В. А. ЯРОШЕВСКИЙ
Движение
неуправляемого
тела
в атмосфере

В. А.ЯРОШЕВСНИЙ
Движение
неуправляемого
тела
в атмосфере
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1978

ББК 39.62
Я77
УДК 629.78.015:527.7.001
Рецензент д-р техн. наук, проф. Я. М. Иванов
Ярошевский В. А.
Я77	Движение	неуправляемого	тела	в	атмосфере. — М.:
Машиностроение, 1978.— 168 с., ил.
1 р. 70 к.
В книге исследуется движение неуправляемого тела около центра масс
при полете в атмосфере с помощью метода усреднения. Для случая движения
идеального осесимметричного тела приведены (Приближенные формулы, свя¬
зывающие вероятные значения амплитуды колебаний с условиями входа
в атмосферу.
Рассмотрено движение тела с малой аэродинамической и массовой асим¬
метрией и выявлены основные закономерности этого движения. Особое вни¬
мание уделено исследованию явления резонанса в нелинейной постановке.
Кратко рассмотрены особенности движения тела, не обладающего осевой сим¬
метрией.
Книга предназначена для научных работников и инженеров, занимаю¬
щихся исследованием динамики космических аппаратов и ракет.
31808-176	ББК	39.62
038(01 )-78	’	616
Издательство «Машиностроение», ;1978 г

ПРЕДИСЛОВИЕ
Исследование движения неуправляемого тела в атмосфере
представляет собой проблему, которой уделяется особенное вни¬
мание как в Советском Союзе, так и за рубежом. Первые осново¬
полагающие результаты в этой области были получены в работах
Ф. Р. Гантмахера и Л. М. Левина [12], В. С. Пугачева [34], Д. Рос¬
сера, Р. Ньютона и Г. Гросса [35], Дж. Д. Николайдеса [68] и др.
В этих исследованиях в основном рассматривалось движение не¬
управляемых ракет и вращающихся артиллерийских снарядов.
В конце 50-х годов в связи с развитием космической и авиацион¬
ной техники интерес к этой задаче еще более возрос. Некоторые
итоги исследований на эту тему подводятся в книгах Г. С. Бюш-
генса и Р. В. Студнева [5], Г. Е. Кузмака [20], а также в статьях
советских и зарубежных авторов: В. В. Воейкова, Ю. Г. Евту¬
шенко, X. Аллена, X. Леона. Позже многие важные и интересные
результаты в области неуправляемого движения были получены
А. А. Шиловым, М. Г. Гоманом, В. В. Ларичевой, А. Ф. Василье¬
вым, В. К- Святодухом, Ч. Мэрфи, Ф. Барбера, У. Бутлом,
Э. Кларком, Д. Прайсом, Р. Толоско, А. Ходдапом, Л. Эрикссо¬
ном и другими.
В предлагаемой читателю книге делается попытка представить
основные результаты исследований в аналитической и полуана-
литической форме. Полученные результаты относятся в первую
очередь к движению космических аппаратов около центра масс
при входе в атмосферу. При выводе аналитических формул
весьма эффективными оказались асимптотические методы, в разви¬
тии которых советским ученым Н. М. Крылову, Н. Н. Боголю¬
бову, Ю. А. Митропольскому, В. М. Волосову и другим принадле¬
жит очень большая роль.
Разумеется, охватить в ограниченном объеме книги все
аспекты движения неуправляемого тела — задача невыполнимая,
поэтому здесь отсутствуют разделы, посвященные рассеиванию
траекторий, влиянию ветра, применению результатов, исследова¬
ний к расчету движения конкретных летательных аппаратов (та¬
кие результаты содержатся, например, в статьях [17, 18]). Неко¬
торые стороны проблем, рассмотренных в книге, скорее намечены,
чем исследованы, и, несомненно, должны привлечь внимание спе¬
циалистов в области нелинейных колебаний и динамики полета.
Естественно, что в настоящей книге основное внимание уде¬
ляется темам, в разработке которых участвовал сам автор (часть
из них изложена в упомянутой выше книге Г. Е. Кузмака [20]).
В то же время ряд разделов посвящен вопросам, поставленным
и исследованным другими авторами: таковы, в частности, разд. 20,
3

л М Г Гомана и А. А. Шилова,
частично изложенный по раоотам А •	плоской	авторота-
разд. 24, в котором рассматривается явле вой
дни, исследованное А. А. Шиловым и В. В. лар	нятие об асим-
Кпига состоит из пяти глав. В гл. 1 вводится	^	сущест-
птотических рядах и излагается метод усреднения д цессов
венно нелинейных нестационарных колебательных р
в трактовке, наиболее удобной, по мнению автора, для при
ния к рассматриваемым задачам.
В гл. 2 описываются аэродинамические силы и моменты, дей¬
ствующие на осесимметричные тела и тела с плоскостью симмет¬
рии; оцениваются возмущающие моменты, возникающие при ма¬
лых искажениях поверхности тела в случае больших скоростей
полета; рассматриваются различные системы координат. С уче¬
том малости аэродинамического демпфирования уравнения дви¬
жения тела с малой асимметрией приводятся к форме, удобной
для применения метода усреднения.
В гл. 3 исследуется движение осесимметричных тел с боль¬
шими углами атаки. Часть результатов по решению этой задачи
уже изложена в книге [20], поэтому автор стремился, сохраняя
преемственность изложения (использование принятых обозначе¬
ний и систем координат), уделить основное внимание новым ре¬
зультатам: влиянию нелинейного аэродинамического демпфирова¬
ния на характер пространственного движения, особенностям дви¬
жения тела с двумя устойчивыми балансировками и т. д.
В гл. 4 и 5 рассматривается движение тела с малыми наруше¬
ниями осевой симметрии. Выделяются «квазистатические» ре¬
жимы движения, возмущенное движение исследуется с помощью
асимптотического метода ВКБ (метод Вентцеля—Крамерса—
Бриллюэна) [45]. Отдельно анализируется околорезонансный ре¬
жим. Результаты гл. 4 относятся к движению тела с малыми
углами атаки, результаты гл. 5 — к движению тела с большими
углами атаки. Кроме того, рассмотрены некоторые частные слу¬
чаи движения тела с плоскостью симметрии.
Автор стремился построить изложение таким образом, чтобы
решение той или иной задачи в ограниченной постановке, рас¬
смотренное в одном разделе, не связывалось с необходимостью
чтения других разделов, посвященных решению подобной задачи
в более сложной постановке.
Некоторые громоздкие математические выкладки даются
в книге в сокращенном изложении.
Автор выражает искреннюю благодарность рецензенту д-ру
техн. наук, проф. Н. М. Иванову, а также канд. техн. наук
А. В. Бобылеву и М. Г. Гоману за полезное обсуждение резуль¬
татов, приведенных в книге, Н. Г. Куропаткиной, И. И. Сиротки-
ной и М. М. Соловьевой — за большую помощь в подготовке
иллюстративного материала.
Все критические замечания и пожелания просьба направлять,
по адресу: Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3, изд-во «Машино¬
строение».

Глава 1
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
1.	ВВЕДЕНИЕ МАЛОГО ПАРАМЕТРА. ПОНЯТИЕ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ
РЯДАХ
Исследование движения неуправляемого тела в атмосфере
сводится к анализу системы обыкновенных нелинейных диффе¬
ренциальных уравнений 12-го порядка. Очевидно, что попытки
получить точное аналитическое решение обречены на неудачу.
Современные цифровые вычислительные машины дают возмож¬
ность решать эту задачу численно, что связано с большими за¬
тратами машинного времени, особенно в тех случаях, когда тре¬
буется проследить за влиянием многих параметров, таких как
аэродинамические или физические характеристики тела, парамет¬
ры атмосферы, условия полета, на характер движения тела. Эти
затраты машинного времени тем значительнее, чем быстрее изме¬
няются в процессе движения кинематические параметры и в пер¬
вую очередь те из них, которые определяют движение тела около
центра масс, поскольку при этом приходится выбирать шаг
интегрирования достаточно малым.
Именно такая ситуация возникает при исследовании движения
тел, входящих в атмосферу со скоростями порядка первой или
второй космической скорости, когда большие значения скорост¬
ного напора приводят к большой частоте колебаний угла атаки.
Отсюда возникают предпосылки для поисков приближенных ана¬
литических или полуаналитических решений, которые помогают
на порядок или на несколько порядков ускорить процесс расчета
и осмыслить закономерности, свойственные движению тела.
Существенным обстоятельством, облегчающим построение
приближенных решений, является разная характерная скорость
изменения параметров траектории центра масс тела (скорость,
высота) и изменения кинематических параметров, определяющих
движение тела около центра масс (углы атаки и скольжения).
Это обстоятельство уже давно используется в динамике летатель¬
ных аппаратов, позволяя упростить анализ движения путем раз¬
деления его на «длиннопериодическое» и «короткопериодическое»
движение [31].
Для того, чтобы охарактеризовать это различие в характерной
скорости изменения параметров движения или охарактеризовать
5

малость каких-либо величин относительно других, удобно
безразмерный параметр малости в или в некоторых случаях
стему параметров малости, с тем чтобы получить решения УРа
нений в виде асимптотических рядов, члены которых пропорцио¬
нальны различным степеням параметра в. Может возникнуть
вопрос, как на практике выбирать этот параметр и проконтролиро¬
вать возможность такого построения решения.
Приведем простейший пример. Пусть задано уравнение
с постоянными коэффициентами
-ff + 28 М. + «?у = 0,	(1.1)
dt2	dt
причем известно, что параметр демпфирования мал. Тогда можно
в уравнении (1.1) представить этот параметр в виде 6 = е6,
где в ’—конкретное выбранное значение параметра малости,
а б представляет собой уже некоторую немалую величину.
Применяя к данному уравнению асимптотический метод [4],
можно записать решение в виде у = а coscp, где производные
da/dt и dy/dt определяются асимптотическими рядами:
^-=-sk,	(1.2)
^=(0 ('l-e2 — -e4—+...).	(1.3)
dt	V	2 0)2	8о)4	J	v	'
Поскольку новый параметр б входит в исходное уравнение
в произведении с параметром малости е, то в полученных асимп¬
тотических рядах он также входит в произведении с парамет¬
ром е. Поэтому в полученном решении можно вновь возвратиться
к старым обозначениям и записать:
da
dt ~
dt	\	2о)2 8 о)4	/
Такое свойство эквивалентно следующему правилу, которое
применяется при практическом решении задач с помощью асимп¬
тотических методов: достаточно в исходной системе уравнений
приписать малому члену параметр е, не изменяя обозначений,
а после отыскания решения в виде асимптотического ряда при¬
писать параметру значение единицы.
Это правило можно сформулировать в виде парадокса: «пара¬
метр малости е всегда равен единице». Следуя этому правилу,
в дальнейшем будем приписывать параметр малости тем величи¬
нам, которые считаем малыми. Таким образом, этот параметр
6

по существу не имеет конкретного численного значения, а исполь¬
зуется, как своеобразная метка. Справедливость допущения о воз¬
можности введения параметра малости в некотором конкретном
случае, вообще говоря, можно проверить, сопоставляя значения
тех членов ряда, которые учитываются, и значения отбрасывае¬
мых членов.
Пусть, например, учитывается только первый член ряда (1.3),
Очевидно, для этого будут основания, если выполняется условие
б2/со2<1.
Отметим, что асимптотический ряд не обязательно должен
быть сходящимся в обычном смысле слова. Пусть функция f(e)
аппроксимируется таким рядом.
оо
Смысл равенства	заключается в том, что если
k=0
удерживать отрезок асимптотического ряда до члена amzm включи-
т
тельно, то при достаточно малом £<С£*(т) разность / (е) — ^ akek
k = 0
не будет превосходить С(т)ет+19 где С (т) — некоторая константа*
со
зависящая от т. В отличие от обычного ряда / (x) = ^akxk точ-
k=0
ность решения определяется не возможностью учета достаточна
большого количества членов ряда при фиксированном значении х,
а возможностью выбора достаточно малого значения г при фикси¬
рованном числе членов ряда [45, 4].
Часто для удобства использования асимптотических методов
исходные уравнения преобразуются путем некоторых замен пере¬
менных. Таким, например, является преобразование Ван-дер-Поля
[27, 29].
Уравнение
описывающее процесс квазигармонических колебаний, после за¬
мены переменных у = а cosq), dy/dt = —asincp было преобразована
Ван-дер-Полем к системе «с быстро вращающейся фазой»:
da 	 ^	/	(a	cos <р, — асо sin <р) sin <р
dt	со	’
df ^	/	(a cos <р» — sin ?) c°s <f>
dt	aco
(1.5)
из которой видно, что амплитуда а является медленно изменяю¬
щейся величиной, а фаза <р изменяется по времени почти линейно,
7

что дает интуитивные основания к использованию «укороченных»
уравнений:
В работах [4, 27] был развит более строгий подход к реше¬
нию уравнений типа (1.5), в результате уравнения (L6) оказа¬
лись уравнениями первого приближения; чтобы получить после¬
дующие приближения необходимо делать последовательные
• замены зависимых переменных.
Использование такой процедуры не совсем удобно в тех слу¬
чаях, когда на промежуточных интервалах времени асимптотиче¬
ский метод неприменим (см. разд. 11): здесь переход к новым
переменным лишь усложняет построение решения. Поэтому ниже
будет использован другой метод построения асимптотических ре¬
шений, основанный на разложении в асимптотический ряд исход¬
ной зависимой переменной у. В случае уравнения (1.4) этот метод
сводится к форме (см. работу [4])
Применение этого метода (метода усреднения) к другим слу¬
чаям, в которых рассматриваются существенно нелинейные коле¬
бания, описано в разд. 2—4, в порядке нарастающей сложности.
Соотношения, полученные в разд. 2, 3, могут непосредственно при¬
меняться к анализу нелинейных колебаний осесимметричного тела
(гл. 3). Соотношения, полученные в разд. 4, позволяют проанализи¬
ровать возможность «захвата» движения в нелинейный резонанс¬
ный режим — такой анализ проводится в разд. 5. Результаты этого
анализа применяются в гл. 5 к случаю движения тела с наруше¬
нием осевой симметрии.
К числу асимптотических методов, примыкающих к методу
усреднения, относится известный метод ВКБ, применяемый к ли¬
нейным системам с переменными коэффициентами. Процедура
построения ВКБ-решений кратко описана в разд. 5 (без обоснова¬
ния), а также в гл. 4 (разд. 19—21), где она применяется к ана-
(1.6)
2-
где
о
у = а cos ср-^-ву! (а, ср) + е2у2{а, ср) +
-^- = вЛ1(а) + вМ2(а)+...
at
(1.7)
——	CO-j-BCOj (а)-^-В2С02	*	•	•
S

лизу движения тела с малыми углами атаки и скольжения.
В разд. 6 сделана попытка оценить возможности метода ВКБ
в применении к уравнению, описывающему малые колебания тела
при полете в атмосфере.
2 ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
В НЕЛИНЕЙНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
Методика построения асимптотических решений, описывающих
процесс квазилинейных или нелинейных нестационарных колеба¬
ний, описана в целом ряде статей и монографий (см., например,
работы [27, 10]). При построении этих решений возникают труд¬
ности, связанные с неоднозначным определением членов асимпто¬
тического разложения, поэтому приходится налагать дополнитель¬
ные условия на выбор высших членов асимптотического разложе¬
ния. Часто эти условия сводятся к требованию, чтобы высшие
члены асимптотического разложения не содержали основной гар¬
моники. Это требование представляется вполне естественным при
рассмотрении квазилинейных систем [4], но выглядит менее убеди¬
тельным в случае существенно нелинейных систем и к тому же
приводит к весьма громоздким выражениям [27]. Заменим это тре¬
бование другим условием: высшие члены асимптотического разло¬
жения не изменяют «амплитудных» значений колебательного
процесса.
Рассмотрим вначале наиболее простой случай, когда задано
одно уравнение, описывающее процесс свободных нелинейных
колебаний с медленно изменяющимися параметрами:
■ft + ff-),	(2.1)
гдет = е^ — «медленное время»; е— параметр малости.
Будем искать решение в следующем виде:
у=Уо(х, a, <p) + e«/!(t, а, ср) + е2у2{х, а,	(2.2)
где функции yh периодичны по ф с периодом 2я:
yk{т, а, <?) = yk(x, а, ср + 2я);
а — медленно изменяющийся параметр, определяющий ампли¬
туду колебаний.
Для конкретности будем подразумевать под а максимальное
значение переменной у, достигаемое в процессе колебаний. Изме¬
нение переменных а и ф описывается уравнениями
*±. = гА\{х, a) + sM2(t, а)+...,
at
—^- = с°0(т,	(т, а) -|- в2со2 (т,
В соответствии со стандартной процедурой построения асимп¬
тотических решений выпишем выражение для производной d2y/dt2,
(2.3)
9

разложим в ряд Тейлора по е функцию /(т, у, dy/dt), подста
полученные выражения в уравнение (2. 1) и последовательно при¬
равняем нулю члены нулевого, первого, второго и всех последую¬
щих порядков малости:
где gu зависит от функций у0,..., yh~\ и их производных, от пара¬
метров соо, • - -, (D/t—i, А\, • • • 1 Ak-\, от «медленного» времени т.
Уравнение (2.4) определяет структуру зависимости функции
2/о(т, а, ф) от ф; функция соо(т, а) определяется из условия, чтобы
период функции z/0 (ф) был равен 2л:
Часто такое уравнение называют «эталонным» [15]. Оно опреде¬
ляет характер поведения решения на одном периоде колебаний.
Какой-либо информации об изменении по времени амплитуды а
это уравнение не дает.
Анализируя уравнение (2.5), сформулируем два условия, кото¬
рые должны быть наложены на его правую часть с тем, чтобы
функция уi(t, а, ф) также была периодичной по ф с периодом 2л.
Эти условия дадут возможность найти выражения для Ах и оси
и выписать формулу для ух. После этого можно перейти к уравне¬
нию для у2 и, используя условия периодичности функции у2, найти
А2> 0)2, У2 И т. Д.
Применяя метод математической индукции, перейдем сразу
к уравнению (2.6), считая, что выражение для функции gh из¬
вестно, причем эта функция является периодической по ф с перио¬
дом 2л, поскольку таким свойством обладают функции #о(т, а,
<р),..., yk-1 (т, а, ф).
l0°(T’	у<>)=0;
(2.4)
оо—+ —(t, у{
df2 'дм
2 <32^1 , dF
Т/(*. У а, “о^)
(2. 5)
,2 d*yk.dF
(2.6)
-1
ш0(г, а) = л1 \
(2.7)
F (у, yi) dy\
а
где
(2. 8)
%1п
10

Соответствующее однородное уравнение
(2.9)
имеет в качестве одного из решений периодическую функцию
Х\ = дуо1ду.
Пользуясь произволом в определении начальной фазы, примем,
что значение ср = 0 соответствует достижению фукцией у0 макси¬
мального значения. При этом функция yQ является четной функ¬
цией относительно значений ф = 0 и ф = я, а функция дуо/ду —
нечетной относительно этих значений.
Рассмотрим второе линейно независимое решение уравнения
(2.9), обозначенное через я2(ф)- Нетрудно убедиться что эти два
решения связаны между собой дифференциальным соотношением
Выберем в качестве второго решения х2 одно из тех, которые
удовлетворяют уравнению
Отметим, что такое описание функции ^(ф) не определяет ее
однозначно, однако эта неоднозначность, как показано ниже, никак
не влияет на искомые параметры и функции Ak, со^ и уи{ф).
В отличие от случая квазилинейных колебаний, для которого
уравнение (2.9) является уравнением гармонических колебаний
[4], а функция л:2(ф) пропорциональна соэф, в общем случае функ¬
ция л:2(ф) является не периодической функцией от ф с периодом 2л„
а колеблющейся функцией с линейным нарастанием амплитуды.
Используя соотношение (2.11), свойство периодичности функции:
•м(ф) и условие Х\ (0) =Х\ (2я) =0, получим, что *2 (2л) =*2(0).
Уравнение (2.9) является уравнением с периодическим коэффи¬
циентом. Поскольку в общем случае дх21ду(2к) фдх2/ду(0), то
легко видеть, что на следующем интервале
Аналогично, для любого целого п
х2 (2лп -f Дер) = х2 (Дер) -f tikxx (Дер).
Перейдем к выводу условий периодичности функции */ь(ф).
Первое условие периодичности легко получить, рассматривая урав¬
нение (2.6) и уравнение
(2. 10)
(2.11)
2л^ср<^4л (и7™ д'п ^ 9^, где Дер=ер — 2зх)
Х2 (2л -\- Дер) — Х2 (Дер) -j  	    Хг	(Дер)	—	Х2	(Дер)-(-	kxx	(Дер).
(2. 12)
11

Умножая уравнение (2.6) на хи а уравнение (2. 12) на yh и вы¬
читая полученные соотношения, получим
4 ± (xi ——Ук
d<f I df	д<р	J
Интегрируя от любого ср* до ср* + 2я и учитывая, что функция
yh (ф) должна быть периодической, получим
9* +2^
ИЛИ
j gk (?) Х1 (?) dy =	(2.13)
9*
9* + 2т:
S
9::: + 2*	9*+ 2*
+ 2и)°(о1	^	Xld<f	=	^	gkX\d®.
9*	9*
Подставляя х{ = ду0/д<ф, убедимся, что второй интеграл в левой
части уравнения обращается в нуль (поскольку -уу -у^- =
= у-и после несложного преобразования первого
интеграла в левой части уравнения получим
9*+ 2я
С „ ду® и
) **17 *
А*=—^	•	(2-14)
ч 2
— \ J&L)'
да i °\д?/
dy
\ UY /
9*
Для вывода второго условия периодичности выпишем решение
задачи Коши ([37]:
У к (?) = Cixi (?) + С2х2 (?) +
9	9
+ ^нг- (*ift(?i)^:(?ilrf?i—'^L^-\ii(?i)^2(?i)^?i-	(2.15)
<о0 J	<о0	3
Здесь
(0) — с2 (0)
г  УлФ) q 	__	df
х2 (0)	дх\
21	-у1-	(0)
О <Р
Поскольку уравнение (2.6) является уравнением с периодиче¬
ским коэффициентом и с периодической правой частью, то оче¬
12

видно, для периодичности функции уи{ф) достаточно удовлетво¬
рить условиям
ук(0) = у,(2я), ^ф)=дЖ(2п).	(2.16)
Нетрудно убедиться, что первое условие (2. 16) удовлетворяется,
поскольку
л:1(0)=л:1(2л) = 0, х2(0) = х2(2п), ^ gk (<р) хг (<р) </<р=0.
О
Второе условие (2. 16) приводит к соотношению
(2я) = (2я) — (2-17)
о
В квазилинейном случае это условие позволяет однозначно
определить оз/г, поскольку независимо от величины С2 из условия
(2.17) ввиду дх2/ду(2л) = дх2/ду(0) следует равенство нулю инте¬
грала, входящего в соотношение (2.17). В общем случае ввиду
неопределенности величины С2 второе условие периодичности труд¬
нее сформулировать однозначно [27, 10, 29]. Представляется есте¬
ственным наложить требования, чтобы при учете последующих
членов разложения ук{т, а,ср) максимальное значение у («ампли¬
туда»), достигаемое в процессе колебаний, не изменялось от до¬
бавления новых членов асимптотического разложения и чтобы
фаза, соответствующая максимуму переменной у в процессе коле¬
баний, оставалась равной нулю. Это приводит к условиям
Ук{0) = 0, дуи/дф(0)=0, или, что то же самое, Ci = C2 = 0, после
чего второе условие периодичности приобретает вид
\ £* (?) *2 (?) а?<р=0.	(2.18)
о
Отметим, что в отличие от условия (2. 13) пределами интегри¬
рования являются именно 0 и 2я; эта оговорка существенна, по¬
скольку х2(ф)—непериодическая функция. Легко убедиться, что
неоднозначность в определении функции х2(ср), о которой говори¬
лось выше, не оказывает влияния на вид функции ук{<р) и на
формулировку второго условия периодичности. Действительно,
эта неоднозначность эквивалентна добавлению к х2(<р) слагаемого
СхДф), которое не изменяет условия периодичности (2.18) в со¬
ответствии с соотношением (2. 13).
Следует отметить, что требование периодичности функций
Ук(т, а, ф) (k=l, 2,...) не является произвольно внесенным,
а имеет под собой веские основания. При невыполнении этого
требования функции ук(т, а, ф) содержат секулярные члены
с амплитудой, возрастающей, вообще говоря, пропорционально фл.
В итоге на интервале времени порядка l/.e(Af=0(l/e)), для кото¬
рого строится асимптотический ряд, функции yk(т, а, ф) приобре¬
13

тают нулевой порядок малости ^ = е/10(фь) =е/г0(1/бй) =0(1), что
«разрушает» процедуру построения решения.
Для отыскания значения со^ выделим в выражении для дь.
члены, содержащие Ak и со/*, и подставим их в соотношение (2.18):
2тт	2тс	2тс
х^=\g‘x^b (2Л9)
0	0	о
Первый интеграл в левой части соотношения (2. 19) интегри¬
рованием по частям приводится к следующему виду:
2тс	2* 2к	2к
[ ^Уо х^=дм Х21 — V м rf(p==- с Xl *51 d9.
) ду*	ду	I J ду ду	J ду
о	оо	о
С другой стороны, на основании соотношения (2.11), имеем
2тс	2 те	2тс
ООО
Отсюда
2тс
[МУ* X2d<?=-n.	(2.20)
о
Второй интеграл в левой части соотношения (2. 19) можно
исключить из рассмотрения, если выбрать функцию *г(ф) =*2*’(ф)
в виде четной функции от ф относительно точки ф = я. Для этого
достаточно, пользуясь произволом в выборе функции х2, о чем
говорилось выше, задать условие
— (я)=0	(2.21)
ду
и учесть симметрию периодического коэффициента dF/dy(т, у0)
в уравнении (2.9), решением которого является функция х2*.
В итоге формула для определения со& приобретает вид
2к
*2	(?) d?-	(2.22)
0 о
Найдем	выражение	для функции	я2*(ф),	удовлетворяющей
соотношению	(2.11)	и	условию (2.21). Рассмотрим	вначале
интервал О^ф^я— еь где ei— некоторая малая величина,
и определим функцию *2*(еь ф) в этом интервале, удовлетворяю¬
щую условию дх2*/дф('еь я—е\) =0.
Используя соотношение (2. И), найдем
*2 (Sj, Ср) =
d<\>	1
*?(Ф)	ч	дх\
XI (Я — е) — (л — е)
*i(<p).	(2.23)
14

Легко убедиться, что функция *2*(еь ф) сохраняет конечную
величину при ср = 0. Аналогично определяется функция лг2*(еь ф)
в интервале я + В1^ф^2л.
Тогда JC2 (ср) = lim jc'2 (el9 ср).
ег-)-0
При отыскании выражений для Ах и coi оказывается возмож¬
ным избежать определения решения yQ(x, а, ф) в явном виде. Под¬
ставляя в условие (2. 14) выражение
/у   f (т! г/	dUo \	d2Wo ^0 &Уо
gi—f Т» У 0> <°0 -Г— —	—	—	—	»
\	ду	]	дудт	дт ду
получим известное соотношение
<Р* + 2тс
+	*=	\	f(r,y0,^Y-^db (2.24)
да дт да дт. дт dv }	\	ду>) ду
<р*
где Ig= ^ оз0 ^y-°j2 dy — интеграл действия.
?*
Из уравнения (2.24) следует, что при / = 0 интеграл Ig являет¬
ся «адиабатическим инвариантом» [22]. Выражение у0(т, а, ф) по
сути дела есть решение уравнения (2. 1) при е = 0 и при «заморо¬
женном» значении т, а выражение соо ду0/дф(т, а, ф) является
производной от этого решения и определяется формулой
l/2 V
у У о
^-(t, г/о)=0)о^°=± l/ 2\F{x,y)dy,	(2.25)
где знак «—» соответствует интервалу О^ф^я, а знак « + » со¬
ответствует интервалу я^ф^2я. Поэтому, заменяя переменную ф
переменной у0, соотношение (2.24) можно записать в хорошо из¬
вестной форме, которая определяет закон изменения амплитуды'а
в зависимости от «медленного времени» т:
Г
26)
5 Т/ 2 y^dydy° f-(x> а'УоУ^Уо» (2-
amln У	Уо	/	amln
/-=/ ( t> Уо' 2 j /Г(Т- y^dyj—/(т> Уо> —]/2 |^(г’ у)^]’
V	г/п	/	'	Wn	/
а «нижнее» амплитудное значение amin связано со значением a
формулой (2.8).
15

Для отыскания выражения соДт, а) воспользуемся формулой
(2.22):
—-	-=Г	V(*• *•	(2'27>
о
д^о
v	f)	Ui	=**
(так как интегралы от произведений	и	*2	обращаются
в нуль).
Пользуясь формулой (2.23) и выполняя интегрирование по
частям, после некоторых преобразований получим
где
(»!= — lim —
еа->0 2Я
j f+(?,a,y)du
F(v, an,in) Л/ 21
V я,
a
j /+ (t, a, y-,)dy
F (t, \y) dy
in In
+ ea
+
У о
mln
+ ea
2 J F(%, y) dy,
L Уо
13/2
dy0
/+(*) a, y) = f{x, у, у (2 j/7 (t, jli)rfi/i>j +
4“/ (1'» У> — "j/ ^	(1’>	yi)dyi
(2.28)
Легко убедиться, что в общем случае каждый из членов пра¬
вой части соотношения (2.28) стремится к бесконечности при
82->0, однако их сумма остается конечной.
Соотношения типа (2.28) для определения поправки к ча¬
стоте о)1 редко используются на практике, поскольку в общем
случае они не позволяют определить фазу колебаний с погреш¬
ностью 0(e) на интервале At=0 (l/г) вследствие существенной
зависимости частоты колебаний нелинейной системы от ампли¬
туды соо(т, а) (см. работу [29]). Однако при некоторых условиях
определение подправки o)i оказывается достаточным, например
в случае консервативных колебательных систем (da/dt = 0) или
для вариантов, когда дсоо/да = 0, например при анализе колеба¬
ний неуправляемого тела вращения в атмосфере, когда
F(x, у) = со2 (т) у— (см. разд. 15).
\У\3
16

С некоторыми оговорками описанный метод распространяется
на случай, когда невозмущенным движением является не колеба¬
тельное, а вращательное движение, при котором производная
д*/о/дф является попрежнему периодической функцией угла ср с пе¬
риодом 2 я.
Движение такого рода порождается, например, дифференциаль¬
ным уравнением типа
^- + F(y)=0,	(2.29)
clt*
где	F(y)=—F(—y),
F(y + 2n) =F(y),
в частности, дифференциальным уравнением
+ sin у=0,
dt* I
описывающим движение физического'маятника.
Рассматривая дифференциальное уравнение
ZL + PC'. ,)=./ (г, у, &),	(2.30)
где	F(	х,	у) — —F (х, —у), F( т, y-\-2n)=F (т, у),
можно по-прежнему искать решение в виде (2.2) с той разницей,
что вместо медленно изменяющейся амплитуды а вводится другая
переменная, например Ь = -^~ {у = 0):
dt
У = Уо{Х1 Ь, ср)©£/i (т, Ь, ср) —(2.31)
где	у0(х, - Ь, ср + 2л) = £/0(т, Ь, ср) +2я,
^(т, Ь, <р+2л) = ^(т, Ь, ср),
о ср	ду
ух{т, b, <?Jr2n) = yl{T, b, <р) И т. д.
В результате уравнение (2.24) сохраняет свою форму с той раз¬
ницей, что под интегралом действия Ig удобно понимать интеграл
«по одному обороту» функции у:
^ = y°)dy°=
die
dx
— 2 j F (r, y) dy -f b2dy0,	(2.32)
0
\ / (t. №. ».	^ d9.
17

Нетрудно убедиться, что если функция f не зависит от dy/dt,
для колебательного движения получим из соотношения (2. 24)
а в случае вращательного движения
иг 2тг
о
^ / (т. Уо) = \ / (т' Уо)<*Уо-	(2.33)
Следовательно, несимметричная зависимость
/(*> У) Ф—/ (т, —у) приводит в общем случае к накоплению или
убыванию кинетической энергии вращения (см. разд. 24).
В некоторых случаях возможен переход от вращательного дви¬
жения к колебательному или наоборот: в частности, такой переход
возможен при / = 0, dF/dx(x, у)ф0. При этом возникает тенденция
установить непосредственную связь между параметрами колеба¬
тельного и вращательного движения, если, исходя из инвариант¬
ности интеграла действия, воспользоваться соотношением
Однако такой вывод, вообще говоря, неверен, поскольку на
участке перехода от вращательного к колебательному движению
условия применимости метода усреднения нарушаются. Действи¬
тельно, допущение о малом изменении функции F(т, у) за период
движения, лежащее в основе применения метода усреднения, пере¬
стает быть справедливым, поскольку мгновенный период движения
обращается в бесконечность в точке перехода от вращательного
движения к колебательному (Утах-*п;> утит->—я, см. разд. И).
3.	ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СЛУЧАЕ
НЕСКОЛЬКИХ МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ
Во многих случаях, относящихся к анализу колебательных про¬
цессов с помощью асимптотических методов, ограничиваются
использованием только нулевого приближения уо(х, а, ф). Такой
ограниченный подход к задаче обусловлен тем, что вычисление
каждого последующего члена асимптотического разложения тре¬
бует все более громоздких выкладок, а сходимость асимптотиче¬
ского ряда в обычном смысле при любом фиксированном значе¬
нии е (а это значение можно считать фиксированным, если речь
идет о некотором практическом примере) не гарантируется. Сле¬
Ух
(2. 35)
18

довательно, нет уверенности в том, что использование старших
членов асимптотического разложения всегда приближает нас
к реальности. Последнее обстоятельство будет проиллюстриро¬
вано в разд. 6 при анализе результатов, получающихся с помощью
метода ВКБ. Исходя из сказанного, при рассмотрении более,
сложных случаев, чем свободные колебания, описываемые урав¬
нением (2.1), ограничимся с самого начала определением нуле¬
вого члена асимптотического разложения — функции у0(т, а, ср).
Для этого понадобится ввести в рассмотрение и первый член
асимптотического разложения — член у\(т, а, ср). При этом нег
смысла учитывать старшие члены асимптотического разложения
для производной da/dt: достаточно ограничиться членом еЛ^Что
касается учета членов разложения для производной dy/dt, то,
во-первых, определение фазы колебаний часто не представляет
практического интереса и, во-вторых, как уже говорилось, в об¬
щем случае даже учет члена ewi не дает возможности найти фазу
с погрешностью порядка е на интервале времени порядка 1/е,,
если зависимость о)о(т, а) от амплитуды существенна и если эта
амплитуда определена с погрешностью порядка е.
В итоге можно отказаться от определения поправок к частоте,,
а в уравнении для изменения амплитуды учесть только первый
член: da/dt = eA\(x, а).
Записывая это уравнение, как da/dx = Ai(xy а), можно сделать
вывод, что а = а(т), и искать решение уравнения сразу в виде
неявно подразумевая, что амплитуда а является функцией медлен¬
ного времени т.
В такой ограниченной постановке рассмотрим несколько более
общую задачу, когда функция F в уравнении (2. 1) зависит не
только от т, но и от некоторого числа медленно изменяющихся пе¬
ременных, производные которых зависят от у.
Рассмотрим систему уравнений
Здесь г, s — некоторые векторы порядка п.
При фиксированных значениях т и г и при е = 0 первое уравне¬
ние описывает быстрое периодическое движение.
Для получения соотношений, характеризующих изменение-
амплитудных значений переменной у и «средних» значений вектора
у = у0[ X, а (т), ср] + гУ1(т, а (Т), <р] + 0(г2) =
= */о(т>	'р)_1_0(е2)>
(3.1)
(3.2)
1!>

г,	представим искомые величины в виде	функции двух	перемен¬
ных— «медленного» времени т и фазы периодического движения ср.
У = Уо{х> (?)-\-еУг 0*» ?) + 0 (£2)>	|
Г:=г0(х)-\-еГ1 (Г, cp) + 0(s2), =со0 (т) ecoi (т) -f- О (е2). |
Во избежание появления вековых (секулярных) членов, потре¬
буем, чтобы выписанные функции были периодическими по ф с пе¬
риодом 2я. Тогда порядок малости членов асимптотического разло¬
жения будет сохраняться на интервале Дт=0(1), т. е. At = 0( 1/е).
По аналогии с разд. 2 выделим во всех уравнениях члены нуле¬
вого и первого порядка малости и, приравнивая их нулю, получим
С°С)'ТТ + /:'СГ’ Г о, Уо) = 0\	(3.4)
2 д2У\ I dF .	о д^у0 О	о	ду)0	du>0	,
“0-^-+ — (1Г, г0, УоУ1= - 2wQ-^-2	 -Si	—SL+
д%	дудх	д<р2	ду	d%
+ /(*. Уо< го,	г°’ Уо) "1:	(3-5^
o0^p-=sft, г0, Уо,	шо^У	(3.6)
д? \	д<е	)
Уравнения (3.4) и (3.5) имеют такой же вид, что и уравнения
(2.4)	и (2.5) (если учесть, что A\ = dajdx), с тем исключением, что
в	уравнение (3.5) входит член (dF/дrri), который означает	ска¬
лярное произведение векторов gradr/r(t, г0, уо) и гь
В дальнейшем частные производные от функции F при г = г0,
У = Уо будем обозначать, как OFo/ду, dF0/dr, а сами функции
^'(т> ''о. Уо\ / (f, Г0, Уо, ID0—^
dr о
d%
(
ду )
t, г0, Уо, “о^т2-'), как Fo, /0 и s0.
Функция t/o(t, ф) представляет собой решение уравнения (3.4).
Частота со0 определяется из условия г/о(ф) = */о(фТ-2я) формулой
) т/. * V <з-7)
amlD |/ 2 J ^ (Т, rQ, l/lj) rf'l/),
Изменение амплитудных значений г/0 по времени, которое пред¬
ставляет для нас основной интерес, определить из уравнения (3.4)
нельзя, поэтому необходимо привлечь «условие периодичности»
функции у\.
Рассмотрим уравнение (3.5). Дифференцируя уравнение (3.4)
по ф, нетрудно убедиться, что член ду0/ду удовлетворяет уравне¬
нию (3.5) без правой части. Тогда, по аналогии с разд. 2, умножая
20

уравнение (3.4) на уи а (3.5) —на ду0/дц) и вычитая полученные
соотношения одно из другого, интегрируя по ср от ф* до ср* + 2я
9*+2тс
и учитывая, что ^	[д2Уо/ду2)-^-	dy=0, легко найти первое условие,
необходимое для периодичности функции уi по ф:
2тс	2тс
5	'■))	(3'8)
О	О
-(где для определенности принято ф* = 0).
Второе условие периодичности, которое позволяет определить
поправку 80)1, здесь не рассматривается.
Приведем уравнение (3. 8) к следующей форме:
d
dx
Т'■)<з-9>
-О	Jo	о
Поскольку в соотношении (3.9) участвует функция гь обра¬
тимся к уравнению (3.6). Интегрируя по ф обе части уравнения
и учитывая, что п — вектор-функция, периодическая по ф с перио¬
дом 2л, получим
2-
^ = J-Uorf<P = So,	(3.10)
dx 2я J
о
9
ri(t, tp)= — ( (s0 — S0)rfcpl + Ari(T),	(3.11)
CO0 J
7C
где Ari(t) —некоторая вектор-функция, которая оказывается несу¬
щественной'при вычислении нулевых членов асимптотического раз¬
ложения. Можно положить Ai*i(t)=0, тогда среднее значение 1Д за
период колебаний обращается в нуль.
Подставляя выражение (3.11) в соотношение (3.9), выполняя
несложные преобразования (см. работу [46]) и по аналогии
с разд. 2 переходя от интегрирования по ф к интегрированию по уо,
получим уравнение, обобщающее уравнение (2. 26):
\ 1/ 2 ^ F<"x' r°' y^dydy° J-t-
emin f «о	J

Здесь 1/ 2 f F(x, r0, y0)dy=-^-{T, r0, у), а выражение
r	J	dt
	Уо
у- 1|/ 2 | F (т, г0, г/) j s0| означает скалярное произведение
векторов gradr I j/^2 | F(x, r0, у) и s0. Легко видеть, что в
У о
том случае, когда вектор-функция S не зависит от у, уравнение
(3. 12) совпадает с уравнением (2.26).
В итоге уравнения (3. 10) и (3. 12) позволяют проследить за
изменением по времени нулевого члена асимптотического разло¬
жения вектора г и амплитуды нулевого члена асимптотического
разложения переменной у.
4.	ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОРЕЗОНАНСНОГО РЕЖИМА
Исследование поведения нелинейной колебательной системы
при наличии внешнего периодического воздействия представляет
собой более сложную и более интересную задачу, особенно в связи
с возможностью появления резонансных эффектов. Эти резонанс¬
ные эффекты проявляют себя в значительно большем качественном
разнообразии, чем в случае линейной колебательной системы: на¬
пример, явления комбинационного резонанса, явления «захвата»
колебаний в резонансный режим [56, 61, 3, 40] свойственны именно
нелинейным системам. Обратимся к анализу околорезонансных
режимов. Картина, получающаяся в тех случаях, когда частота
периодического воздействия сильно отличается от собственной ча¬
стоты колебательной системы, более или менее очевидна. Так, если
внешняя частота много больше собственной частоты, внешнее
периодическое воздействие можно усреднить; если же внешняя
частота много меньше собственной частоты, то внешнее периодиче¬
ское воздействие можно рассматривать как дополнительную мед¬
ленно изменяющуюся переменную.
Итак, рассмотрим систему уравнений:
+ г, y) = ef(x, г,у, <1>) ;	(4.	1)
-^-=еа(т, г,	у, <W;	(4.2)
dt
-^-=h(r, г,	у),	(4.3)
at
где е — параметр малости; г, s — векторы порядка я; функции / и
s — периодические	по	ф	с периодом 2я.
Первое уравнение	(4. 1) описывает	процесс нелинейных колеба¬
ний переменной у с медленно изменяющимися параметрами (тиг)
под воздействием внешней квазипериодической силы (перемен¬
ная ф). Имея в виду проанализировать резонансный режим коле-
22

баний, предположим, что отношение осредненного в каком-то
смысле значения функции h к мгновенной частоте колебаний пере¬
менной у близко к отношению малых целых чисел q\ и q%\
4±
Я2
(4.4)
{ниже будет указан более точный смысл этого соотношения).
Ограничимся рассмотрением случая <72= 1- Будем искать реше¬
ние уравнений (4. 1) — (4.3) в следующем виде:
г/=Уо(т, cp)-|-st/1(r, <p)-f 0(s2),	j
>':=ro(t) + ef'i(T’ <?) + 0(s2),	(4-5)
Ф = <71(р4-,ЫТ’ c?) + e1'i (r> + 0 (e2), J
где функции y0, yu Гь фо, Ф1 являются периодическими функциями
от ф с периодом 2л.
Уравнение для изменения фазы ф запишем в виде
—=(!>о (T)-few1 (t)-f О (в2).
at
(4. 6)
По аналогии с разд. 2 и 3, приравнивая члены нулевого порядка
малости по е в уравнении (4.1) получим уравнение
шо-~+Р{х> г0, Уо)=0,
(7<р2
(4.7)
где мгновенная частота (0о(т) =co0[t, г0(т), я(т)] определяется из
условия, чтобы функция уо(х, ф) была периодической по ф с пе¬
риодом 2л:
ton (t) = Л
*00
J / а.
amin 1/ 2J t
У	У о
F(T>,r0, tf) d,y
j F(x, r0, y0)dy0 = 0.
(4. 8)
(4.9)
“min
Приравнивая в уравнении (4. 1) члены первого порядка малости
до е, получим уравнение
2<Э21</и I dF .	.	_	%	дЧо	diо0	ду,0
°Т7	(	’	°’	Ум	У1—	°77	77	7
д<р2 ду	дтдер	dx	дер
-2w°w>	+	'■о.	Уо,	Ъ*	,
1,o + ?i<p) = g-1 (Т. ?).
(4. Ю)
Здесь член (dFQ/dr-Ti) —скалярное произведение векторов
grader, г0, у о) и гь
23

Функция уi(t, ф) ограничена на интервале времени At=0(\/&)>
если она является периодической по ф. Два условия периодичности,
которые служат для определения закона изменения а(т) и по¬
правки 0)1 (т), записываются аналогично предыдущему (разд. 2):
Второе условие периодичности формулируется неоднозначно.
Выписанная форма (4. 12) соответствует случаю, когда добавление
члена у\ к у0 не изменяет амплитудного (максимального) значе¬
ния а переменной у, достигаемого при ф=0 (см. разд. 2).
Первое условие периодичности (4.11) после несложных пре¬
образований (см. разд. 3) сводится к виду
Поскольку в соотношениях (4. 15) и (4. 16) фигурирует вектор¬
ная функция Гь обратимся к уравнению (4.2). В этом уравнении
члены нулевого порядка малости отсутствуют. Приравнивая члены
первого порядка малости по е, получим
<Р*+2я
( gi(x>
(4.11)
<Р*
(ф* — произвольно) ;
2к
О
f gl ('Г.	rf®	=	0,
(4. 12)
где	(tp)	—	решение	однородного	уравнения:
f — [т. r0, y0(t, <р)]л:2(ср)=0,	(4.13)
удовлетворяющее условию
(4. 14)
(4. 15)
а второе условие периодичности (4. 12) — к виду
—глшоО)! = ^	>*l)	Х*2С1«?+	^	foxldi?.	(4.	16)
 2^(A)q(Oj
О
о
и)о-т1+^г-=«('Г. г0, у0, ф0+^1'Р) = *о.
(4. 17)
24

откуда следуют два соотношения:
9**+ 2я
rf£o_ 1
=—У М? = «о;	(4.18)
dx
9**
9
гг =	\ [^о”"5о]^Т"Ь^г1(г)*	(4*	19)
W0 J
7t
Как видно, член Т\ определяется неоднозначно, с точностью до
слагаемого Ai*i(t). Чтобы устранить неоднозначность, наложим до¬
полнительное условие: потребуем, чтобы на интервале колебания
переменной у (0^ф^2я) среднее значение ri обратилось в нуль.
Отсюда получим
2тс ,
1 Г 9
TWq \ I
О L tz
d<?.	(4.20)
Выписанные соотношения до сих пор совпадали с соотноше¬
ниями разд. 3 с той разницей, что в подынтегральных выражениях
присутствует функция фо(<р), которая пока не определена.
Обратимся к уравнению (4.3) и преобразуем его к виду
-^-=/7 (г, Г, у) —A(t) + ^1co0(T) + eA(t),	(4.21)
at
где еД(т)=й(т)—^i(Oo(t); h{т)—осредненная в каком-то смысле
функция h(т, г, у).
Переходя к уравнению (4.21) и рассматривая члены нулевого
порядка малости, получим
d4o __ h[x,r0,yi0] — h _ h0 — h
(4. 22)
ду	w0	w0
9
Фо= дФо (*Н—- \ *А° — Л} rftpi-	(4.	23)
“о 1
о
Легко видеть, что член ф0 является периодической функцией
от ф с периодом 2л, если
2tz
л ==	^ Л [ТГ, г°, г/° (ср)] £/ср,	(4.24)
о"
т. е. значение h(x) получается из функции h(т, г0, у0) простым
усреднением по периоду колебаний, а условие близости колебаний
к резонансным сводится к условию
2те
\ h\X' r°’ l/o('?)]flfcP~?i(0o(t) = 0(e)
0
(в частности, при yi = 0, h = 0(e)).
25

Для того, чтобы найти закон изменения функции Дф0(т), кото¬
рая пока не определена, следует приравнять в уравнении (4.21)
члены первого порядка малости:
_ _дф0
д<?	дх
— <7icoi + А + ~~ (г > г0, у о) У\ + (г 1 j . (4. 25)
дер	ду	\ог )
Здесь член (dh0/drri) представляет собой скалярное произведе¬
ние векторов gradгЛ(т, г0, г/о) и П.
Интегрируя это уравнение по ф в пределах от 0 до 2я и учиты¬
вая периодичность по ф функции ф1 и фо, а также принимая вовни-
2тс
мание очевидное соотношение Дфо =	\	получим
2я J
о
2tz	2к
+ А +	-^(г’	ro,yo)yid9	+	-±r\	И'26)
С учетом формулы (2.15), в которой принято Ci = C2 = 0, по¬
следний член в правой части уравнения (4.26) может быть пре¬
образован к виду
тс2	27С	/	ср
V j	j	(4'27)
0	L d<p C?1 J	/
В итоге дифференциальные уравнения (4.15), (4.18), (4.26)
в сочетании с алгебраическими соотношениями (4.16), (4.19),
(4.27)	определяют закон изменения переменных а(т), Ятт(т),
Го(т), Дфо(т).
Наконец, аналогично предыдущему (см. разд. 2, 3) можно пре¬
образовать полученные соотношения таким образом, чтобы они
включали только исходный набор нелинейных функций и не содер¬
жали в явном виде функции г/о(ф) - Заметим, что поскольку подын¬
тегральные функции, содержащие переменную	Дф0,	являются пе¬
риодическими	по	Дфо с периодом 2я, то и	интегралы	будут	перио¬
дическими функциями по Дфо- Выписанные соотношения можно
обобщить и на тот случай, когда уравнение (4.2) имеет вид
li=‘s {'■г- »■ 1Г'	*) ■	<4-28)
что приведет к некоторому усложнению выражения для Дг1 (4.20).
5.	УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСНОГО
РЕЖИМА
Полученные в разд. 4 уравнения относятся к классу систем
с быстро вращающейся фазой. Перепишем эти уравнения в общей
форме, заменяя для краткости Дф0 на ф, и обозначая совокупность
26

компонент вектора г0, а также переменных а(т) и т вектором х
(переменная coi может быть исключена):
-^- = f{x)-\-eg{x, ф);	(5.1)
at
-£1 = 8Й (.*,<!>).	(5.2)
at
Здесь g и h — функции, периодические по ф с периодом 2я (по¬
скольку соответствующие интегралы в разд. 4 периодичны по Дф0
с периодом 2я); х и h — векторы, размерность которых снова обо¬
значим через я; е — параметр малости, f(x) = А.
Заметим, что к подобной же форме можно было преобразовать
и уравнения свободных колебаний (см. разд. 2, 3). Для квазили¬
нейного автономного случая такими являются уравнения Ван-дер-
Поля (1.5), роль ф играет фаза ф, вектор х сводится к перемен¬
ной а. В случае неавтономной существенно нелинейной колеба¬
тельной системы (см. разд. 2) роль ф по-прежнему играет фаза ф,
вектор х включает переменные а и т, роль функции f(x) выпол¬
няет частота соо(т, а), а сами преобразования заметно услож¬
няются [27]. В случае нескольких медленно изменяющихся пара¬
метров (см. разд. 3) вектор х включает дополнительно компо¬
ненты вектора г. .
Как	уже	подчеркивалось выше, в нашем	изложении	исполь¬
зуется другая	модификация метода усреднения,	и	в	уравнениях,
полученных в разд. 4, роль ф играет не сама фаза ф, а средний
сдвиг фазы Дф0. Вместе с тем указанная система уравнений обла¬
дает той особенностью, что функция f(x), в отличие от со0 может
обратиться в нуль на некоторой поверхности. Эта поверхность
/(х)=0 характеризует собой околорезонансную область, в кото¬
рой производная dty/dt мала:
~г = 0\е).	(5.3)
at
Отметим, что вдали от этой поверхности решение для век¬
тора х можно представить в виде суммы двух членов. Первый
член х, который является медленно изменяющейся функцией вре¬
мени, определяется в первом приближении решением укорочен¬
ной системы уравнений (в смысле Ван-дер-Поля):
(5-4)
at
2тс
где	/Г(й)=—\ й (и, <!»)*/<!».
2л j
о
Второй член Ах представляет собой сравнительно быстро ко¬
леблющуюся (с частотой f(x)) функцию и в среднем убывает
по мере удаления от поверхности f (х) =0.
27

В окрестности этой поверхности, где фазовый угол ф изме¬
няется так же медленно, как и вектор х, такое представление
решения перестает быть оправданным. Представим себе траекто¬
рию х(£) в фазовом пространстве (хь..., хп), которая прибли¬
жается к поверхности f (х) = 0 (рис. 1).
В этой ситуации возможны два случая. В первом случае (про¬
хождение через резонанс) траектория «пронзает» поверхность
Рис. 1. Характер поведения фазовой Траектории в окрестности резонанса
f(x)= 0 и удаляется от нее. Во втором случае (захват в резонанс¬
ный режим) траектория деформируется и на длительном участке
располагается вблизи поверхности f(x)=0 (рис. 1 , а).
Вторая производная d2tyldt2 в соответствии с уравнениями (5. 1)
и (5.2) имеет порядок малости, не меньший чем е. В первом слу¬
чае околорезонансиый режим (dty/dt = 0 (е)) существует в течение
ограниченного промежутка времени Д^=0(1). Во втором случае
условие dty/dt=0 (е) выполняется в течение длительного проме¬
жутка времени Д/ = 0(1/е) (рис. 1,6).
Обращаясь к последнему случаю, нетрудно видеть, что выпол¬
нение условия dty/dt = 0 (е) в течение промежутка времени At =
= 0( 1/е) гарантируется, если d2ip/dt2 = 0(e2). Обратимся к этому
случаю и попытаемся сформулировать условие возможности за¬
хвата движения в резонансный режим.
В случае захвата траектория x(t) располагается вблизи одной
из особых «гладких» траекторий, которые заполняют поверхность,
близкую к поверхности f(x)= 0, и характеризуются тем, что ф =
= ф(т), х = х(т).
Представим в этом случае решение для ф и х в виде
г
1
V
(5.5)
28

Выделяя в	уравнении (5.	1) члены нулевого	порядка	малости,
а в уравнении	(5.2)	—члены	первого порядка	малости,	получим
/(лг0)=0;	(5.6)
—0	-Л(*о,Фо).	(5-7)
С1%
Дифференцируя по % уравнение (5.6) и подставляя значение
dxo/dx из уравнения (5. 7), найдем
п
<Р (*0. Фо) =	(*o)	h	(*0.	Фо)	=	2	if: (х°)ki ^°’ ^ =0-	(5-
/= 1
Это соотношение можно трактовать, как уравнение для отыска¬
ния значения ф0 при заданном векторе х0, удовлетворяющем усло¬
вию (5. 6).
Очевидно, что соотношение (5. 8) может выполняться, пока вы¬
полняется условие существования резонансного режима
max ср (х, ф) • min ср (л:, ф) 0	(5. 9)
(если считать функцию <р(х, ф) непрерывной по ф).
Если это условие выполняется, то соотношение (5.8)	позво¬
ляет найти четное число функций ф0(х0). Подставляя какую-либо
из этих функций в векторное уравнение (5.7), получим уравнение
для траекторий х0(т), располагающихся на поверхности /(х)=0.
Решая это уравнение, найдем х0 = х0(т) и фо = фо[хо(т)].
Для уточнения полученного приближенного -решения следует учесть в урав¬
нении (5.1) члены первого порядка малости, что приводит к уравнению
д/	^фп
-^(jc0)Jti--^ + s(*0(T), Фо(т)] = 0.	(5.10)
dx	dv
Это сооотношение позволяет уточнить положение поверхности, в которой рас¬
полагаются особые траектории. Действительно, если считать, что уточненное
уравнение поверхности имеет вид
/ (х) ~т~ £f 1 (х) = 0,	(5.11)
где х = Xq + eJCi, то, приравнивая в уравнении (5.11) члены нулевого и первого
порядка малости по е, получим соотношения
/(*о) =0,
df	I	(5.12)
^(*о)*1 + /l(*o)=°-
Сопоставляя соотношения (5.10') и (5.12), найдем
/1 (Л) — g [х, Фо (*)] —	=	g	[X, Фо (*)] —	(*)	h	\.х>	4-0	(*)]).
где функция фо(-*0 определяется уравнением (5.8).
29

Имея уточненное уравнение поверхности, на которой должны располагаться
особые траектории вида (5.5), можно повторно выполнить процедуру по отыска¬
нию решения х(х) и ф(т).
Дифференцируя соотношение (5.11) по времени и учитывая уравнения (5.2),
получим уравнение для отыскания Ф(«Х):
(^7 + £^)Л(х- *) = 0-	(5ЛЗ)
Из этого соотношения следует, что
+0 (*)])
t==to + "+1+0 (e2)=to (х) ~ 	    +	О	(е2).	(5.14)
[X, to (X))
Подставляя выражение ф(-Х) в систему уравнений (5.2), получим уравне¬
ния и для особых траекторий, <ра.сположенных на поверхности (5.11).
Как уже говорилось выше, при выполнении условия (5. 9) при
заданном векторе х существует четное число значений ф, при кото¬
рых выполняется соотношение (5.8). Для того, чтобы определить*
при каких из этих значений может реализоваться захват в резо¬
нансный режим, необходимо рассмотреть вопрос об устойчивости
резонансного режима. Ограничимся исследованием устойчивости
резонансного режима «в малом» с помощью метода ВКБ [29].
Запишем уравнения в вариациях:
dt дх	дх	дф
dbx	dh	.	- dh
 =e 8лг+е St-
dt	дх	дф
(5. 15)
Здесь через dh/дх обозначена квадратная матрица, составлен¬
ная из производных dhi/dxj = hij.
Прежде всего оценим значения корней характеристического
уравнения для «замороженной» системы (5.15). Представим ха¬
рактеристическое уравнение в следующем виде.
D(p) =
Р — «£>
- fx, ~ *Sx>
- fxt - ^x,
f xrt bgxn
p — thn
— *hi2
— eAl/i
-еЛ2Ф
— ^21
P — £*22
— th2n
“e/tnt
— еЛ„1
— £ЛЛ2
P — *Kn
= 0.
(5.16)
30

Раскладывая определитель по элементам первой строки,
получим
D{P) = {P + 44/){PnJr ыхрп-х + ... + епап) +
+ 2	^	+ 1 ^хт + Sgxm^ (&bmlPn-l+^m2Pn~2+ • • •
т= 1
... + znbmn) = p*+1 + '-Anp“+'2i[s'”Bn_m + e™+KAn_m\p"-">-0, (5. 17)
т= 1
п
где	«1=— ^hkk, bkl = hkif{—\)k\
k = 1
П	П
An= g<\>	2	Bn—\	—	2	f	xkhktyi
k=l	k=l
n	tl	\
Bn-2 = 2 f xk 2	^km^rn^)	>•
k=\	lm=1	J
Покажем, что в общем случае из п+ 1 корней два корня имеют
порядок 0(Ув ), а остальные п—1 корней имеют порядок 0(e).
«Конструктивным» доказательством послужит построение соответ¬
ствующих асимптотических рядов:
Pk = c[*)eW+c?)eW+... + cink)ent2+..., k=l, 2;	(5.18)
Pk — d^z -j-Д-... -f- dn	k	=	3,.. .n.	(5. 19)
Подставляя выражение (5.18) в уравнение (5.17), ПрираВНИ-
zz T 1 ft- T 2
вая члены порядка £ 2 , е 2 и т. д., получим систему рекуррент¬
ных соотношений:
£i4“-®/z-i = 0;	(5.20)
2Bn_lc2Jr AnBn-i — В п_2== 0.	(5. 21)
Два корня уравнения (5.20) определяют значения и ^i2),
после чего определяются значения с[1) и с22) и т. д.
Аналогично, подставляя выражение (5.19) в уравнение (5.17),
приравнивая члены порядка еп, еп+1,..., получим систему рекур¬
рентных соотношений:
5Л_^ГЧ' 5л_2^Г2+ • •. + £о=0;	(5. 22)
\d1+l-\- And1	-40]	-\-d2	\{ti — 1)Bn_id\ 2-\-
+ (n- 2) Bn_2di~3-\-... + Bx] =0.	(5. 23)
Тогда n—1 корней уравнения (5.22) определяют значения
d[3\... d[n\ после чего определяются значения d23\-..d(V и т- Д.
31

Используя стандартную процедуру построения первого прибли¬
жения по методу ВКБ (см., например, работу [29)], определим да¬
лее собственные векторы U;(t), соответствующие различным кор¬
ням Pi(т) «замороженного» характеристического уравнения: в ка¬
честве компонент этих векторов можно взять миноры какой-либо
строки характеристического определителя (5. 16).
При этом решение, порождаемое корнем ри определяется
вектором
t
J Pl^)dt
У0) =(5Т) = С‘' ^ ^ е<°	(5’	^
Для отыскания закона изменения функции СДт) следует
заменить один из столбцов определителя (5.16) производной
d/dx[Ci(x) щ(х)] и приравнять полученный определитель нулю, что
позволяет получить дифференциальное уравнение с разделяющи¬
мися переменными для функции СДт). Такая процедура повто¬
ряется для каждого из корней характеристического уравнения;
она справедлива, если все корни различны.
Как видно из формулы (5.24), с учетом нестационарное™
«эффективные» значения корней изменяются на величину по¬
рядка е:
d In у^1)
——	=	Л	+ 0(е).	(5.	2о)
dt
Следовательно, наиболее важными являются два первых корня
pi и р2> содержащие члены порядка е1/2.
Из соотношения (5.20) следует, что при Bn-i>0 значения
£(11} и с[2) —чисто мнимые, а при Bn_i<0 один из корней является
положительным, что приводит к расходимости возмущенного дви¬
жения: на интервале времени At = О (1/е) возмущения возрастают,
как	Следовательно,	условие	Bn_i>0	можно	назвать главный
условием устойчивости длительного околорезонансного режима:
<5-26»
k= 1
Это условие позволяет определить m значений ф из числа 2пг
значений, для которых выполняется условие (5.8), соответствую¬
щих устойчивому длительному околорезонансному режиму.
Применим описанную процедуру построения ВКБ-решений.
В рассматриваемом случае этот процесс несколько упрощается,
благодаря использованию допущений о порядках малости коэффи¬
циентов, входящих в систему уравнений.
Определим вначале пару комплексно-сопряженных корней, со¬
ответствующих одной из точек, в которых выполняется главное
условие устойчивости резонансного режима. Очевидно, что в об¬
32

щем случае 2т точек, в которых выполняется условие (5. 8), чере¬
дуются по свойству выполнения неравенства (5.26).
На основании соотношений (5.20) и (5.21) найдем
А,2 = ± i VI VKZ + s *п-*-А"Вп-х + 0 (ез/2) =
— i *	1/	^	f	хь^Щ	~Ь!
k=\
т
2Вп_ 1
п	п
2 f xk
k= 1	т= 1
k=\
-j- О (e3/2) =
i yiw (t)-s8(t) + 0(e3/2).
(5.27)
Эта пара корней порождает колеблющиеся слагаемые в выра¬
жениях (5.27) для вариаций 6i|) и бх.
Опуская выкладки, приведем выражения для 6i|) и бх:
8Ф =
С1
V «(О
ехр
^	(т)	—	s8i	(т))	—|—
с2
'v^)exp
^ ( — I У е(о (т) — е8х (x)) dt j =
8л:
^^-8^П1+0(е,/2)Ь
ш аф
(5. 28)
(5. 29)
где Ci и С2— константы;
:5 +
1 k=l
dfxk
dx
2 fxkh
k= 1
Условие затухания амплитуды вариации 6i|) дополняет выпи¬
санные ранее условия (5.8) и (5.26) и в большинстве случаев
также является необходимым для захвата движения в резонанс¬
ный режим.
Легко видеть, что это условие имеет вид
1 d In о) (ti)
2 dx
Переходя к исследованию слагаемых, порождаемых корнями
р3,..., Рп+ь можно заметить, что эти слагаемые в первом прибли¬
жении соответствуют решению редуцированной системы уравнений
(5. 15) при наличии дополнительного условия
■8,>0.
(5.30)
{дх 8ЛГ)_fxkbxh— 0*
А=1
399
(5.31)
33

Исключая из этой системы вариацию 6ф, получим в дополнение
к (5.31) систему уравнений
п
(&*!) —	hyfixi	(8х„)	—	hni	bxt
i=1	i=l
(5. 32)
Указанные слагаемые соответствуют вариациям особых траек¬
торий, не выходящих за пределы поверхности (5.11) (которая
в первом приближении совпадает с поверхностью /(х)=0), и по¬
этому их поведение не играет существенной роли в том случае,
если рассматриваются траектории, попадающие на поверхность
(5. 11) извне.
6.	АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВКБ И ОТЛИЧИЕ ИСТИННОГО
РЕШЕНИЯ ОТ АСИМПТОТИЧЕСКОГО
При использовании асимптотических методов для приближенного решения
уравнений, описывающих процесс нелинейных нестационарных колебаний, возни¬
кает вопрос о точности решения, соответствующего нулевому члену асимптотиче¬
ского разложения. В частности, интересно понять, ib какой степени использование
старших членов асимптотического разложения позволяет уточнить результат.
Этот вопрос является очень сложным. Попытаемся рассмотреть его в наибо¬
лее простом случае линейной нестационарной колебательной системы с одной
степенью свободы, когда асимптотический метод сводится к .методу ВКБ. Для
построения нулевого и старших членов асимптотического разложения решения по
методу ВКБ используем методику, отличающуюся от традиционной.
Рассмотрим уравнение
С&у	dty
-^-+/(t)w = —+ “2(t)M=0.	(6.1)
Ищем формально решение этого уравнения в виде
у = A (t) sin у (t),	(6.2)
dy dA	dy
тогда	—	=	sin у + — A cos y;
dt dt T dt	T
d^y, d^A	dA	dy	(dy \*	d^y
 =	 sin	ф	+	2	 — cos у —	—	A	sin	ф	+ —- A cos y.
dt2 dt2 * dt dt	\dt	j	r	dt*
Подставляя эти выражения в уравнение (6.1), потребуем, опять-таки фор¬
мально, чтобы коэффициенты при sin ф и cos ф обратились в нуль:
d^A (dy \*
на(б.з)
+	(6.4)
dt*	dt	dt
Эти уравнения еще не определяют однозначно решений для A(t) и ф(^) хо¬
тя бы потому, что задание начальных значений А(£0), dAjdt(to), ф(^о), d(p/dt(t0)
допускает произвол, а именно эти четыре значения связаны лишь двумя усло¬
виями:
A (t0) sin <р Со) = \у (t0),
~ГСо) sin ¥ С0) + ~т Со) А Со) cos ¥ (к) =	Со)-
dt	dt	dt
(6.5)
84

Из уравнения (6.4) следует, что
dt
А2 (О
t
to
da
АН*)'
(6.6)
поэтому уравнение (6.3) приобретает вид
d*A	я	С2
  -f- 0)2 (t) А—   = 0.
d&	к	Л3
(6.7)
Чтобы избежать указанной выше неоднозначности, выберем такое частное
решение уравнения (6.7),.которое соответствует медленному изменению перемен¬
ной А:
dA dA d2A d2A
A=A(x), —=e— , — ^s2— .	(6.8)
dt
dx
d%2
Можно показать, что такое решение является единственным.
Для отыскания такого решения можно использовать асимптотический ряд:
А (т) == А0 (т) + £2а2 (т) -f- еМ4 (т) -f-
(6.9)
Подставляя этот ряд в уравнение (6.7), приравнивая последовательно члены
нулевого, второго, четвертого и т. д. порядка по е и разрешая полученные соот¬
ношения, без труда получим выражения для Л0, А2, Л4 и т. д.
а2= -■
1 d2An
4 0)2	d%2
- — — а,
4о>2Д
1_\А [ 1	d2Ao) JL (d2Ao \2
А0 [ ° dx2 \ 40)2	rft2 ) + 8о>2 { dx2 /
1 <^2W 3^2
: 40)2 ^2 + 2^7
Лб	4o)2	dx2	[4	0)2	rft2	+	2Л0	J	'
j4q [ 0)2 dx2
2 i4n
(6.10)
После этого можно при желании, используя формулу (6.6), найти асимпто¬
тический ряд для переменной ф и подобрать константы С и Сь удовлетворяющие
начальным условиям. Если ограничиться нулевым членом асимптотического ряда
для А(т), то константы С и Ci определятся формулами
Ci = <p(*0) = arctg
ю Со) У (<о)
d-У]
Сопоставляя это решение с решением, полученным с помощью «традицион¬
ной» процедуры (см., например работу [29]), можно убедиться в их совпадении.
Первое преимущество предложенной методики состоит в сравнительной простоте
численной процедуры. Второе преимущество заключается в том, что из самой
структуры построения высших приближений Л2ь (т) видно, что они становятся ис-
2*
35

чезающе малыми, если зависимость (о(т) становится сколь угодно гладкой, нап¬
ример
4* СП) 7* о,	(б-11)
при
1 du>
0)2 dX
_1_ d^_
0)3 dx 2
(6.12)
В то же время установить такое свойство старших членов асимптотического
ряда для амплитуды решения y(t) с помощью традиционной процедуры гораздо
труднее.
Имея © виду полученные результаты, возвратимся к уравнению (6.7) и рас¬
смотрим случай, когда на концах рассматриваемого интервала функция (о(т) яв¬
ляется идеально гладкой в смысле (6.12) (этими концами могут быть точки
—оо и °°), и, следовательно, асимптотический ряд (6.9) в начальной и конечной
точке сводится лишь к нулевому члену:
При этом допустим «несладкость» в поведении функции со(0 в середине рас¬
сматриваемого интервала, включая даже тот случай, когда функция f(t) может
стать отрицательной на промежуточном интервале.
Рассмотрим качественный характер отличия точного решения от ВКБ-реше-
ния.
Отметим аналогию уравнения (6.7) с уравнением, описывающим пространст¬
венные колебания маятника с малой амплитудой в переменном гравитационном
поле. В этом случае А — угол между осью маятника и вертикалью; f=
= mlg(t)/I, где I — расстояние от центра тяжести до точки подвеса,; /п, / — мас¬
са и момент инерции маятника; g(t) —переменное ускорение силы тяжести (см.
например, разд. 13).
Если функция f(t)>0 изменяется медленно, то для определения изменения
амплитуды угла А можно применять соотношение (2. 24):
где dAjdt(A) определяется при решении уравнения (6.7) с «замороженным» зна¬
чением f.
Предположим, что движение маятника является вначале регулярной прецес¬
сией относительно вертикали и что функция f(t) изменяется медленно. Тогда, как
легко видеть, интеграл Ig равен нулю и А определяется из соотношения (6.13).
Таким образом, случай квазирегулярной прецессии соответствует ВКБ-решению
уравнения (6.1).
Пусть теперь член f(t) в уравнении (6.7) на некотором промежуточном уча¬
стке изменяется быстро, так что соотношение (6.14) здесь не выполняется. Тогда
решение уравнения (6.7) на последнем участке, где соотношение (6.14) снова ста¬
новится применимым, соответствует в общем случае колебаниям А относительно
«равновесного» значения А% — "|/~С/• Это «равновесное» значение совпадает с
ВКБ-решением и соответствует случаю квазирегулярной прецессии. Физический
смысл перехода от квазирегулярной прецессии (А = А+на первом участке) к ко¬
лебаниям (на третьем участке) состоит в том, что на промежуточном участке,
при быстром изменении f(t), маятник как бы получает толчки, которые выводят
его из состояния вращения около вертикали.
Из сказанного ясно, что А перестает, собственно говоря, быть «амплитудой»
движения и изменяется так же быстро, как и sin <р. Покажем, что в зависимости
от начального значения фазы фо амплитуда переменной у при одном и том же
значении А0 может принимать на третьем участке различные значения в преде¬
(6.13)
А
шах
(6.14)
А
ini п
36

лах от Amln(t) до Лтах(0, где ^min и Лтах — экстремальные значения, соответ¬
ствующие колебаниям переменной А, причем, как легко показать, Лт1пЛтах = Л#.
Пусть в процессе квазипериодического движения на третьем участке А дос¬
тигает значения Лтm в точке t\. Выберем такое значение начальной фазы ф(М
на первом участке, чтобы Ф(М =тс/2 + тсп. Тогда амплитуда у 'будет совпадать с
Атт. Действительно, определим изменение фазы ф за время, пока А будет уве¬
личиваться ОТ Amln ДО Amnx(ti<t<t2) !
С £.
J dt	J	А2
11
dA
С
A2
min
dA
dA
min
v {,AL*+zy{fA‘+
jt
~2
(6. 15)
С 2
min
f так как A.
<	  /Лпах,
Следовательно, при Л=Лтах получим ф = пп и */='0„ а при Л=Лтт будем
иметь ф = лд + я/2, у= ±Ашт в зависимости от четности п. Если сдвинуть на¬
чальную фазу ф(М на я/2, то получим противоположный случай—колебания на
третьем участке будут происходить с амплитудой Л шах. При прочих значениях
ф(^о) получим промежуточные значения амплитуды.
Пусть Дф(/о)=Афо, тогда ф(^) =я/2 +Дф0 и при малых значениях t —
—*i>0
5 (-<4) = 2 +
dA
А 2 dA
dt
{А)
где dAldt(A) определяется при решении «замороженного» уравнения (6.7).
Для нахождения амплитуды переменной «/-максимума выражения Лзшф(Л)
продифференцируем его по Л и приравняем нулю:
sin ср (Л) + A cos (Л) dy/dA (Л) = 0.
Решив это уравнение, найдем
7 . .К	■. f С	/ £4Sin2Acp0+ sin 2 Д<р0
Ут = A sin 9 (Л) = у -р^г 	  .	(6.16)
■Лш1п	"Лц*
Здесь параметр k == —-— =  	< 1 определяет максимально возможное отличие
Л*	лтах
истинной амплитуды колебаний от амплитуды, определяемой по методу ВКБ.
При медленном изменении функции f(t)>0 параметр k<\ сохраняет на третьем
участке постоянное значение, что следует из правила сохранения адиабатиче¬
ского инварианта.
Во многих случаях, представляющих практический интерес, начальное зна¬
чение фазы не является строго фиксированной величиной. Тогда задача нахож¬
дения амплитуды колебаний на третьем участке приобретает вероятностный ха¬
рактер, поскольку Л sin ф(Л) определяется начальным значением фазы. Будем
37

считать, что значения Лфо задаются в диапазоне от нуля до л/2 равновероятны¬
ми, и учтем, что значения амплитуды пропорциональны 'величине
A sin <р (Л) УHcos2Acp0 + sin2A<fo	171
1 (Д<Ро. *) = Z  =	(°17>
Тогда
2ч
(6.18)
I
М^)== nk
где Е(и)—полный эллиптический интеграл 2-го рода. При k 1 величина мате¬
матического ожидания М(т])-И, при	М(т])~2/л&,	т.	е. при нарушении
плавности изменения функции f(t) амплитуда «в среднем» всегда возрастает.
1 -i- Л4	1 + £2
Аналогично, Af (?]2) =	^	> 1, Af (In т]) = In ——— > 0.
Рассмотрим два характерных примера [52]:
1. f(t) = c2 (t2 + 62),
—,	±е-*а'/2.
k
где a2 = b2c.
2. /(/) =a2 + e2btc2 (см. разд. 13):
k ’	“
Как видно, при рассмотрении аналитической функции со2(т) =/(т), удовлетво¬
ряющей условиям гладкости (6.12) на концах интервала, отличие истинного-реше¬
ния на конце интервала от приближенного, определяемого методом ВКБ (оно
сводится к члену Л0(т)), определяется некоторой функцией времени с коэффици-
Г т 1
ентом вида С ехр — —— I, где т>0, д>0„ асимптотический ряд для которой
содержит только нулевые члены. Следовательно, это отличие не может быть отра¬
жено с помощью высших членов разложения (6.9), которые не равны нулю лишь
на промежуточном участке.
Полагая в последнем примере а = с= 1, 6 = е-> 0, получим
(.М)	и1_1йе^.
\ А /"
/шах k
В то же время, применяя формулу (6.10), найдем
/&А2\ /ВЛ\	е2	(2	—	Зе2е<) е2е<
V Л / V А /ВКБ	16	(1	+	e2st)3
т
0,02s2 (при е2**=5 + Г19)
max' , —	1	-	о	I
'ВКБ	\	*	)
Как видно, ири увеличении е сверх 1, когда поправочный член становится
различим, роль неучитываемой с помощью метода ВКБ-поправки становится пре¬
обладающей. Отсюда следует, что учет старших членов асимптотического ряда в
данном случае бесполезен (легко проверить, что такая же картина получается
при рассмотрении первого из приведенных примеров).

Глава 2
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
И МОМЕНТЫ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
7.	АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ.
ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
На тело, находящееся в потоке воздуха или газа, действует
аэродинамическая сила F и аэродинамический момент М. Пусть
тело обладает плоскостью симметрии. Обозначим правую систему
центральных ортогональных связанных с телом осей через Ох, Оу,
Oz, поперечная ось Oz нормальна к плоскости симметрии, направ¬
ления продольной оси Ох и нормальной оси Оу в общем случае
произвольны — направление оси Ох выбирается, как правило,
близким к расчетному направлению скорости полета (рис. 2).
Тогда аэродинамическую силу можно разложить на три компо¬
ненты:
где S — характерная площадь тела; q1—плотность газа; V — вели¬
чина скорости; сХу сПу сг—безразмерные аэродинамические коэф¬
фициенты; q = QV2/2 — скоростной напор.
Знак коэффициента сх по традиции изменен, так что в боль¬
шинстве случаев сх>0. Ориентация вектора скорости относительно
тела определяется углами атаки а и скольжения р, где а — угол
между продольной осью тела и проекцией вектора скорости тела
на плоскость симметрии; р — угол между этой плоскостью и на¬
правлением вектора скорости тела (см. рис. 2). Если обозначить
составляющие вектора скорости тела в связанных осях через VXy
Аэродинамическая сила, вообще говоря, определяется не только
текущим состоянием тела (вектором скорости V и вектором угло¬
вой скорости ю), но и всей предысторией его движения. Примером
Fy = cnS *L- = cnSq,
(7.1)
Vv и Vz, то
(7.2)
39

могут служить известные явления запаздывания скоса потока
вблизи горизонтального оперения и гистерезиса [30, 21]. Тем не ме¬
нее для упрощения задачи в большинстве случаев влиянием
«предыстории» на величину аэродинамической силы пренебрегают.
Тогда безразмерные коэффициенты сх, сПу cz будут функциями без¬
размерных же параметров: углов атаки и скольжения, числа
Рио. 2. Связанная и полусвязал- Рис. 3. Системы координат, связанные с
М(М=У/а, где а — скорость звука), числа Рейнольдса (Re =
= qVI/ц, где ц — коэффициент вязкости), безразмерных угловых
скоростей
(о2 = (о2//У (/'—характерная длина тела) и др. Учитывая обилие
факторов, от которых зависят аэродинамические коэффициенты,
очень важно найти компромисс между требованием к точности за¬
дания аэродинамических коэффициентов и требованием достаточно
простой и физически обоснованной аппроксимации этих коэффи¬
циентов.
Как правило, зависимостью коэффициентов сПу сг от безраз¬
мерных угловых скоростей пренебрегают. Лишь в редких случаях
учитываются зависимости сп(coz) и cz(щ). Безразмерные угловые
скорости обычно достигают малых значений, особенно при полете
на больших высотах. Действительно, пусть тело совершает свобод¬
ное колебательное движение по тангажу с амплитудой Фт. Частота
свободных колебаний тела в плоском движении определяется фор¬
мулой
.ная система координат
пространственным углом атаки
40

Тогда амплитуду колебаний безразмерной угловой скорости
можно найти по формуле
где iz = Ijml2.
В наиболее интересных для практики случаях безразмерный
параметр Q = QSl/2m мал, откуда следует малость безразмерных
угловых скоростей. С учетом этого нелинейная в общем случае за¬
висимость сп(coz) может быть аппроксимирована двумя первыми
членами тейлоровского разложения:
Для зависимостей коэффициентов сх, сП) сг от остальных без¬
размерных параметров характерны следующие закономерности.
Рассмотрим прежде всего случай, когда тело осесимметрично,
а осью симметрии является ось Ох. Тогда коэффициент ст будет
четной ''функцией так называемого пространственного угла атаки
аПр, определяемого как угол между направлением скорости набе¬
гающего потока и осью Ох. Пространственный угол атаки может
быть выражен через обычные углы атаки и скольжения по фор¬
муле
При малых а и рапр ^]/~а2-|-32 и зависимость сх(а, (3) может
быть аппроксимирована формулой
Производная сх11р положительна, если тело имеет вытянутую
форму, и отрицательна, если форма тела сплюснутая чечевице¬
образная.
Зависимость коэффициента ст от числа Re обычно учитывается,
если тело имеет вытянутую форму, и роль силы трения велика,
и не учитывается в противоположном случае, за исключением тех
диапазонов числа Re, в которых происходит перестройка от лами¬
нарного обтекания к турбулентному; характерным примером яв¬
ляется известная зависимость коэффициента сопротивления сферы
от числа Re (см. работу [26]).
Для зависимости коэффициента ст от числа М типично увели¬
чение этого коэффициента в окрестности скорости звука при М^1.
При гиперзвуковых скоростях, М^>1, которые характерны для ти¬
пичной траектории входа в атмосферу неуправляемого тела, коэф¬
фициент ст можно считать практически не зависящим от числа М
и приближенно определить его величину по «ударной» теории Нью¬
тона (включая, может быть, поправку Буземана). Такой пере¬
ход к предельному значению сх, соответствующему М = оо, проис¬
СпМ ^с„(0) + с“*(0)и>г И т. п.
alip = arccos(cos сссоэЗ).
41

ходит уже при умеренных числах М, если тело имеет сплюснутую
форму и затягивается до больших чисел М, если тело имеет вытя¬
нутую форму.
В случае идеального тела вращения удобно использовать си¬
стему осей Охи, Оуп, Ozn, связанную с пространственным углом
атаки ([1]).Ось Охп является осью симметрии; ось ОуП нормальная
к оси симметрии, расположена в плоскости угла атаки, содержа¬
щей ось симметрии и вектор скорости; ось Ozu нормальна к плос¬
кости угла атаки (рис. 3). Если отвлечься от влияния безразмер¬
ных угловых скоростей, то аэродинамическая сила располагается
в плоскости угла атаки:
^xu=Fx, Fyn = cnn (а..р) Sq, Fzn =0.
При этом
Сп = ^пп (апр)	спи	((Хпр)	-	,
tgCf„p
I \	•	!	I	\ sin Р	3)
ся=— спи (апр) sin ф = -слп (апр) —	,
sin Ot-цр
где ф— угол собственного вращения (см. рис. 3), а нечетная функ¬
ция спп(апр) определяет зависимость коэффициента экваториаль¬
ной силы спП от угла аПр.
При малых аир
cn^cl"?a = c*na, cz^ — ca„7$= —са$.
Можно использовать и другую систему осей, в которой ось Oxv
совпадает с направлением скорости; ось Oyv, лежащая в плоскости
угла атаки, нормальна к направлению скорости, ось Ozv совпадает
с осью Ozn (рис. 3).
Тогда	cxv (а1ф) = сх (аир) сое апр + спп (апр) sin аир,
Cyv (а„р) спп (Опр) сое а1ф сх (с&цР) sin апр,
(знак cxv по традиции изменен).
В случае, когда тело не является телом вращения, но имеет
плоскость симметрии, удобно использовать полусвязанную систему
координат (рис. 2). В ней ось Ох направлена вдоль проекции век¬
тора скорости тела на плоскость симметрии, ось Оу лежит в этой
же плоскости симметрии и нормальна к оси Ох, ось Oz совпадает
с осью	Oz, т.	е.	полусвязанная система координат	повернута	отно¬
сительно	связанной	на угол а. Связь между	коэффициентами	с~
с~ и сх, сп определяется формулами
с~ = сх cos а -\-сп sin а,
с~ — сп cos а — сх sin а.
Нетрудно видеть, что оси Оу и Oz в полусвязанной системе ко¬
ординат являются «неравноправными». Ось Oz, нормальная к пло¬
скости симметрии, фиксирована в теле, а ось Оу — «блуждающая».
(7.4)
42

Аэродинамический момент, действующий на тело, можно также
разложить на три компоненты по связанным осям координат:
Во многих случаях, относящихся к аэродинамике самолета,
характерная длина для продольного момента Мг отличается от ха¬
рактерной длины для моментов Мх и Му [26].
Рассмотрим вначале случай со = 0, тогда «статические» аэроди¬
намические коэффициенты mXt ту, mz определятся углами атаки
и скольжения, числами М и Re и в отличие от коэффициентов сх,
сп, сг зависят от расположения центра тяжести.
Если тело осесимметрично, а центр тяжести располагается на
оси симметрии, то тх = 0, вектор момента перпендикулярен плос¬
кости угла атаки, включающей направление скорости и ось тела.
При этом
где нечетная функция гаш(апр) определяет зависимость коэффи¬
циента экваториального момента mzu от угла атаки аПр.
При малых аир
Если центр тяжести смещен с исходной точки и компонентами
смещения являются Ах, Дг/, Az, то коэффициенты тх, ту, тг изме¬
няются:
Здесь смещения отсчитываются противоположно направлению
осей. При смещении центра тяжести вдоль оси симметрии статиче¬
ский коэффициент тх сохраняет нулевое значение, а коэффи¬
циенты ту и тг изменяются по закону
M = iMx + jMy + kM„
где
(7.5)
mz = mzn(anp) cos<]>=mZII (alip) ,
tg апр
(7.6)
mz ss ml',',ра — ml а=т?а, ту ^	=	rnz$	=	.
(тх^Аг тх с nkz | сz^yу
{my)Ar = ту — cz Дл: — стДг,
(mz)Ar = mz cnh.x -)- стДг/,
(7.7)
где
(ту)Ах=ту — с^х, (mz)Ax=mz-\-спкх,
или с учетом соотношений (7.3) и (7.6).
{тгп)Ах=т2П + сП1£х.
(7.8)
43

Опираясь на соотношение (7.8), в ряде случаев удобно ввести
понятие о фокусе тела по углу атаки, если формально определить
положение фокуса-точки на оси тела xf равенством
(а"Р)= М ^т-хр (апр)]	(7.9)
аОспр	ЯССпр
(напомним, что здесь положение фокуса и положение центра тя¬
жести отсчитывается от носика тела к корме).
В ряде случаев в сравнительно большом диапазоне углов
атаки положение фокуса на оси тела оказывается практически не¬
изменным, тем самым при dcnu/dапр>0 положение фокуса опреде¬
ляет ограничение, наложенное на предельно заднюю центровку:
при хт>хР условие статической устойчивости нарушается. Вместе
с тем в общем случае понятие о положении фокуса может ока¬
заться лишенным физического смысла. Так, например, при обра¬
щении в нуль производной dcnu/danv фокус удаляется в ±оо, хотя
условие статической устойчивости, определяемое знаком производ¬
ной dmzJdauр, может и не нарушаться.
8.	ВЛИЯНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
Переходя к рассмотрению влияния безразмерных угловых ско¬
ростей о)х, о)у, со* на коэффициенты mx, ту, тг, необходимо учесть
следующее обстоятельство. Приращения этих коэффициентов, обу¬
словленные наличием угловых скоростей, часто представляются
пренебрежимо малыми по сравнению с характерными значениями
«статических» коэффициентов, однако отбрасывать эти прираще¬
ния нельзя, если свободное движение тела рассматривается на
большом интервале времени, поскольку они могут оказать очень
большое или даже определяющее влияние на характер изменения
амплитуды колебаний, как это будет показано в разд. 12 и 15.
В этой связи остановимся подробнее на определении аэроди¬
намических моментов тела вращения с центром тяжести, располо¬
женным на оси тела. Рассмотрим систему осей, связанную с про¬
странственным углом атаки (см. рис. 3). Считая числа М и Re за¬
данными, рассмотрим коэффициенты аэродинамических моментов
Щи, Щи, Щи- Очевидно, что статические значения этих коэффи¬
циентов являются функциями только пространственного угла
атаки апр. Если учесть также зависимость этих коэффициентов от
безразмерных угловых скоростей и считать эти скорости малыми,
то можно ограничиться первыми членами тейлоровского разложе¬
ния аэродинамических коэффициентов:
т(апр, со)^/п(апр, 0) + д//*/дю(а11Р)^,	(8.1)
где	т	= (тхв, туп,	mzn)\
^ ((0л' и ’ с0*/ п > toz ii ) »
т(апр, 0)—вектор статических коэффициентов; дт/дсо(аПр) —
матрица порядка 3x3, зависящая от апр. Рассмотрим структуру
44

этой матрицы. Из соображений симметрии очевидно, что зависи¬
мости тхи и туп от о)2П, а также зависимости тт от ыхи и wyn яв¬
ляются четными функциями. Поэтому четыре элемента матрицы
равны нулю:
дтх„ _ дтуи ^ $гп?и ^ dmzn _q
^шл:п
Зависимости д _уп ^ и ,^п (анр)
ди>у п	du>zu
являются, очевидно, четными функциями от апр, причем	"
^(0) = ^-(0) = т“.
п	duz	„
Остальные производные относящиеся либо к моменту тхи, либо
к угловой скорости (Охи, не равны нулю лишь в том случае, если
учитывается влияние сил вязкости. Действительно, если эти силы
пренебрежимо малы, то угловая скорость o)xn не играет роли, так
как перемещение поверхности тела относительно газа происходит
только в касательном направлении. В то же время, если касатель¬
ные напряжения на поверхности тела отсутствуют, то нормальные
к поверхности тела вращения силы проходят через ось и не приво¬
дят к появлению крутящего момента тхп. В том случае, _если эф¬
фектами вязкости пренебречь нельзя, производная дтхп/дыхи(апр)
является четной функцией от апр, а производные дтхи/да)уП(а11р) и
дтуп1д(йхи(аПр)—нечетными функциями от апр. Производная
dmyn/du>Xn{anv)—фактически определяет известный эффект Маг¬
нуса.
Описанная методика представления аэродинамических коэффи¬
циентов тела вращения может применяться непосредственно, если
уравнения движения записываются в тех же осях (как это де¬
лается, в частности, в разд. 10 и 15). При желании можно перейти
к связанным осям. Для этого необходимо учесть, что связанные
оси Оу и Ог повернуты относительно осей Оуи и Ozn на угол собст¬
венного вращения ф (см. рис. 3), т. е.
Щ = CO'S ty + mz„ sint,
mz = mzncosl]? — myn sinФ,
iOyn = u>y COS ф — to £ sin Ф,
mzu=u)z COSФ-h(Oj, sin Ф,
а также учесть, что углы аир связаны с углами апр и ф соотно¬
шениями
sin 3= sin апр sin ф,
cos а cos р = cos апр.
45

Рассмотрим для примера случай малых углов атаки и скольже¬
ния, когда можно считать, что
а — а„р cos ф, Р = <хяр sin Ф,
т«уп = тш+тт2уа?,р, таг*« = nf + от" а2р,
т“^г!=—mMа1ф (момент Магнуса [30]), m'^t" = rn^‘a!ip, т™х= const.
После несложных выкладок получим выражения для прираще¬
ния аэродинамического момента, обусловленного угловой ско¬
ростью:
Дот, = от"^ + от^(дор — fo),	]
Дту = [т"+т“уа2+т“р]ш^-тмшоЛ. + (т“ — m“Jap«oe. [	(8-2)
Дтг = [т"+т"?2 + от" а2] + отмВЙЛ. + (от" - ot"J afy,.
Поскольку в действительности аэродинамические коэффи¬
циенты зависят не только от «текущего состояния», но и от пред-
истории движения, можно попытаться учесть эти эффекты, вводя
в аэродинамические коэффициенты производно от углов атаки и
скольжения, от компонент скорости центра масс относительно по¬
тока, от угловых скоростей, хотя возможности учета предистории
таким способом, конечно, ограничены. Так, в ряде случаев учет
предистории (нестационарности картины обтекания) сводится
к использованию, наряду с членом	члена m°zl'vallV, хотя
выделить порознь эти члены на основании экспериментов с мо¬
делью, колеблющейся в аэродинамической трубе относительно
своей поперечной оси, затруднительно: обычно результаты экспе¬
риментов представляются в виде суммы	При	таком
представлении трудно получить «в чистом виде» и момент Маг¬
нуса: действительно, если вращать модель относительно продоль¬
ной оси, установленной под углом к набегающему потоку, то ре¬
зультаты экспериментов должны быть представлены в виде суммы
т*‘,у+гп*х [30, 70].
В некоторых случаях влияние нестационарности обтекания учи¬
тывается введением членов, пропорциональных производным от
компонент скорости центра масс VX} Vy, Vz. Можно отметить, что
таким способом учитывают влияние «присоединенных масс», если
тело движется в плотном газе или жидкости: например, таким спо¬
собом легко учесть влияние производной V на силу сопротивления,
в то же время величина этой производной никак не отражается на
значениях аир при а = р = 0. Разумеется, нельзя вводить в аэро¬
динамические коэффициенты все перечисленные факторы одновре¬
46

менно, поскольку они не являются, независимыми. 1ак, при малых
аир выполняется соотношение \
\ .
поэтому надо оговорить, какие три из величин, входящих в это
соотношение, следует считать независимыми и вводить в выраже¬
ния для аэродинамических коэффициентов.
Ограничимся в дальнейшем использованием выражений для
аэродинамических коэффициентов типа (8.1). Можно подразуме¬
вать, что производная т*г как бы уже включает в себя эффект
нестационарности, если она получена при испытаниях в аэродина¬
мической трубе. При определении производной расчетным пу¬
тем (в частности, по теории Ньютона) на основе гипотезы стацио¬
нарности влиянием производной	будем пренебрегать.
Формулы для пересчета производных drrii/diOj, относящихся
к связанным осям, при изменении положения центра тяжести вы¬
глядят более сложными, чем для пересчета статических моментов
даже при использовании гипотезы стационарности. Действительно,
во-первых, значения коэффициентов моментов изменяются в соот¬
ветствии с формулами (7.7) и, во-вторых, наличие вектора угло¬
вой скорости со, взятого относительно нового центра масс эквива¬
лентно наличию того же вектора угловой скорости, взятого отно¬
сительно старого центра масс, а также изменению углов атаки
и скольжения и величины скорости:
Да, Др)Г =(ДГ, Да, Д?)Т = Л(Г«Л„ йу, »г)т,	(8.3)
где матрица А имеет вид:
А =
Az sin a cos р +
f А у sin р
Az cos а cos р —
— Ал: sin р
— Ау cos а cos р —
— Ах sin а cos р
- cos а
Az
- sin а
	 	 2*
А у sin а — Ах cos а
COS Р
cos р
cos р
А у cos Р —
— Ах cos р —
Да/ cos а sin р +
— Az sin а sin р
— Az cos а sin р
+ Ах sin а sin р
(как и ранее, принято, что смещение Ах от носика к корме поло¬
жительно) .
Учитывая соотношения (7.7) и (8.3), можно получить нужные
формулы для пересчета производных
47

Для примера проварьируем выражение для коэффициента тг
по со2:
(mz)Ar = mz + спкх +	у,
К)1?=»>;>++»>'-^+’п’£;+'п"^;+
+^:c-,p-+A^-+ci^) + ^ici-p-+c>-P-+c’S).
v do)z ды2 z '	'	2	г	'
Очевидно, что mvz = 2mz, cvn = 2cn, с\ = 2сх, поскольку размерные
хилы и моменты пропорциональны квадрату скорости. Производ¬
ные (3F/(3(d2, да/доэ2, (5|3/(5со2 являются элементами матрицы Л
(в данном случае — элементы последней строки).
В результате, например, для Дя^О, Дг/^О получим
ДтГг = | —	CQS а -\-ml sin а sin ? — 2mz sin а cos3-j-c/ Дх —
1_ cos р	J
__Г а coso— sinasin^-j- 2c/zsinacaspi Да;2,
L cos Э	J
или при малых аи(3:
д>п”г=(—т£ + с“г) Ах — сапкх2.	(8.	4)
Аналогичным путем можно получить и другие интересующие
нас формулы.
9.	АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ,
ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ
Для анализа влияния малой асимметрии на движение тела
важно оценить характерные значения параметров, определяющих
асимметрию.
Возможным источником асимметрии может быть смещение
центра масс с оси вращения для осесимметричного тела. Такое
смещение может быть как малой величиной, обусловленной слу¬
чайной неравномерностью в распределении масс, так и большой
величиной, если это смещение специально создается (например,
с целью создания подъемной силы). В последнем случае смеще¬
ние центра масс уже не считается параметром асимметрии: эти
варианты конфигурации тела могут рассматриваться как частный
случай тела с плоскостью симметрии. Другим источником массо¬
вой асимметрии может явиться перекос главных осей инерции тела,
что приводит к созданию центробежных моментов инерции 1ху,
Ixz, lyz относительно осей геометрической симметрии. Аэродина¬
мические моменты асимметрии, обусловленные смещением центра
масс, определяются приведенными выше формулами типа (7.7).
Влияние перекоса главных осей определяется введением в урав¬
нения движения центробежных моментов инерции.
48

Если рассматривается тело с плоскостью симметрии, то для
него параметрами массовой асимметрии являются боковое сме¬
щение центра масс Дг и центробежные моменты инерции 1хг и Iyz.
Наряду с массовой асимметрией возможна асимметрия в аэро¬
динамических силах и моментах, обусловленная искажениями
формы поверхности тела, причем эти искажения могут быть или
технологическими или иметь другой источник: неравномерности
деформаций, неравномерность обгара [64, 18]. Для оценки влияния
этих искажений поверхности при гиперзвуковых скоростях полета
попытаемся использовать ударную теорию Ньютона [48, 51, 18].
Здесь следует оговориться, что точность определения аэродинами¬
ческих моментов с помощью теории Ньютона невелика, поэтому
результаты расчетов следует рассматривать скорее как оценку по¬
рядков соответствующих величин.
Рассмотрим вначале случай, когда номинальное смещение
центра масс тела вращения относительно оси равно нулю. В этом
случае достаточно определить значения возмущающих сил и мо¬
ментов при нулевом угле атаки.
Изобразим тело вращения в правой центральной системе осей
Ох, Оу, Ог считая, что ось Ох направлена противоположно скоро¬
сти набегающего потока (рис. 4). При отсутствии искажений урав¬
нение поверхности тела имеет вид:	х(у, z) = Xq(Yy2Jrz<1)=xоМ-
При наличии искажений поверхности х(у, z) =х0(г) +г6х(у, z).
Будем считать, что искажения поверхности являются «плавными»,
так что в любой точке pv = —рх<0, где р — единичный вектор нор¬
мали к поверхности. Согласно теории Ньютона силу, действующую
на элемент поверхности dS, можно определить по формуле
(9.1)
dF=—2plqdSp, )
f = -±-dF=-2p2vp,
qdS
или, учитывая, что направление скорости совпадает с осью х:
fx = —2px, fу = —2рур2х, fz = —2pzpl.	(9.2)
Определим величины статических возмущающих моментов
№(y.fz-zfy)dS	JJ	(zfx-xf2)dS
s	s
Мхо=	—	r	tnya=	■
IS 1	IS	1
где I — высота тела вращения, которая принята за характерную
длину; Si — площадь миделева сечения.
Учитывая, что pxdS = dSх — элемент площади миделева сечения,
получим
2 \\(гру — ург) PxdSi
=	 -Ж-	<9'3)
49

Вычислим интеграл
дх	дх
j=\\^p,-yp.)p^=\\	'''ikx-
Sl	Sl	1	+	(	дг	)	+	(	ду	)
dydz. (9.4)
Переходя к полярным координатам y = r coscp, z = r sin (р,
получим
дх	дх	дх(г,у)
У z =—,
дг	ду	ду
dSx — rdrdy.
дх \2
ду
Рис. 4. Тело вращения с ма- Рис. 5. Простейшие тела вращения, круговой по¬
лыми искажениями поверх-	нус	и	сферический	сегмент
'НОСТИ
При отсутствии искажений поверхности дх/дф = 0, тх0=0.
При наличии искажений поверхности
дВлс
ду
дЬх дЬх dxr)
дг ду dr
dx о
дг
rdrdy>-{-0(e3).	(9.5)
Если считать, что контур Сь ограничивающий область S\ на
плоскости (г/, z), не отличается от окружности С с центром в точке
50

у = О, z = О с номинальным радиусом R, то интеграл от первого сла¬
гаемого в правой части (9.5) обращается в нуль, поскольку
дЬх
■rdrdy R	2тс
	[	rdr—\ ^d<?=о.
J ,	/	dx0	\2	}	df
J / dx0 \2 .	/	\2 i
Sl 1 +{~7) »1+hr)°
Тогда
«	2r-^~	/2*	\
У = У1=-е2\	-	1	С	-£*£.	Уср	|Уг	+	0(е3).	(9.6)
Рассмотрим, как влияет отличие контура С\ от номинальной
окружности на величину тх0. Будем считать, что поверхность
«срезана» плоскостью, единичная нормаль к которой, обозначае¬
мая через я, отклонена от оси Ох на малый угол:
Л,як1, Пу^Ву, tiz = Bz.
Тогда уравнение контура можно представить в виде
Rx = R~ — 	[8*	(/?,	<р) + егЯ sin cp-f iyR COS ср] + О (е2), (9. 7)
dxc\
—г- (R)
dr
а функцию Ьх в области S, лежащей между контурами С и СА,
в виде
еЬх(г, ср) = £&*(/?, ср) О (е2).
Тогда добавочный интеграл /2, взятый по области S, имеет вид:
2тг
Г дВлг(#,Ф)
дЬх	&R	\ 	1
——(R.v)(Ri—R}Rd4>	J
Г C70JC (/< , ф)
дВл:	&2R	\	  Ьх	(R,y)	dy
^-—(R,V)(Ri-R)Rd<?	J	*P	v	.т/	г
уя = е ^ _^Р	 _	0
2	Г	dx,	12	dx0	ГГ	dx0	„	"12 'i
1 + 1дГда]	+	)
2тс
С Мх(^.ср)
Г dB* (/?,?)
\ 	  (с2	sin	<Р	4-	cos	?)	d<Р
о
rf, <s>i, + [^wI
Разложим функцию Ьх(г, ф) в ряд Фурье:
со
8х(г, <р)=£°£1+^ [aft(r) cos fcp+ **(/•) sin Лер]. (9.9)
k=\
51

Тогда, как нетрудно видеть,
2тс	оо
и^г)(^Ь=я2‘й^(1г)
О	k=l
2тс
I'
дЬх
ду
(ег sin ср ьу COS ср) = jt (еуЬх — егаг
В итоге найдем:
т
4е2
L k=\
dr
xQ~
т
»J №)т
2e [sybi (R) — tzai (/?)]
dx* (
Г dxo „ V
(9.10)
Как видно, коэффициент mx0 имеет второй порядок малости
по е. Аналогичным путем получим формулу для коэффициентов
Що и сго, имеющих первый порядок малости по е:
n db\	dx о
Н 	 г
4е i	dr	dr
=—\
IR2 }
■ х0 '
dx о
dr
)-
dxn
d^xn
dr dr2
■ rx0
-dr-\-
R+ x0(R)-^-(R)
dr
dx Q
dr
Cz0
  4e С
~'
(*)[l
+[
dx о
dr
- 2
(*)
>(dbl
dx о
h
dteq)
Ur
dr
	 U
1 dri )
(9.11)
rdr
2t,
[\ I dx о \2
2
1 +
1 +
V dr _
■%*>]’
(9. 12)
dr
Для того, чтобы определить производную mxP, представим, что
вектор набегающего потока лежит в плоскости (z, х) и наклонен
к оси Ох под углом р. Тогда, учитывая, что Vx =—Kcosp, Vz =
=—V sin p с точностью до малых второго порядка по е получим
/> = —4 рхргр,
Жyfl — zfy)dS	R а\ ~~ rdr
m*=—	\	^	.	(9.	13)
IS1	ISi	1	/	--	-	о	v	>
О 1 +
52

Аналогично
С X
* (bl^Lo_db1Jx1\rdxo_ar
г V dzt dr dr ) dr
4«,
[^>Г
(9.14)
С xv—Cx	С zQ*
Наконец, определим производные демпфирования. Если имеется
угловая скорость о*, то в осях, связанных с телом, набегающая
скорость имеет компоненты Vx =—У, Vy = zayx, Vz = —у(ох, откуда
с точностью до малых второго порядка по сох
/со	4	,	ч
J х=—- {РгУ-Руг)Р*Р
- Jj (tffz
z/mi)ds
т х=
р 2 *2 (4 + ь\) rdr
4е2 \ k=l
is 1
/2/?2 О
1 +
туХ =
Сх-
dx о .
r ~h х0 —— ) CL\rdr
1 +
dx Q
dr
__ ^*0
Я
4e у dr
m j"
0 1
(9.15)
J
Если щф0, то в осях, связанных с телом, набегающая скорость
имеет компоненты Vx = — V+гщ, Vy = 0y Vz = —хсоу, откуда с точ¬
ностью до малых второго порядка по (оу:
ГУ =-у(^2- РгХ) рхр,
m*j = пг
Формулы для остальных коэффициентов имеют аналогичный
вид.
При переходе от ту0, с\ к тг0,с* изменяем Ь1 на —а{, еу на — е2;
при переходе от cz0 к сп0 изменяем Ьх на аъ гу на sz; при переходе
от nix, с^х к тах, с*х изменяем а! на Ьх; при переходе от т*х==т*у
к mzx=m*xz изменяем ах на — Ь\.
53

Для полноты выпишем также, используя теорию Ньютона, те
значения аэродинамических коэффициентов, которые не равны
нулю и при отсутствии искажений поверхности тела:
В работах [48, 18] рассмотрены некоторые характерные типы
искажений поверхности и получены выражения для возмущающих
моментов и сил.
Аналогичным путем можно рассмотреть случай, когда смеще¬
ние центра масс с оси вращения не является малым и, следова¬
тельно, угол атаки не является малой величиной [51]. При свобод¬
ном движении тела в атмосфере оно балансируется под углом ата¬
ки а, который определяется из соотношения
где тг(а) —моментная характеристика тела вращения с несме¬
щенным центром тяжести при том же значении хТ.
При малых искажениях тела вращения возникают возмущаю¬
щие силы и моменты, в частности сго=^0, тхоФ0, туо¥= 0, при этом
процедура вычислений усложняется лишь в незначительной сте¬
пени.
Одной из наиболее важных характеристик является величина
эффективного крутящего момента (см. разд. 17):
(9. 16)
тг(а)-\-сх{а) Д# = 0,
(9. 17)
{тхо)эф=т*о + т^ - тх0 — Жуо -^=гпхо + CZ<A\) — т
• tiX
54

—	—	— т\ (а)
Здесь Lx (а) = хрр (а) — х = —§ запас статической устой-
сНа)
чивости по углу скольжения, причем для тела вращения
сп («)
тхо — возмущающий момент, определяемый без учета смещения
Д у.
Учитывая, что ту0—Дхсг0=(ту0)р$—возмущающий момент,
вычисленный относительно фокуса, получим
{тх0)эф=тх0 — ^{ту0)г9,	(9.18)
причем, в отличие от случая нулевого угла атаки не только значе¬
ние пгуо, но и значение тхо имеет порядок е.
Заметим, что при ньютоновском обтекании в диапазоне углов
атаки, где вся поверхность обращена к потоку, справедливы соот¬
ношения
2 v
щ (а) = р cos2 а-) sin2 а,
с„ (а)= 2 ~ р sin 2а
(где p=cz{0)),
к Суу _ 2 (1 — р) — (1 — p/2) tg2 а	а ^
eXv	р	+	3	(1 — p/2) tg2 а
2t8a”TT(tg2“+J37)'
В качестве примера рассмотрим круговой конус и сферический
сегмент (рис. 5) и простейшие искажения поверхности.
1. Круговой конус
/7 = 2 sin20, — = tg0, Xf$ =	——, 7C0(r) =
/	‘ " 3cos2 0	3cos2	0 Itgd
а) Перекос кормового сечения, ez=7^0. Плоскость кормового се¬
чения повернута относительно оси Оу на угол ez.
Используя приведенные формулы, получим
1
тх О = 0,
/	«	2	/	9	,	9	с	,	sin2 a \
{myo)F{> = —- ^cos2atg26-|	 —J e2,
/	sin2 a \
4 tg a (cos2 a tg2 0 -f- —-—11
(^лго)эф
3 (tg2 a + 2 tg2 0)
(9. 19)
55

При малых Ду и а
<m'»w=Ta,-=Ttg!
tg2 (
■Kez.
3 1 — tg2(
б) Сплюснутость поперечного сечения, Ь2 = гг ctg0.
Поперечное сечение представляет собой эллипс с малым экс¬
центриситетом е, главные оси которого повернуты на 45° относи¬
тельно оси Оу\
тх0 = О,
V
4е
(туо)гр= sin2 0 sin 2 а,
3
(^лго)эф“
2е sin2 се
/	8	si
\tg2 а +
sin2 0
tg2 а+ 2 tg2 (
COS2 0) .
(9.20)
При малых Ду и а
:2sa2 coiS2 0 = 2
sin4 0
COS2 0
tg4 9/(2e
(1 — tg2 0) (1 — tg4 0)
Центровки и моменты отнесены к длине конуса. Формулы (9.19)
и (9.20) справедливы при |а|^0.
2. Сферический сегмент
/?=1 + (1— а)2, где а = Л-<1,
АС
-^- = Va{2 — a), хръ=\, *0(r)= 1 —|/" 1—
{центровки отнесены к радиусу сегмента).
а) Перекос кормового сечения, ez^O.
(^о)зф=0
б) Сплюснутость поперечного сечения, 62 = £
Г2
VRl - г2
т
'х0 ‘
2ея2 (20 — 15a + 3a2) sin2 а
(myo)F? ’
15(2 —л)
4еа (15 — 25а + 15а2 — За3) sin 2a
15(2 —а)
("Ц0)зф = 15 (2 —2^> Iд (20 — 15д+3а2'
1(15 — 25а + 15а2 - За2))
tg2 a +
2 [1 + (1 — а)3]
а (2 — а)
(9.21)
Все моменты отнесены к радиусу сегмента, формулы (9.21)
справедливы, если |sina|<l—а.
Как видно, влияние сплюснутости поперечного сечения на зак¬
рутку тела проявляется лишь при достаточно больших углах ата¬
ки, так как при малых а величина (тх0)эф~еа2.
56

10.	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Форма уравнений движения, используемых в численных расче¬
тах или при попытках получить аналитические решения, во многом
предопределяет возможность успешного и экономного решения за¬
дачи. Естественно, что каждому варианту постановки задачи соот¬
ветствует своя, наиболее рациональная форма записи уравнений
[6, 31, 35, 42]. Поэтому здесь не будет использована некая универ¬
сальная система уравнений. Так, при решении задачи о движении
тела в линейной постановке удобно использовать линейную систе¬
му уравнений, записанную в связанных координатах (гл. 4). При
исследовании движения тела с плоскостью симметрии предпочти¬
тельнее использовать уравнения в полусвязанной системе коорди¬
нат (разд. 22). Наконец, при исследовании движения осесиммет¬
ричного или близкого к нему тела при больших углах атаки (разд.
13, 15, 23) удобно записать уравнения в осях, связанных с прост¬
ранственным углом атаки, что облегчает применение аналитических
и асимптотических методов.
Прежде чем перейти к выводу этих уравнений, запишем систему
уравнений движения тела около центра масс в наиболее общем
виде:
+ =	(10.1)
cit
Здесь со — вектор угловой скорости системы осей, на которую
проектируется кинетический момент Q и аэродинамический мо¬
мент М.
Если выбрана система осей, связанных с телом, то уравнения
движения приобретают вид
+ w XQ = M.	(10.2)
dt
Здесь со —	вектор	угловой скорости тела;	Q = /co — вектор	кине¬
тического	момента,	I — симметричная матрица — тензор	инер¬
ции:
I xy
-I
I x у
-/
-Ixz
-ly
I
М — вектор аэродинамического момента в проекциях на связан¬
ные оси.
Аэродинамические моменты зависят в первую очередь от углов
атаки а и скольжения (3, определяемых соотношениями (7.2). Урав¬
нения для изменения углов атаки и скольжения (кинематические
соотношения) имеют вид
da	  j_.ni	•	j	n	cyqS	g cos 0 cos Yc

Последние члены в правых частях этих уравнений, зависящие
от местного угла наклона траектории 0 и силового угла крена ус>
определяют влияние гравитационной силы. Угол ус задает ориента¬
цию осей тела относительно Земли и определяется, как двугран¬
ный угол между плоскостью симметрии тела и местной вертикаль¬
ной плоскостью, содержащей вектор скорости. Уравнение для из¬
меняя этого угла имеет вид
1 г	г	суЯ$
—х— =	 со г cos а —со,, sin а+ sin 3 cos yr cois ус —
Л cos И	у	L	«V-
_ с~ sin Р + с7со^ Р s sin		¥?—)] +
mV	4	c	V \ R + H ) J 1
i / • о • i rji d\ Г	, cx sin 3 + cz cos 3 c	"П
-f (sin (4 sin Yc + cos ptg0)	Sln	Ус	+ —	—	  gS	COS	yc 11 .
(10.5)
К этим шести уравнениям следует добавить шесть уравнений
движения центра масс. Если не интересоваться вопросами рассеи¬
вания траекторий, то можно ограничиться тремя уравнениями, оп¬
ределяющими изменение скорости V, местного угла наклона траек¬
тории 0 и высоты Н.
Для сферической невращающейся Земли эти уравнения приоб¬
ретают форму
dV	(с. cos $ — cz sin В) qS	.	а	/т
 = ——	-	-	ил	g- sin 0;	(10.6)
dt	т
db [Су cos ус — (cx sin p + c^cos P) sin yc]gS qt	y2	\
 =	1	COS 0;
dt	mV	V	\	R + H )
(10.7)
— = Ksin6.	(10.8)
dt
В случае тела вращения
c^cosp — c~s\n$ = cxv{anp).
Как видно, выписанная система уравнений является достаточно
сложной. Обращаясь к случаю движения тела, близкого к осесим¬
метричному, можно добиться существенного упрощения задачи, ес¬
ли пренебречь влиянием гравитационных сил на движение тела
около центра масс — пренебречь последними членами в правых
частях уравнений (10.3) и (10.4). Оценки показывают, что во мно¬
гих случаях такое допущение не приводит к серьезному искажению
картины движения. Влияние гравитационных сил на движение те¬
ла около центра масс рассматривается в работах [43, 66]. Отметим,
58

что при указанном допущении уравнение для изменения простран¬
ственного угла атаки осесимметричного тела приобретает простой
вид:
rfct'np
dt
со
Сyv (апр)
~тУ
(10.9)
Далее следует отметить, что в случае движения тела, близкого
к осесимметричному, осредненное влияние аэродинамической силы
на изменение угла 0 приводит к поправкам второго порядка мало¬
сти [16]. Поэтому, если иметь в виду применение метода усредне¬
ния, этим влиянием можно пренебречь и отбросить первый член в
правой части уравнения (10.7). Тогда, как нетрудно видеть, угол
крена ус становится несущественным параметром, и уравнение
(10.5) можно исключить из рассмотрения. В дальнейшем при ис¬
пользовании метода усреднения во многих случаях будем считать,
что траекторные параметры 1/, 0 и Н изменяются медленно, и бу¬
дем приписывать правым частям уравнений (10.6) — (10.8) пара¬
метр малости е. Конкретный смысл, который вкладывается в поня¬
тие малости, будет рассмотрен ниже, в разд. 12. При использовании
метода усреднения для решения поставленной задачи целесообраз¬
но выбрать такие переменные, которые мало изменяются на протя¬
жении одного периода колебаний [27]. Так, в небесной механике в
качестве таких переменных используются так называемые оскули-
рующие элементы-параметры оскулирующей орбиты [32]. Простран¬
ственные колебания тела, близкого к телу вращения, при условии
малости аэродинамического демпфирования близки к колебаниям
осесимметричного твердого тела с закрепленной точкой под дейст¬
вием момента от силы тяжести с заменой направления скорости на
направление вертикали — случай Лагранжа—Пуассона [25, 20]. Но
в случае Лагранжа—Пуассона существует два интеграла, опреде¬
ляющих постоянство осевого кинетического момента и проекции
кинетического момента на вертикаль. Поэтому можно ожидать, что
проекции кинетического момента тела на связанную продольную
ось Qx и на направление вектора скорости Qxv являются медленно
изменящимися величинами.
Запишем уравнения движения тела в проекциях на систему осей
Oxv, Oyv, Ozv и Охп, Оуи, Ozu (см. рис. 3):
^+«yvQzv-o>2VQyv=eM.
V^zvQxv	wxvQzv
(10. 10)
59

+ MyuQzn — mzuQyH= бЛ,л
dQ у ii
dt
znQx ^JCnQzn £^*/n
dQz" '-*xaQya-*y&x=M,a.
dt
(10.11)
Отметим, что в тех случаях, когда оси совпадают (оси Охп и Ох,
Ozn и Ozv), совпадают и проекции аэродинамического момента и
кинетического момента на эти оси (Qxn=Qx, МХП=МХ, Qzn=Qzv,
MZTI=MZV), но проекции на эти оси угловых скоростей, характери¬
зующих вращение различных систем координат, не совпадают, т. е.
(Dz G)zv
Введение параметра малости г обусловлено тем, что аэродина¬
мические моменты Mxv, Myv, Мхп, Муп определяются малой асим¬
метрией тела, а также влиянием моментов демпфирования, пропор¬
циональных малым безразмерным угловым скоростям. Допущение
о малости моментов демпфирования справедливо при малых значе¬
ниях безразмерной плотности Q = QSl/2m (см. разд. 7 и 12).
Скорость вращения плоскости угла атаки относительно вектора
скорости равна coxi;, а изменение направления вектора скорости, по¬
скольку влияние гравитационных сил не учитывается, определяется
аэродинамической силой, нормальной к направлению скорости. По¬
скольку влияние этой силы на движение тела около центра масс
аналогично влиянию моментов аэродинамического демпфирования,
можно учесть только основной член, определяющий эту силу, пре¬
небрегая влиянием аэродинамической асимметрии и влиянием уг¬
ловых скоростей на силу — эти члены имеют порядок г2.
Отсюда следует, что
У v (а,ф)
:0, w =е
mV
Поскольку система осей (Охп, г/п, zu) поворачивается в плоско¬
сти угла атаки вслед за осью х, угловая скорость o)zn отличается
ОТ СО21?.
«ъ»	decпр	У D (сс пр)
- 6 ■
dt	mV
а угловые скорости со* п и щ ш очевидно, составляют
шд:п == °*xv	^пр»
шуп	wxv ^пр*
Тело вращается относительно системы (Охп, г/ш £п) с угловой
скоростью dtyjdt, направленной по оси Ох(Охп), что дает возмож-
60

ность получить выражения для проекций угловой скорости тела на
ОСИ (хп, У^п) •
~	,	d'b -	|
Zi*xn ~dt=^xv CQS а"9 ~dT ’
"у II"
:	^xv	Sin	ССпр,
dt
Yv (ctIip)
mV
(10. 12)
Компоненты кинетического момента в осях (Охи, ут ги) опреде¬
ляются через угловые скорости и моменты инерции тела, которые в
соответствии с работой [25] можно выразить через моменты инер¬
ции в системе связанных осей Ох, Оу, Oz (выберем оси Оу и Oz
так, чтобы 1уг = 0):
/л-П == Iх>
Л,о = / + вЛ/Э зт2ф,
Izn = I + eM3 соэ2ф,
S (/^)п = £Л/э Sin Ф cos Ф,
£ {1ху)п = ъ1 ху COS Ф- В/^ Sin Ф,
£ Uxz)n = *Jxz С0бф + е/^ sin ф,
где s А/э — I г — 1
Наконец, из очевидных соотношений
Qr/г; sin сс,,р -\~QXV cos alip = Qxt
Qx cos ccnp Qyn sin ctnp = Qxv>
разность экваториальных моментов инерции.
получим соответственно:
Qyvz
Qynz
Qx-Qx
*пр
sin ос
пр
Qx cos апр Qxv
(10. 13)
(10.14)
*пр
Из шести уравнений (10.10) и (10.11) выберем три уравнения.
Первое уравнение системы (10.10) с учетом выписанных соотно¬
шений приобретает вид:
f~GC0Sa,ip +i^l ,	(10.15)
dt L mV	sin arip	/	J
mV sin arip
где 0 = Qxv/I\ r = Qx/I.	(cm.	[20]).
Преобразуем далее первое уравнение системы (10.11).
Поскольку Zyn = a>yn, Mzn=uzn,
Qz II f Zl№z П	x z)n^X	{I у z) n WУ П» Qyn I у n^yn	xy)n	у	z)n	1
61

получаем
dQx
dt
\U y\\	II)	^yu^zn	H~~	xz)nii)x(J)yu	xy)	n^x^zn
-(iyzU«2yn-«L)+Mx}.	(10.16)
Отсюда с учетом малости членов 1уи—/2П, (1ху)и, (Ixz)ш (Iyz)п
следует, что с точностью до малых высшего порядка достаточна
подставить в уравнение (10.16) приближенные выражения для угло¬
вых скоростей
Ох
1х
da
Qyn
I у И
Qx c°s Ct'np Q
I sin a
up
np
(10.17)
dt
В итоге уравнение (10.16) приобретает вид
G — г cos апр	sin 2 ф Г	/ G — г cos а
dr А/э (	0|	danp
 = е—э icos 2Ф
dt /I	dt
*пр
пр
sin а
пр
ег
г cos апр — G Ixz cos ф + /ху sin ф
(10.18)
*ир
dauр 1ХУ cos ф — Ixz sin ф
dt
)+‘-Т
Наконец, рассмотрим третье уравнение системы (10.10). В это
уравнение следует подставить выражение для Qyv (10.13) и найти
d Q z<y
с точностью до малых второго порядка выражения для <*>xv и —
dt
у гг
Qy п + е Uху)п^х “Ь е Uyz)n^z п
лир
1 Г Qx COS апр Q.*
/ sin а'„р L sin tfnp
fyn sin апр
А/э . о , Qxv Qxcos C^np
■ s 	-	Sin2	Ф		;
*np
+ 8 dxy)u + e {1уг)а
' Г
^CCnp I
dt J ’
dQ zi
dt
 dQzn  T
~ dt ~ 2
d%a
np
dt 2
A/»
•e /
УI (ctnp) da
np
da
-Д/э sin 2ф —— —-—
(10. 19)
mV
dt
- COS
2ф(-
Qx cos аир QXv \ й?ф
xnp
) dt
А/,
21
sin 2ф-
da
np
Qxv cos arip — Q
dt dt
dt
sin2 cC,
np
■ dxy COS <!> - Ixg sin Ф)	J.
(10.20)
62

Производная d^jdt определяется соотношением
03 у п
dty
dt
= iS>x — wxv cos апр = сод
tga
Q* _l_ Qxcos a Qxv
Ix	I	sin2	aIip
up
COS
I Г xy)ll 2Qx cos anp Qxv
“up + e —	—
L lx	I sin a„p
(10.21)
i^xz)ii ^anp . (fyz)II ^anp (Q^- COS ССцр — Qxv) COS CtI(p А/
dt I tg a dt
I sin2 a
up
Д/э • 2 .1
—j- sirr Ф .
Подставляя выражение для производной dyjp/dt в соотношение
(10.20), можно отбросить члены, пропорциональные е, поскольку в
этом соотношении они дают эффект второго порядка малости, в ре¬
зультате третье уравнение системы (10.10), приводится к виду
d2a„p	Yav (alip) danv еД/э гг r (G — r cos a„p) cos a:
dt2
mV
асспр	|Г г
~di~~~T l[T7~~
lip
sin2 a
X
np
Г • n.rfa“P	c	(G	-/■ cos a„p) 1
X sin 2ф cos 2ф
L	dt	sin	anp	J
(G — r cos anp) 1 (G — r cos aIip) (r — G cos a„p)
Лпр
— 8 Г ■
I Xy cos if- /«бтф
2G cos anp — r {1 + cos2 anp)
sin2a
up
!J-
(O — r cos a„p) (G cos a„p — r) мги
sin3a
up
f (! —e ^^-cos2t) • (Ю.22)
В выражениях для аэродинамических моментов следует учесть
основные члены, определяемые соотношениями разд. 8, а также до¬
бавить моменты, обусловленные асимметрией:
гМ=Шхй{ап^)+ш7 (anp) -j- + е МУ (апр) Г ^	)
Ix	\ Sin апр	/
е^п=е^по(а„р,Ф) + еЛ1^(аир) у—b
T (аПр) X
г cos апр — G
sin а
пр
da]
Mzn = eMzn0 (а„р,ф) + 8Mil* (апр)’-^-Р + Мжи (апр),
£Mxv=zMxcos апр — еУИ^н sin апр.
В итоге уравнения (10.15), (10.18), (10.21) и (10.22) совместно
с уравнениями траектории (10.6) — (10.8), правые части которых
умножены на е, сводятся по форме к уравнениям типа (4.1)~ (4.3),
что позволяет применить к ним метод усреднения. Наиболее прос-
(10.23)

той вид уравнения (10.15), (10.18), (10.22) приобретают в случае
движения осесимметричного тела:
dt2
dG
dt
da
Mz (a) (G — r cos a) (G cos a — r)
dt I
e fyQ— ehr = 0,
SindCC
=0,
+	&gyO	=	0,
где
Ya
л V
~mV
Mzz
f =—	  f
J Z г т	r	»	J	i
Yv
мУ м у
mV tg a
/ tga
;i0.24)
h=
Yv
МуУ
mV sin a I
CO
I*'
COS
CO	CO	.CO
M*	I	Ni	jy	cos^cc	M-
a_J £_ r.osrc -|- 'c	 L
gx
I tga
/ sina
CO
МУ
sin a,
/ sin a
a = arip, Myy = Myln и т. д.
Глава 3
ДВИЖЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
11.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЙ ТЕЛА
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ. ПЕРЕХОД ОТ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ К КОЛЕБАТЕЛЬНОМУ
Рассмотрим плоское движение осесимметричного тела около
центра масс. Движение можно считать плоским, если начальная уг¬
ловая скорость является экваториальной (cox=0), направленной
нормально к плоскости угла атаки, а направление вектора скоро¬
сти на рассматриваемом интервале времени не успевает заметно
измениться. Упрощенное уравнение плоского движения тела около
центра масс можно получить из уравнения	(10.24):
dig с cj, (a) qS	(°)	gSl 1 da	^ (a) gSi	q
dt2 ~^£ L mV	IV	J dt	I	’	(11.	1)
CO	CO
(anp = |a|, mzz = mZnn),
причем в случае плоского движения удобно принять, что угол ата¬
ки лежит в пределах (—я, я). Если рассматривается задача о вхо¬
де неуправляемого тела в атмосферу, то начальные условия a(t0) =
= ao; da/dt(tQ) =coz0 обычно задаются в некоторый момент времени,
соответствующий высоте «границы атмосферы» Н\.
64

При Н>Н{ влиянием аэродинамических моментов можно пре¬
небречь: на этом участке полета тело равномерно вращается (ку¬
выркается). По мере роста скоростного напора q, обусловленного
возрастанием плотности атмосферы, равномерность вращения на¬
рушается, и, начиная с некоторого момента времени, вращательное
движение переходит в колебательное.
Попробуем формально применить результаты разд. 2 к оценке
изменения амплитуды колебаний, пренебрегая влиянием аэродина-
со а
мического демпфирования (mzz, cyv),а также пренебрегая зависи¬
мостью коэффициента сопротивления cxv от угла атаки. В этом слу¬
чае изменение скорости не зависит от характера движения тела
около центра масс и скоростной напор является просто функцией
«медленного» времени т. Заметим, что указанные допущения прак¬
тически справедливы для сферического тела (.космический корабль
«Восток»). Тогда, используя соотношение (2. 34), связывающее зна¬
чения интеграла действия во вращательном' и колебательном дви¬
жении, а также учитывая, что во вращательном движении ат—
= —amin=JT, da/dt=(£>zo, получим
Здесь через	-da	обозначен	интеграл	действия	(в	от¬
личие от fg=2	для	пространственного	движения,	в	пре¬
дельном случае при ых—>0, amIri—>0эти выражения совпадают).
Изменение фазовой картины движения показано на рис. 6. При
достаточно больших q значение ат может стать малой величиной,
при этом
Для того, чтобы оценить возможность применимости метода ус¬
реднения и, следовательно, применимости полученной формулы,
необходимо рассмотреть участок перехода от вращательного дви¬
жения к колебательному.
mz(a1) da1da=2nu>Zo. (11. 2)
3	399
65

Оценки показывают, что переход от вращательного движения к
колебательному совершается на достаточно больших высотах, где
скорость и угол наклона траектории практически равны скорости и
углу входа в атмосферу, а демпфирование играет пренебрежимо
малую роль [8, 20].
Рис. 6. Характер изменения фазовой картины .плоского движения с
ростом скоростного напора
Учитывая сделанные допущения, аппроксимируем зависимость
q(H) экспонентой и перепишем уравнение (11. 1) на участке пере¬
хода в следующем виде:
d^a
d&
-a? e2btm(a) = 0.	(11.5)
Здесь т(а) = ™2^ — нормированная моментная характеристика
т% (0)
-ЦН-Нг)
(л(0)=1)’
XVplsin 0О|
2
\та} SI о
а	2ТУ®^-
Вводя новую независимую переменную
а	1 f 2 К QSI
х=£_е«= I/	1 *—,	(11.6)
и	У	no о:„о q ’	4	7
Ь	*	/А2	sin2 0О
перепишем уравнение (11. 6) в следующем виде:

Начальные условия можно зафиксировать для малого значения
х0 (малые значения q (t0)):
/	\	da . v }х
а х0) = оо, — (*0) = — ,
dx	х0
где	(а	=	—	 .	(11-8)
ХК01 sin 0О|
Если амплитуда колебаний невелика, можно считать, что
т(<а)ж а и представить решение уравнения (11.7) через функции
Бесселя:
а = С110 {х)-\-С2УoW.
Отсюда следует, что при малых ао и (о2о=0 а=аоМ*) [54]. При
больших х функции Бесселя имеют следующее асимптотическое
представление:
/»(д:)=/^гсЧ'-т)[,+0(т)1'
г«'|/-£гsi" (х“т)[’ + °(т)]'
В общем случае, при немалых значениях ао и оа20 колебания
также затухают с ростом х, т. е. амплитуда угла атаки при боль¬
ших х обратно пропорциональна /х и ее удобно представить в
следующем виде:
Хил 0х? Авр) 	 Хил	0х»	Авр)
Х„лО, Дсс0)
-у^ ХУ^о 1 sin
Vх	4	Г	-2mlQSl	у	m%qSl
У — A2sin2 0n	V
(11.9)
• A2 sin2 0О
где %пл — амплитудная функция начальных условий (ц и ао).
При фиксированном значении ц и выбранном значении х0 функ¬
ция Хпл имеет при некотором значении ао=ао* бесконечный пик.
Поскольку малое начальное значение х0 является более или менее
произвольным, удобнее представить функцию Хпл зависимостью от
Да0=ао — ао* . При таком представлении функции Хпл ее структу¬
ра не зависит от значения х0 при достаточно малых значениях х0.
Результаты расчета по уравнению (11.5) с целью определения
функции Хпл(ц> Дао) Для синусоидальной моментной характери¬
стики (сфера с эксцентриситетом) приведены на рис. 7.
Наиболее важная особенность полученных кривых связана с на-,
личием бесконечного пика у функций Хпл(ц, Дао) при Дао—^0. При¬
чиной появления таких пиков являются режимы, которые можно
назвать режимами зависания тела в окрестности неустойчивого
равновесия. Отвлечемся от влияния ветровых возмущений и изме-.
нения направления вектора скорости. Тогда, при заданной началь¬
ной угловой скорости вращения тел а. в разреженных . слоях, атмо-’
3*
67

68

сферы можно подобрать такое начальное значение угла атаки, что¬
бы фазовая траектория а(а) заканчивалась в точке а = я, а = 0
(рис. 8, а). В этом случае тело находится в окрестности неустой¬
чивого положения равновесия в течение неопределенно большого
промежутка времени. Очевидно, что при малом изменении началь¬
ного угла атаки тело будет находиться в окрестности угла атаки
а=я длительное время. Выйдя в конце концов из окрестности не¬
устойчивого равновесия при большом значении скоростного напо¬
ра, тело будет совершать колебания со сравнительно большой ам¬
плитудой (рис. 8,6). Очевидно, что такие режимы движения —
«режимы зависания» представляют наибольший интерес при оп¬
ределении максимальных поперечных перегрузок, при исследова¬
нии режимов аэродинамического нагревания осесимметричных тел
и т. п. Указанные режимы существуют при любых значениях ц.
Зависимости Хпл(Дао) имеют симметричный характер, минималь¬
ное значение Xmin достигается при Дао=±я, при малых ц для слу¬
чая синусоидальной моментной характеристики %тт^1,2ц.
При ц—>оо кривые Хпл(щ Аа0) в среднем приближаются к зна¬
чениям 2 хотя пик, как уже говорилось выше, всегда сохраня¬
ется. Другими словами, при любом фиксированном значении Дао
отношение Хпл(щ Дао)/2 j/p стремится к единице при ц—^оо. Под¬
ставляя в формулу (11.9) значение Хпл = 2|/^, получим формулу
(11.4).
Таким образом, при ц—^оо метод усреднения дает правильный
результат с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Воз¬
можность появления повышенной амплитуды колебаний всегда со¬
храняется, поскольку пик в зависимости Хпл(Аао) всегда сущест¬
вует.
При ц—>-0 функция Хпл(М', Дао) стремится к некоторой предель¬
ной кривой: практически уже при ц<0,5 кривые Хпл(щ Дао) почти
не зависят от значения ц, особенно в наиболее интересной области
малых значений Да0.
Отмеченные закономерности в целом сохраняются и в тех слу¬
чаях, когда характеристика т(а) отлична от синусоиды, но имеет
по-прежнему одно положение неустойчивого равновесия а=я. Ка¬
чественно отличные закономерности появляются в тех случаях, ког¬
да точка а=я является второй точкой устойчивого равновесия,
а при а<я имеется точка неустойчивого равновесия (этот случай
будет подробно рассмотрен ниже в разд. 16). Кроме того, некото¬
рые интересные эффекты возникают в том случае, когда в окрест¬
ности точки а=я имеется «зона нулевого момента». Для примера
приведем результаты расчета функции Хпл(щ Дао) для гипотетиче¬
ской характеристики (рис. 9):
т (a) = 0,9 sin а/0,9 при |а|<^0,9 я,
т(а) = 0	при	|а|>>0,9	я.
Как видно, пик в зависимости Хпл(Да0) от Да0 приобретает не¬
симметричный характер за счет резкого возрастания правой сторо¬
69

ны пика, особенно при малых значениях р. Это объясняется тем, что
при Дао>0 тело «переваливает» через положение неустойчивого-
равновесия ц проходит «зону нулевого момента» с малой угловой
скоростью в течение большого промежутка времени, а при Дао<0
тело не достигает положения неустойчивого равновесия (рис. 8, ву
г). Кривая Хпл(р, Да0) стремится к предельной кривой Хпл(0, Дао)
при р—^0 уже не при всех значениях Дао: значения %пл, соответ¬
ствующие диапазону 0<Дао<СО,2я, по мере уменьшения р вначале
убывают, а потом начинают возрастать до бесконечности.
Рис. 9. Амплитудная функция Хнл(р, Аа0) для характеристики, содержащей
зону нулевого момента
Во многих практически интересных случаях начальный угол
атаки в разреженных слоях атмосферы (или начальная фаза вра¬
щательного движения) является случайной величиной, поэтому за¬
дача оценки амплитуды колебаний тела в плотных слоях атмосфе¬
ры прибретает вероятностный характер, даже если величина со2о
задана; с некоторыми оговорками исключением из этого правила
можно назвать случай, когда значения р достаточно велики и зави¬
симость %пл (Дао) становится несущественной.
Возможность появления пика повышенной амплитуды колеба¬
ний, отличающейся от амплитуды, вычисленной по методу усредне¬
ния (11.4), на неопределенно большой множитель, говорит о «во¬
пиющем» нарушении условий применимости асимптотического ме¬
тода на участке перехода от вращательного движения к колеба¬
тельному. Действительно, как указывалось в разд. 2, здесь мгновен¬
ный период движения обращается в бесконечность.
70

12.	ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ
НА АМПЛИТУДУ ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим плоское колебательное движение тела на том уча¬
стке траектории, где метод усреднения становится применим, с уче¬
том аэродинамического демпфирования и влияния угла атаки а на
коэффициент сопротивления cxv. Применим метод усреднения [со¬
отношения (3. 10) и (3. 12)] к системе уравнений, включающей
уравнение (11. 1) и упрощенные траекторные уравнения
dV
dt
_dd
dt
, (a) qS
■S'Sin
i г Я0
V = — eg- COS
•fi—
\ R + H)'
dH ,, .
 = sV sin
dt
Здесь роль компонент вектора г выполняют траекторные парамет¬
ры У, 0 и Я, роль переменной у — угол атаки а. В данном случае
уравнения для изменения средних значений 0 и Я сохраняют свою
форму, а уравнение для изменения среднего значения V в соответ¬
ствии с выражением (3. 10) приобретает вид
^=-Л-
dt	L
' (ctm) qS
•г sin
']•
(12.2)
где
.(“«) = •
■Ла)—z=
Vi
da
mz (ai)dai
da
-’У
2 [ mz(<£i)dai
Уравнение (3. 12) для
ном случае имеет вид
изменения амплитуды колебаний в дан-
дх
т *
\ di‘la+‘ \
т
H,V=const

Здесь	(V
dt
dH
Учитывая, что
dl
, H, a, aj=l/ —	^	mz(a1)da1,
*	a
d lda\  ^ ,da\dq d idc£\  d /da\ dq
ЧН \dt / dq~ \ dt ) dH ’ dV\dt)~dq [dijdV
g
dx dx
H,V = const
/ Ia/g 1 a/gdH
dt 'dH dt ’
где Ig=	—интеграл действия, получаем из уравнений
—^
т
(12.2)	и (12.3), пользуясь правилом „е равно 1“:
din/* d\nlg(am) i d\n
Я
dt
dt
d \nlg(am) i d inQ d ЫУ
dt
2 dt
dt
[CO
m
-i
2 dt
a |
• CyV -j- Сxv	Сxv
(12.4)
mV K
Здесь I(
am Г «
«->=( V2J
mz (aj daxda,
m г
z
\
~— («) — <»(«)+CXV (a)
■clv-\-Cx
lAf
Г ~ar
mz (aO rfai da
am f a
J V2J
/?гг (ai) dai da
Рассмотрим случай входа в атмосферу тела по траектории с
большим углом наклона, используя некоторые принятые для этого
случая допущения: пх^> | sin 6|, 6 = const, Q = Qo^x//[8, 55].
Используя первое допущение, можно отбросить член g’ sin 0 в
уравнении (12.2) для изменения средней скорости, откуда следует,
что
d ЫУ
dt
— с,
qS
mV
72

Далее, используя оставшиеся два допущения, и вводя новую не¬
зависимую переменную у=	_	о| , преобразуем уравнение
(12. 4) к виду
dlg
dy g
2\т |sin 0|
чй*
где
?(4) =
L h
■Cyv-\~Cj
ЧУ J
(12.5)
Уравнение (12.5) интегрируется, если функцию <p(jg) можно ап¬
проксимировать выражением типа a-\-blkg. В частности, если можно
принять, что mz=miа, сxv= сх0+сх2а2, cyv=cayva±cy3a\ =
получаем
Ig{am)=-jV -mi.am-,
схй~ cyv-\-
f}
Cx 2 — 3 С
2 г
У 3 '
2я V
Член — Ig/2y в правой части уравнения (12.5) характеризует
убывание амплитуды в результате возрастания плотности в про¬
цессе спуска. Этот член играет основную роль на верхнем участке
траектории (малые у), поэтому здесь амплитуда всегда убывает,
на нижнем участке траектории убывание или возрастание ампли¬
туды зависит от знака ф(7^). Неравенство ф(/^)<0 является до¬
статочным условием монотонного затухания амплитуды, при
Ф (7^) >0 амплитуда на нижнем участке траектории возрастает.
Если ф(0)>0, а при некотором Ig = Ig* ф(7g*) =Д то амплитуда
стремится к амплитуде автоколебаний, определяемой из условия
CCm — (Хттг (Ig%) .	_
Во многих случаях, когда разность cXv(om) —cxv(am) невелика,
удобно рассматривать скорость полета и скоростной напор как ве¬
личины, изменяющиеся медленно и независимо от изменения угла
атаки. Тогда метод усреднения можно применять не ко всей систе¬
ме уравнений движения, а непосредственно к уравнению (И. 1),
что позволяет проще и быстрей выписать необходимые соотно¬
шения.
Разделим условно траекторию входа в атмосферу на два уча¬
стка. Будем считать, что на первом участке	включающем
участок перехода от вращательного движения к колебательному,
амплитуда угла атаки вследствие роста скоростного напора успе¬
вает уменьшиться до малых значений, а влиянием демпфирования
можно пренебречь. Тогда значение am(t\) определяется формулой
73

(11.9). На последующем участке, где_ демпфирование играет су-
(о	а
щественную роль, коэффициенты сх, mzz, сугп mz будем считать по¬
стоянными при малых углах атаки.
Тогда в соответствии с выражением (12. 4)
II-,
~C'yv)mVdt
■Ig(t i)exp
to
mV
(12.6)
В результате, поскольку am~VIg (см- разд. 11.3), прибли¬
женный учет демпфирования сводится к появлению дополнитель¬
ного сомножителя в формуле (11.9):
Хил (^> АсУр)
|УГ_
(12.7)
Если использовать допущение /zx^>>|sin 0|	■	—	'j, экспо-
\ п	сх	]
ненциальный сомножитель в формуле (12.7) упрощается:
cyv
v \1/2\—т:
В итоге
«■и~Хпл(Р. Д°о)
4/' /X2 Sin2 90 /_у_\
у - 2m*QSl v vo )
t- II71 С V<T!
XV i
. (12.8)
Имея зависимость плотности от скорости, можно определить
закон изменения амплитуды вдоль траектории спуска. Если счи¬
тать, что 0 = const (это допущение справедливо при больших |0|
и скоростях входа порядка первой космической), то можно исполь¬
зовать решение Аллена — Эггерса ([55]):
1/;
;V0expf	£hSq_|	(J2
0 FL	2Xm | sin 01 J	v	'
74

откуда следует, что
, Л \	,	/	Х2	sin	20о
:*“(ь 4“"V
ехр
^ \ cyv CXV ■
4\т I sin
Амплитуда поперечной перегрузки равна
К\qSam
(12.10)
пу~-
а ее максимальное значение составляет
Хпл (ц, Аа;0) canv20l5/4 | sin 0|5/4
		 /—/—у/4^
и	(	с.	-ЯЛ8'4/	_.V/4
25/4 е3/4 I cxv + —
т
Z
3 iz
Отметим, что при малых значениях р^0,5 функцию Хпл(щ
.Дао) можно заменить функцией Хпл(Аао), а при больших	—
на 2 V7. Легко видеть, что в этих предельных случаях влияние
конструктивных параметров совпадает, а влияние условий входа
несколько отличается:
{Пу)т — ^5/4 I sin 6|5/4 I/о При (X < 0,5,
(/^)т~х3/41 sin 6|3/4 V3o/2 при (А >5.
Форма моментной характеристики в целом (в диапазоне 0—л)
влияет на амплитуду колебаний при малых р и не влияет при
больших р.
В случае малых р амплитуда колебаний зависит от случайной
величины — начального угла атаки (некоторые соображения об
отыскании распределения начального угла атаки при малых р бу¬
дут приведены ниже, в разд. 14).
Если моментная характеристика содержит «зону нулевого мо¬
мента» в окрестности а=180°, то предельная функция Хпл(Аао)
определена не при всех значениях аДо- В этом случае для получе¬
ния точной картины необходимо тщательно рассмотреть характер
распределения начальной малой угловой скорости. Для оценки
верхнего предела максимальных значений поперечной перегрузки
можно использовать следующее рассуждение [8]. Максимально
возможная поперечная перегрузка достигается в том случае, если
тело зависает в положении неустойчивого равновесия и находится
в нем вплоть до момента достижения максимального скоростного
напора, определяемого по известной формуле [55]:
1 mV\ \ | sin 0О|
Я шах ' '
\ v\
«ОТСЮДа	(««,)maxmax~	—	—	|	Sin
2е	сxv (я) S
- — I sin е01
2е g	cxv	(я)
75

Отметим, что граница атмосферы Яь с которой начинается за¬
метное влияние аэродинамических моментов на движение около
центра масс, располагается выше границы атмосферы Я2, начиная
с которой траектория тела отличается от кеплеровой. Действи¬
тельно, высота #2 может быть определена с помощью соотноше¬
ния (12.9) из условия, что скорость уменьшается по сравнению со
скоростью входа, например, на 0,1 % :
, гг ч Х/тг I sin 01'
ЯШ2)~
500c^S
Высоту Я1 можно определить из условия, что при (о2о = 0 началь¬
ное значение угла атаки уменьшается, например на 1%.
Отсюда в соответствии с формулой
получим
А2 sin2
а=^а0/0 (х) ^Oo|l
Q{Hi)=
"50 Ms/’
z I
Ht-H,=-Liniia>=-i-i„	-'M
X	Q(Hi)	X 10/X I sin 0| cxv
(12. 12)
Разность Яi—Я2 может достигать нескольких десятков кило¬
метров. Угол входа 0О в формуле (11.9) следует вычислять именно
для высоты Н\.
При выводе выписанных формул были использованы допущения
о медленности изменения параметров траектории и о малой вели¬
чине аэродинамического демпфирования. При этих допущениях от¬
носительное изменение амплитуды колебаний за период колебаний
мало, что обеспечивает применимость метода усреднения.
Установим более четкий смысл для этих понятий. Обратимся к
формуле (12.7) и наложим требование о малости относительного
изменения амплитуды за период колебаний вследствие изменения
скоростного напора (Aami/am) и аэродинамического демпфирова¬
ния (Д(Хт2/ Ct??X ) •
Учитывая, что
Aami  	1	Aq		1 dq ^   1 dq 	2я
am	4	q	Aq	dt	4	q	dt AT-
и используя решение Аллена — Эггерса
— —= —М/ |sin 0| (1	CxvQS )	,
q dt	V	\m\ sin 0| /
76.

получим условие
2 CXVQ
XI sin 9|/	(12.13)
2 CxvQ
\l | sin 0|
где
Отсюда следует, что условие (12.13) выполняется в ограниченном
диапазоне высот, который тем больше, чем меньше параметр
которое перестает выполняться на малых высотах.
13.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ
Рассмотрим пространственное движение осесимметричного тела.
Уравнения движения, записанные для осей, связанных с простран¬
ственным углом атаки, приведены в разд. 10.
Как и в случае плоского движения, будем считать, что началь¬
ные условия задаются на границе атмосферы, где влиянием аэроди¬
намических моментов можно пренебречь. Известно (из работы [22]),
что движение осесимметричного тела в пустоте является регуляр¬
ной прецессией относительно оси, проходящей через центр масс.
Обозначим через qpi угол между вектором скорости и направлением
кинетического момента, ф2 — угол нутации и ср3 — угол прецессии,
отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной оси прецессии
(рис. 10). Задание значений фЬ ф2, фз, а также значения полной уг¬
ловой скорости со0 или полного кинетического момента Qo однознач¬
но определяет начальные условия, если влиянием силы тяжести
можно пренебречь, а следовательно, начальная ориентация векто¬
ра кинетического момента в планетной системе координат не игра¬
ет роли. В большинстве случаев, представляющих практический
интерес, начальное значение угла ф3 (начальное значение фазы
движения тела) можно считать случайной величиной, распределен¬
ной равномерно в интервале 0ч-2л.
Аналогично получим условие
(12.14)
77

Значения фь Ф2 и dysldt определяются следующими форму¬
лами
(Qo)v
COS cpj =
, 0<ср1<я,
Qo
cqs<P2=-№-, о < cp2 <	,	Qo.r>0,
vo	1
Q0 = |/ llu>2xQ-\-I2 (муО + “го).
d?3 = Qo
dt I
Рис; 10. Параметры, определяющие
движение тела в пустоте
Рис. 11. Амплитудная функция
%прец (jll, а0) и максимальные значения
амплитудной функции Хтах(М>, фь ф2)
50
100
150 180
«•о? ?°+<е?
Формулы для перехода от значений фь фг, фз и Qo к начальным
условиям для уравнений (10.24) имеют следующий вид:
a0=arccos(coscp1 coscp2 — sin срх sin ср2 coscp3),
fda \ 	  Q0	sin	<pi	sin	cp2 sin тз
[dt L~ ~~l
sin cc
(13.1)
0
G0=y-coscp1, r0 = ^-coscp2
(для краткости здесь и в разд. 15 используем обозначение а вмес¬
то СХпр) •
Аналогично случаю плоского движения (см. разд. 11) рассмот¬
рим вначале пространственное движение тела без учета аэродина¬
78

мического демпфирования и применим формально для анализа
этого движения метод усреднения. При этих условиях интеграл
действия, как известно, является адиабатическим инвариантом
(2.26), а значения G и г являются постоянными [см. уравнение
Правило сохранения адиабатического инварианта имеет вид
В некоторых частных случаях выражение для Ig удается выпи¬
сать в явном виде. Например, в случае mz(a)~sina (сфера с экс¬
центриситетом), интеграл действия может быть выражен через эл¬
липтические интегралы [2].
Пусть начальные условия задаются в разреженных слоях ат¬
мосферы, где влиянием аэродинамического момента можно пре-
Возрастание скоростного напора приводит к тому, что ампли¬
тудное значение угла атаки am становится достаточно малым.
(10.24)].
Рассмотрим уравнение движения
tnz (a) qSl
I
(G — r cos a) (G cos a; — r)
sin3 a
(13.2)
J dt
amin
da	/	2qSl >
где Tt = \ T)^
mz( dj) dax —
(G — r cos a)2 (G — r cos am)2
sin2 a;	sin2am
(G — r cos a)2
sin2 a;
COS Ctmin— COS (cpi — cp2), <7 = 0, получим после
несложных преобразований
Ig0=2Я^-/(<Р!, <рг),
(13.4)
где
79

Тогда формула (13.3) приобретает вид
где
откуда следует, что
а
“min
Как будет показано ниже (см. разд. 15), в случае малых
|G—г| и немалых г более точная формула включает член
му из выражений (13.4) и разрешая квадратное уравнение относи¬
тельно ат, получим
Можно предположить, что в общем случае пространственного
движения, по аналогии с плоским движением, на некотором участ¬
ке траектории в окрестности границы атмосферы интеграл дейст¬
вия изменяется, а затем сохраняет постоянное значение. В то же
время по мере увеличения соа (увеличения q) амплитуда ат при^
постоянных G, г и Ig изменяется обратно пропорционально ]/и>а
(или Уд):	в этом легко убедиться, разрешая соотношение (13.6)
относительно амплитуды <хт. Отсюда вытекает, что значение амп¬
литуды при отсутствии демпфирования по аналогии с плоским дви¬
жением, определяется формулой
вместо соа. Приравнивая выражение (13.6) к одно-
(13.7)
где
sin sin при ?1+?2<Я,
COS+ COSПРИ <Р1 + <Р2>Я.
а,
'т
(13. 8)
где
2Qo
AV0 I sin 0O|

Амплитудная функция х(р> фь Ф2, Лфз) определяется при решении
уравнения, подобного уравнению (11.5)
(G — г cos а) (G cos а — г)
\-a2e2btm(a)
dt2 1	v
;13.9)
[при начальных условиях (13.1)].
Это же уравнение после замены независимой переменной (11.6)
можно записать в виде
d2се ■ 1_ da , ^ , v   {i.2 (cos — cos cos a) (cos cos а — cos <р2)  g
dx2	л:	л:2	sin3a:
(13. 10)
Сопоставляя формулы (13.7) и (13.8), можно сделать вывод, что
формальное применение метода.усреднения приводит к результату
(sin	sin-yj	при	срх-|-ср2<зт,
(13.11)
Х =
У2р. (cas -f cos -^-) при <Pi + <p2>^
(в случае плоского движения, при ф1=ф2 = л/2, х = Хпл = 2Ур).
Расчеты по уравнению (13.9) позволяют выяснить, при каких
условиях справедлива формула (13.11) и уточнить полученный ре¬
зультат. Можно ожидать, что по аналогии с плоским движением
формула (13.11) справедлива при больших р. В этой связи полез¬
но прежде всего обратиться к линейному случаю, для которого
решение сводится к функциям Бесселя мнимого порядка [63], тогда
функция х определяется в явном виде [62]
где
X (р-. 9i> 92. Д?з)= |/^у(Д1+1/"д1 — дг),
j(9i + 9г)2 (ch ~~ + cos д<Рз) +
(13. 12)
JtfJL
2shf
+ (?i — 9г)2 (ch ^— cos Дср;
дг = (92	92).
 	2Qq
IXV0 I sin 60| AV0 j sin 0O|
Отсюда следует, что
х£их = Х2(Р» 9l. 92. °) = Y cth^ (91 + 92)2.
'(91 + 92)2 th^
Xmin=X2(l1'. 91. 92. П)=~7Г max
(91	9г)2	cth
(13. 13)
(13.14)
(13. 15)
81

При (А —>оо
Xmax~Xmin~ (?1 4~ ?2)2>	(13.	16)
что совпадает с формулой (13.11).
При малых значениях \х значение ат, пропорциональное мо¬
жет существенно отличаться от значения (ат)ас, вычисленного по
методу усреднения,
  (am)ас
(ага) ас	(am)mln
Xmax '	'	(Tl	"!“%)•
l/cthT-
Отметим также, что выражение для атт имеет вид
i/'
, XV'o I sin
1 (Н-. 91, 92. д,9з)
m*qSl
(13. 17)
/
причем в данном случае x2==lV2 (^l— |/"А?— а|)*
Отсюда следует, что при р->-0, amin/am«th(n|x/4) «Я(л/4->0,
в этом смысле реализуется движение, «близкое к плоскому». При
Ц—^оо,
«пНп 1У1 — У21  ainln
cpi + ср2
(Ad)-
В качестве примера «чисто пространственного» движения, в
противоположность «чисто плоскому», рассмотрим два возможных
случая, когда на высотах, расположенных выше границы атмосфе¬
ры, угол атаки тела сохраняет постоянное значение ао:
а) <pi = ao> <?2 = 0> G = r cos а0,	g
б) <pt=0, ср2 = сс0, r = G cas а0.
Отметим, что в соответствии с уравнением (10.21) скорость из¬
менения угла собственного вращения ф в указанных случаях сос¬
тавляет
а)	^ = б) — =со^ — г = о)л (1 — /х), поэтому эти случаи можно
dt	dt
трактовать, как «быструю» и «медленную» прецессию тела
(при переходе к движению тела в физическом пространстве быст¬
рую прецессию следует заменить на медленную и наоборот).
В случае «а» ось тела на границе атмосферы неподвижна, а в
случае «б» ось конуса нутации совпадает с вектором скорости.
Формальное применение метода усреднения в этих случаях (/g = 0)
приводит к движению типа квазирегулярной прецессии тела отно¬
82

сительно вектора скорости. Медленно изменяющийся пространст¬
венный угол атаки а определяется формулой (13.8), где
X=X„pen=V’2|*(sin^-j.	(13.19)
Расчеты по уравнению (13.9) или (13.10) (или по эквивалент¬
ному им уравнению) позволяют выявить условия применимости
этой формулы и получить по аналогии с плоским движением ре¬
зультаты для всего диапазона значений \х и ао. В данном случае ам¬
плитуда ат не зависит от угла ф3:
х(ц, а0) о, Дср3)=х([х, 0, а0, д?3) = ХпрецО- а0).	(13.20)
Значения функции Х,фец (р., а0) приведены на	рис. 11.
При	больших {а функция Хпрец (Р* ао)	становится	близка	к
"|/r2fx sin (а0/2), хотя при больших а0 сходимость к этому результату
по мере увеличения ц является очень медленной. Прир-* 0
,ActhT
Х..Рец (f*, а0)->Х..л (0, Л — а0); при малых а0 х„Рец (р-, а0)^= I/ — 	а0.
Переходя к общему случаю пространственного движения, сле¬
дует указать на некоторые свойства функции
хО- 9i> <Р2> д9з):
X (Р-. 9i- «Ра, д<Рз) = Х(Р. 9i> 92,— д9з)>
Х(Р. 9i> <Р2. д9з) = Х(|*. 92, 9i,	д9з)>	(13.21)
Х(Р, 9i- 92, д9з)=Х(!А, л —ср2, л — ср,, Д<р3).
Последние два свойства следуют из того, что начальные усло¬
вия для а и da/dt, а также уравнение (13.10) не изменяются при
заменах cpi = ф2, ф2 = ф1 и ф1 = я—ф2, фг = я—фь
В итоге достаточно вычислить функцию х(ц> фь Ф2, Афз) не во
всем прямоугольнике 0^ф1^л, 0^ф2^я/2, а только в его части,
ограниченной прямыми ф2 = 0, ф2 = ф1 и ф2 = я—фь Наибольший ин¬
терес представляют значения Хтах(ц, Фь Ф2)=х(и> фь Ф2> 0), кото¬
рые определяют максимальную амплитуду колебаний. Результаты
расчетов показывают, что при ф1+ф2^150°,	значения
Хтах(Х) Фь Фг) близки к значениям Хпрец(ц, Ф1+Ф2) или не намного
их превышают, при ц = 5 это превышение может составить до 10%
(см. рис. 11), значения Хтах лежат в заштрихованных областях.
В то же время, при ф1+ф2^150°, ,р^5 хорошую точность дает фор¬
мула (13.11), превышение /шах по сравнению со значением, вычис¬
ленным по этой формуле, может составить до 15% при ц = 5.
Разумеется, эти формулы не могут дать хорошей точности в ок¬
рестности прямой ф1+ф2 = л, которая соответствует возможности
появления бесконечных пиков — возможности длительного зависа¬
ния тела в положении неустойчивого равновесия.
83

84

Здесь при р^2 можно использовать следующее приближенное вы¬
ражение
Х((*> <Р1> д<Рз)~
^Хпл [i*. arccos(coscp1 coscp2—sin cpt sin <р2 cos Дсрз)]. (13.22)
Некоторые данные сопоставления «точных» результатов расчета с
аппроксимирующими формулами приведены на рис. 12—15.
14.	СЛУЧАЙ МАЛЫХ НАЧАЛЬНЫХ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Простые физические рассуждения позволяют придти к выводу
о том, что при малых значениях р движение тела в плотных слоях
атмосферы почти всегда оказывается близким к плоскому. Об этом
свидетельствуют также результаты, приведенные в разд. 11 и 13.
Действительно, в этом случае тело вначале совершает свободное
движение, определяемое исходной кинетической энергией, при пре¬
небрежимо малом влиянии аэродинамических моментов. Далее, на
некотором интервале времени, на котором угол атаки тела не ус¬
певает существенно измениться, скоростной напор резко возрастает.
В результате амплитуда колебаний тела на дальнейшей части тра¬
ектории в основном определяется аэродинамическими моментами,
возникшими в момент нарастания скоростного напора и зависящи¬
ми от угла атаки в этот момент времени. Другими словами, на¬
чальная кинетическая энергия тела при малых р играет второсте¬
пенную роль, преобладающая роль переходит к значению угла ата¬
ки в момент резкого возрастания скоростного напора.
В итоге при малых значениях р, когда реализуется движение,,
близкое к плоскому, кривые фь Ф2, Афз) почти не зависят от
значений р, особенно в наиболее интересной области малых значе¬
ний Афз (см. рис. 7 и 11). Следовательно, при малых значениях р
достаточно ограничиться исследованием предельного случая р = 0
(Q = 0), когда функция % зависит от единственного параметра а0—
угла атаки на границе атмосферы
Х(0, ?1. ?2> д?з) = Х (ао)—Хил (0» л —а0),	(14.1)
где	a0 = arccos (coscpj coscp2— sin cp! sin cp2 cos Acp3)
(для плоского движения Да0 = Дфз).
Функция х(ао) зависит от формы моментной характеристики —
функции пг(а).
Результаты расчетов для нескольких типов моментной характе¬
ристики приведены на рис. 16. По ним можно судить о влиянии
«полноты» и «перекоса» моментной характеристики на возможные
значения амплитуды колебаний. Как и следовало ожидать, умень¬
шение восстанавливающего момента в окрестности а0 = л приводит
к возрастанию возможных максимальных амплитуд. Действитель¬
но, в этих случаях режим зависания длится дольше, и тело раз¬
ворачивается на малые углы атаки при больших скоростных напо-
85

Рис. 14. Амплитудная
с7
к ✓
к 1
; s
1 Q->
= s
> к
86
180А(р °} же, что и на рис. 12]

pax, что приводит к более интенсивным колебаниям тела в плот-
%
ных слоях атмосферы. Увеличение «полноты» J m(a)da также при-
о
водит к некоторому возрастанию возможных амплитуд колебаний.
Таким образом, при	(практически	при	р<0,5)	достаточно
найти распределение вероятных значений ао на границе атмосферы.
Рис. 16. Характер влияния формы моментной характеристики на (вид
амплитудной функции %(а0)
Вывод справедлив как для плоского, так и для пространственного
движения тела около центра масс.
Рассмотрим различные варианты распределения начальных уг¬
лов атаки осесимметричного тела на границе атмосферы.
1.	Плоское движение: (0*0=0, ф1 = ф2 = я/2, фз = я — а0. В этом
случае значения а0 равновероятны:
Р(ао) = —» Я(а0<а)=— .
Л	л
87

2. Все направления начальной ориентации тела равновероятны.
Отсюда нетрудно получить:
, ч sin а'п о /	^	\	1 — cos сс
/> (<*о) = —2. Р (ао < а) =	2	•
Как видно, при переходе от плоского случая к пространственно¬
му вероятность реализации малых углов атаки и близких к л убы¬
вает: р(0) =р(я) =0. Эта закономерность свойственна практически
всем случаям пространственного распределения углов атаки.
3. Пусть в некоторый начальный момент (на безатмосферном
участке полета) тело стабилизировано по вектору скорости и обла¬
дает нулевой угловой скоро¬
стью, а затем получает некото¬
рый импульс (например, отде¬
ление спускаемого аппарата от
космического корабля). После
отделения тело совершает ре¬
гулярную прецессию относи¬
тельно оси п (направление ки¬
нетического момента), положе¬
ние которой можно охаракте¬
ризовать углами ф2 и ф (рис.
17). Угол ф естественно-счи¬
тать равновероятной случайной
величиной в диапазоне 0 — 2л
(достаточно ограничиться интервалом 0 — л), он определяется уг¬
лом между плоскостями (я, V) и (г, V), где г — вектор местной
вертикали. Для определения угла cpi в момент входа в атмосферу
можно использовать соотношение
cos <pj = cos А0 cos cp2 — sin A0 sin cp2 cos ф,	(14. 2)
где A0 — угол между векторами скорости в начальный момент и в
момент входа в атмосферу (см. рис. 17).
Угол атаки тела на границе атмосферы определяется по фор¬
муле (13.1). Будем считать, что начальное значение угловой ско¬
рости достаточно мало для того, чтобы можно было считать \х
малым, но достаточно велико для того, чтобы на интервале времени
от момента отделения до входа в атмосферу ось тела описала не¬
сколько оборотов в прецессионном движении. Тогда значения ср3
можно считать равномерно распределенными в диапазоне 0—2л.
Зная распределения /?(<р2) и /7 (ф) = 1/гс, можно найти распреде¬
ление р( cpi) [7].
Если	ср2 = я/2 (<0^0=0), то cp! = arccos (sin А0 собф),
/?Ы = —7r--. ЛУ1 - при [cos <px| < |sin A0|,
я у sm2 Д0 — cos2 «pi
;?(cpi) = 0 при |cckscpt|	|sin A0|.
Рис. 17. Определение начальных условий
при входе тела в атмосферу
88

Отсюда, учитывая, что р(ф3) = 1/2я, cosao = —sincpicoscpa и вычис¬
ляя распределение функции по распределению аргументов [7], по¬
лучим
/ ч 2	( sin А0 )
рЫ=—к\ -—
я2 U sin a0 J
к
РЫ=~!
sin а0
sin А0
при
sin а0
sin А0
| sin а0 П
\ sin А0 ||
sm а0
при
<1,
sin А0
sin,ct0|
!>i-
(14.3)
Здесь K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода.
Интересно отметить, что при ао=А'0 и ао = я—Д0 плотность распре¬
деления имеет бесконечный пик.
Если (Охо¥= 0, необходимо учитывать распределение р(фг). Пред¬
положим, что начальная угловая скорость возникает вследствие
воздействия возмущающего импульса Q= (Qx, Qy, <32)т,так что
i.. i_ Qx ... _	...	_Qz
— . wy0 — —
VOl
VO-
а компоненты импульса независимы и распределены по нормаль¬
ному закону с дисперсиями ах2 и oy2 = oz2 = o2.
Тогда можно показать, что
рЫ=
dy 2
1
Поскольку с помощью соотношений (13.1) и (14.2) можно вы¬
разить значение ао через значения углов ф2, ф и ф3, распределения
которых известны, можно вычислить распределения вероятностей
р(ао) и интегральные вероятности Р.(ао<Са) для различных значе¬
ний угла Д0 и параметра ох = ох/о. Результаты численных расче¬
тов, взятые из [8], приведены на рис. 18—21. Отметим, что по мере
увеличения параметра ах, начиная от нуля/пик функции р(ао) при
ао = я—Д0 исчезает, но другой пик при ао = Д0 возрастает. При
Д0>я/2 значения р(ао) в окрестности ао = я вначале возрастают,
что свидетельствует об увеличении вероятности появления режимов
зависания, а при дальнейшем увеличении ох все значения а0 стяги¬
ваются к углу А0, распределение р(ао) вырождается в дельта¬
функцию 6(ао—А0), и значения р(ао) при ао¥=Д0, в том числе и в
окрестности ао = л, стремятся к нулю. Необходимо отметить, что
при фиксированном ох
р(а0, Д0) = /?(я — а0, я — А0),
Р(а, А0)=1—Р{я — Аа, я — Д0),
поэтому приводятся результаты лишь для Д0>я/2.
Используя полученные результаты, в также формулы (12.7),
(12.8), (12.11), справедливые для плоского движения (при ц—*0
движение приближается к плоскому), легко определить вероят¬
ность достижения той или иной амплитуды колебаний или попереч¬
ной перегрузки в плотных слоях атмосферы.
89

90
Рис. 18. Интегральная вероятность реализации заданного угла атаки прц входе в ат¬
мосферу а0: Д0 = 9ОЭ

»=t
о
X
I
о
fe
1|
III
ЁГ ..
СО о
со a
s .
*5 S’
Я Q-
O) <D
P-T©'
CL
Ф
PQ
К
s
91

я
о
о.
ё
5
До
Я О
03 ю
я 1
Я II
й<
Я ..
03	О
СП О
4	>■■
Со О-
<у О
О-'©"
а*
92

93
Рис. 21. Интегральная вероятность реализации заданного у.гла атаки при входе в атмо¬
сферу ао: ДО = 180°

15.	ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ
НА АМПЛИТУДУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим задачу об изменении амплитуды колебаний угла
атаки в пространственном движении с учетом аэродинамического
демпфирования. Рассмотрим вначале предельный случай простран¬
ственного движения — квазирегулярную прецессию. Как показано
в разд. 13, такое движение реализуется, если на границе атмосфе¬
ры sincpi = 0 (медленная прецессия) или sincp2 = 0 (быстрая прецес¬
сия) и значение р достаточно велико. В данном случае интеграл
действия 1ё обращается в нуль, а пространственный угол атаки а
является медленно изменяющейся функцией времени, определяе¬
мой из соотношения
mz(a)qSl   (G — г cos а) (G cos а' — г)
/	sin3	а
Разрешая это соотношение относительно G, получим
О=—— [ — (1 + cos2 а) + sin2 а — MgLgfLl .	(15.	1)
cosa L 2 V 1	*	4	/ sin a J
Подставляя выражение (15.1) во второе и третье уравнения сис¬
темы (10.24) и решая их, найдем закон изменения угла атаки. Так,
о	О	СО v	СО	со	Г\
например, рассматривая упрощенный случаи myx=tnxy = mxx = О,
r = const, g = const, m(a)=sina, можно получить условие убывания
угла атаки
Г	cyv(a)	ГП-УЩ) 1 Г r2	<qsi ^ г Г Cyv (g)
L	tga	iz \w 4	/	-	2	L tga	+ iz	*
(15.2)
Знак «+» в выражениях (15.1), (15.2) соответствует медленной
прецессии, а знак «—» — случаю быстрой прецессии. Отсюда следу¬
ет, что при квазирегулярной прецессии угол атаки изменяется по
различным законам, в зависимости от вида прецессии (в отличие
от движения на начальном участке траектории входа в атмосферу,
разд. 13).
Применим метод усреднения для оценки изменения амплитуды ко¬
лебаний угла атаки тела вращения с учетом нелинейного аэродинами¬
ческого демпфирования, считая, что амплитуда невелика, и исполь¬
зуя уравнения движения в форме (10.24). Эти уравнения должны
рассматриваться совместно с уравнением для изменения скорости
(см. разд. 12), однако в большинстве практически интересных слу¬
чаев влияние зависимости cxv(а) на демпфирование колебаний по
углу атаки мало и им можно пренебречь: в этом случае переменные
q и V можно рассматривать, как функции «медленного» времени.
Чтобы получить с помощью метода усреднения достаточно прос¬
тые формулы, определяющие изменение амплитуды пространствен¬
94

ного угла атаки, и считая, что амплитуда ат мала, аппроксимиру¬
ем аэродинамические характеристики следующими формулами:
mz (а)^т*2а + е (k3a3 -f £5а5),	*
cyv (а) ^ Су а + су2> а3 + суЪ а5,
rrfz (а) ^ m" -|- m£za2 т^а4,	(15.3)
rrfyy {а)^тш-\-т^уа2-\-т^уаА,
rrf/ = const.	I
Как будет видно из дальнейшего, допущение о малости ампли¬
туды ат в принципе можно признать обоснованным лишь при ус¬
ловии, что разность G—г в каком-то смысле мала. В то же время,
обобщая рассмотренный выше случай (см. разд. 13), примем, что
угловая скорость со* не является малой. С учетом сказанного, попы¬
таемся упростить первое уравнение (10.24), вводя обозначение
G—r = AG:
_ т (a)	- (О“is g) (Qccs а-г) _ _ [f^a + £ (Л a + Л Б)] x
/	sin3	а
qSl   [AG -h r (1 — cos a)] [AG cos a — r (1 — cos a]
/	sin3	a
^( ——£(й3а3 + ^5а5)^у—
Отброшенная сумма порождается последующими членами разло-
~ „	«	(G	—	г	cos a) (G cos a: — r)
жения в ряд Тейлора функции —	—	.
sin3 a
Будем считать (в соответствии с введением параметра малости
е), что основной вклад в величину аэродинамического восстанав¬
ливающего момента вносит линейный член mla. В процессе коле¬
баний угол атаки осесимметричного тела изменяется в пределах от
amin до am- При небольших амплитудах ат последним членом в
правой части соотношения (15.4) можно пренебречь. Действитель¬
но, если исключить этот член и член, определяющий нелинейную
добавку к статическому моменту mz(а), то на основании соотно¬
шения (2.8) можно получить

Сравнивая в правой части соотношения (15.4) последний член с
первым, получим
что подтверждает правомерность исключения последнего члена в
правой части соотношения (15.4), если am2Cl.
Из приведенных выше формул следует, что введение допущения
о малости амплитуды ат законно лишь при выполнении неравен¬
ства AG2<Ccd2, которое вытекает из неравенства
Подставляя в систему уравнений (10.24) приближенные выра¬
жения для аэродинамических коэффициентов, полагая т<1х=тхУ— О
и пренебрегая в этих уравнениях нелинейностями, связанными с
тригонометрическими функциями, получим упрощенную систему
уравнений
——\- в (ах -f- а2а2 -f - а3а4)	^ -f- со2а — ^	е (k3a3
+ *5а®)^=0,
——-j-e («!-)- b2a2 -)- Ь3а4) -~"Д0-\-в (Cia2-\- с^а4-\-
at	mv
(15.5)
Здесь введены обозначения

Выпишем, используя формулы (3.10) и (3.12), соотношения,
определяющие изменение по времени амплитуды аш, а также сред¬
ние значения AG и г.
Легко видеть, что малая нелинейность статического аэродина¬
мического момента в первом приближении не оказывает влияния
на изменение амплитуды.
Учитывая, что
после несложных преобразований, вычисляя соответствующие ин¬
тегралы, вводя обозначения х = соа7?г2, y = AG, можно получить сис¬
тему уравнений [53]:
Уравнение для изменения переменной г сохраняет свой вид.
В общем случае эту систему уравнений проинтегрировать трудно..
Проанализуем несколько частных случаев. Прежде всего рас¬
смотрим случай, когда аэродинамические характеристики можно
считать линейными. В этом случае, вводя новую независимую пере-
Систему уравнений (15.7) удается проинтегрировать: при исклю¬
чении переменной t получается однородное дифференциальное
уравнение.
da
dt
(<*)=± |/ ‘о2	—	сх2)	+	ДО2	(-Ь.__J_)	,
(15.6)
менную — безразмерное время
^0
получим
(15.7)
4	399

Решение для амплитуды колебаний имеет вид
j \ w
_^о
'	7	-]	П2	(15.
^	I	С\Г -
1 -h С ехр — \  dt
(15.8)
х
где
q х (*о) + у (*о)
х&о) — у(!о)
Легко видеть, что убывание х обеспечивается, если ~
(0
Начальные* значения *(f0) и у (to) удобно задать в конце промежу¬
точного участка перехода от движения в пустоте к движению в
плотных слоях атмосферы (см. разд. 13). Как уже было указано,
влиянием аэродинамического демпфирования на этом участке мож¬
но пренебречь, и считать, что G = const, г=const. Отсюда следует
При фиксированном у (to) максимальное значение x(t) достига¬
ется при максимальном значении я(£о): этот вывод вытекает из не¬
сложного анализа выражения (15.8) с учетом очевидного неравен¬
ства x(to)^\y(to)\- Следовательно, максимальные значения амп¬
литуды колебаний в плотных слоях атмосферы согласно формуле
(13.8)	соответствуют максимуму функции %: %щах(р, фь ф2) =
=х(ц. фь ф2, 0).
В результате выражение для максимально возможной амплиту¬
ды колебаний приобретает вид
у (?о) - а О (70) = G(f0) — r (t0) = О0 — г0 = -у2 (cos срх — cos ср2).
(15.9)
где
^ _ Хшах VI» У2> + Iх (cos ?1 — cos <р2)
Хгаах 0х»	¥2)	—	И	(cos	—	COS	?2)

В частности, в случае когда значения cpi и ср2 малы (см. разд. 13)»
получим
Xmaxtf'. <Pl> <Р2) = ('Р1 + 'Р2)
У
<-‘hT
COS ср! — COS Ср2 =
2 2
^2 — 'Pi
JtfJL
(Tl + T2) cth"X + (У2 ^
C=	^	.
JtfJ-
(fl + <Р2) Cth — - (cp2 — <fi)
При больших p., когда применима формула (13.11), после неслож¬
ных преобразований получим
r_ sin (<р2/2)
При ср,-(-ср2<Л,
^ cos (fi/2)	.	^
С=—у— при <р, + <р2>Л.
cos (ср2/2)
Экспоненциальные члены, входящие в формулу (15.9), могут быть
представлены в виде произведения двух сомножителей
г t
exp
tn	J	L	t0	J
X
X exp
3 a) mV
(15. 10)
Первый сомножитель, как показано в разд. 12, с учетом допущения
Пх^> | sin 01 легко преобразуется к виду
ехр
I- to	J
су-т«Ця
(15.11)
Второй сомножитель может быть выражен через универсальную
функцию, зависящую от параметра, если воспользоваться прибли¬
женными формулами для траектории входа в атмосферу баллисти¬
ческого тела [55].
Используя допущение о том, что на траектории входа в атмос¬
феру пх^> | sin 01 нетрудно получить

Далее, в соответствии с приближенным решением Аллена — Эггер-
са имеем
7	  Г	cxv$
v г
^=ехр1
2\т I sin I
■в
Подставляя эти выражения в интеграл (15.9), после несложных
преобразований получим
г Cir_ qS_dt^_
J о) mV
т х
X
yv '	и*
—-V
тшх	J
pda
Y In и + p^a2
тГ
tiix
yv
m x
X
-рф(р, и,),
(15. 12)
где
ttl X
X
Функция Ф(p, u%) прйведена на рис. 22.
Таким образом, использование формулы (15.9) в сочетании с
результатами разд. 13 и формулами (15.11) и (15.12) позволяет
определить максимально возможную амплитуду колебаний осесим¬
метричного тела при входе в атмосферу.
Систему уравнений (15.6) удается проинтегрировать в явном
виде и в ряде других частных случаев [53J. Если ^ = const, r = const,
<о = const, то для исследования устойчивости движения тела удобно
использовать качественные методы Пуанкаре — Бендиксона (см.
137]) путем построения фазовых траекторий в плоскости (х, у).
Если имеется система уравнений
1/).
-^-=F2{x, у),
dt
то необходимо найти особые точки, удовлетворяющие условию
р\(*> у)=р2(х, у)=0
и вычислить частные производные в этих точках dFJdx, dFJdy,
dF2/dx, dF2/dy. В зависимости от определенных соотношений меж¬
ду этими производными, каждую из особых точек можно классифи¬
цировать как узел, центр, фокус или седло [37], после чего удается
воспроизвести качественную картину поведения решений.
100

Ф(р,и*)
Рис. 22. Функция Ф(р, и*), определяющая влияние начальной угло¬
вой скорости сохо яа демпфирование колебаний угла атаки
Рис. 23. Характер поведения фазовых траекторий для двух типов автоколеба¬
тельного режима
101

Для примера рассмотрим простой случай г=О, а3 = 63=0, ai<0„
а2>О, Ь2>0. Поскольку х^\у\, достаточно ограничиться квадран¬
том, расположенным справа между прямыми у = ±х (рис. 23).
Найдем прежде всего особые точки
4ai	р.	а,\
Хг= о), уг = 0,	—	—	to,	у2}3=±х2.
а2	о2
Картина расположения фазовых траекторий в данном случае
симметрична относительно оси абсцисс.
Если a2<2b2i то точка xif у{ является узлом. В нее входит мно¬
жество фазовых траекторий, точки я2,3, У2,з = =±=я являются седловы-
Рис. 24. Характер поведения фазовых траекторий .в линейном случае:
С\Г	С\Г
 = 2а\, (х — $)3 (х + у)=Сх2 (эск. а)\ 	= а\,
(О	со
Сл г	а\
(X — №)2 = Сх (эск. б); 	=	— , (х — $)3 = Сх (х + у) (эск. в)
СО	1
ми: в них входят по две фазовых траектории и выходит по одной
(см. рис. 23, а). Движение тела в этом случае стремится к плос¬
ким автоколебаниям [67].
Если а2>2Ь2) то точки я2)3, у=±х становятся узлами, в кото¬
рые входит множество фазовых траекторий, а точка хь у\ становит¬
ся седловой: ъ нее входят две траектории и из нее выходят две
траектории (см. рис. 23, б). Движение тела в этом случае стре¬
мится к быстрой или медленной регулярной прецессии.
Как видно, решения могут варьироваться в очень широких пре¬
делах в зависимости от вида нелинейностей в аэродинамических
характеристиках. В линейном случае (a2 = a3 = b2 = b3 = c2 =
= с3 = 0) картина расположения фазовых траекторий для различных
сочетаний значений а\ и суг/ы приведена на рис. 24. При с^гфО
движение тела стремится к «быстрой» или «медленной» регулярной
прецессии в зависимости от знака С\Г. Как видно, для устойчиво¬
сти движения тела необходимо выполнение условия	.
102

В рассматриваемом случае частота 2я/Т = 2со в нулевом прибли¬
жении не зависит от амплитуды, что делает целесообразным опре¬
деление поправки к частоте coi и дает возможность найти фазу с
погрешностью О(г) на интервале Д^ = 0^—j (см. разд. 2).
Используя формулу (2.88), для данного случая можно получить
i0==_qSl_ )3*з (<о2с& + AG2A&)
Wl	I \	4м3	'
h [4 (Ш2а2п + АОУа2т)2 + (<*£ - AG2/aj)°] \
8 0)5	Г
Отсюда в случае плоского движения (AG = r = 0)
~ = 2«) + (*>i = 2о)д|^ 1 —	hат +	hj j 1
в случае регулярной прецессии (AG2 = co4am2)
^. = 2a> +Ш1 = 2a. |^1 -	(A	k3al + k&Vj j .
Здесь подразумевается, что ат — максимальное значение прост¬
ранственного угла атаки, вычисляемое с учетом нелинейных членов
в моментной характеристике (см. разд. 2).
16.	ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА,
ОБЛАДАЮЩЕГО ДВУМЯ УСТОЙЧИВЫМИ БАЛАНСИРОВКАМИ
Моментная характеристика некоторых осесимметричных тел обладает той
особенностью, что © диапазоне О^а^я помимо устойчивого балансировочного
положения при а = 0 существуют другие устойчивые балансировочные положения.
Рассмотрим неуправляемое движение п/ри входе в атмосферу осесимметрич¬
ного тела, имеющего две устойчивых балансировки при а = 0 и а = я и одну не¬
устойчивую балансировку при a=a*. В соответствии с разд. 13, зададим на¬
чальные условия при входе в атмосферу через величину начального кинетического
момента Qo и углы <pi, Фг и фз, причем угол фз будем считать случайной величи¬
ной, [равномерно распределенной в диапазоне от 0 до 2л.
Рассмотрим движение тела в окрестности границы атмосферы на участке пе¬
рехода, на котором можно пренебречь изменением скорости, угла наклона траек¬
тории, а также аэродинамическим демпфированием.
Учитывая случайный характер начальной фазы движения, ' поставим задачу
об определении вероятности Рi того факта, что после переходного участка тело
будет совершать колебания относительного балансировочного значения а=0.
Очевидно, что вероятность попадания угла атаки в окрестность а = я равна
Рг— 1—Р1, поскольку вероятность «зависания» в неустойчивом положении рав¬
новесия a=a* равна нулю. В общем случае при произвольных значениях пара¬
метра р получить решение затруднительно, поэтому ограничимся двумя предель¬
ными случаями: Р<С1 и р>1.
В первом случае малых р решение очевидно: вероятность Pi определяется ут¬
лом атаки тела а0 на границе атмосферы в момент резкого возрастания скорост¬
ного напора (см. разд. 14), поэтому Pi = P (a0<a*). Распределение вероятностей
р(а0) зависит от постановки задачи, для некоторых частных случаев функции
р(а0) рассмотрены в разд. 14.
Рассмотрим второй предельный случай, когда ^^>1, и будем считать, что ме¬
тод усреднения применим на всей траектории спуска, включая участок перехода
103

(см. разд. 13). Уравнения движения на участке перехода запишем в виде
d2ajdt2 = g(x, а).
Поскольку при ^>1 применим метод усреднения, интеграл действия сохраняет
постоянное значение
ап
\	—(т, a)da~ const,	(16.1)
J	dt
da
где —7 (т, a) =	2	j	g	(t, ai) dax + С (t) = YG (t, a) + С (t),	(16.2)
aH
(a„ — некоторый фиксированный угол атаки).
Пусть в начальный момент времени То известно значение С(то)=Со, а фаза
Фз распределена равномерно. Последнее условие эквивалентно тому, что на фазо¬
вой кривой da/dt (xQ, а) задана бесконечная совокупность «равновероятных» то¬
чек, которые следуют друг за другом через равные промежутки времени 6/ =
= const. Очевидно, плотность распределения начального угла атаки ро(а) пропор¬
циональна количеству «равновероятных» точек, приходящихся на элементарный
интервал оси а, т. е. обратно пропорциональна разности углов атаки для двух
соседних точек .
Ро< (а) ~ 77  	•	(16.3)
da
По некоторым соображениям, которые будут ясны из последующего (приме¬
нение теоремы Лиувилля), было бы удобнее иметь распределение начальных ус¬
ловий, заданных не на фазовой кривой, а в некоторой двумерной области в пло¬
скости а(т0), dafdt(xo). Попытаемся построить эту область и задать распределе¬
ние ро(a, da/dt) таким образом, чтобы получить картину, эквивалентную распре¬
делению начальных условий на фазовой кривой da/dt (х0} а) с плотностью /7о(а),
определяемой соотношением (16.3). Учитывая соотношение. (16.2), зададим поло¬
жительную вариацию константы Со и рассмотрим на фазовой плоскости (а,
da/dt) бесконечно тонкую полоску между кривыми
77 (т0, сс) = y"G(Ti0, а) + С0 и 37 (и0, а) = У О (и0> а) + С0 + 8С0.
dt	dt
Толщина этой полоски по da/dt определяется формулой
ВС	1
8а (тЗп, а) = —	^	= ■— 	.	(16.4)
2 J/G (т0, а) + Со da
Приписывая равномерное распределение вероятностей значениям фазовых ко¬
ординат внутри полоски и учитывая, что ее толшина бесконечно мала, получим,
что соотношение (16.4) эквивалентно условию (16.3).
Рассмотрим, как изменяются по времени решения, соответствующие началь¬
ным значениям С(т0)=Со и С(То) =Со + 6Со. Эти решения в случае медленного
изменения функции £(т, а) (при H^l) располагаются на кривых da/dt(C0, т, а)
и da/d/(Co+6Co, т, а), которые определяются формулами (16.1) и (16.2), причем
da/dt(Co + 6C0, т, a)>da/dt(Co, т, а), если 6С0>0. Пусть в некоторый момент
времени т кривая [da/dt(C0, т„ а)]2 касается оси абсцисс в точке а**, внутри диа¬
пазона [атт(т), am(t)].
• Соответственно в момент времени т+6т кривая [da/dd(Co+8Co, т+6т^ а)]2
касается оси абсцисс в точке a** + 6a** (рис. 25). При т>т и при т>т+6т кри¬
вые da/dt (С0, т, а) и da/dt (Со + 6Со, т, а) разделяются на две ветви, определяю¬
щие площади Si и S2; Si 4- 6Sj и S2+16S2 (см. рис. 25).
104

Покажем, что
Р\ _ as,
Р-2 bS2
(16.5)
Для этого воспользуемся теоремой Лиувилля [22], согласно которой фазовый объ¬
ем, занимаемый множеством решений гамильтоновой .системы, не изменяется
jj dpdq = JJ dp0dq0
(16.6)
(легко видеть, что в данном случае a = q и da/dt = p являются гамильтоновыми
переменными:
/?2 i	ОН dq	дН dp
я= 2 -\	Тр-1,
Следовательно, площадь, занимаемая полоской между кривыми daldt(C0, то, а) и
da/dt(CQ+6С0, т0, а) переходит в сумму площадей 6Si и б52. С учетом равномер¬
ного распределения начальных фазовых координат внутри полоски, следует ра¬
венство (16.5).
Рис. 25. Характер изменения фазовой картины движения с ростом скоростного
напора в случае двух устойчивых балансировок
Остается вычислить указанные вариации 6Si и бS2. Для этого запишем
6Si = bJ	(iT,	a)	rfa	=	^	8	j^-	(тГ,	a)j	da	=
amln	amln
a**
^ Ь У G (и, a) + С (и) da =
mln
a**	|	ЬС	(т)	+	C'	(?)	+	(^»	a)
c)
mln
поскольку
da \
2 — (t, a)
dt
da ^ ~ ч da 2~	\
“77 v13» amln) = ,, V°» a**) = 0*
dt	dt
(16.7)
105

Аналогично
Г	~	~	dG	~	-1
атах ЬС (т) 4- С' (т) Вт + ——(т, а) Ьх da
J «гг* — •	<16-8>
2 — (и,а)
at
При т=т, а=а** должны выполняться условия касания кривой [da/dt(x, а)]2
оси абсцисс
С (?) 4- G (7, а**) = О,
л > й**) — О*
аа
Варьируя первое из этих условий с учетом второго условия, получим
~	~	dG ~	dG	~
ВС(т)4-С' (и) Ъх + — (т,сс**) Ьх 4- — (и,а**) 5а** =
ox	da
~ ~ dG ~
= ЪС(х) + С (и) 5т4- —- (t,cc**) Вт = 0 ,
dx
откуда
Г dG ~ dG ^	1	~
|—(*,<*)«.«>]»*
2 Kg (т>,а) — О (тисс**)
1	„ f„ ~ ,	„	=	rfa,
amln
г<эа ~ dG - л -
°тах 1 at (Т,СС) ~ о-в
8S2— J	2')/С(?,а)-0(:в,а**)
а**
а**
Л = “min
■^2	amin
\	-j-Ко^.а) —G^.a**) rfa:
J 0Т
^ Уо (xi,a) — G(v,a^)da
(16.9)
(16. 10)
а**
Формула (16.10) справедлива, если поведение совокупности фазовых траек¬
торий при т>т определяется картиной, изображенной на рис. 25:	значение
(ctmax)i для интервала меньших а остается меньше значения (ammh Для интер¬
вала больших а.	^	_
Отметим, что при т=т вариация 6С(т) обращается в нуль, поскольку на ос¬
новании (16.1)

а мгновенный период Т(т) обращается в бесконечность (интеграл в знаменателе
расходится).
В случае плоского движения _aomin = 0, аотах = хс, и условия (16.9) всегда
достигаются в некоторый момент т, причем, как нетрудно видеть,
Р\
а* /а
SV 1
К V а*
mz (ai)dai da
1/г
a*
(16. 12)
mz (ai)dai da
Для проверки приведенных формул, а также для получения картины измене¬
ния Р1 при промежуточных значениях р были 'проведены численные расчеты пло-
Рис. 26. Вероятность попадания угла атаки в окрестность а=180°
ского движения неуправляемого тела на переходном участке. Моментные харак¬
теристики задавались в виде суммы трех гармоник: m(a) =aisina+a2sin2a-f
Ч-a3sin За. Козфффициенты при гармониках следующие:
Номер
варианта
ах
Я2
я3
а*
1
0,694
0,342
—0,126
о
О
2
0,916
0,317
-0,183
150°
3
1,318
0,294
-0,302
S
о
о
107

Расчет сводился к многократному интегрированию уравнений плоского дви¬
жения при различных значениях ц и а0 (значения а0 задавались равномерно в
интервале от 0 до 180°).
Результаты расчета приведены на 1рис. 28 (цифры на кривых соответствуют
я—а*
номерам вариантов). Как видно, при (х=0 Яг= il—Рi =	=	0,222; 0,167 и
я
0,1М, соответственно при ц = оо (практически, при [х>5) P2 = 0,0'5; 0,023 и 0,007
соответственно, что в точности согласуется с результатами расчета по формуле
(16.12). Вероятность попадания в окрестность а=180° существенно уменьшается
с ростом начальной угловой скорости.
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С НАРУШЕНИЕМ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ
ПРИ МАЛЫХ УГЛАХ АТАКИ
17.	КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ (НЕРЕЗОНАНСНЫЙ СЛУЧАЙ)
Рассмотрим квазистатический режим пространственного движе¬
ния тела вращения с малой весовой и аэродинамической асиммет¬
рией. Под понятием «квазистатический режим» будем подразуме¬
вать такой режим движения, когда колебания по углам атаки и
скольжения не возбуждены, т. е. углы атаки и скольжения изме¬
няются медленно. Ниже будут более точно оговорены условия, при
выполнении которых существование квазистатического режима
возможно. Задача рассматривается в линейной постановке, т. е.
углы атаки и скольжения считаются малыми.
Уравнения движения тела около центра масс в связанных осях
имеют вид
т	т	У	г	I	/	т	т \	т	I
хТй~ ху It "	+( г °>г/“г -	+
4~7хушг10х~\~1ух (w2 — шу) = Мх0 -)- Мха	Мх*шх -\-
+ муШу + муг,	(17.1)
Iy d-~-	+	С7-	-	“А - V> А +
+iy,^u+/„ W - «•>*)=му0+м$+m;**x+m;«i*u - мыа*х,
(17.2)
7* d-7T'-Ix>	“ ■Iy* 1Г+1[ly-Ix)	"IyM+
+ 7хгшушг + Jxy (шг/ ~ <4) = Mz0 +	+ M”*d>x -f М“*шг -f Mu$tox.
(17.3)
108

Нелинейные члены, пропорциональные Мм, определяют момент
Магнуса (см. разд. 9). Кинематические соотношения записывают¬
ся в следующем виде:
da	р	Yva	+
— = со_ — хог	,
dt z ‘ * mV
d? _	,	О	-	z0
  — to -4— (Хсо
dt	х	ту
(17.4)
(17.5)
Здесь использованы допущения о том, что влиянием гравитацион¬
ной силы, а также зависимостью сил от угловых скоростей можно
пренебречь.
Будем считать, что искажения весовой и аэродинамической сим:-
метрии, а также условия медленности изменения траекторных па¬
раметров характеризуются параметром малости е. Тогда величины
1ху,	а,	р. «V «>,.	ЛГ*, ж;-,	М,	Г0,	Z»
имеют порядок в. Величины dajdt, d$/dt, dujdt, du>y!dt, d^Jdtv
Mxo, имеют порядок в2 (см. разд. 9)/ Величины	I х, 1у=.
= /, = /, Д 1 = 1-1хМ\ = М\ = М\ Мш/ = Мшуу = Мт, Мы, п счи¬
таем немалыми (порядка е°). Малое отличие в значениях УИ* и
К а также в значениях 1у и /г здесь не рассматривается. Эффек¬
ты, возникающие в нерезонансном случае при неравных М\ и
М\л а также 1у и Iz, будут специально рассмотрены в разд. 2U
Поскольку для квазистатического режима характерно медленное
изменение рассматриваемых переменных, пренебрежем в уравнени¬
ях (17j1) — (17.5) членами, содержащими производные, за исклю¬
чением члена I х^~ в уравнении (17.1) [5]. Ниже будет установ-
dt
лено, при каких условиях такое допущение оправдано [формула
(17.21)]. Тогда уравнения (17.2) — (17.5) переходят в систему ал¬
гебраических уравнений, которые позволяют найти зависимость
углов а и (3 от угловой скорости co.v, скоростного напора q и скоро¬
сти V
Г 9 Y1 }
1 va V
<»х -^д/_УИ“-Жм
>
-Д/4-УИ^	-УИ“
а +
,3 =
mV
x\mV м/
(К
1 mV
Д/ — Мю — УИ„
уа
— УИ“
mV
?=Муо—^м*+м"и«ох+
mV
(17.6)
109

и в соотношения для определения квазистатических угловых ско¬
ростей СОу и со2
Ya	у
со = — аоз -|	  р	2-
*	*	1	mV	mV'
Уа v
°)2 = ^°Х-\	  <Н		 •
* х~ mV ' mV
(17.7)
Уравнение (17.1) после подстановки выражений (17.7) сводится к
виду
—{хг ^шх + (м%+М-7 -Z- - му>х - Iху,
'шх —п — 7xz(i>x )a +
mV
+{м>+му 21 + Л1>, - / ,л IL - /у!) ?.	(17.8)
Разрешая уравнения (17.6) относительно а и |3 и подставляя по¬
лученные выражения в (17.8), получим уравнение, определяющее
эволюцию квазистатического режима. Для того чтобы облегчить
анализ членов в правой части этого уравнения, введем безразмер¬
ен/ - qSI rj,
ные величины ®х = и q =	. Тогда отдельные члены в пра-
V	2т
вой части уравнения (17.8) представляют собой отношения поли¬
номов, включающих члены вида amnQmcoxn. Считая величину q ма¬
лой, можно убедиться, что часть указанных членов может быть
отброшена, поскольку при любых соотношениях между q и со* най¬
дутся другие члены, имеющие меньший порядок малости. Так, на¬
пример^ рассматривая сумму членов пропорциональных со*4, роо*3,
qg)*2, q2со* и q2, можно убедиться, что второ_й и четвертый члены мо¬
гут быть отброшены. Действительно, при cox2 = 0(q) они имеют по¬
рядок 0(q5/2) по сравнению с порядком 0(р2) остальных членов, при
о)*23>Q превалирующим является первый член, при со*2<Ср — пя¬
тый член.
В итоге правая часть уравнения (17.8) преобразуется к следую¬
щему виду:
1 х ^ = <75/ {тм + {mxx-lxyCno + LxzCzo) »>х+ P2P+Q2 х
х([-4(4+ ily)-iXy {fnyx + my+Mcn0)-ixz (mx*-\-mx*+Mczо)] х
X [—ixz [т2й + ml) — ixy (myQ — тх)} й2х -f [ m20 (-т?у — clJxy) +
+ туо (т7 + с&х,) + т* (Д^г0+т^) + т\ (Aicn0 + m"*)] gm, +
110

“4
+ [niyo ttlx + ЩгоШх] е } + p.-^Q, { [—(l%-+&)] -f- + Vxy ( тX ~тго) +
+ ixz(myoJrmx)\ «£+ [mzorr& — ту0тх\ qJJ ,	(17.9)
где Р= — A/co* — m*Q, Q=Q^x(Mcayv — moi — mM).
Как видно, возможность раскрутки тела относительно продоль¬
ной оси определяется не только возмущающими аэродинамически¬
ми моментами mXQ, my0, ^zo, но и центробежными моментами инер¬
ции ixy, ixz [41,61].
Рассмотрим два характерных предельных случая:
а) малые угловые скорости — сох2<Ср;	(17.10)*
б) большие угловые скорости — сох2^>р.	ч	(17.11)/
Если (ох2<Ср (точнее, \Ашх2\<С |^фр|), то отбрасывая малые
члены и возвращаясь к размерным переменным, получим линейное
уравнение
*Z£- = b0-^ + c0-^ «V	(17.12)
dt	Ix	IXV	х
где
туот9х + тг0т«
Ь§ ttlx о	(^жо)эф’
CQ=^nw/-ixyCn0+ixzcz0-^;[mz0 (—т"» —	(/n“*+*VS«)	+
+ < (д/сг0-)-	-(- т* (Д*"сл0+ /»“■*■)] "Ь
Д«с® — т“-тм	з	.1
	(т*)2	(mz0m^“mi/0mJ;)j •
Используем допущение, характерное для траекторий входа в
атмосферу пх^> | sin 01 (см. [55]), тогда
qSdt^- mdV
cxv (а) Р)
где углы аи|3 при условии (17.10) определяются формулами
rtv	17V
»	_»	cxmzo	+	c?xmyQ f ^2n (mjo+m^o)
СXV Сx0	<p	“Г	С	r	/ r>
яг	*	(mf)2
В итоге решение уравнения (17.12) можно представить в виде

В большинстве случаев с0<0, и угловая скорость со*, начиная с не¬
которого момента времени, убывает. Если искажения формы тела
отсутствуют, а весовая асимметрия сводится к смещению центра
масс по оси у, то с0~Ау2, и достаточно существенное демпфиро¬
вание обеспечивается лишь при большом смещении центра масс.
При с0~0 формула (17.13) упрощается:
их0~
lxcxv
Уъ-У
I
(17.14)
В случае co*^>q уравнение (17.9) также становится линейным
dt
-h
qSl
qSP
'1 — “jc.
1 IrV
(17.15)
где bl = mx0+-^ [lxz (mz0 + m\) + >xy (wfy, - mx)\,
cy = mxx-ixycn0 + ixzczо +	[шху {mmy* + m"« + Mcn0) +
“Ь ^ xz {mzX "b mxZ — ^Cz0 ) +	(	Cz	ixy ) ] •
Аналогично предыдущему получим
их0
С1 -У iXеXV
niv_\~Tt
I Wo)
v_
I
(17. 16)
где
£XV CxO~
ixzc\ *хусх
Ai
i,
a2
(i2 4- ;2 )
V xy ' \kz)
(A/)2
ХУ	fj	t try
a= , p = -^- .
At	A i
Демпфирование угловой скорости со* определяется знаком и вели¬
чиной коэффициента С\.
Если в дополнение к условию q<C1 ввести условие co*<Cl, то
уравнение (17.9) можно преобразовать к виду
, rfco* СЛ . \^o^x+mz0max]Q-[ixz(mz0+m^) +ixy(my0—max)]^2
~Z7~=qSl I ГПхО +  			~--т=2— 	1		—*
dt	(	—m?Q	— Ашх
(17. 17)
или, используя допущения /г*» |sin0|, — к виду
dux	~
—iJ\ sin <
dQ
\туот*х + /яг0/и*] Q — [ixz (mz0 + m?x) + ixy (my0 — max)\
—m?Q — Am2
(17.18)
Это_уравнение применимо во всем диапазоне изменения отношения
g>x2/q, если Дг’СО (сплюснутые тела вращения), т. е., для нерезо-
112

нансного случая. При Д/>0 (вытянутые тела вращения) в случае
Д/сох2~—т* q возникают резонансные явления, которые требуют
особого рассмотрения (см. разд. 18,20).
Соотношения (17. 17) и (17. 18) эквивалентны допущению о том,
что углы атаки и скольжения определяются соотношениями
<х~	,	(17.19)
MZ0 + 1хушх	о _ .	^У°
а угловые скорости —
<°у~— acV	(17.20)
Попытаемся с помощью выписанных соотношений установить кри¬
терий применимости квазистатических решений: оценить справедли¬
вость допущений о возможности отбрасывания производных в урав¬
нениях (17.2) — (17.5).
Для простоты ограничимся случаем, когда влиянием изменения
продольной угловой скорости сох можно пренебречь. При оценке из¬
менения скоростного напора и скорости вдоль траектории спуска
используем приближенные соотношения Аллена — Эггерса [55].
Обратимся вначале к кинематическим соотношениям (17.3), (17.4)
и установим, при каких условиях можно пренебречь производными
da/dt и dfi/dt по сравнению с (Зсо* и асох соответственно. Вводя па¬
раметр малости в, характеризующий аэродинамическую и весовую
асимметрию, будем считать, что Мр0, Mz0=eO(M?), Ixy, IXz=
= гО (/) =вО (Д/). Из соотношений (17. 19) легко усмотреть, что в
обоих предельных случаях
2-чч М*	2//	М*
со,»-— И «•>*«- —
(или соответственно со*23>q и соx2<Cq) квазистатические значения
аир являются практически постоянными, если зависимостью аэро¬
динамических коэффициентов от числа М можно пренебречь, и по¬
этому производные da/dt и d$/dt пренебрежимо малы. В частности,
при сох—>“0 указанные производные стремятся к нулю пропорцио¬
нально сох2 и остаются меньше произведений асох и рсо*. Наиболь¬
шие значения этих производных достигаются при угловых скоростях
2	/ М9 \
<*)jc=0[	.	Сделаем	оценку	величин	da/dt, d$/dt, рсох, асос для
\ lA/l J
этого случая.
Учитывая, что
da:   (—^tMz0-\-fxyM(p) а?х i dq  gQ / 1
dt	(	—Д/<*>2 — M^Y	q dt	\	q	dt
и, поскольку из решения Аллена — Эггерса следует, что
— ^3-=( 1	£££^_')X|sin6|l/0exp[	CxfQ -I
q dt \	\m |sin 0| /	L	2\m |sin 0| J
получим da/dt, d$/dt = zO (X | sin 0| VQ).
113

W^tn
В то же время, учитывая, что ^шах~ 1sin 0| ([55]), получим
2вс YuS
сожсс, U)^ = e0(a)j = e0	)=еО	■
\т*| qmaxSl
|Д/|
=ю(уо]/~ IgJL).
Отсюда следует, что производными da/dt, d$/dt можно пренебречь
по сравнению с членами соха, сохр, если
1sin 0||Дг|<<^ 1.	(17.21)
Это условие практически всегда выполняется, если длина тела не
превышает нескольких метров или даже десятков метров (для ат¬
мосферы Земли Хж 	 м--1).
^ F	7000	'
Переходя к уравнениям (17.2), (17. 3), следует установить, в ка¬
ких случаях можно пренебречь производными
Д/а)уО)х	Д/со со
d^jdt, d^y/dt по сравнению с членами 	-	,	 .
Учитывая, что coz~p(Ox,	—асох, найдем
_^=(0х0 (^L)=i0xo(^-
dt dt	V	dt J	\	dt
MtOy(*x Д/со vco2	2	/	\
= 0) (a) = (%0(,'
/ /
откуда следует, что выполнение условия (17.21) позволяет прене¬
бречь производными и в уравнениях (17. 1). Таким образом, в не¬
резонансном случае выписанные соотношения, определяющие ква-
зистатический режим, применимы, если весовая и аэродинамическая
QSI
асимметрия тела является малой, и если малы параметры q = ——
2m
и У U | sin 0| |А/|.
18.	КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ (ОКОЛОРЕЗОНАНСНЫЙ СЛУЧАЙ)
Если Д/>0, тУ <0, то характер решений может существенно
измениться благодаря возникновению эффекта резонанса [5, 56].
Действительно, в этом случае «главный» член знаменателя в (17. 9)
может обратиться в нуль, если
—т*с«0.	(18.1)
При этом нарушаются сделанные выше сравнительные оценки
величин различных слагаемых [использованные, например, при вы¬
воде уравнений (17.18)], введенные упрощения перестают быть спра¬
ведливыми и само понятие квазистатического режима теряет смысл.
Тем не менее, допущение о квазистатическом режиме при некото¬
рых условиях (см. разд. 20) может быть использовано и в около-
114

резонансном случае, поскольку оно позволяет получить сравнитель¬
но простым путем полезным результаты [5, 56, 59]. Поэтому вновь
обратимся к уравнению (17. 9), при выводе которого уже были ис¬
пользованы квазистатические соотношения, и, считая, что oj.v<C1,
запишем его в виде
Л* dux	,	PBp-\-QBq - -
mJco Н	00 ,■ ”" ' — b (Q> °^)-	(18.	2)
qSl dt	" '	Р2	+	Q 2
Здесь через Вр, Вя обозначены соответствующие полиномы в урав¬
нении (17. 9). Если учесть, что в окрестности резонансной скорости
сох2= О (q) и что значения q малы, то слагаемые полинома Р на
порядок 1/|/~Q превышают слагаемые полинома Q. Однако прене¬
бречь членом Q2 по сравнению с Р2 нельзя, поскольку при со^ =
= (0^ = 1^/^ —значение Р обращается в нуль.
При значениях сох, близких к сохр, можно считать (с учетом ма¬
лости q) , что
— 2Дг«>хр (шх — шхр) = —2 У—пРЬщ К — шхр)
Qx(Aiciv — m* — mM) ]/” --ё3/2 > О,
Вр~1л1	+	+ [ту0т?х + тг0/л*])q = I«
(4(/ + «L)—— mzo) + ^z(m(/o + m”)] +
+ [тг0т9х — ту0тЩд.
Тогда, как отмечено в [56], при малых q правая часть уравнения
(18.2), рассматриваемая как функция от сох в малой окрестности
резонансной угловой скорости сохр имеет два экстремума, если
ВРФ0, или один экстремум, если Вр = 0 (рис. 27). Значения этих
экстремумов составляют
]/ Q2(Bl + bI) ± QBa
Ьты = 1Пх{) + 	—	 (18.4)
min
и достигаются при выполнении соотношения
PB=-QBq ±Vq?{bI + B])	(18.5)
соответственно.
115

Нетрудно убедиться, что экстремумы bmах, bmin имеют порядок
е2/ V~q (где е—параметр малости асимметрии), а значения
Д(ох12=(ох — (охр> при которых достигаются экстремумы, имеют
i
Рис. 27. Определение квазистатического околорезонансного режима:
Вр = 0, BqC0 (эск. а); Вр = 0, £д>0 (эск. б); £Р>0, £д<0 (эск. в); £Р<0>.
£д<0 (эск. г); О—устойчивость; ф—неустойчивость
порядок р, так что	=	о(]/q). Учитывая (18.3) — (18.5), не-
^хр
трудно убедиться, что
—sign Лсо^ = sign Лш х2 = sign Вр.
При Вр=0
bSKCtP = b(~oxp) = b=^-.	(18.6)
Поскольку на малом интервале изменения сох в окрестности зна¬
чения (Охр правая часть уравнения (18.2) изменяется в сравни¬
тельно широких пределах, можно ожидать, что в ряде случаев ре¬
шение будет близко к функции ю^р(р) =	• Действительно,
если правая часть уравнения (18.2), определяющая производную
d(ox/dty резко убывает с возрастанием сох и резко возрастает с умень¬
шением сох, то при достаточно заметном отклонении угловой скоро¬
сти сох от резонансного значения, решение возвращается к резонанс¬
ной кривой (оХр (р) •
116

Пусть Вр = 0, ВяфО. В этом случае тело уже не является телом
вращения, но сохраняет плоскость симметрии («компланарная»
асимметрия). В частности, если плоскостью симметрии является
плоскость (х, у), то ixz=myo=max =mx0=0. Решение, близкое к
о)хр(р), существует, если левая часть уравнения (18.2) при оох=
= сохр имеет тот же знак, что и значение Ъ, и если она меньше это¬
го значения, но соизмерима с ним. Вычислим левую часть уравне-
и/-
полученную величину через /:
ния, считая, что £^=const, о)^ = юхр=\/ ~~~f ’ и обозначим
, ]/«!«. (18>7)
J qSl dt	2	V	AiQ х xv у д/ v
Значение f положительно на участке возрастания скоростного
напора и отрицательно на участке уменьшения скоростного на¬
пора.
Решение, близкое к солр, существует, если кривая б (со*) пере¬
секает прямую f в окрестности сохР. Но из геометрического по¬
строения следует, что равенство
ЬЫ = /	(18.8)
выполняется в окрестности со.х-р, если значение f находится в диа¬
пазоне Ъ-^rkb, где 0<&<1 (см. рис. 27, а, б). Тогда равенство'
f=b(со*) выполняется в двух точках, причем одна из них являет¬
ся устойчивой (db/d(j)x<iO), а другая — неустойчивой [5, 56].
В большинстве случаев
в 2 {тг0 - — ixy + — lxy j
ь— 4 — V ==!■	   —	<0.	(18.9)
I/
им)ё1/2
Пусть, например, асимметрия является чисто весовой mz,0=
= схАу, ml =—с* Ay. Поскольку всегда сх >0, Сп >0, можно
убедиться, что условие 5<0 нарушается лишь в том случае, если
отношение iXy/Ay положительно и располагается между значения-
ми (—и { — ^Асп-	В дальнейшем будем считать для оп-
\ тУ ]	\	rrv j
ределенности, что условие 5<0 выполняется.
Легко видеть, что при	меньшее	значение	сохр, при кото¬
ром выполняется равенство f=b((ox), является положением устой¬
чивого равновесия, а большее значение со* — положением неустой¬
чивого равновесия.
L1.7

Режим резонансного вращения возможен, когда решение со*(О
вторично пересекает кривую (0хР(/) (/<0) в случае выполнения
неравенства
которое перестает выполняться при достаточно больших значениях
q. В итоге характер решения может иметь следующий вид (рис.
28, а). Кривая сох(0 переходит через первую ветвь резонансной
Рис. 28. Возможный характер изменения продольной угловой скорости при нали¬
чии резонансных явлений:
Вр = 0, Bq<.0 (эск. а); Вр = 0, Вд>0 (зек. б); Вр>0, Bq<.0 (эск. в); Вр<0,
(зек. г)
кривой, доходит до второй ветви, далее уменьшается, следуя за
резонансной кривой, и после того, как неравенство (18.10) пере¬
стает выполняться, переходит через вторую ветвь.
При Ь>0 устойчивый резонансный режим может существовать
на участке возрастания скоростного напора (рис. 28,6).
Рассмотрим общий случай, когда нарушение осевой симметрии
имеет произвольный характер, и обратимся к правой части уравне¬
ния (18.2). Общий случай отличается от частного, рассмотренного
выше, тем, что появляются члены тх0ФОу ВРФ0, а член Bq явля¬
ется суммой двух слагаемых, каждое из которых характерно нару¬
шениями симметрии в определенной плоскости, и почти всегда от¬
рицателен. Если не учитывать тх0у то при Врф0 Ьтах>0 (это сле-
I вя
дует непосредственно из формулы (18.4)), a |6min|>|&|= |-g- .
Действительно, Ь=Ъ при Р=0, но в случае Врф0 минимум Ь(со*)
достигается при РФ0 и, следовательно, превосходит по абсолютной
величине Ъ. В итоге зависимость Ь(сох) в окрестности ыхр дефор¬
мируется: отрицательный пик возрастает и появляется, кроме того,
 1хСх~ь (18.10)
118

положительный пик. Влияние члена тх0 в окрестности резонансно¬
го режима невелико: значения femax и Ьт{П имеют порядок е2/ VQУ
а значение тх0 — порядок е2. В силу выписанных соотношений рас¬
положение максимума и минимума 6(сох) определяется знаком
b®—b 1,	к тому же по результатам разд. 17,
b—>Ьо при со*—ИЗ и b—1 при сох—Поскольку 6min<C0, bmах>
>0, то при Врф0 резонансный режим возможен как при поло¬
жительных, так и при отрицательных /, т. е. как на участке возра¬
стания, так и на участке убывания скоростного напора. При Вр>0
устойчивый резонасный режим возможен в тех случаях, когда зна¬
чение f располагается в диапазоне 6min-i-^max (см. рис. 27,6), при
Вр<0 в тех случаях, когда значение f располагается в одном из
диапазонов bi^rbmRX или 6min-^&o: поскольку b\>b0 при Вр<0, эти
диапазоны не перекрываются (см. рис. 27, г). Возможный харак¬
тер изменения решений сох(/) при Вр>0 и ВРС0 проиллюстриро¬
ван на рис. 28, в, г.
Необходимое условие существования резонансного режима в
обоих случаях имеет вид
Используя формулы (18.4), (18.5) и (18.6), перепишем это усло¬
вие в форме
для ветви возрастания скоростного напора (знак «+») и убыва¬
ния скоростного напора (знак «—»). Здесь Q = Qq3/2, Bp = BvQ-\
Bq = BqQ~l — коэффициенты, не зависящие от q. Для восходящей
ветви скоростного напора выход на резонансную кривую происходит
при q~cdxo> поэтому при малых содго в соотношении (18. 11) член
txCxvQ может быть отброшен. В результате можно получить извест¬
ное соотношение для критических параметров асимметрии [56, 48J
^min
<f<b ]
max*
(18.11)
Нх + hh+y\k\+k\) (i\ +1\) >	x
X [Д/с^г, —	/^Alsin	0|.	(18.	12)
(18. 12)
119

Естественно принять, что параметры асимметрии являются слу¬
чайными величинами, такими, что
Тогда
,2 ,2 2 ,2 /2	2
R, 1 = Я2=аЬ l\=l2 = 3h
kj[=Wi=^tpl (hl< l).
k-J^2 ^1^2 — ^2^ 1 /1^2 0.
^1^1 “f"^2	(^1	(A	“f"	^>)=
= ала1{2Е (п)-/С(л)(1-Т12) + 2л}^аЛ(1+Л)^(1-Л)+2л],
где /С(л) и ^(л) —полные эллиптические интегралы 1 и 2-го рода.
Проведенный анализ относится к случаю положительных угло¬
вых скоростей со*. При co^<0 картина изменяется таким образом,
как будто член QBq не изменил знака, а член Bv изменил знак.
Полученные критерии [типа (18. И)] могут дать более или ме¬
нее удовлетворительное совпадение с результатами численных рас¬
четов при достаточно больших угловых скоростях сох [56, 61]), при
малых угловых скоростях сох эти критерии дают заниженные зна¬
чения критических параметров асимметрии. Подробнее условия
применимости квазистатических решений и околорезонансной об¬
ласти рассматриваются в разд. 20.
Полуэмпирический .подход к уточнению полученных критериев заключается в
учете углового ускорения du>xldt = du>xvldt при выводе выражений для квазиста-
тичеоких значений угла атаки и угла скольжения [44]. В этом случае в соответст-
п ХР
вии с формулами (17.7) следуют значения dazjdt и d(nvldt принять равным? 77“
at
dix>xp
'и —а——соответственно. В результате формулы, приведенные выше, претерпе-
dt
вают незначительные по форме изменения: к комбинации параметров, определяю-
а / ш	а	\	d\nq	IV
щих демпфирование	Atcuv — \m +	тж)	добавляется член	“	—	ттг	.
у	z	at	qblz
Такое уточнение не является строгим, так как полученное условие относится
не .к возможности перехода к режиму резонансного вращения, а .к возможности
■существования резонансного вращения, если оно появилось. Кроме того, отбрасы¬
вание членов dajdt и d$/dt © соотношениях (17.4), 17.5) также не является за¬
конным. Тем не менее, это уточнение позволяет в какой-то степени расширить
применение мвазистатической методики, о чем свидетельствуют результаты рабо¬
ты [44].
Отметим, что учет зависимости сж«(а) приводит к некоторому изменению
квазистатических критериев [48], однако численные значения при этом изменяют¬
ся незначительно.
Более существенным оказывается учет различия моментов инерции lz—/у =
= Д/0 [33]. В этом случае знаменатель выражения в правой части соотношения
В итоге зави-
{18.2) изменяется: из суммы P2+Q2 вычитается член R2 =
симость квазистатических значений угла атаки и скольжения от угловой скоро¬
сти со* претерпевает качественные изменения, а в случае, если |#|>Q, возника-
120

ют явления потери статической устойчивости. Подобные же явления возникают в
случае М\ ф М\- Указанные эффекты с достаточной подробностью анализи¬
руются в книге [5].
19.	ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА (НЕРЕЗОНАНСНЫЙ СЛУЧАЙ)
Квазистатические решения для углов атаки и скольжения и для
угловых скоростей в нерезонансном случае были рассмотрены в
разд. 17. Рассмотрим малые вариации указанных параметров, тог¬
да исследование устойчивости квазистатических режимов сводится
к анализу системы линейных уравнений с переменными коэффици¬
ентами. Поскольку квазистатические решения медленно изменяют¬
ся, то считаем, что переменные коэффициенты зависят от «медлен¬
ного» времени т=г/ (не конкретизируя смысла параметра мало¬
сти). В результате система уравнений в вариациях является линей¬
ной системой с медленно изменяющимися коэффициентами, и для
построения решений можно использовать метод ВКБ.
Рассмотрим тело вращения с малой весовой асимметрией при
малых углах атаки и скольжения. Тогда квазистатические значе¬
ния углов атаки и скольжения, а также экваториальных угловых
скоростей малы:	а = еа(т), |3 = г|3(т), со2/ = есоу{х)У coz= еоэ2(т),
а продольная угловая скорость имеет порядок единицы 00^=00^(т)
или (Dx = (Dx(s2t) (см. разд. 18).
Если считать параметр q=^~ малым, то моментам демпфи¬
рования MVlbj и подъемной силе Y%a, Y%$ можно приписать па¬
раметр малости е. Кроме того, параметр е следует приписать цент¬
робежным моментам, смещению центра масс А у, коэффициентам
га*, т\у пгф, т*уху тф, т/, а коэффициенту т°ф — параметр е2;
коэффициенту тх0 следует приписать параметр е или е2. Припишем
порядок е2 разности 1У— /2, т. е. будем считать, что Iy = Iz=I.
Уравнения возмущенного движения будут рассмотрены в огра¬
ниченной постановке-—без учета влияния вариаций траекторных
параметров бq и 6V. Это влияние оказывается очень слабым. На¬
пример, в разд. 12 отмечалось, что влияние зависимости cxv(a) на
затухание колебаний по углу атаки проявляется через член сх — сХу
которым при малых углах атаки можно пренебречь. Более того,
можно убедиться, что в первом приближении уравнения (17.2) —
(17.5) могут быть рассмотрены отдельно от уравнения (17. 1) —
без учета вариации бсох.
Действительно, варьируя уравнение (17. 1), убедимся, что коэф-
фициенты при вариациях бсоу, бац, ба, бр,  и  —имеют по-
dt	dt
рядок 8 и выше.
Аналогично, если проварьировать уравнения (17.2) — (17.5),
то окажется, что -коэффициенты при вариации бсо* имеют порядок
е й выше, т. е. взаимодействие между системой (17. 2) — (17. 5) и
уравнением (17. 1) проявляется через малые второго порядка.
121

Проварьируем указанную систему и отбросим члены порядка е2
по сравнению с членами порядка е° и е:
IS to н	//?\м
—	7	—— + 7	+	7	у^хЫу — I шхЬтг=
at	at
= МЧ'А + М%ту — МышхЪа,	(19.1)
1	—Iyz ~df~ 1 v>x?Ji"y ~1 yzV>xbv>z ~1 х^хЫу=
= МЧа + МшЪшг-\-МишхЬ$,	(19.2)
-^=8<ог-«,,8?—^8а,	(19.3)
dt	mV
db$
Ya
,	8%	+	шл:8а	(19.4)
dt у	mV
Применение метода ВКБ включает в качестве первого этапа оп¬
ределение корней «замороженного» характеристического уравне¬
ния. В «нулевом» приближении (при е=0) характеристическое
уравнение для определения чисто мнимых корней ip имеет вид
/?4+[2(д7<4-|- Ж?)—4(1+д7)2] /?2+( д7св^+7Й’,)2=о	(19.5)
Здесь Д/=1 — Тх,	.
Это уравнение имеет корни
Ai2=±lil±iZ)
РзА— ±
|il±A£W + -|//
^ (1 +	03	 '^/Г	1	-jyp^
(19.6)
Отметим, что в резонансном случае пара корней р3,4 близка к
нулю. Условие устойчивости в «нулевом» приближении сводится к
требованию о том, чтобы корни были чисто мнимыми
/V
* *	0.	(19.7)
4
Будем считать это условие выполненным (оно всегда выполня¬
ется для статически устойчивых тел, у которых М* <0).
Ищем ВКБ — решение в виде
8а=ехр | i j pdt\ [са (t) + геи (х) + О (в2)],
^ *°t	{	(19.8)
8р = ехр ii j* pdt\[c? {х) + ес^ (t) + 0(е2)].
t о
122

Пользуясь соотношениями (19.3), (19.4), можно получить вы¬
ражения для вариаций угловых скоростей и их производных
dca
ipCa-\-MxCp -f-B —J- -f- zipcla -f*
dt
= exp ^ pdt
+ M/iP + s-^-ca+0(e2)|, ИТ. Д.	(19.9)
mV	J
Подставляя полученные выражения в уравнение (19. 1) или
(19.2)	и удерживая члены нулевого порядка малости, получим со¬
отношение, связывающее величины са и ср :
c^-p2-Muzx-M'*) = ica{l+M)puxi	(19.	10)
или, учитывая (19. 6), ср =±ica,	(19.11)
(в зависимости от порядкового номера корня).
Удерживая в уравнениях (19. 1), (19.2) члены первого порядка
малости, получим систему уравнений
(1 + д7) Си + (р2 + 4Л/+NF) =
( Р1 T шх Д / “Ь ~MV) Cla —|— i ршх b-1) С\$ = f 2,
где /1 и /2— линейные комбинации са, dca/dty ср и dc$/dt. Посколь¬
ку определитель системы (19. 12) равен нулю, условием существо¬
вания решения является равенство
г>Л1+д7)/1 + (^+4д7+Ж<?)/2=о,	(19.13)
или	fi=±i/2,	(19.14)
где	/i=2f> —j--\-ip —Cp-\-i^ с9 —	~	— са	+
dt	mV	dt	dt	dt
Iyz / -	9	\	.	—	dc„	—	K*
+-r№-«Z) с*-й«х —a - Д7шх -~ся- //>ЛГср+{ЛГ+Л*М) <*>,*.•
1	dt	mV
—^r — ipMwca — (Мш-\-Мм)и>-хСр,
dt	mv

После несложных выкладок получим, что при
(1 + д7) со
Р=±
+
1
с\3 dt
J_ dCa 1
dt 2о>
Г”
V
~mV
где со =
=v
Г 7W	_
—Mv, а при р=±
„быстрая" прецессия, [68]),
/jr (/(О,-	do)	|	1 id) /	/и	|
— —	{-М ( М   (0„
2 dt	dt	1	\	2	/
lu+Tf(U-c)_^A]’	(19Л5)
(„медлен¬
ная" прецессия)
1 ^f£_ J_ 1
сз dt ~ с* dt ~2(0
(1 +	°Ъ:
_ Лг	_^._цуИ<о/	I
2	V	2	/
(19.16)
Условиями устойчивости (затухания колебания) являются не-
1 CLCa	1	fifCg
равенства ^0,	-<<0.	Проанализируем	вкратце	эти	усло-
Са dt	С(3	dt
ВИЯ.	_
Если | со*21 <С | И* |, то
1
dc
a
1
dc^
Са
dt
dt
Cai
l
|/” CO
- exp
1 d In
~2
М —■
уа
у
mV
dt
(19.17)
-Н (**-£)*]•
*0 j
где
Если | сож2| IM'p |, то условие затухания «быстрой» прецессии
сводится к неравенству
J_ dCa^ 1 dC^	Yv	Mu
Ca dt	cq dt	mV	lx	’
(19. 18)
1 ^C(J- _ _J_	__	L	 1__
ca dt CQ dt	I	x	со*	dt
а условие затухания «медленной» прецессии — к неравенству
(19. 19)
Если угловая скорость невелика, но не пренебрежимо мала
(например,	=0,1	]/	—	то	можно	считать,	что	со^
.124

^ j/' — Мф, м затухание колебаний всегда оказывается худшим,
чем в случае плоского движения, независимо от знака Мм, М°\
-— и —- .
m	dt
Действительно, в этом случае
dt '
1х
—L liE (-W)
dt
d<*x I T7i
dt
M
(лг + мн -J_ + Ijl
\	lx	mV
Ya
1 V
mV
+
(19.20)
(знак «+» соответствует «быстрой» прецессии; член в квадратной
скобке равен декременту затухания для плоского движения). По¬
лученные выражения относятся к случаю а)х>0. В общем случае
членам в правой части соотношений (19. 15) и (19. 16), пропорцио¬
нальным со* и dtoxldt, следует приписать сомножитель sign со*.
Отметим, что метод ВКБ в обычной форме применим, если все
корни характеристического уравнения различны. В данном случае
это условие нарушается при со*—>-0, поэтому эта область требует
особого рассмотрения. Например, при со*—>-0 не справедлив вывод
о незначительном влиянии члена 1уг (см. разд. 21). Кроме того,
при переходе угловой скорости со* через нуль коэффициенты при
слагаемых возмущенного движения, описывающих быструю и мед¬
ленную прецессию, меняются местами [42, 44].
20.	ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
ПРИ ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНС
Как уже отмечалось выше, в случае 1>1Х в окрестности резо-
т / шг
нанса	I/	—	-—— разделение решения на квазистатическое
слагаемое и возмущенное слагаемое становится условным: квази-
статические значения углов атаки и скольжения быстро изменяют¬
ся в зависимости от со*, а возмущенное слагаемое в форме (19.8),
соответствующее «медленной» прецессии, представляет собой гар¬
монику с частотой, близкой к нулю. Поэтому околорезонансный
режим требует особого рассмотрения [44, 13, 65, 71, 58].
Рассмотрим случай, когда значения тх0, тх и тах равны ну¬
лю, производная т*х пренебрежимо мала, перекос осей инерции
отсутствует. Тогда можно считать, что на участке прохождения
через резонанс o)x=const. Исключая из уравнений (17.2) — (17.5)
125

угловые скорости соу, сог и вводя комплексный угол атаки б, полу¬
чим уравнение [56, 61]:
(2 — /*)] ——h [<»a — (1 — /x) U)x —	8-
* 2
Me-
(20.1)
Здесь
8 = ci —(— i% 8q—
mz0 -I- imy0
В^2 =
\l-7x)c%-!£±2s
qS_
mV
m^qSl
параметр e характеризует малость асиммет¬
рии, параметр гё—малость аэродинамического демпфирования.
Вводя переменную ср = 8е“^1_^/2)ш^(/_/о), преобразуем урав¬
нение (20. 1) к следующему виду:
й?2ср
dt2
где
+V1/4+
dt
/2
ша~Ь ~(и*_М££'Пзсо.с
ср=е80шае
-'С1—
е.Т1з=
(20. 2)
^5
/тгК
Рассматривая структуру этого уравнения при 8^=0, легко убе¬
диться, что резонансные явления могут наблюдаться в том случае,
когда собственная частота колебаний совпадает с частотой внеш¬
него гармонического воздействия
72	/	-	\2
[2
й\1
или
-му
V-/,*
(20. 3)
В условиях, далеких от резонанса, приближенное частное решение
неоднородного уравнения (20. 2) имеет вид
: е&о
■=-т е
ИЛИ
ь=а
0 .л
■S-(l-hWx'
(20.4)
что совпадает (с точностью до высших порядков малости) с ква-
зистатическим решением (17.3).
126

Рассмотрим, как изменяются углы атаки и скольжения в про¬
цессе перехода через резонанс. Ограничимся случаем, когда пара¬
метр ц не является малым (ц>2) и для однородного уравнения
можно использовать асимптотический метод (в данном случае —
метод ВКБ) вдоль всей траектории полета (см. разд. 13).
Выпишем ВКБ — решение уравнения (20.2), как сумму обще¬
го решения однородного уравнения и частного решения неоднород¬
ного уравнения
cp^Cj exp
+ С2 exp
+ т\dt
2	2со	1
eg7l 1 , e£r]3t0.r
2со
(О
: ехр
+S*
to
-..Si*.
11
Гр/ e^3“jc\	1
i«pL)r--5rraJ"
еЙГ1)3(д)лг
/«о-—)Л2
V “ (C)“ (0
Лх, (20.5)
где (о
ми условиями
1 /" 2 44
—(——, константы Ci и С2 определяются начальны-
to(/0)[C1-C2]=^- (/0).
at
Переходя вновь к исходной переменной 6, получим
t
8=0! exp
+С2ехр
i/4
Vo)
“(0
ttd I
(О
127

, exp
+ i5o P
2 i J
10
•(тЛ2]{ехр[Д'“+/
2c0
— exp
V^(fi )<o(o
е^Зш.Л
2<o J
dt 2
> a)(^)a)(0
(20.6)
Первые два слагаемых в выражении (20. 6) соответствуют воз¬
мущенному движению — «быстрой» и «медленной» прецессии (см.
(19. 15), (19. 16)). Последнее слагаемое соответствует «квазиста-
тическому» члену, который порождается асимметрией тела. Оце¬
ним это слагаемое в околорезонансных условиях полета. Прежде
всего заметим, что подынтегральная функция также включает сла¬
гаемые, соответствующие «быстрой» и «медленной» прецессии, так
что 6 = 61+62, причем, вклад первого слагаемого, характеризую¬
щего «быструю» прецессию, невелик: значение 61 сохраняет поря¬
док е. Основную роль здесь играет второе слагаемое: чем медлен-
тем больших значе-
нее изменяется разность ю-
ний достигает 62.
Введем параметр малости ет, характеризующий медленность
изменения параметров траектории, и обозначим момент времени,
при котором Дсо = 0, через f=0. В результате оказывается возмож¬
ным получить асимптотическую оценку для 62 при малых ет с помо¬
щью «метода стационарной фазы» [45]. Для этого достаточно в
подынтегральном выражении представить формально Дсо как
eT(o'(0)f, заменить функции соа2(0> <*>(0>	+
при *=0 и получить
их
значениями
Ьо=
t ехР
 £&о Г
2/J
* (^3°\г ет]1	\
\\-zr--Т"Н
dt2
Y<* о
\ih)dtx=
U 1 f Я
L2 V «гШ'|
-1(0)
Y я
1 — Ix
2-
(0) (0(0)
Ушх
ф(*. x,)=
Ф(Т. x,).
где
128
* V* \ т1зЧс	Ъ	(0)	]
/*Г(0' 10)1 2(0 V '	2	J
(20.7)

Ф(т, Х^) = ф1(г, ^) + /Ф2(т, >*) =
^ e-VT-Tl) sin —я_2^] dxx-\-
-V—t)Si
sin л
(20. 8)
Рассмотрим для определенности случаи 60 = a0, |30 = 0. Тогда для
определения максимальных значений угла атаки и угла скольже¬
ния в процессе перехода через резонанс следует рассмотреть свой¬
ства интегралов ФДт, Xg) и Ф2(т, Хб). Поскольку соотношение по¬
рядков малых параметров eg и ет может быть произвольным, вели¬
чину Xg также можно считать произвольной.
Если Xg=0 (аэродинамическим демпфированием пренебрегает-
ся), то
Если ограничиться рассмотрением окрестности т=0, то функ¬
ция Ф2 (т, 0) достигает положительного экстремума, равного 1,31
при т=0,76, а функция ФДт, 0) —положительного экстремума,
равного 1,65 при т=1,22. Для того чтобы оценить поведение функ¬
ций ФДт, Xg) и Ф2 (т, Xg) при малых значениях Хб, проинтегрируем
по частям выражение для Ф2(т, Хб):
®x(t, 0)= sin [с (*)-|“]
[5(т)+т]’
где
о
о
— интегралы Френеля [13, 71].
Аналогично
[S(t)+-i-]. (рис. 29)
Ф2(т, \) =
5	399
129

1	Jt
^g	^g
^Ф1 (t , kg)
■ -J-tOi (t, \g)
Аналогично	Ф1	(t,	Xg)=	—	y-|—^—-—j- хФ2 (t, lg)
^gL fog
Рис. 29. Функции Ф1 и Ф2, определяющие изменение углов атаки и
скольжения в процессе прохождения через 'резонанс при отсутствии
аэродинамического демпфирования (Хд = 0)
Отсюда при малых Кё
ФЦт, X )«Фх(т, 0)+^ (т, 0)Хг = (1-Хгт)Ф1(т, 0)+-^ ,
6	Okg	JL
®2(t, X,)«®2(t, 0) + g- (t, 0)Х,=(1-Х^)Ф2(т, 0).
(20. 9)
При вычислении максимумов функций	Кё) и Ф2(т, Кё) доста¬
точно взять значения T(CDimax) и х (Ф2 max) > соответствующие Я,£ = 0
(ошибка имеет второй порядок малости по Поэтому при ма¬
лых Кё
1 65
Фхтах (XJ Ж 1,65-1,69X^5^-	=	 -
1 -f 1,02Х^
Ф!т1(д='.з1-шх,=Т^
g
130

Для того чтобы оценить поведение функций (Pi (т, Xg) и dMt, Xg)
при больших значениях Xg, продолжая процесс интегрирования по
частям, получим
где
»=о
т
(20. 10)
/о(и)— 1 — «2 + м4 —и6+ ... ———- ,
/2 (и)=3и+...,
/4(«) = — 3-)- —
Сохраняя первый член в выражении (20. 10), получим
Ф2(т,
1
1 +
I ЯТ \2
WJ
(20.11)
Подставляя соотношение (20. 11) в формулу (20. 7) и учитывая вы¬
ражения для параметра %g и функции ят/Ttg, убедимся, что в про¬
цессе прохождения через резонанс при %ё—*оо угол (3 может быть
определен с помощью квазистатических соотношений (17.6). Оче¬
видно, что при
*оо X (Ф2 г
Учитывая выписанные члены разложений функций Ы^) и Ы^)>
Зя
получим уточненное положение максимума ^(®2max)~—2 и Уточ“
2К п
ненное значение максимума
^2 max '
1-
Зя2
4А‘
g
(20. 12)
Выписанная формула позволяет оценить пределы применимости
квазистатического подхода (A,g>2-4-3).
Аналогично
<MT, х^) ~ -2-1	(И)	+	(и)].	(20.13)
где
При
go{u)= —
А
1 -ь и*
Ag
g	Т*	(^1	max)	’	^lmax'
Я
2Ап
(20. 14)
что совпадает с квазистатическим решением.
5*
131

В итоге значения атах и Ртах, которые достигаются в процессе
перехода через резонанс при малых Xg могут быть аппроксимиро¬
ваны формулами
а° ’ '	■/,)	—	(In*)	1	+	1’02^
dt
ftmax ,—,	1,31	(1 Ix) 0)^-	1
a0	/~/	—■	\ d	1	-p	0»76Xc
l/<2-''>*<'»*>
а при больших Kg
. Эгаах 	\m*\V
Ашах t-’max .
a0 2a,
о
t, T ^ r • (a
(l — Ix) llztox\Cyv —	^	J
(20.15)
(20.16)
(20. 17)
Для нескольких промежуточных значений Xg, которые не могут
считаться малыми или большими, функции <Di (т, Xg) и Фг(т, Kg) оп-
Рис. 30. Характер влияния аэродинамического демпфирования (Хё) на изменение
углов атаки и скольжения в процессе прохождения через резонанс
ределялись непосредственно по формулам (20. 8) (рис. 30). Разу¬
меется, в случае тх=0 явления захвата в резонансный режим не
возникает, поскольку изменение угла атаки и скольжения не сказы¬
вается на протекании кривой оох(0- Исключение может составить
лишь гипотетический случай очень сильной зависимости коэффи¬
циента сХ1) от пространственного угла атаки: в принципе можно
представить себе случай, когда при резком возрастании пространст¬
венного угла атаки и коэффициента схг возможна деформация кри¬
вой q(t) в такой степени, что производная dqjdt падает до нуля.
Тогда	= ——- = 0. Отвлекаясь от этого случая, можно считать,
dt dt
что для захвата движения в резонансный режим необходима зави¬
симость коэффициента тх oi угла атаки или скольжения. При этом
132

вследствие увеличения угла атаки, угловая скорость cox(t) начина¬
ет резко изменяться, оставаясь близкой к u>xp(t) =	(см*
рис. 28).
Хотя в этом случае полученные выражения для максимальных
углов атаки и скольжения перестают быть справедливыми, можно
попытаться, следуя работе [57], приближенно оценить критические
условия, соответствующие захвату в резонансный режим, сравнивая
максимальную величину момента Мхтах и требуемое значение про¬
изводной du>xldt = duxpldt:
(20.18)
at
Пусть тх = тх0=0, тхф 0.
Если предположить, что выход на резонансную кривую происхо¬
дит на начальном участке скоростного напора, где	sin	0О|,
dt
и учесть, что при Xg=0 amax~Pmax, то используя формулы (20.15)
и (20. 16), нетрудно получить условие захвата тела в резонансный
режим при Хё=0
mYxmy о
mlmz0 )	(1	—/
а при больших Кё
0,5 н- 0,6 1х^27{% (mf)2 РК°18'П-9-0-Ц3/2, (20. 19)
(1 — I х)	'	^<°х	‘
>(pt>)	(	^olsinOol^	(20	20)
mxmyo I \		тш +- /тгм| ixl
2 m9xmz0
При оценке возможности захвата движения в резонансный ре¬
жим следует учесть, что параметры Шх и mz0 в случае компланар¬
ной асимметрии в большинстве случаев взаимосвязаны так, что
Шх>тго<СО, и захвата в резонансный режим на восходящей ветви
скоростного напора не происходит.
Более полные и строгие результаты по оценке критических па¬
раметров асимметрии получены в работах [14, 44]. В них исполь¬
зуется полезный прием, позволяющий уменьшить размерность ре¬
шаемой задачи путем выделения «медленного» движения («медлен¬
ная» прецессия), которое играет основную роль в околорезонанс-
ной области. Такое выделение «медленного» движения осуществля¬
ется с помощью методики, описанной в книге [39].
На рис. 31 приведены значения параметров (my0ml)кр и (/пг0т|)кр,
определяемых соотношениями
(mvom%)Kp (mz0m9x)Kf) _	(i_/J3/2
(«1«Юкр Ко^)кр	Ixy'2-Ix(m?)2	^ X^Sin6' j3/2
133

вычисленные по результатам работы [14], в которой учитывается
влияние производной m£ на изменение углов атаки и скольжения
(кривые 1), и по результатам расчетов функций <Di (т, Kg) и
ФяК Kg), без учета этого влияния (кривые 2). Как видно, резуль¬
таты оказываются близкими к квазистатическим (пунктир) при
Рис. 31. Определение критических параметров асимметрии
Приведенные выше рассуждения касались максимальных зна¬
чений функций <Di(t, Kg) и Фг(т, A,g), достигаемых в окрестности
резонанса. При этом критические условия асимметрии определя¬
лись положительными значениями произведений ml my0 или m*m20.
В то же время можно представить себе случай, когда при том же
знаке производной т\ значение ту0 или mz0 имеет противополож¬
ный знак. Тогда можно повторить все рассуждения, учитывая, что
значения Фцшп или Фгшы отрицательны, и получить приближенные
условия захвата в резонанс, подобные условиям (20. 19). Однако
такие рассуждения оказываются несостоятельными, поскольку в
этих случаях околорезонансный режим оказывается неустойчивым
(см. разд. 23).
Полученные выводы полезно проиллюстрировать численными расчетами с ис¬
пользованием точных уравнений движения. Такие расчеты были проведены для
гипотетического тела вращения с характеристиками:
m = 10 кг; I = 2 м; 5 = 1 м2; / = 2 кг-м2; /х = \ Кг-м2;
Cnv — 0; m(°zn= m^yп=—0,05; cxV = 1;
у	z	п	у	II
mz (а) = —0,05 sin а
134

для условий входа в атмосферу Земли.
#о= 120 км, V0 = 7800 м/с, 0О=—30°.
Параметры асимметрии определялись значениями , ту0, тг$. На рис. 32—35
приведены зависимости сох(/) и апр(0, соответствующие различным значениям
/я£<0 при mzо=—0,002 и туо =—0,002, и начальным условиям апро = 0,
(0x0 = 4,62 рад/с. Как видно, в случае компланарной асимметрии (т2оФО) крити-
шк,рад/с
Рис. 32. Характер изменения продольной угловой скоро¬
сти в околорезонаноном режиме. Компланарная асим¬
метрия
ческое значение т\ располагается между —0,008 и —0,009, в то время как по
результатам работы [14]	«0,003«0) получим несколько большее значение
(т£)кР=—0,013. Граница захвата в резонансный режим очерчена в данном
случае достаточно резко.
В случае ортогональной асимметрии (ту0=/=0) резко очерченной границы за¬
хвата не существует: даже при малых значениях т# кривые сох(0 вначале пе¬
ресекают кривую сохр(0, а затем вновь возвращаются к ней и остаются в ее ок¬
рестности. Значение (т £ )кР= —0,02, вычисленное по результатам работы [13]
(см. рис. 31) можно рассматривать скорее как границу «уверенного захвата».
135

, рад/с.

В случаях гпуот^. <0 -и mz$nflx<.0 захват в резонансный .режим «не реализу¬
ется, что объясняется условиями устойчивости этого режима (см. разд. 23).
Рис. 35. Характер изменения пространственного угла ата¬
ки «в околорезонансном режиме. Ортогональная асимметрия
21.	ДВИЖЕНИЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА
Рассмотрим движение неуправляемого тела в атмосфере, счи¬
тая углы атаки и скольжения малыми. Предположим, что тело
обладает двумя плоскостями симметрии, асимметрия определяет¬
ся малыми значения Му0, Mz0, 1ху и Ixz, все главные моменты инер¬
ции различны, а также различны значения Maz и Mzz и Муу,
Na и — ZP. Тогда (аналогично разд. 17 и 19) можно вначале най¬
ти квазистатические решения для углов атаки и скольжения, а за¬
тем рассмотреть вопрос об устойчивости найденных решений.
Если ограничиться нерезонансными режимами' и пренебречь
влиянием демпфирования, то в первом приближении формулы для
квазистатических значений угла атаки и скольжения, аналогичные
формулам (17. 19), приобретают вид
Mzo + I ху^х
6	399
137

Далее (аналогично разд. 19) рассмотрим возмущенное движение
тела, считая зависимости ^(т) и V (х), (т =&t) заданными и прене¬
брегая взаимодействием между вариациями 6а, 6^, бсо^, 6coz, с одной
стороны, и вариацией 6сох — с другой.
Уравнения возмущенного движения с учетом малого аэродина¬
мического демпфирования имеют вид
dbo>z	1у~!х	М*	М°г
 :	шх^шу	+	~г~	8а	s	—-— 8<вг,	(21.2)
' z	'	г	*	z
dt
dt	л	у
т г	М^у
~ шл-8(0г +	8,8	~f"	е	—j—	Ьшу,	(21.3)
* И	*	U	*11
— er]aSa,	(21.4)
dt
——-[-to^Sa — s'HpSp.	(21.5)
q	Na-Xv	ZP	+	Xv
Здесь r\a= —ri(3 = rr-2 »
mV	mV
влиянием гравитационной силы пренебрегается.
Построим вначале ВКБ — решение без учета аэродинамического
демпфирования (отбрасывая в уравнениях (21.2) — (21.5) члены
порядка е). По аналогии с разд. 19 запишем
Ьа = [с* (т) + *сы (t)] exp \i f p (t) dt],
L J J (21.6)
SP =	(*)	+	£^ip	(*)]	exp	|i J p (t) dt].
Используя соотношения (21.4) и удерживая члены нулевого и
первого порядка малости по е, получаем
£ ^ipcia-\-	ехр ^ pdt^ ,
Ыу=^рс$ —	[ipcv + -^- — Via)jexp р ^ pdt^ ,
{г>(г>са+южсР) + е[г	+	^Кср) +
dbi&z
dt
dc
dboiy
-fip (ipcia4—^- + u)^ip)j)exp ^ ^ pdt|,	(21.7)
= \ip {ipc$ — <o&) + e [*	[PC?)	—	^ K*«) +
dt
dc
+ tp {ipc ip -)	wxc	i«)	j	j	expj^i	^	pdt^
138:

Подставляя приведенные выражения в уравнения (21. 2), (21. 3)
и приравнивая члены нулевого порядка малости, получаем два со¬
отношения
С$ I/— 1 х) cvl = —iCo.p^x (/у + Iz — Iх),
С* UzP2 + Mz-j- (Iу — Iх) С!)*] =ic$p®x (Iу-\- Iz — Iх).
Однородная система (21.8) совместна, если ее определитель
равен нулю. Тогда получаем уравнение для определения «заморо¬
женных» корней характеристического уравнения ip:
Анализируя эту формулу, нетрудно видеть, что в нулевом при¬
ближении решение «замороженной» системы имеет характер невоз¬
растающих по амплитуде колебаний, если р2>0, т. е. в случае вы¬
полнения неравенств
Неравенство (21. И) для тела, устойчивого по тангажу и рысканью,
всегда выполняется если Ix>Iy, Ix>h- Если Iy>IXi /z>Ac, то су¬
ществуют две критические угловые скорости
В случае, если значение сох лежит в диапазоне между критиче¬
скими угловыми скоростями, возникает апериодическая неустойчи¬
вость, и решение в форме (21.6) перестает быть справедливым [5].
Если Iz>Ix>Iy или 1у>1х>1г, то неравенство (21. 11) выполняет¬
ся при малых сох и не выполняется при больших сох — здесь также
возникает апериодическая неустойчивость. Неравенство (21.12),
которое определяет границу колебательной устойчивости, всегда
[/уР^+м1+(/г- /г)4] Uzp2+M*z+(/y-/x)«£] = Р*4(/„+/,-/
(21.9)
или Л/74 — ‘2Bp2JrC=Q,
где A — IyIz,
2 B + /BZ-AC 2 В-УВА-АС
Р 1,2 —	   »	/?3,4	=	   •
с>0,
В2 > АС.
(21.11)
(21. 12)
6*
139

выполняется при Ml, М\<^ 0. Действительно, если преобразовать
выражение В2 — АС к виду
с4
В2 _ ДС = -f- (/, + I у - I xf (Ix + Iz~ Iy) (Ix + Iy- I z) -
- A (/,+/„ - ix) (iM+iyMi)+
+-L [(/,+iy -/,) {Iy - /,) - (izMl - iyMV>]\
то легко убедиться, что все три слагаемых положительны.
Таким образом, дальнейший анализ будет относиться к тем слу¬
чаям, когда С>0, при этом в силу выполнения неравенства (21.12)
значения р\2 и р32 положительны и различны.
Подставляя выражения (21.7) в уравнения (21.3), учитывая,
что члены нулевого порядка малости при выполнении равенства
(21.9)	сркращаются, и приравнивая члены первого порядка мало¬
сти, получаем два соотношения:
с и [/zp2 + [Iy — Iх) -f- Ml] — ic\$p^x (/z-\-1y — Ix) =
= f ^	^хс^)~^{^у~ Ix) ^X
|_ dx	dx	dx	dx \
iCuPtojc {Iу + Iz — Ix) + ^1P [IyP2 + {Iz — Ix) ^x-{-My\ =
= \.lIyP^11уаТ~IyJc ~(/г“Ix)'
Неоднородная система (21. 13) с определителем, равным нулю,
совместна, если определитель, в котором один из столбцов заменен
вектором правых частей, равен нулю; последнее условие и дает
искомое уравнение, определяющее закон изменения величин са
или Ср.
Учитывая соотношения (21. 8) и (21. 9), это условие удобно пред¬
ставить в следующей форме
d-Ca , я .	.	.	.	_	я .....	..	dc„
°*\1уР~сы'^1у ~dv (рС^ + 11У	+	— /*)“*'^г] =
=Са[/гР^ + 1г^ (рСа)~lIzto ^х)~1 {ly~Ix)*х ]
Интегрируя это выражение получим
t	t	t
{Iycl — Izci)p +tox(/y + iz — ix)cac, -\-Hx\^CbCz-^dx=0.
^0	to	t0
(21.14)
140

Используя соотношения (21.8) и (21.9), преобразуем первый
член в формуле (21. 14):
2	-21г1уР2 + {ГуЩ + ^М1) + [Гу{1у-1х)+1гиг-1х)]^
p{Iyc?-Izc*)=i	—-•		—
шх U у + 1 Z — 1 х)
2
/г I т г ,	2/Б2-ЛС	1
0*( Л/ +	~ I х) ± 	—	—	ГГ" с*с$
"xVy-th — Ix) J
(знак + относится к рцг)- Подставляя это выражение в (21. 14) и
дифференцируя, получаем уравнение для определения Са.с^\
d г . 2VB2 — АС	1	г d^x	/01	1Cv
I +	сас§	I	—	1Х сас$, (21. 15)
dx I	сох (/у -j-1z Iх)	J	dx
которое легко интегрируется и в сочетании с соотношениями (21.8)
позволяет найти са (т) и ср (т), соответствующие корням ри2 и рз, 4-
Рассмотрим упрощенный случай, когда аппарат по форме бли¬
зок к телу вращения с аэродинамической и весовой асимметрией
порядка е, и когда производной d($xldx можно пренебречь. По ана¬
логии с разд. 13, будем предполагать, что метод ВКБ применим при
не слишком малых значениях
2Qq
IIVq 1 sin 0О|
Метод ВКБ позволяет непосредственно связать значения са (или
ср), соответствующие данному корню, при больших и малых угло¬
вых скоростях, точнее, при больших и малых значениях параметра
/0)2 а
х , где / — порядок моментов инерции, М*—порядок
v =
м1
М*
//•
Отметим, что при больших значениях v
— Р2=РХ~«>Х,	—	/>4=/>3Я5|/
а при малых v
М13
-^2 = А~ шах | ■'	-	у
-Р4 = Рз~Ш1П
V-г V-ч
(/з, /з
141

ма7
М1
Z
/*
>
У
h
Рассмот-
Будем считать для определенности, что
рим вначале больший корень р\. Используя полученные результа¬
ты, запишем
Со	Со
——i при v = со, —— = 0 при v = 0;
с„	с*
2	1^х	л[	М\	2
сa,v=oo     = I/	;	 Ca,v=0.
*Z
Для меньшего корня р3 получим
—^— = i I/	-	при	v	=	co;	—— = 0 при v = 0;
I/	со	r
Интересно сравнить полученный результат с результатами для
идеального тела вращения. Пусть Maz = Ml = M9, а различие в мо¬
ментах инерции 1У и 1г не очень велико (Iy~Iz^I), так что в пусто¬
те движение можно приближенно считать суммой двух регулярных
прецессий у —	у	—	l]	,
но в плотных слоях атмо-
сферы параметр v настолько мал, что различие в значениях рi и рз
определяется в основном не влиянием сох, а различием моментов
инерции.
В данном случае для идеального тела вращения в соответствии
с разд. 13 получим
sLx„-o=(t1 + ?2)2^ •	 *	 ,	(21.	16)
где 62=а2+|32, а для тела вращения с малой, но не пренебрежи-
мой разностью моментов инерции (1уф1г):
5Lx,v=o=(cpi+'pi)^r-0 	~	.	(21.	17)
V-T-
Как видно, пространственный угол атаки при наличии разности
моментов инерции возрастает в ~\Г~2 раза, если ф1!>ф2 или ф2^>
3>фь и сохраняется прежним, если ф1=ф2 [50, 18].
142

Оценим, в каких случаях необходимо учитывать различие мо¬
ментов инерции 1У и /2 и производных М\ и Ml при определении
амплитуд колебаний угла атаки и угла скольжения.
в	м“
Если Mz и Му, [у и /2 близки, но различны, причем
>
>
у
h
Iz
то при малых сох (малых v) из формул (21.8) и (21.9)
можно получить
2
/3
(21. 18)
(индекс «1» относится к р\, индекс «3» — к рз).
Если это выражение дает число, близкое к единице, то в рас¬
четах по методу ВКБ можно пренебречь разностью Ml/Iy — Ml/Iz.
Если же оно близко к нулю, то можно пользоваться формулами
типа (21. 17).
В связи с этим интересно отметить роль малого центробежно¬
го момента инерции 1уг = 0 для тела вращения (My = Ml> Iy = Iг) .
Применение обычной процедуры метода ВКБ в этом случае нель¬
зя считать обоснованным при очень малых со* (точнее, при очень
малых v), поскольку корни характеристического уравнения стано¬
вятся кратными.
Действительно, соотношения ca=dzic$ при со*—>-0 и 1угФ0
несправедливы, и, следовательно, углы атаки и скольжения в плот¬
ных слоях атмосферы определяются неточно. Для получения более
точных результатов в этом случае лучше предварительно сделать
преобразование к главным осям у' и z\ так чтобы Iy'z' — О, и при¬
менить изложенную выше методику.
Влияние малых демпфирующих (или антидемпфирующих) чле¬
нов, пропорциональных M*z, Муу, Na — Xv, Z$-\-Xv сводится к то¬
му, что корни замороженного характеристического уравнения из
чисто мнимых превращаются в комплексные сопряженные с теми
Же мнимыми и малыми действительными частями.
Характеристическое уравнение имеет вид
ЛХ4 + еаХ3 +2B\2 + eb\ + C = 0,	(21. 19)
где Л, Б и С определяются формулами (21. 10),
а=1у1г (ть+rip) - (1у№‘ + 1ЯК*\
*=«£ [-(/„мр + /гмр) + (/, - /») Их -1у) (Л. + Лр)] +
+ (MlMp + MIMP) - {IZM Я + 1УМ1 rip).
143

Корни уравнения определяются выражениями
Чг =±*A + e/i,	(21.20)
+4= ±*>3+е/з,
f	ар\,ъ~Ь	_ЬА-аВ ±ayrBt- АС
ГД6	,3_4(В-лДз)_	±4А/В2-АС
Влияние коэффициентов демпфирования можно определить до¬
бавочным членом в уравнении (21. 15). Представим это уравнение
в виде
{Fcac9) = Gcac9	(21.21)
at
(смысл функции F и G очевиден)
dF
G—
d л , ч	dt
— In (СаС9)—	-	•
Влияние демпфирования в соответствии с выражениями (21. 20)
d In са d In Со
сводится к тому, что в выражениях для  и   появляются
dt j dt
одинаковые добавки /1 или /3 (в зависимости от того, какой из кор¬
ней р 1 или рз рассматривается). В итоге уравнение (21.21) преоб¬
разуется к виду
-2-(Fcac9) = (Q + 2fF)CaC9,	(21.22)
dt
где/1,3 определяется из формулы (21. 20).
Глава V
НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
ПРИ НАЛИЧИИ АСИММЕТРИИ
22.	НЕРЕЗОНАНСИЫЙ РЕЖИМ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С БОЛЬШИМИ
УГЛАМИ АТАКИ
Выше были рассмотрены задачи о движении осесимметричного
тела при произвольно больших углах атаки (в гл. 3) и задачи
о движении тел с нарушением осевой симметрии при малых углах
атаки (см. гл. 4). Более общая задача о движении тела, отличаю¬
щегося от осесимметричного, при произвольно больших углах
атаки к настоящему времени решена лишь для отдельных частных
случаев.
Рассмотрим тело, которое в общем случае уже не является те¬
лом вращения, а имеет плоскость симметрии, причем асимметрия:
144

сводится к возникновению малой силы Z0, малых возмущающих
моментов Мхо и Му0 и малых центробежных моментов Ixz и 1уг (цен¬
тробежный момент 1ху не является малым). В квазистатическом
режиме нерезонансного вращения угол атаки такого тела не явля¬
ется малым. Угол скольжения будем по-прежнему считать малой
величиной, в отличие от случая резонансного вращения, когда угол
скольжения ‘ может достигать больших значений при малой асим¬
метрии (см. разд. 23).
Аэродинамические моменты можно определить в следующем ви¬
де (с точностью до малых высшего порядка):
Мх=Мхо (а) + М9Х (а) ? + УИ> (а) «о, +	(а) «у
Му—Муъ (а)-\-М1 (а)ф-{-Мух(а) <ох-\-МуУ (а) «у
Мг = Мг(а) + Мр(а)а>г.
Если пренебречь гравитационными силами, то связь между углами
и угловыми скоростями определяется соотношениями (10. 3)
-уг = (°г — К cos ct + К, sin а »	С22-1)
dt	mv
-j*L	= cp CO'S asin a-f ^ ^ ?+zo+xp u	(22.2)
dt y	1	x	[	mV	v	}
При анализе квазистатического режима будем считать величи¬
ны (Ох, со у, а немалыми, величины [3, coz, daldt, di^Jdt, da)vldt —
малыми первого	порядка, величины d\$/dt,	dtojdt — малыми второго
порядка. Кроме	того, в случае малых q	можно считать	малыми
члены, определяющие аэродинамическое демпфирование.
Тогда из уравнений (22. 1) и (22. 2) следует, что угловые скоро¬
сти (ох, (оу, (о2 с точностью до малых второго порядка можно вы¬
разить в виде
со^ = 2 cos a,
to^ = — 2 sin a,	(22.3)
Y (a) , da
= 32-
mV dt
где Q представляет собой угловую скорость вращения тела отно¬
сительно вектора скорости.
Выпишем приближенные уравнения, определяющие квазистати-
ческий режим движения, в полусвязанных осях Ох, у, г (см. разд. 7)
Z~Qz-^Q~ = M~,	(22.4)
dt
dQ~
 y_
dt
&,Qz
dt
h<o?Q~-«o~Q,=M~,	(22.5)
■hQy~*yQz=M*-	(22-6)
145

Проекции угловой скорости тела на полусвязанные оси составляют
о)~ = Й, <о~ = 0, о)?=о)г,	(22.7)
а проекции кинетического момента на эти же оси равны
QZ = IzQ + 0(e<>)J
Qy* = — I'x'yQ -f- О (e2),	(22. 8)
Q?=Q*= — /ъ2 —/*«>*= 0(e).
Компоненты угловой скорости вращения системы полусвязан-
ных осей определяются формулами
£? =«>;•, шу=т7,	=	(22.9)
dt	mV
(так как система полусвязанных осей не участвует в поворотах,
связанных с изменением угла атаки).
Тогда уравнения движения в проекциях на полусвязанные оси
принимают вид
^-(/79)=-/^(р2 + -Гг)й+Ж7,	(22.10)
^-(-/^2)=-/Ь22+(/г-/2) (PS+^r)a + ^S^ +Му,
(22.11)
Mz-{-IZyQ2=0.	(22.12)
Здесь Ix, 1ху обозначают моменты инерции, зависящие от угла
атаки а, пересчитанные на полусвязанные оси ху у (ось г не изме¬
няется)
1х=/х cas2a-f Iху sin 2aIy sin2 a,
г	г	с\	\	/	т	т	\	sin	2a
/;5’ = /Jr„cos2a + (/„ —/х)—— >
IXZ = Ixz сое a — Iyz sin a.
Аэродинамические моменты определяются формулами
Р+М|2,
М~ = М~о+ Mfr+Ma~Q,
где	Mzo=MzQ	cos	a	—	My0	sin	al
M~ = ЛГ* cos2 a - (АГу + Mm*) sin a cos a+ Ma« sin2 a,
x	X	v	X	1	у	J	1	У
M~ = МШх cos2 a 4- (M^ — ЛГ») sin a cos a— УЮ sin2 a.
У	У	1	v	.г	г/	>	x
146

Разрешая систему уравнений (22. 10) и (22. 11), получим урав¬
нение, описывающее изменение угловой скорости Q
dQ
IhW M'.-h) 2!l+hr № - hr®» ^=
+
+ 2
+	1-^~о+/Гг22	+
-м}+и.-/ж)
. (22.13)
Уравнение (22. 13) следует решать совместно с уравнением (22. 12).
При этом угол скольжения р определяется соотношением
и?[м*7 + (/, -17) 221+/ЦТ - /SS^2)} I
ху
+
+1* |—^5о + ^й2+ й	+
dl—
ху
da
rnV
dt
1
* dt
(22. 14)
Если, например, тело представляет собой тело вращения с не¬
малым смещением центра тяжести (случай рассмотрен в рабо-
те [41]),
ТО
mz = mz (a)-f-Д*/£т(а), т\ = -
тг (а)
sin а
тус= °п ^ Afel2 , т“(/ = с“г/(а) Дг/,
„9 _ с п (а) Д(/|
Гпх —
sin а
nv»yx-
sin а
Йг(«) Л~
sin а
Ду, т“у = т*у(а),
где тх(а) —моментная характеристика при Дг/ = 0.
Тогда
т9~ =тг{a) ctg а — Дусп (а),
m\=—rhz (а) — Д усп (a) ctg а,
т~ = — с (а) Дг/2 cos2 a_|.cmy /а) ду sjn а cos a_j_
х	sin	а
+ tnz (a) cos аДу -f- т™у (a) sin2 а,
m~ = mz (а) Ду c-s—- — сп (а) Ду2 cos а — т^у (a) sin a cos а—
у	sin	а	у
— с™у(а) Ду sin2 а.
147

Из приведенных формул следует, что при вычислении производ¬
ных демпфирования для тела вращения нельзя пренебрегать сме¬
щением центра тяжести А г/, поскольку в противном случае можно
ошибиться в оценке эффекта демпфирования на порядок его вели¬
чины.
Угол атаки тела вращения со смещенным центром масс опреде¬
ляется соотношением (22. 12)
\mz(a)-\-^ycx (a)] qSl-\-{I — Iх) sin а cos ай2 = 0.	(22.	15)
В случае устойчивого тела вращения балансировочный угол атаки,
как легко видеть, уменьшается по абсолютной величине с ростом
Q, если 1<1Х (сплюснутое тело вращения), и увеличивается с ро¬
стом Q, если />/*.
Полученные уравнения позволяют проследить за эволюцией ква-
зистатического режима при изменении скоростного напора q или
найти стационарные значения £2, а, р в случае q=const, если поло¬
жить производные dQ/dt, da/dt равными нулю. В частности, с по¬
мощью подобных уравнений можно анализировать неуправляемое
движение самолета при больших углах атаки и малых углах сколь¬
жения в некоторых особых режимах (штопор, инерционное враще¬
ние) .
Оценим устойчивость квазистатического режима движения тела,
обладающего плоскостью симметрии, с немалым углом атаки в
«нулевом» приближении. Здесь уместно обратить внимание на из¬
вестный результат, упомянутый в разд. 21 [5], касающийся вопро¬
са о нарушении статической устойчивости в случае Iy>Ix, h>ix
для некоторого диапазона угловых скоростей со*. Для этого про¬
анализируем характеристическое уравнение, соответствующее воз¬
мущенному движению тела, удерживая лишь члены нулевого по¬
рядка малости.
Исследования этого уравнения недостаточно для полной оценки
устойчивости. Например, при чисто мнимых пли нулевых корнях
устойчивость определяется членами более высокого порядка мало¬
сти. Все же такое рассмотрение имеет смысл: во-первых, неполо¬
жительность действительных частей корней является необходимым
условием устойчивости и, во-вторых, определение корней является
первым шагом в построении ВКБ — решений.
Обратимся к системе уравнений возмущенного движения и про-
варьируем систему уравнений (22. 1), (22.2), (22.4) — (22.6). По¬
скольку мы ограничиваемся определением корней характеристиче¬
ского уравнения в нулевом приближении, отбросим в уравнениях
возмущенного движения все члены с коэффициентами порядка г:
такими являются коэффициенты, определяющие аэродинамическое
демпфирование, коэффициенты, пропорциональные производной
квазистатического значения угла атаки, коэффициенты, пропорцио¬
нальные параметрам аэродинамической асимметрии.
В результате уравнения возмущенного движения приобретают
виД
148

^-^8®z-Q83,
dt
dt
It—- + IxyQ Ф - I~xy —/I5-2K=^8?.
dt	dt	dt
db^~~	dbu>~	a
/^._2/-г28,г + (/--/-)й8»г~(/--/г)а>8о = Л;8п.
cr>
CN
CN
J
При вычислении определителя получим уравнение
£(Х) = Х(ЛХ4 +2m2 + C)=0,	(22. 17)
где	А	=	1г (/~/~ - I\7) = IZ {Ijy-Ily) > 0.
Для того чтобы система уравнений не была неустойчивой в ну¬
левом приближении, необходимо, чтобы	выполнялись неравенства
С> 0,	(22.18)
В > }/~АС.	(22.19)
В этом случае уравнение (22.17) имеет один нулевой корень и
две пары чисто мнимых -
\=±1^в± >. й:~у1С . (22.20)
Проделывая необходимые выкладки, получим следующие выра¬
жения
С =	[/-(/,_/-)(/- -/-) + /-- (3/- + /- - 2/,)] +
+ 2* [-<-'1? (2/,+ /,- -h)+«; (hh - 4 - *4г> +
+ Щ (l.h - 4 - 4»-)] + м: ['~,7М7 + hM7^ ■	(22-21)
2S = 2- [/,(/-/. - /1 -) + /-(/,-/-)(/- _ /,) +
+4.-(3/.-+/~2/,)] - Н1^1Лм1и,лм'Л1~1г-1\})\.
(22.22)
Условие С>0 аналогично условию статической устойчивости,
проанализированному в книге [5] для случая малых углов атаки.
Учитывая, что в квазистатическом режиме выполняется соотноше¬
ние (22. 12), рассмотрим вкратце предельные случаи.
149

Если IQ2^>\ml\qSl, то /~7~0, и условия устойчивости (22.21)
сводятся к неравенству
(i-h)(h-h)> 0.	(22-23>
по внешней форме напоминающему известное правило: свободное
вращение относительно главной оси устойчиво, если соответствую¬
щий момент инерции максимален или минимален. Если /£}2<С
<^\ml\qSl, то условиями устойчивости являются неравенства
т‘( а)<0,	(22.24)
h7m7 + fxmi = (fy sin а+ IXV cos а)+
-\-{Ixcosa-\- Ixy sin а)/Пу<:0-	(22.25
Последнее условие определяет статическую устойчивость самолета
в боковом движении [5, 38].
23.	АНАЛИЗ РЕЖИМА РЕЗОНАНСНОГО ВРАЩЕНИЯ
При рассмотрении квазистатического режима движения тела с
большими углами атаки (см. разд. 22) предполагалось, что тело
имеет плоскость симметрии, т. е. в весовом или аэродинамическом
отношении заметно отличается от тела вращения. Например, та¬
ким телом является тело вращения с немалым смещением центра
масс Ду, при этом плоскость угла атаки близка к плоскости сим¬
метрии, проходящей через центр масс и ось вращения.
Возможны и другие режимы движения тела с большими угла¬
ми атаки, в частности, квазистатические режимы, когда плоскость
угла атаки заметно отличается от плоскости симметрии, а искаже¬
ния осевой симметрии невелики.
Такая ситуация возможна в околорезонансном режиме. В этом
случае можно использовать систему уравнений (10. 15) — (10.22) и
применить к эюй encieMe уравнений метод усреднения, который
приводит к соотношениям, выведенным в разд. 4. Поскольку про¬
вести такой анализ в общем случае затруднительно, ограничимся
рассмотрением случая, когда асимметрия сводится к появлению
возмущающих моментов шу0 и mz0 и производной ml. Если прене¬
бречь производными т^х,	т*Уп, то система уравнений
(10. 15) — (10.22) принимает при этих условиях следующий вид:
rf2g ,	, da <(а) qSl (G— r cos g) (G cos a — r)
dfi z dt	I	sin3g
(mzo cos Ф + myQ sin <10 qSl
= e	-	,	(23.1)
d<\>  jr_ (G — r cos g) cos g	,oo	o\
dt	1 x	sin2a
150

(my0 cos ф — mZQ sin ф)
sin а +
4“ в —^ sin a CO'S a sin ф,
dr zrn^qSl sin ф sin а
m*qSl
(23. 3)
dt
I
(23.4)
где
/,=
л=
(
тшУ "'(а)
on
Cyv (a)
tga
тшУп(а)
cyv(a) i
При движении тела в окрестности резонанса основную роль игра¬
ет «медленное» движение. Этот факт был установлен при анализе
околорезонансного режима в квазилинейной постановке (см. разд.
20). Исходя из этого, введем еще одно существенное упрощение —
будем считать, что движение тела близко к медленной прецессии,
при этом интеграл действия (1ё) равен нулю. Такой случай соот¬
ветствует условию р>1 и допущению в том, что движение тела на
границе входа в атмосферу является «медленной» регулярной пре¬
цессией
Для сравнения напомним, что вращение тела относительно про¬
дольной оси на границе атмосферы является «быстрой» регулярной
прецессией
В общем случае движение тела является в каком-то смысле суммой
медленной и быстрой прецессии. Рассматривая случай медленной
прецессии, будем подразумевать, что осредненное влияние быстрой
прецессии невелико.
Итак, учтем два условия: а) интеграл действия равен нулю;
б) режим движения является околорезонансным.
Условие «а» означает (см. разд. 2), что нулевой член асимпто¬
тического разложения для угла атаки является медленно меняю¬
щейся функцией
Используя условие «б» и формулы (4.3), (4.4) и (4.24), полагаем
<7i = 0, и учитывая соотношение (23. 5), получим
a (t, <р)~а0(т) + О(е)-
(23. 5)
(23. 6)
151

Тогда уравнение (23. 1) может быть существенно упрощено и за¬
писано в виде
mz (a) qSl	{G — г cos а) (G cos а г)
sin3 а
(mz0 cos ф + туо sin ф) qSl
(23. 7)
Действительно, если интеграл действия равен нулю, то решение
уравнения (23. 7) может быть представлено в виде
a = a0(q, G, г) + еДа(д\ G, г, ф)+0(е2),	(23.8)
где ао определяется при решении уравнения
— mz (а0) qSl  (G — г cos а0) (G cos а0 — г)
I	sin3a0
а Да представляет собой некоторый добавок, обусловленный влия¬
нием малой асимметрии.
Дифференцируя выражение (23.8) и учитывая условие (23.6),
нетрудно убедиться, что
— = 0 (s), — = 0(е2),
dt	к	d&
d* а	,	г	da
 r£/z	— = О (e2),
dt*	dt	v
что доказывает возможность использования уравнения (23.7)
вместо уравнения (23. 1).
Таким образом, исходная система уравнений для рассматривае¬
мого случая сводится к виду (5. 1), (5. 2), с той разницей, что одно
из дифференциальных уравнений — уравнение для изменения угла
атаки — заменено алгебраическим уравнением. Это обстоятельство
позволяет исключить одну из переменных из рассмотрения и пони¬
зить порядок системы дифференциальных уравнений.
Разрешая соотношение (23.7), найдем выражение для перемен¬
ной G
0 = r(l+cos2a)+sin2g , / 2(a).
2 cos a cos a V
r (1-h cos2 a) | sin2 a i/„ 2 ^ (mzо cos ф + myо sin ф) qSl
I tga
Знак «+» перед корнем соответствует медленной прецессии. Под¬
ставляя это выражение в уравнения (23. 2) и (23. 3) и пренебрегая
зависимостями mz о (а), ту0( а), получим
дф /1	1	\	/	,	(mz0 cos ф +	ту0	sin ф) qSl
— = г —	—I/	ев2(a)	— s
dt \1Х	2 ) V	У !
I tgcc
\/х	2	)	w	2/	tg	а	(а)
152

[ ^ tg* а + tg а ^ + (2 + tg’ а) «о (а) j	+
ма(а) J_ dq_
2о) (а) q dt
mwyqSl2 ,
(
IV V 2	1	v
ni^qSl sin2 a sin ф
yV(a)qS /	r
mV tg
r
(1_^~ 2o>(a))
— £ •
2/ cos сс	V	'	2W (a)J
(my0 cos ф — mz0 sin ф) qSl
tga=
(23. 10)
где (по аналогии с разд. 13, 15) обозначено
u>2 (a) =
mz (a)
2 ( \	r<2
(D (a)=
v 7	4
/ tg a '	4	4	/	tg a
В случае малых a уравнения (23.9) и (23. 10) принимают вид:
4ф /1	1	\	,	е	i.tnz0 cos 4» + ту0 sin ф) qSl
dt
)—+■
2aa)/
(23. 11)
dt 12a) dt	dt	[	\	2a)	/ /z \	2o>	/
(jny0 cos ф — mzо sin ф)
2/тгК
a =
2/(0
(23. 12)
где
i
Г 2
Легко проверить, что подстановкой 6 = acos\|)+*asin\|) уравнения
(23. И) и (23. 12) можно привести к уравнению
UV I	I 1	й?0)
 Г£ I
dt	12a)	dt
^ I
2mV J
= / [г (т7—^-)-(0]8+«(m*o + ^)-^- .	(23. 13)
описывающему медленное изменение углов атаки и скольжения
[44]. Система уравнений (23.9), (23.10) и (23.4) в сочетании с
траекторными уравнениями образует систему уравнений «с быстро
вращающейся фазой» типа (5. 1), (5.2), рассмотренную в разд. 5.
Если воспользоваться соотношением (23.6), связывающим значе¬
ния а, г и т в окрестности резонанса
г (а, х) = 1л
1Л-7,
0(e),
(23. 14)
то условие возможности существования длительного околорезо-
нансного режима сводится к ограничению на величину медленно
изменяющегося пространственного угла атаки.
153

Будем считать, что форма моментной характеристики близка к
tga —в этом случае моментную характеристику практически мож¬
но считать линейной в диапазоне от 0 до 20—30°. Тогда соотноше¬
ние (5. 8) для отыскания значения ф приобретает вид
nftxqSl sin a: sin ф	I x	i /	|/7z^S/	\	dq
7	—	2	V	i — 7.v *	7	q	dt	’
и неравенство (5.9) имеет вид:
jsl sm	J-	is..
I x	I	*	f	q	dt
Отметим, что выписанное условие возможности захвата движе¬
ния тела в резонансный режим отличается от аналогичного условия
в квазилинейном случае (см. разд. 20) в качественном смысле, по¬
скольку оно определяется не квадратичной формой параметров
асимметрии, а линейной комбинацией этих параметров и начальны¬
ми условиями. Причина этого различия заключается в следующем.
При проведении анализа для квазилинейного случая предполага¬
лось, что движение тела в области, далекой от резонанса, является
невозмущенным, квазистатическим, поэтому значение угла атаки
определяется параметрами асимметрии. Так, если воспользоваться
упрощенными уравнениями для изменения угла атаки а и фазово¬
го угла ф (23 И), (23. 12), определить с помощью этих уравнений
квазистатические значения угла атаки и фазы аст и фст и подста¬
вить полученные значения в упрощенное уравнение для изменения
продольной угловой скорости (23.4), то можно получить квазиста-
тическое условие возможности захвата движения в резонансный
режим, совпадающее с уравнением (18. 12).
Промежуточный случай, в котором величина угла атаки в око-
лорезонансной области в более или менее равной степени опреде¬
ляется начальными условиями и параметрами асимметрии, требует
особого исследования и здесь рассматриваться не будет.
Возвращаясь к нелинейному случаю, рассмотрим условия
устойчивости околорезонансного режима.
В первую очередь следует проверить условия устойчивости, от¬
носящиеся непосредственно к уравнению, определяющему измене¬
ние угла атаки,
dig ■ р , ч d^a mz{a)qSl (G — г cos a) {G cos a — r)  Q (s)
— Г I	/	Siii3	a	_
Если интеграл действия равен нулю, то условие статической
устойчивости имеет вид
——0 при /7(а) = 0	(23.17)
да
(23.15)
(23.16)
154

или	_m£(a)qSl_	+	Jicoso_	{Q __ r cQS o) {Q cos a _ r) +
/	silica
^ Q2 + r2 _ 2Gr cos a	(23.18)
sin2 a
Учитывая соотношения (,23.2), (23.6) и (23.7), получим с ошиб¬
кой порядка е условие
II + tg2a
' / > I /яг (а)
тг{ a)J
3 +
<0.	(23.19)
tga
Как видно, статическая устойчивость заведомо сохраняется, если
dniz <0, mz <0.
da
В том случае, если моментная характеристика тела вращения
mz(а) имеет неустойчивую балансировку а*, статическая устойчи¬
вость нарушается при некотором a^a*.
Критерий (23. 19) определяет условие статической устойчивости
быстрых движений по углу атаки (аналогичных «быстрой» прецес¬
сии в линеаризованном возмущенном движении [68, 49]).
Условие динамической устойчивости «быстрых» движений по
углу атаки (аналогичное условию динамической устойчивости «бы¬
строй» прецессии, разд. 19) рассматривать не будем, поскольку оно
определяет сравнительно медленное убывание или возрастание
амплитуды быстрых колебаний.
Рассмотрим устойчивость «медленного» движения. В соответст¬
вии с формулой (5. 26) главное условие устойчивости в данном слу¬
чае сводится к неравенству
/n^cas ф <0*	(23.	20)
Рассмотрим в отдельности случаи компланарной асимметрии
(my0 = 0, mzо=7^=0) и ортогональной асимметрии (mz0 = 0, пг^фО).
В случае компланарной асимметрии, используя соотношения
(23. 15) и (23. 10), получим
(2-/, + tg2a)^ +
dt
1	d<J	I
2 q dt	'
тУ (a)
byV
(a)(l — lx)
tga
/ mV
tga=
ГПгфх
2/71^. sin a
dq_
dt
(23.21)
Анализируя уравнение (23.21), нетрудно убедиться, что резо¬
нансный режим может существовать в течение сравнитель¬
но длительного промежутка времени, если mz§m\dA >0, в против¬
ном случае угол атаки убывает и условие (23. 16) перестает вы¬
полняться. Если рассматривается восходящая ветвь скоростного на¬
пора (dqldt>0), то выполнение этого неравенства, как подчерки-
155

вается в работах [56, 48], маловероятно, поэтому резонансный ре¬
жим при компланарной асимметрии характерен для нисходящей
ветви скоростного напора.
В случае ортогональной асимметрии уравнение для изменения
угла атаки имеет вид
(2-7, + tg2a)^ +
dt
_L dci I | '"'y*'
L2 q	dt	\	i,
my0 cos ф
тцУ(а) , cyv(a)(\ —
tga
qS
mV
j/" «fySl
■V1- I xqSl,
tg a=
(23. 22)
где
cos Ф =
1 -
:|(t ^
4 (l — Ix)	qSl	sin2	a'
(определяется из (23.15)).
si gn (cos ф) = — sign
[определяется условием устойчивости (23.20)].
Рассуждая аналогично, можно убедиться, что резонансный ре¬
жим возможен в течение сравнительно длительного промежутка
времени, если myotnl >0. Наконец, полезно рассмотреть поведе¬
ние вариации 6г|э в окрестности резонансного режима, определяе¬
мого уравнениями (5.5). В соответствии с формулой (5.28)
с
]/о:
sin
t	Г	*	1
^co^Z-fCiJexp —	.	(23.23)
и	L	L	J
Для рассматриваемого случая (mz (a) = ml tg a) имеем
/ 2t
4=V 7
2m' cos Ф sin a	—
-Ц  ( 1 - Ix)
I x) <
(2-
d In t
dt
my0qSl
2 (2 - Ix)2	21	[(2	-	/	v)a)	v]	tg	a	cos	ф
(23.24)
(23. 25)
Как видно, характер изменения амплитуды вариации бгр опре¬
деляется характером изменения резонансной угловой скорости сох
(восходящая или нисходящая ветвь изменения скоростного напо¬
ра), изменения угла атаки, знаком и величиной возмущающих мо-
156

ментов: при небольших углах атаки существенную роль играет
момент туо (в случае тхфО, тх = 0 — момент mz0).
При ту0=0, mz0=0 изменение амплитуды вариации 6ф про¬
порционально
1 [i+	1х-
co^L (2-7*)2
(cos'-Ь sin а)
В случае ортогональной асимметрии {тхФ§, ЩофО) возмуща¬
ющий момент ту0 вносит существенный дополнительный вклад в
ft,с
Рис. 36. Характер изменения угла собственного вращения в околорезонанс-
ном (режиме: т\ = —0,025
демпфирование колебаний вариации 6ф на нисходящей ветви ско¬
ростного напора.
Описанные выше закономерности подтверждаются результата¬
ми расчетов движения гипотетического тела вращения (характе¬
ристики тела и параметры траектории приведены в разд. 20). На¬
чальные условия на границе атмосферы соответствовали «медлен¬
ной прецессии»:
ср1 = 0, ср2 = 30°, cdv0 = 4 рад/с.
При отсутствии возмущающих моментов захват в резонансный
режим реализуется при достаточно больших значениях \тх\у
удовлетворяющих неравенству (23. 16) при условии, что фаза ф,
157

с которой тело подходит к околорезонансной области, находится
в определенном диапазоне. На рис. 36 проиллюстрирован харак¬
тер кривых а|)(0 при ml =—0,025 и при различных значениях на¬
чальной фазы. Как видно, захват в резонансный режим происхо¬
дит не во всем диапазоне значений начальной фазы. На рис. 37
иллюстрируется характер кривых ф(0 при фиксированной началь¬
ной фазе и при различных значениях ml =—0,01 ^—0,03. С.опо-
Р,°
/1
т^——0,01
У -0,015
-0,02
у/ -0,03
ч5
WV\ '
Л\\\ 2L
щ
\
т*=-0,025
Рис. 37. Характер изменения угла собственного вращения в околорезонанс-
ном режиме: гр0 = 0
ставляя рис. 36 и 37, можно видеть, что частота колебаний фазы
я|-)(t) изменяется примерно пропорционально	и	согласу¬
ется с выражением (23.24).
Затухание отклонений Аф(/) обеспечивается в соответствии с
формулой (23.23), в основном благодаря росту скоростного на¬
пора. Соответствующие кривые со*(/) приводятся на рис. 38, 39.
При наличии возмущающих моментов возможность существо¬
вания длительного резонансного режима в значительной степени
определяется знаком правой части уравнения (23.10). В рассмат¬
риваемом случае условия du>xfdt>0, ml <0 приводят к неравенст¬
ву sin^CO, а условие устойчивости — к неравенству cos^>0. От¬
сюда ясно, что при туо<^0 или 1Що<0 длительный резонансный
режим возможен, а при туо>0 или т#о>0 — невозможен. На рис.
40 приведены кривые ф(0> соответствующие различным чро при
ту0=0,002, ml =—0,015 (случай ортогональной асимметрии). Как
видно, тенденция к захвату, которая проявляется при фо=120,
158

и>к,рад/с
Рис. 38. Характер изменения 'продольной угловой скорости в
околорезонансном режиме, т\ = —0,025
Рис. 39. Характер изменения продольной угловой скорости в около-
резонансно,м режиме, я|)о = 0
15$

ff
ш
270
Рис. 40. Характер изменения угла
собственного вращения в околорезо- fgp
нансном режиме. Ортогональная асим¬
метрия, туО = 0,О0>2,	=	—0,015
90
О
-90
Рис. 41. Характер изменения про¬
дольной угловой скорости и простран¬
ственного угла атаки в околорезонанс-
ном режиме. Ортогональная асиммет¬
рия, туО = 0,002, т\ = — 0,015, *ф0 =
= 180°
15	20	Ь,С
160

не получает развития вследствие резкого падения а(/) согласно
уравнению (23.22). Соответствующие зависимости a(t) и сox(t) ил¬
люстрируются на рис. 41. В случае компланарной асимметрии на-
ty,° сер шх, рад/с
блюдается аналогичная картина (рис. 42); тенденция к захвату не
24.	ПЛОСКАЯ АВТОРОТАЦИЯ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ МОМЕНТА
АСИММЕТРИИ
Рассмотрим задачу об условиях перехода плоского вращатель¬
ного движения тела с асимметрией к колебательному. Такая зада¬
ча была поставлена и исследована при анализе условий возникно¬
вения плоской авторотации [41, 23, 24]. Пусть моментная харак¬
теристика тела может быть представлена в виде суммы нечетной
функции mz(a) и малого приращения &Amz(a), (в частности, оно
может быть обусловлено смещением центра масс kmz(a) =
=Аус-, (а)).
Используя метод усреднения (см. разд. 2) и пренебрегая раз¬
ностью сх — Сх, выпишем закон изменения интеграла действия в
случае плоского вращательного движения (для определенности при¬
мем, что сог>0):
Рис. 42. Характер изменения (продольной угловой скорости, прост¬
ранственного угла атаки и угла собственного вращения в около-
резонансном режиме. Компланарная асимметрия, mz0=0,002,
m\ =—0,025
получает развития, если m^ml <0.
161

где	J„=\	li-dv.
da , -4
-7Tial =
у lift-C(t)=[-^-(*)]*.
Первый член в правой части уравнения (24. 1) определяет, как и в
случае колебательного движения, влияние аэродинамического дем¬
пфирования, а второй член характерен именно для вращательного
движения и определяется влиянием статической моментной харак¬
теристики.
Решая уравнение (24. 1) совместно с осредненными уравнения¬
ми движения центра масс, можно получить закон изменения вели¬
чины С(т). Движение тела является вращательным, пока
С( т)>0.
Если в какой-то момент времени С(т)=0, то движение перехо¬
дит в колебательное.
Как отмечалось выше, метод усреднения в окрестности т = т не¬
применим, однако результаты, полученные в разд. 11 и 13 для слу¬
чая jli^>1 позволяют надеяться на то, что при ограниченном тем¬
пе изменения скоростного напора, использование уравнения (24. 2)
позволит получить результат, близкий к истинному.
TZ
Обозначая Am^-M kmz(a)da, а также заменяя приближенно ком-
2л J
бинацию
Kz(a)
Z 4	Я	z'	Ч
—cyv (a)
некоторым средним значением
ср
Ф-Cl) .
lz	/	ср
lz
упростим уравнение (24.1)
(24.2)
i% \ l, ' Л, mV 1	‘	I
Наконец, для упрощения выкладок аппроксимируем изменение ско¬
ростного напора на начальном участке входа в атмосферу экспо¬
нентой (см. разд. 11)
^f-=sXK0|sine0|<7	(24.3)
at
и исключая из уравнений (24. 2) и (24. 3) время, получим уравне¬
ние
/X
V *2
dig \ iz	УуJср	2яДmzSl
7g + —г	(24-4)
/ср
dq	XmV'o	|sin 0О|	g	'	/XV'o	|sin
162

Пусть {mp/iz — cayv)cp<0, Дт2>0, тогда первый член, в правой
части способствует уменьшению, а второй — увеличению значения
Ig. Если в какой-то момент времени С(т) обращается в нуль, то
= 1//Г'х(( ]/ jmz{a1)da1da\Vq = DYq. (24.5)
Ig*(q) = Ig[q (*)]
Остается выяснить, как располагается решение уравнения (24. 4) —
кривая Ig(q) и кривая (24.5). Если Ig(qo)>Ig* (qo), то движение
остается вращательным до точки пересечения этих кривых, начи¬
ная с которой движение переходит в колебательное (после чего вто¬
рой член в правой части уравнения (24.4) следует исключить).
Ограничимся случаем qо = 0, /^о = 2ясо2о. Несложный анализ по¬
казывает, что указанные кривые могут пересекаться при малых или
при сравнительно больших значениях q. Будем считать, что крити¬
ческие условия соответствуют предельной возможности пересече¬
ния этих кривых при малых q, т. е. условиям касания этих кривых
при малых q.
Выпишем решение уравнения (24.4).
18{я) =
2ftkmzmlV{
о
У-У)
\ lz ' *
ср
<2n,LmzmlVcs
-I
1\с
'yv
£-0
ср
X
х ехр
' yv
К* \
—) Sq
lz /ср
= А-Ве~с<1,
(24.6)
lmV0 | sin 0О|
и найдем, что условие касания кривых (24. 5) и (24. 6) при малых
q определяется соотношением
D-
где
-В У2Сие 2
(24. 7)
А2С
2D2
1.
Отсюда можно найти критическую угловую скорость (g)zo)kd, ПРИ
превышении которой вращение тела продолжается в течение дли¬
тельного интервала времени.
Выражение для (cozo)Kp заметно упрощается, если демпфирова¬
нием на начальном участке входа можно пренебречь.
В этом случае
2'&kmzSlq
Ig {q) = 2ясо
'zO ~
I\V0 |sin 6
и условия касания с кривой Ig* (q) имеют вид
| sin 90|
Ко),
кр-
8я2Д /и
\V1
mz{al)dalda
(24. 8)
(24.9)
163

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аппараты летательные. Механика полета в атмосфере. Термины определе¬
ния и буквенные обозначения. ГОСТ 20058—74, 1975, 30 с.
2. Асланов В. С. О вращательном движении баллистического осесимметрично¬
го аппарата при спуске в атмосфере. — Космич. исслед., 1976, т. XIV, вып. 4,
с. 491—497.
3. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравита¬
ционном поле — Изд. МГУ, 1975, 308 с.
4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. —М.: Физматгиз, 1963, 448 с.
5. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения са¬
молета. — М.: Машиностроение, 1967, 226 с.
6. Васильев А. Ф., Шилов А. А. Программа расчета пространственного движе¬
ния летательного аппарата, имеющего произвольное распределение масс. — Труды
ЦАГИ. 1968, вып. 1095, с. 56.
7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей, —М.: Физматгиз, 1958.
8. Воейков В. В., Ярошевский В. А. Определение амплитуды колебаний осе¬
симметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере..—
Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 3, с.‘45—55.
9. Воейков В. В., Ярошевский В. А. О вероятности стабилизации тела враще¬
ния на больших углах атаки при спуске в атмосфере. — Ученые записки ЦАГИ.
1972, т. III, № 2 с. 94—101.
10. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений. — УМН, 1962, т. (XVII, № 6, с. 3—126.
11. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод усреднения в теории нелинейных
колебательных систем.— Изд. МГУ, 1971, 508 с.
12. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М. Теория полета неуправляемых ракет. — М.:
Физматгиз, 1959, 360 с.
13. Гоман М. Г. Анализ резонансных режимов пространственного движения
летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии, при полете в атмосфе¬
ре. — Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1789, 41 с.
14. Гоман М. Г. Неустановившиеся резонансные режимы движения неуправ¬
ляемого аппарата при полете в атмосфере. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8,
вып. 6, с. 54—59.
15. А. А. Дородницын. Асимптотические законы распределения собственных
значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений 2-го поряд¬
ка — УМН, 1952, т. III, № 6, с. 87—99.
16. Евтушенко Ю. Г. Асимптотический расчет влияния относительного движе¬
ния спутника на движение его центра масс.—ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 2,
с. 262—273.
17. Карягин В. П., Кремнев Р. С., Пичхадзе К. М. и др. Исследование аэро¬
динамики и динамики спускаемых аппаратов «Венера»-9 и -10 при движении в ат¬
мосфере. — Космич. исслед., 1976, т. XIV, № 6, 869—877 с.
18. Карягин В. П. и др. Возмущенное движение баллистического летательного
аппарата при входе в атмосферу Марса. — Космич. исслед., 1977, т. XV, № 2,
с. 164—178.
19. Кузмак Г. Е. Асимптотические решения .нелинейных дифференциальных
уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. — ПММ, 1959, т. 23,
№ 3, с. 515—526.
164

20. Кузмак Г..Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов
при входе в атмосферу. — М.: Наука, 1970, 348 с.
21. Курьянов А. И., Столяров Г. И. О неединственности структуры обтекания
цилиндров малого удлинения с сегментальным затуплением на околозвуковых
скоростях. — Труды ЦАГИ, 1977, 18 с.
22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика — М.: Физматгиз, 1958, 208 с.
23. Ларичева В. В., Шилов А. А. Асимптотический метод определения анало¬
га сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере.— Космич.
исслед., 1969, т. VII, № 1.
24. Ларичева В. В. О разрывном характере аналога сепаратрис при движении
асимметричного тела около центра масс в атмосфере. — Ученые записки ЦАГИ,
1972, т. III, № 3.
25. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М.: ИЛ, 1951, 468 с.
26. Мартынов А. К. Прикладная аэродинамика.—М.: Машиностроение, 1972,
448 с.
27. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационар¬
ных колебаний. — М.: Наука, 1964, 432 с.
28. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев:
Наукова Думка, 1971, 440 с.
29. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Нау¬
ка, 1969, 380 с.
30. Нилсен Дж. Аэродинамика управляемых снарядов. — М.: Оборонгиз, 1962,
476 с.
31. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Устойчивость и
управляемость летательных аппаратов. — М.: Машиностроение. 1965.
32. Охоцимский Д. Т., Энеев Т. М., Таратынова Г. П. Определение времени
существования искусственного спутника Земли и исследование вековых возмуще¬
ний его орбиты. — УФН, 1957, т. XIII, № 1а, с. 33—50.
33. Пеня В. Н., Мороз А. П., Мадатов Г. Д. Нестационарные пространствен¬
ные колебания асимметричного вращающегося летательного аппарата при движе¬
нии в атмосфере планеты. — Космич. исслед. на Украине, 1976, № 8, с. 82—87.
34. Пугачев В. С. Общая задача о движении вращающегося артиллерийского
снаряда в воздухе. — Труды ВВИА им. Жуковского, 1940, №	70.
35. Д. Россер, Р. Ньютон,	Г. Гросс. Математическая теория полета	неуправля¬
емых ракет. —М.: ИЛ, 1950, 304 с.
36. Святодух В. К. Динамика пространственного движения неуправляемых ра¬
кет.— М.: Машиностроение, 1969, 272 с.
37. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.:	Физматгиз,
1953, 468 с.
38. Студнев Р. В., Суханов В. Л., Некоторые вопросы нелинейной теории бо¬
кового движения самолета. —Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1383, 24 с.
39. Фещенко С. Д., Шкиль Н. И., Николаенко Л. Д. Асимптотические мето¬
ды в теории линейных дифференциальных уравнений. — Киев.: Наукова Думка,
1966.
40. Черноусько Ф. Л. О резонансе в существенно нелинейной системе. —
ЖВМ и МФ, 1963, т. Ill, № 1,	с. 131 — 144.
41. Шилов А. А. Влияние	массовой и аэродинамической	несимметрии	тела	на
характер его пространственного движения.—ДАН СССР, 1968, т. 183, № 5,
с. 1028—1031.
42. Шилов А. А., Васильев А. Ф. Динамическая устойчивость пространствен¬
ного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых
видах инерционно-аэродинамической асимметрии. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1345.
с. 68.
43. Шилов А. А. Динамическая устойчивость вращающейся капсулы при уста¬
новившемся снижении в атмосфере. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III, № 2.
44. Шилов А. А., Гоман М. Г. Резонансные режимы пространственного неуп¬
равляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу. — Труды ЦАГИ,
1975, вып. 16214, с. 45.
45. Эрдейи А. А. Асимптотические разложения — М.: Физматгиз, 1962.
165

46. Ярошевский В. А. Применение асимптотического метода к некоторым за¬
дачам динамики летательных аппаратов. — Инж. журн. 1962, т. II, № 2, с. 211 —
221.
47. Ярошевский В. А. Определение квазистатических режимов пространствен¬
ного движения неуправляемого тела.—Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 5,
с. 44—55.
48. Ярошевский В. А. Приближенный анализ неуправляемого движения тела
вращения с малой асимметрией при спуске в атмосферу. — Труды ЦАГИ, 1971,
вып. 1322, 32 с.
49. Ярошевский В. А. Оценка устойчивости квазистатических режимов движе¬
ния неуправляемого тела. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. II, № 5, с. 56—63.
50. Ярошевский В. А. Возмущенное движение неуправляемого тела около
центра масс при полете в атмосфере. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. II, № 6,
с. 80—86.
51. Ярошевский В. А. Оценка с помощью теории Ньютона возмущающего кру¬
тящего момента для тела вращения под углом атаки. — Ученые записки ЦАГИ,
1972, т. III, № 3, с. 107—110.
52. Ярошевский В. А. Оценка изменения амплитуды колебаний в линейной не¬
стационарной системе с одной степенью свободы. — Ученые записки ЦАГИ, 1973,
т. IV, № 3, с. 41—50.
53. Ярошевский В. А. Влияние нелинейностей в аэродинамических характери¬
стиках на неуправляемое движение тела вращения в атмосфере. — Ученые запис¬
ки ЦАГИ, 1976, т. VII, ХЬ 4, с. 69—76.
54. Allen Н. Hypersonic flight and re-entry problem. — IAS, v. 25, No. 4, 1958.
55. Allen H., Eggers A. A study of the motion and aerodynamic heating of
ballistic missiles entering the earth’s atmosphere. — NACA Report, 1958, No. 1381.
56. Barbera F. An analytical technique for studying the anomalous roll behavi¬
or of ballistic re-entry vehicles. — AIAA Paper, 1969, No. 103.
57. Bootle W. Spin variations in slender entry venicles during rolling trim. —
AIAA Journal, 1971, No. 4.
58. Burton T. Effect on entry vehicle dynamic stability of aerodynamic .and
mass asymmetry coupling. — AIAA Paper, 1972, No. 973.
59. Clare T. Resonance instability for finned configurations having nonlinear
aerodynamic properties. — Journ. Spacecraft and Rockets, 1971, v. 8.
60. Clark E., Hodapp A. Experimental determination of asymmetry-induced
trim angles of attack. — AIAA, Paper, 1972, No. 1032.
61. Hodapp A., Clark E. The effects of products of inertia on the roll behavior
of ballistic reentry vehicles. — AIAA, Paper, 1970, No. 204.
62. Kuzmak G., Yaroshevsky V. Application of the asymptotic methods to some
problems of the re-entry vehicles dynamics. — Proc. of the XIV Int. Astronautical
Congress, Paris, 1963.
63. Leon H. — Angle of attack convergence of a spinning missile descending
through the atmosphere. — Journ. of the Aerospace Sciences, 1958, v. 25, No. 8.
64. McDevitt I. An exploratory study of the roll behavior of ablating cones.—
Journ. Spacecraft and Rockets, 1971, v. 8, No. 2.
65. Murphy C. Response of an asymmetric missile to spin varying through reso¬
nance.— AIAA Journal, v. 9, No. 11, 1971.
66.	Murphy C.	Gravity — induced angular motion	of	a	spinning	missile.—Jour¬
nal Spacecraft and	Rockets, v. 8, No. 8, 1971.
67. Murphy C., Bradley J. Nonlinear limit motions of a slightly asymmetric
re-entry vehicle. — AIAA Journal, v. 13, 1975.
68. Nicolaides J. On the free flight motion of	missiles	having	slight	configura¬
tional asymmetries. — IAS Preprint, No. 395, 1953.
69. Price D., Ericsson L. A new treatment of	roll-pitch	coupling	for	ballistic
re-entry vehicles. — AIAA Paper, No. 69—101.
70. Schiff L., Tobak M. Results from a new wind-tunnel apparatus for
studying coning and spinning motions of bodies of revolution. — AIAA Journal,
v. 8, No. 11, 1970.
71.	Tolosko R.	Re-entry dynamics of a	trimmed	body	with	constant	spin.	--
Journal	Spacecraft	and Rockets, v. 8, No. 11,	1971.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ....	.3
Глава 1. Метод усреднения	 5
1. Введение малого параметра. Понятие об асимптотических (рядах .	5
2. Исследование свободных колебаний в -нелинейной колебательной сис¬
теме 	 :	:	9
3. Исследование свободных колебаний в случае нескольких медленно
изменяющихся параметров .	 18
4. Исследование околорезонаноного режима	22
5. Условия существования и устойчивость резонансного режима .	.	26
6. Асимптотический метод ВКБ и отличие истинного решения от асим¬
птотического .	 34
Глава 2. Аэродинамические силы и моменты.	Уравнения движения	39
7. Аэродинамические силы и моменты. Общие выражения для аэроди¬
намических коэффициентов	  39
8. Влияние угловых скоростей на коэффициенты аэродинамических
моментов  	 44
9. Аэродинамические силы и моменты, действующие на тело вращения
с малой асимметрией	  .	48
10. Уравнения движения  	 57
Глава 3. Движение осесимметричных тел	64
11. Определение амплитуды плоских колебаний тела с помощью мето¬
да усреднения. Переход от вращательного движения к колебатель¬
ному 	  :	64
12. Влияние аэродинамического демпфирования на амплитуду плоских
колебаний	 	 71
13. Определение амплитуды пространственных колебаний осесиммет¬
ричного тела с помощью метода усреднения	 77
14. Случай малых начальных угловых скоростей .	....	85
15. Влияние аэродинамического демпфирования на амплитуду прост¬
ранственных колебаний	 94
16. Особенности движения осесимметричного тела, обладающего дву¬
мя устойчивыми балансировками	103
Глава 4. Движение тела с нарушением осевой симметрии при малых углах
атаки	 108
17. Квазистатический режим (нерезонансный случай)	108
18. Квазистатический режим (околорезонаноный случай) ....	114
19. Возмущенное движение тела (нерезонансный случай) ....	121
20. Движение тела при переходе через резонанс	125
21. Движение неосесимметричного тела	 137
Глава 5. Нелинейный анализ движения тела при наличии асимметрии .	.	,	144
22. Нерезонаненый режим движения тела с большими углами атаки . '	144
23. Анализ режима резонансного вращения	  150
24. Плоская авторотация тела при наличии момента асимметрии .	.	161
Список литературы .	  :	:	164
167

ИБ № 1587
Василий Александрович Ярошевский
ДВИЖЕНИЕ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ
Редакторы издательства Н. А. Педченец, Ф. Г. Тубянская
Технические редакторы Е. М. Коновалова, Т. С. Старых
Корректор Е. П. Карнаух
Обложка художника С. Н. Голубева
Сдано в набор 29.03.78.	Подписано	в	печать 7.07.78.	Т-09143
Формат 60X90Vie	Бумага	типографская	№	2	Гарнитура	литературная.
Печать высокая.	Уел.	печ.	л.	10,5	Уч.-и.зд. л. 11,28
Тираж 1800 экз.	Заказ	399	Цена	1	р.	70	к.
Издательство «Машиностроение», 107885 Москва, ГСП-6, 1-й Басманный пер., 3.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Хохловский пер., 7.

Цена 1 p. 70 к.