/
Текст
И. И, АРТОБОЛЕВСКИЙ, Б. В. ЭДЕЛЬШТЕЙН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ
МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Допрело AtotttfTwreCi#
высшею и среднею специального образования СССР
в качестве учебною пособия для студентов
машиностроительных специальностей вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕ.МАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973
6 Л 5,1
А 86
УДК 621.01
Сборник задач по теории механизмов и машин. А р-
тобол еаский И, И. и Эдельштейн Б. В.,
Главная редакция физико-математической литературы
издательства «Наука», 1973» 256 стр.
Сборник содержит 386 типовых задач по теории ме-
ханизмов и машнн н соответствует программе, утверж-
денной Министерством высшего и специального сред-
него образования СССР, В сборник включены задачи по
теории структуры механизмов, кинематике, кинетоста-
тике и динамике механизмов с высшими и низшими
парами.
Сборник предназначен Для студентов машиностро-
ительных, механических и приборостроительных специ-
альностей, изучающих курс теории механизмов и машин.
Каждый раздел задачника снабжен кратким методичес-
ким введением с примерами решения типовых задач,
что облегчает использование сборника студентами заоч-
ных факультетов.
© Издательство «Наука», 1973,
Иван Иванович Артоболевский, Борис Витальевич Эдельштейн
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
М., 1973 гч, 236 стр. с н-тл»
Редакторы Л?. /А Розальсквя и Д. Г« Овакимхи.
Техн, редактор С, Я, Шкляр. Корректор Д, Д. Дорохов,
Сдано п набор 4/1V 1973 г. Подписано к печати 21/IX 1973 г. Бумага бОхЭОЬ'^ тип. № 2.
Физ. печ, ,тг lb, У слови* пен, л. 16. Уч.-изд. л. 16.94._Тираж 145 000 &кз. Т-15521. Цена
книги Б" хоть Заказ № 7Ь2.
Издательство «Наука»
Глаянач редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71*. Ленинский проспект, 15
Орлена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография X» 1 «Печатный Двор»
имени д, м. Горького Союзлоллграфпрома при Государственном комитета Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли* Ленинград*
Гатчинская ул,, 26,
3132—1838
042 (02) -73
137-73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие t t т .................................. S
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
§ 1. Структура механизмов. Основные определения............... 7
§ 2, Классификация механизмов ................................ 8
§ 3. Составление кинематических схем механизмов.............. 15
§ 4* Классификация плоских механизмов......................... 16
ГЛАВА ВТОРАЯ
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 5* Аналитическое определение положений, скоростей и ускорений
звеньев механизмов........................................... 33
§ 6. Планы положений, скоростей и ускорений механизмов....... 37
§ 7. Нахождение мгновенных центров скоростей и ускорении, Построе-
ние центроид................................................ £2
§ 8. Кинематический анализ передач........................... 65
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 9. Определение сил инерции в механизмах..................... 78
§ 10. Уравновешивание сил инерция звеньев механизмов.......... 85
§11. Трение в кинематических парах........................... 96
§ 12. Силовой расчет механизмов. Определение реакций в кинематических
парах........................................................ ЮЗ
§ 13. Применение рычага Жуковского для определения уравновешивав
щей силы i ................................................. 118
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 14, Приведение сил (моментов) и масс (моментов инерции) в меха-
низмах . . ............................................ 124
§ 15. Определение закона движения звена приведения машинного агре-
гата ....................................................... 131
1* 3
§ 16, Определение маховых масс машинного агрегата.............. 158
§ 17. Определение механического коэффициента пйьтезяого действия , . . , 175
§ 18. ДинахМика механизмов с переменной массой звеньев ........ 181
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ (КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ)
ГЛАВА ПЯТАЯ
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С ВЫСШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
§ 19. Проектирование центромдиых механизмов ................... 187
§ 20. Проектирование механизмов со взаимоогибаемыми профилями ... 192
§ 21. Проектирование трехзвенных фрикционных механизмов........ 199
§ 22. Проектирование трсхзвенкых зубчатых передач.............. 201
§23. Проектирование одноступенчатых планетарных зубчатых передач 211
§ 2Т Проектирование кулачковых механизмов...................... 214
ГЛАВА ШЕСТАЯ
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
§ 25, Задача о существовании кривошипа ........................ 231
§ 26. Задача о положениях...................................... 232
Ответы к задачам............................................... 235
Перевод единиц. МКГСС (технической) в единицы системы МКС (СИ) . . , 254
Таблица значений звольвёнтной функции (Приложение 1) .......... 255
Таблица значений cos а (Приложение 2) ........................ 255
Условные обозначения, принятые в тексте (Приложение 3)......... 256
ПРЕДИСЛОВИЕ
Самостоятельное решение учащимися ряда примеров по каждом v
отделу курса теории механизмов и машин имеет большое значение:
оно не только учит практическому применению методов кинемати-
ческого и динамического анализа и синтеза механизмов, не только
развивает расчетную технику, но и обогащает учащегося представле-
нием о новых, ему еще неизвестных схемах механизмов и пх свой-
ствах, тем самым расширяя его технический кругозор.
При составлении настоящего сборника задач по теории меха-
низмов п машин авторы стремились привести в нем примеры меха-
низмов, взятых из различных областей техники и представляющих
интерес не только с учебной точки зрения, но и с точки зрения их
использования при решении различных инженерных задач.
Порядок изложения учебного материала в настоящем сбор*
нике соответствует принятой в большинстве втузов последователь-
ности прохождения курса теории механизмов и машин.
В методических указаниях, предшествующих каждому пара-
графу, дается решение типовых задач. Все задачи, предлагаемые
в сборнике, снабжены ответами. Если по условию задачи предус-
матривается графическое решение, то ответ содержит необходимый
чертеж.
/Методические указания и отделы задачника соответствуют учеб-
нику: И. И, Артоболевек и щ Теория механизмов, издан-
ному в издательстве «Наука» в 1967 году.
В конце ряда методических указаний имеется ссылка на соот-'
петствующие параграфы этого учебника для тех студентов, кото-
рые пожелают более подробно ознакомиться с теорией вопросов,
рассматриваемых в задачах.
В задачнике, согласно ГОСТ 9867-61, используется междуна-
родная система единиц измерения СИ (SI), В конце книги приво-
дится таблица перевода единиц измерения системы МКГСС в еди-
ницы измерения СИ.
5
Авторы стремились к тому, чтобы сборник мог служить полез*
ным учебным пособием не только для студентов очной системы обу-
чения, но п для учащихся вечерних и заочных втузов,
Особую благодарность авторы приносят профессору А, П, Бес-
сонову, доценту А. В, /Келиговскому и кафедре теории механизмов
и машин Московского технологического института пищевой промыш-
ленности (заведующий кафедрой профессор В, В* Гортинский), сде-
лавшим ряд ценных замечаний при рецензировании рукописи, а
также своим коллегам по кафедре теории механизмов и машин
Московского ордена Ленина авиационного института им. С, Орджо-
никидзе, взявшим на себя труд внимательного просмотра всей
рукописи э целом, содержания отдельных задач, ответов к ним и
разрешившим воспользоваться рядом примеров, которые были
использованы в их преподавательской деятельности.
Авторы просят все замечания по настоящему изданию направ-
лять по адресу; Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство
«Наука», Главная редакция физико-математической литературы,
для И. И. Артоболевского и Бг В. Эдельштейна,
Авторы
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
§ 1< Структура механизмов, Основные определения
Механизмом называется искусственно созданная система тел, преднззна*
чснная для преобразования движения одного или нескольких тел в требуемые
движения других тел.
Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав
механизма, называется звеном. Звено, принимаемое за неподвижное, называется
стойкой. Звенья механизма, положения которых назначаются непосредственно
значением выбранных независимых параметров — обобщенных координат, назы-
ваются ведущими, а звенья механизма, положения и перемещения которых одно-
значно зависят от положений и перемещений ведущих звеньев, называются ведо-
мыми.
2°. Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся
звеньев, допускающее их относительное движение. Поверхности, линии, точки
звена, по которым оно может соприкасаться с другим звеном, образуя кинемати-
ческую пару, называются элементами кинематической пары.
3°. Кинематической цепью называется связанная система звеньев, образую-
щих между собою кинематические пары. Кинематические цепи подразделяются
на простые и сложные, замкнутые и незамкнутые.
Простой кинематической цепью называется цепь, у которой каждое звено
входит не более чем в две кинематические пары.
Сложной кинематической цепью называется цепь, у которой имеется хотя бы
одно звено, входящее более чем в две кинематические пары.
Замкнутой кинематической цепью называется цепь, каждое звено которой
входит по крайней мерс в две кинематические пары.
Незамкнутой кинематической цепью называется цепь, у которой есть звенья,
входящие только в одну кинематическую пару.
Подавляющее большинство механизмов, применяющихся в инженерной
практике, образованы замкнутыми кинематическими цепями. Поэтому механизм
(состоящий только из твердых тел) может быть определен также следующим
образом.
Механизмам называется кинематическая цепь, в которой при заданном движе-
нии одного или нескольких звеньев (ведущих) относительно любого из них (стойки)
все остальные звенья (ведомые) совершают однозначно определяемые движения.
Число степеней свободы механизма относительно стойки называют степенью
подвижности й обычно обозначают буквой w. Большинство механизмов, исполь-
зуемых в технике, имеют степень подвижности, разную единице, но иногда встре-
чаются механизмы с двумя н более степенями подвижности; такие механизмы назы-
ваются дифференциальными.
5\ В сборнике принята классификация кинематических пар по Артоболев-
скому, Все кине.чатические пары разделяются на пять классов. Номер класса
7
кинематической пары определяется числом условий связи» которые наложены на
движение одного звена пары относительно другого. Отсюда следует, что пара
J класса может быть названа пятиподвижной, пара Н класса — четырехподвиж-
ной я т. д.
Для решения вопроса, к какому классу относится та или иная кинематическая
пара, следует поступать так. Одно из звеньев, входящих в кинематическую пару,
представить неподвижным.Связать с ним систему
координат Oxyz и, ориентируясь по ней, просле-
дить, какие движения другого звена пары не-
возможны из шести движений, которые оно
имело бы возможность совершать, не входя в
пару. Число этих невозможных движении (как
равное числу связен в паре) представит собою
номер класса пары.
Рис. 1. Сферическая кинема-
Нарве. 1 изображена низшая (сферическая)
кинематическая пара. Элементом кинематической
пары на первом звене является сферическая повер-
хность радиуса /?, а на звене 2 — сферическая
поверхность того же радиуса /?, охватывающая
сферическую поверхность на звене 1. Проведя
через центр О сферы прямоугольную систему
координат Oxyz, связанную со звеном 7, заме-
чаем, что звено 2 не может перемещаться посту-
пательно вдоль осей Ох, Оу и Oz, но может сво-
бодно вращаться вокруг этих же осей, Следо-
тическая пара.
вательно, эту кинематическую пару надо отнести к третьему классу (невозможны
три из шести движений).
Рассмотрим еще один пример. Пусть (рис. 1) на движение звеньев, входящих
в сферическую пару, наложено условие, что они совершают плоскопараллельное
движение относительно плоскости Оуг. В данном случае, помимо ранее наложен-
ных связей, появились еще две общие связи — невозможность вращения вокруг
осей Оу и Oz. Эту кинематическую пару надо отнести к пятому классу.
(См, И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 1, 2, 11—14.)
ЗАДАЧИ 1—10
Определить класс кинематической пары, образованной звеньями
1 и 2. Указать, какие из шести независимых движений (трех посту*
пательных и трех вращательных) одного звена относительно другого
невозможны в кинематической паре.
ЗАДАЧИ 11—14
Определить класс кинематической пары, образованной звень-
ями / и 2, если оба звена, вошедшие в кинематическую пару, совер-
шают плоскопараллельное движение, относительно плоскости Oyz>
§ 2. Классификация механизмов
1°. Все механизмы можно разделить на плоские и пространственные. У пло-
ского механизма точки его звеньев описывают траектории, лежащие в параллель-
ных плоскостях. У пространственного механизма точки его звеньев описывают
неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях.
На рис. 2 изображен плоский шарнирный четырехзвенный механизм, а на
рис, 3 — плоский механизм двухступенчатого редуктора. На рис 4 показан
пространственный механизм. На рис. 5 изображена пространственная зубчатая
передача, образованная коническими колесами,
К задаче L
К задаче 2.
9
К задаче 9,
К задаче 10.
К задаче 14,
10
Рис. 2. Плоский шарнирный четырех-
звенный механизм: а) нолуконстру к-
тивная схема, б) кинематическая схема.
Рис, 3. Двухступенчатый редуктор
е цилиндрическими зубчатыми коле-
сами <
Рис, 4. Пространственный механизм зажима: а) пол у кон-
структивная cxeMHj б) кинематическая схема.
Рис. 5. Зубчатая передача с коническими колесами: а) полукопструктнвная схема,
б) кинематическая схема»
П
2й* Механизмы различаются еще по семействам, которых существует пять —
от пулевого до четвертого.
Помер семейства равен числу общих условий связи, которые наложены на все
звенья механизма. Поэтому, например, плоские механизмы следует отнести
к третьему семейству.
3'3 Число степенен подвижности замкнутой кинематической пеги с одним
неподвижным звеном можно найти, воспользовавшись структурными формулами»
которые для .механизмов различных семейств имеют следующий вид:
для механизмов нулевого семейства (формула Сомова — Малышева):
^ = 6н. — 5ft — 4ft — 3ft — 2р.2-р1. (2.П
для механизмов первого семейства:
— 3ft — 2р3 — р2, (2.2)
для механизмов второго семейства:
= 4п — 3ft — —pit (2.3)
для механизмов третьего семейства — плоских и сферических (формула Че-
бышева):
= 3n^2ft —ft, (2-4>
для механизмов четвертого семейства (формула Добровольского);
^ = 2п—ft,
(2*5)
В этих формулах — степень подвижности механизма, п — число подвижных
звеньев, ft, pis p?r, ft, — число кинематических пар соответствующих классов.
Рис.6. Плоский шарнирный пара/ь
лелогоамм.
L
Рис. 7, Плоский кулачко-
вый механизм.
Так, например, ft — число кинематических пар V класса, ft — число кинемати-
ческих nap JV класса и т. д.
Прежде чем применять структурные формулы, следует установить, сколько
условий связи наложено па движение звеньев исследуемого механизма,
этих связей будет соответствовать семейства.
После установления померз семейства следует выяснить, пег ли в данном
механизме звеньев, которые накладывают связи или вносят
степени свободы, не вл st лют не на кинематику основных звеньев механизма.
На рас. 6 и 7 показаны два механизма, которые надо отнести к плоским, так
как на движения их звеньев наложены по три общих условия связи: звенья не мо-
12
гут перемешаться поступательно вдоль осн Ох и вращаться вокруг осей Оу и Oz.
Следовательно, оба эти механизма принадлежат к третьему семейству.
В механизме на рис, 6 длины звеньев (расстояния между осями шарниров)
подобраны так, что изменяемая фигура A BCD всегда будет параллелограммом
«ДВ= ZCD- 1ВС = W' Вследствие "того, что lAF = и l£p^ lAD, звено 5
не стесняет движения остальных звеньев. Поэтому оно должно быть отнесено
н пассивной связи и не учитывается при подсчете числа подвижных звеньев п.
При отброшенном эвене 5 степень подвижности механизма по формуле (2.4) равна
щ^3п-2р=^ 3 3—2 *4=1.
Это означает, что для придания определенности движения звеньям механизма
достаточно задать движение одному звену.
Если бы не была отброшена пассивная связь (звено 5 и кинематические пари
пятого класса В и Е), то при подсчете степени подвижности был бы получен невер-
ный результат, так как в этом случае степень подвижности была бы равна
w = Зп — 2рй = 3 * 4 — 2 6 = О,
т. е* вместо механизма должна бы быть жесткая неизменяемая система, являю-
щаяся фермой. *
На рис. 7 представлен плоский кулачковый механизм, у которого на койне
толкателя 3 имеется круглый ролик 2, поворачивающийся вокруг своей оси. Если
ролик жестко связать с толкателем, то от этого закон движения толкателя, оче-
видно, не изменится. Круглый ролик, свободно поворачивающийся вокруг своей
осп, вносит в механизм лишнюю степень свободы, и при подсчете степени подвиж-
ности механизма это вращательное движение приниматься во внимание нс должно.
Считая, что ролик жестко связан с толкателем, подсчитываем степень подвижности
механизма по формуле (2.4):
3«— 2рг, — р4 = 3 ♦ 2 — 2 2 — 1 = L
Формальный же подсчет привел бы нас к такому результату:
= —2рь~р4=3 3 — 2 > 3 — 1 =2.
(См. И.И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 15—17 и §§ 19, 20.)
ЗАДАЧИ 15—20
15. Определить семейство и степень подвижности торцевого
кулачкового механизма.
16, Определить семейство и степень подвижности винтового
механизма.
17. Определить семейство и степень подвижности механизма
зубчатой передачи с коническими колесами.
18. Определить семейство и степень подвижности механизма
одинарного шарнира Гука (оси всех его вращательных пар пересе-
каются в одной точке 0).
19. Определить семейство и степень подвижности механизма
шарнирного четырехзвенника (оси вращательных пар At В, С и D
параллельны).
20. Определить семейство и степень подвижности механизма
гидропривода.
15
К задаче 19* ц задача 20»
14
§ 3< Составление кинематических схем механизмов
1°. Кинематическая схема механизма дает полное представление о структуре
механизма я определяет его кинематические свойства. Ока является графиче-
ским изображением механизма посредством условных обозначений звеньев и кине-
матических пар с указанием размеров! которые необходимы для кинематического
анализа механизма.
На кинематических схемах механизмов звенья, как правило, изображаются
отрезками прямых и нумеруются арабскими цифрами. Кинематические пары
л пространственных механизмах обозначаются большими буквами латинского
Рис. В. Схематическое изображение
кинематических пар в пространствен-
ных механизмах: а) вращательная
V класса (низшая), б) поступательная
V класса (низшая), &) винтовая V клас-
са (низшая), г) цилиндрическая IV клас-
са (низшая),#) сферическая III класса
(низшая).
Рис, 9. Схематическое изо-
бражение кинематических
пар в плоских механизмах:
я) вращательная (шарнир)
V класса (низшая), б) посту-
пательная V класса (низшая),
Le) IV класса (высшая).
алфавита и схематически изображаются так, как Это сделано на рис. 8. Схемати-
ческое изображение кинематических пар плоских механизмов показа по па рис. 9.
Элементы высшей пары очерчиваются кривыми, которыми они характеризуются
в натуре, Стойку (неподвижное звено) принято выделять штриховкой (рис. 10).
2°. Для построения кинематической схемы механизма рекомендуется следую-
щая последовательность действий.
L Установить основное кинематическое назначение механизма. Например.,
механизм на рис. 7 предназначен для преобразования вращательного движения
кулачка / в поступательное движение толкателя 3.
2. Подсчитать общее число звеньев k, включая стойку. Число п подвижных
звеньев будет равно я = & — 1.
3. Выяснить, сколько наложено на подвижные звенья механизма общих
условий связи, и по их числу установить номер семейства механизма,
4. Подсчитать и установить класс кинематических пар, а также найти степень
подвижности механизма.
5. Вычертить схему механизма. Начинать ее надо с нанесения па чертеж
неподвижных элементов кинематических пар, т. е, элементов, принадлежащих
15
стойке. Далее следует вычертить ведущие звенья, входящие в кинематические
пары со стойкой. (Число этих звеньев соответствует найденной ранее степени под-
вижности.) Затем надо нанести на чертеж кинс-
магическую цепь, образующую ведомую часть
/ механизма.
/ При составлении схемы плоских механиз-
му Л CI мов чертеж должен совпадать с плоскостью, па-
I раллельно которой движутся точки звеньев
’ механизма. Исключение составляют передачи
Рис. 10. Схематическое изо-
бражение неподвижных эле-
ментов кинематических пар:
л) и б) — вращательная ки-
нематическая пара, в) посту-
пательная пара, а) высшая
пара.
Рис. 1L Схематическое изображение
зубчатой передачи: а) схема вычерчена
на плоскости, параллельной движению
точек звеньев механизма, б) схема
вычерчена на плоскости, перпендику-
лярной плоскости вращения звеньев
механизма.
с цилиндрическими зубчатыми колесами, когда для наглядности схема вычерчи-
вается в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения колес.
На рис. Л, а показана схема зубчатой передачи, вычерченная по общим пра-
вилам для схем плоских механизмов, а на рис. 11,6 — та же передача, вычерчен-
ная по правилам для схем передач с цилиндрическими зубчатыми колесами.
ЗАДАЧИ 21-30
Составить кинематическую схему механизма. Подсчитать число
звеньев и кинематических пар, его образующих. Определить семей-
ство механизма и класс кинематических пар.
§ 4, Классификация плоских механизмов
!’• В сборнике принята классификация плоских механизмов Ассура — Арто-
болевского.
К механизмам, отнесенным по этой классификации к одному и тому же классу,
применяется методика кинематического и силового анализа, специально разрабо-
танная для этого класса,
16
К задаче 2L
к задаче 22.
К задаче 23.
К задаче 25.
К задаче 24.
К задаче 26
К задаче 27, К задаче 29, К задаче 28, ffitv JaliillPX ISillOfc! К задаче 30,
18
Согласно идеям JL В. Ассура, любой механизм образуется последовательным
присоединен нем к механической системе с определенным движением (ведущим
звеньям и стойке) кинематических цепей, удовлетворяющих условию, что степень
их подвижности ау равна нулю. Такие цепи, если они имеют только низшие кине-
матические пары, называются группами Ассура (структурными группами).
Следует иметь в виду, что от группы Ассура не может быть отделена кинематиче-
ская цепь, удовлетворяющая условию w = 0, без разрушения самой группы,
Если такое отделение возможно, то исследуемая кинематическая цепь представ-
ляет собой совокупность нескольких групп Ассура.
Группы Ассура подразделяются на классы в зависимости от их строения.
Класс же механизма определяется наивысшим классом группы Ассура, образо-
вавшей его ведомую часть.
Определить класс плоского механизма по Ассуру — Артоболевскому можно
только тогда, когда предварительно выявлена структура механизма, определена
Рис, 12, Замена кинематической пары IV класса одним звеном, входящим в две
кинематические пары V класса: а) элементы кинематической пары — две кривые
линии сса и рр, б) элементы кинематической пары — прямая оке и кривая рр
линии, в) элементы кинематической пары — точка а и кривая линия рр, г) эле-
менты кинематической пары — точка сс и прямая линия рр. Оа, OQ — центры
кривизны элементов кинематической пары IV класса, рг/, —радиусы кривизны
этих элементов, k— номер заменяющего Звена.
его степень подвижности, число ведущих звеньев, входящих в кинематические
пары V класса со стойкой, в когда все кинематические пары в механизме являются
чолько парами V класса. Если же исследуемый механизм имеет кинематические
пэры IV класса, то они предварительно должны быть заменены одним звеном,
входящим в две кинематические пары V класса. Получившийся после такой замены
механнЗхЧ называется заменяющим. Такая замена для двух смежных бесконечно
малых перемещений не меняет значений перемещений, скоростей и ускорений
основного механизма.
На рис. 12 показан способ замены кинематической пары IV класса (высшей)
одним звеном, входящим в две пары V класса.
2°, Ведущее звено^ входящее в кинематическую пару V класса со стойкой,
образует механизм первого класса. Иногда в литературе это же звено называется
начальным, а совместно со стойкой — начальным механизмом,
3°, Степень подвижности группы Ассура будет
ш=Зяг—2^5г = 0, (4.1)
где лг — число звеньев в группе, р4г — число кинематических пар V класса.
19
Из условия (4Л) получим, что равно
Злг
(4.2)
Так как число кинематических пар V класса рйг и число звеньев лг должны быть
целыми числами» то, следовательно, число звеньев в группе Ассура (пг) — всегда
четное число, а число кинематических пар V класса (рБГ) кратно трем.
Согласно соотношению (4.2) в группах Ассура могут быть следующие числа
звеньев и кинематических пар V класса:
24 6
3 6 9
лг
РйГ
(4.3)
и T, Щ
Первый столбец таблицы (4.3) относится к группам Ассура второго класса
следующих пяти видов (рис. 13): а) первого, б) второго, в) третьего, г) четвертого,
д) пятого.
Рис. 13. Группы Ассура второго класса различных видов: а) первого, б) второго,
в) третьего* а) четвертого, d) пятого.
В группах Ассура различают кинематические пары (кинематиче-
ская пара С) и внешние (кинематические пары В н D на рис. 13). Число внешних
кинематических пар или, точнее, их элементов, которыми группа присоединяется
к не относящимся к ней звеньям механизма (например, к ведущему эвену и стойке),
называют порядком группы. Все группы второго класса являются группами вто-
рого порядка.
Второй столбец таблицы (4.3) позволяет образовать три варианта кинемати-
ческих цепей, формально удовлетворяющих условию (4.2) (рис. 14). Кинематиче-
ская цепь, показанная на рис, 14, а, не является группой: она распадается на две
группы Ассура второго класса BCD и EFG.
Кинематическая цепь, показанная на рис. 14, б. образует группу Ассура
третьего класса третьего порядка. В этой группе кинематические пары Bt С, D
будут внешними, а пары £, F. G — внутренними.
Кинематическая цепь, изображенная на рис. 14, в, называется группой Ассура
четвертого класса второго порядка. В этой группе кинематические лары В и С
будут внешними, а пары DtE, О — внутренними.
Класс группы Ассура выше второго определяется чыслои внутренних кине-
матических пар, образующих так называемый исходный контур.
Группы Ассура третьего и более высоких классов по видам не различаются*
Класс механизма определяется наивысшим классом группы Ассура, которая
входит в его состав. Следует иметь в виду, что изменением ведущего звена можно
20
лпбо повысить, либо понизить класс механизма. Поэтому при всех прочих равных
условиях класс механизма зависит и от выбора ведущего звена. Кинематический
й силовой анализы механизма усложняются с повышением класса механизма,
следовательно, всегда надо стремиться выбирать ведущее звено так, чтобы класс
Рис. 14. Три варианта кинематических цепей: а) две группы Ассура второго класса,
о) группа третьего класса, а) группа четвертого класса.
механизма оказался наинизшим из всех возможных для данной кинематической
схемы механизма*
4°; Задача об определении класса плоского механизма решается в следующей
Рис. 15. Механизм автомата-пере-
коса вертолета. Пример разделения
на группы Ассура,
последовательности:
1) Вычерчивается схема механизма, и подсчитывается степень подвижности
его по формуле Чебышева (2.4). Звенья, образующие пассивные связи и йюсящне
лишние степени свободы, принимать во внимание при подсчете степени подвиж-
ности механизма не следует. При наличии
кинематических пар IV класса их надо
заменить одним звеном и двумя кинема-
тическими парами V класса согласно
рис. 12 и вычертить отдельно схему заме-
няющего механизма, в которой все кине-
матические пары будут парами только
V класса.
2) Выбирается ведущее звено, которое
обязательно должно входить в кинемати-
ческую пару V класса со стойкой.
3) Производится отделение группы
Ассура возможно более низкого класса.
Так, отделяется группа второго класса, и
причем такая, чтобы после ее отделения
остался механизм с той же степенью под-
вижности, что и заданный. Если отделить
группу Ассура второго класса не пред-
ставляется возможным (так как ее отделе-
ние приводит к тому, что оставшаяся часть
механизма имеет степень подвижности од,
превышающую единицу), то следует попы-
таться отделить группу Ассура более
высокого класса. Для отделения второй,
третьей и т, д. групп следует поступать
таким же образом, как и при отделении
первой группы Ассура. Разложение ме*
ханнзма на группы Ассура ведется до тех пор, пока не останутся ведущее (веду-
щие) звено и стойка.
4) Записывается формула строения механизма, и указывается его класс.
5й. Примеры на структурный анализ и классификацию плоских механизмов
по Ассуру — Артоболевскому.
Пример 1. На рис. 15 показана схема механизма автомата-перекоса верто-
лета. Ведущее звено АВ отмечено круговой стрелкой.
Решение. I) Подсчитывается степень подвижности механизма по формуле
Чебышева (2.4). Для этого определяются общее число звеньев k = 8, число под-
21
t, •_ . - - . ~ - - .
вижных звеньев n — k — 1=7, число кинематических пар V класса р& = 10
(кинематических пар IV класса нет, поэтому нет необходимости в построении за-
меняющего механизма). В механизме отсутствуют пассивные связи и звенья, вно-
сящие лишние степени свободы. Степень подвижности ш равна
2р5—р4 = 3*7—2 10—0 = 1,
2) Ведущее звено задано з условии примера, в оно должно быть одно, так как
w = L
3) Механизм расчленяется на группы Ассура» Вначале отделяется группа
Ассура второго класса, образованная звеньями 7 и б (LKG)t затем группа второго
П
Рис. 1G. Механизм приемника давления электрического дистанционного мано-
метра: я) основной механизм! б) заменяющий механизм.
класса» состоящая из звеньев 5 и 4 (НЕЕ), и, наконец, группа второго класса
составленная звеньями 3 и 2 {DCВ).
На этом расчленение механизма заканчивается, так как остались ведущее
звено 1 и стойка 8 (на рисунке отделяемые группы обведены замкнутыми конту-
рами).
4) Записывается формула строения механизма:
L1) ^12»Э: 2(4,Б] —* 2^,7,,
В этой формуле римская цифра 1 обозначает ведущее звено, арабские — классы
присоединяемых групп (2), а индексы при арабских цифрах указывают, какие
звенья образовали ведущее звено и присоединяемый группы.
22
Из формулы строения механизма видна, что наивысший класс присоединен-
ных групп — второй, поэтому механизм автомата-перекоса вертолета при веду-
щем звене / следует отнести ко второму классу.
Пример 2. На рис. 16, а показана схема механизма приемника давлении
электрического дистанционного манометра.
Решение. 1) Подсчитывается степень подвижности механизма по формуле
Чебышева (рис, 16, а). Имеем k = 5, п = k — 1 = 4, рь = 5, р4 = 1. Далее полу-
чаем до=3п—2р5—-4—2 -5 —1 = 1.
Строится заменяющий механизм (рис. 16, 6) (кинематическая пара IV класса
В заменяется в соответствии с рис. 12; б одним звеном, входящим в две кинемати-
ческие пары V класса). Для этого механизма имеем £ = 6, л — 5, =* 7 и полу-
чаем ш = 3п—2р5 = 3-5 —2-7 = 1,
2) Ведущее звено задано в условии примера и должно быть одно, так как
w = 1,
3) Механизм расчленяется на группы Ассура (рис, 16, б). Вначале отделяется
группа Ассура второго класса, образованная звеньями 3 к 4 (DEF)^ затем группа
второго класса, состоящая из звеньев 2 и 6 (COZB)> На этой разложение заканчи-
вается, так как остались ведущее звено / и стойка 5.
4) Записывается формула строения механизма:
I<й —" " 2[3,4j*
Наивысший класс присоединенных групп — второй, поэтому механизм надо
отнести ко второму классу (при ведущем звене 7),
Пример 3, На рис, 17, а показана схема механизма газораспределения двига-
теля внутреннего сгорания с ведущим звеном (кулачок).
Рис. 17. Механизм газораспределения двигателя внутреннего сгорания: а) основ-
ной механизм, б) заменяющий механизм.
Решение, 1) Подсчитывается степень подвижности w механизма по фор-
муле Чебышева, Так как & = 4, п = k — 1 = 3, р5 = 3, = 2, то
ш=3гс—2р&—р4 = 3 - 3 — 2* 3—2 = 1.
Круглый ролик 2, свободно вращающийся вокруг своей оси, вносит лишнюю
степень свободы, поэтому при подсчете числа звеньев он не учитывается. Также
в числе р6 кинематических пар V класса не должна учитываться пара С, в кото-
рую входит ролик.
Строим заменяющий механизм (рис, 17, б). Каждую кинематическую пару
IV класса в и Е заменяем, согласно рис. 12, а, одним звеном, входящим н две ки-
нематические пары V класса. У Заменяющего механизма степень подвижности до
6удет ш> = 3л—2ps=3-5—2-7=1,
ибо у него А = 6, п = 5, р4 = 7.
23
2) Так как = 1, то для сообщения звеньям механизма определенного дви-
жения достаточно иметь одно ведущее звено, что и указано в условии задачи.
3) Расчленение на группы Ассура (рис. 17, б). Вначале отделяется группа
второго класса, образованная звеньями 4 и 7, затем группа второго класса, со-
стоящая из звеньев 5 я 6; па этом разложение заканчивается, так как остались
ведущее звено / и стойка 5,
4) Записывается формула строения механизма:
Ьр <в,Й1
Наивысший класс присоединенных групп — второй, поэтому механизм сле-
дуетотнести ко второму классу (при ведущем звене /).
Пример 4, На рис, 18 показана схема механизма конхоидографа с ведущим
эвеном в двух вариантах: на рис» 18, а — это звено Л на рис, 18, б — звено 4.
Рнс. 18, Механизм конхоидографа: д) ведущее звено первое, б) ведущее звено
четвертое.
Решение, I) Определяется степень подвижности механизма по формуле
Чебышева. Так как = 6,« = б, р5 = 7,р( ^0, то, следовательно,
и? = Зп—2р;, = 3 * 5 *— 2 * 7 = I.
2) Так как щ = 1, то достаточно одного ведущего звена, что и указано в ус-
ловии задачи.
3) Разложение на группы Ассура. По первому варианту (ведущее звено J]
от механизма можно отделить только кинематическую цепь, состоящую из звеньев
2, 3, 4 в 5. Эта цепь представляет собой группу Ассура третьего класса третьего
иорядка, так как в пей три внутренних кинематических пары (вращательные пары
D, С и поступательная Е) и три внешних (вращательные пары В, G и F). По
второму варианту (рис. 18, б) от механизма последовательно отделяются
группы Ассура второго класса, состоящие из звеньев 1 н 2, 3 и 5-
4) Формула строения механизма запишется так.
При ведущем звене 1 IUJ ->3<3b3141S^ Механизм третьего класса.
При ведущем звене 4 Ij4s ->2;3^ -*2f2il>. Механизм второго класса,
(С м. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 21, 22.)
ЗАДАЧИ 31—70
Определить степень подвижности механизма и найти его класс.
При наличии звеньев, создающих пассивные связи или лишние сте*
пени свободы, их указать и не учитывать при подсчете степени
24
К задаче 48,
К задаче 49»
26
К задаче 55,
К задаче 56,
27
К задаче 57,
К задаче 59,
К задаче 60,
К задаче 61.
Механизм Зли Вышадеиал вкшхвшя
сшусеЗ делоё
К задаче 62,
28
К задаче 63.
указателя смрмти самолета
К задаче 64.
||——К манометру
• Механизм указателя Sep-
текальной скорости самолета
Механизм а&рийнаёо рубильника
Идя йыклкзчтся аккумуляторе^
К задаче 65.
К задаче 66.
Механизм передней неси еамолвтно-
ао шасси
К задаче 67.
К задаче 68.
29
Механизм поршня для бытими&ания
теста тестодепитеоънйй машина
а счетной машине
К задаче 70.
К задаче 69.
К задаче 71.
К задаче 72.
К задаче 73.
К задаче 74.
30
I
К задаче 75.
К задаче 76.
К задаче 77,
/fetaaam улра&лшв хлатцеш
К задаче 78.
К задаче 79,
К задаче 80.
подвижности механизма» Каждую кинематическую пару IV класса
заменить одним звеном, входящим в две кинематические пары V
класса. Расчленить механизм на группы Ассура, написать формулу
его строения и указать его класс. Ведущие звенья отмечены стрел-
ками.
ЗАДАЧИ 71-76
Определить степень подвижности редукторов^ составленных из
зубчатых колес.
ЗАДАЧИ 77-50
Определить степень подвижности механизма и найти его класс.
Каждую кинематическую пару IV класса заменить одним звеном,
входящим в две пары V класса. Разложить механизм на группы Ас-
сура, Написать формулу строения механизма. В предлагаемых
задачах кинематические пары буквами не обозначены, это надо сде-
лать решающему задачу.
ГЛАВА ВТОРАЯ
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 5, Аналитическое определение положений, скоростей
и ускорений звеньев механизмов
Функцией положены я ведомого звена (или точки на нем) называется завися'
мость его (или ее) перемещения от перемещения ведущего звена (или точки на нем).
На рис, 19 показано ведущее звено п с точкой N на нем и ведомое звено k
с точкой К на нем. Положение ведущего звена п определяется угловой координа-
Рис. 19, К понятию функции положения*
Рис. 20. Синусный механизм*
К выводу формулы для функции
положения и ее производных.
той <р, а положение точки /V — дугой S. Положение ведомою звена k опре-
деляется углом а положение точки К—дугой
Функция положения звена k:
= (5.1а)
Функция положения точки X:
5Х = 3К(Т). (5.16)
Вид функции положения зависит от схемы механизма, а значения постоян-
ных, которые входят в нее, —от размерных параметров механизма.
Для того чтобы составить функцию положения механизма, следует рассмот-
реть фигуру, которую образуют оси его звеньев. Из геометрических свойств этой
фигуры находят искомую зависимость (подробнее об этом см. книгу В. А; Зи-
новьева «Теория механизмов и машин», Фязматгиз, 1972).
Пример. В синусном механизме (рис. 20) ведущим является звено /, а ведо-
мым — звено 3. Положение ведущего звена определяется углом <рА1 а положение
ведомого звена — расстоянием отсчитываемым от оси Ах в направлении
оси А у. Для этого механизма требуется составить функцию положения звена 5.
2 И, II. Артоболе веки А Эдельштейн 33
Решение. Опускаем из точки В на линию Лх перпендикуляр ВХ, где
точка В — проекция осн вращательной кинематической пары В на плоскость
движения точек звеньев плоского механизма.
В последующем изложении аналогично будут обозначаться проекции осей
вращательных кинематических пар на плоскость движения точек звеньев плоских
механизмов, например, для некоторой вращательной пары С — точка С,
Из треугольника АВК имеем ВК = АВ sin Ф1, но ВК, = S3f а АВ = lA£}t
и тогда искомая функция положения для звена J примет вид
= i /I я S]n Ф'з
Единственным размерным параметром в этом механизме будет размер
2\ Угловая скорость ведомого звена k находится из равенства
О>Ь = —ГГ = ^-Г— * ----- = -----
di dip
dtp
где — = to — угловая скорость ведущего
аналогом угловой скорости ведомого звена
звена k к звену п и обозначается так:
аналог угловой скорости
-7Т = -Г- ОТ, 0.2)
d/ dtp
звена nt Производная-^^ называется
£ или nepedamcwiWA о г
передаточное отношение
d<rft
—— = со ,
dtp
(5.3а)
(5,3б)
АГ ~ кп’
Скорость уточки К может быть найдена из равенства
dSK dS^ dtp
v&— at ” dtp di dip Ш
dSK
Производная -^-называется аналогом скорости ведомой точки Л' или переда*
точным отношением от точки К
аналог линейной скорости
звену л и обозначается так:
dSK = *
ll<p
(5.4)
(5.5а)
передаточное отношение
__ .
dtp
Из формул (5,3)—(5.5) следует, что
Лл щ dip tit d^
т. с. передаточное отношение от звена А (точки К) к звену п является отношением
скорости звена k (точки К} к скорости звена л.
Таким образом, соотношения скоростей в механизме зависят только от кине-
матической схемы механизма и его размерных параметров, причем значения ско-
ростей определяются значением скорости ведущего зьена.
Пример. Найти скорость звена 3 синусного механизма (рис. 20), если с ко*
рость звена 1 равна с^.
Решение. Находим аналог скорости звена 3 nd формуле (5.5а):
dS3 d (l AB sin Ф1)
Скорость звена 3 находим по формуле (5,4):
t’3= №i1ab Фг
= 1лв COS ifi-
(5,56)
к
34
3°. Угловое ускорение &к звена k или касательное ускорение точки К можно
найти следующим образом.
Угловое ускорение 8Й равно
(5.6а)
(5.66)
(5.7а)
(5.76)
d®k ^ф _/ _ dtp , rf“tpfe 3 , 4/(pfe
dt di dtp2 dt 1 dtp dt dtp3 ' dtp 1
Здесь ^^ = б— угловое ускорение ведущего звена п.
Касательное ускорение равно
t ^'к \~rfF Иц dtP , dSK rfU) _ , , с rf5K
ак ~ dt dt dq? dt 1 dtp dt dtp3 ' dq> 1
^Ф* ^SK
пповзводные____- n —^-называются аналогами i/глового и касательного ус ко*
И (/ф2 £^ф2
рений ведомого звена k (или точки К на нем), соответствующих постоянному зна-
чению угловой скорости ведущего звена (со — const).
Эти аналоги обозначаются соответственно так:
аналог углового ускорения
^_р
с/ф* Чг
аналог касательного ускорения
4ф*
Из формул (5,6а) и (5.66) следует, что ускорения ведомых звеньев механизма
полностью определяются аналогами их скоростей и ускорений и законом движе-
ния ведущего звена.
Пример. Для синусного механизма (рис* 20) найти ускорение звена если
угловая скорость звена 1 равна о1т а его угловое ускорение равно гц.
Решение* Аналогом ускорения звена 3 является
( d АВ cos Ф1)
%3— АВ Sln Ф1-
а ранее найденный аналог скорости его есть 3 = соз фх; поэтому искомым
ускорением звена 3 по формуле (5.66) будет
«3 = a3 = - WV АВ sin ф'14- е? А В cos Ф1 •
(См. И» И* Артоболевский, Теория механизмов, § 30.)
ЗАДАЧИ St—90
8L Найти выражения для функций положения и передаточного
отношения от звена 2 к звену 1 фрикционной цилиндрической пере-
дачи с катками радиусов и Ведущее звено Л проскальзывания
между катками нет, положения звеньев определяются углами ср! и <р2.
82» Найти выражения для функции положения и аналога ско-
рости точки Bs звена 3 тангенсного механизма, совмещенной с точ-
кой звена 1. Ведущее звено /, положение звена 1 определяется
углом а положение точки В% — расстоянием 5вэ, размер h из-
вестен, звено 3 движется вдоль оси ijy.
35
83, Найти выражения для функции положения и аналога ско-
рости точки ZJ3 — точки звена 3 косекансного механизма, совмещен-
ной с точкой Вг звена 1, Ведущее звено /, положение звена 1 опре-
деляется углом а положение точки В3 — расстоянием Зва; размер
й известен.
84, Найти выражение для функции положения точки С — шар-
нира, соединяющего шатун кривошипно-ползунного механизма сего
К задаче 84.
ползуном. Ведущее звено 1, положение звена 1 определяется углом
<рр положение точки С — расстоянием ее от крайнего правого поло
жения этой точки на линии Ах; размеры 1А& и /ж? известны.
К задаче 85. К задаче 86. К задаче 87,
85. Найти выражение для функции положения штока 2 кри-
вошипного механизма с качающимся ползуном. Ведущее звено 1,
положения звеньев I и 2 определяются углами и <ра* Размеры
lAS и /лс известны.
36
86- Найти выражение для функции положения кулисы 3 кулис-
него механизма Витворта, Ведущее звено J, положения звеньев /
и 3 определяются углами срг и qv Размеры /дВ и /до известны.
87. У фрикционной цилиндрической передачи с внутренним зацеп-
лением катков найти угловую скорость со2 катка 2. Угловая скорость
катка 1 = 60 сек1, /?t = 0,04 м, R* = 0,12 al
88/Вычислить значения скорости и ускорения точки В3 звена 3
синусного механизма, совмещенной с точкой Вг звена А Угловая
скорость звена 1 — 100 сек1, положение звена 1 определяется
углом фг = 45°; 1лп = ОД м
sin 45° = 0J1).
скорость звена 1
COj.
(принять
К задаче 89.
К задаче 88.
Л
й.
89* Вычислить скорость точки В3 тангенсного механизма, явля-
ющейся точкой звена 3t совмещенной с точкой Bi звена 7. Положение
звена I определяется углом — 30/ а его угловая скорость
а>! = 20 дат1; h = ОД м (принять cos 30° =
90. У кривошипно-ползунного механизма вычислить скорость
точки С — шарнира С. Положение звена 1 определено углом q\ =
= 30°, а его угловая скорость <ox = 100 сек-1; = 0,100 At; 1$с =
= 0,300 м.
Указа н н е. При нахождении аналога скорости точки С
радикал 1/1 — sin <jpi) » стоящий в выражении функции по-
У \1вс /
ложепия, следует предварительно разложить в ряд по формуле
бинома Ньютона и оставить в нем два первых члена.
§ 6. Планы положений, скоростей и ускорений механизмов
Г. Задачи о положениях, скоростях и ускорениях решаются применительно
к группам Ассура, которыми образован механизм.
Эти задачи решаются в такой последовательности.
1) Проводится структурный анализ и классификация механизма по Ассуру
(см. § 4).
2) Выбирается ведущее звено (при и = 1), За ведущее звено обычно выбирают
ззено, которое совершает вращательное движение и может совершить полный
оборот вокруг неподвижной оси. Задается закон движения этого звена (как пра-
вило, задается равномерное вращение этого звена).
3) Выбирается масштаб чертежа и на чертеже наносятся неподвижные эле-
менты кинематических пар механизма. По заданной обобщенной коордипата
строится положение ведущего звена.
37
4) Строятся планы положении каждой группы Ассура в соответствии с по-
следовательностью образования ими механизма,
5) Строятся планы скоростей.
6) Строятся планы ускорений.
Масштабы для планов положений, скоростей и ускорений подбирают так,
планы получились достаточно точными и лучше использовалось поле чер-
чтобы
тежа.
В
курсе
Я
' £
Рис. 21. Построение положения механизма
двигателя внутреннего сгорании: а) схема
механизма, б) план положения..
£ <27 Я? Ж # Мм
-1
теории механизмов и машин принято понимать под масштабом той
или иной величины отношение
этой величины в отрезку, кото-
рый ее изображает из чертеже.
Размерности масштабов для
кинематических величин тако-
, At
вы: масштаба длин — [ь-------
.«л ’
скоростей — , ускоре-
Л At
„ мсек-1
ний — -------•
ra JWJU
2s. Покажем решение зада-
чи о положениях на конкрет-
ном примере.
Пример. Требуется по-
строить план положения меха-
низма двигателя внутреннею
сгорания (рве. 21, а), у которого
ведущее звено ЛВ (первое) со-
ставляет с осью Ах угол ф! ~
= 450. Размеры механизма;
^АВ = 0'05 л*, Iftc = =х
= 0,200 м, lBD=Qt04Q Mt 1Сй^
= 0,180 6(Р, 6 = 60\
Решение. 1) Число
бвеньев механизма k = 6, число
подвижных звеньев я = А— 1 =
6 — 1 = 5, число кинематиче-
ских пар V класса р5 = 7, сте-
пень подвижности механизма
ш — Зл — 2рь — 3 * 5—2 -7=1.
Механизм разделяется на
две группы Ассура второго клас-
са; они образованы звеньями 4, 5 я 2,3 (рис, 21, а). Формула строения механизма:
1(1) ^<21Э) "* 2| 4,5?.
2) Ведущее звено задано в условии примера, это звено Ап.
3) Отмечаем на чертеже положения неподвижных элементов кинематических
пар: шарнира А и направляющих Ау и Аг (рис. 21, б).
Длину отрезка АВЛ изображающего на чертеже размер ведущего заела, при-
нимаем равной 25 мм. Тогда масштаб схемы механизма будет
f<n 0,05 л
= —^ = 0,002 — >
ЛД 25 лги
Строим положение ведущего звена под заданным углом срА = 45е к осн Лх.
4) Вычисляем длины отрезков BCt BD, CDt D£:
0,2 0,04
гс"Т7 “ода "100 “ BD~ ода " 20 “
38
г поим положение группы, состоящей из звеньев 2, 3. Из точки В проводим ок-
^жвоетъ радиуса ВС до пересечения с линией Ау. тем самым найдем положение
РУцни С> Положение группы, состоящей из звеньев 2Т <?, построено.
ТО На стороне ВС строим засечками треугольник BDC.
Положение группы, состоящей из звеньев 4. 5, строится аналогично положе-
нию группы, состоящей из звеньев 2, 3.
Рис. 22. Построение шатунной кривой механизма Чебышева.
Если построить ряд последовательных положений ведущего звена и на одном
и том же чертеже изобразить планы положений остальных звеньев механизма,
то можно построить траекторию любой точки механизма*
Траектории точек звена, не входящего в кинематические пары со стойкой,
т* е. шатуна, называются шатунными кривыми,. На рис* 22 построена шатунная
кривая, описываемая точкой £ ламбдообразного механизма Чебышева (построе-
ние сделано для 12 равноотстоящих положений ведущего звена). Принятые раз-
меры звеньев: 1ЛВ == 0,025 м, 1Ап = 0,075 = lCD = = 0,100 л; мас-
штаб р-л = 0,001 .
' «л.
ЗАДАЧИ 91—102
(построение положений механизмов)
91, Построить положение шарнирного четырехзвенника при
q>i — 30q, если 1А& = 30 мм, l#c = lAD = 80 мм, Iqd = 70 мм.
92, Построить положение кривошипно-ползунного механизма,
если <г1 = 45Qt 1Л$ = 50 лгя, 1ВС = 150 дш.
39
93. Построить положение кривошипного механизма с качаю-
щимся ползуном при ч?! = 90’, если — 40 мм, 1АС == 120 л?ле.
К задаче 91.
X задаче У2,
94. Построить положение
— 40 лил /дс = 00 лиг
95. Построить положение
30/ = 60 лъи,
96, Построить положе-
ние механизма Робертса
при ф] -- 30/ /ц 15 лг.ч,
Л2 = 15 лм*> h3 — 50 лиг,
— 20 лм/ 6-;с = 50 ?лл1т
Ью — ^0 -ад> =~
= 24 льч, 1[)С — 1^с = 55 лч.
механизма Витворта при = 30\
механизма муфты Ольдгейма при
К ^дачс 97. К 98. К задаче 99.
97, Построить положение
180 \ 1.^ - 0/9 л1, //./ -
— 0?92 л1, Iqe ~ 0,3 лм
механизма шасси самолета при (j' i —
J ,32 м} 1^с = 0,4 м, Icd = 0,64 3i,
4о
98. Построить положение механизма строгального станка при <pL =
30°. /дя = 0,080 Л1, /дс = 0,35 л(, Icd = 0,04 At, — 0,2j At,
/; 0,25 At*
99. Построить два крайних положения кулисы 3 механизма
Витворта при 1ав 50 лии, /ас = Ю0 aial
100, Построить два крайних положения коромысла 3 механизма
шарнирного четырехзвенника при /лй = 30 Atw, 1цс = /др = SO лые,
<CD = 70 ММ.
К задаче 100. К задаче 10L К задаче 103.
101, Построить два крайних положения ползуна 3 дезаксн си-
льного кривошипно-ползунного механизма при /дВ = 40 лги,
isc = 100 лги, /1 = 20 мм.
102, Построить (найти) наибольший угол размаха штока (зве-
на 2) кривошипного механизма с качающимся ползуном при lAii —
= 40 AMI, iAc = 100 -^ли
ЗАДАЧИ 103-110
(построение шатунных кривых; для их вычерчивания следует брать
8—12 равноотстоящих положений ведущего звена механизма)
103. Вычертить шатунные кривые, описываемые точками AI, К
и L механизма шарнирного четырехзвенника. Дано: /дй = 50 аищ
/j3C — 200 мм. 1с& = 140 Л1Л1, hx = 80 alm, h2 = 220 лмг, 1$м —
^Л1А' ~ Ikl == 0,25/щ>
104. Вычертить шатунную кривую, описываемую точкой Л1
к ривошипно-ползунного механизма, Дапо: 1А$ — 50 лги, /лс =
= 150 мм, — 75 мм.
105. Вычертить шат\ иную кривую, описываемую точкой ЛI
механизма Витворта, если 1АВ = 60 яли lA{- — S0 /ям = 40 лык
106. Вычертить шатунные кривые, описываемые точками /И и К
кривошипного механизма с качающимся ползуном. Дано: 1АВ =
= 50 Atм, 1Ас *= 140 или 1^м ” 00 мм, = 200 дни.
107, Вычертить шатунные кривые, описываемые точками Л)
и К механизма муфты Ольдгейма. Дано: 1А& 100 .о, 1мк ЗОлки.
108* Вычертить шатунную кривую, описываемую точкой Л1
кривошипно-ползуиного механизма. Дано: 1Л^ = Ю лтл«, /лс =
= 30 ЛМ1, 96,7 AIAL
109. Вычертить шатунную кривую, описываемую точкой Л1
кривошипного механизма с качающимся ползуном. Дано: 1А# —
— 20 мм, 1АС — 30 лш, = П9 Л1ЛИ
К задаче 109,
42
110- Вычертить шатунную кривую, описываемую точкой М
механизма противовращательной рукоятки Чебышева. Дано: —
= 6,8 мм, 1вс = Icd = 1см = 50 мм, Iad = 70,45 мм.
3°, Планы скоростей я ускорений механизма строятся после решения задачи
о его положении, причем построение планов проводится для
Ассура, которые образовали механизм. Вначале
строится план скоростей (ускорений) группы, кото-
рая присоединена элементами своих внешних кине-
матических пар к ведущему звену и стойке, затем
строятся планы скоростей (ускорений) второй
и т. д. групп, взятых в той же последовательности,
в какой они присоединяются при образовании ме-
ханизма. Эта последовательность обозначена в фор-
муле строения механизма.
В дальнейшем не будет делаться различия
между планами скоростей или ускорений и планами
аналогов скоростей и ускорений, так как эти пла-
ны отличаются только своими масштабами. На
рис. 23, а показано ведущее звено АВ, вычерченное
в масштабе Ц/ = -г^-----. Звено вращается с по-
г* АВ мм
стоянэой угловой скоростью Шр Величина скорости
точки В есть = ©! (АВ) р^, а ее нормальное
ускорение a# = (АВ) На плане скоростей
скорость точки В изображается отрезком (/?&) (рис.
23, б), а нормальное ускорение этой точки — от-
резком (лЬ) (рис. 23, в). Масштабами планов скоростей и ускорений соответс-
твенно будут
отдельных групп
1п
[в
$
Рас. 23. Скорость и ус ко*
рение точки В, построен-
ные в масштабе криво-
шипа.
toj (АВ) р,; <мсек 1
(^)
__(АВ)р^ McetC^
(л&)
(6,1а)
JHAt
(6.16)
в
а масштабами планов аналогов скоростей и ускорений будут
Н<Р»=^ = <Л5) .. (рЧ ,z м мм' (6.2а)
.. На (АВ) м
- -а ~ (лб) мл1 (6-26)
Планы скоростей и ускорений, у которых отрезки (pb) и (лй), изображающие
скорость и ускорение точки В, лежащей на ведущем звене, равны отрезку АВ,
изображающему на чертеже длину называются планами, построенными
в масштабе радиуса (или в масштабе кривошипа). У таких планов масштабами
скоростей и ускорении будут
Pv = р./ мсек~ у мм, (6. За)
= (dtp; жк’а/м, (6.36)
Соответственно масштабами планов аналогов скоростей и ускорений будут
м/мм, (6.4а)
= */лсл{. (6,46)
Когда длины звеньев механизма соизмеримы с длиной ведущего звена (не
превосходят ее более чем в 6—8 раз), тогда планы скоростей и ускорений
43
желательно строить в масштабе радиуса, так как это значительно сокращает вы-
числения.
В некоторых случаях полезно строить повернутые планы скоростей, т. е»
такие, у которых все векторы скоростей повернуты в одну и ту же сторону на 90°
относительно их действительных направлений. Эти планы отличаются от обычных
(не повернутых) большей точностью построения и, кроме того, удобны в качестве
рычага Жуковского для определения уравновешивающей или приведенной силы
(см. § 13).
Последовательность решения задачи на построение планов скоростей и ускоре-
ний (предполагается, что задача о положении решена и, следовательно, предва-
рительно выяснено строение механизма и назначено ведущее звено).
I) Задают закон движения ведущего звена. Обычно принимают, что оно
вращается равномерно. Если же нельзя считать, что оно вращается равномерно,
то надо указать отношение его углового ускорения к его угловой скорости. Чис-
ловое значение угловой скорости задавать не обязательно, оно отражается только
в масштабах планов скоростей и ускорений и никак не сказывается на вычислении
масштабов аналогов этих планов.
2} Строят план скоростей группы Ассура, непосредственно присоединенной
к ведущему звену и стойке.
3) Строят план ускорений этой же группы.
4) Переходят к построению планов скоростей и ускорений следующей присое-
диненной группы Ассура и так продолжают до тех пор, пока не будут построены
планы скоростей и ускорений всех групп механизма.
Задачу кинематического анализа следует считать решенной, если для ка-
ждого звена механизма будут известны положения, скорости и ускорения двух
его точек или станут известными положение, скорость и ускорение одной точки
и угловая координата, угловая скорость и угловое ускорение самого звена.
4°. Решим несколько примеров на построение планов скоростей и ускорений*
Рис. 24. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма компрес-
сора: а) схема, б) план положения, в) план скоростей, а) план ускорений.
Пример L Построить планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного
механизма компрессора (рис. 24, а). Найти скорость и ускорение точки С, угло-
вую скорость и угловое ускорение шатуна ВС, а также определить длину радиуса
кривизны pD траектории точки D. Дано: (ft = 45°, = 0,05 я, — 0,20
t&D — 0,10 м, угловая скорость кривошипа АВ постоянна и равна = 80 сетг1-
44
Решение. 1) Проводим структурный анализ и устанавливаем класс за*
данного механизма. Число звеньев £ = 4, число подвижных звеньев л = 3, число
кинематических nap V класса — 4, степень подвижности механизма равна
•а = Зл — 2рд^3'3 — 2*4= L Механизм образован присоединением к веду-
щему звену АВ и стойке 4 группы второго класса второго вида, состоящей из
звеньев 2 и 3.
2) Строим план положения механизма (рис, 24, б). Задаемся длиной отрезка
(4 В) = 25 мм, вычисляем масштаб схемы механизма:
/-и 0,05
hj—=0,002 — ,
и по нему находим длины отрезков (ВС) и (BD):
0,2 /пП 0,1
W-g-да(И»--^-да-1»~.
Ио полученным размерами заданному углу^ на рис* 24, б строим план положения
механизма.
3) Строим алан скоростей для группы 2, 3. Построение ведем по следующим
двум векторным уравнениям:
= + = % +^сс4>
где — скорость точки В, по модулю равная = 80*0,05 = 4 жетг1
и направленная перпендикулярно линии А В в сторону, соответствующую на-
правлению угловой скорости звена АВ] —скорость точки С при вращении
звена ВС вокруг осн шарнира В, по модулю равная (щ, —угловая
скорость звена ВС, которая пока вам неизвестна) и направленная перпендику-
лярно линии ВС] — скорость точки С4 стойки 4, совпадающей с точкой С
{она равна нулю, так как звено 4 неподвижно); ^сс4 —относительная скорость
точки С в ее движении относительно точки С4 (ее модуль неизвестен, а направ-
лена она вдоль линии Ах).
Построение плана скоростей ведем в такой последовательности (рис. 24, в).
Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше: от полюса р
откладываем отрезок (pb), изображающий скорость точки В, перпендикулярно
линии АВ и в соответствии с направлением вращения звена А В, причем длину
отрезка (р£) выбираем равной (АВ) = 25 лл, т, е. строим план в масштабе криво-
шипа; из точки проводим направление скорости — линию, перпендикуляр-
ную ВС. Переходим к построению решения второго векторного уравнения, ука-
занного выше: из точки р надо было бы отложить скорость но она равна нулю,
поэтому точку q совмещаем с точкой р; из точки с* или, что то же, р проводим на-
правление скорости — линию, параллельную Ах, до пересечения с линией,
проведенной перпендикулярно ВС, и получаем точку с — конец вектора скорости
точки С. Помещаем в полюс плана точку ли на этом заканчиваем построение плана
скоростей для всего механизма. Скорость точки D находим по правилу подобия:
конец вектора этой скорости должен лежать на линии (6с) и делить отрезок {Ьс}
в том же отношении, в каком точка D делит отрезок ВС, т. е(
(М=^(6с) = 0,5(6с).
Вычисляем масштаб плана скоростей:
(AS) pj aiccx'1
pb (job) aui
масштабом плана аналогов скоростей будет
t‘<f»=7T=^ -Т^-.
л»Л*
45
Скорость &с точки С равна
1 80 0,002=21« 0,16=3,36 мс&гК
У г/ювая скорость iOj звена ВС равна
М У1* 18*80
Й2 = Vc = тей! “ (BQw = Лоо* = 14’4 сек’1-
На рис. 24т б построен повернутый план скоростей непосредственно на схеме
механизма. В этом плане полюс р совмещен с точкой А. Направление вектора
скорости точки В совпадает с направлением Л В» направление скорости фСд яв-
ляется продолжением линии ВС, а направление скорости точки С перпендикулярно
линии Ах,
4) Строям план ускорений для группы 2Л 3. Этот план строится по таким двум
векторным уравнениям:
аС"==аВ^аСВГ=а В + <ВСв + ^В* аС~°С,^0СС4 + йСС/
где as — нормальное ускорение (оно же полное) точки Д, по модулю равное
= /^ = 8^-0t05₽64£Kb0,05 = 320 мсекГ*
1 Ad
и направленное параллельно линии ЯВ от точки В к точке Я; — нормальное
ускорение точки С во вращательном Движении звена ВС относительно точки Вя
по модулю равное 9
л и____св
асв — 1
*ВС
и направленное параллельно линии ВС от точки С к точке Л; касательное
ускорение точки С в том же движении звена ВС, по модулю равное а с*в
(f2— угловое ускорение звена ВС» пока нам не известное) и направленное пер-
пендикулярно линии ВС; — ускорение точки С4 (точка звена 4; оно равно
нулю, так как звено 4 неподвижно); &ссЛ—кориолисово ускорение точки С
в движения ее относительно точки С4, равное нулю, потому что звено 4 неподвижно;
аСс — относительное (релятивное) ускорение точки С в ее движении относительно
точки С4> оно направлено вдоль линии Лх.
Построение плана ускорений ведем в такой последовательности (рис, 24, а).
Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше, для чего от
полюса плана л откладываем отрезок (д&), изображающий ускорение парал-
лельно липин АВ. Длину (nb) выбираем равной (АВ) = 25 лш, т. е. строим план
в масштабе кривошипа, при этом масштабы планов ускорений и их аналогов соот-
ветственно будут равны
ай со? (ДВ) ц/ лпж 2
IV^_W=(W л.
От точки b откладываем отрезок (£лсвХ изображающий ускорение a^s, Длина
отрезка (ЬлСд) вычисляется так:
асв VCB (MVS _ (be)2 182 _
св ~ ~ /ЙС ~ (BQ Hf • Иа (ВС) • 0=nt - (BC) “ 100
Через точку nc^ проводим направление ускорения а^-ланию, перпендику-
лярную линии ВС. Переходим к построению решения второго векторного уравч
46
цели я, указанного выше* Для этого от полюса плана л откладываем вектор ускоре-
ния но оно равно нулю, поэтому точка q совпадает с точкой л . С этой же точ-
кой совпадает конец вектора ускорения — точка k (ускорение ра&но
нулю)- Из точки k или, что то же, из точки л проводим направление ускорения
асс —линию, параллельную Ах* Точка пересечения ее с линией, проведенной
перпендикулярно ВС, дает точку с — конец вектора ускорения точки С* Соеди-
няем точки с и b и получаем вектор полного ускорения точки С при вращении
звена ВС относительно точки В, т, е* асв. В точку л помещаем точку а. На этом
заканчиваем построение плана ускорений механизма. Конец вектора ускорения
точки D найдем по правилу подобия:
(M = ^§(M = 0.5 (be).
Соединив точку d с полюсом плана л, получаем отрезок (nd), изображающий
ускорение точки D,
Величина ускорения точки С найдется так:
ас=: (яс) * p,Q. = 17,5 * 12,8 = 224 леек"®, /
а величина углового ускорения звена ВС
аСВ (пСВс)Ра (пС13с) '80а (1г9
^ = ^ = "(ёсЯГ = '^С)7Г = _(ЙС)------------1® =1Ь2«к .
5) Находим радиус кривизны траектории точки D. Через точку D (рис. 24, б)
проводим линию тт, параллельную отрезку (pd) pia плане скоростей (рис. 24, в), —
это будет направление касательной к траектории точки Р, Линия (цт|), проведен-
ная перпендикулярно линии (тт), является “нормалью к этой же траектории. На
ней располагается центр кривизны Ор траектории точки D. Проектируем вектор
ускорения точки D, отрезок (nd) (рис, 24, г), на направление нормали к траектории
точки D. Получим отрезок (ля^), соответствующий нормальному ускорению
а£ точки Из формулы
ап= —
° р£>
получим, что искомый радиус кривизны будет равен
аЬ __ (prf)-wlp-!
(лло)ра (лпо)^{
(pd)2 212
------ц; ---------0,002 = 0,0588 м.
(лпо)-------15
Пример 2. Построить планы скоростей и ускорений механизма строгального
станка (рис* 25, а). Наити скорость и ускорение звена 5. Дапо: (ft = 300°, lAfi =
0,05 м, 1АС = 0,12 я, lCD = 0,200 м, Н = 0,10 л, lDB = 0,08 .и. Угловая
скорость кривошипа АВ постоянна в равна = 10 сетг1.
Решение. 1) Проводим структурный анализ и устанавливаем класс ме-
ханизма, Число звеньев 4=6, число подвижных звеньев п = 5, число кинемати-
ческих пар V класса рй = 7, степень подвижности w — Зл— 2р5 = 3’5 — 2-7
= L Механизм образован так: к ведущему звену АВ и стойке 6 присоединена
группа Ассура второго класса третьего вида, состоящая из звеньев 2 и 3, а к этоГе
группе и стойке присоединена группа второго класса второго вида, состоящая из
звеньев 4 и 5, следовательно, заданный механизм следует отнести ко второму
классу.
47
2) Строим план положения механизма. Длину отрезка (AS) выбираем равной
25 мм, поэтому масштаб схемы буде^
*АВ 0,05 м
И/^ттпх ^“о=“ = 0,002 —
r {AS) 2о ’ л«.и
Длины остальных отрезков на чертеже:
(Л С) = , (CD) = — . Н/ Н 0J0 = Г- г./,г, e 50 At«, Pz 0,002 0,12 = оде =60 'ИЛ(- 11,200 “0,002 " 1№ /ПР 0,08 {Dn= и/ “?№40
По полученным размерам
строим план положения механизма (рис. 25, б).
& $ Я? 47 Ммм
Ряс, 25. Кинематический анализ механизма строгального станка: а) схема,
б) план положения! в) план скоростей, г) план ускорений.
3) Строим план скоростей механизма. Начинаем с группы, состоящей из
звеньев 2 и <3, так как она непосредственно присоединена к ведущему звену и
стойке, Построение ведем по следующим векторным уравнениям;
= ®в +
48
— скорость точки 5Я эвена 3, которая лежит под точкой /3; — скорость
точки Й, по модулю равная = 10’0,05 — 0,5 мсек-1 и направленная
перпендикулярно АЗ в соответствии с направлением угловой скорости —
екоооеть точки относительно точки В, направленная параллельно линии ВС;
1- скорость точки С, равная нулю; — скорость точки В во вращении
звена 3 относительно точки С, по модулю равная =± w3- /ВаС и направленная
перпендикулярно ВС (пока нам не известна),
г Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше. От полюса
плана (рис, 25, а) откладываем отрезок (pb)* изображающий скорость точки В.
Длину этого отрезка принимаем равной (pi?) = (АВ) = 25 мм, т. с. план строим
>Г масштабе кривошипа. Через точку b проводим направление скорости —
линию, параллельную СВЯ, Переходим к построению решения второго векторного
равнения. указанного выше> Надо отложить вектор скорости точки С\ но гак
ктк модуль его равен нулю, то конец его с помещаем в полюс плана р и из точки р
г.гюволнм направление скорости — л1’™о, перпендикулярную СВ. Пересече-
ние ее с ранее проведенной линией, параллельной СВ, дает конец вектора ско-
p-.iCTH —точку Ь$. Точку d — конец вектора скорости точки D— находим по
правилу подобия из соотношения
_ (СР)
W (СВЭ) ’
откуда
М-№'^,-‘7 ®-42-5 “•
Переходим к построению плана скоростей группы 4t 5* Этот план строим по урав*
нениям
"Г*££Н + *£:£,’
где i?E — скорость точки Et — скорость точки D (ее вектор отложен на плане
скоростей в виде отрезка (pJ); — скорость точки Е во вращении звена 4
относительно точки D, по модулю равная =. со^' 1ВЕ и направленная перпен-
дикулярно линии DE (пока нам не известна); — скорость точки Es звена £>,
которая совмещена с точкой Е (модуль ее равен нулю, так как звено 6 неподвиж-
но); феб —скорость точки Е относительно точки £01 направленная параллельно
линии хх. Построение сводится к проведению через точку d (согласно первому
уравнению) линии, перпендикулярной DE, т. е* направлению скорости
и проведению через точку р (согласно второму уравнению) линии, параллельной
а с Точка е пересечения этих линий есть конец вектора скорости точки Е. По
мещаем в полюс точки с, es, а и на этом заканчиваем построение плана скоростей
Механизма.
Масштаб плана скоростей равен
v[t ^{AB}u!
~"w~
мсек'1
окц/^ 10-0,002 = 0,02 -------
h ' ’ ЛЬН
Масштаб плана аналогов скоростей равен
и =^ = И/ = 0,002 —,
Искомая скорость суппорта (скорость точки Е) равна
vE (ре) = 45'0,020 = 0,90 мсек"
49
4) Строим план ускорений группы 2, 5. Построение ведем по следующим
двум векторным уравнениям:
где ав* — ускорение точки BZt которая принадлежит звену 3 и совместилась с точ-
кой В звена /; ав — нормальное (оно же полное) ускорение точки В, но модулю
равное 0^= 0,05 = 5 лтс"* и направленное параллельно А В от точки
В к точке Л; — ускорение Кориолиса в движении точки В3 относительно
звена 2, по модулю равное
ь С
°£3В= 2ш2оВ,В = 2-J2— vBtB
ВС
так как ох, = ti>g в =
и имеющее направление вектора относительной
скорости повернутого на 90° в направлении угловой скорости g>s переносного
движения (движения звена 2); аВэВ — относительное (релятивное) ускорение точ-
кн В3 относительно точки Bt направленное параллельно Линн в СВ; ас— ускоре-
ние точки С (оно равно нулю); а^(С — нормальное ускорение точки В3 во вращении
эвена 3 относительно точки С, по модулю равное
Or С
BlC 'в,с
и направленное параллельно линии СВ$ отточки В?/ к точке С; — касательное
ускорение точки В3 в том же движении эвена 3, по модулю равное ав с= еа/в с
(нам пока не известно) и направленное перпендикулярно CBS.
Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше (рис, 25, <?).
Задаемся отрезком (л£) = (45) = 25 хи, который изображает в плане ускорение
ав (так как (л&) = (45), то план строится в масштабе кривошипа).
Масштаб плана ускорений равен
аа со? (4В) н/ леа’лГ2
Иа= *L=~L—1Г-=и^ = 10=.0,002 = 0,2-----------.
ro (rcfc) (л5) 1 r лм
Масштаб плана аналогов ускорений равен
Нс = =0,002—.
Г<ра ЛЯ
Выбранный отрезок (я&) откладываем от полюса плана (я), далее к нему прибав-
ляем отрезок (bk) — вектор кориолисова ускорения — его длину находим по
формуле
а/*»в 2(#з<)(^я)^ 2-17-19,5
(й£) ------- —j----— = —7„-7Т, ,—-— =----тп----= 16, о хи,
На (B3Q pj' Ра 40
отрезки (/?3с) = 17 мм и (£Ф3) = 19,5 мм взяты из плана скоростей, а отрезок
(В3С) = 40 мм — из плана положения). Через точку k проводим, направление
ускорения аВав — линию, параллельную СВ.
Переходим к построению второго векторного уравнения. Точку с совмещаем
с точкой л, так как ас=0, от точки я откладываем отрезок (лпв с)? изображаю-
щий нормальное ускорение его длина равна
Л с (РМаР1 17*
fn^R г) — --У3- = 3—jLLLSL —_____79 и и;
SO
далее через точку пв*с проводим направление ускорения й^4С — линию, перпен-
дикулярную CBt до пересечения с ранее проведенной через точку k л ин и ей , парал-
лельной СВ. Точка пересечения Ь& представляет собой конец вектора ускорения
а я . Конец вектора ускорения центра шарнира D (точку ti) найдем по правилу
подобия нз соотношения
(nd) = (П$8) ^ = 35^ = 87,5 мм.
(03CJ 4U
Переходим к построению плана ускорений группы 4t 5 по уравнениям
°£ = ao+a£o+aED, оЕ = аЕ, + в££1 + °£БЛ,
Где — ускорение точки Е\ а& —ускорение точки D (оно определяется по ранее
построенному отрезку (ш/): оо = (kJ) ра = 67,5'0,2 = 17,5 юек*)\
— нормальное ускорение точки Е во вращении звена 4 относительно точки
^ed
D (оно направлено параллельно линии ED от точки Е к точке D); aED = е^£о—
касательное ускорение той же ^точки в том же движении звена 4 (оно направлено
перпендикулярно линии ED); а^—ускорение точки Е^ которая принадлежит
звену 6 и совмещена с точкой Е (оно равно нулю); — кориолисово ускорение
точки Е в движении ее относительно стойки (точки £е; оно равно нулю); —
относительное (релятивное) ускорение точки Е относительно стойки (точки Ев;
оно направлено параллельно линии хх).
В соответствии с первым векторным уравнением от точки d откладываем от-
резок (dn£D), изображающий нормальное ускорение Его длина равна
4d в*
алел = ----" —-------— — 4,9 мм*
’ lEDVa 40
Далее через точку nED проводим направление ускорения (линию, перпенди-
кулярную ED) и переходим к построениям, соответствующим второму векторному
уравнению, указанному выше, В точке л помешаем точки ев и krt так как модули
ускорений aEs е равны нулю. Из точки п проводим направление ускорения
аЕЕ (линию, параллельную хх) до пересечения с линией, ранее проведенной из
точки Точка пересечения е является конном вектора ускорения точки Е,
т. е* ускорения а£. Располагаем в полюсе плана точку а и на этом заканчиваем
построение плана ускорения механизма.
Искомое ускорение суппорта (точки Е) будет равно
а£ = (ле) рд=85 0,2= 17,0 мсекГК
Пример 3, Методом планов найти угловые скорость и ускорение лепестка
(звена 5) в механизме привода лепестков фотозатвора (рис, 26, а). Дано: (рх = 270\
<4В = 0,01 Mt 1£С = 0.080 мг 1ЛП = 0,12 м, 1Ср = 0,084 м, L CDF = 30\
= 0,02 At, Н± = 0,058 Mt l£D = 0,07 jw, угловая скорость кривошипа
200 се/г1 и его угловое ускорение ех = 10 000 сек~\
Решение. 1) Проводим структурный анализ и устанавливаем класс
механизма. Число звеньев равно k = 6, число подвижных звеньев равно п 5,
число кинематических пар V класса рь = 7. Степень подвижности ну = Зп — 2р- =
= 3*5— 2’7= L Механизм образован так: к ведущему звену АВ и стойке
(звену 5) присоединена группа Ассура второго класса первого вида, состоящая из
звеньев 2 и 3, а к этой группе и стойке присоединена группа второго класса третье-
10 вида, состоящая нз звеньев 4 и 5. Заданный механизм надо отнести ко второму
классу.
51
2) Строим план положения механизма. Длину отрезка (ЛВ) назначаем рав-
ной (ЛВ) = 10 лл, поэтому масштабом чертежа будет
0»01 -И
—=0,001 -—
10 лш
(ДВ)
Вычисляем длины остальных Отрезков на чертеже;
/вс 0г08 1Сй 0,084
(ВС)“=бЖ=80 -=
lAD 0,120 Hi 0,02
(ДД) =„=__.= 120 jk.b; (Л1) = - = д~^- = 20 лл;
Ht 0,058
(Ла)= т;=бЖ=58
1Г:Г 0,07
(DF)=~Ж70 "*
По полученным размерам строим
план положения механизма (рис. 26, б).
Рис. 26. Кинематический анализ механизма и р м вода леи ест ко а фотозатвора:
а) схема, 6) план положения, в) план скоростей, г) план ускорений,
3) Строим план скоростей механизма. Начинаем с группы Ассура, состоящей
из звеньев 2, 3, так как она непосредственно присоединена к ведущему звену и
стойке. План строим по векторным уравнениям
— * В 4" ^СЙ1 “Г
__ скорость точки С; — скорость точки Bt по модулю равная *=
— 2,0 же/r1 и направленная перпендикулярно АВ в соответствии
с направлением угловой скорости звена AS; — скорость точки С во враще-
нии звена ВС относительно точки S, по модулю неизвестная и направленная пер-
пендикулярно SC; -скорость точки D, равная нулю; — СКОРОСТЬ точки
С во вращении звена СО относительно точки D, по модулю неизвестная и направ-
ленная перпендикулярно CD. Строим решение первого векторного уравнения,
указанного выше. От полюса р плана (рис. 26, в) откладываем отрезок (р£?), изобра-
жающий скорость Яд, и через конец его b проводим направление скорости фсв
(отрезок (р&) взят равным (pb} = 50 мм). Переходим к построению решения вто-
рого векторного уравнения, указанного выше. Скорость 0, поэтому конец ее
! точку d) совмещаем с полюсом р и через точку р проводим направление скорости
д0 пеРесечеиия с направлением скорости tfcz? в точке с. Отрезок (рс) изображает
скорость точки С. Конец вектора скорости точки F (точку /) найдем, вычислив от-
резок (р/) по правилу подобия:
(Pf) = (№ 5£Д=ЗО 3 = 27,4 ш(.
О*т
Этот отрезок составит с отрезком (рс) угол 30Е\ Переходим к построению
плана скоростей группы Ассура, состоящей из звеньев 4, 5, который должен соот-
ветствовать таким векторным уравнениям:
~ + *FAE>
*
гце Яр — скорость тонки Г6 звена 5, которая совмещается сточкой Г; — ско-
рость точки F, она найдена предыдущим построением (отрезок (pf}}i — ско-
рость точки Fs относительно точки F, по модулю неизвестная и направленная
параллельно EF\ — скорость точки F, равная нулю; — скорость точки
F5 во вращении звена 5 относительно точки F, по модулю равная
п направленная перпендикулярно ЕЕ. Построение плана сведется к проведению
через точку f линии, параллельной ЕЕ (направления скорости и через точку
р линии, перпендикулярной ЕЕ (направления скорости Е, точка 4)* Точка пе-
ресечения этих линий является концом вектора скорости точки Г.5 (отрезок (pfz)).
В полюс плана помещаем точки d, е, а и на этом заканчиваем построение плана
скоростей механизма.
Масштэ^плана скоростей равен
v$ (АВ) ji, 200-10-0,001 жгк-1
= = (0) = " 50 =0,04 ~шГ'
Масштаб плана аналогов скоростей рацен
!'ф =^ = ^-= 0,0002
toL 200
я
лии'
Угловая скорость звена 5 равна
vf„e (Р/ь)Ь 24-0,04
йй— — ----------------------
lFtE (Е?) ~ 10 ' °’00! 96 *’
Ее направление определяется вектором скорости т. е. отрезком Ср/*)*
4) Строим план ускорений группы, состоящей из звеньев 2, 3. Он должен
соответствовать таким векторным уравнениям:
ас = + 4-°СЯ +аСВт ас = aD +аС£> +ЙСО|
где ас — ускорение точки С; aJ — нормальное ускорение точки равное
5J
сд== = 200я- 0,01 = 400 а*в— касательное ускорение той же точки В,
равное Яд = = Ю 000-0,01 = 100 сект2; а^в — нормальное ускорение
VCB
точки С do вращении эвена /ЗС относительно точки В, равное а^в =—— и па-
1св
правлен ное параллельно СВ\ а*сВ — касательное ускорение той же точки в том
же движении звена ВС, равное Мдс я направленное перпендикулярно
ВС; — ускорение точки D, равное нулю; нормальное ускорение точки
С во вращений звена CD относительно точки Dt равное a^D = -}— и направлен-
ия
ное параллельно CD; a*CD — касательное ускорение той же точки Св том же дви-
жении звена CD, равное а*с& =? e^cd и направленное перпендикулярно CD.
5) Приступаем к построению плана ускорений (рис- 26, г). Строим решение
первого векторного уравнения, указанного выше. От полюса я плана ускорений
откладываем отрезок (л&Д изображающий ускорение а&. Длину его выбираем
равной (л&д) = 50 мм, отчего масштаб плана ускорения будет
_ (Л В) И/ 200й > 10 0,001
(л£д) (пМ 50 мм
От точки Ьп откладываем отрезок (bnb), изображающий касательное ускорение
ав; этот отрезок равен
4 100
(^-/ = -^-12,5 жц
а
Далее от точки b откладываем отрезок изображающий нормальное ускоре-
ние длина его равна
fl . aCB *СВ (MV® 40* 1
1 СВ} На (BQHiHa ®) 5
На 1
(в нашем случае дробь --“Т- и отрезок (6с) = 40 мм взят из плана скоростей);
ь
через точку псв проводим направление касательного ускорения — линию,
перпендикулярную ВС. Затем переходим к построению решения второго вектор-
ного уравнения, указанного выше. Ускорение aD — 0т поэтому конец вектора, его
изображающего (точка ti), совпадает с точкой я — полюсом плана ускорений.
От полюса л откладываем отрезок (пл^), изображающий нормальное ускорение
Uqd* Длина этого отрезка равна
(зз)* 1
(ллГл) = 7-------= 7^гл----=—FT“ -**«.
' Df tcD'Pa 84 5
Далее через точку nCD проводим направление ускорения а^й(т. е. линию,
перпендикулярную DQ до пересечения с линией действия вектора ускорения
асв- Точка пересечения с есть конец вектора ас искомого ускорения точки С.
Соединив точки b и с на плане, получим отрезок (дс), соответствующий полному
ускорению аСв. Вектор ускорения а? точки F (отрезок (л/)) находится по правилу
54
подобия; он составляет с отрезком (лс) угол 30°, а его длина находится из соотно-
шения
(я,/) = (ле) ^-=42 ‘^ = 35 **
(отрезок (яс) == 42 мм взят из плана ускорений). Переходим к построению плана
ускорений группы Ассура, состоящей из звеньев 4, 5. Для этого пользуемся урав-
нениями
аГа + ~ аЕ +aF&£"baFsFT
где — ускорение точки F^ звена 5, которая совмещена с точкой F; aF — уско-
рение точки F (отрезок (л/), его изображающий, найден при построении плана
ускорений для группы, состоящей из звеньев 2 и J); — ускорение Кориолиса
в движении точки Fs относительно звена 4t по модулю равное aFiF = 2®4"
я имеющее направление вектора Vpbp, повернутого на угол, равный 90°, в сторону
вращения звена 4 или, что то же, звена 5 (звенья 4 и 5 входят в поступательную
кинематическую пару, поэтому их угловые скорости одинаковы, т. е, ш4 = <ва);
р — относительное ускорение точки Fb относительно точки F, неизвестное по
модулю в направленное параллельна линии EF; аЕ — ускорение точки Et разное
нулю; aF g— нормальное ускорение точки F& во вращении звена 5 относительно
точки Е, по модулю равное
vf6e
и направленное параллельно линии EF\ а^£ — касательное ускорение точки
в том же движении звена 5, равное по модулю = еь^£ И направленное пер-
пендикулярно EF.
Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше (рас. 26, г)*
От точки / откладываем отрезок (/£) — ускорение a* Ff длина которого
2-24.13 I
lF„E ‘ Нв № 1° 5
Ио 1
(дробь ----ь==’ё-1 отрезки (pf6) = 24 ж ле, 13 льн взяты из плана скоростей
отрезок F6E =± 10 ле ле — из плана положения). 'Далее через точку k проводим
направление ускорения aF р — линию, параллельную F^E.
Переходим к построению решения второго векторного уравнения, указанного
выше. Конец ускорения aF точки Е (точку е) совмещаем с полюсом плана л и от
нее откладываем отрезок — ускорение ар{Е^ Этот отрезок равен
f ч а*2 1
Л?кг)^-^ =-----------«77^7-------^-г-’-Г = Н,5 Л4Я
(отрезок (р^) = 24 взят из плана скоростей, а отрезок (F5S) = 10 мм — из
плана положения). Далее через точку Пр g проводим направление aF Е, т. е.
линию, перпендикулярную F0F, до пересечения с ранее проведенной линией,
параллельной FbE (т. е. направлением ускорения aF F). ТочкаД пересечения есть
конец отрезка (л/5), изображающего ускорение аг . В полюс плана помещаем
точку а и на этом построение плана ускорений механизма заканчиваем,
55
Угловое ускорение звенз 5 находится по формуле
аЛ£
*Fb£
(лядеЛ)
Н/
42'8
10~0?001
= 33 600
(отрезок = 42 мм ВЭЙТ иа плана ускорений, а отрезок (А52?) = 10 лги —
из плана положения), направление углового ускорения е& находим по направле-
нию отрезка (л/^еМ-
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 31—33.)
ЗАДАЧИ 111—126
(задачи решаются построением планов положений, скоростей и ускорений)
111. Найти абсолютные скорость и ускорение точки Е и угловые
скорость и ускорение звена CD (звена 5) четырехзвенного четырех-
шарнирного механизма. Дано: = 30 лещ = ко = ко =
= 60 л(л<т = 1Се = 35 дш, <pi = 30°, угловая скорость криво-
шипа АВ (звена 1) постоянна и равна он = 20 сек~\
112. Найти угловые скорость и ускорение звена ВС (звена 2)
кривошипно-ползунного механизма. Дано: /лв ==60 л*л*т 1вс —
= 180 мм, фт = 120е, угловая скорость кривошипа АВ постоянна
и равна = 100 секк
113. Найти угловые скорость и ускорение звена 3 механизма
Витворта. Дано: 1ЛВ = 30 мм, 1ЛС = 60 лш, <рг = 240°, угловая
скорость кривошипа постоянна и равна (щ = Юотс-1.
114. Найти абсолютные скорость и ускорение точки D криво-
шипного механизма с качающимся ползуном. Дано: 1АВ = 30 мм,
1АС — 60 мм, lBD = 120 мм, фА = 150°, угловая скорость криво-
шипа АВ (звена /) постоянна и равна = 40 гея’1.
115, Найти абсолютные скорость и ускорение точки О2 ползуна
2 механизма ротационного насоса. Дано: 1Ас = 50 лш, 1вс = 70л1л,
кт == 16 мм, = 30°, угловая скорость кулисы (звена /) посто-
янна и равна «J = 100 ста-1*
116. Найти абсолютные скорость и ускорение точки В3 звена 3
синусного механизма, совпадающей с точкой В. Дано: 1АВ — 50 дм*,
угловая скорость кривошипа АВ (звена /) постоянна и равна wx =
= 10 сек1, угол = 45°.
117. У механизма муфты Ольдгейма найти скорость п ускорение
точки В2 звена 2, совмещенной с точками Bi и В3, находящимися на
пересечении осей направляющих Дх и Су. Дано: /дс = 40 м,
<Pi = 30°, угловая скорость кривошипа Ах (звена /) постоянна и
равна I»! = 10 сея-1.
118. У тангенсного механизма найти абсолютные скорость и
ускорение точки В3 (звена 3). Дано: Н = 250 л*л1т - 30°, угло-
вая скорость кулисы (звена /) постоянна и равна ш1 = 5 сек~\
119. В кулачковом механизме, в котором кулачок представ-
ляет собой эксцентрично вращающийся диск, найти скорость и уско-
рение толкателя 2 (точки В2 его). Дано: /? = 50 мм, 1Aq = 30 леи,
Ф! = 135°, угловая скорость кулачка постоянна и равна tvx — 20 сек~\
56
S г
4
К задаче ILL
К задаче 116. К задаче 117.
У
1\ задаче 118.
57
Указание. Предварительно следует построить заменяющий
механизм.
120, У кулачкового механизма, в котором кулачок представляет
собою эксцентрично вращающийся диск, найти скорость и уско-
рение толкателя (звена 2). Дано: 7? = 50 лиц /до = 30 лиц cpL =
= 135е, угловая скорость кулачка постоянна и равна Wj = 20 шГ1.
Указание, Предварительно надо построить заменяющий
механизм.
12L У механизма двигателя внутреннего сгорания с прицепным
шатуном найти абсолютные скорость и ускорение поршня 5 (ско-
рость и ускорение точки Е). Дано: = 0,06 лц 1цс = =
= 0,180 Л!, = 0Д6, Д DBC = р = 60е, 6 = 60°, угловая скорость
кривошипа АВ постоянна н равна сщ = 200 дат1.
К задаче 122,
122, Найти скорость сс точки С механизма Робертса, Дано:
/ас = /ел = ^cd “ ^dg ~ер = ^0 лиц == 24 лиц Н — 10 лиц
Нх = 25 лиц Н2 = 50 лиц угловая скорость звена АВ равна
ац = 5 сек-1, == 240".
123, У механизма паровой машины найти скорость точки Е
относительно точки С. Дано: цд = 60", /ла “ 180 лиц 1$с = 750 лиц
= 950 лиц Icd = 250 лиц /£D — 240 лиц Н — 80 дш, угловая
скорость кривошипа АВ равна coL = 20 сех"1-
К задаче 124.
124, У кривошипно-ползунного механизма найти на линии ВС
шатуна точку /И, скорость которой совпадает по направленное лиши
ей ВС. Дано — 25 лиц “ Ю0 лш, q-д — ЗО'Ц
125. У четырехзвенного четырехшарнпрного механизма найти
гентр кривизны ОЛ1 и радиус кривизны траектории точки Л1,
ёжащей на середине расстояния ВС, если = 30 лиц —
50 льч, lev = 40 мм, lAD = 70 лш,
<f , — ЧиГ .
126. Провести точно нормаль к
профилю кулачка в точке III кулач-
кового механизма, если значения
К задаче 125.
К задаче 126.
радиусов-векторов профиля кулачка, взятых через углы в 45е, соот-
ветственно равны £?] — 20 лиц /?ц == /?vni == 22 лиц /?ш = /?\ п ==
= 28 л<лц /?iv = /?vi — 34 7?v 36 лым Значение первой
производной (аналога скорости) от функции положения звена 2
(толкателя) при повороте кулачка на угол 90° (угол поворота
кулачка отсчитывается от по-
ложения 1) равно
— 10 лш.
4
Задачи 127—138 решаются так
же, как и задачи 111 — 126, но так
как в задачах 127—138 механизмы
заданы в особых положениях, при
которых планы скоростей л уско-
рений представляют собой весьма
простые геометрические фигуры, то
построение планов скоростей и
ускорений, необходимых для реше-
ния указанных задач, можно про-
изводить от руки, а значения иско-
Рис. 27. Кинематический анализ криво-
шипно-ползунного механизма: с) план
положения, б) план скоростей, е) план
ускорений.
мых величин находить по действительным соотношениям длин отрезков в по-
строенных фигурах.
В качестве прп5!ера решим задачу о кинематическом анализе кривошип по-
ползу иного механизма (рис. 27, и). Дано: угловая скорость кривошипа /15 посто-
янна и равна Wi 40 сек"1,1АВ = 100 л<//, = 200 лмг, — 9О’\ Требуется опре-
делить абсолютные скорость vc и ускорение точки С.
Строим план положения механизма, определяем величину скорости обточки В\
= '^ав = 40 * 0,1 = 4 Ц
и строим план скоростей (рис. 27, б). Последний показывает, что скорость точки С
равна скорости точки 5: гс^с^ = 4 жея-1, а скорость точки С относительно
точки В равна нулю: i'CJ3 — 0.
Ь9
Для определения величины ускорения точки С строим план ускорений
(рис. 27, е). Конфигурация схемы механизма и плана ускорений подобны.
ИМееМ 300 ПЧ
Sin ₽~(ЖГ=а200=0’5,
откуда 0 = 3№. Ускорение точки 5 равно
ав 160 ж<?№2;
следовательно, искомое ускорение точки С равно
ас = ав tg р = 160 0,58 = 92,6
ЗАДАЧИ 127—138
127. Для заданного положения четырехзвенного четырехшар-
нирного механизма определить угловые скорости и ускорения всех
его звеньев и скорость и ускорение точки С, Дано: угловая скорость
кривошипа АВ постоянна и равна «ь = 20 1ЛН = 100 мм,
he = Icd == 400 мм, отрезки АВ и ВС располагаются на одной
прямой, а угол BCD = 90°.
128^ Для заданного положения четырехзвенного четырехшар-
нирного механизма найти угловые скорости и ускорения всех
К задаче 127.
К задаче 129*
звеньев и скорость и ускорение точки С. Дано: угловая скорость
кривошипа АВ постоянна и равна = 20 cetC1, а 1Лв ~ 100 мм,
lQC = [CD = 400 мм, / АВС = L BCD = 90°.
129. Для заданного положения кривошипно-ползунного меха-
низма найти скорость и ускорение точки D звена 2 и угловые ско-
рости и ускорения всех звеньев* Дано: угловая скорость кривоши-
па Л В постоянна и равна
и)х = 20 сек~\ 1ав~ 100 мм,
1йС^200мм, 1со~ 100 мм,
/ CAB = / CDB = 90°.
К задаче 130.
130. Для заданного положения кривошипно-ползунного меха-
низма найти скорость и ускорение точки С, Дано: угловая скорость
60
кривошипа АВ постоянна и равна toL = 20 сек'\ 1А8 = 100 лш,
200 jwjw, отрезки АВ и ВС располагаются на одной прямой,
131. Для заданного положения синусного механизма определить
скорость и ускорение звена 3 и указать, как в этом положении дви-
жется звено 3 (ускоренно или замедленно). Дано: угловая скорость
кривошипа АВ постоянна и равна = 20 сек"1, = 100 д.ч,
(pi = 45°.
132. Для механизма Витворта найти угловые скорости и уско-
рения всех звеньев. Дано: угловая скорость кривошипа АВ посто-
янна и равна сох = 20 c&r1, 1Л8 = 100 мм, 1ЛС = 200 мм, / АВС ==
= 90°.
133. Для кулисного механизма определить угловые скорости
и ускорения всех звеньев. Дано: угловая скорость кривошипа (зве-
на /) постоянна и равна сс^ = 10 сект1, 1А8 = ,
1АС = 200мм, / ВАС = 90°.
К задаче 133, К задаче 134.
К задаче J35.
134, Для кривошипного механизма с качающимся ползуном
определить скорость точки М, лежащей на плоскости, которая
связана с ползуном 3, Дано: угловая скорость кривошипа ДВ равна
6)t = 20 cefC1, /дн 100 лш, /дс “ 173 мм, МС перпендикулярно
ВС, 1см = 100 мм, L ВАС = 90°,
135, Для кулачкового механизма найти угловую скорость ш2
толкателя 2. Дано: угловая скорость кулачка равна сщ = 20
Я-бОлш, /ЛСВ-603, ДСДО-90е.
136, Для пятизвенного механизма определить угловую скорость
«з звена £>£ (звена 3) в заданном положении механизма. Дано:
К задаче 13b.
К задаче 137,
К задаче 138.
Угловая скорость кулачка (звена 1) равна Wj = 20 сек-1, Гао ~
100 мм (линия АО располагается горизонтально), ZO£ = lEF =
61
= 200 лик, DE параллельно АО и хх, DK параллельно EF, EF
перпендикулярно к АО, р — радиус кривизны профиля кулачка.
137. Для секансного механизма найти скорость толкателя 2. .
Дано: угловая скорость звена 1 равна <Dj =20 сак"1, /дв = 50 мм,
<рх = 60°.
138, Для шестизвенного механизма найти скорость й ускорение
точки Е. Дано: угловая скорость кривошипа АВ постоянна и равна
= 20 сек\ 1А8 = 100 мм, lac = 300 мм, 1СО = 200 мм, !Се =
= 100 мм, Ibf = 200 ,ил(, отрезки АВ и CD располагаются верти-
кально, £ АВС = 90°.
§ 7, Нахождение мгновенных центров скоростей
и ускорений. Построение центроид
1’. Мгновенным центром скоростей Р^ в движении звена г относительно звена
k называется точка звена i, скорость которой в этом движении равна нулю.
В каждый момент времени движение звена i относительно звена k можно рас-
сматривать как вращение около мгновенного центра вращения — около точки
звена с которой в рассматриваемый момент совпадает мгновенный центр скоро-
стей Pfa. Для определения положения мгновенного центра скоростей в движении
звена I относительно звена k требуется знать направления относительных скоро*
стей двух точек эвена Мгновенный центр скоростей Р^ находится на пересечении
Рис. 28. Нахождение мгно-
венных центров вращения
(скоростей) звеньев четырех-
звенного четырехшарнирного
механизма.
двух прямых, проведенных через эти две точки
перпендикулярно векторам их скоростей.
2°* Рассмотрим примеры на определение
мгновенных центров вращения (центров скоро-
стей) в относительном движении звеньев меха-
низма.
Пример 1. Для четырехзвенного четырех-
шарнирного механизма (рис, 28) требуется
найти мгновенные центры вращения (скоростей)
Р24 в движения шатуна (звена 2) относительно
стойки (звена 4): и Ад в движении коромысла
(звена J) относительно кривошипа (звена 1).
При неподвижном звене 4 направления ско-
ростей точек В и С перпендикулярны соответ-
ственно линиям АВ и CDt поэтому точка пере-
сечения этих линий является искомым мгновен*
ным центром вращения (скоростей) звена 2
относительно звена 4.
Для нахождения мгновенного центра враще-
ния (скоростей) в движении звена 3 относи-
тельно звена 1 остановим звено Л а остальные звенья сделаем подвижными»
Теперь векторы скоростей центров шарниров Си/) будут направлены соответ-
ственно перпендикулярно линиям ВС и AD. Продолжая эти линии, получим
точку их пересечения, которая и будет искомым центром вращения (скоростей)
Р31 в движении звена 3 относительно звена 1,
Пример 2. Для кулисного механизма Витворта (рис. 29) найти мгновенный
центр вращения (скоростей) звена 2 (ползуна) относительно звена 4 (стоики) —
точку Pzi.
Направление скорости одной точки звена 2 нам известно: это — направление
скорости точки В перпендикулярно линии АВ. Направление скорости другой
точки звена 2 найдем так. Свяжем со звеном 2 плоскость Q. На этой плоскости
отметим точку С,2, совпадающую с точкой С, л запишем векторное равенство, свя-
зывающее скорость точки со скоростью точки С:
62
Рис. 29. Нахождение
мгновенных центров
вращения (скоростей)
звеньев кулисного ме-
ханизма Витворта.
Так как точка С неподвижна, то = 0, и поэтому скорость точки Са напран-
л£на вдоль линии ВС, Искомый центр мгновенного вращения (скоростей) лежит па
Пересечении направления линии АВ я перпендикуляра, восставленного из точки
г к линии ВС.
3°, Рассмотрим вопрос о построении центроид в относительном движении
звеньев. Цеятроидой в движении звена t относительно звена k называется геомет-
рическое место мгновенных центров вращения звена i,
отмеченных на плоскости, связанной со звеном k.
В качестве примера покажем построение центроид
Б случае, когда отрезок ВС движется своими концами В
я С по сторонам прямого угла хОу (рис. 30). Построим
центроиду в движении отрезка ВС относительно сто-
рон угла хОу. Точки В и С имеют скорости, направ-
ленные соответственно вдоль линий Оу и Ох. Поэтому
полюс Р$1 лежит на пересечении перпендикуляров,
восставленных из точек В и С к сторонам Оу и Ох
прямого угла>
Когда отрезок ВС займет положение В'С', мгно-
венный центр вращения займет положение P?t. Фигуры
ОВР^С и OB’P'itC* — прямоугольники, у которых
диагонали равны длине отрезка ВС> поэтому центрои-
дой при движении отрезка ВС относительно сторон
угла хОу будет окружность с центром в точке О и
радиусом, равным ВС.
Теперь построим центроиду в движении прямого
угла хОу относительно отрезка ВС. Для этого будем
считать, что отрезок ВС неподвижен, и учтем, что сто-
роны угла хОу всегда проходят через точки В и С.
При положении прямого угла хОу центр мгновен-
ного вращения Р1а совпадает с точкой Р^. Когда пря-
мой угол займет положение х'О'у’, искомый центр найдется как точка пересече-
ния перпендикуляров, восставленных из точек В и С к сторонам его у'О' и я'О'.
Это вытекает из того, что скорости точек жесткого утла хОу, совпадающих с точ-
ками В и С, направлены вдоль его сто-
рон. Фигуры ВРпС и BP'iaC — треуголь-
ники с прямым углом при вершинах Pia и
Р;Ё, опирающиеся на один и тот же от-
резок ВС. Следовательно, центроидой в
движении жесткого угла хОуотносительно
отрезка ВС будет окружность с цент-
ром в точке А (в середине отрезка ВС) и
радиусом, равным 0,5 ВС,
4°. Мгновенным центром ускорений
П звена называется точка, ускорение
которой в данный момент времени равно
нулю.
Нахождение мгновенных центров ус-
корений проще всего производить при
помощи планов ускорений, для чего сле-
дует воспользоваться свойством подобия,
которое заключается в том, что |) концы
абсолютных ускорений точек звена на плане ускорений.образуют фигуру, подоб-
ную той, которую эти точки образуют на звене, 2) указанные фигуры располо-
жены сходственно.
Пример. Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 31, а) найти поло-
жение мгновенного центра ускорений звена ВС (звена 2).
Строим последовательно план скоростей (рис. 31, б) и план ускорений
(рис. 31,0) рассматриваемого механизма. Очевидно, что точка л в плане ускорений
соответствует той точке звена ВС, ускорение которой равно нулю, а следовательно,
эта точка на звене ВС и будет его мгновенным центром ускорений. На звене ВС
Рис. 30. Построение центроид э
относительном движении звеньев.
63
от точки В откладываем отрезок (&с) из плана ускорений (рнс. 31, а), далее/
на этом отрезке строим треугольник 6сл\ равный треугольнику Ьсл плана уско-
рений. Продолжай сторону Ьл' до пересечения с линией» проведенной из точки С
Рис, 31. Построение мгновенного центра ускорений звена ВС кривошип но-пол-
зутшого механизма: а) план положения» б) план скоростей, е) план ускорений- ,
параллельно получаем точку П — искомый мгновенный центр ускорений J
звена ВС> (Из построения ясно, что треугольник ВСП подобен треугольнику j
Ься плана ускорений и сходственно с ним расположен.)
(См. И. И. Артоболевский. Теория механизмов» § 24 и § 27,)
ЗАДАЧИ 139—146
139- Для четырехшарнирного четырехзвенного механизма найти <!
мгновенные центры вращения (скоростей) и ускорений шатуна ВС
(звена 2) в его движении относительно стойки (звена 4). Дано: :
1со = 150145!, = 1$с — 200 5Ш, :
К задаче 139. К задаче 140. К задаче 141
140. Для кривошипно-ползунного механизма найти мгновенный^
центры вращения (скоростей) и ускорений звена ВС (звена 2) в его^
движении относительно стойки (звена 4). Дано: 1д$ = 50
1ВС = 150 Л!51, q\ = 90°» угловая скорость кривошипа АВ по*^
стоянна.
141. Для кривошипного механизма с качающимся ползуном |
найти мгновенные центры вращения (скоростей) и ускорений звена а
2 в его движении относительно стойки (звена 4 ), Дано: Go = 40жмг|
Gc = 80 дш, — 30\ угловая скорость кривошипа АВ постоянна.^
64 sj
142- Для механизма муфты Ольдгейма найти мгновенный центр
относительно
вращения (скоростей) звена 2 в его движении
стойки (звена 4), если /лс = 80 лш, фх = 30s.
143- Для шестизвеиного механизма найти
мгновенный центр вращения (скоростей) звена 4
в его движении относительно стойки (звена 6).
Дано: /дд = 40 лш, 86 мм* “ 33 мм,
lCD = 60 мм, Iad ~ 120 лш, Н = 40 мм, 1Ер =
80 мм, Ьо = 50 мм* ср, = 60°.
144- Для кривошипного механизма с качаю*
щимся ползуном построить центроиду в дви-
жении звена 2 относительно стойки (звена 4). Дано: 1Лв = 50 лхлхт
провести для значения угла ^пово-
рота кривошипа АВ в пределах
от 0° до 30°.
145. Передаточное отношение от
звену 2 равно i12 —
в я
1ЛС — 150 мм.
Построение
£
/ 4
£
звена I к
Is я
К задаче
144.
1£
К задаче 143..
== —2. Построить центроиду в движении звена 2 относительно 1
и центроиду в движении звена 1 относительно звена 2, если /ОтОи =
— 60 мм.
146- Звено 1 вращается с угловой скоростью звено 2 дви-
жется поступательно в направлении, указанном стрелкой Ь, и
К задаче 145.
К задаче 146»
аналог скорости последнего для рассматриваемого положения звеньеч
S'
равен = ~р~ = 20 мм. Найти мгновенный центр вращения (ски-
ростей) звена 2 в его движении относительно звена Л
§ 8, Кинематический анализ передач
1°. Передаточным отношением от звена k к звену I на выдаете я отношение
угловой скорости (>£ (или числа оборотов в минуту п!{) звена k к угловой скорости
{или числу оборотов в минуту П[) звена /, т. е.
= (8!)
СО/ ft;
3 И. И. Артоболевский, Б. В. Эдельштейн 65
Задачей кинематического анализа передач является нахождение передаточ-»
кого отношения передачи через отношения размерных параметров ее звеньев.
Различают адноапупенчатме передачи, такие, в которых имеются только два
звена с неподвижными осями вращения, и многоступенчатые, в которых звеньев
с неподвижными осями вращения больше двух»
Рис, 32, Трехзвенная зубчатая переда-
ча с внешним зацеплением колес.
Рис, 33. Трехзвенная зубчатая переда-
ча с внутренним зацеплением колес,
2< Передаточные отношения одноступенчатых трехзвенных зубчатых передач.
Для передачи с внешним зацеплением зубчатых колес (рис, 32}
«г Л/ '
Для передачи с внутренним зацеплением зубчатых колес (рис. 33)
= — = —= —== ъ. ’ (8-3)
fli Zft Hif
Для передачи с коническими зубчатыми колесами (рис. 34)
kl п; гл. Rk’
В формулах (8.2)—(8.3) 7?/е и R£ — радиусы начальных окружностей колес
k и Z; к Zi — числа зубьев на колесах k и Г} знаки плюс и минус относятся соот-
Рис. 34. Трехзвенная зубчатая пере^ Рис. 35. Трехзвенная червячная пе-
дача с коническими колесами. редача.
ветственно к случаям вращения колес в одну и разные стороны. Последнее заме-
члние не относится к коническим колесам, так как угловые скорости не представ-
лнются параллельными векторами.
Для червячной передачи (рис. 35)
; —
к! «I П1 ' г4 ’
где г/t — число заходов на червяке, г£ — число зубьев на колесе /.
66
(8.5)
З3. Многоступенчатые передачи. &гн передачи конструируются таким обра-
зом* что передача угловой скорости (числа оборотов) от звена k к звену /, имею-
щих неподвижные оси вращенняЛ осуществляется через несколько промежуточ-
ных звеньев, которые тоже вращаются относительно неподвижных осей.
Допустим, что передача движения идет от звена k к звену I через звенья т,
н л причем осн всех звеньев неподвижны. Тогда искомым передаточным отноше-
нием будет
= (8.6)
саг Rf
зависеть от знаков одпо-
Рис. 36. К определению
передаточного отношения
по правилу стрелок.
т 6ь передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению
передаточных отношений отдельных одноступенчатых передач, образующих эту
передачу.
Для определений числа ступеней в многоступенчатой передаче можно руко-
водствоваться следующим правилом: число ступеней равно числу неподвижных
осей в передаче без единицы.
Если многоступенчатая передача образована цилиндрическими зубчатыми
колесами, то знак ее передаточного отношения будет
ступенчатых передач, вошедших в ее состав.
Если же эта передача составлена из конических
зубчатых колес, причем оси колес k и I параллель-
ны, то знак ее следует определить по правилу
стрелок.
Ознакомимся с этим правилом на примере пере-
дачи, показанной на рис< 36, В этой передаче дви-
жение от колеса / передается к колесу 2, а от колеса
2 к колесу 3, Оси колес 1 и 3 лежат на одной пря-
мой, В этом случае угловые скорости колес / и 3
можно считать алгебраическими величинами и знак
передаточного отношения t\a — Ьачйз определится
следующим образом. Около места зацепления ко-
лес I я 2 на колесе 1 ставим стрелку аг направлен-
ную к месту зацепления колес, а на колесе 2 —
стрелку б, также направленную к месту зацепления
колес. Затем переносим стрелку б параллельно
самой себе к месту зацепления колес 2 и 3, Пере-
несенная стрелка будет направлена от места зацепления колес 2 и 3t поэтому
на колесе 3 ставим стрелку в, также направленную от места зацепления колес
2 и 3. Сравнивая направление стрелок а и в на колесах J и 3t устанавливаем сле-
дующее правило: если эти стрелки направлены в одну сторону, то знак у передаточ-
ного отношения t13 положительный, а если стрелки направлены в разные стороны,
то знак отрицательный. В рассматриваемом примере эти стрелки имеют разные
направления, т, е. колеса /и 3 вращаются в разные стороны* Следовательно, знак
У *1з отрицательный.
4°, В некоторых задачах требуется найти расстояния между осями колес.
При решении этого вопроса надо помнить, что радиусы начальных окружностей
Цилиндрических колес определяются соотношением
где z — число зубьев колеса, т — модуль по начальной окружности, равный
т = — (8.8)
«т
(f — шаг но начальной окружности).
Сателлитные (планетарные) передачи. При кинематическом анализе этих
передач следует пользоваться такими формулами;
3* 67
для элементарной дифференциальной передачи (рис, 37) имеем
_ [Q Лн п
где — передаточное отношение от колеса 1 к колесу 2 при остановленном водя^
ле Н>
*)
2-
h
А й
a) z&
2
kadi
л |«^
2-
И
(8.9)
Рис. 37. Элементарная дифференциаль-
ная передача: я) колеса с внешним
зацеплением, б) колеса с внутренним
зацеплением.
Эл ем е нтар н а я план етар ная
а) колеса с внешним зацеп-
Рис. 38,
передача:
лепнем, б) колеса с внутренним зацеп
лением.
Для передачи па рис. 37, а с внешним зацеплением колес
Л _
а для передачи на рис. 37, б с внутренним зацеплением колес
Iй = Ь
передачи (рис, 38) следует положить
В случае элементарной планетарной
в формуле (8.9) лх =*0; тогда
или
— пн >>
откуда
п2 • _i Я
где [Я — передаточное отношение от колеса 2 к колесу / при остановленном водиле
Н, Это отношение для передачи на рис. 38, я равно , а для передачи
11 *1
на рис. 38, б равно = -г.
Для дифференциального механизма (рис. 39)
т1 —= *1 — _я
шз —“Я пз— л/Л*14 ’
где KJ — передаточное отношение от центрального колеса 1 к другому централь
ному колесу 3 при остановленном водиле Н\ в нашем случае оно равно
1Н . iH =^(—Ь\ / = ' гз
31 41 ,л \ г1/ \ / г1 • “
(8.10)
(8.11)
Г
68
Для ПЛЯНеНЮрНОгО редуктора (рис. 40}, В котором ОДНО H3
центральных колес неподвижно (на рис. 40 это колесо 3}, имеем,
-1------= fw (так как «я = 0)>
-л;/
откуда
„Л (8.12)
|Н '1ц
где//7 — передаточное отношение от колеса I к колесу 3 при остановленном
Рис. 39. Дифференциалъный меха- Рис. 40, Планетарный одноступеича-
пизм. тый редуктор.
иодиле Н и освобожденном колесе <?; в нашем случае оно равно
,н _ Л — ! _ гэ-
чз -112 ' 2'3?1Д г2,} zrz2
Очевидно, что при ведущем водиле И передаточное отношение от водила Н к колесу
/ будет равно
^1=7- = ^ С313»
ЧЛ 1— * 13
Следует помнить, что в состав одноступенчатого планетарного редуктора
(рис, 40) обязательно входят: одно центральное подвижное колесо Д одно цент-
ральное неподвижное колесо <?, водило Н и са-
теллиты 2 и 2'.
Задачи об определении передаточного отно-
шения многоступенчатой передачи надо решать
в такой последовательности:
1) определить число ступеней в передаче,
2) найти передаточное отношение каждой
ступени,
3} перемножить эти передаточные отноше-
ния; полученное число и будет искомым переда-
точным отношением.
6\ Замкнутые дифференциальные редукто-
ры. Замкнутые дифференц мольные редукторы
обр аз уюте я диффер епци ал иными механизмами,
в которых два звена с неподвижными осями
вращения, т. е. центральные колеса или водило
Рис, 4L Замкнутый диффе-
ренциальный редуктор.
и нейтральное колесо, соединяются дополни тель-
ной передачей. Так (рис, 39)т или колесо / и колесо 3, или колесо 1 и водило i!t
или колесо 3 и водило Н входят в дополнительную передачу. Тогда между их
угловыми скоростями (числами оборотов) устанавливается определенное соотно-
шение, Такой механизм оказывается механизмом с одной степенью подвижности,
н можно налги его передаточное отношение. Например, если колесо / и води-
69
лн // спязанм дополнительном передачей, то можно пай?]? передаточное отношение
о г колеса ] к колесу 5 или оу водила И к колесу -5. Можно найти передаточное
отношение, наоборот, от колеса i? к колесу 2 или ст колеса j к водилу 2/.
На рис. 41 показан замкнутый дифференциальный редуктор, В этом редукторе
дифференциальна я часть его, состоящая из центральных колес 1 и 3, водила 1!
и блока сателлитов 2 и 2*, имеет дополнительную замыкающую передачу ст колеси
2 к водилу Я, которая состоят из колес 3', 4 и 5. Найдем передаточное отноше-
ние |'\Г7 от колеса 1 к водилу /Л
21ля днша?еренциалы[ов части рассматриваемого редуктора лмссхм по формуле
(8/J)
ЛФ — Л7/ :Н J-З -Н
— !• I q = ('.-у ' Kvi
?> . . ‘ 3 .
_ । ,'
h; '-40
для замыкающей передачи можем записать
<15
г..
. — —' n/-j. Подставляя значение п3 в формулу (8.9),
ГЮЯУЧИМ
г1’г2'
Д1е<пя поилсане левую
часть дроби па
ооозначая отношение —L через
4ч
[1 случи см
^з_
г2'
Ч//
и ли
1&! ~ *У5
я
1
1
4 3
г
: г
‘2 > ‘3
7
ель но:
1lh
г 2 <**3 г г,
, Z..f
• 2э
^.г
Если положить, например, Zj = 10,
= -Ю, io
г.,
30
г3 = 50,
11/Г
3Q-50’40 , 30-50
Tu > 10-20 “h 10- 10
о
передаточное
7 , Примеры.
Пример L Для редуктора Джемса (рис. 42) подсчитать
Шенне i1!f прге гг = ?> ~ 20 я г- = 60.
Р е hi о н и с. PaccMaipHcacMLCH редуктор представляет собой одно-пуксн'пн
।\ю планетарную передачу, поэтому по формуле (8.12) нолучас?л
= 1-
L-i"
'. '' ?:? '
tnj
20
— 1
3 = 4.
Пример 2. Для редуктора Давида
ie при ?j = гл. — 10дг — 99
('рис. 4.4) подсчитать пере датой нею о тио
и г3 = 101;
Pen/e в в е. Рассматриваемый редуктор следу?? отнеси к однх[\1:енчаий
гтзнетзтпой передаче, поэтому по формуле (8.13) получаем
i 1 i
1-
Пзнмср 3. Для редуктора pise. 4-1 подсчитать
е7;;и Л -~- ?; — 30, Z2 t=P =- 20 1[ 80, К
Л ii с а отлита 4 пр в = 50 сб/Уикд.
передаточное отн<жгонке ЛЛ.
найти числа оборотов колоса
Рис. 44. ;1пухсту-
пенчатый редуктор
с простои и плане-
тар] [01! сту пен ями ►
ГФ с. 42, Редуктор
Джемса.
Ре с. 43. Редуктор
Давида,
Р е из е ej и е, I) Устанавливаем, что редуктор двухегуиенчатынт первач
ступень (не планетар Т: а я) —от колеса 1 к колесу 2; вторая (планетарная) —от
водила Н к колесу 5.
2) Подсчитываем передаточные отношения отдельных ступеней, Для первой
. «1 г.) 20 2 3
степени имеем ь2 = --- -----— = —= —г- . откуда = — -v- —
14 ла 30 3 2
-- — -^- 50.2-— 75 об/мин} так как — п/р то nJf -= — 7оо&ашк\ для второй
<ту 1:0'!и имеем
Ф? _ 1 _ 1 1______ 1 = 1
" ~ ^Н~ I = 1-47 !п~ 1-1'_.гф( A I 1-L Ч
;
3.1 Г к: р ел а точное отношение редуктора
ч, , , . .21 1
— = 21. = ЦЛ Ь-г. =-- * — = — — --,
П= 1- “О ,j / О *
<’:.<y.iii ,гГ& = —7,5 nL — —7,5-50 = —375 об.Лчн^.
4) Подсчитываем число оборотов сателлита. Для этого запишем форь’у-iу д/mi
я. !CM2:-iT2!ii-CH []дспетарной передачи, состоящей нз колеса Д сателлита 4 и водши
.• j , '?-i— ^7, т /?4-]-75 <т-и
J ' - - —,-—2= t;!, = —--. Так как п3 — 0, а пи — — г о оо.. мач, то —,
07 ла -- 125 об- ми и. т. е. сателлит 4 вращается в ту же сторону, что и колесо /.
\км. Н. И. Артоболевскм й, Теория мсхаЕшэмогу §J 41, 43—45.)
'Т
ЗАДАЧИ 147—172
147. Определить передаточное отношение Z15 и расстояния Iq^
11 hiO3 между осями колес зубчатой передачи, если зубья всех колес
имеют модуль т = Юльм, а числа зубьев
*т* колее соответственно равны 20f
= 30, — 40,
J
К задаче 147,
К задаче 148.
148, Определить передаточное отношение iia зубчатой передачи
и расстояние /о/?. между осями колес зубчатой передачи, если зубья
всех колес имеют модуль т = 10 а числа зубьев равны = 20,
3^ — 40, = 15, 2$ ~ 45.
14{Ь Определить передаточное отношение ги зубчатой передачи,
если числа зубьев равны = 16, г., " 48, = 20, г, = 40, 23> —
- 13, г, = 26.
К задаче 149.
К задаче 150.
150- Определить передаточное отношение г13 и расстояние между
осями колес 1$^ зубчатой передачи, если зубья всех колес имеют
модуль /л = 12 ЛМ(, а числа зубьев равны г2 = г2 = 20, z3 = 60.
72
15L Определить передаточное отношение зубчатой передачи,
если числа зубьев колес равны = 20, г2 — 4(\ z2j = 20, гэ — 30,
= 20а г4 = 40. Ничего не меняя в последовательности зацепления
колес и не меняя размеров, указать, как надо установить колесо 2"
па оси О2, чтобы вал 0^ вращался в том же направлении, что и
кал Ор
j52> Определить передаточное отношение /13 червячной передачи
и направление вращения червячного колеса 2, смотря по стрелке /1,
cc/iii известно, что червяк / имеет правую нарез г. у и вращайся гак,
К задаче 151.
как это указано на чертеже. Число заходов резьбы червяка равно
У -- 1, а число зубьев червячного колеса равно — 36.
153. Определить передаточное отношение /1?/ зубчатой передачи
лебедки для подъема шасси само-
лета, если числа зубьев колес
равны ?i = г2 = J2, = 36.
К задаче 154.
К задаче 153.
154. Определить передаточное отношение редуктора авиамотора
6?/» ^сли числа зубьев колес равны гг — 64t z2 == 16, г5 = 32,
155. Определить передаточное отношение 1\:{ редуктора авиамо’
ЧЦ-Ч если числа зубьев колес равны — 60, za = 32, z3 = 30.
73
156. Определить числа оборотов в минуту водила Н и сателлита
2, если вал 0х вращается со скоростью, равной nY — 120 об/мин,
а числа зубьев колес равны = 40, rzu
г, - 20, z3 = 80- ' '
£ял
Д&7
Off
^0;
о, у/////А
К задаче 155-
К задаче 156-
157« Определить передаточное
если числа зубьев колес равны zL
158, Определить передаточное
если числа зубьев колес равны
отношение 1Н1 редуктора Давида,
= 51, г2 — 50, Z2' “ 49, z?t = 50.
отношение редуктора Давида,
= 24, z2 = 36, z? = 12, z3 = 48.
К задаче 157.
К задаче 158.
К задаче 160,
К задаче 159.
159. Определить передаточное отношение 1И1 редуктора Давида,
если числа зубьев колес равны гг = 65, z2 = 62, z^ = 63, z3 = 66.
74
160. Определить передаточное отношение ги редуктора Давида
с непланетарной ступенью, если числа зубьев колес равны z4 =
= = 70, z3 = 45, г3г == 48, г4 = 72, z5 = 75.
К задаче 161.
К задаче 162*
161* Определить передаточное отношение редуктора, если
числа зубьев колес равны = 12, = 15, z3 = 41, г4 = 10, z5 — 14,
= 38.
162. Определить передаточное отношение i1H1 редуктора Лопу-
хова, если числа зубьев колес равны = 24, = 20, z2r = 22,
z3 = 26, z4 = 24, z5 = 20, £бг ~ 22, zQ = 26,
163. Определить передаточное отношение ilt/2 редуктора, если
числа зубьев колес равны — 22, г3 = 31, г3 = гс = 84, г4= 18, г5 = 33.
К задаче 165*
К задаче 163. К задаче 164-
164. Определить передаточное отношение планетарного редук-
тора с коническими колесами, если числа зубьев колес равны z4 = 60.
= 40, - z3 = 20*
165. Определить передаточное отношение iu редуктора, если
числа зубьев колес равны = 26, г., = 130, z3 = 12, г4 54,
= 54.
166* Определить передаточное отношение редуктора от вариа-
тора, если числа зубьев колес равны гг = 100, z3 — 50, z? = 54,
= 38, z4 = 52*
75
167. Определить передаточное отношение редуктора винта
самолета с переменным шагом, если числа зубьев равны гг = 13,
К задаче 166,
К задаче 167.
= 52, z2r = 9, г3- = 45, z4 = г4< = 11, гб = 48, zs, = 36,
“ 40.
168. Определить передаточное отношение i16 редуктора с пла-
вающим водилом Н, если числа зубьев колес равны zt = 12, =
= 54, Z2- = 48, z3 = 120, z4 114, z^ = 9, z& = 18.
169. Определить передаточное отношение редуктора винта
самолета с переменным шагом, если числа зубьев колес равны
?! = 14, г2 = 34, = 33, ?э = 23, 2у = 11, г4 = 150, ?5 = 84,
?й = = 22, z7 = Zr = 87, z3 = ге- = 22, zB = z9> = 84, z10 =
= 29, гп = 50. Число k заходов червяка 10 равно единице.
170. Определить передаточное отношение (16 редуктора, если
числа зубьев колес равны = 80, г2 = 32, = 44, z3 = ПО,
?4 = 44, = 48, г5 = 63, = 63.
171. Определить передаточное отношение редуктора, если
числа зубьев колес равны z± = 10, z2 = 46, = 9, = 52, Zy =
= 16, z4 = 22, z5 = 60.
172, Определить передаточное отношение редуктора (зам-
кнутого дифференциала) электрополнспаста, если числа зубьев колес
равны ?2 = 24, ?3 = 52, = 21, z3 = 78, zy — 18, z4 = 30, zr = 78.
76
2 .
#-
К задаче 171,
К задаче 170.
К задаче 172,
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 9. Определение сил инерции в механизмах
Силы инерции материальных точек звена могут быть приведены к одной
точке п, таким образом, представлены их главным вектором и главным моментом.
Главный вектор сил инерции, называемый обычно силой инерции звена, равен
ma5f (9.1)
где т [кг] — масса звена, а$ [лсетг2] — ускорение центра 5 масс звена, Направ-
лен не силы инерции Ри противоположно направлению вектора Ее размер-
ность [кглсе/с2], т. е. она измеряется в ньютонах [н].
Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда звено совершает плоскопарал-
лельное движение и имеет плоскость материальной симметрии, параллельную
плоскости его движения. При этом точкой приведения
сил инерции звена целесообразно брать его центр масс
(рис. 45), так как упрощается выражение момента инер-
ционной пары сил — главного момента сил инерции,
что то же, инерционного момента. Он оказывается
равным М(| = —/5е, (9.2)
где [кгл^]— момент инерции масс звена относи-
тельно оси, проходящей через его центр масс перпен-
дикулярно плоскости его материальной симметрии,
нли, иначе, центральный момент инерции ввена,
£ [сетг2] — угловое ускорение эвена.
Инерционный момент Л1н имеет размерность [яглсетг*] = [ял*]. Плоскость,
в которой он действует, параллельна плоскости движения звена; он направлен
в сторону, противоположную направлению углового ускорения звена (рис. 45).
Таким образом, в указанных выше случаях инерционная нагрузка звена пред-
ставляется одной инерционной силой PlfJ приложенной в точке S и определяемой
формулой (9.1), и одним инерционным моментом Л4И, определяемым формулой (9.2).
2и. Частные случаи (рис. 46).
Поступательное движение звена (рис. 46, а). Инерционная нагрузка состоит
только из одной инерционной силы определяемой формулой (9.1),
Неравномерное вращательное движение звена (рис. 46, б). Инерционная нагруз-
ка состоит из силы инерции Рн, определяемой формулой (9.1), и инерционного
момента определяемого формулой (9.2). Модуль полного ускорения центра
масс звена в этом случае равен
as = V(a")2 + (aya = ^S Ki^+Ж (9.3)
где а$ и — нормальное (центростремительное) и касательное (тангенциальна
ускорения центра масс звена, шие — угловая скорость и угловое ускорение звена,
l^s — расстояцйе'от центра масс S до оси А вращения звена,
78
Рис. 45, Инерционная
нагрузка звена.
Силу и момент Л1И можно привести к одной силе Р1Г
Для Этого следует силу Рн приложить, сохраняя ее направление, в центре /\
качания звена (рис. 46, в). Расстояние центра качания К звена от оси враще-
ния последнего Л равно
_ ls
lAK-lAs+^f~
ли
(9.4)
Рис. 46, Частные случаи инерционной на-
грузки звена.
нагрузка звена состоит только из инерционного
по формуле (9.2).
где — центральный момент инерции звена, а т— его масса.
Равномерное вращательное движение звена (рис. 46, а). Инерционная нагрузка
состоит только из силы инерции Ри звена, которая в этом случае направлена по
линии ЛЗ противоположно на-
правлению вектора центростре-
мительного (нормального) уско-
рения центра масс звена. Это
ускорение равно
4=^Л5, 0.5)
и, следовательно, центробежная
сила инерции будет равна
/>Т1 = ^mas=
= — та$ = —
(9.6)
Произведение mlAS называется
неуравновешенностью рли дис-
балансом и имеет размерность
1<?с^
вращатель-
ное движение звена при совпа-
дении центра масс S вне на с его
осью вращения А (рис. 46, д),
В этом случае инерционная
момента А1ИТ который находится
Равномерное вращательное движение звена при совпадении центра масс S
звена с его центром вращения А (рис* 46, а).
В этом случае ~ 0 и в соответствии с формулой (9.3) as = 0, следова-
тельно, Ри = 0, и так как £ = 0 (равномерное вращение), то Л4Н = 0.
В этом случае инерционная нагрузка звена равна пулю и оно называется
уравновешенным (следует помнить, что рассматривается плоская система сил).
3°. Пример. Для кривошип но-ползу иного механизма (рис. 47) найти инер-
ционную нагрузку всех звеньев, если длины звеньев равны 1А^ = 0,074 л,
1ЕС = 0,200 >н; положения центров масс звеньев: ;= 0,020 л*, = 0,060 .к,
= OjOO л;; массы звеньев: кривошипа АВ т± = 10 та, шатуна ВС тг -=
— 0,5 та, ползуна 3 /п3 = 0,40 та; центральный момент инерции шатуна ВС
= 0,0018 кем2. Угловая скорость кривошипа АВ постоянна и равна —
— 200 cetr1.
Задачу решить для положения механизма, когда угол <рх = 453.
Решение. 1) Задаемся масштабом чертежа = 0,001 м/мм и строим
см му механизма (рис. 47, ц). Длины отрезков па чертеже будут
(Л3)=^-
Р/
0,074
0,001 74 '
°-02 20 лш,
inr 0 2
2« ««.
(eS1)_^ ад
____- __ ________=^60 Л1Л1.
щ 0,001
79
2) Строим план скоростей механизма в масштабе кривошипа, тогда его мас-
штаб Нт = “iH; = 200-0,061 = 0,20 мсек~Чмм. Построение проводим согласно
формуле
На этом плане отрезок (pb), изображающий скорость пв точки В, будет равен
(ЛВ) = (pb) = 74 мм (рис* 74t tf).
3) Строим план ускорений (рис. 47, в масштабе кривошипа, т. е. в масштабе
ца = 200й 0,001 = 40 жекгЕ/л*и. Построение проводим в соответствии
с равенством
На этом плане отрезок (лб), изображающий
точки Bt будет равен (АВ) _ (яЬ) = 74 мм.
вектор нормального ускорения
88
Ряс 47. Определение инерционной нагрузки звеньев кривошкпно-ползупного
механизма*
Отрезок (яй), изображающий на плане нормальное ускорение а%в точки С
во вращении звена ВО относительно точки В, найдется из равенства
. м (Ма (52)* 10 е
(ВС) — 200 — 3,5 Л,Л1’
где (&с) = 52 Kit—отрезок (взятый из плана скоростей), изображающий скорость
точки С в движении (вращении) звена ВС относительно точки В.
По правилу подобия находим точки sn s2, sa (концы векторов ускорении цент-
ров масс звеньев кривошипа АВ, шатуна ВС и ползуна 5)*
4) Подсчитываем инерционную нагрузку для каждого звена механизма.
а) Инерционные силы. Сила инерции кривошипа равна =
|Дд= 10 *20 < 40 = 8000 н, приложена в центре масс кривошипа и по
направлению противоположна вектору ускорения этого звена (рис. 47, а).
Сила инерции шатуна равна Рн* =m3a5i = m5 (лзг) ня = 0,5 * 64 - 40 = 1280 н,
приложена в центре его масс £\и по направлению противоположно вектору уско-
рения я5а этого звена (рис. 47, а). Сила инерции ползуна 3 равна Ри5 = шэа5 =
— т^ас=т3 (лс) р-;| = 0,4 ♦ 56 - 40 =895 приложена в центре его масс (точке С,
рнс. 47, с) и по направлению противоположна вектору ас ускорения этого
центра.
б) И нерционныё моменты. Для кривошипа АВ инерционный момент dfR равен
Л!н± = 0, так как звено вращается равномерно*
80
Для шатуна ВС инерционный момент найдем по формуле (9.2);
МU=JS ег = 75 ^£2. = /5.М1^ = 0,0018^^-=18 и,и.
и» 2 1пс lBC 0,200
Этот момент по направлению противоположен угловому ускорению звена ВС
(рис. 47, я). Угловое ускорение звена ВС в нашем случае направлено против хода
стрелки часов, в соответствии с направлением вектора (?св тангенциального уско-
рения точки С во вращении звена ВС относительно точки S,
Для ползуна 3 инерционный момент МИз равен МИз = 0, так как звено дви-
жется поступательно.
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, § 68.)
ЗАДАЧИ 173-191
173- Определить инерционный момент М1Т махового колеса при
его разгоне, если величина угловой скорости в начале разгона —
- О, а в конце разгона = 21 сек~\ промежуток времени разгона
t = Зсек. Угловая скорость во время разгона изменяется по закону
прямой линии. Момент инерции махового колеса относительно его
п
К задаче 574,
оси вращения А равен / = 20 кап2. Центр масс колеса лежит на его
оси вращения.
174. Определить силу инерции Ри махового колеса, вращаю-
щегося равномерно со скоростью 600 об/мин; масса махового
колеса равна m — 50 кг, его центр
масс S находится на расстоянии 1А$ =
= 2 мм от его оси вращения А,
Принять л 3,0.
175. Найти силу инерции РИз ползуна кривошипно-ползунного
механизма при положениях его, когда угол принимает значения
О’, 90° и 180°, если длина кривошипа равна /дВ = 50 мм, длила
81
шатуна 200 of масса ползуна = 2 кг, угловая скорость
кривошипа постоянна и равна tOj = 300 сек'1.
176- Определить инерционную нагрузку шатуна ВС шарнир-
ного четырехзвенника в положении, при котором оси кривошипа
АВ и коромысла CD вертикальны, а ось шатуна ВС горизонтальна.
Длины звеньев равны 1АП — 100 м, 1&с = ГСп = 400 лш. Масса
шатуна ВС равна т* = 4,0 кг. и его центральный момент инерции
/д2 = 0,08 ягд*2; центр масс звена ВС лежит на середине отрезка ВС.
Угловая скорость кривошипа АВ постоянна и равна = 20 сек-1.
177. Определить силы инерции и PttC шатуна ВС криво-
шипно-ползунного механизма при статическом распределении массы
шатуна н центры шарниров В и С. Задачу решить для положения,
когда угол ф± = 90е, Дано: 1АВ = 100 мм, 1ПС =400 мм, lSsz =
= 100 мм, точка S2—центр масс шатуна, масса шатуна т2 == 4,0 кг,
угловая скорость кривошипа постоянна и равна со1 = 100сек1.
4
К задаче 178.
178- Определить инерционную нагрузку шатуна Вх механизма
с качающимся ползуном при том положении его, когда угол АВС =
= 90°, Дано: = 100 мм. 1Ас = 200 м, координата центра масс
шатуна lBS2 = 86 мм, масса шатуна т.2 = 20 кг; центральный момент
инерции шатуна ISi = 0,074 ягл<2, угловая скорость кривошипа
постоянна и равна — 40 сек-1.
179. Определить силу инерции толкателя 2 кулачкового меха-
низма при том положении его, при котором линия ОА горизонтальна
К задаче 179.
£
о
К задаче 180.
(кулачок представляет собою диск радиуса /? = 200 л*л|). Размер
IАО — 100 мм, масса толкателя 2 тг ~ 2 кг, угловая скорость кулач-
ка постоянна и равна со3 = 20 сек-1.
180- Определить инерционную нагрузку всех звеньев механизма
шарнирного четырехзвенника при том положении его, когда оси
кривошипа АВ и коромысла CD вертикальны, а ось шатуна ВС
t>2
горизонтальна. Дано: lAR — 100 лк, Ibc = ten = 200 лш; центры
масс Sb S2, S3 звеньев делят межшарнирные расстояния пополам;
массы звеньев = 1Щ=^ = 1,0 кг, момент инерции шатуна от-
носительно его центральной оси S.3 7ss = 0,005 кем2, угловая
скорость кривошипа постоянна и равна ©i — 20 сек'1.
181- Определить инерционную нагрузку кулисы Сх механизма
Витворта при том положении его, когда угол АВС — 90°. Дано:
lAf3 = 100 лш, 1ас = 200 мм, центр масс кулисы Сх совпадает с
центром шарнира С, центральный момент инерции кулисы /51 = 0,2
кглЛ угловая скорость кривошипа постоянна и равна 20 сек1.
182. Определить инерционную нагрузку коромысла CD меха-
четырехзвенника при том положении его, когда
оси кривошипа АВ и шатуна ВС горизон-
тальны, а ось коромысла вертикальна. Дано:
/лл = 100 лш, 1вс = Icd = 400 мм, центр
низма шарнирного
К задаче 181.
К задаче 182.
К задаче 183.
масс S3 коромысла CD совпадает с его осью вращения D, его цен-
тральный момент инерции равен 7$, — 0,1 кгм*, угловая скорость
кривошипа постоянна и равна = 20 сект1.
183. Определить инерционные моменты МИ1 и М Иа зубчатых колес
рядового зацепления, если известно, что в рассматриваемый момент
времени первое колесо вращается с угловой скоростью = 20 сек1
и угловым ускорением £т — 100 сект2, Числа зубьев на колесах
гг = 20, z3 = 40, центры масс колес лежат на осях их вращения;
центральные моменты инерции колес /5, = 0,1 кгм\ /$г — 0,4 кем2,
184. Ротору, вращающемуся с угловой скоростью, равной €0j —
= 100 сек'1, необходимо сообщить угловое ускорение, равное =
К задаче 184.
К задаче 185.
= 7,5 сект*. Центральный момент инерции ротора равен =
= 8 кем*. Пренебрегая трением в подшипниках ротора, определить
83
мощность двигателя, способного сообщить ротору заданное угловое 5
ускорение- ц
185. Ползуну, движущемуся со скоростью, равной = 5 меек'\ э
необходимо сообщить ускорение, совпадающее по направлению со 3
скоростью и равное а = 10 мсек\ Пренебрегая трением ползуна о j
направляющие, определить мощность N внешней силы Р, способной ?
сообщить ползуну заданное ускорение, если масса ползуна гп = 20 кг. 5
186- Ротор гироскопа, вращающийся с постоянной угловой
скоростью от = 2000 сек”1, имеет неуравновешенность, оцениваемую ;
величиной тр = 2,0 гем. Определить реакции в опорах вала ротора
гироскопа от его инерционной нагрузки (силы инерции). Опоры
расположены симметрично относительно ротора гироскопа.
К задаче 186.
К задаче 187,
187. Штифт барабана молотилки (масса штифта равна 200 г),
центр масс которого расположен на расстоянии 1Л$ = 2С0 мм от
оси вращения барабана, вращается вместе с барабаном, делающим
п — 1000 об/мин, Определить силу инерции штифта.
188- Определить наибольшую воздействующую на поршневой
палец С механизма двигателя внутреннего сгорания (кривошипно-
ползунного) силу инерции поршня 3, если
масса поршня m — 4Q0a, кривошип вра-
щается равномерно со скоростью =
= 3600 об/мин и /ла = 40мм, 1вс~ 160 лме
К задаче 188,
К задаче 189.
189. Определить силу инерции толкателя 2, которая воздей- j
ствует на профиль кулачка механизма с центрально поставленным ’1
толкателем в начальный момент подъема толкателя, если масса 5
толкателя т =?= 500 г, а вторая производная от функции положения
толкателя равна в момент начала подъема = 50 (первая
производная той же функции в тот же момент равна нулю: — 0), -i
число оборотов кулачка постоянно и равно п = 1000 об/мин, i
84 '/
190* Определить реакцию в подшипнике сателлита 2 от сил
инерции его массы, если вал О] вращается равномерно со скоростью
Л1 == 1440 об/мин, числа зубьев на колесах соответственно равны
К задаче 191-
К задаче 190,
zL = 20, г2 = 40 и z3 = 100, модули всех колес равны т — 5 шь
масса сателлита равна гщ — 400 г.
19L Определить максимальную силу инерции поршня 5 насоса,
в основу которого положен синусный механизм, если радиус криво-
шипа АВ равен — 50 мм, масса звена 3 равна пц = 8 кг, кри-
вошип вращается равномерно со скоростью = 300 об/мин,
§10* Уравновешивание сил инерции звеньев механизмов
Тема уравновешивания сил инерции представлена двумя группами задач.
Одна группа задач — первая — посвящена уравновешиванию сил ин^щии звень-
ев, вращающихся вокруг неподвижной оси; вторая группа задач посвящена вообще
уравновешиванию сил инерции звеньев механизма, т. е. уравновешиванию меха-
низма на фундаменте.
Все эти задачи решаются путем такого подбора масс противовесов и их поло-
жений на звеньях механизма, при котором силы инерции этих противовесов ока-
зывают на опоры звеньев воздействия, равные и противоположные воздействиям,
создаваемым силами инерции звеньев механизма. В случаях, когда силы инерции
располагаются в параллельных плоскостях, перед нами предстают задачи на рав-
новесие пространственной системы снл.
2< При решении задач (192—195) первой группы центробежные силы инер-
ции элементарных масс вращающегося звена заменяются, условно, двумя силами
инерции, расположенными в двух произвольно выбранных параллельных плос-
костях, перпендикулярных оси вращения звена. Эти плоскости называются
hноскостями исправления.
Закрепляя в этих плоскостях противовесы таким образом, чтобы их центро-
бежные силы инерции оказались равными, но противоположными по направлению
упомянутым выше силам, мы получаем уравновешенную систему сил, которая,
очезидпо, не будет вызывать реакций в опорах (подшипниках) вращающегося
3BCEI3.
Центробежная сила инерции отдельной точечной массы вращающегося
звена равна по величине
Рк = &тр, (10,1)
где т — масса точки, р * расстояние ее от* осн вращения звена, <о — угловая
<корость звена.
85
Квадрат угловой скорости ю3 один и тот же для всех масс вращающегося звена,
поэтому при решении приводимых ниже задач следует считать величину силы инер-
ции точечной массы пропорциональной величине
К = л?р, (10.2)
которая называется неуравновешенностью и измеряется в гем. Эту размерность надо
иметь в виду при расчете размерности сил инерции.
Пример. На валу 00 (рис. 48) закреплены грузы с массами/пь гп.2, щдит4.
Надо найти массы противовесов и /ял1 । , установленных в плоскостях исправ-
ления 1—1 и И—И на расстояниях, равных рп1 = 50 и рп11 — 40 асч, от нх
центров масс до осн вращения вала, если массы грузов и координаты их центров
масс соответственно равны = 2 кг, р} = 10 л*л*э т2 = 3 кг, р2 = 15 мм, т3
Рис. 48. Уравновешивание вращающихся масс двумя противовесами.
— 2 кг, ра =_ 12 лглс, == 4 кг, р4 — 20 мм; расстояния между грузами равны
^(2 — (зЗ = ^34 100
Perue п не. Центры масс грузов лежат в одной плоскости, содержащей
ось вращения вала 00; поэтому векторы Jf15 Кй, и представляющие собой
дисбалансы /пар2, и /пйр4, лежат в той же плоскости -
Расположим противовесы с массами щГ]1 и так, как это указано па перте^
же (рис. 48). Так как силы инерции грузов вместе с силами инерции противовесов
должны находиться в равновесии, то величины масс противовесов лгп1 и |]П
найдем из уравнений моментов дисбалансов относительно точек 0£ и (точек
пересечения плоскостей исправления с осью вала ОО).
Уравнение моментов дисбалансов относительно точки 0х будет
ш4р4 (/1г-г- ^23-р W “ ЩдРз <^а + ^з)— РП| [ 013 + ^э + ^4? =^i
откуда масса противовеса mnIl будет равна
__ Щ1р4 + — ^ара ^з) ^^sP/ra _
’ !1 Рп||
4-20-300 — 2- 12 - 200 — 3 -15 100 , _
-----------------*—. --------------- 1.22/1 кг.
Уравнение моментов дисбалансов относительно точки О2 будет
^ЭрЗ^З! + ??,г|-х2 Usj -|- Gs} — №1Рх (^12 + ^23 “Ь ^3]) — ^nlPnl W = Of
£6
откуда масса противовеса будет равна
^аРа^м~Нйар2 (f344~ ^э)~/Я1Р1. (^|э~Р ^з4~ Gi)
Pni (А1+ ^з + W
2-12- 1004-3’ 15 200 — 2 * 10 300
50-300
(если ответ получим со знаком минус, то искомый противовес следует расположить
па том же перпендикуляре к оси ОО с противоположной стороны от нее).
3°. Во второй группе задач (197—205) требуется произвести расчеты, связан-
ные с полным или частичным уравновешиванием сил инерции звеньев криво-
шипно-ползунного и шарнирного четырехзвенного механизмов. Кроме того, при-
ведены задачи на определение главного вектора всех сил инерции масс подвижных
звеньев кривошипно-ползунного механизма. Для решения этих задач надо предва-
рительно построить схему механизма, одна из точек которого описывает траек-
торию движения общего центра масс подвижных звеньев механизма- Затем по-
строить планы скоростей и ускорений этого механизма, после чего искомый глав-
ный вектор сил инерции будет найден по формуле
pa^-!nsas,
(10.3)
где ” масса всех подвижных звеньев механизма, — ускорение
k
общего центра масс подвижных звеньев механизма.
Главный вектор Рп сил инерции подвижных звеньев механизма будет равен
нулю только тогда, когда вектор полного ускорения центра масс этих звеньев
будет равен пулю. Это условие выполняется, если
общий центр масс S подвижных звеньев механизма
находится в одной и той же точке, неподвижной
относительно стойки, Пря частичном уравновеши-
вании вектора он может иметь заданное на-
правление или модуль.
4°. Положение центра масс подвижных звеньев
механизма может быть найдено методом главных
векторов из условия, что
Рис. 49. Определение по-
ложения общего центра
масс подвижных звеньев
шарнирного чстырехзвен-
ника.
rs = S*b (10.4)
k
где г5 — радиус-вектор общего центра масс под-
вижных звеньев механизма относительно выбранной
начальной точки (начала координат), а Ад — глав-
ный вектор звена под номером k.
Применительно к шарнирному четырехзвен-
иому механизму (рис. 49) и кривошипно-ползунному
механизму (рис. 50) соотношение (10*4) примет вид (если за начало координат
выбрана точка Я)
г+ А2+А3, (10.5)
где — радиус-вектор общего центра масс подвижных звеньев механизма;
At—главный вектор кривошипа 4/?, направленный параллельно линии АВ\
— главный вектор шатуна ВС, направленный параллельно линии ВС; Й3 —
главный вектор коромысла CD, направленный параллельно лилии CD в случае
шарнирного четырехэвенника, иля главный вектор ползуна, направленный
37
параллельно линии CS3 в случае кривошип но ползунного механизма. Модули
главных векторов равны
(10.6)
йэ =
ff4*Bs>~b ^зстз
fill tti^3
тз;С5з
где /??] — масса кривошипа АВ; т% — масса шатуна ВС; — масса коромысла CD
в случае шарнирного четырехзвенпика или масса ползуна в случае кривошипно-
Рис. 50. Определение положения общего центра масс подвижных звеньев криво-
шипно-ползунного механизма.
(1CU)
(10.8)
ползунного механизма; — координата центра масс S] кривошипа АВ; 1$^ —
координата центра масс S2 шатуна В С; /С5 координата центра масс' 5Я
коромысла или ползуна*
Как видно из соотношении (10.6), (10.7>± (10.8), модули векторов /ь,
зависят от величин и расположения масс подвижных звеньев; поэтому, изменял
величину масс или их расположение, можно придз-
Рис. 51. Определение ко-
ординат центров масс ло-
ва ть модулям главных векторов различные числовые
значения, при которых общий центр масс S под-
вижных звеньев может оказаться в наперед задан-
ной точке плоскости*
5J. Применительно к кривошипно-ползунном v
механизму исследование движения общего центра
масс подвижных звеньев можно заменить исследо-
ванием движения точки Z, лежащей в конце век-
тора fi2 (рис. 50) и копирующей движение общего
центра масс. Приводим решение некоторых задач
из рассматриваемой группы.
Пример 1. Определить, где должны находиться
движных звеньев шар-
нирною четырехзвенного
механизма из условия
равенства нулю главного
вектора сил инерции.
центры масс подвижных звеньев четырехзвенного
шарнирного механизма (рис* 51) для того, чтобы
главный вектор сил инерции был равен нулю.
Длины звеньев равны = 100 мм, 1вс =
= 400 мм, 1С& _ 200 л.и; массы звеньев равны: кри-
вошипа АВ тл = 2 кг, шатуна ВС нц — 8 кгт коро-
мысла CD ms — 4 кг.
Задачу решить, исходя из требования, чтобы общин центр масс S подвижных
звеньев совпадал с точкой /1.
Решение. Примем за начало координат точку А, тогда вектор опреде-
ляющий положение общего центра масс подвижных звеньев, будет ранен пулю и,
следовательно, 4- йя + йэ ~ 0, что возможно, только если главный вектор
88
каждого звена по отдельности будет равен нулю. Согласно этому условию из соот-
ношений (10.8), (10.7) и (10.6) получаем
m3*CSa = °T + ^ASi^AR C"1a“^’m3^ = 0"
Из первого равенства видно, что центр масс S3 коромысла CD должен совпа-
дать с точкой Ct так как 0. Из второго равенства получаем
/ _ 400 4- = — 200 мм,
№ ДС яц 8
т. е. центр масс шатуна ВС отстоит от точки В на расстоянии 200 мм. Знак минус
показывает, что полученный размер следует отложить от указанной точки на
продолжении линии ВС в направлении от точки С к точке В.
Из третьего равенства находим
L- I (т'1+’Пз) 100 1®±^=-600 мм,
ASi АВ 2
четырех-
$
£
£
с'
4г
Рис. 52. Определение масс
противовесов, установ-
ленных на подвижных
звеньях шарнирного че-
тырехзвенного механизма»
из условия равенства ну-
лю главного вектора сил
инерции.
т. е, центр масс St кривошипа АВ отстоит от точкм А на расстоянии 600 мм и
расположен на продолжения линии АВ в направлении от точки В к точке А.
Пример 2. Определить массы противовесов mnjl тПа, шПа, необходимые для
уравновешивания главного вектора сил инерции четырехшарпирного
звенного механизма (рис, 52), если = 120 мм>
1ВС = 400 л<.«, lCD = 280 мм, координаты центров
масс Su Зг, 5Э звеньев равны /Д51 == 75 лш, =
= 200 мм, lcs = 130 мм; массы звеньев; кривоши-
па АВ mt = 0,1 кг, шатуна ВС т* — 0,8 кг, коро-
мысла CD ms ~ 0,4 кг; координаты центров масс про-
тивовесов Sp SS, л5д равны = 100 .иле, =
= 200 jkjk, 130 j«jw.
Т с^з
Решить задачу, предполагая, что общий центр
масс S подвижных звеньев при уравновешенном
главном векторе сил инерция совпадает с точкой А.
Решение. Полагая, что начало координат
находится в точке Л, пишем, что Л3+ Дэ^0,
Это равенство возможно только при условии, что
= 0, йя = 0, fts = 0. После уравновешивания
масса каждого звена будет отличаться от заданной
иа величину искомой массы противовеса.
Таким образом, масса кривошипа АВ станет
равной т0 = Год + тп^, масса шатуна — равной
= Ид + tnn , масса коромысла — равной т0^ =
= я!3 + Л1П5> Координаты центров масс SOi, 50а,
mOi и тол будут: Iдля звена ЛВ; ; для звена ВС; (
Так как ft3 = 0, то согласно соотношению (10.8) ^Ов /с5о
поэтому I cs$ — 0, что возможно только при. условий
— lcs ;mn, + lcstm3=°’
&
этих звеньев с массами ,
для звена CD.
= 0, но mn =£ 0,
з л
откуда
Масса звена CD после уравновешивания будет равна
mc,=ma + mn.=0'4+0'4=0’8
Так как А2 = 0, то согласно (10.7)
WqJbSq* +zbcoto^ ±=о»
учитывая, что
mO^BSOi =m3/SSf“^/nASs>
получаем
~ тр/л5; + т2?аб’3 + /дс"'о1 = °-
откуда
_mitns!^l!3Cmos 0,8 - 2004-0,8.400 _
1££, ~ 200
Масса звена ВС после уравновешивания будет равна
/710 =т.г+?пп.в = 0>8 + 214 = 3,2 кг.
Наконец» так как fiL = 0т то согласно (10.6)
m0/ASO1 + ^(mOs + mO3) = 0*
Поэтому, учитывая, что
mo//5o1 = Wl^S1“mnl^5'*
получаем
_ + 0,1 75+120 (3,2 + 0,8)
тП1 — , —------------- -----jog 4,8, э кг.
Пример 3. Масса ползуна 3 кривошип но-ползу иного механизма (рис. 53)
равна тя " 0,4 кг. Подобрать массы и % шатуна и кривошипа таким образом,
чтобы главный вектор сил инерции всех звеньев механизма был уравновешен.
Координаты центров масс SL и Sz звеньев равны; кривошипа АВ iASi
Рис. 53. Определение масс шатуна
и кривошипа кривошипно-ползун-
ного механизма из условия полного
уравновешивания главного вектора
сил яяерции.
Рис. 54. Определение массы противо-
веса на кривошипе при уравновеши-
вания вертикальной составляющей
главного вектора сил инерция звеньев
го р и зонтал ьного к р и вош и Пно-п ол з у и -
кого механизма.
— — 100 лш, шатуна ВС 1В? == — 100 MMt а размеры звеньев = 100 лм<,
/вс = 400 лмь
Решение, Примем за начало координат точку 4. Имея в зидуг что точка
Z (рис. 50), копирующая движение центра масс подвижных звеньев механизма,
должна быть неподвижна, имеем Аг + А2 = 0,
В рассматриваемом случае это равенство удовлетворяется, только если А£ = 0
и Л3 - 0.
При условииj что = 0, из соотношения (107) имеем,
-^В5г + /жтэ==^
90
откуда
*йг 400
m2=m^=0’4w=1’6^
Из соотношения (10.6) при условии й2 = 0 имеем
~ mi<4 S Л Wns + тз) = °’
откуда
ffl1 = (/^4-^8)^ = (1,6+ о,4) ”-=2,0 кг.
Пример 4. Определить массу противовеса тп^ который надо установить на
кривошипе Л В горизонтального кривошип но-ползунного механизма (рис. 54)
для уравновешивания вертикальной составляющей главного вектора сил инер-
ции звеньев механизма, если координата центра S[ масс этого противовеса равна
мм. Координаты цеит-
ров’масс S1T S3 и S3 звеньев: / Д51— 75 мм, =150 шц lcs = 100 лги; массы
звеньев; mt = 0F3 кг* . /т^ = 1,5 кг, т3 = 2,0 кг.
Решение^ Из условий задачи вытекает, что общий центр S масс подвижных
г .= 600 мм. Размеры звеньев: = 100 мм, /вс = 500
звеньев должен двигаться только горизонтально, а следовательно, так же должна
двигаться точка Z, копирующая его движение. Это будет возможно, если бу-
дет выполнено условие
1АВ _
he
откуда, учитывая соотношения (10.6) и (10.7), получаем
, т2!Ав(‘ВС lliS.) 1,5-100(500—150) _
"%SOl =------------=-'------------------500----------- 103 К’’’
где = rt^-b/лп1—масса кривошипа АВ после установки на нем противовеса,
a tAS$ — координата центра масс кривошипа после установки на нем противо-
веса. Так как
~ff!5>iJAS015=~/^S;mij£ + /4SImlI
то
mojASO + 1АЗ™1
----ч------=
(См. И. И* Артоболевский,
105+75 0,3 п
----600-----= 0’212°
Теория механизмов, §§ 75—79.)
ЗАДАЧИ 192-205
192- Определить массу противовеса т[Т1 который надо устано-
вить на вращающийся вал для уравновешивания сил инерции гру-
зов с массами mlt /п2, т3 и m4l лежащих в одной перпендикулярной
к оси вала плоскости, если координата центра масс 5П противовеса
равна рп = 15 мм; массы грузов т2 — 5 кг. т2 = 7 кг, — 8 кг,
т4 = 10 кг; расстояния от оси вала до центров-масс SD S2l S3 и S4
грузов равны pj = 10 лиц р2 = 20 мм. Рз = 15 мм, р4 — 10 лиг;
углы закрепления грузов а12 — а£3 = ct34 = 90°,
193. Определить массы противовесов и mnib которые надо уста-
новить в плоскостях исправления I и // для уравновешивания сил
91
инерции грузив с массами /щ, т3 и ш4, лежащих в плоскости,
содержащей ось вала, если координаты центров масс Sni и Snn про-
тивовесов равны pni = 50 мм, рпп = 40 мм. Массы грузов: —
К задаче 192.
— 2 кгт /п2 = 3 ка, т3 = 2 кг, т± = 4 кг; координаты центров масс
S3, Sa и 54 грузов: (ц 10 лш, р2 = 16 о, р3 = 12 мм, р4 =
20 мм; расстояния между грузами ZI2 = /2Э = /34 = 100 лмк
194. Определить реакции и Рв в подшипниках вала от сил
инерции грузов, массы которых равны = 1,0 кг, = 0,5 кг,
/п5 = 0,25 кг; центры масс всех грузов расположены в плоскости,
содержащей ось вращения вала АВ. Координаты центров масс
К задаче 194.
К задаче 19х
S1? S2 и S3 грузов: pj = 100 лш, ра = 100 мм, р3 = 200 лш; рас-
стояния грузов от подшипника Л: /Л1 = 100 мм, /Л2 = 300 леи,
йя = 400 мм; расстояние между опорами А и В равно L = 500 мм,
угловая скорость вала со = 20 сек\
195* Определить массы противовесов и /ппИ( которые надо
установить в плоскостях исправления / и // для уравновешивания
сил инерции грузов тг и лежащих в плоскости, содержащей ось
вращения вала, если координаты центров масс St,i и Зпц проти-
вовесов равны pni = рин = 100 мм* Массы грузов: 20 г,
= 10 г, координаты центров масс 34 и S2 грузов от плоскости
92
исправления /: 1хд = 200 мм, 1А2 = 400 ммг расстояние между
плоскостями исправления L = 600 лш.
196- Определить массы противовесов гиП1 и т nil и углы их закреп-
ления Pi и 0п (отсчитываемые от линии 032 в направлении против
движения стрелки часов) для уравновешивания сил инерции грузов
m1T если координаты центров масс Sx и противовесов равны
Pni = Pnii = Ю дш. Массы грузов: = 1,0 кг. = 2,0 кг.
Расстояния от оси вала центров масс Sj и S2 грузов равны рх = 10 ми,
ра = 5 лслсг 1Л1 = 100 мм, 1а% — 300 мм, L = 400 мм, угол закреп-
ления а12 = 90°.
197. Предполагая, что все силы инерции звеньев приведены
к общему центру масс S, определить точку приложения, модуль
и направление главного вектора сил
К задаче 196. К задаче 197.
шипно-ползунного механизма при q?x = 45°, если 50 ля,
he = 150 мм; координаты центров масс 5Р 32 и S3 звеньев равны
Сад = 20 мм. 1^2 = 75 лш, lCS:t ~ 0, массы звеньев гпг = 2,5 кг,
= 1 кг, Юз — 1,5 кг. Угловая скорость кривошипа АВ постоянна
и равна = 100 cetf1.
Указа hjj е. Предусматривается графическое решение, поэ-
тому предварительно надо построить схему механизма, одна точка
которого копирует движение общего центра масс подвижных звеньев.
198, Определить модуль и направление главного вектора сил
инерции подвижных звеньев кривошипно-ползунного механизма
К задаче 198. К задаче 199.
S15 S2 и 5S звеньев равны 10 мм, /й51 = 75 мм, /С5а = 0;
массы звеньев — 2,5 кг, = 1 кг, пц == 1,5 кг. Угловая ско-
рость кривошипа постоянна и равна wx = 100 сек"1.
93
Указание. При решении использовать формулу
/ I >
£?с = ав f cos ffi + ~ cos 2ф! t
' ‘вс /
где ас — ускорение точки С, as — ускорение точки В.
199. Определить массы противовесов тП1, лпПг, /лПз? необходи-
мых для полного уравновешивания главного вектора сил инерции
механизма шарнирного четырехзвенника, если 1ав = 120 мм,
1Вс = 400 мм, lCD = 28Q мм, координаты центров масс Sb Sa, S\
звеньев равны lAS1 = 75 мм, 1в5з = 200 мм, lCSs — 130 лш, массы
звеньев = 0,1 кг, = 0,8 кг, т3 = 0,4 кг, координаты центров
масс Si, Si противовесов /А5; = 100 мм, lBS'£ ~ 200 мм, les* —
= 130 мм. Задачу решить, полагая, что общий центр масс подвижных
звеньев механизма должен быть неподвижен и лежать в точке А.
200. Масса ползуна 3 кривошипно-ползунного механизма равна
/пэ = 0,4 кг. Подобрать массы и пг1 шатуна ВС и кривошипа АВ
таким образом, чтобы главный вектор сил инерции всех звеньев
К задаче 200. К задаче 201.
механизма был уравновешен. Координаты центров масс и S3
звеньев АВ и ВС равны lAS1 = 100 мм, — 100 мм, если 1АВ =
= 100 мм, 1вс = 400 мм.
20L Определить массы противовесов и которые необ-
ходимо установить на кривошипе АВ и шатуне ВС для полного
уравновешивания главного вектора сил инерции всех звеньев криво-
шипно-ползунного механизма, если координаты центров масс S^
и Si этих противовесов/д^; = 500мм, Ibsi* = 200мм, 1АВ = 100 ’м
= 300 мм; координаты центров масс Sn S3 и S3 звеньев /д^ =
= 75 мм, Ibss = 200 мм, 1сзг = Ю0 мм; массы звеньев равны тг —
= 0,1 кг, т2 — 0,7 кг, т3 = 0,8 кг,
202. Определить массу противовеса тп, который необходимо уста-
новить на кривошипе АВ кривошипио-ползу иного механизма для
полного уравновешивания вертикальной составляющей главного
вектора сил инерции всех звеньев механизма, если координата цент-
ров масс Si этого противовеса /дз; = 600 мм; размеры звеньев 1АВ —
= 100 мм, 1Вс = 500 мм; координаты центров масс Sn S2 и S& звеньев
Gsl = 75 мм, Ibs* = 150 лш, /с5!1 — 100 мм; массы звеньев =
— 0,3 кг, т2 = 1,5 кг, т3 = 2,0 кг.
203. Определить массу /нп противовеса, который необходимо
установить на кривошипе АВ кривошипно-ползунного механизма
для уравновешивания сил инерции массы кривошипа и той части
94
массы шатуна ВС, которая может быть отнесена к точке В после
разноса (статического) его массы на две, сосредоточенные в точках
В и С, если координата центра масс противовеса Ias^ ~ 600 лш.
Размеры звеньев равны = 100 мм, 1ЛС = 500 лш; координаты
центров масс Sp и S3 звеньев = 75 мм, = 150 мм, lc$t =
100 мм, массы звеньев т1 = 0,3 кг, т2 — т3 = 1,5 кг.
К задаче 202.
204- Определить массу тп противовеса, который необходимо
установить на кривошипе АВ кривошипно-ползунного механизма
для уравновешивания главного вектора сил инерции звеньев меха-
низма, если координата центра масс SE противовеса Ias^ = 600 лмг,
размеры звеньев 1ав = 100 мм, 1вс = 500 мм; координаты центров
К задаче 205.
масс Sn S2 и S3 звеньев ZZSl — 75 мм, IqSs = 200 мм, 1С8з = 100 лш;
массы звеньев тг = 0,3 кг, т2 = 1,5 кг, т3 = 3,0 кг.
Указание. Предварительно развести статически массу
шатуна на две точки, совпадающие с точками В и С. У ползуна
уравновешивать только силу инерции первого порядка.
205. Определить массы m!b и шПч противовесов, которые надо
установить на колесах а и б для полного уравновешивания сил
инерции первого порядка звеньев кривошипно-ползунного меха-
низма, если координаты центров масс 5П( и 5Пг противовесов =
= lDSn = 50 мм, а радиусы колес одинаковы. Размеры звеньев:
1ЛВ = 100 мм, Inc = 400 лш; координаты центров масс Sb S.2 и S3
звеньев: /А51 = 30 мм, — 100 мм, 1С$* = 0; массы звеньев:
тг 2,5 кг, т.2 = 1,0 кг, ms = 3,0 кг.
Указание. Решить задачу в следующей последовательности:
а) уравновесить силы инерции звеньев механизма в вертикаль-
ном направлении;
б) уравновесить силы инерции звеньев в горизонтальном направ-
лении. Принимать во внимание только силы инерции первого
порядка.
95
§ 11. Трение в кинематических парах
1 . В стпс1спт?льном движении соприкасающихся элементов ни нематических
пар» iipii наличии прижимающей их силы, между этими элементами возникает тре*
пие, на преодоление которого затрачивается работа двигателя, приводящего в дви-
жение механизм.
Кроме того, трение между элементами кинематических пар изменяет величину
и положение реакции в этих парах. При
Рис. 55. Реакция в поступательной паре
отклонена от нормали пп иа угол тре-
ния
скольжении элементов кинематических
пар возникает сила трения скольже-
ния А, а при их псрекатыванил —
момент трения перекатывания Л'^ф
Ряс. 56. Реакция во вращатель нон
паре проходит касательно к кругу
трения радиуса р.
В поступательной кинематической паре (рис. 55) реакция P/ff со стороны
звена I на звено k отклоняется от нормали пп к плоскости касания элсмсезтов пары
на угол трения в сторону, противоположную относительной скорости звена k
по отношению к звену Л
Угол трения равен
qr = arctg Л
(11.1)
где f— коэффициент трения скольжения.
Сила трения F^ приложенная к звену k со стороны звена I, равна
P^P?,h
(11.2)
где Pf* =7 P;t cos ср — нормальная со ста в л тощая реакция Р^.
Очевидно, что при отсутствии треезия реакция р1^ _ Р!к. Во вращательной
кипематичеСЕЮй паре (рис. 56) линия действия реакции Р^ со сторопы звена /
па звено k не пройдет через центр О типа звена а расположится касатель-
но к кругу трения так, чтобы момент ее относительно центра О шипа был
противоположен по направлению угловой скорости звена /г по отношению
к звену /.
Радиус крута трения равен
р = г sin Ф -- г tg ф = гД
(11-3)
где f — радиус шипа звена kt f — коэффициент трепия скольжелия. Уомепт Af fi>
который надо преодолеть для проворачивания шипа звена k в подшипнике звона !t
будет равен
АЗ ' л / (11.^)
При отсутствия тре.ЕЕня очевидно, что момент -И,, будет равен нулю, а линия
действия реакции и рой дог через центр О шшкъ
96
В высшей кинематической паре (рис. 57) реакция Р^: отклоняется от нормали
к поверхностям элементов пары в точке их касания Я па угол трепня ср в сто-
рону, противоположную направлению относительной скорости г>/?/ точки
•элемента пары звена й по отношению к звену I,
Кроме того, к элементу пары звена k приложен
момент трения ‘качения направленный в сто-
рону, противоположную направлению относитель-
ной угловой скорости звена k по отношению
к звену I. ^Момент трения качения равен
= (П.5)
где Р^ч — нормальная составляющая реакции Р^,
£ — коэффициент трения качения, имеющий размер-
и ость длины.
2'. На преодоление сил трения в кинематиче-
ских парах механизма затрачивается некоторая
часть мощности двигателя, приводящего в движение
механизм. Эта мощность Д\ затрачиваемая на пре-
Рис. 57. В высшей кине-
магической паре реакция
отклонена от нормали ли
одоление трения в различных кинематических па-
рах, подсчитывается так.
В постунательной паре
Д' = М J yrf (11.6) на У[0Л трения ф и к зве*
1/2 s’* ну k приложен момент
где РД— величина нормальной составляющей ре- трения качения
акции со стороны звена I на звено А\ / — коэффициент
трепля скольжения, t1^ — скорость звена /? по отношению к звену I, равная алгеб-
раической разности абсолютных скоростей звеньев k и /;
Во вращательной паре
Л' =Р?4‘Г г ак1 = М.
(П.7)
(11 S)
где — величина нормальной составляющей реакции со стороны звена I на звено
itb f — коэффициент трения скольжения во вращательной варе, г — радиус шпяа
звена /г, —угловая скорость звена k по отношению к звену /, равная алгебра-
ической разности абсолютных угловых скоростей звеньев k и I:
(И .9)
В высшей паре мощность, затрачиваемая на преодоление трения скольжения,
Л?С[< равна
N'^-p^-f‘vAkl |^лк’г^ = б7Ц], (11.10)
где РД — величина еюпмспиной составляющей реакции со стороны звена / на звено
► *9
А\ f—коэффициент трения скольжения, — скорость точки А& звена к по
отношению к точке Я/ звена I.
Мощность, затрачиваемая на преодоление трения качения в этой же кинема-
тической паре, равна
Л?кг1и = ?^’^Г (И-Н)
где — величина нормальной составляющей резкими со стороны звена f на зве-
но kt k — коэффициент трения качения, w^; — угловая скорость звена k по отно-
шению к звену Л
3?. Рассмотрим два примера.
Пример L По наклонной плоскости I движется равномерно вверх ползун &
(рис. 5У, й), находящийся под воздействием сил Р и Q. Сила Q направлена перпен-
4 И, IL Артоболевский, Б, В, Эдельштейн
97
дикулярно оси хх и равна Q= 100 нт угол наклона плоскости I равен а 20°,
коэффициент трення ползуна k о плоскость i равен f = 0,2, Требуется найти вели-
чину силы Рг направленной параллельно линии хх, которая поддерживает задан-
ное равномерное движение ползуна ft-
Рис. 58. Определение горизонтальной силы Р при движении ползуна на наклон-
ной плоскости. Ползун нагружен силой ф.
Решение. Определим по формуле (11.1) угол трения ф:
cp = arctg ^=ardg'0,2 = 11° 20'.
Рассмотрим равновесие ползуна (рис. 58,6). К нему приложены силы Qt Р и откло-
ненная от нормали пп на угол трения ф = 1Г 20' реакция Р^ со стороны плоско-
сти I на ползун ft.
Условие равновесия ползуна, записанное в векторной форме, будет
0+Р+Р{й-0.
На рис. 58т в построен треугольник сил, удовлетворяющий этому равенству.
Угол между силами Q в P/Jfe равен а + <р, а угол между силами Р и Q равен 90\
Из силового треугольника получаем
F=Qtg (а+<р) = 100 tg(20°4-IP20') = 100 tg31'20a = 160 0,606 = 60,6 «.
Задаваясь прямоугольной системой координат и проектируя все силы, при-
ложенные к ползуну ft, на направление осей координат, можно также получить
решение в аналитической форме.
Рис. 59. Определение мощности, затрачиваемой на преодоление трепня в посту-
пательной кинематической паре.
Пример 2. Плоский ползун 1 (рис. 59, й) движется равномерно по горизон-
тальным направляющим 2 со скоростью о13 = 0,5 жс&С* под воздействием гори-
зонтальной движущей силы Р^ Определить мощность затрачиваемую на пре-
одоление трения в опоре ползуна, если вертикальная сила, прижимающая ползун
98
к направляющим, равна Q = 100 коэффициент трения ползуна о направляющие
равен / 0,1.
Решение. Рассмотрим равновесие ползуна (рис. 59, 0). К ползуну при-
ложены силы Рд, Qt PJJ a F. Из чертежа видно, что Q = — тогда по формуле
01.2) сила трения будет равна F = = Q-f = 100-0,1 = 10 я. Искомая
мощность находится по формуле (11.6);
f * — Ю 1*0 е/п.
(См* И, И. А р т о б о л е а с к и щ Теория механизмов, §§ 59—66.)
ЗАДАЧИ 206—220
206. Тело А, нагруженное вертикальной силой Q, движется
равномерно по плоскости хх. Определить, при каком угле р с гори-
зонтом движущая сила Р достигает своего наименьшего значения,
если коэффициент трения между телом Л и плоскостью xxf — 0,3.
207. Тело 1 с массой т± == 100 кг лежит на наклонной плоскости
и удерживается в состоянии равновесия грузом Q2f связанным с те-
лом гибкой нитью, перекинутой через блок Д. Пренебрегая трением
К задаче 208.
в подшипниках блока и жесткостью нити, определить в каких пре-
делах должна лежать величина массы т2 груза Q? для поддержания
равновесия всей системы, если угол наклона плоскости а = 30°,
а коэффициент трения между телом 1 и плоскостью / — 0,5.
208. Толкатель Д, нагруженный силою Q — 5 н, поднимается
равномерно вверх силой Р = Юн. Угол между направлением силы Р
и направлением движения штанги равен а. Определить наиболь-
шую величину угла а, при котором движение толкателя возможно,
если коэффициент трения между толкателем А и направляющими
В равен f == ОД, а расстояние х = t.
209. Клиновой ползун 7 движется по горизонтальным направ-
ляющим 2 с постоянной скоростью. Определить величину движущей
силы Рд, если сила полезного сопротивления Рс = 100 н и верти-
кальная сила, прижимающая ползун к направляющей, равна Q =
= 50 н, коэффициент трения между ползуном и направляющими ра-
вен f — ОД, половина угла заострения клинового желоба Р — 30°.
210, Клиновой ползун 1 движется по горизонтальным направля-
ющим 2 с постоянной скоростью и12 = 0,5 мсек'1 под воздействием
4* 99
движущей силы Рд. Определить мощность Л\ затрачиваемую на
преодоление трения в опорах ползуна, если вертикальная сила, при-
жимающая ползун к направляющим, Q = 100 н, половина угла
К задаче 209.
К задаче 210.
заострения клина (J = 30° и коэффициент трения ползуна о направ-
ляющие f = 0,1.
21L На плоскости 2, наклонной к горизонту под углом а =
= 1 G°, находится ползун Д нагруженный вертикальной силой Q =
— 1000 Коэффициент грения ползуна о плоскость f = 0,12.
Определить необходимую горизонтальную силу Р, при которой
возможно: а) равномерное движение ползуна вверх по плоскости;
б) равномерное движение его вниз по плоскости.
К задаче 212.
212. Клиновой ползун 1 под воздействием горизонтальной силы
Р = 1000 н движется равномерно вверх по наклонному клиновому
желобу 2, Определить вертикальную силу Q, прижимающую ползун
к желобу, если коэффициент трения ползуна о желоб / — 0,13,
половина угла ₽ желоба равна 60° и угол наклона желоба 2 к гори*
зонту а = 8°,
213. К ползуну 3 кривошипно-ползунного механизма прило-
жена сила Рэ = 100 н, а к кривошипу АВ — уравновешивающий
момент Му» коэффициент трения между ползуном 3 и направляю-
щими хх равен/ — 0,1; размеры звеньев lAS = 100зьи, 1ВС “ 200 /ьи.
При положении звена 45, определяемом углом = 90°, найти
100
реакцию PS3 в шарнире С (трением в шарнирах А и В механизма
пренебречь).
При решении рассмотреть случаи:
а) трение между ползуйом 3 и направляющими хх отсутствует,
б) трение между ползуном и
направляющими учитывается, пол-
зун движется вправо,
в) трение учитывается, ползун
движется влево.
214. Определить грузоподъем-
ность Q винтового домкрата. Нарез-
ка винта квадратная, наружный
диаметр ее равен = 24 ммг
внутренний диаметр d]t = 21 лти,
длина рукоятки 2 равна I = 300 льи;
сила, приложенная к концу рукоят-
К задаче 214.
К задаче 213.
ки, равна Р = 100 н, коэффициент трения между винтом 1 и гай-
кой 3 равен / = 0,1 (трением по плоскости ab пренебречь).
215. Горизонтальный вал, вращающийся со скоростью п --=
= 6000 об/мин, нагружен двумя равными параллельными радиаль-
ными силами Р, которые равны Р = 300 к. Коэффициент трения
между цапфами вала и подшипниками / = 0,08, диаметр цапф равен
d = 60 мм. Определить мощность N, затрачиваемую на преодоление
трения б опорах вала.
216* С ведомого вала 02 фрикционной цилиндрической передачи
с гладкими катками снимается мощность N = 2 кет. Определить
К задаче 215.
необходимую силу нажатия Ро ведущего колеса 1 и на колесо 2,
если диаметр колеса 1 равен Dx = 200 мм, а диаметр колеса 2
равен = 400 мм, коэффициент полезного действия передачи 7] =
101
- 0>9, колесо (каток) 1 вращается со скоростью nt == 400 об > мин,
коэффициент трения между катками / = Ц,2.
217. Сохраняя условие задачи 216, решить аналогичную задачу,
полагая, что колеса фрикционной передачи имеют клиновые ободы.
Пол овина угла заострения клинового обода J5 = 30°.
218- Груз А, сила тяжести которого Q = 4000 нт под действием
силы Р перемещается равномерно параллельно плоскости xxt
Между плоскостями хх и уу встав-
К задаче 217,
К задаче 218,
Коэффициент трения качения между плоскостью^ и катками равен
ki = 0,08 мм, а между плоскостью хх и катками /г2 = 0,06 лщ.
Сила тяжести одного катка QK == 40 я. Определить силу Р, если
скольжение плоскостей по каткам отсутствует,
219. Определять величину горизонтальной силы Р, под дейст-
вием которой тележка Д, сила тяжести которой Q — 3000 я, дви-
жется равномерно по горизонтальному рельсовому пути хх. Диа-
метры шипов осей колес d — 40 мм, коэффициент трения скольже-
ния в подшипниках осей колес f = ОД, диаметр колес D = 250 лш,
К задаче 219.
коэффициент трения качения колес
по рельсам равен k = ОД мм.
К задаче 220,
220, На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол
а = 10°, положен цилиндр, сила тяжести которого (?, коэффициент
трения скольжения f = 0,08, коэффициент трения качения k = 0,08,
Определить минимальный диаметр dmin цилиндра, при котором
качение его по плоскости будет происходить без скольжения.
Ю2
§ 12. Силовой расчет механизмов. Определение реакций
в кинематических парах
Р. В задачу силового расчета входит определение всех сил и моментов пар
сил, которые приложены к каждому отдельному звену механизма. Эти силы или
моменты надо знать, например, для расчета на прочность отдельных звеньев меха-
низма или юг частей (деталей).
Для того чтобы механизм находился в равновесии под воздействием внешних
сил, к одному из звеньев его должна быть приложена уравновешивающая сила
Ру или уравновешивающая пара сил, характеризуемая ее моментом А1у— уравно-
вешивающим моментом. Эту силуРу или момент Mv обычно считают приложенными
к ведущему звену, которое либо получает энергию' потребную для движения меха’
иизма, извне, как это имеет место у механизмов рабочих машин, либо отдает ее,
как это имеет место у механизмов двигателей.
Если при силовом расчете механизма в число известных внешних сил не
включена инерционная нагрузка на звенья, то силовой расчет механизма назы-
вается статическим. Такой расчет состоит из а) определения реакций в кинема-
тических парах механизма, б) нахождения уравновешивающих силы Ру или момента
ЛГу. Если же при силовом расчете механизма в число известных внешних сил,
приложенных к его звеньям, входит инерционная нагрузка па звенья, то силовой
расчет механизма называется кинетостатическим. Для проведения его необходимо
знать закон движения ведущего звена, чтобы иметь возможность предварительно
определить инерционную нагрузку па звенья.
2:\ В методах силового расчета, которые излагаются в вузовских курсах
теории механизмов и машин, предполагается, что к плоскому механизму прило-
жена плоская система сил. Такое предположение практически справедливо только
тогда, когда подвижные звенья механизма имеют общую плоскость симметрии,
параллельную плоскостям движения их точек, и все силы лежат в этой плоскости.
Следует иметь в виду, что определяемые излагаемыми методами реакции
в кинематических ларах являются результирующими распределенных нагрузок,
которые реально возникают между элементами кинематических пар механизма.
Характер распределения этих нагрузок на элементах кинематических пар зависит
от конструктивного оформления этих элементов, их размеров, упругих свойств
и т. п, Это обстоятельство всегда надо иметь в виду при расчете на прочность
элементов кинематических пар, а также при учете работы или мощности, затрачи-
ваемой на преодоление трения в этих парах.
В постановке задач настоящего параграфа в большинстве случаев не учиты-
вается трение в кинематических парах механизма. Получающиеся от этого ошибки
незначительны, так как обычно в механизмах элементы кинематических пар рабо-
тают со смазкой и поэтому реакции, рассчитанные без учета трения, мало отлича-
ются по величине и направлению от реакций, найденных с учетом трения. Трепнсм
нельзя пренебрегать при значительных величинах коэффициентов трения и при
положениях механизма, в которых возможно заклинивание или самоторможение,
В тех задачах, где надо определить мощность, затрачиваемую па преодоление
трепня в кинематических парах механизма, следует поступать так: I) Вначале
определить реакции в кинематических парах, не учитывая трение между элемен-
тами кинематических пар. 2) Далее по найденным реакциям подсчитать силы или
моменты трения, возникающие в этих парах, и, наконец, по определенным силам
или моментам трения подсчитать мощность, затрачиваемую на преодоление треше я
з кинематических парах механизма.
3°. Силовой расчет производится в следующей исследователь но ста.
1) Определяются все внешние силы, приложенные к звеньям механизма, от
действия которых требуется найти реакции в кинематических парах механизма,
2) Выбирается ведущее звено. Устанавливается, что приводит в движение
извне это звено (для механизмов рабочих машин) или что приводится в движение
вовне этим звеном (для механизмов двигателей), для решения вопроса о том,
должна лн быть приложена к ведущему звену уравновешивающая сила Ру или
уравновешивающий момент Aft чтобы был обеспечен заданный закон движения
ведущего звена.
103
3) Проводится расчленение ведомой кинематической цепи механизма на
группы Ассура.
4) Проводится силовой расчет каждой группы Ассура в отдельности, так
как группа Ассура является статически определимой системой. Расчет следует
начинать с группы Ассура, присоединенной к механизму при его образовании в
последнюю очередь; затем перейти к следующей группе и так до тех пор, пока не
будет п роизве ден силовой р асч ет всех гр у пп, обр азова вши х ведом у ю часть мех а н изм а.
5) В заключение производится силовой расчет ведущего звена. Задачи обычно
решают графоаналитическим методом, используя уравнения равновесия всей
группы или отдельных ее звеньев в форме
ЦР=0, £Л1=0. (12.1)
В число сил и моментов, входящих в уравнения (12*1), включаются реакции и
моменты реакций в кинематических парах группы.
На основа!гии уравнений (12.1) строится многоугольник сил, который носит
название плана сил группы, причем в первую очередь находятся реакции во внеш-
них кинематических парах группы, а затем во внутренних парах по условиям
равновесия звеньев группы, взятых порознь.
В случаях, когда в механизме имеются кинематические пары IV класса (выс-
шие), можно поступать двояко: либо построить заменяющий механизм и далее
вест в расчет погруппно, либо, если звено входит в одну кинематическую пару I
и одну IV класса, вести расчет позвенно.
Для реакций, возникающих между элементами кинематических пар, приняты
следующие обозначения: реакция со стороны эвена k на звено / обозначается Pbii
реакция же со стороны звена I па звено k соответственно обозначается Оче-
видно, что
Pki=-Pik- (12.2)
Реакция характеризуется величиной (модулем}, направлением и точкой
приложения.
Пренебрегая трением в кинематических парах, можно отметить следующее.
Во вращательной паре подлежат определению величина и направление реак-
ции, так как ее линия действия проходит через ось вращения пары. В поступатель-
ной паре подлежат определению величина и точка приложения реакции, так как
известно только то, что направление реакции всегда перпендикулярно осн направ-
ляющих пары* В высшей кинематической паре (паре IV класса) подлежит опре-
делению только величина реакции, так как реакция направлена по общей нормали
к кривым, образующим пару, и приложена в точке их касания*
4“ Примеры на силовой расчет механизмов.
Пример L Провести силовой расчет кривошипно-ползунного механизма
компрессора (ряс, 60, а), данного в положении, когда угол ф± = 45°. Размеры
звеньев: = 100 MMt lBC = 400 ям- Нагрузка на звенья механизма: к звену АВ
в точке St приложена сила Рг = 400 я, она направлена вдоль линии ABt рас-
стояние lASi = 20 мм] к звену 2 приложена сила Рг = 600 н, она направлена под
углом ф,2 60а к линии ВС и приложена в точке S2, Расстояние = 100 мм.
К этому же звену приложен момент ЛЬ = 8,0 нм] к звену 5 приложена сила Р$ =
= 1000 я, она направлена параллельно линии Ах и так, что ее линия действия
проходит через точку С. Уравновешивающий момент приложен к эвену 1.
Подлежит определению: реакция Рв в посту нательной’ кинематической пареС,
которая направлена перпендикулярно линии Ах; реакция Р^ во вращательной
паре С; реакция Р33 во вращательной паре В; реакция Р^ во вращательной паре А
и уравновешивающий момент Mv, приложенный к звену I.
Решение* I) Все внешние силы, действующие на звенья механизма,
заданы, поэтому этот этап расчета выполнен.
2) Уравновешивающий момент Л1у по условию приложен к звену /, поэтому
ведущим звеном следует считать зветю 1.
3) От механизма может быть отделена только одна группа Ассура, состоящая
из звеньев 2 и 3. Эта группа относится ко второму классу второго вида.
104
4) Составляем уравнения равновесия группы, состоящей из звеньев 2 и ?.
Первое из уравнений- (12,1) применительно к рассматриваемой группе запишет-
ся так:
В этом уравнении содержится три неизвестных: величина и направление реакции
и величина реакции Р43. Для того чтобы его решить, т. е. чтобы построить
представленную им векторную сумму, разложим реакцию па две составля-
ющих: Р* , направленную перпендикулярно линии ВС, и Р^, направленную
Рис, 60. Силовой расчет кривошипно-ползунного механизма компрессора.
параллельно линии ВС. Теперь геометрическая сумма сил, приложенных к группе
(рис. 60, б), равна
Р\* 4" />я4' Р 43 = 0* (12.3)
Величину силы Р1 найдем, рассматривая равновесие звена 2. Напишем ра-
венство нулю суммы моментов относительно точки С всех сил, приложенных к зве-
ну 2 (тем самым исключим из него момент неизвестной реакции Р^р
В качестве второго уравнения (12.1) взято уравнение
= fIZ4)
которое, будучи развернутым, примет вид
105
откуда
0,4
Р2-/ь+М, 600 - 0,26 + 8 Jfn
- — М—^4!0 4f
J
где Лу — 0,260 м найдено по чертежу.
Строим плзп сил группы (рис. 60, я) по равенству (12*3) в масштабе цП =?
— 20 н/лып
Пор и до к построения векторной суммы, вообще говоря, безразличен, по при-
меннтельно к группам Ассура можно рекомендовать следующий: назначаем обход
контура группы в каком-либо направлении (например, по ходу часовой стрелки)
и силы на плане сил откладываем в такой же последовательности, в какой мы эти
силы встречаем на группе при обходе ее контура в выбранном направлении, В на-
шем случае принят обход контура группы по ходу часовой стрелки.
Отложим от точки а (рис* 60, е) силу в виде отрезка
(«&)=— = —— = 20,5 лл{,
Рр ZU
ст точки b откладываем силу Р.г в виде отрезка (&c) = Zl — -1—. = 30 мм, далее
Мр 20
от точки с откладываем силу Р3 в виде отрезка
, ,, Р3 1000 „
H)= [t7==~2^ = a0
Через точку а проводим прямую, параллельную ВС. Это будет линия действия
силы Р”г, а через точку d — прямую, перпендикулярную Ах. Опа будет линией
действия силы Р^. Находим точку пересечения е этих двух прямых.
Отрезок (atf) в масштабе рр дает искомую реакцию Р"2, а отрезок (de) в том
же масштабе — реакцию Рйэ, и, наконец, отрезок (be) дает искомую реакцию Р13.
Для нахождения реакции Р$й напишем условие равновесия звена 2:
^п+Л + Л^О- (12.5?
Из плана сил (рис. 60, в) видно, что отрезок (ее) в масштабе Lip соответствует иско-
мой реакции Р02.
Реакция Рк должна проходить через точку С, так как к ползуну 3 приложены
только три силы, из которых две (Р^ и Рй) проходят через эту точку.
5) Силовой расчет ведущего звена 1 (рис. 60, г). К звену 1 приложены: сила
Pt — 400 я, сила P^i ~ — Р12 (ее величина определяется нз плана сил (рис. 60, н)
отрезком (te))T сила Р13 = (be) рр = 70-20 = 1400 н, сила (реакция) Р41 и уравно-
вешивающий момент Aly*
Из равенства нулю суммы моментов относительно точки А сил, приложенных
к звену 1, находим величину момента уравновешивающей пары сил:
Му — Рп - /г21— (te) рр Аа1 = 70 • 20 • 0,06 — 84 ял,
где й21 (плечо чильт Ри1) находится по чертежу (ряс. 60, г). Условием равенства
нулю векторной суммы сил, приложенных к звену 1, будет
^2i+^i + Рц = 0- (21.6)
Отсюда находим модуль реакция Рц путем построения векторного треугольника
сил (ряс, 60, d): P4L = (сд) р.р (я).
Пример 2. Провести силовой расчет шестизвенного механизма поперечно-
строгального станка (рис. 61, с), данного в положении, когда угол = 45е*
Размеры звеньев: = 65 мм, 1АС = 350 лл, lCD = 680 мм, lED = 210 мм,
Н = 285 мм, — 390 мм, k = 290 мм, 1ЕЕ* — 105 мм, h = 100 мм.
К звену 5 приложена сила резания Р5 = 200 я. Сила тяжести звена 5 Q6 —
= 60 Ht она приложена в центре масс Se звена 5, К зубу колеса Г, находящегося
106
на звене 7, приложена в полюсе зацепления Р уравновешивающая сила Ру; радиус
начальной окружности колеса Г равен 7? — 120 мм, угол зацепления щ = 20°.
Определить реакции ао всех кинематических парах и уравновешивающую
силу Ру, пренебрегая трением во всех кинематических парах.
Решение. 1) Все внешние силы, приложенные к звеньям механизма,
заданы, поэтому этот пункт расчета выполнен.
Рис. 61. Силовой расчет шестизвеиного механизма поперечно-строгального станка»
2) Уравновешивающая сила Ру приложена к звену 1, поэтому ведущим звеном
следует считать звено / (45).
3) От механизма последовательно могут быть отделены две группы второго
класса: группа второго вида, состоящая из звеньев 5 и 4, и группа третьего вида,
состоящая из звеньев 3 и 2.
4) Составим уравнение равновесия группы, состоящей из звеньев 5 и 4
(рис. 61, б). В качестве первого уравнения (12.1) возьмем условие равновесия
группы
@6 + ^*6+ &31 + == 0-
В этом уравнении направления сил Р^ и Р& известны: силаР34 направлена вдоль
звена ЕО (по линии ED, так как звено 4 не нагружено внешними силами); сила
Р^ направлена перпендикулярно направляющим звена 5,
Строим план сил группы (рис. 61, в).
107
Выбираем масштаб сил цр = 4 н?мм. От точки а откладываем силу Q6 в виде
отрезка
(д&) ~ 15 мм;
Рр 4
далее от точки b откладываем силу Р& в виде отрезка
,, 1 200 со
(М = — =---------= 50 Л! Л4.
Ир 4
Через точку а проводим линию! параллельную ED (направление линии действия
силы Р^), а через точку с — линию, перпендикулярную направляющим эвена 5
(направление силы линии действия — силы P(5), до их взаимного пересечения
в точке (L Отрезок (cd) лает в масштабе рр величину реакции Р$$ — (cd) =
= 5,5-20 = 22 н, а отрезок (da) дает величину реакция Рй = (t/й) ±= 51 * 4
204 н. Точку G приложения силы Р65 найдем из условия равновесия звена 5,
для чего напишем его в виде второго уравнения (12.1), т. е, в виде равенства нулю
суммы сил и моментов, приложенных к звену 5, относительна точки Е;
= Р -Lfl-OU — Pft-/i=0,
л So £<J ^5 сЛв 5
откуда
Q_/xy + Р. /! 60«105+200-100
1- rS хЗ’оС,
“ е5 А? ”22
— И 95 лей,
Составляем уравнения равновесия группы, образованной звеньями 2 и 3
(рис. 6!, а).
УЧлозие равновесия этой группы напишем в виде первого уравнения (12.1):
Р<з+Р±ч+=0!
где Р& = —Р31т а сила Р1г направлена перпендикулярно линии CD (звено 2
не нагружено внешними силами), т. е. в написанном уравнении содержится три
неизвестных. Поэтому вначале найдем величину силы PUt используя уравнение
моментов сил, приложенных к рассматриваемой группе, относительно точки С:
SA4 = Р . Л - р . / , = 0,
L 43 43 12 UC г
откуда
204-650 „
Р13“ 1..г “ 400 —
1' W
(размеры = 650 мм и = 400'лгл взяты из чертежа).
Строим план сил (рис. 61, с?) в масштабе = 4 От точки а откладываем
о , „ Л. 331,5
силу Ри в виде отрезка (а/?) = =——=оЗ мм перпендикулярно лиши
Гр 4
н Р 204
CD> далее от точки откладываем силу Р43 в виде отрезка (М = = - - = 51 леи.
Пр 4
Соединяя точки с и д прямой, получаем величину силы Р63 == (сд) (.и = 38 * 4 —
= 152 н.
5) Силовой расчет ведущего звена (рис, 61, яс). К звену ] приложены силы;
Ры = — Pit* реакция в шарнире А (равная Pet) и уравновешивающая сила Ру,
приложенная в точке Р колеса Р под углом ctD к касательной, проведенной к на-
чальной окружности.
Условием равновесия звена 1 (АВ) будет
Ри h^—Ру * соэ ао = О,
откуда
у
Ря!*/^ 331,5-60
^Ясозоо" 120-0,94”170 Н
108
Строим план сил для ведущего звена (рис. 61 ге):
Для згою от точки а отложим силу Р^ в виде отрезка
, . ч А,! 331,5 flrl
qM = --1 = —-— й- S3 лх,
1‘р 4
далее от точки b отложим силу Ру в виде отрезка
Ру 175
(М = —=—— 44 Л1Л1.
Мр 4
Сооединвм точки с и а прямой. Отрезок (са) в масштабе цр дает силу Рв1 = (ас} цр =
= 102-4 = 408 н.
Реакция в шарнире £ будет равна реакции вшарниреО (звено 4 не нагружено);
реакция между ползуном 2 и звеном 3 будет равна реакции в шарнире В (звено 2
не нагружено).
Пример 3. Провести силовой расчет одноступенчатого планетарного редук^
тора Джемса (рис. 62, а). К водилу И приложен момент сопротивления —
— 16 нм, а к колесу 1 — уравновешивающий момент сопротивления Му.
Числа зубьев колес равны = 20, = 20, z3 = 60; модули всех колес одинаковы
и равви m = 2 мм\ угол зацепления колес о,, = 20\
Указание. При силовом расчете планетарных редукторов для того,
чтобы задачу об определении реакций в кинематических парах решать пожнно,
рекомендуется ведущим звеном считать водило Н. Поэтому, если уравновешиваю*
щнй момент ЛТу предполагается приложенным к колесу 7, а момент, представля-
ющий собою нагрузку на редуктор, — к водилу Я, то надо предварительно
найти этот момент. Л1у находится из равенства нулю алгебраической суммы мощ-
ностей, которые создаются моментами Л1у и Л1^:
^+^„ = 0, (12,7)
где представляет собою нагрузку на редуктор, откуда получаем
Югг
= <I2S>
J
где — передаточное отношение планетар него редуктора от водила Н к колесу /
Расчет надо начинать с рассмотрения равновесия колеса 1, затем следует
перейти к сателлиту 2 (или блоку их) и закончить расчет водилом Н.
Решение. 1) Нагрузка на водиле задана моментом 44^ = 16 нм. В соот-
ветствии с указанием к примеру находим по формуле (12.8) уравновешивающий
камент Л1у = — так как
1 1 1 — <7,5^
, £з 1+3~ 1 °'
то Л4у == - 16'0,25 =-4
2) Ведущим считаем водило Н.
3) От механизма последовательно отделяются сначала колесо /т а затем
сателлит 2, После их отделения остается ведущее звено Н.
4) Составляем и решаем уравнения равновесия отдельных звеньев.
Уравнения равновесия колеса 1 (рис. 62. 6). К колесу приложены: уравнове-
шивающий момент Л1у = 4 нм, направленный в сторону, противоположную мо-
менту реакция со стороны колеса 2 на колесо Л направленная под углом
Оф — 20е к касательной к начальной окружности колеса Д и реакция в шар-
нире Л, приложенная к его оси. Уравнением равновесия колеса 1 будет
109
откуда /<!] = — PZ1. другим уравнением равновесия Судет равенство нулю суммтл
:.[омсн7оо сил относительно оси Л:
-Л1Д "= ?21 ' ^1 ссз ~ Л\ = 01
GTKVJ3
уНУ 4
P-1~/i1cma.=0fi2:ij,^ =‘i2
W; к;п<
Переходим к сателлиту 2 (риг. 62. $). К нему прялсж£ч=ь’: сила Р{2 = — Д,.,
реакция Р5. со стороны неподвижно го колеса J, направленная иод углом
Рис. 62. Силовой расчет идцоступенчзтсго плане!зрного редуктора Джемса,
к касательной к навальной окружности колеса 5, реакция р^ со стороны водила,
приложенная к осн шарнира С,
Запишем уравнение моментов сил, приложенных к сателлитуД относительно
оси шарнира С:
V Л4С — Рр> А’_2 cos a(t — Рзл cos <z0 tjt
откуда
Р.^Р^ = 212^
другим уравнением равновесия сателлита 2 будет
+ ^32 ~
ПО
По этому уравнению строим план сил (ряс. 62, г) в масштабе [ip = 4 н/.илгг
О г точки а откладываем силу PJ2 в виде отрезка
L. Pj, 212 г_,
(пб) = - - — — Я» 53 м.и,
Мр 4
далее от точки b — силу Р3£ в виде отрезка
Р3, 212 __
(Ьс) = —* = —j— =S 53 Л! Л1.
Рр 4
Сила изобразится отрезком (и/? а ее модуль будет
РП2 (ш) = 100 4 = 400 н.
Эта сила направлена перпендикулярно линии СЕ (рис, 62, 5), так как треуголь-
ник abc равнобедренный,
5) Переходим к силовому расчету ведущего звена (водила Н) (рис. 62, 0).
К водилу Н приложены: сила Ps//— — реакция Р3//(воздействие стойки 3
на водило И), приложенная к оси шарнира Е, н момент Мн,
Запишем уравнение равновесия сил, приложенных к звену //:
откуда
аН" ^2//’ т- е* /’afj —
Проверка. Сумма моментов сил, приложенных к водилу, относительно
оси шарнира Е должна быть равна нулю, что и получается:
£Л^ = - Р,и (Л+Яа) = 16 - 400 (0,02 -Н 0,02) = 0.
Пример 4. Для механизма шасси самолета (рис. 63, о) найти мощность Д\
затрачиваемую па трение по всех кинематических парах, при том положения его
звена Л когда q?1 — 19"?. Угловая скорость звена 1 постоянна и равна а\ =
0,3 cetr1. Размеры звеньев: I = 1,0 л?, I w — 1,32 .»/, 1ВГ = 0,4 л/, lCD =
- 0,64 лл = (.1,95 ,н, 0,3 я. 1< механизму приложены нагрузки: к
звену 3 — сила тяжести Q3 = 100 н (приложена в центре масс 5^ координата
центра масс l^s = 0,46 л9, горизонтальная сила от набегающего воздушного
поюка Р — 400 н (приложена в центре масс S3) я сила тяжести колеса QK —- 60 н
(приложена в точке £); звено 2 не нагружено. Диаметры цапф вращательных
кинематических пар А, В, С\ D соответственно равны dл = 50 ,члц с/в = 30 лоч,
— 30 и Зд = 50 лдЧн Коэффициенты трения во всех кинематических
парах f ~ 0,1 ►
Решение, 1)
(рис, 63, cl.
2) Строим план
Строим схему механизма в масштабе [лг 0,01 лУ.ч.и
скоростей (рис. 03, б) по уравнению
изображена отрезком (pb) = 50 л;щ, скорость — отрез-
Па плане скорость
ком (рс) 71 -«.« и скорость ?с — отрезком (рс) = 52 мак Масштаб плава
i'R щ,1 - - 0,3 1,0
U.„ = ~ — = 0,006 xcetr OO1.1I.
r (pb) {pb} аи
3) Находим абсолютные угловые скорости звеньев (знак «плюс» приписываем
скорости, направленной против движения часовой стрелки).
Угловая скорость звена 1 известна (задана), угловая скорость звена 2
iVirhi 71.0,tX36
> j
= — 1?СЮ с<ж-1
ОД
Ш
а угловая скорость звена г? равна
*CD fCD
52 * 0,006
0Д4
д= —0.48Я т'“\
4) Подсчитываем относительные угловые скорости toja и w^:
mj4 = ©J ~ 0,3 с&Г1,
0^2=0^ — (—(Dg) = 0,3+ 1.06—1,36 сек~\
ы23= —о>3—(— — —0,448+1,06 = 0,572
5) Определяем реакции в кинематических парах механизма.
Рис. 63. К подсчету мощности, затрачиваемой на трение в кинематических парах
механизма шасси самолета.
а) Рассматриваем равновесие группы второго класса первого вида (в нее
входят звенья 2 и J),
Звено 2 не нагружено, поэтому реакция в шарнире В направлена вдоль
линии ВС. Эту реакцию находим из условия равновесия всей группы, каким
является равенство пулю суммы моментов сил, приложенных к звеньям группы,
относительно оси шарнира D:
= Php-Q^ - QA- °-
Отсюда
„ Phfi - - Qkhk 400 > 0,455 —100- 0,065 - 60 ♦ 0 J 2 „ oc
h----------:------------M4---------------= 382 «.
где h0 = 0,455 m, h3 = 0,065 jw. hk = 0J2 м и Л12 = 0,44 м — плечи соответст-
вующих сил, найденные по чертежу (рис. 63, а).
112
Величина реакини Р^ в шарнире С равна Р32 = — Р131 так как звено 2
не нагружено. Реакция в шартшре D найдется построением плана сил группы
(рис. 63, в):
Qs+ вь+Л13 = 0-
На плане сил сила Рщ изображается отрезком (ед) = 5G мм, поэтому она равна
Pi3^= (ел) g;=56 ♦ 10=560 н.
Масштаб плана сил Цд = 10 nJ мм..
б) Переходим к ведущему звену. Для ведущего звена 1 уравнением равно-
весия будет
Р41+^=о;
так как
= — JplSJt ТО .Р41 = = 382 Н.
6) Подсчет мощности, теряемой на трение в отдельных кинематических’парах,
производится по формуле (11.8). Затрата мощности в каждой из пар А. В, Си D
будет соответственно равна
/УЛ = /> -Л to, 382-ОД -0,3’0,025 = 0,286 етп,
d п
ЯД = Р12 ’ / * ы12 -у=382 °л Ь36 - 0,015=0,730 вт,
dr
N-P фа .-^ = 382’0,1 -0,572-0,015 = 0,328 в/п,
(_ —<5 J
Nn = p-f - -2 = 560’0,1 0,488 0,025 = 0,683 зт.
£j 4d f 34 2
Обтая мощность V, теряемая на трение во всех парах, равна
^ + ^-(-7^ = 2,077 вт.
(См, И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 70—74).
ЗАДАЧИ 221—244
221- Определить реакции в кинематических парах Л, В, С и D
шарнирного четырехзвенника и величину необходимого уравнове-
шивающего момента Л1У, приложенного к звену АВ, от нагрузки,
приложенной к звеньям ВС и CD, если 1д3 = 100 лш, /дс ~
— 200 лш, угол ф1 = 45\ ось звена ВС горизонтальна, а ось звена
CD вертикальна. Силы и Р3 приложены в точках /С и М> делящих
межшарнирные расстояния пополам; величины сил равны Р2 =
= Р3 = 200 н, углы <х2 и Gtg равны 90°.
222. Определить реакции в кинематических парах ЛщВ, С и D
шарнирного четырехзвенника и величину необходимого уравновеши-
вающего момента Л1У, приложенного к звену АВ, от нагрузки, при-
ложенной к звеньям ВС и CD, если 1дв = 50 м, lBC = ten —
= 200 мм, угол фг = 90е, ось звена ВС горизонтальна, а ось звена
CD вертикальна- Силы приложены в точках /< и М, делящих меж-
шарнирные расстояния пополам, и равны = Рв = 100 н, углы
ая и а3 равны 90°.
113
223. Определить реакции в кинематических парах А, В, С и D
шарнирного четырехзвенника и уравновешивающий момент Л1У,
приложенный к звену ЛВ, если 1АВ = 100 мм, l[sc = lCD = 400 мм,
К задаче 22 L
К задаче 222,
К задаче 223,
ось звена ВС горизонтальна, углы <рх = 90°, <ря = 45°, сила Р3
приложена в точке К, делящей длину звена CD пополам, угол
а3 = 90°, Ps = 100 н.
224. Определить реакции в кинематических парах Л, В, С и D
шарнирного четырехзвенника и величину уравновешивающей силы
Ру, приложенной в точке Д' звена АВ перпендикулярно к его оси
(«! = 90") и делящей отрезок АВ пополам, от нагрузки, приложенной
к звеньям ВС и CD, если 1АВ = 100 мм, 1ас = 1СП = 200 мм,
угол tp! = 90й, ось звена ВС горизонтальна, ось звена CD вертикаль-
на. Моменты пар, приложенных к звеньям ВС и CD, равны М2 =
= Л1я = 2 нм.
225. Определить реакции в кинематических парах А, В, С и D
кривошипно-ползунного механизма и уравновешивающий момент
Му, приложенный к звену АВ, от нагрузки Р3,
в f /^’ г. приложенной к ползуну 3, если 1Ав = 100 мм,
" 1ц<: = 200 мм, угол q?j = 90° и сила Р.; — 1009 н.
226. Определить реакции в кинематических парах А, В, С и D
кривошипно-ползунного механизма и уравновешивающий момент
Му, приложенный к звену АВ, от нагрузки Р3, приложенной к пол-
зуну 3, если = 100 лгл<, /вс = 200 мм, угол = 90° и сила
Ps = 1000 н.
227. Определить реакции в кинематических парах А, В, С и D
кривошипного механизма с качающимся ползуном и уравновеши-
вающий момент Му, приложенный к звену 1, от нагрузки Р.2, при-
ложенной к звену 2 (кулисе) в точке X, если lAii = 100 ли», 1ВС =
114
= 200 jwjh, 100 мм, угол (ft = 90°, сила P3 = 100 н, угол сц
равен 90\
228. Определить реакции в кинематических парах Л, В, С и D
кулисного механизма Витворта и уравновешивающий момент Му,
приложенный к звену АВ, от нагрузки, приложенной к звену 3
К задаче 227.
(кулисе), если 1дв~ 300 м, углы q\ = 90°, ф3 — 30°, момент,
приложенный к звену равен — 60 нм,
229, Определить реакции в кинематических парах Д, В и D
и точках С и С" синусного механизма и уравновешивающий момент
Л1У, приложенный к звену А В, от нагрузки Р3, приложенной к звену
3 (кулисе), если /дв = 100 мм, lcrcrf ~ 200 мм, угол фх = 45и
и сила Р3 = 100 Ht
230- Определить реакции в кинематических парах А, В, D и
точках С1 и Ся тангенсного механизма и величину уравновешиваю-
приложенной в точке звена АВ, перпендикулярного
его оси, если h = 50 мм, 1С(сгг = 200 мм,
угол фт = 45°, 1Ак = 21сила Р3 = 100 н,
угол аг = 90°.
231- Определить реакции В кинематиче-
ских парах А, В, С и
D криБОШипно-ползуп-
Г
щей силы Ру,
л
! 4
К задаче 230- К задаче 231. К задаче 232.
наго механизма от нагрузки, приложенной к днищу поршня 3, и
уравновешивающий момент Му, приложенный к звену АВ, если
lA[i = ЮО мм, (вс = 400 лш, угол фг = 90°, диаметр цилиндра
d — 100 AfAt, давление газа в цилиндре р — 20 нсм\
232. Определить реакции в кинематических парах Аг В, С и D
кр и вошипно-ползу иного механизма и уравновешивающий момент
Н5
Л4у> приложенный к звену от силы P2t приложенной горизон-
тально к точке Л звена 3, если /лй — 100лш,//зс = 200 лш, h = 58 л/,
= S0c и сила Р5 — 100 н.
233. Определить реакции в кинематических парах Аг В и точ-
ках С и С" кулачкового механизма и необходимый уравновешива-
ющий момент Л1У, приложенный к кулачку, от нагрузки Р2, при-
ложенной к толкателю 2, если (р± = 45°, h = а = b “ 100 мм
и сила Р3 = 100 н.
234. Определить реакции в кинематических парах А, В и С
кулачкового механизма и уравновешивающий момент Му от наг-
рузки Р<2, приложенной к толкателю 2 под углом р, если 1ЛО = 30 л<л1
К задаче 233.
К задаче 234.
и прямая ЛО горизонталь-
на, радиус диска кулачка
R = 60 лш, р = 30°, сила
Р3 = 100 н.
235. Определить реакции в кинематических парах А и В одно-
ступенчатой зубчатой передачи, если к колесу 2 приложен момент
Л/2 = 5 нм, а к колесу 1 — уравновешивающий момент Д4у. Модуль
зацепления т = 10 мм, числа зубьев колес = 20 и г2 — 80, угол
зацепления а0 = 20й.
236. Определить реакции в кинематических парах А и В и урав-
новешивающий момент Му, приложенный к колесу 1 одноступен-
чатой трехзвенной зубчатой передачи, если к колесу 2 приложен
К задаче 236.
К задаче 237.
К задаче 238.
момент М2 — 4 нм. Модуль зацепления т = 10 мм, числа зубьев
колес равны = 30 и z2 = 120, угол зацепления = 22°30\
116
237. Определять реакции в кинематических парах А, В н С
и уравновешивающий момент Л4У, приложенный к колесу 1 двухсту-
пенчатой передачи с зубчатыми колесами, если к колесу 3 приложен
момент М3 = 3 нм. Модуль зацепления m — 20 мм, числа зубьев
колес z1 = 20, = 50 и z3 = 40, угол зацепления а0 — 15й.
238. Определить реакцию в кинематической паре В и уравнове-
шивающий момент Му, приложенный к колесу 1 планетарного одно-
ступенчатого редуктора, если к водилу Н приложен момент М& =
= 18 нм. Модуль зацепления равен m 20 мм, числа зубьев колес
zx ~ 16, z3 = 20 и z3 = 56, угол зацепления осо = 20°.
239. Определить реакцию в кинематической паре В и уравнове-
шивающий момент Му, приложенный к водилу Н планетарного
одноступенчатого редуктора, если к колесу 1 приложен момент
ЛД = 2 нм. Модуль зацепления т — 20 м, числа зубьев колес =
= 20, = 20 и 23 = 60, угол зацепления а0 = 20й.
К задаче 239.
К задаче 240.
К задаче 241.
240, Определить реакцию в кинематической паре В и уравнове-
шивающий момент Му,приложенный к колесу / планетарного одно-
ступенчатого редуктора, если к водилу Н приложен момент =
= 5,6 нм. Модуль зацепления колес 1 и 2 т — 5 ж, модуль зацеп-
ления колес 2‘ и 3~ т = 8 мм, числа зубьев колесу — 28^ z2 — 84,
гэг= 20, гэ = 50, угол зацепления а0 = 20°.
241. Определить мощность N, затрачиваемую на преодоление
трения в кинематической паре В (шарнире В) шарнирного четырех-
звенника в том его положении, в котором осп звеньев АВ и ВС гори-
зонтальны, а ось коромысла CD вертикальна. Звено CD нагружено
инерционной силой и инерционным моментом, а к звену АВ приложен
уравновешивающий момент Л1у. Размеры звеньев: lA[i = 100 о,
1ВС = 200 мм, 1сп = 200 мм, координата центра масс S3 звена
CD lcst = 100 мм, масса звена CD = 40 кг, его центральный мо-
мент инерции /3 = 0,2 келг. Диаметр цапфы шарнира В d = 40 лш,
коэффициент трения / = 0,1. Угловая скорость кривошипа АВ
постоянна и равна сох = 50 сек'1.
242, Определить мощность N, затрачиваемую на преодоление
трения в поступательной паре С кривошипного механизма с кача-
ющимся ползуном, если к шатуну 2 приложена перпендикулярная
сила Р2 — 500 н, а к кривошипу Л В — уравновешивающий момент
Мх. Угловая скорость оц кривошипа АВ равна = 40 сек'1, угол
117
АВС = 90°, 1Ап = 100 мм, 1ЛС = 200 мм, Где — Icd, коэффициент
трения в поступательной паре / = 0,1,
243. Определить мощность JV, затрачиваемую на преодоление
трения в поступательной паре С крнвошипно-ползунного механизма,
если к звену 3 приложена сила Рй — 1000 н,
а к кривошипу АВ — уравновешивающий
К задаче 242*
К задаче 243.
1 ’
4
К задаче 244.
момент Му. Размеры звеньев: /дд = 100 -мд*, 1вс = 400 мм, угол
Ф1 = 90°, коэффициент трения / = 0,1- Угловая скорость криво-
шипа АВ равная = 90 сек-1.
244, Определить мощность, затрачиваемую - на преодоление
трения в поступательной паре Е шестмзвенного механизма, если
к звену 5 приложена сила Р5 = 400 я, а к кривошипу АВ — урав-
новешивающий момент Л1у, Угловая скорость кривошипа АВ
равна оо! = 50 п?к-1т коэффициент трения f ~ 0,1, 1Ав = 50 лм,
/яс = 200 Л1Л/, lcn= Ied = ЮО мм, фх = <р2 = 90°, <рэ = 45°,
§ 13. Применение рычага Жуковского для определения
уравновешивающей силы
1°, В тех случаях, когда требуется найти только уравновешивающий
момент Му или уравновешивающую силу Ру, для их нахождения проще восполь-
зоваться рычагом Жуковского, не прибегая к последовательному силовому расчету
всего механизма.
При равновесном состоянии механизма алгебраическая сумма мощностей
внешних сил, Приложенных к звеньям его, равна пулю*
Эту сумму можно представить в следующем виде:
Лгу-Ь£ЛГ* = О, (13.1)
k
где Ау— мощность уравновешивающей силы, — алгебраическая сумма
мощностей остальных внешних сил, приложенных к k звеньям механизма, при-
чем k — число нагруженных звеньев механизма.
По И. Е. Жуковскому, мощность любой силы можно найти следующим обра-
зом (рис. 64, tf). Пусть к звену ВС в точке К приложена сила Р»; требуется найти
мощность этой силы.
Строим повернутый план скоростей звена (рис. 64, б), Методом подобия
находим на плане точку k — конец повернутого на 9О2 вектора скорости точки /С
(точки приложения силы р^).
Переносим на план скоростей параллельно самой себе в одноименную точку
k плана силу Р%. Находим кратчайшее расстояние от силы Рд- до полюса
плана р.
Находим момент силы р^ относительно полюса плана р:
Р (13.2J
118
Этот момент пропорционален мощности силы Рд,з что можно доказать следующим
образом. Проводим через точку К (рис. 64т а) прямую тт, перпендикулярную
направлению вектора скорости точки К на повернутом плане скоростей. Очевидно,
что прямая тт имеет направление касательной к траектории точки /\.
Пишем выражение для мощности силы Р^.
jVk = P^u^cos а>к = Рк (p£) cosa^i^ (13.3)
где (р&) — отрезок из плана скоростей
точки К и направлением силы
Р^} —масштаб плана скоростей.
Теперь замечаем, что угол а %
равен углу между вектором (р&) на
плайе скоростей и плечом !iK (рис,
64, б); поэтому (pk) cos a/Y = и
выражение (13,3) перепишется так:
^K=PK!1Kl^ (13.4)
Правые части формул (13,2) и (13.4)
отличаются только множителем
который будет общим при выраже-
нии мощности любой силы, прило-
женной к механизму, по формуле
(13,4) (поскольку используется один
и тот же план скоростей).
Это позволяет формулу (13,1)
записать в другой форме:
откуда
ру=А-—. (1з.б)
- Пу
Следовательно, если задан меха-
— усол между направлением скорости
Рис. 64. Мощность силы пропорциональна
моменту ее на повернутом плане скоростей
относительно полюса плана.
низм и все внешние силы, приложенные к нему, то для нахождения х/рдяжжкш-
виющен силы можно поступать следующим образом:
1) построить повернутый план скоростей механизма;
2) найти на этом плане по правилу подобия точки приложения заданных
внешних сил;
3) в одноименные точки плана перенести параллельно самим себе силы
с механизма, включая и уравновешивающую силу;
4) принять повернутый план скоростей за рычаг с точкой опоры в полюсе р,
написать уравнение равновесия этого рычага (формула (13.5)) и из него цайти
величину уравновешивающей силы Ру (формула (13,6)).
Необходимо указать, что если к звеньям механизма приложен внешний момент,
то его следует представить в виде пары сил, которые и надо переносить в соответ-
ствующие точки повернутого плана скоростей. Рычагом Жуковского непосред-
ственно находится уравновешивающая сила. Уравновешивающий момент можно
найти умножением уравновешивающей силы на ее плечо относительно оси звена,
к которому она приложена,
2°, Покажем на примерах, как пользоваться рычагом Жуковского для нахож-
дения уравновешивающих силы или момента.
Пример 1. Для механизма шасси самолета (рис, 65, а) найти величину
уравновешивающей силы Ру, приложенной к оси шарнира В перпендикулярно
к направлению АВ, а также уравновешивающий момент Л1у, приложенный к
звену 1. Нагрузка звеньев механизма состоит из силы тяжести звена
равной Q<j = 100 н и приложенной в его центре масс S3, силы тяжести ко-
лес af равной = 60 и силу Р д 300 н (силы набегающего воздушного
119
потока, приложенной в точке 53). Рассмотреть случай, когда угол <pt = 180®.
Размеры звеньев: = 1,11 .и, lAD = i,45 .и, “ 0,44 л, lCD = 0,70 м, 1ЕП ~
= 1,01 л, 0,33 xt ln<i == 0,505 х<,
1 ЛС г ГЛ>з
Решение. 1) Строим схему механизма (рис. 65, ст) в масштабе М/=
= 0,01 mJmm.
2) Строим повернутый план скоростей (рис, 65,6) по уравнению
Методом подобия находим на плане топки е и s3.
Рис. 65. Определение уравновешивающей силы посредством рычага Жуковского
для механизма шасси самолета.
3) О) схемы механизма переносим на план параллельно самим себе силы в
одноименные точки плана. Силу Ру полагаем направленной так, как это пока-
зано на схеме механизма. Если направление ее предположено неверно, то ее
значение получится со знаком минус.
4) 11а плане скоростей (рис. 65х 6) находим плечи сил, перенесенных на план,
относительно полюса р,
5) Составляем уравнение моментов этих сил относительно полюса р:
^х + 'ЗЛ-^р+Л'(₽fcJ = 0 (так как hy= (-Pb'l)'
из него находим величину уравновешивающей силы:
— 60 -115 — 100 574-300 45
р г- __ХЛ , * _ <4 1 ”___________________ ________= 44 «
ГУ~ /Ъ/й 50
Искомый уравновешивающий момент Л4у будет равен
Л/у = Ру ^в = 44- 1,11=48,84 нм.
120
Пример 2. Для кривошип по-ползу иного механизма (рис. 66, а) найти вели-
чину уравновешивающей силы Ру, приложенной к осн шарнира В перпендику-
лярно к направлению АВ, а также уравновешивающий момент Л1у, приложенный
к звену L Рассмотреть случай, когда угол ipL = 45е. Нагрузка звеньев: к звену
3 приложена сила Р3 = 100 н, к звену 2 приложены сила Р3 — 50 н, направлен-
ная под углом etg =: 60° к линии ВС, и момент А42 = 3,0 нм. Размеры звеньев:
1АН = 50 мм, lgC == 140 ллц = 50 мм.
Рис. 66. Определение уравновешивающей силы посредством рычага Жуковского
для кривошипно-ползунного механизма.
Решение, 1) Строим схему механизма (рис. 66, а) в масштабе —
= 0,002 м!мм.
2) Строим повернутый план скоростей (рис. 66, б) по уравнению
®с=*в+*св-
По правилу подобия находим на плане точку % приложения силы Р2+
3) Со схемы механизма переносим на план скоростей параллельно самим
себе силы в одноименные точки плана. Предварительно момент М2 представляем
в виде пары сил Р" и приложенных в точках В и С, с плечбм пары, равным
1&с; модуль этих сил будет равен
р _____ 3 _ 20 w
“-^c^0J5°
4) На плане скоростей (рис. 66, б) находим плечи сил, перенесенных иа него»
относительно полюса р»
121
5) Составляем уравнение моментов сил, перенесенных на план cKOpocreif,
относительно его полюса р:
Ру{рЬ)-\-Р^ +Р'^'-Р.^2-Р3(рс)^0 (так как /1у = (р*) и Л3 = (рс)),
отсюда находим величину уравновешивающей силы:
+ 50 -19 + 100 87-20 • 72
= ' W 1б0~ 14
(гак как согласно рис, 66, б Л' + htf = (М)- Необходимый уравновешивающий
момент будет равен
Му^Ру/ЛЯ—82,9 0,05 = 4,145 нль
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 84 и 85,)
ЗАДАЧИ 245—250
245, Для кривошипно-ползунного механизма найти величину
уравновешивающей силы Ру, приложенной к оси шарнира В пер'
пендикулярно линии АВ, и уравновешивающий момент Му, при-
ложенный к звену АВ, если к звену 3 приложена сила Р3 = 100 н,
/Лл = ЮО мм, 1вс = 400 мм и положение механизма задано углом
- 90°,
246. Для шарнирного четырехзвенного механизма найти вели-
чину уравновешивающей силы Ру, приложенной к оси шарнира В
перпендикулярно линии
АВ, и уравновешиваю-
щий момент Л1у, при-
ложенный к звену АВ,
К задаче 246, К задаче 247.
К задаче 245,
если к звену 2 приложен момент М2 = 2т0 нм, линии АВ и ВС
лежат па одной горизонтали, а линия CD расположена вертикально,
= 100 лш, = Icd ” 400 мм.
247, Для кулисного механизма Витворта найти величину урав-
новешивающей силы РУ1 приложенной к оси шарнира В перпендику-
лярно линии АВ, и уравновешивающий момент Му, приложенный
к звену АВ, если к звену 3 (кулисе) приложен момент Md = 4 нм,
углы равны <рх = 90°, ср3 = 30°, = 100 мм.
248, Для кривошипного механизма с качающимся ползуном
найти величину уравновешивающей силы Pyt приложенной к оси
шарнира В перпендикулярно линии АВ, и уравновешивающий
момент Л1У, приложенный к звену АВ, если в точке D звена 2
приложена сила Р2 = 20 н, перпендикулярная линии BD, угол
Фх = 90°, 1Аа = 100 мм> — Idc = 200 *
122
249. Для тангенсного механизма найти величину уравновеши-
вающей силы Ру, приложенной в точке D звена 1 перпендикулярно
линии AD, если к зве-
ну 5 приложена сила ‘ д
Р3 = 10 н, угол (р! — 45°, х 9
К задаче 248.
К задаче 249. К задаче 250.
250. Для синусного механизма найти величину уравнове-
шивающей силы Ру, приложенной к оси шарнира В перпендикуляр-
но линии АВ, если к звену 3 приложена сила Ра = 100 и, а
угол (р! = 45°<
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 14. Приведение сил (моментов) и масс (моментов инерции)
в механизмах
Р. В динамике механизмов и машин широкое применение находит метод
приведения сил и масс для решения задач об определении закона движения меха-
низма, находящегося под действием приложенных к нему сил, с учетом масс
звеньев.
Этот метод сводит динамическую задачу о движении всей системы подвижных
звеньев механизма к динамической задаче о движении одного его звена, которое
называется звеном приведения сил и масс, или одной точки этого звена, называе-
мой пюткон приведения сил и масс.
За звено приведения удобно выбирать то звено, которое совершает вращатель-
ное движение относительно стойки. Обычно за такое звено выбирают ведущее
звено, т. е. звено по обобщенной координате которого проводится исследование
движения механизма.
2\ Приведенной силой нлн приведенным моментом называют условные силу
или момент (пары сил), которые, будучи приложены к звену приведения, разви-
вают мощность равную сумме мощностей развиваемых приводимыми
силами и моментами.
Величина приведенной силы, направленной по скорости точки приведения,
равна
П
где Р^— величина приводимой силы, приложенной к точке механизма, v# —
величина скорости точки — угол между векторами Р^и — момент,
приложенный к fe-му звену, — угловая скорость £-га звена, оп— скорость
точки приведения.
Приведенный момент равен
Jv 4ГГ — - 1 - • - - - - - - [1 <1,41
п ton ton
где <Вд — угловая скорость звена приведения.
Приведенная сила и приведенный момент связаны очевидным равенством:
Мп.= Рп-Г> (14.3)
где I — расстояние от точки приведения силы до оси вращения звена приведения.
3* Приведенной массой называется такая условная масса, сосредоточенная
в точке приведения, кинетическая энергия Тп которой равняется сумме
кинетических энергий тех звеньев, массы которых приводятся к этой точке.
124
(14.4)
Согласно этому приведенная масса равна
та=~—
где уп — скорость точки приведения.
В случае, когда массы звеньев приводятся к звену,, совершающему враща-
тельное движение относительно стойки, целесообразно пользоваться понятием
иряведенпого момента янериии /п этик масс относительно оси вращения звена
приведения.
Приведенный момент инерции равен
(14.5)
где f!)n _ угловая скорость звена приведения.
Величины /п и тп связаны равенством
/п = тпр>
(14.6)
где / — расстояние между точкой приведения и оськ> вращения звена приведения.
4°, Из формул (14,1), (14,2), (14.4) и (14.5) следует, что приведенная сила или
приведенный момент сил зависят от. отношения скоростей ведомых звеньев
к скорости звена приведения, приведенная масса или приведенный момент инер-
ции от квадратов этих же скоростей,
Но, как известно, отношения скоростей или передаточные отношения кон-
кретного механизма зависят только от его положения, т. е. от обобщенной коор-
динаты звена приведения. По-
этому приведенная сила или
приведенный момент и приве-
денная масса иди приведенный
момент инерции зависят от по-
ложения звена приведения, т. е.
они являются функцией обоб-
щенной координаты,
5\ Примеры на приведение
сил и масс-
Пример L Для кривошипно-
ползунного механизма (рис. 67, гй
найти приведенную к оси шар-
нира й силу Рп, перпендикуляр-
ную линии ЛЙ, от силы Ps =
= 1000 щ приложенной к зве-
ну 3 (поршню), а также приве-
денную к той же точке массу тп
от масс всех звеньев механизма. Расчет провести для положения звена при-
ведения, когда угол <pj = 45Q. Размеры звеньев и положения центров масс их:
= 65 лл*! — 320 мм, координата центра масс эвена 2 равна =
60 мм, центр масс звена I лежит на оси шарнира Л. Масса звена 2 т2 = 0,4 ка,
момент инерции звена 2 относительно оси, проходящей через его центр масс,
равен /а 6* 10-3 ка,н3, масса звена 3 равна тя 0,5 кг, момент инерции звена 1
относительно оси, проходящей через центр масс, /( = 12- 1(Г3 кгл2.
Решение, 1) Строим план положения механизма (рис. 67, а) в масштабе
= 0,004 м/мм.
2) Строим план скоростей механизма (рис. 67,.£) по уравнению
®с = ®<Н~*СВ.
Рис. 67. Приведение сил и масс для криво-
шипно-ползунного механизма.
3) Приведенную силу Рг определяем по формуле (14.1);
(рс) 40
Рп^-3^^^ = Рд—^1000 ^800 щ
(pb) 50
где (рс) = 40 леи и (pb) = 50 мм — отрезки из плава скоростей*.
125
4) Приведенную массу гпп определяем по форгиуле (I4.4)z
__2 (7\ Ч~ 7$ ~к ?~з)
vh
где 7\, Т3 — кинетические энергии звеньев Л 2 и 3. Пишем выражения этих
энергий;
т
т Л^.'уа, !^св , '?чи§,
2 2'2 2Лкг 2 '
оС
В значениях 7\ и Т2 угловые скорости и выражены через соответствую-
Ve> с’св
щие линейные скорости ад и т. е. ох = —, и2=-;—. Подставляя в формулу
/дв чзс
(14.4) значения кинетических энергий Tlf Т2 н Т3, вычисленные для каждого
звена, и заменяя величины скоростей соответствующими отрезками из плана
скоростей, окончательно получим
_ Л 1 A t'te\2 i>sa\2 —
С1В + 'вс W + "'2 \РЫ +m> [pbj
0,012 0,006 / 36\г M6y -MO'a
Щ0,065)а U0,32)2 \50/ +U,4^50/ + ’ \80/
*
= 2,84 + 0,03 + 0,339 + 0,32 = 3,529 кем?,
колеса / момент /мп и приведенный к
Рис. 68. Приведение сил и масс
для рядного редуктора.
где (p&) = 50 мм, (te) = 36 мм, (ps^ = 46 мм, (pc) = 40 мм — отрезки из плана
скор остей.
Пример 2, Для рядного редуктора (рис* 68) найти приведенный к валу С\
тому же валу момент инерции /п от массы
колеса 5, если к колесу 3 приложен мо-
мент Л?я — 4 нм. а момент инерции колеса
3 относительно его оси вращения 13 =
= 0,04 кгм&; числа зубьев колес = 30,
z2 = 20 и г3 = 60,
Решение. I) Из формулы (14.3)
определим приведенный момент Л4П:
/Ип^ Af3 — =/Witm ^Л73 — =4
(1?1 ои
Мощность приведенного момента равна
численно я по знаку мощности приводи-
мого момента. Здесь момент Л1п имеет тот же знак, что и момент Л!3, так как знак
tai положителен.
2) Найдем приведенный момент инерции /п. Он согласно равенству (14.5)
имеет вид
/„=/, feY «/,(=, =0,04 (S)S = 0,01
\(i>l / \би/
(См. И, И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 83, 87.)
126
ЗАДАЧИ 251-270
251. Для кривошипно-ползунного механизма определить при-
веденный к валу Л звена АВ момент Л1л от силы Р3 = 1000 н, при-
ложенной к ползуну 5, и приведенный к тому же валу момент инер-
ции 1п он марсы ползу-
на 3t если масса ползуна
== 4 кг, 1АВ = 100 шц
/ас = 400 Л£я*т = 90%
К задачам 251 и 252.
К задаче 253. К задаче 254.
252. Сохраняя условии задачи 251, определить приведенный
аюмент Мп и приведенный момент инерции /п в том положении меха-
низма, когда qp! = 0.
253- Для четырехзвенного шарнирного механизма определить
приведенный к валу А звена АВ момент Мп от момента М3 = 40 нм,
приложенного к коромыслу 3t и приведенный момент инерции /гт
от массы коромысла, если момент инерции коромысла относительно
оси D равен 1D = 0,016 кем2, 1АВ = Ю0 мм, 1ВС = ко = 400 лш,
углы <р2 — ф13 фо “ 90°.
254. Для кулисного механизма Витворта определить приве-
денный к валу А звена АВ момент Л1П от момента Л13 = 10 нм, при-
ложенного к кулисе 3, и приведенный момент инерции /л от массы
кулисы, если момент инерции кулисы относительно оси С равен
/с = 0,016 К£Л<% 1АВ =100 мм и углы <pL = 90° и q?s = 30%
255, Для кривошипного механизма с качающимся ползуном
определить приведенный к валу А звена АВ момент Л1п от момента
М3 = 4 нм, приложенного к ползуну 3, и приведенный момент
инерции от масс ползуна 3, если его момент инерции относительно
оси С равен 1с — 0,004 кглг, 1АВ = ЮОлш, 1Ас = 300мм, ф\ = 180G.
К задаче 256.
К задаче 257.
256. Для механизма муфты Ольдгейма определить приведенный
к валу Л звена 1 момент Л4П от момента М3 = 5 нм, приложенного
к кулисе 3, и приведенный момент инерции /п от массы кулисы 3,
127
если ее момент инерции относительно оси D равен = 0,001 кгм\
1дв == ЮО ли*, ф13 = 90°, <pt = 45й,
257, Для синусного механизма определить приведенный к валу
Л звена АВ момент Мп от силы Р3 20 н, приложенной к звену 3,
н приведенный момент инерции /л от массы звена 3, если эта масса
равна т3 = 0,4 кг. длина 1дя = 50 мм. Рассмотреть случаи: а) ф1 =
= 0°, 6) Ф1 = 45°, в) Ф1 - 90й,
258, Для кривошипно-ползунного механизма определить при-
веденный к валу А звена АВ момент инерции /п от массы шатуна
ВС, если его масса ггъ = 0,2 кг, центральный момент инерции 1$, ~
— 0,0032 кгм2, центр масс S3 делит расстояние ВС пополам, 1дв =
= 50 мм, /яс = 400Рассмотреть случаи: а) Ф1 = 0°, б) Ф1 = 90°,
259, Для четырехзвенного четырехшарнирного механизма опре-
делить приведенный к валу А звена АВ момент инерции /п массы
шатуна ВС, если его масса пц == 1,0 кг,
центральный момент инерции =
= 0,4 кгм\ центр масс S2 делит рас-
стояние ВС пополам, 1АВ = ЮО мм. he ~ 2U00 Л1Л1, Icd = 200 лш,
^ав 2000 мм. Рассмотреть случай, когда оси звеньев АВ и ВС
составляют одну прямую АВС.
260, Для синусного механизма определить приведенный к валу
А звена АВ момент инерции /Г| массы ползуна 2, если его масса
— ОД кг, 1Ав = 100 мм. l%Si = 25 мм, где точка S2 — центр масс
ползуна 2, угол ср! = 45\
261, Для шестизвенного механизма определить приведенный
к валу А звена АВ момент Л1п от силы Р5 = 100 направленной
горизонтально и приложенной к точке D, и приведенную к точке
В массу тп от масс звена 5 и ползуна 3. если момент инерции звена
К задаче 26L К задаче 262.
3 относительно оси Е равен /е = ОД кгм2, масса ползуна 3 т3 =*
= 5 кг, 1Ав = 100 м, /дс = 400 мм, = 400 льн, =*200 жлц
Ф1 = Фо = 90°,
128
262. Для шестизвенного механизма определить приведенный
к валу А звена АВ момент от силы Р& = 100 н, приложенной
к ползуну 5, и приведенный момент инерции /п от массы ползуна
т3 2 кг, если 1АВ = 100 ммг lBC = Icd = = 200 мм, =
;=Lj 100 мм, epi Ф^з == ^Рз ”== *
263. Для рядного редуктора определить приведенный к валу OL
колеса 1 момент Мп от моментов = 8 нм и Л13 = 10 нм, прило-
женных к колесам / и 5, и приве-
денный момент инерции /п от масс
зубчатых колес, если их моменты
К задаче 264.
инерции равны /х “ 0,01 кгм\ /а = 0,0225 язл3» /3 = 0,04 кгм* и
числа зубьев колес равны = 20» za — 30, г3 = 40.
264. Для соосного редуктора определить приведенный к валу
С?! колеса I момент Л4п.от момента М = 4 нм, приложенного к валу
О3 колеса Зг если числа зубьев колес равны zr “ = 20» = z3 =>
= 40.
265, Для одноступенчатого планетарного редуктора определить
приведенный к валу Ол колеса / момент Мп от момента Ми = 4 нм,
приложенного к водилу Н, если числа зубьев колес равны г1 = га “
= 20» z3 = 60.
266, Для кулачкового механизма найти приведенный к валу А
кулачка момент М„ от силы Р% — 10 я, приложенной к толкателю
К задаче 266.
2, и приведенный к тому же валу момент инерции /п массы тол-
кателя = 0»3 ка, если 1АВ — 0,06 м и угол наклона касательной
тт к профилю в точке касания его с острием толкателя фг ™ 30\
5 И, И, Артоболевский, В, В, Эдельштейн [29
267- Для планетарного редуктора определить приведенный к ва-
лу 0± колеса 1 момент инерции /п от масс всех звеньев, если центры
масс звеньев лежат на осях их относительного вращения» моменты
инерции звеньев равны 1г = 0,001 кгм*г /2 = 0,001 /сеж3, /э =
4
К задаче 268.
К задаче 267,
= 0,016 кглЛ масса сателлита = 0,2 кг. модуль зацепления
т = 10 мм, числа зубьев колес = z2 20, z3 = 60.
268- Для планетарного редуктора определить приведенный
к валу 02 колеса / момент инерции /п масс всех звеньев, если центры
масс звеньев лежат на осях их относительного вращения и , Zx =
= 0,001 кгм2, Л — 0,004 кал?, Лг = 0,001 кгм2, ]н = 0,018 кглЛ
массы сателлитов т2 — 0,4 кг, т? = 0,05 кг, модуль зацепления
т = 10 мм и числа зубьев колес zx = z2' = 20, г2 = z3 = 40.
269, Для четырехзвенного четырехшар лирного механизма найти
приведенные к валу А звена АВ момент М? от трения в шарнире В,
если в середине звена 3 приложена горизонтальная сила Р3 = 400 н,
1ал = 300 лш, 1цс = /со = 20° <Pi 45°, ф23 = <рз = 90°*
К задаче 269.
К задаче 270.
диаметр цапфы шарнира В d = 40 лш, коэффициент трения в шар-
нире равен f = 0,1,
270. К валу О2 зубчатого механизма приложен момент сопротив-
ления Л!2 == 9 нм, коэффициент полезного действия механизма
1] — 0,9. Определить приведенный к валу О2 колеса 1 момент MF
от сил трения во всех кинематических парах механизма, если числа
зубьев колес равны = 20, z2 40.
130
§ 15. Определение закона движения эвена приведения
машинного агрегата
Р. Машинным агрегатом (рис, 69) называется устройство, состоящее из
машины-двигателя Л рабочей машины 2 и передаточного механизма 3 (редуктора,
коробки скоростей, вариатора).
Машиной-двигателем [[взывается такая машина, в которой тот или иной вид
энергии преобразуется в механическую работу ла ее выходном звене (валу).
Рабочей машиной называется такая машина, в которой механическая работа,
2 *?
передающаяся на ее входное звено от двигателя, преобразуется ее рабочим орга-
ном в работу, необходимую для совершения тех-
нологического процесса, на который рассчитана
машина.
Передаточный механизм служит для преоб-
разования момента, снимаемого с выходного
звена двигателя, в момент на входном звене
рабочей машины (как правило, это преобразо-
вание идет в сторону увеличения момента на
входном звене рабочей машины).
Приведенный момент (сила), который стре-
мится ускорить движение ведущего звена, назы-
вается движущим моментом, а приведенный
момент (сила), который стремится замедлить движение ведущего звена, называется
Рис. 69. Схема машинного
агрегата,
моментом сопротивления,
2У. Первым шагом при решении задач о движении ведущего звена агрегата
является приведение сил и масс к этому звену. К ведущему звену приводятся все
силы, приложенные ко всем звеньям, и все массы звеньев механизмов, вошедших
в состав машинного агрегата.
После приведения сил и масс к ведущему эвену исследованию подлежит это
звено, к которому оказываются приложенными момент движущих сил ЛГЯ и
Рис. 70. Ведущее звено (звено приве-
дения) механизма после приведения
сил и масс.
Рис. 71. Гиревой двигатель.
тмомент сил сопротивления Это звено имеет массу, момент инерции которой
определяется значением приведенного момента инерции /п (рис, 70).
Зэ. Приведенные моменты сил движущих и сил сопротивления зависят от
механических характеристик машин, вошедших в агрегат. Механической характе-
ристикой машины называется зависимость сил или моментов, приложенных к
ее звеньям, от кинематических величин, характеризующих движение этих звеньев
(перемещений, скоростей или ускорений).
Ниже рассматриваются механические характеристики некоторых двигателей
и рабочих машин.
б*
131
Наиболее простым двигателем будет гиремэа (рис, 71)! механическая харак-
теристика которого имеет вид
Л1Д= const =Qrr
где Q — сила тяжести гири.
У пружинного двигателя (рис.
Рис. 72. ПружизтьЕЙ двигатель.
72, а) механическая характеристика будет
Мд = Л1Д[1 — <7ф (рис, 72, б), где q —
жесткость пружины, а гр — уголт па
который она закручена.
У электродвигателя постоянного
тока характеристика имеет вид, пока-
занный на рис. 73т т. е. Л1Д = Мд (о>),
где А1д — момент на валу ротора, а
— угловая скорость ротора.
Рис. 73. Механическая характеристика
электродвигателя постоянного тока.
У электродвигателя переменного тока (асинхронного) механическая харак-
теристика имеет вид, показанный на рис. 74, т. е. АТД — А1д (со).
Мех а н ическа я х а р актеристи к а одноцил и н д р ового четы р е х та кт ного двн г а-
теля (рис. 75) представлена его индикаторной диаграммой, т. е, зависимостью
удельного давления р газов в цилиндре
на дно поршня от перемещения S пор-
шня: р — р (S).
Остановимся подробнее на описа-
нии процесса, протекающего в ци-
линдре четырехтактного двигателя
внутреннего сгорания за четыре хода
Ряс. 74. Механическая характеристика Рис. 75. Индикаторная диаграмма
электродвигателя переменного тока четырехтактного двигателя внутренне-
(асинхронного). го сгорания.
поршня, основываясь на упрощенной индикаторной диаграмме (рис. 75). Первый
такт (всасывание) протекает по прямой аЬ\ второй такт (сжатие)—- по кривой Ьс\
третий такт (рабочий ход) — по кривой erf; четвертый такт (выхлоп) — по кри-
вой de. Сила Р, приложенная к поршню, определяется через ординату у инди-
каторной диаграммы, взятую для рассматриваемого такта и положения поршня
(на рис. 75 рассматривается такт сжатия).
132
Эта сила Р равна
n jiD* nD*
(15.1)
где Цп — масштаб диаграммы по оси ординат, D — диаметр цилиндра.
У центробежного вентилятора механическая характеристика (рис, 76) есть
зависимость вида Мс — (<о).
У строгального станка механическая характеристика (рис. 77) представля-
ется равенством Ррсэ= Ррез (S), где Ррез — сила резания, приложенная к резцу,
Рис, 76. Механическая характеристика
центробежного вентилятора.
Рис, 77. Механическая характеристика
строгального станка.
5 — перемещение резца, закрепленного из суппорте (предполагается, что ско-
рость резания постоянна).
4°. Задачу о движении звена приведения можно считать решенной, если с по-
мощью уравнений динамики будет найдена одна из следующих четырех зависи-
мостей:
Ф = ф(0» (15,2а)
и = (!>(/), (15.26)
е=е(/)т (15.2в)
(0 = 1!) (ф), (15.2г)
где ф — угол поворота звена приведения (обобщенная координата), со — его
угловая скорость, в — его угловое ускорение, £ — время.
В самом деле, если известна зависимость (15.2а), то остальные зависимости
(15,26) и (15,2в) найдутся одно- и двукратным дифференцированием зависимости
(15.2а), а зависимость (15.2г) — исключением параметра / из зависимостей (15.2а)
и (15.26).
Если определена зависимость (15,26), то зависимость (15.2а) найдется интегри-
рованием зависимости (15.26), а остальные зависимости найдутся так же, как и
в предыдущем случае. Аналогично определятся зависимости (15.2 а), (15.2 6)
и (15,2 г), если будет определена зависимость (15.2 в). Во всех случаях постоян-
ные при интегрировании должны быть известны.
Если же будет сначала найдена зависимость (15.2 г), то для нахождения
остальных зависимостей следует предварительно найти зависимость t = t (ф)
путем интегрирования
(15.3)
НЕпеграл (15.3) основан па том, что w = d<$>/dL
5°. При решении задач настоящего параграфа будем пользоваться двумя
видами уравнений динамики машин:
I) Уравнением движения в форме моментов (в форме уравнения Лагранжа
2-го рода)
Л1д-Л)с = 711Е+^£, (15.4)
£ Uy
133
где (fj <iV — соответственно угол поворота, угловая скорость и угловое ускоре-
ние эвена приведения, Л1Д— приведенный момент движущих сил, Л1С — приве-
денной момент сил сопротивления, /п — приведенный момент инерции механизма.
Если приведенный момент инерции /п постоянен, то уравнение (!5.4) при-
мет вид
Л]л-Л1£=/Г1е, (13,4а)
2) Уравнением движения в форме закона кинетической энергии. Имеем
Jj л;д rftp— мс ^ф=
(15.5)
где ф0 — значение угла <р, принятое за начальное, со^ — значение <о при ср = фг:
Ф/ — любое произвольно выбранное значение угла tf, а^- — зиачепне со прп
ср = ф/.
Если приведенный момент инерции постоянен, то уравнение (15.5) примет вид
<4 4i
Мд dtp — МсЖр= у (йт-(15.5а)
?’о ^0
Ниже бмдет использованы следующие обозначения:
Мд dср — Лд—работа движущих сил па заданном перемещении эвена при-
ведения, равном ДфС£ = ср, — фс;
Afc t.'ip —Лс — работа сил сопротивления на том же перемещении звена
приведения;
/П-И]
—-— = Т[— кинетическая энергия, которой обладает механизм в f-м
положении;
/п
—— = Т0—кинетическая энергия, которой обладает механизм в началь-
ном положен ин (ср = q?0),
В этих обозначениях уравнение (15.5) примет вид
АД^АС = Т1-Т,= ЬТ^ (15.56)
Разность работ движущих сил и сил сопротивления называют избыточной
работой па данном перемещении звена приведения (или механизма). Она равна
А = Лд-Лс = ДТсл (15.6)
Используя принятые обозначения, получаем из равенства (15.5) значение
угловой скорости щ/ звена приведения в Лм положении его в виде
, /~2Л /п0-^ /'ГЦ
w (15'7)
Если приведенный момент и пер пи я /п будет постоянен, то формула (15.7)
примет вид
| Л2Л t д । Г 2Тi ч
у j^d = у (h./a)
134
Во всех задачах настоящего параграфа предполагаются известными или пр ед-
варj;тельно найденными следующие величины: приведенный момент движущих
сил ;U.-p приведенный момент сил сопротивления Л1с, приведенный момент кнер*
иин /и। также начальные значения угла фй и угловой скорости ci?0 звена приве-
лся и я_.
6Л Покажем решение задачи о движении звена приведения при заданных
при веденном моменте движущих сил /Ид, приведет]пом моменте сил сопротквле-
пня Л/с и приведенном моменте инерции /п в виде функций углаф.
Рис. 78. К определению закона движения звена приведения при моментах дви-
жущих СЕ1Л и сил сопротивления, а также приведенном моменте ниерциЕ!, за ви-
сящих от угла поворота звена приведения.
Такая задача, например, возникает при исследовании механизма прибора,
который приводится в движение пружиной, при условии, что сопротивлением
является трение в кинематических парах механизма-
На рве. /8, а показано звено приведения /1/? механизма. Это звено начинает
движение из положения, когда точка В занимает положение ^Кинематический
никл работы механизма равен одному обороту звена ЛУЗ, Требуется найти закон
движения ззена ЛА? в течение одного его оборота. Заданы графики моментов дэш
жущих сил Мд и сил сопротивления Л1с в функции угла (р поворота звена .4 В
(рис. 78. б) и график приеденного момента инерции /п а функции того же угла
(рис* 78, е}.
135
Решение задачи ведем в такой последовательности!
1) Делим окружность, описываемую точкой В, на ряд равных частей (в пашем
случае Па шесть). На столько же частей делим абсциссу графика моментов
(рис, 78, б), размечаем избыточные площади FiSt F^, ... и подсчитываем их
площади в леи*. Эти площади пропорциональны избыточным работам Я на соответ-
ствующих им перемещениях звена АВ.
Вычисляем значения избыточных работ на каждом из таких перемещений
звена Л В:
Hq),fj2’ ^23 —Мл<’‘Нф'^23’ ^34 — Нм ’ Ьр *^34» 1 ” ’
где Flat F^, ... — избыточные площади в леи3 (рис* 78, б) (эти площади подсчи-
тываются по известной формуле для нахождения площади трапеции), и рф—
масштабы графика М — М (ф).
2) Находим значения кинетической энергии 7\ в каждом из выбранных поло-
жений эвена АВ по формуле
Л = Т0 + Л0/| (15.8)
где Т$ — значение кинетической энергии в начале перемещения, а Ло$ — избы-
точная работа, полученная при перемещении звена Л В из начального положения
В i-e положение .
По вычисленным значениям кинетической энергии Т строим график зави-
симости ее от угла <р поворота звена АВ (рис. 78, г},
3) Вычисляем значение угловой скорости в каждом Lm положении звена
АВ (по формуле (15.7));
По найденным значениям угловой скорости строим график зависимости ее
от угла ф поворота звена А В (рис. 78, Э).
4) Время Д ij/fj за которое звено АВ переместится из положения i в поло-
жение kt может быть приближенно определено по формуле
= (15,9)
Шер
* - 2%.
где А = фй — ф; “ шаг, которым в нашем случае равен т<р — средняя
угловая скорость звена АВ на перемещении Аф, которую приближенно можно
вычислить по формуле
WCp = —’•
Для определения времени, которое требуется для перемещения звена АВ
из начального положения в положение kt следует последовательно применять
формулу
+ (15.10)
где Atitf — время, за которое звено АВ перемещается из i-го положения в Л-е
положение.
По найденным значениям времени I строим график его зависимости от угла ф
поворота звена АВ (рис. 78, е).
5) Угловое ускорение е звена А В может быть найдено разными способами.
Приведем некоторые из них.
Первый способ. Из графиков w — со (ф) и i = t (ф) исключаем параметр <р,
С этой целью чертим систему прямоугольных координат, вдоль оси ординат кото-
рой откладываем значения а вдоль оси абсцисс — знамения f, которые соот-
ветствуют углам Фр Таким образом получаем график зависимости w = ю (0-
136
Графическим дифференцированием теперь можно найти значение. углового
ускорения е дли любого Г го положения ведущего звена Л В по формуле
e^dt<,}= ?Гёъ’
где у/— угол наклона касательной к графику © = о (?) при ф = ср/, а р<й и
р, — масштабы по осям ординат и абсцисс графика <о и (?).
Второй способ. Ускорение е определяется путем последовательного приме-
нения формулу
для различных положении эвена АВ. Например, для четвертого положения его
(рис. 78, ж) ускорение а будет равно
(4) = )ia-jrB4-£?tga,, (15.12)
где сс4 — угол наклона касательной к графику со = <й (ф) в положении 4, у®* —
ордината графика о = w (ф) в том же положении, н — масштабы ординат
и абсцисс графика со = () (<р).
Третий способ. Угловое ускорение я можно также найти на основе формулы
(15-4). Имеем о и &d/a.
£ =------- Г *
/ □
Если определена функция ш (ф), то все величины, кроме значения производ-
ной d/n/d<pT входящие в правую часть этого равенства, известны для любого поло-
жения звена Если же приведенный момент инерции /п постоянен, то формула
(15.12) примет вид
6=^"^°. (15.12а)
* п
При переменном моменте инерции /п предварительно надо разыскать значение
производной dln/dq>. Его можно найти графическим дифференцированием зави-
симости /п = /п (ф). Например, при четвертом положении звена АВ (рис. 78, е)
находим
"п И/
-f =—tgp.
dtp Мф
где р — угол наклона касательной тр] к графику 7П = Zn (q?) в четвертом положе-
нии звена ABt и — масштабы ординат и абсцисс этого графика.
Четвертый способ. Производную d/Tl/d<p можно также определить, восполь-
зовавшись рычагом Жуковского. Обратимся к уравнению (15.4), Первый член его
правой части, взятый с обратным знаком!
л — 7пе —Л1пнач, (15.13)
представляет собой приведенный момент сил инерции масс звеньев механизма
в его так называемом начальном движении (при котором ц вено приведения-имеет
угловое ускорение, по еще не приобрело угловую скорость). Второй же член
правой части уравнения (15.4), взятый тоже с обратным знаком:
tfd!n_
2 dtp
Мии >
(15,14)
представляет собой приведенный момент сил инерции масс звеньев механизма
в его так называемом перманентном движении (при котором звено приведения
движется равномерно).
Н7
Рассматриваемый способ основан на том, что приведенный инерционный мо-
мент можно определить и, следовательно, по нему найти искомую произ-
водную „ 9
(15.15)
Величина ее не будет зависеть от квадрата угловой скорости звена приведения,
так как в значение инерционного момента будут входить инерционные наг-
рузки от масс звеньев механизма, которые, в свою очередь, будут пропорциональ-
ны квадрату этой же скорости.
Последовательность нахождения производной dljdy с помощью рычага
Жуковского следующая: _
1) Вычерчивается схема механизма в требуемом положении.
2) Строятся повернутый план скоростей механизма и план ускорений в пред-
положении, что звено приведения движется равномерно со скоростью, которая
берется произвольно,
3) Определяется инерционная нагрузка каждого звена механизма.
4) Инерционная нагрузка, по известным правилах^, переносится в поверну-
тый план скоростей (рычаг Жуковского), и находится приведенная к выбранной
точке на ведущем звене сила инерции РН1], которая обычно направляется по ско-
рости этой точки,
5) Приведенная сила инерции прикладывается к выбранной точке на звене
приведения, и определяется ее момент относительно оси вращения этого звена:
^ип = -^ип' (15-16)
6) Находится значение производной по формуле (15.15) подстановкой
в нее полученного значения Mtin при выбранном ранее значении со.
7° , Покажем решение задачи о движении звена приведения в случае, когда
приведенные моменты движущих сил и сил сопротивления зависят от скорости
этого звена, а приведенный момент инерции постоянен.
Для этого случая применим уравнение (15.4), которое примет вид
(15.17)
I
Л1Д (ш)-Мс (и>) = 1п-^,
ч
й
f.
откуда, после разделения переменных, имеем
d(o
/пМд(<о)-Л1с{[о)‘
интегрирование дает
j j Л г С
* ?i -- in {<й) _ ,
w£
(15.18)
(15-19)
где — промежуток времени между некоторым начальным моментом н fc-м мо-
ментом, i[ — промежуток времени между тем же начальным моментом и f-м мо-
ментом, A — промежуток времени между Л-м и t-м моментами, — значение
со при t 4 и гп/ — значение со при i = £/.
Если функции Мд и Л7С не заданы аналитически и, следовательно, интеграл
(15 J9) не может быть вычислен непосредственно, то решение будет идти в такой
поел е до в а тел ь ности:
1) Делим интервал изменения угловой скорости, данный на графике момен-
тов (рис, 79, я), на ряд равных промежутков (в нашем случае на шесть) и вычис-
ляем значения углового ускорения ведущего звена по формуле (15,12 а):
7п*
по найденным значениям углового ускорения строим его график & = е (о)
(рис. 79, б).
138
2) Находил* величину промежутка вре-
мени Л 33 который угловая скорость
изменяется от величины <о^ до величины
(15-20)
где Л = <оЛ — а>;, е;к — среднее у с коре-
ине на интервал Д
По вычисленным значениям строим
график зависимости i = t (со) времени от
угловой скорости ведущего звена (pMC-79ss),
имея в виду, что
3) Исключая и из функций е — е (со) и
t = Г (g>), можно построить график е ™ е (f),
а интегрируя функцию св = ш (/)— найти
функцию ф = <р (0-
Рассмотренный случай соответствует,
например, исследованию движения эвена
приведения машинного агрегата, состоящего
из электродвигателя постоянного тока, ре-
дуктора и центробежного вентилятора. Ис-
следовался период разгона ведущего звена,
8°, Приводим решение задачи (по
В, А. Зиновьеву и М. А Скуриднну) о дви-
жении звена приведения в случае, когда
приведенный момент движущих сил М~ за-
висит от скорости звена приведения: Л?д =
= Л1д (о), приведенный момент сил сопро-
тивления Л1с зависит от угла поворота ф зве-
на приведения: Mz = Мс(ф), и приведенный
момент инерции механизма /п тоже зависит
от этого угла: /н — /п (ф). Такой случай
имеет место, например, при динамическом
исследовании машинного агрегата, состояще-
го из электродвигателя, коробки скоростей и
поперечно-строгального станка, в основу ко-
торого входит кулисный механизм Витворта
с переменным передаточным отношением.
Имеем заданными: момент движущих сил
Л1Д = Л1д (w) (рис. 80, а), момент сил сопро*
тивления Л1с = Л1с (ф) (рис. 80, б) и приве-
денный момент инерции механизма /п =
= (Ф) (Рис. 80, е) при начальных усло-
виях: (О — CD; При Ф = ф£.
Напишем уравнение (15.5) прнменителЬ'
но к перемещению звена приведения из по-
ложения i-ro в положение fe-e:
Мл (ш) dtp— jj А1С (ф) d<p =
4>i
7П. - to?
^2 2
Рис. 79. К определению закона
движения звена приведения при
моментах движущих сил и сил
сопротивления, зависящих от
угловой скорости ведущего зве-
на, и постоянном приведенном
моменте инерции.
Рис. 80. К определению закона
движения звена приведения при
моменте движущих сил, завися-
щем от угловой скорости звена
приведения, моменте сил сопро-
тивления и приведенном момен-
те инерций, зависящих от угла
поворота этого же звена.
(15.21)
Предполагая, что в
га интегрирования
пределах малого ша^
Дф = Ф£ —Ф; момент
139
движущих сил /Ид изменяется линейно, можно значение первого интеграла в левой
части уравнения (15.21) представить в виде
-М,ь + Лк.
J \ ' *Ф-
(15.22)
Подставляя значение этого интеграла в уравнение (15,5) и решая его отно-
сительно неизвестного движущего момента в й-м положении звена приве-
дения получаем
Фи
Ли*йЪг /п/ ’ <х>1 2 i’ „
^ = 4^-4r + М> J АМФ-Л^-С-ШНС., (15.23)
ф/
где С и Q постоянные, равные
Фь
Ли /п;-СО? 2 ?
C = и Cj =------^ + r \Mcdq)-AV. (15.24)
Аф л Дф ’ Дф J д<
Эти постоянные легко вычисляются, так как значения приведенного момента
йиерции /Пй в А-м положении и /п/ в i-м положении известны по графику /п =
= (Ф) (рис. 80, ^); А ф — выбранный шаг интегрирования; ю/ — угловая
скорость в /-и положении — известна из начальных условий; движущий момеггг
Мд в Лм положении также известен (рис. 80, а), а интеграл J Мс dtpможет быть
Ф,
вычислен по формуле
f (15.25)
Ф,
где F^ — площадь в мм\ заключенная между i-й и &-й ординатами и осью аб-
сцисс графика Л1с _ (ф) (рис. 80, 6), ря и — масштабы этого графика.
Искомый движущий момент Л1л^ в Л-м положения находится совместным
решением двух уравнений: заданного ЛГД = Л!д (св) и полученного (15.23); так,
если функция ЛГД = Л1д (щ) задана графиком (рис. 80, й), то решение (рис. 80, д)
сведется к нахождению точки /< пересечения кривой (to) с параболой,
представляемой уравнением (15.23) (в показанном на рисунке решении постоян-
ная взята со знаком минус). По найденному значению Л1Д^ находится значе-
ние Wjtj. Для последующего значения угла tp; (все решение повторяется в той же
последовательности) определяется значение угловой скорости По найденным
значениям угловой скорости строится график зависимости ю = ш (ф). Дальней-
шее исследование ведется так, как указано в пункте 6* настоящего параграфа,
tP. Примеры, Пример к Силы, приложенные к механизму, и его массы при-
ведены к звену АВ (рис. 81, а). Приведенные момент движущих сил Л4Д и момент
сил сопротивления ЛГС изменяются в течение первых пяти оборотов звена АВ
в соответствии с графиком на рис, 81, б. Приведенный момент инерции 1а по-
стоянен и равен /н = 0,1 калт. При угле ф, равном пулю, угловая скорость
<в эвена АВ также равна нулю. Требуется определить величину угловой скоро-
сти й) звена АВ через пять оборотов от начала его движения.
Решение, 1) Находим угол поворота звена АВ за пять его оборотов,
ок равен
ф& = 2л- 5 = 10я раЛ
140
Отрезок Хь на графике моментов, соответствующий углу фв = Юл рад при мае-*
штабе по осн абсцисс = ОД л рад!мм, равен
г =Л1
5 Рф
Юл
ОДл
—100 лл<.
2) Находим работу движущих сил и работу сил сопротивления Лс ла
угле поворота звена АВ, равном фв.
Рис. 81. К примеру L Определение угловой скорости звена приведения через
пять оборотов с момента начала его движения.
Работа движущих сил Лд равна
%в
Лд= \ Л1Д Лр = м пл (ОаЬ) = м =0, iл 0,5 —— = 150л нм.
Работа сил сопротивления Лс равна
= ЧЛ=М;и пл (Ос«1!>)=рф|1Л1усх5=О,1л -20 100 = 100л нм.
Избыточная работа па том же угле поворота звена АВ равна
Л = ЛД—Ло = 7\ = 150л — Ю0л!= 50л «ль
где Ть — кинетическая энергия механизма при ср = фй.
3) Находим угловую скорость ш при (ft = 10л по формуле (15,7 а)д
Ш» = У^+®; =]/^ = ]/^^- = /1006^=56^-4 .
Пример 2, Силы, приложенные к механизму, и его массы приведены к звену
АВ (рис. 82, а). Движение звена АВ принято установившимся. Одному циклу
этого движения соответствует один оборот звена А В на угол Цд, равный 2л, У гл о
вая скорость © при <р — 0 равна ©0 = 10 ttfd. Момент сил сопротивления Afe
изменяется в соответствии с графиком на? рис. 82, б, причем его максимальное
значение Afc mflX равно 40 нм. Момент движущих сил А1д постоянен на всем цикле
движения звена АВ. Приведенный момент инерции Zn также постоянен и равен
1П 0,8 кал*. Требуется построить графики изменения кинетической энергия
Т = Т (ф), угловой скорости © = со (ф) и углового ускорения е = в (ф) эвена
AВ, а также найти коэффициент 6 неравномерности вращения звена АВ.
141
Решение. 1) Находим значение постоянного движущего момента Л4Д1
л исходя из Torot что за цикл установившегося движения работа движущих сил Дд
равна работе сил сопротивления Лс:
лл Отт -г., л< ^стах ^0
Л1 д • 2л == --, откуда Л1д = —-— = — — 20 нм.
Графики моментов движущих сил Л1Д и моментов сил сопротивления Л!с
построены в общей для них системе координат (рис. 82, в). Масштабы графиков
40
Рис. 82. К примеру 2. Определение законов изменения угловой скорости и угло-
вого ускорения звена приведения в течение одного оборота его, который соответ-
ствует одному циклу установившегося движения.
, 2л 2л л рад ,
приняты равными по оси абсцисс um= — = - — = — с— (так как отрезок хА
f 80 40
принят равным 80 л.и), по оси ординат = 1 нм/мм.
2) Вычисляем значения кинетической энергии Т звена ДВ. Для этого угол <рц
поворота звена Л В делим на ряд равных частей, в нашем случае на четыре, и на
графике (рис. 82, в) размечаем площадки F12i F2& F3i и F^t которые пропорцио-
нальны избыточным работам соответственно на участках 7—2, 2—5—4 и 4—5
угла фц, Эти площади s нашем примере по абсолютной величине одинаковы и
20 20
равны—-—- = 200 jut-. Значения избыточных работ Л12, Дгэ. Л31 и пропор-
циональны этим площадкам: 4
Ац === 1 ~^q * 200 = 5л нмj
Д-3 = —5л HMt Д34 = —5л нм и А# = 5л нм*
142
3 начет? и я кинетической энергии Т для каждого положения звена будут равны:
7t==^l = 0,8'10Д^40 нм, Т!!=Т1+Л12=-40 + 5л = 55,7 нм,
7з=7\—Д2Э —55,7—5л=40 нму Г4 = ТЭ—>^ — 40—5^ = 24,3
Тб = T^-f-Л«ц = 24(3-[-ол=40 нм.
По полученным значениям кинетической энергии строим график зависимости
ее от угла ф (рис. @2, г). Масштаб его по оси ординат принимаем равным цг =
= 1,0 нм/мм,
3) Вычисляем значения угловой скорости to звена А В по формуле (15.7 а);
По найденным значениям угловой скорости ш строим график to = со (ф)
(рис. 82, д), масштаб его по оси ординат принимаем равным рй = 0т5 секгЧмм.
4) Находим значения углового ускорения в звена АВ по формуле (15.12 о):
Л1Л1-Л1С1 МЛ1-0 20
£1“ /п “ /п ~ 0,8^ 25 сеК '
_МДа~Мч _ 20-40
Еа~ /„ ~ 0,8
25 сект2*
^л5 jWcs Л4дв
е*--^“Т7
20
м=25 саСК
По найденным значениям в строим график зависимости его от угла по
ворота звена АВ (рис. 82, в), масштаб по оси ординат графика принят равным рЕ =
— 2,0 сг^/'.ад,
5) Находим коэффициент 6 неравномерности движения звена А В по формуле
®тах tomin не™
6 =-----—-------, (15.26)
где tocp = гпвх^~_—221221 =—55 сек'1', подставляя значения макси-
мальной ©maxi минимальной to mill и средней ©ср угловых скоростей в формулу
(15.26), найдем значение коэффициента 6 неравномерности движения звена Д£з
s 11,3—7,8 Лодс
6-------9^5-----‘°>366-
Пример 3. Сохраняя условия примера 2, требуется для одного цикла уста-
новившегося движет] я звена АВ построить диаграмму Витгенбауэра, т. е* графин
Т = Т (/п) зависимости кинетической энергии Тот приведенного момента ин ер-
143
ции /п. Как известно, луч ОК (рис, 83), соединяющий начало координат О с про-
извольно выбранной точкой К на кривой Т ~ Т (fn)r образует с осыо01п утол,
тангенс которого пропорционален квадрату угловой скорости звена пр иве-
Рис, 83. Свойства диаграммы
Виттенбауэра.
дени я в положении, соответствующем положе-
нию k звена АВ. Отсюда
«*=1/^ ~ tgipfr = л/Vtgipfr.
V ^‘п v м 'п
(15.27)
Решение. 1) Строим графики моментов
движущих сил и сил сопротивления Л1д =
= Л/д (ф) и Л1С = Л1с (ф) (рис, 84, а) такие же,
как и в примере 2.
2) Строим график кинетической энергии
Т =Т (ф) такой же, как в примере 2 (рис. 84, б).
Рис. 84. К примеру 3. Построение диаграммы
Виттенбауэра для одного цикла установившего-
ся движения звена приведения.
3) Строим график зависимости приведенного
момента инерции /п от угла поворота ф звена
приведения АВ (рис, 84. е); этот график построен в осях координат, повернутых
па 90° относительно сисе го обычного положения. В нашем примере график /п =г
— /п (ф) представляет собою прямую, параллельную оси ср.
4) Строим диаграмму Виттенбауэра Т = Т (/„)- Для этого продолжаем
осн абсцисс графиков /п = 1а (ф) и 7’=Т (<р) до их пересечения в точке О (рис, 84 ,г).
Эта точка является началом
координат диаграммы Т =
= Т (fn). Точки самой ли-
нии диаграммы Т = Т (/п)
строятся подобным же обра-
зом, Через конец ординаты
/П1 (рис. 84,6) проводим пря-
мую, параллельную оси абс-
цисс графика 1ц = /д (ф), до
пересечения ее с прямой,
проведенной через конец
ординаты 7\ (ряс. 84, б) па*
раллельно оси абсцисс гра-
фика Т = Т(ф). Точка их
пересечения есть тачка /
диаграммы Т = Т (/п) (рис,
84, е). Аналогично строим и
другие точки диаграммы
Т =Т (Уп). В нашем приме-
ре эта диаграмма является
прямой линией, так как при-
веденный момент инерции /п
постоянен.
Если соединить, напри-
мер, точку О с точкой 4t то
луч О—? и ось О/я образуют
угол фч, тангенс которого пропорционален угловой скорости ш4 звена приведе-
ния АВ в его четвертом положении. Угловая скорость <о4 найдется из равенства
0)4
Пример 4. Звено приведения АВ (рис. 85, а) начинает двигаться из положе-
ния /, когда угол ф = 0 и его угловая скорость ш тоже равна нулю,
144
Приведенный момент движущих сил Мд изменяется в пределах первого
оборота звена AS по графику на рис. 85, б, удовлетворяя уравнению
^д = Л1дш^-?Ф "**>
гдеЛ1ДЛ1ак— максимальное значение Л4д, равное Мд тах = 24 10"3 км. q =
6'10“2 НМ Л,, _ лип
=. —-—— жесткость пружины, приводящей в движение зпепо АВ. При-
веденный момент сил сопротив-
ления равен нулю, приведенный
момент инерции /п изменяется
в соответствий с графиком на
рис. 85, в. Его значения для
отдельных положений звена АЙ
равны:
/H=/ni = 'n,s = 3-l<H А-г<
Л^ = ^н0 = ^пй =
— /п = 3,25* 10"*
п1з ’
^п3 = Л1й = Л19₽^п11 —
-5,5* 10"* кел4%
Ч = Ч^6’1<П к™*-
Для первого полного оборо-
та звена АВ требуется построить
график его угловой скорости
ш — ш (ф) в "функции угла <р
поворота и график времени его
движения f = / (ф) в функции
того же угла <р, а также найти
время за которое звено АВ
совершит полный оборот вокруг
своей оси А.
Указание, Угол пово-
рота звена AS, соответствующий
одному обороту, следует разде-
лить на 12 равных частей.
Решение. 1) Вычисляем
Рис. 85. К примеру 4. Определение закона
движения звена приведения при моменте
движущих сил, зависящем от угла поворота
звена приведения, приведенном моменте
инерции, также зависящем от этого угла, и
моменте сил сопротивления, равном нулю.
значения движущего момента
Мд для каждого положения звена АВ. Для этого в равенство Мд =± Мд mas — <7<р
последовательно подставляем значения текущего угла ф поворота звена АВ.
Получаем
М„ =24.1(Г»-а.0 = 24.10"»«л, М, = 24. 10^_6‘ 10 * ^-^23. 10 “ нм,
д» ч ' да л 12
А10”й
Мп -24* КГ*- — - * 2 7^ = 22 * Ю-3 нм,
Ди п 12
*4 = 21 * 1(Н нм, ЛС = 20 * КГ* Дь HMt = 19* 10’* нм,
Л’д, = 18- 1(Г* нм, -17* 1(Г= Ди нм, м*. - 16- Ю-* нм,
= 15- КГ* км, МД11 = 14- 10'* НМ, м.1г = L3 1СГ* НМ/
===12-1СГ* «л.
Л|‘!
Мб
2) Подсчитываем значения избыточных работ А на каждом интервале Л tp ==
= jj перемещения звена АВ:
Мп +Л4, ЛТ Ч-/И-, 2л 24 И0-2+23 10-а
Д — . Д* - Лгг*. — Дд- _ Да _______ _______!__________
12 2 Лр 2 12 “ 12
л=О,О393л
WJH>
* 23- IO"3+ 22. 10-2
Л 23 ---------л = 0,0375л «м,
Лм_22д102±2М^„=одалш.
X
А 21 * Ю^+2(Ь 1(П
Л 4J5 -----т-я-------л = 0,034 1 л WjW,
X £л
л 20- 1(Г*+19 - 10“2
Л =---------12--------л = 0,0325л нм,
, 19-10^+18-10-а
Л о 7 —---------------л = 010308л к я,
1 £
18. 10“aJ-17 -10^2
Ла = - ,Г л = 0,0292л
12
_ 17.10-^4-16-10^= лП(Г7с
Л^гп --------Г5--------л = 0,0275л
нм,
12
ям,
. 16-10“2Ч-15 10"*
А мо=-----г?------—— л = О,0258л нм,
X W
15-10-=+14-10-2
Л101п=-----------------л=0,0242л нм,
14 . 1O“2-L 13 . 1О”Й
лд1>п=— w 1П' 16 1и л = 0,0225л нм.
12
12
Далее по формуле (15.8) определяем значения кинетической энергии Т для
каждого положения звена АВ:
Гд — 0 (так как при <р - 0, го = С),
Т2 = Л + Л12 = 0 + 0,0393л = 0,0393л нм,
73 = Тг + Л23 0,0393л + 0,0375п = 0,0768л «я.
Tf = 0,1126л нм, Т^_ 0,1467л нм, 7е = 0,1792л нм, Т7 = 0,2100л ям,
Ts = 0,2392л нм, Г9 = 0,2667л нм, T1(i = 0,2925л нм, Ги = 0,3167л нм, Т12 =
= 0,3392л нм, 713 = 0,3600л нм.
3) Вычисляем значения угловой скорости го звена АВ для каждого его по*
ложепия по формуле (15.7):
= 0,
»• - К? - и®-*
J12 >
<»з = 2,521/ Л°76,8А. = 2,52 /1469=93,6 сек.-*,
У OjU1 ♦ IU
Wj — 107,5 сак-1, го5 129 секг\ гов — 185 гат1, — 209^/r1, (о3 = 214 сек-1,
ю& = 174 сетг1, гою = 175 сек\ гоп = 190 roi2 = 255 секг\ со13 = 274 гйк-1.
146
4) Определяем время Л/, которое соответствует повороту звена АВ на угол
2л л
Аф = 12~=£'1 считая, что в пределах угла Д<р угловая скорость изменяется по
линейному закону. Вычисление ведем по формуле (15.9):
ДАи =— = —;—т- = 3= к-?- глог. = 1,045 —-= = 0,0122 сск
®1г g / 3 (й?[ — tiij) 3 (0-р8о,5) 85,5
л
= lf045 =0,00584 сек,
1 i kJ
Д<45 = 1,045 5^7 = 0,00444 сек
£□0, 1
Д/*э З(ша+ш3) 3(85.5 + 93,6)
Д^з± = 1,045-^рг = 0,0052 сек,
Д/и = 1,045+=0,00333 сек,
Од 4
Д/7Й= 1^045 т^ = 0,00247 сек,
Д^ до = 1,045 итп = 0,00300 сек,
= 1,045 -1= = 0,00230 сек,
400
Д^7 = 1 045^7 =0,00266 сек,
аУ4
Afse = 1,045+=0,00269 сек,
□ЗЯ
Afl0,lt = 1,045+=0,00287 сек,
<jt)D
Afls,is= 1.045+ = 0,00198 сек.
Далее определяем время за которое звено А В перемещается из начального
положения в k-et по формуле (15.10):
f1 = 0, /й=0+4^ = 0+0,0122 =0,0122 сек,
/3=4+ Д/гэ=0;0122 +0,0058=0.013 сек.
Z4 = Z3 + Д^=0,018+0,0052 = 0,0232 сек,
6, = 0,0232+0,00444 = 0,0276 сек,
£в=0,0309 сек, f7 = 0,0336 сек, Гэ = 0,0361 сек,
/е = 0,03879 сек, ?1О=0,04179 сек,
А1 = 0,04466 сек, 11а = 0,04696 сек t /Л3=0,04894 сек.
На рис. 86 построены графики кинетической энергии Т = Т (ф) (рис. 86, а),
приведенного момента инерции /„ = /п (<р) (рис, 86, б), угловой скорости ш =
— со (<р) (рис, 86, в) и времени t Цф) (рис. 86, г) в зависимости от угла ф по-
ворота звена АВ.
Пример 5. Звено приведения АВ (рис. 87, а) начинает двигаться из положе-
ния 7, когда ф — 0 и 0) = 0.
Приведенный момент движущих сил Л1д изменяется в соответствии с графиком
рис. 87, б по уравнению
Л'д=Л1дтах-£11Р «'»> (15,28а)
ля пл 1Л-> 6 10 а
гДе М _ тя, = 24 10 * «.« и g =-нм,
Д. ГП О-Х J
Приведенный момент сил сопротивления Мс изменяется в соответствии с гра-
фиком рис. 87, в по уравнению
10-5
Л1С = Л1Со4—(15-285)
где Л4 = 3 -10"3 нм.
147
Рис. 86. К примеру 4, Графики зависимости от угла Рис. 87. К примеру 5, Определение угловой скорости эвена
поворота звена приведения: а} кинетической энергии Г, 6) приведения при моменте движущих сил и приведенном
приведенного момента инерции /Пт$) угловой скорости <в, а) моменте инерции, зависящих от угла поворота звена при-
времени t* ведения, и моменте сил сопротивления, зависящем от у гл о*
вой скорости того же эвена.
И8
Приведенный момент инерции /п изменяется согласно графику рис. 87, г.
Его отдельные значения для соответствующих положений звена AS будут равны
Aii = /n7^ni3=3- I0“* ^п2 = /пвет^па = ЛазЗг25 ► 10’1
Лз = /пб^/пй^/п11=5>5‘ 10’5 ^«зр
/П4=/П1о=б'10"? кем*-
Для первого полного оборота звена AS построить график его угловой с ко*
рости ю = ш (ф) в функции утла поворота ф.
У каза пи е. Для решения примера угол поворота звена ABt который со*
ответствует одному обороту, следует разделить на двенадцать рапных частей.
Отметим, что по характеру заданных величин данный пример представляет
случай, который рассмотрен в п. 8°. Разница лишь в том, что здесь ЛЬ = Л1д (<р),
Л4С = Л!с (ф), а в п. 8° Жд = Л1Д (ш), Л1с = Л1с (ф).
Выведем формулу, которая позволит решить заданный пример.
Составим уравнение движения звена AS в форме закона кинетической энер-
гии (см. уравнение (15.5)) применительно к повороту этого звена на угол Лф =
=^= Ф*+1 —
Y’у* ,'п^мн-i
Л1ц4ф- J jWt(to)d<p =-~-- 2 -
(15.28в)
где
Л1дй + ^д/!+1
Дф,
(<р) — линейный.
звена АВ, равном Лф, момент Мс измс-
так как заданный закон изменения Л1Д
Если принять, что на перемещении
пяется по линейному закону> то
ф*+1
Л1С (®) йф = —в—9- Дф.
£
Подставляя значения двух последних интегралов в формулу (15.28в), получаем
+ Mqif + jWcfrii
------------Лф---------------АФ^ —---------
/пьо>1
-4А (15.281)
&
Из этого равенства находим неизвестней момент сил сопротивления Мс/( ( в
(& + Ц-м положении звена AS:
^х = 4/------------+ (,5-38д>
Принимая во внимание, что согласно уравнению (15,286)
Ю"5
Л<С*=ЛЧ+—
получаем
^Лн-i
Лф Лф
10-6
F + Л*Д*4-1 ” ЛЛ.0 ” 6“ Ю V
С другой стороны, по условию данного примера этот же момент выразится
равенством
)0_5
^+1 = ^о + — “НЬ <15'28е>
149
Приравнивая между собою правые части равенств (15.28д) и (15<28е)т получаем
Дф Дф д* ’ д*-н ^0 6
Ifl-s
= Л1с(^-----£— <^+ь (15.28ж)
Разрешим равенство (15.28ж) относительно неизвестной угловой скорости wfe+1
звена АВ в его (6 + 1)-м положении:
!^к /ZnjK1 1О’*\
или
Г/ JIIfr 10’5 X J0-5 -] [ / - ю-5 X
(Д Дф + 6 3 —2jW^B — —g—j ш1-4.
Введя обозначения
/л* М’5 /_.; 10“°
“д^Г^^б = ^k' 2МСо=ВЛ, I g = ^+1>
окончательно получим
/ш/ - 10_а
СЛ®А_ з--------XBfe
------Тг-2-------. ' (15.28з)
ci+i
Покажем теперь, как, воспользовавшись формулой (15 28з), вычислить зна-
чения скорости <о в намеченных положениях звена АВ.
Начинаем с вычисления значения оъ во втором положении звена АВ. Имеем
r_/„i J0-* __ 3* 10-5-6 КЗ”» _ 18-10-5 ю-а
1 Atf "h 6 л + 6 3,14 4’ 6 ~
= 5,74 10 5 + 0,16 - 10-5 = 5 р . iq-bj
Я1 = ^Д1+МЛ2—2МСо=24 < 10-2+23 10^ — 2.3. 10^=41*1(М яин,
S
так как Л1п =±= Л?_ mav 24-10-2 ям и
А1 д its а л
Л1ла = Л1Дтах-дДф = 24- 10~з — f . 10-а = 23 • 10“а «ж,
/П2 10-3 3,25 10-6.6 10-4
Сг=^" + -б“= 3J4-----+ ~ =
= 6,2. 10-5-1-0,16 10-5 = 6,36 - 10-4,
но так как = со± = 0, то получим
<ЙЙ= V=уЛ6>Л^ =V6450 = S0,3 СеК-1,
Вычисляем значение <в3 в третьем положении звена АВ. Имеем
/п. 10’5 3,25*10’5.6 10-5
С2 = -Л + —=-------------тп------= 6,35-10-*,
Дф , 6 3,14 6
3.14
= Л1д3 + Мдэ ” 2Л1<о = 23.1 О’® + 22.10’2 - 2 3.10’2 = 39 < 10’2 ям,
150
так как
' А. 1Л-2 га
Л1Дч = М1!та -д -2Дф = 24- ,2-^--22- 10"2 ня,
Д11J S А ' 1 Q
7(1, 10^ 5.5 10”ё-6 1(Г“
+ —- 3,14 + -g—JO.5-0,16-Ю-^
= 10,66- 10-*
Поэтому скорость равна
(6,36-6450 —21504-39000) Ю“?
10,66 10-ч
= /7275 = 85,0 сект*.
Аналогично вычисляем значения со для остальных девяти положений звена
АВ. Пользуясь формулой (15.28з), целесообразно сводить величины, в нее вхо-
дящие, в нижеследующую таблицу.
Таблица значений величин, входящих в формулу (15.28з)
1 [оложение звена АВ 4 * 10 3 ck Ci иг е Дл
] 00000 0,00000 00,00 0,00000 0,00
2 00000 0,00000 5,90 10"* 0,00000 0,41
3 64^6 0,02152 6,36 10’5 0,41000 0,39
4 7275 0,02625 10,66 * 10-5 0,77843 0,37
5 9674 0,03224 11,56- IO"* 1,12217 0,35
6 13550 0,04552 10,67 10’S 1,43993 0,33
7 26949 0,08983 6,35 10-5 1,72476 031
8 32965 0,10983 5,90 * IO’* 1,94497 0,29
9 33360 0,111'20 6,35 - 10-6 2,12509 0,27
10 21342 0,07114 10.67 < IO”* 2,28389 0,25
И 21230 0,07076 11,56 10-5 2,46275 0,23
12 24500 0,08166 10,67. 10-5 2,62200 0,21
13 42974 0,14324 6,36 IO”* 2,75034 0,19
Положение Зиена ЛВ сй+ 1 ck 4-1 4-; 1 ил+з
1 00,00 0,00000 0,0000 000,0
2 6,36 И0 5 0,41000 6456 80,3
3 10,66- 10-5 0,77843 7'275 85,0
4 11,56- 10-6 1,12217 9674 98,3
5 10.67- 10-“ 1,43993 13550 116,4
6 6.35- 10"5 ], 72476 26949 164,1
7 5,90- IO"* 1,94497 32965 181,5
8 6,35- 10’5 2,12509 33363 182,4
9 10,67 - 10-5 2,28389 21342 146,0
10 11,56- 2,46275 21230 145,7
11 10,67 - 1(Г5 2,62200 24500 156,2
12 6,35* 10-5 2,75034 42974 207,3
13 5,90 - 10-5 2,79710 47409 217,7
151
По полученным значениям <о на рис. 87, д построен график искомой зави-
симости со = со (ф). Если возникнет надобность э нахождении зависимости вре-
мени i от угла фг то следует поступать так, как это было сделано в примере 4»
Данные примера 5 отличаются от данных примера 4 только тем, что к звену
АВ помимо движущего момента Л1д = Л1Д (ср) приложен момент сопротивления
Л4С = Л1С (сп). Рекомендуется сравнить между собою значения угловых скорос-
тей, полученных в примерах 4 и 5/
Пример 6* Для кривошиппо-ползуипого механизма (рис. 88, д) найти зна-
чение производной от приведенного момента инерции /п по углу <р поворота
эвена приведения АВ в положении = 60°. Дано: размеры звеньев /д^ =
= 0,06 м, 1ВС = 0,3 м; = 0,075 лс — координата центра масс За звена 2;
Рис. 88, К примеру 6, К определению производной от приведенного момента
инерции по углу поворота звена приведения с помощью рычага Жуковского.
массы звеньев т2 = 3,0 ка, /на == 3,5 кг; момент инерции звена 2 относительно
осн, проходящей через его центр масс, 72 = 45’ 10“э кгм*.
Решение. 1) Строим схему механизма (рис, 88, с) в масштабе р? =
= 0,002 м/мм>
2) Строим повернутый план скоростей (рис. 88, б) механизма по векторному
равенству
~т-Ъсв-
Методом подобия находим на плане скоростей точку s2 — конец вектора
скорости центра масс звена 2.
3) Строим план ускорений (рис. 88, й) механизма по векторному равенству
ас ^ав ^~асв~^а* св^
Методом подобия находим на плане ускорений точку — коней вектора уско-
рения cs центра масс эвена 2.
4) Вычисляем инерционную нагрузку звеньев? и 5. Эта нагрузка для звена?
будет состоять из силы инерции РИа, модуль которой равен
P„2 = /n2aSs =ma Cr^ (Л5а)
*
(ni>)
152
я инерционного момента Л1И<) модуль которого равен
JM _7. 1 аСВ , (МПа , (««М'лВ
Л1иг — 1,6 — /й --== /2 —-= 1г — T-j-r- ,
*вс 'вс ’bcW
где (лл2), (пс) и (nb) — отрезки из плава ускорений.
Момент Л1И представим в виде пары сил Р^и — Рм> приложенных в точках
В к С перпендикулярно к линии ВС (рис. 88, а). Модули этих сил будут равны
Л1Н2 (то)
л'“ >ВС " 2 Ъс™
Для звена 3 инерционной нагрузкой будет только сила Pti> с модулем
(лс)<й|1дЯ
P,i5 = '»sas=ms(iw)(ifl = ms —,
где (лс) — отрезок из плана ускорений,
• 5) Определяем с помощью рычага Жуковского приведенную силу. Для этого
переносим найденную инерционную нагрузку в соответствующие точки плана
скоростей (рнс, 88, б). Кроме того, к точке b плана прикладываем пока неизвест-
ную приведенную силу инерции Р11п перпендикулярно к линии АВ (к линии pb).
Записываем равенство между суммой моментов от инерционной нагрузки и мо
ментом от приведенной силы инерции относительно начала р плана скоростей.
Из этого равенства находим модуль приведенной силы инерции РИп:
J’jig (^) + Л|2 (*)- (^)
Ил ” (pb)
где (рс), (й), (&с) я (pb) — отрезки из плана скоростей.
Модуль приведенного момента сил инерции масс звеньев механизма при его
перманентном движении будет
I I= ^Ип^ЛВ-
Для определения производной dljdy момент М„п следует подставить в фор-
мулу (15Л5).
Если момент Л4Ип имеет направление, совпадающее с направлением, выбран*
ним за положительное для угла q?i, то он должен быть подставлен в формулу
(1.5.15} со знаком «плюс», а в противном случае — со знаком «минус».
Таким образом, искомая производная dln/dtf при = 60е будет равна
d'n _ 2 2 2 |~Л,3(рс) + Л!г М-Ры W
— ю* “я ~ wf < *'п Ав> ffi; L (Р*)
2 т3(ж)ы]1лв т2 (nss) /а (то) а>^лд
и» (л*) (pb) +' (nb'jTpb) < l*BQ (л&) (pb)
= 2 ' [ (3,5 - 12-28 + 3-24.6)
•JU ' IJV
45- 10ГЗ-26-15
0,09
= 0,011304 кгл2,
где /дя = 0,06 М. = 0,3 м, (pb) = (л&) = 30 льи, (яс) = 12 мм, (pc) — 2S MMt
(л&З = 24 мм, h = 6 мм, (пс) — 26 лл, (be) = 15 мм — размеры звеньев и от-
резки из планов скоростей и ускорений.
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, 58, 80, 89, 90).
153
ЗАДАЧИ 271-290
271. Силы и массы машины приведены к звену АВ, Момент
движущих сил изменяется согласно графику а), момент сил сопро-
тивления — согласно графику б), приведенный момент инерции
постоянен и равен /„ = 0,314 кем2, При ср = 0 угловая скорость
К задаче 271.
I*—в —
К задаче 272.
звена приведения со = 0. Определить угловую скорость wy этого
звена в его установившемся движении.
272. Маховик 1 тормозится стержнем 2, прижимаемым к ободу
маховика силой Р3 = 20 н. Сила Рг перпендикулярна к линии AD.
Угловая скорость со маховика перед началом торможения равна
ш = 100 сек-1. Пренебрегая трением в подшипниках вала маховика,
определить, сколько оборотов п сделает маховик до полной оста-
новки, если его момент инерции / = 0,4 кгм2, диаметр маховика
D = 0,2 м, 1ЛЗ = и коэффициент трения обода маховика о стер-
жень равен / = 0,2*
271 Силы и массы машинного агрегата приведены к звену ЛВ.
Движение этого звена установилось. Угловая скорость в начале
цикла установившегося движения (й0 = 20а?/с-1. Моменты движущих
где? j&ix&w
К задаче 273.
К задаче 274.
сил Мд и сил сопротивления Л1С изменяются в соответствии с задан-
ными графиками. Приведенный момент инерции постоянен и равен
Л = 0,3 кем3, Определить максимальную ытал и минимальную
151
угловые скорости звена приведения при его установившемся дви-
жении и степень неравномерности движения 6,
274. Силы и массы машинного агрегата приведены к звену АВ.
Движущий момент Л1д в течение трех первых (от начала движения)
оборотов звена А В меняется по закону прямой ab, а далее по периоди-
ческому закону, соответствующему ломаной линии bed. Момент
сопротивления Мс подключается в конце третьего оборота, считая от
начала движения, и равен Мс = 230 нм, оставаясь все время посто-
янным. Приведенный момент инерции постоянен и равен 1„=0,2кгм\
Выяснить, возможно ли установившееся движение звена АВ,
и если возможно, то определить коэффициент неравномерности б
этого движения.
275. В установившемся движении машинного агрегата его диа-
грамма Виттенбауэра представляет собой отрезок прямой тп, парал-
дельный оси Т диаграммы. Длина отрезка тп равна 50 лтл! . Коорди-
наты точки гп равны хт — 50 мм, у^ = 100 мм. Определить коэф-
фициент неравномерности движения установившегося режима,
если масштабы по осям координат диаграммы Виттенбауэра равны
Рг — 10 нм/мм, phl = 1,0 кгм2/мм.
276. В установившемся движении машинного агрегата диаграм-
ма Виттенбауэра его представляет собою окружность радиуса
К задаче 275,
К задаче 276.
Sv
К задаче 277.
7? = 20 лш. Координаты центра С\ этой окружности равны а\ =
— 90 мм, tji = 80 мм.
Определить коэффициент неравномерности установившегося дви-
жения, если масштабы по осям координат диаграммы Виттенбауэра
равны рг — 20 нм/мм, р/П[Т = 0,5 кг/мм.
277. Маховик, сила тяжести которого равна Q = 2,75 я и мо-
мент инерции I — 0,000785 кем2, начинает выбег при числе оборотов
п = 200 об/мин, время выбега t == 2 мин. Определить коэффици-
ент трения в подшипниках вала маховика, если диаметр цапф вала
d = 10 мм, а угловая скорость маховика убывает по линейному
закону.
278, К зубчатым колесам 1 и 3 редуктора приложены моменты
Л1* = 8 нм и = 10 нм. Определить угловое ускорение первого
колеса, если моменты инерции колес равны = 0,01 кем2, =
= 0,0064 кем2, = 0,04 кем2 и числа зубьев колес равны = 20,
z2 = 16, гэ = 40,
155
279, К зубчатым колесам 1 и 3 редуктора приложены моменты
= 8 нм и Мэ = 10 нм. Моменты инерции колес равны /( =
= 0,01 кгм\ /2 = 0,0225 /3 = 0,04 кг№, числа зубьев колес
К задаче 278, К задаче 279.
гг = 20, г2 = 30, гй = 40. В начальный момент угловая скорость пер-
вого колеса равна нулю. Определить, с каким угловым ускорением
и с какой угловой скоростью о?! будет вращаться колесо / через
0,5 сек после начала движения.
280. Определить число об/мин установившегося движения
машинного агрегата, состоящего из двигателя, механическая харак-
теристика которого задана равенством Мд = (100—0,1 п) нм.
и рабочей машины, приведенный валу двигателя момент сопро-
тивления которой изменяется в соответствии с равенством А4С =
— 0,000001 па нм.
281. Определить угловую скорость установившегося дви-
жения машинного агрегата, состоящего из двигателя, механическая
характеристика которого задана соотношением М ----------нм.
и рабочей машины, приведенный к валу двигателя момент
К задаче 280.
К задаче 281. К задаче 282.
сопротивления которой изменяется в соответствии с равенством
Л4С = 0,1 со нм.
282, Силы и массы машинного агрегата приведены к звену АВ.
Движущий момент Мл изменяется в соответствии с уравнением Мд =
== (100 — ссо) нм, где с = 1 нмсек, а момент сопротивления постоя-
нен и равен Л1с = 50 нм. Определить угловую скорость соу уста-
новившегося движения звена АВ.
283. К ползуну кривошипно-ползунного механизма приложена
движущая сила = 100 н. Вращение кривошипа начинается из
положения, в котором ф£ = 90°, длина кривошипа 1ав = 100 о.
156
Масса ползуна 3 равна = 1,0 кг, момент инерции кривошипа 1
относительно оси/1 равен 1г ~ 0}01 кглЛ Пренебрегая массой шатуна
2, определить, с каким угловым ускорением е± начнет вращаться
кривошип ЛВ.
284. К ползуну кривошипно-ползунного механизма приложена
сила Р3 = 100 н, а к кривошипу Л В — момент — 9 нм. Враще-
ние кривошипа начинается из положения, когда угол % = 90°,
К задаче 283.
К задаче 284.
Длина кривошипа Л В равна 1Л$ = 100 мм, масса ползуна 3 равна
тэ = 1,0 яг, Пренебрегая массами кривошипа и шатуна, определить,
с каким угловым ускорением начнет двигаться кривошип АВ.
285. Механическая характеристика двигателя задана уравне-
нием Мд = (100 — ссо) ни, где с = 1 нмсек. приведенный к валу
двигателя момент сопротивления постоянен и равен Мс = 5,0 ял,
К задаче 285,
приведенный момент инерции масс звеньев машинного агрегата
постоянен и равен /п — 0,1 кглЛ
Определить зависимость угловой скорости звена приведения
машинного агрегата от времени при разгоне агрегата и найти угло-
вую скорость установившегося движения указанного звена.
286. Центробежный насос, имеющий механическую характерис-
тику, которая выражается равенством Мс = (0,1 + 0,0002 о?)
приводится в движение двигателем, механическая характеристика
которого выражается равенством = (10,1—0,1 оз) нм, где л —
угловая скорость наглухо соединенных валов двигателя и насоса.
Определить зависимость угловой скорости « от времени в период
разгона агрегата, если приведенный момент инерции масс звеньев
агрегата постоянен и равен /п = 0,1 кгм2.
287. К валу А кривошипа АВ синусного механизма приложен
момент сопротивления Л4С ~ 62 нм, а к звену 3 — движущая сила
Р3 = 1000 я. В положении, когда угол qy = 45°, угловая скорость
звена А В равна ац = 10 сект1. Момент инерции кривошипа АВ
относительно оси А равен = 0,0025 кгл!а, масса звена 3 равна
157
ffig = 0,5 кг, длина кривошипа /дв = 0»! л. Определить угловое
ускорение кривошипа АВ в заданном положении его.
288* Сохраняя условия задачи 287, найти угловое ускорение
кривошипа АВ, если его угловая скорость равна <п1 = 40 се/С1.
289. К валу А кривошипа АВ кривошипно-ползунного меха-
низма приложен момент сопротивления Л1С = 60 нм, а к ползуну 3 —
К задачам 287 и 288,
движущая сила = 500 н. В по-
ложении, когда = 90Q, угловая
К задачам 289 и 290.
скорость кривошипа равна to1 = 50 сей"1* Длина звеньев: 1АЗ = 0,1 ли
he = 0,2 м. Момент инерции кривошипа относительно оси А
равен IY = 0,002 кем2. Масса ползуна 3 равна ш3 = 0,4 кг. Пре-
небрегая массой шатуна 2, определить угловое ускорение е3 кри-
вошипа АВ в заданном положении.
290. Сохраняя условие задачи 289, найти угловую скорость
кривошипа АВ, при которой его угловое ускорение будет равно
нулю.
§ 16, Определение маховых масс машинного агрегата
1й. В этом параграфе рассматриваются задачи, в которых требуется найти
значение приведенного момента инерции звена приведения машинного агрегата,
при котором его угловая скорость не выходила бы за наперед заданные наиболь-
шее и наименьшее значения в периоде установившегося движения этого звена.
Решение поставленных задач сводится к определению дополнительных масс,
которые выполняются □ виде колеса с тяжелым ободом, называемым маховикам*
Расчетным параметром маховика будет его момент инерции относительно оси
вращения.
Установившимся движением машинного агрегата называется такое движение,
когда угловая скорость его звена приведения периодически (циклически) прини-
мает одно и то же значение.
Такое движение возможно только при условии, когда за один динамический
цикл движения звена приведения машинного агрегата работа движущих сил Ля
оказывается равной работе сил сопротивления йс, т, е. за этот цикл движения
работа, затраченная двигателем, полностью расходуется на преодоление всех
сил сопротивления, приложенных к звеньям машинного агрегата, т. е,
Лл = Лс. (16.1)'
Угловая скорость ведущего звена в пределах цикла установившегося движения
обычно не является постоянной величиной. Колебания угловой скорости обуслов*
ливаются двумя причинами:
1) несовпадением закона изменения величины приведенного момента движу-
щих сил Мд с законом изменения величины приведенного момента сил со про-
158
тивлення Afc в пределах цикла установившегося движения, как следствие, лере-
меннрстью значения кинетической энергии машинного агрегата Т;
2) изменяемостью приведенного момента инерции масс звеньев машинного
агрегата / п.
2d. Колебание угловой скорости звена приведения при установившемся
движении оценивается либо коэффициентом неравномерности движения, имею-
щим вид
ф _ ^тпах ^min
ШСр ’
где comaJQ, wrnin — наибольшее и наименьшее значения угловой скорости звена
приведения в течение цикла, а — средняя за цикл (номинальная) угловая
скорость этого звена, приближенно равная
wmax ^®min
Мер— . 2
(16.2)
(16.3)
ЦМ)
либо' динамическим коэффициентом неравномерности движения Артоболевского,
имеющим вид
ьтпзх
и=-----
w ср
где втах — максимальное угловое ускорение звена приведения в течение цикла,
.Между коэффициентами х и & существует приближенная связь:
к=2ф. (16.5)
где Ф — угол, на который поворачивается звено приведения, пока его угловая
скорость изменяется от своего наибольшего значения до наименьшего (или наобо-
рот: ст наименьшего др наибольшего значения).
Имея в виду равенство (16.5), безразлично, каким коэффициентом из указан-
ных двух задается допустимая неравномерность движения звена приведения
машинного агрегата при расчете маховика.
3е, В задачах об определении момента инерции маховика предполагаются
*заданными:
1) схемы механизмов, вошедших в машинный агрегат, и размеры их звеньев,
2) силы, приложенные к звеньям машинного агрегата,
3) массы я моменты инерции его звеньев,
4) среднее число л оборотов в минуту звена приведения или, что то же, сред-
няя угловая скорость этого звена
wtP = 3Q «к1,
5) степень неравномерности Ь движения звена приведения.
На основании указанных данных всегда могут быть получены выражения:
а) приведенных момента движущих сил Л1д и момента сил сопротивления Л1с,
б) приведенного момента инерции масс звеньев Машинного агрегата
Мы будем считать, что этот момент инерции представляет собой сумму двух при-
веденных моментов инерции: /0 — состоящего из постоянного момента инерции
звена приведения и тоже постоянного приведенного момента инерции масс звеньев,
которые приводятся в движение эвеном приведения и у которых передаточное
отношение постоянно, и /3 — приведенного момента инерции масс звеньев ис-
следуемого механизма, т. е.:
Л| =
в) наибольшего значения сотах угловой скорости <и звена приведения в тече-
ние никла, которое равно
<^=ЧР (*+{). 06.6)
159
г) наименьшего значения wmin угловой скорости &> этого звена в течение
цикла, которое равно
®п,т = ®ср (»-!) Об-?)
Соотношения (16.6) и (16.7) получаются из равенств (16.2) и (16.3).
Итак, рассматриваемая задача может быть сформулирована следующим об’
разом;
Движение звена приведения является установившимся, так как разность
между моментами движущих сил и сил сопротивления ДЛ1 = Мд — ЛТС в каж-
дом рассматриваемом положении ведущего звена, вообще говоря, не равна нулю
и приведенный момент инерции 7П изменяется в функции угла (р поворота звена
приведения, поэтому угловая скорость со звена приведения колеблется в некото-
рых пределах. Пределы колебания угловой скорости заданы коэффициентами
б или х.
Требуется подобрать величину дополнительной массы звена приведения так,
чтобы эта масса была способна сохранить колебания угловой скорости со в дан-
ных пределах. Дополнительная масса выполняется в виде маховика, инертность
которого оценивается его моментом инерции /н.
Определение величины момента инерции маховика /м и составляет цель
исследования при решении предлагаемых в настоящем параграфе задач.
Если считать всю массу маховика находящейся в точках средней окружности
обода маховика н диаметр этой окружности обозначить через Dt та очевидно, что
£>3
где — масса маховика, следовательно,
тиО* = 4/м кгм\ (16.8)
Произведение массы маховика на квадрат его диаметра называется его ма*
хивым моментом. В некоторых задачах вместо момента инерции маховика тре-
буется найти его маховой момент. Для решения следует воспользоваться форму-
лой (16.8).
4% Уравнение движения звена приведения, написанное в форме закона ки-
нетической энергии (15.5), применительно к углу <р = фтах— <pminповорота этого,
звена, за который угловая скорость ш изменяется от своего наибольшего а)гаах
до своего наименьшего a>mJrT значения, имеет вид
I и2 / . ша
**_ ntnaxw max ппнп nun
Л 2
где 4* Лд— Лс — разность работ приведенного момента движущих сил и при-
веден г го го момента сил сопротивления, вычисленная для угла поворота ведущего
звена, для которого его угловая скорость со менялась от своего наибольшего
сотак до своего наименьшего (omin значений; 7птах и /пт1п — приведенные
моменты инерции /п ведущего звена, вычисленные с учетом момента инерции
маховика и соответствующие тем положениям, когда угловая скорость принимает
значения и mmltr
Далее имеем:
/п = ^ + ^4-Л- (1610)
где 1Ы — момент инерции маховика, /й — момент инерции звена приведения, .
73—приведенный момент инерции масс ведомых звеньев механизма.
Угловые скорости и й>1.|г. соответственно равны;
in&ix mill
“enb =»fp (1-« + S>
(16.11)
160
(при допущении, что 6 так мало, что величиной можно пренебречь), где б —
коэффициент не равно мер ноет и движения, равный , wcp — сред-
<11 ср
Чпах “шш
цяя угловая скорость ведущего эвена, равная в}ср —---------------’*
Равенство (16.9) можно переписать в виде
, , ('и + 'о + “ср (1 + Я) + Л + Л-пПп) “Ь (1 - б)
Л 2 2
Из равенства (16.12) получаем основу» формулу для вычисления величины
момента инерции маховика:
, А' . 'emaUH-ej-'sminU-e)
'“-7^5, ‘° 2в
. ^з1пах + ^зшЗп ^этах '^зпйп /1Г rix
= ’ 26-----* (1G-13)
Рис. 89. Определение положений звена
приведения, где его скорость прини-
мает наибольшее и наименьшее зна-
чения.
Для определения из этого равенства момента инерции 1Ю маховика необходимо
знать углы фтах и (pminlT. е, положения
звена приведения, при которых его уг-
ловая скорость св принимает наиболь-
шее и наименьшее значения.
5й. Рассмотрим применение урав-
нения (16.13) в некоторых характер1
пых случаях.
Случай первый. Приве-
денный момент инерции 13 постоянен
на всем цикле установившегося дви-
жения.
В этом случае в формуле (16.13)
величины I3 тах и /3 min оказываются
одинаковыми, и искомый момент инер-
ции маховика будет равен
а *
/И = -7-.-(/о + /э). (16.14)
Wcpfi
В этом случае приведенный мо-
мент инерции /п звена приведения, равный JN = 1№ + (/й-г /3), оказывается
постоянным.
Углы <рП1ах и <рт1п, при которых угловая скорость «приобретает наибольшее
“max 11 наименьшее mmin значения, легко находятся по графику моментов движу-
щих сил и сил сопротивления.
Пусть момент движущих сил Л?д а момент сил сопротивления Л1с изменяются
так, как это показано на рис. 89. В положениях звена приведения, где угол ф его
поворота имеет значения фд, ф&, q>r, фд, разность моментов ДЛ1 — Л!с ста-
новится равной нулю и кинетическая энергия Г агрегата имеет экстремальные зна-
чения. Очевидно, что именно в этих положениях, при постоянном приведенном
моменте инерции, угловая скорость принимает свои экстремальные значения.
В положениях звена приведения, где <р = ф& и (р- ф^, скорость будет иметь мак-
симальные значения, а в положениях, где ф = Фд и Ф = она будет иметь ми-
нимальные значения.
6 И, И, Артоболевский, Б, В, Эдельштейн 161
Установим теперь, в каких положениях звена приведения скорость о при-
мет свои наибольшее н наименьшее значения*
Это можно сделать путем вычисления избыточной работы на участке измене-
ния угла ф между парами одноименных экстремумов угловой скорости по сле-
дующим правилам:
а) если избыточная работа Яизд = Лд — Ас между двумя максимумами
угловой скорости положительна (отрицательна), то наибольшее значение угло-
вой скорости будет представлять собой тот из этих максимумов, который распо-
л оже и спр ива (слева);
б) если избыточная работа Лизб между двумя минимумами угловой скорости
отрицательна (положительна), то наименьшее значение угловой скорости будет
представлять собой тот из этих минимумов, который расположен справа (слева).
Так, руководствуясь правилом а), устанавливаем, что наибольшее значение
ы (значение будет не при ф = а при <р = ф6, так как [ F3 | > | |.
Аналогично по правилу б) устанавливаем, что наименьшее значение (в (значение
f3}min) бУдет ПРИ Ф = Фд- так как I I > I Fa I
Таким образом, в рассматриваемом случае, интервалом срmin является
интервал ф* — фд и в формуле (16,14) работу Ан5б следует считать пропорции'
нальной площадке F* (см. рис. 89).
Случай второй. Приведенный момент инерции /3 масс ведомых
звеньев механизма пренебрежимо мал по сравнению с предполагаемым моментом
инерции маховика.
В этом случае в формуле (16ЛЗ) величины /э тах и Л min поло-
жить равными нулю, и искомый момент инерции маховика /и будет равен
л*
06.15)
(0Ср°
Углы Фтях и Фт1*п для определения работы А* найдутся так же, как и в слу-
чае первом.
Случай третий. Приведенный момент инерции масс ведомых звеньев
машинного агрегата /э — величина переменная, зависящая от угла ф полоро-
та звена приведения и соизмерима с предполагаемым моментом инерции ма-
ховика.
В этом случае найти положения звена приведения, при которых его угловая
скорость св принимает наибольшее ютах и наименьшее e)min значения, можно с по-
мощью диаграммы Виттенбауэра, построенной для цикла установившегося движе-
ния ведущего звена машинною агрегата.
Покажем, как это делается.
На рис. 90, а построен график приведенного момента движущих сил Л4д =
= (ф) и график приведенного момента сил сопротивления Мс = Л1с (ср), а на
рис. 90, б — график приведенного момента инерции складывающегося из
момента инерции /0 масс звена приведения (без предполагаемого момента инерции
маховика) и приведенного момента инерции масс ведомых звеньев машинного
агрегата (т. е. /п = /0 А- 73).
На рис. 90, в построен график кинетической энергии Т = Т (ф) агрегата.
Ось абсцисс н—ф этого графика — условная, так как значение кинетической
энергии агрегата, которой он обладает в начале цикла установившегося дви-
жения, нам неизвестно. Начальное значение его кинетической энергии обозна-
чаем Тп.
График Т = Т (ф) строится следующим образом. При перемещении звена
приведения из начального положения, и положение, когда Ф = фа, кинетическая
энергия агрегата уменьшится на величину работы, равной Ацщ = р^р^, про-
порциональной площади Л, где p w и — масштабы по осям ординат и абсцисс
диаграммы моментов. Откладываем вниз от оси и — ф — абсцисс диаграммы
Т = Т (ф) (рис. 90, б) от точки а отрезок уа = —— где рг —масштаб по оси ор-
162
динат. Далее, к положению <р — Ф* кинетическая энергия машинного агрегата*
увеличится по отношению к той, которая была при <р = фа, на величину А^ь =
Нм^йА* поэтому от конца ординаты уа следует в положении b отложить вверх
АаЬ
отрезок уь=— и т. д.
Нт
Построение диаграммы Виттенбауэра (рис. 90, г) производится подобно
тому, как это показано в § 15. Следует помнить, что каждая точка кривой на этой
Рис. 90. К определению момента инерции маховика при переменном приведен
ном моменте инерции (метод Виттенбауэра).
диаграмме отвечает определенному положению звена приведения. Если бы на-
чало О координат диаграммы Виттенбауэра нам было известно, то лучи О — 1 а
О— Ht проведенные касательно к кривой Т = Т (/ц) (так, 1^к это показано на
рис. 90, г) определили бы углы фтая и фт1гг По этим углам можно было бы найти
значения югаах и шт1г1.
Вместе с тем точки е и а касания лучей О — In О—//с кривой Т =z Т (/п)
определили бы положения звена приведения (углыфтак и (pmin), при которых
скорость to принимает значения штах я (Dmin.
В нашем случае приходятся решать обратную задачу: ио известным углам на-
клона касательных О—/ и Q—H к кривой Т = Т (/и) найти начало координат
О диаграммы Т = Т(/а) и те положения звена приведения (ф = фтах и Ф = Фга1п),
при которых скорость го принимает значения <ятах и ^mini а также отрезок а-
пропорциональный искомому моменту инерции /имаховика4
0* 163
Для этого находим тангенсы углов наклона касательных О—I и О—И по
формулам:
Цт (О*
tg^aX=-7n^(l+fi). (16-16)
Н/п z
Нт WCD
‘^^=“^(1-6). (16.17)
которые непосредственно вытекают из соотношений
“* = 1/ ТТ-'2^- “max = “ср (1 + 6) и “min = “ср (1-6).
где рг и Н/п ~ масштабы по осям абсцисс и ординат диаграммы Т =
Проводим далее к кривой Т = Т (Jn) касательные 0—1 и О—II под углами
фтах и ^min н нах°Дим на ней точки ей а касания. Эти точки определяют значения
Фтал н miu Угла Ф- После этбГо нетрудно найти все величины, входящие
в формулу (16.1В), и вычислить по ней искомый момент инерции /и маховика.
Определить момент инерции /ы маховика можно, используя диаграмму
Т = Т (/п) следующим образом.
Продолжаем касательные О—I и О—II до их пересечения в точке О (рис. 90,г).
Точка О является началом координат диаграммы Внттенбауэра. Проводим через
точку О ось Т ординат и ось /п абсцисс этой диаграммы. Очевидно, что отрезок а
в масштабе р?п даст величину искомого момента инерции маховика, т. е. будем
иметь:
= (16.18)
Ввиду того что начало координат О обычно выходит за пределы поля чертежа
(так как углы фтая и фт-п отличаются мало), отрезок а найдем следующим обра-
зом. Продолжим ось и — (р графика 1п = /п(ф) (рис. 90, 6) до пересечения
тельными О—/ в О—Н в точках k и I (рис. 90, г), получим отрезок
чертежа видно, что отрезок kl равен
«=kq - lq=а (tg If)max - tg t>mEn),
поэтому искомый отрезок а будет
Ы
lg ^max 1g ^min
и, следовательно, момент инерции маховика
f __ ^0 Н/п
'Pmsx 1g ФпНп
Вставляя в полученное равенство значения тангенсов углов и
формул (16.16) и (16.17), окончательно получим:
_(^0 Рг
где (kl) — отрезок в мм, масштабно оси ординат графика Т = Т (ф) в alk/ллг,
й)ср — угловая скорость звена приведения в сетг1, 6 — коэффициент неравномер-
ности движении.
6°. В некоторых задачах приведенный момент движущих сил может быть
заданным зависящим от угловой скорости звена приведения, Мл = Мд (со), а
приведенный момент сил сопротивления либо остается постоянным в пределах
исследуемого интервала, либо зависит от угла q; звена приведения, Л1С = Л1й (<₽)_
164
с каса-
kl. Из
Kin"3
(16.19)
всех случаях принимается, что момент инерции /3 пренебрежимо мал по от*
ношению к искомому моменту инерции маховика.
В тех задачах, где приведенный момент сил сопротивления постоянен, но
в отдельные моменты претерпевает резкое изменение на малом интервале времена
или угла ч> поворота звена приведения, для решения следует пользоваться еле-
дующими соотношениями:
а) при резкам изменении по временя
f ^max ^mln
/ы — —
Шшах
С dte
J Мд (^) М с
toniin
Or
(16.20)
гДО ^max — — промежуток времени, за который значение скорости со изме-
няется от до o>mifI, /и —момент инерции маховика, /0 — момент инерции
звена приведения;
б) при резком изменении Л4С по углу ф
Фтах Vrnio г
и — 7Т 1 ' о ।
игпах
Г (В d£t)
J Мя (ы) — ЛГС
^mln
(16.21}
где фтах — Фт1п — угол, в пределах которого угловая скорость со изменяется
от “max “mirr
Очевидно, что угловая скорость со звена приведения претерпевает резкое
изменение тогда, когда нагрузка (приведенный момент сил сопротивления) тоже
резко меняется. При решении указан-
ных задач угловые скорости <Bmax и
“min Должны быть заданы, и наконец,
приводится задача, в которой приве-
денный момент движущих сил зависит
от скорости со звена приведения, а
приведенный момент сил сопротивле-
ния — от угла ф поворота этого звена.
В этом случае ее следует решать так,
как это указано в книге И. И, А рто-
болевского, Теория механиз-
мов, 1967, §98,1°.
Рис. 91. К примеру L Определение
момента инерции маховика в случае,
когда приведенными моментами инер-
ция звеньев агрегата можно прене-
бречь.
г< Решим несколько примеров на
определение момента инерции махо-
вика.
Пример I. Силы и массы машин-
ного агрегата приведены к звену АВ
(рис. 91). Момент движущих сил Мд
изменяется а соответствии с графиком
— Л1 д (ф), момент сил сопротивле-
ния Л1С постоянен на всем цикле уста-
новившегося движения. Моментом инерции 1Э масс звеньев агрегата можно
пренебречь ввиду их малости по сравнению с искомым моментом инерции /и
маховика. Средняя угловая скорость звена приведения wcp = 100 сект1. Коэф-
фициент неравномерности движет!я б = 0,02. Найти величину момента инер-
ции /м маховика, которая бы обеспечила заданную неравномерность движения,
а также подсчитать значение динамического коэффициента и неравномерности
Артоболевского,
165
Решение. Очевидно, что условия примера аналогичны условиям, кото-
рые даны во втором случае из трех указанных выше.
1) Определяем величину постоянного момента сопротивления Л1С из усло-
вия, что работа движущих сил и работа сил сопротивления за цикл уста повив-
шегося движения равны между собой. Имеем:
^•2л = Л!дта^,
откуда
^дтяк
Л1С=---— = 20 нль
&
так как согласно графику (рис, 91) Л4дтпах = 40 нм.
2) Положения звена АВ, при которых его угловая скорость со принимает
наибольшее tomaK и наименьшее значения, находятся по графикам момента
движущих енл Л!д = Л1д (ф) и момента сил сопротивления Л!с — const (рис. 91),
Очевидно, что при <р = л/2 будет иметь место наименьшее и н значение угловой
скорости, а при ф = Зл/2 —
Рис. 92. К примеру 2. а) схема двухступен-
наибольшее ее значение.
3) Работа А* пропорцио-
нальна площадке F*t а величи-
на этой работы А* равна
Л*
20л
т~
= Юл
4) Величина момента инер-
ции маховика определяется по
формуле (16.15):
А* Юл
У“’й>|р6 = 300s - 0г02
= 0,157 кем2.
5) Интервал Д<р, в течение
которого скорость со изменялась
от наименьшего до наибольшего
значений, равен л, поэтому ди-
намический коэффициент не-
равномерности движения Арто-
болевского будет равен
26 _ 2 0,02
ДФ~ 3,14
= 0,0127.
чата го компрессора, б) индикаторная диа-
грамма компрессора. Пример 2. Для кривошип-
но-ползунного механизма двух-
ступенчатого компрессора (рис.
92, д) определить величину момента инерции маховика, который следует
установить на валу А кривошипа Лй, для того чтобы коэффициент неравно-
мерности движения кривошипа АВ был равен 6 = 0,0125; кроме того, найти
индикаторную мощность /V компрессора.
Дано: lAQ =. 0,05 м, = 0,25 я, координата центра масс S шатуна 1&S =
= 0,10 м, диаметр цилиндра 0,13 л, диаметр штока £>а = 0,11 л, масса
шатуна = 1,8 кг, масса поршня тя = 2,2 не, момент инерции шатуна относи-
тельно оси, проходящей через его центр масс S, равен /г ~ 0,025 кем2, момент
инерции кривошипа вместе с приведенными к нему массами звеньев редуктора
и ротора электромотора 70 = 0,07 кем2. Давление газа на поршень задано инди-
каторной диаграммой (рис. 92, б); максимальное давление на поршень в первой
ступени pj = 22,5 н/см\ максимальное давление на поршень во второй сту-
166
пени Рл max = 67н/с№, Приведенный к звену А В момент движущих сил Л4Д
постоянен на всем цикле установившегося движения компрессора, у которого
этот цикл соответствует одному обороту звена АВ, Средняя угловая скорость
звена АВ равна щ = 500 об! мин.
я)
Рис. 93, Расчет маховика для двухступенчатого компрессора по Виттенбауэру:
а) схема механизма и повернутые планы скоростей; б) индикаторная диаграмма;
fl) графики приведенных моментов сил сопротивления и движущих сил; а) график
приведенного момента и пер пни от масс ведомых звеньев механизма; д) гр ай) н к
изменения кинетической энергии; е) диаграмма Виттенбауэра; ж) лучи О—I
и О—II t проведенные под наибольшим и наименьшим углами.
Решение, Рассматриваемый пример аналогичен разобранному выше
третьему случаю определения величины момента инерции маховика» За звено
приведения принимаем кривошип АВ.
1) Строим схемы механизма компрессора, соответствующие восьми положе*
ниям эвена АВ (рис, 93, а) в масштабе = 0,0025 м/мм.
167
2) Строим восемь планов скоростей, относящихся к этим положениям ме-
ханизма.
Для большей точности эти планы построены непосредственно по схеме меха-
низма и на них векторы скоростей отдельных точек механизма повернуты ла 90°
(рис, 93, а). Отрезок, изображающий скорость точки В, принят равным АВ, т. е.
(рй) = АВ мм. Планы строим по векторному равенству 4- ^св> отрез-
ки (pb), (pc), (ps) и {Ьс) соответствуют скоростям точек В и С. скорость центра
масс S звена ВС — скорости точки С во вращении звена ВС относительно
точки В.
3) Строим индикаторную диаграмму (рис. 93, б) и отмечаем на ее оси абсцисс
точки, соответствующие положениям точки С (поршня) для рассматриваемых
восьми положений механизма. Находим ординаты у^ и £1Х диаграммы, выражаю-
щие давление газа на поршень в первой и второй ступенях; для каждого положе-
ния поршня (точки С).
4) Вычисляем значения силы Р&, приложенной к поршню; эта сила рав-
на Р$ = Pj + Лц, где Pj — сила, приложенная к правой стороне поршня,
Pjj — сила, приложенная к левой стороне поршня. Эти силы вычисляются по
формулам:
^1 = ^!L = ^lb
где
C, = ftp . >D? = 2-0,785-1.3^ = 265 нЦлм,
TI
Сг=р₽ 4 ‘ t-0;—D?) = 2 0,785 (13г—1 Г2) = 75 н/мм,
*£
Рр — масштаб по оси ординат индикаторной диаграммы.
Результаты вычислений сводим в нижеследующую таблицу.
Таблица 1
№№ положе- ний иел&нивиа . Pj, н #Л, мм ^п. « = +^1. н
1 Н,25 2980 11,25 -840 —840
2 0,00 — 15,0 -1125 -Н25
3 0,00 —- 29,0 —2180 -2180
4 0,00 — . 33,75 -2520 -2520
5 0,00 — 33,75 —2520 —2520
6 1,50 -398 19,0 14'20 1022
7 6,50 — 1720 11,25 840 —880
' 8 11/25 —2980 11,25 840 -2140
Примечание, Величине силы Ря приписываем знак минус, если ее
направление, противоположно направлению скорости л°ршнщ
5) Приводим силы к звену АВТ
а) Момент сопротивления находим по формуле
JM р t (0е)
Л1с Рз 1ЛВ т
где Л4С — приведенный момент сил сопротивления, знак которого совпадает со
знаком силы Рэ. Результаты вычислений сводим в табл, 2.
168
Таблица 2
лоложе- НИЙ жха- нпзма в 1АВ1 * _(рс) <₽fr) I положе- ний i.iexs- Ейзуа м (Р&)
1 —840 0,05 0/20 000,0 5 —2520 0,05 0/20 000,0
2 — 1125 0,05 16/20 -45,0 6 1022 0,05 12/20 306,0
3 -2180 0,05 20/20 —109.0 7 -880 0,05 20/20 —494,0
4 —2520 0,05 12/20 -75,5 8 1 -2140 0,05 16/20 -85,5
На рис. 93, 6 построен график момента сил сопротивления Л1С == Л1с (*р);
масштабы построенного графика равны по оси ординат = 2 нм, по осн абсцисс
ц^ = ъл =-тт> pad/мм^ так как отрезок абсциссы, соответствующий углу поворота
г Ш 4и
звена А В на угол q = 2л> равен хп = 80 мм.
б) Вычисляем значение постоянного движущего момента Л1д. Так как работа
приведенного движущего момента равна работе приведенного момента сил со-
противления за один цикл установившегося движения и момент Л1Д постоянен,
значение ординаты у* на графике моментов находим из условия:
F 1760—120 1640 ппс
= - ~80~ = -80" = 2015 мм'
где F — площадь, заключенная под кривой Мс = Л4С (ф), хц"— отрезок оси абс-
цисс графика, соответствующий углу <р = 2л. График момента Мл — const по-
казан на рис. 93, g горизонтальным отрезком прямой,
6) Вычисляем приведенный к звену АВ момент инерции /а масс звеньев
механизма:
“ W
вводим обозначения:
г . llAB? 0,25-6,0025 nm)
’= = Ы = ~0ДО5~ = °'Wl га,а’
Сг=и^в = 1,8 • 0,0025 = 0,0045 кгм\ С3 = mslsAB = 2,2 0,0025=0,0055 кем*,
после чего получаем окончательную расчетную формулуi
I Г (bc'?4-C LC /Л; 3
'a=Cl +СЧр^ ’?C3W ’
Ён
Результаты вычислений сведены в табл, 3. Суммируя цифры, полученные в гра-
фах 3, 5 и 7 таблицы, найдем значения приведенного момента инерции /э ведо-
мых звеньев для всех восьми положения звена АВ:
/^=/^ = 0,00262 /3^7эВ = 0,00685 кгя3,
/зЭ^/з7 = 0,010 кглЛ /э4 = 7зв = 0и00539 кгл1а.
На рис. 93, г построен график ариведепнго момента инерции /я в завися*
мости от угла ф поворота звена АВ> Масштаб ординат этого графика равен
— 0*0002 кем2! мм.
169
Таблица 3
XsjVs положений механизма (—Y с* W / ps X* । \ рЬ ) । г 1 ps V Cl\7b) ? у ) с‘ (4У \рЬ /
1 {20/20} 0,00100 (12/20) 0,00162 (0/20) 0,00000
2 (14/20) 0,00049 (17/20) 0,00324 (16/20) 0,00352
3 (0/20) 0,00000 (20/20) 0,00450 (20/20) 0,00550
4 (14,5/20) 0,00052 (16/20) 0,00289 (12/20) 0,00198
5 (20/20) 0,00100 (12/20) 0,00162 (0/20) 0,00000
6 (14,5/20) 0,00052 (16/20) 0.00289 (12/20) 0,00198
7 (0/20) 0,00000 (20/20) 0,00450 (20/20) 0,00550
8 (М/20) 0,00049 (17/20) 0,00324 (16/20) 0,00352
7) Строим график кинетической энергии Т = Т (<р). Размечаем площадки
на графике моментов (рис^ 93, а), которые пропорциональны алгебраической
сумме работ момента движущих сил и момента сил сопротивления при перемеще-
ниях звена АВ на углы Дф = ^| и находим величины этих площадок в (ил2.
о
Результаты расчета сводим в табл. 4.
Таблица 4
№№ положений меха- низма 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Величина площадок в мм- и их знак 145 -210 -295 -34 63 280 285 —150 —104 20
Целесообразна проверка, которая состоит э том, что алгебраическая сумма
всех площадок должна быть равна нулю, В нашем случае результат проверки
благоприятный: сумма положительных площадок равна 793 мм1 и сумма отрица-
тельных тоже равна 793 По данным табл, 4 строим график Т = Т (<р)
(рис. 93, д) с масштабом по оси ординат рг= н^'Н;и*Нф = 15*2*3,14/40
₽ 2,36 нм!мм, где 15 ммЧмм— масштаб площадок, которым задаемся.
8) Строим диаграмму Т = Т(1П) (рис. 93, ее построение ясно из чертежа.
9) Определяем тангенсы углов наклона касательных О—1 я 0-^11 к дна*
грамме Т Т (/я):
1Ипт=-~ ' Hr (1+6) 0,0002, 83,о2 (1 +0,0125) ‘ 2 ‘ " 2,36 ’ 2 ’ -0’302-
Н/ Hr (1-6) 0,0002 83,5* (1 -0,0125) 2 ~ 2,36 2 —0,294,
где ©ср ~ =83,5 сек 1 и 6 = 0,0125. По найденным значениям
тангенсов определяем соответствующие нм углы: Фтах = 16а 48', 16*24',
На рис. 93, ж эти углы образованы лучами О—/ и О—// с горизонтальной
прямей»
170.
10) Проводим к диаграмме Т Т (7П) (рис. 93, <?) под углами фтэх я фт1п
касательные, параллельные лучам О—1 и О—II на рис. 93, ж. Далее продолжаем
ось ф графика /3 = 13 (ф) до пересечения с проведенными касательными в точках
£ и I. Измеряем отрезок kl; он оказался разным 35 мм,
] LJ Вычисляем величину момента инерции /м маховика по формуле (16,19):
2,36 * 35
83,5й 0,0125
0,007 = 0,945—0,07 = 0,875 кгл*>
12) Подсчитываем индикаторную мощность компрессора.
Индикаторной мощностью одноцилиндровой поршневой машины называется
отношение работы, которую совершает сила давления рабочего тела на поршень
за один цикл установившегося движения машины, ко времени этого цикла.
В нашем случае работа сил давления газа на поршень — это то же самое,
что и работа приведенного момента сил сопротивления. Поэтому упомянутая
мощность будет равна
= йср=Л1с ср-юср,
ьц фц
Где лс — работа приведенного момента сил сопротивления за один цикл; /ц —
продолжительность цикла (его период); фц — угол, на который поворачивается
звено приведения за время одного цикла; wcp — средняя угловая скорость звена
приведения; — = Мсср — средний приведенный момент сил сопротивления, ко-
фц
торый в нашем случае равен приведенному моменту движущих сил Л1Д = =
2'20,5 = 41 мм, так как этот момент постоянен.
Подставляя в вышеприведенную формулу для вычисления мощности N зна-
чения и tocp, получаем:
Л/ = Л1ссрюСр = Л1д * сеср — 41.83,5 = 3420 егп,
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 92—96.)
ЗАДАЧИ 291—302
291. Силы, приложенные к машинному агрегату, и его массы
приведены к звену Л В. Движение агрегата установилось. Один
никл установившегося движения соответствует углу <рц = 2л,
Приведенный момент сил сопротивления Л4С изменяется согласно
графику, а приведенный момент движущих сил Мц постоянен на
всем цикле установившегося движения. Приведенный момент инер-
ции масс звеньев машинного агрегата постоянен и равен /п —
— 0,2 кгм2. Средняя угловая скорость звена АВ равна юср = 30сек'1.
Определить, какой должна быть величина момента инерции
маховика, устанавливаемого на валу Л звена АВ, чтобы коэффици-
ент неравномерности движения 6 был равен 0,08.
292. Силы, приложенные к машинному агрегату, и его массы
приведены к звену АВ. Движение агрегата установилось. Один
цикл установившегося движения соответствует углу <рц = 2п.
Приведенный момент сил сопротивления Л1с изменяется согласно
графику, а приведенный момент движущих сил /Ид постоянен на
всем цикле установившегося движения. Приведенный момент ннер;
пни масс звеньев машинного агрегата постоянен и равен /п =
= 0,15 средняя угловая скорость звена Л В равна wcfJ == 25даг\
171
Определить, как велика должна быть масса ти махового колеса,
устанавливаемого на валу А звена ABt чтобы коэффициент нерав-
номерности движения б был равен 0,05; диаметр махового колеса
D = 0,5 jh.
293. Силы, приложенные к машинному агрегату, и его массы
приведены к звену АВ, Движение агрегата установилось. Один
К задаче 291. К задаче 292. К задаче 293.
цикл установившегося движения соответствует углу <рц = 2л.
Приведенный момент сил сопротивления Мс изменяется согласно
графику, а приведенный момент движущих сил постоянен на всем
цикле установившегося движения. Приведенный момент инерции
масс звеньев машинного агрегата постоянен и равен 1п = 0,014 кгм2г
средняя угловая скорость звена приведения = 25 сек*.
Определить, как велика должна быть масса тя махового колеса,
устанавливаемая на валу А звена АВ, чтобы коэффициент неравно-
мерности движения б был бы равен 0,04; диаметр маховика Dn —
= 0,5 л.
294» Силы, приложенные к машинному агрегату, и его массы
приведены к звену АВ. Движение агрегата установилось. Один
К задаче 294.
К задаче 295.
цикл установившегося движения соответствует углу <рц = 2л.
Приведенный момент сил сопротивления Мс изменяется согласно
графику. Приведенный момент движущих сил постоянен на всем
цикле установившегося движения Мд = const. Приведенный момент
172
инерции .масс звеньев машинного агрегата незначителен, вследствие
чего его величиной можно пренебречь. Средняя угловая скорость
звена АВ равна юср = 40 cetC\
Определить, как велика должна быть масса т* махового колеса,
устанавливаемого на валу А звена Л В, чтобы коэффициент неравно-
мерности движения б был равен 0,025; диаметр маховика D„ ~
1000 мм.
295, Силы, приложенные к машинному агрегату, н его массы
приведены к звену АВ. Движение агрегата установилось. Один цикл
установившегося движения соответствует углу <рц = 2п, Приве-
денный момент сил сопротивления Л1с изменяется согласно графику.
Приведенный момент движущих сил Л1Д постоянен на всем цикле
установившегося движения. Величиной приведенного момента инер-
ции масс звеньев машинного агрегата можно пренебречь. Средняя
угловая скорость звена АВ равна wep — 40 сек\
Определить, каким должен быть момент инерции маховика /и,
устанавливаемого на валу А звена АВ, чтобы коэффициент нерав-
номерности движения 5 был равен 0.025.
296. Силы, приложенные к машинному агрегату, и его массы
приведены к звену ДВ. Движение агрегата установилось. Одни
цикл установившегося движения соответствует углу = 2л.
Приведенный момент сил сопротивления Мс изменяется согласно
графику. Приведенный момент дви-
жу ши х сил Мд постоянен на всем
К задаче 296.
К задачам 297—300.
цикле установившегося движения. Величиной приведенного момента
инерции масс звеньев машинного агрегата можно пренебречь.
Средняя угловая скорость звена АВ равна — 25 сект1.
Определить величину махового момента ти Щ маховика,
устанавливаемого на валу Л звена ДД, при которой коэффициент
неравномерности движения б будет равен 0,02.
297* Машинный агрегат состоит из двигателя, механическая
характеристика которого задана уравнением
Л4д = (2375-22,7ю} нм,
и рабочей машины, приведенный к валу двигателя момент сопро-
тивления A1t которой изменяется согласно графику, показанному
на чертеже. Цикл установившегося движения агрегата делится на
174
две части (см, график): рабочий ход, продолжающийся 1$ = 0,1 сек.
и холостой ход, продолжительность которого tx сек. Рабочая машина
в первой части цикла загружена моментом сил сопротивления М? ~
= 200 нм. во время холостого хода (во второй части цикла) момент
сил сопротивления оказывается равным Л1х.
Определить величину приведенного к валу двигателя момента
инерции маховика для того, чтобы за время t? рабочего хода был
бы обеспечен перепад угловой скорости вала двигателя от «так =
= 104 сек1 до — 101,5 сек'1.
298, Воспользовавшись условием задачи 297, определить время
ft холостого хода (паузы между рабочими ходами) для того, чтобы
вал двигателя к началу следующего рабочего хода смог достичь
угловой скорости (о1Ш5Х = 104 сек'1. Приведенный к валу двигателя
момент инерции маховика /ч = 6,23 кам2; нагрузка двигателя на
холостом ходу определяется величиной приведенного момента сопро-
тивления Мх ~ 10 иль
299» Машинный агрегат состоит из двигателя, механическая
характеристика которого задана уравнением
.т 1000
Мд = —я.и,
и рабочей машины, приведенный к валу двигателя момент сопро-
тивления Л1с которой изменяется в соответствии с графиком, пока-
занным на чертеже.
Цикл установившегося движения агрегата делится на две части:
рабочий ход, продолжающийся /р = 0,1 сек, и холостой ход, про-
должительность которого равна ts сек. Рабочая машина в первой
части цикла на рабочем ходу загружена моментом сил сопротивле-
ния, величина которого равна Мр = 50 нм, во время холостого
хода во второй части цикла момент сил сопротивления оказывается
равным Л1Х.
Определить величину приведенного к валу двигателя момента
инерции маховика /м для того, чтобы за время холостого хода
был обеспечен перепад угловой скорости от = 200 сек"1 до
«пип = 50 сект1.
300. Воспользовавшись условием задачи 299, определить время
холостого хода для того, чтобы вал двигателя к началу следующего
рабочего хода смог достичь угловой скорости comai = 200 дас'1.
Приведенный к валу двигателя момент инерции маховика /w =
= 0т268 кам2; нагрузка двигателя на холостом ходу определяется
величиной приведенного момента сопротивления, равного ЛЦ = 2 нм.
301, Машинный агрегат состоит из двигателя, механическая
характеристика которого задана уравнением
= (2375 — 22,7со) нм,
и рабочей машины, приведенный к валу двигателя момент солро’
тивления Мс которой изменяется в соответствии с графиком, пока-
занным на чертеже.
174
Цикл установившегося движения агрегата делится на две части:
рабочий ход, происходящий при угле поворота вала двигателя (рр —
= л, и холостой ход, которому соответствует угол поворота того же
вала <р* Ия. Рабочая машина в первой части цикла (на рабочем
ходу) загружена моментом сил сопротивления приведенного к валу
К задаче 301.
К задаче 302.
двигателя, равным Л1р = 200 нм, во время холостого хода во второй
части цикла момент сил сопротивления принимает значение, равное
Л1Х = 10 нм.
Определить величину приведенного к валу двигателя момента
инерции маховика 7М, необходимую для того, чтобы угловая ско-
рость вала двигателя колебалась между = 101,5 сек”1 и ©тйК
= 104 сект1.
302- Машинный агрегат (рис, а) состоит из двигателя 1, редук-
тора 2 и рабочей машины 3. Движение агрегата установилось. Один
цикл этого движения соответствует одному обороту вала рабочей
машины. Силы и массы приведены к валу рабочей машины.
Найти величину момента инерции /м маховика, при котором
будет обеспечен коэффициент неравномерности движения б — 0,25.
Известно, что приведенный момент движущих сил Л1Л изменя-
ется согласно равенству: Мл = Магпах —со, где Мдй)а1 = 400 нм,
а с = 2,5 нмсгк (рис. б), Приведенный момент сил сопротивления
ЛД задан графиком (рис., в), причем Мс/Лах = 400 нж. Приведенный
момент инерции масс звеньев двигателя и редуктора постоянен и
равен /0 = 0,02 кем2. Приведенный момент инерции масс звеньев
рабочей машины /а пренебрежимо мал по сравнению с искомым
моментом инерции маховика.
§ J7. Определение механического коэффициента
полезного действия
Г. Механическим коэффициентом полезного действия машины или меха-
низма называется отношение работы сил производственного сопротивления к ра-
боте движущих сил за один полный цикл установившегося движения. Коэффи-
циент полезного действия находят по формуле:
^пс ____ ^;1С
(17.1)
175
^ср пе
ЛГГ7
(17,2)
где Лпс— работа производственных (полезных) сил сопротивлений, Ад — ра--
бота движущих сил, Лрс — работа сил вредных сопротивлений.
Если движущие силы н силы полезного сопротивления приведены к одному
и тому же вращающемуся звену, то механический коэффициент полезного дейт
ставя механизма можно определить как отношение среднего приведенного
момента сил полезного сопротивления к среднему приведенному моменту движу-
щих сил:
Т] =
где Л4ср пс — средний за цикл установившегося движения приведенный момент
сил полезного сопротивления, Мср д — средний за цикл установившегося движе-
ния приведенный момент движущих сил.
Если движущие силы и силы полезного сопротивления приведены к одной
и той же точке звена приведения механизма и линии действия этих сил совпадают,
то механический коэффициент полезного действия определяется как отношение
приведенной силы полезного сопротивления к приведенной движущей силе;
4 = (17-3)
г д
где Рис — средняя за цикл приведенная сила полезного сопротивления, PR —
средняя за цикл приведенная движущая сила (линии действия обеих сил совпа-
дают).
Таким образом, если представляется более удобным определить коэффициент
полезного действия как отношение средних приведенных моментов или приве-
денных сил, то предварительно следует такое приведение выполнить и после этого
составить требуемое отношение.
2°. Механическим коэффициентом полезного действия системы механизмов
составленной из нескольких последовательно соединенных механизмов (к. п. д.
многоступенчатых передач), называется произведение механических коэффиии*
ентов полезного действия отдельных механизмов (одноступенчатых передач),
составляющих данную систему.
3°> На основании указанных в пп. Г и 2° настоящего параграфа общих фор-
мул получаются формулы для определения механических коэффициентов полез-
ного действия одноступенчатых планетарных редукторов.
Вид формулы, которой нужно пользоваться для нахождения механического
коэффициента полезного действия планетарного редуктора, зависит от того, ка-
кое звено является ведущим и каково у него передаточное отношение.
При этом могут представиться следующие случаи:
1) Колесо 1 — ведущее, водило /У — ведомое. Если вычисленное передаточное
отношение одноступенчатого планетарного редуктора Д представляет собой ло-
ложительную дробь, то коэффициент полез кого действия редуктора вычисляется
по формуле
Г тГ^ О7-О
liH L 'Ня J
Если вычисленное передаточное отношение одноступенчатого планетарного
редуктора получается больше единицы или меньше. нуля, то коэффициент полез-
ного действия редуктора вычисляется по формуле
Р 0 “*!//)] О7-5)
iff
2) Водило Н — ведущее, колесо 1 — ведомое. Если вычисленное передаточное
отношение одноступенчатого планетарного редуктора Доказывается положитель-
ной дробью, то коэффициент полезного действия редуктора вычисляется по фор*
муле
*“-1-Се-м- ('74
17ft
Если же вычисленное передаточное отношение одноступенчатого планетар-
ного редуктора будет больше единицы. иля меньше нуля, то коэффициент по-
лезного действия найдется по формуле
Пя1 =-------Г~----------- (17-7>
В формулах (174) — (17<7) приняты следующие обозначения: тъл — коэф-
фициент полезного дейсгяя обращенного механизма, т. е+ такого, у которого
те же зубчатые колеса, что и планетарного механизма, но только водило Н оста*
позлено, а ранее закрепленное колесо л стало свободным (подвижным), ^ — пере-
даточное отношение одноступенчатого планетарного редуктора от центрального
колеса к водилу, — искомый коэффициент полезного действия одноступенча-
того планетарного механизма пра ведущем колесе 1, т)^ — искомый коэффициент
полезного действия одноступенчатого
водиле /7.
Ответы к предлагаемым в настоя-
щем параграфе задачам получены по
приведенным выше формулам.
4°. Решим два примера.
Пример I (рис. 94, а). Определить
коэффициент полезного действия на-
клонной плоскости, по которой дви-
жется равномерно вверх ползун, нагру-
женный вертикальной силой Q; движу-
щая сила Р параллельна основанию хх
наклонной плоскости.
планетарного механизма при ведущем
Коэффициент трения ползуна о рис 94 примеру I. Определение
плоскость равен f =? 0,3; угол наклона коэффициента полезного действия ка-
плеюкости а = 30 , клон ной плоскости»
Решение. В данном примере
сила Q является силой полезного сопро-
тивления. Найдем соотношение между движущей силой Р и склон полезного сопро-
тивления Q, для чего рассмотрим равновесие ползуна. К ползуну приложены
(рис, 94, а) сила Р» сила Q и реакция плоскости /?, отклоненная от нормали пл
на угол трения ф = arctg/'= arctg 0t3 = 18Q20'. Условием равновесия ползуна
будет
На рис. 94,6 построен соответствующий треугольник сил. Из него полу-
чаем:
P = Qtg(a-f-qi),
Пусть ползун переместится вверх на величину л тогда работа силы полезного
сопротивления будет ранка
. $ sin ct,
а работа движущей силы будет равна
Дд=±р. SCQS сх.
Коэффициент полезного действия найдется по формуле (17.1):
П = 4fK- «Q^lsin а = Q-s:sjng tga 0,58 л
P-s-cosa Qtg(ct'bq>)4 s - cos о. tg(a + <p) 1,124 '
177
“1
Пример 2. Определить коэффициент полезного действия одноступенчатого
планетарного редуктора типа
Рис. 95. К примеру 2. Опре-
делен не коэффициента полез-
ного действия одноступенча-
того планетарного редуктора.
Джемса (рис. 95), у которого ведущим является
вал колеса 1, а ведомым — вал О}1 водила
И, Число зубьев колес = 20, гг = 20 я г3
== 60. Коэффициент полезного действия каждой
пары колес ц s=± 0Л95.
Р е ш е*н и е, 1) Определяем передаточное
отношение одноступенчатого планетарного ре-
дуктора:
i —1 1__/я 1—V
42 l23’! I 77/1 77 —
. , , ,60
= 1 + lT = 1 + 20 = 4-
2} Определяем коэффициент полезного дей-
ствия обращенного механизма:
Птз = Т11Й • ^=0.95 0,95 = 0,9.
3) Находим искомый коэффициент полезного действия редуктора. Так как
(i/; больше единицы, то воспользуемся формулой (17.5):
= П -711» (I - Чя)1 =| [1 — 0.9 (1 -4)1 = = 0,925.
Следует обратить внимание на то, что найденный коэффициент полезного
действия больше коэффициента полезного действия обращенного механизма.
ЗАДАЧИ 303—312
303, Определить коэффициент полезного действия наклонной
плоскости, по которой движется равномерно ползун, нагруженный
вертикальной силой Q, под воздействием силы Р, параллельной
наклонной плоскости. Угол подъема плоскости а = 20°; коэф-
фициент трения ползуна о плоскость / = 0,2. Задача предлагается в
двух вариантах: а) ползун движется вверх, б) ползун движется вниз*
К задаче 303.
К задаче 304.
К задаче 305.
304. Определить коэффициент полезного действия наклонной
плоскости, но которой движется равномерно вверх ползун, нагру-
женный вертикальной силой Qt под воздействием силы Рг наклонен-
ной к плоскостипод углом Р = 15D; угол подъема плоскости а = 15°;
коэффициент трения ползуна о плоскость /“0,1,
305. Определить коэффициент полезного действия наклонной
плоскости, по которой движется равномерно ползун, нагруженный
17В
вертикальной силой Qt под воздействием силы Р, параллельной
основанию наклонной плоскости. Угол подъема плоскости а — 20^;
коэффициент трения ползуна о плоскость / — 0,2. Задача предлага-
ется в двух вариантах: а) ползун движется вверх, б) ползун дви-
жется вниз.
306, Определить коэффициент полезного действия наклонной
плоскости, по которой движется равномерно вверх клиновой пол-
зун, нагруженный вертикальной силой Q, под воздействием силы Рг
параллельной основанию плоскости; половина угла заострения
К задаче 306.
К задаче 307.
клина Р — 30°; коэффициент трения ползуна о плоскость / = 0,2;
угол подъема плоскости а = 20°.
307, Определить мощность двигателя червячной лебедки
грузоподъемностью Q = 500 я? если вал двигателя непосредственно
соединен с валом червяка 1 и вращается со скоростью п = 1440 об/мин.
Диаметр барабана лебедки D — 100 мм. Число заходов резьбы
червяка k = 1, число зубьев колеса^ = 40, угол подъема винтовой
линии червяка а = 4°; коэффициент трения в нарезке червяка
f = 0,1 (потерями на трение в подшипниках передачи и жесткостью
троса пренебречь).
К задаче 308.
К задаче ЗОЭ.
308. Определить момент Мн, снимаемый с вала водила Н пла-
нетарного одноступенчатого редуктора, если к валу его колеса /
подводится мощность = 750 вт. Колесо 1 вращается со ско-
ростью — 700 об/мин, Числа зубьев колес равны zx — Z2r — 40,
179
z2 — = 30; коэффициент полезного действия каждой пары колес
П = 0,9,
309. Определить момент Мн> снимаемый с вала водила И одно-
ступенчатого планетарного редуктора, если к валу его колеса /
подводится мощность Nl = 750 вт и колесо вращается со скоростью
“ 400 об/мин. Числа зубьев колес равны zr = = 20, гэ = 60;
коэффициент полезного действия каждой пары колес равен т] = ОД
310, Определить коэффициент полезного действия планетарного
механизма лебедки, если ведущим является вал водила //, ведомым—
вал колеса Л Числа зубьев колес равны zY — 65, z3 = 62, z? = 63,
= 66; коэффициент полезного действия каждой пары колес равен
т) = 0,98.
31L К валу О5 колеса 5, вращающегося со скоростью пй =
= 500 об/мин, подводится мощность ;V& = 750 вт. Определить
К задаче 310.
момент Л4п который можно снять с вала Ох колеса /, если числа
зубьев колес равны = г2 = 20, г3 = 60, = 16, гь == 32; коэф-
фициент полезного действия каждой пары колес равен т) = 0,9,
-312, Определить величину момента Л4Ь который можно снять
с вала 02 колеса / редуктора Н. IL Лопухова, если к ведущему
К задаче 312.
валу Он водила Н подводится момент Мц\ числа зубьев колес равны
21 = 24, 2, = 20, г?- = 22, z3 - 26, г4 = 24, zs = 20, zy - 22, -
= 26; коэффициент полезного действия каждой пары колес равен
>1 - 0,98.
180
§ 18. Динамика механизмов с переменной массой звеньев *)
Г'. В этом параграфе приводятся задачи на составление и применение урав-
нения движения звена приведения механизма, записываемого в форме уравнения
(15.4)* Рассматриваются только частные случаи, когда звено с перемен-
ной массой движется поступательно относительно стойки механизма.
2°. Решение задач следует начинать, как обычно, с приведения сил н масс,
но при этом в связи с переменностью массы звена следует учесть следующие осо-
бенности.
1) Ко всем внешним силам (движущим и сопротивления) надо добавлять
импульсивную силу Эта сила находится по формуле
А,и=^у («-*).
08.1)
где dm/ctt— интенсивность присоединения или отделения массы, а—абсолют-
ная скорость присоединяемой или отделяемой массы, и — абсолютная скорость
звена, к которому присоединяется или от которого отделяется масса.
Если обозначить через с = ц — я относительную скорость присоединения
или отделения массы, то формула (18.перепишется так:
А™ - м с.
(18.2).
В случае присоединения масры импульсивная сила рим направлена по отно-
сительной скорости с, а в случае отделения массы она направлена в противопо-
ложную сторону. Импульсивная сила Р1Ш может играть роль как силы движущей,
так я силы сопротивления*
Возможны следующие четыре случая.
Случай первый: масса присоединяется (рис. 96, а) я направление
абсолютной скорости присоединения и совпадает с направлением абсолютной ско-
рости звена и. Очевидно, что присоединение возможно только, если [о I > [ф[.
$ ffm /я
Л П I------"П V
к) а
£ &
$ * —I
0 fa
Рис. 97. Направление импульсной си*
лы в случае присоединения массы при и
и я, направленных в разные стороны.
Рис. 96. Направление импульсной си-
лы в случае присоединения массы при и
и направленных в одну сторону.
Относительная скорость с — и — Ф присоединяемой массы (рис< 96, 6) будет
иметь такое же направление, что и абсолютная скорость звена р, и импульсив-
ная сила Р11М будет силой движущей (рис. 96, в).
Случай второй; масса присоединяется (рис. 97, а), но абсолютная
скорость присоединения и имеет направление, противоположное направлению
абсолютной скорости звена Ф. Тогда относительная скорость присоединяемой
массы с = « — (рис. 97, б) всегда будет иметь направление, противоположное
*) Подробно вопрос изложен в книге А* П. Вессонов а, Основы дина-
мики механизмов с переменной массой звеньев, «Наука», 1967.
181
направлению абсолютной скорости звена ©, и импульсивная сила будет силой го-
лрелшвлелшя (рис. 97, б).
Случай третий: масса отделяется (рис. 98, а) и абсолютная скорость
отделения и имеет направление, противоположное направлению абсолютной ско-
рости звена с. Тогда направление относительной скорости отделяемой массы
с = а— v (рис. 98,6) будет тоже противоположно направлению скорости©.
В этом случае импульсивная сила будет силой движущей (рис. 98, в).
£f) /п &т?
jn
Ф t> i£
<Г=- 9
C
Рис. 98. Направление импульсной си-
лы s случае отделения массы при и
и ©, направленных в разные стороны.
Рис. 99* Направление импульсной си-
лы в случае отделения массы при и
и ©, направленных в одну сторону.
Случай четвертый: масса отделяется (рис. 99, л) и абсолютная
скорость и имеет направление абсолютной скорости звена ©, что возможно только
при условии | и | > ] ъ .'; тогда относительная скорость отделяемой массы с
= а — © (рис. 99, 6) будет направлена в ту же сторону, что и абсолютная ско-
рость звена © И! следовательно, импульсивная сила будет силой сопротивления
(рис. 99. е).
2) Приведенная масса находится по общему правилу на основании равенства
кинетических энергий, но при подсчете кинетической энергии звена с переменной
массой следует в формулу для определения этой энергии подставлять скорость
перекосного движения центра масс звена. В частном случае, когда звено движется
поступательно относительно неподвижных направляющих, эта скорость — та-
кая же, как и абсолютная скорость любой точки звена.
3) При нахождении производной от приведенного момента инерции при при-
веденной массы по углу поворота звена приведения надо пользоваться принци-
пом затвердения, поэтому переменную массу звена следует выносить зазнакпро-
из водной.
Пусть выражение приведенного момента инерции звена с переменной массой
имеет вид
Ms пер Y
/11=т \“ЯГ“/ • °8'3)
Производная будет равна
d*I d
n = m Sngp
dtp dtp \ w /
(18.4)
где m—переменная масса звена, и5пер — скорость переносного движения центра
масс эвена, е> — угловая скорость звена приведения,* — символ, указывающий,
что применен принцип затвердения, и, следовательно, переменная масса вине-
сена за знак производной,—— передаточное отношение от звена с перемен-
w
ней массой к звену приведения.
3й. Производную от квадрата передаточного отношения (^ер7ю)3 можно най-
ти следующим образом;
182
Скорость центра масс звена с переменной массой в переносном движении вы-
разим через аналог этой скорости
Asnep
rS пер “*
(18.5)
где dsSa^dtp — аналог скорости центра масс в переносном движении^ — угло-
вая скорость звена приведения.
Подставляя значение скорости с5пер центра масс в формулу (18.4)j получим;
d*/ d (dsQ \ъ
Н / 5 пер \ .
—т—= — V—з—J • (18.6)
х dtp dtp X dtp / 4 '
Выполняя дифференцирование, найдем
d* I ds? d?sP
и п 5 пер 5 пер
, /712 j j — *
dg> dtp dtp3 1
(18.7)
где — аналог тангенциального ускорения центра масс звена в перенос-
ном движении, при перманентном вращении ведущего звена.
4®, Пример *).
Составить в форме уравнения моментов уравнение движения звена приведе-
ния АВ скребкового конвейера применительно к его рабочему ходу (рис, 100).
В основу машины положен кри-
вошипно-ползунный механизм.
Размеры звеньев механизма из-
вестны, также известны масса
ползуна 3 и масса загрузки, ко-
торая изменяется по линейному
закону, согласно графику (рис*
100, б). Массами кривошипа и
шатуна пренебрегаем, угловая
скорость кривошипа со, движу-
щий момент Л!Л приложен к
звену АВ. Трением в кинемати-
ческих парах механизма, а также
трением транспортируемых де-
талей о стол 4 пренебречь. Ре-
шение дать в общем виде.
Описание работы конвейе-
ра. При ходе ползуна влево
(холостой ход) стол 4 не загру-
жен, при ходе его вправо (рабочий ход) стол 4 загружен деталями а. доста-
точно близко расположенными одна от другой и имеющими массы малыми по
сравнению с общей массой загрузки. Таким образом, цикл работы конвейера
состоит из холостого хода (ползун 3 движется влево) и рабочего хода (ползун 3
движется вправо).
Решение. 1) Находим импульсивную силу Раа. Она действует во время
рабочего хода я равна (18.1)
Л dm f . dm
Аш—d(t »с:
Рис, 100. К примеру на составление уравне-
ния движения звена приведения механизма
при ведомом звене с переменной массой. Схема
скребкового конвейера.
здесь мы имеем дело с присоединением массы, что отвечает случаю второму (п. 2
настоящего параграфа) и так как абсолютная скорость присоединения массы равна
кулю, т. е. и = 0, то относительная скорость г этой же массы равна г= —
т, е. эта скорость направлена против скорости движения ползуна поэтому
импульсивная сила Рив будет силой сопротивления.
*) По просьбе авторов пример составлен профессором А. П. Бессоновым.
183
с-
Вычислим модуль импульсивной силы РИ||,
В соответствии с заданным законом изменения массы загрузки (вис 100, б),
имеем, что
________________________________
-sCj
где 1С — ход ползуна 3,. —текущее перемещение ползуна совпадающее с пе-
ремещением точки С.
Величина всей движущейся массы ш3 равна
ma=ka + ^..sV
\ 1С с/
Интенсивность изменения массы равна
dm ~ dm3 dsc _ тт„
di dsc dt lc °C,
ds^
так как ^- — oc. Окончательно импульсивная сила PllM равна
D mmax ^тпэх g
РИи — . - Vc * O£ — —< ,
{C lC
2) Приводим импульсивную силу к звену приведения АВ. На основании
сравнения мощностей получаем:
mmax 9 / VC \ ттях , ^SC
1С с \ Ю / 1С с ’
dsc
где — аналог скорости точки С Л*ии — приведенный к ведущему звену им-
пульсивный момент, который в нашем случае будет моментом сопротивления.
3) Находим значение приведенного момента инерции /п. На основании ра-
венства кинетических энергий имеем:
, l'vcY / , mfflax W»cY ! .тт^ \ldsc\2
Ik — Щз 7? I — I nZos H-7- ' Sc j \ 7? / = V mO3 4-7- ‘ SC Ц 'jm / *
4) Находим производную от приведенного момента инерции по углу поворота
qp эвена приведения:
штзх
— 'SC
I/-*
• S
9 dSC
S^/ dq£ "
5) Уравнение движения эвена приведения на рабочем ходу конвейера будет
иметь вид .
М -^М = J
д ”м п dt 2 dq ’
или, после подстановки в него значений приведенного момента ст импульсивной
силы, приведенного момента инерции и производной от приведенного момента
инерции по углу поворота ведущего звена, окончательно примет вид:
.. "‘и, ах Jdsc\ I , "‘max \/^С\Мм ,
Л1д-7 CT Нг~ “ i н---;---Sr Н-' “77 “Г
А Ъ\^ф/ \ /С и/\^/ dt
& /
___и
dtp
п
™nwx £ V 2
({. dtp т
Примечание: для холостого хода уравнение движения будет иметь вид (15.4),
как -И для механизмов с постоянной массой.
ЗАДАЧИ 313—315
313. Найти угловое ускорение е звена АВ кривошипно-ползун-
ного механизма скребкового конвейера в том положении его, когда
- 270°:
Дано: 1д& = 500 зих, 1&с == 1500 л<лгт угловая скорость криво-
шипа АВ « = 10 cetC1, масса ползуна 3 = 10 кг, максимальная
масса загрузки ffzmax = 50 кг, момент движущих сил, приложенный
к ведущему звену ДВ, Мд = 400 нль Массами кривошипа и шатуна,
а также трением в кинематических парах механизма и трением дета-
лей о стол 4 пренебречь.
Загрузка конвейера массами деталей изменяется согласно гра-
фику, показанному на чертеже.
Описание работы конвейера. При ходе ползуна влево (холостой
ход машины) стол 4 не загружен, при ходе его вправо (рабочий ход)
ползун 3 сдвигает детали а.
находящиеся на малом рас-
стоянии одна от другой и
имеющие массы, малые по
сравнению с общей массой
загрузки.
314. Составить уравне-
ние движения звена АВ
кривошипно-ползу иного ме-
ханизма, относящееся к
его рабочему ходу.
Описание работы меха-
низма, При ходе ползуна 3
влево (холостой ход) на
стол 4- подается другим ме-
ханизмом (на чертеже не по-
казанным) пакет деталей а; при ходе ползуна 3 вправо (рабочий ход)
ползун 3 сдвигает пакет деталей вдоль стола 4. При подходе к краю
стола детали одна за другой отделяются от пакета и ссыпаются
185
в бункер. Массы деталей малы по сравнению с общей массой за*
грузки и размеры их также малы по сравнению с ходом ползуна /с-
Считать заданными: размеры звеньев, угловую скорость криво-
шипа а, массу ползунатй3> первоначальную массу загрузки/n^ax,
момент движущих сил jMv Массами кривошипа и шатуна, а также
трением в кинематических парах механизма и трением деталей о стол
пренебречь. Решение дать в общем виде.
315. Для механизма, описанного в задаче 314, найти угловое
ускорение в звена АВ в том положении его, когда ф = 270°.
Дано: /ад = 500 мм. 1ВС = 1500 мм. угловая скорость криво-
шипа со — 10 сек1. масса ползуна 3 = 10 кг, первоначальная
масса загрузки = 50 кг, момент движущих сил, приложенный
к звену ДВ, Л4Д = 400 нм. ход ползуна 1с — 1000 мм- Массами
кривошипа и шатуна, а также трением в кинематических парах
механизма и трением детален о стол 4 пренебречь.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ
(КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ)
ГЛАВА ПЯТАЯ
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С ВЫСШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
§ 19, Проектирование центроид ных механизмов
Г, При решении задач настоящего параграфа следует строить центроиды
е относительном движении звеньев, представляющие собою геометрические места
мгновенных центров вращения в относительном движении рассматриваемых
звеньев.
2* Для того чтобы найти мгновенный центр вращения в движении одного
звена относительно другого, удобно воспользоваться методом обращения движе-
ния. Этот метод состоит в том, что всем звеньям механизма сообщается скорость.
Рис* 101. Построение центра мгновен-
ного вращения в относительном дви-
жении звеньев.
Рис, 102. Построение центроид в от-
носительном движении звеньев.
обратная скорости того звена, относительно которого требуется построить цент-
роиду другого.
На рис. 101 показан механизм, у которого звено 7 вращается с угловой ско-
ростью toj, а звено 2 движется поступательно со скоростью гь. Надо построить
центроиду в движении звена 2 относительно звена 1.
Обращаем движение, т. е. сообщаем всей системе угловую скорость ^<0^.
Тогда звено / как бы останавливается, а звено2 теперь участвует в двух движениях:
вращается вокруг центра О| с угловой скоростью —в движется поступательно
вдоль своих направляющих со скоростью tf2.
187
Найдем на плоскости звена 2 точку P2li скорость которой в рассматривае-
мом движении звена 2 будет равна нулю, к е. найдем мгновенным центр вращения
звена 2 в его движении относительно звена 1. Точка Р2Ь очевидно, лежит на линии,
проходящей через центр вращения звена 1, т, е* через точку н перпендикуляр-
ной скорости *р2 звена 2, слева от точки 0х (рис. 101), Расстояние 7? от точки РЙ1
до точки Од найдется кэ условия
(19Л)
откуда
/? = ^.
«1
В последующий интервал времени (рис. 102) звено 2 повернется вокруг центра
на угол Л<р по направлению угловой скорости —ш1 н займет положение yrOY.
Мгновенный центр вращения в этом положении находится аналогичным
построением.
Соединив точки Pat, ft, ит. д, плавной кривой, получим искомую центроиду
в движении звена 2 относительно звена /, т, е, центроиду
2 -
Рис, 103. Построение центроид в от-
носительном движении звеньев.
Рис, 104, Цеятроидный
механизм.
Для нахождения центроиды в движении звена 1 относительно звена 2 также
обращаем движение звеньев J и 2, но только теперь всей системе сообщаем ско-
рость —1>2 (рис. 103).
Теперь звено 2 как бы остановилось, а звено 1 участвует в двух движениях:
движется поступательно со скоростью —-р2 и вращается вокруг центра с угловой
скоростью . Мгновенный центр вращения будет лежать на линии, перпенди-
кулярной скорости и проходящей через центр вращения слева от него (в дан-
ном положении точка будет совпадать с точкой Р^). Расстояние Р находится
нз соотношения (19.1).
В последующий момент времени звено 1 переместится вдоль линии на ве-
личину As в направлении скорости — и центр вращения его займет положение
О\. Мгновенный центр вращения Р'1й находится аналогично тому, как ранее был
найден мгновенный центр вращения Р^. Соединив точки Ри, Р[а и т, д. плавной
кривой, получим центроиду Ц12 в движении звена 1 относительно звена 2.
Выполнив центроиды Ц21 и материально, связав их жестко со звеньями
1 и 2 и обеспечив их взаимное перекатывание без скольжения, получим цешпроид-
ный механизм (рис, 104).
3°, Пример. Спроектировать передачу (рис. 105, а), осуществляющую задан-
ное движение звеньев 1 и 2 посредством центроид в относительном движении.
Звено 1 вращается равномерно, а звено 2 вращается с угловой скоростью щ, (0
в соответствии с графиком (рис. 105, б). За время Т одного оборота звена 1 звено 2
тоже совершает один оборот. Расстояние между центрами вращения звеньев
= 200 мм>
168
Решение, 1) Определяем значение постоянной угловой скорости Arc
звена » строим ее график он (0* Зя время Т оба звена поворачиваются на один
и тот же угол, равный 2п, поэтому площади под графиком (*4 (0 и Й1 (0 должны
20
быть равны: * Т+ 20 * Т = * Т t откуда о\ = 30 сек\
£л
Рис, 105. Построение центроидного механизма (пример).
2) Делим абсциссы графиков (£) и <0 на равные части (в нашем случае
на четыре) и находим значения угловых скоростей шх и для отдельных моментов
времени 7\ Их значения приведены в таблице.
Т а б л и ц а
Значения угловых скоростей и
№№ ПОЗИЦИЯ Значение времени в долях, Г Угловая ско- рости tot первого звена В Ct'*-1 Угловая ско- рость сал второго звена В №Хй позиций. Значение времени в долях, Г Угловая СКО- РОСТЬ (0| лервохо звена в сек 1 Угловая ско- рость <д5 второго Звена н сек -1
/ II /// 0 Г/4 Т/2 30 30 30 20 30 40 IV V ЗГ/4 Т 30 30 30 20
3) Находим углы поворота звена 2 в движении его относительно звена I
за каждую четверть времени его полного оборота.
Эти углы будут пропорциональны площадкам F'n — nv ^hi—ivr
F]V_у на графике (0 (рнс 105, *). В пашем случае эти площадки, а следовательно,
н углы равны между собою, т. е. <pjI—п = = <Ptn~iV'= IV—v —
189
= 90°(надо иметь в виду, что весь угол поворота звена 2 в относительном двяже*
нии по отношению к звену 1 за время Т равен 36О&).
Находим такие же углы поворота звена 1 в движении его относительно звена 2.
Эти углы будут пропорциональны площадкам F[_j-p
на графике й>а (Q (рис. 105* б). Их значения нетрудно вычислить: ф£_п = 75%
Фц—305’* Ф£ц„iv^ 105% ф lv_v = 75%
4) Строим центроиды Цп и в движении звеньев 2 относя гель но / и 1
относительно 2 (рис. 105* е),
а) Строим центроиду £(й1 в движении звена 2 относительно звена /, Обращаем
движение, т. е. сообщаем всей системе угловую скорость — шР Мгновенный центр
вращения РЙ1 в этом движении звена 2 будет лежать на линии OLO2 и расстояние до
его центра Ох найдется из двух условии:
и (19.2)
/OiOt = ^14“(19.3)
откуда радиус-вектор /%, определяющий положение центра мгновенного вращения
на линии центров OjP2, будет равен
Л,—"’°
(19Л)
<Д1
сов
Для начального положения (позиции /) этот радиус будет равен
—10а----=-?%-=80 мм
t I.*01-1 14-~
0)2^1 ^20
(значения угловых скоростей со1—1 н ш2—I следует взять из графиков (П
(рис. 105* б) и »£ (0 (рис, 105, я))*
По прошествии времени, равного одной четверти от времени цикла Г,
линия центров (40s повернется на угол ф[„1( = ZO2°i^2— ы = 90э и займет по-
ложение О|О2_П (позиция //), радиус-вектор /?1—п определится по формуле (194)
lo^i 200 1ПЛ
--------оп=1°0 мм;
1-1- _
^30
найдутся аналогично!
200 ш,
---^=114,3 ил,
1^40
__II =
1_1 . ГО1 — г
^сйг-п
для остальных позиций радиусы-векторы
n foiO?
‘©2 — Ш
Й]_[у = ^----1 ~ =-----ох-—100 мл, /?i—v = Ri — । =80
^©2-iv ^30
Соединив центры мгновенного вращения PJjt Pfj1, Pjv, P^ плавной кри-
вой, получим центроиду а движении звена 2 относительно эвена 1.
б) Строим центроиду Z/L.a в движении звена / относительно звена 2, Обращаем
движение, т. е. сообщаем всей системе угловую скорость —о2, Центр мгновенного
вращения Р12 в этом движении эвена 1 будет также лежать на линии центров О^Ол
и расстояние его от центра О2 найдется из равенств (19.2) и (19.3).
Следовательно, радиус-вектор /?2, определяющий положение центра мгновен-
ного вращения Р12 на линии OjOa. будет равен
№)
н--а
190
для начального положения (позиция 7) этот радиус будет равен
d . Iotot 200
Яа—1 —----------------= 120 м.
^20
‘ Ы1-1 1 30
(02— 1
По прошествии времени, равного одной четверти времени цикла Г, линия
центров повернется на угол = z01020J_ni^= ?5= и займет поло-
(позиция 77), а радиус-вектор будет равен
жение — п
Для остальных положений значения ради усов-вектор os получим аналогичными
расчетами' = 85,7 jwjh., /?а —iv=100 лсж, — v=^A?2— 1 = 120 мм.
Для проверки правильности решения следует помнить, что сумма радиусов-
векторов всегда равна расстоянию между центрами Oj и Оа> т, е. — ^от-
соединив центры мгновенного вращения pi , рн, /ин, piy, Р^ плавной кри-
вой, получим центроиду Д1а в движении звена 7 относительно звена 2 .
(см, рис. 105, г).
Выполнив эти центроиды материально, жестко связав их соответственно со
звеньями 1 и 2 и обеспечив их взаимное перекатывание, получим передачу задан-
ного движения звеньев посредством центроид в относительном движении.
(См, И. И- Артоболевский, Теория механизмов, §§ 24 и 10d.)
ЗАДАЧИ 316—320
316. Спроектировать передачу, осуществляющую заданное дви-
жение звеньев 1 и 2 посредством центроид в относительном движе-
нии, если звено / должно вращаться с постоянной угловой ско-
ростью (Oj — 1,0 сек1, а звено 2 — двигаться поступательно с посто-
янной скоростью v2 = 20 /шеек-1.
317. Спроектировать передачу, осуществляющую заданное дви-
жение звеньев /м2 посредством центроид в относительном движении,
К задаче 317.
К задаче 318.
если звено 1 должно вращаться равномерно с угловой скоростью
tolf а звено 2 — двигаться возвратно-поступательно со скоростью
о2 — 20 мм/сек, в соответствии с графиком изменения этой скорости
за время Т = 12,56 сек одного оборота звена I.
318. Спроектировать передачу, осуществляющую заданное дви-
жение звеньев / и 2 посредством центроид в относительном дви-
191
женин, если звенья должны. вращаться с постоянным отношением
угловых скоростей
; _____tol_____9
Постоянное расстояние между центрами вращения звеньев равно
foto. — 100 мм.
Рассмотреть случаи, когда звенья вращаются: а) в противопо-
ложных направлениях и б) в одном и том же направлении*
319. Спроектировать передачу, осуществляющую заданное дви-
жение звеньев 1 и 2 посредством центроид в относительном движе-
нии, если звено 1 должно вращаться равномерно с угловой ско-
ростью соь а звено 2 — с угловой скоростью coat изменяющейся в соот-
ветствии с графиком, показанным на чертеже. За время Т одного
К задаче 319,
оборота звена / звено 2 должно также совершать один оборот.
Расстояние между центрами вращения звеньев равно/о,ое = 100 мм.
Звенья вращаются в противоположных направлениях.
320, Спроектировать передачу, осуществляющую заданное дви-
жение звеньев 1 и 2 посредством центроид в относительном движении,
если звено I должно вращаться равномерно с угловой скоростью
а звено 2— с угловой скоростью &i3t изменяющейся в соответствии
с графиком, показанным на чертеже. За время Т одного оборота
звена / звено 2 также совершает один оборот. Расстояние между
центрами вращения звеньев равно lotQt = 100 мм. Звенья враща-
ются в противоположных направлениях.
Указание, При построении центроид время Т одного обо-
рота разделить на восемь разных частей*
§ 20. Проектирование механизмов со взаимоогибаемыми
профилями
Р. Воспроизвести заданное движение звеньев с помощью центроид в отно-
сительном движении, выполненных материально, не всегда представляется воз-
можным или целесообразным. Тогда заданное движение звеньев можно воспроиз-
вести посредством взаимоогибаемых профилей, которые, находясь в зацеплении,
обеспечивают взаимное перекатывание указанных цевтроид.
192
Такие профили образуются взаимоогибэемымн кривыми и называются сопря*
генными профилями. Эти профили должны удовлетворять условию, чтобы нормаль
и точке их касания проходила через центр мгновенного вращения (полюс зацепления)
в относительном движении звеньев.
Одним сопряженным профилем можно задаться, тогда другой может быть
найден либо методом По после, либо методом Рёло*
При построении сопряженного профиля по методу Понселе следует обратить
движение и построить заданный профиль в ряде последовательных положений»
которые он занимает в относитель-
ном движении по отношению к ис-
комому профилю; тогда искомый
профиль будет огибающей кривой
всех положений заданного* Сопря-
женный профиль по методу Рёло
строится по отдельным точкам его*
В задачах настоящего парагра-
фа предлагается строить сопряжен-
ные профили для следующих слу-
чаев задания движения ведущего и
ведомого звеньев: 1) оба эвена вра-
щаются в разных направлениях с
постоянным передаточным отноше-
нием; 2) оба звена вращаются в
одном направлении с постоянным
передаточным отношением; 3) одно
звено вращается с постоянной угло-
вой скоростью, а другое движется
поступательно с постоянной линей-
ной скоростью.
2J. Рассмотрим построение со-
пряженного профиля по методу Рело
на примере, когда оба звена вра-
щаются в разных направлениях с
постоянным передаточным отноше-
нием (рис. 1GG).
Центры вращения звеньев 7 я
2 — точки и 02 — расположены
по разные стороны от центра мгно-
венного вращения Р12 в относитель-
ном движении звеньев. Радиусы
Рис. 106* Построение сопряженных про-
филей по методу Рёло.
начальных окружностей, т. е. центроид в относительном движении звеньев,
равны 7?! и /?2.
Для осуществления заданного постоянного передаточного отношение зада-
димся на Звене /, выбранном нами, профилем который в рассматриваемый
момент времени проходит через мгновенный центр вращения (полюс зацепления)
PLa. Найдем на звене 2 сопряженный заданному профиль /(2 — который удовле-
творял бы следующему условию: где бы ни соприкасались профили KL —
и Кз — К2* норжль к проведенная через точку их касания, должна проходить
через постоянный полюс зацепления Р12.
Очевидно, что одна точка искомого профиля К2 — уже известна — она сов-
падает с точкой Pi2, так как нормаль к профилям всегда проходит через полюс
зацепления Р12. Построим еще одну точку профиля /С3 — AV Отметим па профиле
А\ — Ki точку проведем через нее нормаль к профилю 7Q — Кр Найдем
на плоскости чертежа точку Ло, в которой будет соприкосновение точки А1 про-
филя Д\ — Ki с соответствующей точкой Да искомого профиля Ка — Нормаль
/?!«! в рассматриваемом положении звеньев пересекает начальную окружность
звена 7 в точке сгг. По прошествии некоторого промежутка времени, вследствие
вращения звеньев / и 2, эта точка совпадает с точкой Одновременно с точкой
в полюс зацепления Р12 придет и точка а2 звена 2, лежащая на дуговом расстоянии
от полюса равном — Поэтому точку зацепления 4^ профилей
7 И, И. Артоболевскийг Б, В, Эдельштейн
193
— А’д и K2 — Л'2 можно найти следующим образом. Из точки О2 проводим
окружность радиуса 0^ и засекаем ее дугой окружности, проведенной на полюса
зацепления P1S, с радиусом, равным PnA0 = ai4i.
3°. Геометрическое место точек соприкосновения взаимоогибаемых профилей
и К2 — К2 образует линию зацепления С3.
Теперь найдем на профиле К2 — точку Л2, которая встретится с точкой Лг
профиля — Ki в точке зацепления Ао* Эта точка расположена в пересечении
окружностей, проведенных из точки Оа радиусом 02А^ и из точки — радиусом
Р1ЙЛО _ Аналогичным построением можно найти как угодно много точек
искомого профиля — /С2. Рассмотренным методом можно строить сопряженные
профили, если известны центроиды в относительном движении звеньев.
4°, Если сопряженные профили ограничены до длине, то и линия зацепления
будет кривой, ограниченной по длине. Участок кривой линии зацепления,
на которой происходит соприкосновение сопряженных профилей ограниченной
Рис. 107, Нахождение рабочей части Рис, 108, Нахождение рабочих участ-
линни зацепления. ков сопряженных профилей.
длины, называется рабочей частью линии зацепления. На рис, 107 показано, как
находится рабочая часть линии зацепления. Пусть сопряженные профили
и /<а — /(% построены и известна их линия зацепления С3,
Очевидно, что вершина профиля Ка — К2, т. е. точка придет в зацепление
с профилем в точке А на линии С3 зацепления. Аналогично точка —
вершина профиля Кх — КТ — прядет в зацепление с профилем — К2 в точке В
налипни С3 зацепления. Вне участка АВ зацепление профилей и К3 — Кг
происходить не будет.
5е, Вследствие ограниченности профилей по длине (рис. 108) не все ях точки
будут использованы для целей зацепления, В самом деле, вместе с вершиной (го-
ловкой) профиля К2 — т, е. точкой 0%, на линию зацепления С3 придет точка
аг профиля За этой точкой, считая по направлению к центру OL враще-
ния колеса 7, профиль — К2 не будет зацепляться с профилем Кг — К2.
Вершина (головка) профиля т. е. точка придет в зацепление с профи-
лем Ка — /С2 в точке В линии зацепления. В ту же точку придет и точка
на профиле /Q — /С2. За точкой Sj, считая по направлению к центру 0а колеса 2~
профиль не будет зацепляться с профилем Ki — Ki.
Дуги и о называются рабочими частями профилей
и К.2 —
6°. Непрерывность передачи движения сопряженных профилей, принадле-
жащих зубчатым колесам 7 н 2 (рис. 109), будет обеспечена только тогда, когда
дуга зацепления S будет больше шага t зацепления; при этом шаг и дуга должны
194
измеряться по одной и той же окружности. На рис 109 показаны начальные
окружности зубчатых колес, радиусы которых /?1 и ^2; проведены окружности
головок сопряженных профилей, радиусы которых Яп и Я га* указана рабочая
часть АВ липни зацепления. Профиль Л'21 зуба да колесе 2 входит в зацепление
в точке В и выходит из зацепления в точ’ке А. Точки пересечения профиля К2
с начальной окружностью в момент входа в зацепление я выхода его из зацепления,
т. е. точки d н d', ограничивают дугу зацепления 3. На том же рисунке показан
профиль К2И следующего зуба того же колеса, находящийся на дуговом расстоя-
нии I от профиля /<2р Непрерывность зацепления будет обеспечена, если выпол-
няется неравенство
3 > А (20.1)
Коэффициент перекрытия представляет собой отношение
(20.2)
7°. В практике проектирования зубчатых колес наибольшее применение
нашли сопряженные профили, образованные эвольвентой окружности.
Рис. 109. Графическое нахожде-
ние дуги зацепления.
Рис, ПО, Построение эвольвенты ок-
ружности.
Эвольвентой окружности называется траектория точки Л10 прямой /V0?Vn
(рис. ПО), катящейся без скольжения по окружности радиуса 7?0. Окружность
радиуса Ro называется основной, а прямая NM, — производящей прямой.
Рассмотрим построение эвольвенты, которая описывается точкой Ai0, лежа-
щей на прямой NoA'o» в предположении, что прямая катится по основной
окружности по направлению движения часовой стрелки.
"На прямой /Vo/Vo отложим отрезки Л1У — Л /—2, 2—5 и т. д., а на основной '
окружности— равные им дуги К—211 <j2'—3f и т. д.
При перекатывании прямой по основной окружности точки / и Г, 2
н2',ЗиЗ' пт. д. последовательно совпадут друг с другом, а производящая прямая
займет положения 1Г— Лгь 2r—N^ 3f—Лг3 и т, д. От точек Г t 2', 3' и т. д. отложим
вдоль линий K—Nlf 2'—^, 3'—и т. д, отрезки, равные:
2г-Л1г-2^М0; 5r-Af3=5-4f0
и т, д. Соединив точки Л40, Л1р Л12, получим эвольвенту Э.
8°. Основные свойства эвольвенты окружности (рис. 111).
а) Эвольвента — односторонне ограниченная спираль. Опа начинается на ос-
новной окружности.
7*
195
б) Норлалью к эвольвенте в точке М{ будет касательная М(Кь проведен*
пая к основной окружности. Отрезок является рабиусож кривизны р/
эвольвенты в точке Л^.
б) Угол аЛ заключенный между
ради у сом-вектором Rj и перпендикуляром
* к нормали OKi> называется углом да&
лени л.
г) Уравнение эвольвенты в полярных
координатах (рис* 111). Начало коор-
динат совпадает с центром основной ок-
ружности О, а ось отсчета проходит через
центр О и начало эвольвенты Л/о< Теку-
щий радиус-вектор определяется формулой
А?£ = -^5-
COS «i
Полярный угол (эволъвентняя функ-
ция или инволюта угла а давления inv аД
Равен __ -пу __(20.4)
(20.3)
Рис. Ill. Полярные координаты
эвольвенты окружности и радиус
кривизны эвольвенты.
этот угол обычно находится по спе-
циальным таблицам (см, приложения к на-
стоящему задачнику).
Из формул (20.3) и (20.4) вытекаем что эвольвента окружности определяется
единственным параметром; радиусом основной окружности.
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 109—111),
ЗАДАЧИ 321—330
32L Построить профиль зуба на колесе 2t если заданный про-
филь на колесе 1 внешнего зубчатого зацепления представляет’ собою
точку PLr лежащую на начальной окружности колеса /. Радиусы
начальных окружностей зубчатых колес соответственно равны
/?! = 100 мм, R2 = 140 лмь
У мазание: задачу решить методом огибания (методом
Понселе).
196
322. Построить профиль зуба на колесе 2, если заданный про-
филь на колес-е 1 внешнего зубчатого зацепления выполнен в виде
дуги окружности радиуса 1рА = 80 мм. описанной из центра А,
находящегося на начальной окружности первого колеса. Профиль
зуба на колесе 1 ограничен окружностями радиусов /?Г1 = 120 мм
и 7?И1 = 80 жж* Радиусы начальных окружностей колес равны 7?т =
= 100 жж, — 120 жж.
Указание: задачу решить методом огибания (методом
Понселе).
323. Построить профиль зуба на колесе 2,если заданный профиль
на колесе 1 внутреннего зубчатого зацепления представляет собой
точку Р19 лежащую на начальной окружности колеса 1. Радиусы
начальных окружностей колес соответственно равны = 80 жл<,
Яя = 240 т
Указание. Задачу решить методом огибания.
324. Построить профиль зуба на колесе 2, если заданный про-
филь на колесе 1 внутреннего зубчатого зацепления выполнен в виде
дуги окружности радиуса = 80 жж, описанной из центра А.
находящегося на начальной окружности колеса /. Профиль зуба
на колесе / ограничен окружностями радиусов /?Г1 = 100 жж и
7?Hl = 60 жж. Радиусы начальных окружностей зубчатых колес
соответственно равны = 80 жж, /?2 = 240 жж.
Указание. Задачу решить методом огибания (методом Пон-
селе).
325- Построить профиль зуба на колесе, если заданный профиль
на прямолинейной рейке реечного зацепления выполнен в виде от-
резка АВ. наклоненного клиник 0гР под углома0 = 20°. Заданный
профиль ограничен во высоте размерами hr = h” = 12 жж. Радиус
начальной окружности колеса = 100 жж.
Указание. Задачу решить методом Рёло.
326. Построить профиль зуба на прямолинейной рейке, если
заданный профиль на колесе реечного зацепления представляет собой
точку Plt Радиус начальной окружности колеса равен = 100 жж.
197
Указание. Задачу решить методом огибания (методом
327. Определить величину радиуса кривизны р, угол давления
а и инволюту (полярный угол) этого угла для точки Mt лежащей
на эвольвенте на расстоянии /? = 120 мм от центра основной окруж-
ности, радиус которой равен Яо = Ю0 лш.
328. Определить, на каком расстоянии 7? от центра основной
окружности находится точка Л1 эвольвенты, для которой радиус
К зедачам 327—329*
кривизны р = 40 если радиус основной окружности равен
AJ0 = 100 лгж
329. В какой точке эвольвенты ее радиус кривизны р равен нулю?
330, Для внешнего зубчатого зацепления сопряженные профили
зубьев суть эвольвенты основных окружностей радиусов —
— 113 мм и 7?Oi — 170 мм, Радиусы начальных окружностей колес
/ и 2 соответственно равны = 120 мм и 7?3 = 180 мм, а радиусы
окружностей головок этих колес равны /?Г1 = 130 jhjw и /?Га =
190льи, модуль зацепления т = ЗОлои, угол зацепления = 20и.
' Вычислить размер дуги зацепления SOf измеренной по основной
окружности одного из колес, а также найти степень плавности
(степень перекрытия) в,
198
§21. Проектирование трехзвенных фрикционных механизмов
1°х Передача движения ст ведущего звена к ведомому в этих механизмах
осуществляется за счет сил трения, которые возникают в месте контакта этих
звеньев. Трение между ведущим и ведомым звеньями возникает вследствие их
взаимного прижатия- В настоящем параграфе рассматриваются задачи на про-
ектирование следующих трехзвеняых фрикционных механизмов (передач):
а) передачи цилиндрически-
ми катками с внешним зацепле-
нием (рис. 112, о),
б) передачи цилиндрически-
ми катками с внутренним зацеп-
лением (рис. 112, б).
в) передачи коническими
катками (рис. 112, а).
Для всех этих передач пере-
даточное отношение по модулю
равно
где ₽! и Ra — радиусы цилинд-
ров для цилиндрических пере-
дач или радиусы оснований ко-
нических катков для конической
передачи-
Обычно считаются заданны-
ми передаточное отношение i(3
и расстояние А между осями для
цилиндрических передач, либо
угол развала 6 для конической
передачи. Для цилиндрических
передач надо находить радиусы
цилиндров, а для конической —
углы наклона образующих ко-
нусов с осями их вращения.
23, Ниже приводятся необ-
ходимые расчетные формулы:
а) для передач цилиндриче-
ских с внешним зацеплением:
121-2>
Рис. 112. Типы трехзвенных фрикционных
механизмов: а) цилиндрическая передача с
внешним зацеплением, б) цилиндрическая
передача слиутренним зацеплением! в) кони-
ческая передача.
(пер едато ч кое отнош е ние
tl2 следует брать по его абсолютному значению),
Rs — г'12 ' ^1,
(21.3)
б) для передач цилиндрических с внутренним зацеплением:
Л
/?1 IGsl-l
(21.4)
(передаточное отношение i12 берется по его абсолютному значению),
2?з==/12 */?1, (21.5)
в) для передач с коническими катками: тангенс угла наклона образующей
конуса первого катка с его осью
tg6i=, 1-^д, (2‘6>
Щ“ГС08 О
199
где 6 — угол развала осей,
если угол развала осей 6 = 90\ то
£12
(21.7)
(21-S)
tg =
1
(См. И, И. Артоболевский, Теория механизмов, § 42).
ЗАДАЧИ 331—334
331. Спроектировать фрикционную передачу с внешним зацеп-
лением цилиндрических катков, если расстояние между осями кат-
ков /1 = 300 мм и передаточное отношение 112 ~ 2,
К задаче 331.
К задаче 332.
332, Спроектировать фрикционную передачу с внутренним зацеп-
лением цилиндрических катков, если расстояние между осями кат-
ков А == 300 лис и передаточное отношение t12 = 2.
333. Спроектировать фрикционную передачу с коническими кат-
ками, если угол S между- осями катков равен 6 = 120° и передаточ-
ное отношение равно iis — 1,5.
К задаче 333.
К задаче 334.
334. Спроектировать фрикционную передачу с коническими
катками, если угол 6 между осями катков равен б = 90° и передаточ-
ное отношение равно 112 = 2.
200
§ 22, Проектирование трехзвенных зубчатых передач
Is. В этом параграфе приводятся примеры на определение размеров трех-
эвен них зубчатых механизмов с цилиндрическими колесами* имеющими зубья
эвольвентного профиля, и даются задачи на определение некоторых размерных
параметров этих механизмов.
Во всех случаях считается, что нарезание колес осуществляется методом
обкатки*
Режущий инструмент определяется следующими параметрами: модулем mo.w
(выбирается по ГОСТ 9563-61); высотой головки Лг.р = /яг, где / — коэффициент
высоты, который может принимать значения либо f = 0,8, либо / = 1,0; про^
фильным углом ctfl 20е,
Радиальный зазор между головкой одного зуба н основанием ножек другого
для передачи в сборе равен 6 — cmt где с — 0,3 при / = 0,8 ис = 0,25 при f = 1,0.
Колесо с номером J считаем наименьшим, поэтому г13 — передаточное отноше-
ние, по модулю всегда равное или большее единицы.
Полагаем, что в собранной передаче между ее зубьями нет бокового зазора,
2е. Расчетные формулы для определения размеров трех звени ых зубчатых
передач с внешним и внутренним зацеплением зубьев. Во всех случаях ножкя
зубьев не должны подрезаться режущим инструментом.
Случаи первый. Формулы для расчета исправленного внешнего за-
цепления, когда заданы модуль /?;, передаточное отношение и число зубьев гь
колеса 1 (это число лень иге семнадцати):
1) число зубьев колеса 2
2) шаг по делительной окружности
(22.1)
3) радиус делительной окружности
«д = -р (22.2)
4) радиус основной окружности
А’а =/?д cos «01 (22.3)
5) относительный сдвиг (смещение) инструмента
17__z
Г22.4)
если число зубьев на колесе 2 будет больше семнадцати, то для него относительный
сдвиг инструмента принимается равным нулю (£ = 0),
6) абсолютный сдвиг инструмента
Z='«s. (22.5)
7) толщина зуба по делительной окружности
(22.6)
8) радиус окружностей оснований (ножек) зубьев
Яи=*д-Аг.р-6 + Х. <22,7)
9) инволюта угла зацепления при сборке
^сб
(22.8)
где — инволюта профильного угла инструмента, — 2(ft
201
10) угол зацепления при сборке асй находится по таблице инволют, по ранее
найденному значению угла
11) радиус начальной окружности
= = (22.9)
созасб acosacs 2 cos а^’ ' '
12) расстояние между центрами вращения колес
Лб = /?!+/?.= —(22.10)
£ СОо С*сб
13) радиусы окружностей головок
а) у колеса Г. #Г1 = Ясб —/?Нз — 5, (22.11а)
б) у колеса 2: 7?Г; = Ясб — /?Я1 — 6, (22.116)
14) косинус угла давления па окружности произвольного радиуса
cos«i = ^-> (22.12)
15) толщина зуба, измеренная по окружности радиуса R*!
«i = 2^fe-^+Oo\ (22.13)
где 'О’, — инволюта угла а % — инволюта угла «а,
16) шаг по основной окружности
/0=/дсоза^ (22.14)
17) дуга зацепления, измеренная по основной окружности
S° = УЯ’г.-Яо,+- Асб sin ас6, (22.15)
18) коэффициент перекрытия
е=^-. (22.16)
Случай второй. Формулы для расчета неисправленного внешнего за-
цепления, когда заданы модуль тт передаточное отношение ;12 и число зубьев zL
первого колеса (при нарезании колес гребенкой с высотой головки, равной модулю,
это число должно быть больше или равно семнадцати}:
1) число зубьев колеса 2
2) шаг по делительной окружности, определяется по формуле (22J),
3) радиус делительной окружности, определяется по формуле (22-2),
4) радиус основной окружности, определяется по формуле (22.3),
5) толщина зуба по делительной окружности находится по формуле (22.6),
взятой при В = 0;
_ лт
б) радиус окружности оснований (ножек) зубьев находится по формуле (22.7)>
взятой при х — 0:
^Н==^Д”^Гр --- б»
7) инволюта угла зацепления в сборке находится по формуле (22.8), взятой
при 51 = 0 и 5з = &
202
8) угол зацепления при сборке
9) радиус начальной окружности находится по формуле (22-9), взятой при
cos «о = cos асл:
Я = /?д.
10) расстояние
(22.10), взятой при
между центрами вращения колес, находится по формуле
cos аСб = cos сц:
Леб = Яд=7?Д1 +
m (гг+г2)
~ 2 ‘
11) радиусы окружности головок, см. формулы (22,11а, б),
12) косинус угла давления на окружности произвольного радиуса см.
формулу (22 Я 2),
13) толщи на зуба, измеренная по окружности радиуса см. формулу (22 J3),
14) шаг по основной окружности, см. формулу (22.14),
15) дуга зацепления, измеренная по основной окружности, см. формулу
(22,15),
16) коэффициент перекрытия е, см. формулу (22Л6).
Случай третий. Формулы для расчет» исправленного внешнего зацеп-
ления, когда заданы модуль т, передаточное отношение и расстояние между
центрами вращения колес Лсб,
Первый этап расчета — napffop чисел зубьев колес:
1) сумма чисел зубьев колес гс — + должна удовлетворять неравенству
2Лсб
т ’
<
(22.17)'
2) число зубьев меньшего колеса выбирается из условия, что
- 2^.еб
1 (1 + i in I) т ’
(22,18)
причем за значение следует принимать ближайшее меньшее целое число; удов-
летворяющее неравенству (22.18),
3) число зубьев большего (второго) колеса находится из неравенства
Zt ' *i2i (22.19)
для z2 следует принимать ближайшее целое число, но при этом надо убедиться
в том, что принятые значения для и га удовлетворяют неравенству (22.17),
4) фактическое передаточное отношение будет
^12ф
?2-
где?1 и Ztj — числа зубьев колес, принятые к исполнению.
Фактическое передаточное отношение обычно отличается от заданного. Сле-
дует установить, насколько оно отличается от заданного, и если отличие окажется
больше допустимого, то расчет надо повторить, взяв значение zk несколько иным,
чем первоначальное.
В торой этап расчета — определение основных размеров передачи, В приво-
димых ниже формулах под надо разуметь фактически получившееся передаточ-
ное отношение;
1) шаг по делительной окружности определяется по формуле (22Л),
2) радиус делительной окружности определяется по формуле (22.2),
3) радиус основной окружности определяется по формуле (22.3),
4) косинус угла зацепления при сборке находится по формуле (22.10)
cos & cos До,
203
5) суммарный относительный сдвиг инструмента находится по формуле (22.8)
(22,20)
6) относительный сдвиг инструмента применительно к каждому колесу:
а) для колеса / по формуле (22.4): ; если < w» то следует при-
ь £
, Ее
пять £1 = У;
б) для колеса 2:
(22.21)
7) абсолютный сдвиг инструмента находится по формуле (22.5),
8) толщина зуба по делительной окружности находится по формуле (22.6),
9) радиус окружности основания (ножек) зубьев находится по формуле (22.7),
10) радиус начаочьной окружности находится по формуле (22.9) или же .так:
а) для колеса /:
б) для колеса 2:
И-1 i.ul’
о ^сб * й?
Ж '12 I ’
(22.22)
(22,23)
IS) радиус окружностей головки находится по формулам (22Ла, б),
12) шаг по основной окружности находится по формуле (22.14),
43) дуга зацепления, измеряемая по основной окружности, находится по
формуле (22.15),
14) коэффициент перекрытия находится по формуле (22.16).
Случай четвертый, Формулы для расчета неисправленного внутрен-
него зацепления, когда заданы модуль /?/, передаточное отношение г12, число зубьев
меньшего колеса г1т высота головки зуба дол бяк а ЛГьД — т\
I) число зубьев колеса 2: гг = £[й*г1Ф
2) шаг по делительной окружности находится по формуле (22.1),
3) радиус делительной окружности находится по формуле (22.2),
4) радиус основной окружности находится по формуле (22.3),
5) толщина зуба по делительной окружности находится по формуле (22.6),
взятой при £ = 0:
6) радиус окружностей оснований (ножек) зубьев:
а) для колеса 1 находится по формуле (227), взятой при ул ==
/? =/? -h-b,
nj Д1 Г.Д
б) для колеса 2:
/?в3 = ^ + /,г.д + д’ (22.24)
7) инволюта угла зацепления при сборке
8) угол зацепления при сборке
асб=^{)г
9) радиус начальной окружности находится по формуле (22.9), взятой при
cos acg — cos Gt^;
204
10) расстояние между центрами вращения колес
А с6== *«, - * д.=, (22.25)
11} радиус окружностей головок
а) для колеса 1: = ЯДг + Лгд, (22,26а)
б) для колеса 2: /?Га = /?Дя — Лг д> (22.266)
12) шаг по основной окружности находится по формуле (22.14),
13) дуга зацепления, измеряемая по основной окружности,
5о=тЖЕЖ-1Ж1-ч+лс6 ^“се> <22-27>
14) коэффициент перекрытия находится по формуле (22.16).
Зи* Примеры на проектирование трехзвепных зубчатых передач.
Пример 1. Спроектировать трехзвенную зубчатую передачу с внешним
зацеплением зубьев (колеса — прямозубые), у которой модуль гл =1,0 мм,
передаточное отношение i12 = 1,5, число зубьев на колесе 1 равно = 14. Усло-
вия примера соответствуют первому случаю расчета, рассмотренному ранее.
Решение, Расчет размеров проектируемой передачи (порядок расчета
указан выше):
1} ^ = 1,5* 14 = 21, ’
2) /п = тп.= 1,0’3J4 = 3,14 мм,
пх л тг! ЬИ л тг^ 1’21
3) = _2“ = 7’0 ММ; R^ = ~2 =—F = 10,5 мм'
4) /? = /?_ cos а0=7'0,94=6.58 л<.«; /? —/?п cos а0— 10,5 0,94 = 9,87 жж,
' 0| Д] ” г ’ ' fh Aj u 1
5) Ь — — 17j7^ = 0*176; так как г2> 17, то ga = 0,
6) Xi —= 1,0 0,176 — 0,176 мм к 0,
' 7) 2Mg«o) = (1,57 + 2 - 0,176 - 0,364) = 1,7 -«л*, =
А!Л 1 - 3,14 1
= • - =—= I»57 АЛ»
8} /?й1 = /?ди —Аг р —6+Х1 =7—1в25+0,176 = 5,93
R — Я —6 = 10,5—1,25 = 9,25 лш,
Я» Да г.р ’
9) 0с6 = + go.+ ^ = 2 ' °’176 ' °’3— + 0,0149 = 0,01827,
+ z=, 35
10) асб = 2Г2Г,
6,58 /?п 9,87
11) /?1 = -----= л Л Л . с — 7,6 ММ', Л Л71С
f coscsC6 0,9315 cos cxc£j 0,9315
= 10,59 лл,
12) 4^=7?! + ^ = 7,06+10,59 =17,65 мм, .
13) а) 7?г =Лсб-/?Нй-6= 17,65-9,25—0,25-1 —8,15 мм,
б) 7?г =ЛгГ—7?н -6=17,65—5,93—0,25-1 = 11,47 лий,
f A J ч V п [
14) и 15) — параметры, указанные в этих пунктах, по условию примера не
подлежали определению,
)6) /0 = /д cos сс0 = 3,14 - 0,94 = 2,95 лм,
и) s0=+тЖ^Ж- лсбsta “.б=
= К8,152-6,582 + К11г47а-9,872 -17,65-0,364 = 4,2 мм,
18) в=
$о_ 4,2
/о 2,95
1,42,
205
По полученным размерам построена картина зацепления зубчатых колее
(рис. 113}. Чертеж выполнен в масштабе = 1/15 мм!мм.
На чертеже эвольвенты и Э<± построены перекатыванием линии МТУ до
окружностям радиусов и /?Oj (по основным окружностям); отрезок JQKg___
теоретическая линия зацепления; отрезок АВ — рабочая часть линии зацепления
(длина этого отрезка равна длине дуги зацепления, измеряемой по основной окруж-
ности); заштрихованные участки на профилях зубьев — рабочие части профилей.
Рис. 113, К примеру 1. Трехзвенная зубчатая передача с исправленным внеш-
мим зацеплением зубьев.
Пример 2. Спроектировать трехзвенную зубчатую передачу с внешним за-
цеплением зубьев (колеса — прямозубые), у которой модуль m = 1,0 мм, рас-
стояние между центрами вращения колес 4сб ~ JS мм, передаточное отношение
= U52 (после подбора чисел зубьев фактическое передаточное отношение *цф
не должно отличаться от заданного на Jh2,5%).
Условия примера соответствуют третьему случаю расчета, рассмотренному
ранее*
Решение: Расчет размеров проектируемой передачи (порядок расчета
указан ранее)*
206
Первый этап:
1) ^=12*^36, поэтому £С<36,
2) —глтМ—й = ^? = 14^1 потому z± < 14,3; принимаем ^=14,
л* U "г I ha IJ *>oz
2) г2=<П‘*1= 1>52• 14=21,3; лр^ннлсмле z2 = 21>
21 ч е
4) 112ф—— = 1Д отклонение от заданного:
1,51J21,5 ’ 100=1,32%.
В дальнейшем расчете передаточное отношение принято равным г13 =х 1Д
Второй этап:
1) /д=лг-л = 1,0 *3,14 мм,
_ „ гм, Ь 14 _ п п тх<£ 1-21
2) Йд1 = ~?Г = “2~ = 7,0 ЛЛ; ~2~ = 10,5 ММ’
3) cos сс0=7 • 0,94 = 6,58; /?0з = /?Дз cos afl= 10,5 0,94 = 9,87 леи,
., „ «(214-2,) 1(14 + 21)
4) cos асб = 2Лсб = 2-18 = °’9И’
угол зацепления при сборке ас6 = 24°,
„ . е । к (^еб-ад (^ + 2,) _ (0,0263-0,0149). 35
Sc —61 + S2 2tg«b 2-0,364
6) a) |i = ^=S=-^^ = 0,176; так как &i<^-,
то принимаем
= = о,275,
6) ^=^-^1=0,55-0,275 = 0,275,
7) 1,0- 0,275=0,275 л!Л!, ^4=/п^3= 1,0 - 0,275 — 0,275 лш,
/л \
8) а* =/н v 4-2^ 1g ссо -1,0 (1,574-2; 0,275 - 0,364) = 1,77
<^ \ z /
' йл =m(4-4- 2Mg«/l = 1,0 (1,57+2-0,275-0,364) = 1,77 хи,
Аз \ Д /
9) /?Н1 = /?д —Лг р~8-|-Х| = 7 —1,254-0,275 = 6,02 ^и,
— р — — 10,5 — 1,254-0,275=9,52 м,
Ю) a) 7?1=~^ = r-i~=7,2 мм,
б)^=тЙ? = т1=10’8 * *
И) а) /?Г1 = Лс‘в-7?Н8-б= 18-9,52-0,25- 1=8,23 мм,
б) ЯГ1,= Лсб-/?Н1-б=18 — 6,02-0,25-1 = 11,73 мм,
12) £0=£л cos сс0=3,14-0,94 = 2,95 лелс,
13) So=Асб sin Исб = /в,23^-6,58^+
+ V^l 1,732 — 9,87й—18 - 0,407 = 3,63 хи,
14\ о — §£ — 3,6^ _ [ 24
14> 6 *7'0“2,95~ 11
207
По полученным размерам построена картина зацепления (рис. 114). Чертеж
выполнен в масштабе рг = 1/15 мм/мм. На чертеже показаны эвольвенты Эг
и которые построены перекатыванием линии NN по основным окружностям
радиусов и /?{)j отрезок Д Л * —теоретическая линия зацепления; отрезок
А В — практическая линия зацепления; заштрихованные участки па профилях
зубьев — рабочие часты профилей.
Рис. 114. К примеру 2. Трехзвенная зубчатая передача с исправленным внешним
зацеплением зубьев, спроектированная так, что выдержано заданное расстояний
между осями вращения колес.
Пример 3. Спроектировать трехэвенную зубчатую передачу с внутренним
неисправленным зацеплением зубьев, у которой модуль т = 1,0 мм, передаточное
число i'ii — 1,5 и число зубьев колеса 1 za = 30, высота головки зуба долблка
/1|.тД = т.
Условия примера соответствуют четвертому случаю расчета, рассмотренно-
му выше.
Решение: Расчет размеров проектируемой передачи;
1) = 41г * м — 1 ,о * 30 — 45,
2) fA = m = 1,0- 3,14 = 3,14 мм,
208
3) R„ = = 15 ЯЛ., = 25.5 л-.ч,
4) /?Oj —/?Д1 • cos czc>—15 - 0t94^ 14,1 лш; /?Оа cos ct0
= 22,5 0,94 = 21,15 /Uh
mn 1'3,14 1 p-
5) % = % = -2- = —Г~ = 1’5Л
Рис, 115. к Примеру 3, Трехзвенная зубчатая передача с неисправленным внут-
ренним зацеплением зубъев.
6) a) R„ =ЯП -*гп- S= 15-1,25= 13,75 лм,
б) R.. = R„ 4- hr + 6 = 22,5+1,25 = 23,75 мм,
f Н g- Дз । ' Д
7) ac6 = d0,
C£c6 = C£kJt
9) = =15 JMt, ^n = 7?_ =22,5 леи,
10) Дс6 = «,-/?, = 22,5-15=7,5 ям,
11) а),/?Г1 = /?Д1 + йг.д=15+1 = 16 мм,
б) Rr =/?„ —Л =22,5 —1=21,5 л(л(,
' " Да 1 ’А
209
12) /0=/д cos tf0 = 3 Д4 « 0,94 —2,95 мм,
VR НХ - У Ч+сб S* асб=/Тб^п^^
— /21^2-217153 4-7,5 - 0,342 = 6,37 лмгт
i n So 6,37
14) ® = у = 2^5 = 2J6 мм.
По полученным размерам построена картипа зацепления (рис. 115). Чертеж
выполнен в масштабе |х; = 1/12 aim/jml На чертеже показаны эвольвенты н Эа1
которые построены перекатыванием линии Л7Л по основным окружностям радиу-
сов >?у^ в линия, начинающаяся в точке Kj и продолжающаяся слева от нее
в бесконечность, — теоретическая линия зацепления; отрезок АВ — рабочая часть
липин зацепления. Рабочие участки профилей зубьев заштрихованы^
(См. И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 112—117.)
ЗАДАЧИ 335-345
335, Нарезание зубьев на колесе производилось без сдвига
инструментальной рейки, модуль которой равен т = 10 лш, про-
фильный угол ап = 20°, высота головки рейки h r±P — т.
Определить у нарезаемого колеса, имеющего 20 зубьев, тол-
щину зуба по делительной окружности и толщину того же зуба по
окружности головок (выступов) йг. Радиус окружности головок
принять равным 7?г = /?д
336, Определить расстояние между осями колес с исправ-
ленным внешним зацеплением, если числа зубьев колес соответ-
ственно равны ?! = 12 и = 20, Зубья на колесах нарезаны инстру-
ментальной рейкой, у которой модуль т = 10 мм, профильный
угол а0 = 20° и высота головки ЛГтР = т.
Указание: профили зубьев не должны подрезаться инстру-
ментом,
337. Для трехзвенной зубчатой передачи с внешним зацепле-
нием зубьев, у которой профили зубьев очерчены эвольвентами
окружностей, определить степень перекрытия г, если число зубьев
колес 2г = 22, г2 = 30, модуль зацепления т — 10 мм, угол зацеп-
ления при сборке асб = 20° и высота головок зубьев hr — т.
338. Для трехзвенной зубчатой передачи с внутренним зацеп-
лением зубьев, у которой профили зубьев очерчены эвольвентами
окружностей, определить степень перекрытия е, если числа зубьев
колес гг = 30, ?а = 90, модуль т = 10 мм, угол зацепления при
сборке асб = 20° и высота головок зубьев йг = т.
339. Для эвольвентного реечного зацепления определить сте-
пень перекрытия е, если модуль т = 10 мм, угол зацепления =
= 20°, число зубьев колеса гх = 20 и высота головок колеса и рейки
?1Г = т.
340, Для трехзвенпой зубчатой передачи с внешним зацепле-
нием и эвольвентными профилями зубьев найти максимально допус-
тимую высоту головки зуба на большом колесе (/irj из условия
отсутствия подреза профиля зуба на меньшем колесе, если числа
210
зубьев колес = 10, z3 = 30т модуль m ” 10мм, угол зацепления
при сборке асб = 20°.
34L Определить максимально возможную высоту йЛр головки
рейки из условия отсутствия подрезания профиля зуба на колесе
с числом зубьев г = 10, Сели указанное колесо нарезается без сдвига
инструментальной рейки, профильный угол которой равен
= 20°, а модуль т = 10 льм.
342. Для трехзвенной зубчатой передачи с внутренним зацеп-
лением и эвольвентными профилями зубьев найти максимально
допустимую высоту /1Гг головки зуба большого колеса из условия
отсутствия подреза профиля зуба на малом колесе, если число зубьев
колес zx = 20, га = 40, модуль т — 10 мм, угол зацепления при
сборке = 20°.
343. Была спроектирована трехзвенная зубчатая передача с
внешним зацеплением и эвольвентными профилями зубьев. Передача
проектировалась как неисправленная, поэтому угол зацепления
предполагался равным ао = 2Ос, модуль т = 10 мм, числа зубьев
колес Zj = 20, za = 30. При сборке межцентровое расстояние ока-
залось больше расчетного на 5 л*л!. Определить получившийся угол
зацепления при сборке асб и радиусы начальных окружностей колес
7?! и 7?3.
344. Для трехзвенной зубчатой передачи с коническими коле-
сами определить радиусы оснований начальных конусов и
и угол 62 наклона общей образующей начальных конусов к оси
первого колеса, если числа зубьев колес 20, za = 30 f угол
между осями 6 = 90° и модуль т—10 дш.
345. Для трехзвенной зубчатой передачи с коническими коле-
сами определить радиусы оснований начальных конусов и 7?а
и угол бг наклона общей образующей начальных конусов к оси
первого колеса, если числа зубьев ко-
лес = 20, z2 = 30, угол между осями
колес б = 120° и модуль т = 10 мм,
§ 23. Проектирование одноступенчатых
планетарных зубчатых передач
Г. В этом параграфе в виде примера пока-
зывается последовательность определения основ-
ных параметров, т. е. чисел зубьев, числа сател-
литов и радиусов начальных окружностей для
одноступенчатого планетарного однорядного ре-
дуктора типа Джемса (рис. 116).
В этом же параграфе приводится ряд задач
для самостоятельного решения.
Для получения однозначного решения вво-
Рис. 116. Схема одноступен-
чатого планетарного однород-
ного редуктора типа Джемса.
дятся следующие ограничения:
1) зубчатые колеса 1 и 2, а также колеса 2 и 3 (рис. 116) должны образовать
неисправленное (нормальное) зацепление,
2) угол зацепления в сборке асб = 20° и высота головок зубьев hr = т,
3) при зацеплении зубчатых колес не должно быть нх заклинивания, причем
условие отсутствия заклинивания заключается в том, что
211
а) для внешнего зацепления число зубьеп на меньшем колесе не должно
быть меньше, чем
- „9 V '1н + (2*1й + 0 sin2’ сзьсб + Ча п
lmin ’ (2in+l)sin*K^ * ('ЗЛ)
б) для внутреннего зацепления число зубьев на меньшем колесе не должно
быть меньше» чем ,
, _ П /»3, - (2гао ~ 1) sin^ gc6 + 1гз ™
2min (2i!3-i) sin«acS
(в этих формулах передаточное отношение г12 и г23 берется по своему абсолютному
значению и предполагается равным или большим единицы),
4) габариты механизма должны быть наименьшими.
2°. При проектировании редукторов указанного типа» необходимо соблюдать
следующие условия:
1) условие соосности
2) условие соседства
где й — число сателлитов,
3) условие сборки:
?3 = Zi + 2га
femax = ?l + z3’
(23.3)
(23.4)
(23.5)
где А’тах— максимально возможное чисто сателлитов, располагающихся в парал-
лельных плоскостях;
фактическое число сателлитов будет равно
Л = (23.6)
где Е —один из множителей числа £max;
число сателлитов kt получаемое из настоящего условия, не должно превы-
шать число их, найденное из условия соседства.
3°. Пример. Спроектировать одноступенчатый однорядный редуктор типа
Джемса, если заданы передаточное отношение i fa = 4 и модуль т = 2 мм (см,
рис. 116). Требуется найти числа зубьев всех колес, наибольшее число сателлитов
и радиусы начальных (делительных) окружностей для всех зубчатых колес.
Р е ш е н и е. 1) Определяем передаточное отношение i W от колеса 1 к коле-
су 3 при остановленном водиле Н,
Из условия, что rfjt) = 1 — получаем
= l — 1 —4 = —3 = | 3 h
2) Определяем передаточное отношение IW от колеса 1 к колесу 2 пр и останов-
ленном водиле Н.
Из условия соосности (23.3) имеем, что zT + 2% = z3 ит так как = , то
2-2 -С"1 'а ’
— -ч 43
Подставляя значение Zg в формулу (23.3), получаем -И 2z2 — zr iW, откуда
iW -1 3-1
-1*___=-------= L
2 2
3) Определяем передаточное отношение tW) от колеса 2 к колесу 3 при оста-
новленном водиле /Л
212
i(U) = 2l
15 Zi
В формулу (23>3) подставляем значение^, выраженное через tW, Получаем
J3
г„ l + 2-i(W) 1+2.1
Z(H) = — =----= —i—’ = 3‘
&з г, ilHf I *
4) Находим наименьшие допустимые числа зубьев на колесах 1 и 2\
a) па колесе I по формуле (23Л):
„ K^ + (2(13 + l)sm2a<a + Си _ 2/Р + (2-1 + 1)0,117+ 1
г1т>п—z <9г..4-В sin2 а,« (2-1 + 1)0,117 ~ Z‘ '
откуда
т. е. должно быть гг 13;
б) на колесе 2 по формуле (23.2):
9 /Ь» — (2|'гз - 1) sin3 ”сй + *аэ _ 2
г2т!п—5 (2i23—1) sin2 асй
т+ е. должно быть г2 2L
5) Производим подбор чисел зубьев на колесах /, 2 и 3 при условии, что tJ2 =
— 1, 13 и 4s = 3, z2 21. Если принять, что Zj — 14, то получится z2 = 14,
по 14 < 21. Поэтому принимаем, что = 22* Тогда г2 = 22, я так как 22 > 21,
то число ?! = 22 оказалось приемлемым и, следовательно, будем иметь = 66.
Проверяем полученное согласно условию соосности. Имеем z3 = zx + 2г% —
- 22 4- 2-22 = 66, т. е. указанное условие выполнено. Окончательно принимаем
следующие числа зубьев: гА = 22, = 22 и za = 66,
Переходим далее к подбору максимального числа сателлитов.
6) Из условия соседства (23.4) имеем, что,
, 18(Г ?2 + 2 22 + 2 24 л _
SU1 k > zx+zs 22 + 22 " 44 0,54а'
180° 180
откуда - — 33е или число сателлитов £<-^-=5т45.
Таким образом, можно поставить не более 5 сателлитов,
7) Из условия сборки (23,6) имеем:
^+а3 _ 22+66 _ 88
Е Е ~~ Е т
где Е — целое число и один из сомножителей числа *ma!C = zL + г3 (формула (23.5)).
Очевидно, чтобы получить k 5? надо положить Е = 22, и тогда число сателлитов
будет равно 4.
Окончательно принимаем к = 4.
Далее определяем радиусы начальных (делительных) окружностей всех
колес:
(2’3 — 1) 0,117
= 20,2,
для
колеса
для
колеса
2;
для
колеса
остальные
^ = ^- = 2^- = 22 мм,
Яа=~+ = ^~- = 22 мм,
п 2-66 сй
=66 яя.
размеры колес можно определить, руководствуясь указания-
Все
мн § 22.
(См. И. Ир Артоболевский, Теория мехаа лзмов, § 123.)
213
ЗАДАЧИ 34а—350
346, Спроектировать одноступенчатый однорядный планетар-
ный редуктор типа Джемса при условии, что зацепление колес
К задачам 346—350,
неисправленное (нормальное), угол за-
цепления при сборке асб = 20°, высота
головок зубьев Лг = т\ должно отсутст-
вовать заклинивание колес, передаточ-
ное отношение от колеса 1 к водилу И
1\н = 4,5 и модуль m = 2 лш.
Найти числа зубьев всех колес г3
и z3, максимально допустимое число са-
теллитов k и радиусы начальных окруж-
ностей всех колес /?.а и й3.
347, Руководствуясь условием задачи
346, спроектировать редуктор по данным
iih = 5, т = 2 мм.
348. Руководствуясь условием зада-
чи 346, спроектировать редуктор по данным 1\ан = 6, т = 2 мм.
349. Руководствуясь условием задачи 346, спроектировать редук-
тор по данным г in = 7, т = 2 лмс
350. Руководствуясь условием задачи 346, спроектировать редук-
тор по данным Г/я = 8, т = 2 лш.
§ 24. Проектирование кулачковых механизмов
1°. Основной задачей проектирования кулачковых механизмов является
нахождение профиля кулачка. Эта задача может быть решена либо графически,
либо аналитически.
В этом параграфе рассматриваются задачи на проектирование следующих
видов кулачковых механизмов.
Вид! (рис. 117, й) — кулачковый механизм с поступательно движущимся
толкателем, имеющим ролик или острие на своем конце; ось толкателя проходит
через центр вращения вала кулачка.
В и д II (рис. 117, б) — кулачковый механизм с поступательно движущимся
толкателем, имеющим ролик или острие на своем конце; ось толкателя не прохо-
дит через центр вращения кулачка.
Вид III (рис, 117, в) — кулачковый механизм с поступательно движущимся
толкателем, имеющим плоскую тарелку на своем конце.
В и д IV (рис. 117, г) — кулачковый механизм с вращающимся толкателем,
имеющим ролик или острие на своем конце.
Во всех задачах, где на конце толкателя имеется ролик, следует вначале
рассматривать кулачковый механизм с толкателем, имеющим острие, которое сов-
падает с центром вращения ролика, т. е. вначале следует спроектировать центра*
вой (теоретический) профиль кулачка.
2’. Исходными данными для проектирования профиля кулачка должны быть
следующие.
1) Закон движения кулачка, который обычно задается его равномерным вра-
щением, т* е. угловая скорость кулачка принимается постоянной,
2) Фазовые углы: фп — фазовый угол подъема (удаления), — фазовый
угол верхнего выстоя, ф0 — фазовый угол опускания (приближения), фнв —
фазовый угол нижнего выстоя, определяемый из соотношения
фна == 2л—(фд + фяв Н-ф„Д
(241)
214
которое следует из того, что кинематический цикл механизма соответствует одному
обороту кулачка.
3) Закон движения толкателя в форме функции его положения = &2 (tpj
(для механизмов I, П и III видов) или ф2 = <р2 (<р£) (для кулачковых механизмов
IV вида), где & — линейное перемещение толкателя, а ф2 — ег0 угловое переме-
щение.
Закон движения толкателя может быть задан и в другой форме: в виде закона
изменения аналога его ускорения для каждой фазы движения толкателя и, кроме
того, должен быть задан его линейный Л или угловой Ф ход. В этом случае надо
двукратным интегрированием найти функцию положения толкателя.
«)
Рис. 117. Схема кулачковых механизмов*
4) Минимальный радиус г0 теоретического профиля кулачка, который либо
должен быть задан, либо найден из условия, при котором угол давления а не дол-
жен превосходить наперед заданной величины атах (для механизмов I, II и IV ви-
дов), или чтобы профиль кулачка описывался выпуклой кривой (для кулачков Ш
вида).
Следует иметь в виду, что величина радиуса г0 обусловлена еще и размером
вала, с которым вращается кулачок, вследствие чего должно быть выполнено соот-
ношение
г^Гв + г + Ai (24.2)
где гв — радиус вала, с которым заодно изготовлен кулачок, либо радиус шейки
вала, на которую насажен кулачок; Д — наименьший размер, на который тело
кулачка выступает над поверхностью вала, изготовленного заодно с кулачком,
либо над поверхностью шейки вала, на которую насажен кулачок; г — радиус
215
ролика (если в механизме отсутствует ролик, то очевидно, что в формуле (24.2)
надо положить f равным нулю).
Для кулачковых механизмов IV типа надо знать еще длину толкателя I
и межосевое расстояние I..
5) Радиус ролика г, который либо задается, либо определяется из условия
отсутствия самопересечения кривых, представляющих собой практический про-
филь кулачка, т. е. из условия
r^Pmln, (24.3)
где г — радиус ролика, pmi(1 — минимальный радиус кривизны теоретического
(центрового) профиля.
В настоящем параграфе предлагаются задачи на построение профиля
кулачка (все они решаются методом обращения движения). Кроме того, предла-
гаются задачи на определение угла давления а, точки контакта тарелки с профи-
лем кулачка (для механизмов III вида), радиуса кривизны р теоретического
Рис. 118, Закон движения толкателя
в случае, когда аналог его ускорения
изменяется по закону синуса угла
повор ота кулачка.
Рис. 119. Закон движения толкателя,
когда аналог его ускорения изменяет-
ся по закону косинуса угла поворота
кулачка.
профиля дулачка и жесткости q пружины» замыкающей кинематическую па-
ру IV класса (толкатель — кулачок).
4е. Приведем формулы для аналога ускорения, аналога скорости и функции
положения для некоторых законов движения толкателя, относящиеся к интервалу
движения механизма, соответствующего
а) аналог ускорения изменяется по
(рис. 118, и)-
W = К Sm
подъема (удаления);
синуса угла поворота кулачка
фазовому углу фп
закону
/ 2л
\ <Рп
(24.4)
Ti' *
Отсюда получим путем интегрирования;
аналог ускорения (рис, 118, а):
2лЛ , / 2л
d<P? \ фи
(24-5}
216
аиалог скорости (рис. И8, б):
ft Л Йл \
фп \ фп /
функцию положения (рис. 418, в):
s2—А
(24.6)
1 . / 2л \'
— -— зш — фт :
. фп 2л \ 4>п / ’
б) аналог ускорения изменяется по закону косинуса угла поворота
(рис, 119, я):
(24.7)
кулачка
d% „ / л \
-Т-А = К cos J -- • ф! .
\Фп /
(24.8)
Отсюда получается путем интегрирования:
аналог ускорения (рис. 119, а):
dss* л8й /л \
"ж 2фд cosk'
аналог скорости (рис. 119, б):
ds2 л . / \
2фд \ фч T1; >
функция положения (рис. 119, в):
А Г.
sa = v 1jCOs
&
(24.9)
(24.10)
Л \
ST * Ф1 ’
фп /
в) аналог ускорения в первой половине фазы подъема — величина
ная и положительная! а во второй половине фазы эта величина — тоже
ная, но отрицательная (рис. 120, а):
. JZ
лрг-*'
(24.11)
постоя н-
постоян-
(24.12)
Отсюда получается путем интегрирования, в интервале, равном первой половине
фазового угла фпг
dz$n 4А
аналог ускорения (рис, 120, (24.1*3)
ds 4А
аналог скорости (рис. 120, б): = — • iflt (24Л4)
2А
функция положения (рис.120, е); (24,15)
%
Для второй половины фазового угла подъема аналогичные функции не при^
водятся, но на рисунке 120 они изображены.
В вышеприведенных формулах h — линейный ход толкателя (кулачковые
механизмы 1, II и Ш видов). Для применения этих формул к механизмам IV вида
в них следует подставлять вместо линейного хода толкателя его угловой ход Ф
и вместо линейного перемещения % — угловое перемещение <рй толкателя.
Рассмотрим еще графический метод интегрирования аналога ускорения и ана-
лога скорости толкателя на примере, когда аналог ускорения имеет вид (рис. 121, а)
^±к. (24.16)
Интегрирование осуществим на всем интервале фазового угла подъема (р;1
(удаление).
217
25’ТДС' ч:
Очевидно^ что аналог скорости dsJdq>2 будет изменяться по закону равно*
бедренного треугольника (рис. 121, б), у которого высота М равна
(24,17)
площадь же этого треугольника пропорциональна ходу толкателя h, поэтому, имея
Рис. 120. Закон движения толкателя
при задании аналога ускорения его
величиною —Л в первой половине
фазы и —К во второй ее половине.
Рис. 121. Графическое интегрирова*
ние функции = ±j(F
М ' ф Д’ - ©
ввиду рис. 121, б и формулу (24.17), можем записать, что = й------------------
2 4
откуда имеем
(24,18)
4>п’
Подставляя значения Л* в формулу (24.17), получаем
(24.19)
По найденным значениям /< и М нетрудно построить графики аналога скорости
и аналога ускорения в функции угла ф£ поворота кулачка.
Для определения отдельных ординат графика функции положения толкателя
= (Ф1) поступим следующим образом.
Разделим абсциссу графика (epi) (рис. 121, б) на травных час-
тей, например на четыре^ как это показано на рисунке. Через концы ординат, соот*
ветствующих точкам деления, проведем прямые, параллельные оси абсцисс графика,
а из точек деления — прямые, параллельные сторонам треугольника ate.Тем самым
218
Рис, 122. К определению
угла давления в точке кон-
такта теоретического профи-
ля кулачка с осью ролика.
его площадь разделим на ряд равных треугольников tfde. Таких треугольников
ь нашем примере получается восемь. Площадь треугольника abc пропорциональна
ходу h толкателя, следовательно, площадь тре-
угольника ade пропорциональна одной восьмой
хода h. Теперь вычислить значения ординат гра-
фика функции положения не представляет тру-
да. Имеем
л 1 f 4 ,
®2П— 8 g 1
7 , 8 . .
®2 IV ₽ з- А И S2V “ 3 Л —
По этим значениям строим график функции
положения толкателя s3 = % (Ф1) (рис, 121, е).
4°. Нахождение угла давления а, Дан ку-
лачковый механизм (рис. 122, г?) в произвольно
выбранном положении. Требуется для этого по-
ложения механизма найти угол давления а.
Предполагаются известными минимальный ра-
диус гс кулачка, значения функции положения
и ее первой производной (аналога скорости)
для взятого положения механизма.
В точке контакта центрового (теоретическо-
го) профиля кулачка с осью ролика имеют место
две совпадающие точки Вг и В2» принадлежащие
соответственно профилю кулачка и оси ролика (г, е. толкателю). Для скоростей
этих точек справедливо векторное равенства
»я, = ®Д1+”в1е1, (24-2°)
где Vg — скорость точки толкателя, совпадающая с осью ролика и направленная
параллельно направляющим толкателя, — скорость точки профиля кулачка,
совпадающая с осью ролика и направленная пер-
пендикулярно линии АВ, — скорость точки
относительно точки Blt направленная параллельно
касательной тт к профилю кулачка.
По равенству (24,20) построен план скоростей
(рис. 122, б), В треугольнике pb^ угол Lpb^
равен' углу давления а, тангенс этого угла будет
ра8ен
tga=F^=^_2L=^$i_i
u£ft ш1(г0“Г52.) Grrs2
так как
(24.21)
cfs
*4 = и 1’в1=«1-/лв = «1'(го+5а).
123. К определению
По значению тангенса нетрудно найти и значение
угла давления а.
Определение точки контакта тарелки с про-
филем кулачка. Дан механизм Ш вида (рис. 123)
в произвольно выбранном положении. Требуется
найти расстояние Z = (Bd) от точки В контакта тарелки с профилем кулачка до
осевой линии Ау толкателя.
Рис,
точки контакта профиля
кулачка с тарелкой.
Для решения задачи надо знать значение аналога скорости (первой произ-
водной от функции положения^ для выбранного положения механизма,
В точке контакта тарелки с профилем кулачка находятся две тючки: В2 —
точка, принадлежащая тарелке, и — точка, принадлежащая ку«тачку. Ско-
рости этих точек связаны равенством
(24.22)
219
где — скорость точки В^ направленная параллельно направляющим Ау
толкателя, т>В] — скорость точки В^ направленная перпендикулярно линии ЛВ,
— скорость точки Вг относительно точки Вр направленная параллельно
тарелке — линии хх.
По равенству (24.22) построен повернутый план скоростей непосредственно
на схеме механизма в так называемом масштабе кривошипа (рис. 123). Планом
является треугольник pbsb2.
Из чертежа видно, что искомое расстояние (Bd) равно отрезку (рда) на плане
скоростей, который в свою очередь равен
ds, dS$
dSa
в,~ 'йфГ'“1’
а масштаб плана скоростей = со*-|лг Поэтому отрезок (Bd) будет равен
= (24.23)
i ЯФ1 ^Ф1
pth = —----------- =—ф так как v
Р/ £02 ц, * ‘
с тарелкой. Дан
Рис. 124. К определению
радиуса кривизны профи-
ля кулачка в точке кон-
такта профиля кулачка с
тарелкой.
Искомое расстояние /, вычисленное в натуральную величину, будет равно
I = И/ fid) = (24.24)
(И. Определение радиуса кривизны р профиля кулачка в точке контакта его
III вида (рис. 124)\в произвольно выбранном
положении. Требуется найти радиус кривизны про-
филя кулачка в точке В контакта его с тарелкой.
Для выбрэнПого положения механизма по уже
известным правилам строим заменяющий механизм
AOfiC, где точка О2 — центр кривизны профиля
кулачка, а [р] —радиус его кривизны, изображен-
ный в масштабе чертежа. Натуральная величина р
будет равна р = ц/ (р],
Непосредственно на схеме механизма (рис. 124)
строим план ускорений заменяющего механизма в
так называемом масштабе кривошипа; этот план
строим по уравнению
rtoa = 1 (24.25)
где — ускорение точки <?1 кулачка, направ-
ленное параллельно линии Я О, — ускорение
точки О? толкателя, направленное параллельно осн
направляющих Ау толкателя, — ускорение
точки 03 относительно точки 0д, направленное парал-
лельно оси лх тарелки.
На плане отрезок (л&2) пропорционален отри-
цательному ускорению точки О2 толкателя, так как
начало плана л совмещено с точками Од и О2. Из
чертежа получаем, что отрезок, изображающий на схеме радиус кривизны рг
в точке касания профиля кулачка с тарелкой равен
[р] = ки1 + Ы- W (24.26)
В скобках указаны отрезки, измеренные па схеме механизма. Натуральные
значения радиуса кривизны р, минимального радиуса г0 и перемещения толкателя
5^ соответственно будут равны
[Pl! =
220
где р.; — масштаб схемы механизма. Величина отрезка (яй2) пай детей из равенства
G и
(лйг)=-тА-
га
r/2S- Ц1
'bil _
<о? Hi fl;
Подставляя полученное значение этого отрезка в формулу (24,26) и умножая все ее
члены на масштаб Ц; схемы механизма, окончательно получим искомую величину
радиуса р кривизны профиля кулачка:
Р — го 4" 5з
d<p*
(24.27)
При положительном значении аналога ускорения радиус кривизны следует
находить по формуле
p=r0+ss+-^. (24.28)
7°. Определение жесткости q пружины, обеспечивающей силовое замыка-
ние кинематической пары IV класса, ъ е. — постоянный контакт толкателя с
кулачком.
Рассматривается случай, когда отрыв толкателя от профиля кулачка может
произойти либо вследствие действия инерционной силы толкателя, либо вследст-
вие действия его инерционного момента. Пружину следует подбирать так?| чтобы
Ряс. 125, К определению жесткости замыкающей пружины.
во всех положениях механизма сила нажатия пружины была бы больше отрываю-
щего силового фактора; при этом предполагается, что пружина смонтирована без
предварительной деформации.
Для решения задачи надо знать массу поступательно движущихся частей
толкателя (для механизмов I, II и IIJ видов) или момент инерции вращающихся
частей толкателя (для механизмов IV вида), закон изменения функции положения
и ее второй производной (аналога ускорений) на всей фазе подъема пли опускания.
Для решения задачи берется та фаза, в которой отрицательное значение аналога
ускорений будет большим по своемуtабсолютному значению. Надо также знать
угловую скорость <i)j кулачка.
Приведем решение задачи, относящейся к кулачковым механизмам 1, 11 и 111
видов. На рис, J25 показаны график аналога ускорений
dip* ” ™
221
(рис. 125, й) и график функции положения (qpjj (рис, 125, б). На ряс. 125, в
построен график зависимости аналога ускорений от перемещения толкателя
rfcpf dtf
Этот график построен путем исключения параметра % из зависимостей
d*s.2 d2s2 f , , .
-г^ — т-т (Ф1) и (ф1Ъ
dipj dip] v
Сила инерции Рн толкателя будет равна
n 5
(24,29)
где т — масса толкателя, й, — ускорение толкателя
rf%
аналог ускорения
толкателя, — угловая скорость кулачка.
График изменения силы инерции толкателя будет отличаться от графика ана-
лога ускорений только масштабом и знаком. Поэтому можно считать, что на
рис. 125, е построен график Рн = Ри (Sg) изменения силы инерции толкателя
в функции перемещения последнего.
Ч£рез начало координат О построенного графика, проведен луч 0—1 каса-
тельно к положительной части графика силы инерции. За положительное направ-
ление силы инерции принято такое, когда эта сила направлена от оси вращения
кулачка, т. ег когда она стремится оторвать толкатель от профиля кулачка»
Луч О—1 отсекает на линии, проведенной из конца ординаты Я, отрезок /,
пропорциональный максимальной силе необходимого нажатия пружины. Эта
сила будет* равна '
Л,Р™х=М«- (24-30)
где Рр — масштаб сил.
Искомая жесткость q будет равна
^пр max Нп * .
т— = -пг
(24.31)
Для кулачковых механизмов IV вида во всех вышеприведенных формулах
следует заменить (фг) на Фг (<h), d?s?/dy*L — на tn — на /\ ft — Ф
И Рпр max ^пршах1
8°, Определение полярных координат /? и Ф точек центрового профиля кулач-
ка, находящегося в соприкосновении с элементом кинематической пары IV класса
на толкателе. Начало координат принято совпадающим с точкой А. Ось, от которой
отсчитываются углы, обозначим линией AyOt а поворот толкателя относительно
кулачка — углом ф,
а) Кулачковый механизм I вида (рис, 126). Положение точки В на про-
филе кулачка определяется радиусом-вектором /? и полярным углом О. Из чертежа
следует, что радиус-вектор равен
Я = (24,32)
а полярный угол равен
й^Ф> (24.33)
где Sg — значение текущего перемещения толкателя, ф — текущее значение
угла поворота кулачка.
б) Кулачковый механизм II вида (ряс. 127). Из чертежа следует, что ра-
диус-вектор /? точки В равен
/? = У(^+^а)24-^
(24.34)
222
где
да
s _а полярный угол Ф равен
О^ф+Р,
Р = arccos
_ 2Яг0 .
(24,35)
(24.36)
При расположении оси толкателя слева отточки А знак угла Р надо изменить
па обратный.
Рис. 126* К определению полярных
координат профиля кулачка I вида.
Рис. 127. К определению полярных
координат профиля кулачка II вида.
Рис. 128. К определению полярных
координат профиля кулачка III вида.
Рис, 129, К определению полярных
координат профиля кулачка IV вида.
в) Кулачковый механизм Ш вида (рис. 128). Из чертежа следует, что
радиус-вектор Л? точки В равен
/? = lA0 + s^+(24.37)
f \«Ф1 /
а полярный угол и равен
О-Ф + Pt (24.38)
где dsj/rfifx — текущее значение первой производной от функции положения, а
223
г) Кулачковый механизм JV вида (рис. 129). Из чертежа следует, что ра-
диус-вектор R точки й равен
полярный угол й равен
где
/? = /P + /*-2L.Uos((foH-T.,),
(24,39)
(24,40)
-& =
fj- arc cos
Г^ + г^(ад-|
2/?
а отрезок (ВРЯ) = 2/ sifi
\ * /
При расположении толкателя слева от линии .4 С угол р следует брать с обрат*
ным знаком, т. е. со знаком плюс.
(См. И, И. Артоболевский, Теория механизмов, §§ 125—130.)
ЗАДАЧИ 351—369
35Е Спроектировать кулачковый механизм I вида* Построение
провести для двенадцати положений механизма. Известно, что ход
толкателя h 42 лии; закон изменения первой производной от
функции положения толкателя задан графиком
радиус ролика г = 10шь минимальный радиус кулачкам = 25 лш,
задаче 351.
К задаче 352*
фазовый угол подъема (удаления) грп == п, фазовый угол опускания
Фо *
352. Спроектировать кулачковый механизм I вида. Построение
произвести для двенадцати положений механизма. Известно, что ход
толкателя 1г = 36 лии; закон изменения второй производной от
функции положения толкателя задан графиком
d^i
(ч>1).
224
радиус ролика г = 10 мм, минимальный радиус кулачка — 25 мм,
фазовый угол подъема фп = л, фазовый угол опускания ср0 = л.
353. Для кулачкового механизма I вида определить величины
углов давления для семи положений механизма на фазе подъема.
К задаче 353.
К задаче 354.
4^5*1 / \
Известно, что ход толкателя h = 42 лш; минимальный радиус кулач-
ка г0 = 24 мм] закон изменения первой производной от функции
положения толкателя задан графиком
^3$ _ tfcfl * Ч
фазовый угол подъема срп = :гт, фазовый угол опускания ср0 = л.
354. Для кулачкового механизма I вида определить величины
углов давления для семи положений механизма на фазе подъема.
Известно, что ход толкателя h = 36 мм\ минимальный радиус
кулачка г0 = 20 мм, закон изменения второй производной от функ-
ции положения толкателя задан графиком
фазовый угол подъема сри = л, фазовый угол опускания ф0 = я,
355, Для кулачкового механизма III вида определить минималь-
ный радиус г0 кулачка, исходя из требования, чтобы профиль
кулачка был очерчен выпуклой кривой, если ход толкателя h —
=36 jhjh, а закон изменения второй производной от функции поло-
жения толкателя задан графиком
Фх ~~ ’
фазовый угол подъема % == 0,5л, фазовый угол опускания ф0 =
“ 0,5я(
356. Для кулачкового механизма III вида определить, на каком
расстоянии I от оси Ау толкателя произойдет соприкосновение
8 И. И. Артоболевский, Б. В. Эдельштейн 225
профиля кулачка с тарелкой толкателя, если кулачок повернут на
угол ф2 = 45° из положения, указанного на чертеже. Дано: ход
К задаче 355.
К задаче 356,
толкателя h = 40 jo, закон изменения второй производной от
функция положения толкателя задан графиком
dcpf dcpf r
фазовый угол подъема фп = л,
357, Для кулачкового механизма III вида определить мини-
мальный поперечный размер тарелки О3 толкателя, если ход толка-
К задаче 357,
Н—5W—*
К задаче 358,
теля h == 36 мм, закон изменения второй производной от функции
положения толкателя задан графиком
<*Pi ~~ dtf
(<Pi).
226
фазовый угол подъема <рп = 0,5л и фазовый угол опускания <р0 —
— 0,5л.
358. Для кулачкового механизма I вида определить угол дав-
ления при повороте кулачка на угол <рх = 45° из положения, ука-
занного на чертеже. Дано: ход толкателя h = 40 мм, минимальный
радиус кулачка г0 — 40 мм, закон изменения первой производной
от функции положения толкателя задан графиком
(fSi) j г
^ = Й4(Ф1)’
фазовый угол подъема фп — л.
359. Для кулачкового механизма I вида определить радиус
кривизны р профиля кулачка в месте его касания с концом толка-
теля, которое получается при повороте кулачка на угол 45° из
положения, показанного на чертеже. Известно, что ход толкателя
К задаче 359.
К задаче 360,
h = 40 мм\ минимальный рад нус кулачка г0 = 40 мм, закон изме-
нения второй производной от функции положения толкателя задан
графиком
фазовый угол подъема фп — л.
Указание, Задачу решить путем построения планов ско-
ростей и ускорений механизмов.
360. Для кулачкового механизма IV вида определить угол давле-
ния ос в том положении механизма, которое получится в результате
поворота кулачка на угол qpL = 45°. Известно, что расстояние меж-
ду осями вращения кулачка и толкателя L = 120 лис длина тол-
кателя / =90 мм, начальный угол отклонения толкателя от ли-
нии центров АС ф0=30% ход толкателя Ф=30% закон изменения
8*
227
первой производной от функции положения толкателя графика
dtp;
фазовый угол <рп = 0,5л.
361. Для кулачкового механизма Ш вида определить минималь-
ный радиус г0 кулачка так, чтобы во всех положениях механизма
в пределах фазы подъема профиль кулачка очерчивался бы выпук-
лой кривой. Известно, что ход толкателя
h ™ 30 мм; закон изменения второй про-
изводной от функции положения толкателя
задан графиком
фазовый угол подъема фп = 0Л5л.
Указание. При решении задачи
следует исходить из условия, что радиус
кривизны профиля кулачка во всех точках
профиля должен быть не меньше нуля.
362. Руководствуясь условиями задачи
361, определить минимальный радиус г0
кулачка, если ход толкателя й 60 мм.
363. Руководствуясь условиями зада-
чи 361, определить минимальный радиус г0 кулачка, если фазовый
угол подъема толкателя будет равен фп = 0,25л.
364* Для кулачкового механизма I вида найти жесткость пру-
жины, обеспечивающей замыкание кинематической пары IV класса
1
К задаче 364.
К задаче 365.
(кулачок—толкатель), если ход толкателя h = 20 мм. закон изме-
нения второй производной от функции положения толкателя задан
графиком
228
фазовый угол подъема срп = 120\ масса толкателя т2 — 0J8 кег
угловая скорость кулачка nt = 1000 об/мин.
365- Для кулачкового механизма IV вида найти жесткость
пружины, замыкающей кинематическую пару IV класса, если ход
толкателя Ф = 30°, закон изменения второй производной от функ-
ции положения толкателя задан графиком
^Фг __ ^Фа
фазовый угол подъема (рп = 120°, момент инерции толкателя отно-
сительно оси С равен / — 10’5 кам2, угловая скорость кулачка пл ~
= 1000 об/мин.
366- Для кулачкового механизма I вида найти полярные коор-
динаты точки профиля кулачка, которая находятся в месте касания
кулачка с концом толкателя при повороте кулачка на угол qpt — 30q
К задаче 366.
К задаче 367,
из положения, указанного на чертеже, если ход толкателя h = 40 лш,
закон изменения второй производной от функции положения толка-
теля задан графиком
(14, _ х
dtp- ™ ’
фазовый угол подъема <рп = 120°,
367, Для кулачкового механизма II вида найти полярные коор-
динаты точки профиля кулачка, которая находится в месте касания
кулачка с концом толкателя при повороте кулачка на угол — 60°
из положения, указанного на чертеже, если ход толкателя h = 20 jhm,
минимальный радиус кулачка г0 = 20 мм> эксцентриситет в = 10 леи,
закон изменения второй производной от функции положения толка-
теля задан графиком
rfn j
^Ф1 ^Ф1
фазовый угол подъема <рп “ 120°,
229
368. Для кулачкового механизма 111 вида найти полярные
координаты точки профиля кулачка, которая находится в месте
касания профиля кулачка с тарелкой при повороте кулачка на
угол = 30° из положения, указанного на чертеже, если ход
толкателя h = 20 мм, минимальный радиус кулачка г - 40 ми,
с
t
К задаче 368.
К задаче 369,
t
закон изменения второй производной от функции положения тол-
кателя задан графиком
^Фь
угол подъема фп = 120°.
369, Для кулачкового механизма IV вида найти радиус-вектор
точки профиля кулачка, которая находится в месте касания про-
филя кулачка с концом толкателя при повороте кулачка на угол
= 60° из положения, указанного на чертеже, если начальный
угол отклонения толкателя от линии центров АС равен ф0 = 30°т
ход толкателя Ф = 30°, расстояние между центрами вращения
кулачка и толкателя L — 80 мм. длина толкателя I = 60 мм.
закон изменения второй производной от функции положения толка-
теля задан графиком
^афз __ \
фазовый угол подъема фп = 120°,
ГЛАВА ШЕСТАЯ
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
§ 25. Задача о существовании кривошипа
1°. При решении задач этого параграфа следует так подбирать размеры зве-
ньев механизма, чтобы одно звено его, входящее в кинематическую пару V класса
со стойкой, могло бы проворачиваться на полный оборот около оси вращательной
кинематической пары. Во всех задачах настоящего параграфа рассматриваются
только четырехзвенные механизмы с низшими кинематическими парами.
(См. И. И. Артоболевский, Теория механизмов, § 136.)
ЗАДАЧИ 370—377
370. Для центрального кривошипно-ползунного механизма найти
минимальную длину 1^с шатуна ВС, при которой звено АВ может
совершать полный оборот около своей оси А.
К задаче 371.
К задаче 372.
К задаче 373.
371. Для дезаксиального кривошипно-ползунного механизма
найти минимальную длину ВС, при которой звено АВ может совер-
шать полный оборот около своей оси А.
372. В механизме шарнирного четырехзвенника известны длины
всех его звеньев /дн = 20 мм, /дс = 100 мм, = 60 мм, Iad
231
= 120 лич. Указать, сможет ли звено Л В совершать полный оборот
около своей оси Л?
373. В механизме шарнирного четырехзвешшка известны длины
всех его звеньев = 20 леи, 1ВС = 90 лиц = 40 лиг, !ди —
— 120 ли*. Указать, существует ли в этом механизме кривошип?
374, Для кулисного механизма Витворта указать, какой размер
должно иметь звено АВГ чтобы кулиса 3 не проворачивалась бы па
полный оборот при повороте звена АВ на }гол 360°?
375. Для кулисного механизма муфты Ольдгейма указать, на
кащ>й угол повернется кулиса 3 при повороте звена 1 на угол 360е?
376. В кулисном механизме Витворта размер звена АВ больше
расстояния ,4С. Указать, на какой угол повернется кулиса 3, если
звено АВ совершат полный оборот около своей осп Л?
377. Указать, может ли существовать кривошип в тангенсном
механизме, если размер А не равен нулю?
§ 2G, Задача о положениях
Iе. В нгстояиа?]' параграф вопили задачи, которые могут быть pensejsbi графи-
чсскихгл ил и графоан£Л]млчески^и методами в соопыыпши с указаниями, изло-
женными в книге: И. И. А р т о бол йвскиг о, Теория механизмов. § 133,
ЗАДАЧИ 378—386
378. Спроектировать механизм шарнирного четырехзвенника,
у которого коромысло CD в своих крайних положениях наклонено
к стойко AD под углами (Д = 45й и %з 120°. Длина стоики AD
равна = 100 лиц длина коромысла CD равна /со “ ?5 лик
Определить длины кривошипа и шатуна Ос-
379. Спроектировать механизм шарнирного четырехзвенника по
заданному коэффициенту увеличения скорости коромысла СО,
равному К 13- Длина стойки AD равна lAD = 100 лиц длина
коромысла CD lCD = 75 лиц угол наклона коромысла к стойке в
3
К задане 381,
К задаче 383.
К задаче 384.
К задаче 385,
К задаче 380.
233
одном из крайних положений равен <рз = 45°. Определить длину 1АВ
кривошипа и длину 1$с шатуна.
380. Спроектировать механизм шарнирного четырехзвенника по
заданному коэффициенту увеличения скорости коромысла CD,
равному /< — 1,0, длине коромысла CD, равной lCD == 150 лслс, углам
наклона коромысла к стойке в крайних положениях фз — 30° и
Фз = 90°. Определить длины /дд кривошипа, 1Вс шатуна и lAD
стойки,
38L Спроектировать кривошипно-ползунный механизм по задан-
ному коэффициенту увеличения скорости ползуна X = 1,5, ходу
ползуна fciCa = 50 мм и смещению направляющей е = 20 лш.
Определить длину 1АВ кривошипа и длину 1ВС шатуна.
382. Спроектировать механизм шарнирного четырехзвенника
по двум заданным положениям его шатуна ВС, если длина шатуна
he — 500 мм, угол между двумя заданными смежными положени-
ями шатуна р = 15°, расстояние = 100 угол между
двумя положениями коромысла CD, соответствующими заданным
положениям шатуна, £ == 60°, длина кривошипа 1АВ = 100 лш.
Определить длины коромысла CD и стойки AD и, кроме того, ука-
зать, сможет ли кривошип АВ при выбранных размерах повора-
чиваться на полный оборот?
383. Спроектировать кривошипно-ползунный механизм по двум
заданным положениям его шатуна, если угол между направлениями
оси шатуна в заданных положениях |J = 15°, длина шатуна равна
1вс = 200 мм, ход ползуна равен = 100 мм, длина кривошипа
равна 1А$ — 75 мм. Определить координаты х и ij центра А враще-
ния кривошипа АВ при условии, что указанный центр располагается
слева от линии — Вг.
384. Спроектировать кулисный механизм Витворта по заданному
коэффициенту увеличения скорости кулисы 3, равному К = 2,0,
и длине стойки 1АС = 50 мм. Определить длину кривошипа 1АВ-
385. Спроектировать механизм шарнирного четырехзвенника по
трем положениям кривошипа АВ и трем положениям коромысла CD,
т. е. определить длины звеньев ВС и CD, если дано: 1АВ — 40 мм,
осг = 120а, си = 90°, сц — 60°, 1Ав = 100 мм, ho = 70 ми, фа =
— 60°, хорда F3F2 = F2Ft — 23,5 zut.
386. Для механизма шарнирного четырехзвенника найти мак-
симальный угол размаха фзтах коромысла CD, если длины звеньев
1Ав = 30 лш, he = Iad = 100 мм, lCD = 60 лш.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
Часть первая
АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
Глава первая
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
§ L Структура механизмов. Основные определения
L Пятого класса. Нет трех поступательных движений и двух вращательных
(вокруг осей Ог и Оу).
2. Пятого класса. Нет трех вращательных движений и двух поступательных
(вдоль осей Oz и Оу).
3. Третьего класса. Нет трех поступательных движений.
4. Пятого класса. Нет двух вращательных движений (вокруг осей Ох и Ог/)
и двух поступательных (вдоль осей Ох и Оу).
Вращательное движение относительно осн Ох и поступательное вдоль этой
же оси связаны соотношением tpr tg а ~ ht где ср — угол поворота звена 2, г —
радиус средней винтовой линии резьбы, h — перемещение звена 2 вдоль оси Ох,
а — угол подъема средней винтовой линии резьбы.
5. Четвертого класса. Нет двух вращательных движений (вокруг осей Ог и
Оу) и двух поступательных (вдоль осей Ох и Оу).
6. Третьего класса. Нет двух вращательных движений (относительно осей
Оу и Ох) и одного поступательного (вдоль осн Ог).
7. Второго класса. Нет двух поступательных движений (вдоль осей Ох и ОД.
8. Первого класса. Нет одного поступательного движения (вдоль оси Ох).
9. Четвертого класса. Нет двух вращательных движений (относительно
осей Ох н ОД и двух поступательных (вдоль осей Ох и Ог).
10. Третьего класса. Нет трех поступательных движений (вдоль осей Ог,
Оу и Ох),
И. Четвертого класса.
12. Четвертого класса.
13. Пятого класса (вращательная),
14. Пятого класса (поступательная).
§ 2. Классификация механизмов
15. Нулевого семейства од — — Pl = 6*2 — 5-2 — 1 = 1.
16. Четвертого семейства w = 2п — = 2-2 — 3 = 1.
17. Третьего семейства од = За — 2р6 — ра = 3-2 — 2-2 — I — 1.
18. Третьего семейства од = За — 2р5 = 3-3 — 2’4 = 1.
19. Третьего семейства од = За — 2р6 — 3*3 — 2-4=1.
20. Третьего семейства од = Зп — 2р5 — 3-3 — 2*4 = L
235
§ 3. Составление кинематических схем механизмов
21—30. См. отдельные чертежи (стр. 236—237,1.
На этих чертежах приняты следующие обозначения;
число всех звеньев механизма — Д',
число его подвижных звеньев — ч,
числя кинематических пар V, IV, III,
II и 1 классов — р5, р4, рЯт о, и рр
Механизм яулзЗегз семейства
Л =Л п =<?, РрРрр?
Механизм нунеЗ^й сын&жЗа
К ответу задачи 21.
К ответе задачи 22.
§ 4. Классификация плоских механизмов
31. тг> = 1; одна группа второго класса первого вида. Механизм второго
класса.
32. а: = 1; одна группа второго класса второго вида. Механизм второго
класса.
33. со = I; одна группа второго класса третьего вида. Механизм второго
класса.
34. о, =± 1; одна группа второго класса третьего вида. Механизм второго
класса.
35 .. w = 1; одна группа второго класса пятого вида. Механизм второго класса,
Зв. № = 1; одна группа второго класса четвертого вида. Механизм второго
класса,
37. w = 1; одна группа второго класса пятого вида. iMexa;пззм второго
класса,
38, = I; две группы второго класса, третьего и второго вадов. Механизм
второго класса.
39, = I; две группы второго класса, обе второго вида. Механизм второго
класса.
40, = 1; три группы второго класса, две первого и одна третьего видов,
.Механизм второго класса.
41, & = },- две группы второго класса, первого и третьего видов. Механнтм
второго класса,
42. го = I; две группы второго класса, парного и третьего видов. Механизм
второго класса.
43. = L три группы второ]о класса, все первого вада. Механизм второго
класса.
44. ш 1; три группы второго класса, одна второго и дне первою видов.
Механизм второго класса,
236
К, ответу задачи 23.
к=4>п=3,р^4
Механизм /тре/льез# семейет/ю
ответу задачи 24.
К ответу задачи 25.
К ответу задачи 26.
/•манизм ьч/лв&яо сеия&пйа.
Л=Лг?=Д^=5
Леханизм
щтёертпга »й&
К ответу задачи 27*
К ответу задачи 28,
Х=4л=грр4£=&
4
Лелмизм кекеез звмеиз^^иахии^
К uiseiy задачи 30,
237
45. 1; три группы второго класса» две первого а одна второго видов.
Механизм второго класса.
46. t£> = 1; две группы второго класса, обе второго вида. Механизм второго
класса.
47. ей1 — 1; одна группа третьего класса третьего порядка н одна группа
второго класса второго вида. Механизм третьего класса.
48. — 1; одна группа второго класса первого вида и одна группа третьего
класса третьего порядка. Механизм третьего класса.
49. к,1 _ 1; три группы второго класса, все первого вида. Механизм второго
кл асс а.
50. & = 1; три группы второго класса, все первого вида. Механизм второго
класса.
51. ю = 1; две группы второго класса, обе первого вида. Механизм второго
есл асса,
52, &1 = I; одна группа третьего класса третьего порядка. Механизм третьего
класса,
53, к? — 1; одна группа третьего класса третьего порядка. Механизм третьего
класса.
54. tt! = 1; одна группа второго класса первого вида. Механизм второго
класса.
55. &1 = 1; одна группа второго класса пятого вида. Механизм второго
кл асса.
56. 2; круглый ролик вносит одну лишнюю степень свободы, после его
устранения # = 1; одна группа второго класса второго вида. 'Механизм второго
класса.
57. &у = 2; круглый ролик вносит одну лишнюю степень свободы, после его
устранения гу = 1; две группы второго класса первого и четвертого видов. Меха-
низм второго класса.
58. = 0; одни из ползунов вносит пассивную связь, после его устра-
нения ft — 1; одна группа второго класса второго вида. Механизм второго
класса.
59. w = одна группа третьего класса третьего порядка и одна группа
второго класса первого вида. Механизм третьего класса.
60. w = 2; одна группа третьего класса третьего порядка. Механизм третьего
класса*
61. &1 = 2; две группы второго класса, четвертого и третьего видов. Меха-
низм второго класса.
62. w _ 2; пять групп второго класса, две первого, две четвертого и одна
третьего видов. Механизм второго класса.
63. с = 1; четыре группы второго класса, три первого и одна второго видов.
Механизм второго класса.
64, ш = I; четыре группы второго класса, все первого вида. Механизм вто-
рого класса,
65. w = 1; три группы второго класса, две первого и одна третьего видов.
Механизм второго класса.
66. к? = I; три группы второго класса, одна третьего, одна первого и одна
пятого видов. Механизм второго класса,
67. оу = I; две группы второго класса, обе первого вида. Механизм второго
класса.
68. u1 = I; пять групп второго класса, три первого, одна третьего и одна
пятого видов. Механизм второго класса.
69. s.1 = 3: два круглых ролика вносят две лишние степени свободы, после
их устранения ty — J; две группы второго класса, пятого и первого вида. Меха-
низм второго класса.
70. w = 2; круглый ролик вносит одну лишнюю степень свободы, после его
устранения 1; три группы второго класса, две первого и одна второго видов.
Механизм второго класса.
71. w = L 72. ш = 1. 73* ю = 1, 74, гу 1. 75, и 1. 76. w = L
77. — 1; две группы второго класса, первого и третьего видов. Механизм
второго класса.
238
78. w = I; четыре группы второго класса, три первого и один четвертого
вида. Механизм второго класса.
79, w = 1; две группы второго класса, одна первого и одна третьего видов.
Механизм второго класса.
80, w — 1; три группы второго класса, все первого вида. Механизм второго
класса,
Глава вторая
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 5, Аналитическое определение положений, скоростей
и ускорений звеньев механизмов
положения
положения
положения
т передаточное отношение
А 2 /\ £
= h tg <рь аналог скорости г-гф15а = h sec2 q r
= h cosec аналог скорости =
81, Функция
82, Функция
83, Функция
< COS <Р1
” — h ----—
smApi
84. Функция
положения sc = ^bG—coSTi) + ^bc
85, Функция положения tp2=arcsin
86, Функция положения tp3 = arcsin
87,
88.
89,
90.
кч = 60 се/г1.
% = 7.‘
t'o = 8/3
= 6,44
i AB . .
1 — , "f-Sin Cfi I
‘ж
__ lAB sin <h_______
I AC ^^AB j I AC CQ? Ф4
Л1Л sin Ф1______"
V + 2^B’^СС05кТ|
летг1; tjn ±=710 мсекгл.
i
Mcetr1.
мсекг1.
§ 6. Планы положений, скоростей и ускорений механизмов
91—128. См. отдельные чертежи (стр. 240—246)-
127, го1 = 20 ссх-1, (о3 = 5 сек"1, со3 = 0, = 0, = 0, сл 125 Li’.\-2t
= 0t ag = 50 мсекг*,
128, = 20 c?K~\ = 0, lo3 = 5 = 0, c2 - 75 ссд--, =
— 2 М7Ж1, = 10 д№К--.
129. vD = 2 jfca/г1, aD = 0, = 0, £x = 0, = 231 cef-r1,
130, vc = 0, ac ~ 60 xcefT2.
131. v = }'r2 MceiT2, flc=20'V'2 awC2, движение ускоренное.
132. lil^ = 20 c^C1, G)2 = = 6, = 0, Eo = 231 cefC"2.
133. = <i>3 й)э 10 ceiT1, = e2 = 0+ e3 = 100 сек~\
134. = 0,5 MCffT1, вектор ^.f направлен перпендикулярно к СЛ1 влево,
135. оь = 10 с&с1. 137, v = 0,58 ^сек~1.
136, ш3 = 10 cetr1 138. 1,0 жтх-4, а^- = 5,8 л?гея-2.
§ 7, Нахождение мгновенных центров скоростей
и ускорений. Построение центроид
139—146, См. отдельные чертежи (стр, 246—247}.
239
К ответу задачи 92.
К ответу задачи 91.
К ответу задачл 96.
К округу аздачи 97,
К ответу задачи №.
К ответу задачи ?Э.
К ответу задачи 1U0,
2^
еч
E^g-
K тпету задачи ЮЗ.
К ответу задачи 107.
К ответу задачи 105.
К ответу задачи 111,
К ответу задачи 112.
К ответу задачи 113,
К ответу задачи 114,
242
К ответу задачи 115.
Я Ш 30 30 40 59мм
Ь *
К ответу задачи 116.
5*
К ответу задачи Н7,
4
!
I
243 i
К ответу задачи 1 T9.
।
К ответу задачи
244
II
К ответу задачи 121.
К ответу задачи 122*
2
К ответу задачи 124-
К ответу задачи 140.
К ответу задачи 125.
।
I
I
[
।
К ответу задачи 141.
К ответу задачи 142.
К ответу задачи 126.
£
К отвечу задачи 139.
К ответу задачи 145-
К ответу задачи 146.
247
§ 8, Кинематический анализ передач
Н7- Ъ = 2- 1ОЛ = 250 ли1> lO.oa~ 350 мм. 159. 160. in = 1365. 9.
148. S3 = 6./O = 300 мм. 161. Л м — 21,2.
149. /и = 12. 162. C , = 4356.
!50. г13 = _ з, 1 = 240 мм. 151, = — 6. 152, = 36; направление вращения 163. Cm = 27,33-
164. L *, — 5/3 * If! Ei4 = — 2,5,
— по ходу часовой стрелки. 165.
153. 4* 166* = — I*
154. = 1,5. 167. iie 410,86.
155- С„=1Л 168* Qs = 342.
'156. я^ = 40 об/мин. 169. ПО- 4_n = 11156,04, = 12,
йз = — 120 об/мин. 171* id„= 126,22.
157 £/д = — 2499, 172* <’ 43,9.
158. £jjy ~ — 5> 1л 1
Глава третья
СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 9. Определение сил инерции в механизмах
173. А1и = 140 нм. 174* = 360 я,
175* При ф2 — 0 Р1Т — 11250 я, при (ft — 90* Рн = 2230 я, при (Р]= 180°
Ри = 6750 я,
ч 176* РНа = 100 н. Вектор приложен в центре масс шатуна и направлен
вертикально вверх, Л1и> = 6 нм. Момент/ИНа приложен к звену ВС и направлен
по часовой стрелке,
177* Лектор Ри& приложен к оси шарнира В и направлен
вертикально вверх. Р^ — 260 н. Вектор Рй приложен к оси шарнира С и
направлен горизонтально влево.
178* РВа = 1600 н. Вектор PHs приложен в центре масс звена Вх и направлен
перпендикулярно линии ВС вверх. = 68,5 нм. Момент Л!и> приложен к звену
Вх и направлен по движению часовой стрелки*
179* РНа = 46,4 я. Вектор Ра* направлен вертикально вниз,
180* Сила инерции кривошипа АВ равна Ри == 20 м. Вектор Рн приложен
в точке и направлен вертикальна вверх; инерционный момент Л1И =0. Сила
инерции шатуна ВС равна PRj = 30 н. Вектор Рк приложен в точке и направ-
лен вертикально вверх* Инерционный момент AiHi ~ 0,5 нм. Момент /Ия прило-
жен к звену ВС я направлен по часовой стрелке* Сила инерции коромысла CD
10 н- Вектор Рн^ приложен в точке S3 и направлен вертикально вверх.
Инерционный момент Ми = 0.
18L /ИНа = 46,2 нм. Момент тИа* приложен к кулисе 3 я направлен по дви-
жению часовой стрелки.
182* Л7Н* = 12,5 нм. Момент Afrjj приложен к коромыслу 3 и направлен по
движению часовой стрелки.
183. = 10 нм, Момент направлен против движения часовой стрелки,
^и, = 20 нм. Момент Мн? направлен по движению часовой стрелки,
184* N — 6 кет. 185, N = 1,0 кет.
248
186, Реакции в подшипниках ротора гироскопа равны между собою:
РЛ=/>5 = 40 н-
187, Центробежная сила инерции штифта равна Ри 440 н и приложена
в его центре масс.
188» Давление на палец С (сила инерции поршня) достигает своего макси-
мального значения в правом крайнем («мертвом») положении поршня; оно равно
Ри = 2840 н. Вектор направлен вправо.
189. Сила инерции толкателя равна Рц* = 274 «» Вектор Ри> направлен
вертикально вниз.
190, Реакция в подшипниках сателлита равна центробежной инерционной
силе сателлита: PtJ = 36,8 н. Вектор PHs приложен в центре масс сателлита и
направлен вертикально вверх для положения механизма, указанного на чертеже.
191. В обоих крайних («мертвых») положениях эвена 3 сила инерции дости-
гает своих максимальных значений: РИз = 394,4 я» Вектор Р^ в правом поло-
жении направлен вправо, в левом положении — влево.
§ 10. Уравновешивание инерционной нагрузки
192. тп = 5,38 кг. Угол закрепления противовеса, отсчитываемый от оси
pi, равен fl = 29а47'.
193. mnf = 0,36 кг (расположен вверху); тпи = 1,225 кг (расположен внизу)»
•194, РА = Рй = 20 я. 195. тп = 10 кг\ тп — 0.
Д if Л] Пп
196. m = 0,25 /Ю «г, pj = 25140'; m = 0,25-J/’IO кг, рп = 198°20'.
197, Координаты общего центра масс подвижных звеньев механизма: =
= 84.о, £<5= 11 мм* модуль главного вектора сил инерции Рн —1325 н,
угол наклона главного вектора Ри сил инерции, отсчитываемый от оси Лх про-
тив направления движения часовой стрелки, р = 1Г50'»
198, Главный вектор сил инерции направлен по оси Ах вправо, и модуль
его равен Р}] — 716 н,
199, тП] = 4,875 кг, тП11~ тп = М
2Q0. т2 = 1,8 кг, тт == 2,0 кг. 203. = 0,2125 кг.
201. пг — 0.695 кг, =1,9 кг. 204* ш_ = 0,2875 кг.
202. та — 0,2125 кг. 205. тп = от = 3,25 кг.
|[j ’ Щ Па '
§ 11. Трение в кинематических парах
206. Р = arcig 0,3.
207. 93,3 > пц > 6,7 кг.
208. а = 44и4Г»
209. НО н.
210. АГ= 10 вт.
211. а) Р = 421 н, б) Р = 261 н.
212. Q=”338 к.
213. а) Р2а = 116 я, б) Р23 = 123 rt,
в) Р^ = 109 н. § *
214. Q = 18 600 к.
215. jV = 90 т.
216. Ро = 2640 н.
217. Ро = 1320 н.
218. Р = 2,82 я»
219. Р = 50,4 н.
22°- > 2 **
§ 12. Определение реакций в кинематических ларах
221. РА = Р^ = Рс = PD = 141 н, Му = 0.
222. Рл = Рд = Рс = Рр = 70,7 я, Л4у = 2,5 нц.
223. Рд = Ру ==РС = Р^ = 7,07 н, Л1у = 7,07 нм,
224. Рд-=РВ=РС = Р1)=24Д л, Р¥ = 20 к.
249
225. РД = РВ=РС=1155 н, Pd=580 я, Му=ЮО нм.
226. РД = РВ=РС=1118 н, PD = SM н, Л4у = 111,8 нм.
227. Pa = Pb = Pc = Pd = 50 н, Л1у=2,5 нм.
228. Рд = Р/5=Рс = Ро=100 н, Л)у=15 нм.
22Э. РД = РВ = РД=1ОО н, РС, = РС„=35 н, Му = 7,0 я_«.
230. РД = РО=141 я, Рд== 70,7 я, Рс.= 125 я, Рс„=25 н, PV = 7Q.7 «.
231. РД=4О8 н, Рл = Рд=Рс=1620 н, Му=157 я.и.
232. РД = РВ = РС = 116 н, PD=53 н. Линия действия вектора PD про-
ходит правее оси шарнира С на расстоянии 100 мм, Mv= 10 нм.
233. РД = РД=141 н, Рс. = 200 н, Рс„= 100 н, А1у=10 нм.
234. РЛ = РВ=86,5 н, Рс = 50 н, Му=2,5‘9 нм.
235. РД = РД=13,3 я, Л4у=1,25 нм.
236. РЛ = РВ = 7,2 н, Л1у=1,0 нм. 237. Рд= Рс=7,75 я, Рд= 13.4 я.
238. Рв = 50 н, Л1у=4 нм. 239. Рд = 20 я, Л(}. = 8 нм.
240. Рл=25,6 н. Угол наклона вектора Ра к перпендикуляру, проведен-
ному к АВ, а = 39'20'. Л1.,= 0,861 нм.
241. Л'=844 вт. 243. N = 233 вт.
242. У=400 вт. 244. Я = 200 вт.
§ 13. Применение рычага Жуковского для определения
уравновешивающей силы
245. Ру = 100 я, Л1у = 10,0 нм. 248. Р„ = 10,0 я, Л4 у= 1.0
246. Ру — 5,0 я, Л4у = 0,5 нм. 249. Р =5-1^2 н,
247. Ру = 10,0 я, Л4у = 1,0 нм. 250. Ру = 5- /2 я.
Глава четвертая
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
§ 14< Приведение сил (моментов) и масс (моментов инерции)
в механизмах
251. Л!п = 100 нм, /п = 0,04 кем2. 252, Л1п = 0, /п = 0.
253. Л4П = 10 ям, /п = ОДО кем2.
254. Мп = 2,5 нм, /п = 0,001 кем2.
255. Л1П = 1,0 нм, /п = 0,00025 кем2.
256. Л1п = 5,0 нм, /п = 0,001 кем2.
257. а) Мп 0, 1„ = 0, б) Мп = 0,705 нм, /п = 0,0005 кем2, в) Д4л =
1,0 нм, 7П = 0,00!
258. а) 'п = 0,000175 кем2, 265. Л!п 1,0 нм.
б) = 0,0005 кем2. 266. Л4П = 0,2/3 нм,
259. 0,0035 гсглЛ /п = 0,00036 кем2.
260. /п = 0,001 кем2. 267. гп = 0,00275 ksja\
26L лгп = - 10,0 нм, /пп = 7,5 кг. l 5,0 нм, 1п = 0,005 кгм2. 268. [п = 0,0125 кгдсв.
262. мп = 269. 0,541 нм.
263. 264. Л1п = Л1п = □ 3,0 нм, /п — 0,03 кем2. z 1у0 нм. 270. М? = 0,5 нм.
§ 15. Определение закона движения звена
приведения машинного агрегата
27L Фу = 80 сек Ч 272. п 398 оборотов.
273. (Отах = 24,6 ся.’Г1, omin 13,8 сек~г, 6 = 0,565.
274. Установившееся движение возможно; 6 = 1/128,
250
275. 6 = 0,344.
276. 6 = 0,326.
277* f = 0,01.
278. e = 100 сек~\
279. в= 100 сект*, о = 50 сек~\
280. nv = 999 об/мин,
281* ш“ = 100 сек-1,
282* wy = 50 ceiT\
283* & = 500 сел:-3.
284* £ = 100 сек-2.
285. ш = 95-(1——Vat-1,
\ ewt j
со = 95 се/с-1*
cL34/_ 1
286. ш = 85,5 01 j7£?1гЖ0
287. ех = 1750 селт2.
288. £i = 1000 се^э.
289. £j = — 700 сек-2.
290* coj = 65,5 сек'1.
§ 16, Определение маховых масс машинного агрегата
291. /й= 0*89 292* — 17,6 кг. 293. та = 4,8 кг. 294. та = 6,28 кг. 295* /и = 0,785 кглЛ 297. /w = 6,23 кал*2. 298* /х = 1,02 сек. 299* /м = 0,0268 кгм^ 300* — 0,7 сек. 301. /м = 1,92 кглЛ
296* /?1и = 12,56 ксзЛ 302. /м = 0,175 кгм\
§ 17* Определение механического коэффициента
полезного действия
303. а) т| “ 0,645; б) т] = 0,45.
304* т] = 0,75.
305* а) tj = 0,596; б) rj = 0,418*
306. п = 0,407.
307. 226 вт.
308. 3*14 кл1.
309. 61,7 шй
310* п = 1/55.
311. = —13,7 нм.
312. Л1± = 336 нм.
§ 18. Динамика механизмов с переменной массой звеньев
313. е = — 17,0 сект*.
ЗН. Мд = (т +тшах - sc '} е +
Д 1 03 J max G Н 4(р 1
< d'sr
I A I t г I 71 Л, I 4J
+ GJ2 шлч+???.„_„-------- sr —i----j~—n--
J 1 03 I max Су *
315. £ = 5,36 ce?Ca*
Часть вторая
СИНТЕЗ (КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ)
МЕХАНИЗМОВ
Глава пятая
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С ВЫСШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
§ 19. Проектирование центроидных механизмов
316* Центроида в движении звена 2 относительно звена 1 есть окружность
с центром Ог и радиусом, равным = 20 мм. Центроида в движении звена 1
относительно звена 2 есть прямая, параллельная осн (\у^ касающаяся слева
окружности радиуса /?г.
317* Центроида в движении звена 2 относительно звена 1 есть полуокруж-
ность с центром OL и радиусом, равным 7?! = 40 мм. Центроида в движении звена
/ относительно звена 2 — две прямые, параллельные оси Оъу и отстоящие от нес
251
слева н справа на расстояние 40лкн, причем левак прямая соответствует удалению
звена 2 от точки Olh а правая —- его приближению.
318. а) Две окружности, имеющие внешнее касание, с радиусами /?j =
— 33,3 мм и /?2 = 66,7 мм\ б) две окружности, имеющие внутреннее касание,
с радиусами /?х = 100 лие и мм-
319. См, чертеж:
К ответу задачи 319.
320. См. чертеж;
§ 20. Проектирование механизмов со взаимоогиЗаемыми
профилями
321. Профиль зуба на колесе 2 есть эпициклоида, которую описывает точка
Pj при перекатывании начальной окружности колеса I по начальной окружности
колеса 2,
322. Профиль зуба па колесо 2 есть огибающая всех положений профиля
зуба колеса 1 в движении колеса 1 относительно колеса 2.
323. Профиль зуба на колесе 2 есть гипоциклоида, которую описывает точка
Pi при перекатывании начальной окружности колеса J по начальной окружности
колеса 2.
324. Профиль зуба па колесе 2 есть огибающая всех положений профиля
зуба колеса / б движения колеса 1 относительно колеса 2.
325. Профиль зуба на колесе 1 есть дуга эвольвенты, радиус основной окруж-
ности которой равен — 94 лмл Эта ду1а ограничена двумя концентрическими
окружностям;:, описанными из центра (/1 радиусами R11 = 117 зм? и /?' = 94 леи.
328, Профиль зуба на рейке есть циклоида, описанная точкой Pv при пере-
катывании начальной окружности колеса по начальной прямой рейки.
327, о = об,? лкч; ex ~ 33'J30\ ft = invez = 0T0772.
328. 7? = 107,7 .чч.
329. р = 0 в точке, расположенной на основной окружности.
330. S.. — 46,5 ж.ч, е = 1,57.
§ 21, Проектирование трехзвенных фрикционных механизмов
S3L = 100 лмс, /?а 220 лиг. 333. <\ = 4СГ54'"; д.? - 79'1В
332. /?1 = 300 мм, 600 лм!> 334, 26 "'42'; 62 = 63С:13;.
§ 22. Проектирование трехзвенных зубчатых механизмов
335, ад 15т7 лиг, t/r 6,92 лиг 339, £ = L75.
336. Ле0 = 163 мм. 340. hrij -_^ 64 лиг.
337, е= 1,66. 341. 11' 6.85 .чл,
338. е ±= 1,95. 342. 4'В 9,0 л<л.
343. се^ = 22=50'; Л\ = 102 .wj/. В — 153 л?.ч.
344. flL4= 100 мм, R, = 150 лиг; 6^ 33’ 40',
345. А\ 100 мм. - 150 лмд 6 = 41’,
§ 23. Проектирование одноступенчатых планетарных
зубчатых передач
346. г, = 20, г2 = 25, л, = 70, k — 3, 20 лги, В — 25 jmjr /<;i = 70 .им,
347. 7, 18: = 27, г3 — 72ъ k — 3, 7?j 18 xu. = 27 л:.7, 7?, — 72 мм.
348. ?f — 16, г2 = 32. 23 — 80, k 4t 7?( = 16 мм, R? 32 лги, R3 Й0 лиг.
349. ?t = 16, г, 40, = 96, А? = 2, 16 /?., _- 40 /?3 96 ло*.
350. 2l = 15, г» = 15, -= 105т V 3, ~^= 15 мм, А6 — 45 мм, 7?$
= 105 ли?.
§ 24. Проектирование кулачковых механизмов
351. См. чертеж: МВ twn \ 7 л \ 7 В. К ответу 351. 352. С>]. черте яс . В\ Д4 мВА\ \ М 'В / \/ \/ ч. 1 К ответу ^а.^чи 352.
353.
Л У HO/IC'Xv- «ля ! 1 4 <3 6 /
Угол давления 1 -2!Р10‘ 23°15' 16С35' 1-Г25' 1Г30'
354,
№ положения 1 1 ] 1 3 ! 4 i 5 i 1 6 7
гол Д£4в. нч:ип: I сню' 1 19Сг05' 28с33' 3PW 6310' OW
355, г;1 = 40,5 ,iMi. 363. rQ 5= 179,4 ля.
356, 1 = 1217 ш«. 364. q = 3,6 Н-ММ.
357. Da — 92 лл. 365, 7 = 0,2 нм! рад.
358, а = 14'20". 366. R. = 44 мм, Ф = 30*.
359. о = 62 лги. 367. /? - 29,4 мм, Ъ = 69’.
360, а = 20°, 368. /? = 45,3 л.м} ft = 4240'
361. 362, гп 33,6 лги, ^г» 67,2 дм/. 369, Я - 56 мм.
Глава шестая
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
§ 25. Задача о существовании кривошипа
370, tliC > iAB.
3/ L
372, Сможет,
373, Не сможет.
3/41 Lab ,4С'
375, Звено 5 повернется на угол 350"»
376, Повернется на угол 360\
377, Не может существовать.
§ 26, Задача о положениях
378, /др = 40,5 мм, lsc — 111,5 мм.
379, I = 49 дм/, = 120 мм.
380. I = 75 лев, _ 225 ,ад, /д0= 259,5 шг.
381, lAS = 21,5 шл /вг = 46 хк,
382. lCD — 174 C1D— 385 ,им, звено А5 поворачиваться па полный
оборот не может.
383, .V = 127 шг, у = 16 мм.
384, = 25 мм.
385. 1аг = 160 лмг, 1гп — 60 мм.
’1‘зшах = 62°.
Перевод единиц МКГСС (технической)
в единицы системы МКС (СИ)
! 1 I-i ,JC Обоз на че- н: и е Размерность Перевод
ли<гсс см
) Д.-пша ! ,и
• > и Время { LA’-V fi-'jT
•_| Сила р А Kc'.tt .l'i'X2 3 лТ = 9,51 и
4 А^ссй т кГ/.z-1 ке 1 кГс:^№.'Л2. = УкЙ ] кг
5 Момент ниерции ,г:ГЛ||С'К:5 1 = 9,81 кел?
Ч • Работа .4 л/'лг Г? & =: и;} 1 «/> = 9 81 Зле
Мощность ИЛИ ГС >:Г,4'/с?к ял — дж.'сик 1 кЛйД-!;к= 9,81 £tr?t
251
Приложение 1
Таблица значений эвольвентной функции inv =tgа— а
Угол а 1 Порядок 0,0' 10' 20' 30' 40'
20= 0,0 149 153 157 161 165 169
21° 0,(1 173 178 182 187 191 196
22° 0,0 200 205 210 215 220 225
23° 0,0 230 236 241 247 252 258
24° 0,0 263 269 275 281 287 293
25° 0,0 300 306 313 319 ого 333
26° 0,0 339 346 353 361 368 375
27° 0,0 383 390 398 406 414 4^2
2^ 0,0 430 438 447 455 464 473
29= 0,0 482 491 500 509 518 529
30° 0,0 537 547 557 567 577 588
31° 0,0 598 608 619 630 641 652
З'Р 0,0 664 675 686 693 710 722
33° 0,0 734 747 759 772 785 798
34° 0,0 811 824 838 851 865 879
Зд'1 0,0 893 90S 922 937 951 967
36= 0 098 100 101 103 1045 1 Об
37* 0 108 109 111 113 1143 116
38= 0 118 120 122 123 1’25 127
39= 0 Г29 131 133 135 137 W
40° 0 141 143 145 ! И7 149 | 131
П рилож&ше 2
Таблица значений cos а
Угол и 1 ЮРЯ2ОН 0/1' 10' i i 1 i da' 5й‘ CO'
20= 0 940 939 938 937 936 935 -434
21 = 0 634 932 931 930 929 928 927
22е 0 927 926 925 924 923 922 920
23° 0 920 919 918 917 9'6 915 913
Qjo 0 913 912 911 910 909 907 чоб
25= 0 9(76 905 904 903 901 900 899
26= 0 Ш 897 896 №5 8.94 892 891
27° 0 891 890 888 887 886 884 883
28° 0 883 882 880 879 877 876 S75
29° О 875 873 872 870 869 867 866
30е 0 866 86x5 863 862 S60 859 857
255
Приложение 3
Условные обозначения, принятые в тексте
(обозначения, относящиеся к зубчатым передачам, см. на стр. 236)
йГд. — ускорение точки.
ДВ — отрезок АВ.
BCD — звено, соединенное с тремя звеньями в кинематические пары.
Dfl - диаметр окружности, относящийся к звену с номером k.
(iff — диаметр цапфы вала с номером fe.
е — эксцентриситет.
f— коэффициент трепня скольжения,
Н — водило (поводок) планетарного и дифференциального механизмов.
— передаточное отношение от звена с номером k к звену с номером I.
Iк — момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку k.
/п — приведенный момент инерции.
k — число заходов резьбы червяка.
Л' — коэффициент увеличения скорости ведомого звена механизма»
& — коэффициент трения качения.
— длина звена с номером k.
—длина звепз &£
тп — приведенная масса.
Л4И —момент сил инерции.
Мд — приведенный момент движущих сил.
Мс — приведенный момент сил сопротивления.
Л4у — момент уравновешивающей пары сил,
пр, — число оборотов в минуту звена с номером k.
N — мощность в ваттах.
Рл — приведенная движущая сила.
Л, — сила инерции,
F[if, — сила инерции звена с номером k.
— сила, действующая на звено с номером k,
Рп — приведенная сила.
— приведенная сила сопротивления.
Ру — уравновешивающая сила.
г — радиус ролика на толкателе э кулачковых механизмах.
— путь, проходимый точкой В.
/ — время в секундах.
Т — кинетическая энергия.
Qft — сила тяжести в ньютонах звена с номером k.
хх, УУ— прямые х/, yy...t направляющие хх, уу.
х, у — координаты точки.
zft — 415 ело зубьев зубчатого колеса с номером Ак
to. — линейная скорость точки А'.
ct — угол давления.
ct — угол подъема винтовой линии.
6 — угол между осями валов конической передачи,
й — коэффициент неравномерности движения.
— угловое ускорение звена за номером k.
е — коэффициент перекрытия,
Ц* — масштаб величины k.
— угловая скорость звена с номером /г.
— радиус кривизны кривой в точке А-
— угол наклона звена с номером k к стойке или к осп,
т| — коэффициент полезного действия.