^3
s
IS
3
^3
в помощь
АБИТУРИЕНТАМ
И СТУДЕНТАМ
В.П.СУПРУН
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
повышенной
сложности
по математике
■^з
1одьа
sin а (Ч+яУИ+ГМ

в помощь
АБИТУРИЕНТАМ
И СТУДЕНТАМ
В.П.СУПРУН
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
повышенноп
сложности
по математике
В
МИНСК
«ПОЛЫМЯ»
1998

УДК 51 (076.1) (075.4)
ББК22.11Я729
С 89
ISBN 985-07-0233-8
О В. П. Супрун, 1998

ОТ АВТОРА
При решении задач, предлагаемых на
вступительных письменных экзаменах по
математике, могут быть использованы любые
известные абитуриентам математические
методы. При этом разрешается пользоваться и
такими, которые не изучаются в
общеобразовательной школе. Как правило, применение
«нестандартных» методов позволяет более
эффективно решать многие задачи
повышенной сложности
Многолетний опыт работы автора с
абитуриентами, а также анализ задач,
предлагаемых на вступительных экзаменах по
математике в Белгосуниверситете и в
Белорусском государственном экономическом
университете на протяжении последних лет,
свидетельствует о необходимости
самостоятельного изучения абитуриентами
математических методов, в основе которых лежат
понятия и положения, не входящие в
программу по математике общеобразовательной
школы. К таким понятиям относятся,
например, неравенства Коши, Коши—Буняковского
и Бернулли, бином Ньютона п-й степени, а
также метод математической индукции.
В настоящем учебном пособии
представлено более 100 задач, решение которых осно-

вано на применении указанных выше
неравенств и метода математической индукции.
Некоторые уравнения, неравенства и
тождества эффективно решаются на основе
выделения полного квадрата или применения
тригонометрической подстановки.
В подготовке настоящего учебного
пособия к печати активное участие принимал
инженер-программист Белорусского
государственного экономического университета
Андрей Максимович Седун, за что автор
приносит ему глубокую благодарность.

ПРИМЕНЕНИЕ
НЕСТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Многие задачи повышенной сложности (из
различных разделов математики) эффективно решаются с
помощью неравенств Коши, Бернулли и некоторых
других, с которыми выпускник школы не всегда бывает
знаком.
Рассмотрим наиболее важные из них.
Неравенство Кошв. Пусть а\ £ 0, а2 ^ 0>..., а* £ 0.
Тогда имеет место
а\+а2 + '"+ак ^tl /1ч
где кЪ.2. Причем равенство в неравенстве Коши
достигается лишь в том случае, когда а\ = а\ = ... = я* •
В частности, если к = 2, то (1) принимает вид
^р-*^. (2)
Если положить а\-а ио2=-,тоиз(2) получаем
а
а + -*2, (3)
а
где а>0.
Нетрудно установить, если а < О, то
fl + i^-2. (4)
а
5

Неравенства Бернулли. «Классическое»
неравенство Бернулли формулируется следующим образом: для
х> -1 и произвольного натурального п имеет место
(} + х)п7>\ + пх. (5)
Причем равенство в (5) достигается при
х = О или w = l.
Кроме (5) существует еще и более общее неравенство
Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если р < О или р > 1, то
(\ + x)pZ\ + px, (6)
если р < О < 1, то
(\ + х)р<\ + рх, (7)
где х>-\.
Следует отметить, что равенства (6), (7) имеют место
лишь при х = 0.
Неравенство Коши—Буняковского. Имеет место
(*1У1+*2Л+-+*и>и) *
*(*? +*2+-+*л)[Я +У2+-+Уп) • (8)
Равенство (8) достигается в том случае, когда
2 2
х, = а >>, , где а — некоторая положительная
константа и / = 1,2,..., п.
К задачам повышенной сложности относятся также
задачи на решение уравнений и неравенств с модулями.
Определение. Пусть а — некоторое действительное
число. Тогда
{а, если я^О;
-а, если а<0.
Из приведенного выше определения следует, что если
|а| = |£|,то а = ±Ь.
6

Задачи на решение неравенств с модулями можно
решать обычным примером — "раскрытием" модуля.
Однако при таком способе поиска решения часто
приходится рассматривать много случаев. Более того, "раскрытие"
модуля иногда сопряжено с техническими трудностями.
Упростить решение задач на решение неравенств с
модулями позволяет использование следующих
утверждений:
1) Неравенство |/ (х)\ й g (х) имеет место тогда и
только тогда, когда
2) Неравенство |/ (х)\ £ g (х) имеет место тогда и
только тогда, когда
7(*)М*>
_/(х)«-*(х>
3) Неравенство \/{х)\ < \g[x)\ имеет место тогда и
только тогда, когда
или
f(x)<-g{x).
' f(x)sg(x),
' f(x)ZL-g(x)
В тригонометрических преобразованиях, в частности,
при решении тригонометрических уравнений и
неравенств иногда бывает полезным представление
выражения as'mx + bcosx посредством формулы
asinx + bcosx = \a +b sin(x + fi>), (9)
где вспомогательный угол со определяется
соотношениями
Ь а
smct) = —===, cosco-
Ja2+b2 ' Vfl2 +

с точностью до слагаемого 2л п (где п = 0, ± 1, ± 2,...).
В частности, имеет место sinx+cosjt=v2sinl х+— I.
Обратим внимание на следующую формулу для
вычисления вспомогательного угла со, которая не
приводится в школьных учебниках, однако является весьма
полезной для решения тригонометрических задач.
Имеет место
arccos —===, если b 2.0;
0) = <
£*+*' do
- arccos —== , если Ь<0.
<№7.
При решении логарифмических уравнений и
неравенств в ряде случаев можно посоветовать применять
известные формулы логарифмирования в несколько
иной форме, а именно:
bgaJfy = loga|x| + lc)ga|^, (11)
Jogfl- = logflH-logeW, (12)
logfl хр = /?loga|jc| (р — четное). (13)
При использовании формул (11), (12) возможность
потери решений исключена, однако могут появиться
посторонние корни. А вот в формуле (13) области
допустимых значений обеих частей равенства совпадают.
Поэтому при использовании формул (И), (12)
необходимо обязательно осуществлять проверку получаемых
решений.
8

ЗАДАЧИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ
НА ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНАХ
ПО МАТЕМАТИКЕ
УСЛОВИЯ
1. Доказать, что при любом натуральном л число
с5л+1 ,д5и+2 , -£п
делится на 11.
2. Разложить на множители многочлен л + л +1.
3. Доказать, что
13 5 99 1
— X —X — X •■•X < .
2 4 6 100 10
4. Вычислить сумму
1 1 1
+ + + ••• +
1x5 5x9 9x13 (4л-3)(4л+ 1)"
5. Вычислить сумму
1х2 + 2хЗ+--+(л-1)л,
где л £ 2.
6. Доказать, что при любом натуральном значении л
(л £ l) число 4й +15л -1 делится на 9.
7. Доказать, что если а>0, Ь>0, с>0и аг+^+сг=:1,то
8. Пусть а, Ъ - положительные числа и сг +Ь =сг +1г.
Доказать, что
а2+Ь2 £\ + аЬ.
9. Доказать, что при любых целых положительных л
число 25и+3 + 5"3И+2 делится на 17.
10. Доказать, что для любых натуральных л число
32и+3 + 40/1 _ 27 делится на 64.

11. Доказать, что для любых натуральных п число
5И(5" +l)-6"(3" +2") делитсяна91.
12. Доказать, что 44а +1 + J4b +1 + -J4с +1 < 5 при
условии, что
а+Ь+с=\ и 4а + 1*0, 4£ + 1£0, 4с + 1*0.
13. Доказать, что если х, у, г — действительные
числа, удовлетворяющие равенствам
x + y + z = 5 и ху + xz + yz-%,то
7,7 7
3 3 3
14. Пусть а + А + с = 1. Доказать, что
15. Пусть для неотрицательных чисел а, 6, с выпол-
2 2 2
няетсяусловие а +Ь +с =\. Доказать,что
fl + Z> + c^V3.
16. Пусть —+—+—= . Доказать, что для не-
а Ь с а+Ь+с
четных натуральных п выполняется равенство
111 1
■ + — + — =
а о с a +D +с
8 2
17. Разложить на множители многочлен х +4х + 4.
18. Доказать, что если х\, *2» *3» —
положительные числа, то
JC2 + *з *3 + *1 *1 + *2 ^
19. Доказать, что для любых положительных чисел а
и Ь выполняется неравенство
10

20. Доказать, что если а £ 0, £2:0 и с £ 0, то
2а 2Ь 2с ^ _
Ъ + с с + а а + Ъ
21. Доказать неравенство
с? + Ь3 + с3 + d? £ abc + abd + <aro/ + bed,
где а£0, bZ0, с£0, ¢/£0.
22. Доказать, что для любых действительных чисел
а],<2Г2»• • ■»ап и ^1»^2»• ■ ■»Ьп» удовлетворяющих
условиям
а\ + а\ + • • • + а\ -1 и b\ + b\ + • • • + ^ = 1,
справедливо неравенство
Hl^l + а2^2 + "' + ап^п | ^ 1 •
о с 2
23. Доказать, что многочлен х -х + х -х +1
положителен при всех действительных х.
24. Вычислить */2 + ^2 + ^2 + --- !
25. Доказать неравенство
/ / /-' 1 + V4a +1
\Ja + -Ja + --- + yja < ,
v 2
где а > 0.
26. Доказать, что при любых действительных х, у
имеет место неравенство
х2 + 2ху + Зу2 + 2х + ву + 4 £ 1.
27. Доказать, что
2а 2£ 2с
Ь + с с + а а + Ь
где а£0, 6^0 и с£0.
*3,
11

28. Доказать, что для любых а £ О, 6^0, с £ 0
выполняется неравенство
а Ь с ^ 3
+ =- + =-£-.
\+а2 1 + Z>2 1 + с2 2
29.Доказать,если a+b+с^З и а^О, 6^0, с^0,то
а Ь с ^ 3
+ + £-.
fl + 1 Z> + 1 с+1 2
30. Доказать, что если а 2.0, 6^0, с £ 0, то
Т
fl + A + с /а2 +Ь2 +
~^~SV Г"
31. Доказать, что положительный корень уравнения
х + х = 10 является иррациональным числом.
32. Решить уравнение
(х2+2х-\\ + 2х2+3х = 3.
33. Решить систему уравнений
\%ху
х + >>
1 + дгу = — #
, 2 2 208*V
х + у
\
34. При каких значениях параметра а система
\х-у = а(\ + ху),
[2 + х + у + ху = 0
имеет ровно одно решение?
35. Решить уравнение
V*2-9jc + 24-V6x2-59*+149=|5-jc|.
12

36. Решить систему уравнений
x-y + z = 6,
x2+y2+z2 =14,
*3-v3+z3=36:
37. Решить уравнение
Vа - Vfl + Jc = х.
38. Решить уравнение
V*2 +х-\+\х-х2+\=х2-х + 2.
39. Решить уравнение
40. Решить уравнение
х4 -lx2 +2jc + 2=|4jc-1|-|2jc2 -з|.
41. Решить уравнение
VT^+Vf+^+^i-*2 +#i+x2 =4.
42. Решить уравнение
vr^i+</m=4.
43. Решить уравнение
*2
+
3 + V9 х2 4[з->/9-х2]
= 1.
44. Решить в целых числах систему уравнений
Гдс2=>-1|
**-*-!,
г' =*-1.
45. Решить уравнение

46. Решить уравнение
47. Решить уравнение
Ах2 +12* + 12л*"1 +4х~2 = 47.
48. Решить уравнение
V5x + 7-1l5x-\2=\.
49. Решить систему уравнений
<
yz + zx = 9y
zx + xy = 5.
50. Решить уравнение
**, tix\-AO.
(х + 9)2
51. Решить неравенство |х-1| + |х-2|> х + 3.
52. Решить уравнение
X3
2 1
+ JC + х =—.
3
53. Решить уравнение
х^у-\ + y>lx-\ = ху,
54. Решить уравнение
\5x-l
Рт-1-
где через [а] обозначена целая часть (антье)
действительного числа а.
55. Решить в положительных числах систему
х2+у2 +z2=14,
xy + xz + yz = И,
xyz = 6.
14

56. Решить систему уравнений
х у z ^
- + - + - = 3,
у Z X
У 2 X
-- + - + - = 3,
X у 2
х + у + z = 3.
57. Решить систему уравнений
хъу + хъу2 + 2*У + х2уъ + *У3 = 30,
<
х2у + ху + х + у + ху2 =11.
58. Решить уравнение
2хА + 2>>4 = 4ху — 1.
59. Решить систему уравнений
x + y + z = 0,
— + — + - = 0.
60. Решить систему уравнений
^+1 = 2^,
у2 -1 = 2xzyj\-4yz.
61. Решить систему уравнений
zx = >> + 2,
х + 2 = 2у[у^[х-у1у + ^.
62. Решить уравнение
V7^5-V2x-l=x2+3.
63. Решить уравнение
V2-Jt+Jt-3 = Vjt-l .
64. Решить неравенство
<J\-x>2x + %.
15

I:
65. Решить систему уравнений
ху + х + у=\,
yz + у + г = 5,
[XZ + X + 2 = 2.
66. Решить уравнение
>/Г^1 + л/^Т = 2 + (*-.у)2
67. Решить систему уравнений
x-Jy = \,
< y-.Jz = \,
2-у[х=\.
68. Решить уравнение
Vl7-*2 =(3-V*)2.
69. Решить систему уравнений
Здс — v „
х + -=—4г = 3,
2 2
х +у
х + Зу
2 2
х* +у*
= 0.
70. Решить уравнение
X+V3+V* =з.
71. Решить уравнение
Vl-*2 = 4*3-3*.
72. Решить уравнение
-JT^ = 2x2 -\ + 2xJ\-x2 .
73. Решить неравенство
х + у2 + ^х-у2 -1 £1.
74. Решить уравнение

75. Решить уравнение
£±i+!kiMELi!,io.
76. Решить уравнение |лс -1| + |б - 2х\ = 5.
77. Решить систему уравнений
\2х2-3ху + у2=3,
[х2+2ху-2у2 = 6.
78. Решить уравнение
Jx-2+j4-x=x2-6x + \\.
79. Решить уравнение
(х-2)6+(х-4)6=64.
80. Решить уравнение
^ГЛ+ ^ + 3 + 2^-1)(^ + 3)=4-2^
81. Решить систему уравнений
[Jx + Jy+l =1,
|у*+1+VJ=1-
82. Решить уравнение
4,gJC-32 + *,g4=0.
83. Решить уравнение
6*-2* =32.
84. Решить систему уравнений
2*+3*=5>;
2^+3^ =5Z,
2Z+3Z=5*.
85. Решить неравенство
3*+4*-9|-8иЗ*-4*-1
-и
17

86. Решить в целых числах уравнение
x = lg(9x+l).
87. Доказать, что
lpgi7 19 > lpg19 20.
88. Доказать, что
lg(w + l)> — —.
п
89. При каких значениях а уравнение
1о8з(9* +9а3\ = х
имеет два решения?
90. Решить уравнение
91. Решить уравнение
lg(jc+10) + ilgjc2 =2-lg4.
At
92. Решить систему уравнений
J_
,(х + у)*-у =2>/3,
(^ + ^)2^=3.
93. Решить систему уравнений
210^4^+1^2.^=-1,
2^4^-^0,2^ = 5.
94. Решить уравнение
31g(*2)-lg2(-*) = 9.
95. Решить уравнение
9^+6^=22^1.
96. Решить уравнение
V а - Vfl + jc = х.
18

97. Решить уравнение
cos6x + sin—х-2.
2
.-1
.-1
98. Решить уравнение sin" х - sin 2х = sin" Лх.
п
99. Доказать, что для любых х(хФ —к, к
число) выполняется неравенство
целое
'1+-т-](1+—У"]*9
\ sin ху \ cos х/
sin" ху v COS X*
100. Доказать, что для любого действительного х
имеет место
ьсов2* / ч \sin2x 1 ->
(sin х) + (cos х\
£l + -siir2x.
2
101. Решить уравнение
sin* + 2 sin2x = 3 + sin3x.
102. Решить уравнение
sin х + cos х - a sin4x.
103. Решить систему уравнений
1
sin;ccos>> = —,
1
cos* sin >> = —.
104. Решить систему уравнений
4sinjt-2sin>> = 3,
2cosx-cos>> = 0.
105. Решить уравнение
cos* + cos .у = — + cos(x + у).
106. Доказать, что если Л + 2? +С =/г, то
sin А + sin В + sin С £ —.
19

107. Решить уравнение
2 + 2 (sin>> + cos .у) sin х - cos 2*.
108. Решить неравенство
(з -cos2 Jc-2sin*Wlg2.y + 21g.y + 4^^3.
109. Решить неравенство
(sin2(jc + >) + 2s^Jc + >>) + 2)log2(3*+3-*)<n.
110. Доказать, что если А + В + С = я, то
(sin|) +(sin|) +(sin|) *6.
111. Доказать, что если Л + 2?+С =/г, то
8 cos Л cos Я cos С <, 1.
112. Доказать, что если Л + 2? + С =/г, то
tg2i4 + tg25 + tg2C^9.
ИЗ. Доказать, что если А + В + С = — ,то
At
tg2A + tg2B + tg2CZ\.
114. Известно, что C0Si4 = tgB, cosi?=tgC,
cosC = tg/4 и A,B,C б( 0,—J. Доказать, что
sin А - sin В - sinC = .
2
115. Доказать, что
(а2 +Ь2 +с2)(л2 +¾2 + /i2)*36S2,
где а, Ь, с — стороны треугольника; Ла, fy, /¾. —
высоты треугольника, опущенные на эти стороны; S —
площадь треугольника.
116. Доказать, что для выпуклого четырехугольника
ABCD справедливо неравенство
20

a2+b2+c2+d2
SABCD * 7 »
где a, b,c,d — длины его сторон.
117 Найти конус наибольшего объема, образующая
которого равна L.
118. В треугольнике сумма квадратов длин сторон
равна т , а сумма их четвертых степеней п . Найти
площадь треугольника.
119.Доказать неравенство a +b +с < 2 (l -abc\,
где а, Ь, с — длины стороны треугольника, периметр
которого равен 2.
120. Медиана ВК и биссектриса CL треугольника
ЛВС пересекаются в точке Р. Доказать равенство
PC АС
PL ВС~
121. Диагонали делят трапецию на четыре
треугольника. Пусть S — площадь трапеции, S\> S2 —
площади двух треугольников, которые примыкают к
основаниям. Доказать, что
122. Найти наибольшее значение функции
123. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
f(x,y) = 6s\nxcosy + 2s\nxsmy + 3cosx.
21

РЕШЕНИЯ
1. Первоначально выполним следующее
преобразование заданного выражения:
55л+1 + 45"+2 + 35л =5(3125)" + 16(1024)" +(243)" =
= 5 (l 1 х 284 + l)" + 16 (l 1 х 93 + l)" + (11 х 22 + l)".
Принимая во внимание бином Ньютона /i-й степени,
можно записать: (jc + l)" = Ах + 1, где А — некоторое
целое число. Тогда приведенное выше выражение
принимает вид 112? +5+ 16+ I = 11С, где В и С —
некоторые целые числа.
2. Решение этой задачи заключается в "отгадывании"
слагаемых, которые необходимо прибавить и вычесть из
заданного выражения. Имеет место
л5 + л +1 = л5 - л2 + л2 + л +1 =
= /!2(/!3-l) + (/!2+/!+l) =
=л2(л-|)(л2+л+1)+(л2+л+1] =
= (/I2 +/I+lW/!3 -Л2 + l).
13 5 99
3. Обозначим — х — х - х ■ ■ • х через х. Далее име-
2 4 6 100 У
ют место следующие неравенства:
J.23456 99 100
2 3 4 5 6 7 100 101
2 4 6 100
Отсюда легко следует, что х < — х — х — х • • • х -—-.
Умножим левую часть неравенства на х, а правую ее
часть — на численное значение х. Тогда получаем
2 1 3 5 99 2
X <—X —X—Х---Х X —X
2 4 6 100 3
22

4 6 100 1 1
X —X —X ---x = < .
5 7 101 101 100
Таким образом, x < и x < —.
"^ 100 10
4. Обозначим требуемую сумму через S. Представим
каждое из слагаемых заданной суммы посредством
разности двух дробей, т.е.
j-oifi-i) _L=if'-i)
1x5 4V 5^*5x9 4^5 9)
-1..1(1-1) ! =
9x13 4\9 Ш (4л-3)(4и + !)
4U/I-3 4/i + lJ
В таком случае
c \(t 1 1 1 1 1 1 \ Л
S = -\ 1-- + + + ••• + =
4^ 5 5 9 9 13 4/1-3 4/i+lJ
Л(,-_!_)._»_.
4 V 4/i + V 4/1+1
5. Обозначим искомую сумму через Сп, а через Sn
обозначим сумму 1 + 2 + • • • + п. Тогда
Сп =(2 + 3 + 4+-+ п) + (3 + 4 + --- + /1) +
+ (4 + • • • + /i) + • ■ • + (/i -1 + /i) + /i =
= Sn - S\ + Sn - S2 + Sn -
- S3 + • • • + Sn - Sn_2 + Sn~ Sn-\ =
= (/1-1)¾ -(5, +¾ +S3 +••• +V2 + Vl)-
Известно, что Sn =-/i(/i+1) =-(/r +/i]. В таком случае
C„=-(/i-l)/i(/i + l)--(l2 +22 +32 +-. + (/1-1)2 +
+ 1 + 2 + 3+-- + /I-1).
23

Также известно (см. пример 124), что
l2+22+... + /i2=I/i(/i + l)(2/! + l).
6
Тогда С„ =i(/i-l)/i(/i+l)-
-1Ц(Л_1)Л(2Л_,) + 1(П-,)И) =
/I - 1 [ 2 2/1 - /I /I
= /Г + /!
2 1 6 2>
(/i-1)(6/i2+6/i-2/i2+/i-3/i) /i(/i2-l)
12 3 "
6. Рассмотрим бином Ныотона /t-й степени вида (x+l) ,
где /1^2. Очевидно, что
(* + l)" = *2Л + /»+1,
где Л — некоторое положительное целое число,
зависящее от /I. В таком случае можно записать:
4"+15/i-l = (3 + l)"+15/1-1 =
= 9А + 3/1+ 1 + 15/1 -\ = 9А + 18/1.
Очевидно, что заданное выражение кратно 9.
7. Имеет место 1 = а2 +Ь2 +с2 =-а2 +Ь2 +-а2 +с2.
2 2
Применяя неравенство Коши (2) к первой паре
слагаемых и ко второй, получаем
\*2J-a2b2 +2J-a2c2 =j2ab + j2ac.
/ ^2
Отсюда следует, что а (Ь + с) £ —.
At
8. Доказательство неравенства будем вести методом
от противного. Предположим, что a +b >\ + ab. Ум-
24

3 3
ножим обе части неравенства на о и b . Тогда
получим аЧа2+Ь2)>а3(\ + аЬ) и ьЧа2+Ь2)>Ь3(\ + аЬ).
Отсюда после сложения неравенств получаем
а5 +а3Ь2 + а2Ь* +Ь5 >аъ +а4Ь + Ь* +аЬ*.
я я s s
Так как по условию a +b = a + b , то
аЪЬ2 + а2Ьъ > аАЬ + аЪА, а2Ь + ab2 > с? + ЬЪ,
fl*>fl2-fl* + *2,(fl-*)2<0.
Из полученного противоречия вытекает доказываемое
неравенство.
9. Выполним следующие преобразования:
25я+3 + 5Я3Я+2 = 8 х 32я + 9 х 15я =
= 8(l7 + 15)"+9xl5"=17y4 + 8xl5"+9xl5" =
= 17Л + 17х15"=17Д,
где А, В — целые положительные числа.
10. Имеет место 32и+3 + 40л - 27=27 х 9" + 40л - 27 =
= 27(8 + 1)"+40л-27 = 27(б4Л + 8л + 1) + 40л-27 =
= 64Д + 216л + 40л = 64Д + 256л,
где А, В — некоторые целые положительные числа.
Очевидно, что полученное выражение кратно 64.
11. Покажем, что исходное выражение при любых
значениях л кратно 7 и кратно 13. Так как числа 7 и 13
простые, то отсюда будет следовать, что заданное
выражение делится на 91 при любом натуральном л.
Имеетместо 5"(5" + l)-6"(3" +2")=25и +5" -18я-12".
Рассмотрим два преобразования:
1)25"+5"-18"-12" =
= (7 + 18)" +5" -18я -(7 + 5)" =
= ТА +18" + 5" -18" - ТВ - 5" = ТА - ТВ,
где А, В — некоторые целые положительные числа;
25

2) 25я +.5" -18я -12" =
= (13 + 12)" + 5Я-(13 + 5)Я -12" =
= 13С + 12Я+5Я-13Я-5Я-12Я = 13C-13Z),
где С, D — некоторые целые положительные числа.
Так как исходное выражение кратно 7 и
одновременно с этим кратно 13, то оно будет кратно 91.
12. Используя неравенство Коши (2), получаем
i /т ^—г 4а+ 1 + 1 4а + 2 Л
V4a + l=V(4a + l)xl£ = —— = 2а + 1,
V4* + l £2Ь + \ и V4c + 1^2c + l.
Отсюда следует, что
V4fl +1 + V4* +1 + V4c +1 ^
£2а + 1 + 2£ + 1 + 2с+1 = 2(а + £ + с) + 3 = 5.
Осталось доказать строгое неравенство. Известно,
что неравенство Коши (2) превращается в равенство при
а\ =а2. Очевидно, что в данном случае для получения
равенства необходимо, чтобы 4а +1 = 1, т.е. а - О.
Аналогично Ь = 0 и с = О. Однако такого быть не
может, поскольку по условию a + b + с = 1.
13.Из первого равенства получаем y+z-5-x.
Тогда из второго равенства получаем
yz + x(y + z) = &, yz = 8-x(5-x),T.e.
yz = *2-5x + 8. (*)
Далее, применяя неравенство Коши (2), можно
записать, что у + г £ 2-$yz . Тогда 5 - х £ 2^>z, т.е.
4yz£x2 -10х + 25. (**)
Из равенства (*) и неравенства (**) получаем
неравенство относительно переменной х:
4/jc2 -5jc + 8Wjc2 -Юх + 25.
26

Решаем неравенство Зх - 10х + 7 <, О и получаем
7
3
Повторив приведенные выше рассуждения для
переменных у и z, докажем требуемые неравенства
относительно у у Z.
14. Покажем два способа решения этой задачи.
1) Из неравенства Коши—Буняковского (8) имеем
l = lxa + lx£ + lxc£>/l2+l2 + l2.Va2+*2+c2 =
= SJa2+b2+c2 .
2 2 2^
Отсюда следует, что a + b + с £ —.
3
2) Из условия задачи имеем
1=(а + * + с)2 -a2 +b2 +с2 +2ab + 2ac + 2bc.
Однако известно, что
2аЬ<,а2 + Ь2, 2ас<,а2 +с2 и 2Ъс<,Ъ2 +с2
(эти неравенства, в частности, следуют из неравенства
Коши (2)). Следовательно,
1 £За2 + ЗЬ2 +3с2 и а2 +Ь2 +с2 * -.
3
15. Имеет место
(а + Ь + с)2 =а2 +Ь2 +с2 +2ab + 2ac + 2bc£
±а2 +Ь2 +с2 +(а2 +Ь2) + (а2 +с2) + (ь2 + с2) =
= з(*2+*2+с2) = 3.
При выводе данного неравенства использовалось
неравенство Коши (2).
Отсюда следует требуемое неравенство.
27

16. Преобразуем заданное равенство следующим
образом:
а + Ь 1 1
+ - =
аЬ с а + Ь + с
(c(a + b) + ab)(a + b + c) = abc,
c(a + b) + c2(a + b) + ab(a + b) + abc = abc,
(a + b)lc2 + (a + b)c + ab\ = 0,
(a + b)(a + c)(b + c) = 0.
Отсюда следует, что заданное равенство имеет место,
если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
a = -b, a--ct Ь = -с.
Пусть а = -Ь, тогда а" = -Ьп (так как п —
нечетное). В таком случае доказываемое равенство принимает
вид
J 1_ 1 _ 1 J_ = J_
Ь" Ьп сп Ьп-Ьп+с" сп с"1
т.е. равенство выполняется.
Аналогичным образом нетрудно убедиться, что
требуемое равенство будет выполняться при а = -с и при
Ь~-с.
17. Имеет место
х8+4х2+4 = (х4+2х2+2) -Ь.хЪ+2х\ =
= lx4 -2хг +2х2 -2х + 2\(х4 +2х3 +2х2 +2х + 2\.
18. Обозначим a = х2 + х$, b = х$ + Х\, с = х\ + х2.
_ b + c-a a + c-b а + Ь-с
Тогда х, =—-—, х2 =—- , хъ =—-—
и левая часть неравенства перепишется так:
b+c-а а+c-b а+Ь-с
+ +
2а 2Ь 2с
28

2\a b) 2\a c) 2\c b) 2
Каждая из скобок в этом выражении не меньше 2 в силу
неравенства (3) и поэтому вся левая часть не меньше
3 3
3— =-. Неравенство доказано. Следует отметить, что дан-
2 2
ное неравенство обращается в равенство лишь при а=Ь=с.
19. Для упрощения рассуждений обозначим а = х
и b = у . Тогда необходимо доказать, что
2х5+3у5?>5х2у3. (*)
Для доказательства (*) воспользуемся неравенством
Коши(1)при к =5,т.е.
,5 , w5 . ..5 . ..5 , ..5
Х- +Х-+У+У +у ^<Г 5„5..5..5..5
£ 1]xJxJyJyDy
5
Отсюда следует справедливость (*).
20. Прибавим к обеим частям неравенства число 6
следующим образом:
2я „ 2* - 2с 0^Л
+ 2 + + 2 + + 2*9.
Ь + с с + а а + Ь
Отсюда получаем неравенство, которое эквивалентно
заданному:
2(я + * + с)(—+ —+ —1*9. (♦)
V 'U + c с + а a + bJ W
Обозначим r = a + b, s = a + c и t = b + c. Тогда
неравенство (*) примет вид
(r+,+,)(I+I+I)a9. И
Однако неравенство (* *) доказывается весьма
просто. Для этого необходимо в левой части (* *) дважды
применить неравенство Коши (1) при к - 3.
29

21. Представим левую часть неравенства как
a3+*3+C3+<*3=V+*3+c3) +
+ I(o3 +i3 +d3) + I(fl3 +с3 +d3) + I(63 +с3 + </3).
Теперь для доказательства неравенства необходимо
четыре раза (по числу пар скобок) воспользоваться
неравенством Коши (1) при к = 3.
22. Покажем, что -1 £ а\Ь\ + аф1 +••• + апЪп £ 1.
Очевидно, что
0 0 О
Отсюда получаем
2 (fl^i + a-ib-i +••• + anbn)^
ъ „2 #.2 „2 1,2 „2 1,2 _ о
Следовательно имеет место
a\b\ + a-ib-i +■•• + апЪп £-1.
Теперь рассмотрим очевидное неравенство
(a, -bxf +(а2 -¾)2 + —+ (вц -*«)2 *°-
Отсюда по аналогии с предыдущим, получаем
неравенство
а\Ь\ + a-Jb-i + • • • + anbn £ 1.
Следовательно, доказано неравенство
\ахЪх +а2Ь2 +--- + fl„A„|^l.
Отметим, что требуемое неравенство можно легко
доказать, используя для этого неравенство Коши—Буня-
ковского (8).
23. Обозначим / (х) = х - х + х - х +1.
Очевидно, что при х £ 0 и х = 1 справедливо / (х) £ 1.
Рассмотрим два случая.
5 2
1) Пусть 0 < х < 1. В таком случае х < х и jc < 1.
30

Следовательно,
-х5 + х2>0,-х + 1>0и /(х)>х8>0.
2) Пусть х> 1. Тогда х8 > х5, х2 >х и /(х)> 1.
24. Обозначим х = д/2 + >/2 + V2 + • • • . Возведем обе
части уравнения в квадрат, тогда получим
х = 2 + у 2 + ^2 + ---. Отсюда следует квадратное
уравнение относительно х вида х - х - 2 = 0.
Решениями квадратного уравнения являются х = 2 и х = -1.
Так как х > 0, то х = 2.
25. Очевидно, что
уа + уа +''' + Vfl < \fl + Va + Ve + v •
Обозначим x = \fl + Ve + и возведем обе части
уравнения в квадрат, тогда получим уравнение
х =а + х или х -х-а = 0.
Полученное уравнение имеет единственное положи-
l + Vl + 4fl
тельное решение х = .
26. Рассмотрим правую часть неравенства. Имеет место
х2 +2ху + 3у2 +2х + 6у + 4 =
= х2 + 2х(у + \) + (у + 1)2 -(^+1)2 +3у2 + 6у + 4 =
= (х + >>+1)2-.у2-2.у-1 + 3.у2+6.у + 4 =
= (x + >>+l)2+2(.y+l)2 + l*l.
27. Введем новые переменные x=b+c, у=с+а, 2=а+Ь.
В таком случае 2n+2b+2c=x+y+2i 2а=-х+у+2, Ъ=х-у+2,
2с=х+у-2 и исходное неравенство можно записать как
-Х+у+2 Х-у+2 Х+у-2
31
*3. (•)
X V 2 V '

Из (*) легко получаем неравенство
у г х г х у ^- / v
— + — + — + —+ — + — £6. (**)
х х у у г г
Используя неравенство Коши (3), запишем
X у X 2 У 2
Отсюда непосредственно следует неравенство (* *).
28. Покажем, что г £ -. Если а - О, то неравсн-
ство выполняется. Пусть теперь а>0. Тогда
а
Отсюда, принимая во внимание неравенство Коши (3),
получаем приведенное выше неравенство. Так как
а ^ 1 Ь ^ 1 с ^ 1 к
=- £ —, г- £ —, г- £ —, то требуемое нера-
венство доказано.
29. Можно легко показать, что требуемое
неравенство равносильно неравенству
+ + £-. (*)
а + 1 *+1 с+1 2 w
Для этого преобразуем требуемое неравенство
следующим образом
а + 1-1 а+1-1 с+1-1 3
+ + £_,
а+1 £+1 с+1 2
s-f-U-UJ-lsl.
Vfl+1 *+1 c + lJ 2
Из условия известно, что а + Л + с £ 3 или
(а+ 1) + (^+ 1) +(с+1)^6. Последнее неравенство
разделим на а +1, затем на Ь + \ и с +1. Тогда получаем
систему неравенств
32

f 6+1 c+1
1+ + £
a + \
a + \
a + \
6 + 1
a + \
+ 1 + £
6+1
6 + 1
c + 1 c+1
+ 1*
a+\
6
6+T
6
c+f
откуда следует, что
1
6 + 1
c+U
^. 6+1 c+1 a+\
^3 + + + +
fl+1 a+\ b+\
c+1 fl+1 6 + 1
+ + +
M
6 + 1 c + 1 c+1
Поскольку, согласно неравенству Коши (3), имеем
6+1 д+1 . с+1 л+1 . 6+1 с+1 -
+ £2, + £2 и + £2,
а+\ 6+1 а+\ с+1 с+1 6+1
то из (* *) получаем неравенство (*).
30. Доказательство неравенства будем вести методом от
противного. Предположим, что при некотором наборе
неотрицательных чисел я, 6, с доказываемое неравенство не-
fl+6+C
верно, т.е. выполняется неравенство
>
J+b2+<?
3 К 3
Возведем обе части неравенства в квадрат, тогда
(^)
я2+62+с2
Отсюда получаем (а + 6 + с) > 3 [а + 6 + с ],
з(а2 +62 + с2)-(д + 6 + с)2 <0,
\1а2 +62 + с2)-(д2 +62 +с2 + 2д6 + 2ас + 26с)<0,
2д2+262+2с2-2а6-2дс-26с<0,
(я-б)2+(д-с)2+(б-с)2<0.
2 Зак 328
33

Очевидно, что полученное неравенство неверно,
поскольку сумма квадратов не может быть отрицательным
числом. Полученное противоречие доказывает
требуемое неравенство.
31. Для положительного значения х левая часть
уравнения возрастает с возрастанием х и нетрудно заметить,
что при х - 1,5 она меньше 10, а при х - 1,6 — больше
10. Следовательно) корень уравнения х лежит внутри
интервала (1,5; 1,6). Предположим, что корень х является
рациональным числом. Тогда представим X в виде
несократимой дроби —. В таком случае уравнение принима-
Ч
ет вид р + pq =10g . Так как — — несократимая
Ч
дробь, то отсюда следует, что р — делитель 10. Это
означает, что р равно одному из чисел 1, 2, 5, 10.
Однако, выписывая дроби с Числителями 1, 2, 5, 10,
убеждаемся, что ни одна из них не попадает внутрь интервала
(1,5; 1,6). Полученное противоречие свидетельствует о
том, что положительный корень уравнения —
иррациональное число.
32. Представим уравнение в следующем виде
(*2+2*-l) +2(jt2+2*-l)+l = jt + 2.
Так как левая часть уравнения представляет собой
полный квадрат, то отсюда получаем
1х2 + 2х) = х + 2 и *i = -2.
После сокращения обеих частей уравнения на х + 2
3 2
имеем кубическое уравнение х + 2х -1 = 0, корнями
которого являются значения
34

*2=-1 И *з>4=-(-1±>/5).
33. Преобразуем систему уравнений следующим
образом:
(1 + ху)(х + у) = 1^
ху
(\ + х2у2)(х2+у2)_
х2у2
208.
Отсюда следует, что
(± + l)(* + ,)--18,
(^ + 1)(х»+/)-2Л
х + - + у + — = 18,
х у
х2 +-т + У +-у = 208.
Введем в рассмотрение новые переменные а и b
следующим образом:
сг = дсн— и Ь = у + —.
х у
После этой замены получаем систему уравнений
а + 6 = 18,
а2 +Ь2 =212.
Нетрудно установить, что решением этой системы
являются две пары чисел а = 4, 6=14 и а = 14, Ь = 4.
35

Следовательно, нам необходимо рассмотреть две
системы уравнений относительно хну следующего
вида:
1)
2)
1 .
х + - = 4,
дс
^ + - = 14,
У
х + - = 14,
дс
1 ,
у + - = Л,
У
т.е.
т.е.
х2-4х + 1 = 0,
у2 -Uy+ 1 = 0;
х2-14х + 1 = 0,
1^-4^ + 1 = 0.
Решением приведенных выше систем являются
восемь пар значений хиу:
х = 2 + л/3,
>> = 7 + 4л/з,
х = 2 + <Л,
^ = 7-4л/3,"
х = 7 + 4л/з,
^=2 + V3,
х = 7 + 4>/з,
^ = 2-V5,
у = 7 + Лу/3,
х=2-у/3,
у = 1-Лу[3,
х = 7-4>/з,
^ = 2 + V5,
х = 7-4л/з,
y = 2-S.
34. Из второго уравнения системы получаем
-*-2
* =
х+\
Поскольку дс = -1 не является корнем заданной
системы (в этом легко убедиться подстановкой дс = -1 во
второе уравнение системы), то полагаем дс * -1.
36

После подстановки выражения для у в первое
уравнение системы получаем квадратное уравнение
относительно переменной х, т.е.
х2(а + \) + х(а + 2) + 2 -д = 0. (♦)
Очевидно, что если уравнение (*) имеет
единственное решение и это решение отлично от дг = -1, то
исходная система также будет иметь единственное
решение. Нетрудно видеть, что дискриминант уравнения (*)
Я = (я + 2)2-4(я + 1)(2-я) = 0 при д = ±-^.
Также уравнение (*) имеет единственный корень (а
вместе с ней и система уравнений) в том случае, когда
уравнение (*) является уравнением первой степени, а
это имеет место при а = -1. В таком случае х = -3 —
единственное решение уравнения (*).
И, наконец, система уравнений имеет единственное
решение, когда уравнение (*) хотя и имеет два решения,
однако одно из этих решений является "запрещенным"
для системы, т.е. дг = -1.
Рассмотрим, при каких значениях параметра а
уравнение (*) имеет корень х = -1. С этой целью подставим
значение jc = —1 в уравнение (*) и вычислим значение
параметра а. Итак, имеет место
1(я+1)-1(а + 2) + 2 -д = 0, т.е.
a + l-fl-2 + 2-fl = 0 и в = 1.
Следовательно, исходная система имеет единствен-
2
ное решение при а = ±—= и а - ±1.
35. Так левая часть уравнения неотрицательна, то
V*2 -9* + 24 -у]бх2 -59*+149 £0.
37

Отсюда следует, что
*2-9* + 24^6*2 -59 + 149.
Из данного неравенства нетрудно получить
(*-5)2 ^0hjc = 5.
Следовательно, левая часть уравнения принимает
неотрицательное значение только при х = 5. А это значит,
что его корнем может быть только это значение х, а
может случится, что уравнение вообще не будет иметь
корней. Для решения этого вопроса подставим значение х=5
в исходное уравнение. Так как при этом обе части
уравнения обращаются в 0, то х = 5 — корень уравнения.
36. Произведем замену переменных x-y=t и ху-и.
В таком случае система принимает вид
t + z = 6t
/2+2w + z2 = 14.
/(/2+3w) + z3=36.
Из первого уравнения получаем / = б-z, а из
второго следует, что
(6-z)2+2w + z2 = 14 и w = 6z-z2-ll.
Подставим полученные представления / и и в третье
уравнение системы. Тогда
(6-z)((6-z)2+3(6z-z2-ll))+z3=36,
(6-z)(3 + 6z-2z2] + z3=36,
18-3z + 36z-6z2-12z2+2z3+z3=36,
3z3-18z2+33z-18 = 0,
z3-6z2+llz-6 = 0.
Нетрудно найти три корня данного уравнения:
х\ = 1, г-1 = 2 и Z3 = 3.
38

1)
2)
После этого вычисляем значения переменных / и и.
Имеет место
tx =5, щ = -6, /2 =4, «2 =-3 и /3 =3, «з = -2.
Для вычисления значений переменных х и у
рассмотрим три системы уравнений.
х-у = 5,
«
ху = -6.
Отсюда получаем квадратное уравнение относительно
переменной х:
х[х -5) = -6, х -5х + 6 = 0, jct =2 и х2 - 3.
Тогда ^ = -3 и уч = -2.
*-.У = 4,
ху = -3.
Решением этой системы будут следующие пары
значений переменных х и у:
*3 = >» Уъ = ~3 и *4 = 3» ДЧ "-1 •
х-.у = 3,
ху = -2.
Решая систему, получаем х$ = \, у$ --2 и х6=2,
у6=-\.
Итак, система уравнений относительно переменных
х, у и z имеет шесть решений: (2;-3;1), (3; — 2; l),
(1;-3;2), (3;-1;2), (1;-2;3) и (2;-1;3).
37. Обозначим Ja + x = у. Тогда получаем систему
уравнений относительно переменных хиу:
\<Ja + x=y,
Ja-y=x9
из которой следует, что х £ 0 и у £ 0.
39
3)

Далее получаем
а + х = у2 2 2/ \/ ,\Л
, дс + у = >г-дс , (дс + д>)(дс ->>+1) = 0.
[а-у = х
Рассмотрим два случая.
1) х + у = 0, т.е. х = -у. Так как дс £ 0 и >> £ 0, то
дс = 0 и >> = 0 — корни системы уравнений.
Следовательно, х = 0 является корнем исходного уравнения при
а = 0.
2) дс +1 = у. Тогда получаем
дс +1 = л/flTJc, дс+- 2дс +1 = а + дс, дс2 + дс + (1 - а) = 0.
Решаем полученное квадратное уравнение: -'
-1±V4a-3
ДС] 2 = •
2
Очевидно, что необходимо потребовать, чтобы выпол-
^3
нялось условие а £ —.
т ^л -1 - V4a - 3
Так как дс £ 0, то ДС2 = не является корнем
исходного уравнения. Далее, необходимо потребовать,
-1 + -J4a - 3
чтобы *1 = £0. Решая неравенство
относительно а, получаем
V4fl-3£1, 4д£4, а*\.
Таким образом решением уравнения являются: если
д = 0,то дс = 0;
.. -1 + V4A-3
если а £ 1, то дс = .
2
38. Применим к каждому из слагаемых левой части
уравнения неравенство Коши (2):
40

V*2 +дс-1 = Jlx2 +x-\\x\ <.
V x - x2 +1 <,
2 . „ i , i Л
2 Л , x + x -1 +1 x + x
x - jc2 + 2
2
В таком случае из заданного уравнения получаем
неравенство
2 .дс+дсдс-дс+2 t
х - х + 2 <, + = х +1.
2 2
Отсюда следует
х2 -х + 2<,х + \ и (дс — l)2 £0.
Следовательно, корнем уравнения может быть
только дс = 1"Г Непосредственной подстановкой дс = 1 в
исходное уравнение убеждаемся, что это действительно
так.
39. К каждому слагаемому левой части уравнения
применим неравенство Бернулли (7), тогда
£\ + -<J\-x2 +l-IVl-JC2 =2,
5 5 _
причем равенство возможно лишь при у 1-х = 0, т.е.
дс = ±1. Следовательно, дс = ±1 — корни уравнения.
40. Обозначим |4дс -1| = у и 2дс2 - Я = z. Тогда
имеет место
22-^2=4^-12^+9-16^+8^-1 =
= 4*4 -28*2 +8* + 8,
2 2 / \
т.е. z -у -4[у-zj. Отсюда следует, что z-y = 0 и
z + y--A.
41

Рассмотрим два уравнения относительно переменной х.
1) 2х2 — з| = |4jc —1| - Отсюда следует, что
2jc2-3 = ±(4jc-1),
т.е. получаем квадратные уравнения х - 2х -1 = 0 и
х2 + 2х - 2 = 0, корнями которых являются следующие
значения х:
1 + V2, 1-V2, -1 + л/з, -1-л/з.
2)
2*2-з|+|4*-1| = -4.
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то
уравнение корней не имеет.
41. Воспользуемся неравенством Бернулли (7), тогда
уравнение можно переписать в виде неравенства
1 1 1 I
(1 -Jc)2 +(1+*)2 +(l-Jt2)4 +(l + jt2)4 £
2 2
£1-- + 1+- + 1-- + 1 + - = 4.
2 2 4 4
Так как равенство имеет место лишь при дс=0, то х=0 —
корень уравнения.
42. Первоначально определим область допустимых
значений переменной х. Очевидно, что -1 £ х £ 1. Также
нетрудно установить минимальные и максимальные
значения каждого из слагаемых левой части уравнения, т.е.
OzlfT^xzlft, Ozlfi+xzl/2 .
Отсюда следует, левая часть уравнения на области
допустимых значений х не превосходит значения 21/2 ,
которое, в свою очередь, меньше 4. Следовательно,
уравнение не имеет решений.
Отметим, что убедиться в отсутствии решения
заданного уравнения можно с помощью неравенства
Бернулли (7). Имеет место
42

t^ + tT+7* 1-- + 1 + - = 2,
4 4
а по условию задачи правая часть уравнения равна 4.
43. Очевидно, что областью допустимых значений х
являются полуоткрытые интервалы [-3; 0) и (0; 3]. Для
простоты последующих рассуждений введем новую
переменную у следующим образом: \9-х = у. Отсюда
2 2
следует, что у £ 0. В таком случае х = 9 - у и
исходное уравнение принимает вид
£z£+_L_«i.
З + у 4(3-у)
Сейчас воспользуемся неравенством Коши (2), с
помощью которого оценим снизу левую часть уравнения.
Имеет место
9~У2 , ' 12 9-У2 -1
3 + у А(1-у) \А(3+у)(г-у)
Известно, что неравенство Коши (2) превращается в
равенство лишь в том случае, когда слагаемые левой
части неравенства равны друг другу. В этой связи
9-у2 1
3 + у 4(3-у)'
Так как у 2.0, то у+3>0 и приведенное выше уравнение
можно переписать как 3 - у = •—. или 4 (3 -у) =1.
4(3-у)
Отсюда получаем у\ - — и yi - —.
г^ 2л2 211 2 13
Так как х = 9-у ,то х =—или х = .
7 4 4
43

Так как х2 £ 0, то корнями уравнения являются
2
44. Если число х четно, то из первого уравнения
следует, что у нечетно, а тогда из второго уравнения
получаем, что z четно, а из третьего уравнения следует, что х
нечетно. Тем самым получили противоречие. Если же
число х нечетно, то у четно, z нечетно и х четно —
противоречие. Полученные противоречия
свидетельствуют о том, что данная система не имеет решения в
целых числах.
45. Применим к левой части уравнения неравенство
Бернулли (7). Тогда
i
з 6 6
Одновременно с этим к правой части уравнения
применим неравенство Бернулли (6). Тогда
^ 24J К 36J 6 6
Следовательно, оба неравенства Бернулли (7) и (6),
примененные соответственно к левой и правой частям
уравнения, обращаются в равенства. А это означает, что
дс = 0 — корень уравнения.
46.Обозначим Jx-2 -а и ^у-\ = b . Тогда
заданное уравнение принимает вид
if* 4 = 28-4*2-*2.
а2 Ь2
Выделим полные квадраты, т.е. I - -2а] +1 - -b\ =0.
44

6 2 о о
Следовательно, — 2а - О,—Ь = 0иа = 3,£ =2.
Таким образом получили Jx-2 = 3 и ^.у-1 = 2,
откуда следует, что х - 11 и >> = 5.
47. Введем новую переменную >> = х + х~ . Тогда
х2 + х~2 -у -2. В таком случае заданное уравнение
принимает вид
4fy2-2) + 12>> = 47,T.e. 4>2 +12>;-55 = 0.
Решением полученного квадратного уравнения яв-
ляются у\-— и y-i- • Далее, для нахождения
корней исходного уравнения необходимо рассмотреть
два уравнения относительно переменной х.
1) *+—=—. Отсюда получаем квадратное уравне-
х 2
•у
ние 2х -5*+2 = 0. Корнями уравнения являются х\=2
1
И Хо = — •
2 2
1 И о
2) дс н— = . Здесь также получаем квадратное
х 2
-ll±Vl05
уравнение, решая которое получаем *з, 4 = •
48. Обе части уравнения возведем в куб. При этом,
однако, будем использовать формулу
(а-Ь)3 =а3 -Ь3 -ЗаЬ(а-Ь).
Тогда получаем
5*+ 7-5* + 12 - 3^/(5* + 7) (5* -12) = 1.
45

Отсюда следует квадратное уравнение
25*2 -25*-300 = 0,
т.е. дг-х-12=0. Решением уравнения являются х\. = 4
и Х2 = -3.
49. Если сложить все уравнения системы, то
xy+yz+xz = \\.
Затем вычтем из полученного уравнения первое
уравнение системы, затем второе и третье. Тогда
получим систему уравнений
xz = 3,
<ху = 2, (♦)
yz = 6.
Теперь перемножим три уравнения полученной сис-
2 2 2
темы: xyz =36, т.е. xyz = ±6. Рассмотрим два
случая.
1) Пусть xyz = 6. Если данное уравнение разделить
на первое уравнение системы (*), то у = 2. Затем
уравнение xyz = 6 разделим на второе и третье уравнения
системы (*) и получим z = 3, х = 1.
2) Пусть xyz - -6. По аналогии с предыдущим
случаем получаем дс = —1, у = -2 и z = -3.
50. Преобразуем уравнение следующим образом:
2 18*2 81*2 \Sx2 лп Л
х* + + 40 = 0.
* + 9 (х + 9)2 * + 9
Выделим полный квадрат
(x__fcL)2+!i*i_4o = o,
V x + 9J х + 9
46

x
x + 9
18*'
x + 9
40 = 0
Введем новую переменную у =
x + 9
Тогда
уравнение принимает вид у +1 %у - 40 = 0. Решением
уравнения являются У\=2 и уг = -20. Рассмотрим два
уравнения относительно переменной х.
„2
О
х+9
.2
= 2.Отсюда х2-2*-18 = 0 и хХ1 = l±Vl9
2) = -20. Тогда х2 + 20* +180 = 0. Однако дан-
х + 9
ное уравнение решений не имеет, так как дискриминант
уравнения меньше 0.
51. Перепишем неравенство в виде
U-l|>* + 3-U-2|
и применим утверждение о неравенствах. Тогда
х-1>х + 3-|х-2|,
х-\<-3-х + \х-2\.
Отсюда получаем, что
|*-2|>4,
х-2|>2х + 2.
Применим еще раз утверждение о неравенствах,
тогда получаем систему из четырех неравенств
*-2>4,
*-2<-4,
"х-2>2* + 2,
дс - 2 < —2 jc - 2.
47

Решаем систему неравенств
"*-2>4,
*-2<-4,
х-2>2х + 2,
jc - 2 < -2jc - 2
и получаем решение исходного неравенства
х>6,
х<0.
52. Преобразуем исходное уравнение к следующему
виду
Зх3+3*2+3* + 1=0.
Отсюда получаем (х +1) + 2х = О, т.е. (jc ч-1) = -2х .
Следовательно, корнем уравнения будет х =
1 + V2
53. Очевидно, что х^.\ и у £ 1. Введем новые
переменные а = Vx-1 и 6 = д/^-1 (здесь а £ 0, 6 £ 0). То-
2 2
гда х = а+\,у = Ь+\ и заданное уравнение
принимает вид
(02+i)*+fl(62+i)=p+i)(*2+i).
Отсюда получаем квадратное уравнение относительно
переменной а вида
a2(b2 -b + \ya(b2 +\\ + (ь2 -Ь + \\ = 0. (♦)
Рассмотрим дискриминант уравнения (*). Имеет место
D = lb2+\\ -4lb2-b + \\ = -(Ь-\)21зЬ2 -2Ь + з\.
Поскольку уравнение ЗЬ - 2Ъ + 3 = 0 не имеет корней и
2 2
коэффициент при Ъ положителен, то ЗЬ - 2Ь + 3 > 0 и,
следовательно, дискриминант уравнения (*) не является
48

отрицательным лишь при Ь = 1. В таком случае
уравнение (*) принимает вид я2 - 2а +1 = 0 и его решением
является а = \.
Итак, имеем V*-l = 1 и ^>>-1 = 1, откуда легко
получить х = 2, у = 2.
54. Положим = у. Тогда х = —— и задан-
5 15
ное уравнение принимает вид
*s*b о
Из определения целой части действительного числа и
• \ «^ Ш.у + 39
из (*) следует, что 0 £ — у < 1.
Решив эти два неравенства относительно у, получаем
- — <.у£1,3.
30 *
Так как>> — целое число, то у = 0 или >> = 1. Если у=0у
7 1 4
то х = —, а если у = 1, то х = —.
15 * 5
55. Умножим второе уравнение на два и сложим с
первым уравнением. Тогда получаем уравнение х + у+г - ±6.
Рассмотрим два случая.
1) Пусть х + у + г = 6. Тогда .у + 2 = 6-дс.Из третье-
6
го уравнения получаем yz = —. Перепишем третье урав-
нение системы как х (у + z) + yz = 11. Отсюда нетрудно
получить уравнение относительно переменной х вида
х (б - х) + — = 11, которое эквивалентно уравнению
треде
тьей степени
х3-6х2 + 11х-6 = 0. (♦)
49

Первый корень уравнения (*) легко находится
подбором, т.е. *i = 1. Для построения других корней
уравнения (*) необходимо решить квадратное уравнение
*2-5* + 6 = 0.
Очевидно, что корнями уравнения (*) являются
также *2 = 2 и *з = 3.
Для нахождения значений переменных >> и г
необходимо рассмотреть три системы уравнений
0 + z = 5, (> + z = 4, (> + z = 3,
[yz = 6, \>* = 3, \yz = 2.
Отсюда получаем следующие тройки решений (1;£3),
(1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; l), (3; 1; 2), (3; 2; l).
2) Пусть х + у + 2 = -6. Очевидно, что в таком
случае исходная система будет иметь хотя бы один
отрицательный корень.
56. Если сложить первые два уравнения исходной
системы, то получим уравнение
х у х 2 у z
— + — + — + - + —+ — = 6. (*)
у X z х z у w
Однако, согласно неравенству (3), можно записать
х у л х z л у z Л ,v
- + -£2, - + -£2 и - + -£2. (**)
ух z х z у
Следовательно, имеет место неравенство
х у х z у z
- + - + - + - + - + -£6.
у X z х z у
Если полученное неравенство сравнить с (*), то
можно сделать вывод о том, что неравенства (**)
превращаются в равенства, а это возможно только в том
случае, когда х = у = г.
50

Так как jc=j> = z, то из третьего уравнения системы
получаем Зх=3 и jc = L Следовательно, x=y=z-\ —
единственное решение исходной системы.
57. Преобразуем уравнения системы следующим
образом:
ху[(х + у)2 +ху(х + у)) = 30, ,
ху(х + у) + ху + х + у = \\.
Введем новые переменные 5 и г следующим образом:
s = х + у и г = ху.
В таком случае система (*) принимает вид
[г*(г + *) = 30, (м)
[rs+r + s = 11.
С целью упрощения решения системы (**) также
введем еще две новые переменные u = rs и w = r + s.
Тогда из (**) получим систему уравнений
mv = 30,
и + w = 11,
которая имеет два решения: щ = 5, w, = 6 и ы2 = 6,
и>2 =5.
Для вычисления значений переменных г и 5
необходимо рассмотреть две системы уравнений
rs = 5,
^ и '
r + s = 6
ГУ = 6,
r + s = 5
Решениями приведенных выше систем уравнений
являются следующие пары значения переменных г и s:
(l;5),(5;l), (2;3) и (3;2).
51

Очевидно, что для нахождения корней исходной
системы требуется рассмотреть уже четыре системы
уравнений относительно переменных хиу,а именно:
ху = \,
х + у = 5,
<
х + у = \,
ху = 2,
<
х + у = 3, \
ху = 3,
х + у = 2.
Системы уравнений относительно переменных х, у не
являются сложными. Первое и третье уравнение имеют
по два решения, а второе и четвертое уравнения
решений не имеют. Ыиже приводятся четыре решения
исходной системы уравнений
(5 + V21 5-л/2П f5->/21 5 + >/2p
,(l;2),(2;l).
58. Используя неравенство Коши (2), получаем
2х4 + 2/£4*У •
Тогда из исходного уравнения имеем
4ху-\*4х2у2 и(2ху-\)2 <*0.
Отсюда следует, что
1
1
ху = — и у- —.
2 2х
Подставим выражение для у в исходное уравнение и
при этом обозначим х = г. Тогда получим уравнение
1 2 1
2г + — = 2-1 = 1, откуда следует (4г-1) - 0 и г = —.
Нетрудно видеть, что в таком случае х\ -у\ -—= и
V2
*2 = >>2 =
1
Я
59. Из второго уравнения системы следует, что xyz*0.
S2

Если обе части второго уравнения умножить на хуг,
то получим уравнение
xy + xz + yz-0. (*)
Из первого уравнения следует, что х + у - -г.
Подставим выражение для х+у в уравнение (*), тогда ху-т".
Аналогично легко получить, что xz-y и ук-х". В таком
случае уравнение (*) можно переписать как дг +)Г +г =0,
откуда следует, что х = у = z - 0. Полученные значения
переменных противоречат области допустимых
значений переменных дг, у, г. Следовательно, исходная
система не имеет решений.
60. Перепишем первое уравнение как х = 2<Jyz -1.
Левая часть полученного уравнения неотрицательна,
поэтому 2jyz -1^0, т.е. 4yz £ 1. Из второго уравнения
следует, что допустимые значения неизвестных у, г
должны удовлетворять неравенству l-4yz^0 или
4yz £ 1. Принимая во внимание оба неравенства
относительно yz, можно заключить, что 4yz - 1. Тогда из
первого уравнения получаем х = 0, а из второго уравнения
следует, что у - ±1.
Таким образом, получаются две тройки чисел
*1 =0, ух =1, г, =- и х2 =0, у2=-\, 22 =~т.
4 4
которые могут быть решениями исходной системы.
Следует подчеркнуть, что из приведенных рассуждений
совсем не вытекает, что полученные тройки чисел
обязательно являются решением рассматриваемой системы.
Однако в этом можно легко убедиться путем
подстановки полученных троек чисел в исходную систему.
53

61. Очевидно, что областью допустимых значений
неизвестных являются х £ 0, у^О, z ^ 0.
Преобразуем второе уравнение системы следующим
образом:
х + z = 2^ху -2у + 2^yz ,
(x-2jxy+y} + (y-2jyz + z) = 0,
Отсюда следует, что х = у = z. Тогда из первого
уравнения системы следует квадратное уравнение
х - х - 2 = 0, откуда получаем jcj = 2 и xj = -1.
Поскольку х2 = -1 не входит в область допустимых
значений неизвестных, то х = у-z = 2 является решением
исходной системы.
62. Областью допустимых значений неизвестной
является х £ 5. Так как правая часть уравнения больше
нуля, то у1х-5>^2х-\. Отсюда следует, что х-5>2х-1
и х<-4, а такие значения х противоречат области
допустимых значений. Следовательно, исходное уравнение
решений не имеет.
63. Нетрудно видеть, что областью допустимых
значений является 1 £ х £ 2 . Оценим сверху значение левой
части уравнения на области допустимых значений.
Имеет место
у12-х+х-3£у/2-\+х-3 = х-2<,0.
С другой стороны, правая часть уравнения
неотрицательна, так как VJc-T£ 0. В этой связи равенство в
заданном уравнении достигается лишь тогда, когда правая
часть уравнения равна нулю, т.е. х = 1. Подставим
значение х = 1 в заданное уравнение и убеждаемся, что
х -1 не является корнем уравнения. Следовательно,
уравнение корней не имеет.
54

64. Областью допустимых значений неизвестной
является х £ 1. Левая часть неравенства неотрицательна,
поэтому заданное неравенство будет обязательно
выполняться при таких значениях х (из области
допустимых значений), при которых правая часть строго
меньше нуля,т.е. 2х + 8 < О и дс< —4.
Пусть теперь -4£дг£1. При таких значениях х обе
части неравенства неотрицательны, поэтому их можно
возвести в квадрат. Тогда 1-х>(2х+8) и 4дг +33х+63<0.
Решением последнего неравенства являются значения х
из интервала (- 5,25; - 3). Следовательно, исходное
неравенство выполняется при -4£дг<-3 и
окончательным решением неравенства являются все значения х, для
которых х < -3.
65. Прибавим число 1 к обеим частям каждого
уравнения системы. Тогда получим систему уравнений
(д:+1)(^ + 1) = 2,
(^+1)(2 + 1) = 6, (*)
(* + l)(z + l) = 3.
Перемножим между собой уравнения системы (*).
Тогда
(* + l)2(>; + l)2(z + l)2=36 h(* + 1)(>> + 1)(z + 1) = ±6.
Рассмотрим два случая.
1) Пусть (* +1) (у +1) (г +1) = 6. Тогда, разделив
данное уравнение последовательно на каждое из уравнений
системы, получаем х\ = 0, у\ = 1 и z\ = 2.
2) Пусть (х + \){у + l)(z +1)=-6. По аналогии с
предыдущим случаем получаем 0¾ =-2, уг - -3 и хг = -4.
35

66. Так как (<j3-x + V*-l) = 2 + 2V- x2 + 4x- 3 ,
то левая часть уравнения достигает наибольшего значения
там, где его достигает квадратный трехчлен - х + 4х - 3,
т.е. в точке х = 2. Нетрудно установить, что наибольшее
значение левой части уравнения равно 2. С другой
стороны, наименьшее значение правой части уравнения
также равно 2 (оно достигается при х = у).
Следовательно, равенство может быть только тогда, когда
х = у = 2.
67.Очевидно, что х £ 1, у^\ и z£ 1. Покажем, что
х = у. Пусть х — наибольшее из трех чисел, т.е. х £ у и
х £ z. Так как .у=(x-l) , z=(j/-l) , х = (z - l) и х £ >>,
to(z-1) ^(*-l) • Поскольку X^l И Z^ 1,то z^x. Мы
предполагали, что x^z, поэтому x = z. Аналогично
можно доказать, что х = у.
В таком случае из первого уравнения системы
получаем уравнение х - 4х -1 = 0, решением которого
являются 4х = . Так как Vx £ 0, то
2
I 2 J 2
Следовательно, корнями системы уравнений являются
3 + V5
х = у-г- .
7 2
68. Обозначим а = 4х и 6=3-vx. Тогда a + b = 3, а
уравнение принимает вид \\l-a = 6 , откуда а +6 =17.
Следовательно, переменные аи b удовлетворяют
системе уравнений
56

a4+*>4=17,
a + b = 3.
w
Из второго уравнения системы получаем
a2+b2=9-2ab.
Для решения системы (+) преобразуем сумму
четвертых степеней следующим образом:
„4 о. И
а +о
= [а2+Ь2)'-2а2Ь2 =
1)
2)
= (9-2aby -2а2Ь2=\7.
Таким образом, получаем квадратное уравнение
(аЬ)2 -\Ш + 32 = О,
решением которого являются аЬ-\в и аЬ-2.
Рассмотрим две системы уравнений
а + Ь = 3,
а + 6 = 3,
ab = 2.
Первое уравнение решений не имеет. Решением
второго уравнения являются щ = 1, Ьх = 2 и а2 = 2, Ь2 - 1.
Так как х = а , то ДС| = 1 и *2 - 4 • Проверка
показывает, что найденные значения х удовлетворяют исходному
уравнению.
69. Подстановкой в уравнение системы можно
убедиться, что х * 0 и у * 0. Умножим первое уравнение
системы на х, а второе — на у. После этого сложим оба
уравнения и получим
{Зх-у)у-(х+3у)х ^
2ху
2 2
х + >>
Ъу или 2ху - 1 = Ъу
57

3 1
Так как >>;*0,тох = — +
2 2у
Подставим полученное выражение для х во второе
уравнение системы и получим
iH) +>2 -(Kb—
2у,
4уА -Ъу2-\ = 0.
Отсюда нетрудно получить у = 1 и у\ = 1, уг = -1.
Так как х=——,то х\ =2, у\ =1 и х2 = 1, >Ъ=-1-
2.V
70. Последовательное возведение в квадрат обеих
частей уравнения приводит к уравнению четвертой
степени, решить которое весьма трудно. Поэтому поступим
следующим образом.
Исходное уравнение эквивалентно уравнению
7зТ7Г=з-х. (*)
Так как левая часть уравнения (*) неотрицательна,
то 3 - х £ 0 и тогда областью допустимых значений х
являются 0 £ х £ 3.
Возведем обе части уравнения (*) в квадрат. Тогда
3 + V^ = (3-x)2. (**)
Рассмотрим вместо уравнения (* *) более общее
уравнение с параметром р, т.е.
/? + >£ = (/?-х)2, (**♦)
которое совпадает с уравнением (* *) при /7 = 3.
Запишем уравнение (*+*) как квадратное уравнение
относительно /?, т.е.
р2-р(2х + \) + 1х2-&\ = 0. (**♦*)
St

Нетрудно найти решения уравнения (****) вида
Р\,2 =
2х+\±](2х + I)2 -4(х2 -V^)
2
2х + \±(2уГх + \\
и
2
/7| =JC + VJC + I, /?2 = х-у/х .
Следовательно, из уравнения (****) легко получить
два уравнения второй степени относительно х,
содержащих параметр р:
JC + VJC +1-/7 = 0 и х-vx - /7 = 0.
Подставляя в полученные уравнения р - 3, получаем
уравнения х + vx -2 = 0 и х - vx - 3 = 0.
Решая полученные уравнения и отбирая только те
значения х, которые удовлетворяют условию 0<,х<,3,
найдем единственный корень заданного уравнения: х = 1.
71. Областью допустимых значений являются -1 <,х <, I.
Положим, что х = cos со, где 0 <, со <, тс. В таком случае
заданное уравнение принимает вид
vl-cos <y=4cos co-3cosco vu\n\s'mco\ = cos3co.
Поскольку 0 <, со <, тс, то sin со £ 0 и sin со = cos3co.
Последнее уравнение эквивалентно уравнению
cos3fi7-cosl <у] = 0. (*)
Решая уравнение (*), получаем
sinle> + —] sin[2fi7 1 =0,
3 тс тек
откуда следует, что со = — тс + тс п или со = — + , где
л, к — целые числа.
59

Однако условию 0 <, со <, п удовлетворяют лишь три
значения
п Ъп Ъп
Отсюда следует
2)
2
5л
Х2 =COSU>2 =cos
=-JKi+cost)=-
Ъп п V2
*3 = COSfib = cos— = -cos— = .
4 4 2
72. Очевидно, что |х| <. 1. Положим дг = cos со, где
О <, со <, л. Тогда, выполнив подстановку х - cos со в
исходное уравнение и учитывая, что sin<y £ 0 и sin— £ 0,
Ал
получаем уравнение
V2sin— = cos2<y + sin2<y. (*)
2 v '
Преобразуем уравнение (*) следующим образом:
>/2 sin— = V2 sin 12а> + —),
. (- 7С\ . СО _
sin \2со + — - sin — = 0,
У 4J 2
(5(0 я\ . (Зсо я\ _ / ч
60

_ t ч Ъя Ляп
Решением уравнения (**) являются со-—+ или
о)=— + , где л, к — целые числа. Из полученных
6 3
решений уравнения (*) только один корень принадлежит
отрезку [0;я\,т.е. со = —.
Следовательно х = cos— = cos54 . Ответ можно ос-
10
тавить в тригонометрической форме, а можно выразить
и в радикалах. Для этого необходимо показать, что
sinl80 =£l = S н OOS18» ЛИНЗЕ.
4 4 4
Тогда x = cos54° =sin36° =2sinl8°cosl8° =
= -J(6-2V5)(l0 + 2V5) = -Vl0-2V5.
73. Определим область определения неравенства.
Очевидно, что х £ у2 +1. В таком случае
х + у2 + ^х-у2-\ £2у2 +1 + ^х-у2-\ £ 1.
Если полученное неравенство сравнить с заданным
неравенством, то видно, что имеет место равенство, т.е.
х + у2 + ух - у2 -1 = 1, где х = у2 +1. Отсюда
нетрудно получить, что X = 1 и у = 0.
74. Очевидно, что областью определения уравнения
является множество 1 £ х <. 3. Причем на этом
множестве функция у = V*-l + 2V3jc + 2 возрастает, а
функция у = 4 + V3 - х убывает. Отсюда следует, что если
исходное уравнение и будет иметь решение, то это
решение будет единственное. Найдем этот единственный
корень х = 2 подбором.
61

75. Представим заданное уравнение в следующем виде:
,£+ ' +4?/(>-l)2 + , 4 =10.
Далее выделим в левой части уравнения полные
квадраты, т.е. получим уравнение
2 ( Y
= 0
Очевидно, что полученное равенство достигается лишь
в том случае, когда каждая из скобок одновременно
принимает нулевое значение, т.е. Ух = 1 и tfy-\ = 1.
Отсюда следует х = 1 и у - 2.
76. Уравнение будем решать методом "раскрытия"
модулей. Для этого необходимо рассмотреть три случая.
1) Пусть х < 1, тогда дс — 1 < 0, 6 — 2jc >0 и заданное
2
уравнение принимает вид -(х-1)+(6-2*) = 5 или х = —.
Так как полученное значение х входит в
рассматриваемый интервал х < 1, то х\ = — — корень уравнения.
2)Пусть \<,х<3. Тогда (х-1) + (6-2*) = 5.
Отсюда получаем х = 0. Однако полученное значение х не
может быть корнем заданного уравнения, поскольку в
рассматриваемом случае 1 £ х < 3 .
3) Пусть дс^З. Тогда (jc—l) —(6—2jc)=5 и х=4. Так как
полученное значение х больше 3, то :¾ =4 — корень
уравнения.
77. Первоначально умножим первое уравнение на 2 и
вычтем из него второе уравнение (тем самым получим
уравнение, в котором отсутствует свободный член). Тогда
3x2-Sxy + 4y2 = 0. (♦)
62

Уравнение (*) является однородным уравнением
второй степени и поэтому его слагаемые поделим на у
(при этом полагаем, что у*0). Затем в полученном
х
уравнении положим г = —. Тогда квадратное уравнение
У
относительно г будет иметь вид
Зг2-82 + 4 = 0. (**)
Нетрудно видеть, что г\ =2 и 2¾ =- — корни
уравнения (+ +). Рассмотрим два случая.
1) Пусть 2 = 2, т.е. х~2у. Тогда первое уравнение за-
данной системы принимает вид 2 (2у) - 3 (2у) у+у = 3 и
^ =1. Отсюда следует, что х\ =2, у\ = 1 и х% =-2, у^ =-1.
2
2) Пусть 2=-, т.е. Зх = 2у. Тогда из первого
уравнения получаем
Отсюда получаем .у = -27, следовательно в этом
случае корней нет.
78. Область допустимых значений переменной х
является 2<,х<,4. Оценим сверху левую часть уравнения.
Используя неравенство Коши (2), можно записать
1+л-2=х-1
2 ~ 2
1+4-х 5 — дс
^-2=^1(^-2)^ - = — и
^4^1 = ^1(4-^
Отсюда следует, что
Jx^l+yfi^x'z — + — = 2. (*)
2 2 v '
63

Теперь оценим снизу правую часть уравнения. Имеет
место
х2-6х + 11 = (х-3)2 + 2^2.
Отсюда и из (*) следует, что уравнение имеет место лишь
в том случае, когда обе части уравнения равны 2, т.е.
х - Ьх + 11 = 2 или (д: - 3) =0 .Отсюда следует, что
jc = 3. Непосредственной подстановкой jc = 3 в
исходное уравнение убеждаемся, что jc = 3 — корень
уравнения.
79. Первоначально введем новую переменную у=х-3.
В таком случае исходное уравнение примет вид
(у + \)Ь+(у-\)Ь=64. (♦)
Используя формулу бинома Ньютона 6-й степени,
преобразуем левую часть уравнения (*) следующим
образом:
(У + О6*^-1)6 = /+б/ + 15/ + 20/ + 15/ +
+ 6у + 1 + уь -6у5 + 15/ -20/ +\5у2 -6у+\ =
= 2/+30/ + 30/ +2.
Тогда уравнение (*) примет вид
/ + 15/ +15/-31 = 0. (*♦)
Решением уравнения (* *) являются у = ± 1. Так как
дг = >^ + 3,тод:|=4идс2=2.
80. Введем новую переменную у = Vх- 1 + vJc + 3 .
Тогда
у2 = х - 1 + 2^(х-\)(х + 3) + х + 3 =
= 2х + 2 + 2^(х-\)(х + 3) .
В таком случае исходное уравнение принимает вид
у2+у-6 = 0. (*)
64

Корнями уравнения (*) являются у\ = 2 и у2 = -3.
Так как у £ 0, то у = 2. Отсюда получаем уравнение
Vx^T + VxT3=2. (♦♦)
Областью допустимых значений уравнения (* *)
являются X £ 1.
Из уравнения (**) получаем
Поскольку левая часть полученного уравнения
неотрицательна, то
2->£7з*о.
Отсюда следует, что vx + 3 £2 и х £ 1. Так как
ранее было установлено, что х £ 1, то х = 1. Путем
подстановки х = \ в заданное уравнение убеждаемся, что
х = 1 — его единственный корень.
81. Областью допустимых значений системы
уравнений являются х£0, у^О.
Возведем обе части-каждого уравнения в квадрат.
Тогда
[х + 2^х(д> + 1)+>> + 1 = 1,
[х + \ + 2^(х + \)у + у = \.
Отсюда следует, что %Jx(y +1) =2^(jc + \)у или х=>>.
В таком случае первое уравнение системы принимает
вид + 1=1 или л£ = 1->/7 +1. Так как левая
часть полученного уравнения неотрицательна, то
1 - VJC + 1 ^ 0. Отсюда следует, что х £ 0. Если принять
во внимание область допустимых значений заданной
системы уравнений, то х = 0, у = 0. Непосредственной
подстановкой нетрудно убедиться, что х = 0, у = 0 —
единственное решение системы.
3 Зак 328 65

82. Областью допустимых значений х является х> О
и х * 1. Имеет место 4 gJC = jc g4. Для доказательства
этого равенства достаточно прологарифмировать обе
части равенства по основанию 10.
В таком случае 4lgJt - 32 + 4lgJt = 0 и 4,gJC = 16.
Отсюда следует* что \gx = 2 и х = 100.
83. Попытки найти корень этого уравнения
обычными методами здесь ничего не дадут. В то же время
нетрудно заметить, что значение х = 2 удовлетворяет
уравнению. Покажем, что других корней нет. С этой
целью перепишем уравнение следующим образом:
2х
Левая часть полученного уравнения является
возрастающей функцией, а правая часть — убывающей.
Следовательно, х = 2 — единственный корень уравнения.
84. Предположим, что выполняются неравенства
x<,y<,z. Тогда из системы уравнений получаем
2^+3^=5^^=2^+3^^+3^5^5^,
откуда следует, что 5х = 5^ = 52 и х-у-г.
Точно также при у <,x<,z имеем
2х +3* =5' £52 =2' +3' <>2г + 32 =5* £52,
т.е. 5х =52 и дс = г.
Тогда третье уравнение принимает вид 2х + 3* = 5*,
а из первого уравнения получаем х-у. Следовательно,
и в этом случае х = у = г.
Из уравнения 2х +3* =5* имеем 1—1 +[-] = 1,а
это уравнение имеет единственное решение х = 1,
поскольку ее левая часть — убывающая функция.
Поэтому данная система имеет единственное решение (1; 1; l).
66

85. "Раскроем" модуль, используя для этого
утверждение о неравенствах, содержащих модули. Тогда
3*+4*-9
3*+4*-9
£3*-4* + 7,
£-3* + 4* + 9.
Далее применим еще раз утверждение о
неравенствах. Тогда получаем систему неравенств
|3*+4*-9£3*-4* + 7,
[3*+4*-9£-3*+4*-7,
3*+4х-9£-3*+4х + 9,
3*+4*-9£3*-4х-9.
Отсюда получаем
f * * 2> \[х <> 2,
[3**1,
и •
3**9,
хйО
х£0,
xt2,
х<,0.
Следовательно, решением исходного неравенства
являются х\ = 0 и *2 = 2 •
86. Очевидно, что уравнение целых отрицательных
корней не имеет, а х = О — его корень. В этой связи
будем искать только целые положительные корни.
Перепишем исходное уравнение в виде (1 + 9)* = 1 + 9х.
Принимая во внимание неравенство Бернулли (5) при
любом натуральном п вида (1 + 9)" £1 + 9и, в котором
знак равенства достигается лишь при п = 1, делаем
вывод о том, что исходное уравнение имеет единственный
положительный корень х - 1. Итак, целыми корнями
заданного уравнения являются х\ - О и х2 = 1.
67

87. Другими словами, требуется доказать, что
1081920 < 1 или log19 20logI9 17 < 1.
log17 19
Используя неравенство Коши (2), можно записать
.^flogi9 20 + 10810 17^2
logI920log1917<;|-5i2 2 ^19 J =
88. Очевидно, что заданное неравенство
эквивалентно неравенству
(л + 1)л > л! (л — факториал).
Следует пояснить, что л! = 1 х 2 х • • • х л, где л £ 1.
Имеет место система очевидных неравенств
л+1>1,
л + 1>2,
л + 1>3,
л +1 > л.
Отсюда непосредственно следует, что (л +1)" > л!.
89. Представим заданное уравнение в виде
9*-3*+9а3=0.
Отсюда следует, что
1зх\ -3*+9а3=0.
Пусть 3х - у, тогда получаем квадратное уравнение
68

y2-y + 9a3=0, (♦)
решением которого является
l + Vl-36a3 l-Vl-36fl3
У\ш ^ "У2
2 "■ г
Для того чтобы уравнение (*) имело бы два решения,
необходимо выполнение двух неравенств, т.е.
1 - 36а3 > 0 и у2 > 0 (поскольку у = 3*).
Решением системы неравенств
1-36д3>0,
l-Vl-36a3
являются О < а <
>0,
1
V36'
90. Нетрудно видеть, что
Поэтому, если обозначить первое слагаемое уравнения
через у, то второе слагаемое будет равно —. В этой свя-
У
зи заданное уравнение принимает вид >>+- =4. Решени-
У
ем квадратного уравнения у2 - Ау +1 = 0 будут
д>!=2 + >/з иу2 =2-fi = {2 + fiy .
Рассмотрим уравнение откуда
следует, что х\-2. Для получения второго корня
заданного уравнения рассмотрим уравнение
69

т.е. х2 = -2. Следовательно, корнями заданного
уравнения будут х - ±2.
91. Область допустимых значений неизвестного: х>-10
и х*0.
Поскольку — Igx = lg|jc|, то приведем исходное уравне-
ние к виду
lg(x + 10) + lg|*| + lg4 = 2.
Отсюда получаем
lg(4|x|(x + 10)) = lgl00 и
4 |х|(х +10) = 100. (♦)
Рассмотрим два случая.
1) Пусть х > 0, тогда уравнение (*) принимает вид
4х(* + 10)=100 и х2 + 10х-25 = 0.
Отсюда получаем
x = -5±V50 = -5±5>/2.
Так как х > 0, то х\ - -5 + 5-Jl.
2) Пусть -10 < х < 0, тогда из (*) получаем
уравнение
-4х(х + 10)=100 и х2+10х + 25 = 0,
откуда следует, что хг - -5.
92. Из первого уравнения следует, что х + у > 0.
Положим
\og2(x + y) = a и х-у = Ь.
Тогда, прологарифмировав оба уравнения системы по
основанию 2, получим систему
£ = . + Ilog23,
fl-ft = log23,
70

которая на множестве х + у>0 эквивалентна исходной.
Из первого уравнения выразим а через b и полученное
значение а подставим во второе уравнение. Тогда
получим b - 2 и затем а - log2 12.
Далее, возвращаясь к первоначальным переменным,
получаем систему
\х-У = 2,
[х + у=\2,
откуда легко получаем х - 7, у - 5.
93. Областью допустимых значений неизвестных
является х * 0 и у > 0. Принимая во внимание формулу
логарифмирования (13), можно утверждать, что в
области допустимых значений исходная система
эквивалентна системе
|41og4W + 31og02>> = -l, .
|81og4W-log0.^ = 5. W
Из системы (+) легко получить
logjx|=0,5 и log0.2 У=~1-
Отсюда следует, что
х = ±2 и у = 5.
94. Областью допустимых значений неизвестной х
является дс<0. Согласно формуле логарифмирования
(13) исходное уравнение можно переписать как
61g|x|-lg2(-x)=9.
Так как х < 0, то исходное уравнение эквивалентно
уравнению
lg2(-x)-61g(-jt) + 9 = 0™H(lg(-*)-3)2=0.
Таким образом, lg (- х) = 3 и х - -1000.
71

95. Исходное уравнение можно записать как 9* +6* =
= 2x4*. Разделим полученное уравнение на 4х и обо-
значим I — через у, тогда получим квадратное
уравнение >>+>>- 2 = 0. Решением последнего уравнения
являются
У\ -1 и уг = -2. Так как у > О, то I — I = 1 и
х = 0 является решением исходного уравнения.
96. Обозначим Ja + x - у, тогда получим систему
уравнений
lJa-y = x.
Из (*) следует, что х^Оид^О.На данной области
допустимых значений неизвестных система (*)
эквивалентна системе
\a-y-x.
Вычитая из первого уравнения второе, получаем х + у =
= у2 - х2. Отсюда следует
(х + у)(х-у+\) = 0.
Рассмотрим два случая.
1)Пусть х+>>=0, т.е. х = -у. Так как х£0 и у £0,
то х = >> = 0. Следовательно, х = 0 — корень
уравнения при а - 0.
2)Пусть х-у + \ = 0, тогда х +1 = у и из первого
уравнения системы (*) получаем х + \ = •Ja + x . Отсюда
72

следует квадратное уравнение х+х + (1-а) = 0,
решением которого являются
-l + V4fl-3 -1-V4A-3
*1= J ИХ2= 2 '
3
где 4а - 3 £ 0, т.е. а £ —. Однако х^ < 0 и поэтому не
4
может быть корнем (*).
Рассмотрим при каких значениях параметра а
значение х 1 будет больше или равно 0. Имеет место -1 +
+ v4o-3 £ 0, откуда получаем а £ 1.
Следовательно, корнем исходного уравнения являют-
-1 + V4A-3 .
ся х = 0, если а - 0, и х- , если а £ 1.
2
97. Так как тригонометрические функции у - sinx и
>> = cosx ограничены сверху 1, то из условия задачи
непосредственно следует, что оба слагаемых уравнения
одновременно равны 1, т.е. получаем систему уравнений
cos6x = 1,
sin-jc = l.
Для получения решения исходного уравнения
необходимо найти пересечение решений каждого из
уравнений системы (*) в отдельности. Если такое пересечение
окажется пустым, то это будет означать, что данное
уравнение решения не имеет.
Решая каждое из этих уравнений в отдельности,
получаем
бдс = 2п л,
5х п -
-— = — + 2пт>
12 2
где л, т — целые числа.
73
1

Отсюда следует, что
п
х = —п,
3
х =—(4/И + 1).
И
Для построения пересечения решений (* *) рассмотрим
равенство — п=—(Фя+l). Отсюда следует, что 5и=12л1+3.
Так как правая часть равенства кратна 3, то л=3*, где к —
целое число. Следовательно, \5к = \2т+3 или 5& = 4/м+1.
Нетрудно видеть, что к — нечетное, т.е. к = 2i/ +1, где
и — целое число. В таком случае получаем
10и + 5 = 4/и + 1 или 5м = 2т - 2.
Очевидно, что и — четное , т.е. и - 2/, где / — целое
число. Затем имеем 10/ = 2т - 2 и т - 5/ +1. Если
полученное выражение для т подставить в выражение для х, то
получаем окончательное решение исходного уравнения, а
именно х =—(20/ + 5) = я-(4/ +1), где / — целое число.
98. Очевидно, что первоначально необходимо
потребовать, чтобы
sinx*0,
sin2x * 0,
sin4x * 0,
целое число.
т.е. х*— к, где к ■
4
Теперь переходим непосредственно к решению
заданного уравнения. Имеет место
_1 1 1
sin* sin 2* sin 4*
74

Отсюда получаем
1 sin 2* +sin 4* 1 2 sin 3* cos*
= и = .
sin* sin 2* sin 4* sin* 2 sin* cos* sin 4*
Так как x* — *, то sin* * 0 и cos* * 0. Следовательно,
4
7 х
sin 4х - sin Зх = 0 и 2 cos—х sin — = 0. Отсюда следует
2 2
х
а) sin— = 0, но решения этого уравнения не могут
быть корнями заданного уравнения, поскольку хФ—к.
4
7
б) cos—* = 0. Нетрудно видеть, что корнями этого
уравнения являются х-— (2л +1), где л — целое
число. Однако полученное выражение для х еще нельзя
принимать как решение исходного уравнения, так как из него
необходимо исключить (если есть таковые) те значения *,
которые не входят в область допустимых значений. С
этой целью требуется построить. пересечение решения
уравнения б) с областью допустимых значений *.
Итак, — (2/1+1)=—к. Отсюда, 8и+4 = 7* и к~4т,
где т — целое число. Далее, 8л+4 = 28т и 2л+1 = 7/и.
Очевидно, что полученное равенство может
выполняться только для нечетных значений /и, т.е. т = 2/ +1, где
/— целое число. Тогда имеем 2л +1 = 14/ + 7 и
л = 7/ + 3.
Следовательно, решением исходного уравнения
являются те значения *, которые удовлетворяют выражению
х - — (2л+1), где л ф It + 3 (здесь л, / — целые числа).
75

99. Преобразуем левую часть неравенства
следующим образом:
sin дс/ \ cos дс'
It sin2x + cos2 jc | Г. sin2 x + cos2 дс
=11 + -j l +
sin ДС J \ COS X
= (2 + ctg2x) (2 + tg2x) = 5 + 2 (tg2* + ctg2x) =
= 9 + 2(tg2x-2 + ctg2Jc) = 9 + 2(tgx-ctgx)2 £9.
100. Очевидно, что неравенство справедливо для х =
я, Я"
= — к, где к — целое число. Пусть теперь дс * — к. Тогда
0 < sin дс < 1 и 0 < cos дс < 1. Воспользуемся тождеством
sin дс + cos дс = 1 и применим к слагаемым левой части
полученного неравенства неравенство Бернулли (7), т.е.
(2 чсов2* / 2 \sin2x
sin дс] +1 сов x I =
(~ vcoe2* / ~ \sin2x
l-cos2*) + ll-sin2jt) £
£ 1 - cos4 дс + 1 - sin дс =
= 1+соэгдс-сов дс+sin дс-sin дс=
= 1 + cos2 * (1 - cos2 дс) + sin2 дс (1 - sin 2 дс J =
= 1 + 2sin2 xcos2 дс = 1 +—sin2 2дс.
2
101. Применяя формулу разности синусов двух
углов, получаем
2sin2jt + sinjt-sin3jt = 3, 2sin2*-2sin*cos2* = 3 и
sin2jt-sinjtcos2jt = —. (*)
76

Теперь преобразуем левую часть уравнения (*)
следующим образом:
sin 2* sin* cos 2*
sin2x - sin jrcos2x = ^1 +sin2 л ,
Lvl + sin" x
Так как при любом х справедливо
2- VhH-2
sin X
^vr+
\2 (
+
sin xJ
\2
sin*
V
vr;
sin xJ
= 1,
то существует зависящий от x угол со (дс) такой, что
1
VI + sin" jc
= cosfl) (jc) и -
sinjc
sin2 jc
= sinro (jc) .
2 jc "" Л ' " VT+si
Следовательно, имеет место
sin2jc - sin jccos2jc = vl + sin2 jc sin (2jc + w (jc)),
так что заданное уравнение равносильно уравнению
Vl + sin2 jc sin (2jc + со (jc)) = -. (**)
Поскольку левая часть уравнения (* *) при всех зна-
чениях дс не превосходит 4l, а правая часть равна —, то
уравнение корней не имеет.
102. Преобразуем левую часть уравнения
sin6 jc + cos6 jc Н^дс+со^дсн^дс-^дссо^дс+ав4^
• 4 -2 2 4
= sm дс-sin xcos дс + cos x-
(2 2 i 2 2
sin дс + cos дс] -3sin xcos дс =
= 1 - 3sin xcos дс = 1 —sin2 2дс =
4
3 5 3
= 1--(1- cos4x) = — + t-cos4jc .
8 8 8
77

Следовательно, заданное уравнение принимает вид
a sin 4*—cos4jc = -. (*)
8 8 w
Применяя к уравнению (*) формулы (9) и (10),
получаем
I
2 9 •
" S11.. ... . _,
64 v ' 8
а
/«•2+zr*(^+*H. И
где u) = -arccos
V 64
Очевидно, что уравнение (* *) имеет решение только
при
J а + — £ —, т.е. при У £ —.
64 8 F п 2
В таком случае из (**) получаем выражение для
переменной х
(-0" 5 1 8а пп
Х = -—— «train + — ягадга - + ,
4 V6*T2+9 4 >/б4я2+9 4
где я — целое число.
103. Первоначально сложим уравнения заданной
системы, а затем вычтем из второго уравнения первое и
получим систему
sin(x + у) = 0,
sin(y-*)=l,
откуда последовательно находим х+у = яп, у-х=— +2лк,
х = „ 1^-*- -J и У = п (? + * + 7j» ГДе И» * — Це"
лые числа.
78

104. Заданную систему уравнений можно привести к
виду
3 1.
sinx = —+ —sin>>,
\ 2 (•)
cosx = — cos V.
2
Возводя почленно в квадрат уравнения системы (*) и
,93. 1.2 1 2
складывая их, получаем 1 = — +—smy+—smy+—cosy
16 4 4 4
1
или sin .у = —, откуда
<y = (-l)"arcsin— + яп. (**)
7
Из первого уравнения системы (*) находим sin* = — и
о
х = (-1У" arcsin— + лт. (***)
Так как при решении системы (*) использовалась
операция возведения в квадрат, то могут появиться
посторонние решения. В этой связи необходимо найденные
значения (**), (***) подставить во второе уравнение
системы (*), из которого следует, что знаки значений
COSX и cos>> должны совпадать. Легко видеть, что при
четных л, т в формулах (**) и (***) соответствующие
значения cosx и cos>> положительны, а при нечетных л,
т эти значения отрицательны. Отсюда получаем
х = arcsin — + 2яг к,
8
v = arcsin—+ 2я-/,
7 4
7
х = -arcsin— + (2к + 1) я"»
8 v '
у = -arcsin— + (2/ +1) я-,
где к J — целые числа.
79

Приведенные выше серии можно объединить и
записать окончательный ответ в виде
х ~ ("" 0* arcs*n— + Ф»
о
у = (- \)р arcsin — + л (р + 2г),
где р, г — целые числа.
105. Преобразуем уравнение следующим образом:
. х + у х-у - 2 х + у 1
2cos —cos — = 2cos —+ —,
(о x +
2cos—
^ 2
У х-у
— -cos
Г-
cos
г х-у
»• (•)
2 ) 2 w
Левая часть уравнения (*) неотрицательна, а
наибольшее значение правой части равно нулю. Поэтому
равенство в (*) достигается только в том случае, когда
cos — = 1,
2
cos
х + у _ 1
или «
х-у
cos _ = -1,
cos-
2
* + >>
2'
(••)
Решая уравнения системы (* *), получаем
2
ДС + .У
= 2^л,
я1
или
„ = ±— + 2ят
I 2 3
где/i, т — целые числа.
Отсюда следует
дс,=±- + 2я(л + т),
= я(2л + 1),
2
ДС + .У 2п т
—— = ±— + 2п т,
12 3
п
и
^,=±- + 2^(m-/i)
2я
х2 =±—+ я(2и+2т+1),
2я
>>2 =±~Г + я(2т-2п-\).
80

106. Первоначально докажем вспомогательное
неравенство
cos2i4 + cos22* + cos2C£ —. (*)
Имеет место
cos2i4 + cos22? +cos2C =
= 2cos(i4 + B)cos(A - В) + cos(2;r- 2 [A + B)) =
= 2 cos (A + B) cos (A - B) + cos2 (Л + В) £
£ -2сс*(Л + 5) + cos2 (Л + B) =
= -2cos(A + B) + 2cos2(i4 + B) -1 =
= 2(cos(„ + B)-i)2 -1..2.
Преобразуем левую часть требуемого неравенства
следующим образом:
sin А + sin2 В + sin2 С =
= -(l-cc*2^)+-(l-cos2fl) + -(l-cos2C) =
л* л* л*
3 1
= (cos2i4+cos22?+cos2C).
Отсюда, используя неравенство (*), получаем
sin2y4+sin2fl + sin2C£--i[--|=-.
2 2^ 2) 4
107. Преобразуем заданное уравнение к квадратному
уравнению относительно sin*, т.е.
2 Sin Jt+ 2(8^1^ + 008^)801^+ 1 = 0. (*)
Отсюда следует, что
= -1-801^-008^1^(801^ + 008^) -2 1 =
= —f-SOl.y-COS.yl^/sO^.y-l). (**)
4 3ак. 328 81
sin*

Очевидно, чтобы уравнение (*) имело решение,
необходимо потребовать выполнение неравенства sin 2yZ 1.
71
Однако sinly £ 1, поэтому sin2>>= 1и<у = — + як (к —
4
целое число). Для вычисления х рассмотрим два случая.
1) Пусть * = 2л, тогда (++) принимает вид
sin* = —
2
if V2 4г\ 4г
\
Отсюда х = (-1) — + ят и у = — + 2яп,
^т+\ 7Z
где и, /я — целые числа.
/ \ ^2
2) Пусть £=2л+1, тогда из (**) вытекает, что sinx=—.
Следовательно, х=(- 1)г — + яти<у = — + п(2 л +1),
где л, г — целые числа.
108. Преобразуем заданное неравенство к
следующему виду:
((sinд: -1)2 +1) ((lg>. + 1)2 + з) ^ 3. (♦)
Так как (sin* -1) £ 0 и (lg>> +1) £ 0, то имеет
место неравенство
((sin* -1)2 +1) ((\gy +1)2 + з) ^ 3. (♦ ♦)
Из (*), (* *) следует равенство, т.е.
((sin*-!)2+l)((lg,+ l)2+3) = 3.
При этом sinx=l и lgy=-l. Следовательно, х=—+2лп
и у = 0,1 (л — целое число).
82

109. Перепишем заданное неравенство как
^(sin(x + y) + \)2 +\j\og2\3x +3~х^\. (♦)
Очевидно, что (sin {х + у) +1) + 1^1. Далее,
согласно неравенству Коши (3) можно записать 3х + 3~х £ 2.
Тогда log2(3*+3"*)* 1. Следовательно, имеет место
неравенство
[(sin (х + у) + l)2 +1) кЦз* + Гх ) * 1. (* *)
Из неравенств (+) и (++) следует равенство
[(sin (х + у) +1)2 +1) кЦз* + 3~х ) = 1.
Отсюда нетрудно получить sin (х + у) - -1 и 3х - 1,
71
откуда следует х = 0 и у- — + 2як, где к — целое
At
ЧИСЛО.
110. Используя неравенство Коши (1) при к = 3,
можно записать
111 3 / ч
7 + ^ + —^ i (*)
•Л • в с АВ С V '
sin Sin- sin- 3 sin-sin-sin-
2 2 2 \ 2 2 2
Покажем, что
. A . В . С 1 , ч
sin—sin—sin— £-. (**)
2 2 2 8 v '
Преобразуем левую часть неравенства (**)
следующим образом:
. А . В . С
sin — sin — sin — =
2 2 2
\( А-В А + ВЛ . (п А + ВЛ
= — cos cos sin =
2*ч 2 2 J \2 2 J
83

\( A-B А + ВЛ A + B ^
= — cos cos cos £
2^ 2 2 J 2
1Л A + B\ A + B
£— 1-cos cos =
2^ 2^2
\( A + B \V 11
= — cos +-£-.
2^ 2 2) 8 8
Таким образом, доказана справедливость
неравенства (**). Из него и неравенства (*) вытекает требуемое
неравенство.
111. Из неравенства Коши (1) при к = 3 следует, что
а о -,^(савА+са&В + са&С\ /ч
COSi4COSiJCOSC£l I . {*)
Докажем, что
cosA+cosB + cosC^ — . (**)
Имеет место
cos Л + cos 2? + cos С = cos Л +cosi?+cos(;r -(Л + ^)) =
= coSi4 +cosi?-cos(i4 + B) =
- A + B A-B (- 2A + B Л
= 2cos cos 2cos 1 ^
2 2^ 2 )
.- A + B 2A + B .
£ 2cos 2cos +1 =
2 2
2
= 2-2fcos±tl_iys2
2^ 2 2) 2
Отсюда следует неравенство (**), откуда и из(*)
получаем требуемое неравенство.
112. Требуемое неравенство преобразуем следующим
образом: (tg2i4 + l) + (tg2£ + l) + (tg2C +1) £ 12.
84

Отсюда следует, что
-4- + -L-+-L-S12. (.)
cos A cos В cos С
Очевидно, что заданное неравенство эквивалентно
неравенству (*). Докажем неравенство (*). Для этого
преобразуем левую часть (*), используя при этом
неравенство Коши (1) при к = 3, т.е.
Z— + j— + ^-^3-^= (**)
cos A cos В cos С ^(cos^cos^cosC)2
Известно, что если А+В+С=я.то cosAcosBcosC^ —
8
(см. задачу 111). Отсюда и из (**) следует
справедливость (*).
113. По аналогии с решением предыдущей задачи
заданное неравенство будет эквивалентно неравенству
cos A cos В cos С
Для левой части неравенства (*) справедливо
-^-+-^ + -^^-, = ' И
cos A cos В cos С ^(cosy4cos5cosC)2
(см. задачу 112).
я
Докажем неравенство: если А + В + С = — ,то
coSi4cos5cosC £-^-. (***)
8 v '
Имеет место: cos A cos В cos С =
= -(cos (A-ti)+cos(A+B))sm(A+tf)£
1
£ -(l + cos(i4 + В)) sin (А + В).
85

Рассмотрим тригонометрическую функцию
/ v 1 /t ч . sin* sin2x
q> \х\ - — II + cosхJ sinx + .
Найдем максимальное значение функции у = <р(х), где
п
0<,х<, —. Для этого вычислим производную функции (р
по переменной х и приравняем ее нулю, т.е.
d<p cos* cos2x _ _ 2 i Л
—£- = + = 0или2сов jc + cosjc-1 = 0.
dx 2 2
Корнем последнего уравнения является cosx = —. От-
сюда sinjr = —.
2
Следовательно, <р (дс) £ —11+—I — = . Таким
образом, неравенство (***) доказано.
Из (**) и (***) следует непосредственно
справедливость требуемого неравенства.
114. Используя условие задачи, можно записать
2 л sin2 В \-cos1 В
cos А-—-— = - =
cos В cos В
1 cos2 С
cos2 В l-cos2C
—! i=_i i-
1 \ cos A .
^2 c sin2 A
1 l-cos2/4
2 2
cos Л , 2cos i4-l
2
1-cos i4
86

2
Обозначим х = cos А . Тогда получаем уравнение
относительно х вида
1~х i 2 , Л
дс = 1 или х + х -1 = 0.
2х-\
-1±VS
Решая квадратное уравнение, получаем х^ 2 = •
2 >/5-1
Поскольку х > О, то cos Л = . Отсюда следует, что
2 4 4
т.е. sin А =J L = .
2 2
Проведя аналогичные рассуждения относительно cos 5
и cosC, получим, что sin А = sin В = sin С.
115.Известно, что S = —aha=—bhb=-chc. Испо-
2 2 2
льзуя неравенство Кош и—Буняковского (8), получаем
la2 +Ь2 + c2\lh2 +h% + Л*Ь
?>{aha + bhb +chc)2 =3652 .
116. Пусть AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.
Проведем диагональ Л С и тем самым разобьем
четырехугольник ABCD на два треугольника ABC и Л CD. Тогда
SABCD = «S/ЮС +S/<C£> •
Известно, что S^^ = — absin В £ —об. Используя нера-
венство Коши (2), можно записать аЬ^-(а2 +62). Следо-
а2 +62
вательно, а,^ ^ —-—.
87

c2+d2
Аналогично получаем S^cd ^ • Отсюда не-
4
посредственно следует справедливость искомого
неравенства.
Следует отметить, что равенство достигается только
в том случае, когда ABCD — квадрат.
117. Объем конуса выражается через высоту Я и
радиус основания конуса R следующим образом:
V = -ttR2H.
3
В эту формулу входят две переменные (R и Я),
однако одну из них можно исключить, поскольку
образующая конуса равна L.
2 2 2
Имеет место R + И = L и тогда
Таким образом, получили функцию
У(И) = -л1?Н--лНъ.
Отсюда получаем Г/(Я) = -я- 1?-я Я2. Областью
определения функции V (Я) (по смыслу задачи)
является отрезок 0<> Н <, L. Для определения критических
точек функции V = V (Н) необходимо решить
уравнение Г'(Я) = 0. Очевидно, что на области определения
функции V = V(H) имеется лишь одна критическая
точка Я = -=.
S
Следовательно, конус, образующая которого равна I,
высота Я=-=, имеет наибольший объем, равный V- .
h 27
88

118. Обозначим в треугольнике ABC длины сторон
ВС у АС у АВ соответственно через а, Ь, с. Проведем
высоту ВК к стороне АС. Не нарушая общности
рассуждений, будем считать, что точка К лежит на стороне АС.
Обозначим длину ВК через Л, а длину АК через х.
Нетрудно видеть, что
Н2=с2-х2и#=а2-(Ь-х)2.
Отсюда следует, что
с2-х2=а2-(Ц2и,=
Следовательно, имеет место
#.2 . Л J-
о +с —а
2Ь
*=с2-х2=с2-
(гЛ.Л „г\2
о +с —а
\
2Ь
bh
Известно, что площадь треугольника 5=—.Отсюда
4
с2-
\
Ъ +с -а
2Ь
1\
--LjttV -Ъ4 -с4 -а4 -2Ъ2с2 +2а2Ь2+2а2с2) =
= ±(2А2 +2eV +2Ь2с2 -а4 -Ь4 -с4) =
Отсюда окончательно получаем S =
4^-
2л
89

119. Если a, b, с — длины сторон треугольника
периметра 2, то а<\, b<\ и с< 1 (в противном случае
одна из сторон треугольника будет больше суммы двух
других). В этой связи (l - a) (l - b) (1 - с) > 0.
Раскрывая скобки и преобразуя левую часть, получим
1 - (a + b + с) + ab + ас + be - abc =
= 1 - 2 + ab + ас + be - abc =
a +d +c .
= -1 + + ab + ac +
2
. a2+b2+c2 .
+ bc abc =
2
(a + b + c) a2+b2+c2 ,
2 2
, 4 a2+b2+c2 .
= -1 + abc =
2 2
„2 ^1,2 ^„2
fl +£ +c , Л
= 1 abc > 0.
2
Отсюда следует, что a2 +b2 +c2 <2(\-abc).
120. Проведем отрезок LMt параллельный ВК. Из подо-
- ЯС КС AL AM
бия треугольников можно записать — = и — = .
PL KM LB МК
Поскольку CL — биссектриса угла С, то = —, т.е.
ВС LB
AC AM _
= . В таком случае
ВС КМ
PC АС КС AM КС-AM ^
PL ВС КМ КМ КМ
АК-АМ КМ
= 1.
КМ КМ
90

121. Обозначим основания трапеции через а и b, а
высоты соответствующих треугольников — через ha и
hb. Тогда
S = ^(ha+hb),Sx=X-ahatS2=hhb.
Из подобия треугольников имеем -=—. Обозначим
Ь Ьь
— = к . Тогда a = kb, ha = khb. В таком случае
5 = ^f-bhb, St = ^-bhb и S2 = 1%.
Отсюда следует
111. Применим неравенство Бернулли (7). Тогда
получаем
(
з^ v ' 6 6
Так как в каждом неравенстве Бернулли равенство
достигается лишь при * = 0, то / (О) = 2 — максимальное
значение функции / (х).
123. Применим к выражению f(x,y) неравенство Ко-
ши—Буняковского (8). Тогда
/2(*,>;)<;(б2+22+32)х
х(sin xcos y + sm xsin y + cos х\ =
= 49 (sin2 x + cos2 x\ = 49 .
Отсюда получаем - 7 £ f (x,y) £ 7.
Теперь требуется показать, что
/max(^>')=7 и /min(*,>) = -7.
91

С этой целью необходимо рассмотреть условия, при
которых неравенство Коши—Буняковского (8) обращается
в равенство. Применительно к заданной функции
/ (х,у) получаем систему уравнений
2 2
36 = a sin xcos уу
4 = flsin2 xsin2 у, (*)
9 = acos х,
где а — некоторая положительная константа. Путем
сложения всех уравнений системы (*) получаем а = 49.
. 9
Из последнего уравнения (*) следует cos = — и тогда
2 2 40
sin х = 1 - cos х = —. В таком случае из первого и
второго уравнений системы (*) получаем
2 9 . 2 1
cos у =— и sin v = .
' 10 ' 10
Если положить sinjc=—VlO, cosx = —, sin у = -== и
3
cos>> = -=, то получим fmax(x,y) = 7.
2 /n: 3 . 1 3
Если sinjt=-vI6, cos;c=—, siny=—■== и °°8у=
7 Г-' JlO ' VlO'
то/ш1п(*.у)в-7.
92

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Метод математической индукции является одним из
наиболее часто встречающихся методов в математике.
Допустим требуется доказать некоторое утверждение
R(n), зависящее от целочисленного параметра л, где
л £ а. Чаще всего в качестве п фигурируют натуральные
числа. Непосредственная проверка этого утверждения
для каждого л невозможна, поскольку множество
натуральных чисел бесконечно.
Суть метода математической индукции состоит в
следующем. Первоначально необходимо убедиться в
справедливости утверждения R (л) при начальном значении
параметра л, т.е. в справедливости R (а).
Эта часть доказательства называется базисом индук-
tfuu. Затем предполагается, что утверждение R (л)
справедливо при п = к (индукционное предположение). Если
после этого окажется справедливым утверждение R(n)
при л = * +1, тоутверждение R(л) доказано полностью.
В ряде случаев оказывается полезным использование
некоторой модификации метода математической
индукции. Как и прежде, первоначально необходимо проверить
справедливость утверждения R (а). Затем предполагается,
что утверждение R (л) справедливо для всех л, которые
меньше к (индукционное предположение). Затем
необходимо убедиться в справедливости утверждения R (к).
Ниже предлагаются задачи, решение которых
осуществляется методом математической индукции.
124. Доказать, что для натуральных л справедливо
\2 +22 +~+п2 =-п(п+\)(2п+\).
93

Решение. Обозначим искомую сумму через Sn. Тогда
требуется доказать, что
S„ = l2 + 22 + ... + л2 = 1/!(/|+ 1)(2л+1). (♦)
6
Пусть л=1. Тогда «Sj = l2=4l(l + l)(2 + l) = l, т.е. ут-
6
верждение (*) справедливо при п = 1.
Предположим, что (*) верно при л = *, т.е.
S,=I*(* + l)(2* + l). («)
Докажем справедливость (*) и при п = к +1, т.е.
докажем, что
S».,=^(* + l)(* + 2)(2* + 3). (•*•)
Из (*) следует, что Sk+\ = S* + (* + l) . Отсюда,
используя индукционное предположение (**), получаем
Sk+x=-k(k + \)(2k + \) + (k + \f =
= -(* + 1)(2*2 + * + 6* + б)=-(* + 1)(* + 2)(2* + 3).
Таким образом утверждение (***) доказано. Значит,
по принципу математической индукции формула (*)
верна для любого натурального п.
125. Доказать, что при любом натуральном значении
л (л £ 1) число 4й +15/1-1 делится на 9.
Решение. Обозначим 4й + 15/1-1 через Л (л).
Если /i = l, то /?(l) = 4 + 15-l = 18. Следовательно,
при /I = 1 утверждение задачи выполняется.
Предположим, что R(n) кратно 9 при п = к.
94

Докажем, что при л=*+1 число R(n) также делится
на 9. Для этого представим R(k +1) следующим образом:
Л(* + 1) = 4*+,+15(* + 1)-1 =
= 4(4* + 15*-l)-45* + 18 = 4/?(*)-45* + 18.
В силу индукционного предположения, число R(k)
кратно 9, следовательно, число R(k +1) также кратно 9.
Таким образом утверждение задачи доказано.
126. Доказать, что при л £ 2 справедливо
/,(/,2-l)
1x2 + 2x3+ -+(/1-1)/1 = -^ *-. (*)
Решение. Обозначим левую часть заданной суммы
через Sn.
Пусть /1=2, тогда i% = lx2=-J ^=2, т.е. (*)
справедливо.
Предположим, что (*) справедливо при п = к, т.е.
ФИ
Sk =1x2 + 2x3+ -+(*-l)* = —* L. (**)
Покажем, что
(* + l)((*+l)2-ll (к + \)(к2+2к)
sM- 'К\ = з '■<•••>
Известно, что 5^+j = S* + Л (* +1). Отсюда с учетом
индукционного предположения (* *) следует, что
s*+i—^—^+*(*+i)=
= *±!(*(*-1)+з*)=*±!(*2+2*),
95

т. е. формула (***) доказана. Следовательно,
утверждение (*) справедливо для всех натуральных п.
127. Числа Фибоначчи F (л) задаются рекуррентным
соотношением F(/i+2) = F(/i)+F(/i+1), где л £1, и
начальными условиями F (l) = F (2) = 1. Доказать, что
F(l)+F(2)+- + F(/i) = F(/i + 2)-l. (*)
Решение. Обозначим левую часть (*) через Sn.
Пусть л = 1, тогда по определению F(l) = 1. С другой
стороны, из (*) следует
F(l) = F(3)-l = F(l) + F(2)-l = 1 + 1-1 = 1,
т. е. (*) справедливо при начальном значении п.
Предположим, что (*) выполняется при п = к, т.е.
S,=F(*+2)-l. (♦•)
Докажем, что (*) верно и при п - к +1, т.е.
S*+I=F(* + 3)-l. (♦♦♦)
Имеет место S^\ =¾ +F(fc+l). Принимая во
внимание (**), можно записать
Sk^=F(k + 2)-\ + F(k + \) = F(k + 3)-\t
т. е. утверждение (***) доказано, а вместе с ним
доказано (*).
128. Доказать тождество
COSU)COS2u)COS4u)---COS2nu) = : , (+)
2 Sinfl)
где /1^0.
Решение. Левую часть тождества (*) обозначим
через Rn.
96

Пусть п = О. Тогда Rq = coso и из (*) следует, что
sin2o> 2sina>cosa>
Rq = = = cos*»,
2 sin со 2 sin со
т.е. (*) верно при п - О.
Предположим, что (*) справедливо при п - к, т.е.
2 sin ДО
Докажем, что (*) имеет место и при п = к +1, т.е.
2*+^япю
Так как /?£+i = /¾ cos2 о>, тогда, учитывая
индукционное предположение (* *), можно записать
п sin2*+la> „*+i
Я*+1 =-»—; cos2 G> =
2sin2*4la>cos2*4la> sin2*+2a>
2*+2sina> ~2*+2sinu>'
т.е. (***) доказана.
Согласно принципу математической индукции
заключаем, что тождество (*) верно при любых целых п £ О.
129. Доказать тождество
cosu) + cos3u) + cos5fl? + --+cos(2/!-lV» = , М
v ^ 2sina> v'
где/i — число слагаемых.
Решение. Обозначим левую часть (*) через Sn.
тт 1 с» sin2uj / v
Пусть /1=1, тогда S\ = cosu) = , т.е. (*) верно.
2sma) v '
Предположим, что (*) верно при п = к, т.е.
* 2sina> v '
97

Покажем, что (*) выполняется и при л = * +1, т.е.
sin(2k + 2)co . ч
«U+l=—^ ' (**•)
2sino>
Из (*) следует, что 5Л+! =Sk + cos(2* + l)o, откуда
с учетом (**) получаем, что
*+1 2sino v '
sin2&u> _. . _,
= + cos2ka>coso) - sin 2ko) sin o) -
2sino>
sin2kcoL _ . 2 \ ~.
= l-2sin о) + cos2ko)coso) =
2sino> \ I
sii\2ka> _ _,
= cos2o> + cos2ka> coso =
2 sine»
_ s\n2ko)cos2o) + 2s\no)coso)cos2ko) _
2 sine»
_ sin 2ko) cos2a? + sin Icocoslkco _ sin (2k + 2)o)
2sino> 2sino>
Таким образом, формула (***) доказана.
Следовательно, тождество (*) справедливо для любых
натуральных п.
130. Доказать неравенство Бернулли (5): если х>-\
ил — натуральное число, то
(\ + х)п?>\ + пх. (*)
Решение. Пусть п = 1, тогда (*) превращается в
тождество 1+х=1+х.
Предположим, что (*) справедливо при п = к, т.е.
(\ + х)к*\ + кх. (♦♦)
Покажем, что (*) выполняется также и при п=к+\, т.е.
(1 + х)*+1*1 + ** + х. (***)
98

Имеет место (l + xf+1 = (l + x) (l + x)k. Отсюда, в
силу индукционного предположения (**), следует, что
(\ + х)к+1*(\ + х)(\ + кх) = \ + кх + х + кх2.
Поскольку he ^0, то отсюда вытекает неравенство (***)•
Отсюда на основании принципа математической
индукции следует, что неравенство Бернулли (5)
справедливо для любых натуральных п.
131. Числа 0),02 ап*ап+\ образуют
арифметическую прогрессию. Доказать, что
11 1/1 ,ч
аха2 а2аъ апап+\ а\ап+\
Решение. Обозначим левую часть утверждения (*)
через Sn. Пусть л=1, тогда (*) принимает вид = .
аха2 аха2
Следовательно, утверждение (*) верно при л = 1.
Предположим, что (*) справедливо при п = к, т.е.
Докажем справедливость (*) при п = к +1, т.е.
«1в*+2
Из (*) следует, что S^x = Sk + . Отсюда и
fl*+lfl*+2
из (**) следует, что
s к | —J— = *"*+2+вЬ - k(°k+l +d)+al -
aiak+i ак+\ак+2 а\ак+\ак+2 а\ак+\ак+г
_ как+х + ах+Ы _ (k + \)ak+i
а\ак+\ак+г а\ак+\ак+2
99

Отсюда следует справедливость (***). Отметим, что при
доказательстве (***) использовалась следующая формула
/1-го члена арифметической прогрессии: ап - аг + (п - г) d,
где d — разность прогрессии и \<,r <,п.
На основании принципа математической индукции
заключаем, что равенство (*) справедливо для любых
натуральных п.
132. Доказать неравенство (п £ l)
JL+_L+...+_L_>i. (♦)
л+1 л + 2 Зл + 1 w
Решение. Обозначим левую часть неравенства (*)
через Sn.
Пусть и=1,тогда Sj=-+-+->1, т.е. (*) верно при л=1.
Лл J ^Т
Предположим, что (*) справедливо при п-к, т.е. S^ > 1.
Докажем, что Sk+l > 1. Доказательство последнего
неравенства особого труда не представляет, поскольку
1
3* + 2 + 3* + 3 +
с ( 1 1 1 1 1
5*+,=1Гй+/мГ2 + **+ЗлТТ; + 3^
11 2
Зк + 4 к + \ ' (3* + 2)(3* + 3)(3* + 4) *
Следовательно, неравенство (*) доказано.
133. Доказать, что число диагоналей выпуклого
^-угольника равно
Решение. При п-Ъ утверждение справедливо,
поскольку в треугольнике нет диагоналей. Предположим,
что во всяком выпуклом ^-угольнике имеется
100

Dfi = —* '- диагоналей. Докажем, что тогда утвержде-
ние М верно и при п = к +1, т.е. что во всяком
выпуклом [к +1)-угольнике число диагоналей равно
Пусть 4>42...4Иы — выпуклый (к +1) -угольник.
Проведем в нем диагональ А\А^ . Чтобы подсчитать число
диагоналей в (к +1)-угольнике А^А^ ...А^А^+\, нужно
подсчитать число диагоналей в ^-угольнике А{А1 ...\,
прибавить к полученному числу к-2, т.е. число диагоналей
(£+1)-угольника А\Аъ... AfrAb+i, исходящих из вершины
Аь+1, и, кроме того, следует учесть диагональ Al Ак. Таким
образом: Д+|=Д+(*-4+1=—-—+*-1= .
Итак, утверждение (**) справедливо и,
следовательно, согласно принципу математической индукции,
формула (*) доказана.
134. Доказать, что для любого натурального п (л £ 3)
справедливо неравенство
*Ул">л+<Ул7Т. (*)
Решение. Преобразуем неравенство (*) следующим
образом. Первоначально возведем обе части неравенства
в л (л +1) -ю степень, тогда получим л"*1 > (л +1)".
Отсюда получаем неравенство
о-?-
которое эквивалентно неравенству (*).
101

Пусть л = 3, тогда из (**) следует, что I 1 + -1 < 3.
Последнее неравенство имеет место, поскольку 64 < 81.
Предположим, что (**) верно при п = к, т.е.
Докажем справедливость (**) при п = к +1, т.е.
докажем неравенство
*+1
<к + \. (****)
^ к + \)
Преобразуем левую часть неравенства (****) с
учетом (***).
Имеет место
r1+_Lr=f1+-Ufi+-4*<
^ к + \) К к + \)\ к + \)
_к2+к + к_к(к + 2) ^(к + \)2 ^
к+\ к+\ к+\
При доказательстве данного неравенства использова-
лось очевидное неравенство к (к +2) < (к+1) , которое
легко доказать, раскрывая скобки обеих частей неравенства.
Таким образом, доказано неравенство (****), а
вместе с ним по принципу математической
индукции—неравенства (**) и (*).
135. Доказать, что при натуральном п (пЩ неравенство
|а1+а2 + ...+ая|^|а1| + |а2| + -+|ая| (♦)
выполняется при любых а\,а2 ап.
102

Решение. При л = 2 неравенство (*) принимает вид
k+^Nkl+kl.
что верно. Предположим, что неравенство (♦)
выполняется при л = к, т.е.
10,+02 + -. + ^1^,1 + 1021 + --+1^1. (♦♦)
Докажем, что (*) имеет место и при л = * +1, т.е.
1*1 + «2 + - + я* +flA+i|^H+N+-+W+K+l|-(***)
Действительно, можно записать
^|a,+fl2 + - + eA| + K+l|-
Далее воспользуемся индукционным
предположением (**) и получим требуемое неравенство (***)• На
основании принципа математической индукции приходим
к выводу, что неравенство (*) справедливо при л £ 2.
136. Доказать, что при любом натуральном л (л £ 2)
справедливо неравенство
11 1 13 /ч
л+1 л + 2 2л 24 w
Решение. Обозначим левую часть неравенства (*)
через ^,.
1. Пусть л = 2, тогда
с 1 1 7 13
$2 = - + - = — > —
1 3 4 12 24
следовательно, при л = 2 неравенство (*) выполняется.
13
2. Предположим, что (*) верно при л=*, т.е. .¾ > —.
103

13
3. Докажем, что i%+i >—. Из условия (*) следует, что
1 1 !
* *+1 к + 2 2к
11 111
5Л+1= + + ... + -_ + _ +
к + 2 к + 3 2к 2к + \ 2к + 2
Сравнивая между собой S^ и £*+1 > получаем
2* + 1 2* + 2 *+1 2(* + l)(2* + l)'
Очевидно, что при любом натуральном к правая
часть последнего равенства положительна. Поэтому
Sj[+\>Sj[. Однако согласно индукционному
предположению Sfl> —. Следовательно, 5^+| >— и
неравенство (*) доказано.
137. Доказать, что для любого натурального п
справедливо
arcctgl + arcctgS + • • • + arcctg (2л +1) = arctgl +
3 л + 1 t / ч
+ arctg— + ---+arctg л arctgl. [*)
2 л
Решение. Предварительно для произвольного
натурального л (л £ 1) докажем вспомогательное равенство
л + 1
arcctg (2л +1) = arctg arctgl. (* *)
л
Действительно, имеет место
л + 1 t
л + 1 Л и ' 1
/g arc/g arctgl
\ л
л
1 Л + 1 1 2л+ 1
1 + xl *" + 1
л
Отсюда следует, что
104

arc/g = arcc/g (2л +1) = arc/g arc/gl,
2/1+1 /i
т.е. равенство (**) доказано.
Пусть /i=l, тогда оба равенства (*) и (**)
принимают вид arcctg^-arctgl-arctg\y т.е. (*) справедливо
при /1 = 1.
Предположим, что (*) выполняется при п - к, т.е.
arcctg! + arcctgS + ■•• + arcctg (2к +1) =
3 *+1 , , / \
= orc/g2 + arctg— + ••• + arctg кarctgl. (***)
Покажем, что (*) справедливо и при л = * +1, т.е.
arcctg! + arcctgS + ■ • • + arcctg (2к + 3) = arctgl +
+ arctg— + ••• + arctg (Л +1)arctgl. (****)
Из (**) при л = * +1 следует, что
arcctg (2к + 3) = arc/g arc/gl.
Если последнее равенство сложить с (***), то
получим (****)• Следовательно, (*) доказано.
138. Доказать, что любое целое число рублей л
(л £ 8) можно уплатить без сдачи денежными билетами,
достоинством в 3 и 5 рублей.
Решение. Пусть л = 8, тогда утверждение задачи
справедливо, поскольку 8 руб. = 3 руб. + 5 руб.
Пусть утверждение верно для к рублей, где к —
целое число, большее или равное 8.
При этом возможны два случая:
10S

1) к рублей уплачивается одними трехрублевыми
билетами;
2) к рублей уплачивается денежными билетами,
среди которых есть хотя бы один билет пятирублевого
достоинства.
В первом случае трехрублевых билетов должно быть
не менее трех, так как в этом случае к > 8. Для того
чтобы уплатить к +1 руб., заменим три трехрублевых
билета двумя пятирублевыми.
Во втором случае для уплаты к + \ рубля заменим
один пятирублевый билет двумя трехрублевыми.
Таким образом, мы доказали справедливость
утверждения при п=к+\. Следовательно, утверждение задачи
выполняется для произвольных чисел л, начиная с п = 8.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Азаров А.И., ТавгеньО.И., Федосенко B.C.
Функциональные методы решения задач. Мн., 1994.
2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с
параметрами. Мн., 1996.
3. Вярьвильская О.Н., Габринович В.А., Громак В.И.
С неравенствами на равных. Мн., 1997.
4. Габринович В.А., Громак В.И. Решим любую
задачу! Мн., 1996.
5. Емеличев В.А., Супрун В.П. Задачи по
комбинаторике. Мн., 1992.
6. Сборник задач для поступающих во втузы /Под
ред. М.И. Сканави. Мн., 1990.
7. Соминский И. С. Метод математической
индукции. М., 1965.
8. Штейнгауз Г. Сто задач. М., 1982.

СОДЕРЖАНИЕ
ОТ АВТОРА 3
ПРИМЕНЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 5
ЗАДАЧИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ НА ПИСЬМЕННЫХ
ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ 9
УСЛОВИЯ 9
РЕШЕНИЯ 22
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 93
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 107

Учебное издание
СУПРУН Валерий Павлович
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Заведующая редакционной группой Т. Л. Шумейко
Художественный редактор Р. В. Конрад
Технический редактор Е. В. Мандрик
Корректоры А. В. Алешко, Л. И. Жилинская
Набор и верстка выполнены на компьютерной технике Государственного
предприятия «Издательство «Полымя». Подписано в печать 11.02.98. Формат
84x108 '/з2- Бумага газетная. ГарнкгураТипТаймс. Офсетная печать. Усл. печ. л.
5,88. Усл.кр.-отт. 6,09. Уч.-изд,л. 3,73. Тираж 25 000 экз. Изд. № 135. Зак. 328
Государственное предприятие «Издательство «Полымя» Государственного
комитета Республики Беларусь по печати. Лицензия ЛВ № бот 31.12.1997.
220600, Минск, пр. Машерова, 11
Отпечатано с оригинал-макета заказчика в типографии издательства
«Белорусский Дом печати». 220013, Минск, пр. Ф. Скорины, 79

Супрун В. П.
С 89 Избранные задачи повышенной сложности по
математике:—Мн.: Полымя, 1998.—108 с.—(«В
помощь абитуриентам и студентам»).
ISBN 985-07-0233-8
Настоящее учебное пособие предназначено для
интенсивной подготовки к вступительному письменному экзамену
по математике в вузы, где математика является
обязательным или профилирующим предметом.
В пособии представлены, в основном, задачи по
математике, допускающие нестандартные решения, изучению
которых в общеобразовательной школе уделяется мало
внимания или не уделяется вообще. Это относится, в первую
очередь, к использованию неравенств Коши, Коши—Буняков-
ского и Бернулли, а также метода математической индукции.
Пособие адресовано школьникам, учителям средних
школ и преподавателям вузов, принимающим
вступительные экзамены по математике.
УДК51(076.1)(075.4)
ББК22.ПЯ729