узел отстоит от выбранного на расстоянии периода решетки. Таким образом, на примитивную ячейку приходится один узел. Можно сказать, что всю совокупность атомов примитивной ячей- ячейки мы заменяем узлом. Большей частью за узел решетки прини- принимается точка пересечения элементов симметрии. В примитивной ячейке может находиться много атомов. Струк- Структуру, где в ячейку входит много атомов, характеризуют координа- координатами атомов в элементарной ячейке. Все опытные факты безупречно объясняются представлением о кристалле как о пространственной решетке. Ребра и грани кри- кристалла трактуются как узловые прямые и плоскости. Углы между гранями и ребрами кристаллов у всех кристаллических объектов данного химического соединения одинаковы. Все симметрические особенности строения кристалла также выте- вытекают из представления о пространственной решетке. Кристаллы различных веществ обладают разной симметрией. Если кристалл хорошо образован, то симметрия его бросается в 562
провести определенным глаза. Видно, что через кристалл можно образом плоскости и оси симметрии. Внешняя симметрия кристалла объясняется его внутренним строением — симметрией пространственной решетки. К элементам симметрии, встречающимся в кристаллах, кроме осей симметрии, относятся зеркальная плоскость и центр инверсии (другой термин — центр симметрии). Об опера- операциях, совершаемых этими элементами симметрии, напо- напоминает рис. 254. Уже давно было известно, что в кристаллах не встреча- Jr V ются оси симметрии выше ше- rt f стого порядка*) и отсутствуют Рис. 254. оси симметрии пятого поряд- порядка. Исходя из этого, А. В. Гадолин показал, что возможно суще- существование лишь 32 классов симметрии среди кристаллических тел. До создания теории пространственной решетки оставалось неяс- неясным, почему оси пятого, седьмого и т. д. порядков не встречаются среди кристаллов. Эту и другие особенности симметрии кристаллов можно доказать, исходя из теории пространственной -решетки. Рис. 255. Рассмотрим поворот одной плоскости решетки. Повороты, не- невозможные для плоскости, будут тем более невозможными для всей решетки. Пусть ось я-го порядка проходит через узел решетки В и бли- ближайшая к ней идентичная — через узел решетки А (рис. 255). Поворот около оси В переводит узел А в узел Л', поворот около А переводит В и В1. Согласно построению В'А' =АВ A+2 cos а). Однако расстояние между узлами А''В' должно быть кратно периоду идентичности А В, ибо АВ параллельно А'В'. Следовательно, 2 cos a - *) Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2п/п, то такая ось называется осью симметрии я-го порядка Например трехгранная призма, в основании которой лежит равносторонний треугольник имеет ось третьего порядка, проходящую параллельно ребрам призмы через центр треугольника. r v Б63
должно равняться целому числу. Из этого условия следуют для cos a только лишь такие возможные значения: 0, +1/2 и =Ы, т. е. углы поворота 60°, 90°, 120°, 180° и 360°. Как и следует из определения закрытой симметрической операции, все углы поворота равны ча- частному от деления 360° на целое число. Таким образом, в кристалле возможны поворотные оси симметрии шестого, четвертого, третьего, второго и первого порядков. Рис. 256. Можно легко доказать, что ось симметрии является узловой прямой и нормальна к узловой плоскости. Симметрия пространственной решетки определяет симметрию кристалла. Однако следует иметь в виду, что симметрия решетки значительно богаче. Если существуют 32 класса симметрии кристал- кристалла, то у пространственных решеток существуют, как было впервые показано основателем структурной кристаллографии Е. С. Федо- Федоровым, 230 видов симметрии — федоровских групп. Более богатая симметрия решетки объясняется тем, что наряду с закрытыми операциями симметрии она содержит элемент симмет- симметрии, невозможный для тела,— трансляцию. Действительно, сим- симметрическая операция — это перемещение, переводящее тело в по- положение, не отличное от исходного. Всякое перемещение на период идентичности вдоль той или иной узловой прямой будет поэтому симметрической операцией для бесконечной решетки. Трансляция позволяет осуществить в решетке следующие новые элементы симметрии: 1) комбинацию поворота с трансляцией — винтовые оси, 2) комбинацию отражения с трансляцией — пло- плоскости скольжения (рис. 256). На правом рисунке показана винто- винтовая ось четвертого порядка; каждая из точек 2, 3, 4 и 5 возникает из предыдущей поворотом на 90° и сдвигом вдоль оси на величину t, равную -г- периода. На левом рисунке треугольники связаны отра- отражением в плоскости Q и скольжением вдоль линии Л Л' на у пе- периода. 564
§ 230. Упаковка частиц в кристалле Укладывать, упаковывать можно фигуры, которым свойственны определенный объем и форма. Далеко не очевидно, в какой степени справедлива подобная процедура для атомов. Здесь, прежде всего, существенно следующее: будет ли приписанная атому или группе атомов форма хотя бы в самом грубом приближении соответствовать минимуму на потенциальной кривой взаимодействия частиц вдоль S)a7f? тат?'ZV-Bразик, Рис. 257. данного направления и, далее, в какой степени охватывает приписан- приписанный атому или группе атомов объем все электроны (включая валент- валентные), принадлежащие этому атому или атомной группе. Если ока- окажется, что ограничение атома или молекулы определенным конту- контуром имеет физическое содержание, то одновременно выяснится, в чем проявляется эта форма при построении кристалла из частиц. Характер взаимодействий, связывающих атомы в кристалл, бес- бесконечно разнообразен. Однако могут быть выделены некоторые крайние случаи: чисто ионных связей, чисто гомеополярных связей, металлической связи и случай кристалла, построенного из молекул. Структуры каменной соли, сернистого цинка, железа и органиче- органического вещества дикетопиперазина выбраны в качестве примеров (рис. 257). В первых трех случаях характерным является отсутствие какой-либо тесной группы атомов. В кристалле каменной соли мы не можем выделить молекулу. Каждый атом натрия имеет шесть 565
вполне равноценных соседей — атомов хлора. Нет молекулы и в других двух соединениях — представителях гомеополярной и метал- металлической связи. В ионных кристаллах все частицы представляют собой положи- положительные и отрицательные ионы, притягивающиеся по законам элект- электростатики. Все сказанное об|ионной связи в молекулах справедливо и для ионного кристалла. Характер ионных структур неплохо пере- передается, если изображать ионы шарами определенного ионного ра- радиуса. При этом значения ионных радиусов, наблюдающихся в ионных молекулах, незначительно отличаются от ионных радиусов в кристаллах. В кристаллах с гомеополярной связью каждые два атома свя- связаны парой электронов. Этим способом каждый атом цинка связан со всеми окружающими его атомами серы, а каждый атом серы — со всеми окружающими его атомами цинка. Если считать признак гомеополярной связи признаком молекулы, то придется сказать, что весь такой кристалл является единой молекулой. Представле- Представление структур гомеополярных кристаллов в виде соприкасающихся шариков лишено физического содержания. Свободные атомы серы и цинка имеют значительно больший размер, чем расстояние между ними в сернистом цинке. Гомеополярная связь приводит атомы в тесное соприкосновение, обобщает области существования электро- электронов у этих атомов. Если бы мы построили структуру сернистого цинка из соприкасающихся шариков, то оставили бы вне этих шаров существенную часть электронной плотности, заполнили бы шарами лишь 25% объема. О металлической связи пойдет речь в гл. 37. Однако несколько слов можно сказать сейчас. В металлах и сплавах внешние элект- электроны обобществлены и образуют электронный «газ». Решетка метал- металлического соединения строится из атомных остатков (положительных ионов), «цементированных» электронами. Изображение структуры в виде соприкасающихся шаров также не имеет физического содер- содержания, несмотря на то, что формально структуры некоторых метал- металлов можно изобразить плотными упаковками шаров. В кристаллах типа дикетопиперазина мы находим отдельные молекулы. Мы узнаем их без труда по той причине, что межмолеку- межмолекулярные расстояния существенно больше внутримолекулярных. Изучая расположение молекул в кристаллах, удалось подобрать межмолекулярные радиусы, ограничивающие молекулу частями сферических поверхностей. Модель молекулы, построенная из срезанных шаров межмолекулярного радиуса, есть следствие ана- анализа кристаллических структур. Подобное* геометрическое изобра- изображение кристаллов, построенных из молекул, вполне оправдано тем, что вся существенная доля электронного облака заключена внутри контуров молекулы. Мы приходим к заключению, что представление строящих кри- кристалл частиц в виде геометрических фигур имеет смысл в двух слу- случаях: в ионных и молекулярных кристаллах. Наоборот, представ- 566
ление такого рода для гомеополярных кристаллов и металлических соединений лишено полезного содержания. Теперь мы должны задать такой вопрос: в чем проявляется фор- форма ионов и молекул при построении кристалла? Ответ будет такой: в плотной упаковке частиц. Опыт показывает, что молекулы упако- упаковываются всегда таким образом, чтобы «выступ» одной молекулы при- пришелся на «впадину» другой. Имеется ярко выраженная тенденция принять в кристалле такую взаимную ориентировку, чтобы объем элементарной ячейки был по возможности меньшим. Аналогично обстоит дело в ионных кристаллах. Создается такая шаровая уклад- укладка, при которой самые крупные шары заполняют пространство плотнейшим способом, а маленькие шары — ионы залезают в пустоты основной кладки. При выбранном способе изображения ионов шарами, а молекул объемными фигурами доля «пустого» пространства оказывается рав- равной 25—35%. Наличие плотной упаковки в молекулярных и ионных кристал- кристаллах является основным доказательством того, что форма и объем атома и молекулы являются содержательными понятиями. § 231. Молекулярный кристалл Разумеется, утверждение, что в молекулярном кристалле моле- молекулы связаны межмолекулярными силами, является чистой тавто- тавтологией. Что же входит в это понятие, что можно сказать о происхож- происхождении межмолекулярных сил? Следует отличать полярные молекулы от неполярных. Поляр- Полярные молекулы обладают заметным дипольным моментом, который возникает по той причине, что электронная плотность оказывается сдвинутой в какую-то одну сторону. Неполярные молекулы можно рассматривать как совокупность нейтральных атомов. Полярные молекулы можно представить себе как наложение сравнительно небольших зарядов на атомах на неполярный остов молекулы. Соот- Соответственно с этим в общем случае взаимодействие молекул пре- превосходно описывается взаимодействием нейтральных частиц плюс электростатическое действие. Опыты и расчеты показывают, что основную часть энергии взаи- взаимодействия молекул составляют взаимодействие электрически нейт- нейтральных частиц. Это следует, например, из того факта, что значения теплоты сублимации (которая является хорошей мерой взаимодей- взаимодействия молекул) неполярного бензола и полярного нитробензола весьма близки друг к другу. Таким образом, все молекулы следует рассматривать как си- системы электрически нейтральных атомов. Энергия взаимодействия молекул с достаточно хорошим приближением складывается из энергий взаимодействия атомов (принцип аддитивности). Кривая потенциальной энергии взаимодействия двух атомов, принадлежащих разным молекулам, выражается, разумеется, 567
кривой общего типа (как для валентно связанных атомов (стр. 473) так и для атомных ядер), имеющей крутой подъем в сторону малых расстояний, пологий подъем с асимптотическим прибли- приближением к нулю в сторону больших расстояний и минимум (потен- (потенциальная яма) для некоторого равновесного расстояния. Абсцисса этого минимума и есть межмолекулярный радиус, при помощи которого окантовывается форма молекулы. Если абсцисса дна ямы для валентно связанных атомов лежит при 1 — 1,5 А, а глубина ямы измеряется многими десятками Дж/моль, то для атомов разных молекул эти цифры будут 2—4 А и десятые доли Дж/моль. Нейтральные атомы все равно являются электрическими систе- системами. Поэтому мы должны постараться объяснить вид кривой нева- невалентного взаимодействия в терминах электронной структуры атома. Прежде всего, откуда берется притяжение? Квантовомеханиче- ское объяснение этих сил, которые получили название дисперсион- дисперсионных, было дано Лондоном. Грубо говоря, дело сводится к тому, что в каждое мгновение электрически нейтральная частица является диполем, поскольку в данный момент центр тяжести электронов и ядер не совпадает. Дисперсионные силы возникают благодаря при- притяжению этих мгновенных диполей. На коротких расстояниях начинают заметно действовать силы отталкивания. Взаимному перекрыванию электронных оболочек (квадратов волновых функций) препятствует отталкивание элект- электронов. Но главную роль играет не электростатическая сила, дей- действующая между одноименными зарядами, а принцип Паули, ко- который запрещает третьему электрону приблизиться к области, заня- занятой парой электронов с противоположными спинами. Формула энергии притяжения была выведена Лондоном. Эта энергия (она, конечно, отрицательна) обратно пропорциональна г6. Строгий вывод энергии отталкивания не удается сделать, но ее свойства неплохо передаются экспонентой. Таким образом, энергия взаимодействия двух нейтральных атомов, принадлежащих раз- разным молекулам, может быть записана в виде где Л, В, а — константы, имеющие разное значение для разных пар атомов. Если надо знать энергию взаимодействия молекул, то надо просуммировать ее по всем парам атомов. Выражение для силы взаимодействия, если оно нужно, полу- получится по общей формуле Геометрическая модель молекулы упрощает картину взаимо- взаимодействия. Говоря о молекуле, имеющей жесткую форму, мы по сути дела заменяем описанный потенциал прямоугольным, как это 568
показано на рис. 257а. Для ряда целей такое упрощение вполне оправдано. Оказывается, что форма молекулы определяет не только межмолекулярные расстояния, но и характер упаковки молекул. Полярность молекул или другие особенности сил притяжения не только не меняют межмолекулярных расстояний, но и не могут нарушить тенденции к плотной упа- ковке молекул. Таким образом, прак- практически во всех случаях минимум энергии достигается плотной упаков- упаковкой молекул. Строгое подчинение мо- молекулярных кристаллов принципу плотной упаковки приводит к исклю- исключительно малому разнообразию струк- структурных типов и симметрии этих кри- кристаллов. Упаковку молекул в кристаллах 257а целесообразно представлять себе ис* как плотнейшую упаковку плотнейших слоев. Можно встретить два типа плотнейших слоев (рис. 258). Ячейка одного из них обла- обладает наименьшей симметрией, другой тип слоя имеет прямоугольную Рис. 258. ячейку. В этом последнем случае (более 90% органических кристал- кристаллов построены из подобных слоев) молекулы укладываются характер- характерным зигзагообразным рисунком. Ряды молекул, образующих слой, связаны между собой винтовой осью второго порядка 2Х. Это значит, что один ряд молекул может быть переведен в соседний поворотом на 180° и сдвигом на полпериода вдоль оси. В плотнейших слоях каждая молекула имеет шесть ближайших соседей. При наложении слоев к молекуле подходят обычно три соседние молекулы сверху и три снизу. Число ближайших соседей становится равным 12. В мире молекулярных кристаллов редко встречаются кристаллы с высокой симметрией. Упаковка несимметричных молекул в сим- симметричные кристаллы никогда не может быть произведена плотно. 569
Если молекула обладает симметрией, то это совсем не значит, что и кристалл будет обладать такой же симметрией. Молекула нафталина обладает высокой симметрией: через нее можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости зер- зеркальной симметрии (рис. 259). Если бы упаковка молекул строилась с сохранением этих элемен- тов симметрии, то она не \ /у^\ V~\ могла бы быть достаточно *\ \ \ \ \ \ \ \ плотной. Поэтому, образуя \ \ V \ кристалл, молекула «теря- \ \ \ \ ет>> те элементы симметрии, V \ \ \ которые мешают повысить плотность упаковки. Ока- Рис. 259. зывается, что сохранение центра инверсии возможно без каких бы то ни было жертв в отношении плотности упаков- упаковки молекул. Обычно молекулы, содержащие этот элемент симметрии, теряют при вхождении в кристалл остальные элементы симметрии и сохраняют центр инверсии. И в других случаях исход конкуренции между тенденциями к симметричному и плотному расположениям можно уверенно пред- предсказать. Типичная для молекулярных кристаллов упаковка иллюстри- иллюстрировалась выше (рис. 257) примером-дикетопиперазина. Молекулы обладают высокой симметрией, но сохраняют в кристалле лишь центр инверсии. Разумеется, молекула не перестает быть с достаточной Точностью высокосимметричной оттого, что ее элементы симметрии не принадлежат кристаллу. § 232. Плотные упаковки шаров Весьма значительный класс ионных кристаллов может быть представлен плотными упаковками шаров. Большей частью анионы крупнее катионов. В этих случаях кристаллы представляют собой плотную упаковку шаров-анионов, между которыми размещаются катионы. Именно таким образом по- построены все силикаты, одни из наиболее распространенных в природе неорганических веществ. В силикатах катионы размещаются в пу- пустотах плотной кладки кислородных анионов. Рассмотрим законы плотной упаковки шаров — основы мно- множества кристаллов. Единственный возможный плотнейший слой ша- шаров показан на рис. 260. У каждого шара шесть соседей. Шары второго слоя для создания плотнейшей упаковки должны быть помещены в лунки нижележащего. Заполнить все лунки шарами того же самого размера нельзя: лунки заполняются через одну (на чертеже отметим крестиками лунки первого слоя, заполненные шарами второго слоя, и черными точками — лунки, оставшиеся пустыми). 570
Плотная упаковка из двух слоев также существует лишь одна. Положение меняется, когда мы переходим к третьему слою. Чтобы получить плотнейшую упаковку, мы должны укладывать шары третьего слоя в лунки второго. Но при этом шары третьего слоя могут быть размещены двумя спо- способами: чтобы центры этих шаров лежали над центрами шаров пер- первого слоя или чтобы их центры ле- лежали над лунками, помеченными точками. Две трехэтажные пост- постройки обладают одинаковой плот- плотностью упаковки, но существенно отличаются одна от другой. При на- наложении четвертого слоя мы еще более увеличим число возможных упаковок: из двух трехслойных упаковок мы можем сделать четыре четырехслойные. Пятислойных бу- Рис. 260. дет уже восемь, и т. д. Ясно, что число различающихся между собой одинаково плотных шаровых упаковок при увеличении числа слоев крайне велико. Теперь нам надо проследить связь между кристаллической ре- решеткой и шаровой упаковкой. Кристалл должен представлять со- собой такую упаковку атомов-щаров, в которой положение слоев строго повторяется через определенное число слоев. Если это повто- повторение начинается, например, с четырнадцатого слоя, то это значит, что в высоту ячейка состоит из тринадцати слоев. Тогда четырнадца- четырнадцатый слой находится над первым, пятнадцатый — над вторым, шестнадцатый — над третьим и т. д. Самая простая упаковка—двухслойная: третий слой лежит над первым, четвертый — над вторым и т. д. (рис. 261, справа). Это — так называемая гексагональная плотнейшая упаковка. На рисунке справа внизу показана ее ячейка; кружками и крестиками обозна- обозначены положения центров шаров. Очень большое распространение имеют трехслойные кристаллы, в которых четвертый слой повторяет первый, пятый — второй, и т. д. (рис. 261, слева). На рисунке слева внизу, где отмечены лишь центры атомов, показано, что в такой упаковке можно выбрать кубическую элементарную ячейку, центрированную по всем гра- граням. Плотные слои расположены здесь перпендикулярно к прост- пространственной диагонали куба. Такую структуру называют кубиче- кубической плотнейшей упаковкой. Рассматривая упаковки шаров одинакового размера, мы видим, что в упаковках сохраняются пустоты; легко подсчитать, что их объем составляет около 74 общего объема. Пустоты эти бывают двух видов: одни из них окружены четырьмя шарами, центры кото- которых размещены в вершинах правильного четырехугольника — тетраэдра (рис. 262, а); другие окружены шестью шарами, причем 5Л
центры этих шаров образуют правильный восьмигранник — октаэдр (рис. 262, б). Первые меньше по своим размерам, а число их вдвое больше, чем вторых. Можно подсчитать, что в любой плотной упаковке одинаковых шаров на каждый шар приходятся одна большая и две меньших Рис. 261. пустоты. Маленькие шары размещаются в этих пустотах; если же они несколько велики для пустот и не помещаются там, то раздви- раздвигают соседние крупные шары, разрыхляя плотную упаковку. То обстоятельство, что упаковки могут быть построены из раз- ногр числа слоев и «узор» заполнения пустот маленькими шарами может быть также различен, ведет к величайшему многообразию струк- структур ионных кристаллов. Кристаллы поваренной соли представляют собой плотную трех- трехслойную упаковку крупных ио- ионов хлора (светлые шары на рис. 257); ионы натрия (темные шары) заполняют все большие пустоты, поэтому каждый ион натрия ок- окружен шестью ионами хлора. Сер- Сернистое железо (пирротин) представляет собой двухслойную упа- упаковку крупных ионов серы; меньшие ионы железа заполняют все крупные пустоты, В кристалле окиси лития, где по химическому составу на один атом кислорода приходятся два атома лития, плот- плотную упаковку образуют крупные ионы кислорода, а маленькие 672 а) Рис. 2Ь2.
ионы лития заполняют все малые пустоты; поэтому у каждого иона лития имеются четыре соседа — ионы кислорода. В кристалле хло- хлористого кадмия (химический состав его — два атома хлора на один атом кадмия) плотная упаковка образована крупными ионами хлора; ионы кадмия заполняют большие пустоты, но не все, а через два слоя ионов хлора. Это, конечно, лишь простейшие «узоры» запол- заполнения пустот плотной упаковки. § 233. Примеры кристаллических структур Наиболее обширной группой кристаллов являются тела, по- построенные из молекул. Достаточно представителей имеют и ионные соединения. В этих случаях, как мы уже говорили, представление о кристалле как о плотно уложенных частицах вполне оправдано. Однако необходимо остановиться на тех структурах, где направлен- направленности связей между атомами, отклонение электронного облака от Рис. 263. сферической симметрии и прочее являются причиной образования структур, которые не могут уже рассматриваться столь просто. К таким исключениям принадлежат структуры атомов, связанных общими электронами. У большого числа металлов наблюдаются структуры с объемно- центрированной кубической ячейкой. В этих кристаллах каждый атом будет иметь восемь соседей, а не двенадцать, как в плотнейшей упаковке шаров. Так ведут себя, например, атомы железа (рис. 257). Решетка железа — кубическая; атомы железа расположены в вер- вершинах и центрах кубов. Такой же структурой обладают литий, калий, цезий и ряд других веществ. На рис. 263 структура кристаллической ртути сравнивается с идеальной кубической плотнейшей упаковкой. Легко видеть, что характер расположения центров атомов одинаков, но в структуре 573
ртути расстояния между слоями уменьшились, а расстояния между атомами одного слоя возросли, как будто бы мы плотно упаковали слегка сплющенные шары. Примеров таких в большей или меньшей степени «испорчен- «испорченных» шготнейших упаковок очень много. Например, в случае льда (рис. 264) родство с шаровой упаковкой теряется полностью. Связь между каждой парой атомов кислорода осуществляется одним атомом водорода. В этих четырех связях каждый атом водорода приходится на два атома кислорода — противоречия с химической формулой воды изображенная на рис. 264 структура, конечно, не имеет. Для наглядности «водородная» связь на рисунке изображена в виде «перешейка». Структура льда очень рыхлая, на рисунке заметны большие «дыры». Если мысленно продолжить структуру над плоскостью чертежа, то эти дыры превратятся в широкие Рис. 264. Рис. 265. каналы, пронизывающие структуру. Структура льда — важное ис- исключение из общего правила. Это не значит, что редкими являются случаи, когда уподобление кристалла плотной упаковке частиц те- теряет свой смысл. Как мы уже говорили выше, полностью теряется аналогия с плот- плотной упаковкой шаров в случае кристаллов, построенных из атомов, связанных общими электронами. Структура сульфида цинка, показанная выше на рис. 257, очень характерна. Так же выглядят и структуры некоторых элементов: углерода (алмаз), кремния, германия, олова (белого). Возможны случаи, когда гомеополярные связи образуют слои и цепи атомов. На рис. 265 изображена структура графита. Атомы углерода в графите образуют слоевую структуру. Но это не слои плотнейшей упаковки. Построить слой графита из соприкасающихся сфер нель- нельзя. У графита слои сильно связанных атомов — плоские. Мышьяк и фосфор также дают слоистые в этом смысле структуры, но атомы слоя расположены не в одной плоскости. В качестве примера струк- 574
туры, состоящей из цепочек сильносвязанных атомов, можно при- привести серый селен. Каждый атом этого вещества крепко связан лишь с двумя соседями. У серого селена атомы образуют бесконечную спираль, навивающуюся на прямую линию. Расстояния между ато- атомами соседних спиралей значительно больше расстояния между ближайшими атомами, входящими в одну и ту же спираль. Черный матовый мягкий графит, которым мы пишем, и блестя- блестящий прозрачный твердый, режущий стекло алмаз построены из одних и тех же атомов — из атомов углерода. На этом примере с исключительной отчетливостью видно, как резко определяются свойства кристаллов взаимным расположением атомов. Из графита делают огнеупорные тигли, выдерживающие температуру до 2000— 3000 °С, а алмаз горит при температуре выше 700 °С; удельный вес алмаза 3,5, а графита 2,1; графит проводит электрический ток, алмаз — нет, и т. д. Эта особенность образовывать разные кристаллы присуща не только одному углероду. Почти каждый химический элемент в кристаллическом состоянии и любое вещество существуют в не- нескольких разновидностях. Нам известно шесть разновидностей льда, девять разновидностей серы, четыре разновидности железа. При комнатной температуре атомы железа образуют кубиче- кубическую решетку, в которой атомы занимают места по вершинам и в центре кубов; каждый атом имеет восемь соседей. При высокой тем- температуре атомы железа образуют плотнейшую упаковку: каждый атом имеет двенадцать соседей. Железо с числом соседей восемь — мягкое, железо с числом соседей двенадцать — твердое. Закал- Закалка стали фиксирует при комнатной температуре плотнейшую кубическую упаковку, устойчивую при более высоких темпе- температурах. Уже из примеров углерода и железа видно, что разновидно- разновидности кристаллов одного и того же вещества совершенно не похо- похожи друг на друга по структуре. То же относится и к другим веще- веществам. Так, например, желтая сера образует в кристалле гофрированные кольца из восьми атомов. Иначе говоря, в кристалле видна моле- молекула серы из восьми атомов. Красная сера тоже состоит из таких колец, однако повернуты они друг к другу совсем иначе. Желтый фосфор дает кубическую структуру с числом ближайших соседей, равным восьми. Черный фосфор — слоистая структура типа графита. Серое олово имеет структуру такую же, как алмаз. Белое олово можно мысленно получить из серого, если сильно сжать алмазную структуру вдоль оси куба. В результате этого сплющивания число ближайших соседей у атома олова становится равным шести вместо четырех. У органических веществ также часто встречаются кристалли- кристаллические разновидности. Те же самые молекулы располагаются по- разному одна по отношению к другой. 57S
§ 234. Тепловые колебания в кристалле С точки зрения энергии идеальный кристалл является своего рода противоположностью идеальному газу. В идеальном газе энергия взаимодействия частиц много меньше средней энергии теплового движения kT. Напротив, в кристалле ча- частицы связаны сильно и энергия взаимодействия много больше kT. Поэтому тепловое движение в кристаллах не может разрушить связь между атомами и приводит к малым колебаниям атомов около поло- положений равновесия. В любом кристалле каждый атом совершает колебание около по- положения равновесия. Для большинства кристаллов амплитуда колебаний есть величина порядка 0,1 А и составляет, таким обра- образом, незначительную долю расстояния между ближайшими ато- атомами (которое, как мы знаем, порядка 1,5—2 А). Характер этого колебания может быть весьма сложным. За период атом опишет около положения равновесия сложную траек- траекторию. Дело в том, что атом связан разными силами со своими со- соседями и поэтому колебания его будут носить анизотропный ха- характер. Во всяком случае всегда возможно разложить колебания атома по трем осям. Очевидно, атомы кристалла будут обладать 3N степенями свободы (N — число атомов). Если в кристалле отчетливо выделяются молекулы, то имеет смысл говорить о колебаниях молекулы и о колебаниях атомов внутри молекулы. Поскольку молекулы связаны между собой значительно менее жестко, то частоты их колебаний будут меньше. В молекулярных кристаллах движение молекулы как целого играет определяющую роль. Молекула совершает поступательное колеба- колебание около положения равновесия, а также крутильные колебания. В редких случаях возможно, видимо, и полное вращение молекул около центра тяжести. Например, вероятно такое вращение моле- молекул в твердом метане СН4. Полная энергия каждой колеблющейся частицы складывается из -потенциальной и кинетической энергий. При этом средние зна- значения этих энергий за период колебания одинаковы. Как известно, в газе средняя кинетическая энергия атома равна 3/2kT. Естественно допустить, что на колеблющийся атом, обладающий вдвое большей средней энергией при той же температуре, придется 3kT единиц тепловой энергии. Один моль кристаллического вещества должен тогда обладать энергией 3RT и молярная теплоемкость должна равняться cv=3R&6 кал/моль^24,93 Дж/моль. При высоких температурах эта формула превосходно оправды- оправдывается. Оказывается, что теплоемкость кристаллических тел меня- меняется в зависимости от температуры так, как показано на рис. 266. Начиная от нуля, теплоемкость растет, при какой-то температуре достигает 6 кал/моль и далее остается неизменной. По оси абсцисс отложено отношение температуры к константе 6, о которой речь в следующем параграфе. R76
При высоких температурах величина kT существенно больше расстояния между энергетическими уровнями колебаний и кванто- квантовый характер распределения колеблющихся атомов по энергети- энергетическим уровням не сказывается на значении средней энергии коле- колебания. При таких условиях элементарный подсчет средней энергии вполне правомочен, и строгое вычисление, учитывающее распреде- распределение атомов по энергиям в соответствии с законом Больцмана, полностью его подтверждает. Когда kT становится сравнимым с расстоянием между энергети- энергетическими уровнями, закон Больцмана теряет свою применимость, с» 7 4— i / о <% 9 &Л1 П С (графи, оЛ1^03 *~ \ О Of6 т/в Рис. 266. он должен быть заменен квантовым законом распределения (см. стр. 654). Соответствующий подсчет показывает, что теплоемкость должна убывать с уменьшением температуры. Расчета мы приводить не будем, однако обратим внимание на то, что качественно убы- убывание cv с температурой вполне понятно. Чем меньше kT, тем меньше число энергетических переходов, которые способна совершать си- система, а это значит, что возможности теплообмена с уменьшением kT падают и в пределе стремятся к нулю. Предельная ситуация может быть объяснена так: подводя к телу энергию ничтожно малыми толч- толчками величины kT, мы не можем передать энергию этому телу, хотя бы и нанесли ему бесконечное число «толчков» со сколь угодно боль- большой суммарной энергией. Энергию нельзя передать, так как одного «толчка» не хватает для перевода системы с нулевого уровня энер- энергии на ближайший. Энергетические переходы, соответствующие изменению состояния движения молекул в кристаллах, лежат, как показывает опыт, в об- области длинных инфракрасных волн. Примем для ориентировочно- ориентировочного подсчета, что такие переходы соответствуют длине волны, рав- равной 1 мм. 19 А. И. Китайгородский 577
' Приведем значения kT для нескольких температур и сопоставим их с квантами энергии, соответствующими длине волны 1 мм. Для этой длины волны v = 3-10u с'1, т. е. /iv=200-107 эрг. При температуре 500 К kT при » 100 К kT, при » 10 К kT >, ПрИ » 1 К kT : : 7000-107 эрг; 1380-10~17 эрг; 138- 10~17эрг; 14. 107 эрг. Мы видим, что еще при 100 К энергия тепловых колебаний значительно превышает расстояние между энергетическими уров- уровнями молекулы в кристалле. При 10 К эти величины уже одного порядка, а при 1 К тепловые колебания не будут в состоянии вы- вызвать переход с одного уровня на другой. § 235. Тепловые волны Интересной особенностью тепловых колебаний в кристалле яв- является то обстоятельство, что они осуществляются в виде тепловых волн. Действительно, колебания атомов не могут происходить независимо. Один отклонившийся от положения равновесия атом тянет за собой следующий. Поскольку кристалл есть ограниченное тело, то в нем образуются стоячие волны. Как и при любых собственных колебаниях, макси- максимальная длина стоячей волны равна удвоенному размеру тела. Границы кристалла должны быть узлами стоячей волны. В свое время (стр. 119) мы изу- изучали упругие колебания твердых тел, рассматриваемых как сплош- сплошная среда. Было показано, что в ограниченном твердом теле воз- возникает множество стоячих волн с различными направлениями и ча- частотами. Картина существенно осложняется при учете атомного строения твердого тела. Теорети- Теоретическое рассмотрение возможных колебательных движений атомов в монокристалле показывает, что тепловое движение в кристалле можно представить как результат наложения 3sN волн, где N — число ячеек, as — число атомов в ячейке. Число возможных волн равно числу степеней свободы системы атомов, образующих кри- кристалл. Откуда же берутся и что представляют собой эти 3sN волн? Ограничимся рассмотрением цепочки атомов, т. е. «одномерного кристалла». На рис. 267 изображена такая цепочка атомов, «ячейка» которой содержит два атома, отмеченных черными и белыми круж- 578 Рис. 267.
ками. На рисунке не изображено реальное тепловое движение ато- атомов кристалла, имеющее весьма сложный характер, а показаны «элементарные» волны, на которые можно разложить это движение. Теория показывает, что результирующее колебание всегда можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Так же как и в случае сплошного стержня, в одномерном кристалле возникнет серия волн различной длины. Если цепочка состоит из тысячи ячеек с периодом а, то возникнет N волн длиной 2000 а, 1000 а, B000/3) а, 500 а, 400 а и т. д. Самая короткая волна имеет длину 2а. Однако этим не исчерпывается многообразие волн. Каждая из возможных длин волн будет осуществляться в s вариантах. Два типа волн одной и той же длины показаны на рисунке. В одном случае решетка атомов совершает колебание как целое. Такая волна назы- называется акустической. Остальные s — 1 волн совершенно иные: в них атомы разного типа совершают сложное движение друг по отноше- отношению к другу, а на синусоиду в каждое мгновение попадают лишь атомы одного типа. Такие колебания называются оптическими, их имеется s — 1. На рисунке изображены те волны, которым соответствует коле- колебание атомов в каком-то одном направлении. Колебания атомов можно всегда разложить на два поперечных и одно продольное. Поэтому волна, идущая в данном направлении и имеющая определенную длину, будет иметь 3 волны акустического типа и 3(s — 1) оптические. Из всех 3sN волн акустических будет 3N — две поперечных и одна продольная для каждого направления и каждой длины волны. Сказанное в полной степени справедливо для трехмерного кристалла. Хотя длины и частоты волн дискретны, можно приближенно вос- воспользоваться рассуждениями, приведенными на стр. 120, и запи- записать число акустических колебаний с частотами меньше v в виде Зс* V ' Здесь v — объем кристалла, ас — скорость волны. Скорости про- продольной и поперечной волн различны. Поэтому полное число волн, равное 3N, надо писать так: где сг — скорость продольной, a ct — поперечной волны. Отсюда без труда находим значение максимальной частоты колебаний vMaKC. Соответствующая длина волны 1 — Cl — Ci умакс умакс по порядку величины равна, как и должно быть, периоду ячейки. Если скорость распространения акустических волн в кристалле известна, то можно вычислить vMaKC, значение которой во многом определяет поведение кристалла. 19* ' 579
Как уже говорилось выше, поведение теплоемкости зависит от соразмерности энергетической ступеньки hv и энергии теплового m/Лка kT. Если hvKaKC<^tkT, то теплообмен возбуждает любые колебания и волны в кристалле, все квантовые переходы возможны и благодаря этому квантовый характер теплообмена не заметен. Про такой кристалл говорят: его характеристическая температура Q=hvMaKL/k много меньше температуры опыта, 6<<57\ Напротив, если hvMaKC^>kT, т.е. характеристическая температура 0^>7\ то у кристалла возбуждены лишь колебания с малыми частотами; большие энергетические ступеньки не могут быть преодолены теп- тепловыми «толчками». Примеры характеристических температур (в Кельвинах) ряда кристаллов: РЬ Бензол Ag NaCl Be Fe Алмаз 90 150 215 280 1000 450 1860 Для таких веществ как свинец и бензол комнатная температура яв- является «высокой». Эти кристаллы дают поэтому уже горизонтальный участок кривой теплоемкости (cv~6 кал/моль, ср. рис. 266). С другой стороны, для бериллия и алмаза комнатные температуры являются низкими. Тепловые колебания этих веществ возбуждены незначи- незначительно и теплоемкость их существенно меньше 6 кал/моль. Приведенные значения характеристических температур Э поз- позволяют вычислить значение максимальной частоты колебаний vMaKC= MaKC РЬ Бензол Ag NaCl Be Fe Алмаз 1,88-1012 3,13-1012 4,47-1012 5,84-1012 20,8-1012 9,3-1012 38,8-1012 Видно, что предельные частоты тепловых колебаний, как это и было предположено в примере на стр. 578, лежат на границе между ин- инфракрасным и радиодиапазонами (кыш*>\0~2 см)- § 236. Тепловое расширение Каким образом объяснить, что среднее расстояние между сосед- соседними атомами растет с температурой? Ответ на этот вопрос дает форма кривой потенциальной энергии взаимодействия атомов (мо- (молекул) (рис. 268). Каковы бы ни были особенности взаимодействия частиц, потенциальная кривая всегда асимметрична: в сторону умень- уменьшения расстояния она идет круто вверх, в сторону увеличения расстояния у потенциальной ямы должен существовать борт. Такая картина потенциальной энергии отражает простые факты: два атома практически могут быть сближены на ограниченное расстояние. Напротив, отдалению атомов предела нет, при больших расстояниях произойдет разрыв связи между атомами (молекулами). На потенциальной кривой можно отметить крайние расстояния, до которых будут доходить колеблющиеся атомы. Среднее положе- положение атома гх соответствует середине этого отрезка. При увеличении 580
температуры от 7\ до Т2 энергия колеблющейся частицы возрастет и частица перейдет на другой энергетический уровень (см. рис. 268). Ввиду того, что потенциальная кривая асимметрична, среднее поло- положение атома г2 сдвинется вправо. Поэтому среднее расстояние между атомами будет не равно равно- равновесному расстоянию между по- покоящимися атомами (г, соответ- соответствующее минимуму потенциаль- потенциальной ямы), а будет больше этого расстояния. При возрастании температуры среднее расстояние между атомами растет. В- этом и заключается причина теплово- теплового расширения. Тепловое расширение кри- кристалла анизотропно. В разных направлениях коэффициент ли- линейного расширения а будет иметь разное значение. Указы- Указывая значение а, надо задать кри- кристаллографическое направление, представляющее интерес. Если имеется необходимость описать тепловое расширение кристалла достаточно детально, то для этого пользуются фигура- Рис- ми расширения. Пример такой фигуры дан на рис. 269 для кристалла нафталина; а, Ь> с — оси кристалла, Av An и Аш — оси симметрии фигуры расширения. Рис. 269. Длина радиуса-вектора, проведенного из начала координат и за- заканчивающегося в точке поверхности, дает значение а в данном направлении. Форма фигуры расширения и ее расположение по отношению к осям ячейки соответствуют симметрии кристалла. Иначе и быть не 581
может, так как в направлениях, связанных операциями симметрии, физические свойства должны быть тождественными. При измерении коэффициента линейного расширения нужно обеспечить наибольшую точность определения весьма малых смещений. Приборы для изме- измерения теплового расширения называются дилатометрами (по-гречески — изме- измеритель расширения). Интерференционные методы (см. стр. 323) могут обеспечить наивысшую необходимую чувствительность (сотые доли микрона и лучше), но при практическом их применении возникают трудности из-за очень сложной под- подготовки образцов, которые должны быть идеально отшлифованы. Интерферен- Интерференционные дилатометры очень чувствительны к вибрациям. Коэффициенты линейного расширения некоторых тел Алюминий Гипс Кварц, || оси Кварц, J_ к оси Лед t, °С 0—100 12—25 40 40 — 10—0 а-10*. к-1 0,238 0,025 0,0781 0,1419 0,507 На практике часто используются дифференциальные кварцевые дилатометры. В этих приборах измеряемый образец помещается в цилиндрический держатель из кварцевого стекла, на дне держателя установлена опорная призма. Образец опирается на эту призму нижним торцом, а на верхний поставлен кварцевый стер- стержень, передающий удлинение образца к измерительному концу прибора. Смеще- Смещение конца стержня измеряется при помощи микроскопа или поворотного зеркала. При нагревании расширяется не только образец, но и держатель, поэтому при- прибор регистрирует разность коэффициентов расширения образца и кварца. Тепло- Тепловое расширение кварца хорошо изучено в широком интервале температур, по- поэтому могут быть введены достаточно точные поправки. Наиболее точное измерение фигур расширения производится методом рентге- ноструктурного анализа — измерением смещений дифракционных пятен. § 237. Дефекты кристалла Блочная структура. Реальный кристалл существенно отличается от идеальной пространственной решетки. Это следует из множества фактов, в том числе из непосредственных электронно-микроскопи- электронно-микроскопических наблюдений. Однако основные представления о дефектности кристалла внутри его объема возникли, прежде всего, из измерений прочности: кристалл разрушается при напряжениях, в сотни раз меньших тех, которые мы ожидали бы для идеального объекта. О деформациях и разрушении кристалла будет речь в гл. 34. Сей- Сейчас мы изложим существующие в настоящее время представления о дефектности кристалла. Основным фактом является следующее положение: монокристалл не представляет собой единой решетки, а состоит из огромного числа мельчайших блоков, слегка (в пределах секунд или минут дуги) дезориентированных друг по отношению к другу. Размеры 582
блоков могут варьировать в достаточно широких пределах. Скорее всего, они лежат в пределах 10~6 — 10~4 см. Вероятно, в кристалле существует некоторое распределение по размерам блоков. Расположение частиц, строящих кристалл, на границе двух блоков представляет большой интерес. Имеются все основания полагать, что весьма близкой к истине моделью может служить поверхность жидкости, покрытая мыльными пузырями. Внимательно изучая картину, показанную на рис. 270, мы уви- увидим, что атомные ряды «переламываются» вблизи центра модели. Кусок «структуры», изобра- изображенный на рисунке, пожалуй, можно представить себе в виде четырех блоков с общим углом в центре модели. В центре мы отчетливо видим наличие де- дефекта — верхние «атомы» по- попали в неверные места, не во- вошли в пустоты плотной упа- упаковки. Эта ошибка и привела к разбиению кристалла на блоки. Таких ошибок — мы будем называть их дислокациями — р 2?0 имеется весьма много. Они расположены беспорядочно и могут поворачивать атомный ряд то вправо, то влево. Поэтому в среднем все кристаллографические на- направления тянутся через весь монокристалл с большой точностью. Дислокации создают блочную, или, как еще говорят, мозаичную, структуру монокристалла. Разумеется, наличие случайных микро- микротрещин или пустот размерами в несколько атомов также способ- способствует образованию блочной структуры. Пробегая взглядом вдоль «атомных» рядов модели, мы видим, что причину нарушения порядка можно сформулировать и так: существуют два соседних ряда, число частиц в которых отличается на единицу: в один из рядов «влез» лишний атом. Дислокации. Рис. 270 дает двумерную модель кристалла. Каж- Каждый ряд является как бы проекцией атомного слоя, идущего перпен- перпендикулярно к чертежу. Сильно испорченному месту, которое видно на схеме, в трехмерном кристалле будет соответствовать линейная область, перпендикулярная к чертежу. Это место и называется ядром дислокации. Последнее слово в переводе на русский язык означает «смещение». Термин указывает, что дефект произошел из-за «смещения» одной части кристалла по отношению к другой. Картина дислокаций объясняет не только блочное строение кри- кристалла, но и много других явлений. Поэтому стоит изучить эти своеобразные искажения кристалла подробнее. Существуют два типа дислокаций: простая дислокация и спиральная. Простая — это та, с которой мы познакомились 533
на пузырьковой модели. Схематически простая дислокация изображе- изображена на рис. 271, а; ее ядро обозначено перевернутой буквой Т. Иска- Искажение максимально вблизи плоскости дислокации, разделяющей кристалл на две части; оно быстро рассасывается при отходе от линии дислокации в обе стороны. На этом же рисунке B71, б) показан зид сверху на две атомные плоскости, примыкающие с обеих сторон к гра- границе блоков. Верхняя (сжатая) пло- плоскость, которая показана сплошными линиями, содержит одним рядом боль- больше, чем нижняя (пунктир). Аналогичные схемы для так назы- называемой спиральной дислокации пока- показаны на рис. 272. Решетка разбита на два блока, один из которых своей ча- частью как бы соскользнул на один пе- период по отношению к соседнему (рис. 272, а). Наибольшие искажения сосредоточены на оси, показанной на рисунке. Область, примыкающая к этой оси, и называется спиральной дислокацией. Мы лучше поймем, в чем сущность искажения, если рас- рассмотрим схему, изображающую две соседние атомные плоскости по одну и другую сторону границы блоков (рис. 272, б). По отношению к трехмерному рисунку это вид -^—-о—о—а— 1 * 1' I Q 1 1 I * ¦ 1 1 ,A i i 0 < i 1 I • A . i Л . ! 1 1 1 0 ( » 1 1 ' f ' i i !' 1 \ . i 1 ' t1 1 ^ 1 ! i i. i I- i i Рис. 271. 8—8—8= &=8~-8—8-^ '"?""-§—Si-—ft—-2 a—5—ез—^5—j^ 8—S--?—»l. S—8—8—8—> —8—8 "-8 —-Q "S §—8'"S~""^ Рис. 272 на плоскости справа. Показана ось спиральной дислокации, та же, что и на трехмерном рисунке. Сплошными линиями показана пло- плоскость правого блока, пунктирными — левого блока. Как видно из схемы, спиральная дислокация представляет собой иной тип искаже- 584
ния, отличный от простого. Лишнего ряда атомов здесь нет. Иска- Искажение состоит в том, что вблизи оси дислокации атомные ряды меняют своих ближайших соседей, а именно, изгибаются и подрав- подравниваются к соседям, находящимся этажом ниже. Почему эта дислокация называется спиральной? Дело в том, что при обходе оси дислокации, совершаемом вдоль узловых плоскостей решетки, мы, начав с самой нижней плоскости, после каждого оборота будем попадать этажом выше и в конце концов выйдем на верхнюю поверхность кристалла так, как если бы шли по спиральной лестнице. На нашем рисунке подъем снизу про- происходил против часовой стрелки. Если бы сдвиг блоков был обрат- обратным, то обход происходил бы по часовой стрелке. В одном и том же объекте могут встретиться одна за другой спиральные дислокации одного направления вращения. Если же в одной и той же плоскости лежат две дислокации разного направ- направления вращения, то возникает более сложное искажение. 585
Дефекты внутри блока. Кристаллическая решетка состоит из блоков, внутри которых также имеются дефекты. В решетке могут быть дефекты в виде пустых мест, а также в виде примесей чуже- чужеродных атомов. Пустот и примесей может быть совершенно незначи- незначительное количество, а искажения от их присутствия могут быть не малыми. Рис. 273 передает характер этих искажений. На нем показано влияние чужеродного атома (а), заменившего один из атомов основ- основной решетки, атома, внедрившегося между атомами основной ре- решетки (б), и «пустого» узла решетки (в). Такие влияния могут ска- сказываться на расстояниях в 5—10 периодов решетки во все стороны. Но 10 периодов во все стороны — это уже 1000 ячеек. Поэтому примесь порядка 0,1% может фундаментально изменить свойства кристаллического вещества. Правда, надо оговориться, что влияние примесей не сводится к заметным искажениям решетки. Мы еще остановимся (§ 272) на случае полупроводников, где примеси порядка одного атома на миллиард могут изменить электрические свойства тела. § 238. Ближний порядок. Жидкости Мы выяснили в начале главы, что очень многие твердые тела пред- представляют собой плотные упаковки шаров. Доля свободного простран- пространства в плотнейших упаковках составляет 26%. К таким кристаллам относится, например, медь. Расплавим кусок меди. Как представить себе строение расплава? Опыт пока- показывает, что объем вещества возрастает при плавлении примерно на 3%. Это возрастание происходит за счет свободного объема. Он равен теперь уже не 26%, а 29%. Шары получили немного сво- свободного места, они-могут отходить от своих «правильных» положе- положений, расстраивая идеальный порядок, свойственный кристаллу. В результате теплового движения шары в основном колеб- колеблются около своих положений равновесия в окружении тех же соседей.^Изредка, когда случайно около шара создается пустота такого же объема, как шар, может произойти смена соседей. Из-за тесноты в расположении частиц в жидкости возникнет специфиче- специфический так называемый ближний порядок. В модели из шаров к дан- данному шару не может подойти другой на расстояние меньше диаметра шара. Это отклонение от идеального беспорядка есть и в газах, но оно играет малую роль из-за того, что ближайшие молекулы в газе в среднем находятся друг от друга на расстоянии, в 10 раз большем размера молекулы. Поставим какую-либо молекулу жидкости в центр внимания и построим около нее две концентрические сферы с радиусами, рав- равными одному и трем радиусам кружка, изображающего молекулу. Сколько ближайших соседей имеет в среднем рассматриваемая моле- молекула? Ближайшими соседями называются молекулы, центры кото- которых попадают в ближайшую очерченную нами область. Приведем 586
данные для меди. На один атом расплавленной меди приходится объем всего лишь на 3% больше собственного объема. Расчетом устанавливаем, что на объем ближайшей области приходится в среднем 11,6 атома. Итак, имеется примерно 12 ближайших соседей, центры которых находятся от данного атома на расстоянии его диа- диаметра. Более близких соседей нет. Очевидно, что ближний порядок скажется не только на ближай- ближайших соседях, но и на следующих. Поэтому ближний порядок при- принято характеризовать средней плотностью радиального распределе- распределения атомов. Выберем атом (для простоты полагаем, что речь идет об одно- одноатомной жидкости) и проведем около него сферы с радиусами г и r+dr. Объем этого шарового слоя будет 4nr2dr. Число центров ато- атомов, попадающих внутрь этого слоя, можно записать, как U (г) • 4яг2 dr, где U (г) носит название плотности радиального распределения атомов. Пример U (г) (кривая для аморфного мышьяка) приведен на рис. 274. Максимумы кривой показывают, что некоторые межатом- межатомные расстояния приобретают более значительный «вес», выделя- выделяются среди остальных. Происхождение последующих максимумов совершенно такое же, как и первого. Плотность упаковки позволяет в весьма узких пределах колебаться числу ближайших соседей дан- данного атома, в несколько больших пределах варьирует число сосе- соседей, ближайших к ближайшим. По мере удаления от центрального шара беспорядочное расположение вы- ступает все более и более ясно. Кривая U (г) стремится к пределу. Ближний порядок размывается и непрерывно пе- переходит в беспорядок. Значения U (г) удобно нормировать так, чтобы U (/") = ! и* ¦ - . при г->оо. Этот своеобразный порядок 2 "* 6 & tortя в отношении ближних соседей, размы- рис 274. вающийся по мере отдаления от рас- рассматриваемого атома или молекулы, и есть ближний порядок. Характерный только для кристаллов порядок в расположении частиц называют дальним. Имеется в виду, что трехмерная периодич- периодичность, свойственная кристаллу, не размывается на дальних расстоя- расстояниях. Атомы, расположенные вдоль узловой прямой, регулярно по- повторяются тысячи и миллионы раз. Обсуждая строение кристаллов, мы узнали, что далеко не всегда атомы ведут себя, как шарики. Это сказывается и на структуре жидкостей. В идеальном случае ближний порядок в атомной жидкости дол- должен был бы привести нас к числу ближайших соседей, близкому к двенадцати. Что же дает опыт? Металлы, кристаллические струк- структуры которых представляют собой плотные шаровые упаковки, 587
сохраняют после плавления такой же ближний порядок: среднее чи- число ближайших соседей очень близко к двенадцати. Каждый атом лития, натрия и калия в кристалле имеет, как ука- указывалось выше, восемь ближайших соседей. Тот же ближний поря- порядок сохраняется в жидкости; но все же среднее число ближайших атомов становится несколько большим восьми. Иным образом ведут себя те простые вещества, у которых в кри- кристаллическом состоянии атомы были прочно связаны с малым числом соседей. При плавлении эти связи разрушаются и число ближайших соседей у каждого атома жидкости становится большим, чем в кристалле. § 239. Аморфные тела Слово «аморфный» означает «лишенный формы». Аморфные твер- твердые тела противопоставляются кристаллам, которые имеют форму правильного многогранника. Однако поликристаллическое тело не имеет правильной формы, хотя и не является аморфным. Каков же тогда основной признак кристаллов и мелкокристаллических тел? Этим признаком, прежде всего, является наличие резко выражен- выраженной температурной точки плавления. Если подводить тепло к кри- кристаллическому телу, то температура его будет повышаться до тех пор, пока тело не начнет плавиться. После этого подъем темпера- температуры прекратится и весь процесс плавления будет происходить при температуре плавления. Одним из представителей аморфных твердых тел является обыч- обычное стекло. При подогревании стекло размягчается и с увеличением температуры непрерывным образом переходит в жидкое состояние. Это поведение аморфных тел объясняется особенностями их строения, заставляющими нас причислить эти тела скорее к жид- жидкостям, нежели к твердым телам. Как мы видели, кристаллические тела обладают дальним порядком в расположении частиц. Аморфные тела обладают лишь ближним порядком в расположении частиц и этим не отличаются от жидкостей. На рис. 275, а изображена схема строения кварца (окись крем- кремния), а на рис. 275, б — схема строения кварцевого стекла. Одно и то же в химическом отношении вещество может быть получено как в кристаллическом, так и в аморфном видах. Сходство и раз- различие этих двух состояний вещества отчетливо видны на рисунке. Мы видим, что аморфное тело — это «испорченный» кристалл. Как в кристаллическом, так и в аморфном телах число и характер окру- окружения ближайшими соседями одинаковы. Возможно, что для групп SiO2 особую энергетическую выгоду представляет пятичленный цикл. Так как симметрия оси пятого порядка не может создать пе- периодическую структуру (стр. 563), то поэтому и возникает аморфное стекло. Отсутствие дальнего порядка, характерного признака кристал- кристаллических тел, является непосредственной причиной отсутствия 588
выраженной точки плавления. В точке плавления совершается такой переход, при котором дальний порядок исчезает и остается лишь ближний порядок в расположении атомов. В аморфных телах характер расположения атомов при повыше- повышении температуры не меняется. Изменяется лишь подвижность ато- атомов, увеличиваются колебания атомов. Сначала очень немногие, • Si о О Рис. 275. потом большее число атомов приобретают возможность выскальзы- выскальзывать из своего окружения, меняя своих соседей. Наконец, число таких перемен в секунду становится таким же большим, как и в воде. Легкость, с которой данная молекула может менять своих сосе- соседей, связана с важным свойством жидкости — ее вязкостью. Чем реже меняются соседи в жидкости, тем более густой, вязкой она является. Естественно, что возрастание температуры, увеличиваю- увеличивающее размах колебаний молекулы, приводит к уменьшению вязко- вязкости. Вполне понятно также, что при одинаковых температурных условиях более вязкой будет жидкость, молекулы которой обла- обладают сложной формой. Многие жидкости затвердевают раньше, чем вязкость их станет значительной. Большая вязкость клея, меда, жидких смол и масел связана со сложной формой их молекул. Обмен молекул практически прекращается, когда жидкость твердеет. § 240. Дальний и ближний порядок расположения атомов в сплавах При совместной кристаллизации двух или более веществ они могут в некоторых случаях образовать общую кристаллическую решетку. Произойдет или нет образование такого смешанного кри- кристалла —* это зависит от соотношения энергии взаимодействия 589
однородных и разнородных частиц. Если однородные частицы при- притягиваются сильнее, чем разнородные,* то смешанный кристалл не образуется. Примером смешанных кристаллов являются металлические сплавы — вещества, имеющие широкое распространение в различ- различных отраслях промышленности. Структура сплавов поможет отчет- отчетливо представить понятия дальнего и ближнего порядка. В простейшем случае двухатомных сплавов мы можем столк- столкнуться с вполне упорядоченными структурами, в которых можно выделить определенную ячейку и описать вещество как кристалл соединения, имеющего определенную формулу АпВт. Однако такое положение дел не всегда имеет место, и в ряде случаев атомы А беспорядочно замещают атомы В в их решетке или беспорядочно внедряются (если они малы) между атомами В. Мы остановимся лишь на примере сплава замещения железо — кобальт (рис. 276). Этот сплав имеет простую структуру объемно- центрированной решетки. Каждый атом — все равно, железа или кобальта,— имеет восемь ближайших соседей. В отношении вза- взаимного расположения центров атомов кристалл сплава всегда вполне упорядочен — центры атомов образуют при всех условиях одну и ту же объемноцентрированную решетку. Иначе обстоит дело в отношении распределения атомов железа и кобальта по местам. Условно можно разбить узлы решетки кристалла на вершины и цент- центры кубов. При полном порядке все вершины заняты, скажем, ато- атомами железа, а все центры — атомами кобальта (рис. 276, а). Иде- Идеальный дальний порядок такого кристалла может постепенно пор- портиться, если начнут появляться атомы, сидящие в «чужих местах». Однако до тех пор, пока число атомов, находящихся в «своих» местах, отлично от числа атомов, находящихся в «чужих» местах (рис. 276, б), мы имеем право говорить о наличии в кристалле хотя и «испорченного», частичного, но все же дальнего порядка. Дальний порядок исчезает тогда, когда стирается различие между «чужими» и «своими» местами: половина атомов находится в своих, а поло- половина — в чужих местах (рис. 276, в). 590
Важным обстоятельством является то, что при нагревании кри- кристалла, построенного вполне упорядоченным образом, порядок постепенно нарушается, т. е. процент атомов, сидящих в «чужих» местах, растет. Существует температура, выше которой дальний порядок, даже «испорченный», т. е. частичный, существовать не может. Эта температура называется лямбда-точкой (название грече- греческой буквы Я). Для сплава железо — кобальт Я-точка находится при 770 °С. Переход от порядка к беспорядку означает, что тепловое движение взяло верх над «стремлением» атомов располагаться с со- сохранением дальнего порядка. Имеется много общего между процессом стирания различий между «чужими» и «своими» местами и процессом плавления. Оба эти процесса заключаются в исчезновении дальнего порядка. Од- Однако при плавлении исчезает дальний порядок в расположении центров атомов, а при переходе через Я-точку — лишь порядок в расположении атомов различных элементов. Основной же особенность^) строения сплавов типа железо — кобальт является возможность существования частичного дальнего порядка. Такой частичный дальний порядок может существовать только в отношении распределения атомов железа или кобальта, но не в отношении расположения центров атомов. Так же как и в случае плавления, уничтожение дальнего порядка не означает исчезновения порядка вообще — ближний порядок остается. Ближний порядок в отношении распределения атомов у кристал- кристаллов железо — кобальт заключается в «стремлении» атомов кобальта окружить себя атомами железа (и наоборот). Если взять любой атом и перечислить его восемь ближайших соседей, то окажется, что число атомов другого элемента не будет равно половине общего числа, т. е. четырем. В зависимости от совершенства ближнего порядка атом железа может быть в среднем окружен пятью, шестью или семью атомами кобальта. Исследования сплава меди с золотом показали, что ближний порядок в нем весьма совершенный и сказывается не только на числе ближайших соседей, но и на числе ближайших к ближайшим и т. д. Если провести ряд сфер около любого атома золота, то ока- окажется, что в первой сфере будут находиться практически лишь одни атомы меди, во второй — лишь одни атомы золота. Далее со- совершенство ближнего порядка начнет постепенно нарушаться, но будет чувствоваться предпочтение к атомам определенного элемента даже на десятой сфере! Очень тонкими исследованиями, производимыми при помощи рентгеновских лучей, удалось показать, как происходит «рожде- «рождение» дальнего порядка в кристаллах сплавов. Опыты на сплавах кобальт — платина показали, что области дальнего порядка растут в беспорядочном кристалле, как зародыши кристалла растут в жид- жидкости. Эти зародышевые области располагаются вполне опреде- определенным образом по отношению к осям кристалла. 591
§241. Жидкие кристаллы Представителей жидких кристаллов надо искать среди органи- органических и биоорганических веществ. Молекулы веществ, образующих жидкие кристаллы, обладают всегда удлиненной формой. Жидкие кристаллы встречаются среди вирусов; дают их липоиды — ве- вещества, входящие в состав живых тканей. Вещество, образующее жидкие кристаллы, существует в таком виде в определенном интервале температур. Если нагреть жидкий кристалл, он превратится в обычную жидкость, если охладить — станет кристаллом. Свое название эти вещества получили по той причине, что они причудливым образом сочетают в себе свойства жидкости и кри- кристалла. Они обладают текучестью и образуют капли. Однако капли эти могут иметь не шарообразную, а удлиненную форму. Каждая капелька несколько похожа на кусочек желе. Подробное исследо- исследование показывает, что расположение молекул в капле обладает порядком, несвойственным обычным жидкостям. Обнаружены два типа жидких кристаллов. В первом из них рас- расположение молекул обладает ближним порядком, однако все моле- молекулы располагаются параллельно друг другу. Еще более своеобра- своеобразен порядок расположения молекул в другом типе жидких кристал- кристаллов. В них молекулы располагаются слоями. Каждый слой состоит из параллельных молекул, расположенных одна по отношению к другой в ближнем порядке. Сказанное поясняет схема на рис. 277. ипппш Рис. 277. Жидкие кристаллы образует растворенное в воде мыло. Те каче- качества мыла, которые делают его моющим средством, непосредственно связаны с его способностью образовывать жидкие кристаллы. Моле- Молекула мыла имеет палочковую форму (поперечный размер около 4 А, длина 30—40 А). На одном конце молекулы сосредоточен отрица- отрицательный электрический заряд. Этот полярный конец тяготеет к молекулам воды. 592
Мыльный раствор является жидким кристаллом; он состоит из большого числа двойных слоев молекул, отделенных слоями воды рис. 278). В двойных слоях полярные концы молекул обращены ь-аружу — к воде. Молекулы мыла внутри слоя расположены гесно, но в ближнем порядке. Если в воде немного мыла, то двойные слои мыльных молекул разделены большими слоями воды. Продолжая растворять мыло в воде, мы будем создавать все большее число двои- ных слоев. Раствор станет насыщенным, Продолжая растворять мыло в воде, мы q о о о о будем создавать все большее число двои- I [TIT ных слоев. Раствор станет насыщенным, I I I I I когда толщинаоводяного слоя станет равна [ | [ | I примерно 20 А. Двойные слои, образую- а А о л> А щие жидкий кристалл, обладают большой подвижностью. Когда мы моем руки, слои =3?^4?1ЕгЧ-1ЕЧЕ1л легко скользят один по отношению к дру- E^IzFIr E7? тому и вдоль кожи. Полярные концы моле- ~ " "-—~~z=1-~ кул забирают грязь с рук и отдают ее воде. о о О о О О § 242. Полимерные вещества II III • Своеобразной структурой обладает боль- I I 1 11 шое число органических веществ, построен- __9 _ L IL _ ных из гигантских молекул (состоящих из •^sr^L^r-^rr^r-^rzj: многих тысяч атомов). К таким веществам zr-i_.r~--r~..j^-zr..z= принадлежат пластмассы, капрон, искус- z-i-3--zzL-rri-r--Jir ственный шелк. Молекулы этих веществ Рис. 278. состоят из повторяющихся вдоль цепи групп атомов (отсюда и название «полимер»). Часто расположение атомов внутри молекулы обладает дагльним порядком. Высокополимерные вещества с боковыми химическими связями между цепями существенно отличаются по своим свойствам от так называемых линейных полимеров, в которых такие связи отсут- отсутствуют. Полимеры с боковыми химическими связями между це- цепями представляют собой жесткую систему. Атомы располо- расположены довольно рыхло и в расположении атомов нет никакой пра- правильности. Пластмассы такого сорта идут на изготовление пуговиц, по- посуды, арматуры и т. д. Для физического исследования значительно больший интерес представляют линейные полимеры, обладающие любопытными свойствами. Хотя до сих пор имеется ряд неясностей, все же основные черты структуры этих веществ можно считать уста- установленными. При затвердевании расплава или непосредственно в химическом процессе длинные молекулярные цепи располагаются параллель- параллельными пучками: Так как отвердевание (или возникновение) начина- начинается одновременно из огромного числа мест, то образуется множе- множество пачек цепей, которые сталкиваются при росте, обходят друг друга и в конце концов могут принять достаточно причудливые, запутанные формы. Роль пачки в линейном полимере в какой-то 593
степени аналогична роли кристаллика в поликристаллическом веществе. Однако отличие пачки от кристаллика весьма существенно Дело в том, что степень упорядоченности группы параллельных цепей, образующих пачку (этих цепей тысячи или десятки тысяч), может быть самой различной. На рис. 279 показаны три варианта азиму- азимутальной упорядоченности: а) кристаллический, в котором оси цепей образуют правильную решетку и азимуты цепей упорядочены; / / j / j б) газокристаллический /a sb /т /я лл оси цепей образуют решет- решетку, а азимуты беспорядоч- беспорядочны; в) аморфный или жид- жидкостный, в котором решетка (дальний порядок) отсутст- отсутствует. Следует также учесть, что сдвиги цепей вдоль сво- своей длины друг по отноше- отношению к другу также могут быть как беспорядочными, так и упорядоченными. По- Поскольку пачка цепей обла- обладает большой длиной (в со- состав цепи могут входить сотни тысяч и миллионы атомов) и может представ- представлять собой ломаное обра- образование, очевидно, что она и при идеальном порядке в расположении цепей не яв- является целиком кристалли- кристаллической. Кристаллическим может быть только участок пачки, на котором парал- параллельные цепи идут прямо- прямолинейно. Это значит, что в случае идеального порядка каждая пачка цепей состо- состоит из последовательности кристаллических областей (кристалликов). Растяжение линейных полимеров заключается в разворачивании пачек цепей. Подобный механизм удлинения способен объяснить растяжения вплоть до 1000%, встречающиеся у некоторых ее™ венных и искусственных высокополимерных веществ К наиболее известным линейным полимерам относятся кау- Ч^п^ЛНТеН* ТаК0Г° Же ™па стРУктУРой обладают высокопо- высокополимерные вещества, идущие на изготовление искусственного волокна. 594
§ 242а. Биологические макромолекулы Молекулы, ответственные за жизнедеятельность организма, яв- являются также линейными молекулами, состоящими из сотен тысяч и миллионов атомов. В состав ядра клетки входит молекула дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК), являющаяся носителем наследственности. Эти мо- молекулы существуют в виде двойных спиралей. К основной цепи атомов, составляющей костяк спирали, прикрепляются в некотором порядке молекулярные радикалы четырех сортов. Порядок их следования вдоль цепи кодирует генетическую информацию. Цепь содержит порядка 106 радикалов. Число различных перестановок четырех элементов в таком миллионном ряду непредставимо огром- огромно. Понятно, какую богатейшую информацию несет на себе длин- длинная макромолекула и что не только особенности биологического вида, но и все особенности индивидуума могут быть зашифрованы кодом порядка следования радикалов в молекуле ДНК. При делении клетки двойные спирали расплетаются и, переходя * к потомству, передают ему наследственные черты кодом последова- последовательности молекулярных радикалов. Двойные спирали ДНК могут быть выделены, и структура их может быть исследована. Однако в настоящее время мы умеем опре- определять порядок следования атомов и атомных групп лишь в упоря- упорядоченных кристаллических структурах. Молекула ДНК в принципе неупорядочена, и поэтому физическими методами (спектральными и, главным образом, рентгеновскими) удалось лишь установить принципы ее построения. Разработка методов установления после- последовательности радикалов в ДНК для данного организма, т. е. объек- объективного описания наследственных признаков на молекулярном уровне, дело будущего. Клетка — основной кирпичик живого — является фабрикой белковых молекул, выполняющих разнообразные жизненные функ- функции. Производство белковых молекул осуществляется, так сказать, под руководством молекулы ДНК. Белковые молекулы строятся из 20 сортов аминокислот. При этом порядок их соединения, строго определенный для белка данного сорта, диктуется молекулой ДНК- Молекула ДНК играет роль линейной совокупности сотен и тысяч матриц, печатающих разные белковые молекулы. Некоторые из них одинаковы для данного биологического вида, другие несут на себе отпечаток особенностей индивидуума. Молекулы белков могут быть выделены и кристаллизованы. Кристаллы белков, несмотря на то, что их молекулы содержат ты- тысячи атомов, удается изучить методами рентгеноструктурного ана- анализа и установить их структуру. Задача эта исключительно сложна, и не удивительно, что к настоящему времени известна структура лишь шести белков. Поразительным является сам факт образования кристаллов молекулы такой сложности. Причудливо разветвленное следование 595
нескольких тысяч атомов полностью тождественно во всех миллиар- миллиардах молекул, образующих белковый кристалл. Все молекулы рас- расположены в одной-двух ориентациях в узлах регулярной трехмер- трехмерной решетки. Замечательным свойством белкового кристалла является то, что молекулы, из которых он построен, соприкасаются друг с другом лишь незначительной частью своей поверхности. Большая же часть межмолекулярного пространства заполнена водой. При осторожном высушивании белкового кристалла он терпит превращения, меняю- меняющие взаимное расположение молекул. Большую часть воды можно удалить, сохранив кристалличность белка. ГЛАВА 33 ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ § 243. Диаграмма состояния Возможно лишь одно газовое состояние и одно жидкое. Что же касается кристаллических состояний (а также жидко-кристалличе- жидко-кристаллических и газо-кристаллических), то их может быть несколько. Газовое и жидкое состояния вещества характеризуются беспо- беспорядком в расположении частиц. В газе соотношение между кине- кинетической энергией движения частиц и потенциальной энергией их взаимодействия таково, что силы связи не могут удержать частицы и молекулы разлетаются настолько, насколько это позволяет сосуд, в котором находится вещество. Жидкому состоянию свойственна определенная форма, поскольку силы сцепления делают невозмож- невозможными независимые свободные пробеги молекулы*). При больших давлениях различие между газом и жидкостью пропадает. Так как нет двух беспорядочных расположений частиц, отли- отличающихся друг от друга принципом построения, то каждое вещество имеет одно жидкое и одно газовое состояние. Кристалл характери- характеризуется определенным взаимным расположением частиц, поэтому для одного и того же вещества в принципе возможно любое число различных кристаллических фаз. И действительно, мы наблюдаем для одного и того же химического соединения, почти как правило, несколько различных кристаллических модификаций (алмаз и гра- графит, белое и серое олово, красная и желтая сера и т. д.). Каждое вещество находится в том или ином фазовом состоянии в зависимости от внешних условий, а именно, в зависимости от температуры и давления. Вместо того чтобы описывать условия су- существования фаз данного вещества при помощи таблицы, принято пользоваться для этой цели диаграммой в координатах давление — температура. Эта диаграмма носит название диаграммы состояния. *) В отсутствие сил тяжести капля жидкости приобретает форму шара. 596
Три таких диаграммы показаны в качестве примера на рис. 280. Слева вверху изображена диаграмма состояния идеального вещества, имеющего только одну твердую фазу. Поле диаграммы разбито на три области: одна из них указывает условия существования кри- кристалла, другая — жидкого состояния и третья — газовой фазы. Естественно, газовая фаза лежит внизу справа, т. е. при меньших 100 йОО 300 -900 500 Т 10 SO О 100 200 Рис. 280. 300 давлениях и больших температурах. Твердая фаза занимает область наименьших температур и наибольших давлений. Такая диаграмма весьма удобна: интересуясь, в каком состоянии находится тело при давлении р и температуре Г, мы строим соответствующую точку на диаграмме состояния и получаем немедленный ответ. Справа вверху изображены условия существования различных фаз серы. Это вещество обладает двумя кристаллическими модифи- модификациями и поле разбивается на четыре участка. Наконец, внизу 597
цриведена диаграмма состояния воды. Ее трудно в линейном масш- масштабе изобразить на одном чертеже, поэтому мы показываем эту диаграмму с помощью логарифмического масштаба по шкале дав- давлений. Как видим, лед существует не в одной, а в пяти различных модификациях. Они обозначаются цифрами 1^ II, III, V и VI, так как фаза, названная ранее IV, была указана ошибочно. Малоизве- Малоизвестные фазы льда существуют при более высоких давлениях. На диаграмме состояния физический смысл имеют не только точки, попадающие в поля диаграммы, но и линии раздела между фазами. При давлении и температуре, соответствующих точкам линий раздела, две граничные фазы существуют совместно. Для воды это будет соответствовать условию, при котором лед плавает в воде и при этом лед не плавится и вода не замерзает. Линии раз- раздела можно назвать кривыми фазового равновесия. Подчеркнем, что имеются кривые, а не точки фазового равнове- равновесия. Это значит, что равновесие двух фаз может быть осуществлено при разных температурах, если соответственно менять давления. Можно то же самое сказать иными словами: температура фазового равновесия является функцией давления или, с таким же успехом, давление фазового равновесия является функцией температуры. § 244. Фазовые превращения Кривые фазового равновесия можно также назвать кривыми фазо- фазового превращения, так как переход одной фазы в другую происхо- происходит при пересечении изображающей точки этой кривой. Кривая, разделяющая твердое тело и жидкость,— это кривая плавления или кристаллизации; кривая, разделяющая жидкость и пар,— это кривая кипения или конденсации. Кривая, разделяющая твердое тело и пар, носит название кривой сублимации или возгонки. Кривые, разграничивающие две твердые фазы, называются просто кривыми превращения. Процессы изменения состояния также удобно изображать на диаграмме состояния. Большей частью мы имеем дело с превраще- превращениями, которые совершаются при постоянной температуре, либо с превращениями, которые происходят при неизменном давлении. Эти процессы изобразятся вертикальными или горизонтальными линиями на диаграммах. На приведенных выше диаграммах состояния (рис. 280) показано несколько примеров изменений состояния тела, проходящих через фазовые превращения. Линия 2—1 на диаграмме состояния серы представляет собой процесс охлаждения серного газа, который ве- ведется при нормальном давлении. При температуре 444,5 °С серный газ сгущается в жидкость, при температуре 110,2 °С обращается в одну кристаллическую модификацию серы и, наконец, при темпера- температуре 95,5 °С — в другую модификацию. На той же диаграмме про- процесс 3—4 представляет собой сжатие серного газа. И здесь, повышая давление, мы последовательно проходим превращение газа в жид- 59а
кость, а затем, выше точки 4, при весьма высоких давлениях, и в твердое тело. Необходимо обратить внимание на существование единственных условий, при которых могут совместно существовать три фазы. Эти точки называются тройными. У серы три тройные точки: первая, в которой одновременно существует серный газ, жидкость и желтая сера; вторая, в которой одновременно существует газ, жидкость и красная сера, и, наконец, третья тройная точка, в которой жид- жидкость существует в равновесии с обеими кристаллическими фазами. Можно показать чисто термодинамическими рассуждениями, .что существование четверной точки невозможно. Таким образом, не существует условий, при которых, например, две модификации кристалла существовали бы в равновесии со своими жидкостью и паром. Каждое фазовое превращение характеризуется температурой перехода при данном давлении. Говорят о температуре плавления (кристаллизации), кипения, сублимации и т. д. Если не указы- указывается, о каком давлении идет речь, то обычно имеется в виду нор- нормальное атмосферное давление. Важной характеристикой превращения является теплота пере- перехода. Хорошо известно существование скрытых теплот кипения и плавления. Однако существование теплоты перехода является об- общим правилом. Любое превращение, идущее при нагреве, требует тепла. В соответствии со вторым началом термодинамики теплота превращения должна быть однозначно связана с изменением энтро- энтропии: Здесь Т — температура перехода. Отсюда ясно, что любое фазовое превращение, идущее при нагреве, сопровождается возрастанием энтропии. Температура перехода (плавления, кипения) может быть вычис- вычислена по формуле ~Ks как частное от деления скрытой теплоты перехода на прирост энтро- энтропии. Однако это утверждение носит чисто теоретический характер — скачок энтропии при фазовом превращении практически невозможно предвычислить. Наоборот, зная из опыта температуру перехода и теплоту перехода, можно точно оценить величину прироста энтропии. Фазовый переход лед I — лед III происходит при температуре t=—2O°C гюд давлением р—2103 атм. Этот переход происходит с выделением тепла; на каждая грамм льда выделяется AQ=5,6 кал. Следовательно, изменение энтропии AS = -^ =¦-—-=0,022 кал/К, 599
§ 244а. Диаграмма состояния и свойства гелия Гелий заслуживает отдельного описания по той причине, что только этот элемент обнаруживает два исключения из общих пра- правил. Диаграмма состояния гелия (изотоп 4) показана на рис. 280а. Оказывается, что существуют две твердые фазы. Объемно-центриро- Объемно-центрированная решетка гелия устойчива в очень узкой области темпера- температура— давление. В основной области гелий имеет гексагональную рмс/см2 — плотную структуру (см. 30 20 10 Крис/ —.— палл J Жидкий \ гелий II / / \ \ \ Ж идти гелий / "Таз 2 3 Рис. 280а. а при очень вы_ соких давлениях, не по- показанных на чертеже, приобретает структуру гра- нецентрированной кубиче- кубической решетки. Первая особенность, ко- которая бросается в глаза, это то, что устойчивой фазой при нуле давлений и нуле температуры является жид- жидкая, а не твердая фаза. Вто- Вторая особенность состоит в том, что жидкий гелий может существовать в двух состояниях, между которыми проходит четкая фазовая граница. Причина этих особенностей гелия заключается в сочетании малой массы атомов с очень слабыми силами взаимодействия. До- Достаточно сказать, что глубина потенциальной ямы на кривой взаимо- взаимодействия двух атомов гелия в десять раз меньше, чем у аргона. В ре- результате оказывается, что нулевая энергия гелия, т. е. кинетическая энергия в наинизшем состоянии настолько велика, что без приложе- приложения внешнего давления атом гелия не может находиться (как дру- другие атомы) в потенциальной яме, созданной взаимодействием с сосе- соседями, и ограничиться в своем движении одними лишь колебаниями около положения равновесия. Самое поразительное свойство гелия II — это открытая П. Л. Ка- Капицей в 1938 г. сверхтекучесть, т. е. полное отсутствие вязкости. Для наблюдения сверхтекучести изготовляется сосуд, в дне которого имеется очень узкая щель — шириной всего лишь в пол- полмикрона. Обычная жидкость почти не просачивается сквозь такую щель; так ведет себя и гелий при температуре выше 2,19 К. Но едва только температура становится ниже 2,19 К, скорость выте- вытекания гелия скачком возрастает по крайней мере в тысячи раз. Через тончайший зазор гелий II вытекает почти мгновенно, т. е. полностью теряет вязкость. Сверхтекучесть гелия приводит к еще более странному явлению. Гелий II способен сам «вылезать» из стакана или пробирки, куда он налит. На рис. 2806 показана схема проведения этого опыта. Пробирку с гелием II помещают в дьюар над гелиевой ванной. Гелий подни- 600
Рис. 280 6. мается по стенке пробирки в виде тончайшей, совершенно незаметной пленки и перетекает через край; с донышка пробирки капают капли. Благодаря капиллярным силам молекулы всякой жидкости, смачивающей стенку сосуда, взбираются вверх по этой стенке и образуют на ней тон- тончайшую пленку, ширина которой по порядку величины равна одной миллионной доле сан- сантиметра. Эта пленочка незаметна для глаза, да и вообще ничем себя не проявляет в случае обычной вязкой жидкости. Картина совершенно меняется, если мы имеем дело с лишенным вязкости гелием. Уз- Узкая щель не мешает движению сверхтекучего гелия, а тонкая поверхностная пленка — все равно что узкая щель. Лишенная вязкости жидкость течет тончайшим слоем. Через край стакана или пробир- пробирки поверхностная пленка образует сифон, по которому и перели- переливается гелий. Понятно, что у обычной жидкости мы не наблюдаем ничего по- похожего. При нормальной вязкости «пробраться» через сифон нич- ничтожной толщины жидкость практически не может. Такое движение настолько медленно, что перетекание длилось бы миллионы лет. Итак, гелий II лишен всякой вязкости. Казалось бы, отсюда с железной логикой следует вывод, что твердое тело должно в та- такой жидкости двигаться без трения. Поместим в жидкий гелий диск на нити и закрутим нить. Предоставив свободу этому несложному приспособлению, мы создадим нечто вроде маятника — нить с дис- диском будет колебаться и периодически закручиваться то в одну, то в другую сторону. Если трения нет, то мы должны ожидать, что диск будет колебаться вечно. Однако через сравнительно короткое время, примерно такое же, как и для обычного нормального гелия I (т. е. гелия при температуре выше 2,19 К), диск останавливается. Вы- Вытекая через щель, гелий ведет себя как жидкость без вязкости, а по отношению к движущимся в нем телам — как обычная вязкая жидкость. Понять поведение жидкого гелия можно только с точки зрения квантовой механики. Попытаемся дать представление о том, как теория, данная Л. Д. Ландау, объясняет поведение жидкого гелия. Оказывается, каждая частица жидкого гелия участвует одно- одновременно в двух движениях: одно движение сверхтекучее, не свя- связанное с вязкостью, а другое — обычное. Гелий II ведет себя таким образом, как будто он состоит из смеси двух жидкостей, движущихся совершенно независимо «одна через другую». Одна жидкость нормальна по поведению, т. е. об- обладает обычной вязкостью, другая является сверхтекучей. Когда гелий течет через щель или перетекает через край стакана, мы наблюдаем эффект сверхтекучести. А при колебании диска, погруженного в гелий, останавливающее диск трение создается 601
благодаря тому, что в нормальной части гелия трение диска неиз- неизбежно. Способность участвовать в двух разных движениях порождает и совершенно необычные теплопроводящие свойства гелия. Как уже говорилось, жидкости вообще довольно плохо проводят тепло. Подобно обычным жидкостям ведет себя и гелий I. Когда же проис- происходит превращение в гелий II, теплопроводность его возрастает примерно в миллиард раз. Таким образом, гелий II проводит тепло лучше, чем самые лучшие обычные проводники тепла — такие, как медь и серебро. Дело в том, что сверхтекучее движение гелия в передаче тепла не участвует. Поэтому, когда в гелии II есть перепад температур, то возникают два течения, идущие в противоположных направле- направлениях, и одно из них — нормальное — несет с собой тепло. Это со- совершенно не похоже на обычную теплопроводность. В обычной жидкости тепло передается ударами молекул. В гелии II тепло течет вместе с обычной частью гелия, течет, как жидкость. Такой способ передачи тепла и приводит к огромной теплопроводности. В справедливости сказанного можно убедиться непосредственно на следующем простом по своей идее опыте. В ванне с жидким гелием находится дьюар, также целиком за- заполненный гелием. Сосуд сообщается с ванной капиллярным отрост- отростком. Гелий внутри дьюара нагревается электрической спиралью, но тепло не переходит к гелию в ванне, так как стенки дьюара не передают тепло. Напротив капиллярной трубки находится крылышко, подвешен- подвешенное на тонкой нити. Если тепло течет, как жидкость, то оно долж- должно повернуть крылышко. Именно это и происходит. При этом коли- количество гелия в сосуде не изменяется. Как объяснить это явление? При нагревании возникает поток нормальной части жидкости от нагретого места к холодному и поток сверхтекучей части в обратную сторону. Количество гелия в каждой точке не меняется, но так как вместе с переносом тепла движется нормальная часть жидкости, то крылышко поворачивается благодаря вязкому трению этой части и остается отклоненным столько времени, сколько продолжается нагрев. Из того, что сверхтекучее движение не переносит тепла, следует и другой вывод. Выше говорилось о «переползании» гелия через край стакана. Но «вылезает» из стакана сверхтекучая часть, а оста- остается нормальная. Тепло связано только с нормальной частью гелия, оно не сопровождает «вылезающую» сверхтекучую часть. Значит, по мере «вылезания» гелия из сосуда одно и то же тепло будет при- приходиться на все меньшее количество гелия — остающийся в сосуде гелий должен нагреваться. Это действительно наблюдается при опыте. Массы гелия, связанные со сверхтекучим и нормальным движе- движением, не одинаковы. Отношение их зависит от температуры. Чем ниже температура, тем больше сверхтекучая часть массы гелия. 602
При абсолютном нуле весь гелий становится сверхтекучим. По мере повышения температуры все большая часть гелия начинает вести себя нормально, и при температуре 2,19 К весь гелий ста- становится нормальным, приобретает свойства обычной жидкости. § 245. Условия устойчивого состояния фазы При одних условиях тело — жидкое, при иных — твердое. От чего это зависит? Имеются две тенденции, которые определяют характер состояния при данных внешних условиях. Это, во-первых, стремление тела иметь наименьшую энергию и другое стремление — иметь наибольшую энтропию. Первое стремление является следст- следствием того, что система молекул в отношении энергии ведет себя, как любая система материальных точек, подчиняющаяся законам меха- механики Ньютона, а механическая система, как мы знаем, стремится к минимуму потенциальной энергии. Второе стремление следует из второго начала термодинамики. При переходе от газа к жидкости и к твердому телу внутренняя энергия уменьшается. Действительно, энергия газа выше, чем энергия жидкости, поскольку для перехода от жидкости к газу надо затратить работу на преодоление сил сцепления ме&ду моле- молекулами. Энергия кристалла ниже энергии жидкости по той причине, что упорядоченное расположение взаимодействующих частиц всегда устойчивее беспорядочного расположения. Это можно показать строго, но мы не будем приводить доказательства. Положение ка- кажется в достаточной мере очевидным. Представим себе, например, правильную решетку шариков, связанных пружинками. Любое смещение любого шарика требует некоторой работы. Значит, упоря- упорядоченному расположению соответствует минимум энергии. Обратное поведение имеется у энтропии. Грубо говоря, энтропия тела будет тем больше, чем больше свобода движения у составляю- щих его частиц. Нарушение порядка влечет за собой увели- увеличение энтропии, отдаление частиц также связано с возрастанием энтропии. Таким образом, выгодное для данных давления и температуры состояние устанавливается в виде компромисса между энтропией и энергией. Однако это утверждение не может нас удовлетворить. Желательно придать ему количественный характер. Можно сделать это, руководствуясь вторым началом. Представим себе, что тело помещено в «чужие» условия, т. е. лед в условия существования воды или вода в условия существо- существования пара и т. д. В этом случае начнется необратимое фазовое превращение — плавление, испарение и пр. Оно будет происходить в соответствии со вторым началом термодинамики, а именно: прирост энтропии тела будет больше, чем подводимая к нему приведенная теплота, 603
Воспользовавшись первым началом термодинамики, перепишем нера- неравенство в виде Учитывая, что фазовое превращение идет при неизменной темпера- температуре, получим: d(U — TS) + pdv<0. Если процесс идет при неизменном объеме, то переход к равно- равновесному состоянию идет при d(U — Г5)<0, т. е. с уменьшением величины F=U — TS. Эта функция носит название свободной энер- энергии. Мы показали, что самопроизвольное фазовое превращение идет с понижением свободной энергии, иначе, что свободная энергия устойчивого состояния должна быть минимальной. Если процесс идет при постоянном давлении, то переход к равно- равновесной фазе идет при d(U — TS+pv)<Z0, т. е. с уменьшением ве- величины Ф = и — TS+pv. Эта функция носит название термоди- термодинамического потенциала. Таким образом, при постоянном давлении фазовое превращение идет с уменьшением термодинамического потенциала, а значит, при равновесии термодинамический потен- потенциал будет иметь минимальное значение. Конкуренция энтропии и внутренней энергии прекрасно видна в этих утверждениях: уменьшение энергии и увеличение энтропии приводят к уменьшению свободной энергии или потенциала. В за- законах стремления F и Ф к минимуму эти две тенденции получили количественное выражение. Сформулированное условие равновесия фаз имеет многочислен- многочисленные приложения. Решим,- например, следующий вопрос: от чего зависит крутизна кривой фазового равновесия? Отметим на кривой две точки при внешних условиях Tl9 pi и Т2, р2- Условия равновесия для этих точек имеют вид <DiG\. Л)=ФЛ7\, Pi) и ФХ(Г2, Р2) = Ф2(Т2У р2). Индексы у Ф относятся к находящимся в равновесии фазам. Вычи- Вычитая первое уравнение из второго, получим: Фг(Т„ Р,)-ФЛТ19 р1) = ФаG1„ Л)-Ф2G\. Л)- Предположим, что взятые точки близки друг к другу. Тогда с помощью формулы приращения функции двух переменных пос- последнее равенство преобразуется к виду Подставляя значения производных функции Ф = [/—TS+pv, а именно, дФ/дТ=—S и дФ/dp^v, получим: dp _ S1—S1 _ AS dT vj— v2 Vi — v 604
Ho AS=AQ/T, следовательно, р = —- (уравнение Клапейрона — Клаузиуса). ai I {v± — v2) Таким образом, наклон кривой [производная -~] опреде- определяется скрытой теплотой плавления AQ, температурой фазового перехода Т и разностью объема фаз. Если AQ положительно, то это значит, что индекс 1 относится к высокотемпературной фазе. Применим уравнение Клапейрона — Клаузиуса к случаю плавления льда. При плавлении из 1,091 см3 льда получается 1 см3 воды. Изменение объема v1—v2= =—0,091 см3 (объем уменьшается). AQ в этом случае будет теплотой плавления, равной 80 кал/г. Температура Т—273 К. Тогда dT Г.Ар==273-(--0,091)_ q 31 К-см* dp AQ ~ 80 "— кал " Размерность полученного результата несколько затемняет его смысл. Пе- Перейдем от калорий к атмосферам, вспомнив, что 1 кал=42,7 кгс-смя^ 42,7 атм-см3. Получим ^-=-0,0075 А. dp атм Таким образом, повышение давления на 1 атм понижает точку плавления льда на 0,0075 градуса. § 246. Метастабильные состояния Некоторые факты остались за пределами приведенного нами термодинамического объяснения явлений фазовых переходов. Дей- Действительно, с точки зрения термодинамики при данных р и Т воз- возможно единственное состояние (речь идет о точке поля диаграммы состояния), при котором свободная энергия (или термодинамиче- термодинамический потенциал) принимает минимальное значение. Однако рядом могут существовать графит и алмаз, при условиях существования льда можно получить воду (переохлажденная вода). Можно при- привести еще множество примеров, нарушающих описанные термоди- термодинамические закономерности. Дело заключается в том, что наряду с устойчивыми, стабильными при данных внешних условиях состоя- состояниями возможно существование так называемых метастабильных состояний. Метастабильное состояние не обладает минимумом свободной энергии, однако переход из этого состояния в состояние с миниму- минимумом энергии затруднен. Степень устойчивости метастабильного рав- равновесия может быть самой разной. Иногда для перехода к «правиль- «правильному» состоянию нужен легчайший толчок, в других случаях прак- практическая устойчивость метастабильного состояния может быть ни- ничуть не меньше, чем у «правильного» состояния. Следует отметить, что возможны не всякие задержки фазовых превращений. Так, воду можно переохладить, т. е., скажем, при нормальном давлении иметь воду с температурой ниже 0 °С; воду также можно и перегреть — поднять ее температуру выше 100 °С 605
без кипения. Можно также получить пар при несвойственных ему условиях, а именно переохладить,— такой пар называется пересы- пересыщенным. Всегда возникают задержки превращений в твердой фазе, т. е. кристалл одной модификации задерживается превращением в кристалл второй модификации, хотя находится в условиях стабиль- стабильности второй модификации. Выделяется' одно превращение — плавление. Ни при каких условиях не удается задержать плавление; таким образом, не суще- существует кристалла в условиях, при которых стабильна жидкость. Особенно часто приходится иметь дело с переохлажденными жидкостями. Некоторые жидкости (глицерин) значительно увели- увеличивают свою вязкость при переохлаждении и могут пребывать в аморфном состоянии месяцами и годами. Примером переохлажден- переохлажденной жидкости является и стекло. Для того чтобы убедиться в наличии метастабильного состояния, надо привести в соприкосновение жидкость и кристалл. Если жид- жидкость переохлаждена, то немедленно начнется кристаллизация. При сильном переохлаждении эффект будет исключительно бурным. Если переохладить воду и бросить в нее снежинку, то с огромной быстротой с разных сторон по воде пробегут ледяные иглы и через несколько мгновений превращение закончится по всему объему. Особенно интересны задержки превращений кристалл — кри- кристалл. Здесь задержка может быть осуществлена, так сказать, в обе стороны. Желтая сера должна при 95,5 °С превращаться в красную. При быстром нагревании эту точку превращения можно «проско- «проскочить» и довести серу до температуры плавления ИЗ °С. Теперь нач- начнем охлаждать расплав. При 113 °С вырастут кристаллики красной серы. Охлаждение не приводит к превращению не только при 95,5 °С, но и при комнатной температуре мы можем порядочное время рас- располагать красными кристалликами. Однако, хотя и медленно, превращение идет и за сутки закончится — мы обнаружим желтый порошок. И здесь метастабильность состояния проще всего обнаружить, приводя в соприкосновение кристаллики. В некоторых случаях мы имеем дело с такими фазами вещества, которым полагалось бы жить совсем при других температурах. Пример — белое олово, которое превращается в серое при пониже- понижении температуры при 13 °С. Мы обычно имеем дело с белым оловом и знаем, что зимой с ним ничего не делается. Переохлаждения в 20— 30 • градусов превосходно выдерживаются белым оловом, лишь в условиях суровой зимы белое олово начинает превращаться в серое. (Незнание этого факта погубило экспедицию Скотта на южный по- полюс. Жидкое топливо, йзятое экспедицией, находилось в сосудах, паянных оловом. При больших холодах белое олово превратилось в серый порошок — сосуды распаялись, и топливо вылилось из сосудов.) Чтобы понять причины задержки превращений, надо подумать над различием превращений жидкость — кристалл и кристалл — 606
кристалл, с одной стороны, и кристалл — жидкость,— с другой. В последнем случае дальний порядок в расположении атомов исче- исчезает, в первых двух создается наново. Исчезновение дальнего по- порядка не требует больших усилий. Плавление начинается с поверх- поверхности; атом за атомом отрывается от своих соседей, выходит из строгого строя. При кристаллизации ближний порядок переходит в дальний. Процесс начнется с поверхности и должен идти внутрь вещества. Атомы (молекулы) «вынуждены» установить строгий порядок при условии крайней тесноты. Необходимы согласованные движения, чтобы порядок установился. Тем более трудна задача перестройки атомного порядка, требующая, как мы видели, от атомов «органи- «организованных» смещений от одних положений к другим. Превращение в твердом состоянии начинается всегда на границах зерен, блоков, на дислокациях, в пустотах, короче, там, где посво- посвободнее. Если только несколько десятков атомов заняли положение, соответствующее новому порядку, то дальше происходит ориентиро- ориентированный рост зародыша, к которому один за другим начинают пере- переходить атомы от старого, менее удобного порядка или (при кристал- кристаллизации) от беспорядка. В этом же направляющем влиянии заклю- заключается и действие кристаллика — затравки, который всегда ликви- ликвидирует переохлаждение. § 247. Превращения газ ?± жидкость Испарение состоит в отрыве от поверхности жидкости быстрей- быстрейших молекул. Отсюда сразу очевидны две закономерности: испаре- испарение растет с возрастанием температуры и испарение требует под- подвода тепла. Если испаряющиеся молекулы все время отводятся от поверхности, то процесс испарения будет продолжаться до полного превращения жидкости в пар. Рассмотрим испарение, происходящее внутри закрытого сосуда. В этом случае наряду с явлением отрыва молекул от поверхности жидкости возникает и обратный процесс — возвращение молекул пара в жидкость. Процесс испарения будет продолжаться до тех пор, пока не установится подвижное равновесие, характерное для данной температуры. Разумеется, жидкость может испариться пол- полностью, так и не дойдя до равновесия с пзром. Если равновесие достигнуто, то говорят о насыщенном паре. Давление насыщенного пара в соответствии с кривой фазового рав- равновесия будет функцией температуры. Изменяя температуру, мы будем испарять дополнительное количество жидкости в сосуд или, наоборот, конденсировать некоторое количество пара. При этом будет меняться давление пара. Вполне понятно, почему плотность и давление насыщенного пара растут с увеличением температуры. При увеличении кине- кинетической энергии движения молекул резко возрастает число моле- молекул, выходящих из жидкости. В то же время число молекул, Ш1
возвращающихся в жидкость, почти не зависит от температуры, по- поскольку для перехода молекулы пара в жидкость энергии не требуется. Плотности насыщенных паров при одной и той же температуре резко различны для разных веществ. При комнатной температуре плотность насыщенных паров воды равна 13 мм, а плотность насы- насыщенных паров ртути — всего лишь 0,005 мм. Ясное представление о процессах перехода газа в жидкость мы получим, рассматривая изотермическое сжатие газа — «верти- «вертикальные» процессы на диаграмме состояния. Чтобы увидеть объем- объемные изменения, которые не отоб- отображаются диаграммой состояния, построим дополнительный гра- график, на котором будем отклады- откладывать изменение давления в функ- функции объема (рис. 281). Если сжатие газа происходит при достаточно низкой темпера- температуре, то рано или поздно мы дой- дойдем до точки пересечения с кри- кривой фазового равновесия. В этот момент давлен pie увеличится до величины, равной давлению на- насыщенного пара при температуре опыта. Появятся первые капли жидкости. Пока не закончится превращение пара в жидкость, ¦~2Л сжимающее движение поршня не будет сопровождаться изменени- изменением давления, поскольку как в начале, так и в конце конденсации мы находимся в одной и той же точке диаграммы состояния. Что же касается кривой на диаграмме давление — объем, то она будет идти горизонтально до конца кон- конденсации. Точки прямолинейного отрезка на этом графике имеют ясный смысл: они характеризуют двухфазную систему вода — пар. При этом каждой точке прямолинейного отрезка соответствует опре- определенное процентное содержание фаз, которое легко найти правилом «рычага». Действительно, обозначим через и± объем жидкости, a v2 — объем пара. Если доля вещества, находящегося в жидком состоянии, есть х, то объем смеси равен Рис. 281. — x)v2 Отсюда х = - что и дает правило «рычага», 608
После того как конденсация закончилась, кривая идет круто кверху, так как сжимаемости жидкостей весьма невелики. Увеличим теперь температуру опыта и построим на том же гра- графике следующую изотерму. Она будет почти такой же, однако мы отметим и одно существенное различие: конденсация начнется позже, поскольку при более высокой температуре давление насыщенного пара больше. Кроме того, конденсация и закончится раньше, так как из-за теплового расширения жидкости поршень не дойдет до пре- предыдущего положения. Повышая и далее температуру опыта, мы построим серию изо- изотерм, у которых будут становиться все короче горизонтальные отрезки двухфазной системы. В конце концов этот отрезок исчез- исчезнет вовсе. Уменьшение горизонтального отрезка есть явление сбли- сближения удельных объемов жидкости и пара. При некоторой крити- критической температуре эти объемы станут равными и изотерма потеряет горизонтальный участок. На диаграмме давление — объем крити- критическая точка определяется без особого труда как вершина очерчен- очерченной пунктиром двухфазной области. На диаграмме состояния кри- критическая точка есть место обрыва кривой фазового равновесия жидкость — пар. Изотермы для более высоких температур будут все меньше на- напоминать кривые с изломом и приближаться к гиперболам идеаль- идеального газа. Факт существования критической точки доказывает сделанное выше утверждение об отсутствии принципиального различия между газом и жидкостью. Мы видим, что возможен непрерывный переход из жидкого состояния в газообразное (в обход критической точки) без какого бы то ни было фазового превращения. § 248. Сжижение газов Если сжимать вещество, температура которого выше критиче- критической, то мы не сумеем получить жидкость. При высоком сжатии удастся получить вещество с весьма высокой плотностью, удастся привести молекулы в соприкосновение. Тем не менее мы не сможем получить жидкость в том обычном смысле, который придается этому слову. Мы не получим жидкости, которую можно налить в стакан, не получим того состояния вещества, которому свойствен объем. Все это является следствием того, что при сжатии не была пересе- пересечена кривая фазового равновесия. Отсутствие такого пересечения показывает, что мы не можем получить двухфазной системы жид- жидкость — газ. А это и означает невозможность получения жидкости, занимающей - определенный, а не весь предоставляемый ей объем. Для того чтобы произвести сжижение газов, нужно вести про- процесс сжатия при температурах ниже критической точки. Дело обстоит несложно, если такие температуры можно осуществить путем теплообмена с холодными телами. Однако у кислорода, азота, 20 А. И. Китайгородский 609
водорода критические температуры лежат очень низко. Для сжи- сжижения этих газов приходится прибегать к охлаждению, достигае- достигаемому процессом Джоуля — Томсона, или к адиабатическому охла- охлаждению. При охлаждении первым способом газ сжимают в компрессоре и пропускают через холодильник. Далее газ поступает в спираль и, вытекая через отверстие, которое играет роль перегородки в опыте Джоуля — Томсона (см. стр. 153), расширяется до атмосферного давления. При этом газ охлаждается, поднимается кверху и ох- охлаждает спираль; таким образом, следующая порция вытекающего газа будет холоднее предыдущей. В конце концов газ превращается в жидкость. Другой способ сжижения газа заключается в использовании де- детандера (расширителя). В поршневом детандере газ адиабатически расширяется, совершает работу по подъему поршня и выходит охлажденный из цилиндра. Заставляя первую порцию газа охлаж- охлаждать последующую, можно довести этим способом температуру до —150 °С. Дальнейшее охлаждение затруднено отсутствием подхо- подходящих смазочных средств, позволяющих осуществить движение поршня по стенкам цилиндра с малым трением. Выход из положения был найден П. Л. Капицей, разработавшим холодильную турбину— турбодетандер. Турбина приводится во вращение газом, посту- поступающим из компрессора. Газ адиабатически расширяется, охлаж- охлаждается и охлаждает следующую порцию газа. Трудности со смазкой избегаются просто по той причине, что подшипники, которые надо смазывать, могут быть вынесены за пределы холодного пространства. § 249. Превращения газ ^ кристалл Когда говорят «вещество испаряется», то обычно подразумевают, что испаряется жидкость. Испарение твердых тел называют возгон- возгонкой. Один из наиболее знакомых примеров испарения твердых тел — это возгонка нафталина. Всякое пахнущее твердое вещество возгоняется в значительной степени. Запах создается молекулами, оторвавшимися от вещества и достигшими нашего органа обоняния. Более часты случаи, когда вещество возгоняется в незначительной степени, иногда даже в та- такой, которая не может быть обнаружена очень тщательными иссле- исследованиями. Однако в принципе любое твердое вещество (именно лю- любое, даже железо или медь) испаряется. Если мы не обнаруживаем возгонки, то это значит лишь, что плотность насыщенного пара совершенно незначительна. Последнее обстоятельство кажется весьма естественным: движения атомов и молекул твердого тела очень упорядочены и маловероятны случайности, которые могут оторвать молекулу от поверхности твердого тела. Плотность насыщенного пара, находящегося в равновесии с твердым телом, растет с увеличением температуры. Можно убедиться в том, что ряд веществ, имеющих острый запах при комнатной тем- 610
пературе, теряет его при низкой температуре. Существенно увели- увеличить плотность насыщенного пара твердого тела в большинстве случаев нельзя по простой причине: вещество раньше расплавится. Получение кристаллов из паров часто используют как способ приготовления очень чистых кристаллов. Для этой цели застав- заставляют, например, пар осаждаться на слегка охлаждаемое стекло. § 250. Превращения жидкость 7^ кристалл Переход из жидкого состояния в твердое (кристаллизация) обратный переход (плавление) состоят в фундаментальной пере- перестройке частиц. При плавлении исчезает дальний порядок в распо- расположении молекул или атомов. При данном давлении плавление происходит при строго опреде- определенной температуре. Колебания атомов или молекул становятся при этом столь значительными, что поддержание дальнего порядка ста- становится невозможным. Если задержать подвод тепла при температуре плавления, то жидкость и кристалл могут находиться в состоянии равновесия так же точно, как это имеет место в случае жидкости и насыщенного пара. Кристалл не будет ни расти, ни плавиться. Внешнее давление меняет температуру плавления. Как правило, температура плавления растет с увеличением давления, т. е. плав- плавление затрудняется. Имеется, однако, небольшое число исключений из этого общего правила. К их числу принадлежит лед. Плавление льда облегчается увеличением давления. Если возвратиться к диа- диаграммам состояния, то нормальное и аномальное поведение тел можно кратко описать так: обычно-^-> 0, т. е. кривая равновесия идет под острым углом к оси температур. В случае аномалии-^- < 0 и кривая образует тупой угол с осью абсцисс. Странное поведение льда связано с другой его аномалией: в отличие от боль- большинства твердых тел лед легче воды. Связь этих двух dp аномалии следует из выведенного выше уравнения: -~ = = ——ь—-. Очевидно, что при таких условиях давление, создаю- щее уплотнение, должно способствовать плавлению. Связь между двумя аномалиями вполне естественна. Представим себе находя- находящиеся в состоянии фазового равновесия жидкость и кристалл. Повысим давление, не меняя температуры. Атомы должны сбли- сблизиться. Если твердое тело плотнее, то жидкость перейдет в кристалл. Если плотнее жидкость, то имеет место обратный переход. Аномалии воды играют огромную роль в нашей жизни. Благо- Благодаря ей реки не промерзают до дна. Аномалии льда (и других ано- аномальных в этом отношении тел) связаны в свою очередь с его струк- структурой. Кристаллы льда не подчиняются закону плотной упаковки 20* 611
частиц. Поэтому нарушение дальнего порядка приводит не к умень- уменьшению (как обычно), а к увеличению плотности. Вернемся к рис. 264 (стр. 574). Широкие каналы льда могут, слегка расширившись, вместить молекулу воды. При плавлении льда молекула «проваливается» в этот канал. Конечно, при таких условиях плотность будет возрастать. Ввиду зависимости от очень многих структурных факторов не существует теории, при помощи которой можно было бы предсказывать теплоты или температуры плавления. Проще, конечно, первое, поскольку температура плав- плавления есть частное от деления теплоты плавления на энтропию плавления. Характеристикой сил связи между молекулами или атомами твердого тела является, конечно, теплота возгонки (энергия, необ- необходимая для разрыва межмолекулярных связей), но не тепло- теплота плавления (энергия, необходимая для разрушения дальнего порядка). Как говорилось выше, плавление кристалла происходит без задержки. Напротив, кристаллизация может быть задержана, а иногда и не происходит вообще. Для того чтобы началась кристал- кристаллизация в жидкости, должен появиться зародыш — система из Рис. 282. десятков атомов или молекул, принявших расположение, имеющее место в кристалле. Далее, в жидкости должны существовать усло- условия, способствующие росту этого зародыша. У большинства жид- жидкостей существенно задержать процесс образования зародышей не удается. Во всяком случае, чтобы добиться этой задержки, необхо- необходимо охлаждение в очень осторожных условиях: нельзя допустить попадания в жидкость пылинок, необходимо устранить всякие ме- механические помехи — колебание, дрожание сосуда и пр. 612
При достаточно больших пересыщениях избежать самопроиз- самопроизвольного образования зародышей, т. е. стабилизации удобных для кристаллизации атомных или молекулярных групп, вероятно, нельзя. Однако может произойти другое. При понижении темпера- температуры может столь сильно уменьшиться подвижность частиц, что скорость роста кристаллических зародышей станет практически равной нулю. В этом случае и возникают стекла. Рост кристаллов будет происходить всегда, если в жидкости, находящейся в усло- условиях термодинамического равновесия с кристаллом, находятся небольшие кристаллики (затравки). При помощи затравок выращи- выращивают кристаллы для промышленных целей. Если отвод тепла происходит весьма медленно (доли градуса в сутки) и если затравка вращается в жидкости, то кристалл растет по небольшому числу своих возможных граней. Растут, естественно, те грани, которые обладают наименьшей поверхностной энергией. Это всегда грани, индексы которых выражаются простыми числами. Весьма часто образуются грани, поверхностная плотность заполне- заполнения которых атомами или молекулами — наибольшая. Какие имен- именно грани кристалла будут расти — решить заранее трудно, тем более, что это зависит от многих побочных обстоятельств (кроме того, Рис. 283. мы не обсуждаем роста кристаллов из растворов, обладающего некоторыми особенностями). Однако можно утверждать, что кри- кристалл, находящийся в равновесии с расплавом (также и раствором), должен принять такую форму, чтобы поверхностная энергия его была минимальна. Механизм роста кристалла заключается в подходе каждой сле- следующей частицы к тому месту кристалла, где силы сцепления будут 613
наибольшими и, следовательно, потенциальная энергия — наи- наименьшая. На рис. 282 показаны три возможности подхода атома к строящемуся кристаллу. В положении А действующие на атом при- притягивающие силы больше, чем в положении Б, а в Б —больше, чем в В. Поэтому молекулы или атомы будут всегда с большей лег- легкостью застраивать уже начавшую строиться плоскость, нежели начинать строить новую. Подсчеты показывают, что в некоторых случаях начало построй- постройки новой плоскости связано с преодолением столь значительных трудностей, которые делают непонятным сам факт роста кристалла. В этом случае на первый план выходит спиральный механизм роста. Как это очевидно из схемы, показанной выше на рис. 272, спираль- спиральный рост продолжается сколь угодно долго и новые атомы и моле- молекулы все время поступают в энергетически выгодные места. Таким образом, не приходится начинать застройку нового слоя. Начало спиральному росту дает ошибочное построение, называемое спи- спиральной дислокацией. Возникновение такой «ошибки» может про- произойти скорее всего благодаря мельчайшему постороннему включе- включению. Участок поверхности кристалла, выросший спиральным пу- путем, показан на рис. 283. §251. Превращения кристаллу кристалл Превращение в твердой фазе — это переход одного дальнего порядка в другой, также дальний порядок. Большой интерес пред- представляет изучение механизма подобных превращений. Наиболее проста картина превращения друг в друга твердых фаз простых веществ, если структура обеих фаз принадлежит к числу плотных шаровых упаковок. Так, кобальт и таллий встречаются как в виде кубической упаковки, так и в виде гексагональной упа- упаковки. Перемещая слой, можно перевести слой из «гексагонального» положения в «кубическое» и обратно. При превращениях этого типа из одного кристалла кубической фазы удалось даже вырастить одиночный кристалл гексагональной фазы. Обычно это не удается: рост кристаллов новой фазы начи- начинается одновременно из многих центров; монокристалл превра- превращается в мелкокристаллическое вещество. Чаще кристалл рассыпа- рассыпается при превращении. Иногда внешняя «оболочка» сохраняется и мелкокристаллическое вещество занимает строго правильный сим- симметричный объем многогранника, свойственного бывшему моно- монокристаллу. Причина трудности понятна. Кристаллы новой фазы могут начать расти из разных мест. Но ведь плотнейших слоев в куби- кубической гранецентрированной упаковке можно провести четыре си- системы. Вернемся к рис. 261 (стр. 572); в показанном на рисунке кристалле плотнейшие плоскости перпендикулярны к простран- пространственным диагоналям, а их всего четыре (у куба восемь вершин). Если так, то из кристалла с кубической упаковкой могут вырасти €14
гексагональные кристаллы с четырьмя разными ориентиров- ориентировками. Начало изучению перестройки атомов при фазовых превраще- превращениях было положено работой Г. В. Курдюмова, посвященной пре- превращениям железа и стали. При высоких температурах железо су- существует в виде плотной кубической упаковки атомов. При низких температурах атомы железа располагаются в объемно-центрирован- объемно-центрированной решетке. Это превращение (его называют «мартенситным») Рис. 284, имеет огромное значение для металлургии*) и заслуживает поэтому подробного рассмотрения. Что же происходит при увеличении температуры? Ответ на этот вопрос дают схемы, показанные на рис. 284. Слева изображена еще раз плотная кубическая упаковка, а справа — объемно-центриро- объемно-центрированная упаковка, изображенная в несколько необычном виде, а именно, показана проекция расположения атомов, какой она нам представится, если смотреть вдоль диагонали грани куба. Между этими рисунками, казалось бы, мало общего. Левая постройка — трехэтажная, правая — двухэтажная (треугольнички — второй этаж); это — главное различие. Другое менее существенное раз- различие — это разница в углах ромбод (мы не показываем ее на чер- чертеже). По мере нагревания колебания атомов возрастают и менее плотная объемноцентрированная упаковка при температуре 906 °С становится невыгодной. Двухэтажная постройка переходит в трех- трехэтажную попеременным сдвигом слоев, отмеченных треугольнич- треугольничками. Скажем, нечетные слои сдвигаются влево, а четные вправо. Этот сдвиг происходит вдоль диагонали ромба, одновременно меня- меняется угол ромба. При фазовом превращении железа кристаллики новой фазы могут быть ориентированы в 24 различных направлениях. Число 24 *) Закалка стали есть не что иное как шртенситное превращение. €15
получается следующим образом. В кубическом гранецентрированном кристалле имеется четыре плотнейших плоскости, а кристалл новой фазы, как можно без труда показать, растет на плотнейшем слое в шести разных ориентировках. Нет сомнения в том, что в переходе порядка в другой порядок упорядоченные, закономерные процессы играют важную роль. При такой перестройке порядка атомам не приходится обмениваться ме- местами, происходит лишь некоторое организованное перемещение атомов. Таково мартенситное превращение, носящее бездиффузи- бездиффузионный характер. Однако в других превращениях в твердом теле большую роль могут играть явления диффузии. § 252. Диффузия в твердых телах Диффузия чужеродных атомов в твердое тело уже давно известна техникам. Поверхностный слой стали можно насытить углеродом (цементация), азотом, бором. Диффузия происходит на большую глубину и проследить ее не представляет особого труда. При тем- температуре 200—300 °С серебро в заметных количествах проникает в свинец на глубину в несколько сантиметров за один час. Однако в кристалле могут перемещаться не только чужерод- чужеродные атомы. Атом железа может перемещаться по кристаллу железа, медь перемещается в меди. Если к обычной меди прижать кусок радиоактивной меди, то через короткий срок обнаружится, что обычная медь «заразилась» радиоактивностью. Метод меченых атомов позволяет изучать диффузию «своих» атомов с таким же успехом, как и диффузию «чужих». Диффузия возможна благодаря тепловым колебаниям. В момент, когда один атом отошел от своего положения равновесия, сосед проходит на его место. Возвращающийся обратно атом занимает освободившееся место. Так атомы обмениваются местами. Конечно, такой обмен произвести нелегко, если в нем примут участие лишь два атома. В диффузии атомов в твердом теле — в обмене двух ато- атомов местами — принимает участие целая группа атомов. Атом проскальзывает вперед лишь тогда, когда тепловые колебания многих атомов случайно создадут для этого благоприятную обстановку. Несомненно, очень большую роль в явлении диффузии играют всякого рода дислокации, пустоты и трещины, всегда имеющиеся в кристалле. Наличие пустого места поможет атому шаг за шагом двигаться по решетке «отодвигая» в пустоту атом, мешающий про- продвижению. Если чужеродный атом имеет небольшой размер, то он может перемещаться по решетке и без обмена местом. Дождавшись благо- благоприятных условий, такой атом может проскользнуть из одной пу- пустоты плотной шаровой упаковки в соседнюю. Диффузия является встречным эффектом. Если мы прижали цинковую пластинку к медной, то атомы цинка будут проникать в 616
медь, а атомы меди — в цинк. Правда, скорость этих встречных потоков может сильно различаться. Диффузия атомов через кристалл зависит от очень многих при- причин. Интересен следующий факт: быстрее всего идет процесс диф- диффузии, когда «чужой» атом во всех отношениях не похож на атомы кристалла, по которому он движется. Наиболее медленно идет диф- диффузия атомов в «своем» кристалле, а также в кристалле, который со- состоит из атомов того же столбца периодической системы Менделеева. Как мы уже говорили, наличие трещин и искажений облегчает диффузию. Поэтому вполне понятно, что в деформированном металле диффузия проходит более быстро. Скорость диффузии исключительно резко зависит от темпера- температуры. Это и понятно, так как коэффициент диффузии (напоминаем, что это коэффициент пропорциональности между потоком вещества и градиентом концентрации) всегда может быть представлен выра- выражением типа где U — высота потенциального барьера, который приходится пре- преодолевать атому в элементарном диффузионном акте. Необходимость такого соотношения довольно очевидна, поскольку коэффициент диффузии должен быть пропорционален числу атомов, энергия ко- которых достаточна для того, чтобы перешагнуть через потенциаль- потенциальный барьер. Высоты этих барьеров достаточно велики. Для случая самодиф- самодиффузии они лежат обычно около 1—2 эВ. Напомним, что kT при комнатной температуре равно ~0,03 эВ. Число атомов с энергиями, столь превышающими среднюю, будет ничтожно; диффузия прак- практически отсутствует. Иная картина будет при температуре порядка 1Q00 °С. В предыдущем параграфе мы обсуждали превращения кристалл— кристалл, происходящие организованно, без явления диффузии. Не следует, конечно, думать, что все фазовые переходы соверша- совершаются таким способом. Напротив, при достаточно высокой темпера- температуре явления обмена местами начнут играть весьма важную роль и организованный характер переходов будет осуществляться на малых участках, а может быть и вовсе будет затемнен явлениями обмена атомов местами. Если превращение в твердом состоянии носит диффузионный ха- характер, то оно идет со скоростью того же порядка, что и процессы самодиффузии. Высоты потенциальных барьеров, преодолеваемые атомами при перестройке, того же порядка, что и при явлениях самодиффузии. Что же касается организованных перемещений атомов типа мартенситного превращения, то здесь при малых температурах превращение имеет десятикратный перевес в скорости по срав- сравнению с процессами диффузионного характера. 617
ГЛАВА 34 ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ § 253. Упругие свойства У любого твердого тела существует предельное напряжение, вплоть до которого это тело испытывает только упругие деформа- деформации. Это значит, что после снятия напряжения, меньшего предела упругости, тело возвращается в исходное состояние. Упругие деформации, как и вообще любые деформации, связаны с перемещениями атомов (молекул). Если тело упруго растягива- растягивается, то межатомные расстояния возрастают; при сжатии атомы сближаются. Особенностью упругой деформации является то, что она не на- нарушает межатомных связей и не создает новых. При упругой деформации кристалла все атомы сохраняют своих соседей. Например, при упругом сдвиге скашивается вся решетка кристалла как целое. При этом каждый атом не меняет своего окру- окружения. Это обстоятельство и обеспечивает возвращение в равновес- равновесное состояние после снятия внешней силы. Изменение межатомных расстояний, которого можно достигнуть при упругом растяжении (сжатии), очень невелико. Предельное относительные удлинения упругого характера, как правило, не превосходят 0,001. Это значит, что при межатомных расстояниях порядка 2 А удается сдвинуть положения равновесия атомов на величину не более 0,002 А. Такие изменения периода решетки хотя и невелики, но могут быть обнаружены методами рентгенов- рентгеновского анализа по сдвигу дифракционных линий на рентгенограммах. Для обнаружения эффекта прибегают к съемке линий с большими углами О, так как (см, стр. 356) только при таком условии могут быть обнаружены малые изменения в межплоскостных расстояниях. Совсем иной характер носит упругая деформация полимеров, в том числе каучука и резины. Механические свойства каучука ко- коренным образом отличаются от свойств кристаллических веществ. Основное различие лежит в величине упругого удлинения. Каучуки некоторых сортов могут быть растянуты в 10—15 раз без перехода предела упругости. Различие более чем в 10 000 раз по сравнению с металлом говорит само за себя. Не менее разительной является величина модуля упругости у каучука. Если стальная проволока сечением 1 мм* растягивается под действием груза в 1 кГс на одну двадцатитысячную долю длины, то каучуковая нить такого же сечения растянется в два раза. При растяжении полимеров происходят два процесса. Во-пер- Во-первых, спутанные пачки молекул разворачиваются. Одновременно с этим происходит аккуратная упаковка некоторых участков развер- развернувшихся пачек цепей в трехмерном порядке. Сам факт кристалли- кристаллизации при растяжении играет, видимо, второстепенную роль, так
как при устранении внешнего воздействия новые упорядоченные области не закрепляются, а исчезают и пачки молекул сворачи- сворачиваются. Процесс свертывания пачек молекул — явление, идущее с воз- возрастанием энтропии (увеличивается степень беспорядка). Оказы- Оказывается, что внутренняя энергия при упругой деформации каучука и ему подобных полимеров практически не меняется. Поэтому работа растяжения, равная, согласно основным законам термодинамики, dA=dU — TdS, в этом случае равна просто — TdS, т. е. прямо пропорциональна температуре. (Напоминаем, что работу внешних сил над системой мы считаем отрицательной.) В этом отношении упругая деформация каучука имеет ту же природу, что изотерми- изотермическое сжатие газа (ср. стр. 155). Что же касается общности между упругими деформациями кри- кристалла и каучука, то оба процесса не приводят тело в новый мини- минимум потенциальной энергии. В случае кристалла этого не происхо- происходит по той причине, что мы не выходим из той же потенциаль- потенциальной ямы, а в случае каучука — потому, что мы вообще не меняем энергии. § 254. Пластические свойства Скольжение. Упругая деформация кристалла заключается в изменении межатомных расстояний при сохранении каждым атомом своих соседей. Напротив, пластическая деформация, не исчезаю- исчезающая после снятия внешнего воздействия, протекает путем таких процессов, при которых атомы, преодолевая потенциальный барьер, переходят в другие «потенциальные ямы», т. е. меняют своих сосе- соседей. Основным механизмом пластической деформации является скольжение одной атомной плоскости по другой. Элементом такого скольжения является перемещение всех атомов на один период. Такое скольжение обнаруживается невооруженным глазом в виде так называемых полос скольжения. Скольжение происходит по наиболее слабым местам (там, где были трещины или иные дефекты) и кристалл разбивается на слои, называемые пачками скольжения. Толщины пачек случайны, по порядку величины они близки к деся- десятым долям микрона. Сдвиг атомных плоскостей с разными индек- индексами требует различной силы. Обычно легче всего сдвиг происхо- происходит по плоскостям, наиболее плотно заполненным атомами. Однако индексы плоскостей скольжения могут измениться от температуры, примесей, а также и в процессе самой деформации. У алюминия плоскостью скольжения является плоскость A11). Скольжение происходит в данной плоскости и в данном направ- направлении. Обычно это направление наиболее густо усажено атомами (например, [101] во всесторонне центрированной кубической ре- решетке) . Начало сдвига требует некоторого минимального напряжения; его называют критическим скалывающим напряжением. Это очень 619
маленькая величина, доходящая в ряде случаев до нескольких граммов на квадратный миллиметр. Разумеется, измеряя крити- критическое напряжение, надо учесть, как ориентирована плоскость скольжения по отношению к внешней силе. Упрочнение. Монокристалл цинка можно без труда согнуть пальцами. Однако разогнуть его обратно таким же способом не удастся. Произошло упрочнение. По мере деформации сопротивление сдвигу растет. Поэтому пла- пластические сдвиги в данной полосе скольжения не заканчиваются разрывом материала, а, напротив, прекращаются, когда упрочнение достаточно, чтобы противостоять внешней силе, и перекидываются на другие плоскости. Таким образом, число полос скольжения растет и, естественно, толщина пачек скольжения падает. Рис. 285. Если кристалл, подвергавшийся пластическому деформирова- деформированию, подвергнуть заново воздействию, то пластическая деформация начнется, конечно, с того значения силы, на котором она прекрати- прекратилась из-за упрочнения в первом опыте. Можно сказать поэтому, что упрочнение повышает предел упругости, и притом во много раз. В чем причина упрочнения? Одна из точек зрения связывает упрочнение с нарушением правильности (искажением) кристалли- кристаллической решетки. С этой точки зрения вполне естественно, что упроч- упрочнение растет с увеличением скорости деформации и падает с ростом температуры. Иначе рисуется картина с точки зрения теории дислокаций, о ко- которой мы говорили выше. Пластическая деформация как перемещение дислокаций» Рас- Рассмотрим детальнее процесс сдвига одной атомной плоскости по дру- другой. Если в полосе скольжения дислокаций нет, то придется пере- перекатить друг через друга все ряды атомов, расположенные в пло- плоскости сдвига. Совершенно иначе обстоит дело при действии силы сдвига на кристалл с дислокациями. На рис. 285 показана плотная упаковка шаров (показаны только крайние шары атомных рядов), содержащая простую дислокацию. Для простоты положим, что область дислокации захватывает мини- минимальное число рядов. Тогда можно сказать, что наличие дислокации 620
сводится к тому, что между двумя рядами верхней (растянутой) плоскости, примыкающей к границе раздела блоков, имеется ли- линейная пустота. Что же касается нижней (сжатой) плоскости, примы- примыкающей к границе раздела блоков с другой стороны, то в ней имеется лишний ряд атомов. Внедрение этого лишнего ряда приводит к тому, что два ряда атомов, находящихся как раз над линейной пустотой, чрезмерно сжаты. Начнем теперь сдвигать вправо верхний блок по отношению к нижнему. В какой-то исходный момент «трещина» была между рядами 2 и 3; сжатыми были ряды 2' и 3'. Как только подействует сила, ряд 2 сдвинется в «трещину», шар 3' восстановит форму, а Г сожмется. Вся дислокация передвинулась влево, и ее движение будет таким же образом продолжаться до тех пор, пока дислокация не «выйдет» из кристалла. Иными словами, сдвиг состоит в перемещении линии дислокации вдоль плоскости сдвига. Не при- приходится доказывать, что для такого сдвига требуются много мень- меньшие силы. Произведенные расчеты показали, что прочность кристалла в предположении сдвига без наличии дислокаций в сто раз больше значения прочности, наблюдаемой на опыте. Наличие незначитель- незначительного числа дислокаций способно уменьшить прочность в значитель- значительное число раз. Как это ясно из рисунка, приложенная сила «выгоняет» дисло- дислокацию из кристалла. Значит, по мере увеличения степени деформа- деформации кристалл должен становиться все прочнее, и, наконец, когда последняя из дислокаций будет удалена, кристалл должен стать примерно в сто раз прочнее, чем идеально правильный кристалл. Таким способом непринужденно объясняется упрочнение. Правда, для получения количественного согласия теории с опытом прихо- приходится допустить, что сдвиг кристалла может происходить с помощью не только простых, но и спиральных дислокаций. Хорошим подтверждением теории является возможность выращи- выращивания в идеальных условиях бездефектных кристаллов с прочно- прочностью, близкой к теоретической для идеального кристалла. § 255. Предел прочности Линейное возрастание деформации с увеличением напряжения имеет место вплоть до некоторого предела (предел упругости). Далее начинается пластическая деформация и из-за упрочнения кривая идет кверху более круто. Наконец, наступает разрыв. Предел прочности является до некоторой степени условной кон- константой материала. Дело в том, что для характеристики деформации тела надо указывать не только величину силы, но и время ее дей- действия. При больших временах действия предел прочности падает. Цифры, приводимые в общетехнических справочниках, относятся обычно к быстрым испытаниям. Зависимость предела прочности от времени испытания говорит о том, что в медленных процессах поведение твердого тела зависит от протекающих внутри него 621
диффузионных процессов. Можно предполагать, например, что дей- действие даже малых сил способно создать преимущественное на- направление для процессов обмена атомов местами. Предел прочности идеальных кристаллов, рассчитанный теорети- теоретически, в несколько сотен раз превосходит наблюдаемые на опыте величины. Таким образом, роль дефектов кристалла является ос- основной. У монокристалла каменной соли теоретическое значение сопротивления на разрыв равно 200 кГс/мм2. В обычных условиях стержни разрываются при нагрузке 0,5 кГс/мм2. Роль трещин была доказана известными опытами А. Ф. Иоффе, который исследовал разрыв стержней каменной соли в воде. Вода растворяет стержень с поверхности и «залечивает» образующиеся при растяжении микротрещины. В результате сопротивление на раз- разрыв каменной соли становится большим 100 кГс/мм2, т. е. подходит к теоретическому значению. Роль дефектов сводится к уменьшению фактической поверхности разрыва. В конечном счете сила, действовавшая в момент разрыва, определяется числом разорванных межатомных связей. Оцененная таким образом прочность различных материалов будет колебаться в небольших пределах, и окажется, что разрыв текстильной или каучуковой нити должен иметь место при напря- напряжениях того же порядка, что и у стальной проволоки. § 256. Механические свойства поликристаллического материала В начальной, упругой стадии деформации зерна кристалличе- кристаллического вещества деформируются по-разному, так как они различ- различно ориентированы по отношению к линии действия силы. В силу этого упругие свойства поликристаллического вещества будут иными. Однако еще более значительно может отличаться поведение поли- поликристаллического материала от поведения монокристалла того же вещества в пластической области. Поликристаллический материал оказывает большее сопротивление внешней силе. Это и понят- понятно, так как развитие пластических сдвигов в одном зерне будет тормозиться соседними зернами, в которых плоскости скольже- скольжения ориентированы совсем иначе по отношению к действу- действующей силе. Кроме того, в поликристаллическом материале возникает совер- совершенно специфическое явление: поворот зерен и образование тек- текстуры. Поворот зерен при волочении, прокате и других деформа- деформациях определяется тенденцией каждого зерна установиться так, чтобы скольжение было облегчено. Для этого зерну надо повернуться так, чтобы плоскость скольжения стала параллельно действующей силе. Если плоскостей скольжения несколько, то зерно установится так, чтобы действие этих плоскостей скольжения было максималь- максимальным. Например, у большинства металлов, имеющих кубическую 622
всесторонне центрированную ячейку, зерна стремятся располо- расположиться так, чтобы направления [111] совпали с осью волочения. Еще одно новое явление заключается в скольжении зерен друг по отношению к другу вдоль межкристаллической прослойки. Такое перемещение отличается от кристаллического сдвига и скорее напо- напоминает вязкое течение в густых жидкостях. Разрыв поликристаллического материала может произойти при иных напряжениях, нежели разрыв соответствующего монокри- монокристалла. В некоторых случаях материал разрывается так, что зерна остаются целыми. Это происходит в случае слабых механических свойств у межкристаллической прослойки. Можно считать общим правилом увеличение прочности материала с уменьшением величины зерна. § 257. Влияние поверхностно-активных веществ на деформацию Всякое твердое тело содержит в себе множество дефектов струк- структуры ультрамикроскопических размеров, возникающих как в ре- результате тепловой подвижности атомов, так и из-за наличия посто- посторонних примесей и механических повреждений. Эти дефекты распре- распределены по всему объему твердого тела, и многие из них могут рас- рассматриваться как зародышевые микротрещинки исчезающе малых размеров. Основным свойством таких зародышевых микротрещи- микротрещинок является способность к развитию в процессе деформации твердого тела. Под воздействием внешних сил размеры микротрещинок увели- увеличиваются, у их краев возникает концентрация напряжений, что в свою очередь облегчает дальнейшее развитие микротрещин. У хруп- хрупкого тела такое развитие микротрещин в процессе деформации при- приводит к преждевременному его разрушению, а у тела пластичного, каким обычно является металл, приводит к образованию пластиче- пластических сдвигов. В объемно-напряженном состоянии тела эти микро- микрощели имеют клиновидное сечение и характеризуются раскрытыми участками поверхности —устьями и тупиками, в которых щель сохраняет зародышевый характер. Реальные щели заканчиваются в тупиках как бы острым лезвием с весьма большой кривизной, с ра- радиусом кривизны порядка постоянной решетки. При снятии дефор- деформирующих усилий (в области упругих деформаций) все микрощели постепенно «залечиваются», т е. обратимо смыкаются от тупика к устью. П. А. Ребиндер показал, что влияние окружающей среды на механические свойства твердых тел не исчерпывается химическим действием типа коррозии или растворения. Любая свободная по- поверхность твердого тела всегда покрыта тончайшей пленкой какого- либо вещества, содержащегося в окружающей среде и обладающего наибольшим сродством к данному твердому телу. Такими вещест- веществами могут быть различные газы или пары воды, обычно находя- находящиеся в воздухе, а также специально вводимые в окружающую 623
среду вещества. Молекулы веществ, покрывающих поверхность твердого тела, или, как говорят, адсорбированных твердым телом, обладают способностью двигаться по этой поверхности и перемеща- перемещаются из мест, где их избыток, в места, где их недостаточно для пол- полного покрытия поверхности. Стремление адсорбированного слоя занять всю доступную ему поверхность твердого тела объясняется тем, что в результате адсорбции происходит понижение поверхност- поверхностной энергии тела. Вещества, которые могут адсорбироваться на поверхности твердого тела, называются поверхностно-активными. Для металлов сильными поверхностно-активными веществами яв- являются различные органические спирты и кислоты, а также соли этих кислот, т. е. мыла. Адсорбция поверхностно-активных веществ вызывает понижение прочности твердого тела. Если разрушать твердое тело в среде, содержащей даже очень малые количества поверхностно-активных веществ (например, в растворе олеиновой кислоты в чистом вазели- вазелиновом масле), то усилия, необходимые для разрушения, снижа- снижаются. Особенно наглядно это проявляется при дроблении хрупких горных пород, а также при длительных или переменных воздейст- воздействиях на металлы. Воздействие адсорбированных молекул на прочность твердого тела объясняется следующим образом. Адсорбированные на внеш- внешней поверхности тела молекулы проникают внутрь микрощелей вследствие своей подвижности и стремления занять всю доступную им свободную поверхность адсорбента. Движущей силой при втя- втягивании в микрощели адсорбированных слоев является вызываемое таким проникновением понижение поверхностной энергии твердого тела. Если на пути адсорбционного слоя, стремящегося занять еще не занятую поверхность твердого тела, поставить препятствие, то на него адсорбционный слой будет оказывать давление. Внутри микро- микрощелей таким препятствием является собственный размер молекул, не позволяющий им проникнуть далее в глубь микрощели. Следова- Следовательно, в том месте, где создается граница адсорбированного слоя внутри микрощели, возникает давление, направленное в сторону дальнейшего развития щели в глубь твердого тела. Адсорбирован- Адсорбированные слои ведут себя как клинья, загоняемые в микротрещинки. Таким образом, проникновение адсорбирующихся молекул в устья микрощелей создает дополнительные раздвигающие усилия, что эквивалентно некоторому увеличению внешних деформирующих сил. Поэтому и разрушение твердого тела в присутствии адсорби- адсорбирующихся веществ происходит при меньших напряжениях. § 258. Разрушение материалов под действием потока частиц Эта проблема приобрела большое значение в связи с конструк- конструкцией ядерных реакторов. Материалы, из которых сделан реактор, само ядерное горючее, замедлители, стены, приборы и пр. подвер- подвергаются действию нейтронов, осколков деления ядер, электронов 624
и т. д. Рассмотрим те действия потоков частиц, которые будут носить остаточный характер. Это, прежде всего, встречи частиц, в результате которых со своего места выбрасывается тот электрон, который осуществлял химическую связь между атомами. В этом случае ионизация приво- приводит к разрыву связи. Эта связь не обязательно восстановится. На- Напротив, образовавшиеся ионы или радикалы могут соединиться иначе. Поэтому в молекулярных веществах ионизация под дей- действием радиационного излучения приводит к разрушению одних и созданию других молекул. Наряду со смещением со своих мест электронов возможны сме- смещения со своих мест атомных ядер. При этом сбитое со своего места атомное ядро потащит за собой свою электронную оболочку. Вполне законно поэтому говорить не о смещении ядер, а о смещении атомов как целого. Подобный эффект действия излучения почти всегда будет необратимым. Порча материалов под действием излучения, или, короче, радиа- радиационная порча, происходит благодаря смещению атомов со своих мест и благодаря разрушению химических связей. Смещение атомов происходит под действием тяжелых заряженных частиц и быстрых нейтронов. Разрушение химических связей происходит под дейст- действием медленных нейтронов, у-лучей и электронов. Рассмотрим подробнее те своеобразные явления, которые возни- возникают при смещении атомов твердых тел со своих мест. Процесс сме- смещения атомов носит цепной характер. Это значит, что первый от- отброшенный в сторону атом в свою очередь сместит другой атом, попавшийся ему по дороге; этот второй способен сбить со своего положения третий атом, и т. д. В результате подобного цепного процесса уже одно быстрое ядро-снаряд способно создать значи- значительные искажения в кристаллической решетке твердого тела. Вид искажений может быть самый различный. Кристаллическая ре- решетка может быть разрушена полностью. Чужеродные атомы спо- способны внедриться между атомами первичной решетки. Возможны также процессы замещения атомов первичной решетки атомами- снарядами. Число смещений на одну заряженную частицу довольно мало различается для разных элементов. Альфа-частица с энергией 5 МэВ, а также протон с энергией 20 МэВ сбивают со своих мест 60—80 частиц. Уже отсюда мы видим, что чем частица тяжелее, тем больше бед она приносит. Действительно, аналогичные цифры для осколков деления ядер урана-235 или плутония-239 носят значительно более неожиданный характер. Такая пара осколков образует, например, в уране 25 тысяч смещенных атомов, а в графите 8000 смещенных атомов. Так же далеко не безболезненно для материалов проходит про- процесс замедления нейтрона от начальной скорости до тепловой. За- Замедление нейтрона смещает в бериллии 450 атомов, в графите 1900 атомов," в алюминии 6000 атомов. 625
Из этих цифр ясно, что мы должны ожидать существенных из- изменений свойств, происходящих благодаря смещению атомов со своих мест в кристаллической решетке. Основной интерес представ- представляют металлы. Причина та, что в металлах смещение атомов является, по сути дела, единственным остаточным действием излучения. Наибольшее внимание уделялось действию нейтронов и оскол- осколков деления. Это естественно, так как исследования такого рода тесно связаны с атомной промышленностью. Детальные иссле- исследования производились при дозе 1019 нейтронов/см2. Это — неболь- небольшая доза. Грубо говоря, действию такого потока нейтронов материал, находящийся в ядерном реакторе, подвергнется за сутки его работы. Однако уже и при этой небольшой дозе обнаруживаются серьезные изменения свойств металлов; эти изменения близки к тем, которые терпит металл при холодной обработке. Это значит, что под действи- действием нейтронов и осколков деления увеличивается хрупкость металла, уменьшается ковкость, увеличивается твердость, меняются также и электромагнитные свойства металла. Если у металлов основным источником радиационной порчи является смещение атомов со своих мест, то в органических вещест- веществах, в которых атомы связаны химически, основные изменения происходят благодаря ионизации, разрушающей связи между атомами. Органические вещества разрушаются под действием излучения исключительно быстро. Доза нейтронов порядка 1019 на 1 см2 практи- практически губит органическое вещество. Парафины, олефины, полифе- полифенилы портятся на 25% при пребывании в реакторе в течение не- нескольких часов. Большей частью превращение органического вещества состоит в выделении газа и полимеризации. Однако тут же интересно отме- отметить, что высокополимерные вещества в некоторых случаях депо- лимеризуются под действием радиации. Устройство кристаллической решетки таково, что можно ожи- ожидать разной легкости прохождения заряженной частицы в различ- различных кристаллографических направлениях. На первый взгляд может показаться, что попасть в решеточный туннель заряженной частице не так-то просто. Нетрудно подсчи- подсчитать, что движение протона по прямой линии без «задевания» по пути атомов для тончайших кристаллов должно быть осуществ- осуществлено с точностью 0,01 дугового градуса. Однако проделанные не- недавно опыты с монокристаллами показали, что туннелирование наблюдается без особого труда. В 5—10 раз возрастает сила про- протонного тока, когда направление пучка частиц совпадает с осями кристаллов. Подробное исследование явления показало, что тун- туннелирование является своеобразным процессом с обратной связью. Когда протон отклоняется от пути следования вдоль атомного ряда, электростатические силы возвращают его на прямую траекто- траекторию. 626
ГЛАВА 35 ДИЭЛЕКТРИКИ § 259. Связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью молекулы В ряде случаев, и прежде всего в газах, межмолекулярное взаи- взаимодействие отсутствует и электрические свойства вещества опреде- определяются средним поведением одной молекулы. Межмолекулярное взаимодействие отсутствует и во многих разбавленных растворах. Иногда взаимодействие молекул играет второстепенную роль и в конденсированной фазе. Поэтому значительный интерес представляет рассмотрение элект- электрических свойств вещества, состоящего из большого числа невзаимо- невзаимодействующих молекул. Дипольный момент единицы объема диэлектрика Р определяется диэлектрической проницаемостью 8 и напряженностью поля Е по формуле (см.*стр, 228) С другой стороны, вектор поляризации Р равен сумме дипольных моментов в единице объема диэлектрика: Р = ^рУ или где N — число молекул в единице объема, а р — «доля», вносимая в вектор поляризации каждой молекулой. Если Е'— напряженность поля, действующего на молекулу, то где Р есть поляризуемость молекулы. Казалось бы, этим и дается связь между Р и е, е=1 Однако это неверно, и мы не случайно отметили штрихом символ напряженности, фигурирующий в последней формуле. В уравне- уравнениях, связывающих Р и Е и р и ?', фигурируют действительно разные напряженности. Е — это сила, действующая на пробный единичный заряд, не искажающий существующего поля. Е'— это поле, действующее со стороны всех молекул на данную; в Е1 не вхо- входит поле той молекулы, действие на которую определяется. На стр. 233 мы говорили о том, что поле внутри диэлектрического шара ^внутр связано с внешним полем, в котором находится этот шар, уравнением Понятно, что поле внутри шаровой полости, вырезанной в диэлек- диэлектрике, можно записать, изменив знак у Р: •^внутр == -^внеш i -g" «ГС* • внутр == -^внеш g 627
Можно строго доказать, что поле ?', действующее со стороны всех молекул на данную в случае газов, равноценно полю внутри шаро- шаровой полости. Таким образом, Е' = Е + ~пР. Теперь мы можем найти связь между f$ и е. Приравниваем приве- приведенные выражения для Р: 4л "-"*" подставляя сюда Е' = Е -f -^ я • ^- ?, находим так называемую формулу Клаузиуса — Мосотти: 8-1 _ 4я д^р 3 ЕСЛИ обе стороны равенства умножить на М/р, где М — молекуляр- молекулярный вес, ар — плотность, то полученное выражение будет зависеть только от поляризуемости р. Действительно, NM/p=NA=6,02x X 1023 (число Авогадро). Величину называют молекулярной поляризацией. Для определения молекуляр- молекулярной поляризации измеряют диэлектрическую проницаемость ве- вещества, как отношение емкостей конденсатора, заполненного иссле- исследуемым веществом и пустого. Одним из основных методов, при по- помощи которых измеряется емкость, является способ емкостного мостика. Этот мостик применяется в области частот от 30 Гц до 300 000 Гц. Возможны конструкции мостиков, позволяющие изме- измерять емкость вплоть до частот 40 МГц. Число различных конструкций диэлькометров (приборов для измерения е) весьма велико. Они отличаются высокой чувствитель- чувствительностью и точностью. В частности, можно получать превосходные результаты, работая с газами даже до давления порядка 1 мм рт. ст. Пользуясь формулой е=/г2 (см. стр. 296), уравнение, аналогич- аналогичное формуле для молекулярной поляризации, можно записать и для показателей преломления: п л2 —1 М 4я АТ о эта характеристика молекулы называется молекулярной рефракцией. Измеренные R и 9* для разных частот электромагнитных коле- колебаний могут существенно отличаться друг от друга. Несмотря на то, что строгий вывод этих формул справедлив для газов, межмолекулярное взаимодействие, видимо, мало меняет дело. Во всяком случае формулы R и 5* широко применяются и при исследовании разбавленных растворов. 628
Примеры. Рассмотрим бензол С6Н6 (8=2,28; р=0,88 г/см3; М=78) и воду (е=81; р=1 г/см3; М—18). Пусть в эти жидкости погружены пластины плоского конденсатора, который создает электрическое поле ?=300 В/см=1 ед. СГС. 1. Вычислим поляризацию (электрический момент единицы объема диэлект- диэлектрика) бензола и воды: е 1 9 28 1 P6e>3=TS- E=-f^u • 1=0'1 ед- СГС: Рводы = 6,4 ед. СГС. Доля, вносимая в вектор поляризации каждой молекулой, будет p=P/N, где N=N^p/M — число молекул в единице объема; Рбенз= 1.5-Ю-2* ед СГС; рводы= 19,4.10-2» ед. СГС. 2. Найдем величину Е' напряженности электрического поля, действующего со стороны всех молекул на данную: ?бе„з = ? +у яРбенз= 1>43 ед. СГС; ?^,=27,8 ед. СГС, т. е. внутреннее поле в воде в 28 раз (!) больше наложенного. Теперь можно найти поляризуемости молекул бензола и воды: 3. Из измерений 8 на диэлькометре можно рассчитать молекулярную поля- - 8—1 М ризацию вещества ?/>=—г-х : e-f-z p з = 26,6 ед. СГС; ^Воды= 17,3 ед. СГС. 4. Измерения показателя преломления п на рефрактометре дают щенз= = 1,5014; лВоды=1»330. Отсюда рассчитаем молекулярную рефракцию я2— 1 М Н~ п* + 2 р : ^бенз = 26,1 ед. СГС; ЯВОДы = 3,6 ед. СГС. Видно, что для бензола <J>«^ /?, а для воды ff и R сильно различаются. Причина этого будет объяснена в следующем параграфе. § 260. Поляризация полярных и неполярных молекул Существуют две причины поляризации вещества под действием электрического поля. Первая состоит в смещении центра тяжести электронной оболочки (собственно поляризуемость). Вторая заклю- заключается в ориентирующем действии поля, которое может повернуть молекулы, обладающие постоянным (как иногда говорят, жестким) дипольным моментом, ближе к направлению поля. Принято поэтому разбиение поляризуемости на две части: а — собственно поляри- поляризуемость и Ъ — ориентационная поляризуемость. Ориентирование диполя требует поворота молекулы как целого. Вследствие инерции молекулы этот поворот требует некоторого времени. При быстрых электромагнитных колебаниях жесткий ди- диполь не может следовать за полем. Поэтому для световых волн ориентационная поляризуемость Ь отсутствует.
Итак, Измеряя показатель преломления, мы получаем возможность найти поляризуемость молекулы а. Если, кроме того, измерено и 5\ то вычитание даст значение ориентационной поляризуемости Ъ. Величина ориентационной поляризуемости непосредственно свя- связана с жестким дипольным моментом р молекулы. Покажем, что 2 " ~ 3kT • Молекулы газа разбросаны в пространстве с произвольными ориентировками из-за теплового хаотического движения. В отсут- отсутствие поля дипольный момент р молекулы с равной вероятностью имеет любую ориентацию. Если наложено поле Е, то положение дел меняется. Потенциальная энергия диполя равна е(ф+—ф_), где Ф+ и ф_— потенциалы поля в местах концов диполя, т. е. — ?_?/== —рЕ— —рЕ cos в, где 9 — угол между векторами поля и дипольного момента. Мини- Минимальной энергией обладает диполь, установившийся вдоль поля, его энергия будет — рЕ. Тепловое движение препятствует тому, чтобы все диполи заняли положение с минимумом энергии. Уста- Устанавливается некоторое компромиссное распределение: уравновеши- уравновешиваются стремления к максимальной энтропии и к минимуму энергии (ср. стр. 603). Закон Больцмана выражает этот компромисс. Ве- Вероятность того, что энергия молекулы лежит между U и U+dU, пропорциональна e~u^kTdU. В нашем случае U=—рЕ cos 9, поэтому dU=pE sin 9 dQ. Доля молекул, у которых направления дипольных моментов заключены между углами 9 и 9+^9, будет Для обычных температур pE<*^kT. Даже для самых сильных полей порядка 10б В/см отношение pElkT будет порядка 0,01 (диполь- ные моменты суть величины порядка 10~18 ед.СГС). Поэтому можно ограничиться приближением ехж1+х, и искомая доля молекул будет равна const • (l + -f^cose) sin e dQ- Интеграл этого выражения по 9 от 0 до я по смыслу понятия веро- вероятности должен равняться единице, так как у любой молекулы направление/? лежит где-нибудь между 0 и я. Тогда, как легко про- проверить, const=72> и доля молекул, вектор поляризации которых лежит в интервале от 0 до 9+d9, будет равна if1 +-frcose)sin0de- Проекция дипольного момента на направление поля есть р cos 9. Если Af — число молекул в единице объема, то доля, которая будет 630
внесена в вектор поляризации молекулами, наклоненными под углом 6 к полю, будет равна •jNp A + Щг cose) sinG cos QdQ. Вектор поляризации Р найдется интегрированием этого выражения от 0 до я. Получим: 2 и, следовательно, ориентационная поляризуемость выразится фор- формулой »-?¦¦ Связь молекулярной поляризации с температурой выражается формулой Это заключение теории превосходно подтверждается опытом. Изме- Измеряя Э* в функции от Tt нетрудно из хода этой зависимости вычислить оба параметра, характеризующих электрические свойства молекулы: поляризуемость и «жесткий» дипольный момент р. Таким образом, данные, полученные из рефракции R (в отно- отношении а), могут быть сопоставлены с измерениями поляризации 5\ Опыты показывают, что в некоторых случаях взаимодействие диполей соседних частиц может привести к существенным измене- изменениям диэлектрической проницаемости по сравнению с величиной е для системы невзаимодействующих молекул. Такого рода наблюде- наблюдения можно сделать, измеряя 8 жидкости и газа, построенных из тех же молекул. Взаимодействие частиц сказывается и на величине диэлектри- диэлектрической проницаемости кристаллов. В кристаллических телах, как правило, электрическая поляри- поляризация происходит только за счет деформации электронной оболочки и сдвигов ионов. Ориентационная поляризация отсутствует: пово- повороты молекул в кристалле большей частью невозможны. Во многих ионных кристаллах квадрат показателя преломления значительно меньше величины диэлектрической проницаемости (на- (например, у каменной соли соответственно 2,37 и 6,3, двуокиси титана 7,3 и 114, углекислого свинца 4,34 и 24 и т. д.). В таких кристал- кристаллах под действием статического поля дефорхмируется не только электронная оболочка, но и ионы сдвигаются как целое. Напротив, установлено, что в молекулярных кристаллах диэлектрическая проницаемость не отличается от квадрата показателя преломления, что доказывает наличие поляризации исключительно за счет дефор- деформации электронной оболочки. Так как ориентационная поляризация отсутствует, то у кристал- кристаллов имеет место слабая зависимость диэлектрической проницае- проницаемости от температуры. 631
Мы уже сказали вскользь, что при быстропеременном полеориен- тационная поляризация отсутствует и молекулярная поляризация становится равной рефракции. Важно знать, какие колебания поля следует считать быстрыми. Это определяется временем релаксации. Если время релаксации т намного превышает период колебаний, то ориентационная поляризация отсутствует. О времени релаксации т было сказано на стр. 144. Если диэлект- диэлектрик находится в постоянном поле, его диполи примут некоторое равновесное распределение по ориентациям, характерное для данной температуры. Если поле выключить, то произойдет дезориентация диполей. Однако она происходит не мгновенно, а порядок спадает по экспоненциальному закону. Быстроту этого спада и характери- характеризует время релаксации т — время, за которое поляризация умень- уменьшится в е раз. Если т много больше периода колебаний, то прежде чем ориентация диполей изменится, переменит свое направление внешнее поле. Действие столь быстрого поля вообще не скажется на поведении диполей. Если же т<^Г, то каждое мгновенное состояние будет равновесным и поляризация будет послушно следовать за полем. Для большинства диэлектриков времена релаксации имеют порядок 10~12— 1(Г13 с. Примеры. 1. Найдем величины собственно поляризуемости а и ориента- ционной поляризуемости Ь для бензола и воды, используя результаты предыдуще- предыдущего примера (стр. 629): a=^3R/DnNA); отсюда а^енз=10-23 ед. СГС; аВоды=°?14Х Х10-23 ед. СГС. С другой стороны, з= 10-23 ед. СГС; -2з ед. СГС Отсюда видно, что ориентационная поляризуемость бензола &бенз = 0, а 6ВОДЫ-0,7.10-23 —0,14-10-2з = 0,5б. Ю-23 ед> СГС Это значит, что молекулы бензола не обладают жестким дипольным моментом, а у молекул воды он есть. 2. Найдем жесткий дипольный момент молекулы воды р= Y~3kTb. Поскольку измерения молекулярной поляризации {}> и молекулярной рефракции R произ- производятся при комнатной температуре (Г=300 К), р= /-1,38- 10-1в- 3000,5- 10-2з = 0,8. Ю* ед. СГС. Результаты этого расчета близки к опытным значениям. Довольно часто при задании дипольных моментов используется единица 1 дебай=10-18 ед. СГС. Единица названа по имени немецкого ученого Дебая, развившего теорию дипольных моментов. § 261. Аддитивность молекулярной рефракции Значение молекулярной рефракции R представляет собой моле- молекулярную постоянную. R не зависит от плотности, от фазового состояния вещества (так показывает опыт) и температуры. Удобным свойством рефракции R является ее аддитивность. Если удается составить таблицу инкрементов*) какого либо свой- *) То есть долей, вносимых данным атомом в значение данной физической ве- величины. 632
ства для всех атомов и величина этого свойства молекулы равна сумме инкрементов, то такое свойство называется аддитивным. Аддитивность R может быть использована для аналитических и идентификационных целей; следует заметить, что эта аддитивность не имеет теоретического обоснования и выполняется в ряде случаев с существенными отклонениями. Огромные количества наблюдений обрабатывались многими ис- исследователями. Их трудами составлены таблицы инкрементов R (чаще всего RD\ это значит, что измерения показателя преломления производились для так называемой D-линии — желтой линии нат- натрия). Например, для атомов С, Н, С1 инкременты равны соответ- соответственно 2,418; 1,100 и 5,967. Пользуясь только этими цифрами, можно предсказать величины молярной рефракции множества сое- соединений: метан СН4: хлороформ СНС18: четыреххлористый углерод СС14: #=2,418 + 4.1,100; #-2,418+1,100 + 3.5,967; # = 2,418 + 4-5,967, и т. д. Рефракции могут быть измерены с большой точностью и при необходимости можно отмечать самые небольшие различия. Имея в виду явления аномальной дисперсии, которые, как мы выяснили, имеют место при значениях частот, близких к собственным частотам по- поглощения, следует предпочесть изме- измерения рефракции в области, далекой от полос поглощения. Измерения показателя преломле- преломления для вычисления рефракции про- производятся с помощью рефрактометров. Наиболее распространенные рефракто- рефрактометры измеряют угол преломления светового луча, идущего из исследуе- исследуемого вещества и падающего на поверх- поверхность призмы из стекла с более вы- высоким п. Если на границу исследуемого ве- вещества со стеклом падает пучок лучей с углом падения от 0 до 90°, то пре- преломленные лучи будут лежать в пре- пределах от нулевого угла преломления до некоторого предельного угла а, си- синус которого будет равен отношению показателей преломления исследуемого вещества и стекла призмы (рис. 286). Предельный угол можно наблюдать в виде резкой гра- границы в фокальной плоскости трубы. 633 Рис. 286,
Для измерения показателя преломления жидкости образуют на поверхности призмы слой толщиной около 0,5 мм. Твердые тела должны быть плотно пригнаны к поверхности призмы. Оптический контакт достигается помещением капли подходящей жидкости между поверхностями призмы и исследуемого тела. Определение коэффи- коэффициента преломления порошков возможно погружением порошка в жидкость и подбором жидкости с таким же показателем преломле- преломления, что и у порошка. § 262. Пиро- и пьезоэлектрики Целый ряд интересных свойств может появиться у кристаллов, не содержащих центр инверсии в числе элементов симметрии. Такие кристаллы могут обладать электрическим моментом (вектором поля- поляризации) при отсутствии внешнего поля. Остановимся, прежде всего, на кристаллах, поляризующихся при однородной деформации*). Обладающие таким свойством кри- кристаллы — это пьезоэлектрики; о них уже шла речь в § 45. Возникновение поляризации при сжатии, растяжении и т. п. показывает, что однородная деформация приводит к созданию в кристалле особенного (т. е. единственного, не размножающегося эле- элементами симметрии) направления. Понятно, что подобное поведение невозможно при наличии у кристалла цент- центра инверсии. Действительно, однородная деформация не может лишить кристалл центра инверсии. В то же время наличие центра инверсии не совместимо с существо- у ванием особенного направления, каким яв- является направление вектора поляризации. Пьезоэлектрическими свойствами может об- обладать любой кристалл, у которого нет центра симметрии. Тем не менее у многих кристаллов этого вида мы не находим пьезо- пьезоэлектрических свойств, возможно, за счет недостаточной чувствительности аппарату- аппаратуры. Впрочем, можно представить себе не- центросимметричную структуру, в которой любая однородная деформация не смещает друг по отношению к другу центры тяже- тяжести положительного и отрицательного заря- зарядов. Подробное рассмотрение показывает, что в одном из нецент- росимметричных классов симметрии пьезоэлектрический эффект не- невозможен. Наиболее известным пьезоэлектриком является кварц. На рис. 287 изображен кристалл кварца и показано, каким способом из этого кристалла вырезаются пьезоэлектрические пластинки. *) Однородной деформацией называется такая деформация, при которой ма- малый элемент объема в любом месте тела деформируется одинаково, 634 Рис. 287.
О характере перемещений атомов позволяет судить рис. 288. Структуру кварца можно представить себе как плотную упаковку кислородных ионов, в пустотах которой размещены атомы кремния (на рисунке атомы кремния изображены в виде черных шариков, атомы кислорода — в виде светлых шариков). Ионы кислорода несут на себе отрицательный заряд, ионы кремния — положитель- положительный. Атом кремния находится между четырьмя атомами кислорода. Электризация кварца происходит при давле- давлении в направлении полярных осей. Давление вдоль осей, лежащих в плоскости чертежа, -приводит к смещению положительных и от- отрицательных зарядов друг по отношению к другу. Давление вдоль оси третьего порядка (неполярное направление, перпендикулярно к плоскости чертежа) неэффективно. Смещения атомов нельзя показать на ри- рисунке. Эти смещения очень малы. Действи- Действительно, пьезоэлектрическая постоянная квар- - Рис* ца, т. е. величина вектора поляризации при единичном давлении, равна 6,5-10~8 ед. СГС. Объем элементарной ячейки кварца равен 112-10~24 см3, на ячейку приходится три молекулы SiO2, следова- следовательно, число молекул в единице объема равно 2,7-1022, а значит, дипольный момент при единичном давлении, приходящийся на одну молекулу, равен 2,4-10~30 ед. СГС. Заряды, создающие молекулу, равны 14+2-8=30 зарядам электрона. Следовательно, смещение центров тяжести положительного и отрицательного зарядов равно 10~18 см, что дает 0,1 А при давлении в 1000 атм. Среди пьезоэлектриков следует выделить группу кристаллов, называемых пироэлектриками. Это — такие кристаллы, которые обладают естественной поляризацией при обычных условиях тем- температуры и давления. Обычно этот эффект замаскирован свободными поверхностными электрическими зарядами, скапливающимися на границах этого кристалла, и обнаруживается при нагревании кри- кристалла. Отсюда и происходит название («пиро» — огонь). Представителей пироэлектриков мы найдем среди еще более ог- ограниченных в отношении симметрии кристаллов. Пироэлектриком может быть лишь кристалл, содержащий особенную ось. Таким образом, условия отсутствия центра симметрии здесь уже недоста- недостаточно. Вполне понятен смысл этого условия. Наличие естественной поляризации указывает на то, что в пироэлектрике имеется такое особенное направление, в то время как у пьезоэлектрика оно лишь появляется под действием механической деформации. К наиболее известным пироэлектрикам относится турмалин. Внутреннее электрическое поле пироэлектрика очень сильно. Поэтому наложение внешнего поля ничего не изменит в поляризации такого кристалла: ее нельзя ни увеличить, ни уменьшить, ни обер- обернуть. Такой кристалл поляризован до насыщения — дипольные моменты всех частиц параллельны. В теории ферромагнетизма 635
(см. ниже § 266, с которым целесообразно познакомиться при чтении этой страницы) область, в которой магнитные моменты атомов параллельны, носит название домена. Этот же термин исполь- используется для области, в которой параллельны электрические диполь- ные моменты всех частиц. Кристаллы пироэлектриков большей частью представляют собой один домен. § 262а. Сегнетоэлектрики Большое значение для техники имеет класс пироэлектриков, обладающий следующей особенностью: повышение температуры приводит к исчезновению пироэлектрических свойств. При темпе- температуре превращения (точке Кюри) наблюдается максимум диэлект- диэлектрической проницаемости. Температурная зависимость е удовлетво- Q ряет закону ? = т_$ » где в — температура Кюри. Таким образом, в сегнетоэлектриках (название происходит от сегнетовой соли — типичного представителя этого класса веществ) имеет место переход из поляризованного упорядоченного состояния в неполяризованное. Поведение сегнетоэлектриков аналогично поведению ферромаг- ферромагнетиков. Так же, как и ферромагнетики, эти интересные диэлект- диэлектрики обладают огромными значениями диэлектрической проницае- проницаемости (сотни и тысячи единиц), обнаруживают отчетливые гистере- зисные явления, обладают точкой Кюри. Наряду с сегнетоэлектри- ками, в доменах которых все диполи параллельны, существуют антисегнетоэлектрики, в которых направления диполей чередуются. Нет нужды повторять все рассуждения, проводимые в"§ 266; они полностью применимы и здесь. Все сказанное о влиянии поля, о поляризации путем смещения границ доменов, о причинах дроб- дробления кристалла на мелкие домены справедли- справедливо и для сегнетоэлектриков. В настоящее время известно более сотни различных веществ, обладающих сегнетоэлек- трическими свойствами. Различные кристал- кристаллы могут обладать несколько отличными ме- механизмами поляризации. Довольно хорошо изучены явления, про- происходящие в семействе веществ с формулой АВО3 — так называемых «перовскитов». К ним относится и наиболее известный сегнетоэлек- трик ВаТЮ3—титанат бария. На рис. 289 изображена структура титаната бария. Точка Кюри титаната бария лежит при 120 °С. При температурах выше 120 °С это вещество обладает простой элементарной ячейкой. Ячейка — кубическая, в центре находится атом титана, в вершинах куба — атомы бария, а в центрах граней — атомы кислорода. Структура центросимметрична, и кристаллы выше 120 °С не относятся к пиро- 636 Q Q Э О у Q О 0 Q Рис. 289.
электрикам. При понижении температуры происходит фазовый переход и структура меняется: одно из ребер куба становится на 1 % длиннее, чем два других, кристалл становится тетрагональным. При этом превращении происходит сдвиг атома титана в сторону одного из кислородных атомов. Это направление теперь станет особенным, и вдоль него будет направлен вектор поляризации. Ясно, что у кристалла титаната бария имеется не одно направление легкой поляризации, а три, так как сдвиги вдоль трех о<^ей куба вполне равноценны. При охлаждении ниже точки Кюри A20 ° С для кристалла тита- титаната бария) разные области кристалла могут превратиться в разно- ориентированные домены. Приобретая доменную структуру, кри- кристалл становится механически напряженным: одни участки кри- кристалла сжимаются, другие расширяются. Доменный кристалл, соб- собственно говоря, не является монокристаллом: трехмерный дальний порядок вдоль всего кристалла теряется. При дальнейшем понижении температуры титанат бария терпит еще одно фазовое превращение примерно при +10 °С, однако не перестает быть сегнетоэлектриком. Рассмотрим подробнее искажения симметричной кубической структуры, наступающие при охлаждении ниже температуры 120 °С. Нейтронографическими измерениями показано, что деформация, отсчитываемая по отношению к решетке ионов бария, состоит в сме- щенияхо ионов титана на +0,05 А и ионов кислорода на —0,10 А и —0,05 А. Неравные смещения ионов кислорода и показывают, что одно из ребер куба становится при сегнетоэлектрическом превра- превращении особенным, в соответствии с тем, что кубическая сингония меняется на тетрагональную. Между отрицательно заряженными ионами кислорода и положи- положительным ионом титана образуется плечо диполя. Если спроектировать все заряды на особенное направление, полагая, что атомам Ва и Ti недостает соответственно 2 и 4 электронов, а атомы кислорода имеют два лишних электрона, то на элементарную ячейку придется элек- электрический диполь 0,15- 10~8-4в+0,05-10~8-2^=0,7- 10~8-е=3,5 х X 10~18 ед. СГС. Так как элементарная ячейка имеет объем 64 А3, то вектор поляризации будет равен 64 1Q_24 • 3,5-10~18= 5-104 ед. СГС. Непосредственное измерение вектора поляризации дает в пределах ошибок опыта ту же величину. ГЛАВА 36 МАГНЕТИКИ § 263. Три класса магнетиков Известно, что в отношении магнитных свойств вещества делятся на диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Значения отри- отрицательных восприимчивостей диамагнетиков лежат обычно в пре- пределах от —13-10~6 для висмута до —0,8-10~6 для меди. Парамагнит- 637
ные тела характеризуются положительными значениями, например 0,4-10~6 для калия и 320-10" для хлористого железа. Ферромаг- Ферромагнитные тела резко выделяются значениями магнитной проницае- проницаемости, в сотни и тысячи раз превосходящими величины \х для других тел. Какими же структурными особенностями можно объяснить проявление столь различных магнитных качеств у веществ, зача- зачастую весьма сходных в остальных своих свойствах? Как мы сейчас увидим, универсальным свойством, имеющим место всегда, в любом теле, поскольку оно состоит из электронов, является диамагнетизм. Из приведенных выше цифр видно, что диа- диамагнитные свойства слабее парамагнитных и, тем более, ферромаг- ферромагнитных. Мы наблюдаем диамагнитные свойства лишь при полном отсутствии у тела качеств, приводящих к положительному магне- магнетизму. У пара- и ферромагнитных тел диамагнитные свойства име- имеются, но они «забиты» более сильным положительным парамагне- парамагнетизмом. Итак, диамагнетизм имеет место для любой системы, состоящей из электронов. Что же касается положительного магнетизма, то он возникает лишь в тех телах, атомы которых обладают магнитным моментом. Явление парамагнетизма весьма похоже на процесс элек- электризации диэлектрика, который состоит из жестких диполей, обла- обладающих постоянным магнитным моментом. Наличие магнитного момента у атомов является непременным условием возникновения и ферромагнитных свойств. Однако выда- выдающиеся особенности этих тел обязаны их совершенно специфичес- специфическому свойству: образованию внутри тела больших областей — доменов, внутри которых миллиарды атомов выстроены параллельно друг другу своими магнитными моментами. § 264. Диамагнетизм Диамагнетизм — непосредственное следствие свойства электрона описывать окружность в магнитном поле. В магнитном поле с индукцией В свободная заряженная частица описывает окружность с частотой ы~еВ/(тс). Можно строго пока- показать, что влияние магнитного поля на электрон, движущийся в цент- центральном поле, в частности, в поле атомного ядра, сведется к ана- аналогичному влиянию: электрон будет описывать круговую «траек- «траекторию» около силовой линии, но с частотой в два раза меньшей, еВ/Bтс). Это движение накладывается на другие движения, которые может совершать электрон: на хаотическое движение частиц, входящих в состав электронного газа, или на движение электрона около атомного ядра. Элементарные соображения, приведенные на стр. 460, показали, что движение такого рода эквивалентно круговому электрическому току. При включении магнитного поля все электроны начинают вращаться около магнитного поля и каждый из них образует 638
элементарный ток Умножая на площадь VcPYra> описываемого электроном при его движении около силовой линии, мы получим значение диамагнитного момента, создаваемого ожшм электроном: \l «D о е' CD Знак минус, показывающий, что момент действительно направлен против поля, вполне очевиден из рис. 290. Если система состоит из большого числа электронов, то написан- написанное выражение надо просуммировать по всем электронам: Так как по определению (см. стр. 260) магнитная восприимчивость есть отно- отношение магнитного момента единицы объ- объема (или единицы массы или моля) к индукции, то Ne* у, s Если А" — число Авогадро, то % есть молярная диамагнитная восприимчи- восприимчивость (при сопоставлении с § 108, стр. 260 надо иметь в виду, что X^x/fi). Таким образом, % выражено через площади, описываемые элек- электронами благодаря дополнительному движению в магнитном поле. В принципе это вычисление может быть произведено, если известна волновая функция системы, т. е. в конечном счете электронная плотность. Практически вычисления слишком громоздки и значения диамагнитной восприимчивости определяются на опыте. Важно подчеркнуть, что диамагнитная восприимчивость опреде- определяется электронной структурой системы и не зависит (во всяком случае для атомов и молекул) от внешних условий, в том числе и от температуры. Диамагнитная восприимчивость обладает тем же свойством, что и молекулярная рефракция: она аддитивна. Если отнести диамаг- диамагнитную восприимчивость к одному молю вещества, то всегда оказы- оказывается возможным с хорошей точностью представить восприимчи- восприимчивость % молекулы в виде где пА — число атомов сорта А в молекуле, а %А — инкремент для данного атома. Для иллюстрации можем воспользоваться тем же примером i (стр. 633), который мы привели для рефракций. Для 639
атомов С, Н и С1 инкременты имеют значения (даны %А-106) 7,4; 2,0 и 18,5. Таким образом получим для метана 15,4 для хлороформа 64,9, для четыреххлористого углерода 81,4 (в хорошем согласии с опытом). Смысл этой аддитивности заключается, вероятно, в слабом влия- влиянии внешних электронов на диамагнитную восприимчивость. С той точностью, с которой аддитивность выполняется, диамагнитная восприимчивость является атомным, а не молекулярным свойством. Как было сказано в предыдущем параграфе, диамагнитной вос- восприимчивостью обладают вещества, атомы и молекулы которых не обладают постоянным магнитным моментом. К таким частицам относятся прежде всего атомы и ионы с заполненными оболочками — ионы F"~, Cl~, Na+, атомы благородных газов. Также диамагнитны все атомы и ионы, которые сверх заполненной оболочки содержат еще два s-электрона с антипараллельными спинами, например Zn, Be, Ca, Pb++ и т. д. Класс диамагнитных молекул несравненно более широк, чем класс парамагнитных молекул. Последние являются скорее исклю- исключением. Это объясняется тем, что подавляющее большинство моле- молекул содержит валентные связи, образованные парой электронов с антипараллельными спинами. Обычно у подобных молекул равен нулю не только суммарный спиновый момент, но и суммарный момент движения около ядра. Таким образом, диамагнитными являются тела, построенные из атомов и ионов, примеры которых мы привели, и почти все тела, строительными камнями которых являются моле- молекулы, следовательно, почти все органические вещества. Диамагнитная восприимчивость характеризует электронную обо- оболочку молекулы. Если распределение электронов в молекулу обла- обладает сильной анизотропией, то такую анизотропию покажет и маг- магнитная восприимчивость. Особенно ярко проявляется анизотропия диамагнитной восприимчивости у молекул ароматических соеди- соединений. Например, у бензола молярная диамагнитная восприимчи- восприимчивость в направлении, лежащем в плоскости бензольного кольца, равна Хн =—37- 10"в см3/моль, а в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца, х±=— 91-10 см3/моль; у нафталина хн = =40-10~6 см3/моль, a %L=—190-10~6 см3/моль. Анизотропию обнаруживают измерениями в кристаллах, по-разному ориентиро- ориентированных в поле. Измерения в порошках, жидкостях и газах дают усредненную по ориентациям магнитную восприимчивость. § 265. Парамагнетизм Парамагнитные свойства наблюдаются у вещества в том случае, если атомы, ионы или молекулы, из которых оно построено, обла- обладают магнитным моментом. Магнитный момент вызывается либо некомпенсированными спинами электронов, входящих в атомную систему, либо движением электронов около ядер, либо обеими при- причинами одновременно. 640
Как было выяснено ранее (см. стр. 465), магнитный момент спи- спинового происхождения связан с вращательным импульсом форму- формулой а магнитный момент, обязанный движению электронов около ядра, соотношением Здесь \1В — магнетон Бора, a s и L — суммарный спиновый им- импульс и суммарный вращательный импульс для движения около ядра, взятые для атома или молекулы в целом, s и L выражены, как и ранее, в единицах /г/Bя). При наличии парамагнетизма, обуслов- обусловленного обеими причинами, формула магнитного момента атома или молекулы имеет вид где J — квантовое число полного вращательного импульса, пред- представляющего собой векторную сумму L и s, a g — так называемый фактор Ланде, зависящий от всех трех квантовых чисел. Кстати говоря, близость g к I или к 2 (установленная опытом) является превосходным1 суждением о происхождении магнетизма у данного вещества. К числу парамагнитных атомов и ионов относятся частицы, име- имеющие один электрон сверх заполненной оболочки (например, атомы щелочных металлов), атомы переходных элементов, ионы редкозе- редкоземельных элементов с незаполненными электронными оболочками и т. д. Как мы говорили, большинство молекул диамагнитно. К пара- парамагнитным молекулам относятся кислород и сера. В виде исключе- исключения эти молекулы обладают суммарным спином, равным L Маг- Магнитный момент, наблюдающийся на опыте, может быть вычислен по формуле в хорошем совпадении с опытом. Наличие у молекул парамагнетизма представляет доказательство вхождения в состав молекулы неспаренных электронов. Это обсто- обстоятельство делает измерение магнитных свойств молекул крайне интересным для химиков. Парамагнитными свойствами обладают так называемые свободные радикалы — химические соединения с одним неспаренным электроном. Свободные радикалы возникают в ряде случаев во время химических реакций, и измерение магнитной восприимчивости является одним из возможных .способов изучения хода химических реакций. Каким же образом связано значение парамагнитного момента молекулы с магнитной восприимчивостью? В парамагнитных телах, находящихся вне магнитного поля, магнитные моменты распреде- распределены беспорядочно по направлениям и суммарный магнитный 21 А. И. Китайгородский 641
момент вещества равняется нулю. При наложении iiojih атомы (моле- (молекулы) будут стремиться повернуться так, чтобы их магнитный мо- момент совпал с направлением поля. В результате устанавливается равновесие между двумя тенденциями: упорядочивающей силой поля и стремлением к тепловому беспорядку. Мы можем полностью применить к этому случаю аналогичные рассуждения, использован- использованные на стр. 630 для вывода значения поляризуемости вещества, составленного из жестких электрических диполей. Поэтому, как и в том случае, связь между магнитным моментом атома (молекулы) и парамагнитной восприимчивостью атома дается выражением y -^ В отличие от диамагнитной восприимчивости парамагнетизм ве- вещества зависит от температуры. Правда, дело обстоит здесь не- несколько сложнее чем у диэлектриков. Дело в том, что постоянный электрический момент молекулы является константой, в то время как магнитный момент молекулы (атома) может существенно менять- меняться с температурой. Парамагнитный момент связан с квантовыми чис- числами, а распределение молекул по состояниям может весьма сильно зависеть от температуры. Поэтому простой закон: магнитная вос- восприимчивость обратно пропорциональна температуре (закон Кюри), может не соблюдаться для парамагнетиков. § 266. Ферромагнетизм Домен. Заметными (с помощью грубых средств наблюдения) магнитными свойствами обладает небольшое число веществ. К ним принадлежат: железо, кобальт, никель, гадолиний, соединения этих элементов, а также некоторые соединения марганца и хрома. Так как железо в этом семействе играет главную роль, то вещества получи- получили название ферромагнитных. Атомы ферромагнетиков облада- обладают магнитным моментом и притом спинового происхождения (во вся- всяком случае в основном). Однако не это является особенностью, вы- выделяющей их среди парамагнети- парамагнетиков. Главная особенность ферромаг- ферромагнетиков — их доменное строение. Домен — это область, намагничен- Рис. 291. ная до насыщения, т. е. такая область, внутри которой все атомы выстроены параллельно своими магнитными моментами. Линейные размеры доменов бывают обычно порядка 0,01 мм, поэтому домены можно видеть в обычном микроскопе. 642
Домены в ферромагнетике существуют и при наличии, и при отсутствии поля. Чтобы увидеть домены, на полированную поверх- поверхность ферромагнитного монокристалла наносят каплю коллоидной суспензии — тщательно раздробленного ферромагнитного вещества типа магнетита (Fe3O4). Коллоидные частички концентрируются вблизи границ доменов, так как вдоль этих границ существуют сильные магнитные локальные поля (как у любого стержневого магнита); они и притягивают порошинки магнетита (рис. 291). Рассмотрим сначала вопросы, возникающие в отношении одного домена, далее остановимся на взаимном расположении доменов в кристаллах и уже после этого изучим процесс намагничения ферро- ферромагнетика. Направления, в которых устанавливаются магнитные моменты атомов, образующих один домен, не являются произвольными: в каждом кристалле ферромагнетика существует одно кристаллогра- кристаллографическое направление легчайшего намагничения. В гексагональном кобальте это единственное направление — его гексагональная ось. В кубическом железе этим направлением является ребро куба. Значит, в железе имеются три направления легчайшего намагни- намагничения и соответственно три направления магнитных моментов доме- доменов. В кубическом никеле осями легкого намагничения являются пространственные диагонали куба, т. е. имеются четыре возможных направления магнитных моментов. Почему же в ферромагнетиках атомы выстраиваются параллельно своими магнитными моментами? Причиной является специфическое явление — обмен электронов местами. Как говорилось по поводу химической связи, перекрытие волновых функций влечет за собой понижение энергии. Электроны получают при этом общее простран- пространство и становятся способными обмениваться местами. Стремление обменной энергии к минимуму является причиной стабильности большинства химических соединений. Аналогичную роль играет обменная энергия и в создании домена. В случае химической связи минимальное значение обменной энергии достигается при условии, когда спины обменивающихся электронов антипараллельны. Од- Однако общий вывод квантовой механики более широк: обменная энер- энергия может быть в некоторых случаях минимальна при параллельной, а в иных случаях при антипараллельной ориентации спинов. В фер- ферромагнетиках спины атомов, входящих в состав домена, ориенти- ориентированы параллельно. Сравнительно недавно открыт новый класс соединений — антиферромагнетиков, в которых устойчивые состоя- состояния домена возникают при антипараллельной ориентации спинов. Измеряя величину намагниченности домена, можно подсчитать число спинов на атом, участвующих в ферромагнетизме. При этом целые числа не получаются (для железа 2,2, для кобальта 1,7, для гадолиния 7,1 и т. д.). Отсюда следует, что в какой-то мере в созда- создании ферромагнетизма принимают участие и электроны, образующие электронный газ. Однако в основном за ферромагнетизм отвечают электроны, связанные с атомами. В железе электроны проводимости 21* 643
берутся в основном с верхней оболочки 4s, в то время как ферро- ферромагнитные электроны находятся на оболочке 3d. Прямое доказательство отсутствия какой бы то ни было связи между свойствами проводимости и ферромагнетизма дает факт су- существования замечательных материалов — ферритов. Эти матери- материалы представляют собой полупроводники с удельным сопротив- сопротивлением на 10—11 порядков большим, чем у железа. Электроны про- проводимости, разумеется, не играют роли в магнетизме этих веществ. Ферриты представляют собой смешанные окислы, например, фер- феррит марганца — это соединение окислов марганца и железа в про- пропорции 1 ; 1, феррит никеля — аналогичное соединение окиси же- железа и qkhch никеля. Окись железа содержит два атома железа, а окись нйкел-я — один атом никеля. Кристалл смеси представляет собой плотную упаковку атомов кислорода. В пустоты входят атомы никеля и два атома железа. Мы знаем (см. стр. 572),! что пустоты плотной [ упаковки бывают двух сортов: тетраэдричес^кйе и октаэд- рические. Атом, попавший в пустоту первого сорта, ркружен че- четырьмя соседями, а атом в октаэдрической пустоте{-4 шестью со- соседями. Оказывается, что атомы железа распределяются по пусто- пустотам обоих сортов. Магнитные моменты атомов железа устанавли- устанавливаются вполне упорядоченно, но моменты атомов железа, сидящих в тетраэдрических пустотах, смотрят в одну сторону, а моменты ато- атомов железаt сидящих в октаэдрических пустотах,— в противопо- противоположную. В результате действия этих двух систем моментов уничто- уничтожаются, и магнитные свойства подобной смешанной окиси обеспе- обеспечиваются магнетизмом никеля, моменты атомов которого направ- направлены все в одну сторону. Наличие обменной энергии делает понятным стремление атомов установиться так, чтобы их спины были параллельны или антйпа- раллельны. Очевидно, обменная энергия взаимодействия у ферро- ферромагнетиков выходит на первый план и диктует веществу такое рас- расположение спинов, которое приводит к ее минимальному значению. Видимо, у остальных парамагнитных веществ другие слагаемые энергии взаимодействия не дают проявиться обменной энергии. t 4 4 k 4 k 4 4 ¦ a) 4 4 4 \ ч V 4 4 4 с 4 4 ч 4 4 ч 4 4 ч if if Рис. 292. * * 4 ч \ 4 i У 4 4 + i У Ж Дальний порядок в расположении атомов разрушается при неко- некоторой определенной температуре: кристалл плавится. Так же точно влияет температура и на расположение магнитных моментов. На рис. 292 схематически показано, как ведут себя магнитные моменты 644
атомов при повышении температуры. Сначала колебания в такт, затем начало расстройки и, наконец, «плавление» магнитного по- порядка. Начиная от некоторой определенной температуры, которая носит название точки Кюри, в честь выдающегося французского ученого Пьера Кюри, порядок в расположении стрелок исчезает и вещество теряет свои магнитные свойства, ферромагнетик стано- становится парамагнитным веществом. У железа точка Кюри лежит при 770 °С, у кобальта при 1115 °С, у никеля при 358 °С, у гадолиния при 15 °С. г 7 I 7\ z ОСимичеекгий < сМагяитгтнбш wepudb Рис. 293. В антиферромагнетиках спины атомов стремятся расположиться в, порядке, но антипараллельно. Структура домена окиси марганца, являющейся антиферромагнетиком, изображена на рис..293. Стре- Стрелочка, символизирующая момент, принадлежит марганцу. Из рисунка видно, что химический период повторения структуры в два раза меньше магнитного. При абсолютном нуле.каждый атомный магнит антиферромагнетика окружен атомами с противоположно направленными моментами. Так же как у ферромагнетиков, этот порядок разрушается при определенной температуре Кюри и выше этой температурной точки вещество ведет себя как парамагнетик. Косвенным доказательством антиферромагнитных свойств яв- является установление различных аномалий в поведении свойств тела при прохождении через точку Кюри. Так как точка Кюри есть точка фазового, перехода второго рода, то ряд свойств терши* в ней скачок или излом. Прямое доказательство стало возможным методами нейтронной дифракции. Рассеяние нейтронов решеткой, показанной на рис. 293, чувствительно не к химическому, а к магнитному периоду повто- повторяемости структуры. . i i - Расположение доменов в кристалле. Рассматривая описанным .выше порошковым методом доменную структуру монокристаллов 645
ферромагнитных веществ, мы обнаруживаем, что домены никогда не охватывают слишком больших областей, они обычно не превос- превосходят линейных размеров порядка 0,01 мм. Мы находим, кроме того, у кубических ферромагнетиков чрезвычайно симметричные сочетания разнонаправленных доменов. Оба обстоятельства тре- требуют объяснения, поскольку легкость намагничения^ казалось бы, А. тут till All I A- Рис. 294. должна была привести к тому, чтобы весь монокристалл превратился в один домен. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц показали, что доменная струк- структура такого типа, как было представлено на рис. 291, является есте- естественным результатом существования различных форм энергии ферромагнитного тела. Идею теории иллюстрирует рис. 294. Пер- Первая из схем соответствует одному домену, он обладает значитель- значительной магнитной энергией A/8я) С H2dr. Но уже на второй схеме эта энергия понижена вдвое. В случае N параллельных доменов энер- энергия уменьшится примерно в N раз. Однако процесс деления будет выгоден до известного предела. В конце концов энергия погранич- пограничных слоев превысит уменьшение энергии, связанное с делением кристалла на домены. Вполне понятна выгода конфигураций с за- замыкающими доменами. В этом случае образуется замкнутый магнит- магнитный поток и энергия поля вне кристалла равна нулю. В случае кобальта, имеющего направление намагничения вдоль оси, мы встретимся с доменами, у которых моменты расположены только вдоль гексагональной оси. Нулевой магнитный момент тела в отсутствие внешнего поля будет достигнут тем, что половина 646
доменов будет иметь одно направление, а другая половина — про- противоположное. Несколько слов о границе между доменами. Этот пограничный слой схематически представлен на рис. 295: в нем магнитные момен- моменты постепенно меняют свое направление. Толщина слоя опреде- определится требованием минимума энергии. Здесь две противоположные \ —^ у \ I х* Рис. 295. тенденции. С одной стороны, желательно растянуть невыгодный процесс переворачивания спинов на большую толщину, это будет выгоднее в отношении обменной энергии. С дру- другой стороны, лучше этот процесс провести поско- поскорее, так как в переходном слое спины направлены под углом к легким направлениям намагничения. Теперь рассмотрим, что происходит в ферро- ферромагнетике при наложении внешнего поля. За процессом намагничения можно следить с помо- . щью порошкового метода. Оказывается, что ос- ^т новной механизм намагничения заключается в I росте домена, смотрящего в «нужном» направле- направлении, путем смещения границ. Домены, ориенти- ориентированные своим моментом под острым углом к полю, «поедают» домены, ориентированные к по- лю под тупыми углами. В начальный период намагничения смещение границ доменов носит обратимый характер (когда поле будет убрано, восстановятся домены в прежних границах). Да- Далее смещение границ доменов становится необ- необратимым. Наконец, при наибольших степенях намагничения на- начинается переворачивание направления намагничения доменов. Рис. 296 иллюстрирует сказанное. 647 / х \ Рис. 296.
В поликристаллических веществах дело обстоит совершенно таким же образом (если только кристаллики не очень малы, так как при размерах меньше 10 см домены не образуются), каждое зерно может состоять из нескольких доменов. Однако, поскольку кристал- кристаллики разбросаны в теле своими кристаллографическими осями как угодно, постольку и магнитные моменты доменов принимают в пространстве любые направления. Таким образом, элементарные картинки намагничения, идущие еще со времен Ампера, правильно рисуют картину в случае поликристаллических веществ. Гистерезисные явления, свойственные всем ферромагнитным материалам, возникают вследствие необратимого характера смеще- смещения доменных границ при намагничении. ГЛАВА 37 ЭЛЕКТРОННОЕ СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ТЕЛ § 267. Свободные электроны До сих пор, говоря о строении твердых и жидких тел из атомов, мы не останавливались специально на роли электронов в создании свойств и структуры этих тел. Мы могли это делать по той причине, что электронное строение тел далеко не всегда выходит на первый план. В то те время в ряде вопросов физики невозможно обойтись без учета роли электронов. Известно, что электроны в теле бывают двух «сортов»: связанные и свободные. Связанные электроны входят в состав определенного атома, иона или молекулы. Свободные электроны принадлежат всему кристаллу или всей жидкости и способны* перемещаться между атомами с большой легкостью. В молекулярных веществах картина электронного строения особенно отчетлива. В большинстве случаен обобществленные элект- электроны отсутствуют и все электроны не выходят за пределы «контуров» молекулы. Уже менее четко удается провести это разграничение электронов в ионных кристаллах. Даже в классических представи- представителях ионной связи нельзя полагать обмен электронов отсутствую- отсутствующим полностью. Тем не менее в ионных кристаллах электроны, переходящие от иона к иону (обменные электроны), не ведут себя как свободные — их перемещение по кристаллу нбсит характер передачи электрона одним атомом соседнему. В кристаллах с гомео- полярной связью это видно вполне отчетливо. Алмаз — изолятор, хотя электроны, связывающие атомы углерода, вовсе не привязаны к определенным местам; они передаются от атома к атому эстафет- эстафетным путем. От всех перечисленных тел металлы отличаются достаточно резко. В этих телах мы сталкиваемся с электронами, гго отношению к кото- которым термин «свободный» вполне оправдан. Электроны металла пере- 648
мещаются в нем так, как частицы газа сквозь трубу, заставленную препятствиями. Роль препятствий играют атомные остатки (ионы), находящиеся в состоянии теплового колебания. Наличие свободных электронов проявляется, прежде всего, в яв- явлениях проводимости и во всех опытах, связанных с вырыванием электрона из тела. Этот комплекс явлений невозможно понять, если не рассмотреть своеобразного поведения обобществленных электронов. Было бы, разумеется, неверным полагать, что разделение элект- электронов на связанные и свободные носит абсолютный характер. На- Напротив, правильнее всего считать представления связанности и свободы крайними идеальными картинами. В твердом теле можно найти электроны всех степеней «освобожденное™». 5то было понято особенно отчетливо, когда в физике заняли надлежащее место полу- полупроводники, заполнившие все промежутки между схемами си- системы идеально свободных электронов и системы из обменных электронов-или системы из электронно-изолированных молекул. В настоящее время нам ясно, что любые переходные типы структур возможны. Следует напомнить, что электрон в твердом теле, так же как и атомный электрон, подчиняется волновой механике. Представление об электроне как о «горошинке» справедливо в тех рамках, которые дает принцип неопределенности. Большей частью всякие сообра- соображения о траекториях электрона внутри металла физически бессо- бессодержательны. Описание электронного строения тела заключается, прежде всего, в указании распределения электронов по энергиям. Теория показывает, что представлениями об электронах в теле как об электронном газе можно пользоваться лишь в очень условном смысле. Оказывается возможным рассмотрение электронов металла как газа некоторых фиктивных частиц, обладающих эффективной массой, зависящей от направления движения частицы. Этими заме- замечаниями мы хотим предупредить о крайне поверхностной аналогии между электронным газом и газом молекул. § 268. Энергетические уровни в твердом теле Мы обсуждали ранее уровни энергии свободного атома. Система энергетических уровней, свойственная атому, находится опытным путем — наблюдением энергетических переходов при испускании или поглощении света. Если атом содержит много электронов, то каждый из них, входя в состав атома, получает разную четверку квантовых чисел; согласно принципу Паули, в данном квантовом состоянии может находиться лишь один электрон. Поэтому энерге- энергетические уровни обладают ограниченной вместимостью. В s-состоя- ниях могут находиться два электрона, в р:состояниях — шесть и т. д^ Все эти данные могут быть получены из эксперимента, а также как следствия основных законов квантовой механики. 649
Желая иметь суждение об уровнях энергии в сиетеметсостоящей из большого числа атомов, мы и здесь должны идти обоими путями. Ос- Основные теоретические идеи при рассмотрении системы, состоящей из миллиардов атомов, остаются неизменными.Поэтому прежде всего де- делаем такое заключение: в системе, состоящей из п атомов, число кван- квантовых состояний должно быть в п раз больше, чем у свободного атома. В этом случае принцип Паули может быть удовлетворен: в одном квантовом состоянии будет находиться по-прежнему один электрон. В любом теле атом никогда не теряет своей индивидуальности полностью. Напротив, спектральные исследования говорят о том, что существенные изменения касаются лишь внешних, валентных элект- электронов, ответственных за взаимодействие между атомами. Таким образом, квантовые состояния твердого тела должны быть тесно связаны с квантовыми состояниями атома. Рассмотрим, например, электроны /С-оболочек, самые близкие к ядру. С одной стороны' очевидно, что их состояние может быть изменено при объединении атомов в тело лишь совершенно незначительно. Однако в то же время принцип Паули не разрешает нам считать все /С-электроны одина- одинаковыми. Приходится допустить, что в теле из п атомов существует не один ЛГ-уровень энергии, а п чрезвычайно близких /С-уровней, на каждом из которых находится пара электронов с противоположно направленными спинами. Это рассуждение переносится и на другие уровни энергии. Мы предполагаем, что связь квантовых состояний тела и атома дается следующим правилом: тело из п атомов имеет в п раз больше энер- энергетических уровней, чем отдельный атом. При этом расщепление на п частей происходит с Зр Ар Рис. 297. f/r & каждым уровнем свобод- свободного атома. Это значит, что энергетические уров- уровни тела можно рассмат- рассматривать как систему по- полос. Каждая полоса — это расщепленный уро- уровень атома; поэтому по- полосам можно присвоить те же обозначения Is, 2s, 2p и т. д., которыми мы пользуемся в атомной спектроскопии. Число электронов, энергии ко- которых составляют поло- полосу, будет, разумеется, в п раз больше числа электронов на соответствующей оболочке ато- атома. Так, в Is- и 2s-mMocax будет по 2п электронов, в 2я-полосе — 6п электронов, и т. д. Ширина полосы зависит от сил взаимодействия между атомами Эта мысль иллюстрируется схемой на рис. 297. На схеме слева 650
показаны энергетические уровни атомов натрия, а справа — рас- расширение уровней в полосы при образовании кристаллической ре- решетки. По горизонтальной оси отложено Иг. Заметное расширение уровня Is было бы достигнуто на абсолютно неосуществимых межатомных расстояниях. Полосы 2s и 2/? также практически не расширены при обычных условиях (пунктир). Зато полосы 3s и 3/7 расширены настолько сильно, что перекрываются. Это и значит, что взаимодействие между атомами натрия в обычных условиях затра- затрагивает лишь верхние электроны. (У натрия в состоянии 3/? электро- электронов нет. Тем не менее нас будут интересовать и незаполненные энер- энергетические уровни, если энергия возбуждения достаточна для пере- перевода электрона на такой уровень.) Что означает перекрывание полос 3s и Зр? По сути дела, это означает, что наша схема соответствия энергетических уровней атома и тела отказывает в этом случае. Мы, однако, не бу- будем смущаться этим обстоятельством. Перекрывание полос озна- означает, что свойства волновой функции электрона, находящегося в области перекрывания, отличаются от свойств волновых функций атомного электрона. Так, например, внешний электрон свободного атома натрия является s-электроном. В жидком или твердом натрии полосы 3s и 3/7 перекрываются; поведение внешних электронов нат- натрия отличается от поведения s-электрона и проявляются некоторые особые, как иногда говорят, гибридные, свойства (т. е. в их поведе- поведении смешиваются особенности s и р волновых функций). Каким же образом можно установить описанные закономерности опытным путем? Это делается спектральными методами. Действи- Действительно, чтобы доказать наличие полосы энергии вместо резкого энер- энергетического уровня, надо исследовать переходы электронов с вы- высокой полосы на низкую. То, что для свободного атома привело бы к созданию резкой линии, здесь дает широкую спектральную полосу. Наиболее удобно вести исследование переходов с полосы энергии на резкий уровень, например в случае натрия изучить переходы на уровень 2/7. Возникающая при этом спектральная полоса даст све- сведения не только о ширине полосы энергий, но и о распределении электронов по энергиям. Чтобы получить эти данные, надо выбивать электроны из 2/7-оболочки (для натрия). Возникшие переходы дадут весьма трудные для наблюдения частоты, лежащие в области мягких рентгеновских лучей (сотни ангстрем). Исследования проводятся в специальных рентгеновских трубках; изучаемое вещество служит анодом. Измеряя интенсивность возникающей спектральной полосы, мы получаем кривую интенсивности в функции частоты v. Но частота v=g/h (где <§ есть энергия перехода, т. е. энергия, отсчитываемая по отношению к освобождаемому резкому уровню), а интенсивность для данного v пропорциональна числу электронов, имеющих энергию $. Эксперимент дает нам кривые п($) в функции <§у где п($) есть доля электронов полосы с энергией между ? и ?+dg. Три характерные 651
кривые показаны на рис. 298. В первом случае опыт указывает на существование полосы энергии, резко ограниченной со стороны максимума. Заполнены все низшие энергетические уровни. Резкий обрыв показывает, что низшие уровни заполнены до предела по два электрона на уровне. Вторая кривая типична для повышенных температур; край полосы размы- .- " вается, причем ширина размытия ^^\ порядка kT. Это значит, что доля f 1 электронов находится в возбуж- jf I денном состоянии и может частично ?-** заполнять более высокие уровни. Весьма интересна третья кривая: она показывает наличие двух не- ^^ перекрывающихся полос. Нижняя ^г\ полоса заполнена, верхняя начала f \ . заполняться, Между дозволенными jL У^ полосами энергии существует <за- ?-*- прещенная полоса. *(?) А § 269. Электронный газ Из предыдущего ясно, что для теории тЁердого тела представ- представляют интерес лишь верхние энерге- ~ ^~~ g-*~ тические полосы, поскольку элек- Рис. 298. троны, находящиеся на более низ- низких уровнях, практически не при- принимают участия во взаимодействии атомов. Каким образом мож- можно описывать поведение электронов верхних полос? Так как речь идет об огромном числе электронов, то возникает естественное соображение о рассмотрении совокупности электронов методами статистической физики как своеобразного газЗ. Состояние каждого электрона газа можно задать точкой в про- пространстве импульсов (рх, ру, pz). Направление движения электрона совпадает при таком изображении с радиусом-вектором р. Энергия зависит от импульса электрона. В кристалле энергия электрона будет разной для разных направлений движения. Отвлечемся пока от этого обстоятельства и допустим, что электроны ведут себя как свободные частицы. Несмотря на крайнюю грубость такого предпо- предположения (т. е. несмотря на пренебрежение потенциальной энергией поля, в котором движутся электроны, а также пренебрежение вза- взаимодействием электронов), следствия из него хорошо характери- характеризуют — по крайней мере качественно -- поведение электронов твердого тела, образующих полосу энергии. Если электроны свободны, то связь между энергией и импульсом дается формулой #=/?*/Bт). Это значит, что в пространстве импуль- импульсов поверхность равной энергии является сферой. Принято назы- называть эту сферу именем итальянского физика Ферми. Как мы видели 652
в предыдущем параграфе, из опыта можно найти <?макс—макси- <?макс—максимальную энергию электронов в полосе. Можно сказать поэтому, что состояния электронного газа заключены в сфере радиуса /?макс= =]/2т^макс. Таким образом, для поверхности Ферми уместно и дру- другое название: поверхность максимальной энергии. Чтобы проверить качественную справедливость теории, можно оценить число электронов, входящих в полосу, по значению <?макс. Рассуждаем следующим образом. Согласно принципу неопределен- неопределенности проекция импульса частицы не может быть определена в куске металла линейного размера L с большей точностью, чем h/L. По- Поэтому понятие точки пространства импульсов должно быть заменено понятием ячейки этого пространства объемом h3/V> где V — объем рассматриваемого куска металла. Одно из основных положений теории состоит в предположении, что такая ячейка представляет квантовое состояние и что в ней может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Если в объеме V в рассматриваемой полосе имеется N электронов, то занято N12 ячеек, т. е. объем (N/2)(hB/V). Это есть объем сферы Ферми ра- Диуса /?макс. Значит, Из уравнения можно найти вполне разумные числа AL Это пока- показывает, что сделанные предположения в какой-то мере отражают истину. Пример. Опыт дает порядок максимальной энергии в металле ^макс— ~10эВ=16- Ю-12эрг. Отсюда находим Рмакс^-1^2m?^c ~ 2-10-19 г-см/с, т. е. максимальная скорость электронов в металле будет иметь порядок V = -Емакс, ^ 2-Ю~" _ 2-108 см/с. макс т 9-10-28 Тогда число электронов в единице объема N будет по порядку величины равно Проведенные рассуждения справедливы для температуры аб- абсолютного нуля. При подъеме температуры электроны могут пере- переходить в ячейки пространства импульсов, которым соответствует большая энергия. При этом такой переход будет совершаться элек- электронами, расположенными в ячейках вблизи поверхности Ферми (иначе нужйа слишком большая энергия перехода, что маловеро- маловероятно), и границы сферы будут расплываться. Только при очень значительных температурах возбуждение может захватить элект- электроны низких энергий. По мере увеличения температуры происходит уменьшение степени вырождения электронного газа. Электрон- Электронный газ сильно вырожден, в особенности при низких температурах. Термин «вырождение» означает, что одной и той же энергией обла- обладают разные квантовые состояния. 653
Можно рассчитать распределение электронов по энергиям для данной температуры. Оно отличается от распределения Больцмана. По закону Больцмана при абсолютном нуле температуры энергия электронов должна равняться нулю. С точки зрения новой теории энергия электронов при абсолютном нуле весьма велика *) — к этому нас привел принцип Паули. Учитывая принцип Паули, мож- можно построить новую статистику (статистика Ферми — Дирака), которая вместо функции e~8tkT приводит к выражению где <?макс — максимально возможная при абсолютном нуле энергия электронов. Этот множитель, помноженный на распределение элек- электронов при абсолютном нуле, дает распределение электронов при любой температуре. Рис. 299. На рис. 299 показан ход функции Ферми — Дирака в зависи- зависимости от <§ для значений kT=0, 1 и 2,5 эВ. Необходимо обратить внимание на наличие разных статистик для разных частиц. Для молекул применяется статистика Больц- Больцмана, для фотонов — статистика Бозе — Эйнштейна, для электронов (и других частиц со спином 1/2) — статистика Ферми — Дирака. Различие статистических подходов состоит в разных способах распределения частиц по возможным состояниям. Пусть имеются два возможных состояния, в которых надо раз- разместить две частицы. Тогда в статистике Больцмана, в которой ча- частицы обладают индивидуальностью, надо учесть следующие воз- возможности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во вто- втором состоянии; 3) первая частица в первом состоянии, вторая — *) (^макс есть величина порядка нескольких единиц эВ, в то время как средняя энергия теплового движения (kT) измеряется сотыми долями эВ. Таким образом, и при абсолютном нуле электроны находятся в весьма быстром движении. Скорость электронов при абсолютном нуле в 1000 раз больше скорости движения атомов при комнатной температуре. Это следует подчеркнуть еще раз, чтобы стало ясным, что связь кинетической энергии и температуры, имеющая место для молекул, не при- применима для электронов. Отсюда, далее, следует, что электронный газ обладает ничтожной теплоемкостью. Наличие или отсутствие электронного газа в теле не скажется на теплоемкости. 654
во втором; 4) вторая частица в первом состоянии, первая — во втором. Всего, таким образом, четыре возможности. В статистике Бозе — Эйнштейна частицы неразличимы. Поэтому имеются три возможности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во втором; 3) одна частица в первом и одна во втором. В статистике Ферми — Дирака учитывается принцип Паули: в одном состоянии может быть одна частица. Число возможных распределений сокращается до единицы: по одной частице в каждом из двух состояний. Итак, внешние электроны атомов твердого тела ведут себя как электронный газ. Это — весьма своеобразный газ, и частицы его под- подчиняются статистике Ферми — Дирака. § 270. Проводимость В отсутствие электрического поля состояние электронного газа таково, что число электронов, движущихся справа налево, равно числу электронов, перемещающихся в обратном направлении. При наложении поля возникают силы, заставляющие электроны дви- двигаться вдоль поля. Распределение электронов в пр'острайстве им- импульсов теряет симметрию по отношению к началу координат — оно сдвигается по направлению поля. Наряду с хаотическим дви- движением электронов, происходящим с огромной скоростью, возникает упорядоченное движение, создающее электрический ток. Для того чтобы распределение электронов сдвинулось, необхо- необходим, разумеется, переход электронов из состояний с меньшей энер- энергией в состояния с большей энергией. Такой переход всегда возмо- возможен, если в энергетической полосе имеются свободные места. Если же энергетическая полоса заполнена, т. е. все ее уровни заняты электронами в соответствии с возможностями, предоставляемыми принципом Паули, то перейти электронам некуда, во всяком случае до тех пор, пока электронам не будет доставлена энергия, необхо- необходимая для перехода на следующую полосу. Если бы не существовало эффекта перекрывания полос, о кото- котором говорилось выше, то можно было бы предполагать, что все эле- элементы, имеющие один валентный электрон, должны быть провод- проводниками, а все элементы с двумя электронами, отданными в общее владение при образовании твердого тела, должны быть изолято- изоляторами. Действительно, у натрия имеется один электрон на уровне 3s. При образовании тела из N атомов натрия этот уровень расщепля- расщепляется на N уровней. На каждом уровне могут разместиться по два электрона с противоположными спинами, т. е. всего 2N электронов. А у нас имеется только N валентных электронов и, значит, поло- половина энергетической полосы свободна. У соседнего по менделеев- менделеевской таблице магния два электрона (на один атом) находятся на ^уровне 3s. Поэтому при образовании магниевого кристалла все уровни были бы заняты, если бы не существовало явление перекры- перекрывания энергетических полос. 655
Исследование вида энергетических полос у разных элементов по- показывает полную справедливость приведенного объяснения проис- происхождения проводящих свойств. Только в том случае, если верхняя полоса или слившиеся полосы заполнены не полностью, тело может быть отнесено к проводникам. Распределение электронов в пространстве импульсов у проводя- проводящего тела может сдвинуться в направлении поля. Числа электро- электронов, движущихся по полю и против поля, становятся разными, появляется электрический ток. У изолятора все энергетические полосы заполнены целиком. Обычные напряженности поля не могут создать силы, способные перевести электроны на соседнюю, более высокую полосу (если мы будем упорствовать в нашем желании пе: ревести электроны изолятора на соседнюю полосу, то добьемся лишь пробоя этого диэлектрика). Распределение электронов сохра- сохраняет свою симметрию в пространстве импульсов, и числа электро- электронов, движущихся влево и вправо, остаются равными друг другу — тока нет. Вернемся к проводникам и оценим самым примерным образом величину электропроводности тела, у которого имеется п свободных электронов в единице объема. При этом под свободным^ электро- электронами, иди электронами проводимости, понимаются те электроны, которые находятся в незаполненных энергетических полосах. Мы полагаем, что движение электрона под действием ускоряю- ускоряющей силы еЕ происходит в течение некоторого небольшого проме- промежутка времени т==1/и. Здесь v — скорость электрона, / — средня^ длина свободного пробега. Пробег электрона совершается с огром- огромной хаотической скоростью электрона. Скорость упорядоченного движения электронов, создающего электрический ток, на много по- порядков величины меньше хаотической скорости и поэтому не входит в знаменатель т. Движение с ускорением еЕ/т в продолжение вре- времени т разгонит электрон до скорости (eEltri)(llv). Примерно тзкое значение должна им^ть скорость упорядоченного движения элект- электронов, создающего ток, u&eEl/(mv). Плотность электрического тока есть не что иное как количество электричества, проходящего через единицу площади в единицу вре- времени, т. е. j=neu. Подставляя полученное значение и> имеем: ] mv Пл Вспоминая (стр. 274) закон Ома в дифференциальной форме j=oE, получаем выражение для электропроводности: пеЧ а & mv Это вычисление следует рассматривать лишь как оценку зна- значения электропроводности. Упрощения, сделанные при этой оценке, столь велики, что в лучшем случае эта формула может дать согласие с опытом лишь по порядку величины. Однако нас интересуют ка- 656
чественные суждения. Мы видим, что проводимость пропорциональ- пропорциональна числу свободных электронов. Только эта величина и длина сво- свободного пробега могут меняться от вещества к веществу. Пример. Если длина свободного пробега электрона в металле /—10 А== = 10-7 см, a v (см. пример на стр. 653) имеет порядок 108 см/с, то время свободного пробега т = Ю~15 с. Пусть падение напряжения на участке длиной 1 см металлического провод- проводника сечением 1 см2 равно 0,003 В=10-5 ед. СГС. Тогда ?=10~5 ед. СГС и ско- еЕ1 рость упорядоченного движения электрона и ~ ~ 5-10-3 см/с. Плотность тока/=яви~102М,8-10-10-5-10-3~30-1010 ед. СГС=100 А/см2. Это дает вполне разумные значения проводимости: а ~ 25-101* ед. СГС ~ 25^ 1015. ед. СГС « 28-104 Ом-^см-1. Если бы кристалл представлял собой идеальную кристалличе- кристаллическую решетку и температура была близка к абсолютному нулю, то мы не видели бы ограничения длине свободного пробега и веще- вещество не обладало бы электрическим сопротивлением. Пробег элект- электрона ограничен тепловыми колебаниями атомов и наличием у кристалла различного рода дефектов. Оба эти фактора нарушают идеальную периодичность поля, в котором движется электрон, и становятся причинами рассеяния электронов. Отсюда следует, что проводимость тела должна улучшаться по мере снижения темпера- температуры и стремиться к неко!х>рому пределу, зависящему от степени совершенства кристаллической решетки. Понижение сопротивления с температурой наблюдается на опыте для металлов. Это рассматривается как доказательство справедливо- справедливости теории для металлов. Более того, уменьшение электросопротив- электросопротивления с температурой считается существенным признаком металла. Пластическая деформация металла, нарушение решетки металла путем ядерной бомбардировки, вообще любые явления, увеличиваю- увеличивающие дефектность кристалла, сокращают длину свободного пробега и таким образом влекут за собой возрастание электросопротивления. В части I (стр. 197) рассматривались явления теплопроводности газов. Было показано, что теплопроводность газа пропорциональна длине свободного пробега и выражается формулой к~ри1ср. Нельзя ли применить эту формулу к вычислению теплопроводности метал- металлов? Действительно, электроны много легче атомов, и мы вправе предполагать, что передача тепла производится электронами, кото- которые передают энергию от одного атома к другому. Так как мы не знаем длины свободного пробега, то подсчет коэффициента тепло- теплопроводности невозможен. Но мы обращаем внимание на то, что отно- отношение коэффициентов электропроводности и теплопроводности не содержит неизвестных параметров и зависит только от универсаль- универсальных констант и температуры: ~= const- T 657
(формула Видемана и,Франца). Сравнение этой формулы с опытом дает неплохие результаты. Для иллюстрации*приводим значения ве- величины х/оТ при О °С для ряда металлов. Металл к шяВт.Ом Ag Аи Си Mo Pb Pt Sn Zn 2,31 2,35 2,23 2,61 2,47 2,51 2,52 2,31 Теоретическое значение этой величины равно 2,45-10 8. §271. Сверхпроводимость Степень дефектности кристалла всегда значительна, и поэтому обычно остаточное сопротивление достигается при температурах в несколько градусов Кельвина и далее остается неизменным. Однако имеется примерно около десятка металлов, которые ведут себя со- совершенно своеобразно. При вполне определенных температурах, близких к абсолютному нулю, эти металлы полностью теряют свое электрическое сопротивление. Если путем электромагнитной ин- индукции возбудить в кольце из такого сверхпроводящего металла электрический ток, то такой ток будет проходить через кольцо в течение суток. Таким образом, сопротивление не уменьшилось, а просто обратилось в нуль и притом скачком. Из чистых металлов наиболее высокой температурой Тк, при которой появляются сверхпроводящие свойства, обладает ниобий (около 9 К). Наиболее низкая температура Тк принадлежит гаф- гафнию, около 0,3 К. Могло бы показаться, что сверхпроводимость является свойст- свойством, принадлежащим всем металлам; достаточно еще понизить тем- температуру — и мы обнаружим сверхпроводящие свойства. Это, видимо, не так. Для очень многих веществ, исследованных вплоть до температур 0,03 К, сверхпроводящие свойства не были найдены. В мнении, что сверхпроводящие свойства не универсальны, под- поддерживает нас и то обстоятельство, что сверхпроводящие металлы занимают определенное место в таблице Менделеева — ее середину. Наряду с чистыми металлами к числу сверхпроводящих веществ относятся многочисленные сплавы таких веществ между собой и с несверхпроводящими металлами. Впрочем, оказались сверхпрово- сверхпроводящими и некоторые химические соединения, такие как, например, сернистая медь, хотя ни сера, ни медь не являются сверхпровод- сверхпроводниками. Азотистый ниобий обнаружил сверхпроводящие свойства уже при температуре за 30 градусов до абсолютного нуля. Исчезновение электрического сопротивления при температуре Тк не является единственной особенностью сверхпроводников. Другим признаком сверхпроводника является его характерное 658
к поведение в магнитном поле, сводящееся, грубо говоря, к тому, что магнитное поле проникает в проводник лишь на глубины порядйа 1000 А. Если не говорить о тончайших пленках, поведение которых несколько своеобразно, то можно сказать короче: внутри сверх- сверхпроводника магнитное поле равно нулю. Однако такое положение дел имеет место лишь до тех пор, пока значение накладываемого внешнего поля не превзойдет некоторой критической величины Нк. Если напряженность поля выше этого критического значения, то сверхпроводящее состояние исче- исчезает: магнитное поле проникает внутрь тела и восстанавливается электрическое сопротивление. Величина Як не постоянна, она зависит от температуры. При температуре, равной Тк, достаточно ничтожного внешнего поля, чтобы уничтожить ^сверхпроводящее состояние. Короче, при Т=Т} критическая напряженность Нк~0. С понижением температуры Нк монотонно возрастает и достигает наибольшего значения при температуре абсолютного нуля. Например, для ртути (у ртути Гк — = 4,2 К) максимальное значение критической напряженности маг- магнитного поля равно 412 Э. Электрическое сопротивление является результатом рассеяния электронов тепловыми волнами атомов кристаллической решетки. Эти тепловые волны существуют, как нам известно, благодаря на- наличию нулевой энергии и при абсолютном нуле температуры. По- Поэтому, казалось'бы, электрическое сопротивление не должно исче- исчезать при сколь угодно низких температурах. Каким же образом возможно сохранение теплового рассеяния электронов с одновре- одновременным прекращением сопротивления электрическому току? Ответ на этот вопрос был получен лишь в 1937 г. Методами квантовой механики было показано, что электроны, энергия которых заключена в тонком слое, примыкающем к поверхности Ферми, благодаря взаимодействию с тепловыми колебаниями кристалли- кристаллической решетки способны «спариваться». Оказалось, что при низких температурах энергетически выгодным становится такое положение дел, при котором «объединяются» два электрона с равными и проти- противоположными по направлению спинами. Мы ставим в кавычки слова «спариваться» и «объединяться» по той причине, что волновые функ- функции этих электронов простираются, как показали расчеты, на боль- большое расстояние, порядка 10~4 см (размер кристаллического зерна в обычном поликристаллическом металле). Следовательно, образую- образующиеся пары нельзя представить себе как своеобразные «молекулы»; связь осуществляется на большом расстоянии с помощью тепловых волн. ё Из теории следует, что все пары электронов тождественны в том смысле, что они обладают одним и тем же суммарным импульсом. «Материя», состоящая из таких пар электронов, обладает свой- свойствами сверхпроводника. Спаривание электронов не ликвидирует теплового рассеяния электронов; сверхпроводимость появляется по той причине, что рассеяние электронов, входящих^ в пару, 659
перестает влиять на силу тока. Тепловое рассеяние может лишь разорвать ту или иную пару или, напротив^ образовать новую пару из индивидуальных электронов. Величина же тока определяется суммарным импульсом электронов, который остается неизменным. ТакиМ образом, в этой схеме тепловое рассеяние может привести лишь к флуктуациям электрического тока, но не к его прекра- прекращению. Наряду со «спаренными» электронами в сверхпроводнике суще- существует и обычный электронный газ — газ индивидуальных элект- электронов. Таким образом, в сверхпроводнике существуют как бы две жидкости, одна обычная, а другая сверхпроводящая (ср. стр. 601). Если температура сверхпроводника начинает повышаться от нудЪ градусов, то тепловое движение будет разрывать все большее и большее число пар электронов — доля обычного электронного газа будет расти. Наконец, наступит критическая температура, при которой исчезнут последние спаренные электроны. Все явления сверхпроводимости, о которых шла речь выше, количественно объясняются новой теорией. В последние годы явление сверхпроводимости получило техни- техническое применение. Теоретические исследования советских физиков показали, что значения критических полей в так называемых сверх- сверхпроводниках второго рода могут достигать значений 300 000 Гс. Создание электромагнитов с такими полями, не требующих затрат энергии, явится событием для многих отраслей техники (обычный электромагнит с таким полем, потребовал бы электрической мощ- мощности около 20 млн. Вт — цифра, выражающая потребление элект- электроэнергии городом с 20 тысячами жителей). Подходящими материа- материалами для изготовления обмотки являются Nb3Sn, а также сплавы Nb — Zr и Nb — Ti. Промышленные образцы сверхпроводящих магнитов, работающих в гелиевой «ванне», дают поля свыше 100 000 Гс при исключительной однородности поля A0~6, в см3), которая так важна для многих применений магнитов. § 272. Полупроводники Свойства. К полупроводникам относится большой класс веществ (элементов и разнообразных химических соединений) с прово- проводимостью, заполняющей широчайший интервал между проводни- проводниками и изоляторами. Если напряжение 1 В создаст в кубике металла размером 1 см3 токи в сотни тысяч ампер, то в изоляторах в тех же условиях токи будут порядка 100 А. Интервал действительно огромный, и он может быть заполнен различными полупроводни- полупроводниками. Проводимость этих промежуточных по свойствам веществ обла- обладает характерными особенностями, позволяющими «узнать» полу- полупроводник. Прежде всего, необходимо отметить обратную по отношению к металлам зависимость электропроводности от температуры. В от- 660
личие от металлов проводимость полупроводников может быстро падать с понижением температуры. При низких температурах по- полупроводник может стать изолятором. Сопротивление у большин- большинства полупроводников значительно более чувствительно к измене- изменениям температуры, чем у металлов. Полупроводниковые тепловые сопротивления (термисторы) позволяют изготовлять компактные электроизмерители температуры высокой чувствительности. Рис. 300. Второй важной особенностью полупроводников является то ббстоятельство, что в ряде случаев эти тела могут обладать как позитивной (/?), так и негативной (п) проводимостью. В эти термины вкладывается следующий простой смысл: если перенос тока совер- совершается положительными (отрицательными) зарядами, то проводи- проводимость называется позитивной (негативной). Так, металлы обладают негативной проводимостью — ток переносится электронами. В по- полупроводниках обнаруживают оба типа проводимости. Этот эффект в свое время* казался удивительным, поскольку протекание тока по полупроводнику не связано (как в электролитах) с перемещением ионов и вопрос о природе позитивных носителей тока некоторое время оставался открытым. Знак носителя тока можно обнаружить рядом способов. Остано- Остановимся на наиболее убедительном доказательстве, которое основано на исследования сил, действующих на несущие ток частицы со сто- стороны магнитного поля (эффект Холла). Если вдоль пластинки, помещенной поперек магнитных силовых линий (рис. 300), идет электрический ток, то на заряженную частицу еь движущуюся со скоростью и, будет действовать сила F в направлении, перпендику- перпендикулярном к полю и току. Иными словами (ср. стр. 266), в этом на- направлении возникает электрическое поле с напряженностью Е= = иВ. Между гранями пластины, расположенными перпендикулярно к возникшему электрическому полю, создается разность потенциа- потенциалов U — uBd. Знак этой разности потенциалов определяется знаком носителей заряда. №1
Пример. Пусть полупроводниковая пластинка 1X2X0,5 см3 помещена в магнитное поле В =1000 Гс. Пусть проводимость а пластинки равна 3 Ом~1-см~1 (для окиси цинка). Если между концами пластинки (на расстоянии 2 см) прило- приложить разность потенциалов 1 В, то по пластинке пойдет электрический ток, плот- плотность которого j = oE = 3 • — = 1,5 А/см2. Опыт показывает, что между боковыми поверхностями пластинки появилась разность потенциалов ?/=0,12 мВ. Знак эффекта Холла (см. рис. 300) показывает, что переносчиками заряда являются электроны. Рассчитаем скорость их упоря- упорядоченного движения: IJ 0 12- Ю-3 R и = 4?г= а — = 0,12 м/с= М о1 5^. 10-» м а , /12 см/с. ,1 5^. 10-» м м2 Интересно отметить, что эта скорость более чем в 1000 раз превышает скорость упорядоченного движения электронов проводимости в металле (см. пример на стр. 657). Число электронов проводимости в единице объема полупроводника / _ 1,5 А/см2 _ «г ~~ 1,6-Ю-19 Кл-12 см/с ' Малая величина о* объясняется тем, что это значение п примерно в 106 раз меньше, чем п для металла. Наконец, еще одна важнейшая особенность полупроводников — это крайняя чувствительность к загрязнениям, которые не только сильно влияют на величину проводимости (примесь порядка одного процента может изменить проводимость в миллионы раз), но и могут изменить /г-проводимость на р-проводимость и обратно. К наиболее интересным полупроводникам, уже имеющим огром- огромное практическое значение, относятся германий, кремний, селен, сплавы сурьмы с индием, кадмием, цинком, окислы меди, окислы титана. Объяснение свойств. Большинство особенностей полупровод- полупроводников непринужденно объясняется схемой энергетических уровней, которая рассматривалась выше. У изоляторов имеется заполнен- заполненная энергетическая полоса. Следующая свободная полоса отделена от заполненной большим энергетическим промежутком. Представим себе, что система уровней вещества такова, что промежуток между этими полосами снижается и энергия теплового движения достаточна для того, чтобы переводить электроны из занятой полосы в свобод- свободную. Такое вещество и будет естественным полупроводником. При данной температуре число электронов, находящихся в верх- верхней полосе, будет определяться условиями подвижного равновесия, устанавливающегося между зонами. Электроны непрерывно пере- переходят с нижней полосы в возбужденное состояние и обратно; рав- равновесным будет такое состояние (как у насыщенного пара), при ко- котором числа электронов, идущих «вверх» и «вниз», сравняются. При повышении температуры (опять-таки как у насыщенного пара) равновесие сдвигается в сторону верхнего уровня — мгновен- мгновенная концентрация электронов в верхней полосе растет. Концентра- 662
ция свободных электронов резко растет с уменьшением щели между полосами. Вероятность преодоления энергетического барьера ширины А<§ дается, как всегда, экспоненциальным множителем. Для примерной оценки концентрации электронов в верхней полосе при температуре Т можно воспользоваться формулой Если ширина зазора Д^ становится существенно больше kT, то1 тело уже следует отнести к изоляторам. Для этого достаточно, чтобы S стало в 100—200 раз больше, чем kT. При комнатной тем- температуре kT^l/40 эВ. Когда А<§ станет меньше 1 эВ, т. е. примерно в 40 раз больше kT, число электронов в верхней полосе уже будет достаточным для создания измеримых токов. Если Д^? будет порядка десятых долей эВ, то полупроводник обладает весьма значительной проводимостью. ' Вспоминая формулу электропроводности a=neH/(mv), мы видим, что при изменении температуры полупроводников меняются два фактора, от которых зависит о. Прежде всего, растет число свобод- свободных электронов /г, но по-прежнему падает с ростом температуры свободный пробег /. Опыт показывает, однако, что обычно первый эффект перекрывает второй. До сих пор мы вели рассуждение о проводящих свойствах верх- верхней, зоны и оставили без внимания нижнюю зону, которая должна была также получить проводящие свойства, поскольку в ней обра- образовались свободные места за счет электронов, перешедших в верх- верхнюю полосу. Эта проводимость может иметь весьма своеобразный характер. Возникновение проводимости в верхней, частично заполненной полосе можно интерпретировать как сдвиг распределения электронов -Жолг -3Nижение электронов в пространстве импульсов в на- направлении поля (вправо на рис. 301, а). Однако это не единствен- единственная возможность проявления упо- упорядоченного движения электро- электронов. Представим себе, что общие контуры распределения электро- электронов не меняются (рис. 301, б). Од- Однако то в одном, то в другом ме- месте, близком к поверхности Ферми, выхватываются электроны и в про- пространстве импульсов образуется «дырка». В эту дырку под действием поля сразу же переходит сосед- соседний электрон слева направо (в том же направлении, что и в ранее рассмотренной схеме). Дырка перемещается справа налево. Теперь в нее переходит другая точка, изображающая электрон в простран- пространстве импульсов, и таким образом дырка передвигается в направле- направлении, обратном тому, в котором движутся электроны. Так как дырки образуются непрерывно, то все время идет «дырочный» позитивный ток. Рис. 301. 663
Итак, в естественном полупроводнике электрический ток можно рассматривать как результат движения не только электронов верх- верхней зоны, но и «дырок» в заполненной полосе. Однако все же глав- главную роль в этих случаях играет движение электронов в зоне про- проводимости. Описанная естественная проводимость полупроводников встре- встречается значительно реже, нежели другое явление — полупроводя- полупроводящие свойства под влиянием малых примесей чужеродных атомов. Роль чужеродных атомов или иных дефектов решетки заклю- заключается во вносимом ими допол- дополнении к картине энергетических уровней. Зачастую дефекты соз- создают свой уровень — узкую энер- энергетическую полоску между за- заполненной и свободной зонами. Допустим, Что чужеродные атомы приносят с собой «лиш- «лишние» электроны, которые запол- заполняют узкую полоску, возник- возникшую между зонами. При повы- повышении температуры электроны с уровня примесей переходят в зону проводимости все в боль- Рис. 302. шем и большем числе: прово- проводимость растет. Такой полупро- полупроводник будет давать я-прово- димость. Может случиться (при малой концентрации примеси), что все лишние электроны будут отданы. Дальнейшее повышение тем- температуры уже не приведет к увеличению проводимости — тело будет себя вести, начиная от этого момента, как металл. Такое поведение обнаруживается при зведении в решетку четырехвалентного крем- кремния или германия атомов пятивалентных мышьяка или фосфора. На рис. 302 упрощенно изображена кристаллическая решетка крем- кремния. Если один атом кремния заменить на атом мышьяка, то один электрон остается «лишним». Это и будет электрон проводимости Замечательно то, что примеси могут привести и к /7-проводимости Это будет в том случае, если атом примеси обладает акцепторными свойствами, т. е. способен присоединять к себе электроны. На про- промежуточный уровень примеси перейдут электроны заполненной по- полосы, и в ней возникнет дырочная проводимость. Такую проводи- проводимость можно наблюдать у кремния с примесью трехвалентного алю- алюминия. Если в ряде мест решетки кремний будет заменен на алю- алюминий, то в кристалле возникнут «места нехватки» электронов После того, как поле наложено, атом алюминия сможет отобрать электрон у соседнего атома кремния; электрон перейдет под дей ствием электрического поля, а «дырка» сдвинется в обратную сто рону. 664
Надо помнить, что подобные «наивные» картины перемещения электрона имеют в высшей степени условный характер — движение электронов в твердом теле подчиняется законам квантовой механики. Введение тех или иных примесей позволяет управлять электро- электропроводностью материалов в самых широких пределах. Можно сменить р-тип проводимости на n-тип. Можно существенно изменять характер температурной зависимости проводимости. § 27& Эмиссия электронов работа выхода электрона. Электроны, находящиеся в зоне про- проводимости, ведут себя как своеобразный электронный газ. «Стен- «Стенками» сосуда, в котором находится этот газ, является поверхность твердого тела. Чтобы выйти за пределы этой поверхности, электрон должен преодолеть потен- потенциальный барьер, высоту которого обозначим через <?. Как нам известно, при абсолютном нуле электроны обладают граничной энер- энергией W. В модели электрон- электронного газа W соответствует поверхности Ферми. Это— Рис Зоз. энергия электронов, нахо- находящихся при нуле градусов, на самом высоком уровне. Таким обра- образом, для преодоления электроном потенциального барьера ему не нужно сообщать энергию <?, а достаточно придать дополнительную энергию ? ер у 1 Величина А носит название работы выхода, а Л/е=ф можно назвать потенциалом выхода, или работой выхода, выраженной в вольтах (рис. 303). Выход электрона из металла затрудняют силы притяжения, дей- действующие со стороны положительных ионов, и силы притяжения между электроном и его электрическим изображением. Последняя сила равна е2/Dх2), если электрон находится на расстоянии х от поверхности.. Она способна удерживать электрон на существенном расстоянии от поверхности, образуя, таким образом, слой или облако электронов вблизи поверхности тела. Если металл находится в электрическом поле, работа выхода снижается на величину eVeE, где е — заряд электрона, а Е — напряженность поля. Чтобы снизить потенциал выхода на 1В, требуется напряженность внешнего поля 0,2-107 В/см. (Мы видим» что в обычных электронных приборах влияние внешнего поля на работу выхода будет незначительным.) Работа выхода очень резко зависит от свойств поверхности. Оказывается, можно нанести на поверхность катода электрополо- 665
Рис. 304. жительные атомы или ионы (металлы, кислород). При этом могут образоваться слои с обращенными наружу положительными заря- зарядами. Работа выхода при этом может быть сильно понижена, как это.видно из следующего примера. Обычным материалом нити накала в электронных лампах яв- является вольфрам, работа выхода которого А =4,9 эВ. Покрытие по- поверхности вольфрама слоем окисла щелочноземельного металла (Са, Ва, Sr) снижает работу выхода до 1,5—2 эВ. Это позволяет при более низких температурах нити накала получать значительно большую эмиссию. Термоэлектронная эмиссия. Вы- Выход электронов из металла при на- нагревании носит название термоэлек- термоэлектронной эмиссии. Это явление, как известно, лежит в основе действия ламп накаливания. При повышении температуры электроны возбужда- возбуждаются и некоторые из них могут по- получить скорости в направлении, перпендикулярном к поверхности тела, достаточные для преодоления потенциального барьера <$\ Электронный газ подчиняется статистике Ферми — Дирака, со- согласно которой число электронов с энергией <? пропорционально выражению ¦ (S-w)/kT\i • Но нас интересуют энергии ^, которые существенно больше энергии нулевого уровня W. Поэтому с доста- достаточной точностью написанный множитель заменится ъае~№-*Укт = z=e~eq>/kTt Таково число электронов с энергией, равной высоте потенциальной ямы. Строго доказывается, что сила тока электрон- электронной эмиссии пропорциональна этому выражению. Из формулы оче- очевиден исключительно быстрый рост термоэлектронного тока с температурой. Для измерения термоэлектронного тока используется схема, по- показанная на рис. 304. Увеличивая напряжения, весьма быстро дой- дойдем до тока насыщения. Выше мы имели в виду именно ток насыщения. Что же касается начального участка кривой термоток — напря- напряжение, то он возникает из-за электронного облака, о котором было сказано выше. Напряжение, отсасывающее электроны, забирает частицы из электронного облака. Катод немедленно пополняет число электронов в облаке до равновесного значения. Это равновес- равновесное значение определяется в отсутствие внешнего напряже- напряжения эмиссионной способностью и противополем облака. По мере увеличения напряжения электронное облако тает, и эмиссия нарастает до тех пор, пока напряжение не исчерпает электрон- электронного облака полностью. Тогда и устанавливается ток насы- насыщения. 666
Строгое рассмотрение приводит к такой зависимости плотности термоэлект- термоэлектронного тока от температуры: (формула Ричардсона). Для вольфрама Л=75 А/(см2-К2), еф=4,5 эВ. Сравним плотности тока тер- термоэлектронной эмиссии из вольфрама при температурах 500 К и 2000 К При 500 К 4.5 1,6 10-12 / = 75-25. ю*./" 1-38-10~1'-Б00~ Ю-36 а/см2, т. е. для получения измеримых токов потребовались бы катоды невероятных раз- размеров, превышающие площадь всей земной суши. При 2000 К 5,21 10* / = 75-4.106е 2000 -< 1,6 мА/см2. Такой ток уже легко измерить, но площадь эмиттирующей поверхности для многих приложений оказалась бы еще слишком большой. Нанесение на вольфрам цезия меняет картину: теперь Л=3,2 А/(см2-К2), но еф=1,36 эВ и при 7=2000 К 1,57-10* / = 3,2-4106е 200° и 4,8-Юз А/см2. Ясно, что такие плотности тока разрушили бы катод, поэтому нужные на практике значения j<A А/см2 можно теперь получить при более низкой температуре (—1300 К). Вторичная эмиссия. Так называется вырывание электронов из металла под действием других электронов. Вторичные электроны могут выходить в направлении первичных электронов. Это показы- показывает, что первичные электроны взаимодействуют со связанными элек- электронами, иначе нарушался бы закон сохранения импульса. Вторич- Вторичная эмиссия начинается при энергии первичных электронов порядка 10 эВ. Большинство вторичных электронов имеет энергию в несколько электрон-вольт, их распределение по энергиям почти не зависит от энергии первичных электронов. Первичные электроны вызывают вторичные и, кроме того, упруго рассеиваются. Замечательным обстоятельством, широко используе- используемым на практике (трубка Кубецкого), является то, что один пер- первичный электрон может создать несколько вторичных. § 274. Фотоэлектрический эффект Внешний фотоэффект. Для изучения этого явления исследуемое вещество используется в форме катода вакуумной трубки. Свет на- направляется на катод и вырывает из него электроны. Электроны, достигающие анода, создают фотоэлектрический ток, величина кото- которого исследуется в зависимости от внешних обстоятельств. Характерным для вещества является, конечно, полный ток, сни- снимаемый с катода. Поэтому и здесь работают обычно в режиме тока насыщения. Если к фотоэлементу напряжение не приложено, то через прибор идет слабый ток, создаваемый частью электронов, вылетевших из катода в направлении анода. Слабое ускоряющее 667
напряжение не соберет еще всех электронов, но при некотором его значении все электроны добираются до анода — устанавливается ток насыщения. Опыт показывает, что сила фототока строго пропорциональна интенсивности падающего света. Это справедливо для света любой частоты, создающей фотоэффект. Более того, утверждается, что число выбитых электронов в точ- точности равно числу фотонов. Один фотон может вырвать один элек- электрон. Таким образом, не допускается такой процесс, при котором один фотон, постепенно теряя энергию, вырвал бы из вещества несколько электронов* Это важное положение несколько трудно доказать, изучая внешний фотоэффект, поскольку он всегда может сопровождаться внутренним фотоэффектом (см. ниже) и часть элек- электронов моа&ет не выйти, за пределы вещества, При взаимодействии фотона с электроном должны соблюдаться законы сохранения энергии и имдульса. Закон сохранения энергии (уравнейие Эйнштейна) имеет вид где ф — потенциал выхода электрона из металла (тот же, что и в опытах по термоэлектронной эмиссий). Необходимость соблюде- соблюдения закона сохранения импульса приводит к заключению, что в процессе взаимодействия^ фотона с электроном должна принимать участие решетка металла (иначе электроны могли бы двигаться лишь в том же йаправлении, что и фотоны). Любой фотон может произвести фотоэффект, если только его энергия по крайней мере равна работе выхода. Отсюда следует, что Для каждого материала существует своя граница фотоэффекта. Гра- Граничная частота равна уо—(е)Н)^у граничная длина волны %0 в милли- миллимикронах («красная» граница фотоэффекта) равна he/(eq))= 1236/<д, если ф выражать в вольтах. При облучении вещества светом с боль- большей длиной волны фотоэффект невозможен. «Красная» граница фотоэффекта для Li будет Я0=560 нм E600 А), т. е. соответствует желтой части видимого спектра; дли Си Яо=300 нм C000 А) — ультра- ультрафиолет; для А1 Я0=410 нм D100 А) — фиолетовая часть види- видимого спектра. Если энергия фотона больше работы выхода, то ее излишек идет на кинетическую энергию электрона. Таким образом, жесткое излу- излучение способно создать очень быстрые фотоэлектроны. Для точного измерения граничной частоты и работы выхода ис- используют метод задерживающего потенциала. Для этого наклады- накладывают на фотоэлемент слабое задерживающее напряжение (плюс на фотокатоде) и повышают его до прекращения тока. Этот момент наступает, когда eVB=mv*f2. Таким образом можно построить опыт- опытную зависимость V3 от частоты света ¦668
Должна получиться прямая линия с угловым наклоном, позволяю- позволяющим вычислить универсальную константу hie. Две характеристики вещества — граничная частота v0 и потенциал выхода ф — полу- получаются как отрезки, отсекаемые прямой на осях (рис. 305). Пример. Если на медную пластинку (ф=4,1 В) падает мягкое рентгенов- рентгеновское излучение А,= 100 А, то задерживающее напряжение прекратит фототок, когда Q. ТЛЮ 1 el/3 = ftv-e<p = 6,6.10-" • -j^- • 16 ,0,1а-4,1 эВ= 120 эВ. Следовательно, задерживающий потенциал будет равен 120 В. Другая важная характеристика материала фотокатода — это спектральная зависимость фототока. Здесь нет каких-либо простых закономерностей. Кривая начина- начинается от граничной частоты и во многих случаях довольно монотон- монотонно растет; можно сказать, что с arctS энергией фотонов повышается ко- коэффициент их использования. Од- Однако в иных случаях спектральные кривые имеют ясно выраженные максимумы, лежащие в довольно ™ узкой спектральной области. Фотоэлементы, использующие внешнцй фотоэффект, широко рас- распространены. Они применяются в фотореле, телевидении, звуко- звуковом кино. В качестве фотокатодов служат серебро, цезий, калий; распространены сурьмяно-цезиевые катоды. При употреблении в различных фотореле бывает несущественной пропорциональность фототока интенсивности света; напротив, важ- важна чувствительность фотоэлемента. В этих случаях можно использо- использовать вместо вакуумных фотоэлементов газонаполненные. Чувстви- Чувствительность повышается в десятки раз. Внутренний фотоэффект. Если действие фотона сводится к пере- перемещению электрона из заполненной зоны на уровень примеси или уровень проводимости, то мы говорим о внутреннем фотоэффекте. В результате этого явления в теле под действием света могут об- образоваться электроны проводимости и дырки. Они должны образо- образовываться парами. Строго говоря, пара зарядов должна приходиться на один фотон. Явление крайне осложняется протеканием внутри тела вторичных процессов, являющихся следствием рекомбинации электронов и дырок. Как ясно из сказанного, внутренний фотоэффект есть явление, особенно характерное для полупроводников, но оно наблюдается и в изоляторах. Полупроводники, обладающие этим эффектом, включаются в цепь тока в качестве так называемых фотосопротивлений. В темноте 669
такое тело обладает весьма малой (темновой) проводимостью. При облучении светом проводимость растет. Для внутренних переходов электрона бывают достаточны энергии в десятые доли электрон- вольта. Поэтому порог внутреннего фотоэффекта может лежать в далекой инфракрасной области. Фотосопротивления широко используются для сигнализации и автоматики всюду, где нужно превратить в действие или зафикси- зафиксировать слабейшие изменения в интенсивности света. § 275. Запирающие слои Граница металла и полупроводника, а также граница двух полу- полупроводников может в ряде случаев обладать выпрямляющим дейст- действием. Поскольку переход от одного тела к другому при их тесном контакте (сваривании, сплавлении) занимает хотя и очень тонкий, но все же конечный по толщине участок, принято говорить о за- запирающем слое. Такой слой мож- можно создать на границе меди и закиси меди, на границе селена и селенистого кадмия. Исследо- Исследования показали, что запирающий слой между двумя полупровод- полупроводниками возникает в том случае, если один из полупроводников принадлежит к */?-типу, а дру- другой — к я-типу. Такие запираю- - Y щие слои называют границами -Г р — п. Рис. 306 иллюстрирует вы- Рис зоб. прямление, даваемое запираю- запирающими слоями. На нем приведена типичная кривая зависимости силы тока от напряжения. Правая ветвь кривой называется пропускным током, левая — запирающим. Пропускной ток быстро растете напряжением, запирающий — почти не меняется, остается все время крайне слабым. Какое же направление тока является пропускным? Исследова- Исследования показали, что на р — я-границе пропускной ток идет от дыроч- дырочного полупроводника через границу к электронному. Это значит, что дырки стремятся к электронам и, наоборот, электроны продви- продвигаются в сторону повышенной концентрации дырок. Запирающему току соответствует такое направление, при котором дырки и элект- электроны расходятся от границы. Что же касается границы металл — полупроводник, то там, видимо, дело обстоит следующим образом. Если с металлом грани- граничит полупроводник дырочного типа (медь — закись меди), то про- пропускным направлением тока является направление от закиси меди к меди. Это представляется естественным: в полупроводнике нет 670
свободных электронов, в металле они имеются в избытке; электроны переходят из металла в полупроводник. Свойства запирающих слоев нашли себе широкое применение в промышленности выпрямителей. Уже давно производятся купрокс- ные выпрямители (медь — закись меди), селеновые выпрямители. В последнее время широкое применение получают крошечные вы- выпрямители, сделанные из германия или кремния,— кристаллические диоды. Введением примесей в германий или кремний можно пре- превратить его в проводник /?-типа или д-типа. Кристаллический диод представляет собой маленький кристаллик германия (кремния), одна часть которого содержит примеси акцепторного типа, а дру- другая — примеси донорного типа. ЗСоллекнгор ,. \j 1 5 триод Рис. 307. Интересны также кристаллические триоды, представляющие собой полупроводящую систему типа р — п — р или п — р — п. Если к трем участкам этого крошечного триода (размеры кристал- кристаллических «ламп» порядка сантиметра) припаять три провода, то такую систему можно включать в цепь для тех же целей, что и трех- электродную лампу. На два крайних конца накладывается напря- напряжение — один конец служит анодом, другой — катодом. Третий отвод играет роль сетки. В такой системе полупроводников оказа- оказалось два запирающих слоя, включенных друг навстречу другу. Поэтому она и играет роль трехэлектродной лампы. Параллель между работой кристаллического и обычного триодов поясняет рис. 307. Другое важное использование запирающих слоев — для изго- изготовления фотоэлементов, работающих без источника напряжения. Если на поверхность полупроводника нанесен тонкий слой металла, то создается запирающий слой. Слой металла может быть настолько тонким, что свет свободно пройдет через него. Под действием про- прошедшего сквозь металл света в полупроводнике происходит внутрен- внутренний фотоэффект. Ввиду наличия запирающего слоя освободившиеся электроны вынуждены начать направленное движение. Замкнув цепь, мы получим электрический ток. 671
ж На этом принципе могут быть изготовлены меднозакисные и се- селеновые фотоэлементы. У нас с успехом применяются отечественные сериисто-таллиевые фотоэлементы, дающие ток короткого замыкания порядка 10 000 микроампер на люмен. Фотоэлементы такого типа обладают коэффициентом полезного действия превращения световой энергии в электрическую порядка 1 %. И здесь существенный пере- переворот вносят запирающие р — /г-слои из кремния и германия. Они позволяют изготовлять фотоэлементы с коэффициентом полезного действия порядка 10%. Открытие этой новой возможности делает вполне реальной задачу технического использования солнечной Энергии. § 276. Контактная разность потенциалов Если металлические или полупроводниковые тела приведены в соприкосновение, то между ними возникает разность потенциалов, называемая контактной. Для того чтобы измергить эту величину, надо создать тесный контакт между двумя телами вдоль некоторой поверхности (спаять, сварить, пришлифовать, обеспечив отсутствие „,„ -, посторонних включений, окисных пленок и пр.) и образовать из г этих тел разорванный в одном ме- месте контур. Каждое из тел будет иметь определенный потенциал, Рис. 308. одинаковый ro всех точках тела. Поэтому контактную разность по- потенциалов можно измерить, определяя поле в зазоре. По порядку величины контактная разность потенциалов между двумя телами равна десятым долям вольта. Необходимость существования контактной разности потенциа- потенциалов вполне очевидна — она должна возникать, если только работа выхода электронов у соприкасающихся тел различна. Напомним, что работа выхода А — это существующая при температуре аб- абсолютного нуля разность между энергией электрона на самом высо- высоком уровне внутри металла W и энергией электрона, вышедшего за пределы металла с нулевой кинетической энергией. Распределение электронов по энергиям у двух приведенных в со- соприкосновение твердых тел можно изобразить схемой (рис. 308). Верхний уровень одинаков для всех тел. Электроны тела, у которого работа выхода меньше, расположены на более высоком энергети- энергетическом уровне. Таким образом создаются условия для перехода электронов из первого тела во второе. Этот переход сопровождается образованием положительного заряда на первом теле и отрицатель- отрицательного — на втором. В месте контакта возникнет электрическое поле, которое будет препятствовать переходу электронов. В конце концов установится равновесие; оно будет осуществляться при строго опре- определенной разности потенциалов, характерной для данной пары ме- металлов. 072
Картина, которую мы набросали, будет в незначительной сте- степени зависеть от температуры. При повышении температуры рас- распределение электронов по энергиям уже не имеет столь резкой гра- границы. Появятся электроны на более высоких уровнях, однако условия перехода электронов останутся в основном те же из-за слабой зависимости энергии электронов от температуры, о чем мы говорили выше. Из приведенного описания явления очевидно, что все твердые тела можно расположить в определенный ряд так, чтобы предыдущий член ряда заряжался положительно по отношению к последующему. Такой ряд был составлен еще Вольта, открывшим контактную раз- разность потенциалов. Из приведенного нами объяснения явления оче- очевидно, что ряд Вольта должен быть рядом по восходящим работам выхода: электроны переходят от тел с меньшей работой выхода к те- телам с большей работой выхода. Поскольку контактная разность потенциалов q>i2 двух тел вы- выражается в виде разностей работ выхода, то очевидно, что разность потенциалов двух тел может быть пред- представлена в виде разности потенциалов этих двух тел с каким-либо третьим: Далее, очевидно, что в замкнутой цепи, составленной из любого числа тел, суммарная контактная разность потенциалов равна нулю: ф12+ф2з~Ьфз1—0- Электрический ток в такой цепи существовать не будет. Ряд напряжений (нормальный потенциал в растворе электролита, вольты): Li Ca Na Al Zn Fe Ni Pb — 3,01 —2,84 —2,71 —1,66 —0,76 —0,44 —0,23 —0,12 Cu Hg Ag Pt + 0,34 +0,70 +0,80 +1,2 § 276a. Электролюминесценция полупроводников Электроны ц дырки полупроводника могут комбинировать с излучением фотона. Можно представить себе четыре варианта таких процессов: переход электрона полосы проводимости к дырке валент- валентной полосы и к дырке акцепторного уровня, переход электрона. донорного уровня к дырке валентной полосы и к дырке акцепторного уровня. Чтобы полупроводник был излучателем света, надо, чтобы его структура благоприятствовала быстрой рекомбинации электронов 22 А. И. Китайгородский 673
и дырок, а также позволяла вводить электроны в возбужденные со- состояния. Такие состояния будут получены, если удастся инжекти- инжектировать электроны в полупроводник, в котором больше дырок, т. е. в /^-кристалл. Тот же эффект получится введением дырок в полу- полупроводник п-типа. Наконец, можно также прибегнуть к инжекции в изолятор дырок и электронов. Если, пропуская ток через полупроводник, мы осуществим один из этих процессов, то произойдет прямое превращение энергии тока в свет, т. е. будет иметь место электролюминесценция. Рис. 308а. Наиболее удобными для практического осуществления электро- электролюминесценции оказались р — я-диоды, изготовленные из бинар- бинарных полупроводников типа фосфида или арсенида галлия. На рис. 308а дана схема энергетических уровней диода. Между р- и п- областями диода установится, как только что было объяснено, контактная разность потенциалов, уравновешивающая диффузию электронов (черные кружки) в р-область и дырок (светлые кружки) в П-область (рис. 308а, а) При наложении поля (рис. 308а, б) барьер понижается, элект- электроны начинают свое движение вправо на нашем чертеже, а дырки влево. В пограничном слое создаются благоприятные усЛовия для рекомбинации всех четырех типов. Энергия образующихся фотонов, грубо говоря, равна зазору между полосами. Конечно, процесс рекомбинации не обязательно должен сопро- сопровождаться излучением. Соответствующая энергия может перейти и в тепло. Если бы удалось осуществить идеальный случай, то выход излучения превосходил бы подводимую электрическую энергию и прибор работал бы как холодильник, черпая тепло в кристалле и окружающей среде. Все излучение распространяется в плоскости пограничного слоя. Два конца диода, перпендикулярные границе, полируются таким образом, чтобы создалась резонансная полость. При больших токах излучение становится стимулированным со всеми вытекаю- 674
щими отсюда следствиями в отношении остроты направленности поляризации и когерентности. К настоящему времени удалось создать большое количество полупроводниковых лазеров. Все они относятся к бинарным полу- полупроводникам, комбинирующим элементы II —VI, а также III — V столбцов таблицы Менделеева. В соответствии с ширинами зазо- зазоров, колеблющимися в пределах нескольких единиц электрон-вольт, созданы полупроводниковые лазеры, охватывающие диапазон длин волн от ультрафиолета до далекого инфракрасного света. § 277. Распределение зарядов в неравномерно нагретом теле Рассмотрим стержень, вдоль которого падает температура. Разные участки этого стержня будут находиться в разных условиях, и это скажется на поведении свободных электрических зарядов. Там, где температура выше, заряды будут обладать большей энер- энергией; кроме того, и число свободных зарядов может возрасти, если имеется возможность перехода электронов из заполненной зоны в зону проводимости. Обе эти причины приведут к тому, что начнется диффузия свободных зарядов, которая будет происходить до тех пор, пока не создастся противополе, уравновешивающее тенденцию к равномерному распределению. Вдоль етержря возникнет падение потенциала; на одном конце стержня образуется отрицательный, на другом — положительный заряд. Падение электрического потен- потенциала с температурой будет характерным для каждого тела. Бы- Быстроту падения потенциала можно описывать производной потен- потенциала по температуре a=dq>/dT. Если на концах стержня поддерживается неизменная разность температур, то это значит, что через него непрерывно передается тепло. Тепло передается свободными зарядами, однако ток в незамк- незамкнутом проводнике существовать не может. Непрерывный перенос энергии без переноса заряда обеспечивается разной скоростью движения зарядов, идущих от горячего конца к холодному, при одинаковом числе зарядов, проходящих в обе стороны через сечение в единицу времени. Если носителями тока являются электроны, то их избыточная концентрация имеет место на холодном конце стерж- стержня. Если носителями тока являются положительные частицы или дырки, то на холодном конце соберется положительный заряд. Знак возникающей разности потенциалов будет, таким образом, разным в зависимости от знака переносчиков тока. Будет ли существовать описанный эффект в том случае, если речь идет о полупроводнике, и притом таком полупроводнике, у ко- которого ток переносится и дырками и электронами? Такая двусто- двусторонняя диффузия действительно может свести разность потенциалов неравномерно нагретого тела к нулю. Однако разности потенциалов, образованные носителями тока обоих знаков, могут и не скомпен- сироваться. Это может произойти благодаря разной подвижности электронов и дырок, а также различия в их концентрациях. 22* 675
Набл^фдение разности потенциалов в неравномерно нагретом проводнике представляет некоторые сложности. Порядок величины возникающего падения потенциала — это 10~4 В на градус. Разу- Разумеется, нельзя обнаружить явление,.изготовив замкнутый проводник в надежде измерить электрический ток. Действительно, такой замк- замкнутый проводник мы всегда можем мысленно разбить на две половины: в первой происходит падение потенциала, а во второй — возрастание. В однородном проводнике эти величины будут строго равны и результирующую э. д. с. обнаружить нельзя. § 278. Термоэлектродвижущая сила Электрический ток можно наблюдать в кольцевом проводе, составленном из двух (или более) различных тел, если только места соединения (спаев) находятся при разных температурах. Это и есть известное явление термоэлектричества, имеющее широкое примене- применение на практике. Причин появления термоэлектрического тока может быть две. Прежде всего, очевидно, что падение потенциала вдоль обоих про- проводов, происходящее из-за перепада температуры, может быть раз- разное у этих двух тел (обозначим их 1 и 2), если только их константы a=dy/dT различны. т2 Действительно, только случайно разности потенциалов ^ axdT г и J an dT могут оказаться равными. Уже этого было бы достаточно для того, чтобы в кольцевом проводе возникла э. д. с, равная раз- разности этих напряжений. Вторая причина термоэлектрического тока состоит во вполне вероятной зависимости контактной разности потенциалов от темпе- температуры. В результате помещения двух спаев в разные температур- температурные условия их контактные разности потенциалов могут оказаться разными. Опять-таки и одного этого условия было бы достаточно для возникновения результирующей разности потенциалов в замк- замкнутой цепи, а значит, и появления тока. Учитывая оба явления, мы можем записать выражение для термоэлектродвижущей силы в виде суммы падения напряжения в первом проводе, скачка потенциала от первого тела ко второму, падения потенциала во втором теле и скачка потенциала от второго тела в исходную точку обхода контура: 676
Для упрощения полученного выражения запишем разность iT) Фн (ТО в виде и так же преобразуем аналогичную вторую разность. Тогда формула для э. д. с. примет вид т т Нам удалось таким способом выразить <? в виде разности двух ве- величин, каждая из которых является характеристикой данного тела. Довольно часто термин «термоэлектродвижущая сила» применяют не к этим интегралам, а к величине э. д. с, отнесенной к одному градусу: Эта величина является основной характеристикой термоэлектри- термоэлектрических свойств тела. Она не является неизменной константой, а мо- может зависеть от термодинамических условий, в том числе и от темпе- температуры. Впрочем, для многих тел эта зависимость не выражена ярко. Измеряя термоэлектродвижущую силу, можно определить не а, а разность этих величин. Однако, комбинируя разные пары провод- проводников и полупроводников, мы имеем возможность определить зна- значения а по отношению к одному телу, принятому за «начало от- отсчета». Таким образом можно расположить тела в ряд по их термо- термоэлектродвижущим силам. По вполне понятным после сказанного причинам ряд по термоэлектродвижущим силам не совпадает с рядом по контактной разности потенциалов. Приведем термоэлектродвижущие силы некоторых металлов по отношению к платине. Если данный металл спаян с платиной, причем один спай находится при 0°С, а другой — при 100°С, то в замкнутом контуре возникает э. д. с. (в мил- милливольтах): Сурьма + 4,0 Железо + 1,9 Медь + 0,75 Никель —1,5 Константан —3,4 Положительный знак означает, что в спае, находящемся при 0°С, ток течет от данного металла к платине. Беря из таблиц значение констант а, мы сразу же подсчитаем значение термоэлектродвижущей силы, имеющей место при данной разности температур: g^fa — а2) (Тг — Т2). Такой вид будет иметь формула в случае термоэлемента, составленного двумя 677
металлами или двумя полупроводниками, обладающими одинаковыми по знаку носителями тока. В этом случае разности потенциалов, возникающие в обоих плечах цепи, направлены друг против друга и результирующая э. д. с. представляет собой разность действий обоих проводов, составляющих цепь. Однако картина меняется в том случае, если мы составим цепь из двух полупроводников, один из которых обладает дырочной, а другой — электронной проводи- проводимостью. У дырочного проводника на холодный спай направляются дырки, а электроны идут к горячему спаю. У электронного провод- проводника электроны идут к холодному спаю. Оба эффекта усиливают друг друга, и формула имеет вид Это обстоятельство весьма существенно для практики. § 279. Выделение тепла в электрических цепях В проводе, по которому течет ток, выделяется джоулево тепло. Кроме того, перемещение зарядов вдоль тела сопровождается еще двумя тепловыми явлениями. Первое из этих явлений, носящее имя Пельтье, состоит в сле- следующем. Если через спай двух тел проходит электрический ток, то в спае выделяется или поглощается тепло, пропорциональное силе протекающего тока: где П — коэффициент пропорциональности. Замечательной особен- особенностью этого эффекта является изменение знака у количества тепла при изменении направления электрического тока: в зависимости от направления тот же самый спай будет либо выделять, либо погло- поглощать тепло. Опытом Ленца это было доказано более ста лет назад. В углубление на стыке стержней сурьмы и висмута Ленц поместил каплю воды. Пропуская ток в одном направлении, можно было показать, что капля замерзает. Меняя направление тока на об- обратное, можно эту же каплю расплавить. Второе явление имеет место в любом однородном проводнике, если он неравномерно нагрет. Положим, например, что ток идет вдоль стержня, один конец которого находится при одной темпера- температуре, а второй конец—при другой. Тогда в этом проводе будет происходить дополнительное выделение тепла, пропорциональное первой степени силы тока (а не ее квадрату, как в эффекте Джоуля). Разумеется, чтобы заметить это явление, надо свести к минимуму джоулево тепло. Можно хотя бы следующим образом демонстрировать этот эф- эффект (его предсказал на основании термодинамических соображе- соображений английский физик Томсон). В состав цепи тока входят два 678
стержня, которые располагаются параллельно друг другу (рис. 309). Концы стержней попарно держатся при разных температурах. Сим- Симметрия расположения, казалось бы, должна привести к тому, что в симметричных точках обоих стержней температура будет одинако- одинаковой. Однако в одном стержне ток идет от горячего конца к холодно- холодному, а в другом — наоборот. Эффект Томсона приводит к тому, что соответственные точки стержней не будут находиться при равной температуре. Горячее будет точка, расположен- расположенная в стержне, где ток идет от горячего конца к холодному. Количество выделяющегося за 1 с тепла на участке длиной dx может быть записано в виде - т — коэффициент пропорциональности. Количе ство тепла тем больше, чем больше градиент тем пературы. В термоэлектрической цепи существу- существуют одновременно три эффекта: возникновение термоэлектродвижущей силы, явления Пельтье и Томсона. Можно показать, что эти три процес- процесса связаны между собой началами термодинамики. Для слабых токов это не требует доказательст- доказательства. Поскольку термоэлектрические эффекты пропорциональны первой степени тока, а джоу- лево тепло — второй, конечно, последним можно пренебречь. Пример.Концыстержняизнатрия(т=—8,5- 10-6В/К, р=5-10 Ом*см) длиной 10 см и поперечным сече- рис 309 нием 5 мм2 содержатся при температурах 300 К и 310 К. При пропускании по стержню тока /=0,5 мА от горячего конца к холодному благодаря эффекту Томсона в проводнике за единицу времени выделяется тепло Qr==T/ -^- /= —8,5- 10-е.( — 5- Ю;4)-1 • 10 = 4,24-108 Дж/с. Ток взят со знаком минус, так как он направлен противоположно градиенту температуры. Благодаря эффекту Джоуля в проводнике выделится за единицу времени тепло QD = /*R = E-10-4J.5- Ю-6 _^г==2,5.10-ю Дж/с, т. е. примерно в 200 раз меньше томсоновского тепла. В результате термодинамического рассмотрения оказывается, что между коэффициентами а, П и т существует связь, а именно, т = -ур—а и а =у . Подставляя второе соотношение в первое, по- получим также: т = Т -^=-т С помощью этих равенств происходит опре- определение абсолютного значения а. 679
Явления Пельтье и Томсона имеют те же физические основания, что и возникновение термоэлектродвижущей силы. Последнее явле- явление возникает в конечном счете по той причине, что тепловой поток переносит электрические заряды. Здесь же мы имеем явления, в ко- которых поток электрических зарядов несет с собой тепло. § 280. Применения термоэлектрического эффекта В настоящее время серьезные возможности имеет применение термоэлементов в качестве генераторов электроэнергии. Металли- Металлические термоэлементы обладают коэффициентом полезного действия порядка 0,5%, но к. п. д. полупроводникового элемента, составлен- составленного из дырочной и электронной ветвей, уже сейчас доходит до 7-8%. Низкий коэффициент полезного действия объясняется необ- необратимыми потерями на джоулево тепло. Если Ro — сопротивление внутренней части цепи, a R — внешнее сопротивление, то мощность, выделяющаяся на внешнем сопротивлении (полезная мощность), будет равна , D 2 для любой электрической цепи; здесь $ — э. д. с. Подставляя значение термоэлектродвижущей силы, полу- получим для мощности термоэлемента выражение аЦТ1 — Т2J Электродвижущие силы термоэлемента — это величины порядка десятых долей вольта. Желая получить напряжение, скажем, 120 В, термоэлементы соединяют в батарею (последовательно). Если нужны сильные токи, то элементы надо соединять параллельно. Вторым интересным применением термоэффекта, также ставшим возможным в связи с развитием техники полупроводников, является использование их в качестве холодильника. Использование термоэлектрического эффекта для измерения температур хорошо известно, и мы на нем не станем останавли- останавливаться. Важнейшей и давно известной областью применения термоэф- термоэффекта является использование его для обнаружения ничтожных степеней нагрева. Эти возможности в настоящее время еще более возросли благодаря тому, что полупроводники дают большие термо- термоэлектродвижущие силы. Для этих целей используют последова- последовательно соединенные термоэлементы — так называемый термостол- термостолбик. Все четные спаи такого соединения охлаждаются, а нечетные подвергаются нагреву. Термостолбики измеряют мощности до таких малых величин, как несколько эргов в секунду. Однако имеется возможность снизить этот предел до десятых долей эрга в секунду. Это достигается при помощи вакуумных термоэлементов, где потери тепла сведены к минимуму. 680
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица формул электродинамики Напряженность электриче- электрического поля Поверхностная плотность электриче- электрического заряда Электрическое смещение Электрическая индукция Электрический поток Теорема Гаус- са—Остро- са—Остроградского Электрический потенциал Напряженность электриче- электрического поля точечного заряда Потенциал электриче- электрического поля точечного заряда Система СГС дин Е - F "^дйн/см /.—2. Vдин-см Кдин-см и - dq D = 4я о =8 Е V дин/см "Кдин/см Кдин/см N =Д D cos a dS ^дин-см Т^дин/см см2 ХКдин/см см2 У .D cosctdS = внутри поверхности Кл эрг ф = — Уда5 » кдин-см КдиН'СМ р._ Я — 8 Г2 КДИН/СМ СМ2 Vдин -см ф q Л7 8 Г Гдин см Система СИ Н Е F в/м 9 Кл Кл а ^ Кл/м^ Л5 м2 3) = а =8 80 ? Кл/м2 Кл/м2 Кл/(В-м) В/м gj = f J) cos a dS Кл J Кл/м2 м2 ф 3) cos adS= 2 <7/ «^ Кл/м2 м2 внутри Кл поверх- поверхности Дж и Г7 Кл Кл в1Гм Кл ф ^ 2 4Я8 80 Г Кл 681
Продолжение Электрическая емкость Энергия элек- электрического поля конден- конденсатора Плотность энер- энергии электри- электрического поля Сила взаимодей- взаимодействия между двумя заря- заряженными пло- плоскостями Электрический дипольный момент Вектор поляри- поляризации Магнитный мо- момент замкну- замкнутого тока Вращательный момент, дей- действующий на вигок с током в магнитном поле Потенциальная энергия маг- магнитного мо- момента в маг- магнитном поле Система СГС Т^дин-см с q СМ ф1 — ф2 Т^дин дин см* w - q2 w эл 9Г* эрг Zb см дин/см2 8 ?2 эрг/смЭ*Л 8я дин/см2 г Ь 0» дин 6 см* Удин-см* ^дин.смсм Р -7' Е Кдин/см Кдин/см Кдйн-см2 Л/ж =z = — / Sn Л^ =[ _М, В] дин-см Кдин-см* Гс и=—в _м эрг Гс Кдин-см* Система СИ Кл С- q Ф ф1 — ф2 в Кл2 дж 2С О'эл =Тг 8о ?2 % Дж/м8 1 Кл/(В-м) В2/м* Af =/ 5я А-м* Ама ЛГ =[ М, Л J Н-м А-м* В-с/м* и = — в м Дж В-с/м2 А-м2 682
Продолжение Закон Ампера Магнитный по- поток Магнитная мас- масса Напряженность магнитного поля, создан- созданного элемен- элементом тока Связь между В и Н ' Сила взаимодей- взаимодействия двух магнитных масс (закон Кулона) Сила взаимодей- взаимодействия двух параллельных токов Закон магнит- магнитного напряже- напряжения (закон полного тока) Напряженность магнитного поля солено- соленоида Система СГС У дин -см /с dF= — [dl, В] дин с см Гс см/с Ф = [ В cos a dS Мкс J Гс см2 1 т =-7— Ф Мкс 4я Мкс У дин см /с гсм г эи ' И'7-1 Ш с г* см/с см2 В =\хН Гс Э Мкс Мкс т1 т2 дин ^г см2 Уд,ян-см/с см см дин с г СМ2/С2 СМ* см/с ^Дин-см/с „ 4л п э с L у — Система СИ dF=I [dl, В ] Н А м В-с/м2 Ф = [ В cos a = dS В-с Jb-c/m2 m* т = Ф В-с В-с А А/м ^ЯГ2 L /• J м2 В-с/м2 Ом-с/м А/м A Омс=1 Г) В-с В-с тг т2 Н 45Х}1 fX0 Г2 Г/м м2 А А м м м2 " А/м м ^^ А Н =-?-/ А/м ^ А м 683
Продолжение Э.д.с. электро- электромагнитной ин- индукции Магнитная вос- восприимчивость Вектор намагни- намагничения Уравнения Мак- Максвелла Плотность тока Закон Ома Плотность энер- энергии магнит- магнитного поля Вектор Пойн- тинга Система СГС лэИнд — у— J Кцин/см ?\ Дин/см ф Н d Кдин/см с 4я ( см/с Мкс с dt см/с с A-1 4л = х' Н Кдин/см Мкс см \ ^ф см/с с f = VI Кдин см / "*" чг) i СМ/С с Кдин-см/с / ^дин/с-см см2 / АУдин j Т^дин/с-см 70) эрг/см3 эрг/см2-с к = см/с Т^дин и см/с с^м = X Е с УЩн/си дин/см2 Г/Л |i Я2 8д Е Н "I ^дин/см Кдин/см J Система СИ >*Ринд в В- с/м2 ф Е d J В/м м ? ^ А/м м / = А/м2 / А / = А/м2 Ом Дж/м3 Дж/(м2- В.с dt с - ы 1 Г/м А/м Вс С Кл A dt с А / м2 В Ом -iM-1 В/М Г/м А2/м2 2 = [ ? Я 1 с) В/м А/м 684
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная максимальная эффективность лазера 499 — температура 132, 169 __ Абсолютно твердое тело 62 — черное тело 396 Абсолютный нуль температуры 132 Авогадро закон 139, 179 •— число 1*59 Автоколебания 86 Автофазировка 424 Адиабатический процесс 133, 144, 148 Адсорбция 624 Активность оптическая 372, 374 — радиоактивного вещества 527 Алъфа-распад 525, 528 Аморфные тела 588 Ампера закон 237 Аннигиляция 546 Антенна 289, 346 Антиферромагнетики 645 Античастицы 547 Асимметрия элементарных частиц 549 Атомная единица массы 513 Атбмные радиусы 477 Барионы 540 Барионный спектр 551 Барометрическая формула 177 Бета-распад 522, 526 Бетатрон 425 Биения 90 Биологические макромолекулы 595 Больцмана закон (распределение) 175 Вавилова опыты 393 Валентный угол 477 Вероятность состояния 181 Видемана — Франца формула 657, 658 Вильсона камера 505 Вина закон смещения 397 — формула 400 Возгонка 610 Волновая функция 305 Волновое уравнение 305, 307 — число 483 Волны бегущие 95, 99 — стоячие 114 Волчок 74 Вольта ряд 673 Время реверберации 127 — релаксации 143, 632 — собственное 382 Вторичная эмиссия 677 Вторичное излучение 329 Вырожденные состояния 451 Вязкость (внутреннее трение) 187, 189, 589 — кинематическая 105» 192, 194, 196 Газ идеальный; 140} 165 — ультраразреженный 198 — электронный 652, 666 Газовая постоянная 139, 140 Гармоника (обертон) 91 Гаусса — Остроградского теорема 204 Гейгера счетчик 506 Гелий 600 Гиббса формула 183 Гипотеза де Бройля 440 Гироскоп 73 Гистерезис 230 — магнитный 263 Голография 348 Гомеополярная связь 475, 566 Громкость звука 125 Гука закон 41 Гюйгенса — Френеля принцип 108 Давление газа 169 — звуковое 100, 125 — электромагнитного поля 286 Движение вращательное 62, 67 — по окружности 25 — прямолинейное ускоренное 22 — реактивное 59 Дебай (единица) 632 Декремент логарифмический 80, 81 Дефект массы 385, 514 Дефекты кристалла 582 Деформация упругая 96 Джоуля — Томсона процесс 153 Диаграмма состояния 596 Диамагнетики 256, 638 Диамагнитная восприимчивость 639 Дилатометры 582 Диполь магнитный 247, 257, 289 — электрический 223, 224, 288 Дирака теория электрона 546 Дислокации 583, 613, 620 Дисперсия 297 — аномальная 298 Дифракционная решетка 341 Дифракция 330 — рентгеновских лучей 349 — электронов 439 Диффузия 187, 188, 191 — в твердых телах 616 Диэлькометр 628 Длина волны 100 — свободного пробега 167 Домен 642, 646 Доплера явление 112, 113, 323 Заряд связанный (поляризационный) 228 Зона кристаллографическая 556 685
Изобарический процесс 144, 147 Изображение электрическое 214 Изомеры оптические 374 Изоспин 520 Изотермический процесс 144, 147 Изотопы 513 Иэохорический процесс 144, 146 Импульс 50 — силы 54 — электромагнитного поля 286 Инверсии температура 154 Инверсная заселенность уровней 498 Индексы плоскости 559 — прямой 559 — узла 558 Индуктивность 276 Индукции обобщенный закон 267 Индукция магнитная 235 — электрическая 203 — электромагнитная 252, 266 Интенсивность волны 102, 104 Интерференция 107, 312, 318 Интерферометр Майкельсона 325 •— Фабри — Перо 327 Ионизационная камера 507 Ионная связь 473, 565 Иоффе и Добронравова опыт 392 Испарение 607 Испускательная способность 396 Кавитация 130 Квадруполь 224 Квант 136, 295 Квантовые числа 456, 501 Кварки 554 Керра постоянная 372 — эффект 371 Кирхгофа закон 395 Клапейрона — Клаузиуса уравнение 605 Клаузиуса — Мосотти формула 628 — постулат 164 Когерентность 314 Колебания 74 — вынужденные 97, 120 — затухающие 78 — когерентные 314 — многоатомной молекулы 488 — оптические 579 — тепловые 576, 580 — электрические 280 Комбинационное рассеяние 489 Контактная разность потенциалов 672 Коэффициент взаимной индукции 279 — вязкости 190 — давления термический 138, 139 — диффузии 188, 196 —- линейного расширения 582 — отражения 112 — — электромагнитных волн 301 — поглощения 105, 128 — преломления 110, 112 — Пуассона 152 — размагничения 263 — самоиндукции 276 — сопротивления 79 — температурного расширения 138, 139 — теплоотдачи 194 — теплопроводности 189 Кристалла элементарная ячейка 350, 352 — элементы симметрии 562, Кристаллизация 611 Кристаллы белковые 595 — жидкие 592 — молекулярные 567 — оптически отрицательные 363 — — положительные 363 — рацематы 374 — с гомеополярной связью 566 — с ионной связью 566 686 Кулона закон 224 Кюри (единица) 527 Лазеры 317, 318, 328, 403 — газовые 498—504 Лебедева опыты 287 Ленца правило 268, 269 Линза магнитная 411 — электрическая 410 Лучепреломление двойное 364, 370 Люминесценция 404 Магнетики 637 Магнетон Бора 236, 462 — ядерный 236, 516 Магнитная восприимчивость 258, 259 — защита 262 Майкельсона опыт 379 Макромолекулы биологические 158 Максвелла закон (распределение) 178 — уравнения 272 Масса покоя 383 — приведенная 58 Массовое число 513 Масс-спектрограф 420 Маятник баллистический 57, 159 — математический 77 — физический 78 Мезон 542, 543 Метастабильное состояние 605 Микроинтерферометр Линника 326 Микроскоп электронный 412 Мозли закон 472 Момент дипольный 223 — импульса 69 — инерции 63—65 — магнитный 235, 257 — — атомов 465 — — постоянного магнита 241 ядра 480, 515 — силы 67 Намагничение 257 — остаточное 264 Напряжение магнитное 248 — электрическое 205 Напряженность магнитного поля 243 — электрического поля 200 Нейтрино 522 Нейтрон 512 Необратимые процессы 183 Неопределенности принцип 443 Николь 366 Нормальные координаты 488 Нутация 74 Ньютона законы 19 Обратимый процесс 143 Обратная связь 87 Ома закон 274 — — дифференциальный 274 Оптический ход волны 319 Оси вращения свободные 71 Отдача 59, 70 Относительности движения принцип 22» 377 Парамагнетики 256, 640 Параметры состояния 34 Пар насыщенный 607 Паули принцип 459, 464, 516, 519 Пельтье явление 679 Период идентичности решетки 558 — колебания 76, 79 — полураспада 526 — собственный (характеристический) 76 Перрена опыты 177, 178 Пироэлектрики 635 Плавление 611 Плазма 428, 432, 539
Плазма в магнитном поле 434 Планка формула 401 Плеохроизм 366 Поверхностно-активные вещества 624 Поглощательная способность 395 Поглощения света закон 493 Позитрон 547 Показатель преломления 297 Поле вихревое 248 — потенциальное 204 — самосогласованное 459 — сил 19 Полимеры 593 Полосы равного наклона 322 — равной толщины 320 Полупроводники 660 Поляризаторы 366 Поляризация диэлектрика 227 — молекул 629 — света 302, 363 Поляризуемость 229, 359 — молекулы 480, 627 Полярные молекулы 567 Поляроид 367 Порог слышимости 126 Порядок ближний 586, 539 — дальний 587, 589 — спектра 342 Постоянная Больцмана 170 — Планка 136, 295 — Ридберга 454 Постоянства скорости света принцип 377, 378 Потенциал 205 — выхода электрона 665, 668 — ионизации 455, 467 — термодинамический 604 Потенциальная кривая 48, 49, 74 Потенциальный ящик 50, 447 Поток магнитный 240 — тепловой 194 — электрический 202 — энергии 102 Предел прочности 621 — упругости 621 Прецессия 74 Проводимость 655, 661 — газа несамостоятельная 428 Проницаемость диэлектрическая 202 — магнитная 244, 256, 259 Протон 512 Пуаз 190 Пузырьковая камера 505 Пучность стоячей волны 114 Пьезоэлектрики 634 Пьезоэлектрический эффект 122, 230 — — обратный 122 Работа 38, 144 — вращения 67 — выхода электрона 391, 665 Радиационная порча 625 Радиоактивного распада закон 526 Радиоактивность 525 Радиоактивные ряды 526 Радиолокация 309 Радиус действия ядерных сил 517 — ионный 476 — ядра 519 Разрешающая способность микроскопа 412 — — решетки 343 Разряд дуговой 431 — искровой 431 — самостоятельный 430 — тихий 431 — тлеющий'431 Распределение молекул по скоростям 178 — статистическое 173 Рассеяние 328 — молекулярное 340 Рацемическая смесь 374 Реактор ядерный 533, 534 — 536 Реакции термоядерные 538 — экзотермические 525, 530 — эндотермические 525, 530 — ядерные 529, 531 Реакция цепная 532 Резерфорд (единица) 527 Резонанс 73, 82 — квадрупольный 496 — ядерный 494 Рентгеноструктурный анализ 351, 355, 479 Рефрактометр 633 Рефракция молекулярная 628, 632 Решетки кристаллические 557 Ричардсона формула 667 Рэлея — Джинса формула 400 Самодиффузия 196 Самоиндукция 276 Сверхпроводимость 658 Сверхтекучесть 600 Свободные оси вращения 71 Сегнетоэлектрики 229 Сжижение газов 154, 609 Сжимаемость 96, 138 Сила звука 125 — коэрцитивная 264 — Лоренца 239 — термоэлектродвижущая 676 — центробежная 26 — центростремительная 26 Силовые линии 201, 202 Силы гравитационные 17 — дисперсионные 568 — инерции 22, 386 — магнитные 256 — межмолекулярные 567 — потенциальные 46 — электрические 220 — ядерные 19, 517, 542 Синхротрон 426 Синхрофазотрон 425 Синхроциклотрон 424 Система замкнутая 46 — инерциальная 21 Системы единиц 36, 203, 204 Скольжение 619 Скорость истинная 13 — линейная 63 — наиболее вероятная 179 — распространения деформации 96, 97 — средняя 12 — — квадратичная 170, 179 — угловая 63 — центра инерции 52, 58 Сложение колебаний 88, 93, 106 Смещение электрическое 201 Собственная функция 449 Сопротивление волновое (акустическое) 101 — инерционное 23 Соударения 53 Сохранения импульса закон 50, 51, 512 — — вращательного закон 69 — энергии закон 46, 135, 512 Спектр колебания 91—93 — электромагнитный 293 — электронный 492 Спектры атомные 468 — атомных ядер 520 — молекул 482, 485 Спин электрона 463 — ядра 515 Спутник Земли 61 Статистический закон 174 Стационарные процессы 193 Степени свободы 36. 172 Стефана — Больцмана закон 397 Стимулированное излучение 317, 402 687
Стокса формула 196 Странность 553 Оримерная камера 505 Структура блочная 582 Структуры кристаллические 573 Сфера Ферми 652 Сцинтилляционные счетчики 508 Текстура 358, 622 Температура абсолютная 132 — перехода 599 Температуропроводность 192, 196 Тепловая машина 159 Тепловое расширение 580 Тепловой поток 194 Тепловые волны 578 — колебания 576, 580 Теплоемкость при постоянном давлении 147 — — _ объеме 146 Теплообмен 131, 198 Теплопроводность 187, 189, 197 — гелия 602 Теплота превращения 599 — приведенная 155 Термодинамики второе начало 158, 163, 185 — первое начало 135 Термодинамическая вероятность состояния 183, 185 Термостолбик 680 Термоэлектронная эмиссия 666 Ток смещения 270 Томсона весы 222 — постулат 163 — эффект 678 Точка критическая 609 — Кюри 636, 645 — тройная 599 Трансляции 558 Трубка электронно-лучевая 418 Туннельный переход 451 Тяготения закон 18 Удар неупругий 54, 57, 70 — упругий 54, 55 Узел стоячей волны 114 Ультразвук 122, 130, 131 Умова — Пойнтинга вектор 283, 284 Упрочнение 620 Уравнение волны 99 — непрерывности 111 — состояния 137 Уравнения состояния реальных газов 141 Уровень громкости 126 Ускорение 16, 17 — кориолисово 32 Ускорители частиц 424 Фазовые превращения 597, 604, 606 Фазотрон 424 Ферма принцип 129, 304 Ферми — Дирака функция 654 Ферриты 644 Ферромагнетики 121, 256, 263, 642 Фигуры Лиссажу 65 — расширения 581 — Хладни 118, 119 Флуктуации 166, 185 — светового потока 393 Фотон 388 Фотосопротивления 669 Фотоэлектрический эффект 390, 667, 669 — —, красная граница 668 Фотоэмульсии толстослойные 510 Фронт волны 103 Фурье теорема 91 Характеристики звука 123 Химический сдвиг 495 Холла эффект 661 Холодильная машина 160 Цвет иеба 340 Центр инерции 28, 51 Цикл Карно 161 Циклические процессы 145, 160 Циклотрон 422 Циолковского формула 60 Черенкова счетчики 508 Четность частиц 520 Число Авогадро 169, 178 — Лошмидта 171 — Рейнольдса 195 Шредингера уравнение 441, 447 полупроводников Э. д. с. индукции 253 Электролюминесценция 673 Электрона радиус 219 Электрон-вольт 41, 404 Электронная плотность 350, 355 — пушка 408 Электронный микроскоп 412 Электроны свободные 648 Электрострикция 122, 230 Эмиссия электронов 665 Энергетические уровни 136 — — атома водорода 452, 454 — — в твердом теле 649 — — молекул 4?0 Энергия 38 — активации 524 — атомного ядра 513 — взаимодействия двух токов 279 — -~ зарядов 218 — внутренняя 133, 171, 603 — — газа 171 — заряда собственная 218 — ионизации 455, 467 — кинетическая 40 — -— вращения 62, 63 — колебания 79 — магнитная 277, 278 —- микроскопических систем — полная механическая 46 — поля 217 — потенциальная тяготения 44 — — упругости 41, 42, 75 — свободная 604 — связи 385 — электрическая 216, 217 — электромагнитная 283 Энтальпия 154 Энтропии принцип возрастания 157 — — существования 154 Энтропия 154, 185, 599, 603 Эффективное поперечное сечение реакции 537 Эффективный поперечник (сечение) молеку- молекулы 168 Юкавы теория ядерных сил 542 Ядро дислокации 583 Ячейка кристалла 558 136