М.Л.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Задачи и упражнения
Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.
Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики —
вариационному исчислению.
По стилю и методике изложения предмета он непосредственно примыкает к
ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости» и «Интегральные уравнения».
В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения
(определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры.
Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для
самостоятельного решения.
Задачи снабжены ответами, в ряде случаев даются указания к решению.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Предварительные замечания 5
Глава I. Экстремум функций многих переменных 7
§ 1. Безусловный экстремум 7
§ 2. Условный экстремум 15
Глава II. Экстремум функционалов 22
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства 22
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 46
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 61
§ 6. Инвариантность уравнения Эйлера 73
§ 7. Поле экстремалей 76
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала 88
§ 9. Условный экстремум 103
§ 10. Вариационные задачи с подвижными границами 119
§ 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации 131
§ 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принципы механики 140
Глава III. Прямые методы вариационного исчисления 155
§ 13. Конечно-разностный метод Эйлера 155
§ 14. Метод Ритца. Метод Канторовича 157
§ 15. Вариационные методы нахождения собственных значений и 164
собственных функций
Ответы и указания 178
Литература 189

ПРЕДИСЛОВИЕ
Современному инженеру часто приходится иметь
дело с задачами, которые требуют от него хорошей
математической подготовки и твердых навыков в при-
применении разнообразных математических методов. Рас-
Расширение математического кругозора инженеров не-
немало способствует новым достижениям техники.
Вариационное исчисление является одним из наи-
наиболее важных для приложений разделов классиче-
классического математического анализа. В настоящее время
в ряде втузов вариационное исчисление включено в
обязательную программу курса высшей математики.
Большое количество задач по вариационному исчис-
исчислению содержится в известном сборнике задач
Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина. Однако эти задачи,
в большинстве своем довольно трудные, даны без
указаний к их решению, поэтому начинающему они
бывают часто не по силам. Много хороших задач
рассеяно по многочисленным курсам вариационного
исчисления, но некоторые из этих курсов стали биб-
библиографической редкостью.
Авторы задались целью дать некоторый минимум
задач по основным разделам классического вариа-
вариационного исчисления и сознательно не касались во-
вопросов, связанных с теорией оптимального управ-
управления.

4 предисловие
При составлении настоящего задачника авторы
ориентировались в основном на книги Л. Э. Эльс-
гольца «Дифференциальные уравнения и вариацион-
вариационное исчисление» и Л. Я. Цлафа «Вариационное ис-
исчисление и интегральные уравнения» (справочное ру-
руководство) .
Считаем своим приятным долгом горячо поблагода-
поблагодарить доцентов Н. X. Розова и Л. Я- Цлафа за ряд цен-
ценных замечаний и советов, которые помогли нам в ра-
работе над книгой. Пользуемся случаем выразить при-
признательность сотрудникам кафедры высшей матема-
математики МЭИ, которые также помогали нам при напи-
написании книги.
Все замечания и предложения, направленные на
улучшение книги, нами будут приняты с благодар-
благодарностью.
М. Л. Краснов,
Г. И. Макаренко,
Москва — Дубна, 1972 г. А. И. Киселев

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Если А — произвольное множество элементов, то утвер-
утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически
записывается так: ое/1.
Запись а ф.А (или аША) означает, что элемент а не при-
принадлежит множеству А.
Если А и В — множества, то утверждение «Л является под-
подмножеством множества В» (символически: А с В) означает, что
всякий элемент х множества А принадлежит и множеству В.
2. Объединение и пересечение двух множеств А и В опре-
определяются следующим образом:
Объединение A U В = {х\х е/1 или хей) есть совокупность
элементов х, принадлежащих хотя бы одному из множеств А
и В;
пересечение А Л В — {х\х е А, * е В} — совокупность эле-
элементов х, принадлежащих как А, так и В.
3. Если А — некоторое множество вещественных чисел, то
верхней гранью (точной верхней гранью) А называется наимень-
наименьшее вещественное число М, такое, что а ^ М для всех а е А,
Иными словами, М— верхняя грань А, если для любого а е А
имеем a =s: M, но каково бы ни было 8 > 0, хотя бы и как
угодно малое, найдется по крайней мере один элемент 6еЛ та-
такой, что М — 8 < Ь.
Если такого числа не существует, то в качестве верхней
грани А принимается +°°.
В обоих случаях верхняя грань множества А обозначается
sup Л. Аналогичное определение дается и для нижней грани мно-
множества А, обозначаемой inf A.
4. Линейным пространством называется множество R эле-
элементов х, у, г, ... произвольной природы, для которых опреде-
определены операции сложения и умножения их на числа, причем вы-
выполнены следующие аксиомы:
)( + у) + г + (у + );
3) существует такой элемент 0 (нулевой элемент), что
X + 0 = х для любого te/J;
4) для каждого 1еД существует такой элемент —х (про-
(противоположный элемент), что х + (—х) ¦=¦ 0;
о) \-х = х;
6) а (рх) = (ар) х;
7) ( + Р) + Р
)
7)
8)
) ( + Р) Р
8) а (х -f У) = ах -f ay.

6 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
5. Линейное пространство R называется нормированным, если
каждому элементу «eU поставлено- в соответствие неотрица-
неотрицательное действительное число \\x\\ — норма этого элемента, при-
причем:
1) || х || = 0 только при х = 0;
2) ||а* || =4а |. II* II;
3) И* + у\\ < || х || + || у ]| (аксиома треугольника для норм).
6. Множество М элементов х, у, г, ... любой природы назы-
называется метрическим пространством, если каждой паре элемен-
элементов х, у из М поставлено в соответствие неотрицательное дей-
действительное число р(х, у) такое, что
1) р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у (аксиома
тождества);
2) р(х, у) = р(у, х) (аксиома симметрии);
3) р(х, у) + р(у, г) ^ р(х, г) (аксиома треугольника).
Число р (х, у) называется расстоянием между элементами
х и у.
Всякое линейное нормированное пространство является
метрическим: достаточно положить р(х,у) = || * — у\\.
7. Пространство С[а, Ь\ — пространство всех непрерывных
на [а, Ь] функций у{х):
|| у || = max \y{x)\.
Пространство С\[а,Ь) — пространство всех функций у(х),
непрерывных на [а, Ь] вместе со своей первой производной:
||jMICi= max \y(x)\i- max \y'(x)\.
Пространство Сп[а,Ь] — пространство всех функций у(х), не-
непрерывных на [а, Ь] вместе с производными до n-го порядка
включительно (п — фиксированное натуральное число):
=2 тах
Иногда в Cn[a,b] норму элемента у(х) определяют так8
max {\у(х)[,\у'{х)\ 1«/(>

ГЛАВА I
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Безусловный экстремум
Пусть в некоторой области D евклидова га-мерного простран-
пространства Е задана функция f{x\, х2, ..., х„) или, коротко, f(x).
Мы скажем, что в точке Хо е D функция f(x) достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения, если какова бы ни
была точка х *= D, имеем:
f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)).
Теорема Вейерштрасса. Всякая функция, непрерыв-
непрерывная в замкнутой ограниченной области, достигает в ней своего
наибольшего и наименьшего значений.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена в обла-
области DcEn. Точка х{0^ = (х°1, ..., iJjeD называется точкой
строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума)
функции 1(х), если существует такая окрестность Q(*@)) точки
х(°\ что выполняется неравенство f(x) < /(x<°>) (соответственно
f(x) >f(*<°>)) для всех точ*ж * ен Q (х<°>) ПА *?=*<">.
Точка строгого максимума (соответственно строгого мини-
минимума) характеризуется тем, что
A/ = fM— /(*@))<0 (соответственно Af>0)
при всех х е= О(*<°>) П А х Ф х<-°1
Если же для точки *@> существует такая окрестность
п(*<">), что для всех точек xeQ(x<°>) (] D выполняется условие
f(x) < f(xM) (соответственно f(x) ^ f(x^)), то точка *«>> назы-
называется просто точкой максимума (соответственно точкой мини-
минимума) .
Определение 2. Точки максимума и минимума функции
f(x) называются точками экстремума этой функции.
I. Пользуясь определением, найти точки экстремума
функций:
a) f (*i. хг) = х] + х\;

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
+ 0;
в) f(x
— х\
в области D [х\ + х\ < l}.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть
функция f(x), х = (х\, х% ..., хп), определена в некоторой ок-
окрестности точки х{0' = (д-р *°, ..., х°пУ Если эта точка является
точкой экстремума функции f(x) и если в этой точке существуют
производные -д— (у = 1, 2, ,,,, п), го они равны нулю
4
(У-1.2 п).
Если функция f(x) дифференцируема в точке экстремума х<°\
то ее дифференциал равен нулю в этой точке: dj(яМ) — 0.
Пример 1. Найти точки экстремума функции z = х2 + у2.
Решение. Точки экстремума находятся среди точек, для
которых dz = 0. В нашем случае dz = 2x dx + 2i/ dy. Условие
dz = 0 выполняется в единственной точке х = 0, I/ = 0. В са-
самом деле, если х = у = 0, то d2 = 0. Обратно, пусть dz = 0;
пользуясь произвольностью dx и di/, выберем d(/ = 0, тогда 0 =
= dz — 2х dx и в силу произвольности dx отсюда следует, что
х = 0. Аналогично получаем, что и г/= 0. В точке @,0) имеем
г = 0, во всех же других точках z = *2 + у2 > 0. Поэтому
точка @,0) является точкой строгого минимума для функции
г = л* + (Д
Если расширить класс функций, в котором ищется экстре-
экстремум, включив функции не дифференцируемые в отдельных точ-
точках, приходим к следующему необходимому условию
экстремума.
Если *@> есть точка экстремума функции 1(х\, Ха, ..., хп), то
е этой точке каждая частная производная -—- (i = 1, 2, ...,«)
либо равна нулю, либо не существует.
Пример 2. Рассмотрим верхнюю полость конуса г2 —
— х2 + У2> г »> 0. Очевидно, в точке 0@,0) функция г имеет
,, » dz dz
минимум. Но в этой точке -j— и -j— не существуют.
Определение 3. Точки, в которых выполняется необхо-
необходимое условие экстремума функции f(x), называются критиче-
критическими точками этой функции.
Точки *<°>, в которых d/(*<°>) = 0, называются стационар-
стационарными точками функции f(x).
Условие df(x^) = 0 эквивалентно условию
—
ах1
/._< 2 п)

§ I] БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Наличие критической точки еще не гарантирует наличие экс?
тремума функции. Например, для функции г = х2 — у2 точка
(О, 0) есть стационарная точка, но экстремума функции z в этой
точке нет: в любой как угодно малой окрестности точки @,0)
функция принимает как положительные, так и отрицательные
значения.
1°. Достаточные условия строгого экстремума
Определение 4. Кзадрэтичная форма
ац = aji', i, j = 1, 2, ..., ti,
называется положительно (соответственно отрицательно) опре-
определенной, если Л(х)>0 (соответственно Л(х)<0) для любой
точки х е Е , х Ф 0, и обращается в нуль только при х = О,
т. е. при Х\ = Х2 ==... = хп — 0.
Квадратичная форма называется неотрицательной, если она
никогда не принимает отрицательных значений. Например, фор-
формы х\ + х\ + ... + х\ и (*1 + *2+ ... + хпJ являются не*
отрицательными формами. Первая из них является положитель-
положительно определенной, так как она обращается в нуль только при
Х\ = #2 = .. ¦ = хп = 0; вторая форма уже не будет положи-
положительно определенной, так как она обращается в нуль, например,
при xt = 1, х2 = —1, х3 = х4 = ... = хп = 0.
Квадратичная форма, являющаяся положительно или отри-
отрицательно определенной, называется определенной квадратичной
формой.
Квадратичная форма, принимающая как положительные, так
и отрицательные значения, называется неопределенной.
Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума),
Пусть функция }(х) определена и имеет непрерывные производи
ные второго порядка в некоторой окрестности точки х@' =
—(*]i х2, ¦ •., *„) и пусть х<-°) является стационарной точкой функ-
функции }(х). Если квадратичная форма
п
A(dxh dx2, .... dxn) = 2j ¦ ' x"—-dxtdx,,
т. е. второй дифференциал функции f в точке х(°\ является по*
ложительно определенной (отрицательно определенной) кеадра*.
тичной формой, то точка лс<0) является тонкой строгого минимума
(соответственно точкой строгого максимума); если квадратичная
форма A) является неопределенной, то в тпчке ж(°) экстремума
нет.

10
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
Критерий Сильвестра положительной определенности ква-
квадратичной формы. Для того чтобы квадратичная форма
А (х) = А (хъ х2 хп)=
auxixp
у которой aii = a,{> til— U 2, ..., n, была положительно опре-
определенной, необходимо и достаточно, чтобы
«и > 0,
ап а 12
а22
ап аи а13
U21 #22 #23
аш
ппп
Для того чтобы квадратичная форма B) была отрицательно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы
«п<0,
«21
а12 а13
«22
а31 а32
0-2П
ш a-ni •¦¦ апп
Случай п = 2. Пусть функция f (х, I/) определена и имеет не-
непрерывные частные производные второго рорядка в некоторой
окрестности точки (х0, уа) и пусть (х0, у0) является стационар-
стационарной точкой, т. е.
f'x(xo> Уо)=?у(хо< Уо)=°- C)
Тогда, если в точке (*0, г/о)
f f" _ if" f>n
i xx< yy vxyl -^ v<
D)
то она является точкой экстремума, а именно максимума, если
в ней
и минимума, если

§ 1]
Если же в точке (х0, уо)
БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
f" t" _ it" J
Ixxlyy Уху'
11
о
то экстремума в точке (х0, уо) нет. Наконец, когда
в точке (х0, уо), то в ней экстремум может быть, а может и не
быть. В этом последнем случае требуется дополнительное иссле-
исследование.
Пример 3. Рассмотрим функции z = хА + у*, z = —xf —
— г/4, г = х4 — г/4. Точка @,0) является стационарной точкой
для каждой из этих функций и в этой точке для каждой из них
г'хх-4у-(г"иJ==0-
Нетрудно видеть, что точка @,0) является точкой мини-
минимума для первой функции, точкой максимума — для второй и не
является точкой экстремума для третьей. В самом деле, во всех
трех случаях г@,0) = 0, но в первом случае в любой окрест-
окрестности точки @,0), кроме самой точки, значения функции поло-
положительные, во втором — отрицательные, а в третьем случае
функция г = х4 — у* в любой близости от начала координат при-
принимает как положительные значения (например, при х Ф 0,
у = 0), так и отрицательные (например, при х = 0, у ф 0).
Пример 4. Найти экстремум функции трех переменных
f = х2 + у2 + г2 — ху + х — 2г.
Решение. Найдем стационарные точки заданной функ-
функции /. Для этого составим систему уравнений
дх
ду
= 2х - у + 1 = 0,
= 2г/ - х = 0, }
2 1
решая которую, получим х0 — —=-, у0 = — -5-, го—\.
о о
/2 1 \
Составим квадратичную форму A) в точке Ро —^", 5". 1 •
\ о 6 /
Имеем
f"
В точке Ро получим
= 0.
1 ху
f =
f" =
1zy
a12 --
«22 =
a.2 =
= -1,
= 2,
= 0,
= -1,
= 2,
= 0,
Г =0
Ixz u>
& = °.
f'zz = 2-
fli3 = 0,
«23 == 0,
Л33 ^ 2|

12
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Г
так что
ац>0,
0.21 Q.22
2 —1
—1 i
0 С
0
0
2
2 -1
—1 2
= 6>0.
= 3>0,
Используя критерий Сильвестра, заключаем, что квадратичная
форма — положительно определенная, а значит, согласно тео-
теореме 2, точка Ро является точкой строгого минимума, причем
4
Пример 5. Найти экстремум функции двух переменных
г = хъуг F — х — у).
Решение. Найдем стационарные точки:
z'x = 18* V — 4*У — Зя2#3 = О,
z'y = \2х%у — 2хАу — 3*У = О,
откуда Jtj == 0, г/i = 0 и х2 =3, #г = 2. Получили две стацио-
стационарные точки Pi @,0) и Р2C, 2).
Найдем вторые производные заданной функции
г"х = З&ху2 — 12х2у2 — 6*г/,
г"уу = 12л3 — 2х4 — Ъх3у,
z" = 3&х2у — Sx3y — 9х2у2.
В точке Р,
имеем г„„ = г„„
4'„ = 0. так что z^'4'y""
— (г")=0, и вопрос о наличии экстремума в этой точке
остается открытым. Для решения этого вопроса надо привлечь
старшие производные.
В точке Р2 имеем z"x = —\44, z"y=>—l&2, г"у = —108.
Очевидно, г"х-г'уу — (г"уJ>0, а так как z'xx<0, то в точке
Р2 C, 2) имеет место максимум, причем zmax = 108.
Исследовать на максимум и минимум следующие
функции:
3, / = х4 + У* - 2х2 + Аху — 2у2.
4. f = (x* + y2)e-<
к г - i+*-y

§ 1] БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 13
6- f=* + lr + T + f {х>0> у>0- 2>0)*
7. f = xa-.Xy + y2-.2x + y.
8. /==sinA: • siny • sin(A:+г/) (Ог^лг^я, Ог^г/^я).
9. / = дс,.-4... *2A-*,-2*2- ... -пхп)
{х{ >0, *2>0, ..., хп>0).
10. Показать, что функция z = A + e^)cos х —
— ye'J имеет бесконечное множество максимумов и
ни одного минимума.
11. Является ли достаточным для минимума функ-
функции f(x,y) в точке Мо(хо,уо) условие, чтобы эта функ-
функция имела минимум вдоль каждой прямой, проходя-
проходящей через точку Мо? Рассмотреть пример f(x,y) =
= (х-у2)Bх-у*).
12. Показать, что в отличие от функции одной пе-
переменной уже для функции двух переменных суще-
существование в области D единственного экстремума —
максимума или минимума — еще не означает, что
этот экстремум обязательно доставляет наибольшее
или наименьшее значение функции во всей области.
Рассмотреть примеры:
а) z = x2-y2 + 2e~x\
— оо<аг< + °°, — со <у < + оо$
б) z = x3-4x2
13. Пусть дана периодическая с периодом 2it
функция f(x). Среди всех тригонометрических много-
многочленов п-го порядка
п
-у- + 2 (aft cos kx + Pft sin kx)
fe=l
путем подбора коэффициентов ось, рь требуется найти
тот многочлен, для которого среднеквадратичное
уклонение, определяемое равенством
12
f (х) - Ц- - 2 (a* cos kx + h sin kx)
fe=i
имеет наименьшее значение.
2
) dx,
J

14 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
2°. Метод наискорейшего (градиентного) спуска. Пусть ста-
ставится задача об отыскании минимума функции f(x), где х =
«= (Хи х2 хт). Возьмем некоторую точку х°=(^, х\ х^)
и вычислим в этой точке градиент функции f(x)
где ei, et, ..., еп — ортонормированный базис в пространстве R .
Если grad f{xa) Ф 0, то полагаем
х\ = 4 - Л, (grad / (дс°), eft) (ft = 1, 2 m),
где Л; > 0 достаточно мало. Если grad /(a:1) ?= 0, то полагаем
4 = 4-Л2(егас1/(*')- ек), (А2>0).
и вообще, если grad f(xn~!) Ф 0, то
' "-'), вл) (*=.!, 2, .... т), (Лл>0).
При определенных условиях (см. [18]) получаем монотонно убы-
убывающую последовательность {{(хп)}. Если *п-»-л: и ¦* — точка
минимума функции f(x), то grad/(а:")-»-0 при п->-оо.
Пример 6. Найти точку минимума функции f(х) = х2.
Решение. Возьмем, например, точку х° = 1. Имеем
grad f (x°) = 2x°i = 2/ =?t 0.
Поэтому
д:1 = лг° — Л • 2 = 1 — 2Л, где А>0.
Далее,
grad f (x') = 2A — 2А) t.
Если h Ф —, то grad / (х1) Ф 0 и
Х2 _ д.1 _ 2h A — 2А) = A — 2АJ.
Продолжая этот процесс, находим
xn = (\-2h)n.
Ясно, что если 0 < Л < 1, то хп->0 при п-*-оо. Точка х = 0
есть точка минимума функции f{x) = хг. Если же Л = —, то
х1 = 0, grad / (х1) = 0, и мы получаем стационарную последова-
последовательность {0}, предел которой есть нуль.
Пример 7. Найти точку минимума функции f(x,y) =
= х2 + f.
Решение. Возьмем, например, точку A,1), т, е, х° = 1,
у" = 1, Находим
grad/(l, l)

§ 2] УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 15
Так как gradf(l, \) ф О, то полагаем
х1 = х° — 2x°h = 1 — 2А,
(А> 0)
у1 — у0 — 2i/0A =1 — 2h.
Имеем
gradf (*', у1) = 2A -2А)/ + 2A - 2А) / Ф 0 (а Ф -~),
поэтому берем
Продолжая этот процесс, получим
г/« = A — 2А)",
так что при 0 < h < 1 будем иметь последовательность точек
Мп(хп,уп), сходящуюся к точке минимума М@,0) заданной
функции. Очевидно, что
grad/(jeB, г/") =2A — 2A)"t + 2(l — 2h)nj->0 при я->оо.
Итак, точка минимума функции f(x,y) *= х2-\-уг есть точка
@,0).
Методом градиентного спуска найти точку минимума функции
2 = х2 + г/2 — 2* + 4г/ + 5.
§ 2. Условный экстремум
Пусть имеем функцию z — f(xi, Хг, ..., д;п) от п перемен-
переменных, определенную в некоторой области D пространства Е .
Пусть, кроме того, на Х\, *2, ..., хп наложено еще т допол-
дополнительных условий (т < п):
Ф,(х„ х2, .... хп) = 0, "I
A)
Фт (^1' Х2 хп) =0, >
называемых уравнениями связи.
Пусть х@' = (л°, х\, ..., л;°) — внутренняя точка области D.
Говорят, что /(*,, х2, ¦¦¦, хп~) имеет в точке (*р х% ..., х°)
условный максимум (соответственно условный минимум), если
неравенство
(? 44)
(соответственно f(xlt x2, ..., xn)^f[x°lt x\, ..., л°)) выпол-
выполняется в некоторой окрестности точки (х\, х\ х°п^ при

16 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
условии, что точки (*,, х2,..., хп) и (дг°, х°2,..., х°) удовле-
удовлетворяют уравнениям связи A).
Пример 1. Функция z = х2 + у'2 имеет безусловный мини-
минимум в точке @,0), равный нулю. Присоединим уравнение связи
X + у—1=0, т. е. будем искать минимум аппликат точек по-
поверхности г = х2 -f- у2 лишь для тех значений х и у, которые
удовлетворяют уравнению х + у—1=0. Условный минимум не
может достигаться в точке @,0), так как эта последняя не удо-
удовлетворяет уравнению связи. Разрешим уравнение связи х -f-'
Ц- у — 1 =0 относительно у и подставим найденное значение
у = 1—х в уравнение поверхности. Получим г = х2+A —
— хJ — функцию одной переменной. Исследуя ее на экстремум,
1 1
найдем Якр = -п". zmia —-к-. В силу уравнения связи найдем
1 -г I > 1 М
#кр "="о"# 'очка 7Г> ~о> Т\ есть вершина параболы, получен-
Вой в пересечении параболоида г = х2 + уг плоскостью х + у —;
-1=0. ч
Аналогично можно поступить и в более общем случае.
Пусть ищется условный экстремум функции г = f (х, у) при
наличии связи ц>(х, у) =0. Допустим, что при рассматриваемых
значениях х и у уравнение (f(x, у) =0 определяет у как одно-
однозначную дифференцируемую функцию у = ty(x). Подставляя в
функцию f(x,y) вместо у функцию ty(x), получаем функцию од-
Hdfo переменного х: г = f (х, г]з(х)) = F(x). Экстремум (без-
(безусловный) функции F(x) является искомым условным экстрему-
экстремумом функции }(х,у) при наличии связи <р(х,у) =0. Этот спо-
способ практически не всегда удобен, так как он требует фактиче-
фактического решения уравнения у(х, у) = 0 относительно какой-либо
Переменной.
Для отыскания экстремальных значений функции г =
ip=f(xi,X2, ..., хп) при наличии связей A) пользуются методом
Неопределенных множителей Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа. Предположим, что:
1) ФУНКЦИИ f(Xh Хц, ..., Хп) И ф,(*1, Х2, ..., Хп) (t = 1,
2, ..., m) имеют непрерывные частные производные первого по-
порядка в области D;
2) m < n и ранг матрицы
дх,
I = I, 2, .... т, /
1, 2 п, в каждой точке области D равен т.
Составляется новая функция (функция Лагранжа)
1=1
где ki — неопределенные постоянные множители.
Функция Ф(*[, х2, ..., хп) исследуется на безусловный экс-
экстремум, т. е. составляется система уравнений
90 П дФ П дФ П tAl

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 17
из которой и из m уравнений связи
<Pi=0, ф2 = 0, ..., <рт = 0
определяются значения параметров Хи А,2, ..., Ът и координаты
(хи х% ..., хп) возможных точек экстремума.
Условия D) являются необходимыми условиями экстре-
экстремума как функции Лагранжа, так и исходной функции г =
.= f(Xj, X2, . . . , Хп)-
Если точка (*°, х°2, ..., xty является точкой условного
экстремума для функции f(xi, Хг, ..., хп), то она является ста-
стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. в этой точке
дФ
~~— = 0 ({=1, 2 п). Чтобы исследовать стационарную
axi
точку (л,, х\,..., *°) функции Лагранжа Ф(х{, х2,..-, хп)
на условный экстремум, надо составить квадратичную форму
п—т
В (dxV dx2 **п-т) = 2 ЬЧ dxi dxl> <S>
U t—l
т. е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке с уче-
учетом условий
dm, dm. ' <?ф,-
¦з?л' + -а?л»+"-+л?*'--0 (/ = 1'2 тМ6)
Если квадратичная форма E)—определенная, то в точке
{*), х°2, •••, х0^) будет строгий условный экстремум, а именно:
строгий условный максимум, если квадратичная форма E) —
отрицательно определенная, и строгий условный минимум, если
квадратичная форма E) — положительно определенная.
Если же квадратичная форма E)—неопределенная, то точ-
точка (#j, *2. •••> *5г) не является точкой условного экстремума.
Таким образом, наличие в точке (xlf x2, •••, *„) безуслов-
безусловного максимума (минимума) для функции Лагранжа (при най-
найденных значениях Хь к2, ..., кт) влечет за собой наличие в
этой точке условного максимума (минимума) для функции г =
.<= /{*:, Х2, ..., хп) при наличии связей
<tiixi' х2'---< хп) = 0 ('=!. 2 т)-
Отсутствие безусловного экстремума для функции Лагранжа
(> *г, ••¦. хп) еще не означает отсутствие условного экстре-
экстремума для функции f(xi, х2, ..., хп).
Пример 2. Найти экстремум функции г = ху при усло-
условии у — х = 0.
i Решение. Составляем функцию Лагранжа

18
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.1.
и выписываем соответствующую систему для определения К и ко-
координат возможных точек экстремума:
дФ
—— = у — X = О,
дх я
у — х = 0.
G)
Из первого уравнения находим Я = у. Подставляя во второе, по-
получим х + у = 0. Итак,
х + у = 0,
у - д; = 0,
откуда а: = I/ = 0. При этом получаем к — 0. Таким образом,
соответствующая функция Лагранжа имеет вид Ф(х,у)=ху.
В точке @,0) Ф(х, у) не имеет безусловного экстремума, однако
условный экстремум функции z = ху при условии у = х имеется.
Действительно, в этом случае мы имеем z = х2, откуда видно,
что в точке @,0) есть условный минимум.
Пример 3. Найти условный экстремум функции
/ (х, у, г) = хуг
при условиях
<Pi (*> У,
ф2 {х, у, г) = х — у ¦
;-3 = 0,|
:-8 = 0. J
(8)
(9)
Решение. Составим функцию Лагранжа
Ф (х, у, z) = xyz + Л, {х + у - z - 3) + Я2 (х - у - z - 8)
и выпишем систему уравнений для определения параметров
%2 и координат возможных точек экстремума:
дФ
= уг + Л, + Я,2 = 0,
— А*2 = 0,
х+г/ — г — 3 = 0,
а:—(/ — z — 8 = 0.
Решая систему уравнений A0), получим
. И . 231 11
„Al=2"' Лг== 32"' Х = ~4~' У==
11

§ 2] УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 19
Второй дифференциал функции Ф (х, у, г) равен
2 -
¦0.1
= 0, J
В нашем случае
<*2Ф = 2г d* dy + 2у dx dz + 2х dy dz. A1)
Воспользовавшись условиями связи (9), получим
dx + dy — dz = 0,
dx — dy — dz ¦¦
откуда dx = dz, dy = 0. Подставляя это в A1), получим
В (dx) = 2у dx2.
В стационарной точке В = — 5 rfjc2 < 0, т. е. в точке
/ И 5 11 \ „ , 605
у—, —у, — —J имеем максимум, равный Апах = -з2~.
Пример 4. Найти экстремум функции г = cos2 x + cos2 у
при условии
я
Решение. Составляем функцию Лагранжа
Ф(х, y)=cos2* + co
и выписываем систему уравнений для определения параметра
и координат возможных точек экстремума
или
Oj Oj
дФ
ду
= —2 cos x sin x — X = 0, 1
= —2 cos у sin у + Л = 0, J1
sin 2* = — Л,
sin 2t/ = A,,
я
4
A2)
A3)
A4)
Из A2) и A3) имеем sin 2x + sin 2у = 0 или
2 sin (х + у) cos (у — х) — 0. A5)

20 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ГЛ. I
Согласно A4) имеем cos (у — х) — -!-^— ф 0, а потому из A5)
получаем, что sin (х + у) = 0, откуда
Ы, k = 0, ±1, ±2, ... A6)
Решая совместно уравнения A4) и A6), будем иметь
kn it kit , л , . , , „
Х==~Т~Т' у==~2~+~8~' ' ' ' •¦*
Находим вторые производные функции Ф (*, у):
~2 C0S 2х> д -, = 0, -r-j- = —2 COS 2(/.
бл2 «Эх <3t/ at/2
_, „ / kn n ki( , я \
В точках Pk I-g g-, — + -g-J имеем
<X' К ~ К',J = 4 cos (to - -J) cos [kn + i) -
= 2 cos 2bt = 2 > 0.
Значит, в точках Pk есть условный экстремум. Далее, при
fc 2
а потому в точках Р2л — условный максимум
Zmax =14 к •
При 6 = 2п + 1 будет
P2rt+1
то есть в точках P2«+i — условный минимум
В следующих задачах найти условный экстремум.
14. f = xy при х2-{- у2—\.
15. / = *2+г/2 при !¦ + !-= 1.
16. f = хуг при условиях * + # + 2 = 5, ху -\- yz-)r
гл: == 8.
17. f = exy при д;+г/ = а.
18. / = 6-4*-3# при

$ 21 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 21
19. f = x — 2y-\-2z при х2-\- г/2 + 22 = 9.
20. / = sin л; sin у sin 2 при х-\- у + 2 = -^-> *>0,
|/>0, 2>0.
21. Доказать неравенство
22. Найти наибольшее значение произведения
неотрицательных чисел х, у, z, t при условии,
что их сумма сохраняет постоянную величину х -\-[
[+y + z + t = 4c.
23. Найти кратчайшее расстояние от точки М A,0)
до эллипса 4х2 -\- 9у2 = 36.
24. Найти расстояние между параболой у = х2 и
прямой х — у —• 5.
25. Найти стороны прямоугольника максимальной
площади, вписанного в круг х2 + у2 = /?2.
26. В шар радиуса R вписать цилиндр с наиболь-
наибольшей полной поверхностью.

ГЛАВА II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства
1°. Определения функционала. Близость кривых. Пусть дан
некоторый класс М функций у(х). Если каждой функции у(х)е
еМпо некоторому закону поставлено в соответствие определен-
определенное число /, то говорят, что в классе М определен функционал J,
и пишут / = J[y(x)}.
Класс М функций у(х), на котором определен функционал
J[y{x)\ называется областью задания функционала.
Пример I. Пусть М = С[0, 1] — совокупность всех непре-
непрерывных функций у(х), заданных на отрезке [0, 1], и пусть
1
J[y(x)} = j y(x)dx. A)
Тогда J[y(x)] есть функционал от у{х): каждой функции у(х) е
е С[0, 1] отвечает определенное значение 1[у]. Подставляя в A)
вместо у(х) конкретные функции, мы будем получать соответ-
соответствующие значения J[y]. Так, если у(х) — 1, то
I
/[1]= J \'dx=l;
О
если у (х) = ех, то
= J
о
если у (х) = cos nx, то
1
[cos nx] = cos nx dx = 0.
Пример 2. Пусть М = Cj[a, 6] —класс функций у{х),
имеющих непрерывную производную на отрезке [а, Ь\ и пусть
J [У М] = У' Ы, где дг0 6= [а, 6]. B)

ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 23
Ясно, что J[y(x)] есть функционал, определенный в указанном
классе функций: каждой функции из этого класса ставится в
соответствие определенное число — значение производной этой
функции в фиксированной точке х0.
Если, например, а = 1, 6 = 3 и jcq == 2, то для у (х) = х3
имеем:
для у (х) = х2 + 1 получим J [х2 + 1] = 4; для у (х) = In A + х)
1
J
будем иметь /[In (I + х)] = -г— г.
1 + х х=2 6
Пример 3. Пусть М = С[— 1, 1] — класс функций у(х),
непрерывных на отрезке [—1, 1], и пусть ц>(х, у)—заданная
функция, определенная и непрерывная для всех —1 ^ х ^ 1 и
для всех действительных у. Тогда
J \У Ml = j fix, у (х)] dx C)
-1
будет функционалом, определенным на указанном классе функ-
функ* 2
ций. Например, если q> (х, у) = * 2 , то для у(х)=х имеем
J [х] = —-—j- = 0, а при г/ (я) = 1 + х имеем
I
I
7W
-1
Пример 4. Пусть Af = Ci[a, b] — класс функций у(х),
имеющих непрерывную производную у'(х) на отрезке [а, Ь].
Тогда
ь
I \У (х)] = j Vl + y'Ux) dx D)
а
будет функционалом, определенным на этом классе функций.
Функционал D) геометрически выражает длину дуги кривой
у = у(х) с концами в точках А(а, у(а)) и В(Ь, у(Ь)).
Вариацией или приращением by аргумента у(х) функцио-
функционала J[y(x)] называется разность между двумя функциями (
и Уо(х), принадлежащими выбранному классу М функций:
Ъу = У (х) - уо (х). E)
Для класса к раз дифференцируемых функций имеем ,
ЬуЫ{х). ф)

24
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Говорят, что кривые у = у (х) и у = у\ (х), заданные на отрезке
[а, Ь], близки в смысле близости нулевого порядка, если \у{х) —
— УЛХ)\ мала на [а, Ь]. Геометрически это означает, что эти
кривые на отрезке [а, Ь] близки по ординатам.
Будем говорить, что кривые у = у(х) и у = У\(х), задан-
заданные на отрезке [а, Ь], близки в смысле близости первого порядка,
если \у(х) —у\(х)\ yl | у' (х) — у[ (х) j малы на [а, Ь]. Геометри-
Геометрически это означает, что кривые на отрезке [а, Ь] близки как по
ординатам, так и по направлениям касательных в соответствую-
соответствующих точках.
Кривые у = у(х) и у = У\(х) близки в смысле близости
k-го порядка, если модули
\у
I - Уi (*) |, I / (x) - y\ (x) I I y<*> (*) - */,*> (x) I
малы на [а, Ь].
Если кривые близки в смысле близости &-го порядка, то они
тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.
Пример 5. Кривые у (х) =
sin п'х
¦, где п достаточно ве-
велико, и У\(х) = 0 на [0, л] близки в смысле близости нулевого
порядка, так как модуль разности
\у(х)
sin п х
т. е. на всем отрезке [0, я] эта разность по модулю мала при до-
достаточно большом п.
Близости первого порядка нет, так как
| У (*) — У\ (х) | = п | cos n2x |,
и, например, в точках дс=—^- имеем | j'(jc) — г/'(х)| =п н,
значит, j у (х) — у[ {х) | может быть сделан как угодно боль-
большим при п достаточно большом.
Пример 6. Кривые у (х) = —, где п достаточно
велико, и (/i (х) = 0 на [0, я] близки в смысле близости
первого порядка, ибо
\У(Х)~:
|/W-i
sin пх
cos пх
п
1
п2
п
налы.

I 31
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
25
В следующих примерах установить порядок бли-
зости кривых.
27. y{x) =
28. y(x) =
sin х
29. y{x)=s\n^.
WaO на [0, 2л].
(л:) = 0 на [0, я].
{х)=в0 на [0, 1].
Расстоянием между кривыми у = / (*) и у = fi (*) (<^ ),
где /(л:) и ft{x) непрерывные на [а, Ь] функции, называется не-
неотрицательное число р, рав-
равное максимуму \fi(x) —
— I (х) | на отрезке ^^Ь:
M(t,t) :
max \h(x)-f(x)\.G)
^^b
Пример 7. Найти
расстояние р между кри-
кривыми у = х и у = х2 на от-
отрезке [0, 1] (рис. 1).
Решение. По опреде-
определению р = max | х2 — х |
0<< 1
или р
max (x — х-). На
<<1
Рис. 1.
концах отрезка [0, 1] функция у = х — х2 обращается в нуль.
Найдем максимум функции у = х — х2 на отрезке [0, 1]. Имеем
1
так что
р= max
0<
при х = -у,
= (x — x2)\ i—-r.
В следующих примерах найти расстояния между
данными кривыми на указанных интервалах,
30. /(*) = *?-*, А (ж) «0, [0,2].
31. /(jc)==sm2x, /, (дс) == sin дс, [О, у].
32. /(*) = *, /i (-«) = In л;, [е-1, в].
Пусть кривые у = /(*) и у = /i(x) имеют на отрезке [а, 6]
непрерывные производные /г-ro порядка,

26
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Расстоянием п-го порядка между кривыми у = f (x) и у =
= /i(jc) называется наибольший из максимумов следующих ве-
величин:
lM*)-f<*)|. \fii*)-f(*)\ l^w-^wl
на отрезке [а, 6]. Будем обозначать это расстояние так:
Pn = Pn [h M, f (*)] - max max | /{*> (х) - /<*> (х) |. (8)
Данное на стр. 25 определение расстояния между кривыми яв-
является в смысле нового определения расстоянием нулевого по-
порядка.
Пример 8. Найти расстояние первого порядка между кри-
кривыми f(x) = х2 и fi(x) = х3 на отрезке 0 ^ х ^ 1.
Решение. Найдем производные данных функций / (х) =
=2х, /[ (х)=3х2 и рассмотрим функции yi(x) = х2 — г*и уг(х) =»
= 2х — Зх2. Найдем их наибольшие значения на отрезке [0, 1].
Рис. 2.
Имеем yl—2x~ Ъх . Приравнивая эту производную нулю, нахо-
2
дим стационарные точки функции У\(х)\ х\ = Q,x2 = —. Далее,
о
У\ |х=0 = 0( i/i | 2 = т~; значение г/i(дс) на правом конце равно
*=? ^
=0. Отсюда
ро
max \х3 — хг\= max (д;2 — хг) = -^г.
<<1 0<<1 *'

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА ; 27
Найдем теперь расстояние ро нулевого порядка между производ-
производными /'(*) = 2х и f[ (х) = Зх2:
р0 = max [ г/о (jc) j = max | 2x — 3a;2 |.
0<x<1 ' 0<x<l
Построим график функции у = \1х — Зх2| (рис. 2). Из рисунка
видно, что ро = 1. Таким образом, расстояние pi первого порядка
между кривыми \(х) = х2 и f\(x) = хъ будет равно
р, = тах(р0, ро)= 1.
33. Найти расстояние первого порядка между кри-
кривыми f(x) = \nx, fi(x) = x на отрезке [е~1, е].
34. Найти расстояние второго порядка между кри-
кривыми l(x) = x, f\(x)=—cos л: на отрезке 0, -g- .
35. Найти расстояние 1001-го порядка между кри-
кривыми f(x) = ex, fi (х) = х на отрезке [0, 1].
е-окрестностью п-го порядка кривой у = /(*) (а ^ х ^ 6)
называется совокупность кривых у = f\(x), расстояния п-го по-
порядка которых от кривой у = f(x) меньше е:_
P« = P»[/DfiW]<«- (9)
е-окрестность нулевого порядка называют сильной е-окрест-
ностью функции у = f(x).
Сильная е-окрестность кривой у = f(x) состоит из кривых,
расположенных в полоске ширины 2е вокруг кривей у = f(x).
е-окрестность первого порядка называют слабой е-окрест-
е-окрестностью функции у = f(x).
2°. Непрерывность функционала. Функционал J[y(x)], опре-
определенный в классе М функций у{х), называется непрерывным
при у = Уо(х) в смысле близости n-го порядка, если для любого
числа е > 0 существует число т) > 0 такое, что для всех допу-
допустимых функций у = у(х), удовлетворяющих условиям
\у(х)-Уо(х) |<п, |/(х)-^(дс)|<т,,...,^(п)(дс)-^)(*)|<Ч.
выполняется неравенство |/[(/(л:)] — J[yo(x)]\ <. г. Иными сло-
словами, \]\у(х)] — Л</о(*)]| < 8, если
9п[у(х), Уа(х)]<г\.
Функционал, не являющийся непрерывным в смысле близо-
близости п-го порядка, будем называть разрывным в смысле указан-
указанной близости. Полагая
-Ур(*) + a»(ft)(*) (* = 0, 1, 2, ..., я),

28 , &КСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
где а—некоторый параметр, а а>(х)—произвольная функция из
класса М, замечаем, что
lim y{k)(x) = y<ok)(x) (* = <>, 1, 2 п),
0
И определение непрерывности функционала при у{х) = Уо(х)
можно записать так:
lim JlyQ(x) + a(o(x)]=J[y0(x)].
Пример 9. Показать, что функционал
1
2y'(x))dx,
определенный в пространстве Ci[0, 1], непрерывен на функции
уо(х) = х в смысле близости первого порядка.
Решение. Возьмем произвольное число е > 0. Покажем,
что существует число т) > 0 такое, что |J[y(х)] — J[x]\ < e, как
только \у(х) — х\ < г) и \у'(х) — 11 < т). Имеем
\J[y{x))-J[x)\
J [У (х) + 2/ (*) - х - 2]
1 I
< J I * (*) - * I <** + 2 J |»' (х) - 1 | rf*.
о о
р
Выберем т) = -?-. Тогда для всех y(x)^Ci[0, \]t для которых
о
будем иметь
о
Итак, для всякого е>0 существует т) > 0, например, ij = -5-,
такое, что как только pi[y (*).*]< т). то №(*)] —^М1 < е.
Это и означает, согласно определению, что данный функционал
непрерывен на функции у0 = х в смысле близости первого по-
порядка. Легко видеть, что этот функционал непрерывен в смысле
близости первого порядка на любой кривой у{х) е С][0, 1].
Пример 10. Рассмотрим функционал
где функции f (х) е d[a, 6] и х0 s [a, 6].
Этот функционал разрывен на любой функции f(x) в смысле
близости нулевого порядка, В самом деле, пусть q>(*) такова.

§ 3d ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 29
что <р'(*о) = 1 и |<p(*) | < т) на отрезке [а, Ь]. Возьмем функцию
/(*) =foW + Ч>М. где /о (*) е С,[а,6]. Тогда/'(«о) =/о(*о) + 1-
Очевидно, что рЦ(х), fo(x)] < т). т. е. кривые f(*) и /о(х)
близки в смысле близости нулевого порядка. В то же время
Л/(*)] — ЛМ*I = 1, т. е. значения функционала не близки при
любой близости нулевого порядка аргументов f(x) и fo(x).
Точнее, существует е > 0 (именно е < 1) такое, что каково
бы ни было т) > 0, найдутся f(x) такие, что
Pot/, Ы<П и |/Ш-/[М1>е.
Это и означает разрывность функционала /[/] в смысле близости
нулевого порядка.
Покажем, что этот функционал непрерывен в смысле близо-
близости первого порядка.
Возьмем любое е > 0. Имеем
| / U (*)] - / [!0 <*)] I = | f (*о) - fo (*o) |-
Очевидно, что если взять ц = е, то при pi[f(*), /o(^)l < Ц бу-
будем иметь
\JU(x)]-J[fo(x))\<e,
что и требовалось доказать. Этот пример показывает, что из не-
непрерывности функционала в смысле близости n-го порядка не
следует, вообще говоря, непрерывность функционала в смысла
близости более низкого порядка.
Пример 11. Рассмотрим функционал
определенный в пространстве Ct[0, я]. Покажем, что данный функ-
функционал на функции Уо(х) ?= 0 разрывен в смысле близости ну-
нулевого порядка.
Действительно, пусть уо{х) = о на [0, я] и уп(х) = — „
Тогда Рй[уй(х), Уп(х)] = — и ро->0 при п-»оо.
С другой стороны, разность
не зависит от п. Таким образом, при я->-оо J[yn(x)] не стре-
стремится к J\j/o(x)] = 0, и следовательно, данный функционал раз-
разрывен в смысле близости нулевого порядка на функции #о(*1 ¦'
0

30 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛЛ1
Предоставляем читателю доказать, что рассмотренный функ-
функционал непрерывен на функции уо(х) = 0 в смысле близости
Первого порядка.
Исследовать на непрерывность следующие функ-
функционалы.
36. / [у (х) ] = у (х0), где функции у (х) <= С[а, Ь] и
х'о е [а, Ь], в смысле близости нулевого порядка.
37. J[y(x)] = max]у(х)\, где функции у(х) непре-
непрерывны на отрезке [а, Ь] (в смысле близости нулевого
порядка).
38.
0, если у (х) принимает хотя бы одно
отрицательное значение,
Лу(х)] =
если
1, если у (х) :> 0, причем у (х) Ф 0,
в смысле близости нулевого порядка.
i
39. / [у (х)] = Г | у' (х) \dx, где функции у (х) имеют
о
непрерывные первые производные на отрезке [0, 1]:
а) в смысле близости нулевого порядка; б) в смысле
близости первого порядка.
я
40. J[y {х)}= f V 1 + у'2 (х) dx на функции у0 U)=0,
о
где функции у(х) е Cj [0, л]: а) в смысле близости
нулевого порядка; б) в смысле близости первого по-
порядка.
я
41. ][у (х)] = J A +2y'\x))dx на функции у0 (х)=0,
о
где функции у (х) е Cj [0, л], в смысле близости пер-
первого порядка.
Пример 12. Показать, что функционал
1
/ [у (х)] = J *3 уТТуЧх) dx,
о
определенный на множестве функций у(х) е. С[0, 1], непрерывен
на функции 1/о (х) = х2 в смысле близости нулевого порядка,

§ 31 ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 31
Решение. Положим у (х)=х2 + ац (х), где ц (л)еС [0, 1],
а — как угодно мало,
[у i*)] = J[x2 + Щ [х)] = J
J x
о
l
= J x
о
l
J x3 УI + *4 + 2ад:2г1 (х) + a2Tf
Переходя к пределу при а -*¦ 0, получим из этого равенства
1
lira / [у (х)] = J x3 УI + x* dx = / [x2],
о
что и означает непрерывность функционала на функции </о = х2.
Определение. Пусть М — линейное нормированное про-
пространство функций у(х).
Функционал L [у (х) ], определенный в пространстве М, назы-
называется линейным, если он удовлетворяет условиям:
1) L[cy(x)] = c-L[y(x)},
где с — произвольная постоянная,
2) L [У1 (х) + у2 (х)] = L [У1 (х)] + L [у2 (х)},
где г/i (я) е М и у2 (х) е М.
Например, функционал
Ь
L [У (х)] = J [у' (х) + у (х)] dx,
• определенный в пространстве Ci [a, b], очевидно, является ли-
линейным.
Другое определение линейности функционала:
Функционал L[y(x)] называется линейным, если он 1) непре-
непрерывен и 2) для любых у\(х) е М и (/2(х)еМ удовлетворяет
условию
L {У, (х) + уг (х)] = L [У1 (х)] + L \уг (х)].
42. Показать эквивалентность приведенных выше
определений линейности функционала.
43. Показать, что функционал L[y(x)] = у(х0) —
линейный.
44. Показать, что если Цу{х)\ — линейный функ-
функционал и отношение ' и и(г\\\ -* Q при ||г/(дс)||->0,
то L\y(x)]tmQ. ,

82 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ , 1ГЛ. И
3°. Вариация функционала. Пусть функционал J[y(x)] задан
на множестве М функций у(х). Приращением функционала
¦%(*)]. отвечающим приращению Ьу(х) аргумента, называется
величина
Д/ = Д/ [у (х)] = / [у (х) + 6у (х)] -/[у (х)] A0)
Fг/ (х) = у{х)-у {х), где у (х) е= М, у (х) е= Af).
Пример 13. Найти приращение функционала
1
y(x)y'(x)dx,
о
определенного в пространстве С\ [а, Ь], если у (х)—х, yi(x)=x2.
Решение. Имеем
Д/ =
[х2] — J [х] = Г х22х dx— С х • 1 • dx = Г Bx3 ~ x) dx=0.
45. Найти приращение функционала, рассмотрен-
рассмотренного в примере 13, положив у(х) = ех, Ц\{х) = 1.
Определение. Если приращение функционала
Можно представить в виде
М = L[y(x)
где L[y (х), 6у] — линейный по отношению к Ьу функционал и
§{У(х), бг/)-»-0 при ||6(/1!->0, то линейная по отношению к Ьу
часть приращения функционала, т. е. L[y(x), by], называется ва-
вариацией функционала и обозначается б/. В этом случае функ-
функционал J[y(x)] называется дифференцируемым в точке у(х).
46. Показать, что вариация б/ функционала
J\y(x)] (если она существует) определяется един-
единственным образом.
Пример 14. Показать, что функционал
ь
U(x)dx,
заданный в пространстве С[а,Ь], дифференцируем в каждой
точке у(х) этого пространства,

I si ¦ : функционал, вариация функционала 33
Решение.
= J [у (*) + ** (*)] dx- j y(x)dx = J ву(дс) dx.
a a a
Ь
Таким образом, Д/ = by (x) dx. Это и есть линейный
а
функционал относительно &у(х). В данном случае асе прираще-
приращение функционала свелось к линейному функционалу относительно
6у(х). Рассматриваемый функционал дифференцируем в каждой
ь
точке (/(*) и его вариация 6/= by (x) dx.
а
47. Показать, что всякий линейный непрерывный
функционал J[y] всегда дифференцируем.
Пример 15. Показать, что функционал
ь
J [у] = J У' (х) dx,
а
определенный в пространстве С[а, Ь], дифференцируем в каждой
точке у(х).
Решение. Имеем
ь ь
А/ = J [у (х) + by {x)Y dx- j у* (х) dx =
а а
Ь ь
= J 2y (x) by (х) dx + J (by (x)Jdx. A1)
a a
Первый интеграл в правой части A1) при каждой фиксирован-
фиксированной функции у(х) является линейным относительно 6у(х) функ-
функционалом. Оценим второй интеграл в правой части A1), Имеем
ь ь
max \6у(х)\У f djc = (&-a)|]oy(*)H2 =
—> ((» — a) 0 fty f ) • I Air |.

34 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
При [| Ьу || -> 0 величина
Таким образом, приращение Д/ функционала представимо в виде
суммы L[y, 6i/] и добавки, имеющей второй порядок малости от-
относительно \\6y\\. Согласно определению, данный функционал яв-
является дифференцируемым в точке у(х) и его вариация
ь
6/= 2 J у (х) by (x) dx.
а
1
48. Для функционала / [у (х)] = Г у2 (х) dx поло-
0
жить у = 2х, 6у — ах2 и сравнить б/ с Д/ при <х=1;
-0,1 0,01.
1
49. Для функционала J[y{x)]= f xy3(x)dx поло-
о
жить у = ех, бу = ах. Сравнить А/ с б/ при а=1;
0,1; 0,01.
50. Проверить дифференцируемость следующих
функционалов:
1) J[y]:==y(a) в пространстве С [а, Ь\.
2) J[y\ = у{а) в пространстве С\[а, Ь].
3) /[«/]= V 1 + у'2(а) в пространстве Ct [а, Ь].
4) / Ы = 1^(^I в пространстве С [а, Ь].
51. Показать, что функционал Я [у] дифференци-
дифференцируем, если дифференцируем J [у]. Написать вариацию
52. Показать, что функционал
(х, y{x))dx,
определенный в пространстве С[а,Ь], где f(x, у) — не-
непрерывная функция своих аргументов, обладающая
непрерывными частными производными до второго
порядка включительно в области а ^ х eg: &,

5 Л '"" ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА А5
— оо < у < +оо, дифференцируем и его вариация
имеет вид
Пример 16. Рассмотрим функционал
ь
Uy(x), y'(x))dx,
определенный в пространстве С\{а, Ь] непрерывных функций /(
на отрезке [а, 6], обладающих непрерывными производными пар*
вого порядка. Функция f(x, у, у') непрерывна по совокупности
своих аргументов и имеет непрерывные частные производные до
2-го порядка включительно в области
а < л: < 6, — оо < i/ < + оо, — оо < г/' < + °°.
Найдем приращение функционала А/, отвечающее приращению
by (х) аргумента, где Ьу (х) е С] [а, 6]. Имеем
ь
Д/[*(*)]= J [fUff + fiff. y'+by')-f(x, У, y'))dx. A2)
По формуле Тейлора
f(x, у + Ьу, у' + Лу') - f (х, у, у') =
,y, у', Ьу, 6у'), A3)
где R (х, у, у', by, by') — остаточный член формулы Тейлора.
Подставляя A3) в A2), получим
Ь
+ J R (х, у, у', by, by') их. A4)
Первое слагаемое в правой части A4) линейно относительно бу
и Ьу'. Пусть все вторые частные производные функции f(x, у, у')
по у и у' не превосходят по абсолютной величине некоторой

36 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 1ГЛ. II
константы М > 0 в ограниченной по у и у' области. Тогда спра-
справедлива оценка
ь ь
J I R (х, у, у', Ьу, Ьу') | dx < 2М J || Ьу II2 dx = 2М F - а) || Ьу Ц».
Здесь || бу || = max (| by |, |б</'|). Таким образом, второе
слагаемое в правой части A4)—второго порядка малости отно-
относительно \\by\\. Следовательно, согласно определению, функционал
J[y] дифференцируем в пространстве С\[а, Ь] и его вариация
имеет вид
ь
' я\ df \
- оу 4- -, ' Ьц dx. A5)
\wy ay v j
a
Пример 17. Найти вариацию функционала
1
/[»]= J (ffV + ху3) dx.
-J
Решение. Функция f(x, у, у') = y'ev + ху2, очевидно, не-
непрерывна по совокупности переменных х, у и у', имеет частные
производные всех порядков по у я у', ограниченные в любой
ограниченной области изменения переменных у и у'. Поэтому
данный функционал дифференцируем в пространстве Cj[—1, 1]
н его вариация согласно формуле A5) равна
6/ = J [(y'e'J + 2ху) by + ey by'] dx.
-1
53. Для функционала
е
J[y(x)]-=j(y'y+xy'2)dx
1
положить у — \пх, 6у= k *~\ и сравнить AJ[y(x)]
с Ы[у{х)] при k=\; 0,1; 0,01.
-54. Для функционала
1
о. .
положить у = х2, Ьу = kx3; сравнить Д/ [у (х)]
с 6J[y(x)] при 6 = 1; 0,1; 0,01.

$31 "~ ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 37
я
55. Для функциойала J[y(x)] — | у'2 sin xdx иоло-
0
жить у = sin х, 6y = kcosx; сравнить AJ[y(x)]
с 6J[y(x)] для ? = — 1; 0,3; 0,03.
56. Показать, что если функция f(x, zu z2, ..., zm+i)
имеет непрерывные производные 2-го порядка по всем
аргументам в области а^.х^.Ь, — <х> < г& < + °°
(k = l, 2, ..., m+1), то функционал
ь
=lf[x. у(х), у'{х), .... y^(x)]dx
дифференцируем в пространстве Ст[а, Ь] и его вариа-
вариация имеет вид
J7
4°. Второе определение вариации функционала. Вариацией
функционала J\y(x)] в точке у — у(х) называется значение про-
производной функционала 1[у(х) + а6у(х)] по параметру а, когда
а = 0:
М = -^Пу(х)+аЬу(х)]\а=0. A7)
Если существует вариация функционала как главная линей-
линейная часть его приращения, т. е. в смысле первого определения,
то существует и вариация как значение производной по пара-
параметру а при а = 0 и эти вариации совпадают.
Пример 18. Пользуясь вторым определением, найти ва-
вариацию функционала
Ь
J У2
г Решение. Вариация этого функционала в смысле первого
определения равна
Ь
by = 2Jy(x)by(x)dx

38 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 1Г-
(см. пример 15). Найдем вариацию функционала J[y], пользуясь
вторым определением вариации. Имеем
ь
J [У (х) + аду (х)] = J [у (х) + aby {x)f dx.
Тогда
Ж
и, следовательно,
67 =
Пу
д
да
+ <x6j
Пу +
а
(] = 2
а. Ьу]
ь
J
а
(У +
=о = :
a by) by dx
ь
2 \ у by dx.
^ Вариации функционала в смысле первого и второго опреде-
определений совпадают.
Для следующих функционалов найти вариацию в
соответствующих пространствах в смысле второго
определения.
57. J[y]=j(x+y)dx.
а
Ь
58. J[y]=${y2-y'2)dx.
а
59. J[y] = y2@)
о
60. J[y]= J y'sinydx.
о
61. Найти вариацию функционала
Уи г/2, •••, Уп] =
ь
= J / (х, у, (х), '..., уя (х), у[ (х) у'п (х)) dx,

§ Si ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 39
где f — непрерывная функция своих аргументов, имею-
имеющая непрерывные частные производные по всем своим
аргументам в некоторой ограниченной области G из-
изменения последних.
Замечание. Второе определение вариации функционала
несколько шире первого в том смысле, что существуют функцио-
функционалы, из приращения которых нельзя выделить главной линейной
части, но вариация в смысле второго определения существует.
Покажем это на примере функций, для которых сформулирован-
сформулированное утверждение равносильно тому, что существование производ-
производных по любому направлению недостаточно для существования
дифференциала функции.
Пусть
f(x,y) =
у х2 + у2
где р и го — полярные координаты точки (х, у). Частные произ-
df df „
водные -з— и -zr~ существуют в каждой точке и в начале коор«
динат равны нулю, но дифференциал df не существует в начале
координат. В самом деле, при наличии df градиент функции /
в начале координат равнялся бы в этом случае нулю, а потому
равнялась бы нулю производная по любому направлению
df (О, 0) .,
¦—-г-.—-. Между тем, как легко убедиться,
df @,0) 1 . „
-U^-J—Tsm2q,,
что вообще отлично от нуля. Здесь го — угол, образованный век-
вектором / с осью Ох.
5°. Вторая вариация функционала. Функционал J[x, у], зави-
зависящий от двух элементов х и у (принадлежащих некоторому ли*
нейному пространству), называется билинейным, если при фик-
фиксированном х он представляет собой линейный функционал от у,
а при фиксированном у — линейный функционал от х. Таким
образом, функционал J[x, у] билинеен, если
J [<xi*i + а2х2, у] = a,/ t*i, у] + а2/ [х2, у],
J [х, Р,у, + hy*\ = PV [х. Ух] + Р2/ [х, у2\
Полагая в билинейном функционале у = х, получаем выраже-
выражение J[x, x], называемое квадратичным функционалом.
Билинейный функционал в конечномерном пространстве на-
называется билинейной формой.
Квадратичный функционал J[x, x] называется положительно
определенным, если / [х, х] > 0 для любого ненулевого элемента х.

40 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. И
Например,
1) Выражение
/ [*. у] = / А (/) х (/) у (/) Л,
где A (t) — фиксированная непрерывная функция, представляет
ь
собой билинейный функционал, а \ A (t) х2 @ dt — квадратич-
а
ный функционал в пространстве С[а, Ь], причем если A (t) > О
при всех t e [а, Ь], то этот квадратичный функционал будет по-
положительно определенным,
2) Выражение
ь
j [А @ д* (о + в @ х @ дс' @ + С (О У2 @] dt
а
представляет собой пример квадратичного функционала, опреде-
определенного для всех функций из пространства С\[а, Ь],
3) Интеграл
ь ъ
J J К (s, 0 х (s) у @ ds dt,
где K(s, t) —фиксированная функция двух переменных, является
билинейным функционалом в С[а, Ь].
Определение. Пусть J\y] — функционал, определенный в
каком-либо линейном нормированном пространстве.
Мы скажем, что функционал J[y] имеет вторую вариацию,
если его приращение А/ = I[y + by] — J[y] можно записать в
виде
Z[60] + PlltyH2. A8)
где ?-i[6l/] — линейный функционал, L2[6y] — квадратичный функ-
функционал, а ?-»-0 при Цбг/||-*-О.
Квадратичный функционал L2[&y] будем называть второй ва-
вариацией (вторым дифференциалом) функционала J\y] и обозна-
обозначать дЧ.
Вторая вариация функционала (если она существует) опре-
определяется однозначно.
Пример 19. Найти вторую вариацию функционала
1
/[»!-/ (ху* + У'3) dx,
о
определенного в пространстве СДО, 1] функций у (х).

f 3] ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ' ФУНКЦИОНАЛА 4?
Решение, Имеем
- J I* (у + «г/J + (у' + «г/'K - ху* - у'3] dx =.
о
i
J [2ху Ьу + х (бг/J + Зу'2 Ьу' + Зу' (Ьу'У + Fу'K] dx ~-
о
1
= \2ху Ьу + Зу' by') dx +
о
1 1
+ J [х (ЬуJ + Зу' (Ьу'У] dx + J (by'Y dx. A9)
При фиксированном у (х) первое слагаемое правой части A9)'
есть линейный относительно 6у(х) функционал; второе слагае-
слагаемое правой части есть квадратичный функционал. Наконец, по-
последнее, третье слагаемое правой части допускает очевидную
оценку
1 1 I
J F/K dx <~(max | by' |)» J | by' \ dx < J | by' | dx || Sy\\*
(норма в смысле пространства Ci[0, 1]), откуда видно, что это
слагаемое представимо в виде Р-||бг/!|2, где E->-0 при ||бу||->-0«
Согласно определению, данный функционал имеет вторую вариа-
вариацию б2/ и она равна
I
б2/ = 2 J [х (ЬуJ + Зу' (ЬуУ] dx.
о
62. Доказать, что квадратичный функционал диф«:
ференцируем, и найти его вторую вариацию.
63. Написать вторую вариацию функционала
eF(y), где F(y) — дважды дифференцируемый функ«
ционал.
64. Показать, что функционалы вида
ь

42 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ ' [ГЛ. It
в пространстве Ci[a, b] являются дважды дифферен-
дифференцируемыми, если подынтегральная функция F обла-
обладает непрерывными производными до третьего по-
порядка включительно, и найти выражение для второй
вариации.
Введем функцию Ф(а) = /[</ + аду]. Вторая вариация б2/
функционала 1{у] определяется также через вторую производную
функции Ф[а] в точке а = 0:
da2
а=0
Для функционалов интегрального типа, которые мы будем
преимущественно рассматривать, оба эти определения совпадают.
Найти вторые вариации
ь
65. J[y]=JF(x,y,yr, ..., yM)dx.
а
66. /[#]= jj F(x, у, z, zx, zy)dxdy.
ь
67. J[yu .... yn]= j F(x, y{ yn, y\ y'n)dx.
6е. Экстремум функционала. Необходимое условие экстре-
экстремума. Говорят, что функционал J\y(x)\ достигает на кривой
У = Уо(х) максимума, если значения функционала J[y(x)] на
любой близкой к у = уо(х) кривой не больше, чем J[yo(x)], т. е.
Если Д/sg 0, причем А/ = О только при у(х) = уа(х), то
говорят, что на кривой у = уо(х) достигается строгий максимум.
Аналогично определяется кривая у = (/о (х), на которой реа-
реализуется минимум. В этом случае Д/ ^ 0 на всех кривых, близ-
близких к кривой У = Уо(х).
Пример 20. Показать, что функционал
1
/ [У (*)] = J (х2 + У2) dx
о
на кривой у(х) = 0 достигает строгого минимума.

ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
Решение. Для любой непрерывной на [0, 1] функции у(х)
имеем
1 1 1
причем знак равенства достигается только при {/(*)= 0.
Сильный и слабый экстремумы. Говорят, что функционал
1[у(х)] достигает на кривой у = уа(х) сильного относительно:^
максимума, если для всех допустимых кривых у~у(х), распо-
расположенных в некоторой е-окрестности нулевого порядка кривой
у = Уо (х), имеем
I[y(x)]<J[yo(x)].
Аналогично определяется сильный относительный минимум функ-
функционала.
Говорят, что функционал J[y(x)] достигает на кривой у =
= Уо(х) слабого относительного максимума, если для всех flonv-
стимых кривых у = у(х), расположенных в некоторой е-окрест-
е-окрестности первого порядка кривой у = уо(х), имеем
/ \У (*)] < / [Уо (*)].
Аналогично определяется слабый относительный минимум
функционала.
Максимумы и минимумы (сильные и слабые) функционала
J[y] называют относительными экстремумами.
Всякий сильный экстремум есть в то же время и слабый, но
не наоборот.
Экстремум функционала 1[у] на всей совокупности функций,
на которых он определен, называется абсолютным экстремумом.
Всякий абсолютный экстремум является слабым и сильным
относительным экстремумом, но не всякий относительный экстре-
экстремум будет абсолютным.
Пример 21. Рассмотрим функционал
J[y(x)]= \ y»(l-y'*)dx
в пространстве функций у(х) е С][0, я], удовлетворяющих усло-
условию у@) = у (я) = 0. Отрезок [0, я] оси Ох дает слабый мини-
минимум /. В самом деле, для у з= 0 имеем / = 0, а для кривых,
расположенных в е-окрестности первого порядка этого отрезка,
где е — любое положительное число, меньшее единицы, имеем
\у'\ < 1, так что подынтегральное выражение положительно при
j^O и, следовательно, функционал обращается в нуль лишь
при у = 0. Значит, на функции у = 0 достигается слабый мини-
минимум.

44 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ.
Сильный же минимум ие достигается. Достаточно положить
у (х) = —=¦ sin пх.
Тогда
я
rjc(I - « Cos2
п J
if. о j if,,. . я я
= — sin2 nx ax sin2 2nx ax = -? =¦
n J 4 J 2n 8
и при /? достаточно большом для наших кривых / < 0. С дру-
другой стороны, все эти кривые при п достаточно большом лежат
в сколь угодно малой окрестности нулевого порядка кривой
у = 0. Итак, сильный минимум не достигается при у = 0,
Пример 22 (Вейерштрасс). Рассмотрим функционал - j
Имеем /[(/] >0 на отрезке [—1, 1], причем /[{/] = 0 только при
у'(х) вг 0, т. е. {/(*) = С = const. Функция {/(*) = С принад-
принадлежит к классу С\[—1, 1] функций, имеющих на отрезке [—1, 1]
непрерывную производную первого порядка, но не удовлетворяет
заданным краевым условиям. Следовательно, J[y] > 0 для всех
y(x)eCi[—1, 1], удовлетворяющих условиям у{—1) =—1,
у(\) = 1. Таким образом, функционал имеет нижнюю грань, но
она не достигается на кривых у(х) е С\[—1, 1]. В самом деле,
рассмотрим однопараметрическое семейство кривых
. х
arctg —
»aW = j-, a>0.
arctg —
Эти кривые удовлетворяют краевым условиям уа {—1) = —lf
уа(\) = 1. В пределе при а->-0 получим функцию
-1, если — 1<Гя<0,
О, если х = О,
I +1, если О< *< I,
или у{х) = sgn* (рис. 3).
Эта функция принадлежит « классу функций, кусочно-диф-
кусочно-дифференцируемых на отрезке [—1, 1].

ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
Имеем
/¦
ах2 dx
j{ (ог + х?) arctg2 —
2а
Г x2dx
' I „2 _1_ w
2а
arctg2 —
(l—aarctg—j.
Ясно, что Л{/а]-*-0 при а->-0. На предельной функции у(х),
удовлетворяющей краевым условиям у(—1) =—1, </A) = 1(
функционал /[(/] принимает значение, равное нулю: J\y] = О,
у = sgn х
Рнс. 3.
Таким образом, функционал J[y] достигает своего минимума
на кривой у(х) = sgnx, которая принадлежит к классу функций,
кусочно-дифференцируемых на отрезке [—1, 1], но не принадле-
принадлежит классу Ci[—1, 1].
Теорема (необходимое условие экстремума функционала).
Если дифференцируемый функционал 1[у(х)] достигает экстре-
экстремума при у = Уо(х), где Уо(х) —внутренняя точка области опре-
определения функционала, то при у = t/Q (х) имеем
] = О. B0)
Функции, для которых б/ = 0, будем называть стационар-
стационарными функциями.

46 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Используя необходимое условие экстремума B0),
и основные леммы вариационного исчисления [15],
найти функциональные уравнения для определенна
стационарных функций следующих функционалов:
ь ь
68. 7[ф]={ \K{s, t)(?(s)<v(t)dsdt +
Ь Ь
jcp2(s)ds-2 j<p(s)f(s)ds,
где K(s,t) — заданная непрерывная симметрическая
функция от s и t в области D\ <-*<-{. Г» /(s) —зач
данная непрерывная функция на [а, Ь\\ q>(s) — иско-<
мый непрерывный функциональный аргумент. j
69. 7[Ф]=
-<p2(x)-2<v(x)f(x)]dx,
где функциональный аргумент ф(*) непрерывен и
имеет кусочно-непрерывные производные во всем ин-
интервале — оо<;л:<С+°°; р(х) имеет непрерывную
производную, f(x) — непрерывна.
70. / [ф] = J [р (х) ф/2 + q (х) ф2 (х) - 2Ф (х) f (x)] dx,
ф(-«о)==Фо.
где р(х) имеет непрерывную производную, q(x) и
f(x) непрерывны и функциональный аргумент <р(х)
дважды непрерывно дифференцируем.
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера
Пусть функция F(x, у, у') имеет непрерывные частные про-
производные по всем аргументам, до второго порядка включительно.
Среди всех функций у(х), имеющих непрерывную производ-
производную и удовлетворяющих граничным условиям
у{а) = А, у(Ь) = В, A)

«4] ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 47
найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функ-
функционалу
ь
J [У (х)] = J F (х, у, у') их. B)
Другими словами, простейшая задача вариационного исчисления
состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида B)
на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные
точки Pi (а, А) и Ра(Ь, В).
Теорема 1. Для того чтобы функционал B), определен-
определенный на множестве функций у = у(х), имеющих непрерывную
первую производную и удовлетворяющих граничным условиям
A), достигал на данной функции у(х) экстремума, необходи-
необходимо *), чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера
Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстре-
экстремалями (лагранжевы кривые). Уравнение Эйлера в развернутом
виде:
y"(x)Fy,y, + y'(x)Fyy, + Fxy,-Fy = O (F,y,*0). D)
Уравнение D) представляет собой дифференциальное урав-
уравнение второго порядка, так что его общее решение должно зави-
зависеть от двух произвольных постоянных. Значения этих постоян-
постоянных, вообще говоря, определяются из граничных условий A).
Экстремум функционала B) может реализоваться только на
тех экстремалях, которые удовлетворяют условиям A).
Краевая задача
РР 0
у(а) = А, у(Ъ) =
не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно мо-
может быть не единственным.
Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума
функционал
2
/ [У (*)] = J (У'2 - 2ху) dx, i/(l) = 0, (/B) = -l?
*) Это условие необходимо для слабого экстремума. Так как
всякий сильный экстремум является в то же время и слабым, то
любое условие, необходимое для слабого экстремума, необходимо
и для сильного.

48 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 1ГЛ. t[
Решение. Здесь F(x, у, у') = у'2 — 2ху, так что уравне-
уравнение Эйлера имеет вид у" + * = 0. Общее решение уравнения
&йлера есть
Граничные условия дают систему линейных уравнений для
определения Сх и Сг:
Г 4-Г -1
ь,-1-с2- 6,
Отсюда Ci==—, С2 = 0. Следовательно, экстремум может до-
достигаться лишь на кривой
Пример 2. Найти экстремали функционала
з
1[у(х)]=\(Ъх-у)уйх,
1
удовлетворяющие граничным условиям t/(l) = l, г/C) = 4—.
Решение. Уравнение Эйлера имеет вид Зх — 2у = 0,
откуда у{х) = — х.
g
Так как экстремаль у = — х не удовлетворяет условию
j/(l) = 1, то данная вариационная задача решения не имеет.
Пример 3. Найти экстремали функционала
2Л
/ [У (*)] = J (>/* - У2
удовлетворяющие граничным условиям у@) = 1, у Bл) = 1.
Решение. Уравнение Эйлера имеет вид у" -\- у — 0; его
общим решением является
у [х) = С] cos х + Сз sin х.
Используя граничные условия, получим
у (Х) = COS X + С Sin Я,
где С — произвольная постоянная.

4 <1 ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 49
Таким образом, поставленная вариационная задача имеет
бесчисленное множество решений.
Найти экстремали следующих функционалов:
о
71. J[y]= J {\2ху — y'2)dx; у(~ 1) = 1, у@) = 0.
2
72. /[*/] =
i
1
о '
1
74. J{y]=\yy'2dx; y@) = l, y(l) = Vl.
о
п
75. / [у] = J D^/ cos * + / - у2) dxi
г/ @) = 0, у(п)
76. J[y]=
77. /Ы= J(/-2^)^; y(-l) = -l, ^/A) = 1.
о
78. /[г/]= f iy'2 — 2xy)dx; y(—l) — 0
79. /[*/]=
Уравнение Эйлера C) для функционала B) есть дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка, так что решение у = у(х)
уравнения Эйлера должно иметь вторую производную у"(х). Од-
Однако бывают случаи, когда функция, на которой функционал
ъ
]\у) = \ р (х, у, у') их достигает экстремума, не является дваж-
а
ды дифференцируемой.

50 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. It
Пример 4. Функционал
1
/[</(*)]= J y2(x)(\-y'(x)ydx
-1
при граничных условиях
достигает своего минимума, равного нулю, на функции
( 0 при х < 0,
{ х при х > 0.
Хотя функция v(x) и не имеет второй производной, она удовле-
удовлетворяет сответствующему уравнению Эйлера.
Действительно, так как F(x, у, у') = у2(\—у'J, то полагая
у = v (х), получим уравнение Эйлера
2v(\-v'J + -j^[2v2(l-v')] = 0. F)
Но согласно определению функции v(x) будем иметь на {—1,1]'
Fv, = —2у2A — v') ее 0, а значит, и —j—Fv, =0, и хотя урав-
уравнение Эйлера F) формально имеет второй порядок, a v"(x) не
существует, подстановка v(x) в уравнение Эйлера обращает его
в тождество.
Теорема 2. Пусть у = у(х) есть решение уравнения Эй-
Эйлера
Если функция F(x, у, у') имеет непрерывные частные производ-
производные до второго порядка включительно, то во всех точках (xty),
в которых
Fy,y, (x, у (х), у' (х)) Ф 0, G)
функция у = у(х) имеет непрерывную вторую производную.
Следствие. Экстремаль у = у(х) может иметь излом
только в тех точках, где Fy,y, — 0.
Так, в примере 4 Fy'y, = 2y2 обращается в нуль в точ-
точках оси Ох; экстремаль имеет излом в точке х = 0.
Теорема 3 (Бернштейн). Пусть имеем уравнение
y" = F(x,y,y'). (8)
Если функции F, Fy, Fy, непрерывны в каждой конечной точке
(х, у) для любого конечного у' и если существуют такая кон-

% 4] ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА Б1
станта k > 0 и такие, ограниченные в каждой конечной части
плоскости функции
что
Ру (*, U. У') > *. (9)
\F(x,y, у')\<ау'2 + $, (Ю)
то через любые две точки плоскости (а, А) и F, В), имеющие
различные абсциссы (афЬ), проходит одна и только одна ин-
интегральная кривая у = ф(л:) уравнения (8).
Пример 5. Доказать, что через любые две точки пло-
плоскости с различными абсциссами проходит одна и только одна
экстремаль функционала
Решение. Уравнение Эйлера для данного функционала
имеет вид
2
й теорема 3 применима. В самом деле, в данном случае
F(x.V, У') = 2уA+у'2) и Fy = 2
Далее,
так что а = Р = 2 | у \
Пример 6. Показать, что не через всякие две точки пло-
плоскости с различными абсциссами можно провести экстремаль
функционала
t[y]=j(y*+Vi+?')**•
Решение. Уравнение Эйлера имеет вид
у"^2уA + у'2)\ A1)
и теорема 3 не применима, так как условие A0) не выполняется
(F{x,y,yr) растет по у' быстрее, чем вторая степень у'). Однако
отсюда еще не следует, что не через всякие две точки с различ-
различными абсциссами можно провести экстремаль.
Полагая в уравнении A1) у' — р, y" = p-J-~, получим
pJtJL
или
_2 d

62 r ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ - [ГЛ5 II
Интегрируя, находим -р== = у2 — С или
Отсюда
~Ш у^Пс ' к '
где С — вещественная постоянная.
Нетрудно проверить, что для всех значений у, удовлетво-
удовлетворяющих, например, условиям 0 sg у sg b, где b > У~2, ни при
каком допустимом значении постоянной С правая часть A2) не
будет вещественной.
80. Показать, что через любые две точки плос-
плоскости проходит одна и только одна экстремаль функ-
функционала
Пример 7, Доказать, что всякое уравнение
y"(x) = f(x,y,y') A3)
является уравнением Эйлера для .некоторого функционала
J[y(x)]= j F(x,y,y')dx. A4)
1) Как определяется функция F(x,y,y') по функции
f(x,y,yV
2) Найти все функционалы, для которых экстремалями яв-
являются прямые
у (х) = Схх + С2.
Решение. Будем искать функционал, для которого урав-
уравнение Эйлера
Ру~Ру'Х-РууУ'-Ру.уУ"-0 A5)
совпадает с уравнением A3). Это значит, что должно иметь
место тождество по х, у, у':
ру ~ ру'х - Fyy" V' ~ Fy'S ¦ f (*- У' У') ^ °-
Дифференцируя это тождество по у', получим
Fy'y'x + Fy'y'y • У' + Fy'y'y' • f + Fy'y'' fy — °-
Положим и = Fy'y', тогда для функции и получим уравнение
в частных производных:

* 41 , ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА S3
Таким образом, нахождение функционала, т. е. нахождение
функции F(x,y,y'), сводится к интегрированию линейного урав-
уравнения в частных производных A6) и к последующей квадратуре.
Рассмотрим второй вопрос. В этом случае уравнение Эйлера
должно иметь вид у" = 0 и для функции и получаем в силу A6)
уравнение
ди , , ди
+у0
Проинтегрируем это уравнение.
Уравнение характеристик имеет вид
dx__dy__ dy'
1 "~ у' ~ 0
Интегрируя эту систему, получаем
откуда С2 = у— ху'. Поэтому общее решение уравнения A7)
таково:
и (х, у, у') = Ф (у', у - ху'),
где Ф ~-произвольная дифференцируемая'функция своих аргу-
аргументов. Отсюда
2
F(x,y,z)=a(x,y) + z?L(x,y) + J (г - t)O(t, у -tx)dt, A8)
о
где <х(х,у) и Р(лг, у)—произвольные функции своих аргументов,
удовлетворяющие соотношению
~ду"в"~дх'ш
Из решения видно, что существует бесконечное множество вариа-
вариационных задач, для которых уравнение A3) является уравне-
уравнением Эйлера.
Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
1°. F не зависит от у': F = F(x, у).
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид
Fy(x,y)=*0. A9)
Решение этого конечного уравнения не содержит элементов про-
произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным
условиям у (а) = А, у(Ь) = В.
Лишь в исключительных случаях, когда кривая A9) про-
проходит через граничные точки (а, А) и (Ь,В), существует кривая,
на которой может достигаться экстремум.
Пример 8. Найти экстремали функционала
Я/2
J
/
J
у B* — у) dx,
о

54 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 1Г
Решение. Уравнение Эйлера имеет вид 2х — 1у = 0, т. е.
у = х. Так как граничные условия удовлетворяются, то на пря-
Я/2
мой у — х интеграл у Bх — у) dx может достигать экстремума.
о
При других граничных условиях, например, #@) = 0, ^("о")^'*
экстремаль у = х не проходит через граничные точки @, 0) и
(я ,\
\~2' )' так чт0 ПРИ этих гРаничпых Условиях вариационная за-
задача не имеет решения.
2°. F зависит от у' линейно, т. е.
F (х, у, у') = М (х, у) + N (х, у) у'.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид
™_™ 0. B0)
ду дх
Полученное уравнение, как и в случае 1°, является конечным, а
не дифференциальным уравнением. Кривая, определяемая урав-
дМ dN n
нением —= -=— = 0, вообще говоря, не удовлетворяет гра-
граничным условиям, и, значит, вариационная задача, как правило,
не имеет решения в классе непрерывных функций. Если в не-
некоторой области D плоскости хОу —~ -=— = 0, то выраже-
выражение F(x,y,y') = M(x,y)dx + N(x,y)dy является полным диф-
дифференциалом и функционал
Ь (Ъ, В)
Ну(х)]= J F(x,y,y')dx= J (Mdx + Ndy)
a (a, A)
не зависит от пути интегрирования: значение функционала
¦?[У(Х)] — одно и то же на допустимых кривых. Вариационная
задача теряет смысл.
Ппимер 9. Исследовать на экстремум функционал
ь
dx, у (а) = А, у F) = В.
a
Решение. Здесь F линейно зависит от у'. Имеем
дМ ^JL—o дМ ~дМ —О
ду дх ду дх
значит, подынтегральное выражение (у2 + 2хуу') dx есть пол-
полный дифференциал. Следовательно, интеграл не зависит от пути

S 4J ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА БЗ
интегрирования: iu
ь (Ь, В)
j (y2dx+2xydy)=* J d{xy2) =
(a, A)
по какой бы кривой у(х), проходящей через точки (а, А) и
(Ь,В), мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет
смысла.
3". F зависит лишь от у', т. е. F = F(y'),
Уравнение Эйлера имеет вид
Fy,y,y"^0. B1)
В этом случае экстремалями являются всевозможные прямые ли-
линии
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Пример 10. Найти экстремали функционала
Ь
+ У'2 (х) их, у(а) = А, у{Ь) = В.
Этот функционал определяет длину кривой, соединяющей точки
(а,Л) и (Ь,В). Геометрически задача сводится к разысканию
кратчайшей линии, соединяющей данные точки.
Решение. Уравнение Эйлера имеет вид у"(х) =0. Общее
решение
у (х) = С,х + С¦,.
Экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям у(а) = А и
у(Ь) — В, есть, очевидно, прямая, проходящая через точки
(а, А) и F, В):
4°. F не зависит от у, т. е. F = F(x, у').
В этом случае уравнение Эйлера ~j—Fy,(x, y') = 0, откуда
Fy, (x, у') = С,, B2)
где С\ — произвольная постоянная.
Уравнение B2) есть дифференциальное уравнение первого
порядка. Интегрируя его, находим экстремали задачи.

56 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Пример 11. Среди кривых, соединяющих точки Л A,3) и
В B, 5), найти ту, на которой может достигаться экстремум
функционала
Решение. Так как F не зависит от у, то уравнение
Эйлера имеет вид -т— Fy, (х, у') = 0, или -г- A + 2х2у') = О,
откуда
1 + 2V С,.
С{—1 С, I — Cj
Тогда #'=—2^2"~> так чт0 У(х) = — + С2, где С, = ^—•
Таким образом, экстремалями является семейство гипербол.
Выделим экстремаль, проходящую через заданные точки. Для
определения постоянных С[ и С2 составляем систему
з=с;+с2,
с]
• 4
откуда Cj = — 4, С2 = 7. Искомая экстремаль у(х) = 7 ,
5е. .F не зависит явно от х, т. е. F = .F (i/, г/'). В этом слу-
случае уравнение Эйлера принимает вид
Умножив обе части этого уравнения на у', в левой части полу-
получим точную производную, т. е. -г— (F — у'' Fy,) = 0, откуда
F-y'-Fy^Ct, B3)
где С\ — произвольная постоянная. Это уравнение может быть
проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделе-
разделения переменных или путем введения параметра.
Пример 12. (Наименьшее сопротивление потоку.) Опреде-
Определить форму твердого тела, движущегося в потоке газа с наимень-
наименьшим сопротивлением. Будем для простоты рассматривать тело
вращения (рис. 4)..
Решение. Считая, что плотность газа достаточно мала и
молекулы отражаются от поверхности тела зеркально, для нор-
нормальной составляющей давления будем иметь следующее выра-:
жениез .'"'..
р = 2ро2 sin2 9. B4)

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
57
Здесь р — плотность газа, v — скорость газа относительно тела,
6 — угол между скоростью и ее тангенциальной составляющей.
Давление перпендикулярно к поверхности, так что можно
Рис. 4.
записать составляющую силы по оси Ох, действующую на кольцо'
шириной (l + у' У^ dx и радиусом у(х), в виде
dF = 2ро2 sin2 6 [2пу (l + у'2)''2] sin 9 dx.
B5)
Полная сила, действующая в положительном направлении оси
Ох, равна
I
F = J 4яро2 sin3 ву A + у'2)'1' dx.
B6)
Чтобы упростить задачу, предположим
У'
sin I
Тогда сила сопротивления будет равна
I
F = 4яро2 Г у'3у dx.
B7)
Задача состоит в том, чтобы найти такую функцию у(х), при
которой F принимает наименьшее возможное значение, причем
у@) = 0, у (/)-Л
B8)

58 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Уравнение Эйлера для функционала B7) имеет вид
</'3-3-?-(м/'2) = 0. B9)
Частное решение у = 0 этого уравнения неприемлемо в силу
граничных условий B8). Уравнение B9) можно переписать
в виде
у'Ъ + Ъуу'у"=О. C0)
Умножая обе части C0) на у', замечаем, что левая часть есть
{у'гу)'. Интегрируя, найдем
Отсюда
</' = -?=- и </ = (С,* + С2)Ч C1)
V У
Используя граничные условия B8), получим
откуда
-«(тГ-
т. е. контур с заданными конечными точками, при котором сопро-
сопротивление тела минимально, является параболой степени 3/4.
Пример 13. Найти экстремаль функционала
[У (*)]
J У
проходящую через заданные точки (а, А) и (Ъ,В), лежащие в верх-
верхней полуплоскости.
Решение. Так как подынтегральная функция не содержит
явно х, то уравнение Эйлера согласно B3) дает
У
После упрощений получим у у 1 + у'2 = С\, где С\—-^—.
Интегрируя последнее уравнение, найдем (х + С2J + у2 = Су —
семейство окружностей с центром на оси Ох. Искомой будет та
экстремаль, которая проходит через заданные точки. Задача
имеет единственное решение, так как через любые две точки,

.4]
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
59
лежащие в верхней полуплоскости, проходит одна и только одна
полуокружность с центром на оси Ох.
Замечание. Согласно принципу Ферма путь светового
луча, распространяющегося в неоднородной двумерной среде со
скоростью v(x,y), является экстремалью функционала
Цу]
Л1
о (х, у)
dx.
Если скорость света v пропорциональна у, то как видно из
разобранного примера, световые лучи представляют собою дуги
окружностей, центры которых лежат на оси Ох.
Пусть задана кривая q. Оптической длиной кривой q назо-
назовем время T(q), в течение которого проходится эта кривая при
движении по ней со скоростью света v(x,y).
Будем рассматривать верхнюю полуплоскость у > 0 как
оптическую среду, в которой скорость света в каждой точке
равна ординате этой точки о = у. Лучами света в этой среде
будут, как мы видели, полуокружности с центрами на оси Ох.
Можно показать, что часть AD полуокружности q, один из кон-
концов которой лежит на оси Ох, имеет бесконечную оптическую
Рис. 5.
длину (рис. 5). Точки оси Ох будем называть поэтому беско-
бесконечно удаленными. Будем считать полуокружности с центрами
на оси Ох прямыми, оптические длины дуг таких полуокружно-
полуокружностей — их длинами, углами между такими прямыми — углы ме-
между касательными к полуокружностям в течке их пересечения.
Получим плоскую геометрию, в которой сохраняются многие
положения обычной геометрии. Например, через две точки можно
провести одну и только одну прямую (через две точки на полу-
полуплоскости можно провести только одну полуокружность с цен-
центром на оси Ох). Параллельными будем считать две прямые,
имеющие общую бесконечно удаленную точку (т. е. две полу-
полуокружности, касающиеся _лруг друга в точке В, лежащей на
осн Ох), Тогда через данну.о точку А, не лежащую на прямой q,

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
' Ггл. it
можно провести две прямые ?i и ?2, параллельные q. Прямые,
которые проходят через точку А и лежат в вертикальных углах
I и III, пересекают прямую д; прямые, лежащие в углах II и
IV, — ее не пересекают..
0
If 1
9,
^* ¦-
—^
V
в
N \
" V
X
Рис. 6.
" Мы получили так называемую модель Пуанкаре геометрии
Лобачевского на плоскости (рис. 6).
Найти экстремали функционалов:
ь
81. / [у (х)] = J [2ху + (х2 + еУ) у'\ их;
у{а) = А, у{Ь) = В.
0
я/4
82.
83. J[y(x)\= I (/2-^)^; ^/@)=I, у (.5.)=-!^-.
J V4/ 2
n
84. / [y (x)] = J (/ - y2)^; у @) = 1, у (я) = - 1.
85.
86.

41 ПРОСТЕПШАЯ ЗАДАЧА
87. J[y(x)]=j(yfi + Ay2)dx; у@) = е>, у{\)=1.
о
1
88. / [у (х)] = J Bеу - у2) dx; у @) = 1, у A) = е.
о
ь
89. J [у (х)]= j (ху'+ у*) dx.
а
Ь
т.
91. Показать, что линейный функционал
ь
J [У (х)] = J [р (х) y' + q{x)y + r (x)] dx,
а
где p(x)^Cl[a, b], q(x)^C[a, b], r(x)<=C[a, b], не
имеет экстремумов.
92. Пусть дан функционал
ь
Лу(х)]= J F{x,y, y')dx
а
и граничные условия у(а) = А, у(Ь) = В.
Показать, что если к подынтегральному выражен
нию F(x,y,y')dx добавить полный дифференциал лк>
бой функции и = и(х,у), то уравнение Эйлера оста*:
нется прежним.
ъ
93. / [у (х)] = j(y2 + У'% + 2уех) dx.
а
я/2
94. / [у (х)] = J (у2 - у'2 - Sy ch x) dx,
95. Найти экстремали функционала
ь

62 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. IT
н показать, что при п ^ 1 две точки, лежащие по
разные стороны от оси Оу, не могут быть соединены
экстремалью.
Вариационные задачи в параметрической форме. В ряде за-
задач более удобно, а порой и просто необходимо, пользоваться
параметрическим заданием линий
где функции ф@ и ф (/) непрерывны и имеют кусочно-непре-
кусочно-непрерывные производные, причем ф2@ + Ф2@!?^ О-
Пусть дан функционал
/с = J F (*, х, у, t,y)dt=. f F (*, х, (/, *, у) Л, C2)
где х = ?г» = |.
Чтобы значения функционала C2) зависели от линии, а не
от ее параметризации, которая может осуществляться различ-
различными способами, необходимо и достаточно, чтобы подынтеграль-
подынтегральная функция не содержала явно параметр t и была положитель-
положительно однородной первой степени что аргументам х, у:
F (х, у, kx, ky) = kF (x, у, х, у), k>0. C3)
Например, в функционале
/с = х dy — у dx
подынтегральная функция положительно однородна первой сте-
степени. В самом дела, здесь
F (х, у, х, у) = ху — ух
и очевидно
F (х, у, kx, ky) = kF (x, у, х, у).
Если линия С:
ф@ 1
+ @ Г
доставляет функционалу Jc экстремум в классе линий С, соеди
няющих данные точки (хо,уй) и {хи у\), то функции <р(/) и ^(t

5 4] ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 63
удовлетворяют уравнениям Эйлера
F _А(У?.)==0> ]
p]-l(Ft)-b \ C4)
}
Одно из уравнений C4) есть следствие другого.
Вейерштрассова форма уравнения Эйлера
1 F „,-, — F
ух ,„г.
г -*,.(*» +*')%" ( }
Здесь г — радиус кривизны экстремали, F\ — общее значение от-
отношений
р _ F хх ^_ Fyy _ Fxy
1 у2 х2 — ху '
Пример 14. Найти экстремали функционала
/с== J У2У'2 их.
(О, 0)
Решение. Поскольку возможны экстремали, которые пере-
пересекаются прямыми, параллельными оси Оу более, чем в одной
точке, перейдем к рассмотрению задачи в параметрической
форме.
Считая x = x(t), y = y(t), находим, что подынтегральная
й2
функция имеет вид у2 • -^tjx и является положительно однород-
однородной первой степени относительно хну.
Первое из уравнений C4) принимает вид
откуда
\ dx ) ''
Интегрируя последнее уравнение, находим
Из условия прохождения экстремали через начало коорди-
координат находим, что Сг = 0. Второе граничное условие дает
9
V\
C'i =——, так что окончательно
Zx \

64 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ (ГЛ. I!
Пример 15. Найти экстремали функционала
U
1С = \ [V^ + i* + а2 {ху - ух)] dt.
U
Решение. Полагая
F (х, у, х, у) = Vx2 + y2 + а2 {ху - ух),
видим, что функция F положительно однородна первой степени
относительно х и у.
Воспользуемся вейерштрассовой формой уравнения Эйлера,
Имеем
гху~а>
Поэтому уравнение C5) принимает в данном случае вид
1-2А
Таким образом, кривизна — экстремали постоянна. Следова-
Следовательно, экстремали — дуги окружности, в частности, полные
окружности, если
Найти экстремали функционалов:
(*i. Si)
96. /с= J y .yx dt
@,0)
A.2)
у2 - Зе*'*х2
97. /с= J * -J* dt.
@,0)
A.0)
98. /с = j (К- Ух2 + у2 — ху) dt, K>0- const.
(-1.0)
§ 5. Обобщения простейшей задачи
вариационного исчисления
1°. Функционалы, зависящие от производных высшего поряд«
&а. Пусть имеем функционал ,
х,
/ [У (х)] = J Fix, у (х), у' (х) У"> (д:)) dx, A)
х.

§ 5] ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ 65
где F — функция, дифференцируемая я-f-2 раза по всем аргу-
аргументам, у(х)е С„[х0, Xi], а граничные условия имеют вид
У (*о) =%• У (*о) = Уо tf(n~" (*о) = *#. |
Экстремалями функционала A) при условиях B) являются
интегральные кривые уравнения Эйлера — Пуассона:
d d~ d^
Пример 1. Найти экстремаль функционала
1
/ [у (х)] = f C60х2у - у'А) dx,
Решение. Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
+ -^-(-2г/") = 0 или yW (х) =
его общее решение —
Используя граничные условия, получим
г 3
1 = Т'
Искомая экстремаль
у (х) = j Xs + С,*3 + С2х2 + С3* + С4.
3
С\ =-—, С% = 3, С3 = 1, С} = 0.
х.
Рассмотрим задачу, в которой на границе заданы не все
условия B), а меньшее их число, так что в общем решении урав-
уравнения Эйлера после использования граничных условий еще
остаются свободные постоянные. Для решения такой задачи не-
необходимо найти вариацию функционала A), преобразовать ее
с учетом заданных граничных условий и, приравняв вариацию
нулю, получить дополнительные условия на границе.
Пример 2. Найти кривую у — у(х), реализующую экстре-
экстремальное значение функционала
ь
J[y)=jj (y'Tdx D)
а
при условиях
</(a) = 0, 0F) =0. E)
3 М, Л, Краснов а др. >

q5 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Решение. Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
j/UV)W = o.
Его общее решение
у (х) = С, + С2х + С3х2 + С,,*3 F)
содержит четыре произвольных постоянных Cj (/'= 1,2,3,4), и
для их определения заданных граничных условий E) недоста-
недостаточно. Поэтому, согласно вышесказанному, находим вариацию
функционала D). Получим
Ь
Ы [у] = f У" (V) dx. G)
а
Интегрируя G) по частям дважды, будем иметь
ъ
Ы Ы = У" (х) by' (х) |» - J у'" (х) by' (x) dx =
а
Ь
= у" (х) by' (x) \\ - у'" (х) by (x) \ba + J y(lv) (x) by (x) dx. (8)
Выражение (8) должно обращаться в нуль на экстремали
у(х) функционала D). Из произвольности функции Ьу{х) сле-
следует, что y<IV>(x) =0; это есть уравнение Эйлера — Пуассона
для функционала D). Но если интеграл в правой части (8) об-
обращается в нуль, то краевое выражение
[у" (х) (,;/ (х) - у'" (х) by (x)] \Ьа
также должно обращаться в нуль тождественно.
Так как by(a)—6y(b)=0 (концы закреплены), то полу-
получаем, что должно быть
y"(b)by'(b)-y"(a)by'(a) = O.
В силу произвольности величин Ьу'(Ь) и Ьу'(а) необходимо
получаем
у"(а) = 0, i/'(b)=0. (9)
Условия (9) вместе с условиями E) однозначно выделяют
экстремаль из семейства F): у(х) =з 0.
2°. Функционалы, зависящие от т функций. Для функцио-
функционала, зависящего от т функций yi{x), ..., ут(х),
[, У2. •••> 2/ш]= J
х,

§ 5] ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ 67
при граничных условиях вида
,. /v \ ,,0 (y \ i№ (Ь 19 *«\ (\\\
экстремали находятся из следующей системы дифференциальных
уравнений второго порядка:
F — -^-F,=0 (ft =1,2 т), A2)
называемых системой уравнений Эйлера.
Пример 3. Найти экстремали функционала
2
J[y(x),z(x)]=j (у'2 + z* + z'2) dx
1
при граничных условиях
j,(l) = l, у B) =2; z(!)=0, zB) = l.
Решение. Система уравнений A2) в данном случае имеет
вид
у" = 0. 1
Z —z" = 0. J
Решая эту систему, находим
„ г y л. г ¦у г t>x Л- г р~х
В силу граничных условий имеем
С[ = 1, С2 = 0, Сз = —т; г-, С4 = -з р,
так что искомая экстремаль:
sh(x-l) \
sh I J
есть пространственная кривая, являющаяся пересечением двух
цилиндрических поверхностей.
Пример 4. Найти экстремали функционала
л
/ [у (*), z (х)] = J B(/z - 2if + у'2 - 2'2) ^
о
если
i/@) = 0, у(л)=1, 2@) = 0, г(я) = -1.

68 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. И
Решение. Система уравнений A2) имеет вид
у" + 2у — г = О,
2" + У = О,
откуда, исключая функцию г, получим
Общее решение этого уравнения имеет вид
у (х) = С\ cos х + С2 sin х -f- x (C3 cos x + С.( sin x).
В силу граничных условий у @) = 0, г/ (я) = 1 получаем Ct = 0,
Сз = , и значит,
ИХ
X
у (х) = С2 sin х + C4-v sin д; cos x.
Функцию z найдем из условия, что z = у" + 2;/. Имеем
г = С2 sin .v + С4 B cos х + х sin х) Н B sin х — х cos .v).
Постоянные С2 и С4 находим из граничных условий г @) = 0,
z (я) = — 1, что дает С4 = 0, С2 — произвольно. Тогда
z=C2 sin * -j B sin л: — x cos x).
Семейство экстремалей:
у = C2 sin x cos x, I
z~ C2s\n x-\ B sin x— x cos x) j
где C2 — произвольная постоянная.
3°. Функционалы, зависящие от функций нескольких неза-
независимых переменных. Рассмотрим функционал вида
03)
где F — трижды дифференцируемая функция своих аргументов, и
предположим, что ищется функция z = г(х,у), непрерывная вме-
вместе со своими производными до второго порядка включительно
в области D, принимающая на границе Г области D заданные
значения и дающая экстремум функционалу A3).
Если на поверхности г = г(х,у) реализуется экстремум
функционала A3), то функция z = г(х, у) удовлетворяет урав-
уравнению Эйлера — Остроградского
FS-~{Fp}~-~{Fq} = 0, A4)

§ 5] ОВОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ QQ
где -тг—{Fp} и —г— [Fq) —¦ полные частные производные по г и
по у соответственно:
JLipx^p л.р JtL + p ^E-4-F ^- A6)
dy(tv рчу ^ t(*z ду ^ qp ду + qq ду ' ( '
- dz dz
Здесь для краткости обозначено —:—== п, —— = q.
дх ду
Уравнение A4) представляет собой необходимое условие
экстремума функционала A3). Оно является уравнением второго
порядка в частных производных, причем ищется решение z =
= z(x, у), принимающее на границе Г заданные значения.
Пример 5. Написать уравнение Эйлера — Остроградского
для функционала
Решение. Имеем F (х, у, z, p, q) = рг — q2, так что со-
согласно A4) получим — Bр) — (— 2q) = Q или
0Х 0 If
d2z _ d2z _
дх2 ду2
Для функционала
J[z(xh х2 хп)] =
«= J j ••• J F{xi, x2 хп, z, plt p2,..., pn)dxidx2 ... dxn, A7)
D
где pk = -3— (ft== 1, 2, .-., «), необходимое условие экстре-
мума выражается следующим уравнением Эйлера — Остроград-
Ского:
или в развернутом виде
Решение этого уравнения — функция г = z{x\, хъ ••.. хп) — на
границе Г «-мерной области D должна удовлетворять заданным
Граничным условиям.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Пример 6. Найти условия, при которых функция
z(xt, хг, ..., хп), принимающая заданные значения на границе
Г области Q, дает минимум интегралу Дирихле
Q
n
Решение. В этом случае F = "т, | ——) , т. е. F не за-
Si ^ { '
висит явно от хи х2, ..., хп, z. Следовательно,
р =f =р =0 F ={ 2 ПРИ *" = /•
Z Zpi Xipi ' pipl I 0 при 1ФП
и по формуле A9) получим
-3- = 0 или Az = О
(rt-мерное уравнение Лапласа).
Замечание. Если под знак интеграла входят производные
функции г(х,у) до порядка п, то уравнение Эйлера — Остроград-
Остроградского имеет вид
=0' B0)
Пример 7. Написать уравнение Эйлера — Остроградского
для функционала
/ [г (х, у)] =
d2z \2 , / д2г V .
дх2 ) ' \ ду2
D
Решение. Имеем

§ 5] ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ 71
Согласно B0) находим
+2
__B
дх ду \ дх ду
Последнее уравнение коротко записывается так:
Найти экстремали следующих функционалов:
1
99. / [у (х)] = {у2 -\- 2у' -\- у" ) dx;
о
= 0, уA) = 0, у'@) = 1, 0'(l)=-shl.
о
100. / [у {х)} = I" B400 - y'"*)dx;
^(_1)=1, 0@) = 0, 0'(—1) = —4,5,
а
0(а)=0о. У(Ь)
ъ
102. /[0WI=
юз. /[0(*)] =
б
0@) = 0, 0A) = shl, 0'(O)=1, 0'(l)
104. Найти экстремаль функционала

72 экстремум функционалов [гл. п
при условиях
1/@) = 0, г/'@) = 0, у'A) = 1.
я/4
105. / [г/ (.*), z {х)\ = J Bг - 4г/2 + / - z'2)dx;
*106. / [у (х), z (л)] = J B*0 - г/'2
J
•Я/2
107. J[y(x), z(x)] = J (г//2 + 2'2
о
f)=l, z@) = 0
i
108. / [г/ W, г (л)] = J (у'2 + z'* + 2у) dx;
о
|/@)= 1, г/A)=|> 2@) = 0, 2A)=1.
109. Показать, что уравнения Эйлера для функ-
функционала
ъ
Пу, г] = J F (х, у, у', z, z') dx
допускают следующие первые интегралы:
1) -д-г—С, если F не содержит у;
2) F — у'-Q-r — z' -д^г = С, если F не содержит х.
Написать уравнения Эйлера — Остроградского для
функционалов:
ПО. J[z(x, г/)] =

§ 6] ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
111. J[z{x, у)}=
D
112. J[z(xh хъ .... *„)]==
n
y,aj(xu .... хп)Гдх-
D L/=l
— с (л:,, ..., *„) 22 + 2zf (хь ..., xn)] dx{ dx2 ... dxn.
113. Вывести дифференциальное уравнение мини-
минимальных поверхностей.
114. Найти экстремаль функционала
1 !
J\z (х, */)] = I ezy sin Zydxdy
о о
при условиях z(x, 0) = 0, z(x, 1)=1.
§ 6. Инвариантность уравнения Эйлера
Если функционал
Ь
ПУ\= | F (х, у, у') dx
а
преобразуется посредством замены независимой переменной или
одновременной заменой искомой функции и независимой перемен-
переменной, то экстремали функционала по-прежнему находятся из ураз«
нения Эйлера, составленного для преобразованного подынтеграль-
подынтегрального выражения. В этом и состоит инвариантность уравнения
Эйлера.
Пусть х = х(и, v), y = y(u, v), причем
Тогда
F (х, у, у') dx ¦-
Ха Xv
Уа Уи
(* Г у + у v'u 1 ,.
\ F\x(u,v), у [и, v), —-—j- \xu + xvva)du =
L xu'~ xvvu J
= J o'(u,v,v'u)da

74 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
и экстремали исходного функционала определяются из уравнения
Эйлера для функционала ф(«, v, v'^du:
Ф _-Аф =0.
" du v
Пример 1. Найти экстремали функционала
где г = г(ф).
Ф,
Решение. Уравнение Эйлера для этого ч.функционала
Замена переменных х = г cos ф, у = г sin ф дает
г/'2 rf-«,
и мы приходим к функционалу вида
Ь
[у] = J Vl + У'2 dx,
для которого уравнение Эйлера есть у" = 0, так что
у = Схх + С 2.
Значит, экстремали исходного функционала даются уравнениями
г sin ф = С\г cos ф + С2,
где С[ и С2 — произвольные постоянные.
Пример 2. Найти экстремали функционала
In 2
е-ху'г - е V) dx.
Решение. Уравнение Эйлера для данного функционала
имеет вид
Сделаем замену переменных
{х = In и,
y = v.

§ 6] ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 75
Тогда исходный функциончл преобразуется к виду
2 2
1 1
и для него уравнение Эйлера и" + у = 0 легко интегрируется:
V = С[ cos и + С2 sin н.
Переходя к первоначальным координатам х, у, получим уравне-
уравнение экстремален в виде
у = С] cos ех + С2 sin e^.
115. Найти экстремали функционала
ф,
/= \ rsinyVr2-\-r'2d<$.
ф,
116. Показать, что экстремали функционала
ф.
/= J f (r sin ф) Vr2 + r'2 dq>
Фо
всегда находятся в квадратурах.
117. Найти экстремали функционала
ь
/ = | /х2 + //2 /l + г/'2 dx.
а
Как и для случая одного переменного, уравнение Эйлера —
Остроградского инвариантно относительно преобразований коор-
координат.
Пример 3. Записать уравнение Лапласа
° —0 A)
дх2 ду-
в полярных координатах.
Решение. Рассмотрим функционал
D [г (х, у)] =
а
Уравнение Эйлера — Остроградского для функционала есть как
раз уравнение A). Перейдем в функционале от декартовых

76 , экстремум функционалов [гл. и
координат (х, у) к полярным координатам (р, ф): х = р cos ф,
у = р sin ф. Имеем
до dp . dip sin ф d(f cos ф
~гг— = COS ф, —;— = SHI ф, —з— = . -г=— = ,
ах а// т ах р ду р
Отсюда
D[z(p, <р)} =
Составляя уравнение Эйлера — Остроградского для послед-
последнего интеграла, придем к уравнению Лапласа в полярных коор-
координатах:
1 ...
— 2фф + pZpp -f- Zn = U.
р
§ 7. Поле экстремалей
Семейство кривых у — у{х, с) образует собственное поле
в заданной области D плоскости хОу, если через каждую точку
(х, у) этой области проходит одна и только одна кривая семей-
семейства у = у(х,с).
Угловой коэффициент р(х,у) касательной к кривой семей-
семейства у = у (х} с), проходящей через точку (х,у), называется ка-
клоном поля в точке (х,у).
Семейство кривых у = у(х,с) образует центральное поле
в области D плоскости хОу, если эти кривые покрывают без
самопересечений всю область D и исходят из одной точки (хо, г/о),
лежащей вне области D. Точка (хо, г/о) называется центром
пучка кривых,
Пример 1. Внутри круга х2 + j/2 sg; 1 семейство кривых
у = Сех, где С — произвольная постоянная, в частности, С = О
образует собственное поле, так как эти кривые нигде не пере-
пересекаются и через каждую точку (х, у) круга проходит одна чи
только одна кривая этого семейства (рис, 7). Наклон поля
в произвольной точке (х,у) равен
р (х, у) = Сех = у.
Пример 2. Семейство парабол у = (х + СK внутри круга
хг + у2 :?Г 1 собственного поля не образует, так как различные
кривые семейства пересекаются внутри круга и не покрывают
всю область (рис. 8).
Пример 3. Семейство кривых у = Сх образует централь-.
Ное поле в области х > О,

§7]
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
77
Рис. 7.
Рис. 8.

78 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Образуют ли поле (собственное или центральное)
следующие семейства кривых в указанных областях:
118. y = C-igx; 0<*<f, -i<</<i.
119. у — С- cos x;
a) UK-J; б) Y<x<n' в) !
120. у = (х-СУ; 4 + 4^ L
121. у = С(х2-2х);
а) 0<*<1; б) -1<л;<3; в) у<
122. у = С ¦ sin [х - -Jj;
a) f<A:<f; б) у<х<я; в) |
123. г/ = е*+с; д;2+г/2<1.
Если поле (собственное или центральное) образовано семей-
семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно назы-
называется полем экстремалей.
Пример 4. Рассмотрим функционал
dx.
Его экстремалями являются прямые у = CiX + Сг. Семейство
экстремалей у = Сг образует собственное поле, а семейство
экстремалей у = Cj* образует центральное поле с центром
в начале координат.
124. Для функционала
указать собственное и центральное поле экстремалей.
125. То же — для функционала
Я/4

§ 7j ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 79
Пусть кривая у — у(х) является экстремалью функционала
х,
Цу\= j F (х, у, у') dx,
проходящей через точки А(хо, уо) и В(хи yi).
Говорят, что экстремаль у = у(х) включена в собственное
поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей у=у(х, С),
образующее поле, содержащее при некотором значении С = Со
экстремаль у = у(х), причем эта экстремаль у — у(х) не лежит
на границе области D, в которой семейство у = у(х, С) образует
поле.
Если пучок экстремалей с центром в точке (хо, уо) в окрест-
окрестности экстремали у = у(х), проходящей через ту же точку, об-
образует поле, то говорят, что найдено центральное поле, включаю-
включающее данную экстремаль у = у(х). За параметр семейства у —
= у(х,С) принимается угловой коэффициент касательной к кри-
кривым пучка в точке (хо, г/о).
Пример 5. Рассмотрим простейшую вариационную за-
задачу для функционала
J[y]= j (у/3 + sin2 x) dx.
а) Пусть у@)= 1, </B)= 1. Семейство экстрамалей дан-
данного функционала определяется уравнением у = Ctx + Ci. За-
Заданным граничным условиям удовлетворяет экстремаль у — I.
Эта экстремаль включается в собственное поле экстремалей
у = С2, где Сг — произвольная постоянная.
б) Пусть 1/@) = 0, уB) = 4. Экстремалью, отвечающей
этим граничным условиям, является прямая у = 2х, которая
включается в центральное поле экстремалей у\ = С\Х {С\ — про-
произвольная постоянная) с центром в точке 0@,0).
Пример 6. Рассмотрим простейшую вариационную задачу
Цу]= j У'
-I
г/(-1) = 0, у(\) = ~.
Решение уравнения Эйлера имеет вид у = х2 + С\Х + С2.
х 3
Экстремаль этой задачи у = х2 + -т ~ -г можно включить в соб-
X
ственное поле экстремалей у = х2 + —г + С2 (рис. 9).

80
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Показать, что экстремали следующих простейших
вариационных задач можно включить в поле экстре-
экстремалей (собственное или центральное).
Рис. 9.
1
126. J[y] = \(y'2-2xy)dx; у @) = у A) = 0.
127. J[y]=
а
128. J[y]=j (у2 - y'2)dx (а > 0, а Ф Ы)\
У(О) = О, у(а) =
129. / [у] - J (у'2 + х2) dx; у@) = 1, у{2) = 3.

§ 7] ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 81
Определение, Пусть имеем семейство Ф (х, у. С) = О
плоских кривых.
С-дискриминантом этого семейства называется геометриче-
геометрическое место точек, определяемое системой уравнений
Ф (х, у, С) = 0, |
дФ(х, у, С) п \ (!)
дС -а J
В общем случае в состав С-дискриминанта входят огибающие
семейства, геометрическое место узловых точек и геометрическое
место точек заострения.
Огибающей семейства Ф(х,у,С) =0 называется кривая, ко-
которая в каждой своей точке касается некоторой кривой данного
семейства и каждого участка которой касается бесконечное мно-
множество кривых семейства.
Если имеем пучок кривых с центром в точке А(хо, г/о), то
центр пучка принадлежит С-дискриминанту.
Пример 7. Найти С-дискриминант семейства кривых у =
:«= (х-С)\
Решение. Уравнения A) в данном случае имеют вид
2 (х - С) = 0,
откуда у = 0/ Нетрудно проверить, что линия у = 0 есть оги-
огибающая данного семейства. В самом деле, в любой точке х = х0
линия у = 0 имеет общую касательную с соответствующей кри-
кривой семейства у = (х — хоJ. Далее, какой бы малый участок
линии у = 0 мы ни взяли, его касается бесконечное множество
кривых данного семейства. В данном случае С-дискриминант со-
состоит из одной огибающей.
В следующих примерах найти С-дискриминапты
заданных семейств.
130. у = Сх + С2.
131. у(С-х)-С2 = 0.
132. (х-СJ + у2=1.
Если дуга АВ кривой у = у(х) имеет отличную от А общую
точку А* с С-дискриминантом пучка у = у(х,С) с центром
в точке А, содержащего данную кривую, то точка А* называется
точкой сопряженной с точкой А.
Пример 8. Рассмотрим однопараметрическое семейство
кривых у = С sin х. С-дискриминан1 этого семейства опреде-
определяется уравнениями
у — С sin х — 0,
— sin х = 0,

82
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
т. е. представляет собой дискретное множество точек (&я, 0),
ft = 0, ±1,±2 (точки пересечения синусоиды с осью Ох). Взяв,
например, С = 2, получим кривую у = 2 sin х, принадлежащую
данному пучку синусоид с центром в точке 0@,0). Если другой
конец В (рис. 10) дуги кривой у = 2 sin x имеет абсциссу
У
B(L.lj)
Рис. 10.
х е (я, 2я), то дуга OS будет содержать еще одну точку
(кроме точки О@,0)), принадлежащую С-дискриминанту, а
именно точку О* (л, 0), которая будет сопряженной с точкой
О@,0). Если О <С х <С rt, то точек, сопряженных с точкой
О @,0), на дуге OS нет.
133. Дано семейство кривых у = С- (х— \)х. Най-
Найти точку, сопряженную с точкой О@,0).
134. Дано семейство кривых y=C-shx. Найти
точку, сопряженную с точкой О@,0).
1°. Достаточное условие Якоби возможности включения
экстремали в центральное поле экстремалей. Для того чтобы
дугу АВ экстремали можно было включить в центральное поле
экстремалей с центром в точке А(хо,уо), достаточно, чтобы
точка А*, сопряженная с точкой А, не лежала на дуге АВ.
Пример 9. Рассмотрим функционал ,
Проверить возможность включения экстремали у = 0 в цен-
центральное поле экстремалей с центром в точке 0@,0).
Решение. Уравнение Эйлера для данного функционала
имеет вид у" -J- 9г/ = 0. Его общее решение у(х) = d sin Зх -\*
-г- Сг cos Зх,

§ 7] ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
Если аф—тг-, я — целое число, то экстремалью, удо-
удовлетворяющей заданным граничным условиям, является прямая
у = 0. Если рассмотреть однопараметрическое семейство экстре-
экстремалей (/i = Ci sin Зх, то, как легко проверить, С-дискриминант
I kn A ,
этого семейства состоит из точек —5—, 0], k — целое число;
поэтому, если а<~, то точки, сопряженной с точкой 0@,0),
о
на экстремали у = 0 не будет, и тогда эту экстремаль, очевидно,
можно включить в центральное поле экстремалей с центром
в точке О@,0). Если же а^-r-, то ?га экстремали у = 0 будет
О
содержаться по крайней мере одна точка, сопряженная с точ-
точкой О@,0), и достаточное условие Якоби не выполняется.
В этом случае экстремали у = Ci sin Зх поля не образуют.
Аналитическая форма условия Якоби. Пусть имеем простей-
простейшую вариационную задачу
'[y(x)]= j F(x, y, y')dx;
Если решение и = и(х) уравнения Якоби
удовлетворяющее условию и(х0) = 0, обращается в нуль еще
в какой-нибудь точке интервала хо <. х < xi, то сопряженная
с А(хо, уо) точка А* лежит на дуге АВ экстремали (точка В
имеет координаты (xt,yi)).
Если существует решение и(х) уравнения Якоби. удовлетво-
удовлетворяющее условию и(хо) = 0 и не обращающееся в нуль ни в одной
точке полуинтервала х0 <С х ?s^ xir то на дуге АВ нет точек,
сопряженных с Л. В этом случае дугу АВ экстремали можно
включить в центральное поле экстремалей с центром в точке
А(хо,уо).
В уравнении B) в функции Fyy (х, у, yr), F'уу, (у, х, у') и
F ,у, (х, у, у') вместо у(х) надо подставить правую часть урав-
уравнения экстремали у = у(х, Со).
Пример 10. Выполнено ли условие Якоби для экстремали
функционала
а
J [У (х)] = | (у'2 + *2) dx,
о
проходящей через точки О@,0) и В(а,3)?

84 экстремум функционалов ,гл. п
Решение. Уравнение Якоби в данном случае имеет вид
и" = 0. Его общее решение: и(х) = Ci.x + Cz. Из условия
и@)=0 находим, что С2 = 0, так что и = С\х. Ни при каком
значении а > 0 эти решения и = С\Х (Ci ф 0) в нуль не обра-
обращаются. Значит, точки, сопряженной с точкой 0@,0), на дуге
ОВ экстремали нет. Следовательно, ее можно включить в цен-
центральное поле экстремалей с центром в точке О@,0). Нетрудно
проверить, что искомой экстремалью является прямая у=— х,
которая, очевидно, включается в центральное поле экстремалей
у — CiX.
Пример 11. Выполнено ли условие Якоби для экстремали
функционала
а
/ М = J (у'2 - 4у* + е-х*) dx, [а Ф {п + j) я) ,
о
проходящей через точки А @, 0) и б (а, 0) ?
Решение. Уравнение Якоби имеет вид и" + Аи = 0. Его
общее решение
и (х) = Cj sin 2х + С2 cos 2x.
Из условия и@) =0 находим, что С2 = 0, так что и(х) —
= Ci sin 2x. Если а<-г-, то функция и(х) не обращается в нуль
при 0 < х < а, и условие Якоби выполнено; если же а~>-^,
то решение уравнения Якоби и = d sin 2x обращается в нуль
в точке jf = -р-, принадлежащей отрезку [0, а], и на дуге экстре-
экстремали у = 0 @ ^ х ^ а) находится точка, сопряженная с точ-
точкой Л @,0). Таким образом, при а>-~- не существует централь-
центрального поля экстремалей, включающего данную экстремаль.
В следующих задачах проверить выполнимость ус-
условия Якоби.
1
135. /[//]=
y(-i) = -i i/(i) = o.
а
136. / [у] = J {у'2 + 9у2 - Зх) dx; у @) = 0, у (а)=0.
137. J[y]=
о
1
о

§ 71 ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 85
а
138. / [у] = J у'еУ' dx; у @) = 1, у (а) = Ъ (а> 0).
о
2л
139. J[y]=j {if - у2) dx; у @) = 0, у Bя) = 1.
о
140. Показать, что если подынтегральная функция
функционала
ъ
' ?(x,y')dx
не содержит явно у, то каждая экстремаль всегда мо-
может быть включена в поле экстремалей.
Замечание. Условие Якоби является необходимым для
достижения экстремума функционала J[y(x)], т. е. на экстре-
экстремали АВ, реализующей экстремум, сопряженная с А точка не
может лежать в интервале х0 < х < хх. Например, для функцио-
функционала
а
¦= f (yA
минимум достигается на экстремали у(х) = 0. На этой экстре-
экстремали нет точек, сопряженных с точкой О@,0),
Пример 12. Для функционала
@) = 0,
о'
на экстремали у(х) ^ 0 экстремум не достигается потому, что
в интервале (о, -г л) лежит, сопряженная с точкой 0@,0)
точка О* (я, 0) (ибо решением уравнения Якоби и" + и = 0, об-
обращающимся в нуль при х = 0, является и(х) = Ci sin*, и «(*)
E \\
О, •д" яJI.
В самом деле, в качестве «близкой» к (/ = 0 кривой возьмем
. 4
sin -р- пх ,.
кривую уп (х) = 5— , для которой условия # @) = у[-7-

gg ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
/44
очевидно выполняются, а у (х) = -=— cos n — х. Тогда, получим
0/2 О
/ [0] = 0, а
[sin-?- nx
-4-J =
5 5
4 . / 4/t \ 4
Г sin \!ГХ) , С ( 4 \2 /4« \ ,
= ; ах — -=— cos2 -=- х) ах =
о о
__5я_/_1_ 16 \
~ 8я2 \ я2 25 /
при любом целом п^1. Следовательно, экстремаль у(х) = 0
не доставляет минимум данному функционалу, так как суще-
существуют близкие к j(i) = 0 кривые, на которых значения функ-
функционала отрицательны. Возьмем теперь семейство кривых
1 4
Уп (х) — — sin -j- x, обладающих близостью любого порядка по
отношению к кривой у(х) == 0. Легко видеть, что
я sin2 —х с .. , .
Т Г у, 1 I И у. ^^ I ГП,С4 V П V — .
Следовательно, экстремаль у(х) = 0 не доставляет и максимума
данному функционалу.
141. Пусть в функционале >
{x, у, y')dx
подынтегральная функция F имеет ограниченные част-
частные производные третьего порядка по переменным у,
у' во всякой ограниченной области изменения у и у\
Показать, что если У*=у(х) и у = у(х) +ti(a:).— две
близкие экстремали, то с точностью до величины выс-
высшего порядка малости сравнительно с расстоянием
первого порядка между этими экстремалями функция
¦ц(х) удовлетворяет уравнению Якоби:
РууЧ + Fyyr[ - ± (Руу,ц + Fyy'4') = 0.

§ 7] ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 87
2°. Достаточные условия Лежандра. Достаточным условием
для включения экстремали функционала
= f F(x, у, y')dx;
в поле экстремалей является выполнение усиленного условия
Лежандра.
Оно состоит в требовании выполнения неравенства
Fyty,>Q
во всех точках рассматриваемой экстремали (т. е. при всех
х е [хо, Xi]).
Пример 13. Дан функционал
2
о
4Г(О)=1, . У B) = 5.
Экстремали — прямые у = С[Х + Сг. Искомой экстремалью, удо-
удовлетворяющей заданным граничным условиям, является прямая
У = 2х+1.
В данном случае Fy,y, = I2y' +2 и во всех точках экс-
экстремали у = 2х + 1 имеем Fy,y, = 50 > 0. Усиленное условие Ле-
Лежандра выполнено и, следовательно, экстремаль у = 2х + 1 мо-
может быть включена в поле экстремалей.
Это видно и непосредственно. Экстремаль у = 2х + 1 содер-
содержится в однопараметрическом семействе экстремалей у == 2х + а
(а — параметр), образующих собственное поле.
Пример 14. Дан функционал
1
J UV2
-1
«/(-i) = -i, 2/@ = 1-
Решение. Уравнение Эйлера для этого функционала имеет
вид
х2у" + 2ху' — 12(/ = 0.
Его общее решение —
Поставленным граничным уловиям удовлетворяет экстремаль
у — х3.

83 экстремум функционалов 1гл. ii
Ее нельзя включить в поле. Единственным однопараметрическим
семейством экстремалей, содержащим ее, является семейство
у = ах3. Последнее не покрывает области, содержащей точку
с абсциссой х = 0 (через точки оси Оу с ординатами, отличными,
от нуля, экстремали этого семейства не проходят).
В данном случае F ,у, — 2х2, и условие Лежандра не вы-
выполняется при х = 0.
Проверить возможность включения экстремали в
поле для следующих функционалов:
о
а
143. / [у] = [ г/'3 dx; у @) = 0, у(а) = Ь>0.
6
-V, _______
144. / [у] = J я (у) Vl + у'2 (х) dx;
y(xo) = yQ, y{X[) = ij\, п (у) > 0.
а
145. I[y]=lFy'2-y/A)dx;
о
у @) = 0, у(а) = Ь, а > 0, Ъ > 0.
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала
Рассматривается простейшая вариационная задача для функ-
функционала
х,
F(x,y,y')dx, A)
1°. Достаточные условия Вейерштрасса. Функцией Вейер'
штрасса Е(х, у, р, у') называется функция, определяемая равен-
равенством
Е (х, у, р, у') =
=• F (х, У, У') - F (х, у, р) - (у' - р) Fp (x, у, р), C)
где р = р(х, у) —наклон поля экстремалей рассматриваемой ва-
вариационной задачи A) — B) в точке (х, у).
Достаточные условия слабого экстремума.
Кривая С доставляет слабый экстремум функционалу A),
если:

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 89
1. Кривая С является экстремалью функционала A), удо-
удовлетворяющей граничным условиям B), т. е. является решением
уравнения Эйлера для функционала A), удовлетворяющим усло-
условиям B)'.
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей;
в частности, это будет, если выполнено условие Якоби.
3. Функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у') должна сохранять
знак во всех точках (х, у), близких к экстремали С, и для близ-
близких к р(х,у) значений у'. Функционал J[y] будет иметь максимум
на С, если Е ^ 0, и минимум, если Е ^ 0.
Достаточные условия сильного экстремума.
Кривая С доставляет сильный экстремум функционалу A),
если:
1. Кривая С является экстремалью функционала A), удо-
удовлетворяющей граничным условиям B).
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей.
3. Функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у'} сохраняет знак во
всех точках (х,у), близких к экстремали С, и для произвольных
значений у', При ? ^ 0 будет максимум, а при Е ^ 0 — мини-
минимум.
Замечание. Условие Вейерштрасса необходимо для нали-
наличия экстремума в следующем смысле — если а точках экстремали
для некоторых значений у' функция Е имеет противоположные
знаки, то сильный экстремум не достигается. Если это свойство
имеет место при сколь угодно близких к р значениях у', то не
достигается и слабый экстремум.
Пример 1. Исследовать на экстремум функционал
Решение. Уравнение Эйлера для данного функционала
имеет вид у'у" = 0, так что экстремалями являются прямые
у(х) = dx + Сг. Экстремалью, удовлетворяющей заданным гра-
граничным условиям, является прямая у = 2х. Наклон поля в точ-
точках этой экстремали р = 2. Очевидно, данная экстремаль у = 2х
включается в центральное поле экстремалей у = Сх с центром
в точке-0@,0). Нетрудно также проверить, что в данном слу-
случае выполнено условие Якоби. Уравнение Якоби в данном слу-
случае имеет вид — -j—Fг/'«') = 0, где в силу уравнения экстре-
экстремали имеем у' = 2. Следовательно, уравнение Якоби примет вид
и"(х)=0, откуда и(х) = С\Х + Сг. Из условия ы@)=0 полу-,
чаем Сг = 0. Так как это решение и = С\Х при С\ Ф 0, кроме
точки х = 0, нигде в нуль не обращается, то условие Якоби вы-
выполнено.
Составляем функцию Вейерштрасса:
?(*, У, Р. У') = У'3 + У'-р3-р-(У'~р)(Зр2+\) =

90
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Первый множитель всегда неотрицателен при любых у', а вто-
второй положителен при значениях у', близких к 2. Следовательно,
выполнены все условия существования слабого минимума. Од-
Однако, как легко видеть, если у' <С —4, то функция ? будет уже
отрицательной, и достаточное условие сильного экстремума не
выполняется, так как в усло-
условиях сильного экстремума тре-
требуется, чтобы функция Вейер-
Вейерштрасса Е сохраняла знак при
любых значениях у'. Учитывая
замечание на стр. 89, заклю-
заключаем, что сильного экстремума
в данном случае нет.
Пример 2. Исследовать
на экстремум функционал
1
Ну]-
1 f ' \ J
¦ -тг и ах.
у A) =
Решение. Уравнение Эй-
Эйлера для этого функционала
имеет вид у" = 2. Экстремаля-
Экстремалями являются параболы у =
= х2 + С\Х + Сг. Экстремаль,
удовлетворяющая граничным
условиям, есть у = х2 — х. Со-
Составляем уравнение Якоби
-А
или и" = 0.
Рис. 11.
Его общее решение и(х) =
= CiX + C2. Условие u@) =
= 0 дает C2 = 0, а так как
u(x)=Ctx при Ci Ф 0 нигде
на отрезке [0, 1] в нуль не об-
обращается, кроме точки х = 0, то условие Якоби выполняется, и
значит, экстремаль у = х2 — х можно включить в центральное
поле экстремалей с центром в точке 0@,0), а именно: у = х2 +
+ Сх (рис. 11). Функция Вейерштрасса имеет вид Е(х,у,р,у') =
= -к{у' — рJ. Отсюда видно, что для произвольных значений у'
будет Е — — (у' — рJ!>0. Следовательно, на экстремали у =
= х2 — х данный функционал достигает сильного минимума, ко-
который равен / [х2 — х] — —.
о
Исследовать на экстремум следующие функ-
функционалы.

§ 8] ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 91
1
146. /Ы={ е* [у2 + | /) dx; у @) = 1, у A) = е.
о
1
147. /l0]=J eV2^; 0@) = 0, 0A) = In 4.
о
9
148. /[0] = J-^d*; 0A)= 1, 0B) = 4.
i
а
149. /[?/]= —г-; 0 @) = 0, 0 (а) = Ь, а > 0, Ъ > 0.
о
1
150. 7[0]=|A+лH/2^; 0@) = 0, 0A)= 1.
151. /[i
152. /[0] =
153. /[01 =
о
Я/2
j
j
о
2
-1
1
—1
2°. Достаточные условия Лежандра. Пусть функция F(x,y>y')
имеет непрерывную частную производную ?у'и' (х' У> У') и ПУСТЬ
экстремаль С включена в поле экстремалей.
Если на экстремали С имеем Fy, ,>0, то на кривой С до-
достигается слабый минимум; если /"„,„^<0 на экстремали С, то
на ней достигается слабый максимум функционала A). Эти усло-
условия называются усиленными условиями Лежандра.
В том случае, когда Fy,y,(x, у, у') >0 в точках (х, у),
близких к экстремали С, при произвольных значениях у', т^
имеем сильный минимум, а в случае, когда для указнных значе-
значений аргументов F',у> (х, у, у') s^ 0, имеем сильный максимум.
Пример 3. Исследовать на экстремум функционал
1
J[y]= j (y'3-ay')dx, 0@) = 0, у(\) = -2.
о
(а — любое действительное число).

92 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. И
Решение. Так как подынтегральная функция зависит
только от у', то экстремалями являются прямые у = Cix + Сч.
Эктремалью, удовлетворяющей граничным условиям, будет пря-
прямая у = —2х, которая может быть включена в центральное поле
экстремалей у = Сх. На этой экстремали наклон поля р = —2.
Далее находим Fy/yi — &y'. На данной экстремали имеем
Р , , = —12 < 0, т. е. на линии у — —2х достигается слабый
максимум функционала. При произвольных значениях у' знак
Fy'y' не сохраняется, следовательно, достаточные условия силь-
сильного максимума не выполняются.
Функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у') в данном случае имеет
вид
Е (х, у, р, у') = (у' ~ рУ (у' + 2/))
и при некоторых значениях у' она имеет противоположные знаки.
Учитывая замечание на стр. 89, получим, что сильного макси-
максимума нет.
Пример 4. Исследовать на экстремум функционал .
ПУ)= j(e'J' + 3)dx,
о
Решение. Экстремалями являются прямые у = С\Х -f- Сь
Экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям, является
х
прямая у = ~п', она может быть включена в центральное поле
экстремалей у = Сх. В данном случае Fy'y' (x> У< y')~e'J >0
при любых значениях у'. Следовательно, на экстремали (/= -к-
функционал имеет сильный минимум.
Пример 5. Исследовать на экстремум функционал
= Г
i
Vy
? dx, г/@)=0,
Решение. Подынтегральная функция не зависит явно от х,
следовательно, получаем F — y'-Fy' = CL или в нашем случае
УГТ72 , у'1^ g
У у VlV\+y'2
откуда
= Ci или y(l

§8]
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
93
где Ci = -=— . Положим у' = ctg -—. Будем иметь у-=С\ sin2 -5-=
==-2L(l-cos/). Далее,
, du C\ sin t dt _ , t ,
dx = 2_ _ _> _ c, sin2 -х- Л.
ctg-r "--' -*
Интегрируя, получим
ctg I 2ctg-i-
Итак,
dt
= -±-{t - sin t) + Ct.
= Cl{t — sin /) + С2,
•— параметрические уравнения семейства циклоид. Из условия
у{0) =0 находим, что Сг = 0. Пучок циклоид
x—C(t — sin/),
у = С A —cos 0
образует центральное поле с центром в точке 0@,0), включаю-
включающее экстремаль
х = Я (/ — sin 0,
0 = #A —COS 0,
где ./? определено из условия прохождения циклоиды через вто«
рую граничную точку В(а, yi), если а < 2nR (рис, 12),
Рис. 12.
Используем условие Лежандра. Имеем

94 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
при любых значениях у'. Значит, для а < 2я7? на циклоиде
x = R (t — sin t),
данный функционал имеет сильный минимум.
Используя условие Лежандра, исследовать сле-
следующие функционалы на экстремум:
154. /[*/]= {(/Ч*2)^ у @) 1, г/A) = 1.
о"
з
155. J[y]= \~dx; у B) = 4, г/C) = 9.
2 У
п
156. J[y]=l(xyri-2yyf3)dx; y(l) = 0, уB) = 1.
1
а
157. /[г/]= | A - e-v'2)^; у@) = 0, у(а) = 6(а>0).
о
1
158. J[y]=j y^dx; y@)=p>0, y(l) = q>0.
о
159. Исследовать на экстремум функционал
y{0) = 0, г/A) = 1,
при различных значениях параметра е.
Пример 6. (Задача Эйлера). Стержень длиною / опирается
своими концами и подвержен давлению Р. При определенном
значении Р (критическая сила Эйлера) происходит продольный
изгиб стержня. Требуется определить наименьшую величину
силы Р, дающую продольный изгиб.
Решение. Пусть Е — модуль упругости, / — наименьший
момент инерции поперечных сечений стержня, р — радиус кри-
кривизны, ф — угол касательной с осью.
Потенциальная энергия изгиба определяется формулой
u* — ~o~cl "ТГ-

§ 8] ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 95
При опускании конца стержня на величину
I
а= f (I — cosq:)dS
о
потенциальная энергия стержня уменьшается на
U2 = Pa = Pl — P Г cos ф dS.
Если потенциальная энергия до деформации была равна нулю,
то после деформации она выразится формулой
U = их — и2= I D" EI -^ + Р cos ф) dS - PI.
о
Так как р — ~з~" и (в случае малых значений ср) cos ср ~ 1 х-,
о
В случае равновесия потенциальная энергия принимает ми-
минимальное значение. Поэтому решение задачи сводится к опре-
определению минимума интеграла
В данном случае
и уравнение Эйлера принимает вид
р
ф" + а2ф = 0, где а2 = -=-г.
Общий интеграл этого уравнения будет
Ф = Cj sin ax + С2 cos ax.
Так как при малых значениях ф имеем tg ф <v ср и, кроме того,
tg Ф = #', то
у' = Cj sin ax + С2 cos ад:,

gg ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ {ГЛ. II
откуда
. С\ cos ах , С2 sin ах . „
Если нижний конец стержня находится в начале координат,
то при х = 0 будет у = 0, а значит, СЧ = С = 0 и
г/ (*) = -—- sin ax.
Проверим выполнение условий Лежандра и Якоби. Оче-
Очевидно, что условие Лежандра выполнено:
Уравнение Якоби имеет вид
Е1г" + Рг = 0 или z" + а2г = О,
причем z@) = 0. Поэтому решение уравнения Якоби будет
z = A sin ax.
Функция г обращается в пуль при хк=—— (к== 1, 2, ...), так
что условие Якоби будет выполнено, если />—. Отсюда
Наименьшее значение критической силы Эйлера будет
При этом
^ mm — ,2 ь •
Яд:
есть уравнение кривой изгиба.
3°. Фигуратриса. Пусть имеем функционал
ь
J[y] = JF (x, у, у') dx.
а
Будем считать х и у параметрами и рассмотрим функцию
Y = F(xt у, у') как функцию аргумента у'. График этой функции
да. плоскости переменных (у', Y) называется фигуратрисой. Не-
Нетрудно проверить, что функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у') есть
разность ординат фигуратрисы и касательной к ней, проведен-
проведенной в точке с абсциссой у' = р. Знакопостоянство функции Вей-
Вейерштрасса для некоторых значений у' означает, что фигуратриса

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
97
лежит над касательной или под ней для указанных значений у'.
В этом случае имеет место слабый экстремум. Если фигуратрнса
лежит с одной стороны от касательной для всех значений у' и
для значений параметров х и у, близких к точкам экстремали,
то имеет место сильный экстремум.
Достаточное условие Лежаидра в этих терминах выглядит
так: если для всех точек (х, у), близких к экстремали, фигура-
триса всюду выпукла или вогнута, то имеет место сильный экс-
экстремум.
Пример 7, Исследовать на экстремум функционал
{a) = b, b>0.
Решение. Экстремалями являются прямые у = Cix + Сг.
Искомая экстремаль определяется уравнением у = —х. Она
Ряс. 13.
включается в центральное поле экстремалей. В данном случае
фигуратрисой является парабола Y = у' (рис. 13). Легко ви-
видеть, что фигуратриса целиком лежит над касательной, прове-
проведенной к ней в точке р = — при любых а и Ь, а Ф 0, Следо-
Следовательно, экстремаль у-
сильный минимум.
¦¦ — х доставляет данному функционалу

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ [I
Пример 8. Исследовать на экстремум функционал
'3dx; у@) = 0, у(а) = Ь, Ь>0.
о
Решение. Искомой экстремалью является прямая
</ =—х, которая включается в центральное поле экстремалей
Рис. 14.
у = Сх, с центром в точке 0@,0). Фигуратрисой является куби-
кубическая парабола У = у' (рис. 14). Для значений у', достаточно
близких к значению р = —, фигуратриса лежит над касатель-
касательной к ней, проведенной в точке с абсциссой у' = — .Из рис. 14
видно, что фигуратриса пересекает касательную в точке с абс-
абсциссой у' = и левее этой точки расположена над каса-
касательной. Значит, на экстремали у = — х достигается слабый ми-
минимум.
Заметим, что если р = 0 (это отвечает случаю 6 = 0, экс-
экстремалью является отрезок оси Ох), то касательной к фигура-

«81
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
99
трисе является ось Оу', а сама точка 0@,0) является точкой
перегиба фигуратрисы. Учитывая замечание на стр. 89, видим,
что в сколь угодно малой окрестности точки 0@,0) фигура-
триса имеет положительные и отрицательные ординаты. Значит,
функция Вейерштрасса Е имеет противоположные знаки при
сколь угодно близких к р = О значениях у', и следовательно, в
этом случае не достигается и слабый экстремум.
Пример 9. Показать, что экстремаль у = 0 вариационной
задачи
1
/[;/]= Г (у'2 — уу'Ъ) dx; y(O)=y(l) — O
доставляет слабый минимум функционалу.
Решение. Условие Лежандра в данном случае дает
F,,',i' I =B — 6w') I =2>0,
У а '//=0 ^/—О
т. е. на экстремали у = 0 достигается слабый минимум. Пока-
Покажем, что на ней сильный минимум не достигается. Построим фи-
гуратрису У = у'2 — у у' для значений у > 0 (рис. 15). Из
Рис. 15.
рис. 15 видно, что касательная к фигуратрисе, проведенная в точ-
точке с абсциссой р = 0, пересекает фигуратрису в точке у' = —.
Таким образом, для точек (х, у), где у > 0, близких к точкам
экстремали у = 0, функция Вейерштрасса Е при значениях у',
меньших —, положительна, а при у'~> отрицательна. Со-
Согласно замечанию на стр. 89, сильного минимума нет. Аналогич-
Аналогичное явление имеет место и для у < 0.
Этот пример характерен тем, что из выполнения условия
Fy,y,>0 на экстремали для любых у' не следует наличия силь-
сильного экстремума.
4*

100 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. И
С помощью фигуратрисы исследовать на экстре-
экстремум следующие функционалы:
i
160. / [у] = J A + х) i/ dx; у @) = 0, у A) = -2.
161. J[y]=
о
2
162. J[y\ = [{\-e-^)dx\
у@) = 0, ff(a) = ft (a>0, 6>0).
163. / [у] = J (бу/2 - у/4 + г/г/') dr,
о
у @) = 0, г/ (а) = b (а > О, b > 0).
Замечание. Достаточное условие экстремума по второй
вариации.
Неотрицательность второй вариации необходима, но не до-
достаточна для того, чтобы функционал / [у] достигал на данной
кривой минимума.
Пример 10. Рассмотрим функционал
/ Ы = I У2 М [х — у (х)\ dx
о
в пространстве С@, 1). Уравнение Эйлера имеет вид Fу = 0 или
у = о. Вторая вариация функционала на экстремали у = О,
Osgxsg 1
J
6V [0, 6i/] =[ х (byJ dx
положительна для каждой бу ф 0. Однако функционал I [у] при-
принимает в любой окрестности нуля и отрицательные значения; до-
достаточно при заданном е > 0 взять функцию
О, х > е.
е4
Тогда / [j/e] = — ~д~<0 для любого е>0.

§8]
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
101
Определение. Квадратичный функционал Li(h), задан-
заданный в некотором нормированном пространстве, называется саль-
сально положительным, если существует такое постоянное k > 0, что
L2 (h) > ft || A II2
для всех h.
Достаточное условие минимума. Для того что-
чтобы функционал I [у], определенный в нормированном простран-
пространстве, имел в стационарной точке у = Уо минимум, достаточно,
чтобы при у = уо его вторая вариация была сильно положи-
положительна, т. е. чтобы выполнялось условие
б2/[г/о, 6y]>k\\6y\\\
еде k = const, fe>0.
4°. Пусть ищется экстремум функционала
/[</!> г/г. •••> Уп\ =
= j F(x, y{, у2, ..., уп, у[, у2, .... y'n)dx.
D)
зависящего от л функций yi(x), у2(х), ..., уп (х) при гранич-
граничных условиях
=I. 2, ...,«)•
E)
Усиленным условием Лежандра называется требование
выполнения неравенств
Fyy>0,_
F 'i' Fi','
F , , F , ,
F , , F , , ... F , ,
F , , F , , ... F , ,
F , , F , , ... F , ,
У„У, У„У2 У„У„
>0 F)
во всех точках рассматриваемой экстремали функционала D).
Усиленным условием Якоби называется требование, чтобы
отрезок [аг0, Х\\ не содержал точки, сопряженной с точкой Хо.
Усиленное условие Лежандра F) в соединении с усиленным
условием Якоби обеспечивают существование по крайней мере
слабого минимума функционала D),

102
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ.. II
Пример 11. Исследовать на экстремум функционал
1
\У, 2] = Г {у'2 + z'2) dx,
G)
«/A) = 1, z(l) = 2.
Решение. Уравнения Эйлера для функционала G):
/' = 0, 2" = О,
так что
!ф)=сз+с!1'}
Используя условия (8), получим
С,«=0, С2=1, С3
Искомая экстремаль
г (х) = 2л:
есть прямая, проходящая через начало координат.
Имеем
Усиленное условие Лежандра выполняется:
Fyry,=2>0,
Fy'y' Fy'z'
z'y' z'z'
2 0
0 2
= 4>0.
A0)
Проверим теперь выполнимость усиленного условия Якоби.
Одно из определений сопряженной точки таково (см. [3]).
Пусть имеем семейство экстремалей функционала D), выходя-
выходящих из начальной точки (х0, ую, ..., у по) под близкими между
собой, но линейно независимыми направлениями.
Точка х* е [хо, xi] называется сопряженной с точкой Хо, если
существует последовательность экстремалей, выходящих из на-
начальной точки и как угодно близких к данной экстремали, такая,
что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль
и абсциссы точек пересечения сходятся к точке х*.
В данном примере экстремалями являются прямые (9). Все
вкстремали, выходящие из точки @,0,0), пересекают экстремаль
(9) только в этой точке. Следовательно, отрезок [0, 1] изменения
х не содержит точки, сопряженной с точкой Хч = 0. Таким обра-
образом, выполнены и усиленное условие Лежандра и усиленное ус-
условие Якоби, так что экстремаль (9) доставляет функционалу
G) слабый минимум.

§ 91 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ЮЗ
Исследовать на экстремум следующие функцио-
функционалы:
1
164. J[y(x), z(x)]=j V \ + у'2 + z'2 dx,
о
у@) = 0, y(l) = 2, 2@) = 0, z(l) = 4.
i
165. / [у (х), z (х)] = J (г/'2 + z'2 + 4г) dx,
у@) = 0, y(l)=l, z@) = 0, z(l) = 0.
§ 9. Условный экстремум
1°. Изопериметрическая задача. Пусть даны две функции
F(x, у, у') и G(x, у, у').
Среди всех кривых у = у(х) е С\ [xn, xi], вдоль которых
функционал
Г1
К [у] = J О (х, у, у') dx
X,
принимает заданное значение /, определить ту, для которой
функционал
Г1
/ Ы = J F (х, у, у') dx
н
принимает экстремальное значение.
Относительно функций F и G предполагаем, что они имеют
непрерывные частные производные первого и второго порядков
при Хо =5 х =g Х\ и при произвольных значениях переменных
У, У'-
Теорема Эйлера. Если кривая у = у(х) дает экстре-
экстремум функционалу
хх
J[y]=* JF(x,y,y')dx (I)
X,
при условиях
К [у] = j G (х, у, у') dx = l, у (х0) = у0, у (*,) = уи B)
и если У — у(х) не является экстремалью функционала К, то
существует константа К такая, что кривая у = у{х) есть

104 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 11
экстремаль функционала
х,
L = J [F (х, у, у') + ЯО (х, у, у')] dx. C)
Пример 1. (Задача Дидоны.) Среди замкнутых кривых
длины 21 найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.
Решение. Заметим прежде всего, что рассматриваемая
кривая должна быть выпуклой. В самом деле, в противном слу-
случае существовала бы прямая L (рис. 16) такая, что если зер-
зеркально отразить в ней кусок границы BCD, то получим область
большей площади, чем первоначальная, при той же длине гра-
границы.
\
\
1;
? L
Рис. 16.
Далее заметим, что всякая прямая, которая делит пополам
замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь, бу-
будет делить пополам и саму эту площадь. В самом деле, допустим
противное и пусть прямая Li не обладает этим свойством. Отра-
Отразив тогда зеркально около Li ту часть фигуры, которая имеет
большую площадь, мы получили бы кривую той же длины, но
ограничивающую большую площадь.
Выбирая за ось Ох любую из прямых, делящих кривую по-
пополам, приходим к следующей постановке задачи.
Найти линию у = у(х), у(—а) = у(а) = О, которая при за-
заданной длине I > 2а ограничивает вместе с отрезком —а^.х^.а
оси Ох наибольшую площадь. Таким образом, задача свелась
к разысканию экстремума функционала
а
J\y{x)]= \y{x)dx, y(—a) = y(a) = 0, D)
—а
Ери дополнительном условии, что
а
К[у (*)] = J Vl+y'2(x)dx = l (l>2a). E)
—а

§91 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 105
Составляем вспомогательную функцию
Я = F + XG = у (х) + Я У\+у'г(х) (б)
н рассматриваем вспомогательный функционал
а
L = jff(x,y, у') dx. G)
—а
Уравнение Эйлера для функционала G) имеет вид
d
dx
откуда
Разрешая последнее уравнение относительно у', находим
^L= , Х+С> , (8)
dx /Я2 - (х + С,J
Интегрируя уравнение (8), получим
— окружность радиуса Я с центром в точке (—Ci, —Сг), По-
Постоянные Си С% и параметр X определяем из граничных условий
у(—а) = у (а) = 0 и изопериметрического условия E). Имеем
откуда
так что
У =
упг-
Тогда условие
/ =
а
'I
-X2
E)
Я
Ci = 0,
— У~Х2
дает
-л:2
С2 =
2
= Я arcsin
у~х
и
а:
Я
2-а2,
у>г=-
2Х arcsin -г-
илн

106 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ ГГЛ. П
Решая это трансцендентное относительно Я уравнение, находим
некоторое значение Я = Яо, а затем находим величину С2 =
u a . I
Нетрудно заметить, что уравнение -г- = sin -^т- всегда имеет
A ZK
решение. Действительно, полагая -тг- = t, сведем это уравнение
. , 2а , 2а .
к виду sin / = —/, где в силу условия задачи —— = а<1.
Функция у = sin t имеет в точке t = 0 наклон касательной -т-,
а функция у = at имеет меньший наклон. Следовательно, гра-
графики этих функций имеют, кроме точки 0@,0), еще по крайней
мере одну точку пересечения.
Закон взаимности изопгриметрических задач. Экстремали
функционала
' 1У (*)] = f F (х. У, У') dx
при дополнительном условии
К [у (х)) = J G (х, у, у') dx = const
х,
совпадают с экстремалями функционала К[у(х)] при" условии
]{у(х)} = const.
С помощью закона взаимности из задачи Дидоны получаем
следующий результат: среди всех замкнутых линий, ограничи-
ограничивающих заданную площадь, линией минимальной длины является
окружность.
Этот результат легко получить непосредственно, если вос-
воспользоваться параметрической формой вариационной задачи.
Пусть
* = *(/), [*(/<,) = *(/,)]
есть уравнения произвольной замкнутой линии. Вопрос сводится
к разысканию экстремума функционала
12 dt
J
при условии
J
(ху — ух) dx — С.
Вводя в рассмотрение функцию
F = (*t + У2)'1г + Х(ху~ ух),

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
107
получаем (см. стр. 64), что для кривой, дающей экстремум,
кривизна — постоянна:
Значит, искомая экстремаль — окружность.
С помощью закона взаимности могут быть решены без вся-
всяких вычислений некоторые «вариационные» задачи элементарной
геометрии.
Пример 2. Показать, что: 1) из всех треугольников, имею-
имеющих заданное основание и заданный периметр, наибольшую пло-
площадь имеет равнобедренный треугольник; 2) при заданной пло-
площади и заданном основании равнобедренный треугольник имеет
наименьший периметр.
Решение. 1) Возьмем эллипс, фокусами которого служат
концы основания рассматриваемых треугольников (рис. 17), Из
Рис. 17.
свойства эллипса заключаем, что все треугольники АСВ имеют
один и тот же периметр. Очевидно, что наибольшую площадь бу-
будет иметь треугольник с наибольшей высотой, что отвечает слу-
случаю, когда вершина треугольника совпадает с вершиной Со эл-
эллипса. Треугольник АСцВ в этом случае — равнобедренный.
2) Согласно закону взаимности наименьший периметр при
заданной площади и заданном основании имеет равнобедренный
треугольник.
Пример 3. Найти минимум интеграла
J[y] =
при условии \y2{x)dx = 1, у @) = у{я) =

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Решение. Составим вспомогательный функционал
Ы = [ (У'2 + ^2) dx
и выпишем для него уравнение Эйлера
2Ху--~{2у') = 0 или у"-Ху = 0. (9)
Характеристическое уравнение л2—Л = 0 или Л], 2 = ± Y~%. Ясно,
что Я должно быть меньше нуля, так как если допустить, что
Л>0, то общее решение уравнения (9) будет иметь вид у =
= Сге^кх + С2е~уГКх и граничные условия у @) = у (л) = О
будут удовлетворяться только при Ci = 0, С% = 0, т. е. при
у(х)=^0. Но в таком случае не будет выполняться условие
я
I y2(x)dx— 1. Аналогично в случае Я == 0 решением уравнения
б
Эйлера (9), удовлетворяющим заданным граничным условиям
будет функция г/(х) = О. Поэтому считаем Я<0, так что Ai,2==
= ± У^—Xi, и общим решением уравнения (9) будет у =
= С! sinj^ — Я х + С2 cos/— Я х. Условие (/ @) = 0 дает С2 = 0,
а условие I/ (л) = 0 дает — Я = fe2 (fe = 1, 2, ...). Итак, у (х) =
= Cis'mkx, где Ci пока не определено. Воспользовавшись усло-
л
вием связи j/2(jf)dA;=l, получим
о
я
f C\sm2 kx dx = 1,
о
— . Значит, у(х) = ±1/ •— sin&x. Но среди
/~
экстремалей у = ± 1/ •— sin &jc, проходящих через точки @, 0)
и (я, 0), условию Якоби удовлетворяют только две, а именно
У (х) = ± "I/ — sin х. На этих экстремалях
Я JX
'2 (x) dx = J -|- cos2 * d* = 1.
о о
Пример 4. (Задача Кельвина.) Пусть плоскость XOY по-
покрыта массой с непрерывной плотностью \i(x, у) и пусть на пло-
плоскости дана кусочно-гладкая кривая С и на ней две точки
Pi И Pi.

§ 9] УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 109
Среди всех кривых заданной длины I, соединяющих точки
Pi и Яг, найти ту, которая вместе с дугой PiP2 кривой С огра*
ничивает область D с максимальной массой. Точки Pi и Ра мо*
гут совпадать.
Решение. Введем функцию
V (х, у) = J у (х, у) dx.
Тогда, согласно формуле Грина
p(x, y)dxdy
где контур Г состоит из кривой L и участка P2Pi данной кри-
кривой С. Интеграл вдоль этого последнего участка имеет известное
значение, которое мы обозначим через К. Поэтому, считая, что
кривая L задана параметрически
x = x(t),
y = y(t),
получаем
jjv(x, y)dxdy= ]>(*, y)ydt
D i,
Задача свелась, таким образом, к нахождению максимума
функционала
^= ]v(x, y)ydt
П
при условии, что
x2+y2 dt=t,
t\
Введем вспомогательную функцию
F = Vy + % fx2 + y2
и воспользуемся вейерштрассовой формой уравнения Эйлера,
Имеем
dV Fi± %
хд~ дх' yi ' l~ у* (И+у*K'''
так что уравнение Эйлера в форме Вейерштрасса будет
вид
J 1 дУ
г ~ К дх'

I (О ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ II
или, учитывая выражение для функции V(x, у),
1 _ И*. У)
г ~ X '
где г — радиус кривизны искомой кривой.
В случае, когда \х(х,у) = const, получаем, что кривизна ис-
искомой кривой постоянна и, следовательно, экстремалями яв-
являются окружности. Ясно, что они доставляют функционалу Jz.
максимум.
Изопериметрическими задачами называют также такие ва-
вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум
функционала
— j
( У\>
х„
при наличии так называемых изопериметрических условий
j Ot (x, yu у2 уп, у[, у'2 у'п) dx = lt
((==1, 2, .... m),
где It — постоянные.
Для получения основного необходимого условия в изопери-
метрической задаче о нахождении экстремума функционала A0)
при наличии связей A1) надо составить вспомогательный функ-
функционал
*< / m
\dx, A2)
где ki — постоянные, и написать для него уравнения Эйлера.
Произвольные постоянные Ci, Сг, ..., Сап в общем решении си-
системы уравнений Эйлера и постоянные Xi, Яг, ..., Ям опреде-
определяются из граничных условий
У к Ы = Ум У k (*i) = Vki (fe = Ь 2 п)
и из изопериметрических условий A1):
J Gidx^k ((=1, 2 m).
Хо
Пример 5. Найти экстремаль в изопериметрической задаче
об экстремуме функционала
1
/ [у (х), г (х)] = J (у'2 + г'2 - Ахг' - Аг) dx,
о
= О, гF) = 0,

§ 9] УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 111
при условии
Г (у'2 - ху' - z'2) dx =
2. A3)
Решение. Составляем вспомогательный функционал
1
ф = J [у'2 + г'2 - 4x2' -4z + X (у'2 - ху' - г'2)] dx
о
и выписываем для него систему уравнений Эйлера
-А — ~ Bг' — Ах- 2Хг') = О,
решая которую, получим
Граничные условия дают
С = С
2A-Я) +С<-
0, Сз = 2A—Я),
так что
у\*>— 4A +Я)
г (х) = х.
Для нахождения Я воспользуемся изопериметрическим усло-
условием A
лучаем
,,„. _, , . 2Я^ + ЗЯ + 4 , , . .
вием A3). Так как у (х) = — .' —, a z (х) — 1, то по-
4A -(- А)
1
ЗЯ +
f Г
j L
о
j L 16A+Л)* " 4A +A)
о
откуда после простых, но громоздких выкладок будем иметь
уравнение для определения Я:
4- B3Я2 + 46Я + 24) = 48 (Я2 + 2Я + 1).
О

112 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 1Г
Отсюда %i = j-r-и Я2 = гу. Подстановкой в A3) убе-
12
ждаемся, что Х2 — гг изопериметрическому условию не удо>
10
влетворяет, a %i = ту- удовлетворяет.
Искомая экстремаль определяется уравнениями
7х - 5х* )
z (*) = х. )
Пример 6. Пусть стержень длины / заделан в точках
(Хо,Уо) и (xi,yi). Из теории упругости известно, что потенциаль-
потенциальная энергия стержня в деформированном состоянии пропорцио-
пропорциональна интегралу, взятому вдоль стержня, от квадрата его кри-
кривизны. Примем за независимую переменную длину стержня s,
отсчитываемую от точки (хо, j/o), и обозначим через 6(s) угол,
образованный касательной к стержню с осью Ох, Кривизна бу-
будет выражаться производной в' (s) и интеграл, экстремум кото-
которого ищется, имеет вид
I
/= f [Q' (s)]2ds.
о
Известно, что
dx = cos 9 ds, dy = sin 9 ds,
значит, мы имеем следующие уравнения связи:
I l
cos 0 ds = Xi — х0, sin 8 ds = y^ — ya, A4)
6 о
Кроме того, заделанность стержня равносильна заданию функции
6(s) при s = 0 и s = 1:
9@) = а, 6@ = 6. A5)
Составим функцию Лагранжа
ф @, 9') = [0' (s)]s + Я,1 cos 0 + Я2 sin 9.
Функция Ф не содержит независимой переменной s, а потому
можно сразу выписать первый интеграл уравнения Эйлера:
e/2 = C + A,cose +A2sir.e. A6)
Введем новые постоянные

§9] УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 113
и вместо 8 введем новую переменную
6 — во п
ф = —g • где 6o =
Теперь A6) приводится к виду
d<$ ]/"h
rfF 2~ У [ ~ k Sln f '
откуда получаем
/i _^2sin2(p ^
Постоянные А, ^2, 0О и s0 должны определиться из условий
A4) и A5).
Декартовы координаты точек стержня находятся так:
их = cos 8 ds = cos Bср + 0О) ds, dy = sin 6 ds = sin B<p + Go) rfs,
или в силу того, что
У h У 1 - k2 sir
получим
fh(l—k2sia2(f) J/A(l — A2 sin2<p)
откуда дг и г/ определяются при помощи квадратур.
Найти экстремали в следующих изопериметриче-
ских задачах.
166. Задача о положении равновесия тяжелой од-
однородной нити под действием силы тяжести.
Среди всех плоских линий длины /, концы которых
лежат взаданныхточках Мй (х0, у0) и Mi (xi, yi),найти
ту, у которой ордината центра тяжести минимальна.
167. J[y(x)\=\yft{x)dx,
о
1
при условии J у (х) dx = 3.
о
168. J[y(x)]=
1
при условии J у2 (х) dx = 2.

П4 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
1
169. J[y(x)]=j y'2(x)dx, y{0) = 0,
о
при условии
I
j [у (х) —
2°. Вариационной задачей на условный экстремум является
также задача Лагранжа нахождения экстремума функционала
1[уи ••¦, Уп] при условии, что на функции, от которых зависит
функционал /, наложены некоторые связи.
Задача ставится так. Найти экстремум функционала
*i
/= J F(x, у{, ...,уп, у[ /n)dx, A7)
Хл
Vj (хо) = У к? У\ (*i) = Уп {i = l п)'
при наличии условий
фг (х, уу ..., Уп) = ° («=• т; т<п), A8)
которые считаются независимыми.
Теорема. Функции yi, yz, ..., уп, реализующие экстремум
функционала A7) при наличии условий A8), удовлетворяют при
соответствующем выборе множителей Xi(x) (i = 1, 2, ..., m)
уравнениям Эйлера, составленным для функционала
х, Г m "I
a L 2=i J
Обозначим для краткости F + 2 ^Ф/ == ^ (х> Ур •••> Уп) •
Тогда функции Я(. (л:) и yt (x) определяются из уравнений Эй-
Эйлера
Ф4(*, Ур ...,(/„) = О (i=l, ..., m).
Уравнения ф{= 0 можно считать уравнениями Эйлера для функ-
функционала J > если аргументами функционала считать не только
функции у и г/2, ..., уп, но и функции %i(x), Xz(x) %т(х)щ
Пример 7. Найти кратчайшее расстояние между точками
А(\, —1, 0) и ВB, 1, —1), лежащими на поверхности \Ъх — 7у-\-
+ z — 22 = 0.

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Решение. Известно, что расстояние между двумя точками
А(Хо, 2/о, го) и B(xi, tji, Zi) на поверхности <р(х, у, г) = 0 опре-
определяется по формуле
г= | Vi + у'2 + г'2 dx,
где у = у{х), г = г(х).
Надо найти минимум / при условии ср(лг, у, г) = 0. В на-
нашем случае
ха = I, Xi = 2, ф (л:, г/, г) = 15х — 7 г/ + z - 22.
Составим вспомогательный функционал
2
/l + /2 + 2'2 -f X (х)A5х-7у+ z-22)]dx
и выпишем уравнения Эйлера для него:
= 0, A9)
B0)
Решим систему уравнений A9) —B0), используя условие связи
15* — 7у + г — 22 = 0. B1)
Искомые функции у = у (х) и г = z (x) удовлетворяют следую-
следующим граничным условиям:
Умножая уравнение B0) на 7 и складывая с A9), получим
d I u' + 7z'
откуда
Л/ + Г ,-С. B3)
1/1+^+г'2
Из B1) имеем
г'= 7у'— 15. ¦ B4)
Подставляя это значение г' в B3) и решая полученное диффе-
дифференциальное уравнение, найдем у{х) — Cix -f- Сг. Граничные ус-
условия B2) дают Ci == 2, Сг = —3, так что
у (х) = 2х - 3. B5)

US ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. П
Из B4) с учетом B5) находим
г (х) = 1 — х B6)
(граничные условия для функции B6), очевидно, выполняются).
Из A9) или B0) получаем X(x)ssO. Искомое расстояние:
2
/ = V 1 + if + г'2 dx = /б.
J
l
Этот результат сразу получается из очевидных геометриче-
геометрических соображений.
3°. Геодезические линии. Пусть поверхность задана вектор-
векторным уравнением
r = r(u, v). B7)
Геодезической линией называется линия наименьшей длины,
лежащая на данной поверхности и соединяющая две данные
точки поверхности.
Уравнения геодезических линий можно получить как уравне-
уравнения Эйлера, соответствующие вариационной задаче о нахожде-
нахождении кратчайшего расстояния на поверхности между ее двумя за-
заданными точками.
Линия, лежащая на поверхности г — r(u,v), может быть за-
задана параметрическими уравнениями
u = u(t), v = v{t). B8)
Длина ее отрезка между точками, соответствующими значе-
значениям t0 и /, параметра t, равна
U
j [и, v] = Г У Ей!2 + 2Fu'v' + Gv'2 dt, B9)
h
где E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверх-
поверхности B7), т. е.
ди ди! \ди dv) \dv dv)
Здесь (а, 6) — скалярное произведение векторов а и Ь.
Для функционала B9) система уравнений Эйлера имеет вид
Еии'2 + ZFuu'v' + Guv'2 d 2 (Ей' + Fv')
У Ей'2 -f 2Fu'v' + Gv ' V Ей-'2 + 2Fu'v' + Gv'2
dFu'
dt YEu'2 + 2Fu'v' + Gv':
C1)
Пример 8. Среди всех кривых на сфере радиуса R, со-
соединяющих данные ее две точки, найти кривую кратчайшей дли-
длины (геодезическую кривую).

§ 9] УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 117
Решение. Пусть <р — долгота, 9 — широта точки на сфере,
а ф = ф(9) —уравнение искомой кривой. В данном случае имеем
г = г (ф, 9) = х (ф, 6) i + у (ф, 6) / + г (ф, 6) k.
Поэтому
Отсюда по формуле B9) имеем
е, е,
/ [ф, 6] = Я Г Ус1в2 + sin2 9 dtp2 = R Г ]Л + sin2 9 • ф'2 (9) rf9.
Подынтегральное выражение не содержит искомой функции
ф(9), поэтому уравнение Эйлера будет
А// = о где f.
так что
lA+sm2e-9'2(9) '
sin2 9-ф'(9) _
Отсюда
Ф'(9) Cl Cl
sine /sin2e-c\
sin2
1 г4г
sin2?
С, C,rf(cig9)
sin2 e у A - c2) - c2 ctg2 9 у (i - c2) - c\ ctg2 e
Интегрируя, получим
Ф (9) = arccos Cl ctg ^ + C2
или
<p (9) = arccos (С • ctg 9) + C2, где C = —-C'
/l-C2
Отсюда
С. ctg e = cos [ф (9) - C2]
или '
ctg6 = А созф(9) + В sin у (в), C2)
где
. _ cos C2 D __ sin C2
с ' й c~'
Умножая обе части C2) на R sin 9, получим
R cos 0 = AR cos ф sin 6 + В/? sin ф sin 6

118
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
или, переходя к декартовым координатам,
z = Ax + By.
Это — уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и
пересекающей сферу по большому кругу. Таким образом, крат-
кратчайшая линия (геодезическая) есть дуга большого круга.
Пример 9. Показать, что в каждой точке любой геодези-
геодезической на поверхности вращения произведение радиуса парал-
параллели на синус угла между геодезической и меридианом есть ве-
величина постоянная (теорема
Клеро).
Решение. Уравнение по-
поверхности вращения в цилиндри-
цилиндрических координатах имеет вид
х — р cos ф, у = р sin ф, г = { (р).
Найдем коэффициенты Е, F и G"t
Е = 1 + f, F = О, G = р2,
так что дифференциал длины ду-
дуги dS на поверхности вращения
имеет вид
Геодезические линии на поверхно-
поверхности вращения являются экстрема-
экстремалями функционала
Рис.18.
Подынтегральная функция не содержит явно ф и потому мы
сразу получаем
¦ = const
или p2-rf- = const. Замечая, что р-т^-= sin ш (рис. 18), полу-
чаем р sin ш = const, что и требовалось доказать.
170. Найти кратчайшее расстояние между точками
А(], 0, —1) иВ@, —1, 1), лежащими на поверхности
х + у + z = 0.
171. Найти геодезические линии круглого цилиндра

ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ^ 119
§ 10. Вариационные задачи с подвижными границами
1°. Простейшая задача с подвижными границами. Пусть
F = F(x, у, у') —трижды дифференцируемая функция своих ар-
аргументов и пусть в плоскости XOY заданы две кривые
y = cf(x) и у = $(х), A)
где ф(х) е d [а, 6] и ф(х) е Ci [a, b].
Рассмотрим функционал
Ы = J F (х, у, у') dx, B)
определенный на гладких кривых у = у(х), концы которых
А(хо, г/о) и B(xt, (/i) лежат на заданных линиях A), так что
у0 = ф(хо), г/i = ty(xt)- Требуется найти экстремум функцио-
функционала B).
Теорема. Пусть кривая у: у = у(х) дает экстремум функ-
функционалу
I [У] = J F (х, у, у') dx
среди всех кривых класса d, соединяющих две произвольные
точки двух данных кривых у = q>(x), у = ty(x). Тогда кривая у
является экстремалью и в концах А(х0, у а) и В(хъ у\) кривой
Y выполняются условия трансверсальности
- О, )
C)
Таким образом, для решения простейшей задачи с подвиж-
подвижными границами надо:
1) Написать и решить соответствующее уравнение Эйлера.
В результате получим семейство экстремалей у — f(x, d, Сг)
зависящее от двух параметров Ci и Сг.
2) Из условий трансверсальности C) и из уравнений
f(x0, Cit С2) = ф(*0). 1 ..
ПхиСи С,) = ф(х,) J (
определить постоянные С,, С2, х0, Х\.
3) Вычислить экстремум функционала B).
Пример 1. Найти условие трансверсальности для функ-
функционала
Хх
JM=jf{x,y) earctg У V1 + у'2 dx, E)
f (х, у) ф 0.

120
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Решение. Пусть левый конец экстремали закреплен в точ-
точке А (хо, г/о), а правый конец B(xi,yt) может перемещаться по
кривой у = ty(x). Тогда получим
В нашем случае
F=f(x, у) еагс(г*' Vl+tf', Fu> = / (х, у) е™1'У ) + У' .
Условие трансверсальности запишется так:
+ (ф/ - у) fix, у) earc'g "' -±±9
V 2
Отсюда, в силу условия f (х, у) Ф 0, получаем
0.
Геометрически условие F) означает, что экстремали у = у(х)
должны пересекать кривую у = ф(ж), по которой скользит гра-
граничная точка B(xi, г/i), под углом ~.
Рис. 19.
В самом деле, соотношение F) можно представить так: по-
положим, что касательная к экстремали в точке B(Xi,yi), лежа-
лежащей на кривой у = ф(х), пересекает ось Ох под углом а, а ка-
касательная к заданной кривой у = -ф (л:) —под углом E (рис. 19).
Тогда tg а = у', tg р == ф' и левая часть формулы F) дает
tg(P —а); но— I = tg ( j-J, поэтому E— а = —j-, откуда
о = Р + —Г) что и требовалось показать.

10]
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
ftf
Пример 2. Найти расстояние между параболой у = л-2 и
прямой х — у = 5.
Решение. Задача сводится к нахождению экстремального
значения интеграла
+У'2
G)
при условии, что левый конец экстремали может перемещаться
по кривой у = х2, а правый — по прямой у = х — 5. Таким об-
образом, в нашем случае имеем q>(x) = х2, гр(х) =х — 5. Общее
решение уравнения Эйлера будет: у = dx -\- Сг, где Ci и Сг —•
произвольные постоянные, которые предстоит определить.
Условия трансверсальности C) имеют вид
["
l+y'2 +Bx-y')
У
= 0,
= 0,
где у' = Сi. Уравнения D) в нашем случае принимают вид
Итак, имеем систему четырех уравнений относительно четырех
неизвестных Ci, Сг, Хо, хс
= ^i — 5,
-о,
(8)
решая которую, получим:
Cj = — 1, С2 =
23
—-,

122 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ It
Значит, уравнение экстремали есть у = — х + — и расстояние
между заданными параболой и прямой равно
23
23
о
2 2
172. Найти кратчайшее расстояние от точки А(\, 0)'
до эллипса 4х2 + 9г/2 = 36.
173. Найти кратчайшее расстояние от точки
Л (—1,5) до параболы у2 = х.
174. Найти кратчайшее расстояние между окруж-
окружностью х2 + г/2 = 1 и прямой х + у — 4.
175. Найти кратчайшее расстояние от точки
А (—1,3) до прямой у = 1 — Зх.
176. Доказать, что для функционала вида
J h(x, y)Vl+y'2 dx,
где /г(х, у) Ф0 в граничных точках, условия трансвер-
трансверсальности имеют вид
ф (К)
и цг(х) =
т. е. условия трансверсальности сводятся к условиям
ортогональности.
2°. Задача с подвижными границами для функционалов вида
у, z,y',z')dx. (9)
При исследовании на экстремум функционала (9) считаем, что
хотя бы одна из граничных точек А(хо, уо, го) или В(х\, у и Zi)
перемещается по заданной кривой.
Экстремум / [у, г] может достигаться лишь на интегральных
кривых системы уравнений Эйлера
F --F , = 0 ]
ty dx V~u'|
\ (Ю)

§ 101 . , ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ . Э 23
Пусть точка А(хц, у0, г0) закреплена, а другая граничная точка
B(Xi,yi,Zi) может перемещаться по некоторой кривой, заданной
уравнениями
У = ф (
Ф(*>. 1
(И)
Условие трансверсальности в этом случае принимает вид
[F + (Ф' - У') Fy, + (+' - z') Fz] | = 0. A2)
Аналогично выписывается условие трансверсальности и для ле-
левого конца (если он тоже перемещается вдоль некоторой кривой
Ф(Ш
[F + (ф' - у') Fy, + (V - z') Fz,] \x=xa = 0.
Пример З. Найти кратчайшее расстояние от точки
М(х0, уо, Zo) до прямой
у = тх + р, )
z = nx + q. }
Решение. Задача сводится к нахождению экстремума
(минимума) интеграла
ПУ, z]= [ lA+2/'2 + z'2 dx A3)
при условии, что правый конец экстремали может перемещаться
По прямой
+
} A4)
2 = ПК + ?, J
т. е. в нашем случае функции ф и ф имеют соответственно вид
ф (а:) = тх + р, ф (х) = пх+ q.
Общее решение соответствующей системы уравнений Эйлера
будет
\--ZXt)
где С,- (i = 1, 2, 3, 4) подлежат определению.
Условие трансверсальности (на правом конце) выглядит так:
- у')
+ (п - z') Z II =0,

124 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
откуда, в силу того, что у' = Си z' = C3, получим
1 + тСх + пСъ = 0. A6)
Соотношение A6) выражает условие перпендикулярности иско-
искомой прямой A5) к заданной прямой A4).
Воспользуемся тем, что искомая прямая A5) проходит че-
через точку М(х0, уо, го):
Уо = CiXq -f- Сг, Zo = Сз-*о "Ь С4, A7)
а также тем, что правый конец перемещается по прямой A4):
;:}
Из пяти уравнений A6), A7) и A8) надо определить Ci, Сг, Сз,
С4 и Xi (хе, уо, г0, m, n, p, q — заданные числа). Для нахожде-
нахождения интеграла A3) достаточно знать xi, Ct и Сз- Имеем
х0 + т (г/о — р) + п (г0 — (?)
хх =
с,=
с3 =
1 + п2 + т2
+ тп (z0 — д) — A + п2) (уд — р)
т (Уо — р) + га (z0 — (?) — (m2 + re2) x0 '
пха + тп (у0 — р) — (I + w2) (z0 — g)
'« (Уо — р) + ге (г0 — <?) — (т2 + ге2) х0 '
Подставляя эти величины в A3), получим
Л = min / [у, г] =
-]Л
Если граничная точка А(хо, уо,го) неподвижна, а другая гра-
граничная точка B(Xi,yltzi) может перемещаться по некоторой по-
поверхности г = q>(x, у), то условия трансверсальности будут:
Условия A9) совместно с уравнением 2 = ф(х,у), вообще го-
говоря, дают возможность определить две произвольные постоян-
постоянные в общем решении системы уравнений Эйлера (две другие по-
постоянные определяются из условия прохождения экстремали че-
через неподвижную точку А (х<>, г/о, г0)).
Если подвижной точкой является граничная точка А(Хо,уо,го),
то при х = х0 получаем условия, совершенно аналогичные усло-
условиям A9).
Пример 4. Найти кратчайшее расстояние от точки ЛA, 1, 1)
до сферы
х2 + у"- + z2 = 1. B0)

§10] ••' ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 125
Решение. Задача сводится к исследованию на экстремум
функционала
I [У, «I = J V1 + У'2 (*) + г'2 (*) <**> B1)
где точка B(xi,yi,zt) должна находиться на сфере B0). Экстре-
Экстремалями функционала B1) являются прямые
у = С1х + С г,
Из условия прохождения экстремали B2) через точку .4A,1,1)'
получаем
etc";
С3 + С4 = 1.
Условия трансверсальности A9) с учетом B2) имеют вид
r-^l—-zy
=0>
откуда после несложных преобразований будем иметь
г.-С^-М B4)
где xt, yi, Z\ — координаты искомой точки В.
Из условия прохождения экстремали B2) через точку
B(Xi, yit 2i) имеем
Vl = ClXl + cl } B5)
Из B3), B4) и B5) находим
п t Г* С\ Г* 1 Г* Л
О 1 — 1, U 2 — ^) L- з — • » ^4 — "•
так что уравнение экстремали
= " Л B3)
Так как точка В (хи уъ z^ должна лежать на сфере B0), то
с учетом B6) получаем, что х\ + х\ + х\ = I, т. е. xt = ± ¦ t

126 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. I!
Таким образом, получаем две точки
Нетрудно видеть из геометрических соображений, что экстремаль
B6), соединяющая точку А с точкой Bi, дает функционалу B1)
минимум, оавный
1
/min=
VT
а экстремаль B6), соединяющая точку А с точкой Вг, дает мак-
максимум
ax= J
= Vr3 +1.
VT
Замечание 1. При выводе условий трансверсальности
B4) мы брали <р (я, у) s= ]Al — х2 ~ у2 . Нетрудно проверить,
что условия B4) сохраняются, если ф (х, у) = — j^l — х2 — у2 .
Замечание 2. Из геометрических соображений видно,
что экстремаль B6) ортогональна сфере хг + у2 + г2 = 1.
Пример 5. Рассмотрим ту же задачу об экстремуме функ-
функционала B1), но в качестве А возьмем центр сферы О@, 0, 0).
Решение. Экстремалями функционала являются прямые
B2), и условие прохождения экстремали через точку 0@,0,0)
сразу дает Сг = Си = 0.
Условия трансверсальности будут прежними:
O, J
а условия на подвижном конце будут
Ух = CiXi, 1
11 B8)
гг = С3Х1. I
Наконец,
*? + j,J+z?=l. B9)
Для определения пяти величин Ct, Сз, х±, yt и zt мы имеем
пять соотношений B7), B8), B9), из которых независимыми
являются только три:
C0)

5 101
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
127
Используя соотношения C0), находим
1
2/1 =±
1
где Ci, C% — произвольные постоянные.
Этот произвол ясен из геометрических соображений: рас-
расстояние от точки 0@,0,0) до сферы B0) одинаково по любому
направлению, т. е. при любых значениях С\ и Сг.
Значение функционала J [у, г] на экстремалях
У = Схх,
z = Съх
равно
1+с]+с23
/ [У, г]
Пример 6. Найти условие трансверсальности для функ-
функционала
' Ы г] = J / (х, у, г) У\ + у'2 + z'2 dx,
C1)
Хо
если точка А(хо, у о, 2о) закреплена, а точка B(xit i/i, г4) лежит
на поверхности г = q>{x, у).
Решение. В данном случае условия трансверсальности
будут
O iOL!
или
z'
— 1
Это есть условия параллельности касательного вектора x[l,y',z'}
к искомой экстремали в точке B(xit yt, zi) с вектором
п{<р'х, фу, — lj нормали к поверхности z = <р(*, у) в той же точ-
точке. Таким образом, для функционалов вида C1) условия транс-
трансверсальности сводятся к условиям ортогональности.

128 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
177. Показать, что если условие трансверсальности
совпадает при всех начальных данных с условием ор-
ортогональности, то подынтегральная функция F имеет
следующую структуру:
F = f(x, y,z)V\+y'2 + z'\
где f(x, у, z) есть произвольная дифференцируемая
функция х, у, z.
178. Найти кратчайшее расстояние от точки
М@, 0, 3) до поверхности z = х2 + у2.
179. Найти кратчайшее расстояние от точки
МB, 0, 5) до поверхности z = х2 + у2.
180. Найти кратчайшее расстояние между поверх-
поверхностями
¦i + i + lf-1 и *2 + У2 + 22 = 4.
181. Исследовать на экстремум функционал
при условиях: г/@) =0, г@) =0 и точка В(хи yit Zi)
перемещается по плоскости х = Xi.
3°. Геодезическое расстояние. Величину интеграла
в
1 Ы - f F (х, у, у') dx, C2)
А
взятого вдоль линии y от точки А до точки В, называют J-Baw
ной линии у. Если у — экстремаль, то J [у] называют геодезиче-
геодезическим расстоянием между точками Л и В, или же J-расстоянием,
а саму экстремаль — /-прямой.
Пример 7. Найти геодезическое расстояние от точки
А@, 0) до точки В(\, 1), если это расстояние определяется с по-
помощью функционала
в
Решение. Геодезическое расстояние от точки А до точки В
есть значение данного функционала на экстремали, соединяющей

§ 10] ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
эти точки. Уравнение Эйлера
~Bу*у')=0 или
Легко видеть, что
так что 2yy' = Cj и у = С\х + С\. Используя граничные усло-
условия у |x_0 = 0, 2/|v=i = l. получаем Cj = 1, С2 = 0. Таким об-
образом, экстремалью, соединяющей точки А и В, будет парабола
У* = х.
Далее, 2уу' = 1, уу'— -х-, и следовательно, {уу'У = —г- Геоде-
зическое расстояние между точками А и В, согласно определе-
определению, равно
1
Пусть дана линия 3?: <p(xty) = 0.
Геодезическим расстоянием точки В, лежащей вне 5s, до
этой линвд называют геодезическое расстояние точки В до точки
A s 3? такое, что функционал C2) вычисляется вдоль экстре-
экстремали у, соединяющей точки В и А, причем у пересекает линию
3? в точке А трансверсально.
I-окружностью (геодезической окружностью) называют ли-
линию, все точки которой находятся на одинаковом геодезическом
расстоянии от заданной точки. Аналогично вводятся понятия
/-эллипса, /-гиперболы.
Пример 8. Найти /-окружность с центром в точке 0@,0)
радиуса R, если геодезическое расстояние определяется с по-
помощью функционала
в
= J
= J ууг
А
Решение. Экстремали функционала пересекают геодезиче-
геодезическую окружность трансверсально. Для экстремалей имеем (см,
предыдущий пример)
г/2 = С,х, 2уу' = С,
и, следовательно,
5 Ms Л. Краснов в др.

130 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Из условия трансверсальности
2/УBФ'-(/') = 0
находим, что угловой коэффициент касательной к /-окружности
у'
Ф = ¦— и, значит, дифференциальное уравнение /-окружности
есть y' = -^-t откуда уравнение /-окружности: yi = Сх. Для
нахождения величины С заметим, что на геодезической окруж-
окружности лежит точка (С3, С), а уравнение геодезического радиуса
(т, е. экстремали), проходящего через эту точку, есть у2 — "тт-
Отсюда уу' = -^ и, значит,
4C^ "* ~ 4 '
о о
Следовательно, С = 4R и геодезическая окружность радиуса R
с центром в начале координат имеет уравнение г/4 = 4Rx.
Пример 9. Найти /-окружность радиуса R с центром в
точке 0@,0), если геодезическое расстояние определяется функ-
функционалом
в
Решение. Экстремалями функционала являются прямые
у = CiX + C%. Из условия прохождения экстремалей через точку
О@, 0) находим, что Сг = 0, так что у = CiX, и значит, у' = —.
Условие трансверсальности в данном случае совпадает с ус-
условием ортогональности, и потому угловой коэффициент каса-
касательной к /-окружности—ф' = Г' Следовательно, диффе-
X
ренциальное уравнение /-окружности: у' = . Отсюда ура-
уравнение /-окружности: х2 -f уг — С2. На этой окружности лежит
точка (С, 0). Уравнение геодезического радиуса, проходящего
через эту точку, есть у — 0, так что у' = 0 и
«-J
Таким образом, С = R и уравнение искомой геодезической ок-
окружности радиуса R есть обычное уравнение окружности
хг + yi = R*.

§ II] РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ 131
Замечание. Введенные понятия позволяют говорить о
неевклидовой геометрии с дифференциалом дуги
ds = F (х, у, у') dx.
Если F == У 1 + у'2 (х), то, как мы видели, /-прямые превра-
превращаются в обычные прямые и наша геометрия переходит в обыч-
обычную евклидову геометрию.
При произвольной функции F, удовлетворяющей лишь обыч-
обычным условиям непрерывности и дифференцируемости по всем
трем аргументам, введенная геометрия мало похожа на обычную
геометрию: через две точки не всегда можно провести /-прямую,
и может случиться, что через две точки проходит несколько
/-прямых и, следовательно, /-расстояние между двумя точками
не есть однозначная функция координат.
182. Найти геодезическое расстояние от точки
А@, 0) до точки В(\, 2), если это расстояние опреде-
определяется с помощью функционала
183. Найти геодезическое расстояние от точки
А@, 1) до точки В(\, 1), если это расстояние опреде-
определяется функционалом
184. Найти /-окружность радиуса R = 8 с центром
в точке О@, 0), если геодезическое расстояние опре-
определяется функционалом
'3
J[y] = j y'3dx.
§ 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации
1°. Разрывные задачи. Экстремаль у = у(х) функционала
Лг/]= JF (х, у, y')dx A)
является дважды неирерьгано дифференцируемой функцией, если
производная Fу,у, (х, у (*), у' (у)) не обращается в нуль. Встре-
Встречаются, однако, вариационные задачи, в которых экстремум до-
достигается на кривой, являющейся лишь кусочно^гладкой.
5*

132 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
а) Разрывные задачи первого рода. Рассмо-
Рассмотрим задачу о нахождении экстремума функционала A), считая,
что допустимые кривые удовлетворяют граничным условиям
Уо, . 2/(*i) = 2/i B)
и могут иметь излом в некоторой точке с абсциссой с (х0 < с <
< Х\). Этот излом возможен лишь там, где Fy,y, = 0. В точке
излома экстремаль должна удовлетворять условиям Вейерштрас- •
са — Эрдмана
VUo-VU+o-M
Вместе с условиями непрерывности искомой экстремали они по-
позволяют определить координаты точки излома.
На каждом из двух отрезков [хо, с] и [с, а] экстремаль дол-
должна удовлетворять уравнению Эйлера, т. е. дифференциальному
уравнению 2-го порядка. При решении этих двух уравнений по-
получаются четыре произвольные постоянные, которые, вообще го-
говоря, находятся из граничных условий B) и условий C) в точке
излома.
Пример 1. Найти ломаные экстремали (если они суще-
существуют) функционала
J М = / (У'2 - У2)
Решение. Запишем первое из условий C), которое дол-
должно выполняться в точке излома:
В данном случае оно имеет вид
и означает, что производная у'(х) при х = с непрерывна. Следо-
Следовательно, точек изломл нет. Это видно и из того, что в данном
случае Fy,y, — 2>0 всюду. Поэтому в рассматриваемой задаче
экстремум может достигаться лишь на гладких кривых.
Пример 2. Найти ломаные экстремали функционала
2
ЦУ] = J (yf* ~ by'*) dx, 2/@) = 0, у B) = О,
о
допуская, что у' может иметь одну точку разрыва, отвечающую
абсциссе х = с.
Решение. В данном случае Fy'y> = 12i/' — 12 может об-
обращаться в нуль и поэтому возможно наличие изломов экстре-

§ 11] РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ 133
мали. Так как подынтегральная функция зависит только от у', то
экстремалями являются прямые
Положим
2/_ = тх + п (О^лг<с), ,у =
Из граничных условий находим п = 0, G = — 2р, так что
у_ = тх, У+ — р (х — 2). D)
Условие непрерывности экстремали дает
тс — р (с — 2). E)
Выпишем условия Вейерштрасса — Эрдмана. Имеем
Fy, = 4y'3-l2y',
F — у' • F , = — Зг/' + 6г/'
Поскольку у_ — т, у+ = р, получаем
4m3— 12m = 4р3 — 12р,
— 3/п4 + 6т2 == — Зр4 + 6/
или
(т - р) (т2 + тр + р2 — 3) = О,
(т2 — р2)(т2 + р2 — 2) = 0.
Второе уравнение в F) сразу дает т — р или т = —р или
т2 + р2 - 2 = 0.
Решение т = р должно быть отброшено: при нем экстремаль
имеет непрерывную производную, а из условия E) получаем, что
т = 0, т. е. экстремаль— отрезок оси Ох.
Таким образом, решение системы F) сводится к решению
следующих систем уравнений:
т2 + тр + р2 3 /
т2 + тр + р2 ~ 3.
Решение системы G): т = Кз", р — — КЗ и m = — V~3, р = У~3.
Решение системы (8) дает т = р и должно быть отброшено.
Итак, m = —р и условие непрерывности E) дает с = 1.

134 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Следовательно, искомые экстремали:
' - КЗ (х - 2), 1 < х < 2,
Vi (х - 2), U
185. Найти экстремали с угловой точкой для функ-
функционала
2
186. Найти решение с одной угловой точкой в за-
задаче о минимуме функционала
= о, у D) = 2.
187. Существуют ли решения с угловыми точками
в задаче об экстремуме функционала
= J О/'' + 2лг/ - у2) dx,
188. Найти решение с угловой точкой в задаче об
экстремуме функционала
Пу]= j y2{\-y'2)dx, */(-!) = 0, г/A)=1.
189. Найти решение с угловой точкой в задаче о
минимуме функционала

§ И] РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ 133
190. В задаче об экстремуме функционала
I s'my'dx
@,0)
найти непрерывное решение, а также решение с угло-
угловой точкой.
Замечание. Условия C) Вейерштрасса — Эрдмана допу-
допускают следующую геометрическую интерпретацию.
Построим фигуратрису, т. е. кривую Y = F(x,y,y') как
функцию от у'.
Тогда условия C) означают, что при значениях параметров
х = с, у = ci, отвечающих угловой точке, фигуратриса должна
иметь общую касательную в точках с абсциссами у_ =у (с — 0)
Одновременно получается наглядная интерпретация условия
Fyiyt Ф 0, исключающего возможность излома экстремалей.
Действительно, если, например, F ,у, >0, то фигуратриса вы-
выпукла, и касательные к ней,
проведенные в двух разных i у
точках, не могут совпадать.
Так что экстремаль в этом
случае не может иметь из-
излома.
Рассмотрим опять за-
задачу об отыскании лома-
ломаных экстремалей функцио-
функционала (см. пример 2 этого
параграфа). Имеем
[у] = J (г/'4 - 6У'2)
Экстремалями являют-
являются прямые. Фигуратриса Рис. 20.
Г ,4 о /2
= У Щ в данном
случае не зависит от точки (х, у). Она имеет общую касатель-
касательную в точках с абсциссами у' = ± 1^3 (рис. 20). Поэтому усло-
условия Вейерштрасса — Эрдмана будут выполнены, если в качестве
ломаных экстремалей брать ломаные, звенья которых образуют
угол ± -тг с осью Ох.
о
На ломаной yi с одной угловой точкой (рис. 21) функционал
] 18 Т J[] б
имеет значение J
yi с одно
[yi] =.—
у (р ) фу
18, То же значение J[y] будет иметь на

ТЗб
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
ломаной г/г с двумя угловыми точками (рис. 22), на ломаной уз
с тремя угловыми точками (рис. 23) и т. д.
Рис. 21.
Рис. 22.
Уз
Рис. 23.
б) Разрывные задачи второго рода. Разрыв-
Разрывными задачами второго рода называют задачи на отыскание экс-
экстремума функционала
Пу]= J F {х, у, у') dx,
V(*i)=yi, у{хг) = у2,
в котором подынтегральная функция разрывна.
(9)
(Ю)

§ 11] РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ 137
Пусть, например, F(x,yty') терпит разрыв вдоль линии
у — ф(х) и пусть F(x,y,y') равна Fi(x,y,y') по одну сторону
линии у = Ф(х) и равна F2(x,y,y') по другую.
В случае существования ломаной экстремали последняя со-
состоит из кусков экстремалей у = </i(x) и У = Цг(х), имеющих
общую точку (с, Ф(с)) на линии разрыва, где се (xi,x2). Для
определения ломаной экстремали получаем два дифференциаль-
дифференциальных уравнения Эйлера, общие решения которых содержат че-
четыре произвольных постоянных С\, С г, Сз, Ci. Для нахождения
этих постоянных, а также абсциссы с точки встречи экстремали
с кризой у = Ф(х) имеем: 1) два граничных условия A0),
2) два условия, требующие, чтобы ординаты концов экстремалей
в точке стыка были равны ординате кривой у = Ф(х) и, нако-
наконец, 3) условие на стыке
'i + (ф' - л V U-o - F* +(ф' -у>) V U+0- A1)
Этих условий, вообще говоря, достаточно для нахождения ло-
ломаной экстремали.
Пример 3. (Задача о преломлении луча света.) В среде I
свет распространяется с постоянной скоростью vt, в среде II —
с постоянной скоростью t>2. Среда I отделена от среды II кри-
кривой у =я= Ф(лг).
Вывести закон преломления луча света, идущего из точки А
среды I в точку В среды II, зная, что луч проходит этот путь
в наименьший промежуток времени.
Решение. Задача сводится к нахождению минимума ин-
интеграла
так как первый и второй интегралы в A2) дают время, нужное
для перехода луча из точки А до линии раздела и от линии раз-
раздела до точки В.
Имеем разрывную задачу второго рода: здесь
Нахождение кусков экстремалей сводится к разысканию экстре-
экстремалей функционала
которые, как известно, есть прямые. Следовательно,
yi = mx-\- п, Уг — рх + q.

138
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Запишем условие A1). Имеем
, dF /l
Fi-yi^rT=
Подставляя эти выражения в A1), найдем
1 + ф'^ 1 + ф'г/2
A3)
Пусть у — угол, образованный касательной к линии раздела в точ-
точке с с осью Ох, а — угол левого луча с осью Ох, |3 — угол пра-
правого луча. Тогда Ф = tg у. У\ — tg «, f/2==tSP и условие A3)
примет вид
1 + tgatgy = I +tgptgy
о, К1 + 1е2а щ I/T+IFI
или
cos (у — а) cos (y — Р)
где y — а и y — Р — углы между лучами и касательной к линии
раздела. Вводя вместо них углы ф и 6 между нормалью к линии
раздела и лучами, падающим и преломленным, получаем
sinip и,
. „ = —L = const,
sin 9 у2
т. е. известный закон преломления луча света.
2°. Односторонние вариации. Ищется экстремум функцио-
функционала
Ш= J F (х, у, у') dx, (H)
f(«i) = 2/i> У(х2) = у2 A5)
при условии
# — ф(*)>0 (или у — ф(л;)<0) A6)
(ограничивающие условия могут быть и более сложного вида).
В этом случае искомая экстремаль может состоять из кусков
экстремалей, лежащих в области A6), и кусков границы у =
«= ф(лг) этой области, В точках стыка указанных кусков искомая

§ 111 РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ 139
экстремаль может быть гладкой, но может иметь и угловые
точки.
Условие в точке стыка имеет вид
[F (х, у, у') - F (х, у, Ф') - (Ф' - у') /у (х, у, у')] \^_ = 0.
Если Fу,у, =И= 0, то в точке стыка М(х,у) экстремаль ка-
касается границы у = ср(лг) области.
¦ Пример 4. Найти кратчайший путь из точки А (—2, 3) в
точку В B, 3), расположенный в области у ^ хг.
Решение. Задача сводится к нахождению экстремума
функционала
2
[y]= J
-2
A7)
при условиях
У<х\ </(-2) = 3, уB) = 3.
Экстремалями функционала A7) являются прямые
В данном случае
У'У' ~~ '
и искомая экстремаль будет состоять из кусков прямых AM и
NB, касательных к параболе у = х2, и куска MON этой пара-
параболы (рис. 24). Обозначим аб-
абсциссы точек касания через
х и —х (используем симме-
симметрию задачи). В точке касания
совпадают ординаты и угловые
коэффициенты прямой и каса-
касательной параболы, так что бу-
будем иметь
С, + С2х
С2
2х.
С другой стороны, касательная
должна проходить через точ-
точку В B, 3), следовательно,
-г -1
'812,3}
~г 2Сз = 3.
A9)
в I
Рис. 24.
г х
Исключая С\ и С2 из A8), A9), находим хг — 4х + 3 = 0, от-
откуда Xi — 1 и хг == +3. Второе значение х не подходит. Итак,
2=1. Отсюда Ci = —1, С2 = 2. Искомая экстремаль

140 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
(единственная) есть
— 2х— 1, если — 2<jc<—1,
у {
( 2х~ 1, если 1<х<2.
Ясно, что она доставляет функционалу A7) минимум.
191. Найти кривые, на которых может достигать-
достигаться экстремум функционала
ю
Z = 0
при условии, что допустимые кривые не могут прохо-
проходить внутри круга, ограниченного окружностью
(х-5)* + у* = 9.
192. Среди кривых, соединяющих точки А (а, у0) и
В(Ь,у\), найти ту, которая дает экстремальное значе-
значение функционалу
ь
при условиях у ^ 0, 1 — у2у'2 ^ 0.
§ 12. Теория Гамильтона—Якоби. Вариационные
принципы механики
1°. Каноническая (гамильтонова) форма уравнений Эйлера.
Уравнения Эйлера для функционала
1\Уи Уг Уп] =
= J F(*> Уь У2> •••> Уп> 'Л #2. ••¦> y'n)dx О
имеют вид
F —JL(F,\=Q (A: =1,2 п). B)

ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
141
В случае, когда определитель
F , ,
У\У\
F , ,
у2у1
... F , ,
... F , ,
F , , F
... F , ,
ft ft
О,
положим
F ' =
=1, 2 я).
C)
D)
Из уравнений D) можно выразить ук через х, (/,, у2, ..., уп,
Р\, Р2, • ¦ ¦> Рп'-
У к = Vk (*- Ух> У2> ¦ • •• Уп> Pi' Р2. • • •» Рп)- <5)
Функция Н от переменных х, уи у2, ..., i/n> Pi, P2 Рп,
определяемая равенством
Н = - F(x, yv y2, ..., уп, у\, у2, .. ., у'п) +
k=\
Уп> Ух
F)
называется гамильтонианом для функционала A).
Гамильтониан удовлетворяет следующим соотношениям:
дН dyk дН dpk
dPk
dx •
dx
(k =1,2 л). G)
Уравнения G) называются канонической или гамильтоновой
системой уравнений Эйлера B); переменные у\, уг, ¦ • ¦, Уп,
Ри pi, ..., рп называются каноническими переменными.
Замечание 1. Условие C) для функционала /[у] =»
х2
\ F(x, у, y')dx дает FуГу, Ф 0 на [xhxz].
Замечание 2. Уравнения D) разрешимы относительно
ук в целом на отрезке [ati, лг2], вообще говоря, не однозначно. При
выполнении условий теоремы существования неявной функции
имеет место локальная однозначная разрешимость уравнений D).
Пример 1. Составить каноническую систему уравнений
Эйлера для функционала
[ук
J Bу№ ~ 2у1+у'' - у
йх-

142
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Решение. В нашем случае
F = F (х, у{, у2, у\, у2) = 2уху2 - 2у\ + yf - у2.
Полагаем
У1 У2
г . /
Р\ ~~~ "У[i Р'2 —' ~~* У1!'
Тогда
Здесь определитель
F , ,
F , ,
F , ,
У{У2
F , ,
2
0
0
о
= — 4 ф 0.
Разрешая полученные соотношения относительно yit y2, найдем
' == -^- г/ = — -^-
Находим гамильтониан данного функционала:
• (-F + y\Fg, + ylF Л
,' Pi
B /2 '2\
—2уху2 + 2у, + у1 —у2)
„2 i ' 1 rl
u'=-?L = 2«/, - 2«/,jr2 + "Г 7Г-
у\ 2 '
Используя соотношения G), получим каноническую систему
уравнений Эйлера:
dx *~ 2 '
dx
2 '
Здесь У\ — у\(х), у2 = у2(х), pi = pl(x), p2 = р2 (*) являются
неизвестными функциями от л:.
Пример 2. Составить каноническую систему уравнений
Эйлера для функционала
J У?У2

12] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
Решение. Здесь
р 2 2
' — У\У2'
Р2=уЫ-
143
Находим частные производные
Полагаем
F , = ,А,2
Эти соотношения не содержат производных yv y2 неизвестных
I'
функций г/j и г/2, поэтому г/j и у2 нельзя выразить через пере-
переменные р\ и р2. Следовательно, для этого функционала нельзя
составить гамильтониана. В этом примере условие C) не вы-
выполняется
F i i F , i
УХУХ
F , , F , ,
У2У\
о о
о о
= 0.
Пример 3. Составить каноническую систему уравнений
Эйлера для функционала
' [у] = J ХУУ'Ъ dx.
Решение. Имеем
F = хуу'\
¦¦ Зхуу'
Положим р = Зхуу'2. Отсюда
Данный функционал имеет два гамильтониана:
Р
Эху
¦¦ 2хуу
,/3
<-/¦&¦
V ixy
ху

144 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
В соответствии с этим мы получим две канонические системы
уравнений Эйлера:
lL — E!L -i/ p
dx ~ dp V 3xy '
dp dHx ^ 1 -. / p3
dx dy 3 V 3xy3 '
#¦¦
dx
dx ЗУ Зху3 ' j
Составить канонические системы уравнений Эйлера
для следующих функционалов:
193. / = J хуУу'йх.
194. /«= J xyy'2dx.
195. / = J Vx2 + у2 Vl + у'2 dx.
2
196. J =
197. J —
198. /= [2xyl — yf + ^-)dx.
2°. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби. Кано-
Каноническая система уравнений Эйлера G) является системой ура-
уравнений Эйлера для функционала
хг Г п -|
'= J y2±Pk.y'k-H{Х'У1 Уtc Pi />«)<**>
если г/i, ..., уп, pi, ..., />п рассматривать как неизвестные функ-
функции от х.
Данный функционал У является решением уравнения в част-
частных производных первого порядка вида
dW . „I dW dW dW\ n
У1 Уп> ~dyj' ~ду7 ~Щп
которое называется уравнением Гамильтона — Якоби.

12]
ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
145
Теорема Якоби. Пусть W является полным интегралом
(см. [5]) уравнения Гамильтона — Якоби, удовлетворяющим
условию
d2W d2W d2W
dyt dCt дух дС2 ''' <fy, дСп
d2W d2W d2W
дуг
Тогда равенства
ду2 дС2
дуп дС2
dW
дС
уп дСп
ФО.
где Ck и Bit — произвольные постоянные, дают решение канона'
ческой системы G), которое зависит от in произвольных по~
стоянных.
Пример 4. Найти экстремали функционала
х,
/= | Vх2 + у2 VI +
У'
при помощи решения уравнения Гамильтона — Якоби.
Решение. Для получения уравнения Гамильтона—Якоби
находим гамильтониан данного функционала. Имеем
Я = -
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
dW
дх
dW
ду
или
dW
дх ) +\ ду
Перепишем уравнение (8) в виде
+ у\
(8)
и применим метод разделения переменных. Ясно, что если по-
требовать, чтобы
[дх
[ду

146
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
где С — произвольная постоянная, то уравнение (8) будет удо-
удовлетворяться. Отсюда находим
С,
дх ' л ~' ду
Полный интеграл уравнения (8) будет:
= j Ух2- С dx+ Г У у2 + С dy =
W
In
+ -§¦ in I у + УТТс I + Со,
где Си Со — произвольные постоянные.
Общее решение уравнения Эйлера данного функционала
dW А у
найдем из соотношения д = -—, где А — произвольная по-
стоянная. Имеем
4 У х2 — С
-±\х+Ух2-С
1
+
1
У
4 (х + Ух2 - С) Ух2 - С 4 У у2 + С
1.1 . -ш/ 5—i—~?\ I | С 1 А
После несложных упрощений получим
у + Ууг+~С
In
х + Ух2 — С х + Ух2 — С
откуда окончательно будем иметь
Х2 _ '-Л2 _ 2 =
А
Это — семейство гипербол.
Найти экстремали следующих функционалов:
199. / = J x
Х\
е
200. / = J *iw/2d*; г/A) = 0, ^(е)=1.

12] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 147
х,
201. ] = \G{y) V l+yf2dx.
X, *
202. Найти минимум функционала
если значения на концах интервала не даны.
203. Найти функцию поля р (х, у) и само поле
экстремалей, проходящих через начало координат,
функционала
@,0)
204, Среди линий, соединяющих прямую л; = 0
с точкой М\ (хь ух), где хх > 0, ух > 0, найти ту, кото-
которая дает минимум функционалу
Пусть имеется функционал
Хг
/[»]- J F (х, у, у') dx
Х\
и дано его поле экстремалей у = ф(*,С). Тогда в каждой точке
поля известно направление трансверсали поля, проходящей че-
через эту точку. Все трансверсали поля получаются как решения
дифференциального уравнения первогб порядка:
Fy, [x, Ф (х, С), <р'х (х, C)]^L-H [x, Ф(х, С), <f'x (х, С)],
где вместо параметра С, определяющего экстремали поля, надо
подставить его выражение через координаты точек поля. Здесь
И (х- У, Р) — гамильтониан.
Пример 5. Н-айти трансверсали для поля экстремалей
у = Сх функционала
dx.

148
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Решение. Находим гамильтониан данного функционала.
Имеем
F = y'\ ' Fy,=2y' (Fy,y, =
Полагая p = Fy,, найдем #'=-?-. Тогда
Н = (- у'2 + 2у' • у')
</'=
4 "
Трансверсали получим, решая дифференциальное уравнение
F,
у—Сх
dx
:Н
где вместо С надо подставить его выражение через координаты
точек поля С = —. Имеем
2у'
у=Сх
dy_
dx
или
р=2С
Так как С ф 0, то 2—У- = С или 2-^- = —. Отсюда находим,
что семейство трансверсалей у2 — Сх — параболы.
205. Найти трансверсали для поля экстремалей
у = Сх функционала
J= j F (у') dx.
206. Найти трансверсали для поля экстремалей
у — х -\- С функционала
/= f(xyfi-2yy/3)dx.
Xl
207. Найти трансверсали для поля экстремалей
у = х — -^- функционала
у= J Vy{l-y'2)dx (О 0, х>0, у^О).

§12] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 149
Зная уравнение Гамильтона — Якоби
дх ^ \ " ду j
для функционала
/= J F (х, y,y')dx,
можно восстановить подынтегральную функцию F(x,y,y'). По-
Последняя является решением дифференциального уравнения пер-
первого порядка
F-zF'z = -H(x,y,F'z), (9)
где Н(х,у,р) —гамильтониан искомого функционала; F(x,y,z) —
искомая функция (х и у рассматриваются как параметры).
После нахождения F(x,y,z) в нее надо подставить вместо г
производную у'.
Замечание. Уравнение (9) является уравнением Клеро.
Обшее решение уравнения Клеро, как правило, отбрасывается,
так как в этом случае подынтегральная функция F(x,y,y') будет
линейна относительно у' и вариационная задача не всегда раз-
разрешима (см. § 4). Поэтому берется только особое решение урав-
уравнения Клеро, которое будет являться искомой функцией F(x,y,z).
Пример 6. Уравнение Гамильтона — Якоби для задачи об
х2
экстремуме функционала /== F (х, у, у') dx имеет вид
дх
Найти функцию F (х, у, у').
Решение. Разрешим данное уравнение относительно
dW
производной —-—. Имеем
дх
или
dW
дх V
Следовательно, гамильтониан

I5Q ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Уравнение (9) для нахождения искомой функции F имеет
Продифференцируем по z обе части уравнения A0):
dF d2F
dF dF d2F ~dz dz2
• z ¦
dz dz dz2
d2F
Отбрасывая случай, когда 2 = 0 (он дает обшее решение).
получим
dF
dz
z =
/;
. dF
'азрешая это соотношение относительно производной -т—>
¦¦айдем '-
dF z Ух2 + у2
dz V\ + z2
Подставляя A1) в A0), будем иметь
YT+42 r v YT+~
rx2 + у2 У 1 + z2
Таким образом, искомая подынтегральная функция имеет вид
В следующих примерах найти функционалы, если
известны их уравнения Гамильтона — Якоби:
?)'+DI
»•• (?¦)'+
т
-••

§12] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 151
3°. Вариационные принципы механики.
а) Принцип Гамильтона — Остроградского. Пусть имеется
система п материальных точек Ми(Хк, Ук, Zk) (k = 1, 2, ...,«),
массы которых соответственно равны m% (k == 1, 2, ..., п). По-
Положим, что движение системы подчинено связям
Фу (х, у, г, t) = О (/= 1, 2, .... /п), где т < «, A2)
и происходит под действием сил Fk(Xk, Yti, Zk) (k = 1, 2, ...,«).
имеющих потенциал (силовую функцию) U = U(Xk, yk,Zk, t):
Кинетическая энергия этой системы будет равна
Пусть из некоторого положения Л, соответствующего моменту
времени ^ = to, эта система переместилась к моменту времени
t = ti в положение В. Из всех возможных перемещений системы
из Л в 5 выбирается класс допустимых движений, а именно тех
движений, которые совместимы с заданными связями и в задан-
заданный промежуток времени [^о, ^i] переводят систему из Л в В.
Действительное движение системы из положения Л в поло-
положение В удовлетворяет необходимому условию б/ = 0 экстре-
экстремума интеграла
/= J (T + U)dt. A3)
Каждому допустимому движению системы соответствует Зп
функций Xk(t), yit(t), Zh(t) (k = 1, 2, ..., л), определенных
в промежутке [h,ti], удовлетворяющих уравнениям A2) и имею-
имеющих заданные значения на концах промежутка [^о, ti]. Таким
образом, имеем вариационную задачу со связями A2) и закреп-
закрепленными границами.
Для решения этой задачи составляется вспомогательная
функция Лагранжа

152
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
и для нее выписывается система уравнений Эйлера — Острей
градского:
отл - хк -
m.z. — /. —
A4)
Уравнения A4) совпадают с дифференциальными уравнениями
действительного движения системы.
б) Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа. Пусть
связи ср,- и потенциал U не зависят от времени t. В этом случае
имеет место интеграл энергии Т — U = h — const. Интеграл
называется действием. Из интеграла A3) следует, что
[ (Г + U) dt = 2 J T dt - J h dt.
U ta t.
Для действительного движения, .по принципу Гамильтона —
Остроградского, интеграл действия должен иметь минимальное
значение:
U
]= J T dt = mm.
U
Принципу наименьшего действия можно придать форму
Якоби:
f У2 (U +h)ds= mm
(ds — дифференциал дуги у), в которой исключено время.
Замечание 1. Здесь считаются допустимыми движениями
такие, которые удовлетворяют уравнениям связи (fj(x, г/, г) =0
(/ = 1, 2, ..., т) и уравнению Т — U = h с тем же самым зна-
значением /г, что и для действительного движения, и которые имеют

§12] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 153
фиксированное начальное и конечное положения и фиксирован-
фиксированный начальный момент времени to. Конечный момент времени
для них не фиксирован.
Замечание 2. Потенциальная энергия входит не в инте-
интеграл, а в дополнительное условие Т—U = h. Составляем вспо-
вспомогательную функцию Лагранжа
m
Затем пишем уравнения Эйлера — Остроградского нашей за-
задачи, которые являются'уравнениями действительного движения:
dU
dU
Пример 7. Исходя из принципа наименьшего действия,
найти траекторию материальной точки (единичной массы), дви-
движущейся под действием силы тяжести.
Решение. Направим ось Оу вверх, тогда потенциал силы
тяжести будет равен
U = -gy. A5)
Согласно принципу наименьшего действия на искомой траек-
траектории у интеграл
A6)
= Г
должен иметь минимальное значение. Следовательно, траектория
точки будет экстремалью функционала A6). Подставляя A5)
в A6), получим
V2(h-gy) Vl + y'2dx. A7)
х,
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
дх
или

154 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. II
Его полный интеграл будет
Yih — 2gy - A2dy =
= Ax - _L BA _ 2gy - A^ + B,
где А и В — произвольные постоянные.
Находим экстремали функционала A7):
x+ — Bh- 2gy - Лг)'/г = С
или
В частности, экстремали, проходящие через начало коорди-
координат, найдем из условия у@) = 0. Получаем однопараметрическое
семейство парабол
g 2 , Vih - А*
у = х +х
212. Найти траекторию движения точки в плоскости
под действием силы отталкивания от оси Ох, пропор-
пропорциональной расстоянию точки до этой прямой и на-
направленной параллельно оси Оу при условии, что ин-
интеграл живой силы имеет вид -^ — = 0, исхо-
исходя из интеграла действия
213. Материальная точка описывает окружность
р = 2R cos ф (р, ф — полярные координаты) радиуса
k
R под действием центральной силы —, обратно про-
пропорциональной пятой степени расстояния от центра,
находящегося в начале координат. Показать, что на
любой дуге этой окружности (— тг < <Pi ^ Ф ^ Фг < у)
интеграл действия достигает сильного минимума.
214. Изучить движение материальной точки под
действием притягивающей центральной силы, пропор-
пропорциональной расстоянию от центра О, исходя из прин-
принципа наименьшего действия и применяя метод Га-
Гамильтона— Якоби.

ГЛАВА III
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 13. Конечно-разностный метод Эйлера
Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстре-
экстремум функционала
ь
Лу(х)} = J F (х, у, у') dx; у(а) = А, у(Ъ)=*В. A)
В методе Эйлера значения функционала A) рассматриваются
не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче
кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа п
прямолинейных звеньев, с заданными асбциссами вершин
а + Дл:, а+ 2Л*, ..., а + (/г —- 1) Дх, где Лл: = .
На этих ломаных функционал J[y(x)] превращается в функцию
®(Уи Уъ ..., J/n-i) ординат у\, У2, ..., Уп-i вершин ломаной.
Ординаты t/i, г/г, ..., j/n-i выбираются так, чтобы функция
ФB/ь </г, .-•> </n-i) достигала экстремума, т. е. они определяются
из системы уравнений
^ = 0, -1^ = 0,..., -^5—0. B)
дуг ду2 дуп-х v
Полученная ломаная является приближенным решением ва-
вариационной задачи A).
Пример. Найти приближенное решение задачи о мини-
минимуме функционала
1
/ [У (х)] - J (у'2 + 2у) dx; у @) = у A) = 0.

156 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
Решение. Возьмем Ах — —=—- = 0,2 и положим
5
Уа = У @) = 0. у, = у @,2), у2 = у @,4),
г,з = I/ @.6), (>4 =
Значения производных приближенно заменим по формуле
Тогда
У' @) =
0,2 '
У' @,6).
Уг - Ух
0,2 '
У'@,4) =
0,2 *
Уъ — Уг
0,2 '
Данный интеграл заменяем суммой по формуле прямоугольников
ь
J / (х) rfx - [/ (а) + / {Xl) + f (хг) +...+/ {xn-i)] Ax.
а
Будем иметь
+ (i^&)' + 2», + (- Jj)' + 2»,] • 0.2.
Составляем систему уравнений для определения ординат yi, уг,
Уз, г/4 искомой ломаной:
ИЛИ
!
0,2
1
0,2
1
0,2
дУг
дф
<?Уз
1
0,2
дф
dyi
Эг/4
-г/1
"Уг
"Уз
У1
0,02
0,02
Уз-Уг
0,02
У 4 —
+ 2у2-
+ 2у3-
+ 2у4
—
Уз
2
¦Уг
•Уз
¦у*
Уг — У\ i о
0,02 ' "
0,02 ' "
2/4 — Уз ,0
0,02 ' "
1 У* 1 о
0,02
= - 0,04,
= - 0,04,
= - 0,04,
= - 0,04.
п
1
= 0

§ 14] МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА 157
Решение этой системы yi = —0,08, уг = —0,12, уз = —0,12,
yk = —0,08. Значения точного решения у = —„— в соответ-
соответствующих точках совпадают со значениями приближенного ре-
решения.
Найти приближенные решения задач о минимуме
функционалов:
1
215. J[y]=j(y'2 + y2 + 2xy)dx; у@) = уA) = 0.
о
Указание. Взять Ах = 0,2.
1
216. J[y]= j(y'2+l)dx;
о
а) у@) = 0, г/(П = О,
б) у@) = 0, г/@ = 1.
§ 14. Метод Ритца. Метод Канторовича
Iе. Метод Ритца. Идея метода состоит в том, что при разы-
разыскании экстремума функционала J[y(x)] рассматривается не все
пространство допустимых функций, а лишь всевозможные линей-
линейные комбинации допустимых функций вида
где а,— постоянные, а система {(fi(x)}, называемая системой
координатных функций, такова, что функции цч (х) линейно не-
независимы и образуют в рассматриваемом1 пространстве полную
систему функций.
Требование, чтобы уп {х) были допустимыми функциями, во-
вообще говоря, накладывает на координатные функции ф;(л:) не-
некоторые дополнительные условия типа условий гладкости или
удовлетворения граничным условиям. На таких линейных комби-
комбинациях функционал J[y(x)] обращается, в функцию аргументов
«1, аг а„:
Находим те значения eci, аг, ..., ап, которые доставляют функ-
функции Ф(аь аг, ..., ап) экстремум; для этого решаем систему,
вообще говоря, нелинейных относительно ai, аг, ..., <Хп урав-
уравнений
4^- = 0 (i-l, 2 п), C)

158 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1ГЛ. Ш
и найденные значения а, подставляем в A). Полученная таким
образом последовательность {уп(х)} является минимизирующей
последовательностью, т. е. такой, для которой последователь-
последовательность значений функционала {/[#п (*)]} сходится к минимуму или
к нижней грани значений функционала У [у]. Однако из того, что
lim J[yn(x)] = minJ[y(x)],
еще не следует, что \\туп(х) = у(х). Минимизирующая после-
довательность может и не стремиться к функции, реализующей
экстремум в классе допустимых функций.
Можно указать условия, обеспечивающие существование аб-
абсолютного минимума функционала и его достижение на функ-
функциях {уп(х)}.
В случае, когда ищется экстремум функционала
х2
J [у (*)] = \ F (х, у, у') dx,
X,
У(х1) = у1, У(х2)=у2,
эти условия таковы:
1. Функция F(x,y,z) непрерывна по совокупности своих ар-
аргументов при любом г и при (х,у) ей, где D—замкнутая об-
область плоскости XOY, в которой лежат линии уп(х).
. 2. Существуют константы а > 0, р > 1, |3, для которых
F (х, у, г) > а | г \" + р,
-каково бы ни было г и для любой точки (х, у) е D.
3. Функция F(x,y,z) имеет непрерывную частную производ-
производную Fz(x,y,z), причем эта производная для любой точки
(х, у) ей есть неубывающая функция от г (—°° < z< -f-°°)-
Сформулированные выше условия выполняются, в частности,
для функционалов вида
Xi
1\У\=\ [р (х) у'2 + q (х) у* + Чг (х) у] dx,
Xi
y(xi) = a, у(х2) = Ь,
где р(х), q(x), r(x) —заданные непрерывные на [*i,*2] функции,
причем р(х) имеет непрерывную производную р'(х) и р(х) !> О,
q (х) > 0.
Если таким методом определяется абсолютный экстремум
функционала, то приближенное значение минимума функционала
получается с избытком, а максимума — с недостатком. От удач-
удачного выбора системы координатных функций {фг(л;)} в значи-
значительной степени зависит успех применения этого метода.
Во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию
двух-трех функций Ф<(ж) для того, чтобы получить вполне удо-
удовлетворительное приближение к точному решению.

§ 14] МЕТОД РИТЦ& МЕТОД КАНТОРОВИЧА 159
В случае, когда приходится находить приближенно экстре-
экстремум функционалов J[z(xu x% .... хп)\, зависящих от функций
нескольких независимых переменных, выбирается координатная
система функций
•Fl (XU %2> • • •> хП/1 ф2 (-^Ь %2> • • •> *л)> • • •> ф/n (Х\, Хг, • . ., Хп), • • •
и приближенное решение вариационной задачи ищется в виде
т
fc=l
где коэффициенты а* — некоторые постоянные числа. Для опре-
определения их аналогично предыдущему составляем систему урав-
дФ
нений -д— = 0 (k = 1, 2, ..., я), где <D(ai, аг а„) — ре-
результат подстановки гт в функционал / [г].
Пример 1. Найти приближенное решение задачи о мини-
минимуме функционала
i
D)
и сравнить с точным решением.
Решение. Систему координатных функций ф/.(х) выберем
так:
Функции <рь(х), очевидно, удовлетворяют краевым условиям
Ф*@) = ф*A) = 0, являются линейно независимыми и пред-
представляют в пространстве С\ [0, 1] полную систему.
При k = 1 получаем yt(x) = at(x — хг). Подставляя это
выражение для у\{х) в функционал D), получим
1
/ [г/, (*)] = J [а2 A - 2л:J -а\{х- х2J + 2ахх (х - х2)] dx =
о
аг (! _ 4* + Ах2 -х2 + 2х3 - х4) + 2а, (х2 - х3)] dx ¦¦
6
= —а2-
Коэффициент ai находим из уравнения
дФ _ 3 1
dcti 5 * б '

160 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
5
откуда сц = —гг-. Следовательно,
1о
Точное решение. Уравнение Эйлера для данного функ-
ционала:
у" + У = х.
Решая это неоднородное линейное уравнение, находим
у (х) = Cj cos х + С2 sin х + х.
Используя граничные условия f/@) =# A) = 0, получим окон-
окончательно:
, . sin х
Сравним точное решение с приближенным:
х Точное решение Приближенное решето
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
0
—0,044
—0,070
—0,060
0
0
-0,052
—0,069
—0,052
0
Пример 2. Найти приближенное решение нелинейного
уравнения
У == у Уг'
удовлетворяющее условиям у@) = 4, у{\)—\.
Решение. Этой краевой задаче отвечает вариационная
задача
1
[У] = J (У''
о
Будем искать решение в виде
j/i (л:) = 4 — Зх + di (л: — х2),
где, очевидно, ух (х) при любом значении at удовлетворяет за-
заданным краевым условиям.
Имеем
/ Ы = J floi (I - 2х) - З]2 + 14 - Зж + о, (jc - х1)K} dx,
о

§ 14] МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА J61
откуда
д1}У'] = |{A-2*)-2[а,A-2*)-3] +
+ 3 (* - х2) [4 - 3* + а, (* - *2)]2} dx.
Условие — =0 принимает вид
9а*+4Э0а,+ 1407 = 0,
так что для а! = — 3,0413 получаем всюду положительное ре-
решение задачи
ух (*) = 3.0413*2 — 6,0413* + 4.
Найти приближенные решения следующих задач
о минимуме функционалов. Сравнить с точным ре-
решением.
1
217. /[у (х)} = J {у'2 + 2у)dx; y(O) = y(\) = O.
о
2
218. J[y(x)]= [{2xy + y2 + yf2)dx; у @)=г/ B)=0.
219. Найти приближенное решение задачи о мини-
минимуме интеграла
1
при дополнительном условии j y2(x) dx= 1.
-1
Пример 3. Найти приближенное решение задачи об экст-
экстремуме функционала
"•<*»•<-Я [(?)'+(?)'-*]<"*
где D — квадрат: — а^ х<^.а, — а^у ^ а и на границе квад-
квадрата z = 0.
Решение. Приближенное решение будем искать в виде
*о(*. у)=ао(х2-а2)(у2-а'). .
6 М, Л. Краснов и др.

}•$? ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. ИГ
Очевидно, так построенная функция zo(x, у) удовлетворяет
поставленным граничным условиям. Подставляя z0 (х, у),
гОх (х, у) и 20„ (х, у) в функционал, получим пасле интегриро*
вания
Далее,
.32
9 '
да0 45 "и" 9
откуда а0 = -т^т, так что z0 (х, у) = -—=- (х2 — а2) (у2 — а2).
220. Найти приближенное решение задачи об экст-
экстремуме функционала -
D
X2 Ц2
где D — область, ограниченная эллипсом —г + 4г = 1.
221. Найти приближенное решение z3(x, у) задачи
о минимуме функционала
где область D: х>0, у > 0, я+г/<1,и функция
z,(x, у) удовлетворяет на границе Г: х = 0, у = 0,
х + у = 1, условию z |г = х2 + у2.
2°. Метод Канторовича. Этот метод занимает промежуточное
положение между точным решением задачи и методом Ритца и
применяется для исследования на экстремум функционалов
/[*(*!, *2 Х„)], F)
зависящих от функций нескольких независимых переменных
(п ^ 2). Как и в случае метода Ритца, выбираем координатную
систему функций {<$k(x\, хг, ..., хп)} и приближенное решение
ищем в виде
т
Zm = 2 ak (*/) Ф* (*1> *у ' • - Хп)> G>
К— I
но теперь коэффициенты ак (xj) являются неизвестными функ-
функциями одной из независимых переменных.
Функционал F) на функциях вида G) превращается в функ-
функционал J [ct,i(xj), a2(X;), .... ат(Х})], зависящей от т функций

14]
МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА
163
aifATj), a,2{Xj), ..., am(Jc,'). Эти функции выбираются так, чтобы
функционал У достигал экстремума, и определяются из необхо-
необходимых условий экстремума функционала 7.
Используя метод Канторовича, получаем приближенное ре-
решение, вообще говоря, более точное, чем в методе Ритца при
тех же координатных функциях {<$ь(хи *2, ..., х„)} и с тем же
числом т членов приближения.
Пример 4. Найти приближенное решение уравнения Пуас-
Пуассона
— а
—&
(8)
при условии z = 0 на контуре.
Решение. Уравнение Дг = —1 является уравнением Эй-
Эйлера — Остроградского для функционала
ЯШ(?)-*Ь* «¦
D
Решение ищем в виде
*,(*, у)-F*-у*) <*(*);
функция Zi(x, у), очевидно, удовлетворяет граничным условиям
(8) на прямых у = ±6.
Подставляя это значение 24 в функционал (9), находим
(Ю)
—a
Уравнение Эйлера для функционала A0)
5 !
Уравнение A1) есть линейное однородное уравнение с постоян-
постоянными коэффициентами и его общее решение:
a(x) = C1ch Л/ -??+C2shT/44- +
2*
Постоянные Cj и С2 находим из граничных условий
a (— a) = a (a) == 0,
что дает С2 = 0, Ci =
• так что
2chl/ti
ch
1 —¦
/J x
V it
ch
21

164 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. III
Таким образом, получаем
*> У) —
Ь'-У2
¦/?
, - , 5 х
СП
Ь
и т / 5 а
сЬУ тт
Для получения более точного приближения можно искать реше-
решение задачи в виде
z2 (*, у) = (б2 ~ У2) «1 « + (б2 - У2J «2 (*)•
222. Найти приближенное решение уравнения Пуас-
Пуассона Аг = —1 в области D, являющейся равносторон-
ним треугольником, ограниченным прямыми у=±.—г>~х
и х = 6, обращающееся в нуль на границе этой обла-
области.
223. Найти приближенное решение уравнения Аг ==
== —1 в области D, являющейся равнобочной трапе-
циеи, ограниченной прямыми у=±-Чт-х и х=\,
х = 3, обращающееся в нуль на границе этой области.
§ 15. Вариационные методы нахождения
собственных значений и собственных функций
Уравнение Штурма — Лиувилля
--^(P(x)y') + q{x)y^ky, ¦ A)
где р(х) > 0 имеет непрерывную производную, q{x) — непре-
непрерывна, при условиях
у(а)=0, у(Ь)=О B)
для любого действительного или комплексного X всегда имеет
нулевое (тривиальное) решение у = 0.
Совокупность уравнения A) и граничных условий B) назы-
называют краевой задачей Штурма — Лиувилля A) — B).
Те значения параметра Я, при которых краевая задача
A) — B) имеет нетривиальные решения у(х) Ф 0, называются
собственными значениями, а сами эти решения — собственными
функциями данной краевой задачи.
Уравнение A) есть уравнение Эйлера, отвечающее следую-
следующей задаче на условный экстремум: найти минимум функцио-
функционала
Ь
py'2 + qy")dx " C)

§151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 165
при условиях B) и условии
ь
\
2/2 (*)<**=!. D)
Если некоторая функция у(х) будет решением этой вариа-
вариационной задачи, то она будет и решением задачи A) — B), от-
отличным от тождественного нуля в силу условия D). Поэтому
собственные значения и собственные функции краевой задачи
Штурма — Лиувилля называют также собственными значениями
и собственными функциями функционала C) при условиях B)
и D).
Собственная функция у(х) называется нормированной, если
ъ
J f (х) dx=\.
Пример 1. Найги собственные значения и собственные
функции функционала
3
[B* + 3)V2-#2]rf* E)
при условиях
у @) =0, 2/C) = 0, F)
з
(*)rf*=l. G)
о
Решение. Уравнение Штурма — Лиувилля имеет вид
-у~-~[Bх + ЗУу'] = Ху
или
B* + ЗJ у" + 4 Bх + 3) у' + (к + 1) у = 0. (8)
Уравнение (8) подстановкой 2х + 3 = е1 сводится к линейному
уравнению ([11], стр. 143) с постоянными коэффициентами
4-^-+4-||- + (Я+1)(/ = 0. (9)
Его характеристическое уравнение
4k2 + 4k + l+l=0 A0)
имеет корни

166 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. III
Рассмотрим три случая.
1) X < 0. Тогда общее решение уравнения (9) будет
у (t) = С,ем + С2еЫ,
где k\ и й2 — действительные числа, а значит, общее решение
уравнения (8):
у (х) = С, B* + З)*1 + С2 B* + 3L
Граничные условия F) дают
С, • 9kl + С29*2 = 0,
откуда d = 0, Со — 0 и j/ (x) = 0.
¦ 2) 1 = 0. Тогда
У @ ¦= (С, + С20 «",
а значит,
у (х) = [С, + С2 In [B.v + 3)] _1
Из граничных условий получаем
Ci + C2 In 3 = 0,
Ci + C2 In 9 = 0,
откуда С]=0, С2 = 0, а значит, i/ (x) s 0.
3) Я > 0. Тогда ^i, 2 = — "о" — * "р— и общее решение урав-
уравнения (9):
у (t) = e 2 (С] cos -Ц;— ^ + С2 sin ¦
Переходя к переменной х, получим
[\/~ % 1 [~l/^?i 1
¦—- In Bа: + 3) + С2 sin М—- In Bа- + 3)
f J L *¦ J
Граничные условия F) дают
Ci cos I —-— In 3 I -f- C2 sin I —-— In 3 I == 0,
/ 1/ЛХ \ / Vx \
Ci cos I-V— In 91 + C2 sin I-br~ ln 9/ = 0>
A2)

S 15] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 167
Система A2) будет иметь нетривиальные решения, когда ее
определитель равен нулю:
COS
cos
In 3) sin
или sin
In 3 —
In 9) sin
In 3
I 2
4 = 0, т. е.
In 91
sin
= 0
2
1пз) = 0,
куда —— In 3 = гея. Собственные значения будут:
, 4га2я2 . . „ ,
X («=1-2,...).
от-
Беря любое уравнение системы A2), например первое, и под-
подставляя в него %п вместо Я, получим
С] cos гея + С2 sin гея = О
или d(—1)" = 0, откуда С,=0. Положив в A1) С, = О н
Ав= . 2. ¦, получим собственные функции данной задачи
. Г nn In Bх + 3) 1
sin гЦ—^—'-\
уп(х)^Сп l _rJlL J- («=1,2,...).
Коэффициенты Сп находим из условия нормировки
з
J у\ (х) dx = 1,
что дает
а значит,
(*) = ±
. Г гея In Bх + 3) 1
sin L iHl J
(ге=1, 2,.,.).
Г1п 3 У2х + 3
В следующих задачах найти собственные значе-
значения и собственные функции:
224. J[y]=j
о

168 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. ПГ
2 2
225. J[y]=j x2t/dx, y(l) = yB) = 0, j y2dx=l.
226. J[y] = J Fy2+x2y'')dx,
2л
)
227. /[//] = / (y2-,/)dx,
я
y(n) = yBn) = 0, J y2dx=\.
я
1
228. J [y]= ПЗу2 — (x + IJy'2\dx,
о
l
y(O) = y(l)=O, j y2dx=l.
о
Собственные значения и собственные функции вариационной
задачи C), B), D) обладают рядом важных свойств.
1) Если кт и кп—два различных собственных значения
функционала C), при условиях B) и D), а ут(х) и уп{<) —
соответствующие им собственные функции, то эти функции ут(х)
и уп (х) ортогональны, т. е.
Ь
Ут(х) уп(х) dx = 0 (тфп).
2) Все собственные значения кп функционала C) веще-
вещественны.
3) Если Хп есть собственное значение функционала C), а
Уп(х)—соответствующая нормированная собственная функция,
то
J [Уп (х)] = Кя.
4) Наименьшее из собственных значений совпадает с мини-
минимумом функционала C) при условиях B) и D),

§15] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 169
Пример 2. Доказать неравенство
я я
J у'2 (х) dx> j у* (к) dx, у@) = у (я) = 0.
о
я
Решение. Найдем min у'2 (х) dx при условиях
о
я
jy*(x)dx*=l, у @) =,= у (я) = 0.
о
Уравнение Эйлера для функционала
я
О
имеет вид
У" + Яг/ = 0; у @) =0, г/ (я) = 0.
Собственные функции последней задачи суть г/„ (х) = sin nx, a
собственные значения Хп = л2.
Наименьшее собственное значение есть Xi = 1. Поэтому,
согласно свойству 4)
я
in J у'2 (х) dx= 1.
mm
о
Следовательно, для любой функции у (х), для которой
т
у2 (х) dx = 1, имеем
0
я п
J у'2 (х) dx> J г/2 (х) Ле.
Это неравенство улучшить нельзя, так как при У\ {х) =
имеем
я я
х= у\ (х) dx = 1.
о
sin

170 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. III
3 ам е ч а ние. Если Г у2 (х) dx — k2 ф 1, то задача сво-
о
дится к предыдущей путем введения функции г (х) =—т—.
Пользуясь экстремальным определением собственных значе-
значений, укажем способы их приближенного вычисления с использо-
использованием метода Ритца. При этом следует иметь в виду, что метод
Ритца дает для собственного значения приближение с избытком.
Пример 3. Найти приближенно первое собственное значе-
значение задачи
у" + к2у = 0,
2/(-1) = </(!)= 0.
J
Решение. Задача о минимуме функционала
1
y'*dx
-i
при условиях
</(-0 = 1/A) = 0 и
-1
является изопериметрической задачей и сводится к задаче о ми-
минимуме функционала
1
= J G/'2 -
-1
для которой уравнение Эйлера совпадает с заданным дифферен-
дифференциальным уравнением у" + №у = 0,* у(—1) =1/A) =0.
Общее решение уравнения есть у (х) = Ci cos Kx -\- Cz sin Xx.
Из граничных условий находим
Cj cos Я — С2 sin X = 0, \
С, cos X + С2 sin Л = 0, J A3)
так что условием существования ненулевого решения системы
A3) является условие sin 2A, = 0 или Х = —^-.
Таким образом, для первого собственного значения имеем
Я1 = (—I и основной тон струны точно дается решением
y=cos-^—, Л = —; первый обертон у = %тпх, Я = я; второй
обертон y==cos -g^-, Я = -5-я и т. д.

§ 151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 171
Будем искать для сравнения приближенно четные решения
'(четные тона струны) в виде многочлена, расположенного по чет-
четным степеням х. Возьмем координатные функции в виде срд (х) =
= хгк~г— хгк (k = 1, 2, ,..) и будем минимизировать функ-
т
ционал / на функциях ут (х) = ^ c^k М- Ограничиваясь
k=l
.. ,ч^ , ? / 8 16 . Л
yi(x) = ci<fi(x), будем иметь ] = с\ — гн" ^ > так чт0 Для
15
определения ci получаем
dl
И так как должно быть ct ф- 0, то к2 — 2,5. Беря в качестве у
у = с1ц>1 (х)
найдем
16 ,Л /8 16 ,2\ . 2 /88 16
и для определения С\ и с2 получаем систему
д! _ /16 32 .Д /16 32 ,2\_п 1
дс\ \ 3 15 / \ 15 105 / ' ¦
dJ _ IJ6_ _ _32__ я2\ /^76_ _ _32_ Л2\ I
Условием существования ненулевых решений с\ и с2 последней
системы является равенство нулю определителя системы, что
дает Я4 — 28Я2 + 63 = 0, откуда Х\ — 2,46744, Я| = 25,53256.
Сравним найденные приближенные значения Х\ и я| с точным.
Точное значение Я] есть f-r-j « 2,46740, точное значение Я^
есть 1-~-1 ^ 22,20661, так что полученное приближение для Х\
весьма точно, в то время как для второго собственного значе-
значения получено грубое приближение.
Пример 4. Найти первое собственное значение задачи
у" + ХA + х2)у = 0, у(-\)=уA)=0.
Решение. Возьмем в качестве координатных функций
функции (fk(х) — 1 — хгк (k — 1, 2, ...), очевидно удовлетво-
удовлетворяющие граничным условиям. Принимая

172 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. ИГ
поставим задачу о минимизации функционала
1
-1
для которого данное уравнение есть уравнение Эйлера. Будем
иметь
. 2/8 128 ,\ . „ /16 64 \ 2/32 5888 Л
1 \3 100 / ^\5 45/ \ 7 3465 /
Для определения С\ и Сг получаем систему
д! „ /8 128
dl „Мб 64 \ /32 58S8
„Мб 64 \ /32 58S8 \
^2ci It— is-А)^+2сг I— - 3465"х) - °-
Условие существования ненулевого решения последней системы
дает
52Я2 — 1068Я + 2079 = 0,
откуда, взяв меньший корень, находим Х\ =2,1775.
Принцип Рэлея. Пусть имеем задачу о собственных зна-
значениях
1 {у) s ~ ж (р {х) ж)+ q {х) у = Хг {х) "• A4)
+ h'/ (*) = 0, 4 + р| > 0,
A5)
где р (jc), р'(•«¦), 9(^). г(д:) непрерывны на [a, ft]; р (л-) > 0 на
[a, ft].
Функцию г/(л:) назовем допустимой (у е D), если она
дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет крае-
краевым условиям A5).
Предположим, чго для каждой допустимой функции у(х) вы-
выполняется условие:
Ь
J yL(y)dx^0.
В этом случае краевая задача A4) — 15) имеет лишь действи-
действительные собственные значения Я.
Задаче о собственных значениях можно поставить в соответ-
соответствие следующую вариационную задачу:

§ 151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 173
среди всех допустимых функций у(х) таких, что
Ъ
J г (х) у2 dx > 0, A6)
а
Ь
L (у) dx
найти такую, для которой -^ = min.
r(x)y2dy
а
Пусть у = г]н (х) есть решение этой задачи.
Если %i есть минимальное значение, т. е. если
j
b
yl (у) dx
min
ysfl
(r(x)y2dx f
то Я1 является наименьшим положительным собственным значе-
значением, a tyi(x)—соответствующей ему собственной функцией.
Если на допустимые функции, кроме условия A6), наложить
еще одно условие
Ъ
n])ij/ dx = 0
а
(условие ортогональности), то задача
Ь
\yL(y)dx
2—ь = min
f ry2 dx
a
снова будет иметь некоторое решение tyi(x).
Если Яг — соответствующее минимальное значение, то Яг бу-
будет следующим по величине (Яг ^ Да) собственным значением,
а ч(J (at) —соответствующей ему собственной функцией, ортого-
ортогональной к i|)i(*). Вообще, если уже известны первые k положи-
положительных собственных значений

174 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
и соответствующая им ортогональная система собственных
функций
то следующее собственное значение равно
ь
~ min
J yL (у) dx
a
ь '
Г ry2 dx
причем теперь рассматриваются те допустимые функции у(х),
для которых, кроме A6), выполнены следующие дополнительные
условия:
ь
| r (x) t|)v (дс) y(x)dx = Q (v = 1, 2 k).
a
Если в уравнении A4) функция г(х) > 0 на [а,Ь], то для
оценки сверху наименьшего положительного собственного значе-
значения %i часто используют следующее неравенство (принщш
Рэлея):
b
J yL (у) dx
±-ь .
J ry' dx
а
Пример 5. С помощью принципа Рэлея оценить %i для
следующей'краевой задачи:
-у" = Ц, у'@) = 0, у A)=0.
Решение. В нашем случае L (у) = — у", т. е. р (х) s
=з 1 > 0, q (х) = 0 и г (*) ss 1 > 0 на [0, 1]. О евидно, а, =0,
р, = 1, а2= 1, Р2=0, так. что а] + $]= 1 > 0, а] + р|=1 > 0.
В качестве допустимой функции возьмем у (х) — 1 — х'2; согласна

§151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И.СОБСТВЕННЫЕ.ФУНКЦИИ 175
принципу Рэлея будем иметь
I 1
jyL(y)dx
оо3
15
jry2dx [{\-x2)dx
о о
Отметим, что точное значение Я, = —т~ *** 2,4674.
В следующих задачах оценить наименьшие собст-
собственные значения:
229. -у" = Х(Ю-х2)у; у(-\) = у (\) = 0.
230. -у" = Ху; у@) = уA}=0.
Метод Канторовича (метод приведения к обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям) также может быть использован в
задаче разыскания собственных значений и функций. Пусть, на-
например, имеем уравнение
Az + Хг = О
в области D и пусть
где Г — граница области D.
Будем искать решение в виде
т
гт = 2 ak W 4>k (*> У) + % (*> У)<
k=i
причем координатные функции ф* (х, у) и неизвестные пока
функции <Xk(x) выберем так, чтобы гт(х,у) обращались в нуль
всюду на Г. Функции ai(jc), аг(*)> ¦••> «т(*) должны удовле-
удовлетворять системе уравнений
J [\zm + кгт] <$к (х, у) dy = 0 D=1,2 т) A7)
и обращаться в нуль при крайних значениях аргумента. Здесь
Dx — сечение области D прямой х = const.
Те значения Dx, при которых система A7) имеет нетри-
нетривиальное решение, дадут приближенную величину собственных
значений, а сами решения дадут приближение к собственным
функциям. ...

176 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
Пример 6. Найти приближенно Первое собственное зна-:
чение и первую собственную функцию задачи
^+12 = 4, г |г = О,
где область D — прямоугольник: — а^х^а, — b ^.y ^b.
Решение. Ищем решение задачи в виде
г, (х, у) = (у2 - б2) а, (д).
Уравнение A7) в этом случае примет вид
ь
J [2а, + (у2 - б2) аГ + Я (у2 - б2) а,] (/ - б'2) <//, = О
—ь
или
i|^;' (§ 54^I=о, (is)
Общее решение A8) есть
а (*) == С, sin у Л - -^ • х + С2 cos |/*А - -^г • *.
Учитывая симметрию задачи и выбирая частное решение, полу»
чаем
рткуда ясно, что нетривиальное решение получится только, если
Cl = 0, C2cosy k-~a = Q,
У *-!F « = B6- DyJ
В частности, для k = 1 находим
я2 , 10
'v~~ BаJ + BйJ
вместо точного значения
Л~ BаJ
Ошибка меньше 1,3%,

§ 15] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 177
Для первой собственной функции получаем приближение
zi (х, у) = (у2 — b2) cos ~,
< В следующих задачах найти приближенно первое
собственное значение;
231. у" + к2у=0, г/(О)==г/A) = О.
232. у" + ЯB + cos х) у = 0, у @) = у (я) = 0.
233. Найти приближенно первое собственное значе-
значение задачи
где область D — круг единичного радиуса с центром в
начале координат.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1. a) fmin = O в точке @,0); б) /тах = 1 в точке @,0);
в) экстремума нет. 2. Экстремума нет. 3. /т;п = — 8 в точках
(]/~2, — ]/") и (— У~2, V~2)', в точке @, 0) экстремума нет.
4. /min = 0 в точке @, 0); в точках окружности х2 + у2 = 1 имеет
место нестрогий максимум. 5. ?тах=]/Г3 в точке A, —1). 6. fm\a = 4
в точке (—, 1, 1J. 7. fmin = —1 в точке A,0). 8. /min =
в точке —, -^- ; /max =—5— в точке —, — .
п2+п+2 ' ¦
~1 'п и = = _ _ 2
11. Нет. 13. Числа afe и Р& должны быть коэффициентами Фурье
функции f (х). 14. fmin = —— в точках \—т=г, j=\ и
1 1 \ , 1 / 1 ' 1 \ / 1
г_ , —— • fmax = — в точках /——. —=г и —,
V2 V2 ) 2 \ ]^2 У2 I \ У 2
1 \ .. . 36 / 18 12 \ ,„ ,
—\. 15. fmln = — в точке —-, — . 16. fmm = 4 в точ-
у 2 J 13 \ 13 13/
ках B, 2, 1), A,2, 2) и B, 1, 2); /тах = 4 -А- в точках (у, ±, j),
7 4 4\ /4 7 4\ ,_ , ¦ Т 1О ', ,
Т' Т' "з") и \Т' з ?j- 17-^x==e • 18-/mm=i
D 3 \ / 4 3 \
•g-5 -g-J; /max =П в точке {—-?, ~"g"j- 19- /mln=-9
в точке (-1,2,-2); fгаах = 9 в точке A,-2,2). 20. /шах = -^
о
(я л л\ „. ,. ,,
"fi~* "fi"' "к")" Указание. Искать минимум функ-
1
ции г = у (У* + уп) при условии ^ + у = S. 22. с4. 23.
19 1^ —
24. j . 25. Квадрат со стороной a — R у 2_. 26. Радиус

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 179
о / <Г" / 2~
основания цилиндра г == — 1/ 2+-—:, высота h=R у 2 =.
2 ' р 5 ' J'5
27. Первый. 28. Близость любого порядка. 29. Близость любого
порядка. 30. р = е~'. 31. р—I. 32. р = е—1. 33. р, == е — 1.
34. р2 = г—• 35. p1Ooi=e- 36 Непрерывен. 37. Непрерывен.
38. Разрывен (рассмотреть последовательность уп (х) = j.
39. а) Разрывен; б) непрерывен. 40. а) Разрывен; б) непрерывен.
1 — в^
41. Непрерывен. 45. Л/ = —,
48.
0 Д/ 6/ 2
1 1,2 1 5
—0,1 —0,098 —0,1 .._
0,01 0,01002 0,01 а-
49. д/=,з(ег-1)_а + 6(э_е)а2 + ^; Ыш.в^ла
a 6/ Д/
1 4,7919 6,6821
0,1 0,4792 0,4963
0,01 0,0479 0,0481
50. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет. 51. б/2 [у] = 2/ [у\ -б/ [у].
53. Д/ = 3k + е_~г k2; б/ = 3k
fc д/ 6/
1 4,582 3
0,1 0,3158 0,3
0,01 0,03016 0,03
к Д/ в/
1 2,810 1,667
0,1 0,181 0,167
0,01 0,0168 0,0167
55. Д/ — -^ k2; б/ ss 0;
ft 6/ ДУ
— 1 0 1,3333
0,3 0 0,1200
0,03 О 0,0012

180 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ь ь
57. 6/ = [by dx. 58. 6/ = 2 Г (у Ьу - у' by') dx.
а а
1
59. б/ = 1у @) ¦ Ьу @) + | (х 6у + 2у' by') dx.
о
л
60. Ы = Г (г/' cos г/ 6# + sin у by') dx.
о
ь
61. б/=
62. б2/ [г/, у] = 2/ [6г/, 6г/].
63. 62eF^^e
ь т
66. б2/ = J J [\F
й Г п и
67-б2/ - J 2 <,«* ^ ^ + S ^
68. Ввести в рассмотрение функционал
J [<р + ariJ = Ф (а)
и воспользоваться вторым определением вариации. Требование
б/ = 0 приводит к интегральному уравнению
ь
J К (s, t) Ф (в) ds + Ф (/) - f (() = 0.
69. Поступая аналогично тому, как сделано в предыдущем
примере, находим, что функциональное уравнение Эйлера, выра-

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 181
жающее обращение в нуль первой вариации, имеет следующий
вид:
(РФ')' - Ф (* + 2) - Ф (* - 2) + Ф (х) + f(x) = 0.
Это — смешанное дифференциально-разностное уравнение.
70. - (рф')' + <7Ф = f (*). 71. у = - х\ 72. у = Sh (s2h~ X) .
73. Две экстремали
I + C ± 2 V~2) Bx - \f
У
74. Две экстремали у = У (х + \J, y = VCx — IJ.
75. у = (С + х) sin *, где С — произвольная постоянная. 76. I/ =
^[в-*+A+е)хе-'-1]. 77. y=ljt-i-jt». 78.y=-jx-
¦—jr Jc3 + 2. 79. г/ = In x. 81. Интеграл не зависит от пути инте-
интегрирования; вариационная задача не имеет смысла. 82. у — 0,
если а = 0; при а ф 0 гладкой экстремали не существует.
83. у = cos х. 84. у = cos jc + С sin л:, где С — произвольная по-
постоянная. 85. # =
1. 86. J/ = -
87. г/ =
88. Нет
экстремалей; уравнение Эйлера не имеет решений. 89. у = Cj +
+ С2л- i-. 90. Нет экстремалей. 93. у=Схех+С2е~х + ^гхех.
S4. у = 2 ch *. 96. г/ = !>iSmx. ш 97. у = 2х. 98. Окружность
Sin X\
— = ^.99. у = A — х) sh*. 100. г/==-^-(л:3+6л:+1). 101. Экстре-
Экстремума нет. 102. Вариационная задача не имеет смысла, так как
под знаком интеграла стоит полный дифференциал. 103. у (x)=sh x.
( y(x) = sin2x,
106.
108.
- 6),
Z (X) = X.
z (x) = 1.

18$. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Ж7
¦ /=i
= /(*! *я).
113. Решение. Задача ставится так. Среди поверхностей
z = f(x,y), расположенных над областью D плоскости хОу и
проходящих через заданную замкнутую пространственную кри-
кривую, имеющую своей проекцией граничную кривую Г области D,
найти такую, площадь которой
f
D
минимальна (задача Плато). Для этой задачи дифференциаль-
дифференциальное уравнение Эйлера есть
д (fx д <fy _n
~^уТЩЩ **Vi+ „>* + „> ~
или в развернутом виде
Vxx О + Ф») - 2ф*уФ*Фу + tyy (l + <tl) = °-
Это и есть искомое дифференциальное уравнение минимальных
поверхностей. Физическое осуществление минимальной поверх-
поверхности дает, например, мыльная пленка, натянутая на проволоч-
проволочную петлю.
114. г(х, у) = у. Задача имеет единственное решение, хотя
граничные условия заданы не на всей границе.
115. г cos ф + С2 = С, In r sin ф + у г2 sin2 <p — С, .
117. я2 cos С2 — у2 cos С2 — 2х'у sin С2 = Ct.
118. Центральное поле. 119. а) Собственное поле; б) цен-
центральное поле; в) поля не образуют. 120. Собственное поле.
121. а) Центральное поле; б) поля не образуют,; в) собственное
поле. 122. а) Центральное поле; б) собственное поле; в) поля
не образуют. 123. Поля не образуют, так как это семейство кри-
кривых покрывает не всю область D. 124. у = d ch x образуют соб-
собственное поле экстремалей; у = Сг sh x образуют центральное
поле экстремалей. 125. у = С cos x образуют собственное поле
экстремалей; у = С sin x образуют центральное поле экстрема-
экстремалей. 126. Экстремаль у¦ = -^- A —х2) включается в центральное
х3
поле экстремалей у — С^х — с центром в точке 0@,0).
127. Экстремаль у = е* можно включить в собственное поле
экстремалей у = ех + С. 128. Если а < л, то экстремаль у = 0
можно включить в центральное поле экстремалей у = C'sin x

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 183
с центром в точке 0@,0). При а>я семейство кривых
у = Csinx поля не образует. 129. Экстремаль у = х ¦+- 1 вклю-
чается в собственное поле у = х + С. 130. у = —.
131.0 I-^—*l = 0.132. у2— 1 =0. 133.О*A,0). 134. Сопряженной
точки нет. 135. Выполняется. 136. Выполняется при любом а.
137. Условие Якоби выполнено. Экстремаль у = 0 можно вклю-
включить и в центральное и в собстаенное поле экстремалей. 138. Усло-
Условие Якоби выполнено. -Экстремаль у — х + 1 можно
включить в центральное поле экстремалей с центром в точке
/1@,1). 139. Условие Якоби ие выполнено. 142. Да. 143. Да.
144. Да. 145. Да, но условие Лежандра выполнено лишь при
— < 1. 146. На функции у = ех достигается сильный минимум.
147. На функции у — 2 In (* + 1) достигается сильный минимум.
148. На функции у = х2 достигается слабый минимум. 149. На
прямой у =— х достигается слабый минимум. 150. На кривой
у = —.—5— достигается сильный минимум. 151. На кривой
in л
у — cos х 4- sin x достигается сильный максимум. 152. Экстремум
на непрерывных кривых не достигается. 153. На прямой у —
= 2х + 1 достигается слабый минимум. Сильного экстремума
нет. 154. На экстремали у = 2х—1 достигается сильный мини-
минимум. 155. На экстремали у = х2 достигается сильный минимум.
156. На экстремали у = х—1 достигается слабый минимум.
157. При | b | < ¦ на экстремали у =—х достигается слабый
у 2 а
минимум, а при| b \ > —т=.— слабый максимум. При | b | = _l-
экстремум не достигается. 158. На экстремали у =
— У Hi'1' — р'12) х + р3/?]2 при р ф q достигается слабый мини-
минимум; при р = q экстремалью является прямая у = р, доставляю-
доставляющая слабый минимум.
, X
Sh—r=r
V ъ
159. а) При е>0 экстремаль у = —— доставляет функ-
sh^L
ционалу сильный минимум, б) При е<0, |е|>—у экстремаль
sin
——— доставляет функционалу сильный максимум.

184 ©ТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
в) При е = 0 решение экстремальной задачи в классе непрерыв-
непрерывных функций не существует.
x-i
Рассмотрим функцию уг(х) — е V ? (е >0), являющуюся
решением уравнения Эйлера гу" — у = 0 для данного функцио-
функционала. Функция уе(х) удовлетворяет граничному условию !/A) = 1
точно, а второму граничному условию у@) = О она не удовле-
удовлетворяет. Однако limye@) —0. При Е->0 получаем из уг(х)
Е»0
«предельное решение»
0, 0<*<1,
1, х= 1.
... „ 2 In A + х)
160. Экстремаль у = ~- 1—^—- дает сильный ми-
минимум. 161. На экстремали у(х) = 1 имеем сильный минимум.
162. На экстремали у (х) = — х при — <^~ Достигается сла-
быи минимум, при —>—^—достигается слабый максимум, при
— = —^— даже слабый экстремум не достигается. 163. На
прямой у = — х при Ь < а достигается слабый минимум; при
Ь >а — слабый_максимум; при Ь^а\^3 —сильный максимум,
а при b<a.V$ нет ни сильного минимума, ни сильного макси-
максимума. 164. На экстремали у = 2х, г = Ах достигается слабый
минимум.
у = х }
165. Экстремалью является парабола 2 >, которая
включается в центральное поле экстремалей
У = ах,
(а, K — параметры), с центром в точке @,0,0). Выполнение уси-
усиленных условий Лежандра очевидно. Покажем, что на отрезке
0 ^ х ^ 1 не содержится точки х*, сопряженной с точкой
х = 0. Для этого достаточно убедиться, что экстремали семей-
семейства (S) не пересекаются с данной экстремалью при дсе.[0, 1].
В самом деле, допустим, что в точке х* е @, 1] пересекаются
какие-нибудь две экстремали семейства (S). Тогда будем иметь
агх* = а2х", ]
Отсюда вытекает, что ai = аг и Pi = fh. Следовательно, ни-
никакие две разные экстремали не могут пересекаться. Таким об-

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ' 185
разом, усиленное условие Якоби выполняется на отрезке [0, 1] и
вообще на любом отрезке конечной длины.
X — f
166. Семейство экстремалей #(x) = Cich—^—~— ^» Про-
извольные постоянные Ct, Сг и параметр к определяются из
условий
-Я, yi = C,ch Xl~°2 -К
J VHhP"d* = С, (sh -*^L _ sh
167. г/(л) = 3х2 + 2л: + 1. 168 г/(х) = ± 2 sin я ях, где ft —
целое число. 169. г/ (х) = -j- Bл — х2). 170. /б". 171. г = Л,
г = С, + С2ф. 172. —4т-. 173. J/O. 174. 2 j/~ —1. 175. i-ii.
178. -^. 179. У\7 + 4УЖ (^-У~б]. 180. 1. 181. Если
cos X\ ф 0, то экстремум может достигаться лишь на прямой
у = О, "I л
. t • Если же cos хх =0, т. е. *, = — + яя, где ft — целое
iZ — U ) ?
число, то у = С4 sin х, z = — С4 sin х, где С4 — произвольная по-
2
стоянная. 182./(/4,5) = 4cth 1.183. / (Л, В) =-^-. 184. г/ = 2л:л.
о
185. Ломаные линии, составленные из отрезков прямых у = х п
у=1 или из отрезков прямых г/ = 0 и у = х—1, дают абсо-
абсолютный минимум. Прямая г/ = —х дает слабый максимум.
А
186. у— — х при O^x^l; у<= х — 2 при 1<х^4иг/ = л: при
0<х<3; г/ = — л; + 6 при 3< х < 4. На той и другой ломаной
функционал достигает абсолютного минимума. 187. Не сущест-
Еуют. 188. у = | ' "^ ' 189. Экстремали — прямые
линии.
Если
< 1, то существуют два разрывных решения —
ломаные линии, параллельные биссектрисам координатных углов.
190. Прямая у = xtgqp, соединяющая заданные точки, дает сла-
слабый максимум, если 0<tg.<p<jt, слабый минимум, eMHn<tgq><
< 2я, и т. д. Ломаная линия, составленная из отрезков прямых,
тангенс углов наклона которых равен -х я (п — целое
число), дает сильный минимум.

186
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
191.
±
±
"*¦
3
Iх-
J/9-
3(x
¦(•»
—
4
: - 5)*,
10)
34
5 <X*
- 16
- 34
192. Экстремали — эллипсы
(x Л- г Л2 и2
/>4 Т />2 '
(I)
с центрами на оси Ок. Граница допустимой области опреде-
определяется уравнениями у = 0 и у2 = ±2 (дс — Сз) (последнее есть
решение уравнения 1 —у2у'2= 0). Параметры Ci и Сг подби-
подбираются так, чтобы эллипс A) проходил через заданные точки А
и В. На дуге эллипса функционал достигает максимума. Если
путь от точки А до точки В выбрать по дугам двух парабол
(и, возможно, по отрезку прямой у = 0), то получим разрывное
решение, на котором функционал достигает минимума (min/=0).
193.
dy x2y3 dp
dx 4n2 ' dx
= j^».. 194. ^L =
195.
196.
dx
dx
Pi
2
u> J.. О
dy p dp
~dx~ 2xy ' dx
d?__ У
dx
dp,
4xy2
fx
y2- p2
p\
dx
dx
dy\
dx
dx
dx
2 ' dx
A.
vr
~2yi'
dy
198. ^1 = _JO.
dx 2
dx
2 '
dy2
dx
dT
dy2 _ ^
dx ~ V P2>
dpi
dx
,2x,
4r~
dx
199. y3 = Cxx3 + C2. 200. y3 = In2 x.
X
dy
Vo4y)-c\
+ C2. 202. На экстремали у ==
201. л; = С,Х
л;2 — х — 1
достигается сильный минимум: min J = —
4'
203. р(х,у)-
_Г
-. Экстремали — полуокружности у = VС\ — {* — С2)г

OtBETbl И УКАЗАНИЯ 187
с центрами на оси Ох; у = у 2С\Х — х2 — экстремали, проходя-
проходящие через начало О @, 0); поле — верхняя полуплоскость.
204. Дуга окружности с центром в точке 0@, 0), проходящая
через точку Mt (х\, у{у дает сильный минимум. 205. xFI—) = С-
206. Эллипсы Зх2 — %ху + 6г/2 = С. 207. х3 + 2г/3—Злу2—2х2у=С.
208. f= Vl + У'2- 209. f = ху У у7. 210. f = xyy'2.
2Н. f = l/(-—+-\-\(хгу'г + У2). 212. Цепная линия.
213. Указание. Интеграл действия /= у —-у + 2/г X
i/ 5 Л2
X V р2 + р'' d<P- 214. Траектории — эллипсы —^- +
С
2г/2
С 2л — С
2cosp sin2p" Oi_ „ sh x
— ¦ хц = ¦ —. 215. Точное решение у = —: х.
VC Bh-C) k sh 1
216. Точные решения, а) у = 0, б) (/ = х. 217. Точное решение
(/==—(х2 —х). 218. Точное решение у = —— х. 219. Ука-
Указание: приближенное решение искать в виде уп (х) =
п
•= A — х2) У] акх2к- Точное решение y — cos—. 220. Ука-
Указание: в качестве координатной функции взять ху; тогда
zx = —2~ xy. 221. Указание: в качестве координатных
функций взять ф0 (х, у) = х2 + у2, ф] (х, у) = ху{\ — х — (/),
ф2(х, у) = х2у A — х — у) <рп (х, у) = хпу A — х — у). Тогда
г3 (х, //) = х2 + у2 + ху(\ — х — у) [3,0401 — 0,0562 (х + х2)].
222. Указание: первое приближение искать в виде z({x, у) ¦=¦
-(•-4)eW- Тогда 21(х>г/) = -|A-|)(,2-4
223. г, (х, «)=*-' ~
224. Л„ = 1 + «2л2, (/„ (дг) = ± У2 sin ялх (я = 1, 2, ...).
5. Л„ = . . 2 Q , Уп V-t) = ± - Г
4 ш ^ У In J/2"
25 + 4я2л2 _^ /Г sin («я In х)
х^——ftW=±2 -р= L
р=(n=l, 2, ...)¦
227. А„ = .1 - ft2, у» (х) = ± у A sin ял; (й = 1, 2, ...).

,88 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
228.
2
, , _, In 2 J
(ft=l, 2,...)
35
229. Берем y=l — х", получим Я; ^-Tqo"' Точное значение
loo
Я, = -j. 230. Берем у — х A — х), получим Я, < 10. Точное зна-
значение Я,=л2. 231. Х]—Ю; точное значение %]=п\ 232. ^=0,493.
233. Я, = 6; z, (ж, у) = а (лг2 + »» - 1).

ЛИТЕРАТУРА
1. Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению.
Гостехиздат, 1955.
2. Бернштейн С. Н., Об уравнениях вариационного исчисле-
исчисления УМН VIII A941).
3. Г е л ь ф а н д И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисле-
исчисление, «Наука», 1969.
4. Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. III, ч. 2,
ОНТИ, 1934.
5. Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений с частными про-
производными первого порядка, ГТТИ, 1934.
6. Гюнтер Н. М., Курс вариационного исчисления, Гостехиз-
Гостехиздат, 1941.
7. Гюнтер Н. М, Кузьмин Р. О., Сборник задач по выс-
высшей математике, т. III, Гостехиздат, 1947.
8. Демидович Б. П., Сборник задач и упражнений по мате-
математическому анализу, «Наука», 1972.
9. Канторович Л. В., Крылов В. И., Смирнов В. И.,
Вариационное исчисление, М., «Кубуч», 1933.
10. Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные ме-
методы высшего анализа, Физматгиз, 1962.
11. Киселев А. И., Краснов "М. Л., Макаренко Г. И.,
Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям, «Высшая школа», 1967.
12. Коллатц Л., Численные методы решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953.
13. КудРявЦев Л. Д., Математический анализ, т. II, «Высшая
школа», 1970.
14. КуРант Р-1 Гильберт Д., Методы математической фи-
физики, т. I, II, Гостехиздат, 1951.
15. Лаврентьев М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариаци-
вариационного исчисления, Гостехиздат, 1950.

190
ЛИТЕРАТУРА
16. М их лин С. Г., Прямые методы в математической физике,
Гостехиздат, 1950.
17. Мышкис А. Д., Лекции по высшей математике, «Наука»,
1969.
18. Рождественский Б. Л., Лекции по математическому
анализу, «Наука», 1972.
19. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. IV, Физмат-
гиз, 1958.
20. Толстов Г. П., Курс математического анализа, т. II, «Нау-
«Наука», 1966.
21. Цлаф Л. Я., Вариационное исчисление и интегральные урав-
уравнения, «Наука», 1970.
22. Шилов Г. Е., Математический анализ (Специальный курс),
«Наука», 1970.
23. Э л ь с г о л ь ц Л. Э., Дифференциальные уравнения и вариа-
вариационное исчисление, «Наука», 1969.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Предварительные замечания 5
Глава I. Экстремум функций многих переменных .... 7
§ 1. Безусловный экстремум 7
§ 2. Условный экстремум 15
Глава II. Экстремум функционалов ......... 22
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства 22
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера 46
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного ис-
исчисления 61
§ 6. Инвариантность уравнения Эйлера 73
§ 7. Поле экстремалей 76
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала . . 88
§ 9. Условный экстремум 103
§ 10. Вариационные задачи с подвижными границами . 119
§ 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации . . .131
§ 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принци-
принципы механики 140
Глава III. Прямые методы вариационного исчисления . .155
§ 13. Конечно-разностный метод Эйлера 155
§ 14. Метод Ритца. Метод Канторовича 157
§ 15. Вариационные методы нахождения собственных зна-
значений и собственных функций 164
Ответы и указания 178
Литература 189