Автор: Уединов А.Б. Чулков П.В.
Теги: математика математический анализ математическая физика контрольные задания
ISBN: 5-98579-003-7
Год: 2004
Текст
Уединов А.Б., Чулков П.В.
АЛГЕБРА
дидактические
материалы
класс
Контрольные
и самостоятельные
работы
Краткие решения
Ответы
Москва
Уединов А.Б., Чулков П.В.
Дидактические
материалы
по алгебре
9 класс
Москва
Рецензент -
учитель математики Центра образования №109
Хачатурова О.Ф.
У ед инов А.Б., Чулков П.В.
Дидактические материалы по алгебре. 9 класс.
- М.: «Школа XXI век», - 144 с.
ISBN 5-98579-003-7
Пособие содержит тематические зачеты, контрольные и самостоя-
тельные работы, а также дополнительные задачи по всем разделам кур-
са алгебры 9 класса общеобразовательной школы.
Перепечатка отдельных разделов и всего издания в целом запрещена.
Всякое коммерческое использование данного издания
возможно исключительно с ведома издателя.
Подписано в печать 21.07.2004 г.
формат 60 х 90 1/16 тираж 3 000 экз. Заказ № 78
ООО "Школа XXI век" 101813, Москва, Лубянский пр-д, д.4
Отпечатано в ООО "Фирма Пандора 1"
107143, г. Москва, Открытое шоссе, д.28
ISBN 5-98579-003-7
© Уединов А.Б., Чулков П.В.
© Шапарин Е.А. компьютерная верстка
© «Школа XXI век», 2004 г.
Предисловие. 0
Дидактические материалы представляют собой сбор-
ник задач по всем разделам курса алгебры 9 класса.
Цель пособия - помочь учителю в организации само-
стоятельной работы учащихся, проведении текущего и
тематического контроля.
В пособие включены тексты тематических зачетов,
контрольных и самостоятельных работ, а также допол-
нительные задачи.
Тексты тематических зачетов (маркировка - ТЗ), кон-
трольных (ЯР) и самостоятельных работ {СР) являются
ориентировочными. По мере надобности и в зависимости
от подготовленности класса учитель может вносить в
них необходимые изменения, не нарушая при этом тре-
бований программы.
Каждая контрольная работа включает 6 вариантов,
самостоятельная работа или тематический зачет - 4 ва-
рианта. К большинству задач приведены ответы или
краткие решения.
Отметим, что в дидактических материалах содержат-
ся задания по темам («Степень с рациональным показа-
телем», «Тригонометрические выражения и их преобра-
зования»), не относящимся, в соответствии с планиро-
ванием учебного материала, к обязательным для изуче-
ния в 9 классе. В таком случае, этот материал может
использоваться на факультативных и иных внеурочных
занятиях.
Распределение материала в каждом разделе соотне-
сено с учебником «Алгебра 9», авт.: Ю.Н.Макарычев,
Н.Г. Миндюк К.И. Пешков, С.Б.Суворова. Под редак-
цией С.А. Теляковского, однако, пособие можно ис-
пользовать и при работе по другим учебникам.
3
Содержание
0 Предисловие. 3
1 Тематические зачеты. 5
2 Контрольные работы. 28
3 Самостоятельные работы. 80
4 Дополнительные задачи. 126
5 Ответы и решения. 128
4
Тематические зачеты.
1
Раздел содержит тематические зачеты по курсу алгеб-
ры 9 класса.
Все задания тематических зачетов отвечают требова-
ниям программы общеобразовательной школы и представле-
ны в четырех вариантах. Каждый зачет содержит две части:
обязательную (до черты) и дополнительную. Выполнение оп-
ределенного числа заданий обязательной части гарантирует
ученику получение положительной опенки.
Задания дополнительной части выполняются учащи-
мися лишь после того, как верно выполнена обязательная
часть работы. При получении неудовлетворительной оценки
ученик должен пересдать зачет во внеурочное время (ему не
может быть выставлена положительная оценка за четверть,
если не сдан хотя бы один зачет!). При пересдаче ученик вы-
полняет задания лишь того типа, с которыми он не справил-
ся во время зачета. Могут повысить свою оценку и ученики,
получившие во время зачета оценки "3" или "4", показав при
пересдаче умение решать задачи дополнительной части.
Общий объем каждого тематического зачета достаточ-
но велик, поэтому видится целесообразным отводить на их
проведение 2 урока.
Система тематических зачетов имеет, на наш взгляд,
определенные достоинства:
1. Оценка получается путем "сложения" баллов за верно ре-
шенные задания, а не "вычитанием" баллов за допущен-
ные ошибки. Ученик может выбрать посильные для себя
задания, ему понятна система, по которой выставляется
оценка, и он имеет возможность исправить любую из них.
Это создает благоприятную психологическую атмосферу
на уроке.
2. Каждое из заданий обязательной части невелико по объе-
му, что позволяет учителю получить более четкое пред-
ставление о пробелах в знаниях учащегося.
3. Задания дополнительной части требуют от ученика не
только свободного владения базовыми знаниями, умения-
ми и навыками, но и определенного творческого подхода.
5
Заметим, что использование тематических зачетов
возможно, как одновременно с контрольными работами, так
и вместо них.
В таблице представлено распределение тематических
зачетов по параграфам учебника «Алгебра - 9», авторы:
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворо-
ва. Под редакцией С.А. Теляковского, издание 8.
№ Тема зачета. §§
1. Квадратичная функция. 1-4.
2. Уравнения и системы уравнений. 5-6.
3. Арифметическая и геометрическая прогрессии. 7-8.
4. Степень с рациональным показателем. 9-11.
5. Тригонометрические выражения и их преобразования. 12-14.
6
При проведении тематических зачетов предлагается
следующая система оценок:
Зачеты № 1,4:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 10 баллов
4 13 баллов 5 баллов
5 13 баллов 9 баллов
Зачет № 2:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 4 балла
4 5 баллов 5 баллов
5 5 баллов 9 баллов
Зачет № 3:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 6 баллов
4 8 баллов 5 баллов
5 8 баллов 9 баллов
Зачет № 5:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 7 баллов
4 9 баллов 5 баллов
5 9 баллов 9 баллов
Примечание: каждое задание обязательной части
оценивается в 1 балл.
7
Квадратичная функция. ТЗ - 1 В - 1
1. Дана функция f(x) = 5 - Зх . Вычислите /(-4,7).
2. Найдите нули функции g(x) = х2 - 5х -14 .
3. Дана функция t(x) = -27х - 9.
а) При каких значениях аргумента функция принимает по-
ложительные значения?
б) Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
№№ 4-5. Разложите на множители квадратный трехчлен:
4. х2+8х-33. 5) 21х-22х + 5.
6. Постройте график функции у = х2 - 8х +15.
№№ 7-11. Для функции у = х2 - 8х + 15 укажите:
7. Нули функции.
8. Промежуток убывания функции.
9. Область значений функции.
10. Множество значений х, при которых у < 0 .
11. Множество значений у при х е [2;5].
№№ 12-14. Решите неравенства:
12. -2х2+9х + 5 <0. 13) (х - 6)(х + 2)(х + 9) > 0.
15. (2 балла). Сократите дробь: ---— .
1-81х2
16. (3 балла). Постройте график функции у = |х2 -9|.
17. (4 балла). Упростите выражение:
( 4_______5 + 1 / 155-12___2
^552 +5-4 455-36/ b + 7 Ь + 1
ла < л тл 5х2-7х-24
18. (5 баллов). Решите неравенство: ----~ < 0.
24х-9-7х2
8
Квадратичная функция. ТЗ-1 В-2
1. Дана функция d(x) = Gx + 14 . Вычислите d(-5,5).
2. Найдите нули функции f(x) = х2 + 5х - 24 .
3. Дана функция k(x) = 48х + 56 .
а) При каких значениях х функция принимает отрица-
тельные значения?
б) Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
№№ 4-5. Разложите на множители квадратный трехчлен:
4. х2 + 8х - 9 . 5) Gx2 - х - 2 .
6. Постройте график функции у = -х2 - 2х + 3 .
№№ 7-11: Для функции у = -х2 - 2х + 3 укажите:
7. Нули функции.
8. Промежуток убывания функции.
9. Область значений функции.
10. Множество значений х, при которых у < 0 .
11. Множество значений у при хе [—3;0].
№№12-14. Решите неравенства:
12. 7х2 + 6х - 1 < 0 . 13) (х - 7)(х - 3)(х - 27) < 0 .
14.
9х - 27
15. (2 балла). Сократите дробь: ——;------.
- 5х2 + Зх + 14
16. (3 балла). Постройте график функции у - |х2 + 2х| .
17. (4 балла). Упростите выражение:
р + 4 /9р-9 (2р-7)2 2
р-1 ^Зр + 4 3p2+p-4j 2-р
4 -11у -Зу2
18. (5 баллов). Решите неравенство: —--------< 0.
1у2 + 23г/ - 20
9
Квадратичная функция. ГЗ-j В-3
1. Дана функция f(x) = -5,5х - 2,4 . Вычислите /(—3).
2. Найдите нули функции t(x) = х2 + 13х + 42.
3. Дана функция g(x) = -28х + 77 .
а) При каких значениях х функция принимает отрица-
тельные значения?
б) Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
№№ 4-5. Разложите на множители квадратный трехчлен:
4. х2 + 2х - 63 . 5) Зх2 + 7х - 20 .
6. Постройте график функции у = х2 - 4х + 5 .
№№ 7-11: Для функции у = х2 - 4х + 5 укажите:
7. Нули функции.
8. Промежуток возрастания функции.
9. Область значений функции.
10. Множество значений х, при которых у > 0 .
11. Множество значений у при х е [0;6] ?
№№ 12-14. Решите неравенства:
12. - 4х2 - Зх + 27 > 0 . 13) (11 + х)(7 - х)(х - 4) > 0 .
14.
9х +18
5х-7
15. (2 балла). Сократите дробь:
-Их2 +10 + 17Х
121х2 -25
16. (3 балла). Постройте график функции у = х2 - |х|.
17. (4 балла). Упростите выражение:
11-2с2 с2 + 19с + 60 ( 81 с + 6 'I
с-3 с + 6 1ч2с2+7с-30 2с -5)
„ -5х2-6х + 8 „
18. (5 баллов). Решите неравенство: --------< 0.
Зх2 + 4х - 4
10
Квадратичная функция. ТЗ-1 В-4
1. Дана функция 1(х) - 4,4х + 2,8. Вычислите Z(-5).
2. Найдите нули функции /(х) = х2 + 12х + 27.
3. Дана функция р(х) = 18х - 33 .
а) При каких значениях х функция принимает положи-
тельные значения?
б) Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
№№ 4-5. Разложите на множители квадратный трехчлен:
4. х2 + х - 56 . 5) 9х2 - Зх - 2 .
6. Постройте график функции у = -х2 + 8х -12.
№№ 7-11: Для функции у = -х2 + 8х - 12 укажите:
7. Нули функции.
8. - Промежуток возрастания функции.
9. Область значений функции.
10. Множество значений х, при которых у > 0 .
11. Множество значений у при х е [1;5].
№№ 12-14. Решите неравенства:
12. 8х2 - 2х - 2 > 0 . 13) (1,5 - Зх)(х + 2)(4х - 3,2) < 0 .
,, 15-9х
14. -------
14х + 42
25 — 196х2
15. (2 балла). Сократите дробь: ----------.
14х2 + 23х-10
16. (3 балла). Постройте график уравнения |у| = 4 - х2.
17. (4 балла). Упростите выражение:
36а2 5а - 2
. 5а2 + 13а - 6 а + 3
11а-2 28а-а2
а2-2а-15 2-5а
18. (5 баллов). Решите неравенство:
- Зх2 - 5х + 2
27х2 — 6х — 1
11
Уравнения и системы уравнений. ТЗ-2 В -
1. Решите уравнение: 6х2 - 20г = 5х + 25.
2. При каких t квадратное уравнение х2 + tx - 5t = 0 имеет
два различных корня?
3. Решите биквадратное уравнение: 4х4 + 5х2 +1 = 0.
. „ , „ f х2 - у = 8,
4. Решите графически систему уравнении:
[х-у = 2.
5. Решите систему уравнений:
х2 + ху = 2,
,у-3х = 7.
6. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ рав-
на 17 см, а площадь- 120 см2.
7. (2 балла). Какая из данных систем уравнений:
(х — З)2 + (у — 2)2 =16,
У = х +1;
(х - З)2 + (у + 2)2 =16,
У = х -1;
(х - З)2 + (у + 2)2 = 16,
У = -2х - 1
наиболее соответствует рисунку?
8. (3 балла). Решите уравнение:
(х2 + 2х)2 - 14(х2 + 2х) -15 = 0.
9. (4 балла). Решите систему уравнений:
х3 + у3 = 72,
х2 - ху + у2 = 12.
10. (5 баллов). Моторная лодка проходит расстояние АВ, равное
48 км, в оба конца за 10 часов. Выйдя из пункта В в пункт
А, находящийся выше по течению реки, лодка через 3 ч
встретила плот, отправленный из А за 9 ч до выхода лодки
из В. Найдите скорость течения реки и собственную ско-
рость моторной лодки.
12
Уравнения и системы уравнений. ТЗ - 2 В-2
1. Решите уравнение: 5(х2 - 7х) + 50 = 4х - (Зх + 5).
2. При каких значениях k квадратное уравнение
х2 + kx + Ik = 0 не имеет корней?
3. Решите биквадратное уравнение: Зх4 - 28х2 +9 = 0.
[ ху = 12,
4. Решите графически систему уравнений: <
[2х + у = 10.
5. Решите систему уравнений:
х2 - ху + у2 = 19,
X + у = 8.
6. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м2 обнесен
изгородью, длина которой 200 м. Найдите длину и шири-
ну этого участка. 7 8 9 10
7. (2 балла). Какая из данных систем уравнений:
а) j(x + 3)2+(г/-3)2 =25,
[ У = -1,5х + 6;
f(x - З)2 + (у + З)2 = 25,
у = 1,5х - 6;
(х + З)2 + (у - З)2 = 25,
у - -1,5х - 4
в)
наиболее соответствует рисунку?
8. (3 балла). Решите уравнение:
(6х2 - 7х)2 - 2(6х2 - 7х) - 3 = 0.
9. (4 балла). Решите систему уравнений:
х3 - у3 = 218,
х2 + ху + у2 = 109.
10. (5 баллов). Из пунктов А и В, расстояние между
которыми 80 км, одновременно навстречу друг другу
выехали два велосипедиста. Один из них прибыл в В через 1
ч 20 мин, а другой в А - через 3 ч после их встречи.
Найдите скорость каждого велосипедиста.
13
Уравнения и системы уравнений.
ТЗ - 2 В - 3
1. Решите уравнение: 5(х2 - 8) - 40 = 4(х + 9) - 2(х + 14).
2. При каких значениях п квадратное уравнение
х2 + 4лх + 2п = 0 имеет два корня?
3. Решите биквадратное уравнение: 2х4 - 19х2 +9 = 0.
. _ , „ [х2 + у2 = 25,
4. Решите графически систему уравнении: <
[ ху - 12.
СП „ [х2 +у2 -бу = 0,
5. Решите систему уравнении:
[ у + 2х = 0.
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а
его площадь - 180 см2. Найдите катеты этого треугольни-
ка.
7. (2 балла). Какая из данных систем уравнений:
ху = 2,
9. (4 балла). Решите систему уравнений: хг = 3,
х2 + у2 = 5.
10. (5 баллов). Два поезда вышли одновременно из пунктов М
и N, расстояние между которыми 45 км, и встретились через
20 мин. Найдите скорость каждого поезда, если известно,
что поезд, вышедший из М, прибывает в N на 9 мин
раньше, чем второй поезд в М.
14
Уравнения и системы уравнений. ТЗ-2 В-4
1. Решите уравнение: 4(2х + 3) - 2(х2 * - 6) = х2 - 36.
2. При каких значениях b квадратное уравнение
х2 + 5bx - 6Ь - 0 имеет корни?
3. Решите биквадратное уравнение: Зх4 * б) * В) - 7х2 +2 = 0.
. ~ „ \и = х2,
4. Решите графически систему уравнении: <
|хг/ = 8.
_ _ „ [х2 - ху + у2 = 63,
5. Решите систему уравнении: <
[ х - у = -3.
6. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их сред-
нее геометрическое равно 12. Найдите эти числа.
7.
(2 балла). Какая из данных систем уравнений:
. I у = х2 - 6х + 8;
а) л
[ у = х - 4;
\у = -х2 - 6х - 8;
б) л
[ у = 4 - х;
. [у = -х2 + 6х - 8;
В)
I У = х-4
наиболее соответствует рисунку?
(3 балла). Решите уравнение:
ху = 4,
9.
(4 балла). Решите систему уравнений:
У г = 6,
х2 +z2 = 13.
10. (5 баллов). Два автомобиля выезжают одновременно из
пунктов А и В навстречу друг другу. Один из них прибыл
в В через 27 мин, а другой - в А через 12 мин после их
встречи. За сколько минут каждый автомобиль проехал
путь АВ?
15
Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЗ-З В-1
1. Какая из данных последовательностей:
а) 5; 6; 8; 11; 15; ...; б) -3; 0; 3; 6; 9; ...
является арифметической прогрессией?
2. Найдите знаменатель, пятый и n-ый члены геометриче-
ской прогрессии (Ьп): 5; 10; ... .
3. Найдите первый член арифметической прогрессии (k„), ес-
ли /г51 = 316 ; /?52 = 310 .
4. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметиче-
ской прогрессии (уп), если - 4; у2 = 6,5 .
5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической
3
прогрессии (kn), если - 16, q = — .
4
6. Сколько неотрицательных членов в арифметической
прогрессии 30; 28,4; 26,8 ... ?
7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
9; -7,2 ... .
8. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(12); б) 5,3(81).
9. Найдите пятый член последовательности (хп), если
*1=2; х2 = 6 ; хп = хп_2 + 0,бх„_4 .
10. (2 балла). Найдите сумму всех двузначных чисел.
11. (3 балла). Последовательность (tn) задана формулой п-го
Зп-2
члена: tn =-----. Найдите десятый член этой последова-
п + 4
п 1
тельности и номер члена, равного 2 — .
12. (4 балла). Запишите геометрическую прогрессию, со-
стоящую из шести членов, зная, что сумма трех первых
ее членов равна 168, а сумма трех последних равна 21.
13. (5 баллов). Найдите арифметическую и геометрическую
прогрессии, если известно, что первый член каждой про-
грессии равен 1, третьи члены этих прогрессий равны
между собой, а двадцать первый член арифметической
прогрессии равен пятому члену геометрической. Осталь-
ные члены этих прогрессий различны.
16
Арифметическая и геометрическая прогрессии. тз-з В-2
1. Какая из данных последовательностей является геомет-
рической прогрессией?
1 5
а) 15; -10; 5; -2,5; ...; б) 18; 12; 8; 5- ; 3-...
• 3 9
2. Найдите разность, двенадцатый и n-ый члены арифмети-
ческой прогрессии (сп): -11; -8; ... .
3. Найдите первый член геометрической прогрессии (рп),
если р4 = 81; р5 = 27 .
4. Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии (хп), если Xj = 7 ; q = -2 .
5. Найдите сумму первых 35 членов арифметической про-
грессии (Ьп), если Ьг = 14 , Ъ2 = 11,8 .
6. Укажите номер первого положительного члена
арифметической прогрессии -100; -95,2; -90,4 ... .
7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
12; 9 ... .
8. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 1,(213); б) 14,8(54).
9. Найдите пятый член последовательности (уп), если
У1 10 ; у2 = 20 ; уп = уп 4 - 0,1уп 2.
10. (2 балла). Найдите сумму всех трехзначных чисел.
11. (3 балла). Последовательность (dn) задана формулой л-го
5л+ 1 „
члена: ап =-----. Найдите двадцать первый член этой
6л + 2
последовательности и номер члена, равного 0,8.
12. (4 балла). Найдите четыре числа, составляющих убывающую
геометрическую прогрессию, если сумма крайних членов
этой прогрессии равна 27, а сумма средних равна 18.
13. (5 баллов). Первые члены арифметической и геометриче-
ской прогрессий равны 3. Второй член арифметической
прогрессии на 6 больше второго члена геометрической, а
третьи члены этих прогрессий вновь равны. Найдите эти
прогрессии, если все их члены положительны.
17
Арифметическая и геометрическая прогрессии. тз-з В-3
1. Какая из данных последовательностей является арифме-
тической прогрессией?
а) -10; 1; 12; 23; ...; б) -4; -6; -9; -13 ...
2. Найдите знаменатель, пятый и п-ый члены геометриче-
ской прогрессии (сл): 100; 40; ... .
3. Найдите первый член арифметической прогрессии (dn),
если d37 = 46,7 ; d38 = 41,2 .
4. Найдите сумму первых двадцати одного члена арифме-
тической прогрессии (ап), если аг = 4 ; а3 = — 2 .
5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической про-
грессии (у„), если у у = 8; у2 = 12 .
6. Сколько неположительных членов в арифметической про-
грессии -430; -419,6; -409,2 ...?
7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
-30; 12 ... .
8. Представьте в виде обыкновенной дроби;
а) 5,(153); б) 27,52(27).
9. Найдите пятый член последовательности (&„), если
— 8; Ь2 = 7 ; Ъп — 2Ьп_2 — ЗЬп1.
10. (2 балла). Найдите сумму всех двузначных нечетных чисел.
11. (3 балла). Последовательность (сл) задана формулой п-го
7п-3
члена: сл =------. Найдите восемнадцатый член этой
4п + 2
последовательности и номер члена, равного 1,62.
12. (4 балла). Сумма трех чисел, составляющих арифметиче-
скую прогрессию, равна 30. Если из первого числа вы-
честь 5, из второго вычесть 4, а третье оставить преж-
ним, то полученные числа составят геометрическую про-
грессию. Найдите эти числа.
13. (5 баллов). Найдите три числа, образующих возрастаю-
щую геометрическую прогрессию, если сумма этих чисел
равна 26, а сумма их квадратов равна 364.
18
Арифметическая и геометрическая прогрессии. тз-з В-4
1. Какая из данных последовательностей является геомет-
рической прогрессией?
а) 7; 14; —; б) 3;-1; —; - —
7 14 3 9
2. Найдите разность, семнадцатый и n-ый члены арифмети-
ческой прогрессии (сп): -8; -7,4; ... .
3. Найдите первый член геометрической прогрессии (хп),
еслих5 = 16 ; х6 = -32.
4. Найдите сумму первых шести членов геометрической
Z \ V 1
прогрессии (уп), если ух = -о ; q = — .
2
5. Найдите сумму первых сорока четырех членов арифмети-
ческой прогрессии (ап), если ах = -8,7 ; а4 = -4,2 .
6. Укажите номер первого отрицательного члена арифметиче-
ской прогрессии 937; 928; 919... .
7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
-14; -6 ... .
8. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 5,(711); б) 13,42(18).
9. Найдите пятый член последовательности (&„), если
^1 = ; k2 = 3 ; kn = + 2Ал_2 .
10. (2 бадра). Найдите сумму всех трехзначных четных чисел.
11. (3 балла). Последовательность (hn) задана формулой п-го
5п — 3 „
члена: пп =------. Найдите двадцать второй член этой
8п + 2
последовательности и номер члена, равного 0,54.
12. (4 балла). Три положительных числа, дающие в сумме 21,
составляют арифметическую прогрессию. Если к ним соот-
ветственно прибавить 2, 3 и 9, то вновь полученные числа
составят геометрическую прогрессию. Найдите исходные
числа.
13. (5 баллов). Найдите четыре числа, из которых первые
три составляют арифметическую, а три последних - гео-
метрическую прогрессии. Кроме того, сумма двух край-
них чисел равна 37, а сумма двух средних равна 36.
19
Степень с рациональным показателем. ТЗ - 4
В-1
№№ 1-3: Вычислите:
3.
з/ т I---------
1/6254 -7169 .
6.
5
(х3)-0’9
1
1. Vei . 2. 16~2 .
№№ 4-6: Упростите выражения:
5 4 1
4. a1 a14 . 5. b6 : b8 .
Вынесите множитель из-под знака корня (№№ 7-8):
7. ^27x4i/2z5 . 8. Va12ft16 , если а < 0 .
№№ 9-10: Упростите выражения:
9. (V125x -V8x)-(V27x -Тб4х).
10. (VI-
11. Запишите выражение
в виде степени с дробным
показателем.
№№ 12-13: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
12. -^L. 13. f~b2 .
V4 i (a - b}3
14. Укажите допустимые значения переменной:
3
(16х2 -9/7 .
15. (2 балла). Решите уравнение: 2%[3х - 4%/Зх = 6-73х .
16. (3 балла). Расположите числа 7з , Тб , Тб в порядке
возрастания.
17. (4 балла). Упростите выражение:
( з 3 3 з
(а4-&4)(а4 + &4) /—
---- -'ао
2Т^5(а + ЬУ1
1 1
а2 — Ь2
0,1
18. (5 баллов). Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
____________________________2_________
710-715+711-721 '
20
Степень с рациональным показателем. ТЗ-4 В-2
№№ 1-3: Вычислите:
2
1. V-125 . 2. 32s.
№№ 4-6: Упростите выражения:
2 3 7 £
4. b3 : b4 . 5. с12 • c& .
-5- i—
6. (у * 15 16 7 18)19.
Вынесите множитель из-под знака корня (№№ 7-8):
7. ^64а7Ь4св . 8. ^х22у12 , если х > 0 , у < 0 .
№№ 9-10: Упростите выражения:
9. (Va+V16a) + (V81^-V625a).
10. $9 +^6+^4)(^3-V2).
„ „ „ m, n
11. Представьте выражение в виде степени: J—? —
\ п V т
№№ 12-13: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
19 5 14 Х + У
2^'
14. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
5
(49-64х2)13 .
g .— 2 г— I—
15. (2 балла). Решите уравнение: — у9х-(/9х +7 = 2у9х .
2 3
16. (3 балла). Расположите числа V? ,л/2 , V1T в порядке
убывания.
17. (4 балла). Упростите выражение:
( а
2 2 ( 1 А
х(1 - х) 3 +----- : (1 - х)3 • (1 - 2х + х2)’1 .
ч (1-х)3) '
18. (5 баллов). Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
____________________________1______
2 + ^2 + V3 + ^б"
21
Степень с рациональным показателем. ТЗ-4 В-3
№№ 1-3: Вычислите:
4
1. V64- 2. 273 .
№№ 4-6: Упростите выражения:
4. х9 х® . 5. а3 : а0,8.
Вынесите множитель из-под знака корня (№№ 7-8):
^/125тп8п5р . 8. Vaub8 , если а < 0 , b > 0 .
№№ 9-10: Упростите выражения:
9. (Vox-^8у) - (^27^ - V16x).
10. (V™7 + %/тп +
11. Запишите выражение
в виде степени с дроб-
ным показателем.
№№ 12-13: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
12. А. 13. х2-^
__9_
14. Укажите допустимые значения: (ЗОх2 - 20х) 11 15 16 17 18
15. (2 балла). Решите уравнение:
-V75x--V75x -11 = -V75x .
3 5 3
16. (3 балла). Расположите числа 4/3; ^6; 1$35 в порядке
возрастания.
17. (4 балла). Упростите выражение:
( -- Y1
1-(х(1 + х2)2)2
1
: (1 + х2)’1 • (х°(1 + х2)2 - х2(1 + х2)
2).
18. (5 баллов). Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
V2
22
Степень с рациональным показателем. ТЗ-4 В-4
№№ 1-3: Вычислите:
з
1. V-343 . 2. 25 2 .
№№ 4-6: Упростите выражения:
_7_ 5 22 2
4. у12 : ys . 5. с15 • с6 .
_26 х19
6. (/? 9 ) 28 .
Вынесите множитель из-под знака корня (№№ 7-8):
7. ^128x10y15z8 . 8. Ч]а30Ь1а , если а < 0 , Ь < 0 .
№№ 9-10: Упростите выражения:
9. (^64^-Vc) + (V81c-^27?) •
10. +V^)(Va+V&).
11. Запишите выражение в виде степени с дробным показа-
la + b 1(а - Ь)2
телем: 3------s------- .
у а - Ъ у (а + Ь)2
13.
№№ 12-13: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
19 ? 1 ч k — р
’
14. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
15
((х2 - 64)(х + З))23 .
15. (2 балла). Решите уравнение:
3^4х - 5^64х = 42 - 7^Ю24х .
16. (3 балла). Расположите числа в
порядке убывания:
VI; V3; 1V11.
17. (4 балла). Упростите выражение:
Г i _2 2 _2 <2 _2 2 .2")
X2 + X 2 X2 - X 2 х2 + 2х 2 х2 - 2х 2
х2 - X +1 х2 + X + 1 х3 -1 х3 +1
1 /
18. (5 баллов). Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1
2-V2+V3-V6
23
Тригонометрические выражения. ТЗ -5 В-1
№№ 1-2. В какой четверти расположен данный угол:
2.
2
1. 879°;
№№ 3-4. Вычислите:
„ . . л .л
3. 4sin--tg —.
3 6
4. ctgl35° • cosl20“.
и
5. Найдите sin a, tga
если cos а = -0,4
ctga,
Зл
< а < —
2
№№ 6-9. Упростите выражения:
6. 2tga(l - sin2a).
„ Г 7л i
7. cos------а .
I 2 J
(since + cosa)2
о. ------------------
1 + sin2a
9. —-------------—
1 - tga 1 + tga
10. Докажите тождество: cos4a - sin4a = 2cos2a - 1.
11. (2 балла). Найдите sin(----а), если sin a = 0,5 и — < a < л.
12. (3 балла). Упростите выражение:
sina - sin3a cosa - cos3a
sin2a cos2a
13. (4 балла). Докажите тождество:
sinl6a
cosa cos2a • cos4a • cos8a
= 16sina.
14. (5 баллов). Упростите выражение:
I я cos — <2 a . л a i , a 4J 1,2 4J 8
. (7л sin 1 2 a^ . C a') , a 4 J I 4 J 8
24
Тригонометрические выражения. ТЗ -5 В-2
№№ 1-2. В какой четверти расположен данный угол:
1.1053°; 2. — ?
8
№№ 3-4. Вычислите:
3. V2cos— -tg7t. 4. sin240° • cos315°.
4
5. Найдите cos a, tga и ctga,
Зтс
если sin a = -0,28 и — < a < 2л.
2
№№ 6-9. Упростите выражения:
7 7t
6. 2ctga(l - cos2a). 7. tg(--h a).
2
_ 2 , • 2 a 2 a „ tga tga
8. cos2a - 4sin — cos2 —. 9. -----ч--------.
2 2 1 + tga 1 - tga
10. Докажите тождество: sin3acosa + sinacos3a = 0,5sin2a.
11. (2 балла). Найдите cos(—i-a),
6
>/з Зя
если cos a =-----и л < a < —.
2 2
12. (3 балла). Упростите выражение:
sina + sin3a cosa + cos3a
sin2a cos2a
13. (4 балла). Докажите тождество:
sin8a * I
(cos2a - sin2a)(cos22a - sin22a)
. z 2 ^X. • 2
= 8sina(cos-------sin —).
2 2
14. (5 баллов). Упростите выражение:
• 2/ ч t • г(Зп aА
sin (a - л) - 4 sin-----
I 2 2 J
of 5л . of n a
cos------a - 4 + 4 cos — ч—
I 2 J. 12 2
25
Тригонометрические выражения. ТЗ-5 В-3
№№ 1-2. В какой четверти расположен данный угол:
1. 1932°;
№№ 3-4. Вычислите:
3. 6cos| V3tg —.
I 8 J 6
5. Найдите sin 2a , cos 2a и tg2a ,
4 3л
если sina = — и л < a < — .
5 2
№№ 6-9. Упростите выражения:
6. sin2acosa + cos2asina.
8. sin(-p) + cos(-p)£g(-P).
i a tt sin(a ~ P)
10. Докажите тождество: --------—
cosacosP
11. (2 балла) Найдите cos(a + P), если sin a = -0,8, cos p = 0,6
и 180°<a<270°, 270°<p<360°.
, n ,n a (sina - cosa)2 -1 + sin4a
12. (3 балла) Упростите выражение: -----------------------.
cos2a + cos4a
Л
13. (4 балла) Найдите значение выражения при a = —:
(cos2a - 4cos2 — sin2 —)(sina + sin3a)
2 2
2cos2 — -1
2
14. (5 баллов). Докажите тождество:
ot “ В
(cosa - cosp)2 + (sina - sinP)2 = 4sin2--.
4. sin330° cosl35°.
1 - cos* 2a
1 - sin2a
9. 1~tg2(x.
1 + tg2a
= tga - tgp.
26
Тригонометрические выражения. T3 -5 B-4
№№ 1-2. В какой четверти расположен данный угол: 1.5341°; 2. 19 №№ 3-4. Вычислите: 3. 4sin|- —I+ T2tg|1. 4. ctg390° cos30°. I 4 J \ 4 J 12 5. Найдите sin2a, cos2a и tg2a, если cosa = - — и 180°<a<270°. №№ 6-9. Упростите выражения: 6. cosacos3a - sinasin3a. 7. ctg(-a)tg(-a) - sin* 1 2(-a). 8. (1 - sinP)(l + sinp) + (1 + cosP)(l - cosp).
9. ttft С°* .
1 + sinP
_~ w sin(a + B) , . „
10. Докажите тождество: --------— = ctga + ctgp.
sinasinp
4
11. (2 балла). Найдите sin(a - P), если cos a = —,
5
cos p = —— и — <а<2тг, —<Р<л.
H 41 2 2
„ ,r (1 - sin2a)(sin4a - sin2a)
12. (3 балла). Упростите выражение: --------------------
cosa + 2cos3a + cos5a
13. (4 балла). Упростите выражение:
sin2a (cos2a + 4sin2 — cos2 —)(cosa + cos3a)
2 2
1 - 2sin2 -
2
TT “
Найдите его значение при a =
14. (5 баллов). Докажите тождество:
ос__ В
(cosa + cosp)2 + (sina + sinP)2 = 4cos2----------
2
27
Контрольные работы. 2
Данный раздел содержит контрольные работы по
курсу алгебры 9 класса. Все задания отвечают требова-
ниям программы общеобразовательной школы. Работы
даны в шести вариантах в порядке возрастания трудно-
сти, при этом пятый и шестой варианты сложнее, чем
остальные. Все варианты имеют одинаковую структуру:
до черты - обязательные задания, их выполнение гаран-
тирует оценку «5», после черты - задания, которые мо-
гут быть предложены учащимся, выполнившим обяза-
тельную часть, в качестве дополнительных. В зависи-
мости от подготовленности класса количество обяза-
тельных заданий может варьироваться.
Необходимо отметить, что число заданий в каждой
предлагаемой контрольной работе избыточно. Поэтому,
возможны два подхода:
- уменьшить число заданий в контрольной работе,
отобрав те из них, которые наиболее точно отвечают
уровню подготовки класса;
- отводить на проведение контрольной работы 2 часа.
В таблице представлено распределение контрольных
работ по параграфам учебника «Алгебра - 9», авторы:
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.Б. Су-
ворова. Под редакцией С.А. Теляковского. Издание 8.
№ Тема контрольной работы. §§
1. Функции и их свойства. Квадратный трехчлен. 1-2.
2. Квадратичная функция. Неравенства второй степени с одной переменной. 3-4.
3. Уравнения и системы уравнений. 5-6.
4. Арифметическая прогрессия. 7.
5. Геометрическая прогрессия. 8.
6. Корень п - ой степени. 9-10.
7. Степень с рациональным показателем. 11.
8. Тригонометрические функции и их преобразования. 12-14.
9. Итоговая контрольная работа.
28
Свойства функций. Квадратный трехчлен. КР-1 В- 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Для функции f(х) =-----------:
х -1
а) вычислите /(-8);
б) сравните f(0) и /(5);
в) найдите нули функции.
2
Среди функций у = 5-----х, у - -12 + 6х, у = 10 выберите
3
возрастающую. Постройте график выбранной функции и с
его помощью определите значения х, при которых у < 0.
Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 + 12х + 27 ; б) 8х2 -13 - 6.
Каково наибольшее значение квадратного трехчлена
- 5х2 + 40х - 87 ?
6х-2 + 7х — 33
Сократите дробь —-------------- и найдите ее значение при
Зх2 + 16х + 21
5
х ~---.
9
Решите уравнение: х3-7х2 - 21х + 27 = 0 .
2 2 2
Решите уравнение: х + Зх +-----= 4-------
х-1 1-х
Дано уравнение: Зх2-11х + 2 = 0. Составьте квадратное
уравнение, корни которого были бы на 1 больше соответ-
ствующих корней данного.
Упростите выражение:
( k 8 . З/г + 4 _ 1
[зй2 + Л - 2 + 9/г2 - 4 J ' 9fe2-4 k + l‘
10. Значение дроби ——- равно 2 при х = 2 и равно 3 при
kx +1
х = 3 . При каком значении х значение этой дроби равно 4?
29
Свойства функций. Квадратичный трехчлен. КР-1 В-2
1. Для функции f(x) = -------:
х + 2
а) вычислите /(-7);
б) сравните /(-10) и /(0);
в) найдите нули функции.
2. Среди функций у -4х-5, у = 9- Зх, у - -6 выберите убы-
вающую. Постройте график выбранной функции и с его
помощью определите значения х, при которых у < 0.
3. Найдите корни квадратного трехчлена:
а)х2+11х + 30; б) - 12х2 - 23х - 11.
4. Укажите наименьшее значение квадратного трехчлена
6х2 - 24х + 15 .
5^2 — _11
5. Сократите дробь ---------- и найдите ее значение при
10х2 -7х-33
6. Решите уравнение: 8х3 - 4х2 - 2х + 1 - 0 .
3 3
7. Решите уравнение: 3------= а2 +------2а .
3-а а-3
8. Составьте квадратное уравнение, корни которого были бы
в 2 раза меньше соответствующих корней уравнения
2х2 - 13х + 3 = 0.
9. Упростите выражение:
Ь2 -25 ( 6 Ъ 21
Ь + 2 1,25 -b2 2b2-'1b-VS) 4ft + 6
10. Значение дроби — + равно 4 при с = 4 и равно -2 при
kc + 2
с = -2 . При каком значении с значение этой дроби равно 3?
30
Свойства функций. Квадратичный трехчлен. КР-1 В-3
1. Для функции f(x) =----------:
х + 4
а) вычислите /(-10);
б) сравните /(-2) и /(0);
в) найдите нули функции.
2
2. Среди функций г/ = -6н—х, у = 12-4х, у = 1 выберите
3
возрастающую. Постройте график выбранной функции и с
его помощью определите значения х, при которых у > 0 .
3. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 +9х-22; б) Зх2 - х - 70 .
4. Укажите наибольшее значение квадратного трехчлена
- 7х2 - 42х - 44 .
_ - 8х2 + 14х - 3
5. Сократите дробь-------------и найдите ее значение при
10х2 -17x4-3
6. Решите уравнение: 8х3 - 14х2 + 7х - 1 = 0 .
_ „ 2 „ 1 - 9у 9у -1 _
7. Решите уравнение: 2у +2---------=-------4- оу .
2у -1 2у -1
8. Составьте квадратное уравнение, корни которого были бы
равны соответственно сумме и произведению корней урав-
нения Зх2 + 2х - 15 = 0 .
9. Упростите выражение:
14 f 8х -10 18(х - 3) 4х2 -17x4-15
х + 3 t х2 - 9 + 15 - 7х - 4х2 J 7^2 '
10. Значение дроби ——— равно 2 при х = 2 и равно 3 при
5 - ах
х = 3 . При каком значении х значение этой дроби равно 2,55?
31
Свойства функций. Квадратичный трехчлен. КР-1 В-4
1. Для функции /(х) =———-------:
20 - 4х
а) вычислите /(-9);
б) сравните /(0) и /(-3) ;
в) найдите нули функции.
2
2. Среди функций г/ = 9, у = х-2 — ,у = 4- 0,8х выберите
3
убывающую. Постройте график выбранной функции и с
его помощью определите значения х, при которых у > 0.
3. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 - 4х + 6; б) 7х2 - 6х - 16 .
4. Укажите наименьшее значение квадратного трехчлена
9х2 - 54х - 19 .
6х2 + 17х — 14
5. Сократите дробь ------------ и найдите ее значение при
- 9х + Зх + 2
6.
Решите уравнение: х3 - Зх2 - 6х + 8 = 0 .
7. Решите уравнение:
_ 2 о Зх + 1 Зх + 1
5х2 - 3-------------=-------------2х.
7х2 + 5х - 2 2 - 7х2 - 5х
8. Составьте квадратное уравнение, корни которого были бы
на 0,2 меньше соответствующих корней уравнения
5х2 - х - 2 = 0 .
9. Упростите выражение:
5г/- 30 Г 4(г/+ 4)
Зг/2 + 14г/+ 8 \3г/2 -10г/-8
Зг/ + 2 j 4г/ + 2
г/2 - 16 J + г/ + 2 '
z/ __ 3
10. Значение дроби ------ равно 1 при х = 1 и равно -29 при
Х + 2
х — —5 . При каком значении х значение этой дроби равно 91?
32
Свойства функций. Квадратичный трехчлен. КР-1 В-5
1. Для функции f(x) =---——-----:
5 + 35х
а) вычислите /(11);
б) сравните /(-6) и /(0);
в) найдите нули функции.
8 2
2. Среди функций у = 8----х, у = -5 +1 — х, у = 3 выберите
5 3
возрастающую. Постройте график выбранной функции и с
его помощью определите значения х, при которых у < 0.
3. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 + х - 72 ; б) 14х2 + 59х + 35 .
4. Укажите наибольшее значение квадратного трехчлена
-Их2 -22x4-57.
16х2 ч- 16х - 21
5. Сократите дробь------------- и найдите ее значение при
- 20х2 4- 23х - 6
6. Решите уравнение: х4 - 10х3 4- 90х -81 = 0.
7. Решите уравнение:
43х 4- 20 -
х 4-15
19х - Зх2 - 28
= 12х2 +
X 4- 15
Зх2 - 19х 4- 28
8. Составьте квадратное уравнение, корни которого были бы
равны соответственно сумме и произведению корней урав-
нения 8х2 4- 13х - 22 = 0.
9. Упростите выражение:
2а4 - 4а2 4- 2 Г а а -1
За2 4- 11а 4-10 \а2-а-6 За2-4а-15
, _ _ _ ау + 15
10. Значение дроби ------- равно 5 при у = 5 и равно 27 при
г/4-5
у = -6. При каком значении у значение этой дроби равно 7?
33
Свойства функций. Квадратичный трехчлен. КР-1 В-6
тт л ч 12х2+16х-35
1. Для функции f(х) =---------
а) вычислите /(-3);
б) сравните /(-10) и /(0);
в) найдите нули функции.
2. Среди функций у = -(4,5 - 1,3х), у = -9, у - ~(1,5х + 3) вы-
берите убывающую. Постройте график выбранной функ-
ции и с его помощью определите значения х, при которых
z/>0.
3. Найдите корни квадратного трехчлена:
а)х2-12х-13; б) - 2х2 + 7х + 15 .
4. Укажите наименьшее значение квадратного трехчлена
2х2 - 2х -13 .
24х2 — 35х + 9
5. Сократите дробь------------ и найдите ее значение при
27 + 12х-32х2
х = 1— .
3
6. Решите уравнение: 9х4 - ЗОх3 + 25х2 -4 = 0.
Решите уравнение:
15х2 - 22 -
Зх + 10
10х2 + 7х - 33
Зх + 10
33 - 7х - 10х2
-23х.
8. Составьте квадратное уравнение, корни которого были бы
соответственно квадрату суммы и квадрату произведения
корней уравнения 2х2 - Зх - 1 = 0 .
9. Упростите выражение:
2& + 13 . Г 2Ь 8 _ 3 _ ь
2b-5 ' V 2&2 + 3£> - 20 b2-16 2&2-13fe + 2oJ
4а — у
10. Значение дроби ------ равно 5 при а = 5 и равно 6 при
i/ + Z
а = 6 . При каком значении а значение этой дроби равно 4?
34
Квадратичная функция и ее график. Неравенства с одной переменной КР-2 В-1
1. Постройте график функции у = х* 2 + 2х - 3. С помощью
графика определите:
а) область значений функции;
б) значения х, при которых у > 0;
в) промежуток убывания функции;
г) значения у при хе [-4;0].
2. Не выполняя построения графика, найдите наибольшее
значение функции у = -Зх2 + 8х - 5.
3. Решите графически неравенство:
а) х2 - Зх - 40 < 0; б) 28х2 + 13х - 6 > 0.
4. При каких значениях х значения функции
у = 2х2 - Зх - 37 меньше соответствующих значений
функции у = Зх2-15х-1?
5. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х - 9)(х + 7)(х - 3) > 0; б) (2 ~ Х^Х + > 0.
х
6. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у = 2х2 +8х-1 и у = х2 + 4х + 4 и определите
координаты их точек пересечения.
3
7. При каких значениях х разность дробей —---------------
х2 -16х-161
2
и —---------- положительна?
х2 - 26х + 69
8. При каких значениях р неравенство (р - 1)х2 + Зрх + 2р>0
не имеет решений?
9. Решите уравнение:
(7д/3х - 3>/7)(7л/з^ + 3^7) = 10(2л/б^ - зТб)(2л/5х + Зд/б).
10.Из точки, не лежащей на прямой, проведены к этой пря-
мой две наклонные и перпендикуляр. Сумма длин на-
клонных- 56 дм, а их проекции на прямую равны 8 дм и
36 дм. Найдите длину перпендикуляра.
35
Квадратичная функция и ее график. Неравенства с одной переменной КР - 2 В-2
1. Постройте график функции у - —х2 + 12х - 35. С помо-
щью графика определите:
а) область значений функции;
б) значения х, при которых у < 0 ;
в) промежуток возрастания функции;
г) значения у при хе [3;7].
2. Не выполняя построения графика, найдите наименьшее
значение функции у = 4х2 - 7х + 3.
3. Решите графически неравенство:
а) х2 + Зх - 54 >0; б) - 18х2 + 27х -10 > 0.
4. При каких значениях х значения функции
у = 1х2 -10х + 5 больше соответствующих значений функ-
ции у = 2х2 + 2х - 3 ?
5. Решите неравенство методом интервалов:
Y + 4
а) х(х + 2)(8 - х) > 0 ; б) ----------- < 0.
(х - 1)(х - 5)
6. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у = 2х2 - 4х - 9 и у = -х2 - х + 9 и определите
координаты их точек пересечения.
3
7. При каких значениях х сумма дробей —----------------- и
2х2 +17х + 8
—-— ------ отрицательна?
2х2 - Зх - 2
8. При каких значениях р неравенство (р + 3)х2 + 5рх + 4р>0
выполняется при любых значениях х?
9. Решите уравнение:
(Зл/бх + 2л/з)(2л/з - З7б7) = (7-Jx + 2л/13)(2>/13 - 7-Ух).
10. Из точки, не лежащей на прямой, проведены к этой пря-
мой две наклонные и перпендикуляр. Длина одной на-
клонной равна 89 см, длина другой- 82 см, а разность их
проекций равна 21 см. Найдите длину перпендикуляра.
36
Квадратичная функция и ее график. Неравенства с одной переменной КР-2 В-3
1. Постройте график функции у = 2х2 -12x4-16. С помощью
графика определите:
а) область значений функции;
б) значения х, при которых у < 0 ;
в) промежуток возрастания функции;
г) значения у при х е [2;б].
2. Не выполняя построения графика, найдите наибольшее
значение функции у = -5х2 + 13х - 9.
3. Решите графически неравенство:
а) - х2 - 16х - 63 < 0; б) 12х2 - 17х + 6 < 0.
4. При каких значениях х значения функции у = х2 - 8х + 3
больше соответствующих значений функции
у = 5х2 - Зх + 5 ?
5. Решите неравенство методом интервалов:
а) (4х - 3)(5х + 7)(х - 3) > 0 ; б) > 0.
2х-7
6. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у = 2х2 + 4х - 22 и у = -х2 - 2х + 23 и определите
координаты их точек пересечения.
„ „ _ „ 5
7. При каких значениях х разность дробей ---------------
18х2 -131Х + 238
7
и —------------ отрицательна?
9х2-61х + 102
8. Дано неравенство: (2р - 5)х2 4- 2рх 4- р < 0. При каких
значениях р оно не имеет решений?
п „ 7^7-3^3 4V114-5V3X
9. Решите уравнение: —==-----== =---------у=— .
5V3X-4V11 7V7 4-3V3
10. Высота треугольника делит его сторону на отрезки дли-
ной 21 см и 48 см, а разность двух других сторон этого
треугольника равна 23 см. Найдите площадь этого
треугольника.
37
Квадратичная функция и ее график. Неравенства с одной переменной КР-2 В-4
1. Постройте график функции у = -2х2 + 2х + 12. С помо-
щью графика определите:
а) область значений функции;
б) значения х, при которых у > 0;
в) промежуток убывания функции;
г) значения у при х е [-1;1].
2. Не выполняя построения графика, найдите наименьшее
значение функции у = 6х2 + 10х - 4.
3. Решите графически неравенство:
а) х2 - Их- 42 < 0; б) - 63х2 - 94х - 35 < 0.
4. При каких значениях х значения функции
у = —4:Х2 + 5х - 3 больше соответствующих значений функ-
ции у = -7х2 + 7х - 4 ?
5. Решите неравенство методом интервалов:
а) 5х(3 - 7х)(3х +11) < 0 ; б)(3х + 1)(х + 2) < 0.
1 Зх — 5
6. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у = Зх2 + 9х - 4 и у = -2х2 + 4х + 6 и определите
координаты их точек пересечения.
7. При каких значениях х сумма дробей --------------- и
- х2 - Зх + 4
11
—---------- положительна?
2х2 + 5х -12
8. При каких значениях р неравенство (р - 7)х2 + 9рх + 5р < 0
выполняется при любых значениях х?
п „ 13-72-9-TlOx 4-Тб-5-713
9. Решите уравнение: ---==----f=- =---j=——— .
5-713 + 4-76 13-72 +9V10x
10. Две стороны остроугольного треугольника равны 61 см и
65 см, а разность их проекций на третью сторону равна 14
см. Найдите площадь этого треугольника.
38
Квадратичная функция и ее график. Неравенства с одной переменной КР-2 В-5
1 2 1. Постройте график функции у=— х - 2 графика определите: а) область значений функции; б) значения х, при которых у > 0 ; в) промежуток убывания функции; г) значения у при х е [0;3]. х-4. С помощью
2. Не выполняя построения графика, найдите наибольшее
значение функции у = -7х2 + 8х + 10.
3. Решите графически неравенство:
а) - х2 + 5х + 104 > 0; б) 56х2 - 127х + 72 > 0.
4. При каких значениях х значения функции у = х2 -8х + 4
не больше соответствующих значений функции
у =-х2 -12х-8?
3
5. Решите неравенство методом интервалов:
а) (5х + 8)(х - 31)(6х +100) > 0 ; б) > 0.
12х + 17
6. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у = 2х2 + 4х - 23 и у = х2 - х - 23 и определите
координаты их точек пересечения.
-7 гт « - * 7 8 9 10 * * 13
7. При каких значениях х разность дробей —------------- и
5х2 + 4х - 33
7
—---------- положительна?
Зх2 + 4х-15
8. При каких значениях р неравенство
(Зр - 14)х2 + арх + 2р < 0 не имеет решений?
п „ 9л/7 + 19->/Зх 57б+12>/11
9. Решите уравнение: —--------=• =-----------=.
5-у6-12-уИ 19->/Зх-9-у7
10. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 89 см.
Если один из катетов увеличить на 6 см, а другой умень-
шить на 4 см, то длина гипотенузы не изменится. Опреде-
лите, как при этом изменится площадь треугольника.
39
Квадратичная функция и ее график. Неравенства с одной переменной КР-2 В-6
1 2
1. Постройте график функции у =----х + х + 6. С помощью
3
графика определите:
а) область значений функции;
б) значения х, при которых у < 0 ;
в) промежуток возрастания функции;
г) значения у при х е [0;б].
2. Не выполняя построения графика, найдите наименьшее
значение функции у = 12х2 - 5х - 3.
3. Решите графически неравенство:
а) х2 + 5х - 126 <0; б) - 45х2 - 27х - 4 < 0.
4. При каких значениях х значения функции
у = 2х2 + 7 х + 4 не меньше соответствующих значений
функции у = 5х2 + 9х + 5 ?
5. Решите неравенство методом интервалов:
а) (9х2 - 16)(х2 +13) < 0 ; б) 1-7 ~ 2х)(4х ~ 9) < 0.
х4 5 * + 7х3
6. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у = х2 + 4х -14 и у = 0,75х2 + Зх - 6 и определите
координаты их точек пересечения.
4
7. При каких значениях х сумма дробей ----------------- и
21 - 8х - 4х2
5
—---------— отрицательна?
6х2 +17х-14
8. При каких значениях р неравенство
(7 р - 5)х2 + 8рх-Зр>0
выполняется при любых значениях х?
п „ 18л/7х- 5V14 1б7б-33->/2
9. Решите уравнение: ----,=-----= =--==-—== .
33V2+16V5 18V7x+5V14
10. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 17 дм.
Если больший катет увеличить на 7 дм, а меньший умень-
шить на 11 дм, то длина гипотенузы не изменится. Опреде-
лите, как при этом изменится площадь треугольника.
40
Уравнения и системы уравнений. КР-3 В-1
1. Решите уравнения:
а) х4 - 14г2 + 45 = 0;
б) (2х2 + 7)2 - 12(2х2 + 7) + 32 = 0.
2. Решите графически систему уравнений:
а)( «W=2S, б)|Х + !, = 5’
[у = -хг + 10х - 25; [ ху = 4.
3. Не выполняя построений, определите координаты точек
пересечения графиков
х2 + у2 = 13 и ху = 6.
2 V
4. Решите уравнение: х -7 = —.
х
5. Решите задачу с помощью системы уравнений: “Найдите два
числа, если их сумма равна 7, а произведение равно 10.”
6. Решите систему уравнений:
Зх-z/ 2х + 3г/
3 2 11
Зх-z/ 2х + Зг/ 70
х4 - 10х2 + 9
7. Сократите дробь: —----------.
х2 - 2х - 3
8. Найдите область определения функции
>/зх2 - Их - 4
у= I ...-............"
у(х + 2)(6х - 1)(х - 7)
9. Расстояние между двумя городами, равное 480 км, пасса-
жирский поезд проходит на 4 ч быстрее, чем товарный.
Если скорость пассажирского поезда увеличить на 8 км/ч,
а скорость товарного - на 2 км/ч, то пассажирский поезд
пройдет все расстояние на 5 ч быстрее товарного. Найдите
скорость каждого поезда.
41
Уравнения и системы уравнений. КР - 3 В - 2
1. Решите уравнения:
а) х4 -15х2 -16 = 0;
б) (Зх2 - 8)2 - 17(3х2 - 8) - 38 = 0.
2. Решите графически систему уравнений:
б)
у + 5 = х2,
х2 + у2 = 25.
3. Не выполняя построений, определите координаты точек
пересечения графиков
х2 + у2 = 41 и ху - 20.
4. Решите уравнение: 5х2 - 19х - 38 = .
х
5. Решите задачу с помощью системы уравнений: “Найдите
два числа, если их разность равна 15, а произведение равно
100.”
6.
Решите систему уравнений:
5х + 2у 4х - Зг/
5 3 „11
---------1---------— —2 —.
5х + 2у 4х - Зг/ 16
7. Сократите дробь: —-----------.
х4 - 13х2 + 36
8. Найдите область определения функции
_ ^(х + 7)(8х + 1)(3х -11)(8 - х)
725 + 10х - Зх2
9. Из городов А и В, расстояние между которыми равно
180 км, отправлены в одно и то же время два поезда на-
встречу друг другу. После их встречи, поезд, вышедший
из А, прибывает в В через 2 ч, а другой поезд приходит в
А через 4 ч 30 мин. Найдите скорость каждого поезда.
42
Уравнения и системы уравнений. КР-3 В-3
1. Решите уравнения:
а) 9х4 + 31х2 - 20 = 0;
б) (х2 - 4х)2 - 17(х2 - 4х) + 60 = 0.
2. Решите графически систему уравнений:
. [х2+у2 =13, [у = х2-6х-9,
a) S б) -Г
[ ху = -6; [ х - у = 1.
3. Не выполняя построений, определите координаты точек
пересечения графиков
113
—I— = — и х + у = 12.
X у 8
. 6 ,
4. Решите уравнение: — = 31 + 31х-6х .
х
5. Решите задачу с помощью системы уравнений: “Найдите
два числа, если их произведение равно -24, а сумма пер-
вого и удвоенного второго числа равна 13.”
6.
Решите систему уравнений:
4 3
2 2 2
X -у X -у
6 5
2 2 + 2
X -у X. -у
= 0,2,
= 1,25.
_ „ „ 9х5-40х3 + 16х
7. Сократите дробь: -------------— .
Зх4 - 8х3 + 4х2
8. Найдите область определения функции
>/26х2 - 9х - 2
У ^х(3х + 5)(1 - х)(7х - 37) ’
9. После окончания сбора урожая, выяснилось, что с перво-
го участка собрано 200 ц пшеницы, а со второго, площа-
дью на 2 га больше, собрано 300 ц. При этом, урожай-
ность на втором участке оказалась на 5 ц с гектара боль-
ше, чем на первом. Найдите площадь каждого участка и
их урожайность.
43
Уравнения и системы уравнений. КР-3 В-4
1. Решите уравнения:
а) 16х4 - 83х2 +15 = 0;
б) (5х2 - 7х)2 + 7(5х2 - 7х) + 10 = 0.
2. Решите графически систему уравнений:
J(x + 3)2 + (у + 3)2 =9, f ху = 8,
[ х + у =-3; [у = х-2х + 4.
3. Не выполняя построений, определите координаты точек
пересечения графиков
114
-----=---и х - у = 4.
х у 5
2 6
4. Решите уравнение: Зх -х + 18 = —.
х
5. Решите задачу с помощью системы уравнений: “Найдите
два числа, если их произведение равно 30, а разность ут-
•роенного первого и удвоенного второго числа равна 3.”
Решите систему уравнений:
6_______1 41
Зх - у2 5у2 - х2 55 ’
-Л________5— = 2
Зх - у2 5у2 - х2
_ „ s 10х6-х5-2х4
7. Сократите дробь: --------------- .
ЮОх7 - 41х5 + 4х3
8. Найдите область определения функции
_ 7х(х + 2)(6х - 7)(х - 5)
л/40х-21х2 + 21
9. На велосипедных соревнованиях Федор обогнал Павлика,
придя к финишу на 2 мин раньше. Если бы Федор умень-
шил скорость на 6 км/ч, то уже Павлик пришел бы к
финишу на 2 мин раньше Федора. Найдите скорости Федо-
ра и Павлика, если длина дистанции 6,3 км.
44
Уравнения и системы уравнений. КР-3 В-5
1. Решите уравнения:
а) 12х4 - 31х2 + 9 = 0;
б) (5х2-Зх + 4)2-(5х2- Зх + 4) - 30 = 0.
2. Решите графически систему уравнений:
f у = х2-4х + 1, 1х-2у = 4,
а) ] 2 л < ег О) ]
[у = -х2 + 8х -15; [ ху ~ 16.
3. Не выполняя построений, определите координаты точек
пересечения графиков
х2 - 2ху - у2 =2 и ху + у2 = 4.
4. Решите уравнение: х3 - 25х + 60 = —.
х
5. Решите задачу с помощью системы уравнений: “Найдите
два числа, если их произведение равно 20, а сумма их
квадратов равна 41.”
6.
Решите систему уравнений:
19 7
х3 - z/3 + х - у
8
7’
50 ‘
7 3
х3 - у3 х-у 133
7.
Сократите дробь:
(х2 - 169)(36х4 - 109х2 + 25)
(2х2 - 25х - 13)(3х2 + 44х + 65) '
8. Найдите область определения функции
7(3х + 5)(4х - 7)(5х - 1)(х - 8)
7(х + 2)(3х - 5)(х -10)
9. На двух участках посажены рядами 350 деревьев, причем
на каждом участке число рядов на 1 больше числа де-
ревьев в каждом ряду. Найдите число рядов на каждом
из участков, если на первом участке на 130 деревьев
больше, чем на втором.
45
Уравнения и системы уравнений. КР-3 В-6
1. Решите уравнения:
а) 7х4 + 5х2 - 2 = 0;
б) х2 - 9 + 7х2 -9 -12 = 0.
2. Решите графически систему уравнений:
а)
\х2 -2х-у = -4,
[ 0,5у + х = 2,5.
3. Не выполняя построений, определите координаты точек
пересечения графиков
х2 + ху + 4г/2 = 6 и Зх2 + 8г/2 = 14.
3 2 ОО
4. Решите уравнение: х +10х +25х = —.
х
5. Решите задачу с помощью системы уравнений: “Найдите
два числа, если их произведение равно 24, а разность их
квадратов равна 55.”
6. Решите систему уравнений:
109 1 111
х3 - у3 х2 + ху + у2 218 ’
* 2___________3 ____2
х3 - у3 х2 + ху + у2 109
Сократите дробь:
(5х2 - х - 6)(5х2 + 46х + 48)
(25х4 - 61х2 + 36)(х2 - 64) ’
8. Найдите область определения функции
_ 7(5х - 3)(7х - 2)(5 - х)(х - 9)
У д/х(5х - 7)(х - 8)
9. Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и
спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на
6 км/ч большей, чем на подъеме, затрачивает на путь из
А в В 2 ч 40 мин, а на обратный путь на 20 мин меньше.
Найдите скорость велосипедиста на подъеме и на спуске и
длину подъема на пути из А в В, если длина всей дороги
равна 36 км.
46
Арифметическая прогрессия. КР-4 В-1
1. Выпишите три следующих члена арифметической про-
грессии:
а) 5;7;...; б) а; 5а-3;... .
2. Найдите 18-ый член арифметической прогрессии (ап),
если:
а) аг = 6; d — 1,3 ; б) ах = 5 ; а2 = 3,8 .
3. Найдите разность арифметической прогрессии (Ьп), если:
Ьг = 16 ; b3 + 365 = 57.
4. Между числами 7 и 35 вставьте 6 чисел так, чтобы они вме-
сте с данными образовали арифметическую прогрессию.
5. Найдите сумму 25 первых членов арифметической про-
грессии (хп),если:
a) Xj = 4 ; х26 = -6 ; б) xt = -7 ; d = 1,5 .
6. Дана арифметическая прогрессия 1,63; 2,02;... . Проверь-
те, являются ли членами этой прогрессии числа:
а) 8,65; б) 20,25.
7. Найдите сумму всех натуральных четных чисел от 26 до
64 включительно.
8. Найдите первый член, разность и сумму 13 первых чле-
нов арифметической прогрессии (ап), если:
а2 + а5 - а3 = 10 и ах + а6 = 17.
9. Решите уравнение: 1 + 4 + 7 + ... + х = 117 .
10. Упростите выражение
(т2 - 2тп - Зп2)(2тп + 5п) - (тп(т - 16п) - 14п3)
и найдите его значение при тп = — 3, п = —4.
и тя 4 1 14
11. Из условия —--------—--------1-—----г = 0 найдите и.
у2-^Ьу у2+ЗЬу 9Ь2-у2
Укажите допустимые значения переменной Ь.
47
Арифметическая прогрессия. КР-4 В-2
1. Выпишите три следующих члена арифметической про-
грессии:
а) 13;10;...; б) 17х-3; 19х-4,5;... .
2. Найдите 18-ый член арифметической прогрессии (сп),
если:
а) сг = -7,2 ; d = 0,6; б) сг = 5,6 ; с2 = 4,8.
3. Найдите разность арифметической прогрессии (/гп),если:
k1 = 6,2 ; /г10 - 2/?3 = -11,85 .
4. Между числами 18 и -3,6 вставьте 4 числа, которые вме-
сте с данными образуют арифметическую прогрессию.
5. Найдите сумму 19 первых членов арифметической про-
грессии (Ьп), если:
а) = 6; £>1в =17; б) Ьг = 4,8; d = -1,2 .
6. Дана арифметическая прогрессия -2,27; -1,96;... . Про-
верьте, являются ли членами этой прогрессии числа:
а) 7,85; б) 15,09.
7. Найдите сумму всех нечетных натуральных чисел от 37
до 113 включительно. 8 9 10 11 * *
8. Найдите первый член, разность и сумму 16 первых чле-
нов арифметической прогрессии (£/п), если:
s2 - <S4 + У2 = 14 и s3 -I- Уз = 21
9. Решите уравнение: 1 + 7 + 13 + ... + х = 280 .
10. Упростите выражение
(р - 4q)(3p2 + 2pq - 5q2) - (12pq2 - 10g(p2 - 2q2))
и найдите его значение при р = 2, q — —0,6.
,, __ а + 1 а -1 8х
11. Из условия -------------------=---------- найдите х.
5ах + 2а2 2а2 - 5ах 25х2 - 4а2
Укажите допустимые значения переменной а.
48
Арифметическая прогрессия. КР-4 В-3
1. Выпишите три следующих члена арифметической про-
грессии:
а) 3,6;4,2;...; б) 5х; Зх-«/2 .
2. Найдите 14-ый член арифметической прогрессии (хп), ес-
ли:
a) xt = 4,3 ; d = 1,1; б) хг = 5,6 ; х2 = 4,12 .
3. Найдите разность арифметической прогрессии (ап), если:
ctj = -3,3 ; 5л6 - Зл8 = -5,84 .
4. Между числами -4,9 и -9,1 вставьте 5 таких чисел, что-
бы они вместе с данными образовали арифметическую
прогрессию.
5. Найдите сумму 22 первых членов арифметической про-
грессии (сп), если:
а) q = -53,2 ; с22 = 46,7 ; б) q = 3,24 ; d = 0,15 .
6. Дана арифметическая прогрессия 151; 149,73;... . Про-
верьте, являются ли членами этой прогрессии числа:
а) 82,42; б) -148,72.
7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3, от 42
до 159 включительно.
8. Найдите первый член, разность и сумму 99 первых чле-
нов арифметической прогрессии (kn), если: 5kr + 10А5 =0
и S4 = 14 .
9. Решите уравнение:
(х + 1) + (х + 4) + (х + 7) + ... + (х + 28) = 155 .
10. Упростите выражение
(ЗА - 2л)(3л2 + 2nk + 7А2) - А(5(л2 + 4А2) + А2)
и найдите его значение при k = -2,5; п = -2.
,, т, 5л - 12А
11. Из условия ---5-------------
Зл - па - ЗлА + ka
л 12А
--------1--------
а(л - А) а(а - Зл)
най-
дите а. Укажите допустимые значения переменных л и А.
49
Арифметическая прогрессия. КР-4 В-4
1. Выпишите три следующих члена арифметической про-
грессии:
а) -4,5;-5,75;...; б) Зе -I- 7>/з ; 4с + 5>/3 ;...
2. Найдите 10-ый член арифметической прогрессии (z/„), если:
а) уг = 13,9 ; d - -4,1; б) уг = 3,8; у2 = 3,93
3. Найдите разность арифметической прогрессии (dn), если:
dj = 4,39 ; 5d3 - ld2 + 4d7 = 5 .
4. Между числами -15,9 и 16,3 вставьте 6 чисел так, чтобы
они вместе с данными образовали арифметическую про-
грессию.
5. Найдите сумму 29 первых членов арифметической про-
грессии (рп), если:
а) рг = 18,7 ; р29 = -19,6 ; б) рг = -14 ; р2 = -16,5 .
2 5
6. Дана арифметическая прогрессия 14 — ;13 —. Проверь-
3 6
те, являются ли членами этой прогрессии числа:
а)-б|; б) -1|.
о 3
7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7, от
147 до 294 включительно.
8. Найдите первый и 37-ой член арифметической прогрес-
1 2
сии (ап), если: d = — и S37 = 209 — .
3 3
9. Решите уравнение: (х - 11) + (х - 5) + ... + (х + 67) = 882 .
10. Упростите выражение
(~5х2 + 4ху - 3z/2)(2x - у) - х(ху - 10(х2 + у2))
и найдите его значение при х = - — ,у = 3.
6
, ч „ 8а 255 12а+ 105
11. Из условия---------------------I------------------= 0
х(Ъ - х) (5fe - 2а)х 5&х + 2ab - 5Ь2 - 2ах
найдите х. Укажите допустимые значения переменных а и
Ь.
50
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Арифметическая прогрессия.
КР-4
В-5
Выпишите три следующих члена арифметической про-
грессии:
а) -0,93; -0,56;...; б) 5с - 3^7 ; Зс - V? ;... .
Найдите 14-ый член арифметической прогрессии (qn), если:
a) ft = 7,7 ; d = -1,3 ; б) = -3,05 ; q2 = -3,25 .
Найдите разность арифметической прогрессии (сп), если:
5 1
с, = 2— ; 5с, -4с, - 7с7 = -75— .
1 9 3
Между числами -29,49 и -0,14 вставьте 4 числа так,
чтобы они вместе с данными образовали арифметическую
прогрессию.
Найдите сумму 24 первых членов арифметической про-
грессии (kn), если:
a) = 83,9 ; й24 = -69,93 ;
б) = -7,6 ; d = 1,01.
7
Дана арифметическая прогрессия 5—; 7;... • Проверьте,
являются ли членами этой прогрессии числа:
2 7
а) 31 —; 6)50—.
11 11
Найдите сумму всех натуральных чисел, не кратных 4, от
29 до 59 включительно.
8. Для арифметической прогрессии (Ьп) найдите Ьп и п, если
b. = -9 , d = - и S = -75 .
1 2
9. Решите уравнение:
(х-1) + (х-5) + (х-9) + ... + (х-65) = -153.
10. Упростите выражение
(а* 1 2 - ЗаЬ + 4&2)(2а - 3b) - (6b2(3a - 2b) - ab2)
1 ь 1
и найдите его значение при а = — ;Ь =---.
2 9
а — 8Ь а 8Ь
11. Из условия -----------------=----------1------- найди-
ах - 2Ьх - а2 + 2аЪ (2Ь - а)х (а - х)х
те х. Укажите допустимые значения переменных а и Ь.
51
Арифметическая прогрессия. КР-4 В-6
1. Выпишите три следующих члена арифметической про-
грессии:
а) 1003,56; 959,74;...; б) - 3k - 1171L; - k - 8л/1Т ;... .
2. Найдите 17-ый член арифметической прогрессии (с п ), если:
а) с. = 5— ; d = ; б) с. - 51,43 ; с, = 42,532 .
1 49 14 > г * 1 2
3. Найдите разность арифметической прогрессии (ап),если:
14
ах = -4,9 ; 7а2 - 8а3 + 5п5 = -76— .
15
11 15
4. Между числами 8— и 15— вставьте 4 таких числа,
23 23
чтобы они вместе с данными образовали арифметическую
прогрессию.
5. Найдите сумму 32 первых членов арифметической про-
грессии (а„), если:
а) аг = 105,12 ; а32 = -106,1; б) аг = ; d = 1у .
6. Дана арифметическая прогрессия -61,5;-59,4.... Проверь-
те, являются ли членами этой прогрессии числа:
а) 480,3; б) 61,4.
7. Найдите сумму всех натуральных чисел, не кратных 8, от
105 до 799 включительно.
8. В арифметической прогрессии (уп) найдите у± и п, если
d - 2,5 ; уп = 27 и Sn = 157,5 .
9. Решите уравнение: (23 - х) + (16 - х) + ... + (-68 - х) = -70 .
10. Упростите выражение
(2z2 - 5yz - 3y2)(z + 2у) - (2z/3 - y2z - yz(z + 12z/))
1 1
и найдите его значение при г = — ,у = —.
3 6
чт d 12с d + 6с
11. Из условия ---------н----------------------------- = О
(Зс - d)y (у + d)y всу - 2dy + 6cd - 2d2
найдите у. Укажите допустимые значения переменных с и
d.
52
Геометрическая прогрессия. КР-5 В-1
1. Выпишите три следующих члена геометрической прогрессии:
2. Найдите 5-ый член геометрической прогрессии (ап), если:
а) аг = 5, q = 3 ; б) а2 = 5, а4 = 125 .
3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (&п),
если: bj = 3 , b2 + Ь3 = 60.
4. Между числами 1 и 1296 вставьте три числа так, чтобы
они вместе с данными образовали геометрическую про-
грессию.
5. Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрес-
сии (сп), если:
a) Cj = 1, q - -3 ; б) сг = 5 , с3 = 80 .
6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
10; 8; 6,4... .
7. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 5,3(12); б) 1,291(6): 6,(8).
8. Найдите произведение 6 первых членов геометрической
прогрессии (хл), если х3 • х4 = 8 .
9. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрес-
сии равна 12,5, а сумма первого и второго ее членов рав-
на 12. Найдите первый член и знаменатель этой прогрес-
сии.
2 3 2 3
10. Найдите бесконечную сумму: —I—- + — н—т +....
5 5 5 5
11. Упростите выражение: J—---—-^392 -I---—7э7* 2 - 472.
V32 35 2400
12. Два подъемных крана разгрузили баржу за 40 часов со-
вместной работы. Если бы половину баржи разгрузил
один кран, а затем оставшуюся половину- второй, то на
разгрузку баржи ушел бы 81 час. За сколько часов может
разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно?
53
Геометрическая прогрессия. КР-5 В-2
1. Выпишите три следующих члена геометрический прогрессии:
а) 20; 10;...; б)>/5;^|;....
2. Найдите 4-ый член геометрической прогрессии (&п), если:
а) = 8, q = - ; б) Ъх = 3 , Ьл = 108 .
3
3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (kn),
если: Zsj = 36, k2 - k3 = 8 .
4. Между числами 96 и 6 вставьте три числа так, чтобы они
вместе с данными образовали геометрическую прогрессию.
5. Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрес-
сии (ап),если:
а) аг = — , q - -2 ; б) q3 = 10 , aa = 250 .
2
6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
-40; 30; -22,5....
7. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 12,5(63); б) 4,2(3)-4,41(6).
8. Найдите произведение 8 первых членов геометрической
прогрессии (уп), если у2 г/7 = 5 .
9. Найдите первый член и знаменатель бесконечной убы-
вающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна
3
36, а сумма четырех первых ее членов равна 33— .
4
3 91 27 1
10. Найдите бесконечную сумму: — + 1 +----+------1--и ....
7 49 3 343 9
11. Упростите выражение: J1— + —V363 ——-J1582 -1312.
V 48 66 68
12. Одна труба может наполнить бассейн на 36 мин быстрее,
чем другая. Если половину бассейна наполнить через пер-
вую трубу, а затем оставшуюся половину - через вторую, то
на заполнение бассейна уйдет на полчаса больше, чем при
одновременной работе обеих труб. За сколько минут может
наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно?
54
Геометрическая прогрессия. КР-5 В-3
1. Выпишите три следующих члена геометрической прогрессии:
а) 4;-6;...; б) 78;2-7б;....
2. Найдите 6-ой член геометрической прогрессии (сп), если:
a) Cj = 5 , q = -2 ; б) с2 = -8 , с4 = -392.
3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (хп),
если: хг = 4, 4х3 - Зх2 = 40 .
4. Между числами -10 и -810 вставьте три числа так, чтобы
они вместе с данными образовали геометрическую про-
грессию. )
5. Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрес-
сии (&п), если:
а) = -2 , q = |; б) Ь3 = 9 , b5 = 1.
6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
с 1 , 1
5 —;4 —.
3 2
7. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 7,1(234); б) 1,3(8)0,6(54).
8. Найдите произведение 6 первых членов геометрической
прогрессии (ап ), если аг ав = -8 .
9. Найдите первый член и знаменатель бесконечной убы-
вающей геометрической прогрессии, если ее второй член
равен 162, а сумма этой прогрессии равна 729.
3 2 3 2
10. Найдите бесконечную сумму: — - — + — - — +....
11. Упростите выражение: —-—V1342 -632 +—J—-----—л/242.
1260 25,162 66
12. Два трактора могут вспахать поле на 18 ч быстрее, чем пер-
вый трактор, и на 32 ч быстрее, чем второй. За сколько часов
может вспахать поле каждый трактор, работая отдельно?
55
Геометрическая прогрессия. КР-5 В-4
1. Выпишите три следующих члена геометрической прогрессии: а) -5; -10;...; б) л/12;2>/15;.... 2. Найдите 7-ой член геометрической прогрессии (уп), если: а) Ух = , q = 2 ; б) у4 = 56, ув = 3,5 . 4о 3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (?п), если: t4 = 108 , 4i3 ч- 3i2 = 156. 51 4. Между числами 12 и 3— вставьте три числа так, чтобы 64 они вместе с данными образовали геометрическую про- грессию. 5. Найдите сумму 4 первых членов геометрической прогрес- сии (ап), если: а)а1=14,7= —; б) а2 = 13 , а4 = 117 . 5 6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 7 —;-2 —;.... 9 25 7. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 10,2(81); б) 5,4(6)Ч-1,0(8). 8. Найдите произведение 10 первых членов геометрической прогрессии (сп), если с3 • с8 = -0,5 .
трех пер-
9. Найдите первый член и знаменатель бесконечной убы-
вающей геометрической прогрессии, если сумма
1
вых ее членов в 1— раза больше суммы первых
6
нов, а сумма этой прогрессии равна 20.
„ 14 14 3
10. Найдите бесконечную сумму: — ч---н — ч---F
3 13 5 65 25
двух чле-
4
325
11. Упростите выражение: —^—^2322 -572 ч- —->/567
510 6 15V28
12. Один автомобиль может перевезти груз на 24 часа быст-
рее, чем второй. Если сначала две трети всего груза пере-
везет первый автомобиль, а затем оставшуюся часть- вто-
рой, то понадобится на 33 часа больше, чем при одновре-
менной работе обоих автомобилей. За сколько часов может
перевезти груз каждый автомобиль, работая отдельно?
56
Геометрическая прогрессия. КР-5 В-5
1. Выпишите три следующих члена геометрической прогрессии: .51 ,. 7з+1 1 9’3’ 7з-1
2. Найдите 6-ой член геометрической прогрессии (с„), если: a) = 0,3 , q = V2 ; б) с3 = 1,5 , с5 = 0,375 .
3. Найдите знаменатель геометрической если: хг = -3 и Зх3 - х5 = 12 . прогрессии (хп),
4. Между числами 4 и 100 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали геометрическую про- грессию.
5. Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрес- сии (kn ) , если: а) = 8 , q = 3 ; б) k2 = 7 , k4 = 343 .
6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: л/2;1;.... 7. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 27,6(18); б) 3,58(3)+9,6(1).
8. Найдите произведение 7 первых членов геометрической прогрессии (ап), если а4 = 3 .
9. Найдите первый член и знаменатель бесконечной убы- вающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 48, а разность первого и второго ее членов равна 12. 10. Найдите бесконечную сумму: 12 3 12 3 1 + 2 + 3 + - + - + — + - + — + + .... 2 5 10 4 25 100 11. Упростите выражение: 54,6 V117 + 0,05^468 - — л/2662 - 582. 20
12. Мастер и его ученик должны выполнить работу к опреде-
ленному сроку. Однако, когда была выполнена половина
всей работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, за-
кончил работу с опозданием в 2 дня. За сколько дней мог
бы выполнить всю работу каждый из них в отдельности,
если известно, что ученику на это потребовалось бы на 5
дней больше, чем мастеру?
57
1.
2.
3.
4.
5.
Геометрическая прогрессия.
КР-5
В-6
Выпишите три следующих члена геометрической прогрессии:
а) -±;2,5;...; б) ^ЬД1;....
12 V5+2
Найдите 7-ой член геометрической прогрессии (zn), если:
a) z1 = —, q = —\/з ; б) г2 = 15 , z4 = 38,4 .
18
Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьп),
если: = 99 ; 9fe5 + 263 = 33 .
Между числами 27 и 3 вставьте три числа так, чтобы они
вместе с данными образовали геометрическую прогрессию.
Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрес-
сии (рп), если:
a) Pi = ут , q = |; б) р4 = -54 , ps = -486 .
J. «М А
6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
7. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 4,(3654); б) 2,19(4)4-8,2(8).
8. Найдите произведение 11 первых членов геометрической
прогрессии (йл), если ke = -2.
9. Найдите первый член и знаменатель бесконечной убы-
вающей геометрической прогрессии, если S4 : S2 = 17 :16
и S = 35 .
10. Найдите бесконечную сумму:
3 4 5 _3____4___5_
5 9 + 11 + 20 27 22 +
11. Упростите выражение: ^л/192 -2,5^-^
12. Бригада рабочих должна была убрать урожай картофеля
в определенный срок. После того, как было убрано 60%
всего картофеля, в помощь бригаде был направлен ком-
байн, и уборка была закончена за 5 дней до срока. Сколь-
ко дней убирала бы урожай бригада без помощи комбай-
на, если известно, что комбайн выполнил бы всю работу
на 8 дней быстрее, чем бригада рабочих?
58
Корень п-ой степени. КР-6 В-1
1. Является ли данная функция четной или нечетной:
a) f(x) = х2 - 5х8 + 9; б) р(х) = * +* ; в) t(x) = 7--А- ?
х2 -1 (х -1)2
2. На рисунке изображена часть гра-
фика функции, область определения
которой - отрезок [— 4;4]. Достройте график, если данная 1
1
функция:
а) четная; б) нечетная. -
3. Сравните: -
а) 1,75 и 2,35; б) (~1,6)7 и (-3,6)7; -
в) 2,48 и (—2,4)8; г) (-5,3)12 и (-6,1)12.
4. Вычислите: a) V-27 ; б) ^0,0016 ; в) у/(—9)5 ; г) ^(2 -Уб)4 .
в 7 о 1
5. Решите уравнение: а) 64х -1 = 0; б) —х +- = -58.
15 3
6. Упростите выражение:
а) ^27а3 • Уза ; б) J-2 —б3 ; в) ^А/х ; г) tfy** .
V 27
7. Вынесите множитель из-под знака корня:
a) У16а5дс8 ; б) ^Зхау1а , если х < 0, у > 0 .
8. Сравните: а) Уэб и 4; б) Уб и Уз ._____________________
9. Найдите значение выражения:
а)5-3^+5 + 3^_ 0) з/2-Уз ^7 + 4Уз .
10. Вычислите: --т= ч---—т= т= .
5-V7 7 + Уб V7+V5
11. Решите уравнение:
17-ЗУх 23-4Ух п
а)-------=--------; б) ух + 2ух -15 = 0.
11 15
12. Упростите выражение:
15/Y Г 4/ Г
< 8<?4) 15Л
13. В уравнении 24х2 + Ьх + 25 = 0 один из корней в 1,5 раза
больше другого. Найдите Ь.
59
Корень n-ой степени. КР-6 В-2
1. Является ли данная функция четной или нечетной:
к„3 , 5 2
a) t(x) = 7х2 - Зх3 + х4 ; б) /(х) = ---- ; в) А(х) = ——----?
х2 + 1 х4 - 2х2 -1
2. На рисунке изображена часть
графика функции, область опре-
деления которой - отрезок [- 5;б].
Достройте график, если данная
функция:
а) четная; б) нечетная.
3. Сравните: а) 4,318 и 4,30218 ;
б) (-5,13)22 и 5,1322 ;
в) (-7Д2)14 и (—7Д19)14; г) (-6,82)15 и (-7,11)15.
4. Вычислите: а) ^243 ; б) ^/0,027 ; в) д/(-23)10 11 * 13 ; г) ^/(7 - Vsi)8^.
5. Решите уравнение: а) 13х3 + 1625 = 0 ; б) 6,48х4 -3 = 47.
6. Упростите выражение:
а) ; б) ^29 —с4 ; в) ^х3^ ; г)
у2а3 ’ 81
7. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) д/- 32х7^9с4 ; б) ^8а3св , если с < 0 .
8. Сравните: a) V730 и 3; б) V7 и ^4 .
9. Найдите значение выражения:
s-aVs+8+Ws ; iVTWa .
8 + Зл/5 8 - 3V5
10. Вычислите: ---= -1----=•
3-V7 7 + V3
11. Решите уравнение:
ч 29-5^х 39-5^х
я> -------------=---------•
2
V7+ 7з'
б) Vx + Vx - 6 = 0 .
12. Упростите выражение:
10а4 Y . Г 5а5 V
< 9У6 J Ч
13. В уравнении 6х2 + Ьх +1 = 0 один из корней больше дру-
1 ы - ь
того на —. Найдите Ъ.
6
60
Корень n-ой степени.
КР-6
В-3
1. Является ли данная функция четной или нечетной:
х3 + 1 ч . . х4 +1 „
; в) s(x) = —----------------------------------------?
а) р(х) = х5(х2 - 4х6 + 7); б) k(x) =
х3 -1
На рисунке изображена часть гра-
фика функции, область определе-
ния которой - отрезок [- 3;3].
Достройте график, если данная
функция: а) четная; б) нечетная.
Сравните: а) (-53,7)9 и 0,179 ;
б) (-16,19)8 и (-16,2)8 ;
2.
3.
4.
в) 18,148 и (-18Д53)8 ;
Вычислите:
г) (-9.5)12
5.
Решите уравнение:
а) 25х4 + 6400 = 0 ;
б) 2 —х3 +1—=-53—.
28 7 7
6.
Упростите выражение:
а) ^625с2 ^25с3 ; б) з115-а3 ; в) V^Vx7 ; г)
V 8
Вынесите множитель из-под знака корня:
a) V-512a9b8c2 ; б) ^128х8г/9 , если х < 0 .
Сравните: а) 5 и V3000 ; б) ^3 и ^4 .
Найдите значение выражения:
ч 5 + 4-77 5-4-77
а) ---7= +--—/=; (
5-4V7 5 + 4V7
„ 11
10. Вычислите: -= + -=—
7.
8.
9.
1
11. Решите уравнение:
а)—
3
Vx-1;
\3
563 |
27а3'!-1>
13. Разность квадратов корней уравнения 2х2 + 7х + с - 0
равна 1,75. Найдите с.
12. Упростите выражение:
81а4"-1
25&5
61
Корень п-ой степени. КР-6 В-4
1. Является ли данная функция четной или нечетной:
ч „ Зх4-х2+8 _ „ „ о Г~ ч ч ,, ч х4 — 1 _
a) f(x) =----------; б) f(x) = хЧх +1; в) f(x) = ——- ?
х х2 + 2
2. На рисунке изображена часть гра-
фика функции, область определения
которой - отрезок [- 3;3]. Достройте
график, если данная функция:
а) четная; б) нечетная.
3. Сравните: а) 19,1314 и (-19,2)14;
б) 23,81в и (-23,8)16 ; ;
в) 0,496й и 0,51п г) 1,315 и (~2,7)15.
4. Вычислите:
a) V-125 ; б) ^0,0256 ; в) ^(-И)1® ; г) ^(4 - V19)14 .
5. Решите уравнение: а) 12х5 -120 = 0 ; б) -^^-х4 +8,8 = 10 .
216
6. Упростите выражение:
. ^4096а16 /_19 5 ч Sr^T ч
а) ----j--—; б) 5/7— х ; в) у а У а ; г) ус
у2а3 ’ 32
7. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) ^729х7г/9 10 11 13с4 ; б) ^32q6p4 , если q < 0; р < 0 .
8. Сравните: а) ^345 и 7; б) ^7 и ^6 .
9. Найдите значение выражения:
ю + з7з io - 3V3
т, 1 5 22
10. Вычислите: —= + -= т= +-------;=
у8-3 V8-V3 5 + уЗ
11. Решите уравнение:
ч 7^х-13 З^х-8 4^х-11
а)-----------------h--------
3 4 5
= З^х - 7 ; б) Vx - З^х -18 = 0.
12. Упростите выражение:
i6x4n+7 Y
8х3л+5 У
13. Отношение корней уравнения 16х2 - 78х + с = 0 равно 12.
Найдите с.
62
Корень п-ой степени. КР-6 В-5
1. Является ли данная функция четной или нечетной:
a)g(x) = х5 + 2х7 - 3 ; 6)f (х) =
; в) р(х) = Д4 - 8х2 - 9 ?
х2 - Зх4 + 2
Vx
2. На рисунке изображена часть гра-
фика функции, областью определе-
ния которой служит объединение
отрезков [-4;0) и (0;4].
Достройте график, если данная
функция: а) четная; б) нечетная.
3. Сравните: а) (-5,7)19 и (~5,68)19;
б) 13,5914 и (-13,6)14;
в) (-15,ЗЗ)15 и (-15,ЗЗ)13; г) (-11,6)20 и 11,620.
4. Вычислите:
a) V256 ; б) 0,00243 ; в) ^/(-14)10 11 12 ; г) ^(6 - Д1)18 .
5.
6.
7.
8.
9.
55/2 х
а У а ; г)
я 4 з 5 6
Решите уравнение: а) 9х - 72 = 0 ; б) 5 — х +у = -10 — .
Упростите выражение:
a) ^3125x4z/6 ^5х2у ; б) J-4 —с5 ; в) V
у 243
Вынесите множитель из-под знака корня:
а) ^243а8£>5</3 ; б) л/б4п8х9 , если а < 0 .
Сравните: а) 9 и ^6565 ; б) Д и Д .
Найдите значение выражения:
7Д -2 7^5+2Л
б) ^26 +15-Д (2 - 73).
а)
10. Вычислите: ----т= + —;=-т= + —/=-j= + ---.
1 + V3 V3 + -V5 V5 + -77 V7 + 3
11. Решите уравнение:
a)(7-Vx)(8-Vx) = Vx + 11; б) Vx + 104Vx - 24 = 0 .
12. Упростите выражение:
32f5 Y . (_ 16f* Y
25Ze3n-2J \ б/г2^1 J ’
13. Один из корней уравнения Зх2 + Ьх + с = 0 равен -1—, а
3
другой - второму коэффициенту уравнения. Найдите b и с.
63
КР-6
В-6
1. Является ли данная функция четной или нечетной:
______________ 4/ 3
а)/(х) = 7х3 - х5 ; б) р(х) = ——;
х4 + 6х2 + 8
На рисунке изображена часть гра-
фика функции, областью определе-
ния которой служит объединение
отрезков [—5;0) и (0;5].
Достройте график, если данная
функция: а) четная; б) нечетная.
Сравните: а) (-2,6)3 и (~2,6)5;
б) (-3,8)6 и (-3,8)8;
в) (-114,3)4 и 114,34;
Вычислите:
a) 7-3125 ; б) ^0,1296 ; в) ^(-22)24 ; г) ^(13-7190)^ •
25 25
Решите уравнение: а) 19х3 + 209 = 0 ; б)7,84х4 +
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Корень n-ой степени.
Упростите выражение:
ч 7б561с10 Л. I „ 53 Г
а) --г=—; б) 5/-3--------у
7з7 * 1024
Вынесите множитель из-под знака корня:
а) д/- 729k7 р9 с2 ; б) 7256с8512 , если с < 0, Ь > 0 .
Сравните: a) 716805 и 7; б) 710 и 7151 .
Найдите значение выражения:
/ г^=---------- г-=----->2
; б) ^7-572 (1 + 72).
63 ; г)
а)
_ 12 2 5
10. Вычислите: -т= + .— f= + 7= j= -I-----j=.
4-715 713-715 713+711 4-7ii
11. Решите уравнение:
а) (8 + зТх)(7 -7х) = (31 + 7х)(11 - зТх); б)7х + 4^х + 3 = 0.
64с4
27d3n’5
12. Упростите выражение:
9d2"-3
16с3
13. Один из корней уравнения ах2 - 5х + с - 0 , где с Ф 0 , ра-
вен а, другой равен с. Найдите значения а и с.
64
Степень с дробным показателем. КР-7 В-1
1. Запишите выражение в виде степени:
а) tfa3 ; б) у](х -у) 2 ; в) ^/т- п3
1 2 Ч -11
2. Вычислите: а) 83 ; б) 21 643 ; в) (3—) 3; г) 320,2.
8
3. Укажите область допустимых значений переменной в вы-
з
ражении: (Зх2 + Их - 4)7 .
4.
5.
6.
7.
8.
Найдите значение выражения:
з
'21.3.21-4 '(г
90,Т
5
„ - а х + у
Сократите дробь: а) ------ ; б) —--------—------- .
1 - а7 х3 - х3 г/3 + г/3
1 _1 1 _1 11
Упростите выражение: а)(2х2 + у 4)(2х2 - у 4); б)(3ft8 - с2)2.
1
Решите уравнение: а) х3 =5
1
Упростите выражение 2а2 + 1 -
1
1
1-2а2 J
найдите его значение при а = 169 .
9. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: -=-.
V2 -V3
10. Укажите область
определения функции:
£
' (X2 - 2х - 3)(х2 + 4х + 4) >
Jx2 + 2х + 3)(х2 - 8х + 16) ?
11. С помощью графиков определите число решений системы
уравнений:
ху = 12,
х2 - у = 10 '
12. Автомобиль, пройдя равный 300 км путь от А до В, по-
вернул обратно и через 1 ч 12 мин после выхода из В
увеличил скорость на 16 км/ч. В результате на обратный
путь автомобиль затратил на 48 мин меньше, чем на путь
из А в В. Найдите первоначальную скорость автомобиля.
65
| Степень с дробным показателем. КР-7 В-2
1. Запишите выражение в виде степени:
а) V?; б) ^(а + Ь)6 ; в) Jc2-d3 ; г) 1 * .
Ч*~У
_± ±1 -1—
2. Вычислите: а) 25 2 ; б) 3 83 ; в) (2—) 2; г) 810,25 .
4
3. Укажите область допустимых значений переменной в вы-
_i
ражении: (~5х2 + 13х + 6) 9 .
Найдите значение выражения:
<4°'7 2”0,4 V
—
12 Л 64 3 J
250,3 • 51'4'
1
< 94 -З'2’5 J
5.
6.
6
б11 -4
Сократите дробь: а) —g----
26“ + b
Упростите выражение:
а)(5а6 -Ь 2)(5а® +Ь 2);
3 3
С2 4- k2
б) 11
с - c2k2 + k
2 1
б) (3m6 +2га10)2.
7. Решите уравнение:
8. Упростите выра-
жение и найдите
его значение
при х = 49; у = 25.
10. Укажите область
определения функции:
У =
9. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: дЛ—?=•.
V5+V3
2
(х2 + X - 2)(4х2 + 12х + 9) V5
ч (х2 - х - 2)(х2 - 6х + 9) ,
11. С помощью графиков определите число решений системы
[ ху = -6,
уравнений: < „
[х -у = 1
12. Через 1 ч 24 мин после отправления из города К автобус
был задержан на 36 мин. Поэтому, чтобы прибыть в город
N по расписанию, он вынужден был увеличить скорость
на 10 км/ч. С какой скоростью стал двигаться автобус,
если расстояние между N и К равно 250 км?
66
| Степень с дробным показателем. | КР-7 | В-3 |
1. Запишите выражение в виде степени:
a) ; б) - г/)4 ; в) Va2 + 27г3 ; г) .
\5т
- 10 1-
2. Вычислите: а) 16 4 ; б) 3~2 -812 ; в) (2—) 3 ; г) 2561’25.
2 7
3. Укажите область допустимых значений переменной в вы-
ражении: (-6х2 + 7х +10)2. 4. Найдите значение выражения: 2 _ „ S X Юг/ + 4г/3 5. Сократите дробь: а) ; 25г/3 - 4 6. Упростите выражение: 5 _1 5 _1 a)(7fe12 -2d 4 )(7/г12 +2d 4); 2 7. Решите уравнение: а) р3 = 8. Упростите выраже- ние и найдите его + %у2 + значение при у = 1,21. ( 1 82 1 > 93 2 / 2 _1 > 105 * * * * * * 10 2 -4
ю со cL О СО с—- У «Э 1 •22; б) - 3 ;Х2 ~ / 1 I2 5г/ 5) 1- Л-, 1 I I о -о о о to 0>|мI tO | >—* аг “1^ • • О ° о 1 СО ' 1
чг/2+1 г/— 1 | У2 -1,
4
9. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: —=----==•.
V3 +V5
11
(х2 - х - 2)(х2 + 5х + 6) ''l3
10. Укажите область
определения функции:
У =
Цх2 -2х-3)(х2 -5х + 4)?
11. С помощью графиков определите число решений системы
ху = 10,
уравнении: <
|х + у = -1
12. Из А в В со скоростью 5 км/ч вышел турист. Велосипедист,
отправившийся из В в А одновременно с туристом, встретил-
ся с ним через 1 ч 12 мин. Прибыв в А, велосипедист, не ос-
танавливаясь, повернул обратно и догнал туриста в 20 км от
В. Найдите расстояние АВ и скорость велосипедиста.
67
Степень с дробным показателем. КР-7 В-4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Запишите выражение в виде степени:
a) V7;
б) ^(т + п)1 ;
в) ^а + Ъ ;
г)
12-
Вычислите: а) 27 3 ; б) 5 164 ; в) (6—) 2; г) 3241’5.
4
Укажите область допустимых значений переменной в вы-
_2
ражении: (8х2 - 7х -1) 9 .
Найдите значение выражения:
163 255
k 23 • 5“1,в ,
Г 1 1^ 2
43 • 2 3
„ _ ч 36а4-25
Сократите дробь: а) ------—;
24а - 20а®
Упростите выражение:
4х3 - 2х3г/8 + г/3
8х + у2
3 -1 3 _1 3 1
а)(9/п4 + 5тг 7)(9т4 - 5п 7); б)(4р8 + 3i6)2 .
Решите уравнение: а) х
Упростите выражение
и найдите его значение при
а = 4,41 •
з
.2 v7 . г14
3 = 256; б) -----— = 27 .
х 7
( \ ( А
, 9а+ 4 1 1
1 ’ 1 2
< 12а2 J <3а2 )
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
10. Укажите область
определения функции:
2
(х2 + 2х - 3)(х2 + 5х + 4) 3
ч (х2 + х - 2)(х2 + 5х + 6) у
п. С помощью графиков определите Г ху = -8,
число решений системы уравнений: ix2 _%у _
12. Из М в N одновременно отправились автобус и автомо-
биль. Прибыв в N, автомобиль немедленно повернул на-
зад и встретил автобус через 3 часа после отправления из
М. Продолжая движение, автомобиль прибыл в М на 1 ч
15 мин позже, чем автобус прибыл в N. Найдите расстояние
MN и скорость автомобиля, если скорость автобуса 48 км/ч.
68
Степень с дробным показателем. КР-7 В-5
1. Запишите выражение в виде степени:
а) V? ; б) ; в) ; г) .
уа + b
А - з -- Г1Г1’5
2. Вычислите: а) 1000 3 ; б) 2"2 643 ; в) (3-) 3 ; г) -
8 14/
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Укажите область допустимых значений переменной в вы-
1
ражении: (4х4 - Зх2 -1)7 .
Найдите значение выражения:
1 1
х 24а9 * 11 2 * + 40а4
Сократите дробь: а) -----------
36а - 100а2
б)
( - -з Y
З4 -2 2
1 _9
^72-5 4 J
х2 +у2
1 1 '
ху3 + х3 у
Упростите выражение:
1 5_ X 1 1 5 2 1 1
а)(—с14 * -6d8)(6d8 + —с14); б)(а3 --616)2.
3 3 2
Решите уравнение:
Упростите выражение
и найдите его значение
при с = 125.
9. Избавьтесь от иррациональ-
727
ности в знаменателе:
10. Укажите область
определения t
функции:
^2 - 3^2 + 9
3
+ Зх - 40)(х2 + х - 12)(х2 + 6х + 9) У
(х2 + 2х - 48)(х2 - 8х +15)
11. С помощью графиков определите
число решений системы уравнений:
у = х2 - 5х + 6,
х = у2
12. Из А в В, расстояние между которыми 20 км, выехал ве-
лосипедист. Через 15 мин в том же направлении отпра-
вился второй велосипедист со скоростью 15 км/ч. Второй
велосипедист, догнав первого, повернул обратно и прибыл в
А за 45 мин до прибытия первого в В. Найдите скорость
первого велосипедиста.
69
Степень с дробным показателем.
КР-7 В-6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Запишите выражение в виде степени:
a) лА? • Va ; б) л[х : х 3 ; в) ^(t2 + k)3 ; г) -т=1=
ym - п
-2 _1 3 13 _!1 / 4
Вычислите: а) 64 3 ; 6)324 2 362 ; в) (3—) 4 ; г) I —
-1,5
Укажите область допустимых значений переменной в вы-
5
ражении: (-9х4 + 37х2 -4)11 .
Найдите значение выражения:
1
„ ' 48а -147а3
Сократите дробь: а) ----------
35а3 - 20а
_2
2 3 • 73
2’9 10 • 6 3
_9 1
7 4 • 22
1 9
ч62 -42
- п2
т4
I 5 1 5 •
т3п3 + тап + тапа
Упростите выражение:
о 1 А 5 л 1 I 2 7
а)(у&12 +4fe6)(4A6 -yfe12); б)(-|х7 + 15г/12)2.
_8
Решите уравнение: а) а 7
Упростите выражение
и найдите его значение
при а = 0,0081.
; б)
3
2
2
1
9. Избавьтесь от иррациональности
в знаменателе: +
10. Укажите область определения функции: 9
(х2 + 8х - 9)(х2 - 4х - 32)(х2 + 4х + 4) V7
У =
(х2 -8х + 7)(х2 +12х + 27)
11. С помощью графиков
определите число решений
системы уравнений:
у = х2 - Зх -10,
1 2 к
х - — и - 5
4
12. От пристани М к пристани N, расположенной в 16 км
ниже по течению, чем пристань М, отошла лодка. Она
развивающая в стоячей воде скорость 5 км/ч. Спустя час,
вслед за лодкой отправился катер, который, догнав лод-
ку, повернул назад и прибыл обратно в М на 10 мин поз-
же, чем лодка прибыла в N. Найдите собственную ско-
рость катера, если скорость течения равна 3 км/ч.
70
Тригонометрические выражения и их преобразования. КР-8 В-1
7тг 24тг
1. Среди углов 468°; -679°; -1449°; —; ——; 7,4 выбери-
те углы I четверти.
2. Найдите значение выражения:
a) sin60° - tg45° + ctg(-30°); б) cos - V3tg - sin .
2
3. Найдите tga , sin2a и cos2a , если cosa = — и a - угол IV
3
четверти.
4. Упростите выражение:
. sin24a-l . . .л . . . . .Зл . , .
а)------;; в) sin(— + a) + соз(л + a) + tg(-a) + ctg(2n - a);
l-cos24a 2 2
t tgB 4 sin32° • cos35° + sin35° • cos32°
6) tga • ctga + —— ; r)------------------------.
ctgP cos32° • cos35° - sin35° sin32°
5. Докажите тождество:
a) cos2a + tga • sin2a = 1; 6) ctga - sin2a = cos2a • ctga.
6. Найдите cos!05°, не пользуясь таблицами и микрокаль-
кулятором.
7. Упростите выражение:
а) (sina + cosB)2 + (cosa - sin0)2; 6) 2cos(— - у) cos(— + у).
4 4
8. Известно, что sina - cosa = х . Найдите значение выраже-
ния sina + cosa .
9. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения
VScosfJ - sinp.
f а + b = -8,
10. Решите систему уравнений: < „ ,
[а2 + Ь2 + 6а + 2Ь = 0.
11. Сколько членов геометрической прогрессии (рп) нужно
сложить, чтобы получить число 3069, если:
Pi + Рь = 51; Р2 + рв = Ю2 ?
71
Тригонометрические выражения и их Q „ „
.IV д* О 1л ш
преобразования.
11 тг 4Qte
1. Среди углов 513°; -479°; -2513°; ----;-------; 5,6 выбе-
35 13
рите углы II четверти.
2. Найдите значение выражения:
a) cos60° + ctg45° + ^-sin(-60°); б) tg — -^-sin — -cos— .
4 6 6 3 3
3
3. Найдите cosa, cos2a и ctg2a, если sina = — и a - угол
8
II четверти.
4. Упростите выражение:
. l-sin28P .л . ,3л ч
а)---------; в) tg(--a) - 31п(л + a) + ctg(2n - a) - cos(-F a);
cos 8p~l 2 2
2sin2y 2cos2y . sin49° cos23° - sin49° cos23°
1 + tg2y 1 + ctg2y ’ cos23° cos49° + sin23° sin49°
5. Докажите тождество:
a) sina • cosa(tga + ctga) = 1;
6)sin40cos2p + sin2pcos4p = sin2pcos2p .
6. Найдите sin75°, не пользуясь таблицами и
микрокалькулятором.
7. Упростите выражение:
а) (sina - sinp)2 + (cosa - cosP)2; 6) 2sin(— - у) sin(— + у).
4 4
8. Известно, что sina-cosa = x. Найдите значение выраже-
ния sin3a - cos3a .
9. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения
sin5 - V3cos8.
10. Решите систему уравнений:
2m - п = 1,
2m2 - п2 + т + п = -11.
11. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите пер-
вый член и знаменатель прогрессии.
72
Тригонометрические выражения и их преобразования. КР-8 В-3
1. Среди углов 932°; -416°; -5012°; ИД выбе-
рите углы III четверти.
2. Найдите значение выражения:
a)sin45o-ctg30° + ^-cos(-45°); б) sin—- V3ctg—-tg—.
2 4 6 4
5
3. Найдите tga , sin2a и cos2a , если cosa = — и a - угол
6
III четверти.
4. Упростите выражение:
. l-cos2B ч . ,3л . . . , .л . , . .
а) ——; в) sin(— + a) - cos(n - a) + tg(— + a) + ctgfa - a);
tgp 2 2
,, . .9 „ . cos82° • cos44° + sin82° • sin44°
6) (tga + ctga)“ - 2 ; r) --------------------------.
sinll6° cos78° - cosll6° sin78°
5. Докажите тождество:
a) ctga sin2a - cos2a = 1; 6) sin4P(ctg2p - tg2P) = 2cos4p .
6. Найдите cos75°, не пользуясь таблицами и микрокаль-
кулятором.
7. Упростите выражение:
ctga + tga ,л ,л . . .л . . .л
а)----------; б) cos(----у) • cos(—н у) + sin(-у) • sin(—н у).
ctga - tga 4 4 4 4
8. Известно, что sina + cosa = х. Найдите значение выраже-
ния sina - cosa.
9. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения
cosP - sinp.
„ (х2 - 5у2 = -1,
10. Решите систему уравнении: ( „
[Зху + 7у2 =1.
11. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 9, а сумма квадратов её членов равна 40,5. Найдите
первый член и знаменатель прогрессии.
73
Тригонометрические выражения и их преобразования. КР-8 В-4
1. Среди углов 811°; -1095°; -4616°; 3,1 выбе-
рите углы IV четверти.
2. Найдите значение выражения:
a) ctg60° + sin45° + — tg(-60°); б) cos —-^-tg —-sin—.
4 6 6 3 3
2
3. Найдите cosa, cos2a и ctg2a, если sina = и a - угол
IV четверти.
4. Упростите выражение:
cte* 2 * 4? л Зл
а) ; в) ctg(----a) - sin(n - a) - tg(2n + a) - cos(-a);
1 - sin2y 2 2
, 2 .2 1 ч cosl3° • cos56° - sinl3° • sin56°
6) tg<p + sin (p-— ; r) --------------------------------.
cos2(p sin92° • cos23° - cos92° • sin23°
5. Докажите тождество:
. 2tg£ Зл + a . л + а Зл
а)----= sin2p; б) 8cos---------sin-----sin(----а) = -2sin2a.
1 + tg2^ 2 2 2
6. Найдите sin!65°, не пользуясь таблицами и микрокаль-
кулятором.
7. Упростите выражение:
2
а)------ctg2a;
sin4a
б) cos(— - у) • sin(— + у) - sin(— - у) • cos(— + у).
4 4 4 4
8. Известно, что sina + cosa = х. Найдите значение выраже-
• 3 3
ния sin a + cos a .
9. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения
sin3 + cos5.
[2а - 3b - ab = 4,
10. Решите систему уравнений: <
[3a + ft + 3aft = 3.
11. Найдите четыре числа, первые три из которых образуют
арифметическую прогрессию, а последние три - геометри-
ческую прогрессию, если сумма крайних чисел равна 66,
а сумма средних - 60.
74
Тригонометрические выражения и их преобразования. КР-8 В-5
1. Среди углов 700°; -391°; -1996°; —; ——; 11,6 выбе-
рите углы I четверти.
2. Найдите значение выражения:
a) sin45° - cos60° + ~ tg(-45°); б) cos - V3tg - sin(- .
3. Найдите tga , sin2a и cos2a , если cosa = — и a - угол
8
II четверти.
4. Упростите выражение:
. sin2a . . ,5л ч , .л . .
а) ———; в) sin(--------a) - ctg(n + a) + tg(— + a) - cos(2n - a);
1 - cosa 2 2
tg2|3-sin2|3 _ sin73° cosll° + sinll° • cos73°
cos2p - ctg2p ’ sin83° cos77° - sin77° • cos83°
5. Докажите тождество:
. 1 - tg2(b „ 2sin2p - sin4p x 2o
a) ----V- = cos2(b ; 6)---------------- = tgp.
1 + tg2(j) 2sin2p + sin4p
6. Найдите cos292,5°, не пользуясь таблицами и микро-
калькулятором.
7. Упростите выражение:
sin23a cos23a 2cos2a-l
а) ~~2------— ’ б)-----;---------~----•
sina cosa 2/g(-- a) -sin2^ a)
4 4
8. Известно, что tga - ctga = x. Найдите значение выраже-
ния tg3a - ctg3a.
9. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения
3cosP + 4sinP.
,. „ (х2 + у2 = 10,
10. Решите систему уравнении: <
[ ху = 3.
11. Три числа, составляющих арифметическую прогрессию,
дают в сумме 15. Если к первому и второму из них при-
бавить по единице, а к третьему числу прибавить 4, то
полученные числа составят геометрическую прогрессию.
Найдите эти числа.
75
Тригонометрические выражения и их преобразования. КР-8 В-6
1. Среди углов 627°; -907°; -8973°; рите углы II четверти. 29л -56~’ 73л „ . ; -2,4 выбе- 32
2. Найдите значение выражения: Q 1Т а) sin30° + tg45° ч—cos(-60°); б) ctg 4 3 >/з . л — sin — 2 6 5л - cos —. 3
3. Найдите cosa, cos2a и ctg2a, если sina =- — и a - угол
III четверти.
4. Упростите выражение:
. l-sin[} . л. . . . , ,n . .7л .
а) ----г-1- ; в) tg(a-) + З1п(-л - a) + ctg(2n + а) + cos(— + а);
созщ 2 2
б) Ctg8 l-tg28. 4 cos32° • cos41° - sin32° sin41°
ctg23 -1 tg§ J- f cosl37° cos30° + sinl37° sin30°
5. Докажите тождество:
„ sin2y , 1 + cos2y + sin2y
а) ----тг = ; б) -------------!--—= ctgy.
l + cos2y 1 - cos2y + sin2y
6. Найдите sin247,5°, не пользуясь таблицами и микро-
калькулятором.
7. Упростите выражение:
7^ о 7С
. ч / ч • / 04 2ctg(------a) cos (— + a)
sm(p - у) sin(y-a) sin(a - p) &v4 ' v4 '
а)----------1 I ;o)-----——•-------------
cos|3 cosy cosa cosy cosa • cosp 1 - 2sinJa
8. Известно, что tga + ctga = x . Найдите значение выраже-
ния tg4a + ctg4a.
9. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения
5sin5 + 12cos8 .
in n - № ~ У3 = 19(х- у),
10. Решите систему уравнении: <
[ х3 + у3 = 7(х + у).
11. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно
25, 27 и 1, то получатся три числа, образующие арифме-
тическую прогрессию. Найдите седьмой член исходной
геометрической прогрессии.
76
Итоговая контрольная работа. КР-9 В-1
1. У простите выражение:
(10с + 7)(3 + 8с) + (8с -1)2 - (5 + 12с)2 + 50с .
от. 6~4 5 6 216”3
2. Вычислите: ------=—
36'7
от. [ 1-6х<10,
3. Решите систему неравенств: (
|_5х - 7 < х - 7.
. _ 2х 15-32х2 Зх
4. Решите уравнение:-------------5.
2х-3 4х2-9 2х + 3
3 5
5. Постройте график функции у = ——. При каких значениях
х
х функция принимает значения, меньшие 5?
6. Два печника могут сложить печь за 12 часов. Если пер-
вый печник будет работать 2 часа, а второй - 3 часа, то
они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов
может сложить печь каждый печник, работая отдельно?
Итоговая контрольная работа. КР-9 В-2
1. Упростите выражение:
(х - 1)(6х + 5)2 - (х + 1)(6х -1)2 + 24х .
2.
Найдите значение выражения:
(3V5)2
(V17 -У2)(У17 +72)’
3. Решите двойное неравенство: -6<-3х + 2<3.
4. Решите уравнение: ---------I------- 2,5.
эс 2 х 3
5. Постройте график функции у - 2х2 + 4х - 2,5. Какие зна-
чения принимает функция, если -3 < х < 0 ?
6. Путь от посёлка до озера идёт сначала горизонтально, а
затем - в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обрат-
но, на горизонтальном участке ехал со скоростью
12 км/ч, на подъёме - со скоростью 8 км/ч, а на спуске
- со скоростью 15 км/ч. Путь от посёлка до озера занял у
него 1 час, а обратный путь - 46 минут. Найдите рас-
стояние от посёлка до озера.
77
Итоговая контрольная работа. КР-9 В-3
1. Упростите выражение:
(life - 5)2 - (10fe + I)2 - (7fe + 10)(3fe - 20).
n „ 100“4 105
2. Вычислите: ----------— .
1000 5
3. Решите неравенство: Зх - 4(x + 1) < 8 + 5x.
4. Решите уравнение: 2x4 - 19x2 +9 = 0.
1 2
5. Постройте график функции у=—х + 2х + 3 и укажите её
3
область значений.
6. Цена товара дважды снижена на одно и то же число про-
центов. На сколько процентов снижалась цена товара ка-
ждый раз, если его первоначальная стоимость 20000 руб-
лей, а окончательная - 11250 рублей?
Итоговая контрольная работа. КР-9 В-4
1. Упростите выражение: (d - 1)(1 + 5с/)2 -{d - 3)(5d + 6)2.
9 „ (V7+ 719JV19-V7)
2. Найдите значение выражения: 2-----------------L.
(4л/з)Г
[5-2х>0,
3. Решите систему неравенств: <!
, „ Зх 28 - 53х 4х
4. Решите уравнение: ---------------=-------.
2х + 5 4х2 - 25 2х - 5
3 5
5. Постройте график функции у = ——. При каких значе-
х
ниях х функция принимает значения, большие -5?
6. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку
урожая за 8 дней. Если первая бригада будет работать
3 дня, а вторая - 12 дней, то они выполнят 75% всей ра-
боты. За сколько дней может закончить уборку урожая
каждая бригада, работая отдельно?
78
Итоговая контрольная работа. КР-9 В-5
1. Упростите выражение:
2(17п - 4т)(2п + Зт) - (Зп + 5тп)2 + (4п - 7 т)2.
„ _ 7’6 7 • 343’3
2. Вычислите: ------=—.
49~7
3. Решите двойное неравенство: -6 < -5х -1 < 5.
— 2 X 4" 1 1
4. Решите уравнение:-------н-----= 4—.
х + 1 х-2 4
5. Постройте график функции у = -2х2 - 8х - 3,5 . Какие зна-
чения принимает функция, если -3 < х < 0 ?
6. Путь от дома отдыха до почты идёт сначала в гору, а по-
том - под гору. Пешеход, добираясь от дома отдыха до
почты и обратно, в гору шёл со скоростью 3 км/ч, а под
гору - со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от дома
отдыха до почты, если до почты пешеход шёл 1 ч 40 мин,
а обратный путь занял у него 2 ч 20 мин.
Итоговая контрольная работа. КР-9 В-6
1. Упростите выражение:
5(а - &)(5а - 2&)2 + (b - 5а)(5а - 4Ь)2 .
9 „ (Уз5 - УбХУб + Узб)
Л. Найдите значение выражения: 2---------0=------L.
(в4&)2
3. Решите неравенство: 2 - 5(х - 1) < 1 + Зх.
4. Решите уравнение: Зх4 - 13х2 +4 = 0.
1 2 1
5. Постройте график функции у = —х +х— и укажите
4 2
её область значений.
6. Цена товара была дважды повышена на одно и то же чис-
ло процентов. На сколько процентов повышалась цена то-
вара каждый раз, если его первоначальная стоимость
6000 рублей, а окончательная - 615 рублей?
79
Самостоятельные работы. 3 '
В разделе представлены 35 самостоятельных работ
(в четырех вариантах) ко всем разделам действующей
программы 9 класса по алгебре.
Все задания соответствует уровню требований про-
граммы общеобразовательной школы, при этом третий
и четвертый варианты несколько сложнее первых двух.
Самостоятельные работы (в отличие от контрольных)
носят, прежде всего, обучающий характер и не предна-
значены для оценки знаний учащихся. При их прове-
дении учитель может отвечать на вопросы и оказывать
помощь отдельным учащимся.
Кроме того, по усмотрению учителя, они могут быть
использованы как задания для домашней работы или
как индивидуальные дополнительные задания.
В таблице представлено распределение самостоя-
тельных работ по параграфам учебника «Алгебра 9»,
авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков,
С.Б.Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского.
№ Тема самостоятельной работы. §§
1-2 Функции и их свойства. 1.
3-4 Квадратный трехчлен. 2.
5-7 Квадратичная функция и ее график. 3.
8-9 Неравенства с одной переменной. 4.
10-11 Уравнения с одной переменной. 5.
12-14 Системы уравнений с двумя переменны- ми. 6.
15-17 Арифметическая прогрессия. 7.
18-20 Геометрическая прогрессия. 8.
21-22 Степенная функция. 9.
23-24 Корень n-ой степени 10.
26-27 Степень с рациональным показателем и ее свойства. 11.
28-30 Тригонометрические функции любого уг- ла. 12.
31-33 Основные тригонометрические форму- лы. 13.
34-36 Формулы сложения и их следствия. 14.
80
Функция. СР-1 В-1
1. Дана функция f(x) = 5х2 -Зх + 7. Найдите Д-З) .
2. Решите уравнение d(x) = 0 , если d(x) = -2х2 + 7х - 6 .
3. Укажите область определения функции:
a) g(x) = —; б) т(х) = ^7х + 25 .
2х2 -18х
4. Известно, что k(x) = х3 + х +1. Найдите /г(1 - а) + /г(1 + а).
Функция. СР-1 В-2
1. Дана функция <р(х) = -6х - 5х2 + 10 . Найдите <р(-4).
2. Решите уравнение t(x) = 0 , если Дх) = 4х2 + х - 3 .
3. Укажите область определения функции:
а) Р(х) = J 7 ; б) f(x) =.^Х +..8 .
V16-9x 242 - 2х2
4. Известно, что g(x) = х4 - Зх2 + 1. Найдите g'(l + Ь) - ^(1 - Ь).
Функция. СР-1 В-3
7х2 -4х + 3 1. Дана функция k(x) = — . Найдите fe(-l). х2 +1 2. Решите уравнение Дх) = 0 , если Дх) = 4х2 - 17х - 15 . 3. Укажите область определения функции: х2 — 9 1 a) g(x) = —- ; б) Дх) = л/45х + 235 . 28х - 43х2 4. Известно, что р(х) = х3 + х +1. Найдите р{2 - а)+ 2р(2 + а) .
Функция. СР-1 В-4
1. Дана функция Дх) = ——--------. Найдите Д-2).
- 2х2 + Зх - 7
2. Решите уравнение <р(х) = 0 , если <р(х) = -Зх2 - Их - 6 .
3. Укажите область определения функции:
[ 15 18х-54
а) Дх) = .-------;б) д(х) =--------.
V-33-29X 17х2 -51
4. Известно, что г(х) = х4 - Зх2 + 1. Найдите г(2 + Ь) - Зг(2 - Ь).
81
Свойства функций. СР-2 В-1
1. На рисунке изображён график не-
которой функции. Укажите:
а) область определения функции;
б) область значений функции;
в) нули функции;
г) промежутки, на которых функ-
ция принимает положительные
(отрицательные) значения;
д) промежутки, в которых функ-
ция возрастает (убывает).
2. Найдите нули функции у =------Зх - 8.
5х -1
3. Разложите на множители:
а) 16а - а3; б) 25zn4 - т2 3 + 25т2п2 - п2.
Свойства функций. СР-2 В-2
1. На рисунке изображён график не-
которой функции. Укажите:
а) область определения функции;
б) область значений функции;
в) нули функции;
г) промежутки, на которых функ-
ция принимает положительные
(отрицательные) значения;
д) промежутки, в которых функ-
ция возрастает (убывает).
2. Найдите нули функции у = 5х + 6-------.
2х + 9
3. Разложите на множители:
а) 49b2 - 28Ьс + 4с3 ; б) х4 - 9х2у2 + 4х2 - 36г/2.
82
Свойства функций. СР-2 В-3
1. На рисунке изображён график
некоторой функции. Укажите:
а) область определения функции;
б) область значений функции;
в) нули функции;
г) промежутки, на которых функ-
ция принимает положительные
(отрицательные) значения;
д) промежутки, в которых функ-
ция возрастает (убывает).
х(1 — х)
2. Найдите нули функции у =---------6 .
1 + х
3. Разложите на множители:
а) Збр8 - р3 ; б) х2 -бху + 9у2 - 25с2.
Свойства функций. СР-2 В-4
1. На рисунке изображён график
некоторой функции. Укажите:
а) область определения функции;
б) область значений функции;
в) нули функции;
г) промежутки, на которых функ-
ция принимает положительные
(отрицательные) значения;
д) промежутки, в которых функ-
ция возрастает (убывает).
„ тт „ 20х2 -50 3 39
2. Найдите нули функции у = —-----—----- + —-- .
3. Разложите на множители:
а) 81 - 90тп + 25ти3п2;
б) а2 - 64b2 -166 -1.
83
Квадратный трехчлен и его корни. СР-3 В-1
1. Найдите корни квадратного трёхчлена:
а) х2 - Зх - 10 ; б) Зх2 + Их - 4 .
2. Найдите значение выражения:
а)з-^ + з + Л.
3 + V5 3 - 7б
3. Разложите на множители:
а) - 15ах2 - 15ау2 - ЗОаху ; б) 4а2 - 6а - Ъ2 + ЗЪ .
Квадратный трехчлен и его корни. СР - 3 В - 2
1. Найдите корни квадратного трёхчлена:
а) х2 + 10х - И ; б) 2х2 + х - 6 .
2. Найдите значение выражения:
а)4-Л + 4+2/ё. б|А/^3.^/Н.
4 + V6 4-V6
3. Разложите на множители:
а) 50а& - 25а2 - 25Ь2; б) х2 - Зх - у2 - Зу .
Квадратный трехчлен и его корни. СР-3 В-3
1. Найдите корни квадратного трёхчлена:
а) х2 - Их - 26 ; б) 21 + 10х - х2.
2. Найдите значение выражения:
а) --^.+ 4 ; б) д/бОл/в • 72?2 .
711 + 4 711-4
3. Разложите на множители:
а) 4ас3 - 8а2с2 + 4а3с ; б) 4а2 - 5Ь - Ь2 - 10а .
Квадратный трехчлен и его корни. СР-3 В-4
1. Найдите корни квадратного трёхчлена:
б) 2-9х-5х2.
а) х2 - 2х - 35 ;
2. Найдите значение выражения:
3. Разложите на множители:
б) д/зТ128 • ^2772 .
а) 6х3у + бху3 - 12х2у2; б) 12с? - р2 + 4d2 +6р.
84
Разложение квадратного трехчлена на множители. СР-4 В-1
1. Разложите на множители: а) х2 + 9х - 36 ; б) 12х2 -13х - 4. 7х2 - 34х - 5
2. Сократите дробь: . х -5х
3. 3 7 Решите уравнение: 2 . х — 2 х + 2
Разложение квадратного трехчлена на множители. СР-4 В-2
1. Разложите на множители:
а) х2 - 18х + 77 ; б) 10х2 - Их - 6 .
„ 5х2 - 14х - 3
2. Сократите дробь: --------------.
х2 — Зх
4
3. Решите уравнение: 2х--------= 4 .
х — 3
Разложение квадратного трехчлена на множители. СР-4 В-3
1. Разложите на множители:
а) х2 + Зх - 10 ; б) 7х2 + 20х - 3 .
„ „ „ 9х -18
2. Сократите дробь: —-----------.
Зх2 - 4х - 4
3. Решите уравнение: —-—I--------= 5.
х - 1 х + 1
Разложение квадратного трехчлена на множители. СР-4 В-4
1. Разложите на множители:
а) х2 + 7х - 8 ; б) 6х2 + 5х - 4 .
„ „ „ 5х -10
2. Сократите дробь: —3.
Зх2 - 5х - 2
8 4
3. Решите уравнение: 2 -I-----= — .
х + 3 х
85
Функция у = ах2, ее график и свойства. СР - 5 В -1
1. Принадлежат ли графику функции у = -50х2 точки: а) А(-1; 50); б) Д-0,2; -2)?
2. 1 2 Постройте график функции у = —х . Найдите по графику: 2 а) значение у при х = -2,5; — 1,5 ; б) значения х, при которых у = 10; 7.
3. Решите уравнения: а) х3 - 25х = 0 ; б) 3(х + 4)2 - 9(х + 4) = 0 .
Функция у = ах2, ее график и свойства. СР - 5 В - 2
1. Принадлежат ли графику функции у = -20х2 точки: а) М-1; 20); б) ТЦ-0,5; -5)?
2. Постройте график функции у = -2х2. Найдите по графику: а) значение у при х - -1,5; 2 ; б) значения х, при которых у = -10; - 5 .
3. Решите уравнения: а) х4 -4х2 = 0; б) 5(х - 6)2 +11(х - 6) = х-6.
Функция у = ах2, ее график и свойства. СР - 5 В - 3
1. Принадлежат ли графику функции у = -10х2 точки: а) Л(-2; 40); б) В (-0,1; -0,1)?
2. Постройте график функции у = - — х2. Найдите по графику: 4 а) значение у при х = -2,5; 3 ; б) значения х, при которых у - -4; - 2 .
3. Решите уравнения: а) х3 - 9х = 0 ; б) (х + 5)2 - 4(х + 5) = 2(х + 5).
Функция у = ах2, ее график и свойства. СР - 5 В - 4
1. Принадлежат ли графику функции у = 10х2 точки: а) М-2; -40); б) 2Ц0.1; 0,1)?
2. Постройте график функции у = 2х2. Найдите по графику: а) значение у при х = -0,5; 1,5 ; б) значения х, при которых у = 6; 3 .
3. Решите уравнения: а)х4-х2=0; б)2(х -1)2 + 3(х -1) = х -1.
86
Графики функций у = ах2 + п и у - а(х - т)2 . СР-6 В-1
1. Постройте в одной системе координат графики функций: а) у = х2 ; б) у = х2 + 3 ; в) у = (х - 4)2 ; г) у = (х + 2)2 - 5 . or « 3/-147 2. Сократите дробь: — . р2 + 9р + 14 „ ,г 2т2 -18 2т 36т 3. Упростите выражение: 1 . т т + 3 т-3
Графики функций у = ах2 + п и у = а(х - т)2 . СР-6 В-2
1. Постройте в одной системе координат графики функций: а) у = х2; б) у = х2 - 2 ; в) у = (х + З)2 ; г) у = (х - 4)2 + 3 . „ „ „ с2 -7с-8 2. Сократите дробь: — . 5с2 - 320 „ 2х2 - 2у2 4х 16xw 3. Упростите выражение: . х х - у х + у
Графики функций у = ах2+п и у = а(х-т)2. СР-6 В-3
1. Постройте в одной системе координат графики функций: а) у = -х2 ; б) у = —х2 + 3 ; в) у = -(х - 4)2 ; г) у = -(х + 2)2 - 5 . „ „ „ 4а2-36 2. Сократите дробь: — . а2 - 10а + 21 ( 2 \ 2 ч п , т \ т -1 3. Упростите выражение: т +1 . 7п +1J 2т + т
Графики функций у = ах2 + п и у = а(х - т)2 . СР-6 В-4
1. Постройте в одной системе координат графики функций: а) у = -х2; б) у = -х2 - 2 ; в) у = -(х + З)2; г) у = -(х - 4)2 + 3 . 2. Сократите дробь: — . 2т2 - 50 ( 2 \ х + у X у. Упростите выражение: - • х + у . 2ху-у2 \ х + у)
87
График квадратичной функции. СР-7 В-1
1. Постройте график функции у = х1 2 - 2х - 3 . С помощью
графика определите:
а) нули функции;
б) множества значений х, при которых у > 0 , у < 0 ;
в) промежутки возрастания и убывания функции.
2. Постройте график функции у = -2х2 - х + 3 и определите
множество значений х, при которых у > 0 .
График квадратичной функции. СР-7 В-2
1. Постройте график функции у = х2 + Зх - 4 . С помощью
графика определите:
а) нули функции;
б) множества значений х, при которых у > 0 , у < 0 ;
в) промежутки возрастания и убывания функции.
2. Постройте график функции у = -2х2 + 7х + 4 и определите
множество значений х, при которых у < 0 .
График квадратичной функции. СР-7 В-3
1. Постройте график функции у = -х2 - х + 2. С помощью
графика определите:
а) нули функции;
б) множества значений х, при которых у > 0 , у < 0 ;
в) промежутки возрастания и убывания функции.
2. Постройте график функции у = Зх2 -7х + 2 и определите
множество значений х, при которых у > 0 .
График квадратичной функции. СР-7 В-4
1. Постройте график функции у = -х2 + х + 6 . С помощью
графика определите:
а) нули функции;
б) множества значений х, при которых у > 0 , у < 0 ;
в) промежутки возрастания и убывания функции.
2. Постройте график функции у = 2х2+Зх-14 и определите
множество значений х, при которых у < 0 .
88
Квадратичные неравенства. СР-8 В-1
1. Решите неравенство: а) х1 2 - 9 < 0 ; б) 2х - х2 > 0 ; в) х2 - Зх - 10 < 0 . 2. Упростите: а) (718 - 572 + 748) • 7з ; б) (7з - 2)2; в) . 27з
Квадратичные неравенства. СР-8 В-2
1. Решите неравенство: а) х2 - 4 > 0 ; б) 4х - х2 < 0 ; в) х2 - 4х - 5 > 0 . 2. Упростите: а) (78 - 473 + 712) • 72 ; б)(1-7б)2; в) з7б
Квадратичные неравенства. СР-8 В-3
1. Решите неравенство: а) х2 - 2х -15 > 0 ; б) 2х2 + 13х - 24 > 0 ; в) 2х(3х -1) > 3 - 13х + 2х2. 2. Упростите: а) (275 - 718 + 745) • Тб ; б) (77-3)2; в) . 277
Квадратичные неравенства. СР -8 В-4
1. Решите неравенство:
а) х2 + 2х - 15 < 0 ; б) 2х2 - Их - 21 > 0 ;
в) Зх(2х - 1) > 2х2 - 10г + 2 .
2. Упростите:
а) (>/32-Зд/2+720) -V2 ; б) (77 - I)2; в)
з72
89
Метод интервалов. СР-9 В-1
1. Решите неравенства методом интервалов:
а) (х - 3)(х + 7)(х - 1) > 0 ;
б) 3х(3х - 2)(4х + 7)(5х - 20) < 0 ; в) ---------> 0 .
(7х - 3)(2х - 5)
2. Вычислите: а) (213 211)4 ; 6) .
Метод интервалов. СР-9 В-2
1. Решите неравенства методом интервалов:
а) (х + 4)(х - 8)(х + 2) < 0;
б) -6х(4х + 5)(3х - 8)(7х +1) > 0 ; в) (х ~ 2)(9х + 10> < 0 .
4х -3
Q5 . 0-7
2. Вычислите: а) 10~13 • (10~7)~2; б) ---—.
Метод интервалов. СР-9 В-3
1. Решите неравенства методом интервалов:
а) (х + 9)(х + 1)(х - 6) > 0 ;
б) 5х(4х + 9)(2х - 3)(6х - 45) < 0 ; „ х - 3 „ в) > 0 . (5х + 9)(Зх-7)
2. Вычислите: а) (1011 10‘12)-1; 16-5,2is 2“8
Метод интервалов. СР-9 В-4
1. Решите неравенства методом интервалов:
а) (х + 2)(х - 4)(х - 15) < 0 ;
б) -9х(7х - 2)(3х + 10)(5х -12) > 0 ; в) (5х ~ 3Х*±в) < 0 .
х -1
25~3 • 54
2. Вычислите: а) (103)2 -10-8 ; б) --——.
90
Целое уравнение и его корни. СР -10 В-1
1. Определите степень уравнения: х3(2 - х2) - Зх° +1 = 0. 2. Решите уравнение: а) 5х% 1 _ 6х + 4 _ . в) (х - 11)(х + 8) - 0 ; б) (2х - 1)(х + 2) - х2 = 16 ; г) у3 - 25у = 0 . 3. При каком значении t уравнение х2 -12х + £ = 0 имеет единственный корень?
Целое уравнение и его корни. СР -10 В-2
1. Определите степень уравнения: х(3 - х8) + 4х8 -1 = 0. 2. Решите уравнение: 2 4л? 2 х а) — = 1; в) (х + 6)(х - 12) = 0 ; б) (5х - 1)(х + 2) - х2 = 7 ; г) х3 - 16х = 0. 3. При каком значении t уравнение х2 + tx + 1 = 0 имеет единственный корень?
Целое уравнение и его корни. СР -10 В-3
1. Определите степень уравнения: х4(х - 1) - х5 + 6 = 20. 2. Решите уравнение: а) 12х2 - (2х - 1)(х + 6) = 24 ; в) (2х - 1)(х2 + 4) = 0 ; 2х2 -1 х2 - Зх , 1 ч 3 _ „ б) = 1-; г)х -15х = 0. 6 3 6 3. При каких t уравнение 5х2 - 6х + t = 0 имеет два корня?
Целое уравнение и его корни. СР -10 В-4
1. Определите степень уравнения: х8(1 + 2х2) - 2х7 = х4 - 3 .
2. Решите уравнение:
а) 10х2 - (5х + 1)(2х - 3) = 4 ;
Зх2 +3 2 — 4х
б) = 2 ;
5 10
3. При каких t уравнение Зх2 - tx + 12 = 0 не имеет корней?
в) (Зх + 2)(х2 + 9) = 0 ;
г) х4 - Их2 = 0.
91
Уравнения, приводимые к квадратным. СР -11 В-1
1. Решите уравнение:
а) Зх4 - 2х1 2 3 - 1 = 0 ; б) (х2 - 4)(х2 + 4) - (26х2 - 41) = О .
2. Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х* - 35х2 - 36 с осью абсцисс.
3. При каких значениях х выражение Зх2 - 5х - 2 принимает
положительные значения?
Уравнения, приводимые к квадратным. СР-11 В-2
1. Решите уравнение:
а) 2х4 - 5х2 - 12 = 0 ; б) (х2 - 2)(х2 + 2) - Зх2 - 6 = 0 .
2. Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х4 — 10х2 + 9 с осью абсцисс.
3. При каких значениях х выражение 5х2 + 14х - 3 принима-
ет отрицательные значения?
Уравнения, приводимые к квадратным. СР -11 В-3
1. Решите уравнение:
а) х4 - 26х2 + 25 = 0 ; б) (х2 - 1)(х2 + 1) - 2х2 - 62 = 0 .
2. Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х4 - 8х2 - 9 с осью абсцисс.
3. При каких значениях х выражение 4х2 - 9х + 2 принима-
ет неотрицательные значения?
Уравнения, приводимые к квадратным. СР -11 В-4
1. Решите уравнение:
а) х4 - 17х2 + 16 = 0 ; б) (х2 - 5)(х2 + 5) + 4х2 - 7 = 0 .
2. Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х4 - Зх2 - 4 с осью абсцисс.
3. При каких значениях х выражение 6х2 + 7х + 1 принимает
неположительные значения?
92
Графический способ решения систем уравнений. СР-12 В-1
1. Решите графически уравнение: х2 = 0,Зх + 2 .
2. Решите графически систему уравнений: < у ’
[ у = х + 1.
3. С помощью схематически построенных гра- г _ g
фиков выясните, сколько решений имеет <
система уравнений: [у - Зх = О
Графический способ решения систем уравнений. СР-12 В-2
1. Решите графически уравнение: х2 = -0,4х + 1. о г> , „ \х2 + у2 - 25, 2. Решите графически систему уравнении: [ у = -х + 2. 3. С помощью схематически построенных гра- г _ фиков выясните, сколько решений имеет \ ХУ ~ система уравнений: [у + 2х = 0.
Графический способ решения систем уравнений. СР-12 В-3
4 1. Решите графически уравнение: — = 0,5х + 1. X о г> ~ \х2 + У2 = 49, 2. Решите графически систему уравнении: < [ ху =12. 3. С помощью схематически построенных г - х2 +14 графиков выясните, сколько решений име- J ~ ’ ет система уравнений: [у = -х2 +27.
Графический способ решения систем уравнений. СР-12 В-4
3 1. Решите графически уравнение: — = х + 2 . X fx2 + у2 = 49 2. Решите графически систему уравнений: у ’ [ ху = 8. 3. С помощью схематически построенных гра- Г _ 2 + g фиков выясните, сколько решений имеет ) ~Х 2 ’ система уравнений: [у = ~х +4.
93
Системы уравнений второй степени. СР -13 В-1
1. Является л уравнений: • 2. Решите сист [Зх + а) к [5х + и пара чисел (-4; 15) решением системы у1 2 - х2 = 209, 2у2 - ху = 510? ему уравнений: 4у = 14, 1х-2у = 9, б) < „ бу = 20; [у - ху - 14.
Системы уравнений второй степени. СР-13 В-2
1. Является л уравнений: 2. Решите сист [4х + a) S [Зх- и пара чисел (5;-12) решением системы х2 + у2 = 169, х2 - Зху = 205 ? ему уравнений: Зу = 7, |х -4у = 10, 5у = 27; б)[ху + 7у2=1.
Системы уравнений второй степени. СР -13 В-3
1. Является л уравнений: 2. Решите сист [ 5х - а) [ [бх + и пара чисел (2; - 3) решением системы 12х-у2 =15, у2 -ху = 15? ему уравнений: 8у = 4, Jx + Зу = 11, 4у = 15; [у2 - ху = 20.
Системы уравнений второй степени. СР -13 В-4
1. Является ли пара чисел (-5; 1) решением системы
„ [ у2 - 6х = 31,
уравнении: 4 „
[х2+ху = 20?
2. Решите систему уравнений:
|8х + бу = 7, [Зх + у = -1,
а) 1 6) 1 9
[5х - 2у = 13; [х2 - ху - 3.
94
Решение задач. СР -14 В-1
1. Диагональ прямоугольника равна 17 см, а его периметр равен 46 см. Найдите стороны прямоугольника.
2. Решите систему уравнений: х1 2 3 + у2 = 10, х2-/=-8.
3. Не выполняя построений, найдите координаты точек пере- сечения прямой у - х + 6 и параболы у = 2х2 - 2х + 7 .
Решение задач. СР -14 В-2
1. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его
периметр равен 30-см, а его площадь равна 50 см2.
I х2 г/2 — 20
2. Решите систему уравнений: < у ’
[х2 -у2 = 12.
3. Не выполняя построений, найдите координаты точек пере-
сечения прямой у = 2х - 5 и параболы у = 2х2 - 6х + 1.
Решение задач. СР -14 В-3
1. Периметр прямоугольника равен 30 см, а сумма площадей
квадратов, построенных на двух его смежных сторонах
равна 113 см2. Найдите стороны прямоугольника.
„ _ „ [х2 + у2 = 20,
2. Решите систему уравнении: <
|xz/ = 8.
3. Не выполняя построений, найдите координаты точек пере-
сечения прямой у = 2х - 5 и окружности х2 + у2 = 10 .
Решение задач. СР -14 В-4
1. Прямоугольный участок земли площадью 1600 м2 обнесён
изгородью, длина которой 200 м. Найдите длины сторон
этого участка.
о т> - (х2+у2=34,
2. Решите систему уравнении:
[ху = 15.
3. Не выполняя построений, найдите координаты точек пере-
сечения прямой у = Зх + 1 и окружности х2 + у2 = 17.
95
Последовательности. СР-15 В-1
1. Последовательность (ал) задана формулой ал=6п-4.
Найдите: а) а8 ; б) ак+2 .
2. Найдите номер члена последовательности (хл), равного 132,
если эта последовательность задана формулой хп = 7п -15 .
3. Найдите пятый член последовательности (Ьп), если:
a) = 1, &л+1 = 2&л ; б) Ьх =3,Ьп+1 = Ьп + 2.
Последовательности. СР -15 В-2
1. Последовательность (сп) задана формулой сп = 8 - 5п .
Найдите: а) сп ; б) сА+1.
2. Найдите номер члена последовательности (а„), равного
99, если эта последовательность задана формулой
ап = 4п - 13 .
3. Найдите пятый член последовательности (уп), если:
а) У1 = -2, уп+1 = 5уп ; б) У1 = 0, уп+1 = уп + 3.
Последовательности. СР -15 В-3
1. Последовательность (&„) задана формулой Ьп = 12 + 4п .
Найдите: а) 615; б) Ьк+3 .
2. Найдите номер члена последовательности (ап), равного
85, если эта последовательность задана формулой
ап = 8п -11.
3. Найдите пятый член последовательности (хл), если:
a) Xj = 9,хл+1 = хл - 3 ; б) xt = 1,хл+1 = -2хл .
Последовательности. СР -15 В-4
1. Последовательность (г/л) задана формулой уп-17-Зп.
Найдите: а) у10; б) ук_х.
2. Найдите номер члена последовательности (хп), равного 150,
если эта последовательность задана формулой хл = 6п +18.
3. Найдите пятый член последовательности (ал), если:
a) = 1,ал+1 = 0,5ал ; б) аг = -3,ал+1 = ал - 2 .
96
Арифметическая прогрессия. СР -16 В-1
1. Дана арифметическая прогрессия (Ьп), = 10,2 и
d = -0,85 . Найдите: а) 637; б) bk+1.
2. В арифметической прогрессии (&и): Ьг = -8 и Ь36 = -62.
Чему равен двадцать пятый член этой прогрессии?
3. Дана арифметическая прогрессия (с„), причем = 6,5 и
d = 1,3 . Принадлежат ли этой прогрессии числа 26 и 39?
Арифметическая прогрессия. СР -16 В-2
1. Дана арифметическая прогрессия (хп): х7 = 0,6 и
d = -1,7 . Найдите: а) х41; б) хк+3.
2. В арифметической прогрессии (х„): х1 = 96 и х31 = 6 .
Чему равен девятнадцатый член этой прогрессии?
3. Дана арифметическая прогрессия (ап), причем аг = 10,2 и
d = 0,4 . Принадлежат ли этой прогрессии числа 29,4 и
39,4?
Арифметическая прогрессия. СР -16 В-3
1. Дана арифметическая прогрессия (с„): сг = -8,6 и
d = 0,12 . Найдите: а) с26 ; б) ck+2.
2. В арифметической прогрессии (Ьп): Ъг = 6 и 521 = 46. Че-
му равен тридцатый член этой прогрессии?
3. Дана арифметическая прогрессия (zn), причем гх =10,1 и
d = 1,5 . Принадлежат ли этой прогрессии числа 32,6 и 47,1?
Арифметическая прогрессия. СР -16 В-4
1. Дана арифметическая прогрессия (а„): ах -- - 2,3 и
d = -0,35 . Найдите: а) <г29 ; б) .
2. В арифметической прогрессии (z/n): yY = 45 и у2в = -5 .
Чему равен двадцатый член этой прогрессии?
3. Дана арифметическая прогрессия (хп), причем хх =5,3 и
d = 0,7. Принадлежат ли этой прогрессии числа 17,2 и
29,1?
97
Сумма арифметической прогрессии. СР -17 В-1
1. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической
прогрессии 7; 8,4... .
2. Арифметическая прогрессия задана формулой хп = 5/1-2.
Найдите сумму первых двадцати трёх первых её членов.
3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 30 до 100
включительно.
4. Найдите сумму первых восьмидесяти чётных натураль-
ных чисел.
Сумма арифметической прогрессии. СР-17 В-2
1. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической
прогрессии 46; 44,5... .
2. Арифметическая прогрессия задана формулой ап = Зп + 4 .
Найдите сумму первых шестнадцати её членов.
3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 25 до 90 вклю-
чительно.
4. Найдите сумму первых ста нечётных натуральных чисел.
Сумма арифметической прогрессии. СР-17 В-3
1. Найдите сумму первых двадцати шести членов арифмети-
ческой прогрессии -12; -9,5... .
2. Арифметическая прогрессия задана формулой Ъп = 2п + 6 .
Найдите сумму первых сорока её членов.
3. Найдйте сумму всех натуральных чисел от 50 до 120
включительно.
4. Найдите сумму первых шестидесяти натуральных чисел,
кратных 3.
Сумма арифметической прогрессии. СР -17 В-4
1. Найдите сумму первых восемнадцати членов арифметиче-
ской прогрессии -2,4; 0... .
2. Арифметическая прогрессия задана формулой уп = 4п - 3 .
Найдите сумму первых тридцати пяти её членов.
3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 40 до 110
включительно.
4. Найдите сумму первых семидесяти натуральных чисел,
кратных 5.
98
Геометрическая прогрессия. СР -18 В-1
1. Найдите два следующих члена геометрической прогрес-
9 I— ,—
сии: а) 1; —;...; б) — л/5 ; л/15 ....
2. Найдите восьмой член геометрической прогрессии (ап),
2
если ал =---и q = -3 .
1 9 4
3. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьп),
Геометрическая прогрессия. СР -18 В-2
1. Найдите два следующих члена геометрической прогрес-
сии: а) 3; -1; ...; б) у15 ; Зу5 ;....
2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (уп), если ух = 270 и q - 0,3 .
3. Найдите первый член геометрической прогрессии (сл), если с6 = 0,243 и q - 0,3 .
Геометрическая прогрессия. СР -18 В-3
1. Найдите два следующих члена геометрической прогрес-
сии: а) 8; 2;... б) ->/2 , д/б ....
2. Найдите девятый член геометрической прогрессии (ап),
если = -64 и q = 0,5 .
3. Найдите первый член геометрической прогрессии (ап),
если а7 = 0,005 и q - 0,5 .
Геометрическая прогрессия. СР-18 В-4
1. Найдите два следующих члена геометрической прогрес- сии: а) 16; -8; ...; б) ; 2-Уз ; ....
2. Найдите восьмой член геометрической прогрессии (хп), если Xj = 3 и q = -2 .
3. Найдите первый член геометрической прогрессии (&л), если Ьв - 0,384 и q = 2.
99
Сумма геометрической прогрессии. СР -19 В-1
1. Найдите сумму восьми первых членов геометрической про-
грессии (х„), если Xj = 30 и q — -2 .
2. Геометрическая прогрессия задана формулой л-го члена
Ьп = Зл~2. Найдите Sn .
3. Последовательность (Ьп) - геометрическая прогрессия.
Найдите Ь6 , если t>j = — и b3 = 1.
Сумма геометрической прогрессии. СР -19 В-2
1. Найдите сумму семи первых членов геометрической про-
грессии (уп), если уг = -20 и q = 3 .
2. Геометрическая прогрессия задана формулой л-го члена
Ьп = 2Л~3 . Найдите Sn .
3. Последовательность (сл) - геометрическая прогрессия.
Найдите с6 , если q = -16 и с3 = -1.
Сумма геометрической прогрессии. СР -19 В-3
1. Найдите сумму семи первых членов геометрической про-
грессии (Ьп), если &! = 128 и q = 0,5 .
2. Геометрическая прогрессия задана формулой л-го члена
хп = 3 4" . Найдите Sn .
3. Последовательность (ап) - геометрическая прогрессия.
Найдите а3 , если q = 0,75 и а2 = 3 .
Сумма геометрической прогрессии. СР-19 В-4
1. Найдите сумму шести первых членов геометрической про-
2. Геометрическая прогрессия задана формулой л-го члена
Уп = 2 • 5Л . Найдите Sn .
3. Последовательность (сп) - геометрическая прогрессия.
„ „ 5
Найдите с3 , если q = — , с2 = -5 .
100
Бесконечная геометрическая прогрессия. СР-20 В-1
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
600; 120; 24... .
2. Представьте в виде обыкновенной дроби X"X
число 0,(12). f s—х \
3. Даны круги с общим центром, причём диаметр I ( (q) ) ]
первого круга вдвое больше диаметра второго, \ \?~\/ 1
диаметр второго вдвое больше диаметра х. У
третьего и т.д. Найдите сумму площадей всех
таких кругов, если диаметр первого круга равен 8 см.
Бесконечная геометрическая прогрессия. СР-20 В-2
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
81; 8,1; 0,81... .
2. Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(152).
3. В правильный треугольник со стороной 5 см *
вписан треугольник, вершинами которого яв- / \
ляются середины сторон первого, во второй тре-
угольник таким же образом вписан третий и / 'ey \
т.д. Найдите сумму периметров всех треуголь-
ников.
Бесконечная геометрическая прогрессия. СР-20 В-3
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
64; 16; 4... .
2. Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(42).
3. В квадрат, сторона которого равна 5 см, впи-
сан второй квадрат с вершинами в серединах
сторон первого, во второй квадрат таким же об-
разом вписан третий и т.д. Найдите сумму пе-
риметров всех таких квадратов.
Бесконечная геометрическая прогрессия. СР - 20 В - 4
1.
2.
3.
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
90; 9; 0,9... .
Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(21).
Даны концентрические окружности, причём
диаметр второй окружности вдвое меньше
диаметра первой, диаметр третьей окружно-
сти вдвое меньше диаметра второй и т.д.
Найдите сумму длин всех таких окружно-
стей, если диаметр первой окружности равен
10 см.
101
Четные и нечетные функции. СР -21 В-1
1. Докажите, что функция f(x) = 6х3 является нечётной.
2. Известно, что у = q(x) - чётная функция, причём
<7(17) = -6 и </(—8) = 3 . Найдите </(-17) и <у(8).
3. На рисунках изображены графики функций. Область оп-
ределения каждой функции промежуток [-6; 6]. Какая из
этих функций является а) чётной; б) нечётной?
Четные и нечетные функции. СР -21 В-2
1. Докажите, что функция g(x) = 7х2 является чётной.
2. Известно, что у - f(x)~ чётная функция, причём /(4) = 7
и /(-5) - 2. Найдите /(-4) и /(5).
3. На рисунках изображены графики функций. Область оп-
ределения каждой функции промежуток [-4; 4]. Какая из
этих функций является а) чётной; б) нечётной?
Рис. 1
Рис. 2 Рис. 3
102
Четные и нечетные функции. СР -21 В-3
1. Является ли функция чётной или нечётной:
a) f(x) - 2х4 - 5х2; б) /(х) = 2х6 - х ; в) /(х) = х3 + 8х ?
2. Известно, что у = /(х) - нечётная функция, причём
/(-8) = 35 и /(3) = 21.
Найдите значение выражения 3/(-3) - 2/(8).
Четные и нечетные функции. СР -21 В-4
1. Является ли функция чётной или нечётной:
a) g(x) = 6х3 - х; б) g(x) = 1 - 8х4 ; в) g(x) = х5 + 7х2 ?
2. Известно, что у = g(x) - чётная функция, причём /(12) = 48
и g(-5) = -37.
Найдите значение выражения 2g(-12) + 3^(5).
103
Функция у = Хл . СР - 22 В-1
1. Сравните с нулём значение функции у = х52 при
х = -8,9; 0; 6,7 .
2. Функция задана формулой g(x) = x3i. Сравните:
а) <(-94) и <(-89); б) <(78) и <(71); в) <(-102) и <(99).
3. Принадлежит ли графику функции у = х6 точка:
а) А (-3; 729); б) 5(3; 819); в) С(4; -4096)?
Функция у = х" . СР-22 В-2
1. Сравните с нулём значение функции у - х49 при
х = -5,7; 4,8; 0 .
2. Функция задана формулой /(х) = х26 . Сравните:
а) /(-31) и /(-42); б) /(65) и /(57); в) /(75) и /(-80).
3. Принадлежит ли графику функции у = х5 точка:
а) А( 3; 243); б) Д-3;-281); в) С (-9; 531441)?
Функция у = хп . СР-22 В-3
1. Сравните с нулём значение функции у = х5 при
х = -12,5; 0; 14,6 .
2. Функция задана формулой <(х) = х8. Сравните:
а) <(78) и <(73); б) <(-28) и <(-26); в) <(30) и <(-40).
3. Принадлежит ли графику функции у = х6 точка:
а) А( 2; 64); б) Д -2; 48); в) С( -4; -4096)?
Функция у = х" . СР-22 В-4
1. Сравните с нулём значение функции у = хв при
х = -8,9; 7,6; 0 .
2. Функция задана формулой /(х) = х9 . Сравните:
а) /(85) и /(79); б) /(-49) и /(-47); в) /(21) и /(-30).
3. Принадлежит ли графику функции у = х5 точка:
а) Л( -2; -32); б) Д 2; 42); в) С(-3; 2187)?
104
Корень n-ой степени. СР -23 В-1
1. Найдите значение выражения:
а) 5^0,125 ; б) 0,7^81; в) ^32 .
2. Укажите два последовательных целых числа, между кото-
рыми заключено число:
а) Тб ; б) V19 ; в) .
3. Вычислите: а) $2)3; б) (-зТб)4 ; в) -^8^.
Корень n-ой степени. СР-23 В-2
1. Найдите значение выражения: а) 47121 ; б) 0,3^64 ; в) Тб25 . 2. Укажите два последовательных целых числа, между кото- рыми заключено число: а) л/10 ; б) V30 ; в) ^70 . 3. Вычислите: а) $3)4; б) (-$7)3 ; в) - V1442 .
Корень n-ой степени. СР -23 В-3
1. Найдите значение выражения:
а) <0,008; б) 10^— ; в) — .
у OZD У OZ
2. Укажите два последовательных целых числа, между кото-
рыми заключено число:
a) V130 ; б) V- 47 ; в) ^^25 .
3. Вычислите: а) (V^7)5; б) (-2^3)4 ; в) - ^49^ .
Корень n-ой степени. СР-23 В-4
1. Найдите значение выражения:
а) 7^0,0081 ; б) 15? — ; в) ?/------— .
У V125 V 243
2. Укажите два последовательных целых числа, между кото-
рыми заключено число:
а) 7170 ; б) V100 ; в) Т^7 .
3. Вычислите: а) $23 )6; б) (-0,1^10 )3; в) -^8?.
105
Свойства корня n-ой степени. СР-24 В-1
1. Решите уравнение: а) х4 = 27 ; б) х8 = -15 ; в) — х5 + 4 - 0 . 8 2. Найдите значение выражения: а) ^81 • 0,0625 ; б) V6 • V36 ; в) ; г) V320 : V5 . 3. Приведите выражение к виду atfb , где a - рациональное , ч 18 ^24 х 6 число, b - целое число: a) —j= ; б) .— ; в) . V2 V36 V27
Свойства корня n-ой степени. СР-24 В-2
1. Решите уравнение: а) х3 = -2; б) х4 = 28; в) — х® - 2 = 0 . 2. Найдите значение выражения: a) VO,027 125 ; б) V3 • V27 ; в) ; г) V192 : V3 . 3. Приведите выражение к виду atfb , где a - рациональное , ч 15 6 ч 8 число, о - целое число: a) —f= ; б) —=; в) —== . V3 Vo Vs
Свойства корня n-ой степени. СР-24 В-3
1. Решите уравнение: а) х4 - 7 ; б) х5 = 30 ; в) ~х3 + 3 = 0 . 2. Найдите значение выражения: a) V16 81 ; б) V5 • V25 ; в) ; г) V§0 : V5 . 3. Приведите выражение к виду aVb , где a - рациональное , ч 2 ^7 ч 10 число, о - целое число: a) ; б) -7=; в) —== . V5 V4 V216
Свойства корня n-ой степени. СР-24 В-4
1.
2.
3.
Решите уравнение: а) х3 = 5 ; б) х6 = 18 ; в) ^х4 - 2 = 0 .
Найдите значение выражения:
а) ^27 • 64 ; б) V8 V2 ; в) ; г) V250 : V2 .
Приведите выражение к виду a^/b , где a - рациональное
, \ 1 6 12
число, о - целое число: а) -т= ; б) .— ; в) —== .
V7 у25 V125
106
Степень с рациональным показателем. СР-25 В-1
1. Замените арифметический корень степенью с дробным по-
казателем: a) V15 ; б) ^25 ; в) ^27 ; г) ; д) •
2. Замените корнями степени с дробными показателями:
1 „ 2 _1 33
а) 23 ; б) 50,7; в) (а + Ь)5 ; г) тп 4 ; д) а8 + Ь8 .
1_1 1 -2
3. Вычислите: а) 92; б) 36 2 ; в) 2 1253 ; г) -4 0,01 2 .
Степень с рациональным показателем. СР-25 В-2
1. Замените арифметический корень степенью с дробным по-
казателем: а) 417 ; б) ^49 ; в) V4 ; г) ; д) 4Ц- .
V
2. Замените корнями степени с дробными показателями:
1 11 11-2-2
а) 54 ; б) 71’1; в) (х-у)4 ;г) pke ; д) т 5 + п 5 .
1-11 -3
3. Вычислите: а) 162; б) 27 3 ; в) 5 • 814 ; г) - 3 • 0,25 2.
Степень с рациональным показателем. СР-25 В-3
1. Замените арифметический корень степенью с дробным по-
казателем: а) >/37 ; б) V100 ; в) ^/0,001 ; г) tfa* ; д) .
2. Замените корнями степени с дробными показателями:
1 2 _1 А -9.
а) 75 ; б) 92,4; в) (2т + п)9 ; г) 5аЬ 8 ; д) х11 -у11 .
1 -1 1 (81 У 2
3. Вычислите: а) 1253 ; б) 0,01 2 ; в) 7 • 6254 ; г) - 21 • I — I
Степень с рациональным показателем. СР-25 В-4
1. Замените арифметический корень степенью с дробным по-
казателем: а) л/43 ; б) Я/121 ; в) ^/0,008 ; г) tfx^ ; д) .
2. Замените корнями степени с дробными показателями:
X 2 1_4_4
а) 911 ; б) 131’6; в) (5х-3у)7 ; г) 10а&8 ; д) х 9 + у 9 .
, , Z '-1
1 -1 1 (125^ 3
3. Вычислите: а) 0,492 ; б) 216 3 ; в) 8 • 2435 ; г) -2 • -
107
Степень с рациональным показателем. СР-26 В-1
1. Упростите выражение: . |з/~Г Ь6Ь* а) а3-уа ; б) —р-; в) Ъ* 2. Найдите значение выражения: а) (25 0,0256)1; б) (^81 • ^625^ ; в) с^с- ( 43 -0,3^,2,9 2 3
Степень с рациональным показателем. СР - 26 В-2
1. Упростите выражение: 5 2 -.1 „в,,3 a) ; б) - y 1 в) У 2 2. Найдите значение выражения: а) (0,343 125)1; б) (л/27 ; в) /’V1 ( - У 365 V49 \ 7 V’9- 5 2
Степень с рациональным показателем. СР-26 В-3
1. Упростите выражение: 1 1 А0,8.-1,3 , 5 5/4 О U ч а) а6уа ; б) ——; в) ft-1’5 2. Найдите значение выражения: а) (144 -49)1; б) (V1000 • 1^64^; в) z s ri to ^1 гь -q Е5 al w | 1 3 /
Степень с рациональным показателем. СР-26 В-4
1. Упростите выражение: - 1— „1,9 „-0,6 a) ; б) ; в) У 2. Найдите значение выражения: а) (0,243 • 32)1; б) (V169 • ^256 f; в) Р2Р6Р 7 1 > 1244 V27 2 3 £ 3
к 7
108
Применение свойств степени с дробным показателем. СР -27 В-1
1. Вынесите за скобки общий множитель:
IX 11
а) х8 + 7х4 ; б) 8хв - х12 ; в) 182 -452 .
2. Представьте выражение в виде разности квадратов и раз-
ложите его на множители:
1 1
a) q2 -18; б) у2 -х2 .
i
_ „ _ х-16х2 у + 64
3. Сократите дробь: а) —j; б) ——-—j.
х4-4 г/2-4г/2+16
1
3 у2
4. Упростите выражение: —------j.
г/2+3 г/2-3
Применение свойств степени с дробным показателем. СР -27 В-2
1. Вынесите за скобки общий множитель:
11 12_ 11
а) ув - 2г/2 ; б) 9г/5 + г/10 ; в) 402 -122 .
2. Представьте выражение в виде разности квадратов и раз-
ложите его на множители:
1 1
а) р2 -10 ; б) а2 - Ь2 .
1
а — 9а2 b — 27
3. Сократите дробь: а) —----; б) —-------j.
а4 + 3 Ъ3 + 8b3 + 9
. х2 2
4. Упростите выражение: —--------j.
х2 - 2 х2 + 2
109
Применение свойств степени с дробным показателем. СР-27 В-3
1. Вынесите за скобки общий множитель:
1 1 1 11
а)г/ + 4г/2; б) 2г/3-г/8; в) 62 +32.
2. Представьте выражение в виде разности квадратов и раз-
ложите его на множители:
а) х2 - 7 ; б) у - Ъ , где у > О, Ъ > 0 .
„ „ s \ а + За2 Ь-25
3. Сократите дробь: а) —j-; б) —----
а2+3 &2-5
4. Упростите выражение: --j------р
2 + р2 2-р2
Применение свойств степени с дробным показателем. СР - 27 В-4
1. Вынесите за скобки общий множитель:
1 11 11
а) х - Зх2 ; б) у2 + 5г/4 ; в) 102 - 52 .
2. Представьте выражение в виде разности квадратов и раз-
ложите его на множители:
а) у2 - 5 ; б) х - а, где х > 0, а > 0 .
1
_ „ _ . х - 2х2 „ у - 4
3. Сократите дробь: а) —j-; б) .
х2 - 2 у2 + 2
, „ 11
4. Упростите выражение: —--------.
с2 -1 с2 +1
ПО
Тригонометрические функции. СР -28 В-1
1. Изобразите угол поворота, равный: а) -180°; б) 135°.
2. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а = 200° ; б) а = 300° ; в) а = 710°?
3. Найдите значение выражения:
a) sin270°; б) tg360°; в) 4ctg60°sin60°.
4. Имеет ли смысл выражение: a) ctgl80°; б) cos270° ?
5. Сравните значения выражений l + tg1 2 3 4 530° и cos 2 30°.
Тригонометрические функции. СР -28 В-2
1. Изобразите угол поворота, равный: а) -90°; б) 225°.
2. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а = -40° ; б) а = 130°; в) а = 620° ?
3. Найдите значение выражения:
a) cosl80°; , б) ctg90°; в) 6-/2tg45°cos45°.
4. Имеет ли смысл выражение: a) sin270°; б) tg360° ?
5. Сравните значения выражений l + ctg260° и sin'2 60°.
Тригонометрические функции. СР -28 В-3
1. Изобразите угол поворота, равный: а) -360°; б) 315°.
2. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а = 190°; б) а = -220°; в) а = 530° ?
3. Найдите значение выражения:
a) tgl80°; б) cos360°; в) 9tg30°cos30°.
4. Имеет ли смысл выражение: a) tg270°; б) sin270° ?
5. Сравните значения выражений 2sin45°cos45° и sin90°.
Тригонометрические функции. СР -28 В-4
1. Изобразите угол поворота, равный: а) -135°; б) 270°.
2. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а = 260° ; б) а = -170°; в) а = 490° ?
3. Найдите значение выражения:
a) ctg270°; б) sin360°; в) 5V2ctg45°sin45°.
4. Имеет ли смысл выражение: a) ctg360°; б) tg360° ?
5. Сравните значения выражений cos60° и cos230° - sin230°.
Ill
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. СР -29 В-1
1. Определите знак выражения:
a) sinl70° • tgl3O°; б) cos210° • sin300°.
2. Найдите значение выражения:
a) tg450°; в) cos(-45°); д) sin(-720°);
б) sin420°; г) ctg(-90°); е) ctg(-1470°).
3. Решите неравенство: 4х(х + 2) < 5 .
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. СР-29 В - 2
1. Определите знак выражения:
a) sin!40° ctgl90°; б) tg230° • ctgl30°.
2. Найдите значение выражения:
a) cos540°; в) tg(-3O°); д) ctg(-1440°).
б) ctg420°; г) cos(-270°); е) sin(-1500°).
3. Решите неравенство: 4х(х - 1) > 3.
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. СР -29 В-3
1. Определите знак выражения:
a) cosl60° • tg200°; б) sin80° • cos!40°.
2. Найдите значение выражения:
a) tg405°; в) ctg(-60°); д) cos(-1080°)
б) cos630°; г) sin(-180°); е) tg(-1110°).
3. Решите неравенство: (х - З)2 < 9 - х2 .
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. СР -29 В-4
1. Определите знак выражения:
a) sinlOO" cos210°; б) ctg!5O° •sin!50°.
2. Найдите значение выражения:
a) sin390°; в) sin(-90°); д) tg(-720°).
б) ctg630°; г) cos(-60°); е) cos(-3990°)
3. Решите неравенство: 4-х2 3 < (2 + х)2 .
112
Радианная мера угла. СР -30 В-1
1. Найдите радианную меру угла,
а) 60°; б) 120°;
2. Найдите градусную меру угла,
л 2
а)-; б)---л;
4 3
3. Найдите значение выражения:
заданного в градусах:
в) -720°.
заданного в радианах:
в) -Зл .
л
в) 2cos — - 3simt.
4
и3 — 49у
4. Решите неравенство: —------< 0.
5. Упростите выражение:
х - 3 х 3 х2 + 9
4х2+ 24х + 36 \3x-9 х2 + Зх 27-Зх2/
Радианная мера угла. СР -30 В-2
1. Найдите радианную меру угла, заданного в градусах:
а) 45°; б) -150°; в) 540°.
2. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:
а)---; б) — л ; в) 2,5л.
6 4
3. Найдите значение выражения:
a) cosf-— 1; б) ctg-^^; в) 3tg — -4sin—.
4 6 6 3
4. Решите неравенство: ----- > 0 .
186 - 2Ъ2
5. Упростите выражение:
у у2+1& 4 Зу2 - 24у + 48
4у + 16 4у2-64 у2 - 4у) у+ 4
113
Радианная мера угла. СР-30 В-3
1. Найдите радианную меру угла, заданного в градусах:
а) -30°; б) 145°; в) 450°.
2. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:
ЧТ tv
а)-; б) —л; в) -1,5л.
3 6
3. Найдите значение выражения:
ч , ( л^ 5л . _ л л
a) tg---; б) cos —; в) 5ctg---4cos — .
< 6 J 2 4 3
х* — 0 64х
4. Решите неравенство: -----;--> 0 .
3 + х
5. Упростите выражение:
( х 5 1. W Р 28-х2’1
^х -25 5-х x + 5j х + 5,
Радианная мера угла. СР -30 В-4
1. Найдите радианную меру угла, заданного в градусах:
а) -60°; б) 210°; в) 630°.
2. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:
а) - —; б) — л; в) Зл .
4 3
3. Найдите значение выражения:
Г л^ 25л л л
a) ctg--; б) sin---------; в) 8cos-----sin—.
\ 2) 6 6 3
5 — а -
4. Решите неравенство: ---------- < 0 .
128а -2а3
5. Упростите выражение:
(12 - а2
--------на — 3
a + 3
1 a 5
------1-о-----1----
a + 3 a2—9 3 — a
114
Основное тригонометрическое тождество. СР -31 В-1
1. Известно, что cosa =---и л < a < — .
41 2
Найдите sina, tga и ctga .
2. Могут ли для какого- либо угла а одновременно выпол-
2 1
няться условия: tga = —,=- и ctga = -7=-?
7з -1 73 + 1
„ „ _ Зх2 - 7х + 2
3. Сократите дробь: ---——- .
2 - 6х
4. Найдите значение многочлена 2х4 - 5х2 + 3 при х = 77.
5. Пересекаются ли парабола у = х2 - Зх - 8 и прямая
2х + у - 8 ? Если пересекаются, то найдите координаты то-
чек пересечения.
Основное тригонометрическое тождество. СР -31 В-2
1. Известно, что sina =--и — < a < 2л.
17 2
Найдите cosa, tga и ctga .
2. Могут ли для какого- либо угла а одновременно выпол-
2 1
няться условия: tga = -5=- и ctga = —==-?
V5 - 1 75 + 1
7х2 — х
3. Сократите дробь: -----------.
2-13х-7х2
4. Найдите значение многочлена Зх4 + 7х2 - 13 при х = —7з .
5. Пересекаются ли парабола у = 4 - х2 + 5х и прямая
4х - у = 2 ? Если пересекаются, то найдите координаты то-
чек пересечения.
115
Основное тригонометрическое тождество. СР-31 В-3
1. Известно, что cosa =-и — < a < л .
13 2
Найдите sina, tga и ctga .
2. Могут ли для какого-либо угла а одновременно выпол-
7з V10 „
няться условия: sina = и cosa = ?
or. , 5Г-Ш + 4
3. Сократите дробь: --------.
6 - 15х
4. Найдите значение многочлена 6х4 - 4х2 + 2,5 при х = ^/2,5 .
5. Пересекаются ли параболы у = 5х2 - 4х + 6 и
у = Зх2 - х + 8 ? Если пересекаются, то найдите координа-
ты точек пересечения.
Основное тригонометрическое тождество. СР-31 В-4
1. Известно, что sina = -0,8 и л < a < — .
2
Найдите cosa, tga и ctga.
2. Могут ли для какого-либо угла а одновременно выпол-
V5 vir „
няться условия: sina = и cosa = ?
„ _ _ Зх2 - 2х
3. Сократите дробь: -----------.
6 - 7х - Зх2
4. Найдите значение многочлена 10х4 + Зх2 -19 при
х = --^4,5 .
5. Пересекаются ли параболы у = 5х2 - х - 6 и
у = 2х2 - 9х + 3 ? Если пересекаются, то найдите координа-
ты точек пересечения.
116
Преобразование тригонометри- ческих выражений. СР -32 В-1
1. Упростите выражение:
„ . , „ 1 + cosa 1 + 2cosa
а) sina • ctga + cosa; в)---------------;
1 - cosa sin a
11 2 2
6) ----— ; r) (sin a + cos a) + (sin a-cos a) .
sin2a tg a
2. Докажите тождество: -----------= sin2a .
tga + ctga
ab
------c
3. Упростите выражение: a ~ ---
4. Разложите на множители: (a - 3d)2 - 25c2.
Преобразование тригонометри- ческих выражений. CP -32 B-2
1. Упростите выражение: ч „ 1 - sina 1 - 2sina а) cosa • tga + sina ; в) -— ; 1 + sina cos a 6) — ; r) (sin a + cos a)2 - (sin a - cos a)2. cos2a ctg2a r, T. ctga о 2. Докажите тождество: = cos a . tga + ctga
be
a-------
3. Упростите выражение: ---b-с
а - с
4. Разложите на множители: 49п2 - (Зтп - 4)2.
117
Преобразование тригонометри- ческих выражений. СР-32 В-3
1. Упростите выражение:
а) 1 - sina • tga • cosa ;
б) (1 + ctg2a) • sin2a - cos2a ;
. 1 - cosa 1 - 2cosa
в) ;---------—2—
1 + cosa sin a
. sin3 a - cos3 a
r) -—:--------•
1 + sin a cos a
о тт sin2a
2. Докажите тождество: -----------
sin a -1
ctg2a = -1.
3. Упростите выражение: ......
4. Разложите на множители: (4k - Эр)2 - (5p + 2k)2.
Преобразование тригонометри- ческих выражений. СР-32 В-4
1. Упростите выражение:
а) 1 - sina • cosa • ctga ;
6) (1 + tg2a) • cos2a - sin2a ;
. 1 + sina 1 + 2sina
в) :-------------2--
1 - sina cos a
„ sinacosa-1
г) ~3-------3~~ •
sin a + cos a
„ _ tg2a -1
2. Докажите тождество: —--------
tg a +1
2 2
= sin a - cos a .
3. Упростите выражение: ----------
1 + a
4. Разложите на множители: 9p2 - 16a2 - 8a -1.
118
Формулы приведения. СР -33 В-1
1. Найдите cos(n + a), sin(—-а) и tga, если известно, что
cosa = 0,83.
Зя
2. Найдите значение выражения: а) cos330 ; б) sin— .
3. Упростите выражение:
а) cos(270° - a) + sin(90° + a);
4. Докажите тождество:
cos(7t - a) sin(-a) + sin(2n + a) • cos(-a) = 1.
7t
tg(n + a) • cos(— + a)
6)-----------------------
sin(-a)
5. Сократите дробь: —----
a -5a-6
Формулы приведения. СР -33 В-2
1. Найдите sin(2n-a), cos(—-a) и ctga, если известно, что
sina = 0,18 .
2. Найдите значение выражения: а) sin240°; б) cos —.
4
3. Упростите выражение:
sin(— + a) • ctg(— - a)
a) sin(270° - a) - cos(180° + a); 6) --------------
cos(-a)
4. Докажите тождество:
л it
sin(n - a) cos(— a) + cos(2n - a) • sin(-a) = 1.
5. Сократите дробь:
n2 - Юга + 21
9-n2
119
Формулы приведения. СР -33 В-3
л 1. Найдите cos(n-a), sin(— + a) и tga, если известно, что cosa = 0,29. 4л 2. Найдите значение выражения: а) cosl35°; б) sin—. 3 3. Упростите выражение: . лол» , \ • /пл» \ sin(-a) • tg(n + a) а) cos(180 + a) - sin(90 - a); 6) —. .Зя cos(— - a) 4. Докажите тождество: Зя p я p tg( a) • 1£(я + a) ~ cos ( a) = cos a . 2 2 _ ~ 6x2 3 4 - 13x + 6 5. Сократите дробь: - . 36x2 - 49
Формулы приведения. СР -33 В-4
1. Найдите sin(n + a), cos(—нa) и ctga, если известно, что
2
sina = 0,76.
2. Найдите значение выражения: а) sin225°; б) cos—.
3
3. Упростите выражение:
а) sin(180° - a) + cos(90° + a); 6) tg(TC ~ a)' cos(~a) .
sin(- - a)
4. Докажите тождество:
tg(— + a) tg(n - a) - sin2(— - a) = sin2a .
2 2
5. Сократите дробь:
4y2 - 49
2y2 + 3y-14‘
120
Формулы сложения. СР -34 В-1
1. Найдите sin(a + 30°), если sina = — и a - угол П четверти.
5
2. Упростите выражение:
а) cosl47° • cos67° + sinl47° sin67°; в) cos5p • cosP + sin5P • sinp ;
„ . sin(a + 40°) - cosa • sin40°
6) cos(120 +a) + cos(120 -a); r)-------------------;-----.
cosa cos40°
о тт sin(a + 10‘) + sin(a-10°)
3. Докажите тождество: --------------------:----= ctglO .
cos(a -10°) - cos(a +10°)
[Зх 4. Решите систему уравнений: Iх г. и - х 5. Найдите значение выражения — ' н । + ' > HI Ч; чг = -1, -У2 =11. -4 — при х = 25.
Формулы сложения. СР-34 В-2
1. Найдите cos(30° - a), если cosa =-и a- угол П1 четверти.
13
2. Упростите выражение:
a) sin85° • cos35° - cos85° sin35°; в) sin3a • cosa + cos3a sina ;
_ • /irn" x ч s cos(P +15°) - cosp cosl5°
6) sin(150 -a) + sin(150 +a); r) -----------------------.
sinp cosl5°
„ „ costa + 20°) + cos(a - 20°) , „„„
3. Докажите тождество: ------------------------= ctg20 .
sin(a + 20°) - sin(a - 20°)
|2x-3y = 11,
4. Решите систему уравнений: 4
[у2 - 2xy - 2x2 = -7.
_5
f 2\ 4
a3
5. Найдите значение выражения —-— при a = 0,3 .
121
Формулы сложения. СР -34 В-3
1. Найдите sin(60° - a), если cosa - 0,6 и a - угол IV четверти. 2. Упростите выражение: а) cos52° • cos78° - sin52° • sin78°; в) cos2a • cos3a - sin2a • sin3a ; „ , ч sin(a - 25°) - sina • cos25° 6) cos(a -150 ) - cos(a + 150 ); r) -° . cosa • cos25° sin(a - 40°) - sin(a + 40°) 3. Докажите тождество: = -tg40 . cos(a + 40°) + cos(a - 40°) (4x + 3y = 6, 4. Решите систему уравнений: [2x2 + xy - y2 = 8. 5 1 7 7/ —2 5. Найдите значение выражения — при т = 100 . ( 7 7П15
Формулы сложения. СР-34 В-4
5
1. Найдите cos(60° + а), если sina = — и а - угол П четверти.
13
2. Упростите выражение:
a) sin83° cos77° + cos83° • sin77°; в) sin4|3 • cos[3 - cos40 • sinfJ;
• /1ОП" \ x cos(a-35°) -sina sin35°
6) sin(120 -a)-sin(120 + a); r)----------------------.
cosa • sin35°
cos(70° - а) - cos(70° + а)
3. Докажите тождество: ------------------------= tg70 .
sin(70° + а) - sin(70° - а)
[4х - 5у = -29,
4. Решите систему уравнений: -{
[Зх2 - 2у2 + ху = -52.
, ч 3
( -U-V
г 6
5. Найдите значение выражения —— при b - 1,2 .
122
Формулы двойного угла. СР -35 В-1
1. Упростите выражение: a) sin26 . г) 2sin85° • cos85°; sinl3° б) sin215° + cos30°; д) sin2 72° - cos2 72°; cos(180°-2P) . . в) 1; e) 1 + cos42 . sinp - cosf) 2. Найдите sin2|J , если sinf) = —1= и P - угол IV четверти. л/5 „ „ l-cos4a , 3. Докажите тождество: = tg 2a . 1 - cos(n - 4a) 4. Решите неравенство: Зх(4х -1) < 6x2 - 4x +1. 5. Вычислите: 1,(6) + 0,(12).
Формулы двойного угла. СР -35 В-2
1. Упростите выражение:
а) sin48° cos24° r) -2sinl00° cosl00°;
б) cos 52° - cos2 26°; Д) cos2 40° - sin2 40°;
в) sin(90° - 2a) cosa - sina e) l + cosl70°.
2. Найдите sin2a , если cosa = 12 и a - угол II четверти
\ “ J 2
3. Докажите тождество: --------------- - tg а .
1 + cos2a
4. Решите неравенство: 2х(3х - 2) > 5 - Их .
5. Вычислите: 2,(3) - 1,(18).
123
Формулы двойного угла. СР-35 В-3
1. Упростите выражение:
а) sin20° coslO° r) 2sin65° • cos65°;
б) cos1 225° - cos50°; д) sin2 28° - cos2 28°
в) cos4p cos2P - sin2p ’ e) 1 + coslO”.
2. Найдите sin2a , если cosa =----и a - угол III четверти.
3. Докажите тождество: ----------------г- = ctg За.
1 - sinl — - 6а I
12 )
4. Решите неравенство: 4х(3х + 1) < 2 - х .
5. Вычислите: 3,(15) + 1,(8).
Формулы двойного угла. СР -35 В-4
1. Упростите выражение:
а) Sin8° ; г) 2sin80° • cos80°;
sin40°
б) cos36° + sin218°; д) cos235° - sin235°;
4 cos(360° - 2a) ч
в) ; e) 1 + cos20 .
cosa + sina
2. Найдите sin2|J , если sinp - 0,6 и P - угол II четверти.
nr, 1 — COS4U , 2 „
3. Докажите тождество: ---------------г- = tg 2a .
1 - sin----4a
I 2 J
4. Решите неравенство: 4x(2x + 3) > 2x - 3 .
5. Вычислите: 3,(21) - 2,(3).
124
Формулы суммы и разности. СР -36 В-1
1. Представьте в виде произведения:
a) sin7a - sin3a ; б) cos20° + coslO°.
2. Докажите, что:
„ sin3a + sina , „ sin72° - sinl8° ,
а) -----------= tg2a ; 6) ------------= -1.
cos3a + cosa cos72“ - cosl8°
3. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической
прогрессии (ап), если а3 = 12 и а7 = 20 .
Формулы суммы и разности. СР -36 В-2
1. Представьте в виде произведения:
а) cos5a + cosa ; б) sin40° - sinlO°.
2. Докажите, что:
, cos7a - cos3a , „ cos52° + cos38°
а) -----------= -tg2a ; б) -----------= 1.
sin7a + sin3a sin52° + sin38°
3. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметиче-
ской прогрессии (fen), если Ь& = 26 и Ь12 = 5 .
Формулы суммы и разности. СР -36 В-3
1. Представьте в виде произведения:
а) sin3a + sin5a ; б) cosl7° - cos53°.
2. Докажите, что:
„ sin4a - sin2a , cos49° - cos71° r~
а) ----------= tga ; 6) ------------= -V3 .
cos4a + cos2a sin49° - sin71°
3. Найдите сумму тридцати первых членов арифметической
прогрессии (сп), если с4 = 1 и с10 = 25 .
Формулы суммы и разности. СР-36 В-4
1. Представьте в виде произведения:
а) cos7a - cosa; б) sin23° + sin47°.
2. Докажите, что:
, cos6a + cos4a , sinl8° + sinl02° п-
а) -----------= ctga ; б) ------------= V3 .
sin6a - sin4a cosl8° + cosl02°
3. Найдите сумму сорока первых членов арифметической
прогрессии (dn), если d7 = -3 и d15 = -19 .
125
Дополнительные задачи.
4
Умение решать нестандартные задачи - важнейшая
составляющая математического развития учащихся.
Желательно, чтобы к окончанию школы у детей был
накоплен некоторый опыт решения таких задач.
Большинство задач раздела не являются задачами
повышенной трудности. Для их решения не требуется
знаний, выходящих за пределы программы общеобразо-
вательной школы, не являются они, на наш взгляд, и
особенно трудными (более того, многие задачи предна-
значены для устного решения).
Однако некоторые из них имеют нестандартные фор-
мулировки, другие требуют для своего решения преодо-
ления непривычного для школьников сочетания труд-
ностей, поэтому данный набор задач может считаться,
на наш взгляд, полезным дополнением системы задач
школьного учебника.
Задачи могут быть использованы как для фронталь-
ной работы на уроке, так и в качестве домашних зада-
ний, а также при организации различных форм вне-
классной работы (олимпиады, кружки и т.д.).
Условия задач
1. Решите уравнение:
а) |х| = х; в) |х| + |х - 1| = 1;
б) |х| = |1 - х|; г) |х| + |х - 1| = 0,5 .
2. Решите уравнение:
а) х|х| = 4 ; б) |х - 3| = 1 - л; в) х2 + |х| = 2 ; г) х2 + 2-Jx2 = 3.
3. Решите уравнение:
а) х2 + у2 = 0; в) 2х2 + 2х - 2ху + 1 + у2 = 0 .
б) х2 + 2х + у2 + 1 = 0;
4. Упростите выражение у(х- I)2 +7(2-х)2
а) при 1 < х < 2 ; б) при х > 2 ; г) при х < 1.
5. Найдите наибольшее значение функции
а) у = 6х - х1 2 3 4 5; б)
2х ч 2х -1
у =;—2 ; в) у = -—------т
1 + х 1 + 2х + х
126
6. Решите уравнение
(а + b - 2с)х2 + (Ь + с - 2а)х + (с + а - 2Ь) - 0 .
7. Известно, что х > 0 и у > О и х + у = 6 . Найдите
а) наибольшее значение выражения ху ;
_ 11
б) наименьшее значение выражения —I— .
х у
8. Сравните числа V10 + V14 и Vll + V13 .
9. Упростите выражения
а) д/4 + 2Тз ; б)д/4 + 2л/з + 74-2-Уз ; в) ^2 + ^3 -д/з-д/з .
10. Проверьте равенство:
a) = 6. Д ; б) = 2 Д ;
V 35 V 35 V 5 \ 5
11. Составьте уравнение с целыми коэффициентами, корня-
ми которого будут числа:
а) 1; 2 и 3; б) 1-^2 ; в) 1-^2 .
12. Сколько корней имеет уравнение ~Jx - 2 + >11- х = 1 ?
13. Могут ли три последовательных (не равных друг другу)
члена арифметической прогрессии быть одновременно
тремя геометрической прогрессии?
14. Придумайте арифметическую прогрессию, сумма членов
которой равна их количеству.
15. В арифметической прогрессии (ал) сумма одиннадцати
первых членов Sn = 72. Найдите ав .
16. В арифметической прогрессии (ал) известно, что сумма
ав +а9+а12 + = 20. Найдите S20.
17. Придумайте формулу для общего члена последовательно-
сти: 2, 5, 10, 17, ...
18. Вычислите произведение: tgl° • tg2° • ...tg89°.
19. Найдите значение выражения:
a) cos 15° • cos 75°; б) cos4 15° - cos4 75°.
20. В треугольнике АВС угол С - прямой. Найдите tgA tgB .
21. Докажите, что если a, b и с - стороны треугольника, то
а + b 1
а + Ь + с 2
5
22. Докажите, что — а2 + ЗаЬ + 2Ьг > 0 .
127
Ответы и решения. 5
Квадратичная функция. ТЗ-1
В-1. 1. 19,1. 2. -2; 7. 3. а) хе(-°°;“); б) убывающая.
4. (х + 11)(х-3). 5. (7х - 5)(3х -1). 7. 3; 5. 8. (—; 4].
9. [-!; + «,). 10. [3; 5]. 11. [-1; 3]. 12. (-<«;- 0,5] и [5;+~).
г _ 9 1
13. (-9; - 2) и (6;+=°). 14. (-4; 3,5). 15. —17. --.
1 — Эх 3
Q
18. (-оо; -1,6) и (-; 3) и (3;+со).
В-2. 1. -19. 2. -8; 3. 3. а) х е (—°°; -1 ^); б) возрастающая.
4. (х + 9)(х-1). 5. (Зх - 2)(2х +1). 7. -3; 1. 8. [-1; + °°).
9. (-<*>; 4]. 10. (-°°; - 3) о (1; + Ч • И- [0; 4]. 12. [-1; |].
13. (-оо; 3) о (7; 27). 14. (-^-2,5)и(3;+°°). 15. 17. 0,6.
2-х
18. (-<х?-4)и(Ч^)иф-Н.
В-3. 1. 14,1. 2. -7; -6. 3. а) х е (2,75; + °°); б) убывающая.
4. (х + 9)(х-7). 5. (х + 4)(Зх-5). 7. -1; 5. 8. [2;+оо).
9. [-9;+°о). 10. (-°ч-1]и[5;+о°]. 11. [-9; 7]. 12. [-3; 2,25].
v — 2
13. (-11; 4) и (7;+оо). 14. (-2; 1,4). 15. ---------. 17. 3.
5-Их
18. (-«;-2) и (-2;—) и (0,8;+°°).
3
В-4. 1. -19,2. 2. -9; -3. 3. а) х е (1 —;+«=); б) возрастающая.
4. (х + 8)(х-7). 5. (Зх - 2)(3х +1). 7. 2; 6. 8. (-°°;4]. 9. (-<~;4].
10. (2;6). И. [-5;4]. 12. (-°о;-0,5] и [0,75;+~).
2 14х + 5
13. (-2; 0,5) и (0,8;+оо). 14. (-оо;-3) и (1-;+=*=). 15.-—-----------.
3 х + 2
17. 5.18. (-°°;-2) и (-|;|) и (|;+~).
У О о
128
| Уравнения и системы уравнений. | ТЗ - 2 |
В-1. 1. --; 5. 2. (-<*>;-20) и (0;+°°). 3. ±0,5; ±1.
6
4. (3;1); (—2;—4). 5. (0,25; 7,75); (-2; 1). 6. 8 см и 15 см. 7. б).
8. -5; -1; 3. 9. (4; 2); (2; 4). 10. 2 км/ч; 10 км/ч.
В-2. 1. 2,2; 5. 2. (0; 28). 3. ± — ; ±3 .4. (2; 6); (3; 4). 5. (5; 3);
3
(3; 5). 6. 60 м и 40 м. 7. а). 8. --; - ; 1; 1,5. 9. (7; 5); (-5; -7).
3 6
10. 24 км/ч; 16 км/ч.
JJ
В-3.1. -4; 4,4. 2. (-~; 0) и (0,5;+<х>). 3. ± -у ; ±3.4. (4; 3); (3; 4);
(-4; -3); (-3; -4). 5. (0; 0); (-2,4; 4,8). 6. 9 см и 40 см. 7. б).
8. 9. (2; 1; 1,5); (-2; -1; -1,5); (1; 2; 3); (-1; -2; -3).
10. 75 км/ч; 60 км/ч.
В-4. 1. -з|; 6. 2. (-оо; - 0,96] о [0;+оо). 3. ±42.
4. (2; 4). 5. (6; 9); (-9; -6). 6. 36 и 4. 7. в). 8. 0,5; 1; 2.
9. (2; 2; 3); (-2; -2; -3). 10. за 44 мин; за 29 мин.
| Арифметическая и геометрическая прогрессии | ТЗ - 3 |
В-1. 1. б). 2. 5 = 2; Ь5 = 80; Ьп = 5 2Л 1. 3. 616. 4. 364.
5. 48—. 6. 19. 7. 5. 8. а) —; б) 5—. 9. 9,25. 10. 4905.
16 33 55
11. = 2 ; 2— = t,. 12. 96; 48; 24; 12; 6; 3. 13. d = 4 ; q = ±3 .
B-2. 1. 6). 2. d = 3; c12 = 22; cn =3n-14. 3. 2187. 4. -147.
71 47
5.-819. 6. 22. 7. 48. 8. a) 1—; 6) 14—. 9. 15,1. 10. 494550.
333 55
11. d21 = — ; 0,8 = d3. 12. 24; 12; 6; 3. 13. d = 12; 5 = 3.
64
B-3. 1. a). 2. 5 = 0,4; c5=2,56; cn = 100 0,4n^. 3. 244,7.
4. -546. 5. 120,5. 6. 42. 7. -21-. 8. a) 5—; 6) 27—.
7 111 44
49
9. -79. 10. 2475. 11. c18=l-^; 1,62 = c12. 12. 17; 10;
3 или 8; 10; 12. 13. 2; 6; 18.
129
В-4. 1. б). 2. d = 0,6 ; е17 = 1,6 ; сп = 0,6п - 8,6.3. 1. 4. - 4— .
17 " 16
5. 1036,2. 6. 106. 7. -24,5. 8. а) 5—; б) 13—. 9. -15.
111 275
107
10. 247050. 11. Л22 = 0,54 = Л6. 12. 3; 7; 11. 13. 12; 16;
20; 25 или 24,75; 20,25; 15,75; 12,25.
| Степень с рациональным показателем. | ТЗ - 4 |
В-1. 1. 3. 2. р 3. -2. 4. а14 . 5. Ь 24.6. х”1’5. 7. 3xz^xy2z2 .
8. -ab2yP^. 9. 4^. 10. 7. 11. [j-J . 12. ^2 .
13. (а + b)^a - b . 14. и (-;+°°). 15. -72. 16. Тб; 73;
4 4
Тб . 17. 10. 18. (V2+V3)(V5-V7) или 710-V14+V15-V21 •
В-2. 1. -5. 2. 4. 3. 2. 4. Ь~™ . 5. с24. 6. г/’6. 7. 2ас^2а2Ь4с .
8. х2у^. 9. V7. 10. 1. 11. ^3. 12. yL
13. (х-у)%]х2 -у2 . 14. 15. 144. 16. л/2 ; W ; ТЙ.
8 8
17. X. 18. Тб-Тз+72-2.
В-3. 1. 2. 2. 81. 3. -1. 4. х™. 5. а™. 6. б-21.
7. 5т2п%1т2п2р . 8. a2&V-ab . 9. 7-\[х-5%[у. 10. т-п.
.3 .— ____ о
11. а8. 12. V9. 13. (x-yfi]x + y. 14. (-°°;0)и(-;+«).
3 15 * * * * *
15. 45. 16. Тз ; Ц/35 ; Тб . 17. --- 18. 7б-2 + 7з-^2 .
Vi+х2
В-4. 1. -7. 2. 0,008. 3. 4. 4. у™. 5. с0’9. 6. Г5.
7. 2xy2z^x3yz . 8. -a2thjab. 9. tfy -tfc . 10. a + b.
11. . 12. — . 13. ~p . 14. [-8;-3]и[8;+oo).
V a-b 5 k + p
130
I Г- г- т -1 Г- Г- I-
15. 4. 16. TLL ; V4 ; V3 . 17. - -. 18. -2-V6 -л/3 -V2 .
X
| Тригонометрические выражения. | ТЗ - 5 |
В-1.1. II. 2.1.3. — .4. -. 5. --; - .6. sin2a. 7. -sina.
3 2 5 3 4
8. 1. 9. tg2a. 11. -1. 12. 2cos2a. 13. -tg| — --^l
(я a
или tg------.
I8 4)
B-2. 1. IV. 2. III. 3. 1. 4. -—. 5. —; -—; -—.
4 25 24 7
6. sin2a. 7. -ctga. 8. cos2a. 9. tg2a. 11.
13. 1.
B-3. 1. II. 2. IV. 3. 2. 4. —. 5. — ; ;
4 25 25
— . 12. 2 cos 2a.
2
24 _ . _
----.6. sin 3a .
7
7. ctg2a . 8. -2sin£ . 9. cos2a. 11. -1. 12. tga . 13.
• л 1
sin 4a; —
2
B—4. 1. IV. 2. II. 3. -Зл/2. 4. 1,5. 5. —; —; —.
169 169 119
6. cos4a. 7. 1. 8. cos2a. 9. 1. 11. 12. — sina'.
205 2
13. sin 4a;---.
2
| Свойства функций. Квадратичный трехчлен. | КР - j~~|
В-1. 1. а) -2; б) /(0) < /(5); в) -6. 2. у = -12 + 6х; (-°°;2).
3. а) -9; -3; б) 2. 4. -7. 5. 3 * * 6 7* ; -2—. 6. -3; 1; 9.
8 Зх + 7 16
7. -4. 8. Зх2 - 17х +18 = 0 . 9. 1. 10. при х = 5 .
В-2. 1. а) -2; б) /(-10) </(О); в) -5. 2. i/ = 9-3x; (3;+°°).
11 х + 1 19
3. а) 5; 6; б) -1; - —. 4. -9. 5. ; —. 6. -0,5; 0,5.
12 2х + 3 31
7. -1. 8. 8х2 - 26х + 3 = 0. 9. 0,5. 10. при с = 18.
о
В-3. 1. а) 17; б) /(-2) < /(0); в) 7. 2. у = -6 + -х; (9;+°»).
3
131
9 1 _ 4r RQ
3. a) -11; 2; 6) -4-; 5. 4. 19. 5. ——; -—. 6. 0,25; 0,5; 1.
3 5x-l 109
7. 2. 8. 3x2 + 17x +10 = 0 . 9. -14. 10. при x = 7,5 .
B-4. 1. a) -0,5; 6) f(0) < /(-3); в) -11. 2. у = 4-0,8x; (-°o;5).
3. а) корней нет; б) -1— ; 2. 4. -100. 5. - . б. -2; 1; 4.
7 Зх + 1 87
7. 0,6. 8. 5х2 + х - 2 = 0. 9. 3. 10. при х = -8 .
9
В-5. 1. а) 1,6; б) /(-6)</(0); в) 3. 2. у = -5 + 1-х; (-оо;3].
3
3. а)-9; 8; б) -3,5; --. 4. 68. 5. ; in. 6. -3; 1; 3; 9.
7 2 - 5х
7. 8. 32х2 + 140х +143 = 0. 9. (а-1)2(а-3).
10. ни при каком.
В-6. 1. а) 0,25; б) /(-10) >/(0); в) -2,5. 2. у = -(1,5х + 3);
9 - Rx
(-°°;-2]. 3. а)—1; 13; б) -1,5; 5. 4. -13,5. 5. ; -0,2.
3 + 4х
12 2
6. — ; - ; 1; 2. 7. - . 8. 16х2 - 40х + 9 = 0.9. 4. 10. При а = 4.
3 3 3
Квадратичная функция и ее график. »
__________Неравенства с одной переменной.________________________
В-1. 1. а) [-4;+оо); б) (-°о;-3) о (1;+оо); в) (-°°;-1]; г) [-4;5].
2. . 3. а) (—5;8); б) (-°°;--j] и [у;+°°). 4. при х^б.
5. а) [-7;3] и [9;+оо); б) (-°°;-1) и (0;2). 6. (-5;9); (1;9).
7. (-°о;-7) и (-3;5) и (23;+оо). 8. (-°°;0). 9. 9. 10. 15 дм.
В-2. 1. a) (—>;!]; б) (-°°;5) и (7;+<=о); в) (~°°;6]; г) [-8;1].
1 2 5
2. —-. 3. а) (-о°;-9) о (6;+оо); б) 4. при всех х.
16 3 6
5. а) (-оо;-2] и [0;8]; б) (-о°;-4) и (1;5). 6. (-3;3); (-2;7).
7. (-8;-0,5) и (-0,5;2). 8. (0;б|). 9. 10. 10. 80 см.
В-3. 1. а) [-2;+оо); б) (2;4); в) [3;+~); г) [-2;16]. 2. -0,55.
2 3
3. а) (-оо;-9] и [-7;+«>); б) (—;—). ПРИ всех х-
5. а) (-1,4;0,75) и (3;+оо); б) (-оо;0) и (3,5;5). 6. (-5;8); (3;8).
132
О О 1 Q
7. (-ео;3)и(3,5;3^)о(3^;+оо). 8. (5;+°°). 9. 1—. 10. 20 см.
В-4.1. а) (-оо;12,5]; б) (-2;3); в) [0,5;+°<>); г) [8;12,5]. 2. -8-^.
6
3. а) [~3;14]
9 Q ( 1 5 А
5. а) [-3 ;0] и £;+~); б) (-<~;-2) и - -; — . 6. (-2;-10);
О < у О 1О)
(1;8). V. (-о°;-4) и (-4;1) и (1,5;+оо). 8. [-140;0]. 9. 0,7. 10. 60 см.
В-5. 1. а) [-4,5;+оо); б) (-<~;-2] и [4;+°°); в) (—;!]; г)
[—4,5;—2,5]. 2.
2
123. а) (~8;13); б)
. 4. при
1
7
о 5 3
х = -6. 5. а) [-16 —;-1,6]о[31;+°°); б) (-°°;-1—)и(0;-).
3 12 8
о
6. (0;-23); (-5;7). 7. (-<*>;-3) и (-3;1 -) и (2,2;+<>о). 8. ни при
3
каких. 9. решений нет. 10. увеличится на 90 см2.
В-6. 1. а) (-оо;б,75]; б) (-<=°;-3] и [6;+оо); в) (-°о;1,5]; г) [0;6,75].
2. -2-^. 3. а) [—14;9]; б) ни при
каких. 5. а) [-1—;1—]; б) (-~;-7) и (0;2,25) и (8,5;+оо).
3 3
( 2^
6. (-8;18); (4;18). 7. (-~;-3,5) и - 3,5; - и (1,5;+~). 8. ни
\ 3 j
при каких. 9. решений нет. 10. уменьшится на 234 дм2.
| Уравнения и системы уравнений. | КР - 3 |
Г- J?.
В-1. 1. a) +V5 ; +3; б) ±^-. 2. а) (5;0); (3;-4); б) (4;1);
(1;4). 3. (±2;±3); (±3;+2). 4. -3; 1; 2. 5. 2 и 5. 6. (4;2).
7. х2 + 2х - 3 . 8. (-2;-—] и (7;+°°). 9. 40 км/ч и 30 км/ч.
3
В-2.1. а) ±4 ; б) +3 ; ± V2.2. а) (-1;-4); б) (0;-5); (4;3); (4;-3).
3. (±5;±4); (±4;±5). 4. -2; 0,8; 5. 5. 20 и 5; -5 и -20. 6. (2;3).
1 2 12
7. ---------. 8. (-1 —;—] и [3 — ;5). 9. 36 км/ч и 24 км/ч.
х2-5х + 6 3’ 8J 3’
133
В-3. 1. а) ± —; б) -2; -1; 5; 6. 2. а) (2;-3); (-2;3); (3;-2);
3
(—3;2); б) (8;7); (-1;-2). 3. (4;8); (8;4). 4. -1; -; 6. 5. -3 и
6
8; 16 и -1,5. 6. (+2>/3;2); (±3;-1). 7. 3x2 + 8х ~ 4 .
X
2 2 2
8. (-1 —;---]и(1;5—). 9. 10 га, 20 ц/га и 12 га, 25 ц/га
3 13 7
или 8 га, 25 ц/га и 10 га, 30 ц/га.
В-4. 1. а) ±л/б ; ± —; б) 0,4; 1. 2. а) (-3;0); (0;-3); б) (2;4).
4
3. (5;1); (-1;-5). 4. -. 5. 5 и 6 или -4 и -7,5. 6. (5;±2);
3
(10;±V19). 7. -----~------. 8. [0;1— ]. 9. 27 км/ч и 23,625
10г2 +х -2 6J
км/ч.
В-5.1. а) ±1,5 ; ±4-: б) -0,4; 1. 2. а) (4;13); (2;-3); б) (-4;-4);
(8;2). 3. (±3;±1); (±V2;+2>/2). 4. -6; 1; 2; 3. 5. 5 и 4 или -5 и
-4. 6. (2;—5); (5;-2). 7. 6х2-13х + 5.
2 12
8. (—2;—1 -] и [- ;1 -) u (10;-h~) . 9. 16 и 11 рядов.
3 5 3
В-6. 1. а) ±^; б) ±3^2. 2. а) (4;2); б) (-1;7); (1;3).
3. (±2;±0,5); (± — ;+^^). 4. -6; -3; -2; 1. 5. 8 и 3 или -8
5 5
и -3. 6. (7;5); (-5;-7). 7. -y-J---------- 8. [|;|]и[8;9].
х - 9х + 8 7 5
9. 12 км/ч; 18 км/ч; 24 км.
| Арифметическая прогрессия. | КР - 4 |
В-1. 1. а) 5; 7; 9; 11; 13; б) а; 5а-3; 9а-6; 13а-9;
17а-12. 2. а) 28,1; б) -15,4. 3. -0,5. 4. 7; 11; 15; 19; 23;
27; 31; 35. 5. а) -25; б) 275. 6. а) да; б) нет. 7. 900.
8. aj = 1; d = 3 ; S13 = 247 . 9. 25. 10. 2т3 - п3; 10. 11. у = Ь ;
5*0.
В-2. 1. а) 13; 10; 7; 4; 1; б) 17х-3; 19х-4,5; 21х-6;
23х-7,5 ; 25х-9 . 2. а) 3; б) -8. 3. -1,13. 4. 18; 13,68; 9,36;
134
5,04; 0,72; -3,6. 5. a) 218,5; б) -102,6. 6. а) нет; б) да.
7. 2925. 8. уг = 14 ; d = -7; S16 = -616 . 9. 55. 10. р3 - 25 pq2 ;
2 5 5
-10. 11. х = — ; а Ф 0 ; а*-; at — .
9 9 9
В-3. 1. а) 3,6; 4,2; 4,8; 5,4; 6; б) 5х; Зх->/2; х-2^2-,
-х-Зл/2; -Зх-4>/2. 2. а) 18,6; б) -13,64. 3. 0,19. 4. -4,9; -
5,6; -6,3; -7; -7,7; -8,4; -9,1. 5. а) -71,5; б) 105,93. 6. а) да;
б) да. 7. 4020. 8. ^=20; d = -ll; S99 = -51381. 9. 1.
10. - 8k2n - 6п3; 148. 11. а = n-—~k- ; п * k ; п * 2k ; п * -0,4й .
2
В-4. 1. а) -4,5; -5,75; -7; -8,25; -9,5; б) Зе + 7>/3; 4с + 5л/з ;
5с + 3д/3; бс + ^З; 7с-^3. 2. а) -23; б) 4,97. 3. -0,14.
4. -15,9; -11,3; -6,7; -2,1; 2,5; 7,1; 11,7; 16,3. 5. а) -13,05;
б) -1421. 6. а) да; б) нет. 7. 4851. 8. = --^; а37 =11—.
3 3
9. 35. 10. 12х3г/ + Зу3 ; 82. 11. х = 5&~4й ; b * 0,8а ; Ъ * 0,4а;
b Ф 2а .
В-5. 1. а) -0,93; -0,56; -0,19; 0,18; 0,55; б) 5с-3>/7 ;
3c-V7; c + V7; -с + Зл/7; -Зс + 5-/7. 2. а) -9,2; б) -5,65.
3. 1-. 4. -29,49; -23,62; -17,75; -11,88; -6,01; -0,14.
3
5. а) 167,64; б) 96,36. 6. а) нет; б) да. 7. 1056. 8. п = 25;
5 =3 или n = 12; b =-3,5. 9. 24. 10. 2а3-12а25; —.
" п 12
11. х = ——— ; а Ф 4Ь; а Ф 2Ь ; а -45 .
2
В-6. 1. а) 1003,56; 959,74; 915,92; 872,1; 828,28;
б) -3A-11V11 ; -Л-вл/П; Л-5л/1Г; 3k - 2>/11; 5Л + л/11.
од 7 1121 Й
2. а) -9 — ; б) -90,938. 3. -5—. 4. 8—; 9—; 11—;
49 33 23 23 23
12—; 14—; 15—. 5. а) 0,32; б) 877-. 6. а) да;
23 23 23 7
б) нет. 7. 275268. 8. п = 10 ; уг =4,5. 9. -17,5. 10. 2г3-81/3;
-— . 11. у = 12с - 2d; d 6с; d * Зс ; d Ф 12с.
27
135
|_________Геометрическая прогрессия.__________| КР - 5
В-1. 1. а) 3; 6; 12; 24; 48; б) Д; Д; - Д ; - Д ; — Д .
V2V3 3V3 9V3 27 V3
2. а) 405; б) ±625. 3. -5 или 4. 4. 1; 6; 36; 216; 1296 или 1; -
6; 36; -216; 1296. 5. а) 61; б) 1705 или 1025. 6. 50.
7. а) 5—; б) 8—. 8. 512. 9. 9 = 0,2; а. =10 или
330 72 4 1
13
q - -0,2; а, = 15. 10. — . 11. 0. 12. за 90 часов и за 72 часа.
24
В-2. 1. а) 20; 10; 5; 2,5; 1,25; б) Тб ; -Тб ; — Тб ; —Тб ;
5 25 125
— Тб. 2. а) —; б) ±648. 3. - или -. 4. 96; 48; 24; 12;
625 27 3 3
6 или 96; -48; 24; -12; 6. 5. а) -10,5; б) 1562,4 или 1041,6.
6. -22 — . 7. а) 12— ; б) 8,65. 8. 625. 9. q = 0,5 ; аг = 18 или
7 55
q = -0,5 ; aj = 54. 10. 1,5. 11. 0. 12. за 36 минут и за 72 минуты.
В-3. 1. а) 4; -6; 9; -13,5; 19,75; б) Тв ; 2-Тб ; бТ2; бТб ;
18ТЙ. 2. а) -160; б) 19208. 3. -1,25 или 2. 4. -10; -30;
7
-90; -270; -810 или -10; 30; -90; 270; -810. 5. а) -3-;
8
б) -61 или 121. 6. 34—. 7. a) 7-i^-; б) —. 8. -512.
15 1110 11
1 2 5
9. q = — ; а. - 486 или q = — ; а. = 243 . 10. — . 11. 0.
3 1 3 1 28
12. за 42 часа и за 56 часов.
В-4. 1. а) -5; -10; -20; -40; -80; б) Т12 ; 2Т15 ; юТз ;
10Т15; 50Тз . 2. а) 2—; б) ±-. 3. -1— или -. 4. 12; 9;
3 8 12 3
6—; 5—; 3— или 12; -9; 6-; -5—; 3—. 5. а) 17,472;
4 16 64 4 16 64 7
б) -86 — или 173 — . 6. 5 — . 7. а) 10—; б) 6-. 8. - —.
3 3 9 110 9 32
а 1 in 1 ос2 185 ,, 16 /г
9. q = — ; а, = 10 или q =-; а, = 26— . 10. -. 11. —у7 .
2 1 3 1 3 312 15
12. за 60 часов и за 84 часа.
136
„ в ч 5 1 1 3 9 л/з+1 , л/З-1 2-л/з
В-5. 1. а) —; — ; — ; —-; --; б) -==---; 1; -т=-; ----;
9 3 5 25 125 Тз-1 1з +1 2 + д/з
3/Л~5 . 2. а) 0,6^2 ; б) ±0,1875. 3. ±2 . 4. 4; 4^5 ; 20; 20л/б ;
3V3+5
100 или 4; -4л/5; 20; - 20л/б ; 100. 5. а) 968; б) 2801 или
-2101. 6. 2>/2+2. 7. а) 27—; б) 13—. 8. 2187. 9. q = 0,5;
55 36
ах = 24.10. 7. 11. 138,9>/7 . 12. за 10 дней и за 15 дней.
В-6. 1. а)- — ; 2,5; -15; 90; -540; б)/1~-2 ; 1; /I-2;
12 V5+2 V5-2
9 + 4^. 17>^+38 2 а) 1>5. б) ±157 2864 3> ±1 4 27.
9-4V5 17V5-38 3
9>/3; 9; Зл/з ; 3 или 27; -9^3; 9; -Зл/З; 3. 5. а) —;
128
б) -728 или -364. 6. 2л/2-2. 7. а) 4-^1; б) 10—.
1111 60
11 13
8. -2048. 9. <? = — ; а, =26 — или q =------; а, =43—.
4 4 4 4
10. - —. 11. -7з . 12. за 20 дней.
165 6__________________________________________
| Корень n-ой степени. | КР - 6 |
В-1. 1. а) четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная.
3. а) 1,75<2,38; б) (-1,6)7>(-3,6)7; в) 2,48=(-2,4)8;
г) (—5,3)12<(—6,1)12. 4. а) -3; б) 0,2; в) -9; г) л/б-2. 5. а)
±0,5; б) -5. 6. а) За ; б) -1-fe; в) г) у3. 7. a) 2ac2tfab ;
3
б) - ху3^ . 8. a) V95 > 4; б) V6 > л/з . 9. а) -52; б) 1. 10. 6.
11. а) 16; б) 729. 12. 21,6р. 13. ±50.
В-2. 1. а) ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная.
3. а) 4,318<4,30218; б) (-5,13)22=5,1322; в) (-7,12)14>(-7,119)14;
г) (-6,82)15>(-7,11)15. 4. а) 3; б) 0,3; в) 23; г) Тб! - 7. 5. а) -5;
б) ±1-. 6. а) 2а2; б) 2-|с|; в) tfx3; г) г8. 7.
3 3
а) - 2xy^x2yici ; б) - а2с^8с?. 8. а) ^730 > 3; б) V? > VI.
137
g
9. a) 11 — ; 6) 1. 10. 5. 11. a) 64; 6) 256. 12. 240a. 13. ±5.
B-3. 1. a) нечетная; б); в) ни четная, ни нечетная.
3. а) (-53,7)9<0,179; б) (-16,19)8<(-16,2)8;
в) 18,148< (-18Д53)8; г) (-9,5)12=(9,5)12. 4. а) 3; б) 0,2; в) 16;
г) -\/1Г - 3.5. а) решений нет; б) - 2 — . 6. а) 5с ; б) 2,5а ; в) tfx2 ;
3
г) Ьв . 7. а) - 8a2feV&V ; б) - 2ху^2х2у3 . 8. а) 5 > ^3000 ;
б) ^3<^4. 9. а) -3—; б) -^2. 10. 1. 11. а) 625; б) 1.
В-4. 1. а) нечетная; б) ни четная, ни нечетная; в) четная.
3. а) 19,1314<(—19,2)14; б) 23,816=(~23,8)1в; в) 0,49611<0,5111;
г) 1,315>(-2,7)15. 4. а) -5; б) 0,4; в) 121; г) V19-4. 5. a) V10 ;
б) ±1,2. 6. a) 2a ; б) 1,5х; в) tfa2 ; г) с5. 7. а) 3ху^3х2у4с* ;
б) 2qp^2q2 . 8. а) ^345 >7; б) ^7 < ^6 . 9. а) 3—; б) -1.
В-5. 1. а) ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная.
3. а) (-5,7)19<(-5,68)19; б) 13,5914<(-13,6)14;
в) (—15,33)15<(—15,33)13; г) (-11,6)20= 11,6го. 4. а) 4; б) -0,3;
в) 196; г) V41-6. 5. а) ±^8; б) -1-. 6. а) 5ху ; б) -1-с ;
7 3
в) 1Va?; Г) А4. 7. а) За2Ь^ЗЬу3 ; б) -2ах^а2х3 . 8.
а) 9 < V6565 ; б) V3 < ^2 . 9. а) 20; б) 1. 10. 1. 11. а) 729;
б) 16384. 12. -0,05£А. 13. Ь = 1; с = -4 .
В-6.1. а) нечетная; б) ни четная, ни нечетная; в) ни четная,
ни нечетная. 3. а) (-2,6)3>(-2,6)5; б) (-3,8)в<(-3,8)8;
в) (-114,3)4=114,34; г) (-502)7<(-502)4. 4. а) -5; б) 0,6; в) 484;
г) л/190-13. 5. а) -V11; б) ±-U 6. а) 3|с|; б) -1,25г/;
в) 2^г) А5. 7. а) - ЗАрд/зА2р4с2 ; б) -2cbjb.
8. а) V16805 < 7; б) V10 < V151 . 9. а) 4,5; б) -1. 10. 8.
138
11. a) 27; б) решений нет. 12. ----. 13. а = 1; с - 4.
_____________________________З24с3_______________________
| Степень с дробным показателем. | КР - 7 |
В-1. 1. а) а* ; б) (х - у) 3 ; в) (пг - п3)® ; г) х ’ . 2. а) 2; б) 8;
5
16 1 а7 1 1
в) —; г) 2. 3. (-оо;-4]и[^;+о°). 4. 56. 5. а) —— ; б) х3 + у3.
81 3 -.7
1 + а7
6. а) 4х-/2; б) 9Ь* -6Ь3с2 + с. 7. а) 125; б) 16.
8. ---------; 1—. 9. - (>/2 + V3)(4 + 2^9 + 3^3).
1 323
2а- а2 - 2
10. (-°°;-1] и [3;4) о (4;+°о). Ц. 3. 12. 60 км/ч.
9 5 1 _1
В-2. 1. а) с7 ; б) (а + Ь)в ; в) (с2 - d3)2; г) (х - у) 3 . 2. а) 0,2;
Q All _ 9 — —
б) 12; в) —; г) 3. 3. (-0,4;3). 4. 120. 5. а) ----5—; б) с2 + k2 .
27 b"
1 1 2 _1_ 1 1
6. а) 25а3-5'1; б) 9m5 + 12zn5n10 + 4n5 . 7. а) ; б) 125.
8 1 _1 9 (л/з - Уб)(9 + 3^25 + 5^5)
10. Н»;-2] и {-1,5) u (-1;1] и (2;3) и (3;+~). 11. 1. 12. 50 км/ч.
11 1_1
В-3. 1. а) Ь6 ; б) (х - у)3 ; в) (а2 + 2/г3)4 ; г) 5т 2 . 2. а) 0,5; б) 1;
в) 4—; г) 1024. 3. [--;2]. 4. -. 5. а) —~~;
243 6 9 5^-2
iiii s .1 a _i
б) а3 + а6Ь6 + Ь3.6. а) 49&6 - 4d 2 ; б) 16х3 - 40х2г/ 3 + 25z/ 3.
1
1 1 + z/2
7. а) 343; б) —. 8, -2L
243
1-У2
9. (V5 - ^3)(^81 + ^45 + ^25).
10. (-с«;-3] и [-2;-1) и (-1;1) и [2;3) и (4;+оо). 11. 1. 12. 30 км;
20 км/ч.
139
8 A 1 3 1
В-4.1, а) с3; б) (m + n)3; в) (а + 5)2; г) d1. 2. а) —; б) 10;
3
в) 97^; г) 5832. 3. и (1;+-). 4. 5. 5. а)
32 8 4а8
1 а _2 sail
б) —j---г . 6. a) 81m2 - 25п 7 ; б) 16р4 + 24p8f 8 + 9t3 .
2х3 + ув
7. а) —; б) 9. 8. —2 ; 2,15.
4096 2
9. $7 + ^2)(^49 - ^28 + 2^2). 10. (-оо;-4] и [-1;1) и (1;+оо).
11. 3. 12. 180 км; 72 км/ч.
А 1 А _1
В-5. 1. а) х3 ; б) пв ; в) (x-z/)9 * * ; г) (а + Ь) 4 * . 2. а) 0,1; б) 1;
4 2
в) —; г) 8. 3. (-оо;-1] и [1;+оо). 4. 0,008. 5. а) —--f;
За2 - 5а4
1 А 1 4 2 j_ 1
а) — с7-36d4 ; б) а3-а3Ь16 +|58 .
1
; у. 9. -(V2+3)(V2+27).
с3 +2
10. (-°о;-8) и (-8;-4] и {-3} и (6;+°о). 11. 2. 12. 10 км/ч.
А 7 3 _11
В-6. 1. а) а6; б) х4 ; в) (£2 + А)8; г) (т-п) 2. 2. а) —;
16
б) 12; в) г) 42-. 3. [-2;--] и [-;2]. 4. 0.125.
1024 8 33
1 4 2
12а3+21 т3-п3 | |
5. а)----------j--; б) ------------ 6. I6fe3_4./,e.
5а3
11 А Л. 1
б) — х7 + 6x7z/12 * +225z/e . 7.
25
9. (Vi+ V2)(V3-V2).
б)
7.
А А 2 4
X3 - х3у3 + у3
1 1
х3у3
а) 8; б)
1
81
6
8
1 1 --- 9
т3п3
a) tL: б) 125. 8. а4 - 5; -4,7.
10. (—;-9) и (-9;-4] и (-3;1) и (1;7) и [8;+оо). Ц. 4. 12. 21 км/ч.
140
Тригонометрические выражения j^p _ g
и их преобразования.
7-тг г-
В-1.1, а) -679°; —; 7,4- 2. а) -1; б) V2-1. 3. -—; —
18 2 9
- —. 4. a) -ctg24a; б) —; в) 0; г) tg67° . 6. .
9 cos Р 2
7. a) 2 + 2sin(a-P); б) cos?. 8. ±^2-'х . 9. 2 и -2.
10. (—6;—2); (-4;-4). 11. 10.
В-2.1. а) 513". 2. а) 5) . 3.
’ 7 8 12 8 32 165
4. а) - ctg28B; б) sin2 2у; в) 0; г) tg26°. 6. .
4
_ х2
7. а) 2-2cos(a-|3); б) -2cos7. 8. -----------. 9. 2 и -2.
2
10. (4,5;8); (-1;-3). 11. 6; -|.
М.1. а) 932, 2. а) ; б) 3. 4* ;
2 2 О 1о
—. 4. а) cos2p ; б) tg2a + ctg2a ; в) -2ctga ; г) ctg38° .
18
6. . 7. а) —-—; б) cos2y. 8. ±^2-х2 . 9. ^2 и
4 cos 2a
-V2. 10. (-2;1); (2;-1) ; 11. a1=6; q = |.
В-4.1, а) -1095°. 2. а) 6л^-~5^ ; б) Тз-0,5. 3. —; ;
12 7 49
_ 41^. 4. а) —£—; б) -cos2(p; в) 0; г) ctg69°. 6. ——.
60 sin2 у 4
Чг + г3 /— г~
7. а) tg2a; б) sin2y. 8. 9. V2 и -V2 . 10. (-1;3);
2
4 1
(1 —;—). 11. 52,5; 37,5; 22,5; 13,5 или 12; 24; 36; 54.
9 4
В-5. 1. а) —. 2. а) ^~2 ; б) -72-3. 3. -ЗТ?; -^;
’ 18 2 32
141
4. a) 1 + cos a; 6) - tg6p ; в) -2ctga ; r) tg84°.
31
32 ’
7. a) 8 cos 2a ; 6) — . 8. x3 + x . 9. 5 и -5.
2
10. (3;1); (-3;-l); (1;3); (-l;-3). 11. 11; 5; -1 или 2; 5; 8.
B-6. 1. a) -907°; —. 2. a) 1-; 6) —-6 . 3. ;
56 8 12 9 81
31714 1
—• 4. a) ----—6) cos25; B)2sina; г) -1.
280 1 + sinP
6. - ^|+ * 1 2 3 * * 6 . 7. a) 0; 6) 1. 8. x2-2x-l. 9. 13 и -13.
10. (0;0); (77; 77); (-T7;-T7); (719;-719); (-719; 719); (3;2);
7
(-3;-2); (2;3); (-2;-3). 11. — или 5103.
81
Итоговая контрольная работа. [ КР — 9 |
В-1.1. -3. 2. 6. 3. (—1,5;0). 4. -1; 0,5. 5. (-°°;0) и (0,7;+°°). 6. за
20 ч и за 30 ч.
1 2
В-2.1. -26. 2. 3. 3. (—;2—)• 4. 1; 4. 5. [~4,5;3,5]. 6. 10 км.
3 3
Л
В-3. 1. -20Л + 224. 2. 100. 3. (-2;+оо). 4. ±-у-;±3. 5. [0;+°<>).
6. на 25%.
В-4. 1. 135d + 107. 2. 0,25. 3. (-°°;0). 4. 2; 7.
5. (—<=>;0) и (0,7;+°о). 10. за 12 дней и за 24 дня.
В-5.1. 68га2.2. —. 3. (~1,2;1]. 4. -2; 3. 5. [-3,5;4,5]. 6. 8 км.
49
В-6. 1. -4fe3. 2. -. 3. [0,75;+°о). 4. ±—; ±2. 5. (-°°;0,5].
6 3
6. на 5%.
| Дополнительные задачи | 4 |
1. а) ответ: х > 0 ; б) ответ: х = 0,5 . Воспользуемся тем, что
|х - а| - расстояние от точки с координатой х до точки с ко-
ординатой а (на координатной прямой). Тогда корень уравне-
ния - расположен на одинаковом расстоянии от точек 0 и 1.
в) ответ: 1 > х > 0 ; г) ответ: нет корней. 2. а) ответ: х = 2 ;
б) ответ: нет корней; в) ответ: х - ±1. Воспользуемся заме-
142
ной: а = х , а > 0. Исходное уравнение примет вид:
а2 +а = 2; г) ответ: х = ±1. 3. а) ответ: х = г/= 0 ; б) ответ:
х = -1, у = 0 ; в) ответ: Исходное уравнение равносильно
(х + I)2 + (х - у)2 = 0 . 4. Ответ: а) 1; б) 2х - 3 ; в) 3 - 2х . Ука-
зание. Воспользоваться, что
д/(х-1)2 + -\/(2-х)2 = |х -1| +12 - х|. 5. Ответ: а) 9;
б) 1. Указание. Найдем все такие у, при которых уравнение
2х „
у =----- решения. Данное уравнение равносильно уравне-
1 + х2
нию ух2 - 2х + у = 0 . Оно имеет решения, если D = 1 - у2 > 0 ,
то есть при у е [-1; 1]; в) Ответ: —. Указание. Уравнение
3
2х -1
у =---------- равносильно уравнению
1 + 2х + х2
ух2 + 2х(у - 1) + г/ + 1 = 0 . Последнее уравнение имеет реше-
ния, если D = (у -1)2 - у(у +1) = 1 - Зу > 0 , то есть при
у е [-<»; 1/3]. 6. Ответ: 1 и с + а—— , 7. Ответ: а) 9. Указа-
а + Ь-2с
ние. Следует из неравенства х + у > 2-у/ху ; б) 2/3 . Указание.
Следует из неравенства х + у > 2-jxy и тождества
А + 1 = = 8. Ответ: V10 + 714 < 711 + 713 .
х у ху ху
9. а) 74 + 27з = 7(1+ 73)2 = 1 + 43 ;
б) 7< + 27з + 74-2-Уз = 74 + 273 + 74-2^3 = 2-/з ; в) пусть
х = 72 + 7з - 72 - 4з , причем х > 0. Тогда
х2 = 2 + 7з + 2 - 7з + + 272 - 7з • 72 + 7з = 6 . Ответ: -Уб .
10. а) да; б) нет. 11. а) Указание, (х - 1)(х - 2)(х - 3); б)
Указание, х = 1 - ^2 , поэтому, 72 = 1 - х , откуда 2 = (1 - х)2;
в) Указание, х = 1 - ^2 , откуда 2 = (1 - х)3. 12. Ответ: корней
нет. 13. Ответ: нет. 14. Ответ: (ап) = 1. 15. Указа-
ние: Sn = (Oj + au) • 6 = 72 = 12а6 .
143
16. Ответ: 100. Указание: ав + а9 + а12 + а15 = 4ах + 38d , по-
этому, 2аг + 19d = + а20 = 10 .
17. Ответ: ап=п2 + 1. 18. Ответ: 1. Указание:
tga tg(90° - a) = 1, поэтому, данное произведение равно
1 >/з
tg45°. 19. Ответ: а) —; б) . Указание: cos75° = sinl5°.
20. Ответ: 1. Указание: tgA • tgB = tgA • ctgA . 21. Указание:
по неравенству треугольника: а + b > с, поэтому
а + Ъ + с < 2(а + Ь).
т. 5 ( 2 12 , 36,2^ 1 , 2 5 . 6 ,ч2 1 1.2
22. Решение: — а2 ч--ab ч- — Ь2 ч- — Ь2 = = — (а ч- — by ч- — Ь2.
4< 5 25 J 5 4 5 5
144