В.Л.Бонч-Бруевич, И.П.Звягин, И.В.Карпенко, А.Г.Миронов
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 144 с.
Приведены задачи по основным вопросам физики полупроводников
(статистика электронов и дырок в полупроводниках, диффузия и дрейф носителей
заряда, фото- и термоэлектрические явления и т. д.). Во втором издании добавлен
ряд новых задач (в частности, относящихся к полупроводникам со сложным
законом дисперсии); введена также новая глава, посвященная оптике
полупроводников. В начале каждой главы дана сводка основных формул, задачи
снабжены подробными решениями A-е изд. в 1968 г.);
Для студентов и аспирантов университетов и других вузов, готовящих
специалистов по физике полупроводников, полупроводниковому
материаловедению и полупроводниковой электронике.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию
Глава 1. Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Глава 2. Рекомбинация носителей заряда в полупроводниках
Глава 3. Диффузия и дрейф носителей заряда
Глава 4. Диффузия и дрейф носителей заряда в магнитном
поло
Глава 5. Поверхностные явления
Глава 6. Термо-э. д. с. в полупроводниках
Глава 1. Фото-э. д. с. в полупроводниках
Глава 8. Оптика полупроводников
Приложения
1. Некоторые свойства интегралов Ферми
2. Некоторые параметры полупроводниковых материалов
3
4
Задачи
5
21
27
34
37
47
51
53
140
141
Решения
57
80
87
100
103
127
134
137

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание «Сборника задач по физике полупро-
полупроводников» вышло в 1968 г. Полученные авторами отзывы
на него, будучи в целом благожелательными, содержали
вместе с тем рекомендации об увеличении числа задач и
о возможном расширении тематики сборника. Представ-
Представления, ставшие классическими уже в 60-е годы, не утра-
утратили своего значения и по сей день, хотя круг основных
понятий и методов, знание которых сейчас обязательно
для всех специалистов по физике полупроводников, рас-
расширился. Это было учтено при подготовке второго изда-
издания «Сборника задач».
В задачник включен новый раздел, посвященный оп-
оптике полупроводников, а также увеличено число задач в
других разделах. Введен ряд новых задач, относящихся
к полупроводникам с непараболическим законом диспер-
дисперсии, задач по статистике заполнения многозарядных
примесных центров и по физике поверхностных явлений.
Численные решения пересмотрены в связи с происшед-
происшедшим за последние годы уточнением значений параметров
полупроводниковых материалов.
Вместе с тем стиль и уровень книги не изменились.
Задачи согласованы с соответствующими разделами кур-
курса физики полупроводников, читаемого на физическом
факультете Московского университета, а также с учеб-
учебным пособием С. Г. Калашникова и одного из нас —
«Физика полупроводников» (М., «Наука», 1977).
Авторы весьма признательны рецензентам: кафедре
полупроводниковой электроники факультета физической
и квантовой электроники МФТИ, академику АН СССР
Ю. В. Гуляеву и профессору П. П. Конорову, сделавшим
ряд полезных замечаний.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
" Предлагаемый сборник содержит задачи, использовав-
использовавшиеся авторами в течение ряда лет на семинарских заня-
занятиях со студентами кафедры физики полупроводников
МГУ и кафедры материаловедения полупроводников
МИСиС. Задачи согласованы с общим курсом физики по-
полупроводников, читаемым на 4-м курсе Московского уни-
университета. При этом мы старались в основном выбирать
задачи, близкие к тем, которые приходится решать экс-
экспериментатору, планируя опыт или обрабатывая его ре-
результаты. Значения различных параметров (эффектив-
(эффективных масс и т. д.), равно как и значения концентраций,
времен жизни, длин диффузии и т. д., как правило, соот-
соответствуют реальным полупроводникам.
Задачник рассчитан на лиц, знакомых с общим кур-
курсом физики полупроводников или изучающих его; крат-
краткие введения, предваряющие каждый раздел, содержат
лишь сводку необходимых формул и ни в коем случае не
могут рассматриваться как попытка связного изложения
соответствующего раздела теории.
Математическая подготовка, необходимая для реше-
решения задач, не выходит за пределы обычного курса интег-
интегрального исчисления и дифференциальных уравнений.
Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой.
Авторы с удовольствием и глубокой признатель-
признательностью отмечают дружеский контакт со своими товари-
товарищами по кафедре полупроводников МГУ. Мы особенно
благодарны С. Г. Калашникову, первоначально читавше-
читавшему курс, к которому «приноровлены» задачи в настоящем
сборнике. Мы весьма признательны также В. С. Вавило-
Вавилову и В. В. Остробородовой за внимание к работе и об-
обсуждение отдельных вопросов.

Глава 1
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ II ДЫРОК
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Концентрация электронов п в зоне проводимости и
концентрация дырок р в валентной зоне равны соответ-
соответственно
2
п =
k; A-16)
к — квазпволновой вектор, интегрирование производится
по зоне Бриллюэна; fn(E) и U{E)—функции распреде-
распределения электронов и дырок по энергиям, равные
fn(E) = [l + e^-»]-\ fp(E)=l-U(E); A.2)
Р = 1/kT, F — уровень Ферми, Еп (к) (Ер (к)) — закон
дисперсии электронов (дырок).
Особый" интерес в связи с формулами A.1а) и A.16)
представляет поведение функций ?"n(k) и Ер(к) вблизи
дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.
Если дну зоны проводимости соответствует одна точ-
точка в зоне Бриллюэна, то это (в кубическом кристалле)
должна быть точка к == 0. Тогда для невырожденной
зоны
Еп (к) = Ес + ПгкУ2тп, A.3а)
где Ес и тп — постоянные, тп > 0.
Если дну зоны проводимости соответствует несколько
точек в зоне Бриллюэна, к* (а = 1, 2,...), то (по-прежне-
(по-прежнему для невырожденной зоны)
?п,а (к) - Я, + ' 2 ?г (** - к*)\ mi > 0. С1-36)
1

Энергия Ес соответствует дну зоны, т„ называется эф-
эффективной массой электрона, в анизотропном случае
A.36) величины rrii представляют собой компоненты тен-
зора эффективных масс тои, т^ =—%¦•—мГяй—» приве-
денного к главным осям. В системе главных осей имеем
т*х = тх, Шуу = пгу, шгг = /га,, тта = тпХ1 = ... = 0.
A.4)
В часто встречающемся случае, когда изоэнергетиче-
ские поверхности представляют собой эллипсоиды враще-
вращения, две из величин ти,- одинаковы. Их принято обозна-
обозначать буквой т± (поперечная эффективная масса),
а третью величину называют продольной эффективной
массой и обозначают через т{1.
Соотношения, аналогичные A.36), имеют место и для
невырожденной валентной зоны:
в изотропном случае
в анизотропном случае
2 zJr
Величина Es = Ee — Ev называется шириной запрещен-
запрещенной зоны.
В случае вырожденных зон равенства A.3а), A.36)
несправедливы, и-зависимость Е(к) дается более слож-
сложными формулами. Например, если у потолка валентной
зоны имеются две вырожденные при к = 0 зоны, то за-
закон дисперсии Еу(к) вблизи края зон имеет вид
Ер (к) = Ev - [%г12т0) \Ак* ±
± [BW + V (klkl + Щк1 + ktkl)]1'2}, A.3д)
причем знак плюс относится к зоне так называемых
«легких» дырок, а знак минус — к зоне «тяжелых» ды-
дырок; та — масса свободного электрона в вакууме, А, В,
С -г- безразмерные параметры.
В ряде полупроводников с узкой запрещенной зоной
даже при небольшом удалении от экстремума существен-
существенно сказывается непараболичность зоны. Если предполо-
предположить, что отклонения от параболичности связаны со
взаимодействием двух зон — валентной зоны и зоны про-
6

водимости, а все остальные зоны расположены достаточ-
достаточно далеко,—¦ то закон дисперсии в рассматриваемых зо-
зонах можно приближенно записать в виде
Е(к) = ?с + Wlbk + Va(± VeJ + 8/3?2к* - Eg).
Здесь т — параметр, имеющий размерность массы и
обычно близкий к массе свободного электрона; знак плюс
относится к зоне проводимости, знак минус — к валент-
валентной зоне; & — параметр, характеризующий «взаимодей-
«взаимодействие» зон. Закон дисперсии A.3е) был предложен Кей-
нол1. Вводя в A.3е) значение эффективной массы вблизи
края зоны, т@) = ШгЕа/ЫРг, при т@)<т получаем
Е (к) = Ее + V2 (±. V Е1 + 2&к*Е81'т @) - Eg). A.3ж)
Закон дисперсии в таком виде выполняется достаточно
хорошо для зон проводимости ряда полупроводников с
узкими запрещенными зонами (например, антимонида
индия).
Более сложная форма закона дисперсии, также пред-
предложенная Кейном, получается при учете вырождения ва-
валентной зоны. Формула A.3е) при этом описывает зону
проводимости, Е = Ес(к), и зону легких дырок, Е —
— EOii(k), а для зоны тяжелых дырок закон дисперсии
имеет вид *)
Е,ш, (к) = Ев - %2к2/2т0. A.3з)'
Для простой параболической зоны A.3а) концентра-
концентрация электронов дается выражением
п = ЛГеФ1/а(т1), i)=(F-Ec)/kT, A.5)
где величина
Nc = 2{mnkT/2nh2)^ ' A.6)
называется эффективным числом состояний в зоне прово-
проводимости, а Ф1/2(л)—интеграл Ферми (см. Приложе-
Приложение 1). В частности, в отсутствие вырождения формула
A.5) принимает вид (см. формулу (П.2))
. A.7)
В случае более сложной зависимости Е(к) концентра-
концентрация может тем не менее даваться выражениями A.5) и
*) Все указанные здесь законы дисперсии выписаны в «элект-
«электронной» нормировке энергии. Желая перейти к спектру дырок,
надо изменить знаки Ev, f и EV: /,.

A.6J с заменой тп на некоторую величину 7fidn, называе-
называемую эффективной массой плотности состояний в зоне
проводимости. Так, в случае A.36)
min = Qv*{mxmvmzy<\ A.8)
где Q — число эквивалентных минимумов в зоне прово-
проводимости (см. задачу 4).
При решении задач удобно пользоваться следующей
формулой для эффективного числа состоянии:
Wc = 2,510 •1019(mdn/m0K/2(r/300KK/2 см~3 A.9)
и аналогично для Nv с заменой mdn на mdp.
В отсутствие фермиевского вырождения представле-
представление об эффективной массе плотности состояний в зоне
проводимости можно ввести и для кейновского закона
дисперсии, равно как и для любого другого. Для этой
цели надо воспользоваться формулой A.1а), произведя
в ней замену переменных
fa, К, кг -*¦ Е, В, ф,
где Е — Еп(к), а 8, ф — полярные углы вектора к (или
другие удобные переменные; их следует выбирать, лишь
задав явный вид закона дисперсии).
Обозначим через Zn(E, 9, ф) якобиан перехода от
старых к новым переменным. Тогда формула A.1а) при-
примет вид
n= \ pn(E)fh(E)dE, A.10a)
где
Я 2Я
pn (?) = -i-j. f sine f Zn (^, 0, Ф) d0 йф. A.11а)
(in) J i'
Bn)d
о о
Функция pn (E) называется плотностью состояний в зоне
проводимости. В частном случае квадратичного и изо-
изотропного закона дисперсии A.3а) она равна
3. A.116)
В отсутствие вырождения, когда /„ « ехр [ (F — Е) /kT],
равенство A.10а) можно цереписать в виде
00
f Pn (E) ехр (- ^Д) dE. A.106)
п =

Введем новую безразмерную переменную интегрирования
х, полагая
Е = ЕС + kTx.
Тогда вместо A.106) получим
A.12)
где
со
iVc = kT j pn {Ее + кТх) е~х dx = 2 (mdnkT/2n%2f2. A.13)
о
Эффективная масса плотности состояний в зоне проводи-
мости, rriin, определяется этим соотношением.
При квадратичном законе дисперсии отсюда получает-
получается уже известное нам соотношение A.6). Видно, что
формулу A.9) можно сохранить при любом законе дис-
дисперсии. При этом, однако, эффективная масса плотности
состояний будет, вообще говоря, зависеть от температуры.
Совершенно таким же путем можно преобразовать и
выражение для концентрации дырок A.16), Мы получаем
р= J pp(E)fp(E)dEt A.14)
— go
где
Я 2Л
РАЕ) =-?т $ sin Q j Z,(E,_ Q, у) dQdy. A.15)
о о
Якобиан перехода от старых переменных {кх, ку, kz) к
новым (Е, 0, ф) теперь надо вычислять с помощью зако-
закона дисперсии для дырок.
Для невырожденного дырочного газа из A.14) полу-
получается
p = Nvexv[(E*-F)/kT], A.16)
где
Nv = kT j pP (Ev - kTx) e~*dx. A.17)
о
Как и Nc, это выражение можно переписать в виде
Nv = 2{mivkT/2n%*)v\ A.18)
где m<jj, есть эффективная масса плотности состояний в
валентной зоне. Вообще говоря, она, как в min, зависит
от температуры,
в

Б случае вырожденных валентных зон, описываемых
формулой A.3д), эффективные массы легких и тяжелых
дырок т± можно ввести, полагая по определению
где 8 и ф — полярные углы вектора к. Направляя поляр-
полярную ось Oz вдоль одной из осей четвертого порядка в ку-
кубическом кристалле, мы получаем
^ФI A.20)
где
Л Г R2 ( \ \Т1/2
/±@i 9) = ?± \%г +sin2e(^sin^sin2e + cos29j| ,
A.21)
Каждая из зон, описываемых формулой A.19), ока-
оказывается еще и двукратно вырожденной. Вычисляя плот-
плотность состояний по формуле A.15) с учетом этого обсто-
обстоятельства, мы нолучаем
р± (Е) = Bmd±y<2 (Е, - Е) ^/2п%\ A.22)
где эффективные массы плотности состояний mi± дают-
даются выражением
[Я/4 Л/2 -1 2/3
i j |8т9/;3/2(93ф)йфй0 . A.23)
op J
Значения интеграла, фигурирующего в формуле A.23).,
надо определять численно, пользуясь экспериментальны-
экспериментальными данными для параметров А, В и С. Результаты расче-
расчета, вместе со значениями указанных параметров, сведены
в таблице 1. Через р0 обозначена плотность состоянии,
получающаяся из A.22) при замене mi± на массу сво-
свободного электрона т0.
Формулы вида A.10), A.11) и A.14), A.15) можно
написать и для еистем, в которых электроны и дырки
могут совершать инфинитное движение не в трех, а толь-
только в двух независимых направлениях, или в одном. Та-
Такие системы называют соответственно двумерными или
одномерными. Квазиимпульс, или квазиволновой вектор,
в двумерной (одномерной) системе им-еет две (одну) не-
независимые компоненты. К числу двумерных систем от-
10

носятся, например, достаточно тонкие, пленки, к числу
одномерных — длинные органические молекулы.
В двумерной системе концентрации электронов и ды-
дырок даются выражениями
A.24а)
BяJ
A.246)
При этом интегралы по к — двойные, а не тройные, а ве-
величины п, р имеют размерность см~2. Пусть в рассмат-
рассматриваемом материале движение происходит в плоскости'
Таблица 1. Эффективные массы плотности состояний легких
и тяжелых т^_ дырок в германии и кремнии
Эле-
Элементы
Ge
Si
А
— 13,3
-4,27
в
—8,57
-0,63
С
12,78
5,03
md+
Л'-о
0,0424
0,154
?+_
Ро
0,00875
0,0607
md_
т„
0,352
0,541
р_
~Ро
0,209
0,398
Значения параметров А, В и С для германия взяты из книги WH-
ley J. D. Semiconductors and Semimetals.—N. Y.: Acad. Press.—1975.—
v. 10.— p. 91; для кремния — из работы Balslev 1., Lawaetz P.— Phys.
Lett,— 1965.—• v. 19.—p. 6.
(x, у). Введем в k-плоскости полярные координаты, по-
полагая кх = к cos ф, ку = к sin ф, и перейдем от перемен-
переменных к, ф к переменным Е, ф, где Е = Еп или Е = Ер.
Тогда интегралы A.24а) и A.246) примут вид A.10а) и
A.14), причем
2Я
= 2 ) Zn(E, ф)с?ф
a
A.25.а)
A.256)
Здесь через Zn(E, ф) и ZP(E, ф) обозначены якобианы
перехода от старых переменных к новым, соответствую-
соответствующие данным законам дисперсии, Еп (к) и Ер (к).
il

Для одномерного полупроводника мы имеем
оо
п = ± J jn{En{k))dk% A.26a)
— оо
со
р = ~ \ fp{Ep(k))dk. A.266)
— оо
Вводя энергии Еп и Ер как независимые переменные, мы
вновь получаем формулы A.10а) и A.14), причем
11 U.?j \ — 1 \ { (XEj \ ~~ -L
71 \ <1к ) Еп=Е' р Я V dk j Ep=E~
A.27)
Основным соотношением, используемым для определе-
определения уровня Фермп, служит условие электрической нейт-
нейтральности:
Р + 2 ZjNj - п = 0. A.28)
i
Здесь Zj — заряд локализованных примесей /-го сорта в
единицах заряда электрона (с учетом знака), N} — кон-
концентрация примеси сорта /.
Степени заполнения уровней следует вычислять с уче-
учетом взаимодействия «между электронами, находящимися
в состояниях, локализованных около одного и того же
примесного центра. Если отталкивание между электро-
электронами столь сильно, что на центре может локализоваться
не более одного электрона, то степени заполнения при-
примесного уровня даются выражениями
Nd F~Ed Л7 1 F~Ea
Здесь Nd[Na) и Nf (Na)— концентрации нейтраль-
нейтральных и заряженных доноров (акцепторов), gd (ga) —
фактор вырождения примесного уровня, a Ed (Ea) —
энергия донорного (акцепторного) примесного уровня.
Входящие сюда параметры Ed, Ea, gd и ga, вообще гово-
говоря, определяются из опыта. В простейшем случае, когда
вырождение примесного уровня связано только со спи-
спином электрона, фактор вырождения равен двум. Для по-
полупроводника со сложной зонной структурой фактор вы-
вырождения зависит и от долинного вырождения (с учетом
расщепления за счет кристаллического поля), и от крат-
кратности вырождения соответствующих зон,
12

При конечной энергии взаимодействия электронов, по-
попадающих на один и тот же локальный центр, могут ока-
оказаться возможными состояния, отвечающие локализации
двух или более электронов на центре. В этом случае при-
приращение энергии центра Es при добавлении к нему /-го
электрона зависит от /. Полное изменение энергии цент-
центра при добавлении к нему / электронов Еи> связано с
энергиями Ej соотношением
Ell)=El + Et + ... + E]. A.30)
При этом справедливы соотношения типа A.29):
A'i?z2fL?zfrt (,.81.)
где Nj — концентрация центров, содержащих / электро-
электронов, gj — кратность вырождения состояния, отвечающего
заполнению центра / электронами (фактор вырождения
состояния), &U} = Ej — Ei — энергия взаимодействия до-
добавляемого /-го электрона с имеющимися / — 1 электро-
электронами центра (энергия корреляции).
В частном случае, когда центр может содержать О, 1
или 2 электрона, имеем
где мы положили U = U2. Заметим, что полная концен-
концентрация центров рассматриваемого типа равна N = N<, +
+ Ni + N2. Соотношения A.31а) справедливы как для
случая положительной энергии корреляции, отвечающего
преобладанию кулоновского отталкивания электронов,
так и для случая, когда энергия корреляции отрицатель-
отрицательна, U = —Uа < 0, т. е. результирующее взаимодействие
электронов на центре носит характер притяжения*).
Пользуясь формулами A.7), A.29) и условиями
Nt + №d = Nd, N7 + №a = Na,
можно получить следующие соотношения:
^ttv M-N'ZTb* (U2)
*) Последнее возможно, например, за счет выигрыша энер-
энергии химической связи или энергии электростатической поляри-
поляризации окружающей среды при локализации на центре более од-
одного электрона.
13

где
A.34)
1. Найти положение уровня Ферми и температурную
зависимость концентрации в собственном полупроводнике
в невырожденном случае. Как изменится концентрация
электронов при изменении температуры от 200 К до
300 К, если ?* = @,785 эВ-?Г)?
2. Концентрация электронов в собственном полупро-
полупроводнике при температуре 400 К оказалась равной 1,38 •
• 1015 см. Найти значение произведения эффективных
масс электрона и дырки, если известно, что ширина за-
запрещенной зоны меняется по закону Eg = @,785 —
-4-Ю-4 Т) эВ*).
3. В исследуемом полупроводнике по данным измере-
измерения эффекта Холла концентрация электронов составляла
1,3 • 1016 см-3 при 400 К и 6,2 • 1015 см-3 при 350 К. Най-
Найти ширину запрещенной зоны материала, считая, что она
меняется с температурой по линейному закону.
4. Найти связь концентрации с уровнем Ферми и оп-
определить эффективную массу плотности состояний элек-
электронов в германии и кремнии; закон дисперсии в зоне
проводимости имеет вид A.36). Известно, что поверхно-
поверхности постоянной энергии в k-пространстве имеют вид эл-
эллипсоидов вращения, в германии число эквивалентных
Минимумов Q =¦ 4, поперечная масса т± = 0,08152 т0,
продольная масса тп = 1,588 т0, в кремнии Q = 6, т± =
= 0,1905 т0, тп = 0,9163 т0.
5. Закон дисперсии дырок в валентной зоне A.3д)
можно представить в виде
где ?'=(?2 + С76I/2, б = C76S'2, а значение выраже-
выражения в круглых скобках не превосходит 1/6. Используя
разложение по б, оценить эффективные массы плотности
*) Здесь и в аналогичных выражениях для температурного из-
изменения ширины запрещенной зоны считается, что температура
выражена в Кельвинах.
14

состояний для зоп «легких» и «тяжелых» дырок в герма-
германии (А = 13,3; 5 = 8,57; С = 12,78), а также эффектив-
эффективную плотность состояний для всей валентной зоны.
6. Используя результат предыдущей задачи, вычис-
вычислить, какую долю всех дырок в германии составляют
«легкие» дырки.
7. Вычислить собственные концентрации электронов в
германии и кремнии при Т = 300 К. Эффективные массы
плотности состояний в валентной зоне mdp принять рав-
равными 0,362 Too для Ge (см. задачу 5) и 0,595 пга — для
Si. Ширина запрещенной зоны при Т =• 300 К составляет
0,66 эВ в Ge и 1,1 эВ в Si.
8. Вычислить удельные сопротивления собственных
германия и кремння при Т = 300 К. Для подвижностей
электронов и дырок (\хп = Ъ\1р) в германии и кремнии
принять следующие значения: Ge: \хп = 3,8 • 103 см2 В~' с,
Ь = 2,1; Si: ц„ = 1,45 • 103 см2 В с, Ъ = 2,9.
9. Найти положение уровня Ферми и концентрацию
электронов в собственном полупроводнике с параболиче-
параболическими зонами при температуре 600 К, если известно, что
ширина запрещенной зоны при таких температурах ме-
меняется по закону ?^ = @,26—2,7 • 10~4 Т) эВ. Оценить
ошибку, которая вносится, если не учитывать вырожде-
вырождение электронного газа в зоне проводимости. Использовать
значения эффективных масс то„ = 0,1 тпр = 0,02 тп0 и
воспользоваться приближенным представлением интегра-
интеграла Ферми (П.4), считая, что вырождение не слишком
сильно.
10. Подвижность электронов в чистом Ge при ком-
комнатной температуре C00 К) равна 3800 см2 В с. Най-
Найти удельное сопротивление этого материала при 30 К,
считая, что подвижность меняется с температурой по за-
закону ц = аТ~зп, где а — постоянная. Эффективную мас-
массу электронов положить равной 0,55 пг0, а эффективную
массу дырок —- 0,36 тпа. При всех рассматриваемых тем-
температурах считать, что ширина запрещенной зоны линей-
линейно меняется с температурой, Eg = @,785—4 • 10~4 Т) эВ,
а отношение подвижностей электронов и дырок Для про-
простоты принять постоянным и равным Ъ = \yj\iv = 2,1.
11. В зоне проводимости арсенида галлия наряду с
основным минимумом (I), лежащим в центре зоны Брил-
люэна, имеются побочные минимумы, расположенные на
Е, выше основного (рис. 1). Исследовать концентрацион-
¦ную зависимость уровня Ферми в таком полупровод-
полупроводнике для невырожденного электронного хаза ив пределе
15

сильного вырождения. Влиянием остальных зон пре-
пренебречь.
12. Рассчитать зависимость населенности верхних ми-
минимумов арсенида галлия (рис. 1) от температуры элект-
электронного газа в отсутствие
вырождения. Чему рав'но
отношение концентрации
электронов верхних мини-
мумов Пи к концентрации
электронов основного ми-
минимума щ при 300 К и
при 1000 К? Эффективную
массу плотности состояний
Рис. 1. Неэквивалентные миниму- для электронов верхнего
мы зоны проводимости. минимума принять равной
тп = 15 ти Еа = 0,35 эВ,
а полную плотность электронов считать не зависящей
от температуры.
13. Исследовать зависимость проводимости арсенида
галлпя от температуры электронного газа. Подвижности
в минимумах I и II и полную концентрацию электронов
считать не зависящими от температуры. Найти измене-
изменение проводимости при изменении температуры электрон-
электронного газа от 300 К до 1000 К, если отношение подвиж-
ностей j_ti/p.ij = 50; нужные значения остальных парамет-
параметров взять из задачи 12.
14. Найти связь концентрации электронов с уровнем
Ферми в полупроводнике, если известно, что при малых
значениях к закон дисперсии имеет вид Еп(к) = Ее +
+ A — акг)%2к2/2тп, где а — постоянная.
15. Вычисдить плотность состояний и эффективную
массу плотности состояний в зоне проводимости при за-
законе дисперсии A.3ж). Рассмотреть случаи невырожден-
невырожденного и полностью вырожденного полупроводника. В пос-
последнем случае найти связь между концентрацией элек-
электронов и уровнем Ферми.
16. Соотношение
можно рассматривать как определение эффективной мас-
массы та и в том случае, когда закон дисперсии отличается
от квадратичного. Найти концентрационную зависимость
md для полупроводника с законом дисперсии A.3ж) в
. пределе сильного вырождения. Сравнить полученное вы-
выражение с аналогичной зависимостью эффективной мае-
16

сы т*, определяемой соотношением т*\ = 1гк, где v —
групповая скорость электронов. Установить связь между
md и т* для рассматриваемого закона дисперсии.
17. Исследовать температурный ход уровня Ферми в
примесной области для невырожденного полупроводника,
содержащего один тип одновалентных доноров с концен-
концентрацией Nd.
18. Найти температуру, при которой уровень Ферми
совпадает с уровнем донорной примеси для германия,
легированного сурьмой с концентрацией 1016 см (уро-
(уровень сурьмы Ей — Ес — 0,01 эВ, gd положить равным 2).
Какова концентрация электронов при этой температуре?
19. Исследовать температурный ход концентрации
электронов в полупроводнике с одним типом одновалент-
одновалентных доноров в примесной области. Какова концентрация
носителей заряда при комнатной температуре в герма-
германии, содержащем 2 • 1015 см, сурьмы?
20. Найти температурный интервал, в котором кон-
концентрация электронов постоянна и равна концентрации
доноров. Оценить границы интервала для германия, со-
содержащего 2 ¦ 1015 см доноров с энергетическим уров-
уровнем Ed — Ес — 0,01 эВ, если ширина запрещенной зоны
изменяется по закону Ее = А — \Т, где А = 0,785 эВ
и | = 4- 10~4 эВ ¦ К, а фактор вырождения равен
Двум.
21. Решить аналогичную предыдущей задачу для ан-
тимонида индия. Принять, что эффективная масса элек-
электрона равна 0,015 т0, А = 0,26 эВ, ? ¦= 2,7 • Ю эВ • К,
Ed = Ec — 0,001 эВ, Nd = 2 • 1015 см, gd = 2. Непарабо-
личностью зоны пренебречь.
22. Исследовать температурный ход уровня Ферми в
примесной области в полупроводнике, содержащем один
тип одновалентных доноров с концентрацией Nd, прини-
принимая во внимание влияние вырождения. Оценить для гер-
германия и антимонида индия минимальную концентрацию
доноров, при которой уровень Ферми попадает в зону
проводимости. Вырождение считать не очень сильным
(г) ^ 1,3) и воспользоваться приближенным представле-
представлением интеграла Ферми (П.4). Числовые значения па-
параметров взять из задач 20 и 21.
23. Вычислить концентрацию дырок и удельное со-
сопротивление кремния, легированного бором (Na =
= 10" см~3), при комнатной температуре, если эффек-
эффективная масса плотности состояний дырок равна 0,59 т0,
подвижность и.? = 100 см2 В с, go = 1, а энергетиче-
2 В. л. Бояч-Бруевич и др. 17

ский уровень бора в кремнии равен Ev + 0,045 эВ. Чему
равна концентрация дырок при 30 К?
24. Определить температурную зависимость концен-
концентрации носителей заряда в частично компенсированном
образце (Nd > Na) в примесной области в отсутствие вы-
вырождения. Какова энергия активации, определяющая на-
наклон низкотемпературной части зависимости In n от 1/Т?
25. Найти температурную зависимость концентрации
носителей заряда в сильно компенсированном полупро-
полупроводнике (Nd » Na).
26. Германий легирован сурьмой и бором. Концентра-
Концентрация бора равна 10'6 см, а степень компенсации NJNd •=
— 0,5. Найти концентрацию электронов при 25 К, если
min = 0,55 т0, ЕЛ = ЕС — 0,01 эВ; фактор вырождения
считать равным двум.
27. Качественно представить на графике температур-
температурный ход концентрации электронов в частично компенсиро-
компенсированном полупроводнике (Nd>Na). Воспользоваться полу-
полулогарифмическим масштабом, отложив по осям 1птг и 1/Т.
28. Определить область температур, в которой кон-
концентрация электронов в частично компенсированном по-
полупроводнике (Nd > Na) постоянна и равна Nd — Na.
Оценить границы этой области для кремния, легирован-
легированного мышьяком (Ed = Ес — 0,05 эВ) с концентрацией
2 ¦ 1015 см~3 и алюминием, концентрация которого состав-
составляет 1,2 • 1015 см~3. Эффективная масса плотности состоя-
состояний для электронов в кремнии равна 1,1 т0, а ширина
запрещенной зоны меняется с температурой по закону
Eg = (l,21—2,8 • 104 Т) эВ. Фактор вырождения доноров
принять равным двум.
29. Вычислить плотность состояний для двумерной
системы с законами дисперсии
Еп(к) = ЕС + Ъ2к1/2тх + %%/2ту.
30. Вычислить эффективное число состояний для дву-
двумерной системы с квадратичным законом дисперсии.
Оценить No при температуре Т = 300 К, полагая тпх и тпу
равными массе свободного электрона.
31. Вычислить-плотность состояний p(Z?) и Na. в од-
одномерном невырожденном электронном газе с законом
дисперсии Е (к) = Ес + %2кг/2пг.
32. Примесь создает два акцепторных уровня в запре-
запрещенной зоне полупроводника. Найти зависимость кон-
18 •

центраций нейтральных, одно- и двукратно заряженных
атомов примеси от положения уровня Ферми и от тем-
температуры. Построить (качественно) вид зависимостей
указанных концентраций от положения уровня Ферми
при низких температурах.
33. Амфотерная примесь создает в запрещенной зоне
полупроводника два уровня: акцепторный Еа и донорный
Ed (Еа > Еа) ¦ Исследовать температурную зависимость
уровня Ферми (тепловым забросом носителей заряда в
зоны и наличием других примесей пренебречь).
34. Полупроводник легирован примесью, создающей
два акцепторных уровня Ег и Е2 в глубине запрещенной
зоны. Найти зависимость уровня Ферми от температуры
и от концентрации вводимых в образец мелких доноров
(наличием свободных носителей заряда в зонах прене-
пренебречь). Представить качественно на графике зависи-
зависимость энергии Ферми F от концентрации доноров при
низких температурах.
35. Полупроводник легирован амфотерной примесью
с концентрацией N, создающей донорный уровень Ed в
нижней половине запрещенной зоны и акцепторный уро-
уровень Еп — в верхней. Найти разность уровней Ферми в
двух образцах, один из которых дополнительно легиро-
легирован мелкими донорами с концентрацией Nd, а другой —
мелкими акцепторами с концентрацией Na (Na, Nd< N).
Определить отношение концентраций основных носите-
носителей заряда в этих образцах (факторы вырождения и тем-
температуру считать известными).
36. Найти концентрацию основных носителей заряда
в германии, легированном медью и компенсированном
Рпс. 2. Схема энергетических —.—- Е-О25эВ(А)
уровней, создаваемых примес- " '
выми центрами меди в герма-_
нии (на схеме приведены так-" ?у+ $52эВ (А)
же уровни мелких доноров Еа
и мелких акцепторов Еп, мас-
масштаб не выдержан). , ,
_.-__-_ Е„+ О^эВ (Д)
У////////////////////////////, ?"
сурьмой, при 300 К. Концентрация меди равна iVCu =
= 2 • 1015 см, сурьмы — iVsb = 6 • 1014 см~3. Медь созда-
создает в запрещенной зоне германия уровни: Ed — Ev +
+ 0,04 эВ (донорный) и Ea = Ev + 0,32 эВ (акцептор-
(акцепторный), (рис. 2); положить ga = g<i= 1.
2* 19

37. В германий введена глубокая акцепторная при-
примесь и мелкая компенсирующая примесь — сурьма, кон-
концентрация которой меньше концентрации глубокой при-
примеси. Найти отношение концентрации нейтральных ато-
атомов сурьмы к концентрации свободных электронов в зоне
проводимости: при 300 К, при 77 К, при 4,2 К. Концен-
Концентрация сурьмы iVsb == 2 • 101в см-3; ?с - ?зь = 0,01 »В.
38. Полупроводник с глубокой примесью, создающей
два акцепторных уровня в верхней половине запрещен-
запрещенной зоны, легируют мелкими донорами. Оказалось, что
при некоторой концентрации доноров проводимость при
комнатной температуре возрастает на 5 порядков, а при
дальнейшем увеличении концентрации доноров изменяет-
изменяется мало. Пренебрегая влиянием легирования на подвиж-
подвижность электронов и считая, что указанное изменение про-
проводимости обусловлено смещением уровня Ферми между
уровнями глубокой примеси, оценить энергию корреляции.
39. Найти концентрацию меди в одно- и двухзаряд-
ном состояниях в германии при 300 К, легированном еще
сурьмой. Акцепторные уровни меди в германии суть
У///////////////////////////, Ер
Ес~0,04эВ(А) Рис. 3. Схема энергетических
?-02эВ(А) уровней, создаваемых примес-
с ' нымп центрами золота в гер-
германии (на схеме приведены
также уровни мелких доноров
Еи + 0,15э8(А) Ed и мелких акцепторов Еа,
?:+ ^04эВ (Д) масштаб не выдержан).
___ __ . __ __ __ . , , .. С
у////////////////////////// 1
E, = EV + 0,32 эВ и Ег = ?„- 0,26 эВ (рис.2)'; положить
g9 = gl = g2=l, JVCu = 3-1016 см, /VSb = l,5 • 1016 см,
Eg C00 K) = 0,66 эВ. Как изменяется концентрация за-
заряженных атомов меди при увеличении концентрации
сурьмы до 5 • 101в см?
40. Исследовать зависимость уровня Ферми от кон-
концентрации мелких доноров и акцепторов в образце герма-
германия, легированного золотом, при низких температурах.
Золото создает в германии один донорный (Ed = Е„ +
+ 0,04 эВ) и три акцепторных уровня: ?, = Ev + 0,15 эВ,
?2 = ?с_0,20 эВ и ?3 = ?с —0,04 эВ (рис. 3). Резуль-
Результат представить на графике (схематически).
41. Оценить равновесную концентрацию электронов в
германии, легированном золотом и компенсированном
сурьмой, при 300 К.
20

¦NAn = 5 ¦ 10" см-3, Nsb = 1,2 ¦ 101в см.
42. Вычислить равновесную концентрацию электронов
в германии, легированном золотом и компенсированном
сурьмой, при 300 К.
Nxa = 5 ¦ 10" см-3, Nsb = 7,2 • 10" см-3.
43. В материале, описанном в предыдущей задаче,
оценить равновесную концентрацию свободных электро-
электронов при 4,2 К.
44. Полупроводник содержит дефекты с отрицатель-
отрицательной энергией корреляции с концентрацией N. Исследо-
Исследовать зависимость уровня Ферми от температуры и кон-
концентрации мелких примесей. Считать, что абсолютная ве-
величина энергии корреляции Uo > kT.
45. Положение уровня Ферми в некотором полупро-
полупроводнике определяется дефектами с отрицательной энерги-
энергией корреляции, причем Uo > kT. Как сместится уровень
Ферми при добавлении акцепторов в концентрации,втрое
меньшей концентрации дефектов при 300 К? Насколько
отличается при 300 К положение уровня Ферми в мате-
материале, содержащем вместо доноров акцепторы в той же
концентрации? Насколько сместится уровень Ферми в
описанном полупроводнике с донорами при изменении
температуры от 100 К до 300 К?
Глава 2
РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
При отклонении концентраций носителей заряда от
равновесных значений п0 и р0 нарушается баланс между
процессами тепловой генерации, с одной стороны, и за-
захватом носителей на локальные центры пли убылью но-
носителей за счет межзонных переходов, с другой. Стано-
Становятся отличными от нуля абсолютные темпы рекомбина-
рекомбинации электронов Rn и дырок RP, равные результирую-
результирующим числам захватов носителей в 1 см3 за 1 с. Ра-
Равенствами
(д Ап\ „ Arc (дАр \ д Др /о л\
\ al /рек тп \ Ol /рек тр
определяются времена жизни электронов и дырок т„ и
Tj, (в нестационарных условиях имеет смысл говорить
только об их мгновенных значениях). Величины тп и тр
зависят в общем случае от An и Ар. Так, если преобла-
21

дают процессы прямой межзонной рекомбинации, то
Rn = Rp = a (np — щр0), B.2)
где а — постоянная.
Во многих случаях рекомбинация осуществляется пу-
путем захвата свободных носителей заряда дефектами ре-
решетки (называемыми еще центрами захвата, или ловуш-
ловушками), дающими локальные энергетические уровни в за-
запрещенной зоне. Для описания этого процесса удобно
ввести темпы захвата электрона и дырки на данный
уровень, гп и гР, а также темпы обратного выброса элек-
электронов и дырок с данного уровня соответственно в зону
проводимости и валентную зону, gn и gp. Обозначим эф-
эффективные сечения захвата электрона и дырки соответ-
соответственно через Sn n Sp и введем коэффициенты захвата
электрона и дырки, а„ и ар, полагая по определению
an = vrSn, aP*=vrSp, где vT = CkT/mo)iJ2 — «тепловая»
скорость свободного электрона. Тогда
г„ = annNt A - /), rp = appNtf, B.3)
где / — доля ловушек, заполненных электронами. Поль-
Пользуясь принципом детального равновесия и считая газы
свободных электронов и дырок невырожденными, можно
записать темпы обратного теплового выброса электронов
и дырок, gn и gP, в следующем виде:
gn^Ntanfnu gp = NtaP(l-f)pl, B.4)
где величины tii и pt даются формулами типа A.34).
Результирующие темпы захвата электронов и дырок
на данный уровень, Rn и RP, представляют собой разно-
разности величин B.3) и B.4):
Rn = rn — gn, Rp = rp — gp. B.5)
В стационарных условиях Rn = RP(^R). Это равенство
определяет величину /, после чего легко получается вы-
выражение
При наличии подсветки помимо тепловой генерации
носителей заряда имеет место еще и генерация их за
22

счет энергии неравновесного излучения. Ее называют
оптической *).
Обозначим через / поток фотонов должной частоты,
а через Sn и S^h — эффективные сечения захвата
фотона с выбросом электрона в зону проводимости и
дырки в валентную зону соответственно. Тогда темпы
оптической генерации запишутся в виде
B.7)
Пусть концентрация Nt мала, так что можно прене-
пренебречь неравновесным изменением концентрации электро-
электронов на ловушках, т. е. отношение
Д^_= Ь-Pt = Nt annL - арПо
Ар = Ар п +п Г Л'(п
B.8)
мало. Это — случай, когда отсутствует прилипание носи-
носителей. При этом
т = тпо К + Pi + Ал) + тро ("о + ni + А") B д)
где величины
т»,«=(ЛГ,а„)-\ Тро-^ар)-1 B.10)
суть времена жизни пар носителей при слабом возбужде-
возбуждении в униполярных материалах р- и n-типа соответст-
соответственно.
Если центр захвата- создает в запрещенной зоне два
локальных уровня Ei и Ег, то при небольшом отклоне-
отклонении от равновесия и в отсутствие заметного прилипания
1 1 + УЛ>
т 1 + рх/р0 + p^JpI
x[./.,.+vw, + ^.+vv,]- <2-">
где вторые индексы у коэффициентов захвата указывают,
на какой уровень захватывается носитель, а величины
*) Подчеркнем, что генерация за счет равновесного теплового
излучения, всегда имеющегося в полупроводнике, этим понятием
не охватывается. Она учитывается коэффициентами а„ и аР.
23

п„ пг, pi, Vz определены аналогично A.34) с заменой
Ei на Е{ илп Ег-
Пусть в полупроводнике помимо центров, через кото-
которые идет рекомбинация и которые сами но себе не вы-
вызывают заметного прилипания, имеются еще ловушки,
способные захватывать только, например, электроны из
зоны проводимости и отдавать их обратно. Тогда в об-
образце «-типа прп малом отклонении от равновесия спра-
справедливы выражения
д An г> Дя_ . An An д Ар ? An
dt ~ л" -" ~т + ^7 ~ "v ~ it ~ п*= v
Ащ = Ар — Ап, B.12)
где т, — рекомбинационное время жизни, Xi — среднее
время захвата электрона на уровень прилипания, х2 —
среднее время обратного выброса.
46. В момент времени tx = 10~4 с после выключения
равномерной по объему генерации электронно-дырочных
пар неравновесная концентрация носителей оказалась в
10 раз больше, чем в момент U — 10~3 с. Определить вре-
время жизни т, если уровень возбуждения невелик и реком-
рекомбинация идет через простые дефекты.
47. Вычислить относительное изменение проводимо-
проводимости Ао/Оо при стационарном освещении с интенсив-
интенсивностью J = 5 • 1015 квантов на 1 см2 за 1 с. Коэффициент
поглощения 1 = 100 см; толщина образца мала по срав-
сравнению q Y-1> рекомбинация происходит на простых де-
дефектах; «о = Ю15 см, т = 2 • Ю-4 с.
48. Определить закон изменения со временем концен-
концентрации носителей в материале и-тнпа, если после выклю-
выключения источника генерации в момент t — 0 темп реком-
рекомбинации R = а(пр — п\), где а = const.
49. В n-Ge имеются центры рекомбинации с Л^ =
= 5 • 1012 см-3 и Е,=(Ее + Е,)/2. При 300 К сечения за-
захвата электронов и дырок одинаковы, при малых откло-
отклонениях от равновесия х = 10~4 с, р = 5 Ом • см. Найти
сечение захвата S.
50. В образце n-Ge с п0 = 1014 см~3 рекомбинация
происходит на простых центрах, их энергетический уро-
уровень Et расположен в верхней половине запрещенной
зоны^и iV, = 2-Ю12 см. При Т = 300 К время жизни
х = 17 мкс, при Т = 200 К время жизни х = 2 мкс. При
более низких температурах т ~ T~in, Считая постоянны-
24

ми п0 и сечение захвата дырок Sr, определить Е,
и 5Р.
51. В образцах Ge с различными п0 и р0 имеются
простые рекомбинационные центры с Nt = 2 • 1013 см-
При 300 К в монополярном n-Ge время жизни т = rt =
= 8 мкс, при р0 = р„2 = 10" см время жизни т = та =
= 26 мкс, а максимальное т было т = тма„с = 91 мкс. Оп-
Определить коэффициенты п сечения захвата носителей и
уровень центра Et, считая его находящимся в нижней
половине запрещенной зоны.
52. В германии n-типа (с п0 — 1015 см) стационар-
стационарным освещением равномерно по объему генерируются
пары носителей. При слабом освещении т0 = 2 мкс, а при
Аге/ге0 = 0,1 рекомбинация идет с т = 4,7 мкс. Считая,
что рекомбинация происходит на простых центрах, с Et =
= Ес — 0,20 эВ, определить отношение сечений захвата
дырок и электронов при 300 К.
53. Для образца n-Ge с р0 = 1,65 Ом • см при 300 К
и слабом освещении значение времени жизни т = т0 =
= 2,0 мкс. При более интенсивном возбуждении pt =
= 1,275 Ом -см и т = Ti = 3,3 мкс. Считая, что рекомби-
рекомбинация идет через простые центры с уровнем Et = Ev +
+ 0,32 эВ, найти времена жизни для монополярных р- и
n-Ge с тем же механизмом рекомбинации.
54. В полупроводник введены акцепторы с концен-
концентрацией Na = 1016 см~3. Их уровень расположен вблизи
середины запрещенной зоны. Отношение сечений захвата
SP/Sn = 100. Кроме того, в полупроводник введены еще
мелкие доноры с Nd = 1015 см~3. При низкой температуре
образец освещается светом, генерирующим g =
= 1019 см с~' пар носителей равномерно по объему.
Время жизни электронов т„ равно 10 мкс. Определить тр
и неравновесные концентрации Are и Ар, а также коэф-
коэффициенты захвата ап и аР.
55*. При измерении времени жизни неравновесных
носителей в p-Ge оказалось, что в интервале от комнат-
комнатной температуры до Т = 120 К зависимость времени жиз-
жизни от температуры имеет следующий вид:
т = [8,1 + 6,2 thD,41 - 955/7*)] Ю с.
Известно, что рекомбинация идет с участием центров,
создающих два уровня: Ег — в нижней половине запрещен-
запрещенной зоны и Е2 — в верхней. Считая, что в рассматривае-
рассматриваемом интервале температур коэффициенты захвата элек-
электронов а„1 и а„г, а также ра остаются постоянными, оп*
23

ределить эти величины и Е,. Считать Nt — 2 • 10" см и
Nv = 10" см~3 (пренебречь температурной зависимостью
Nv). Определить сечения захвата электронов при 200 К.
56. Определить, как зависят от времени концентра-
концентрации избыточных носителей в полупроводнике n-типа пос-
после прекращения стационарной генерации, создававшей
слабое отклонение от равновесия. Считать известными
рекомбинационное время тг, время захвата на уровни
прилипания Ti и время обратного выброса т2.
57. В условиях, описанных в предыдущей задаче,
определить относительное изменение проводимости в
n-Ge с По = 5 • 1015 см при стационарной генерации
g — 10'9 см~3 с и исследовать количественно характер
ее релаксации, если тг = 2 мкс, xt = 5 мкс и т2 = 50 мкс.
58. В образце гермапия га-типа, содержащего Ntl =
= 10" см~3 центров рекомбинации с энергией уровня
Et — Er, + 0,16 эВ, характеризуемых коэффициентом за-
захвата дырок ар = 10~8 см3 с, концентрация свободных
электронов при 150 К равна л0 = 4 • 10" см~3. Отношение
Apt/Ар, определенное по фотопроводидюсти и фотоэлект-
фотоэлектромагнитному эффекту при слабом возбуждении, оказа-
оказалось равным 24. Определить времена жизни электронов
и дырок при той же температуре и при слабом возбуж-
возбуждении в образце, содержащем Nn — Ю12 см центров тон
же природы.
59*. Вычислить стационарную концентрацию электро-
электронов в образце и-Ge с золотом в условиях заметной при-
примесной подсветки. Концентрацию дырок считать прене-
пренебрежимо малой. Температура образца Т = 20 К, концен-
концентрации мелких доноров Nd и атомов золота iVAu удовлет-
удовлетворяют неравенствам
27VAU <Nt< ЗУУАи.
Принять во внимание, что в указанных выше условиях
золото в германии играет роль акцептора, способного за-
захватывать два или три электрона. Соответствующая схе-
схема уровней представлена на рис. 3 (см. стр. 20). Коэф-
Коэффициент захвата.электронов на дважды отрицательно за-
заряженные ионы золота а„ и сечение захвата фотона
трижды отрицательно заряженными ионами золота Snb
принять соответственно равными 10~12 см3 с и 10~1в см2.
Поток фотонов составляет 1015 см~2 с~'; концентрации
доноров и золота соответственно равны
Nt = 2,5 • 10M см-3 и NAU = 1015 см-3.

Глава 3
ДИФФУЗИЯ II ДРЕЙФ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
При неоднородном распределении носителей заряда в
образце возникают диффузионные токи. Плотности диф-
диффузионных электронного и дырочного токов определяют-
определяются выражениями:
jn дИфф = eDn grad n, jp лвфф = — eDp grad/>, C.1)
где е — абсолютная величина заряда электрона, Dn и
Dp — коэффициенты диффузии электронов и дырок, п и
р — пх концентрации. Полные плотности электронного и
дырочного токов в рассматриваемых условиях складыва-
складываются из диффузионной и дрейфовой составляющих:
jn = eDn grad n + en\an%, \р = — eDpgradp + epjXpS . C.2)
Здесь цп и |яр — подвижности электронов и дырок.
В состоянии равновесия ток в монополярном — напри-
например, электронном — полупроводнике отсутствует:
jn == jn дифф + jn др = 0. C.3)
Вычислив концентрацию электронов по формуле A.5)
с учетом сдвига дна зоны проводимости на величину
—еф(г), где ф — электростатический потенциал, найдем
по формуле C.1)
jn дифф = -jf1 jj| grad <p, C.4)
где r\=(F — Ec)/kT.
Отсюда на основании уравнений C.2) и C.3) полу-
получаем
J^d^ C.5)
Аналогичное соотношение получается и для дырок:
C.6)
В случае невырожденных полупроводников, когда спра-
справедлива формула A.7), равенства C.5)^, C.6) переходят
в соотношения Эйнштейна:
Dn = \inhT/e, DP = \iPkT/e. C.7J
Кинетика электронов и дырок описывается уравнениями
27

непрерывности:
дп An , 1 ,. dp Ар 1 ... /о о\
Здесь An и Др — разности между концентрациями элек-
электронов и дырок п и /? и их равновесными значениями /г0
и Ро! g — число электронно-дырочных пар, генерируемых
в единицу времени в единице объема образца.
В случае оптической генерации
ух), C.9)
где г) — квантовый выход, Y — коэффициент поглощения
света, Уехр( — у.г)—плотность потока квантов. Далее, т„
и тр — времена жизни электронов и дырок (вычисляе-
(вычисляемые по формулам B.1) и B.6)). При рассмотрении про-
процессов диффузии обычно вводят характерные величины
размерности длины
Ьп = ГД,т„ и Lp = У Dpi» C.10)
называемые диффузионными длинами электронов и ды-
дырок соответственно.
К уравнениям C.8) и C.2) следует в случае нару-
нарушения электрической нейтральности добавить еще урав-
уравнение Пуассона
divS = 4np/e, C.11)
где р — плотность электрического заряда, а г — диэлек-
диэлектрическая проницаемость полупроводника.
Заметим, однако, что довольно часто можно считать
выполненным условие локальной электронейтральности
полупроводника. В отсутствии прилипания, т. е. при
тл = Тр = т, это означает, что
Ага = Др, р = 0, div(jB + jP)=O. C.12)
При этом диффузия и дрейф электронов и дырок взаимо-
взаимосвязаны: возникает добавочное электрическое поле, тор-
тормозящее более быстро диффундирующие носители и под-
подтягивающее более медленные. Распространение единого
нейтрального фронта избыточных носителей описывается,
согласно C.8) и C.12), уравнением
g - ^ + div (D grad Ар) - ц.6 grad Ар, C.13)
где D — коэффициент биполярной диффузии, и — бипо-
28

лярная дрейфовая подвижпость:
Л М-Р ,, я — Р
D== v-
Характерной длиной этого процесса является длина би-
биполярной диффузии L
L = УЖ. C.15)
Уравнение биполярпои диффузии значительно упро-
упрощается в тех случаях, когда D — константа. Это, напри-
например, имеет место, если доминируют носители одного ти-
типа; при этом D есть коэффициент диффузии неосновных
носителей. В условиях собственной проводимости имеем
2D D
п = Р, В= " р , И = 0. C.16)
п > р
Наконец, необходимо сформулировать граничные ус-
условия к уравнению C.13). У поверхности полупроводни-
полупроводника происходит рекомбинация избыточных носителей за-
заряда. Обозначим через Rs число пар, рекомбинирующих
за 1_ с на 1 см2 поверхности, и определим также ско-
скорость поверхностной рекомбинации s (с наименованием
см • с~'), связанную с Rs соотношением
s = RJ&n = RJbp, C.17);
где Are = Ар — концентрация избыточных носителей у
поверхности. Электроны и дырки, рекомбинирующие на
поверхпостп, поставляются туда поверхностной гене-
генерацией и потоками избыточных носителей, направленны-
направленными к поверхности. Поэтому граничное условие на по-
поверхности полупроводника р-типа имеет вид
где v — единичный вектор внешней нормали к поверх-
поверхности.
Далее, граничное условие для плотностей тока носи-
носителей на контакте полупроводника будем формулировать,
задавая значение коэффициента инжекции |, определяе-
определяемого как отношение плотности тока неосновных носите-
носителей к полной плотности тока.
60. Вычислить коэффициенты диффузии электронов и
дырок в невырожденных германии и кремнии при темпе-
температуре 300 К, если подвижности электронов и дырок при
этой температуре равны: в германии jxn = 3800 см2 В с,
29

Up = 1800 см2 В с, в кремнии ц„ = 1450 см2 В с,
цР = 500 см2 В с-
61. Вычислить диффузионную длину электронов в не-
невырожденном германии при температуре 3.00 К, если вре-
время жизни электронов составляет: 1) т„ = 10~4 с, 2) т„ =
= 10~в с; подвижность электронов ц„ = 3800 см2 В с.
62. Найти связь между коэффициентом диффузии
электронов и их концентрацией в случае полного вырож-
вырождения, если закон дисперсии имеет вид A.3а).
63. Вычислить коэффициент диффузии электронов в
условиях сильного вырождения, если закон дисперсии
электронов имеет вид A,3а); ц„ = 300 см2 В"' е~\ п =
= 1018 см-3, тп = 0,2 т0.
64. Получить выражение для коэффициента диффу-
диффузии вырожденного электронного газа в полупроводнике,
если зависимость энергии
от квазиволнового вектора
имеет внд A.36).
65. Вычислить коэффи-
коэффициент биполярной диффу-
диффузии для собственного гер-
германия при комнатной тем-
температуре; b = 2,1, |х„ =
= 3800 см2 В-1 с.
66. Вычислить коэффи-
коэффициент биполярной диффу-
Рис. 4. Полубесконечный обра-
образец полупроводника (стрелка-
Ми указано направление свето-
светового потока).
зни в арсениде галлия с
собственной проводимо-
проводимостью при температуре
300 К; цп = 8800 см2 В-1 с,
Ир = 400 см2 В-1 с-1.
67. В однородный полубесконечный электронный по-
полупроводник (х > 0) в плоскости х = 0 непрерывно ин-
инжектируются дырки, так что Л/>@)=10и см. Найти
неравновесную концентрацию дырок на расстоянии х =
= 4 мм от поверхности, если тР = 10~3 с, Dp = 40 см2 с.
68. В некоторой точке однородного электронного по-
полупроводника световым зондом генерируются пары носи-
носителей. Считая задачу одномерной, определить диффузи-
диффузионную длину дырок, если концентрация неравновесных
носителей на расстоянии Xi = 2 мм от зонда равна Apt
10'
см
-\ а при х2 = 4,3 мм она равна Д/?2 = Ю13 см.
69. Найти концентрацию неравновесных носителей за-
заряда на поверхности толстого образца n-Ge (рис. 4), ес-
если оптическая генерация пар- равномерна по объему;
30

go = 2,5 • 10" см~' с, время жизни дырок тР = 4 • 10"' с,
скорость поверхностной рекомбинации s = 500 см/с,
DP = 49 см2 с.
70. Найти диффузионную длину дырок, если концен-
концентрация неравновесных носителей заряда на поверхности
толстого образца германия /г-типа (рис. 4) при равно-
равномерной по объему генерации пар равна Apt = 1013 см
при скорости поверхностной рекомбинации я( =»
= 8-10- см • с, а при скорости поверхностной рекомби-
рекомбинации s2 = 3 • 102 см ¦ с она равна Д/>2 = 2 • 10" см;
т„ = Ю-3 с.
71. Найти концентрацию неравновесных дырок на ос-
освещенной поверхности толстого образца n-Ge, если
s = 5 • 102 см • с1, плотность потока квантов / =
¦= 6 • 1016 см с, квантовый выход ц — 1, коэффициент
поглощения света у ¦= 103 см, тР = 10 с, Dp =¦
= 49 см2 с-1.
72. В толстом образце германия n-типа (рис. 4) рав-
равномерно по объему генерируются электронно-дырочные
пары. Найти скорость поверхностной рекомбинации, если
концентрация неравновесных дырок на поверхности об-
образца в 4 раза меньше, чем в объеме; Lp = 0,2 см, хР —
= Ю-3 с.
73. Найти концентрацию неравновесных дырок на ос-
освещенной поверхности толстого образца n-Ge при силь-
сильном поглощении света ("fLp>l), если плотность потока
квантов J = 6 • 1018 см~2 с, квантовый выход г\ = 1, ско-
скорость поверхностной рекомбинации s — 500 см ¦ с, хр =
= Ю-4 с, DP = 49 см2 с.
74. Найти распределение неравновесных дырок и вы-
вычислить их концентрацию на освещаемой поверхности
полубесконечного образца n-Ge, если поверхность образ-
образца освещается светом с коэффициентом поглощения у =¦
«= 14 см, плотность потока квантов / = 6 • 101в см с,
квантовый* выход rj == 1, скорость поверхностной реком-
рекомбинации s = 500 см • с, тр = 10"' с, Dp = 49 см2 с.
Провести анализ полученного результата, рассмотрев в
общем виде предельные случаи больших и малых коэф-
коэффициентов поглощения.
7б*. Получить выражение для напряженности элект-
электрического поля эффекта Дембера, возникающего в на-
направлении, нормальном к поверхности полупроводника
(см. рис. 4). Поверхность освещается таким образом, что
генерация электронно-дырочных пар имеет место в тон-
тонком приповерхностном слое. Проанализировать получен-
и

ное выражение для германия n-типа при Т — 300 К, если
L = 0,3 мм, По = 5 • 10й см~3, е = 16. Отклонение от рав-
равновесия считать мальш: До7о\> < 1. Считать также
\Ап — Ар\ < Ар.
76. Рассчитать напряженность электрического поля
эффекта Дембера на освещенной поверхности толстого
образца германия n-типа (рис. 4), если генерация элек-
электронно-дырочных пар происходит в тонком приповерх-
приповерхностном слое с интенсивностью gs = Ю15 см~2 с, время
жизни неравновесных носителей в объеме т = 10~4 с,
скорость поверхностной рекомбинации s = 100 см • с"',
Dp = 49 см2 с, Ъ = 2,1, п0 = 5 • 10" см.
77*. Найти разность потенциалов, возникающую при
эффекте Дембера между освещенной и темной поверхно-
поверхностями толстого образца германия п-тяпа. Интенсивность
поверхностной генерации пар gs = 1015 см~2 с, время
жизни неравновесных носи-
носителей в объеме т = 10~4 с,
А, = 98 см2 с-1, Ь = 2,1, по-
=5 • 1014 см~3; положить s=0.
78. Как изменится ре-
результат предыдущей задачи,
| t t f f t.f если на освещенной поверх-
Сбегп ., ности образца рекомбинация
Рис. 5. Геометрия опыта по избыточных носителей заря-
объеиной генерации носителей да будет происходить СО СКО-
(стрелкамн указано паправле- nnPTKm » — ^00 см ¦ г?
шю светового потока). Р°С^оЮ {Г~
79*. Найти концентрацию
неравновесных носителей
заряда на верхней и нижней гранях тонкой пластины по-
полупроводника га-типа (рпс. 5) в условиях равномерной
по объему генерации светом с плотностью потока кван-
квантов 7 = 5- 1016 см~2 с и коэффициентом поглощения
Y = 5 СхМ. Квантовый выход ц = 1, толщина пластины
d = 0,7-MM, скорость поверхностной рекомбинации s =
= 500 см ¦ с-1, тР = Ю-4 с, Dp = 49 см2 • с.
80. Найти скорость поверхностной рекомбинации s0 иа
нижней грани плоскопараллельной пластины полупровод-
полупроводника /г-типа толщиной d = 7 мм (рис. 5) в условиях рав-
равномерной по объему генерации светом, если скорость по-
поверхностной рекомбинации на верхней грани sd=
= 100 см • с, концентрации неравновесных носителей
заряда на верхней и нижней гранях равны соответствен-
соответственно Ap(d)=7 ¦ 1012 см-3, А/?@) = 5 • 1012 см~3; тР = 10~4 с,
Dp = 49 см2 с'2.
32

81. Найти распределение неравновесных дырок в
длинном нитевидном образце ra-Ge при стационарной
инжекции дырок в точке и при наличии электрического
поля & = 5 В • см вдоль образца. Температура комнат-
комнатная, полупроводник невырожден, Lp — 0,09 см.
82. Вычислить дрейфовую длину неравновесных ды-
дырок в германии n-типа при комнатной температуре в
электрическом поле |" = 5 В' см, если диффузионная
длина дырок Lp = 7 • 10~2 см.
83. В однородный полубесконечный электронный полу-
полупроводник (х Э5 0) на поверхности х = 0 стационарно ин-
инжектируются дырки. Вдоль образца в направлении х > О
приложено электрическое поле <§ = 10 В/см. Определить,
па каком расстоянии от поверхности образца концентра-
концентрация неравновесных дырок уменьшится в полтора раза;
Lp — 0,1 см.
84. Решить предыдущую задачу при условии, что
электрическое поле имеет противоположное направление.
85. В однородный полубесконечный полупроводник
(х > 0) при х = 0 стационарно инжектируются дырки.
Определить концентрацию введенных дырок при х = 0,
если коэффициент инжекции | = 0,5, полная плотность
тока / = 1,6 мА ¦ см, ?р = 0,1 см, Dp = 50 см2 с",
Дрейфом дырок пренебречь.
86. В условиях, аналогичных условиям предыдущей
вадачи (но с LP = 0,05 см), определить напряженность
электрического поля в точке инжекции, если удельная
проводимость образца со = О,1 Ом см, 6 = 2,1, и мож-
до считать п0 > р0, Ар.
87. Исследовать распределение концентрации нерав-
неравновесных дбшок, стационарно инжектируемых при х = 0
в однородных! полубесконэчный полупроводник (х ^ 0)
;г-типа, если время жизни дырок тР == а/р, где а ~
постоянная. Считать Ар > ^?0, дрейфом дырок пре-
пренебречь.
88. Вычислить неравновесную концентрацию дырок
на границе полубесконечного (х > 0) слабо легированно-
легированного электронного полупроводника, к которому при х = О
приложено сильное электрическое поле $" > 0. Коэф-
Коэффициент инжекции | = 0,15, ио = 1О18 см, р0 =•
¦= 0,5 • 1013 см~э, b = 2,1. Считать, что An — Ар <па и ус-
условия стационарны.
89. Вычислить неравновесную концентрацию дырок
при х = 0 в условиях предыдущей задачи, но при обрат-
обратном направлении электрического поля \<5 < 0),
3 в. Л, Еоач Бруегич и да 83

90. В однородный полубескопечный полупроводник
(х 15» 0) n-типа при х = 0 стационарно инжектируются
дырки. Определить плотность электронного тока при
х°=0, если Ар@)=1013 см, Lv = 0,07 см, Пр =
= 49 см2 с, коэффициент инжекции ? = 0,4. Дрейфом
неравновесных носителей заряда пренебречь.
Глава 4
ДИФФУЗИЯ И ДРЕЙФ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В однородном п изотропном полупроводнике, находя-
находящемся под действием электрического поля 8 и слабого
магнитного поля Н, перпендикулярного 8, плотности тока
носителей выражаются следующим образом:
1»-пецв{5[1-Л»(^-нЯ/с)!]-[6 ХН]|хпН/с}, D.1а)
1, *-pe\ip{ Stl - Пр(Ирн#/сJ] + [6 XH][Wc). D.2a)
Здесь цпН и Црн — холловскпе подвижности, а цп и
г)р — константы, определяющиеся зависимостью длин сво-
свободного пробега носителей от энергии. Магнитпое по-
поле считается слабым в том смысле, что и„н#/с<1,
црНЯ/с<1; в приведенных
формулах отброшены чле-
ны вьгше второго порядка
по этим параметрам.
В условиях опыта, изо-
изображенных на рис. 6, меж-
между боковыми торцами об-
разца возникает напряже-
пие Холла Va, так что в
направлении оси у дейст-
вует холловское поле <?v.
Отношение
Рис. 6. Геометрия опыта по на-
блюдепию эффекта Холла. ли = С0у/]хН D.3)
носит название постоянной Холла (/* — плотность тока
вдоль оси х). В этих же условиях связь между Sx и /х
имеет вид
D.4)
где Со — проводимость при // = 0, а относительное изме-
изменение проводимости в слабом магнитном поле обычно
34

выражается следующим образом:
— Аа/а0 = ?/?ноО"о#2/с2. (^5)
Здесь Лцо — значение постоянной Холла прп Н -*¦{), а ? —
коэффициент магнетосопротивленця.
В случае невырожденного неоднородного полупровод-
полупроводника (п и /? зависят от координат) в формуле D.1а) сле-
следует провести замену
6 -»- 8* = S + (kT;e) grad (In n), D.16)
а в формуле D.2а)
6 -у S* = 5 - (AT» grad (In р). D.26)
Если магнитное поле велико (но не настолько, чтобы
было eHh/mckT > 1, когда становятся существенными
квантовые эффекты), влияние магнитного поля учитыва-
учитывается (в том случае, когда длины свободного пробега но-
носителей не зависят от энергии) уравнениями
i {6 - [S X Н] цп/с}г
ГЩК
D.G)
D.7)
г 1" ////
Первичный поток носителей, отклоняемый затем маг-
магнитным полом, может
быть создан не только
путем приложения
внешнего поля 8Х.
Пусть, как показано на
рис. 7, одна грань изо-
изолированного прямо-
прямоугольного образца осве-
освещается светом, так что
возникают неравновес-
неравновесные пары электронов и
дырок, причем неравно-
неравномерно по объему. В на-^
правлении оси х созда- рю ? Геоиетрия опыта по паблю.
ются диффузионные по- децщо фотоэлектромагнитного эф-
токи, а под влиянием фекта.
магнитного поля, откло-
отклоняющего их вдоль осп у, возникает напряжение фотоэлек-
фотоэлектромагнитного (ФЭМ) эффекта Уфэм между торцами об-
образца,- перпендикулярного оси у. Будем считать достаточно
3*
85

болыщши размеры образца в плоскости zy, так что от пере-
переменных г, у ничто не зависит. В стационарных условиях
rot 8 = 0, dgjdz = 0,
т. е. поле &у постоянно везде. Рассматриваемую систему
можно описать уравнениями
ff^f D.8)
п р
/« + /|* = 0. D.9)
Здесь принято, что изменение заполнения уровней прили-
прилипания пропорционально избыточным концентрациям сво-
свободных носителей заряда. При малых магнитных полях
можно в выражениях для плотностей тока
in = in — [С X Н] [inin'c, j* = пецп& + eDn grad n, D.10)
}р = 3* + til X Н] Цръ/с, j* = pe\>.pS, — eDp grad p D.11)
пренебречь в первом приближении членами с Я. Далее,
определим An, Ар из одномерной задачи с граничными
условиями (генерация на поверхности х = 0):
g = -JnJe + SoAn, x — 0;
0 — jnJe
Теперь плотность тока ФЭМ эффекта /, (нлп поле ФЭМ
d
эффекта &и прн J ]y dx — 03 например) можно пайтп из
о
уравнения
\%'^^±b^L. D.12)
Здесь п = п0 + An, D — коэффициент биполярной диффу-
диффузии C.14) и
DD DЛ3^
91. В образце га-типа плотность тока вдоль оси х (см.
рис. 6) есть /х = 0,1 А • см~2. Магнитное поле по оси z
есть // = 1000 Э. В условиях рассеяния на колебаниях
решетки цпН = 1,18|я„. Определить Лн и холловское на-
напряжение Vn, если «о = 1015 см и размер образца в на-
направлении оси у равен а = 0,5 см.
36

92. При наложении на образец /?-типа магнитного по-
поля Нг •= 4000 Э, перпендикулярного направлений тока,
сопротивленпе увеличилось на 0,22%. Определить коэф-
коэффициент магнетосопротивления ? и коэффициент г)р в
формулах D.1а) и D.2а), если ЦрН = 2240 см2 В с".
93. Определить постоянную Холла в InSb, содержа-
содержащем акцепторы с концентрацией Na = 5 • 1016 см, если
отношение холловских подвижностей к дрейфовым равно
1,18, ц„/цр = 80. Магнитное поле слабое, щ = 1,6 • 1016сы~3,
Т = 300 К, акцепторы считать полностью ионизованными.
94. В полупроводнике р-типа при р*р = ирП///с = 0,2
постоянная Холла Rn = 0. Определить коэффициент маг-
магнетосопротивления ?, если Ь = |Л„/[АР = 30 и длины сво-
свободного пробега электронов и дырок не зависят от
энергии.
95. Определить напряжение ФЭМ эффекта между тор-
торцами массивного кубического образца /г-типа, если C„ =•
¦= ЦрпН/с = 0,07, максилхальная концентрация избыточ-
избыточных электронов (на поверхности х = 0) Д/г@)=10" см~3,
р„ = 1,6 Ом • см, Д> = 45 см2 с-1, Ъ => 2,1.
96. Определить время жизпи в полупроводнике ^-типа,
если при наложении вдоль оси у (см. рис. 7) поля напря-
напряженности «?!„ = 0,168 В • см"' и магнитного поля (по оси
z) H —1000 Э ток вдоль оси у не зависит от слабого
освещения граней, перпендикулярных оси х. Dn^
= 98 см2 с, (Цпн+ цРн)/(Мп + Ир) = 1,2, размеры образ-
образца считать большими, прилипания нет.
97. На поверхности х = 0 (см. рис. 7) образца /г-типа
генерируются светом неравновесные носители заряда, так
что А/г(О) = 2 • 1013 см~3. Относительное уменьшение со-
сопротивления образца 6 = 1,2%, а УФЭМ — 3,8 • 10~8 В при
Рр = ЦрпН/с — 0,1. Определить тР и т„, если ц„ ==
= 3800 см2 В-1 с-1, 6 = 2,1, Dp = 45 см2 с-', d = 0,2 см,
а размер образца вдоль оси у есть а = 1 см.
Глава 5
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Наличие поверхпостных состояний па поверхности по-
полупроводника приводит к образованию двойного слоя
электрического заряда. В зависимости от того, являются
ли они акцепторами или донорами, поверхность заряжа-
заряжается отрицательно или положительно. При этом в припо-
приповерхностной области, возникает слой объемного заряда.
37

Возникающее электрическое поле вызывает пзгио энер-
энергетических зон вверх в случае акцепторных поверхност-
поверхностных состояний, и вниз — в случае донорных:
. E.1)'
Величину изгиба зон на поверхности полупроводника,
т. е. разность между значениями электростатического ио-
тенцпала на поверхности и в объеме, называют поверх-
поверхностным потенциалом ср..
В области объемною заряда концентрации электронов
и дырок зависят от координат. Для невырожденных по-
полупроводников эти зависимости имеют вид
п (г) = Ne ехр [ (F - ?'с„ + еср (г)) /kT] = п exp [ecp (r) /kT],
E.2)
р (г) = N. ехр [ (?,0 - ecp (r) ~F)/kT] = p exp [-«p (r) /kT].
Прп изгибе зон вверх (вниз) в полупроводнике р-тппа
(/г-типа) концентрация основных носителей заряда — ды-
дырок (электронов) вблизи поверхности увеличивается, об-
образуется обогащенный дырками (электронами) слои. При
изгибе зон вниз (вверх) в полупроводнике р-типа (гс-ти-
на) происходит уменьшение концентрации основных но-
носителей заряда — образование обедненного слоя. В по-
последнем случае, если изгиб зон достаточно велик (как
правило, больше Eg/2), вблизи поверхности возникает
слой, концентрация электронов (дырок) в котором может
стать заметной. Слой вблизи поверхности, проводимость
которого сравнима с проводимостью в объеме полупровод-
полупроводника или превосходит ее и создается электронами (дыр-
(дырками) в полупроводниках р-тшш (/г-типа), называется
инверсионным.
Для определения электростатического потенциала ср(г)
следует решить уравнение Пуассона с граничными усло-
условиями, определяемыми условиями задачи:
div D = 4лр, D = eg = -e d<p/dr, E.3)
где р — объемная плотность заряда, е — диэлектрическая
проницаемость,
р = е [Nj (г) - N; (г) + р (г) - п (г)]. E.4)
Величины п(х) и p(rj определяются формулами E.2), а
концентрации однозарядных ионизованных доноров и ак-
акцепторов в области пространственного заряда вычисляются
38

по формулам:
Nd{l + gd ехр [(F - Ed + *Ф (г)
- Nd[ 1 + ехр [(F ~E* + ey (r))/kT]}-\ E.5a)
iVa {1 + ga exp [(Ea -F- eq> (r))/kT]}-1 =
= Na {1 + exp [(?: - /? - вф (г))/^]). E.56)
Здесь E*d = ^«j - ferIngd, E*a = Ea + kTInga, EanEd-
энергии акцепторных и донорных уровней в объеме полу-
полупроводника, go и gd — факторы вырождения акцепторного
и донорного уровней соответственно.
Ширина области пространственного заряда характери-
характеризуется длиной экранирования, или дебаевской длиной LD.
Для электронного полупроводника она равна
сФ;/2 ((F - Ec)lkT)}}l!tt E.6)
где Ф1/2 (г)) — производная интеграла Ферми. В невы-
невырожденном случае
LD = {ekT/Dne2n)}l/i, E.7)
где п — концентрация электронов A.7), а в условиях пол-
полного вырождения
LD = {e/[4ne*p(F)]}l/1, E.8)'
где р (F) — плотность состояний на уровне Ферми.
Для собственного полупроводника в отсутствие вы-
вырождения имеем
Лг()}1/2. E.9)
Если внешнего электрического поля нет, то полупро-
полупроводник в целом нейтрален. Условие нейтральности для
полубесконечного полупроводникового образца (х > О,
этот случай и будет рассматриваться в дальнейшем) с по-
поверхностью прп х = 0 имеет вид
E.10)
где Q, — поверхностная плотность заряда в поверхност-
поверхностных состояниях.
Р1збыточные концентрации электронов Г„ и дырок ГР
в слое пространственного заряда вычисляются по
39

формулам
оо во
Г„ - j [п (х) - п0] их, Т^ = ^[р(х)- p^dx, E.11)
о о
где По и ро — концентрации электронов и дырок в объеме.
Поверхностная проводимость G определяется как
G = фЦг» + ец1Г„ E.12)
где un, \ip — эффективные подвижности электронов и ды-
дырок в слое пространственного заряда. Часто полагают, что
они равны значениям подвижности в объема образца.
Изменение проводимости полупроводника в припо-
приповерхностной области под действием внешнего электриче-
электрического поля, приложенного по нормали к поверхности об-
образца, называется эффектом поля.
Полный заряд 6Q, индуцированный полем под едини-
единицей поверхности, равен
б?> = б<?ь + б?>„ E.13)
где б(?4 — изменение под влиянием поля заряда в припо-
приповерхностном слое, SQ, — часть индуцированного заряда,
захваченная быстрыми поверхностными состояниями.
Полный ипдуцированный заряд определяется экспери-
экспериментально по измерениям емкости конденсатора, состоя-
состоящего из полупроводникового образца и полевого элек-
электрода,
6Q~CU. E.14)
Здесь U — приложенное напряжение, С — емкость на еди-
единицу площади.
Изменение заряда в прпповерхпостном слое 6Qb, соот-
соответствующее определенному изменению поверхностною
потенциала, может бить найдено из уравнения Пуассона
E.3). Зная 8Q и б (Л.., из соотношения E.13) можно найти
связанный заряд 6(?,.
В эффекте поля вводят величппу рвп,, имеющую раз-
размерность подвижности и определяемую формулой
иэц. = 5G/5Q, E.15)
где 6G — изменение поверхностной проводимости в эф-
эффекте поля; [лэ.п. зависит от того, какая доля носителей,
индуцированных полем, захватывается поверхностными
состояниями.
40

В потенциальной яме, возникающей при искривлении
вон около однородной поверхности полупроводника, дви-
движение электронов в направлении, перпендикулярном по-
поверхности, квантуется. При этом могут возникать поверх-
поверхностные энергетические зоны, состояния в каждой из
которых отвечают-движению электронов вдоль поверхно-
поверхности. Поверхностное квантование необходимо учитывать,
если расстояние между поверхностными зонами превы-
превышает кТ.
98. Вычислить дебаевскую длину при 300 К: а] в соб-
собственном германии (е = 10), б) в собственном кремнии
(е = 12), в) в гермашга /г-тшта с концентрацией электро-
электронов, равной 1015 см. Оценить дебаевскую длину в ме-
металле, полагая е = 1, р{Г) = Ю22 см~3 эВ.
99. Определить ход потенциала в обогащенном припо-
приповерхностном слое полупроводника 7г-типа. Оценить тол-
толщину обогащенного слоя, если доноры в объеме полупро-
полупроводника полностью ионизованы.
100. На поверхности кремния р-тпиа существует обед-
обедненный слой, причем концентрация электронов считается
пренебрежимо малой. Найти толщину области объемного
заряда при 300 К, если ф8 = 0,25 В, а концентрация мел-
мелких полностью ионизованных акцепторов в объеме Л'о ==•
«= Ю15 см.
101. В условиях предыдущей задачи оценить напря-
напряженность поля на поверхности.
102. На поверхности образца кремния n-тппа сущест-
существует сильный пзгиб зон вверх, отвечающий образованию
обедненного слоя. При каком значении потенциала в при-
приповерхностной области концентрация дырок сравняется
с концентрацией электронов? Оценить толщину припо-
приповерхностного слоя, в котором р (х) > п (х), если ец>а —
¦= 0,5 эВ, концентрация электронов в объеме п = 1015 см,
Т = 300 К, Ъ = \ij\it = 2,9.
103. Во сколько раз потенциал в точке ипверсии про-
проводимости в кремнии р-типа больше, чем в германии
/ьтица, если концентрации дырок в объеме этих полупро-
полупроводников одинаковы и равны р — 2 • 1015 см; концентра-
концентрации носителей заряда в собственных германии и кремнии
при комнатной температуре равны соответственно: tt(Ge =
«= 2,2 • 1013 см, П(8| = 1,05 • 10" см~3, а отношения под-
вижностей электронов и дырок равны: ЬОе = 2,1 и bSi =¦ 2,9.
104. Определить форму зон, если к полупроводнику с
собственной проводимостью нормально к его поверхности
41

приложено постоянное электрическое поле S (рис. 8)'
настолько слабое, что везде в полупроводнике еф/йГ<1.
Найти скачок потенциала на поверхности, если <S =•
- 160 В • см-1, rii - 2,2 • 1013 см"', е = 16, Т = 300 К.
105. Перпендикулярно к поверхности дырочного полу-
полупроводника с полностью ионизованной акцепторной при-
примесью в объеме приложено слабое электрическое поле
еф/АТ<1 (рис. 9). Оп-
Определить ход потенциа-
потенциала в приповерхностной об-
области и поверхностный по-
Рис. 8. Изгиб зон и ход потенциа-
потенциала в приповерхностной области
собственного полупроводника при
наложении электрического поля.
Ряс. 9. Изгпб зон в приповерх-
приповерхностной области дырочного по-
полупроводника при наложении,
электрического поля.
тенциал, если напряженность приложенного поля & =•
- 2 ¦ 103 В • см"', р - 10" см'3, е = 16, Т = 300 К.
106. Найти поверхностный потенциал для собственно-
собственного германия при комнатной температуре, если концентра-
концентрация адсорбированной на его поверхности донорной при-
примеси iV = 109 см. Считать доноры полностью ионизован-
ионизованными, п, = 2,2 • 10'3 см-3, е =-16, eq>/kT<l.
107. Найти поверхностный потенциал для собственно-
собственного германия при комнатной температуре, если концентра-
концентрация адсорбированной на его поверхности донорной при-
меси N — Юп см. Ход потенциала ф(л') аппроксимиро-
аппроксимировать двумя прямолинейными участками (рис. 10);
42

\
\
\
где напряженность поля & постоянна. Считать пскрпв-
ление зон на поверхности большим: eqJkT » 1, nt =
= 2,2 • 10'3 см-3, в = 16.
108. Найти изменение работы выхода в гермаппп с
проводимостью /ьтппа, если на его поверхности адсорби-
адсорбируется акцепторная примесь с концентрацией N —
¦=8-10* см. Считать акцепторы в объеме и на поверх-
поверхности полупроводника полностью ионизованными, eylkT <
<1, р= iO15 см-3, е = 16, Г = 300 К. Оценить, при каких
N в рассматриваемом
случае справедлива еде- f(x),,
ланная аппроксимация
eq>/kT< 1.
109. Найти измене-
изменение работы выхода
электронов, если на по-
поверхности полупровод-
полупроводника адсорбированы мо-
молекулы с дипольным мо-
моментом 3 • К)8 Кл • м и
плотностью iV=1012 см
(рис. 11). Во сколько
раз изменение работы
выхода в этом случае
будет меньше, чем в ус-
условиях задачи 107? ___
Объяснить получен- О ' &
ный результат, прини- Рис. 10. Изгиб зоп в прпповерхност-
мая во внимание, что н°й области германия, на поверх-
концептрация адсорби- иости которого адсорбирована донор-
попянныу на ппврпуно- ная пРИмесь: попользованная аппро-
рованных на поверхно кспмацпя хода потенциала изобра-
жена штриховой линией.
сти частиц в оооих слу-
случаях одинакова.
110. Вычислить по-
поверхностный потенциал
в условиях задачи 107,
если вместо собственно-
собственного полупроводника взять
материал гс-типа с пол-
полностью ионизованными
донорами и концентра-
концентрацией электронов в объ-
объеме п = 2 • 1015 or3.
111. Найти плотность адсорбированного на поверхно-
поверхности кремния /7-типа поверхностного заряда, вызвавшего
ПолдпробоЗшк
}*ис. 11. Поверхность полупровод-
полупроводника с адсорбированными диполь-
ными молекулами.
43

уменьшение работы выхода на 0,26 эВ. Для потенциала
внутри полупроводника использовать аппроксимацию,
прппятую в задаче 107. Считать акцепторы полностью
ионизованными; р = \0а cm~s, e«=12, T = 300 К.
142*. Для полупроводника, содержащего в объеме
полностью ионизованную примесь, найти связь между
зарядом па поверхности и поверхностным потенциалом;
считать of U=o = <ps > 0.
113*. Вычислить поверхпостнып потенциал для крем-
кремния тг-тпна, если на поверхности адсорбированы доноры,
концентрация которых Лг = 10" см (считать все доноры
полностью поппзоваппымп, при этом e(f,/kT > 1); п=>
«10й см-', е = 12, Т -300 К.
114*. Вычислить плотность заряда па поверхности гер-
германия и-тппа (доноры в объеме полностью ионизованы),
если пзгпП зо!г на поверхности составляет еср, = 10&T;
Т = 300 К, п = 101в ем~3, 8 = 16. Определить концентрацию
акцепторных уровней, создающих этот заряд, считая ак-
акцепторы полностью ионизованными.
115. При адсорбции центров акцепторного типа на по-
поверхности собственного германия работа выхода увели-
увеличилась на 0,052 эВ. Найти концентрацию адсорбирован-
адсорбированных акцепторов,- если они полностью ионизованы; Т =
¦= 300 К, и, = 2,2 • 1013 см, е = 16.
116. При адсорбции акцепторной примеси на поверх-
поверхности германия /г-типа работа выхода электронов увели-
увеличилась на 0,13 эВ. Определить плотность адсорбированно-
адсорбированного заряда, если акцепторы в объеме и на поверхности
полностью ионизованы, р = 2 ¦ 1015 см, Т = 300 К, г = 16.
117. Найти плотность заряда, адсорбированного на по-
поверхности собственного кремния, если при адсорбции ра-
работа • выхода уменьшилась па Д0 = О,13 дВ; п{=>
= 1,05 • 1010 см-3, е = 12, Т = 300 К.
118. Определить плотность заряда, адсорбированпого па
поверхности германия р-типа, если при адсорбции работа
выхода электронов уменьшилась на 0,026 эВ. Акцепторы
в объеме полностью ионизованы; Т — 300 К, 8 = 16, р =
¦=2,2 • 1015 см. Вычислить концентрацию донорных уров-
уровней, создающих этот заряд.
119*. Для дырочного полупроводника с полностью
ионизованными примесями в объеме приближенно вычис-
вычислить поверхностную проводимость, если при адсорбции
акцепторных молекул энергетические зоны изогнулись на
0,25 эВ; р -= 10" см-', б = 12, ц* = 103 см2 В^с, темпе-
температура комнатная.
44

120. В условиях предыдущей задачи вычислить по-
поверхностную плотность заряда, создающего изгиб зон,
равный 0,25 эВ.
121*. Определить поверхностный потенциал полупро-
полупроводника с собственной проводимостью, если поверхност-
поверхностная проводимость G = 10~7 Ом. Считать всюду в полу-
полупроводнике ец>/кТ < 1 (ф >0); |х*= |Л„ = 3800 сма В с,
Ъ = 2,1, 8 = 16, щ = 2,2 ¦ 1013 см-3, Т = 300 К.
122. Определить поверхностный потенциал германия
р-типа при адсорбции акцепторных молекул, если поверх-
поверхностная проводимость равна G = 6 • 10~7 Ом; ecp/kT<i,
,х* = ^? = 1800 см2 В~'с~г> р = 10" см-3, е = 16, Т = 300 К.
Считать, что всюду в полупроводнике акцепторы пол-
полностью ионизованы.
123. Вычислить поверхностный потенциал кремния
тг-типа, на поверхности которого адсорбированы доноры,
если поверхностная проводимость G — 5 • 10 Ом, при
этом ecpJkT > 1. Для хода потенциала принять аппрокси-
аппроксимацию, использованную в задаче 107, где S — постоянная
величина. Считать доноры всюду в полупроводнике пол-
полностью ионизованными; ц* = цп = 1450 см2 В~ с~ , п =•
¦= 10'3 см-3, е = 12, Т = 300 К.
124. Определить плотность заряда в поверхностных со-
состояниях, если к электронному полупроводнику нормаль-
нормально к его поверхности прикладывается постоянное элек-
электрическое поле S = 5 • 103 В • см (ср>0), и при этом
поверхностная проводимость оказывается равной
10 Ом. Считать, что всюду в полупроводнике выпол-
выполнено условие eq/kT < 1; п = 5 • 1014 см~3, е = 16, |л.п = Цп=
= 3800 см2 В с-1, Т = 300 К. Считать доноры в полу-
полупроводнике полностью ионизованными.
125*. Определить поверхностный потенциал полупро-
полупроводника гс-типа при адсорбции донорпых молекул с по-
поверхностной концентрацией N, если донорная примесь в
объеме полупроводпика на расстояниях, больших дли-
длины экранирования, полностью ионизована; Nd — n =
¦= 3 • 1014 см, е = 16, Т = 300 К. Рассмотреть случаи:
а) iV = 10э см, считать при этом eq>s/kT <к 1, где qp, =
«= ф1*=о'»
б) N == 3 • 1012 см-2, при этом e<p,/kT > 1.
126. Внешним электрическим полем, направленным по
нормали к поверхности дырочного полупроводника с пол-
полностью ионизованными акцепторами, индуцируется заряд
с поверхностной плотностью 6(J = l,8-10-9 Кл • см"8, при
45

втом Цэ.п = 0|4|хр. Определить долю ипдуцироваппого за-
заряда, захваченного поверхностными состояниями.
127. Перпендикулярно поверхности дырочного полу-
полупроводника приложено электрическое поле, увеличившее
поверхностную проводимость на 8G = 0,6 • 10~" Ом"'.
Определить плотность индуцированного заряда, захвачен-
захваченного поверхностными состояниями, если известно, что ем-
емкость на единицу площади конденсатора, состоящего из
полупроводникового образца и металлического электрода,
равна С = 90 пФ • см, приложенное напряжение U —
-= 5,7 В, а |Ар = 1800 см2 B'V1.
128. Определить плотность отрицательного заряда на
поверхности дырочного полупроводника, если величина
поверхностного потенциала равна !<ps 1=0,25 В. Акцепто-
Акцепторы в глубине полупроводника (^а расстояниях, больших
длины экранирования) считать полностью ионизованны-
ионизованными; р = 3 • 1014 см, 8 = 16, Т = 300 К.
129. Определить скорость поверхностной рекомбинации
s для тонкой и длинной пластины полупроводника га-типа.
Длина и ширина пластины
значительно превышают ее
толщину, равную 2а =
= 0,5 мм, скорости поверх-
поверхностной рекомбинации для
обеих сторон пластины
одинаковы, эффективное
время жизни неравновес-
неравновесных носителей в пластине
Ti = 125 мкс, а объемное
время жизни, измеренное
для толстого образца, рав-
равно хР = 250 мкс. Исполь-
Использовать условие sa/Dp<.i.
130*. Определить скорость поверхностной рекомбина-
рекомбинации Si на верхней грани тонкой пластины полупроводни-
полупроводника га-типа. Длина и ширина пластины значительно пре-
превышают ее толщину, равную 2а = 0,2 мм, скорость по-
поверхностной рекомбинации на нижней грани s2 гораздо
меньше, чем Si, эффективное время жизни неравновесных
носителей заряда в пластине xt = 20 мкс, а объемное вре-
время жизни хР = 100 мкс. Использовать условие Siu/Dp < 1.
131*. Найти зависимость скорости новерхностной ре-
комбипацип s от величины я|\, характеризующей изгиб
зон на поверхности полупроводника (рис. 12) и связан-
связанной с поверхностным потенциалом соотношением ет|з, =
46
О
X
Рис. 12. Зонйая схема электрон-
электронного полупроводника с положи-
положительным объемным зарядом в
приповерхностной области.

¦= F — Et — ecps, где Et = (EC + Ev)/2. Поверхпостпая кон-
концентрация центров, принимающих участие в рекомбина-
рекомбинации, равна Nt, энергия их уровня есть Et, концентрации
избыточных носителей заряда в объеме вблизи области
пространственного заряда одинаковы (Ар = Лге при х =
•=Xi). Считать полупроводник невырожденным, отклоне-
отклонение от равновесия малым (Ар<ге0), условия стационар-
стационарными.
132*. В условиях предыдущей задачи определить от-
отношение сечений захвата электронов и дырок, если изве-
известно, что скорость поверхностной рекомбинации s(i|)s) при
изменении ^происходит через максимум при ety, = lAkT.
133*. Напряженность электрического поля в обогащен-
обогащенном слое вблизи поверхности полупроводника равна
105 В • см. Оценить энергию наинпзшего энергетического
уровня в треугольной потенциальной яме, ограничиваю-
ограничивающей движение электрона в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном поверхности. Эффективную массу электрона принять
равной 0,2т0.
Глава 6
ТЕРМО-Э. Д. С. В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Дифференциальная термоэлектродвижущая сила полу-
полупроводника с одним типом носителей заряда дается выра-
выражением
«=±7 (
где знак совпадает со знаком носителей заряда, т) =
— F/kT,.F — уровень Ферми (за начало отсчета выбира-
выбирается край соответствующей зоны), Q* — величина, назы-
называемая энергией переноса. В изотропном случае, который
мы рассматриваем в дальнейшем, энергия переноса равна
Q* = q/a. F.2а)
В последней формуле
о=<ет/т>, F.3а)
д = <ехЕ/т>, F.36)
знак <.. .> означает интегрирование по энергиям с весом
k3(E)(-df/dE)/3n2:
оо
{А (Е)) = ^J ft» (E) (- §) А (Е) dE,
о
47

/ — функция Ферми A.2)", т — время релаксаций, зави-
зависящее от квазиимпульса (энергии) по закону
а т — величина, имеющая размерность массы и опреде-
определяемая соотношением
mv
Ш (v=ivkZ?(k)), F.5)
Вообще говоря, величина т зависит от энергии, однако
в простейшем случае квадратичного закона дисперсии
она постоянна и совпадает с эффективной массой носите-
носителей, определяемой обычным образом (см. задачу 16).
В формуле F.4) величина г определяется механизмом
рассеяния илшульса носителей. При рассеянии носителей
заряда на акустических колебаниях решетки г = 0; при
рассеянии на оптических колебаниях решетки г = 1 при
температуре выше температуры Дебая TD и г = 1/2 при
Т < Тт>; при рассеянии на заряжепных примесях г = 2.
Если в системе имеется несколько типов носителей за-
заряда, то полная термо-э. д. с. равна
a-SoA/a, F.6)
i
где б, и as — проводимость и термо-э. д. с, связанные с
1-й сортом носителей, о — полная проводимость, суммиро-
суммирование проводится по всем сортам носителей.
При низких температурах в чистых материалах тер-
термо-э. д. с. може1 значительно превышать величину, давае-
даваемую формулой F.1), вследствие эффекта увлечения но-
носителей фононами. Для «фононной» составляющей тер-
ыо-э. д. с. в этом случае имеет место выражение
аФ = avJJi.iT, F.7)"
»
где v, — скорость звука, 1Ф — длина свободного пробега
фононов, ц — подвижость носителей заряда, а — множи-
множитель, определяющий относительный вклад рассеяния на
акустических колебаниях в полную вероятность рассея-
рассеяния носителей. Если всё рассеяние носителей происходит
на акустических колебаниях решетки, то множитель а —
порядка единицы. В магнитном ооле *) термо-э. д. с.
*) Мы рассматриваем область не слишком сильных магнит-
магнитных полей, когда можно пренебречь квантованием энергии элск-
родов в магнитном поле. Условие применимости формул F,26),
(б.Зв) и (б.Зг) имеет вид ЙеЯ/mc < кТ.
43

по-прежнему
где
Яг х
дается
/ ех
\ т 1 -
ex E
выражением
л* ai?i ^" а2
i \
W = ^г- Т,
тс
F,
:?2
i J
/
\
ех
т.
¦1),
с
ех
т 1
?г
1 +
В
и
котором
I \
\
F.
F.
F.
26)
Зв)
Зг)
134. Получить выражение для термо-э, д. с. в отсут-
отсутствие магнитного поля для носителей с квадратичным за-
законом дисперсии. Оценить термо-э. д. с. типичного метал-
металла (fnaei = m0, пк„ = 2 • 1022 см~3) при комнатной тем-
температуре и сравнить ее с термо-э. д. с. вырожденного
полупроводника га-типа (тпп = 0,2m0, лПп == 2 • 10" см"').
Считать, что рассеяние в обоих случаях происходит на
заряженной примеси.
135. Качественно представить на графике температур-
температурную зависимость термо-э. д. с. германия р-тппа в примес-
примесной и собственной областях.
136. Считая, что рассеяние происходит на акустиче-
акустических колебаниях, найти величину термо-э. д. с. германия
/)-тппа, содержащего 6 ¦ 1015 см~3 мелких акцепторов, при
Т = 200 К.
137. Определить положение энергетического уровня
доноров в компенсированном полупроводнике га-типа, если
термо-э, д. с. при 100 К равна —2,1 мВ-К~'. Известно,
что Nd = 2 • 10'5 см~3, пи < iVa, степень компенсации
NJNd = 0,5, а рассеяние происходит на акустических ко-
колебаниях решетки.
138*. В предельном случае сильного вырождения по-
получить выражение для термо-э. д. с. полупроводника га-ти-
га-типа, закон дисперсии которого имеет вид A.3ж). Найти
термо-э. д. с. антимонида индия с концентрацией электро-
электронов 10'8 см~3 при 100 К, если рассеяние происходит на
заряженной примеси. Эффективная масса электронов на
дне зоны проводимости равна 0,013т0, а ширина запре-
запрещенной зоны изменяется с температурой по закону Et =
- @,26 - 2,7 • 10-4Г) эВ.
139. Получить выражение для термо-э. д. с. полупро-
полупроводника n-типа с законом дисперсии A.3ж) при
4 В, Л, Бонч-Бруевич и др. 49

произвольном вырождении. Считатьг что непараболич-
ность зопы невелика и ограничиться рассмотрением
первых поправок, возникающих из-за непараболичностп
зоны.
140. Оцепить величину «фопонной» составляющей тер-
мо-э. д. с. германия га-типа при температуре 20 К. В ис-
исследуемом образце подвижность электронов в основном
определяется рассеянием на акустических колебаниях и
равна 4 • 105 см2 В с, а рассеяние фононов происходит
на стенках образца. Поперечные размеры образца поряд-
порядка 1 мм, а скорость звука 5 • 105 см ¦ с~*.
141. Наблюдаемая подвижность электронов в антимо-
ниде индия при 20 К равна 2 • 105 см2 В-'с, а оценка
подвижности в случае, когда рассеяние происходит толь-
только на акустических колебаниях, дает при этой температу-
температуре величину порядка 108 см^^с. Считая, что рассеяние
фононов происходит на стенках образца, оценить отноше-
отношение «фоноиной» составляющей термо-э. д. с. антимонида
индия га-типа к «фононной» составляющей термо-э. д. с.
га-германия. Скорость звука в InSb равна 105 см • с~',
поперечные размеры образцов считать одинаковыми.
Данные для германия взять .из условия предыдущей
задачи.
142. Измерения термо-э. д. с. в полупроводнике р-типа
в сильном магнитном поле (w>l) при комнатной тем-
температуре показали, что в исследуемой области полей тер-
термо-э. д. с. не зависит от магнитного поля и равна
475 мкВ • К. На основе этих измерений найти эффек-
эффективную массу дырок, если концентрация их равна
5,6 • 1017 см. Закон дисперсии дырок считать квадра-
квадратичным.
143. Найти выражение для термо-э. д. с. полз7провод-
ника га-типа с законом дисперсии A.3а) в пределе силь-
сильных магнитных полей (со>1) в отсутствие вырождения.
Рассмотреть зависимость разности Да(°°) = а]н-*е» — а!н=о
от механизма рассеяния.
144. Для вырожденных образцов антимонида индия с
концентрацией электронов 10" см~3 при 77 К термо-э. д. с.
в области сильных магнитных полей не зависит от маг-
магнитного поля и равна 68 мкВ • К~4. Принимая закон дис-
дисперсии в виде A.3ж), найти величину эффективной мас-
массы на дне зоны проводимости. Ширина запрещенной зо-
зоны при 77 К равна 0,22 эВ.
145. Термо-э. д. с. в вырожденном полупроводнике
га-типа в области сильных магнитных полей постоянна и
50

.равна —27 мкВ ¦ К~\ Измерения без магнитного поля при
той же температуре дали для термо-э. д. с. зпачеппе
—51 мкВ • К. Найти параметр г, определяющий харак-
характер рассеяния электронов, если известно, что зона прово-
проводимости исследуемого материала — параболическая.
146*. Для арсенида индия эмпирически установлен
следующий закон дисперсии электронов в зоне проводи-
проводимости, выполняющийся вплоть до энергии порядка 0,6 эВ:
? (А) = 0,28 In [1 + 5,9 • 10-|4А,-'-(см-2)] эВ.
Найти, при какой концентрации электронов обращается
в нуль величина изменения термо-э. д. с. в сильном маг-
магнитном поло Да(=*>). Возможно ли обращение в нуль ве-
величины Аа(°°), если закон дисперсии электронов имеет
вид A.3ж)? Считать, что рассеяние происходит па заря-
заряженной примеси.
Глава 7
ФОТО-Э. Д. С. В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
При освещении полупроводникового образца, помимо
дембер-эффекта (см. задачу 75), обусловленного неодно-
неоднородным распределением избыточных носителей, фото-
э. д. с. может возникнуть еще и вследствие неоднородно-
неоднородности материала полупроводника. Для простоты будем рас-
рассматривать только одномерную задачу, когда как равно-
равновесные концентрации п„ и р0, так и неравновесные п —
= па + An а р = />„ + Ар зависят только от координаты х.
В этом случае фото-э. д. с. выражается следующим
образом:
dx, G.1)
где интегрирование ведется по всей цепи, включающей
образец. Если справедливы соотношения Эйнштейна
C.7), то
dp dn
7'^ dx, Ь=~ G.2)
bn + p ' Pp v '
Можно явно выделить из V слагаемое F( (вентильную
фото-э. д. с), связанное с неоднородностью образца
4* 51

(исходим из формулы G.2)):
V - Vi + Vt,
Ъп
p
dx
G.3)
а слагаемое F2 определяется неоднородностью избыточной
концентрации:
"LfilL^x. G.4)
cgem
| i | | |
т т т т У
147. Найти фото-э. д. с. в полупроводнике с монополяр-
монополярной проводимостью при произвольной степени вырож-
вырождения.
148. Вычислить фото-э. д. с. в образце ra-Ge при Т =»
= 300 К, если его средняя часть (рис. 13) освещена так,
rflPm что в ней До = 0,2 Ом см"',
а вне ее Да = 0. В отсут-
отсутствие освещения удельное
сопротивление в сечении А
есть ро, л = 15 Ом • см, а в се-
сечении В ро, в — 5 Ом • см.
149. В условиях, анало-
аналогичных предыдущей задаче,
*_ найти фото-э. д. с. при р0, л =
х =10 Ом • см, ро, в = 8 Ом • си
Рис. 13. К расчету фото-э. д. с. и при двух значениях Да:
при неоднородном возбужде- Д01 = 0,01 Ом~'СМ И Дог =
Аб+О j Аб~О
I
НИИ.
2 Ом~' см
150*. Образец n-Ge освещается в узкой полоске
(рис. 14) шириной Д2 = ОД мм светом, генерирующим
2,5 • 1015 см~'с~* пар носителей заряда. В точке х = 0
удельное сопротивление р@)= 1 Ом •см. При передви-
передвижении светового зонда вдоль образца фото-э. д. с. изле-
няется как
V (т\ — А
где А = 3 • 10~* В, В = 2 см. Найти р в точке х = 2 см;
температура комнатная.
151. Вычислить для случая однородного возбуждения
вентильную фото-э. д. с, возникающую в р — га-переходе
в Ge при 75 К. Освещается (рис. 15) участок п-областй,
прилегающий к р — га-переходу; в нем Лп =» 1010 см~а,
52

вне его An — 0. В глубине га-области п0 = пп = 10" см"*,
в /;-области рр = 10'4 см; р.„ = 3 -10* сл^В-'с, Ь — 0,5.
152. Найти разность потенциалов Аф между гранями
образца «-типа толщиной d = 1 см, если освещением гра-
грани х = 0 созданы неравновесные концентрации
где Лг = 101Э см~3, L = 0,01 см. Равновеспая концентрация
CSem
Г I I I
Т —™-———р-——
X
I i
I 1
-—I 1—»~
~l 0 я
Рис. 14. К определе- Рис. 15. Геометрия опы-
нию вентильной фо- та по наблюдению вен-
то э. д. с. в неодно- тильной фото-э. д. с, со-
родном образце. здаваемой при освеще-
ции р — и-перехода.
электронов изменяется-линейно от п0 = 5 • 10й см при
х — 0 до щ = 4 • 1014 см при х = d; температура 200 К,
6 = 2,1.
153. Вычислить фото-э. д. с. в условиях задачи 147
но при наличии прилипания, считая тР/т„ = 10.
Глава 8
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Оптические свойства материала характеризуются его
показателем преломления ге(со) и линейным коэффициен-
коэффициентом поглощения f (со). Последние связаны с комплексной
проводимостью материала о (со) на частоте со (в прене-
пренебрежении отличием магнитной проницаемости от едини-
единицы) соотношением
е0, к = iklbn, (8.1)"
где е0 — диэлектрическая проницаемость материала в от-
отсутствие свободных носителей заряда,
53

При нормальном падении света на толстый образец
из среды с п — 1 коэффициент отражения света R есть
д __ jvre _ -j\2 _^_ хг]/Г(ге + 1)г + х2]. (8 2)
Для света с длипой волны в вакууме X коэффициент про-
пропускания Т (т. е. отношение пнтенспвностей прошедшей
и падающей волп) полупроводниковым слоем конечной
толщины d, помещенным в среду с и = 1, дается выра-
выражением
[exp (ydl2)—li exp (— yd/2)Г + 4Л sin'1 (? + 2лпй/Я)
Здесь фаза ^ определяется формулой
>м/(п* + к* - 1)]. (8.4)'
Слагаемое с квадратом синуса в знаменателе (8.3) ответ-
ответственно за возможные интерференционные эффекты.
В их отсутствие — из-за неточной плоскопараллельности
поверхностей или из-за немонохроматичности света —
имеем
—Я2ехр(— yd)
В отсутствие межзонного поглощения света, т. е. при
Ti(u<.Eg, возможна ситуация слабого поглощения волн
достаточно большой частоты. Именно, пусть 2я*(к «1 и
cos > copi = 4лие2/е0ягор1. (8.6)
В фигурирующую здесь плазменную частоту copi входит
та же комбинация эффективных масс эллипсоидального
закона дисперсии, что и в проводимость. Именно, в слу-
случае закопа дисперсии A.3г)
У1. (8.7)
В этой ситуации, пренебрегая еще и решеточным погло-
поглощением, т. е. считая, что Im е0 = 0, имеем
1 = 4nReo(«)/clr?7 . (8.8)
При прямых разрешенных переходах коэффициент по-
поглощения света ч дается выражением

Здесь с — скорость света в вакууме, е4 — вещественная
часть диэлектрической проницаемости на частоте to, pcv —
матричный элемент оператора импульса, связывающий
состояния с одинаковым квазиволновым вектором в ва-
валентной зоне и зоне проводимости; обычно он предпола-
предполагается постоянным во всей интересующей нас области
анергий электронов в обеих зонах (для разрешенных
переходов). Через рксмв(<а) обозначена комбинированная
плотность состояний
(со) = -Цр f б [Ее (к) - Ev (к) - йш] dk. (8.10)
Bл) J
В простейшем случае, когда законы дисперсии в зонах
проводимости н валентной имеют простой параболиче-
параболический вид
?(к) ?+ ЕЛЩ ЕЩ (8Л1)
вычисление интеграла*) в формуле (8.10) дает
ркомб (со) = т3/2 [2 (Й<в - Es)}lfi/ix4i\ (& 12)
тоГ1 - m;1 + то. (8.13)
154. При отражении света с X = 100 мкм толстым по-
полупроводниковым образцом коэффициент отражения R =¦
¦= 0,36. Коэффициент пропускания пленки из того же ма-
материала толщиной d — i мм равен Г = 0,17. Найти коэф-
коэффициент поглощения f.
155. Найти величины квазиволновых векторов электро-
электрона и дырки, рождаемых при поглощении кванта света Ъш
в прямозонном полупроводнике с параболическими изо-
изотропными законами дисперсии. Оценить степень невер-
невертикальности перехода, сравнив результат с величиной
волнового вектора q поглощенного фотона. Принять Е, =
*) Для вычисления интеграла удобно ввести полярные коор-
координаты в k-лространстве, а затем воспользоваться формулой ин-
интегрирования с б-функцией:
ь
где /(*)—произвольная непрерывная функция, a cp(z)—диффе-
cp(z)—дифференцируемая функция, имеющая только простые нули хи а <
•< Xi < Ъ\ пределы а и Ъ могут быть и бесконечными.
55

= 0,3 эВ, эффективпые массы тп = тр = 0,4т0) %& =»
•= 0,31 эВ, показатель преломления п = 4.
156. Решить задачу, аналогичную предыдущей, но
взять Йю = 0,20 эВ, ге = 3,3, Ee = 0,i8 эВ и считать закон
дисперсии кейновским A.3ж) с m@) = 0,015m0.
157. Определить энергии частиц, рождающихся при
поглощении кванта света Ът > Es в полупроводнике с вы-
вырожденной валентной зоной. Законы дисперсии считать
параболическими п изотропными с эффективной массой
электронов тп — 0,05/п0 и эффективными массами легких
и тяжелых дырок трг = 0,12/п0 и тр>, — 0,5т0 соответст-
соответственно. Припять Eg —1,43 эВ, 7ш = 1,5 эВ.
158*. Вычислить комбинированную плотпость состоя-
состояний для зоны проводимости п зоны легких дырок, описы-
описываемых законом дисперсии A.3ж).
159*. Вычислить комбинированную плотпость состоя-
состояний для зоны проводимости п зоны тяжелых дырок, опи-
описываемых формулами A.3ж) (при знаке «+») и A.3з)
(считать J7io>m(O) a ha — Es<- EBmJm@)). Полученный
результат сравнить с ответом предыдущей задачи.

РЕШЕНИЯ
Глава 1
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ
II ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1. Из условия нейтральности п — р в невырожденном
случае имеем
2 (тпкТ/2пПг\m охр [ (F - Ей)!кТ\ -
*=2(mPkT/2rJi2y/! ехр [(?„ -F)/kT].
Отсюда
exp [{2F -Ес + E»)/kT] = (т/т„K/1,
и, следовательно,
F = V, (?„ + ?„) +'Л*Г In (m,/m,J.
Концентрация электронов равна
п< = у^"= 2 [(mnmP) 1/гйГ/2л712]3/2 ехр [ (?"„ - Ec)/2kT].
Полагая Ес— Ес — Eg = Д — %Т, находим, что отношение
концентраций при 300 К и при 200 К равпо
2. С учетом температурного изменения ширины за-
лрещепной зоны концентрация в собственном полупровод-
полупроводнике равна
п = 2(}!^
где Ея = А — \Т. Отсюда получаем
2(}W^/V2au2K/2exp(i/2?) = nT~l/t схр(Д/2йГ)\
и, следовательно,
57

3. Отношение концентраций при температурах 7\ п Тг
равно (см. задачу 1)
ГЛ3/2
)
t = A-lT). Отсюда
А = 2kTJ2 G\ ~ Г,) In {nj
Для наших условий А =0,26 эВ.
4. Концентрация электронов равна
X J {1 + ехр [р (Ее ~ F
Здесь @ — число эквивалентных минимумов зоны прово-
проводимости, р = 1/kT.
Результат интегрирования по к не зависит от выбора
пределов интегрирования, если эти пределы лежат вне
области занятых состояний. Это имеет место в большин-
большинстве практически интересных случаев, поэтому мы не со-
совершаем ошибку, выполняя интегрирование по к в бес-
бесконечных пределах.
Таким образом, для эффективной массы плотности со-
состояний имеем
В Ge имеем mdn = 0,553те0; в Si mdn — 1,06m,,,
5. Разложим закон дисперсии A.3д) по б и ограни-
ограничимся членами, линейными по б:
Здесь m± — m<,(A±B')~l, tj)@, ср) = sin4 0 cos2 <psin2 ф +
+ sin2 0cos2 0—g, 0 и ф — углы сферических координат
68

вектора к. Концентрация дырок- в этом приближении
равна
» 2Я Я
Pl2 = JL- \ & dh \ с?ф j sin 9 dG X
О 0 0
f Г22/ яг \ ^ —1
I |2/п±^г \ л + fi ; л
где индекс «1» относится к зоне «легких» дырок, индекс
«2» — к зоне «тяжелых» дырок, величины ^V»1J опреде-
определены как
а эффективные массы плотности состояний
Отсюда получаем для искомых эффективных масс
mdPl= 0,042ш0, mdPi— 0,33/«0. Более точный расчет с уче-
учетом членов следующих порядков приводит к несколько
большему значению эффективной массы «тяжелых» ды-
дырок, mdp2 = 0,35tfi0. Полная эффективная масса плотности
состоянии валентной зоны германия при этом равна
mdp = (т%\ + т%\У13 = 0х36т0.
6. Доля «легких» дырок в полной концентрации ды-
дырок равна
Таким образом, «легкие» дырки в гермапии составляют
лишь около 4% всех свободных дырок.
59

7. Как показано в решении задачи 1,
п, = 20г^7Ш2лЪ2K/г exp{-Ee/2kT).
Подставляя значения эффективных масс и ширины запре-
запрещенной зоны, указанные в условии задачи, получаем
Ge: п< = 2,2 • 1013 см,
Si: гс, = 1,05-1010 см.
8. р = [еп((цп + lip)]-1 *=[еп{ц„A + 1/Ь)]-1. Подставляя
числа, указанные в условии задачи, получаем
Ge: p « 50 Ом ¦ см,
Si: р» 3,1-10' Ом-см.
9. Из условия нейтральности получаем
Л'.Ф,, 2 (п) = Л
поскольку газ дырок в валептной зоне можно считать не-
невырожденным из-за большей величины эффективной мас-
массы. Полагая т) —(F — Ес)/кТ < 1,3 и используя форму-
формулу (П.4)
Ф1/2(Л) = *A +0,274)"',
где t = ехр т], приходим к следующему уравнению для t:
f-0,27At-A = 0, A~(mp/mn)exp(—Eg/kT).
Решение этого уравнения имеет вид
t = 0,135А + 1'0,0182А2 + А.
Без учета вырождения мы получили бы результат
Отношение (F — EC)/(F ~EC)aeDb,p равпо
Р — Ее _^ In (о,135Л + УГ
Концентрация электронов, равпая концентрации дырок,
дается обычной формулой
„ . р = Nv ехр {-Es/kT) ехр (- (F - ?,OAf)'.
При 600 К мы имеем Е, = 9,8 • 10"г эВ, Л = 4,74, f = 2,91,
° _ 4 Q7
IF—R
цевыр
60

Отсюда
10. Удельное сопротивление собственного полупровод-
полупроводника равно
р = [е (п]1п + ЛНр)] = ('геЦп)-1^/('1 + Ь) =•
6
2(l-t-b)e\)n I l/"m m ftT
При 30 К имеем Ее = 0,773 эВ и
Рзо = 1,2 • 1061 Ом • см.
Последнюю цифру, разумеется, нельзя принимать всерьез:
в таких условиях играют роль примеси и, может, быть,
иные структурные дефекты. Однако проведенная оценка
показывает, сколь сильно влияет температура на сопро-
сопротивление собственного полупроводника. .
Рис. 16. Концентрационная завп-
самость уровня Ферми в полупро-
полупроводнике с неэквивалентными ми-
минимумами зоны проводимости в
условиях сильного вырождения.
л
II. Полная концентрация электронов равна сумме
концентраций в отдельных минимумах
п = п, + пп = -^- J / (?, (k)) rfk 4- ~р У / (?и (к)) Л,
где Е,{\)^Ъгк2/21Щ, Еп(к) = Е, + Ti2k2/2mu, а за начало
отсчета энергии выбран край нижнего минимума. Отсюда
находим
п = ^Ф11г(г\) + Л'пФ^^ ~ ЕЛТ),
где TVx и iVn — эффективные числа состояний в миниму-
минимумах I и И. Для невырожденного случая
ц = In [n (N, + Nu ехр (—ЕЛТ))~Ч
В пределе сильного вырождения имеем
3/2 . Г /m \ S/2 3/2
l,

Примерная зависимость уровня Ферми от концентрации
в случае сильного вырождения приведена на рпс. 16.
12. Концентрация электронов в верхнем минимуме
равна
- jif J
-b
где t, = A'nAYi = {nin/mi)'"i = 58. Искомое отношение есть
Пц/tii = пц/{и — пп) = ь ехр {—Е./кТ).
Подставляя сюда численные значения параметров, на-
находим
*пC00К) 4 лп A000К)
п C00 КГ = ' ' »; A000~К)" да
13. Проводимость равна
а = eriiHi + егацЦп = eni(Xi(i + »iij.in/«]Ui) =
при высоких тем-
В области 71 < .
имеем о
о0 =
Рпс. 17. Температурпая завп-
симость проводимости полу-
ироводшиса с неэквивалентны-
неэквивалентными минимумами зоны проводи-
проводимости (схематически).
; а^о = еп-
л,у
¦ Примерный ход
пературах {Т ^> Es/k) a :
проводимости показан на рис. 17.
Искомое отношение равно
oA000K)/oC00KJ«0,5.
14. Преобразуем формулу для концентрации элект-
электронов:
f
где p(E) = (k2/n2)dk/dE — плотность состояний. Выбирая
за пачало отсчета край зоны проводимости и выражая кг
02

через Е, находим -
,а _ _1_ / . _ Г . 8тпЁ\ ^ ЪпЕ_ I. 2тпЕ\
откуда
2т\з/2 1/2 / 5таД
j ? A +
Таким образом (см. (П.1)),
15. Согласно формуле A.11а), для вычисления плот-
плотности состояний надо найти якобиан Z(E, 0, ср). Вводя
сферические координаты в k-пространстве, мы получаем
Z(^e,T) = F-|^||sino. A)
Обозначив временно
2h2Es/m@)=a\ B)
получим, согласно A.3ж),
k = B/a)[(E~Ecy + Eg(E-Ec)Y''\ C)
Формулы A) и C) дают
Е- ЕС)Г [2(Е - Ес) + Eg] sin 0. D)
Удобно принять край зоны проводимости за начало
отсчета энергии (Ес = 0). Тогда, подставляя выражение
D) в правую часть A.11а), находим, с учетом форму-
формулы B),
При Eg > Е и т @) = т0 отсюда вновь получается форму-
формула A.116). С другой стороны, при E>ES выражение E)
принимает вид
р„ (Е) = [2т @)f2E*/n4sEl/2. F)
Вспоминая, что т@)~ Зп2Ее/4<рг, где ^ — параметр,
фигурирующий в формуле A.3е), находим окончательно
(при E>Eg)
{Е) {3/2K/2Е2/лг&>3. (С?
63

Формулы AJ— F) пе связаны с какимп-либо пред-
предположениями о степени вырождения электронного газа.
От этих предположений зависит лишь связь концентра-
концентрации электронов с положением уровня Ферми. Обратимся
сначала к невырожденному случаю.
Пользуясь формулами A.13) и E), получаем для мо-
модели Кейна:
No = [[2т @)]3/2 (kTyin4i*E%J*\ X
X J V'x exp (— x) (x + Eg/kTI'2 (x + Egl2kT) dx. G)
о
В общем случае значения интеграла в правой частп G)
приходится находить численно. В предельном случае
Eg> kT получается прежний результат A.6) (при
тп =• т @)). С другой стороны, при Ее < kT мы имеем
Nc = 2 [2т @)]3/3 (kT)s/n4i3E8g2. (8)
Сравнивая это выражение с формулой A.9), находим
эффективную массу плотности состояний в зоне прово-
проводимости с законом дисперсии A.3ж) при Es<kT:
4 kT 3fi>2kT
В условиях полного вырождения концентрации элект-
электронов дается формулой (по-прежнему при Ес — 0)
При Ев > F и пг@)—тп отсюда получается результат,
справедливый для квадратичного изотропного закона дис-
дисперсии:
16. Используя результат предыдущей задачи, находим
Выразкая F через концентрацию, прпходпм к следующему
выражению для min'.
64

Эффективная масса тп* для закона дисперсии A.3ж)
равна
Найденные массы связаны соотношением
Для квадратичного закона дисперсии min = m* = m@).
17. Из условия нейтральности п = р ¦{- N& при р < п
получаем
iVc exp TJ = iVd{l+ ?d exp tj ¦ exp [{Ee - Ел)/кТ\}~\
Решение полученного уравнения, квадратичного относи-
относительно ехр г\, дает
ехр ц = Bgd) -1 ехр [- (Ее - Ed)/kT\ X
X {[1 + i(NdgJNc)exV((Ee - Е*)/кТ)]^ - 1},
откуда
1 [{I + 4 (ЛГ^/ЛГс) X
1/]Ь
При Т-+0 имеем iVc« iVdexp [(Et-Ed)/kT] и
При более высоких температурах,
iVd exp [ (?е — Ed) /kT], получаем
F = Ec-kT\n{NJNd).
когда
Ш////////////А
Таким образом, при повышении температуры уровень
Ферми сначала возрастает от
(Ес + Ed)/2, а затем, пройдя
через максимум, начинает
почти линейно убывать с тем-
температурой до тех пор, пока
концентрация дырок не ста-
станет заметной. Примерный ход
уровня Ферми показан на
рис. 18.
18. Из решения предыду- рис 18 Температурная зави-
щей задачи видно, что уро- симоСТЬ уровня Ферми при-
вень Ферми совпадает с месного полупроводника.
5 В, Л. Бонч-Бруевич и др. 65
Г,

уровнем примеси, когда
A/2*,){A + A(gdNVAreG\))exp[(ft- Ed)/kT])i/2 - 1) = 1
(см. рис. 18). Это происходит при температуре, определяе-
определяемой уравнением
кТх -(ft- Ed)[^ФВД) W^l [B* + II - I]}].
Обозначив kT0 = Ec — Ed и у = TJTU получим
у = \n[Nc{T,)/Nd] + In {[B^ + IJ - 1]/4gd} -C/2)Iny.
Для рассматриваемого случая
Го = 116 К, Nc(Ta) = 2,5 ¦ Ю" см-8.
Таким образом, уравнение имеет вид
у = 6,62—1,5 In у.
Его решение есть у = 4,4, следовательно, Tf = 26,2 К.
Концентрация электронов при этой температуре равна
п = Nc(Г„) !/-3/2 ехр (-2/) = 3,3 • 1015 см.
19. Из условия нейтральности п — Nf получаем урав-
уравнение для концентрации электронов
п2 + nnjgi — ndNJgd = 0, nd = Nc exp [ (fi^ — EJkT],
откуда
n = BЫ [(и* + 4gdidNdI/2 - nd].
При низких температурах (когда nd < 4»^)
га = (ndNJgdI/г = (iVdiVc/|-dI/2 ехр [ (Ed - Ес) /2kT].
Если же nd > kgiNp, то п = Nd.
При 300 К в Ge имеем пДЗОО К) = 7 • 1018 см,
4^iVd = 1,6 ¦ 101в см-3.
Таким образом, nd > AgdNd и
¦ п = Nd = 2 • 10'5 см-3.
20. Нижняя температурная граница определяется не-
неравенством
nd > igdNd, nd = Nc exp [ (Ed — Ес)/кТ]
и находится из условия
Отсюда
г, = (ft - ftj/* in
Верхняя температурная граница определяется требова-
66 . .

нием, чтобы собственные концентрации были малы по
сравнению с примесными
П;< П.
Поэтому верхнюю границу найдем из уравнения
N<-Ncexp[-(Е.-Ev)/2kT], EC-EV = A- IT.
Она равна
Тг = (Д/2А)рп [Na(T2)/Nd] + \llk\-\
Введем следующие обозначения:
T'0={Ea-Ed)lkx Tl = A/2k,.
Vi^T'jT» уг = Т°0/Т2.
Тогда для определения границ имеем два уравнения:
yi = ln[Nc(T'0)/igdNd]-C/2)lnyir
у2 = In [No (Tl)/Nd] - C/2) In уг + K2k,
Для германия эти уравнения приобретают вид
у4 = 5,05—1,5In уи уг=* 14,93—1,5Inyz,
поскольку *)
г;-116 к, г;-^б.ю'к,
Nc (Т'о) = 2,5-1018 см, Nc (Tl) = 6,0-Ю20 см.
Из этих уравнений получаем "
^ = 3,27, у,-11,29,
Т, = 35 К, Тг = 400 К.
21. Аналогично решению предыдущей задачи для
InSb имеем
А = 0,026 эВ, \ - 2,7 • Ю-4 эВ • К,
Nc (Т'о) = 3,5 • 10" см, ЛГС (Г'о) = 5,2 • 10" см.
Отсюда получаем уравнения
у,--3,82-1,5 In у„ i/2 = 7,13-l,51ny2.
*) Разумеется, температура То имеет лишь чисто формаль-
формальный смысл,
Ь* 67

и окончательный ответ имеет вид
yt = 0,078, yt = 4,78,
Г, = 149 К, Тг = 316 К.
22. Условие нейтральности записывается обычным об-
образом:
iVcO1/2(n)> Nd A + gdехр [(F - Ed)/kT]}~1,
H-\F-Ee)/kT,
а для интеграла Ферми можно использовать приближен-
приближенное выражение (П. 4)
В результате приходим к уравнению
ехр 2ц + gj1 A - 0,21 Nd/No) exp [- (Ec - Ed)/kT] exp tj -
- {NdlgdNo) exp [- (?c - Ed)/kT] = 0,
решение которого имеет вид
exp Ti= exp [- (Ев - Ed)/kT] ¦ [ {D^)~1 A - O^lN./NcJ +
+ (Nd/gdNc) exp [(Ее - Ed)/kT)}1/2-Bgd)-1 A-0,27^/Л^)].
Отсюда
+ (Nd/gdNc) exp [(Ec - Ed)/kT\f2- Bgd)-1(l-0127Nd/Nc)\.
При Т -*¦ 0 справедливо неравенство ,
@,27J^/4^c < exp [(Ec - Ed)/kT],
поэтому
F = (?. + ?„) /2 + (?772) In (Nd/gdNc).
Если концентрация достаточно велика, уровень Ферми
может в определенном интервале температур попасть в
зону проводимости. Условие
У
2MG'0)] A)
определяет температуру, для которой уровень Ферми
совпадает с дном зоны проводимости. Мы ввели здесь
обозначения
у - ехр [(Ей - Ed)/kT], То - (Е. ~ Et\/k,
68

При малых концентрациях доноров уравнение AJ вооб-
вообще не имеет корней, и в этом случае уровень Ферми
не попадает в зону.
Исследование уравнения A) удобнее проводить, пе-
переписав его в виде
У =-
(In y
f\
B)
где К = l,27Nd/gdN,.(T0)—параметр, пропорциональный
концентрации доноров. Примерный ход кривых, описы-
Рис. 19. К определению
критических значений тем-
температуры и концентрации
примеси, при которых уро-
уровень Ферми попадает в зо-
зону проводимости.
ваемых левой и правой частями уравнения B), при раз-
различных значениях параметра А показан на рис. 19, где
fi(y)~y, a /г(г/) = А,Aпг/K/2 — glX< Из рисунка видно, что
при концентрациях примеси, меньших некоторой критиче-
критической концентрации NdP, уровень Ферми не попадает в
зону проводимости ни при каких температурах. При кон-
концентрациях, больших критической, имеются две точки
пересечения кривой, описываемой правой частью уравне-
уравнения B), с прямой, заданной его левой частью; этим точ-
точкам пересечения соответствуют две температуры, огра-
ограничивающие интервал, в котором уровень Ферми распо-
расположен в зоне проводимости. Совместное решение урав-
уравнения B) и уравнения
/ОЛ /О Y /Тп тЛ 1/2 I-,, /QV
— \ОА/и) AД У) /у \*-'/
определяет критическую температуру Гнр и критическую
концентрацию доноров, соответствующую касанию дна
зоны проводимости уровнем Ферми. Подставляя величи-
величину Я из уравнения C) в уравнение B), получаем урав-
уравнение для определения критической температуры:
-1 2
При gа = 2 решение последнего уравнения есть yKV = 5,2.

Таким образом, в германии (см. задачу 20)
" " " гГ = ехр(Г„/:Гкр) = 5,2,
Г«р = 771п 5,2 = 116 К/1,65 = 70 К;
Для InSb получаем (см. задачу 21)
Гр = 11,6/1,65 = 7 К, N7 « 1,5-1015 см~3,
23. Оценим границы температурного интервала, в ко-
котором концентрация дырок постоянна и равна Na. Как
и в эадаче 20, нужно решить уравнения
у, = In [Nv{T'0)/igaNa] —Ъуг-12,
Для кремния
Л = 1,21 эВ, 1 = 2,8 • Ю-4 эВ ¦ К;
Т'о = (Еа - Ev)/k = 520 К, Т'о = Д/2А = 7020 К;
При этом уравнения принимают вид
у, = 4,18-1,5 In уи уг = 11,09-1,5 In ys.
Их решения таковы:
Vi = 2,69, у, = 7,98;
Tt = 194 К, Т2 = 879 К.
Таким образом, при комнатной температуре р — Na =
= 1017см~3. Удельное- сопротивление материала равно
Р = (реЦр)"' = 0,62 Ом ¦ см.
При 30 К концентрация дырок есть
р = (NaNJgaI/2 ехр [- (Е. - Ev)/2kT] = 3,2 • 1013 см"'.
24. В примесной области концентрация свободных
дырок мала, а уровень Ферми лежит в верхней половине
запрещенной зоны, так что
N7- Na {1 + ga ехр [(Еа - FykT]}-1 ж Л^а,
Поэтому уравнение нейтральности имеет вид
79

где nd — Ncexp[(Ed — Ec)/kT]. Отсюда
n - Bgd)-1 {[n2d + 2gdBNd - Na) nd +
При низких температурах (когда nd < Na)
п = (Nc/gd) {NJNa - 1) exp [- (Ec - Ed) /kT],
и,- следовательно, искомая энергия активации равна
Е,-Ел. . . . . '
25. Из результата предыдущей задачи, считая, что
2gd (Nd - Na) nd/(nd + gi!VaI < 1,
получаем
n —
26. При 25 К имеем Nc = 2,5 ¦ 10" см, a nd •¦
— 2,4 • 1015 см. Таким образом,
и можно применить результат предыдущей задачи;.
n&i+d~Nnn = 1,1-1015см~8.
27. В области низких температур, Т<Ти ив области
высоких температур, Т > Тг, зависимость In n от темпе-
tn/7,
f/r
Рис. 20. Температурная зависимость концентрации частично ком-
компенсированного полупроводника.
ратур.ы имеет дид In п = const — EmT/kT, где^ Еют — соот-
соответствующая энергия активации (рис. 20). В интервале
Ti < Т < Тг концентрация электронов практически не из-
изменяется и равна Nd — N9,
71

28. Нижняя граница области определяется из условия
(NJgt) (Nd/Na - 1) exp [- (Ее - EJ/kTJ ~Nd- Na,
определяющего точку пересечения плато, соответствующе-
соответствующего п = Nd — Na, и продолжения низкотемпературного уча-
участка кривой зависимости In n от 1/Т. Отсюда
Тх = (Е, - Et) Ik In [NcG\)/giNa].
Верхняя граница определяется собственной концентра-
концентрацией электронов:
п = Nc exp [- {Е„ - Ev) /2kT2] = Nd- Na,
так что
Тг -'(А/2А)(In [Nc(T2)/(Nd - Na)] + %/2k}-\
Для кремния с мышьяком и алюминием имеем
Ес - Ev = А - \Т = A,21-2,8 • 10-4Г) эВ,
Т"о = M2k » 7,02 • Ю3 К, у2 - Го'/Г,.
Используя заданные значения параметров, приведем
уравнения к виду
у, = In [ЛГС (T'0)/gdNa] - C In угI2 = 10,3 - 1,5 In yn
у2 = In [7\rc (Tl)/(Nd - Na)] + H2k - C/2) In уг =
= 16,8 - 1,5 In уг.
Решения этих уравнений таковы:
^ = 7,32, уг = 12,96;
Г, = 79 К, Т2 = 542 К.
29. В случае одинаковых эффективных масс мы по-
получаем
и согласно A.25а)
Случай неравных эффективных масс приводится к преды-
предыдущему, если ввести новые переменные, полагая
ку =
72

Тогда ?n(u)=?e + UsK+X)/2 и pn(Е)= (тхту) 1/г/л%г.
Отметим, что в двумерной системе с параболическим
спектром плотность состояний не зависит от энергии.
30. Согласно результату предыдущей задачи концент-
концентрация электронов дается выражением
U(E)dEi
Ее
где /„ есть функция Ферми,
Вычисление интеграла дает
п =(mkT/n%2)ln {1 + exp [(F - Ec)/kT]}.
В отсутствии вырождения F—Ес<0 и IF — Ec\/kf> I;
при этом
- Ec)/kT],
и, следовательно,
Nc = mkT/n%*.
При Т = 300 К и т = т0 это дает Nc ~ 0,98 • 1013 см~2.
31. Согласно A.27) мы получаем
р„ (Е) = (lfm/nh У2) (Е - Ес)~1/г.
При этом в отсутствии вырождения
п ¦¦
Вычисляя интеграл, получаем
п -A/Й)УтоЛГ/2я exp [(F-
т. е.
32. С учетом соотношения N = N0 + Nl + N1 из A.31а)
получаем
iV0 = goNz-\
N2 = gzNz-1 exp [BF - 2?t - U)/kT],
где
73

При F<EU Ei — F.>kT имеем
El<F<Ei + U и F — Eu E\
N, « N, Na & Ni« 0, a npn F >
&N, Nl
U F
EfU
N
EfU
-3
Рис. 21. Зависимость концентра-
концентраций пустых (а), одно- (б) и дву-
двукратно-^) заполненных центров
от положения уровня Ферми при
низких температурах (схематиче-
(схематически).
N2 & О, при
получаем
почти все центры запол-
заполнены двукратно, iV0 « iVi «
« 0, N2 » ЛГ.
Зависимости концен-
концентраций iV0, Л', и Л72 от по-
положения уровня Ферми
схематически представле-
представлены на рис. 21.
33. Примесный центр
может находиться в трех
зарядовых состояниях: +е,
0 и — е, которые отвечают
заполнению центра 0, 1
пли 2 электронами. Соот-
Соответственно N+ = N,,, № =
= JVj и N~ = N2, где Л'о,
7Vt и Л'г даются выражени-
выражениями, полученными в пре-
предыдущей задаче. Положе-
Положение уровня Ферми опреде-
определяется из условия ней-
нейтральности
N+ = N~,
откуда следует, что
?» = ?2Х
Xexp[BF-Ea~Ed)/kT]
или
+ (kT/2)ln(go/g2),
Видно, что при go = gz уровень Ферми расположен посе-
посередине между уровнями примеси и не зависит от темпе-
температуры. При go *& gz имеется слабая температурная зави-
зависимость уровня Ферми.
34. В условиях полного истощения доноров уравнение
нейтральности имеет вид
Л', + 2N2 = Nd,
где выражения для Л7, и Nz приведены в решении
74

задачи 32. Введя обозначения
x = exp[(F-Et)/kTl l =
мы придем к уравнению
При не слишком высоких температурах, когда Ег — E
> kT, значение g< 1. Тогда в области g < 1 получаем
В области 1 < q < 2 имеем
Концентрационная зависимость уровня Ферми схемати-
схематически показана на рис. 22.
35. При наличии в образ-
образце полностью истощенных
мелклх доноров и заполнен-
заполненных акцепторов уравнение
нейтральности имеет вид
B-?M,
Введя обозначение
v = (N + Nd-Na)/N,
где интервал 0 < v < 2 охва-
охватывает всю интересующую
нас область легирования мел-
ними примесями, мы видим,
что задача по существу
сводится к предыдущей,
если q заменить на v. Со-
Соответственно искомая разность уровней Ферми равна
Рис. 22. Зависимость уровня
Ферми от концентрации ред-
редких доноров в полупроводнике
с глубокой примесью, создаю-
создающей два акцепторных уровня
(схематически).
где Vi = 1 + NJN, a
ванном акцепторами
kT In [g\ (Vl - 1) A -v 2)/gog2 B - Vl) va],
v2 = 1 — NJN. В образце, легиро-
уровень Ферми лежит в нижней
75

половине запрещенной зоны, т. е. обычно это — полу-
полупроводник р-типа с концентрацией дырок, равной р =
•=*Nvexp[(Ev — F2)/kT], где F2 — уровень Ферми в этом
образце. Аналогично, при легировании донорами обычно
имеем полупроводник n-типа. Отношение концентраций
основных носителей заряда в рассматриваемых образцах
равно
п/р = {ЯМ exp [(F, -Ev-Ec + FJ/kT] =
ртт,
"Ч (l-W-vJ XP kT
36. Используя результаты задач 34 и 35, мы можем
написать:
F = Еа + kT In [?, (v - lOft B - v) ].
При gi = ё'г= 1> v = 1,3 имеем
F«?:o + 0,3 эВ.
Концентрация дырок в валентной зоне равна
р = 5,1 -1013 см"'.
37. Поскольку уровень Ферми расположен глубоко в
запрещенной зоне, имеем
n = Ncexv{-(Ec-F)/kT]f
№sb = 1/2Nsbex1?[-(ESb-F)JkT]f
Nlb/n = (NSbl2Nc) exp [(Ee - ESb)/kT].
Отсюда при 300 К получаем Nsb/n& 6,5 • 10~3, при
77 К получаем Nlb/n«0,3 и при 4,2 К получаем
Л1ь/««4,6-1012,
38. Как было показано в задаче 34, в указанных усло-
условиях уровень Ферми смещается от одного уровня приме-
примеси к другому, и
о2/0, « и,/га, = exp [(Et - Et)/kT] = exp(U/kT)_.
Отсюда
U = kT In (Oa/Oi)« 0,3 ЭВ.
39. Согласно задаче 34 при iVsb < iVCu уровень Ферми
близок к Еи a Ncu < iV^u, поскольку Е2 — Et> kT.
Таким образом, iV^u да iVsbi и, полагая Еъ — Ei =
76

?„C00 KJ—0,32 эВ —0,26 эВ, получаем
vCu"
¦N*
см
-3
При Л^си < Л^зь < 2iVCu уровень Ферми близок к Ег, и
NZ4ttNCu, a iVc=u=iVSb-iVcu = 2-10ieCM-3.
40. Для того, чтобы обобщить рассмотрение задач 34,
35 на случай полупроводника с четырьмя примесными
уровнями, нужно записать условие нейтральности для
рассматриваемой системы:
Nl + 2Nt + 3Nt-=NM + NSb-NB. A)
Удобно ввести параметр, характеризующий концентрацию
мелких компенсирующих примесей:
Положение уровня Ферми определяется условием A) с
Рис. 23. Изменение положения уровня Ферми при низких темпе-
температурах в германии с золотом, легированном мелками примесями
(схематически),
учетом соотношений A.29). Подобно задаче 34 получаем,
что концентрационная зависимость уровня Ферми при
низких температурах имеет вид, схематически показан-
показанный на рис. 23.
41. В рассматриваемых условиях BiVAu <Nsb<3NAa)
при записи условия нейтральности достаточно учитывать
лишь верхний уровень золота:
Лтди + в - N&b - 2NAa.
77

Введя обозначения
(Na - 2/VAu)//VAU -1-Х, х = exp [(F - Ea)/kT],
получим
¦ gbX/ (g2 + gax) + n
Отсюда
x = Bg3nJNAvl) -'{-? ,K - gtnt/NM +
+ [{g*K + g2n0/NAay + ig,gs(l - K)na/NAVLy>*}. A)
Имеем n0«4,9 ¦ 1017 см~3, т. е. na»iVAU и х =
= A — KyN^Jriii, а концентрация равна
n = Иоа; = (i _ K)NAn = iVsb - 2iVAU = 2 • 1015 cm.
Таким образом, в рассматриваемых условиях верхний
уровень золота почти полностью ионизован.
42. Поскольку iVAu < iVsb <27VAu, условие нейтрально-
нейтральности имеет вид Nju + n = Nsb — -^au. Соответственно
положение уровня Ферми определяется выражением A)
предыдущей задачи, в котором
AU, n0 = Ne exp [- (Е„ - E2)lkT\
a gi, gs заменены на gu gz. Имеем n0«1015 cm,
no/NAxx « 0,2, и, полагая gt = g2 = 1, находим х ~ 0,5.
Таким образом, искомая концентрация равна 5 • 1014 см~3.
43. Поскольку при рассматриваемой низкой темпера-
температуре По < Л'дц, положение уровня Ферми нетрудно найти
из общего выражения для х, полученного в задачах 41,
42. Имеем .,..-
No, - NAU) /gt
Отсюда ¦ .
n = [gi (NSb - NAa)/g2BiVAU - No,)] Nc exp [- (E. -
—Et)/kT\ » 10-223.
Разумеется, подобная концентрация ненаблюдаема. Физи-
Физически гораздо большая (хотя и достаточно малая) кон-
концентрация электронов в зоне проводимости даже при
очень низких температурах создается за счет неустрани-
неустранимой подсветки (см. задачу 59).
44, Условие нейтральности имеет вид -
78

где Nt и N2 даются выражениями, приведенными в ре-
решении задачи 32, в которых U =—Uo, a v — число элект-
электронов на дефект,
Введя обозначение
где Ei — энергия уровня дефекта, отвечающего присоеди-
присоединению первого электрона, мы найдем
B - v)g2 ехр [17ЛТ] хг +-A - v) g,x - gov = 0.
Отсюда
+ 4v B - v) gogt ехр (U0/kT)]l/a) ехр (- UjkT).
В условиях, когда С/о > kT, получаем
X =
¦ ехр —
2kT
Р = Ег- UJ2 - (кТ/2)Ы \?лB\-г
Уровень Ферми слабо (логарифмически) зависит от кон-
центра-ции мелких примесей во всей области, где дефекты
Fn
Рис. 24. Зависимость уровня
Ферми от концентрации мел-
мелких примесей в полупроводни-
полупроводнике, содержащем дефекты с от-
отрицательной энергией корреля-
корреляции (схематически).
1 v
рассматриваемого типа играют основную роль
(см. рис. 24).
45. Используя результат предыдущей задачи, находим
F (v2) - F (Vl) = - {kT/2) In tBv2-a - l)/Bv1~1 - l)].
В ' рассматриваемых условиях Vi = 4/3, v2 = 2/3 и
FD3-l)8 10-2 эВ.
79

Температурное смещение уровня Ферми определяется
выражением
F(T2)-F(Tt) = (k/2) (Тг - Tl)lnBv-1 - 1).
Отсюда при v = 4/3, g0 = g2 = 1 имеем
FC00 K)-FA00 К) =6-Ю-3 эВ.
Глава 2
РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ'ЗАРЯДА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
46. Релаксация неравновесной концентрации описыва-
описывается уравнением
dAp/dt = — Ар/т,
откуда
= Ap(O)exp(-t/x),
т = (h - f0 /In [Ар (*,) /А/. (*,) ] « 4 • 1О-' с.
47. В стационарных условиях имеем
g = Ар/т, ? = ч/,
поэтому
Ар — ^Jt = 1014 см
и
Аа0 = еАр(цр + ц„)/епоц„ = (Ар/я0) A + 1/Ь) = 0,15.
48. Затухание неравновесной концентрации описы-
описывается уравнением
— R = dAn/dt = — а[(п0 + An) (А/г + п\/по)~ п\\ =
= а[(АпJ+ п0Аи].
Интегрируя это уравнение с начальным условием An —
=Дп@) при t — Q, получим
at = n^ In [(п0 + An)/ An] + const,
Л ПО*»3.
49. Из формулы B.9) при слабом возбуждении имеем
т == {aNt)i («о + Ро + «t + pi)./ («о + Ре).
80

Вычислим вошедшие сюда концентрацпи:
1 р1 см~а.
Отсюда
N,)~l -(по + ро + 2щ)/(щ + р0]^ 2,9 ¦ К)-' с^с~\
2,5-10-" см1.
50. В наших условиях из B.9) находим
T = (aJ1/V()-1(l + «i/«o}. ' ¦ A)
Так как по условию при Т < 200 К имеем т ~ Т~иг и
аР — vTSp ~ Г1/2, то можно считать, что в этой области
т = («,#,)-'•
Отсюда
vT(Т = 200 К); = 0,96 ¦ 107 см/с,
5Р = 2,6 ¦ Ю-14 см2.
Теперь при Т = 300 К определим п^ из A) и затем
найдем Ео — Et по формуле
Et-Et = kT\n{NJnl).
Имеем
Vr(T = 300K)=147 ¦ Ю7 см -с,
nl = n0(xNtap— 1)'= 9,3 • 1014 см~3,
ЛГв(Г = 30ОК)=1,ОЗ • 10" см-3,
Таким образом,
Ес — Е, = 0,32 эВ.
51. Из формулы B.9) следует, что при малом отклоне-
отклонении от равновесия время жизни максимально при тг0 ** п(.
Тогда в наших условиях
Тмакс = Xnt>Pi/2rii.
Далее,
T2 = T,l0(Pi + /?02)/p02.
Отсюда легко найти /?, п, следовательно, Et:
Pi = Рч2 [ро2Т2/2ге,тмакс — I]-1 = 1,3 • 10" см,
Е, — Е, = kT In (Л^/р,) = 0,26 эВ.
6 8, л. Боач-Бруевич и щ>. 81

Теперь петрудно определить коэффициенты п сечения
захвата:
<%п - (Л^тпо)-1 = pJ{2Ntratssnt) = 4,4 - 10~9 см'с,
а„ . (Ntrpa) -1 = (iV.ti) -1 = 6,2 • 10-' см'с-1,
Sn = aJvT = 3,8 • Ю-18 см2,
5Р = ar/vT = 5,3 -10-fe см1.
52. Выражения для времен жизни в двух наших слу-
случаях имеют вид (см. B.9)):
1 I, , "i , °> An
1 + -Г-Т1ТГ- + .7?--
T0 = (apiV() A-
Отсюда
г . , «1 , ap An
«„
Вычисляя коэффициенты этого уравнения, найдем
пг =Лгс ехр [ (Et - Ес) /kT] - 4,7 • 1015 см,
ii//?o = 4,66, т/т0 = 2,35.
Отсюда искомое отношение сечений захвата, равное от-
отношению коэффициентов захвата, есть
SP/Sn — ap/an « 89.
53. В рассматриваемых условиях времена жизни та-
таковы:
то = (аРЛ^()-1A + appi/ann0), A)
-ci^(aPNl)-l(l + aP(pi + An)/an{n0 + An)). B)
Вычислим вошедшие сюда величины:
Ио=(р0ец,1)~1 = Ю15 см,
Pl = jV, ехр [(Е. - Е,)/кТ\ = 2,5 • 1013 см,
Д ?г/тг0 = Ь (р0 — р) /р A + 6) =0,2.
Из формул A) и B) определим отношение коэффициен-
коэффициентов захвата:
82

Следовательно, a,,/ctn = 0,39/0,089 « 4,4. Отсюда имеем
tpo — т„A + ct.ppja.nns,) ~ 1,8 ¦ 10 с,
т„0 = артп/ап ~ 8 • 10~° с.
54. Прп низких температурах глубокие уровни ак-
акцепторов заполнены лишь за счет компенсации донорами:
Nd = N~ = ю» см, №а = 9 ¦ 1015 см,
Справедливы неравенства №а, АТ> «0, р0, ?гИ pi.
Поэтому, считая уровень возбуждения малым (Дгех
Д/)<СЛТ^), имеем
Д?г = gxn = 10u см-3,
Л/> = Аптр/тп = Дп E„/^) (A^AV-) = 9-10» см,
ге = 0)9 • Ю-6 с;
ap = UnS^/Sn = 1,1 -1СГ9 см3с~г.
55*. Проанализируем общую формулу B.11). При
рассматриваемых, положениях уровней Eh Ez и уровня
Ферми можно считать
Пй/рц < 1, njpa < 1, р2/рй < 1.
С учетом этого имеем
a N,
ш +
1 -г р^р,, ^ 1 + «n2«2/apSP0
Сравнивая эту формулу с эмпирической, заключаем, что
высокотемпературное плато, имеющее место на опыте,
возможно лишь, если
В этих условиях получаем
Учитывая, что /?i = Л71,ехр[(Е„ — 51)/^71], после преобразо-
преобразования находим
2Ntx = (а~? + а-J) -
- (eg/ -a-/) th K^! - Ev)l2kT + (V2) In {anlpJan2Nv)}.
C* 83

Эмпирическая формула имеет тот же вид:
где А = 3,24 • 108 см с, В = 2,48 • 108 см -с, Г,
= 955 К, % = 4,41. Отсюда находим
алг = 2/(A + В) = 3,5 • 10-s см'с,
Po = Nv(anz/ani)exp{—2x) = 2 ¦ 1014 см"',
Et = Ev + 2kT, = ?„ + 0,17 эВ.
Для определения сечений захвата найдем при 200 К
vT = (ЗкТ/т0)т = 0,96 • 107 см • с.
Окончательно,
Snl = aJvT « 2,8 • 10"i5 см2,
Snl « 3,7 • 10-" см2.
56*. По аналогии с уравнениями B.12) можно на-
написать
dАл п Ар ,,,
й Лр Др Др , ДР( . _ . _. . _
B)
В стационарных условиях имеем
Ар = gtr, Apt — Apxjxi, An == Ар A +
Поведение Дп в Ар в процессе релаксации описы-
описывается линейными комбинациями двух экспоненциаль-
экспоненциальных функций времени:
An = А ехр(—
Продифференцировав B) и выразив dAn/dt из A), по-
получим характеристическое уравнение
где tJ1 = %7г + тГ2 + т^. Его корни суть
¦ *,,, = Bт,)-1 ± [Dт|)-г - (т,т,Г1]1Л C)
84

Из уравнепия A) следует, что
а пз начальных условий получаем
Отсюда и определяются коэффициенты; окончательный
ответ имеет вид
57. В стационарных условиях
Ар = gxr = 2 • 1013 см-3,
Ди = Ар A + T»/ti) = 2,2 • 1014 см,
По формуле C) предыдущей задачи находим
А, = 5,02 • 106 с-1, h = 2 • 104 с-1.
Далее, выражения D) той же задачи в данном случае
приобретают вид
An = 2,2 • 1014[0,58 ехр(—kj) + 10,42 ехр(—
Д^ = 2 • 1013 [0,58 ехр (—^0+ 0,42 ехр (—ft,*)] см~
~3
Очевидно, за время порядка 1/&! » тг исчезнет неболь-
небольшая «быстрая» компонента неравновесной проводимости,
а затем будет наблюдаться «хвост», затухающий по мере
опустошения ловушек с характерным временем 1/&2 = т2.
58. В общем выражении B.8) для Apt/Aj> можно
пренебречь в наших условиях величинами р0, Pi и иь
85

Отсюда
ApJAp = apNn/ann0 = 24,
Прп другой концентрации ловушек имеем
Др,/Лр »= 0,24,
т„ =¦(#„• а,)-' = 10-4
т„ = A + Ар,/Hip) тР = 1,24 • 10-' с.
59. Ясно, что концентрацией свободных дырок в рас-
рассматриваемых условиях можно пренебречь. При этом ус-
условие локальной нейтральности имеет вид
п + 3,VIU + 2,VXU = Np, NJ да Nd. A)
В условиях задачи в образце имеются только дважды и
трижды отрицательно заряженные ионы золота. Следо-
Следовательно,
tflu + NZ = NAUf B)
и условие A) можно переписать в виде
n + NZ> = Nd-2NAu*=N*d. 'C)
Через Nd здесь обозначена «эффективная» концент-
концентрация доноров, вычисленная с учетом компенсации.
В стационарных условиях темпы генерации электронов с
трехзарядных ионов золота (gn) и захвата электронов
двухзаряднымп ионами (г„) должны быть одинаковы.
Согласно формулам B.3), B.4) и B.7) мы имеем
gn =- Nt (anrh + JSvnb) /, rn = ann A - /) Nu D)
где в данном случае / = N^/N^ — доля трехзарядных
ионов золота.
Введем обозначение
% = /?! + JSlb/an. E)
Тогда условие стационарности концентрации свободных
электронов дает
«A-/)-%/ = 0г
откуда
/ = п/(п + иГ). F)
86

Следовательно,
W"u = NAan/{n + nj),
п условие (З) принимает вид
п + NAun/{n + n{) = TV*. G)
Отсюда имеем
п = - 4 ("* + iVAu ~ Л'*) +
+ [(п: + ^Ап-КГ;Л + п:Г,У'\ (8)
Пользуясь указанными выше численными значениями
фигурирующих здесь параметров, получаем: ге, < Ю7 см~3,
JS^/an = 10» слГ3 > П1, TV: = 5 ¦ 10» см » JSf /an.
При этом формула (8) с хорошим приближением
приводится к виду
п « JSfN*dfan (yVAu - ЛГЗ) = 10" см.
В отсутствие подсветки (/-»-0) мы получили бы
п = nx,V*/(^Au - N*d) ^ 107 см~3.
Глава 3
ДИФФУЗИЯ И ДРЕЙФ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
60. Используя соотношения Эйпштейна C.7), получим
для германия: Dn — 98 см2 с, Z)p = 46,6 см2 с; для
кремния: А, = 37,6 см2 с, Dp = 13 см2 с,
61. Согласно формулам C.10) и C.7),
{^y
Отсюда получаем
1) ?„ = 0,1 см, 2) ?п = 0,01 см
62. Согласно формуле C.5)
Dn = n\.\nkT/{edn/dy\), A)
где г) ={F — Ec)/kT. Далее, на основании A.5) и (П.З)
найдем
n = {8n/3h3)BmnkT)^43/2, ¦
откуда
. Т1 = Cй78лJ/3Bт,^71)-1?г2/3,
/3/г1/3, B)
§7

Подставив B)" в AJ, получим
А. = (Ь2цп/3етп) C/8я)г/'я2/>.
63. Используя результат предыдущей задачи, получим
А, = 3,6 смг с-1.
64. Используя результат задачи 4 и формулы A.5)',
A.6) и (П.З), найдем
n = (8nQ/№) (8mxmymzI/г (kT) 3/2tjs/2,
или, полагая mln = Qzn(mxmvm1)ut,
п = (8n/3h3) BminkT) v\v\
dn) C/8яJ/3«2/3.
65. Используя . соотношение Эйнштейна и условие
п = р = п{, найдем
+ ilDy) - е A/Ип + 1/ь) е A + Ъ)
66. Согласно формулам C.16) и C.7),
D = 2?> JV (Dn + DP) = 2D/ A
В рассматриваемом случае цР/ц,, = 0,045 < 1," поэтому
D&2DP = 2iiPkT/e = 20,7 см2 с.
67. Уравнение непрерывности в рассматриваемой за-
задаче записывается в виде
п
Его решение имеет вид
Ар (х) = Ар @) ехр (—
где Lp — (Dj,Tp)i/z = 0,2 см. Отсюда находим
Д/>(*) = Др(О)ехр(-«/?,)=• 1,4 • 1013 см.
68. Решенпе уравнения непрерывности
п ?_^_ А? = 0
имеет вид
Ар = &р.@) ехр (—x/Lr).
Так как
Ар,. = Д/?@)ехр(—zJLr), Арг = Д/?'@)'ехр(—хг/

находпм
ApJApz = exp[(.r2 - Xi)
Lp = {x2 — xi)/ln(Api/Ap2)~0,l см.
69. Уравнение непрерывности для данной задачи за-
записывается следующим образом (см. рис. 4):
Граничные условия таковы:
ЛпрП Х
Решение уравнения имеет вид
Ар(х) = gbrp
Из граничных условий С2 = 0 и
- DPCJLP = 8(C± + goTp), Сх = -
так что
Ар (х) = guTP[TpSA - exp {-x/Lp)) + Lp]/(Lt + srP)
и Д/)@)= guTvLt/{Lp -г sxP). В рассматриваемых услови-
условиях имеем
Др@) = 0,88-1012 см-1.
70. Как вытекает из решения предыдущей задачи,
АЛ = ftT, z-i^-, APi = а%тр 1-^_.
= (ip + s2tp)/ (Lp + SiXp).
Отсюда получаем
Lv — x,(si — s-iApJAp^/iAp-JApi — 1) = 0,2 см,
71. Уравнение непрерывности и граничные условия
в данном случае имеют вид (см. рис. 4)
,—-| =sA^U=oi &P-+Q при z->-oo,
89

Общее решение уравпенпя таково:
Ар (х) = —goxp exp (— yx)l{L\f — l) +
+ Сх exp (— x/Lp) + С2 exp (x/L,,).
Определяя константы Ci и Сг из граничных условий, на-
находим
Др(О) =
так как в наших условиях Z/Pf » 1. Отсюда получаем
Ар @) = 0,5 • 10й см-3.
72. Из решения задачи 69 получим
Отсюда находим
Ар (О)/Ар (ос) = LP/(LP + sxP),
или
s = (Lp/xP)[Ap(°°)/Ар@) — 1] = 600 см ¦ с.
= s Ар Uo - /,
73. Уравнение непрерывности и граничные условия в
рассматриваемом случае имеют вид
„ d2Ao Др п г) d Д
dxd тр * dx
Ар -*- 0 при ж -
Общее решение уравнения таково:
Ар(х) — Ci exp(—x/Lp) +
Определяя С4 и С2 из граничных условий, находим
Ар (х) = / ехр (—z/Lp) / (s + Dp/Lp),
откуда следит
JxP/(sTP + LP) = 0,5 -1014 см-3.
74. Уравнение непрерывности и граничные условия
имеют в данном случае следующий вид (см. рис. 4);
d2Ap -Ар
dxz ° тр
d Др
D*
dx
Д^ -> 0 при х
90

Общее решение записывается так:
Ар (х) = Сх ехр (- x/Lp) + С2 exp (x/Lp) —
— goxP ехР (—
Определяя константы интегрирования из граничных ус-
условий, находим
При у -> 0 имеет место равномерная по объему генера-
генерация и
Ар @) = gapLp/(Lp + sxp),
что совпадает с результатом задачи 69. При Lpj > 1 про-
происходит сильное поглощение света на поверхности:
Ар @) = goXp/f (Lp + sxp) = Jxp/ (sxv + Lp),
т. е. получается результат задачи 73.
75*. В стационарных условиях имеем (см. рис. 4)
]пх~^~]'рх = 0, т. е.
т г. d An _ d Ар /-,
где
о = аР + оп, Op = реЦр, ол -
Отсюда находим поле дембер-эффекта:
я? _ е { г, d&n d ApN
е \(г> n'\dAp п
~ i 71 [(О, - Dv) Ар - Dn (Ар - An)]
71
Положим & = &' + & ", где
Если выполняется условие \Ар — Ап\ < Ар, то можно пре-
пренебречь слагаемым В" по сравнению с §'. При этом для
определения Ар — An в уравнение Пуассона можно под-
91

ставить
Концентрацию неравновесных носителей Ар найдем из
уравнения непрерывности
div(DgradA/?)-A/)/x = O, B)
где D — коэффициент биполярной диффузии, постоянный
при слабом отклонении от равновесия, так что уравнение
B) принимает вид
1 - ** = о, L = VWX.
L
dx' L2
Решение для образца толщины много большей L есть
Ар(х) = Aps exp(—x/L), . C)
где Ар, — концентрация неравновесных носителей у по-
поверхности при х = 0. Подставим Ар из C) в A):
\ ар — аи I ь \ип )>)
eDn(l — b~1) ekT (!> — {)
4леМп(+ Ро/Ь) L2
В условиях п0 > Ро получим
| Sp~ &n\ _ ekT(b — 1
Др ~ 4n?2&L
В рассматриваемых условиях имеем
Результат показывает, что требование локальной электро-
электронейтральности в обычных условиях выполняется с боль-
большой степенью точности. Следовательно, для напряженно-
напряженности электрического поля в эффекте Дембера в хорошем
приближении справедливо выражение
е ,n n ,d Ар
8 = - т (Dn - Dv)
а
dx '
76. Из решения предыдущей задачи имеем
92

Здесь Сто = е(цпп0 + \.iPpo) ~ ецпп0. Поскольку по условию
задачи An, Ар < щ и \iPp0 < jin"o, получаем
х \ а\Р 4Ps , / х_
ч Lp)' dx lp ' [ Lv
При х = 0 имеем
Граничное условие при х = 0 записывается в виде
g3 = s Aj3s - Dp (d Ap/dx) \x=0,
откуда находим
aP* -DvlLp + s' dx
Подставив выражение B) в формулу A), получим
# kT(b- 1) 8, _ , q in-4 R . -1
0 = г т>—i r- = 4,O'lU JJ-CM ,
77. Из решения задачи 75* имеем (см. рис. А)
„ ±т_п^1А2 ^Ф g^nCt-b) d&p
О - a \un uv} dx , dx e^ ^ + p^ dx .
Поэтому для толстого образца
kT (b — i) .
фФ-ДА
ф1Ф2-__ДА.
Граничное условие на освещенной поверхности таково:
Отсюда находим
Ар, = gsLp/Dp = gs1bxP/Dn,
kT F — 1) -, ЛТр / ,П-5
При этом Ар, = 1,5 • 10'2 см < га0 = 5 • 10й см"', т. е. ус-
условие Ар, < п0 выполняется.
8, Как показано в задаче 77, разность потенциалов,
возникающая при эффекте Дембера, определяется выра-
выражением
kT (b — i) .
«Pi ~ Ъ - ¦ eb% Af .¦
93

Из решения задачи 76 имеем
а п
Aps=v4+s=s+{Dlibx)v
В итоге находим
«Pi - Ф, - kT 1; П , + (^tTI/1 - 2,5 ¦ Ю-5 В,
Таким образом, из-за наличия поверхностной рекомбина-
рекомбинации разность потенциалов Дф = ср4 — ф2 уменьшается в
1,6 раза.
79*. Пусть g0 — скорость генерации избыточных носи-
носителей в объеме образца (go — J"i)- Уравнение непрерывно-
непрерывности имеет вид (см. рис. 5)
,-. d2Ap . Ар п
а граничные условия —
п dAp
dAp
= sAp \x=0, Dp -j~ x=d = —s Ар |x=d.
Решение уравнения имеет вид
Ар = gaip + Ci exp(—x/Lp) + Сг exp(x/Lp). (If
Коэффициенты d и Сг находим из граничных условий:
= SJ? т ? (Z?p+
Р ~ (^р + »^рJ ехР (^^р) + (DP ~ *р) ™Р (- d/L
B)
^sg TL (dv + 'l) + (dp-*l)**P(-*'l)
C)
Используя выражения A), B) и C), находим
В пашем случае вычисление дает А/>@) = 9,8 • 1012 см~3.
80. В рассматриваемом случав Lp =(DPxP)in = 0,07 см,
a d = Q,7 см, следовательно, d/LP = 10 > 1, По этой при-

чине для концентраций неравновесных носителей на ниж-
нижней и верхней гранях имеем соответственно (см. зада-
чу 72)
Л/> @) = &тР з-А_ Ар (d) _ guXp _f?_..
Таким образом,
Ар {0)/АР (d) = {D, + sdLP) I (Dp + s,Lp),
откуда
^f^l Sd^M = 420 см/с.
81. Уравнение непрерывности в данном случае приво-
приводится к виду
г, d Ар ~ d Ар Ар г, , г,
или
d*Ap
dx* '
На больших расстояниях от точки инжекции неравновес-
Ар
\АРо
Рис. 25. Распределенпе неравновесных дырок в нитевидном образ-
образце при стационарной инжекции в электрическом поле.
ная концентрация Ар должна обращаться в нуль. Уравне-
Уравнению удовлетворяют решения вида (рис. 25)
_ | Ар0 exp {klx)l z<0l
Р~(Ар0 exp (kixI x > 0j
где
95
значение Д^ в точке инжекции х = 0.

Введем обозначения: l — kTle&, Lg =
дрейфовая длина). Тогда легко найти
В наших условиях
/ = 5,2 ¦ Ю~3 см, Lg = eSLl/kT = 1,57 см.
Так как l/Lg < 1,, то можно считать, что
к1 » 1/1г к z « — \jLs.
82. Дрейфовая длина дырок равпа
Используя соотношения
L, = (DPrP) u\ Dp/n, = kT/e,
получим
Ls = Ь;е<У//гГ==0,95см.
83. В нашем случае Lg^>I (см. решение задачи 8!),
поскольку
Ls = LleSlkT = 3,9 см, Z - АГ/eJT = 2,0-1(Г3 см,
и поэтому ионспо пренебречь диффузией по сравнению с
дрейфом. Следовательно,
ИЛИ
Отсюда находим
In [Ар (О)/Др (а:)] =- 146 см.
84. Поскольку Lg~^>l (см> задачи 81 ц 83), имеем
Следовательно,
Д/} @)./Д/> (ж) == exp {e&xlkT\.
96

Отсюда получаем
х = (kT/eff) ln[Ap (О)/Ар (z) ] = 10"' см.
85. Распределение неравновесных дырок в пренебре-
пренебрежении их дрейфом имеет вид
Ар = Ap(Q)exp(—z/Lp).
Отсюда
h @) = - eDPd Ap/dx\x=0 = eDpAp @)/Lp.
Используя формулу jp(O) ==%]', найдем
Ар @) = \Lv]leDP = 1013 см"'.
86. В отсутствие прилипания (Агг — Ар) п пренебрегая
дрейфовой компонентой дырочного тока, имеем
jp = — eDpd Ap/dx — j\ exp (—x/Lp),
]'n = o,i<% + eDn d Anfdx — a^ff — bjp,
Полная плотность тока равна
] = /,. + /, = о^ - (b - 1) 1/ exp (-x/LP).
Отсюда определяем напряженность поля при х = 0:
= 07о„)[1 +{Ъ- 1)|] = 0,025 В • см-1.
Дырочный ток 'проводимости будет мал по сравнению с
диффузионным током, если ^\ip<.Dp!LP, плп <S <^kTJeLp.
В наших условиях это неравенство выполняется.
87. Уравнение непрерывности в данном случае прини-
принимает вид
Умножая его на 2 d Ap/dx, получаем
откуда
3aDp
=const'
Поскольку при х ->- °° должно быть Д/> ->¦ 0 и d Ap/dx -*¦ 0,
то const = 0. Принимая во внимание, что концентрация
7 В, Л, Боыч-Бруевич и др. .97

избыточных дырок должна уменьшаться при удалешга от
точки х = 0, находим из уравнения A)
где
88. Уравнение непрерывности имеет вид
где
D = («о + Ро) I (no/DP + pJD,,), ]x = G7О - pD)/(nt>/nP + pJn,,).
Для сильного электрического поля <? > 0 решение имеет
вид (см. задачу 81)
где
Запишем дырочный ток в точке х = 0:
h lx=o = ?/ = 1*Ир (А + д/0 ^Jx=o + (eDylLg) Ар @),,
или, пренебрегая диффузией по сравнению с дрейфом,
А,1*.=о = ?7 = ецР(/>о + Л/0<§П*=о. A)
Полная плотность тока равна
/ = U + U = е\хп («о + ДпIГ + e\ip (р0 + Др)^,
откуда
#1«-о=(//еЦр)[йло + ^0 + F + 1)Др@)]-'. B);
Подставляя выражение B) в A), получим
.
Следовательно,
t _ . Л> + Ар @)
откуда
Ap(O)"==S(bree + /?eJ-^. CJ
В нашем случае имеем
Др @>= — 0,11 • 10" см-8.
98

Если | = |о ~po/{bn0 + /?0)', то из выражения C) сле-
следует, что Др@) = 0; такой контакт называется омиче-
омическим. Если в слабо легированном электронном полупро-
полупроводнике осуществляется условие | < ?0 = Ро/(Ьпа + р0), то
при наложении сильного положительного поля происхо-
происходит обеднение прпконтактной области неосновными носи-
носителями. Это явление носит название эксклюзии носите-
носителей заряда.
89. Исходное уравнение таково же, как в предыду-
предыдущей задаче, но распределение Ар(х) (см. задачу 81)
иное:
= bp(O)exv(-e\&\z/kT). AJ
Дырочный ток в точке х = О равен
U@) = ?/=-* 1Ро + &Р@)]Ир \&\-eDp ^Ц,
или, учитывая A),
Ш = У = -ераЦрШ. B)
Электронный ток в точке х — 0 есть
eD
-п?Ьр(Р)е\&\ =
|^|. C)
Складывая выражения B) и C), находим
I = ь @) // = ро[Ьщ + Ро + гъ АР @) ]-'.
Отсюда Ар@) = {2Ъ?)-1[A-Ъ)р0-1Ьп0]. Если |«1, то
Д(О) A6)/2Ь1
В нашем случае
Др@)==2,9-1012 см"а,
В слабо легированном электронном полупроводнике,
к которому в точке х = 0 приложено сильное отрицатель-
отрицательное электрическое поле (т. е. направление поля таково,
что дырки движутся к электроду в точке х = 0), при ма-
малых коэффициентах инжекцип | происходит накопление
неосновных носителей — дырок — в области вблизи элек-
электрода.
90. Из определения коэффициента пнжекцпп следует
откуда
7-@). = /,@)A-1)/1.
7* 99

Плотность дырочного тока в точке х — 0 равна
Учитывая, что в рассматриваемом случав
Ар {х) = Ар @) ехр (—x/Lp),
имеем
U@)=eDpAp@)/Lp.
Для плотности электронного тока в точке х = 0 получим
/в@) = е0,Др(О) A - ?)/!?, = 1,68 мА • см.
Глава 4
ДИФФУЗИЯ II ДРЕЙФ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
91. Напряжение Fh п поле е?н определяются из усло-
условия jy — О. Пренебрегая в уравнении D.1а) членами по-
порядка Я2, получаем
U =
U = 0 = env»a (&и + &гцпНН/с).
Отсюда
ё> у = - &*ЦпцН/с = — (]'х/епоЦп) Цпп
и
Ra = Riu = -|1пн/(е/гои„) == 7,38 ¦ 103 см3 ¦ Кл,
FH = - (u.nH/j.i,,) (ajjl/ещс) = 3,7 • Ю-3 В.
92. Из уравнения D.2а) следует ($ = \.1ряП/с), если
пренебречь членами порядка II3,
&v = №*, h* = &ll Рг( !)]
Отсюда ввиду малости относительного изменения р = 1/а
имеем
и т]р = 1,3. По формуле D.3) Raa = c$/ojl, поэтому р2 =
= (ЙвоОпН/с)г и, согласно определению D.5),
С = tjp - 1 = 0,3.
Это значение ? характерно для рассеяния дырок на аку-
акустических колебаниях решетки.
100

93. Возьмем ^-компоненту суммы уравнений D.1а) и
D.2а):
О = /п» + ]'ру — е (пцп + p\ip) &у + е {пцп\Хпя — Plh\hv) S"xH7c.
Отсюда
&у = (р — пЪг) &х\урцН/с (р + пЪ).
По формуле D.3) получаем
Н
(р + nbf V-p e
Определим величины р и п из условия нейтральности:
р = п + Na = Na + п\/р\
отсюда
р = NJ2 + У N1/4 + п\ = 5,47.10" см,
Выбранный знак корня отвечает условию р > 0; п —
= 0.47 -10!6 см.
Окончательно получаем
Дн = -1190 см3 Кл-1.
iM. При /?н = 0 обращается в нуль &у, поэтому из
формул D.6) и D.7) находим
При малых р нз условия /„ = 0 следует
Рассматривая ^-компоненту суммы выражений D.6) и
D.7), получим
U = пе\ап$я[1 - Ь2$> - Ьр(р - пЬг)/(р + пЬ)] +
+ ре\хР&х[1- р2 + р2 (р - пЪг)I(р + пЬ)].
Отсюда Ао/о0 = -рп$Ц1 + ЬуЬ/(р + пЬ)г, и
$ - -(До/о„) (с/Яноао//J = п/
101

95. Интегрируя уравнение D.12) по j от х = 0 до
х — d (см. рпс. 7), находим
О = oa&yd + е//.(цпН + ирН)?рДга@)/с.
Так как образец — куб, то Syd — УФШ, и
JW = - рое,В A + b) DpДп @) = 2,5 • Ю-4 В.
96. В данном случае имеет место компенсация ФЭМ
напряжения изменением падения напряжения за счет фо-
фотопроводимости (ФП). Интегрируя уравнение D.12),
удержим лишь слагаемые порядка
Д/г = Д/7 = Дге @) exp (—x/Ln),
учитывающие влияние генерации на грани х = 0. По-
Получим
Отсюда
97. Из уравнений D.8) —D.12) следует, что для до-
достаточно толстого образца гс-тппа
Ап(х)= Дге@)ехр(— x/Lp), Lf = iDrxv,
i\p(x)=
Отсюда, поскольку отклонение от равновесия мало, имеем
Далее, уравнение D.12) в нашем случае можно записать
в виде
Полный ток в направлении у равен нулю, поэтому, ин-
интегрируя по х, находим
Подставляя этот результат в A), получаем
1 Г "n 6-d
= КГ" с, т„ = 1(Г6 с,
102

Глава 5
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
98. а) 0,72 ¦ Ю см; б) 2,9 • Ю см; в) 1,5 ¦ 10"' см;
для металла оценка дебаевской длины по формуле E.8)
дает величину порядка 7 • 10~8 см.
99. Уравнение Пуассона и граничные условия в рас-
рассматриваемом случае записываются в виде
Г
Г [1 - ехр $], (I)
О, g + О при *^сх>, B)
<р = <р« < 0 при х = 0.
Отсюда
где
LD = (eft?'/4nne2I/2. • . D)
Из уравнения C) с учетом граничных условий B) ви-
видим, что изменение потенциала определяется соотноше-
соотношением
f [expy-y-ir1/adi;= /2 /-. E)
Определим толщину обогащенного слоя L условием
e(p{L)/kT = 1. Тогда (при eqJkT > 1)
E = aLD, F)
где
со
а = 2~1/2 J [ехр v - v - I]72 dv
Мы видим, что даже в условиях сильного обогащения
ширина обогащенного слоя не сильно отличается от де-
дебаевской длины.
100. Ход потенциала вблизи поверхности определяется
уравнением
_? = _^l_exp^JJt A)
103

где LD = (ekT/4npe*)l/i, а граничные условия совпадают
с условиями B) задачи 99. Отсюда
¦ e<r5/feT
f [v — 1 + ехр(— v)]~1/2dv = x V~2/LD, B)
В области, где eq/kT < 1, объемный заряд мал, а при
ец>/кТ > 1 объемный заряд почти постоянен и равен —еп.
Границу области объемного заряда можно определить со-
соотношением ey(iv)/kT = 1, и ширина этой области равна
w = LD2l!i J [v - 1 + exp (- у)Г1/2
LD2~l!i J [v - 1 + exp (- у)Г
коль скоро еф,/АГ»1. Имеем LD = (ekT/ine2p)t/2 =¦
= 1,3 • 10-s см. и w « 5,7 • Ю-5 см.
101. Дифференцируя выражение B) из решения за-
задачи 100 по г, находим
kT
Для приведенных в условии задачи 100 параметров
имеем
Э'1О3 В-см-1.
102, В рассматриваемом случае уравнение Пуассона
следует записать с учетом наличия носителей заряда обо-
обоих знаков:
dxi eL^i \ kTJ п [ ' kT JJ'-
где Ьь — {гкТ/АяпегI/г, а п и р — концентрации элек-
электронов и дырок в объеме полупроводника. Отсюда
B)
Точка х = хи в которой и(ж«)'= р (ж^, определяется усло-
условием
104

Таким образом,
х{ = LD 2~1/2 J [v - 1 + е"" + -f- (в" - v - 1)]/Я dvt
Ч
где v, — eyJkT, Vi — у In (n/p), причем область, где
р(х)> п{х), возникает лишь при v, > vt, т. е. при
qss>(kT/2t)\n(n/p). Поскольку в наших условиях v( > 1
и р > п, имеем
xt« LD 2-1/3 j [у + (р exp y)/n]~1/2 d».
При ve < \n(n/p) вкладом свободных дырок можно пре-
пренебречь, и мы получаем
Xi « U {[2еерЛГ]1/2 - [In (n/p) J1/2} = 1/iZ^.
Принимая во внимание, ¦ что р = пуп, где Я( =
¦= 1,03 • 101С см" (см. задачи 1, 7), отсюда находим
Xi » 1,8 • Ю-5 см.
103. В точке инверсии проводимости выполняется ус-
условие
где п(я<)"= тгехр(еф(/&Г), ф< — потенциал в точке инвер-
инверсии. Отсюда
ф| = (kT/e) In (p2/bnl)f
поэтому
Ф. с. 111 ( Р /Ьс:П;с, ]
104.
^ = —~^з P = e[p{x) — n{x)]1 A)
где
Здесь fti — концентрация электронов (или дырок) в объ-
объеме под областью пространственного заряда.
105

Подставляя формулы B) в уравнение Пуассона A)\
находим
Поскольку
получаем
x* - ф/L?, = 0. C)
Так как потенциал определен с точностью до константы,
мы можем считать его равным нулю в глубине образца.
Далее, нормальная составляющая вектора электриче-
электрической индукции должна быть непрерывна (нет поверхно-
поверхностных зарядов). Поэтому граничные условия имеют вид
(см. рис. 8 на с. 42)
Ф = 0, х -*¦ °°,
8 ~ — е d(f/dx, х = 0 .
Решение уравнения C) имеет вид
Ф (х) — С, exp (—x/LB) + С2 exp (x/LD).
Из граничных условий находим С2 = 0, С^ = <?TZ/D/e и
ф(ж) = (#?„/е)ехр(-:гЯф). DJ
На .основании E.1) и D) получаем
^с = Ес0 — (eS'Lo/e) exp (—a:/LD),
Я, = Eva - (e&Ln/e) exp (-a;/LD).
Скачок потенциала на поверхности равен
е = 0,72 мВ.
105. Уравнение Пуассона и граничные условия в рас-
рассматриваемом случае имеют вид (см. рис. 9 на с. 42)
...
A)
при г-*'00* B')
ПрИ х==0. B")
Здесь р{х) = р exp (eq/kT), р = iVe.
106

Умножим обе части уравпения A) на 2dq/dx п про-
проинтегрируем по ср:
С).
C)
\dx) e ± \ e
Постоянная С определяется из граничного условия B'):
С = —кТ/е. Из C) имеем „(х)
X[exp(e(f/kT)-
Принимая во внимание,
что ecp/kT < 1, получим
где
= 1,5 • Ю-5 см.
Из граничного условия
B") найдем ср,:
F
О
х
Окончательно,
Рпс. 26. Пзпш зон п ход по-
потенциала в приповерхностной
области собственного герма-
ф(*г-)= ния, на поверхности которого
= (<!?LD/e)exp(—x/LD); адсорбирована донорная при-
ф. = 1,9 мВ. ыесь-
106. Аналогично задаче 104 получаем уравнение
где LD = (ekT/8ne2niI/2. Граничные условия (рис. 26)
таковы:
Ф -*¦ 0 при х -*¦ оо,
& — 4n<2s/8 при х = 0,
где Qs = eN. Решение уравнения имеет вид
ф(х) = Сх ехр(— x/L-o) + Сг exp(a;/ZD).
Используя граничные условия, находим
С\ = 0, Сх = AneNLJz.
107

Окончательно,
Ф = DneWLD/e)exp(—x/LD),
Дф = Dл eiVLD/e) = 8,2 мВ.
107. Из граничного условия пмеем
& = AneN/г.
Величину ф8 найдем из условия электронейтральности об-
образца в целом:
где
п(х) = п,-ехр(еф/?Г), р(х) = n,-exp(—
Таким образом,
о
Обозначив е (ф, — &х) /kT = г/, получим
о
N = - BпгкТ!е?) ] sh у dy = ~ Bщ1гТ/е&)сЬ. У \%s/kT =-
- (щ1гТleg) [ехр (еф,//^) - 2 + ехр (- еф,/А21)].
Принимая условие ecfJkT^> 1, будем иметь
откуда
еф, = kT In (i'iTie2N1/ekTni) = 0,32 эВ.
108. Аналогично задаче 105 запишем уравнение
Пуассона:
dx* в
Граничные условия имеют вид
g = AnQJz, Q. = eN при х = 0; B')
ф -»- 0, с^ф/^ -v 0 при а; -»- °°. B")
Запишем решение уравнения A) в виде (см. решение
108

задачи 105)'
где
Величину фа можно выразить из граничного условия
B'):
9Р\ _ rf(P I _ ф* _ ineN. _
& х=о ~fZ\ — г — J > фз — е
Отсюда изменение работы выхода равно
Д0 = ефа>О, <р. =. 1,4 • КГ'В,
т. е. работа выхода увеличилась на величину АФ — еср.=
•= 1,4 ¦ 10~3 эВ. Подставляя <р, в условие eyJkT < 1, нахо-
находим, что это условие выполняется при
N < гкТ/4лег1в,
т. е. в нашем случае при
N < 1,5 ¦ 10i0 см-ш.~
109. В рассматриваемом случае изменение работы вы-
выхода определяется скачком потенциала <р в двойном слое
(см. рис. И):
АФ = —еф.
Здесь ф = 4ялг, m — мощность двойного слоя, m = Nd,
d = el, I — плечо дпноля-молекулы. Таким образом,
Д0 = -AneNd = -3,4 ¦ Ю эВ.
В задаче 107 мы получили, что АФ = — еф0 = — 0,32 эВ.
В рассматриваемом случае, как видно из полученного
результата, изменение работы выхода в 94 раза меньше.
Это связано с тем, что ширина области, в которой на
электроп действует электрическое поле,, гораздо больше
для случая адсорбции ионов, чем при адсорбции диполь-
ных молекул. Действительно, плечо дипольной молекулы
равно I = die ~ 2 • 10~э см, в то время как ширина обла-
области пространственного заряда, индуцированного положи-
положительными нонами, равна
Хо = фа/<? = q>sz/4neN = 2,8 • 10-" см.
Во втором случае электрическое поле совершает при
движении электрона гораздо большую работу, чем в
109

первом, даже несмотря иа то, что во втором случае
электрическое поле примерно в е раз меньше.
ПО. Аналогично задаче 107 запишем
оо
ё = 4леЛ7е, N = \\п (х) — п] dx,
о
где п(х) = п ехр(еф/&Г). Вводя обозначение у =
= е (ф3 — 1Гх) А71, получаем
= -(nk T[eS) \ (exp y-
Прп e<fs/kT > 1 находим
откуда
= 0,2 эВ.
Видно, что в рассматриваемых условиях неравенство
eq>s/kT > 1 действительно справедливо.
111. В рассматриваемом случае (см. решение задачи
110) имеем
откуда
iV = (pkT/e&) exp (вф./ЛТ') =
= {pkTe/ine*)I/2 exp (еф,/ЛГ) = 6,2 • 1011 см.
112*. Имеем уравнение Пуассона
~} = ~ ^; Р = е [Nd -Na + p (x) - п (х)].
Граничные условия таковы:
ф = ф8 > 0 при х = 0,
Ф -*• 0, dy/dx -v 0 при а; -> °о.
В объеме полупроводника
Nd-Na = n-p,
где пир — концентрации электронов и дырок в объе-
объеме, а
п(х) = гсехр
110

Отсюда
р = еп[{ — ехр(еф/?Г)] + ер [ехр( —еф/АГ)— 1],
а так как ир = пь т. е. и/п< = njp = 4, то
р = епАч [1 - exp(V^)J + Г' [ехр(-е<р/*Г- 1]}.
Введем обозначение § —eq/kT, тогда уравнение Пуас-
Пуассона приобретет вид
1
A - е-^Р Ф) + V [exp (- ф) - 1]].
Проинтегрируем обе части уравнения по \]v.
где Ld =Sne2ni/akT, LD—длина Дебая. Константу С
определим пз граничного условия $-*0в d^/dx -»- 0 при
х -*¦ оо. Для константы получаем значение
Итак,
J = L52 [Т (evp т|) -
откуда
Знак плюс следует отбросить, поскольку d(f/dx < 0, т. е.
с ростом х потенциал убывает.
При х = 0 граничное условие имеет вид
где ??]х=о =—d<$/dx\x=*o, Qs — плотность заряда на по-
поверхности. Отсюда
ш

ИЗ*. Из задачи 112*
1/2
Z-Б2 = 8ле2п ifekT, у = n/n4.
По условию задачи п/пг> I и ecp,/kT> 1. Тогда
<?8 » 2вгаЛ) [т exp (eqJkT) ]1/2 = (гкТп/2л)иг ехр (еф
Поскольку Q, — eN, мы имеем
eq>./2kT = In [eiVBn/s-fer/2)t/2] = 5,14.
Отсюда
ефа = 0,27 В.
114*. Если зоны изогнуты вниз, то ф > 0, а если зоны
изогнуты вверх, то ф < 0. Поэтому в решении задачи 112*
следует сделать замену фа -*- —ф,:
Здесь q>s — абсолютная величина загиба зон; -^5 =
= 8ne2ni/zkT; -у = п/щ > 1 и eyJkT = 10 > 1, Поэтому
Q, » 2е?г(^Б [-^ + -у-1 ехр (ecfJkT) + yecpJkT] m *
1/2 = (е«еф/2л)l/2 = 3,37 • Ю"8 Кл • см-1.
Отсюда N = QJe = 2,1 • 10й см"а.
115. Изменение работы выхода электронов равно
АФ — еф8. В нашем случае eq>JkT = 2.
В решении задачи 112* положим f = 1 и заменим ф
на —ф, при этом получим
Qs = eiV = 2en,LD [exp {-eyJkT) + ехр (вф./АГ); -2]1/2,
откуда
Л? = 2n,LD [exp (eq>./kT) + ехр (-е
Здесь LD = (efer/8ne2n,)"'2 = 0,72-Ю-4 см. Таким образом,
N = 0,75 • 10@ см-\
116. В решении задачи 112* сделаем замену ф3 -+¦
-*"—ф5 и учтем, что в рассматриваемой задаче i~nt/p =
113

•= 0,01 < 1 и ехр(ефУ^Г)'= е5 > 1. Тогда
Q. = eN = 2en<LD [г1 exp (e
где ?Б = (еШ8яе2п,I/2. Отсюда
N = е-'(е?2>/2яI/г ex-p(eqJ2kT) = 3,7 ¦ 10" см.
117. Принимая во снимание, что в нашем случае
1Д01 =еф, = 5&Г, ч = п/?г, = 1, ехр(еф,/&Г) = е5»1, из
решения задачи 112* получим
Q, = eiV ж 2e«iLD exp {eq,/2kT),
где 1в = (е/гГ/8яегп,I/2 = 2,9 • 10"s см. Отсюда
N — 2п<1ъ exp (e^JlkT) = 7,3 • 10" см.
118. Поскольку по условию задачи п( = 2,2-1013 см~",
Y == njp = 0,01, eqsJkT — 1, получаем (см. решение за-
задачи 112*)
r V1 = 1,9 • 10"8 Кл • см-2,
где ?п»=(еШ8яе2?1(I/2 = 7,2- Ю см. Таким образом,
* W = <?s/e = l,l -10й см.
119*. В рассматриваемом случае поверхностная про-
проводимость имеет вид (ср. с формулой E.12))
— p]dx,
где р(х)=р ехр(ефДГ), ф > 0, т. е.
00
G = efx* J
s
~ - evlp j [exp (ecp/kT) - 1] {d(f]dx)'ld^ A)
о
Граничные условия таковы:
Ф = Ф, при х = 0, еф, = 0,25 эВ;
Ф -+¦ 0 при х -*¦ оо.
Уравнение Пуассона имеет вид
^^-ХаЪ где Na~pt
В. Л, Боич-Бруевич и др. 113

или
откуда
При х -*¦ °о должно быть ф -*• 0, dcp/dx -*¦ 0, следователь-
следовательно, С = -kT/e и
Подставляя формулу B) в выражение A), находим
р ¦ Г [exp (ecf/kT) — 11 d<p
J [(8лpkT/e) (exp (еф/fef)—eq/kT — 1)J1/2 '
Поскольку по условию задачи eqJkT = 10 > 1, основ-
основной вклад в интеграл дает область значений ф, близких
к фа, и, следовательно, можно записать:
т5
J
[exp (etrtkT) — 1)
о
Отсюда
(^I/2 (S)
ехр
где Z,D = (p)
Подставляя данные условия задачи, получаем ответ
G = 4,4 • Ю-5 Ом-1,
120.
оо
]-р]*г. A)
Из определения поверхностной проводимости и формулы
A) в нашем случае получим
оо
G = efx* j [p (x) — p]dx =
о
*
откуда N — G[e\ivi Qa = eN, Подставляя численные
114

значения для G и f-i^ из задачи 119, найдем
N = 2,8 • 10й см-2; Q. = 4,4 • Ю"8 Кл • см.
121*. Поверхностная проводимость равна (см. форму-
формулы E.12) и E.11))
оо
G = ф„Гп + е}.1рГр = е\хп j |>; exp (eq/kT) — и{] da; +
4 ехр (— ец>;кТ) — n4] dx,
о
или, поскольку по условию задачи щ!кТ < 1,
СО
л' . .
0
A)
Зависимость <f{x) найдем из решения уравнения Пуас-
Пуассона:
d2w 4лр йаф 4яг г / \ / \, /О\
7» = Г- илп Т^ = Г [р № — п(*)!• B)
Граничные условия таковы:
ср == ф„ при х = О,
ф -*• 0 При X -»- оо.
Подставляя в B) выражения для концентраций элек-
электронов и дырок в области пространственного заряда,
найдем
-JE. = _ __J (ехр (- ±.) - ехр (X)) «_^ ф,;
или d^/dx0- = ф/L?,, где ?в = (е/гГ/8ле2?1,I/2.
Решение уравнения имеет вид
Ф = фа ехр (—
Подставляя его в A), находим
откуда
фз==С_ «: - 8лС/-° , 5,2 мВ.
115

122. Согласно формулам E.11)' и E.12)" в рассматри-
рассматриваемом случае поверхностная проводимость равна
оо
G « e\ip J [р (х) — р] dx,
о
где р(х) = pexip{eq>/kT). Отсюда
оо
G=e\ivp\\e^{e^lkT)-i\dx. A)
о
Принимая во внимание, что eq/kT < 1, получаем
(*)<fr. B)
о о
Из решения задачи 108 имеем
(р(х) = ф, ехр(—x/LD),
где LT> = (ekT/ineip)i/z = 1,5 • 10~5 см. Подставляя этот
результат в формулу B), найдем
G = e2nPpq>,LB/kT.
Отсюда ф. = G^7'/(e2|appLD) = 3,6 мВ.
123. Из решения задачи 110 имеем
Согласно условию нейтральности образца
N
о
где п(х)~ пехр(е<р/?Г); с другой стороны,
00
G = e\in J [ п (х) — ri\dx — e\inN,
откуда N = (г/ецп,
Окончательно получаем
еф, = kTln DnG2/ekTn\i2n
124. Граничное условие
Пуассона имеет вид
4л?>, = е
116
) = 0,22 эВ,
в точке х =
Ф3 = 0,22 В.
0 к уравнению
A)
i

где 15 ^—<S— внешнее электрическое поле, е, = 1, <??2
d
dx
и е2 = е = 16. Уравнение Пуассона записы-
записывается в виде
^ = --7"
где п = Ni, или, поскольку eq>/kT <S I,
<?2ф 4ле2яф ф
Интегрируя это уравненпе с граничными условиями
Ф = ф3 при х — О,
Ф -*¦ 0 при х -*¦ °о,
находим
Ф = ф,ехр(—a:/LD),
откуда
фйж = Ф.?в. B)
о
Запишем выражение для поверхностной проводимости:
сю . оо
G = ец„ J [и (а:) — и] da; + фр J [р (а;) — р] dx.
о о
Вторым слагаемым здесь можно пренебречь, поскольку
п > р и гс(;г)>/)(;г) (зоны изогнуты вниз). Используя
формулу B), получим
G = e\inn yJLdx = ецпп -^ LD.
о
Отсюда
GkT/e
ф
= = О,У • 1U О,
Заряд в поверхностных состояниях найдем из гранич-
граничного условия A):
откуда N = 1,1 • 109 см.
117

125*. Запишем условие нейтральности образца в
целом:
оо
Jp (*)<?* + <?. = О, где Qa = eN. A)
о
Граничные условия для уравнения Пуассона d2(p/dx* —
= —4лр/е таковы: ср -*¦ 0, dcp/dx -*¦ 0 при х -»- °°. Для того
чтобы найти сеязь между поверхностным потенциалом
ф3 и поверхностным зарядом Qs, дважды проинтегрируем
уравнение Пуассона — сначала по х, потом по ср:
1
)
n
p
dx = —~-
n
dx =
e
dtp
Из этих соотношений находим
О \1/2
B)
О \ % / '
Подставим B) в уравнение A):
о
2kQ\/e = ( pdcf. C)
Объемный заряд равен
где
Nf = n{l + eip [(F -
Под ^rf следует, вообще говоря, понимать выражение
Ed — kT In gd, где gi — кратность вырождения донорного
уровня, Ed — энергия доноров. В объеме (х Э> LD) l\rt =
= п {| + ехр [- (?d - ^/йГ]]-1» щ так как
В области объемного заряда
п (х) = п ехр (ец>/кТ),
113

и
Вычисляя интеграл j p <Др, получим
- 1 + ехр
Преобразуем выражение
П
+
oxp[-(E'd-F)/kT]
Итак,
= kTn[—e(?JkT—
Подставляя полученный результат в формулу C), на-
находим
2л#/к = kTn[- eyJkT - 1 +ехр И./АГ)]. D)
Рассмотрим два случая:
a) eq./kT< 1.
Из формулы D) получаем
откуда фв = Dл^2/г77егаI/2 = 3,1 мВ.
б) еф.//гГ»1.
Формула D) в этом случае принимает вид
2л(?,?/« да kTn exp (ecpJkT),
откуда (p8 = (A7'/e)lnBne2iV7e1%rn).= 0129 В.
Н9

126. Согласно формулам E.12), E.13) и E.15)'
Цэ.п. = TTji oQ = b(Jb + cvs, oC/ = ejipOi p;
здесь еЬГр = б<?ь. Отсюда
Из E.13) получим
6B. - 69 - bQb = 0,6б(? = 1,08 • Ю-9 Кл ¦ см-1.
127. Согласно формулам E.12) — E.14) имеем
б<2 = б9ь + 69», 69 = CU = 0,51 • Ю-9 Кл • см-2,
6G » ецрбГ„ б(?ь = е6Гр = fiG/Цр = 0,33- 10~в Кл -см.
Отсюда bQ. = &Q - bQb = 0,18 ¦ Ю"9 Кл • см.
128*. Объемная плотность заряда р равна
где
р(х) =рехр (гт/АГ), ЛГГ = р |1 4-ехр [(^-
\Е„ = Еа + kT Ingai E1,, — энергия акцепторов, ^а — фак-
фактор вырождения акцепторных уровней). В глубине полу-
полупроводника (х > LD) акцепторы полностью ионизованы,
следовательно,
N~ = р {1 + ехр [- (F - 1
о
Вычисляя интеграл J р с?ф аналогично задаче 125*, по-
лучим
о
J ^ р &Г [1 - ехр
Подставляя этот результат в уравнение
о
• 2я(?52/е = — j p йф
(см. задачу 125*), имеем
Q. = {(pkTs/2n) [ехр (е<р./*Г). - еф
120

По условию задачи ф, = 0,25 В; следовательно, ey./
« 10 > 1 при Т = 300 К, поэтому из последней формулы
приближенно следует
Q, = (pkTe/2n)i/2 ехр {еуЛЩ,
причем Q, = eN, и окончательно
N = {ркТг/2пегУп е*Р (еуЛкТ) -
- У2>?сехр(«рЛГ)= 1,52 • 1012 сьг2.
129. Вычислим изменение со временем концентрации
избыточных носителей после выключения источника ге-
генерации, который равномерно освещал образец:
? = _^divjPI jp Z)pgradAp, A)
Граничные условия таковы:
Z)f^ = TsAp при г=±а B)
(ось х направлена перпендикулярно поверхности пласти-
пластины). Из A) следует
Уравнение C) решаем методом разделения переменных:
Др-Ф@>(*)'; D)
имеем
откуда
<p dt ¦ xp v 4> dx*
Эту постоянную обозначим через — 1/т, и введем обозна-
обозначение
l/T-1/Tp+l/T..
Тогда уравнение, зависящее от времени, примет вид
Ф dt *" 1 "* *
Его частное решение
E)
121

Уравнение, зависящее от х, имеет вид
Его решение
ф (ж) = A cos [я(т,2?,) -1/2] + В sin [* (т.Д,) /2]. F)
Решение должно быть симметрично относительно точ-
точки х = О, поскольку по условию задачи обе стороны
пластины имеют одинаковые скорости поверхностной ре-
рекомбинации. Поэтому В = О, и из формул D), E) и F)
следует
Ар = A cos[:r(T3?>p)-1/2]exp(-//T). G)
Из граничных условий B) на основании G) получаем
DtA sin [a (t,Dp) -l/2] ехр (-г/т) (тД)„) /2 =
или j-j tg—-—— = ?2.. Введем обозначение t\ =
= a/(TsD,I/2. Тогда
ri tg г| = sa/Dp. . (8)
Трансцендентное уравнение (8) имеет бесконечное чис-
число корней ц (а следовательно, и т„): г],, %, ..., причем
ili < Лг < Лз • • • • Решение уравнения C) теперь может
быть записано в виде
оо
Ар = S ^; cos [а;/(т..?»^I/2] ехр (- t/Xj). (9)
Из (9) следует, что -слагаемые, соответствующие корням
высших порядков, затухают со временем быстрее, чем
решение, отвечающее первому корню. Поэтому для не
очень малых t (т. е. после начального переходного про-
процесса) всеми слагаемыми, кроме соответствующего пер-
первому корню уравнения (8), можно пренебречь. Тогда
1/т, = 1/тр + 1/т.„
где 1/тл = rijDp/a2. В случае малых s таких, что
sa/Dp < 1, в уравнении (8) для наименьшего корня мож-
можно взять tg r| « 11. Тогда
a?/xsiDp •= salDp
и s = a/Tsi = а (т^1 — ^) = ЮО см-с,
122

130*. Вычислим изменение со временем концентра-
концентрации неравновесных носителей после выключения одно-
однородной по объему генерации:
dAp/dt = -Ap/Tp-divjP, A)
где Ъ = —Dp grad Ар. Граничные условия таковы (ось х
перпендикулярна поверхности пластины):
„ дАР .
Dp —— == — S\Ap при х — а,
j-. д Ар .
Up —q— = s2t\p при х = — а.
Уравнение A) решаем методом разделения переменных
(ср. задачу 129):
Ар = (A cos ax Л- В sin ax) exp {—tlx), B)
где а = {XsDpf112, %~l= t^-f xj1. Подставим B)' в гра-
граничные условия:
— A sin аа + В cos аа = —~— (A cos aa -f В sin aa),:
s
A sin аа + В cos аа = D (A cos аа — В sin аа),
или
C)
4(T]tgTi-fc2) + S(u,tgTi + Ti) = 0,
где x] — aa = a/(TsDP)i/2, kt = asJDp, кг = asJDp. Система
однородных уравнений C) имеет нетривиальные реше-
решения, если
+ Л -1
откуда
Трансцендентное уравнение D) имеет бесконечное чис-
число корней iii, r|2, ... Решение B) теперь можно записать
в виде
00
Ар = 2^ \ Aj cos + BjSin 1/а ехр[
123

Так же, как и в задаче 129, оставляем в решении лишь
наиболее медленно затухающее слагаемое, отвечающее
первому корню уравнения D). Тогда
^ E)
Рассмотрим случай T]i<n/2. При этом tgt]!«r|i, и урав-
уравнение D) принимает вид
+ 2ц1 - 2кхк2 - кх - к2 = О,
откуда
Л? = (Ах + 2/сЛ + ua)/(Ai + ка + 2). F)
Из выражения (б) следует, что л, < 1, когда выполня-
выполняются условия &! < 1 и &2 < 1, или
cSi/Dp < 1, as2/Dp « 1. G)
Из формул F) и E) находим
_1_= J_ -Dp si + s2 + 2У2"/ДР
*1 Л a2 S!-r53+2Z)Wa '
или, учитывая неравенства G), .
Если st > s2, то 1/т! = 1/тр + sjla, откуда sx = 2a (xf1 —
— т) = 800 см-с.
131*. Темп захвата электронов поверхностными цент-
центрами рекомбинации равен
где /( — доля ловушек, заполненных электронами, п, —
концентрация электронов на поверхности полупроводни-
полупроводника, n,i — концентрация электронов на поверхности полу-
полупроводника в равновесии, когда уровень Ферми совпадает
с уровнем ловушки, с„ — вероятность захвата одного
электрона, когда все ловушки пусты.
Запишем аналогичное выражение для абсолютного
темпа захвата дырок:
В стационарном состоянии Rn = Rp = R. Находя из
этого условия /, и подставляя найденное выражение
в формулу для абсолютного темпа захвата электронов,
124

получаем
где
p. = р,а + Ар. = р.о exp (-e
га, = га.о + Аи-, — п,а exp(eFJkT).
Здесь Fr, Fn — квазиуровни Ферми для дырок и электро-
электронов, индексом «О» отмечаются равновесные величины
р10 = "> exp (—e\ps/kT), и„0 = «i exp (etyJkT).
Далее,
Р<1 = щехр [(^, -Я,)/ЛГ], «и «= и, ехр [(?, -Et)/kT],
где ^( «=(?, + J5c)/2 + 3/lkTln(mp/mn) (сравните с зада-
задачей 1), щ — концентрация в собственном полупроводнике.
Очевидно, рап, — рп и Рлпл "^ п\> поэтому
Для небольшого уровня инжекции
Вводя обозначение
B)
преобразовывая знаменатель в формуле A) и подставляя
найденное выражение для R в формулу s — R/&n,
получаем
X (eh[(E, -Ei- e^a)/kT] + ch[е(ф. -
Здесь cn=*Ntan, cp = Ntap, где а„ и а, — коэффициенты
захвата электронов и дырок поверхностными уровнями,
равные произведениям эффективных сечений захвата на
тепловую скорость. Поэтому ответ для скорости поверх-
поверхностной рекомбинации можно записать в виде
ch [(?4 — Ei — etyQ)/kT] -}- ch [e (tyf — tyo)/kT\ ' ^ '
125

132*. Из условия экстремума выражения C) предыду-
предыдущей задачи
щ~ -и — wsn
if
X {ch [(Et -Ег-
ch [e (г|>. -
имеем sh [e(if« — \{\)/kT] = 0.
Отсюда получаем, что s = s,raKC прп if, = if» (см. обозна-
обозначение B) предыдущей задачи). Следовательно,
SP/Sn = ср/сп = exp Beio/kT) = 9.
133*. В треугольной потенциальной яме вблизи по-
поверхности полупроводника (рис. 27) уровни энергии Еп
можно найти, воспользовавшись,
например, квазиклассическим ус-
условием квантования (см. Лан-
Ландау Л. Д. и Лифшщ Е. М. Кван-
Квантовая механика.— М.: Наука,
1974, гл. VII):
х„
Ei
I
I
!
Рис. 27. Кваптованпе
спектра электронов в
приповерхностнот потен-
циальной яме.
о
Здесь
J К (х) dx = (п + 3/4) я. A)
^^
кп (х) = У {2т/Ъг) {Еп — Ес(х)),
& энергии отсчптыва-
ются от края зоны проводимости на границе, хп — точка
поворота, определяемая условием Ес{хп) = Ё„, а п — чис-
число узлов волновой функции для данного состояния (в со-
состоянии с наименьшей энергией н —0). Вычисляя инте-
интеграл, получаем
J VEn-E'c(x) dx = 7Г J VEn-E, dEc
Из условия A) находим для энергии ?г-го состояния
8
Давая правильную зависимость энергии от п, это выра-
выражение применимо и при малых п. Для анергии основного
126

состояния имеем
а Ех = G/З)г/3ЕО. При 8 = IW В-см-1, т = 1,8-10-» г
паходпм ?„«62 мэВ, а ?i - ?0 « 0,76?0 « 47 мэВ. Раз-
Размер потенциальной ямы, который «чувствует» электрон
с энергией Еа, есть х0 = EJe<§ « 60 А.
Глява ff
ТЕРМО-Э. Д. С. В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
134. Из формул F.2а), F.3а)', F.36) и F.4) получаем
* — JL
Q
j (df/dE) Er+1dE
Отсюда
В вырожденном случае выражение для а переходит
в следующее:
Для типичного металла, используя значение k/e=
= 86,3 мкВ • К~', получаем акет = —8,2 мкВ • К. Отно-
Отношение термо-э. д. с. металла к термо-э. д. с. вырожденного
полупроводника равно
Такпм образом, вследствие большой концентрации сво-
свободных электронов в металлах термо-э. д. с. металлов
значительно меньше термо-э. д. с. большинства полупро-
полупроводников.
135. Когда температура не слишком велика, так что
концентрация дырок много больше концентрации элект-
электронов, основной вклад в термо-э. д. с. дают дырки (см.
формулу F.6)). В примесной области концентрация ды-
127

рок р0 остается почти постоянной, а термо-э. д. с. поло-1
жительна и равна
а=-
В этой области термо-э. д. с. медленно растет с темпера-
температурой. В собственной области в термо-э. д. с. дают вклад
оба типа носителей:
а =
k (Ъ —
e
12kT
l.^
6 + 1 kl Ь+i k'f
Здесь b — отношение подвижностей электронов и дырок,
a Qn и Qp — энергии переноса для электронов и ды-
дырок соответственно. Вплоть до весьма высоких температур
основную роль в круглых скобках играет первый член, и
поскольку в германии Ь>1, то термо-э. д. с. отрицатель-
отрицательна и убывает по абсолютной величине при возрастанпи
Рис. 28. Температурная зависи-
зависимость термо-э. д. с. полупроводни-
Т ка р-тица в области перехода от
прпмесной проводимости к собст-
собственной (качественно).
температуры. Где-то в области промежуточных темпера-
температур при переходе от примесной проводимости к собствен-
собственной термо-э. д. с. меняет знак. Примерный ход термо-э. д. с.
представлен на рис. 28.
136. Прежде всего найдем границы прпмесной области
для германия р-типа с типичной мелкой примесью
(Еа — Ev^Ofil эВ). Подобно тому, как это делалось в
задаче 20, получаем уравнения
Vl = In [Nv (T'o)/4gaNa] ~ SVl!2t
V% - In [Nv (Tl)/Na] - H2k - Зг/а/2,
где по-прежнему Ев = Д - IT, f0 = (Еа — Ev)jk = 116 К,
^-Д/2й--4,5.Ю8К1 y1=f0/Tlt yt-Tl/Tt. Отсюда
находим (при ga ~ 1)
y1 = 4-l,51nj/1, у, = 2,6, 2\ = 44К,
у» = 13,2 - 1,5 In у„ уг = 9,8, Т% = 460 К.
128

Таким образом, при 200 К уровепь Ферми можно вычис*
лить по формуле
Термо-э. д. с. равна
137. При рассматриваемых условиях уровень Ферми
можно вычислять по формуле (см. задачу 24)
F - Ed + kT In [ (NJN. - 1O*,],
а энергия переноса равна (см. формулу A) задачи 134J
Q* - АГ(г'+ 2)Фг+1 (г)OФ, (т)); = ikT.
Подставляя найденные выражения для F и Q* в форму*
л у (8.1), находим
Отсюда
Ш + kT In ^ = АГ [е|а|/Л - 2 + In (NJN. - 1)],
и при gd = 2
1^1 = 0,2 эВ.
138. Для произвольного эакона дисперсии имеем
j (- dfldE) (dEldkfkiT {E) E dE
Г (—
Для случая сильного выражения, используя разложение
(П.6), получаем
Отсюда находим для термо-э. д. с.
В В, Д. Бонч-Бруевач и др.

Из определения F.5) следует, что значение величины fft
при энергии, равной энергии Ферми, есть fnF = %гк (F) X
X [dk(F)/dF]. Выражая в формуле A) dk{F)/dr\ через
fnF, а к (F) — через концентрацию, мы приходим к сле-
следующей концентрационной зависимости термо-э. д. с. вы-
вырожденного электронного газа:
B)
(Зл3п)в/3
Для полупроводников с законом дисперсии электронов
A.3ж) имеем (см. задачу 16)
mF = m@)[[ + Ш (Зл2>г) 2/7т @) Eg]u\
Подставляя это выражение в формулу B) и используя
численные данные из условия задачи, получаем для ан-
тимонпда индия а — 46 мкВ • К.
139. С учетом поправок первого порядка, возникающих
при учете непараболичности зоны, энергия переноса
равна
оо
j dE (- djIdE) ?г+2 [ 1 + (г - 3) E/Eg] dE
Q*^ J =.
X CO
j dE (- df/dE) Er+1 [ 1 + (r - 3) E/Eg] dE
о
4 1\
+^ фг (r]) + lr _ 3)(r + 2) Фг+1 {ц} kT/Eg '
Отсюда
_ _ 1 L 4- g^ Фг+1 (Л) + (г - 3) (г + 3) Фг+2 (Ц) kT/Eg I
е [^ "*" ' Ф, (П) + (г - 3) (г + 2) Фг+1 (П) «7ЯЯ -'j*
Для сильно вырожденного электронного газа найденное
выражение совпадает с результатом предыдущей задачи,
если в нем провести разложение по степеням параметра
E/Eg, определяющего степень непараболичности зоны, и
ограничиться поправками первого порядка по этому
параметру.
140. Поскольку подвижность электронов определяется
рассеянием на акустических колебаниях, то а « 1, и, по-
полагая 1Ф « 0,1 см, получаем
аф » у.Уц « 10 мВ/К.
130

141. Оценим величину я, определяющую относитель-
относительный вклад рассеяния на акустических колебаниях в под-
подвижность:
а Х (|-1Ю Sb)aa6n/(u.In Sb)Teop * 2 • 10" .
Для отношения «фононных» составляющих термо-э. д. с,
полагая для оценки (^)йв * (^)msb, получаем
(аф)щ Sh ^ "inSb "in Sb Иве ^ ..q-3
(аф)ве ~ aGe ''Ge V-Ы Sb
Таким образом, эффект увлечения электронов фононами
в антимониде индия тг-типа имеет значительно меньшую
величину, чем в германии. Используя значение (аф)Ое,
полученное в предыдущей задаче, находим (осф) и, sb*
« 10 мкВ • К при 20 К.
142. Для носителей с квадратичным законом диспер-
дисперсии из формул F.26), (б.Зв), (б.Зг) получаем в случае
сильных магнитных полей, когда a2 ^ d, qz ^ ^i,
f (— df/dE) Eks (E) dE
Г (— df/dE) k3 (?) dE
о
Отсюда следует, что термо-э. д. с.
в области полей и; > 1 не зависит от магнитного поля,
а также от механизма рассеяния. Последнее обстоятель-
обстоятельство делает измерения термо-э. д. с. в сильных полях
удобным способом определения эффективных масс носи-
носителей заряда. Для невырожденного газа
Из этой формулы находим г\ = 3; таким образом, пред-
предположение о том, что дырочный газ певырожден, хо-
хорошо себя оправдывает. Зная концентрацию дырок, не-
нетрудно найти эффективное число дырок iV,, = р ехр г\ = -
= 1,18 • 1019 см, откуда тр = 0,6яг0.
9* 131

143. Для невырожденного полупроводника с квадра-
квадратичным законом дисперсии имеем
= — j[~ —r\j
и, следовательно,
Аа(оо) = a(»J- a = -(k/e) (V,- г)'.
Отсюда, в частности, вытекает, что Ла(°°) обращается
в нуль при г = 1/2, т. е. в том случае, когда рассеяние
происходит на оптических колебаниях решетки, а темпе-
температура ниже температуры Дебая.
144. В области сильных магнитных полей (гл>>1)
энергия переноса не зависит от механизма рассеяния и
при сильном вырождении электронного газа равна
(см. (П.6))
V <1> ' ' i + lnV&k3(F)](d2/d42)k3(F) '
Отсюда для произвольного закона дисперсии получаем
, ч n2k i dk(F)
a{oo)^ ________
На основании определения F.5) величина т равна
Поскольку для прозвольного закона дисперсии в изотроп-
изотропном случае k(F) = Cn2n)i/3, выражение для а(°°) можно
переписать в виде
„)
где fnF — значение in при энергии, равной энергии Ферми.
Подставляя данные из условия задачи, получаем отсюда
га,. = 0,019т0.
Обращая формулу для М из задачи 16, находим эф^
фективную массу электронов на дне зоны:
т @) = - ft" {3K*nfs/Eg + [ft* (Зл2«L/3/^ + ml]1Jt =>
= 0,013^0.
132

145. Используя формулу B) из задачи 138 и форму-
формулу A) из задачи 144, можно установить следующую связь
между значением термо-э. д. с. в отсутствии магнитного
поля и ее значением в сильных магнитных полях для вы-
вырожденного полупроводника с квадратичным законом дис-
дисперсии:
a = |a(oo)(r-f 1).
Отсюда получаем г = -^—— 1 = 1,8.
Таким образом, в рассматриваемых условиях рассеяние
происходит в основном на заряженных примесях.
146*. Из формулы B) задачи 138 и формулы. A) за-
задачи 144 имеем
2 / \( , о " dmF\
a= Ta(oo) r + 1 — 3^-— .
3 ^ mF dn J
Таким образом,
Да (со) = а (со) — а = —^ а
3
т.
dn
'F
-л
Из определения F.5) для заданного закона дисперсии
~ = 0,023 + 1,35 • 10~1аЛ;2 (см~2) = 0,023 + 1,3-10~14/г2/3.
B)
В A) выражение в квадратных скобках, а с ним и вели-
величина Аа(°°) обращаются в нуль, когда
п dmF 2г— 1
С учетом зависимости B) это условие принимает вид
— 1,3-10~14»2/3 _ 2г— 1
3 0,023+ 1,3-10-14»2/3 ~" 6 '
Таким образом, величина Да(<») обращается в нуль при
концентрации
п = 2,26 (~± \3/2 1018 си-в-« 1019 см~3.
133

Когда закон дисперсии имеет вид A.3>к), то
2К2 „,J1/2
+
(см. задачу 16), и условие обращения Да(°°) в нуль при-
принимает вид
Эта условие не выполняется ни при каких концентрациях,
следовательно, для закона дисперсии A.3ж) величина
Д() не обращается в нуль.
Глава 7
ФОТО-Э. Д. С. В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
147. Рассмотрим полупроводник, например, р-типа. Тог~
да в формуле G.1) следует положить п = 0:
р dx
Подынтегральное выражение есть однозначная функция р
(сравните с C.6)), и интеграл по всему контуру тожде-
тождественно равен нулю, что свидетельствует о существенно
биполярном характере фото-э. д. с.
148. Вычислим сначала вентильную фото-э. д. с. Ft по
формуле G.3), опустив в ней ра:
в
V kT[ b+i А/г dn° It
1 ^ е J bn+(b + l) An nn dx "Л
В
kTAJ+i? "o dno __ kT_ j * + Ф + 1) A"/b«o,A
_ С _ ]
e ^П b J nQ + (b + 1) An/b - e Ш1 + (b + 1) An/bnQiB
¦= In
In -—|—7—; .
e 1 + Д<т/ого-;в
Второе слагаемое вычислим, разбивая интеграл в G.4) па
два, по двум участкам малой ширины 2е вблизи А и В,
134 '

где d An/dx Ф 0:
-А+е в+г
Дга+6га/F+1)
г А+е L'+
е Ь+1 J Ди + бл /F+1) Т J
L4-8 "' В_
А-8 "' В-е
ь - 1 Г Дв + ЬвО|А/(ь +1)
Складывая Vt и F2, находим
149. Из ответа предыдущей задачи имеем в предельном
случае До/о0< 1:
и в обратном предельном случае До7а0 > 1:
О L71 / О
F=~— 1г '^^
Ь + 1 о i коВ
В рассматриваемых условиях
До.р.. а = 0,1 < 1, V = 3,4 • Ю-4 В;
До,ро1в-16>1, F"=3,0-10-3 В.
150*. Считая, что изменение р при сдвиге на А1 неве-
невелико, положим
Из формулы для V задачи 148 получим
у 2 kT /До Д/ dpjdx
1 е (^ 1 +Дст-
в предположении о малости выражения в круглых скоб-
скобках. Отсюда
\
я
Aodp AJb + i) e С dx
435

Здесь
Интегрируя по р, найдем
l + Aa-p(z)
1 + До-р@)
откуда
и
До = Дпец„F + 1)=4,7 Ом -см-1.
При х = 2 получим
р = 4,9 Ом • см.
Проверка показывает, что сделанное выше предположение
выполняется.
151. По формуле G.3) находим
1 * Ь J n dx I
kT, np[nn+An (Ъ + \)/Ъ]
~° е nn[np + An(b+i)/b]'
В рассматриваемых условиях (см. таблицу, Приложе-
Приложение 2) на основании формулы A) задачи 1 имеем
пг п> 10~7см~3^ 'пр = п\/пп = Ю~29 см~%
kT/e = 6,5 • 10-' В.
В результате получим Vt « —0,11.
152. Используя формулу G.2) (см. также задачи 75*,
77*), находим
„ /~\ _ „' (\ %т\ t_f) 9 /чи
ti/Q \Js/ —— /t-Q \1 ^^ v^/i о ^^ ^I,*-* ^ft* Л
d г 1 1 /
fer f A — Ъ) N [— L-1 ехр (— x/L)] + bin
kT С
Дф =
e l
d/L
ЭХР (¦ _ _ ,
• \Lz ^ e J I - lx
и о
133
d/L d
fef Ь - 1 N С exp(-z)dz kT С t dx
e b „' J 1 - E + J Б

В первом интеграле существенны z<l, и можно заме-
заменить знаменатель на единицу, так как \L = 0,2 ¦ 0,01 < 1.
Интегрирование дает результат
• kT Ib — \N . ,
Аф = — ; + 111
Отсюда Дф = 4,1 -10-' В.
153. Подобно тому, как получаются формулы G.3) и
G.4) из G.2), в нашем случае при Ар = Апхр/х„ находим
— — — \\J ' " ' "¦" " ^*"T &?Сш
Далее, аналогично задаче 148 получаем
2 = . й — Ш ¦
Окончательно,
Глава 8
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
154. Предположим, чтв я =Я^/4я < п. Тогда по из-
известной величине R с помощью формулы (8.2) находим
п = 4. В тех же условиях формула (8.5) упрощается:
Отсюда, обозначив я = ехр(уа!), получим для х уравнение
хг + хA - П)г1R2T- R-2 = 0.
Его решение есть х = 0,48; следовательно,
Т-=й-'1пA/а!)-7,3 см.
При этом х = 5,8 ¦ 10~3 < п, так что исходное предполо-
предположение хорошо выполняется.
137

155. Определив приведенную массу
тг = {щи1 + rrip1)'1 = QfiQi
найдем значение волнового вектора частпц
к « Л-1 [2/в, {Тш - Е„) ]1/2 = 1,2-10' см.
Сравнив это с волновым вектором фотона в среде,
q — па/с = 6,6 • 104 см~',
получим
156. Для непараболнческого закона дисперсии A.3ж)
имеем
к = П'1 [т @) [(ЙсоJ - El\/2Eg\112 = 6,5 • 10е см.
Далее,
q = па/с — 3,35 • 104 см,
и степень невертикальности перехода такова:
q/k = 5,2 • Ю-3.
157. В случае рождения легкой дырки в качестве
приведенной массы надо взять
mri — (лги1 + т~}1)~х = 0,035/?г0.
Определив, пренебрегая невертикальностью, значения
квазиволновых векторов электрона и легкой дырки (см.
задачу 155), найдем далее
Еп =(отг,//га„) (й© -Е„) = 4,9 ¦ 10~2 эВ,
Ep,*=(mTl/mpl)(Tia-Eg) = 2,\ • 10~2 эВ.
Аналогично при рождении тяжелой дырки получим
mrh = 0,0454?п0, Еа = 6,4 • 10~2 эВ, Eph = 6 • 10 эВ.
158. Введем для краткости обозначение аг =»
= 2h2Es/m @). Тогда имеем
я„,р (к) = ^с + 4 (± l/ifT^ - ^), A)
где знаки «+» и «—» соответствуют зоне проводимости
(п) и валентной зоне (р). Совместим начало отсчета
энергии с дном зоны проводимости, полагая Ес = 0. Тогда,
согласно формулам (8.10) и (8.12), мы получаем
со
ркомб.г = п~2 J /с2б (УEl + аЧс* - Ясо) dk. B)
а
138

Индекс I указывает на то, что здесь рассматриваются зо-
зона проводимости и зона легких дырок. Пользуясь прави-
правилом интегрирования с б-фуикцисй, находим
. . %Ы 1т @) 3/2 l/TTl ^2 /о\
При 7ш -»- Eg это выражение (с другими постоянными
коэффициентами) дает ту же форму частотной зависимо-
зависимости, рномв||(о)) (и, следовательно, коэффициента поглоще-
поглощения света), что и в случае квадратичных законов дис-
дисперсии электронов и дырок с эффективными массами
/я@): рмма, i(a>) ~(h(o — EgI'2, что и следовало ожидать.
С другой стороны, при 7ш > Eg мы получаем
Ч ~ Ркоыб, l(to)~ ОJ. D)
Так, в частности, обстоит дело при Eg-** О, когда в цент-
центре зоны Бриллюэна зоны проводимости и валентная смы-
смыкаются или «почти смыкаются».
159. Пользуясь формулами A.3е) и A.3з) и полагая
а2 = 2hzEs/m@), мы получаем
РкоЫб,/! (to) =
оо
== л \ А"о \hail -г U\ е-з + fl"'c ~ «м + Гг/г т,, ал\ A)
О
Индекс «й» укалывает на то, что здесь рассматриваются
зона проводимости и зона тяжелых дырок. Неравенства,
указанные в условиях задачи, позволяют пренебречь по-
последним слагаемым в скобках. Тогда, вычисляя интеграл,
получаем
Сравнивая это с выражением C) из решения предыдущей
задачи, находим
Ркоыб,/ \-^g
Видим, что при %а -*¦ Es, т. е. вблизи порога поглощения,
РкомО, У Ркэнб, I "*¦ " •
139

ПРИЛОЖЕНИЯ
1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ФЕРМИ
Интеграл Ферми ФДт]) определяется соотношением
где Г(/-Ь1)—гамма-функция. В классическом пределе,
когда величина ц отрицательна и достаточно велика по
абсолютной величине,
. (П.2)
Для больших положительных г| (в статистике этому соот-
соответствует случай почти полного вырождения) имеет ме-
место асимптотический ряд
Для интеграла Ферми Ф1/2(г|) часто бывает полезна сле-
следующая приближенная формула:
Ф./2(г1) = ехрт1/A + 0,27ехр11), (П.4)
дающая при tj ^ 1,3 погрешность, не превосходящую 3%.
При г\ > 1 приближенная формула
также дает погрешность не более 3%. Таким образом,
приближенные формулы (П.4) и (П.5) перекрывают
весь интервал значений от случая сильного вырождения
до невырожденного (классического) случая.
В ряде случаев оказывается полезным несколько бо-
более сложное приближенное аналитическое выражение для
интегралов Ферми [X. Aymerich-Humet, F, Serra-Mestres,
140

7. Millan, J. Appl. Phys, 1983, v. 54, p. 2850], справедли-
справедливое для всех т) и для вещественных j > — 1:
= exp(-n)
Здесь
j V т ч т 4J3 и ¦
6 = 1,8 + 0,61/,
. (П.6)
(П.7а)
(IL76J
(П.7в)
В интервале —1/2</<4 выражение (П.&) дает по-
погрешность, не превышающую 1,2% для всех ц.
Для оценки интегралов, содержащих функцию Ферми
или ее производные, в случае сильного вырождения часто
используется разложение
I
dG (e)
1
ds 1 + ехр (е — ц)
de
V
(П.8)
Здесь G(e)—произвольная функция энергии, плавная
вблизи точки е = ц.
2. НЕКОТОРЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Материал
Ge
Si
InSb
InAs
InP
GaSb
GaAs
Eg*).
sB
0,74
1,16
0,22
0,43
1,40
0,80
1,52
mdn
m0
0,55
1,06
0,013
0,023
~ 0,067
0,047
0,068
mdp
m0
0,36
0,59
0,4
0,41
—
0,23
0,5
Hn C00 K),
cm'B~1c-1
3800
1450
78000
33000
4600
4000
8800
liy C00 K),
cm!-B~1c~1
1800
500
750
460
150
1400
400
*) В таблице приведены значения ширины запрещенной боны при
77 К, полученные из оптических измерений.
141

Данные, приведенные в таблице для германия и крем-
кремния, в основном взяты из книги Р. Смита «Полупровод-
«Полупроводники».— М.: Мир, 1982, а для полупроводниковых соеди-
соединений AniBv — из обзора К. Хилсума «Некоторые основ-
основные черты соединений типа AnIBv», опубликованного
в сборнике «Semiconductors and Semimetals», v. 1, Acad.
Press, 1906. При пользовании таблицей следует иметь
в виду, что с развитием техники эксперимента фигуриру-
фигурирующие в ней числовые значения параметров могут под-
подвергнуться уточнению.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию .... 3
Предисловие к первому изданию .... 4
Задачи Решения
Глава 1. Статистика электронов п дырок в по-
полупроводниках 5 57
Глава 2. Рекомбинация носителей заряда в по-
полупроводниках 21 80
Глава 3. Диффузия и дрейф носителей заряда 27 87
Глава 4. Диффузия и дрейф носителей заряда в
магнитном поло 34 100
Глава 5. Поверхностные явления 37 103
Глава 6. Термо-э. д. с. в полупроводниках . ,. 47 127
Глава 7. Фото-э. д. с. в полупроводниках . . 51 134
Глава 8. Оптика полупроводпиков .... 53 137
Приложения
1. Некоторые свойства интегралов
Ферми 140
2. Некоторые параметры полупроводни-
полупроводниковых материалов ,...,, 141