в.м.клопский

З.А.СКОПЕЦ

м.и.ягодовский

ГЕОМЕТРИЯ

910

(л1Ь;г?1с;ЬПс =JM;
В. М. КЛОПСКИЙ,

3. А. СКОПЕЦ,
м. И. ягодовский

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для 9 и 10 классов
средней школы

ПОД РЕДАКЦИЕЙ 3. А. СКОПЕЦА

Утвррждено
Министерством просвещения СССР

Издание 4-о

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
513(075)

К50

В настоящем издании объединены учебные пособия
по геометрии для IX и X классов. Основной мате-
риал предыдущих изданий не изменился. Единствен-
ное исключение — раздел «Задачи на повторение
по курсу IX класса», в котором в связи с удалением
нескольких задач незначительно изменилась нуме-
рация. Некоторые сокращения проведены в разделах
«Приложения».

Для удобства читателя в этой книге сохранена
нумерация параграфов и рисунков, приведенная в
пособиях для IX и X классов предыдущих изданий.

60601-163

103 (02)-78 "”*• ПИСЬМ0

(g) Издательство «Просвещение», 1977 г.

|fc|
IX

класс

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
СТЕРЕОМЕТРИИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На
уроках геометрии в VI—VIII классах вы занимались преиму-
щественно планиметрией. Объектами изучения в планиметрии
являются фигуры, лежащие в одной и той же плоскости, на-
пример угол, треугольник, параллелограмм, окружность. Все
точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости. Поэтому
такие фигуры называются плоскими.

В стереометрии изучаются фигуры, расположенные в про-
странстве. Они могут быть неплоскими (примерами таких фигур
служат призма, пирамида, цилиндр, сфера) или плоскими. По-
этому сведения из планиметрии применяются и в стереометрии.

Изучая стереометрию, мы продолжим начатое в восьмилетней
школе знакомство с аксиоматическим методом построения геомет-
рии, с отображениями фигур, с операциями над векторами и при-
менением векторов при доказательстве теорем и решении задач.

§ 1.	О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Систематический курс стереометрии строится по той же схеме,
что и курс планиметрии:

1.	Перечисляются основные понятия, которым не дают опре-
делений.

2.	Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства
основных понятий.

3.	С помощью основных понятий формулируются определения
других геометрических понятий.

4.	На основе определений и аксиом доказываются теоремы.

Школьный курс стереометрии не полностью следует такой
схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых
теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются
в виде задач.

Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая,
плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является
основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но
и во всех других разделах математики. Всякое множество точек
Рис. 1

Рис. 2

в геометрии называют фигурой. Примерами фигур служат пря-
мая и плоскость.

На рисунках плоскость будем изображать в виде параллело-
грамма или какой-нибудь другой плоской фигуры (рис. 1). Пло-
скости обозначают обычно буквами греческого алфавита а, 0, у
и т. п. Для точек и прямых сохраним обозначения, принятые
в планиметрии: точки Л, В, С, ... ; прямые а, Ь, с9 . . . , а также
(ЛВ), (ЛС) и т. п.

Если точка Л принадлежит плоскости а (Л € а, рис. 2), то
говорят: «Плоскость а проходит (или проведена) через точку Л».
Такие же термины применяются и по отношению к прямой а,
которой принадлежит точка Л.

Множество U всех рассматриваемых в стереометрии точек
называют пространством. Любая фигура Ф является подмножест-
вом пространства: Ф с I/.

Задачи

Г1. Перечислите основные понятия курса планиметрии.

2°. Укажите, какие из приведенных ниже математических
предложений являются аксиомами, теоремами или определениями
курса планиметрии:

1)	к данной прямой через данную точку можно провести только
один перпендикуляр;

2)	расстояние от Л до В равно расстоянию от В до Л;

3)	длина ломаной больше расстояния между ее концами;

4)	пересечение двух фигур есть фигура, состоящая из всех
точек, которые принадлежат каждой из данных фигур;

5)	перемещение — это отображение плоскости на себя, сохра-
няющее расстояния;

6)	через любую точку можно провести прямую, параллельную
данной прямой;

7)	параллельный перенос есть перемещение;

8)	через любые три точки, не принадлежащие одной прямой,
можно провести одну и только одну окружность;

9)	конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;

10)	поворот на 180° вокруг центра О есть центральная сим-
метрия с центром О.

1 Знак «°» над номером задачи означает, что она рекомендуется для
устного решения.
§ 2. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопре-
деляемых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния.
В отвлеченной форме аксиомы стереометрии отражают свойства
реального пространства. Именно это лежит в основе примене-

ния стереометрии к практике.

Первые пять аксиом связаны с понятием принадлежности.

Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы
одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не сов-
падающее с пространством непустое множество точек.

Из аксиомы 1 следует, что для любой плоскости а сущест-
вует не принадлежащая ей точка А (рис. 3). В этом случае
говорят, что точка А взята вне плоскости а, и записывают: А £ а.

Точно так же верно утверждение, что для любой прямой су-
ществует точка, не принадлежащая этой прямой.

Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит
одна и только одна прямая.

Согласно аксиоме 2 прямые а и Ь, имеющие две различные
общие точки, совпадают: а = Ь.

Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные
точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Аксиома 3 позволяет объяснить смысл практического способа

проверки того, является ли поверхность
какого-либо предмета плоской. К поверх-
ности в различных ее точках приклады-
вают ребро хорошо выверенной линейки
и смотрят, нет ли просветов между линей-
кой и поверхностью.

Слова «прямая а лежит в плоскости а»
(рис. 4) означают на языке теории мно-
жеств, что прямая а является подмно-
жеством плоскости а, то есть а с а. Иначе
говорят: «Прямая а содержится в плоскос-
ти а», а также «Плоскость а проходит (или
проведена) через прямую а».

Прямая и плоскость могут иметь един-
ственную общую точку. Докажем это.

Пусть дана плоскость а (рис. 5). По
аксиоме 1 существуют точка А, принад-
лежащая плоскости а, и точка В, не при-
надлежащая этой плоскости. Через А и
В проведем прямую а (аксиома 2). Пред-
положим, что прямая а имеет с плоскос-
тью а еще одну общую точку, отличную
от А. Тогда, согласно аксиоме 3, acza
и точка В также принадлежит плоскости а.

Рис. 5
f--------Но это противоречит выбору точки В. Сле-

Лд	*7 довательно, наше предположение неверно,

/ и а Л а = А.

И	Если пересечением прямой и плоскости

/у	||тк	служит точка, то говорят, что прямая

С	11 В)	пересекает плоскость в этой точке.

______Аксиома 4. Через три точки, не
принадлежащие одной прямой, проходит

Рис. 6	одна и только одна плоскость.

Эту аксиому можно иллюстрировать с
S помощью модели, состоящей из концов
трех заостренных стержней и листка кар-
тона (рис. 6).

Плоскость, проходящую через точки
Л, В, С, не принадлежащие одной пря-
мой, будем обозначать символом (ЛВС).

Рис* 7	Аксиома 4 позволяет утверждать, что

плоскости а и ₽ совпадают (а = £), если они имеют три общие
точки, не принадлежащие одной прямой.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую
точку, то их пересечение есть прямая.

Две плоскости, пересечением которых является прямая
(а П Р = рис. 7), называются пересекающимися плоскостями.

Моделью, иллюстрирующей аксиому 5, может служить пере-
сечение поверхностей двух смежных стен классной комнаты.

В следующих трех аксиомах выражены свойства основного
понятия «расстояние».

Аксиома 6. Для любых двух точек А и В имеется неотри-
цательная величина, называемая расстоянием от А до В. Рас-
стояние \АВ | равно нулю в том и только в том случае, если
точки А и В совпадают.

Аксиома 7. Расстояние от точки А до точки В равно рас-
стоянию от точки В до точки А:

I АВ\ = \ВА\.

Аксиома
от А до С не
В до С:

8. Для любых трех точек А, В, С расстояние
больше суммы расстояний от А до В и от

|АС| IАВ\ + \ВС\.

Прежде чем сформулировать последнюю аксиому, напомним,
что в планиметрии, помимо аксиом принадлежности и расстоя-
ния, были приняты аксиомы еще трех групп: порядка, подвиж-
ности плоскости и параллельных прямых1.

1 См. «Приложения», с. 193, 194.
Аксиома 9. Для каждой плоскости выполняются изве-
стные из планиметрии аксиомы порядка, подвижности плоскости
и параллельных прямых.

Из принятых выше аксиом вытекает, что в каждой плоскости
можно применять теоремы планиметрии. Например, в каждой
плоскости выполняется теорема Пифагора: сумма углов любого
треугольника равна 180°.

Задачи

3.	Прочитайте записи и сделайте схематические рисунки:

1)	А € а, В i а, С € (АВ);

2)	А € а, а с а, А £ а;

3)	а П а = А, b П а = А;

4)	a f| b = А, a qt а, b а а;

5)	а П Р = а, Ь П а = А, b cz Р;

6)	{А, В, С} cz а, С £ (АВ), {A, Q с₽, р ^а.

4.	Запишите символически: 1) точка А принадлежит плоско-
сти а, но не принадлежит плоскости Р; 2) прямая а проходит
через точку Л4, не принадлежащую плоскости а, причем а не
лежит в плоскости а; 3) прямые а и b проходят через точку Л4,
принадлежащую плоскости а, причем а лежит в плоскости а,
b не лежит в этой плоскости; 4) прямая а и плоскость а пере-
секаются в точке М9 плоскость а пересекается с плоскостью р по
прямой Ь, причем b не проходит через точку М.

5°. Вместо многоточия поставьте «необходимо», или «доста-
точно», или «необходимо и достаточно»1:

1)	Для совпадения двух прямых ...» чтобы они имели общую
точку.

2)	Для совпадения двух плоскостей . . ., чтобы они имели
три общие точки, не принадлежащие прямой.

3)	Для того чтобы плоскости аир пересекались, ...» чтобы
они имели общую точку.

4)	Для того чтобы плоскость а содержала прямую а, . . .,
чтобы а и а имели две различные общие точки.

6°. 1) Верно ли утверждение, что через данную точку и любую
точку данной прямой можно провести единственную прямую?

2)	В треугольнике АВС построена точка пересечения высот.
Верно ли утверждение, что через эту точку и точку А можно про-
вести единственную прямую?

7°. Даны плоскость а и прямоугольник A BCD. Может ли
плоскости а принадлежать: 1) только одна вершина прямоуголь-
ника; 2) только две его вершины; 3) только три вершины?

8°. Две вершины треугольника принадлежат плоскости. При-
надлежит ли ей третья вершина, если известно, что данной

1 О необходимом, достаточном, необходимом и достаточном условиях
см. «Приложения», с. 196.
плоскости принадлежит: 1) центр вписанной в треугольник окруж-
ности; 2) центр описанной около него окружности?

9°. Объясните, почему любой стол, имеющий три ножки, обя-
зательно устойчив, а по отношению к столу с четырьмя ножками
этого утверждать нельзя.

10°. Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоско-
сти, если известно, что этой плоскости принадлежат: 1) две раз-
личные точки дуги; 2) три различные точки дуги?

11°. Как можно проверить качество изготовления линейки,
имея хорошо обработанную плоскую плиту? На каком теорети-
ческом положении основана эта проверка?

12°. Могут ли две различные плоскости иметь две различные
общие прямые?

13*. Дано: аП6 = С, b П с = А, с Г) а = В, А =/= В, Аг € а,
Bi € 6, Сх € Доказать: Сх € (АВС).

14.	Д а н о: а (] р = ди, a cz а, b cz р, а П Ь = А. До-
казать: А € т.

15.	Даны точки Л, В, С, причем А £ (ВС). Докажите, что
|ЛВ| + |ВС|> |ДС|.

§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

1.	Следствие 1. Через прямую и не принадлежащую ей
точку можно провести одну и только одну плоскость.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадле-
жащая ей точка М (рис. 8, а). На данной прямой выберем две
различные точки В и С. Согласно аксиоме 4, через точки 7И, В
и С проходит плоскость а, причем прямая а лежит в этой пло-
скости (аксиома 3). Итак, доказано существование плоскости,
проходящей через а и М. Единственность такой плоскости сле-
дует из аксиомы 4. Действительно, любая плоскость, содержащая
прямую а и точку М, проходит через точки В, С, М. Но через
эти точки нельзя провести две различные плоскости. Q1

Две прямые называют пересекающимися, если они имеют
единственную общую точку (а П b = О; рис. 8, б).

1 Знак  заменяет слова «доказательство закончено».
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно про-
вести одну и только одну плоскость, (Докажите самостоятельно.)

Определение параллельных прямых, известное из планимет-
рии, сохраняется и в стереометрии: две прямые называются парал-
лельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей
точки или совпадают (рис. 9, а и б).

Следствие 3. Через две различные параллельные прямые
можно провести только одну плоскость.

Существование одной такой плоскости следует из определения
параллельных прямых, поэтому оно особо не оговаривается
в формулировке следствия. Докажите, что не существует другой
плоскости, проходящей через обе данные прямые.

2.	Пусть дана плоскость а. Рассмотрим множество всех точек
пространства, не принадлежащих а. Плоскость а разбивает это
множество на два непустых подмножества, которые называются
открытыми полупространствами с границей а. Принимаем без
доказательства следующие свойства открытых полупространств
(рис. 10, а, б):

1.	Отрезок, соединяющий любые две точки одного открытого
полупространства, не пересекает его границы.

2.	Отрезок, соединяющий любые две точки различных откры-
тых полупространств с общей границей а, пересекает эту гра-
ницу.

Если точки А и В принадлежат одному открытому полупро-
странству с границей а, то говорят, что А и В расположены по
одну сторону от плоскости а (рис. 10, а). Если же Л и В при-
надлежат различным открытым полупространствам с общей грани-
цей а, то А и В расположены по разные стороны от а (рис. 10, б).

Объединение открытого полупространства и его границы
называют замкнутым полупространством (или просто полупро-
странством).

Полупространство является выпуклой фигурой1.

Задачи

16°. Сколько различных плоскостей можно провести:

1) через одну точку; 2) через две различные точки; 3) через три
различные точки; 4) через четыре точки, никакие три из кото-
рых не принадлежат одной прямой?

17. Д а н о: a f| b = Л, a cz а. Верно ли утверждение, что:
1) А € а; 2) Ь с: а?

18°. 1) Даны четыре точки, не принадлежащие одной плоско-
сти. Докажите, что никакие три из них не принадлежат одной
прямой.

2)	Верно ли обратное утверждение?

19°. Из четырех точек никакие три не принадлежат окруж-
ности. Принадлежат ли все четыре точки одной плоскости?

20.	Даны две несовпадающие параллельные прямые. Дока-
жите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежат
в одной плоскости.

21°. Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение,
что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с
ними в одной плоскости?

22°. Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть
одной точкой, двумя различными точками, тремя различными
точками?

23.	Дано множество лучей, имеющих общее начало. Никакие
три из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных
плоскостей можно провести так, чтобы в каждой плоскости ле-
жало по два из данных лучей, если всего лучей: 1) три, 2) че-
тыре, 3) и?

24.	Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли
утверждение, что эти плоскости имеют общую прямую? Сколько
различных прямых может получиться при попарном пересечении
этих плоскостей?

25.	1) Даны отрезки АВ, ВС, CD, DА, причем (AC) f| (BD) = М.
Докажите, что данные отрезки лежат в одной плоскости.

2°) Столяр с помощью двух нитей проверяет, будет ли устой-
чиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки.
Как нужно натянуть нити?

1	Определение выпуклой фигуры, известное из планиметрии, распро-
страняется и на пространственные фигуры: фигура называется выпуклой,
если она содержит отрезок, соединяющий любые две ее точки.

ю
26°. 1) Рг и Р2 — различные полупространства с общей гра-
ницей а. Найдите: а) П Рц\ б) Pt U Р&

2	) Охарактеризуйте взаимное расположение полупространств
Р и Q и их границ аир, если: а) Р П Q = б) Р U Q = Р П Q-

§ 4. ПРОВЕДЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЯМОЙ,

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПРЯМОЙ

Геометрические построения на плоскости выполняют при по-
мощи чертежных инструментов — циркуля, линейки, угольника.

Мы не располагаем инструментами для проведения в простран-
стве прямой или плоскости. Поэтому в стереометрии термин
«провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать
существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставлен-
ным условиям. Например, в предыдущем параграфе (следствие 1)

говорится о проведении плоскости через прямую и точку вне ее.
Это означает, что существует плоскость, проходящая через дан-
ные прямую и точку.

Доказательство теорем и решение многих задач сопровож-
дается схематическими рисунками фигур, причем их выпол-
нение не проводится по строго сформулированным правилам:
достаточно, чтобы чертеж вызывал желаемое представление об
изображаемой фигуре. Иной подход к выполнению чертежей в
стереометрии будет рассмотрен в § 5, 12 и 13.

Задача. Через данную точку М провести прямую, параллель-
ную данной прямой а.

Решение. Возможны два случая.

а)	Пусть М $ а (рис. 11, а). Согласно определению параллель-
ных прямых, данная и искомая прямые должны лежать в одной
плоскости.

1.	Проведем плоскость а через точку М и прямую а (§ 3,
следствие 1).

2.	В плоскости а проведем через М прямую Ь, параллельную
а (это выполнимо на основании аксиомы 9); b — искомая прямая.

Задача имеет единственное решение. Докажем это.

Искомая прямая b должна
лежать в той единственной пло-
скости а, которая проходит че-
рез прямую а и точку М. В пло-
скости а существует единственная
прямая, параллельная а и про-
ходящая через М (это известно из
планиметрии).

б)	Пусть М € а (рис. 11,6).
В этом случае единственной пря-
мой, проходящей через М и па-
раллельной а, служит данная

прямая а.	Рис. 11
Мы доказали, что через данную точку можно провести одну
и только одну прямую, параллельную данной прямой.

Задачи

27.	Даны прямая а и точка М. Через данную точку прове-
дите прямую, пересекающую данную прямую под прямым углом.
Сколько решений имеет задача, если: 1) М £ а\ 2) М € а?

28.	Д а н о: a f| а = М, N £ а. Проведите линию пересече-
ния плоскости а с плоскостью, проходящей через а и N.

29.	В плоскости а даны прямая а и точка М. Через точку
N i а проведите плоскость 0 так, чтобы линия пересечения пло-
скостей а и 0 проходила через М и была перпендикулярна к а.

§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКА1

Простейшим многогранником служит треугольная пирамида
(рис. 12). Она имеет всего четыре грани. Поэтому мы будем ее
кратко именовать тетраэдром (четырехгранником). Если пересе-
чением многогранника и плоскости является многоугольник, то
этот многоугольник называют сечением многогранника данной
плоскостью.

Задача. На ребрах АВ, AD, CD тетраэдра ABCD выбраны
соответственно точки М, N, Р так, что прямые NP и АС не
параллельны (рис. 13). Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через данные точки.

Решение. Плоскость, проходящую через точки М, N, Р,
обозначим а. Плоскость а имеет с плоскостью DAC общие точки
N и Р, поэтому пересечение плоскостей DAC и а есть прямая NP
(аксиома 5). Отрезок NP — пересечение грани DAC и плоско-
сти а. Аналогично построим отрезок NM.

Точка М принадлежит плоскости а и плоскости АВС\ для
построения линии пересечения этих плоскостей достаточно найти
еще одну их общую точку. Такой точкой является точка К пе-

1 Понятия «многогранник», «пирамида», «параллелепипед» и т. п. бу-
дут определены в X классе. Сейчас мы основываемся на сведениях из восьми-

летней школы.
ресечения прямых NP и АС (К € а и К € (ЛВС)). Построив пря-
мую /ИК, получим точку Q на ребре ВС. Отрезки MQ и QP —
остальные стороны искомого сечения.

Символическая запись построения:

1) а = (MNP)' 2) [AfP] = а П ДАОС, [NM] = а П АЛОВ;

3) (NP) П (АС) = К; 4) (КМ) f] [ВС] = Q; 5) [A4Q]=af] ДЛВС,
[QP] = а П ABDC.

Четырехугольник MNPQ — искомое сечение.

Замечание. Чертеж к этой задаче имеет существенные
отличия от иллюстративных чертежей, применявшихся в преды-
дущем параграфе. Именно: на рисунке 13 точки К и D, отрезки
A4Q, QP и другие выбирались не произвольно, а занимали
вполне определенное положение на изображении тетраэдра.
Кроме того, построения теперь выполнялись чертежными инстру-
ментами. Рассмотренные построения являются примером так
называемых построений на проекционном чертеже. Подробнее
о таких построениях вы узнаете позднее, при изучении § 12, 13.

Задачи

30°. Каждое из ребер тетраэдра ABCD (рис. 12) равно а.
Найдите: 1) сумму длин всех его ребер; 2) сумму площадей всех
его граней.

31.	Даны тетраэдр ABCD и точки М и N, М € [DC], N € [ЛВ].
Постройте линию пересечения плоскостей АВМ и DCN,

32.	1) Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, про-
ходящей через вершину В и середины ребер AD и CD.

2) Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра
равно а.

33.	1) Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, про-
ходящей через ребро DC и точку пересечения медиан грани Л СВ.

2)	Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра
равно а.

34.	Плоскость а задана тремя различными точками, принад-
лежащими соответственно ребрам РЛ, DB, DC тетраэдра ABCD.
Постройте точку пересечения плоскости а с прямой, проведен-
ной через вершину D и точку пересечения медиан грани ЛВС.

35.	Дан тетраэдр ABCD. Постройте его сечение плоскостью,
проходящей через медиану DDX грани DBC и точку М, которая
принадлежит грани ADC, но не принадлежит ни одному из ре-
бер тетраэдра.

§ 6. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ.

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Мы уже знаем, что две прямые а и b в пространстве могут
быть пересекающимися или параллельными (в частном случае
совпадающими). Оказывается, возможен еще один характерный

13

| I „
для стереометрии случай взаимного
расположения двух прямых в про-
странстве.

Определение. Две прямые
называются скрещивающимися, если
они не пересекаются и не параллельны.

Докажем существование скрещи-
вающихся прямых.

В плоскости а проведем прямую а

и выберем в этой плоскости точку М, не принадлежащую а (рис. 14).
Через точку М и произвольную точку 7V, взятую вне плоскости
а, проведем прямую Ь. Докажем, что прямые а и b скрещиваются.
Применим способ рассуждения «от противного». Предположим,
что прямые а и b пересекаются или параллельны. Тогда обе они
лежат в некоторой плоскости 0 (рис. 14). Плоскости р и а сов-
падают (обе они проходят через прямую а и точку М вне ее).
Но 0 проходит и через точку N, не принадлежащую а, поэтому

0 не может совпасть с а. Получено противоречие,
предположение неверно. Следовательно, прямые а
ваются. Н

Доказан признак скрещивающихся прямых.

1. Теорема. Если одна из двух прямых лежит

т. е. наше
и Ъ скрещи-

в плоскости^

а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей
первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Для обозначения скрещивающихся прямых а и b будем при-
менять запись а — Ь. Обратите внимание: через скрещивающиеся
прямые нельзя провести плоскость.

Задачи

36°. 1) Укажите на модели куба несколько пар его ребер,
лежащих на скрещивающихся прямых.

2)	Укажите модели скрещивающихся прямых, пользуясь пред-
метами классной обстановки.

37.	Через данную точку проведите прямую, скрещивающуюся
с данной прямой.

38.	Верны ли высказывания: Г) «Если две прямые в прост-
ранстве не имеют общей точки, то они параллельны»?

2)	(а - b, b - с) => (а - с)?

39°. Известно, что А € а, В € 0, а f| 0 = m. Возможны ли ка-
кие-либо случаи взаимного расположения прямых АВ и /и, кроме
случая, изображенного на рисунке 15?

40°. Назовите два ребра тетраэдра ABCD (рис. 12), лежащие
на скрещивающихся прямых. Сколько таких пар ребер имеет
тетраэдр?

41°. Даны прямая tn и две принадлежащие ей точки А и В.
Через точки А и В проведены соответственно прямые а и Ь, пер-_

н
Рис. 16

пендикулярные прямой tn. Каким может быть взаимное распо-
ложение прямых а и Ь?

42.	Д а н о: а — Ь, {Лъ Л2} с а, {В19 В2] cz b.
Доказать: (Л^) — (Л2В2), (Л^) — (A2Bt).

43.	Прямые а, Ь, с пересекают плоскость а в точках Л, В, С,
причем Л £ (ВС) (рис. 16). Могут ли данные прямые быть по-
парно пересекающимися?

§ 7. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Нам уже известны два случая взаимного расположения прямой
и плоскости: 1) прямая лежит в плоскости, если две различные
точки этой прямой принадлежат плоскости (§ 2, аксиома 3);
2) прямая и плоскость пересекаются, если они имеют единствен-
ную общую точку (§ 2).

Докажем, что возможен и третий случай: прямая а и плос-
кость а не имеют общей точки (a П а = 0).

Пусть даны плоскость а и не принадлежащая ей точка М
(рис. 17). Проведем в плоскости а произвольную прямую Ь. Через
точку М проведем прямую а, параллельную Ь.

Предположим, что а и а имеют общую точку N (рис. 18).
Прямые а и b параллельны и различны, поэтому прямая Ь не мо-
жет проходить через точку Af, принадлежащую а. Тогда по
признаку скрещивающихся прямых (§ 6) прямые а и Ь скрещи-
ваются.

Пришли к противоречию: прямые а и b одновременно скре-
щиваются и параллельны. Следовательно, прямая а и плоскость а
не имеют общей точки.
Итак, возможны только три случая:
1) a cz а; 2) а р а = 4; 3) а р а = 0.
Объединим первый и третий случаи в
один, как это было сделано при рас-
смотрении взаимного расположения
двух прямых.

Определение. Прямая и плос-
кость называются параллельными, если
они не имеют общей точки или прямая
лежит в плоскости.

Обозначение параллельности пря-

мой и плоскости: а || а или а || а.

Имеет место следующий признак параллельности прямой и

2.

плоскости.

3.

Теорема. Если прямая параллельна какой-либо прямой,
лежащей в плоскости, то данные прямая и плоскость парал-
лельны.

При доказательстве следует рассмотреть два случая: 1) прямая
а не лежит в плоскости а; 2) прямая а лежит в этой плоскости.

Истинность теоремы для первого случая доказывают рассуж-
дения, проведенные выше.

Если аса, то а || а согласно определению параллельности
прямой и плоскости. Q

Теорема (обратная). Если плоскость проходит через пря-
мую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плос-
кость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной
прямой.

Дано: а || а, а с 0, 0 П а = Ь. Д о к а з а т ь: b || а.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда a cfi а
(рис. 19). Во-первых, прямые b и а лежат в плоскости 0; во-вто-
рых, прямая а не может пересекать прямую Ь, так как иначе а
пересекла бы плоскость а. Следовательно, b || а. Истинность
теоремы для случая аса очевидна.

Задачи

44°. Является ли сформулированное в теореме 2 условие
параллельности прямой и плоскости только достаточным или
также и необходимым?

45°. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей

а и 0. Каково взаимное расположение а и а, а и 0?

46°. Сторона А В треугольника АВС лежит в плоскости а.

Как расположена относительно этой плоскости прямая MN, про-
ходящая через середины сторон АС и ВС?

47°. Через сторону А В правильного шестиугольника ABCDEF
проведена плоскость а. Как расположена по отношению к этой
плоскости прямая: 1) CF, 2) CD, 3) DF, 4) DE?

[ ।
48°. Известно, что прямая параллельна
плоскости. 1) Параллельна ли она любой
прямой, лежащей в этой плоскости?
2) Может ли она пересечь хотя бы одну
из таких прямых?

49.	1) Через данную точку проведите
плоскость, параллельную данной прямой.

2) Через данную точку проведите
прямую, параллельную данной плоскости.

50.	Прямые а и b параллельны. Через
прямую а проведите плоскость, парал-
лельную прямой Ь.

51.	Точки А и В принадлежат соот-

Рис. 20

ветственно пересекающимся плоскостям а и р, но не принадлежат
их линии пересечения с. Проведите через А и В плоскость, па-

раллельную с.

52°. Дано: а р а = Л4, b || а. Каким может быть взаимное
расположение прямых а и Ь?

53.	Точки М и N — внутренние точки ребер AD и АВ тетраэд-
ра ABCD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей
через данные точки и параллельной прямой АС.

Решение. Анализ. Предположим, что сечение построено
(рис. 20). Пересечение плоскости сечения с гранью ADB полу-
чим, соединив точки М и N. По условию прямая АС параллельна
плоскости сечения, поэтому пересечениями граней АСВ и ACD
с плоскостью сечения служат отрезки NP и MQ, параллельные
прямой АС (§ 7, теорема 3).

Построение. 1) [2VP] || (АС), Р € [ВС]; 2) [MQ] || (ЛС); Q С [ОС].
Четырехугольник NMQP — искомое сечение.

Доказательство. Плоскость NMQ параллельна прямой АС,
так как (MQ) || (ДС) (§ 7, теорема 2).

Исследование. Задача имеет единственное решение. Действи-
тельно, ребро ВС пересекает плоскость сечения в единственной
точке Р, а по аксиоме 4 через точки М, Af, Р проходит един-
ственная плоскость.

Примечание. Примененная в этой задаче схема решения
(анализ, построение, доказательство, исследование) является об-
щей схемой решения задач на построение как в стереометрии,
так и в планиметрии. Анализ в задаче на построение — это
составление плана построения. Затем выполняется построение,
после чего доказывается, что построенная фигура удовлетворяет
всем требованиям условия задачи. Наконец, при исследовании
выясняется, сколько различных решений имеет задача.

Впрочем, выделение всех четырех этапов при решении каждой
задачи не является обязательным: иногда удается сразу начать
с построения, иногда доказательство проводится вместе с пост-
роением. Нередко исследование опускается. Если в задаче
требуется провести исследование, то об этом говорится в условии.

17

I М«л|
54.	1) Постройте сечение тетраэдра A BCD плоскостью, содер-
жащей медиану СМ грани АВС и параллельной прямой AD.

2) Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра
имеет длину а.

55.	Дан тетраэдр A BCD. Постройте линию пересечения
плоскости АВС и плоскости, проходящей через (AD) и парал-
лельной (ВС).

56.	Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей
через середины ребер AD и CD и внутреннюю точку Р ребра ВС.

§ 8. ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ.
СВЯЗКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

4. Теорема. Если через каждую из двух параллельных пря-
мых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются,
то их линия пересечения параллельна каждой из данных
прямых.

Доказательство. Пусть прямая а параллельна прямой b
(рис. 21). Через а проведена плоскость а, через b — плоскость 0,
причем пересечением плоскостей а и 0 служит прямая с. Дока-
жем, что с || а. По признаку параллельности прямой и плоскости
заключаем, что прямая а параллельна плоскости 0, но тогда
с || а (§ 7, теорема 3). Аналогично доказывается, что с || Ь. 
5. Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они
параллельны между собой.

Доказательство. Пусть а || с и b || с, причем а, b и с
не лежат в одной плоскости (рис. 22). Возьмем на прямой а
произвольную точку М. Через с и М,
b и М проведем соответственно плоско-
сти а и 0; по теореме 4 линия MN
пересечения этих плоскостей параллель-
на прямой Ь и прямой с. Через точку
М нельзя провести две различные
прямые, параллельные прямой с (§ 4,
задача), поэтому прямые MN и а сов-
падают. Но так как (MN) || Ь, то и а || Ь.

Случай, когда а, Ь, с лежат в одной
плоскости, был рассмотрен в планимет-
рии. 

Из теоремы 5 следует, что парал-
лельность прямых в пространстве (как
и на плоскости) обладает свойством
транзитивности: если а || b и b || с, то
а II с.

Рассмотрим множество всех прямых
пространства, параллельных одной и
той же прямой т (рис. 23). Это множе-
ство называют связкой параллельных
прямых. Любые две прямые а и b связки
(рис. 23) параллельны между собой
(теорема 5). Связку параллельных пря-
мых можно задать с помощью любой
прямой, принадлежащей этой связке.

Задачи

57°. На рисунке 24 изображен куб
ABCDAiB^Di. Каково взаимное распо-
ложение следующих прямых: 1) АВ и
DiCi, 2) ВВХ и СхЛ; 3) DCi и D^; 4)
и BCi, 5) DC и ВхСх; 6) А& и CCf,
7) AiB и DC; 8) и AjC; 9) AtC и
BDi, 10) DxB и BDx?

58.	Может ли прямая быть парал-
лельна: 1) только одному ребру куба1;
2) только четырем его ребрам; 3) пяти его
ребрам; 4) только одной из диагоналей
граней куба?

59.	Д а н о: а — Ь, с || а. Д о к а з а т ь:
с^Ь.

60	. Даны две скрещивающиеся пря-
мые а и Ь. Известно, что прямая с пере-
секает прямую а. Как может располагать-
ся прямая с по отношению к прямой Ь?

61.	Параллелограммы ABCD и A^CD
(рис. 25) лежат в различных плоскостях.
Докажите, что |Д14| =

62.	В планиметрии теорема о транзи-
тивности параллельности прямых дока-

Рис. 24

Рис. 25

зывалась методом от противного с приме-

нением аксиомы параллельных прямых. Можно ли заменить
доказательство теоремы 5 аналогичным рассуждением?

63°. Сколько различных связок параллельных прямых задают
всевозможные прямые, каждая из которых содержит: 1) одно

ребро куба; 2) одну сторону правильного восьмиугольника;

3) одно ребро тетраэдра?

64°. Известно, что плоскость а параллельна одной из прямых
связки параллельных. Докажите, что любая прямая этой связки

параллельна плоскости а.

65. Известно, что одна из прямых связки параллельных прямых
пересекает плоскость. Докажите, что каждая прямая этой связки

пересекает данную плоскость.

1 Для краткости речи вместо «прямая а параллельна прямой Ь, содержащей
отрезок М/V» будем говорить «прямая а параллельна отрезку M.V».

1Э

—'|ЦЛ|
Рис. 26

66°. Найдите объединение всех
прямых данной связки параллель-
ных прямых, каждая из которых пе-
ресекает данную прямую а.

67.	Трапеция A BCD и треуголь-
ник МВС лежат в различных плоско-
стях аир (рис. 26). Через прямую
AD и середину К стороны ВМ про-
ведена плоскость у. Найдите длину

отрезка линии пересечения плоскостей Р и у, заключенного меж-
ду сторонами треугольника, если |ВС| = 5 см.

68.	Дана трапеция ABCD, где (АВ) || (CD), и точка М, не при-
надлежащая плоскости трапеции. Постройте линию пересечения
плоскостей, проходящих: 1) через М и (CD), М и (АВ)\
2) через М и (AD), М и (ВС).

§ Р. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

В плоскости а построим параллелограмм ABCD (рис. 27).
Через все его вершины проведем параллельные прямые, не ле-
жащие в плоскости а. На прямых по одну сторону от а отло-
жим отрезки AAlt BBlt CClt DDr равной длины.

Концы этих четырех отрезков служат вершинами многогран-
ника, все шесть граней которого — параллелограммы. Такой

многогранник называется параллелепипедом.

Частным видом параллелепипеда является хорошо известный
вам прямоугольный параллелепипед (рис. 28). Все его грани —

прямоугольники.

Задача. В параллелепипеде ABCDA^B^Dx (рис. 29) точки

М, N, Р принадлежат соответственно ребрам DDt, ВВЪ СС}, при-

чем (MP) (DC), (MN) -Ц. (DB).
Построить линию пересечения
плоскостей MNP и АВС.

Решение. Анализ. Для нахож-
дения искомой прямой достаточно
построить две общие точки плос-
костей MNP и АВС. Каждую из
таких точек можно искать как
общую точку двух пересекающихся
прямых, одна из которых принад-
лежит (MNP), а другая — (АВС).

Построение. В плоскости грани
CCtDiD построим точку F пересече-
ния прямых МР и DC (рис. 29);
в плоскости, проходящей через
параллельные прямые Z>DX и ВВи
построим точку Е пересечения пря-
мых MN и DB. Точки F, Е при-
надлежат и плоскости MNP —и
плоскости АВС (аксиома 3), поэтому
(FE) — искомая прямая.

Исследование. Задача имеет един-
ственное решение. Точки М, N и
Р определяют единственную плос-
кость (§ 2, аксиома 4). Общая прямая
FE плоскостей NMP и АВС сущест-
вует, так как они имеют общую точ-
ку F. Эта прямая единственна (ак-
сиома 5).

Задачи

Е

Рис. 29

69°. Дан параллелепипед ABCDA^^Di (рис. 27); | ВС\ = а,
ДВ| = b, |ВВХ| = с. Найдите сумму длин всех ребер паралле-
лепипеда.

70°. Дан параллелепипед ABCDA1BiCiDl (рис. 27). Плоско-
стям каких его граней параллельны прямые: 1) АВ\ 2) DDX;
3) ВХСХ; 4) прямая, соединяющая середины ребер АВ и СО?

71.	Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
концы трех ребер, выходящих из одной вершины. Найдите пери-
метр и площадь сечения, если ребро куба имеет длину а.

72.	Дан параллелепипед ДВСОД1В1С1О1; М и N — середины
ребер DC и ДХВХ. 1) Постройте точки пересечения прямых АМ
и AN с плоскостью грани ВВ^С', 2) постройте линию пересе-
чения плоскостей AMN и ВВХСХ.

73.	Постройте сечение параллелепипеда ДВСОДХВХСХОХ пло-
скостью, проходящей через (ВСХ) и середину М ребра DDX.

74.	В параллелепипеде ДВС£>ДХВХСХОХ точка М — середина
[ВХСХ]. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, прохо-
дящей через: 1) (DC) и М; 2) (ДО) и М.

75.	Дан прямоугольный параллелепипед ДВСОДХВХСХОХ.
Постройте его сечение плоскостью, проходящей через середины
ребер АВ, ДДХ и CD. Вычислите периметр сечения, принимая
|ДВ| = 8 см, |ВС| = 7 см, |ДДХ| = 6 см.

76.	Дан параллелепипед ДВСОДХВХСХОХ. Постройте точку
пересечения прямой ДХС с плоскостью, проходящей через ребра
АВ и CXDX.

§ 10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

Два случая взаимного расположения двух плоскостей нам
уже известны. Две плоскости: 1) совпадают, если они имеют три
общие точки, не принадлежащие прямой (аксиома 4); 2) пере-
секаются, если они различны и имеют общую точку (аксио-
ма 5).

Докажем, что возможен третий случай взаимного располо-
жения двух плоскостей: две плоскости не имеют общей точки.
В плоскости а проведем
две пересекающиеся прямые
а и b (рис. 30). Через точку
В19 не принадлежащую а,
проведем прямые аг || а и
bi II Ь; через аг и Ьх проведем
плоскость р (§ 3, следст-
вие 2).

Докажем (от противного),

что а и р не имеют общей точки. Предположим, что М — общая
точка плоскостей а и р. Из аксиомы 5 следует, что их пересече-
нием служит некоторая прямая с. Но плоскость а прохо-
дит через а, плоскость р — через а19 причем а || av Тогда с || а
(§ 8, теорема 4).

Таким же образом доказываем, что с |] Ь. Получили противо-
речие с аксиомой параллельных: в плоскости а через точку В
проходят две пересекающиеся прямые а и Ь9 параллельные
прямой с. Следовательно, плоскости а и р не имеют ни одной
общей точки, в

Итак, для двух плоскостей аир возможны только три слу-
чая: 1) а = Р; 2) а f] р = а; 3) а f| Р = 0.

Первый и третий случаи мы снова объединим.

Определение. Две плоскости называются параллельными,
если они не имеют общей точки или совпадают.

Обозначение параллельности плоскостей а и р: а || р.

Теорема (признак параллельности двух плоскостей).Если
две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости

параллельны.

Истинность признака для случая, когда данные плоскости
различны, следует из рассуждения, проведенного выше. Запишем
символически это доказательство (рис. 30).

Дано: й с а, b са, а П b = В; GiCzP, ср; q || а, Ьг ||Ь.

Доказать: а || р.

Доказательство (от противного).

Пусть а П Р = с. Имеем:

(а || аъ а с а, aY cz Р) || а (теорема 4).

II ь.

Мы получили противоречие
с аксиомой параллельных пря-
мых. Следовательно, а || р.

Плоскости а и Р, удовлетво-
I ряющие условию теоремы, могут
совпадать (рис. 31). И в этом
случае признак остается вер-
ным, так как совпадающие плос-
кости параллельны. 
Задачи.

77°. Каким может быть взаим-
ное расположение плоскостей а
и 0, если известно, что: 1) неко-
торая прямая а, лежащая в плос-
кости а, не лежит в плоскости р;
2) ни одна из прямых, лежащих

Рис. 32

в плоскости а, не лежит в плос-
кости р.

78°. Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если:
1) прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой
другой плоскости; 2) две прямые, лежащие в одной плоскости,
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

79°. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах
классной обстановки.

80°. Докажите параллельность плоскостей, в которых распо-
ложены противолежащие грани параллелепипеда (рис. 27).

81.	Диагональ и сторона многоугольника параллельны пло-
скости а. Верно ли утверждение, что плоскость многоугольника
параллельна плоскости а, если многоугольник имеет: 1) четыре
стороны; 2) пять сторон; 3) п сторон (п > 5)?

82.	Дан тетраэдр ABCD\ точки М, N, Р являются середи-
нами ребер DA, DB, DC. Докажите, что (MNP) || (АВС).

83.	Прямые а, Ь, с, не лежащие в одной плоскости, имеют
общую точку О. На каждой из этих прямых взяты по разные
стороны от точки О соответственно пары точек: At и Л2, В] и
В2, Ci и С2. Докажите, что плоскости ASjCi и А2В2С2 парал-
лельны, если |ОЛх| = |ОЛ2|, |OBil = |ОВ2|, |ОСХ| = |ОС21.

84.	1) Докажите, что если каждая из двух пересекающихся
прямых плоскости а параллельна плоскости 0, то эти плоскости

параллельны.

2°) Для проверки горизонтальности установки лимба угло-
мерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположен-
ными на одной плоскости (рис. 32). Почему уровни располагают
на пересекающихся прямых?

§ 11. ТЕОРЕМЫ 0 ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ

7.	Теорема. Если две параллельные плоскости пересечены

третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Дано: а || 0, у f] а = а, у Q 0 = Ь.

Доказать: а ||\ Ь.

Доказательство проведите самостоятельно (рис. 33). Рассмотрите
только тот случай, когда плоскости а и 0 различны.

8.	Т е о р ем а. Через данную точку можно провести одну
и только одну плоскость, параллельную данной плоскости.
Рис. 34

Доказательство. Пусть Д а
(рис. 34). Существование плоскости (3,
проходящей через точку А и параллель-
ной плоскости а, уже было доказано
(§ 10). Докажем единственность такой
плоскости.

Предположим, что через А проходит
плоскость рь параллельная а и не сов-
падающая с 0. Тогда по аксиоме 5 плос-
кости Р и Pi пересекаются по некоторой
прямой т (рис. 34). Проведем в плоскости
а прямую Z, скрещивающуюся с т; через
/ и Д проведем плоскость у. Эта плос-
кость пересечет плоскости 0 и 0х соот-
ветственно по прямым Ь и Согласно
теореме 7 имеем: b |] I и Ьх || Z, что проти-
воречит аксиоме параллельных прямых.
Следовательно, предположение о сущест-
вовании плоскости рх неверно.

Истинность теоремы для случая, когда
точка В принадлежит плоскости а, не
требует подробных пояснений. В этом
случае единственной плоскостью, прохо-
дящей через В и параллельной а, служит
эта же плоскость а. Ц

Следствие. Если каждая из двух
данных плоскостей параллельна третьей

плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.
Доказательство проведите самостоятельно, например, спосо-
бом от противного (рис. 35).

Задача. Через каждую из двух скрещивающихся прямых
провести плоскость так, чтобы эти плоскости были парал-
лельны.

Решение. Через произвольную точку М прямой а прове-
дем прямую аи параллельную прямой b (рис. 36); через прямые
а и аг проведем плоскость а. Аналогично проводим плоскость 0.
Плоскости аир параллельны согласно признаку параллель-
ности плоскостей.

Задача имеет единственное решение.

Задачи

85.	Каким может быть взаимное расположение прямых а и Ь,
каждая из которых лежит в одной из двух различных парал-
лельных плоскостей?

86.	Могут ли быть параллельны прямые, полученные при
пересечении двух пересекающихся плоскостей третьей плос-
костью?

87.	Докажите, что если плоскость пересекает одну из парал-
лельных плоскостей, то она пересекает и другую.

88.	Докажите, что если прямая пересекает одну из двух па-
раллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

89.	1) Закончите формулировку теоремы: «Два параллельных
отрезка, концы которых принадлежат параллельным плоскостям
(рис. 37), имеют...». Докажите эту теорему.

2°) Могут ли иметь равные длины два непараллельных от-
резка, концы которых принадлежат параллельным плоскос-
тям?

90.	Через данную прямую проведите плоскость, параллель-
ную данной плоскости. Исследуйте решение.

91.	Дан о: а || аь р ||	а (] Р = с,

«1 fl Р1 = С1-

Доказать: с ||

92.	Построить сечение паралле-
лепипеда ABCDA^CyDy плоскостью
а, проходящей через вершины А, Си
точку М ребра Л^ (рис. 38).

Решение. Пересечение плоско-
сти а с двумя гранями получим, про-
ведя отрезки АС и АМ. Линия пере-
сечения плоскости а с гранью
Л1В1С1Р1 параллельна (АС) (§ 11,
теорема 7), поэтому построим

[ТИМ] || [ЛС]. Наконец, строим от-
резок NC. Трапеция AMNC — иско-
мое сечение. Если M=Blt то искомое
сечение есть треугольник ЛВХС, а
если М = Ль то сечение — паралле-
лограмм АА^С. Решение единст-
венное (аксиома 4).

93.	Постройте сечение тетраэдра
ABCD плоскостью, проходящей через
внутреннюю точку М ребра АВ и
параллельной грани DBC.
94.	Через вершину тетраэдра проведена плоскость, парал-
лельная противолежащей грани. Постройте линии пересечения
этой плоскости с плоскостями остальных граней тетраэдра.

95.	На ребрах AD и BxCj параллелепипеда ABCDA1B1C1Dl
даны внутренние точки М и /V. Постройте сечение параллеле-
пипеда плоскостью, проходящей через точки М9 N и параллель-
ной ребру АВ.

96.	Постройте сечение куба АВСОА^С^! плоскостью, про-
ходящей через вершину В и середины ребер ССХ и ALDt.

§ 12.	ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ФИГУРЫ.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ

В
вила, которыми пользуются

этом и следующем параграфах будут сформулированы пра-
в стереометрии при изображении
фигур. Прежде всего введем не-
сколько новых понятий.

Рис. 41

Пусть дана плоскость а и пря-
мая /, пересекающая а (рис. 39).
Возьмем произвольную точку Дх;
через нее проведем прямую /х,
параллельную прямой I. Прямая /х
пересечет а в некоторой точке А
(рис. 39). Полученную таким спо-
собом точку А назовем проекцией
точки Дх на плоскость а при про-
ектировании параллельно прямой
I (короче, точка А — параллельная
проекция точки Дх). Параллельной
проекцией фигуры Фх назовем мно-
жество Ф параллельных проекций
всех точек данной фигуры.

Представление о параллель-
ной проекции фигуры получим,
рассматривая тень, которую от-
брасывает на стену в солнечный
день картонная или проволочная
модель этой фигуры (рис. 40 и 41).
Солнечные лучи можно прибли-
женно считать параллельными
вследствие большой удаленности
Солнца от Земли.

Модель правильного шести-
угольника AxB^D^^y (рис. 41)
отбрасывает на стену тень в виде
многоугольника ABCDEF. Рас-
сматривая эту тень (при различ-.

'i До|
ных положениях плоскости шестиугольника относительно пло-
скости стены), можно высказать несколько гипотез о свойствах
параллельного проектирования. Формулируя эти свойства, бу-
дем полагать, что проектирование производится параллельно
прямой /, не параллельной проектируемым прямым или от-
резкам.

Свойство 1. Проекция прямой есть прямая.

Свойство 2. Проекции параллельных прямых параллельны.
Свойство 3. Отношение длин проекций двух параллельных
отрезков равно отношению длин проектируемых отрезков.

Доказательства этих свойств опускаем.

Задачи

97.	Даны три различные точки. Сколько точек может полу-
читься на плоскости проекций при проектировании данных точек?

98°. Какой фигурой является проекция проектирующей пря-
мой?

99°. Какой фигурой может быть проекция: 1) плоскости;
2) полуплоскости; 3) угла, отличного от развернутого?

100	. В каком случае: 1) проекция точки совпадает с этой
точкой; 2) проекция прямой совпадает с этой прямой?

101°. В каком случае неверно утверждение: «Проекции парал-
лельных прямых параллельны»?

102.	Известно, что отрезок и его проекция имеют равные
длины. Как может быть расположен данный отрезок по отноше-
нию к плоскости проекций?

103.	1) Какие фигуры можно получить, проектируя на пло-
скость объединение двух пересекающихся прямых?

2) Какие фигуры можно получить, проектируя на плоскость
объединение двух скрещивающихся прямых?

104.	Г) Если проекции двух прямых параллельны, то верно
ли утверждение, что параллельны и проектируемые прямые?

2)	Даны скрещивающиеся прямые а, Ь и плоскость проек-
ций а. Проведите прямую I так, чтобы при проектировании
параллельно I проекции прямых а и Ь были параллельны.

105.	Из одной точки выходят три луча, не лежащие в одной
плоскости. Какой фигурой может быть проекция объединения
этих лучей?

106.	Отрезок АВ пересекает плоскость проекций в точке М.
Его проекцией служит отрезок А^. Известно: |ЛВ| = ш,
: |MSJ = р : q. Найдите |Л7И| и |Л4В|.

§ 13.	ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ

В стереометрии изображением фигуры (оригинала) будем назы-
вать любую фигуру, подобную параллельной проекции данной
фигуры на некоторую плоскость. Для данной фигуры форма ее
изображения зависит от положения оригинала относительно
Рис. 42

Рис. 43

плоскости проекций, а также от выбора прямой /, параллельно
которой выполняется проектирование.

Задача построения изображения фигуры считается решенной,
если получено любое изображение фигуры, достаточно наглядное
и удобное для проведения на нем дополнительных линий. Способы
построения изображений, которыми мы будем пользоваться, осно-
ваны на свойствах параллельного проектирования.

1.	Треугольник. Наблюдая тень модели треугольника
(рис. 42), естественно предположить, что проекция данного тре-
угольника может быть треугольником любой формы. Верно ут-
верждение: произвольный треугольник, лежащий в плоскости проек-
ций. можно считать изображением данного треугольника.

В частности, равносторонний треугольник можно изображать в
виде любого разностороннего треугольника. Приходим к выводу:
при параллельном проектировании величина угла и отношение
длин непараллельных отрезков, вообще говоря, не сохраняются.

Свойство 3 параллельной проекции позволяет, в частности,
заключить, что медиана треугольника изображается медианой
изображения этого треугольника (рис. 43).

2.	Параллелограмм. Так как параллельность прямых
при параллельном проектировании сохраняется, то изображением
параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата)
служит параллелограмм (рис. 44). Длины сторон и величины
углов этого параллелограмма (изображения) можно выбрать
произвольно.

Для обоснования последнего утверждения достаточно приме-
нить правило изображения треугольника (пункт 1) к треуголь-

Рис. 44
нику, полученному после проведения диагонали параллелограм-
ма-оригинала (рис. 44).

3.	Трапеция. Свойства параллельной проекции позволяют
заключить, что трапеция А^СРх изобразится в виде трапеции
ABCD (рис. 45), у которой отношение |ДВ| : |СО| оснований
равно отношению HxBJ : 1^0x1 оснований оригинала.

Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии. Пользуясь
этим, построим (рис. 46) изображение высоты [DE] этой трапе-
ции: |ВЛГ| = \NA |, |СЛ4| = |Л1О|, (DE) || (MN).

4.	Правильный шестиугольник. Рассмотрим пра-
вильный шестиугольник А^СРр]!7! (рис. 47, а). Проведем в
нем диагонали A1D1 и С^. Получим ромбы А^РРх и
симметричные относительно точки Ох.

Ромб АхВ^СуРх изображаем согласно пункту 2 в виде произ-
вольного параллелограмма АВСО (рис. 47, б). Затем изображаем
параллелограмм ODEF. симметричный параллелограмму АВСО
относительно точки О (§ 12, свойство 3). Соединив точки С и D,
А и В, получим искомое изображение ABCDEF.

5.	Тетраэдр. Рассмотрим тень каркасной модели тетраэдра
(рис. 48).

Можно предположить, что изображениями ребер данного тет-
раэдра могут служить стороны и диагонали произвольного (выпук-
лого или невыпуклого) четырехугольника ABCD (рис. 49 и 50).
Доказательство этого факта, которым будем в дальнейшем поль-
зоваться, опускаем.

Рис. 48	27  \  3  Рис. 49
Рис. 50

Рис. 53

Рис. 52

6.	Параллелепипед. Пусть дан параллелепипед
ABCDAiBtC^Di (оригинал). Выберем три его ребра АВ, AD,
AAi (рис. 51), выходящие из одной вершины. Рассмотрим тет-
раэдр AjABD. Пользуясь правилом изображения тетраэдра, при-
ходим к выводу, что ребра АВ, AD, AAt можно изобразить
в виде трех произвольных отрезков, выходящих из одной точки
(рис. 52, а). На этом «произвол» при изображении параллелепи-
педа заканчивается. Остальные его ребра придется изображать
(согласно свойствам 1—3 из § 12) вполне определенными отрез-
ками (рис. 52, б): каждый из них параллелен одному из построен-
ных отрезков и равен ему по длине.

Верно выполненное изображение параллелепипеда (как, впро-
чем, и других фигур) может иногда выглядеть несколько необыч-
ным. Например, на рисунке 53 показаны изображения куба,
которые можно получить при надлежащем выборе проектирова-
ния. Ясно, что мы предпочтем привычное изображение куба
(рис. 24).

Способы изображения многих других фигур будут рассмот-
рены в курсе X класса.

Задачи

107°. Треугольник АВС является проекцией треугольника
В треугольнике А^В^ проведены из вершины биссект-
риса, медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков
являться биссектрисой, медианой и высотой треугольни-
ка ЛВС?

108.	Дано изображение равнобедренного треугольника в виде
разностороннего треугольника. На этом изображении постройте:
1) изображение биссектрисы угла при вершине, 2) изображение
перпендикуляра к основанию, проведенного через середину боко-
вой стороны.

109.	Дано изображение треугольника и двух его высот.
Постройте изображение центра круга, описанного около тре-
угольника-оригинала.

ПО*. 1) Треугольник АВС служит изображением треуголь-
ника Л^Сх, у которого ^xBJ : |BxCJ = 2:3. Постройте изобра-
жение биссектрисы угла Вг.

2) Треугольник АВС — изображение прямоугольного треуголь-
ника ЛхВхСх, длины катетов А& и ВхСх которого относятся как
3 : 4. Постройте изображение центра круга, вписанного в треуголь-
ник ЛхВхСх.

111°. Может ли: 1) изображением заданного четырехуголь-
ника служить произвольный четырехугольник; 2) изображением
трапеции служить параллелограмм; 3) изображением ромба —
квадрат?

112°. 1) Какие из свойств ромба останутся верными для изоб-
ражения этого ромба? Какие могут не сохраниться?

2) Какие свойства прямоугольника остаются верными для
его проекции?

113.	Трапеция ABCD является проекцией трапеции ABC1Dl
на плоскость, проходящую через (АВ). Равны ли длины средних
линий этих трапеций, если: 1) (АВ) || (СО); 2) (ВС) || (ЛО)?

114.	На изображении равнобедренного прямоугольного тре-
угольника постройте изображение квадрата, лежащего в пло-
скости треугольника, если стороной квадрата служит: 1) катет
данного треугольника; 2) его гипотенуза.

115.	На изображении правильного шестиугольника постройте
изображение: 1) апофемы шестиугольника; 2) биссектрисы одного
из его внешних углов; 3) перпендикуляра, проведенного через
центр к одной из меньших диагоналей.

116.	Постройте на изображении ромба изображение его высоты,
если угол ромба равен 45°.

1171.	Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины, К —
середина ребра BD. 1) Постройте две прямые КМ и KN, перпенди-
кулярные соответственно (AD) и (DC) и пересекающие их в точ-
ках М и N. 2) Постройте точку пересечения плоскости KMN
с прямой, соединяющей вершину D и точку пересечения медиан
противолежащей грани. 3) Найдите площадь треугольника KMN,
приняв длину каждого ребра тетраэдра равной а. * I

1 В этой и некоторых других задачах мы опускаем слово «изображение».--

31

I
118. Точка М принадлежит ребру ААг куба ABCDA1B1C1D1,
причем \АМ | :	= 2. 1) Постройте сечение, проходящее

через точку М и делящее пополам [BBJ и [ССХ]. 2) Найдите
наибольшую сторону сечения, если ребро куба равно а.

119*. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1BlC1D1
длины ребер АВ, ВС, ВВГ пропорциональны числам 3, 2, 1.
Постройте две прямые, проходящие через точку Вх и соответ-
ственно перпендикулярные (BCJ и (ВУ^).

120.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
длины ребер АВ, ВС, ВВг пропорциональны числам 3, 2, 1.
Постройте точку пересечения: 1) ребра АВ с биссектрисой угла
BByA^, 2) прямой CCi с биссектрисой угла ВВ1С1.

Задачи на повторение к главе I

121.	Даны п точек (п 4), никакие четыре из которых не при-
надлежат одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно
провести так, чтобы каждая из них проходила через три дан-
ные точки?

122.	Даны точки А, В, С, D, не принадлежащие одной
плоскости. Докажите, что середины отрезков АВ, ВС, CD, DA
принадлежат одной плоскости. Вершинами какой фигуры служат
эти точки?

123°. Может ли прямая лежать в плоскости грани паралле-
лепипеда, если известно, что эта прямая имеет общие точки:
1) только с одним ребром параллелепипеда; 2) только с двумя
ребрами; 3) только с тремя ребрами; 4) только с четырьмя реб-
рами; 5) с шестью ребрами?

124*. В параграфе 6 сформулировано достаточное условие
того, чтобы прямые а и b были скрещивающимися. Является ли
это условие также необходимым?

125.	Дано: а — b, М £ а, М £ Ь. Через точку М проведите
прямую с так, чтобы она скрещивалась с каждой из данных

прямых.

126*. Даны две скрещивающиеся прямые тип. Через точку Р,

не принадлежащую

ни одной из них, проведите прямую, пересе-
кающую обе данные прямые (рис. 54).

127. Дано: ар|0=/п, аса, т[}а=А,
0 Г|Ь=В (Л #= В). Каково взаимное распо-
ложение прямых а и Ь?

128°. Прямая а пересекает плоскость
а. Можно ли провести в плоскости а пря-
мую, параллельную а?

129°. Как могут быть расположены
прямая а и плоскость а, если данная пря-
мая и некоторая прямая, лежащая в пло-
скости а, скрещиваются?
130.	Прямая а параллельна
плоскости а. Докажите, что пря-
мая, проведенная через точку М,
принадлежащую данной плоско-
сти, параллельно данной прямой,
лежит в плоскости а.

131.	Дано: т || а, т cz р,
т cz у; р П а=л, у П Дока-
зать: а || Ь.

132.	Постройте сечение тетра-
эдра ABCD плоскостью, проходя-
щей через внутреннюю точку М
грани АВС и параллельной пря-
мым АВ и DC.

133.	Даны тетраэдр ABCD и
точки Л4, Л\ Р, принадлежащие
соответственно граням ABC, ABD
и ACD (но не принадлежащие реб-
рам). Построить сечение тетраэдра
плоскостью MNP.

Решение. Анализ. Пусть
(MNP) = а. Выясним, как пост-
роить пересечение плоскости а с
гранью АВС (рис. 55). Точка М
является общей для а и (АВС).
Если (NP) (АВС) (рис. 55, а),
то второй общей точкой плоскос-
тей АВС и а может служить
точка пересечения прямых NP и
ад, где (NJ\) = (ABC)ft(NPD).
Если же (NP) || (АВС) (рис. 55, 6),
то линия пересечения плоскостей
а и (АВС) параллельна (NP) (§ 7,
теорема 3).

Построение.

1)	(Л\Л) = (NPD) л (ЛВС);

2)	К = (ВД) Л (UP) (для слу-
чая (UP) 'И- (АВС), рис. 55, а);

3)	(КМ) = а П (АВС),
[FE] = а П АЛВС.

Если же (NP) || (ЛВС), то
[FE] || [ВР] (рис. 55, б);

4)	(EN) = а Л (ЛВО),
[ЕВ] = а Л А Л ВО;

5)	(FP) = а Л (ACD),
[FG] = а Л АЛСО.

Сечение EFGH удовлетворяет ус-
ловию задачи.

2 Заказ 210.
Исследование. Задача имеет единственное решение (аксиома 4).
Сечение может быть четырехугольником (рис. 55, а, б) или
треугольником (рис. 55, в).

134*. Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью MNP,
где М £ A.ADC, N € ABDC, Р € [ЛВ].

135.	1) Дано: а || р. Верно ли утверждение, что в плоскости а
можно провести две прямые, соответственно параллельные двум
пересекающимся прямым плоскости Р?

2°) Используя результат пункта 1 этой задачи, сформулируйте
достаточное и необходимое условие параллельности двух пло-
скостей.

136.	Как могут быть расположены плоскости аир, если:
1) некоторая прямая а, пересекающая а, параллельна р; 2) лю-
бая прямая, лежащая в плоскости а, параллельна Р?

137°. Дано: а с а, а || р. Верно ли утверждение, что а || р?

138.	Д а н о: а || р, а || а. Д о к а з а т ь: а || р.

139.	Дано: а || р (а =/= Р),	{А, С] cz а,	{В, D} <= р,

[ЛВ]П[CD] = М. Доказать: (АС) || (ВО).

140.	Верны ли утверждения: 1) (а || р, ос а) => а || Р;
2) (а cz а, b cz Р, а П b = 0) =Ф а || Р?

141.	Дан параллелепипед ABCDAJ^CtDi. Докажите, что
(A.DB) || (OiCBJ.

142.	Даны параллельные плоскости аир. Через точку М, не
принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и Ь, ко-
торые пересекают а соответственно в точках Ai и Вь а пло-
скость р — в точках А г и В2. Известно: | Л4Хг| = 8 см, |^4i^4el =
= 12 см, |ЛгВг| = 25 см. Найдите HxBJ.

143.	Дано: а||р, -у П = гга, у Г1 <х = а, 6 П Р = Ь, т\\а.
Доказать: т || Ь.

144.	Найдите объединение всех прямых, которые проходят
через данную точку и параллельны данной плоскости.

145*. Постройте сечение параллелепипеда ЛВСОЛ^С^
плоскостью MNP, если точки М, N, Р принадлежат соответст-
венно: 1) ребру АВ, граням AAjDlD и ВВ&С', 2) граням ABCD,
ААХВ1В, ВВ&С.
146. В тетраэдре ABCD вершина D соединена отрезком с точ-
кой М пересечения медиан грани АВС. Постройте сечение тет-
раэдра плоскостью, проходящей через точку /V € [DA4] и парал-
лельной грани BCD.

147*. На трех попарно скрещивающихся ребрах параллеле-
пипеда взяты три точки. Постройте сечение, проходящее через
эти точки.

148.	Может ли сечением куба являться: 1) правильный тре-
угольник; 2) квадрат: 3) правильный пятиугольник; 4) правиль-
ный шестиугольник; 5) восьмиугольник?

149.	Дан перечень фигур: 1) точка; 2) прямая; 3) отрезок;
4) луч; 5) угол; 6) плоскость. Какие фигуры могут получиться
при проектировании каждой из данных фигур? При выборе отве-
тов пользуйтесь этим же перечнем.

150°. Даны точки Al9 Bt и их проекции А, В на плоскость а
(рис. 56, а). Как построить точку пересечения прямой AtBt
с плоскостью а?

151°. Даны точки Alf Bl9 Clt не принадлежащие прямой, и
их проекции А, В, С на плоскость а (рис. 56, б). Как построить
линию пересечения плоскостей ALBlCl и а?

152. Постройте точку пересечения плоскости, проходящей
через ребро AD тетраэдра ABCD и точку М € [ВС], с прямой
PQ, где Р € [ДВ] и Q € [CD].
ГЛАВА II

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРОСТРАНСТВА.
ВЕКТОРЫ

$ 14. ОТОБРАЖЕНИЕ ФИГУРЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА

В стереометрии важную роль играет понятие отображения
одной фигуры на другую. Смысл этого понятия такой же, как и
в планиметрии.

В качестве примера отображения рассмотрим проектирование
треугольника АВС на плоскость а параллельно прямой I (рис. 67).
Этим отображением каждой точке М треугольника АВС ставится
в соответствие единственная точка Aflt принадлежащая пло-
скости а.

Если каждой точке М фигуры Ф ставится в соответствие
единственная точка Мг фигуры F, то такое соответствие назы-
вают отображением фигуры Ф в фигуру F. Точку при этом
называют образом точки М.

В приведенном примере Ф = АДВС, F = а. Проекцией тре-
угольника АВС служит треугольник	лежащий в пло-

скости а (предполагаем, что плоскость АВС не параллельна
прямой /).

Множество Фх образов всех точек фигуры Ф называется обра-
зом фигуры Ф. Из определения отображения следует, что Фх cz F.
Если же Фх = F, то говорят: фигура Ф отображается на фигуру Фх
(вместо предлога «в» употребляют предлог «на»). Например, при
проектировании на плоскость а параллельно прямой I образом
тетраэдра ABCD служит четырехугольник AtBlC1Dl (рис. 58).

Рис. 57
Поэтому говорят также, что тетраэдр
ABCD отображается на четырехугольник
AXBXCXDX.

Рассмотренные два примера отображе-	7

ний существенно отличаются друг от дру-
га. В первом из них образы любых двух
различных точек треугольника АВС раз-
личны. Для второго отображения харак-	Рис‘ 59

терно то, что существуют различные точки

М и М‘ тетраэдра ABCD, которые имеют один и тот же образ Мг
(рис. 58).

Приведем еще один пример.

Точки М и М1 называются симметричными относительно
центра О, если точка О является серединой отрезка ММГ (рис. 59).
Центр О считается симметричным самому себе.

Каждой точке М пространства поставим в соответствие сим-
метричную ей точку Мг относительно данного центра О. По-
лучим отображение пространства на себя, называемое централь-
ной симметрией. Каждые две различные точки центральная сим-
метрия отображает на различные точки.

Определение. Отображение пространства на себя, при
котором любые две различные точки имеют различные образы,
называется преобразованием пространства.

Центральная симметрия является одним из видов преобразо-
ваний пространства. Центральную симметрию с центром О будем
обозначать символом Zo.

Некоторые другие виды преобразований пространства будут
рассмотрены в дальнейшем.

Произвольное преобразование пространства обозначим бук-
вой f. Если f отображает точку М на точку Мг, то пишут:
f (М) = Мр Запись / (Ф) = Oj означает, что/отображаетфигуру Ф
на фигуру Фг

Преобразование / можно рассматривать как множество всех
упорядоченных пар точек (М, MJ, где = f (Л4). Множество
всех упорядоченных пар точек (/Wj, М) определяет другое пре-
образование, отображающее Л12 на М. Такое преобразование на-
зывается обратным преобразованием к / и обозначается f"1.
Если / (М) = М19 то /-1 (MJ = М,

В результате последовательного выполнения преобразова-
ний /х и /2 появляется новое преобразование: / (М) = /2 (/i (М)).
Если/i (М) = Mj и /2 (MJ = М2, то / (М) = М2. Преобразование/
называют композицией преобразований и /2.

Обозначение композиции / преобразований fr и /2:

/2э/х =/.

Преобразование пространства, отображающее каждую точку

на себя, называется тождественным преобразованием. Его обозна-
чают буквой £. Согласно определению, для любой точки М про-
странства имеем: Е (М) = М. Преобразование Е можно рассмат-
ривать как множество всех пар совпадающих точек.

Задачи

153°. Какая фигура может служить при параллельном проек-
тировании образом: 1) треугольника; 2) трапеции; 3) тетраэдра;
4) параллелепипеда?

154°. Все точки пространства проектируются на плоскость.
Можно ли сказать, что это отображение является преобразова-
нием пространства?

155°. Постройте образы вершин тетраэдра ABCD при сим-
метрии с центром А.

156°. Существуют ли точки, прямые и плоскости, которые
центральной симметрией отображаются на себя?

157°. 1) Какое преобразование является обратным для цент-
ральной симметрии?

2) Каким преобразованием является композиция двух цент-
ральных симметрий, имеющих один и тот же центр?

158°. Найдите композиции: 1) Е о /; 2) /”х о f.

§ 15. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА. КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР

Из множества всех преобразований выделим множество пре-
образований, при которых расстояние между любыми двумя точ-
ками равно расстоянию между их образами. О таких преобра-
зованиях говорят, что они сохраняют расстояния. Примером
преобразования, сохраняющего расстояния, является центральная
симметрия. Докажем это.

Пусть центральная симметрия Zo отображает две произволь-
ные точки М и W пространства соответственно на точки Мг и
(рис. 60). Точки О, М, N, Mkt Ni принадлежат одной плоскости.
Обозначим ее через а. При симметрии Zo плоскость а отобра-
жается на себя, причем это отображение можно рассматривать
как центральную симметрию плоскости а относительно центра О.

Но центральная симметрия плоско-

сти сохраняет расстояния, поэтому
= | A4AZ|.

Определение 1. Преобразо-
вание пространства, сохраняющее рас-
стояния, называется перемещением.

Из определения перемещения вы-
текает:

а)	тождественное преобразование
есть перемещение;

б)	преобразование, обратное пере-
мещению , есть перемещение;
в)	композиция двух перемещений есть перемещение.

В дальнейшем будем пользоваться и другими свойствами пере-
мещений: любое перемещение отображает прямую на прямую,
плоскость — на плоскость.

Можно доказать также, что перемещение F отображает отре-
зок АВ на отрезок F (Д) F (В); полуплоскость с границей р — на
полуплоскость с границей F (р); полупространство с границей а —
на полупространство с границей F (а); тетраэдр ABCD — на тетра-
эдр F (Д) F (В) F (С) F (D) и т. д.

Наконец, одним из важных свойств перемещений является
сохранение величины угла при перемещениях.

Определение 2. Фигура Фх называется конгруэнтной
фигуре Ф, если существует перемещение, отображающее Ф на ФР

Обозначение:	Ф.

Из свойств а) — в) перемещений следует, что конгруэнтность
фигур обладает свойствами рефлексивности (Ф = Ф), симметрич-
ности (если Фх Ф, то Ф cbj, транзитивности (если Фх Ф
и Ф2 Фх, то Ф2 Ф).

Задачи

159°. Верно ли утверждение, что всякое отображение простран-
ства на себя, сохраняющее расстояния, является преобразова-
нием пространства?

160.	Дана плоскость а и прямая /, пересекающая а. Каждой
точке М а ставится в соответствие такая точка М19 что (MMj) ||/
и а делит отрезок ММГ пополам (рис. 61). Любой точке пло-
скости а ставится в соответствие эта же точка. Является ли задан-

ное отображение пространства на себя: 1) преобразованием про-
странства; 2) перемещением?

161.	Сохраняет ли перемещение: 1) параллельность двух пря-
мых; 2) параллельность прямой и плоскости; 3) параллельность
двух плоскостей?

162.	Докажите, что центральная симметрия отображает: 1) пря-
мую на параллельную ей прямую; 2) плоскость на параллельную
ей плоскость.

163.	Точка О называется центром
симметрии фигуры, если при симмет-
рии относительно О эта фигура отоб-
ражается на себя.

Сколько центров симметрии име-
ют следующие фигуры: 1) отрезок;
2) прямая; 3) плоскость; 4) объеди-
нение двух параллельных плоско-
стей; 5) объединение двух пересе-
кающихся плоскостей; 6) объединение
пересекающихся прямой и плоскости;
7) объединение параллельных прямой
и плоскости?
$ 16. НАПРАВЛЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Словом «направление» часто пользуются в обыденной речи.
Например, говорят о направлении полета воздушного лайнера
или направлении движения межпланетной станции. В курсе вось-
милетней школы вы ознакомились

Рис. 63

с понятием направления на пло-
скости. Выясним смысл этого по-
нятия для пространства.

1.	Пусть лучи hx = [O^i) и
Л2 = [О2^4 г) лежат на различных
параллельных прямых. Тогда эти
прямые лежат в некоторой
плоскости а (§ 3). Рассмотрим
две ее полуплоскости и а2
с границей (OiO2)- Если оба дан-
ных луча лежат в одной из этих
полуплоскостей (рис. 62, а), то
такие лучи называются сонаправ-
ленными; если же hx и й2 лежат
в различных полуплоскостях
(рис. 62, б), то эти лучи называются
противоположно направленными.

2.	Пусть лучи hx и Л2 лежат
на одной прямой. Эти лучи назы-
ваются сонаправленными, если их
пересечением служит луч (рис.
63, а), и противоположно направ-
ленными, если h± f] h2 не является
лучом (рис. 63, б, в, г).

Сонаправленность лучей и h2
обозначим так: hr ff h2. Если лучи
hr и h2 противоположно направ-
лены, то будем писать: hr || h2.
Пусть заданы луч АВ и точка
М (рис. 64). Через точку М про-
ведем прямую /и, параллельную
(АВ) (§ 4, задача). Такая прямая
единственна. Рассмотрим на пря-
мой tn лучи т1 и т2 с общим на-
чалом М. Один из них (/nx на
рис. 64) сонаправлен с лучом
АВ. Другой луч и [ЛВ) противо-
положно направлены.

Итак, каждая точка простран-
ства служит началом только од-
ного луча, сонаправленного с
данным лучом, и единственного
луча, противоположно направленного
с ним.

Заметим, что центральная симмет-
рия отображает каждый луч на проти-
воположно направленный луч. Чтобы в
этом убедиться, достаточно через луч и
центр симметрии провести плоскость и
воспользоваться аксиомой 9.

В пространстве, как и на плоскости,
сонаправленность лучей обладает свой-

ствами рефлексивности: h ft h, симмет-	рис< 55

ричности: если hr || й2, то h2 ft hi9 и
транзитивности: если h± Ц h2 и h2 |f h3,
то hr ft h3 (рис. 65).

Множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с од-
ним и тем же лучом, называется направлением в пространстве.

Любой луч вполне определяет все множество сонаправленных
с ним лучей. Поэтому в дальнейшем направление в пространстве
будем задавать с помощью одного луча.

Задачи

164°. Дан тетраэдр ABCD. Имеются ли среди лучей АВ, АС,
AD, CD: 1) сонаправленные; 2) противоположно направленные?

165°. Дан параллелепипед ABCDA^^D^ Назовите среди
лучей АВ, AD, AAlt ВС, СТЬ, BBlt СгС, АгЬг: 1) сонаправлен-
ные; 2) противоположно направленные.

166.	Г) Обладает ли противоположная направленность лучей
свойством транзитивности?

2) Докажите, что два луча сонаправлены, если они противо-
положно направлены с третьим лучом.

167.	Дано: [ЛВ) ft [MN), [CD) [W Каково взаимное
расположение лучей АВ и CZ)?

§ 17. ВЕКТОР

Понятие вектора в стереометрии вводится так же, как и в
планиметрии.

Рассмотрим упорядоченную пару (Л, В) несовпадающих точек.
Она определяет направленный отрезок с началом Л и концом В
(рис. 66). С помощью пары (Л, В) зададим преобразование про-
странства. Каждой точке М поставим в соответствие точку MY,
которая получится в результате следующего построения.

Приняв точку М за начало, проводим луч т, сонаправленный
с лучом АВ (рис. 67). На луче т имеется единственная точка 2Ult
удаленная от М на расстояние | АВ\. Это построение задает пре-
образование пространства, отображающее точку М на точку Мъ

Й1
в

Рис. 67

понятие

направления

Определение. Вектором (па-
раллельным переносом), определяемым
парой (Л, В) несовпадающих точек, на-
зывается преобразование пространства,
при котором каждая точка М отобра-
жается на такую точку 7Mt, что луч ММг
сонаправлен с лучом АВ и расстояние
[ М7И1| равно расстоянию |АВ|.

Вектор, заданный парой (А, В) не-
совпадающих точек, обозначается сим-
волом АВ. Направление, определяемое
лучом АВ, называется направлением
►

вектора АВ, а расстояние |АВ|—
►

длиной вектора АВ.

Условимся, что любая пара совпа-
дающих точек задает тождественное
преобразование, которое мы будем
называть теперь нулевым вектором.
Длина нулевого вектора равна нулю,
для него не вводится. Нулевой вектор,

заданный парой (Д, Д), обозначают символом А А.

Применяются и иные обозначения: а, Ь, с...—векторы; |а|
или а — длина вектора а; 0 — нулевой вектор.

Каждый вектор, отличный от нулевого, вполне характери-
зуется своим направлением и длиной. Поэтому, если ненулевые
векторы а и Ь сонаправлены и имеют равные длины, то эти векто-
ры равны (совпадают): а = Ь.

Пусть даны вектор а и точка Д. Можно построить единствен-
ную точку В такую, что АВ = а (рис. 68). Это построение назы-
вают откладыванием вектора а от точки Д.

Если вектор а отображает точку М на точку Мх, то записы-
вают: а (М) — Мг или а = MMt.

Вектор пространства обладает следующими свойствами:

1.	Вектор есть перемещение.

2.	Вектор отображает луч на сона-
правленный с ним луч, прямую — на
параллельную ей прямую.

3.	Вектор отображает плоскость на
параллельную ей плоскость.

Первые два из этих свойств дока-
зываются так же, как и в планиметрии.
Поэтому остановимся на доказатель-
стве только третьего свойства. Пусть
даны вектор а и плоскость а
(рис. 69). Вектор а является пере-
мещением (свойство 1), поэтому
он отображает плоскость а на
некоторую плоскость (§ 15).
Докажем, что ах || а.

На плоскости а проведем две
пересекающиеся прямые b и с.
Пусть а (Ь) = Ьх и а (с) = сг. Тогда
bi || b и Ci || с (свойство 2). Согласно
признаку параллельности плоско-
стей, || а. П

Рис. 69

Задачи

168.	Сколько векторов задают всевозможные упорядоченные
пары точек, составленные из вершин: 1) треугольника; 2) парал-
лелограмма; 3) тетраэдра; 4) параллелепипеда?

169°. На рисунке 70 изображены равнобедренная трапе-
ция ABCD и правильный треугольник АВМ. Из точек Л, В,
С9 D, М составьте две различные упорядоченные пары, задающие:
1) векторы равной длины; 2) сонаправленные векторы; 3) про-
тивоположно направленные векторы. Есть ли среди всех этих
векторов равные?

170.	Дан тетраэдр ABCD. 1) От точки А отложите вектор СВ;

——>

2)	от точки В отложите вектор АС; 3) от точки D отложите
—►

вектор АВ.

171.	Дан параллелепипед ABCDAxB^CjP^. 1) От точки В от-
— » -----------------------------------------------►

ложите вектор CD; 2) от точки Аг отложите вектор АС; 3) от
— ►

точки В отложите вектор ССг.

172.	Даны треугольник АВС и точки М, N. Постройте образ
треугольника при перемещении MN.

173.	Постройте образ тетраэдра ABCD при перемещении АС.

174°. Каким известным вам перемещением можно отобразить
один из двух данных лучей на другой, если эти лучи: 1) сона-

правлены; 2) противоположно на-
правлены?

175°. Существует ли вектор,
отображающий одну из двух дан-
ных плоскостей на другую, если
эти плоскости: 1) параллельны;
2) пересекаются?

176.	Докажите, что противо-
лежащие грани параллелепипеда
конгруэнт ны.
177.	Докажите, что треугольник и его проекция на плоскость
конгруэнтны, если плоскость треугольника параллельна плоско-
сти проекций.

178.	Дан параллелепипед АВСОА^В^С^Р^ Докажите, что сле-
дующие пары углов конгруэнтны: 1) Z^BCP и Z^ADrD\ 2) Z_CBDt
и /.ЛЖ 3) ЛАОС и LA^.

§ 18. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Начнем с рассмотрения теоремы, на основе которой вводится

понятие суммы двух векторов.

9-	Теорема. Композиция двух векторов есть вектор.

Доказательство. Пусть даны два вектора а и Ь. Докажем,
что их композиция есть некоторый вектор. Рассмотрим две про-
извольные различные точки М и AL Имеем: а (М) = М19 a (Af)=A\,
b (MJ = М2, b (А\) = Af2 (рис. 71).

в)

Рис. 72

Тогда композиция boa отобра-
жает точки М и N соответствен-
но на точки М2 и /V2. Для дока-
зательства теоремы достаточно
убедиться, что ММ2 = NNz- Век-
тор является перемещением (§ 17,
свойство 1). Поэтому | A12V| =
= |М^| и IM^I = |M2/V2|. От-
сюда |	= | M2AZ2| (1). Вектор

отображает каждый луч на сона-
правленный с ним луч (§ 17, свой-
ство 2), тогда [Al/V) ff	и

[Mi/Vi) ff [M2N2). Отсюда следует
(§ 16), что [MW) ff [M2/V2).	(2)

Если лучи MN и M2N2 не ле-
жат на прямой, то из (2) и (1)
вытекает, что MNN2M.2 — парал-
—►	—►

лелограмм. Тогда MM2=NN2. Это
равенство верно и в случае, когда
[/ИА/) и [М2Л/2) лежат на прямой.Ц

Композицию векторов а и b
принято называть суммой векто-
ров а и Ь. При этом вместо за-
писи boa = с пишут: а+Ь = с.

Рассмотрим произвольные точ-
ки 4, В, С (рис. 72, а). Из тео-

ремы о композиции двух векторов
вытекает равенство:

АВ + ВС = АС. 4=(3)
Действительно, вектор АВ отоб-
ражает А на В, вектор ВС отоб-
ражает В на С, тогда композиция
этих векторов есть вектор, отобра-
жающий Л на С (теорема 9).

—► •' ►
Следовательно, АВ + ВС = АС.

Равенство (3) называют пра-
вилом треугольника. Оно приме-

Рис. 73

нимо и в том случае, когда точки А, В9 С принадлежат одной пря-
мой (рис. 72, б, в), причем две из данных точек или даже все три
могут совпадать.

Нахождение суммы с векторов а и Ь основано на правиле тре-
угольника (рис. 73). Выбираем произвольную точку Л, откла-
дываем от нее вектор АВ = а, затем от В откладываем ВС = Ь.
— ►	—►

Вектор АС является искомой суммой с. Действительно,

а + Ь = АВ + ВС = АС = с.

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1.	а + 0 = а (закон поглощения нулевого вектора);

2.	а 4-й = й а (переместительный закон);

3.	(а + Ь) + с = а + (р + с) (сочетательный закон).

Эти свойства доказываются так же, как и в планиметрии.

Введем понятие суммы трех и большего числа векторов.
Согласно сочетательному закону сложения векторов суммы
(а + Ь) + с и а + (Ь + с) равны. Любую из этих сумм называют сум-
мой трех векторов а9 Ь9 с и записывают без скобок: а + b + с.
Сумма четырех (и более) векторов определяется аналогично:

a + b + c + d== (a+ b +с)+ d.

Переместительный и сочетательный законы сложения векто-
ров позволяют как угодно переставлять и группировать слага-
емые, при этом сумма векторов не изменяется.

Сумму трех или более векторов можно
найти, пользуясь правилом многоугольни-
ка. Пусть надо найти сумму s = аг + а2 +
+ а3 + я4. Выбрав произвольно точку А
(рис. 74), откладываем последовательно
векторы A Ai = а19 ДХД2 = а2, Л2Д3 = а3,
- —► >

Л3Д4 = а4. Вектор АА4 равен искомой
сумме s. Убедитесь в этом самостоятель-
но, применяя последовательно правило
треугольника (рис. 74).

Mal
Задачи

179°. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше дли-
ны каждого из слагаемых?

180.	В трапеции ABCD основания [XD] и [ВС] имеют соот-
ветственно длины а и b (а > Ь). Постройте направленный отре-
зок, задающий вектор: 1) AD + ВС; 2) AD 4* СВ; 3) АВ 4- CD.
Вычислите длину каждого из этих векторов.

181.	В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Докажите,
что АМ + АМ = АВ + АС.

182°. Докажите, что А В 4- DA = DB.

183°. Найдите сумму АВ + ВС + С А.

184.	Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов:

1)	ЛВ + BD + DC-, 2) AD + СВ + DC-, 3) АВ + CD + ВС4-ОД.

185.	Дан параллелепипед ЛВСОД1В1С1О1. Найдите сумму
векторов: 1) ДВ + ВВ, + В£х\ 2) СВ + В^ + AD^, 3) АС\ +
4- D?A + BDi, 4) D\C + AAt 4- СВ 4- C^C.

§ 19. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

1.	Применяя правило треугольника, найдем сумму векторов
АВ кВА-.

АВ + ВА — АА = 0.

Два вектора называются противоположными, если их сумма
равна нулевому вектору. Вектор, противоположный вектору а,
обозначают через —а. По определению имеем:

а + (— а) = 0.

(1)

Ненулевые противоположные векторы (рис. 75), очевидно,
имеют равные длины и противоположные направления. Отметим
—►
также, что В А — —АВ.

2.	Докажем, что если с = а 4- (—Ь), то с 4* b = а.

Действительно,

с 4- b = (а 4- (—Ь)) + Ь = а 4- ((—Ь) 4- Ь) = а 4- б = а.

(Какие законы сложения векторов здесь применялись?)
Вектор с называется разностью векто-	а

ров а и Ь, если

с + b — а.

-♦	-+ -*	—— -S’

Обозначение разности с векторов а и Ь:	' -—

а — Ь = с. Из рассуждения, приведенного
в начале пункта 2, вытекает:	ис’ 5

а — Ь = а + (—Ь).	(2)

Таким образом, вычитание векторов
сведено к сложению: чтобы найти разность

*	7 _	v	Л

векторов а и Ь, достаточно наити сумму
вектора а и вектора, противоположного
вектору Ь.

3.	Для любых трех точек А, В, О	°

пространства имеет место следующая важ-	рис 7е

ная формула вычитания векторов:

OB — ОА = АВ.	(3)

Действительно, по правилу треугольника (рис. 76) ОА 4-
4- ЛВ = ОВ, отсюда по определению разности векторов АВ =
= ОВ— ОА.

Для точек Л4, Р, Q по формуле (3) (не пользуясь чертежом)
можно, например, записать:

PQ = MQ — MP, PQ — PM = MQ.

Задачи

186.	Дан тетраэдр ABCD. От точки А отложите вектор, про-
тивоположный вектору: 1) DB; 2) CD; 3) ВС.

187.	Докажите, что если точки О, А, В не принадлежат
одной прямой и ОС = ОА — ОВ, то четырехугольник ОВАС —

параллелограмм.

188.	Вне плоскости треугольника АВС взята точка О. Отло-
жите от О векторы: 1) О А — ОВ; 2) —О А — ОС; 3) О А + ОВ—ОС.

189.	Докажите, что если в треугольнике АВС угол АСВ пря-
— • ---------►   > ——>•

мой, то | С А + СВ| = | С А — СВ\. Верно ли обратное утверждение?

190.	Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ОА + ОС —

= ОВ + OD, где О — произвольная точка пространства.

191.	1) ABCD — тетраэдр. Докажите, что AD+BC = BD+AC.

2) Верно ли это утверждение для четырех произвольных точек?-

|>47
§ 20.	КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

1.	Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если
их направления совпадают или противоположны. Если среди двух
векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то такие векторы
также будем считать коллинеарными.

Иногда бывает удобно данные векторы отложить от одной и
той же точки. На рисунке 77 изображены векторы а, Ь9 с9 отло-
женные от точки О:

а = ОА, b = ОВ9 с = ОС.

Если векторы а9 Ь9 с коллинеарны (рис. 78), то точки О, Д,
В9 С принадлежат одной прямой.

2.	Определение. Произведением ненулевого вектора а на
число х называется вектор, имеющий направление вектора а, если х
положительно, и противоположное направление, если х отрицатель-
но. Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на
модуль числа х.

Произведение вектора а на число х обозначается через ха.
-*	-* -* з

На рисунке 79 изображены векторы а и За, b и--Ь.

В приведенном выше определении не рассмотрены случаи,
когда а = 0 или х = 0. Для этих случаев примем дополнительные
определения:

jrO = 0 для любого х;

0а = 0 для любого а.

Заметим, что при любых х и а векторы ха и а коллинеарны и
|ха| = |х| • |а|.
Рис. 79
распределительный закон).

Умножение вектора на число
обладает следующими свойствами:

1.	х (уа)= (ху?) а (сочетатель- **
ный закон);

2.	ха + ya = (х -5- у) а (пер-
вый распределительный закон);

3.	ха 4“ xb = х (а + &) (второй

Доказательства этих свойств известны из планиметрии.

Условие коллинеарности двух векторов можно выразить с
помощью векторного равенства.

10. Теорема (признак коллинеарности). Необходимым и до-
статочным условием коллинеарности ненулевого вектора а и
вектора Ь является существование такого числа х, которое
удовлетворяет равенству b =ха.

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть при некото-
ром х выполняется равенство: b = ха. Тогда векторы Ь и а кол-
линеарны согласно определению умножения вектора на число.

2) Необходимость. Пусть векторы а и b коллинеарны, при-
чем Ь =/= 0. Найдем такое число х, что выполняется равенство
b = ха (1). Для этого рассмотрим отношение |&| : |а| = k. Отсюда
|b| = k |а|. Если b ff а, то (1) выполняется при х = k. В случае
b f| а нужно взять х = —k.

Если же b = 0, то х = 0. Н

Задачи
 >

192. Дан ненулевой вектор О А. Отложите от точки О векторы:
1) уОЛ; 2) —2ОА-, 3) — |оЛ; 4) ]А2 ОА-, 5) — /3 ОА.

193°. При каких значениях k длина вектора ka (а =/= 0): 1) равна
длине вектора а\ 2) больше |а|; 3) меньше |а|?

194°. О —точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Найдите х, если: 1) АВ = xCD; 2) АС = хАО; 3) OB = xBD-,
4) ОС = xCD.

195. На какое число нужно умножить ненулевой вектор а,
чтобы получить вектор т, удовлетворяющий следующим усло-
виям: 1) tn ft а и |m| = 1; 2) т || а и |т| = 5; 3) т а и |т| = Ь;
4) m = б?

196°. В треугольнике АВС медианы AAlt BBlt ССг Пересе-
 ►* -------------------------------------------------►

каются в точке М. Найдите множитель k, если: 1) ЛХС = kBC\

Щ
2) CtB = kCYA; 3) AM = kMAi, 4) ССг = k^M; 5) Л4ВХ =

6)	MA = kAA,.

197.	Дано: а и b коллинеарны, |a| > |Ь|. Какое направление
имеет вектор а + b? Найдите длину этого вектора.

$ 21. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Для сложения двух неколлинеарных векторов иногда бывает
удобно пользоваться правилом параллелограмма, известным из
планиметрии. Напомним это правило.

Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов а и Ь.
Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а и OB = b

Рис. 82

(рис. 80). Построим параллелограмм
АОВС. Вектор ОС, где [ОС] — диаго-
наль параллелограмма, является
искомой суммой. Действительно, по
правилу треугольника

ОА +ОВ — ОА + АС = О&
Определение. Три ненуле-

вых вектора называются компланар-

ными, если лучи, задающие их
направления, лежат на прямых, па-
раллельных некоторой плоскости
(рис. 81).

Если среди трех векторов имеет-
ся хотя бы один нулевой, то такие
векторы также будем считать комп-
ланарными.

В случае компланарности векто-
ров ОА, ОВ, ОС (рис. 82) точки
О, А, В, С принадлежат одной плос-
кости.

Теорема. Если векторы а и b
не коллинеарны, то любой век-
тор с, компланарный с векторами
а и Ь, можно представить единст-
венным образом в виде:
c=xa-\-yb.

Доказательство. Пусть
векторы а, Ь, с компланарны^
! | 'Л-’рмц
причем а и b не коллинеарны.
Найдем числа х и у, удовлетво-
ряющие равенству с = ха + yb.
От точки О отложим векторы
ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с. Из
условия теоремы следует, что
точки О, А, В, С принадлежат

некоторой плоскости а. Рассмот-

рим случай, когда С £ (ОА) и С £ (ОВ) (рис. 83). В плоскости а
через точку С проведем прямые, параллельные прямым ОА и ОВ.
Получим параллелограмм MONC. По правилу параллелограмма
можно записать: ОС — ОМ + ON. Но ОМ — хОА и ON = уОВ
(§ 20), тогда ОС - хОА + уОВ, или с = ха + yb.

Если же С € (ОА) или С € (ОВ), то в последнем равенстве
соответственно у — 0 или х — 0.

Можно доказать, что числа х и у определяются однозначно,

т. е. если с = ха 4- yb и с = х2а 4- ytb, то х = xt и у = у^И
Если даны неколлинеарные векторы а и Ь, то представление

вектора с, компланарного с а и Ь, в виде суммы ха 4* yb назы-
вается разложением вектора с по векторам а и Ь.

Задачи

198.	К одной точке тела приложены силы Ft и F2 (рис. 84).
Найдите величину равнодействующей силы, если угол между

данными силами равен <р.

199.	От центра О правильного шестиугольника Д1ДгД3Д4Д6Дв
отложите векторы: 1) ОДг 4- 0А3; 2) ОДа 4- ОД4 4- ОД6; 3) ОДХ 4-
4- ОДа 4- ОД8 4- ОД4 4- ОД6 4- ОА6.

200.	Докажите, что если О — точка пересечения медиан тре-
угольника АВС, то О А 4* ОВ 4- ОС = 0.

201.	Даны неколлинеарные векторы ОА и ОВ. От точки О
отложите векторы: 1) 20А 4- ОВ\ 2) О А —	$)	'

202.	Из вершин тетраэдра ABCD составьте: 1) две упорядо-
ченные пары точек, задающие коллинеарные векторы; 2) три

упорядоченные пары, задающие
компланарные векторы; 3) три
упорядоченные пары, задающие
некомплаиарные векторы.

203.	Дан параллелепипед
ABCDAtBiCiD!. Какие из следую-
щих троек векторов компланарны:
1)_ЛЛХ, CCX, В^В; 2) АВ, AD, AAf, 3) BJB, AC, DDr; 4) AD’
А^ВЪ CCX?

204.	Дан параллелограмм ABCD. Разложите по векторам
р = АВ и q = AD векторы: 1) АВ; 2) AD; 3) АС; 4) АО, где
О = (АС) П (BD); 5) АМ, где М — середина отрезка ВС.

205.	Дан треугольник АВС. Разложите по векторам а = С А
и b = СВ векторы: 1) CBlt где Вх — середина [ЛС]; 2) ССХ, где
Сх — середина [ЛВ]; 3) СО, где О — точка пересечения медиан
треугольника; 4) СК, где К € [ЛВ] и | АК\ : | КВ\ = 3 : 10.

§ 22. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Задача 1. Доказать, что если М— середина отрезка АВ и
О — произвольная точка пространства, то выполняется равенство:

ОМ = 1 (ОА + ОВ).

" ► ----►

Решение. Согласно условию задачи имеем: АМ = МВ
(рис. 85). Но АМ = ОМ — ОА и МВ = ОВ — ОМ (§ 19). Тогда
ОМ — ОА = ОВ — ОМ, отсюда О/И = 1 (ОЛ + ОВ) 

Задача 2. Доказать, что если М — точка пересечения медиан
треугольника АВС и О — произвольная точка пространства, то
выполняется равенство:

дм = - (бл + бв + дс).

3

Решение. Пусть [CCJ—медиана треугольника АВС
—►	। —►

(рис. 86). По свойству медиан треугольника МСХ = —ССХ. При-
3

меняя к векторам МСХ и ССХ формулу вычитания векторов (§ 19),
получим: ОСХ — ОМ = — (ОСХ — ОС), отсюда ОМ = — ОС +
3	3
+ — OCi. Но ОСг = — (О Л + ОВ) (задача 1), тогда

3	2

ОМ = -ОС + -  - (бв + ОА) = - (ОА + дв + ОС).Ш
3	3	2	3

Задачи

206.	Точки Afi и М2 — середины отрезков Л1В1 и А2В2 со-
ответственно. Докажите, что М±М2 = — (Др42 + ВХВ2).

207.	Докажите, что середины оснований трапеции и точка
пересечения продолжений ее боковых сторон принадлежат одной
прямой.

208.	1) Мх и ТИ2 — точки пересечения медиан треугольников
Л1В1С1И Л2В2С2. Докажите, что МгМ2 = у (4р42 + В1В2 + СХС2).

2) В треугольнике АВС точки Alr В19 Сх являются середи-
нами сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что при любом выборе точ-
ки О выполняется равенство:

ОАх + ОВг + ОС1 = ОА + ОВ + ОС.

209.	В тетраэдре ABCD точки Мг и М2 являются соответ-
ственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Дока-
жите, что векторы Л41М2 и АС коллинеарны. Найдите отноше-
ние длин этих векторов.

210.	Треугольник АВС является параллельной проекцией
треугольника ДХВХСХ на плоскость. Известно: | ЛЛХ| = а, | ВВХ| = Ь,
| ССХ| = с. Найдите расстояние между точками пересечения ме-
диан этих треугольников.

§ 23. ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ТРЕМ
НЕКОМПЛАНАРНЫМ ВЕКТОРАМ

1.	Для сложения трех некомпланарных векторов иногда бы-
вает удобно пользоваться правилом параллелепипеда. Пусть
надо найти сумму некомпланарных векторов а, Ь, с (рис. 87).
Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а, ОВ = Ь,
——► ->

ОС = с. Построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ,
ОС были его ребрами. Вектор OS, где [OS] — диагональ парал-
лелепипеда, является искомой суммой.

Действительно, 0Л+бв + бс = дЛ+ЛО4-Р5 = 05(§ 18).

2.	Пусть даны некомпланарные векторы а, Ь, с. Выясним,
можно ли произвольный вектор d представить в виде:

d = ха + yb + zc.

(1)_

^53

|	1«Л|
Ри:. 88

От точки О отложим векторы: ОА = а. ОВ = Ь, ОС = с,
OD = d (рис. 88). Плоскости АОВ, ВОС, СОА различны. Рас-
смотрим случай, когда точка D не принадлежит ни одной из ука-
занных плоскостей. Через D проведем плоскости, соответствен-
но параллельные плоскостям АОВ, ВОС, СОА. В полученном
параллелепипеде отрезок OD — диагональ. Концы ребер, выхо-
дящих из вершины О, обозначим Alf Ви Сг. По правилу парал-

—►	►   ►   ► *• ►

лелепипеда OD = ОАХ + ОВг + ОСХ. Но векторы ОАХ и ОА кол-
линеарны, поэтому OAi = x ОА. Аналогично, OBj = уОВ, ОС^ =
= г ОС. Следовательно, OD — х О А 4- у ОВ + z ОС, или

d = ха + yb + zc.

— —>

Если точка D принадлежит плоскости АОВ, то векторы ОА,
ОВ, 0D компланарны и, следовательно, d=xa + yb (§21).
Тогда в равенстве (1) полагаем 2 = 0. Аналогично рассматри-
ваются случаи, когда точка D принадлежит (ВОС) или (СОА).

Если заданы некомпланарные векторы а, Ь, с, то представ-
ление вектора d в виде суммы ха + yb + zc называется разложе-
нием вектора d по векторам а, Ь, с.

Можно доказать, что полученное разложение является един-
ственным, т. е. из равенств d = ха + yb + zc nd = х±а + y^b + zxc
следует: х = у = ух, z = zv 

Итак, имеет место следующая теорема:

12. Теорема. Для каждого вектора пространства существует
единственное разложение по трем данным некомпланарным век-
торам.

Задачи

211.	Дан параллелепипед ABCDA^ByC^^. Разложите по
векторам р = АВ, q = AD, г = AAt векторы: 1) AB±; 2) AGii
3)	AM, где M — середина [DDJ; 4) АМ,
где N — середина [CCJ; 5) АР, где Р —
середина [BCi]; 6) AQ, где Q €
и IDiQI : IDiCJ = 5:11.

212.	Треугольник АВС является
параллельной проекцией треугольника
Д1В1С1 на непересекающую его пло-
скость (рис. 89). Известно: | ЛЛх! = а,
|	= b, М — середина Разло-

жить вектор ЛЛ1 по векторам A Ai =
= р, АВ = q, АС = г.

Решение. Имеем: А М = -i- (АС + ABt) = (г + ABJ (§ 22, за-

дача 1). По правилу треугольника ABt = АВ 4- BBt = q + BBt.
Нэ BBL = хр, так как ВВ^р, отсюда | BBL | = х | р |, или b — ха,
х —Тогда ЛМ = ^(г + ? + -р)	4-1(7 + -^г.

а	2 \	а / 2а 2	2

213.	Медианы грани АВС тетраэдра ОАВС пересекаются
в точке М. Разложите вектор О А по векторам ОВ, ОС, ОМ.

214.	Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О.
Разложите по векторам а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС векторы: 1) ОМ,
где М = (AC) f| (BD); 2) OD; 3) ОК, где К — середина [Л£>].

215.	В тетраэдре ABCD медиана ЛЛХ грани АВС делится точ-
----------------------------------------------------------►

кой М в отношении |АМ| : |AMJ = 3:7. Разложите вектор DM
 >*  '•► - ►

по векторам DA, DBt DC.

216.	Рассматривается треугольник, вершинами которого яв-
ляются концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной
его вершины. Докажите, что точка пересечения медиан тре-
угольника принадлежит диагонали параллелепипеда, выходящей
из той же вершины, и делит эту диагональ в отношении 1 : 2.

§ 24. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ

Предварительно введем понятие угла между двумя направ-
лениями в пространстве.

13.	Теорема. Если стороны двух выпуклых углов1 соответст-
венно сонаправлены, то эти углы конгруэнтны.

Доказательство. Пусть стороны углов АОВ и A^Bt
сонаправлены: [0хДх) || [ОД), [ОхВх) || [ОВ) (рис. 90). Докажем,
 >

что Z1A1O1B1 /СЛОВ. Вектор ООХ отображает луч ОА на сона-

1 Выпуклый угол — угол, удовлетворяющий определению выпуклой
фигуры (см. с. 10).
Рис. 90

правленный с ним луч (§ 17, свойство 2).
Но по условию [OHi) [СМ), причем из
точки Ох выходит единственный луч, со-
направленный с лучом ОА. Следователь-
но, образ луча ОА совпадает с лучом
OiAx. Аналогично доказывается, что луч
ОВ отображается этим же вектором на
луч

Вектор OOj есть перемещение. А вся-

кое перемещение сохраняет величину угла
(§ 15). Следовательно, вектор ООХ отображает выпуклый угол
АОВ на выпуклый угол А1О1В1, т. е. /_А1О1В1 о^ЛАОВ. 

Пусть два направления заданы лучами /х и /2. Из каждой точ-
ки О выходит единственный луч первого направления (§ 16)
и единственный луч т2 второго направления (рис. 91). Величина
угла между лучами и т2 не зависит от выбора точки О. Дей-
ствительно, любые два выпуклых угла, стороны которых соответ-
ственно сонаправлены с /х и /2, конгруэнтны (теорема 13) и, следо-

вательно, имеют равные величины.

Углом между двумя направлениями называют величину угла
между любыми двумя лучами этих направлений, имеющими
общее начало.

Обозначение угла между двумя направлениями, определяемыми
лучами /х и /2: (119 /2) = <р, где ср € [0°, 180°].

Определение. Углом между двумя ненулевыми векторами
называется угол между направлениями этих векторов.

Обозначение угла между векторами а и Ь: (а, Ь) = ф (рис. 92).

Если угол между векторами равен 90°, то векторы называют
перпендикулярными и записывают: а ± Ь.

Выделим еще два частных случая:

1)	если a ft b, то (а, Ь) = 0°; 2) если a f| b, то (а, Ь) = 180°.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называют ве-
личину меньшего из углов, определяемых этими прямыми.

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют
угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно

Рис. 91

Рис. 92
параллельными данным скрещиваю-
щимся прямым (рис. 93).

Если две прямые параллельны,
то угол между ними считается рав-
ным 0°.

Обозначение угла между прямы-
ми р и q:

Рис. 93

в

(Р. <7) = Ф.

где 0° <р 90°.

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если
угол между ними равен 90°. В этом случае записывают: р J. q.

Задачи

217.	Лучи, задающие направления ненулевых векторов р и q,
лежат соответственно на прямых а и b. 1) Верно ли утвержде-
ние: (a, b) = (р, q)? 2) При каком условии выполняется равенство:
(а,%) = 180° — (р,Лд)?

218.	Дан куб ЛВСРЛ1В1С|£>1. Найдите угол между векто-
рами и угол между прямыми, определяемыми теми же парами
точек, что и векторы: 1) DX4X и ССХ; 2) CJ3 и DD^, 3) DCX и ЛХВ;
4) АС и DCi, 5) DAt и О-

§ 25. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Для вычисления величины механической работы пользуются

-.Л-»

формулой А = F • S • cos а, где а = (F, S) (рис. 94). Работа — ска-
лярная величина, хотя и является результатом некоторой one-
рации над векторными величинами: силой F и механическим
перемещением S. Определим эту операцию для произвольных
векторов а и Ь.

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых
векторов называется произведение числовых значений длин этих

векторов на косинус угла между векторами.

Если из двух векторов хотя бы один вектор нулевой, то ска-

лярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Обозначение скалярного произ-

ведения векторов а и Ь: а • Ь.

Согласно определению а • b =
-л- -

= ab cos<p, где <р= (а, Ь), а =£ 0, b =/= 0.

Докажем простейшие свойства
скалярного произведения двух векто-
ров.
1)	Необходимым и достаточным условием перпендикулярности
двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного
произведения.

Достаточность. Пусть а • b = 0, отсюда ab cos <р = 0. Но по
условию а =/= 0, b =/= 0, поэтому cos <р = 0, <р = 90°, т. е. а ± Ь.

Необходимость. Если а ± b, то <р = 90° и по определению
а • b — ab cos 90° = 0.

2)	Скалярное произведение вектора на этот же вектор равно
квадрату числового значения его длины.

Действительно, по определению имеем: а • а = аа cos 0° = а8.

Произведение а • а будем записывать а2 и называть скалярным
квадратом вектора а. Тогда свойство 2 можно сформулировать
по-иному: скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины,
т. е. а2 = а2. Отсюда следует, что а =	а2.

Задачи

219°. 1) Какой знак имеет скалярное произведение ненуле-
вых векторов а и Ь, если угол <р между ними находится в про-
межутке: а) 0° <р < 90°; б) 90° < <р 180°?

2)	В каком промежутке находится угол <р между векторами
а и Ь, если: а) а • b > 0; б) а • b < 0?

220°. Найдите скалярное произведение векторов:

1)	а и —а; 2) Ь и kb.

Л	Л

221.	Треугольник АВС, у которого А = 45°, В — 60°, вписан
в единичную окружность с центром в точке О. Вычислите ска-
лярные произведения: 1) ОВ • ОС; 2) ОС  ОА; 3) О А • ОВ.

222.	ABCDEF — правильный шестиугольник с центром О и
стороной а. Вычислите скалярные произведения: 1) АВ • ED;
2) AD • СВ; 3) ОА • ОВ; 4) ОА • ОС; 5) ОА • ЪЬ; 6) АВ • AD;
7) АВ • АС.

223.	Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС
равна с. Вычислите сумму:

АВ • АС + ВС • BA + СА • СВ.

224.	Дан треугольник АВС: | ВС| = а, |СЛ| = Ь, | АВ\ = с.
Выразите через а, Ь, с скалярные произведения: 1) АВ • АС;
2) ВС • ВА.

225.	ОА и ОВ — неколлинеарные единичные векторы. Найдите
скалярное произведение (ОА + ОВ) • (ОА — ОВ),
226.	Длина каждого из ребер тетраэдра ABCD равна а, точ-
ки М, N, Р являются серединами ребер АВ, AD, DC. Вычислите
скалярные произведения: 1) АС • ЛВ; 2) AD • DB; 3) ~PN • ЛС;
4) MN • ВС; 5) NP - BA; 6) PM • PB.

§ 26.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Скалярное умножение векторов обладает свойствами, анало-
гичными законам операций над числами:

1)	а • b = Ь • а (переместительный закон);

2)	(ka) • b = k (а • Ь) (сочетательный закон);

3)	а • (b с) == а • Ь + а • с (распределительный закон).

Переместительный и сочетательный законы доказываются на
основе определения скалярного произведения.

Доказательство распределительного закона основано на ра-
венстве:

(a +b)2 = а2 + 2а- b + ~b2.	(1)

Докажем равенство (1). Рассмотрим случай, когда векторы
а иЬ неколлинеарны. Отложим АВ = а, ВС == Ь, тогда АС = а Ч Ь
(рис. 95). Рассмотрим треугольник АВС. По теореме косинусов:
Uci2 = IЛВ|2 + |ВС|2 —2 |ЛВ| • |BC|cos (180° — <р) =

= | ЛВ|2 + | ВС|2 + 2 | АВ\ • | ВС| cos <р. где <р = (а~Ь).

Но | ACI2 = (а + Ь)2, | ДВ|2 = а2, | ВС|2 = Ь2,
| АВ\ • | ВС| cos <р = а • Ь.

Тогда (а + Т>)2 = а2 + 2а • b + Ь2.

Из только что полученной формулы и сочетательного закона
следует:

(а — Ь)2 = (а + (—Ь))2 = а2-2а- b + Ь2.	(Г)

Равенства (1) и (Г) верны и в том случае, когда векторы а и Ь
коллинеарны.

Из формул (1) и (!') легко получается следствие:

(а + ь)2 = 2а2 + 2Ь2 — (а -Л)2. (2)

Докажем распределительный закон
скалярного умножения векторов.

Преобразуем выражение (а + b + с)2.

Сначала сгруппируем слагаемые так,
чтобы можно было выделить скалярное
произведение а • (b + с). Имеем:

(а + b + с)2 = (а + (Ь + с))2 = а2 + 2а • (Ь + с) + (Ь +

= а2 + Ь2 + ? + 2а • (Ь + с) + 2Ь • с.	(3)

Теперь преобразуем (а + Ь + с)2, используя равенство (2):

(а +~Ь + с)2 =((- + Й + (- + cYf = 2(- + b]2

\\ 2	/	\2	)/	\2	)

+	+с)2—

с + 2Ь  с. (4)
выполнив не-

— (Ь — с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2а • Ь + 2а 

Приравняв правые части равенств (3) и (4) и
сложные преобразования, получим:

fl • (b + с) = а • b + а • с. &

Доказывая распределительный закон, мы попутно вывели
формулу скалярного квадрата суммы трех векторов:

(а + Ь + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2а • Ь + 2а • с + 2Ь • с.
Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться.

Приведем пример применения распределительного закона. Пусть
надо произвести умножение: (а + Ь) • (с + d). Обозначим через т
сумму а + Ь. Тогда т • (с + d) = т • с + т • d = (а + b) • с +
+ (а + Ь) • d = а • с + Ь • с + а • d + b • d.

Замечаем, что этот результат можно получить, преобразуя
произведение (fl + &)- (с + d) по аналогии с известным из алгебры
способом преобразования произведения двух многочленов. По-
этому в дальнейшем промежуточные записи будем опускать.

§ 27.	ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Векторные операции имеют вполне определенный геометри-
ческий смысл, поэтому они находят применение в геометрии. Мно-
гие векторные величины (скорость, ускорение, сила и др.) изуча-
ются в физике. Это открывает возможность широкого применения
векторов при изучении законов природы.

Скалярное произведение применяется при решении задач на
вычисление длин отрезков и величин углов.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике медианы, прове-
денные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти
угол между боковыми сторонами этого треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике АВС | А В | = | АС|. Меди-
аны BBL и СС\ по условию перпендикулярны (рис. 96), поэтому

BBL • ССх = 0.




Разложим векторы ВВ, и СС, по
векторам р = АВ и q = АС. Имеем:

ВВг - ABt — АВ =	— р,

CCi=AC1—AC=^p — 'q.

Из равенства (1) следует:

(у ?-'?) = °.

7<? • Р —7?2 — 7Р2 + Р • <7 = О»

4	Z

5 - -	1	1 *<, А

7Р-9-?«г-?Р-=0-

Обозначив |р| = |<?| = т и (р, о) —'Ь
воспользуемся определением скаляр-
ного произведения. Тогда получим:

— т2 cos ф — tn2 = О,
4

отсюда cos ф = 0,8; ф ~ 37°.

Рис. 96

Рис. С7

Задача 2. В параллелепипеде ABCDAiBiCiPi (рис. 97) грань
ABCD — квадрат со стороной а; ребро Л Л, также равно а и
образует с ребрами АВ и AD углы, равные а. Найти длину диа-
гонали BDl и угол между прямыми ВО, и АС.

Решение. Найдем длину диагонали BDX. Разложим вектор
BDi п0 векторам р = АВ, q = AD, г = AAit

Имеем: ВО, = ЛО, — АВ = (г + q) — р = г -f- q — р. Тогда

| BDi\* = ВО2

(r + q— р)2 = г2 +q2 + p2+ 2r-q — 2r-p — 2q-p =

= а2 + а2 + а2 + 2а2 cos а — 2а2 cos а — 2а2 cos 90° = За2; отсюда

| BOJ = а/3.

Угол <р между прямыми ВО, и АС найдем, пользуясь опре-

делением скалярного произведения двух векторов:

| ДО, • AC I

I ЙА1- Йс|

cos ф =

Знак модуля в числителе поставлен потому, что ф 90° (§ 24),
и, следовательно, cos ф 0. Находим:

BDi^ АС = (г + Ч~ Р)  (Р + Р) = г  р + q • р — р2 +
+ г • q + q2 — р • q — 2а2 cos а.

гр	12а2 cos а I 1/^2.	.

Тогда	СЮф = _____|/_ local.
Задачи

227.	Докажите, что длина медианы треугольника выражается
через длины его сторон формулой:

та = у /262 + 2с3 - а3.

228.	На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС
взята точка D, удовлетворяющая условию | BD | : | DA | = 3:1.
Выразите длину отрезка CD через длины катетов | СВ | = а и
| СА | = &.

229.	В треугольнике АВС длины сторон связаны соотноше-
нием а2 + Ь2 = 5с2. Докажите, что медианы, проведенные к сто-
ронам АС и ВС, взаимно перпендикулярны.

230*. Найдите косинус угла между биссектрисой угла тре-
угольника и противолежащей стороной, если отношение длин
двух других сторон треугольника равно 3, а угол между этими
сторонами равен а.

231.	Дано: | а| = 2, | b| = 1, (а, Ь) = 60°. Найдите косинус
угла между векторами: 1) а и а + Ь\ 2) b и а — Ь\ 3) а + b и
а — Ь.

232.	ABCD—тетраэдр, в котором | ЛВ| = | АС\ = а и DAB =
= DAC — <р. Докажите, что (AD) ± (ВС).

233.	1) Три силы, приложенные к одной точке, образуют по-
парно углы, равные ф. Найдите величину равнодействующей,
если величина каждой из данных сил равна F.

2) Найдите равнодействующую трех сил по 10 Н каждая, если
силы приложены к одной точке и углы между силами 90°, 60°,
60° (рис. 98).

234.	Груз равномерно перемещают по горизонтальной пло-
скости с помощью двух канатов, один из которых образует
угол 15°, а другой — 20° с направлением движения (рис. 99).
Сила натяжения каждого каната равна 50 кН. Какую работу
нужно затратить для перемещения груза на 100 м? (Трением
пренебрегаем.)

Рис. 99
235.	Докажите, что квадрат длины диагонали прямоуголь-
ного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

236.	Найдите углы между диагональю куба и диагоналями ка-
кой-либо его грани.

237.	Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники со
стороной а. 1) Найдите длину отрезка, соединяющего вершину
тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани.
2) Найдите расстояние между серединами противолежащих ребер
тетраэдра. 3) Докажите, что прямая, проходящая через середины
противолежащих ребер тетраэдра, перпендикулярна каждому
из этих ребер.

238.	Докажите, что если два пересекающихся ребра тетраэдра
соответственно перпендикулярны противолежащим им ребрам,
то остальные два противолежащих ребра также перпендикулярны.

239.	Через точку, взятую на прямой, проведены три прямые,
каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Докажите,
что проведенные прямые лежат в одной плоскости.

Задачи на повторение к главе II

240.	Докажите: ||а| — \Ь\\ < \а + Ь\ < |а\ + [Ь|.

При каком условии выполняется равенство?

241.	Докажите, что если О А + ОС = ОВ + О£>, то отрезки АВ
и CD симметричны относительно некоторой точки.

242.	Неколлинеарные векторы а и b имеют равные длины.

Докажите, что векторы а + b и а — b взаимно перпендикулярны.

243.	1) Сумма трех попарно неколлинеарных сил, прило-
женных к одной точке, равна нулю. Докажите, что точка при-
ложения является точкой пересечения медиан треугольника с
вершинами в концах направленных отрезков, изображающих

данные силы.

2) Может ли равнодействующая сил Лебедя, Рака и Щуки
(из басни И. А. Крылова) быть равной нулю?

244.	У правильного пятиугольника А1А2А3А^А5 сторона рав-
на а. Обозначив буквой О центр этого пятиугольника, най-
дите длины векторов:

1) ОХ + ОА2; 2) OAt + ОА3.

245.	Прямые р и рг пересека-
ются в точке О (рис. 100). На
прямой р даны точки Л, В, С и
для них построены на прямой рг
точки А1Э Вь Ci так, что (ABJ ||
|| (АгВ), (BCi) || (ВХС). Доказать,
что (AQ || (АХС).

Решение. Из условия зада-
чи и теоремы о пропорциональных
отрезках, известной из планиметрии, следует:

ОВ = kOA, = kOBu ОС = СОВ, ОВХ = 1ОС\.

Исключим векторы ОВ и ОВХ: ОС= I (kOA) = lkOA,OAl = k (ЮС^—
=klO(\. Отсюда (ОС — ОА]. = kl (ОА — OC^z^aCc = klC^A^
=Ф ((Л£) || (С^)). 

246.	Докажите, что три вектора компланарны, если два из
них коллинеарны.

247.	Точка А—общая вершина параллелограммов ABCD и
-----------------------------------------------► — ► ----►
AB^iDi. Докажите компланарность векторов ВВ19 СС19 DDV

248.	Точки пересечения медиан треугольников АВС и ДхВ^
-  ►	—►	—►

совпадают. Докажите, что векторы ААЪ BBlt CCi компланарны.

249.	Точки Дь Д2, А3 делят отрезок Д0Д4 на четыре отрезка
равной длины. Выбрав точку О вне прямой Д0Д4, разложите по
векторам р = OAt и q = ОД4 векторы: 1) ОДо; 2) ОД2; 3) ОД3.

250.	Для точек А, В9 С9 не принадлежащих прямой, выпол-
няются равенства: ОА — ОВ = ОС19 ОВ — ОС = ОДЬ ОС — ОА =
= ОВГ. Докажите, что медианы треугольника А^В^ пересека-
ются в точке О.

251.	Даны два параллелограмма ABCD и AJS^D^ у кото-
рых О и Ох — точки пересечения диагоналей. Докажите равенство:

001 = - ЙА + ВВ1 + СС1 4- OD1).

4

252*. Для данной неплоской замкнутой ломаной, состоя-
щей из шести звеньев, построены два треугольника, вершинами
каждого из которых служат середины несмежных звеньев. Дока-

жите, что точки пересечения медиан этих треугольников сов-

падают.

253*. Дана замкнутая неплоская ломаная с шестью звеньями.
Доказать, что если противолежащие звенья ломаной попарно

параллельны, то длины их попарно
равны.

Решение. Дано: [ДВ] || [ОЕ],

[ВС] || [EF], [СО] || [ЕД] (рис. 101).

Доказать: | ДВ| = | DE |, | ВС| =

= \EF\9 |СО| = | ЕД |.

Доказательство. Согласно

условию задачи имеем:

DE = kAB9 EF = /ВС, FA = mCD.

По правилу сложения векторов

ДВ + ВС + СО4-О£ + ЁЕ+ЕД=б^
Отсюда получаем:

ДВ + ВС + СО4-ЛДВ + /ВС + /пСО=б,
или

(k + 1) АВ + (I + 1) вс + (т + 1) CD = 0.
~ >   > ——►

Векторы АВ, ВС, CD не компланарны (иначе данная ломаная
была бы плоской), следовательно, коэффициенты в разложении
—►  ► — ►

нулевого вектора по векторам АВ, ВС, CD равны нулю:

k = —1, I = — 1, т = —1.

——>	 >  >•  ► — ► - ►

Отсюда DE = —АВ, EF = —ВС, FA - —CD и, следовательно,

254*.

Еенство

|ОЕ| = |ДВ|, |EF| = |ВС|, \FA | = |CD|. И

Доказать, что при произвольном выборе точки О ра-

ОС = k ОА + (1 — k) ОВ

(1)

является необходимым и достаточным условием принадлежности
различных точек А, В, С одной прямой.

Решение. 1) Достаточность. Пусть выполняется равен-
ство (1). Из него находим, что ОС — ОВ = k (ОА — ОВ), отсюда
" > ---------------------------------------►

по формуле вычитания векторов ВС = kBA. Следовательно,
----------► — ►

векторы ВС и В А коллинеарны, а точки А, В, С принадлежат
одной прямой.

2)	Необходимость. Если точки А, В, С принадлежат прямой,
то ВС и В А коллинеарны, поэтому ВС — kBA. Приме-
ним формулу вычитания векторов: ОС — ОВ — k (ОД — ОВ), или
ОС = kOA+ (1 — k) ОВ. а

255.	В параллелограмме ОАВС точки М и N — середины сто-

рон ОС и СВ (рис. 102). Найти отношение: 1) х = |ОР| : |ОМ|,
где P=[ON]Г)[ДМ]; 2)у = |АР\ : |ДМ|.

—»	-*

Решение. 1) Пусть ОА = р и
- >	—►	►

ОС = q. По условию задачи ОР =
= xON = х аЧ—р]. Для точек Р, М, А
\	2 )

применим условие принадлежности трех
точек одной прямой (задача 254). Тог-
да получим: ОР = kOM + (1 — k) О А =
= ^q + (1 — k)p. Следовательно,

3 Заказ Xs 210.

И
* (<7 + ур) =	+ 0 — k)p, или

xq + ^Р = -|<?4-(1— kfp.

Пользуясь однозначностью разложения вектора по двум не-
k х
коллинеарным векторам, можно записать: х = — и — = 1 — k. От-

2
сюда х = —.

5

256.	На сторонах треугольника заданы точки, которые де-
лят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном
направлении его обхода). Докажите, что точки пересечения медиан
данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точ-
ки деления, совпадают.

257.	Стороны параллелограмма разделены по его обходу в
равных отношениях. Докажите, что точки деления служат верши-
нами параллелограмма, а центры симметрии этих параллелограм-
мов совпадают.

258.	Квадраты О А ВС и ОЛ^С^ лежат в одной плоскости и
имеют противоположные направления обхода. Докажите, что
длина отрезка ССХ равна удвоенной длине медианы треугольника
OAAi, проведенной из вершины О.

259.	Дана неплоская замкнутая ломаная ABCDA, у которой
—► л —>

|AD\ = а, |ВС| = b, (AD, ВС) = (р. Найдите расстояние: 1) меж-
ду серединами звеньев АВ и CD\ 2) между серединами отрезков
АС и BD.

260.	Из точки О, не принадлежащей прямой а, проведен к а
перпендикуляр [ОЛ]; М € а. Докажите, что скалярное произве-
'' >	 >

дение ОА • ОМ не зависит от положения точки М на прямой а.

261.	Даны скрещивающиеся прямые а и Ь. На прямой а взяты
точки Аъ Ла, Л3, из этих точек проведены перпендикуляры

[Л1В1], [Л2Ва], [Л3В3] к прямой Ь. Докажите, что
если прямые а и b не перпендикулярны.
ГЛАВА III

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

В ПРОСТРАНСТВЕ.
ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ
УГЛЫ

6 28. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Перпендикулярность прямых в пространстве была рассмотрена
в предыдущей главе (§ 24).

Определение. Прямая и плоскость называются взаимно
перпендикулярными, если прямая перпендикулярна каждой пря-
мой, лежащей в плоскости.

Обозначение перпендикулярности прямой а и плоскости а:
а ± а или а ± а (рис. 103).

Из определения вытекает, что перпендикулярные прямая и
плоскость пересекаются.

14. Т е о р е м а (признак перпендикулярности прямой и плоскости).
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся
прямых, лежащих в плоскости, то прямая и плоскость взаимно
перпендикулярны.

Д а н о: а 1 b, ale, b Г) с = О, Ьсза, с са (рис. 103).

Доказать: а ± а.

Доказательство. Убедимся, что прямая а перпендику-
лярна к любой прямой d, лежащей в плоскости а. На прямых
b и с выберем соответственно точки В и С, отличные от точки О;
на прямых and выберем пары несовпадающих точек А и Аъ
- ►

D и £>i- Разложим вектор DD] по неколлинеарным векторам
ОВ и ОС (§ 21):

DDi = хОВ + уОС.	(1)

—1 ►

Обе части равенства (1) умножим скалярно на вектор ЛЛР
Согласно распределительному закону скалярного умножения
(§ 26), получим:

DDX • AAt = хОВ  AAi + уОС • AAV

Но ОВ • AAt = ОС • AAi = 0» так как

AAi ± ОВ и AAi -L ОС. Тогда • ЛЛХ=
► -  ►

= 0, откуда AAi ± DDi и а ± d. По опре-
делению перпендикулярности прямой и
плоскости а ± а. 
Рис. 104

Следствие. Перемещение
пространства сохраняет перпен-
дикулярность прямой и плоско-
сти.

Доказательство. Пусть
а X a, F (а) = alt F (а) — alt где
F — любое перемещение (рис.
104). Докажем, что axXai. Про-

ведем в плоскости а пересекаю-
щиеся прямые b и с; их образами служат пересекающиеся пря-
мые Ьх и сх. Согласно определению перпендикулярности прямой
и плоскости, а X b, а X с. Перемещение F сохраняет угол между
прямыми (§ 15), поэтому ах X и aY X сх. Следовательно,
ai X «1- 

Задачи

262.	Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит
в плоскости а. Может ли быть перпендикулярной к этой пло-
скости: 1) прямая ВС; 2) прямая CD, где D—середина [Л В]?

263°. 1) На практике вертикальность установки столба про-
веряют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как об-
основать правильность такой проверки?

2)	При ремонте сверлильного станка (рис. 105) слесарь дол-
жен с помощью угольника выверить перпендикулярность оси
сверла к плоскости стола, на котором крепится деталь. Как это
сделать?

264°. На рисунке 106 изображен прямоугольный параллелепи-
пед ABCDAjBiC^Di. Укажите, плоскостям каких граней пер-
пендикулярны прямые: 1) AAf, 2) АВ; 3) BjCj.

265.	1) Ребро куба равно а. Найдите расстояния от точки
пересечения диагоналей одной из граней до вершин противоле-

жащей ей грани.

2) Известно, что диагональ
BDj прямоугольного паралле-
лепипеда ABCDA^CtD! рав-
на а, диагональ ADX грани рав-
на Ь. Вычислите |ЛВ|. Можно ли
вычислить |ВС|?
266.	Прямые а, 6, с лежат в плоскости а. Прямая т перпен-
дикулярна а и Ь9 но не перпендикулярна с. Каково взаимное
расположение прямых а и Ь?

267.	Д а н о: а 1 fc, а Л. с, b (J сс а. Верно ли утверждение,
что а ± а?

268.	Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
1) двум сторонам треугольника; 2) двум сторонам трапеции;
3) двум диаметрам круга; 4) двум диагоналям правильного ше-
стиугольника?

269.	Является ли условие перпендикулярности прямой и пло-
скости, указанное в теореме 14, только достаточным или также
необходимым?

270.	Дано: a |j а, b ± а. Верно ли утверждение, что b ± а?

§ 29. ПРОВЕДЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПЛОСКОСТИ

Задача 1. Через данную точку провести плоскость, перпенди-
кулярную данной прямой.

Решение. 1) Данная точка М не принадлежит данной пря-
мой а (рис. 107).

Через данную прямую а проведем две различные плоскости:
плоскость р, проходящую через данную точку М, и произволь-
ную плоскость у. В плоскости Р через точку М проводим пря-
мую Ь, перпендикулярную а. Пусть b р а = О. В плоскости у
через точку О проводим с ± а. Через прямые b и с проведем пло-
скость а. Эта плоскость перпендикулярна прямой а согласно при-
знаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2)	Пусть данная точка принадлежит прямой а (точка О на
рисунке 107). В этом случае обе различные вспомогательные пло-
скости Р и у проводим произвольно через прямую а. Дальнейшее
решение выполняется так же, как и в пункте 1.

В обоих случаях задача имеет единственное решение (доказа-
тельство можно провести методом от противного).

Задача 2. Через данную точку провести прямую, перпенди-
кулярную данной плоскости.

Решение. Пусть даны точка М и плоскость а (рис. 1С8).
Искомую прямую нужно провести
так, чтобы она была перпендикуляр-

на двум пересекающимся прямым
данной плоскости.

1)	Проведем на плоскости а про-
извольную прямую Ь,

2)	Через точку М проведем пло-
скость р, перпендикулярную прямой
b (задача 1). Пусть a f] р = с.

3)	Через точку М в плоскости Р
проведем прямую а, перпендикуляр-
ную прямой с.
Рис. 109

Прямая а искомая. Действительно, так как b ± р, то b ± а\
кроме того, а ± с. Следовательно, а ± а (§ 28, признак).

Докажем единственность решения задачи. Допустим, что через
точку М проведены две различные прямые ах и о2, перпендику-
лярные плоскости а (рис. 109). Через аг и а2 проведем пло-
скость р, она пересекает а по прямой Ь. Тогда в плоскости р про-
ведены две различные прямые аг и п2, перпендикулярные прямой Ь.
Получено противоречие с теоремой, известной из планиметрии.
Значит, наше допущение неверно.

Итак, через данную точку можно провести одну и только одну
прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Прямую, перпендикулярную плоскости, будем кратко назы-
вать перпендикуляром к этой плоскости. Прямую, пересекающую
плоскость, но не перпендикулярную к ней, называют наклонной
к плоскости.

Задачи

271.	На ребре АВ прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiB&xDi дана точка М. Постройте сечение параллелепи-
педа плоскостью, проходящей через М и перпендикулярной
прямой АВ.

272.	Даны куб ABCDAXB1C1D1 и точка 74, принадлежащая
отрезку АС, причем |Л7И| : |7ИС| = 2:1. Постройте сечение куба
плоскостью, проходящей через М и перпендикулярной прямой АС.

273.	Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины. 1) По-
стройте сечение, содержащее данную точку М ребра AD и пер-
пендикулярное этому ребру. 2) Вычислите площадь сечения,
если длины ребер равны а и |Л7И| : |7И£>| = 3:1.

274.	Три параллельные прямые а, Ь, с не лежат в одной пло-
скости. Через точку М, принадлежащую прямой а, проведены
перпендикуляры к прямым b и с, пересекающие их соответственно
в точках Р и Q. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна
прямым b и с.

275.	Из точки О пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD проведен отрезок ОМ так, что |7ИЛ|=|7ИС| и |7ИВ|=|7И£)|.

Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна плоскости парал-
лелограмма.

70	ff”

|Ж|,
Рис. ПО

276.	Дан куб ABCDA.B.C.D.,
Докажите, что прямая АС перпенди-
кулярна плоскости сечения BDD.B.,
277. Доказать, что плоскость,
проходящая через концы трех ребер
куба, имеющих общую точку, пер-
пендикулярна диагонали куба, вы-
ходящей из этой точки.

Решение. Рассмотрим в кубе
ABCDA.B.C.D. диагональ А.С и се-
чение AB.D. (рис. ПО). Требуется
доказать, что (ЛХС) ± (ЛВ^). Для
этого достаточно установить, что
(ЛХС) 1 (АВ.), (А.С) AJADJ.

Разложим векторы А.С и АВ. по векторам А.А = а, А.В. = Ь,
A^D. = с:	~

А .С ~ о -I- b -J- с; АВ. — А.В. — А.А = b — а.

Тогда А.С • АВ. — (а + b + с) • (b — а) = Ь2 — а2 + Ь с—а-с.

Так как b 1с и ale, то b • с — а • с = О, поэтому
А£ • АВ. = Ь2 — а2 = ИАР — МИР = 0.

Отсюда (А.С) ± (АВ.). Аналогично доказывается, что
(ЛХС) ± (AD.).

Следовательно, (ЛХС) ± (AB.D.), 

278.	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA.B.C.D.,
у которого |ЛВ| = 2 |ВС|, | A Aх1 = |ВС|. 1) Докажите, что прямая
BD. не перпендикулярна плоскости A.C.D. 2) Вычислите углы
между прямой BD. и прямыми Л^, C.D, DA..

279.	Найти множество всех точек, каждая из которых одина-

ково удалена от двух данных несов-
падающих точек А и В.

Решение. В планиметрии ис-
комым множеством служит середин-
ный перпендикуляр к отрезку АВ. По-
этому естественно предположить, что
для пространства искомое множество
есть плоскость а, перпендикулярная
отрезку АВ и проходящая через его
середину О (рис. 111). Докажем это.

1)	Произвольную точку М, при-
надлежащую плоскости а, соединим
с точками А, В, О. Прямоугольные
треугольники АОМ и ВОМ, лежащие
в одной плоскости (ЛВЛ4) = 0, кон-
груэнтны (по двум катетам), отсюда
\МА | = |МВ|.
2)	Теперь убедимся, что любая точка ЛГ, не принадлежащая
плоскости а, неодинаково удалена от точек А и В. Через (АВ)
и W проведем плоскость у. Пусть (NB) ("| а = D. Так как точ-
ка N лежит вне перпендикуляра (OD) к отрезку АВ, то \NA |
=# |ЛЛВ] (известно из планиметрии).

Итак, множество всех точек, каждая из которых одинаково
удалена от двух данных различных точек А и В, есть плоскость,
перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.

280.	Найдите объединение всех прямых, каждая из которых
перпендикулярна данной прямой и проходит через заданную на
ней точку.

§ 30. ДВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПЛОСКОСТИ.
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ

1.	Рассмотрим две теоремы.

Теорема. Два перпендикуляра к плоскости парал-
лельны.

Дано: (ДД^ ± a, (BBJ ± а.

Доказать: (ДД^ || (BBJ.

Доказательство. Проведем в плоскости а через точку Дх
две взаимно перпендикулярные прямые AtC и ArD (рис. 112).

— 1	—>

Вектор обозначим через b и разложим его по некомпланарным
векторам ДХД = a, AtC = с, AXD = d (§ 23):

b — ха + ус + zd.

О)

Докажем коллинеарность векторов а и Ь. Умножим скалярно
обе части равенства (1) на вектор с. Учитывая, что вектор с перпен-
дикулярен векторам b, a, d, получим:

(0 = ус2) => (у = 0).

После умножения обеих частей равенства (1) на d получим:
(0 = zd?) => (z = 0).

Итак, b = ха. Следовательно, век-
торы b и а коллинеарны (§ 20), а
прямые BBi и АА± параллельны. 

Теорема (обратная). Если одна
из двух параллельных прямых пер-
пендикулярна плоскости, то и дру-
гая перпендикулярна этой плос-
кости.
Дано: а || Ь, а ± а.

Доказать: b 1а (рис. 113).
Доказательство.

Пусть а Г] а = Л4, b f] а = АГ. Век-
>

тор MN отображает прямую а на
прямую b и плоскость а — на себя
(§ 17). Перемещение MN сохраня-
ет перпендикулярность прямой и
плоскости (§ 28, следствие), поэтому
Ь ± а. 

2.	Пусть даны плоскость а и
прямая /, перпендикулярная а. При
проектировании на плоскость а па-
раллельно прямой I любая проекти-
рующая прямая перпендикулярна
плоскости проекций (теорема 16).
Такое проектирование называется
ортогональным (прямоугольным) про-
ектированием на плоскость.

В дальнейшем, говоря о проек-
ции какой-либо фигуры на плос-
кость, мы будем иметь в виду орто-
гональную проекцию.

Ортогональной проекцией широко
пользуются в техническом черчении.
За основу выполнения технических
чертежей берется способ ортогональ-
ного проектирования фигуры на две
плоскости: горизонтальную Н и вер-
тикальную V (рис. 114). Чертежи
некоторых деталей машин вы выпол-
няли на уроках черчения. Рису-
нок 115 представляет собой чертеж
втулки.

Рис. 115

Задачи

281°. Могут ли быть перпендикулярны к одной плоскости
две стороны: I) треугольника; 2) трапеции; 3) правильного ше-
стиугольника?

282. Два электрических провода нужно протянуть от столба,
на котором они будут укреплены на высоте 7,0 м, к дому, где они
крепятся на высоте 4,0 м. Сколько потребуется провода, если рас-
стояние от дома до столба равно 15 м и на провисание и крепление
нужно добавить 5% найденной длины?

283°. Какой фигурой является проекция прямой, если пря-
мая служит: 1) наклонной к плоскости проекций; 2) перпенди-
куляром к этой плоскости?

73

I I „
Рис. 116

284.	Отрезок МЛ1 длиной 12 см яв-
ляется проекцией отрезка МА на пло-
скость а. Известно, что |ЛАх| = 9 см,
В € [МЛ], | ЛВ|: \ВМ| = 2:3. Найдите
длины отрезка АВ и его проекции на
плоскость а.

285.	Точки Л и В расположены по
разные стороны от плоскости а и не ле-
жат на перпендикуляре к этой пло-

скости; точки Лг и Bj — их проекции
на плоскость а. 1) Докажите, что прямые АВ и Л^ пересека-
ются. 2) Найдите расстояния от точки их пересечения до точек Л
и Blt если [ЛЛх! = a, |BBJ = b, | Л В | = с.

286.	Дано: {Л, В} cz а, [ЛЛ^ 1 а, [BBJ 1 а.

1)	Найдите ВВ1Л1, если АА& = <р.

2)	Найдите	если |ААГ\ = 10 см, IBBJ — 18 см,

|ЛХВ| = 15 см.

287.	Дан прямоугольный треугольник ЛВС, катеты которого
АС и ВС соответственно равны 20 см и 15 см. Через вершину Л
проведена плоскость, параллельная прямой ВС (рис. 116). Длина
проекции одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите

длину проекции гипотенузы.

288.	Длина стороны ромба с углом в 60° равна а. Через одну
из сторон проведена плоскость; длина проекции другой сто-
роны на эту плоскость равна Ь. Найдите длины проекций диа-
гоналей.

§ 31. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА

Точки М и Mi называются симметричными относительно
прямой I (рис. 117), если отрезок MMt перпендикулярен I и де-
лится этой прямой пополам.

Любая точка прямой I считается симметричной самой себе.

Определение. Преобразование пространства, при котором
каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно
данной прямой, называется осевой симметрией.

Данную прямую называют осью симметрии.

Рис. 117
Если при осевой симметрии с осью I точка является об-
разом точки М, то записывают: St (М) = Запись St (Ф) = Фх
означает, что при симметрии с осью I фигура Ф отображается на
фигуру Фх.

17. Теорема. Осевая симметрия есть перемещение.

Доказательство. Пусть S, (М) = Mlt St (N) — Ni
(рис. 118). Докажем, что lAf-ZVI = |AfiA\|. Введем векторы m, п, р,
как показано на рисунке 118. Согласно определению осевой сим-
метрии имеем:

m • р = п • р = 0.

По правилу многоугольника (§ 18) получим:

MN = —m + р + п; MjNt = m + р — п.

Тогда |A47V |2 = шг + р2 4- п2 — 2m • п,

|	|2 — tn2 + р2 + пг — 2m  п.

Следовательно, |Л1Л7|2 — |Afx^|2 и |7HJV| =

Из теоремы 17 вытекает, что при осевой симметрии любая фи-
гура отображается на конгруэнтную ей фигуру.

Примечание. Пользуясь признаком перпендикулярности
прямой и плоскости, а также свойствами осевой симметрии, мож-
но доказать признаки конгруэнтности треугольников, про-
извольно расположенных в пространстве. Формулировки призна-
ков такие же, как и в планиметрии. (См. «Приложения», с. 221.)

Задачи

289. 1) Какие точки при осевой симметрии отображаются
на себя?

2) Какие прямые при осевой симметрии отображаются на себя?

290.	Каково взаимное расположение оси симметрии I и образа
«х данной плоскости а, если: 1) / с а; 2) I ± а; 3) I — наклон-
ная к а?

291°. Каким может быть при осевой симметрии взаимное рас-
положение: 1) прямой и ее образа; 2) плоскости и ее образа?

292.	Даны две различные точки А и В. Укажите оси симмет-
рий, отображающих А на В. Какой фигурой является объедине-
ние всех таких осей?

293°. Если при симметрии относительно прямой фигура отоб-
ражается на себя, то эту прямую называют осью симметрии фи-
гуры. Укажите оси симметрии следующих фигур: 1) отрезка;
2) луча; 3) прямой; 4) плоскости; 5) параллелограмма; 6) пра-
вильного треугольника; 7) квадрата; 8) окружности; 9) объеди-
нения двух пересекающихся прямых.

294.	Докажите, что если плоская фигура имеет центр симмет-
рии, то она имеет и ось симметрии.
[0/<] к плоскости трапеции.

295.	Через точку Л, не принад-
лежащую плоскости а, проведены к
этой плоскости две наклонные, пе-
ресекающие а в точках В и С (рис.
119). Докажите, что для равенства
длин отрезков АВ и АС необходимо
и достаточно равенство длин их
проекций на плоскость а.

296.	Радиомачта удерживается в
вертикальном положении с помощью
трех оттяжек, укрепленных на вы-
соте 6,0 м, и трех оттяжек — на вы-
соте 15 м (рис. 120). Оттяжки кре-
пятся на земле на расстоянии 10 м
от основания мачты. Сколько прово-
локи нужно взять для изготовления
оттяжек? (Расход проволоки на креп-
ление не учитывать.)

297.	1) Из точки О пересечения
диагоналей прямоугольника ABCD
проведен перпендикуляр1 [О/Q к его
плоскости. Найдите расстояния от
точки К до вершин прямоугольни-
ка, если |ДВ|=а, |SC|=B, \OK\=d.

2)	Основания равнобедренной тра-
пеции равны 4 см и 6 см, ее диаго-
наль 10 см. Из точки О пересечения
диагоналей проведен перпендикуляр
Найдите расстояния от точки К до

вершин трапеции, если | О/С| = 8 см.

298. Найдите множество всех точек, каждая из которых оди-
наково удалена от трех различных точек А, В, С: 1) не принад-
лежащих одной прямой; 2) принадлежащих прямой.

§ 32. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ

Точки М и называются симметричными относительно
плоскости а (рис. 121), если отрезок ММГ перпендикулярен
этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости а
считается симметричной самой себе.

Определение. Преобразование пространства, при котором
каждая точка отображается на симметричную ей точку относи-
тельно данной плоскости, называется симметрией относительно
этой плоскости.

1 Здесь и в некоторых других задачах словом «перпендикуляр» кратко
именуем отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, а не всю прямую.
Симметрию относительно плоско-
сти а обозначают Sa. Если симмет-
рия Sa точку М (фигуру Ф) отоб-
ражает на точку (фигуру Фх),
то записывают:

Sa (М) = Sa (Ф) = ФР

18.	Теорема. Симметрия относи-
тельно плоскости есть переме-
щение.

Доказательство. Пусть
Sa(M)=Mlf Sa(N)=N19 где М$а,

N а (рис. 121). Докажем, что |A4AZ| =	Прямые

и NN19 перпендикулярные к а, параллельны (§ 30, теорема
16), поэтому они принадлежат некоторой плоскости 0. Обозна-
чим а П 0 = I. Симметрия относительно прямой I отобразит отре-
зок MN на отрезок причем согласно теореме 17 (§ 31) | MN | =
= |ЛШ|. Это равенство сохранится и в тех случаях, когда одна
или обе точки М и N принадлежат плоскости а.Н

Из теоремы следует, что если Sa (Ф) = Фх, то Фх Ф (рис. 122).

Фигуры, симметричные относительно плоскости, можно про-

демонстрировать с помощью плоского зеркала.

Отметим любопытную особенность неплоских фигур, симмет-
ричных относительно плоскости. Пусть дан тетраэдр ABCD, не
имеющий конгруэнтных плоских углов при какой-либо из вер-
шин. Рассмотрим тетраэдр A^B^CJ)^ симметричный данному
относительно плоскости а, тогда A^^D^ = ABCD (рис. 122).

Опыт показывает, что одну из моделей двух плоских конгру-
энтных фигур можно путем непрерывного движения в простран-
стве переместить так, что она займет точно такое же положение,
какое занимала вторая модель. Иначе говоря, две плоские
конгруэнтные фигуры можно совместить. Но попробуйте осуще-
ствить такое совмещение для тетраэдров ABCD и A^B^C^D^ (см.
рис. 122). Ваши попытки окажутся безуспешными. Другой на-
глядный пример несовмещающихся конгруэнтных фигур — кисти
правой и левой рук. Несовмещающиеся конгруэнтные фигуры
можно получить и с помощью центральной симметрии.

Задачи

299°. 1) Найдите множество всех точек, каждая из которых
при симметрии относительно плоскости а отображается на себя.

2)	Какие прямые при симметрии относительно плоскости отоб-
ражаются на себя?

300°. Каким может быть при симметрии относительно плос-
кости взаимное расположение: 1) прямой и ее образа; 2) плос-
кости и ее образа?

ЗОГ. Если при симметрии относительно плоскости фигура
отображается на себя, то эту плоскость называют плоскостью
симметрии данной фигуры. Укажите плоскости симметрии сле-
дующих фигур: 1) отрезка; 2) прямой; 3) луча.

302°. Имеются ли в природе и технике предметы, которые
можно считать моделями пространственных фигур, имеющих плос-
кость симметрии? Приведите примеры.

303*. Докажите, что если фигура имеет единственные центр
симметрии и плоскость симметрии, то центр симметрии принад-
лежит плоскости симметрии.

304*. Существует ли тетраэдр, имеющий только одну плос-
кость симметрии?

§ 33. ДВЕ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМОЙ

19.	Теорема. Прямая, перпендикулярная одной из двух
параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть а("|а = Л1,аГ|Р = Л/ (рис. 123).

Вектор MN отображает прямую а на себя, а плоскость а — на
плоскость Р (§ 17). Перпендикулярность прямой и плоскости при
перемещении сохраняется (§ 28), следовательно, а ± p.Q

Верна и обратная теорема: две плоскости, пе рпендикуляр-
ные прямой, параллельны. Докажите это самостоятельно
Задачи

305.	Докажите, что наклонная к одной из двух параллель-
ных плоскостей является наклонной и к другой.

306.	1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если
известно, что только одна из них перпендикулярна данной прямой?

2)	Д а н о: а П 0 = т, а I а. Могут ли быть перпендикуляр-
ными прямая а и плоскость 0?

307.	Дано: а || 0, [ЛВ] 1 a, [CD] 1 0, {Л, С} а: а, {В,
D} с: 0. Д о к а з а т ь: |ЛВ| = |CD|.

308.	Дано: а || 0, {Д, D} с а, [МД] 1 а, [МД] П 0 = В,
[MD] П 0 = С, |ДВ| = 5 см, |МВ| = 12 см, |МС| = 13 см. Най-
дите |ВС| и |ДР|.

309.	Ребра ВС, AC, AD, BD тетраэдра ABCD имеют равные
длины. 1) Постройте сечения тетраэдра плоскостями, проведен-
ными через середины ребер ВС и AD перпендикулярно прямой CD.
2) Докажите конгруэнтность сечений.

§ 34. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Распространим на пространство известное из планиметрии
понятие расстояния между двумя фигурами.

Если среди расстояний между точками, одна из которых
принадлежит фигуре Фн а другая — фигуре Ф2, существует наи-
меньшее, то его называют расстоянием между фигурами Ф1 и Ф2
(рис. 125).

20.	Теорема. Расстояние от точки до плоскости равно рас-
стоянию от этой точки до ее ортогональной проекции на данную
плоскость.

Доказательство. Пусть точка А взята вне плоскости а
(рис. 126). Построим точку В — проекцию точки А на эту плос-
кость. Выберем в плоскости а любую точку М, отличную от В,
и проведем прямую МВ. Тогда [ЛВ] ± (МВ). Применив извест-
ную из планиметрии теорему о расстоянии от точки до прямой,
получим: |ДВ|< |ДМ|. Следовательно, |ДВ| — расстояние от
точки А до плоскости а.
Если точка А принадлежит а, то ее проекцией служит сама
точка А. Теорема верна и в этом случае, так как расстояние от
Л до а равно нулю и |ЛЛ| = 0. g

Задачи

310°. Прямая а лежит в плоскости а, точка М не принадле-
жит этой плоскости. Сравните расстояние от М до а с расстоя-
нием от М до а. В каком случае эти расстояния равны?

311.	Найдите расстояние от вершины куба до плоскости про-
тиволежащей грани, если известно, что: 1) диагональ грани куба
равна т\ 2) диагональ куба равна d.

312.	Докажите, что расстояние от середины отрезка до плос-
кости равно: 1) полусумме расстояний от концов отрезка до пло-
скости, если отрезок не пересекает плоскость; 2) модулю полу-
разности этих расстояний, если отрезок пересекает плоскость.

313.	Сторона правильного треугольника равна 6 см, точка М
отстоит от всех его вершин на 4 см. Найти расстояние от 7И до
плоскости треугольника.

Решение. Пусть даны правильный треугольник АВС и
точка М, причем \МА | = |Л4В| = |МС| (рис. 127). Проекцию К
точки М на плоскость АВС соединим с вершинами данного тре-
угольника. Прямоугольные треугольники МКА, МКВ, МКС
попарно конгруэнтны (по гипотенузе и катету). Поэтому \КА | =
= |/СВ| = |/СС|. Итак, К — центр окружности, описанной около
треугольника АВС, |/<Л| — радиус этой окружности. Требуется
вычислить |Л4/С|.

Пользуясь формулой a3=R У~3, находим: | К А | =	= 21/3 см.

В прямоугольном треугольнике АКМ имеем |Л4Д| = 4 см,
тогда

\МК\ = /|МД|2 —|/С4|2 = 2 см.

314.	1) Катеты прямоугольного треугольника равны а и &•
Точка М находится на расстоянии h от плоскости треугольника

и на одинаковом расстоянии от всех
его вершин. Найдите это расстояние.

2) Точка М находится на расстоя-
нии I от всех вершин треугольника
АВС. Найдите расстояние от точки М
до плоскости треугольника, если |ВС\=

= а и ВАС = а.

315.	Найдите множество всех точек,
каждая из которых одинаково удалена
от всех вершин: 1) прямоугольника;
2) равнобедренной трапеции; 3) ромба,
не являющегося квадратом.
316.	1) Докажите, что расстояние между прямой и парал-
лельной ей плоскостью равно расстоянию от произвольной точки
прямой до данной плоскости.

2°) Чему равно расстояние между пересекающимися прямой
и плоскостью?

317.	Отрезок АВ длиной а параллелен плоскости а и удален
от нее на расстояние Ь. Наклонные [ЛС] и [ВО], где {С, D} с а,
перпендикулярны [ЛВ]. Найдите |CD |, если |ЛС| = |ВО| = с.

318.	1) Докажите, что расстояние между двумя параллель-
ными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной
плоскости до другой плоскости.

2°) Чему равно расстояние между двумя пересекающимися
плоскостями?

319°. Найдите множество всех точек, удаленных от данной
плоскости а на расстояние /.

320°. Найдите множество всех точек, каждая из которых уда-
лена от данной плоскости на расстояние: 1) меньшее, чем /;
2) большее /.

321.	Найдите множество всех точек, одинаково удаленных от
двух данных различных параллельных плоскостей.

322.	Даны две различные параллельные плоскости а и 0. Ука-
жите оси симметрий, отображающих а на 0. Какой фигурой явля-
ется объединение всех таких осей?

323.	Отрезки АВ и CDt концы которых принадлежат различ-
ным параллельным плоскостям, проектируются на одну из них.
Найдите расстояние между плоскостями, если известно, что:
1) |ЛВ| : \ CD\ = 10 : 17 и длины проекций этих отрезков соответ-
ственно равны 12 см и 3 дм\ 2) | АВ\ = a, \CD\ = b и длины их
проекций относятся как т : п; 3) | АВ\ = at \CD\ = b и сумма
длин их проекций равна с.

§ 35. ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Задача. Даны скрещивающиеся прямые а и Ь. Провести прямую,
пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную каждой
из них.

Решение. Проведем через а и b (рис. 128) параллельные
плоскости а и 0 (§ 11, задача).

Проектируя ортогонально прямую b на плоскость а, полу-
чим прямую Ь19 параллельную прямой b (§ 11, теорема 7). Точку
пересечения прямых а и Ьг обозначим через М. Эта точка явля-
ется проекцией некоторой точки W, принадлежащей прямой ft;
(MN) — искомая прямая. Действительно, так как (MN) ± а, то
(MN) ± 0 (§ 33, теорема 19), а тогда (MN) ± а и (MN) ± ft.

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых
и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром
скрещивающихся прямых. Докажем, что длина | MN | общего
fl 1
81
| I
перпендикуляра скрещивающихся
прямых а и b (рис. 128) является
расстоянием между этими прямыми.
Достаточно доказать, что |ЛПУ|<
< | CD I, где [CD] — любой другой
отрезок, имеющий концы на данных
прямых.

Рассмотрим проекцию Dx точки D
на плоскость а. Согласно теореме 20
|DDX| есть расстояние от D до а,
поэтому |DDX| < | CD|. Но |DDX| =
= |A47V| (почему?), следовательно,

|MN\ < |CD|.

Заметим, что расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержа-
щими данные прямые (рис. 128).

Задачи

324.	На изображении прямоугольного параллелепипеда
ABCDAxBiC^Pi (рис. 129) укажите общий перпендикуляр пря-
мых: 1) AxDt и BBi, 2) DC и ВХСХ; 3) ССХ и АВ.

325.	Одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоско-
сти а, другая — перпендикулярна а. Как расположен общий
перпендикуляр данных прямых?

326.	1) На изображении куба ABCDAjB^Di постройте общий
перпендикуляр прямых ЛЛХ и BD. 2) Найдите расстояние между
этими прямыми, если ребро куба равно а.

327.	1) Дан куб ЛВС£>ЛХВХСХОХ, постройте общий перпен-
дикуляр прямых ЛХО и BCt. 2°) Найдите расстояние между эти-
ми прямыми, если площадь грани куба равна 2 см2.

328.	Каждое ребро тетраэдра ABCD равно а. Найдите расстоя-
ние между (Л В) и (CD).

329.	Через середину общего перпендикуляра [M2V] двух скре-
щивающихся прямых проведена плоскость у, перпендикулярная
(MN). Докажите, что у делит пополам любой отрезок, соединяющий
точку одной прямой с точкой другой прямой.

Рис. 129
330*. Даны скрещивающиеся прямые а и 6, угол между кото-
рыми равен q>; длина их общего перпендикуляра [MAf] равна d
(рис. 130). На данных прямых взяты соответственно точки А и В
так, что | МА | = т, \NB\ = п. Найти |ДВ|.

Решение. Введем векторы /и, и, d, как указано на рисун-
ке 130. По правилу многоугольника имеем:

АВ = т + d + и.

Возведем в квадрат:

АВ2 = т2 + d2 +	+ 2т • d + 2m-n + 2d • п. (1)

Так как вектор d перпендикулярен векторам т и и, то
т • d = d • п = 0.

Возможны два случая:

1) (/и, п) = ф (рис. 130, а); 2) (т, п) = 180° — ф (рис. 130, б).

В первом случае т-п=тп cos ф, а во втором т-п=—тп cos ф.
Подставив эти значения в (1) и извлекая корень, получим:

| АВ| = )Ап2 + п2 + d2 ± 2тп cos ф.

§ 36. ТЕОРЕМА 0 ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

21. Теорема. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости,
была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно,
чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.

Доказательство. Рассмотрим прямые: (ДС) — перпенди-
куляр к плоскости а, (АВ) — наклонная и (СВ) — ее проекция
на плоскость а (рис. 131).

Достаточность. Пусть прямая т, лежащая в плоскости а,
перпендикулярна (СВ). Из определения перпендикуляра к пло-
скости следует, что (АС) ± т. Итак, прямая т перпендикулярна
прямым СВ и АС, лежащим в плоскости АВС.

Тогда т ± (АВС) (§ 28, теорема 14), откуда т ± (ДВ).

Необходимость. Пусть т с= а и т ± (АВ). Так'как, кроме
того, (ДС) ± т, то т ± (АВС), откуда т ± (СВ). Q

Задачи

331. Верны ли утверждения: 1) если
прямая перпендикулярна проекции на-
клонной, то эта прямая перпендику-
лярна самой наклонной; 2) если пря-
мая перпендикулярна наклонной и ее
проекции, то эта прямая лежит в пло-
скости проекций?
A

N

332°. Получится ли истинное высказывание, если в формули-
ровке теоремы о трех перпендикулярах заменить слова «лежа-
щая в плоскости» словами «параллельная плоскости проекций»?

333.	Докажите теорему о трех перпендикулярах, пользуясь
скалярным произведением векторов (рис. 132).

334.	Прямая а пересекает плоскость а. В плоскости а через
данную точку проведите прямую, перпендикулярную прямой а.

335°. Из вершины А прямоугольника ABCD (рис. 133) про-
веден перпендикуляр к его плоскости. Точка М этого перпен-
дикуляра соединена с точками В, С, D. 1) Докажите, что тре-
угольники МВС и MDC прямоугольные. 2) Среди отрезков МА,
MB, МС, MD укажите отрезки с наибольшей и наименьшей
длиной.

336.	Треугольник АВС — изображение правильного треуголь-
ника; отрезок MN изображает перпендикуляр, проведенный из
точки N к плоскости треугольника (рис. 134). Постройте пря-
мые, проходящие через точки М, N и перпендикулярные к сто-
ронам треугольника.

337.	1) Из вершины прямого угла прямоугольного треуголь-
ника с катетами а и b проведен перпендикуляр к плоскости
треугольника. Длина перпендикуляра равна h. Найдите расстоя-
ние от его конца, не лежащего в плоскости треугольника, до
гипотенузы.

2) Стороны треугольника равны 20 см, 65 см и 75 см. Из вер-
шины большего угла треугольника проведен к его плоскости пер-
пендикуляр длиной 60 см. Найдите расстояние от концов перпен-
дикуляра до большей стороны треугольника.

338.	1) На плоскости а проведены две параллельные прямые,
расстояние между которыми равно т. Точка S находится на рас-
стоянии h от плоскости а и на одинаковом расстоянии от обеих
прямых. Найдите это расстояние.

2)	На плоскости а проведены параллельные прямые а и Ь,
расстояние между ними равно 44 см. Прямая с, параллельная
данным прямым, удалена от плоскости а на 15 см, а от прямой а —
на 39 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

339.	Точка М равноудалена от всех вершин правильного тре-
угольника со стороной а и удалена от плоскости треугольника на
расстояние b. Найдите расстояния от точки М до прямых, содер-
жащих стороны треугольника.

340°. Точка, лежащая вне плоскости ромба, равноудалена от
всех прямых, содержащих его стороны. Одинаково ли эта точка
удалена от вершин ромба?

341°. 1) Для какого треугольника точка пространства, рав-
ноудаленная от его вершин, равноудалена и от прямых, содержа-
щих его стороны?

2) Решите аналогичную задачу для четырехугольника.

§ 37. УГОЛ МЕЖДУ НАКЛОННОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Поставим задачу: сравнить угол между наклонной а и ее проек-
цией аг на плоскость а (рис. 135) с углом между этой наклонной и
произвольной прямой Ь, лежащей в плоскости а.

Заметим сразу же, что если прямая b параллельна прямой
А	А

то (а, Ь) = (а, а±) (§ 24). Остается рассмотреть случай, когда
b и аг не параллельны.

Пусть М — точка пересечения наклонной а и плоскости а
(рис. 135). Спроектируем отрезок MNr наклонной на эту пло-
скость, получим отрезок MN. Проведем (МС) || Ь. Обозначим:

NjMN = ф, NMC = р, N±MC = у. Каждый из этих углов не
больше 90°, причем угол N±MN не может быть прямым (почему?).
Формулу, связывающую величины ср, р, у, выведем с помощью
векторов.

[AWJ ± [МС], поэтому NNt • МС = 0. Так как NNt = MN± —
— MN, то из последнего равенства получим:

(MNi — MN) • МС = 0.

Тогда MNt • МС = MN • МС или

| МЛ\| • | МС| • cos у = ] MN\ • | МС| • cos р.

Отсюда cos v = -L——L- cos P. Ho -'	 = cos <p. Следовательно,

r | MNt | r I MNi |

cos у — cos <p • cos p.

Эта формула позволяет сравнить
величины q> и у.

Действительно, так как 0 <
< cos р < 1, то cos у < cos <р, откуда
<р < у. Приходим к выводу: угол
между наклонной и ее проекцией на
плоскость есть наименьший из уг-
лов, образованных наклонной со
всеми прямыми, лежащими в этой
плоскости.
Рис. 137

Определение. Углом между наклонной и плоскостью на-
зывается угол между наклонной и ее проекцией на плоскость.

Обозначение угла между наклонной а и плоскостью а:
(а, а) — <р (рис. 136).

Понятие угла между наклонной и плоскостью часто приме-
няют при выполнении измерительных работ на местности. Для
измерения угла наклона прямой к плоскости горизонта можно
пользоваться эклиметром (рис. 137) или более совершенным при-
бором — теодолитом (рис. 138).

Задачи

342. 1) Докажите, что две параллельные наклонные к пло-
скости образуют с ней равные углы.

2) Верно ли обратное утверждение?

343.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^CxDi ука-
жите углы наклона диагонали к плоскостям граней, имею-

Рис. 136

щих общую вершину В. Вычислите эти
углы, если | АВ\ = | BBj\ = а, | ВС| = 2а.

344.	Докажите, что стороны угла оди-
наково наклонены к плоскости, проходя-
щей через биссектрису этого угла и не
совпадающей с плоскостью данного
угла.

345.	На базе поисковой группы при-
нята радиограмма, что вертолет находит-
ся над разыскиваемым объектом на высоте
600 м. Вертолет виден с базы под углом
8°30' над плоскостью горизонта. Вычис-
лите расстояние от базы до объекта
(рис. 139).

346.	Найти высоту |ЛВ| предмета, ес-
ли точки А и В недоступны (рис. 140).

Решение. Провешиваем отрезок CxDt
так, чтобы прямая CiDt проходила через
точку В. Измеряем длину отрезка CjDi.
Пусть ICjDjI = b. Измеряем эклиметром
Рис. 139

углы АСМ и ADM, получим: АСМ = a, ADM = р. Высоту | СС^
эклиметра обозначим через h.

Из треугольника ACD по теореме синусов найдем |AD|:

| Л£>| = 1 СО |
sina sin cad'

Но |CD| = b, CAD = p — а, тогда | AD\- —fcs’na-.

sin (p — a)

Из прямоугольного треугольника ADM:

| АЛ4| = | ADI sin p.

Следовательно, |AB| =	sin+ h.

Выполнив измерения на местности, найдите числовой результат.

347.	1) Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние h,
проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, рав-
ные <р, а между собой — прямой угол. Найдите расстояние между
точками пересечения наклонных с плоскостью.

2) Прямая АС наклонена к плоскости а под углом <р, пря-
мая АВ — под углом 2ср. Меньший из отрезков АС и АВ, где
{С, В} с а, равен а. Найдите |ВС|, если известно, что проекции
наклонных взаимно перпендикулярны.

348.	Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М
выбрана так, что отрезки, соединяющие М со всеми вершинами
треугольника, образуют с его плоскостью углы по 45°. Найдите
расстояние от точки М до вершин и
сторон треугольника.

349.	Через сторону квадрата про-
ведена плоскость под углом 30° к
диагонали квадрата. Найдите углы,
под которыми наклонены к плоско-
сти две стороны квадрата.

350.	Дан ромб со стороной а и
острым углом <р. Через одну из его
сторон проведена плоскость под уг-
лом Р к другой стороне ромба. Найдите площадь проекции ром-
ба на эту плоскость.

351.	1) Сквозь гору между точками А и В нужно проложить
горизонтальный туннель (рис. 141). Из точки С, расположенной
на высоте h над туннелем, отрезок АВ виден под углом <р, а из
точек А и В точка С видна под углами аир над горизонталь-
ной плоскостью. Найдите длину туннеля.

2)	Горизонтальный участок АВ горной дороги имеет длину I
(рис. 142). Из точек А и В вершина С горы видна под углами
САВ = а, СВ А = р. Какой из углов, изображенных на рисунке,
достаточно знать, чтобы вычислить высоту х горы над дорогой?
Обозначив этот угол через <р, найдите х.

§ 38. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ИЗМЕРЕНИЕ ДВУГРАННЫХ УГЛОВ

1.	Пусть даны две непараллельные плоскости аир (рис. 143).
Плоскость а служит общей границей двух замкнутых полупро-
странств Pi и Р2, а плоскость Р — полупространств и Qt. Вы-
берем по одному полупространству из каждой пары, например
Pi и Q2 (рис. 143), рассмотрим их пересечение Pj f| Qi-

On р е де л е н и е 1. Пересечение двух полупространств, гра-
ницами которых служат непараллельные плоскости, называется
двугранным углом.

Двугранный угол (рис. 144) является выпуклой фигурой.
Каждый двугранный угол ограничен двумя полуплоскостями,

Рис. 144
казываемыми его гранями. Прямая, являющаяся общей границей
граней, называется ребром двугранного угла. Все точки двугран-
ного угла, не принадлежащие граням, образуют его внутреннюю
область.

Двугранный угол обозначается с помощью значка X. и букв,
указывающих его грани и ребро. При этом буква, обозначающая
ребро, ставится между буквами, обозначающими грани. Например,
угол, изображенный на рисунке 144, обозначается X_aa[i. При-
меняется и краткое обозначение двугранного угла по его ребру,
напримерАа, Х_АВ.

2.	Пусть имеем двугранный угол аар. Через произвольную
точку О ребра а проведем плоскость у, перпендикулярную а
(рис. 145). Получим угол АОВ:

у П Z_aaP = Х_АОВ.

Величина этого угла не зависит от выбора точки О на ребре
двугранного угла. Чтобы убедиться в этом, проведем через любую
другую точку Oi ребра а плоскость уь перпендикулярную а.
Величина получившегося угла А^О^Вх равна величине угла АОВ,
что следует из теоремы об углах с сонаправленными сторонами
(§ 24).

Определение 2. Пересечение двугранного угла и плоско-
сти, перпендикулярной к его ребру, называется линейным углом1
двугранного угла.

Стороны линейного угла перпендикулярны ребру двугранного
угла (§ 28, определение).

Можно доказать, что необходимым и достаточным условием
конгруэнтности двух двугранных углов является равенство вели-
чин их линейных углов.

Определение 3. Величиной двугранного угла называется

величина его линейного угла.

Линейный угол двугранного угла
Поэтому величина двугранного угла

]0°; 180°[. Величину двугранного угла
пример: aa0 = 60°.

Двугранный угол называют пря-
мым, острым или тупым в зависимо-
сти от того, будет ли линейный угол
этого двугранного угла прямым,
острым или тупым.

Две пересекающиеся плоскости
определяют в пространстве четыре
двугранных угла. Из рассмотрения
их линейных углов (рис. 146) сле-
дует, что величины этих дву-

1 Величину линейного угла для крат-
кости также называют линейным углом.

(рис. 145) меньше 180°.
заключена в промежутке
аа$ обозначают аар, на-
гранных углов попарно равны и сумма величин двух углов, имею-
щих общую грань, равна 180°.

Величину меньшего из двугранных углов, определяемых двумя
пересекающимися плоскостями, назовем углом между этими пло-
скостями.

Если две плоскости параллельны, то угол между ними счи-
тается равным 0°.

Обозначение угла между плоскостями аир:

(а, Р) = <р, где 0° ф 90°.

Две плоскости называют взаимно перпендикулярными, если угол
между ними равен 90°. В этом случае употребляют запись: а ± р.

Задачи

352°. Укажите модели двугранных углов на предметах окру-
жающей обстановки.

353. Дан куб ABCDA^B^Di. Рассмотрите двугранный угол

с ребром АВ и гранями, проходящими через точки Dx и D

(рис. 147). Вычислите DADi и bBDv
Какой из этих углов служит линейным
углом данного двугранного угла?

354°. 1) Можно ли считать линейным
углом двугранного угла угол, стороны
которого — два луча, проведенные в
гранях двугранного угла из одной точ-
ки ребра?

2) Равен ли линейному углу дву-
гранного угла угол между двумя лу-
чами, перпендикулярными его ребру и
лежащими в его гранях?

355°. Сторона ВС прямоугольника
ABCD служит стороной треугольника
BCF (рис. 148), причем вершина F про-
ектируется на (DC). Назовите линей-
ный угол двугранного угла ВС.

356.	Дано изображение равнобед-
ренной трапеции ABCD и треугольни-
ка АВМ (рис. 149). Отрезок МС изоб-
ражает перпендикуляр, проведенный
из точки М к плоскости АВС. Построй-
те линейный угол двугранного угла
АВ так, чтобы одна из его сторон
проходила через точку М.

357.	Найдите множество всех точек:
1) принадлежащих одной грани двугран-

Рис. 149	ного угла и удаленных от плоскости
другой грани на расстояние /; 2) при-
надлежащих двугранному углу и уда-
ленных от плоскости каждой грани на
расстояние /.

358.	1) Вычислите угол заострения
стамески по размерам, указанным на
рисунке 150.

2) Из заготовки толщиной 2,0 мм
нужно изготовить стамеску с углом
заострения в 12°. На каком расстоянии
от края заготовки должна начинаться
сточенная часть?

359.	1) На грани двугранного угла
величиной 45° дана точка, удаленная
от ребра на расстояние а. Найти рас-
стояние от этой точки до другой грани.

Решение. Пусть amp = 45°, С€ (J
(рис. 151). Проведем [СВ] ± аи[С£>]±/п,
где В С а, D € т. По теореме о трех
перпендикулярах отрезок BD перпен-

дикулярен ребру т. Тогда Z-BDC — линейный угол данного дву-
гранного угла.

Имеем: |CD| = a, BDC — 45°; требуется найти | ВС\. Из пря-
моугольного треугольника BCD получим:

| ВС| = | CD| • sin BDC = a sin 45° =

2) Найдите величину двугранного угла, если расстояние от
точки, взятой на одной грани, до ребра в три раза больше рас-
стояния от данной точки до плоскости второй грани.

360.	Внутри двугранного угла величиной 120° дана точка Af,
удаленная от каждой грани на расстояние а. Найдите расстоя-
ние от этой точки до ребра двугранного угла.

361.	1) Грани одного двугранного угла соответственно парал-
лельны граням другого. Какова зависимость между величинами

этих углов?

2) На изображении параллелепипеда
ABCDAiByCiPi (рис. 152) укажите не-
сколько пар равных по величине дву-
гранных углов.

362.	Эскалатор (движущаяся лест-
ница) одной из станций Московского
метрополитена в наклонной части име-
ет 170 ступенек. Ширина ступеньки
40 см, а высота 20 см. Вычислите:
1) глубину подземной станции; 2) длину
спуска; 3) угол наклона лестницы к го-
ризонтальной плоскости пола станции.

В,

Рис. 152

91

—'ЦЬЛ|
Рис. 153

363.	Вычислите толщину т камен-
ноугольного пласта, наклоненного
под углом ф = 34°40' к плоскости го-
ризонта, если при вертикальном буре-
нии установлено, что глубина пласта
Ь = 4,4 м (рис. 153).

364.	1) Через катет АС пря-
моугольного треугольника АВС
л

(С = 90°) проведена плоскость а, об-
разующая с плоскостью треугольни-
ка угол ф. Найдите расстояние от
вершины В до плоскости а, если
|АВ\ = с, |ЛС| = Ь.

2) Катет равнобедренного прямоугольного треугольника накло-
нен к плоскости а, проходящей через гипотенузу, под углом 30°.
Докажите, что угол между плоскостью а и плоскостью треуголь-
ника равен 45°.

365.	Через основание ВС равнобедренного треугольника АВС
проведена плоскость а; расстояние от вершины А др этой пло-
скости равно 4 см. Найдите угол между плоскостью а и плоско-
стью треугольника, если |ВС| = 12 см, | АВ\ = |ЛС| = 10 см.

366.	Дан треугольник АВС, в котором \ВС\ = 36 дм, \АВ\ =
= 29 дм, | ЛС| = 25 дм. Через сторону ВС проведена плоскость,
образующая с плоскостью треугольника угол ф. Найдите рас-
стояние от вершины Л до плоскости и углы наклона сторон АС
и АВ к этой плоскости.

367.	1) Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного
угла, равного ф. Расстояния | ЛЛХ| и |BBil от точек Л и В до реб-
ра соответственно равны а и Ь, (Л^^с. Найти |ЛВ|
(рис. 154).

Решение. Обозначим ЛХЛ = а, ВгВ = Ь, А^ = с. По пра-
вилу многоугольника имеем: АВ = —а + с + Ь. Возведя в квад-
рат, получим:

АВ2 = (—а)2 + ? + Ь2 — 2а * с — 2а • b + 2Ь • с.

Так как отрезки ЛХЛ и ВХВ перпендикулярны отрезку АгВи то

а • с = 0, Ь • с = 0 и

| АВ\2 = а2 + Ь2 + с? — 2а • Ъ. (1)

Векторы а и Ь сонаправлены сто-
ронам линейного угла, поэтому

А

(а, Ь) = ф.

Из равенства (1) следует:

| АВ\ = Уа2 + Ь2 + с2 — 2ab cos ф. —;

1Ш|Й|

V—
2) Концы отрезка АВ, равного 10 см, принадлежат граням дву-
гранного угла. Расстояния |Лу4х| и от концов данного от-
резка до ребра двугранного угла равны соответственно 5 см и
6 см\ |	= 8 см. Найдите величину двугранного угла.

368. 1) В тетраэдре ABCD известны длины ребер:

| ЛВ| = 14 см, |DC| = 8 см, | АС\ = |ВС| = | AD| =|№| = 9 см.
Найдите величину двугранного угла при ребре АВ.

2)	В тетраэдре ABCD грань ACD — правильный треугольник
со стороной а, грань АВС — равнобедренный прямоугольный тре-
угольник (АСВ = 90°), длина ребра BD равна Ь. Найдите вели-
чину двугранного угла при ребре АС.

§ 39. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

22.	Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если
плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости,
то она перпендикулярна этой плоскости.

Дано: а ± 0, аса.

Доказать: а ± 0.

Доказательство. Пусть а ("| 0= М, а ("| 0=с (рис. 155).

Через точку М в плоскости 0 проведем прямую Ь, перпендику-
л

лярную с; (а, Ь) — линейный угол двугранного угла ас0. Изусло-
А

вия а ± 0 следует, что а ± Ь, тогда (а, Ь) = 90 , т. е. а ± 0.Д
Доказанная теорема выражает достаточное условие перпенди-
кулярности двух плоскостей. Необходимость этого условия выте-
кает из следующей теоремы.

23.	Теорем а. Если две плоскости взаимно перпендикулярны,

то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно
линии пересечения плоскостей, перпендикулярна другой плос-

кости.

Дано: а ± 0, а с а, a JL с, где с = а Г) 0 (рис. 155).

Доказать: а ± 0.

Доказательство. Пусть a f| с = М. В плоскости 0 через
точку М проведем прямую Ь, перпендикулярную прямой с\

(а, Ь) — линейный угол двугранного угла ас0. Из условия а ± 0

следует, что (а, Ь) = 90°, т. е. а ± Ь.
Итак, а ± с и а ± Ь, вследствие чего

а ± 0. 

Задачи

369.	Докажите перпендикулярность
плоскостей двух смежных боковых гра-
ней прямоугольного параллелепипеда.
370.	Проведите плоскость, перпендикулярную данной пло-
скости и проходящую через данную: 1) точку; 2) прямую.

371.	Верно ли утверждение: если две плоскости взаимно пер-
пендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной плоскости,
перпендикулярна любой прямой другой плоскости?

372.	Докажите, что плоскость, перпендикулярная одной из
двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.

373.	Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
ABCDAjBtC^Di плоскостью, проходящей через середины ребер ВС
и CD и перпендикулярной плоскости ABCD.

374.	Дан куб АВсЬА^С^Рх. Из вершины At проведите пер-
пендикуляр [ЛХО] к плоскости сечения ABCiDl. Найдите длину
этого перпендикуляра, если ребро куба равно а.

375.	Два равнобедренных треугольника АВС и АВМ, имею-
щие общее основание АВ, расположены в различных плоскостях.
Докажите, что перпендикуляр, проведенный через точку М к пло-
скости АВС, пересекает прямую CD, содержащую высоту тре-
угольника АВС.

376.	Параллельные прямые а и b лежат в плоскости а; через

каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикуляр-
ная а. Каково взаимное расположение полученных плоскостей?

377°. Два прямоугольных равнобедренных треугольника имеют
общую гипотенузу АВ, равную 9 см; плоскости треугольников
взаимно перпендикулярны (рис. 156). Найдите расстояние между
вершинами прямых углов.

378.	Точка М принадлежит одной из двух взаимно перпен-
дикулярных плоскостей, точка N — другой из них. Расстояния
от данных точек до линии пересечения плоскостей: | AfAft[ = 14 см,
(A/Wil = 7 см. Найдите | Л1Х^|, если |ММ| = 21 см.

379.	Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b пере-
гнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD
и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите |ЛС|.

380.	Две прямоугольные трапеции с углами 60° лежат в пер-
пендикулярных плоскостях и имеют общее большее основание.
Большие боковые стороны трапеций равны 4 см и 8 см. Найдите
расстояние между вершинами прямых и между вершинами тупых
углов трапеций, если известно, что вершины
С	их острых углов совпадают.

А.	381. Даны две различные параллельные

/уч	прямые а и Ь. Укажите оси симметрий,

/	\\.	отображающих а на Ь. Какой фигурой

/	\	является объединение всех таких осей?

• У.______\ X р 382. Укажите плоскости симметрии сле-

1 дующих фигур: 1) плоскости; 2) полупло-
/ скости; 3) угла; 4) объединения двух пе-
ресекающихся прямых; 5) объединения
° двух параллельных прямых; 6) объедине-
Рис. 156	ния двух параллельных плоскостей.

и	щ

I'—-—г
$ 40. МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ. ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ

Пусть даны многоугольник Ф = АВС. . . и точка S, не при-
надлежащая его плоскости (рис. 157, а). Объединение всех лучей,
имеющих общее начало S и пересекающих данный многоугольник
Ф (рис. 157, б), называется многогранным углом.

Рис. 157

Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи S4,
SB, ... — его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями
многогранного угла или его плоскими углами. Величина каждого
из них принадлежит промежутку ]0°, ISO^C

В зависимости от числа граней различают трехгранные, четы-
рехгранные, пятигранные и т. д. углы. Многогранный угол обо-
значают с помощью букв, отмечая ими вершину и точку на каждом
из ребер, причем на первом месте ставится буква, обозначающая
вершину. Например, пятигранный угол, изображенный на рисун-
ке 157, б, обозначают SABCDE.

Каждые две грани многогранного угла, имеющие общее ребро,
определяют двугранный угол, например
Z_SA> Z.SB (рис. 157, б).

Множество всех точек многогранного
угла, не принадлежащих граням, называ-
ют его внутренней областью. Если внут-
ренняя область многогранного угла рас-
положена по одну сторону от плоскости
каждой из его граней, то такой много-
гранный угол является выпуклой фигу-
рой. Невыпуклый многогранный угол
изображен на рисунке 158.

Мы будем рассматривать только выпук-
лые многогранные углы, причем более по-
дробно будем изучать трехгранные углы.

fcl

S
Трехгранный угол является пересечением
трех полупространств (рис. 159). Каждое
из них определяется плоскостью грани
трехгранного угла и ребром, не лежащим
в этой грани.

Задачи

383. Многогранный угол имеет п гра-
ней. Сколько у него ребер, двугранных
углов?

384°. Укажите модели трехгранных
углов на предметах окружающей обста-

385°. Сколько трехгранных углов име-
ет: 1) тетраэдр; 2) параллелепипед?

386.	Из точки выходят п лучей, из которых никакие три не
лежат в одной плоскости. Выведите формулу, выражающую число

различных трехгранных углов, определяемых этими лучами.

387.	1) Через ребро трехгранного угла проведите плоскость,
к которой два других ребра одинаково наклонены.

2*) Через вершину трехгранного угла проведите плоскость,
к которой все три ребра одинаково наклонены.

388.	1) Существует ли четырехгранный угол, имеющий ось
симметрии? 2) Может ли такой угол не иметь плоскости симметрии?

389.	Докажите, что если биссектрисы двух плоских углов
трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса
третьего плоского угла перпендикулярна каждой из первых двух
биссектрис.

390.	Практическая работа.

Из плотной бумаги или картона вырежьте макеты углов 30°,
60°, 90°, 120°, 140°, 150°. Попытайтесь изготовить макет трех-
гранного угла с плоскими углами: 1) 120°, 60°, 90°; 2) 140°, 120°,
90°; 3) 150°, 90°, 60°;4) 120°, 60°, 30°; 5) 150°, 120°, 90°; 6) 150°,
140°, 120°. В каких случаях три плоских угла не могут быть гра-
нями трехгранного угла?

$ 41. СВОЙСТВА ПЛОСКИХ УГЛОВ ТРЕХГРАННОГО
И МНОГОГРАННОГО УГЛОВ

24. Теорем а. Величина каждого плоского угла трехгранного
угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Доказательство. Величины плоских углов трехгран-

ного угла SABC обозначим а, 0, у (рис. 160). Пусть у — наиболь-
ший из этих углов. Достаточно доказать, что у < а + 0.
Внутри угла ASB проведем луч SM9 образующий с лучом
S4 угол величиной 0. Проведем отрезок АВ, он пересечет луч SM
в некоторой точке N. Отложим на луче SC отрезок SD, конгру-
энтный отрезку SN. Треугольники ASD и ASN конгруэнтны (по
двум сторонам и углу, заключенному между ними). Из △ ABD
имеем:

\AD\ + \DB\> |ДВ|.

Но

\АВ\ = | ЛЛЛ| + \NB\ и \AD\ = |ДЛГ|,

поэтому из последнего неравенства следует, что |DB| > \NB\.
Применив к треугольникам BSD и BSN теорему косинусов,
из неравенства |DB|2> | NB |2 получим, что cos а < cos NSB,
откуда NSB < а. Тогда

ASN + NSB < а + 0, или у < а + 0. 

Следствие. Величина каждого плоского угла трехгранного
угла больше разности величин двух других его плоских углов.

Действительно, из неравенства у < а + 0 следует: а>у— 0.
25. Теорема. В трехгранном угле сумма величин всех его
плоских углов меньше 360°.

Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC
с плоскими углами а, 0, у (рис. 161). Проведем луч 5ЛХ, допол-
няющий луч 5Л до прямой. Величины плоских углов трехгран-
ного угла SAtBC равны: а, 180° — 0, 180° — у. Применив к этому
трехгранному углу теорему 24, получим: а < (180° — 0) + (180°—у),
или а + 0 + у < 360°. 9

Каждое из неравенств |0 — у|< а < 0+у и а+0+у < 360°
выражает необходимое условие существования трехгранного угла
с плоскими углами а, 0, у. Оказывается, выполнение обоих этих

4 Заказ Кб 210.
неравенств является и достаточным условием существования такого
трехгранного угла. (См. «Приложения», с. 224.)

Свойства плоских углов выпуклого многогранного угла ана-
логичны свойствам трехгранного угла:

1.	Величина каждого плоского угла многогранного угла меньше
суммы величин остальных его плоских углов.

2.	В выпуклом многогранном угле сумма величин плоских углов
меньше 360°.

Эти свойства доказаны в «Приложениях», с. 225.

Задачи

391.	Можно ли изготовить макет трехгранного угла с плоскими
углами: 1) 100°, 120°, 10°; 2) 80°, 50°, 30°; 3) 125°, 120°, 115°?

392.	1) Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°.

В каких границах находится третий плоский угол?

2)	Тот же вопрос для углов 100° и 90°.

393.	Все плоские углы трехгранного угла прямые. Найдите
величины двугранных углов этого трехгранного угла.

394.	Докажите, что если сумма величин плоских углов трех-
гранного угла равна 180°, то все они острые.

395*. Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости.
Докажите, что

АСВ + CBD + BDA + DAC < 360°.

396.	В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°;
двугранный угол между ними прямой. Найдите третий пло-
ский угол.

397.	Все плоские углы трехгранного угла равны по 60°. На
одном из ребер взята точка на расстоянии а от вершины угла.
Найдите расстояние от этой точки до плоскости противолежа-
щей грани.

398.	В трехгранном угле два плоских угла равны по 60°, тре-
тий равен 90°. Найдите угол наклона ребра, противолежащего
прямому плоскому углу, к плоскости этого угла.

399*. Найдите множество всех точек трехгранного угла, каж-
дая из которых одинаково удалена от всех его ребер.

400*. Докажите, что для любого трехгранного угла с плоскими
углами а, р и у выполняется неравенство:

cos а + cos Р + cos у

31

2

401*. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трех-
гранного угла и биссектриса угла, смежного с третьим плоским
углом, лежат в одной плоскости.

402.	Существует ли многогранный угол, имеющий плоские
углы: 1) 80°, 130°, 70°, 100°? 2) 10°, 20°, 40°, 80°, 160°?
403.	В четырехгранном угле SABCD все плоские углы, а
также угол ASC равны по 60°. Найдите величины его двугран-
ных углов.

404.	Докажите, что любой выпуклый четырехгранный угол
можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился
параллелограмм.

Задачи на повторение к главе 111

405.	Дан прямоугольный ^параллелепипед А

| АВ\ = | AAJ = а, | ВС| =а]ЛЗ. Постройте его сечение плоскостью,
проходящей через точку пересечения прямых BD и АС и пер-
пендикулярной к прямой АС. Вычислите площадь этого сечения.

406.	Точка D равноудалена от вершин правильного треуголь-
ника и не принадлежит его плоскости. Докажите, что прямая,
проведенная через точку D и центр треугольника, перпендику-
лярна его плоскости.

407.	Дано: а || а, b ± а. Доказать: alb.

408.	Все вершины параллелограмма ABCD расположены по
одну сторону от плоскости а. Расстояния от вершин до плоско-
сти соответственно равны a, b9 с, d. Докажите, что а + с = b + d.

409.	Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна
3 см9 перпендикуляр [ЛЛ1] к его плоскости равен 1 см. Найдите
расстояния от М до каждой из вершин шестиугольника.

410.	Стороны параллелограмма образуют угол ф, их длины
равны а и Ь. Из точки О пересечения диагоналей проведен к пло-
скости параллелограмма перпендикуляр [ОЛ1] длиной d. Найдите
расстояния от М до вершин параллелограмма.

411.	Найдите множество всех точек, каждая из которых уда-
лена от пересекающихся плоскостей аир соответственно на рас-
стояния а и b (а 0, b #= 0).

412.	Постройте общий перпендикуляр диагонали куба и ребра,
не пересекающего эту диагональ.

413.	Стороны основания прямоугольного параллелепипеда рав-
ны а и Ь. Найдите расстояние между диагональю параллелепипе-
да и не пересекающим ее боковым ребром.

414*. Постройте сечение куба плоскостью, перпендикулярной
к его диагонали и проходящей через середину диагонали.

415.	Через вершину А острого угла тупоугольного треуголь-
ника АВС проведен перпендикуляр [ЛЛ] к его плоскости. Точка
соединена с вершинами В и С. Докажите, что треугольник ВСК
также тупоугольный.

416.	В равнобедренной трапеции большее основание равно а,
острый угол 60°, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.
Из точки О пересечения диагоналей проведен перпендикуляр
[О7И] к плоскости трапеции, имеющий длину Л. Найдите расстоя-
ния от точки М до сторон трапеции.

4»	,ll( 99

—
417. Из точек А и В, одинаково
удаленных от плоскости а, проведе-
ны к ней конгруэнтные наклонные

l/3	и [BBJ (Лх и Вх принадле-

жат <*)• Докажите, что эти наклон-

ные образуют равные углы с пло-
скостью а.

418.	Достаточным, необходимым
или необходимым и достаточным

Рис. 162

условием

параллельности плоско-

стей аир является существование:
1) такой прямой а, что (а, а) =
= (а, Р); 2) такой плоскости у, что
(у, а) = (у, ₽)?

419.	Из точки М, принадлежащей ребру двугранного угла
аар, проведен в грани а луч MN, не перпендикулярный ребру.

В грани Р проведите луч ML так, чтобы NML = 90°.

420*. Дан прямоугольник ABCD. Через сторону AD прове-
дена плоскость а так, что диагональ BD составляет с этой пло-
скостью угол 30°. Найдите угол ср между плоскостью прямоуголь-
ника и плоскостью а, если |ЛВ| = а, |AD| = Ь. При каком соот-
ношении между а и b задача имеет решение?

421. 1) Через вершину квадрата проведена плоскость, парал-
лельная противолежащей диагонали. Проекции диагоналей квад-
рата на эту плоскость относятся как 1 : 2. Найдите угол между
этой плоскостью и плоскостью квадрата.

2) Через вершину С ромба ABCD проведена плоскость а, па-
раллельная диагонали BD. Докажите, что угол между плоскостью
ромба и плоскостью а равен углу наклона диагонали АС к пло-
скости а.

422. Полуплоскость, делящая двугранный угол на два равных
по величине двугранных угла, называется его биссектором. До-
казать, что множество всех точек двугранного угла, каждая из
которых одинаково удалена от его граней, есть биссектор этого
двугранного угла.

Решение. Пусть полуплоскость у — биссектор двугранного
угла сиф (рис. 162).

а) Возьмем произвольную точку М биссектора у (М $ а), про-
ведем [ЛШх] ± а и [ММ2] ± р (рис. 162). Через прямые ММ!
и ММ2 проведем плоскость 6. Эта плоскость перпендикулярна
ребру а (так как (MMj) ± а и (О2) ± а), поэтому углы МХОМ
и М20М — линейные углы двугранных углов уаа и уар. Но эти
двугранные углы равны по величине, поэтому Мг0М = М20М,
т. е. [ОМ) — биссектриса угла MflM^ По свойству биссектрисы
угла |ММх| = |ММ2|.

filial

i4——
б)	Возьмем точку W вне плоскости у, но внутри угла
ая|3.

Проведем [AWJ ± а, [WW2] -L р, через (NN)) и (NN2) прове-
дем плоскость бх. Пересечения этой плоскости с полуплоскостями
а, р, у являются сторонами линейного угла NiAN2 и его биссектри-
сой [£Л). Так как точка N лежит вне этой биссектрисы, то| МЛ\| #=
¥= |AW2|.

423°. 1) Докажите, что плоскость, содержащая биссектор
двугранного угла, является плоскостью симметрии этого дву-
гранного угла.

2)	Докажите, что двугранный угол имеет бесконечное мно-
жество плоскостей симметрии.

424°. Найдите множество всех точек, каждая из которых оди-
наково удалена от двух пересекающихся плоскостей.

425. 1) Какие плоскости симметрии имеет объединение двух
пересекающихся плоскостей? 2) Какие оси симметрии имеет эта
фигура?

426*. Через биссектрису I линейного угла двугранного угла
проведена плоскость, пересекающая грани двугранного угла по
лучам ОА и ОВ. Докажите, что луч I есть биссектриса угла АОВ.

427.	Грани DAB и САВ тетраэдра ABCD взаимно перпен-
дикулярны, высоты DD± и CCi этих граней равны по 2 м> ребро DC
равно 3 м. Найдите IDjCJ.

428.	Даны смежные двугранные углы (рис. 163). Докажите,
что их биссекторы взаимно перпендикулярны.

429.	В трехгранном угле два острых плоских угла конгру-
энтны. Докажите, что проекция их общего ребра на плоскость
третьего плоского угла является его биссектрисой.

430.	Докажите, что биссекторы двугранных углов трехгран-
ного угла пересекаются по одной прямой.

Задачи на повторение по курсу IX класса

431.	Проведите прямую, пересекающую две данные скрещи-
вающиеся прямые и параллельную третьей данной прямой.

432.	Даны плоскость, прямая и точка. Через данную точку
проведите прямую, которая параллельна данной плоскости и пере-
секает данную прямую.

433*. Найдите объединение всех прямых, пересекающих две
скрещивающиеся прямые.

434°. Даны плоскость а и прямая /и, пересекающая а. Най-
дите объединение всех прямых, каждая из которых пересекает т
и параллельна а.

435.	Г) Найдите множество всех точек плоскости, удаленных
от другой плоскости на расстояние I.

2)	Даны плоскость а и отрезок АВ. Найдите множество всех
точек плоскости а, каждая из которых одинаково удалена от
А и В.
Рис. 164

436.	Дано множество плоскостей, проходящих через одну
прямую, и точка, не принадлежащая этой прямой. Найдите мно-
жество точек, являющихся основаниями перпендикуляров, про-
веденных из данной точки ко всем данным плоскостям.

437.	Самолет летит горизонтально и прямолинейно со ско-
ростью 400 км/ч. Наблюдатель, над которым он пролетел, изме-
рил, что самолет в некоторый момент времени был виден под уг-
лом 65° к плоскости горизонта, а через 30 секунд — под углом 39°
к этой плоскости. На какой высоте летит самолет?

438.	Через данную точку проведите прямую, образующую
с двумя данными плоскостями углы, равные по величине.

439.	Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости
основания под углами а и р. Найдите угол между этими диаго-

палями.

440.	Дана трапеция ABCD, в которой BAD — 60°. Через боль-
шее основание AD проведена плоскость под углом 45° к боковой
стороне АВ. Найдите отношение площади данной трапеции к пло-
щади ее проекции на проведенную плоскость.

441.	Одна из сторон проектируемого угла лежит в плоскости
проекций. Докажите: 1) проекция (ортогональная) прямого угла
есть прямой угол; 2) проекция острого угла есть угол, величина
которого меньше величины проектируемого угла; 3) проекция
тупого угла есть угол, величина которого больше величины проек-
тируемого угла.

442.	Найдите множество всех точек, каждая из которых оди-
наково удалена от прямых, определяемых сторонами: 1) треуголь-
ника; 2) правильного л-угольника (п > 3); 3) параллелограмма,
не являющегося ромбом.

443.	Прямая пересекает грани двугранного угла в точках А
и В. Докажите, что она одинаково наклонена к плоскостям гра-
ней тогда и только тогда, когда точки А и В одинаково удалены от
ребра данного угла.

444.	Из точки, принадлежащей грани острого двугранного
угла, проведены к ребру перпендикуляр и наклонная. Докажите,
что угол, который образует перпендикуляр с плоскостью второй
грани, больше, чем угол, образованный наклонной с этой пло-
скостью.

102

®1
445.	1) Дерево высотой 10 м растет на склоне холма. Из точки,
отстоящей от дерева на 100 м (по склону холма), вершина дерева
видна под углом 28° к плоскости горизонта (рис. 164). Вычислите
угол ската холма.

2) Угол ската горы равен 30°. Под каким углом ф к подошве
горы нужно проложить прямолинейную дорогу, чтобы угол ее
уклона к плоскости горизонта был равен 15°?

Примечание. Иногда угол, являющийся линейным углом
двугранного угла, называют углом ската или же углом наиболь-
шего уклона.

446.	Бочку с бензином массой 200 кг погружают на автома-
шину с помощью наклонной доски. Чему равна величина скаты-
вающей силы, если угол ската равен 45°?

447.	В тетраэдре ABCD ребро DC перпендикулярно плоско-
сти АВС, ребро BD составляет с плоскостью АВС угол в 60°.
Известно, что грань АВС — правильный треугольник со сторо-
ной а. Найдите площадь грани ABD и величину двугранного
угла АВ.

448.	Найдите множество всех точек, каждая из которых оди-
наково удалена от трех данных параллельных прямых, не ле-
жащих в одной плоскости.

449.	Докажите, что если плоская фигура имеет ось симмет-
рии, лежащую в плоскости фигуры, то она имеет плоскость сим-
метрии, отличную от плоскости фигуры.

450.	Вне плоскости а даны точки А и В. Укажите в плоско-
сти а точку М так, чтобы сумма |АМ\ + |Л4В| имела наимень-
шее значение.

451.	Доказать, что композиция двух осевых симметрий с па-
раллельными осями есть перенос.

Решение. Имеем а || b (рис. 165). Выберем произвольно
точку М пространства, пусть Sa (М) = Л4Ь Sb (A1J = Л12. Тогда
композиция Sb°Sa отобразит точку М на точку М2. Рассмотрим
два случая.
1)	Пусть точка М лежит вне плоскости а, проходящей через
а и b (рис. 165, а).

По правилу треугольника

ММ2 = MMt + М^Мг.

Обозначим середины отрезков ММ± и Л41Л42 соответственно
через Ot и О2, тогда

ММ2 - 2 (d^Mt + М/)2), или ММ2 = 2(\О2.

Так как (MMJ ± а и ± а (ведь (MiM2) ± Ь, а || Ь) то
ось а перпендикулярна и отрезку ОгО2 (почему?); кроме того,
Oj € а, О2 € Ь.

— > --------------------->•

Отсюда вытекает, что OiO2, а следовательно, и ММ2 не зави-
сит от выбора точки М.

2)	Если точка М принадлежит плоскости а, то получим слу-
чай, рассмотренный в планиметрии (рис. 165, б). И в этом слу-

чае ММ2 = 2О1О2.

Итак, SbcSa = 2OiO2.

452*. Докажите, что композиция двух симметрий относительно
параллельных плоскостей есть перенос.

453.	Лучи а, b, с, d имеют общее начало. Докажите неравен-
ство: cos (a, b) + cos (a, c) + cos (a, d) + cos (b, c) + cos (b, d) +
+ cos (c, d) —2.

454.	Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°.
Докажите, что плоскость, отсекающая от ребер три равных отрез-
ка, перпендикулярна плоскости прямого угла.

455*. В трехгранном угле с вершиной S все плоские углы
прямые, произвольная плоскость пересекает его ребра в точках
Л, В, С. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки S
к плоскости сечения, проходит через точку пересечения высот
треугольника АВС,

456. 1) Докажите, что пересечение плоскостей, каждая из
которых проходит через ребро трехгранного угла и биссектрису
противолежащей грани, есть прямая.

2) В плоскости каждой из граней трехгранного угла прове-
дена прямая, перпендикулярная ребру, противолежащему этой
грани. Докажите, что все три прямые параллельны некоторой
плоскости.

457.	Дан тетраэдр, противоположные ребра которого попарно
перпендикулярны. Докажите, что плоские углы каждого трех-
гранного угла тетраэдра одноименны: все три либо острые, либо
тупые, либо прямые.
ГЛАВА IV

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД
В ПРОСТРАНСТВЕ

класс

§ 42. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ,
ЗАДАННЫМИ СВОИМИ КООРДИНАТАМИ

1.	Пусть задана тройка (Z; /; k) попарно перпендикулярных
единичных векторов (рис. 1). Такую тройку векторов будем на-
зывать прямоугольным базисом. Известно, что каждый вектор
пространства можно разложить по векторам /, /, k (§23). Это озна-
чает, что для любого вектора а существует, и притом только одна,
тройка чисел (х\ у; г) такая, что

a = xi + yj+zk.	(1)

Справедливо и обратное утверждение: в заданном прямоуголь-
ном базисе (г; /; k) каждая тройка чисел (х; у; г) определяет
единственный вектор. Числа х, у, z называют координатами векто-
ра а в базисе (г, /; Л).

Если все координаты вектора а отличны от нуля, то а можно
изобразить с помощью диагонали прямоугольного параллелепипе-
да, числовые значения длин ребер которого равны |х|, |у|, |z|
(рис. 2).

При изложении материала этой главы равенство (1) будем
записывать, указывая только координаты вектора:

а = (*; у; г).

2.	Рассмотрим правила действий над векторами, заданными
своими координатами.
Пусть в базисе (/; /; k) заданы векторы

я = (*ь ь; zx) и Ь = (х2; у2; z2).

{.Каждая координата суммы двух (или более) векторов
равна сумме соответствующих координат слагаемых:

а4-& = (х1+лг2; yt+y2; ^+^2).

2.	Каждая координата разности двух векторов равна разно-
сти соответствующих координат этих векторов:

a-b = (xt- х2; у{ - у2; z, -z2).

3.	Каждая координата произведения вектора на число равна
произведению соответствующей координаты данного вектора на
это число:

ра=(рх^; pyv; рг{).

4.	Скалярное произведение двух векторов равно сумме про-
изведений соответствующих координат этих векторов:

а& = х1х2 + у1у2 + г1г2.

Доказательство. 1) Применяя законы сложения векто-
ров и распределительный закон умножения вектора на число
(§ 18, 20), получим:

а + b = (xj + ух/ + z^k) 4- (х2Г + yj + z2k) =
= (Xi 4- х2) 1+ (yt 4- у2) 7 4- (?! + z2)k = (хх+х2; ух+у2; ?x+?2). S3

Правила 2 и 3 доказываются аналогично.

4) При доказательстве четвертого правила, кроме законов
сложения векторов и умножения вектора на число, используются
законы скалярного умножения векторов (§ 26):

а • b = (х,7 4- yj 4- ?Л)- (x2i 4- у2/ 4^г2£) =
= xlx2i2 4- yiX2j-i 4- z^Jt-i 4- x^i- / 4-

4- У1У2? 4- zty27-7 4- xtz2i-k 4- y^j-k 4- z&k2.

По определению прямоугольного базиса и свойствам скалярного
произведения (§ 25) получим:

= 7- k = о, ? = ? = k2 = 1.

Следовательно, a-b — ххха 4- У1У2 4* гЛ. g
Задачи

1.	Назовите координаты векторов: 1) I + 2/ — ЗА; 2) 8i+ k\
3) 0,5/"— V2k\ 4) 7/; 5) 7; 6) 0; 7) 8А + i.

2.	По координатам векторов а = (—2; 3; 0), b = (1; —1; 5),
с = (7; 0; 4) найдите координаты вектора: 1) а + Ь\ 2) а — с;
3) а — Ь + с.

3.	Даны векторы: а=(—3; —1; 2),Ь = (4; 0;6), с= (5; —2; 7).

-*	7 ->	-+	->

Найдите координаты векторов: 1) 2а; 2)--------Ь\ 3) —а + 3 с.

4.	Пользуясь условием коллинеарности
выясните, коллинеарны ли векторы: 1)

двух векторов (§ 20),

5. При каких значениях х и у векторы а = (х; —2; 5) и b =
= (1; у; —3) коллинеарны?

6.	Найдите скалярное произведение векторов: 1) а = (—2; 3; 1)
t* /е *7	л\ "* I 1	$	5 \	"Т/2	5	1\

и Ь = (5; 7; —4); 2) с = —; —;----и d  --------; —;-----.

7	\2	5	6/	\	3	6	5/

7.	Перпендикулярны ли векторы: 1) а = (—2; 1; 3) и b =
= (6; —5; 7); 2) с = (6; 0; 12) и 2 = (—8; 13; 4)?

§ 43.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВЕКТОРА И УГЛА
МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ ПО ИХ КООРДИНАТАМ

Задача 1. Найти длину вектора а = (х; у; г) (рис. 3).

Решение. Применив координатную формулу скалярного
произведения (§ 42), получим: а • а — хх + уу + гг или ал =
= хг + у8 + г2, отсюда |а| = jAx2 + у2 + z2.

Итак, длина вектора равна корню квадратному из суммы квад-
ратов его координат.

Задача 2. Найти угол <р между ненулевыми векторами
а = (хх; ух; гг) и b = (х2; у2; z2) (рис. 4).

Решение. Из определения скалярного произведения двух

векторов следует, что cos <р = ——— . Но а • b = ххх2 + уху2 + ?хга
Й-Й ______________________________________________

(§ 42); | а | = V х? 4- у? 4- z'i, | b | = V xl + yl + ti (задача 1). Итак,

ХА + У| Уа + ?iZ2
/ X? +У1+^1 • V
Задачи

8.	Вычислите длины векторов: 1) а = i — j + k\ 2) b = 2i +
+ /—ЗА; 3) с = / — k; 4) d = —2j.

9.	Длина вектора равна 3. Вычислите координаты вектора,
если известно, что все они равны.

10.	Вычислите длину вектора а + Ь, если: 1) а = (1; 2; —1),
b = (3; 0; —2); 2) а = (1; —1; 3), 1 = (—1; 1; —3).

11.	Вычислите длину вектора 2а + ЗЬ, если: 1) а = (1; 1; —1),
b = (2; 0; 0); 2) а = (3; 1; 0), b = (0; 1; —1).

12.	Найдите угол между векторами а = (—1; 2; —2) и b =
= (6; 3; —6).

13.	Найдите косинус угла между векторами а — b и а + Ь,
если а = (1; 2; 1) и b = (2; —1; 0).

14.	Вектор а = (р; q\ г) образует с базисными векторами i, j, k
углы а, 0, у соответственно (рис. 5).

1)	Докажите, что единичный вектор, сонаправленный с векто-
ром а, имеет координаты (cos a; cos 0; cos у).

2)	Докажите равенство: cos2 а + cos2 0 + cos2 у = 1.

3)	Вычислите у, если а = 0 = 60°.

15. Найдите косинусы углов, которые образует с базисными
векторами вектор: 1) а = i + j 4- k\ 2) b — —3j—k‘, 3) c — —5t;
4) d = (0; 3; 4).

§ 44. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ

Пусть в пространстве задана точка О. Каждой точке М поста-
вим в соответствие вектор ОМ\ при этом различным точкам соот-
ветствуют неравные векторы. Кроме точки О, зададим прямоуголь-

108

®J
ный базис (г, /; k) (рис. 6). Каждый век-
тор имеет в этом базисе координаты:

ОМ = (х; у; z).

Если заданы прямоугольный базис
(i; /; k) и точка О, то говорят, что за-
дана прямоугольная система координат в
пространстве. Точку О называют началом
координат, а векторы /, k — координат-
ными векторами. Координатами точки М

в прямоугольной системе координат называются координаты век-
тора ОМ в базисе (i; /; k).
—►

Если ОМ = (х; у; z), то координаты точки М записывают:
М (х; у; z). Число х называют абсциссой, у—ординатой, z — ап-
пликатой точки М.

Введем еще несколько часто употребляемых терминов. Оси,
  ► —► “ ► —► ► -

определяемые векторами ОА = i, ОВ = j, ОС = k, назовем коор-
динатными осями (рис. 7); плоскости, проходящие через каждые
две координатные оси, — координатными плоскостями; простран-
ство, в котором задана система координат, называют координат-
ным пространством.

Задача 1. Дана прямоугольная система координат (рис. 8).
Построить точку М по ее координатам (х; у; z).

Решение. Согласно определению координат точки задача
сводится к построению направленного отрезка ОМ (рис. 8), изобра-
жающего вектор ОМ = xi + у/ + zk. Отложим последовательно
векторы ОА = xi, АВ = yj и ВМ = zk. Точка М — искомая. Дей-
 ►	— ►	— ►	— ►

ствительно, по правилу многоугольника ОМ = ОА 4- АВ + ВМ =
= xi + yj + zk.

Задача 2. По координатам точек A (xf, yi, zj и В (х2; у2; z2)
 ►
найти координаты вектора АВ.
Рис. 9

Решение. По формуле вычитания
векторов (§19) АВ — ОВ—ОА (рис. 9).
Согласно определению координат точки,
--► --------------►

О В = (х2; у2; ОД = (х1; yt; zj. Применяя
правило вычитания векторов, заданных
своими координатами (§ 42), получим:

ЛВ = (х2 — у2 — У1; z2 — zj. (1)

Задача 3. Найти расстояние между точ-
ками A (xf, yf, zj и В (х2; у2; z2).

Решение. Достаточно найти длину
—►

вектора АВ (рис. 9). Его координаты вы-

числяются по формуле (1). Применяя формулу для вычисления
длины вектора (§ 43, задача 1), получим:

IЛ ВI = У (х2 — xt)2 + (уа — П)2 + (г2 — гУ.

Задачи

16. Постройте точки по их координатам: 1) А (2; 3; 1);

2) В (1; —1; 2); 3)	3 ;-Ь —1); 4) Е(0; 2; —3); 5)б(0; 0; —	.

——►

17.	Найдите координаты вектора PQ по координатам точек

р и Q: 1) Р(2; -3; 0), Q(-1; 2; -3); 2) Р (1; -±; А),

0; -1

\	5	3/

18.	Точка В является ортогональной проекцией точки

— >

А (2; —3; 1) на координатную плоскость Oyz. Вычислите | ОВ\.

19.	Вычислите координаты точки, принадлежащей координат-
ной оси Оу и одинаково удаленной от точек А (2; —1; 1) и В (0; 1; 3).

20.	Треугольник задан координатами своих вершин: А (3;—2; 1),
В (3; 1; 5), С (4; 0; 3). Вычислите: 1) длины медиан и BBf,

2) расстояние от начала координат до точки пересечения медиан
треугольника АВС; 3) величины углов этого треугольника.

21.	Вычислите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если
известны координаты точек: А (1; —3; 0), В (—2; 4; 1), С (—3; 1; 1).

22*. Докажите, что точки А (2; 4; —4), В (1; 1; —3), С (—2; 0; 5),
D (—1; 3; 4) являются вершинами параллелограмма, и вычислите

величину угла между его диагоналями.

§ 45. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Введение прямоугольной системы координат в пространстве
позволяет решать геометрические задачи методами, известными
из курса алгебры. Рассмотрим уравнение с тремя переменными:

Р (х, у, z) = 0.
Предположим, что множество его ре-
шений не пусто. Каждое решение есть
тройка чисел (х; у; г). В координатном
пространстве этой тройке чисел соответ-
ствует точка М (х; у; г).

Множество всех точек пространства,
координаты которых являются решениями
уравнения Р (х, у, z) = 0, есть некоторая
фигура Ф. Говорят, что это уравнение
задает фигуру Ф, или что оно является
уравнением фигуры Ф.

1. Задача. Составить уравнение пло-

Рис. 10

скости а, которая проходит через точку

Л4Х (хх; ух; zx) и перпендикулярна1 ненулевому вектору п=(а\ Ь\ с).

Решение. Для любой точки М (х; у; г) плоскости а (М #= Л1х)
вектор MLM перпендикулярен вектору п (рис. 10). Поэтому

п •	= 0.

(1)

Это равенство выполняется и в том случае, если М = Л4Х. Учи-
тывая, что MjM = (х — хх; у — ух; z — zx) (§ 44, задача 2) и п =
= (а; Ь; с), из равенства (1) получим (§ 42):

а (х — Xt) 4- Ъ (у — уд + с (г — zx) = 0.	(2)

Координаты любой точки N, не принадлежащей а, уравнению
-*• ---------------------------►

(2)	не удовлетворяют, так как п • MXN =/= 0.

Итак, каждую плоскость можно задать линейным уравнением
с тремя переменными, имеющим по крайней мере один ненулевой
коэффициент при переменных2.

2	. Убедимся теперь, что всякое уравнение первой степени
с тремя переменными задает в координатном пространстве неко-
торую плоскость.

Рассмотрим произвольное уравнение первой степени:

ах + by + cz + d = 0.

(3)

Такое уравнение имеет бесконечное множество решений. Пусть
(хх; ух; zx) — какое-нибудь его решение, тогда выполняется ра-
венство:

ахх + Ьу± + cZl + d = 0.

(4)

1	Будем говорить, что вектор AAi перпендикулярен плоскости а, если
прямая AAt перпендикулярна этой плоскости.

2	Такое уравнение будем называть в дальнейшем уравнением первой
степени.	~

и.

I mJ
Вычитая из уравнения (3) равенство (4), получим уравнение,
равносильное (3):

а (х — *1) + b (у — ух) + с (z — zj = 0.	(5)

Но уравнение (5) есть уравнение плоскости, проходящей через
точку (jq; ух; zj и перпендикулярной вектору п = (а\ Ь\ с).
Такая плоскость единственна (§ 29). Я

Итак, имеет место следующая теорема:

26. Теорема. Всякое уравнение первой степени ах-\-Ьу-\-
+cz +d= 0 задает в координатном пространстве единственную
плоскость, которая перпендикулярна вектору с координатами
(а; Ь; с).

Зная координаты вектора п = (а; Ь; с), можно решить вопрос
о расположении плоскости ах + by + cz 4- d = 0 относительно ко-
ординатных осей. Например, если с #= 0, а = & = 0, то и = (0; 0; с),
т. е. п = ck. Следовательно, уравнение cz + d = 0 задает плос-
кость, перпендикулярную оси аппликат.

Задачи

23.	Даны точки А (3; 2; 5), В (—1; —2; 2), С (7; 0; —9),

(3	5	\

—; —; 6 . Укажите, какие из них принадлежат плоскости

4	6/

2х — Зу + z — 5 = 0.

24.	Постройте линии пересечения координатных плоскостей
с плоскостью: 1) 2х + Зу — z — 6 = 0; 2) Зх — 4у + 2z — 12 = 0.

25.	Составьте уравнение плоскости, если известно, что точка
/V (3; 5; 2) является основанием перпендикуляра, проведенного
из начала координат к этой плоскости.

26.	Составьте уравнение плоскости, если известно, что она
проходит через начало координат и перпендикулярна вектору
п = (—6; 3; 6).

27.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
А (2; 3; —1) и перпендикулярной прямой, которой принадлежат
точки: 1) В (1; 0; —1) и С (—3; Г, —2); 2) D (—1; 0; 0) и £ (0; 1; —3).

28.	Вычислить расстояние от точки
Л(1;2; —7) до плоскости, заданной уравне-
нием 12х + 4у + 3z — 4 = 0.

Решение. Пусть | АВ\ — расстояние
от точки А до данной плоскости а (рис. И).

>	—►

Тогда вектор АВ коллинеарен вектору п=
= (12; 4; 3), поэтому при некоторомр имеем:
 > —►

АВ — рп. Обозначим через (х,; ко-
ординаты точки В. тогда АВ=ОВ—ОА =
= (Xj — 1; у) — 2; zr + 7). Из равенства АВ = рп получим: х±—1 =
= 12р, у! — 2 = 4р, zx + 7 = Зр.

По формуле расстояния между двумя точками

I АВ | = /(12р)2 + (4р)2 + (Зр)2 = 131 р |.

Так как координаты точки В (х/, ух; zx) удовлетворяют дан-
ному уравнению, то 12 (12р + 1) 4- 4 (4р + 2) + 3 (Зр — 7) —4 = 0.
Отсюда р = -|- и |ЛВ| = 13|р| = Д
169	1о

29.	Вычислите расстояние от начала координат до плоскости:
1) 2х — 2у + z — 6 = 0; 2) 2х + Зу — 6z + 14 = 0.

30.	Составьте уравнение плоскости, если она:

1)	проходит через точку М (0; 2; 0) и перпендикулярна оси
ординат; 2) проходит через точку N (0; 0; —4) и параллельна
плоскости Оху; 3) проходит через точки А (3; 0; 0) и В (0; 3; 0)
и параллельна оси аппликат; 4) проходит через точки С (—]/3;
0; 0), D (0; 0; —1) и перпендикулярна плоскости Оху.

31.	Параллельны ли плоскости: 1) х + 2у + 3z + 5=0 и 2х+4у+
+ 6z + 11 = 0; 2) х — 7у + 5z — 1 = 0 и 2х + у — 3z + 4 = 0?

32.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1; 3; —1) параллельно плоскости: 1) Зх + у — z + 5 = 0;
2) х — у + 5z — 4 = 0.

33.	Перпендикулярны ли плоскости: 1) 2х — 5у + z + 4 = 0
и Зх + 2у + 4z — 1 = 0; 2) 7х — у + 9 = 0 и у + 2z — 3 = 0?

§ 46. КООРДИНАТНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ГОМОТЕТИЯ

1.	Пусть заданы прямоугольная система координат и преобразо-
вание f пространства. Можно поставить задачу: вывести формулы,
которые позволили бы по координатам произвольной точки М
вычислить координаты ее образа f (А4). Такие формулы называют
координатными формулами преобразования f.

Задача 1. Найти координатные формулы параллельного пере-
носа (вектора) р = (а; Ь\ с).

Решение. Рассмотрим произвольную точку М (х; у; z) и
ее образ Мг (х^, ух; zt) (рис. 12). Из условия р (М) = выте-
------------►	—►

кает, что ММ± = р. Переходя в этом равенстве к координатам
(§ 44, задача 2), получим: хх — х = а, ух — y=b, zt — z = с. Отсюда

хх = а + х, yi = b + у, zt = с + z.

2.	Гомотетия пространства определяется так же, как и гомо-
тетия плоскости.

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом
Л =/= 0 называется преобразование пространства, при котором образом
произвольной точки М является такая точка что ОМХ == kOM.

из
Рис. 12

Задача 2. Найти координатные формулы гомотетии с цент-
ром в начале координат и коэффициентом k.

Решение. Рассмотрим произвольную точку М (х; у; z) и
ее образ (хх; ух; гг) при гомотетии Hk0 (рис. 13). По опреде-
—►	—►

лению гомотетии ОМг = kOM. Переходя в этом равенстве к коор-
динатам, получим:

Xi = kxt ух = kyt zY = kz.

Все свойства гомотетии, изученные в планиметрии, распрост-
раняются на пространство (доказательства аналогичны). Поэтому
ограничимся рассмотрением только одного нового свойства.

27.	Теорема. При гомотетии плоскость отображается на па-
раллельную ей плоскость.

Доказательство. Рассмотрим гомотетию Н* и плос-
кость а. Прямоугольную систему координат выберем так, чтобы
ее начало совпадало с центром гомотетии (рис. 14). Плоскость а
имеет уравнение

ах + by + cz + d = 0.	(1)

Чтобы найти уравнение образа плоскости а, воспользуемся
координатными формулами гомотетии (задача 2). Имеем: хх = kx9
У1 = ky, zr = kz. Выразив из этих формул х, у, z и подставив их
значения в уравнение (1), получим
уравнение:

iXi+Tyi+‘ih+d=o-

/Г	Переходя к привычным для нас обо-

1/	значениям переменных, получим оконча-

0	тельно:

У~	ах + by + cz + kd = 0.	(2)

4 1

Итак, уравнением образа плоскости а
Рис. 14 является уравнение первой степени.

[Ж1.
Следовательно, образом плоскости а при гомотетии Но является
плоскость с уравнением (2).

Плоскости а и параллельны, так как каждая из них пер-
пендикулярна вектору п = (а\ b\ с). S

Задачи

34.	Составьте уравнение образа плоскости Зх — у + 8г — 17 = 0:

3

1)	при переносе р = (—1; 5; 3); 2) при гомотетии Но 2.

35.	Найдите координатные формулы: 1) центральной симмет-
рии с центром О (0; 0; 0); 2) симметрии относительно плоскости
z = 0; 3) симметрии относительно оси аппликат.

36*. Пользуясь решением предыдущей задачи, составьте урав-
нение образа плоскости 7х — 2у — 5г — 1 = 0: 1) при симметрии Zo\
2) при симметрии относительно плоскости г = 0; 3) при симмет-
рии относительно оси аппликат.

37.	1) Какие точки, прямые и плоскости при гомотетии отобра-
жаются на себя? 2) Какие гомотетии являются перемещениями?

38.	Дано изображение тетраэдра и точки О. Постройте образ
этого тетраэдра при гомотетии Но, если: 1) k = —2; 2) k = 0,5.
В обоих случаях найдите отношение площадей поверхностей дан-
ного и построенного тетраэдров.

39.	1) Принимая за центр гомотетии Hk0 одну из вершин па-
раллелепипеда, постройте его образ при k = —. 2) Найдите от-
ношение площадей поверхностей параллелепипеда и его образа.

Задачи на повторение к главе IV

40.	Вычислите координаты еди-
ничного вектора а, если известно,
что он перпендикулярен векторам
b = (1; 1; 0) и ~с = (0; 1; 1).

41.	Прямая задана точками
А (6; 0; 2) и В (1; —3; 4). Найдите
значения х и у, при которых точ-
ка Л1 (х; у; 8) принадлежит (АВ).

42.	Найдите координаты точки
пересечения плоскости 2х — у +
+ z — 3 = 0 и прямой, проходя-
щей через данные точки А (—1; 0; 2)
и В (3; 1; 2).

43*	. Найдите угол между пло-
скостями: 1) 2х + 3у + 6г — 5 = 0
и 4х + 4у + 2г — 7 = 0;
2)	2х — у + 2z — 7 = 0 и 4х— Зу + 5 = 0; 3) х + 5у — 4z + l =
= 0 и х + у — z — 10 = 0.

Решение: 1) Рассмотрим векторы пг = (2; 3; 6) и п2 =
= (4; 4; 2), перпендикулярные к данным плоскостям ах и а2
(рис. 15). Угол между векторами и п2 равен углу между пло-
скостями «J и а2 или дополняет его до 180° (рис. 15). Следова-
тельно, задача сводится к нахождению угла ср между векторами
пх и п2.

Применяя определение скалярного произведения, получим:

2 . 4 + 3 • 4 + 6 . 2

/22+32+62 • /42+42+22

16

21

Тогда cos (an а2) = |cos <р |, ср » 40°22'.

44.	1) Найдите косинусы углов между плоскостью 2х — бу +
+ Зз — 5 = 0 и координатными плоскостями.

2) Вычислите углы между координатными осями и плоскостью
х + 8у + 4z — 2 = 0.

45. Прямая задана точками А (1; —1; 1) и В (—3; 2; 1). Най-
дите угол между прямой АВ и плоскостью:

1)	6х + 2у — 3z — 7 = 0; 2) 5х — у + 8z = 0.

46*. Найти множество всех точек Р пространства, для кото-
рых \РА |2 + |РС|2 = |РВ|2 + |Р£>|2, где Л, В, С, D—данные
точки, причем |АВ\ =/= |DC|.

Решение. Обозначим координаты данных точек: А (хх; ух; zj,
В (х2; у2; z2), С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4); координаты произвольной
точки искомого множества обозначим (х; у; z). Имеем:

(х — xj2 + (у — У1)2 + (Z — zj2 + (х — х3)2 + (у — Уз)2 + (г — г3)2 =
= (X — х2у + (у — у2)2 + (Z — z2)2 + (х — х4)2 + (у — у4)г + (Z — г4)2.

Выполнив упрощения, получим:

2 (х2 — хг + х4 — х3)х + 2(у 2 — Ух + у4 — у з)у + 2(г2 — гх + z4—z3)z+
+ (xl-xl + xl-xl) + (у?-у22+у2з-у1) + (г?-^+г2-г1)=0. (1)

Замечаем, что в уравнении (1) коэффициенты при переменных яв-
► —► ——► — ’ ►  -► ►
ляются координатами вектора ОВ — ОА + OD — ОС = АВ — DC.

По условию задачи АВ — DC =И= 0, поэтому хотя бы один из
коэффициентов при переменных в уравнении (1) отличен от нуля.
Следовательно, уравнение (1) есть уравнение плоскости, перпен-
—>	—- >

дикулярной к вектору АВ —DC.

47.	Докажите, что при гомотетии каждый угол отображается
на конгруэнтный ему угол.

48.	Найдите координатные формулы гомотетии с центром
S (а\ Ь\ с) и коэффициентом k.	х—~

^|Й|
ГЛАВА V

МНОГОГРАННИКИ

§ 47.	МНОГОГРАННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. МНОГОГРАННИК

Из курса VIII класса известны примеры неплоских фигур,
являющихся объединением нескольких многоугольников. К таким
фигурам относятся боковая поверхность прямой призмы (рис. 16),
поверхность пирамиды (рис. 17). Эти фигуры — примеры простых
многогранных поверхностей.

Простой многогранной поверхностью называется объединение
конечного числа многоугольников, удовлетворяющее следующим
условиям:

1)	для любых двух вершин этих многоугольников существует
ломаная, составленная из их сторон, для которой взятые вершины
служат концами',

2)	произвольная точка поверхности либо является точкой только
одного из данных многоугольников, либо принадлежит общей сто-
роне двух и только двух многоугольников, либо является вершиной
только одного многогранного угла, плоскими углами которого слу-
жат углы данных многоугольников.

Указанным требованиям удовлетворяют объединения много-
угольников, изображенные на рисунках 16 и 17, но не удовлет-
воряют фигуры, изображенные на рисунке 18 (объясните почему).

В дальнейшем, говоря о простых многогранных поверхностях,
мы для краткости будем опускать слоео «простых».

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность,
называются ее гранями*, стороны многоугольников называются
ребрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.

Если каждое ребро многогранной поверхности содержится
в двух ее гранях, то эту многогранную поверхность называют
Рис. 19

замкнутой. Поверхность пирамиды (см.
рис. 17) является примером замкнутой много-
гранной поверхности, боковая поверхность
призмы (см. рис. 16) — пример незамкнутой
многогранной поверхности.

Замкнутая многогранная поверхность раз-
бивает множество всех не принадлежащих
ей точек пространства на два подмножества.
Для одного из них существуют прямые, со-
держащиеся в этом подмножестве; для дру-
гого — таких прямых не существует. Первое
из указанных подмножеств называют внешней
областью замкнутой многогранной поверх-
ности, а второе — ее внутренней областью.

Определение. Объединение замкну-
той многогранной поверхности и ее внутренней
области называется многогранником.

При этом многогранную поверхность и ее
внутреннюю область называют соответствен-
но поверхностью и внутренней областью
многогранника. Грани, ребра, вершины по-

верхности многогранника называют соответственно гранями, реб-
рами и вершинами многогранника.

Отрезок, который соединяет две вершины многогранника, не
принадлежащие одной грани, называют диагональю многогран-
ника. На рисунке 19 изображен шестигранник ABCDEF и его
диагональ BF.

Как и многоугольники, многогранники могут быть выпук-
лыми (рис. 19) и невыпуклыми (рис. 20). Мы будем изучать только
выпуклые многогранники.
Если модель поверхности многогран-
ника изготовлена из гибкого нерастяжи-
мого материала (бумаги, тонкого картона
и т. п.), то эту модель можно разрезать
по нескольким ребрам и развернуть так,
что она превратится в модель некоторого
многоугольника. Этот многоугольник на-
зывают разверткой поверхности многогран-
ника.

На рисунке 21 показаны развертки
поверхности многогранника, изображенно-
го на рисунке 19. Полученные развертки

Рис. 22

не конгруэнтны, но состоят из попарно конгруэнтных многоуголь-
ников. Для изготовления модели многогранника удобно сначала
изготовить развертку его поверхности.

Задачи

49°. Назовите многогранник, имеющий наименьшее число гра-
ней. Сколько у него ребер, вершин, диагоналей?

50.	Может ли гранью пятигранника служить: 1) четырех-
угольник; 2) пятиугольник?

51.	Одна из граней многогранника — шестиугольник. Какое
наименьшее число ребер может иметь этот многогранник?

52.	Начертите многогранник, имеющий: 1) 8 ребер; 2) 9 ребер.

53.	Верны ли утверждения: 1) если пересечение двух выпук-
лых многогранников есть многогранник, то этот многогранник —
выпуклый; 2) если объединение двух выпуклых многогранников
есть многогранник, то он — выпуклый?

54.	У многогранника ABCDFE (рис. 22) грань ABCD — квад-
рат со стороной а\ грань ABEF — трапеция, у которой |ВЕ| —
= | EF\ = | FA | = (АВЕ) ± (АВС). Найдите: 1) угол наклона
ребра AF к плоскости АВС; 2) угол между плоскостями АВС
и CDF; 3) площадь развертки.

§ 48.	ПРИЗМА

Определение. Многогранник, две
грани которого — п-угольники, лежашие
в параллельных плоскостях, а остальные
п граней — параллелограммы, называется
n-угольной призмой.

Докажем существование призмы. Пусть
дан многоугольник Фх и параллельная
ему плоскость а, причем Фг cf. а (рис. 23).
Рассмотрим проектирование (не обяза-
тельно ортогональное!) многоугольника Фх
на плоскость а. Каждая из сторон данного мно-
гоугольника и ее проекция являются противоле-
жащими сторонами параллелограмма. Объедине-
ние всех этих параллелограммов, многоуголь-
ника Фх и его проекции Ф есть замкнутая
многогранная поверхность. Многогранник, который
задается этой поверхностью, является призмой.

Многоугольники Фх и Ф называют основаниями
призмы. Основания призмы конгруэнтны, так как

существует перемещение, отображающее одно из них на другое:
AAt (Ф) = Фх (см. рис. 23). Остальные грани призмы называют ее
боковыми гранями, а их объединение — боковой поверхностью
призмы.

Изображение призмы удобно начинать с изображения одного
из ее оснований (§ 13). Затем изображают боковые ребра (ребра
призмы, не лежащие в ее основаниях) в виде параллельных и
конгруэнтных отрезков и соединяют последовательно их свобод-
ные концы.

Различают прямые и наклонные призмы. Призма, боковые
ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, назы-
вается прямой призмой (рис. 24). Если боковые ребра призмы
не перпендикулярны плоскостям оснований, то ее называют
наклонной призмой.

Перпендикуляр к плоскостям оснований призмы, концы кото-
рого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.
На рисунке 25 изображена наклонная четырехугольная призма
ABCDA1B1C1D1 и ее высота MN.

Прямая призма, основанием которой является правильный

многоугольник, называется правильной призмой.
изображена правильная шестиугольная призма
поверхности.

На рисунке 26
и развертка ее

Задачи

55.	Какое минимальное число граней может

иметь призма?

Сколько вершин, ребер, боковых ребер у такой призмы?
56.	1) Диагональ правильной четырехугольной призмы рав-
на 25 см, а диагональ ее боковой грани 20 см. Найдите высоту
призмы.

2) Диагональ основания правильной четырехугольной призмы
равна а, диагональ боковой грани равна Ь. Найдите диагональ
призмы.

57.	Каждое из ребер правильной шестиугольной призмы рав-
но а. Найдите диагонали призмы.

58.	Найдите диагонали прямой призмы, основание которой —
ромб со стороной а и острым углом <р, а большая диагональ этой
призмы наклонена к плоскости основания под углом 0.

59.	Сечение призмы плоскостью, проходящей через два боко-
вые ребра, не лежащие в одной грани, называется диагональным
сечением призмы (рис. 27). Докажите, что если диагональные се-
чения призмы пересекаются, то их общий отрезок параллелен
боковому ребру.

60.	1) Найдите отношение площади диагонального сечения
правильной четырехугольной призмы к площади ее боковой
грани.

2) Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы
равна Q. Найдите площади ее диагональных сечений.

61.	Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью,
проходящей через точки М, N, Р, принадлежащие ее различным
боковым ребрам (рис. 28).

Решение. Отрезки MN и NP являются сторонами иско-
мого сечения. Найдем вершину сечения, принадлежащую четвер-
тому ребру DDX (или его продолжению). Для этого построим диа-
гональные сечения	и BByDfi призмы, затем соединим

точки М и Р. Общий отрезок ЕЕг диагональных сечений пере-
секает [ТИР] в точке F, которая принадлежит искомому сече-
нию. Продолжив [7VF] до пересечения с (DDJ, получим точ-
ку Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение. Если точ-
ка Q окажется на продолжении ребра DD19 то сечение — пяти-
угольник (рис. 29).

Рис. 27

Рис. 28
Рис. 29

62.	Постройте сечение четырех-
угольной призмы ABCDA^CyDy пло-
скостью, проходящей: 1) через точки
At, N, Р, принадлежащие ребрам
BBl9 CCj, AD\ 2) через ребро В^
и вершину А.

63.	Постройте сечение треуголь-
ной призмы ABCAjB^ плоскостью,
проходящей: 1) через вершину At и
точки М и N, принадлежащие ребрам
АВ и BiQ; 2) через точки М9 N,
Р, где Р С [Tljdj, а М и N — внут-
ренние точки граней АВВ^А! и
BCCiB1 соответственно.

64.	Через сторону основания
правильной треугольной призмы про-

ведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое реб-
ро. Найдите площадь сечения, если секущая плоскость обра-
зует с плоскостью основания угол у, а сторона основания рав-
на а. Вычислите площадь этого сечения, если а = 18 дм,
у = 24°.

§ 49. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

1. Определение. Параллелепипедом называется призма,
основанием котором служит параллелограмм.

Из определения следует, что все шесть граней параллелепи-
педа (рис. 30) — параллелограммы.

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным
свойствам параллелограмма.

28.	Т е о р е м а. Середина диагонали параллелепипеда является
его центром симметрии.

Доказательство. Пусть О — середина диагонали BDt
параллелепипеда ABCDA^CJ^ (рис. 31). Рассмотрим централь-
ную симметрию с центром О. Так как |OS| = | ODt |, то Zo (В) =Dt.
Центральная симметрия отображает луч
на противоположно направленный луч
(§ 16), поэтому Zo ([ВЛ)) = а так
как \ ВА | = \D1C11 (почему?), то Zo (Л) = С\.
Аналогично доказывается, что точки С и
D отображаются соответственно на точки
Аг и Вг. Отсюда следует, что при сим-
метрии Zo поверхность параллелепипеда
отображается на себя. На себя отобра-
жается и внутренняя область параллеле-
пипеда. Итак, при симметрии с центром
О параллелепипед ЛВСРЛ^С^ отоб-
ражается на себя, т. е. О — центр симмет-
рии данного параллелепипеда. 

Следствие 1. Противолежащие гра-
ни параллелепипеда попарно конгруэнтны
и параллельны.

Следствие 2. Все диагонали парал-
лелепипеда пересекаются в одной точке и
делятся ею пополам (рис. 32).

2. Если боковые ребра параллелепи-
педа перпендикулярны к плоскости его
основания (рис. 33), то параллелепипед
называется прямым. Прямой параллеле-
пипед, основанием которого служит пря-
моугольник (рис. 34), называется прямо-
угольным параллелепипедом. Все грани
прямоугольного параллелепипеда — пря-
моугольники. Длины трех ребер прямо-
угольного параллелепипеда, выходящих из
одной вершины, называются измерениями
прямоугольного параллелепипеда. Прямо-
угольный параллелепипед с равными изме-
рениями называется кубом. Есе грани
куба — конгруэнтные квадраты.

29.	Теорема. Квадрат длины диагона-
ли прямоугольного параллелепипеда ра-
вен сумме квадратов трех его изме-
рений.

Докажите это самостоятельно (можно
воспользоваться координатным методом,
рис. 35).

Следствие. Все диагонали прямо-
угольного параллелепипеда имеют равные
длины.

Рис. зз

Рис. 34
Рис. 36

Задачи

65.	Дан параллелепипед (рис. 32).
Докажите конгруэнтность: 1) дву-
гранных углов с ребрами AAL и CCi,
2) трехгранных углов с вершинами
А и Сг.

66.	Имеет ли наклонный парал-
лелепипед: 1) ось симметрии; 2) пло-
скость симметрии?

67.	1) Может ли основание на-
клонного параллелепипеда быть пря-
моугольником?

2) Могут ли две грани наклонного параллелепипеда быть пер-
пендикулярны плоскости основания? Имеет ли такой наклонный

параллелепипед ось и плоскость симметрии?

68*. Докажите, что если все диагонали параллелепипеда кон-

груэнтны, то он является прямоугольным.

69.	Найдите длины диагоналей прямоугольного параллелепи-
педа, если известны его измерения: 1) 2 дм, 3 дм, 6 дм-, 2) 3 см,
6 см, 12 см.

70.	1) Стороны основания прямого параллелепипеда V18 см
и 7 см, угол между ними равен 135°, боковое ребро равно 12 см.
Найдите диагонали параллелепипеда.

2)	Стороны основания прямого параллелепипеда 8 дм и 5 дм,
одна из диагоналей основания 3,2 дм, большая диагональ парал-
лелепипеда 13 дм. Найдите его меньшую диагональ.

3)	Дан параллелепипед ABCD АХВГС^\\ \ВА | = а, |ВС| = Ь,
IBBJ = с, АВС = а, АВВХ = 0, ВХВС = у. Найдите IBDJ и | АСг|.

71. Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квад-
рат со стороной а, боковое ребро параллелепипеда равно Ь. Боко-
вое ребро ААГ образует с пересекающими его сторонами основа-
ния острые углы, равные ср (рис. 36). Найти площади диагональных
сечений АА^С и BB^D параллелепипеда.

Решение. Оба сечения — параллелограммы, причем | ЛС| =
*= |ДР| = а ]/2, | AAi I = IBBi| =b. Вычислим углы этих паралле-
лограммов. Пусть АВ = т, AD = п, AAi = Р> АгАС =
= (ДДХ, АС)= х, BDDi = (DB, ДДХ) = у. По определению скаляр-
ного произведения векторов

ДА. • AC	AAi DB

cosx = ----------; cosy =------1-----.

|ЛД1|-1ЛС|	7 \AAi\-\DB\

Преобразуем выражения, стоящие в числителях:

AAi • АС = р • (m + n) = p- m + p- n = 2ab cos <р;

AAi • DB = p • (tn — ri) =? ab cos q> — ab cos <p = 0.
Отсюда

2ab cos ф	-. гтг

cos х = -------ттгЛ = У 2 cos w;

ab V 2	Г	Т

cos у = 0.

(О

(2)

Итак, 5дСс,д, = | АС | • | AAr | sin х = ]Л2 ab ]/1 — cos2 х =

= j/2 ab ]/1 — 2cos2 ф = ab	—2 cos 2ф.	(3)

Равенство (2) означает, что у = 90°, т. е. BB^DJ) — прямоуголь-
ник. Поэтому Sbb.d.d = \DB\ •	= ab]f2.

Рассматривая формулу (3), замечаем, что она имеет смысл
лишь при 90° < 2ф < 180°, откуда 45° < ф < 90°.

§ 50. ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА

Предварительно рассмотрим ортогональное проектирование пря-
мых и отрезков, лежащих в плоскости 0, на плоскость а.

А

Пусть 0 А а = а, (0, а) = ф, 0° < ф < 90° (рис. 37). Рассмотрим
в плоскости 0 прямую параллельную а. Параллельное про-
ектирование сохраняет параллельность прямых, поэтому прямые
а и 4 отображаются на параллельные прямые а и /, отсюда 1г || I
(§ 8). Отрезок А^Ву прямой^ и его образ [ЛВ]— противолежащие
стороны параллелограмма, так как проектирующие прямые
параллельны (см. рис. 37). Следовательно, |АВ\ = (Л^!.

Рассмотрим теперь прямую т1 плоскости 0, перпендикуляр-
ную а. Проекция т прямой т1 также перпендикулярна а (тео-
рема о трех перпендикулярах), поэтому (m, /nJ = ф. Отсюда вы-
текает, что для отрезка С^Р^ перпендикулярного а, и его образа
[СО] выполняется равенство |CD| = |C1D11 cos ф.

30. Теорема. Площадь ортогональной проекции многоуголь-
ника на плоскость равна площади проектируемого многоуголь-
ника, умноженной на косинус угла между плоскостями много-
угольника и его проекции.

Доказательство. Рассмотрим треугольник P^Ri, ле-
жащий в плоскости 0, и его ортогональную проекцию (APQ/?)
на плоскость а (рис. 38). Пусть 0 Q а=а, (0, а)=Ф, где 0°< ф<90°.

Рис. 38
Если через точки Pit Qlt Rr провести прямые, параллельные а,
то одна из них имеет общую точку с противолежащей стороной тре-
угольника. Будем считать, что такой прямой является прямая llt
проходящая через точку Rt: \ П = УИр

Пусть | PtKi | и ] Q1.Z-11 — расстояния от точек и Qi до пря-
мой lt. Построив проекции М, К, L точек Мъ Llt выра-
зим площадь треугольника PQR через площадь треугольника
PiQiRi- Очевидно,

S&PQR = ± | RM | • | РК | + 11RM | • | QL |.

Согласно выводам, полученным в начале этого параграфа, имеем:
|РК| = IPiKilcosq), \QL\ = | Q1Z,11 cos Ф.

Тогда

S^pqr = (у | RtMx | • | P^i I + у I RlM1 | • |	|) cosq>=SApt(?1«1cosq>.

Итак,

S&PQR =	COS ф.	(1)

Если p || а, то треугольник и его проекция конгруэнтны. Фор-
мула (1) верна и в этом случае.

Всякий многоугольник можно разбить на треугольники, по-
втолу теорема верна и для многоугольника. Q

Задачи

72.	Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 дм
я 5 дм9 угол между ними 30°. Найдите площадь сечения парал-
Л' лепипеда плоскостью, если известно, что она пересекает все
его боковые ребра и образует с плоскостью основания угол в 45°.

73.	Боковое ребро прямой призмы равно 6 см. Ее основание —
прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 2 см. Найдите
площади сечений призмы плоскостями, проходящими через каж-
дый из данных катетов и образующими углы 60° с плоскостью

основания.

74.	Сторона основания правильной треугольной призмы равна
4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей
через середины двух сторон основания и образующей угол 45°
с его плоскостью, если известно, что плоскость сечения пересе-
кает: 1) только одно боковое ребро призмы; 2) два ее боковых
ребра.

75.	Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба пло-
скостью, проходящей через сторону основания, если угол между
этой плоскостью и плоскостью основания равен: 1) 30°; 2) ф.

76.	Через середины двух смежных сторон основания правиль-
ной четырехугольной призмы проведена плоскость, образующая
с плоскостью основания угол ф и пересекающая три боковых реб-
ра призмы. Найдите сторону основания, если площадь сечения
равна Q.

и--
§ 51. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ

Площадью поверхности многогранника называется сумма пло-
щадей всех его граней.

Найдем площадь поверхности призмы (рис. 39). Так как осно-
вания призмы — конгруэнтные многоугольники, то их площади
равны. Поэтому

•$пр 2S0CH *$бок»

где S6oK — площадь боковой поверхности призмы. Выведем пра-
вило для вычисления Х6ок.

Пусть дана произвольная призма (рис. 39). Через точку A2t
принадлежащую одному из ее боковых ребер, проведем пло-
скость а, перпендикулярную этому ребру. Если плоскость а
пересекает все боковые ребра призмы, то полученный много-
угольник A2B2C2D2E2 называется перпендикулярным сечением
призмы (если такого многоугольника не существует (рис. 40),
то за перпендикулярное сечение призмы принимают многоуголь-
ник с вершинами в точках пересечения плоскости а с прямыми,
на которых лежат боковые ребра).

Примем за основания параллелограммов, являющихся боко-
выми гранями призмы, ее боковые ребра. Высоты этих парал-

лелограммов — стороны перпендикуляр-
ного сечения. Сложив площади всех
боковых граней, приходим к выводу,
что площадь боковой поверхности приз-
мы равна произведению периметра пер-
пендикулярного сечения на боковое ребро.
В частности, площадь боковой поверх-
ности прямой призмы равна периметру
основания, умноженному на высоту
призмы.

Задачи

77.	Высота правильной и-угольной
призмы равна Н, сторона основания а.
Найдите площадь поверхности этой
призмы, если п равно: 1) 4; 2) 3; 3) 6.

78.	Площадь поверхности куба 54 см2.
Найдите его диагональ.

79.	На рисунке 41 изображено по-
перечное сечение канала. Дно и стенки
канала забетонированы. Какую площадь
нужно покрыть бетоном на каждый
километр канала?

80.	Сколько кусков обоев потребу-
ется для оклейки комнаты размером

Рис. 39
Рис. 41

6м х 5 м х 3 м, если размеры одного
куска 0,5 м X 7 м и на обрезки до-
статочно иметь запас, равный пло-
щади окон и двери?

81.	Площадь боковой поверх-
ности правильной шестиугольной
призмы 648 см2, диагональ боковой
грани 15 см. Найдите сторону ос-

нования и высоту призмы.

82.	Двугранный угол при одном из боковых ребер наклонной
треугольной призмы равен 120°; расстояния от этого ребра до
других боковых ребер призмы 16 см и 14 см. Найдите площадь
боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро 20 см.

83.	Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно а,
одно из боковых ребер составляет со смежными сторонами осно-
вания углы в 60°. Найдите площадь полной поверхности.

84.	Основание наклонного параллелепипеда — квадрат со сто-
роной а, одна из вершин другого основания проектируется в центр
этого квадрата. Высота параллелепипеда равна Н. Найдите пло-
щадь боковой поверхности параллелепипеда и угол наклона бо-
кового ребра к плоскости основания. Какова зависимость между а
и Н, если этот угол равен 45°?

85.	Основание прямого параллелепипеда — ромб с острым углом
<р и большей диагональю d; меньшая диагональ параллелепипеда
образует с плоскостью основания угол 0. Найдите площадь боковой

поверхности параллелепипеда.

§ 52. ПИРАМИДА

Определение. Многогранник, одна из граней которого —
произвольный многоугольник, а остальные грани —треугольники,
имеющие общую вершину, называется пирамидой.

Пирамиду можно получить как пересечение многогранного
угла SABCDE (рис. 42) и полупространства U, если: 1) S € U\
2) граница а полупространства U пересекает все ребра данного
многогранного угла в различных точках.

В курсе VIII класса вы пользовались терминами: основание,
вершина, боковая грань, боковое ребро и высота пирамиды. Вспом-
ните смысл этих терминов, пользуясь рисунком 43.

Построение изображения пирамиды можно начать с изображе-
ния ее основания. Затем изображают вершину пирамиды и ее
боковые ребра.

Если основание пирамиды — правильный многоугольник и вер-
шина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника,
то пирамида называется правильной (рис. 44).

Все боковые ребра правильной пирамиды конгруэнтны; все ее
боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники^-^=г
Высота боковой грани правиль-
ной пирамиды, проведенная из ее
вершины, называется апофемой этой
пирамиды. [S7W] — апофема (рис. 44).

Для вычисления площади боко-
вой поверхности правильной пира-
миды имеется удобная формула:

"$бок ~ ~2	‘ ^бок>

где Р — периметр основания, h6oK —
апофема правильной пирамиды. Эта
формула читается так: площадь бо-
ковой поверхности правильной пира-
миды равна половине произведения
периметра основания на апофему пи-
рамиды.

Площадь полной поверхности пи-
рамиды вычисляется по формуле:

"$пир = "$бок ”Ь ^ОСН'

Задача. Площадь основания пи-
рамиды равна Q, двугранные углы
при всех сторонах основания равны
Ф. Доказать, что

<? __ Q

° бок

COS ф

Решение. Проведем высоту SO
пирамиды SABCDE (рис. 45) и рас-
смотрим линейные углы SKO, SLO,
SNO. ... По условию SKO = SLO=:
— SNO = .. . — <р. Проекции боковых
граней пирамиды на плоскость ее осно-
вания—треугольники АОВ, ВОС....
Точка О принадлежит внутренней
области многоугольника ABCDE, так
как она является центром вписан-
ного в него круга (треугольники
SOK, SOL, ... конгруэнтны, откуда
|О/С| =|OL| = ...). Поэтому объеди-
нение треугольников АОВ, ВОС, ...
есть многоугольник ABCDE.

По теореме о площади ортогональ-
ной проекции многоугольника имеем:

S&ABO = Saabs • cos ф;
Sabco = S&bcs • cos ф;

5 Заказ Кг 210

Рис. 43
Сложив почленно, получим:

Q = 5б0К • cos (р, откуда

с ____ Q

^бох-------•

COS ф

Отметим, что полученная формула
верна для любой правильной пира-
миды.

Задачи

86°. 1) Всякий ли параллелограмм
может быть основанием правильной пи-
рамиды? 2) Может ли правильный мно-

гоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

87.	1) Имеет ли ось симметрии правильная пирамида, если
число сторон ее основания равно: а) 3; б) 4; в) и?

2)	Сколько плоскостей симметрии имеет правильная пира-
мида, если число сторон ее основания равно: а) 3; б) 4?

88.	Докажите, что пепересекающиеся ребра правильной тре-
угольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

89.	Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два бо-
ковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональ-
ным сечением пирамиды.

1)	Найдите площадь диагонального сечения правильной че-
тырехугольной пирамиды, если сторона основания равна а, а
боковое ребро образует с плоскостью основания угол ф.

2)	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
равна а, высота пирамиды Н. Найдите площади диагональных
сечений.

90.	Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью,
проходящей через три точки, принадлежащие ее боковым ребрам.

91.	Сторона основания правильной пирамиды равна а, высота
пирамиды Н. Найдите площадь боковой поверхности, если число
сторон основания равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) п.

92.	1) Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды 2 см, двугранный угол при основании 60°. Найдите пло-
щадь боковой поверхности. 2) Площадь боковой поверхности
правильной пирамиды втрое больше площади основания. Найдите
двугранный угол при стороне основания.

93.	Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием
4,5 тих4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45°. Сколько
листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия
крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

94.	Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, боко-
вые стороны которого имеют длину а и образуют угол а, двугран-
ные углы при всех сторонах основания равны 0. Найдите площадь
полной поверхности пирамиды.
95.	Основание пирамиды — ромб со стороной 6 см и углом 45®,
все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30°.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

96.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник
с катетами а и Ь, высота пирамиды проходит через вершину прямого
угла основания и равна Н. Найдите площадь полной поверхности.

97.	Основание пирамиды — параллелограмм, ее высота прохо-
дит через точку пересечения диагоналей основания. Докажите,
что любая плоскость, проходящая через высоту пирамиды, делит
полную поверхность пирамиды на две равновеликие части.

98*	. Основание пирамиды — правильный треугольник со сто-
роной а; одна из боковых граней — равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник, плоскость которого перпендикулярна плоскости
основания. Найдите площадь боковой поверхности.

§ БЗ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Рассмотрим предварительно следующую теорему.

31. Теорема. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной
ее основанию, можно отобразить на основание гомотетией с цент-
ром в вершине пирамиды.

плоскости ABCD

Доказательство. Пусть A1B1C1Dl — сечение пирамиды
SABCD плоскостью, которая параллельна

(рис. 46). Рассмотрим гомотетию с цент-
е	хх	< ISXI ~

ром о и коэффициентом k = ------L. Эта

I &4i |
гомотетия отображает точку т?! на точку
А, а плоскость сечения пирамиды — на
параллельную ей плоскость (§ 46, теоре-
ма 27). Но через точку А проходит един-
ственная плоскость, параллельная пло-
скости сечения; следовательно, сечение
41B1C1D1 пирамиды отображается на ее
основание ABCD. 
Рассмотрим многогранник (рис. 47)

ЛВСР£'Л1В1С1Р1Е1, вершинами которого
служат вершины основания пирамиды и
вершины ее сечения плоскостью, парал-
лельной основанию. Такой многогранник
называют усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида имеет два основа-
ния (ABCDE и AJB^DyEy на рисунке 47),
являющиеся гомотетичными многоуголь-
никами.

Перпендикуляр к плоскостям основа-
ний, концы которого принадлежат этим
плоскостям, называется высотой усечен-
ной пирамиды. Боковые грани усеченной
пирамиды — трапеции.

5*

А В

Рис. 46

5

D

В	С

Рис. 47

131


Рис. 48

Усеченная пирамида называется пра-
вильной, если она является частью пра-
вильной пирамиды. Боковые грани пра -
вильной усеченной пирамиды — конгруэнт-
ные равнобедренные трапеции (см. рис. 47).
Высота каждой из этих трапеций называ-
ется апофемой правильной усеченной пи-
рамиды ([MMJ на рисунке 47).

Умножив площадь одной из боковых
граней правильной усеченной пирамиды
на число этих граней, приходим к фор-
муле

•$бок = ~ "И ?1)  ^бок*

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
равна полусумме периметров оснований, умноженной на апофему.

Задачи

99.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
16 см, а стороны оснований 24 см и 40 см. Найдите диагональ
усеченной пирамиды и площадь диагонального сечения.

100.	1) Постройте сечение правильной усеченной четырехуголь-
ной пирамиды плоскостью, проходящей через конец диагонали
меньшего основания и перпендикулярной к этой диагонали.

2) Вычислите площадь сечения, если стороны оснований а
и b (а > Ь), а боковое ребро с.

101.	По высоте Н и сторонам оснований а и b (а > Ь) найдите
площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:
1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) и-угольной.

102.	На рисунке 48 изображен бункер, поверхность основной
части которого представляет боковую поверхность правильной
четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным
на рисунке (в сантиметрах), вычислите, сколько квадратных де-
циметров листового железа нужно для изготовления бункера (не
считая рукавов А и В).

103.	Основания усеченной пирамиды — равнобедренные тре-
угольники; равные их стороны а и b (а > Ь)9 углы при вершинах
треугольников равны по 120°. Ребро, проходящее через вершины
данных углов, перпендикулярно плоскостям оснований и равно с.
Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

104.	Основания усеченной пирамиды — квадраты со сторонами
8 см и 4 см\ одна из боковых граней, являющаяся равнобедренной
трапецией, перпендикулярна к плоскостям оснований, а противо-
лежащая ей грань образует с плоскостью основания угол 60°.
Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

I	,
§ 54. ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ

Определение. Многогранник называется правильным,
если все его грани — конгруэнтные правильные многоугольники и
все его многогранные углы имеют одинаковое число граней.

Из определения следует, что все ребра правильного много-
гранника конгруэнтны, а также конгруэнтны все его плоские
углы. Примеры правильных многогранников вам уже известны:
это куб (рис. 49), правильный тетраэдр (рис. 50). Можно дока-
зать, что существует еще три вида правильных многогранников.
Это правильный восьмигранник (или правильный октаэдр, рис. 51),
правильный двадцатигранник (икосаэдр, рис. 52), правильный

Рис. 51

Рис. 53
Рис. 55

Рис. 56

двенадцатигранник (додекаэдр, рис. 53). Ни-
каких других видов правильных многогранни-
ков (выпуклых), кроме пяти перечисленных,
не существует (это открытие приписывается
древнегреческому философу Платону).

Развертки поверхностей правильных много-
гранников всех видов изображены на рисун-
ке 54.

Задачи

105°. 1) Является ли правильная пирами-
да (призма) правильным многогранником?

2) Существует ли пирамида (призма), явля-
ющаяся правильным многогранником?

106°. Шестигранник является объединени-
ем двух правильных тетраэдров, имеющих
общее основание (рис. 55). Является ли он

правильным многогранником?

107.	1) Из одной вершины куба проведены три диагонали
граней, их концы соединены отрезками. Докажите, что пирамида,
ребрами которой служат построенные шесть отрезков, есть пра-
вильный тетраэдр.

2*) Докажите, что центры граней куба служат вершинами пра-

вильного октаэдра (рис. 56).

108.	Найдите величину двугранного угла: 1) правильного
тетраэдра; 2) правильного октаэдра.

109.	1) Длина ребра правильного октаэдра равна а. Найдите

площадь поверхности.

2)	Площадь поверхности правильного тетраэдра равна Q. Най-
дите длину ребра.

ПО. Постройте сечение правильного тетраэдра SABC плоско-
стью, которая проходит через середину [5Л], перпендикулярна
грани SBC и параллельна (ВС).

§ 55. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ МНОГОГРАННИКОВ.

ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Задача измерения объемов была поставлена в курсе геометрии
VIII класса. Сформулируем ее применительно к многогранникам* 1
по аналогии с задачей измерения площадей многоугольников.

Каждому многограннику Ф требуется поставить в соответ-
ствие определенную положительную величину V, называемую
объемом, так, чтобы выполнялись следующие свойства:

1)	единицей измерения объемов является объем куба, длина
ребра которого принята за единицу измерения длин;

1 Рассматриваются как выпуклые, так и невыпуклые многогранники.-

134	llfcl

Iх--—
2)	конгруэнтные многогранники имеют равные объемы;

3)	если многогранник является объединением нескольких много-
гранников, любые два из которых не имеют общих внутренних
точек, то объем данного многогранника равен сумме объемов всех
таких многогранников.

Из свойства 3 вытекает следствие:

если многогранник с объемом Vx содержится в многограннике
с объемом V2 и не совпадает с ним, то Vx < V2.

Примем без доказательства, что при заданной единице длины
поставленная задача имеет единственное решение, т. е. каждый
многогранник имеет определенный объем.

32. Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений.

Доказательство этой теоремы для случая, когда числовые зна-
чения измерений являются рациональными числами, рассмотрено
в учебнике для VIII класса. Теорема верна и в том случае, когда
среди числовых значений измерений а, Ь, с хотя бы одно —
число иррациональное.

Доказательство. Так как среди измерений есть иррациональное
число, то никакая доля единичного отрезка не уложится в соответствующем
отрезке целое число раз. Обозначим а~, Ь~, ^приближенные значения чисел
а, Ь, с по недостатку с точностью до и а+	— по избытку с той

же точностью. Наряду с данным параллелепипедом рассмотрим параллелепи-
педы с измерениями Ь~ с~ и а+,	(рис. 57).

Согласно следствию из свойств объемов можно записать:

И7 < v < v+

Приближенные значения иррациональных чисел есть числа рациональ-
ные, поэтому V~ = а~ Ь~ с~ и V+ = а+ б+ с+. Тогда

^Ь-с~< V<a+b+c+	(1)

По определению произведения действительных чисел имеем:

anb7c7<abc<atbtct	(2)

Неравенства (1) и (2) показывают, что приближенные значения чисел V
и abc, взятые с любой одинаковой точностью, равны. Следовательно, равны
и эти числа: V = аЬс.ф

Задачи

111.	Многогранники (Dj и Ф2 имеют объ-
емы \\ и V2. 1) В каком случае объем фигуры
Фх U ®2 равен V4? 2) Найдите объем фигуры
Фх U Ф2> если объем фигуры Ф! Q Ф2 равен
0,5 V 2.

112.	Строительный кирпич имеет размеры
25 см X 12 см х 6 см. Найдите объем стены,
выложенной из 10 000 кирпичей. Учтите,
что раствор увеличивает объем на 15%.
а

Рис. 58

113.	Единичный куб пересечен плоско-
стью, проходящей через его центр симмет-
рии. Чему равен объем каждой части куба?

114.	Правильная четырехугольная пира-
мида объема V пересечена плоскостью, про-
ходящей через высоту пирамиды. Найдите
объемы полученных частей пирамиды.

115.	Найдите объем пирамиды, основание
которой — грань куба, имеющего объем V, а
вершина — точка пересечения диагоналей это-
го куба.

116.	Диагональ куба равна d. Найдите объем куба.

117.	Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны
Qn Q2, Qs- Докажите, что его объем равен КСгСгСз-

118.	Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
а и Ь. Его диагональ составляет с плоскостью основания угол а.
Найдите объем параллелепипеда.

119.	Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда
равна /, величина угла между диагоналями основания равна а, диа-
гональ меньшей боковой грани1 составляет с плоскостью основания
угол р. Найдите объем и площадь боковой поверхности.

120.	Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна
а и образует с диагональю основания угол а. Через данную сторону
и противолежащую ей сторону другого основания проведено сече-
ние, плоскость которого составляет с плоскостью основания угол <р.
Найдите объем параллелепипеда.

121.	На изготовление закрытого ящика с квадратным основа-
нием расходуется S м2 фанеры. Найдите линейные размеры ящика,
при которых его объем имеет наибольшее значение.

122.	У квадратного листа жести со стороной а вырезаны по
углам квадраты (рис. 58) и загнуты края. Найдите длину стороны
вырезанного квадрата, если известно, что получилась коробка
наибольшей возможной вместимости.

§ 56. ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

33. Теорема. Объем прямой призмы равен произведению пло-
щади основания на высоту призмы.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1)	Основание призмы — треугольник АВС (рис. 59). Предпо-
ложим, что [Л В] — его большая сторона. Проведем высоту CD
треугольника АВС. Рассмотрим прямоугольник ABMN, у кото-
рого | ВМ | = | CD | (рис. 60), и прямоугольный параллелепипед
ABMNA^B^M^N^ Грани АССХАХ и ВСС1В1 данной треугольной
призмы, а также плоскость, проходящая через ребро ССГ и
высоту CD основания, разбивают этот прямоугольный паралле-

1 Речь идет о боковой грани, имеющей наименьшую площадь.

I?——р
лепипед на четыре прямые треуголь-
ные призмы, среди которых имеются
две пары конгруэнтных призм. Дей-
ствительно, призмы ACDA1C1D1 и
ACNA1C1N1 конгруэнтны, так как
они центрально-симметричны относи-
тельно точки О пересечения диагона-
лей прямоугольника АСС1А1 (см.
рис. 60). Аналогично убеждаемся в
том, что призмы BCDB1C1D1 и
BCMB^Mi конгруэнтны. Согласно
свойствам 2 и 3 объемов многогран-
ников (§ 55) объем данной треуголь-
ной призмы составляет половину
объема прямоугольного параллеле-
пипеда, т. е.

V = y Sabmn • Н = S&ABC • Н.

2) Рассмотрим прямую и-угольную
призму при п > 3 (рис. 61). Через
какое-либо ее боковое ребро прове-
дем диагональные сечения, получим
п — 2 прямые треугольные призмы.
Площади их оснований обозначим
Qi> Q2, • • • > Q/z-2- Объем данной
n-угольной призмы равен сумме объе-
мов полученных треугольных призм
(§ 55, свойство 3). Итак,

V = Qrff + Q2 • Я+. . ,+Qn^H=
= (Qi + Q2+...+Q^2)-^ = Q- н,
где Q — площадь основания данной
призмы и Н — ее высота.И

Задачи

123.	Площади боковых поверх-
ностей двух прямых параллелепипе-
дов равны. Равны ли объемы этих
параллелепипедов, если их основа-
ния: 1) конгруэнтны; 2) имеют рав-
ные площади?

124.	Длина железнодорожной
шпалы равна 275 см, ее поперечное
сечение показано на рисунке 62

Рис. 60
Рис. 64

основанием, размеры скирды

(размеры в сантиметрах). На плат-
форму погружено 600 шпал. Вы-
числите массу груза. (Плотность
дерева принять за 0,8 г/см3.)

125.	Из деревянной прямой
треугольной призмы с равными
ребрами вырезана правильная че-
тырехугольная призма наибольше-
го объема. Найдите процент отхо-
дов, если боковые ребра призм

параллельны.

126.	Вращающийся барабан для
никелирования мелких деталей
имеет форму правильной шести-
угольной призмы (рис. 63, разме-
ры в сантиметрах). При работе
барабан заполняется на—h. Най-
дите объем загруженной части ба-
рабана.

127.	Скирда сена имеет форму
прямой призмы с пятиугольным
(в метрах) указаны на рисунке 64.

Вычислите массу сена в скирде, приняв массу 1 м3 сена за 70 кг.

128.	Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник
с площадью S и острым углом а. Площадь большей боковой грани
равна Q. Найдите объем.

129.	Диагональ основания прямого параллелепипеда имеет
длину d и составляет со сторонами основания углы аир.
Найдите объем параллелепипеда, если площадь его боковой по-
верхности равна S.

§ 57. ОБЪЕМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ

34 Теорема. Объем наклонной призмы равен произведению
площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство. Пусть дана наклонная призма1 АСг
(рис. 65). На продолжении ребра АгА возьмем точку Л2, рас-
смотрим перпендикулярное сечение A2B2C2D2 призмы. Примем
это сечение за основание прямой призмы Л2С3, боковые ребра
которой равны по длине боковым ребрам наклонной призмы АСг.
Докажем равенство объемов призм Л2С3 и АСг. Многогранники
(не обязательно призмы!) А2Сг и А 3С конгруэнтны, так как вто-

—►
рой из них является образом первого при переносе AjA. По
второму свойству объемов (§ 55) Уаяся = Va3c‘, по третьему свой-

1	При доказательстве этой теоремы многогранник обозначаем, указав
его диагональ.
Рис. 65

Рис. 66

ству VAtCl = Улс,+ Va,c и Va3c =Va,c1 + Va,c- Тогда У/с.+ Ул/?^
= Va,c, + Va,c, отсюда Vac3 — Ул,с,. Применим формулу объема
прямой призмы: УАзс,= •$л,вгс,о,-|Л8Л3|. Тогда и VACt = Sa,bjcj>,X
X | А2Аз1 = SAtB£,D, ’ М1Л|.Н

Следствие. Объем наклонной призмы равен произведению
площади основания на высоту.

Доказательство. Для данной призмы АВСА^В^С^ (рис. 66)
введем обозначения: |Л1Д|=/, |z4T0| = Н — высота, Q—площадь
основания, S — площадь перпендикулярного сечения. Согласно
доказанной теореме V = S • I. Перпендикулярное сечение данной
призмы есть ортогональная проекция ее основания, поэтому
(§ 50) S = Q cos ф, где <р — угол между плоскостями основания
и сечения (рис. 66). Угол между прямыми ЛгО и ЛЛХ, перпен-
дикулярными к этим плоскостям, также равен <р (докажите!).
Поэтому I = ———, тогда

COS ф

y = S-/ = Qcos<p-— = QH. 

COS ф

Задачи

130.	Основание призмы — трапеция, параллельные стороны
которой 44 см и 28 см, а непараллельные — по 17 см. Одно из
диагональных сечений призмы перпендикулярно основанию и яв-
ляется ромбом с углом в 45°. Найдите объем призмы.

131.	1) Постройте сечение треугольной призмы плоскостью,
проходящей через боковое ребро и разбивающей призму на две
части, имеющие равные объемы.

2) Постройте сечение наклонного параллелепипеда плоскостью,
которая проходит через данную точку стороны основания и делит
параллелепипед на две призмы равных объемов.

132.	Все девять ребер наклонной треугольной призмы имеют
длину а, объем призмы равен V. Найдите угол между боковым
ребром и плоскостью основания.

13"

I — ЦЬЛ| ,
133.	Все грани призмы — ромбы со стороной а и острым углом а.
Найдите площадь полной поверхности и объем призмы при а 60°.

134.	Основание призмы — равнобедренный прямоугольный тре-
угольник. Боковая грань, проходящая через один из катетов этого
треугольника, является квадратом со стороной а и образует с пло-
скостью основания угол а. Найдите объем призмы.

135.	Постройте сечение треугольной призмы плоскостью, про-
ходящей через точку пересечения медиан основания и параллель-
ной одной из боковых граней. Найдите отношение объемов много-
гранников, полученных при пересечении призмы этой плоскостью.

§ 68. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

35.	Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведе-
ния площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть дана пирамида, высота которой
Н, а площадь основания Q. Найдем ее объем V. Пересечем пира-
миду плоскостью, параллельной основанию (рис. 67). Расстояние
от вершины пирамиды до секущей плоскости обозначим через х.
Площадь S (х) сечения и объем V (х) отсеченной пирамиды яв-
ляются функциями аргумента х. Если принять, что S (0) = 0 и
V (0) = 0, то функции S (х) и V (х) определены на отрезке [0; Я].
Дадим х приращение Дх > 0 (х + Дх Н), тогда объем V (х)
также получит приращение ДУ. Здесь ДУ — объем усеченной
пирамиды, основания которой лежат в секущих плоскостях. На
каждом из двух сечений построим призму с высотой Дх
(рис. 67). Согласно свойствам объемов (§ 55) имеем:

S (х)Дх < ДУ < S (х + Дх)Дх;
отсюда

S (х) <	< S (х + Дх).	(1)

Найдем функцию S (х). Рассматриваемое сечение и основание
пирамиды — гомотетичные многоугольники (§ 53, теорема 31),
причем коэффициент гомотетии равен —. Из свойств гомотетии

140

следует, что —= —, откуда

S (%) х2

S(x) = —х2.
' ’ нг

Замечаем, что функция S (х) непре-
рывна на отрезке [0; Я], поэтому
lim S (х + Дх) = S (х). Из двойного не-
Дх-»0

/14	1- ДУ

равенства (1) вытекает, что lim —=

дх-»о Дх

= S(x). Следовательно, У'(х)=5 (х), т. е.
функция У (х) есть первообразная для
функции S (х) на [0; Я]. Объем данной

' Д|5|.
пирамиды равен значению функции V (х) при х = Н: V = V (Н).
Так как V (0) = 0, то можно записать: V = V (Н) — V (0). По
определению интеграла

н

V = J S (х) dx.

о

Выполнив интегрирование, получим:

Итак, объем пирамиды вычисляется по формуле:

Задачи

136.	Одно из самых грандиозных сооружений древности — пи-
рамида Хеопса — имеет форму правильной четырехугольной пира-
миды с высотой «150 м и боковым ребром «220 м. Найдите объем
и площадь боковой поверхности этой пирамиды.

137.	В правильной шестиугольной пирамиде большее диагональ-
ное сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник с ги-
потенузой с. Найдите объем пирамиды.

138.	1) Площадь поверхности правильного тетраэдра равна S.
Найдите его объем.

2) Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет
форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра. (Плот-
ность алмаза 3,5 г/см\ 1 карат = 0,2 г.)

139.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь-
ник, один из острых углов которого а; каждое боковое ребро пи-
рамиды равно b и составляет с плоскостью основания угол р. Найди-
те объем пирамиды.

140.	Одно из диагональных сечений правильной шестиуголь-
ной пирамиды делит ее на две неконгруэнтные части. Найдите
отношение объемов этих частей.

141.	Основанием пирамиды служит правильный треугольник
со стороной а, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости
основания, две другие боковые грани составляют с основанием
углы а. Найдите объем пирамиды и площадь большей боко-
вой грани.

142.	Г) Плоские углы при вершине треугольной пирамиды
прямые, боковые ребра пирамиды равны 5 см. 6 смтл! см. Найдите
объем.

2) Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпенди-
кулярны, площади боковых граней равны S2, S3. Докажите,
что объем пирамиды равен 2S1S2S3.

о
143.	Основание пирамиды — равнобедренная трапеция, парал-
лельные стороны которой а и b (а > Ь). Все двугранные углы при
сторонах основания равны ср. Найдите объем.

144.	Стороны оснований правильной треугольной усеченной
пирамиды а и b (а> Ь), двугранный угол при стороне большего
основания а. Найдите объем.

145.	Бункер, изображенный на рисунке 48, наполнен зер-
ном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра
зерна равна 800 кг.

146.	Найдите объем правильной шестиугольной усеченной пира-
миды, стороны оснований которой относятся как 1 : 2, а боковое
ребро длиной b составляет с плоскостью основания угол 60°.

147.	Для перекрытия русла реки при строительстве гидро-
электростанции изготовляют из бетона правильные треугольные
усеченные пирамиды массой по 10 т. Высота и стороны основа-
ний такой пирамиды пропорциональны числам 5, 2, 6. Рассчи-
тайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона
2,2 г[см3.)

Задачи на повторение к главе V

148.	Призма АВСА1В1С1 задана координатами четырех своих
вершин: А (1; 1; —1), В (0; 0; 3), С (1; 4; 1), В1 (1; —1; 1). Вычис-

лите: 1) 14XC|; 2) cos ACtC.

149.	1) Две боковые грани треугольной призмы взаимно пер-
пендикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих
граней равна квадрату площади третьей боковой грани призмы.

2)	Верно ли обратное предложение?

150.	Основание призмы — равносторонний треугольник, одна
из вершин верхнего основания проектируется в центр нижнего
основания. Докажите, что одна из граней призмы — прямо-
угольник.

151.	Все ребра прямой треугольной призмы АВСА^В^С^ имеют
равные длины. Найдите величины углов: 1) между (BCj) и (ДС);
2) между (BCj) и (ДХС).

152.	1) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет правиль-
ная n-угольная призма, если п равно: а) 3; б) 4?

2) Имеет ли каждая из этих призм центр симметрии?

153.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна а, высота призмы равна Н. Найдите площадь сечения, про-
веденного через середины двух смежных сторон основания и центр
симметрии призмы.

154.	Угол между диагональю боковой грани правильной тре-
угольной призмы и другой боковой гранью 30°, боковое ребро
призмы Н. Найдите площадь полной поверхности.

155.	1) Расстояния между соседними боковыми ребрами на-
клонной четырехугольной призмы равны, боковое ребро 4 дм,

142	Ш|Й|

Iх-—
площадь перпендикулярного сечения 18 дм2, а площадь боковой
поверхности 96 дм2. Вычислите величины двугранных углов при
боковых ребрах.

2)	Расстояния между боковыми ребрами треугольной призмы
пропорциональны числам 26, 25, 3; площадь перпендикулярного
сечения 144 м2, площадь боковой поверхности 540 м2. Найдите
боковое ребро.

156*. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали
его граней. На этих отрезках как на ребрах построен параллелепи-
пед. Докажите, что противолежащая вершина данного параллеле-
пипеда служит центром симметрии построенного параллелепипеда.

157.	Сколько осей и плоскостей симметрии имеет: 1) прямой
параллелепипед, не являющийся прямоугольным; 2) прямоуголь-
ный параллелепипед, не являющийся кубом; 3) куб?

158.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, пло-
щади диагональных сечений параллелепипеда равны и Q2.
Найдите площадь боковой поверхности.

159.	Площади диагональных сечений прямого параллелепи-
педа равны 112 см2 и 144 см2-, стороны основания 8 см и 14 см. Най-
дите площадь полной поверхности.

160.	1) Через основание высоты правильной треугольной пира-
миды проведите сечение, параллельное двум скрещивающимся
ребрам. Докажите, что это сечение — прямоугольник.

2) Найдите площадь сечения, если сторона основания равна а,
а боковое ребро Ь.

161.	Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды 8 см, двугранный угол при боковом ребре равен 120°. Вы-
числите площадь боковой поверхности пирамиды.

162.	Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5 см,
5 см и 6 см, высота пирамиды проходит через центр круга, впи-
санного в этот треугольник, и равна 2 см. Найдите площадь боковой
поверхности.

163.	Основание пирамиды — квадрат со стороной а, высота
пирамиды длиной Н проходит через вершину основания. Найдите
площадь полной поверхности.

164.	Докажите, что центры граней правильного тетраэдра
служат вершинами другого правильного тетраэдра. Найдите от-
ношение длин ребер этих тетраэдров.

165.	Практическая работа. Изготовьте с помощью
разверток модели: 1) наклонной треугольной призмы; 2) наклон-
ного параллелепипеда; 3) правильной шестиугольной пирамиды;
4) правильной четырехугольной усеченной пирамиды. На моде-
лях этих многогранников выполните необходимые измерения и
вычислите площади их поверхностей.

166.	Основание пирамиды — ромб со стороной а. Одно из
боковых ребер перпендикулярно плоскости основания; боковые
грани, содержащие это ребро, образуют тупой двугранный угол.

143

I
5

Рис. 68

величиной ₽. Одна из остальных боковых
граней наклонена к плоскости основания
под углом <р. Найти площадь боковой
поверхности пирамиды. Вычислить при
а = 11,08 м, ф = 69°16', р = 106°50'.

Решение. Пусть SABCD — данная
пирамида (рис. 68). Ее основание ABCD —
ромб с тупым углом АВС, ребро SB пер-
пендикулярно плоскости АВС. Поэтому
Z АВС — линейный угол двугранного уг-
ла с ребром SB.

Рассмотрим двугранный угол AD. Из точки В проведем перпен-
дикуляр [В/<] к прямой AD, точку К соединим с S. Согласно тео-
реме о трех перпендикулярах (S/C) J_ (AD). Значит, угол S/(B —
линейный угол двугранного угла с ребром AD.

Прямоугольные треугольники SBA и SBC конгруэнтны (по
двум катетам), поэтому | Л5| — |SC| и △ SAD △ SDC (по трем
сторонам). Имеем: | АВ\ = | AD| = а, АВС — р, SRB = ф; тре-
буется найти £6ок

*$бок = 2$дзлв +	= | ЛВ| • |SB|+ |ЛО| • |SK|,

S60K = a(|SB| + |SK|).	(1)

Так как АВК, = р — 90°, | В/<| = a cos (Р—90°)=я sin р. Рассмат-
ривая прямоугольный треугольник SKB, получим:

I.SBI = I В/Cl tg ф = a sin Р tg ф,	(2)

| 5^ | _ 1б/<1 _ Д sin Р
COS ф COS ф

(3)

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1):

S

a2 sin Р

/	.	, a sin В \ а2 sin В (1 + sin ф)

6ок = а а sin р tg ф 4-----— ] =------=

\	COS ф /	COS ф

/ ф \

. . ЛО	2 cos2 45° — -77

. +«”<»> -ф|=a. sin 0-------------------1—11—

stalSO--»)

\	2 /	\	2

= a2 sin p ctg ^45° —	.

S60K = 11,082 sin 73°10' ctg 10°22'.

Выполнив вычисления, получим:

S6oK « 642 м2.

167.	Основание прямой призмы ЛСХ — ромб со стороной а.
Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно,
что BAJ) = р, BAD = Ф (ф > 90°).

144


168.	В основании прямоугольного параллелепипеда угол между
диагональю, имеющей длину d9 и одной из сторон равен ф. Угол
между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0.
Найдите площадь боковой поверхности.

169.	Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный
треугольник с гипотенузой с; все боковые ребра наклонены к плоско-
сти основания под углом <р. Найдите площадь полной поверхности.

170.	Расстояние от центра основания правильной треуголь-
ной пирамиды до ее боковой грани равно d, двугранный угол при
основании равен <р. Найдите площадь боковой поверхности. Вы-
числите при d = 7,8 м и ф = 46°27'.

171.	Боковое ребро длиной b правильной треугольной усечен-
ной пирамиды образует со стороной большего основания угол 0,
площади оснований относятся как 4:1. Найдите площадь полной

поверхности.

172.	Высота прямого параллелепипеда Н9 стороны основания а
и Ъ. Каким должен быть двугранный угол ф при боковом ребре,
чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?

173.	На двух скрещивающихся ребрах параллелепипеда даны
точки Р и Q. Разделите параллелепипед плоскостью, проходящей
через Р и Q, на две части с равными объемами.

174.	Прямоугольная площадка длиной 80 м и шириной 25 м

наклонена так, что одна из меньших сторон находится выше проти-
воположной стороны на 1,2 м. Сколько кубических метров грунта
нужно насыпать, чтобы сделать площадку горизонтальной? Сколько
кубических метров грунта нужно срезать на площадке, чтобы,
пересыпав этот грунт, выровнять площадку (рис. 69)?

175.	Железнодорожная насыпь высотой 2,8 м имеет ширину
в верхней части 10,1 м9 углы откоса 34°. Найдите объем насыпи
на прямолинейном участке длиной 1 км.

176.	Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник
с гипотенузой с и большим острым углом а. Диагонали двух боль-
ших боковых граней, проведенные из одной вершины нижнего
основания, образуют угол 0. Найдите объем призмы.

177.	Двугранный угол при боковом ребре наклонного парал-
лелепипеда равен а, расстояния от этого ребра до двух соседних
ребер равны а и Ь9 боковое ребро с. Найдите объем.

178.	Основание призмы — равнобедренный прямоугольный тре-
угольник с катетом а\ боковое ребро, противолежащее гипотенузе,
образует с катетами острые углы а и 0. Найдите объем призмы, если
длина бокового ребра Ь.

179.	Докажите, что лю-
бая плоскость, проходя-
щая через середины двух
противолежащих ребер
правильного тетраэдра, де-
лит его на части, имеющие
равные объемы.
180.	Правильная n-угольная пирамида пересечена плоскостью,
проходящей через ее высоту. Равны ли объемы полученных
пирамид?

181.	Все ребра треугольной пирамиды, кроме ребра АВ, имеют
длину а; величина плоского угла, лежащего против ребра АВ,
равна а. Найдите объем.

182.	Сечение, параллельное основанию пирамиды, делит ее на
две части, имеющие равные объемы. Найдите отношение площа-
дей частей, на которые разделена боковая поверхность.

183.	Через середины каждых трех ребер куба, выходящих из
одной вершины, проведены сечения. Найдите объем и площадь
поверхности полученного многогранника, если ребро куба равно а.

184.	Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
SABCD составляет с плоскостью основания угол а. Через вер-
шину В проведена плоскость, перпендикулярная ребру SD. Какую
часть объема данной пирамиды составляет объем четырехугольной
пирамиды, отделяемой сечением?

185.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h
и составляет с боковой гранью угол а. Через сторону основания
пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противолежа-
щей грани. Найдите объем пирамиды, отсекаемой этой плоскостью
от данной пирамиды.

186.	Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сто-
рона основания которой имеет длину а и образует с боковой гранью
угол а.

187.	Основание пирамиды — прямоугольная трапеция, у ко-
торой большая из непараллельных сторон 12 см, а меньший угол 30°.
Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания, площадь боковой поверхности 90 си2. Найдите объем.

188.	Основание пирамиды SABC — треугольник; С = 90°, А=а,
| ЛВ| =с. Боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основа-
ния, угол между гранью SBC и плоскостью основания 0. Найдите
объем. Вычислите при с = 18 см, а = 60°, ₽ = 45°.

189*. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапе-
ция, параллельные стороны которой а и b (а> Ь), а угол между
конгруэнтными отрезками диагоналей а. Высота пирамиды про-
ходит через точку пересечения диагоналей основания, двугран-
ные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания,
относятся как 1 : 2. Найдите объем пирамиды.
ГЛАВА VI

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ

§ 59.	ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. ЭЛЛИПС

Для того чтобы изображать фигуры, которые изучаются в этой
главе (например, цилиндр, конус), нужно научиться изображать
окружность.

Параллельная проекция окружности (отличная от отрезка!)
называется эллипсом (рис. 70). Вычерчивание эллипса удобно
выполнять с помощью шаблона (рис. 71). Заметим, что окружность
также является эллипсом: если плоскость проекций параллельна
плоскости окружности, то проекция окружности на эту плоскость
есть окружность, конгруэнтная данной.

Свойства эллипса применяются при изучении многих явлений.
Так, уже давно известно, что траекториями движения планет
вокруг Солнца являются эллипсы. Искусственные спутники Земли
также движутся по эллиптическим орбитам.

Из свойств параллельного проектирования (§ 12) вытекает,
что проекция центра окружности есть центр симметрии эллипса.

Сокращенно его называют центром эллипса (точка О, рис. 72).
Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой^ а
Рис. 74

хорда, проходящая через центр, — диаметром эллипса. Эллипс,
отличный от окружности, имеет только две оси симметрии, при-
чем они взаимно перпендикулярны (рис. 73).

Задача. Пользуясь изображением окружности, построить изоб-
ражения двух ее взаимно перпендикулярных диаметров*.

Решение. Рассмотрим два взаимно перпендикулярных диа-
метра А1В1 и C1D1 окружности (рис. 74, а). Построим хорду
[KxLJ || [Л^]. Параллельное проектирование сохраняет парал-
лельность прямых и отношение отрезков одной прямой. Отсюда
вытекает свойство искомых диаметров эллипса: каждый из этих
диаметров делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.
Пользуясь этим свойством, выполним построение.

Построим произвольный диаметр АВ эллипса (рис. 74, б) и
параллельную [ЛВ] хорду KL. Затем строим середину М этой
хорды и проводим через М и О диаметр CD. [ЛВ] и [CD] — диамет-
ры эллипса, изображающие перпендикулярные диаметры окруж-
ности. Такие диаметры эллипса называются сопряженными.

Задачи

190.	Постройте касательную к эллипсу1 2: 1) параллельную
данной его хорде; 2) проходящую через данную его точку.

191.	Дано изображение окружности. Построить изображение
правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность;
2) описанного около нее.

Решение. 1) Предварительно заметим: сторона ЛХВХ пра-
вильного вписанного в окружность треугольника (рис. 75, а)
делит пополам радиус 0гО19 перпендикулярный этой стороне.
Действительно, рассматривая прямоугольный треугольник OxAVh,
получим:

cmX = 30°, ЮД| = у|0А1 = у|0А1.

1 Для упрощения построений центр данного эллипса считаем заданным.

2 Проекцию касательной к окружности называем касательной к эллипсу,—
Рис. 75

Построим сопряженные диаметры
CD и EF (рис. 75, б). Затем через
середину М отрезка OD проведем
хорду АВ, параллельную диаметру
EF. Треугольник АВС — искомый.

2) Изображение правильного опи-
санного треугольника MNP (рис. 76)
можно получить, пользуясь изобра-
жением правильного вписанного тре-
угольника АВС. Стороны этих тре-
угольников соответственно парал-
лельны.

192.	Постройте изображения квад-
рата, вписанного в окружность, и
квадрата, описанного около нее.

193.	Постройте изображения впи-
санных в окружность: 1) прямоуголь-
ного треугольника; 2) прямоуголь-
ника; 3) трапеции; 4) правильного
восьмиугольника.

194.	Постройте изображения опи-
санных около окружности: 1) пря-
моугольного треугольника; 2) рав-
нобедренного треугольника; 3) ром-
ба; 4) равнобедренной трапеции.

§ 60.	ФИГУРА ВРАЩЕНИЯ. ЦИЛИНДР

1.	Пусть дана прямая I, М —
произвольная точка, не принадле-
жащая I.

Через М проведем плоскость а, пер-
пендикулярную I (рис. 77). В этой
плоскости рассмотрим окружность
с центром О=а fl I и радиусом \ ОМ |.

Рис. 76
Рис. 80

Условимся говорить, что эта окружность получена при вращении
точки М вокруг оси Z.

В плоскости, проходящей через прямую Z, зададим фигуру F,
например треугольник АВС (рис. 78, а). Фигуре F поставим в со-
ответствие объединение Ф всех точек фигуры F, принадлежащих Z,
и окружностей, полученных при вращении всех точек данной фи-
гуры, не принадлежащих I (рис. 78, б). Говорят, что фигура Ф
получена при вращении фигуры F вокруг оси Z.

Если фигура Ф получена при вращении некоторой фигуры
вокруг оси, то Ф называют фигурой вращения.

С моделями фигур вращения мы часто имеем дело на практике.
Это детали, выточенные на токарном станке (рис. 79), многие виды
посуды и т. п.

Сечением фигуры вращения будем называть непустое пересе-
чение данной фигуры и плоскости. Иногда вместо изображения
фигуры вращения пользуются изображением ее осевого сечения,
т. е. сечения, плоскость которого проходит через ось вращения.
На рисунке 80 показано осевое сечение фигуры вращения, изоб-
раженной на рисунке 78.

2.	Определение. Фигура, полученная при вращении пря-
моугольника вокруг оси, содержащей его сторону, называется
цилиндром (рис. 81).

15Э

Рис. 81
При вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из
сторон прямоугольника, не лежащих на оси вращения, получим
фигуру, которая называется поверхностью цилиндра.

Из курса VIII класса вам известны термины: основание цилинд-
ра, боковая поверхность, высота, образующая (см. рис. 81).

Напомним также, что за площади боковой и полной поверх-
ностей цилиндра принимаются площади соответствующих развер-
ток (рис. 82). Итак, приходим к формулам:

5бок = 2л/?//,

*5ЦН1 = 2nRH 4* 2л/?2.

Задачи

195°. 1) Имеет ли цилиндр центр симметрии? 2) Сколько осей
и плоскостей симметрии имеет цилиндр?

196.	Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью:
1) проходящей через ось; 2) параллельной основанию; 3) парал*
лельной оси; 4) пересекающей все образующие?

197.	Площадь осевого сечения цилиндра 8 м2, площадь основа-
ния 12 м2. Вычислите площадь сечения, параллельного оси и от-
стоящего от нее на 1 м.

198.	Радиус цилиндра R, высота И, площадь сечения, парал-
лельного оси, равна S. На каком расстоянии от оси находится
плоскость сечения?

199.	Точки А, В, С принадлежат различным образующим
цилиндра. Постройте точку пересечения плоскости АВС с какой-
либо образующей (или с ее продолжением), не содержащей ни
одной из данных точек.

200.	Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найдите
площадь боковой поверхности.

201.	Хорда длиной а стягивает в основании цилиндра дугу ф.
Высота цилиндра Н. Найдите площадь полной поверхности ци-
линдра.

202.	Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1,0 м,
длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу
давления пара на поверхность котла.

203.	Сколько квадратных метров жести израсходовано на
изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высо-
той 5,0 см (на швы и отходы добавить 10%материала)?

204.	Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра об-
разует угол а с основанием развертки, длина диагонали равна d.
1) Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 2) Вычис-
лите угол а, при котором полная поверхность цилиндра имеет
наибольшее значение.

205.	Два цилиндра, высоты которых а и Ь, имеют конгруэнт-
ные развертки боковых поверхностей. Найдите отношение —,
ь
при котором площадь полной поверхности одного цилиндра вдвое
больше площади поверхности другого.

151

I .
Рис. 86

Рис. 84

§ 61. КОНУС. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

s

Рис. 87

1.	Определение. Фигура, по-
лученная при вращении прямоугольного
треугольника вокруг оси, содержащей
его катет, называется конусом (рис. 83).

При вращении вокруг той же оси ло-
маной, составленной из гипотенузы и
катета, не лежащего на оси вращения,
получим фигуру, которая называется
поверхностью конуса.

Пользуясь рисунком 83, вспомните
смысл таких понятий, как основание,
боковая поверхность, высота и образую-
щая конуса.

Как известно, развертка боковой
поверхности конуса является круго-
вым сектором (рис. 84). Площадь этой
развертки принимается за площадь
боковой поверхности конуса, она равна
nRL, т. е.

Soon — JiRLf

где L — длина образующей конуса.

Площадь развертки полной поверх-
ности конуса (рис. 85) принимается за
площадь поверхности конуса:

5кон = л/?Л + л/?2.

2.	На рисунке 86 изображен усечен-
ный конус. Это часть конуса, ограни-
ченная его основанием и сечени-
ем, плоскость которого параллельна
плоскости основания. Основания усе-
ченного конуса — гомотетичные круги;
центр гомотетии — вершина S полного

|Щ|й|

Iх--—
конуса (рис. 87). Образующая и высота
усеченного конуса ([ЛхД] и [ОхО] на ри-
сунках 86 и 87) являются соответственно
частями образующей и высоты полного
конуса.

Усеченный конус можно получить при
вращении равнобедренной трапеции во-
круг ее оси симметрии (рис. 86). При вра-
щении границы этой трапеции получим
поверхность усеченного конуса.

На рисунке 88 изображена развертка
поверхности усеченного конуса. За пло-

щади боковой и полной поверхностей усеченного конуса прини-
маются площади разверток этих поверхностей.

Задачи

206.	Какой фигурой является: 1) осевое сечение конуса; 2) сече-
ние конуса плоскостью, параллельной основанию; 3) сечение кону-
са плоскостью, проходящей через вершину конуса?

207°. 1) Имеет ли конус центр симметрии? 2) Сколько осей и
плоскостей симметрии имеет конус?

208.	1) Образующая конуса равна /, угол при вершине осевого
сечения <р. Найдите площадь основания.

2) Площадь основания конуса Q, образующая /. Найдите
площадь осевого сечения.

209.	Радиус основания конуса /?, угол наклона образующей
к плоскости основания а. Плоскость проходит через вершину
конуса и пересекает основание под углом <р. Найдите площадь
сечения.

210.	Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м
и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется
для этой крыши, если размер листа 0,7 м X 1,4 nt, а на швы и
обрезки тратится 10% от площади крыши?

211.	1) Прямоугольный треугольник с катетом а и противо-
лежащим ему углом в 30° вращается вокруг гипотенузы. Найдите
площадь фигуры, полученной при вращении ломаной, составлен-
ной из катетов этого треугольника.

2) Равнобедренный треугольник, длина основания которого Ь,
а угол при вершине ср, вращается вокруг основания. Найдите
площадь фигуры, полученной при вращении ломаной, состоящей
из боковых сторон данного треугольника.

212.	Через две образующие конуса, угол между которыми
равен а, проведена плоскость. Площадь получившегося сече-
ния S, площадь основания конуса Q. Найдите площадь боко-
вой поверхности конуса. Вычислите при а = 28°42', S = 12,56 см2,
Q = 15,31 см2.
213.	1) Высота усеченного конуса 6 см, радиусы оснований
10 см и 2 см. Найдите площади его боковой и полной поверхно-
стей.

2) Высота усеченного конуса равна Л, радиусы оснований
относятся как 1 : 3, угол между образующей и плоскостью осно-
вания равен 45°. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

214.	Прямоугольная трапеция вращается вокруг меньшей из
непараллельных сторон. Найдите площадь поверхности получен-
ной фигуры вращения, если меньшее основание трапеции равно
2 см, а боковая сторона длиной 12 см образует с основанием
угол 60°.

215.	1) Радиусы оснований усеченного конуса 5 см и 2 см,
высота 4 см. Найдите размеры (радиусы и величины дуг) развертки
боковой поверхности (рис. 88).

2)	Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра,
если диаметры его оснований 28 см и 20 см, а высота 24 см? Сколько
квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление
этого ведра (без учета расхода на швы)?

§ 62.	СФЕРА И ШАР

1.	Определение 1. Множество всех точек пространства,
находящихся на положительном расстоянии R от данной точки,
называется сферой.

Данная точка О (рис. 89) — центр сферы. Отрезок ОМ (М —
произвольная точка сферы) называется радиусом сферы (|ОЛ41=/?).

Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется ее
хордой. Хорда, проходящая через центр О, называется диаметром
сферы. Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса (рис. 89).

Определение 2. Множество всех точек пространства, рас-
стояние от каждой из которых до данной точки не больше положи-
тельного расстояния R, называется шаром.

Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси,
которая содержит диаметр полукруга (рис. 90). Фигура, полу-
ченная при вращении полуокружности, есть сфера — поверхность

/Г  Рис. 89  154	R \	/	1	\  '° к °l J  /	\	!	/  В а)	5)  Рис. 90
этого шара. Центр, радиус и хорды
этой сферы называют соответственно
центром, радиусом и хордами шара.
Все точки шара, не принадлежащие
его поверхности, называют внутрен-
ними точками шара.

2.	Пусть задана прямоугольная
система координат. Составим уравне-
ние сферы с центром S (а; Ь\ с) и
радиусом R (рис. 91). Для каждой
точки М (х; у; z), принадлежащей
сфере, и только для таких точек,
выполняется равенство | SM | = R.
Отсюда, пользуясь формулой рас-
стояния между двумя точками (§ 44),
получим:

(х-а)2 + (y-b)2 + (z — c)2 = R2.

Рис. 91

Полагая а = b = с = 0, получим уравнение сферы с центром в
начале координат-

х2 + у2 + z2 = R2.

Задачи

216.	Г) Докажите, что центр сферы является ее центром сим-
метрии. 2°) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет сфера?

217°. Какой фигурой является пересечение сферы и плоскости,
проходящей через центр этой сферы?

218.	Даны точки А (1; —2; 3), В (3; —3; 1), С(1;1;)/2),
D (0; —3;	7). Какие из этих точек принадлежат сфере с цент-

ром S (1; —2; 0) и радиусом 3?

219.	Найдите координаты точек пересечения сферы х2 + у24-
+ z2 = R2 с осями координат.

220.	Даны сфера х2 + у2 + г2 = 200 и точка 5 (3; 4; 5). Най-
дите координаты точки пересечения этой сферы с прямой SO
(О — начало координат).

221.	Найдите расстояние от точки А (Зр; —2р; 6р) до сферы
х2 + у2 + г2 = р2 (р > 0).

222*. Составьте уравнение сферы с центром S и радиусом R,
если: 1) S (2; —1; 3), R = 4; 2) S (—5; 0; 7), R = /З.

§ 63.	СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ. ИЗОБРАЖЕНИЕ СФЕРЫ

1.	Пусть даны плоскость а и сфера <о радиуса R, центр S кото-
рой удален от а на расстояние d. Выясним, какой фигурой может
быть пересечение а и со.

Если d > R (рис. 92), то, очевидно, сфера и плоскость не имеют
общей точки: а (] ю = 0.
Рис. 93

Для исследования случая d R применим координатный
метод. Через центр S сферы со проведем к плоскости а перпен-
дикуляр, О — его основание (рис. 93). Зададим прямоугольную
систему координат: за начало координат примем точку О (рис. 93),
оси Ох и Оу расположим в плоскости а, для оси Oz выберем такое
направление, чтобы аппликата центра S сферы была неотрицатель-
на. Тогда точка S имеет координаты (0; 0; d). Фигура a f| со есть
множество всех точек, координаты которых удовлетворяют системе
уравнений

[г = 0,	(1)

[x2 + y2 + (z — d)2 = R2.	(2)

Подставив в уравнение (2) z = 0, получим:

х2 + у2 + d2 = R2, или х2 + у2 = R2 — d2.	(3)

В координатной плоскости а (г = 0) при R> d (рис. 93, а)
уравнение (3) задает окружность с центром О и радиусом
г = ]Л/?2 — d2 (см. учебник для VIII класса); если же R = d
(рис. 93, б), то х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяют коор-
динаты только одной точки О, являющейся пересечением а и о. |

36.	Теорема. Сечением сферы является:

1)	окружность, если расстояние от центра сферы до плоско-
сти сечения меньше радиуса сферы; 2) точка, если это расстоя-
ние равно радиусу.

Сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы,
называется большой окружностью сферы (или шара). Круг, огра-
ниченный большой окружностью, называется большим кру-
гом шара. Очевидно, что радиус большого круга равен радиусу
шара.

2.	Шар (сферу) принято изображать в ортогональной проек-
ции (рис. 94); при таком проектировании изображением шара
служит круг (рис. 95). Окружность этого круга изображает
большую окружность сферы, ограничивающей шар. На рисунке 95,
кроме контурной окружности, изображены два параллельных
сечения сферы.

Задачи

223.	1) Докажите, что сечения сферы, одинаково удаленные
от ее центра, имеют равные радиусы.

2)	Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет
то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.

224.	Сфера х2 4~ У2 4- z2 = 4 пересечена плоскостью. Найдите
координаты центра и радиус г сечения, если известно урав-
нение этой плоскости: 1) z = 0; 2) у = 1; 3*) х + у + z = 2.

225.	Какая фигура является пересечением сферы х24~У24-

4- z2 = 4 и плоскости: 1) х = 2; 2) х + у = 4; 3) у — г = 2; 4) 11x4-
4- 19у — 7z = 0; 5) х 4- у — z 4~ 9 = 0?

226*. Пользуясь координатным методом, докажите, что не-
пустое пересечение двух различных сфер является окружностью,
плоскость которой перпендикулярна линии центров, или точкой,
принадлежащей линии центров.

227.	Г) Какая из географических параллелей является боль-
шой окружностью земного шара?

2)	Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять
за 6400 км).

3)	Вычислите путь, который проходит за сутки в результате
вращения Земли вокруг оси населенный пункт, в котором вы
живете.

228.	Из точки М, взятой на сфере радиуса 30 см, проведены
две взаимно перпендикулярные хорды МА и МВ длиной 24 см
и 10 см.

1)	Проходит ли плоскость АМ В через центр сферы? 2) На каком
расстоянии от центра сферы находится хорда ЛВ?
§ 64. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К СФЕРЕ

Определение. Касательной плоскостью к сфере (шару)
называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую
точку.

Эту точку (точку А на рисунке 96) называют точкой касания
сферы и плоскости. Докажем теорему, аналогичную признаку
касания окружности и прямой.

$7. Теорема. Для того чтобы плоскость была касательной к
сфере, необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была пер-
пендикулярна к диаметру сферы и проходила через его
конец.

Доказательство. Достаточность. Пусть [Л В] —диаметр
данной сферы (рис. 96), А € а, [ЛВ] ± а. Тогда расстояние от
центра О сферы до плоскости а равно радиусу. Согласно теореме
36 точка Л — единственная общая точка сферы и плоскости, т. е.
а — касательная плоскость.

Необходимость. Пусть Л — точка касания сферы и плоскости а
(рис. 96). Докажем, что [ОЛ] ± а. Предположим, что [ОЛ] —
наклонная к а. Тогда расстояние от О до а должно быть меньше
|ОЛ|, т. е. меньше радиуса сферы. Согласно теореме 36 плоскость а
в таком случае не является касательной. Получили противоречие
с условием; следовательно, [ЛВ] ± а. Н

В касательной плоскости через точку касания проведем пря-
мую (рис. 96). Очевидно, что эта прямая имеет только одну об-
щую точку со сферой. Такую прямую называют касательной к
сфере (шару).

Задачи

229°. Сколько касательных плоскостей к сфере можно провести
через точку, взятую: 1) на сфере; 2) вне сферы?

230°. Сколько касательных прямых можно провести к сфере

через точку, взятую: 1) на этой сфере; 2) вне этой сферы?

231°. Найдите множество всех точек, которые являются цент-

рами сфер: 1) касающихся данной плоскости в данной точке О;

2)	имеющих данный радиус и касающихся данной плоскости.

232.	1) Сфера радиуса R касается граней двугранного угла

величиной <р. Найдите расстояние от центра
сферы до ребра двугранного угла.

2*) Составьте уравнение сферы радиу-
са /?, касающейся всех координатных пло-
скостей, если известно, что координаты
центра этой сферы положительны.

233.	К шару радиуса R проведена ка-
сательная плоскость. Найдите площадь
сечения шара плоскостью, которая про-
ходит через точку касания и образует с
касательной плоскостью угол <р.

life
234.	Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы х2_+
+ у2 + z2 = 9 в точке с координатами: 1) (0; 3; 0); 2) (0; 2; —V5)1
3) (2; —2; —1).

235.	Докажите, что уравнение плоскости, касающейся сферы
x2+y2+z2=/?a в точке А (т; р; q)9 имеет вид: тх + py+qz = R2.

§ 65. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗМЕРЕНИЯ ОБЪЕМОВ.

ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА

1.	Свойства объемов многогранников нам известны (§ 55).
Оказывается, не только многогранникам, но и многим другим
фигурам (например, цилиндру, конусу, шару) можно поставить
в соответствие положительные величины (объемы этих фигур),
обладающие следующими свойствами:

а)	конгруэнтные фигуры имеют равные объемы;

б)	если фигура Фх содержится в фигуре Ф2, то объем фигуры Фх
не больше объема фигуры Ф2.

2.	Пользуясь этими свойствами, выведем формулу объема ци-
линдра.

38. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади
его основания на высоту.

Доказательство. Пусть дан цилиндр, радиус основания
которого R и высота Н (рис. 97, а). Рассмотрим правильную четырех-
угольную призму, вписанную в цилиндр (основания призмы вписа-
ны в основания цилиндра). Путем удвоения числа сторон оснований
призмы получим восьмиугольную призму, вписанную в цилиндр;
так же можем получить шестнадцатиугольную призму и т. д. Объе-
мы этих призм образуют числовую последовательность: V29. . . ,
Vn, . . . (1). Объем n-й призмы Vn = 8Л • //, где Sn — площадь
основания призмы, а Н — ее высота.

При неограниченном удвоении числа сторон правильных вписан-
ных в окружность многоугольников последовательность их площа-
дей имеет конечный предел, равный л/?2.
Действительно, Sn = уРЛ£я, где Рп — периметр n-го правильного мно-
гоугольника, kn — длина его апофемы (рис. 97, б). Из курса алгебры известно,
что lim Рп = С = 2л/? — длина окружности радиуса R. Рассматривая тре-
«-►00

угольник ЛОМ, получим: 0 < R —kn<—cin. Очевидно, lim ап = 0, и из
2	«-►ОО

этого неравенства следует, что lim kn = R. Тогда

«—►oo

lim Sn = lim Pn • kn ] = —- lim Pn • lim kn = — • 2л/? • R = л/?2,
«-►oo	«-►oo \ 2	/2 n-^oo «->oo	2

Заметим, что такой же предел имеет последовательность площадей пра-
вильных описанных многоугольников (рис. 97, 6). Действительно, площадь
1

n-го многоугольника равна —	• /?, где — его периметр. Тогда

lim М; Qn • /?^ = ~ lim Qn • R =	• 2л/? • R = л/?2,

«-►оо \ 2	/	2 «-+оо	2

Величину lim S„ = nR2 по определению принимают за площадь
«-►ОО

круга радиуса R.

Найдем теперь предел последовательности (1):

lim Vn = lim (S„ • H) = H • lim S„ = nR2H.
«-►OO	«-*oo	«->oo

Составив последовательность Wn объемов правильных призм,
описанных около цилиндра, аналогично докажем, что
lim Wn = nR2H.
«-►00

Следовательно, lim V„ = lim Wn = nR2H.
П-t-CD	«-*OO

Согласно свойствам объемов фигур (пункт 1) Vn V Wn,
отсюда V = nR2H.U

Итак, объем цилиндра вычисляется по формуле:

V = л/?2//.

Примечание. При решении задач мы часто будем поль-
зоваться следующим свойством фигур, имеющих объемы: если фи-
гура Ф является объединением фигур Фх и Ф2, не имеющих общих
внутренних точек1, то объем фигуры Ф равен сумме объемов
фигур и Ф2.

Задачи

236.	Стальная болванка имеет форму правильной четырех-
угольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м.
Сколько метров проволоки диаметром 5,00 мм можно изготовить
из этой болванки вытягиванием?

237.	Кабель диаметром 42 мм заключается в свинцовую оболоч-
ку толщиной 2,0 мм. На изготовление оболочки израсходована 1 г
свинца. Какова длина кабеля? (Плотность свинца 11,4 г/см3.)

1 Определение внутренней точки приведено в «Приложениях», с. 227.
238.	Стальной вал, имеющий 97 см в длину и 8,4 см в диаметре,
обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,20 см. На
сколько уменьшится масса вала в результате обточки? (Плотность
стали 7,4 г/см3.)

239.	Диагональ прямоугольника составляет с одной из сторон
угол а. Найдите отношение объемов цилиндров, полученных при
вращении прямоугольника вокруг осей, содержащих его смежные
стороны.

240.	В цилиндр вписана правильная треугольная призма,
объем которой равен V, а отношение стороны основания к боковому
ребру равно 1/3. Найдите объем цилиндра.

241.	Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отстоящее
от оси на расстояние d и отсекающее от окружности основания
дугу в а радиан. Площадь сечения равна S. Найдите объем цилин-
дра.

§ 8В. ОБЪЕМ ФИГУРЫ, ПОЛУЧЕННОЙ ПРИ ВРАЩЕНИИ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

В прямоугольной системе координат на плоскости рассмотрим
криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной
неотрицательной функции f (х), осью абсцисс и прямыми х = а,
х = b (а < Ь) (рис. 98). При вращении криволинейной трапеции
вокруг оси абсцисс получим фигуру вращения Ф (рис. 99).
Любое сечение фигуры Ф плоскостью, перпендикулярной оси
абсцисс, есть круг (или точка). Рассмотрим сечение, проведенное
через точку с абсциссой х (х € [а; Ь]).
Его площадь S (х) равна л/2 (х).
Объем части фигуры Ф, ограниченной
плоскостями сечений, проведенны-
ми через точки а и х, обозначим
через V (х). Функции S (х) и V (х)
рассматриваются на отрезке [а; Ь].

Предполагая, что функция f (х)
является на [а; Ь] возрастающей (или
убывающей), докажем, что объем
фигуры Ф может быть найден с по-
мощью такой формулы:

ь

У = J S (х) dx.
а

Воспользуемся тем же способом,
который был применен при доказа-
тельстве теоремы об объеме пирами-
ды (§ 58).

6 Заказ № 210.	Ifil-,

|иМ|
Рис. 100

Дадим х приращение Дх > 0
(х + Дх д); тогда объем
V (х) получит приращение ДУ
(рис. 100). Рассмотрим два ци-
линдра с общей высотой Дх:
основанием первого из них яв-
ляется круг с площадью S (х),
а основанием второго — круг с
площадью S (х + Дх) (рис. 100).
Согласно свойствам объемов фи-
гур (§ 65), имеем:

S (х)Дх Д1/ S (х + Дх)Дх, отсюда

S (х) < — < S (х + Дх)
дХ

(1)

(если функция f (х) убывает, то вместо неравенства (1) получим
неравенство противоположного смысла).

Мы условились, что функция f (х) непрерывна на [а; 6], по-
этому непрерывна и функция S (х) = л/2 (х). Следовательно,

lim S (х + Дх) = S (х).
Дх-*0

Но тогда из двойного неравенства (1) вытекает: lim — — S (х),
д*—о Дх

т. е. V' (х) = S (х). Таким образом, объем V (х) есть первообраз-
ная функции S (х) на [а; Ь]. Объем фигуры Ф получим при
х = b: V = V (Ь). Заметив, что V (а) — 0, находим:

V = V (6) — V (а), или
ь	ь

V = J S (х) dx = л

а	а

J f2 (х) dx. 

Итак, объем фигуры, полученной при вращении криволинейной
трапеции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле'.

ь

V = л

162

У

7

о

Рис. 101

\f2(x) dx.

V)

Примечание. Формулу (2) можно
применять и в том случае, когда непре-
рывная функция f (х) не является возра-
стающей или убывающей на всем проме-
жутке [а; Ь] (рис. 101).

j
Задачи

242. Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг
оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана
уравнениями:

1)	у = 2х + 1, х = 1, х = 4, у = 0;

2)	у = х2, х = 1, у — 0;

3)	у — 2х — х2, у — 0;

4)	у — ]/ах, у = 0, х = а (а > 0);

5)	у — х3, х = 2, у = 0;

6)	у — 1 — х3, х = 2, у = 0.

§ 67. ОБЪЕМ КОНУСА

39.	Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть конус получен при вращении
прямоугольного треугольника ОАВ (Д = 90°) вокруг прямой ОА
(рис. 102). В плоскости ОАВ введем прямоугольную систему ко-
ординат с началом О и осью абсцисс ОА. Уравнение прямой ОВ
имеет вид: у = kx, где k = tg <р = '	Треугольник ОАВ

является частным видом криволинейной трапеции (она ограни-
р

чека осью абсцисс, графиком функции у = — х и прямой х = Н).
н

Поэтому объем конуса можно	найти	с	помощью формулы из § 66:

я D	.

V = л [ (—	х)	dx =	-л/?2//.И

Й \н	'	3

Итак, объем конуса вычисляется по формуле:

V — — nR^H.

3

Задач»

243.	1) Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 ле, а окружность
основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 ж3 зерна
равна 750 кг?

2)	Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с
углом откоса 33°. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем
был равен 10 л<3?

244.	В основании конуса хорда длины а
стягивает дугу 2а; угол между образую-
щей конуса и плоскостью основания равен
<р. Найдите объем конуса.

245.	Прямоугольный треугольник с ка-
тетом а и прилежащим углом р вращается
вокруг оси, содержащей гипотенузу. Най-
дите объем фигуры вращения.
246.	Круговой сектор с радиусом 7? и
центральным углом, равным а радиан, яв-
ляется разверткой боковой поверхности ко-
нуса. Найдите объем этого конуса.

247.	Для изготовления конической ворон-
ки из жести вырезают круговой сектор ра-
диуса 7?. Найдите центральный угол сектора,
при котором получается воронка наибольшей
вместимости.

248.	1) Радиусы оснований усеченного
конуса равны 1 дм и 9 дм, образующая равна
1 м. Найдите объем.

2) Радиусы оснований усеченного конуса
R и г (R > г). Найдите отношение объема

усеченного конуса к объему конуса, частью
которого является данный усеченный конус.

249.	Диаметры концов бревна 32 см и 26 см, его длина 5,3 м.
Из бревна изготовлен прямоугольный брус с наибольшим квад-
ратным сечением. Сколько процентов от объема бревна составит
объем бруса?

250.	Размеры бидона указаны на рисунке 103 (в миллиметрах).
Найдите емкость бидона (в литрах).

251.	Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг
оси, проведенной через вершину острого угла и перпендикуляр-
ной к стороне ромба. Найдите объем фигуры вращения.

§ 68. ОБЪЕМ ШАРА

40.	Теорема. Объем шара радиуса R вычисляется по фор-
муле:

V = -л/?3.

3

Доказательство. Пусть дан полукруг с центром О и
диаметром |ЛВ| = 27?. В плоскости полукруга введем прямо-
угольную систему координат с началом О и осью абсцисс ОА
(рис. 104). Полукруг является частным видом криволинейной
трапеции. Он ограничен осью абсцисс и графиком функции
у = У/?2 — х2.

При вращении данного полукруга вокруг оси абсцисс полу-
чим шар. Найдем его объем, пользуясь формулой объема фигуры

У	вращения (§ 66):
Задачи

252.	Докажите, что объемы двух шаров относятся как кубы
их радиусов (диаметров).

253.	1) Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?
(Диаметр Земли принять за 13 тыс. км, диаметр Луны — за
3,5 тыс. км.)

2)	Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его
объем увеличился в два раза?

254.	Объем шара можно вычислять по приближенной формуле
V —— (Р. С недостатком или избытком получим результат?

Найдите относительную погрешность вычисления по этой фор-
муле.

255.	Масса железного шара равна 4,00 кг. Каков его диаметр?

256.	Какова масса пробкового шара диаметром 2 л? (Плотность
пробки 0,25 г/см3.)

257.	Найдите объем фигуры, которая задается в координатном
пространстве неравенством х2 + у2 + z8 R2.

258.	Найдите объем образа шара, ограниченного сферой
х2 + уа + z2 = R2, при гомотетии Но-

259.	Все вершины куба принадлежат сфере. Найдите объем
шара, ограниченного этой сферой, если ребро куба имеет длину а.

§ 69. ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

Площади поверхности цилиндра и конуса были определены
с помощью их разверток. Для сферы такой способ не пригоден,
так как «развернуть» сферу на плоскость нельзя.

Чтобы получить наглядное представление о способе, который
будет применен для определения площади сферы, рассмотрим при-
мер из практики. Предварительно заметим, что площадь основания
призмы может быть найдена делением объема

призмы на ее высоту. По аналогии с этим
за приближенное значение площади куполо-
образной крыши здания цирка (рис. 105)
можно принять отношение объема краски,
затраченной на окраску крыши, к толщине
слоя краски. Это приближение будет тем
лучше, чем меньше толщина слоя.

Перейдем к решению интересующей нас
проблемы. Пусть дан полукруг с центром О
и диаметром |ЛВ| = 2R (рис. 106). При вра-
щении этого полукруга вокруг оси АВ по-
лучится шар радиуса R. Дадим радиусу R
приращение Л/?, тогда объем шара получит
приращение AV, где AV — объем фигуры,

та полученной при вращении кругового полу-
кольца АА^В (рис. 106).

За площадь сферы принимается предел отношения приращения
объема шара, ограниченного этой сферой, к приращению радиуса,
когда приращение радиуса стремится к нулю'.

S = lim — .
дя-о А/?

(1)

41. Т е о р е м а. Площадь сферы радиуса R вычисляется по фор-
муле:

S = 4л/?2.

Доказательство. Согласно определению (1) площадь
сферы равна производной от функции V (R), выражающей объем
шара, ограниченного этой сферой, по радиусу. Пользуясь форму-
лой объема шара, находим:

S = Гу л/?3)' = 4лЯ2. 

Задачи

260.	Докажите, что площади двух сфер относятся как квадраты
их радиусов (диаметров).

261.	Во сколько раз площадь земной суши больше площади
поверхности Луны, если известно, что земная суша составляет
29% площади земной поверхности? (См. задачу 253.)

262.	Объемы двух шаров относятся как т : п. Найдите отноше-
ние площадей их поверхностей.

263.	Найдите отношение площади сферы х2 + у2 + z2 = R2 к
площади образа этой сферы при гомотетии Н^.

264.	Длина образующей конуса равна диаметру основания.
Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади сферы,
диаметр которой равен высоте конуса.

ice

I'-
265.	Докажите, что площадь сферы радиуса /? равна площади
поверхности цилиндра, высота и радиус которого равны /?.

266.	Шар касается всех граней куба. Найдите отношение площа-
дей поверхностей этих фигур.

267.	Основания цилиндра являются сечениями шара. Найдите
отношение площадей поверхностей этих фигур, если диаметр основа-
ния цилиндра и его высота имеют равные длины.

Задачи на повторение к главе VI

268.	Точки Л, В, С принадлежат данному эллипсу. Постройте:
1) точку М так, чтобы дуги АВ и СМ эллипса изображали конгру-
энтные дуги окружности; 2) точку N так, чтобы дуги АВ и AN эллип-
са изображали конгруэнтные дуги окружности.

269.	Высота цилиндра й, диаметр основания d (h < d). На
каком расстоянии от оси нужно провести плоскость, чтобы сечением
цилиндра являлся квадрат?

270.	1) Угол при вершине осевого сечения конуса острый. Дока-
жите, что любое сечение конуса плоскостью, проходящей через его
вершину, имеет площадь, не большую площади осевого сечения.

2)	Образующая конуса равна /. Какой должна быть величина
угла наклона образующей к плоскости основания, чтобы осевое
сечение конуса имело наибольшую площадь?

271.	1) Найдите отношение площадей фигур, полученных при
вращении границы ромба с углом 45° вокруг прямых, содержащих
диагонали ромба.

2)	Найдите площадь фигуры, полученной при вращении гра-
ницы прямоугольного треугольника с гипотенузой с и углом 30°
вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла и парал-
лельной противолежащему катету.

272.	Выведите формулы для вычисления площадей боковой
и полной поверхностей конуса, если известны площадь основа-
ния Q и угол между образующей и плоскостью основания.

273.	На каком расстоянии от вершины конуса нужно провести

сечение, параллельное основанию, чтобы
оно разделило боковую поверхность ко-
нуса на две части, имеющие равные пло-
щади? (Высота конуса равна Н.)

274.	Жестяная воронка имеет размеры
(в миллиметрах), указанные на рисунке
107. Сколько жести затрачено на изго-
товление воронки (на швы уходит 10%
площади поверхности воронки)?

275.	Практическая работа.
Произведите необходимые измерения и вы-
числите площадь поверхности модели:
1) цилиндра; 2) конуса; 3) усеченного ко-
нуса.
276.	Докажите, что через две точки сферы, не являющиеся
концами диаметра, проходит единственная большая окружность.

277.	Ленинград и Магадан находятся на 60° северной широты,
разность их долгот равна 120°. 1) Найдите расстояние между этими
городами по параллели. 2) Найдите расстояние между этими горо-
дами по дуге большой окружности.

278.	1) Найдите радиус общей окружности сфер, если их диамет-
ры 78 см и 50 см, а расстояние между центрами сфер 56 см.

2*) Каково взаимное расположение двух сфер, у которых
заданы координаты центров и радиусы: a) Sx (1; 1; —2), 7?i — 4
и S2 (0; 0; 1), Я2 = 1; б) Sj(0; 2; 0), /?1=2 и S2(l; —3; 1), /?2=3?

279.	Найдите координаты общих точек плоскостей x-j-2y—5=0,
Зу — z=l и сферы х2 + у2 + z2 = 26.

280°. Найдите множество центров всех сфер: 1) проходящих
через три точки, не принадлежащие одной прямой; 2) касающихся
двух различных параллельных плоскостей.

281.	1) Докажите, что концы диаметра сферы и любая другая
ее точка являются вершинами прямоугольного треугольника.

2°) Найдите множество всех вершин прямоугольных треугольни-
ков с заданной общей гипотенузой.

282*. Сфера пересечена двумя плоскостями, одинаково уда-
ленными от ее центра; угол между плоскостями равен 60°. Общая
хорда окружностей, получившихся в сечении, равна а и стягивает
в одной из окружностей дугу 90°. Найдите радиус сферы.

283.	Шар называют вписанным в цилиндр, если основания
и все образующие цилиндра касаются шара. Во всякий ли цилиндр
можно вписать шар? При каком условии это возможно?

284.	Дан шар радиуса /?. Найдите радиус основания и образую-
щую вписанного цилиндра, имеющего наибольшую площадь боко-
вой поверхности.

285*. Конус называется вписанным в шар, если основанием
конуса служит сечение шара, а вершина конуса принадлежит
поверхности шара.

В данный шар вписан конус, имеющий наибольшую площадь
боковой поверхности. Найдите угол при вершине осевого сечения
этого конуса.

286.	В шар вписан конус с высотой Н. Объем конуса равен
’/4 объема шара. Найти объем шара.

Решение. Пусть SAB — данный конус, [SO] — его высота
(рис. 108, а). Около осевого сечения	конуса опишем круг

(рис. 108, б). Центр Oi круга принадлежит высоте SO равнобед-
ренного треугольника (или лежит на продолжении этой высоты).
При вращении прямоугольного треугольника SOB вместе с по-
лукругом SBD вокруг прямой SD получим конус SAB, который
вписан в шар с центром (рис. 108, а). Введем обозначения: х —
радиус шара, г — радиус основания конуса. По условию

— пггН = — • —лх3, откуда г2// = х3.	(1)
s

Рис.

108

Выразим г через Них. Заметим, что (ВО) J- (SD), (SB) ± (BD).
Поэтому | ВО|2= | SO|-| OD |, или г2=Н (2х—Н). Равенство (1)
примет вид: Н2 (2х—Н)=х?, или х3—2/72х+//3=0. Полученное
уравнение решим путем разложения левой части на множители:

(х3 — Н2х) — (Н2х — Н3) = 0;
х (х2 — Н2) — Н2 (х — Н) = 0;
(х — Н) (х2 + Их — Н2) = 0.

Отсюда Xj = Н; х2(3 =	?——•

2

Так как х > 0, задача имеет два решения:

Vj =— пНя и V2 = - л (/5 — 1)3//3.

3	6

287.	В конус, высота которого равна радиусу основания, вписан
шар. Найдите отношение объема шара к объему конуса.

288*. В конус вписан шар. Плоскость, параллельная основа-

нию конуса, касается шара и делит конус на две части, имеющие

равные объемы. Найдите угол между обра-
зующей и плоскостью основания.

289.	В конус с углом <р между обра-
зующей и плоскостью основания вписан
шар. Найдите отношение объема конуса
к объему шара.

290*. Сфера с центром в вершине ко-
нуса касается его основания и делит по-
верхность конуса на две части, имеющие
равные площади. Найдите угол при вер-
шине осевого сечения конуса.

291.	В конус с радиусом основания 7?
и высотой /7 вписан цилиндр (рис. 109).
Найдите линейные размеры цилиндра, при
которых его объем наибольший.
292.	1) В цилиндр вписан пря-
моугольный параллелепипед. Диа-
гональ параллелепипеда образует
с большей боковой гранью угол 0,
а с плоскостью основания угол а.
Найдите объем цилиндра, если
большая сторона основания па-
раллелепипеда равна а,

2)	В прямой параллелепипед
вписан цилиндр, объем которого
в tn раз меньше объема парал-
лелепипеда. Найдите двугранные
углы при боковых ребрах парал-
лелепипеда.

293.	Конус называется вписанным в пирамиду, если вершина
у них общая, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит пря-
моугольный треугольник с острым углом а (рис. 110). Радиус основа-
ния конуса г, угол между образующей и плоскостью основания 0.
Найдите объем пирамиды.

294.	Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна
площади основания конуса. Найдите угол между образующей

конуса и плоскостью его основания.

295*. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований
которого равны R и г. Найдите отношение площади сферы к пло-
щади боковой поверхности усеченного конуса.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Основные понятия, определения, аксиомы, теоремы

1.	Какие основные (неопределяемые) понятия применяются в кур-
се стереометрии?

2.	Объясните различие между аксиомой и теоремой.

3.	Приведите примеры: 1) аксиом принадлежности; 2) аксиом
расстояния.

4.	Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

5.	Обозначив условие и заключение исходной теоремы соответ-
ственно через Р и Q, запишите с помощью знака => теоремы:
1) исходную (прямую); 2) обратную; 3) противоположную;
4) обратную противоположной.

6.	1) Приведите примеры, когда исходная теорема истинна, а
обратная ей теорема ложна.

2)	Истинна ли противоположная теорема, если обратная тео-
рема: а) истинна; б) ложна?

7.	В каком случае условие Р называется: 1) достаточным для
заключения Q; 2) необходимым для Q; 3) необходимым и до-
статочным для этого заключения?

8.	1) Обязательно ли достаточное условие является необходимым?
2) Может ли необходимое условие не являться достаточным?

Преобразования. Векторы и координаты

9.	В чем состоит различие между понятиями отображения фи-
гуры в фигуру и отображения фигуры на фигуру?

10.	Что называется преобразованием пространства?

11.	Какое преобразование называется: 1) обратным данному;

2)	композицией двух преобразований?

12.	Какое преобразование пространства называется переме-
щением?

13.	Сформулируйте определение конгруэнтных фигур. Приведите
примеры.

14.	Какие лучи называют: 1) сонаправленными; 2) противоположно
направленными?

15.	Что называется направлением в пространстве?

16.	Сформулируйте определение вектора.

17.	В каком случае высказывание «векторы а и b равны»: 1) истин-
но; 2) ложно?
18.	Что называется: 1) суммой двух векторов; 2) разностью двух
векторов?

19.	1) Для точек Л, В, С запишите правило треугольника.

2)	Для точек Alf А2, . . . , Ап запишите правило многоуголь-
ника.

20.	Запишите формулу вычитания векторов.

21.	Какие векторы называются коллинеарными?

22.	Сформулируйте определение произведения вектора на число.

23.	Запишите символически признак коллинеарности двух век-
торов.

24.	Какие векторы называются компланарными?

25.	Каким правилом можно пользоваться при сложении: 1) двух
неколлинеарных векторов; 2) трех некомпланарных векторов?

26.	При каком условии можно разложить вектор: 1) по двум не-
коллинеарным векторам; 2) по трем некомпланарным век-
торам?

27.	Запишите (символически) законы: 1) сложения векторов;
2) умножения вектора на число.

28.	Сформулируйте определение скалярного произведения двух
векторов.

29.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпенди-
кулярности двух ненулевых векторов.

30.	Запишите (символически) законы скалярного умножения век-
торов.

31.	Какие из известных вам преобразований пространства имеют
только одну: 1) точку, которая отображается на себя; 2) пря-
мую, каждая точка которой отображается на себя?

32.	Приведите пример преобразования пространства, которое имеет
только одну плоскость, каждая точка которой отображается
на себя.

33.	Назовите не менее двух преобразований пространства, кото-
рые отображают всякую прямую на параллельную ей прямую.

34.	Какие из известных вам преобразований пространства отоб-
ражают каждую плоскость на параллельную ей плоскость?

35.	Запишите формулы, выражающие в координатах: 1) сумму
двух векторов; 2) разность двух векторов; 3) произведение
вектора на число; 4) скалярное произведение двух векто-
ров; 5) длину вектора; 6) косинус угла между двумя векто-
рами.

36.	Каким уравнением задается в координатном пространстве:
а) плоскость; б) сфера?

Прямые и плоскости в пространстве

37.	Перечислите все возможные случаи взаимного расположения
двух прямых в пространстве.

38.	Сформулируйте определение: 1) пересекающихся прямых;

2)	параллельных прямых; 3) скрещивающихся прямых.

I'—
39.	Докажите признак скрещивающихся прямых.

40.	Перечислите все возможные случаи взаимного расположения:
1) прямой и плоскости; 2) двух плоскостей.

41.	Сформулируйте определение: 1) параллельных прямой и пло-
скости; 2) параллельных плоскостей.

42.	Докажите признак параллельности: 1) прямой и плоскости;
2) двух плоскостей.

43.	1) Сформулируйте определение перпендикулярных прямой и
плоскости; 2) докажите признак перпендикулярности прямой
и плоскости.

44.	1) Какие плоскости называются взаимно перпендикулярными?
2) Докажите признак перпендикулярности плоскостей.

45.	Даны плоскость а и точка А. Сколько можно провести через
точку А: 1) прямых, параллельных а; 2) прямых, перпенди-
кулярных а; 3) плоскостей, параллельных а; 4) плоскостей,
перпендикулярных а?

46.	Через всякие ли две скрещивающиеся прямые можно про-
вести: 1) параллельные плоскости; 2) перпендикулярные пло-
скости?

47.	Какая фигура называется полупространством? Какой фигурой
может быть пересечение двух полупространств?

48.	Какой фигурой является в пространстве множество всех точек,
каждая из которых равноудалена от концов отрезка?

49.	Какой фигурой является множество всех точек двугранного
угла, каждая из которых равноудалена от его граней?

Изображение фигур в стереометрии

50.	Что называется параллельной проекцией на плоскость:
1) точки; 2) фигуры?

51.	Сформулируйте основные свойства параллельного проекти-
рования.

52.	В каком случае проектирование называется ортогональным?

53.	Как изображается в стереометрии: 1) треугольник; 2) парал-
лелограмм; 3) окружность?

54.	Какая фигура служит изображением: 1) тетраэдра; 2) сферы
(шара)?

Многогранные углы, многогранники

55.	Какая фигура называется многогранным углом?

56.	Сформулируйте свойства плоских углов трехгранного угла.

57.	Сформулируйте свойства выпуклого многогранного угла.

58.	Какая фигура называется простой многогранной поверхностью:
замкнутой и незамкнутой?

59.	Сформулируйте определение многогранника. Приведите при-
меры выпуклых и невыпуклых многогранников.

60.	Докажите существование: 1) призмы; 2) пирамиды.

| 173
61.	Сформулируйте свойства: 1) параллелепипеда; 2) прямоуголь-
ного параллелепипеда.

62.	Сформулируйте определение правильного многогранника. Сколь-
ко существует видов правильных многогранников?

Фигуры вращения

63.	Какая фигура называется фигурой вращения? Приведите
примеры.

64.	Сформулируйте определения: 1) цилиндра; 2) конуса.

65.	Какая фигура называется: 1) поверхностью цилиндра; 2) по-
верхностью конуса?

66.	Какая фигура называется: 1) усеченным конусом; 2) поверх-
ностью усеченного конуса?

67.	Сформулируйте определение: 1) сферы; 2) шара.

68.	При вращении какой фигуры можно получить: 1) сферу;

2)	шар?

69.	Всякая ли фигура вращения имеет: 1) ось симметрии;

2)	плоскость симметрии; 3) центр симметрии?

70.	Какой фигурой может быть пересечение: 1) сферы и плоскости;

2)	двух сфер?

71.	Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере.

72.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие касания
плоскости и сферы.

Измерение геометрических величин

73.	Что принимается за расстояние между двумя фигурами?

74.	Как найти расстояние: 1) от точки до прямой; 2) от точки до
плоскости; 3) между двумя прямыми; 4) между прямой и пло-
скостью; 5) между двумя плоскостями?

75.	Какая величина называется углом между двумя: 1) направ-
лениями; 2) векторами; 3) прямыми; 4) плоскостями? Что
называется углом между прямой и плоскостью?

76.	Что называется площадью поверхности многогранника?

77.	По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности:
1) призмы; 2) правильной пирамиды?

78.	По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности:
1) цилиндра; 2) конуса?

79.	Как формулируется задача об измерении объемов многогран-
ников?

80.	По какой формуле вычисляется объем: 1) прямоугольного
параллелепипеда; 2) прямой призмы; 3) наклонной призмы;
4) пирамиды?

81.	Какие свойства объемов фигур применяются при выводе форму-
лы объема: 1) цилиндра; 2) фигуры, полученной при вращении
криволинейной трапеции?	*=
82.	По какой формуле вычисляется объем: 1) цилиндра; 2) фи-
гуры, полученной при вращении криволинейной трапеции;
3) конуса; 4) шара?

83.	1) Какая величина принимается за площадь сферы?

2) По какой формуле вычисляется площадь сферы?

Задачи на повторение по курсу X класса1

296.	Составьте уравнение образа плоскости ax+by+cz+d=0
при: 1) переносе /п=(р; q\ г); 2) симметрии относительно начала
координат; 3) симметрии относительно оси ординат; 4) симметрии
относительно плоскости Оху.

297.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
1) Мх (0; 2; 3), Л42 (—1; 3; 1), Л13 (2; 1; 1); 2) М, (1; 1; —1),
М2 (2; 0; —3), Л43 (2; —1; 4).

298.	1) Найдите расстояние от точки А (—1; 3; 0) до плоскости
х—Зу—2?+5 = 0. 2) Найдите расстояние между плоскостями
Зх + 2у + 4z + 11 =0 и 9х + бу + 12? — 5 = 0.

299.	Пользуясь формулой косинуса угла между двумя векто-
рами, заданными своими координатами, докажите неравенство:

(%1Х2 + угуг + ZjZjs)2 < (%2 + у2 + Zj) • (х| + yl + z^).

300.	Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью,
проходящей через три точки, принадлежащие трем ее боковым
граням, но не принадлежащие ребрам призмы.

301.	Постройте сечение правильной шестиугольной призмы
плоскостью, проходящей через меньшую диагональ нижнего основа-
ния и наиболее удаленную от нее вершину верхнего основания. Най-
дите площадь сечения, если сторона основания призмы и ее боко-
вое ребро соответственно равны а и Ь.

302.	Основание параллелепипеда — ромб; одно из диагональ-
ных сечений — прямоугольник. Докажите, что плоскость другого
диагонального сечения перпендикулярна плоскости основания.

303.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна I и
составляет углы а и Р с двумя смежными боковыми гранями. Най-
дите объем параллелепипеда.

304*. Угол между плоскостями диагональных сечений прямого
параллелепипеда равен а; площади сечений Qx и Q2. 1) Найдите
площадь боковой поверхности параллелепипеда. 2) Достаточно
ли данных для нахождения его объема?

305*. 1) Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имею-
щие общую точку, «видны» из точки пересечения его диагоналей
под углами а, р, у. Докажите, что cos а + cos р + cos у = 1.

2)	Из точки пересечения диагоналей прямоугольного парал-
лелепипеда диагонали граней, выходящие из одной вершины,

1 При повторении материала, кроме этих задач, используйте задачи из
повторительного раздела учебного пособия для IX класса (с. 101—104).
«видны» под углами а, р, у. Докажите, что

cos а + cos р + cos у = —1.

306. 1) Требуется изготовить закрытый ящик, площадь основа-
ния которого 1 м2. Сумма длин всех ребер должна быть равна
20 м. Найдите размеры ящика, при которых площадь его поверх-
ности наибольшая.

2) Требуется изготовить коробку, имеющую форму прямо-
угольного параллелепипеда. Площадь дна коробки должна быть
равна 2 дм2. а площадь боковой поверхности \&дм2. При каких
размерах коробки сумма длин всех ребер будет наименьшей?

307. Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды SABCD равна а, высота Н. Найдите расстояние между пря-
мыми S4 и BD.

308*. Один из плоских углов при вершине треугольной пира-
миды прямой, высота пирамиды проходит через точку пересече-
ния высот основания. Найдите остальные плоские углы при верши-
не пирамиды.

309. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной
пирамиды равен <р. Найдите: 1) угол между плоскостями осно-
вания и боковой грани; 2) угол между плоскостями противоле-
жащих боковых граней; 3) угол между боковым ребром и плоскостью
основания.

310*. Докажите, что биссектор двугранного угла тетраэдра
делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению
площадей граней, образующих этот двугранный угол.

311*. Разделите куб на три попарно конгруэнтные четырех-
угольные пирамиды.

312.	Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью,
параллельной одной из ее боковых граней и проходящей через
данную внутреннюю точку отрезка, соединяющего вершину пира-
миды с точкой пересечения диагоналей основания.

313.	Основанием пирамиды SABCD служит квадрат. Ребро S4
перпендикулярно основанию; площадь основания в т раз меньше
площади боковой поверхности. Найдите углы наклона граней SCD
и SBC к плоскости основания.

314*. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра
с точками пересечения медиан противолежащих граней, пересе-
каются в одной точке и эта точка делит каждый из отрезков в отно-
шении 3:1, считая от вершины.

315. 1) Постройте сечение правильной треугольной пирамиды,
плоскость которого проходит через середину бокового ребра, па-
раллельна противолежащему ребру и перпендикулярна плоскости
основания.

2) Найдите объем отсеченной пирамиды, если объем данной
пирамиды равен V.

316. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с пло-
щадью Q и острым углом а. Боковая грань, которая проходит
через катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна
176	l|fc|

Iх-—
плоскости основания, две дру-
гие грани образуют с основа-
нием углы, равные 0. Найдите
объем пирамиды.

317*. 1) Докажите, что се-
редины ребер правильного тет-
раэдра служат вершинами пра-
вильного октаэдра.

2) Найдите объем этого
октаэдра, если объем тетраэдра
равен V.

318. Доказать, что при го-
мотетии отношение объема об-

Рис. 111

раза выпуклого многогранника

к объему этого многогранника равно модулю куба коэффициента

гомотетии.

Решение. 1) Рассмотрим сначала частный случай: данный
многогранник является пирамидой.

Пусть при гомотетии Hko пирамида SABCD отображается на
пирамиду	(рис. 111). Так как гомотетия сохраняет

величину угла, Hk0 отображает высоту SM первой пирамиды на
высоту SxAli второй пирамиды. Найдем отношение объемов этих

пирамид:

3^’1S1M1'	• | SrMt1	n n

—;--------=	, -> W Q и Qj—площади

1	и • I SM

-Q-\SM\	4 ’	1

О

оснований этих пирамид. Нэ I| = | k I - | SAI I, Qx = A2Q.
гг~ Л V,	I fe I • I SM |	....

Поэтому — = ———!—1--------— = R P.

V	Q|SM|	11

2) Пусть дан многогранник Ф. Разобьем его на пирамиды
Фх, • • • , Фп» общей вершиной которых служит внутренняя
точка многогранника, а основаниями — его грани. Гомотетия Но
отображает многогранник Ф на многогранник Ф', причем Ф' ~
= Ф\ U Ф'г U • • • U Ф« . гДе Ф< = И* (Ф/)- Таким образом,
многогранники Ф и Ф' состоят из попарно гомотетичных пирамид,
объемы которых обозначим соответственно Vx, V2........Vn и Wlt

W2, . . . , Wn. Имеем: Wr = |Л|®КХ, W2 = |6|3Гг....1Г„=|Л|3Г„.

Сложив эти равенства, получим, что V (Ф') = | /г|3Г(Ф).

319.	Дан прямоугольный параллелепипед. Докажите, что сумма
квадратов расстояний от произвольной точки пространства до
концов любой его диагонали не зависит от выбора диагонали.

320.	Постройте общий перпендикуляр оси цилиндра и диаго-
нали его сечения, проведенного через две образующие.

321.	1) На данном изображении цилиндра постройте изобра-
жение правильной вписанной в него: а) четырехугольной призмы;
б) треугольной призмы.

2)	Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра
к площади боковой поверхности каждой из этих призм.

177

Мм1»’с <. .Л11
322.	Площадь осевого сечения конуса равна S, а площадь
сечения, проведенного через середину высоты параллельно осно-
ванию конуса, равна Q. Найдите угол между образующей и пло-
скостью основания конуса.

323.	1) На данном изображении конуса постройте изображение
правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

2)	Вычислите отношение площадей боковых поверхностей пира-
миды и конуса, если высота конуса 20 см, а диаметр его основа-
ния 40 см.

324*. В конус вписана пирамида SABC. Ее основание — равно-
бедренный треугольник (|АВ| = |ЛС|), |ВС| = а, САВ = а, а
боковая грань SCB наклонена к плоскости основания под углом 0.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.

325.	Расстояние от центра основания до боковой грани пра-
вильной четырехугольной пирамиды равно Ь, угол между высотой
пирамиды и боковой гранью равен а. Найдите площадь полной
поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду. Вычислите
при b = 34,5 дм, а = 34°16'.

326.	Найдите объем фигуры, полученной при вращении прямо-
угольника со сторонами а и b вокруг оси, которая лежит в плоско-
сти этого прямоугольника, перпендикулярна его диагонали и
проходит через ее конец.

327*. Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образую-
щая составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите отноше-
ние площадей боковых поверхностей усеченного конуса и пра-
вильной усеченной четырехугольной пирамиды, вписанной в него.
Укажите лишние данные условия задачи.

328.	1) Найдите множество всех точек, удаленных от точки
А на расстояние а и от точки В на расстояние Ь.

2)	Дана плоскость а и на ней точка А. Найдите множество
всех точек, удаленных от А на расстояние а и от а на расстоя-
ние Ь.

3)	Дана прямая I и на ней точка А. Найдите множество всех
точек, удаленных от I на расстояние h и от точки А на рас-
стояние р.

329*. Найдите множество всех точек пространства, разность
квадратов расстояний от которых до двух данных точек равна k2.

330*. Найдите множество всех точек пространства, сумма
квадратов расстояний от которых до двух данных точек равна k2.

331*. Составьте уравнение образа сферы (х + I)2 + (у — 2)2 +
+ (z — 5)2 = 9: 1) при симметрии относительно оси аппликат;
2) при симметрии относительно плоскости z = 0.

332. Какая фигура является пересечением сферы x2+y2+z2=l
и плоскости: 1) x+y+z=l; 2) Зх—4у—z=6; 3) Зх+4у=5?

333*. Докажите, что уравнение плоскости, касающейся сферы
(х — а)2 + (у — Ь)2 + (z — с)2 = R2 в точке А (пт, р; q), имеет вид:
(a —m) (х —tn) + (Ь — р) (у — р) + (с — q) (z — q) = 0.

178
и------------------------------------------------------------
334*. Выясните, пересекаются ли сфе-
ры, заданные уравнениями:

1)	*2 + (У — 2)2 + (z - З)2 = 1 и

(х — I)2 + у2 + z2 = 4;

2)	х2 + у2 + z2 — 2х = 0 и
х2 + у2 + za — 4х — 6z + 4 = 0.

335.	1) Ребро двугранного угла, рав-
ного а, проходит через центр сферы ра-
диуса /?. Найдите площадь части сферы,
содержащейся в двугранном угле.

2) Найдите площадь части поверхности
земного шара, заключенной между Грин-
вичским и Пулковским меридианами.

336.	В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отно-
шение площадей поверхностей и объемов этих шаров.

337.	В конус, вписанный в сферу, вписана сфера. Найдите
отношение площадей этих сфер, если угол между образующей и
основанием конуса равен ф.

338.	Площадь боковой поверхности усеченного конуса в т раз
больше площади вписанной в него сферы. Найдите угол между
образующей и плоскостью основания усеченного конуса.

339.	Многогранник называется вписанным в сферу (в шар),
если все вершины многогранника принадлежат сфере.

В сферу вписана правильная четырехугольная пирамида, у
которой двугранный угол при основании равен а. Зная, что площадь
сферы равна X, найти площадь основания пирамиды.

Решение. Пусть SABCD — данная пирамида, вписанная
в сферу (рис. 112). Плоскость основания пирамиды пересекает
сферу по окружности, описанной около квадрата ABCD (осно-
вание высоты пирамиды является центром этой окружности).

Из теоремы о сечении сферы следует, что перпендикуляр
(SM) к плоскости АВС проходит через центр О сферы.

Рассмотрим △ ХДС. Введем вспомогательный (пока неизвест-

ный) угол SAM = ф. По доказанному О принадлежит плоскости
ХДС, тогда АХДС можно считать вписанным в большую окруж-
ность сферы; диаметром этой окружности служит отрезок XAZ.

Из прямоугольных треугольников SAN и ХЛ4Д имеем: SNA = ф,
|ХД | = | X2V| • sinXAM = 27? sin ф; | АМ| = |ДХ| • cos ХДМ =
= 2R sin ф cos ф = R sin 2ф. Тогда Хосн = у | ДС | • | BD | =2/?28Ш22ф.

По условию 4л/?2 = X, отсюда R2 = — и Хосн = — sin2 2ф.

4л	2л

Остается выразить sin 2<р через функции угла а. Из прямо-
угольных треугольников SMC и выразим их общую сто-
рону |SM|. Из A SMC имеем: |SM|=|MC| tg ф. Из A SMK:
|SM|=|MK|tg а. Тогда)MCI tg <p=lAf/<|tg а. Но|МС|=|МК |j/2^

179

|	-1«Л|
Рис. 113

поэтому l/2tg<p=tg a, tg <p=^L По фор-

• л 2 tg ср

муле sin 2ср = 1	получим:

sin 2(р =

2/2 tg а
2+tg2a

Следовательно, 50СН =-----------.

n(2 + tg2a)2

340.	Правильная четырехугольная пи-
рамида вписана в сферу. Найдите объем
пирамиды, если радиус сферы равен 12 см,

а радиус окружности, описанной около основания пирамиды,

равен 6 см.

341.	Правильная треугольная пирамида вписана в сферу.
Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро составляет с пло-

скостью основания угол а, а расстояние от центра сферы до основа-
ния пирамиды равно d (d =/= 0, a < 45°).

342.	Прямая призма, основание которой — прямоугольный тре-
угольник с катетами а и Ь, вписана в сферу. Найдите высоту приз-
мы, если радиус сферы равен R.

343.	Прямая четырехугольная призма, основание которой —
трапеция ABCD, вписана в шар. Известно, что высота призмы

равна Н, \АВ\ = \ВС\ = a, BAD = а. Найдите объем шара.

344*. Пирамида, основание которой — прямоугольник со сто-
ронами 6 дм и 7 дм, вписана в сферу. Высота пирамиды проходит
через вершину основания и равна 6 дм. Найдите радиус сферы
(рис. 113).

345*. Пирамида, основанием которой служит правильный тре-
угольник со стороной а, вписана в шар. Две боковые грани пира-
миды перпендикулярны плоскости основания, третья грань обра-
зует с основанием двугранный угол ф. Найдите объем шара.
346. Сфера называется вписанной в многогранник, если все
грани многогранника касаются сферы.

1)	Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом а,
каждый из двугранных углов при основании равен 0. Найти объем
шара, вписанного в пирамиду.

Решение. Пусть SABCD—данная пирамида (рис. 114),
ABCD — ромб, DAB < 90°. Проведем [SO] ± (АВС), через точку О
проведем высоты [МД] и [NL] ромба. [ВД] ± [АВ] (теорема о
трех перпендикулярах), Z_ SKO — линейный угол двугранного
угла с ребром АВ. Аналогично получим линейные углы при осталь-
ных сторонах основания пирамиды. Согласно условию задачи
SKO = SLO - SMO = SNO.

Прямоугольные треугольники SKO, SLO, SMO, SNO конгру-
энтны, так как они имеют общий катет SO и равные углы, проти-
волежащие этому катету. Отсюда |ОД| = \OL | = |ОМ| = |ОД| и
О — центр окружности, вписанной в ромб ABCD, т. е. О — точка
пересечения диагоналей АС и BD.

По условию в данную пирамиду вписан шар. Докажем, что
его центр принадлежит высоте SO пирамиды.

Впишем в треугольник SOK полукруг OKiQ, центр Ot кото-
рого принадлежит [SO], а дуга касается [5Д] и [ОД]. При вра-
щении полукруга OKiQ вокруг оси SO получим шар, вписанный
в пирамиду. Точки касания сферы и боковых граней будут при-
надлежать высотам этих граней, проведенным из точки S. Этот
шар касается и основания пирамиды в точке О. Итак, центр шара,
вписанного в пирамиду SABCD, принадлежит высоте пирамиды.

Имеем: |АВ| = |AD| = a, DAB = a, SKO - ₽.

Найдем объем вписанного шара. V = у я | ОХО |8. Проведем
[DF] ±[АВ], тогда [DB]||[МД] и |DF| = |МД|. Из △ ADF по-
лучим: | DF | = a sin а, тогда | ОД | = — I МД j = — a, sin а. Из
2	2

Л ОХОД, где ОХДО = —, имеем: | ОХО | = | ОД | tg— = — a sin a tg .

2	2	2	2

Следовательно, V = — л a sin а
3	\2

₽\з 1Л
— 1 = — я

2	6

2)	Докажите, что во всякую пирамиду, у которой двугранные
углы при основании равны, можно вписать сферу.

347. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.
Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а, дву-
гранный угол при основании равен а. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.

348*. Основанием пирамиды служит равнобедренный треуголь-
ник с углом а при вершине, все боковые грани пирамиды наклонены
к основанию под углом ф (рис. 115). Объем шара, вписанного в
пирамиду, равен V. Найдите объем пирамиды.	rt--
349.	1) Докажите, что объем тре-
угольной пирамиды равен одной
трети произведения площади ее пол-
ной поверхности на радиус вписан-
ной сферы.

2)	Верно ли это свойство для
других выпуклых многогранников, в
которые вписаны сферы?

350.	1) В правильную треуголь-
ную пирамиду, вписанную в шар,
вписан шар. Докажите, что эта пи-
рамида является правильным тетра-
эдром, если центры шаров совпа-

дают.

2*) В правильную четырехугольную пирамиду,

вписанную

в шар, вписан шар. Найдите угол между плоскостями боковой

грани основания пирамиды, если известно, что центры шаров

совпадают.

351.	Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник
с катетом а и противолежащим острым углом а. Найдите объем
шара, вписанного в призму.

352.	В правильную треугольную призму, вписанную в сферу,
вписана сфера. Найдите отношение площадей этих сфер.

353*. 1) Докажите, что если сфера касается всех ребер парал-
лелепипеда, то параллелепипед является кубом.

2)	Докажите, что если сфера касается всех ребер тетраэдра,
то суммы длин его противолежащих ребер равны.

354.	Шар вписан в прямую призму, основанием которой являет-
ся равнобедренный треугольник с площадью S и углом а при вер-
шине. Найдите площадь поверхности шара.

355.	1) На изготовление открытой цилиндрической консерв-
ной банки расходуется S см2 жести. Каковы должны быть линейные
размеры банки, чтобы ее объем был наибольшим?

2)	Цилиндрическая бочка для горючего вмещает 400 л. При
каких линейных размерах бочки на ее изготовление будет затрачено
наименьшее количество материала?

356*. Известно, что площадь полной поверхности конуса в т
раз больше площади поверхности вписанного в него шара. Най-
дите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

357*. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара
равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей
конуса и шара.

358. Шар радиуса R вписан в конус. Из центра шара образую-
щая конуса видна под углом а. Найдите объем конуса.

359*. Плоскость, перпендикулярная к высоте конуса, прохо-
дит через центр описанного шара и делит конус на две части, имею-
щие равные объемы. Найдите угол между образующей и плоскостью

основания конуса.
360.	В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая
конуса наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите
объем усеченного конуса.

361.	Около шара описан усеченный конус, площадь осевого
сечения которого S, острый угол сечения а. Найдите объем шара.
Вычислите при S = 52 дм2, а = 81°.

362.	Докажите, что отношение объемов шара и описанного
около него усеченного конуса равно отношению площадей поверх-
ностей этих фигур.

363.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус.
Найдите площадь поверхности конуса, если сторона основания
пирамиды равна Ь, а угол между высотой пирамиды и плоскостью
боковой грани ф.

364.	Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды равна а, двугранный угол при основании равен а. В пира-
миду вписан цилиндр так, что одно его основание лежит
в основании пирамиды, а окружность другого основания имеет
единственную общую точку с каждой из боковых граней. Най-
дите объем цилиндра, зная, что его высота и радиус основания
равны.

365.	Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную
пирамиду, основанием которой служит равнобедренная трапеция
с острым углом ф, боковые стороны оснований равны а и b (а >Ь).
Боковое ребро пирамиды образует с большей из параллельных
сторон основания угол а. Найдите объем усеченного ко-
нуса.

366.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь-
ник; боковые грани, проходящие через катеты, составляют с осно-
ванием углы 30° и 60°. Найдите объем и площадь боковой поверх-
ности конуса, описанного около пирамиды, если высота пирамиды
равна h.

367.	В прямую призму, основанием которой служит прямо-
угольный треугольник с углом а и гипотенузой с, вписана сфера.
Найдите объем призмы.

368.	Сторона основания правильной четырехугольной пирами-
ды равна а, плоский угол при вершине а. Найдите площадь поверх-
ности сферы, вписанной в пирамиду. Вычислите при а = 10,75 дм,
а = 41°44'.

369.	Около шара радиуса R описана n-угольная правильная
усеченная пирамида с двугранным углом а при основании. Най-
дите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Доста-
точно ли данных для вычисления ее объема?

370.	В куб с ребром а вписана сфера. Найдите радиус другой
сферы, касающейся трех граней куба и первой сферы.

371*. Правильный тетраэдр содержится в шаре радиуса /?, так
что три его вершины принадлежат сфере, а центр сферы принадле-
жит тетраэдру и находится на расстоянии d от его четвертой верши-
ны. Найдите ребро тетраэдра.	----
372.	Через сторону основания правильной треугольной пира-
миды и центр вписанного в пирамиду шара проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды, если
ее боковое ребро в 3,5 раза больше стороны основания?

373.	В правильную четырехугольную пирамиду, сторона осно-
вания которой равна а, плоский угол при вершине а, вписана
полусфера, основание которой лежит в основании пирамиды.
Найдите объем многогранника, четыре вершины которого являются
точками касания сферы с боковыми гранями пирамиды, а пятая
вершина — центром сферы.

374.	Многогранник является объединением двух правильных
четырехугольных пирамид, симметричных относительно плоскости
их общего основания. В этот многогранник вписана сфера. Най-
дите ее радиус, если сторона основания пирамиды равна а, а пло-
ский угол при вершине а.

375.	В правильную четырехугольную пирамиду SABCD, у ко-
торой | АВ | = 1 дм, | S4 | = дм, вписан шар. Через точку
касания шара с гранью SAB и точку шара, ближайшую к вер-
шине 5, проведена плоскость, параллельная стороне АВ. Найдите
площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

376.	Сфера вписана в прямую призму, основанием которой
служит прямоугольная трапеция с параллельными сторонами
длиной а и Ь. Найдите объем призмы.

377*. Основание пирамиды SABC — прямоугольный треуголь-
ник, катеты СА и СВ которого равны а, боковое ребро SC пер-
пендикулярно основанию и также равно а. Найдите радиус сферы,
вписанной в пирамиду.

378*. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а,
два двугранных угла при ребрах основания — прямые, а два дру-
гих равны ф. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

379*. Докажите, что если все грани параллелепипеда равно-
велики, то в него можно вписать сферу. Убедитесь в том, что
диагональные сечения такого параллелепипеда, не имеющие общей
диагонали, взаимно перпендикулярны.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Геометрия, как и другие науки, возникла из практических
потребностей людей. При изготовлении орудий труда, строитель-
стве жилищ у человека возникла необходимость определять форму
и размеры предметов.

Дошедшие до нас памятники материальной культуры и мно-
гочисленные письменные документы древности свидетельствуют
о том, что уже около 4000 лет тому назад жители Древнего Египта
и Вавилона обладали значительным запасом геометрических
сведений. Например, египетские пирамиды (гробницы фа-
раонов) отличаются удивительной правильностью формы. Ясно,
что руководить их строительством могли лишь люди, распола-
гавшие геометрическими знаниями. В древнеегипетских папиру-
сах, относящихся к 2000—1700 гг. до н. э., содержится решение
ряда геометрических задач, причем некоторые из них решены
безукоризненно.

Заслуги в деле дальнейшего накопления и систематизации
геометрических сведений принадлежат ученым Древней Греции.

Первые доказательства геометрических фактов связывают
с именем Фалеса Милетского (639—548 гг. до н. э.). Какие спо-
собы рассуждений применял Фалес, мы можем только догады-
ваться. Например, вдумываясь в формулировки теорем Фалеса:
«диаметр делит круг пополам», «вертикальные углы равны», «углы
при основании равнобедренного треугольника равны», можно
предположить, что истинность этих свойств обнаруживалась путем
совмещения одной фигуры с другой. Фалесу приписывается также
доказательство признаков конгруэнтности треугольников, дока-
зательство теоремы о конгруэнтных отрезках, отсекаемых на двух
прямых параллельными прямыми, и др.

Автором доказательств многих теорем называют Пифагора
(564—473 гг. до н. э.). Впрочем, знаменитая «теорема Пифагора»
была известна задолго до него. Остается неустановленным, кто
впервые доказал эту теорему и какое доказательство было дано
самим Пифагором.

Доказательства истинности геометрических фактов, общие ме-
тоды рассуждений в науке привлекли внимание выдающихся
философов древности: Демокрита, Платона, Аристотеля. В У—и
Архимед

IV вв. до н. э. были предприняты
попытки последовательного изложе-
ния геометрического материала в ви-
де ряда утверждений, подкреплен-
ных доказательствами.

Первые работы по систематизации
геометрии до нас не дошли: все они
были забыты после появления знаме-
нитых «Начал» Евклида (около 300 г.
до н. э.). Последовательность и стро-
гость изложения сделали это произ-
ведение источником геометрических
знаний во многих странах мира в
течение более двух тысячелетий. До
недавнего времени почти все школь-
ные учебники геометрии были во мно-
гом сходны с «Началами».

Величайший математик древности Архимед (287—212 гг. до
н. э.) углубил и дополнил теоретические положения Евклида.
Среди открытий Архимеда отметим глубокую разработку вопро-
сов, связанных с измерением длины окружности и площади круга,
с вычислением объемов фигур, в том числе цилиндра и шара.
Архимед погиб как патриот, защищая родной город Сиракузы
от нападения римских захватчиков. Он завещал на надгробном
камне изобразить шар, вписанный в цилиндр. Доказательство
того, что объем этого шара составляет 2/3 объема цилиндра, явилось
одним из научных достижений Архимеда.

Современник Архимеда, Аполлоний Пергский, написал обстоя-
тельный трактат о конических сечениях: эллипсах, гиперболах
и параболах. Несколько позже, во II в. до н. э., Гиппарх составил
первую (не дошедшую до нас) таблицу хорд, она заменяла применяю-
щиеся сейчас таблицы синусов.

Ряд работ, посвященных правилам вычислений в геометрии,
появляется в I и II вв. н. э. Так, в книге Герона из Александ-
рии «Метрика» даны правила вычисления площадей и объемов,

например правило нахождения площади треугольника, у которого
заданы длины трех сторон (впрочем, это правило было известно
еще Архимеду). Таблица хорд, составленная Птолемеем, содержала
длины хорд для углов от 0° до 180° через каждые 0,5°.

После гибели рабовладельческих государств древности, в сред-
ние века, центр передовой науки перемещается в страны Востока —
в Среднюю Азию, арабские страны, Индию.

Расцвет математики в Индии относится к V—XII вв. Индийцы
уделяли большое внимание вычислительной геометрии: вычисле-
нию площадей поверхностей и объемов фигур, тригонометриче-
ским вычислениям. В тригонометрии они пользовались не хордой,
а полухордой; наряду с синусом они ввели функцию, называемую
теперь косинусом.
В трудах индийских ученых подробные обоснования нередко
отсутствовали: иногда чертеж и слово «смотри!» подле него со-
ставляли все изложение теоремы.

Завоевания арабов в VII в. привели к возникновению на
территории от Индии до Испании обширных государств, росту
городов, оживлению хозяйственной и культурной жизни. В обла-
сти математики арабы использовали достижения ученых Индии,
Китая и труды античных авторов. К концу IX в. на арабский язык
были переведены творения Евклида, Архимеда, Аполлония
и их многочисленных комментаторов. На арабском языке были
написаны математические сочинения ученых, живших в IX—XI вв.
на территории, занимаемой ныне среднеазиатскими республиками
Советского Союза.

Особенно широкое развитие получают в то время разделы ма-
тематики, важные для решения практических вопросов астроно-
мии, оптики, техники. В связи с этим алгебра и тригонометрия,
отдельные задачи которых решались еще в древности, форми-
руются в самостоятельные математические дисциплины; значи-
тельно совершенствуются методы геометрических построений и
графические методы решения задач. Но не забываются и теоре-
тические проблемы, волновавшие античных ученых. Крупнейшие
ученые Востока, такие, как знаменитый математик и поэт Омар
Хайям (XI в.), работавший в Средней Азии и Иране, и Насир-
ад-Дин-ат-Туси (XIII в., Иран и Азербайджан), создают ориги-
нальные теории параллельных прямых и геометрическую теорию
пропорций.

В XII в., в связи с крестовыми походами, в Европе возникает
интерес к математической культуре арабов. С арабского языка
на латинский (бывший тогда официальным языком ученых всех
стран Европы) переводятся «Начала» Евклида. В эпоху раннего
Возрождения (XIV—XV вв.) математические знания распростра-
нялись среди все более широкого круга ученых. Накануне великих
географических открытий (XV в.) особый интерес возник к астро-
номии и вследствие этого к тригонометрии.

Влияние арабских ученых заметно в первом изданном в Европе
пособии по тригонометрии «Пять книг о треугольниках всякого
рода» (1461 г.). Автором этого пособия был Иоганн Мюллер, из-
вестный в науке под латинизированным именем Региомонтана.
Вслед за арабскими учеными Региомонтан употребляет тригоно-
метрические функции, которые мы называем тангенсом и котан-
генсом, применяет алгебру при решении геометрических задач.

Бурное развитие техники, начавшееся в странах Западной
Европы в XVI—XVII вв., привело к не менее значительным резуль-
татам в области математики.

Рене Декарт, французский философ и математик первой по-
ловины XVII в., в своей «Геометрии» впервые ввел в математику
переменные величины. Декарт рассматривал линии на плоскости
как графики функций, выражающих зависимость одной перемен-
Н. И. Лобачевский

ной величины от другой. Тем самым
он заложил основы аналитической
геометрии плоскости.

Вскоре переменные величины
окончательно укоренились в матема-
тике благодаря работам Исаака Нью-
тона (1643—1727, Англия) и Готфри-
да Вильгельма Лейбница (1646—1716,
Германия), завершивших создание
основ дифференциального и интег-
рального исчисления. Математические
открытия Декарта, Ньютона и Лейб-
ница были подлинной революцией в
математике. С помощью новых раз-
делов математики было легко най-
дено решение многих геометрических
задач: о проведении касательной к
произвольной кривой, о вычислении
площадей и объемов различных фи-

С XVII в. трудами

гур.

французских ученых Дезарга и Паскаля

положено начало новому направлению в геометрии, получившему
в дальнейшем наименование проективной геометрии. Полутора
столетиями позднее их соотечественник Гаспар Монж разрабо-
тал метод изображения фигур с помощью ортогонального проекти-
рования на две плоскости. Работы Монжа послужили основой
технического черчения и начертательной геометрии.

С XVIII в. в России начинают печататься учебники и научные
труды по геометрии. Разделы, посвященные геометрии, имелись
в первом русском учебнике математики — «Арифметике» Л. Ф. Маг-
ницкого, вышедшем в 1703 г. Леонард Эйлер (1707—1783), многие
годы живший и работавший в России, обнаружил ряд замеча-
тельных свойств поверхностей и пространственных кривых. Бла-
годаря исследованиям Эйлера и Монжа в XVIII в. возникает метод
изучения свойств геометрических фигур, основанный на применении
производной, — дифференциальная геометрия.

В XIX в. в связи с задачами геометрии, механики и физики
возникает векторное исчисление. Термин «вектор» предложил
английский ученый У. Р. Гамильтон; изложение векторного ис-
числения, близкое к современному, принадлежит физику Дж. В. Гиб-
бсу (1839—1903, США).

Немалый вклад в разработку теории и приложений векторов
внес русский математик А. П. Котельников.

К середине XIX в. русские ученые не только поднялись до
уровня, достигнутого передовыми математиками Западной Европы,
но и сделали ряд открытий первостепенной важности. Особое
место здесь принадлежит великому русскому ученому Н. И. Ло-
бачевскому (1792—1856), создавшему неевклидову геометрию.
Чтобы лучше уяснить значение научного подвига Н. И. Ло-
бачевского, рассмотрим некоторые особенности «Начал» Евклида.

Евклид начинает с определений геометрических понятий: точ-
ки, линии, прямой, поверхности, плоскости, тела, угла и т. п.
Так, первое определение гласит: точка есть то, что не имеет частей.
Определение прямой таково: прямая — это линия, одинаково
расположенная относительно всех своих точек. Приведенные

определения можно рассматривать лишь как наглядные описания
понятий точки и прямой, причем эти описания не вполне удачны.
Например, «определению» прямой, по-видимому, удовлетворяет и
окружность и сфера. Разумеется, опираться на такие определения
при построении математической теории нельзя — Евклид и не

пытается этого делать.

Затем Евклид формулирует десять аксиом, первые пять из
которых он называет постулатами1. Например, первый из этих
постулатов утверждает: «От каждой точки до каждой другой

точки можно провести одну прямую линию», а первая аксиома
такова: «Равные одному и тому же равны между собой». На

основе постулатов и аксиом доказываются остальные предложения
(теоремы) «Начал».

Геометры древности считали, что постулаты и аксиомы не тре-
буют доказательства ввиду своей очевидности. Такое мнение гос-
подствовало в науке вплоть до XX в., когда оно было заменено
иной, известной нам точкой зрения на аксиомы.

Во все времена особое внимание математиков привлекал пятый
постулат Евклида: если две прямые образуют с третьей по одну

ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого
угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продол-
жении с этой стороны (рис. 116).

Если остальные постулаты и аксиомы казались вполне оче-

видными, то очевидность пятого постулата вызывала сомнения.
Отличался он от других постулатов и сложностью формулиров-
ки. Поэтому были предприняты многочисленные попытки дока-
зать этот постулат, основываясь на первых четырех постулатах
и пяти аксиомах «Начал». На протяжении двух тысячелетий мно-
гие крупнейшие математики пытались это сделать, но безус-
пешно. Удавалось лишь заменить пятый постулат эквивалент-
ными предложениями, которые нередко формулировались про-
ще и обладали большей наглядностью, но

тем не менее оставались недоказанными.

Безрезультатность попыток доказатель-
ства пятого постулата привела несколь-
ких выдающихся ученых к предположению

1 Евклид не указывает, в чем состоит прин-
ципиальное различие между постулатами и акси-
омами. В настоящее время применяется только
термин «аксиома».
^^===аС_е===== о возможности существования геометри-
ческой системы, в которой вместо пятого
£	Я постулата Евклида взято противоречащее

ему высказывание. При этом вначале во-
g прос ставился чисто логически: наглядное
истолкование и практические применения
Рис- И7	новой системы были отодвинуты на второй

план.

Впервые такую геометрию с большой полнотой и основатель-
ностью создал Николай Иванович Лобачевский. В 1826 г. он делает
устное сообщение о своем открытии, а в дальнейшем публикует ряд
трудов по неевклидовой геометрии1.

Н. И. Лобачевский заменяет пятый постулат следующей ак-
сиомой: через точку С, не принадлежащую прямой АВ, в пло-
скости АВС проходит бесконечное множество прямых, не пере-
секающихся с (АВ) (рис. 117). Все остальные постулаты и ак-
сиомы Евклида Н. И. Лобачевский принимает за истинные.
Если бы пятый постулат вытекал из этих предложений, то,
приняв противоречащее ему предложение, Н. И. Лобачевский
должен был получить противоречие при дальнейших рассужде-
ниях. Но никакого противоречия с остальными девятью аксио-
мами не получилось в многочисленных теоремах и формулах,
доказанных Лобачевским на основе его аксиомы. Более того,
предложения, доказанные Н. И. Лобачевским, составили строй-
ную систему, не уступавшую «Началам» Евклида ни в полноте
охвата свойств геометрических фигур, ни в логичности изложения
этих свойств.

Аксиома Н. И. Лобачевского, теоремы, основанные на ней,
поразили своей необычностью современников великого ученого,
привыкших к геометрии Евклида. Так, например, в геометрии
Лобачевского сумма углов треугольника оказалась меньше 180°
и уменьшалась с увеличением его площади; в новой геометрии
не существовало прямоугольников и подобных (но не конгруэнтных)
фигур.

Ученые того времени не сумели оценить глубины и важно-
сти открытия, сделанного Н. И. Лобачевским. Однако вскоре
после смерти «Коперника геометрии» его идеи получили всеоб-
щее признание. Этому в особенности способствовало предложен-
ное итальянским математиком Бельтрами доказательство выпол-
нимости всех аксиом планиметрии Лобачевского на некоторых
поверхностях вращения, существующих в «евклидовом» прост-

1 Примерно в то же время независимо от Н. И. Лобачевского к открытию
неевклидовой геометрии пришли замечательный венгерский математик
Янош Бойяи и знаменитый Карл Фридрих Гаусс. Бойяи опубликовал свои
результаты в 1832 г. Гаусс долгое время не решался публично выступить с
изложением своих работ по неевклидовой геометрии, а после выхода в свет
работ Лобачевского и Бойяи счел, по-видимому, такую публикацию не-
нужной.
ранстве. Одна из таких поверхностей изображена на jGi
рисунке 118.	/

В настоящее время геометрия Лобачевского входит
в математическую науку на равных правах с геомет-
рией Евклида.

Значение открытия Н. И. Лобачевского состоит не

только в том, что он положил конец попыткам дока- рИс. 118
зательства пятого постулата.

Создание неевклидовой геометрии показало, что геометрия
Евклида не есть единственно возможное представление о прост-
ранстве, представление, которое, по мнению философов-идеалистов,
является у человека врожденным, доопытным.

Появление второй логически возможной схемы пространства
поставило перед учеными вопрос: какая из этих схем точнее
отражает свойства реального, физического пространства в его
малых участках (например, в пределах земной поверхности) и
в грандиозных глубинах космоса?

Лобачевский и Гаусс предлагали решить такие вопросы, опи-
раясь на геодезические и астрономические измерения. Но эти
измерения не могли дать оснований для какого-либо определен-
ного вывода. Например, можно рассчитать, что сумма углов равно-
бедренного прямоугольного треугольника с катетом, равным диамет-
ру земной орбиты, согласно формулам Лобачевского должна быть
меньше 180° примерно на 0,000003 угловой секунды. А такой «дефект»
пока неуловим даже для наиболее совершенной измерительной
аппаратуры нашего времени.

Исследования Н. И. Лобачевского привлекли внимание ученых
мира к вопросам оснований геометрии, т. е. поставили проблему
создания такой системы основных понятий и аксиом, которая была
бы логически безупречной. Еще Н. И. Лобачевский указал, что
математическая наука не должна начинаться с таких «темных» по-
нятий, какими у Евклида являются определения точки, прямой
и т. п. В середине XIX в. были отмечены также недостатки аксиома-
тики Евклида. Была, например, замечена неполнота его системы
аксиом: многие построения и доказательства в «Началах» основы-
ваются на допущениях, не сформулированных Евклидом.

В самом конце XIX в. немецкий ученый Д. Гильберт предло-
жил систему основных понятий и аксиом, свободную от логических
недостатков. К основным (неопределяемым) понятиям Гильберт
отнес понятия точки, прямой и плоскости. Между основными
понятиями установлены основные отношения: принадлежность,
между и быть конгруэнтными. Основные отношения также даются
у Гильберта без определений. Далее следует 20 аксиом, разделен-
ных на пять групп. Некоторые из этих аксиом вам хорошо
известны (например, аксиомы принадлежности, аксиома парал-
лельных прямых).

Система аксиом Гильберта обладает свойствами полноты, нс-
протисоречиеости и независимости. Это означает, во-первых, что
с помощью этой системы можно доказать истинность или ложность
любого высказывания евклидовой геометрии; во-вторых, что ни-
какие два предложения, выведенные из данных аксиом, не могут
оказаться утверждением и отрицанием одного и того же математиче-
ского факта; наконец, многие аксиомы этой системы независимы,
т. е. они не могут быть выведены из остальных аксиом.

Многие из учебников, излагавших евклидову геометрию,
были построены на базе этой системы основных понятий и ак-
сиом, хотя при начальном изложении геометрии (например, в
школьных учебниках) не все аксиомы Гильберта были сформули-
рованы.

За основу построения курса евклидовой геометрии может быть
принята и иная система основных понятий и аксиом. На-
пример, в 1918 г. немецкий математик Г. Вейль предложил
в качестве неопределяемых понятий рассматривать вектор и точ-
ку, а аксиомами считать некоторые из свойств векторов и опера-
ций над ними. Если избрать аксиоматику Вейля, то понятия пря-
мой и плоскости определяются, а аксиомы Гильберта становят-
ся теоремами.

Учебники, по которым вы изучали геометрию в VI—VIII клас-
сах, а также учебники для IX—X классов основываются на системе
неопределяемых понятий и аксиом, предложенной академиком
А. Н. Колмогоровым. Полный список таких аксиом, относящихся
к курсу планиметрии, приведен на страницах 193, 194; аксиомы
стереометрии сформулированы выше (с. 5—7).

В XX в. ученые многих стран мира продолжают разработку
различных разделов геометрии и открывают новые направления
в геометрических исследованиях. Фундаментальное значение здесь
имеют работы советских математиков.

В области дифференциальной геометрии успешно работали
В. Ф. Каган, С. П. Фиников и другие. Большой вклад в создание
и развитие новой геометрической дисциплины — топологии — внес-
ли П. С. Александров, А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин. Уже
в послевоенные годы усилиями А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова,
А. В. Погорелова и других получены выдающиеся результаты в
разделе геометрии, получившем название «Геометрия в целом».
КРАТКАЯ СВОДКА СВЕДЕНИЙ
ПО КУРСУ ПЛАНИМЕТРИИ

А. Аксиомы планиметрии

Основными (неопределяемыми) понятиями планиметрии явля-
ются: точка, прямая, расстояние.

Аксиомы — это предложения, принимаемые без доказательства.
В аксиомах выражены свойства основных понятий.

I.	Аксиомы принадлежности

Аксиома 1Х. Каждая прямая есть множество точек.

Аксиома 12. Для любых двух отличных друг от друга точек
существует одна и только одна содержащая их прямая.

Аксиома 13. Существует хотя бы одна прямая, и каждой
прямой принадлежит хотя бы одна точка.

II.	Аксиомы расстояния

Аксиома Пх. Для любых двух точек А и В имеется неот-
рицательная величина \АВ |, называемая расстоянием от А до В.
Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки А
и В совпадают.

Аксиома П2. Расстояние от точки А до точки В равно рас-
стоянию от точки В до точки А:

\ЛВ\ = \ВЛ\.

Аксиома П3. Для любых трех точек Л, В, С расстояние
от Л до С не больше суммы расстояний от Л до В и от В до С:

I АС | < |ЛВ|+ |ВС|.

III.	Аксиомы порядка

Аксиома II1Х. Любая точка О прямой р разбивает множество
всех отличных от О точек прямой р на два непустых множества
так, что: а) для любых двух точек Л и В, принадлежащих разным
множествам, точка О лежит между Л и В; б) если точки Л и В при-
надлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между
другой точкой и точкой О.

7 Заказ № 210.	>1193
Аксиома III,. Для любого расстояния а на заданном луче
с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние
от которой до точки О равно а: | О А | = а.

Аксиома III3. Если точка С лежит между точками Л и В,
то точки А, В, С принадлежат одной прямой р.

Аксиома II14. Любая прямая р разбивает множество не
принадлежащих ей точек плоскости на два непустых множества
так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам,
разделены прямой р; б) любые две точки, принадлежащие одному
и тому же множеству, не разделены прямой р.

Аксиома III! позволяет ввести понятие луча, а аксиома П14 —
понятие полуплоскости (см. с. 197, 198).

IV.	Аксиома подвижности плоскости

Если расстояние |АВ| положительно и равно расстоянию IAjZJj|,
то существуют два и только два перемещения, каждое из которых
отображает точку А на точку Аъ а точку В на точку ВР

Если а — полуплоскость, ограниченная прямой АВ, то она
этими двумя перемещениями отображается на две различные полу-
плоскости (Xi и plt ограниченные прямой AxBi.

V.	Аксиома параллельных

Через точку проходит не более одной прямой, параллельной
данной прямой.

Б. Определения и теоремы

1.	Для всех понятий планиметрии (кроме основных!) формули-
руются определения. Определение раскрывает смысл нового поня-
тия, сводя его к другим уже известным понятиям.

В качестве примера рассмотрим определение ромба: ромбом
называется параллелограмм, все стороны которого равны. Поня-
тие «ромб» сведено к более широкому понятию «параллелограмм»,
причем указан признак — все стороны равны, — выделяющий
множество ромбов из множества всех параллелограммов.

2.	Свойства геометрических фигур, свойства поворота, симмет-
рии, переноса, отношения конгруэнтности и т. п. формулируются
в виде теорем (за исключением тех свойств, которые содержатся в
аксиомах). Теоремой называется предложение, истинность которого
доказывается.

Рассмотрим виды теорем и напомним основные сведения о
необходимых и достаточных условиях.

Всякая теорема состоит из условия и заключения. Обозначим
условие и заключение теоремы соответственно буквами Р и Q,
тогда эту теорему символически можно записать: P=>Q (1) (чи-
тается: «Если есть Р, то есть и Q» или «Из Р следует Q»). Назовем
теорему (1) исходной теоремой (употребляется также термин «пря-
мая теорема»).

Поменяв местами условие и заключение исходной теоремы,
получим обратную ей теорему: Q=>P (2). Теоремы (1) и (2) можно
назвать взаимно обратными. Это значит, что любая из них
может быть принята за исходную («прямую»), тогда другая будет
ей обратной.

Предположим, что истинность теоремы (1) доказана. Обратная
ей теорема (2) может оказаться либо истинной, либо ложной. Вспом-
ним, например, теорему Пифагора, которую мы для удобства рас-
суждений сформулируем так: «Если в треугольнике АВС, длины
сторон которого равны а, b н с, угол С прямой, то выполняется
равенство с2 = а2 + Ь2». Сформулируем обратную теорему: «Если
в треугольнике АВС для сторон а, Ь, с выполняется равенство
с2 = а2 + Ь2, то угол С прямой». Эта теорема также истинна (до-
кажите это, пользуясь теоремой косинусов).

Но для теоремы о конгруэнтности вертикальных углов обратная
теорема ложна, так как утверждение «два любых конгруэнтных
угла являются вертикальными» неверно.

Помимо исходной и обратной теорем, в математике рассматри-
вают теоремы, противоположные им. Теорема, противоположная
теореме Пифагора, может быть сформулирована так: «Если в тре-
угольнике АВС угол С не является прямым, то для сторон а, Ь, с
равенство с2 = а2 + Ь2 не выполняется».

Теорему, противоположную теореме (1), символически запишем:
Р =>Q (3). Здесь Р обозначает отрицание условия Р, Q — отрица-
ние заключения Q. Читаем: «Если нет Р, то нет и Q» или «Из отри-
цания Р следует отрицание Q».

Наконец, возможна теорема, противоположная обратной
теореме: Q=> Р (4) (прочитайте словами). В случае теоремы Пифа-
гора теорема (4) читается так: «Если в треугольнике АВС для
сторон а, Ь, с не выполнено равенство с2 = а2 + Ь2, то угол С не
является прямым».

Для теоремы Пифагора истинность теорем (3) и (4) может быть
также доказана с помощью теоремы косинусов. Но такое до-
казательство излишне. Оказывается, что вообще теорема (4),
противоположная обратной, истинна тогда и только тогда, когда
истинна исходная теорема. Иными словами, теоремы (1) и (4) равно-
сильны: (Р=5> Q)<=>(Q^=>P) (5). Этот факт служит основой метода
доказательства от противного: доказательство теоремы заменя-
ют доказательством теоремы, противоположной обратной. Метод
«от противного» неоднократно применялся в курсе плани-
метрии. Вспомните, например, доказательство теоремы «Цент-
рально-симметричные прямые параллельны». Теоремы обратная
и противоположная также равносильны. В самом деле, запись
(Q => Р) <=>(Р =» Q) отличается от (5) лишь иным обозначением
условия и заключения.	,<—;—

7*	|| 195
3.	В формулировках теорем нередко употребляются термины
«достаточно», «необходимо», «необходимо и достаточно». Напомним
смысл этих терминов.

1.	Условие Р называется достаточным для заключения Q,
если из Р следует Q (т. е. теорема Р =} Q является истинной).

Например, достаточным условием конгруэнтности двух углов
является их вертикальность.

2.	Условие Р называется необходимым для заключения Q,
если из Q следует Р (т. е. истинна теорема Q Р).

Выше мы отмечали равносильность теорем: (Q=> Р)<=> (Р => Q).
Поэтому понятие необходимого условия можно определить так:
«Условие Р называется необходимым для заключения Q, если
из отрицания Р следует отрицание Q».

Достаточное условие не обязательно является необходимым,
а необходимое условие не во всех случаях служит и достаточным.
Вернемся к рассмотренным выше взаимно обратным теоремам
о вертикальных углах. Можно утверждать, что вертикальность
двух углов—достаточное, но не необходимое условие их конгруэнт-
ности (обратная теорема не верна!). Вместе с тем конгруэнтность
углов для их вертикальности является необходимым условием,
но отнюдь не достаточным.

Однако возможны случаи, когда условие является и достаточ-
ным, и необходимым. Применительно к теоремам это означает
истинность обеих взаимно обратных теорем: исходной и обратной
ей. Например, теорему Пифагора и ей обратную можно заменить
одним предложением: «Для того чтобы квадрат стороны тре-
угольника был равен сумме квадратов двух других сторон,
необходимо и достаточно, чтобы угол, противолежащий первой
стороне, был прямым».

При употреблении терминов «достаточно», «необходимо», «не-
обходимо и достаточно» вместо слова «условие» нередко говорят
«признак». Слова «достаточно и необходимо» иногда заменяют
оборотами: «тогда и только тогда», «те и только те» и т. п.

Простейшие фигуры

1.	О1. Геометрической фигурой называется любое множество
точек.

2.	О. Фигура называется выпуклой, если она содержит отре-
зок, соединяющий любые две ее точки.

Например, четырехугольник ABCD (рис. 119, а) — выпуклая
фигура, а четырехугольник MNPQ (рис. 119, б) — невыпуклая
фигура.

3.	О. Пересечением двух или нескольких данных фигур на-
зывается фигура, состоящая из всех тех и только тех точек, кото-
рые принадлежат каждой из данных фигур.

1 В дальнейшем определения будем обозначать буквой О, теоремы —
буквой Т.

196

®J
4.	О. Объединением двух или нескольких данных фигур на-
зывается фигура, состоящая из всех тех и только тех точек, кото-
рые принадлежат хотя бы одной из данных фигур.

Например, пересечением треугольников АВС и DEF (рис. 120)
служит четырехугольник MENB, а объединением — невыпуклый
шестиугольник ACNFDM.

5.	О. Точка X лежит между точками А и В, если эти три

точки различны и |ЛВ| = |ЛХ| + | ХВ\
(рис. 121).

6.	О. Множество, состоящее из двух
различных точек и всех точек, лежащих
между ними, называется отрезком.

7.	О. Ломаной называется объеди-
нение отрезков ЛОЛХ, AiA2t ... , ЛЛ-1ЛЛ,
таких, что конец каждого отрезка (кро-
ме последнего) является началом сле-
дующего и смежные отрезки не лежат
на одной прямой (рис. 122).

8,	а). О. Каждое из множеств, на ко-
торые точка О, принадлежащая прямой
а (рис. 123), разбивает эту прямую, на-
зывается открытым лучом с началом О.

Рис. 120

Л ~ В

X
Рис. 121

Рис. 122
Рис. 123

Рис. 124

8,	б). О. Объединение открытого луча и его начала — точки
О — называется лучом с началом О.

9,	а). О. Каждое из множеств, на которые прямая а разбивает
множество не принадлежащих ей точек плоскости (рис. 124), назы-
вается открытой полуплоскостью с границей а.

9,	б). О. Объединение открытой полуплоскости и ее границы а
называется полуплоскостью с границей а.

10.	О. Фигура, состоящая из двух различных лучей с общим
началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом.

Конгруэнтность фигур и перемещения

1.	Отображения. Если каждой точке М фигуры Ф ставится
в соответствие единственная точка фигуры F, то такое соот-
ветствие называется отображением фигуры Ф в фигуру F. Точку Afx
при этом называют образом точки М. Примеры отображений при-
ведены на рисунке 125.

Множество Фг образов всех точек фигуры Ф при заданном
отображении называется образом фигуры Ф. При этом говорят,
что фигура Ф отображается на фигуру Фх.

2.	Конгруэнтные фигуры. О. Если фигуру Ф можно отобразить
на фигуру Ф! так, что расстояние между любыми двумя точками
фигуры Ф равно расстоянию между соответствующими им точками
фигуры Фх, то говорят, что фигура Фх конгруэнтна фигуре Ф.

Т. Отношение конгруэнтности фигур:

а)	рефлексивно: Ф Ф;

Рис. 125
б)	симметрично: (Фх Ф)=> (Ф Ф>);

в)	транзитивно: (Фх Ф, Ф2 = Фх)=^ (Ф2 = Ф).

Примеры конгруэнтных фигур:

1)	Два отрезка конгруэнтны в том и только в том случае,
когда их длины равны: ([ДВ]	[СО]) <=> (| АВ\ = |СО|).

2)	Любые два луча конгруэнтны.

3)	Любые две прямые конгруэнтны.

4)	Два угла конгруэнтны в том и только в том случае, когда
они имеют одну и ту же величину:

(Z_ АОВ Z. Д10А) «=> (АОВ = ДхОА).

3.	Перемещения. О. Отображение плоскости на себя, сохра-
няющее расстояния, называется перемещением.

Примечание. Говорят, что отображение фигуры Ф сохра-
няет расстояния, если расстояние |ДхВх [между образами любых
точек А и В фигуры Ф равно расстоянию | ДВ|.

В курсе планиметрии изучаются три основных вида перемеще-
ний плоскости: поворот, осевая симметрия, параллельный перенос
(вектор).

1.	О. Поворотом вокруг центра О называется такое перемеще-
ние плоскости, при котором:

1)	точка О отображается на себя;

2)	угол между любым лучом ОХ и соответствующим ему лучом
ОХх — постоянная величина а.

Величина а берется в промежутке 0° а 180° и называется
углом поворота.

Поворот задается центром, углом и направлением поворота.

2.	О. Центральная симметрия есть частный вид поворота —
это поворот на 180°.

Центральная симметрия задается указанием центра симметрии.

О. Если фигура Ф отображается на себя при симметрии с цент-
ром О, то говорят, что фигура Ф центрально-симметрична (или
имеет центр симметрии).

3.	О. Осевой симметрией с осью I называется такое перемеще-
ние, при котором:

1)	точки прямой I остаются на месте;

2)	полуплоскости с границей I отображаются одна на другую.

Осевая симметрия задается указанием оси симметрии или пары
соответственных (различных) точек.

Способ построения точек, симметричных относительно оси,
обосновывается следующими теоремами:

Т. Прямая, перпендикулярная оси, при осевой симметрии
отображается на себя.

Т. Через любую точку плоскости можно провести одну и только
одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

О. Если фигура Ф отображается при осевой симметрии с осью I
на себя, то прямая I называется осью симметрии фигуры Ф. Фигура
Ф при этом называется симметричной относительно оси I.
Параллельность и параллельный перенос

1. Параллельные прямые. О. Прямые а и Ь, лежащие в одной
плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих
точек или совпадают.

Существование параллельных прямых обосновывается следую*
щей теоремой:

Т. Центрально-симметричные прямые параллельны (рис. 126).

Аксиома параллельных приведена на странице 194 (аксиома V).
Из аксиомы параллельных вытекает теорема: если две прямые
параллельны третьей, то они параллельны между собой:

(а П с, b || с) => (а || Ь).

Отношение параллельности прямых: а) рефлексивно: а || а\
б) симметрично: (а || Ь)=> (Ь || а); в) транзитивно: (а\\Ь, Ь\\с) =>(а||с).

2. Направление. О. а) Два лу-

а)

N Di о2 м
О)||[я)
[»|| [о2м)

ча, лежащие на одной прямой,
называются сонаправленными, ес-
ли один из них содержится в
другом (рис. 127, а), и противо-
положно направленными, если ни
один из них не содержится в дру-
гом (рис. 127, б).

б) Пусть лучи ОгМ и O2N па-
раллельны, но не лежат на одной
прямой. Если оба луча лежат в
одной полуплоскости с границей
(OiO2), то такие лучи называются
сонаправленными (рис. 128, а)\

если же они лежат в разных по-
луплоскостях (рис. 128, б), то лу-
чи называют противоположно на-
правленными.

О. Множество всех попарно со-
направленных лучей плоскости на-
зывают направлением.

О. Углом между двумя направ-
лениями называют угол между
любыми двумя лучами этих на-
правлений, имеющими общее на-
чало. Угол между направлени-
ями принадлежит промежутку
[0°; 180°].

3. Признаки параллельности
прямых. 1) Т. Если две прямые
центрально-симметричны, то они
параллельны.
Рис. 129	Рис. 130

2)	Т. Если две прямые перпендикулярны одной и той же пря-
мой, то они параллельны.

3)	Т. Если какие-либо два соответственных угла при пересече-
нии двух прямых третьей конгруэнтны, то эти две прямые парал-
лельны (рис. 129).

4.	Параллельный перенос. О. Параллельным переносом назы-
вается отображение плоскости на себя, при котором все точки
плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же
расстояние.

Т. Параллельный перенос является перемещением.

Для задания переноса достаточно указать пару соответственных
точек или направленный отрезок.

5.	Теорема Фалеса. Если на одной прямой отложить несколько
конгруэнтных отрезков и через их концы провести параллельные
прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй
прямой отрезки, конгруэнтные между собой (рис. 130).

([ЛВ] ~ [CD], (AAJ || (ВВх) || (ССХ) || (DDX)) => ([ЛХВХ] ~ [C.DJ).

Пользуясь теоремой Фалеса, можно разделить данный отрезок
на п конгруэнтных отрезков (см. с. 213).

О. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяю-
щий середины двух сторон треугольника.

Т.	Средняя линия треугольника параллельна его стороне,
а длина ее равна половине длины этой стороны (рис. 131).

(|ЛМ| = |МС|, |B^| = |jVC|)=»((AliV)||(4B),|Aiy| =1|ЛВ|).

Рис. 131

Рис. 132
Многоугольники

1.	Определение многоугольника. Объединение простой замкну-
той ломаной и ее внутренней области называется многоугольником.
Сама ломаная называется границей многоугольника, а ее внутрен-
няя область — внутренней областью многоугольника.

Внутренняя область многоугольника АВС . . . (рис. 132) выде-
лена штриховкой. Для любых двух точек внутренней области
многоугольника существует ломаная с концами М и /V, содержа-
щаяся в этой области.

2.	Признаки конгруэнтности треугольников (рис. 133).

1)	Т. Если три стороны одного треугольника соответственно
конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, то такие тре-
угольники конгруэнтны.

([ЛХВХ] ~ [ЛВ], [ВХСХ] - [ВС], [Л А] ~ [ЛС]) =>

=? (△ А1В}С1 ~ △ ЛВС).

2)	Т. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного тре-
угольника соответственно конгруэнтны стороне и двум прилежа-
щим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
конгруэнтны.

([ЛХВХ] ~ [ЛВ], Z. Лх Z. Л, Z_ Вх ~ Z_ В)
=5> (△ ЛХВХСХ ~ △ ЛВС).

3)	Т. Если две стороны и угол между ними одного треугольника
соответственно конгруэнтны двум сторонам и углу между ними
другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

([ЛХВХ] ~ [ЛВ], [ВХСХ1 ~ [ВС], Z_B^Z.B)^
=$> (△ ЛХВХСХ △ ЛВС).

3.	Соотношения между элементами треугольника.

Т. Против большей стороны в треугольнике лежит больший
угол; обратно, против большего угла в треугольнике лежит боль-
шая сторона:

(| ВС| > | ЛВ|) <=> (Д > С) (рис. 134).

Т. Против равных сторон в тре-
угольнике лежат равные углы; обрат-
но, против равных углов в треуголь-
нике лежат равные стороны.

4.	Параллелограммы. О. Четырех-
угольник, противоположные стороны
которого попарно параллельны, на-
зывается параллелограммом.
Рис. 135

Т. Середина диагонали параллелограмма является его центром
симметрии (рис. 135).

Отсюда следует конгруэнтность противоположных сторон па-
раллелограмма, конгруэнтность его противоположных углов. Диа-
гонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Сформулируем признаки параллелограмма:

1)	Т. Если в четырехугольнике противоположные стороны по-
парно конгруэнтны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2)	Т. Если в четырехугольнике две противоположные стороны
конгруэнтны и параллельны, то этот четырехугольник — парал-
лелограмм.

5.	Виды параллелограммов. 1) О. Параллелограмм, у которого
углы прямые, называется прямоугольником.

Т.	Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника яв-
ляется его осью симметрии.

Отсюда следует конгруэнтность диагоналей прямоугольника.

2)	О. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется
ромбом.

Т. Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью

симметрии.

Отсюда следует, что диагонали ромба
лярны и делят его углы пополам.

3)	О. Квадратом называется прямо-
угольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами пря-
моугольника и ромба.

Виды параллелограммов изображены на
рисунке 136.

6.	Трапеция. О. Четырехугольник, две
стороны которого параллельны, а две дру-
гие не параллельны, называется трапе-
цией.

О. Отрезок, соединяющий середины бо-
ковых сторон трапеции (рис. 137), на-
зывается ее средней линией.

Т. Средняя линия трапеции параллель-
на основаниям, а длина ее равна полусумме
длин оснований.

7.	Площади многоугольников. О. Каж-
дому многоугольнику может быть постав-

взаимно перпендик)-
лена в соответствие положительная величина, называемая его
площадью, так, что выполняются следующие условия:

1)	единицей измерения площадей многоугольников является
площадь квадрата, длина стороны которого принята за единицу
измерения длин;

2)	конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;

3)	если многоугольник составлен из непересекающихся много-
угольников, то его площадь равна сумме площадей этих много-
угольников.

Формулы для вычисления площадей многоугольников смотрите
на странице 217.

Окружность и круг

1.	О. Множество всех точек плоскости, находящихся на дан-
ном положительном расстоянии от данной точки, принадлежащей
этой плоскости, называется окружностью.

2.	О. Множество всех точек плоскости, расстояние от каждой
из которых до данной точки этой плоскости не больше данного,
называется кругом.

3.	Т. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой,
можно провести одну и только одну окружность.

4.	О. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую
точку, называется касательной к этой окружности.

5.	Т. Для того чтобы прямая была касательной к окружности,
необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна
к диаметру окружности и проходила через его конец.

Способ построения касательной к окружности смотрите на
странице 215.

6.	Т. Чтобы две дуги окружности были конгруэнтны, необхо-
димо и достаточно, чтобы они соответствовали конгруэнтным цент-
ральным углам:

(Z. АОВ ~ Z. COD) АВ ~ CD) (рис. 138).

7.	Т. Если две хорды окружности конгруэнтны, то конгруэнтны
и стягиваемые ими дуги.

8.	Т. Любая прямая, проходящая через центр окружности,
является ее осью симметрии.
Рис. 141

Отсюда следует (рис. 139): 1) дуги, заключенные между парал-
лельными хордами, конгруэнтны; 2) диаметр, перпендикулярный
хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам; 3) диаметр, который
делит пополам хорду, не проходящую через центр, перпендикулярен
к этой хорде.

9.	Т. В окружности хорды равной длины равноудалены от
центра; обратно: хорды, равноудаленные от центра окружности,
имеют равные длины.

10.	Т. Из двух неконгруэнтных хорд окружности хорда боль-
шей длины расположена ближе к центру; обратно: из двух не-
конгруэнтных хорд большую длину имеет та, которая ближе
к центру.

И. Т. Если расстояние между центрами двух окружностей
меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности, то
окружности пересекаются в двух и только в двух точках
(рис. 140).

ki — r2l < \OiO21 < Г1 + Г2.

12.	Т. Если расстояние между центрами двух окружностей
равно сумме или разности радиусов, то окружности имеют только
одну общую точку, принадлежащую прямой, проходящей через
центры окружностей:

IOAI = G + г2	(рис. 141, а),

ЮА | = К — г2|	(рис. 141, б).

Вписанные и описанные многоугольники

1.	О. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а
стороны угла пересекают ее, называется вписанным в эту окруж-
ность.

2.	Т. Величина вписанного угла равна половине угловой вели-
чины дуги, на которую он опирается.

Отсюда следует, что вписанный угол, опирающийся на диаметр,
прямой.

205
I
3.	О. Многоугольник, все вершины которого принадлежат ок-
ружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность —
описанной около этого многоугольника.

4.	О. Многоугольник, все стороны которого касаются окруж-
ности, называется описанным около этой окружности, а окруж-
ность — вписанной в этот многоугольник.

5.	Т. Около всякого треугольника можно описать окружность,
и притом только одну. Центром этой окружности является точка
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам тре-
угольника.

6.	Т. Во всякий треугольник можно вписать окружность, и
притом только одну. Центром этой окружности является точка
пересечения биссектрис углов треугольника.

7.	Т. Для того чтобы около четырехугольника можно было
описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма проти-
волежащих углов этого четырехугольника была равна 2d.

8.	Т. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать
окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противо-
лежащих сторон этого четырехугольника были равны.

9.	О. Многоугольник, у которого все стороны конгруэнтны
и все углы конгруэнтны, называется правильным.

Правильный n-угольник имеет ровно п осей симметрии (рис. 142).

10.	Т. Около всякого правильного многоугольника можно
описать окружность. Во всякий правильный многоугольник можно
вписать окружность.

11.	О. Длиной окружности называется предел последователь-
ности периметров правильных вписанных многоугольников при
неограниченном удвоении числа сторон.

Гомотетия плоскости и подобие фигур.
Пропорциональные отрезки

1. Подобные фигуры. О. Если фигуру Ф можно отобразить
на фигуру Ф( так, что для любых точек X и Y первой фигуры отно-
шение расстояния |Х1К1| между их образами к расстоянию |ХУ|
206
Рис. 143

Рис. 144

между самими точками X и Y равно одному и тому же числу k> О,
то говорят, что фигура Фх подобна фигуре Ф с коэффициентом по-
добия k.

Определение подобия фигур включает в себя определение
конгруэнтности фигур как частный случай. Конгруэнтные фи-
гуры — это подобные фигуры с коэффициентом подобия, равным
единице.

Т. Отношение подобия фигур:
।

1) рефлексивно: Ф со ф;

(1 \
fe )
ф ОО Фх/;

л, л,	М*

3) транзитивно: (Фх °° Ф, Ф2 ФО => (Ф2 со Ф).

2. Гомотетия. О. Гомотетией с центром О и коэффициентом
k =/= 0 называется отображение плоскости на себя, при котором
образом произвольной точки X является такая точка Xj, что
ОХх = kOX1.

Тождественное отображение плоскости на себя и центральная
симметрия являются частными видами гомотетии:

//•, = £, я-> = г0.

Отображение, обратное гомотетии, также является гомотетией:

если Нко (X) = Хъ то /7* (XJ = X.

Сформулируем основные свойства гомотетии.

Т. Центр гомотетии отображается на себя.

Т. Если k > 0, то точки X и Xt = Н (X) лежат на прямой ОХ
по одну сторону от центра гомотетии (рис. 143, 144).

Если k < 0, то точки X и Хг = Н (X) лежат на прямой ОХ
по разные стороны от центра гомотетии (рис. 145).

Т. Если при гомотетии с коэффициентом k точки X и Y ото-
 ► — * ►

бражаются на точки Хх и то XiW = kXY (рис. 143—145).

1 Определение и свойства векторов плоскости аналогичны определению
и свойствам векторов пространства (см. с. 41).

1г]
При гомотетии с коэффициентом k все расстояния между точка-
ми умножаются на |Л|, т. е. | ХхУх | = |&| • | ХГ|.

Отсюда вытекает, что гомотетичные фигуры подобны.

Т. При гомотетии с положительным коэффициентом каждый
луч отображается на сонаправленный с ним луч. При гомотетии
с отрицательным коэффициентом каждый луч отображается на
противоположно направленный с ним луч.

Т. Гомотетия отображает каждую прямую на параллельную
ей прямую.

Т. Гомотетичные углы конгруэнтны.

3. Пропорциональные отрезки. О. Отрезки АВ, CD, Л1В1,
C.D. называются пропорциональными, если пропорциональны
их длины:

MAI: |ЛВ| = 1СЛ1 : |СО|.

1.	Т. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсе-
кают на них пропорциональные отрезки:

((ЛА) II (АВ), (ЛЛХ) П (ВВ.) = О) =* (| ОЛ х I: | ОА | = | ОВ.\ : | ОВ\).

2.	Т. Если отрезки ОАГ и ОВ. пропорциональны отрезкам
ОА и ОВ и лежат соответственно на лучах ОА и ОВ, то прямые
А.В. и АВ параллельны (рис. 146).

4. Преобразование подобия. О. Отображение плоскости на
себя, при котором все расстояния между точками изменяются
в одном и том же отношении k > 0, называется преобразованием
подобия.

1.	Т. Каждое преобразование подобия есть композиция гомо-
тетии и перемещения.

2.	Т. Если две фигуры подобны, то существует фигура, гомоте-
тичная первой и конгруэнтная второй.

Отсюда следует, что соответственные углы подобных фигур
конгруэнтны.

5. Подобные многоугольники. 1. Т. Если три стороны одного
треугольника пропорциональны трем сторонам другого треуголь-
ника, то такие треугольники подобны (рис. 147):

/ИА1 =Н1£11 = 1А£1_Ц=?(д	авс).

|АВ| ISC| |АС1 /	'	111	’

||САа|о|
2.	Т. Если две стороны одного треугольника пропорциональ-
ны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторо-
нами равны, то такие треугольники подобны:

/MAL = JВА1. в = в\=>(А ~ Д АВС).

\ |ЛВ| |ВС| 1	/ v 1 1 1	’

3.	Т. Если два угла одного треугольника равны двум углам
другого треугольника, то такие треугольники подобны:

(Л = A, Bi = В) =>(△ AxBiCx д АВС).

О. Отрезок х называется средним пропорциональным (или
средним геометрическим) между отрезками тип, если выполняется
равенство:

т : х = х : п.

4.	Т. 1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета
на гипотенузу. 2) Высота прямоугольного треугольника, прове-
денная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между проекциями катетов на гипотенузу.

5.	Т. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямо-
угольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

6.	Т. Если стороны одного многоугольника соответственно
пропорциональны сторонам другого многоугольника и соответст-
венные углы этих многоугольников равны, то такие многоугольники
подобны.

7.	Т. Отношение периметров подобных многоугольников равно
коэффициенту подобия:

к

™ F) =»(Рх : Р = k).

8.	Т. Отношение площадей подобных многоугольников равно
квадрату коэффициента подобия:

(Л ~ F) =>(3, : S = Л2).

В. Геометрические построения

1.	Серединный перпендикуляр к отрезку. Построить прямую,
перпендикулярную к данному отрезку АВ и проходящую через
его середину (рис. 148).

Построение. 1),2) Построим окружности радиуса г с цент-
рами Л и В (r>j |АВ|).

3)	Отмечаем точки С и Ci пересечения окружностей.

4)	Построим прямую р = (CCi), отмечаем точку М = р f| [АВ].
р — искомая прямая, М — середина [АВ].

Примечание. Серединный перпендикуляр к отрезку есть
множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена
от концов отрезка.
Рис. 148	Рис. 149

2.	Угол, конгруэнтный данному. Построить угол, конгруэнт-
ный данному углу М (рис. 149).

Построение. 1) Построим окружность произвольного ра-
диуса г с центром AL

2)	Отмечаем точки А и В пересечения этой окружности со сто-
ронами угла М.

3)	Построим произвольный луч /С

4)	Построим окружность радиуса г с центром Afj.

5)	Отмечаем точку ее пересечения с лучом Ali/C.

6)	Построим окружность радиуса |ЛВ| с центром

7)	Отмечаем точку ее пересечения с окружностью (Мх; г).

8)	Построим луч AfiBp

Угол A^iBi — искомый.

3.	Биссектриса угла. Построить биссектрису угла АОВ, мень-
шего 180° (рис. 150).

Построение. 1) Построим окружность произвольного ра-
диуса с центром О.

2)	Отмечаем точки Л4 и N ее пересечения со сторонами угла
АОВ.

3), 4) Построим окружности радиуса г с центрами М и N
(г>

5)	Отмечаем одну из точек Р пересечения окружностей (М; г)
и (N; г).

6)	Построим луч ОР.

Луч ОР — искомая биссектриса.
Примечание. Биссектриса угла,
меньшего развернутого, есть множество
всех точек угла, каждая из которых
равноудалена от его сторон.

4. Перпендикуляр к прямой. Построить
перпендикуляр к данной прямой Z, про-
ходящий через данную точку М (рис. 151).

Построение. 1) Построим окруж-
ность с центром М и радиусом, большим
расстояния от М до Z.

2) Отмечаем точки А и В пересечения
этой окружности и прямой Z.

3), 4) Построим окружности радиуса г
('> |).

5)	Отмечаем одну из точек N пересечения
и (В; г).

с центрами А и В

окружностей (4; г)

6)	Построим прямую р = (MN).

Прямая р — искомая.

5. Прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету).
Построить треугольник АВС, в котором АС В = 90°, |4В| = с,
|ВС| = а, с >а (рис. 152).

Построение. 1) Построим отрезок ВС длиной а.

2)	Построим перпендикуляр р к прямой ВС, проходящий через
точку С (построение 4).

3)	Построим окружность с центром В радиуса с.

4)	Отмечаем одну из точек А пересечения прямой р и этой

окружности.

△ АВС — искомый.

6. Образ фигуры при повороте. Построить образ треугольника
АВС при повороте вокруг данной точки О на данный угол а в дан-
ном направлении (рис. 153).
Рис. 155

Рис. 156

Построение. 1) Построим образ Аг точки А при данном
повороте:

а)	построим луч ОА;

б)	построим угол AOAlt имеющий величину а (построение 2),
так, чтобы поворот точки А выполнялся в заданном направлении.

Лх = Ra0 (Л).

2), 3) Построим аналогично Вх =	(В), Сх = Bg(C).

△ AiBjCi — искомый.

7.	Образ фигуры при центральной симметрии. Построить образ
треугольника АВС при симметрии с центром О (рис. 154).

Построение. 1) Построим образ Лх точки Л при симмет-
рии Zo:

а)	построим прямую АО;

б)	на прямой АО по другую сторону от этой точки откладываем
отрезок 0Лх длиной |0Л|, тогда Лх = Zo (Л).

2), 3) Построим аналогично Вх = Zo (В), Сх = Zo (С).

△	AiB^! — искомый.

8.	Образ фигуры при осевой симметрии. Построить образ тре-
угольника АВС при симметрии с осью I (рис. 155).

Построение. 1) Построим образ Лх точки Л при симмет-
рии Sz:

а)	построим перпендикуляр а к прямой I, проходящий через
точку Л (построение 4);

б)	отмечаем точку М = а (] I;

в)	на прямой а от точки М откладываем по другую сторону
оси I отрезок Л4ЛХ длиной \ МА |, тогда Лх = Sz (Л).

2), 3) Построим аналогично Вх = Sz (В), Сх — St (С).

△ ЛХВХСХ — искомый.

9.	Прямая, параллельная данной. Построить прямую, прохо-
дящую через данную точку М и параллельную данной прямой I
(см. рис. 126).

Построение. Пусть М I.

1)	Отмечаем на прямой I две точки Л и В.
Рис. 157

Рис. 158

2)	Построим отрезок АМ.

3)	Построим середину О отрезка АМ (построение 1).

4)	Построим точку Af, симметричную точке В относительно
центра О (построение 7).

5)	Построим прямую р = (MN).

Прямая р — искомая.

Если М € /, то р = /.

Примечание. Построение 9 можно выполнить на основе
других признаков параллельности прямых (см. с. 200, пункт 3).

10.	Образ фигуры при переносе. Построить образ треуголь-
ника АВС при переносе MN (рис. 156).

Построение. 1) Построим образ At точки А при данном
переносе:

а)	построим луч Л/С, сонаправленный с лучом A4Af (см. по-
строение 9);

б)	на этом луче от точки А откладываем отрезок ЛЛХ длиной

|MN|, тогда А± = MN (Л).

2), 3) Построим аналогично Вг = MN (В), Сх = MN (С).

△ ЛхВ/?! — искомый.

11.	Деление отрезка на конгруэнтные отрезки. Данный отре-
зок АВ разделить на п конгруэнтных отрезков (рис. 157).

Построение. 1) Построим луч Л/С (/С £ (ЛВ)).

2)	На луче Л/С отложим последовательно п конгруэнтных
отрезков АМ19 MLM2t . . . , Mn_iMn (на рисунке п = 5).

3)	Построим прямую МпВ.

4)	Построим прямые, проходящие через точки М19 M2t . . .

. . . , Мп^ и параллельные (МпВ) (построение 9).

5)	Отмечаем точки Х19 Х2, . . . , Хп^ пересечения этих прямых
с отрезком ЛВ.

Отрезки АХ19 ХгХ29 ... , Хп-1 В — искомые.

12.	Образ фигуры при гомотетии. Построить образ треуголь-
ника ЛВС при гомотетии, заданной центром О и парой соответст-
венных точек М и Мх (рис. 158).

213

I СМ|О|
a___

ь

a

Построение. 1) Построим образ Лх точки А при данной
гомотетии Но (| Л| = | OMJ : 10Л4|).

а)	построим прямую ОА;

б)	построим прямую МА;

в)	построим прямую I, проходящую через Mi и параллельную
(Л4Л) (построение 9);

г)	отмечаем точку At пересечения прямых ОА и I, Лх = Но(А).

2) Построим Вх = Но (В);

а)	построим прямую ОВ;

б)	построим прямую р, проходящую через Лх и параллельную
(АВ);

в)	отмечаем точку Вх = р f| (ОВ), Вг = Но (В).

8. Построим = Но (С) аналогично пункту 2).

△ Л^б?! — искомый.

13.	Четвертый пропорциональный отрезок. Даны отрезки, дли-
ны которых а, Ь, с. Построить отрезок длины х, чтобы была верна
пропорция а : b = с : х (рис. 159).

Построение. 1) Построим угол MON (MON < 180°).

2)	На луче ОМ откладываем отрезки ОА и ОВ, длины которых
соответственно равны а и Ь.

3)	На луче ON откладываем отрезок ОС длины с.

4)	Построим прямую АС.

5)	Построим прямую р, проходящую через точку В и парал-
лельную (Л С) (построение 9).

6)	Отмечаем точку D пересечения прямой р и луча ON.

Отрезок OD — искомый.

14.	Средний пропорциональный отрезок. Построить отрезок,
средний пропорциональный между отрезками, длины которых
равны а и b (рис. 160).

Построение. 1)На произвольной прямой р от точки М € р
последовательно откладываем отрезки MN и NK, длины которых
соответственно равны а и Ь.
Рис. 161

2)	Построим середину О отрезка Л4К (построение 1).

3)	Построим полуокружность с диаметром МК.

4)	Построим перпендикуляр q к прямой МК, проходящий
через точку N (построение 4).

5)	Отмечаем точку С пересечения полуокружности и прямой q.

Отрезок NC — искомый.

Примечание. Построение 14 можно выполнить на основе
другой теоремы (см. с. 209, пункт 4, 1).

15.	Касательная к окружности, а) Построить касательную
к данной окружности (О; г), проходящую через данную точку С,
которая принадлежит этой окружности (рис. 161, а).

Построение. 1) Построим прямую ОС.

2) Построим перпендикуляр р к прямой ОС, проходящий через
точку С (построение 4).

Прямая р — искомая касательная.

б) Построить касательную к данной окружности (О; г), про-
ходящую через данную точку С, при условии |ОС\ > т (рис. 161, б).

Построение. 1) Построим середину S отрезка ОС (построе-
ние 1).

2)	Построим окружность (S; |SO|).
3)	Отмечаем точки М и N пересечения данной и построенной
окружностей.

4), 5) Построим прямые р = (CM), q = (CN).

Прямые р и q — искомые касательные.

16.	Окружность, описанная около треугольника. Около дан-
ного треугольника АВС описать окружность (рис. 162).

Построение. 1), 2) Построим серединные перпендикуляры
р и q к отрезкам АВ и АС (построение 1).

3)	Отмечаем, точку S = р (] q.

4)	Построим окружность (S; |5Л |). Эта окружность — искомая.
Примечание. {S) — множество всех точек, равноудален-
ных от вершин данного треугольника.

17.	Окружность, вписанная в треугольник. В данный треуголь-
ник АВС вписать окружность (рис. 163).

Построение. 1), 2) Построим биссектрисы р и q углов
ВАС и АВС (построение 3).

3)	Отмечаем точку S = р П ?•

4)	Построим перпендикуляр I к прямой АВ, проходящий через
точку S (построение 4).

5)	Отмечаем точку М = I f) [Л В].

6)	Построим окружность (S; |SM|). Эта окружность — искомая.

Примечание. {S} — множество всех точек треугольника,
одинаково удаленных от его сторон.
ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИИ

Треугольники

Сумма внутренних углов: А + В + С = 180°.

Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника

АВС, С = 90°):

с2 = а2 + Ь2.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного тре-
угольника АВС (С = 90°):

а — с sin А, Ъ = с cos А, с= —а = b tg А.
sin А

Теорема косинусов: а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos А.

Теорема синусов: —= —Ь— = —= 2R.
sin A sin В sin С

Площадь: S = —, S = — fee sin Д,
2	2

S — Ур{р — а) (р — Ь)(р — с), где р = - — —— (формула Герона).

Многоугольники

Сумма внутренних углов п-угольника: 2d (п — 2).

Средняя линия трапеции: т = (а ч b — основания).

Площадь параллелограмма: S — ah, S = ab sin а (а и b — сто-
роны, а — угол параллелограмма, h — высота).

Площадь трапеции: S = h, S — tnh (h — высота трапеции).

Сторона вписанного правильного п-угольника:

180°

a„ = 2/?sin---- (7? — радиус описанной окружности).

п

Сторона вписанного правильного шестиугольника: aQ — R.

Сторона вписанного квадрата: о4 =

Сторона вписанного правильного треугольника: а3 —

п
Площадь правильного многоугольника:

S==yPr (Р— периметр, г — апофема).

Окружность и круг

Длина окружности: С = 2л/?.

п	о » nRn

Длина дуги в п : I =

Площадь круга: S = л/?2, S =
4

Площадь кругового сектора: S = (а — величина дуги
в градусах).

Векторы и координаты

Правило треугольника: АВ 4- ВС = АС.

Правило многоугольника: А А, + ЛХЛ2 + . . . 4- Лп_гЛп = АА„.
- >	—" >	►

Формула вычитания векторов: ОВ — О А = АВ.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам а и b
на плоскости: с — ха 4- yb.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам а, Ь, с:
d = ха + yb + гс.

Скалярное произведение ненулевых векторов:

а • Ь = |а| • |b| cos (а, Ь).

Сложение и вычитание векторов в координатах:

а ± b = (х, + х2; у, + у2; гх ± г2).

Умножение вектора на число в координатах:

ра = (рх; ру, рг).

Скалярное произведение в координатах:

а • b = xtx2 4- уху2 4- ztzt.

Длина вектора: |а| = V^a2 = jAx2 4- у2 4- г2-

Расстояние между двумя точками Л (xi, yi, zt) и В (х2, у2; г2):

I АВ | = V (х8—х1)24-(ув—У1)24-(г2—гх)«.

Уравнение плоскости, проходящей через точку Л (х2, yi, zt)
и перпендикулярной вектору п = (а; Ь\ с):

а (х — хх) 4- Ъ (у — уО 4* с (г — г,) = 0.
Уравнение сферы с центром О (0; 0; 0) и радиусом R:
х2 4- у2 + z2 = /?2.

Многогранники

Площадь боковой поверхности призмы: 5бо:< = Р • I.

(Р — периметр перпендикулярного сечения, I — боковое ребро).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

5б<ж = у Р • Лзо« (Р — периметр основания, Лзок — апофема),

5б<ж = -0— (Q — площадь основания, а — угол между боковой
cos а

гранью и плоскостью основания).

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:

$бок = ~ (Р 4~ Р1) • /'бок

(Р и Pi — периметры оснований, ftj0K — апофема).

Площадь ортогональной проекции многоугольника:

Sx = S cos <p

(ф — угол между плоскостями многоугольника и его проекции).

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = abc (а, Ь, с — из-
мерения).

Объем призмы: V = QH (Q — площадь основания, Н — высота).

Объем пирамиды: V — у QH (Q — площадь основания, И —
высота).

Фигуры вращения

Площадь боковой поверхности цилиндра: $бок = 2nRH.

Площадь боковой поверхности конуса: £б<ж = nRL(L — обра-
зующая).

Объем цилиндра: V = nR*H.

Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной
трапеции:

ь

V = л J Р (х) dx.
а

Объем конуса: V = у л /?2 Н.

Объем шара: V = у л7?8.

Площадь сферы: S = 4л7?а.
ПРИЛОЖЕНИЯ

ТЕОРЕМЫ О КОНГРУЭНТНОСТИ ФИГУР (к § 31)

Теорема 1. Любые два луча конгруэнтны.
Доказательство. Рассмотрим два случая.

1)	Данные лучи h и имеют общее начало О (рис. 164). Прове-
дем прямую Z, содержащую биссектрису угла (/i, ftj1. Симметрия St

Рис. 166

220

отображает луч h на луч

2)	Пусть лучи h и имеют разные
начальные точки О и О1 (рис. 165).
Рассмотрим симметрию относительно
произвольного серединного перпенди-
куляра отрезка ООХ: S/t (О) = Ох,
S/t(/i) = h'. Если h' = h19 то теорема до-
казана. Предположим, что h' =/= ht. Сим-
метрия относительно прямой 12, содер-
жащей биссектрису угла (h', h^, отоб-
ражает луч h' на луч hv. Итак,

(S/2 ° SZ1) (Л) = /ix. 
Замечание. Если лучи h и
лежат в одной плоскости 0, ю можно
указать перемещение F, которое отоб-
ражает h на h19 а плоскость 0 на себя.
Для этого достаточно выбрать тот се-
рединный перпендикуляр 119 который
содержится в 0 (см. доказательство тео-
ремы 1).

Теорема 2.Если на границах двух
полуплоскостей а и заданы соответ-
ственно лучи h и hi, то существует
перемещение, отображающее h на hi
и а на ах.

Доказательство. 1) Рассмот-
рим сначала тот случай, который встре-
чается в планиметрии: данные полу-
плоскости лежат в одной плоскости 0
(рис. 166). Согласно теореме 1 суще-

1 Угол, стороны которого лучи h и hl9
здесь обозначается (h, Лх).

।
ствует такое перемещение F,
что F (Л)= h19 при этом F(a)=a'.
Можно считать, что а' с р
(см. замечание к теореме 1).
Если az = ап то теорема дока-
зана. Предположим, что а'У= «х*
В последнем случае полуплос-
кости а' и аг симметричны отно-
сительно прямой /, содержащей
луч Тогда композиция S, о F
отображает й на и а на аР

2) Пусть данные полуплос-
кости не лежат в одной плос-
кости. Луч, дополняющий луч
до прямой, обозначим через hz.
Существует такое перемещение
Fl9 что Fi (h) = h' (теорема 1).
Пусть Fi (а) = az (рис. 167).
Из начальной точки Ог луча
h' в полуплоскостях а' и
проведем соответственно лучи Г
и 4, перпендикулярные лучу h'.
Затем проведем прямую /, со-

Рис. 168

держащую биссектрису угла

(Г, 4). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости
луч h' перпендикулярен плоскости угла (Г, 4), отсюда h' ± /.
Имеем: (/iz) = hlf Sz (/') = llt тогда Sz (a') = at. Следовательно,
композиция Si о Fi отображает h на hx и a на »i.||

Теорема 3. Если длины трех сторон одного треугольника
соответственно равны длинам трех сторон другого треугольника,
то такие треугольники конгруэнтны.

Доказательство. Пусть у треугольников АВС и
длины сторон соответственно равны: |ЛВ| = 1/4x241, |ЛС| = lACxI,
| ВС| = |B^i| (рис. 168). Прямая АВ — общая граница двух по-
луплоскостей. Обозначим через а ту из них, которая содержит
точку С. Аналогично, прямая ЛхВх — общая граница двух полу-
плоскостей. Пусть ах — та из них, которая содержит точку Q.
Существует перемещение F, отображающее полуплоскость а на
полуплоскость ах так, что образом луча АВ является луч AiBi
(теорема 2). По условию |АВ\ = |ArBi|, отсюда F (В) = В±. Пусть
F (С) = Cz. Возникает вопрос: различны точки Cz и С± или сов-
падают? Предположим, что эти точки различны. Рассмотрим
точку С", симметричную Cz относительно прямой ЛхВх» тогда
△ AiCMBi симметричен треугольнику ЛхС'Вх относительно (АХВ^.
Всякое перемещение сохраняет расстояния, поэтому |ЛхС*| =
= lAjCJ и |ВхС"| = |BiCx|, т. е. каждая из точек Лг и
s

Рис. 170

Bi равноудалена от концов отрезка CiC”. Отсюда (Л 1в1) есть се-
рединный перпендикуляр отрезка С^”. Другими словами, точки
Cj и С* симметричны относительно прямой ArBi. Получили, что для
точки С” существуют две различные симметричные точки С' и Q
относительно (AiBJ. Это невозможно. Следовательно, С' = Сх,
Г(Д АВС)= △ А1В1С1 и △ A^i Д АВС. 

Остальные признаки конгруэнтности треугольников, известные
из планиметрии, можно доказать, пользуясь теоремой 2.

В планиметрии была принята аксиома подвижности плоскости.
Для пространства верно аналогичное предложение: если |АВ\ =
= HxBjJ, |ЛС| = MiCJ, \ВС\ = IBiCJ и точки Л, В, С не при-
надлежат одной прямой, то существуют два и только два перемеще-
ния, каждое из которых отображает точки Л, В, С соответственно
на точки Ац В19 Сг.

Существе ванне одного такого перемещения F вытекает из при-
знака конгруэнтности треугольников по трем сторонам (теоре-
ма 3). Вторым перемещением является композиция Sai о F, где
ai = HiBiCi).

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ1 (к § 26)

Пусть даны ось /, направление которой определяется единич-
ным вектором е, и вектор АВ (рис. 169). Точки А± и Вх являются
соответственно проекциями точек Л и В на прямую I: [АЛх] ± I и
[BBJ ± I. Докажем, что
 ' ► • ►	—>

AtBt = |ЛВ| cos ф -е,
где

Ф = (АВ, е).

В самом деле, векторы А1В1 и е коллинеарны, поэтому сущест-
 >	—►

вует такое число х, что ЛХВХ = хе. Найдем это число. По

1 В этом случае осью мы называем прямую, на которой с помощью еди-
ничного вектора задано направление.
правилу многоугольника хе = ЛХЛ + АВ + ВБХ. Умножив обе
части этого равенства на е, получим:

х = АВ • е, или х = |ЛВ| cos <р.

Тогда

 > ► -►
Л1В1 = |ЛВ| cos <р • е.

Величина |ЛВ | cos <р называется проекцией вектора АВ на ось I.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ ДЛЯ ТРЕХГРАННОГО УГЛА (к § 40)

Теорема. Косинус плоского угла трехгранного угла равен
произведению косинусов двух остальных плоских углов, сложен-
ному с произведением синусов тех же углов и косинуса двугран-
ного угла, определяемого этими плоскими углами:

cos а = cos р cos у + sin Р sin у cos А.

Эта теорема носит название «теорема косинусов для трехгран*
ного угла».

Доказательство. На ребрах данного трехгранного угла
SABC (рис. 170) отложим единичные векторы:

5Л = ех, SB = е2, SC = е3.

Проведем отрезки ВМ и CN перпендикулярно прямой 5Л,

тогда (MB, NC) — А.

Для углов из промежутка ]0°, 180°[ имеем:

|АГС| = sin Р, \МВ\ = sin у.

Кроме того, по свойству проекции вектора на ось
 > -*•  ►	-►

SN = cos Р elt SM = cos у et.

По правилу сложения векторов:

е3 = SW + NC = ех cos р + NC,

е2 = SM + МВ = ех cos у + МВ.

Перемножим скалярно эти два равенства, учитывая, что

NC ± ех и МВ ± ех. Получим:

->	—►	-»	——► — >

е3 • ea — cos р cos у ехЛ + NC  МВ.

Итак,

cos а = cos р cos у + sin Р sin у cos А. 
Приведем примеры применения теоремы косинусов.

223

’ч®1
Задачи

1.	С помощью теоремы косинусов для трехгранного угла доказать тео-
рему 24 и следствие из этой теоремы (§ 41).

Решение. Рассмотрим трехгранный угол SABC (рис. 170). Докажем,
что Р + у > а > |р —у|. Воспользуемся теоремой косинусов:

— cos а — cos р cos у
COS А = ----;——---------.

sin р sin у

Так как 0° < А < 180°, то —-1 < cos Л < 1, или

cos а — cos Р cos у
— 1 < ------Г-ТГТ------- < 1.

Sin Р siny

Произведение sinР sin у положительно, поэтому из предыдущего неравенства
следует:

—sin Р sin у < cos а — cosp cos у < sinP sin у.

Отсюда cosP cos у — sinР sin у < cos а < cosP cos у + sinP sin у, т. e.

cos (P + у) < cos а < cos (P — у).	(1)

Косинус — четная функция. Поэтому cos (Р — у) — cos |Р — у|. В промежут-
ке [0°, 180°] косинус монотонно убывает, поэтому при условии Р + у 180°
из (1) следует неравенство Р + у > а > |Р — у|. Если жеР + у > 180°, то
последнее неравенство и подавно выполняется.

2.	1) Величины плоских углов трехгранного угла равны 60°, 90Q, 120°.
Найдите величины его двугранных углов.

2)	Два плоских угла трехгранного угла равны 30° и 90°, двугранный
угол между ними прямой. Найдите остальные двугранные углы.

Ответ. 1) = 54°44', ~ 109°28',	125°16/; 2) zs 26а34', = 98°35'.

3.	У трехгранного угла величины двух плоских углов равны. Докажите,
что величины противолежащих им двугранных углов равны.

4.	Трехгранный угол имеет два конгруэнтных плоских угла, третий
плоский угол — прямой. Докажите, что двугранный угол, противолежащий
прямому плоскому углу, не может быть острым.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ТРЕХГРАННОГО УГЛА (к § 41)

Теорем а.Необходимым и достаточным условием сущест-
вования трехгранного угла с данными плоскими углами а, 0, у,
принадлежащими промежутку ]0°, 180° [, является выполнение
неравенств:

|₽-Y|<a<₽ + Y (О и « + 0 + у<36О°.	(2)

Доказательство. 1) Необходимость. Если существует
трехгранный угол с плоскими углами а, 0, у, то согласно теоремам
§ 41 неравенства (1) и (2) имеют место.

2) Достаточность. Пусть плоские углы а, 0, у удовлетворяют
неравенствам (1) и (2). Нужно доказать существование трехгран-
ного угла с плоскими углами а, 0, у.

Рассмотрим два случая.

а)	0 + У С 180°. В промежутке [0°, 180°] косинус монотонно
убывает, поэтому из неравенства (1) следует неравенство
cos (0 + у) <cos a < cos |0 — у|. Пользуясь четностью косинуса,
опустим знак модуля, затем применим фор-
мулы тригонометрии: cos р cos у—sin р siny<
< cos а < cos р cos у + sin р sin у. Так как
sin р sin у > 0, из последнего неравенства
следует:

। cos а — cos р cos 7 <
sin Р sin у

Это неравенство показывает, что сущест-

вует двугранный угол (0° < А < 180°),
такой, что

cos а — cos Р cos 7

cos А =------т-Q—.------W

sin р sin 7

S

Рис. 171

Построим трехгранный угол по двугранному углу и заклю-
чающим его плоским углам Р и у (рис. 171). Третий плоский
угол этого трехгранного угла обозначим ах. По теореме коси-
нусов

cos = cos р cos у + sin р sin у cos А.	(4)

С другой стороны, из равенства (3) имеем:

л

cos а = cos р cos у + sin р sin у cos А.	(5)

Из (4) и (5): cos = cos а, отсюда = а. Итак, построенный
трехгранный угол имеет плоские углы а, Р, у.

б)	Р + У > 180°. Из неравенства (1) |Р — у| < а, а из неравен-
ства (2) а< 360°—(Р+у), тогда |Р—у| < а < 360°—(Р+у) (6).
Заметим, что 360°—(Р+у)< 180°. Пользуясь монотонностью ко-
синуса в промежутке [0°, 180°], из неравенства (6) получим:
cos |Р — у | > cos а > cos (360° — (Р+а)), или cos (Р—у) > cos а>
> cos (Р + у). Дальнейшие рассуждения проводятся, как и в
случае а). 

СВОЙСТВА ПЛОСКИХ УГЛОВ МНОГОГРАННОГО УГЛА (к § 41)

Теорема. Величина каждого плоского угла многогран-
ного угла меньше суммы величин остальных его плоских углов.

Доказательство проведем методом математической индукции.
Для трехгранного угла теорема верна (§41, теорема 25). Пред-
положим, что она верна для n-гранного угла, и докажем ее
истинность для (л + 1)-гранного угла (рис. 172). Пусть ая+1 —
наибольший плоский угол этого многогранного угла. Требуется
доказать, что ая+1 <	+ а2 + ... + ая.

Обозначим A^SA^ = Р; по предположению для л-гранного
угла SAxA2 . . . А^А^ имеем:

8 Заказ № 210.

“л+1 < «1 + «2 + . . . + а„_2 + р.

0)

225-

I ’ ЦТ^1
Но в трехгранном
л_ ХЛ пА я+1:

₽ < «п-1 +

Из неравенств (1)
следует:

угле

(2)
и (2)

ал+1 < «х+а2+. . . + ая_2+
+ «л-i + ал. gj

Теорема. В многогран-
ном угле сумма величин пло-
ских углов меньше 36(Р.

Доказательство, как и
выше, проведем методом ма-
тематической индукции.

Для трехгранного угла
теорема верна (§ 41). Пред-
положив, что теорема верна
для n-гранного угла, дока-
жем ее для (п + 1)-гранного
угла.

Пусть дан (п + 1 Игран-
ный угол 5ЛХЛ 2 . . . Ля+Х с
плоскими углами ап а2, . . .
... ,ая, ая+1 (рис. 173). Плос-
кости углов ах и ая имеют об-
щую точку S, поэтому они

пересекаются по прямой а,
проходящей через S. Точка S разбивает прямую а на два луча.
Один из этих лучей и данный многогранный угол лежат по разные
стороны плоскости угла ая+1. Этот луч обозначим £Л. Рассмотрим
выпуклый n-гранный угол ХЛЛ2 . . . Ля. Величины плоских углов

таковы: (Л5ЛХ+ ах), а2, аз, • • • > ая_х, («я+ Ля+х5Л). По предпо-
ложению для этого n-гранного угла теорема верна, т. е. (Л£Лх+ах)+
Ч-а2+а3+. . . +(ая+Лл+х5Л) <360°, или ах + а8 + . . . + ал+
+ (Л5ЛХ+ Ля+15Л) < 360°. Но по предыдущей теореме для трех-
гранного угла 5ЛЛхЛя+х имеем: Л5ЛХ + Лл+15Л >а2+х, тогда
и подавно ах + а2 + . . . + ал+х < 360°. И

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО (к гл. V и VI)

Многогранники и некоторые фигуры вращения можно рас-
сматривать как частные виды геометрических тел. Понятия гео-
метрического тела и его поверхности можно ввести следующим
образом.
Рис. 174

Рис. 175

Рассмотрим в пространстве фигуру Ф (на рисунке 174 для
простоты изображено лишь ее пересечение с некоторой плоско-
стью). Точка А, принадлежащая фигуре Ф, называется ее внут-
ренней точкой относительно пространства, если существует такая
положительная величина г, что все точки пространства, расстоя-
ния которых до точки А меньше г, принадлежат Ф. Не следует
думать, что каждая фигура имеет внутренние точки относительно
пространства. Например, отрезок или треугольник не имеют ни
одной такой точки.

Фигуру Ф называют открытой пространственной областью,
если каждая ее точка является внутренней и любые две ее точки
можно соединить ломаной, содержащейся в Ф (рис. 174). При-
мером открытой пространственной области может служить про-
странство, открытое полупространство (§ 4) или внутренняя
область многогранного угла (§ 40). Точка В (рис. 174) называется
граничной точкой открытой области Ф, если для любого г> 0
среди точек, находящихся от В на расстоянии, меньшем г, су-
ществуют точки, принадлежащие этой области, и точки, не при-
надлежащие ей. Множество Р (рис. 174) всех граничных точек
открытой области называется границей области. Например, гра-
ницей открытого полупространства является плоскость (§ 4),
границей внутренней области трехгранного угла (§ 40) служит
объединение всех его граней.

Объединение открытой пространственной области Ф и ее гра-
ницы Р (рис. 174) называется замкнутой пространственной об-
ластью. Примерами замкнутых областей могут служить замкнутое
полупространство, двугранный или трехгранный угол.

Фигура называется ограниченной, если существует такая
величина /?, что расстояние между любыми двумя точками дан-
ной фигуры меньше R. Примером ограниченной плоской фигуры
является треугольник, примером неограниченной неплоской фигу-
ры служит трехгранный угол.

Определение. Ограниченная замкнутая пространственная
область называется телом.

Множество всех внутренних точек тела называют внутренней
областью тела, а границу этой области — поверхностью тела.

Примерами геометрических тел могут служить призма, пира-
мида, конус, шар и т. д. Трехгранный угол телом не является,
так как для него не выполнено требование ограниченности. Су--^
8*	П 227
Рис. 176

ществуют тела, которые нельзя отнести
ни к многогранникам, ни к фигурам вра-
щения (рис. 175).

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА, ШАРОВОГО
СЕГМЕНТА И ШАРОВОГО СЕКТОРА (к гл. VI)

1. Задача 1. Найти объем усеченного
конуса, зная радиусы его оснований и

высоту.

Решение. Пусть усеченный конус получен при вращении
прямоугольной трапеции ОАВС (О = А = 90°) вокруг стороны ОА
(рис. 176). Введем обозначения: |ОА | = Н, |АВ| = R, |ОС| — г.
В плоскости трапеции зададим прямоугольную систему коорди-
нат с началом О и осью абсцисс ОА. Уравнение прямой СВ имеет
вид у = kx + b, где b = г, k = tg ср = ----- (рис. 176), т. е.

н

р__г

у = ----х + г. По формуле объема фигуры вращения (§ 66) имеем:

V = л

/? —г
Н

\2 t

х + г dx.

Выполнив интегрирование, получим формулу объема усечен-
ного конуса:

V = -nH(R2 + Rr + r2).

3

2. Рассмотрим круговой сегмент АСВ и диаметр CD, перпен-
дикулярный хорде АВ (рис. 177, а).

Фигура, полученная при вращении кругового сегмента вокруг
диаметра, перпендикулярного его хорде, называется шаровым
сегментом (рис. 177, б). При этом вращении дуга кругового
сегмента и его хорда образуют фигуры, которые называются
соответственно сегментной поверхностью и основанием шарового
сегмента. Отрезок КС диаметра (/< = [ЛВ] (] [CD]), вокруг кото-
xi)dx = —nH2 (3R-H).

3

рого производится вращение, называется высотой шарового сег-
мента, а также сегментной поверхности.

Задача 2. Найти объем шарового сегмента, зная его высоту
и радиус шара.

Решение. Рассмотрим полукруг с центром А и диаметром
|0В| = 2R. В плоскости полукруга введем прямоугольную систему
координат с началом О и осью абсцисс ОА (рис. 178). Пусть 7V —
проекция точки М полуокружности на прямую ОА. При вращении
данного полукруга вокруг оси абсцисс получим шар, а криволи-
нейной трапеции OMN — шаровой сегмент, высота Н которого
равна | ON\. Уравнение окружности (Д; /?) имеет вид:

(х — R)2 + у2 = R2, или у2 = 2Rx — х2.	(1)

Пользуясь уравнением (1) и интегральной формулой объема
фигуры вращения (§ 66), находим объем шарового сегмента:

н	н

V = л J y2dx = л J
и	и

Итак,

У = улЯ2(37? — Н).

3.	Шаровым сектором называют фигуру, полученную при вра-
щении кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его
граничных радиусов (рис. 179, а, б). Дуга кругового сектора обра-
зует при этом вращении сегментную поверхность.

Задача 3. Найти объем шарового сектора, зная радиус шара
и высоту сегментной поверхности.

Решение. Пусть шаровой сектор получен при вращении
кругового сектора АОС вокруг диаметра CD (рис. 179, а). Вве-
дем обозначения: |С7<| = /7, |/<Л| = г, |ОД| = R. Объем шаро-
вого сектора, содержащегося в полушаре, равен сумме объемов
конуса и шарового сегмента (рис. 179, б):

v = VK0H + V£erM = 1 лг2 (R - Я) +1 лЯ2 (3R - Н).

О	о

Рассматривая треугольник ACD, получим г2 = Я (2/? — Я), по-

этому

V = - лЯ (2R — Я) (Я—Я) +
3

+ -лЯ2(ЗЯ —Я).

3

После раскрытия скобок и
приведения подобных членов
получим формулу объема ша-
рового сектора:

V = - лЯ2Я.

3

Рис.
Эта формула верна и для шарового сектора, содержа-
щего полушар. Докажите это самостоятельно, рассмотрев разность
объемов шара и шарового сектора, дополняющего данный шаровой
сектор до шара (рис. 179).

Задачи

1.	Объем усеченного конуса вычислили, умножив площадь среднего сече-
ния на высоту. С недостатком или избытком получили приближенное значе-
ние? Какова относительная погрешность, если R : г = 2 : 1?

Ответ: с недостатком, 3,57%.

2.	В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендику-
лярны, образующая равна I и составляет с плоскостью основания угол а.
Найдите объем.

Ответ: — л/3 sin а (2 — cos 2а).

3.	Дана четырехугольная пирамида, в которую можно вписать конус.
Докажите, что суммы противоположных плоских углов при вершине пирами-
ды равны.

4.	Найдите объем шарового сегмента, в осевом сечении которого хорда
длиной а стягивает дугу а. Вычислите при а = 6 см, а = 120Q.

а /	а \

ла'3 tg — 2 4- cos —

4 \	2 /

Ответ: --------t-----------~ 27,2 слР

24 ^1 + cos у)

5.	Круговой сегмент с хордой а вращается вокруг диаметра, параллель-
ного этой хорде. Докажите, что объем фигуры вращения не зависит от ради-
уса дуги сегмента.

6.	Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит
конус на две части, имеющие равные объемы. Найдите угол при вершине
осевого сечения конуса.

Ответ: 2 arccos	100° 20'.

8

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА, КОНУСА И ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
(к гл. VI)

При введении понятий площади боковой поверхности цилиндра,
площади боковой поверхности конуса и площади сегментной по-
верхности можно применить такой же способ, который исполь-
зовался для площади сферы (§ 69).

1.	Пусть цилиндр получен при вращении прямоугольника ABCD
вокруг прямой CD (рис. 180). Тогда его радиус R и высота Н
соответственно равны | С А | и |СО|. Дадим радиусу R прира-
щение Д/?, оставив высоту Н без изменения. При этом объем V
цилиндра получит приращение ДУ (ДУ — объем фигуры, получен-
ной при вращении прямоугольника ВВ^А, стороны которого
имеют длины Д/? и И).

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел
отношения приращения объема цилиндра к приращению радиуса,
когда приращение радиуса стремится к нулю'.

S = lim	(1)

дя-.!) ДЯ	'

I'-

mathedu.ru
Из формулы (1) вытекает, что для на-
хождения площади боковой поверхности
цилиндра достаточно найти производную
от его объема по радиусу. Формула объема
цилиндра имеет вид: V — лR2 Н. В рассма-
триваемом случае Н постоянная, поэтому

S = V' = (лГУНУ = 2л/?//.

Итак, площадь боковой поверхности
цилиндра вычисляется по формуле

-$бок = ZnRH.

Площадь полной поверхности цилиндра
получим, прибавив к площади его боко-
вой поверхности удвоенную площадь ос-
нования:

5ЦИЛ = 2л/?В + 2л/?2 = 2л/? (Н + /?).

2.	Пусть конус получен при вращении
прямоугольного треугольника А ВО (АОВ =
= 90°) вокруг прямой АО (рис. 181). Тогда
его радиус /? и образующая L соответст-
венно равны |ОВ| и |ДВ|. Проведем
[ВС] ± [ДВ], где С € (ДО). Ниже будет
показано, что объем фигуры, полученной
при вращении треугольника АВС вокруг
прямой ДС, можно выразить через вели-
чину <р угла А ВО и длину р наибольшего
из отрезков, перпендикулярных [ДВ],

с концами на [ДВ] и (ДС) (таким отрезком является [ВС]).

Дадим р приращение Др, оставив величину <р без изменения.
При этом объем V^abc получит приращение ДУ, где ДУ — объем
фигуры, полученной при вращении прямоугольника ДД1В1В, сто-
роны которого имеют длины Др и L (рис. 181).

За площадь боковой поверхности конуса принимается предел
отношения приращения объема V^abc к приращению наибольшей
нормали образующей конуса, когда приращение этой нормали
стремится к нулю:

S = lim —.	(2)

Др-»9 Др

Из (2) вытекает, что для нахождения S достаточно найти произ-
водную УдЛВС по наибольшей нормали р.

Выразим УдЛВС через р и <р:

Удлвс = ИдОвл + ИдОВС=4-л1О51а-|°л1 + -п1ОВ12 ‘ 10с| =
3	3

= 1«|ОВ|2.|ДС|.

О
Рис. 182

Из треугольников АВС и ВОС находим:

| АС | = ——, | ОВ | = р sin ф.
cos ср

Тогда УдЛВС = 1 л р8 sin ф tg ф.

О

В рассматриваемом случае ф — постоян-
ная, поэтому согласно определению

SMB] = V\abc = (7пР3 sin ЧР tg =

= лр2 sin ф tg ф.

Но р sin ф = R и р tg ф = L. Тогда 5(ЛВ] =
= ixRL.

Итак, площадь боковой поверхности ко-
нуса выражается формулой:

*$бок ~ %lRL,

Площадь полной поверхности конуса получим, прибавив к пло-
щади его боковой поверхности площадь основания:

SK0H = nRL + л/?2 = nR (L + R).

3.	Пусть дан полукруг с центром О и диаметром |ЛВ| = 2R
(рис. 182). На его полуокружности возьмем произвольную точку Л4,
соединим ее с центром О и проведем [7H7V]± [ЛВ]. Рассмотрим
вращение данного полукруга вокруг оси ЛВ. Круговой сектор
МОА образует при этом шаровой сектор, а его дуга — сегмент-
ную поверхность, высота которой |AN| = Н. Дадим радиусу R
приращение Д/?, тогда объем шарового сектора получит прира-
щение ДУ, где ДУ — объем фигуры, полученной при вращении
части кругового кольца AAXMXM.

За площадь сегментной поверхности принимается предел отно-
шения приращения объема шарового сектора, соответствующего
этой сегментной поверхности, к приращению радиуса, когда при-
ращение радиуса стремится к нулю:

S - lim

А/?

Из определения следует, что для нахождения площади сег-
ментной поверхности достаточно найти производную от объема
шарового сектора по радиусу.

2

В формулу объема шарового сектора V = —nR2H входят пе-
ременные R и И. Чтобы получить функцию одной переменной R,
введем угол ф = МОА, который сохраняет свою величину при
изменении радиуса. Имеем: Н — \ОА | — \ 0N\ = R — R cos ф =
2

= R (1 —cos ф), тогда V= —л/?3 (1 — cos ф). Пользуясь этой фор-
3
мулой, находим:

S = V' = 2л/?2 (1 — cos <р) = 2лRH.

Итак, площадь сегментной поверхности вычисляется по фор-
муле:

S = 2nRH.

Задачи

1.	Вычислите площадь части земной поверхности, которую может видеть
космонавт при выходе из космического корабля на высоте 300 км над по-
верхностью Земли.

Ответ: ss 11,5 млн. км2.

2.	Докажите, что площадь сегментной поверхности выражается форму-
лой S = л (г2 + Я2), где г — радиус основания поверхности, Н — ее высота.

3.	Плоскость рассекает поверхность шара на части, отношение площадей
которых равно т : п. Найдите отношение объемов получившихся частей шара.

т2 (т + Зп)

Ответ: -------------.

п2 (п + 3m)

4.	Найдите объем шарового сектора, у которого площадь сферической
поверхности равна S, а конической поверхности Q.

Vs (4^ + S2)

Ответ: -----------.

6

СИСТЕМА АКСИОМ ГЕОМЕТРИИ, ПРЕДЛОЖЕННАЯ Г. ВЕЙЛЕМ

Курс геометрии может быть построен на основании аксиомати-
ки, отличной от той, которая принята в нашем пособии. Одна
из таких систем аксиом основана на неопределяемых понятиях
«вектор», «точка», соответствии «пара точек — вектор», а также
на действиях сложения векторов, умножения вектора на дей-
ствительное число и скалярного умножения векторов. Векторы,
точки и действия над ними удовлетворяют следующим группам
аксиом.

I группа. Аксиомы сложения векторов

Каждым двум векторам а9 b однозначно сопоставляется вектор,
называемый их суммой и обозначаемый через а + Ь.

11в (а 4- Ь) + с = а + (Ь + с) — для любых трех векторов.

12.	а b = Ь + а — для любых двух векторов.

13.	Существует такой вектор 0 (нулевой вектор), что а + 0 = а
для любого вектора а.

14.	Для любого вектора а существует такой вектор Ь, что
а + Ь= 0 (b — вектор, противоположный а9 его обозначают — а)*

233

ll^lol
II группа. Аксиомы умножения вектора на число

Каждому вектору а и каждому действительному числу k од-
нозначно сопоставляется вектор, называемый произведением век-
тора а на число k и обозначаемые через ka.

Пр 1 • а = а — для любого вектора а.

П2. k (la) = (kl) а — для любого вектора а и любых действи-
тельных чисел k и /.

П3. (k + /) а = ka + la — для любого вектора а и любых дей-
ствительных чисел k и I.

П4. k (а + b) = ka + kb — для любых векторов а и b и любого
действительного числа k.

Ill	группа. Аксиомы скалярного умножения

Каждым двум векторам а9 b однозначно сопоставляется не-
которое действительное число, называемое их скалярным произве-
дением и обозначаемое а • Ь.

ПЦ. а • b = b • а— для любых векторов а и Ь.

1П2. (а + Ь)-с=а • с 4- Ь- с — для любых трех векторов п, b и с.

Ш3. (ka) • b = k (а • Ь) — для любых двух векторов а и b и лю-
бого действительного числа k.

Ш4. а • а > 0 — для любого вектора а =# 0.

IV	группа. Аксиомы размерности

IVP Существуют три вектора а9 Ь9 с9 таких, что равенство
ka+lb+mc=0 выполняется только тогда, когда k=l=m=0.

IV2. Для любых четырех векторов а9 b9 с9 d выполняется
равенство ka + lb + тс + nd = 0 при неравных одновременно
нулю k9 19 т9 п.

V	группа. Аксиомы откладывания векторов

Задано непустое множество (пространство), элементы которого
называются точками. Каждой паре точек (А, В) однозначно сопостав-
 ►

ляется некоторый вектор, обозначаемый через АВ.

VP Для любой точки А и любого вектора а найдется такая
точка В9 что АВ = а.

V2. АВ + ВС = АС для любых точек А, В и С.
"	-*

V3. Если АВ = 0, то точки А и В совпадают.
Перечисленные 17 аксиом, разбитых на пять групп, составля-
ют систему аксиом, предложенную Г. Вейлем. Можно доказать,
что предложенные А. Н. Колмогоровым 14 аксиом, также разбитых
на пять групп и лежащих в основе нашего курса геометрии, могут
быть доказаны как теоремы на основе аксиоматики Вейля. С дру-
гой стороны, все аксиомы Вейля представляют собой теоремы в гео-
метрии, построенной на аксиоматике А. Н. Колмогорова. В курсе
VII и IX классов большинство вейлевских аксиом сообщалось
как свойства векторов, установленные соответствующими дока-
зательствами. Таким образом, указанные системы аксиом эквива-
лентны.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

2. 2) и 9) — аксиомы; 1), 3), 6), 7), 8) — теоремы; 4), 5), 10) — определения.

5. 1) Необходимо; 2) необходимо и достаточно; 3) необходимо; 4) необходимо
и достаточно. 6. 1) Нет; 2) нет. 7. 1) Да; 2) да; 3) нет. 8. 1) Да; 2) не обяза-
тельно. 10. 1) Не обязательно; 2) да. 12. Нет. 16. 1) и 2) Бесконечное мно-
жество; 3) одну или бесконечное множество; 4) одну или ни одной. 17. 1) Да;

2)	нет. 18. 2) Нет. 19. Да. 21. Нет. 22. Да; да; нет. 23. 1) 3; 2) 6;

3)	-------I 24. Нет; одна или три. 26. 1) а) а, б) U\ 2) б) Р = Q, а = 0.

27. 1) Одно; 2) бесконечное множество. 30. 1) 6а; 2) а2]ЛЗ. 32. 2) --

33. 2)

д2 т/’О

_—L_z_. 38. 1) Нет; 2) нет. 39. Прямые могут скрещиваться, пересе-

каться, совпадать. 40. Три. 41. Если А =/= В, то а || b или а — Ь\ если А = В,
то прямые а и b пересекаются или совпадают. 43. Нет. У казаки е. Прове-
дите доказательство от противного. 44. Необходимым и достаточным. 45. а || а
(в частном случае а с а). 46. (MN) II а. 47. 1) (CF) || а; 2), 3) (CD) и (DF) пере-
секают а, если шестиугольник не лежит в плоскости а; 4) (DE) || а. 48. 1) Нет;

2) да. 52. Прямые а и b скрещиваются или пересекаются. 54. 2)	58.

1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 60. Прямые с и b пересекаются, с _L.b или с || b
(с =/= Ь). 62. Нет. 63. 1) Три; 2) четыре;3) шесть. 66. Плоскость или 0. 67.2,5 см.
69. 4 (а + b +с). 70. 4) ADDXAV A^CJ^, ВСС^, ABCD. 71. Га /2,
fl8 VA. 75. 24 см. 76. У к а з а н и е. Через (AjA) и (СХС) проведите вспомога-
тельную плоскость. 77. 1) а и 0 пересекаются или а || 0(а =/=0); 2) а II 0(ау=
^=0). 78. 1) Нет; 2) нет. 81. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 85. а • b или а || b (а #= Ь).
86. Да. 89. 1) . . . равные длины; 2) да. 97. Три, две или одна. 98. Точкой.
99. 1) Плоскостью или прямой; 2) полуплоскостью, прямой или лучом; 3) уг-
лом, прямой или лучом. 101. Если эти прямые являются проектирующими.
103. 1) Пересекающиеся прямые, прямую; 2) пересекающиеся или параллель-
ные прямые, прямую и точку, не принадлежащую ей. 104. 1) Нет. 105. Объеди-

тр тд

некие трех или двух различных лучей, имеющих общее начало. 106.-, -.

p+qp+q

107. Это утверждение верно только для медианы. ПО. У к а з а н и е. Вос-
пользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса угла
треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные
прилежащим сторонам. 111. 1) Нет; 2) нет; 3) да. 117. 3) ?2	119. У к а з а-

64

н и е. Предварительно докажите, что основание искомого перпендикуляра
делит [BCJ в отношении (С^!2 : IBZJjJ2. 120. 1) Указание. Пусть М. —
искомая точка, тогда |ВЛ4| = [BBJ = — |ВА|. 121/^-----—. 122. Вер-

3	6	|- —
шинами параллелограмма. 123.1) Нет; 2) да; 3) да; 4) да; 5) да. 124. Да. 127. Прямые
могут пересекаться, a _l b или а || Ь. 128. Нет. 129. Пересекаются или парал-
лельны (a d «)• 135. 1) Да. 136. 1) Плоскости а и₽ пересекаются; 2) а || р.
137. Нет. 140. 1) Да; 2) нет. 142. 50 см или 10 см. 144. Плоскость, параллель-
ная данной плоскости. 148. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) нет. 149. 1) 1; 2) 1,2;
3) 1,3; 4) 1,4; 5) 2, 4, 5; 6) 2, 6.

ГЛАВА II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА. ВЕКТОРЫ

153.	1) Треугольник или отрезок; 2) трапеция или отрезок; 3) четырехуголь-
ник или треугольник; 4) шестиугольник, противолежащие стороны которого
соответственно параллельны, или параллелограмм. 154. Нельзя. 156. На себя
отображаются центр симметрии, а также прямые и плоскости, проходящие
через центр симметрии. 157. 1) Эта же центральная симметрия; 2) тождест-
венным преобразованием. 158. 1) /; 2) Е. 159. Да. Из того, что расстояния
сохраняются, следует, что образы двух любых различных точек различны.
160. 1) Да; 2) в общем случае нет. 161. 1) — 3) Сохраняет. 162. Указа-
ние. 1) Рассмотрите плоскость, проходящую через данную прямую и центр
симметрии; 2) возьмите на данной плоскости две пересекающиеся прямые и
примените признак параллельности двух плоскостей. 163. 1) Один; 2), 3), 4),
5) бесконечное множество; 6) один; 7) ни одного, если a ct Щ бесконечное
множество, если a cz а. 164. 1) Нет; 2) нет. 166. 1) Нет. 167. [АВ) fj [CD).
168. 1) 7; 2) 9; 3) 13; 4) 27. 174. 1) Вектором; 2) центральной симметрией.

175.	1) Да; 2) нет. 179. Да. 180. 1) а + Ь\ 2) а — д; 3) а — д. 183. 0.

184.	1) ЛС; 2) ЛВ; 3) 0. 185. 1) ЛСХ; 2) CDX; 3) BCf, 4) DrB. 190. Указа-
1 ►	 • ►

н и е. Воспользуйтесь равенством АВ — DC и формулой вычитания векторов.
 ►  ► " ►   ►

191. У к а з а н и е. Воспользуйтесь равенством ЛD + DB + ВС + С А = 0.
193. 1) k =± 1; 2) \k\ > 1; 3) \k] < 1. 194. 1) —1; 2) 2; 3) —0,5; 4) х не су-
ществует. 195. 1) —; 2)——^—; 3) —; 4)0. 196. 1) 0,5; 2)—1;

М	|а|	1о|

3) 2; 4) —3; 5) —6) — Д 197. (а + b) ff а. Если a ft то + *1 =
3	3

= |а| 4- р|; если а||д, то |а + д| = |а| — р|. 198.	+ F% + ZF^coscp.

203. 1) Компланарны; 2) некомпланарны; 3) компланарны; 4) некомпланарны.
204. 1) 1 • р + 0 •?; 2) 0 •	1-^ 3) 1 -р+1 •?; 4) 0,5р + 0,5^5) 1 -р+0,5^

->	->	->	1 ->	1 ->	Ю->	3	-

205.	1) 0,5а + 0 • Ь\ 2) 0,5а+ 0,5 Ь; 3) —а 4-Ь\ 4)—а +~Ь. Указание.

3	3	13	13

К обеим частям равенства АК = 0,ЗКВ примените формулу вычитания векто-
> 1 ——►	~ ►

ров. 206. У казани е. Воспользуйтесь равенствами ОЛ11 = —(ОА^ OBj) и

ОД42 = (ОЛ2 4" СВ2), где О— произвольная точка пространства. 207. Ука-
зание. Рассмотрите векторы, отложенные от точки пересечения продолже-
ний боковых сторон трапеции. 209. MiM2= —АС. 210. Если точки Лх, Blt Ct
о

лежат по одну сторону плоскости проекций, то — (а4~ b 4" с); если же плоскость
3

проекций отделяет точку Сх от точек Л! иВь то— 1 а 4- Ь — с| и т. п. 211.
3

1)	1 • р+О-7+Ьп 2) Ь р4-1^4-1т7 3) 0«р4-1-Й-0,5п 4) 1 -р+1 ^4-0,5^

237

I
5	_	__>	_> __>	_>.	_	.»

6)—р+1 <7+1 •г. 213. ОА = —ОВ—ОС+ЗОЛ4. 214. 1) 0,5а+0-6+0,5с;

2)	Ь?+(—1)6+1.?; 3) 1 -а—0,56+0,5? 215. DM = ^DA + ^-DB + —DC.

—>	3—>

Указание. К обеим частям равенства АМ =—МА19 которое вытекает из
условия задачи, примените формулу вычитания векторов. 216. Указание.
Примените формулу для точки пересечения медиан треугольника и правило
параллелепипеда. 217. 1) Нет; 2) (р? q) €[90Q, 180°]. 218. 1) 90° и 90°; 2) 135°
и 45°. 219. 1) а) Плюс; б) минус. 220. 1) —а2; 2) kb2. 221. 1) 0; 2) — у;
3) —222. 1) аг; 2) —2а8; 3) ±а2; 4) — уа2; 5) —а2; 6) а2; 7) у а2.

223.	с2. 224. 1) -i-(b2 + с2 — а2). 225. Указание. Докажите, что

1 1 1 1 1

(ОЛ 4- ОВ) 1 (ОА — ОВ). 226. 1) —а2-, 2) — уй2; 3) — —а2\ 4) ~а2\ 5) — у а2;

1	9	--------

6) —а2. 227. У казаки е. Векторы АВ и АС примите за основные.

228. ~ у^962+ а2. У к а з а н и е. К обеим частям равенства ~BD=3DA приме-
4

ните формулу вычитания векторов. 230. cos ср = 1/ —j~ osa . Указание,
г 5 —3 cos а	е рлу-

Воспользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника. 231. 1)

14

2)0; 3) j/y. 233. 1) rjz3 (1+ 2 cos ф); 2) = 22,4H. 234. =9600 кДж.
236. cos x = У2; 90°. 237. I) a 2)	240. Указание.

Примените правило треугольника. 242. Указание. Данные векторы отло-
жите от одной точки. 244. 1) а : tg 36°; 2)---. 246. Указание. Рас-

2 cos 18°

смотрите лучи, задающие направления данных векторов. 247. Указание.
 >  >  >

Достаточно доказать, что CC1=BB1+DDl, а затем применить правило тре-
угольника. 248. Указание. К каждому из данных треугольников приме-
ните формулу для точки пересечения медиан. Это позволит получить равенство
 ►	—► —-*	— ►

ЛЛ1+/>31+СС1=0, из которого следует компланарность векторов AAlt
- -► —►

BBlt Сс\ (по правилу треугольника). 250. Указание. К треугольнику
4

Л1В1С1 примените формулу для точки пересечения медиан. 255. 2) у = —.

5
256. Указание. Воспользуйтесь задачей 254. 257. Указание. При-
мените условие принадлежности трех точек одной прямой (задача 254).

259. 1) — У а2 4~ Ь2 4- *lab cos ф; 2) — У а2 4~ Ь2 — 2ab cos ф .

2	2

ГЛАВА III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

262. 1) Не может; 2) может. 265. 1) У 6; 2) У а2 — Ь2, нет. 266.

а II Ь.

267. Нет. 268. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 269. Необходимым и достаточным.

238	Их.
270. Нет. 273. 2)	278. 2) =56°48', ss56°48', 90°. 280. Плоскость,

перпендикулярная данной прямой. 281. 1) Нет; 2) да; 3) да. 282. —32 м.
283. 1) Прямой; 2) точкой. 284. 6 см\ 4,8 см. 285. 2) ——-, —— Ус2 — (а+ Ь)2.

a-}-b а + b

286. 1) 180° — или <р; 2) ^13,7 см или ^30,1 см. 287. — 19,2 см.
288. b и ]/2а2+ Ь2. 289. 1) Только точки, принадлежащие оси. 2) Прямые,
пересекающие ось под прямым углом, а также сама ось симметрии.
290. 1) I cz аи 2) I ± ах; 3) I — наклонная к ах. 292. Любая прямая, перпен-
дикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину. Плоскость, перпен-
дикулярная [АВ] и проходящая через его середину. 294. У к а з а н и е.
Рассмотрите перпендикуляр к плоскости фигуры, проведенный через центр
симметрии. 296. ~ 89 м. 297. 1) Расстояния равны 0,5 У а2 + b2 + 4d2; 2) 10 си
и — 8,9 си. 298. 1) Перпендикуляр к (ЛВС), проведенный через центр окруж-
ности, проходящей через данные точки; 2) 0. 299. 1) Плоскость а; 2) прямые,
лежащие в плоскости а, а также прямые, перпендикулярные а. 301. 1) Лю-
бая плоскость, содержащая отрезок, а также плоскость, проведенная через
середину отрезка перпендикулярно к нему; 2) любая плоскость, содержащая
прямую, а также любая плоскость, перпендикулярная прямой; 3) любая
плоскость, содержащая луч. 303. Указание. Предположите, что А^ а,
и докажите, что в таком случае точка At = Sa (А) является вторым центром
симметрии. 304. Да. У Казани е. Рассмотрите отличный от правильной
пирамиды тетраэдр ABCD: |АВ| = |ВС|, |AD| = |£)С|, |АВ| =# |AD|.

306. 1) Пересекаются; 2) нет. 308. 5 см и zx7,1 см. 310. Расстояния равны,
если прямая а проходит через проекцию точки М на плоскость а. В осталь-
ных случаях расстояние до прямой больше. 311. 1)	2)

1) 0,5 J/ro24-^24-4/i2; 2) j/12 — —а . 315. 1), 2) Перпендикуляр к плоскости фи-
гуры, проведенный через центр описанной окружности; 3)0. 316.2) Нулю.
317. а или ^а24-4(са—Ь2). 318.2) Нулю. 319. Две параллельные плоскости, уда-
ленные от а на I. 321. Плоскость, параллельная а ир и делящая пополам отре-
зок, перпендикулярный обеим плоскостям и имеющий концы на этих плоскос-
тях. 322. Любая прямая, содержащаяся в плоскости у, одинаково удаленной от

аир (смотрите предыдущую задачу); плоскость у. 323. 1) 16 ent; 2)

2	__________________

3)— Ур (р— а) (р—Ь) (р— с), где р=
с

a + b 4- c

т2 — п2

-. Указание (к пункту 3).

Рассмотрите треугольник со сторонами at b, с\ длина его высоты, проведенной

а

к стороне длиной с, равна искомому расстоянию. 326. 2) —.

а

228.	331. 1) Нет; 2) нет. 332. Да. 333. Указание.

327. 2) К2 см.

Обе части ра-

венства АВ = АС + СВ

337.

й»4-

а2+ b2

скалярно умножьте на MN

2) 16 см и ^62,1 см. 338. 1)

(рис. 132)

/4/»» + т2-,

2

2) 17 см или —81,4 см.

а2

Ь2 + — . 340. Нет, если ромб не квадрат.

342.2) Нет. 343. tg фх = tg ф2 == tg	У %- 344. Указание Рассмот-

ри 5

рите симметрию относительно прямой, содержащей биссектрису данного угла.—
345. =4,1 км. 347. 1)ЛУ2 2) a /cos2 2w + sin2 2<р: tg2 <р , 348. =9,80 см
________	Sin ф

и 2/15 си 7,75 см. 349.	45°.	350. о2 /sin2 ф — sin2 ₽

351. 1)----— /sin2 а + sin2 0 — 2 sin а • sin0 cos ф; 2) если СВО = ф, го

cosasinp	г

/ sin a sin ф

* = ~7~—ГТ? • 353* 45°» ~35°16 ; угол DADV 354. 1) Вообще говоря, нет;
sin (ot ~у~ pl

2)	да. 357. 1), 2) Прямая, параллельная ребру. 358. 1) ^12°; —9,4 мм.
о .	_	2а

359.	2) zsl9 30 или zsl60 30 . 360.361. I) Равны или сумма их равна

180°. 362. 1) ^34 я; 2) ^76 м; 3) ^27°. 363. —3,6 м. 364. 1) /?=Т2 sin ф.

4	20

365.	309. 366. |ЛЛх|=20 sin ф дм, sin АСА^-у sin ф,8т ABA±=— sin ф.

5	29

367<

2) —65°23'. 368. 1) 90°; 2) cos ф =

2a2 —Ь2

а2 /3 *

376. Параллельны. 377. 4,5/2 см. 378. 14 см. 379.	..

а

371. Нет. 374. —7=?.

____	/2

380. 2/15 см,

8 см. 385. 1) 4; 2) 8. 386. —----. 387. 1) Указание. См. задачу

№ 344. 2) У к а з а н и е. Три плоскости получим, воспользовавшись преды-
дущим указанием; еще одну плоскость проведите через вершину парал-
лельно плоскости, отсекающей на трех ребрах отрезки равной длины.
388. 1) Указание. Сначала постройте параллелограмм, найдите его
центр симметрии и т. д. 2) Да. 389. Указание. От вершины угла на реб-

рах отложите единичные векторы е2, е3, затем рассмотрите векторы
(et + ^г),	+ ^з)> (е2 + ез)» 391. 1) Нельзя; 2) нельзя; 3) нельзя.

392. 1) 10° < х < 150°; 2) 10° < х < 170°. 393. 90°. 394. Указание.
Примените способ рассуждения от противного. 395. Указание. Приме-
ните теорему 24 к трехгранным углам ABCD и BACD. 396. 609. 397.	.

398. 459. 399. Луч с началом в вершине трехгранного угла. 400. Указа-
ние. На ребрах отложите единичные векторы et, е2, е3 и воспользуйтесь
очевидным неравенством + е2 + е3)2 > 0. 401. Указание. От
вершины данного угла отложите на ребрах единичные векторы е19 е2, е3.
Рассмотрите векторы + е2,	+ е3, е3 + (—е2) и докажите, что эти векторы

компланарны. 402. 1) Нет; 2) нет. 403. —70°32 и —141°04'. 404. У казаки е.
Рассмотрите линии пересечения плоскостей противолежащих граней.

405.	указанИе. Вектор DO, а также векторы АВ и ВС

выразите через DA, DB, DC, затем найдите DO» АВ и DO» ВС. 408. У Каза-
ни е. Воспользуйтесь свойством средней линии трапеции. 409. —3,16 см\
^6,08 си; —5,29 см. 410.	/4d2+a24-b2±2ab cos ф. 411. Четыре прямые,

ab

параллельные прямой a f| 0. 413. ^===*. 414. Указание. Сечение —
правильный шестиугольник. 416. j/"^2 J5L-, j/"Л2 +	. 418. 1), 2) Необхо-

димым. 420. sin ф = ~ /а2 4- b2, b С а / 3. 421. 1) 60°. 424. Объединение
пересекающихся плоскостей, содержащих биссекторы двугранных углов, обра-
зованных данными плоскостями. 426. Указание. Рассмотрите симметрию
относительно прямой, содержащей /, и воспользуйтесь задачей № 425 (2).
427. 1 м. 431. У Казани е. Решение аналогично построению, проведенному
в параграфе 35. 433. Указание. См. № 126. 434. Пространство.
435. 1) Указание. Рассмотрите все возможные случаи взаимного распо-
ложения данных плоскостей. 2) Пересечение данной плоскости и плоскости,
перпендикулярной [АВ] и проведенной через его середину. 437. =54,3 км или
~ 2 км. 439. cos х = sin a-sinp. 440. ^3:1. 442. 1) Четыре прямые, пер-
пендикулярные плоскости треугольника и проходящие через центр вписан-
ного круга или через центры кругов, касающихся каждой из сторон треуголь-
ника и продолжений двух__других сторон; 3) 0. 445. 1) —23°; 2) =32°.

446. =sl400 Н. 447.	tg х = 2. 448. Прямая, параллельная данным

4

прямым. 450. Указание. Рассмотрите симметрию относительно пло-
скости а. 452. Указание. Решение аналогично решению задачи 451.
453. Указание. Смотрите указание к задаче № 400. 455. Указание.
Рассматривая ребра как наклонные к плоскости сечения, воспользуйтесь
теоремой о трех перпендикулярах. 456. 1) Указание. Отложите на ребрах
от вершины S равные отрезки SA, SB, SC; проведите медианы треугольника
АВС. 2) Через точку, принадлежащую ребру, проведите в плоскостях двух
граней прямые, соответственно перпендикулярные противолежащим ребрам.
Докажите, что плоскость а, проходящая через эти прямые, пересекает пло-
скость третьей грани по прямой, перпендикулярной третьему ребру (см. зада-
чу № 238). Остается доказать, что a — искомая плоскость.

ГЛАВА IV. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ

1.	1) (1; 2; — 3);	2) (8; 0; 1);	3)	(0;	0,5; —/2);	4)	(0; 7; 0);

5)	(1; 0; 0); 6) (0; 0; 0); 7) (1; 0; 8). 2. 1) (—1; 2; 5); 2) (—9; 3; —4);
/14	\

3)(4;4; —1). 3. 1) (—6; —2; 4); 2)	0; —7 ; 3) (18; —5; 19).

-3-	-	4-	3 5	6	1

4. 1) Да: a = —6; 2) да: с =—— d. 5. х = — —, у =—. в. 1) 7; 2) -.
2	о	о □	3

7. 1) Нет; 2) да. 8. 1) / 3; 2) /14j_ 3) /~2; 4) 2. 9. _(/3; / 3; /3) или
(—/ 3; —/3; —/3). 10. 1) /29; 2)0. И. 1)6/2; 2) /70. 12. cos<p =
= |; <р = 63°37'. 13. рр 14. 3) 45° или 135°. 15. 1)	у=-. у=-,

2> 31-1'»-°; » “ ? {• > <-’ ь~31’

11. -1

10’ 3

-Ц 18. /10. 19. (0; 1; 0). 20. 1) [ЛЛ^ =/15,5;

6 /

1	14	63

2) 4- /182; 3) cos ВАС = —. 21. | BD | = /105. 22. cos <р =	23. Л,

3	15	\ 6441

С, D. 25. 3x+5y+2z—38=0. 26. —2x+y+2z=0. 27. 1) 4х—у+г—4=0.
29. 1) 2; 2) 2. 30. 1) у—2=0; 2) z+4=0; 3) х+у—3=0; 4) у=0. 31. 1) Да;
2) нет. 32. 1) Зх+у—z—7=0; 2) х —у+5z+7= 0. 33. 1) Да; 2) нет.
34. 1) У к а з а н и е. Примените координатные формулы переноса: хх=—1+х,
ух=5+у, zx=3+z. Выразив отсюда х, у, г и подставив их значения в дан-
ное уравнение, получите искомое уравнение: Зхх—У1+8гх—33=0. Перемен-
ные в уравнении плоскости принято обозначать через х, у, z, поэтому послед-
нее уравнение можно записать в виде: Зх—y+8z—33=0; 2) 6х—2y+16z+
+51=0. 35. 1) хх=—х, У1=— у, гх= — г; 2) хх=х, ух=у, гх=—z;
3) хх=—х, ух=— у, zx=z. 36. 1) 7х—2у—5z+l=0; 2) 7х—2у+5г—1=0;
3) 7х—2у+5г+1=0. 37. 1) Центр гомотетии, любая прямая и плоскость,

241

| '^i^i
проходящие через центр гомотетии; 2) тождественное преобразование (&= 1)

и центральная симметрия (k = —1)	38. 1) —;	2) 4. 39. 2) 9.

4

40. I —— —z---; —)	или I — — _—-=т-;	— —-z— ).	41. х = у = —9.

\/з /з /з /	\ уз	уз Уз )

/53\	10	362

42. -; —; 2 . 43. 3) созф = —7=-, <р =27°. 44. 1) -, —. —; 2) =6С23',
\7 7	)	т 3/14	' 7 7	7	'

=62’44', =26°23'. 45. 2) = 30’57'. 48. x. = kx Fa (1— k), y1=ky+b (l—k),
zL=kz~[~c (1— k).

ГЛАВА V. МНОГОГРАННИКИ

60. 1) Да; 2) нет. 51. 12. 53. 1) Да; 2) нет. 54. 1) 60°; 2) =23°25'; 3) ^2,64а2.

<р
	2а cos —

56. 1) =13,2 см; 2)	— + b2.	57. 2а, а У 5.	58.  ---— •

г 2	cos р

2а 1/яп2!£-4-cos22-tg20. 60. 1) /2:1;	2) Q Уз, 2Q. 64

г 2	2	4 cos у

— 154 дм2. 66. 1), 2) Вообще говоря, нет. 67. 1) Да; 2) могут; имеет, если
основание такого параллелепипеда — прямоугольник. 69. 1) 7 дм; 2) — 13,7 ель
70. 1) =;15,9 см; 13 см; 2) ~3,4 дм; 3) |BDi|2 = a2+b2+c2+2ab cos а +
+ 2ас cosf + 2bc cos у, | A CJ2 = а2 + Ь2 + с2 — 2ab cos а — 2ас cos0 +
+ 2bc cos у. 72. 10/2 см2. 73. 6 см2. 74. 1) /б см2;

г—	2а2 а2	а2

2)	3/6 см2. 75. 1) -т=; 2) ---- (если 0°<ф<45°), ---- (если 45° < <р <

/3 COS ф	5Шф

<90°). 76. 2/140со8ф .	77. ]) 2а (а 4-2/7); 2) а (а /3+ 6/7);

3)	За (а/3 4*2/7). 78. 3/3 = 5,2 см. 79. =5 28 000 м2. 80. 19. 81. 12см, 9 см
или 9 см, 12 см. 82. 1120 см2. 83. а2 (1,5 /34-1). 84. 2а/47724 а2, tg х =

а

_ 2d2tg^tgp

=	; х — 45°, если а = Н У 2 . 85.---------- . 86. 1) Только квадрат,

Ф
cos —

2

2) да. 87. 1) а) Вообще говоря, нет; б) да; в) не имеет, если л — нечетное
и л =/= 3; имеет, если л — четное. 2) а) В общем случае три; б) четыре.

89-1) 4 a2 tg ф; 2) а/7, —а/За2 4- 12/72.	91. 1) — а /36/72 4- За2;

2	4	4

2) а /4Н2 4- а2; 3) а У 4/72 4- За2; 4) па / 4Н2 4- а2 ctg2 Ц21 .92.1) Зсм2;

6
а2 sin а cos2 —

2	1

2) Ri70'32'. 93. 33. 94.---------. 95. а 54,9см2. 96. — (аН 4- ЬН 4- ab 4-

cosp	2

4- /а2/72 4-Ь2/724-а2*2). 98. — а2 (/7 -|- 1) или — а2 (4 4- /7 )	99. 48 см,

4	4

га 724 см2. 100.2) |-(а — Ь) У^с2 — (а — Ь)2.101. 1) — (а 4-6) 1/4/724-^£^^;
Z	4	w	о

2) (а 4- Ь) /4//24- (а — Ь)2;

3) 4 а (а 4- 5) 1/4Н2 4- (а -&)2 ctg2!^.
4	F	Л

102. и 1700 дм2. 103. (а 4-6) (с4- — /12с2 4-3(а— Z>)2\ 104.
\	4	/

«176 см2.
105. 2) Только правильный тетраэдр (и куб).

10G. Нет. 108. 1) » 70°32';

1)	2) V, + 0,5Vs.

118. o&r^+^tga.
О у о

2) я 109°28'. 109. 1) 2аг /3; 2)	. 111.

4/з

112. я 21 Л|3. 113. 0,5. 114 0.5V. 115. -V. 116.
6

119. —- /3 sin a sin ~ tg 0, 2/2 У2 sin ~ tg 0 cos ^45° —

121. Ящик кубической формы с ребром 1/ —. 122. —. 123.
г 6	6

120. а3 tg2 atg ф.

1) Да; 2) не

обязательно. 124. « 60 т. 125. » 50%. 126. a 267 сл3. 127. « 56,5 т.

л____ 1	--— SdsinasinP

128. — Q/Ssin2a. 129. —-------------130. « 14,9 дм3. 132. sinx =

2 _	2 (sin a -р sin P) _________

= -Y... J ?_. 133. 6a2 sin a и 2a3 sin — 1/^sin —sin — .	134. — a3 sin a.

3a3	2 Г	2	2	2

135. 5 : 4. 136. «2,6 млн. м\ «85 тыс. м2. 137. — с3 /3 . 138. 1) —

16	36

2) « 1,7 см. 139. ~~b3 cosP sin 2a sin 2p. 140. 1 :5. 141. —a3 tg a и fl2-*

6	16	8 cos a

142.	1) 35 cm3. 143. ^-ab (a+b) tg q>. 144. — (a3—b3) tg a. 145. я 6,7 т.
12	24

21	_____

146.	— b3. 147. « 2,5 м, « 1,0 л, « 3,0 л. 148. 1) /33; 2) « 100°32'. Ука-

зание. Найдите координаты вектора BBi, затем примените формулы из
пункта 1, § 46. 149. 2) Да. 151. 1) « 69°18'; 2) « 75°31'. 152. 1) а) Три оси

симметрии, четыре плоскости симметрии; б) в общем случае пять осей сим-
метрии и пять плоскостей симметрии. 2) а) Нет; б) да. 153.	&.

4

Я2 —	—

154.	—(6/2+ /3)я 2,55№. 155. 1) 30’, 150°; 2) 5 м. 157. 1) Одну ось

4

симметрии, одну плоскость симметрии. Если основание — ромб, то три оси

и три плоскости симметрии. 2) Три оси и три плоскости симметрии.
Если основание — квадрат, то пять осей и пять плоскостей симметрии. 3) Де-
вять осей симметрии и девять плоскостей симметрии. 158. 2^ Q? +Q|.

2	r-

159 « 567 см3. 160. 2) — ab. 161. 64/2 « 90,5 см2. 162. 20 см3.

163.	a (a + Н + /а2 + Я2). 164.	167.	1/sin Ф-±_Р sin <Lzl* .

о	w Р г	Z	Z

sin —
____________________ 2

168.	cos <45° ~ sin (Р + Ф) sin(P ~ Ф> 169. - (I + tg <р + /2 tg2 q> + 1).
cos р	4

170.	6сР -, я 873 ж2.	171.	5&2(0,9sin2P+/3cos2P). 172. 90°.

sin ф sin 2ф	_____________________

174.	я 1200 ж® и я 390 ж®. 175. я 40 000 м3. 176- - sln 2а ^cos (а + P)_gg(? ~ Р^

4 sin 0

0° < а + ₽ < 90°. 177. abc sin а. 178. -- a2b /—cos (а + 0) cos (а — 0),

90° < а+0 < 180°.

180. Да, если п четно; вообще говоря, нет, если п нечетно.

243

I 7ц|Ц^1 I
181, у a® sin j/ cos /“ + 30°\ cos (“ _ 30°). 182. 1 : (3/4 - 1) «1,7.

5	\	*	'

183.	— a® « 0,833a®, a® (3 + /3) « 4,73a®.	184. cos® 2a ; sin® a.

О

185.	Д» sin 4a tg a. 186. —7===^^======, 0° < a < 60°. 187. 72cл».
3	24/cos (a-j-30°) cos (a—30°)

188.	— c® cos a sin 2a tg 0 ss 105 сл®. 189. (a + fc)2 /a» —2aft ctg® -y, a > 2ft.

ГЛАВА VI. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ

195.	1) Да; 2) бесконечное множество. 196. 3) Прямоугольник или отрезок;
4) часть плоскости, ограниченная эллипсом. 197. « 6,87 жа. 198. 1/ т _ V
\2Я ] *

200. jiQ. 201.----(a + 2/7 sinI • 202. « 1,4- 107/7. 203. ss35 000 к2.

<р \	2 /

2sin2—-'	7

_ d2 sin 2a tPco^a	т/п2 4- 9 n

204. 1) ------4-------; 2) tg2a=2n, a «40°30'. 205. ЛЯ-+.Т.7~Я «0,15.

2	2Л	2

206.3) Равнобедренным треугольником, отрезком или точкой. 207.1)Нет;2)одну
ось симметрии и бесконечное множество плоскостей симметрии. 208. 1)n/2sin2~;

2) Т/"—(/2— -SL\ 209.	- - У sin (<р + a) sin (ф — а) • 210. 40 листов,

г л \ л ) cos а 5Ш2ф

лЬ1 ctg ~	------

211. 1) —л^(3 + /3); 2) ----------.	212. Т/ - 2я95 . « 50,2 сл».

2	л . ф	г sina

2sin —
2

213.	1) «377 сл», « 704 сл»; 2) лЛ» (2,5 + 2/2). 214. 188 л сл».

215.	1) 3—сл, 8— сл, 216°; 2) « 85 см, и 61 сл, я 57°, « 21 дм2. 216. 2) Бес-
3	3

конечное множество осей симметрии и бесконечное множество плоскостей сим-
метрии. 217. Окружностью. 218. А и D. 219. (±7?; 0; 0); (0; ±7?; 0);
(0; 0; ±7?). 220. (—6; —8; -10), (6; 8; 10). 221. 6 р. 222. 1) (х—2)2+ (у+1)2+
+ (г_3)2=16; 2) (Х + 5)2 + у2 4. (2 _ 7)2=3 224. 1) Oi (0; 0; 0), г = 2;

г_ / 2	2	2 \	/’"я

2)	0,(0; 1;0), г = /3;3)ОЦ— -; -J, г= ]/ |. 225. 1) Точка; 2) 0;

3)	окружность; 4) окружность; 5) 0. 226. Указание. Выберите прямо-
угольную систему координат так, чтобы начало координат совпадало с цент-
ром одной из сфер, а ось ординат проходила через центр другой сферы. В таком
случае уравнения данных сфер имеют вид:

х® + у® + г® = R\,	(0

х® + (У - О)2 + г® = /?|.	(2)

Здесь d — расстояние между центрами сфер. Система, составленная из
уравнений (1) и (2), задает пересечение данных сфер. Вычитая из уравне-
ния (1) уравнение (2), получим:

2dy = R’ — Rl + d2.	(3)

Уравнения (3) и (1) образуют систему, равносильную системе, составлен-
ной из уравнений (1) и (2). Поэтому полученная и данная системы уравнений
244
задают одно и то же пересечение. По условию задачи это пересечение не пусто.
Согласно теореме 36 пересечение плоскости (3) и сферы (1) есть окружность или
точка. Плоскость (3) перпендикулярна оси ординат, т. е. она перпендикулярна
прямой, проходящей через центры данных сфер. 227. 1) Экватор;2) ~ 15 000 км.
228. 1) Нет; 2) ~ 27,0с;и. 229. 1) Одну; 2) бесконечное множество. 230. 1) Бес-
конечное множество; 2) бесконечное множество или ни одной. 231. 1) Прямая,
перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку (без
этой точки); 2) объединение двух плоскостей, параллельных данной.

232. 1)——; 2) (х — R)2 — (у — R)2+(z — R)2 = R2. 233. nR2 sin2 <р.

234. 1) у — 3 = 0; 2) 2у — z/5— 9=0; 3) 2х—2у—z—9=0. 236. « 8,2 км.

237. я 320 м. 238. я 1,9 «г. 239. cos а : sin а. 240.	. 241.

9	sin а

л	16л	1	128л	163л

242. 1) 117л; 2) —; 3) —4) — ла3; 5) ——; 6) ——. 243. 1) а 19 т;

5	15	2	7	14

л tg (р / а \3	1	л	а2 г___________

2) « 1,6 м. 244.---(------) . 245. —ла3 sin р tg р. 246. -- R3 р4л2— а2

’	24 \sina/ __	3	24л2 г

(а — в радианах). 247. 2л	5,13 (радиан). 248. 1) 182л дм3*, 2) (R3—г3).R3.

249. «;50%. 250. «2 л. 251. 2nd3 sin a cos3 ~. 253. 1) «г в 64 раза; 2) у 2.

4	4

254. С недостатком; «4,5%. 255. ~ 9,9см. 256. т. 257. — л/?3. 258. —л | kR |3.

о	о

259.	261. я в 4,0 раза. 262. ^т2 : ^г?. 263. 1 : k2. 266.

267. 3 : 4. 269. у /d2 — А2 270. 2) 45°. 271. 1) /2—1 я 0,414; 2) я 7,8с3.

Q

272.

2)

•$бок — "

I

5700 км.

. 273.

'2
2

Н. 274. =1,1 дм2. 277. 1)	« 6700 км\

cosqp

278.	1) 15 см\ 2) а) пересекаются; б) не имеют общей точки.

279.	(5; 0;

13 32

7’

i 32\

; — 1. 280. 1) Прямая, перпендикулярная

плоско-

сти, проходящей через данные точки; 2) плоскость, параллельная данным
плоскостям. 281. 2) Сфера, для которой данная гипотенуза служит диаметром.

п / 7

282. а у —. 283. Нет. Диаметр должен быть

285. arccos^-. 287. 4 (/2 — 1)3 я 0,28. 288.

О

равен высоте. 284. D = Н =R^2.

1 Ф

« 83°24'. 289. — ctg3 у tg ф.

2	1	ла3 sin 2a cos a

290. 60°. 291. г = —R, h = ~H. 292. 1) ----------------------—;

3	3	d

8 (cos (a + P) cos (a — P)) 2

4	4	1	/	a \ a

2)	arcsin — и л—arcsin-. 293. —• r3 tg 45° + — ) ctg—tg p.	294. ~ 53°8 .

лт	лт	3	\	2/2

4Rr

295.	у 296. 1) ax+by+cz+(d—ap—bq—cr)=§\ 2) ax+by+cz—d = 0;

3)	ax—by-[-cz—d=0; 4) ax + by —cz+ d—0.	297. 1) 4x+ 6y+z—15 = 0;

2) 9x + 7y + z - 15 = 0. 298. 1)	2) -Д=-. 301 5a/3(9g+4P)

303. Z3 sin a sin P/cos (a + P) cos (a— P). 304. 1) / Qf+

Q| — 2Q1Q2 cos a +

П=г

245
+ К <21 + <?н cos а; 2) нет. 305. 1) Указание. Пусть О —точка
пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда ABCD A^Bfi^D х.
Обозначим: О А = а, О В = Ь, ОС = с, |ОЛ | =|ОВ| — |ОС| = /. Тогда cos «+

. о , а • b Ь • с b • ОВ, !-►->-* —►

+ cos р + cos у=—— + —— Ч---------— = — 6- (л+с +OBJ. Остается доказать,

р	р	р	р

что a-J-c-J-O#! = b. 306. 1) 2>иХ0,5л<х2,5 м\ 2) 2 djwX 1 дмхЗ дм. 307.

аН
у2Н2 + а2 '

308. Оба угла прямые. 309 1) arccos^ tg—j; 2)	2 arcsin tg — j;

(	<P \

V 2 sin — I. 313. 90° — 2 arctg m. 314. Указание. Пусть G1 —
точка пересечения медиан грани А ВС тетраэдра ABCD, тогда для произволь-
ной точки О имеем: OG1 = (OA-VOB+OC) (§22). Выразите через ОА, ОВ,
3

ОС и OD вектор ОЛ1Р где делит [DGJ в отношении 3 : 1, считая от D.
Убедитесь, что такой же результат получим и для точек М2, М3, М4, деля-

щих в отношении 3 ! 1 остальные отрезки, указанные в условии. 315. 2) —- V.

313. ^-Q/2Qtgatg (450— -^-k>p. S17	2) 0,5V. 321. 2) a) n ^2-;

3	\	2 /	4

2)6)	322. arctg— 323. 2) 3У3- а 0,654. 324. ™2 /с0&2 а + с^2Р.

9	4Q	8л	4 sin2 а ctg 0

лЬ2	г_____	г________

325.--------« 152 м* 328. лдбр^а2 Ь2 . 327. л : 2 У1 + sin2 q>.

2 sin а sin2145° — — 1

328. 1) Окружность, точка или 0; 2) объединение двух окружностей, две точки
или 0; 3) объединение двух окружностей, окружность или 0 . 329. Указа-
ние. Пусть А и В — данные точки, |ЛВ| = а. Выберем систему координат
так, чтобы начало координат совпадало с точкой А, а ось ординат проходила
через В и имела направление луча АВ. Ответ: плоскость, перпендикулярная
д2 ^2

прямой АВ, ее уравнение у = —---. 330. Сфера. Указание. Если нача-

лом координат является середина отрезка, соединяющего данные точки А и В,
и ось ординат проходит через эти точки, то уравнение сферы имеет вид
2&а_______________а2	—

х2 + у2 _|_ Z2 = —_-где а = | АВ | (а < k /2 ). 331. 1) (х — 1)2+ (у+ 2)2+

+ (г—5)2=9; 2) (х+1)2+(у — 2)2+(г + 5)2 = 9. 332. 1) Окружность; 2) 0;
3) точка. 334. Указание. Сравните расстояние между центрами с суммой
и разностью радиусов. 335. 1)	» 2) млн. км2* 836. 1 : 2 и 1 : 2)^2.

(sin 2<р \2	1

----— \ . 338 arcsin —/—-.	340.	« 537 см3 или «38,6 см3.
ctgfj

341. Yl- d» tg3 2а tg а. 342. /4/?3-в3— fc3. 343. -уЛ.// —2—\2

\ vos Т J /

344. 5,5 дм. 345.

ЦЕ23_(Г91„3<р-|-16)з. 347.

432

2а2 sin 2а ctg3 —.

2 —'
jfelol

mathedu.ru
348.

1 + sin

2л sin a

_ (a cos 145°

351. -X2 I ---------------

3 I <

cos-

a

~2

. 349. 2) Да. 350. 2) arccos (^2 — 1) « 65c33'<

. 3

352.	1 : 5

354.

2л > sin a

/ a \2
(l + sinT)

— ;2)D =
л

80 cm. 356. При m = 2 x = 2 arctg НД- ss

2 arctg 0,7071 и 70°32', при tn > 2

357. 2.

361.

358. — — лЯ3tg3 a tg 2a. 359.

3

(K$sina)3~193 дм3.

6

Xi,2 = 2 ar<tg
3/4
arcsin L— . 360.
2

-±1/1—L

I Г 4 2т
2лг3 / 4	'

363.

364.

ла3

8(1 +cig a)3

. 365.

Ф
л(а3 — 63) sin2 ф cos —

3 k
лЬ2

4 sin q>

sin2 a

1

(1 4- sintp).

366.

—лН3, 4-л/?/13Э.
9	3

12 cos a

c3 sin 2a cos a

367. ---------------

368. ла2 tg U5° — у j.

369.

У к

„	180°

4пЯ2 tg------

п	а .	г—.

-------------. 370. — (2 — /з). 371. d

sin2 а	2

Я2— ±_. 372. 4: 1.

а з а н и e. Найдите отношение, в котором сечение делит одно из боковых

a3 cos2 a sin — Kcos а
ребер пирамиды. 373. --------------------. 374.

У к

12 cos6 —
2

a^C0SC(.. 375.

л а

2 cos—

2

32

при

377.

а з а н и е. Предварительно докажите, что двугранные
сторонах основания пирамиды равны 60°.	376.

— а(3 — /3). 378. --------.

6	, ф

1 +ctg-2-

углы
2с№

а-\-Ь'

^|Й|
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсцисса 109

Аксиома 5, 193

Апофема правильной пирамиды 129

----усеченной пирамиды 132

Аппликата 109

Биссектор двугранного угла 100

Боковая грань пирамиды 128

----призмы 120

----усеченной пирамиды 131

Большая окружность сферы 156

Большой круг шара 156

Вектор 42

Вершина многогранного угла 95

Внутренняя область двугранного уг-
ла 89

---- многогранника 118

—	— многогранного угла 96

---- многоугольника 202

—	— тела 227

Вписанный многоугольник 206

—	угол 205

Вращение вокруг оси 150

Выпуклая фигура 10, 196

Вычитание векторов 46

Гомотетия плоскости 207

—	пространства 113

Грань двугранного угла 89

—	многогранника 118

—	многогранного угла 95

Двугранный угол 88

Диагональ многогранника 118

Диаметр сферы (шара) 154

—	эллипса 148

Длина вектора 42

—	окружности 206

Достаточное условие 196

Замкнутая многогранная поверхность
118

Измерения прямоугольного паралле-
лепипеда 123

Изображение фигуры 27

Касательная прямая к окружности 204

—	— к сфере 158

—	плоскость к сфере 158

Квадрат 203

Коллинеарность векторов 48

Компланарность векторов 50

Композиция преобразований 37

Конгруэнтность фигур 39, 198

Конус 152

Координатные векторы 109

—	оси 109

—	плоскости 109

—	формулы преобразований 113

Координаты вектора 105

—	точки 109

Коэффициент гомотетии 113, 207

Круг 204

Куб 123

Лежать между 197

Линейный угол двугранного угла 89

Ломаная 197

Луч 198

—	открытый 197

Многогранная поверхность 117

Многогранник 118

—	выпуклый 118

—	невыпуклый 118

—	правильный 133

Многогранный угол 95

Многоугольник 202

Наклонная к плоскости 70

Направление в пространстве 41

—	вектора 42

Начало координат 109

Необходимое условие 196

Нулевой вектор 42

Образ точки 36, 198

—	фигуры 36, 198

Образующая конуса 152

—	усеченного конуса 153

—	цилиндра 151

|| А®

1Ч—
Обратное преобразование 37

Общий перпендикуляр скрещиваю-

щихся прямых 81

Объединение фигур 197

Объем многогранника 134

—	фигуры вращения 159

Окружность 204

Октаэдр правильный 133

Описанный многоугольник 206

Определение 194

Ордината 109

Ортогональная проекция 73

Осевая симметрия плоскости 199

—	— пространства 74

Основные понятия 3, 193

Ось вращения 150

Откладывание вектора 42

Отображение фигуры 36, 198

Отрезок 197

Параллелепипед 20, 122

—	наклонный 124

—	прямой 123

—	прямоугольный 20, 123

Параллелограмм 202

Параллельная проекция точки 26

—	— фигуры 26

Параллельность плоскостей 22

—	прямых 9, 200

—	прямой и плоскости 16

Параллельный перенос 20

Переместительность скалярного ум-
ножения 59

—	сложения векторов 45

Перемещение плоскости 199

—	пространства 38

Пересекающиеся плоскости 6

—	прямые 8

Пересечение фигур 196

Перпендикулярное сечение призмы
127

Перпендикулярность векторов 56

—	плоскостей 90

—	прямой и плоскости 67

—	прямых 57

Пирамида 128

—	правильная 128

Плоскость 3

Площадь круга 160

—	многоугольника 204

—	поверхности конуса 127

—	— многогранника 127

--- цилиндра 151

—	сферы 166

Поверхность конуса 152

—	цилиндра 151

Подобие фигур 207

Полуплоскость 198

—	открытая 198

Полупространство 9

Полупространство открытое 9

Построение биссектрисы угла 210

—	касательной к окружности 215

—	конгруэнтных частей отрезка 213

—	образа фигуры при гомотетии 213

		осевой симметрии	212

—	—------переносе 213

—	повороте 211

—	%------центральной симметрии

—	окружности, вписанной в тре-
угольник 216

—	—, описанной около треугольни-
ка 216

—	параллельных прямых 212

—	перпендикуляра к прямой 211

—	серединного перпендикуляра к от-
резку 209

—	треугольника по гипотенузе и ка-
тету 211

—	угла, конгруэнтного данному 210

—	четвертого пропорционального от-
резка 214

Правило многоугольника 45

—	параллелепипеда 53

—	параллелограмма 50

—	треугольника 45

Преобразование подобия плоскости
208

—	пространства 37

Призма 119

—	наклонная 120

—	правильная 120

—	прямая 120

Признаки конгруэнтности треуголь-
ников 202, 221

—	параллелограмма 203

—	параллельности прямых 200, 201

—	подобия треугольников 208, 209

Признак коллинеарности векторов 49

—	параллельности прямой и плоско-
сти 16

—	перпендикулярности векторов 59

—	— плоскостей 93

—	— прямой и плоскости 67

—	скрещивающихся прямых 14

Принадлежность 5

Произведение вектора на число 48

Пропорциональные отрезки 208

Пространство 4

Противоположно направленные лучи
40

Противоположные векторы 46

Прямая 3

Прямоугольник 203

Прямоугольные координаты 109

Прямоугольный базис 105

Равенство векторов 42

Радиус сферы (шара) 154
Развертка поверхности конуса 152

---многогранника 119

—	— усеченного конуса 153

--- цилиндра 151

Разложение вектора 51, 54

Разность векторов 46

Распределительность скалярного ум-
ножения 59

—	умножения вектора на число 49

Расстояние между точками 3

—	— фигурами 79

Ребро двугранного угла 8Э

—	многогранника 118

—	многогранного угла 95

Ромб 203

Связка параллельных прямых 19

Сегментная поверхность 228

Симметричная фигура относительно
оси 199

—	— — плоскости 78

—	— — центра 199

Симметрия относительно плоскости 76

Скалярное произведение векторов 57

Скрещивающиеся прямые 14

Сложение векторов 44

Сонаправленные лучи 40

Сопряженные диаметры эллипса 143

Сочетательность скалярного произве-
дения 59

—	сложения векторов 45

—	умножения вектора на число 49

Средний пропорциональный отрезок
209, 214

Средняя линия трапеции 203

— — треугольника 201

Сумма векторов 44

Сфера 154

Тело 227

Теорема 194

— косинусов для треугольника
217

Теорема косинусов для трехгранного
угла 223

—	Пифагора 209

—	синусов 217

—	Фалеса 201

Тетраэдр 12

— правильный 133

Тождественное преобразование 37

Точка 3

Трапеция 203

Трехгранный угол 96

Угол 198

—	между векторами 56

—	— направлениями 56, 200

—	— прямой и плоскостью 86

—	— пересекающимися прямыми 56

—	— плоскостями 90

—	— скрещивающимися прямыми 56

У	множение вектора на число 48

Уравнение плоскости 111

—	сферы 155

Усеченная пирамида 131

Усеченный конус 152

Фигура 4, 196

—	вращения 150

Формула вычитания векторов 47

—	Герона 217

Хорда сферы 154

—	эллипса 113

Центральная симметрия 37, 199

Центр гомотетии 113, 207

—	сферы (шара) 154

—	эллипса 147

Цилиндр 150

Шар 154

Шаровой сегмент 228

—	сектор 229

Эллипс 147
УКАЗАТЕЛЬ ПРИМЕНЯЕМЫХ
СИМВОЛОВ

Л£Ф	— точка А принадлежит фигуре Ф;
А£Ф	— точка А не принадлежит фигуре Ф;
Ф1 с= Ф2 (Ф1 qf Ф,)	— фигура Ф| является (не является) подмножеством
	фигуры Ф2;
Ф1 = Ф2 (ф,	ф2|	— фигуры Ф! и Ф2 совпадают (различны);
Ф1 и ф2	— объединение фигур Фг и Ф2;
Ф1 П Фа	— пересечение фигур Ф1 и Ф2;
0	— пустое множество;
{Л. В}	— множество, состоящее из элементов А и В;
(Л, В)	— упорядоченная пара точек А и В;
(АВ)	— прямая АВ;
[Лй]	— отрезок А В;
[Л В)	— луч АВ;
1 ЛВ1	— расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ]
(0, R)	— окружность с центром 0 и радиусом R;
(АВС)	— плоскость, проходящая через точки А, В, С;
Ф1 — Ф2	— фигуры Ф£ и Ф2 конгруэнтны;
Ф1 OJ Ф2	— фигуры Ф1 и Ф2 подобны;
Е	— тождественное преобразование;
f-1	— преобразование, обратное преобразованию f;
ft 0 fi	— композиция преобразований fY и /2;
	— одинаково (противоположно) направленные;
zo	— симметрия с центром 0;
s.	— симметрия с осью 1;
«a	— симметрия относительно плоскости а;
"o	— гомотетия с центром 0 и коэффициентом k;
8 (Ц-)	— параллельны (не параллельны);
—	— скрещивающиеся (прямые);
±	— перпендикулярны;
z	— угол, двугранный угол, трехгранный угол;
A	— величина угла;
(<O)	— угол между прямыми;
	। -
(«С a)	— угол между прямой и плоскостью;
(a, b)	— угол между векторами;
(«Г₽) (7 7 k) a AB  0, AA	-	- угол между плоскостями;  —	прямоугольный базис;  —	вектор;  —	нулевой вектор;

»а|=а, | AB| = | AB| — длина вектора;

а • Ь, АВ • CD  а = (х; у; г)  М (х; у; г)  V	—	скалярное произведение векторов;  —	вектор с координатами х, у, г;  —	точка М с координатами х, у, г\  —	объем;  —	следует;  —	равносильны.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1.	О логическом строении курса стереометрии. Основные по-
нятия стереометрии ........................................... 3

§	2.	Аксиомы стереометрии	.................................... 5

§	3.	Следствия из аксиом	.................................... 8

§ 4.	Проведение в пространстве прямой, параллельной данной
прямой ...................................................... 11

§	5.	Решение задачи на построение	сечения	многогранника	.	.	12

§	6.	Скрещивающиеся прямые.	Признак скрещивающихся	прямых	13

§ 7.	Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак па-
раллельности прямой и плоскости ............................. 15

§ 8.	Транзитивность параллельности прямых. Связка параллель-
ных прямых .................................................. 18

§	9.	Параллелепипед ........................................ 20

§ 10.	Взаимное расположение двух плоскостей. Признак гарал-
лельности плоскостей ........................................ 21

§	11.	Теоремы о параллельных плоскостях . 23

§ 12.	Параллельная проекция фигуры. Свойства параллельной
проекции .................................................... 26

§ 13.	Изображение фигур в стереометрии..................................... 27

Задачи на повторение к главе I.............................................. 32

Глава II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА. ВЕКТОРЫ

§ 14.	Отображение фигуры. Преобразование пространства	. . .

§ 15.	Перемещения пространства. Конгруэнтность фигур	. . .

§ 16.	Направление в пространстве ...........................

§ 17.	Вектор ...............................................

§ 18.	Сложение векторов ....................................

§ 19.	Противоположные векторы. Вычитание векторов..........

§ 20.	Коллинеарные векторы. Умножение вектора на число . . .

§ 21.	Компланарные векторы .................................

§ 22.	Применение векторов к решению задач .................

§ 23.	Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам ...................................

§ 24.	Угол между двумя векторами ..........................

§ 25.	Скалярное умножение двух векторов ...................

§ 26.	Основные свойства скалярного умножения векторов . . .

§ 27.	Применение векторов к решению задач .................

Задачи на повторение к главе II ...........................

36

38

40

41

44

46

48

50

52

53

55

57

59

60

63

1

253
| -
Глава III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

§ 28.	Признак перпендикулярности прямой и плоскости ....	67

§ 29.	Проведение перпендикуляра к плоскости ................ 69

§ 30.	Два перпендикуляра к плоскости. Ортогональное проекти-
рование на плоскость .....................................	.	72

§ 31.	Осевая симметрия пространства ........................ 74

§ 32.	Симметрия относительно плоскости...................... 76

§ 33.	Две плоскости, перпендикулярные прямой ............... 78

§ 34.	Расстояние от точки до плоскости ..................... 79

§ 35.	Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ....	81

§ 36.	Теорема о трех перпендикулярах ....................... 83

§ 37.	Угол между наклонной и плоскостью .................... 85

§ 38.	Двугранный угол. Измерение двугранных углов .......... 88

§ 39.	Признак перпендикулярности плоскостей............. .	93

§ 40.	Многогранный угол. Трехгранный угол................... 95

§ 41.	Свойства плоских углов трехгранного и многогранного
углов ...................................................... 96

Задачи на повторение к главе III............................. 99

Задачи на повторение по курсу IX класса .................... 101

Глава IV. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 42.	Координаты вектора. Правила действий над векторами, за-
данными своими координатами ............................. 105

§ 43.	Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами
по их координатам ........................................107

§ 44.	Прямоугольная система координат. Координаты точки . . 108

§ 45.	Уравнение плоскости .................................ПО

§ 46.	Координатные формулы преобразований. Гомотетия ... 113

Задачи на повторение к главе IV...........................115

Г л а в а V. МНОГОГРАННИКИ

§ 47.	Многогранная поверхность. Многогранник ............117

§ 48.	Призма ............................................119

§ 49.	Свойства параллелепипеда ..........................122

§ 50.	Площадь ортогональной проекции многоугольника . . . 125

§ 51.	Площадь поверхности призмы ........................127

§ 52.	Пирамида ..........................................128

§ 53.	Усеченная пирамида ................................131

§ 54.	Понятие о правильных многогранниках ...............133

§ 55.	Общие свойства объемов многогранников. Объем прямо-
угольного параллелепипеда ............................... 134

§ 56.	Объем прямой призмы ................................136

§ 57.	Объем наклонной призмы .............................138

§ 58.	Объем пирамиды .....................................140

Задачи на повторение к главе V ...........................142

Г л а в а VI. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ

§ 59.	Изображение окружности. Эллипс ....................147

§ 60.	Фигура вращения. Цилиндр ..........................149

§ 61.	Конус. Усеченный конус .............. .............152

§ 62.	Сфера и шар .......................................154

§ 63.	Сечение сферы. Изображение сферы ..................155

§ 64.	Плоскость, касательная к сфере ....................158

§ 65.	Обобщение задачи измерения объемов. Объем цилиндра . . L59

[ 1
§ 66.	Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной
трапеции ...............................................  .	.

§ 67	Объем конуса .........................................

§ 68.	Объем шара ..........................................

§ 69.	Площадь сферы .......................................

Задачи на повторение к главе VI ...........................

Вопросы для повторения ....................................

Задачи на повторение по курсу X класса ....................

Исторический очерк ........................................

Краткая сводка сведений по курсу планиметрии ..............

Формулы геометрии .........................................

161

163

164

165

167

171

175

185

193

217

Приложения

Теоремы о конгруэнтности фигур (к § 31)	.............220

Проекция вектора на ось (к § 26)..................... 222

Теорема косинусов для трехгранного угла (к § 40)	.... 223

Необходимое и достаточное условие существования трехгранного
угла (к § 41)	...............................224

Свойства плоских углов многогранного угла (к § 41)	... 225

Геометрическое тело (к гл. V и VI) ...................226

Обьем усеченного конуса, шарового сегмента и шарового сектора
(к гл. VI) ......................................228

Площадь поверхности цилиндра, конуса и шарового сегмента
(к гл. VI) . .	 230

Система аксиом геометрии, предложенная	Г.	Вейлем......233

Ответы и указания .......................................236

Предметный указатель	......................248

Указатель применяемых	символов .................251
ИБ № 1598

Владимир Михайлович Клопский
Залман Алтерович Скопец
Михаил Ильич Ягодовский

ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие для 9 и 10 классов

Редакторы А. М. Абрамов, С. В. Пазельский
Художественный редактор Е. И. Карасик

Технический редактор Л. Я. Медведев

Корректоры К. А Иванова и Г. С. Попкова

Сдано в набор 26/XI 1976 г. Подписано к пе-
чати 11/11 1977 г. 60Х901 lie- Бумага типогр. № 1.
Леч. л. 16. Уч.-изд. л. 15,46-Нюрз. 0,34.
Тираж 2800 тыс. экз.

Ордена Трудового Красного Знамени издательст-
во «Просвещение» Государственного комитета
Совета Министров РСФСР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й
проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Росглавполиграфпро-
ма Государственного комитета Совета Минист-
ров РСФСР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли, г. Саратов, ул Чернышев-
ского, 59. Заказ 210.

Цена 30 коп.